Meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich zur heutigen
Vorlesung Technische Mechanik II für Wirtschaftsingenieure.
Ich möchte noch einmal zusammenfassen, was Sie jetzt alles über den
starren Körper wissen.
Also, wir haben den starren Körper,
d.h.
wir betrachten die Bewegung des starren Körpers, die Bewegung eines
Körpers, der sich während seiner Bewegung nicht deformieren kann, wo
also alle Längen gemessen auf dem Körper stets die gleichen bleiben.
Dann wissen wir in der Kinematik, wissen wir, wir brauchen zwei Dinge,
die Geschwindigkeit in irgendeinem Punkt des Körpers und den
Drehvektor.
Wenn wir das wissen, können wir das Geschwindigkeitsfeld des Körpers,
die Geschwindigkeit in jedem einzelnen Punkt des starren Körpers,
bestimmen.
Diese Geschwindigkeit ist im Allgemeinen nicht die gleiche, jedenfalls
nicht, wenn Sie eine translatorische und eine rotatorische Bewegung
haben.
Nur für den Fall der rein translatorischen Bewegung wäre die
Geschwindigkeit in jedem Punkt des Körpers die gleiche.
Also, Situation, Mechanikerkartoffel, unser starrer Körper, zwei
Punkte A und B, irgendwo ein Ursprungspunkt 0, Ortsvektoren RA und RB,
der Verbindungsvektor von A nach B, das ist der Vektor RAB, und dann
haben Sie VB gleich VA plus Omega Kreuz RAB.
Das ist die Kinematik.
Diese Kinematik des starren Körpers gilt allgemein für die
dreidimensionale Bewegung, also für die Bewegung dieses Körpers im
Raum.
Auf irgendeine Art kann sich der Körper im Raum bewegen.
Das gilt immer.
Das beschreibt immer seine Kinematik.
Aber die Kinetik eines starren Körpers, der sich irgendwie im Raum
bewegt, ist nicht so einfach zu beschreiben.
Die ist schon wieder so kompliziert, dass wir sie hier nicht
behandeln.
Also, in der Kinetik beschränken wir uns auf die Ebenebewegung.
Was heißt das?
Das heißt, der Körper bewegt sich nur noch in einer Ebene,
beispielsweise die auf der Tischplatte oder auf Ihrem Blatt Papier
oder sonst irgendwie.
Er bewegt sich in dieser Ebene, der Drehvektor zeigt senkrecht zu
dieser Ebene, kommt Ihnen also entgegenspringt, und schlägt Ihnen aus
Ihrem Papier einfach entgegen.
Das ist das, was wir machen können.
Allein das war schon so kompliziert, dass wir beim letzten Mal gesagt
haben, wir beschränken uns nur auf die reine Drehbewegung.
Die haben wir hier.
Da haben wir die Rotation.
Hier haben wir die Translation.
Wir beschränken uns auf die Drehbewegung um eine feste Achse.
Der Körper darf sich also noch nicht einmal frei auf Ihrem Blatt hin
und her bewegen, sondern er muss um eine feste Achse rotieren, so wie
sich Ihr Fahrradreifen um eine Achse dreht oder Ihr Autoreifen oder
was auch immer.
Aber bitte im Stillstand.
Also, das Auto fährt nicht, das Fahrrad fährt nicht, sondern Sie
nehmen den Reifen hoch und lassen ihn einfach einmal ein bisschen
drehen.
Mehr haben wir beim letzten Mal nicht gemacht.
Also, Szenario.
Wir haben unseren Starrkörper und wir haben irgendwo eine Drehachse,
die durch diesen starren Körper durchgeht.
Und um diese Achse herum drehen wir.
Dann haben wir den Drehvektor vom Betrage Omega gleich 4 Punkt.
Von der Richtung wissen wir, das ist die Richtung dieser Achse, die
haben wir EZ oder EZeta dann genannt, weil wir körperfeste Koordinaten
eingeführt haben.
Wir wissen, die körperfeste, die mitbewegte Basis haben wir mit Xi,
Eta und Zeta bezeichnet.
Um diese Achse haben wir unseren Körper rotieren lassen.
Irgendwo war der Punkt 0 und wir sind auf folgendes Ergebnis gekommen
für die feste Drehachse.
Wir haben das Drallgesetz formuliert.
Das lautet im Allgemeinen für einen raumfesten Punkt 0, Ableitung des
Dralls nach der Zeit ist das Moment um diesen Punkt 0, Vereinfachung
für die ebene Bewegung um die feste Drehachse war J,
Massenträgheitsmoment, mal Phi, 2 Punkt, gleich M.
Was steht dort?
Da steht einmal mit J das sogenannte Massenträgheitsmoment
und mit M das äußere Moment, jeweils bezogen auf die Drehachse.
Also M, das Moment aller Kräfte bezogen auf die Drehachse, alle
Kräfte, die um diese Drehachse herumdrehen, J, Massenträgheitsmoment,
ebenfalls ausgerechnet in Bezug auf die Drehachse.
Das heißt, Sie können einen beliebigen Punkt auf der Drehachse wählen.
Sie können diesen Nullpunkt beliebig auf der Drehachse verschieben.
Das Ergebnis ist immer das Gleiche.
Klar, das Moment auf der einen Seite hängt nur Kraft mal Hebelarm von
der Entfernung von der Achse ab, nicht davon, ob Sie dort oben oder
irgendwo unten Ihren Nullpunkt hinlegen.
Das Moment wird immer bezüglich einer Achse gebildet.
Auf der anderen Seite steht J, das Massenträgheitsmoment.
Sie erinnern sich, da stand auch der Abstand drin.
Das war das Integral, wenn man es etwas salopp schreibt, also
Integration über M, R²dM, und dieses R, was hier drinsteht, ist genau
der Abstand.
Es werden alle Abstände jedes einzelnen Punktes des starren Körpers
quadriert.
Abstand zur Drehachse wird genommen, wird quadriert und aufaddiert.
Das ist gerade das J.
Wir haben das Massenträgheitsmoment in der letzten Vorlesung einfach
einmal ausgerechnet, beispielsweise für eine Kreisscheibe oder für
einen dünnen Stab.
Wir haben gesehen, wir können das zum Teil zurückführen auf das polare
Flächenmoment, das Sie schon kennen aus der Festigkeitslehre.
Wir haben auch gesehen, wir können einen Satz von Steiner formulieren
in Analogie zur Festigkeitslehre, also Schwerpunktsabstand zum Quadrat
mal Masse in dem Fall und nicht mal Fläche.
Also alles das, was Sie in der Festigkeitslehre gelernt haben über das
Flächenträgheitsmoment, können Sie jetzt vollständig auf das
Massenträgheitsmoment übertragen.
Sie sehen, die Gleichung steht in wunderbarer Analogie.
Das ist M x 2.0 gleich F.
Das, was M x 2.0 gleich F, das newtonsche Grundgesetz, für die
translatorische Bewegung ist, ist J x Phi 2.0 gleich M für die
rotatorische Bewegung.
Das Traggesetz und diese Gleichung J Phi 2.0 gleich M sind ganz eng
mit dem Namen Euler verknüpft.
Deswegen finden Sie dort auch manchmal die Bezeichnung Eulersche
Gleichungen oder Drallgesetz von Euler.
Also die Drehbewegung geht auf Euler zurück, die translatorische
Bewegung im Wesentlichen auf Newton.
Natürlich, wenn man solche Namen nennt, muss man sich immer vor Augen
halten, was Newton ja auch selbst zum Ausdruck gebracht hat.
Er wäre nie so weit gekommen, wenn er nicht auf den Schultern von
Riesen bestanden hätte.
Also es gibt natürlich eine Vorgeschichte.
Es gibt andere Leute, die sich auf diesem Gebiet verdient gemacht
haben, beispielsweise die Bernoulli-Brüder und viele andere mehr.
Alle haben ihren Beitrag dazu geleistet, aber irgendwann bleibt halt
ein Name hängen, und das ist der Name Newton bei F gleich M mal A und
der Name Euler bei J Phi 2.0 gleich M.
So weit, so gut, damit waren wir in der Lage, wieder das Prinzip von d
'Alembert zu formulieren und genauso zu rechnen wie in der Statik.
Wir haben einfach ein sogenanntes Trägheitsmoment eingeführt, minus J
mal Phi 2.0, und waren in der Lage, Bewegungsgleichung aufzustellen.
Zweitens waren wir auch in der Lage, die kinetische Energie zu
formulieren, für die translatorische Bewegung ein Halb-M mal V², also
ein Halb-M mal X-Punkt-Quadrat.
Für die Drehung um eine feste Achse haben wir ein Halb-J mal Phi-Punkt
oder mal Omega-Quadrat hergeleitet.
Damit waren wir in der Lage, den Energiesatz zu formulieren und waren
beispielsweise in der Lage, Phi-Punkt, die Winkelgeschwindigkeit, als
Funktion des Winkels selbst auszurechnen.
Sie haben also zwei Möglichkeiten.
Die eine Möglichkeit ist, Sie formulieren Bewegungsgleichungen
mithilfe von J Phi 2.0 gleich M, setzen also für M alles ein, was Sie
an Momenten haben, stellen die Momentenbilanz auf, müssen vielleicht
noch ein bisschen kinematische Bedingungen berücksichtigen und kommen
dann auf eine Bewegungsgleichung, d.h.
eine Gleichung für die Beschleunigung Phi 2.0 als Funktion der Zeit.
