Meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich heute zur
letzten Vorlesung der Technischen Mechanik II für
Wirtschaftsingenieure.
Ich freue mich, dass Sie noch ausgeharrt haben und auch trotz des
sommerlichen Wetters und trotz der letzten Vorlesungswoche hier in die
Vorlesung gekommen sind.
Wir haben eigentlich ein recht großes Restprogramm noch zu schaffen.
Einmal sind wir mitten bei den Kontinuierungsschwingungen gewesen.
Ich werde Ihnen noch einmal für ein zweites Element, nämlich für einen
Stab, die Grundgleichungen herleiten, für Kontinuierungsschwingungen
für diesen Stab.
Sie werden dann feststellen, die sieht eigentlich genauso aus wie die,
die Sie letzte Woche bei der Seite gesehen haben.
Dann werden wir uns fragen, wie wir diese Gleichung lösen können und
was wir an der Lösung physikalisch erkennen.
Dann haben wir diesen Komplex abgeschlossen.
Das wird nicht mehr allzu lange dauern.
Dann hatte ich Ihnen noch versprochen, einen kleinen Einblick in die
Strömungsmechanik zu geben.
Das mache ich dann in der verbleibenden Zeit.
Dann machen wir eine kleine Tour durch die Strömungsmechanik.
Ganz zum Schluss möchte ich Ihnen noch erzählen, was Sie sonst noch in
der Mechanik machen können.
Wenn Sie von der technischen Mechanik immer noch nicht genug haben,
also wenn Sie sagen, Sie möchten nach der Technischen Mechanik II noch
irgendetwas anderes in Ihrem Studium machen, dann werde ich Ihnen
einige Lehrveranstaltungen hier zeigen, nennen und Ihnen kurz die
Inhalte beschreiben.
Alles Weitere finden Sie dann natürlich im kommentierten
Vorlesungsverzeichnis von den Maschinenbauern oder manchmal auch ein
bisschen verstreut auf den einzelnen Instituten, die die
Lehrveranstaltungen anbieten.
Oder Sie kommen einfach zu mir und fragen mich noch einmal, wenn Sie
da irgendwo noch Fragen, Bedenken oder irgendetwas haben.
Dann steigen wir ein.
Wiederholungen habe ich eigentlich heute gar nicht groß eingeplant.
Wir müssen sehen, dass wir mit dem Stoff durchkommen.
Wenn Sie daran denken, was wir beim letzten Mal hatten, dann waren wir
bei den Mehrfreiheitsgradschwingungen.
Wir haben einmal zwei Freiheitsgradsysteme betrachtet, das
sympathische Pendel, und dann haben wir noch so zwei Massen, die
miteinander verbunden waren und auf einer Oberfläche gleiteten,
betrachtet und haben beim Zweimassensystem festgestellt, dass das, was
jetzt wirklich neu dazukommt, was wir beim Einmassensystem nicht
hatten, sind zwei Effekte.
Es kann Tilgung auftreten, das heißt, eine dieser beiden Massen
schwingt, die andere ist in Ruhe, und es kann eine Schwebung
auftreten, das heißt, die beiden Massen schwingen immer mal
wechselseitig stark, mal weniger stark und werfen sich sozusagen die
kinetische Energie gegenseitig zu, nach einer gewissen Zeit.
Das haben wir uns sehr schön auch an diesem Versuch mit dem
sympathischen Pendel überlegt.
Und dann haben wir den Sprung gemacht von den zwei
Freiheitsgradsystemen zu den unendlich Freiheitsgradsystemen, nämlich
zu den Kontinuumsschwingern.
Da habe ich Ihnen die schwingende Seite vorgestellt, und das Ergebnis
bei der schwingenden Seite war eine Differenzialgleichung, die jetzt
keine gewöhnliche Differenzialgleichung war, wie bei den Ein- und
Mehrfreiheitsgradsystemen.
Bei den Zweifreiheitsgradsystemen und bei den
Mehrfreiheitsgradsystemen haben Sie gekoppelte gewöhnliche
Differenzialgleichungen, sondern wir hatten eine partielle
Differenzialgleichung.
Diese sah folgendermaßen aus.
µ, zweite Ableitung z, nach t², gleich irgendeine Konstante s, z nach
x².
µ war dabei die konstante Massenbelegung dieser Seite.
Das heißt, µ war Dichte mal Querschnittsfläche.
s war die konstante Vorspannkraft in der Seite, die Sie also durch
Drehen an dem Wirbel einstellen können.
Z war die Querauslenkung der Seite.
Z ist also eine Funktion von x, also von der Position an der Seite, wo
Sie sich befinden, und von der Zeit t.
In diese Differenzialgleichung gehen nun beide Ableitungen ein, sowohl
die Ableitung nach der Zeit t als auch die Ableitung nach dem Ort x.
Deswegen nennen wir das Ganze eine partielle Differenzialgleichung,
keine gewöhnliche Differenzialgleichung mit nur einer Ableitung nach
der Zeit, sondern wir haben es jetzt hier mit einer Feldgröße zu tun.
Die Querauslenkung ist nicht nur abhängig von der Zeit, sondern sie
ist auch noch vom Ort abhängig, d.h.
von der Stelle, an der Sie die Seite betrachten.
Damit haben wir eine Feldgröße vorliegen.
In diese Differenzialgleichung gehen jetzt einmal Ableitungen nach dem
Ort ein und auf der anderen Seite Ableitungen nach der Zeit, und nicht
nur reine Zeitableitungen.
Jetzt werde ich Ihnen zeigen, an einem zweiten Beispiel, den
Stablängsschwingungen, dass Sie dort genau das Gleiche erwartet.
Bei den Stablängsschwingungen müssen Sie sich ein bisschen erinnern an
Ihre Festigkeitslehre, die Sie in der Mitte des letzten Semesters
hatten.
Ja, ich weiß, das ist lange her.
Und Sie müssen sich daran erinnern an die Theorie von Zug und Druck.
Die Vorgehensweise ist folgende.
Wir betrachten wieder ein kleines Massenelement.
Das ist ein Klassiker bei der Kontinuumsmechanik, dass man kleine
Massenelemente betrachtet.
Wir haben das bei der Seite gemacht.
Wir werden das auch beim Fluid nachher wieder tun.
Das ist nicht der einzige Weg.
Es ist eigentlich, man könnte sagen, der didaktisch geschicktere Weg.
Aber der ist theoretisch nicht so ganz der saubere Weg.
Der schlimmere, kompliziertere Weg ist, das Ganze über
Integralbilanzen zu betrachten und dann diese Integralbilanzen zu
lokalisieren und auf die Differenzialgleichung zu kommen.
Warum führe ich Ihnen den komplizierteren Weg nicht vor?
A, weil er viel zu lang dauert, und B, weil die Ergebnisse in den
meisten Fällen gleich sind.
Sie unterscheiden sich nur dann.
Was können Sie beim Integral machen, im Unterschied zur Ableitung?
Sie können natürlich Sprünge haben.
Sie können also Unstetigkeiten haben.
Beispielsweise könnte dieser Stab irgendwo einen Riss haben.
Dann bekommen Sie mit einer differenziellen Betrachtungsweise
natürlich Probleme.
Was ist an der Rissstelle los?
Sind da die Ableitungen definiert oder nicht?
Beim Integral setzen Sie dort einfach eine Bereichsgrenze, integrieren
bis zu dem Punkt hin und fangen dann dort an der Stelle wieder einen
zweiten Bereich an.
Die Integralbilanzen sind an dieser Stelle, Sprungphänomene und
Stetigkeitsstelle, vorteilhafter und sind daher theoretisch
fundierter, aber didaktisch geschickter, als diese kleinen
Massenelemente.
Wobei ich sagen muss, ganz so didaktisch geschickt finde ich das auch
nicht.
Wer kann sich von uns schon ein infinitesimal kleines Massenelement
vorstellen?
Aber es ist der schnellstmögliche Weg.
Wir haben hier unser Massenelement, unser Stab.
Auf der einen Seite ziehen wir mit der Kraft F dran.
Das Ganze hat eine Länge von dx.
Dann kommt auf der anderen Seite der Zuwachs F plus Ableitung von F
nach dx mal dx dazu.
Wobei dieser Zuwachs natürlich auch negativ sein kann, also ein
negatives Wachstum wäre hier natürlich auch möglich.
Die Querschnittsfläche sei konstant.
Dann haben wir noch einen E-Modul, den werden wir auch als konstant
annehmen.
Und wir brauchen auch noch die Massenbelegung.
Nein, die brauchen wir hier nicht.
Doch, natürlich, die brauchen wir auch.
Wir haben ja einen Trägheitsterm.
Also wir haben wieder µ gleich Rho mal A, und dann können wir für
dieses Massenelement das Kräftegleichgewicht formulieren.
Aber bevor wir das machen, erinnern wir uns noch ein bisschen an die
Festigkeitslehre.
Grundgedanke der Festigkeitslehre war ja, wie Kraft und Moment kommen,
also wie unsere Schnittreaktionen mit Geometrieänderungen unseres
Bauteils zusammenkommen.
Wenn Sie sich noch einmal daran erinnern, der Weg war so, aus den
Schnittgrößen leiten wir uns Spannungen hier, aus den Spannungen
mittels Huxchens Gesetz leiten wir uns Verzerrungen hier.
Die Verzerrungen stellen wir da durch Geometrieänderungen, nämlich
durch Ableitung von Geometrieparametern nach dem Ort.
Für so ein Stabelement war das relativ einfach.
Das war nämlich das Huxche Gesetz so, wie Sie es vielleicht schon aus
der Schule kennen.
Also Kraft pro Fläche war die Spannung,
Sigma, die könnte von x abhängen, so wie die Kraft f von x abhängen
könnte, also hier können Sie auch eine Funktion von x hinschreiben.
Dann ist Sigma E-Modul mal Verzerrung, und Verzerrung war nichts
anderes als die Ableitung der Verschiebung nach x.
Dann erhalte ich hier also Kraft f gleich E mal A, U mal x.
Jetzt stellen wir unsere Bewegungsgleichung auf.
Dazu formulieren wir wieder das Impulsgesetz in axialer Richtung.
Auf der linken Seite des Impulsgesetzes steht einfach der
Trägheitsterm.
Dazu brauche ich die Masse, das ist µ Rho mal A mal eine weitere
Länge, nämlich dx, dieses Massenelementes, gleich µ dx zeigt nach
links, f zeigt ebenfalls nach links, also muss ich hier negativ
antragen, und f plus Δf Δx dx zeigt dann positiv.
Nun sehen Sie, das f fällt mir hier heraus, ebt sich gegenseitig auf.
Es bleibt übrig Δf Δx nach dx.
