WEBVTT

00:03.710 --> 00:08.350
So, meine Damen und Herren, wir haben keine Zeit zu verlieren, fangen

00:08.350 --> 00:08.770
wir an.

00:09.370 --> 00:14.330
Ich begrüße Sie ganz herzlich zur Vorlesung Technische Mechanik I für

00:14.330 --> 00:15.570
Wirtschaftsingenieure.

00:17.710 --> 00:24.910
Gleich am Anfang möchte ich Ihnen noch eine Neuerung vorstellen, Sie

00:24.910 --> 00:26.190
sehen auf dieser Folie.

00:27.190 --> 00:32.870
A, wir behandeln heute das zweite Kapitel, die sogenannten

00:32.870 --> 00:34.430
mechanischen Einwirkungen.

00:35.430 --> 00:41.350
Und B, ab dieser Vorlesung habe ich Ihnen Literaturstellen angegeben.

00:42.430 --> 00:45.570
Ich empfehle Ihnen zwei Lehrbücher für diese Vorlesung.

00:45.690 --> 00:50.470
Das eine ist das Lehrbuch von Groß, Hauger und Schnell, Technische

00:50.470 --> 00:51.310
Mechanik I.

00:52.310 --> 00:56.890
Das zweite ist das Lehrbuch von Hibbeler, ebenfalls Technische

00:56.890 --> 00:59.130
Mechanik I, die Statik zunächst einmal.

00:59.830 --> 01:04.210
Sie werden beim Hibbeler auch den Band II benötigen, also die

01:04.210 --> 01:05.290
Festlichkeitslehre.

01:06.430 --> 01:09.970
Ich habe Ihnen hier immer die Seitenzahlen angegeben.

01:10.710 --> 01:14.710
Das sind die Seitenzahlen, die sozusagen in dieses Kapitel, was ich

01:14.710 --> 01:19.490
Ihnen hier vorstelle, Eingang gefunden haben, wo Sie also das, was

01:19.490 --> 01:23.430
heute hier in dieser Vorlesung abläuft, nochmal in Ruhe nachlesen

01:23.430 --> 01:25.030
können, wenn Sie das möchten.

01:26.050 --> 01:30.150
Das bezieht sich bei dem Hibbeler auf die deutschsprachige Ausgabe,

01:30.530 --> 01:33.530
die ist gerade erst erschienen, da gibt es also nur eine Auflage.

01:34.130 --> 01:37.750
Bei dem Groß, Hauger, Schnell bezieht es sich auf die neueste Auflage.

01:38.590 --> 01:42.130
Wenn Sie eine andere Auflage verwenden, müssen Sie eventuell ein wenig

01:42.130 --> 01:46.370
blättern, aber ich denke, Sie werden relativ rasch finden, worum es

01:46.370 --> 01:49.610
sich in dieser Vorlesung geht, wenn Sie gleichzeitig noch die

01:49.610 --> 01:50.850
Vorlesungsfolien haben.

01:58.100 --> 02:02.520
Dann hoffe ich, dass wir dieses Mal eine technisch perfekte Vorlesung

02:02.520 --> 02:05.920
hinbekommen, also die Vorlesungsaufzeichnung läuft schon im

02:05.920 --> 02:09.320
Hintergrund mit, ich hoffe, es funktioniert alles, sodass wir das

02:09.320 --> 02:15.400
Video dann auch überspielen können und dann Ihnen im digitalen Video

02:15.400 --> 02:18.920
-Audio -Archiv der Uni-Bibliothek zur Verfügung stellen können.

02:21.080 --> 02:24.360
Und das Zweite, Sie sehen es schon, wir haben auch hier ein bisschen

02:24.360 --> 02:26.200
aufgerüstet mit dem Grafiktablett.

02:26.580 --> 02:29.580
Ich bin also jetzt auch hoffentlich in der Lage, hier drauf zu

02:29.580 --> 02:31.540
schreiben, die Folien direkt zu beschreiben.

02:31.540 --> 02:35.740
Die bekommen Sie dann ebenfalls nach der Vorlesung im CLIX Campus

02:35.740 --> 02:37.420
-System zur Verfügung gestellt.

02:37.920 --> 02:40.320
Haben Sie alle das CLIX Campus-System gefunden?

02:40.500 --> 02:43.380
Gibt es irgendwelche Fragen zum organisatorischen Ablauf?

02:44.840 --> 02:46.260
Sind Sie alle Profis?

02:48.600 --> 02:50.560
Jetzt ist nochmal Gelegenheit zu fragen.

02:51.540 --> 02:53.500
Sonst legen wir los.

02:53.660 --> 02:54.200
Alles klar?

02:58.860 --> 03:01.380
Ganz kurze Wiederholung mache ich immer am Anfang.

03:01.980 --> 03:05.660
Dabei greife ich nur die wichtigsten Aspekte der letzten Vorlesung

03:05.660 --> 03:05.940
raus.

03:06.100 --> 03:09.780
Klar, ich kann nicht die ganze letzte Vorlesung hier wiederholen, da

03:09.780 --> 03:10.920
kommen wir gar nicht mehr voran.

03:11.980 --> 03:15.380
Das Wichtigste, was ich Ihnen beim letzten Mal vermitteln wollte, war

03:15.380 --> 03:15.980
Folgendes.

03:16.440 --> 03:18.940
Wir haben zwei verschiedene Modelle in der Mechanik.

03:18.940 --> 03:23.660
Eins kennen Sie so ein bisschen aus der Schulphysik, das andere lernen

03:23.660 --> 03:25.100
Sie hier bei mir kennen.

03:25.620 --> 03:28.860
Das, was Sie in der Schulphysik kennengelernt haben, war schön und

03:28.860 --> 03:32.200
gut, bezog sich aber zumeist auf die Punktmechanik.

03:32.540 --> 03:38.140
Und die Punktmechanik hat ihre Anwendungen in der Astrophysik, also im

03:38.140 --> 03:41.060
Großen, und in der Atomphysik im ganz Kleinen.

03:41.060 --> 03:44.920
Aber in dem, was dazwischen liegt, was uns Ingenieure eigentlich

03:44.920 --> 03:48.900
interessiert, da ist die Punktmechanik nicht so gut geeignet.

03:49.720 --> 03:56.140
Also, wir haben das sogenannte Punkthaufenmodell und

04:01.250 --> 04:02.790
wir haben das Kontinuumsmodell.

04:10.750 --> 04:15.390
Und wir wollen uns hier ausschließlich mit dem Kontinuumsmodell

04:15.390 --> 04:16.050
beschäftigen.

04:17.850 --> 04:19.430
Jetzt schaut das so aus.

04:19.530 --> 04:27.830
Im Punkthaufenmodell besteht unser Körper aus diskret verteilten

04:27.830 --> 04:28.410
Punkten.

04:30.150 --> 04:31.610
Endlich viele sind das.

04:33.770 --> 04:36.530
Und jeder Punkt selbst ist massebehaftet.

04:37.230 --> 04:42.570
Das sind die sogenannten Massenpunkte mit

04:49.990 --> 04:52.210
endlicher Masse.

04:53.830 --> 05:02.230
Und im Kontinuumsmodell, da gehen Sie davon aus, dass Ihr Gegenstand,

05:02.370 --> 05:07.030
Ihr Körper für Sie undurchdringbar ist, aus einem Kontinuum besteht

05:07.030 --> 05:09.550
von materiellen Punkten.

05:09.550 --> 05:15.250
Damit ist da eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, den Sie in

05:15.250 --> 05:16.970
der Mathematik kennengelernt haben.

05:17.610 --> 05:20.630
Und die einzelnen Punkte nennt man jetzt die materiellen Punkte.

05:24.290 --> 05:29.330
Und diese materiellen Punkte haben keine endliche Masse, aber sie

05:29.330 --> 05:31.150
können damit eine Dichte definieren.

05:31.150 --> 05:34.930
Und die Masse des Körpers ergibt sich dann über die Dichte.

05:35.870 --> 05:39.290
Rho gleich m durch V haben Sie vielleicht in der Schule gelernt.

05:39.590 --> 05:45.170
Masse pro Volumen und dann haben Sie Masse gleich Dichte mal Volumen.

05:49.210 --> 05:51.010
Ohne endliche Masse.

05:52.510 --> 05:54.530
Das ist der wesentliche Unterschied.

05:56.170 --> 06:00.090
Jetzt soll es ja heute um die mechanischen Einwirkungen gehen.

06:00.190 --> 06:03.210
Und die mechanischen Einwirkungen haben wir beim letzten Mal auch

06:03.210 --> 06:03.650
schon identifiziert.

06:04.710 --> 06:08.310
Das sind die Kräfte und die Momente.

06:09.630 --> 06:12.950
Jetzt schauen wir uns mal die Kräfte an beim Punkthaufenmodell.

06:15.050 --> 06:17.870
Das Konzept der Kraft im Punkthaufenmodell.

06:18.710 --> 06:22.010
Wer von Ihnen kann mir was sagen zur Kraft im Punkthaufenmodell?

06:22.010 --> 06:25.190
Wie haben Sie die Kraft in der Schulphysik kennengelernt?

06:26.770 --> 06:28.010
Was ist F?

06:31.780 --> 06:33.680
Zweites Newtonisches Grundgesetz.

06:34.200 --> 06:35.840
F gleich...

06:38.260 --> 06:40.880
Was haben Sie in der Schulphysik gemacht?

06:40.980 --> 06:41.600
m mal a.

06:41.700 --> 06:42.060
Jawohl.

06:43.040 --> 06:44.880
F gleich m mal a.

06:51.510 --> 06:55.970
Ich setze da Rektorpfeile rauf, denn die Beschleunigung ist eine

06:55.970 --> 06:57.090
vektorielle Größe.

06:57.090 --> 07:02.190
Wir haben uns letztes Mal intensiv über Skalabe und vektorielle Größen

07:02.190 --> 07:03.110
unterhalten.

07:03.230 --> 07:06.530
Wir haben festgestellt, die Geschwindigkeit ist eine vektorielle

07:06.530 --> 07:06.950
Größe.

07:07.030 --> 07:08.490
Die Beschleunigung natürlich auch.

07:08.990 --> 07:12.770
Und die Kraft auf der anderen Seite ist auch eine vektorielle Größe.

07:13.170 --> 07:15.250
Die Masse ist eine Skalabe Größe.

07:15.650 --> 07:17.190
Einheit der Masse Kilogramm.

07:17.550 --> 07:20.310
Einheit der Beschleunigung Meter pro Sekunde Quadrat.

07:20.850 --> 07:22.630
Einheit der Kraft, das Newton.

07:22.630 --> 07:27.010
Oder Kilogramm mal Meter durch Sekunde Quadrat.

07:27.770 --> 07:28.650
Was ist das?

07:29.530 --> 07:30.690
F gleich m mal a.

07:30.910 --> 07:33.070
Wir können natürlich sagen, das ist ein Newtonisches Grundgesetz.

07:34.430 --> 07:37.310
Aber Gesetze gibt es eigentlich nur in der Juristerei.

07:37.490 --> 07:40.990
Hier bei uns haben wir gesagt, wir sprechen von Aktionen.

07:41.310 --> 07:43.130
Wir sprechen von Definitionen.

07:43.390 --> 07:45.370
Und wir sprechen von physikalischen Sätzen.

07:48.550 --> 07:51.530
Dieses Newtonische Grundgesetz ist ein Aktion.

07:55.050 --> 07:59.390
Nämlich ein Aktion des Punkt-Haufen-Modells.

08:00.850 --> 08:04.330
Die Verknüpfung von F gleich m mal a können Sie nicht beweisen.

08:04.490 --> 08:05.490
Sie müssen sie annehmen.

08:05.950 --> 08:07.030
Das ist also eine Aktion.

08:07.190 --> 08:10.130
Aber es ist gleichzeitig eine Definition.

08:11.750 --> 08:13.790
Also, plus Definition.

08:14.570 --> 08:16.290
Was wird damit definiert?

08:19.730 --> 08:22.250
Na, das was auf der linken Seite steht.

08:22.570 --> 08:26.230
Das was auf der rechten Seite steht, die Masse, wird eingeführt.

08:26.530 --> 08:27.850
Haben wir uns darüber verständigt.

08:27.970 --> 08:30.370
Jeder einzelne Punkt hat eine Masse.

08:30.730 --> 08:33.270
Das alles zusammen addiert wäre dann die Gesamtmasse.

08:33.390 --> 08:35.210
Also der Begriff der Masse, der ist schon da.

08:35.610 --> 08:39.350
Der Begriff der Beschleunigung wird über die Längenmessung, über die

08:39.350 --> 08:40.610
Wegmessung eingeführt.

08:41.770 --> 08:44.550
Änderung des Weges mit der Zeit, die Geschwindigkeit.

08:44.970 --> 08:47.370
Nochmalige Ableitung liefert mir die Beschleunigung.

08:47.550 --> 08:50.930
Also das was auf der rechten Seite steht, kann ich einerseits aus der

08:50.930 --> 08:55.070
Kinematik, andererseits aus meinem Punkt-Haufen-Modell schon ableiten.

08:55.470 --> 08:58.990
Das was auf der linken Seite steht, ist das schlechthin neue des

08:58.990 --> 09:01.210
Newton'schen Axioms.

09:01.730 --> 09:05.810
Also die Definition der Kraft F als m mal a.

09:06.610 --> 09:08.750
Wodurch ist diese Kraft gekennzeichnet?

09:09.540 --> 09:11.290
Diese Kraft ist ein Vektor.

09:11.910 --> 09:13.390
Was kennzeichnet einen Vektor?

09:15.290 --> 09:16.350
Mathematik.

09:17.310 --> 09:22.070
Ein Vektor ist gekennzeichnet durch den dreidimensionalen Raum.

