WEBVTT 00:07.870 --> 00:10.650 Meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich zur heutigen 00:10.650 --> 00:13.990 Vorlesung der Technischen Mechanik II für Wirtschaftsingenieure, 00:14.650 --> 00:18.610 erfahrungsgemäß der Dienstag nach Pfingsten immer etwas schwächer 00:18.610 --> 00:19.050 besetzt. 00:19.490 --> 00:22.690 Klar, für die Maschinenbauer ist das auch die Exkursionswoche. 00:22.810 --> 00:25.670 Andere haben vielleicht noch die Pfingsttage ein bisschen zu verdauen. 00:26.550 --> 00:27.810 Wir starten trotzdem. 00:29.310 --> 00:30.890 Was haben wir beim letzten Mal gemacht? 00:31.050 --> 00:34.230 Wir haben uns den starren Körper angeschaut, und wir haben uns die 00:34.230 --> 00:37.150 Kinematik des starren Körpers angeschaut. 00:37.690 --> 00:44.470 Heute soll es um die Kinetik des starren Körpers gehen, aber wir 00:44.470 --> 00:47.430 werden dabei ähnlich vorgehen wie bei der Kinematik des starren 00:47.430 --> 00:47.830 Körpers. 00:48.190 --> 00:51.010 Deswegen möchte ich Ihnen bei der Kinematik noch einmal das wichtigste 00:51.010 --> 00:52.570 Ergebnis hinschreiben. 00:53.670 --> 01:00.440 Also, Kinematik des starren Körpers. 01:04.180 --> 01:08.840 Das wichtigste Ergebnis ist die Euler'sche Geschwindigkeitsformel 01:26.370 --> 01:41.150 Vb gleich Va plus Omega kreuz Ra minus Rb. 01:41.650 --> 01:43.230 Wissen Sie noch, was da steht? 01:44.410 --> 01:46.650 Da steht ein starrer Körper. 01:46.930 --> 01:48.890 Die berühmte Mechanikerkartoffel. 01:49.430 --> 01:52.950 Irgendwo haben wir einen raumfesten Punkt fixiert. 01:53.390 --> 01:54.950 Auf den beziehen wir uns. 01:55.570 --> 02:01.610 Wir betrachten zwei Punkte A und B dieses starren Körpers. 02:02.030 --> 02:05.170 Hier haben wir den Ortsvektor Ra. 02:07.830 --> 02:09.850 Da haben wir den Ortsvektor Rb. 02:13.110 --> 02:18.570 Der Vektor Ra minus Rb ist gerade dieser Differenzvektor. 02:25.460 --> 02:31.240 Wenn wir das so eben betrachten, wie das von mir zweidimensional 02:31.240 --> 02:36.040 gezeichnet ist, den starren Körper, dann wissen wir, der Drehvektor um 02:36.040 --> 02:42.980 eine feste Achse, der Drehvektor dieser Ebenenbewegung steht senkrecht 02:42.980 --> 02:49.600 zu dieser Projektionsebene, springt Ihnen also entgegen, und das ist 02:49.600 --> 02:50.600 gerade der Vektor Omega. 02:52.240 --> 02:55.180 Die Euler'sche Geschwindigkeitsformel sagt jetzt also aus, die 02:55.180 --> 02:59.960 Geschwindigkeit im Punkt B, wenn wir die berechnen wollen, nehmen wir 02:59.960 --> 03:03.980 einfach die Geschwindigkeit des Punktes A und addieren dazu das 03:03.980 --> 03:10.380 Kreuzprodukt, Vektorprodukt Omega mal Differenzvektor, mal den blauen 03:10.380 --> 03:12.040 Vektor Ra minus Rb. 03:12.660 --> 03:17.760 Das ist die Quintessenz der Kinematik des starren Körpers. 03:24.200 --> 03:25.120 Bemerkung. 03:26.480 --> 03:27.280 Erstens. 03:29.140 --> 03:32.860 Wir sehen anhand der Geschwindigkeitsformel, die Geschwindigkeit des 03:32.860 --> 03:37.000 starren Körpers setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, Translation und 03:37.000 --> 03:37.740 Rotation. 03:38.700 --> 03:42.900 Translation finden Sie hier, der translatorische Anteil. 03:48.880 --> 03:53.820 Stellen Sie sich vor, keine Drehung, Omega gleich 0, Vb gleich Va, 03:54.060 --> 03:57.640 Geschwindigkeit in jedem Punkt des starren Körpers gleich, reine 03:57.640 --> 04:01.640 translatorische Bewegung, der starre Körper wird in der Ebene hier 04:01.640 --> 04:04.440 irgendwie hin- und hergeschoben, aber nicht gedreht. 04:05.420 --> 04:11.140 Zweiter Anteil, Omega kreuz Ra minus Rb, ist der Anteil der 04:11.140 --> 04:12.420 Rotationsbewegung. 04:15.320 --> 04:19.120 Das heißt, wir müssen auch bei der Kinetik des starren Körpers 04:19.120 --> 04:22.100 zwischen Translation und Rotation unterscheiden. 04:22.700 --> 04:27.880 Wenn wir also fragen, welche Kräfte oder Momente verursachen eine 04:27.880 --> 04:32.360 Bewegung, müssen wir unterscheiden, betrachten wir eine Translation 04:32.360 --> 04:33.560 oder eine Rotation. 04:33.700 --> 04:36.060 Die Antwort für die Translation kennen Sie schon. 04:36.060 --> 04:42.160 Das Newtonische Grundgesetz, F gleich m mal a, gilt analog auch für 04:42.160 --> 04:45.860 den starren Körper, nur dass Sie für a den Schwerpunkt einsetzen 04:45.860 --> 04:46.200 müssen. 04:47.060 --> 04:50.900 Also nehmen Sie die Beschleunigung im Schwerpunkt des starren Körpers. 04:52.200 --> 04:55.680 Damit haben Sie aber nur die Kräftebilanz und nur die translatorische 04:55.680 --> 04:56.260 Bewegung. 04:56.720 --> 05:00.720 Also, irgendwelche Kräfte greifen an Ihrem starren Körper an und 05:00.720 --> 05:03.720 verschieben ihn in der Ebene, denn wir betrachten nur die 05:03.720 --> 05:06.220 Ebenebewegung, verschieben ihn in der Ebene hin und her. 05:06.520 --> 05:08.060 Das können wir, kein Problem. 05:08.540 --> 05:12.840 Was neu dazukommt, und damit werden wir heute starten, ist die Kinetik 05:12.840 --> 05:16.640 der Rotationsbewegung des starren Körpers. 05:18.820 --> 05:20.380 Das ist die zweite Bemerkung. 05:20.540 --> 05:24.600 Bei der Rotation taucht hier dieser Drehvektor Omega auf. 05:25.620 --> 05:28.600 Bisher war er ein bisschen mysteriös. 05:29.040 --> 05:33.220 Wir haben gesehen, mathematisch ist dieser Drehvektor eigentlich fast 05:33.220 --> 05:34.140 reiner Schwachsinn. 05:34.380 --> 05:38.280 Sie wollen eine Ableitung ausrechnen, und in dem Drehvektor selbst 05:38.280 --> 05:40.520 steckt mathematisch gesehen schon die Ableitung drin. 05:41.160 --> 05:44.060 Wir haben dann gesagt, wir können uns physikalisch damit retten. 05:44.220 --> 05:48.000 Wir machen ein Experiment, also lassen beispielsweise eine Achse 05:48.000 --> 05:52.300 rotieren, zählen, wie schnell, wie oft die Achse in einer Minute 05:52.300 --> 05:55.860 dreht, und haben dann Umdrehungen pro Minute und können damit den 05:55.860 --> 05:56.920 Drehvektor festlegen. 05:57.580 --> 06:00.600 Das geht natürlich, ist schön und gut, aber wir wollen ja nicht immer 06:00.600 --> 06:05.300 die ganze Zeit Versuche fahren, also die Frage, wie wir auf diesen 06:05.300 --> 06:05.880 Drehvektor kommen. 06:06.740 --> 06:10.460 Auf den Drehvektor kommen wir genauso, wie wir auf den 06:10.460 --> 06:13.100 Beschleunigungsvektor beim Newtonschen Grundgesetz kommen. 06:13.200 --> 06:18.100 Wir nehmen also ein Grundgesetz an, so wie f gleich m mal a kommt aus 06:18.100 --> 06:23.700 dem Impulsgesetz, daraus folgt f gleich m mal a. 06:24.140 --> 06:27.720 f kennen wir, das sind die äußeren Kräfte, die sind uns vorgegeben. 06:27.720 --> 06:30.780 Das Beschleunigungszeitgesetz bekommen wir raus. 06:31.400 --> 06:37.660 Jetzt werden wir beim Drallgesetz starten, werden das Drallgesetz so 06:37.660 --> 06:42.500 umformen, dass der Drehvektor Omega auftaucht, dann haben wir ein 06:42.500 --> 06:46.060 Gesetz, das unseren Drehvektor Omega beschreibt, und wenn wir dann 06:46.060 --> 06:50.440 nicht die Kräfte, sondern die äußeren Momente kennen, wenn wir uns die 06:50.440 --> 06:57.000 vorgeben, dann werden wir in der Lage sein, den Drehvektor als 06:57.000 --> 06:58.960 Funktion der Zeit auszurechnen, d.h. 06:59.060 --> 07:04.140 ein Drehvektor- oder Winkelgeschwindigkeitszeitgesetz zu ermitteln. 07:05.460 --> 07:11.020 Das ist also das Problem der Kinetik, das wir heute angehen wollen. 07:12.160 --> 07:14.100 Was haben wir letztes Mal noch gemacht? 07:14.540 --> 07:18.800 Aus der Eulerschen Geschwindigkeitsformel haben wir noch ein Drittes 07:18.800 --> 07:19.480 hergeleitet. 07:19.480 --> 07:24.320 Wir haben gesagt, wir können uns die allgemeine Ebenebewegung des 07:24.320 --> 07:28.600 starren Körpers so vorstellen, dass wir eine reine Rotation haben, 07:28.960 --> 07:34.020 aber um eine Achse, die zeitlich immer verschoben wird, nämlich um den 07:34.020 --> 07:35.820 sogenannten Momentanpol. 07:36.500 --> 07:39.680 Dann haben Sie noch eine Formel für den Momentanpol kennengelernt. 07:40.580 --> 07:43.500 Die ist nicht ganz so wichtig, ich schreibe sie Ihnen trotzdem noch 07:43.500 --> 07:44.020 einmal auf. 07:45.420 --> 07:50.920 Das Wichtige ist beim Momentanpol, dass man versucht, das ist der 07:50.920 --> 07:57.420 Abstand von Punkt A zum Momentanpol, 1 durch Drehvektornorm zum 07:57.420 --> 08:04.060 Quadrat -Omega-Kreuz-VA-Geschwindigkeit in Punkt A. 08:04.600 --> 08:06.960 Das war die Formel für den Momentanpol. 08:07.720 --> 08:11.300 Das Wichtige ist, dass man versucht, den Momentanpol aus der 08:11.300 --> 08:14.760 Anschauung, aus der Physik das Problem zu bestimmen. 08:14.820 --> 08:17.920 Das heißt, Sie haben irgendwelche Zahnkränze, die aufeinander 08:17.920 --> 08:18.480 abrollen. 08:18.900 --> 08:22.500 Irgendwo rollt einmal ein Zahnkranz auf einem Untergrund ab. 08:22.900 --> 08:26.460 Immer dort, wo sich der Zahnkranz mit dem Untergrund berührt, haben 08:26.460 --> 08:30.060 Sie normalerweise die Geschwindigkeit 0 im Idealfall. 08:30.380 --> 08:34.440 In der Realität ist die Geschwindigkeit nicht gerade 0, aber relativ 08:34.440 --> 08:38.240 klein, sodass diese Idealisierung für viele Berechnungen ausreichend 08:38.240 --> 08:38.460 ist. 08:38.460 --> 08:42.700 In der Wirklichkeit haben Sie ein ganz leichtes Gleiten auf den 08:42.700 --> 08:46.420 Kontaktflächen, aber der Kontaktpunkt spielt tatsächlich eine 08:46.420 --> 08:47.180 wesentliche Rolle. 08:47.840 --> 08:53.560 Für uns heißt Momentanpol, wir versuchen, aus der Anschauung heraus 08:53.560 --> 08:54.900 den Momentanpol zu finden. 08:55.040 --> 08:59.680 Wir finden ihn immer da, wo entweder eine im Raum fixierte Achse ist, 09:00.660 --> 09:04.060 wo die Geschwindigkeit gleich 0 sein soll – die Achse darf sich dann 09:04.060 --> 09:08.360 natürlich nicht bewegen, wie beim Auto –, oder an einer Kontaktstelle 09:08.360 --> 09:11.900 mit dem Untergrund, also mit einer Unterlage, die sich auch nicht 09:11.900 --> 09:16.340 bewegt, dann sind Sie in der Lage, den Momentanpol zu finden. 09:16.520 --> 09:20.120 Sie haben in der letzten Vorlesung Beispiele gesehen, wie wir den 09:20.120 --> 09:21.900 Momentanpol bestimmt haben. 09:22.100 --> 09:23.820 Das alles zur Kinematik. 09:24.140 --> 09:28.360 Jetzt wollen wir übergehen zur Kinetik, also zur Frage, wie wir den 09:28.360 --> 09:34.580 Drehvektor Omega mithilfe unserer Grundgesetze, also mit Hilfe des 09:34.580 --> 09:37.520 Drallsatzes, umsetzen können. 09:38.880 --> 09:40.760 Dazu müssen wir Folgendes machen. 09:41.840 --> 09:48.400 Wir wissen, unser Drallgesetz lautet 09:51.790 --> 10:01.590 Ableitung des Drallvektors nach der Zeit ist gleich Momentenvektor. 10:03.110 --> 10:06.050 Das ist unser zweites fundamentales Grundgesetz. 10:08.070 --> 10:12.370 Das erste lautete – ich erinnere Sie noch einmal daran – Ableitung des 10:12.370 --> 10:20.890 Impulsvektors nach der Zeit ist gleich Kraft. 10:22.450 --> 10:25.970 Die vereinfachte Form von I Punkt gleich F ist F gleich m mal a. 10:26.350 --> 10:29.610 Das ist ein newtonsches Grundgesetz, immer für körpergültig, wenn Sie 10:29.610 --> 10:31.910 für a den Schwerpunkt einsetzen. 10:32.370 --> 10:35.590 Stets ein und dieselbe Materiemenge muss gelten. 10:36.050 --> 10:38.310 Für den Drall ist das aber nicht ganz so einfach. 10:40.490 --> 10:46.410 Für den Drall müssen wir per Definition dieses Kreuzprodukt 10:46.410 --> 10:47.130 ausrechnen. 10:47.570 --> 10:50.630 Sie nehmen also einen ortsfesten Punkt 0. 10:51.410 --> 10:53.310 Der ist hier unten in der Skizze. 10:55.650 --> 10:59.250 Sie adressieren jetzt jeden Punkt des starren Körpers durch den 10:59.250 --> 11:03.850 Ortsvektor und berechnen das Produkt aus Ortsvektor mal 11:03.850 --> 11:07.210 Geschwindigkeit und summieren das über den gesamten Körper auf. 11:07.430 --> 11:11.150 Na ja, das ist ganz schön umständlich, vor allen Dingen dann ganz 11:11.150 --> 11:14.830 schön umständlich, wenn sich dieser Körper auch noch bewegt. 