Herzlich willkommen zur heutigen letzten Vorlesung Simulation
dynamischer Systeme.
Es ist nicht die zwölfte Vorlesung, sondern die dreizehnte.
Sie wissen, wir haben das ein bisschen getauscht.
Zwölfte Vorlesung, die Systemidentifikation hatte ich vorgezogen.
Jetzt nochmal ein Ausblick ganz zum Schluss auf die Systeme mit
verteilten Parametern.
Wenn Sie sich also noch ein letztes Mal dieses Diagramm anschauen, wie
haben wir die Systeme eingeteilt?
Wir haben gesagt, wir haben einmal die zeitkontinuierlichen Systeme
und die zeitdiskreten Systeme.
Die zeitdiskreten Systeme, das ist das, was wir im Rechner nur
darstellen können.
Und bei den zeitkontinuierlichen Systemen, das, was wir in der
Realität erleben, da haben wir Systeme mit konzentrierten Parametern,
die bereits auf gewöhnliche Differenzialgleichungen führen.
Und wir haben Systeme mit verteilten Parametern.
Und die führen zunächst einmal auf partielle Differenzialgleichungen.
Und diese partiellen Differenzialgleichungen, die müssen wir
diskretisieren.
Einmal diskretisieren wir räumlich und erhalten gewöhnliche
Differenzialgleichungen.
Und dann sind wir im Prinzip bei dem Modelltyp konzentrierter
Parameter und können unsere beispielsweise Integrationsverfahren
loslassen, die wir dort behandelt haben und kommen hier nach einer
weiteren Diskretisierung dann auf ein zeitdiskretes System und auf
algebraische Probleme.
Zeitdiskretes System, die wir dann mit den Näherungsmöglichkeiten
unseres Rechners darstellen können.
So weit der Ablauf.
So, was wollen wir heute machen?
Ich möchte Ihnen einfach mal die Modellbeschreibung recht allgemein
vorstellen für Systeme mit verteilten Parametern.
Sie kennen Anwendungen sicher schon.
Sie kennen aus der TM3 die schwingende Seite, also einfache
Schwingungen.
Für Continuo kennen Sie schon.
Sie kennen statische Anwendungen, beispielsweise die Biegelinie aus
der TM2.
Sie kennen vielleicht aus der Strömungsmechanik auch schon
kontinuierliche Systeme.
Also Sie kennen vielleicht Systeme wie die Navier-Stokes-Gleichungen
oder wie die Eulerschen-Gleichungen.
Also Systeme, in denen Sie auf der einen Seite die Zeit und auf der
anderen Seite die räumlichen Parameter haben.
Ich möchte das mal aus einem gemeinsamen Gesichtspunkt betrachten,
nämlich aus dem Gesichtspunkt der Kontinuierungsmechanik.
Also eine kontinuierungsmechanische Betrachtungsweise hier vornehmen.
Und zum anderen möchte ich Ihnen numerische Verfahren, also
Näherungsverfahren zur Lösung dieser partiellen Differenzialgleichung
vorstellen.
Und dabei handelt es sich natürlich erstmal um numerische
Approximationsverfahren, die aus den kontinuierlichen Systemen, also
aus den partiellen Differenzialgleichungen gewöhnliche
Differenzialgleichungen machen.
Und wie dann die weiteren Schritte gehen, ist klar.
Wenn wir einmal die gewöhnlichen Differenzialgleichungen haben, dann
haben wir Probleme analog wie bei der numerischen Integration
gewöhnlicher Differenzialgleichungen und können uns dort bei den
Verfahren bedienen bzw.
können selbst eigene Verfahren noch herleiten, die vielleicht für
spezielle Anwendungen, die aus diesem Bereich der Approximation von
partiellen Differenzialgleichungen stammen, geeigneter sind.
Aber die Vorgehensweise, die Methodik ist genau die gleiche wie bei
der numerischen Integration gewöhnlicher Differenzialgleichungen.
Also geht es hier nur um die numerische Approximation, um die
Diskretisierung im Raum.
Und da möchte ich Ihnen drei große Verfahrensklassen vorstellen.
Das eine sind die Methoden des gewichteten Restes, dann finite
Differenzenverfahren, die kennen Sie ja schon von der Numerik
gewöhnlicher Differenzialgleichungen im Zeitbereich hier und zum
Schluss die Variationsmethoden.
So, was sind kontinuierliche Systeme?
Im kontinuierlichen System liegt eine Hypothese zugrunde und das ist
die Kontinuumshypothese, die besagt, dass das Kontinuum aus
materiellen Punkten besteht und dass diese Punkte keine Ausdehnung
haben und keine Zwischenräume mehr besitzen.
Das heißt, unsere Materie, wenn wir hier so einen Balken hernehmen,
dann besteht er nicht, wie der Physiker sagt, aus Atomen und Molekülen
und aus Teilchen, zwischen denen ein Zwischenraum ist, sondern im
Rahmen der Kontinuumshypothese wird praktisch eine Mittelwertbildung,
eine Homogenisierung gemacht, sodass man sagt, jeder einzelne
materielle Punkt ist bereits eine Mittelung aus der zugrunde liegenden
Mikrostruktur, also das können dann irgendwelche Moleküle oder sonst
irgendwas sein, Atome, hinreichen viele in einem kleinen
repräsentativen Volumen und dafür werden dann mittlere Eigenschaften
gesetzt, beispielsweise für die Materialparameter, wenn Sie
Elastizitätstheorie betreiben, für den E-Modul und für die Larmesche
Konstante und so weiter.