Die andere Möglichkeit ist, Sie stellen eine Energiebetrachtung an,
also Sie betrachten zwei Zustände, betrachten in jedem Zustand die
kinetische Energie und die potenzielle Energie und kommen dann auf
eine Gleichung Phi-Punkt, also Winkelgeschwindigkeit, als Funktion des
Winkels.
Das war schon alles, was wir beim letzten Mal gemacht haben.
Aber es bleibt noch einiges zu tun.
Wir haben bisher die Annahme getroffen, dass wir eine feste Drehachse
haben.
Für die allgemeine ebene Bewegung des starren Körpers haben wir
natürlich keine feste Drehachse.
Wir wollen also nicht immer an unserem Fahrrad den Reifen hochheben
und einmal drehen lassen, sondern wir wollen unser Fahrrad auch einmal
fahren lassen.
Dann haben wir also Translation und Rotation.
Wir müssen uns also fragen, wie Translation und Rotation sich bei der
ebenen Bewegung überlagern.
Was sind unsere Bewegungsgleichungen, unsere Grundgleichungen für die
Bewegung, für die allgemeine ebene Bewegung des starren Körpers?
Da ich bei der allgemeinen ebenen Bewegung zwei Anteile habe,
Translation und Rotation, erwarte ich auch, dass ich Bewegungsgesetze
finde, die mir einmal die Translation und zum anderen die Rotation
beschreiben.
Translation werden wir wieder auf das Impulsgesetz oder auf Newton
zurückführen, und die Rotation werden wir uns aus dem Drehgesetz
herleiten.
Aber bei der Rotation haben wir natürlich ein Problem.
Die Herleitung, die wir beim letzten Mal gesehen haben, galt für feste
Drehachsen, und für die allgemeine ebene Bewegung haben wir keine
feste Drehachse.
Die Frage ist also, was wir dann für eine Achse nehmen.
Wie besorgen wir uns einen Ersatz für diese feste Drehachse?
Das alles werde ich Ihnen in der heutigen Vorlesung zeigen.
Und natürlich dann wieder die Umsetzung.
Was bedeutet das für die kinetische Energie?
Wie lässt sich daraus wieder ein Energiesatz formulieren?
Wie lautet die Formulierung nach D'Alembert?
Wie kann ich das Ganze auf den Fall der Statik wieder zurückführen?
Also, schauen wir uns als Erstes den Impulssatz an.
Das Impulsgesetz lautete in allgemeiner Form I.gleich F.
Wenn ich eine ebene Bewegung habe, wie viele Komponenten hat dann
diese Gleichung?
Na ja, eine ebene Bewegung, beispielsweise x- und y-Achse, also zwei
Komponenten.
Diese Gleichung wäre zweidimensional, die würde mir zwei Gleichungen
liefern, so wie in der ebenen Statik.
Da können Sie auch zwei Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte
formulieren, einmal in x-Richtung, einmal in horizontaler Richtung und
einmal in vertikaler Richtung.
So ist das hier auch eine zweidimensionale Gleichung.
Aber die Gleichung ist ja noch etwas zu allgemein formuliert.
Dafür setzen wir jetzt den Impuls ein.
Der ist per Definition das Integral ρ x V dV, wobei Sie über das
Volumen des starren Körpers integrieren.
Sie integrieren also immer Dichte x Geschwindigkeit.
Wenn die Geschwindigkeit in jedem Punkt gleich wäre, würden Sie auf
die Formel kommen, m x V, falls V konstant ist.
Das ist die Formel für den Impuls beispielsweise auch eines einzelnen
Massenpunkts, m x V.
Jetzt ist aber die Geschwindigkeit nicht konstant.
Das wissen wir beim starren Körper.
Wir haben eine Überlagerung von Translation und Rotation.
Aufgrund dieser Rotation ist die Geschwindigkeit in jedem Punkt des
starren Körpers verschieden voneinander.
Also müssen wir sehen, wie wir das Ganze hier retten können.
Na ja, eine Möglichkeit wäre natürlich, ich setze einfach das Gesetz
für die Geschwindigkeit des starren Körpers ein, das wir in der
Kinematik kennengelernt haben, und integriere das Ganze auf.
Das ist aber viel zu kompliziert.
Es geht noch viel einfacher, wenn wir uns auf einen einzigen Punkt
beziehen, nämlich wenn wir uns auf den Massenmittelpunkt des starren
Körpers und alles für den Massenmittelpunkt des starren Körpers
ausrechnen.
Was war noch einmal dieser Massenmittelpunkt?
Das hatten wir im Kapitel Schwerpunkt, Massenmittelpunkt, Statik, ist
aber schon irre lange her.
Deswegen erläuter ich Ihnen das noch einmal ein bisschen.
Sie haben hier Ihren starren Körper.
Irgendwo haben Sie null, einen raumfesten Punkt, sich ausgewählt und
haben dort Ihr Koordinatensystem aufgepflanzt.
Sie wissen, irgendwo hier gibt es einen Schwerpunkt des Körpers.
Sie wissen aber nicht, wo er ist.
Und irgendwo haben Sie hier noch einen beliebigen anderen Punkt des
Körpers P. Wie ist der Schwerpunkt definiert?
Dieser Ortsvektor rs, wie bekomme ich den?
Nun, das funktioniert nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung sagt Ihnen, Sie haben eine
stetige Funktion, Sie wollen die von A nach B integrieren, und der
Mittelwertsatz sagt Ihnen, es gibt irgendwo eine Stelle innerhalb
dieser Funktion.
Dort müssen Sie nur den Funktionswert auswählen und mit der
Intervalllänge multiplizieren, und schon haben Sie Ihr Integral
berechnet.
Wunderbar, super einfach, ein typischer Mathematikertrick.
Aber Sie müssen natürlich wissen, wo dieser Punkt ist.
Wenn Sie das nicht wissen, haben Sie verloren.
Zum Glück können wir für ganz einfache Gebilde den Schwerpunkt
ausrechnen.
Beispielsweise bei einer Kugel wissen Sie, der Schwerpunkt ist in der
Mitte der Kugel.
Bei einem Dreieck wissen Sie auch, wo der Schwerpunkt liegt.
Sie wissen das auch für ein Quadrat oder für ein Rechteck.
Also, das geht ganz einfach.
Aber die mathematische Definition lautet, ich summiere hier oben alle
Ortsvektoren auf und teile das Ergebnis dann durch Rho dV, ich
summiere über das gesamte Volumen des Körpers.
Das bedeutet, im Zähler steht eine Aufsummierung von lauter kleinen
Masseelementen, gewichtet mit dem Abstand, in dem Fall von der Achse
0, von irgendeinem beliebigen raumfesten Punkt.
Im Nenner steht einfach nur, was dort aufsummiert wurde, nämlich die
ganzen Massenelemente.
Das heißt, hier steht im Nenner die Masse m, im Zähler steht das
Integral Rho r dV.
Damit weiß ich, das Integral Rho r dV ist gleich Rs mal m.
Was weiß ich noch?
Ich weiß, wenn ich mein Koordinatensystem so verschiebe, dass es
plötzlich hier liegt, also nennen wir das 0', der Ursprung meines
Koordinatensystems fällt mit dem Schwerpunkt des starren Körpers
zusammen, dann ist Rs gleich 0.
Klar, wir haben keinen Abstand des Schwerpunktes zu dem Ursprung des
Koordinatensystems, dieser Vektor Rs wäre in dem Fall 0.
Das heißt, für 0' wäre das Integral Rho mal r dV gleich 0.
Das ist schon alles, woran Sie sich wieder erinnern müssen, aus der
Statik, und das ist genau das zentrale Thema hier bei der Herleitung
der Bewegungsgleichungen für die Ebenebewegung des starren Körpers.
Schauen wir uns das einfach einmal für den Impuls an.
Also, wir haben I gleich Integral V Rho mal V dV.
Für die Geschwindigkeit aber können wir schreiben, das ist die
Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit.
Das ist einfach die Definition der Geschwindigkeit gewesen, wie ich
sie Ihnen am Anfang in der Kinematik vorgestellt habe.
Jetzt können wir uns überlegen, ob wir diese Zeitableitung eventuell
vor das Integral ziehen können.
Spricht etwas dagegen?
Na ja, dagegen würde höchstens sprechen, wenn die Dichte selbst
zeitabhängig wäre.
Das schließen wir auf.
Die Dichte unseres Körpers sei stets die gleiche.
Der Körper ändert seine Dichte nicht, ist also nicht fluidisch
irgendwie geartet oder gasförmig, sondern er ist richtig fest.
Aus festem Material ändert seine Dichte mit der Zeit nicht.
Dann können wir schon mal das Rho freundlich umschließen von dem d dt.
Und dann haben wir noch das Integral über das Volumen.
Auch das Volumen sei stets das gleiche, ändert sich also mit der Zeit
nicht.
Wir spalten nichts von unserem starren Körper ab, sondern er bleibt
der gleiche.
Und wenn wir das machen, dann können wir die zeitliche Integration aus
dem Integral heraushalten.
Dann haben wir also Rho mal RdV.
Und schwuppdiwupp steht genau das da, was wir hier bei der Bestimmung
des Massenmittelpunktes des Körpers brauchen.
Dieses Integral steht da.
Also ersetzen wir das Integral, da wir Integrale nicht so gerne mögen,
durch m mal Rs.
Jetzt habe ich praktisch aus dieser Schwierigkeit der Integration
eines gemacht.