11:16.230 --> 11:20.790 Wenn sich dieser Körper irgendwie bewegt, würde dieses Gebiet, über 11:20.790 --> 11:24.130 das Sie hier integrieren, wenn Sie in Ihrem raumfesten 11:24.130 --> 11:28.170 Koordinatensystem integrieren wollen, sich laufend verändern. 11:28.670 --> 11:33.470 Stellen Sie sich irgendeinen starren Körper vor, beispielsweise diese 11:33.470 --> 11:33.810 Stange. 11:34.810 --> 11:39.070 Wenn die Stange hier liegt, integrieren Sie den Raum von dort bis nach 11:39.070 --> 11:39.470 da hinten. 11:39.990 --> 11:43.530 Jetzt bewegt sich die Stange hier irgendwie durch den Raum und Sie 11:43.530 --> 11:46.610 sehen, Ihr Integrationsgebiet, wenn Sie raumfest integrieren wollen, 11:47.050 --> 11:47.870 ändert sich laufend. 11:48.890 --> 11:50.270 Das können wir nicht machen. 11:50.910 --> 11:52.510 Das wäre ja viel zu aufwendig. 11:53.410 --> 11:57.210 Da hätten wir eine Verknüpfung aus Bewegung und Integration. 11:58.810 --> 12:02.530 Und das wäre tödlich, das könnten wir kaum noch bewerkstelligen. 12:03.130 --> 12:07.510 Aber beim starren Körper wissen wir eins, alles bewegt sich bei der 12:07.510 --> 12:08.110 Bewegung. 12:09.410 --> 12:14.790 Der starre Körper kann sich beliebig durch drei Punkte des starren 12:14.790 --> 12:16.970 Körpers behalten, stets den gleichen Abstand. 12:17.450 --> 12:21.810 Das heißt, wenn ich ein Koordinatensystem wege, was körperfest ist, 12:22.030 --> 12:25.650 sich mit dem Körper mitbewegt, bleiben alle Abstände gleich. 12:26.130 --> 12:28.850 Das heißt, wenn ich dort integriere, in diesem körperfesten 12:28.850 --> 12:32.350 Koordinatensystem, also stellen Sie sich das so vor, Sie setzen hier 12:32.350 --> 12:38.610 hinten Ihr Dreibein an, dann bleibt dieses Dreibein, bewegt sich zwar 12:38.610 --> 12:44.390 mit dem Körper mit, aber relativ zu den Punkten dieses Körpers haben 12:44.390 --> 12:47.790 Sie immer die gleichen Koordinaten, körperfeste Koordinaten. 12:48.370 --> 12:51.410 Das funktioniert beim starren Körper, es funktioniert bei 12:51.410 --> 12:55.390 deformierbaren Körpern natürlich nicht mehr, denn bei deformierbaren 12:55.390 --> 12:59.770 Körpern könnten sich noch die einzelnen Punkte dieses Körpers selbst 12:59.770 --> 13:01.370 untereinander verschieben. 13:02.050 --> 13:07.450 Also, Sonderfall des starren Körpers erlaubt es uns, auf körperfeste 13:07.450 --> 13:12.550 Koordinaten überzugehen und dort dann diese körperfesten Koordinaten 13:12.550 --> 13:13.290 zu integrieren. 13:13.970 --> 13:16.970 Das war das, was ich Ihnen in der ersten Vorlesung versucht habe 13:16.970 --> 13:18.090 klarzumachen. 13:18.410 --> 13:21.350 Damals natürlich noch ein bisschen abstrakt, weil Sie noch nicht so 13:21.350 --> 13:24.210 weit waren, dass Sie jetzt diese Probleme hier gesehen haben. 13:24.830 --> 13:30.130 Also, körperfeste Koordinaten erlauben uns, die Zeitabhängigkeit in 13:30.130 --> 13:34.550 die Basis reinzustecken, die Koordinaten werden zeitunabhängig und ich 13:34.550 --> 13:39.390 kann dieses Problem der Integration hier lösen, indem mein 13:39.390 --> 13:43.250 Integrationsgebiet selbst von der Zeit unabhängig wird, denn ich 13:43.250 --> 13:47.290 integriere immer die Koordinaten für diesen Stab. 13:47.570 --> 13:50.570 Das Einzige, was sich noch bewegt, was sich noch laufend ändert, wo 13:50.570 --> 13:56.750 die Zeitabhängigkeit drinsteckt, sind die Basisvektoren der 13:56.750 --> 13:58.350 körperfesten Basis. 14:00.110 --> 14:04.690 So, langer Rede kurzer Sinn, wir müssen von unserem raumfesten 14:04.690 --> 14:12.190 Koordinatensystem EX, EY, EZ auf ein körperfestes Koordinatensystem 14:12.190 --> 14:12.750 übergehen. 14:12.830 --> 14:17.790 Das ist der Schlüssel zum Erfolg und diese körperfeste Basis, die 14:17.790 --> 14:21.930 bezeichnet man ganz gerne mit griechischen Buchstaben und zwar mit 14:21.930 --> 14:28.490 einem Xi, mit einem Eta und mit einem Zeta. 14:29.630 --> 14:34.070 Für manche sind das nur irgendwelche Schweineschwänzchen, aber das 14:34.070 --> 14:39.350 sind die drei griechischen Buchstaben Xi, Eta, Zeta und damit werden 14:39.350 --> 14:44.590 wir das bezeichnen, was vielleicht vorher uns an X, Y und Z erinnert. 14:44.970 --> 15:00.270 Schauen Sie sich das in der gar nicht aufgezeichnet, wäre vielleicht 15:00.270 --> 15:01.190 dieser Vektor hier. 15:01.710 --> 15:06.610 Also Sie brauchen hier einen rechten Winkel, der muss natürlich nicht 15:06.610 --> 15:08.710 mit dem ER zusammenfallen, das wäre ein EY. 15:12.560 --> 15:15.860 Und der EZ-Vektor, der geht hier nach oben. 15:20.080 --> 15:24.320 Wir drehen um eine feste Achse, nämlich um die Z-Achse. 15:24.980 --> 15:31.640 Das heißt, Z-Achse und Zeta-Vektor sind die gleichen. 15:33.500 --> 15:43.740 Wir stellen unseren Drehvektor Omega dar als eine einzige Koordinate, 15:44.160 --> 15:47.060 Omega mal Basisvektor EZ dar. 15:48.940 --> 15:56.140 Aber die Vektoren EXi und EEta sind jetzt nicht raumfest, sondern 15:56.140 --> 15:56.940 körperfest. 15:56.940 --> 16:04.560 Das heißt, im Laufe der Bewegung drehen die sich um die Achse EZ bzw. 16:04.820 --> 16:05.340 EZ dar. 16:05.640 --> 16:07.140 Sie sehen das hier abgebildet. 16:11.630 --> 16:18.110 Das ist der Basisvektor EXi, hier haben wir den Basisvektor EEta, 16:18.710 --> 16:25.370 diese Basis ist gedreht zu der Basis EX und EY und zwar um den Winkel 16:25.370 --> 16:25.870 Phi. 16:26.670 --> 16:30.430 Hier ist der Winkel Phi, dort finden Sie auch den Winkel Phi. 16:31.550 --> 16:35.410 Dieser Winkel Phi ist gleich Omega mal T. 16:35.970 --> 16:43.910 Phi gleich 0 würde heißen, Sie bringen EX und EXi, EY und EEta zur 16:43.910 --> 16:44.350 Deckung. 16:44.730 --> 16:49.230 Dann geht die Bewegung los, dann läuft der Winkel los, Phi gleich 16:49.230 --> 16:50.130 Omega mal T. 16:52.350 --> 16:56.150 Das wäre praktisch der Winkel zwischen diesen beiden 16:56.150 --> 16:59.070 Koordinatensystemen, zwischen diesen beiden Basen. 17:01.950 --> 17:06.950 Jetzt müssen wir den Drall in dieser körperfesten Basis ausrechnen, 17:07.350 --> 17:11.710 dann müssen wir als nächstes den Drall ableiten und dann haben wir das 17:11.710 --> 17:16.410 Drallgesetz hingeschrieben in der körperfesten Basis und das ist der 17:16.410 --> 17:17.730 Schlüssel zum Erfolg. 17:18.770 --> 17:22.950 Also schreiben wir als erstes den Drall hin in der körperfesten Basis. 17:23.110 --> 17:24.370 Was steckt im Drall drin? 17:24.770 --> 17:29.570 Da steckt einmal der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt des starren 17:29.570 --> 17:34.450 Körpers drin und dann das Vektorprodukt mit der Geschwindigkeit dieses 17:34.450 --> 17:35.050 Punktes. 17:36.450 --> 17:41.550 Also haben wir als erstes den Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt. 17:42.650 --> 17:54.870 Nun, den muss ich ausdrücken in der Basis XI, E-Eta und E-Zeta. 17:58.830 --> 18:04.010 Und da es ein beliebiger Punkt ist, gebe ich dem einfach drei 18:04.010 --> 18:06.150 Koordinaten, die ich beliebig nenne. 18:06.750 --> 18:11.370 Also, wenn das E-X, E-Y, E-Z wäre, würde ich die wahrscheinlich XYZ 18:11.370 --> 18:11.650 nennen. 18:12.570 --> 18:14.290 Irgendwas, irgendein Punkt. 18:14.730 --> 18:18.930 Wenn es jetzt XI, E-Eta, Z-Eta ist, nenne ich die nicht XYZ, sondern 18:18.930 --> 18:20.250 XI, E-Eta, Z-Eta. 18:22.450 --> 18:26.910 Also, XI, E-Eta, Z-Eta. 18:28.090 --> 18:30.790 Dass ich die Koordinaten mal vor, mal hinter dem Basisvektor 18:30.790 --> 18:32.550 geschrieben habe, ist völlig egal. 18:33.430 --> 18:35.330 Da steht einfach Koordinate, mal Vektor. 18:35.330 --> 18:37.470 Das ist jetzt nur aus Platzgründen geschehen. 18:37.730 --> 18:38.990 Jetzt brauchen wir V. 18:40.390 --> 18:45.810 V ist der Geschwindigkeitsvektor von Rp, also die Ableitung von Rp 18:45.810 --> 18:48.690 nach der Zeit. 18:51.210 --> 18:54.910 Jetzt weiß ich eins, die Koordinaten sind körperfest. 18:55.290 --> 18:57.750 Die Koordinaten selbst hängen nicht von der Zeit ab. 18:57.810 --> 19:00.790 Die Zeitabhängigkeit steckt nur in den Basisvektoren. 19:00.790 --> 19:12.250 Also, ich weiß, das ist XI mal E-XI, noch ein Grinschen dran, nach der 19:12.250 --> 19:21.010 Zeit abgeleitet, plus Eta mal E-Eta nach der Zeit abgeleitet und 19:21.010 --> 19:29.280 meinetwegen auch noch Z-Eta mal Basisvektor E-Zeta nach der Zeit 19:29.280 --> 19:29.900 abgeleitet. 19:30.260 --> 19:36.820 Das heißt, ich muss mir überlegen, was sind denn diese Ableitungen der 19:36.820 --> 19:37.700 Basisvektoren. 19:38.160 --> 19:39.540 Nun fangen wir mit dem letzten an. 19:40.000 --> 19:41.520 E-Zeta, das ist einfach. 19:42.260 --> 19:49.140 E-Zeta fällt zusammen mit meiner raumfesten Basis, das Vektor E-Z. 19:49.700 --> 19:53.980 Der ist raumfest, also auf alle Zeiten der gleiche, ändert seine 19:53.980 --> 19:54.680 Richtung nicht. 19:55.200 --> 19:59.860 Auch E-Zeta, die Drehachse hier, ändert ihre Richtung nicht. 19:59.940 --> 20:04.020 Wir drehen hier immer, schauen uns nur die Drehbewegung um eine feste 20:04.020 --> 20:06.280 Achse an, drehen immer um die gleiche Achse. 20:06.780 --> 20:09.740 Also die Ableitung von E-Zeta nach der Zeit ist Null. 20:11.200 --> 20:14.820 Hier hinten steht also schon einmal die Null. 20:15.240 --> 20:17.960 Das heißt, diesen Term werden wir schon einmal los. 20:19.060 --> 20:27.900 Jetzt brauchen wir aber noch E-Xi und wir brauchen auch noch E-Eta. 20:32.200 --> 20:33.520 Und was wissen wir? 20:33.920 --> 20:37.580 Wir wissen, das ist eine starr gedrehte Basis. 20:39.000 --> 20:46.980 Euler-Poisson'sche Differentiationsformel sagt uns, wir müssen hier 20:46.980 --> 20:55.000 den Drehvektor nehmen und mit E-Xi multiplizieren. 20:55.760 --> 21:01.140 Und wir müssen hier den Drehvektor nehmen und mit E-Eta 21:01.140 --> 21:02.800 multiplizieren. 21:04.960 --> 21:07.760 Jetzt wissen wir aber, der Drehvektor ist ganz einfach. 21:08.020 --> 21:14.540 Der ist nämlich nur, da haben wir es hingeschrieben, feste Achse Omega 21:14.540 --> 21:16.080 mal E-Zeta. 21:17.000 --> 21:25.680 Also steht hier Omega E-Zeta Kreuz E-Xi. 21:28.940 --> 21:36.140 Omega mal E-Zeta Kreuz E-Eta. 21:38.160 --> 21:42.260 Und jetzt müssen wir nur noch die Kreuzvektoren zweier Basisvektoren 21:42.260 --> 21:42.920 ausrechnen. 21:43.280 --> 21:47.680 Naja, und die Basis ist E-Xi, E-Eta, E-Zeta als Rechtssystem. 21:48.080 --> 21:51.140 Wenn ich da zwei Basisvektoren miteinander multipliziere, 21:51.480 --> 21:54.760 Vektorprodukt, dann kommt genau der dritte Basisvektor raus. 21:55.240 --> 21:58.400 Und ich muss noch das Vorzeichen beachten, je nachdem, ob ich das 21:58.400 --> 22:00.760 Ganze zyklisch oder antizyklisch mache. 22:01.340 --> 22:06.620 Also, wenn wir Zeta und Xi nehmen, kommt dann natürlich E-Eta raus. 22:08.480 --> 22:11.740 Omega mal E-Eta. 22:13.760 --> 22:20.000 Und wenn wir E-Zeta und E-Eta nehmen, dann kommt da E-Xi raus, aber 22:20.000 --> 22:23.940 mit einem negativen Vorzeichen, weil wir die Reihenfolge vertauscht 22:23.940 --> 22:24.240 haben. 22:25.100 --> 22:30.800 Also, Minus Omega E-Xi. 22:31.880 --> 22:37.120 Wem das jetzt alles zu kryptisch war und wem die Buchstaben Xi und Eta 22:37.120 --> 22:40.840 vielleicht nicht so gefallen und auch das Zeta nicht, der schaue sich 22:40.840 --> 22:45.020 noch einmal in der ersten Vorlesung Kinematik des Massenpunktes die 22:45.020 --> 22:46.080 Kreisbewegung an. 22:47.040 --> 22:51.420 Denn natürlich haben wir hier auch nichts anderes gemacht, als die 22:51.420 --> 22:56.540 Kreisbewegung eines Massenpunktes P betrachtet, dieses dicken, fetten, 22:56.640 --> 22:58.780 schwarzen Punktes, der jetzt blau wirkt langsam. 