So, meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich.
Ein herzliches Guten Morgen zur heutigen Vorlesung Technische Mechanik
I für Wirtschaftsingenieure.
Heute kommen wir zum letzten großen Kapitel aus der Statik und das ist
das Kapitel der Schnittreaktionen in Tragwerken.
Sie finden auf der ersten Folie wieder angegebene Stellen in dem Buch
von Groß, Hauber und Schnell, in der heutigen Auflage und in dem Buch
von Hitler über Statik, in dem Sie alles über Schnittreaktionen
nachlesen können.
Und um Ihnen die Bedeutung dieses Kapitels vor Augen zu führen, kann
ich Ihnen aus den letzten mündlichen Prüfungen berichten, die wir
hatten in der Technischen Mechanik.
Wenn Studenten in die mündliche Prüfung kommen und dann scheitern,
dann scheitern sie meistens schon bei den Schnittreaktionen, d.h.
Lagerreaktionen, das bekommt man noch irgendwie hin.
Das Kapitel haben sich die meisten noch irgendwie angeeignet, aber bei
den Schnittreaktionen trennt sich dann schon die erste Spreu vom
Weizen.
Ich möchte Ihnen noch mal ganz kurz vor Augen führen, was Sie jetzt
alles können, wie sich Ihnen die Statik bisher dargestellt hat.
Schauen Sie sich das noch mal an.
Also, wir haben in einem ersten Teil einfach mal über Begriffe
gesprochen, wie Kraft, Moment, was ist überhaupt ein Körper, was ist
der Baum für uns, wie stellt sich das alles dar.
Also das erste war einfach nur so eine Einleitung, wo wir über
Begriffe gesprochen haben.
Also, wichtige Begriffe waren Kräfte, Momente.
Der Mittelpunkt bei Linienlasten oder Flächenlasten.
Und im zweiten Teil haben wir dann das, was wir an Begriffen im ersten
Teil gebildet haben, einfach mal angewandt.
Auf die Tragwerke.
Das war die Tragwerkslehre.
Dann ging es um die Berechnung von Lagerreaktionen.
Und um diese Lagerreaktionen zu berechnen, brauchten Sie
Gleichgewichtsbedingungen.
Im allgemeinen räumlichen Fall hatten wir sechs
Gleichgewichtsbedingungen, drei Gleichgewichtsbedingungen für die
Kraft, drei Gleichgewichtsbedingungen für das Moment.
Im ebenen Fall haben wir dann insgesamt drei
Gleichgewichtsbedingungen, zwei für die Kraft, in horizontaler und in
vertikaler Richtung, eine für das Moment.
Also wir brauchten die Gleichgewichtsbedingungen.
Und damit kamen wir dann schon recht weit.
Wir konnten im ersten Teil einteilige Tragwerke berechnen.
Alles was wir dazu brauchten, war eine Klassifikation der Lager.
Also in einwertige, zweiwertige und dreiwertige Lager, in Loslager,
Festlager und in die feste Einspannung.
Wenn Sie das verstanden haben, konnten Sie die einteiligen Tragwerke
berechnen.
Dann haben wir uns als nächstes die mehrteiligen Tragwerke angeschaut.
Da ging es um die Klassifikation der Gelenke.
In einwertige und in zweiwertige Gelenke.
Und um die Berechnung eventuell der Gelenksreaktionen, also der
Kräfte, die in den Gelenk wirken und der Lagerreaktionen.
Und das verlangte Ihnen schon ein bisschen mehr ab, denn bei diesem
Abschnitt, mehrteilige Tragwerke, kam es darauf an, die
Gleichgewichtsbedingungen möglichst geschickt zu formulieren.
Sie haben viel mehr Unbekannte als bei dem Problem vorher.
Und das Ziel war es, Gleichgewichtsbedingungen so geschickt zu
formulieren, dass nach Möglichkeit in jeder Gleichung nur eine einzige
Unbekannte drin steht.
Das geht in einem Fall besonders einfach, nämlich bei den Fachwerken.
Ein Spezialfall der mehrteiligen Tragwerke waren die Fachwerke.
Und der Vorteil war, wir hatten es nur nach den Lagerreaktionen mit
zentralen Kraftsystemen zu tun.
Und wir wussten, wie wir dort die Gleichgewichtsbedingungen
formulieren, sodass wir jedes Mal nur eine einzige Kraft, maximal
vielleicht zwei Kräfte in einer Gleichung drin zu stehen hatten.
Das war, Tragwerk wäre erster Teil.
Heute kommt nun Tragwerkslehre zweiter Teil.
Und es geht nicht mehr um die Lagerreaktionen, sondern es geht um die
Schnittreaktionen.
Und das sind zunächst einmal beliebige innere Reaktionen in
einem Tragwerk.
Und was heißt beliebig?
Beliebig heißt nicht, die sind irgendwie beliebig groß, sondern an
einer beliebigen Stelle
im Tragwerk.
Was heißt das?
Stellen Sie sich vor, Tragwerk, irgendwas, also vielleicht hier eine
feste Einspannung.
Und dann haben Sie hier einen Balken und an dem Balken vielleicht
nochmal einen anderen Balken angebracht, eine Schweißverbindung hier.
Da oben drauf haben Sie noch einen Balken und dann haben Sie hier
vielleicht Ihr Bücherregal abgestellt.
Und hier haben Sie noch eine Kraft angreifend und vielleicht schraubt
hier gerade jemand dran mit einem freien Moment irgendwas halt.
Und jetzt interessieren Sie sich nicht mehr für die Lagerreaktionen,
also das, was hier passiert.
Das war gestern, sprich in der letzten Vorlesung.
Jetzt interessieren wir uns für was Neues, nämlich wir fragen uns, wie
sieht es denn mit der Belastung?
Beispielsweise hier aus oder dort oder hier oder hier oder da oben.
An jeder beliebigen Stelle des Tragwerks sollten Sie in der Lage sein,
Schnittreaktionen zu berechnen, das heißt einen Schnitt durchzuführen
und die dabei auftretenden Kräfte und Momente zu bestimmen.
Das hört sich vielleicht erst mal kompliziert an und vielleicht fragen
Sie sich auch, warum soll ich das eigentlich machen?
Werden wir gleich sehen.
Schauen wir uns das auf dieser Folie an.
Nun, da habe ich Ihnen zwei Bildchen mitgebracht, von denen werden Sie
vielleicht sagen, naja, das ist wieder so typisch schmutziger
Maschinenbau, also da steht irgendwie so ein Kahn rum, das sieht aus,
als hätten die dort ihr Labor nicht richtig aufgeräumt und bei dem
anderen Bild, naja, vielleicht war das gerade der Autofahrer und kein
Auto steht da.
Was will er uns damit eigentlich sagen?
Ein Mechaniker schaut sich die Fotos an und sagt, aha, ja, stimmt.
Was schaut er sich da an?
Der schaut sich beispielsweise dieses Dach hier an.
Und dann stellt er sich vor, naja, vielleicht scheint da nicht die
Sonne, sondern es hat gerade geschneit.
Also große Schneewolke und es schneit, dicke Flocken und hier oben
drauf türmen sich die Schneeberge.
Ja, steht vielleicht in den Alpen, hier in Karlsruhe vielleicht nicht
so der Fall, aber in den Alpen durchaus möglich, riesige Schneelasten
auf diesem Dach und er denkt sich, oh Gott, oh Gott, das könnte hier
einstürzen und der arme Mensch, der da drunter steht und tanken will,
der wird von dem Dach erschlagen.
Jetzt kommt vielleicht der ganz Vorsichtige und der sagt, okay, dann
ziehen wir da einfach richtig schön dicke Balken ein und dann wird das
Ganze halten.
Also, machen wir sowas hier.
Also hier ziehen wir hier ordentliche Balken ein und hier auch noch
einen dicken Balken und dann haben wir nur noch Balken und für die
Zapfsäulen ist kein Platz mehr.
Kann ja eigentlich auch nicht die Lösung sein.
Also, wenn wir mal genau hinschauen, hat der Mechaniker hier das
Richtige gemacht.
Was hat er gemacht?
Schauen Sie, hier außen ist der Balken ganz, ganz dünn und dann wird
er immer dicker, immer dicker, immer dicker im Querschnitt.
Sehen Sie das?
Genau das Gleiche hat er sich komischerweise hier unten auch nochmal
überlegt.
Unten ist alles schön schlank, können Sie Ihre Zapfsäule hinstellen
und oben wird das Ganze immer dicker.
Warum hat er das so gemacht?
Irgendwie hat er das gewusst, was Sie vielleicht intuitiv auch
vermuten würden.
Hier ganz außen ist die Belastung am kleinsten.
Hier in der Mitte wird die Belastung am größten.
Und das wollen wir aber auch quantifizieren können.
Das wollen wir nicht nur so aus dem Gefühl heraus sagen, naja, also
ich glaube, da in der Mitte wird es kritisch und da außen, da ist es
vielleicht noch nicht so schlimm, da ist ja nur so ein bisschen Dach
und da schneit es nicht so viel oder der Schnee fällt vielleicht
gleich runter, sondern wir wollen das ausrechnen können.
Das heißt, wir müssen uns fragen, wie sind die Verläufe der Größen der
Belastung im Balken, das sind Kräfte und Momente.
Und dann kommt der zweite Teil dieser Vorlesungsreihe und das ist die
Festigkeitslehre.
Und die Festigkeitslehre sagt Ihnen, okay, wenn ich das weiß, wie groß
die Verläufe meiner Schnittreaktion, meiner Kräfte und Momente im
Balken sind, dann kann ich sagen, wie die Spannungen im Balken
aussehen, dann kann ich sagen, wie Verformungen im Balken aussehen und
dann kann ich sagen, wenn die Spannung zu groß wird, dann versagt
dieser Balken und dann kann ich die Frage beantworten, wie muss ich
den Balken dimensionieren, dass er gerade nicht versagt, dass er
gerade diesen Spannungen standhält.