Das wäre etwas, was der Atomphysiker überhaupt nicht kennt, dass dort
überhaupt ein E-Modul existiert.
Er könnte natürlich hergehen und sagen, okay, ich mache Simulationen,
sogenannte Ab-Initio-Simulationen, also beim Kollegen Gumpsch werden
solche Untersuchungen angestellt, ich versuche, so viele Atome wie
möglich noch mitzunehmen und mache dort einen Versuch, dass ich
daraus, aus der Struktur versuche, eine Art E-Modul erst einmal zu
berechnen.
Und dann werde ich aber feststellen, oder Sie können auch die Dichte
nehmen, in der Gasdynamik, können Sie die Dichte messen oder Sie
können den E-Modul messen, Sie werden Folgendes feststellen, Sie
erhalten für ein kleines Volumen, das nanoskopisch, musste man schon
sagen, klein ist, sehen Sie natürlich Schwankungen.
Also Sie haben einmal 1000 Atome in Ihrem Messvolumen, das andere Mal
haben Sie halt nur 850.
Bei gleicher Volumengröße, dann stellen Sie natürlich Schwankungen in
der Dichte fest, denn Sie würden ja die Atome zählen, die praktisch
auf dieses Volumen fallen.
Und wenn Sie dort einen Mittelwert ermitteln würden, dann würden Sie
feststellen, Sie haben einen Mittelwert, aber Sie haben auch Streuung.
Und diese Streuung ist vielleicht so groß, dass Sie nicht
homogenisieren können.
Aber das betrifft tatsächlich eine sehr sehr feine Skala und die
Kontinuumshypothese ist gültig ab einer sehr viel größeren Skala, also
wir betrachten makroskopische Bauteile, also von der Größe, wie hier
dieser Tisch ist oder eine Tür oder irgendwas und auf dieser
makroskopischen Skala wird homogenisiert, also die Kontinuumshypothese
geht aus von einer makroskopischen Skala
und von einer Homogenisierung, Sie können dazu auch sagen, etwas
umgangssprachlich, eine Verschmierung von Eigenschaften.
Diese Eigenschaften werden im Prinzip auf ein kleines Kontrollvolumen
verschmiert und dieses Kontrollvolumen wird jetzt jedem Punkt im
dreidimensionalen Raum, das zum Gebiet Ihres Körpers gehört,
zugewiesen.
Diese Kontinuumshypothese hat natürlich ihre Ecken und Kanten, nicht
nur in dem Bereich des atomistisch kleinen Verhaltens, sondern dann,
wenn ein Material sehr heterogen aufgebaut ist und das versucht man
heutzutage, viele Werkstoffe haben, wenn Sie sich die Mikrostruktur
anschauen, eine recht heterogene Mikrostruktur.
Da reicht schon Stahl, wo Sie verschiedene Phasen haben oder Sie haben
poröse Medien, wo Sie einen Unterschied haben zwischen eben den Poren,
also Gebieten, in denen kein Material ist und Gebieten, in denen
Material ist oder Sie nehmen Material wie beispielsweise Beton, wo Sie
feste Einschlüsse haben, beispielsweise auch bei Stahl versucht man
über Titanlegierungen noch feste Einschlüssepartikel in den Stahl mit
herein zu bekommen, um die Materialeigenschaften zu verbessern.
Also Sie können durchaus sehr heterogene Werkstoffe haben.
Und wenn Sie jetzt diese heterogenen Werkstoffe haben, dann ist
natürlich das Volumen, das Sie definieren müssen, also Sie haben hier
so ein heterogenes Material und da haben Sie hier irgendwelche wilden
Einschlüsse und hier noch irgendwelche anderen Einschlüsse und dann
haben Sie hier vielleicht noch irgendwas drin, da brauchen Sie schon
einen relativ großen Bereich, um wirklich das Ganze durch einen
Mittelwert ersetzen zu können.
Und diesen großen Bereich, den müssen Sie auch zur Verfügung haben, um
homogenisieren zu können, das heißt, Ihre makroskopische Skala muss
sich von dieser Skala, ab der Sie homogenisieren können, von dem, wo
Sie sagen, das ist jetzt ein Volumenelement, das repräsentiert meinen
Körper, egal wo ich mich befinde, an welcher Stelle, diese
makroskopische Skala muss sich von ihren charakteristischen Längen,
also beispielsweise wäre das hier die Höhe dieses Tisches,
unterscheiden von den charakteristischen Längenabmessungen dieses
Volumenelementes.
Nur dann können Sie sagen, die beiden Skalen sind unabhängig
voneinander.
Jetzt haben Sie aber folgende Situation.
Sie haben nicht nur so ein schönes Bauteil wie dieser Tisch, sondern
Sie haben Kerben.
So etwas.
Dann haben Sie an der Kerbe eine Spannungskonzentration und Sie
wissen, auf diese Spannungskonzentration müssen Sie besonders Acht
geben, hier in diesem Bereich, denn dort würde ein Riss entstehen und
dort würde das Bauteil am ehesten versagen.
Sie wissen auch, Spannungskonzentration heißt, Sie haben einen hohen
Spannungsgradienten, einen großen Übergang von der Spannung im
ungestörten Zustand, also beispielsweise hier außen.
Sie kennen das, die Hypothese, dass also fernab von diesen Störungen
die Spannung konstant über den Querschnitt verteilt ist, wenn das
jetzt so zu stark wäre.
Sie haben also einen starken Gradienten, einen starken, schnellen
Übergang von diesem konstanten Spannungszustand zu der
Spannungskonzentration in der Kerbspitze.