23:00.540 --> 23:05.900 Ortsvektor mal Geschwindigkeitsvektor für einen Massenpunkt, der auf 23:05.900 --> 23:07.220 einer Kreisbahn rotiert. 23:07.800 --> 23:12.520 Und die Geschwindigkeit eines Massenpunktes auf der Kreisbahn haben 23:12.520 --> 23:16.280 wir einmal ausgerechnet in einer Radialkoordinate und einer 23:16.280 --> 23:17.420 Umfangskoordinate. 23:17.940 --> 23:19.020 ER und E-Phi. 23:20.580 --> 23:22.020 Und da haben wir folgendes gesehen. 23:22.620 --> 23:23.960 Erinnere ich Sie noch einmal dran. 23:24.640 --> 23:29.720 Basisvektor ER gleich Omega E-Phi. 23:32.140 --> 23:40.540 Basisvektor E-Phi, nach der Zeit abgeleitet, gleich Minus Omega ER. 23:42.500 --> 23:47.740 Das ist genau das Gleiche, nur dass R und Phi jetzt hier Xi und Eta 23:47.740 --> 23:48.180 heißen. 23:48.540 --> 23:52.320 Einfach, damit man auch Zeta als Drehachse hat. 23:53.220 --> 23:54.300 So ist das halt. 23:54.800 --> 23:59.980 Jetzt können wir aber das Kreuzprodukt bilden aus RP und V. 24:00.400 --> 24:04.520 Und wir können über den gesamten Körper integrieren. 24:04.640 --> 24:15.500 Also, wir berechnen L0 Integral MRP Kreuz V dm. 24:16.940 --> 24:19.260 Ich schreibe nicht so gerne dm und m. 24:19.340 --> 24:22.320 Ich schreibe lieber das mit dem Volumen und lasse die Dichte 24:22.320 --> 24:25.140 erscheinen. 24:25.760 --> 24:31.220 Das finde ich persönlich ein bisschen mathematisch schöner. 24:32.260 --> 24:34.300 Es ist aber natürlich das Gleiche. 24:36.040 --> 24:37.200 So, dV. 24:38.120 --> 24:41.440 Für RP und für V setzen wir jetzt ein. 24:42.900 --> 24:46.380 Dafür nehme ich mir eine neue Zeile, denn die wird natürlich lang. 24:48.600 --> 24:52.660 Also RP ist der Ausdruck hier oben. 24:55.700 --> 25:12.960 Xi E Xi plus Eta E Eta plus Zeta E Zeta vektoriell multipliziert mit 25:12.960 --> 25:31.640 dem Geschwindigkeitsvektor Xi Omega E Eta minus Eta Omega E Xi dV. 25:32.800 --> 25:37.880 Und jetzt bleibt uns nichts anderes übrig als das Ganze vektoriell 25:37.880 --> 25:41.140 auszumultiplizieren und die Terme zusammenzufassen. 25:42.720 --> 25:44.800 So, was erhalten wir da? 25:48.210 --> 25:55.310 Nun, das Erste, was wir wissen, ist, Omega, Betrag des Drehvektors, 25:56.470 --> 26:02.250 ist ein und derselbe für jeden einzelnen Punkt des Körpers. 26:03.130 --> 26:06.850 Der Drehvektor charakterisiert den Körper als Ganzen. 26:07.090 --> 26:10.170 Der Drehvektor ist für jeden Punkt des Körpers der gleiche. 26:10.590 --> 26:12.790 Das haben wir festgestellt mit der Euler-Poisson 26:12.790 --> 26:14.170 -Differentiationsformel. 26:14.230 --> 26:18.450 Sie erinnern sich, Eindeutigkeit des Drehvektors haben wir bewiesen. 26:18.850 --> 26:22.010 Das heißt, ich kann das Omega vor das Integral ziehen. 26:22.090 --> 26:23.910 Das Omega ist eine konstante Größe. 26:25.390 --> 26:30.830 So, dieses Omega, das kommt hier hinten raus, haben wir schon einmal 26:30.830 --> 26:32.050 vor das Integral gezogen. 26:32.450 --> 26:37.510 Jetzt kommt das Integral V, da steht schon einmal die Dichte roh drin. 26:38.270 --> 26:42.030 Und jetzt müssen wir uns anschauen, dass wir das Ganze gruppieren nach 26:42.030 --> 26:43.210 den Basisvektoren. 26:44.490 --> 26:45.250 Was haben wir da? 26:45.310 --> 26:51.750 Wir haben als erstes ein Vektorprodukt Xi Eta, das gibt mir E Zeta, 26:52.410 --> 26:53.670 ein positives Vorzeichen. 26:54.290 --> 26:59.930 Also Xi Quadrat E Zeta. 27:01.910 --> 27:11.320 Als nächstes haben wir ein Vektorprodukt E Xi Kreuz E Xi, das ist 0, 27:11.660 --> 27:13.700 wunderbar, fällt wenigstens einmal ein Term weg. 27:14.000 --> 27:20.000 Dann haben wir Eta mal E Eta multipliziert mit Xi Omega mal E Eta, 27:20.260 --> 27:21.920 gleiche Basisvektoren. 27:22.560 --> 27:26.580 E Eta multipliziert mit E Eta, Vektorprodukt fällt auch weg, also 27:26.580 --> 27:27.840 bleibt uns da auch nichts übrig. 27:28.320 --> 27:34.420 Dann haben wir noch als nächstes Eta Quadrat Omega E Eta, Kreuzprodukt 27:34.420 --> 27:39.000 mit E Xi, das gibt natürlich wieder E Zeta, aber wir haben die 27:39.000 --> 27:44.780 Reihenfolge vertauscht, Eta Xi Zeta, also ein negatives Vorzeichen. 27:45.140 --> 27:48.840 Jetzt aufgepasst, hier steht schon ein negatives Vorzeichen, also 27:48.840 --> 27:50.280 Minus mal Minus gibt Plus. 27:51.100 --> 27:55.320 Eta Quadrat E Zeta. 27:57.020 --> 28:00.400 Jetzt haben wir noch den letzten Summanden, Zeta 28:03.490 --> 28:19.060 mal Xi mal Omega, E Zeta mal E Omega gibt Minus E Zeta mal E Eta. 28:22.520 --> 28:27.740 E Zeta, Vektorprodukt mit E Eta gibt Minus E Xi. 28:32.300 --> 28:44.140 Und als letztes haben wir E Zeta E Xi gibt E Eta, also Minus Zeta Eta 28:44.140 --> 28:53.120 Omega E Eta dV. 28:57.860 --> 28:59.540 So, das ist das Ergebnis. 29:02.970 --> 29:05.230 Und jetzt werden Sie vielleicht sagen, das sieht ja ziemlich 29:05.230 --> 29:08.870 scheußlich aus, mit diesen ganzen griechischen Buchstaben da. 29:09.930 --> 29:12.370 Deswegen fassen wir das jetzt noch mal ein bisschen zusammen. 29:13.110 --> 29:17.330 Also, wir schauen uns mal an, wo stehen unsere Basisvektoren? 29:17.390 --> 29:20.670 Wenn wir das als Vektor untereinander schreiben würden, was würden wir 29:20.670 --> 29:21.410 herausbekommen? 29:21.790 --> 29:30.350 Nun, hier steht der gleiche Basisvektor E Zeta, hier steht der 29:30.350 --> 29:34.050 Basisvektor E Xi, da steht der Basisvektor E Eta. 29:34.850 --> 29:39.350 Also, wenn wir das hinschreiben würden, würden wir folgendes 29:39.350 --> 29:39.890 hinschreiben. 29:42.050 --> 29:58.120 L0 gleich Omega mal, erster Eintrag des Vektors wäre Minus, da muss 29:58.120 --> 30:11.440 ich jetzt E Xi suchen, Integral V Rho Zeta Xi dV. 30:13.940 --> 30:19.860 Zweiter Eintrag wäre Minus, V, jetzt suchen wir alles zum Basisvektor 30:19.860 --> 30:27.400 E Eta, Rho Zeta Eta dV. 30:28.280 --> 30:38.380 Dritter Eintrag, alles, was mit E Zeta zu tun hat, Integral V Rho, 30:39.240 --> 30:45.680 Klammer auf, Xi Quadrat plus Eta Quadrat dV. 30:49.020 --> 30:53.000 Das wäre also mein Drallvektor. 30:54.400 --> 30:57.080 Und diesen Drallvektor müssen wir jetzt noch ableiten. 30:58.040 --> 31:01.820 Und Sie sehen, das werden wir schon mal auf dieser Seite hier gar 31:01.820 --> 31:02.520 nicht mehr hinbekommen. 31:02.520 --> 31:05.220 Deswegen erlaube ich mir, eine neue Seite aufzumachen. 31:05.760 --> 31:10.120 Und nur dieses Ergebnis, da steht das Ergebnis unserer Berechnung auf 31:10.120 --> 31:11.600 die nächste Seite wieder zu übertragen. 31:12.240 --> 31:16.160 Da, wo Sie gerade stehen, haben wir uns verrechnet. 31:16.380 --> 31:19.240 Ja, da haben Sie natürlich recht, wir haben das Omega nach vorne 31:19.240 --> 31:19.720 gezogen. 31:20.360 --> 31:22.980 Ja, das wäre ein Omega zu viel, das hier. 31:24.220 --> 31:25.300 Und das nächste auch. 31:25.480 --> 31:26.860 So, und jetzt stimmt aber alles wieder. 31:27.320 --> 31:29.940 Wir haben das Omega ja schon ausgeklammert, dann brauchen wir es da 31:29.940 --> 31:30.820 nicht noch mal hinschreiben. 31:30.820 --> 31:32.460 Richtig gut aufgepasst. 31:33.260 --> 31:38.680 Also, Sie sehen, das Omega steht hier vorne und nicht etwa hier. 31:38.900 --> 31:39.880 Sonst hätten wir es doppelt. 31:40.420 --> 31:42.140 So, neue Seite. 31:42.560 --> 31:45.940 Ich übertrage das Ergebnis rechts unten in der Ecke. 31:45.940 --> 31:49.300 Ich habe ja noch eine. 31:56.420 --> 32:15.180 Also, da stand L0 gleich Omega mal Minusintegral Rho Ceta Xi dV 32:15.180 --> 32:17.960 Minusintegral Rho. 32:18.640 --> 32:31.960 Ceta Eta dV Integral Rho Xi Quadrat plus Eta Quadrat dV mal Omega. 32:37.700 --> 32:39.700 Jetzt führt man Abkürzungen ein. 32:40.140 --> 32:44.100 Man möchte nicht immer die Integrale schreiben und bezeichnet nun 32:51.560 --> 32:54.320 diese Integrale mit dem Buchstaben J. 32:57.570 --> 33:01.230 So, dann muss ich dort natürlich Indizes reinmachen. 33:01.610 --> 33:16.730 J Ceta Xi gleich Minusintegral Rho Ceta Xi dV. 33:17.410 --> 33:29.930 J Xi Eta gleich Minusintegral V Rho Ceta Eta dV. 33:29.930 --> 33:35.210 Und als letztes könnte ich natürlich schreiben J Xi Eta, aber da lässt 33:35.210 --> 33:37.070 man die Indizes weg. 33:37.210 --> 33:39.850 Wenn ich zwei indiziert habe, weiß ich natürlich beim dritten, das 33:39.850 --> 33:41.310 muss das dritte Integral sein. 33:41.950 --> 33:49.010 Integral V Rho Xi Quadrat plus Eta Quadrat dV. 33:51.410 --> 33:54.570 Jetzt habe ich hier schon wieder Omega zu viel. 33:55.310 --> 33:58.670 Das habe ich ja schon vor den Vektor geschrieben. 33:58.670 --> 34:12.110 Jetzt können wir also in L0 schreiben als Omega J Ceta Xi E Xi plus J 34:12.110 --> 34:24.590 Ceta Eta E Eta plus J E Ceta. 34:26.930 --> 34:29.430 Und das müssen wir jetzt nach der Zeit ableiten. 34:31.570 --> 34:34.450 Was müssen wir denn da alles nach der Zeit ableiten? 34:35.510 --> 34:41.730 Naja, der Betrag des Drehvektors könnte sich mit der Zeit ändern. 34:42.030 --> 34:45.510 Es könnte ja sein, dass sich unsere Scheibe immer schneller und immer 34:45.510 --> 34:48.190 schneller dreht, oder dass sie langsamer wird. 34:48.190 --> 34:51.270 Also der Drehvektor, der Betrag des Drehvektors, die 34:51.270 --> 34:55.310 Winkelgeschwindigkeit, sozusagen hier im Eindimensionalen wäre der 34:55.310 --> 34:56.110 Begriff richtig. 34:57.470 --> 34:59.890 Diese Winkelgeschwindigkeit könnte sich mit der Zeit ändern. 35:00.090 --> 35:02.250 Also das hier ist zeitabhängig. 35:04.090 --> 35:07.490 Unsere körperfeste Basis ist, wie wir wissen, auch zeitabhängig. 35:08.470 --> 35:11.270 Jedenfalls, was diese beiden Kandidaten hier betrifft. 35:11.610 --> 35:14.590 Von dem dritten wissen wir, das ist unsere Drehachse E Ceta. 35:14.590 --> 35:18.470 Die ist in diesem Fall nicht von der Zeit abhängig, sondern sie fällt 35:18.470 --> 35:22.290 mit einer raumfesten Achse hier bei diesem Problem Drehung um eine 35:22.290 --> 35:23.590 feste Achse zusammen. 35:24.770 --> 35:27.730 Dann haben wir noch die Integrale. 35:29.190 --> 35:31.470 Sind die jetzt auch von der Zeit abhängig? 35:32.150 --> 35:33.370 Nein, natürlich nicht. 35:33.590 --> 35:37.190 Denn das sind ja Integrale über die körperfesten Koordinaten. 35:37.810 --> 35:41.170 Der Witz an der Sache war ja gerade, die körperfesten Koordinaten sind 35:41.170 --> 35:42.070 zeitunabhängig. 35:42.070 --> 35:44.910 Das heißt, J ist keine Funktion der Zeit. 35:45.290 --> 35:48.670 Wenn wir hier nach der Zeit ableiten, brauchen wir die Js nicht nach 35:48.670 --> 35:49.510 der Zeit ableiten. 35:49.590 --> 35:51.810 Die Zeitableitungen von J sind einfach Null. 35:53.510 --> 35:56.530 Also stellt sich die Ableitung ganz einfach dar. 35:58.370 --> 35:58.890 Produktregel. 35:59.290 --> 36:01.390 Wir leiten als erstes das Omega ab. 36:01.390 --> 36:18.010 Omega Punkt J Zeta Xi plus J Zeta E Eta plus J E Zeta 36:22.330 --> 36:27.630 plus Ableitung von E Xi nach der Zeit, Sie erinnern sich, Folie davor, 36:28.270 --> 36:29.210 Omega E Eta. 36:29.210 --> 36:36.730 Also Omega J Zeta Xi. 36:37.330 --> 36:40.530 Jetzt muss ich den Basisvektor E Xi nach der Zeit ableiten. 36:40.890 --> 36:47.390 Das ist Omega E Eta, also Omega Quadrat E Eta. 36:49.630 --> 36:51.150 Zweite Ableitung. 36:52.270 --> 36:53.050 Zweiter Summand. 36:54.290 --> 37:03.410 Plus Omega J Zeta Eta mal E Eta. 37:03.630 --> 37:09.750 E Eta nach der Zeit abgeleitet gibt gerade minus Omega E Xi, also 37:09.750 --> 37:15.270 Quadrat E Xi. 37:15.950 --> 37:18.470 Und hier aus dem Plus machen wir rasch ein Minus. 37:18.470 --> 37:18.930 So. 37:22.660 --> 37:25.820 Jetzt können wir natürlich auch hier wieder nach den Basisvektoren 37:25.820 --> 37:27.360 umgruppieren. 