Dazu brauche ich ein bisschen Werkstoffkunde.
Die Werkstoffkundeleute, die müssen ihre Versuche machen, an den
Zugproben schauen, wie groß muss die Spannung sein, damit die
Probegarde nicht reißt und mit diesen Ergebnissen kann ich dann so
etwas hier dimensionieren.
Auf der linken Seite war auch ein pfiffiger Mechaniker am Werk.
Vielleicht werden Sie sich fragen, wo hat er denn da was gemacht?
Eigentlich ist doch da gar nichts gemacht.
Da war folgendes.
Sie sehen hier einen Kran und hier möchte ich natürlich an den Kran
eine Last dranhängen.
Und irgendwann kam mal jemand auf die Idee und hat gesagt, in das
Labor soll mal wieder ein neuer Prüfstand rein.
Wir müssen also eine größere Last dranhängen als vorher.
Also, statt dieser kleinen Last wollen wir jetzt sowas hier
dranhängen.
Dafür war aber diese nette Konstruktion überhaupt nicht ausgelegt.
Was passiert wäre, das Ding wäre durchgebrochen.
Und zwar ungefähr so, wie ich es hier einzeichne, an dieser Stelle, an
diesem Eck.
Was hat er sich überlegt?
Ich muss das Ding irgendwie verstärken.
Vielleicht hätte er sich an den Galgen erinnern können.
Sie kennen das Galgenspiel, da bringt man hier so einen kleinen Balken
an.
Warum?
Um gerade diesen Effekt des Abbrechens zu verhindern.
Wäre ja schlimm.
Sie hängen da den armen Delinquenten auf und der Balken bricht ab.
Wollen wir natürlich nicht.
Brauchen wir den Mechaniker vorher dafür, damit er Ihnen ausrechnet,
dass Sie hier irgendwas anbringen können.
Ja, wenn der dort diesen Balken anbringt zur Unterstützung, hat er ein
Problem.
Sein Kran fährt hier hin und her und in die Ecke kommt er nicht mehr
rein.
Also hat er sich folgendes überlegt.
Er bringt hier außen etwas an.
Eine kleine Schweißkonstruktion hier und dort.
Und schon hat er das Problem gelöst.
Der Kran hält auch die größere Last aus und er kann bis in die Ecke
reinfahren.
Und unser Mechaniker ist glücklich.
Damit er das aber dimensionieren kann, damit er überhaupt weiß, dass
das Ganze dort an dieser Stelle versagt und damit er weiß, was er
drumherum konstruieren muss, wie er das Ganze dimensionieren muss,
muss er die inneren Kräfte in diesem Kragarm hier kennen.
Also er muss in der Lage sein, an einer beliebigen Stelle zu
schneiden, die inneren Reaktionen, sprich Kräfte und Momente zu
berechnen für diese gegebene Last, diese große Last M.
Und wie das geht, sollen Sie heute in der Vorlesung lernen.
Heute erzähle ich ein bisschen mehr als sonst und Sie rechnen ein
bisschen weniger als sonst.
Dafür haben wir das Ganze jetzt ein bisschen anders gestaltet für
dieses wichtige Kapitel.
Ich mache Ihnen heute die Vorlesung, erkläre Ihnen alles, was Sie dazu
wissen müssen.
Dann müssen Sie es nur noch in die Praxis umsetzen.
Dazu übt das die Frau Vogt mit Ihnen.
Morgen in der Übung.
Nächste Woche mache ich Ihnen noch einmal eine Vorlesung über das
Kapitel Haften.
Das ist ein Kapitel, was nicht ganz so schwer ist.
So ein typischer Wohnfortsatz einer Vorlesungsreihe.
Also am Ende hat man dann noch so ein Kapitel, das muss auch noch
behandelt werden, das muss ich Ihnen auch noch sagen.
Aber es ist praktisch schon das Große der Statik mit der heutigen
Vorlesung abgeschlossen.
Und es kommt noch mal ein kleines Kapitelchen nächste Woche über das
Haften.
Dann haben Sie noch mal Zeit, nächste Woche das alles in Ruhe über
sich ergehen zu lassen und sacken zu lassen, was Sie hier über die
Schnittreaktionen in Tagwerken gehört haben.
Übernächste Woche, das müsste dann der 5., kann es sein, 26., 5., 6.
Dezember sein.
Da macht Frau Vogt noch mal mit Ihnen eine Wiederholungsübung.
Alles, was Sie aus der Statik mitnehmen sollen, nee, das ist die Woche
drauf, der 12., macht sie die Wiederholungsübung mit Ihnen.
Alles, was Sie über die Statik wissen sollen, wird noch mal en bloc
geübt.
Von der Tagwerkslehre, Berechnung von Lagerreaktionen über Fachwerke
bis hin zu den Schnittreaktionen wird der Schlussstrich gezogen unter
die Statik.
Dann sind Sie im Bereich der Statik fit für die Prüfung.
Wenn Sie es noch nicht sind, haben Sie die ganzen Winterferienzeit,
also sprich die Weihnachtszeit, um noch mal in sich zu gehen und alles
zu üben, was Sie über die Statik wissen sollen.
Und ich fange dann noch mal kurz vor Weihnachten an mit der ersten
Vorlesung aus der Festigkeitslehre.
Das wird auch nur noch eine Begriffsbildung sein.
Und richtig steigen wir dann in die Festigkeitslehre ein nach den
Ferien im neuen Jahr.
Das ist so der Ablaufplan dieser Vorlesungsreihe.
Jetzt komme ich aber zurück zu den Schnittreaktionen in den Tagwerken.
Wenn wir das berechnen wollen, diese inneren Reaktionen unter einem
beliebigen Schnitt, dann brauchen wir zunächst einmal die
Lagerreaktionen.
Also, beispielsweise bei diesem Ding haben wir hier unten eine feste
Einspannung und wir müssen zunächst einmal die Lagerreaktionen an
dieser Stelle bestimmen.
Manchmal geht das sogar auch ohne Berechnung der Lagerreaktionen, aber
häufig ist das eine Voraussetzung.
Also, wir müssen kennen die Belastungen und meist auch die
Lagerreaktionen und wir suchen die inneren Kräfte für die
Festigkeitslehre unter einem bestimmten, irgendwie liegenden Schnitt.
Der kann irgendwo dort liegen.
Wissen wir nicht vorher wo.
Und wozu brauchen wir das?
Wir brauchen das A nur für die ebenen Tagwerke.
Die räumlichen Tagwerke macht der Maschinenbauer für sie.
Und wir brauchen das, um in der Festigkeitslehre dann unser Bauteil
dimensionieren zu können.
Das Wichtige ist, wir schneiden an einer beliebigen Stelle und damit
ist unser Ergebnis jetzt nicht eine Größe, wie bei der Lagerreaktion,
also eine einzige Kraft oder ein einziges Moment oder irgendwas
anderes, eine Gelenkreaktion, sondern unsere Ergebnisse sind jetzt
Verläufe.
Verläufe heißt, sie sind Funktionen, Funktionen über die Längsachse
dieses Trägers.
Schauen wir uns das an.
Was wollen wir lernen?
Wir wollen lernen, was Schnittreaktionen überhaupt sind in beiden
Tagwerken, ebenen Balkentagwerken, und wir wollen die Konvention
kennenlernen, die Vereinbarung, die Definition, die wir hier treffen,
um diese Dinger zu berechnen.
Da wollen wir sie natürlich auch berechnen können.
Und da es sich um Verläufe handelt, also Funktionenverläufe, wollen
wir sie auch grafisch darstellen können, damit wir überhaupt eine
Anschauung davon bekommen als Ingenieur, wie das Ganze aussieht, wie
unser Bauteil dadurch belastet wird durch diese Schnittreaktionen.
Und das Ganze für einteilige und natürlich auch für mehrteilige
Tagwerke, denn wir sind ja schließlich inzwischen Experten bei den ein
- und mehrteiligen Tagwerken.
Natürlich ist es immer gut, wenn wir irgendwas berechnen, wenn wir es
auch zum Schluss überprüfen können.
Sie wissen das, Sie können das machen, sowohl bei den einteiligen als
auch bei den mehrteiligen Tagwerken, wenn Sie sich Lagerreaktionen
ausrechnen.
Da können Sie Ihr Ergebnis immer überprüfen, indem Sie noch eine
zusätzliche Gleichgewichtsbedingung, die dann redundant ist,
formulieren.
Auch hier können wir mit Hilfe von Beziehungen zwischen den
Schnittreaktionen eine Überprüfung unseres Ergebnisses gewährleisten
und schon im Vorfeld feststellen, das, was wir da ausgerechnet haben,
ist großer Käse, war Mist, kann nicht stimmen.
Und diese Beziehung werde ich Ihnen ebenfalls hier leiten.
Jetzt kommen wir zu den Schnittgrößen.
Stellen Sie sich das immer ganz martialisch vor, Sie würden Ihren Arm
nehmen, Ihr Bein oder irgendwas und würden das durchhauen.
Mit einer Axt.
Dann haben Sie Schnittreaktionen.
Dann tritt dort irgendwas zutage, ein riesiger Blutstrom.
In der Mechanik tritt kein Blutstrom zutage.
Wir Mechaniker sind da viel, viel friedliebende Menschen.
In der Mechanik, wenn Sie so einen Träger hier irgendwo an einer
beliebigen Stelle durchschneiden, was passiert?
Sie sehen eine flächenhaft verteilte Kraftdichte.
So etwas hier sehen Sie.
Irgendwie, wie, wissen Sie nicht.
Also, zutage tritt eine Flächenkraftdichte.
Wenn Sie das hier, so wie ich, nur zweidimensional zeichnen können,
wäre das sogar nur eine Linienkraftdichte.
