WEBVTT

00:03.800 --> 00:08.000
Noch einmal ein herzliches Guten Morgen heute zur technischen Mechanik

00:08.000 --> 00:09.420
II für Wirtschaftsingenieure.

00:10.320 --> 00:14.480
Sie haben in der letzten Woche und zusammen mit mir in der vorletzten

00:14.480 --> 00:18.820
Woche das Thema Stoßvorgänge ausgiebig behandelt.

00:19.280 --> 00:22.220
Schöne Beispiele für Kopfbälle konnten Sie letzte Woche auch

00:22.220 --> 00:22.700
bewundern.

00:23.100 --> 00:26.660
Also, dieses Thema ist für uns jetzt vollkommen abgeschlossen.

00:27.060 --> 00:30.140
Jetzt kommt das letzte große Thema, das wir noch behandeln, und das

00:30.140 --> 00:31.200
ist das Thema Schwingungen.

00:31.880 --> 00:35.060
Für das Thema Schwingungen werden wir insgesamt drei Vorlesungen

00:35.060 --> 00:42.760
zubringen, zwei davon in dieser Woche, eine in dieser Woche, eine in

00:42.760 --> 00:47.660
dieser Woche, heute, nächste Woche dann eine Übung, und übernächste

00:47.660 --> 00:52.100
Woche haben wir, glaube ich, zwei Termine, Dienstag, Donnerstag, und

00:52.100 --> 00:55.520
dann in der letzten Woche noch einmal eine einzige Vorlesung, eine

00:55.520 --> 00:59.280
kleine Einführung in die Hydromechanik, damit Sie auch ein bisschen

00:59.280 --> 01:02.160
was nicht nur von den Festkörpern gehört haben, sondern auch etwas

01:02.160 --> 01:03.500
gehört haben von den Fluiden.

01:04.060 --> 01:06.220
Ich gebe Ihnen dort eine kleine Einführung.

01:07.320 --> 01:08.620
Das Thema Schwingungen.

01:08.680 --> 01:10.080
Warum sind Schwingungen so wichtig?

01:10.180 --> 01:11.820
Schwingungen treten überall auf.

01:12.580 --> 01:15.620
Überall, wo sich irgendetwas bewegt, treffen wir auch auf

01:15.620 --> 01:16.580
Schwingungsvorgänge.

01:17.180 --> 01:19.800
Also, Fahrzeugschwingungen haben Sie.

01:20.180 --> 01:24.080
Sie haben Schwingungen von Werkzeugmaschinen beispielsweise, die Ihr

01:24.080 --> 01:25.860
Bearbeitungsergebnis beeinflussen.

01:25.860 --> 01:29.520
Sie haben Schwingungen in ganz anderen Gebieten, in der Musik.

01:30.840 --> 01:34.960
Sie haben in vielen technischen Gebieten, also reichend dann von

01:34.960 --> 01:37.900
Schwingungsausbreitungsphänomenen, beispielsweise über

01:37.900 --> 01:42.200
Körperschallschwingungen hin zum Luftschall, hin zu den Schwingungen

01:42.200 --> 01:44.900
Ihres Trommelfelds, also haben Sie akustische Phänomene.

01:45.280 --> 01:48.080
Sie können aber Schwingungen auch spüren, einfach wenn Sie in einem

01:48.080 --> 01:51.300
Fahrzeug sitzen und Sie sagen, oh, hier werde ich aber ganz schön

01:51.300 --> 01:52.060
durchgeschüttelt.

01:52.060 --> 01:55.260
Ob das in einem Flugzeug bei Turbulenzen ist oder in einem

01:55.260 --> 01:59.140
Schienenfahrzeug oder im Auto und Sie fahren über irgendeine schlecht

01:59.140 --> 02:02.300
asphaltierte Piste, Sie spüren diese Schwingungen.

02:04.060 --> 02:08.080
Schwingungen selbst sind weder gut noch schlecht, auch wenn vielleicht

02:08.080 --> 02:12.000
manche Musiker sagen, es gibt good vibrations, aber Schwingungen sind

02:12.000 --> 02:13.640
zunächst einmal Schwingungen.

02:14.340 --> 02:18.380
Aber es gibt bei dem Phänomen der Schwingungen Phänomene, die für uns

02:18.380 --> 02:21.380
günstig sind, und Phänomene, die ungünstig sind.

02:21.540 --> 02:24.900
Ungünstig sind Schwingungen, die so angeregt werden, dass sie uns

02:24.900 --> 02:25.300
stören.

02:26.500 --> 02:30.540
Dass sie uns beispielsweise, wenn wir Ihnen lange Zeit ausgesetzt

02:30.540 --> 02:33.860
sind, so stören, dass auch die Berufsgenossenschaften sagen, Moment,

02:33.980 --> 02:36.700
so geht das nicht, wir haben hier Vorschriften, dieser

02:36.700 --> 02:41.240
Schwingungspegel ist für unsere Arbeiter dauerhaft nicht akzeptabel.

02:41.440 --> 02:44.620
Dann müssen Sie als Konstrukteur natürlich solche Vorschriften

02:44.620 --> 02:47.740
berücksichtigen und können nicht einfach sagen, ist mir egal, ich

02:47.740 --> 02:50.340
mache, was ich will, sondern dann steigt Ihnen die

02:50.340 --> 02:51.760
Berufsgenossenschaft aufs Dach.

02:51.900 --> 02:53.780
Also Sie müssen sich an die Vorschriften halten.

02:54.000 --> 02:59.880
Und das sieht an Arbeitsplätzen beispielsweise ein Fahrer von einem

02:59.880 --> 03:03.640
Schienenfahrzeug oder von einem LKW oder von einem Bus vor, dass

03:03.640 --> 03:06.720
gewisse Schwingungspegel eingehalten werden müssen.

03:06.880 --> 03:09.880
Also wenn da andauernd das Lenkrad wackelt, wo der sich daran

03:09.880 --> 03:12.640
festhält, dann wackeln dem nach acht Stunden so die Hände.

03:13.060 --> 03:15.220
Das ist also nicht akzeptabel.

03:15.760 --> 03:18.920
Auf der anderen Seite gibt es aber auch Schwingungsphänomene, die wir

03:18.920 --> 03:20.100
uns nutzbar machen können.

03:20.640 --> 03:23.600
Beispielsweise, auch das werde ich Ihnen zeigen, den sogenannten

03:23.600 --> 03:24.520
Schwingungstilger.

03:25.020 --> 03:27.760
Also Sie haben folgendes Problem, Sie wollen hochpräzise Messungen

03:27.760 --> 03:30.940
durchführen und nebenan fährt Ihnen immer die Straßenbahn vorbei.

03:31.200 --> 03:35.380
Naja, natürlich werden Sie sich sagen, so ein Mist, dieses Geräusch,

03:35.480 --> 03:38.120
was die Straßenbahn macht und diese Erschütterungen der Fahrbahn

03:38.120 --> 03:41.920
übertragen sich über das Gebäude, über das Fundament auf meine

03:41.920 --> 03:45.640
hochpräzise Messapparatur und mit meinen Messungen wird das nichts.

03:45.720 --> 03:48.340
Immer wenn ich anfange zu messen, fährt da gerade so eine Straßenbahn

03:48.340 --> 03:48.660
vorbei.

03:49.440 --> 03:54.260
Aber das Wunderbare ist, Sie können sich ein System konstruieren mit

03:54.260 --> 03:57.460
Hilfe eines Schwingungstilgers, der dafür sorgt, dass Ihr hochpräzises

03:57.460 --> 04:02.000
Messsystem wirklich in Ruhe ist, entkoppelt ist von diesen Störungen,

04:02.440 --> 04:06.080
die über das Fundament auf Ihre Umgebung, auf Ihre unmittelbare

04:06.080 --> 04:07.440
Umgebung eingeleitet werden.

04:07.440 --> 04:13.100
Also, wenn Sie verstehen, was Schwingungen sind, wenn Sie das Phänomen

04:13.100 --> 04:17.160
durchschauen, mathematisch modelliert haben, mechanisch analysiert

04:17.160 --> 04:21.000
haben, dann sind Sie auch in der Lage, Schwingungssysteme so

04:21.000 --> 04:25.060
auszulegen, so zu konstruieren, dass sie Ihnen nützlich sind.

04:25.240 --> 04:28.840
Dass also Schwingungstilgung beispielsweise auftritt und Ihre

04:28.840 --> 04:32.980
hochpräzise Apparatur dort in Ruhe bleibt und das macht, was sie tun

04:32.980 --> 04:36.060
soll, nämlich wunderbar schöne Messergebnisse produziert.

04:37.280 --> 04:41.160
Wichtig ist in allen Fällen bei der Schwingungsvermeidung, wie auch

04:41.160 --> 04:44.940
bei der Schwingungsbeeinflussung immer, dass wir verstehen, was wir

04:44.940 --> 04:46.400
tun, dass wir Schwingungen verstehen.

04:46.560 --> 04:49.560
Und dazu müssen wir uns halt damit beschäftigen, und das dauert ein

04:49.560 --> 04:53.160
bisschen, das dauert insgesamt drei Vorlesungen, ehe wir dort durch

04:53.160 --> 04:53.400
sind.

04:53.940 --> 04:57.380
Heute in der ersten Vorlesung möchte ich eine kleine Einführung geben,

04:57.520 --> 05:00.440
also ein bisschen etwas über das Phänomenologische sagen.

05:01.000 --> 05:03.780
Wo treten Schwingungsgleichungen auf, wie sehen diese

05:03.780 --> 05:05.740
Schwingungsdifferenzialgleichungen aus?

05:06.240 --> 05:08.880
Wie kann ich sie lösen für die einfachsten Fälle?

05:10.220 --> 05:14.300
Nächstes Mal schauen wir uns dann die etwas komplizierteren Fälle an.

05:14.360 --> 05:16.920
Heute werden wir uns nur mit den sogenannten freien Schwingungen

05:16.920 --> 05:20.540
betrachten, also so etwas wie eine Schaukel, die Sie einmal anstoßen,

05:20.620 --> 05:23.660
und dann lassen Sie sie hin und her schwingen, oder ein Pendel, das

05:23.660 --> 05:26.340
Sie einmal anstoßen, und dann lassen Sie es hin und her schwingen.

05:27.240 --> 05:30.380
Nächstes Mal schauen wir uns die Schwingungen an, die von außen

05:30.380 --> 05:33.960
angeregt werden, also über die Fahrbahn oder über irgendwelche Kräfte.

05:33.960 --> 05:37.660
Insbesondere können dort natürlich Resonanzphänomene auftreten, bis

05:37.660 --> 05:42.220
hin zur Resonanzkatastrophe, wo Ihr System einfach aufgrund zu hoher

05:42.220 --> 05:46.420
Amplituden und damit zu hoher Kräfte, die Sie nicht mehr auffangen

05:46.420 --> 05:50.380
können, die also nicht mehr ertragbar sind für Ihre Struktur, wo

05:50.380 --> 05:53.440
einfach Ihr Bauteil aufgrund von Schwingungsphänomenen auch versagen

05:53.440 --> 05:53.700
kann.

05:54.160 --> 05:56.200
Solche Phänomene müssen Sie natürlich vermeiden.

05:56.580 --> 05:59.960
Resonanzphänomene sind unheimlich riskant, haben schon zu großen

05:59.960 --> 06:02.860
Katastrophen auch zum Verlust von Menschenleben geführt.

06:03.980 --> 06:07.220
Das ist der zweite Punkt, die zweite Vorlesung, wo wir uns mit solchen

06:07.220 --> 06:10.340
sogenannten fremderregten, von außen angeregten Schwingungen

06:10.340 --> 06:10.980
beschäftigen.

06:11.520 --> 06:17.120
Das Dritte sind dann noch etwas kompliziertere Schwingungsphänomene,

06:17.240 --> 06:20.000
die nicht nur aus einem sogenannten Einmassensschwinger, aus einem

06:20.000 --> 06:24.220
Einfreiheitsgradsystem bestehen, sondern aus mehreren schwingfähigen

06:24.220 --> 06:28.020
Systemen, die miteinander gekoppelt sind, also berühmtes Phänomen

06:28.020 --> 06:29.200
gekoppelte Uhren.

06:29.680 --> 06:33.340
Sie haben eine Uhr, noch eine Uhr, stellen die auf einem Fundament und

06:33.340 --> 06:36.040
auf einmal stellen Sie fest, die können sich synchronisieren, weil die

06:36.040 --> 06:37.240
Schwingungen übertragen werden.

06:37.780 --> 06:40.900
Ist schon etwas zu kompliziert, aber mit dem Thema Koppelschwingungen

06:40.900 --> 06:44.620
werden wir uns beschäftigen, insbesondere deshalb, weil Sie

06:44.620 --> 06:47.940
Koppelschwingungen brauchen, um einen Tilger auslegen zu können.

06:48.200 --> 06:50.640
Also im dritten Termin geht es dann um solche Phänomene wie

06:50.640 --> 06:52.640
Schwingungsisolation, Schwingungstilgung.

06:53.260 --> 06:56.600
Dazu müssen wir uns einfach ein bisschen durch die Theorie jetzt durch

06:56.600 --> 06:58.300
drei Termine durcharbeiten.

06:58.720 --> 07:02.100
Okay, das ist also das Programm beim Thema Schwingungen.

07:02.540 --> 07:05.460
Heute eine kleine Einführung, ich möchte Ihnen die

07:05.460 --> 07:09.260
Schwingungsdifferenzialgleichung vorstellen, herleiten für

07:09.260 --> 07:12.900
verschiedene Grundsysteme und ich möchte Sie mit der Lösung vertraut

07:12.900 --> 07:16.080
machen, dieser Schwingungsdifferenzialgleichung für freie

07:16.080 --> 07:19.460
Schwingungen, sowohl gedämpft als auch ungedämpft.

07:19.700 --> 07:22.440
Freie Schwingung heißt, die Schwingung wird einmal angeregt,

07:22.640 --> 07:26.240
losgelassen beispielsweise aus irgendeinem Auslenkungszustand und

07:26.240 --> 07:27.740
bleibt dann sich selbst überlassen.

07:28.260 --> 07:32.320
Freie Schwingung heißt, Schwingung ohne permanente äußere Anregung.

07:35.380 --> 07:36.540
So viel dazu.

07:37.080 --> 07:40.060
Die Schwingungsdifferenzialgleichung selbst, die haben Sie in dieser

07:40.060 --> 07:41.700
Vorlesung schon einige Male gesehen.

07:42.040 --> 07:45.420
Sie erinnern sich, ich habe Ihnen immer gesagt, entweder hatten wir so

07:45.420 --> 07:49.860
eine Bewegungsgleichung und die war vom Typ schiefer Wurf, also

07:49.860 --> 07:53.340
Beschleunigung gleich konstant, dann konnten wir die lösen, das haben

07:53.340 --> 07:56.520
Sie im Prinzip schon in der Schulphysik betrieben, einfach zweimal

07:56.520 --> 07:58.880
aufintegriert und dann kommt diese Wurfparabel raus.

07:59.360 --> 08:02.040
Und dann hatten wir aber auch Differenzialgleichungen kennengelernt,

08:02.380 --> 08:05.260
da stand immer die zweite Ableitung drin und dann stand entweder noch

08:05.260 --> 08:08.560
die erste Ableitung der Funktion selbst drin oder die Funktion selbst

08:08.560 --> 08:10.660
in jeden Fall schreibweise.

08:10.760 --> 08:12.780
Und dann habe ich Ihnen immer gesagt, okay, das ist eine

08:12.780 --> 08:15.900
Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

08:15.900 --> 08:19.700
linear und wie man die löst, verrate ich Ihnen am Schluss dieser

08:19.700 --> 08:20.540
Vorlesungsreihe.

08:20.600 --> 08:23.620
Und dieser Schluss ist jetzt endlich gekommen und Sie sollen auch

08:23.620 --> 08:26.620
schon in der Mathematik soweit sein, dass Sie Differenzialgleichungen

08:26.620 --> 08:28.780
jetzt zumindest angefangen haben zu behandeln.

08:28.920 --> 08:31.540
Ist das richtig oder schütteln Sie alle den Kopf?