Das bedeutet, wenn Sie räumlich diskretisieren, Sie müssen an dieser
Stelle, wo diese hohen Spannungen auftreten, um die wirklich auflösen
zu können, wo ist der Stock?
Da unten.
Da müssen Sie gut vernetzen.
Also, an dieser Stelle müssen Sie ein sehr feines Netz nehmen, um das
aufzulösen.
Jetzt ist aber Folgendes.
Jetzt haben Sie relativ große Volumenelemente hier.
Das kann vielleicht noch so sein, dass Sie für dieses Bauteil, hier
ist das sehr gut, durch mittlere Eigenschaften, also homogenisiert mit
Hilfe der Kontinuumpsychothese darstellen können.
Im Bereich der Rissspitze müssen Sie aber so feine Unterteilungen
wählen, dass Sie jedem einzelnen Element schwierig die mittleren
Eigenschaften zuweisen können.
Und dann haben Sie tatsächlich ein Problem.
Und dieses Problem ist momentan recht stark umforscht.
Also das ist die Frage eben der Multiscalen-Modelle.
Da hätten Sie schon ein Modell, wo Sie unter Umständen Multiscalen
-Modelle brauchen.
Wo also die Kontinuumpsychothese als solche, die Homogenisierung,
eigentlich nicht mehr anwendbar ist, sondern wo Sie sich fragen
müssen, im Bereich dieser Kerbstitze, komme ich dort, welche andere
Modelle kann ich dort einsetzen?
Irgendwie muss ich stärker mir die Mikrostruktur anschauen, denn hier
habe ich jetzt nichts mit einem homogenisierten, verschmierten Wert zu
tun, sondern ich muss mir die tatsächliche Mikrostruktur an dieser
Stelle, die ich mir beispielsweise über Schliffe besorge, anschauen.
Ich muss mir anschauen, was ist da los.
Und wenn ich die nicht mehr beschreiben kann, weil die sich bei zehn
Proben jeweils anders aussieht und sich anders einstellt, je nach
Fertigungsverfahren, je nachdem, welche von diesen einzelnen
Komponenten dort gerade zu bieten kamen, dann muss ich versuchen, das
Ganze geometrisch zu beschreiben und eventuell Statistik über die
Mikrostruktur zu betreiben.
Also das sind die sogenannten Multiscalen-Modelle, die Multiscalen
-Verfahren.
Für die haben wir natürlich überhaupt keine Zeit.
Ich wollte das einfach nur mal erwähnen für Sie, dass Sie auch sehen,
was die Forschung da gerade so umtreibt.
Klassisch ist es so, der Berechnungsingenieur wird sich darüber keine
Gedanken machen.
Er wird immer von dieser Continuum-Psychothese ausgehen und ist schon
froh, wenn er den E-Modul oder seine Materialparameter so ungefähr
größenordnungsmäßig gut kennt und wird immer mit ihren
Materialeigenschaften einsetzen.
Das wird also in der Industrie, wenn Sie dorthin gehen, gängige Praxis
sein.
Es sei denn, Sie gehen wirklich in Bereiche, wo erst mal die
Ressourcen da sind, um sowas zu erforschen und wo auch das Interesse
da ist.
Also beispielsweise Mikrostrukturen, sogenannte MEMS, da spielen diese
Effekte natürlich auch eine Rolle.
Aber wenn Sie irgendwo ein Blech optimieren wollen, dann interessiert
sich das hier nicht.
Da setzen Sie einfach den E-Modul an.
Ob das nun zutreffend ist, das Continuum-Modell oder nicht, Sie nehmen
diese Continuum-Prothese einfach an.
So, Konsequenz daraus ist, unsere physikalischen Größen, die wir
haben, die hängen ab.
Nicht nur von der Zeit, wie bei den Modellen mit konzentrierten
Parametern, wo alles nur zeitabhängig war, sondern sie hängen auch vom
Ort ab und sind vom Ort zu Ort verschieden.
Sie kennen das schon aus der TM3, Starkörpermechanik.
Beliebte Frage in mündlichen Nachprüfungen, Geschwindigkeitswelt eines
starren Körpers.
Geschwindigkeit in jedem Punkt des starren Körpers ist keineswegs
gleich.
Wäre nur gleich, wenn der Körper eine rein translatorische Bewegung
beschreibt.
Wenn er eine rotatorische Bewegung beschreibt, ist der
Geschwindigkeitszustand schon in jedem Punkt des starren Körpers ein
anderer.
Sie wissen aber, Sie können den Geschwindigkeitszustand eines starren
Körpers glücklicherweise immer noch beschreiben, indem Sie die
Winkelgeschwindigkeit haben als körperfeste Geschwindigkeit, als für
den Körper charakteristische Geschwindigkeit.
Und Sie kennen seine Geschwindigkeit an einem einzigen Punkt.
Dann können Sie sich mit Hilfe der Eulerschen Geschwindigkeitsformel
die Geschwindigkeit in jedem Punkt des starren Körpers berechnen.
Aber auch dort haben Sie natürlich Eigenschaften, dass die
Geschwindigkeit in Wirklichkeit eine sogenannte Feldgröße ist.
Also eine Größe, die von Punkt zu Punkt variiert.
Genauso haben Sie in der Strömungsmechanik Druckschwankungen.
Sie kennen das alle, wenn Sie tauchen, je tiefer Sie tauchen, desto
höher der Druck.
Also der Druck ist ganz klar ortsabhängig in einem Fluid.
