So, ich begrüße Sie ganz herzlich zu der heutigen Vorlesung Simulation
dynamischer Systeme.
Heute soll es also um die Exponentialmatrix gehen.
Exponentialmatrix heißt, wir beschäftigen uns wieder mit linearen
Systemen, ich zeige Ihnen das gleich, und versuchen aber dieses
lineare System jetzt anders zu lösen als vorher, nicht über eine
Modalanalyse, sondern ohne Modalanalyse durch Zeitintegration, aber
natürlich durch geschickte Integration.
Wir wollen dort keine großartigen numerischen Integrationsverfahren
verwenden.
Ich wollte noch mal ganz kurz einiges sagen, damit Sie auch eine
Rückkopplung haben zu der Vorlesungsbefragung.
Ich habe gesehen, Sie möchten ganz gern ein Skript haben.
Vielleicht erläuter ich Ihnen das auch nochmal, wie das hier mit
dieser Vorlesungsreihe beschaffen ist.
Sie sehen ja, das ist ja eigentlich eine Vorlesung, die
praktikumsbegleitend ist, die Ihnen einfach noch ein paar Hintergründe
zu dem Praktikum geben soll.
Deswegen ja auch diese Struktur, also vielleicht etwas abgehackt.
In jeder Vorlesung, das haben Sie auch gemerkt, ist die Stofffülle
recht umfangreich.
Und deswegen hatte es auch nie ein Skript gegeben, und es hat auch nie
Literaturempfehlungen in dem Sinne gegeben, dass man jetzt für die
ganze Vorlesungsreihe Literatur angeben könnte.
Das gibt es einfach nicht.
Vieles ist in den Köpfen der Dozenten entstanden, auch von meinem
Vorgänger, Herrn Wedig, ein bisschen was auch von mir.
Und wir haben uns eigentlich nie dabei an Lehrbüchern orientiert.
Natürlich gibt es zu jedem einzelnen Kapitel Lehrbücher, in denen
dieser Stoff abgebildet ist, aber da müsste ich Ihnen wirklich eine
sehr lange Liste von Büchern geben, und das würde sich kaum lohnen.
Ein Skript gibt es zu dieser Vorlesungsreihe auch nicht und ist auch
nicht mehr geplant, weil diese Vorlesung demnächst auslaufen wird.
Das heißt, es ist geplant, wenn wir auf Bachelor und Master umstellen,
was also nun vermutlich 2009 soweit sein wird, weil wir uns dem ja
nicht entziehen können, dann wird es für die Bachelorstudenten ein
Fach geben, das dann für alle verpflichtend ist.
Das nennt sich Modellbildung und Simulation.
Und in dem Zuge ist jedenfalls geplant, momentan dieses Fach
Simulation dynamischer Systemen nicht mehr anzubieten, weil es dann
einfach fast doppelt wäre.
Das heißt, es ist für mich so ein bisschen ein Auslaufmodell.
Die Vorlesung macht mir sehr viel Spaß, aber die Motivation ist dann
nicht mehr groß, ein Skript zu schreiben, wenn man weiß, in drei, vier
Jahren ist es damit eh vorbei.
Es gibt aber Teile, die ausgearbeitet wurden, und das sind die Teile
über numerische Integration und über die Vorlesung
Differentialalgebraische Gleichungen.
Die werden auch so in diesem Umfang wahrscheinlich auch die
Einführungsveranstaltung und noch einige andere Dinge werden in diese
neue Vorlesung mit einfließen und diese Teile werden dann auch nach
und nach schriftlich fixiert.
Und das habe ich Ihnen jetzt in das CLIX Campus System eingestellt.
Das heißt, zu den Vorlesungen, das waren Nummer 7 und 8, Numerische
Integration und Behandlung von Differentialalgebraischen
Gleichungssystemen, finden Sie ein ausgearbeitetes Skript, also
wirklich so in Textform, vor in diesem CLIX Campus System.
Alles Weitere, da habe ich leider nichts.
Soweit dazu.
Jetzt nochmal, um Ihnen hier den Überblick zu geben.
Also wir sind immer noch in dem Bereich der zeitkontinuierlichen
Systeme mit konzentrierten...
Oh, hier, in diesem Bereich.
Und betrachten jetzt aber einen Spezialfall, nämlich wir betrachten
die linearen Systeme.
Hier betrachten wir nur die linearen Systeme.
Bei den linearen Systemen würde keiner auf die Idee kommen, numerische
Integrationsverfahren zu verwenden, außer er ist in extremer Zeitnot
und hat gerade mal MATLAB zur Verfügung und hat auch nicht viel Ahnung
von linearen Systemen.
Dann ist er vielleicht schnell damit bedient, wenn er einfach mal eine
Zeitintegration macht.
Aber wer sich mehr Zeit nimmt, der wird diese numerischen
Integrationsverfahren so, wie wir sie für nicht lineare Probleme
verwendet haben, nicht benutzen, einfach weil es für lineare Systeme
natürlich viel effizientere Verfahren gibt, die diese lineare Struktur
ausnutzen.
Wir haben einmal gesehen, das geht recht gut mit der Modalanalyse.
Mit der Modalanalyse können Sie nicht nur einzelne Eigenfrequenzen
ausrechnen und die Eigenformen dazu bestimmen, sondern Sie können
mittels modaler Superposition, mittels Überlagerung von einzelnen
Lösungsanteilen, einzelnen Einfreiheitsgradschwingern mit diesen
Eigenfrequenzen die Gesamtlösung zusammenstellen.
Das haben Sie ja gemacht bei dem Beispiel, das Sie jetzt gestern im
Praktikum behandelt haben.
Sie haben einmal die Eigenschwingungen des Systems analysiert und
animiert und dann haben Sie die auch überlagert zu einer
Gesamtbewegung und haben diese Gesamtbewegung dargestellt.
Das funktioniert, das ist eine Möglichkeit, wie Sie das Ganze lösen
können.
Heute möchte ich Ihnen eine andere Möglichkeit vorstellen, die basiert
auf der Exponentialmatrix.
Und das hört sich interessant an, denn die Exponentialabbildung kennen
Sie vielleicht für ganz normale Funktionen, aber man kann die
Exponentialabbildung auch auf Matrizen loslassen.
Wie das funktioniert, zeige ich Ihnen heute.
Das ist ein sehr mächtiges Werkzeug, vor allem in der Kinematik, die
gesamte Vorwärtskinematik, beispielsweise von Robotern, können Sie
sehr schön über diese Exponentialabbildung für Matrizen erfassen.
Sie können dort sehr viele Rechnungen vereinfachen und deswegen ist
das ein wichtiges Werkzeug, das ich Ihnen hier darstellen möchte.
Natürlich gibt es da auch Schwierigkeiten, die numerischer Art sind.
Letztlich wollen wir dann die Exponentialabbildung einer Matrix
numerisch berechnen.
Und die Frage ist, wie machen wir das?
Da tritt wieder der Fall auf, dass wir unter Umständen
Rundungsfehlereinfluss haben, dass wir für eine Exponentialabbildung,
egal ob sie jetzt skalar ist oder auf eine Matrix angewendet, ja
letztlich eine Reihe hinterlegen müssen, die Reihe, Exponentialreihe,
und diese Reihe kann unter Umständen schlechtes Konvergenzverhalten
aufweisen, ein numerisch.
Da brauchen wir also eine numerische Technik, um dieses
Konvergenzverhalten zu beschleunigen.
Und wie das geht, zeige ich Ihnen heute in der Vorlesung.
Ich möchte Ihnen am Anfang erstmal nochmal einen ganz allgemeinen
Ausblick über Lösungsverfahren für lineare Systeme geben.
Das geht also jetzt über das hinaus, was wir heute machen mit der
Exponentialabbildung.
Ich möchte Ihnen auch nochmal das Anstückelungsverfahren ein bisschen
näher bringen.
Und dann haben Sie eigentlich alle Verfahren kennengelernt.
Anstückelungsverfahren, Exponentialabbildung und Modalanalyse, das
sind so die gängigen Verfahren für die linearen Systeme.
Ich zeige Ihnen dann, wie das mit der Exponentialmatrix funktioniert,
was das überhaupt ist, welche mathematischen Eigenschaften die
Exponentialmatrix hat.
Und dann möchte ich Ihnen am Beispiel eines linearen
Einfreiheitsgradsystems, also eines ganz einfachen Schwingers, mal
zeigen, dass Sie mit der Exponentialmatrix tatsächlich das Gleiche
herausbekommen, wie wenn Sie Ihre ganz klassische Lösung verwenden,
die Sie schon aus der TM3 kennen.
Sie wissen, ein Freiheitsgradsystem, gedämpfte Schwingung
beispielsweise, dann haben Sie Exponentialfunktion, abklingendes
Verhalten und dann Cosinus- und Sinusschwingungen.
Und genau das Gleiche müssen Sie auch wieder antreffen, wenn Sie die
Exponentialmatrix verwenden.
Dann muss ich Ihnen zeigen, wie Sie das numerisch umsetzen, also wie
sieht ein Simulationsalgorithmus für die Exponentialmatrix überhaupt
aus, wie können Sie da was simulieren.