09:24.170 --> 09:30.870
Das hat er eine Länge, den Betrag und eine Richtung.

09:37.890 --> 09:43.950
Also F hat Betrag,

09:47.040 --> 09:54.300
Richtung und jetzt hat aber diese Kraft noch etwas.

09:55.120 --> 09:57.140
Vielleicht haben Sie das in der Schulphysik schon gehört.

09:57.700 --> 09:59.000
Wodurch ist eine Kraft gekennzeichnet?

09:59.000 --> 10:02.000
Die Kraft ist gekennzeichnet durch Betrag, Richtung und...

10:04.740 --> 10:05.580
Etwas lauter.

10:07.870 --> 10:09.400
Durch ihren Angriffspunkt.

10:20.010 --> 10:22.040
Wo ist der Angriffspunkt dieser Kraft?

10:22.380 --> 10:25.400
Bei irgendeinem dieser Massenpunkte.

10:26.040 --> 10:28.660
Auf irgendeinen dieser Massenpunkte wollen wir uns doch beziehen.

10:28.660 --> 10:35.580
Also Kraft für diesen Massenpunkt hier außen wäre vielleicht das.

10:36.420 --> 10:40.220
F, Länge dieses Vektorfeils wäre der Betrag.

10:40.580 --> 10:43.380
Richtung dieses Vektorfeils wäre die Richtung dieser Kraft.

10:43.740 --> 10:48.180
Und der Angriffspunkt ist genau dieser eine Massenpunkt, den ich mir

10:48.180 --> 10:49.260
herausgegriffen habe.

10:49.620 --> 10:51.860
Das ist das Konzept aus der Schulphysik.

10:51.860 --> 10:55.940
Das ist das Konzept, wenn man davon spricht, die Kraft ist

10:55.940 --> 10:58.980
gekennzeichnet durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt.

10:59.900 --> 11:04.060
Jetzt ist die Frage, wie kommen wir denn von diesem Punkthaufenmodell

11:04.060 --> 11:09.240
auf die Kraft in unserem Kontinuumsmodell?

11:11.440 --> 11:13.500
Wie kommen wir da auf die andere Seite rüber?

11:14.060 --> 11:17.060
Das ist nicht so einfach, das wird uns jetzt eine ganze Weile

11:17.060 --> 11:18.080
beschäftigen.

11:19.100 --> 11:24.500
Nun zunächst könnte ich ja mal versuchen, dieses mythische Axiom

11:24.500 --> 11:26.860
einfach zu übertragen.

11:28.060 --> 11:29.640
Aber das gelingt mir nicht.

11:30.980 --> 11:35.500
F gleich m mal a ist in dem Kontinuumsmodell kein Axiom.

11:36.980 --> 11:41.260
Ich hätte überhaupt schon Schwierigkeiten, das auszusprechen

11:41.260 --> 11:42.020
sinnvollerweise.

11:42.520 --> 11:45.880
Sprechen kann man vieles, aber nicht alles ist sinnvoll, manches ist

11:45.880 --> 11:46.640
auch geschätzt.

11:46.640 --> 11:50.980
Und wenn ich einfach sagen würde, F gleich m mal a für dieses

11:50.980 --> 11:53.500
Kontinuumsmodell, dann wäre das ganz schönes Geschwätz.

11:53.680 --> 11:56.800
Denn was meine ich damit überhaupt mit der Masse?

11:57.620 --> 11:59.900
Was meine ich überhaupt mit der Beschleunigung?

12:01.060 --> 12:06.020
Die Beschleunigung im Kontinuumsmodell kann für jeden einzelnen Punkt

12:06.020 --> 12:10.200
des Kontinuums, für jeden materiellen Punkt unterschiedlich sein.

12:11.540 --> 12:12.520
Die Masse?

12:13.660 --> 12:15.940
Der materielle Punkt hat ja gar keine Masse.

12:16.440 --> 12:18.020
Nenne ich jetzt die Masse des Körpers?

12:18.940 --> 12:22.500
Wenn ja, dann habe ich mit der Masse eine globale Größe, die den

12:22.500 --> 12:23.620
Körper charakterisiert.

12:24.040 --> 12:27.420
Mit der Beschleunigung habe ich eine lokale Größe, die in jedem

12:27.420 --> 12:29.700
einzelnen materiellen Punkt unterschiedlich ist.

12:30.460 --> 12:30.680
Ja.

12:31.680 --> 12:33.280
Was meint denn der gute Herr Professor?

12:34.580 --> 12:39.080
Der zuckt nur mit den Schultern und sagt, F gleich m mal a kann ich so

12:39.080 --> 12:41.400
nicht auf mein Kontinuumsmodell übertragen.

12:42.160 --> 12:46.740
Es gibt, und da muss ich ganz weit vorgreifen, es gibt einen

12:46.740 --> 12:49.660
physikalischen Satz für das Kontinuumsmodell.

12:51.660 --> 12:55.440
Der hat den Charakter eines Satzes, ist also kein Axiom, sondern den

12:55.440 --> 12:56.600
können Sie wirklich beweisen.

12:57.100 --> 12:59.320
Dauert ein bisschen, dann werde ich Ihnen den auch beweisen.

12:59.320 --> 13:02.360
Streng genommen erst in der technischen Mechanik 2.

13:02.720 --> 13:05.800
Also Sie müssen das schon noch freiwillig hören, dann erfahren Sie die

13:05.800 --> 13:06.400
Auflösung.

13:06.980 --> 13:09.760
Also, physikalischer Satz.

13:13.340 --> 13:17.440
F gleich m mal a.

13:18.460 --> 13:21.060
Und an das a kommt ein kleiner Index ran.

13:23.920 --> 13:25.320
C beispielsweise.

13:26.240 --> 13:27.540
Oder S.

13:28.580 --> 13:30.480
Das ist der sogenannte Massenmittelpunkt.

13:30.920 --> 13:34.120
Sie nehmen von dem Körper den Massenmittelpunkt, Sie sagen dazu

13:34.120 --> 13:35.820
wahrscheinlich noch landläufig Schwerpunkt.

13:36.480 --> 13:41.300
Morgen erzählt Ihnen Frau Vogt in der Übung alles über Mittelpunkte,

13:41.480 --> 13:44.290
Kraftmittelpunkte und insbesondere alles über den Massenmittelpunkt.

13:45.220 --> 13:48.620
Und ab da werden Sie zu dem Massenmittelpunkt bestimmt nie mehr

13:48.620 --> 13:49.860
Schwerpunkt sagen.

13:49.860 --> 13:54.480
Also, Sie müssen von dem Körper den sogenannten Schwerpunkt nehmen.

13:55.580 --> 13:59.940
Dann haben Sie, trickreicherweise, auch wieder eine globale Größe

13:59.940 --> 14:00.560
eingeführt.

14:01.180 --> 14:05.100
Das heißt, Sie beziehen die Beschleunigung auf einen ganz bestimmten

14:05.100 --> 14:06.060
materiellen Punkt.

14:06.480 --> 14:09.720
Nämlich auf den Massenmittelpunkt, beziehungsweise auf den

14:09.720 --> 14:10.500
Schwerpunkt.

14:11.480 --> 14:15.980
Dann haben Sie auf der rechten Seite globale Größen dazustehen und auf

14:15.980 --> 14:17.640
der linken Seite haben Sie die Kraft.

14:17.640 --> 14:22.320
Das ist dann die Gesamtkraft aller äußeren Einwirkungen, die auf Ihren

14:22.320 --> 14:23.040
Körper wirkt.

14:23.200 --> 14:26.940
Also, stellen Sie sich den Körper vor nach einem Indianerangriff.

14:27.440 --> 14:29.320
Da ist hier eine Kraft F1.

14:30.540 --> 14:33.060
Hier greift irgendwie eine Kraft F2 an.

14:34.540 --> 14:37.300
Da greift eine Kraft F3 an.

14:37.920 --> 14:41.980
Und die Gesamtkraft, die steht jetzt hier in diesem Vektor drin.

14:41.980 --> 14:47.340
Das wäre in unserem Beispiel F1 plus F2 plus F3.

14:50.580 --> 14:53.360
Und das wäre dann M mal AC.

14:54.900 --> 14:58.760
Dann hätten Sie so etwas konstruiert, wie ein Newtonsches Grundgesetz.

14:58.880 --> 15:01.980
Das ist aber der sogenannte Massenmittelpunkt-Satz für das

15:01.980 --> 15:03.000
Kontinuumsmodell.

15:06.420 --> 15:11.700
Sie würden dazu sagen Schwerpunktsatz, aber Massenmittelpunkt-Satz.

15:13.420 --> 15:18.420
Aber das ist ein physikalischer Satz, keine Definition, keine Aktion.

15:18.980 --> 15:22.020
Also, so können wir die Kraft nicht einführen.

15:23.100 --> 15:27.320
Wir müssen die Kräfte im Kontinuumsmodell anders einführen.

15:28.460 --> 15:33.220
Und wie das geht, zeige ich Ihnen auf der nächsten Folie.

15:33.520 --> 15:35.640
Aber zunächst erst einmal die Lernziele.

15:36.320 --> 15:38.420
Also, worum geht es hier?

15:38.540 --> 15:42.260
Sie haben schon gemerkt, Sie sollen verstehen, wie Kräfte in der

15:42.260 --> 15:46.120
Kontinuumsmechanik eingeführt werden, was sie als Modell bedeuten.

15:46.840 --> 15:51.320
Dann haben wir auf der vorigen Folie schon gesehen, ich habe dort

15:51.320 --> 15:53.220
einfach drei Kräfte zusammenaddiert.

15:53.220 --> 15:57.040
Das können wir machen, wenn Kräfte Vektoren sind, können wir das

15:57.040 --> 15:58.560
zusammenaddieren wie Vektoren.

15:59.000 --> 16:03.040
Das heißt, Sie sollen Kräfte in ihre einzelnen Komponenten zerlegen

16:03.040 --> 16:06.920
können und auch wieder zusammenaddieren können zu einer Gesamtkraft.

16:08.620 --> 16:12.220
Dann kommt in der zweiten Hälfte der heutigen Vorlesung ein weiterer

16:12.220 --> 16:14.000
neuer Begriff, das ist das Moment.

16:15.040 --> 16:16.600
Was ist das überhaupt ein Moment?

16:16.840 --> 16:18.140
Muss ich Ihnen noch erklären.

16:18.640 --> 16:22.040
Dann sollen Sie selbstständig Momente berechnen können und sollen

16:22.040 --> 16:25.160
feststellen, dass Sie bei einem Moment stets einen Bezugspunkt

16:25.160 --> 16:29.800
brauchen und dass der wichtig ist bei der Berechnung des Momentes.

16:30.120 --> 16:34.400
Darum soll es heute in den nicht mehr ganz anderthalb Stunden, also

16:34.400 --> 16:36.520
ein und ein Viertel Stunde noch gehen.

16:37.480 --> 16:41.340
Also zunächst, was ist die Kraft im Kontinuumsmodell?

16:43.040 --> 16:47.040
Im Kontinuumsmodell haben wir folgende Vorstellung, wir haben echte

16:47.040 --> 16:48.660
kontinuierliche Körper.

16:48.660 --> 16:54.000
Wir wissen aus der Erfahrung, wenn wir uns auf die Waage stellen, wenn

16:54.000 --> 16:58.240
wir einen Körper auf die Waage legen, zeigt die Waage irgendwas an.

16:58.760 --> 17:01.060
Wir nennen das landläufig die Gewichtskraft.

17:01.360 --> 17:03.280
Manche sagen auch dazu nur das Gewicht.

17:03.760 --> 17:06.000
Also das ist eine messbare Eigenschaft.

17:06.620 --> 17:08.120
Wodurch wird die hervorgerufen?

17:08.600 --> 17:12.100
Auch das wissen wir durch die Erdgravitationsfeldstärke.

17:12.600 --> 17:15.340
Sie sagen dazu vielleicht Erdbeschleunigung.

17:16.180 --> 17:18.780
Professoren reden da immer ein bisschen geschraubt und sagen

17:18.780 --> 17:20.600
Erdgravitationsfeldstärke.

17:21.040 --> 17:24.340
Warum sagen die Erdgravitationsfeldstärke und nicht Erdbeschleunigung?

17:25.000 --> 17:29.020
Naja, meinen tun wir alle das gleiche, dieses G.

17:29.640 --> 17:31.020
Das schreibe ich hier unten hin.

17:33.020 --> 17:34.840
Das G ist ein Vektorfeld.

17:35.540 --> 17:39.520
Das Vektorfeld der Erdbeschleunigung oder Erdgravitationsfeldstärke.

17:39.520 --> 17:45.420
In der Nähe der Erdoberfläche hat dieser Vektor ungefähr die gleiche

17:45.420 --> 17:46.940
Größe, den gleichen Betrag.

17:47.440 --> 17:51.860
Nämlich 9,81 Meter pro Sekunde Quadrat.

18:00.630 --> 18:07.490
Und von der Richtung weiß man auf der Erdoberfläche, er ist radial

18:07.490 --> 18:10.510
gerichtet hin zum Mittelpunkt der Erde.

18:12.370 --> 18:17.410
Also wir kennen die Erdgravitationsfeldstärke, Erdbeschleunigung nach

18:17.410 --> 18:18.550
Betrag und Richtung.

18:19.830 --> 18:22.270
Warum sage ich dazu nicht Beschleunigung?

18:22.410 --> 18:25.350
Das Ding hat doch die Einheit einer Beschleunigung, Meter pro Sekunde

18:25.350 --> 18:25.810
Quadrat.

18:26.170 --> 18:27.690
Dann machen wir folgendes Experiment.