Ich nehme einfach die Masse.
Dazu muss ich den Körper nur mal wiegen, auf die Waage stellen oder
das Ganze geometrisch berechnen.
Das geht ganz einfach.
Und ich nehme den Ortsvektor des Schwerpunktes.
Das geht auch immer dann ganz einfach, wenn Sie einfache geometrische
Gebilde haben, von denen Sie den Schwerpunkt wissen.
Und selbst für ganz komplizierte technische Gebilde, beispielsweise
für ihr Automobil, für Züge, für Omnibusse, für Flugzeuge, können
Ihnen die Systemingenieure ganz schnell sagen, wie groß die Masse ist
und wie groß der Schwerpunkt ist, ohne dass überhaupt ein Teil von dem
Ding gebaut wurde.
Die haben einfach ihre Kataloge.
Da steht drin, für jeden einzelnen Sitz, für jeden Teppich, für jeden
sonstigen Kabelkanal, den Sie ziehen, steht drin, was der wiegt, wo
der Schwerpunkt liegt.
Und mehr brauchen Sie nicht.
Dann können Sie schon die Masse und den Ortsvektor RS angeben.
Und mehr brauchen Sie nicht, um diesen Impuls auszurechnen.
Und damit helfen Sie Ihren Dynamiker-Kollegen natürlich unheimlich
weiter.
Also, was müssen wir jetzt noch machen?
Wir müssen die zeitliche Ableitung bilden und überlegen.
Die Masse des Körpers ist stets die gleiche.
Wir haben gesagt, es geht nichts verloren.
Also, m ist konstant.
Und wir haben nur die zeitliche Ableitung des Ortsvektors zum
Massenmittelpunkt zu betrachten.
Jetzt brauchen wir aber nicht den Impuls im Impulsgesetz, sondern wir
brauchen noch die Ableitung.
Kein Problem.
Wir leiten das Ganze noch einmal ab.
Wir bilden I-Punkt.
Das ist dann m, zweite Ableitung von RS dt².
Und das ist das, was ich Ihnen immer gesagt habe für den starren
Körper.
Das gilt f gleich m mal a, I-Punkt gleich f.
Genauso wie für den einzelnen Massenpunkt mit dem einen Unterschied.
Sie müssen den Ortsvektor zum Schwerpunkt des Körpers nehmen.
Sie brauchen hier diesen Index S.
Den dürfen Sie nicht vergessen.
Aber sonst gilt Newtons Formulierung f gleich m mal a, analog auch für
den starren Körper mit der einzelnen Einschränkung.
Es ist ein ganz besonderer Ortsvektor, den Sie nehmen, nämlich den
Ortsvektor zum Massenmittelpunkt.
Das heißt, Sie tun für die translatorische Bewegung, so für die
Bewegungsgleichung, als wäre die gesamte Masse des Körpers im
Schwerpunkt konzentriert, als würde er sich so verhalten wie ein
einzelner Massenpunkt, der, wo die gesamte Masse im Schwerpunkt
konzentriert ist.
Das gilt für die translatorische Bewegung.
Das heißt, wenn sich Ihr Körper nur translatorisch bewegen würde,
können Sie als Modell auch den Massenpunkt verwenden, und zwar den
Massenpunkt setzen Sie einfach in den Schwerpunkt rein und geben ihm
die Masse des gesamten starren Körpers.
Nun verhält sich leider nicht jeder starre Körper wie ein Massenpunkt.
Schon ein Fußball verhält sich nicht so wie ein Massenpunkt, sonst
könnten Sie ihn nicht mit Fe irgendwie über die Mauer lancieren, sonst
könnte er schließlich nur ganz geradlinig fliegen.
Also brauchen wir die Drehbewegung, die Rotation, also brauchen wir
wieder das Drallgesetz.
Das zeige ich Ihnen auf der nächsten Folie.
Sie sehen eine leere Folie, nicht viel los hier.
Wo liegt das Problem mit dem Drallgesetz?
Das Problem des Drallgesetzes ist folgendes.
Das Newtonsche Grundgesetz, i Punkt gleich f, f gleich m mal a, galt
in dieser Form ganz allgemein.
Wir haben dann gesehen, wir können es für den starren Körper so
anwenden, dass die Beschleunigung im Schwerpunkt gewählt werden muss.
Das Eulersche Gesetz, das Drallgesetz, hat hier immer diese Null drin
zu stehen.
Das ist nicht irgendwelche Zierde oder irgendein Mechanikerkonstrukt,
sondern das ist eine ganz wichtige Aussage.
Das Drallgesetz gilt nur für den raumfesten Punkt Null.
Der muss wirklich raumfest sein.
Das heißt, Sie müssen erst einmal einen Punkt im Raum hernehmen, den
fixieren und alles auf diesen Punkt im Raum beziehen.
Das ist aber schlecht, denn wir haben uns schon überlegt, unser Körper
bewegt sich ja irgendwie durch den Raum, und da müssten wir alles
immer auf diesen raumfesten Punkt beziehen.
Wir müssten also immer schauen, Körper, wo bist du gerade, wie sind
deine Koordinaten, und die ändern sich laufend.
Wir haben das schon gesehen bei der Drehbewegung um eine feste Achse.
Wir beziehen uns lieber auf körperfeste Koordinaten.
Das heißt, wir möchten eigentlich ganz gerne doch einen körperfesten
Punkt haben, auf den wir das Ganze beziehen.
Da haben wir nur eine Möglichkeit.
Wir überlegen uns, wie das Drallgesetz aussehen würde, wenn wir das
Ganze auf einen körperfesten Punkt umrechnen.
Welchen körperfesten Punkt haben wir da im Angebot?
Na ja, es gibt nur einen einzigen Punkt, der den starren Körper
wirklich auszeichnet.
Das haben wir schon bei dem Impulsgesetz gesehen.
Das ist sein Massenmittelpunkt.
Das heißt, wir werden versuchen, das Drallgesetz für den
Massenmittelpunkt zu formulieren.
Und das ist jetzt unsere Aufgabe.
Formulierung des Drallgesetzes für den Massenmittelpunkt des Körpers,
der natürlich kein raumfester Punkt ist, denn unser Körper bewegt sich
ja im Raum, und damit bewegt sich auch der Massenmittelpunkt des
Körpers durch den Raum.
Also, Formulierung des Drallgesetzes für den Massenmittelpunkt des
starren Körpers.
Also müssen wir zwei Sachen machen.
Wir müssen die linke Seite des Drallgesetzes umrechnen, den Drall, und
wir müssen die rechte Seite des Drallgesetzes umrechnen, den Moment.
Womit wollen Sie anfangen?
Was ist einfacher, den Moment umzurechnen?
Da müssen Sie sich nur an eine Aussage erinnern, die wir in der Statik
hatten.
Ganz am Anfang, technische Mechanik I, lange, lange her, die
sogenannte Momentenversetzungsgleichung.
Also, wir haben einen Moment bezogen auf einen Punkt.
Wie sieht das Moment in einem anderen Punkt aus?
Die Frage habe ich Ihnen beantwortet am Anfang der Statik.
Es ist lange her.
Klar, wenn Sie es nicht mehr wissen, blättern Sie in Ihren
Aufzeichnungen nach oder vertrauen mir einfach blind.
Die Momentenversetzungsgleichung lautete, Sie nehmen Ms, das Moment,
um den Schwerpunkt, und addieren noch etwas hinzu, nämlich den
Abstandsvektor rs, Vektorprodukt mit der Kraft F.
Also, F sind alle Ihre äußeren Kräfte.
Sie nehmen den Abstandsvektor rs, bilden das Vektorprodukt, und
dadurch unterscheiden sich M0 und Ms.
Damit haben wir die rechte Seite schon erschlagen.
Jetzt fehlt uns aber noch die linke Seite.
Da müssen wir uns jetzt etwas durchhangeln.
Wir müssen von L0 auf Ls kommen.
Was war L0?
Definitionsgemäß war das das Integral, das hatten wir beim letzten Mal
noch gesehen, Drall ist definiert, als Integral rho, Ortsvektor
multipliziert mit Geschwindigkeitsvektor.
r.dV.
Wenn Sie einen Körper mit konstanter Geschwindigkeit haben, dann
können Sie das als Masse-Ortsvektor mal Geschwindigkeitsvektor
schreiben.
Manche schreiben das dann auch gerne als Ortsvektor kreuz M mal V.
M mal V ist dann der Impuls.
R kreuz I.
Deswegen hat der Drall auch seinen Namen Drehimpuls.
Also der Impuls einfach noch einmal mit dem Ortsvektor multipliziert.
So würde das für den Massenpunkt aussehen.
So würde das für den starren Körper aussehen, der in jedem Punkt die
gleiche Geschwindigkeit hätte.
So.
Jetzt muss ich hier natürlich auch wieder den Ortsvektor zum
Massenmittelpunkt ins Spiel bringen.
Also, eine kleine Skizze.
Unser starrer Körper, irgendwo unser Punkt 0, hier meinetwegen der
Schwerpunkt S, hier irgendwo ein Punkt P, das ist der Ortsvektor R und
hier der Ortsvektor RS.
Statt über R kreuz R Punkt zu integrieren, setze ich einfach an R
gleich RS plus S.
Was ist dann dieser Vektor S?
Das ist das, was ich noch brauche, um von RS nach R zu kommen.
Also dieser Vektor hier.