Und dann haben wir eine recht schöne Praktikumsaufgabe diesmal für
Sie, das sind die Fahrzeugschwingungen.
Also Sie sollen so ein Halbfahrzeug darstellen, ein kleines Fahrzeug,
auch ein bisschen animieren, sollen das über eine rauhe Fahrbahn
fahren lassen, das Fahrzeug selbst wird dargestellt als ein lineares
Mehrfreiheitsgradsystem und Sie sollen dann für dieses lineare
Mehrfreiheitsgradsystem die Lösung mittels der Exponentialmatrix zu
verschiedenen Zeitpunkten bestimmen und dann eben auch grafisch
darstellen.
Gleichzeitig so kleine Schieberegister anbringen, mit denen Sie die
Parameter Ihres Systems online variieren können und das gibt dann eine
recht schöne Animation, die ich Ihnen am Schluss der Vorlesung dann
auch noch einmal zeigen möchte.
So, wie eingangs erwähnt, haben wir für die linearen Systeme drei
große Klassen von Lösungsverfahren.
Das eine ist die numerische Integration, wie bei den nicht-linearen
Systemen, was hier aber nicht in Betracht kommt aus
Stabilitätsgründen, aus Aufwandsgründen.
Diesen Aufwand müssen Sie hier nicht treiben für lineare Systeme.
Es gibt hier wesentlich effizientere Verfahren, die einfach die
lineare Struktur ausnutzen.
Das machen ja die numerischen Integrationsverfahren nicht.
Die hauen da drauf mit dem Holzhammer der Numerik und betrachten
überhaupt nicht beispielsweise Superpositionseigenschaften.
Dann gibt es das Anstückelungsverfahren oder Übertragungsverfahren
mithilfe der Gewichtsfunktion, basierend zunächst einmal auch auf der
Modalanalyse.
Einschränkungen gibt es bei diesem Verfahren bezüglich der Dämpfung.
Und es gibt das Verfahren der Exponentialmatrix.
Als kleinen Ausblick zeige ich Ihnen dieses Verfahren 2 einfach mal
ganz kurz auf zwei Folien.
Es ist sehr formellastig.
Sie finden die Formeln aber in Lehrbüchern.
Sie sollen hier nicht diese Formeln auswendig lernen, sondern einfach
nur verstehen, wo die Grundidee für dieses Verfahren herkommt.
Und dann werden wir uns einfach aus Zeitgründen stärker mit diesem
Verfahren 3 auseinandersetzen.
Das ist so die Philosophie dieser Vorlesung hier.
Also, was haben wir bei zweitens?
Ausgangsgleichung ist ein ganz normales Lehrfreiheitsgradsystem.
Aber Sie sehen schon bei der Dämpfung musste ich mich hier
einschränken.
Wir haben hier den Fall der Proportionaldämpfung.
C, Alpha m plus Beta k.
Wir wissen, dann sind die Eigenwerte immer noch real.
So, dann haben wir also hier unser System.
Massenmatrix, positiv definiert, symmetrisch,
Steiglichkeitsdämpfungsmatrix.
C aus Massenmatrix und Steiglichkeitsmatrix zusammengesetzt.
Und Steiglichkeitsmatrix ebenfalls symmetrisch, positiv definiert.
Unser Eigenwertproblem erhalten wir, wenn wir im Ansatz
Exponentialfunktion Omega mal T einsetzen.
Zweimal ableiten und dann so zusammengruppieren.
k minus Omega i Quadrat M wäre jetzt das Eigenwertproblem, das zu der
ungedämpften Schwingung gehören würde.
Jetzt können Sie das Ganze modal zerlegen.
Das heißt, aufgrund der Eigenschaft der Eigenvektoren, die hier in der
Modalmatrix Pi alle zusammengefasst sind, aufgrund der
Optogonalitätseigenschaft dieser Eigenvektoren zerlegen Sie M, wenn
Sie das normieren, in eine Einheitsmatrix.
Sie zerlegen C in eine Diagonalmatrix, wo zwei Omega i und eine
Proportionalitätskonstante steht.
Die nennen Sie einfach Xi i und stellen sich darunter das Abgrimmmaß
des Einfreiheitsgradschwingers vor.
Und zerlegen K ebenfalls in eine Diagonalmatrix.
In den Diagonaltermen stellen Sie sich die Eigenfrequenzen von
Einfreiheitsgradschwingern vor.
Mithilfe dieser Matrix Pi können Sie die Omega-Gleichung
transformieren, sodass sie Diagonalgestalt annimmt, sodass die
einzelnen Gleichungen entkoppelt sind.
Dazu multiplizieren Sie diese Gleichung von links kommend mit Phi
transponiert und ersetzen X jeweils durch Phi Y von T.
Dann machen Sie das auch für X-Punkt und X-Zweipunkt.
Haben Sie beispielsweise für X-Zweipunkt Phi mal Y-Zweipunkt, für X
-Punkt Phi mal Y-Punkt und Sie sehen, wenn Sie das ausführen, dann
steht hier Phi TM Phi Y-Zweipunkt plus Phi transponiert C Phi mal Y
-Punkt plus Phi transponiert K mal Phi mal Y gleich Phi transponiert
F.
Und jetzt können Sie auf diese einzelnen Ausdrücke genau diese
Orthogonalitätsbeziehungen anwenden.
Und als Folge davon entkoppelt Ihnen das Problem.
Das war das, was wir auch schon beim letzten Mal festgestellt haben.
Als Folge davon erhalten Sie groß N, Anzahl der Freiheitsgrade,
Einfreiheitsgradschwinger.
Und die können Sie natürlich leicht behandeln.
Und jetzt schauen wir uns nur noch diese Einfreiheitsgradschwinger an
und wissen, wenn wir die Lösung dieser Einfreiheitsgradschwinger,
sprich das YI für alle Freiheitsgrade bestimmt haben, können wir durch
eine einfache Transformation XT gleich Phi mal Y, wobei hier mit Phi
die Eigenformen eingehen, die Eigenvektoren eingehen, können wir ganz
leicht wieder die Lösung unseres Ausgangsproblems bestimmen.
Also wir brauchen jetzt die Lösung dieser Einfreiheitsgradsysteme und
das machen wir mit den sogenannten Übertragungsmatrixen.
Übertragungsmatrix heißt, ich schaue mir die rechte Seite an, die
könnte hier beliebig sein, und approximate die linear.
Das heißt, ich suche mir Stützstellen, meine Zeitachse T wird wieder
unterteilt in einzelne Intervalle.
Intervalllänge ist Delta T und ich muss jeweils sehen, dass ich von
einem Punkt, wie haben wir den hier genannt, K-1, auf die Lösung zum
Zeitpunkt K schließe und dann habe ich einen Algorithmus gefunden, den
kann ich immer weiter treiben für alle Zeitpunkte und kann mir, wenn
ich die Lösung zu diesem Zeitpunkt kenne, die Lösung zu dem Zeitpunkt
bestimmen.
So, jetzt machen wir eine lineare Approximation der Erregerkraft.
Was heißt das?
Das heißt, wenn ich die Lösung zum Zeitpunkt K-1 kenne, habe ich A,
die Anfangsbedingungen, um mir die Lösung zum Zeitpunkt K
auszurechnen, und ich kenne meine Erregerkraft, die in diesem
Zeitintervall noch dazukommt.
Sie ist nämlich einmal konstant, also irgendein Konstantterm, plus
irgendein linear verlaufender Term.
Ich kann also meine Lösung wie folgt darstellen.
Hier vorne habe ich den Lösungsanteil der freien Schwingung.
Dieser Lösungsanteil setzt sich aus der freien Schwingung zusammen.
Das heißt, Sie fragen sich, Sie haben ein Freiheitsgradsystem, schwach
gedämpft, davon wollen wir ausgehen, dass wir hier einen
schwingfähigen Fall haben, betrachten die freie Schwingung, das heißt
rechte Seite gleich 0, haben Anfangsbedingungen in Form y.ik-1 und y
.ik -1 vorgegeben, fragen sich, wie berechnet sich dann die Lösung zum
Zeitpunkt Delta T.
Das Ganze kann hier nur von Delta T abhängen und natürlich von den
Systemparametern, sprich von Xi und Omega.
Das müssen Sie einmal machen, ich zeige Ihnen dafür gleich die
Formeln, die müssen Sie nicht auswendig lernen, aber Sie können sich
vorstellen, wo das herkommt.
Sie machen dazu einfach einen Cosinus-Sinus-Ansatz, setzen den ein in
Ihre freie Differenzialgleichung und lösen das auf, so wie Sie das in
der TM3 ja auch gemacht haben.
Und hier im zweiten Term steht jetzt der Einfluss der Erregerkräfte.
Das wäre also die partikuläre Lösung.
Haben Sie in TM3 auch gemacht, aber vielleicht nicht für diesen Typ
von Anregung.
Sie haben sich mehr für harmonische Anregung interessiert.
Hier haben wir jetzt einen näherungsweisen Verlauf.
Sie wissen aber, vielleicht noch aus der TM3 verantwortlich dafür,
sind die sogenannten Duhamel- oder Faltungsintegrale.