Wir kürzen auf beiden Seiten durch das dx, durch diese Länge hier.
Das heißt, wir können diese Länge variieren, wir können das kleine
Element infinitesimal klein machen.
Das ganze Ergebnis, das wir hier haben, ist unabhängig vom dx.
Irgendwo habe ich die zweite Ableitung von U vergessen, da drüben,
also U zwei Punkt.
Das ist ja der Trägheitsterm, also Masse mal Beschleunigung.
Dann haben wir da U zwei Punkt, oder auch zweite Ableitung von U nach
der Zeit, ist gleich eins durch µ, mal Ableitung der Kraft nach dx.
Jetzt setzen wir aber für die Kraft unser Ergebnis aus der
Festigkeitslehre ein, beachten dabei, dass sowohl E-Modul als auch
Querschnittsfläche konstant, also unabhängig von x, sein sollen.
Das heißt, ich vertausche Ableitung nach x und E mal A.
Dann steht da eine Konstante E mal A mal µ.
D nach dx, DU nach dx, und das ist E mal A geteilt durch µ.
Das ist die zweite Ableitung von U nach dx².
Wenn ich jetzt hierfür wieder eine Konstante einführe und diese
Konstante C² nenne, damit habe ich eines unterstellt, dass dieser Wert
positiv ist, aber E-Modul ist positiv, Querschnittsfläche ist positiv,
Massenbelegung Rho mal A ist natürlich ebenfalls positiv, also das ist
schon eine positive Größe, dann erhalte ich eine Differenzialgleichung
von dem Typ zweite Ableitung von U nach der Zeit gleich C² zweite
Ableitung von U nach x.
Das ist der Typ von Differenzialgleichung, mit dem wir uns jetzt
herumschlagen müssen.
Das sind also die partiellen Differenzialgleichungen für
Kontinuumsschwingungen, allerdings nur von eindimensionalen
Kontinuiern, also mit der elementaren Stabtheorie.
Sie können das Gleiche machen, wenn Sie Torsionsschwingungen
betrachten, also irgendwas, was tordiert, das verdrehen Sie einmal,
und dann schwingt das hin und her.
Beispielsweise könnte das eine elastische Feder sein, eine
Torsionsfeder.
Solange Sie die elementare Stabtheorie benutzen, also eindimensional
rechnen, kommen Sie auf diesen Typ von Differenzialgleichung
vorausgesetzt, es ist natürlich alles linear, wenn Sie da noch
irgendwo nicht-lineares Materialverhalten mit drin haben, kommen Sie
natürlich nicht mehr auf den Typ Differenzialgleichung.
Die elementare Stabtheorie plus lineare Elastizitätstheorie der
Festigkeitslehre liefert Ihnen diesen Typ von Differenzialgleichung.
Anders sieht es auch aus, wenn Sie natürlich zweidimensionale Probleme
haben, Platten- oder Membranschwingungen, beispielsweise
Schalenschwingungen, dann kommen Sie auch auf wesentlich
kompliziertere Differenzialgleichung.
Machen wir hier nicht, haben wir keine Zeit dafür.
Wir schauen uns jetzt diesen Typ von Differenzialgleichung an, lösen
diese Differenzialgleichung mit einem geschickten Ansatz und schauen
uns an, was uns diese Lösung physikalisch sagt.
Also,
Lösung von zweiter Ableitung u nach der Zeit, gleich c², zweite
Ableitung von u nach x.
Die Idee der Lösung ist folgende.
c soll natürlich eine Konstante sein.
Wenn man sich das scharf anschaut, sieht man, auf der linken Seite
steht das t, auf der rechten Seite steht die Ableitung nach dem x.
Es treten keine gemischten Ableitungen auf, sondern beide Terme sind
wohl separiert.
Es kommt nur ein einziger Term mit t auf der linken Seite vor, ein
einziger Term mit x auf der rechten Seite.
Das hat Daniel Bernoulli als einer der ersten Folge richtig erkannt.
Er hat gesagt, als Konsequenz daraus mache ich einen Produktansatz.
Ich stelle meine Lösung dar, die von x und t abhängt, als eine
Funktion, die wir hier Groß-x nennen, und die hängt nur von x ab, und
eine Funktion, die wir Groß-t nennen, und die hängt nur von der Zeit
ab.
Was passiert jetzt, wenn Sie diesen Ansatz zweimal ableiten, nach der
Zeit, dann haben Sie einfach nur das erste Argument, das Sie zweimal
abschreiben dürfen, und hier die zweifache Zeitableitung.
Wenn Sie das nach dem Ort ableiten, haben Sie einfach nur die
zweifache Ortsableitung der Funktion x und die Funktion t
heranmultipliziert.
Sie sehen, ich schreibe jetzt die Zeitableitung mit Punkten und die
Ortsableitung mit Strichen.
Jetzt setzen Sie diese Ableitung in Ihre Differenzialgleichung ein.
Dann haben Sie natürlich x2.t gleich c² x2 gestrichen als Funktion von
x, t und t.
Und jetzt machen Sie etwas, was Sie bei der Variablen-Trennung schon
kennen.
Sie werfen alles, was von der Zeit abhängt, auf die eine Seite, alles,
was vom Ort abhängt, auf die andere Seite.
t2.t durch t von t muss dann sein c² x2.x durch x von x.
So, und nachdem Sie das so rein schematisch hingeschrieben haben,
machen Sie eine Pause, kratzen sich am Kopf und überlegen sich, was
habe ich da eigentlich hingeschrieben?
Hier steht etwas, was nur von der Zeit abhängt.
Hier steht etwas, was nur von x abhängt,
und c² ist eine Konstante.
Jetzt kann ich mir doch Folgendes denken.
Ich halte die Zeit fest und bewege mich auf meiner Seite, auf meinem
Stab, ein Stück nach links, nach rechts und so weiter.
Dann merkt die linke Seite davon überhaupt nichts.
Sie haben ja die Zeit festgehalten.
Die linke Seite ist konstant, also muss die rechte Seite auch konstant
sein.
Andere Überlegung.
Ich stelle mich an einer Stelle hin, meiner Seite, schaue mir die ganz
genau an, dann ist dieser ganze Ausdruck hier eine Konstante.
Jetzt lasse ich die Zeit laufen.
Dann muss das, was auf der linken Seite steht, auch konstant sein.
Die rechte Seite ist konstant, denn dazwischen steht ein
Gleichheitszeichen.
Also muss das, was hier steht, stets konstant sein.
Das war die Überlegung von Daniel Bernoulli.
Also den richtigen Ansatz eingeführt und die richtige Konsequenz
gezogen, und schon war das Problem gelöst.
Diese Konstante hat er, da er sich mit den
Einfreiheitsgradschwingungen sehr gut auskannte, minus Omega-Quadrat
genannt.
Warum hat er die minus Omega-Quadrat genannt?
Nun, er hat festgestellt, es ist T2T durch T von T, dann minus Omega
-Quadrat, und das führt ihn auf die Gleichung, zweite Ableitung von T,
plus Omega-Quadrat, T von T, gleich 0.
Und da hat er gesagt, das kenne ich, das sind doch die freien,
ungedämpften Schwingungen eines Einfreiheitsgradschwingers.
Und dann hat er noch was hingeschrieben.
x2' von x ist gleich plus Omega-Quadrat durch c-Quadrat,
x von x, gleich 0.
Da hat er gesagt, auch das ist die Differenzialgleichung einer freien,
ungedämpften Schwingung, nur mit dem Unterschied, dass hier das
Argument x heißt und nicht t.
Aber die Lösung sowohl dieser Differenzialgleichung als auch die
allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung, die kannte Daniel
Bernstein natürlich.
Er wusste, die Lösung dieser Differenzialgleichung, beispielsweise der
hier oben, ist T von T, gleich irgendeine Integrationskonstante c1,
Sinus Omega-T plus c2 Cosinus Omega-T.
Und die Lösung der zweiten Differenzialgleichung ist x von x gleich c3
Sinus Omega durch c mal T plus c4 Cosinus, ach, x natürlich, Cosinus
Omega durch c mal x.
So, jetzt sind wir aber noch lange nicht fertig.
Was jetzt noch fehlt, sind Anfangsbedingungen und Randbedingungen, um
diese vier Konstanten zu bestimmen.
Also wir brauchen Randbedingungen und
Anfangsbedingungen.
Dann haben wir u von x, T gleich T von T mal x von x, die Lösung
unseres Problems.
Jetzt passen Sie genau auf, wie das geht.
Wir fangen an mit den Randbedingungen.
Man könnte sich jetzt verschiedene Randbedingungen überlegen.
Wir machen hier nur ganz einfache Randbedingungen.
Wir sagen einfach, an den Enden wird die Seite festgehalten, an den
Enden sollen unsere Stablängsschwingungen gleich Null sein.
Das heißt, wir nehmen die allereinfachste Randbedingung, x von Null
soll Null sein, und x von L, der Länge unseres Stabs oder unserer
Seite, soll ebenfalls Null sein.
Was passiert dann?
Nun, x von x ist C3 Sinus Omega durch Cx plus C4 Cosinus Omega durch
Cx.
Setzen Sie hier für x gleich Null ein, dann ist der Cosinus 1.
Klar, daraus folgt, C4 muss gleich Null sein.
Dieser ganze Term hier hinten verschwindet.
Es bleibt nur C3 Sinus Omega C mal x übrig.
Jetzt schauen wir uns an, x von L soll auch Null sein.
Das ist dann C3 Sinus Omega C mal L.
Es gibt zwei Möglichkeiten.
Sie setzen einfach C3 gleich Null, dann sind Sie aber sehr langweilig.
Wenn Sie C3 gleich Null setzen, haben Sie x von x identisch Null, und
damit haben Sie hier als Lösung nur die Null heraus.
Das ist natürlich wieder der Fall der Ruhe, also der Fall, wo Sie
keine Bewegung haben, und der interessiert uns nicht.
Also müssen wir wieder schauen, dass wir nicht triviale Lösungen
finden.
Ja, wenn wir nicht triviale Lösungen suchen, dann muss Sinus Omega
durch C mal L gleich Null sein.
Jetzt ist die Frage, wie wir das hinbekommen.
Dieser Sinus tut uns ja nicht einfach, den Gefallen zu verschwinden.
Ja, wir haben noch eine Möglichkeit, an der wir drehen können.
Das ist diese Konstante Omega.
Über die Konstante Omega haben wir noch nichts gesagt, außer, dass sie
konstant ist.
Das Einzige, was wir hier gesagt haben, ist, sie muss konstant sein.
Wie groß das Omega ist, habe ich nicht gesagt.
Also drehen wir uns das Omega so hin, dass der Sinus dort
verschwindet.