Aber wir wissen nicht, das könnte ja auch schön zweidimensional sich
über diesen Querschnitt ausformen.
So, von der wissen wir nur, es gilt Aktion gleich Reaktion.
Reaktion.
Aktion gleich Reaktion.
Jetzt ist uns das viel zu kompliziert, mit diesen Flächenkraftdichten
zu arbeiten.
Das habe ich Ihnen nur mal als Konzept in der ersten Vorlesung
vorgestellt und dann haben wir uns schnell davon entfernt.
Wir haben gesagt, wir können das zusammenfassen zu einer Kraft.
Und wenn wir die Kraft geschickt legen, dann ist das sogar eine
Einzelkraft.
Wir können einen Angriffspunkt so bestimmen, dass wir nur eine
einzelne Kraft haben, keinen Moment.
Und die Aufgabe war dann, diese Kraft nach Betrag und Richtung zu
bestimmen.
Jetzt kann ich aber auch sagen, will ich nicht.
Ist mir zu kompliziert, dass ich dort eine einzelne Kraft bestimme.
Ich kann auch sagen, ich gebe mir den Angriffspunkt vor und nehme halt
in Kauf, dass da nicht nur eine Kraft entsteht, sondern ein Moment.
Und genau das werden wir hier machen.
Wir werden uns einen Angriffspunkt vorgeben.
Und dieser Angriffspunkt ist ein Punkt, der Sinn macht, auf den wir
uns alle verständigen können.
Und da gibt es nur einen einzigen ausgezeichneten Punkt für diese
Fläche und das ist ihr Mittelpunkt.
Wir werden also alles beziehen auf den Flächenmittelpunkt, also auf
diesen Punkt S.
Wenn ich im Ebenenfall um diesen Punkt S die Kraftdichte reduziere,
dann entsteht folgendes.
Es entsteht eine Kraft in der Ebene, die ich nicht kenne, nach Betrag
und Richtung.
Anstatt mir jetzt auszurechnen, wie lang ist diese Kraft, Betrag, und
welche Richtung hat sie, Winkel, kann ich auch sagen, ich rechne mir
einfach zwei Kräfte aus.
Eine horizontale Kraft und eine vertikale Kraft.
Das heißt, ich zerlege diese Kraft in zwei Anteile.
Und dann habe ich noch, da ich nicht sicher bin, dass der
Kräftemittelpunkt mit dem Flächenmittelpunkt zusammenfällt, einen
Moment zu berücksichtigen um diesen Punkt.
Und da wir uns nur um ein Ebenesproblem zu kümmern haben, gibt es für
das Moment nur eine einzige Richtung.
Die Momentenrichtung selbst kommt uns hier aus der Zeichenebene
entgegen, sie springt Ihnen förmlich ins Auge und Ihr Moment dreht
darum, dreht praktisch einmal, ausgesprochen mathematisch negativ, um
diesen Punkt in der Zeichenebene.
Wir können das also hier, diese Flächenkraftdichte, reduzieren und
können sagen, das entspricht folgender Situation.
Wir betrachten den Mittelpunkt S und tragen im Mittelpunkt S eine
Kraft horizontal, das heißt entlang dieser Achse an, eine Kraft
vertikal dazu und ein Moment.
Dieses Moment werden wir M nennen, Moment.
Die Kraft werden wir N nennen und die Kraft Q.
Jetzt werden Sie sich vielleicht fragen, warum N und warum Q.
N heißt die Normalkraft und
Q heißt die Querkraft.
Und das Moment heißt auch nicht nur einfach Moment, sondern es heißt
das Biegemoment.
Und das verrät Ihnen schon, dieses Moment hat etwas mit Biegung zu
tun, sonst würde man es ja wohl nicht so nennen.
Was das mit Biegung zu tun hat, erfahren Sie erst im nächsten Jahr in
der Festigkeitslehre.
Da werden wir uns ganz gezielt mit der Biegung beschäftigen und dazu
werden wir dieses Moment, das Biegemoment benötigen.
So, jetzt brauchen wir aber noch etwas, wir brauchen ein
Koordinatensystem.
Bisher haben wir uns um das Koordinatensystem eigentlich kaum Gedanken
gemacht.
Sie sehen, hier oben ist halt irgendein Koordinatensystem und mit
diesem Koordinatensystem kann ich ja ganz prima meine
Auflagerreaktionen auch berechnen.
Wir brauchen jetzt aber ein zweites Koordinatensystem.
Warum?
Wir wollen ja an einer beliebigen Stelle schneiden.
Und diese beliebige Stelle muss ich natürlich parametrisieren.
Beliebig heißt nicht, Sie können sich das aussuchen und ich verrate
Ihnen nicht wo, sondern beliebig heißt an jeder Stelle und den Ort
muss ich irgendwie parametrisieren, muss ich irgendwie angeben können.
Das mache ich mit einer Koordinate, die läuft hier lang.
Diese Achse werden wir als X-Achse benennen, senkrecht dazu als Z
-Achse.
Und unseren Schnitt machen wir jetzt hier beispielsweise an der
Stelle, wenn wir hier schneiden, an der Stelle klein x gleich s.
Und das s kann beispielsweise 10 Meter sein oder 5 Meter oder 7 Meter
oder 3,5 Zentimeter.
Dann gehen Sie einfach mit Ihrem Zollstock an diesen Balken hin und
sagen, okay, hier waren die 3,5 Zentimeter oder die 7 Meter oder was
auch immer und dort habe ich meine Größen ausgerechnet.
Wichtig ist nur, Sie machen es nicht nur an dieser Stelle x gleich 3,5
Zentimeter, sondern Sie machen das für alle Stellen zwischen 0 und der
Gesamtlänge Ihres Tragwerks L.
Zwischen all diesen Stellen wollen Sie die Schnittreaktionen
berechnen.
Das heißt, an all diesen Stellen wollen Sie diesen Schnitt hier machen
und wollen m, n und q ausrechnen.
Da sind m, n und q Funktionen, also das hier, sind Funktionen von x.
Die variieren über die Balkenlänge, die sind ja nicht immer die
gleichen.
Und Sie glauben nicht, wie oft ich das in der mündlichen Prüfung
erlebe, also Nachprüfung, jemand ist schon zweimal durchgefallen und
ich sage zu ihm, berechnen Sie mir doch bitte mal die
Schnittreaktionen in diesem Abschnitt, weil ich freundlich bin, reicht
mir schon dieser Abschnitt, nennen wir den L1.
Und Sie glauben nicht, wie viele es gibt, die schneiden dann einfach
hier und sagen, ich schneide dort nach der Länge L1.
Dann schaue ich etwas grimmiger und sage, ich wollte doch die
Schnittreaktionen in diesem Abschnitt haben und nicht an dieser Stelle
L1.
Dann sinkt der Kandidat langsam in sich zusammen und dann fängt er an
zu überlegen, also was wollte der von mir, wie war das doch damals.
Also deswegen, lernen Sie es jetzt schon, es sind Verläufe.
Wir wollen, wenn ich Sie frage nach den Schnittreaktionen in diesem
Bereich, dann wollen wir dort an einer beliebigen Stelle schneiden.
Und wie wir das machen, lernen Sie gleich, vorab muss ich Sie noch mit
ein paar Konventionen quälen.
Also, es gibt drei Schrittgrößenarten, Normalkraft, Querkraft,
Biegermoment.
Die drei wollen wir ausrechnen.
Wir reduzieren das Ganze in dem Flächenmittelpunkt S.
Und jetzt gibt es eine Vorzeichenkonvention.
Es gibt ein positives und ein negatives Schnittufer.
Warum gibt es die?
Weil Aktio gleich Reaktio gilt.
Also denken Sie an Aktio gleich Reaktio.
Und Sie schneiden Ihren Träger, das sei Ihr Träger, irgendwie
gelagert.
Ein ganz einfacher Träger.
Sie schneiden den hier irgendwo in zwei, haben Sie zwei Teile.
Ein Teil Aktio, der andere Teil Reaktio.
Wenn Sie an dem einen Teil die Kräfte und Momente in die eine Richtung
zeigen lassen, müssen Sie die am anderen Teil in die entgegengesetzte
Richtung zeigen lassen.
Die Frage ist nur, wie herum lassen Sie die zeigen?
Und das dürfen Sie sich nicht aussuchen.
Auch wenn das in der mündlichen Prüfung die Kandidaten gerne möchten.
Aber dann sage ich, da gab es doch eine Konvention.
Beherzigen Sie bitte die Vorzeichenkonvention.
Und die Vorzeichenkonvention stelle ich Ihnen hier vor.
Sie haben ein hier oben eingeführtes Koordinatensystem.
Das läuft immer von links nach rechts, so wie Sie schreiben.
Und die Z-Achse wird immer nach unten abgetragen.
X, Z.
Und am positiven Schnittufer zeigen die positiven Normalkräfte,
Querkräfte, Biegermoment in die positive Richtung.
Alles positiv.
Deswegen positives Schnittufer.
Dreimal positiv.
Normalkraft positiv, Querkraft positiv, Biegermoment positiv.
Das heißt, am positiven Schnittufer zeichnen Sie bitte die Querkraft
nach unten, die Normalkraft nach rechts und das Moment mathematisch
positiv gegen den Uhrzeigersinn.
Dann sammeln Sie schon unheimlich Punkte bei Ihrem Prüfer, wenn Sie
das berücksichtigen.
Wenn Sie das nicht berücksichtigen, dann frage ich mich immer, war der
überhaupt in meiner Vorlesung oder hat er sich das irgendwie
ausgedacht, was er da macht.
So.
Positive Schnittgrößen in positive Koordinatenrichtungen.
Warum brauchen wir diese Konvention?
Weil wir danach gleich Zeichnungen von den Schnittgrößenverläufen
machen werden.
Wenn Sie die Koordinatensysteme anders wählen, also Normalkraft,
Moment und Querkraft anders einzeichnen, bekommen Sie andere
Vorzeichen heraus.