Wenn Sie für diesen Typ lineare Approximation diese Faltungsintegrale
lösen, das können Sie noch analytisch machen, dann erhalten Sie genau
diese Funktion, die hier drin steht.
Auf der nächsten Seite habe ich Ihnen diese Funktion mal dargestellt,
also angegeben.
Sie sollen die nicht auswendig lernen, beileibe nicht.
Aber Sie sollen sich vielleicht ein bisschen an Ihre TM3 da erinnert
fühlen.
Sie sehen, da stehen hier vier Ausdrücke für die freie Lösung.
Sie haben jetzt allgemeine Anfangsbedingungen.
In der TM3 hatten Sie häufig den Fall, dass vielleicht x von 0 gleich
0 war, oder dass die Anfangsgeschwindigkeit gleich 0 war.
Dann vereinfachen sich die Terme hier.
Aber Sie sehen, hier steht Omega d, die Eigenfrequenz der gedämpften
Schwingung, drin.
Hier steht die exponentielle Abklingung des Verhaltens drin.
Da geht die Abklingkonstante x in i ein, und die Eigenfrequenz Omega
i, und dann das Zeitintervall LRT.
Also das sind alles Terme, wie Sie ihnen schon in der TM3 über den Weg
gelaufen sind, halt hier nochmal etwas anders zusammengruppiert.
Und hier stehen jetzt die Terme aus der Erregerkraft, und da ist
besonders interessant, immer wieder das Auftreten von Delta t hier im
Nenner.
Das heißt, wenn Sie das Zeitintervall klein wählen, dann klingt Ihnen
diese Konstante hier auf.
Mit diesem Verfahren können Sie relativ gut, so gut wie Sie halt Ihre
Anregung linear approximieren können, durch Anstückelung, also
Berechnung der Lösung zum Zeitpunkt k, aus der Lösung zum Zeitpunkt k
-1, Anstückelung plus lineare Approximation der Erregung, können Sie
mit diesen acht Funktionen, die ich Ihnen hier hingeschrieben habe,
für jeden Freiheitsgrad die Lösung berechnen.
Machen Sie das für alle Freiheitsgrade, dann brauchen Sie nur noch mit
der Modalmatrix, also der Matrix der Eigenvektoren multiplizieren, und
Sie erhalten die Systemantwort.
Das ist die Idee dieses Anstückelungsverfahren, das ich Ihnen hier nur
einmal kurz präsentieren wollte.
Die Zeit erlaubt es mir hier nicht, weiter auf Details einzugehen.
Aber, wenn Sie es mal brauchen, schlagen Sie in guten Lehrbüchern
nach.
Also, wer hat das drin?
Gasch-Knothe hat das drin, die in der Schwingungslehre Hagedorn könnte
sein, ich weiß sie nicht genau, also Gasch-Knothe hat es auf jeden
Fall drin.
Oder Sie schauen inzwischen auch im Internet nach, unter
Übertragungsverfahren, Anstückelungsverfahren, finden Sie dieses
Verfahren für lineare Systeme.
Jetzt wollen wir zu dem kommen, was uns interessiert, nämlich die
Lösung mithilfe der Exponentialmatrix.
Wir gehen nochmal einen ganz kleinen Schritt zurück und schauen uns
nur das homogene Problem an.
Homogen heißt, wir haben keine Anregung, f von t gleich 0, und wir
schreiben das Problem, Sie sehen das hier schon,
als System erster Ordnung, also in Zustandsform, mit einer n-Kreuz-n
-Matrix.
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten, so etwas zu lösen.
Das eine ist, so wie wir es beim letzten Mal gemacht haben, über das
klassische Eigenwertproblem.
Das heißt, wir machen einen Ansatz, hier stehen unsere
Integrationskonstanten oder auch unsere Eigenvektoren drin, hier steht
Exponentialfunktion, und Lambda ist eine Skalargröße drin.
Leiten diesen Ansatz einmal ab, setzen den ein in unser ursprüngliches
Problem und erhalten a-Lambda i, i ist die Identitätsmatrix, die
Einheitsmatrix, mal c gleich 0.
Daraus folgern wir, wenn wir nicht triviale Lösungen haben möchten,
muss die Determinante von a-Lambda i verschwinden, muss das hier eine
singuläre Matrix sein, und das liefert uns dann das charakteristische
Polynom zur Bestimmung der n-Eigenwerte Lambda i und der Eigenvektoren
c i.
So waren wir im Prinzip beim letzten Mal vorgegangen.
Aber jetzt kommt es.
Im Unterschied zu dieser Vorgehensweise möchte ich jetzt eine rein
matrizielle Lösung anstreben.
Das heißt, ich möchte einsetzen, x von t gleich Exponentialfunktion at
mal x0.
Dazu muss ich aber erst mal sagen, was ich hier unter verstehe.
Denn Exponentialfunktionen, davon gehe ich jetzt mal aus, kennen Sie
bisher nur aus der höheren Mathematik oder auch aus der
Schulmathematik für Skalaregrößen.
Was das für eine Matrix bedeutet, wissen Sie vermutlich nicht.
Nun, dazu kann ich mir überlegen, wie war die Exponentialfunktion
eigentlich mal definiert.
Und die Exponentialfunktion war durch so einen Potenzreihenansatz
definiert.
Und jetzt tue ich einfach so, als verwende ich den gleichen
Exponentialreihenansatz und setze einfach anstatt des
Skalarenargumentes hier meine Matrix ein.
Dann muss ich die Matrix mal quadrieren.
Sie sehen, das geht also nur noch für quadratische Matrizen.
Also müssen wir uns auf quadratische Matrizen beschränken.
Zum Glück haben wir hier eine n-Kreuz-n-Matrix, also eine quadratische
Matrix.
Und für diese quadratischen Matrizen kann ich zunächst einmal diese
Exponentialreihe hinschreiben.
Da muss ich natürlich zeigen, dass diese Exponentialreihe auch
konvergiert.
Das funktioniert aber genauso wie für Skalaregrößen.
Ich zeige das summand für summand hier.
Habe da zwar aufgrund dieses Produktes immer noch Kreuzferbe zu
berücksichtigen, aber das ist auch kein Problem, hier zu zeigen, dass
diese Reihenentwicklung tatsächlich konvergiert.
Als nächstes brauche ich Berechnungsvorschriften.
Dazu möchte ich Ihnen einige Berechnungsvorschriften zeigen, damit Sie
mal vertraut werden.
Halt, wir werden das mal ausrechnen.
Gehen wir da nochmal zurück.
Bisher wissen wir nur, Exponentialfunktion At ist Identität plus 1
durch 1 Fakultät, A Matrix mal T plus 1 durch 2 Fakultät, A Quadrat,
also A mal A mal T Quadrat plus und so weiter.
Jetzt stellen Sie sich vor, Sie wollen die Ableitung davon bilden.
Sie wollen Exponentialfunktion At.
Was müssen Sie machen?
Sie müssen die Identität ableiten, das gibt Ihnen 0.
Sie müssen A mal T ableiten, das gibt Ihnen A.
Sie müssen 1 halb A Quadrat T Quadrat ableiten, das gibt Ihnen A.
A Quadrat mal T und so weiter.
Wenn Sie noch einen Term nehmen würden, dann würden Sie erhalten 1
durch 2 Fakultät.
Die 3 Fakultät hätten Sie eigentlich kürzlich mit der 3 weg.
A hoch 3 T Quadrat und so weiter.
Sie sehen jetzt, wenn Sie hier A ausklammern, erhalten Sie wieder
original die ursprüngliche Reihe.
Plus 1 halb A Quadrat T Quadrat und so weiter.
Das heißt, Sie erhalten A mal Exponentialfunktion At.
Genauso wie für skalare Größen auch.
Das ist praktisch.
Die Differentiation bleibt gleich.
Auch die Integration bleibt gleich.
Also für die Integration haben Sie von 0 bis T Exponentialfunktion At
dt.
Irgendwas müssen Sie sich da überlegen.
Wenn Sie das ableiten, dann soll wieder die Exponentialfunktion
rauskommen.
Also muss ich hier dieses A invertieren.
A minus 1 mal Exponentialfunktion At.
Und dann habe ich aber auch noch den Term, die untere Grenze
dazustehen.
Da habe ich dann Exponentialfunktion von 0.
Was ist die Exponentialfunktion von 0?
Das ist gerade die Identität.
Also erhalte ich hier für die bestimmte Integration diesen Ausdruck.
Für die unbestimmte Integration erhalte ich einfach nur A hoch minus 1
Exponentialfunktion At.
Funktioniert also genauso wie die Integration einer ganz gewöhnlichen
Exponentialfunktion mit einem skalaren Argument.
Dann können wir noch versuchen, die Inverse zu berechnen.
Exponentialfunktion At hoch minus 1.
Wenn Sie daran denken, das wäre ein skalares Argument, dann sollte
dort herauskommen, Exponentialfunktion von minus At.
1 durch Exponentialfunktion At für skalare Größen wäre gleich
Exponentialfunktion von minus At.
Auch das erweist sich als richtig.
Dazu schreiben wir einfach mal hin.
Exponentialfunktion At multipliziert mit Exponentialfunktion minus At.