Für welche Werte Omega macht er das?
Das macht er für die Werte Omega gleich C durch L.
Dann haben wir schon einmal die beiden Parameter C und L beseitigt.
Dann müssen wir noch ein ganzzahliges Vielfaches von Pi haben.
K mal Pi, K ganzzahlig.
Womit ist das vergleichbar?
Wenn Sie an den zwei Freiheitsgradschwinger denken, das ist an das
Eigenwertproblem.
Das ist vergleichbar mit dem Eigenwertproblem, was Sie dort hatten für
die freien Schwingungen.
Hier haben wir es auch mit freien Schwingungen dieser Seite zu tun.
Also die Seite wird maximal am Anfang ausgelenkt, aber dann lassen wir
die in Ruhe schwingen.
Das führt uns auf diese charakteristische Gleichung.
Das ist das Analogon zu der charakteristischen Gleichung beim zwei
Freiheitsgradschwinger.
Diese charakteristische Gleichung hat jetzt Lösungen.
Das sind die sogenannten Eigenfrequenzen.
Omega gleich C durch L, K mal Pi.
Wie viele Eigenfrequenzen gibt es jetzt?
Unendlich viele Freiheitsgrade.
Unendlich viele Eigenfrequenzen haben wir dort.
Sie sehen, auch hier haben wir ein Problem.
Wir können die Konstante C3 jetzt überhaupt nicht bestimmen.
Diese Konstante C3 kann jetzt irgendwas sein.
Wir haben ja unsere Omega bestimmt.
Das Ding ist Null.
C3 könnte jetzt hier irgendeinen Wert annehmen.
Diese Gleichung wäre immer erfüllt, egal was Sie hier einsetzen für C.
Das ist die Tücke bei den Eigenwertproblemen, dass Sie sie dann mit
einem unbestimmten Parameter übrig lassen.
Aber wir brauchen diesen Parameter auch überhaupt nicht.
Wo geht der spätestens ein?
Der geht spätestens dann ein, wenn wir jetzt die Gesamtlösung
hinschreiben und versuchen, unsere Anfangsbedingungen zu bestimmen.
Also versuchen, diese Konstante C1 und C2 festzulegen.
Wie sieht jetzt unsere Gesamtlösung aus?
Für u von x, t ist das x von x mal t von t.
Jetzt gibt es aber nicht das eine x von x, sondern für diese Funktion
x von x können wir hier eine ganze Schar von Funktionen einsetzen,
alle durch diesen Parameter k gekennzeichnet.
Wir können also einsetzen, Summe k könnte laufen von minusunendlich
bis unendlich,
Sinus k mal pi mal c durch L mal x,
multipliziert mit diesem t von t.
Also multipliziert mit C1, den muss ich jetzt in Index k verpassen,
Sinus, jetzt muss ich für Omega natürlich das gleiche einsetzen wie in
der Summe davor, also C mal k durch L mal pi mal t
plus C2k, Sinus, C mal k durch L mal pi mal t und Klammer zu.
Und wenn Sie mich jetzt fragen, wo ist jetzt das C3 geblieben, dann
sage ich Ihnen, das C3 habe ich einfach versteckt in den
Integrationskonstanten C1k und C2k.
Denn ob Sie da noch ein C3 dazuschreiben, das ist ziemlich egal.
Hier steht eine Konstante und da steht eine Konstante und zwar für
jeden Term k.
Wie bestimmen wir jetzt diese Konstanten?
Die bestimmen wir jetzt aus den Anfangsbedingungen.
Das heißt, die Anfangsbedingungen charakterisieren, wie diese
Schwingung hier im Einzelnen aussieht.
Also wie hier C1k und C2k aussieht.
Dazu müssen Sie sich jetzt irgendetwas vorgeben.
Sie müssen sich vorgeben, Anfangsbedingungen.
Uh, das bekomme ich hier gar nicht mehr auf.
Anfangsbedingungen.
Wie sehen diese Anfangsbedingungen aus?
Sie müssen sich für einen Zeitpunkt, aber für jeden Wert x, eine
Anfangsbedingung überlegen.
Also, beispielsweise u von x, t gleich 0.
Können Sie sich die Lösung vorstellen, die Sie sich hier hingestrieben
haben?
Können Sie sich vorstellen, wie das Ganze aussieht?
Wenn Sie das nicht können, zeichne ich Ihnen das auf der nächsten
Seite auf.
Also nochmal, Lösung.
u von x, t war die Summe von minusunendlich bis unendlich.
k gleich minusunendlich bis unendlich.
C1k habe ich jetzt mit dem cosinus begonnen, auf der Seite davor.
Schauen wir mal nach.
Ne, mit dem Sinusterm.
Sinus kpc durch L mal t plus C2k cosinus kpc durch L mal t.
Sinus kpc durch L mal t plus C2k sinus kpc durch L mal t plus C2k
sinus kpc durch L mal t plus C2k sinus kpc durch L mal t plus C2k
sinus kpc durch L mal x.
Wir schauen uns mal den Fall an.
k gleich 1.
Unsere Seite ist das hier.
0 bis L, reicht da das x?
Wie sieht diese Eigenform hier aus?
Das ist einfach so ein Sinusbogen.
Der ist mir nicht ganz geglückt, der müsste in der Mitte etwas
bauchiger sein.
Der ist hier ein bisschen flach geraten.
Das wäre, wenn Sie auf einem Seitenelement spielen, der Grundton.
Dann haben Sie K gleich 2, den ersten Oberton.
Da wieder X, 0 bis L.
Das wäre dann die vollständige Sinusschwingung.
Ach ja, auch nicht ganz getroffen.
So, erster Oberton.
Dann haben Sie K gleich 3 usw.
Dann haben Sie den zweiten Oberton.
Das wäre jetzt diese Funktion.
Was von dieser Funktion aber tatsächlich zum Klingen kommt, hängt
davon ab, wie Sie Ihre Seite auslenken.
Zur Zeit T gleich 0.
Lenken Sie die so aus, dass die schon diese Sinusform hier hat, diesen
ersten Grundton.
Dann sind natürlich bei den Integrationskonstanten alle soweit 0, bis
auf die vor dem Kosinus.
Da haben Sie dann eine 1 zu stehen, bzw.
UK.
Und dann haben Sie nur diesen Grundton.
Und genauso können Sie auch die einzelnen Obertöne, theoretisch
jedenfalls zum Klingen bringen, aber Sie müssten dazu genau diese
Eigenformen sich vorgeben als Anfangsbedingungen.
Und das ist relativ schwierig.
Wie können Sie jetzt verschiedene Tonhöhen spielen auf Ihrem
Instrument?
Na ja, Sie verändern einfach diese Länge L hier.
Wenn Sie die Länge L verändern, verändern Sie natürlich auch hier
diese Eigenfrequenzen und natürlich auch das, was im Zeitverhalten
drinsteht, d.h.
wie schnell praktisch Ihre Seite hin- und herschwingt.
Das ändern Sie alles über die Länge L.
Dazu verkürzen oder verlängern Sie die Seite, indem Sie mit Ihrem
Finger einfach draufgreifen.
Und was ist das jetzt, was Sie hören?
Das ist in der Regel nicht das, was ich Ihnen hier aufgezeichnet habe.
Weder die Überlagerung davon, noch ist es eine einzelne Eigenform.
Warum?
Sie spielen ja nicht die Seite irgendwo hier im Raum, sondern im
Prinzip machen Sie folgendes.
A, Sie betrachten keine freien Schwingungen, wenn Sie Musik machen,
sondern Sie haben die ganze Zeit die Erregung, wenn Sie da mit dem
Fidelbogen rumstreichen.
Sie hätten nur dann eine freie Schwingung, wenn Sie Pizzicato spielen
oder an der Gitarrenseite zupfen, d.h.
wenn Sie die wirklich nur einmal auslenken und dann in Ruhe lassen.
Aber selbst dann hören Sie nicht diese Seite, so wie sie hier
schwingt, sondern diese Seite bringt einen Resonanzkörper zum
Schwingen, den Resonanzkörper Ihrer Geige, Ihrer Gitarre oder sonst
irgendetwas.
Der schwingt dann, d.h.
was wir hier noch betrachten müssten, wäre ein zweiter
Zwischenschritt.
Das wäre erst einmal nur die schwingende Seite.
Dann müssten wir schauen, welche Eigenformen besitzt dieser
Resonanzkörper.
Das ist natürlich viel komplizierter.
Warum?
Weil so ein Resonanzkörper natürlich nicht eindimensional ist, sondern
mehrdimensional, weil sich an diesem Resonanzkörper die guten Geigen
von den schlechten Geigen unterscheiden.
Und wenn es so einfach wäre, eine gute Geige zu bauen, dann würde das
auch jeder tun.
Also, auf den Resonanzkörper kommt es an.
Der wird jetzt durch diese schwingende Seite zu Schwingungen angeregt.
Das sind natürlich dann nicht freie Schwingungen, sondern das sind
permanent erregte Schwingungen, solange Ihre Seite dort hin und her
schwingt.
Dieser Schwinger, dieser Resonanzkörper, strahlt damit Druckänderungen
ab an die Luft.
Aufgrund seiner Bewegungen, aufgrund der Deformation dieses
Resonanzkörpers wird die Luft in Schwingungen, in Druckschwingungen
versetzt.
Diese Druckschwingungen kommen wieder bei Ihrem Ohr an.
In Ihrem Ohr, den physiologischen Vorgang, den kann ich Ihnen nicht so
gut beschreiben, fängt auch wieder irgendeine Membran an zu schwingen,
wieder mechanisch an zu schwingen.
Daraufhin werden irgendwie Signale umgesetzt in Hammer und Ambus und
was weiß ich, und letztlich entstehen daraus physiologische
irgendwelche Signale, also irgendwelche Neuronen, die dann anfangen zu
feuern und Ihnen im Gehirn mitteilen, wie Sie den Ton gehört haben.
Also, noch eine riesige Kette, um von diesen mechanischen Schwingungen
dieser schwingenden Seite hinzukommen zu dem Klangerlebnis, das Sie
haben, wenn Sie Beethovens 9.
in der Philharmonie hören, beispielsweise.
Da sind viele Zwischenschritte dazwischen, aber auch vieles, was mit
Mechanik zu tun hat.
Nicht nur die schwingende Seite, sondern auch die Schwingungen des
Resonanzkörpers und nicht zuletzt die Vorgänge im Ohr und das ganze
Problem der Schallabstrahlung können wir hier nicht behandeln.
Es gibt dazu eine eigene Vorlesung, die sich beispielsweise nur mit
Körperschall beschäftigt.