08:31.660 --> 08:32.400
Ist richtig, ja?

08:33.280 --> 08:34.520
Haben Sie da vielleicht auch schon die

08:34.520 --> 08:36.220
Schwingungsdifferenzialgleichung gesehen?

08:37.720 --> 08:38.540
Was haben Sie gemacht?

08:39.140 --> 08:39.580
Variablentrennung?

08:40.060 --> 08:40.960
Ja, okay.

08:41.400 --> 08:44.960
Gut, dann kommt jetzt noch die Schwingungsdifferenzialgleichung dazu.

08:45.480 --> 08:48.040
Kein Problem, dann ergänzt das ein bisschen das, was Sie in der

08:48.040 --> 08:49.180
Mathematik gemacht haben.

08:49.520 --> 08:51.480
Aber Sie können es jedenfalls dann einordnen.

08:52.250 --> 08:54.100
Das ist also das Programm für heute.

08:54.500 --> 08:55.280
Fangen wir an.

08:55.640 --> 08:57.160
Was ist eine Schwingung überhaupt?

08:57.520 --> 09:01.760
Zunächst einmal ganz grob gesprochen, ist das ein Vorgang, der sich

09:01.760 --> 09:03.340
irgendwie zeitlich wiederholt.

09:04.920 --> 09:07.140
Nun ist das recht schwammig formuliert.

09:07.520 --> 09:11.220
Also das Einzige, was wir haben, ist eine gewisse Periodizität.

09:11.960 --> 09:15.340
Das kann so sein, dass das der Weg ist.

09:15.340 --> 09:22.380
Also einfachstes Schwingungsphänomen wäre vielleicht so eine Art Sinus

09:22.380 --> 09:23.000
für den Weg.

09:24.600 --> 09:29.720
Also tragen wir hier eine Auslenkung auf, tragen die Zeit auf und

09:29.720 --> 09:35.640
stellen fest, aha, unser Phänomen macht einen wunderschönen Sinus.

09:36.340 --> 09:40.300
Klar, wunderbar periodisch, alles wiederholt sich nach einer Periode

09:40.300 --> 09:44.520
von 2π, weil hier die Zeit T steht, also vielleicht noch multipliziert

09:44.520 --> 09:45.780
mit einer Periodendauer.

09:47.240 --> 09:52.120
Wiederholt sich das Ganze, T, Groß-T durch 2π, könnte ich das

09:52.120 --> 09:52.620
beschreiben.

09:52.980 --> 09:55.860
Das wäre ein Beispiel für eine Schwingung.

09:56.060 --> 09:59.000
Aber das könnte auch so etwas sein.

10:02.610 --> 10:06.090
So, und dann wiederholt sich das hier wieder, diese Figur.

10:07.090 --> 10:08.730
Und dann wiederholt sie sich hier wieder.

10:09.510 --> 10:12.190
Ich habe die nicht ganz so schön gezeichnet, aber Sie sehen schon, das

10:12.190 --> 10:17.190
könnte auch irgendetwas sein, was sich wiederholt, was aber nicht

10:17.190 --> 10:19.750
unbedingt so schön periodisch ist wie dieser Sinus.

10:20.170 --> 10:21.650
Es könnte auch so etwas sein.

10:27.080 --> 10:36.160
x von T, T, irgendwas, was sich wiederholt, aber die Amplituden werden

10:36.160 --> 10:37.040
plötzlich kleiner.

10:40.120 --> 10:44.160
So, auch das würden wir als eine Schwingung bezeichnen.

10:46.700 --> 10:50.420
Dann gibt es noch Leute, die sprechen sogar von Zufallsschwingungen.

10:51.760 --> 10:53.380
Zufallsschwingungen würden so aussehen,

11:01.800 --> 11:03.740
irgendwie so etwas, was mir gerade einfällt.

11:04.300 --> 11:09.080
Da stelle ich erst einmal fest, ups, periodisch ist hier überhaupt

11:09.080 --> 11:09.620
nichts.

11:10.140 --> 11:13.400
Aber ich kann das Ganze statistisch beschreiben.

11:13.700 --> 11:17.460
Da sind Sie ja Experten drin, über die Wirtschaftswissenschaften,

11:17.480 --> 11:20.680
beispielsweise mit Zufallsvariablen, mit Mittelwert und Streuungen,

11:21.040 --> 11:23.660
und kann mir Mittelwert und Streuung anschauen und stelle vielleicht

11:23.660 --> 11:27.740
fest, dass die Streuung zu jedem Zeitpunkt, wenn ich sie auftrage,

11:27.800 --> 11:30.120
eine periodische Funktion ist, oder der Mittelwert.

11:30.700 --> 11:36.860
Mit anderen Worten, Schwingungen können so kompliziert sein, diese

11:36.860 --> 11:40.440
zeitliche Wiederkehr gewisser Merkmale kann so kompliziert sein, dass

11:40.440 --> 11:42.920
sie uns auf den ersten Blick gar nicht auffällt als solche.

11:43.640 --> 11:46.660
Dass wir auf den ersten Blick gar nicht merken, oh, das ist ja ein

11:46.660 --> 11:47.440
Schwingungsphänomen.

11:48.320 --> 11:51.540
Letztlich ist also diese Abgrenzung, was ist ein Schwingungsphänomen,

11:52.200 --> 11:53.080
relativ unscharf.

11:53.140 --> 11:56.340
Wir können nur sagen, es soll eine gewisse Periodizität auftreten,

11:56.740 --> 11:58.040
diese kann recht versteckt sein.

11:58.420 --> 12:01.180
Was also auf keinen Fall gemeint ist, ist beispielsweise ein

12:01.180 --> 12:01.860
Stoßphänomen.

12:01.860 --> 12:05.420
Irgendetwas knallt einmal irgendwo gegen und das war es.

12:06.000 --> 12:09.180
Dann können Sie sagen, das kann aber kein Schwingungsvorgang gewesen

12:09.180 --> 12:11.340
sein, das war sozusagen ein einmaliger Vorgang.

12:11.500 --> 12:16.000
Wir wollen also abtrennen, einmalige Vorgänge von wiederkehrenden

12:16.000 --> 12:16.440
Vorgängen.

12:16.940 --> 12:20.040
Die einmaligen Vorgänge, die Stoßvorgänge, haben wir abgeschlossen.

12:20.480 --> 12:23.400
Die Vorgänge mit wiederkehrenden Merkmalen, die Schwingungen,

12:23.700 --> 12:25.580
behandeln wir jetzt in drei Vorlesungen.

12:27.180 --> 12:28.600
Erscheinungsformen, was brauchen wir alles?

12:28.600 --> 12:32.480
Wir brauchen ein System mit Trägheit, also dazu brauchen wir eine

12:32.480 --> 12:32.780
Masse.

12:33.800 --> 12:35.880
Aus der Masse kommt die kinetische Energie.

12:36.000 --> 12:39.600
Die Masse soll nicht nur in Ruhe sein, sondern sie soll sich bewegen.

12:39.940 --> 12:41.460
Ohne Bewegung keine Schwingung.

12:41.840 --> 12:45.760
Und wir brauchen Rückstellkräfte, also Kräfte, die dafür sorgen, dass

12:45.760 --> 12:49.420
der Körper, wenn er einmal aus seiner Ruhelage in die Bewegung

12:49.420 --> 12:52.480
versetzt wird, nicht einfach in den Weltraum entschwindet und

12:52.480 --> 12:55.000
unendlich weiterfliegt, sondern dass er wieder zurückkommt.

12:55.000 --> 12:58.980
Dass eine Rückwärtsbewegung, eine Rückstellbewegung stattfindet.

12:59.500 --> 13:04.020
Dazu haben wir in der Technik Federelemente, elastische Elemente, die

13:04.020 --> 13:08.000
dafür sorgen können, dass so ein Bauteil wieder zurückkommt.

13:09.080 --> 13:13.020
Diese können hinreichend kompliziert aufgebaut sein, also das können

13:13.020 --> 13:17.040
Luftfedern sein, wie beim Autobus, der dann angehoben wird und dann

13:17.040 --> 13:18.600
auch wieder abgelassen wird, die Luft.

13:19.260 --> 13:24.040
Das können Elemente sein, die klassische Federelemente sind, also aus

13:24.040 --> 13:28.000
Federstahl, Schraubenfedern, das können aber auch Elastomerfedern

13:28.000 --> 13:28.300
sein.

13:28.440 --> 13:31.300
Sie können sich vorstellen, wenn Sie sich einen Güterwagen anschauen,

13:31.580 --> 13:35.500
da haben Sie diese Blattfedern, also einfach Metallblätter,

13:35.960 --> 13:39.540
übereinander gestapelt, das wäre auch ein Federelement.

13:40.140 --> 13:45.120
Sie können Federelemente auch anders als nur mit Festkörpern

13:45.120 --> 13:48.120
realisieren, also auch durch Flüssigkeiten, auch Flüssigkeiten können

13:48.120 --> 13:48.560
schwingen.

13:48.560 --> 13:53.680
Auch mit Flüssigkeiten können Sie Rückstellkräfte realisieren, über

13:53.680 --> 13:58.780
Hydraulik beispielsweise, also Sie haben dort viele Möglichkeiten.

13:59.640 --> 14:04.840
Wir werden in der Regel nur mit dem klassischen Federelement arbeiten,

14:04.960 --> 14:09.340
indem wir einfach sagen, eine Feder ist für uns irgendetwas, bei dem

14:09.340 --> 14:14.020
eine Federkraft proportional zum Weg ist oder proportional zum

14:14.020 --> 14:18.100
Drehwinkel, also mit einem Drehfederelement, oder mit dem klassischen

14:18.100 --> 14:21.620
Federelement arbeiten, das Sie schon aus der Schule kennen.

14:22.500 --> 14:26.140
Kennzeichen ist dafür immer für so ein Federelement entweder das, was

14:26.140 --> 14:28.680
hier dargestellt ist, wobei der Hebeler das noch recht schön

14:28.680 --> 14:29.340
darzeichnet.

14:29.840 --> 14:31.880
Wenn ich das zeichne, sieht das immer so aus.

14:34.400 --> 14:38.520
Das wäre das Federelement, hier befestigt an einer Wand und auf der

14:38.520 --> 14:40.620
anderen Seite befestigt an einer Masse M.

14:40.620 --> 14:48.620
Für eine Drehfeder zeichnen Sie einfach hier so einen Kringel drum.

14:49.980 --> 14:55.800
Das ist die übliche Darstellung in einer mechanischen Skizze für ein

14:55.800 --> 15:01.160
Federelement, entweder für eine lineare Feder oder für eine Drehfeder.

15:03.300 --> 15:07.020
Wie die realisiert ist in der Praxis, ist dann wieder eine ganz andere

15:07.020 --> 15:07.360
Frage.

15:07.360 --> 15:10.060
Das muss nicht so ein Federelement mit Windungen sein, das kann

15:10.060 --> 15:12.960
irgendwas sein, das kann auch ein Blockelastomier sein, das kann auch

15:12.960 --> 15:15.560
ein Blockstahl sein, wenn er sich so weit deformieren kann, wenn die

15:15.560 --> 15:16.600
Kräfte so groß werden.

15:17.840 --> 15:21.840
Damit haben wir also die beiden wichtigsten Spieler kennengelernt.

15:22.580 --> 15:25.620
Das eine ist die Trägheit und das andere ist das Federelement.

15:26.260 --> 15:28.820
Jetzt bringen wir diese beiden Kräfte einfach einmal zusammen.

15:30.340 --> 15:34.020
Zusätzlich habe ich hier noch einen Dämpfer, den hat Herr Hebeler auch

15:34.020 --> 15:37.400
wieder wunderbar gezeichnet, um Ihnen einfach mal zu zeigen, wie so

15:37.400 --> 15:38.760
ein Dämpferelement funktioniert.

15:39.060 --> 15:46.860
Sie haben hier Flüssigkeit, Sie haben hier so einen Stempel und die

15:46.860 --> 15:50.300
Flüssigkeit fließt entweder durch diesen Stempel durch oder hier am

15:50.300 --> 15:54.200
Randflank von der einen Kammer in die andere, je nachdem, ob Sie

15:54.200 --> 15:59.740
Kompression haben, ob sich dieses Element hier zusammenzieht oder ob

15:59.740 --> 16:01.880
das Ganze auseinandergezogen wird.

16:02.200 --> 16:04.660
Fließt die Flüssigkeit von einer Kammer in die andere.

16:04.660 --> 16:08.160
Dabei entstehen Reibungsverluste und diese Reibungsverluste sind

16:08.160 --> 16:11.840
proportional zur Geschwindigkeit in erster Näherung und das macht

16:11.840 --> 16:14.980
diesen Geschwindigkeits- proportionalen Dämpfer dann groß.

16:16.600 --> 16:19.980
Jetzt wollen wir dieses System einfach freischneiden und uns die

16:19.980 --> 16:21.700
Bewegungsgleichung anschauen.

16:23.160 --> 16:27.900
Wir schneiden also die Masse frei, tragen nach d'Alembert alle Kräfte

16:27.900 --> 16:28.200
ein.

16:28.700 --> 16:32.860
Da haben wir erst einmal eine irgendwie angreifende äußere Kraft an

16:32.860 --> 16:43.980
der Masse, eine Trägheitskraft, m mal x, zwei Punkt, x habe ich noch

16:43.980 --> 16:47.480
gar nicht eingezeichnet, wäre also die Auslenkung des Schwerpunktes,

16:48.560 --> 16:54.700
Koordinate x, nach rechts positiv gezeichnet, also Trägheitskraft nach

16:54.700 --> 17:00.200
links zeigend, dann haben wir noch die Gewichtskraft, m mal g, dann

17:00.200 --> 17:03.240
könnten wir hier noch auf der Unterlage Reibkräfte haben, die möchte

17:03.240 --> 17:06.440
ich hier einfach mal vernachlässigen, also glatte Unterlage.

17:08.480 --> 17:11.820
Sonst hätten wir noch Reibkräfte.

17:14.120 --> 17:19.360
Auf jeden Fall hätten wir eine Zwangskraft, eine Normalkraft, die

17:19.360 --> 17:22.900
dafür sorgt, dass dieser Körper nicht etwa in die Unterlage eindringt,

17:22.920 --> 17:24.900
sondern dass er auf dieser Unterlage bleibt.

17:25.800 --> 17:31.480
Und dann haben wir Federelement und Dämpferelement.

17:35.080 --> 17:37.700
Wie groß sind die beiden Kräfte?

17:38.620 --> 17:42.540
Für die Feder haben wir gesagt, proportional zur Auslenkung, also c

17:42.540 --> 17:48.600
mal x, für den Dämpfer proportional zur Geschwindigkeit, d mal x

17:48.600 --> 17:48.880
Punkt.

17:50.900 --> 17:54.120
Das wäre also der Freischnitt dieses Systems.

17:54.120 --> 17:57.740
Jetzt können wir ein Kräftegleichgewicht aufstellen, wobei das

17:57.740 --> 18:01.040
Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung ziemlich langweilig ist.

18:01.480 --> 18:04.020
Das gibt uns nur unsere Zwangskräfte an.

18:04.360 --> 18:09.000
Das gibt einfach nur Normalkraft gleich m mal g. Das interessiert uns

18:09.000 --> 18:09.440
aber nicht.

18:09.520 --> 18:11.900
Uns interessiert die Bewegung, uns interessieren nicht die

18:11.900 --> 18:12.580
Zwangskräfte.

18:12.740 --> 18:16.780
Also machen wir nur das Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung.

18:17.260 --> 18:19.640
Summe aller Kräfte in x-Richtung gleich 0.

18:21.080 --> 18:22.220
Was haben wir dort?

18:22.220 --> 18:28.380
Wir haben einmal die Kraft f von t und dann haben wir alle anderen

18:28.380 --> 18:31.060
Kräfte entgegengesetzt wirkend.

18:31.280 --> 18:34.240
Das drücke ich dadurch aus, dass ich die einfach auf der anderen Seite

18:34.240 --> 18:36.000
des Gleichheitszeichens hinschreibe.