Ich habe es hier umgekehrt hingeschrieben.
Also für Exponentialfunktion minus At erhalten wir I minus 1 durch 1
Fakultät At plus 1 durch 2 Fakultät A²t² minus plus und so weiter.
Für Exponentialfunktion At erhalten wir I plus 1 durch 1 Fakultät At
plus 1 durch 2 Fakultät A²t² und so weiter.
Und jetzt schauen wir mal, was passiert, wenn wir das Ganze
ausmultiplizieren.
Nun, da nehmen wir einfach das I von rechts und multiplizieren das
komplett durch mit der Exponentialfunktion von links.
Dann haben wir da I minus 1 durch 1 Fakultät At plus 1 durch 2
Fakultät A²t² minus 1 durch 3 Fakultät At jeweils hoch 3 und so
weiter.
Jetzt nehmen wir den nächsten Summanden, zweiter Summand,
multiplizieren den zweiten Summand mit der ersten Klammer durch und
schreiben das jetzt etwas versetzt, damit wir einen schönen
Koeffizientenvergleich machen können.
Dann steht dort 1 durch 1 Fakultät At plus minus 1 durch 1 Fakultät
A²t² plus 1 durch 2 Fakultät A hoch 3, T hoch 3, minus und so weiter.
Nehmen wir noch den letzten Summanden dazu, den dritten, den ich hier
hingeschrieben habe, und dann wird Ihnen das Schema sicher deutlich.
Dann müssen wir hier anfangen beim quadratischen Term, haben plus 1
durch 2 Fakultät A²t² und im nächsten Term plus minus 1 durch 2
Fakultät A hoch 3, T hoch 3, plus und so weiter.
Und Sie sehen, wenn Sie jetzt einen großen Bruchstrich runterziehen
und das alles zusammen addieren, erhalten Sie hier vorne das I und
dann kommen nur noch Nullen.
Die Terme heben sich gegenseitig weg, die Terme heben sich alle drei
gegenseitig weg und hier fehlt uns noch ein einziger Term, der aus 1
durch 3 Fakultät A hoch 3, T hoch 3 kommen würde.
Und dann würden sich auch die Terme wegheben.
Sie sehen, dass da wieder sowas entsteht wie das paschalische Dreieck.
Also hier bleibt Ihnen nur am Anfang diese Identität übrig und alle
anderen Terme heben sich jeweils gegenseitig auf.
Das heißt, hier kommt tatsächlich die Identität heraus,
Exponentialfunktion At hoch minus 1 insertiert ist gleich
Exponentialfunktion von minus At.
So, ich habe Ihnen noch ein paar Regeln aufgeschrieben, hier auf der
nächsten Folie.
Die Addition funktioniert auch genauso wie beim Skalar, Sie sehen das
hier.
Also Exponentialfunktion At1 plus T2 können Sie auseinanderziehen zu
einer Exponentialfunktion At1 mal Exponentialfunktion At2.
Beweis geht auch wieder über den Reihenansatz und dann
ausmultiplizieren.
Und Sie können für die Determinante, das ist etwas knifflig, eine
Formel angeben, die sich zusammensetzt aus der Exponentialfunktion T
mal der Spur der Matrix.
Das ist also interessant, dass Sie nur die Spur der Matrix selber
bringen.
Auf ein numerisches Problem weise ich Sie jetzt schon darauf hin, auf
das ich aber später noch zu sprechen komme.
Das ist das Problem, dass die Exponentialreihe zwar für alle At
unendlich konvergent ist, aber sie ist immer dann schlecht
konditioniert, wenn das Argument hier drin, vom Betrag hier, größer
wird als 1.
Und dann kann es Ihnen passieren, dass das Ganze numerisch divergent
ist.
Und dagegen müssen wir Vorsorge betreiben, dass das uns im Rechnen
nicht passiert.
Ähnlich wie wenn Sie ganz naiv versuchen würden, den Sinus in einer
großen Zahl zu berechnen über seine Definition als Potenzreihe.
Dann sehen Sie, da steht hier 17, dann minus 17 hoch 3 durch 3
Fakultät, plus 17 hoch 5 durch 5 Fakultät.
Die Fakultät sorgt dafür, dass sie die Termin zu 0 zurückzieht.
Dass hier zum Schluss kleine Resttermine entstehen, aber die Fakultät
muss erstmal groß und mächtig werden.
Und der Gegenspieler ist dazu die Potenz.
Die wächst am Anfang noch schneller als die Fakultät.
Dann überholt irgendwann die Fakultät im Nenner, die Potenz im Zähler
und zieht die ganzen Termin zu 0 runter.
Aber es braucht erstmal eine ganze Weile, ehe Sie das machen können.
Und so lange müssen Sie sich mit dem Problem herumschlagen, dass Sie
die Differenz großer Zahlen ausrechnen müssen.
Und das ist auch für den Rechner ein Problem.
Deswegen wird man im Rechner auch den Sinus nicht mit diesen Formeln
hier berechnen, sondern man hat spezielle Ausdrücke und das schon seit
langer, langer Zeit entwickelt, um den Sinus allgemein darzustellen.
Auch hier wird man versuchen, beispielsweise durch Division, durch 2π,
zunächst einmal das Argument klein zu kriegen.
Das ist ja auch kein Problem.
Sie wissen, der Sinus ist periodisch, 2π-periodisch.
Da können Sie das machen.
So lange hier durch 2π teilen, bis das zwischen 0 und 2π liegt.
Das ganze Argument, oder noch besser, zwischen –π und π.
Dann haben Sie es so klein wie möglich bekommen und erst dann fangen
Sie an, die Reihe aufzustellen.
So würde man im Rechner vorgehen.
Jetzt haben wir hier aber den Fall, dass wir eine Exponentialfunktion
zu stehen haben.
Und bei einer Exponentialfunktion haben wir natürlich nicht diese
Periodizität und können diese Eigenschaft nicht ausnutzen.
Da brauchen wir einen anderen numerischen Trick und den zeige ich
Ihnen ganz am Ende, wenn wir uns noch etwas eingehender beschäftigt
haben mit der Exponentialmatrix.
Dazu möchte ich Ihnen jetzt als nächstes zeigen, wie Sie nun die
Exponentialmatrix anwenden.
Zunächst machen wir das für den Fall der freien Schwingung, also
rechte Seite ist gleich 0, das sehen Sie hier.
Und wir machen es an einem ganz einfachen Beispiel, nämlich an einem
Einfreiheitsgrad -Schwinger.
Wenn das für den Einfreiheitsgrad-Schwinger funktioniert, funktioniert
es auch sofort für das Mehrfreiheitsgrad-System.
Der einzige Unterschied ist, diese Matrix A wird halt hier größer von
ihrer Dimension her, aber der Mechanismus bleibt der gleiche.
Nur hier an dem Einfreiheitsgrad-System können wir das Ganze natürlich
noch mit der Ihnen aus der TM3 bekannten Lösung für die freie
gedämpfte Schwingung, im Fall der schwachen Dämpfung, vergleichen und
feststellen natürlich zum Schluss, es muss genau das gleiche
rauskommen, nur die Darstellung ist eben sehr viel anders.
So, da steht sie also da, unsere Ausgangsgleichung, Sie sehen hier D,
das näherste Dämpfungsmaß, Omega 1, die Einkreisfrequenz der freien
gedämpften Schwingung.
Das System in erster Ordnung erhalten Sie, indem Sie transformieren.
Y von T nennen Sie jetzt X1 von T, die Geschwindigkeit, den Punkt von
T nennen Sie X2 von T.
Das heißt, Sie bringen das ganze System auf Zustandsform.
Erste Ableitung von X.1 ist dann gleich X2, die erste Ableitung von X2
ist dann Y2.
Und dafür haben Sie dann minus Omega 1 parat, mal X1 minus 2, denn
Omega 1 ist 2.
Und das ist dann hier Ihre Systemmatrix A.
Das heißt, in Zustandsform haben Sie dann X.1, X.2 gleich A mal X1 und
X2.
Jetzt machen Sie Ihren Ansatz mit der Exponentialfunktion At, denn Sie
wissen, wenn das ein skalares Problem wäre, könnten Sie das ganz
gleich mit diesem Ansatz Exponentialfunktion At lösen.
So, nennen wir das ganze Phi von T.
Wie würde dann Exponentialfunktion A mal T aussehen?
Der erste Term ist die Identität.
Klar, der steht hier da.
Der zweite Term ist einfach A multipliziert mit der Zeit.
Klar, da schreiben wir hier hinten das Zeitargument ran und schreiben
die Matrix A einfach wieder ab.
Dann sehen Sie, das ist hier die Matrix A.
Im nächsten Term muss ich die Matrix A quadrieren, also mit sich
selbst multiplizieren.
Ist auch nicht weiter schwer.
Sie sehen, hier steht die Matrix A quadrat.
Mal T quadrat und Vorfaktor ist ein Halb.
Wie können wir das jetzt mit der Ihnen bekannten Skalarenlösung
vergleichen?
Nun, die Skalarenlösung sah folgendermaßen aus.