37:28.260 --> 37:31.800 Also uns anschauen, was haben wir für einen Anteil in E Xi-Richtung, 37:31.900 --> 37:34.640 was haben wir für einen Anteil in E Eta-Richtung, und was für einen 37:34.640 --> 37:36.120 Anteil in E Zeta-Richtung. 37:36.860 --> 37:38.160 Dann kommen wir drauf. 37:38.220 --> 37:56.260 Wir haben Omega Punkt J Zeta Xi minus Omega Quadrat J Zeta Eta mal E 37:56.260 --> 38:06.780 Xi plus Omega Punkt J Zeta Eta 38:32.590 --> 38:39.100 Das ist die Ableitung des Dreivektors. 38:41.080 --> 38:46.680 Und jetzt wissen wir, die Ableitung dieses Dreivektors, das Dreigesetz 38:46.680 --> 38:52.440 sagt uns, Ableitung des Dreivektors nach der Zeit gleich 38:52.440 --> 38:55.240 Momentenvektor um den Punkt 0. 38:55.740 --> 38:59.240 Und natürlich kann ich auch diesen Momentenvektor in körperfesten 38:59.240 --> 39:00.260 Koordinaten schreiben. 39:02.140 --> 39:18.080 Dann wäre das M XI E XI plus M Eta E Eta plus M Zeta E Zeta. 39:19.280 --> 39:19.420 So. 39:20.400 --> 39:22.860 Und jetzt kann ich Sie beruhigen, wir werden die griechischen 39:22.860 --> 39:27.260 Buchstaben gleich wieder los, wenn Sie die nicht mögen, außer Omega, 39:27.900 --> 39:29.480 den Dreivektor, den brauchen wir ja schließlich. 39:29.480 --> 39:33.240 Jetzt überlegen wir uns mal, was sind denn diese drei Momente? 39:35.760 --> 39:40.880 Das letzte, M Zeta, ist das Moment um unsere Drehachse. 39:42.060 --> 39:49.920 Die anderen beiden, M XI und M Eta, sind die Momente um die momentane 39:49.920 --> 39:52.740 XI -Achse, die momentane Eta-Achse. 39:53.360 --> 39:54.820 Das sind die körperfesten Achsen. 39:55.270 --> 40:00.580 Die liefern uns Anteile für die Lagerbelastung. 40:02.420 --> 40:10.560 Also, wenn Sie um die Achse hier drehen wollen, wäre das Moment M Zeta 40:10.560 --> 40:14.200 ein Moment, das dafür sorgt, dass diese Achse hier angetrieben wird, 40:14.260 --> 40:16.040 dass Sie um diese Achse drehen. 40:16.320 --> 40:18.900 Die anderen beiden Momente, die wären aber Kippmomente. 40:19.460 --> 40:23.120 Die sorgen dafür, dass diese Achse so verkippt wird oder so verkippt 40:23.120 --> 40:23.340 wird. 40:24.340 --> 40:27.460 Diese Kippmomente müssen von der Lagerung aufgenommen werden. 40:27.740 --> 40:31.380 Nehmen wir an, das ist eine liebebrave Welle, an zwei Stellen 40:31.380 --> 40:31.900 gelagert. 40:32.120 --> 40:35.340 Dann sehen Sie, sie könnte hier nicht verkippen, da wären sich meine 40:35.340 --> 40:35.940 Hände dagegen. 40:36.900 --> 40:45.100 Also, diese Kippmomente, M Z und M Eta, müssen vom Lager aufgenommen 40:45.100 --> 40:49.420 werden, interessieren also die Lagerberechnung, das, was wir in der 40:49.420 --> 40:51.900 Statik gemacht haben, übertragen auf die Dynamik. 40:52.200 --> 40:55.920 Aber für die Frage der Bewegung spielen die keine Rolle. 40:56.720 --> 40:59.900 Die Bewegung findet ausschließlich um die Zeta-Achse statt, 41:00.300 --> 41:02.160 Drehbewegung um eine feste Achse. 41:02.560 --> 41:06.440 Das heißt, wir konzentrieren uns jetzt bei der Gleichung voll auf die 41:06.440 --> 41:08.880 Auswertung in Zeta-Richtung. 41:10.060 --> 41:19.720 Also haben wir dazu stehen, in Zeta-Richtung, und jetzt werden Sie 41:19.720 --> 41:21.180 feststellen, wie einfach das wird. 41:22.120 --> 41:27.900 Wunderbar, J Omega gleich M Zeta. 41:28.440 --> 41:32.420 Und da Sie auch das Zeta nicht mögen, schreiben Sie einfach nur M. 41:33.100 --> 41:36.780 Und merken Sie sich, das ist das Moment in axialer Richtung, also um 41:36.780 --> 41:38.080 die Drehachse. 41:45.700 --> 41:48.060 Und natürlich das äußere Moment. 41:55.790 --> 41:58.450 Und das ist die Gleichung, die Sie sich merken müssen. 42:00.930 --> 42:06.750 Die haben wir jetzt wirklich hier gelitten, durch lauter griechische 42:06.750 --> 42:07.350 Buchstaben. 42:07.350 --> 42:09.850 J Omega Punkt gleich M. 42:10.770 --> 42:13.570 Die anderen beiden Gleichungen, die Sie noch sehen, die können Sie 42:13.570 --> 42:14.530 sich auch hinschreiben. 42:15.790 --> 42:22.310 Die anderen beiden Gleichungen in Xi 42:25.980 --> 42:27.440 - und Eta-Richtung 42:30.720 --> 42:32.700 liefern Ihnen die Lagerkräfte. 42:35.420 --> 42:46.650 Also eine Verkippung der Drehachse wird verhindert, denn dafür haben 42:46.650 --> 42:47.310 Sie ja die Lager. 42:50.210 --> 42:53.470 Das interessiert uns hier jedenfalls momentan nicht. 42:54.590 --> 42:58.810 Uns interessiert die Drehbewegung, dass sich etwas bewegt. 42:59.230 --> 43:02.550 Und dafür ist nur die Gleichung in Zeta-Richtung zuständig. 43:03.610 --> 43:08.230 Und jetzt müssen wir uns nur noch anschauen, was da eigentlich drin 43:08.230 --> 43:08.230 steht. 43:11.070 --> 43:18.010 Also, da steht so ein merkwürdiges J drin, ein Omega Punkt und ein M. 43:19.790 --> 43:26.010 Für Omega haben wir gesagt, Winkelgeschwindigkeit ist nicht immer 43:26.010 --> 43:26.430 korrekt. 43:26.510 --> 43:30.330 Aber wenn wir um eine feste Drehachse drehen und nur einen einzigen 43:30.330 --> 43:35.090 Winkel haben, dann können wir die Beziehung vorgegebenes Omega und wir 43:35.090 --> 43:37.990 berechnen uns daraus einen Winkel immer ausrechnen. 43:38.090 --> 43:40.330 Im Mehrdimensionalen geht das nicht so allgemein. 43:40.330 --> 43:51.470 Also, wir können dafür schreiben, Omega gleich Phi Punkt, Omega Punkt 43:51.470 --> 44:01.510 gleich Phi 2 Punkt und damit J Phi 2 Punkt gleich M. 44:03.290 --> 44:04.670 Ist das nicht toll? 44:05.430 --> 44:11.190 Schauen Sie sich an, M mal A gleich F. 44:12.550 --> 44:15.590 A, machen Sie einen kleinen Index dran für den Schwerpunkt. 44:16.910 --> 44:19.950 A, zweite Ableitung des Weges. 44:21.610 --> 44:24.050 M mal R, zwei Punkt. 44:25.130 --> 44:26.790 Das sieht ja genau so aus. 44:29.390 --> 44:32.330 Das, was hier M ist, heißt hier jetzt halt J. 44:33.510 --> 44:39.410 Das, was hier R ist, meine translatorische Bewegung, ist jetzt die 44:39.410 --> 44:43.430 Winkelbeschleunigung, zweite Ableitung des Winkels nach der Zeit. 44:43.910 --> 44:46.770 Und das, was auf der rechten Seite, jetzt habe ich keine Farben mehr, 44:47.190 --> 44:50.730 nehmen wir wieder Blau und unterstreichen es, was hier M ist, heißt 44:50.730 --> 44:52.490 für die translatorische Bewegung F. 44:52.490 --> 44:57.490 Also komplette Analogie zwischen Translation und Rotation. 44:58.730 --> 45:03.850 F und M, R und Phi, M und J. 45:06.410 --> 45:07.450 Wunderbar. 45:08.530 --> 45:14.150 Das ist das Dreigesetz für die Rotation um eine feste Achse. 45:16.060 --> 45:17.510 Was müssen wir jetzt machen? 45:19.150 --> 45:24.010 Nun, das Erste, was wir machen können, wir können dieses J-Phi-2-Punkt 45:24.010 --> 45:28.730 gleich M genauso verwenden wie F gleich M mal A. 45:29.250 --> 45:34.590 Das heißt, wir können auch wieder daraus mit d'Alembert eine 45:37.210 --> 45:44.310 Statikgleichung machen, nämlich M minus J-Phi-2-Punkt gleich 0. 45:44.310 --> 45:51.010 Das Ganze nennen wir Mt, M plus Mt gleich 0. 45:51.850 --> 45:55.450 Und haben wieder den sicheren Boden der Statik unter den Füßen. 45:58.430 --> 46:01.530 Das zeige ich Ihnen gleich an einem Beispiel, wie man damit rechnet. 46:02.190 --> 46:04.770 Und das Zweite, was Ihnen vielleicht noch ein bisschen Kummer macht, 46:05.310 --> 46:05.790 ist das J. 46:05.790 --> 46:09.310 Das J ist definiert als dieses Integral. 46:12.560 --> 46:15.480 Dieses Integral sieht vielleicht ein bisschen gemein aus. 46:15.860 --> 46:19.180 Da steht ein Xi und ein Eta noch drin, eine Reminiscenz an die 46:19.180 --> 46:22.260 Herleitung, und dann ist es auch noch ein Volumenintegral. 46:22.860 --> 46:25.920 Aber ich behaupte, Sie haben sich mit solchen Dingen schon 46:25.920 --> 46:26.620 herumgeschlagen. 46:27.720 --> 46:30.260 In der Statik bzw. 46:30.620 --> 46:34.420 in der Festigkeitslehre haben Sie mit Flächenträgheitsmomenten, mit 46:34.420 --> 46:36.500 Flächenmomenten zweiten Grades, gearbeitet. 46:37.120 --> 46:44.140 Das ist kein Flächenmoment, sondern ein Volumenmoment. 46:44.320 --> 46:48.280 Aber hier steht noch die Dichte drin, also ist es ein Massenmoment, 46:48.340 --> 46:51.420 das sogenannte Massenträgheitsmoment. 47:00.680 --> 47:04.960 Das Massenträgheitsmoment J übernimmt für die Drehbewegung die Rolle 47:04.960 --> 47:07.740 der Masse für die translatorische Bewegung. 47:07.740 --> 47:13.100 Das sehen Sie hier unten, die Analogie M und J. 47:14.000 --> 47:17.980 Deswegen sagen einige auch zu dem Massenträgheitsmoment die Drehmasse. 47:18.440 --> 47:22.080 Ich finde dieses Wort immer ein bisschen abscheulich, aber Drehmasse 47:22.080 --> 47:26.700 als Analogie zur Masse in der translatorischen Bewegung, Drehmasse in 47:26.700 --> 47:28.000 der rotatorischen Bewegung. 47:28.420 --> 47:33.360 Aber wir müssen das Massenträgheitsmoment wenigstens für einige 47:33.360 --> 47:35.140 einfache Körper ausrechnen. 47:35.140 --> 47:37.680 Wenn wir auch noch machen, wir haben ja auch noch eine 47:37.680 --> 47:38.700 Dreiviertelstunde Zeit. 47:39.640 --> 47:44.160 Also schauen wir uns erst einmal ein Beispiel an, wie man jetzt mit 47:44.160 --> 47:50.860 diesem Drallgesetz arbeiten würde, mit der Bewegungsgleichung der 47:50.860 --> 47:56.100 Drehbewegung für eine feste Achse, und danach kommen wir dann zurück 47:56.100 --> 47:57.320 zum Massenträgheitsmoment. 47:58.130 --> 48:01.280 Also, ganz einfaches Beispiel, ein Pendel. 48:04.220 --> 48:06.180 Haben wir schon, brauchen wir nicht mehr. 48:06.600 --> 48:07.500 So ein Pendel. 48:08.980 --> 48:09.660 Erstens. 48:09.700 --> 48:12.780 Hier ist noch einmal das D'Alembert-Prinzip angeschrieben. 48:13.460 --> 48:16.780 mt gleich minus j phi zwei Punkt. 48:20.630 --> 48:22.890 Sie kennen das Pendel bisher. 48:23.630 --> 48:26.750 Das Pendel, was wir bisher betrachtet haben, war folgendermaßen. 48:28.930 --> 48:36.270 Hier eine Aufhängung, und dann kam ein starrer Stab, und da unten eine 48:36.270 --> 48:37.530 Punktmasse, m. 48:39.470 --> 48:43.770 Und diese Verbindung hier, die war starr und masselos. 48:46.170 --> 48:49.030 Jetzt ist die Verbindung zwar immer noch starr, aber nicht mehr 48:49.030 --> 48:49.590 masselos. 48:50.170 --> 48:50.890 Sie sehen das. 48:50.890 --> 48:58.310 Das ist ein wunderbarer Stab, so wie er im echten Leben vorkommt. 48:59.530 --> 49:03.570 Beispielsweise dieser Stab hier, an einem Ende Pendel aufgehängt. 49:03.670 --> 49:05.410 Das können wir jetzt rechnen, behaupte ich. 49:08.150 --> 49:10.590 Jetzt hat sich hier noch eine Tücke eingeschlichen. 49:12.470 --> 49:15.570 Hier oben befindet sich eine Drehfeder. 49:16.770 --> 49:18.330 Was ist eine Drehfeder? 49:19.210 --> 49:22.790 Sie kennen eine Feder aus der Schulphysik. 49:23.670 --> 49:30.970 Sie wissen, Federkraft ist gleich Federkonstante mal Auslenkung Delta 49:30.970 --> 49:31.350 x. 49:33.170 --> 49:36.510 Für eine Drehfeder gilt genau das Gleiche. 49:38.530 --> 49:42.070 Nur ist das eine Drehfeder, also für die Drehung. 49:42.150 --> 49:45.890 Das heißt, wir haben nicht den Weg als Auslenkung, sondern den Winkel. 49:45.890 --> 49:47.730 Der Winkel ist hier Phi. 49:48.130 --> 49:50.410 Die entspannte Lage ist also Phi gleich Null. 49:51.590 --> 49:55.250 Auf der anderen Seite steht dann nicht eine Kraft, sondern ein Moment. 49:57.050 --> 49:58.410 Das ist die Drehfeder. 50:05.160 --> 50:07.120 Dann haben wir noch eine Gewichtskraft. 50:08.580 --> 50:12.700 Dann haben wir vielleicht noch jemanden, der mit der Kraft Fa an 50:12.700 --> 50:15.380 diesem Pendel zieht. 50:17.120 --> 50:18.740 Das ist auch schon alles. 50:19.600 --> 50:22.980 Was müssen wir machen, wenn wir das Prinzip von D'Alembert verwenden 50:22.980 --> 50:23.340 wollen? 50:23.600 --> 50:28.740 Wir müssen einen Freischnitt machen, und wir müssen nicht die 50:28.740 --> 50:35.380 Beschleunigung eintragen, sondern das Trägheitsmoment zur 50:35.380 --> 50:36.720 Beschleunigung entgegengesetzt wirken. 