18:36.800 --> 18:42.640
Also anstatt zu schreiben f von t minus m mal x 2 Punkt minus cx minus

18:42.640 --> 18:48.340
dx Punkt schreibe ich jetzt einfach f von t gleich m mal x 2 Punkt

18:48.340 --> 18:52.840
plus dx Punkt plus cx.

18:55.020 --> 18:58.860
Klar, übersehen Sie jetzt sofort nach zwei Semestern Technische

18:58.860 --> 19:02.380
Mechanik, dass das das Ergebnis dieses Freischnittes ist in

19:02.380 --> 19:03.380
horizontaler Richtung.

19:03.980 --> 19:07.120
Das ist schon unsere Schwingungsdifferenzialgleichung.

19:17.430 --> 19:20.950
Das ist schon die Schwingungsdifferenzialgleichung.

19:22.390 --> 19:27.110
Eine Differenzialgleichung, die linear ist, schauen Sie, die

19:27.110 --> 19:31.270
Funktionen x 2 Punkt, x Punkt und x treten nur linear auf, nicht

19:31.270 --> 19:35.270
irgendwie miteinander multipliziert oder sonst irgendwas mit höheren

19:35.270 --> 19:39.390
Potenzen, sondern ganz für sich alleine stehend, jeweils in einem

19:39.390 --> 19:40.810
Summanden treten die auf.

19:42.650 --> 19:46.210
Konstante Koeffizienten, m, d und c sollen nicht von der Zeit

19:46.210 --> 19:46.730
abhängen.

19:47.110 --> 19:49.990
Natürlich sind auch Schwingungsphänomene denkbar, wo das nicht der

19:49.990 --> 19:51.770
Fall ist, aber wir fangen hier einfach an.

19:51.770 --> 19:56.610
Also m, d und c sind konstante Koeffizienten und wir haben eine

19:56.610 --> 20:00.430
Innenmobilität, wir haben auf der rechten Seite f und t.

20:01.230 --> 20:05.030
Für die heutige Vorlesung werden wir nur den Fall diskutieren, dass

20:05.030 --> 20:09.610
diese, in dem Fall ist es die linke Seite, man schreibt das immer nach

20:09.610 --> 20:11.950
hinten und sagt, das ist die rechte Seite dieser

20:11.950 --> 20:14.630
Differenzialgleichung, dass diese Seite, jedenfalls diese

20:14.630 --> 20:16.210
Erregerkante, gleich null ist.

20:17.290 --> 20:20.950
Dann würde natürlich überhaupt nichts passieren, wenn Sie den Körper

20:20.950 --> 20:21.650
in Ruhe lassen.

20:22.710 --> 20:26.970
Wenn das Pende einfach nur hängt, die Schaukel hängt einfach und kein

20:26.970 --> 20:31.550
Kind schaukelt und keiner stößt diese Schaukel an, kein Windzug bläst,

20:31.930 --> 20:36.010
dann haben Sie den Ruhezustand, dann hätten Sie überhaupt keine

20:36.010 --> 20:36.510
Bewegung.

20:36.990 --> 20:40.770
Wenn jetzt aber eine Anfangsbedingung kommt in Form einer Person, die

20:40.770 --> 20:44.730
diese Schaukel auslenkt, dann fängt die Schaukel an zu schwingen,

20:44.950 --> 20:46.390
nachdem sie losgelassen wurde.

20:46.390 --> 20:50.030
Wir brauchen also zur Lösung dieser Schwingungsdifferenzialgleichung

20:50.030 --> 20:55.950
Anfangsbedingungen, also x zur Zeit t gleich null und die

20:55.950 --> 20:58.430
Geschwindigkeit x Punkt zur Zeit t gleich null.

20:58.970 --> 21:00.850
Warum brauchen wir zwei Anfangsbedingungen?

21:01.150 --> 21:04.190
Weil hier die zweite Ableitung drinsteht und wir zweimal integrieren

21:04.190 --> 21:08.030
müssen, um die Lösung dieser Differenzialgleichung, das Wegzeitgesetz,

21:08.250 --> 21:08.670
zu ermitteln.

21:09.210 --> 21:13.130
Je nachdem, welche Anfangsbedingungen wir haben, entscheiden wir für

21:13.130 --> 21:16.030
die freie Schwingung, ob es sich um einen Ruhezustand oder um einen

21:16.030 --> 21:17.330
Schwingungszustand handelt.

21:17.610 --> 21:21.410
Wenn die Anfangsbedingungen die Bedingungen der Ruhe sind, also x zur

21:21.410 --> 21:25.730
Zeit t gleich null oder zur Zeit t gleich null und x Punkt zur Zeit t

21:25.730 --> 21:30.830
gleich null, heißt das, einmal der Ruhezustand und das System sich

21:30.830 --> 21:34.430
selbst überlassen, immer der Ruhezustand, beziehungsweise einmal

21:34.430 --> 21:37.930
ausgelenkt und diese freie Schwingung, wenn sie keine Dämpfung hat,

21:38.410 --> 21:40.470
schwingt unendlich lange so weiter.

21:40.470 --> 21:44.590
Jedes System in der Praxis hat aber Dämpfung und kommt irgendwann zur

21:44.590 --> 21:44.850
Ruhe.

21:45.450 --> 21:51.550
So, jetzt ist dieses Modell nicht das einzige Modell für Schwingungen.

21:52.090 --> 21:55.110
Sie sehen, es ist ein ganz besonderes Modell, es ist das sogenannte

21:55.110 --> 22:00.390
Modell der Massenkraftanregung, weil diese Räderkraft F direkt an der

22:00.390 --> 22:01.290
Masse angreift.

22:01.770 --> 22:03.130
Das ist nicht immer der Fall.

22:03.810 --> 22:08.170
Denken Sie an Ihr Fahrzeug, also Sie fahren mit einem Fahrrad oder mit

22:08.170 --> 22:11.470
einem Automobil, dann haben Sie folgende Situation.

22:11.990 --> 22:14.010
Die ist hier unten dargestellt.

22:15.830 --> 22:20.830
Ihr Fahrzeug ist, die Räder sind drehbar natürlich auch, aber auch

22:20.830 --> 22:23.450
federnd gelagert, die sind federnd gelagert.

22:24.330 --> 22:29.250
Das Rad selbst hat eine Nachgiebigkeit, der Gummi, die Last du mehr,

22:29.710 --> 22:33.130
besitzt eine Nachgiebigkeit und Sie fahren auf einer irgendwie

22:33.130 --> 22:36.450
gewählten Fahrbahn, selbst wenn diese Wellen nicht so groß sind wie

22:36.450 --> 22:40.490
hier, aber auch auf einer Asphalt-Fahrbahn haben Sie Unebenheiten.

22:41.650 --> 22:46.710
Diese Unebenheiten führen dazu, dass Sie eine Auslenkung haben und

22:46.710 --> 22:51.110
diese Auslenkung wird jetzt über das Feder-Element, bestehend aus dem

22:51.110 --> 22:56.850
Rad und dieser federnden Aufhängung, auf die Karosserie übertragen.

22:57.290 --> 23:00.610
Das heißt, wenn wir mal sagen, die Karosserie ist hier das richtig

23:00.610 --> 23:04.570
schwere Teil mit einer großen Masse M, dann erhalten wir eine

23:04.570 --> 23:09.010
Anregung, indem wir eine Auslenkung auf eine Feder geben und die

23:09.010 --> 23:12.070
Federkraft einleiten in unsere Karosserie.

23:12.610 --> 23:15.690
Und das Ergebnis dieses Vorgangs ist dann das, was Sie spüren, wenn

23:15.690 --> 23:19.310
Sie im Fahrzeug sitzen und sagen, oh, das hier ist aber recht

23:19.310 --> 23:22.370
unkomfortabel, das schwingt aber hier ganz schön.

23:22.750 --> 23:25.230
Die Skizze, die dazugehört, sehen Sie hier oben.

23:25.650 --> 23:28.730
An dieser Masse greift jetzt nicht die Kraft F an, sondern es greift

23:28.730 --> 23:32.030
zunächst einmal ein Feder-Element an und dieses Feder-Element wird

23:32.030 --> 23:32.670
ausgelenkt.

23:32.950 --> 23:35.810
Jetzt schreiben wir einfach einmal die Bewegungsdifferenzialgleichung

23:35.810 --> 23:37.090
für dieses System auf.

23:38.350 --> 23:42.450
Da sehen wir, so unterschiedlich ist das überhaupt nichts.

23:43.810 --> 23:49.110
Wir machen den Freischnitt, tragen hier wieder unsere Koordinate x

23:49.110 --> 23:51.930
ein, schneiden das System frei,

23:56.070 --> 24:04.990
erhalten also insgesamt wieder M x 2, C x D x.

24:05.610 --> 24:11.870
Auf der anderen Seite haben wir dann hier noch die Gewichtskraft und

24:11.870 --> 24:17.170
die Normalkraft und haben dann hier nicht unsere Kraft F, sondern

24:17.170 --> 24:18.170
unser Feder-Element.

24:18.170 --> 24:24.390
Mit der Kraft-Federkonstante, die heißt hier C0, einfach um sie zu

24:24.390 --> 24:26.870
unterscheiden, die beiden Federn müssen ja nicht die gleichen

24:26.870 --> 24:30.850
Federkonstanten haben, die Feder C mit der Federkonstante C und C0,

24:30.910 --> 24:32.310
die Feder links und die Feder rechts.

24:33.830 --> 24:42.370
C0 mal Auslenkung, Auslenkung ist jetzt uns vorgegeben, das wäre die

24:42.370 --> 24:45.170
Fahrbahnunebenheit, U von T.

24:45.170 --> 24:49.150
Aber das ist noch nicht alles, wir müssen davon abziehen, die

24:49.150 --> 24:54.130
Auslenkung unserer Masse, denn wir betrachten ja nur die

24:54.130 --> 24:55.290
Relativbewegung.

24:58.690 --> 25:03.370
Und jetzt stellen wir für diesen Freischnitt auch wieder das

25:03.370 --> 25:07.750
horizontale Kräftegleichgewicht auf, Summe aller Kräfte in x-Richtung

25:07.750 --> 25:08.290
gleich 0.

25:13.040 --> 25:14.480
Was stellen wir fest?

25:14.700 --> 25:25.320
Wir stellen fest, da steht minus mx2-dx-cx, so schlau waren wir auf

25:25.320 --> 25:29.120
der Folie davor auch, linke Seite, und jetzt haben wir die rechte

25:29.120 --> 25:33.340
Seite und da steht jetzt nicht einfach die Kraft F, sondern da steht

25:33.340 --> 25:39.580
plus C0 mal U von T minus x.

25:40.200 --> 25:46.000
Jetzt fasse ich die Terme mit x zusammen und schiebe den Term C0 mal U

25:46.000 --> 25:47.500
von T auf die rechte Seite.

25:48.040 --> 25:51.020
Dann erhalte ich insgesamt die folgende Differenzialgleichung.

25:51.020 --> 26:01.700
mx2-dx-cx gleich C0 mal U von T.

26:02.720 --> 26:03.780
Ah, verkehrt.

26:04.900 --> 26:07.620
C plus C0.

26:13.160 --> 26:16.160
Also dort steht als Federkonstante C plus C0.

26:16.160 --> 26:21.160
Und jetzt sehen Sie den Unterschied zu der Differenzialgleichung, die

26:21.160 --> 26:21.880
wir vorher hatten.

26:22.180 --> 26:25.280
Und der ist für den Mathematiker völlig unerheblich.

26:26.240 --> 26:35.140
Bei der Massenanregung hatten wir m mal x2-Punkt plus dx-Punkt plus C

26:35.140 --> 26:38.780
mal x gleich F von T.

26:39.920 --> 26:43.260
Jetzt haben wir statt F von T einfach C0 mal U von T.

26:45.180 --> 26:47.280
Das stört den Mathematiker herzlich wenig.

26:48.300 --> 26:52.320
Ob Sie die Funktion nun F von T nennen oder C0 mal U von T ist ja

26:52.320 --> 26:52.960
völlig egal.

26:53.400 --> 26:56.540
Ich könnte das hier auch sagen, das ist einfach eine Funktion F tilde

26:56.540 --> 26:58.060
von T.

27:02.610 --> 27:06.690
Und auch dieser Unterschied ist dem Mathematiker herzlich egal, ob

27:06.690 --> 27:09.530
hier nun C plus C0 steht oder einfach nur C.

27:09.530 --> 27:11.550
Hauptsache, da steht eine Konstante.

27:12.010 --> 27:16.230
Also wir können diese Federkonstante hier zu einem C-Tilde

27:16.230 --> 27:17.050
zusammenfassen.

27:17.550 --> 27:21.910
Und dann sehen Sie, die Differenzialgleichung ist genau die gleiche.

27:21.970 --> 27:26.210
Wir erhalten genau die gleiche Differenzialgleichung wie für die

27:26.210 --> 27:28.310
Anregung direkt an der Masse.

27:28.490 --> 27:31.570
Als würde die Kraft direkt an der Masse angreifen.

27:31.570 --> 27:36.830
Also beide Schwingungsphänomene, Fußpunktanregung, Anregung an einer

27:36.830 --> 27:42.310
Feder, über die Auslenkung dieser Feder und direkter Angriff der Kraft

27:42.310 --> 27:46.570
an der Masse selbst, sind von der Differenzialgleichung völlig

27:46.570 --> 27:47.170
identisch.

27:47.970 --> 27:51.750
Jetzt zeige ich Ihnen aber noch ein Phänomen, bei dem mal eine etwas

27:51.750 --> 27:54.530
andere Differenzialgleichung auftritt und auch das ist eine

27:54.530 --> 27:55.810
Schwingungsdifferenzialgleichung.

27:59.090 --> 28:00.130
Nächster Fall.

28:01.190 --> 28:06.790
Wir greifen wieder mit unserer Kraft an der Masse selbst an, aber

28:06.790 --> 28:09.990
diese Kraft kommt durch eine rotierende Unwucht zustande.

28:10.670 --> 28:15.730
Also irgendein Rotor, der sich dreht und eine Unwucht hat, sorgt

28:15.730 --> 28:19.890
dafür, dass über das Lager Schwingungen der Welle auftreten.

28:20.870 --> 28:24.250
Haben Sie bei Ihrem Fahrzeug, bei Ihrer Fahrzeugachse, wenn das

28:24.250 --> 28:26.830
Fahrzeug nicht ganz ausgewuchtet ist und haben Sie bei jeder

28:26.830 --> 28:30.790
rotierenden Maschine, überall haben Sie zumindest eine kleine Unwucht

28:30.790 --> 28:32.710
und dann ergibt sich folgendes Bild.

28:32.930 --> 28:37.390
Sie müssen sich jetzt also vorstellen, hier rotiert die Welle, die

28:37.390 --> 28:42.090
Welle ist gelagert in einem Bleitlager oder in einem Weltslager und

28:42.090 --> 28:45.810
dieses Lager können Sie darstellen in erster Näherung durch einen

28:45.810 --> 28:49.870
linearen Verlauf seiner Lagersteifigkeit und seiner Lagerdämpfung.

28:50.230 --> 28:52.510
Und die haben wir hier wieder durch ein Federdämpferelement

28:52.510 --> 28:53.470
zusammengefasst.

28:54.110 --> 28:58.550
Hier wäre also das Fundament, dort wäre das ganze Lager wieder

28:58.550 --> 28:59.830
abgestützt am Boden.

29:00.330 --> 29:04.550
Also stellen Sie sich die Zeichnung am besten vertikal, 90 Grad

29:04.550 --> 29:06.270
gedreht vor, dann haben Sie das.

29:06.970 --> 29:10.630
Wir wollen uns folgendes Modell anschauen, dass wir die Unwucht nur

29:10.630 --> 29:14.530
darstellen durch einen einzigen Punkt, in dem die gesamte Masse

29:14.530 --> 29:15.510
konzentriert ist.

29:15.810 --> 29:20.250
Ist eine scheußliche Darstellung, ich weiß, aber wir wollen einfach

29:20.250 --> 29:25.790
nur die Trägheitseigenschaften dieser rotierenden Unwucht mitnehmen.

