WEBVTT

00:07.170 --> 00:09.930
Meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich zu der heutigen

00:09.930 --> 00:14.130
Vorlesung der Technischen Mechanik II für Wirtschaftsingenieure.

00:14.170 --> 00:19.650
Wenn Sie sich an die letzte Woche erinnern, dann werden Sie sich

00:19.650 --> 00:25.190
hoffentlich gemerkt haben, wir haben die Kinetik des starren Körpers,

00:25.250 --> 00:29.210
jedenfalls für die ebene Bewegung, soweit es geht, abgeschlossen.

00:29.570 --> 00:33.070
Sie wissen jetzt, Sie brauchen dazu einmal das Newton'sche

00:33.070 --> 00:37.610
Grundgesetz, formuliert im Schwerpunkt des starren Körpers, und zum

00:37.610 --> 00:42.710
anderen benötigen Sie den Dreisatz, eben eine Formulierung,

00:43.330 --> 00:47.710
eindimensional auch formuliert, für den Schwerpunkt des starren

00:47.710 --> 00:48.070
Körpers.

00:48.130 --> 00:51.690
Sie haben damit also drei Bewegungsgleichungen, die Sie aufstellen

00:51.690 --> 00:52.050
können.

00:53.090 --> 00:56.330
Anhand dieser Bewegungsgleichungen können Sie dann mithilfe der

00:56.330 --> 01:00.550
Kinematik Ihre Bewegungsgrößen bestimmen, also beispielsweise

01:00.550 --> 01:05.530
Beschleunigungszeitgesetze ermitteln und diese dann aufintegrieren zu

01:05.530 --> 01:06.550
Wegzeitgesetzen.

01:07.010 --> 01:11.130
Dann haben wir als Zweites in der letzten Vorlesung gesehen, wie die

01:11.130 --> 01:12.530
kinetische Energie aussieht.

01:12.610 --> 01:15.790
Sie setzt sich also aus einem translatorischen Anteil und einem

01:15.790 --> 01:17.510
rotatorischen Anteil zusammen.

01:17.810 --> 01:21.430
Der translatorische Anteil ist einfach ein halber mv², wobei die

01:21.430 --> 01:26.070
Geschwindigkeit jetzt der Betrag des Geschwindigkeitsvektors zum

01:26.070 --> 01:26.770
Quadrat ist.

01:27.350 --> 01:30.270
Dieser Geschwindigkeitsvektor hat in der Ebene zwei Anteile,

01:30.710 --> 01:32.730
horizontal und vertikal.

01:33.150 --> 01:35.550
Dann kommt noch der rotatorische Anteil dazu.

01:36.070 --> 01:41.270
Dort steht einfach in völliger Analogie zu einem halben mv² ein halber

01:41.270 --> 01:46.610
Js, also Drehmasse oder Massenträgheitsmoment, im Schwerpunkt um die

01:46.610 --> 01:49.410
Achse, die Ihnen aus der Zeichnung entgegenspringt.

01:50.270 --> 01:55.430
Das Ganze wird mit dem Drehvektor Omega multipliziert, also Omega zum

01:55.430 --> 01:55.930
Quadrat.

01:57.290 --> 02:01.330
Sie können für das Ebeneproblem auch noch Winkelgeschwindigkeitsvektor

02:01.330 --> 02:05.450
zu ihm sagen, aber im Mehrdimensionalen stimmt das dann nicht mehr.

02:06.150 --> 02:07.070
So weit, so gut.

02:07.510 --> 02:10.550
Ein kleines Detail bin ich Ihnen noch schuldig, nämlich ein schönes

02:10.550 --> 02:15.210
Beispiel zum Energiesatz für die Ebenebewegung eines starren Körpers,

02:15.350 --> 02:19.070
und da werden wir natürlich die fallende Leiter wieder verwenden.

02:21.770 --> 02:25.090
Dann werden Sie sich vielleicht fragen, wie es jetzt noch weitergeht.

02:25.580 --> 02:29.910
Na ja, wir haben bei der ganzen Sache immer ein einziges Detail

02:29.910 --> 02:30.930
ausgeblendet.

02:31.810 --> 02:38.230
Wenn Sie sich noch einmal an die Herleitung des Drallgesetzes

02:38.230 --> 02:43.250
erinnern, sind wir zunächst von einer Drehung um die starre Achse

02:43.250 --> 02:43.250
ausgegangen.

02:43.430 --> 02:46.230
Wir haben beispielsweise eine feste Achse, beispielsweise bei Ihrem

02:46.230 --> 02:52.030
Auto, um die sich der Reifen immer dreht oder mit dem sich der Reifen

02:52.030 --> 02:52.530
mitdreht.

02:52.550 --> 02:55.210
Wir haben gesagt, wir betrachten erst einmal die Drehbewegung um eine

02:55.210 --> 02:58.330
feste Achse und versuchen, dort einmal Bewegungsgleichungen zu

02:58.330 --> 02:58.950
formulieren.

02:59.450 --> 03:03.310
Da haben Sie gesehen, da trat nicht nur ein Massenträgheitsmoment auf,

03:03.370 --> 03:06.350
sondern da traten gleich mehrere Massenträgheitsmomente auf.

03:07.150 --> 03:10.670
Ursprünglich war das nicht nur eine Gleichung, sondern das waren derer

03:10.670 --> 03:11.050
drei.

03:11.730 --> 03:15.230
Dann haben wir ganz schnell gesagt, zwei von diesen Gleichungen

03:15.230 --> 03:20.810
liefern uns Momente, die uns nicht entgegenkommen, also nicht um die

03:20.810 --> 03:24.070
Achse rotieren, die uns aus der Zeichnung entgegenkommt, sondern die

03:24.070 --> 03:26.970
irgendwie in der Zeichenebene drehen, rotieren.

03:27.270 --> 03:29.350
Die werden dann von den Lagerkräften aufgenommen.

03:29.770 --> 03:31.610
Das vernachlässigen wir einmal schnell.

03:32.010 --> 03:37.270
Das geht auch wunderbar, wenn Sie tatsächlich einen Reifen haben, der

03:37.270 --> 03:42.050
sauber auf die Achse aufgezogen ist und die Achse praktisch senkrecht

03:42.050 --> 03:43.950
zum Reifen selbst steht.

03:44.590 --> 03:48.870
Dann können Sie das machen, dann haben Sie nämlich gar keine weiteren

03:48.870 --> 03:52.350
Lagermomente, die dort noch auftreten können, sondern Sie haben das

03:52.350 --> 03:53.330
wunderbar getrennt.

03:53.590 --> 03:58.190
Sie brauchen nur diese eine Drehgleichung zu betrachten, also nur eine

03:58.190 --> 03:59.150
Bewegungsgleichung.

03:59.490 --> 04:05.530
Was ist aber, wenn jetzt dieser Reifen eine Acht hat, also leicht

04:05.530 --> 04:06.570
schräg gestellt ist?

04:06.930 --> 04:11.790
Dann treten tatsächlich Reaktionen auf, und diese Reaktionen müssen

04:11.790 --> 04:13.170
vom Lager aufgenommen werden.

04:13.670 --> 04:17.870
Das bezeichnet man dann als, oder die Gegenmaßnahme dagegen, als

04:17.870 --> 04:22.490
sogenanntes Wuchten, also das Problem des Auswuchtens von Rädern.

04:22.550 --> 04:27.310
Mit dem wollen wir uns beschäftigen, als letztes Problem, was dort

04:27.310 --> 04:30.050
noch übrig bleibt, wenn wir Bewegungsgleichung formulieren.

04:31.530 --> 04:36.530
Dann fehlt uns noch die Integration der Bewegungsgleichung nach der

04:36.530 --> 04:36.830
Zeit.

04:36.950 --> 04:38.330
Sie erinnern sich beim Massenpunkt.

04:38.710 --> 04:41.690
Wir haben gesagt, wir bekommen einmal die Bewegungsgleichung.

04:41.710 --> 04:43.330
Das war das Newtonische Grundgesetz.

04:43.330 --> 04:47.730
Diese Bewegungsgleichung können wir einmal nach der Ortsvariable

04:47.730 --> 04:49.350
integrieren, also nach dem Weg.

04:49.630 --> 04:51.450
Dann erhalten wir die Energiebilanzen.

04:52.010 --> 04:56.110
Wunderbar, wir erhalten dann kein Beschleunigungszeitgesetz, sondern

04:56.110 --> 04:57.690
ein Geschwindigkeitsweggesetz.

04:58.230 --> 05:01.730
Dann gab es noch die zweite Möglichkeit, die Bewegungsgleichung einmal

05:01.730 --> 05:03.310
nach der Zeit aufzuintegrieren.

05:03.630 --> 05:06.130
Dann erhalten Sie ein Geschwindigkeitszeitgesetz.

05:06.730 --> 05:10.170
Genau das wollen wir jetzt auch für den starren Körper machen, also

05:10.170 --> 05:12.310
für die ebene Bewegung des starren Körpers.

05:12.310 --> 05:13.930
Das Ganze aufintegrieren.

05:14.070 --> 05:17.070
Wir erhalten dann die sogenannten Impuls- und

05:17.070 --> 05:18.630
Drehimpulserhaltungssätze.

05:19.130 --> 05:21.850
Die wollen wir natürlich auch anwenden und nicht einfach nur

05:21.850 --> 05:22.330
hinschreiben.

05:22.730 --> 05:25.430
Die klassische Anwendung dafür sind die Stoßprobleme.

05:26.030 --> 05:27.330
Warum die Stoßprobleme?

05:27.870 --> 05:31.790
Die Stoßprobleme sind wunderbare Probleme, bei denen uns die

05:31.790 --> 05:34.970
Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit interessiert.

05:35.330 --> 05:39.370
Uns interessiert in der Regel Geschwindigkeit vor dem Stoß und

05:39.370 --> 05:41.250
Geschwindigkeit nach dem Stoß.

05:41.990 --> 05:45.130
Geschwindigkeit vor dem Stoß haben wir beispielsweise gemessen.

05:45.990 --> 05:48.870
Geschwindigkeit nach dem Stoß wollen wir uns ausrechnen.

05:49.030 --> 05:53.730
Oder Sie wissen, bei einem Unfall kommt Ihr Fahrzeug irgendwo zum

05:53.730 --> 05:54.110
Stehen.

05:54.230 --> 05:57.570
Sie können sich also ausrechnen, welche Geschwindigkeit es nach dem

05:57.570 --> 05:58.270
Zusammenprall hat.

05:58.330 --> 06:00.690
Sie wissen, wie der Zusammenprall stattfand.

06:00.790 --> 06:02.710
Dazu brauchen Sie sich nur die Beulen anzuschauen.

06:03.130 --> 06:06.550
Also wissen Sie, wie schnell die beiden vor dem Unfall gefahren sind.

06:06.670 --> 06:09.350
Und wenn der eine zu schnell gefahren ist, kriegt er die rote Karte.

06:11.310 --> 06:13.490
Praktischer Anwendungsfall sind also die Stoßprobleme.

06:13.890 --> 06:16.510
Das alles steht also noch auf der Agenda.

06:17.250 --> 06:20.790
Dann haben wir diesen großen Block abgeschlossen, also die

06:20.790 --> 06:25.070
Ebenebewegung des starren Körpers, in jeglicher Breite behandelt.

06:25.430 --> 06:28.730
Die räumliche Bewegung ist leider ein bisschen komplizierter.

06:28.950 --> 06:30.250
Die Kinematik kennen Sie.

06:30.510 --> 06:32.010
Das schreibe ich Ihnen gleich noch einmal auf.

06:32.090 --> 06:34.210
Das ist die Euler'sche Geschwindigkeitsformel.

06:34.470 --> 06:35.270
Mehr gibt es nicht.

06:35.270 --> 06:40.210
Aber die räumliche Kinetik ist noch einmal wesentlich anspruchsvoller

06:40.210 --> 06:42.650
und kann deswegen hier nicht unterrichtet werden.

06:42.790 --> 06:47.670
Sonst würde das Semester gleich flöten, und Sie hätten nur gekämpft

06:47.670 --> 06:50.170
mit der räumlichen Kinetik des starren Körpers.

06:52.210 --> 06:56.930
Jetzt schreibe ich Ihnen noch einmal ein paar Formeln hin, damit wir

06:56.930 --> 07:01.070
wieder hineinfinden und gemeinsam starten.

07:01.070 --> 07:03.490
Also, der starre Körper,

07:13.020 --> 07:33.810
die räumliche Kinematik, ist die berühmte Euler'sche Formel Vb gleich

07:33.810 --> 07:43.430
Va plus Omega kreuz Rab mit folgender Situation.

07:43.790 --> 07:48.910
Ihr starrer Körper, irgendwo Ihr ortsfester Punkt, in dem Sie das

07:48.910 --> 07:53.330
räumliche Koordinatensystem errichtet haben, zwei beliebige Punkte a

07:53.330 --> 08:00.810
und b des starren Körpers, die Ortsvektoren ra und rb, die

08:00.810 --> 08:05.190
Geschwindigkeitsvektoren, die in der Euler'schen Formel auftreten,

08:05.350 --> 08:09.510
sind einfach die Ableitungen dieser Ortsvektoren nach der Zeit, und

08:09.510 --> 08:13.810
der Differenzvektor ist dieser Vektor rab.

08:13.810 --> 08:20.650
Das heißt, wenn Sie einmal einen dieser Geschwindigkeitsvektoren

08:20.650 --> 08:24.130
kennen und Sie kennen den Drehvektor, dann kennen Sie alle

08:24.130 --> 08:25.310
Geschwindigkeitsvektoren.

08:25.950 --> 08:30.590
Das ist das Geheimnis der Kinematik des starren Körpers.

08:31.150 --> 08:35.550
Sie haben also sechs unbekannte, drei Geschwindigkeiten, drei

08:35.550 --> 08:39.850
Komponenten des Drehvektors, sechs unbekannte und beim räumlichen

08:39.850 --> 08:42.630
Problem, wissen Sie, Sie hätten auch sechs Gleichungen, drei

08:42.630 --> 08:44.950
Kräftegleichungen, drei Momentengleichungen.

08:45.130 --> 08:48.030
Wir machen hier aber in der Kinetik nur das Ebeneproblem.

08:48.430 --> 08:51.670
Dann haben wir zwei unbekannte Geschwindigkeitskomponenten,

08:51.910 --> 08:56.310
horizontal, vertikal, eine Komponente des Drehvektors, nämlich die,

08:56.650 --> 08:58.490
die in den Senkrecht entgegenkommt.

08:58.610 --> 09:02.090
Also der rotiert nur noch um die Achse, die in den Senkrecht aus der

09:02.090 --> 09:03.830
Zeichenebene entgegenkommt.

09:04.690 --> 09:12.670
Drei unbekannte für den Geschwindigkeitszustand des starren Körpers.

09:14.590 --> 09:18.110
Also brauchen wir auch drei Gleichungen in der räumlichen Kinetik.

09:29.090 --> 09:36.110
Da haben wir einmal das Newton'sche Grundgesetz oder besser formuliert

09:36.110 --> 09:37.270
das Impulsgesetz.

09:40.270 --> 09:45.590
Aus dem Impulsgesetz leiten wir uns hier den Massenmittelpunktsatz,

09:54.020 --> 09:58.740
nämlich f gleich m mal a.

09:59.400 --> 10:05.360
Ra ist in dem Fall der Ortsvektor zum Schwerpunkt s ihres starren

10:05.360 --> 10:07.440
Körpers, zweimal abgeleitet.

10:08.140 --> 10:11.540
Dann haben wir noch das Drall- oder Drehimpulsgesetz

10:14.550 --> 10:21.840
im Schwerpunkt des starren Körpers.

10:28.200 --> 10:33.480
Und das ist Moment um die Achse, die Ihnen entgegenkommt, nennen wir

10:33.480 --> 10:44.760
die Z-Achse, im Schwerpunkt gleich Js, Massenträgheitsmoment, um den

10:44.760 --> 10:48.040
Schwerpunkt mal Omega-Punkt.

10:55.500 --> 11:00.240
Eine kleine Bemerkung hierzu, hier haben wir schon angenommen, dass

11:00.240 --> 11:06.240
das Js zeitlich konstant ist.

11:07.300 --> 11:12.040
Das ist so für den starren Körper, natürlich für deformierbare Körper

11:12.040 --> 11:15.840
muss das nicht unbedingt der Fall sein, das heißt, dann können wir

11:15.840 --> 11:19.260
nicht einfach den Punkt, die Ableitung auf das Omega ziehen, sondern

11:19.260 --> 11:23.440
müssen den Gesamtausdruck Js mal Omega nach der Zeit ableiten.

11:23.440 --> 11:26.740
Na ja, kein Problem, können wir auch.

11:27.480 --> 11:31.720
Dann haben wir ausgehend von diesen Gleichungen die kinetische Energie

11:31.720 --> 11:32.400
formuliert.

11:40.490 --> 11:45.890
Auch für die Ebenebewegung des starren Körpers natürlich nur gültig.

11:46.330 --> 11:48.130
Die haben wir immer mit T bezeichnet.