Die Modellbeschreibung sieht also so aus, wir müssen uns um unsere
Punkte kümmern.
Nun bewegen sich diese Punkte aber.
Wir haben praktisch einmal einen Vorrat an sogenannten materiellen
Punkten.
Das wäre sozusagen so, als würde ich hier bei dem Tisch jeden Punkt
durchzählen.
Oder vielleicht kartografieren, indem ich hier ein Raster drüberlege,
ein Koordinatensystem drüberlege und jeden einzelnen Punkt beschreibe.
Und dann bewegen sich aber diese ganzen Punkte im Raum.
Ich brauche also eine Referenzlage, das kann vielleicht die Lage zum
Zeitpunkt T gleich 0 oder zu irgendeinem anderen fixierten Zeitpunkt
sein, zur Beschreibung der Koordinaten meiner Punkte, des Körpers.
Und dann kann ich verfolgen, wie entwickeln sich die Koordinaten im
Laufe der Zeit, wenn sich dieser Körper durch den Raum bewegt.
Jetzt stellt man das Ganze durch eine Abbildung dar.
Man stellt sich also Folgendes vor.
Man hat sozusagen die materiellen Punkte, die Punkte auf dem Körper.
Das sind Punkte mit groß B bezeichnet.
Keine Koordinaten eines irgendwelchen Raumes.
Und mithilfe einer Abbildung, Parallel, der sogenannten Konfiguration,
weise ich den Punkten in einem Koordinatensystem zu.
Wenn ich das zur Zeit T gleich 0 mache, dann habe ich hier die Punkte
Groß X.
Das würde man dann nennen die sogenannten materiellen Koordinaten zu
irgendeiner Referenzzeit.
Wenn ich das zu einer beliebigen Zeit mache, bekomme ich die
Koordinaten Klein X.
Und die sind dann natürlich zeitlich veränderlich, je nachdem, welchen
Zeitpunkt T ich mir konkret fixiere, bekommen die anderen Werte Klein
X heraus.
Und das sind die sogenannten räumlichen Koordinaten.
Und mit diesen beiden Abbildungen, Kappa 0, diesen sogenannten
Konfigurationen, von denen ich fordere, dass sie stetig sind, dass sie
differenzierbar ist, diese Abbildung, und auch wieder umkehrbar.
Das heißt, eindeutige Abbildungen zwischen einem Punkt hier und einem
Punkt dort, kann ich dann hin und her rechnen, zwischen einmal den
räumlichen Koordinaten und den materiellen Koordinaten.
Also zwischen diesen Koordinaten und denen.
Dazu muss ich einfach folgendes machen, wenn ich hier mal eine
Koordinate festhalte, invertiere ich die Abbildung Kappa 0, da komme
ich auf den entsprechenden materiellen Punkt.
Und von diesem materiellen Punkt komme ich durch die Anwendung von
Kappa T auf die Koordinate Klein X.
Also ich kann eine Beziehung herstellen zwischen den materiellen
Koordinaten Groß X und den räumlichen Koordinaten Klein X.
Und auch umgekehrt, ich kann eine Beziehung herstellen zwischen den
räumlichen Koordinaten Klein X und den materiellen Koordinaten Groß X.
Und diese Abbildung zwischen den Referenzkoordinaten Groß X und den
aktuellen, momentanen Koordinaten Klein X, das nennt man gerade die
Bewegung des Körpers.
Und häufig ist diese Bewegung des Körpers gesucht, oder zum Beispiel
ihre Ableitung ist gesucht, das Geschwindigkeitsfeld.
So, und diese Bewegung des Körpers, die kann ich zerlegen.
Einmal in eine Deformation des Körpers, also ich halte T fest und X
beliebig, das wäre die Deformation des Körpers.
Und wenn ich den Punkt selbst festhalte und die Zeit laufen lasse,
dann wäre das der Bewegungsablauf dieses Körpers.
Diese beiden Dinge kann ich hier unterscheiden.
So, jetzt brauche ich Gleichungen, aus denen ich meine Grundgrößen
ermittle.
Also Geschwindigkeit und was haben wir noch?
Wir haben die Geschwindigkeit, wir haben beispielsweise den
Spannungszustand, den wir wissen wollen.
Wir haben die Dichte bei einem Fluid, die wir ausrechnen wollen.
Und wir haben vielleicht noch die innere Energie oder die Temperatur,
die wir ermitteln wollen.
Die Frage ist, wie kommen wir auf die Gleichung?
Das ist eine Frage, die sich sowohl in der Festigkeitslehre stellt,
also in der Festkörpermechanik, als auch in der Strömungsmechanik.
Und in beiden Gebieten gibt es ähnliche Vorgehensweisen, die basieren
einfach auf der Kontinuumsmechanik.
Die Kontinuumsmechanik sagt, es gibt einen Apparat von Gleichungen,
das sind die allgemeinen Bilanzgleichungen, die sind universell
gültig.
Und dann gibt es noch für jedes Material spezielle Gleichungen, die
sogenannten Materialgesetze.
Das es nicht nur allgemeine Gleichungen geben kann, ist klar.
Schließlich verhält sich jedes Material unterschiedlich.
Also ein Tisch aus Holz verhält sich unterschiedlich wie ein Tisch aus
Stahl oder wie ein Tisch aus Gummi.
Und das muss natürlich irgendwie in den mathematischen Gleichungen,
also in meinem mathematischen Modell, auftreten.
Interessant ist es aber, dass es allgemeine, universell gültige
Gleichungen gibt, im Rahmen der Kontinuum-Psychothese natürlich.