18:28.230 --> 18:37.890
Wir nehmen einen Klotz auf der Erdoberfläche und lassen das G darauf

18:37.890 --> 18:38.350
wirken.

18:39.930 --> 18:40.810
Und warten...

18:40.810 --> 18:41.390
Und warten...

18:43.690 --> 18:44.570
Und warten...

18:44.570 --> 18:45.570
Und nichts passiert.

18:46.850 --> 18:50.010
Der liegt da einfach so rum, so wie meine Tasche da auf dem Tisch

18:50.010 --> 18:50.310
liegt.

18:50.790 --> 18:53.290
Wie hier alles üblich überhaupt rumliegt auf dem Tisch.

18:53.610 --> 18:55.490
So liegt der da rum und nichts passiert.

18:55.710 --> 18:57.330
Ja, wieso ist denn da eine Beschleunigung?

18:58.170 --> 19:00.810
Ich denke, da ist eine Beschleunigung und der wird beschleunigt.

19:01.310 --> 19:03.990
Wenn ich mein Auto beschleunige, dann passt das ganz schön voran.

19:05.090 --> 19:11.910
Also, das G hat zwar die Einheit einer Beschleunigung, aber es

19:11.910 --> 19:14.990
beschleunigt diesen Klotz überhaupt nicht.

19:16.750 --> 19:20.010
Also, das Ding hat nur die Einheit einer Beschleunigung.

19:21.890 --> 19:27.470
Woher die Geschichte mit der Beschleunigung kommt, ist wieder ein

19:27.470 --> 19:29.790
Attribut der Schulphysik.

19:29.790 --> 19:31.950
Nämlich, sie machen folgendes.

19:33.090 --> 19:36.050
Sie wenden das jüdische Grundgesetz an.

19:36.510 --> 19:39.330
G gleich m mal a.

19:39.750 --> 19:41.090
G ist die Gewichtskraft.

19:41.490 --> 19:51.350
Für g schreiben sie m mal klein g. Kürzen hier das m heraus und sagen,

19:51.530 --> 19:52.990
klein g ist gleich a.

19:53.470 --> 19:54.710
a ist die Beschleunigung.

19:55.210 --> 19:57.670
Also sage ich zu g, Erdbeschleunigung.

19:59.790 --> 20:04.230
Ist richtig, in dem Schulphysikmodell, in dem Quartinumsmodell, hat

20:04.230 --> 20:05.510
das Ganze gar nichts verloren.

20:05.990 --> 20:08.690
Da haben wir schon Schwierigkeiten, so etwas überhaupt mit einer Masse

20:08.690 --> 20:09.350
hinzuschreiben.

20:09.950 --> 20:13.510
Also sagen wir hier dazu Erdgravitationsfeldstärke.

20:13.870 --> 20:16.670
Sie können sich gerne noch merken, der Professor Rilke hat etwas

20:16.670 --> 20:18.850
beschraubt und meint eigentlich die Erdbeschleunigung.

20:19.410 --> 20:24.370
Damit haben wir aber schon mal ein Feld gefunden, das in jedem

20:24.370 --> 20:27.130
materiellen Punkt dieses Körpers wirkt.

20:27.130 --> 20:32.850
Also, wenn das hier unser Körper ist.

20:33.950 --> 20:36.130
Die berühmte Mechanikerkartoffel.

20:37.110 --> 20:40.150
Mechaniker malen solche Körper immer irgendwie als Kartoffel.

20:40.550 --> 20:41.190
Was will er hier?

20:41.290 --> 20:41.830
Eintauchen?

20:41.950 --> 20:42.490
Wollen wir nicht.

20:43.730 --> 20:45.410
Klicken wir mal hier irgendwo rauf.

20:46.250 --> 20:46.470
Nee.

20:47.030 --> 20:48.430
Och nee, was will er denn da?

20:48.710 --> 20:50.370
So, jetzt hat er mir alles gelöscht.

20:50.890 --> 20:52.950
Ich umrande Ihnen den Körper nochmal neu.

20:54.510 --> 20:57.350
Also unsere berühmte Mechanikerkartoffel.

20:59.650 --> 21:00.710
Materieller Punkt.

21:01.730 --> 21:04.450
Jeder materielle Punkt hat eine Dichte, Rho.

21:07.070 --> 21:14.210
Und hier überall wirkt in jedem Punkt, und zwar so, dass der Vektor

21:14.210 --> 21:16.370
senkrecht zur Erde gerichtet ist.

21:16.850 --> 21:20.270
Der Vektor der Erdgravitationsfeldstärke.

21:22.210 --> 21:26.790
Dann habe ich dort insgesamt auf meinem Körper definiert, in seinem

21:26.790 --> 21:29.610
Inneren, in seinem Volumen, ein Vektorfeld.

21:30.450 --> 21:36.690
Das Vektorfeld FV gleich Rho mal G.

21:41.250 --> 21:45.270
Jetzt kann ich dieses Vektorfeld aufintegrieren.

21:45.270 --> 21:56.240
Ich integriere über den gesamten Körper Rho mal G dV.

21:56.800 --> 21:58.140
Ein Volumenintegral.

22:02.100 --> 22:08.820
Und das definiere ich jetzt als Volumenkraft.

22:09.200 --> 22:11.020
Als eine mögliche Volumenkraft.

22:11.020 --> 22:15.420
Also, eine Volumenkraft wird so definiert.

22:15.520 --> 22:18.760
Ich führe axiomatisch eine Volumenkraftdichte ein.

22:19.820 --> 22:25.400
Das kann die Dichte sein über die Erdgravitationsfeldstärke.

22:25.520 --> 22:27.760
Das kann aber auch irgendetwas anderes sein.

22:28.240 --> 22:29.800
Magnetische Effekte oder irgendwas.

22:30.240 --> 22:31.640
Es muss jedenfalls was sein.

22:31.780 --> 22:36.680
Ein Feld, das auf jeden materiellen Punkt meines Körpers wirkt.

22:36.680 --> 22:41.320
Ich integriere das auf über den gesamten Körper und erhalte als

22:41.320 --> 22:44.620
Definition die sogenannte Volumenkraft.

22:44.920 --> 22:48.160
Also, erstens, eine Aktion wird benötigt.

22:48.440 --> 22:50.780
Die Existenz einer Volumenkraftdichte.

22:51.300 --> 22:53.920
Zweitens, eine Definition wird benötigt.

22:54.280 --> 22:56.800
Nämlich die Definition der Volumenkraft.

22:56.800 --> 23:08.880
Also, FV ist im Allgemeinen definiert als das Volumenintegral des

23:08.880 --> 23:16.000
Feldes über das Volumen dieses Körpers aufintegriert.

23:18.120 --> 23:22.480
Oberflächenkraft kann ich ganz analog definieren.

23:22.480 --> 23:27.860
Ich muss mir wieder axiomatisch eine Oberflächenkraftdichte

23:27.860 --> 23:28.600
verschaffen.

23:29.100 --> 23:33.420
Denken Sie beispielsweise an den Wind, der an ein Bauteil angreift, an

23:33.420 --> 23:37.700
einen Turm, an ein Hochhaus oder an Ihre eigenen Körperoberfläche.

23:38.180 --> 23:41.620
Denken Sie an den Wasserdruck, der auf einen Staudamm wirkt.

23:42.280 --> 23:45.800
Klar werden Sie sagen, solche Oberflächenkraftdichten existieren doch.

23:45.800 --> 23:48.880
Ich muss sie aber zunächst einmal axiomatisch einführen.

23:49.400 --> 23:54.880
Also, auch hier wird diese an der Oberfläche des Körpers wirkende

23:54.880 --> 23:57.500
Dichte axiomatisch eingeführt.

23:57.600 --> 23:58.700
Das ist Schritt Nummer 1.

23:58.700 --> 24:09.800
Schritt Nummer 2 ist die Definition einer Oberflächenkraft als

24:09.800 --> 24:16.120
Integral über die Gesamtoberfläche dieser Oberflächenkraftdichte FS

24:16.120 --> 24:19.180
über die Gesamtoberfläche des Körpers.

24:21.060 --> 24:25.640
Aha, im Unterschied zu dem Modell der Schulphysik haben wir es jetzt

24:25.640 --> 24:27.640
mit zwei verschiedenen Kräften zu tun.

24:27.640 --> 24:31.480
Mit Oberflächenkräften und mit Volumenkräften.

24:31.920 --> 24:33.520
Die werden ganz sauber getrennt.

24:34.180 --> 24:37.760
Warum haben Sie das in der Massenpunktmechanik nicht gemacht?

24:38.240 --> 24:44.760
Weil ein Punkt weder eine Oberfläche hat, noch hat er ein Volumen.

24:45.360 --> 24:49.880
Also konnten Sie Oberflächenkräfte und Volumenkräfte gar nicht erst

24:49.880 --> 24:50.420
einführen.

24:51.480 --> 24:53.060
Jetzt brauchen wir aber noch ein drittes.

24:53.060 --> 24:57.980
Wir haben jetzt Oberflächenkräfte und wir haben Volumenkräfte.

24:59.420 --> 25:01.440
Die Frage, wie verhalten sie sich zueinander?

25:02.200 --> 25:04.000
Sind die wie Katz und Hund?

25:04.720 --> 25:06.300
Sind die wie Äpfel und Birne?

25:07.120 --> 25:08.740
Oder was kann ich mit denen machen?

25:09.680 --> 25:13.120
Ein weiteres Aktion ist, ich kann die zusammenaddieren zu einer

25:13.120 --> 25:13.860
Gesamtkraft.

25:13.860 --> 25:18.240
Also, dritter Akt und Schöpfungsprozess der Kraft.

25:21.320 --> 25:28.920
F gleich Fv plus Fs.

25:29.240 --> 25:30.920
Und hier steht wieder ein Axiom.

25:31.740 --> 25:36.100
Nämlich das Axiom von der Addierbarkeit der Oberflächenkraft und der

25:36.100 --> 25:36.820
Volumenkraft.

25:37.280 --> 25:40.120
Und links vom Gleichheitszeichen steht wieder eine physikalische

25:40.120 --> 25:40.840
Definition.

25:40.840 --> 25:44.560
Das, was dort rauskommt, definiere ich als Kraft.

25:45.200 --> 25:47.220
So kommt die Kraft auf die Welt.

25:47.380 --> 25:50.980
In einem dreifachen Schöpfungsprozess im Kontinuumsmodell.

25:52.180 --> 25:55.280
Erstens, Dichten axiomatisch einführen.

25:56.420 --> 26:03.620
Zweitens, daraus durch Integration eine Oberflächenkraft und eine

26:03.620 --> 26:05.160
Volumenkraft erzeugen.

26:05.660 --> 26:09.840
Drittens, die beiden zusammenaddieren zu einer Gesamtkraft.

26:09.840 --> 26:13.840
Das ist das Modell der Kraft in der Kontinuumsmechanik.

26:14.840 --> 26:17.320
Ziemlich kompliziert, werden Sie vielleicht sagen.

26:18.220 --> 26:22.320
Und überhaupt, Mehrfachintegration, machen Sie ja vielleicht gerade

26:22.320 --> 26:24.880
erst, ist also auch kompliziert.

26:25.480 --> 26:28.800
Ich werde Ihnen jetzt zeigen, dass die Integrale, die Sie dabei

26:28.800 --> 26:31.860
ausführen müssen, für Sie überhaupt kein Problem sind.

26:32.580 --> 26:33.920
Die meisten sind ganz einfach.

26:34.040 --> 26:36.100
Sie müssen wir gar nicht mehrfach integrieren.

26:36.100 --> 26:39.480
In der Praxis vielleicht manchmal schon, aber auch da behilft man

26:39.480 --> 26:39.740
sich.

26:40.720 --> 26:43.640
Fangen wir an mit der Volumenkraftdichte.

26:44.340 --> 26:50.560
Das, was Ihnen hier tatsächlich meistens begegnet, ist die

26:50.560 --> 26:51.660
Gewichtskraft.

26:52.700 --> 26:54.380
Also Sie nehmen irgendeinen Körper.

26:55.440 --> 26:59.320
Wie können Sie diese Volumenkraft dann ganz einfach bestimmen?

26:59.480 --> 27:03.300
Sie stellen den auf die Waage, Sie hängen den irgendwo auf und messen

27:03.300 --> 27:04.880
ganz einfach die Gewichtskraft.

27:04.880 --> 27:07.820
Das, was Sie jeden Morgen machen, wenn Sie auf die Waage steigen.

27:08.860 --> 27:20.040
Für einfache Körper, beispielsweise für so einen Quader, können Sie

27:20.040 --> 27:21.680
das ganz einfach ausrechnen.

27:22.640 --> 27:25.280
Und haben Sie das in der Schule bestimmt auch schon ausgerechnet.

27:25.280 --> 27:30.800
Also der hat die Kantenlängen ABC, dann hat er das Volumen A mal B mal

27:30.800 --> 27:31.160
C.

27:32.420 --> 27:37.120
Dichte, hoffentlich konstant, sonst unterteilen wir uns den in

27:37.120 --> 27:38.180
einzelne Teilkörper.

27:38.720 --> 27:44.440
Also Dichte mal Volumen, Rho mal V.

27:46.140 --> 27:49.420
Dann erhalten Sie die Masse von dem Teil.

27:50.540 --> 27:54.440
Und mit der Masse erhalten Sie, wenn Sie das dann mit G, mit dem

27:54.440 --> 27:57.820
Vektor der Erdgravitationsfeldstärke, Erdbeschleunigung

27:57.820 --> 28:02.320
multiplizieren, die Gewichtskraft, also schon mal eine Volumenkraft.

28:03.060 --> 28:05.160
So einfach kommen Sie da draus.