11:48.630 --> 11:54.790
Da ist jetzt zunächst der Anteil 1,5 m v², wobei sich das V, die

11:54.790 --> 11:57.630
Geschwindigkeit zum Quadrat, aus zwei Anteilen zusammensetzt,

11:58.630 --> 12:04.790
Horizontal - und Vertikalgeschwindigkeit, x.s plus y.s.

12:05.390 --> 12:07.930
Sie sehen, auch hier muss der Index S ran, das sind die

12:07.930 --> 12:09.390
Geschwindigkeiten im Schwerpunkt.

12:09.810 --> 12:13.350
Der starre Körper hat im Allgemeinen in jedem seiner Punkte eine

12:13.350 --> 12:14.370
andere Geschwindigkeit.

12:14.770 --> 12:18.550
Wir müssen uns einen bestimmten Punkt raussuchen, und das ist der

12:18.550 --> 12:20.350
Schwerpunkt oder der Massenmittelpunkt.

12:20.350 --> 12:26.970
Und dann noch der zweite Anteil, der rotatorische Anteil, 1,5 j.s mal

12:26.970 --> 12:28.150
ω².

12:31.290 --> 12:36.950
Jetzt schauen wir uns als Anwendung von dieser Formel der kinetischen

12:36.950 --> 12:39.950
Energie noch einmal die fallende Leiter an.

12:40.530 --> 12:44.030
Da hatten wir ja diese wunderbare Verknüpfung, also einmal dreht sich

12:44.030 --> 12:47.570
die Leiter leicht, wenn sie fällt, und zum anderen ändert sich

12:47.570 --> 12:50.970
natürlich auch die Schwerpunktslage, das Ding fällt runter, also

12:50.970 --> 12:56.170
ändert sich Höhe und auch Position in x-Richtung des Schwerpunktes.

12:57.510 --> 12:59.010
Wie schaut das aus?

13:01.090 --> 13:02.130
Noch eine Wiederholung?

13:02.470 --> 13:03.930
Ah, eins zu viel.

13:05.810 --> 13:10.610
Wir haben wieder die fallende Leiter, beachten Sie, ohne Reibung.

13:12.350 --> 13:13.730
Warum ohne Reibung?

13:13.770 --> 13:15.530
Wir wollen ja den Energiesatz verwenden.

13:15.530 --> 13:19.730
Wenn wir Reibung mit ins Spiel bringen würden, dann hätten wir bei der

13:19.730 --> 13:21.410
Reibungskraft kein Potenzial.

13:21.730 --> 13:24.630
Die Reibkraft ist eine dissipative Kraft.

13:24.950 --> 13:27.790
Das heißt, es wird schlicht und einfach mechanische Energie

13:27.790 --> 13:31.930
umgewandelt in Wärme, geht uns also in der mechanischen Bilanz

13:31.930 --> 13:32.770
verloren.

13:33.470 --> 13:37.450
Sie ist dissipativ, sie besitzt kein Potenzial, und damit können wir

13:37.450 --> 13:39.750
den Energiesatz so nicht anwenden.

13:39.930 --> 13:43.290
Was wir machen könnten, wäre, wir könnten einen Arbeitssatz

13:43.290 --> 13:47.070
formulieren, in dem wir beispielsweise die Arbeit in horizontaler

13:47.070 --> 13:50.230
Richtung und in vertikaler Richtung und vielleicht auch noch mit einem

13:50.230 --> 13:51.230
Dresen betrachten.

13:51.470 --> 13:53.870
Dann könnten wir die Reibkraft verwenden.

13:54.450 --> 13:57.530
Aber Sie haben schon gesehen, bei der Herleitung der

13:57.530 --> 14:02.250
Bewegungsgleichung für den Fall der fallenden Leiter mit Reibung, es

14:02.250 --> 14:03.930
war heillos kompliziert.

14:04.110 --> 14:07.210
Und wir haben uns am Schluss damit beholfen, dass wir gesagt haben,

14:07.370 --> 14:10.870
okay, wir vernachlässigen die Reibung, das heißt, wir gehen davon aus,

14:10.870 --> 14:14.570
diese Reibkräfte sind einfach klein gegenüber den übrigen Kräften, die

14:14.570 --> 14:18.350
hier wirken, und dann war es uns relativ leicht möglich, eine

14:18.350 --> 14:20.970
vernünftige Bewegungsgleichung noch per Hand herzuleiten.

14:21.530 --> 14:25.910
Wenn wir also schon bei der Herleitung der Bewegungsgleichung im

14:25.910 --> 14:29.250
letzten Schritt die Reibkraft vernachlässigt haben, dann können wir

14:29.250 --> 14:32.170
natürlich genauso gut hier auch die Reibkraft vernachlässigen von

14:32.170 --> 14:37.990
Anfang an und sagen, wir formulieren einfach den Energiesatz, und dazu

14:37.990 --> 14:41.670
brauchen wir die Reibung hier nicht, sonst kommen wir nicht zurecht.

14:44.110 --> 14:49.370
Sie wissen, der Energiesatz besteht aus zwei Anteilen, einmal die

14:49.370 --> 14:53.170
kinetische Energie, die Formel stand auf der Folie davor, und zum

14:53.170 --> 14:56.950
anderen die potenzielle Energie, und dazu muss ich schauen, welche

14:56.950 --> 14:58.670
Potenzialkräfte ich hier habe.

14:59.030 --> 15:02.490
Nun, hier habe ich eine einzige Potenzialkraft, Sie sehen, ich habe

15:02.490 --> 15:07.910
keine Federelemente, keine Dämpferelemente, nichts, ich habe nur die

15:07.910 --> 15:15.590
Gewichtskraft, ausgedrückt hier durch die Angabe der

15:15.590 --> 15:17.210
Erdgravitationsfeldstärke.

15:17.850 --> 15:22.030
Normalerweise sollte auch dann in der Zeichnung irgendwo hier die

15:22.030 --> 15:24.630
Wirkung des Vektors g eingezeichnet sein.

15:25.150 --> 15:28.130
Mal mit Pfeil, mal machen das die Leute ohne Pfeil und sagen, der

15:28.130 --> 15:31.970
Pfeil ist ja schon in dem senkrechten Pfeil nach unten drin, und ich

15:31.970 --> 15:33.210
schreibe nur noch den Betrag ran.

15:33.210 --> 15:36.270
Das macht die dann ein bisschen unterschiedlich, aber es sollte schon

15:36.270 --> 15:37.470
mit dabei sein.

15:38.090 --> 15:43.830
Dann wissen Sie, bei Potenzialfunktionen muss ich mich zunächst auf

15:43.830 --> 15:45.010
ein Nullniveau einigen.

15:45.470 --> 15:49.270
Ich muss mir überlegen, wo lege ich mein Nullniveau hin, wo soll die

15:49.270 --> 15:51.130
potenzielle Energie gleich Null sein?

15:51.630 --> 15:53.770
Na ja, hier gibt es eine Möglichkeit.

15:54.410 --> 15:57.230
Ich sage, hier unten ist die Leiter nun endgültig auf dem Boden

15:57.230 --> 15:57.790
angekommen.

15:58.430 --> 16:02.690
Das sei also hier die X-Achse, der Boden der Tatsache, und da lege ich

16:02.690 --> 16:03.570
mein Nullniveau hin.

16:06.170 --> 16:08.330
Also hier legen wir das Nullniveau hin.

16:18.170 --> 16:22.430
Dann brauche ich beim Energiesatz immer zwei verschiedene Positionen,

16:22.550 --> 16:24.230
die ich miteinander vergleiche.

16:25.190 --> 16:29.430
Nun, eine Position kann...

16:29.430 --> 16:31.230
Denken Sie vielleicht an die Schnittgrößen.

16:31.430 --> 16:33.110
Da musste ich auch an einer Stelle schneiden.

16:33.110 --> 16:37.410
Aber ich habe gesagt, ich schneide an einer Stelle beliebig irgendwo

16:37.410 --> 16:39.430
zwischen dem Träger.

16:39.730 --> 16:41.550
Und genauso kann ich das auch hier sagen.

16:41.830 --> 16:46.150
Ich halte eine Position fest, aber irgendwo zwischen dem Ablauf der

16:46.150 --> 16:46.670
Bewegung.

16:46.970 --> 16:53.350
Das wäre in dieser Skizze hier rechts skizziert.

16:53.650 --> 16:58.510
Irgendwo so eine Position, wo die Leiter irgendwie quer steht.

16:58.650 --> 17:02.050
Sie sehen hier den Winkel V, der charakterisiert diesen Zustand.

17:02.050 --> 17:04.290
Das wäre also irgend so ein Zwischenzustand.

17:04.370 --> 17:05.170
Den halte ich fest.

17:05.930 --> 17:08.050
Und dann brauche ich aber noch einen zweiten Zustand sozusagen.

17:08.150 --> 17:10.670
Einen Referenzzustand, auf den ich mich beziehe.

17:11.710 --> 17:13.470
Und das wäre hier diese Ausgangslage.

17:13.630 --> 17:16.250
Also wir stellen uns vor, irgendwann stand die Leiter vielleicht mal

17:16.250 --> 17:16.650
hier dran.

17:17.670 --> 17:20.770
Und dann hat irgendein Scherzfix vielleicht da unten einen Tritt

17:20.770 --> 17:22.710
mitgegeben, den wir jetzt schon nicht mehr drin haben.

17:23.110 --> 17:26.370
Und dann bewegt sich das Ganze sofort.

17:26.690 --> 17:30.150
Wird irgendwie instabil und gerät ins Kippen.

17:30.150 --> 17:31.990
Dann hätten wir das als Ausgangslage.

17:33.170 --> 17:39.090
Also eine Referenzlage, Ausgangslage, andere Lage, eine allgemeine

17:39.090 --> 17:40.490
Lage, eine Zwischenbewegung.

17:40.790 --> 17:44.210
Diese Zwischenlage wollen wir bestimmen, wollen wir charakterisieren.

17:44.770 --> 17:48.010
Für die wollen wir wissen, wie hängt die Winkelgeschwindigkeit, die

17:48.010 --> 17:52.070
Änderung dieses Winkels vom Winkel selbst ab.

17:53.350 --> 17:57.930
Jetzt schauen wir uns die Ausgangslage an, den linken Fall, und

17:57.930 --> 18:01.290
formulieren hierfür die kinetische und die potenzielle Energie.

18:02.330 --> 18:05.090
Nun, diese Ausgangslage ist in Ruhe.

18:07.130 --> 18:09.930
Die kinetische Energie ist gleich Null.

18:11.770 --> 18:14.150
Es hat noch keine Bewegung begonnen.

18:14.650 --> 18:20.670
Der Stab steht zunächst einmal so zentral da und fängt dann an,

18:20.850 --> 18:22.130
langsam hier wegzukippen.

18:25.010 --> 18:27.510
Was hat er aber für eine potenzielle Energie?

18:30.950 --> 18:35.010
U Null, m mal g mal h, kennen Sie, ist die Formel.

18:35.750 --> 18:41.590
Also m mal g, und für die Höhe habe ich einfach L Halbe, Abstand des

18:41.590 --> 18:43.710
Schwerpunktes vom Nullniveau.

18:47.390 --> 18:53.530
Dieser blaue Abstand, L Halbe, das ist die Höhe, die ich hierfür die

18:53.530 --> 18:54.830
potenzielle Energie brauche.

18:55.750 --> 18:58.590
Wie sieht das jetzt aus in der allgemeinen Lage?

18:59.830 --> 19:02.250
Da habe ich natürlich eine kinetische Energie.

19:05.670 --> 19:09.450
Das Einzige, was mir da erst einmal gescheit einfällt, ist, die

19:09.450 --> 19:12.730
allgemeine kinetische Energie für die ebene Bewegung des starren

19:12.730 --> 19:13.770
Körpers hinzuschreiben.

19:14.090 --> 19:27.090
Also ein Halb m xs Punktquadrat plus ys Punktquadrat plus ein Halb js

19:27.090 --> 19:29.590
Omega zum Quadrat.

19:29.590 --> 19:31.870
Und für Omega kann ich auch wie Punkt schreiben.

19:36.590 --> 19:38.490
Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat.

19:40.150 --> 19:44.650
Und was habe ich noch für eine potenzielle Energie?

19:45.430 --> 19:51.730
Auch m mal g mal h, nur hat mein Schwerpunkt jetzt an Höhe verloren.

19:54.250 --> 19:58.590
Ich brauche jetzt diese Höhe.

20:00.230 --> 20:05.090
Und wenn ich hier den Winkel Phi wieder habe, ist das L Halbe Cosinus

20:05.090 --> 20:05.310
Phi.

20:06.490 --> 20:09.030
Also L Halbe Cosinus Phi.

20:13.390 --> 20:15.550
U1 ist das natürlich, nicht U0.

20:17.030 --> 20:19.030
Also da unten eine 1 ran.

20:19.950 --> 20:23.350
Jetzt sehen Sie schon, ich habe das gleiche Problem auch wie bei der

20:23.350 --> 20:25.030
Formulierung der Bewegungsgleichung.

20:25.330 --> 20:28.150
Ich habe hier drei verschiedene Geschwindigkeitsgrößen drin zu

20:28.150 --> 20:31.190
stellen, x Punkt, y Punkt, phi Punkt.

20:31.770 --> 20:35.070
Ich kann aber nur eine Gleichung formulieren in dem Fall, denn

20:35.070 --> 20:38.390
Energiesatz ist immer eine einzige skalare Gleichung.

20:39.050 --> 20:40.490
Eine Gleichung können wir daraus machen.

20:40.910 --> 20:43.070
Drei unbekannte sind zwei zu viel.

20:43.510 --> 20:46.970
Also brauchen wir wieder kinematische Beziehungen, um unbekannte

20:46.970 --> 20:47.750
rauszuwerfen.

20:47.750 --> 20:52.610
Und da wir phi Punkt, die Winkelgeschwindigkeit als Funktion von phi

20:52.610 --> 20:58.590
suchen, müssen wir natürlich x Punkt s und y Punkt s eliminieren.

20:59.070 --> 21:04.590
Also brauchen wir kinematische Beziehungen zur Bestimmung von x Punkt

21:04.590 --> 21:08.510
und y Punkt als Funktion des Winkels bzw.

21:08.690 --> 21:09.750
der Winkelgeschwindigkeit.

21:11.590 --> 21:16.530
Die Kinematik ist natürlich genau die gleiche, wie wir sie in der

21:16.530 --> 21:18.850
letzten Vorlesung schon kennengelernt haben.

21:18.970 --> 21:23.830
Also Schwerpunktkoordinate als Funktion des Winkels, x-Koordinate,

21:23.990 --> 21:27.510
Horizontalkoordinate ist einfach l halbe Sinusphi,

21:31.690 --> 21:38.550
y -Koordinate ist l halbe Cosinusphi.

21:39.730 --> 21:43.430
Und jetzt müssen wir das Ganze noch einmal ableiten, aber zum Glück

21:43.430 --> 21:45.650
müssen wir es nur einmal ableiten.

21:45.750 --> 21:48.770
Bei den Bewegungsgleichungen brauchten wir die Beschleunigung, da

21:48.770 --> 21:51.590
mussten wir zweimal ableiten, und das gab doch einen recht länglichen

21:51.590 --> 21:52.150
Ausdruck.

21:52.650 --> 21:56.070
Das ersparen wir uns also hier, wenn wir den Energiesatz verwenden.

21:56.890 --> 22:04.270
Also x Punkt S ist dann gleich, Ableitung vom Sinus ist der Cosinus, l

22:04.270 --> 22:07.350
halbe Phi Punkt Cosinusphi.

22:08.310 --> 22:12.110
Und vergessen Sie mir nicht das Phi Punkt, die innere Ableitung Phi

22:12.110 --> 22:15.490
selbst, der Winkel, ist eine Funktion der Zeit, muss also auch mit

22:15.490 --> 22:16.390
abgeleitet werden.

22:16.990 --> 22:19.770
Also Kettenregel hier bitte beachten.

22:19.770 --> 22:27.250
ys Punkt, Ableitung vom Cosinus ist minus Sinus, also minus l halbe

22:27.250 --> 22:29.450
Phi Punkt Sinusphi.

22:30.610 --> 22:37.690
Was gibt dann x Punkt S Quadrat plus y Punkt S zum Quadrat?

22:38.710 --> 22:42.190
Also der translatorische Anteil, wenn ich das noch mit 1,5m

22:42.190 --> 22:45.610
multipliziere, der kinetischen Energie hier.

22:45.610 --> 22:49.430
Sie sehen, ich kann den trigonometrischen Pythagoras verwenden.

22:49.970 --> 22:55.410
Das gibt mir einmal l Quadrat Viertel, Phi Punkt zum Quadrat.

22:56.490 --> 23:00.030
Und Cosinus Quadrat Phi und Sinus Quadrat Phi addieren sich zu 1

23:00.030 --> 23:00.470
zusammen.

23:01.230 --> 23:05.090
Also wir werden wunderbar die trigonometrischen Funktionen hier los.