29:27.860 --> 29:33.710
Wie schaut das Ganze dann aus, wenn wir das freischneiden?

29:37.300 --> 29:42.020
Zunächst einmal haben wir wieder unser Federelement, unser

29:42.020 --> 29:42.840
Dämpferelement.

29:45.260 --> 29:49.080
Wir haben unsere Masse, also eine Gewichtskraft.

29:51.060 --> 30:01.020
Die ist jetzt m plus m null mal g. Und dann haben wir die

30:01.020 --> 30:04.540
Reaktionskraft, die uns herzlich wenig interessiert, das ist die

30:04.540 --> 30:05.460
Normalkraft.

30:06.400 --> 30:08.640
Jetzt haben wir wieder unsere Koordinate x.

30:11.300 --> 30:14.280
Klar, die haben wir da unten ja schon gebraucht für die Auslenkung.

30:14.700 --> 30:19.700
Die greift wieder im Schwerpunkt des Gesamtsystems an, also im

30:19.700 --> 30:20.540
Schwerpunkt der Masse.

30:20.840 --> 30:24.960
Die kleine Masse m null rotiert ja um, also legen wir das dort in das

30:24.960 --> 30:25.660
Zentrum rein.

30:27.440 --> 30:29.280
Und jetzt brauchen wir die Trägheitstherme.

30:29.280 --> 30:38.840
Da haben wir einmal eine Auslenkung, also m plus m mal x zwei Punkt.

30:39.500 --> 30:43.980
Denn diese große Masse fährt mit dieser kleinen Masse, also dieser

30:43.980 --> 30:45.100
Unwucht, hin und her.

30:46.080 --> 30:48.080
Horizontal, bewegt sich horizontal.

30:48.700 --> 30:51.500
Also haben wir in horizontaler Richtung eine Trägheitskraft,

30:56.780 --> 31:00.260
m plus m null mal x zwei Punkt.

31:00.860 --> 31:06.820
Und dann haben wir eine Fliehkraft dieser rotierenden kleinen Masse.

31:06.940 --> 31:08.980
Wir betrachten also von dieser kleinen Masse den

31:08.980 --> 31:10.140
Beschleunigungszustand.

31:10.480 --> 31:13.560
Sie wissen, die macht eine Kreisbewegung, überlagert natürlich mit der

31:13.560 --> 31:14.620
horizontalen Bewegung.

31:14.700 --> 31:19.240
Wir schauen uns jetzt nur die Kreisbewegung dieser kleinen Masse an, m

31:19.240 --> 31:19.460
null.

31:19.460 --> 31:29.820
Und die führt also dazu, dass wir eine Kraft haben, die jetzt in

31:29.820 --> 31:36.500
radialer Richtung wegzeigt vom Ursprung unseres Koordinatensystems mit

31:36.500 --> 31:46.240
der Masse m null, der des Radiuses mit dem Radius r null und Großomega

31:46.240 --> 31:48.540
haben wir hier ins Quadrat.

31:49.500 --> 31:52.400
Sie erinnern sich bei der Kreisbewegung, Sie haben eine

31:52.400 --> 31:59.220
Beschleunigung, die von der Masse weg zum Punkt, wo diese Masse

31:59.220 --> 32:00.480
befestigt ist, hinzeigt.

32:00.740 --> 32:02.740
Eine Beschleunigung in normaler Richtung.

32:03.300 --> 32:06.560
Trägheitskraft muss also entgegengesetzt zu der Beschleunigung zeigen,

32:06.700 --> 32:09.800
muss also radial weg nach außen zeigen.

32:11.000 --> 32:17.180
Das ist der Grund, warum Sie eine offene Milch-Kanne schleudern

32:17.180 --> 32:20.300
können, ohne dass die Milch rauskommt, wenn Sie es gut machen.

32:21.580 --> 32:26.140
Das wäre hier die Kraft, die jetzt zusätzlich noch dazukommt.

32:26.520 --> 32:29.760
Jetzt stellen wir das Kräftegleichgewicht auf in horizontaler

32:29.760 --> 32:30.140
Richtung.

32:33.360 --> 32:36.320
Summe f x gleich null.

32:37.340 --> 32:39.940
Vertikale Richtung interessiert uns nicht, denn da kriegen wir nur

32:39.940 --> 32:41.100
unsere Zwangskraft raus.

32:41.180 --> 32:43.060
Wir wollen wieder eine Bewegungsgleichung haben.

32:43.880 --> 32:46.020
Auch hier ist der Anfang wieder ganz einfach.

32:46.260 --> 32:47.500
Wir tragen erst einmal an.

32:48.940 --> 32:51.140
Minus m plus m x 2 Punkt.

32:51.600 --> 32:53.120
Ach, m 0.

32:54.300 --> 32:56.460
m 0 plus m x 2 Punkt.

32:57.520 --> 32:59.080
Minus d mal x Punkt.

33:00.220 --> 33:01.640
Minus c mal x.

33:03.840 --> 33:09.100
Und jetzt brauchen wir noch den Anteil aus der Fliehkraft dieser

33:09.100 --> 33:09.800
kleinen Masse.

33:10.180 --> 33:13.620
Diesen Anteil m 0 mal r 0 mal Omega Quadrat.

33:14.320 --> 33:15.920
Schreiben wir den einfach hin.

33:19.300 --> 33:22.460
m 0 mal r 0 mal Omega Quadrat.

33:22.520 --> 33:25.940
Dann kann das natürlich noch nicht das Ergebnis sein, denn diese Kraft

33:25.940 --> 33:34.960
zeigt in radiale Richtung und läuft mit einer konstanten

33:34.960 --> 33:37.040
Winkelgeschwindigkeit Groß-Omega um.

33:37.520 --> 33:40.600
Also brauchen wir den Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

33:41.100 --> 33:43.280
Der eingeschlossene Winkel ist dieser Winkel hier.

33:43.860 --> 33:45.380
Und der ist gerade Omega mal t.

33:45.920 --> 33:50.780
Also multiplizieren wir das Ganze mal Kosinus Groß-Omega t.

33:50.780 --> 33:51.740
So.

33:54.000 --> 33:57.540
Jetzt schreiben wir das Ganze wieder so hin, dass unsere wunderschöne

33:57.540 --> 33:59.600
Schwingungsdifferenzialgleichung entsteht.

33:59.680 --> 34:01.800
Also alle Ableitungen auf die linke Seite.

34:07.860 --> 34:10.040
Alle Therme mit x auf die linke Seite.

34:10.560 --> 34:15.220
Und alle konstanten Therme, die also nicht von x abhängen, die aber

34:15.220 --> 34:19.200
vielleicht von der Zeit abhängig sind, auf die rechte Seite.

34:19.200 --> 34:20.000
Ja.

34:22.160 --> 34:25.860
Jetzt würden Sie bestimmt sagen, klar, ich sehe, das ist eine

34:25.860 --> 34:27.380
Schwingungsdifferenzialgleichung.

34:27.500 --> 34:31.580
Hier auf der linken Seite stehen meine Bewegungsgrößen alle wieder

34:31.580 --> 34:32.040
linear.

34:32.380 --> 34:34.980
Die Koeffizienten sind auch wieder konstant.

34:35.120 --> 34:37.700
Und für die rechte Seite schreiben wir halt einfach wieder f von t.

34:38.040 --> 34:46.180
Und dem Mathematiker wird das doch herzlich egal sein, ob hier f von t

34:46.180 --> 34:49.600
steht oder ob hier dieser längliche Ausdruck steht.

34:52.980 --> 34:54.420
Ja, dieser Ausdruck.

34:55.880 --> 34:58.960
Das ist zum Teil richtig.

34:59.660 --> 35:00.000
Klar.

35:01.600 --> 35:02.920
Das machen wir jetzt da.

35:07.340 --> 35:08.560
Das ist dem bloß geworden.

35:09.100 --> 35:13.180
Also, natürlich steht hier irgendeine zeitabhängige Funktion.

35:13.180 --> 35:18.180
Aber was jetzt neu ist, ist, dass hier Omega im Quadrat nochmal

35:18.180 --> 35:18.840
auftaucht.

35:20.220 --> 35:21.820
Dieses Omega im Quadrat.

35:22.640 --> 35:27.680
Das wird uns in der nächsten Vorlesung beschäftigen und wird dazu

35:27.680 --> 35:31.900
führen, dass wir, wenn wir Erregerterme betrachten, diesen Fall

35:31.900 --> 35:36.020
nochmal gesondert betrachten müssen, wo hier die Drehzahl quadratisch

35:36.020 --> 35:36.840
nochmal auftritt.

35:37.300 --> 35:39.340
Das hat immense Konsequenzen.

35:40.280 --> 35:42.760
Stellen Sie sich vor, schneller, weiter, höher.

35:42.880 --> 35:45.460
Sie wollen Ihren Rotor immer schneller, immer schneller betreiben.

35:45.660 --> 35:46.900
Macht man heute überall.

35:47.120 --> 35:50.460
Man möchte immer weiter bis an die Grenzen gehen, also den Rotoren

35:50.460 --> 35:51.940
immer schneller betreiben.

35:52.060 --> 35:55.180
Wir untersuchen gerade am Institut Abgas-Turbolader.

35:55.600 --> 36:00.220
Die Turbolader-Industrie möchte gerade diese Drehgeschwindigkeiten

36:00.220 --> 36:03.840
ihrer Rotoren immer höher schrauben und kommt leider an

36:03.840 --> 36:06.620
Stabilitätsgrenzen und möchte verstehen, was passiert noch.

36:06.620 --> 36:11.020
Schauen Sie sich an, wenn Sie immer schneller drehen mit immer höheren

36:11.020 --> 36:15.220
Drehzahlen, dann erhalten Sie hier immer größere Erregerkräfte.

36:15.640 --> 36:19.740
Das wäre der Betrag der Erregerkraft m0 mal r0 mal Omega Quadrat.

36:19.820 --> 36:24.000
Das heißt, eine von der Masse hier, gleich große Unwucht, hat bei

36:24.000 --> 36:27.860
höheren Drehzahlen eine viel stärkere Wirkung, nämlich verstärkt durch

36:27.860 --> 36:34.020
das Quadrat der Drehzahl, als bei einer einfachen Kraft f von t, die

36:34.020 --> 36:34.960
einfach nur angreift.

36:34.960 --> 36:38.760
Das heißt, in diesem Fall ist die Kraft f von t abhängig.

36:39.380 --> 36:42.760
Und sie ist noch abhängig, wir müssten das eigentlich so schreiben,

36:43.500 --> 36:46.760
von dem Omega und der Zeit t.

36:47.180 --> 36:52.460
Wobei die Amplituden, und das ist das Wichtige, wenn Sie das hier so

36:52.460 --> 36:58.000
schreiben, dass Sie sagen, okay, das ist eine Amplitude mal eine

36:58.000 --> 37:02.260
Kosinusfunktion, der Kosinus kann maximal 1 werden, da bin ich auf der

37:02.260 --> 37:02.900
sicheren Seite.

37:02.900 --> 37:08.220
Aber diese Amplituden hier, die nehmen mit dem Quadrat der Drehzahl

37:08.220 --> 37:08.500
zu.

37:09.140 --> 37:11.840
Und je schneller sich Ihr Rotor dreht, desto gefährlicher wird das,

37:11.900 --> 37:13.960
desto größer sind diese Amplituden.

37:14.400 --> 37:17.920
Und wenn einmal so ein schnelldrehender Rotor sich losreißt aus seinen

37:17.920 --> 37:20.980
Lagern, dann sollten Sie möglichst in Deckung gehen oder gar nicht

37:20.980 --> 37:21.860
erst daneben stehen.

37:22.380 --> 37:24.740
Das kann wirklich lebensgefährlich werden.

37:24.860 --> 37:28.340
Und so ein Rotor, da gibt es immer wieder schöne Fotos, der kann also

37:28.340 --> 37:31.780
einen ganzen Raum zerlegen, sodass Sie denken, das war ein

37:31.780 --> 37:32.520
Bombenangriff.

37:32.920 --> 37:37.240
Wenn sich ein schnelldrehender Rotor aus seinen Lagern losreißt, dann

37:37.240 --> 37:38.620
ist wirklich höchste Gefahr.

37:40.080 --> 37:43.220
So, vierter Fall für die Elektrotechniker.

37:44.020 --> 37:44.780
Haben wir noch welche?

37:45.400 --> 37:47.400
Elektrotechniker, haben wir die alle vergrault?

37:47.440 --> 37:50.560
Sind noch Elektrotechniker da?

37:52.380 --> 37:53.540
Keine mehr, okay.

37:54.600 --> 37:56.060
Denen ist das wahrscheinlich zu einfach.

37:56.060 --> 37:59.100
Die haben die Schwingungsdifferenzialgleichung auch schon längst

37:59.100 --> 38:02.260
gelöst, weil sie das in ihrem Studium andauernd brauchen.

38:02.480 --> 38:04.500
Also, wir haben einen elektrischen Schwingkreis.

38:04.860 --> 38:07.740
Kleiner Ausflug, was brauchen wir?

38:16.260 --> 38:19.960
Das Gesetz von Kirchhoff entspricht dem, was wir in der Mechanik immer

38:19.960 --> 38:21.720
sagen, Summe aller Kräfte gleich null.

38:22.080 --> 38:25.260
Da sagen die Elektriker dazu, Summe aller Spannungen gleich null.

38:25.260 --> 38:31.020
Also, wir haben drei Elemente, hier vier Elemente.

38:31.040 --> 38:36.920
Eine Erregerspannung, ein Kondensator, einen Widerstand, eine Spule.

38:38.020 --> 38:42.420
Wir betrachten die Spannungsabfälle, also vor dem Bauteil, nach dem

38:42.420 --> 38:44.420
Bauteil, und summieren die alle auf.

38:46.760 --> 38:54.040
U R plus U C plus U L, das wären unsere Spannungsverluste.

38:54.040 --> 38:59.120
Das muss dann gleich der Erregerspannung U von T sein.

39:00.760 --> 39:07.000
Jetzt müssen wir uns überlegen, wie die Spannungen für eine Spule, für

39:07.000 --> 39:09.200
einen Widerstand und für einen Kondensator aussehen.

39:09.200 --> 39:12.280
Jetzt kann ich Ihnen hier nicht in fünf Minuten die gesamte

39:12.280 --> 39:15.460
Elektrotechnik beibringen, aber Sie haben dafür Vorlesungen.

39:15.680 --> 39:18.200
Zum Teil kennen Sie das natürlich auch aus der Schule.

39:18.800 --> 39:23.820
Also, ich erzähle Ihnen hier nichts Neues, wenn ich Ihnen sage, U für

39:23.820 --> 39:30.760
den Widerstand ist der Kanton in der Schweiz, Uri, gleich

39:30.760 --> 39:33.480
Widerstandskoeffizient mal Stromstärke.

39:34.160 --> 39:37.620
Dafür können wir einführen für die Stromstärke auch die zeitliche

39:37.620 --> 39:39.420
Ableitung der Ladung, Q-Punkt.

39:40.160 --> 39:44.460
Für einen Kondensator haben wir Proportionalität der Spannung zur

39:44.460 --> 39:45.260
Ladung selbst.

39:46.260 --> 39:53.200
Und für die Spule haben wir Proportionalität zur Ableitung der

39:53.200 --> 39:59.440
Stromstärke über die Spulenkonstante, die Induktivität, L-I-Punkt.

39:59.980 --> 40:02.540
Dafür haben wir L-Q-2-Punkt.

40:02.800 --> 40:04.640
Jetzt ahnen Sie schon, was dort passiert.

40:06.040 --> 40:09.200
Hier steht die zweite Ableitung der Ladung.

40:09.600 --> 40:11.020
Hier steht die Ladung selbst.

40:11.540 --> 40:13.480
Hier steht die erste Ableitung der Ladung.

40:13.800 --> 40:19.700
Setzen wir alles ein, dann erhalten wir R-Q-Punkt.

40:21.120 --> 40:30.820
Plus 1 durch C mal Q plus L mal Q-2-Punkt gleich U von T.