Wenn Sie sich sagen, naja gut, anderes Vorzeichen ist ja gar nicht so
schlimm.
Aber wir werden mit diesen Größen in der Festlichkeitslehre
Differenzialgleichungen herleiten.
Und wenn Sie diese Größen andersherum ansetzen, sind Ihre
Differenzialgleichungen im Vorzeichen anders und Sie bekommen völlig
andere Ergebnisse heraus.
Wenn Sie mit den gleichen Gleichungen rechnen, bekommen Sie schlicht
und ergreifend Nonsens heraus.
Und ich behaupte, 95 Prozent der Lehrbücher, 95 Prozent der
Formelsammlungen in der Festlichkeitslehre benutzen diese Konvention,
die ich hier benutze.
Nichts Exotisches, sondern einfach das, worauf sich nun einmal die
Mehrheit verständigt hat.
Und da müssen wir uns anschließen.
Sonst machen wir irgendwas, was nicht kompatibel ist zur
Fachliteratur.
Und Sie fallen auf die Nase, Sie wollen ja schließlich nicht nur meine
Vorlesung benutzen, sondern auch irgendwann mal ein Fachbuch
danebenlegen.
Und deswegen benutzen Sie diese Konvention.
Alles andere führt Sie ins Chaos, führt Sie ins Durcheinander.
Also, wir haben uns darauf geeinigt.
Das ist die Konvention.
Normalkraft, Querkraft und Biegemoment zeigen am positiven Schnittufer
in positive Koordinatenrichtungen.
Und wenn Sie mich jetzt noch fragen, wo ist das positive Schnittufer,
das ist immer da, wo Sie den Ursprung Ihres Koordinatensystems
hingelegt haben und legen Sie das immer ganz nach links, so wie Sie
auch schreiben, von links nach rechts.
Das negative Schnittufer kann aber durchaus auch wichtig sein.
Es kann durchaus auch mal möglich sein, dass Sie das negative
Schnittufer einsetzen, um diese drei Größen zu berechnen.
Sie haben hier die Wahl.
Sie können Querkraft, Biegemoment und Normalkraft berechnen, indem Sie
das positive Schnittufer betrachten oder das negative.
Welches Sie betrachten, ist egal, nur Sie müssen die Kräfte und
Momente richtig herum einzeichnen.
Am positiven Schnittufer positiv, am negativen Schnittufer genau
entgegengesetzt.
Jetzt gibt es noch eine Konvention.
Zunächst einmal, wie berechnet man die Schnittgrößen?
Machen wir ein einfaches Beispiel.
Ich werde Ihnen zeigen.
Sie sind sofort in der Lage, für ein einfaches Beispiel diese Verläufe
zu berechnen.
Ist überhaupt nicht schwer.
Schauen Sie sich folgendes an.
Ein Träger.
Festlager.
Loslager.
In der Mitte habe ich nicht ganz so gut gezeichnet, die Kraft F.
Das Ding hat also eine Länge L.
Die Kraft hier greife bei L halbe an.
Dann wissen Sie sofort, auflagerreaktionen sind klar.
Nennen wir das Lager A, das Lager hier B.
Schneiden Sie A, Z, AX und BZ.
Und hier haben Sie die Kraft F drauf.
Dann wissen Sie sofort, ich brauche Ihnen das nicht mehr groß
vorrechnen, AX ist gleich 0, AZ ist gleich BZ ist gleich F halbe.
Die teilen sich die Kraft auf.
Das waren die Lagerreaktionen.
Jetzt kommen die Schnittreaktionen.
Schnittreaktion heißt, ich muss an einer beliebigen Stelle schneiden.
Wir führen unser Koordinatensystem ein.
Wir führen es brav von ganz links kommend ein.
Z und X.
Wir sehen hier ein Stück von unserem Balken.
Ich habe das mal etwas größer gezeichnet.
Und jetzt schneiden wir einfach.
Und jetzt beachten wir die Vorzeichenkonvention.
Das heißt, hier kommt ein N ran, da kommt ein Q ran und hier kommt ein
M ran.
Die drei Größen suchen wir.
Die Frage ist nur, ist der Freischnitt vollständig?
Zunächst einmal fehlt natürlich die Lagerreaktion AZ.
AX kann ich mir schenken, AX ist gleich 0.
Sie können das einzeichnen, aber helfen wird es Ihnen nicht viel.
Was ist aber mit der Kraft F los?
Muss ich die einzeichnen oder muss ich die nicht einzeichnen?
Offenbar hängt es davon ab, an welcher Stelle ich schneide.
Wenn ich hier schneide, links von der Kraft F, dann sehe ich die ja
noch gar nicht in meiner Zeichnung.
Dann muss ich sie nicht einzeichnen.
Wenn ich aber rechts von der Kraft F, also hier drüben schneide, dann
muss ich die Kraft F ja wohl einzeichnen.
Also muss ich eine Fallunterscheidung machen.
Im ersten Fall läuft meine Variable S, bei der ich schneide, von 0 bis
L halbe.
Im zweiten Fall lasse ich mein S laufen von L halbe bis L.
Sie schreiben natürlich überall ein großes L.
So, bis L.
Dann sieht also der zweite Freischnitt, das ist der erste Freischnitt,
sieht der zweite Freischnitt ja wohl folgendermaßen aus.
Hier ist mein Balken.
Hier ist die Kraft A, Z.
Hier sehe ich jetzt F.
Und hier habe ich Normalkraft, Querkraft und das Biegemoment.
Jetzt muss ich für diese beiden Freischnitte Normalkraft, Querkraft
und Biegemoment ausrechnen.
Und dazu sagt die Konvention, berechne ein, Aussumme aller Kräfte
gleich 0.
Wer hätte das gedacht?
Berechne Q, Aussumme aller Vertikalkräfte gleich 0.
Hätte das gedacht?
Aber berechne M, Aus einem Gleichgewicht über alle Momente am
Bezugspunkt S.
Warum an dem Bezugspunkt S?
S als Flächenmittelpunkt.
Warum?
Das Momentengleichgewicht in diesem Punkt hier.
Beziehungsweise in diesem Punkt dort.
Nun, damit Normalkraft und Querkraft nicht in die Momentenbilanz
eingehen.
Sie sehen, deren Wirkungslinie geht natürlich durch den
Flächenmittelpunkt S.
Die gehen in das Momentengleichgewicht ein.
Wenn Sie sich mit Normalkraft oder mit Querkraft verrechnet haben, hat
das keinen Einfluss auf Ihr Ergebnis bei dem Moment.
Sie haben also nochmal eine Chance frei, wenigstens das Moment dann
richtig zu berechnen.
Und ich werde Ihnen zeigen, wie Sie das Ergebnis für das Moment und
Querkraft gegenseitig überprüfen können.
Deswegen wollen wir als Momentenbezugspunkt stets den
Flächenmittelpunkt S wählen.
Wir können uns dann etwas weniger verrechnen.
Deswegen ist diese Wahl zweckmäßig.
Sie müssen das nicht so machen, aber Sie haben dann eine Chance frei,
wenigstens noch das Moment richtig zu berechnen.
Jetzt machen wir das hier für das Beispiel.
Also, wir haben zwei Fälle, die wir unterscheiden müssen.
Im ersten Fall formulieren wir Summe aller Kräfte in horizontaler
Richtung gleich Null und erhalten N gleich Null.
Langweilig.
Im zweiten Fall schauen wir uns die Vertikalkräfte an.
Und wir erhalten AZ minus Q gleich Null.
Q minus AZ gleich Null.
Jedenfalls Q gleich AZ.
Und im dritten Fall formulieren wir jetzt die Summe aller Momente um
den Bezugspunkt S gleich Null.
Und da haben wir das freie Moment M, was wir berücksichtigen müssen.
Das dreht positiv.
Und negativ dreht jetzt AZ.
Aber AZ braucht natürlich noch einen Hebelarm.
Und Sie glauben nicht, in wie vielen mündlichen Prüfungen ich da höre,
der Hebelarm für AZ ist aber L halbe.
L halbe, wir schneiden doch an einer beliebigen Stelle.
Also der Hebelarm für AZ ist diese Länge hier.
Diese Länge ist der Hebelarm für AZ.
Und da wir an einer beliebigen Stelle schneiden, nämlich an der Stelle
S, manchmal nennen wir die auch X, ist egal, kommt hier der Hebelarm S
rein.
Sehen Sie, da habe ich sogar schon X geschrieben.
Naja, es ist egal, nennen Sie X oder S.
Wie Sie die Laufvariable nennen möchten.
So, jetzt kommt der zweite Freischnitt.
Den müssen wir auch noch behandeln.
Dann sehen wir, Summe aller Kräfte in X-Richtung gleich Null.
Daraus folgt, Normalkraft ist immer noch Null.
Summe aller Kräfte in Z-Richtung gleich Null.
Daraus folgt, Querkraft ist AZ.
Aber, F ist jetzt auf einmal auch da.
AZ minus F.
Oder Q plus F minus AZ gleich Null.
Q gleich AZ minus F.
Jetzt kommt das Momentengleichgewicht im Punkt S.
Da haben wir erstmal M, dreht positiv.
Jetzt ist da aber die Kraft F.
Die dreht auch positiv um den Punkt S, um diesen Punkt hier.
Hebelarm S minus L halbe.
Und dann haben wir noch die Kraft AZ.
AZ dreht negativ.
Hebelarm S.
So, jetzt haben wir es ja fast.
Wir müssen nur noch AZ ersetzen durch F halbe.
Dann sehen wir, hier ist die Querkraft F halbe.
Hier für das Moment erhalten wir AZ mal S.
AZ ist F halbe, also F halbe mal S.
Hier erhalten wir Querkraft gleich AZ minus F.
AZ ist F halbe, also erhalten wir minus F halbe.