Es gibt Akustikvorlesungen, die sich dann mit Schall in Fluiden, also
Schallausbreitung in Luft, aber auch in Flüssigkeiten beschäftigen,
also das ganze Feld.
Schallausbreitung, Akustik ist ein weites Feld, und es gibt
Ingenieure, die haben sich auf dieses Feld spezialisiert und sind da
die großen Experten.
Wir haben das Thema hier nur angerissen.
Jetzt haben wir noch ein bisschen Zeit, um die Strömungsmechanik
anzureißen.
Im Ansatz hatten wir nur das Produkt, aber es hat sich herausgestellt,
dass wir nicht nur eine einzige Lösung haben, sondern wir haben eine
ganze Lösungsschar.
K kann hier ganz zahlig sein, und wer sagt uns denn, welchen Wert von
K wir in der Lösung mitnehmen sollen, das sagt uns keiner, also müssen
wir alle Lösungstherme mitnehmen.
Denken Sie daran, bei einer homogenen Differenzialgleichung ist die
Lösung immer die homogene Lösung, die Summe, die vollständige Lösung,
die Summe aus allen Lösungsthermen.
Deswegen müssen wir hier alle möglichen Lösungen erst einmal
mitschleppen.
Deswegen taucht hier diese Summe auf über das K.
Da stehen jetzt wirklich alle Lösungen drin, und wir können aber
vielleicht, aber auch nur vielleicht, Lösungen herausfiltern, wenn wir
die Anfangsbedingungen so haben, dass hier von diesen Konstanten
vielleicht alle bis auf eine Null sind.
Im allgemeinen Fall wird das aber nicht so sein, sondern im
allgemeinen Fall, wenn Sie die Seite beispielsweise nur an einer
einzigen Stelle anzupfen, haben Sie ja weder einen Sinus noch einen
Kosinus noch irgendwas repräsentiert, sondern vielleicht eine Art
Dreiecksform.
Bringen Sie nicht nur eine Grundschwingung zum Schwingen, sondern eine
Grundschwingung und die Oberschwingungen.
Das Verhältnis, in denen diese Grund- und Oberschwingungen dann in
Ihre Lösung eingehen, hängt natürlich ab von diesen
Integrationskonstanten und damit von den gewählten Anfangsbedingungen.
Also es macht einen Unterschied, wie Sie die Seite auslenken am
Anfang.
Ob Sie die an einer Stelle, an welcher Stelle auslenken und in welcher
Form Sie die auslenken würden.
Je nachdem reden Sie andere Schwingungen an in dieser Seite.
Aber Sie müssen alle möglichen Lösungen hier mitnehmen.
Erst durch die Anfangsbedingungen können Sie eventuell Lösungsterne
ausfiltern.
Oder Sie können die Integrationskonstanten so bestimmen, dass Sie
einfach sagen, also der eine hier ist meinetwegen 1 und der andere ist
10 hoch minus 6.
Davor steht immer ein Sinus, Kosinus.
Die werden maximal 1.
Dann ist der andere maximal 10 hoch minus 6.
Das interessiert mich nicht mehr.
Also in der Praxis, wenn Sie jetzt auf die Numerik gehen, bricht man
natürlich diese Reihenentwicklung hier ab, ordnet die ganzen Terme so
ab, dass diese Konstanten hier sukzessive kleiner werden und nimmt
dann nur die größten Terme mit.
Ja, so viel zur schwingenden Seite.
Jetzt ist der Übergang zur Strömungsmechanik eigentlich gar nicht so
schwer, denn die Strömungsmechanik ist auch eine Kontinuumstheorie.
Die Kontinuumstheorie ist Ihnen schon im ersten Semester begegnet.
Ganz am Anfang haben wir gesagt, Materie ist kontinuierlich verteilt.
Und dann in der Festigkeitslehre.
Festigkeitslehre war auch eine Kontinuumstheorie.
Dann sind wir aber davon eine ganze Weile jetzt abgekommen.
Im ganzen zweiten Semester hatten wir keine Kontinuumstheorie mehr,
sondern wir haben immer eine Theorie mit konzentrierten Parametern
gemacht.
Das heißt, wir haben einfach gesagt, wir haben einen Klotz, der hat
eine bestimmte Masse, das ist ein starrer Körper, und den schauen wir
nicht weiter rein.
Und von daher gibt es auch keine Feldgrößen, sondern wir haben nur
noch zeitabhängige Größen.
In der Strömungsmechanik geht das im Allgemeinen nicht.
Das heißt, in der Strömungsmechanik haben Sie Größen, die auch vom Ort
und von der Zeit abhängen.
Aber es handelt sich dabei natürlich auch um kontinuierlich verteilte
Größen.
Das heißt, die müssen doch eigentlich den gleichen Gesetzen
unterliegen wie beispielsweise in der Festigkeitslehre wie ein
Festkörper.
In gewissen Grenzen ist das richtig.
Es gibt universelle Gesetze, allgemeine Bilanzgleichungen, die für
Festkörper gelten, genauso wie für Fluide.
Aber natürlich muss es auch einen Unterschied geben zwischen einem
Fluid und einem Festkörper.
Das ist ganz klar.
Das sagt uns schon unsere Anschauung.
Eine Pfütze, wenn es regnet, verhält sich anders, als wenn dort
Stahlträger vom Himmel fallen würden.
Also muss es einen Unterschied geben.
Es muss auf der einen Seite allgemeine Bilanzgleichungen geben, die
praktisch die allgemeine Physik des Problems beschreiben, und es muss
spezielle Ausprägungen geben, sogenannte Materialgleichungen, in denen
sich beispielsweise ein Festkörper von einem Fluid unterscheidet.
Genau das möchte ich Ihnen als Erstes nahebringen, damit Sie
verstehen, worum es in der Strömungslehre geht.
Also, wir haben ein Fluid, und wir haben zwei Probleme.
Das eine Problem ist, dieses Fluid kann einen Körper umströmen.
Die Frage ist, wie macht es das?
Welche Reibungsverluste entstehen dabei?
Also, wir haben ein Umströmungsproblem.
Beispielsweise kann es durch so eine Umströmung zu einem Auftrieb
kommen.
Dadurch, dass die Umströmung auf der einen Seite beispielsweise eines
Tragflügels verzögert, langsamer ist als auf der anderen Seite, kann
es zu einem Auftrieb kommen.
Der Auftrieb hebt den Tragflügel ab, Grundprinzip des Fliegens, des
Segelfliegens usw.
Umströmung haben Sie bei Fahrzeugen.
Sie haben nicht nur den Rollwiderstand beim Fahrzeug, sondern auch
einen Strömungswiderstand.
Diesen Strömungswiderstand möchten Sie natürlich gerne minimieren,
damit Ihr Fahrzeug so ökonomisch wie möglich ist.
Also, Umströmung haben wir.
Wir haben auch Umströmung von Schornsteinen beispielsweise.
Die Schornsteine fangen dann an zu schwingen.
Das kann sogar so weit gehen, dass Ihnen so ein Schornstein einstürzt.
Das müssen Sie also vermeiden.
Deswegen, wenn Sie einmal schauen, haben Industrie-Schornsteine dann
häufig noch irgendwelche außen dran, so kleine Metalllinien, mit denen
die Wirbelablösung an diesem Schornstein verhindert bzw.
umgelenkt wird, sodass es bei diesem Schornstein nicht zu einer
harmonischen Anregung kommt und er Ihnen nicht einstürzt.
Also spezielle Effekte an Gebäuden, an Industrie-Schornsteinen haben
Sie bei Umströmung.
Dann haben Sie aber auch das große Feld der Durchströmung.
Also, Sie machen den Wasserhahn auf, und das Wasser fließt.
Irgendwie muss das Wasser mit dem richtigen Druck dort hinkommen.
Sonst würde es ja nur langsam heruntertreibeln.
Also Sie müssen dann über Pumpen natürlich als Betreiber
beispielsweise eines Wasserwerks den richtigen Druck einstellen,
sodass auch beim Endverbraucher das herauskommt, was er sich wünscht.
Durchströmung von Rohren.
Sie haben das gleiche Problem in der Hydraulik.
Sie möchten also durch ein hydraulisches System irgendwelche Kräfte
auf Ihr System bringen, beispielsweise dafür sorgen, dass sich eine
Baggerstaufe schließt, dass sie angehoben wird usw.
Alles ein Problem der Durchströmung.
Umströmung und Durchströmung sind also die beiden Probleme, mit denen
sich die Strömungsmechanik im Wesentlichen auseinandersetzt.
Es sind zwei Probleme, die eine Vielzahl von Facetten aufweisen.
Laminare Strömung, turbulente Strömung, Wirbelbildung usw.
Aber wir können dieses Problem immer auf die gleichen Grundgrößen
zurückführen.
Was haben wir da für Größen?
Wir haben die Geschwindigkeit, die uns interessiert.
Die hat im Allgemeinen drei Komponenten.
Nennen wir die u, v und w.
Nicht zu verwechseln mit den Verschiebungen.
Geschwindigkeit haben wir.
Wir haben den Druck dieses Fluids.
Wir haben eine Dichte, rho.
Und wir haben die Temperatur, T.
Und all diese Größen sind Feldgrößen.
Das heißt, sie sind Größen der Kontinuumsmechanik.
Größen, die abhängen von den Koordinaten x, y und z des Raumes und
zusätzlich von der Zeit T.
Damit ahnen Sie es schon.
Die Grundgleichungen müssen partielle Differenzialgleichungen sein.
Einige der übelsten dieser partiellen Differenzialgleichungen halten
die Numerika in Trab und in Atem oder alimentieren sie, je nachdem,
wie man das sehen möchte, und sorgen dafür, dass es in der
rechnergestützten Fluidmechanik immer noch sehr viel zu tun gibt.
Wir brauchen also, da wir sechs Unbekannte haben, auch sechs
Gleichungen.
Welche Gleichungen haben wir da?
Natürlich muss auch das Impulsgesetz gelten.
Wir haben das Impulsgesetz.
Das Impulsgesetz hat den Vorteil, dass darin die Geschwindigkeit,
zumindest mit der ersten Ableitung, die Beschleunigung eingeht, und
dass Sie nicht nur eine Gleichung haben, sondern drei Gleichungen.
Dann haben Sie noch die Massenerhaltung.
Die Massenerhaltung sagt Ihnen, wenn dort keine Masse dazukommt bei
dem Fluid, beispielsweise in der Rohrleitung, keine Masse abfließt
oder sich der Zufluss und der Abfluss die Waage halten, dann ist die
Masse konstant.
Das ist also eine Gleichung.
Das beschreibt im Wesentlichen die Dichte.
Also noch eine Gleichung gefunden.