Und das sind die allgemeinen Bilanzgleichungen, im Prinzip
Erhaltungssätze, die man hier ausspricht.
Also Erhaltungssätze für die Masse, für den Impuls, für den
Drehimpuls, für die Energie und dann letztlich eine Ungleichung,
nämlich die Entropieungleichung.
Und Sie haben diese Gleichungen alle schon in den verschiedensten
Vorlesungen kennengelernt, also beispielsweise in der Thermodynamik
die unteren beiden, in der Mechanik vielleicht Impuls und Drall und in
der Strömungsmechanik die Massenerhaltung, also Kontinuitätsgleichung
und auch das Impulsgesetz haben Sie dort auch nochmal gesehen.
Die Struktur von solchen allgemeinen Bilanzgleichungen ist immer die
gleiche, nämlich, ich habe irgendeinen Term, der sich ändert,
integriert über das Volumen und das, was sich dort in diesem Volumen
nur zeitlich ändern kann, das kann nur zwei Einflüsse haben.
Entweder es ändert sich, weil irgendwas aus diesem Volumen
heraustritt, über die Oberfläche oder über die Oberfläche hereintritt,
also sogenannte Flusstherme, die sind hier in dieser Flussfunktion Phi
festgelegt und das Ganze tritt mit dem normalen Vektor dieser Fläche
über die Oberfläche entweder nach außen, je nachdem welches Vorzeichen
dieser Flusstherma hat, oder nach innen.
Und das zweite ist, es könnte irgendetwas in diesem Volumen selbst
produziert werden oder vernichtet werden.
Das wäre dieser zweite Term, das wären Einflüsse, wo irgendetwas in
diesem Volumen entsteht oder vernichtet wird, je nach Vorzeichen von
dieser Funktion Psi, das wären also Quell- und Senktherme.
Und wie diese beiden Effekte zusammenaddiert, ergibt mir die
Änderungen meiner Feldgröße f.
Andere Möglichkeiten, diese Feldgröße f auf ein Volumen zu
beeinflussen, habe ich nicht, als dass irgendetwas abfließt oder
zufließt über das Kontrollvolumen, über die Oberfläche des
Kontrollvolumens, oder dass irgendwas produziert oder vernichtet wird
im Kontrollvolumen selbst.
Jetzt kann man hier diese Ableitungen umformen, ich führe das alles
vor in der Vorlesung mathematische Methoden der Dynamik, ich habe
jetzt hier keine große Zeit, um die Rechnung zu zeigen, dahinter
steht, dass Sie hier den Satz von Gauss anwenden, dann tritt hier
diese Schwierigkeit auf, hier tritt Ihre Quellgröße f auf in der
Ableitung nach der Zeit und in der örtlichen Ableitung dieses Terms,
wobei hier ein geeignetes Produkt, im Prinzip ist es das TensorFlow
-Produkt, zu verwenden ist.
Hier tritt der Divergenz-Therm auf von dieser Funktion Phi, das kommt
aus dem Satz von Gauss und hier tritt schließlich der Quellsenkendarm
auf.
So würde die allgemeine Bilanzgleichung aussehen für die
Kontinuumsmechanik.
Das heißt, jede Theorie, die kontinuumsmechanischer Art ist und die
universelle Bilanzgleichungen vorschlägt, muss sich an diese Form
halten.
Und wir werden hier sehen, die klassischen Theorien, die Sie kennen,
also die klassischen Erhaltungssätze, halten sich alle an diese Form.
Beispielsweise kennen Sie die Kontinuitätsgleichung, da steht
Ableitung, partielle Ableitung der Dichte nach der Zeit plus Divergenz
des Produktes Dichte mal Geschwindigkeit gleich 0.
Ist also eine typische allgemeine Bilanzgleichung.
Wird Ihnen in der Strömungsmechanik meistens zunächst einmal so
verkauft, dass Sie so ein kleines Kontrollelement sich hinzeichnen und
irgendwas, Masse, was einfließt und was ausfließt und dann wird
bilanziert über dieses Kontrollelement.
Das können Sie sich alles sparen, wenn Sie über diese
Integraldarstellung gehen.
Impulsbilanz, dort haben Sie die Ableitung O mal V, das wäre ja auch
integriert über das Volumengrad der Impuls, also partielle Ableitung
plus Divergenz O mal V, also O mal V Quadrat, gleich Divergenz des
Spannungstensors plus B wären die äußeren Terme, also beispielsweise
eine äußere Kraftdichte, Volumenkraftdichte in Form der
Erdgravitationsfeldstärke oder irgendwelche magnetischen Einflüsse
könnten dort auch drinstecken.
Dann haben wir als nächstes beim Trall das Produkt aus dem Ortsvektor
zu dem entsprechenden Punkt meines Körpers, Kreuzprodukt mit dem
Impuls an dieser Stelle O mal V, wenn dort ein Massenpunkt wäre, also
das wäre die Definition des Tralls und dann sehen Sie, da kommt im
Vergleich zu der Gleichung dann nur das Kreuzprodukt mit dem
Ortsvektor dazu, also Sie bilden auch die Divergenz von diesem
Kreuzprodukt und letztlich addieren Sie danach dazu das Moment, das
entsteht, wenn Sie die Volumenkraftdichte dem Ortsvektor über das
Kreuzprodukt miteinander bilden.