Das wäre dieser rote Anteil.
Setzen wir den einfach ein.
Dann haben wir Integral über V.
Rho RS plus S kreuz RS Punkt plus S Punkt dV.
Und wir integrieren jetzt nur noch über diese kleinen Abstände S.
Das heißt, wir haben einen Wechsel des Koordinatensystems damit
durchgeführt.
Wir haben uns jetzt auf den Schwerpunkt S bezogen und nicht mehr auf
den ortsfesten Punkt O oder 0.
Das, was sich jetzt hier noch ändern kann, ist S und S Punkt.
RS ist einfach eine Konstante.
Das ist der Abstand zum Punkt S.
Also Sie können sich das so vorstellen, wir haben uns gebeamt von dem
Punkt 0 in den Schwerpunkt S und schauen jetzt, wie weit sind alle
anderen Punkte noch des starren Körpers von diesem Punkt S entfernt
und darüber integrieren wir jetzt.
Das heißt, wir können jetzt natürlich voll die Formulierungen
verwenden, die Sie auf der Folie da vorgesehen haben für den
Massenmittelpunkt.
Insbesondere ist das Integral Rho mal SdV gleich 0.
Also werden wir hier ausmultiplizieren und all unser Wissen über den
Massenmittelpunkt in die Integrale hineinstecken.
Da haben wir erst einmal das Integral Rho RS Kreuz RS Punkt dV plus
das Integral Rho RS Kreuz S Punkt dV plus das Integral Rho S Kreuz RS
Punkt dV
So, was wissen wir von den einzelnen Integralen?
Von dem ersten Integral wissen wir Folgendes.
Das ist eine Konstante.
Ortsvektor zum Schwerpunkt ist eine Konstante, hängt nicht vom Volumen
des starren Körpers, also von unserem Gebiet, über das wir
integrieren, irgendwie ab, kann also vor das Integral gezogen werden.
Das heißt, RS Punkt ziehen wir erst einmal raus.
Übrig bleibt das Integral V Rho dV.
Was ist das?
Das Integral der Dichte über das Volumen ist die Masse.
Also dort bleibt hier noch die Masse übrig, die Masse m.
Plus zweites Integral.
Wir können auch wieder RS vor das Integral ziehen, den konstanten
Ortsvektor, natürlich auch das Kreuzprodukt.
Übrig bleibt das Integral V Rho S Punkt dV.
Wir können wieder die Integration und die zeitliche Ableitung
vertauschen mit den gleichen Argumenten, die wir schon beim
Impulsgesetz gesehen haben.
Also es ändert sich das Volumen unseres Körpers nicht, und die Dichte
ist konstant.
Werfen wir also hier d nach dt raus aus der Integration, dann haben
Sie Rho mal S dV.
Rho mal S dV ist jetzt das sogenannte statische Flächenmoment, genau
das, was ich Ihnen auf der Seite vorgezeigt habe, was verschwindet.
Also das ist der Abstand zum Schwerpunkt jeweils aufsummiert.
Dieser Abstand ist, wenn wir uns auf den Schwerpunkt selbst beziehen,
gleich null.
Dieses Integral muss verschwinden.
Noch einmal eine Seite zurück.
Da sehen Sie es.
Diese Beziehung hier haben wir jetzt ausgenutzt.
Und wieder zurückblättern.
Das Ganze verschwindet.
Also zweiter Summand ist erledigt.
Dritter Summand.
Natürlich können wir auch RS ausklammern.
Das ist ein konstanter Vektor.
Es bleibt übrig das Integral über das Volumen.
Rho mal S dV kreuz RS.
Und dieses Integral verschwindet ebenfalls.
Gleiches Argument wie vorher.
Letztes Integral.
Können wir hier auch etwas ausklammern?
Nein, können wir nicht.
Aber was ist das, was dort steht?
S kreuz S punkt dV.
Das ist Weg mal vektoriell multipliziert Geschwindigkeit dV.
Das ist also ein Drehimpuls.
Aber welcher Drehimpuls?
Es ist nicht L0, sondern L bezogen auf den Schwerpunkt S.
Da haben wir ihn gefunden.
L bezogen auf den Schwerpunkt S.
Das heißt, unser Ergebnis ist RS kreuz RS Punkt.
Den Punkt sieht man hier nicht, der ist mal in den Pfeil
reingerutscht.
Aber glauben Sie mir, da war mal einer drauf.
Mal M plus LS.
Jetzt brauchen wir nicht den Drehimpuls, sondern wir brauchen die
Ableitung des Drehimpulses.
Also bilden wir auch noch die Ableitung von L0.
Ich umgehe mal hier diese Formel und schreibe jetzt hier hinten
weiter.
Also L Punkt 0 ist gleich L Punkt S plus Ortsvektor S kreuz Ortsvektor
S Punkt mal Masse.
Und das Ganze müssen wir jetzt noch nach der Zeit ableiten.
Bereitens überrascht, das, was hier in der Ecke steht, nach der Zeit
ab.
Wenn ich das hier nach der Zeit ableite, steht da die Geschwindigkeit
im Schwerpunkt.
Vektorprodukt mit dem Geschwindigkeitsvektor im Schwerpunkt ist
natürlich 0.
Vektorprodukt zweier gleicher Vektoren ist 0.
Also haben wir da nichts.
Zweiter Faktor abgeleitet gibt mir einfach die Beschleunigung im
Schwerpunkt.
Das heißt, da steht RS kreuz RS zwei Punkt mal Masse.
Was ist aber das hier?
RS zwei Punkt mal M.
Frage oder die Antwort?
F.
Ja, richtig.
F.
Kandidat hat 100 Punkte, super, mitgedacht.
Das ist F, das haben wir gerade im Impulsgesetz hergeleitet.
Also, hier steht die Kraft F.
Und jetzt schauen Sie sich an, was passiert, wenn ich das Ganze in die
Formulierung dort oben einsetze.
L Punkt 0 gleich M 0.
Ich ersetze auf der rechten Seite MS plus RS kreuz F.
Auf der linken Seite hier ersetze ich L 0 plus RS kreuz F.
RS kreuz F, der Summan kippt sich heraus und wir sehen, das Dreigesetz
gilt auch für den Massenmittelpunkt.
Wunderbar, es war eine riesige Rechnung, die war aber notwendig, denn
glauben Sie nicht, dass Sie das mit jedem beliebigen Punkt des starren
Körpers machen können.
Der macht da nicht mit.
Für jeden beliebigen Punkt des starren Körpers gilt das Dreigesetz in
der Form dort oben nicht, sondern nur für den Massenmittelpunkt.
Also daraus folgt L Punkt S gleich MS und wir sind gerettet.
Wir können genauso weiterrechnen wie mit der festen Drehachse.
Alles, was Sie für die feste Drehachse gelernt haben in der letzten
Vorlesung, können Sie genauso auf die allgemeine Ebene Bewegung des
starren Körpers anwenden.
Newton sei Dank, der hat uns hier gerettet und noch die momentan
Versetzungsgleichung und einige Integralumformereien.
Und Sie sehen jetzt, wie wichtig der Massenmittelpunkt, der
Schwerpunkt des starren Körpers ist.
Der spielt hier die dominante Rolle, ohne den Schwerpunkt ginge gar
nichts.
Also Sie müssen sowohl das Newton'sche Grundgesetz auf den Schwerpunkt
beziehen und Sie müssen auch das Dreigesetz auf den Schwerpunkt
beziehen.
Dann fahren Sie richtig.
Keinesfalls dürfen Sie einen x-beliebigen Punkt des starren Körpers
verwenden.
Nachdem wir uns jetzt durch die Theorie gekämpft haben, müssen wir das
Ganze nur noch zusammenfassen und uns überlegen, wie wir D'Alembert
und die kinetische Energie formulieren und das Ganze einmal an so ein
paar kleinen Beispielen etwas üben.
Ach, da wollte ich noch eine Seite mehr brauchen.
Brauchen wir schon nicht mehr.
Also, Prinzip von D'Alembert, Formulierung nach D'Alembert.
Was machen wir?
Erstens.
Wir wollen nicht schreiben f gleich m mal a, sondern wir schreiben f
plus Trägheitskräfte gleich 0.
Was sind unsere Trägheitskräfte für den starren Körper?
Das ist einfach minus m mal Beschleunigungsvektor, aber bitte im
Schwerpunkt s.
Also den Index s bitte nie vergessen, der ist ganz wichtig.
Zweitens brauchen Sie für den starren Körper noch etwas.
Das Moment im Schwerpunkt, hier geht leider manchmal noch die
Formulierung durcheinander, also der Index s ist hier nach unten
gerückt, soll aber das gleiche bedeuten, Moment einfach im Schwerpunkt
gebildet.
mt, s ist das Trägheitsmoment, das Trägheitsmoment ist minus,
Massenträgheitsmoment, bezogen auf die Achse durch den Schwerpunkt,
mal alpha, alpha ist gleich V2-Punkt, Sie dürfen da auch hinschreiben,
js mal V2-Punkt, müssen da nicht erst so ein alpha noch schreiben.
Alpha, die Winkelbeschleunigung.
Jetzt schauen Sie sich das nochmal ganz in Ruhe an.
Wir haben es mit einer ebenen Bewegung zu tun.
Wie viele Gleichungen stehen hier?
Links stehen zwei Gleichungen für die Kräfte, für die translatorische
Bewegung in der Ebene.