50:38.380 --> 50:40.840 Also machen wir einen sauberen Freischnitt. 50:43.200 --> 50:45.500 Das ist unser Stab. 50:47.660 --> 50:55.540 Wir haben einmal im Schwerpunkt angreifend die Kraft m mal g. Wir 50:55.540 --> 50:58.400 haben Fa. 51:00.120 --> 51:05.620 Wir haben hier den Winkel Phi zwischen dieser Mittelachse. 51:07.120 --> 51:08.520 Den Winkel Phi. 51:12.160 --> 51:16.880 Und dann haben wir noch die Drehfeder. 51:20.360 --> 51:23.580 Von der wissen wir, sie hat ein rückstellendes Moment. 51:27.290 --> 51:30.310 Also Moment um diesen Punkt A. 51:32.050 --> 51:34.810 Auflagerpunkt cd mal Phi. 51:35.750 --> 51:39.190 Und wir haben im Punkt A noch zwei Lagerkräfte, die uns überhaupt 51:39.190 --> 51:39.990 nicht interessieren. 51:42.410 --> 51:48.950 Also meinetwegen Ax und Ay. 51:51.290 --> 51:53.550 Sie können die völlig beliebig hier einzeichnen. 51:54.470 --> 51:55.450 Die interessieren uns nicht. 51:55.610 --> 51:56.790 Die wollen wir gar nicht berechnen. 51:56.870 --> 51:58.350 Wir interessieren uns für die Bewegung. 51:59.570 --> 52:02.510 So, und jetzt haben wir noch das Trägheitsmoment. 52:03.790 --> 52:09.590 Phi dreht im mathematisch positiven Sinn gegen den Uhrzeigersinn. 52:10.930 --> 52:12.490 Minus J Phi 2. 52:12.750 --> 52:17.270 Dreht also im mathematisch negativen Sinn, also im Uhrzeigersinn. 52:19.170 --> 52:19.490 Zack. 52:21.410 --> 52:23.430 J Phi 2. 52:23.830 --> 52:25.450 Müssen Sie da nur noch heranschreiben. 52:25.770 --> 52:29.570 Das negative Vorzeichen haben Sie mit der Pfeilspitze hier mit dem 52:29.570 --> 52:30.690 Drehsinn schon berücksichtigt. 52:32.690 --> 52:34.650 Wir suchen die Bewegungsgleichung. 52:34.710 --> 52:36.470 Wie kommen wir auf die Bewegungsgleichung? 52:37.170 --> 52:40.270 Natürlich durch ein Momentengleichgewicht, denn wir müssen diese 52:40.270 --> 52:41.710 Gleichung hier auswerten. 52:42.410 --> 52:44.470 Und das ist ja unser Momentengleichgewicht. 52:47.590 --> 52:51.530 Momentengleichgewicht, eben das Problem um eine Achse, die uns hier 52:51.530 --> 52:51.810 entgegenkommt. 52:53.310 --> 52:55.090 Aus der Zeichenebene. 52:55.090 --> 52:59.810 Jetzt können wir natürlich das Momentengleichgewicht bezüglich eines 52:59.810 --> 53:02.050 beliebigen raumfesten Punktes hier aufstellen. 53:02.750 --> 53:05.750 Aber es gibt natürlich einen Punkt, wo das Ganze nur sinnvoll ist. 53:06.230 --> 53:10.630 Und das ist die Lagerung, denn wir wollen die lagerkräftigen Loswerden 53:10.630 --> 53:11.470 A x und A y. 53:11.710 --> 53:12.930 Für die interessieren wir uns nicht. 53:12.930 --> 53:23.890 Also, Summe aller Momente inklusive Trägheitsmoment um A gleich 0. 53:25.910 --> 53:27.010 Was haben wir dort? 53:28.050 --> 53:33.850 Wir haben einmal die Drehfeder, minus Cd phi. 53:34.130 --> 53:38.110 Wir haben das Trägheitsmoment, minus J phi 2. 53:39.090 --> 53:43.290 Dann haben wir noch die Kraft FA, Hebelarm. 53:43.910 --> 53:45.430 Da müssen wir uns die Länge anschauen. 53:46.830 --> 53:52.710 Dieses Stückchen hier ist unsere Hypotenuse, hat die Länge L. 53:54.450 --> 53:58.510 Der Hebelarm für FA hat dann die Länge L x Cosinus phi. 53:58.510 --> 54:08.670 Also FA L x Cosinus phi dreht, wie Sie sehen, mathematisch positiv 54:08.670 --> 54:09.950 gegen den Uhrzeigersinn. 54:10.510 --> 54:16.790 Und M x G dreht mathematisch negativ mit dem Hebelarm L x Sinus phi. 54:21.050 --> 54:24.450 Und das ist die Bewegungsgleichung für dieses Pendel. 54:25.550 --> 54:28.030 Jetzt können wir das noch ein bisschen schöner hinschreiben. 54:28.770 --> 54:32.070 Wir können das so hinschreiben, J x phi 2. 54:32.970 --> 54:39.370 Damit fängt man ganz gerne an, mit dem Drehmassenträgheitsterm. 54:40.850 --> 54:42.490 Plus Cd phi, 54:47.240 --> 54:59.260 minus F x A x L x Cosinus phi, plus M x G x L x Sinus phi, gleich 0. 54:59.260 --> 55:06.460 So, da wäre sie wieder, unsere Bewegungsgleichung. 55:07.120 --> 55:11.700 Diese Bewegungsgleichung ist, wie schon so häufig, eine Gleichung 55:11.700 --> 55:13.080 zweitens. 55:13.420 --> 55:16.820 Gerade ist, mit zweiter Ableitung drin zu stehen, J x phi 2. 55:17.080 --> 55:20.660 Die zweite Ableitung kommt einfach aus unserem Ballgesetz. 55:21.180 --> 55:24.960 So wie wir immer ein Beschleunigungszeitgesetz haben, haben wir jetzt 55:24.960 --> 55:27.740 hier ein Winkelbeschleunigungszeitgesetz dazustehen. 55:28.800 --> 55:35.780 Sie ist linear, solange wir eine lineare Feder haben, in Cd phi. 55:35.960 --> 55:40.520 Aber sie ist nicht linear mit Kf A und der Bewegungskraft. 55:41.260 --> 55:45.880 Dann macht man häufig eine Annahme, dass man nur kleine Winkel hat. 55:47.040 --> 55:50.960 Also, das Pendel macht keine riesen Ausschläge, sondern es bewegt sich 55:50.960 --> 55:52.960 nur ganz leicht um die Rohlage. 55:53.120 --> 55:55.340 Also, das ist hier schon viel zu übertrieben gezeichnet. 55:55.340 --> 55:59.080 Wenn wir das haben, dann können wir natürlich ersetzen für kleine 55:59.080 --> 55:59.780 Ausschläge. 56:08.610 --> 56:15.190 Können wir Kosinus phi ersetzen durch ungefähr 1. 56:15.830 --> 56:18.810 Sinus phi ungefähr phi. 56:19.470 --> 56:21.430 Und wir haben das Ganze linearisiert. 56:22.210 --> 56:26.910 Dann haben Sie eine lineare Gleichung dazustehen, nämlich J phi 2. 56:27.330 --> 56:39.590 plus Cd phi minus F AL plus MGL phi gleich 0. 56:42.990 --> 56:48.810 Und dann sehen Sie, das wäre eine lineare Differenzialgleichung, aber 56:48.810 --> 56:53.330 mit einer Inhomogenität, einem konstanten Term F AL. 56:53.950 --> 56:57.830 Den schreibt man für gewöhnlich auf die rechte Seite und nennt das 56:57.830 --> 56:59.770 Ganze dann Inhomogenität. 57:00.350 --> 57:03.810 Wie wir das lösen, sehen wir im Kapitel Schwingungen, denn was hier 57:03.810 --> 57:05.070 entsteht, ist eine Schwingung. 57:05.630 --> 57:12.230 Dieses Pendel schwingt munter um irgendeine Zwischenlage, durch F AL 57:12.230 --> 57:13.030 vorgegeben. 57:14.370 --> 57:17.910 Okay, da haben Sie jetzt schon eine Menge gelernt. 57:18.210 --> 57:21.770 Sie können jetzt den Drehvektor ausrechnen. 57:23.270 --> 57:27.810 Das wäre nämlich nichts weiter als Omega gleich phi Punkt. 57:28.630 --> 57:30.830 Das holen wir uns jetzt aus der Physik. 57:32.850 --> 57:36.330 Aus der einmaligen Integration der Bewegungsgleichung erhalten Sie 57:36.330 --> 57:37.910 Omega gleich phi Punkt. 57:37.910 --> 57:46.650 Und Ihr Drehvektor Omega wäre dann Omega mal E, meinetwegen Zeta. 57:46.950 --> 57:51.110 Und Zeta wäre jetzt die Achse, die Ihnen hier entgegenkommt. 57:51.210 --> 57:53.170 Das wäre die Drehachse da oben bei A. 58:00.080 --> 58:02.260 Das können Sie jetzt alles schon. 58:04.240 --> 58:08.580 Aber wir müssen uns noch ein bisschen mit dem J beschäftigen, denn das 58:08.580 --> 58:12.400 J war Ihnen hier einfach vorgegeben, hatte sogar noch den Index A. 58:12.580 --> 58:15.400 Also, wenn Sie das konsistent machen wollen, schreiben Sie hier noch 58:15.400 --> 58:16.480 einmal den Index A ran. 58:17.860 --> 58:19.700 Wie berechne ich nun dieses JA? 58:25.970 --> 58:33.890 Also, ursprünglich war J nichts anderes als das Integral V Rho xi 58:33.890 --> 58:38.710 Quadrat plus Eta Quadrat dV. 58:39.670 --> 58:45.610 Und hierfür schreibt man auch ganz gerne R Quadrat mit nach Pythagoras 58:45.610 --> 58:48.230 R Quadrat gleich xi Quadrat plus Eta Quadrat. 58:50.770 --> 58:53.890 Jetzt schauen wir uns als erstes einen prismatischen Körper an. 58:54.470 --> 58:55.050 Was ist das? 58:55.130 --> 58:55.690 Ein Prisma. 58:57.190 --> 59:01.750 Das ist etwas, das hat überall den gleichen Querschnitt. 59:06.330 --> 59:08.550 Also, Sie haben einen festen Querschnitt. 59:10.250 --> 59:13.430 Irgendwas, kann eckig, kann rund sein, egal. 59:13.930 --> 59:17.110 Aber über die Länge Ihres Körpers, der Ihnen jetzt hier entgegenkommt, 59:18.090 --> 59:20.830 ist das stets der gleiche Querschnitt. 59:21.170 --> 59:23.450 Nichts ändert sich an Ihrem Querschnitt. 59:24.690 --> 59:25.690 Was machen Sie dann? 59:26.730 --> 59:31.250 Sie sagen dV ist gleich L mal dA. 59:32.810 --> 59:34.190 Und über dA passiert nichts. 59:34.950 --> 59:40.030 Xi und Eta liegen in diesem Querschnitt drin. 59:42.270 --> 59:47.870 Die Drehachse kommt Ihnen hier entgegen, zeigt also entlang von L. 59:49.310 --> 59:58.630 Dann haben Sie J gleich Integral V Rho xi Quadrat plus Eta Quadrat dV. 59:59.550 --> 01:00:02.690 Homogener Körper, Rho gleich konstant. 01:00:03.990 --> 01:00:06.390 Werden wir also das Rho vor das Integral ziehen. 01:00:09.770 --> 01:00:14.130 Die Länge L hat mit der ganzen Integration nichts mehr zu tun. 01:00:14.210 --> 01:00:15.450 Wir integrieren über den Körper. 01:00:15.810 --> 01:00:17.350 Jeder Querschnitt sieht gleich aus. 01:00:17.350 --> 01:00:19.210 Wir können die Länge L rausziehen. 01:00:19.790 --> 01:00:27.090 Und wir erhalten Integral über eine Fläche A R Quadrat dA. 01:00:28.070 --> 01:00:32.950 Nun müssen Sie in Ihrem Formelschatz aus der technischen Mechanik eins 01:00:32.950 --> 01:00:33.410 graben. 01:00:33.870 --> 01:00:36.970 Dieses Integral R Quadrat dA, das kennen Sie schon. 01:00:37.370 --> 01:00:40.210 Das ist das polare Flächenmoment. 01:00:41.070 --> 01:00:43.830 Rho mal L mal Ip. 01:00:44.410 --> 01:00:50.630 Das heißt, für prismatische Körper steht hier überhaupt nichts Neues. 01:00:51.830 --> 01:00:55.330 Da müssen Sie einfach nur das, was Sie schon in der TM 1 ausgerechnet 01:00:55.330 --> 01:00:59.010 haben, noch mit Rho mal L multiplizieren, und dann haben Sie es. 01:01:05.040 --> 01:01:06.000 Beispiel Kreisscheibe. 01:01:06.160 --> 01:01:07.740 Das ist hier schon aufgezeichnet. 01:01:07.960 --> 01:01:09.940 Das ist natürlich ein prismatischer Körper. 01:01:10.840 --> 01:01:12.660 Egal, wo Sie den hier durchschneiden. 01:01:12.820 --> 01:01:15.960 Das können Sie hier schneiden, da schneiden, wo auch immer. 01:01:15.960 --> 01:01:20.200 Sie sehen einen Kreis mit Radius R über der gesamten Länge. 01:01:20.900 --> 01:01:26.100 Also ist das J nichts anderes als Rho. 01:01:26.900 --> 01:01:28.300 Und L heißt jetzt hier H. 01:01:30.820 --> 01:01:35.680 Das entspricht L mal Ip. 01:01:35.680 --> 01:01:46.060 Jetzt müssen wir uns an das Ip einer kreisförmigen Beifuß erinnern. 01:01:46.140 --> 01:01:50.080 Sie erinnern sich an ein kreisförmiger Stab, Torsion, kreisförmiger 01:01:50.080 --> 01:01:52.800 Stäbe, Torsion ohne Wilbung. 01:01:53.400 --> 01:01:54.820 Da brauchten wir das Ip. 01:01:55.480 --> 01:02:01.220 Das war Pi halber Radius hoch 4. 01:02:02.640 --> 01:02:08.180 Jetzt können wir hier also schreiben Rho mal H mal Pi halber Radius 01:02:08.180 --> 01:02:08.680 hoch 4. 01:02:10.160 --> 01:02:12.840 Und sagen, fertig, ich kümmere mich um gar nichts mehr. 01:02:12.900 --> 01:02:14.100 Ich lasse das einfach so stehen. 01:02:14.180 --> 01:02:15.100 Das macht man aber nicht. 01:02:15.640 --> 01:02:19.460 Sondern man versucht hier, das Volumen des Körpers abzuspalten. 01:02:20.760 --> 01:02:22.840 Also das Ganze auf eine Form zu bringen. 01:02:23.780 --> 01:02:26.020 Dichte mal Volumen mal irgendwas. 01:02:26.640 --> 01:02:29.040 Von Dichte mal Volumen fasst man zusammen zu Masse. 01:02:29.040 --> 01:02:30.820 Und dann steht da Masse mal irgendwas. 01:02:32.360 --> 01:02:33.960 Also brauchen wir noch das Volumen. 01:02:36.440 --> 01:02:38.200 Na ja, was ist denn das für ein Prisma? 01:02:38.380 --> 01:02:39.560 Das ist einfach ein Zylinder. 01:02:40.340 --> 01:02:47.400 Volumen eines Zylinders ist H mal Kreisfläche Pi r². 01:02:52.250 --> 01:02:55.570 Also spalten wir H mal Pi mal r² ab. 01:02:56.750 --> 01:02:59.230 Nehmen noch das Rho dazu, dann haben wir die Masse, M. 01:03:01.110 --> 01:03:03.150 Dann bleibt uns übrig ein Halb. 01:03:05.670 --> 01:03:10.130 Und aus dem R hoch 4 wird ein r². 01:03:11.370 --> 01:03:15.830 Also ein Halb, M mal r². 01:03:18.270 --> 01:03:20.730 Das ist mal so ein Massenträgersmoment. 