Dann haben wir die Energiebilanz, dazu müssen wir das Skalarprodukt
der Geschwindigkeit bilden, also V², das habe ich hier mit der
Transposition hingeschrieben, manche schreiben hier auf den Punkt hin,
V Punkt mal V und dann haben wir natürlich noch die innere Energie EC,
die jetzt aus der Thermodynamik kommt, dann haben wir eine mechanische
Energiebilanz, da tritt Spannungstensor mal Geschwindigkeitsvektor
auf, dann haben wir abzüglich Q, die thermischen Effekte, also der
Wärmeflussvektor, das was praktisch über mein Kontrollvolumen
austreten kann, an Wärme übergehen kann an den Restkörpern oder vom
Restkörper in das Kontrollvolumen eingeleitet wird.
Und dann haben wir hier das Produkt aus Heid und Kappa, letztlich
wären das Wärmequellen, die wir hier zusammengefasst haben, also eine
Wärmequellendichte.
Und dann als letztes hier die Entropieundgleichung, da haben wir hier
Etac, die Entropiezustehen und hier haben wir Q, Wärmeflussvektor,
thermodynamische Temperatur und Kappa, Wärmequellendichte, ebenfalls
dividiert durch die thermodynamische Temperatur.
So würde das aussehen in der Thermomechanik.
Wenn wir das jetzt durchziehen, stellen wir fest, unbekannt haben wir
hier die Dichte, also eine Dimension, dann haben wir die Bewegung,
drei Dimensionen, also vier, dann haben wir den Spannungstensor, von
dem wissen wir, er ist symmetrisch, eine symmetrische Matrix, also
sechs unbekannte Größen, macht zusammen zehn, innere Energie eine
Größe und den Wärmeflussvektor drei, 14 und dann haben wir letztlich
noch die Temperatur, 15 Größen, man könnte als 16.
noch die Entropie mit dazuziehen oder man sagt, man betrachtet diese
Gleichung nur als Überprüfung, in welche Richtung das laufen soll, das
ist ja eine Ungleichung und keine Gleichung hier, die Entropie, der
zweite Hauptsatz der Thermodynamik.
Dann hätte ich also insgesamt 15 Unbekannte, ich habe aber an
Gleichungen nur zur Verfügung eine, das sind drei, das sind drei,
sechs und hier noch eine zweite, also acht Gleichungen für 15
Unbekannte.
Das heißt, mein Gleichungssystem ist nicht geschlossen, hätte ich auch
nicht erwartet, ich muss es schließen und diese Schließungsgleichungen
sind die Materialgesetze.
Das führt dann in das Gebiet der Materialtheorie, dafür ist bei uns
der Herr Bölke zuständig, auf dem Gebiet der Kontinuumsmechanik, das
heißt, die große Frage, welche Materialgesetze darf ich formulieren,
ich kann auch nicht x-beliebige Materialgesetze formulieren, warum?
Ich dürfte zum Beispiel keines formulieren, was im Widerspruch zu
diesen allgemeinen Bilanzgleichungen steht, dann hätte ich einen
Widerspruch formuliert, insbesondere nicht zur Entropieungleichung,
zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.
Also die Wahlmöglichkeiten sind nicht so riesig, wie das erstmal
scheint, Sie können nicht einfach irgendein Materialgesetz
hinschreiben, sondern das ist eine Wissenschaft für sich, mit ganz
klar vorgegebenen Hypothesen, die alle zu erfüllen sind, auf die ich
jetzt auch nicht eingehen möchte und dann muss ich diese
Materialgesetze noch berücksichtigen.
Dann könnte ich auch sagen, okay, das mit den Materialgesetzen ist mir
eben eine zu sehr ad hoc Annahme, E-Modul und so weiter, ich möchte
wissen, wo dieser E-Modul wirklich herkommt, ich gehe den Dingen auf
den Grund und betreibe tieferliegende Theorien, also Atomphysik,
Quantenmechanik und so weiter, dann sind wir praktisch beim Kollegen
Kumpsch Und schauen wir noch die Mikrostruktur an und motiviere die
fehlenden Gleichungen, die fehlenden Beziehungen aus einer
Mikrostrukturbetrachtung.
Wird natürlich enorm aufwendig und ist kaum zu machen, ist vielleicht
für reine Kristalle zu machen, also wenn Sie reines Gold haben oder
Diamant oder irgendwas betrachten wollen, mit einer ganz sauberen
Gitterstruktur, dann können Sie das machen, aber für unsere Feld-,
Wald - und Wiesenmaterialien, die wir hier haben und irgendwelchen
Einschlüssen, können Sie das eigentlich ziemlich vergessen, da sind
wir von den Rechnerkapazitäten einfach nicht so weit.
Und das nächste ist, neben den Materialgesetzen, wir können das
natürlich mit weiteren Feldtheorien verknüpfen.
Also wir können unseren Gleichungssatz der allgemeinen
Bilanzgleichungen in der Thermomechanik noch mal weiter aufblähen.
Das ist gar nicht so verkehrt, wenn Sie daran denken, was Ihnen in der
Mechatronik so alles begegnet.
Also Sie haben beispielsweise Aktoren oder Sensoren, die nutzen den
Piezo -Effekt aus oder Sie haben irgendwelche magnetischen Komponenten
noch drin, denken Sie an Festplatten usw., dann brauchen Sie
zusätzlich noch die Gleichungen der Elektrodynamik.
Wenn Sie die einkoppeln in der Elektrodynamik, dann geht das
üblicherweise über die Maxwell-Gleichungen.