23:05.830 --> 23:10.630
Mit einer Ausnahme, Cosinus Phi in der potenziellen Energie bleibt uns

23:10.630 --> 23:11.410
natürlich erhalten.

23:11.900 --> 23:18.910
So, damit können wir also hier die kinetische Energie weiter umformen.

23:19.530 --> 23:37.100
Und erhalten 1,5m l Quadrat Viertel mal Phi Punkt Quadrat plus 1,5js

23:37.100 --> 23:38.720
mal Phi Punkt Quadrat.

23:38.720 --> 23:50.160
Und das können wir zusammenfassen zu 1,5m l Quadrat Viertel plus js

23:50.160 --> 23:53.840
mal Phi Punkt Quadrat.

23:54.320 --> 23:56.460
Das bitte ich Sie, da noch reinzuklemmen.

23:57.460 --> 24:03.600
Und die Verwendung des Energiesatzes heißt jetzt einfach nur, T0 plus

24:03.600 --> 24:08.620
U0 muss gleich sein, T1 plus U1.

24:09.340 --> 24:15.120
Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie muss konstant sein.

24:17.420 --> 24:22.820
So, das heißt auf der linken Seite das Gleichheitszeichen habe ich m

24:22.820 --> 24:23.900
mal g mal l Halbe.

24:25.640 --> 24:31.840
Auf der rechten Seite habe ich m mal g mal l Halbe Cosinus Phi plus

24:31.840 --> 24:33.460
kinetische Energie.

24:33.460 --> 24:46.860
Also plus 1,5m mal l Quadrat Viertel plus js mal Phi Punkt Quadrat.

24:50.300 --> 24:52.380
Und das wäre schon mein Ergebnis.

24:53.360 --> 24:56.840
Ich müsste es jetzt nur noch nach Phi Punkt umformen.

24:56.840 --> 25:01.140
Und Sie sehen, ich habe hier eine Gleichung zu stehen, wo Phi Punkt,

25:01.280 --> 25:05.440
die Winkelgeschwindigkeit, als Funktion von Phi dasteht.

25:06.280 --> 25:09.760
Was aber, wenn ich das Ergebnis vergleichen möchte mit der

25:09.760 --> 25:13.980
Bewegungsgleichung, in der ja Phi 2 Punkt als Funktion der Zeit, also

25:13.980 --> 25:18.060
die Winkelbeschleunigung als Funktion der Zeit dasteht, dann muss ich

25:18.060 --> 25:20.900
diese Gleichung noch einmal nach der Zeit ableiten.

25:20.900 --> 25:23.960
Ich denke, ich führe Ihnen das vielleicht noch einmal kurz vor.

25:25.780 --> 25:27.380
Einfach auf einem extra Blatt.

25:35.730 --> 25:37.350
Was haben wir alles?

25:37.430 --> 25:39.010
Bis hier haben wir folgende Gleichung.

25:40.590 --> 25:47.430
m mal g mal l Halbe 1 minus Cosinus Phi.

25:50.290 --> 25:55.990
Das war die Differenz der beiden potenziellen Energien zum Zustand 0

25:55.990 --> 25:57.050
und zum Zustand 1.

25:57.450 --> 26:00.490
Und auf der rechten Seite schreibe ich Ihnen jetzt die kinetische

26:00.490 --> 26:01.050
Energie hin.

26:01.110 --> 26:11.970
Das war 1,5 l Quadratviertel mal m plus js mal Phi Punkt zum Quadrat.

26:11.990 --> 26:14.870
Sie sehen, das 1,5 kürzt sich hier heraus.

26:15.890 --> 26:26.050
Für Phi Punkt erhalte ich dann m mal g mal l 1 minus Cosinus Phi,

26:27.930 --> 26:34.950
geteilt durch l Quadratviertel m plus js und daraus die Wurzel.

26:36.290 --> 26:38.790
Und zum Glück ist der Cosinus Phi maximal gleich 1.

26:39.010 --> 26:41.290
Ich erhalte also hier immer eine positive Wurzel.

26:41.290 --> 26:46.450
Das wäre das Ergebnis Phi Punkt, Winkelgeschwindigkeit als Funktion

26:46.450 --> 26:47.970
des Winkels selbst, Phi.

26:48.250 --> 26:51.730
Sie sehen, das Phi tritt hier in der Cosinusfunktion auf.

26:53.530 --> 26:57.870
Wenn Sie das Ganze linearisieren wollen für kleine Winkel, dann hätten

26:57.870 --> 27:01.390
Sie dort eine konstante Winkelgeschwindigkeit, allerdings nur für

27:01.390 --> 27:06.170
kleine Winkel gültig, nämlich m mal g mal l geteilt durch js plus l

27:06.170 --> 27:07.930
Quadratviertel mal m.

27:11.610 --> 27:17.430
So, jetzt springen wir wieder zurück in diese Gleichung hier und

27:17.430 --> 27:19.290
leiten die Gleichung nach der Zeit ab.

27:21.510 --> 27:27.210
Dann würden wir wiederkommen auf das Winkelbeschleunigungszeitgesetz,

27:27.530 --> 27:28.070
behaupte ich.

27:28.810 --> 27:29.890
Mal sehen, ob das stimmt.

27:30.770 --> 27:34.770
Also leiten wir die linke Seite nach der Zeit ab, m mal g mal l.

27:37.430 --> 27:40.590
1 nach der Zeit abgeleitet, brauche ich nicht ableiten, ist 0.

27:41.290 --> 27:48.450
Cosinus Phi abgeleitet, gibt mir den Sinus Phi, Phi Punkt und ein

27:48.450 --> 27:49.550
negatives Vorzeichen.

27:49.690 --> 27:51.790
Und das beißt sich gerade mit dem, was ich dort schon habe.

27:51.910 --> 27:54.550
Also ein positives Vorzeichen bleibt übrig.

27:55.570 --> 28:00.590
Rechte Seite der obersten Gleichung, der da ganz oben nach der Zeit

28:00.590 --> 28:01.210
abgeleitet.

28:01.210 --> 28:05.090
Dazu muss ich nur die Funktion Phi Punkt Quadrat nach der Zeit

28:05.090 --> 28:05.570
ableiten.

28:06.150 --> 28:08.550
Und da muss ich mich einfach an die Kettenregel erinnern.

28:08.990 --> 28:14.890
Also l Quadratviertel mal m plus js, eine quadratische Funktion

28:14.890 --> 28:21.470
abgeleitet, gibt 2 mal Phi Punkt mal innere Ableitung, Phi 2 Punkt.

28:22.390 --> 28:25.470
Sie sehen, das Phi Punkt kürzt sich hier heraus.

28:26.450 --> 28:32.190
Übrig bleibt ein Beschleunigungszeitgesetz, Phi 2 Punkt bzw.

28:32.590 --> 28:33.830
als Funktion des Winkels.

28:34.550 --> 28:39.190
Als Funktion von Phi, und Phi selbst ist dann eine Funktion von T.

28:43.150 --> 28:47.370
Jetzt hätten wir folgende Gleichung hier zu stehen.

28:48.770 --> 28:55.990
Einhalb m mal g mal l mal Sinus Phi, als Funktion von der Zeit, gleich

28:55.990 --> 29:03.830
l Quadratviertel m plus js mal Phi 2 Punkt von T.

29:03.950 --> 29:08.170
Und genau die gleiche Gleichung sollten Sie auch erhalten, wenn Sie

29:08.170 --> 29:12.930
klassisch mit Newton-Euler, mit Impulsgesetz und Drehimpulsgesetz

29:12.930 --> 29:16.150
vorgehen und einfach die Bewegungsgleichung formulieren.

29:16.730 --> 29:19.730
Für den reitfreien Fall erhalten Sie auch diese Gleichung.

29:20.350 --> 29:24.090
Und Sie sehen, das ist wieder eine Differenzialgleichung zweiter

29:24.090 --> 29:24.530
Ordnung.

29:25.370 --> 29:30.570
Phi selbst steht mit zwei Punkten da, also zweite Ableitung der

29:30.570 --> 29:32.630
Winkelfunktion steht hier.

29:33.150 --> 29:34.610
Dort steht die Funktion Sinus Phi.

29:34.750 --> 29:38.930
Wenn Sie hier linearisieren, erhalten Sie dafür den Ausdruck Phi von

29:38.930 --> 29:39.110
T.

29:39.110 --> 29:42.690
Also in dem Fall, wenn Sie linearisieren, eine lineare

29:42.690 --> 29:45.610
Differenzialgleichung, im allgemeinen Fall eine nicht lineare

29:45.610 --> 29:48.330
Differenzialgleichung, kompliziert zu lösen.

29:48.690 --> 29:52.350
Sie müssen bei der Lösung zweimal aufintegrieren, erhalten also zwei

29:52.350 --> 29:54.870
Anfangsbedingungen, die Sie einsetzen müssen.

29:55.430 --> 30:00.210
Und das wäre beispielsweise der Ort, der Lage des Schwerpunktes zur

30:00.210 --> 30:05.070
Zeit T gleich 0 oder irgendeine Anfangszeit, und die Geschwindigkeit

30:05.070 --> 30:10.410
im Schwerpunkt, also Phi Punkt und Phi zur Zeit T gleich 0.

30:10.610 --> 30:12.170
Die müssen Sie sich vorgeben.

30:14.130 --> 30:16.970
Und dann erhalten Sie Phi als Funktion von T.

30:17.250 --> 30:18.790
Also Integration,

30:23.380 --> 30:31.080
Anfangsbedingungen, und Anfangsbedingungen haben wir zwei Stück.

30:31.080 --> 30:37.660
Phi T gleich 0, Phi Punkt von T gleich 0.

30:39.760 --> 30:42.440
Und damit erhalten Sie Phi von T,

30:45.680 --> 30:49.700
den Winkel, als Funktion von der Zeit.

30:50.440 --> 30:55.460
Hier oben erhalten Sie Winkelgeschwindigkeit als Funktion des Winkels.

30:55.780 --> 30:59.640
Hier erhalten Sie letzten Endes den Winkel als Funktion von der Zeit.

31:00.390 --> 31:03.720
Also das noch einmal, diese beiden unterschiedlichen Darstellungen.

31:05.020 --> 31:09.480
Jetzt also, wie ich Ihnen versprochen habe, noch einmal ein kleiner

31:09.480 --> 31:16.520
Rückblick auf das Dreigesetz, nämlich vor dem Hintergrund, dass wir

31:16.520 --> 31:21.520
damals die sogenannten Deviationsmomente vernachlässigt haben, dass

31:21.520 --> 31:25.500
wir also nur einen eingeschränkten Dreisatz formuliert haben.

31:26.660 --> 31:31.920
Und den allgemeinen Dreisatz brauchen wir in dem Fall, wo wir ein

31:31.920 --> 31:37.780
Problem haben, bei dem die Symmetrieachse unseres Objektes nicht

31:37.780 --> 31:40.680
zusammenfällt mit der Achse, um die wir drehen.

31:41.020 --> 31:42.680
Also, konkretes Beispiel.

31:45.000 --> 31:51.580
Stellen Sie sich vor, das wäre hier Ihre Fahrzeugachse.

31:53.140 --> 31:58.160
Fahrrad, Hinterrad beispielsweise, Achse oder beim Automobil die

31:58.160 --> 31:58.540
Achse.

31:59.000 --> 32:03.760
Und Ihr Rad, da hat Ihnen einer vor Wut gegengetreten, Ihr Rad hat

32:03.760 --> 32:04.920
sich also schiefgestellt.

32:05.300 --> 32:08.080
Das heißt, wenn das um diese Achse dreht, eiert das.

32:08.440 --> 32:09.240
Sie kennen das alle.

32:10.520 --> 32:17.120
Das fängt also an zu eiern und damit treten Lagerreaktionen auf, die

32:17.120 --> 32:22.500
abhängig sind davon, dass jetzt hier diese Achse, die Symmetrieachse

32:22.500 --> 32:27.620
Ihres Reifens, nicht mehr zusammenfällt mit der Drehachse, mit der

32:27.620 --> 32:29.140
Achse Ihres Fahrrades.

32:30.320 --> 32:32.760
Diesen Effekt wollen wir untersuchen.

32:36.920 --> 32:41.680
Sie sehen, bei dieser Darstellung treten zwei sinnvolle

32:41.680 --> 32:43.060
Koordinatensysteme auf.

32:43.060 --> 32:48.060
Ein Koordinatensystem ist das Koordinatensystem Ihres Reifens.

32:49.220 --> 32:51.000
Xi, Eta, Zeta.

32:51.620 --> 32:53.640
Warum heißt das immer noch Xi, Eta, Zeta?

32:54.060 --> 32:57.840
Weil wir in diesem Koordinatensystem hervorragend das

32:57.840 --> 32:59.720
Massenträgheitsmoment ausrechnen können.

33:01.280 --> 33:04.520
Das ist einfach, wenn wir das als Kreisscheibe ansehen.

33:04.840 --> 33:09.240
Wir haben das JZ mal ausgerechnet, 1,5m mal R² und genauso kann ich

33:09.240 --> 33:11.280
auch JXi und JEta ausrechnen.

33:11.280 --> 33:14.600
Da steht dann einfach nur 1,25m mal R².

33:14.900 --> 33:17.820
Also es hat sich praktisch hier in einem Dimensionen ein bisschen was

33:17.820 --> 33:18.240
getan.

33:18.660 --> 33:23.420
Das liegt einfach daran, dass die Quererstreckung dieses Reifens sehr

33:23.420 --> 33:27.080
viel größer ist als die Erstreckung der Höhe, wie Sie so draufschauen.

33:28.980 --> 33:34.660
Und deswegen steht hier ein Faktor 1,25 und das JZ mit 1,5m mal R² ist

33:34.660 --> 33:35.460
sehr viel größer.

33:35.900 --> 33:39.560
So, jetzt ist das aber leider nicht das Koordinatensystem, um das wir

33:39.560 --> 33:43.320
drehen, sondern das Koordinatensystem, in dem unsere Drehachse liegt,

33:43.780 --> 33:48.860
ist gekennzeichnet durch einen Basisvektor EZ'.

33:48.860 --> 33:54.720
Und Sie sehen, zwischen EZ' und EZ' liegt ein Winkel Beta.

33:57.640 --> 34:00.160
Wie kommt dieses Koordinatensystem zustande?

34:00.160 --> 34:08.140
Nun, eine Drehung um diesen Winkel Beta, das heißt, unser Basisvektor

34:08.140 --> 34:11.900
EZ', der Ihnen hier aus der Zeichnungsebene entgegenkommt, der ist

34:11.900 --> 34:12.460
identisch.

34:12.840 --> 34:17.620
EZ' ist ein EZ', denn wir drehen um eine Achse, die Ihnen hier aus der

34:17.620 --> 34:22.940
Zeichnungsebene entgegenkommt, die also hier durch diesen gemeinsamen

34:22.940 --> 34:26.860
Kontaktpunkt zwischen Reifen und Achse zustande kommt.

34:27.740 --> 34:32.720
Aber es ändert sich natürlich auch der Basisvektor EXI.

34:33.080 --> 34:39.480
Wenn Sie EZ' um den Winkel Beta drehen, müssen Sie auch EXI um den

34:39.480 --> 34:45.580
Winkel Beta nach EXI' drehen.

34:48.420 --> 34:51.460
Das wäre der Winkel Beta hier wieder.

34:53.700 --> 34:58.380
Jetzt können wir diese Drehung der Basisvektoren natürlich ausrechnen.

34:58.600 --> 35:01.540
Das ist einfach nur eine Transformation.

35:02.540 --> 35:16.020
Wir können uns also ausrechnen, wie groß EXI in Abhängigkeit der

35:16.020 --> 35:22.820
Basisvektoren EXI' und EZ' sein wird.

35:22.820 --> 35:28.800
EET' tritt hier natürlich nicht auf, von EET' wissen wir sofort, es

35:28.800 --> 35:31.820
ist gleich EET'.

35:34.220 --> 35:47.420
Das ist einmal EXI, ein Einteil Kosinus-Beta von EXI' und

35:51.960 --> 35:59.540
dann noch einen zweiten Anteil, nämlich von EZ', der Anteil Sinus

35:59.540 --> 35:59.840
-Beta.

36:05.240 --> 36:10.920
Für EZ' ist es natürlich genau umgekehrt.

36:10.940 --> 36:12.180
Wir müssen nur darauf achten,

36:17.240 --> 36:22.640
dass wir den Sinus mit dem negativen Vorzeichen versehen.

36:22.640 --> 36:32.960
Dieser Anteil von EXI' zeigt ganz deutlich nach links.

36:33.960 --> 36:51.540
Also minus Sinus-Beta EXI' plus Kosinus-Beta EZ'.

36:57.720 --> 37:00.880
Jetzt kann ich das Ganze als eine Matrix schreiben.

37:01.780 --> 37:04.520
Sie kennen das aus der Mathematik.

37:04.520 --> 37:11.100
Ich nenne die Matrix T, Transformationsmatrix, schreibe dafür Kosinus

37:11.100 --> 37:22.500
-Beta 0, Sinus-Beta 0, 1, 0, minus Sinus-Beta 0, Kosinus-Beta.