Und hier erhalten wir...
Uh, da fehlt gleich Null.
Da fehlt ja auch gleich Null.
Also, schreiben wir hier noch hin, gleich Null.
Das ist eine Gleichung.
Wir erhalten für M...
Was erhalten wir für M?
F mal S.
Minus F mal S.
Plus F halbe mal S.
Also,
F mal S.
F halbe mal S.
Und dann haben wir noch minus F mal L halbe, auf die andere Seite zu
schaufeln.
Also, plus F mal L halbe.
Und ich vermute, jetzt habe ich mich irgendwo im Vorzeichen vertan.
Also, FS bringen wir auf die andere Seite.
Das ist, ja, hier kommt ein negatives Vorzeichen noch hin.
F mal L halbe minus F mal S halbe.
Das Erste, was Sie an dem Ergebnis sehen, ist...
Wir haben tatsächlich Funktionsverläufe ausgerechnet.
Das Ding hängt von S ab.
Das Ding hängt hier auch von unserer Laufvariablen S ab.
Also, wir bekommen nicht ein Ergebnis an einem Punkt raus, sondern wir
bekommen Verläufe...
mit S, können dazu auch X sagen, von Null bis L, der Gesamtlänge
unseres Tagwerks heraus.
Und Sie sehen, diese Verläufe, die können auch ganz schön stark
springen.
Schauen Sie sich die Querkraft an.
Die ist hier F halbe.
Und auf einmal fällt hier ein, das Vorzeichen zu ändern.
Da ist sie dann minus F halbe.
Na gut.
Besonders schön wird es jetzt, wenn wir uns das Ergebnis grafisch
anschauen.
Überlegen wir uns mal schnell, was müssten wir uns dazu vorstellen.
Querkraft, links von der Kraft F konstant, rechts von der Kraft F
konstant, aber mit einem Vorzeichenwechsel.
Moment.
Links S gleich Null eingesetzt, von Null an der Lagerstelle ansteigend
bis F mal L halbe.
Auf der rechten Seite setzen Sie mal kurz für S L halbe ein.
Da kommt da Null raus, das kann aber nicht sein.
Haben wir uns doch irgendwo verrechnet.
S minus L halbe.
Setzen wir für S...
Ja, setzen wir für S L halbe ein.
Da kommt natürlich nicht L halbe heraus, sondern L viertel.
Ach, das kleine 1x1 hier nicht beherrscht.
Und setzen wir für S L ein, dann kommt aus der unteren Gleichung Null
raus.
Können Sie sich das vorstellen?
Zwei Graben.
Wir schauen uns das gleich grafisch an.
Jetzt ist die Frage, wie schauen wir uns das grafisch an?
Da gibt es auch eine Konvention.
Wir zeichnen die Grafiken nicht irgendwie, sondern wir berücksichtigen
eins, was vielleicht etwas komisch ist.
Wir tragen das Moment nach unten an.
So, jetzt machen wir das mal für das Beispiel, was wir eben hatten.
Sie erinnern sich, Normalkraftverlauf ist ganz einfach zu zeichnen.
Ist hier einfach nur Null.
Nee, AS eintauchen wollen wir nicht.
Ach komm schon.
Zeichnung einfügen, Zeichnung löschen.
So, also.
So schaut das Ganze aus für die Normalkraft.
Für die Querkraft müssen wir uns die Stelle L halbe hier irgendwo
markieren.
Hier sei also L.
Für das Moment werden wir uns auch die Stelle L halbe markieren und
hier sei L.
Also, Querkraftverlauf.
Im ersten Teil minus F halbe, im zweiten Teil plus F halbe.
Also, sehen wir folgendes.
Das Ganze verläuft so.
Minus F halbe negativ.
Plus F halbe positiv.
Denken Sie immer daran, nicht nur irgendwas hinzuzeichnen, den
Verlauf, sondern auch die Werte anzugeben.
Also den Wert und den Wert zu sagen, wo der Sprung auftritt.
Ach, und jetzt habe ich das verkehrt herum angezeichnet.
Positiv.
Und hier negativ.
Kam das auch so raus bei unserer Rechnung?
Jetzt muss ich noch mal eine Seite zurückblättern.
Ja, es kam auch so raus.
Sinn, Sinn.
Ich hab mich dann nur in der Konvention verhauen.
Also hier plus und dort minus.
So,
jetzt kommt der Momentenverlauf.
Der Momentenverlauf ist linear.
Wir haben lineare Funktionen ausgerechnet.
Und wir haben uns ausgerechnet, der startet hier bei null.
Kommt hier auch wieder bei null an.
Aber positiv.
Schauen wir das noch mal nach auf der Seite.
Positiver Momentenverlauf.
Wenn Sie dort im ersten Fall für S L halbe einsetzen, dann landen Sie
bei F mal L viertel.
Im zweiten Fall landen Sie ebenfalls bei F mal L viertel.
Also wissen wir folgendes.
Linearer Verlauf.
Eine Gerade ist stets durch zwei Punkte definiert.
F mal L viertel ist der Wert an dieser Stelle.
Der Verlauf ist also so.
Positiv.
Wenn Sie das gezeichnet haben, können Sie sich an Ihrer Zeichnung
fragen, war die Rechnung richtig oder haben wir uns vertan.
Und Sie sehen, es gibt Fehlerquellen en masse.
Ich habe mich hier auch schon mit dem Vorzeichen vertan oder mal mit
einem Wert vertan.
Das geht ganz schnell, das kann Ihnen passieren, das kann mir
passieren, das kann eigentlich jeder passieren.
Deswegen ist es so wichtig, dass man sich die Verläufe anschaut und
sich überlegt, sind diese Verläufe plausibel oder sind sie es nicht.
Schauen wir uns an, was mit dem Querkraftverlauf passiert.
Wir haben uns ja als erstes die Lagerreaktion ausgerechnet.
Und die Lagerreaktion war F halbe.
Das erste, was ich hier also ablesen kann,
ist diese Lagerreaktion.
F halbe.
Dann passiert nichts.
Ergo muss die Querkraft konstant sein.
So erklärt sich dieser Verlauf.
Dann kommt hier die Kraft F.
Die Kraft F sorgt dafür, dass die Querkraft in den Keller geht.
Diese Differenz, diese Strecke hier, wie groß ist die?
F halbe.
Und unten nochmal F halbe.
Die ist genau gleich F.
Verantwortlich dafür die äußere Kraft F, die die Querkraft in den
Keller drückt.
Danach wieder keine neue Information, keine neue Kraft, die an den
Träger angreift.
Also konstanter Verlauf der Querkraft.
Und zum Schluss kommt die Lagerkraft.
F halbe.
Und die Lagerkraft finden Sie wieder hier.
F halbe.
Das heißt, allein aus den Lagerreaktionen und der äußeren Kraft kann
ich mir überlegen, dass dieser Verlauf so plausibel ist, dass der so
rauskommen muss.
Jetzt ist die Frage, wie sieht das mit dem Moment aus?
Können wir uns da auch irgendwas überlegen, dass das plausibel ist?
Erstens.
Das Moment an den Lagerstellen hier und dort verschwindet.
Muss es auch.
Warum?
Wir hatten ja schließlich ein Festlager und ein Loslager.
Stellen Sie sich vor, dort wäre noch ein überschüssiges Moment.
Dann würde das dazu führen, dass Ihr Träger kippt.
Dass das Lager selbst verkippt, und das wollen wir nicht, das würde
der Statik widersprechen.
Wir hätten es mit einer Bewegung zu tun.
Die Gleichgewichtsbedingungen werden in diesem Punkt nicht erfüllt.
Mit anderen Worten, Ihr Lager könnte so einem überschüssigen Moment
kein Moment entgegengesetzen.
Das kann nur eine feste Einspannung, aber weder ein Festlager noch ein
Loslager.
Also, bei einem Festlager und einem Loslager wissen wir, hier muss das
Biegemoment verschwinden.
Sonst würde das Lager verdreht werden und dann wären wir nicht in der
Statik.
Das nächste, was wir sehen, wir haben einen linearen Verlauf.
Das ist auch plausibel.
Warum?
Es ändert sich ja nur der Hebelarm.
Der wird immer länger, immer länger.
Der ändert sich linear.
Und die Kraft, diese Einzelkraft, die bleibt gleich.
Wenn wir jetzt so eine Gerade haben, können wir nach der Steigung
dieser Graden fragen.
Also nach dieser Steigung und nach dieser Steigung.
Wodurch wird diese Steigung bestimmt?
Schauen Sie sich nochmal an, wie wir geschnitten haben.
Hier haben wir die Kraft F halbe.
Hier haben wir den Hebelarm, X.
Und hier hatten wir unsere Schnittreaktionen, M, N und Q.
Das X, unseren Hebelarm, multiplizieren wir mit F halbe.
Das heißt, unser Ergebnis war F halbe mal X oder F halbe mal S.
Dann ist diese Steigung F halbe.
Aha.
Wir finden bei der Steigung den Wert der Querkraft.
Und wir finden bei der Steigung in diesem Abschnitt den Wert der
Querkraft.
Das ist doch toll.
Also wir können Querkraft und Moment, das Ergebnis miteinander
vergleichen.
Offenbar finden wir die Steigung des Momentenverlaufs als Wert der
Querkraft.
Wenn wir jetzt an Ableitung denken, Steigung wäre erste Ableitung.
Erste Ableitung des Momentenverlaufs hat was mit der Querkraft zu tun.
Und das werde ich Ihnen gleich noch beweisen, was das mit der
Querkraft genau zu tun hat.
Was wir feststellen, wir stellen fest, bei einer Einzelkraft, den Fall
haben wir uns eben angeschaut, haben wir einen Sprung im
Querkraftverlauf und unser Momentenverlauf macht einen Knick.
Also, beim Querkraftverlauf ist der Verlauf selbst unstetig, beim
Momentenverlauf ist es die erste Ableitung.