Wir mussten dazu das charakteristische Polynom, die charakteristische
Gleichung, Lambda quadrat plus 2D Omega 1 mal Lambda plus Omega 1
quadrat gleich 0 lösen.
Und Sie wissen, nur für den Fall D kleiner 1 hatten wir eine Lösung,
die man auch wirklich als Schwingung bezeichnen könnte.
Sonst hat man Kriechbewegungen.
Nur für Lärches Dämpfungsmaß kleiner 1 erhalten Sie dann die beiden
Eigenwerte, die konjugiert komplex sind.
Minus D Omega 1 plus minus I Nu 1.
Und dieses Nu 1 ist die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Omega 1 1 minus D quadrat Wurzel.
Sie sehen, das ist also die reduzierte Eigenkreisfrequenz und die
Dämpfung reduziert 1 minus D quadrat.
Jetzt kann man daraus die Lösung zusammensetzen.
Y von T ist dann, und das stand ja auch schon auf der ersten Folie da,
nur mit Delta T minus D Omega 1 mal T mal C1 Cosinus Nu 1 T plus C2
Sinus Nu 1 T.
Daraus kann ich natürlich Y-Punkt durch Ableitung bestimmen.
Dann habe ich eine Darstellung, die vergleichbar ist zu der
Darstellung, die ich hier oben habe.
Nämlich eine Darstellung in der Form X-Punkt gleich X1-Punkt, X2-Punkt
gleich Y1, Y, Y-Punkt gleich A mal Y, Y-Punkt.
Und damit Y, Y-Punkt gleich irgendeine Matrix X von T, die sogenannte
Fundamentalmatrix, mal meine Anfangsbedingungen C1 und C2.
Wie sieht diese Matrix X von T aus?
Da steht zunächst einmal Exponentialfunktion minus D Omega 1 T.
Und dann muss ich hier die Cosinus-Term hinschreiben, in der ersten
Zeilung den Sinus-Term, Cosinus Nu 1 T und Sinus Nu 1 T.
Und hier unten muss ich die Zeitableitung hinschreiben und da muss ich
natürlich aufpassen, ich muss ja auch diese Exponentialfunktion nach
der Zeit ableiten.
Deswegen steht da minus D Omega 1 Cosinus Nu 1 T minus Nu 1 Sinus Nu 1
T mal Integrationskonstante C1 und Nu 1 Cosinus Nu 1 T, da geht mir
langsam ein bisschen der Platz aus, minus D Omega 1 Sinus, ich kürze
das mal durch S ab, Sinus Nu 1 T.
Und dann multiplizieren Sie das Ganze mit Ihren beiden
Integrationskonstanten C1 und C2, dann haben Sie XT.
Jetzt können Sie daraus X von T gleich Null errechnen, indem Sie
einfach hier T gleich Null einsetzen, das wäre X von T gleich Null.
Das wäre X Null und für die Lösung haben Sie dann kleinen x von T
gleich Null, X Null mal C1 C2.
Was erhalten Sie hier, wenn Sie dort T gleich Null einsetzen, Sie
erhalten hier T1, Sie erhalten hier eine 1, da eine Null, da erhalten
Sie minus D Omega 1 und hier erhalten Sie Nu 1, nichts weiter.
So, das nennen wir mal X Null für den Vektor der Anfangsbedingungen
und dann können Sie die beiden Integrationskonstanten C1 und C2
bestimmen als Matrix X zur Zeit T Null hoch minus 1 mal X Null.
Und jetzt wird Ihnen der Zusammenhang deutlich zwischen diesem V von T
und dem X, was wir hier ausgerechnet haben.
V von T muss gleich sein, X von T mal X Null hoch minus 1.
Dann haben wir also diese beiden Integrationskonstanten beseitigt und
ersetzt hier durch die Anfangsbedingungen für X Null, für X zur Zeit T
gleich Null, Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit.
So, das heißt, wenn Sie die beiden Darstellungen vergleichen wollen,
diese matrizielle Darstellung und die Darstellung, die Sie aus der
Theorie kennen, dann müssen Sie diese beiden Matrizen vergleichen.
Gut, die eine Matrix haben wir da zu stehen, die steht hier da.
Die andere müssen wir hier nochmal hinschreiben, X hoch minus 1 von
Null und wir müssen das Ganze noch ausmultiplizieren.
Das ist ein bisschen Rechnerei.
Ich schreibe Ihnen das nochmal auf der nächsten Seite auf, wie das
aussieht.
Also, wir haben auf der einen Seite die Darstellung mit der
Exponentialfunktion.
Also, Phi von T gleich 1 Null Null 1 plus 1 durch 1 Fakultät, Null 1
minus Omega 1 Quadrat minus 2 D Omega 1 mal T plus 1 durch 2 Fakultät
und dann haben wir die Reihenentwicklung einfach abgebrochen.
Minus 2 D Omega 1 2 D Omega 1 hoch 3 minus Omega 1 Quadrat plus 2 D
Omega 1 zum Quadrat mal T Quadrat.
Und zum anderen müssen wir ausrechnen, was ist XT mal X minus 1 von T
gleich Null in unserer Lösung, die wir aus der TM3 praktisch kennen,
klassische Lösung auf skalare Weise gewonnen.
Das ist Exponentialfunktion minus D Omega 1 T mal Cosinus Null 1 T
plus D Omega 1 durch Null 1 Sinus Null 1 T.
1 durch Null 1 Sinus Null 1 T minus Omega 1 Quadrat Null 1 Sinus Null
1 T und Cosinus Null 1 T minus D Omega 1 durch Null 1 mal Sinus Null 1
T.
Und die beiden sollen jetzt auch noch gleich groß sein.
Jetzt ist die Frage, haben die überhaupt noch irgendwas miteinander zu
tun?
Ja, die haben was miteinander zu tun und die sind tatsächlich gleich
groß, nur was müssen sie machen?
Sie müssen einmal die Exponentialfunktion hier vorne, das
exponentielle Abklingverhalten und das Schwingverhalten ausgedrückt
durch die Cosinus- und Sinustherme in ihrer Fundamentallösung, die
müssen Sie durch Reihenentwicklung ersetzen.
Und dann, wenn Sie das Ganze dann ausmultiplizieren, sehen Sie, Sie
kommen tatsächlich auf diese Darstellung, die Sie mithilfe der
Exponentialabbildung einer Matrix gewonnen haben.
Machen wir noch einen kleinen Zwischenschritt.
Also XT mal X minus 1 von T gleich Null und dann sehen Sie das.
Das ist 1 minus 1 durch 1 Fakultät, D Omega 1 T plus meinetwegen 1
durch 2 Fakultät, D Omega 1 zum Quadrat mal T Quadrat plus Therme
höherer Ordnung.
Multipliziert mit der Matrix, die kriege ich da schon gar nicht mehr
auf die Reihe noch rauf.
Jetzt müssen wir diese Cosinus-Funktion ersetzen, nehmen wir auch die
ersten Therme mit.
Sie wissen, das geht dann quadratisch weiter.
Nu 1 T und wir müssen noch einmal die Sinus-Funktion ersetzen, da
brauchen wir nur den linearen Term, D Omega 1 durch Nu 1 mal Nu 1 T
plus Therme höherer Ordnung.
Sie sehen, da kürzt sich was heraus.
Im nächsten Term haben wir den Sinus Nu 1 T, dann haben wir also hier
näherungsweise Nu 1 T plus Therme höherer Ordnung und wir haben minus
Omega 1 Quadrat Nu 1 Nu 1 T plus Therme höherer Ordnung und 1 minus 1
durch 2 Fakultät Nu 1 T zum Quadrat
Plus, halt, Minus, Omega 1 durch µ 1 mal D mal µ 1 T, so.
Und jetzt versuchen Sie mal das, was Sie dort haben,
auszumultiplizieren und mit dem, was dort oben steht, zu vergleichen.
Finden wir die Terme wieder.
1 ist das Produkt aus der 1 mit der 1.
Da haben wir nichts, konstante Ordnung, hier haben wir sofort Terme
mit T drin, hier haben wir auch Terme mit T drin, hier haben wir noch
Terme mit 1.
Also, diese Matrix hier finden Sie komplett hier und dort wieder, wenn
Sie das mit dieser 1 multiplizieren.
Schauen wir uns die nächste Matrix an.
Da haben wir die Terme in T, die linearen Terme.
Die erhalten wir, indem wir einmal das hier mit D multiplizieren und
sonst erhalten wir nur Terme höherer Ordnung, beziehungsweise wir
können auch noch das mit D multiplizieren.
Da steht also einmal D Omega 1 T mit einem negativen Vorzeichen und
einmal D Omega 1 T mit einem positiven Vorzeichen.
Gebt sich gegenseitig auf, damit haben wir hier die Null.
Der Term hier drüben, was gibt der uns für einen linearen Term?
Dann haben wir nur die Wahl, hier die 1 zu nehmen und den Term, wie er
dort steht, also das T.
Das ist genau die 1, wie sie hier steht.
Hier haben wir auch schon einen linearen Term, müssen wir also hier
mit der 1 multiplizieren, erhalten also minus Omega 1 Quadrat A T.
Das ist genau der Term, wie er hier steht.