40:32.540 --> 40:36.200
Wir erhalten also eine Differenzialgleichung, wenn wir die jetzt noch

40:36.200 --> 40:37.440
ein bisschen schöner sortieren.

40:38.420 --> 40:46.140
L mal Q-2-Punkt plus R mal Q-Punkt plus 1 durch C mal Q gleich U von

40:46.140 --> 40:46.340
T.

40:46.340 --> 40:49.500
Sie kennen das vielleicht in der Schule noch als der elektrische

40:49.500 --> 40:50.240
Schwingkreis.

40:50.800 --> 40:55.360
Also Sie erhalten auch bei Schwingungen unter Annahme linearer Gesetze

40:55.360 --> 40:58.920
für Ihre Bauteile eine Schwingungsdifferenzialgleichung.

40:59.360 --> 41:02.360
Schwingungen treten also nicht nur in der Mechanik, sondern auch in

41:02.360 --> 41:04.120
vielen anderen Disziplinen auf.

41:05.760 --> 41:10.080
Zweite Ableitung konstante Proeffizienten jeweils überall.

41:11.140 --> 41:15.040
Okay, jetzt haben wir also eine Dreiviertelstunde lang diese

41:15.040 --> 41:16.360
Differenzialgleichung gesehen.

41:16.640 --> 41:20.380
Wir haben sie auch schon in den Vorlesungen davor immer mal wieder

41:20.380 --> 41:20.980
angetroffen.

41:21.120 --> 41:23.800
Ich habe sie vertröstet und nur gesagt, das ist die

41:23.800 --> 41:25.180
Schwingungsdifferenzialgleichung.

41:25.520 --> 41:28.060
Jetzt wollen wir sie endlich lösen.

41:28.880 --> 41:29.940
Wie machen wir das?

41:30.580 --> 41:32.720
Wir schauen uns erst einmal einen einfachen Fall an.

41:33.740 --> 41:39.720
Ein sogenanntes konservatives System mit F von T gleich 0 und K gleich

41:39.720 --> 41:39.880
0.

41:40.020 --> 41:41.300
Warum ist das konservativ?

41:41.820 --> 41:45.020
Konservativ ist es, weil keine Energiedissipation über den Dämpfer

41:45.020 --> 41:47.240
auftritt, weil die Dämpferkonstante...

41:47.240 --> 41:48.660
Warum heißt sie jetzt hier K?

41:48.820 --> 41:49.600
Vorher hieß sie D.

41:50.960 --> 41:52.860
Also schreiben Sie da ein D hin.

41:54.680 --> 41:56.040
Dämpferkonstante ist 0.

41:56.900 --> 41:58.240
Kein Dämpfer.

42:00.920 --> 42:06.040
Die Erregung auf der rechten Seite setzen wir heute in dieser

42:06.040 --> 42:07.620
Vorlesung auch mal zu 0.

42:09.080 --> 42:12.480
Beim nächsten Termin schauen wir uns an, was passiert, wenn F von T

42:12.480 --> 42:13.320
ungleich 0 ist.

42:13.620 --> 42:17.200
Dann haben wir also eine freie Schwingung, weil die Erregerkraft

42:17.200 --> 42:17.900
gleich 0 ist.

42:18.060 --> 42:20.620
Und wir haben eine ungedämpfte Schwingung, weil wir die

42:20.620 --> 42:22.580
Dämpferkonstante gleich 0 gesetzt haben.

42:22.980 --> 42:25.300
Das ist der erste Fall, den wir lösen werden.

42:25.880 --> 42:32.200
Dazu schreiben wir unser Problem so hin, dass wir auf beiden Seiten

42:32.200 --> 42:34.080
der Gleichung durch die Masse dividieren.

42:34.300 --> 42:37.480
Die Masse wird ja wohl ungleich 0 sein, also dürfen wir das machen.

42:38.040 --> 42:41.220
Wir erhalten dann die sogenannte Standardform dieser

42:41.220 --> 42:44.700
Schwingungsdifferenzialgleichung, bei der die höchste Ableitung ganz

42:44.700 --> 42:47.140
alleine dasteht, also mit einem Vorfaktor 1.

42:47.960 --> 42:56.880
Klar, dieser Koeffizient Omega 1² ist nichts anderes als C durch M.

43:03.980 --> 43:06.580
Jetzt lösen wir die Differenzialgleichung auf.

43:07.620 --> 43:09.640
Wir wollen also das x von T bestimmen.

43:10.620 --> 43:14.640
Und wir haben natürlich keine Ahnung, was x von T sein soll.

43:15.200 --> 43:19.040
Also machen wir einen Ansatz, der möglichst allgemein ist.

43:19.560 --> 43:23.360
Dazu wählen wir einfach einmal die Exponentialfunktion, weil wir

43:23.360 --> 43:24.820
wissen, wenn wir in die Exponentialfunktion

43:30.900 --> 43:35.780
irgendeinen Vorfaktor Lambda reinschreiben, und wir leiten das ganze

43:35.780 --> 43:39.440
zeitlich ab, dann bleibt zunächst einmal die Exponentialfunktion

43:39.440 --> 43:45.080
selbst dastehen, nur dieser Faktor Lambda, der wandert nach vorne.

43:45.800 --> 43:52.480
Also wir setzen x von T an, als eine Konstante, mal

43:52.480 --> 43:55.780
Exponentialfunktion Lambda t und hoffen, dass wir dadurch unsere

43:55.780 --> 43:58.820
Lösung dieser Differenzialgleichung erhalten können.

43:59.540 --> 44:06.180
Leiten wir das einfach zweimal ab, dann haben wir also x von T gleich

44:06.180 --> 44:11.740
c mal Lambda mal Exponentialfunktion Lambda t und leiten wir es noch

44:11.740 --> 44:12.360
einmal ab.

44:14.720 --> 44:19.720
Dann erhalten wir c mal Lambda² mal Exponentialfunktion Lambda t.

44:20.300 --> 44:24.380
Jetzt setzen wir die beiden Ableitungen in unsere

44:24.380 --> 44:29.740
Differenzialgleichung ein und schauen mal, was wir dann erhalten.

44:29.960 --> 44:37.080
Wir erhalten also c mal Lambda² mal Exponentialfunktion Lambda t plus

44:37.080 --> 44:45.020
Omega 1² mal c mal Exponentialfunktion Lambda t gleich 0.

44:46.620 --> 44:51.920
Wunderbar, c ist irgendeine Konstante ungleich 0, wir dividieren die

44:51.920 --> 44:57.200
ganze Gleichung durch c und Exponentialfunktion Lambda t ist ja auch

44:57.200 --> 45:00.820
ungleich 0, also dividieren wir auch noch durch Exponentialfunktion

45:00.820 --> 45:12.140
Lambda t und wir erhalten Lambda² plus Omega 1² gleich 0.

45:12.680 --> 45:18.680
Also insgesamt Lambda² gleich minus Omega 1².

45:18.680 --> 45:21.460
Krümpf, wenn Sie denken, wie kann denn das sein?

45:22.280 --> 45:24.460
Lambda² kann doch nichts Negatives sein.

45:25.160 --> 45:27.660
Na ja, wenn wir komplexe Zahlen verwenden, dann schon.

45:28.440 --> 45:33.040
Also müssen wir die imaginäre Einheit einführen und müssen sagen,

45:34.400 --> 45:36.960
Lambda hat dann folgende Lösung.

45:38.180 --> 45:52.760
Lambda ist i Omega 1 oder Lambda ist gleich minus i mal Omega 1.

45:54.380 --> 45:58.640
Sie kennen das, i² ist minus 1.

46:01.600 --> 46:05.740
Okay, damit haben wir also folgende allgemeine Lösung gefunden.

46:07.200 --> 46:20.740
x von t gleich c1 mal Exponentialfunktion i Omega 1 mal t plus c2 mal

46:20.740 --> 46:26.300
Exponentialfunktion minus i Omega 1 t.

46:27.840 --> 46:31.220
Jetzt ist die Frage, ist diese Lösung auch physikalisch sinnvoll?

46:32.240 --> 46:35.180
Vielleicht denken Sie, Mensch, also das mit diesen komplexen Zahlen,

46:35.260 --> 46:36.540
das kann doch eigentlich nicht sein.

46:37.260 --> 46:41.320
Hat denn schon mal jemand eine Amplitude oder eine Schwingung, eine

46:41.320 --> 46:44.940
Wegauslenkung x von t beobachtet, die komplexwertig ist?

46:45.340 --> 46:47.040
Das können wir uns doch gar nicht vorstellen.

46:47.140 --> 46:51.660
Eigentlich soll doch hier für x von t eine reelle Zahl herauskommen.

46:52.880 --> 46:58.240
Aber wir haben ja auch noch diese Konstante c1 und die Konstante c2.

46:59.300 --> 47:02.740
Vielleicht sorgen ja diese beiden Konstanten dafür, dass das Ergebnis,

47:02.740 --> 47:06.700
was dort auf der rechten Seite steht, tatsächlich reellwertig wird.

47:06.700 --> 47:10.020
Auf jeden Fall sollten wir das fordern, denn wenn da am Ende eine

47:10.020 --> 47:13.260
komplexe Zahl übrig bleibt, dann können wir damit nicht leben.

47:15.420 --> 47:18.960
Unsere Realität liefert uns keine komplexen Zahlen, sondern unsere

47:18.960 --> 47:23.500
Realität liefert uns Auslenkungen, Schwingungsamplituden zum Beispiel,

47:23.740 --> 47:26.160
und die sind ganz klar reellwertig.

47:26.840 --> 47:29.860
Also, wenden wir die Euler'sche Formel an.

47:30.280 --> 47:31.120
Sie erinnern sich?

47:34.020 --> 47:37.460
Exponentialfunktion einer komplexen Zahl.

47:37.580 --> 47:45.500
Nehmen wir mal i Omega t ist gleich Cosinus Omega t plus i mal Sinus

47:45.500 --> 47:46.260
Omega t.

47:49.320 --> 47:52.920
Exponentialfunktion von minus i Omega t ist gerade das konjugiert

47:52.920 --> 47:53.640
Komplexe.

47:54.160 --> 47:59.560
Also Cosinus Omega t minus i Sinus Omega t.

48:01.120 --> 48:03.660
Jetzt setzen wir an das Omega noch den Index 1 ran.

48:04.180 --> 48:09.700
Dann sehen wir, hier steht C1 mal Cosinus Omega 1 t plus C2

48:14.210 --> 48:16.950
mal Cosinus Omega 1 t

48:21.500 --> 48:34.700
plus C1 minus C2 mal i mal Sinus Omega 1 t.

48:37.420 --> 48:46.860
Damit hier was Reellwertiges rauskommt, muss also C1 plus C2 irgendwas

48:46.860 --> 48:52.440
Reellwertiges sein und C1 minus C2 mal i muss reellwertig sein.

48:54.040 --> 48:55.140
Wie kriegen wir denn das hin?

48:56.380 --> 49:01.000
Nehmen wir mal an, C1 und C2 wären komplexe Zahlen.

49:01.480 --> 49:18.600
Also C1 wäre C1 Realteil plus i mal C1 Imaginärteil und C2 wäre C2

49:18.600 --> 49:25.180
Realteil plus i mal C2 Imaginärteil.

49:26.200 --> 49:28.980
Jetzt setzen wir das in unsere beiden Gleichungen ein.

49:28.980 --> 49:42.140
Dann erhalten wir einmal C1 plus C2 als C1r plus C2r plus i mal C1r

49:42.140 --> 49:44.780
plus C2r.

49:46.120 --> 49:54.200
Und wenn ich C1 minus C2 mal i rechne, dann erhalte ich insgesamt C1r

49:54.200 --> 50:10.420
plus C2r multipliziert mit i und ich erhalte minus C1i.

50:12.840 --> 50:16.600
Ich kann nicht rechnen, hier kommt ein Minuszeichen hin.

50:16.600 --> 50:27.220
C1r minus C2r mal i minus C1 Imaginärteil minus C2 Imaginärteil.

50:31.320 --> 50:34.340
Ach Mensch, hier muss natürlich auch ein i stehen.

50:35.500 --> 50:39.480
C1i C2i.

50:40.840 --> 50:41.120
Also.

50:45.100 --> 50:46.720
Alles klar?

50:46.720 --> 50:48.640
Ich löse Ihnen nochmal vor.

50:48.920 --> 50:52.980
Wir zerlegen diese beiden Konstanten C1 in einen Realteil und einen

50:52.980 --> 50:53.820
Imaginärteil.

50:54.000 --> 50:57.720
Also in die Darstellung C1r plus imaginäre Einheit mal C1i.

50:58.180 --> 51:01.060
C2r plus imaginäre Einheit mal C2i.

51:01.420 --> 51:07.060
Wir setzen das Ganze ein für die Summe C1 plus C2 und die Differenz C1

51:07.060 --> 51:16.080
minus C2 und erhalten C1r plus C2r plus i C1i plus C2i und hier C1r

51:16.080 --> 51:24.320
minus C2r multipliziert mit dem i minus, denn i mal i gibt minus 1,

51:24.540 --> 51:27.460
minus C1i minus C2i.

51:27.820 --> 51:27.940
So.

51:29.220 --> 51:35.040
Wir fordern, dass das Ergebnis C1 plus C2 reellwertig ist und wir

51:35.040 --> 51:39.000
fordern, dass das Ergebnis C1 minus C2 reellwertig ist.

51:39.000 --> 51:43.420
Aus dieser Forderung ergibt sich, dass diese Terme hier hinten gleich

51:43.420 --> 51:46.500
0 sein müssen und der Term hier vorne.

51:46.880 --> 51:49.220
Die Terme mit dem i müssen gleich 0 sein.

51:49.720 --> 51:54.100
Die imaginäre Einheit ist natürlich nicht gleich 0, also muss der

51:54.100 --> 52:00.200
Summand C1i plus C2i gleich 0 sein

52:03.440 --> 52:12.200
und als zweites C1r minus C2r gleich 0.

52:13.800 --> 52:20.440
Daraus folgt C1i gleich minus C2i

52:25.260 --> 52:31.040
und C1r gleich C2r.

52:31.040 --> 52:36.160
Wie verhalten sich also die beiden komplexen Zahlen C1 und C2

52:36.160 --> 52:36.800
zueinander?

52:37.400 --> 52:40.120
Sie sind konjugiert komplex.

52:43.520 --> 53:03.880
Daraus folgt C1 gleich C1r plus iC1r und C2 ist C1r minus iC1i.

53:06.640 --> 53:07.240
C1i.

53:08.200 --> 53:13.100
Das heißt, das ist C1 konjugiert komplex.

53:13.220 --> 53:15.480
Dazu notiert man da ganz gerne so einen Stern dran.

53:15.940 --> 53:17.160
Was heißt das für uns?

53:18.340 --> 53:27.580
Für uns heißt das, wir dürfen diese Konstante hier links, die ja

53:27.580 --> 53:33.160
nichts anderes ist als der Realteil zweier komplexer Zahlen C1 und C2,

53:33.160 --> 53:41.620
durch irgendeine Konstante, nennen wir die C-Tilde, 1 ersetzen, die

53:41.620 --> 53:44.380
reell wertig ist.

53:45.020 --> 53:47.660
Ach, C1 hatten wir schon, Tilde.

53:48.780 --> 53:54.900
Und wir dürfen diese Konstante, die jetzt nichts anderes ist als minus

53:54.900 --> 54:00.700
C1i minus C2i, auch wieder durch eine reelle Zahl ersetzen, durch eine

54:00.700 --> 54:08.130
zweite Konstante, C2-Tilde.

54:09.530 --> 54:12.850
Und dann mit dem i, also das i noch dazu.

54:14.110 --> 54:17.270
Dann erhalten wir also die allgemeine Lösung dieser

54:17.270 --> 54:23.610
Differenzialgleichung als eine Überlagerung aus dem Cosinus Omega 1t

54:23.610 --> 54:29.490
und dem Sinus Omega 1t, multipliziert jeweils mit einer konstanten C1

54:29.490 --> 54:32.430
-Tilde und mit einer konstanten C2-Tilde.

54:32.890 --> 54:37.310
Wie groß diese Konstanten sind, weiß ich zunächst einmal noch nicht.