01:03:21.090 --> 01:03:24.070 Jetzt schauen wir uns die Einheit an und stellen fest, das sind 01:03:24.070 --> 01:03:27.990 Kilogramm mal Meterquadrat. 01:03:27.990 --> 01:03:31.730 Und damit haben Sie die Einheit des Massenträgersmoments 01:03:31.730 --> 01:03:31.990 herausgefunden. 01:03:33.250 --> 01:03:34.080 Kilogramm mal Meterquadrat. 01:03:34.790 --> 01:03:35.890 Ist das plausibel? 01:03:36.050 --> 01:03:38.870 Allein schon aus der Definition, die da oben noch ganz in der Ecke 01:03:38.870 --> 01:03:39.250 steht. 01:03:39.730 --> 01:03:40.190 Natürlich. 01:03:40.750 --> 01:03:41.630 Schauen Sie sich das an. 01:03:41.670 --> 01:03:42.730 Da stehen Abstände drin. 01:03:43.370 --> 01:03:46.070 Im Integral steht also irgendwas mit Meterquadrat drin. 01:03:46.570 --> 01:03:48.790 Und dann haben Sie das Integral über Rho dV. 01:03:49.210 --> 01:03:50.050 Das ist die Masse. 01:03:50.590 --> 01:03:54.390 Also Kilogramm mal Meterquadrat ist die Einheit, die wir hier 01:03:54.390 --> 01:03:54.850 erwarten. 01:03:54.850 --> 01:03:58.150 Und die wir dann natürlich auch, wenn wir richtig gerechnet haben, 01:03:58.470 --> 01:03:58.870 bekommen. 01:04:00.230 --> 01:04:04.010 Das zweite Beispiel ist schon etwas trickreicher, wird aber häufig 01:04:04.010 --> 01:04:04.570 gebraucht. 01:04:05.970 --> 01:04:07.810 Schauen Sie sich so einen Stab an. 01:04:08.750 --> 01:04:10.210 Der ist dünn. 01:04:11.370 --> 01:04:14.490 Und der soll jetzt hier so pendeln, wie wir das vorher festgestellt 01:04:14.490 --> 01:04:14.750 haben. 01:04:14.870 --> 01:04:17.350 Also unsere Drehachse geht hier so durch. 01:04:18.170 --> 01:04:20.790 Was können wir dann machen, wenn wir über den Stab integrieren müssen? 01:04:20.790 --> 01:04:22.250 Nun, wir stellen fest. 01:04:23.350 --> 01:04:27.670 Einer von den beiden Kandidaten, Xi und Eta, wird unheimlich lang, 01:04:28.010 --> 01:04:28.850 unheimlich groß. 01:04:29.850 --> 01:04:33.830 Die andere Koordinate, die Querkoordinate, die bleibt klein. 01:04:34.210 --> 01:04:36.570 Maximal die Dicke des Stabes, mehr tut's sicher nicht. 01:04:37.290 --> 01:04:40.090 Also vernachlässigen wir diese Querkoordinate. 01:04:40.550 --> 01:04:43.990 Und die andere Koordinate, meinetwegen Xi, setzen wir gleich R. 01:04:44.250 --> 01:04:45.890 Dann machen wir so gut wie keinen Fehler. 01:04:47.110 --> 01:04:48.850 Also, dünner Stab. 01:04:49.850 --> 01:04:51.930 Wir rechnen aus. 01:04:52.910 --> 01:05:03.570 J gleich Integral Rho, Xi-Quadrat plus Eta-Quadrat, dV. 01:05:06.310 --> 01:05:14.490 Eine dieser beiden Koordinaten, meinetwegen Eta, wird maximal d groß 01:05:14.490 --> 01:05:16.190 und kann daher vernachlässigt werden. 01:05:16.190 --> 01:05:18.370 Also das Ding ist ungefähr null. 01:05:19.110 --> 01:05:30.990 Die andere Koordinate, Xi, ist R, sodass wir nur noch über A mal dr 01:05:30.990 --> 01:05:31.690 integrieren. 01:05:32.550 --> 01:05:34.790 Und A, die Fläche selbst, ist dann konstant. 01:05:35.130 --> 01:05:36.490 Konstanter Querschnitt. 01:05:36.950 --> 01:05:43.310 Das heißt, wir haben ungefähr Rho mal A, konstante Dichte. 01:05:44.310 --> 01:05:47.890 Wollen wir hier auch wieder voraussetzen, homogener Körper. 01:05:48.310 --> 01:05:56.890 Mal Integral R-Quadrat dr. Und wir integrieren über die gesamte Länge, 01:05:57.070 --> 01:05:58.670 also von 0 bis L. 01:05:59.750 --> 01:06:04.810 Dann erhalten wir Rho mal A mal L hoch 3 Drittel. 01:06:08.550 --> 01:06:11.210 Jetzt müssen wir hier noch die Masse einsetzen. 01:06:12.230 --> 01:06:17.650 Masse dieses Stabes ist Rho mal Querschnittsfläche mal L. 01:06:18.430 --> 01:06:25.130 Also 1 Drittel Masse mal L-Quadrat. 01:06:35.660 --> 01:06:37.420 Zweites wichtiges Ergebnis. 01:06:38.640 --> 01:06:43.780 1 Drittel m mal L-Quadrat und hier oben 1,5 m mal R-Quadrat. 01:06:43.900 --> 01:06:47.760 Und damit kommen Sie schon durch die ganze TM 2 eigentlich durch. 01:06:49.680 --> 01:06:53.140 Ein wesentliches Ergebnis brauchen Sie aber noch, das ist der Satz von 01:06:53.140 --> 01:06:53.580 Steiner. 01:06:54.320 --> 01:06:55.660 An den erinnern Sie sich vielleicht. 01:06:56.340 --> 01:07:01.140 Bisher natürlich auch bei diesem Integral alles 01:07:01.140 --> 01:07:02.860 koordinatensystemabhängig. 01:07:03.540 --> 01:07:07.500 Das Ergebnis ändert sich je nachdem, wo ich mein Koordinatensystem 01:07:07.500 --> 01:07:08.480 hinschiebe. 01:07:08.960 --> 01:07:14.180 Wähle ich das hier hinten oder wähle ich wie hier beispielsweise ein 01:07:14.180 --> 01:07:15.620 Schwerpunktkoordinatensystem. 01:07:16.380 --> 01:07:18.740 Nehmen wir uns hier so eine Drehscheibe vor. 01:07:19.240 --> 01:07:22.660 Stellen Sie sich vor, die Drehscheibe ist nicht hier aufgelegt im 01:07:22.660 --> 01:07:25.560 Schwerpunkt, sondern irgendwo dort oben. 01:07:26.340 --> 01:07:27.780 Die Achse ist also verschoben. 01:07:28.820 --> 01:07:32.860 Dann müssen Sie den Steineranteil berücksichtigen, so wie Sie das in 01:07:32.860 --> 01:07:34.960 der Technischen Mechanik 1 gelernt haben. 01:07:34.960 --> 01:07:44.960 Also JA, bezogen auf diese Achse hier oben, ist gleich JS. 01:07:45.640 --> 01:07:54.180 Und JS ist gleich für eine Kreisscheibe 1,5 m · r² plus Masse · 01:07:54.180 --> 01:07:55.440 Abstand². 01:07:56.780 --> 01:07:58.440 Das ist der Steineranteil. 01:08:00.720 --> 01:08:05.740 Jetzt können Sie für die Kreisscheibe natürlich, Beispiel 01:08:05.740 --> 01:08:09.600 Kreisscheibe, wie gezeichnet, 01:08:14.610 --> 01:08:20.190 ist natürlich JA, 1,5 m · r², das r müssen Sie jetzt ersetzen, durch 01:08:20.190 --> 01:08:20.570 A. 01:08:21.770 --> 01:08:28.210 A ist hier der Radius in diesem Beispiel, also JA ist 1,5 m · r². 01:08:28.210 --> 01:08:31.230 A hat nichts mit einer Beschleunigung zu tun, sondern ist dieser 01:08:31.230 --> 01:08:33.030 Radius r. 01:08:34.310 --> 01:08:41.510 Plus m · a², also erhalten Sie insgesamt 3,5 m · a². 01:08:50.190 --> 01:08:54.850 Damit haben Sie jetzt verstanden, was das Massenträgheitsmoment ist, 01:08:54.910 --> 01:08:55.990 wie man das Ganze berechnet. 01:08:55.990 --> 01:08:59.390 Jetzt haben wir also ein wunderbares Werkzeug kennengelernt. 01:08:59.870 --> 01:09:06.130 J · Φ2 · m funktioniert genauso wie F · m · a und wir können uns damit 01:09:06.130 --> 01:09:09.090 Winkelbeschleunigungszeitgesetze hier leiten. 01:09:09.830 --> 01:09:14.150 Jetzt haben Sie aber bei der Kinetik des Massenpunktes gesehen, dass 01:09:14.150 --> 01:09:17.910 das noch nicht alles ist, sondern es gibt noch eine Vielzahl weiterer 01:09:17.910 --> 01:09:18.590 Formulierungen. 01:09:19.510 --> 01:09:23.310 Nun, wenn ich Ihnen diese ganzen Formulierungen hier noch einmal 01:09:23.310 --> 01:09:27.050 vorstelle, dann vergeht dabei natürlich viel Zeit, vielleicht 01:09:27.050 --> 01:09:28.090 langweilen Sie sich auch. 01:09:28.450 --> 01:09:32.170 Also werden wir uns auf das Wesentliche konzentrieren, das, was 01:09:32.170 --> 01:09:32.970 wichtig ist. 01:09:33.530 --> 01:09:36.330 Und was wichtig ist, ist, dass wir nicht mehr nur 01:09:36.330 --> 01:09:41.430 Beschleunigungszeitgesetze formulieren können, sondern dass wir auch 01:09:41.430 --> 01:09:45.030 beispielsweise Geschwindigkeitsweggesetze formulieren können, also 01:09:45.030 --> 01:09:46.190 Energieformulierungen. 01:09:46.190 --> 01:09:51.230 Ich mache hier nichts weiter bei der Kinetik des starren Körpers, als 01:09:51.230 --> 01:09:53.970 dass ich Ihnen zeige, wie Sie Bewegungsgleichungen mithilfe des 01:09:53.970 --> 01:09:57.650 Prinzips von d'Alembert oder dem Drallgesetz hier leiten, 01:09:59.790 --> 01:10:02.070 beziehungsweise wie Sie Energiemethoden verwenden. 01:10:03.030 --> 01:10:05.630 Wie das mit dem Prinzip von d'Alembert geht, haben wir an einem 01:10:05.630 --> 01:10:08.810 Beispiel gesehen und Sie werden noch weitere Beispiele in der Übung 01:10:08.810 --> 01:10:09.430 kennenlernen. 01:10:10.010 --> 01:10:12.090 Wie geht das aber jetzt mit dem Energiesatz? 01:10:12.090 --> 01:10:16.930 Dazu müssen wir natürlich von dem starten, was wir kennen, also J wie 01:10:16.930 --> 01:10:17.170 2. 01:10:17.430 --> 01:10:23.150 gleich m ist unser Ausgangspunkt und müssen versuchen, daraus eine 01:10:23.150 --> 01:10:27.810 vernünftige Energiebilanz für die Drehbewegung des starren Körpers, um 01:10:27.810 --> 01:10:29.770 eine feste Achse herzuleiten. 01:10:30.290 --> 01:10:33.010 Machen wir noch kurz, und dann kommt dazu noch ein Beispiel. 01:10:35.770 --> 01:10:39.450 Also, wir brauchen die Arbeit eines Momentes. 01:10:39.450 --> 01:10:51.390 Arbeit einer Kraft war W gleich S1 S2 F dS, wobei wir uns da eine 01:10:51.390 --> 01:10:53.970 Kraftkomponente anschauen und das in der Richtung machen. 01:10:54.590 --> 01:10:59.770 Jetzt für das Moment ersetzen wir alles, was W-Größen sind, durch 01:10:59.770 --> 01:11:00.250 Winkel. 01:11:01.610 --> 01:11:04.250 Alles, was Kraft ist, ersetzen wir durch Moment. 01:11:05.150 --> 01:11:08.630 Dann kommen Sie auf diese Definition der Arbeit. 01:11:08.790 --> 01:11:10.570 Das ist nichts weiter als eine Definition. 01:11:11.490 --> 01:11:13.730 Natürlich können Sie auch die Leistung betrachten. 01:11:15.150 --> 01:11:18.830 Leistung ist definitionsgemäß Ableitung der Arbeit nach der Zeit. 01:11:19.350 --> 01:11:22.970 Und Sie können W, diesen Ausdruck, der dort oben steht, nach der Zeit 01:11:22.970 --> 01:11:23.490 ableiten. 01:11:24.490 --> 01:11:30.050 M haben Sie dann dazustehen. 01:11:31.030 --> 01:11:35.330 Drehmoment, meinetwegen nicht von der Zeit abhängig, konstant. 01:11:36.130 --> 01:11:38.950 Und dphi nach dt, die Winkelfunktion. 01:11:39.510 --> 01:11:43.430 Dann erhalten Sie aus der Ableitung dphi nach dt, die 01:11:43.430 --> 01:11:48.250 Winkelgeschwindigkeit, den Drehvektor Omega, hier den Betrag des 01:11:48.250 --> 01:11:48.850 Drehvektors. 01:11:48.850 --> 01:11:55.530 Also, Leistung wäre Moment mal Drehgeschwindigkeit. 01:11:56.130 --> 01:11:58.290 Stellen Sie sich das vor, Sie haben eine Turbine. 01:11:58.710 --> 01:12:01.230 Die Turbine läuft mit konstantem Antriebsmoment. 01:12:01.770 --> 01:12:06.050 Sie nehmen das konstante Antriebsmoment, multiplizieren das mit der 01:12:06.050 --> 01:12:07.270 Drehgeschwindigkeit. 01:12:07.370 --> 01:12:11.630 Das heißt, wie viele Umdrehungen schafft er pro Minute oder pro 01:12:11.630 --> 01:12:12.010 Sekunde. 01:12:12.090 --> 01:12:14.490 Dann erhalten Sie die Leistung Ihrer Turbine. 01:12:15.610 --> 01:12:18.150 Jetzt brauchen wir aber die kinetische Energie noch. 01:12:18.150 --> 01:12:23.370 Denn der Arbeitssatz sagt ja, wir setzen Arbeit und Differenz der 01:12:23.370 --> 01:12:26.430 kinetischen Energie ins Gleichgewicht. 01:12:27.870 --> 01:12:30.430 Überlegen wir uns das für ein Massenelement. 01:12:30.770 --> 01:12:40.310 Kinetische Energie war 1,5 Δm mal v² für ein Massenelement mit Masse 01:12:41.960 --> 01:12:44.800 Δm. 01:12:45.180 --> 01:12:49.540 Wir integrieren jetzt, das war ursprünglich der Massenpunkt, über den 01:12:49.540 --> 01:12:50.720 gesamten starren Körper. 01:12:51.080 --> 01:12:55.920 Dann erhalten wir T gleich 1,5 m v² dm. 01:12:56.360 --> 01:12:57.260 Das wäre eine Summe. 01:12:57.900 --> 01:13:01.020 Sie summieren praktisch hier über alle Anteile Δm auf. 01:13:01.940 --> 01:13:08.320 Dann geht die Summe in ein Integral über m dm, und Sie integrieren die 01:13:08.320 --> 01:13:09.160 Geschwindigkeiten. 01:13:11.240 --> 01:13:14.480 Jetzt schauen wir uns an, Drehung um eine feste Achse. 