Jetzt könnten wir das natürlich durchdeklinieren und sagen, wir hatten
in der Mechanik nicht nur den Impulssatz, sondern auch noch den
Drehimpulssatz.
Der Drehimpulssatz ist für die Fluidmechanik nicht überall wichtig.
Nur dann, wenn dieses Fluid tatsächlich rotiert, also beispielsweise
bei Ventilatoren, bei Pumpen, auch bei Wirbelströmungen, wäre der
Drehimpulssatz von Wichtigkeit.
Ansonsten, wenn das Fluid einfach nur durch ein Rohr strömt oder
einfach nur über einen Tragflügel hinüberströmt, haben Sie kaum
Effekte, wo Ihnen der Drehimpulssatz wirklich weiterhilft.
Da ist einfach die linke Seite dann gleich null und die rechte
ebenfalls.
Also, mit dem Drehimpulssatz können wir hier wenig anfangen.
Aber wir haben noch den Energiesatz.
Der liefert Ihnen eine weitere Gleichung.
Und damit haben wir fünf Gleichungen.
Fünf Gleichungen, die in dieser Allgemeinheit auch gelten würden für
einen Festkörper, wo sich Fluidmechanik und Festkörpermechanik
überhaupt nicht unterscheiden.
Das sind die allgemeinen Bilanzgleichungen.
Der Energiesatz wird auch gern bezeichnet als erster Hauptsatz der
Thermodynamik.
Und das Einzige, was Ihnen hier jetzt noch fehlt, ist das Dreigesetz.
Das würde Ihnen noch einmal drei Gleichungen liefern, aber die spielen
hier keine Rolle.
Ansonsten haben Sie den gleichen Satz von allgemeinen
Bilanzgleichungen auch für einen Festkörper.
Das gilt universell.
Sobald Sie eine Kontinuumstheorie ansetzen, gelten diese Gleichungen.
Jetzt haben wir aber eine Gleichung zu wenig.
Eine Gleichung fehlt.
Und das ist das Schließungsproblem der allgemeinen Bilanzgleichungen.
Jetzt können Sie sagen, das ist sehr dramatisch.
Wir haben nicht genug allgemeine Bilanzgleichungen für unsere
Unbekannten.
Aber stellen Sie sich vor, Sie hätten genug Gleichungen für die
Unbekannten.
Dann müsste sich jedes Material ja gleich verhalten.
Das kann also nicht sein.
Das ist also nicht dramatisch, sondern das ist gut so.
Mit dieser zusätzlichen Gleichung müssen wir also das
Materialverhalten eines Fluids beschreiben.
Wir müssen sagen, warum diese Materialgleichung für ein Fluid anders
aussieht als beispielsweise für festen Stahl.
Wenn Sie den Stahl erhitzen, sodass er flüssig wird, dann haben Sie
auch wieder ein Fluid.
Also, sowohl in der Festkörpermechanik als auch in der
Strömungsmechanik tritt das Problem auf, dass die allgemeinen
Bilanzgleichungen nicht alle Unbekannten beschreiben, sondern Sie
haben mehr Unbekannte als Gleichungen.
Die zusätzlichen Unbekannten müssen Sie durch die Materialtheorie
beseitigen.
Also, Sie brauchen Gleichungen aus der Materialtheorie.
Und für ein Fluid ist das eine Zustandsgleichung, die aus der
Thermodynamik kommt
und die Ihnen P, Rho und T noch einmal miteinander verknüpft.
Dann haben Sie sechs Gleichungen mit sechs Unbekannten und sind
glücklich.
Nicht ganz, denn das sind im Allgemeinen partielle
Differenzialgleichungen.
Genauso können Sie in der Festigkeitslehre auch vorgehen, nur haben
Sie noch mehr Gleichungen.
Sie können das dann auf Unbekannte reduzieren.
Aber was haben wir in der Festigkeitslehre oder in der ganzen
technischen Mechanik bisher gemacht?
Wir haben uns eigentlich nie diese partiellen Differenzialgleichungen
angeschaut.
Ich hätte Ihnen die in der ersten Vorlesung hinschreiben können, und
dann wären Sie wahrscheinlich alle nie mehr in meine Vorlesung
gekommen und hätten gesagt, oh Gott, oh Gott, was erzählt der uns da?
Das ist ja absolut abgehoben.
Jetzt zum Schluss wage ich es mal Ihnen, diese Perspektive auf die
Mechanik zu liefern.
Also, die Mechanik, die technische Mechanik wird eigentlich
beschrieben von diesen partiellen Differenzialgleichungen.
In vielen, vielen Sonderfällen müssen wir aber gar keine partiellen
Differenzialgleichungen lösen.
Beispielsweise, wenn wir die Annahme treffen eines starren Körpers,
dann verlieren sogar diese partiellen Differenzialgleichungen ihre
Gültigkeit, da wir keine Abhängigkeit mehr von den Feldgrößen haben.
Wo hat uns das gerettet?
Das hat uns natürlich bei der Statik gerettet.
Bei der Statik haben Sie von Differenzialgleichungen überhaupt nichts
gemerkt.
Ich habe Ihnen mal ganz kurz erzählt, es gibt dort auch das
Impulsgesetz und das Drehimpulsgesetz.
Wir haben keine Bewegung, also ist die eine Seite gleich null, und es
bleibt nur übrig Summe aller Kräfte, Summe aller Momente.
Das würde hier bei den allgemeinen Bilanzgleichungen auch, zum Teil
mit drinstecken, wenn Sie der Impulsbilanz, in der Drehimpulsbilanz
die Bewegung einfach gleich null setzen.
Damit haben wir uns da das Leben leicht gemacht.
In der Festigkeitslehre sieht es schon anders aus, da brauchen Sie die
partiellen Differenzialgleichungen nur bei der elementaren
Starttheorie, wo Sie die Abhängigkeit von einer einzigen Feldgröße
haben, können Sie das Problem umgehen, indem Sie nämlich auf
gewöhnliche Differenzialgleichungen kommen, und in der Tat hatten wir
dort kleine, gewöhnliche Differenzialgleichungen zu lösen.
Denken Sie an die Biegelinie.
Selbst bei Zugdruck hatten wir schon eine Differenzialgleichung zu
lösen, aber die war ganz einfach.
Wir haben mal ein bisschen mit Variablentrennung gearbeitet, auch bei
der Torsion hatten wir eine Differenzialgleichung und haben dann die
Spannungsverteilung hergeleitet.
Kommt alles aus dieser Quelle.
Dann sind wir weitergegangen, ins zweite Semester.
Im zweiten Semester in der Technischen Mechanik haben wir die
Partialdifferenzialgleichung erst heute in der Vorlesung gehabt,
vielleicht am Ende der letzten Vorlesung.
Aber ansonsten haben wir das alles mit gewöhnlichen
Differenzialgleichungen machen können.
Warum?
Weil wir die Parameter konzentriert haben, weil wir keine Feldgrößen
betrachtet haben, sondern Größen, die nur von der Zeit abhängen.
Das heißt, in vielen, vielen Sonderfällen, und diese Sonderfälle sind
so zahlreich, dass ich sie ein Jahr eigentlich nur mit den
Sonderfällen beschäftigen konnte, kann man das Problem der partiellen
Differenzialgleichung umgehen und kann mit gewöhnlichen
Differenzialgleichungen und vielfach auch einfach nur mit
algebraischen Gleichungen denken Sie an die Statik, da haben Sie ja
immer nur Ihre Auflagereaktionen bestimmt und dann vielleicht
Schnittgrößen bestimmt, also mit algebraischen Gleichungen auskommen.
Aber in ganz allgemeinen Fällen, beispielsweise wenn Sie
Konstruktionen berechnen sollen, also Sie sollen beispielsweise die
Schwingung einer Fahrzeugkarosserie berechnen, dann kommen Sie nicht
mehr umhin, partielle Differenzialgleichungen zu lösen.
Sie lösen die beispielsweise in der technischen Mechanik mit der
Methode der finiten Elemente, bei der Strömungsmechanik ist es die
Methode der finiten Volumina, also mit Approximationsmethoden, mit
numerischen Approximationsmethoden, führen Sie die partiellen
Differenzialgleichungen auch wieder auf gewöhnliche
Differenzialgleichungen zurück und die gewöhnliche
Differenzialgleichung führen Sie wieder zurück auf eine algebraische
Gleichung und die algebraische Gleichung lösen Sie im Rechner.
Also das, was wir sozusagen noch per Hand gemacht haben und häufig uns
gar nicht darüber bewusst waren, was wir da machen, machen Sie im
Rechner mit ausgefeilten, mathematisch sauber bewiesenen und numerisch
effizienten Approximationsmethoden.
So, das heißt, ich kann Ihnen hier in der Strömungsmechanik und die
Zeit rennt uns auch davon, ich kann Ihnen hier nur einzelne kleine
Phänomene darstellen, die wir noch als Sonderfälle behandeln können,
ohne dass wir gleich abdriften in die wilde Theorie der partiellen
Differenzialgleichung.
Beispielsweise können wir uns die Hydrostatik anschauen.
Hydrostatik.
Bei der Hydrostatik betrachten wir einfach ein kleines Element unseres
Kontinuums, ein kleines Fluidelement.
Auf dieses Fluidelement wirkt der Flüssigkeitsdruck P und dieser
Flüssigkeitsdruck bewirkt halt irgendwelche Kräfte.
Zeichnen wir uns dieses Koordinatensystem ein.
x und y.
Dann haben wir hier eine Kraft, die wir mal suggestiv Fy nennen.
Hier eine Kraft Fx.
Dann haben wir noch die Gewichtskraft Fg und wir haben eine Kraft Fs.
Die wirkt unter dem Winkel Alpha, wobei das hier Alpha dieser Winkel,
dieses keilförmigen Element ist.
Was wir jetzt machen wollen, ist auch wieder das Impulsgesetz
auswerten.
Statik.
Genau wie die Statik in der Mechanik, also in der technischen Mechanik
1, sagen wir Summe aller Kräfte gleich 0.
Nun, wir haben zwei Richtungen, in die wir das auswerten können.
Einmal die x-Richtung und einmal die y-Richtung.
Was haben wir dann in y-Richtung?
Wir haben Fy minus Fg plus Fs Cosinus Alpha gleich 0.
Und wir haben in x-Richtung Fx minus Fs Sinus Alpha
gleich 0.
So könnten Sie das hinschreiben mit Ihren Kenntnissen aus der Statik.
Das Einzige, was Sie jetzt neu dazulernen müssen, ist, was haben diese
Kräfte mit dem Druck zu tun.
Der Druck ist nichts weiter als eine Spannung, eine
Oberflächenkraftdichte, wie Sie in der Statik sehen, auf dieses
Element, das ich mir herausgeschnitten habe.