Rechts steht eine einzige Momentbilanz für das Moment, das Ihnen
entgegenkommt.
Die Achse, um die das Moment dreht, springt Ihnen aus Ihrem Blatt
entgegen.
Die Drehachse, auf die wir das js beziehen, verläuft durch den
Schwerpunkt und kommt Ihnen aus Ihrem Blatt entgegen.
Das ist die Momentformulierung.
Also drei Gleichungen, so wie wir das in der Ebenenstatik auch hatten.
Drei Gleichungen, drei Unbekannte können Sie haben, also
beispielsweise Beschleunigung in x-Richtung, Beschleunigung in y
-Richtung und Winkelbeschleunigung in y-Richtung können Sie damit
jetzt ausrechnen.
Nun wollen wir das auch machen.
Und zwar wollen wir das an dem prominentesten Beispiel machen, das es
da eigentlich gibt.
Also wir wollen jetzt unser Fahrrad fahren lassen.
Wir wollen unser Rad fahren lassen.
Das, was wir dazu brauchen, als erstes ist eine schiefe Ebene.
Wir sind ja faul, wir wollen nicht etwa treten, sondern wir lassen
unseren Rad, unseren Reifen einfach die schiefe Ebene hinunterrollen.
Jetzt hat der Zeichner etwas gemacht, was Sie niemals machen dürfen.
Er hat Ihnen hier nicht das Problem skizziert, sondern er hat
Aufgabenstellung und Freischnitt schon vermengt.
Ich skizziere Ihnen noch einmal das Problem.
So ist das, wenn man fortgeschrittene Semester daran lässt.
Die können dann die elementaren Dinge, die sie einmal gelernt haben,
auch nicht mehr.
Also das ist die Aufgabenstellung.
Ups, der Reifen hat sich hier etwas deformiert.
Also reiß runter, Reifen, auf schiefer Ebene.
Die schiefe Ebene hat meinetwegen den Winkel Alpha hier.
Das Ding hat die Masse M und JA.
Dann müssen Sie noch einen Vektor Pfeil G für die
Erdgravitationsfeldstärke angeben.
Mehr brauchen Sie nicht.
Wenn der Aufgabensteller nett ist, gibt er Ihnen noch die Koordinaten
an.
Oder wenn er verhindern will, dass Studenten unterschiedliche
Koordinaten verwenden, trägt er noch X und Phi an.
Das wäre die Aufgabenstellung.
Der Freischnitt sieht dann so aus, dass Sie das Rad von der Unterlage
trennen.
Und dann müssen Sie natürlich die Unterlage entfernen.
Das heißt, das, was hier in der Skizze verkehrt ist, ist, dass hier
die Unterlage noch einmal gezeichnet wurde.
Das ist Unfug.
Denn wir haben ja gerade das Rad von der Unterlage freigeschnitten.
Und als Ergebnis dieses Freischnittes erhalten wir natürlich die
Reaktionskräfte, die inneren Kräfte, die wir jetzt sichtbar machen, R
und N, zwischen Rad und Unterlage.
Und davon haben wir zwei Stück, nämlich eine Normalkraft.
Das Rad wird nach unten gedrückt durch seine eigene Gewichtskraft und
erfordert daher eine Reaktion der Ebene.
Sonst würde das Rad einfach im Boden versinken, in der Ebene
versinken.
Wenn die aus Sand wäre, würde das Rad hier eindringen.
Das passiert nicht, also ist hier eine Kraft N erforderlich.
Und es kann natürlich durchaus eine Reibkraft oder Haftkraft geben.
Wie ist das in dem Fall, Reiben oder Haften?
Nun, wir sagen reines Rollen.
Reines Rollen heißt momentanes Haften im Radaufstandspunkt.
Wir wissen, in diesem Punkt hier befindet sich unser Momentanpool.
In diesem Punkt herrscht Geschwindigkeit gleich Null, momentan
jedenfalls.
Und damit haben wir hier eine Haftkraft.
Sollte man eigentlich nicht mit R bezeichnen, sondern mit H.
Also, Sie sehen, da hat wirklich der Aufgabensteller die ganze Arbeit
geleistet.
Wenn wir jetzt das Prinzip von d'Alembert verwenden wollen, müssen wir
in diesen Freischnitt noch die Trägheitskräfte eintragen.
Und Sie sehen, das ist hier passiert.
Trägheitskräfte heißt in translatorischer Richtung, wir müssen uns den
Schwerpunkt hernehmen.
Und wir müssen hier m x 2.
s entgegengesetzt zu der Koordinate x antragen.
x, x Punkt, x 2 Punkt zeigt positiv nach unten.
Also m x 2.
s nach rechts zeigend, entgegengesetzt zur Koordinate.
Dann haben wir noch nicht nur eine Trägheitskraft, sondern das
Trägheitsmoment.
phi, der Winkel, soll in diese Richtung positiv abgetragen werden.
phi Punkt, phi 2 Punkt dann ebenfalls positiv in diese Richtung.
Js phi 2 Punkt dreht also genau entgegengesetzt.
Und dann haben Sie letztlich auch noch die Gewichtskraft, die Sie
einzeichnen müssen.
Und dann haben Sie den kompletten Freischnitt.
So, jetzt können Sie genau wie in der Statik drei
Gleichgewichtsbedingungen formulieren, wenn Sie das Prinzip von d
'Alembert verfolgen.
Also der einzige Unterschied zur Statik ist bisher gewesen, Sie haben
die Trägheitskräfte und Trägheitsmomente eingezeichnet, und zwar
entgegengesetzt, eingezeichnet zu den Koordinaten.
Sonst haben Sie einen Freischnitt gemacht, wie in der Statik auch.
Jetzt formulieren Sie, wie in der Statik auch, die
Gleichgewichtsbedingungen.
Also, was haben wir dort?
Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung.
Haben wir G mal Sinusalpha minus R minus MX2 Punkt S gleich Null.
Was haben wir in vertikaler Richtung?
Nennen wir die meinetwegen Y.
In vertikaler Richtung machen wir keine Beschleunigung, da wird ja das
Rad geführt auf der Ebene.
Haben wir also einmal die Normalkraft N und zum anderen
entgegengesetzt wirken die Gewichtskraft mit ihrem Cosinusalpha
-Anteil.
Also, denken Sie daran, hier haben Sie den Winkel Alpha nochmal.
Dann zerlegen Ihre Gewichtskraft in einen Anteil senkrecht zur Ebene
und einen Anteil, der das Rad die Ebene hinabzieht, G Sinusalpha und G
Cosinusalpha.
Jetzt brauchen wir noch die Momentenbilanz.
Um welchen Punkt formulieren wir die Momentenbilanz?
Das machen Sie in der Dynamik eigentlich in fast allen Fällen so, um
den Schwerpunkt, selten mal um einen Auflagerpunkt.
Denn Js V 2 Punkt ist das Dreikreismoment bezogen auf den Schwerpunkt.
Deshalb empfiehlt sich immer oder in vielen Fällen das
Momentengleichgewicht, um diesen Schwerpunkt zu formulieren.
Sonst müssten Sie Js V 2 Punkt natürlich noch umrechnen, denn es
bezieht sich auf S.
Also, Js V 2 Punkt ist negativ.
Was haben wir noch?
R haben wir noch mit dem Hebelarm A.
A ist hier der Radius.
Warum der nicht R heißt, fragen Sie mich bitte nicht.
Hier in der Aufgabenstellung ist jetzt ein bisschen was
durcheinandergegangen.
Im Freischnitt heißt es Js, in der Aufgabenstellung J A.
Das soll einfach ein S sein und ist Ihnen vorgegeben.
Aber Sie können für eine Kreisscheibe das Js natürlich ausrechnen.
Ich habe Ihnen die Formel angegeben.
Kein Problem.
Frage?
Ja, richtig, ein Vorzeichenfehler.
Das hantieren schon einige kräftig.
Da muss ein Plus sein.
Gut aufgepasst.
Haben wir denn jetzt drei Gleichungen mit drei Unbekannten?
Dann ziehen wir sie einmal durch.
Unsere Bewegung, das, was uns interessiert, ist charakterisiert durch
die Beschleunigung der translatorischen Bewegung X2.S und V2.
Y2.
tritt gar nicht auf.
Na wunderbar, da haben wir schon einmal eine Beschleunigungsgröße
weniger.
Also, zwei kinematische Größen.
Und wie viele Kraftgrößen haben wir?
Die unbekannt sind?
Na, die Normalkraft.
Und R.
Ärgerlich.
Vier Unbekannte, aber nur drei Gleichungen.
Und das ist der Unterschied zur Statik.
In der Statik wären Sie jetzt aufgeschmissen.
Vier unbekannte, drei Gleichungen, das können Sie in der Statik nicht
lösen.
Welche Möglichkeiten haben Sie jetzt in der Dynamik, die Sie in der
Statik nicht hatten?
Sie haben den ganzen Schatz der Kinematik zur Verfügung.
Und die Kinematik sagt Ihnen, Haften, das heißt reines Rollen, hier
ist die Geschwindigkeit gleich null.
Und mit der berühmten Euler'schen Formel können Sie jetzt einen
Zusammenhang aufstellen zwischen V, Punkt der Winkelgeschwindigkeit,
und X, Punkt der translatorischen Geschwindigkeit.
Die sind keineswegs unabhängig voneinander.
Sondern, wie sieht Ihr Geschwindigkeitsprofil aus?
Hier ist die Geschwindigkeit null.