37:23.820 --> 37:26.020
Was macht diese Matrix T?

37:28.060 --> 37:35.860
Sie nimmt einen Vektor, der mir gegeben ist, in der Basis E', also in

37:35.860 --> 37:44.940
diesem Koordinatensystem EXI', EETA', EZ', und transformiert ihn in

37:44.940 --> 37:51.960
die Koordinaten eines Vektors in dem neuen Basissystem EXI', EETA' und

37:51.960 --> 37:52.460
EZ'.

37:52.900 --> 37:55.980
Hatten Sie solche Koordinatentransformationen schon einmal behandelt

37:55.980 --> 37:56.880
in der Mathematik?

37:57.780 --> 38:00.400
Oder sagt man, Wirtschaftsingenieure brauchen so etwas nicht, also

38:00.400 --> 38:02.080
Maschinenbauer brauchen so etwas sehr häufig?

38:02.560 --> 38:05.140
Da werden öfters einmal Koordinatensysteme transformiert.

38:05.740 --> 38:08.580
Sie haben bei mir auch schon einmal Koordinatensysteme transformiert,

38:08.640 --> 38:11.620
da können Sie sich nicht herausreden, und zwar beim Moorschen

38:11.620 --> 38:12.480
Spannungskreis.

38:12.480 --> 38:19.060
Da haben wir uns einmal angeschaut, wie sich die Spannungen verändern,

38:19.480 --> 38:23.000
Schubspannung und Normalspannung, in Abhängigkeit vom Winkel, wenn ich

38:23.000 --> 38:24.520
das Koordinatensystem drehe.

38:25.000 --> 38:28.480
Nichts anderes mache ich hier auch, ich drehe das Koordinatensystem um

38:28.480 --> 38:29.300
einen Winkel, Beta.

38:29.300 --> 38:37.440
Mithilfe dieser Matrix T kann ich mir also vorgeben, ein Vektor in der

38:37.440 --> 38:42.340
E' -Basis, und der wird mithilfe von T mal dem Vektor mal den

38:42.340 --> 38:47.160
Vektorkoordinaten, also einfaches Matrix-Vektor-Produkt, in einen

38:47.160 --> 38:53.520
Vektor in der Basis in E dargestellt.

39:00.280 --> 39:03.260
Also, natürlich müssen Sie an das E dann immer noch einen Index dran

39:03.260 --> 39:06.100
machen, Xi, Eta, Zeta, das erspare ich mir jetzt.

39:06.840 --> 39:09.220
Manchmal möchte man auch den umgekehrten Fall haben.

39:09.620 --> 39:18.300
Ich möchte von der Xi, Eta, Zeta-Basis, dieser Basis hier, in meine Xi

39:18.300 --> 39:22.660
-Eta -Zeta-Basis kommen.

39:23.260 --> 39:25.460
Wo könnte das zum Beispiel der Fall sein?

39:25.540 --> 39:32.120
Na ja, schauen Sie sich an, mein Massenträgheitsmoment ist definiert

39:32.120 --> 39:34.260
in der Basis Xi, Eta, Zeta.

39:34.900 --> 39:40.640
Meine Dynamik, die Rotation, findet aber in der Basis Xi', Eta', Zeta'

39:40.920 --> 39:41.240
statt.

39:41.240 --> 39:44.300
Also möchte ich auch mal den umgekehrten Fall betrachten.

39:44.400 --> 39:52.260
Ich möchte gerne mal von der Basis E in E' drehen.

39:55.880 --> 39:58.540
Welche Matrix-Multiplikation muss ich da machen?

39:59.420 --> 40:02.080
Nun, Sie werden vielleicht sagen, ich muss die Inverse von T nehmen.

40:03.080 --> 40:04.600
Also T hoch minus 1.

40:08.360 --> 40:17.800
Vektor in E wird mithilfe von T hoch minus 1 in einen Vektor in E'

40:18.120 --> 40:18.820
dargestellt.

40:21.720 --> 40:25.660
Jetzt ist das aber eine sogenannte orthogonale Matrix.

40:26.260 --> 40:29.820
Alle Koordinatentransformationsmatrixen sind orthogonale Matrixen.

40:30.680 --> 40:31.620
Was heißt orthogonal?

40:32.300 --> 40:35.980
Das heißt, die Inverse ist gleich der Transponierte.

40:36.760 --> 40:39.960
Wenn Sie es mir nicht glauben, transponieren Sie die einfach und

40:39.960 --> 40:44.420
rechnen sich das Matrixprodukt T mal T transponiert aus und es kommt 1

40:44.420 --> 40:44.700
raus.

40:45.320 --> 40:46.260
Pythagoras sei Dank.

40:49.000 --> 40:51.300
Das wissen wir jetzt einfach nur, die Transponierte.

40:52.040 --> 40:56.680
Das heißt, das Minuszeichen wandert von da unten nach da oben.

40:57.160 --> 40:58.160
Mehr passiert auch nicht.

40:58.600 --> 41:02.840
Und schon sind Sie in der Lage, von einem Vektor in E auf einen Vektor

41:02.840 --> 41:06.300
in E' in der gestrichenen Basis zu schließen.

41:07.800 --> 41:10.260
Was brauchen wir jetzt?

41:11.440 --> 41:20.340
Unsere Dynamik findet statt in dem Koordinatensystem C' E' C'.

41:20.340 --> 41:24.600
Denn C' ist unsere Drehachse.

41:25.040 --> 41:25.540
Ganz klar.

41:25.760 --> 41:28.840
Nur für diese Drehachse hatten wir die dynamischen Gleichungen

41:28.840 --> 41:29.460
formuliert.

41:30.020 --> 41:34.760
Wenn Sie sich an die noch erinnern, auswendig müssen Sie die nicht

41:34.760 --> 41:37.940
wissen, aber vielleicht durch Blättern daran erinnern, wo Sie die

41:37.940 --> 41:40.720
aufgeschrieben haben, ich schreibe Ihnen die jetzt noch einmal auf,

41:40.800 --> 41:42.040
dann waren das drei Gleichungen.

41:42.600 --> 41:49.420
Einmal steht dort M'C', einmal stand dort M'E' und einmal stand dort M

41:49.420 --> 41:49.940
'C'.

41:49.940 --> 41:52.560
Und wir haben gesagt, wir nehmen nur die letzte dieser drei

41:52.560 --> 41:53.080
Gleichungen.

41:53.080 --> 41:58.180
Da wir jetzt aber das gestrichene Koordinatensystem betrachten, da

41:58.180 --> 42:02.380
unsere Drehachse die C'-Achse ist, muss ich natürlich hier überall

42:02.380 --> 42:03.820
noch einen kleinen Strich heransetzen.

42:07.360 --> 42:09.640
Und wie groß waren diese drei Momente?

42:10.580 --> 42:18.620
Das war einmal Omega-Punkt, J, Zeta.

42:19.540 --> 42:22.920
Ups, das ist ein Zeta und das ist ein Xi.

42:26.140 --> 42:33.200
Strich, minus Omega-Quadrat, J, Zeta, Eta.

42:33.950 --> 42:40.320
Dann hatten wir Omega-Punkt, J, Zeta, Eta.

42:41.220 --> 42:43.400
Strich, Strich, überall Striche ran.

42:44.820 --> 42:53.100
Plus Omega-Quadrat, J, Zeta, Xi.

42:53.700 --> 42:55.240
Strich, Strich.

42:55.920 --> 43:03.240
Und zum Schluss Omega-Punkt, J, Zeta, Zeta.

43:03.680 --> 43:04.580
Strich, Strich.

43:05.120 --> 43:07.260
So, Preisfrage.

43:08.920 --> 43:14.780
Wie komme ich auf diese gestrichenen Größen, auf diese gestrichenen

43:14.780 --> 43:16.000
Trägheitsmomente?

43:16.560 --> 43:23.520
Ich kenne mein Trägheitsmoment nur in der Basis Xi, Eta, Zeta.

43:24.080 --> 43:30.580
Also muss ich es transformieren in die Basis Xi-Strich, Eta-Strich,

43:31.180 --> 43:31.920
Zeta -Strich.

43:32.800 --> 43:33.800
Aber wie mache ich das?

43:34.860 --> 43:36.120
Nun, ich muss mir überlegen.

43:37.660 --> 43:38.960
Ich nehme einen Vektor her.

43:40.520 --> 43:44.320
Wenn ich das Massenträgheitsmoment so nehme, wie es hier steht, würde

43:44.320 --> 43:48.660
ich einen Drehvektor nehmen, reinstecken, also multiplizieren mit dem

43:48.660 --> 43:51.060
Massenträgheitsmoment und ich bekomme ein Ergebnis raus.

43:51.060 --> 43:56.760
Wenn ich dieses J-Xi nehme, nehme ich von meinem Drehvektor auch die

43:56.760 --> 44:02.080
entsprechende Komponente im Xi-Eta-Zeta-Koordinatensystem und erhalte

44:02.080 --> 44:05.280
ein Ergebnis im Xi-Eta-Zeta-Koordinatensystem.

44:05.860 --> 44:09.340
Jetzt muss ich also einen Vektor reinstecken, wenn ich die

44:09.340 --> 44:14.620
gestrichenen Größen nehme, der im Xi-Strich, Eta-Strich, Zeta-Strich

44:14.620 --> 44:20.120
-Koordinatensystem definiert ist, transformiere diesen Vektor in dem

44:20.120 --> 44:25.920
gestrichenen Koordinatensystem mit Hilfe der Matrix T in einem Vektor

44:25.920 --> 44:31.200
im Koordinatensystem Xi-Eta-Zeta, multipliziere das Ganze dann mit

44:31.200 --> 44:36.560
meinem J und dann multipliziere ich das Ergebnis, denn das Ergebnis,

44:36.680 --> 44:40.960
was ich jetzt hier hätte, wäre ein Ergebnis im Koordinatensystem Xi

44:40.960 --> 44:41.680
-Eta -Zeta.

44:41.680 --> 44:46.020
Ich möchte aber ins gestrichene Koordinatensystem, also multipliziere

44:46.020 --> 44:47.960
ich nochmal mit T, T.

44:48.740 --> 44:49.980
T transponiert.

44:52.280 --> 44:55.160
Und was ist das J, was ich hier hingeschrieben habe?

44:56.640 --> 45:09.620
Das J ist J-Xi, J-Eta-Eta, J-Zeta-Zeta und sonst nichts.

45:10.940 --> 45:20.460
Denn so weiß ich, sehen die möglichen Massenträgheitsmomente aus für

45:20.460 --> 45:23.800
meine Kreisscheibe, diese Matrix.

45:24.260 --> 45:29.700
Wenn ich diese Matrix-Operation durchführe, zwei Matrix-Produkte,

45:30.140 --> 45:38.180
erhalte ich J-J in der gestrichenen Basis, in der Basis, in der meine

45:38.180 --> 45:39.280
Dynamik spielt.

45:42.140 --> 45:46.140
Ich glaube, mit Matrix-Multiplikationen wurden Sie lang genug in der

45:46.140 --> 45:47.120
Mathematik gequält.

45:47.620 --> 45:49.440
Ich glaube, Sie könnten das jetzt ausrechnen.

45:49.520 --> 45:53.800
Ich schreibe Ihnen einfach das Ergebnis hin und Sie müssen es dann

45:53.800 --> 45:56.340
entweder zu Hause nachrechnen oder glauben.

45:58.360 --> 46:02.800
Oder Sie haben sowas wie Maple und Mathematiker und rechnen das damit

46:02.800 --> 46:03.100
nach.

46:03.100 --> 46:16.440
Also das ist J-Xi-Xi mal Cosinus-Quadrat-Beta plus J-Zeta-Zeta Sinus

46:16.440 --> 46:18.580
-Quadrat -Beta.

46:21.140 --> 46:24.980
Jetzt muss ich mal die J-Matrix da löschen, sonst habe ich hier zu

46:24.980 --> 46:25.600
wenig Platz.

46:27.780 --> 46:31.160
Die haben Sie sich gemerkt, das ist diese Diagonalmatrix.

46:31.160 --> 46:34.080
Ich schaffe mir hier mal ein bisschen Platz auf der Folie.

46:36.840 --> 46:45.220
Dann kommt als zweites die Null und als dritter Eintrag kommt J-Zeta

46:45.220 --> 46:57.460
-Zeta Sinus-Beta Cosinus-Beta minus J-Zeta-Zeta Cosinus-Beta Sinus

46:57.460 --> 46:57.800
-Beta.

46:58.800 --> 47:02.220
Also das erste ist ein Xi, das zweite ist ein Zeta.

47:03.820 --> 47:05.680
Die nächste Zeile ist ganz einfach.

47:07.700 --> 47:12.240
Da wir um diese Achse drehen, die Eta-Achse also gleich bleibt, ändert

47:12.240 --> 47:14.380
sich dort auch das Massenträgheitsmoment nicht.

47:16.420 --> 47:17.400
Letzte Zeile.

47:18.100 --> 47:21.020
Bei der letzten Zeile wissen Sie schon mal eins.

47:22.040 --> 47:24.120
Dieser Ausdruck hier muss symmetrisch sein.

47:24.240 --> 47:27.840
Wenn Sie sich die Integrale anschauen, die die Massenträgheitsmomente

47:27.840 --> 47:31.800
definieren, sehen Sie, die sind symmetrisch gegenüber Vertauschung.

47:31.860 --> 47:35.420
Das heißt, ich kann diesen Ausdruck schon mal hier unten abschreiben.

47:36.420 --> 47:50.560
Dort steht also J-Xi-Xi Sinus-Beta Cosinus-Beta minus J-Zeta-Zeta

47:50.560 --> 47:53.120
Cosinus -Beta Sinus-Beta.

47:55.280 --> 48:02.480
Dann kommt die Null und dann kommt der letzte Term, der Term hier in

48:02.480 --> 48:02.660
der Ecke.

48:03.920 --> 48:05.080
Wie lautet der?

48:05.480 --> 48:09.220
Nun, der lautet so wie der erste Term, nur dass sich praktisch die

48:09.220 --> 48:11.120
Cosinus - und Sinusfunktionen vertauschen.

48:11.320 --> 48:22.080
Also wir haben J-Xi-Xi Sinus-Quadrat-Beta plus J-Zeta-Zeta Cosinus

48:22.080 --> 48:23.460
-Quadrat von Beta.

48:24.240 --> 48:31.820
So, jetzt werden Sie sich fragen, das war J-Strich in der gestrichenen

48:31.820 --> 48:36.180
Basis, was habe ich eigentlich damit erreicht?

48:36.500 --> 48:40.100
Nun, ich habe mir diese Größen hier ausgerichtet.

48:40.460 --> 48:41.840
Schauen wir nach, wo wir die finden.

48:42.320 --> 48:46.360
Wo finden wir beispielsweise das J-Zeta-Xi-Strich?

48:47.900 --> 48:51.920
Dann gehen wir in die dritte Zeile, erste Spalte, das wäre also dieser

48:51.920 --> 48:54.360
längliche Ausdruck hier, den habe ich gefunden.

48:55.020 --> 48:58.860
Wo finden wir das J-Zeta-Eta-Strich?

49:01.560 --> 49:04.380
Da stellen wir fest, oh, das ist ja Null.

49:05.380 --> 49:08.700
Wunderbar, können wir uns das Leben schon mal leichter machen.

49:09.200 --> 49:12.360
Der Ausdruck hier ist also tatsächlich Null.

49:14.440 --> 49:20.920
Dann haben wir J-Zeta-Eta-Strich, ist natürlich genau das gleiche wie

49:20.920 --> 49:22.500
dort oben, also auch die Null.

49:26.520 --> 49:30.800
Und dann haben wir noch den letzten Term, J-Zeta-Zeta-Strich, das ist

49:30.800 --> 49:34.680
der, den wir sonst immer berücksichtigt haben, also diese Gleichung

49:34.680 --> 49:39.400
ist die Gleichung, die Sie sonst immer beim Dreisatz verwendet haben.

49:40.780 --> 49:45.180
So, jetzt wäre ich also mit meinem Latein am Ende, das wären die

49:45.180 --> 49:50.380
Gleichungen, wie sie sich ergeben würden für die Momente eines

49:50.380 --> 49:51.620
eiernden Rades.

49:52.320 --> 49:54.800
Nun wäre das aber ziemlich langweilig, wenn wir damit nicht noch

49:54.800 --> 49:55.900
irgendwas machen könnten.

49:56.780 --> 50:00.160
Jetzt stellen Sie sich vor, Sie fahren mit konstanter Geschwindigkeit.

50:00.980 --> 50:04.400
Also wir lassen mal den Anfahrvorgang beiseite, Sie fahren mit Ihrem

50:04.400 --> 50:07.820
Auto oder mit Ihrem Fahrrad stets mit der gleichen Geschwindigkeit,

50:07.820 --> 50:11.480
dann haben Sie stets die gleiche Winkelgeschwindigkeit, das heißt,

50:12.800 --> 50:15.640
Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit ist Null.

50:16.120 --> 50:25.860
Also, für Omega konstant, für den Sonderfall Omega gleich konstant,

50:26.040 --> 50:28.380
ist das Null und ist das Null.