01:13:24.190 --> 01:13:25.930 Was wissen Sie dann über v? 01:13:29.070 --> 01:13:35.110 Sie wissen von v, das ist Omega kreuz r. 01:13:36.910 --> 01:13:41.990 Wenn Sie das jetzt für eine feste Drehachse auswerten, dann wissen 01:13:41.990 --> 01:13:43.750 Sie, dort ist die Geschwindigkeit 0. 01:13:43.990 --> 01:13:47.690 Hier rotiert Ihr Körper drum, und Sie brauchen nur den Abstand. 01:13:48.690 --> 01:13:52.910 Diese Länge, diesen Abstand nennen Sie r. 01:13:53.210 --> 01:13:57.670 Der Betrag von v im Geschwindigkeitsvektor ist nichts anderes als 01:13:57.670 --> 01:13:59.510 Omega mal r. 01:13:59.850 --> 01:14:08.630 r ist der Betrag des Abstandsvektors von der Drehachse dieses Punktes. 01:14:09.850 --> 01:14:11.230 Vektorprodukt mit Omega. 01:14:11.550 --> 01:14:15.050 Beide Vektoren stehen senkrecht aufeinander, da Ihr Drehvektor Omega 01:14:15.050 --> 01:14:17.090 immer entlang der Drehachse zeigt. 01:14:17.090 --> 01:14:19.610 Also v gleich Omega mal r. 01:14:19.970 --> 01:14:26.150 Setzen Sie das Ganze hier ein, dann erhalten Sie T 1,5 Integral über m 01:14:28.010 --> 01:14:31.490 Omega -Quadrat mal r-Quadrat dm. 01:14:33.150 --> 01:14:36.270 Schöner ist es natürlich, wenn Sie das als Volumenintegral schreiben. 01:14:36.450 --> 01:14:40.090 Rho Omega-Quadrat r-Quadrat dv. 01:14:40.490 --> 01:14:44.650 Sie erinnern sich daran, Omega, der Betrag des Drehvektors, ist der 01:14:44.650 --> 01:14:48.710 gleiche für jeden materiellen Punkt, für jeden Punkt Ihres starren 01:14:48.710 --> 01:14:49.150 Körpers. 01:14:49.470 --> 01:14:52.470 Also wird Omega-Quadrat vor das Integral gezogen. 01:14:53.250 --> 01:14:54.850 Es bleibt Ihnen noch übrig. 01:14:54.930 --> 01:14:57.010 Rho r-Quadrat dv. 01:14:57.210 --> 01:14:58.670 Und das ist ein alter Bekannter. 01:15:00.550 --> 01:15:04.230 Das ist die Drehmasse, das Massenträgheitsmoment. 01:15:05.370 --> 01:15:15.250 Also 1,5 J, bezogen auf die Drehachse, nennen wir das JA, mal Omega 01:15:15.250 --> 01:15:15.890 -Quadrat. 01:15:17.990 --> 01:15:20.110 Auch wieder in Analogie 01:15:25.030 --> 01:15:31.450 zu 1,5 m mal v-Quadrat. 01:15:32.770 --> 01:15:35.270 V und Omega spielen die gleiche Rolle. 01:15:36.070 --> 01:15:40.590 Masse und Drehmasse, Massenträgheitsmoment, spielen die gleiche Rolle. 01:15:41.130 --> 01:15:45.710 Kinetische Energie für die Drehbewegung, 1,5 Massenträgheitsmoment um 01:15:45.710 --> 01:15:50.850 die Drehachse, mal Omega-Quadrat, Betrag des Drehvektors der 01:15:50.850 --> 01:15:53.110 Drehbewegung um diese feste Achse. 01:15:56.170 --> 01:16:04.090 Damit Arbeitssatz für die Drehbewegung. 01:16:05.990 --> 01:16:10.710 W gleich Differenz der kinetischen Energie, T minus T0. 01:16:11.550 --> 01:16:15.450 Und wie Sie die kinetische Energie ausrechnen, steht hier da, 1,5 JA 01:16:15.450 --> 01:16:16.870 mal Omega-Quadrat. 01:16:16.870 --> 01:16:21.070 Und der Energiesatz, da benötigen Sie dann ein Potential. 01:16:26.780 --> 01:16:38.940 W gleich T minus T0, daraus folgt T0 plus V0 gleich T plus V. 01:16:40.220 --> 01:16:42.060 V, die potenzielle Energie. 01:16:43.960 --> 01:16:46.320 Welche potenziellen Energien kennen Sie? 01:16:46.320 --> 01:16:53.240 Sie kennen für die Gravitationskraft M mal G mal H, Höhe Ihres 01:16:53.240 --> 01:16:53.720 Körpers. 01:16:54.780 --> 01:17:02.620 Und Sie kennen als zweites, für eine Feder, 1,5 C mal X-Quadrat. 01:17:02.900 --> 01:17:08.120 Und wenn das jetzt eine Drehfeder ist, sagen Sie einfach 1,5 C, Index 01:17:08.120 --> 01:17:12.720 D meinetwegen für die Drehfeder, mal Phi zum Quadrat, mal Winkel zum 01:17:12.720 --> 01:17:13.160 Quadrat. 01:17:13.960 --> 01:17:17.720 Also, das schreibe ich hier noch in die Ecke. 01:17:18.100 --> 01:17:18.840 Dann haben wir es aber. 01:17:18.940 --> 01:17:19.600 Drehfeder, 01:17:23.660 --> 01:17:30.120 V gleich 1,5 CD Phi-Quadrat. 01:17:33.940 --> 01:17:38.780 Jetzt wollen wir uns dazu ein Beispiel anschauen, das ich einmal mit 01:17:38.780 --> 01:17:43.700 dem Prinzip von d'Alembert und zum anderen mit dem Energiesatz lösen 01:17:43.700 --> 01:17:44.080 möchte. 01:17:44.080 --> 01:17:48.220 Und was Sie sehen werden, ist, ich rechne ganz was anderes aus. 01:17:48.360 --> 01:17:53.680 Bei der einen Größe rechne ich aus, Winkelbeschleunigung, Phi-2-Punkt, 01:17:54.000 --> 01:17:56.820 in Abhängigkeit von der Zeit, das ist Prinzip von d'Alembert. 01:17:57.820 --> 01:18:03.740 Und wenn ich hier den Energiesatz verwende, rechne ich aus, 01:18:03.960 --> 01:18:07.080 Winkelgeschwindigkeit, in Abhängigkeit des Winkels selbst. 01:18:07.520 --> 01:18:09.540 Und das ist etwas, was man häufig haben möchte. 01:18:09.540 --> 01:18:13.260 Immer dann, wenn man das sucht, ist der Energiesatz, so man ihn 01:18:13.260 --> 01:18:17.200 formulieren kann, also so Potenziale existieren, natürlich eleganter. 01:18:17.600 --> 01:18:19.000 Also, was haben wir für ein Problem? 01:18:20.340 --> 01:18:27.500 Wir haben hier M, etwas Aufgeblähtes, eine Einzelmasse, die wir uns 01:18:27.500 --> 01:18:29.200 vorstellen können als einen Massenpunkt. 01:18:29.920 --> 01:18:31.880 Dieser Massenpunkt hängt an einem Seil. 01:18:32.320 --> 01:18:35.580 Das Seil hängt an einer Rolle, ist an einer Rolle befestigt. 01:18:35.580 --> 01:18:43.140 Die Rolle ist hier drehbar gelagert in ihrem Mittelpunkt, kann jetzt 01:18:43.140 --> 01:18:44.060 also abrollen. 01:18:44.480 --> 01:18:46.740 Und was passiert, wenn diese Rolle abrollt? 01:18:47.140 --> 01:18:50.180 Mitsamt Seil rauscht die Masse nach unten. 01:18:51.320 --> 01:18:54.720 Sie sehen, hier sind schon zwei Zustände eingetragen, 0 und 1. 01:18:55.160 --> 01:18:58.500 Also 1 sagen wir mal nicht, dass der Grator aufprallt, sondern kurz 01:18:58.500 --> 01:19:02.840 vor dem Aufprall, Geschwindigkeit kurz vor dem Aufprall, hier auf der 01:19:02.840 --> 01:19:03.200 Ebene. 01:19:04.520 --> 01:19:09.780 Wir analysieren das Ganze zuerst mit dem Prinzip von d'Alembert. 01:19:10.840 --> 01:19:14.740 Das heißt, wir brauchen einen Freischnitt, und wir tragen uns das 01:19:14.740 --> 01:19:20.660 Treckheitsmoment an in umgekehrter Richtung zur Beschleunigung, also 01:19:20.660 --> 01:19:25.060 zu V und V2-Punkt, und stellen dann, wie in der Statik, unsere 01:19:25.060 --> 01:19:26.200 Momentenbilanz auf. 01:19:28.780 --> 01:19:33.200 Momentenbilanz um eine Achse, die Ihnen entgegenkommt. 01:19:34.640 --> 01:19:36.540 Also, was haben wir beim Freischnitt? 01:19:38.540 --> 01:19:47.080 Wir trennen einmal hier das Lager ab, und zum anderen zerschneiden wir 01:19:47.080 --> 01:19:47.540 das Seil. 01:19:48.440 --> 01:19:50.240 Dann erhalten wir zwei Teilsysteme. 01:19:50.300 --> 01:19:54.120 Teilsystem 1 ist die Rolle, Teilsystem 2 ist der Massenpunkt. 01:19:54.120 --> 01:19:57.840 Der Massenpunkt vollführt eine translatorische Bewegung, beschrieben 01:19:57.840 --> 01:20:04.160 durch F gleich m mal a, oder, nach d'Alembert, F plus FT gleich 0, und 01:20:04.160 --> 01:20:08.040 die Rolle vollführt eine reine rotatorische Bewegung um ihre 01:20:08.040 --> 01:20:08.680 Drehachse. 01:20:10.120 --> 01:20:14.360 Das ist die Achse, die durch S geht und Ihnen ins Auge sticht, also 01:20:14.360 --> 01:20:15.380 Ihnen entgegenkommt. 01:20:16.420 --> 01:20:21.380 Drehbewegung um S, beschrieben durch M plus MT gleich 0, nach d 01:20:21.380 --> 01:20:21.700 'Alembert. 01:20:22.660 --> 01:20:24.880 Also, Freischnitt für das Teilsystem 1. 01:20:25.280 --> 01:20:29.620 Wir sehen die Rolle, wir sehen die Seilkraft S. 01:20:31.340 --> 01:20:33.720 Wir haben hier irgendwelche Lagerkräfte. 01:20:34.100 --> 01:20:36.900 Die möchte ich jetzt einmal nicht mit S bezeichnen, sondern wieder mit 01:20:36.900 --> 01:20:40.940 A, weil wir schon die Seilkraft mit S bezeichnet haben, AX und AY. 01:20:41.260 --> 01:20:43.820 Die interessieren uns überhaupt nicht und gehen auch in die Rechnung 01:20:43.820 --> 01:20:44.320 nicht ein. 01:20:45.140 --> 01:20:53.720 Wir haben eine Gewichtskraft im Schwerpunkt der Rolle, und wir haben 01:20:53.720 --> 01:21:02.220 natürlich das Trägheitsmoment entgegen dem Uhrzeigersinn wirkend, da 01:21:02.220 --> 01:21:09.420 wir Phi im Uhrzeigersinn angenommen haben, J mal Phi, 2 Punkt. 01:21:11.960 --> 01:21:13.740 So, und das ist schon alles. 01:21:14.560 --> 01:21:17.300 Wenn wir jetzt hier eine Momentenbilanz aufstellen für dieses 01:21:17.300 --> 01:21:24.960 Teilsystem 1, dann erhalten wir Summe aller Momente. 01:21:25.300 --> 01:21:26.600 Welchen Punkt wählen wir uns aus? 01:21:26.640 --> 01:21:29.560 Natürlich den Punkt S, wo die Lagerkräfte angreifen, wo auch die 01:21:29.560 --> 01:21:30.740 Gewichtskraft angreift. 01:21:30.740 --> 01:21:41.030 Also hier um diesen Punkt S drehen wir gleich 0, dann steht dort 01:21:41.030 --> 01:21:42.990 einmal J Phi, 2 Punkt, 01:21:50.410 --> 01:21:56.290 und entgegengesetzt drehend S mal Radius R. 01:22:06.310 --> 01:22:09.810 J ist uns nicht vorgegeben. 01:22:13.970 --> 01:22:16.550 Kreisscheibe haben wir gerade ausgerechnet. 01:22:17.810 --> 01:22:20.690 Drehachse ist die Schwerpunktachse. 01:22:21.290 --> 01:22:22.710 Einhalb M mal R². 01:22:25.230 --> 01:22:30.250 Halb Groß M natürlich, das ist ja die Masse der Kreisscheibe. 01:22:30.610 --> 01:22:32.150 Einhalb Groß M mal R². 01:22:33.170 --> 01:22:35.170 So, jetzt brauchen wir das Teilsystem 2. 01:22:38.250 --> 01:22:42.670 Teilsystem 2 ist die Punktmasse, die am Seil baumelt. 01:22:43.590 --> 01:22:45.730 Also diese Masse. 01:22:46.290 --> 01:22:48.130 Hier haben wir die Seilkraft S. 01:22:49.950 --> 01:22:52.970 Hier M mal G zieht uns sie ab. 01:22:53.810 --> 01:22:58.430 Und natürlich haben wir hier auch eine Trägheitskraft, aufwärtswirkend 01:22:58.430 --> 01:23:02.350 entgegengesetzt der Bewegung, klein m mal x2 Punkt. 01:23:03.850 --> 01:23:10.730 Kräftegleichgewicht nach Newton für den Massenpunkt lautet also Summe 01:23:10.730 --> 01:23:11.890 aller Kräfte gleich 0. 01:23:12.950 --> 01:23:22.370 Das lautet M mal G minus S minus M mal x2 Punkt gleich 0. 01:23:23.670 --> 01:23:28.330 So, jetzt analysieren wir einmal, was wir hier an Unbekannten haben. 01:23:29.250 --> 01:23:33.210 Also eine unbekannte Seilkraft S geht hier ein. 01:23:33.870 --> 01:23:34.710 Klar, das wissen wir. 01:23:34.750 --> 01:23:36.890 Das ist immer das Problem vom Prinzip von d'Alembert. 01:23:36.970 --> 01:23:38.110 Es geht die Seilkraft ein. 01:23:38.170 --> 01:23:39.310 Wir wehren die erst einmal nicht los. 01:23:39.370 --> 01:23:40.390 Wir müssen sie eliminieren. 01:23:40.930 --> 01:23:42.630 Aber wir haben ja auch zwei Gleichungen. 01:23:43.030 --> 01:23:45.410 Dann haben wir aber noch phi und x. 01:23:46.470 --> 01:23:47.190 Oh, Mist. 01:23:47.910 --> 01:23:49.590 Drei unbekannte, zwei Gleichungen. 01:23:50.050 --> 01:23:52.090 Wir brauchen also noch eine weitere Beziehung. 01:23:52.170 --> 01:23:54.650 Wir können das Problem so nicht lösen. 01:23:55.410 --> 01:23:57.350 Woher bekommen wir die weitere Beziehung? 01:23:57.610 --> 01:24:00.170 Aus der Kinematik, aus der Geometrie der Bewegung. 01:24:01.070 --> 01:24:04.230 x und phi sind ja keineswegs unabhängig voneinander. 01:24:04.670 --> 01:24:08.350 Wenn die unabhängig voneinander wären, würde das bedeuten, das Seil 01:24:08.350 --> 01:24:11.870 wäre elastisch und die Masse könnte dort an dem Seil hin und her 01:24:11.870 --> 01:24:12.530 zappeln. 01:24:12.610 --> 01:24:13.570 Dem ist aber nicht so. 01:24:14.170 --> 01:24:17.890 Ein nicht rutschendes, festes, undehnbares Seil. 01:24:18.490 --> 01:24:22.650 Das heißt, x und phi müssen in einer Abhängigkeit stehen. 01:24:22.650 --> 01:24:26.030 Diese Abhängigkeit ist die gleiche wie beim rollenden Rad. 01:24:26.450 --> 01:24:29.510 Wir haben hier die Geschwindigkeit gleich 0. 