Die Oberflächenkraftdichte hängt mit der Kraft zusammen, indem ich
einfach über die gesamte Fläche integriere.
Da wir den Druck als Konstant annehmen über diese Oberfläche, erhalten
wir einmal Px gleich Fx durch A.
Und A ist nichts anderes als die Querschnittsfläche
diese Fläche dort des Keilelements.
Die hat eine Höhe, nennen wir die Delta Y, und eine Tiefe, sehen wir
hier nicht, nennen wir die Delta Z.
Fx, Delta Y, Delta Z.
Delta Y wäre also diese Länge.
Delta Z sehen wir nicht.
Py wäre Fy durch A, wäre Fy geteilt durch diese Fläche.
Das wäre dann Delta X mal Delta Z.
Delta X wäre diese Länge.
Delta Z weist wieder in die Zeichenebene hinein.
Die Länge ist die Tiefe dieses herausgeschnittenen Keilelementes.
Und dann haben wir Ps gleich Fs durch A.
Und jetzt müssen wir uns natürlich überlegen, was ist das jetzt für
eine Fläche A.
Deren Länge ist ja nicht mehr unabhängig von Delta X und Delta Y,
sondern über den Winkel hängen die natürlich miteinander zusammen.
Also wir können das erstmal als Delta S bezeichnen.
Dann haben wir Fs Delta S mal Delta Z.
Und wir haben den Zusammenhang zwischen beispielsweise Delta X und
Delta S, das ist der Cosinus Alpha, und Delta Y mal Cosinus Alpha,
Delta X mal Sinus Alpha.
Nach dieser Zwischenbetrachtung setzen wir unser Ergebnis einfach mal
in die beiden Kräftegleichgewichte 1 und 2 ein.
Also fangen wir an mit 1.
Da steht jetzt Px mal Delta Y mal Delta Z minus Ps mal Delta S mal
Delta Z
gleich Px mal Delta Y mal Delta Z minus
PS mal Delta S, und hier steht ein Delta S, das ist ja Quatsch,
mal Delta S ist Delta Y durch Sinus-Alpha, bei Delta Z gleich 0.
So, jetzt habe ich aber den Sinus-Alpha vergessen.
Ach, ich schusse.
Hier steht noch der Sinus-Alpha von dort oben drin.
Tut mir leid, den habe ich hier unterschlagen.
Dann steht hier auch nochmal ein Sinus-Alpha.
Und der kürzt sich jetzt mit diesem Sinus-Alpha heraus.
Und es bleibt uns übrig, PX minus PS mal Delta Y mal Delta Z gleich 0.
Das Ergebnis muss unabhängig sein von Delta Y und Delta Z.
Sie erhalten hier PX gleich PS.
Jetzt schauen wir uns die Y-Richtung an.
Gilt ja etwa auch PY gleich PS?
Ist da der Druck überall gleich?
Mal schauen.
Also, wir ersetzen in der zweiten Gleichung FY durch PY mal Delta X
mal Delta Z.
Wir lassen FG stehen.
Wir ersetzen FS durch PS mal Delta S mal Delta Z mal Cosinus-Alpha.
Also,
hier ein negatives Vorzeichen, da auch ein negatives Vorzeichen.
Dann haben wir PY, Delta X, Delta Z, minus FG, minus PS.
Für 0.
Dann kürze ich hier das Cosinus-Alpha heraus.
Aber was übrig bleibt, ist PY minus PS mal Delta X, Delta Z gleich FG.
Nun können wir für die Gewichtskraft aber auch schreiben, FG, Delta M
mal G, Erdgravitationsfeldstärke.
Für Delta M schreiben wir Rho mal Delta V mal G.
Für Delta V schreiben wir Delta X mal Delta Y mal Delta Z.
Vielleicht mal ein Halb, weil wir ja so einen Keil rausgeschnitten
haben, mal G.
Dann kürzt sich hier Delta X und Delta Z heraus.
Übrig bleibt also PY minus PS gleich ein Halb Rho Delta Y mal G.
Oder PS gleich PY minus ein Halb Rho Delta Y mal G.
Das wäre die Druckbilanz in vertikaler Richtung.
Und nur für den Fall Delta Y gegen 0 erhalten Sie daraus PS gleich PY.
Was entnehmen Sie daraus?
Wenn Sie sich an einem Punkt hinstellen und für mich aber auch
wirklich nur an einem Punkt, nicht an einem endlich großen
Keilelement, ist der Druck überall gleich.
PS ist gleich PY.
PS ist gleich PX.
Wenn Sie einen Höhenunterschied Delta Y haben, dann haben Sie eine
Schichtung des Drucks.
Sie sehen das hier.
PS, der Druck an diesem Keilelement, ist gleich PY minus ein Halb Rho
Delta Y mal G.
Das heißt, in vertikaler, in horizontaler Richtung ist der Druck
überall gleich.
In vertikaler Richtung ist der Druck aufgrund der Gewichtskraft
geschichtet.
Steigt also linear mit Delta Y an.
Das ist das wichtige Ergebnis der Hydrostatik.
So, jetzt kann man das noch verallgemeinern.
Also Sie können statt so eines Keilelementes auch noch einen Quader
betrachten.
Machen wir hier nicht.
So, ein quaderförmiges Element.
Und können dann eine Druckbilanz herleiten.
Stellen Sie sich vor, Sie würden durch das Delta Y noch mal teilen.
Dann kommen Sie wieder auf die partiellen Differenzialgleichungen,
aber wo Sie immer nur eine Ableitung in jeder Gleichung haben, also
auf ganz einfache partielle Differenzialgleichungen, vom Typ 1 durch
Rho Gradient P gleich äußere angreifende Kraft.
Das wäre die Verallgemeinerung davon.
Haben Sie keine äußere Kraft, so wie beispielsweise in horizontaler
Richtung, denn die Gewichtskraft wirkt ja nur vertikal.
Haben Sie keine Kraft, wie in horizontaler Richtung, ist der Druck
konstant.
Haben Sie eine Kraft, die konstant ist, wie beispielsweise die
Gewichtskraft, dann ist der Druck, verläuft der Druck linear
entsprechend dieser Gleichung.
Also, das merken Sie beim Tauchen.
Wenn Sie tauchen in einem Fluid und Sie tauchen immer tiefer, steigt
der Druck an, den Sie auf Ihren Ohren spüren.
Also je tiefer Sie kommen, desto größer der Druck.
Wenn Sie dagegen in horizontaler Richtung tauchen, dann sind Sie auf
einem einzigen Druckniveau, dann nimmt der Druck nicht weiter zu.
Das also der Grundgedanke der Hydrostatik.
Da gibt es natürlich verschiedene Ausprägungen, also man beschäftigt
sich dann mit dem Druck in Behältern,
also Anwendungen,
Flüssigkeitsdruck auf Behälterwände und hat damit natürlich eine
wunderbare Verknüpfung von Statikfestigkeitslehre auf der einen Seite
und Fluidmechanik auf der anderen Seite.
Also, ganz einfaches Beispiel.
Sie haben so einen Becher, Sie haben darin ein Fluid.
Der Druck steigt von irgendeinem Druck hier, P0, an der Oberfläche zu
P1 linear an.
Das wäre der Druckverlauf.
Jetzt kann das natürlich sein, dass das nicht mehr so ein Behälter ist
wie der Becher, bei dem Ihnen das vielleicht ziemlich egal ist, wie
sich da der Druck verhält, sondern das ist jetzt mal ein Staudamm.
Also eine Staumauer oder ein Deich an der Nordsee oder Ostsee oder
sonst wo oder am Rhein.
Und Sie haben dort Flüssigkeit draufstehen.
Hält der Deich oder hält er nicht?
Dann muss der Deich diesem Druck standhalten.
Also auch wieder P0 und dann hier unten irgendein P1.
Und was jetzt natürlich noch dazu kommt, wenn das ein Deich ist, dass
hier das Fluid reinsickert.
Damit ändern sich die mechanischen Eigenschaften von diesem Deich
selbst.
Das Ganze wird weicher und das Ganze neigt dann vielleicht irgendwo zu
reißen.
Und dann bricht der Deich und Sie haben die Überschwemmung.
Also das ist ein typischer Anwendungsfall von dieser ganzen
Hydrostatik.
Nun können Sie aber auch vielleicht irgendwelche Gefäße haben,
Behälter, die sich auch noch deformieren.
Dann haben Sie aufgrund dieses Drucks eine äußere Last.
Ihre Behälterwand deformiert sich und Sie erhalten dadurch
beispielsweise eine Piekelinie oder sonst irgendwas.
Also irgendwas hier, ein Stahlträger, Kehlmauer beispielsweise.
Und Sie haben hier, der ist meinetwegen hier unten fest einbetoniert,
also eine feste Einspannung.
Und Sie haben hier Ihr Fluid drauf.
Wunderbare Verknüpfung mit der Festigkeitslehre.
Also hier wieder Druckverlauf.
Und Sie sehen, schon haben Sie eine Streckenlast.
Wenn Sie einen Abschnitt von diesem Träger nehmen, den Sie sich also
eindimensional vorstellen würden, hätten Sie so eine Streckenlast
drauf.
P0, P1, trapezwörmige Streckenlast für den Träger.
Und Sie können beispielsweise die Durchpiekung von diesem Träger dann
berechnen.
So viel zur Hydrostatik.
Jetzt schauen wir uns aber noch ganz kurz an, was in der Hydrodynamik
gemacht wird.
Die Hydrodynamik, die verwendet jetzt ein Modell, ähnlich wie die
elementare Stabtheorie, um das ganze Problem zu umgehen, das wir
hatten mit den partiellen Differenzialgleichungen.
Also verwendet das nicht die elementare Stabtheorie, sondern die
Stromfadentheorie.
Grundgedanke ist wieder genau der gleiche wie in der Festigkeitslehre.
Wenn ich schon mit partiellen Differenzialgleichungen arbeiten muss,
dann aber bitte nur eine einzige Variable, also ein x.
Dann habe ich ja in diesem x, solange ich keine Zeitabhängigkeiten
betrachte, wieder eine gewöhnliche Differenzialgleichung in einer
Variablen.
Also Sie sehen, diese universellen Ideen sind es, die ich Ihnen jetzt
einfach hier zum Schluss ein bisschen näher bringen möchte, damit Sie
da auch mal ein bisschen was über den Tellerrand hinaus gesehen haben,
ohne dass Sie jetzt hier viele Beispiele da unbedingt sehen müssen.
Also die Vorstellung ist folgende.
Wir haben einen Stromfaden.
Das heißt, dieser Faden erstreckt sich in eine einzige Richtung.