Verantwortlich dafür offenbar diese Kraft F, die ich an der Stelle als
Einzelkraft eingeleitet habe.
Horizontal geht das genauso.
Horizontal äußert sich das in Sprüngen in den Endlinien.
Jetzt werden Sie sich vielleicht fragen, wie bekomme ich denn einen
Sprung in der Normalkraft?
Ganz einfach.
Sie haben folgendes.
Sie haben hier ein Loslager und hier ein Festlager.
Damit leiten Sie an dieser Stelle Normalkraft und Querkraft ein.
Wenn Sie von außen eine Normalkraft drauf haben, wird Ihr Lager
ordentlich gegenhalten müssen.
Also, wenn Sie da den Freischnitt machen, Lager A, Lager B, haben Sie
hier BZ und dort eine Kraft BX anzugreifen, hier eine Kraft AZ und von
außen die Kraft F.
Sie sehen also sofort, F ist gleich BX und an dieser Stelle greift
aufgrund des Lagers eine einzelne Kraft in horizontaler Richtung an
und die wird dafür sorgen, dass wir in der Normalkraftlinie einen
Sprung haben.
So, und der letzte Fall, freie Momente irgendwo angreifend sorgen für
einen Sprung in der Endlinie.
Unstetigkeit in der Endlinie.
Das ist das, was man sofort an diesen Linien sehen kann.
Sie sehen, wie wichtig die zeichnerische Darstellung ist.
Sie können damit Ihr Berechnungsergebnis kontrollieren.
Jetzt haben wir eins gesehen bei dem Beispiel.
Wir haben gesehen, wir müssen eine Fallunterscheidung machen.
Wir müssen Bereiche unterteilen.
Das war der Schlüssel zum Berechnungserfolg.
Der lag daran, dass wir nicht gesagt haben, wir können das als eins
betrachten, sondern wir müssen verschiedene Fälle unterteilen und
diese Fälle können wir dann einzeln nacheinander abarbeiten und in
jedem Bereich können wir dann den Verlauf berechnen, fertig, aus.
Jetzt ist die Frage, wie kommen wir zu diesen Fallunterscheidungen?
Die Bereiche unterteilen.
Also, schauen wir uns nochmal das Beispiel an.
Bestlager, Loslager, Kraft F.
Wir haben festgestellt, wenn wir an einer beliebigen Stelle schneiden,
gibt es zwei Szenarien.
Szenario 1, wir schneiden links von der Kraft F und wir sehen sie
nicht.
Szenario 2, wir schneiden rechts von der Kraft F und wir sehen am
positiven Schnittufer auch die Kraft F und das Lager.
Wer war schuld daran, dass wir zwei Bereiche anlegen mussten?
Die Kraft F.
Offenbar, immer dann, wenn wir irgendwo eine einzelne Kraft einleiten,
müssen wir einen neuen Bereich ansetzen.
Also, Beispiel.
Ein Lager hier, ein Lager dort, eine Kraft hier und eine Kraft dort.
Wie viele Bereiche brauchen wir?
Ein Bereich hier, von hier nach dort.
Das wäre ein Bereich.
Wenn wir in den Bereich schneiden und Sie schauen sich das positive
Schnittufer an, machen den Freischnitt für das positive Schnittufer,
sehen Sie nur die Lagerreaktion bei A.
Mehr nicht.
Bereich 2, wenn Sie zwischen dem Lager B und dieser Einzelkraft hier
schneiden, sehen Sie die Krafteinleitung vom Lager A, die
Krafteinleitung vom Lager B und mehr nicht.
Zweiter Bereich.
Dann kommt auf einmal die Einzelkraft.
Wir müssen einen neuen Bereich ansetzen, Bereich 3.
Und der geht bis hier hinten.
Und diese Kraft hier hinten, nennen wir die F1 und die F2.
Und das glaubt man am Anfang gar nicht.
Die Kraft, die sehen Sie nie.
Außer am negativen Schnittufer, da sehen Sie die natürlich.
Aber am positiven Schnittufer sehen Sie die nie.
Wo geht die dann in Ihre Berechnung ein, wenn Sie sich fragen, wenn
man die nie sieht, oder kann ich die dann einfach weglassen?
Eine Kraft, die man nicht sieht, kann ich doch eigentlich weglassen.
Die geht schon bei den Lagerreaktionen natürlich in Ihre Berechnung
ein.
Das Lager A hier muss sich mächtig anstrengen, in horizontaler
Richtung, um diese Kraft F2 aufzunehmen.
Folglich, Sie sehen sofort, Ax gleich F2, wenn Sie das entgegengesetzt
anzeichnen.
Folglich taucht sie auch in Ihren Schnittgrößenverläufen überall auf.
Überall, wo Sie das Lager A drin haben, taucht schon die Kraft F2 über
die Lagerreaktion Ax auf.
Sie haben sie also in Ihrer Berechnung berücksichtigt, auch wenn Sie
sie im Freischnitt nie sehen.
Bei den Lagerreaktionen sehen Sie sie im Freischnitt.
Wie würde also für die Schnittreaktion ein Freischnitt, eine
Bereichsunterteilung aussehen?
Nennen wir das Ganze 0 bis L und nennen das hier L1.
Den Punkt nennen wir L2.
Von hier bis hier sei die Länge L1.
Und von hier bis da drüben sei die Länge L2.
Hier ist Ihre Koordinate X.
Und nach unten tragen Sie bitte immer nach unten die Koordinate Z ab.
Freischnitt.
Im Bereich 1 sehen Sie Az und Ax, die Sie sich vorher ausgerechnet
haben.
Und Sie haben hier Ihr positives Schnittufer.
Querkraft, Normalkraft, Biegemoment.
Das wäre der Bereich 1.
Und der geht von 0 kleiner x kleiner L1.
Der Bereich 2.
Der reicht jetzt von L1 x kleiner als L2.
Was sehen Sie in Ihrem Freischnitt?
Sie sehen das Lager A.
Ax, Az.
Az und Ax.
Sie sehen das Lager B.
Und Sie haben hier irgendwie Normalkraft, Moment, Querkraft.
Im Bereich 3 schneiden Sie zwischen X größer als L2 und kleiner als L.
Und was sehen Sie?
Az, Ax, B und F1.
Und Sie haben hier Ihr positives Schnittufer.
Moment.
Normalkraft, Querkraft.
Und wenn Sie jetzt gut sind, dann sagen Sie sich beim Bereich 3, ich
bin faul, das tue ich mir doch nicht an mit diesen ganzen Kräften da.
Da kann ich mich doch viel zu sehr verrechnen.
Ich schaue mir das negative Schnittufer an.
Ja.
Warum?
Normalkraft, Querkraft, Wiegemoment.
Und am negativen Schnittufer greift nur die Kraft F2 an.
Mehr nicht im Bereich 3.
Sie sehen also sofort, N ist gleich minus F2.
Querkraft ist gleich 0, Moment ist ebenfalls gleich 0.
Also, hier ist es im Bereich 3 viel einfacher, mit dem negativen
Schnittufer zu arbeiten.
Viel einfacher, als wenn Sie mit dem positiven Schnittufer arbeiten.
Stellen Sie sich am positiven Schnittufer einen Momentbilatz vor.
Hoffnungslos.
X Hebelarme, ein Hebelarm für AZ, ein Hebelarm für B, ein Hebelarm für
F1.
Sollen Sie sich das wirklich antun?
Nehmen Sie doch das negative Schnittufer.
Sie sehen sofort, dieses Moment muss 0 sein.
Beim positiven Schnittufer, irgendwo vertun Sie sich mit den
Hebelarmen, mit den Vorzeichen oder sonst irgendwas und kriegen
irgendwas ungleich 0 heraus und es ist gottfalsch.
Am negativen Schnittufer sehen Sie die Lösung sofort.
Es kann also vorteilhaft sein, wenn die Belastung dort einfacher ist,
mal eben zum negativen Schnittufer überzuspringen, das sich
hinzuzeichnen, Freischnitt zu machen und dort Kräfte gleich Gewicht zu
machen.
Sie sind frei, Sie haben zwei Möglichkeiten.
Positives Schnittufer oder negatives Schnittufer.
Gehen Sie nach dem Einfachheitsprinzip oder nach dem Faulheitsprinzip
vor.
Machen Sie dort die Berechnung, wo es einfacher, wo es leichter ist.
Na klar, wir wollen uns doch das Leben möglichst einfach machen.
Jetzt haben wir also gesehen, wir müssen eine Bereichsunterteilung
vornehmen, wenn sich die Belastung ändert.
Und die Belastung ändert sich durch Auftritten von Einzelkräften oder
freie Momente.
Die Belastung ändert sich aber auch durch Lager.
Also hier, durch dieses Lager, was dort in der Mitte Ihres Tragwerks
auftritt.
Und dann gibt es noch ein Fall.
Auftritten,
Änderung von Streckenlasten.
Wir werden gleich nochmal im Detail behandeln, die Streckenlasten.
Also so etwas hier.
Plötzlich haben wir hier eine Streckenlast.
Folge, wir haben einmal diesen Bereich, Bereich 1, ohne die
Streckenlast, Bereich 2, Bereich mit der Streckenlast und Bereich 3,
nach der Streckenlast.
Anderer Fall.
Wir haben eine Streckenlast,
aber die Streckenlast ist erst konstant und dann fällt ihr ein, linear
zu Null zurückzugehen.
Es ist dann zweckmäßig, hier einen neuen Bereich anzulegen.
Also einen Bereich zu nehmen, wo die Streckenlast konstant ist, den
zweiten Bereich, wo sie linear abfällt.
So, jetzt kann sich aber nicht nur die Belastung ändern, sondern es
kann sich auch die Geometrie ihres Bauteils ändern.
Also...
Geometrieänderung.
Beispiel.
So ein Haken.