28:05.560 --> 28:11.800
Wenn die Erdbeschleunigung näherungsweise für den Körper konstant ist,

28:11.880 --> 28:14.840
aber das wird sie nur immer sein, da können Sie selbst ein hohes

28:14.840 --> 28:18.520
Hochhaus nehmen, wenn Sie die Masse berechnen, berücksichtigen Sie

28:18.520 --> 28:22.200
dabei nicht, dass die Erdgravitationsfeldstärke in der dritten Stelle

28:22.200 --> 28:23.380
nach dem Komma schwankt.

28:23.420 --> 28:24.560
Das wäre viel zu genau.

28:25.240 --> 28:27.620
Also, so etwas können Sie schon.

28:28.660 --> 28:32.120
Für die Flächenkraftdichte machen wir jetzt, jetzt habe ich schon

28:32.120 --> 28:34.680
wieder eine ganze Weile erzählt, eine kleine Übung.

28:36.780 --> 28:39.100
Ein paar nette Beispiele habe ich mir hier ausgedacht.

28:39.860 --> 28:43.260
Die bunten Bilder, die habe ich nicht selbst gezeichnet, die sind alle

28:43.260 --> 28:43.960
aus dem Himmeler.

28:44.740 --> 28:47.560
Ich sehe, ganz optimal kommen die hier vorne jedenfalls nicht rüber.

28:47.680 --> 28:50.040
Ich hoffe, bei Ihnen sieht das ein bisschen besser aus.

28:50.560 --> 28:53.460
Schauen wir uns rechts ein Beispiel an.

28:56.760 --> 28:59.180
Ach, Sie können gerade nicht, Mechanikvorlesung.

29:01.400 --> 29:03.220
Schauen wir uns dieses Beispiel an.

29:03.320 --> 29:04.220
Was ist da passiert?

29:05.110 --> 29:08.100
Also, Sie haben so eine schöne Holzpalette.

29:09.140 --> 29:12.560
Die Holzpalette liegt irgendwo auf einer Unterlage.

29:13.220 --> 29:17.980
Sie hat also Kontakt mit der Oberfläche der Unterlage und überträgt

29:17.980 --> 29:21.640
über diesen Kontaktpunkt eine Oberflächenkraft.

29:22.920 --> 29:24.240
Wie rechnen Sie die aus?

29:25.120 --> 29:30.200
Naja, dieser Holzstapel, der ist näherungsweise homogen.

29:30.200 --> 29:32.840
Der hat natürlich eine Tiefe, klar.

29:34.620 --> 29:39.500
Also, der hat irgendwo hier nach hinten weggehend eine Tiefe, T.

29:40.760 --> 29:48.080
Über diese Tiefe ist aber dieser Holzstapel homogen, die Masse dieses

29:48.080 --> 29:50.020
Holzes homogen verteilt.

29:51.940 --> 29:57.260
Jetzt führen Sie ein eine Streckenlast, Q0.

30:00.100 --> 30:06.040
Q0 hat von der gesamten Fläche nur noch eine Dimension, nämlich die

30:06.040 --> 30:06.940
Längsrichtung hier.

30:07.080 --> 30:08.400
Oder Querrichtung ist das bei Ihnen.

30:08.560 --> 30:08.900
Die hier.

30:13.140 --> 30:15.920
Wo haben Sie die andere Richtung gelassen, die Tiefe?

30:16.220 --> 30:21.440
Naja, da das Ding homogen ist, haben Sie keine Oberflächenkraftdichte.

30:21.440 --> 30:27.220
Die hätte die Dimension als ordentliche Kraftdichte Newton pro

30:27.220 --> 30:28.300
Millimeter Quadrat.

30:28.760 --> 30:29.840
Kraft pro Fläche.

30:31.180 --> 30:34.860
Nehmen Sie aber die Tiefe weg, sagen Sie, das ist eine konstante

30:34.860 --> 30:38.640
Tiefe, dann können Sie eine Streckenlast einführen, also

30:38.640 --> 30:40.660
Oberflächenkraftdichte, haben wir gesagt.

30:45.440 --> 30:49.660
Streckenlast hat die Einheit Newton pro Millimeter oder Meter Quadrat,

30:49.980 --> 30:51.540
mal im metrischen System bleiben.

30:55.020 --> 30:59.300
Streckenlast hat die Einheit Newton pro Meter.

30:59.820 --> 31:02.800
Das heißt, Sie haben sich eine Dimension schon mal geschenkt, nämlich

31:02.800 --> 31:03.420
die Tiefe.

31:03.420 --> 31:07.760
Da das Ding homogen ist, haben Sie einfach Tiefe mal das, was dort an

31:07.760 --> 31:10.300
Kraft aufläuft, diesem Q0 zugeschlagen.

31:10.860 --> 31:14.700
Und was Sie jetzt noch brauchen, um daraus eine Einzelkraft zu machen,

31:15.100 --> 31:17.420
ist eine einfache Integration.

31:17.720 --> 31:18.720
Und die kennen Sie natürlich.

31:19.500 --> 31:30.160
Also, F Oberfläche gleich Einfachintegration von dem Q0 mal, nennen

31:30.160 --> 31:33.720
wir das dx, wenn das hier die x-Richtung ist.

31:34.280 --> 31:36.600
So, Integrationsgrenzen brauchen wir noch.

31:36.600 --> 31:43.080
Wir integrieren hier von 0 bis b.

31:44.120 --> 31:48.760
Dort, wo unsere Palette aufliegt, auf dem Bereich 0 bis b.

31:49.340 --> 31:53.000
Q0, sehen Sie hier, ist eine konstante Streckenlast.

31:53.660 --> 31:55.920
Eine Konstante von 0 bis b integriert.

31:56.300 --> 31:57.900
Na, das ist doch wunderbar einfach.

31:59.240 --> 32:02.360
Das gibt mir b mal Q0.

32:03.540 --> 32:08.540
Haben wir tatsächlich jetzt eine Oberflächenkraft ausgerechnet, prüfen

32:08.540 --> 32:09.840
wir einfach mal die Dimension.

32:10.680 --> 32:14.680
Streckenlast, Q0, hat die Dimension Newton pro Meter.

32:15.500 --> 32:19.300
b ist eine Länge, hat also die Dimension Meter.

32:20.500 --> 32:25.600
Das Produkt hat also tatsächlich die Dimension Newton.

32:25.600 --> 32:31.560
Wir haben hier unsere erste Oberflächenkraft ausgerechnet.

32:32.440 --> 32:33.200
Jetzt sind Sie dran.

32:35.000 --> 32:36.240
Zwei Beispiele habe ich.

32:36.920 --> 32:42.580
Das linke hier, links oben, könnte so eine Art Staudamm sein.

32:42.840 --> 32:47.040
Also stellen Sie sich vor, hier ist noch irgendwie Wasser drauf.

32:48.520 --> 32:50.980
Na gut, dann wäre die Kraft oben 0, aber vielleicht haben wir da

32:50.980 --> 32:54.620
irgendwie noch ein bisschen höheren Wasserspiegel und haben dort nur

32:54.620 --> 32:55.420
diese Stange drin.

32:55.920 --> 32:58.140
Also hier ist die Wasseroberfläche.

32:59.020 --> 33:02.980
Dann wissen Sie vielleicht aus der Schulphysik noch, der Wasserdruck

33:02.980 --> 33:05.380
nimmt linear zu mit der Tiefe.

33:05.940 --> 33:08.920
Also immer größer, Sie kennen das, wenn Sie tauchen, je tiefer Sie

33:08.920 --> 33:12.260
tauchen, desto größer wird der Druck und presst sie zusammen.

33:13.000 --> 33:15.260
Dann haben wir also diesen linearen Verlauf.

33:15.600 --> 33:21.240
Natürlich hat dieser senkrechte Träger, hier dieses Holz, auch eine

33:21.240 --> 33:21.660
Tiefe.

33:22.440 --> 33:26.220
Also das könnte so eine Spundwand sein, die nach hinten weiter geht.

33:26.960 --> 33:32.820
Aber der gnädige Aufgabensteller hat Ihnen diese Tiefe erspart, hat

33:32.820 --> 33:35.040
also alles reduziert auf eine Streckenlast.

33:35.480 --> 33:38.640
Und in dieser Streckenlast ist der konstante Druck über die Tiefe,

33:39.220 --> 33:42.680
also nach hinten gehend, schon berücksichtigt.

33:43.100 --> 33:47.440
Sie müssen also nur noch die Streckenlast von Q1 nach Q2

33:47.440 --> 33:48.680
aufintegrieren.

33:50.240 --> 33:53.300
Unteres Beispiel, Ihr Bücherregal zu Hause.

33:53.860 --> 33:56.200
Da haben Sie sorgsam Ihre Bücher aufgestellt.

33:56.640 --> 34:00.440
Nehmen wir mal an, hier hätten auch alle Bücher die gleiche Tiefe.

34:01.180 --> 34:05.200
Und das Papier, das Sie verwenden, ist auch ungefähr gleich.

34:05.360 --> 34:08.780
Über die Decke reden wir jetzt gar nicht, sondern das wäre homogen

34:08.780 --> 34:09.440
verteilt.

34:10.080 --> 34:15.020
Dann können Sie auch die Dimension der Tiefe wieder vernachlässigen,

34:15.080 --> 34:17.340
wenn Sie das dem Q1 zuschlagen.

34:17.340 --> 34:20.940
Sie haben also aus dieser Oberflächenkraftdichte wieder eine

34:20.940 --> 34:24.860
Streckenlast, also eine Streckenkraftdichte, müsste man eigentlich

34:24.860 --> 34:25.600
sagen, machen.

34:26.580 --> 34:31.100
Jetzt haben Sie kleine Bücher in Ihrem Bücherregal und große Bücher.

34:31.880 --> 34:35.200
Und da Sie ein pedantischer Mensch sind, haben Sie alle kleinen Bücher

34:35.200 --> 34:38.780
zusammengestellt und alle großen Bücher, so wie das hier dargestellt

34:38.780 --> 34:38.980
ist.

34:39.060 --> 34:42.700
Dann haben Sie einen Sprung in dieser Streckenlast.

34:42.700 --> 34:47.800
Durch Aufintegration dieser Streckenlast erhalten Sie auch wieder eine

34:47.800 --> 34:48.800
Oberflächenkraft.

34:49.540 --> 34:54.360
Ihre Aufgabe, Sie dürfen gerne zusammenarbeiten, berechnen Sie für den

34:54.360 --> 35:00.800
oberen Fall Fs und berechnen Sie für den Fall hier unten Fs.

35:02.320 --> 35:05.720
Okay, fünf Minütchen dafür Zeit.

35:27.700 --> 35:31.880
Wenn Sie Fragen haben oder irgendwas nicht verstanden haben, melden

35:31.880 --> 35:34.820
Sie sich einfach, ich komme zu Ihnen hin und diskutiere mit Ihnen am

35:34.820 --> 35:35.960
Platz noch gerne weiter.

35:47.660 --> 35:48.280
So,

39:27.760 --> 39:30.880
jetzt verrate ich Ihnen ganz schnell die Auflösung des Rätsels.

39:30.880 --> 39:34.220
Erstens, keiner von Ihnen hat protestiert.

39:35.560 --> 39:41.040
Ich habe hier links einen Vektor geschrieben und rechts stehen ja

39:41.040 --> 39:42.180
eigentlich skalare Größen.

39:42.240 --> 39:43.560
Wo ist der Vektorpfeil geblieben?

39:44.160 --> 39:46.800
Hier muss noch ein Vektorpfeil rüber, da auch.

39:47.680 --> 39:49.100
Wie ist das Q0 beschaffen?

39:49.880 --> 39:55.020
Es ist vom Betrag her, dieses Q0, was hier eingezeichnet ist, von der

39:55.020 --> 39:57.540
Richtung zeigt es einfach senkrecht nach unten.

39:57.540 --> 40:05.380
Führen Sie ein Koordinatensystem ein, x, y und z, dann wäre das

40:05.380 --> 40:09.960
negativ zum Einheitsvektor in z-Richtung zeigend.

40:11.020 --> 40:16.440
Okay, so, jetzt können Sie das kompliziert integrieren mit so einem

40:16.440 --> 40:18.160
Integral, wie ich das hingeschrieben habe.

40:18.240 --> 40:21.820
Sie können sich aber auch daran erinnern, das Integral einer Funktion

40:21.820 --> 40:24.520
ist ja nichts anderes als die Fläche unter dem Graphen.

40:24.520 --> 40:27.840
Und diese Flächen, die sind ja hier ganz einfach gestaltet.

40:28.460 --> 40:34.440
Also das wäre hier, in dem unteren Beispiel, Bücherregal, Q1, dem

40:34.440 --> 40:48.860
geben wir jetzt auch ein Vektorpfeil, mal Länge b plus Q2 mal Länge c.

40:49.520 --> 40:52.060
Das wäre einfach dieses Rechteck.

40:52.880 --> 40:58.580
Einmal nehmen Sie den Betrag von Q1 mal der Länge b und dann den

40:58.580 --> 41:03.180
Betrag von Q2 mal der Länge c und addieren das beides aufeinander und

41:03.180 --> 41:05.480
machen noch Vektorpfeile drauf, dann haben Sie es.

41:05.480 --> 41:10.960
Und hier oben können Sie ganz ähnlich verfahren, wenn Sie, oh, da bin

41:10.960 --> 41:14.360
ich jetzt ein bisschen abgerutscht hier mit dem Stift, wenn Sie aus

41:14.360 --> 41:23.040
diesem linearen Verlauf A einen Rechteckverlauf machen und B einen

41:23.040 --> 41:27.800
dreiecksförmigen Verlauf, dann wissen Sie, Fläche eines Rechtecks ist

41:27.800 --> 41:32.840
Q1 mal Höhe h.