50:29.160 --> 50:33.380
Das heißt, die letzte Gleichung ergibt sich zu Null, muss man sagen

50:33.380 --> 50:36.720
ungefähr Null, die erste Gleichung ergibt sich zu Null.

50:37.420 --> 50:39.820
Aber was ist mit der zweiten Gleichung los?

50:50.030 --> 50:53.070
Diese Gleichung bleibt Ihnen übrig.

50:56.230 --> 51:02.830
Wenn da nicht jemand gegen Ihren Reifen getreten hätte und der Reifen

51:02.830 --> 51:06.750
genau symmetrisch liegen würde zu dieser Achse selbst, würden Sie über

51:06.750 --> 51:09.250
die Gleichung hier gar nicht mehr diskutieren, da würden Sie sagen,

51:09.470 --> 51:11.130
das Ding ist hier auch gleich Null.

51:14.410 --> 51:18.710
Aber Sie sehen, in dem Fall, wo Ihr Reifen ein bisschen schief steht,

51:18.750 --> 51:23.230
weil dort jemand gegengetreten hat, müssen Sie dafür diesen Ausdruck

51:23.230 --> 51:25.350
hier unten einsetzen.

51:35.670 --> 51:41.210
Und Sie sehen, dieser Ausdruck ist dann im Allgemeinen ungleich Null.

51:42.850 --> 51:44.570
Ja, wie groß ist der denn jetzt?

51:44.990 --> 51:46.070
Können wir das ausrechnen?

51:46.410 --> 51:52.490
Das können wir ganz konkret ausrechnen, wenn wir für Jxz und Jzz diese

51:52.490 --> 51:53.870
Zahlenwerte einsetzen.

51:54.290 --> 51:57.590
Dann haben wir hier Funktionen Sinusbeta, Cosinusbeta und da können

51:57.590 --> 52:00.170
wir dann auch eine kleine trigonometrische Umformung machen.

52:00.170 --> 52:14.130
Das heißt, Jxz ergibt sich nach einer kleinen trigonometrischen

52:14.130 --> 52:27.730
Umformung zu Minus ein Achtel m mal r Quadrat mal Sinus von 2 Beta.

52:28.930 --> 52:29.530
So.

52:31.850 --> 52:33.170
Was sagt Ihnen das?

52:34.830 --> 52:38.650
Das sagt Ihnen, Ihre Achse muss hier einen Moment aufnehmen.

52:39.330 --> 52:43.270
Es gibt permanent, wenn Sie fahren, einen Moment, das um die Achse,

52:43.490 --> 52:46.910
die Ihnen hier aus der Zeichnungsebene entgegenkommt, dreht.

52:47.610 --> 52:51.050
Das dreht immer so rum und belastet damit Ihre Lagerstellen.

52:52.290 --> 52:53.390
Warum ist das so?

52:54.230 --> 52:58.230
Dieses Moment versucht permanent, Ihren Reifen wieder aufzurichten.

52:58.530 --> 53:01.850
Das heißt, Ihren Reifen wieder in die Symmetrieachse reinzubringen.

53:02.090 --> 53:05.910
Also sozusagen die Acht auszugleichen, die Sie aber rein materiell

53:05.910 --> 53:09.090
einfach durch Ihren Fußtritt in die Achse, also in das Rad,

53:09.210 --> 53:09.970
reingebracht haben.

53:10.810 --> 53:13.770
Das ist genau dieser Effekt, den Sie dann auch sehen, dieses Eier.

53:14.650 --> 53:19.190
Jetzt schauen wir uns an, ist dieses Moment groß oder ist es klein,

53:19.330 --> 53:20.170
wovon wird es beeinflusst?

53:20.630 --> 53:23.730
Nun, es wird einmal von dem J beeinflusst und einmal von dem Omega.

53:24.370 --> 53:26.270
Das Ding ist schon mal super gefährlich.

53:30.350 --> 53:31.910
Das ist super gefährlich.

53:32.190 --> 53:36.350
Stellen Sie sich vor, Sie fahren mit hoher Geschwindigkeit, 200 kmh

53:36.350 --> 53:39.430
auf der Autobahn, also Ihr Fahrrad macht das nicht mehr mit, mit einer

53:39.430 --> 53:40.650
dicken fetten Unwucht drin.

53:41.330 --> 53:45.150
Dann geht die Winkelgeschwindigkeit quadratisch ein in dieses Moment.

53:45.310 --> 53:48.010
Das heißt, je schneller Sie fahren, desto größer wird das Moment.

53:48.010 --> 53:51.770
Und wenn Sie jetzt nicht nur ein Auto haben, sondern eine Turbine, die

53:51.770 --> 53:55.230
noch viel höhere Geschwindigkeiten erreicht, dann sehen Sie, die

53:55.230 --> 53:57.150
Belastung für Ihr Lager wird hier extrem.

53:57.610 --> 54:00.070
Das kann also zu den berühmten Lagerschäden führen.

54:00.170 --> 54:03.810
Das heißt, irgendwann reißt Ihnen hier das Lager aus der Verankerung

54:03.810 --> 54:06.350
und dann möchte ich nicht neben dieser Einrichtung stehen.

54:06.850 --> 54:10.010
Also das Ganze fliegt Ihnen um die Ohren.

54:10.090 --> 54:12.030
Man hat dazu auch wirklich schöne Versuche gemacht.

54:12.030 --> 54:16.470
Also Sie sind natürlich keiner reingestellt, sondern Kamera in einen

54:16.470 --> 54:20.590
Raum gestellt, eine Achse mit Unwucht rotieren lassen, Geschwindigkeit

54:20.590 --> 54:24.970
immer weiter erhöht und irgendwann lag dann dieser ganze Raum wirklich

54:24.970 --> 54:25.770
in Asch und Schutt.

54:26.130 --> 54:30.650
Also das geht Ihnen hier völlig kaputt und die Kräfte, die dort

54:30.650 --> 54:34.410
auftreten können, gigantisch werden, wachsen mit Omega Quadrat ein.

54:34.410 --> 54:36.710
Aber Sie sehen noch zwei andere Einflüsse.

54:36.990 --> 54:39.110
Sie sehen hier noch R Quadrat.

54:39.830 --> 54:44.350
Also je größer der Radius Ihres Reifens ist, und das muss nicht

54:44.350 --> 54:47.310
unbedingt ein Reifen sein, das kann eben auch mal sowas Größes sein,

54:47.770 --> 54:52.350
wie die Turbinen schaufeln oder wie beispielsweise der Rotor bei einer

54:52.350 --> 54:54.430
Windkraftanlage oder bei irgendwas anderem.

54:54.770 --> 54:59.130
Je größer dieser Radius wird, desto größer wird dieses Unwuchtmoment,

54:59.170 --> 54:59.950
was hier entsteht.

54:59.950 --> 55:02.710
Und der dritte Effekt ist natürlich der Winkel-Beta.

55:03.110 --> 55:05.310
Sie sehen, der geht mit dem Sinus-2-Beta ein.

55:05.650 --> 55:09.050
Das heißt, je größer diese Abweichung ist, dieser Winkel-Beta hier

55:09.050 --> 55:12.950
oben zwischen diesen beiden Achsen, je größer dieser Winkel-Beta wird,

55:13.310 --> 55:16.990
desto größer wird dieses Moment, was Ihr Lager aufnehmen soll.

55:18.390 --> 55:22.130
Also Sie sehen, es war vielleicht eine etwas kompliziertere Rechnung.

55:22.130 --> 55:24.370
Der eine oder andere ist vielleicht kein Freund von diesen

55:24.370 --> 55:26.650
Koordinatentransformationen, die hier stattfinden.

55:27.150 --> 55:30.950
Aber ein ganz wichtiges praktisches Problem, das ich Ihnen hier bei

55:30.950 --> 55:33.070
der Ebenenbewegung nochmal vorstellen wollte.

55:33.490 --> 55:37.170
Und ich wollte Ihnen zeigen, dass es keineswegs immer so ist, dass man

55:37.170 --> 55:40.430
bei diesen drei Gleichungen, die Sie kennengelernt haben, einfach nur

55:40.430 --> 55:43.790
diese Gleichung hier unten betrachtet, also die Rotation um die

55:43.790 --> 55:44.390
Drehachse.

55:44.390 --> 55:48.650
Für einige Fälle, einige praktische Anwendungsfälle, beispielsweise

55:48.650 --> 55:54.410
das Auswuchten, ist es ein immenses Problem, hier die Lagermomente zu

55:54.410 --> 55:57.770
berechnen und diese Lagermomente dann möglichst zu Null setzen.

55:58.590 --> 56:00.290
Wie wird das jetzt in der Praxis gemacht?

56:00.390 --> 56:03.850
Das Auswuchten, das kennen Sie vielleicht alle, wenn Sie mit Ihrem Pkw

56:03.850 --> 56:08.190
mal beim TÜV waren und in der Werkstatt und das ausgewuchtet werden

56:08.190 --> 56:08.490
muss.

56:08.490 --> 56:11.530
Es werden praktisch diese Momente hier gemessen, also es wird

56:11.530 --> 56:13.010
gemessen, was ist dort vorhanden.

56:13.350 --> 56:18.970
Und dann wird versucht, dieses J-Zeta-Strich-Xi-Strich künstlich

56:18.970 --> 56:22.070
wieder runterzufahren, also kleiner zu machen, auf Null zu setzen,

56:22.230 --> 56:26.470
indem Sie einfach Ausgleichsmassen an diesen Reifen anbringen.

56:26.750 --> 56:29.390
Sie kennen das, das sind diese kleinen Massen, die dort angebracht

56:29.390 --> 56:29.670
werden.

56:29.670 --> 56:34.630
Und jetzt wissen Sie, das ist nichts anderes, als hier zu versuchen, J

56:34.630 --> 56:38.490
-Xi -Zeta-Strich so klein wie möglich zu halten.

56:39.190 --> 56:41.410
Das ist also die Erklärung davon.

56:42.590 --> 56:50.130
So, jetzt sind wir also fast komplett durch mit der Kinetik der

56:50.130 --> 56:50.950
Ebenenbewegung.

56:51.030 --> 56:55.570
Sie kennen jetzt die dynamischen Grundgleichungen, Impulsgesetz und

56:55.570 --> 56:58.930
Reihengesetz, die sogenannten Newton-Euler-Gleichungen.

56:58.930 --> 57:01.930
Sie wissen, wie man das Prinzip von D'Alembert formuliert.

57:02.230 --> 57:05.050
Und Sie wissen, wie man den Energiesatz formuliert und anwendet.

57:05.390 --> 57:08.070
Und das hier betrachten Sie als kleinen Exkurs, das ich Ihnen mal

57:08.070 --> 57:11.150
gezeigt habe, dass man nicht immer die Lagermomente hier

57:11.150 --> 57:12.050
vernachlässigen kann.

57:12.530 --> 57:15.730
Aber ein wichtiger Baustein, der uns noch fehlt, ist jetzt die

57:15.730 --> 57:19.730
Integration der Bewegungsgleichung nach der Zeit, die Impulserhaltung

57:19.730 --> 57:23.850
und die Drehimpulserhaltung und damit die Anwendung der Stöße.

57:23.850 --> 57:27.530
Damit komme ich zu einem neuen Kapitel im Skript.

57:28.650 --> 57:31.290
Das ist jetzt wieder sehr stark an das Skript angelehnt.

57:31.350 --> 57:34.690
Sie sehen, ich habe mir da einige Freizügigkeiten erlaubt, weil mir

57:34.690 --> 57:38.610
das Skript an der einen oder anderen Stelle nicht so gefiel, habe ich

57:38.610 --> 57:40.130
die Sachen etwas anders dargestellt.

57:40.250 --> 57:43.750
Aber jetzt sind Sie, wenn Sie das Skript gekauft haben, eigentlich

57:43.750 --> 57:46.110
wieder auf der sicheren Seite.

57:46.110 --> 57:50.470
Also wir haben unsere beiden Grundgleichungen.

57:51.830 --> 57:55.690
Newtonsches Grundgesetz, Impulssatz, formuliert für den

57:55.690 --> 57:57.410
Massenmittelpunkt des starren Körpers.

57:57.570 --> 58:04.050
F gleich M mal zweite Ableitung des Ortsvektors zum Massenmittelpunkt,

58:04.170 --> 58:05.330
zum Schwerpunkt des Körpers.

58:05.330 --> 58:12.250
Und Eulersches Gesetz, Drehimpuls abgeleitet nach der Zeit, Drehimpuls

58:12.250 --> 58:14.930
formuliert im Schwerpunkt des starren Körpers gleich.

58:16.150 --> 58:20.050
Summe können Sie sagen, äußere Momente resultieren als äußeres Moment

58:20.050 --> 58:21.370
im Schwerpunkt S.

58:21.830 --> 58:25.250
Und jetzt wollen wir diese beiden Gleichungen einfach nach der Zeit

58:25.250 --> 58:25.610
integrieren.

58:25.610 --> 58:34.210
Das heißt, auf beiden Seiten hier überall T0 bis T1 DT hinschreiben

58:34.210 --> 58:41.710
und hier ebenfalls T0 bis T1 DT hinschreiben.

58:41.930 --> 58:44.990
Dann haben wir die Bewegungsgleichung nach der Zeit integriert und Sie

58:44.990 --> 58:47.970
wissen, das gibt uns die sogenannten Erhaltungssätze.

58:50.970 --> 58:55.350
Zunächst stürzen wir uns auf die linke Seite auf den Impulssatz,

58:55.550 --> 58:57.510
Impulssatz in integraler Form.

58:57.630 --> 59:01.090
Sie sehen hier nochmal die Zeitintegration hingeschrieben.

59:01.470 --> 59:06.450
Da wir nicht wissen, wie sich die äußeren Kräfte in Abhängigkeit von

59:06.450 --> 59:09.890
der Zeit verhalten, müssen wir dieses Integral so komplett einfach

59:09.890 --> 59:13.090
stehen lassen und uns später überlegen, was wir dafür einsetzen.

59:13.090 --> 59:16.930
Auf der rechten Seite können wir natürlich den Ortsvektor einmal

59:16.930 --> 59:17.230
aufintegrieren.

59:18.010 --> 59:21.190
Wir gehen davon aus, dass die Masse konstant ist, wo das Integral

59:21.190 --> 59:22.190
beschrieben werden kann.

59:23.590 --> 59:26.730
Die zweite Ableitung haben wir dazu stehen, wir integrieren die einmal

59:26.730 --> 59:27.030
auf.

59:27.110 --> 59:30.630
Dann haben wir die erste Ableitung dazu stehen, und zwar in den

59:30.630 --> 59:33.350
Zeitpunkten T1 und T0.

59:33.830 --> 59:37.690
Und das ist dadurch kenntlich gemacht, dass hier ein kleiner Index 1

59:37.690 --> 59:40.110
und ein kleiner Index 0 angeschrieben wurden.

59:40.110 --> 59:44.630
Also, wir betrachten jetzt dadurch, dass wir die Zeitintegration

59:44.630 --> 59:49.410
ausführen, nur noch zwei Zeitpunkte, T0 und T1.

59:50.010 --> 59:52.970
Natürlich können Sie einen dieser beiden Zeitpunkte wieder beliebig

59:52.970 --> 59:54.750
wählen und dann sagen, das ist T.

59:55.190 --> 01:00:00.070
Ganz analog dazu, dass wir beim Energie- und Arbeitssatz zwei W

01:00:00.070 --> 01:00:04.770
-Koordinaten S0 und S1 betrachtet haben und gesagt haben, eine dieser

01:00:04.770 --> 01:00:07.950
beiden Koordinaten, die könnte beliebig sein.

01:00:07.950 --> 01:00:11.710
Ich könnte an einer beliebigen Stelle liegen und dadurch bekomme ich

01:00:11.710 --> 01:00:14.850
dann auch wieder eine parametrige Abhängigkeit.

01:00:17.370 --> 01:00:23.610
Jetzt finden wir hier den Sonderfall der Statik, wenn die Summe aller

01:00:23.610 --> 01:00:25.050
äußeren Kräfte gleich 0 ist.

01:00:26.310 --> 01:00:27.410
Was resultiert daraus?

01:00:27.530 --> 01:00:32.030
Daraus resultiert, dass im Sonderfall der Statik die rechte Seite

01:00:32.030 --> 01:00:33.630
gleich 0 sein muss.

01:00:34.410 --> 01:00:36.650
Dann hat der Körper zwei Möglichkeiten.

01:00:36.790 --> 01:00:41.150
Er kann sich mit Geschwindigkeit 0 bewegen oder mit einer konstanten

01:00:41.150 --> 01:00:44.910
Geschwindigkeit, aber er darf die Geschwindigkeit nicht ändern.

01:00:45.250 --> 01:00:46.190
Das sehen Sie hier.

01:00:47.130 --> 01:00:55.890
Wenn Sonderfall F gleich 0 gilt, haben Sie 0 gleich m mal Vs von T1

01:00:55.890 --> 01:00:59.890
minus Vs von T0.