Also Sie haben einerseits eigenständige Gleichungen, einen
eigenständigen Gleichungssatz, das sind die Maxwell-Gleichungen, also
elektrische Feldstärke haben Sie hier auf der einen Seite zu
betrachten, Sie betrachten die Rotation des elektrischen Feldes und
das ist dann gleich hier der negativen zeitlichen Ableitung der
magnetischen Feldstärke und Sie haben hier die Rotation des
magnetischen Feldes, der magnetischen Flussdichte, Sie haben hier die
Rotation der magnetischen Feldstärke und das ist dann gleich der
negativen partiellen Ableitung der elektrischen Flussdichte plus der
Stromdichte, die Sie hier haben.
Dann haben Sie die Divergenz der elektrischen Flussdichte ist gleich
µ, also der Ladungsdichte und die Divergenz der magnetischen
Flussdichte ist 0, also ein divergenzfreies Vektorfeld für die
magnetische Flussdichte.
Dieser Satz von Gleichungen und das ist jetzt das Schlimme, der ist
aber nicht unabhängig von den Gleichungen, die wir vorher hatten.
Wenn wir nur die Maxwellschen Gleichungen in dieser Form nehmen und
wir würden sie zu unseren allgemeinen Bilanzgleichungen, die wir davor
haben, noch dazuschreiben, übrigens könnte man die auch als
Bilanzgleichungen hier interpretieren, dann habe ich diese Gleichungen
noch nicht miteinander gekoppelt, sie würden noch völlig beziehungslos
nebeneinander stehen.
Ich brauche also zusätzlich noch Kopplungshypothesen, wie
thermomechanische Kopplung, einmal über die Volumenkraftdichte, die
sogenannte Lorenzkraft, also E und B, die elektrische Feldstärke und
die magnetische Flussdichte erzeugen, jeweils durch Multiplikationen
mit Min und J, eine Kraft, die sogenannte Lorenzkraft, und die muss
ich als Feldgröße noch mit berücksichtigen, als Volumenkraftdichte
noch, beispielsweise hineinschreiben in meine Impulserhaltungsbilanz
und in meine Drehimpulserhaltungsbilanz, indem ich sie mit dem
Ortsvektor noch multipliziere und sie taucht natürlich auch in meine
Energiegleichung mit auf.
Das heißt, das, was auf der Folie, zwei Folien vorher hier, als B
stand, hier, wo überall B stand, muss ich jetzt eine
Volumenkraftdichte hinzufügen, die auf das elektrische Feld bezogen
wird.
Und auf das Magnetfeld natürlich auch, also auf die Lorenzkraft hier
bezogen.
Und ich erhalte einen Wärmeeffekt, den sogenannten Joule-Effekt aus E
durch Multiplikation mit J, also Stromdichte mal elektrische
Feldstärke, und das muss ich jetzt als Wärmekraftdichte, als mein
Kapper in den allgemeinen Bilanzgleichungen mit berücksichtigen.
Also das Schwierige bei der Erweiterung einer Continuumstheorie ist,
dass ich nicht einfach einen neuen Gleichungssatz erhalte, und die
Gleichungen, die ich vorher habe, sind völlig unabhängig davon, dann
hätte ich das Problem ja entkoppelt, sondern die Probleme sind
gekoppelt und überschneiden sich.
Wenn Sie eine Betrachtungsweise anstellen mit konzentrierten
Parametern, also Sie stellen sich einen Stromkreis vor, der mit einem
Hydrauliksystem gekoppelt ist und vielleicht mit einem mechanischen
System, dann haben Sie das in der Regel etwas einfacher.
Sie können als gemeinsame Größe immer Energie- oder Arbeitsbegriffe
verwenden, die sind in allen Theorien gut definiert, also sowohl in
der Hydraulik als auch in der Mechanik, als auch in der Elektrotechnik
können Sie für solche Diagramme, Schaubilder, ganz einfach Energie und
Arbeit definieren und können dann über eine globale
Energieerhaltungsbilanz alle Teilsysteme miteinander verknüpfen.
Das Einzige, wo Sie eine Kopplung haben, sind dann die Grenzflächen.
Also Sie haben beispielsweise ein hydraulisches System, das treibt
irgendwie einen Stöße oder irgendwas an, der sich bewegt und der damit
mechanische Effekte weitergibt.
Oder Sie haben einen Elektromotor und der dreht sich und dann haben
Sie ein Getriebe dran und Sie nehmen ein Drehmoment ab.
Das ist praktisch die Kopplung, genau die Kopplung zwischen
elektrischem System und mechanischem System und genau an dieser
Schnittstelle müssen Sie halt hinschauen und müssen eine
detailliertere Betrachtung machen, wie halt so ein Motor,
Asynchronmotor oder irgendwas funktioniert und wie daraus praktisch
mechanische, wie über das Getriebe mechanische Energie umgewandelt
wird.
Also das, was Sie dort bei einem Modell mit konzentrierten Parametern,
was Sie in die Schnittstellenbetrachtung reinstecken, das stecken Sie
hier in die Kopplungstherme rein.
So wäre praktisch die Analogie.
So, jetzt habe ich aber genug erzählt über die Gleichungen.
Auf die Materialgleichung möchte ich nicht weiter eingehen.
Stellen Sie sich einfach vor, jetzt lineare Elastizitätstheorie in der
Mechanik ist Ihnen aus der TM2 bekannt.
Stellen Sie sich bei der Strömungsmechanik ein newtonsches Fluid vor,
also die klassische Beziehung für die Scherbspannung, Schubspannung,
die Navier-Stokes-Gleichung führt und stellen Sie sich in der
Thermodynamik die klassischen Beziehungen vor, die Sie dort haben,
also die Zustandsgleichungen für beispielsweise ideale Gase.