Letzter Term, der hier in der Ecke, wie erhalten Sie den?
Sie haben einmal hier die 1, multiplizieren das mit dem Term, minus D
Omega 1 T.
Und dann, und dann, und dann, da hinten haben wir noch einen Term,
diesen hier, der ist selbst linear, Sie müssen den also multiplizieren
mit dieser 1, dann erhalten Sie nochmal minus D Omega 1 T macht
zusammen minus 2 D Omega 1 T.
Und dann können Sie auch noch die nächste Matrix beweisen.
Das heißt, wenn Sie die Exponentialabbildung der Systemmatrix
verwenden, also diese Darstellung hier oben, dann haben Sie
automatisch damit eine Reihenentwicklung, in der Sie bereits die
Lösung nach Potenzen von T entwickelt haben.
Wenn Sie die klassische Vorgehensweise aus der TM3 wählen, dann haben
Sie ein Mischmasch.
Eine Mischung, bei dem hier vorne einmal Terme mit T stehen und hier
stehen wieder Terme mit T und Sie haben keine geordnete Potenzreihe,
Sie müssen erst durch Ausmultiplizieren und Umordnung auf diese
Darstellung hier oben kommen.
Das heißt, unter dem Aspekt, dass Sie nach Potenzen der Zeit
entwickeln wollen, und das wollen Sie vielleicht, wenn Sie kleine
Zeitintervalle berechnen, dann wissen Sie, die höheren Potenzen fallen
weg, wenn Ihr Delta-T, Ihr Zeitintervall klein ist.
Denken Sie immer daran, wir wollen Numerik mit unserem Rechner
betreiben und da haben wir nur diskrete Zeitpunkte und damit
Zeitintervalle.
Also, wenn Sie solche Zeitintervalle betrachten wollen und diese
Zeitintervalle sind klein, dann ist eine Potenzreihenentwicklung
sinnvoll.
Die Potenzreihenentwicklung erhalten Sie sofort mit der
Exponentialabbildung mit Ihrer klassischen Lösung aus der TM3.
Dabei haben Sie eine wunderbare analytische Lösung, die Sie ganz
hervorragend interpretieren können, so wie Sie das in der TM3 gemacht
haben, aber für eine Potenzreihenentwicklung ist diese Lösung nicht
geeignet.
Und das war die Moral von der Geschichte, von diesen langen
Formulierungen.
Ich gebe zu, ein wenig technisch, die ganzen Rechnungen, aber zum
Schluss doch recht aufschlussreich.
Jetzt haben wir aber bisher nur das homogene Problem behandelt, also
das Problem der freien Schwingungen.
Wir müssen uns noch überlegen, wie gehen wir damit um, dass wir einen
Anregungsmechanismus haben, dass wir eine Inhomogenität haben.
Nun, da kennen Sie ein Verfahren, das aus der Mathematik herrührt,
wenn Sie Differentialgleichungen lösen wollen, lineare
Differentialgleichungen.
Sie lösen zunächst die gesamte, oder Sie bestimmen zunächst die
gesamte Lösung der homogenen Differentialgleichung und müssen dann
noch eine einzige, partikuläre Lösung bestimmen.
Und für diese eine einzige, partikuläre Lösung gibt es zwei
Möglichkeiten.
Die eine Möglichkeit ist, Sie machen einen Ansatz analog rechter
Seite, analog Störfunktion.
Das muss ich hier leider ausschließen, wenn wir beliebige rechte
Seiten erst einmal haben wollen, dann kommt ja das nicht in Frage,
dass ich so einen speziellen Ansatz mache.
Dann gibt es noch die andere Möglichkeit, das ist die sogenannte
Variation der Konstanten, die Ihnen hoffentlich auch in der TM, in der
höheren Mathematik, pardon, TM ist dafür nicht zuständig, nicht für
alles zuständig, aber wenigstens für die gedämpften Schwingungen sind
die zuständig, also die Ihnen hier hoffentlich die Variation der
Konstanten nahegelegt hat.
Wenn Sie das nicht hatten in der höheren Mathematik, dann bekommen Sie
das in der Schwingungslehre, technischen Schwingungslehre oder in den
mathematischen Methoden der Schwingungslehre, untergejubelt,
untergeschoben, die Variation der Konstanten unter dem
Faltungsintegral.
Denn Sie sehen, diese partikuläre Lösung, die wir hier bestimmen, das
ist ja unsere homogene Lösung, über die haben wir uns vorher schon
unterhalten, hier steht die homogene Lösung, einfach die
Exponentialfunktion mal Anfangsbedingung.
Diese partikuläre Lösung ist nichts anderes als ein Faltungsintegral
und das Faltungsintegral, vielleicht haben es Ihnen die Mathematiker
auch nahegelegt, aber sonst macht es die Mess- und Regelungstechnik
oder die Schwingungslehre, dieses Faltungsintegral ist genau das
Ergebnis der Variation der Konstanten.
Also Sie haben hier die Fundamentalmatrix Ihrer homogenen Lösung
gefaltet mit dem Anregungsmechanismus.
Und das kann man natürlich wunderschön interpretieren in der
Schwingungslehre, als eine permanente Abfolge dieses Duhamel-Integrals
von kleinen Impulsen, die dann einfach gefaltet werden, also über die
Zeit aufintegriert werden.
Naja, jetzt können Sie natürlich auch x-Punkt ausrechnen, indem Sie
das nochmal nach der Zeit ableiten.
Diesen Ausdruck hier nach der Zeit abzuleiten ist ein bisschen
schwieriger, Sie müssen beachten, die Zeitableitung findet hier nach
den Exponenten statt, also nach diesem T, und da einfach nur diese
Matrix A dazu plus Z von T.
Das also hier hinten nicht vernachlässigen.
Das sind die beiden Größen, die Ihnen hier aus der Zeitableitung noch
dazukommen.
Jetzt ist das Ganze aber numerisch wieder recht unschön.
Warum?
Weil Sie dieses Faltungsintegral lösen müssen.
Also Sie müssten praktisch immer dieses Integral zum Beispiel
irgendwie berechnen.
Und das ist für allgemeine Funktionen Z von Tau so numerisch nicht
machbar.
Also bedient man sich hier auch wieder der Treppenapproximation.
Also approximiert man die Funktion Z von Tau durch ihren Wert Z0 an
der Stelle T0.
Ich möchte den Wert an der Stelle T0 plus Delta-T, das können Sie
vielleicht nicht lesen, hier steht T0 plus Delta-T an diesem
Zeitpunkt, hier steht T0, möchte ich berechnen.
Und dazu nehme ich erstmal an, dass in diesem Intervall diese Funktion
konstant ist.
Dann habe ich dort nur eine Konstante aufzuintegrieren von T0 bis T0
plus Delta-T.
Diese Konstante kann ich hier vor das Integral ziehen.
Ich habe also nur die Exponentialfunktion selbst zu integrieren.
Und dafür habe ich Ihnen ja die Integrationsform hergeleitet.
Das geht im Prinzip so, als hätten Sie es hier mit einer skalaren
Funktion zu tun.
Sie sehen, da kommt auch minus 1 mal Exponentialfunktion A Delta-T
minus I heraus.
So, multipliziert noch mit Exponentialfunktion A T0 plus Delta-T, das
hat den Effekt, dass Ihnen hier nur A mal Delta-T übrig bleibt und
nicht T0 plus Delta-T.
Wenn Sie sich jetzt diesen Ausdruck anschauen, das wäre also der
Algorithmus zur Berechnung der Lösung, wenn ich die Lösung im
Zeitpunkt T0 kenne und im Zeitpunkt einen Zeitschritt weiter T0 plus
Delta -T ermitteln möchte, dann müsste ich unter der Voraussetzung
einer Treppenapproximation mit Innenmobilität, müsste ich nur diese
Funktion hier auswerten.
Und wenn Sie sich die anschauen und Sie arbeiten jetzt mit konstanter
Schrittweite Delta-T, dann stellen Sie fest, aha, diese Matrix hier,
diese Exponentialabbildung, diese Exponentialmatrix, muss ich nur ein
einziges Mal ausrechnen.
Also diese Reihenentwicklung muss ich nur ein einziges Mal konkret
auswerten.
Dann speicher ich mir das einfach ab, nennen das irgendwie, Matrix
sowieso, D oder sonst irgendwas, was Ihnen gefällt.
Speicher das ab und dann muss ich nur noch hier eine Matrix-Vektor
-Multiplikation ausführen.
Und hier kann ich mir auch diesen Aufwand sparen.
Speicher ich halt noch eine zweite Matrix ab, was soll's.
Speicher ich ab A-1, eine Exponentialmatrix, das Ganze hier, dann habe
ich hier zwei Matrixen und ich habe in jedem Zeitschritt nur eine
Matrix -Vektor-Multiplikation.
Und billiger geht's nicht.
Also nur Matrix-Vektor-Multiplikation.
Und jetzt denken Sie an das Anstückelungsverfahren.
Was haben Sie beim Anstückelungsverfahren?
Auch Matrix-Vektor-Multiplikation.
Der Unterschied zum Anstückelungsverfahren besteht darin, dass Sie bei
dem Anstückelungsverfahren zunächst einmal modal entkoppeln mussten.