41:34.020 --> 41:37.880
Und für die Dreiecksfläche, die Ihnen dann noch übrig bleibt, kennen

41:37.880 --> 41:41.420
Sie die Formel Grundseite mal Höhe durch 2.

41:41.420 --> 41:48.240
Höhe haben wir h, Grundseite oder Höhe, je nachdem.

41:48.920 --> 42:00.770
Dann haben wir Q2 minus Q1 und das Ganze geteilt durch 2.

42:01.930 --> 42:07.210
Wenn Sie das so hinschreiben, in einer Klausur ist das natürlich alles

42:07.210 --> 42:09.850
richtig, aber der Korrektor freut sich darüber nicht.

42:10.250 --> 42:13.330
Der freut sich, wenn Sie alle Größen mit Q1 hinschreiben und alle mit

42:13.330 --> 42:13.850
Q2.

42:14.250 --> 42:23.350
Dann hätten wir also h halbe mal Q1 plus h halbe mal Q2.

42:23.690 --> 42:25.050
Das würde hier herauskommen.

42:25.050 --> 42:29.790
Also, jetzt wissen wir, was Oberflächenkräfte sind.

42:30.250 --> 42:33.070
Wir wissen, was Volumenkräfte sind, wenn wir uns auf die Waage

42:33.070 --> 42:33.430
stellen.

42:33.770 --> 42:36.050
Wir wollen jetzt Kräfte zusammenaddieren.

42:36.410 --> 42:40.330
Egal ob Oberflächenkräfte oder Volumenkräfte, wir wollen einfach

42:40.330 --> 42:42.430
mehrere Kräfte zusammenaddieren.

42:43.370 --> 42:47.170
Und dazu erinnern wir uns daran, dass Kräfte ja hier nichts anderes

42:47.170 --> 42:48.270
sind als Vektoren.

42:50.010 --> 42:54.750
Und so einen Vektor kann ich ganz einfach darstellen in kathesischen

42:54.750 --> 42:55.490
Koordinaten.

42:55.490 --> 43:02.450
Ich habe hier meine drei Richtungen, x, y und z.

43:03.270 --> 43:08.050
Und hier etwas versteckt dargestellt, die Einheitsvektoren, die

43:08.050 --> 43:14.430
Basisvektoren meines Koordinatensystems Ex, Ey und Ez, jeweils in die

43:14.430 --> 43:17.490
drei Richtungen meines Koordinatensystems gezeichnet.

43:17.490 --> 43:28.590
Jetzt können Sie den Vektor f zerlegen in fx, fy und fz, wie jeden

43:28.590 --> 43:31.490
beliebigen dreidimensionalen Vektor auch.

43:32.050 --> 43:37.810
Und darunter können wir verstehen die Schreibweise fx mal Basisvektor

43:37.810 --> 43:47.290
Ex plus fy mal Basisvektor Ey plus fz mal Basisvektor Ez.

43:47.490 --> 43:54.710
Die Sprechweise ist, fx, fy und fz sind die Koordinaten, also hier

43:54.710 --> 43:57.310
steht der Koordinatenvektor.

44:01.690 --> 44:06.430
Und das bezeichnet man hier, dieses Produkt, als die Komponenten.

44:11.260 --> 44:15.560
Und dann können wir noch den Betrag eines Vektors bilden.

44:19.100 --> 44:31.400
Also nach Euclid fx² plus fy² plus fz² rechnet man das aus, indem man

44:31.400 --> 44:35.300
das Quadrat nimmt und alle Quadrate aufeinander addiert.

44:36.060 --> 44:42.420
Und die Einheit der Kraft ist das Newton, also Einheit Newton.

44:44.620 --> 44:49.600
Dann haben wir die Kraft als Vektor vollständig charakterisiert, also

44:49.600 --> 44:53.920
entweder durch die drei Koordinaten, durch Betrag und Richtung, wie

44:53.920 --> 44:54.600
Sie möchten.

44:54.600 --> 44:59.300
Oder in Komponentenschreibweise, wenn Sie entsprechende Basen haben.

45:00.560 --> 45:04.980
Jetzt, wie addieren wir zwei Kräfte zusammen?

45:05.580 --> 45:11.920
Also, eine Kraft f1 gegeben durch f1,x.

45:25.440 --> 45:41.180
Und eine zweite Kraft f2 gegeben durch f2,x plus f2,y plus f2,z.

45:43.580 --> 45:51.960
Jetzt bilden wir die sogenannte resultierende Kraft, R gleich f1 plus

45:51.960 --> 45:52.540
f2.

45:52.840 --> 45:57.840
Und das geht genauso, wie Sie in der Mathematik zwei Vektoren zusammen

45:57.840 --> 45:58.280
addieren.

45:58.760 --> 45:59.600
Null Problemo.

46:01.260 --> 46:06.220
Das Einzige, woran Sie denken müssen, daran denkt man in der Statik

46:06.220 --> 46:09.780
noch relativ häufig, aber in der Dynamik manchmal nicht so häufig, Sie

46:09.780 --> 46:13.220
müssen beide Vektoren natürlich im gleichen Koordinatensystem

46:13.220 --> 46:13.780
darstellen.

46:13.780 --> 46:16.920
Also, die Basisvektoren sind die gleichen.

46:18.840 --> 46:19.260
Hier.

46:20.400 --> 46:24.540
Dann können Sie einfach die Koordinaten zusammen addieren und fertig

46:24.540 --> 46:25.340
ist die Geschichte.

46:25.340 --> 46:41.100
Also, das Ergebnis ist f1,x plus f2,x mal Basisvektor ix plus f2,y

46:41.100 --> 46:42.960
plus f1,y.

46:43.060 --> 46:46.560
Da ist mir jetzt erst die 2 rausgerutscht, aber die Reihenfolge spielt

46:46.560 --> 46:47.240
ja keine Rolle.

46:47.240 --> 46:56.460
Plus f1,z plus f2,z mal iz.

46:57.600 --> 47:03.920
Und wenn Sie lieber ein Freund der Koordinatenschreibweise sind, dann

47:03.920 --> 47:07.460
schreiben Sie sich eben das Ganze so auf.

47:07.460 --> 47:12.180
f1,x plus f2,x.

47:12.860 --> 47:18.500
f1,y plus f2,y.

47:19.120 --> 47:25.280
f1,z plus f2,z.

47:26.600 --> 47:27.080
Okay?

47:28.840 --> 47:29.520
Bingo.

47:29.520 --> 47:32.940
Und wenn Sie jetzt nicht nur 2 Vektoren zusammen addieren wollen,

47:33.040 --> 47:36.700
sondern Sie wollen 10, 20, 30 oder 100 Vektoren zusammen addieren,

47:37.280 --> 47:39.040
geht das ganz genauso.

47:40.120 --> 47:44.160
In jedem Eintrag steht immer die Summe aller Koordinaten.

47:44.560 --> 47:48.520
Bei der ersten Komponente die der x-Koordinaten, in der zweiten die

47:48.520 --> 47:51.940
der y-Koordinaten und in der dritten die der z-Koordinaten.

47:51.940 --> 47:55.720
Vorausgesetzt, Sie verwenden immer das gleiche Koordinatensystem,

47:56.180 --> 47:58.320
sonst kommt nur Unsinn heraus.

48:00.160 --> 48:05.780
Okay, also ich denke, das fällt Ihnen nicht schwer, Kräfte zusammen zu

48:05.780 --> 48:06.160
addieren.

48:06.340 --> 48:07.780
Das haben wir schon auf der Folie gemacht.

48:07.900 --> 48:11.380
Jetzt sehen wir hier ein paar nette Anwendungsbeispiele.

48:12.000 --> 48:13.880
Schauen wir uns den Fall in der Mitte an.

48:14.880 --> 48:24.820
Also, 2 Vektoren, einer FA hier, der andere FB dort.

48:25.520 --> 48:29.800
Wir können die auch geometrisch zusammen addieren, das sogenannte

48:29.800 --> 48:31.200
Kräfte -Parallelogramm.

48:31.200 --> 48:38.980
Wir nehmen diesen Vektor, legen den hier wieder an und erhalten dann

48:38.980 --> 48:48.220
den resultierenden Vektor FC vom Ende der ersten Kraft zur Spitze der

48:48.220 --> 48:49.300
zweiten Kraft.

48:50.400 --> 48:52.320
Kräfte-Parallelogramm.

48:52.500 --> 48:54.320
Schauen wir uns die Sachen hier unten mal an.

48:54.320 --> 48:56.100
Also, rechts.

48:56.540 --> 48:57.200
Können Sie was sehen?

48:57.340 --> 48:58.960
Soll ich das Licht wieder ein bisschen ausschalten?

48:59.580 --> 49:00.040
Ja?

49:00.440 --> 49:00.620
Okay.

49:05.220 --> 49:07.440
Also, schauen wir uns das hier unten an.

49:07.980 --> 49:08.760
Dieses Bildchen.

49:10.140 --> 49:11.180
Was ist da los?

49:12.340 --> 49:18.220
Da ist irgendwas mit 1, 2, 3, 4 Seilen gespannt.

49:18.480 --> 49:19.580
Wir wissen nicht, was es ist.

49:19.660 --> 49:23.300
Wir wissen nur, die Seile sind ziemlich straff gespannt, übertragen

49:23.300 --> 49:24.280
also 4 Kräfte.

49:25.180 --> 49:29.700
Diese 4 Kräfte können Sie jetzt zusammen addieren zu einer einzigen

49:29.700 --> 49:30.880
resultierenden Kraft.

49:31.060 --> 49:34.340
Die würde wahrscheinlich ungefähr so verlaufen und lang und immer

49:34.340 --> 49:34.980
länger sein.

49:35.880 --> 49:40.620
Und das ist die Kraft, die auf diesen Steg hier wirkt und letztlich

49:40.620 --> 49:44.900
auch auf diesen Stein oder was auch immer das ist oder irgendwas in

49:44.900 --> 49:47.260
Beton vergossen, jedenfalls auf dieses Fundament.

49:47.260 --> 49:51.800
Und diese Kraft ist eventuell dafür verantwortlich, dass Ihnen der

49:51.800 --> 49:58.280
Steg hier durchreißt oder der Steg aus dem Fundament rausreißt oder

49:58.280 --> 50:01.100
das Fundament aus der Erde rausgerissen wird und so weiter.

50:01.560 --> 50:03.400
Das ist die resultierende Kraft.

50:04.500 --> 50:05.140
Genauso hier.

50:06.480 --> 50:10.420
Sowas hat man in den schön überdachten Einkaufsstraßen immer wieder

50:10.420 --> 50:10.740
mal.

50:10.740 --> 50:14.380
Hier haben wir eine etwas ältere Konstruktion, also Sie haben hier

50:14.380 --> 50:14.700
Ketten.

50:17.540 --> 50:19.720
Eins, zwei, drei.

50:20.180 --> 50:23.820
Und mit diesen Ketten wird dieses überstehende Dach festgehalten.

50:24.260 --> 50:28.260
Natürlich übertragen wir auch dort 3 Kräfte und es wirkt auf diese

50:28.260 --> 50:29.880
Häuserecke eine Gesamtkraft.

50:29.980 --> 50:34.020
Die resultierenden dieser 3 Kräfte, die können Sie ausrechnen, kommt

50:34.020 --> 50:36.600
Ihnen also irgendwie so schräg über die Ecke entgegen.

50:36.600 --> 50:40.800
Und Größe können Sie auch ausrechnen und ist dafür verantwortlich,

50:41.220 --> 50:46.580
wenn hier das Gebäude mal anfängt an dieser Stelle zu bröckeln oder zu

50:46.580 --> 50:46.960
reißen.

50:47.200 --> 50:49.700
Also das geht dann so los, hier ist es auch sogar ein bisschen

50:49.700 --> 50:50.980
angedeutet, hier schon.

50:52.320 --> 50:55.480
Dass in diesem Mauerstein, hier sehen Sie diese Stelle, ich kann die

50:55.480 --> 50:56.660
leider nicht so gut markieren.

50:57.140 --> 51:01.000
Also dass in diesem Mauerstein sich Risse bilden und dieser Riss sich

51:01.000 --> 51:04.840
immer weiter fortsetzt und dann muss die Wand geklammert werden.

51:04.920 --> 51:08.160
Mit so einer großen Metallklammer sieht man auch an einigen Gebäuden.

51:08.740 --> 51:11.020
Jetzt sollen Sie auch wieder ein bisschen was zu tun haben.

51:12.680 --> 51:18.680
Linke Aufgabe, hier oben, Bauer Ernst und Bauer Willi haben sich

51:18.680 --> 51:22.980
geeinigt, mit ihrem Traktor diesen Baumstamm aus dem Wald zu ziehen.

51:24.320 --> 51:27.100
Machen Sie das geschickt oder machen Sie das ungeschickt.

51:27.500 --> 51:33.400
Schauen Sie mal, ob dabei eine Kraft auftritt, die quer, also nicht

51:33.400 --> 51:37.260
längs in X-Richtung wirkt, sondern quer in Y-Richtung wirkt.

51:39.380 --> 51:41.460
FY, gleich Fragezeichen.

51:42.060 --> 51:44.580
Die Querkomponente dieser Kraft, wie groß ist die?

51:45.420 --> 51:50.580
Und auf der rechten Seite, Karl und Egon ziehen dort an ihrem Boot.

51:51.280 --> 51:58.160
Sie wollen das Boot praktisch zum Ufer ziehen, in Richtung der Kraft

51:58.160 --> 51:58.540
F.

51:58.900 --> 52:02.420
Also die Kraft F, Gesamtkraft, soll sich einstellen.