01:01:03.050 --> 01:01:04.430
Das muss gleich 0 sein.

01:01:05.430 --> 01:01:09.990
Wenn sich die Masse nicht mit der Zeit ändert, also der Körper stets

01:01:09.990 --> 01:01:18.710
ein und dieselbe Materiemenge ist, dann resultiert daraus Vs von T1

01:01:18.710 --> 01:01:21.990
gleich Vs von T0.

01:01:22.310 --> 01:01:30.790
Etwas allgemeiner, Ps gleich m mal Vs ist konstant.

01:01:31.790 --> 01:01:34.710
Dann würden Sie sogar noch erlauben, dass sich die Masse ändert.

01:01:34.790 --> 01:01:37.670
Wenn sich dann die Masse ändert, muss sich die Geschwindigkeit

01:01:37.670 --> 01:01:39.850
entsprechend inverser zu ändern.

01:01:40.530 --> 01:01:42.830
Größere Masse, geringere Geschwindigkeit.

01:01:43.450 --> 01:01:45.930
Geringere Masse, größere Geschwindigkeit.

01:01:48.470 --> 01:01:54.770
Das Gleiche können wir jetzt für Euler machen, d.h.

01:01:54.870 --> 01:01:55.750
für den Drehimpuls.

01:01:55.870 --> 01:01:59.870
Wir erhalten dann auch wieder eine Erhaltungsgleichung, die

01:01:59.870 --> 01:02:00.890
Drehimpulserhaltung.

01:02:00.970 --> 01:02:03.330
Wir integrieren hier auch wieder auf beiden Seiten.

01:02:03.730 --> 01:02:06.990
Auf der linken Seite wissen wir zunächst nicht, mit dem Integral

01:02:06.990 --> 01:02:10.270
anzufangen, weil Ms die äußeren Momente sind.

01:02:10.470 --> 01:02:13.130
Wir wissen nicht, wie die äußeren Momente von der Zeit abhängen.

01:02:13.130 --> 01:02:17.030
Auf der rechten Seite können wir die Integration tatsächlich ausführen

01:02:17.030 --> 01:02:21.250
und erhalten die Winkelgeschwindigkeit oder den Drehvektor im

01:02:21.250 --> 01:02:22.410
allgemeinen Fall hier.

01:02:22.710 --> 01:02:25.290
Das Ganze aber nur für den ebenen Fall dargestellt.

01:02:25.490 --> 01:02:29.930
Also dürfen Sie auch für das Omega nach Winkelgeschwindigkeit sagen.

01:02:30.470 --> 01:02:32.670
Omega 1 minus Omega 0.

01:02:34.730 --> 01:02:39.190
Jetzt schauen wir uns auch hier wieder den Sonderfall Ms gleich 0 an.

01:02:39.190 --> 01:02:41.270
Summe aller Momente gleich 0.

01:02:41.430 --> 01:02:45.950
Resultierendes Moment im Schwerpunkt des starren Körpers gleich 0.

01:02:46.310 --> 01:02:54.210
Heißt, Js Omega 1 minus Omega 0 gleich 0.

01:02:55.330 --> 01:03:06.390
Und das heißt, Js Omega 1 gleich Js Omega 0 gleich konstant.

01:03:07.110 --> 01:03:12.210
So, jetzt können Sie daraus folgern, dass die Winkelgeschwindigkeit

01:03:12.210 --> 01:03:13.270
konstant ist.

01:03:13.710 --> 01:03:18.650
Für den Fall, dass sich Ihr Js, Ihr Massenträgheitsmoment, nicht

01:03:18.650 --> 01:03:19.010
ändert.

01:03:19.510 --> 01:03:23.990
Es gibt aber viele Fälle, in denen ändert sich das

01:03:23.990 --> 01:03:25.050
Massenträgheitsmoment.

01:03:25.310 --> 01:03:27.690
Nicht für einen starren Körper, sondern für einen wunderbar

01:03:27.690 --> 01:03:29.130
deformierbaren Körper.

01:03:29.730 --> 01:03:35.010
Und zwar denken Sie an die Eistänzerin, den Eistänzer, der eine

01:03:35.010 --> 01:03:35.790
Pirouette macht.

01:03:36.490 --> 01:03:37.710
Wie sieht das aus?

01:03:37.850 --> 01:03:39.290
Ich versuche das mal zu zeichnen.

01:03:39.990 --> 01:03:43.130
Also, das ist so ein Strichmännchen, hier.

01:03:46.740 --> 01:03:48.000
Da die Schlittschuhe.

01:03:49.240 --> 01:03:51.620
Und das Strichmännchen versucht jetzt eine Pirouette zu machen.

01:03:52.780 --> 01:03:54.940
Es versucht sich zunächst möglichst schnell zu drehen.

01:03:55.400 --> 01:03:56.160
Was wird es machen?

01:03:56.820 --> 01:04:00.160
Es wird das Js möglichst klein machen, damit das Omega möglichst groß

01:04:00.160 --> 01:04:00.440
wird.

01:04:00.920 --> 01:04:02.520
Wie mache ich mein Js möglichst klein?

01:04:02.800 --> 01:04:05.880
Ich muss alles auf meine senkrechte Achse konzentrieren.

01:04:05.880 --> 01:04:08.860
Also hier, auf diese senkrechte Achse.

01:04:09.240 --> 01:04:10.680
Na ja, das geht folgendermaßen.

01:04:10.740 --> 01:04:12.020
Ich reiße die Arme in die Luft.

01:04:14.820 --> 01:04:17.440
Gut, einen Oberkörper haben wir nun mal, der lässt sich nicht

01:04:17.440 --> 01:04:17.860
verhindern.

01:04:18.120 --> 01:04:20.200
Und die Beine mache ich ganz eng zusammen.

01:04:22.220 --> 01:04:25.940
Und schon fange ich an, mich wie wild um diese Achse zu drehen.

01:04:26.760 --> 01:04:29.880
So, dass ein Normalsterblicher aus dem Gleichgewicht kommen würde.

01:04:29.980 --> 01:04:32.240
Aber die Eiskunstläufer beherrschen das perfekt.

01:04:32.240 --> 01:04:34.180
Also eine schnelle Pirouette.

01:04:35.860 --> 01:04:39.460
Omega hoch, Js runter.

01:04:40.960 --> 01:04:43.860
So, irgendwann möchte ich aber auch mal aufhören, sonst wird mir

01:04:43.860 --> 01:04:44.200
schlecht.

01:04:45.300 --> 01:04:48.640
Also muss ich versuchen, meine Drehgeschwindigkeit langsam zu

01:04:48.640 --> 01:04:49.180
reduzieren.

01:04:49.320 --> 01:04:50.000
Wie mache ich das?

01:04:50.700 --> 01:04:55.420
Ich muss mein Js, mein Massenträgheitsmoment, wieder möglichst groß

01:04:55.420 --> 01:04:55.700
machen.

01:04:55.700 --> 01:04:59.160
Also muss ich möglichst alles von mir strecken.

01:05:00.000 --> 01:05:04.480
Dann habe ich hier lange große Koordinaten, große Radien.

01:05:04.820 --> 01:05:06.920
Dann erreiche ich es, dass mein Js groß wird.

01:05:07.060 --> 01:05:09.100
Also, ich gehe zunächst einmal in die Hocke.

01:05:11.680 --> 01:05:13.580
So, strecke die Arme nach außen.

01:05:15.000 --> 01:05:16.920
Und strecke auch noch die Beine nach außen.

01:05:17.040 --> 01:05:18.760
Na ja, auf einem Bein muss ich mich aber halten.

01:05:19.020 --> 01:05:20.420
Klar, sonst lande ich auf dem Po.

01:05:20.420 --> 01:05:25.460
Also, ein Bein nach außen, und das andere Bein wird so angewinkelt.

01:05:25.640 --> 01:05:27.800
Also, Sie können das vielleicht besser zeichnen als ich.

01:05:28.140 --> 01:05:30.760
Da ist das Knie, und irgendwo unten ist das Beinchen noch.

01:05:31.280 --> 01:05:32.140
So eine Figur.

01:05:33.920 --> 01:05:35.020
Was erreichen Sie?

01:05:35.200 --> 01:05:37.380
Und hier ist der zweite Schlittschuh, der ist in der Luft.

01:05:38.840 --> 01:05:40.540
Was erreichen Sie durch diese Figur?

01:05:41.040 --> 01:05:48.440
Sie erreichen ein kleines Omega und ein großes Js.

01:05:49.260 --> 01:05:53.500
Das ist also das, was der Mechaniker sieht, wenn die Eiskunstläuferin

01:05:53.500 --> 01:05:56.020
oder der Eiskunstläufer eine Pirouette dreht.

01:05:56.940 --> 01:06:00.400
Der denkt dabei nur an das Massenträgheitsmoment und nicht, wie schön

01:06:00.400 --> 01:06:02.420
das Ganze aussieht oder wie gefährlich das ist.

01:06:03.040 --> 01:06:06.040
Also, Anwendung für den Drehimpulserhaltungssatz.

01:06:06.560 --> 01:06:08.580
Der Drehimpuls bleibt hier erhalten.

01:06:09.060 --> 01:06:10.460
Warum bleibt er überhaupt erhalten?

01:06:10.840 --> 01:06:15.140
Na ja, das, was wir dort an Momenten haben, die von außen kommen, ist

01:06:15.140 --> 01:06:15.960
verschwindend gering.

01:06:15.960 --> 01:06:21.380
Das Einzige, wo hier nach außen was übertragen wird, ist über die

01:06:21.380 --> 01:06:21.980
Schlittschuhe.

01:06:22.860 --> 01:06:26.240
Die sind glatt, das Eis ist auch glatt, also kaum Reibung.

01:06:26.660 --> 01:06:28.360
Und vielleicht noch über den Luftwiderstand.

01:06:29.800 --> 01:06:32.980
Solange da jedenfalls nicht noch irgendein anderer zweiter Eistänzer

01:06:32.980 --> 01:06:36.040
seine Arme oder Beine im Spiel hat und dem vielleicht noch ein Bein

01:06:36.040 --> 01:06:39.640
stellt, treten keine anderen äußeren Kräfte und Momente auf.

01:06:40.020 --> 01:06:41.400
Und die sind sehr klein.

01:06:41.520 --> 01:06:44.920
Das heißt, wir können hier näherungsweise von der Drehimpulserhaltung

01:06:44.920 --> 01:06:45.420
ausgehen.

01:06:47.440 --> 01:06:51.840
Okay, also das als Anwendung für den Drehimpulserhaltungssatz.

01:06:52.620 --> 01:06:56.560
Jetzt wollen wir diese beiden Erhaltungssätze aber für einen ganz

01:06:56.560 --> 01:07:00.580
wichtigen Fall verwenden, nämlich für die Stoßprobleme, also für

01:07:00.580 --> 01:07:03.080
Stoßvorgänge von Körpern.

01:07:06.500 --> 01:07:07.920
Wie sieht das aus?

01:07:08.540 --> 01:07:13.060
Wir stellen uns erst einmal vor, wir stoßen eine Masse gegen eine

01:07:13.060 --> 01:07:13.300
Wand.

01:07:14.500 --> 01:07:16.420
Das ist manch einem schon passiert.

01:07:16.540 --> 01:07:20.060
Also Sie fahren mit einem Auto gegen eine Wand und prallen wieder ab.

01:07:20.440 --> 01:07:25.040
Oder, anderer Fall, Sie werfen einfach einen Ball auf den Boden und

01:07:25.040 --> 01:07:26.000
der springt wieder zurück.

01:07:26.320 --> 01:07:30.540
Beides Stoßvorgänge einer Masse, eines Balls oder eines Autos gegen

01:07:30.540 --> 01:07:31.060
eine Wand.

01:07:31.140 --> 01:07:32.960
Können wir uns wunderbar vorstellen.

01:07:34.060 --> 01:07:36.440
Wodurch sind diese Stoßvorgänge gekennzeichnet?

01:07:36.760 --> 01:07:41.120
Die sind erst einmal dadurch gekennzeichnet, dass der Stoßvorgang

01:07:41.120 --> 01:07:45.500
selbst nur ganz, ganz kurz dauert.

01:07:47.200 --> 01:07:50.900
Zum anderen sind sie dadurch gekennzeichnet, dass im Stoßvorgang

01:07:50.900 --> 01:07:53.480
selbst kaum eine Lageänderung auftritt.

01:07:53.620 --> 01:07:58.340
Also der Ball stößt gegen den Boden und kommt wieder zurück.

01:07:58.640 --> 01:08:01.860
Der Stoßvorgang selbst, im Stoßvorgang selbst tritt kaum mehr eine

01:08:01.860 --> 01:08:02.760
Lageänderung auf.

01:08:03.620 --> 01:08:06.820
Die Gesamtbewegung hat natürlich sehr wohl eine Lageänderung.

01:08:06.820 --> 01:08:12.240
Aber das, was sich unmittelbar bei dem Aufprall stattfindet, in dem

01:08:12.240 --> 01:08:13.960
Fall haben sie kaum Lageänderung.

01:08:14.080 --> 01:08:18.040
Das heißt, wir können die Gewichtskraft bei diesem Problem

01:08:18.040 --> 01:08:18.780
vernachlässigen.

01:08:18.960 --> 01:08:22.280
Aber nicht nur die Gewichtskraft, sondern wir werden gleich sehen, wir

01:08:22.280 --> 01:08:24.980
können so gut wie alle Kräfte vernachlässigen.

01:08:25.340 --> 01:08:28.360
Es gibt nur eine Kraft, die immens wird, nämlich die Stoßkraft.

01:08:29.300 --> 01:08:34.960
Also das, was an Reaktion zwischen dem Körper, der stößt, und der Wand

01:08:34.960 --> 01:08:36.160
selbst auftritt.

01:08:36.160 --> 01:08:39.860
Das wird immens, das wird groß, alles andere können wir

01:08:39.860 --> 01:08:40.660
vernachlässigen.

01:08:41.700 --> 01:08:44.060
Keine Änderung der Massenverteilung des Körpers.

01:08:44.260 --> 01:08:50.780
Also das ist jetzt nicht irgendeine Masse, die in tausend Teile

01:08:50.780 --> 01:08:54.260
zerbricht, also die Porzellanvase, die hier runterfällt, oder

01:08:54.260 --> 01:08:57.800
irgendwas Flüssiges, wo sich dann die Flüssigkeit hin und her bewegt,

01:08:57.840 --> 01:09:00.680
sondern die Massenverteilung selbst soll gleich bleiben.

01:09:00.880 --> 01:09:03.400
Also denken Sie an den Ball, an die Kugel.

01:09:04.020 --> 01:09:06.700
Dann haben Sie das, was hiermit gemeint ist.

01:09:07.200 --> 01:09:09.460
Und wir werden die Reibungseinflüsse vernachlässigen.

01:09:09.520 --> 01:09:12.320
Das heißt, wir gehen davon aus, dass wir eine glatte Wand haben, gegen

01:09:12.320 --> 01:09:13.000
die wir stoßen.

01:09:14.280 --> 01:09:17.460
Dann ist das zunächst einmal ein Fall für den Impulssatz.

01:09:18.340 --> 01:09:18.620
Warum?

01:09:18.800 --> 01:09:19.960
Woran sind wir interessiert?

01:09:20.880 --> 01:09:23.960
Nun, ich hatte das eingangs erwähnt bei der Vorlesung.

01:09:24.260 --> 01:09:29.320
Wir kennen beispielsweise die Geschwindigkeit, mit der diese Masse

01:09:29.320 --> 01:09:30.700
gegen die Wand stößt.

01:09:30.700 --> 01:09:34.120
Und wir wollen wissen, mit welcher Geschwindigkeit kommt uns die Masse

01:09:34.120 --> 01:09:34.780
wieder entgegen.

01:09:35.520 --> 01:09:44.120
Oder wir haben die Masse bestimmt, mit der uns diese Kugel

01:09:44.120 --> 01:09:44.860
entgegenkommt.

01:09:45.380 --> 01:09:47.500
Wie war Ihre Geschwindigkeit vor dem Stoß?

01:09:48.380 --> 01:09:52.600
Es geht immer um die Geschwindigkeit in zwei Zeitpunkten, nämlich ein

01:09:52.600 --> 01:09:55.780
Zeitpunkt vor dem Stoß und ein Zeitpunkt nach dem Stoß.

01:09:55.780 --> 01:10:00.420
Und damit brauchen wir eine Integration der Bewegungsgleichung nach

01:10:00.420 --> 01:10:00.920
der Zeit.

01:10:01.640 --> 01:10:04.280
Und der ideale Kandidat ist dafür der Impulssatz.

01:10:05.220 --> 01:10:08.520
Zunächst kommen wir hier für dieses Problem nur mit dem Impulssatz

01:10:08.520 --> 01:10:08.880
aus.

01:10:09.260 --> 01:10:09.580
Warum?

01:10:09.820 --> 01:10:12.640
Da dreht sich nichts groß, sondern das stößt einfach gegen die Wand

01:10:12.640 --> 01:10:13.640
und prallt wieder zurück.