Hier haben Sie linear ansteigend die Geschwindigkeit bis zu dem Wert
X, Punkt S.
Und es gilt, X, Punkt S gleich Abstand mal A mal V, Punkt.
Das heißt, die Steigung dieser Geraden, des linearen Verlaufs der
Geschwindigkeit, ist gerade gegeben durch V, Punkt.
Das heißt, X, 2, Punkt S gleich A, V, 2, Punkt.
Und mit dieser Kinematik haben Sie vier Gleichungen mit vier
Unbekannten, und das Problem ist wunderbar lösbar.
Also, wir können beispielsweise das V, 2, Punkt jetzt eliminieren.
Können hier ausnutzen, also Auflösung.
Naja, das können Sie jetzt alles ja selbst rechnen, da ist nicht mehr
viel zu machen.
Sie rechnen N gleich G, Cosinus, Alpha.
Dann haben Sie die eine Gleichung, N, ausgerechnet.
Haben in der Momentenbilanz, eliminieren Sie das V, 2, Punkt.
Also haben Sie dazu stehen, minus JS mal X, 2, Punkt S durch A, plus A
mal R gleich 0.
Und haben als weitere Gleichung G mal Sinus Alpha minus R minus MX, 2,
Punkt S gleich 0.
Also stellen Sie das hier meinetwegen nach R frei.
Dann haben Sie R gleich JS, X, 2, Punkt S durch A, Quadrat.
Setzen das Ganze ein in die erste Gleichung, in ihr
Kräftegleichgewicht in X-Richtung und erhalten als Bewegungsgleichung
für X, 2, Punkt S.
X, 2, Punkt S, JS plus M mal A Quadrat, also alles mit A Quadrat
durchmultipliziert, gleich G mal Sinus Alpha mal A Quadrat.
Was lesen Sie an der Gleichung ab?
Sie lesen ab, dass Ihre translatorische Beschleunigung konstant ist,
denn hier steht etwas, was nicht von der Zeit abhängt, es sei denn,
Sie wollen den Winkel der schiefen Ebene ändern.
Hier steht eine konstante Gewichtskraft ist konstant und hier stehen
ebenfalls konstante Massengrößen, also konstante Beschleunigung.
Sie können zweimal aufintegrieren, müssen dann Anfangsbedingungen
einsetzen und Sie sehen auch die translatorische Geschwindigkeit Ihres
Rades auf schiefer Ebene hat diesen berühmten parabelförmigen Verlauf.
Wenn Sie zweimal aufintegrieren, sehen Sie die Bewegungskoordinate
selbst.
XS von T hat diesen parabelförmigen Verlauf in Abhängigkeit von der
Zeit, wie Sie das Ganze schon vom schiefen Wurf kennen.
Auch nichts Neues hier.
Aber das Ganze gilt nur unter einer einzigen Bedingung, nämlich unter
der Bedingung des reinen Rollens.
Was heißt reines Rollen?
Das heißt, dass dieser Punkt hier momentan haftet.
Und das macht er nicht immer.
Das macht er nur dann, wenn Sie eine konstante µ0 vorgeben können,
sodass R, die Haftkraft, kleiner gleich µ0 mal n ist.
Was bedeutet das?
Nun, das bedeutet, wenn Sie für R und n das einsetzen, was Sie
ausgerechnet haben, Bedingung,
Jetzt können Sie für X2.S einsetzen.
Und Sie werden es mir nicht glauben.
Hier kommt, wenn Sie das Ganze einsetzen, raus
Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist,
gilt reines Rollen.
Nun hat der Herrgott aber nicht alle schiefen Ebenen so gesteigert,
dass diese Bedingung erfüllt ist.
Also, warum sollte der Tangensalpha immer kleiner gleich 3 µ0 sein?
Es könnte ja sein, dass hier mal Regenwolken aufziehen.
Dicke Tropfen fallen aus diesen Regenwolken und ändern ihr µ0.
Nasse Fahrbahn, Sie wissen alle, auf nasser Fahrbahn haftet es sich
nicht so gut wie auf trockener Fahrbahn.
Also, es kann sich nicht nur der Winkel Alpha ändern, sondern Sie
können den Turmberg einmal bei trockenen Bedingungen, einmal bei
nassen Bedingungen runterfahren.
Es kann sich auch Ihr Haftreibkoeffizient µ0 ändern.
Dann haben Sie schlechte Karten.
Dann gilt reines Rollen offenbar nicht mehr.
Was heißt das, wenn reines Rollen nicht mehr gilt?
Es heißt, Sie fangen an zu rutschen, Sie verlieren Ihre Kinematik.
Diese Gleichung hier gilt nicht mehr.
Sie wissen nicht mehr, dass in diesem Punkt die Geschwindigkeit 0 ist,
sondern Sie rutschen munter Ihren Hand hinunter, Sie haben dort
irgendeine Geschwindigkeit.
Und wie groß die ist, weiß kein Mensch.
Wie sieht Ihr Geschwindigkeitsprofil dann aus?
Na ja, Sie rutschen den Hang runter und nicht rauf.
Das hat noch keiner beobachtet, dass die Straße so nass wird, dass die
Leute den Hang raufrutschen.
Also, Ihr Geschwindigkeitsprofil sieht irgendwie so aus.
Sie haben hier unten eine positive Geschwindigkeit, und hier irgendwo
ist der Momentanpol, und Sie wissen nicht, wo er ist.
Der hat sich also verbrochen, verkrümelt.
Sie wissen nicht, wo der Momentanpol ist.
Schreckliche Situation.
Sie bleiben mit drei Gleichungen und vier Unbekannten auf der Stelle
liegen, rutschen Sie den Hang runter.
Was machen Sie?
Sie machen immer das, wenn man nicht mehr weiter weiß, was man machen
soll.
Sie machen ein Experiment und stellen fest, Aha, für das Haften können
Sie eine empirische Beziehung finden.
Leider nur empirisch.
Sie machen Experimente und stellen fest, es gibt einen Zusammenhang
zwischen der Reibkraft, also diesem R, und der Normalkraft, und die
sind proportional zueinander.
Also, Sie machen einfache Versuche, brechen Ihre Versuche nach dem
linearen Term ab und sagen, das passt aber wunderbar.
Es passt tatsächlich im Experiment wunderbar.
r gleich µ mal n, µ ist jetzt der Reibballwert, nicht zu verwechseln
mit µ0, dem Haftballwert.
Die beiden können gleich groß sein, müssen es aber nicht.
Im Allgemeinen kann dieser Reibquotient µ ein anderer sein als das µ0.
Den müssen Sie experimentell bestimmen.
Und dann haben Sie wieder vier Gleichungen mit vier Unbekannten.
Also, es geht in diesem Fall nicht ohne das Experiment.
Und diese Kraftgleichung ersetzt jetzt die vierte Kinematik, die Sie
nicht mehr aufstellen können, für den Fall des gleitenden Rollens.
Weil das Ganze so wichtig ist, habe ich es Ihnen auf der nächsten
Seite nochmal dargestellt, und zwar für einen etwas anderen Fall.
Sie fahren ja nicht immer eine schiefe Ebene runter, sondern meistens
fahren Sie auf einer ebenen Fahrbahn und müssen dann ein
Antriebsmoment aufbringen.
Das ist der übliche Fall.
Beispielsweise bei einem Fahrrad.
Sie müssen ordentlich strampeln, um ein Antriebsmoment aufzubringen.
Oder beim Auto.
Sie müssen den Motor entsprechend anwerfen, um ein Antriebsmoment
aufzubringen.
Hier sehen Sie dieses Beispiel.
Angetriebenes rollendes Rad.
Was ist hier dargestellt?
Hier sind zwei Fälle dargestellt.
Sie müssen das Ganze so lesen, dass Sie hier vor Ihrem geistigen Auge
einen Strich ziehen.
Dann sehen Sie links den Fall für das Reinrollen.
Da ich das Ganze aus einem Buch kopiert habe, sind die Bezeichnungen
hier etwas anders.
C, Center of Mass, ist S bei uns.
Schwerpunkt V ist dann Vs.
Hier auch ein S, aber so ergeht Ihnen das auch, wenn Sie einfach mal
in Lehrbücher reinschauen.
Is, Ic ist jetzt Js.
Haben wir sonst noch irgendwas?
M ist natürlich auch Ms. Das Antriebsmoment, Ms. Unsere Kräfte heißen
jetzt hier im Freischnitt Ft und Fn.
Sie sehen, wenn Sie das in so einem Lehrbuch nachschauen, die Leute
beherrschen tatsächlich saubere Freischnitte.
Die zeichnen Ihnen da oben die Aufgabenstellung hin und da unten ganz
sauber den Freischnitt mit allen Kräften.
Also, lehrbuchmäßig richtig.
So schaut das aus.
Ist allerdings nur gültig für Ft kleiner gleich µ0 mal Fn.
Da ist jetzt aber dem guten Mann ein Fehler passiert.
Das wäre ja wohl Quatsch.
Also, jetzt habe ich ihn zu sehr gelobt, da muss Fn hin.
Betrag von Ft kleiner gleich µ0 mal Fn.
So.
Das bedeutet für Ihr Antriebsmoment, Sie können ausrechnen, so wie wir
gesagt haben vorher, der Winkel der schiefen Ebene ist begrenzt,
können Sie jetzt eine Begrenzung für Ihr Antriebsmoment ausrechnen.