52:03.840 --> 52:08.960
P und T, nehmen wir mal an, die Kraft T ist noch gegeben, rechnen Sie

52:08.960 --> 52:12.280
die Kraft P aus, nach Betrag und Richtung.

52:13.280 --> 52:18.480
Also, T, F gegeben,

52:22.030 --> 52:24.950
P gesucht.

52:27.190 --> 52:29.170
So, bittesehen.

52:29.390 --> 52:31.110
Sie dürfen jetzt etwas rechnen.

52:33.350 --> 52:34.270
Wir

57:11.160 --> 57:15.080
starten jetzt schnell die Auflösung des Rätsels.

57:16.700 --> 57:22.060
Im ersten Beispiel suchen wir die resultierende Kraft in Y-Richtung,

57:22.540 --> 57:23.880
dort lang.

57:27.460 --> 57:37.980
FY, dazu nehmen wir den Betrag von F A und multiplizieren den mit

57:37.980 --> 57:39.660
einer trigonometrischen Funktion.

57:41.780 --> 57:44.460
Welche trigonometrische Funktion ist das?

57:45.840 --> 57:50.880
Das ist der Sinus, Sinus Alpha.

57:53.400 --> 57:58.540
Und addieren dazu F B, ebenfalls mit dem Sinus von Theta.

58:01.080 --> 58:03.600
Aber wir beachten das Vorzeichen.

58:04.820 --> 58:08.960
Kraft F B zeigt entgegengesetzt zur Y-Richtung.

58:11.140 --> 58:12.740
Ja, es ist so.

58:14.440 --> 58:15.780
Also ein negatives Vorzeichen.

58:16.260 --> 58:20.840
FY ist gleich F A Sinus Alpha minus F B Sinus Theta.

58:20.840 --> 58:23.000
Wann ist diese Kraft gleich Null?

58:23.460 --> 58:29.900
Wenn beide Bauern mit der gleichen Kraft F A und F B ziehen und die

58:29.900 --> 58:34.140
Winkel genau gleich groß sind, aber eben so entgegengesetzt

58:34.140 --> 58:34.920
aufgeteilt.

58:35.300 --> 58:38.540
Oder wenn sie im richtigen Verhältnis ziehen.

58:38.660 --> 58:50.540
Das heißt, wenn F A Sinus Alpha gleich F B Sinus Theta ist, die also

58:50.540 --> 58:54.780
nicht im gleichen Winkel den Stamm wegziehen, aber dafür auch die

58:54.780 --> 58:57.020
Kräfte entsprechend unterschiedlich groß sind.

58:57.620 --> 59:00.420
Dann wird diese Querkraft FY gleich Null.

59:00.520 --> 59:03.920
Die müssen also nicht in jedem Fall mit der gleichen Kraft an dem

59:03.920 --> 59:04.880
Baumstamm ziehen.

59:05.200 --> 59:06.280
Haben wir gelernt.

59:07.880 --> 59:09.780
Zweite Aufgabe ein bisschen kniffliger.

59:10.240 --> 59:12.560
Außerdem habe ich sie Ihnen nicht komplett hingeschrieben.

59:13.140 --> 59:17.540
Wir suchen P. Können wir als vektorielle Größe suchen in der Ebene.

59:17.540 --> 59:20.380
Dann ist P charakterisiert durch den Betrag.

59:21.000 --> 59:25.080
Also, wenn wir das hier als einen Vektor uns anschauen, dann ist das

59:25.080 --> 59:29.480
durch den Betrag P charakterisiert und durch den Winkel Theta.

59:29.860 --> 59:31.360
Zwei Größen können wir suchen.

59:32.180 --> 59:35.920
Wenn wir zwei Größen suchen, brauchen wir auch zwei Gleichungen für

59:35.920 --> 59:36.820
zwei Unbekannte.

59:37.480 --> 59:39.460
Dann ist der Mathematiker glücklich.

59:40.100 --> 59:41.740
Wir schreiben uns das Ganze so hin.

59:42.000 --> 59:43.220
Sie können das auch anders machen.

59:43.340 --> 59:45.180
Vielleicht haben Sie einen anderen Lösungsweg gefunden.

59:45.180 --> 59:47.440
F ist die resultierende Kraft.

59:49.260 --> 59:53.420
Die hat nur einen Anteil in X-Richtung und der Anteil in Y-Richtung

59:53.420 --> 59:53.900
ist 0.

59:55.200 --> 59:59.860
Die resultierende Kraft ergibt sich durch Addition der beiden Kräfte P

59:59.860 --> 01:00:00.380
und T.

01:00:01.040 --> 01:00:02.400
Jetzt addieren wir die mal zusammen.

01:00:02.860 --> 01:00:06.240
Addieren wir die X-Koordinaten alle zusammen und addieren die Y

01:00:06.240 --> 01:00:07.680
-Koordinaten alle zusammen.

01:00:08.560 --> 01:00:09.840
X-Koordinaten.

01:00:10.820 --> 01:00:16.100
Betrag der Kraft P mal Winkel, Sie sagten es schon, Sinus.

01:00:17.240 --> 01:00:17.480
Oder?

01:00:20.420 --> 01:00:22.240
Sagten Sie doch eben Sinus.

01:00:24.240 --> 01:00:27.220
Hier ist es, der Cosinus.

01:00:29.580 --> 01:00:30.420
T.

01:00:36.310 --> 01:00:37.630
Cosinus Alpha.

01:00:39.790 --> 01:00:41.650
Plus oder Minus dazwischen?

01:00:44.370 --> 01:00:45.810
Plus, jawohl.

01:00:46.710 --> 01:00:49.210
Denn die zeigen beide in die gleiche Richtung.

01:00:51.310 --> 01:00:57.070
Y-Koordinate, Querrichtung, also das, was das Boot sozusagen abtreibt

01:00:57.070 --> 01:01:07.850
von dieser Stelle, ist P mal Sinus Theta minus T Cosinus Alpha.

01:01:10.010 --> 01:01:12.150
Zwei Gleichungen für zwei Unbekannte.

01:01:14.330 --> 01:01:19.550
Einmal für das unbekannte Theta und einmal für das unbekannte P. Das

01:01:19.550 --> 01:01:23.250
Einzige, was hier bei etwas unangenehm ist, die Gleichungen sind nicht

01:01:23.250 --> 01:01:25.470
linear, sondern sie sind nicht linear.

01:01:26.930 --> 01:01:29.030
Wie kann man sich dort behelfen?

01:01:32.110 --> 01:01:35.310
Naja, das eine ist der Betrag, das andere ist die Richtung.

01:01:36.390 --> 01:01:40.570
Also man arbeitet hier mit dem trigonometrischen Pythagoras.

01:01:41.830 --> 01:01:45.550
Man multipliziert eine Gleichung beispielsweise mit Cosinus Theta, die

01:01:45.550 --> 01:01:49.190
andere mit Sinus Theta, addiert das aufeinander und kann das so

01:01:49.190 --> 01:01:49.470
auflösen.

01:01:49.470 --> 01:01:53.430
Oder man arbeitet mit dem Tangens und nimmt den Arcus Tangens als

01:01:53.430 --> 01:01:53.790
Winkel.

01:01:54.170 --> 01:01:57.870
Man berechnet praktisch nicht Theta, sondern zunächst den Tangens von

01:01:57.870 --> 01:02:01.330
Theta, indem man die beiden Gleichungen durcheinander dividiert.

01:02:01.870 --> 01:02:05.630
Also, sie berechnen sich dann aus dem Tangens von Theta den Arcus

01:02:05.630 --> 01:02:08.170
Tangens und müssen dann noch aufpassen, dass sie in richtigen

01:02:08.170 --> 01:02:09.350
Quadranten landen.

01:02:10.110 --> 01:02:11.190
So viel dazu.

01:02:11.430 --> 01:02:14.930
Jetzt haben wir aber noch ein wichtiges Thema und das ist das Moment.

01:02:16.870 --> 01:02:19.730
Dazu ein kleiner Ausflug in die Geschichte.

01:02:22.210 --> 01:02:26.350
So sahen sie aus, die Fitnessstudios vor 500 Jahren.

01:02:27.330 --> 01:02:32.250
Also, es geht um den Bergbau hier z.B.

01:02:32.910 --> 01:02:36.270
aus dem Schwarzer Berghof.

01:02:38.050 --> 01:02:39.590
Was ist dort zu sehen?

01:02:40.290 --> 01:02:44.290
Das sind Leute, die sich unheimlich abschuften mussten.

01:02:46.250 --> 01:02:50.910
Im linken Beispiel, um irgendetwas, häufig war es nur das Grubenwasser

01:02:50.910 --> 01:02:52.430
aus der Grube zu befördern.

01:02:52.610 --> 01:02:57.190
Also, hier haben sie irgendwas in dem Eimer, Erzwasser oder was auch

01:02:57.190 --> 01:02:59.730
immer und hier die beiden Leute drehen da dran.

01:03:01.390 --> 01:03:04.690
Rechtes Beispiel ist gar nicht so einfach zu durchschauen.

01:03:06.510 --> 01:03:11.990
Da haben sie schon die gesamte Ingenieurkunst vor knapp 500 Jahren,

01:03:12.150 --> 01:03:13.910
also Spätmittelalter, frühe Neuzeit.

01:03:14.890 --> 01:03:16.010
Was sehen sie denn da oben?

01:03:16.090 --> 01:03:21.130
Da sehen sie eine Welle und hier ist schon ein Ritzel drauf.

01:03:21.250 --> 01:03:25.370
Und hier haben sie das Großrad mit den Zähnen.

01:03:26.730 --> 01:03:30.910
Also, so sahen damals die ersten Zahnräder aus, aus Holz gefertigt.

01:03:30.910 --> 01:03:32.950
So, und was machen die beiden da?

01:03:33.830 --> 01:03:38.290
Die laufen ganz munter auf diesem Laufrad, wie der Hamster an seinem

01:03:38.290 --> 01:03:38.810
Laufrad.

01:03:40.470 --> 01:03:43.310
Wenn sie vielleicht das erste Mal hinschauen, werden sie sagen, das

01:03:43.310 --> 01:03:44.310
kann doch gar nicht gehen.

01:03:45.210 --> 01:03:46.050
Wie machen die das?

01:03:46.150 --> 01:03:50.590
Die stehen da auf diesem Laufrad, das Laufrad ist an der senkrechten

01:03:50.590 --> 01:03:52.470
Welle befestigt und soll sich drehen.

01:03:53.230 --> 01:03:55.970
Der Witz an der Sache ist, die halten sich hier an der Stange fest,

01:03:55.970 --> 01:03:59.390
wie sie, wenn sie im Fitnessstudio auf dem Laufband stehen und diese

01:03:59.390 --> 01:04:01.970
Stange ist außen befestigt, an der Umgebung.

01:04:02.670 --> 01:04:06.470
Hier, an dieser Umgebung ist das befestigt, sonst würde das nicht

01:04:06.470 --> 01:04:06.690
gehen.

01:04:06.750 --> 01:04:10.370
Die ist etwa nicht mitten an der Welle befestigt, da hat hier der

01:04:10.370 --> 01:04:13.630
Zeichner auch nicht so ganz sauber gearbeitet.

01:04:13.810 --> 01:04:17.070
Also hier ist keine Befestigung, sonst geht das Ganze nicht.

01:04:17.490 --> 01:04:21.070
Die halten sich also an der Stange weg und treten diesen Boden immer

01:04:21.070 --> 01:04:23.310
weg von sich, das heißt, der rotiert immer.

01:04:24.030 --> 01:04:26.570
Was ich Ihnen zeigen möchte, ist Folgendes.

01:04:27.890 --> 01:04:30.190
Da entstehen Kräftepaare die ganze Zeit.

01:04:30.650 --> 01:04:34.250
Ich zeichne Ihnen mal ein Kräftepaar ein und Sie können zu Hause nach

01:04:34.250 --> 01:04:35.750
noch mehr Kräftepaaren suchen.

01:04:36.490 --> 01:04:38.750
Kraft 1 und Kraft 2.

01:04:40.050 --> 01:04:44.190
Und diese Kräftepaare, die sind genau entgegengesetzt gerichtet.

01:04:44.930 --> 01:04:49.090
Jetzt stellen wir uns mal vor, die beiden Leute wären gleich stark,

01:04:49.850 --> 01:04:52.710
gleich kräftig, diese beiden Kräfte wären gleich groß.

01:04:54.310 --> 01:05:01.630
Nennen wir die F1 und die Kraft nennen wir F2, die beiden roten

01:05:01.630 --> 01:05:02.030
Kräfte.

01:05:02.410 --> 01:05:03.370
Was wäre dann los?

01:05:04.310 --> 01:05:13.930
Betrag von F1 soll sein gleich Betrag von F2, aber die sind

01:05:13.930 --> 01:05:15.270
entgegengesetzt gerichtet.

01:05:16.210 --> 01:05:22.970
Das heißt, F2 ist gleich Minus, hier natürlich kein

01:05:22.970 --> 01:05:24.790
Gleichheitszeichen, Minus F1.

01:05:25.110 --> 01:05:28.510
Und jetzt addieren wir die beiden Kräfte mal zusammen und bilden die

01:05:28.510 --> 01:05:29.570
resultierende Kraft.

01:05:31.070 --> 01:05:45.030
Resultierende Kraft ist F1 plus F2 ist gleich F1 minus F1 ist gleich

01:05:45.030 --> 01:05:45.290
0.

01:05:46.710 --> 01:05:48.310
Das heißt, da passiert ja gar nichts.

01:05:48.910 --> 01:05:50.270
Kommt doch aus der Rechnung raus.

01:05:51.590 --> 01:05:53.490
Ja, strampeln die sich da umsonst ab?

01:05:53.610 --> 01:05:54.830
Passiert ja wirklich nichts?