01:10:14.160 --> 01:10:16.980
Wenn sich noch irgendwas drehen würde, dazu kommen wir auch noch,

01:10:17.260 --> 01:10:20.260
brauchen wir als zweite Gleichung hier auch noch den Drehimpulssatz.

01:10:20.260 --> 01:10:23.760
So, jetzt schreiben wir den Impulssatz einfach hin.

01:10:24.240 --> 01:10:29.540
Da steht der Impuls nach dem Stoß minus der Impuls vor dem Stoß.

01:10:30.160 --> 01:10:34.880
Und diese Differenz muss das sein, was im Stoßvorgang selbst als Kraft

01:10:34.880 --> 01:10:35.460
auftritt.

01:10:35.860 --> 01:10:38.660
Alle anderen Kräfte betrachten wir hier nicht.

01:10:39.460 --> 01:10:43.320
Also unmittelbar vor dem Stoß, unmittelbar nach dem Stoß.

01:10:43.800 --> 01:10:48.380
Das ist die einzig dominierende Kraft über den Stoßvorgang.

01:10:48.380 --> 01:10:50.400
Das ist einfach nur die Stoßkraft.

01:10:50.680 --> 01:10:55.760
Und jetzt sehen wir, das Integral, über das wir hier integrieren,

01:10:55.940 --> 01:10:59.120
unsere Integrationsgrenzen, die sind sehr, sehr klein.

01:10:59.740 --> 01:11:03.600
Das ist ein Bruchteil einer Sekunde, wo tatsächlich dieser Kontakt

01:11:03.600 --> 01:11:04.980
auftritt und sich wieder löst.

01:11:05.400 --> 01:11:08.540
Also, wir integrieren etwas sehr Kleines, bekommen aber unter

01:11:08.540 --> 01:11:14.020
Umständen hier eine ganz beträchtliche, konstante Größe heraus, wenn

01:11:14.020 --> 01:11:15.320
unsere Masse sehr groß ist.

01:11:15.320 --> 01:11:19.460
Also, wenn wir über etwas Kleines, über eine kurze Zeit integrieren,

01:11:19.820 --> 01:11:22.140
muss diese Kraft immens groß werden.

01:11:22.740 --> 01:11:27.340
Die Kontaktkraft selbst für diese kurze Zeit des Stoßes muss also

01:11:27.340 --> 01:11:28.020
riesig werden.

01:11:28.400 --> 01:11:32.020
Und das begründet nochmal, warum wir hier bei Stoßproblemen nur diese

01:11:32.020 --> 01:11:36.100
Kontaktkraft betrachten und alle anderen Kräfte für die Zeit des

01:11:36.100 --> 01:11:37.760
Stoßes mal vernachlässigen.

01:11:38.340 --> 01:11:42.240
Sie dürfen dann, einziger Sonderfall, wo Sie das dürfen bei diesen

01:11:42.240 --> 01:11:46.280
Stoßproblemen, wenn Sie einen Freischnitt machen, alle Kräfte

01:11:46.280 --> 01:11:50.740
vernachlässigen, die nicht irgendwie mit dieser Stoßkraft selbst

01:11:50.740 --> 01:11:53.400
zusammenhängen und brauchen, die nicht mehr in den Freischnitt

01:11:53.400 --> 01:11:54.120
einzeichnen.

01:11:54.680 --> 01:11:58.380
Einzige Ausnahme, wo Sie mal Kräfte vernachlässigen dürfen bei einem

01:11:58.380 --> 01:12:00.440
Freischnitt, sonst bitte niemals machen.

01:12:02.220 --> 01:12:06.700
Beispiel für eine Aufgabenstellung wäre also, Sie kennen M, Sie kennen

01:12:06.700 --> 01:12:10.920
den Winkel Alpha, mit dem Ihre Masse dort gegen die Wand stößt und Sie

01:12:10.920 --> 01:12:13.700
suchen die Geschwindigkeit nach dem Stoß für eine glatte Wand.

01:12:15.420 --> 01:12:18.640
Wie würden wir das jetzt berechnen?

01:12:20.000 --> 01:12:26.200
Na ja, wenn wir uns die Gleichung anschauen, sehen wir schon, mit der

01:12:26.200 --> 01:12:27.740
Gleichung haben wir eigentlich ein Problem.

01:12:29.840 --> 01:12:35.500
Die Geschwindigkeit, der Geschwindigkeitsvektor V i nach dem Stoß, hat

01:12:35.500 --> 01:12:38.620
schließlich für ein Ebenesproblem, so wie das hier dargestellt ist,

01:12:39.240 --> 01:12:44.300
zwei Komponenten, in x-Richtung und in y-Richtung, und beide

01:12:44.300 --> 01:12:45.980
Komponenten sind unbekannt.

01:12:46.600 --> 01:12:50.400
Wir haben aber nur eine einzige Gleichung, und auf dieser Gleichung

01:12:50.400 --> 01:12:54.340
steht auf der rechten Seite auch noch die große Unbekannte, nämlich

01:12:54.340 --> 01:12:58.960
dieses Integral, von dem man nur ehrfurchtsvoll erschauern kann, wie

01:12:58.960 --> 01:13:00.800
die Kontaktkraft für Leute sind.

01:13:00.800 --> 01:13:06.140
Der Stand der Örtung hängt von vielen mikromechanischen Prozessen noch

01:13:06.140 --> 01:13:06.420
ab.

01:13:07.360 --> 01:13:09.360
Da werden wir garantiert nicht hinkommen.

01:13:09.780 --> 01:13:13.280
Wir müssen also das als eine große Unbekannte annehmen, die uns das

01:13:13.280 --> 01:13:14.560
Leben zusätzlich schwer macht.

01:13:14.660 --> 01:13:19.240
Wir haben also eine Gleichung nur, zwei Gleichungen können wir daraus

01:13:19.240 --> 01:13:22.740
machen, wenn wir die Skalarien schreiben, für drei Unbekannte beim

01:13:22.740 --> 01:13:23.420
Ebenenproblem.

01:13:24.200 --> 01:13:26.740
Einmal die Gleichung für die Geschwindigkeit in horizontaler Richtung,

01:13:26.900 --> 01:13:28.080
einmal in vertikaler Richtung.

01:13:28.080 --> 01:13:32.120
Und hier jeweils noch die unbekannte Gleichung über die Kraft.

01:13:33.260 --> 01:13:34.620
Wie behelfen wir uns?

01:13:35.920 --> 01:13:41.660
Nun, zunächst formulieren wir das Problem nach Betrag und Richtung.

01:13:42.120 --> 01:13:50.320
Also wir führen den Betrag ein von dem Geschwindigkeitsvektor Va und

01:13:50.320 --> 01:13:52.840
führen noch den Winkel ein, denn schließlich kennen wir ja diesen

01:13:52.840 --> 01:13:53.180
Winkel.

01:13:59.460 --> 01:14:01.680
Das sieht also folgendermaßen aus.

01:14:01.680 --> 01:14:02.740
Ich schreibe Ihnen das hier hin.

01:14:03.280 --> 01:14:12.140
Wir haben einmal m mal Ve in x-Richtung minus m mal Va in x-Richtung

01:14:12.140 --> 01:14:28.660
gleich Integral Delta TS f in x-Richtung dt mVey minus mVay gleich

01:14:28.660 --> 01:14:33.680
Integral Delta TS fy dt.

01:14:34.340 --> 01:14:47.580
Und wir zerlegen die Kraft Va x in Va mal Cosinus Alpha und Va mal

01:14:47.580 --> 01:14:48.300
Sinus Alpha.

01:14:48.500 --> 01:14:53.000
Und wenn Sie jetzt auf die Seite davor noch einmal zurückschauen,

01:14:58.670 --> 01:15:05.810
dann sehen Sie, der x-Vektor zeigt nach rechts, der

01:15:05.810 --> 01:15:09.490
Geschwindigkeitsvektor Va zeigt nach links, also muss die erste

01:15:09.490 --> 01:15:13.610
Komponente Va Cosinus Alpha noch ein negatives Vorzeichen bekommen.

01:15:15.430 --> 01:15:18.710
Also wieder zurückblättern, weiterblättern.

01:15:21.570 --> 01:15:24.870
Hier muss ein negatives Vorzeichen rein.

01:15:27.370 --> 01:15:34.010
Dann machen wir den Kräftefreischnitt für die glatte Wand und

01:15:34.010 --> 01:15:36.110
überlegen uns, da tritt ja gar nicht so viel auf.

01:15:36.750 --> 01:15:38.950
Schließlich dürfen wir die Gewichtskraft vernachlässigen.

01:15:39.530 --> 01:15:44.250
Die würde vielleicht hier auch noch munter wirken, m mal g. Aber wir

01:15:44.250 --> 01:15:49.070
haben gesagt, in dem Moment des Stoßes dominiert die Stoßkraft, also m

01:15:49.070 --> 01:15:49.970
mal g kommt weg.

01:15:49.970 --> 01:15:56.770
Nun hätten wir hier eigentlich zwei Komponenten für die Stoßkraft, Fx

01:15:56.770 --> 01:15:58.210
und Fy.

01:15:59.790 --> 01:16:05.530
Also hier müsste ich noch eintragen, eine Kraft Fy und dort drüben die

01:16:05.530 --> 01:16:08.050
Reaktionskraft Fy.

01:16:08.730 --> 01:16:12.170
Aber Voraussetzung ist, dass die Wand glatt ist.

01:16:13.050 --> 01:16:18.730
Und die ist so glatt, dass diese Kräfte, die dort in y-Richtung

01:16:18.730 --> 01:16:23.190
auftreten, auch wieder vernachlässigbar klein sind gegenüber der alles

01:16:23.190 --> 01:16:26.530
dominierenden Normalkraft des Stoßes.

01:16:26.610 --> 01:16:31.450
Das heißt, auch diese Kraft dürfen Sie vernachlässigen.

01:16:34.210 --> 01:16:39.170
Das heißt aber für die untere Gleichung, dass dieses Integral hier

01:16:39.170 --> 01:16:39.710
Null ist.

01:16:42.170 --> 01:16:46.470
Also mit dieser Annahme glatte Wand haben wir schon einmal eine

01:16:46.470 --> 01:16:48.030
unbekannte Größe eliminiert.

01:16:48.390 --> 01:16:50.650
Nämlich, wir haben gesagt, Fy ist gleich Null.

01:16:51.090 --> 01:16:53.270
Den Vektorpfeil da oben, den vergessen Sie bitte.

01:16:53.970 --> 01:16:56.850
Den hat irgendeiner draufgesetzt, der mich ärgern wollte.

01:16:57.410 --> 01:17:03.510
Also Fy, die Kraft in vertikaler Richtung, ist näherungsweise gleich

01:17:03.510 --> 01:17:03.730
Null.

01:17:03.730 --> 01:17:13.270
Damit sehen wir schon einmal MVE,Y gleich MVA,Y.

01:17:14.090 --> 01:17:24.590
Oder in vertikaler Richtung sind die Geschwindigkeitskomponenten vor

01:17:24.590 --> 01:17:27.070
dem Stoß und nach dem Stoß gleich groß.

01:17:27.490 --> 01:17:29.370
Das haben wir hier herausgefunden.

01:17:30.250 --> 01:17:33.310
Jetzt müssen wir uns nur noch mit einer Skalarengleichung

01:17:33.310 --> 01:17:33.890
herumschlagen.

01:17:34.330 --> 01:17:37.230
Das war der Erfolg dieser Überlegungen.

01:17:37.690 --> 01:17:38.890
Und das ist die Gleichung hier.

01:17:40.990 --> 01:17:45.390
Wir brauchen also nur noch den Impulssatz in horizontaler Richtung.

01:17:46.130 --> 01:17:47.930
Impulserhaltung in horizontaler Richtung.

01:17:48.130 --> 01:17:51.590
Und leider treten dort zwei Unbekannte auf.

01:17:51.890 --> 01:17:57.550
Nämlich dieses Integral und die Geschwindigkeitskomponente, die wir

01:17:57.550 --> 01:17:58.370
ausrechnen wollen.

01:17:59.430 --> 01:18:02.490
Wie sind denn so typische Verläufe dieser Stoßkraft?

01:18:02.570 --> 01:18:03.630
Das ist hier dargestellt.

01:18:05.030 --> 01:18:08.050
Diese Stoßkraft verläuft in zwei Phasen.

01:18:08.630 --> 01:18:12.690
In der ersten Phase deformiert sich der Körper.

01:18:12.870 --> 01:18:14.150
Also denken Sie an den Ball.

01:18:14.510 --> 01:18:17.330
Stellen Sie sich vor, der Ball fällt hier auf diese Unterlage.

01:18:18.150 --> 01:18:22.390
In der ersten Phase wird der Ball leicht eingedellt.

01:18:22.890 --> 01:18:24.990
Das ist die sogenannte Kompressionsphase.

01:18:32.990 --> 01:18:34.130
Warum passiert das?

01:18:34.150 --> 01:18:37.850
Die Kraft, die auf diesen Ball wirkt, wird immer größer.

01:18:38.450 --> 01:18:42.850
Der arme Ball reagiert damit, dass er sich deformiert, dass er sich

01:18:42.850 --> 01:18:43.630
leicht eindellt.

01:18:44.810 --> 01:18:47.690
Irgendwann setzt aber diese Rückwärtsbewegung ein.

01:18:47.790 --> 01:18:50.710
Das heißt, der Ball beginnt, sich wieder von der Oberfläche zu lösen.

01:18:51.490 --> 01:18:53.250
Damit muss die Kraft immer kleiner werden.

01:18:53.890 --> 01:18:56.070
Und der Ball sagt sich, ich habe wieder mehr Platz.

01:18:56.510 --> 01:18:58.810
Also geht die Deformation wieder zurück.

01:19:00.130 --> 01:19:02.870
Damit nimmt der Ball wieder seine alte Form an.

01:19:03.050 --> 01:19:05.250
Das heißt, diese Delle wird damit wieder ausgeglichen.

01:19:05.670 --> 01:19:06.830
Die Kraft wird geringer.

01:19:07.550 --> 01:19:10.810
Das ist die sogenannte Restitutionsphase.

01:19:16.090 --> 01:19:19.970
Das Integral über Kompressionsphase und Restitutionsphase der Kraft,

01:19:20.310 --> 01:19:24.530
das wäre genau mein Integral, das ich hier auf der rechten Seite habe.

01:19:24.810 --> 01:19:28.070
Das heißt, die Fläche unter diesem Graphen.

01:19:29.230 --> 01:19:35.010
Diese Fläche wäre genau das, was auf der rechten Seite hier in unserem

01:19:35.010 --> 01:19:36.590
Integral auftritt.

01:19:36.690 --> 01:19:41.490
Also was hier als Term auf der rechten Seite steht, ist die Fläche

01:19:41.490 --> 01:19:43.890
unterhalb des Kraftverlaufs.

01:19:50.070 --> 01:19:53.650
Jetzt ist nur die Frage, wie groß dieses Integral ist.

01:19:54.310 --> 01:19:57.830
Und die Antwort, die man darauf nur geben kann, ist, man weiß es

01:19:57.830 --> 01:19:58.070
nicht.

01:19:59.770 --> 01:20:02.150
Und wenn man es nicht weiß, dann schreibt man erst einmal etwas hin.

01:20:03.070 --> 01:20:04.770
Das macht jeder so in der Klausur.

01:20:05.290 --> 01:20:09.830
Also schreiben wir dafür einfach ein Buchstaben hin, FX-Dach, und das

01:20:09.830 --> 01:20:12.690
Dach soll uns vielleicht daran erinnern, dass wir da noch ein bisschen

01:20:12.690 --> 01:20:13.690
Arbeit vor uns haben.

01:20:14.030 --> 01:20:17.010
Also das, was dort steht, kennen wir einfach nicht.

01:20:18.850 --> 01:20:21.790
Wenn man etwas nicht kennt, dann muss man sich überlegen, wie man es

01:20:21.790 --> 01:20:22.410
sich bekannt macht.

01:20:22.410 --> 01:20:25.910
Und bekannt macht man sich das Ganze, indem man sich Spezialfälle

01:20:25.910 --> 01:20:29.170
überlegt, in denen man vielleicht etwas aussagen kann.

01:20:29.570 --> 01:20:33.590
Indem man vielleicht sagen kann, also für Spezialfälle könnte ich mir

01:20:33.590 --> 01:20:34.910
doch da was noch überlegen.

01:20:36.050 --> 01:20:38.770
Nun, wie könnte ich hier auf eine zweite Gleichung noch kommen?

01:20:39.090 --> 01:20:40.270
Wo könnte ich mir die herholen?

01:20:41.330 --> 01:20:45.110
Was wir noch nicht benutzt haben, ist die Energiebilanz.

01:20:46.550 --> 01:20:52.090
Ich könnte fordern, dass während dieses Stoßvorgangs keine Energie

01:20:52.090 --> 01:20:52.750
verloren geht.

01:20:52.890 --> 01:20:57.710
Also der Ball prallt auf, kommt wieder zurück, und energetisch ist

01:20:57.710 --> 01:20:58.370
nichts passiert.