Die beiden anderen Dimensionen können Sie vernachlässigen, genau wie
bei der elementaren Stabtheorie.
Ich habe eine einzige Richtung, die dominiert das Geschehen, und alles
andere ist vernachlässigbar.
Also 1D-Theorie.
Und die höherdimensionalen Theorien überlassen wir entweder einigen
Spezialfällen, in denen wir das Ganze noch analytisch lösen können,
aber für kompliziertere Geometrien hilft uns nur Kollege Computer oder
der Versuch.
Wir haben hier die Geschwindigkeit, und die wird dann komischerweise
in der Dynamik gerne auch mit c bezeichnet.
Und wir haben die Querschnittsfläche, und da drüben hat unser Faden
vielleicht eine andere Querschnittsfläche und eine andere
Geschwindigkeit, c2.
Und jetzt kommt das Nächste.
Meistens wird das Ganze dann stationär betrachtet.
Häufig stationär.
Denn hier bei einer eindimensionalen Betrachtungsweise hätte ich immer
noch Feldgrößen, wie bei den Kontinuumsschwingungen, die von einer
Feldgröße als beispielsweise x abhängen, und von der Zeit t, also
immer noch zwei Variablen und eventuell partielle
Differenzialgleichungen.
Aber wenn ich die Zeitabhängigkeit auch noch beseitigen kann, wenn das
Ganze also stationär ist, also die Idee, stellen Sie sich so ein Rohr
vor, und Sie betrachten jetzt nicht gerade den Zustand, wo Sie das
Rohr mal aufgedreht haben, als Sie die Leitung aufgedreht haben,
sondern das strömt praktisch kontinuierlich raus.
Oder die Flüssigkeit, das Blut, das in Ihrem Körper strömt, das strömt
kontinuierlich durch, ohne dass sich zeitlich viel verändert.
Dann haben Sie stationäre Vorgänge.
Stellen Sie sich einen Bach vor.
Sie setzen sich da an den Bach und schauen da rein, und er strömt und
strömt, strömt und strömt.
Das Ganze wird also zeitunabhängig und hängt dann nur noch von einer
einzigen Koordinate, nämlich von Ihrer Ortsvariablen, ab.
1D heißt keine merklichen Änderungen in
Querrichtung.
Die Temperatur haben wir auch schon ad acta gelegt, wir betrachten
also nur die gleiche Temperatur wie in Ihrem Körper oder ungefähr wie
an dem Bach, wo Sie sitzen.
Dann haben wir als Größen nur noch die Geschwindigkeiten c, den Druck
p und eventuell noch die Dichte rho.
Gleichungen haben wir erstens die berühmte Kontinuitätsgleichung, also
Massenerhaltung.
Die wird uns einfach nur eine Konstanz liefern.
Also Änderung der Masse soll gleich Null sein.
Bei diesem Stromfaden, den wir dort betrachten, soll weder Flüssigkeit
dazukommen noch abfließen, sondern die Flüssigkeitsmenge soll die
gleiche sein.
Also Massenerhaltung.
Wenn irgendwas zufließt, muss auch die gleiche Menge wieder hinten
rausfließen.
So wie bei dem Gartenschlauch.
Was ist die Ableitung der Masse nach der Zeit?
Nun, Masse ist rho mal V.
Nach der Zeit abgeleitet können wir das rho ableiten.
Das ist aber eine Konstante.
Wir können das Volumen nach der Zeit ableiten, aber in zwei Richtungen
tut sich nichts, sondern es tut sich nur was in der einen Richtung, in
der ich die Geschwindigkeiten c1 und c2 hingeschrieben habe.
Das heißt rho mal A mal V.
Rho mal c ist gleich konstant.
Das heißt rho mal A mal c1 gleich rho mal A2 mal c2.
Also folgern wir daraus A1 mal c1 gleich A2 mal c2.
Sie sehen keine furchteinflößenden partiellen Differentialgleichungen,
sondern ganz einfache algebraische Beziehungen erhalten Sie hier.
Was sagt uns das?
Je größer die Fläche, desto kleiner die Geschwindigkeit.
Je kleiner die Fläche, desto größer die Geschwindigkeit.
Prinzip des Gartenschlauchs.
Sie können da an der Düse drehen, Sie können die größer machen, Sie
können die kleiner machen.
Je nachdem fließt die Flüssigkeit schneller oder langsamer aus Ihrem
Gartenschlauch raus.
Oder Sie haben eine Strömung, ein Fluss beispielsweise, der größer
wird, der breiter wird, also fließt er langsamer.
Wird er schmaler, fließt er entsprechend schneller.
Und das zweite ist das Kräftegleichgewicht.
Na ja, das haben wir heute schon gesehen.
Kräftegleichgewicht am Fluidelement.
Ich schreibe Ihnen nur noch das Ergebnis hin, damit ich Ihnen noch ein
bisschen was erzählen kann zu den anderen Veranstaltungen.
Also, Sie betrachten diesen Stromfaden.
Jetzt haben Sie hier natürlich irgendeinen Druck P. Wenn Sie da wieder
so ein kleines Massenelement betrachten, ist der auf der einen Seite P
mal die A.
Auf der anderen Seite P plus Delta P mal Delta S, nennen wir
vielleicht die Koordinate, mal Delta A.
Dann haben Sie noch eine Gewichtskraft drauf wirken, Rho mal G mal
Delta A mal Delta S von diesem Fluidelement.
Formulieren das Kräftegleichgewicht wie vorher auch und erhalten die
zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit.
Die Ableitung der Geschwindigkeit steht auf der linken Seite, kommt
aus dem Trägheitsterm, ist gleich.
Minus 1 durch Rho, Delta P, Delta S, also die Druckänderung, plus G
mal Cosinus Phi.
Und Phi ist der Winkel zwischen Ihrem Schlauch und der senkrechten.
Also, dieser Cosinus Phi trägt einfach der Tatsache Rechnung, dass Sie
hier eben den Cosinus betrachten möchten.
Die Gewichtskraft wirkt vertikal und Sie betrachten eine Kräftebilanz
in Schlauchrichtung und damit brauchen Sie den Cosinus Phi.
Also, Sie sehen, was Sie hier erhalten, ist tatsächlich eine
Differenzialgleichung, wo hier die zeitliche Ableitung der
Geschwindigkeit steht und hier eine räumliche Ableitung, dP nach dS.
Sonderfall wieder.
Stationarität.
Und Sie sehen, 1 durch Rho, dP nach dS, gleich G mal Cosinus Phi.
Also, Stationarität heißt, Ableitung dC nach dT soll 0 sein.
Geschwindigkeit ändert sich nicht in Ihrem Schlauch.
Dann haben Sie eine Druckverteilung, 1 durch Rho, dP nach dS, gleich G
Cosinus Phi, die Ihnen bekannt vorkommt.
Das ist nämlich genau die Druckverteilung wie in der Hydrostatik auch.
Also, Sie sehen, so behilft man sich in vielen mechanischen
Disziplinen, dass man versucht, Dinge, die man eigentlich kompliziert
beschreiben müsste mit partiellen Differenzialgleichungen, so weit zu
vereinfachen, dass man sie unmittelbar verstehen kann, entweder durch
gewöhnliche Differenzialgleichungen oder durch algebraische
Gleichungen, und dass man sie dann physikalisch interpretieren kann
und ihren Sinn auch versteht.
Denn den Sinn von partiellen Differenzialgleichungen, den verstehen
wir erstmal überhaupt nicht.
Die sind einfach so kompliziert, dass wir eine Lösung nicht
unmittelbar ablesen können.
So, wenn Sie jetzt noch weiteres Interesse haben an der Mechanik und
sagen, Sie haben jetzt immer noch nicht genug, Sie suchen noch
irgendwas für Ihr weiterführendes Studium, dann haben wir uns was
überlebt, was im Prinzip erst greift...
Oh, ach, das liegt wieder daran...
Ach, herrje, wie komme ich denn da jetzt rein?
Auf die Folien.
Das liegt wieder daran, dass der hier einiges gesperrt hat.
Der kann nicht durch Doppelklicken diese Präsentation vorführen, aber
wir haben ja noch hier das Menü.
Ach, so.
Na nun komm schon.
Der ärgert mich aber.
Der ist immer noch in der anderen Präsentation, jetzt war er etwas
schnell.
Aha, jetzt hat er es verstanden.
Also, wir haben uns mit der Umstellung Bachelor-Master überlegt, dass
es doch eigentlich schön wäre, Sie haben jetzt die Technische Mechanik
I und die Technische Mechanik II gehört, und Sie fragen sich
vielleicht nun, was mache ich damit zu?
Sie können natürlich andere Lehrveranstaltungen hören aus dem
Maschinenbau, die vielleicht in irgendeiner Weise auch
Mechanikkenntnisse voraussetzen oder verwenden, aber wir haben gesagt,
wir wollen Ihnen eigentlich aus der Vielzahl der Angebote, die es gibt
im Maschinenbau, ein bisschen das strukturieren, indem wir so ein
Bachelor -Modul und ein Master-Modul anbieten, was, wo wir denken, das
wäre für Wirtschaftsingenieure auch geeignet, geeignet in dem Sinne,
Sie können es brauchen, irgendwo für Ihre Praxis mal im Beruf, und es
ist auch nicht so anspruchsvoll, denn die Maschinenbauer haben ja
immerhin vier Semester Mechanik gehört, Sie haben nur zwei gehört, die
haben auch mehr Übungen, als Sie haben, also die stecken da wesentlich
besser im Training drin, als Sie es sind.
Da haben wir einfach mal gesagt, was sind denn so Veranstaltungen, wo
man vielleicht nicht ganz so viele Kenntnisse braucht wie ein
Maschinenbauer, wo der Wirtschaftsingenieur mit seinen zwei Semester
Mechanik auch noch gut mithalten kann.
Und daraufhin haben wir einfach mal so verschiedene Fächer
zusammengefasst, einmal im Bachelor-Modul, Sie sehen, da ist einmal
ein Praktikum drin aus der Festigkeitslehre, da geht es also
beispielsweise um solche Versuche, Zugversuche, es geht um
Dehnungsmessstreifen, um Auswertung von Messungen, also Bestimmung von
Spannungen und Verzerrungen im Experiment.
Praktikum, höhere technische Festigkeitslehre ist dann eine
Lehrveranstaltung, Festigkeitslehre kennen Sie, das geht natürlich ein
bisschen darüber hinaus, über das, was ich Ihnen in der
Festigkeitslehre erzählt habe, ich habe Ihnen ja im Wesentlichen die
elementare Stabtheorie erklärt, heute haben Sie gesehen, es gibt auch
noch eine weitreichendere Theorie, die auf den allgemeinen
Bilanzgleichungen fußt, und das ist genau der Ausgangspunkt für die
höhere technische Festigkeitslehre, Ihnen werden hier diese
allgemeinen Bilanzgleichungen wunderbar noch einmal hergeleitet, und
es werden dann aus diesen allgemeinen Bilanzgleichungen mit
Vereinfachungen die wesentlichen Theorien der Elastizitätstheorie
hergeleitet, also beispielsweise auch Bruchmechanik gemacht, was ich
hier nicht anschneiden konnte.