01:05:55.470 --> 01:05:59.870
Na klar, Sie wissen das aus der Anschauung, da muss was passieren.

01:06:00.510 --> 01:06:03.550
Jeder von Ihnen weiß das, wenn er einen Korkenzieher in die Hand

01:06:03.550 --> 01:06:03.810
nimmt.

01:06:04.370 --> 01:06:07.290
Sie können an den beiden Enden des Korkenziehers jeweils

01:06:07.290 --> 01:06:09.090
entgegengesetzt Kraft aufbringen.

01:06:09.510 --> 01:06:13.030
Oder wenn er irgendein Handrad von einer Pumpe mal gedreht hat, Sie

01:06:13.030 --> 01:06:15.810
können die Kraft in die entgegengesetzte Richtung aufbringen.

01:06:16.030 --> 01:06:19.950
Gleich groß und es verbleibt eine Wirkung, nämlich eine drehende

01:06:19.950 --> 01:06:20.410
Wirkung.

01:06:20.410 --> 01:06:25.070
Und diese drehende Wirkung wird offenbar durch das Moment beschrieben.

01:06:26.450 --> 01:06:32.310
Also, ein Kräftepaar, gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet,

01:06:32.850 --> 01:06:34.370
erzeugt einen Moment.

01:06:34.970 --> 01:06:37.790
So kann man sich das Ganze zunächst einmal anschaulich vorstellen.

01:06:38.830 --> 01:06:42.170
So, jetzt kann ich das Kräftepaar, wie hier links in dem Beispiel

01:06:42.170 --> 01:06:46.530
gezeigt an diesem Handrad, in unterschiedlicher Entfernung anbringen.

01:06:47.850 --> 01:06:52.650
Und wir wissen alle, wo geht das besser, wo geht das nicht so gut.

01:06:53.710 --> 01:06:57.030
In dem linken Beispiel, wenn wir möglichst weit außen angreifen,

01:06:57.910 --> 01:06:59.990
müssen wir möglichst wenig Kraft aufbringen.

01:07:00.670 --> 01:07:04.950
Im rechten Fall müssen wir für die gleiche drehende Wirkung wesentlich

01:07:04.950 --> 01:07:06.810
größere Kräfte aufbringen.

01:07:06.990 --> 01:07:10.570
Also das Ganze hängt von dem Hebelarm ab.

01:07:12.150 --> 01:07:14.390
Das ist der Abstand zwischen diesen beiden Kräften.

01:07:14.390 --> 01:07:21.090
Und wenn wir uns hier noch die Mitte nehmen, dann ist, je weiter die

01:07:21.090 --> 01:07:24.050
Kräfte außen liegen, der Hebelarm umso größer.

01:07:24.390 --> 01:07:29.070
Und je größer wird die drehende Wirkung, also die dynamische Wirkung

01:07:29.070 --> 01:07:31.090
dieses Kräftepaares.

01:07:32.890 --> 01:07:36.050
Und so definiert man das Moment zunächst einmal anschaulich.

01:07:36.130 --> 01:07:38.670
Und vielleicht haben Sie es so auch in der Schulphysik kennengelernt.

01:07:38.670 --> 01:07:44.650
Moment eines Kräftepaares als das Produkt aus der Kraft F mal dem

01:07:44.650 --> 01:07:45.850
kürzesten Abstand.

01:07:46.210 --> 01:07:50.250
Kürzester Abstand zwischen den beiden Wirkungslinien, Richtungen

01:07:50.250 --> 01:07:57.270
dieser Kraft F, ist hier der Abstand, wo ich gerade einen rechten

01:07:57.270 --> 01:07:58.810
Winkel erhalte.

01:08:00.690 --> 01:08:03.390
Und dann gibt es noch eine Vorzeichenkonvention.

01:08:04.250 --> 01:08:07.010
Positives Moment wollen wir immer dann haben, wenn wir in Gegen

01:08:07.010 --> 01:08:08.230
-Uhrzeigersinn drehen.

01:08:08.890 --> 01:08:10.630
Gegen-Uhrzeigersinn ist der hier.

01:08:11.330 --> 01:08:12.930
Moment, das ist der Uhrzeigersinn.

01:08:15.570 --> 01:08:16.610
Also, negativ.

01:08:17.430 --> 01:08:18.630
Jetzt komme ich hier schon so.

01:08:20.970 --> 01:08:22.890
Gestern haben wir alle die Uhren umgestellt.

01:08:23.050 --> 01:08:27.450
Das ist der positive Drehsinn, also Gegen-Uhrzeigersinn.

01:08:27.450 --> 01:08:29.730
Den benutzen die Mathematiker immer gern.

01:08:29.950 --> 01:08:31.750
Da geht alles gegen den Uhrzeigersinn.

01:08:32.170 --> 01:08:35.510
Positiv im Uhrzeigersinn drehen, negativ.

01:08:35.770 --> 01:08:35.910
Okay?

01:08:37.250 --> 01:08:37.630
So.

01:08:38.250 --> 01:08:40.370
Das ist zwar schön und gut.

01:08:41.710 --> 01:08:46.490
Aber jetzt müssen wir dieses Konzept des Moments wieder zurückführen

01:08:46.490 --> 01:08:50.630
auf unser Konzept von Kraftdichten.

01:08:50.730 --> 01:08:53.930
Von Oberflächenkraftdichten und Volumenkraftdichten.

01:08:53.930 --> 01:08:58.210
Wir müssen dieses Moment wieder über die Kraftdichten einführen.

01:08:58.830 --> 01:09:04.330
Und das erste ist, wir überlegen uns erst einmal, was soll uns diese

01:09:04.330 --> 01:09:09.410
Vorzeichenkonvention sagen und was soll uns dieser kürzeste Abstand,

01:09:09.590 --> 01:09:10.650
dieser Hebelarm sagen.

01:09:10.970 --> 01:09:12.990
Wie können wir das mathematisch formalisieren?

01:09:14.370 --> 01:09:18.130
Mathematisch sind diese Kräfte ja einfach nur Vektoren.

01:09:19.130 --> 01:09:24.430
Und wir brauchen also etwas, das uns als Ergebnis in einem Produkt

01:09:24.430 --> 01:09:27.050
etwas liefert.

01:09:27.850 --> 01:09:34.330
Hebelarm mal Kraft, dann maximal, wenn diese beiden senkrecht

01:09:34.330 --> 01:09:41.430
aufeinander stehen und im Uhrzeigersinn negativ drehend gegen den

01:09:41.430 --> 01:09:43.570
Uhrzeigersinn positiv drehend.

01:09:43.570 --> 01:09:52.370
Also, wir machen aus dieser Strecke hier einen Vektor, einen

01:09:52.370 --> 01:09:57.610
Ortsvektor, von irgendeinem Angriffspunkt, den wir uns denken, dieses

01:09:57.610 --> 01:10:00.110
Moments, hin zu der Kraft selbst.

01:10:02.170 --> 01:10:09.670
Nennen den meinetwegen R, haben hier den Kraftvektor F und definieren

01:10:09.670 --> 01:10:20.910
mathematisch einen Moment als Ortsvektor mal Kraft.

01:10:21.430 --> 01:10:26.870
Und verwenden dazu eine Vektoroperation, nämlich das Vektorprodukt,

01:10:27.210 --> 01:10:29.410
das Sie aus der Mathematik kennen.

01:10:30.310 --> 01:10:35.430
So wird jetzt rein mathematisch das Moment eingeführt als vektorielle

01:10:35.430 --> 01:10:35.850
Größe.

01:10:35.850 --> 01:10:39.970
Jetzt müssen wir noch einen kleinen Schritt zurückspringen, nämlich zu

01:10:39.970 --> 01:10:42.830
unseren Oberflächenkraftdichten und Volumenkraftdichten.

01:10:43.450 --> 01:10:45.210
Das machen wir auf der nächsten Folie.

01:10:46.590 --> 01:10:48.470
Zack, da haben wir wieder die Situation.

01:10:49.670 --> 01:10:56.250
Also, wir wollen berechnen das Moment in einem Punkt Q, diesen Punkt

01:10:56.250 --> 01:10:56.550
hier.

01:10:58.070 --> 01:10:59.150
Und das machen wir so.

01:11:00.510 --> 01:11:06.690
Wir betrachten zunächst einmal nur eine Oberflächenkraftdichte auf der

01:11:06.690 --> 01:11:08.810
Oberfläche des Körpers definiert.

01:11:09.550 --> 01:11:22.310
Nehmen den Ortsvektor R-RQ, das ist der Vektor von dem Punkt Q hin zu

01:11:22.310 --> 01:11:27.570
dem Punkt auf der Oberfläche und multiplizieren das mit der dort

01:11:27.570 --> 01:11:29.670
herrschenden Kraftdichte.

01:11:30.250 --> 01:11:33.810
Und das summieren wir über die gesamte Fläche auf.

01:11:36.490 --> 01:11:42.930
So erhalten wir ein Moment einer Oberflächenkraftdichte.

01:11:43.470 --> 01:11:47.090
Was mit der Oberfläche ging, geht natürlich genauso gut mit dem

01:11:47.090 --> 01:11:47.490
Volumen.

01:11:47.490 --> 01:11:51.610
Also wir können auch ein Moment einer Volumenkraftdichte definieren.

01:11:55.110 --> 01:12:02.270
Dazu betrachten wir wieder den Ortsvektor hin zu einem beliebigen

01:12:02.270 --> 01:12:05.130
materiellen Punkt im Innern des Körpers.

01:12:06.610 --> 01:12:10.610
R-RQ, oh, ich habe etwas ganz wichtiges vergessen, dazwischen herrscht

01:12:10.610 --> 01:12:12.390
das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren.

01:12:13.630 --> 01:12:18.410
Wenden hier wieder das Kreuzprodukt an auf die dort herrschende

01:12:18.410 --> 01:12:24.290
Volumenkraftdichte FV und summieren das alles auf über den gesamten

01:12:24.290 --> 01:12:24.990
Körper.

01:12:26.010 --> 01:12:30.110
Und das ist das Moment der Volumenkraftdichte.

01:12:31.230 --> 01:12:35.150
Bezogen auf den Punkt Q, hier oben auch, müssen Sie das auf den Punkt

01:12:35.150 --> 01:12:36.150
Q beziehen.

01:12:38.110 --> 01:12:42.230
Und jetzt können Sie die beiden Größen wieder zusammenaddieren.

01:12:42.950 --> 01:12:54.770
Also M, das Moment, das im Punkt Q herrscht, ist Moment Ihrer

01:12:54.770 --> 01:13:01.390
Oberflächenkraftdichte plus Moment Ihrer Volumenkraftdichte.

01:13:03.170 --> 01:13:06.130
So wird das Ganze eingeführt.

01:13:07.170 --> 01:13:10.730
Jetzt sehen Sie etwas Neues, was Sie bei der Kraft noch nicht hatten.

01:13:11.270 --> 01:13:14.010
Dieses Moment ist abhängig von dem Bezugspunkt Q.

01:13:16.550 --> 01:13:24.430
Stellen Sie sich vor, ich nehme einen anderen Punkt, P. Und ich

01:13:24.430 --> 01:13:28.890
berechne das Moment in Punkt P. Dann ist es ein anderes Moment als das

01:13:28.890 --> 01:13:29.850
Moment in Punkt Q.

01:13:29.850 --> 01:13:32.810
Da können Sie nicht davon ausgehen, dass das das Gleiche ist.

01:13:33.270 --> 01:13:35.890
Klaro, die ganzen Ortsvektoren sind ja andere.

01:13:36.590 --> 01:13:43.230
Sie müssten jetzt ausgehend von irgendeinem raumfesten Punkt diesen

01:13:43.230 --> 01:13:46.210
Ortsvektor betrachten.

01:13:46.970 --> 01:13:49.390
R minus RP.

01:13:51.470 --> 01:13:52.390
Den da.

01:13:54.150 --> 01:13:56.210
Den hier müssen Sie betrachten.

01:13:56.210 --> 01:13:57.930
Und das ist natürlich ein ganz anderer.

01:13:58.330 --> 01:14:02.930
Also ist das Vektorprodukt mit der gleichen Oberflächenkraftdichte FS

01:14:02.930 --> 01:14:04.130
natürlich auch ein anderes.

01:14:04.470 --> 01:14:07.410
Und wenn Sie darüber integrieren, ist das Ergebnis auch ein anderes.

01:14:08.450 --> 01:14:09.750
Aber, Kreisfrage.

01:14:10.950 --> 01:14:13.130
Können wir das vielleicht einfach berechnen?

01:14:13.710 --> 01:14:15.570
MP, wenn wir das MQ schon kennen.

01:14:16.090 --> 01:14:17.830
Also, Frage.

01:14:22.350 --> 01:14:23.030
Kenne.

01:14:25.270 --> 01:14:26.030
MQ.

01:14:30.200 --> 01:14:30.960
Suche.

01:14:33.040 --> 01:14:33.800
MP.

01:14:35.660 --> 01:14:42.740
Mit der Frage wollen wir uns jetzt beschäftigen.

01:14:44.800 --> 01:14:46.660
Dazu blättern wir eine Folie weiter.

01:14:47.240 --> 01:14:50.900
Merken Sie sich bitte gut die Definitionen von MQ.

01:14:51.280 --> 01:14:53.640
Die werden wir gleich auf der nächsten Seite nochmal brauchen.

01:14:57.120 --> 01:14:58.360
So.

01:14:59.720 --> 01:15:01.500
Dazu schreiben wir uns erstmal hin.

01:15:04.020 --> 01:15:04.860
MP.

01:15:06.200 --> 01:15:07.440
Gleich.

01:15:09.060 --> 01:15:10.900
Integral über die Fläche.