Das heißt, wenn Sie ein größeres Antriebsmoment auf die Straße bringen
wollen, dann rutschen Sie weg.
Wo passiert Ihnen das?
Beispielsweise beim Kavalierstart.
Also, Sie legen an der Ampel gleich den zweiten Gang ein, geben
ordentlich Gas und Ihr Reifen fängt an zu qualmen und rutscht Ihnen
weg.
Dann haben Sie genau diese Bedingung hier verletzt.
Also, können Sie beim nächsten Mal erklären, keine Panik, es war nur
Ft größer als µ0 Fn.
Sonst ist nichts passiert.
Dann sind Sie also in diesem Fall.
Sie können auch sagen, keine Panik, mein Momentanpol hat sich nur
gerade ein Stück nach oben verschoben.
Also, das ist der Fall des durchdrehenden Rades.
Also, Sie haben hier Gleiten.
Hier liegt nicht etwa der Momentanpol, sondern er ist ein Stück nach
oben gerutscht.
Hier haben Sie den Freischnitt.
Und Sie müssen das Ganze ergänzen durch eine empirische Beziehung, die
Ihnen jetzt hier angegeben ist.
Letzte Bemerkung, wie sieht das jetzt in der Realität aus?
Bei Ihrem Autoreifen, Fahrradreifen, was auch immer, der einzige
Unterschied zu dem, was wir hier haben, ist, Sie haben nicht diesen
punktförmigen Kontakt, sondern in der Regel haben Sie einen flächigen
Kontakt.
So beim Fahrrad, wenn Sie einen wunderbaren Platten haben, dann haben
Sie einen sehr großen flächigen Kontakt.
Wenn Sie das Fahrrad gut aufgepumpt haben, haben Sie auch noch einen
flächigen Kontakt.
Aber die Kontaktfläche ist entsprechend kleiner und nähert sich im
Idealfall dem punktförmigen Kontakt, den wir hier nur untersucht
haben, an.
Flächige Kontakte können wir hier nicht rechnen.
Das ist wesentlich komplizierter.
Im flächigen Kontakt sieht das Ganze so aus.
Also Sie haben, wenn Sie von oben rauf schauen, so eine irgendwie
ovale Kontaktfläche.
Am Anfang, hier, laufen Sie erst einmal ein, haben Sie ein Haftgebiet.
Dort haben Sie Haften.
Und hier haben Sie Gleiten.
Das heißt, Haften und Gleiten koexistieren friedlich nebeneinander in
der Kontaktfläche Ihres Autoreifens.
Sie haben sowohl Haften als auch Gleiten.
Sie können dann auf relativ komplizierte Weise Geschwindigkeitsprofile
ausrechnen.
Das heißt, Sie können dann auch sich überlegen, wo ist Ihr Momentanpol
hingewandert, und können dieses Gleichungssystem schließen.
Aber Sie müssen hier praktisch einen größeren Aufwand treiben als mit
diesen idealen punktförmigen Modellen.
Also, langer Rede kurzer Sinn, die punktförmigen Modelle sind
idealisierte Modelle.
Die einzigen, die uns hier zugänglich sind, beschreiben die
Wirklichkeit recht gut, aber für manche Probleme nicht genau genug.
Also beispielsweise, wenn Sie Untersuchungen bezüglich Akustik Ihres
Reifens anstellen wollen, dann werden Sie solche Kontaktmodelle
brauchen.
Wenn Sie beispielsweise Kraft-Schlupf-Diagramme erstellen wollen.
Wie wollen Sie das erstellen?
Beispielsweise Sie wollen ein Antiblockiersystem entwickeln.
Was wollen Sie dann machen?
Dann wollen Sie möglichst diesen Gleitbereich ein bisschen
zurückdrängen.
Also, wenn sich der Gleitbereich über die ganze Ebene ausdehnt, ist es
schlecht.
Dann haben Sie komplettes Gleiten.
Dann können Sie nicht mehr Ihre Kraft ungewohnterweise auf die
Fahrbahn bringen.
Dann wird Ihr Auto unter Umständen manövrierfähig.
Also wollen Sie das Gleiten etwas zurückdrängen zugunsten des Haftens.
Und genau das macht Ihr Antiblockiersystem.
Also, für fortgeschrittene technische Entwicklungen reicht Ihnen das,
was Sie je in der TM3 gelernt haben, noch nicht aus.
Aber es ist der erste Baustein auf dem Weg dahin.
Und viele Probleme lassen sich so wunderbar idealisieren.
So viel dazu.
Zweites Beispiel.
Mitten aus dem Leben gegriffen.
Sie stellen eine Leiter schräg an die Wand, und die Leiter rutscht
Ihnen weg.
Das ist Ihnen schon einmal passiert.
Jetzt wollen wir das Ganze noch untersuchen.
Also, was haben wir hier?
Auch hier hat Ihnen ein lieber Mensch schon den Freischnitt
hingezeichnet.
Sie haben hier, schräg zu stehen, die Leiter.
Die Leiter hat ein Eigengewicht.
Gewichtskraft G.
Die Leiter rutscht.
Also haben wir zwei translatorische Bewegungen.
MX2.S und MY2.S.
Wir tragen die Trägheitskräfte entgegen der Koordinatenrichtung an.
Schauen Sie, das ist die X-Richtung.
Das ist MX2.
Wir tragen das Ganze im Schwerpunkt an.
MY2.
nach unten.
Koordinatenrichtung geht nach oben.
Und wir haben auch noch eine Drehbewegung, die die Leiter vollführen
kann.
Also die kann auch noch so hier sich drehen.
Also nehmen wir den Stab.
Wenn der hier abrutscht, sehen Sie, der dreht sich auch noch weg.
Der Winkel bleibt ja schließlich hier nicht der gleiche.
Also brauchen wir für die Drehbewegung noch J.S.
Bezogen auf den Schwerpunkt.
PHI2.
entgegengesetzt zur Drehrichtung, die wir hier im XY-Koordinatensystem
haben.
Entgegengesetzt zum Winkel PHI.
Sie sehen, der Winkel PHI dreht so rum.
Mathematisch positiv.
J.S.
PHI2.
dreht im Uhrzeigersinn.
Also mathematisch negativ.
So.
Dann haben wir schon die Gewichtskraft gehabt.
Und wir brauchen noch die Reibkräfte.
Dort, wo irgendwann einmal die Wand war.
Also hier müssen Sie sich vorstellen, ist die eine Wand, dort wäre der
Boden.
Wenn wir das freischneiden, haben wir hier schon gemacht, Wand und
Boden abschneiden, bleiben Ihnen übrig die Reibkräfte und die
Normalkräfte.
Hier sehen Sie schon, Gleitreibung wurde verwendet.
Jetzt habe ich da natürlich so blöd reingezeichnet, dass Sie kaum mehr
etwas sehen können.
RA ist gleich µA mal A.
Und RB ist gleich µB mal B.
Und A und B sind die Normalkräfte.
Jeweils in den Punkten A und B, an denen sich die Leiter noch an der
Wand abstützt.
Also, das war der erste Streich.
Sie müssen den Freischnitt sauber hinbekommen.
Der zweite Streich ist dann wie in der Statik.
Sie müssen einfach nur Kräfte und Momentengleichgewicht formulieren.
Also, Summe aller Kräfte in x-Richtung gleich 0.
Was haben wir da in x-Richtung?
Wir haben erst einmal –mx2.s.
Dann haben wir eine Reibkraft µB mal B.
Und wir haben eine Normalkraft, nämlich A.
Plus A gleich 0.
In y-Richtung haben wir –my2.s minus G plus B plus µA mal A.
So.
Und dann noch das Momentengleichgewicht um den Schwerpunkt S.
Da haben wir –Js2.
Die ganzen Trägheitskräfte gehen zum Glück durch den Schwerpunkt
durch.
Deswegen spielen die dort keine Rolle.
Gewichtskraft spielt auch keine Rolle.
Die einzigen Vertreter, die noch eine Rolle spielen, sind hier die
Kräfte an den Auflagepunkten.
Also –µB mal B dreht schließlich genau in die gleiche Richtung wie
Js2.
Was ist der Hebelarm?
Diese Länge hier ist L halbe.
Der Winkel hier ist wie der Vieh.
Das ist der gleiche Winkel wie dort oben an der Ecke.
Das hat sich nicht geändert.
Also ist der Hebelarm für µB mal B Cosinus von Vieh an L halbe.
L halbe Cosinus mal Vieh.
Dann haben wir noch die Kraft B.
Dreht positiv mit dem Hebelarm L halbe Sinus Vieh.
Und an der anderen Lagerposition haben wir µA mal A.
Das dreht negativ.
Hebelarm ist wieder der Sinus.
Und als letztes haben wir noch A.
Dreht ebenfalls negativ.
Hebelarm ist der Cosinus Vieh.
L halbe Cosinus Vieh.
Also, eigentlich funktioniert es bis dahin genau wie in der Statik.
Sie müssen nur die Trägheitskräfte und das Trägheitsmoment einzeichnen
in den Freischritt und natürlich auch in Ihren Bewegungsgleichungen,
in Ihren Gleichgewichtsbedingungen mit berücksichtigen.
Und jetzt wollen wir mal wieder unbekannte Zählen.
Also, XS, YS, Vieh sind unbekannt.
A und B sind unbekannt.
µA und µB haben wir einmal gemessen.
Die Reibkoeffizienten haben wir bestimmt.
Also, drei Gleichungen mit insgesamt fünf Unbekannten.