Hier greift eine Kraft F an.
Bereich 1, von dort bis dort.
Bereich 2, von hier nach dort.
Jetzt beachten Sie, Ihre X-Koordinate läuft immer mit der Achse des
Tragwerks mit.
Das heißt, hier haben Sie X und nach unten tragen Sie Z ab.
Und jetzt stellen Sie sich hier hin, drehen Ihren Kopf.
Dann ist das hier X.
X läuft immer mit der Achse mit.
Und Z läuft jetzt nach da.
Ich habe es auch schon so hingeschrieben, als hätte ich den Kopf
gedreht.
Ich kann es dann so hinschreiben.
Drehen Sie einfach, wenn da Ihr Tragwerk sich dreht, drehen Sie Ihren
Kopf mit.
Und Ihre X-Achse zeigt dann immer gleich.
Ihre X-Achse zeigt immer in Längsachse des Trägers.
Sie drehen das Koordinatensystem entsprechend mit.
Dann haben Sie wieder alles, was in positiver X-Richtung zeigt, ein
positives Schnittufer und Sie können sich nicht vertun.
Auch bei diesem Beispiel kann es übrigens zweckmäßig sein.
Nämlich hier in dem zweiten Abschnitt.
Mal sich das negative Schnittufer anzuschauen, ist wesentlich
einfacher als das positive Schnittufer.
Am positiven Schnittufer bekommen Sie alle Lagerreaktionen hier an der
festen Einspannung voll mit.
Wollen wir nicht.
Viel zu viel Hebelarme, viel zu kompliziert.
Schauen Sie sich lieber das negative Schnittufer mindestens für den
Bereich 2 an.
So, Geometrieänderung.
Das kann also so ein rechter Winkel sein.
Das kann manchmal auch ein bisschen gutartiger aussehen.
Dann muss man den Kopf nicht ganz so weit neigen.
Einfach sowas hier.
Und hier ein Winkel Alpha.
Und hier haben wir vielleicht noch eine Belastung irgendwie drauf.
Also, jede Art von Geometrieänderung führt dazu, dass Sie einen neuen
Bereich anlegen müssen.
Hier haben wir also ein Bereich, zweiter Bereich wegen des Lagers,
dritter Bereich wegen der Geometrieänderung.
Geometrieänderung oder Belastungsänderung heißt, ich muss einen neuen
Bereich anlegen.
Und in diesem Bereich mache ich dann einfach einen Fallschnitt und
rechne aus und fertig.
So funktioniert das für Einzellasten.
Ich habe jetzt hier nochmal ein zweites Beispiel, aber das finden Sie
auch im Skript.
Das läuft genauso wie mit der einen Kraft.
Jetzt haben Sie halt hier noch zusätzlich eine Kraft Fx.
Sonst ist das Ganze wie gehabt.
Mit Fz haben wir schon gearbeitet.
Und Sie sehen, hier heißen die Strecken nur L1 und nicht L1,5.
Und daraus ergeben sich hier diese Verhältnisse.
Bei den Lagerreaktionen L1 durch L teilen sich also nicht mehr ganz so
brüderlich auf.
Aber ansonsten ist das Beispiel wie vorher.
Und dadurch, dass wir hier die Kraft Fx haben, bekommen wir natürlich
eine Kraft Ax und damit auch einen Normalkraftverlauf.
Interessanter wird es jetzt, wenn eine Streckenlast ins Spiel kommt.
Die Verläufe sind hier wieder aufgezeichnet für diesen Fall.
Sie sehen hier wieder den linearen Verlauf.
Sie sehen beim Moment an den Lagerstellen muss das Moment
verschwinden.
Sie sehen hier den konstanten Verlauf der Querkraft.
Sie sehen den Querkraftsprung in der Höhe von Fz.
Und Sie finden hier Ihre Lagerreaktion wieder.
Also alles wie bei dem Beispiel, was ich Ihnen eben gezeigt habe.
Jetzt aber ein Beispiel mit einer Streckenlast.
Wie rechnen wir denn dort?
Nun zunächst einmal die positive Nachricht.
Bereichsunterteilung brauchen wir hier nicht.
Die Streckenlast geht durch von x gleich 0 bis x gleich L.
Also keine Bereichsunterteilung nötig.
Jetzt die schlechte Nachricht, das was der Zeichner hier gemacht hat,
ist natürlich grober Umflug.
Was hat er gemacht?
Er hat hier zwei Dinge miteinander vermengt.
Er hat einmal eine Ersatzkraft eingezeichnet und einmal die Querkraft
Q0.
Und er hat schon einmal die Lager weggelassen.
Eigentlich müssten wir die Zeichnung anders machen.
Starten müssten wir mit folgender Zeichnung.
Balken, Lager A, meinetwegen Festlager.
Wo Sie das hinsetzen ist egal, Sie können das auch nach rechts setzen.
B und auf diesem Balken eine konstante Streckenlast.
Das wäre die Aufgabenstellung.
Naja, die ist jetzt ein bisschen verwackelt.
Also Q0.
Dann kommt der Freischnitt.
Und beim Freischnitt müssen Sie sich jetzt für eins von den beiden
Fällen entscheiden.
AZ, BZ.
Sie müssen sogar noch AX einzeichnen, damit es ein vollständiger
Freischnitt ist.
Entweder Sie fassen das Ganze zu einer Einzellast zusammen.
Q0 mal L.
Oder Sie lassen die Streckenlast noch stehen, aber Sie müssen sich
entscheiden.
Jetzt wollen wir erstmal die Lagerreaktion berechnen.
Dazu fassen wir das zu Q0 mal L zusammen.
Und wir wissen sofort wieder, das teilt sich brüterlich auf.
Brüterlich AZ gleich BZ gleich Q0 mal L halber.
AX gleich 0.
So, das war der erste Schritt.
Jetzt kommen die Schnittreaktionen.
Und jetzt kommt ein berühmter Anfängerfehler.
Und dieser Anfängerfehler, der tritt auch immer noch in den mündlichen
Prüfungen auf.
Jetzt schaue ich mir den Freischnitt hier an und sage, okay, ich habe
gelernt, wenn da eine Kraft in der Mitte angreift, dann muss ich eine
Bereichsunterteilung machen.
Also, Bereich 1 hier, Bereich 2 dort.
Im Bereich 1 sehe ich überhaupt nichts von meiner Streckenlast Q0L.
In der mündlichen Prüfung kommt dann sofort die Nachfrage, kann das
sein?
Nee, das kann nicht sein, das ist grober Umfug.
Sie dürfen nicht mit diesem Freischnitt arbeiten, um die
Bereichsunterteilung für die Schnittreaktionen vorzunehmen.
Warum?
Sie haben hier eine Reduktion durchgeführt.
Von dort nach dort haben Sie gesagt, diese ganze Streckenlast, die da
drauf ist, ist äquivalent zu der Einzelkraft in der Mitte.
Das war aber eine Äquivalenz, die gilt nur dann, wenn Sie das gesamte
Tragwerk betrachten.
Sie wollen aber schneiden, Sie wollen nur noch einen Teil des
Tragwerks betrachten.
Schneiden wir mal im Bereich 1.
Die Behauptung, die kühle Behauptung von jemandem, der hier schneiden
würde, wäre, ich sehe von dem Q0L gar nichts.
Jetzt gehen wir aber hier zurück und suchen den Schnitt, und der wäre
hier.
Und sehen Sie, natürlich sehen Sie was.
Das da.
Das ganze Ding wirkt doch auf diesen Abschnitt.
Und das ist doch nicht etwa 0, sondern das ist doch eine Streckenlast,
die dort wirkt.
Also, wenn wir eine Schnittreaktion machen, dann müssen wir die
Streckenlast ja mit berücksichtigen.
Q0N, Querkraft, Moment.
Hier ist unser Koordinatensystem.
Z mal X.
Jetzt müssen wir das Ganze wieder reduzieren.
Und die Frage dabei ist natürlich, wie lang ist dieses Stück?
Und das ist wieder unsere Länge S.
Sie können die auch X nennen.
Aber das ist nicht L im Allgemeinen.
Nur in einem einzigen Fall, wenn Sie ganz rechts schneiden.
Aber danach habe ich Sie nicht gefragt.
Wir wollten Verläufe ausrechnen.
Also diese Strecke ist S und nicht L.
Wirklich, unterstreichen Sie sich das ganz fett.
Sie glauben nicht, wie oft ich das sehe in den mündlichen Prüfungen.
Da steht dann L.
Und dann frage ich immer nach, wieso?
Wir wollten doch eigentlich Schnittreaktionen ausrechnen und nicht da
hinten schneiden.
Also die Strecke ist jetzt S lang.
Folglich sieht die Reduktion aus X, Z, Ihr Koordinatensystem.
Hier greift in der Mitte eine Einzelkraft an.
Q0 mal S.
Dieses Rechteck.
Fläche dieses Rechtecks.
Q0 mal S.
Hebelarm.
Bis zu dem Punkt, an dem wir dann schneiden.
S halbe.
Moment.
Querkraft, Normalkraft.
So.
Und jetzt haben wir alles.
Wir haben einen schönen Freischnitt.
Alles, was wir brauchen, um Normalkraft, Querkraft und Moment
auszurechnen.
Was stellen wir fest?
Eins fehlt.
Lagerreaktion vergessen.
AZ.
Hier AZ.
Was stellen wir fest?
Summe aller Kräfte in X-Richtung gleich 0.
Normalkraft verschwindet.
Summe aller Kräfte in Z-Richtung gleich 0.
Querkraft.
Plus Q0 mal S.
Minus AZ gleich 0.
Oder Querkraft ist gleich AZ.
Q0 mal L halbe.
Minus Q0 mal S.
Jetzt hat also offenbar die Querkraft hier einen linearen Verlauf und
keinen konstanten Verlauf mehr.