01:15:12.280 --> 01:15:13.920
R minus RP.

01:15:16.320 --> 01:15:18.800
Kreuzprodukt FS.

01:15:19.360 --> 01:15:21.560
DS, Oberflächenkraftdichte.

01:15:22.140 --> 01:15:24.860
Plus integral über das Volumen.

01:15:25.860 --> 01:15:30.480
R minus RP.

01:15:31.840 --> 01:15:35.900
Kreuz FVDV.

01:15:37.880 --> 01:15:38.920
MQ.

01:15:40.300 --> 01:15:40.820
Gleich.

01:15:40.980 --> 01:15:43.300
Integral über die Oberfläche S.

01:15:43.960 --> 01:15:45.460
R minus RQ.

01:15:47.500 --> 01:15:49.160
Kreuz FS.

01:15:50.920 --> 01:15:52.020
DS.

01:15:52.020 --> 01:15:54.980
Plus integral über das Volumen.

01:15:55.420 --> 01:15:56.660
R minus RQ.

01:16:00.440 --> 01:16:02.040
Kreuz FVDV.

01:16:02.700 --> 01:16:02.860
So.

01:16:04.840 --> 01:16:07.060
Jetzt ziehen wir einen großen Strich darunter.

01:16:10.180 --> 01:16:12.100
Was wir loswollen werden.

01:16:13.380 --> 01:16:15.220
Schauen Sie sich mal diese Integrale an.

01:16:17.220 --> 01:16:18.920
Da steht ein Integral drin.

01:16:19.900 --> 01:16:21.340
Vor dem haben wir Angst.

01:16:23.140 --> 01:16:24.620
Das ist das hier mit dem R.

01:16:26.440 --> 01:16:26.860
Warum?

01:16:28.520 --> 01:16:35.040
Weil dieser Ortsvektor R sich ändert, wenn wir von einem materiellen

01:16:35.040 --> 01:16:37.820
Punkt, über den wir integrieren, zum nächsten springen.

01:16:38.120 --> 01:16:41.860
Wenn wir unsere Oberfläche lang wandern oder unser Volumen lang

01:16:41.860 --> 01:16:44.260
wandern, ändert sich immer wieder dieses R.

01:16:44.260 --> 01:16:48.320
Wovor wir uns nicht fürchten, ist dieses RP.

01:16:50.260 --> 01:16:57.260
Das ist der konstante Ortsvektor vom raumfesten Bezugspunkt, den wir

01:16:57.260 --> 01:17:01.660
uns irgendwie festgelegt haben, zum Punkt P. Der ist für die gesamte

01:17:01.660 --> 01:17:04.260
Integration immer der gleiche.

01:17:05.220 --> 01:17:06.380
Genauso das RQ.

01:17:08.040 --> 01:17:09.760
Ist auch immer das gleiche.

01:17:10.600 --> 01:17:15.100
Ist immer der Ortsvektor vom Ursprung unseres raumfesten

01:17:15.100 --> 01:17:20.040
Koordinatensystems zu dem Punkt P. Eine Konstante.

01:17:20.220 --> 01:17:23.320
Konstanten dürfen Sie bei der Integration ausklammern.

01:17:23.620 --> 01:17:25.460
Super einfach zu behandeln.

01:17:26.080 --> 01:17:27.840
Aber das R macht uns Kopfzerbrechen.

01:17:28.020 --> 01:17:34.340
Also wollen wir dieses Integral R Kreuz FS und das Integral R Kreuz FV

01:17:34.340 --> 01:17:35.460
beseitigen.

01:17:36.060 --> 01:17:36.940
Wie machen wir das?

01:17:36.940 --> 01:17:40.160
Indem wir hier einfach subtrahieren.

01:17:40.820 --> 01:17:44.640
Beide Gleichungen voneinander abziehen und alles, was uns unangenehm

01:17:44.640 --> 01:17:46.240
ist, fällt weg.

01:17:46.820 --> 01:18:02.520
Wir erhalten also MP minus MQ gleich Integral S minus RP Kreuz FS dS

01:18:02.520 --> 01:18:22.500
minus Integral V RP Kreuz FV dV plus Integral s rq kreuz fs ds plus

01:18:22.500 --> 01:18:30.160
Integral v rq kreuz fv dv.

01:18:30.720 --> 01:18:34.760
So, jetzt habe ich gesagt, rq und rp sind Konstanten.

01:18:35.160 --> 01:18:38.360
Die ziehen wir mitsamt Kreuzprodukt vor das Integral.

01:18:38.360 --> 01:18:57.220
Übrig bleibt also rq minus rp kreuz Integral fs ds plus rq minus rp

01:18:57.220 --> 01:19:06.700
kreuz Integral über das Volumen, die Volumenkraftdichte fv dv.

01:19:07.080 --> 01:19:14.180
Na, da stehen aber zwei alte Bekannte aus der Definition der Kraft,

01:19:14.460 --> 01:19:23.560
nämlich unsere Oberflächenkraft fs und unsere Volumenkraft fv.

01:19:23.800 --> 01:19:25.420
Und es kommt sogar noch besser.

01:19:25.900 --> 01:19:28.240
Der Vorfaktor ist ja auch noch der gleiche.

01:19:28.560 --> 01:19:30.620
Den können wir ja auch nochmal ausklammern.

01:19:30.620 --> 01:19:45.760
Also, rq minus rp kreuz fs plus fv und das, was dort in der zweiten

01:19:45.760 --> 01:19:56.300
Klammer steht, war landläufig nichts anderes als die Gesamtkraft f.

01:19:57.170 --> 01:20:00.700
Und das ist die sogenannte Momentenversetzungsgleichung.

01:20:01.400 --> 01:20:07.740
Also, Sie können das Moment im Punkt p ausrechnen, wenn Sie das Moment

01:20:07.740 --> 01:20:16.420
im Punkt q kennen und die Differenz der Ortsvektoren einfach

01:20:19.610 --> 01:20:23.570
mit dem Kreuzprodukt, mit der Kraft f, ran multiplizieren.

01:20:28.240 --> 01:20:31.800
Und das ist unerhört, dass das funktioniert.

01:20:32.620 --> 01:20:39.980
Und das führt dazu, dass Sie ein Trippel bilden aus der Kraft, dem

01:20:39.980 --> 01:20:41.900
Moment und dem Angriffspunkt.

01:20:42.000 --> 01:20:43.700
Und dieses Trippel nennt man eine Dyname.

01:20:49.860 --> 01:20:58.160
Moment, beispielsweise im Punkt q, den Punkt q selbst und die Kraft f.

01:21:00.680 --> 01:21:06.320
Wenn Sie so eine Dyname kennen, so ein Trippel kennen und Sie suchen

01:21:06.320 --> 01:21:11.700
im Punkt p das entsprechende Trippel,

01:21:16.610 --> 01:21:19.010
dann können Sie das ganz leicht ausrechnen.

01:21:19.990 --> 01:21:20.210
Wie?

01:21:20.730 --> 01:21:22.250
Na, mithilfe dieser Gleichung.

01:21:23.230 --> 01:21:26.090
Nichts einfacher als das, können Sie das ausrechnen.

01:21:27.710 --> 01:21:29.710
Jetzt gibt es dort aber Spezialfälle.

01:21:32.250 --> 01:21:33.890
Zwei Spezialfälle gibt es.

01:21:34.510 --> 01:21:37.930
Der eine ist der, wo die Kraft null ist.

01:21:40.390 --> 01:21:44.290
Ist die Kraft null, bleibt nur das Moment übrig.

01:21:44.290 --> 01:21:49.730
Also Sonderfall mqq null.

01:21:51.270 --> 01:21:53.330
Das nennen wir ein freies Moment.

01:21:55.430 --> 01:21:56.630
Freies Moment.

01:21:57.970 --> 01:21:59.870
Warum ist denn dieses Moment frei?

01:22:02.130 --> 01:22:04.070
Haben wir das in die Freiheit entlassen?

01:22:04.630 --> 01:22:07.450
Wie kommt der Mechaniker drauf, dazu freies Moment zu sagen?

01:22:07.990 --> 01:22:10.730
Nun versuchen Sie doch mal, dieses Moment zu versetzen in einen

01:22:10.730 --> 01:22:11.590
anderen Punkt p.

01:22:11.590 --> 01:22:13.490
Die Kraft f ist null.

01:22:14.050 --> 01:22:18.230
Das heißt, dieser ganze Rattenschwanz hier hinten, der ist null.

01:22:18.890 --> 01:22:20.850
Übrig bleibt mp gleich mq.

01:22:21.250 --> 01:22:25.190
Ein freies Moment wird unabhängig vom Bezugspunkt, ist in jedem

01:22:25.190 --> 01:22:26.550
Bezugspunkt gleich groß.

01:22:26.670 --> 01:22:28.890
Sie können das durch die ganze Weltgeschichte schieben.

01:22:29.330 --> 01:22:33.490
Es ist immer gleich groß, deshalb ist es frei, unabhängig vom

01:22:33.490 --> 01:22:34.290
Bezugspunkt.

01:22:36.910 --> 01:22:38.570
Unabhängig vom Bezugspunkt.

01:22:47.280 --> 01:22:47.760
So.

01:22:48.920 --> 01:22:52.260
Naja, jetzt haben wir schon einen Sonderfall dadurch kreiert.

01:22:52.720 --> 01:22:54.580
Ich mach Ihnen mal ein bisschen das Licht, oder?

01:22:55.560 --> 01:22:57.520
Sonst schlafen Sie noch, die letzten paar Minuten.

01:22:58.000 --> 01:23:03.120
Wir haben einen Sonderfall dadurch kreiert, dass wir bei diesem

01:23:03.120 --> 01:23:05.960
Triebel in den letzten Eingang die Null geschoben haben.

01:23:06.400 --> 01:23:09.320
Jetzt schieben wir die Null einfach mal nach vorne beim Moment hin.

01:23:11.700 --> 01:23:12.260
Null...

01:23:14.720 --> 01:23:15.280
q...

01:23:15.280 --> 01:23:15.680
f.

01:23:17.640 --> 01:23:19.700
Wie nennt man diese besondere Kraft?

01:23:20.340 --> 01:23:22.860
Jetzt könnten Sie sagen, das ist vielleicht eine freie Kraft.

01:23:24.140 --> 01:23:27.200
Ist es aber nicht, denn die Kraft ist gar nicht mal so frei.

01:23:28.000 --> 01:23:31.660
Die würde nämlich, wenn Sie einen anderen Bezugspunkt nehmen, sofort

01:23:31.660 --> 01:23:33.060
wieder einen Moment erzeugen.

01:23:33.960 --> 01:23:37.760
Wenn Sie den Bezugspunkt ändern über die Momentenversetzungsgleichung,

01:23:37.900 --> 01:23:41.500
bekommen Sie aus dem rechten Ausdruck, aus dem rechten Term, wieder

01:23:41.500 --> 01:23:42.040
einen Moment.

01:23:42.640 --> 01:23:45.000
Das ist eine sogenannte Einzelkraft.

01:23:47.940 --> 01:23:53.340
Eine Kraft, für die das Moment auf einen bestimmten Punkt bezogen

01:23:53.340 --> 01:23:54.060
verschwindet.

01:23:54.640 --> 01:24:00.500
Und diese Einzelkraft ist das Analogo zu dem Kraftbegriff, den Sie in

01:24:00.500 --> 01:24:02.180
der Schule für sich kennengelernt haben.

01:24:02.180 --> 01:24:06.560
Da haben Sie gesagt, eine Kraft ist definiert durch Betrag, Richtung

01:24:06.560 --> 01:24:07.760
und Angriffspunkt.

01:24:08.320 --> 01:24:12.980
Die Kräfte, die ich Ihnen eben eingeführt habe, waren ganz brave

01:24:12.980 --> 01:24:13.580
Vektoren.

01:24:14.580 --> 01:24:19.520
Dieses f hier ist ein ganz braver Vektor und der kennt nur Betrag und

01:24:19.520 --> 01:24:19.980
Richtung.

01:24:20.380 --> 01:24:22.560
Der weiß nichts von seinem Angriffspunkt.

01:24:22.560 --> 01:24:30.300
Diese Einzelkraft aber, diese Einzelkraft ist gekennzeichnet durch

01:24:30.300 --> 01:24:44.840
Betrag, Richtung und zusätzlich noch durch den Angriffspunkt,

01:24:49.000 --> 01:24:50.520
in dem Fall wäre das Q.

01:24:51.340 --> 01:24:55.160
In einem anderen Bezugspunkt würde sofort wieder ein Moment entstehen,

01:24:55.380 --> 01:25:01.660
das Sie berechnen müssten aus Ortsvektor, Vektorprodukt mit der Kraft

01:25:01.660 --> 01:25:02.140
F.

01:25:04.280 --> 01:25:09.280
Und genau an dieser Stelle macht morgen die Frau Vogt mit Ihnen

01:25:09.280 --> 01:25:09.660
weiter.

01:25:10.440 --> 01:25:17.660
Da geht es darum, wenn wir so eine Streckenlast haben, beispielsweise,

01:25:18.440 --> 01:25:22.940
wie kommen wir dann auf eine Einzelkraft, auf eine Kraft so, dass das

01:25:22.940 --> 01:25:23.720
Moment verschwindet.

01:25:24.360 --> 01:25:26.420
Dazu brauchen wir den Begriff des Mittelpunktes.

01:25:26.820 --> 01:25:31.140
Frau Vogt erzählt Ihnen morgen alles über Kraftmittelpunkte.

01:25:32.200 --> 01:25:37.880
Damit viel Spaß morgen in der Übung und viel Spaß nächste Woche Montag

01:25:37.880 --> 01:25:38.960
wieder in der Vorlesung.