Wie bekommen wir daraus fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten?
Wir müssen wieder die Kinematik berücksichtigen.
Kinematik.
Nun, wie sieht die Kinematik aus?
Schauen Sie sich das an.
Stellen Sie sich vor, der Stab rutscht hier so weg.
Dann ändert sich der Winkel Vieh.
Aber wenn sich der Winkel Vieh ändert, ändert sich auch die Koordinate
Ihres Massenmittelpunktes.
Das heißt, es besteht ein Zusammenhang zwischen dem Winkel Vieh und
der Lage Ihres Massenmittelpunktes.
Diesen Zusammenhang können wir natürlich ganz leicht angeben.
Das ist genauso leicht, wie einen Hebelarm zu bestimmen für die Kräfte
A und B.
xs ist doch einfach nur Länge L halbe mal Sinus Vieh.
ys ist nichts anderes als L halbe mal Cosinus Vieh.
Jetzt leiten wir das Ganze noch zweimal ab.
Dann haben wir Beziehungen für die Beschleunigung und können die
Beschleunigungen x2.s und y2.s in den obigen Gleichungen eliminieren.
Mehr ist es nicht.
Also x2.s.
Ich zeige Ihnen das nur, damit Sie nicht vergessen, die innere
Ableitung mitzunehmen.
Viehpunkt, Ableitung vom Sinus ist der Cosinus.
ys.
gleich minus L halbe Viehpunkt Sinus Vieh.
Denken Sie bitte immer an das Viehpunkt, an die innere Ableitung
dabei.
Vieh selbst ist eine Funktion der Zeit.
Sie müssen also Viehpunkt berücksichtigen.
x2.s ist gleich minus L halbe Viehpunkt Sinus Vieh.
Quadrat, Viehpunkt.
Plus L halbe Vieh zwei Punkt Cosinus Vieh.
y2.
ist minus plus L halbe Ableitung vom Sinus ist Cosinus Vieh.
Viehpunkt Quadrat Cosinus Vieh.
Plus L halbe Vieh zwei Punkt Sinus Vieh.
Diese beiden Gleichungen setzen Sie jetzt in das Kräftegleichgewicht
ein.
Eliminieren damit x2.s und y2.
und stellen nach den beiden Lagerreaktionen A und B frei.
Eigentlich brauchen Sie sogar nur das B für die Gleichung hier unten.
Setzen das B hier unten rein und erhalten eine Gleichung für Vieh zwei
Punkt.
Und Sie sehen schon, die Gleichung ist hoffnungslos nicht linear.
Warum?
Weil der Winkelvieh immer in trigonometrischen Funktionen Cosinus-Vieh
-Sinus -Vieh auftritt.
Sie können linearisieren, das ist die eine Möglichkeit, um dann auf
eine lineare Differenzialgleichung im Vieh zu kommen.
Wir können aber noch einen anderen Sonderfall berücksichtigen.
Nämlich, wir betrachten den Sonderfall, dass die beiden Reitballwerte
µA und µB Null sind.
Nun werden Sie sagen, die sind aber gar nicht Null.
Und da haben Sie natürlich recht, die sind auch nicht Null, aber sie
sind in der Regel sehr klein.
Also solche Reitballwerte sind 0,1, 0,2, 0,3 in der Größenordnung.
Also die sind schon recht klein.
Das heißt, wir können doch vielleicht diese Thermik übernachlässigen
gegenüber den eigentlichen Normalkräften A und B.
Da ist es ja nur ein Bruchteil dieser Normalkräfte.
Also lassen wir die einfach mal beiseite und schauen mal an, wie sich
dann das Gleichungssystem vereinfacht.
Dann fällt das raus.
Und hier unten fällt der Term raus.
Und es fällt dieser Term auch noch raus.
Dann wird das Ganze doch schon sehr viel einfacher.
Wir sehen sofort, A ist gleich MX2-Punkt.
B ist gleich MY2-Punkt, S plus G.
Und wir können dieses Ergebnis in die Momentenbilanz einsetzen.
Und was wir dann erhalten, ist einfach nur JS plus ML2-Viertel mal
Phi2 -Punkt gleich G mal L-Halbe Sinus Phi.
Die Rechnung erspare ich Ihnen, denn man muss einiges mit den
trigonometrischen Funktionen hier anstellen.
Also trigonometrischer Pythagoras taucht da wieder auf.
Das können wir jetzt auch nochmal, wenn wir sagen, kleine Winkel Phi
vereinfachen zu G mal L-Halbe mal Phi.
Das wäre also das Ergebnis für diesen Sonderfall.
Jetzt schauen wir uns als nächstes einfach noch einmal die kinetische
Energie an.
Also, kinetische Energie war ein Halbskalarprodukt der
Geschwindigkeit, V mal V multipliziert mit Rho aufsummiert.
Oder ein Halb-Rho-X-Punkt-Quadrat-Y-Punkt-Quadrat-DV.
Jetzt wollen wir das Ganze zusammenfassen, indem wir ausnutzen, dass
wir X-Punkt und Y-Punkt ausrechnen können, wenn wir uns nur auf die
Schwerpunktsgeschwindigkeit beziehen.
Na klar, wir wollen wieder unseren Schwerpunkt ins Spiel bringen.
Dann haben wir X-Punkt mal Y-Punkt S, wenn ich das als Vektorgleichung
schreibe, plus Omega, Ebene Bewegung, 0, 0, Omega.
Hier müssen wir das Ganze durch eine Null ergänzen, dann haben wir es
im Dreidimensionalen so.
Kreuzprodukt mit Xi und Eta, also Xi, Eta, 0.
Was gibt mir das?
Das gibt mir X-Punkt gleich X-Punkt S, minus Omega mal Eta, und Y
-Punkt gleich Y-Punkt S, plus Omega mal Xi.
Xi und Eta sind jetzt wieder Koordinaten bezogen auf den
Massenmittelpunkt.
Hier ist es oben noch allgemein dargestellt.
Wir machen das jetzt speziell für XS.
Also erhalten wir damit ein Halb, weil Integral V Rho X-Punkt S minus
Omega Eta ins Quadrat, plus Y-Punkt S plus Omega Xi ins Quadrat dV.
Wir müssen hier nochmal ausmultiplizieren, also erhalten wir Integral
V Rho X-Punkt S zum Quadrat, minus 2X-Punkt S Omega Eta plus Omega Eta
Quadrat plus, heckige Klammer, damit wir das Rho nicht vergessen, Y
-Punkt S Quadrat plus 2YS-Punkt Omega Xi plus Omega Quadrat Xi
Quadrat.
Da müssen wir noch ein paar Klammern schließen.
Ich schreibe es hier unten weiter.
Omega Quadrat Xi Quadrat, Klammer zu, eckige Klammer zu dV.
So, jetzt schauen wir uns dieses Integral scharf an und stellen fest,
das Ganze ist eine Konstante, ist einfach nur die
Schwerpunktsgeschwindigkeit ins Quadrat, hier genau die gleiche
Konstante, die klammern wir schon mal aus.
Also haben wir dort Integral ein Halb, X-Punkt Quadrat S plus Y-Punkt
Quadrat S, Integral Rho dV ist die Masse, M.
Dann haben wir gemischte Terme.
Was ist mit denen los?
Omega und XS sind Konstanten, können vor das Integral gezogen werden,
es bleibt immer nur das Integral Rho mal Eta dV übrig, und von dem
wissen wir, es ist Null, es ist das statische Flächenmoment.
Also, diese gemischten Terme ergeben jeweils keinen Anteil.
Es bleibt also noch ein letzter Term übrig, bei dem wissen wir, das
Omega ist für den ganzen Körper gleich, können wir also vor das
Integral ziehen, das heißt, es bleibt übrig, plus ein Halb Integral
Rho Xi Quadrat plus Eta Quadrat dV mal Omega Quadrat.
Was ist das?
Das ist das Massenträgheitsmoment, bezogen auf den Schwerpunkt, eine
Achse, die senkrecht durch den Schwerpunkt geht.
Also, für die ebene Bewegung des starren Körpers lautet die gesamte
kinetische Energie ein Halb M X.S Quadrat plus Y.S Quadrat plus ein
Halb JS mal Omega zum Quadrat.
Ist das plausibel?
Ja, das ist plausibel, das ist genau der translatorische Anteil.
X-Geschwindigkeit des Schwerpunktes, also horizontale Geschwindigkeit
des Schwerpunktes ins Quadrat, mal Masse, mal ein Halb, also ein Halb
mV Quadrat.
Ein Halb mV Quadrat für die vertikale Bewegung und ein Halb J Omega
Quadrat oder ein Halb J Phi Punkt Quadrat, können Sie auch schreiben,
für die rotatorische Bewegung.
Also, wir treffen alles hier wieder an.
Rotatorischer Anteil und Translation, translatorischer Anteil.
Ja, so viel dazu.
Beispiel lohnt sich nicht mehr, in einer Minute noch durchzuziehen.
Machen wir beim nächsten Mal, dann vertiefen wir das noch.
Also, Sie kennen jetzt alle Formeln für die ebene Bewegung des starren
Körpers.
Jetzt kommen eigentlich nur noch ein paar Anwendungen dazu.
Und dann geht es noch weiter mit den Kapiteln Stoßvorgänge und
Stimmungen.
Damit kommen Sie gut durch die Woche.
Und bis zum nächsten Mal.
Wir schauen.