54:37.450 --> 54:39.990
Das erhalte ich aus den Anfangsbedingungen.

54:40.450 --> 54:43.830
Das sind also meine beiden Integrationskonstanten.

54:44.770 --> 54:51.710
Ergebnis dieser langen Überlegung ist, wir erhalten die Lösung,

54:52.610 --> 54:57.190
allgemeine nicht-triviale Lösung, nicht-trivial, wenn die Konstanten

54:57.190 --> 55:01.150
C1 und C2 natürlich gleichloh sind, erhalten Sie auch eine Lösung,

55:01.310 --> 55:04.170
aber die passt eventuell nicht zu Ihren Anfangsbedingungen, nämlich

55:04.170 --> 55:05.090
Lösung Ruhe.

55:07.410 --> 55:12.190
Wir erhalten diese allgemeine Lösung für die freie, ungedämpfte

55:12.190 --> 55:12.790
Schwingung.

55:13.330 --> 55:17.370
Dabei ist jetzt eine Größe besonders wichtig, das ist Omega 1.

55:19.710 --> 55:26.670
Und wir hatten gesehen, Omega 1² war C durch M.

55:30.150 --> 55:35.250
Dieses Omega 1 gibt mir die Periodendauer meiner Schwingung an, also

55:35.250 --> 55:38.890
die Zeit, die verstreicht, bis das Pendel, denken Sie an die Schaukel,

55:39.350 --> 55:41.110
wieder zurückgependelt ist.

55:42.010 --> 55:44.710
Ist gerade Omega 1 mal D.

55:46.410 --> 55:50.370
Omega 1 entscheidet also über die Periodendauer meiner Schwingung.

55:51.270 --> 55:53.290
Heißt deshalb die sogenannte Eigenfrequenz.

55:54.290 --> 55:57.710
Und sie berechnet sich allein aus den Systemgrößen, aus der Masse und

55:57.710 --> 55:58.330
der Steifigkeit.

55:58.810 --> 56:01.630
Wenn Sie die Masse ändern, ändert sich die Eigenfrequenz, die

56:01.630 --> 56:04.130
Periodizität Ihrer Schwingung, die Periodendauer.

56:04.770 --> 56:07.910
Wenn Sie die Steifigkeit ändern, ändert sich ebenfalls die

56:07.910 --> 56:09.370
Periodendauer Ihrer Schwingung.

56:10.170 --> 56:13.830
Aus der Eigenpreisfrequenz kann man nun die Eigenfrequenz herleiten,

56:13.850 --> 56:17.390
indem man noch durch die Periodendauer des Silos teilt, also durch

56:17.390 --> 56:17.970
zwei Pi.

56:18.330 --> 56:21.030
Das ist dann F, angegeben im Herbst.

56:21.370 --> 56:23.710
Der Kehrwert von F ist die Periodendauer.

56:25.150 --> 56:28.770
T gleich 1 durch F1 dieser Schwingung.

56:30.810 --> 56:33.950
Eine typische Lösung sehen Sie hier dargestellt für eine

56:33.950 --> 56:37.190
Anfangsbedingung, hier zur Zeit T gleich 0.

56:37.190 --> 56:40.230
Irgendeine Anfangsbedingung, die sich hier einstellt.

56:40.810 --> 56:46.350
Sie sehen dann hier, das wäre die Periodendauer, hier ist Omega 0 mal

56:46.350 --> 56:49.070
T aufgetragen, dieser Schwingung.

56:49.910 --> 56:54.330
Sie können diese beiden Größen ausrechnen und das sind die ganz

56:54.330 --> 56:57.190
wichtigen Kenngrößen für diese Schwingung.

56:57.590 --> 57:01.830
Die Eigenfrequenz in Hertz und die Periodendauer dieser Schwingung.

57:02.230 --> 57:06.010
Jetzt kann man aber diese allgemeine Lösung auch noch umformulieren.

57:06.850 --> 57:10.030
Manch einer sagt sich, da stehen jetzt zwei harmonische Funktionen

57:10.030 --> 57:11.250
drin, Sinus und Kosinus.

57:11.590 --> 57:14.630
Das ist mir zu unübersichtlich, ich möchte das Ganze mit nur einer

57:14.630 --> 57:16.050
harmonischen Funktion schreiben.

57:16.490 --> 57:17.270
Können Sie machen.

57:17.930 --> 57:20.010
Sie können den Sinus und den Kosinus nehmen.

57:20.350 --> 57:24.470
Sie müssen dann aber hier einen Phasenversatz, einen Winkel Alpha,

57:24.750 --> 57:26.970
einführen, den sogenannten Nacheilwinkel.

57:30.590 --> 57:33.430
Das ist der sogenannte Nacheilwinkel.

57:42.630 --> 57:48.790
Und Sie haben dann eine einzige Konstante vor dem harmonischen Term zu

57:48.790 --> 57:51.830
stehen und den nennt man dann Amplitude dieser Schwingung.

57:52.750 --> 57:56.130
Das Schöne an dieser Darstellung ist der Sinusterm, den können Sie

57:56.130 --> 57:56.670
abschätzen.

57:57.130 --> 58:02.610
Der ist maximal 1 groß, minimal minus 1 groß und allein der Term vor

58:02.610 --> 58:05.750
dem Sinus, dieses A, ist die Amplitude.

58:05.750 --> 58:09.570
Entscheidet also über die Größe der Schwingungsantwort.

58:16.550 --> 58:22.690
Die Amplitude stellen Sie fest bei minimalem oder maximalem Ausschlag,

58:22.810 --> 58:23.430
das wäre A.

58:25.750 --> 58:30.990
Dann, wenn sich gerade der Sinus zu 1 oder minus 1 ergibt, dort

58:30.990 --> 58:33.490
erhalten Sie als maximalen Ausschlag die Amplitude.

58:33.490 --> 58:37.750
Und diesen Winkel Alpha stellen Sie über die Anfangsbedingungen fest.

58:37.870 --> 58:41.810
Das ist praktisch der Winkel, wenn Sie für T0 einsetzen, der Ihnen

58:41.810 --> 58:43.890
hier übrig bleibt, das A Sinus Alpha.

58:47.130 --> 58:51.330
Wie groß C1 und C2 sind, bzw.

58:51.690 --> 58:55.190
wie groß A und Alpha sind, müssen Sie aus den Anfangsbedingungen

58:55.190 --> 58:55.650
entnehmen.

58:55.650 --> 58:58.810
Und die Anfangsbedingungen, ich schreibe Ihnen die hier nochmal auf,

58:59.190 --> 59:08.910
sind x zur Zeit t gleich 0, meinetwegen gleich x0, und x Punkt zur

59:08.910 --> 59:11.590
Zeit t gleich 0 gleich v0.

59:13.090 --> 59:15.590
Jetzt können Sie das einsetzen in Ihre

59:15.590 --> 59:18.470
Schwingungsdifferentialgleichung, dann sehen Sie.

59:19.970 --> 59:22.630
Nehmen wir die erste Lösung hier.

59:23.110 --> 59:24.990
Ist egal, von welcher Zeit Sie das machen.

59:25.350 --> 59:29.630
Setzen Sie für die Zeit t gleich 0 ein, dann kollabiert hier der Sinus

59:29.630 --> 59:36.270
zu 0, der Kosinus zu 1, also die Konstante C2 bestimmt sich sofort zu

59:36.270 --> 59:36.730
x0.

59:38.810 --> 59:41.830
Dann müssen Sie die Ableitung bilden von dieser Funktion.

59:43.290 --> 59:47.590
x von t, Sie sehen die Ableitung ist, Ableitung vom Sinus ist der

59:47.590 --> 59:54.370
Kosinus, C1 mal Omega 1 mal Kosinus Omega 1 t plus C2 minus Ableitung

59:54.370 --> 01:00:00.270
vom Kosinus minus C2 minus Omega 1 t.

01:00:00.270 --> 01:00:01.890
Schreiben wir es nochmal auf.

01:00:02.770 --> 01:00:14.830
x Punkt von t gleich C1 mal Omega 1 mal Kosinus Omega 1 t plus minus

01:00:14.830 --> 01:00:20.890
C2 mal Omega 1 mal Sinus Omega 1 t.

01:00:22.390 --> 01:00:28.110
Setzen Sie für die Zeit t 0 ein und werten diese Anfangsbedingung aus,

01:00:28.490 --> 01:00:33.330
dann erhalten Sie Kosinus von Omega 1 t ist dann Kosinus von 0 ist 1,

01:00:33.650 --> 01:00:40.550
C1 mal Omega 1 Sinus von 0 ist 0, also C1 mal Omega 1 ist gleich V0.

01:00:43.490 --> 01:00:51.350
Und Sie erhalten also die Integrationskonstante C1 zu V0 durch Omega

01:00:51.350 --> 01:00:51.830
1.

01:00:53.310 --> 01:00:55.850
Genauso können Sie mit der unteren Zeile verfahren.

01:00:56.470 --> 01:01:02.530
Setzen Sie hier Sinus t auf 0, dann erhalten Sie A mal Sinus Alpha ist

01:01:02.530 --> 01:01:09.750
X0 und Sie erhalten, wenn Sie das nochmal ableiten, A mal Omega 1 mal

01:01:09.750 --> 01:01:15.110
Kosinus von 0 plus Alpha, also A mal Omega 1 mal Kosinus von Alpha

01:01:15.110 --> 01:01:16.130
gleich V0.

01:01:16.130 --> 01:01:20.210
Und können sich daraus A und Alpha bestimmen.

01:01:29.670 --> 01:01:32.170
Jetzt wollen wir den nächsten schwereren Fall angehen.

01:01:32.590 --> 01:01:34.330
Das war der einfachste Fall.

01:01:36.610 --> 01:01:40.850
Schwingungsdifferenzialgleichung ohne äußere Anregung und ohne

01:01:40.850 --> 01:01:41.430
Dämpfung.

01:01:42.450 --> 01:01:46.130
Lösung war einfach nur, Sie sehen das hier, eine harmonische Funktion,

01:01:46.710 --> 01:01:51.830
Sinus, der halt zur Zeit t gleich 0 irgendwie ausgelenkt ist.

01:01:51.930 --> 01:01:54.550
Sie können sich vorstellen, das wäre die Anfangsauslenkung Ihres

01:01:54.550 --> 01:01:58.910
Pendels, dann lassen Sie das Pendel los und es stellt sich ein ewiger

01:01:58.910 --> 01:02:00.510
Sinusverlauf hier ein.

01:02:00.510 --> 01:02:05.690
Also das Ding schwingt ewig hin und her mit der gleichen Amplitude,

01:02:06.250 --> 01:02:10.970
mit der gleichen Periodendauer und wenn es nicht gestorben wäre, dann

01:02:10.970 --> 01:02:11.950
schwingt es auch noch heute.

01:02:12.890 --> 01:02:17.010
Aber in der Realität haben Sie Dämpfung und in der Realität stellt

01:02:17.010 --> 01:02:19.630
sich dieses Verhalten nicht ein, sondern die Schwingung klingt

01:02:19.630 --> 01:02:20.390
irgendwann ab.

01:02:20.390 --> 01:02:23.510
Und dazu müssen wir den Dämpfungsterm wieder einführen.

01:02:23.950 --> 01:02:26.750
Wir betrachten jetzt also im zweiten Schritt den nächst

01:02:26.750 --> 01:02:29.170
komplizierteren Fall, dass wir versuchen die

01:02:29.170 --> 01:02:34.610
Schwingungsdifferenzialgleichung zu lösen ohne rechte Seite, ohne

01:02:34.610 --> 01:02:37.470
Anregung, aber mit zusätzlicher Dämpfung.

01:02:39.270 --> 01:02:44.410
Also jetzt lassen wir Dämpfung zu, wir betrachten die sogenannte freie

01:02:44.410 --> 01:02:45.630
gedämpfte Schwingung.

01:02:46.230 --> 01:02:51.430
Frei deshalb, weil keine Erregerkraft vorhanden sein soll, gedämpft

01:02:51.430 --> 01:02:53.630
deshalb, weil wir jetzt die Dämpfung mit dazu nehmen.

01:02:55.950 --> 01:02:58.750
Jetzt war der erste Schritt, wenn Sie sich an den Lösungsvorgang noch

01:02:58.750 --> 01:03:01.290
erinnern, bei der freien ungedämpften Schwingung.

01:03:01.290 --> 01:03:08.230
Wir hatten eine Differenzialgleichung m mal x zwei Punkt plus, ich

01:03:08.230 --> 01:03:13.510
lasse mal hier den Platz weg, c mal x gleich null und haben die

01:03:13.510 --> 01:03:16.630
erstmal auf Standardform gebracht, indem wir durch die Masse dividiert

01:03:16.630 --> 01:03:16.910
haben.

01:03:17.350 --> 01:03:21.050
Die Standardform sah folgendermaßen aus, dass wir gesagt haben, wir

01:03:21.050 --> 01:03:27.810
stellen das x zwei Punkt frei und schreiben hier Omega 1 Quadrat mal x

01:03:27.810 --> 01:03:29.470
gleich null hin.

01:03:30.710 --> 01:03:34.710
Jetzt nehmen wir die Dämpfung mit dazu, wir tragen also hier wieder

01:03:34.710 --> 01:03:39.050
unseren Dämpfungsterm ein, ich nenne ihn diesmal k, um hier mit der

01:03:39.050 --> 01:03:42.690
Schreibweise mal konform zu gehen.

01:03:43.270 --> 01:03:46.970
K mal x Punkt kommt jetzt neu dazu, dann habe ich in der nächsten

01:03:46.970 --> 01:03:52.070
Zeile k durch m mal x Punkt.

01:03:53.230 --> 01:03:56.670
Und jetzt sehen Sie schon, man schreibt nicht k durch m, sondern man

01:03:56.670 --> 01:03:58.770
führt ein paar nette Abkürzungen ein.

01:03:59.370 --> 01:04:00.870
Blöd, muss man erstmal lernen.

01:04:02.990 --> 01:04:06.770
Aber wenn man das verstanden hat, was die physikalisch bedeuten, dann

01:04:06.770 --> 01:04:10.230
ist es ganz sinnvoll, diese Abkürzungen einzuführen.

01:04:10.230 --> 01:04:14.490
Also, anstatt k durch m zu schreiben, kann ich auch zwei Delta

01:04:14.490 --> 01:04:14.970
schreiben.

01:04:15.430 --> 01:04:18.550
Und dann gibt es aber noch eine zweite Abkürzung, um die Verwirrung

01:04:18.550 --> 01:04:20.430
perfekt zu machen in der Literatur.

01:04:20.910 --> 01:04:22.850
Das sogenannte Leersche Dämpfungsmaß.

01:04:23.570 --> 01:04:27.370
Für k durch m schreibe ich zwei groß die Omega 1.

01:04:27.750 --> 01:04:32.230
Das heißt, ich bringe hier nochmal die Abhängigkeit von Omega 1

01:04:32.230 --> 01:04:33.370
irgendwie zum Ausdruck.

01:04:35.110 --> 01:04:36.850
Ist natürlich recht trickreich.

01:04:37.270 --> 01:04:37.570
Warum?

01:04:38.090 --> 01:04:39.610
Hier habe ich Omega 1 im Quadrat.

01:04:40.830 --> 01:04:45.170
Hier habe ich Omega 1, wenn ich das Leersche Dämpfungsmaß nehme, als

01:04:45.170 --> 01:04:46.290
lineare Größe.

01:04:46.670 --> 01:04:49.650
Und hier im ersten Term habe ich überhaupt kein Omega 1.

01:04:50.190 --> 01:04:53.270
Jetzt denken Sie an das, was Sie schon wissen, über die Lösung der

01:04:53.270 --> 01:04:54.670
freien ungedämpften Schwingung.

01:04:55.110 --> 01:05:00.150
Das war irgendeine harmonische Funktion mit einer Abhängigkeit von

01:05:00.150 --> 01:05:01.130
Omega 1 mal t.

01:05:01.130 --> 01:05:06.250
Wenn Sie die ableiten, einmal ableiten, wandert das Omega 1 nach vorne

01:05:06.250 --> 01:05:07.370
zu der Amplitude hin.