Anisotopes Verhalten, also das elastische Verhalten muss ja nicht in
allen Richtungen gleich sein, wie beispielsweise bei Holz, wo das
nicht der Fall ist, wo es eine Vorzugsorientierung des Materials gibt.
Thermodynamische Effekte und letztlich auch plastische Deformationen,
also irreversible Deformationen, werden dort behandelt, und dann
Verfestigung und Schädigung im metallischen Verhalten.
Dann haben wir die Maschinendynamik, da gehört also so ein bisschen
das zweite Bild dazu, da geht es also hier vor allen Dingen um die
Rotordynamik, also Sie haben hier beispielsweise einen Abgas
-Turbolader, Sie haben Generatoren, Sie haben Turbinen, was passiert
mit den Turbinen-Schaufeln, wie fangen die an zu schwingen, was
passiert mit so einem Rotor, wenn er beispielsweise eine Unwucht
irgendwo hat, das haben wir ein bisschen schon gesehen, das
Auswuchten, was passiert, wenn dieser Rotor irgendwo einen Riss hat,
wie verändern sich die Eigenfrequenzen, die Drehzahlen, die kritischen
für so eines Rotors, was passiert, wenn so ein Rotor durch sein
Resonanzgebiet durchgeht und und und, also Fragestellungen, die gerade
hier in der technischen Mechanik 2 ja eigentlich nur angeschnitten
wurden, aber nie so konkret wurden, dass sie hin zur Anwendung gingen.
Dann haben wir noch ein sehr schönes Fach, das ist die Simulation im
Produktentstehungsprozess, das ist ein Verbundfach im Maschinenbau,
das heißt, da kommt zusammen einmal die Frau Oftschorower, das ist
also Informationstechnik im Ingenieurwesen, dann kommt der Herr
Albers, die Konstruktion mit dazu und dann eben die Festigkeitslehre,
also es geht darum, wie ich im Produktentstehungsprozess, also dort,
wo ich erstmal die Eigenschaften meines Produktes jetzt umsetze in der
Konstruktion, wie ich dort Berechnung brauche, wie ich Datenmanagement
brauche, welche Simulationswerkzeuge ich einsetzen kann und wie ich
praktisch diesen Produktentstehungsprozess so gestalte, dass ich
nachher nicht viele Fehlversuche habe, dass also meine Arbeit im
Wesentlichen schon in diesem Produktentstehungsprozess liegt und nicht
erst hinterher, ich anfangen muss, ich habe ein schlechtes Produkt
konstruiert, jetzt muss ich aber lauter Verbesserungen machen, um das
Produkt besser zu machen.
Das ist ja der Grundgedanke eines effizienten
Produktentstehungsprozesses, also den Schwerpunkt in die
Entwicklungsarbeit reinzustecken und dort schon wirklich alles
abzusichern, dass man hinterher keine Rückschläge erlebt, die dann
eben kostspielig sind, weil Sie, wenn Sie die ganze Konstruktion
wieder ändern müssen, wieder in diesem Produktentstehungsprozess
zurückspringen in die Schleife und im Prinzip nochmal ganz von vorne
beginnen müssen, im schlimmsten Fall.
Und dann als letztes die technische Schwingungslehre.
Das ist also das, was Sie jetzt hier auch schon kennengelernt haben,
allerdings noch wesentlich vertieft.
Also vertieft in dem Sinne, dass Mehrfreiheitsgradsysteme viel
ausgiebiger behandelt werden, dass Sie nochmal Lösungen im
Frequenzbereich in größerer Tiefe kennenlernen als das, was ich Ihnen
hier mal ganz kurz so in einer Viertel- oder Halbenstunde angerissen
habe.
Kontinuumsschwingungen werden dort auch nochmal gemacht.
Also eine Vertiefung der Schwingungslehre, die Sie hier in der
Technischen Mechanik II kennengelernt haben.
Und dann nochmal im Master.
Das mag er mich gar nicht mehr.
Die habe ich hier aus Versehen eingeschoben.
Oh, da bewegt sich sogar was.
Im Master haben wir auch nochmal einige Fächer.
Das können Sie, ich weiß, Sie studieren alle Diplom und noch nicht
Bachelor, Master, aber Sie können das einfach für sich als Richtschnur
nehmen, wo wir meinen, das ist praktisch im Bachelor, naja, sowas wie
die 5- bis 6-Semester.
Und diese Master-Module setzen doch schon einiges voraus.
Und da sollten Sie natürlich etwas erst zunächst aus dem Bachelor
-Bereich gehört haben, ehe Sie sich an diese Fächer ranwagen.
Also wir haben eine Einführung in die FEM.
Hier sehen Sie ein Beispiel für die finite Elementmethode.
Sie sehen, da wurde so ein Tiefziehversuch gefahren.
Das heißt, das war mal hier so eine Scheibe.
Dann kommt ein Stempel und der zieht das mittlere hier nach unten.
Frage, wie sieht es mit der Spannungsverteilung aus?
Berechnet wird das Ganze.
Sie unterteilen das Gebiet Ihres Körpers mit lauter kleinen Elementen.
Und für jedes dieser Elemente formulieren Sie
Gleichgewichtsbedingungen.
Also haben Sie eine Unzahl von Gleichungen, zum Schluss algebraischen
Gleichungen, die Sie im Rechner lösen.
Und das Ganze hier natürlich bei großen Deformationen, also mit
linearer Elastizitätstheorie, ist da schon gar nichts mehr.
Denn diese Scheibe muss sich ja mal von einer wirklich ebenen Scheibe
in diese Form hier deformieren.
Und das Ganze ist natürlich auch irreversibel, denn Sie wollen ja
nicht, dass das wieder zurückspringt, sondern Sie wollen ja dieses
Element dann irgendwo einsetzen.
Also, finite Elemente, linear und nicht linear, elastisch und
plastisch.
Das wäre das Stichwort für die erste Vorlesung, Einführung in die FEM.
Mehrkörperdynamik ist dann das Beispiel, was Sie hier sehen, ist also
das Simulationsverfahren, was standardmäßig verwendet wird, wenn Sie
nicht mehr alles durch finite Elemente diskretisieren können, weil Sie
da Millionen, Milliarden von Gleichungen erhalten würden, sondern Sie
fassen einzelne Elemente zu starren Körpern zusammen, beispielsweise
die Lenkstange oder die Achse.
Dazwischen schalten Sie Federdämpferelemente, Sie sehen hier ein
Federdämpferelement.
Dann haben Sie für Reifen spezielle Modelle, setzen das alles zusammen
und können beispielsweise hier die Kräfte auf diesen Reifen ausgeübt
von der Fahrbahn berechnen.
Das ist also Schwerpunkt der Mehrkörperdynamik und Mehrkörperdynamik
und FEM sind die in den Entwicklungsabteilungen im Bereich technische
Mechanik am weitest verbreitetsten Produkte und Verfahren, die
eingesetzt werden.
Dann ein bisschen mathematischer Hintergrund, also einmal für die
Festigkeitslehre und zum anderen für die Schwingungslehre, dann haben
wir da wieder ein Praktikum im Angebot, ein schwingungstechnisches
Praktikum in dem Fall, also Versuche zur Schwingungslehre und zum
Schluss eine Veranstaltung, die sich mit Simulation beschäftigt,
Simulation dynamischer Systeme.
Das ist auch wieder Praktikumscharakter, das heißt, es gibt eine
Vorlesung und ein begleitendes Praktikum.
Zu jeder Vorlesungsstunde gibt es auch einen entsprechenden Versuch.
Der Versuch wird am Rechner durchgeführt, also da geht es
beispielsweise um Signalverarbeitung, um Fourier-Transformation, um
Filtern von Signalen, es geht um numerische Integrationsverfahren, die
Sie also brauchen, um hier das Zeitverhalten ausrechnen zu können.
Es geht um Stabilität, also wir haben eine Vielzahl von Dingen, die
einfach bei dynamischen Systemen im Mittelpunkt stehen.
Ja, und aus diesen Bachelor- und Master-Modulen können Sie sich dann
etwas aussuchen, was Sie möchten.
Das heißt, da sind wir eigentlich für Sie, auch wenn Sie jetzt Diplom
studieren, am ehesten Möglichkeiten, sich auch Wissen hier im
Maschinenbau und gerade in der technischen Mechanik einzugerben.
Die letzte Veranstaltung hier, Simulation dynamischer Systeme, die
wird in Zukunft aber auch ersetzt werden, das heißt, die wird nächstes
Jahr und ich denke auch übernächstes Jahr noch angeboten werden.
Wenn aber der Maschinenbau nun endlich, wir sind ja etwas langsamer
als die Wirtschaftsingenieure, auf Bachelor und Master umstellt, dann
wird es für die Maschinenbaustudenten im Bachelor vermutlich, so sind
die Planungen derzeit, ein verpflichtendes Fach geben, Modellbildung
und Simulation.
Und dieses Fach Simulation dynamischer Systeme geht zum Großteil in
Modellbildung und Simulation auf.
Modellbildung und Simulation bieten wir im nächsten Semester auch als
Verbundfach an, das heißt, Sie können hier auch dieses Fach
Modellbildung und Simulation oder auch schon im Bachelorstudium, also
im vorgeschrittenen Vordiplom, das heißt, Sie sind ja alle jetzt
fertig wahrscheinlich mit dem Vordiplom, dann muss ich sagen, im
beginnenden Hauptstudium, dadurch, dass ja das Vordiplom nur vier
Semester dauert, also im beginnenden Hauptstudium sollten Sie sich an
die Bachelorfächer halten, im fortgeschrittenen Hauptstudium können
Sie dann auch gerne hier was aus der Mastervertiefung hören.
Und wenn Sie Fragen haben zu speziellen Lehrveranstaltungen oder
irgendwelchen Kombinationen oder anderer Arbeit, Ihnen läuft
irgendwann mal ein mechanisches Problem über den Weg und Sie können es
nicht umgehen, dann kommen Sie einfach zu mir in die Sprechstunde und
fragen mich um Rat und Hilfe.
Damit wünsche ich Ihnen alles Gute für Ihr weiteres Studium und
wünsche Ihnen für Ihr Studium und dann auch für Ihren späteren
Lebensweg viel Erfolg.