Das heißt, Sie haben immer nur 2x2 Matrizen.
Der Gewinn, Ihre Matrizen sind kleiner, Ihre Matrix-Vektor-Operationen
sind kleiner, das System ist entkoppelt.
Hier haben Sie unter Umständen große Matrizen.
Nachteil, es ging eben nur dann, wenn Sie modal entkoppeln können.
Das heißt, ich habe Ihnen das Verfahren nur vorgeführt für den Fall
der schwachen Dämpfung und für den Fall der Dämpfung analog praktisch
proportional zu Massen und zur Steifigkeitsmatrix.
Das hier gilt ganz allgemein für eine beliebige Zustandsmatrix.
Das Einzige, was Sie von der fordern, dass sie halbwegs vernünftig
ist, also sie soll sich invertieren lassen.
Sonst hätten Sie ein Problem mit redundanten Freiheitsgraden und das
wollen wir hier aber nicht.
Jetzt gibt es noch ein zweites Verfahren, das inhomogene Problem zu
behandeln.
Das möchte ich Ihnen auch noch vorstellen.
Nämlich, stellen Sie sich vor, Sie hätten hier Z von T, eine
harmonische Anregung.
Also eine Kosinusfunktion, Kosinus von Omega T mal Amplitude.
Dann können Sie diese harmonische Anregung selbst aus einer
Differenzialgleichung, nämlich einer Differenzialgleichung für eine
freie Schwingung ermitteln.
Jetzt machen Sie einfach folgendes, das ist auf der nächsten Folie
dargestellt.
Sie erweitern Ihren Zustandsvektor.
Also, stellen Sie sich vor, Ihr Originalproblem war irgendwie so
eines.
Ach, hier steht ja eins, nehmen wir das.
Das war Ihr Originalproblem.
Ein Freiheitsgradstühler, hier steht eine harmonische Anregung, U0
Kosinus Omega T.
Sie wissen, U0 Kosinus Omega T können Sie sich generieren als Lösung
der Differenzialgleichung für die freie Schwingung.
Freie Schwingung mit einer Eigenfrequenz, Eigenkreisfrequenz Omega
Quadrat und natürlich der Anfangsbedingung U0 gleich, also U zur Zeit
hier gleich 0 gleich U0.
Dadurch haben Sie die Kosinus-Term sichergestellt und U-Punkt von 0
gleich 0.
Dadurch haben Sie den Sinus-Term in der Lösung unterdrückt.
Jetzt erweitern Sie einfach Ihr System.
Das heißt, Sie schreiben das auf die linke Seite, Minus U von T und
für U führen Sie auch noch eine Differenzialgleichung ein.
Was ist der Preis?
Der Preis ist, Sie haben natürlich Ihren Zustandsraum vergrößert.
Das System war eindimensional, also ein Freiheitsgradsystem, das heißt
ein 2x2-System im Zustandsraum.
Ihr Zustandsmatrix war 2x2, der Zustandsraum ein zweidimensionaler
Vektor.
Hier haben Sie immerhin zwei Größen, U und Y.
Jede auftreten mit Weg und Geschwindigkeit.
Das heißt, Sie haben eine 4x4-Zustandsmatrix oder Systemmatrix und
einen 4x1-Zustandsvektor.
Also, Sie haben den Aufwand damit glatt verdoppelt.
Aber Sie müssen sich eventuell nicht mit kleinen Schrittweiten
herumschlagen, die Sie vorher hatten, wenn Sie eine
Treppenapproximation machen.
Das ist ja immerhin ein recht grobes Verfahren.
Hier sind Sie völlig frei, denn Sie haben das Problem überführt, in
ein Problem einer freien Schwingung, allerdings um den Preis der
Zustandsraumerweiterung, also der Vergrößerung Ihres Problems.
Und dann können Sie hier natürlich wieder das Verfahren für die
homogene Lösung verwenden.
Das heißt, Sie haben den zweiten Term in der Treppenapproximation
nicht.
Sie haben nur Exponentialfunktion A Delta T mal X0.
Und können jetzt zu einem beliebigen Zeitpunkt die Lösung aus diesen
Anfangsbedingungen sofort ausrechnen.
Jetzt ist nur die Frage, die allerletzte Frage, wie berechnen Sie
Exponentialfunktion A mal Delta T numerisch?
Dazu gibt es zwei Möglichkeiten.
Also, wir wollen ausrechnen, Exponentialfunktion A mal Delta T.
Die erste Möglichkeit ist, wir versuchen das Ganze runterzubrechen auf
die Exponentialfunktion für Skalaregrößen.
Wie machen wir das?
Indem wir das Eigenwertproblem betrachten.
Also, wir betrachten das Eigenwertproblem einmal von A, U gleich
Lambda U.
Und, da unsere Systemmatrix unter Umständen nicht symmetrisch ist,
denn es handelt sich ja jetzt um die Zustandsmatrix, nicht mehr um die
Steifigkeits - oder Massenmatrix, sondern um die Zustandsmatrix eines
Systems, das wir als System erster Ordnung geschrieben haben, müssen
wir auch noch A-transformiert betrachten.
Und dann bekommen wir unter Umständen irgendwelche anderen
Eigenvektoren raus.
Die Eigenwerte sind die gleichen.
Wir können dann unsere Matrix A darstellen.
Durch die Eigenwerte Lambda I und ein dynamisches Produkt aus den
Eigenvektoren U und V.
Wie dieses dynamische Produkt aussieht, habe ich Ihnen hier einfach
mal hingeschrieben.
Also, ein einzelner Eintrag dieser Matrix A setzt sich zusammen aus
einer Summe.
Sie nehmen den Eigenwert Lambda I und nehmen den Iten-Eigenvektor U,
Karte -Stelle, Iten-Eigenvektor V, Älte-Komponente raus.
Das gibt Ihnen dann AKL.
Also, Sie gehen durch alle Eigenvektoren durch, I gleich 1 bis N,
multiplizieren sie mit dem Eigenwert und verwenden von den
Eigenvektoren jeweils eine Karte und Älte-Komponente.
Das ist mit dieser Schreibweise gemeint.
Dann können Sie aber ganz leicht auf diesen Ausdruck hier die
Exponentialfunktion loslassen.
Dazu müssen Sie nur die Exponentialfunktion auf das A anwenden.
Das ist die Exponentialfunktion von dieser Summe.
Die Eigenvektoren merken davon nichts, die können Sie rausziehen.
Das Ganze hat ja Diabonalgestalten in der Basis der Ui und Vi.
Das heißt, Sie haben hier nur die Exponentialfunktion einer
Skalarengröße von dem Lambda I und multiplizieren das jeweils mit den
Eigenvektoren Ui und Vi.
Das heißt, wenn Sie die K-Älte-Komponente ausrechnen wollen von dieser
Matrix, dann ist das einfach Summe i gleich 1 bis n.
Exponentialfunktion Lambda I multipliziert mit Ui Karte-Komponente, Vi
Älte -Komponente.
Nachteil, Sie mussten das Eigenwertproblem lösen.
Sie mussten alle Eigenvektoren bestimmen und alle Eigenwerte.
Und das ist natürlich numerisch wieder fehleranfällig und ist außerdem
superaufwendig.
Die Frage ist, geht es nicht auch einfacher?
Einfacher geht es mit dem Verfahren Nummer 2, nämlich mit einer
Reskalierung.
Die Idee ist, genau wie bei Sinus- und Cosinusfunktionen, wir
versuchen das Ganze so zu skalieren, dass wir eine vernünftige Norm
erreichen.
Vernünftige Norm heißt, wir wollen eine Matrixnorm erreichen, für die
wir einen Wert kleiner als 1 haben.
Dann wissen wir, dann konvergiert diese Reihenentwicklung sehr
schnell.
Was machen wir dazu?
Wir versuchen erst mal, das Argument durch 2 zu teilen.
Dann ist es schon mal kleiner.
Reicht das nicht aus, teilen wir es nochmals durch 2.
Reicht das nicht aus, teilen wir es nochmals durch 2 usw.
Wir teilen also durch 2 Buch M.
So lange machen wir das Ganze, bis wir hier eine Norm erreicht haben,
die kleiner als 1 ist.
Dann können wir schon mal für dieses Argument die Exponentialabbildung
ausrechnen.
Das heißt, wir haben dann nicht Exponentialabbildung von A, aber
wenigstens Exponentialabbildung von A mal Delta T durch 2 hoch M.
Ist ja auch schon mal was.
Das machen wir über diese klassische Reihenentwicklung.
Die konvergiert jetzt recht schnell.
Dadurch, dass dieser Faktor 2 hoch M im Nenner steht.
M haben wir so gewählt, dass die Bedingung erfüllt ist, kleine 1.
Dann zieht uns das ganz schnell runter.
Die quadratischen Terme sind dann ein Quadrat einer Norm, die kleiner
als 1 ist.
Also das geht dann ganz schnell.
Wird das kleiner.
Jetzt ist aber die Frage, jetzt haben wir mit E Exponentialfunktion A
Delta T durch 2 hoch M.
Wie kommen wir jetzt auf Exponentialfunktion A Delta T?