01:05:07.910 --> 01:05:09.690
Vor dem trigonometrischen Kern.

01:05:10.210 --> 01:05:13.630
Das heißt, hier würde dann stehen, wenn Sie das Leersche Dämpfungsmaß

01:05:13.630 --> 01:05:15.510
verwenden, ein Omega 1².

01:05:16.430 --> 01:05:20.190
Und im ersten Kern, wo Sie zweimal ableiten, müssen Sie zweimal das

01:05:20.190 --> 01:05:21.950
Omega 1 nach vorne ziehen.

01:05:22.310 --> 01:05:26.110
Erhalten Sie also auch ein Omega 1² und Sie können durch das Omega 1

01:05:26.110 --> 01:05:27.070
überall dividieren.

01:05:27.830 --> 01:05:31.310
Deswegen die Überlegung, hier dieses Leersche Dämpfungsmaß

01:05:31.310 --> 01:05:31.950
einzuführen.

01:05:32.210 --> 01:05:35.850
Also eine andere Konstante, Groß D, modifiziert mit Omega 1.

01:05:38.190 --> 01:05:42.670
Ist zunächst einmal etwas unanschaulich, das Ganze, aber so wird es in

01:05:42.670 --> 01:05:43.650
der Literatur gemacht.

01:05:43.990 --> 01:05:48.230
Und Sie werden sehen, wenn wir das so machen und dann die Lösung

01:05:48.230 --> 01:05:51.990
physikalisch interpretieren, dann haben diese Größen, die hier

01:05:51.990 --> 01:05:55.310
eingeführt werden und erstmal ein bisschen abschränkend liegen, zwei

01:05:55.310 --> 01:06:00.830
Delta und D, das Abklingmaß und das Leersche Dämpfungsmaß, durchaus

01:06:00.830 --> 01:06:02.630
eine sinnvolle Bedeutung.

01:06:04.450 --> 01:06:07.430
Wir führen also zunächst einmal ein.

01:06:08.430 --> 01:06:12.630
Für K durch M, zwei Delta.

01:06:13.610 --> 01:06:15.800
Und erhalten also unsere Standardform.

01:06:27.650 --> 01:06:31.790
Und diese Differenzialgleichung wollen wir wieder lösen.

01:06:32.630 --> 01:06:37.410
Und auch wie im Fall davor, haben wir wieder keine Ahnung, wie die

01:06:37.410 --> 01:06:38.190
Lösung aussieht.

01:06:39.270 --> 01:06:41.010
Also machen wir wieder einen Ansatz.

01:06:41.750 --> 01:06:46.490
Und weil dieser Ansatz so schön geklappt hat beim letzten Mal, also

01:06:46.490 --> 01:06:58.510
Ansatz x von T gleich Konstante mal Exponentialfunktion Lambda t, weil

01:06:58.510 --> 01:07:01.470
das beim letzten Mal so schön geklappt hat, probieren wir mal, ob es

01:07:01.470 --> 01:07:02.590
hier auch wieder so gut klappt.

01:07:03.270 --> 01:07:08.190
Also, gleicher Ansatz, zweimal abgeleitet und eingesetzt in unsere

01:07:08.190 --> 01:07:08.750
Differenzialgleichung.

01:07:10.050 --> 01:07:18.590
Erste Ableitung gibt mir c mal Lambda mal Exponentialfunktion Lambda

01:07:18.590 --> 01:07:18.930
t.

01:07:19.850 --> 01:07:27.170
Zweite Ableitung gibt mir c Quadrat, Quatsch, c mal Lambda Quadrat mal

01:07:27.170 --> 01:07:29.610
Exponentialfunktion Lambda t.

01:07:32.830 --> 01:07:39.370
Eingesetzt in meine Differenzialgleichung liefert mir c mal Lambda

01:07:39.370 --> 01:07:49.390
Quadrat plus c mal Lambda plus Omega 1 Quadrat mal c.

01:07:50.410 --> 01:07:53.070
Jetzt werden Sie sich sagen, wo hat er die Exponentialfunktion

01:07:53.070 --> 01:07:53.450
gelassen?

01:07:53.570 --> 01:07:57.750
Die hat er ausgeklammert, Exponentialfunktion Lambda t gleich 0.

01:07:59.210 --> 01:08:03.090
Einfach nur Ansatz gemacht, zweimal abgeleitet, in die

01:08:03.090 --> 01:08:06.850
Differenzialgleichung eingesetzt und hier Exponentialfunktion Lambda t

01:08:06.850 --> 01:08:07.590
ausgeklammert.

01:08:08.050 --> 01:08:11.590
Da Exponentialfunktion Lambda t im Allgemeinen ungleich 0 sein wird,

01:08:11.810 --> 01:08:15.310
für beliebige Zeiten werden Sie die Exponentialfunktion nicht zum

01:08:15.310 --> 01:08:21.790
Verschwinden bringen, also dass hier ungleich 0 ist, können wir durch

01:08:21.790 --> 01:08:29.110
diesen Term dividieren und erhalten als Bedingung c Lambda Quadrat

01:08:29.110 --> 01:08:35.350
plus c mal Lambda plus Omega 1 Quadrat mal c gleich 0.

01:08:35.350 --> 01:08:39.650
Zwei Fälle können auftreten, entweder ist die Konstante c gleich 0,

01:08:39.950 --> 01:08:43.630
dann haben wir die sogenannte triviale Lösung erwischt, nämlich die

01:08:43.630 --> 01:08:46.330
Lösung x von t identisch 0.

01:08:47.590 --> 01:08:52.230
Natürlich löst x von t identisch 0 diese Differenzialgleichung, aber

01:08:52.230 --> 01:08:56.370
es ist auch sterbenslangweilig, es ist der Sonderfall der Statik,

01:08:56.510 --> 01:08:57.970
überhaupt keine Bewegung tritt ein.

01:08:57.970 --> 01:09:04.310
Also betrachten wir den Fall c ungleich 0 und dividieren durch die

01:09:04.310 --> 01:09:08.970
Konstante c und erhalten Lambda Quadrat plus...

01:09:09.910 --> 01:09:12.950
Ich habe die Dämpfungskonstante 2Delta vergessen.

01:09:14.570 --> 01:09:28.710
Ach je, 2Delta mal Lambda plus Omega 1 Quadrat gleich 0.

01:09:30.670 --> 01:09:33.490
Diese Gleichung bezeichnet man auch als die sogenannte

01:09:33.490 --> 01:09:35.070
charakteristische Gleichung.

01:09:36.050 --> 01:09:39.590
Nur, wenn diese Gleichung erfüllt ist, wenn Sie ein Lambda finden, was

01:09:39.590 --> 01:09:43.450
diese Gleichung erfüllt, dann haben Sie eine Lösung dieser

01:09:43.450 --> 01:09:43.750
Differenzialgleichung.

01:09:44.670 --> 01:09:47.930
Jedenfalls fast, Sie müssen noch die Anfangsbedingungen anpassen, um

01:09:47.930 --> 01:09:49.210
das Lambda auszurechnen.

01:09:52.090 --> 01:09:54.930
Jetzt sehen Sie, was ist das für eine Gleichung für Lambda?

01:09:55.310 --> 01:09:57.450
Das ist einfach eine quadratische Gleichung.

01:09:58.310 --> 01:10:01.350
Und das Lösungsverhalten von quadratischen Gleichungen kennen Sie.

01:10:02.010 --> 01:10:06.390
Da gibt es mal eine Lösung, mal gibt es zwei Lösungen und mal gibt es

01:10:06.390 --> 01:10:07.410
keine reelle Lösung.

01:10:08.330 --> 01:10:12.250
Also müssen wir diese Fälle einfach separat untersuchen.

01:10:12.790 --> 01:10:17.090
Wir wissen, im allgemeinen Fall ist die Lösung einer quadratischen

01:10:17.090 --> 01:10:24.970
Gleichung dieser Art einfach nur PQ-Formel minus Delta plus minus

01:10:24.970 --> 01:10:28.830
Delta Quadrat minus Omega 1 Quadrat.

01:10:34.620 --> 01:10:42.980
Und das hat eine reellwertige Lösung für den Fall, dass Delta Quadrat

01:10:42.980 --> 01:10:44.560
gleich Omega 1 Quadrat ist.

01:10:45.300 --> 01:10:49.580
Das hat für den Fall, dass Omega 1 Quadrat kleiner ist als Delta

01:10:49.580 --> 01:10:51.960
Quadrat, zwei reellwertige Lösungen.

01:10:51.960 --> 01:10:58.560
Und das hat nur komplexwertige Lösungen, wenn das Omega 1 Quadrat

01:10:58.560 --> 01:11:00.920
größer wird als das Delta Quadrat.

01:11:01.460 --> 01:11:04.060
Und diese drei Fälle müssen wir unterscheiden.

01:11:04.700 --> 01:11:06.860
Und dazu formen wir das Ganze nochmal ein bisschen um.

01:11:09.300 --> 01:11:15.740
Nämlich wir schreiben das so, minus Delta, ziehen das Omega 1 zum

01:11:15.740 --> 01:11:23.720
Quadrat aus der Wurzel heraus, da muss ich natürlich die Wurzel

01:11:23.720 --> 01:11:25.840
ziehen, also das Quadrat beseitigen.

01:11:25.840 --> 01:11:41.680
Und schreiben Delta durch Omega 1 zum Quadrat, minus 1 Wurzel.

01:11:44.000 --> 01:11:46.920
Und jetzt kommt das Leersche Dämpfungsmaß.

01:11:49.500 --> 01:11:52.640
Jetzt sehen Sie, bisher war die Rechnung recht handlich mit diesem

01:11:52.640 --> 01:11:55.600
Delta, dann haben wir hier den Term 2Delta, wunderbar.

01:11:56.040 --> 01:11:59.800
PQ-Formel anwenden, dann fällt die 2 heraus, deswegen diese 2.

01:12:00.560 --> 01:12:03.980
Deswegen diese Willkür mit der 2, warum hat man nicht gesagt Delta bei

01:12:03.980 --> 01:12:04.640
K durch M?

01:12:05.040 --> 01:12:09.180
Weil man faul war und diese 2 aus der PQ-Formel eliminieren wollte.

01:12:11.980 --> 01:12:16.320
Deswegen wird das Abklingmaß mit 2Delta definiert, als K durch M.

01:12:18.020 --> 01:12:22.180
Jetzt sehen Sie, das Leersche Dämpfungsmaß sagt mir nichts anderes,

01:12:22.380 --> 01:12:28.840
ich setze für D mal Omega 1 Delta ein, das heißt D ist Delta durch

01:12:28.840 --> 01:12:29.500
Omega 1.

01:12:29.620 --> 01:12:34.460
Das heißt, das hier, Delta durch Omega 1, ist gerade mein Leersches

01:12:34.460 --> 01:12:35.380
Dämpfungsmaß.

01:12:39.000 --> 01:12:44.280
Das hier ist gerade Groß D zum Quadrat.

01:12:46.220 --> 01:12:50.320
Und jetzt kann ich eine Fallunterscheidung machen für das Leersche

01:12:50.320 --> 01:12:52.080
Dämpfungsmaß, für das Groß D.

01:12:53.100 --> 01:12:57.660
Ist das Leersche Dämpfungsmaß leicht 1, habe ich eine reelle Lösung.

01:12:58.240 --> 01:13:02.240
Ist das Leersche Dämpfungsmaß größer als 1, habe ich zwei reelle

01:13:02.240 --> 01:13:02.740
Lösungen.

01:13:02.740 --> 01:13:06.600
Ist das Leersche Dämpfungsmaß kleiner als 1, habe ich nur

01:13:06.600 --> 01:13:07.840
komplexwertige Lösungen.

01:13:08.180 --> 01:13:11.800
Also das Leersche Dämpfungsmaß dient dazu, diese Lösungen zu

01:13:11.800 --> 01:13:12.580
klassifizieren.

01:13:12.980 --> 01:13:17.140
Deswegen diese zweite Einführung eines Dämpfungsmaßes noch.

01:13:17.240 --> 01:13:20.780
Obwohl das natürlich mathematisch gesehen doppelt gemoppelt ist,

01:13:21.420 --> 01:13:23.720
erlaubt es mir eine einfache Klassifikation.

01:13:23.720 --> 01:13:31.640
Nämlich, ich muss eine Fallunterscheidung machen, um das

01:13:31.640 --> 01:13:33.300
Lösungsverhalten zu diskutieren.

01:13:33.600 --> 01:13:36.340
In Abhängigkeit vom Leerschen Dämpfungsmaß.

01:13:37.280 --> 01:13:44.540
D gleich 1, D kleiner 1, D größer 1.

01:13:47.340 --> 01:13:49.500
Das wollen wir jetzt machen.

01:13:50.200 --> 01:13:51.680
Wir fangen mit dem letzten Fall an.

01:13:51.680 --> 01:13:54.900
D größer 1, zwei reellwertige Lösungen.

01:13:55.520 --> 01:13:58.480
Folie haben wir jetzt genug strapaziert, nehmen wir uns eine neue.

01:13:58.600 --> 01:14:00.940
Das ist der sogenannte Fall der starken Dämpfung.

01:14:03.020 --> 01:14:04.420
D größer 1.

01:14:05.820 --> 01:14:07.100
Was haben wir für Lösungen?

01:14:07.100 --> 01:14:12.520
Wir haben zwei reellwertige Lösungen.

01:14:13.100 --> 01:14:24.700
Lambda 1, 2 gleich Delta, minus Delta, plus, minus Omega 1, D quadrat,

01:14:25.220 --> 01:14:25.960
minus 1.

01:14:26.580 --> 01:14:31.340
Und dieser letzte Term ist reellwertig.

01:14:31.340 --> 01:14:34.080
Die Wurzel dort hinten ist reellwertig.

01:14:36.800 --> 01:14:39.520
So, das ist also rein reell.

01:14:42.200 --> 01:14:52.940
Unsere Lösung war, X von T gleich C mal Exponentialfunktion Lambda T.

01:14:53.700 --> 01:14:57.320
Und da wir zwei Lösungen haben, zwei rein reellwertige Lösungen, haben

01:14:57.320 --> 01:15:04.320
wir C1 mal Exponentialfunktion Lambda 1 T plus C2 mal

01:15:04.320 --> 01:15:07.820
Exponentialfunktion Lambda 2 T.

01:15:12.220 --> 01:15:15.300
Wie sehen diese beiden Lösungen aus?

01:15:17.660 --> 01:15:21.660
Die Lösungen sehen folgendermaßen aus.

01:15:22.660 --> 01:15:29.340
Lambda 1 und Lambda 2 sind beide negativ.

01:15:33.980 --> 01:15:35.660
Warum sind die beide negativ?

01:15:37.060 --> 01:15:44.200
Also, dass Lambda 2 minus Delta minus Omega 1 mal diese Wurzel negativ

01:15:44.200 --> 01:15:45.720
ist, das werden Sie mir sofort glauben.

01:15:45.960 --> 01:15:47.380
Da stehen ja nur negative Terme.

01:15:47.380 --> 01:15:59.480
Aber es gilt auch, Omega 1, Wurzel D quadrat minus 1, das hier,

01:16:00.260 --> 01:16:08.620
kleiner als Delta, falls D größer 1 ist.

01:16:09.520 --> 01:16:11.500
Dazu muss ich das Ganze nur auflösen.

01:16:12.620 --> 01:16:19.120
Ich erhalte Omega 1 zum Quadrat, D quadrat minus 1.

01:16:21.460 --> 01:16:23.860
Und auf der anderen Seite erhalte ich Delta quadrat.

01:16:25.700 --> 01:16:27.260
Jetzt schauen wir uns also an.

01:16:28.560 --> 01:16:35.880
D quadrat minus 1, kleiner Delta durch Omega 1 zum Quadrat.

01:16:38.540 --> 01:16:41.000
Und was war jetzt D?

01:16:46.080 --> 01:16:52.120
D mal Omega 1 war Delta.

01:16:53.520 --> 01:16:58.360
Setzen Sie also hier für D Delta durch Omega 1 ein.