Wenn Sie das so gerechnet hätten wie vorher mit einer Einzelkraft in
der Mitte, hätten Sie was ganz anderes herausbekommen.
Sie hätten konstante Verläufe wie in dem Beispiel vorher für die
Querkraft herausbekommen.
Völlig verkehrt.
Sie sehen das hier.
Der Querkraftverlauf ist linear.
Dritte Gleichung.
Momentengleichgewicht um den Bezugspunkt S.
Da haben wir das Moment M.
Positivdrehend.
Ebenfalls positivdrehend.
Q0 mal S mit dem Hebelarm S halbe.
Also Q0 S Quadrat halbe.
Und AZ.
Negativdrehend mit dem Hebelarm S.
Gleich 0.
Wir stellen wieder um nach M.
Und erhalten M ist gleich Minus Q S Quadrat halbe.
AZ war Q0 mal L halbe plus Q0 mal L mal S geteilt durch 2.
So.
Was stellen wir beim Momentenverlauf fest?
Wir stellen fest, der Momentenverlauf ist eine quadratische Funktion
in S.
Und wenn ich S gleich 0 einsetze, ist das Moment gleich 0.
Klar, wir haben dort ein Festlager.
Kann kein Moment aufnehmen.
Also das Moment muss an der Lagerstelle verschwinden.
Für S gleich L muss das Moment also auch verschwinden.
Setzen Sie es rasch ein.
Dann haben Sie Minus Q mal L Quadrat halbe plus Q mal L Quadrat halbe
gleich 0.
Also das Moment verschwindet wieder an den beiden Lagerpunkten.
Was können wir noch sagen?
Querkraftverlauf sehen wir ist linear über den Träger.
Wir finden wieder, wenn wir S gleich 0 einsetzen mit Q0 mal L halbe
unsere Lagerreaktion wieder.
Und wir finden auch am anderen Ende unsere Lagerreaktion wieder, wenn
wir den gesamten Verlauf betrachten dieser Geraden.
Sie sehen, die Gerade hat eine Steigung von Q0, Minus Q0, also es geht
abwärts.
Hier sehen Sie den Verlauf.
Sie sehen hier Ihre Lagerreaktion.
Q0 mal L halbe.
Sie sehen hier die Gerade mit Steigung Minus Q0.
Ups, geht es abwärts.
Hier sehen Sie den Nulldurchgang dieser Gerade.
Und hier auf der anderen Seite, diese Differenz ist wieder die
Lagerreaktion B.
Was hat es mit diesem Nulldurchgang auf sich?
Schauen Sie mal, wo wird denn das Moment maximal?
Das Moment wird dort maximal, wo die Querkraft 0 wird.
Aha, also wieder ein Verdacht, der naheliegt.
Ableitung des Momentenverlaufs ist die Querkraft.
Erste Ableitung gleich 0, ein Extremum liegt vor.
Also Extremum im Biegemoment finden wir entweder am Rand oder dort, wo
der Querkraftverlauf gleich 0 ist.
Parabelförmiger Verlauf der Querkraft und an den Randpunkten des
Biegemoments ist das Biegemoment gleich 0.
Also auch hier haben Sie wieder jede Menge Möglichkeiten, um Ihr
Berechnungsergebnis zu überprüfen.
Konstante Streckenlast heißt Querkraftverlauf linear.
An den Randpunkten dieses Verlaufes müssen Sie die Lagerreaktionen
wiederfinden.
Dort, wo der Querkraftverlauf 0 ist, müssen Sie mindestens ein lokales
Extremum Ihres Biegemomentenverlaufes haben.
An den Lagerstellen bei einem Fest- und Loslager verschwindet das
Biegemoment.
All dies sind Informationen, mit denen Sie Ihr Berechnungsergebnis
überprüfen können.
Mit denen Sie schauen können, ob das Berechnungsergebnis richtig ist.
So.
Jetzt haben wir aber noch den allgemeinen Fall einer Streckenlast.
Bums.
Er klaut mir da was.
So.
So sieht das im allgemeinen Fall aus für eine Streckenlast.
Das kann hier also irgendwas Welliges sein.
Und das tut Ihnen überhaupt nicht den Gefallen, ein Rechteck zu sein,
über das Sie so einfach integrieren können.
Und dann eine Einzelkraft ausbauen können.
Wie gehen Sie dort vor?
Sie führen sich ein, die Koordinaten x und z und noch eine
Hilfsvariable.
Nennen wir die Hilfsvariable.
Vielleicht haben Sie eine Abneigung gegen griechische Buchstaben, der
Mechaniker hat die nicht.
Nennen wir die Xi.
Das Xi soll an das X erinnern.
Dann bekomme ich doch folgendermaßen meinen Verlauf.
Summe aller Kräfte in x-Richtung gleich 0.
Normalkraft gleich 0.
Okay, langweilig.
Summe aller Kräfte in z gleich 0.
Und jetzt kommt's.
Lagerreaktion A.
Minus A.
Stellen Sie sich vor, Sie schneiden hier irgendwo und bringen dort die
Normalkraft, die Querkraft und das Moment an.
Dann müssen Sie Q dazu addieren.
Und Sie müssen integrieren.
Integral von 0 bis zu der Stelle, an der Sie schneiden.
S genannt.
Über den Querkraftverlauf.
Xi.
D.
Xi.
Gleich 0.
Und dieses Integral müssen Sie ausrechnen.
Und dazu muss Ihnen der freundliche Aufgabensteller verraten haben,
wie genau der Funktionenverlauf dieser Funktion Q ist.
Also Sie müssen irgendeine Funktion integrieren.
Das kann ein Sinus sein, das kann eine quadratische Funktion sein,
weiß der Geier.
Irgendwas müssen Sie halt da integrieren.
Wenn Sie es nicht können, integrieren, schauen Sie im Formelwerk nach.
Oder fragen Sie Maple oder Mathematiker oder eine andere Person Ihres
Vertrauens.
Also daraus bekommen wir Q gleich A minus Integral 0 bis S.
Q von Xi.
D.
Xi.
Jetzt der Momentenverlauf.
Da haben wir zunächst einmal das Biegemoment, positiv drehend.
Dagegen hält die Lagerreaktion A mit dem Hebelarm S.
Und jetzt müssen Sie wieder integrieren.
Integral von 0 bis S.
Das ist schon mal klar, wir müssen über den ganzen Bereich
aufintegrieren.
Wir haben die Streckenlast Q von Xi.
Aber wie lautet der Hebelarm?
Die ganze Strecke hier, an der wir schneiden, hat die Länge S.
Wir schauen uns eine Querkraft an der Stelle Q von Xi an.
Das heißt, Xi habe mal diesen Wert.
Hebelarm ist dieses Stückchen.
Wie lang ist dieses Stück?
S minus Xi.
Deswegen brauchen Sie diese neue Laufvariable Xi.
Xi schneidet Ihnen hier genau diese Länge ab.
S minus Xi bleibt hier übrig.
Also, Hebelarm ist S minus Xi.
D Xi.
Aufintegriert, ausgerechnet, fertig.
Xi, D Xi.
So, haben wir noch zwei Sekunden?
Haben wir eigentlich nicht mehr.
Aber lassen Sie mich die Bemerkung noch machen.
Wir können hier aus diesem Verlauf mal ein kleines Elementchen
herausschneiden.
Mit der Länge D X.
Kleines Elementchen herausschneiden mit der Länge D X.
Dann sehen wir als Belastung darauf Q von X mal D X.
Und jetzt machen wir dafür mal den Freischnitt, der ist hier
dargestellt.
Sie sehen hier ein negatives Schnittufer.
Und ein positives Schnittufer.
Wenn Sie jetzt Gleichgewichtsbedingungen formulieren, dann erkennen
Sie...
N plus D N minus N gleich Null.
Aus Summe aller Kräfte in X-Richtung gleich Null.
Daraus folgt D N gleich Null.
Oder Konstanz der Normalkraft.
In Querrichtung Summe aller Kräfte in Z-Richtung gleich Null.
Sehen Sie, ach, da hat jemand ein Pfeil verkehrt herum gezeichnet.
Am positiven Schnittufer muss der doch nach unten zeigen.
Korrigieren Sie das bitte hier.
So etwas.
Also Q plus D Q minus Q plus Q von X D X gleich Null.
Was sehen Sie daraus?
Sie sehen, dass sich das aufhebt.
Das D Q D X ist gleich Minus der Streckenlast.
Aha.
Streckenlastverlauf aufgezeichnet.
Querkraftverlauf, erste Ableitung davon genommen, ist der
Streckenlastverlauf.
Und jetzt noch zum Momentenverlauf.
Und dann sind Sie erlöst.
Ich weiß, Sie wollen schon weiter.
Die nächste Vorlesung.
M plus D M minus M plus Q plus D Q.
Haben wir nicht.
Mal D X minus ein Halb Q von X D X mal D X gleich Null.
Und wir vernachlässigen diesen Term als quadratisch klein.
Weil wir so ein kleines Element anschauen.
Und wir streichen hier M heraus und wir vernachlässigen diesen Term
als quadratisch klein.
Dann erhalten wir D M nach D X gleich Minus gleich Q von X.
Ach, hier habe ich mich im Vorzeichen vertan.
Gleich Q.
Also, aus dieser Gleichung sehen Sie, Ableitung des
Biegermomentenverlaufs ist Ihr Querkraftverlauf.
Und damit bin ich am Ende.
Damit ist auch die Theorie der Schnittreaktion schon am Ende.
Was Sie jetzt brauchen ist Übung, Übung, Übung im Berechnen dieser
Schnittreaktion.
Und das macht Frau Vogt mit Ihnen in der Übung.
Und nächste Woche dann nochmal in einer zusammenfassenden, übernächste
Woche nochmal in einer zusammenfassenden Übung.
Bis dahin, alles Gute.
Und nächste Woche geht es weiter mit dem Haften.