01:20:59.970 --> 01:21:03.530
Natürlich ist das eine Annahme, die ein wenig auf tönernen Füßen

01:21:03.530 --> 01:21:03.810
steht.

01:21:03.930 --> 01:21:04.090
Warum?

01:21:04.550 --> 01:21:08.830
Normalerweise habe ich immer ein wenig Energiedissipation, wenn ich

01:21:08.830 --> 01:21:11.550
durch Reibung, die ich hier durch die glatte Wand ausgeschlossen habe,

01:21:11.970 --> 01:21:14.870
dann durch Umwandlung beispielsweise in thermische Energie.

01:21:16.690 --> 01:21:19.790
Aber wer so einen Ball einmal runtergeworfen hat und wieder

01:21:19.790 --> 01:21:23.230
aufgefangen hat und gefühlt hat, der hat festgestellt, so warm ist er

01:21:23.230 --> 01:21:23.810
nicht geworden.

01:21:24.210 --> 01:21:27.190
Also die thermischen Effekte können wir hier vielleicht

01:21:27.190 --> 01:21:27.970
vernachlässigen.

01:21:28.210 --> 01:21:31.350
Nehmen wir das erst einmal als einen einzigen Sonderfall an.

01:21:34.290 --> 01:21:37.930
Schlechter Energiesparer, dieser Ball, der nimmt die Energie auf und

01:21:37.930 --> 01:21:39.610
gibt sie aber freimütig wieder ab.

01:21:40.650 --> 01:21:44.990
Also wir gehen davon aus, die Energiebilanz ist erfüllt und nehmen das

01:21:44.990 --> 01:21:45.970
als Hilfsgleichung.

01:21:47.090 --> 01:21:50.310
Das ist der sogenannte vollkommen elastische Stoß.

01:21:50.830 --> 01:21:55.610
Also der Ball wird deformiert und gibt die Deformation wieder auf,

01:21:55.930 --> 01:21:58.050
ohne Energieverlust.

01:22:00.710 --> 01:22:05.570
Das ist der erste Sonderfall, den wir behandeln.

01:22:08.390 --> 01:22:13.490
Das heißt, die kinetische Energie vor dem Stoß und nach dem Stoß muss

01:22:13.490 --> 01:22:14.210
die gleiche sein.

01:22:14.970 --> 01:22:17.530
Potenzielle Energie kann ich vernachlässigen.

01:22:17.870 --> 01:22:21.170
Entweder ich stelle mich an die gleiche Höhe, oder ich erinnere mich

01:22:21.170 --> 01:22:24.910
daran, dass wir gesagt haben, die Gewichtskraft ist für den

01:22:24.910 --> 01:22:27.770
Stoßvorgang vernachlässigbar, und damit natürlich auch die potenzielle

01:22:27.770 --> 01:22:32.730
Energie aus der Gewichtskraft vernachlässigbar.

01:22:32.830 --> 01:22:37.010
Ich habe also nur eine Differenz der kinetischen Energie, und diese

01:22:37.010 --> 01:22:40.350
Differenz hat bitte schön null zu sein, damit die Energiebilanz

01:22:40.350 --> 01:22:40.990
erfüllt ist.

01:22:40.990 --> 01:22:45.670
Was ist jetzt die kinetische Energie für diesen Ball?

01:22:46.410 --> 01:22:49.730
Wir haben gesagt, wir betrachten keine Eigenrotation zunächst, also

01:22:49.730 --> 01:22:51.350
nur die translatorische Bewegung.

01:22:51.430 --> 01:22:55.190
Das heißt, der fällt hier senkrecht nach unten, oder er fällt schräg

01:22:55.190 --> 01:22:58.190
nach unten und kommt wieder heraus, aber er dreht sich nicht noch

01:22:58.190 --> 01:22:59.610
zusätzlich um die eigene Achse.

01:23:00.110 --> 01:23:03.310
Dann haben wir also nur translatorische Geschwindigkeiten zu

01:23:03.310 --> 01:23:06.170
berücksichtigen, Vax und Vy.

01:23:06.810 --> 01:23:09.910
Sie wissen, das sind immer die Geschwindigkeiten im Schwerpunkt dieses

01:23:09.910 --> 01:23:14.230
Balls, oder Sie sagen zu dem Ball, ich betrachte dich einfach nur als

01:23:14.230 --> 01:23:18.310
Massenpunkt, alle Masse konzentriert im Schwerpunkt des starren

01:23:18.310 --> 01:23:22.770
Körpers, und dann nehmen Sie einfach diese Geschwindigkeit, die Sie

01:23:22.770 --> 01:23:25.630
dort im Schwerpunkt haben, und rechnen mit einem Massenpunktmodell

01:23:25.630 --> 01:23:25.930
durch.

01:23:26.570 --> 01:23:31.530
Dann haben wir also 1,5 m x V², und V, Geschwindigkeitsquadrat, ist

01:23:31.530 --> 01:23:36.910
dann Vax und Vay² jeweils.

01:23:37.690 --> 01:23:40.210
Davon muss ich jetzt die Differenz bilden,

01:23:43.510 --> 01:23:49.690
zwischen einmal der Geschwindigkeit beim Ausgang und zum anderen der

01:23:49.690 --> 01:23:54.730
Geschwindigkeit beim Eingang, also vor dem Stoß und nach dem Stoß.

01:23:54.790 --> 01:23:56.930
Jetzt muss ich noch einmal schauen, ich komme da immer durcheinander.

01:23:57.330 --> 01:24:02.930
A war Anfang und Ende, A also vor dem Stoß, und E nach dem Stoß.

01:24:02.930 --> 01:24:04.690
Jetzt weiß ich schon eines.

01:24:05.430 --> 01:24:10.030
Aus der Betrachtung der vertikalen Richtung haben wir uns gesagt, an

01:24:10.030 --> 01:24:13.270
der glatten Wand ist Vay gleich Vay.

01:24:14.550 --> 01:24:19.130
Das heißt, da die Masse natürlich auch gleich ist, der Körper soll ja

01:24:19.130 --> 01:24:22.170
nichts an Masse verloren haben während des Stoßvorganges, also keine

01:24:22.170 --> 01:24:26.190
Porzellanvase, die zerdeppert, sondern einen Ball, der die Masse

01:24:26.190 --> 01:24:32.090
beibehält, weiß ich, diese Anteile hier heben sich gegenseitig auf.

01:24:33.090 --> 01:24:46.390
Ich habe also nur noch 1,5 MVax² plus Vex² minus, gleich 0.

01:24:48.830 --> 01:24:57.470
Und daraus folgt Vax² gleich Vex².

01:24:58.130 --> 01:25:00.410
Sind die jetzt beide etwa gleich groß?

01:25:01.070 --> 01:25:01.830
Na fast.

01:25:02.590 --> 01:25:04.130
Das Vorzeichen ist unterschiedlich.

01:25:05.110 --> 01:25:09.270
Also, denken Sie bitte nicht, dass daraus folgen würde Vax gleich Vay,

01:25:09.930 --> 01:25:12.810
sondern Vax, bitteschön, minus Vex.

01:25:13.250 --> 01:25:13.530
Warum?

01:25:14.050 --> 01:25:18.950
Schauen Sie sich die Skizze noch einmal an, wie die Geschwindigkeiten

01:25:18.950 --> 01:25:20.010
aufgezeichnet sind.

01:25:20.330 --> 01:25:23.550
Der eine Geschwindigkeitsvektor zeigt nach links, der andere zeigt

01:25:23.550 --> 01:25:24.070
nach rechts.

01:25:24.070 --> 01:25:28.450
Also können ja wohl die Horizontalkomponenten nur negativ gleich sein,

01:25:28.690 --> 01:25:32.710
also gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet, Va und Ve.

01:25:33.170 --> 01:25:35.390
Das ist das Ergebnis für den elastischen Stoß.

01:25:35.550 --> 01:25:40.210
Also beim elastischen Stoß komplette Wiedergabe der Energie, keine

01:25:40.210 --> 01:25:45.710
Speicherung der Energie während des Stoßvorganges, gilt

01:25:45.710 --> 01:25:50.150
Geschwindigkeitsvektor vom Eingang und Ausgang sind gleich groß, aber

01:25:50.150 --> 01:25:53.910
entgegengesetzt gerichtet in Horizontalrichtung, Vertikalkomponenten

01:25:53.910 --> 01:25:57.670
sind exakt gleich groß und damit sind auch die Winkel Alpha und Beta

01:25:57.670 --> 01:26:03.030
gleich groß, so wie das beim Brechungsgesetz der Optik der Fall ist.

01:26:10.190 --> 01:26:12.490
Das war der erste Sonderfall.

01:26:12.730 --> 01:26:15.510
Jetzt gibt es noch einen zweiten Sonderfall, den führe ich Ihnen vor.

01:26:36.320 --> 01:26:39.100
Das ist unsere glatte Wand, Stoßvorgang.

01:26:40.060 --> 01:26:43.360
Was ist passiert?

01:26:44.460 --> 01:26:46.160
Ich habe es runtergepackt.

01:26:47.780 --> 01:26:49.400
Wiederholen brauche ich den Versuch nicht.

01:26:54.570 --> 01:27:00.810
Wir haben gesehen, die Energie ist nicht von der Wand wieder

01:27:00.810 --> 01:27:05.830
zurückgekommen, sondern unsere kinetische Energie hing leider

01:27:05.830 --> 01:27:06.250
verloren.

01:27:07.530 --> 01:27:11.450
Die Geschwindigkeit, die Ihnen entgegenkommen sollte, war praktisch

01:27:11.450 --> 01:27:11.950
gleich null.

01:27:11.950 --> 01:27:16.450
Das Einzige, was geblieben ist, ist, an der Wand herunterzurutschen.

01:27:17.990 --> 01:27:20.350
Das haben Sie natürlich auch beim Automobil.

01:27:20.570 --> 01:27:24.390
Wenn Sie beim Automobil gegen eine feste Wand fahren, richtig mit

01:27:24.390 --> 01:27:28.470
Karacho, dann deformiert sich Ihr Fahrzeug und es deformiert sich

01:27:28.470 --> 01:27:28.990
bleibend.

01:27:30.610 --> 01:27:33.710
Ihr Fahrzeug bleibt an der Wand stehen und kommt Ihnen nicht wie ein

01:27:33.710 --> 01:27:34.930
Gummiball zurückgehüpft.

01:27:35.330 --> 01:27:41.890
Also, keine Wiedergabe der kinetischen Energie, sondern Sie können

01:27:41.890 --> 01:27:45.170
sagen, das ist der perfekte Energiesparer, der behält die ganze

01:27:45.170 --> 01:27:45.890
Energie für sich.

01:27:46.650 --> 01:27:47.510
Was macht der?

01:27:47.790 --> 01:27:51.490
Der wandelt die Energie in Deformation um, und diese Deformation ist

01:27:51.490 --> 01:27:55.030
bleibend und vielleicht noch ein bisschen Wärmeeffekte, und es kommt

01:27:55.030 --> 01:27:57.270
nichts mehr an kinetische Energie zurück.

01:27:57.770 --> 01:28:01.790
Hier wird beim elastischen Stoß, beim vollkommen elastischen Stoß, die

01:28:01.790 --> 01:28:04.050
gesamte kinetische Energie wieder zurückgegeben.

01:28:04.590 --> 01:28:08.310
Bei dem Gegenteil, das nennt man den vollkommen plastischen Stoß, wird

01:28:08.310 --> 01:28:11.470
die ganze kinetische Energie einbehalten.

01:28:12.450 --> 01:28:13.330
Was heißt das?

01:28:13.490 --> 01:28:19.470
Das heißt, die Horizontalgeschwindigkeit am Ausgang ist gleich null.

01:28:20.650 --> 01:28:24.550
Das heißt auch, wir haben zwar, wenn wir uns den Kraftverlauf

01:28:24.550 --> 01:28:30.550
anschauen, wir haben zwar diese Kompressionsphase, aber mit

01:28:30.550 --> 01:28:32.350
Restitution ist da nichts mehr.

01:28:32.810 --> 01:28:36.150
Der Körper möchte sich nicht mehr zurück deformieren wie der Ball,

01:28:36.150 --> 01:28:40.690
sondern der sagt, Kompression reicht mir, ich behalte das für mich,

01:28:41.170 --> 01:28:45.750
was du mir angetan hast, und ich verzichte auf die Restitutionsphase.

01:28:46.670 --> 01:28:49.910
Das wäre dann hier das Integral über die Kraft.

01:28:50.870 --> 01:28:53.850
Naja, und damit habe ich natürlich, Sie können sagen, auf triviale

01:28:53.850 --> 01:28:57.410
Weise meine Geschwindigkeit in horizontaler Richtung bestimmt.

01:28:57.790 --> 01:29:00.670
Ich habe sie nämlich einfach im Versuch, und Sie haben mir den Versuch

01:29:00.670 --> 01:29:04.890
bestimmt geglaubt, im Versuch habe ich sie einfach ermittelt und habe

01:29:04.890 --> 01:29:07.290
festgestellt, die ist nahezu gleich null.

01:29:08.050 --> 01:29:09.050
Vex gleich null.

01:29:10.410 --> 01:29:13.230
Was kann dann nur der Winkel Beta machen, wenn Sie sich das anschauen?

01:29:13.510 --> 01:29:14.950
Der kann dann nur noch Pi halbe sein.

01:29:15.310 --> 01:29:18.710
Das heißt, das Einzige, was übrig bleibt, ist die Geschwindigkeit in

01:29:18.710 --> 01:29:21.730
vertikaler Richtung, das heißt, der rutscht dann in vertikaler

01:29:21.730 --> 01:29:25.310
Richtung noch an der Wand entlang, und hier natürlich, wenn ich den

01:29:26.110 --> 01:29:33.030
gegen die Wand werfe, dann wirft nach dem Aufprall, also nachdem die

01:29:33.030 --> 01:29:36.850
Kompression und die Dichtbarheit und der Rest ist, wirkt natürlich

01:29:36.850 --> 01:29:39.610
knallhart die Schwerkraft, und das Ding rauscht runter.

01:29:40.310 --> 01:29:41.310
Das ist immer so.

01:29:42.650 --> 01:29:48.630
So, und damit haben wir Energieverlust der kinetischen Energie,

01:29:48.770 --> 01:29:51.690
nämlich das alles, was wir versucht haben, unserem Körper mitzugeben,

01:29:51.770 --> 01:29:55.350
also hier durch den Wurf, ordentlich haben wir versucht, mitzugeben,

01:29:55.790 --> 01:30:00.330
Geschwindigkeit in horizontaler Richtung wird alles von dem Lappen

01:30:00.330 --> 01:30:03.770
gespeichert in Deformation und geht uns verloren.

01:30:05.250 --> 01:30:11.230
Das ist also 1,5 m mal v, Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler

01:30:11.230 --> 01:30:13.830
Richtung im Quadrat, geht uns verloren.

01:30:14.650 --> 01:30:16.890
Nun haben wir zwei Sonderfälle kennengelernt.

01:30:18.190 --> 01:30:21.230
Ein Sonderfall, Energie wird komplett wieder zurückgegeben.

01:30:21.530 --> 01:30:24.210
Ein Sonderfall, Energie wird komplett einbehalten.

01:30:24.210 --> 01:30:26.370
Die Frage ist, was macht die Realität?

01:30:26.690 --> 01:30:29.710
Die Realität liegt natürlich zwischen diesen beiden Extremen.

01:30:30.230 --> 01:30:33.730
Also, es wird ein kleiner Teil der Energie oder auch ein etwas

01:30:33.730 --> 01:30:37.450
größerer Teil der Energie wieder zurückgegeben, je nachdem, was für

01:30:37.450 --> 01:30:41.890
ein Material Sie haben, und ein anderer Teil wird einbehalten.

01:30:42.970 --> 01:30:47.070
Und um das zu beschreiben, das Verhältnis, wie viel wird einbehalten,

01:30:47.170 --> 01:30:51.050
wie viel wird zurückgegeben, wird eine sogenannte Stoßzahl Epsilon

01:30:51.050 --> 01:30:51.730
eingeführt.

01:30:53.310 --> 01:30:57.070
Stoßzahl oder Stoßparameter, und diesen Parameter muss ich

01:30:57.070 --> 01:31:01.670
experimentell bestimmen, und dann kann ich mein Gleichungssystem

01:31:01.670 --> 01:31:02.070
lösen.

01:31:02.450 --> 01:31:05.630
Dann habe ich einen zusätzlichen experimentell bestimmten Parameter

01:31:05.630 --> 01:31:09.270
eingeführt, der mir angibt, wie meine Energiebilanz aussieht, und

01:31:09.270 --> 01:31:13.310
damit habe ich wieder zwei Gleichungen für zwei Unbekannte mit ein

01:31:13.310 --> 01:31:14.350
wenig Experiment.

01:31:14.810 --> 01:31:18.050
Und wie man diese Stoßzahl bestimmt und wie die genau definiert ist,

01:31:18.490 --> 01:31:19.750
sehen Sie in der nächsten Woche.

01:31:19.750 --> 01:31:20.870
Bis dahin.