01:16:59.160 --> 01:17:03.620
Dann erhalten Sie auf der linken Seite D durch Omega 1 zum Quadrat

01:17:03.620 --> 01:17:04.300
minus 1.

01:17:04.820 --> 01:17:07.840
Und das ist natürlich kleiner als D durch Omega 1 zum Quadrat.

01:17:07.840 --> 01:17:11.640
Klar, wenn Sie von D durch Omega 1 zum Quadrat nochmal 1 abziehen,

01:17:12.060 --> 01:17:14.580
also nochmal ordentlich draufhauen, dann kriegen Sie natürlich etwas

01:17:14.580 --> 01:17:18.180
kleineres raus als das, was hier auf der rechten Seite steht.

01:17:18.940 --> 01:17:20.360
Also, kurz und gut.

01:17:21.560 --> 01:17:24.920
Beide Werte, Lambda 1 und Lambda 2, sind kleiner als 0.

01:17:24.920 --> 01:17:32.080
Wir bekommen also eine Lösung heraus, wo wir schreiben können, x von t

01:17:32.080 --> 01:17:41.460
gleich c1 mal Exponentialfunktion minus Betrag von Lambda 1 t plus c2

01:17:41.460 --> 01:17:46.640
mal Exponentialfunktion minus Betrag von Lambda 2 und t.

01:17:46.640 --> 01:17:51.080
Lambda 1 und Lambda 2 kann ich mir aus den Systemparametern Masse,

01:17:51.180 --> 01:17:56.820
Dämpfung, Steifigkeit über die Eigenheitsfrequenz Omega 1, das

01:17:56.820 --> 01:18:00.280
näherste Dämpfungsmaß D und die Abkühlkonstante Delta sofort

01:18:00.280 --> 01:18:00.940
ausrechnen.

01:18:01.340 --> 01:18:05.520
Die beiden Konstanten c1 und c2 bekomme ich wieder aus den

01:18:05.520 --> 01:18:06.460
Anfangsbedingungen.

01:18:07.820 --> 01:18:11.560
Klar, zwei Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen.

01:18:15.640 --> 01:18:20.040
Jetzt wollen wir uns nur überlegen, wie sieht prinzipiell die Lösung

01:18:20.040 --> 01:18:20.440
aus.

01:18:21.140 --> 01:18:23.700
Wir haben bei der freien, ungedämpften Schwingung gesehen.

01:18:24.100 --> 01:18:26.780
Die Lösung ist das, was wir uns unter einer Schwingung vorstellen.

01:18:27.400 --> 01:18:31.500
Also so eine sinusförmige Bewegung, so eine harmonische Bewegung, so

01:18:31.500 --> 01:18:32.820
eine Wellenbewegung halt.

01:18:33.440 --> 01:18:34.920
Haben wir hier auch so etwas.

01:18:35.400 --> 01:18:36.440
Schauen Sie sich das an.

01:18:37.780 --> 01:18:39.960
Exponentialfunktionen sind Ihnen bestens vertraut.

01:18:39.960 --> 01:18:43.320
Wirtschaftswachstum, hoffentlich exponentiell, oder?

01:18:44.600 --> 01:18:47.100
Aber hier haben Sie ein negatives Vorzeichen.

01:18:48.220 --> 01:18:51.500
Das heißt, oh, der macht gleich mal pleite.

01:18:52.240 --> 01:18:56.460
Also, hier klingen diese beiden Funktionen exponentiell ab.

01:18:56.920 --> 01:19:02.340
Mit Wachstum ist da nicht mehr viel, sondern das, was wir hier noch

01:19:02.340 --> 01:19:06.960
haben können, ist vielleicht eine günstige Anfangsbedingung.

01:19:06.960 --> 01:19:12.420
Die dafür sorgt, dass wir irgendwo starten mit konstanten C1 und C2.

01:19:13.760 --> 01:19:17.140
Vielleicht nochmal ganz kurz ein bisschen größer werden.

01:19:18.060 --> 01:19:23.640
Aber wenn die Zeit T groß wird, dann geht Ihnen diese Lösung gegen

01:19:23.640 --> 01:19:23.860
Null.

01:19:24.100 --> 01:19:28.920
Wenn Sie nur lange genug warten, dann geht diese Lösung gegen Null.

01:19:28.920 --> 01:19:33.180
Und mit einer Schwingung, mit einer harmonischen Lösung, mit Sinus und

01:19:33.180 --> 01:19:37.140
Kosinus, hat diese Lösung hier überhaupt nichts zu tun.

01:19:37.700 --> 01:19:41.140
Das heißt, wenn wir sagen, Schwingung ist eine Wiederkehr von

01:19:41.140 --> 01:19:44.840
irgendwie Amplituden oder sonst irgendwelchen Größen, dann müssen wir

01:19:44.840 --> 01:19:47.640
hier sagen, das passiert hier eigentlich nicht.

01:19:48.320 --> 01:19:52.020
Bei der starken Dämpfung haben Sie kein Schwimmungsphänomen.

01:19:53.300 --> 01:19:55.640
Stellen Sie sich das vor bei einer Tür.

01:19:55.640 --> 01:19:58.820
Da haben Sie meistens eine starke Dämpfung, wenn Sie dort einen

01:19:58.820 --> 01:19:59.400
Dämpfer haben.

01:19:59.900 --> 01:20:04.100
Wenn Sie Schwimmung hätten, dann würde diese Tür zurückschlagen,

01:20:04.220 --> 01:20:06.080
wieder hinschlagen und dann langsam zugehen.

01:20:06.520 --> 01:20:11.560
Wenn Sie einen Dämpfer haben, dann reißen Sie die Tür auf, weil Sie so

01:20:11.560 --> 01:20:15.340
schwungvoll waren, geht die Tür noch ein bisschen weiter auf und dann

01:20:15.340 --> 01:20:16.520
wird die Zeit.

01:20:16.980 --> 01:20:18.820
Und die Tür geht langsam, aber sicher zu.

01:20:19.600 --> 01:20:23.420
Das ist der Dämpfer, das Dämpferelement, das Sie in der Tür drin

01:20:23.420 --> 01:20:23.700
haben.

01:20:24.160 --> 01:20:29.980
Starke Dämpfung, exponentiell geht die Auslenkung der Tür wieder zu

01:20:29.980 --> 01:20:30.460
Null zurück.

01:20:31.260 --> 01:20:33.960
Das ist der Fall der starken Dämpfung.

01:20:34.060 --> 01:20:35.260
Jetzt haben wir noch einen zweiten Fall.

01:20:36.560 --> 01:20:50.360
Der zweite Fall ist der Fall Dämpfung D gleich 1.

01:20:53.200 --> 01:21:00.340
In diesem Fall haben wir eine einzige reelle Lösung, Lambda 1 gleich

01:21:00.340 --> 01:21:01.780
minus Delta.

01:21:03.100 --> 01:21:06.920
Natürlich ist diese Lösung auch wieder Lambda 1 negativ.

01:21:07.040 --> 01:21:10.980
Das heißt, das Lösungsverhalten sieht ungefähr genauso aus.

01:21:11.940 --> 01:21:18.280
Die allgemeine Lösung ist jetzt x von T gleich Konstante C1 mal

01:21:18.280 --> 01:21:20.300
Exponentialfunktion Lambda T.

01:21:20.940 --> 01:21:24.840
Wir können uns aber auch noch eine Konstante C2 mal T erlauben, wenn

01:21:24.840 --> 01:21:27.760
Sie das ableiten, wenn Sie sehen, dass das geht.

01:21:28.120 --> 01:21:30.360
Auch wieder mal Exponentialfunktion Lambda T.

01:21:30.360 --> 01:21:34.180
Wichtig für uns ist nur, Lambda selbst ist negativ.

01:21:34.720 --> 01:21:37.800
Das heißt, ich kann hier auch wieder schreiben, C1 mal

01:21:37.800 --> 01:21:44.620
Exponentialfunktion minus Betrag von Lambda mal T plus C2 mal T mal

01:21:44.620 --> 01:21:48.320
Exponentialfunktion minus Lambda mal T.

01:21:49.000 --> 01:21:52.860
Und qualitativ sieht das Verhalten genauso aus wie bei der starken

01:21:52.860 --> 01:21:53.340
Dämpfung.

01:21:53.340 --> 01:21:57.160
Das heißt, wenn wir nur lang genug warten, klingt diese Lösung

01:21:57.160 --> 01:22:01.140
exponentiell ab, geht wieder auf Null zurück und es tritt keine

01:22:01.140 --> 01:22:05.660
Schwingung auf in dem Sinne, dass wir harmonische Lösungen haben.

01:22:06.420 --> 01:22:10.580
Sowohl der Fall der starken Dämpfung als auch der Fall der Dämpfung D

01:22:10.580 --> 01:22:14.640
gleich 1, den man als sogenannten aperiodischen Grenzfall bezeichnet,

01:22:17.140 --> 01:22:20.700
liefern uns keine wirklichen Schwingungen.

01:22:22.300 --> 01:22:24.660
Wo haben sich jetzt die Schwingungen versteckt?

01:22:25.420 --> 01:22:28.560
Die Schwingungen haben sich in dem Fall versteckt, wo Sie schwache

01:22:28.560 --> 01:22:33.660
Dämpfung haben, wo das Leersche Dämpfungsmaß D kleiner ist als 1, also

01:22:33.660 --> 01:22:34.960
zwischen 0 und 1 liegt.

01:22:36.520 --> 01:22:41.100
Wenn Sie mir das noch ganz kurz erlauben, dass ich Ihnen da, hatten

01:22:41.100 --> 01:22:44.760
wir alles schon für die schwache Dämpfung, wenigstens noch die Lösung

01:22:44.760 --> 01:22:45.340
angebe.

01:22:46.440 --> 01:22:51.120
D zwischen 0 und 1.

01:22:52.140 --> 01:22:52.940
Was haben wir?

01:22:53.560 --> 01:23:06.160
Wir haben dann Lambda 1 2 gleich Minusdelta plus Minus I mal Omega 1

01:23:06.160 --> 01:23:08.780
und jetzt schreibe ich einfach die Wurzel umgekehrt hin.

01:23:09.400 --> 01:23:14.020
Ich habe also das Minus 1 aus der Wurzel herausgezogen und in eine

01:23:14.020 --> 01:23:15.660
imaginäre Einheit verwandelt.

01:23:16.680 --> 01:23:19.140
Dann sieht also meine Gesamtlösung so aus.

01:23:19.820 --> 01:23:25.840
x von t hat einen exponentiellen Anteil, Exponentialfunktion,

01:23:26.480 --> 01:23:33.300
Minusdelta t, multipliziert mit dem, was wir schon aus der Lösung der

01:23:33.300 --> 01:23:39.220
freien, ungedämpften Schwingung kennen, aber ich muss bei den

01:23:39.220 --> 01:23:43.040
harmonischen Termen jetzt nicht Omega 1 hinschreiben, sondern Omega 1

01:23:43.040 --> 01:23:44.500
mal 1 Minus d Quadrat.

01:23:44.820 --> 01:23:55.500
Also C1 mal Cosinus, Omega 1, 1 Minus d zum Quadrat, Wurzel mal t,

01:23:55.500 --> 01:24:06.000
plus C2 mal Sinus, Omega 1, 1 Minus d zum Quadrat, Wurzel mal t.

01:24:06.620 --> 01:24:10.640
Wie groß C1 und C2 sind, erfahren Sie aus den Anfangsbedingungen.

01:24:11.140 --> 01:24:14.420
Also für C1 und C2 brauchen Sie wieder die Anfangsbedingungen.

01:24:18.480 --> 01:24:22.310
Aber was sehen Sie, wenn Sie jetzt diese Lösung analysieren?

01:24:23.790 --> 01:24:25.970
Erstens, sie klingt wieder exponentiell ab.

01:24:26.170 --> 01:24:28.870
Wenn wir lange genug warten, ist die Schwingung vorbei.

01:24:29.770 --> 01:24:33.550
Jede gedämpfte Schwingung, denken Sie an die Schaukel, Sie lenken die

01:24:33.550 --> 01:24:36.490
aus und wenn Sie nach 5 Minuten hingehen, dann ist die schon wieder in

01:24:36.490 --> 01:24:37.110
der Ruhelage.

01:24:37.750 --> 01:24:40.390
Dann ist die Schwingung abgeknungen.

01:24:40.810 --> 01:24:45.350
Jede Schwingung in der Praxis besitzt Dämpfung und klingt daher ab,

01:24:45.490 --> 01:24:47.250
und zwar klingt sie exponentiell ab.

01:24:48.430 --> 01:24:52.790
Zweitens, im Vergleich zur freien, ungedämpften Schwingung haben Sie

01:24:52.790 --> 01:24:56.270
eine andere Eigenfrequenz, eine andere Periodendauer diese Schwingung.

01:24:56.730 --> 01:24:58.750
Und zwar wird sie beeinflusst von der Dämpfung.

01:24:59.390 --> 01:25:02.550
Je größer die Dämpfung, also je stärker Sie sich an das 1 nähern,

01:25:02.930 --> 01:25:04.630
desto kleiner das Omega 1.

01:25:05.150 --> 01:25:09.830
Je stärker Sie sich mit der Dämpfung an die 0 nähern, desto eher haben

01:25:09.830 --> 01:25:12.230
Sie die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung.

01:25:13.050 --> 01:25:18.390
Die Eigenfrequenz, die Periodendauer weicht von der Periodendauer der

01:25:18.390 --> 01:25:20.490
ungedämpften Schwingung ab.

01:25:21.010 --> 01:25:23.770
Und das qualitative Verhalten sehen Sie hier aufgezeichnet.

01:25:23.850 --> 01:25:27.370
Sie haben also hier als Einhöhende die Exponentialfunktion.

01:25:28.390 --> 01:25:32.090
Die Amplituden klingen also mit dieser Exponentialfunktion ab, sind

01:25:32.090 --> 01:25:35.250
also maximal so groß wie diese Exponentialfunktion.

01:25:35.630 --> 01:25:39.530
Und dazwischen haben Sie eine Schwingungsbewegung, ein harmonisches

01:25:39.530 --> 01:25:39.930
Phänomen.

01:25:39.930 --> 01:25:44.450
Also Sie starten mit großen Amplituden und die Dämpfung sorgt dafür,

01:25:44.590 --> 01:25:47.080
dass diese Amplituden exponentiell abklingen.

01:25:48.510 --> 01:25:53.690
Jetzt haben Sie also kennengelernt die Lösung der freien ungedämpften

01:25:53.690 --> 01:25:57.170
Schwingung, die Lösung der freien gedämpften Schwingung.

01:25:57.770 --> 01:26:01.230
Ich werde Ihnen beim nächsten Mal noch ein paar alternative

01:26:01.230 --> 01:26:03.350
Darstellungen dieser Lösung zeigen.

01:26:03.350 --> 01:26:06.950
Ich werde Ihnen noch einmal andere Möglichkeiten zeigen, dieses

01:26:06.950 --> 01:26:10.230
Schwingungsverhalten zu analysieren und damit auch phänomenologisch

01:26:10.230 --> 01:26:11.150
besser zu verstehen.

01:26:11.790 --> 01:26:15.530
Und dann schauen wir uns die Schwingungen an, die nicht mehr frei

01:26:15.530 --> 01:26:18.630
sind, sondern bei denen eine Erregerkraft F von T ungleich Null

01:26:18.630 --> 01:26:21.250
auftritt, die sogenannten erzwungenen Schwingungen.

01:26:21.710 --> 01:26:24.530
Und dabei interessiert uns ganz besonders das Resonanzphänomen.

01:26:25.490 --> 01:26:27.030
Damit viel Spaß.

01:26:27.410 --> 01:26:29.930
Nächste Woche haben Sie schon eine Übung zu dem ganzen Thema.

01:26:30.890 --> 01:26:34.770
Kommen Sie gut durch die Woche und dann sehen wir uns wieder und

01:26:34.770 --> 01:26:38.290
treffen uns dann wieder und analysieren die Schwingungen weiter,

01:26:38.390 --> 01:26:39.210
vertiefen das weiter.

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Alles Gute bis dahin.