01:24:30.970 --> 01:24:34.670 Wie sieht die Geschwindigkeit dieses Punktes hier aus? 01:24:35.050 --> 01:24:40.030 Denn die Geschwindigkeit dieses Punktes muss x-Punkt sein. 01:24:40.350 --> 01:24:42.730 Es muss die Geschwindigkeit der Masse dort unten sein. 01:24:43.030 --> 01:24:46.670 Das Seil überträgt die Geschwindigkeit nur schnurgerade nach unten. 01:24:46.670 --> 01:24:54.940 Die Geschwindigkeit x-Punkt ist Omega mal r. 01:24:55.880 --> 01:24:57.180 Omega ist phi-Punkt. 01:24:58.220 --> 01:25:03.000 Also haben wir die Beziehung x-Punkt gleich phi-Punkt mal r. 01:25:04.200 --> 01:25:05.680 Leiten wir die noch einmal ab. 01:25:05.960 --> 01:25:11.900 Dann haben wir x2-Punkt gleich phi2-Punkt mal r. 01:25:12.540 --> 01:25:15.380 Und das ist unsere gesuchte dritte Gleichung. 01:25:16.780 --> 01:25:25.210 Drei Gleichungen für drei Unbekannte gleich 0. 01:25:27.910 --> 01:25:30.590 Jetzt können Sie sich aussuchen, was Sie machen wollen. 01:25:32.370 --> 01:25:36.070 Beispielsweise zunächst einmal s aus der ersten Gleichung eliminieren, 01:25:36.330 --> 01:25:41.950 in die zweite Gleichung einsetzen, das phi2-Punkt ersetzen mit unserer 01:25:41.950 --> 01:25:43.250 kinematischen Beziehung. 01:25:47.300 --> 01:25:50.200 Dann haben Sie eine Gleichung für x2-Punkt. 01:25:50.700 --> 01:25:52.300 Vielleicht machen wir das noch ganz schnell. 01:25:53.420 --> 01:26:03.520 Also, aus 1 ersehen Sie, dass s ist gleich j phi2-Punkt durch R. 01:26:04.380 --> 01:26:20.860 In 2 erhalten Sie m mal g minus j phi2-Punkt geteilt durch R minus m 01:26:20.860 --> 01:26:23.420 mal x2-Punkt gleich 0. 01:26:23.660 --> 01:26:28.700 Wir ersetzen jetzt j durch ein Halb Großm mal R². 01:26:28.700 --> 01:26:33.120 Und wir ersetzen phi2-Punkt durch x2-Punkt geteilt durch R. 01:26:33.620 --> 01:26:42.820 Dann erhalten wir m mal g minus ein Halb Großm mal R² geteilt durch R² 01:26:42.820 --> 01:26:51.740 multipliziert mit x2-Punkt minus mx2-Punkt gleich 0. 01:26:51.740 --> 01:26:59.620 Da kürzt sich jetzt hier das R² raus und wir erhalten x2-Punkt gleich. 01:27:00.800 --> 01:27:01.600 Bruchstrich. 01:27:02.660 --> 01:27:03.840 Was steht im Zähler? 01:27:04.140 --> 01:27:13.100 Ein g, ein einsames g. Im Nenner steht 1 plus ein Halb Großm geteilt 01:27:13.100 --> 01:27:15.120 durch Kleinm, also das Massenverhältnis. 01:27:16.460 --> 01:27:17.560 Das wäre... 01:27:17.560 --> 01:27:19.340 Ja, da habe ich mich verrechnet. 01:27:22.130 --> 01:27:23.930 Nee, durch die Kinematik. 01:27:25.030 --> 01:27:26.530 Also, phi2-Punkt. 01:27:36.050 --> 01:27:39.590 Das habe ich ein bisschen schnell gemacht, die Zeit eilt, dass wir das 01:27:39.590 --> 01:27:40.710 wenigstens noch fertig kriegen. 01:27:41.070 --> 01:27:45.270 Also, wir haben ein Beschleunigungszeitgesetz, und wir sehen, die 01:27:45.270 --> 01:27:47.110 Beschleunigung ist einfach nur konstant. 01:27:47.750 --> 01:27:50.890 Das können wir jetzt zweimal aufintegrieren, also gibt uns eine Linie 01:27:50.890 --> 01:27:55.370 von der zeitabhängigen Geschwindigkeit und ein parabelförmig 01:27:55.370 --> 01:27:59.330 ansteigendes Wegzeitgesetz. 01:27:59.510 --> 01:28:01.710 Wir brauchen dazu zwei Anfangsbedingungen. 01:28:02.290 --> 01:28:06.250 Beispielsweise setzen Sie V0 gleich 0, das ist hier schon vorgegeben, 01:28:06.470 --> 01:28:10.650 und Sie müssen noch x von T gleich 0 gleich 0 setzen. 01:28:11.430 --> 01:28:15.150 So, jetzt kommt die Frage, wie es mit dem Energiesatz aussieht. 01:28:22.780 --> 01:28:24.320 Energiesatz für dieses Problem. 01:28:24.320 --> 01:28:25.560 Was haben wir? 01:28:27.260 --> 01:28:33.100 T0 plus V0 gleich T1 plus V1. 01:28:37.460 --> 01:28:42.260 T0, da benutzen wir V0 gleich 0, da lassen wir unsere Bewegung 01:28:42.260 --> 01:28:42.700 starten. 01:28:43.080 --> 01:28:45.680 Keine kinetische Energie, T0 gleich 0. 01:28:46.400 --> 01:28:47.840 Wir starten aus der Ruhe. 01:28:48.540 --> 01:28:52.740 V0 ist gleich m mal g mal h. 01:28:53.500 --> 01:28:56.360 Wenn Sie glauben, das wäre schon alles, haben Sie sich getäuscht. 01:28:56.520 --> 01:29:00.020 Auch die Scheibe, selbst wenn sie dort oben fest montiert ist, hat 01:29:00.020 --> 01:29:05.020 eine potenzielle Energie, m mal g mal H. 01:29:07.460 --> 01:29:09.680 Jetzt schauen wir uns den Zustand 1 an. 01:29:10.420 --> 01:29:12.540 Die kleine Masse saust nach unten. 01:29:15.020 --> 01:29:23.480 T1 ist also kinetische Energie, 1,5 m mal V². 01:29:24.360 --> 01:29:29.860 V ist die Geschwindigkeit der kleinen Masse, plus kinetische Energie 01:29:29.860 --> 01:29:39.460 der Kreisscheibe, 1,5 J mal V zum Quadrat. 01:29:39.920 --> 01:29:42.180 Omega-Quadrat können Sie dafür auch schreiben. 01:29:43.620 --> 01:29:49.260 J ist das JS der Scheibe, das wir drüben ausgerechnet haben, 1,5 m mal 01:29:49.260 --> 01:29:50.140 R². 01:29:52.800 --> 01:29:54.440 V1 ist gleich. 01:29:55.240 --> 01:29:57.500 Was bleibt uns noch übrig an potenzieller Energie? 01:29:57.800 --> 01:30:01.500 Nun, die kleine Masse, der Massenpunkt, hat seine potenzielle Energie 01:30:01.500 --> 01:30:01.860 verloren. 01:30:02.100 --> 01:30:03.360 Der ist hier runtergesaust. 01:30:04.680 --> 01:30:06.540 Der Abstand H ist zu Null geschrumpft. 01:30:06.780 --> 01:30:09.860 Aber die große Masse hängt natürlich immer noch dort oben. 01:30:10.400 --> 01:30:13.540 Also M mal G mal H. 01:30:13.540 --> 01:30:20.300 Wenn wir jetzt die Bilanz T0 plus V0 gleich T1 plus V1 aufstellen, was 01:30:20.300 --> 01:30:21.200 bleibt uns übrig? 01:30:21.940 --> 01:30:33.940 M mal G mal H plus M mal G mal H gleich M mal G mal H plus 1,5 m V² 01:30:33.940 --> 01:30:37.960 plus 1,5 JS mal V Punktquadrat. 01:30:39.380 --> 01:30:42.540 Jetzt sehen Sie, aha, das kürzt sich aber heraus. 01:30:42.540 --> 01:30:45.800 Denn die große Masse hat sich nicht geändert. 01:30:45.920 --> 01:30:47.940 Ihre potenzielle Energie hat sich nicht geändert. 01:30:48.040 --> 01:30:49.500 Sie hat sich nicht vom Fleck bewegt. 01:30:50.400 --> 01:30:54.000 Klein m mal G mal H, die Höhendifferenz, ist einzig und allein 01:30:54.000 --> 01:30:56.760 verantwortlich für das Entstehen der kinetischen Energie. 01:31:03.130 --> 01:31:04.930 Aber was können wir jetzt ausrechnen? 01:31:06.650 --> 01:31:13.010 Na ja, entweder rechnen wir V Punkt aus als Funktion der Höhe, also 01:31:13.010 --> 01:31:17.190 als Funktion einer W-Koordinate, oder V als Funktion der W-Koordinate. 01:31:17.390 --> 01:31:18.650 Für 1 müssen wir uns entscheiden. 01:31:19.290 --> 01:31:20.730 Wir entscheiden uns für V. 01:31:20.970 --> 01:31:22.830 Dann müssen wir das Phi eliminieren. 01:31:23.390 --> 01:31:24.790 Wie eliminieren wir den Winkel? 01:31:25.210 --> 01:31:29.270 Mithilfe einer kinematischen Beziehung, der gleichen Beziehung, wie 01:31:29.270 --> 01:31:32.490 wir sie uns schon vorher überlegt haben, also V. 01:31:33.650 --> 01:31:38.310 Die Geschwindigkeit dieses Punktes hier ist die gleiche wie die 01:31:38.310 --> 01:31:40.110 Geschwindigkeit des Punktes hier unten. 01:31:40.110 --> 01:31:41.770 Und den wahren Seil. 01:31:42.330 --> 01:31:46.730 V ist gleich Omega mal R. 01:31:47.850 --> 01:31:49.530 Omega ist Phi Punkt. 01:31:49.770 --> 01:31:51.390 Phi Punkt mal R. 01:31:51.930 --> 01:31:59.390 Also eliminieren wir Phi Punkt durch V geteilt durch R. 01:31:59.990 --> 01:32:07.210 Also können wir hier schreiben, 1,5 m mal V Quadrat plus 1,5 Js, weil 01:32:07.210 --> 01:32:09.170 m mal R Quadrat. 01:32:09.170 --> 01:32:14.050 Phi Punkt Quadrat ist V Quadrat durch R Quadrat. 01:32:14.870 --> 01:32:16.190 Das kürzt sich heraus. 01:32:17.010 --> 01:32:21.990 Und Sie sehen, Sie können nach V Quadrat freistellen und erhalten V 01:32:21.990 --> 01:32:30.150 Quadrat gleich m mal G mal H, geteilt durch, multipliziert mit 2, V 01:32:30.150 --> 01:32:34.130 Quadrat 1,5 m plus M. 01:32:34.130 --> 01:32:34.610 Jo. 01:32:37.730 --> 01:32:38.550 Okay. 01:32:39.110 --> 01:32:43.230 Da können Sie natürlich auch wieder durch das m dividieren, wie wir es 01:32:43.230 --> 01:32:44.210 vorher gemacht haben. 01:32:44.770 --> 01:32:52.010 Also G mal H mal 1 plus M geteilt durch m. 01:32:52.970 --> 01:32:56.790 Ist das Gleiche, mal schnell durch m dividiert. 01:32:57.510 --> 01:32:59.070 Also, Frage? 01:32:59.070 --> 01:33:01.670 Haben wir uns wieder verrechnet? 01:33:12.320 --> 01:33:13.960 Da fehlt ein Halb. 01:33:15.400 --> 01:33:17.380 Also haben wir hier nur noch ein Viertel. 01:33:17.840 --> 01:33:20.220 Also hier noch ein Halb, da muss hier noch ein Halb rein. 01:33:25.300 --> 01:33:25.820 Richtig. 01:33:27.360 --> 01:33:27.540 Ja. 01:33:28.300 --> 01:33:29.620 Und das bleibt dann auch übrig. 01:33:30.520 --> 01:33:35.000 V Quadrat gleich G mal H, 1 plus M durch 2m. 01:33:35.960 --> 01:33:37.020 So muss es aussehen. 01:33:37.020 --> 01:33:39.920 Also hier muss es dann eine 4 sein. 01:33:41.920 --> 01:33:43.620 Hier muss es eine 4 sein. 01:33:44.580 --> 01:33:46.360 So, jetzt deutet es aber stimmt. 01:33:46.680 --> 01:33:51.940 Das heißt, Sie sehen den Unterschied nochmal zwischen Energiebilanz 01:33:51.940 --> 01:33:55.560 und dem, was wir vorher hatten, dem Prinzip von d'Alembert. 01:33:55.680 --> 01:33:59.720 Hier bekommen Sie V Quadrat Geschwindigkeit als Funktion des Weges 01:33:59.720 --> 01:34:00.120 heraus. 01:34:00.480 --> 01:34:05.320 Vorher haben Sie herausbekommen Beschleunigung als Funktion der Zeit. 01:34:05.920 --> 01:34:07.980 Sie können das natürlich umrechnen. 01:34:08.960 --> 01:34:11.760 V Quadrat, wie rechnen Sie das V Quadrat um? 01:34:12.420 --> 01:34:15.600 Sie wissen, V Quadrat ist x Punkt Quadrat. 01:34:16.080 --> 01:34:20.320 Und x Punkt Quadrat ist gleich 2... 01:34:24.220 --> 01:34:26.700 x Punkt Quadrat, das können Sie dann ableiten. 01:34:27.160 --> 01:34:30.600 Also, wenn Sie diese Beziehung nochmal nach dt ableiten... 01:34:30.600 --> 01:34:32.320 Ah, das können Sie dann zu Hause machen. 01:34:32.320 --> 01:34:40.620 Dann steht dort x Punkt Quadrat Ableitung 2 x Punkt x 2 Punkt da. 01:34:41.080 --> 01:34:44.900 Und auf der rechten Seite müssen Sie das h natürlich ersetzen durch 01:34:44.900 --> 01:34:45.440 ein x. 01:34:45.640 --> 01:34:52.160 Damit Sie da vernünftig ableiten, steht g mal x Punkt durch 1 plus m 01:34:52.160 --> 01:34:54.080 geteilt durch 4 m da. 01:34:54.640 --> 01:34:56.120 Das x Punkt kürzt sich heraus. 01:34:56.520 --> 01:34:59.200 Und jetzt soll die gleiche Formel rauskommen wie auf der Seite davor. 01:34:59.200 --> 01:35:01.460 Also, ich hoffe, das tut es auch. 01:35:01.780 --> 01:35:04.780 Sonst haben wir uns irgendwo noch mit dem Faktor verrechnet. 01:35:05.860 --> 01:35:07.860 Also, Sie können umrechnen. 01:35:08.580 --> 01:35:14.860 Natürlich, zwischen Geschwindigkeitsweggesetz durch Ableitung erhalten 01:35:14.860 --> 01:35:16.500 Sie ein Beschleunigungszeitgesetz. 01:35:16.820 --> 01:35:20.700 Sie können umgekehrt das Beschleunigungszeitgesetz integrieren, Zeit 01:35:20.700 --> 01:35:24.960 eliminieren und erhalten das Geschwindigkeitsweggesetz. 01:35:25.160 --> 01:35:26.740 Aber das ist umständlich. 01:35:26.740 --> 01:35:31.600 Sie sollten je nachdem, was Sie in Ihrer Aufgabenstellung suchen, das 01:35:31.600 --> 01:35:34.480 gewählte Verfahren anwenden. 01:35:34.580 --> 01:35:37.840 Das heißt, wenn Sie ein Geschwindigkeitsweggesetz brauchen, 01:35:37.920 --> 01:35:38.640 Energiesatz. 01:35:38.960 --> 01:35:42.420 Wenn Sie ein Beschleunigungszeitgesetz brauchen, Dallambier. 01:35:43.220 --> 01:35:44.560 Damit bin ich für heute fertig. 01:35:44.760 --> 01:35:49.640 Nächste Woche machen wir die Kinetik der allgemeinen Drehbewegung. 01:35:49.700 --> 01:35:53.720 Also keine festen Achsen mehr, sondern Translation und Rotation. 01:35:53.720 --> 01:35:57.160 Wir führen das, was wir beim Massenpunkt gelernt haben, mit dem 01:35:57.160 --> 01:36:00.420 zusammen, was Sie jetzt hier über die Drehbewegung gelernt haben. 01:36:00.580 --> 01:36:01.520 Bis zur nächsten Woche.