Und dazu müssen wir einfach wieder re-skalieren.
Das heißt, das was wir hier vorne gemacht haben, wieder rückgängig
machen.
Und dazu verwenden wir die einfache Eigenschaft der
Exponentialfunktion, nämlich, dass E 2 hoch M das gleiche ist wie
Exponentialfunktion A Delta T 2 hoch M mal 2 hoch M.
Und Sie sehen, dann kürze ich das gerade heraus und Sie erhalten
Exponentialfunktion A Delta T.
Der Preis, den Sie dafür bezahlen, ist diese Operation.
Sie müssen 2 hoch M-fach, also 2 hoch M-fach hier quadrieren.
Also M-fach quadrieren.
M-fach quadratisches Produkt ausrechnen.
Natürlich können Sie das so machen, Sie rechnen erst mal das
quadratische Produkt aus, dann rechnen Sie von diesen quadratischen
Produkten, nehmen Sie das wieder miteinander mal, dann haben Sie das 4
-fache Produkt und so weiter.
Also der Aufwand ist hier Logarithmus von M und nicht etwa M in den
Operationen.
Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation, also der Aufwand hält sich
hier in Grenzen.
Diese Re-Skalierung würde ich Ihnen also empfehlen, ist wesentlich
einfacher als über das Eigenwertproblem zu gehen und ist schnell
konvergent hier und diese Operation ist hier schnell auszuführen.
So, jetzt bleibt mir nichts weiter zu erzählen, als Ihnen zu zeigen,
was Sie in der Übung machen sollen.
Da sollen Sie das Ganze natürlich anwenden.
Für ein wunderbares Beispiel, nämlich für ein Automobil.
Also, mal sehen, ob ich die Aufgabenstellung auf Anhieb finde.
So, wir sind bei der Exponentialmatrix.
So, so ein kleines Automobil sollen Sie da mal untersuchen.
Sie sehen, das wirkt angeregt.
Das ist ein Halbfahrzeugmodell, also Sie schneiden das Fahrzeug
praktisch durch.
Vorderachse und Hinterachse, jeweils konzentriert auf ein Rad, haben
eine Anregung an der Vorderachse und eine zeitlich versetzte Anregung
an der Hinterachse.
Sie haben folgende Bewegung, Auf- und Abbewegung.
Und Sie haben Nick-Bewegungen, ausgedrückt durch den Winkel Phi von T.
Fahrgeschwindigkeit ist konstant.
Was haben Sie noch?
Sie haben die Masse, Sie haben ein Krägheitsmoment.
Dann können Sie das Verhältnis daraus bestimmen, diesen Wert Kappa
-Krägheitsradius.
Ja, so sehen die Gleichungen aus.
Hier für X und Y, Sie können natürlich auch X und den Winkel
einführen.
Also Sie sehen, das sind für die Hub- und Nick-Bewegungen zwei
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Das liefert Ihnen zunächst einmal eine 4x4-Matrix.
Aber jetzt kommt auch noch der Anregungsmechanismus dazu.
Und wir wollen den Anregungsmechanismus so betrachten, dass wir
homogenisieren.
Das heißt, das sei auch wieder eine Differentialgleichung.
Sie sehen das hier.
U1, zwei Punkt gleich null.
U2, zwei Punkt gleich null.
Und dadurch erhalten Sie hier nochmal, eine Gleichung haben wir hier
abgeschnitten unten, nochmal vier weitere Gleichungen.
Das heißt, insgesamt haben Sie hier ein 8x8-dimensionales System.
Also Ihr Zustandsvektor hat acht Eingänge.
Ihre Systemmatrix ist eine 8x8-Matrix.
So, jetzt nehmen Sie konstante Zeitschritte an.
Und dann sollen Sie für diese konstanten Zeitschritte das Ganze mit
der Exponentialmatrix berechnen.
Hier sehen Sie das nochmal dargestellt.
Die Lösung setzt sich dann so zusammen.
Zum Zeitpunkt t plus Delta t rechnen Sie die Lösung numerisch, wenn
Sie sich schon zum Zeitpunkt t kennen, einfach durch Multiplikation
mit Exponentialfunktion a Delta t.
Das Ding müssen Sie also ausrechnen und einmal abspeichern.
Und dann können Sie das in jedem Schritt wieder neu aufmultiplizieren.
Und hier sehen Sie nochmal dieses Reskalierungsverfahren abgebildet,
so wie Sie es anwenden sollen.
Und Aufgabenstellung ist dann also ein Programm zu schreiben, das
Ihnen dieses Fahrzeug simuliert und das Ihnen es ermöglicht,
interaktiv die Parameter zu verändern.
Dann müssen Sie natürlich reagieren.
In dem Moment, wo Sie die Parameter verändern, müssen Sie auch die
Exponentialfunktion selbst wieder neu berechnen.
Also, das Ding müssen Sie immer wieder neu berechnen, wenn sich Ihr a
dort verändert.
Jetzt zeige ich Ihnen noch, wie das Programm funktioniert.
Sieht wunderbar aus, macht Ihnen bestimmt viel Spaß.
Sie müssen natürlich bei der Grafik wieder diese Vektorgrafik
berücksichtigen, so wie wir das beim letzten Beispiel auch hatten.
Also, Sie stellen Ihr Fahrzeug dar durch verschiedene Punkte und
müssen dann schauen, wie ändern sich die Punkte, die XY-Koordinaten
dieser einzelnen Punkte und das dann wieder abbilden.
Lassen wir das einfach mal loslaufen.
Da sehen Sie, wie das Fahrzeug fährt.
Ich mache es mal größer.
Also, ups, ja, Sie sehen schon eine Sache, die mit der Grafik schlecht
funktioniert.
Wenn Sie das größer machen, die Skalierungsfelder hier, die Bäume
nicht mitwandern.
So, Sie sehen also einmal, wo der Weg ganz einfach dargestellt ist.
Es ist einfach ein gerade, praktisch dick ausgezeichnet, in dem die
Unebenheiten zu sehen sind.
Und dann haben Sie wieder diese Kontur von dem Auto.
Sie sehen, das ist wieder eine lineare Approximation hier durch die
Punkte.
Ach, lassen wir den mal ein bisschen ruhiger fahren.
Nehmen wir die Amplituden mal zurück, dann wackelt er nicht so.
So, warte, dann kann ich Ihnen das besser zeigen.
Da sehen Sie hier die einzelnen Punkte, die Sie wieder vorgeben
müssen.
Und dann müssen Sie wieder mithilfe Ihrer komplexwertigen Funktion XY
-Positionen ausrechnen.
Sie haben den Verkehrspunkt dieser einzelnen Punkte und müssen das
transformieren und dann eben wieder so abbilden.
Jetzt können Sie halt hier verschiedene Parameter ändern.
Und da können Sie natürlich das Fahrzeug enorm ärgern.
Also Sie können die Amplituden größer machen, ganz verrückt groß.
Also ein paar Schlaglöcher einbauen, Sie sehen, dann fängt er
unheimlich an zu zappeln.
Jetzt gehen wir mal wieder auf ein normales Niveau zurück.
Dann können Sie natürlich auch mit der Dämpfung spielen.
Also wenn Sie die Dämpfung nach 0 setzen, klar, dann klingt das Ganze
auf.
Da sehen Sie hier, wie das langsam aber sicher immer größer wird.
Und irgendwann, klar, ist es natürlich Quatsch, können Sie den so
richtig ärgern.
Sie können natürlich auch die Dämpfung wieder etwas größer erhöhen,
dann wird der ganze Lauf ein bisschen gleichmäßiger.
Sie können auch, nehmen wir mal ein normales Dämpfungsniveau, das ist
schon fast ein bisschen wenig so.
Sie können auch mit der Geschwindigkeit hochgehen, dann wird der
Verlauf auch bis auf einige kleinere Störungen etwas größer.
Also etwas gleichmäßiger, pardon.
Und dann haben wir hier noch die Eigenfrequenz, die Sie regeln können.
Hier, also etwas langsamer reagieren lassen, Sie sehen, wunderbar
weich, also Familienkiste abgestimmt.
Und Sie können den natürlich auch enorm zappeln lassen, je nachdem,
wie Sie den Wagen abstimmen.
Also es ist wunderbar, Sie können sich an diesen Parametern sofort
alles klar machen, welchen Einfluss die auf Ihr System haben.
Und es ist eine wunderbare Anwendung, Sie haben die Grafik drin, Sie
haben die Numerik drin, die Exponentialabbildung, und Sie haben das
physikalische Verständnis drin, also ich denke, da werden Sie viel
Spaß haben am nächsten Montag mit dieser Praktikumsaufgabe.
Ich bin damit am Ende mit diesem Thema, ging heute auch wieder etwas
kürzer, also zu der Exponentialabbildung ist nicht ganz so viel zu
erzählen.
Sie haben damit alle Verfahren jetzt kennengelernt für die linearen
Systeme und damit schließen Sie das Thema dann beim nächsten Mal beim
Praktikum ab.
Ich wünsche Ihnen alles Gute, kommen Sie gut durch die Woche und viel
Spaß am nächsten Montag beim Praktikum.