Dann haben Sie Beispiele für Materialgesetze.
Jetzt wollen wir uns überlegen, wie wir jetzt diesen Apparat von
Gleichungen, von partiellen Differenzialgleichungen lösen.
Dazu müssen wir uns überlegen, was haben wir gegeben.
Wir haben ein Gebiet, das kann ein Volumen sein, vielleicht bei einer
einfachen Betrachtung, ebenes Problem, ist es nur ein
zweidimensionales Gebiet und der Rand wäre tatsächlich so
eindimensional hingezeichnet.
Im allgemeinen Fall wäre das Gebiet aber dreidimensional und der Rand
wäre zweidimensional.
Auf diesem Gebiet, also in diesem Volumen V, sitzt unsere partielle
Differenzialgleichung und wir müssen in diesem Gebiet die partielle
Differenzialgleichung lösen.
Am Rand müssen wir die Partielle die Lösung anpassen an die
Randbedingungen und wir haben dann zusätzlich noch Anfangsbedingungen,
beispielsweise eine Anfangsausdenkung, die wir berücksichtigen müssen.
Sie kennen so etwas, Randwertprobleme kennen Sie aus der Technischen
Mechanik II, Balkenbiegung, die Durchsenkung des Balkens, dort haben
Sie praktisch als Gebiet ein eindimensionales Gebiet, die Länge Ihres
Balkens und haben an den Rändern Randbedingungen zu erfüllen und Ihre
Lösung an diese Randbedingungen anzupassen.
Der nächste Punkt ist dann in der TM3, wo Sie vielleicht die
schwingende Seite oder Sie könnten auch einen schwingenden Balken
betrachten, beispielsweise Schaufelschwingungen einer Turbine.
Dann haben Sie wieder ein eindimensionales Gebiet.
Ich kann das ja mal aufzeichnen hier.
Eingespannt haben Sie vielleicht bei einer Schaufel würde das so
aussehen.
Hier wäre die Schaufel so dran.
Das wäre Ihr eindimensionales Gebiet.
Dort haben Sie jetzt die Biegedifferenzialgleichung und Sie haben noch
zusätzliche Trägheitseffekte, weil Sie jetzt zeitabhängig arbeiten,
Schwingungen betrachten.
Dann haben Sie in diesem Gebiet die entstehende partielle
Differenzialgleichung zu lösen und hier am Rand die Lösung an die
Randbedingungen anzupassen und letztlich auch noch die Lösung an Ihre
Anfangsbedingungen anzupassen.
Beispielsweise lenken Sie Ihren Balken am Anfang aus, um eine gewisse
Länge, wie Sie gemessen haben, und dann haben Sie zusätzlich noch
Anfangsbedingungen zu lösen.
Stellen Sie sich eine Trommel vor.
Da schwingt die Trommelmembran.
Die Trommelmembran ist aber auf dem Rand befestigt, also hätten Sie
auf dem Rand eine Randbedingung zu erfüllen und gleichzeitig hängt
natürlich die Schwingung davon ab, wie stark Sie diese Trommelmembran
mal auslenken.
Wenn Sie doch nicht draufhauen auf die Trommel, hören Sie natürlich
auch nichts.
Also, wir haben ein Anfangsrandwertproblem.
Im Gebiet selbst eine Differenzialgleichung zu lösen.
Dabei habe ich mal U als praktisch die unbekannte Funktion,
Geschwindigkeit oder Druck oder sonst irgendwas.
L wäre praktisch unser Differenzialoperator, den wir auf U loslassen.
F die rechte Seite.
Und auf dem Rand könnten wir also auch irgendeinen Operator haben,
beispielsweise für die Ableitung von U.
Randbedingungen, Sie kennen das bei der Biegelinie, bei der festen
Einspannung haben Sie Randbedingungen für die Ableitung von U.
Vielleicht irgendeine rechte Seite auf dem Gebiet von S und dann hätte
ich zusätzlich noch die Anfangsbedingungen, die habe ich jetzt hier
mal weggelassen.
Dann unterscheiden wir zwei Approximationsmethoden.
Die sogenannte innere Methode und die sogenannte Randmethode.
Bei der inneren Methode versuche ich die Randbedingungen wenigstens zu
erfüllen und approximiere die Lösung aus diesem Gebiet.
Das ist in der Regel einfacher, denn der Rand ist ja ein
zweidimensionales Gebiet bzw.
für diesen Fall wäre unser Rand sogar nur ein einziger Punkt.
Für ein zweidimensionales Gebiet, für eine Scheibe, irgendetwas
zweidimensionales, eine Membran, wäre unser Rand eindimensional.
Der Rand hat immer eine Dimension weniger als das innere Gebiet und
damit muss ich die Randbedingungen auf einem geometrischen Objekt
erfüllen, das immerhin eine Dimension kleiner ist.
Und das kann ich vielleicht noch eher, irgendwelche Randbedingungen
erfüllen, als gleich die partielle Differenzialleitung auf dem Gebiet
lösen.
Deswegen macht man häufig Ansätze so, dass man sagt, ich stelle
sicher, dass mein Ansatz wenigstens die Randbedingungen erfüllt.
Damit weiß ich, diesen Satz von Gleichung kann ich streichen, den habe
ich identisch erfüllt.
Ich interessiere mich nur noch dafür, wie ich diese Gleichung
möglichst gut approximiere.
Umgekehrt, bei den sogenannten Randmethoden, Sie kennen das
Randelementverfahren vielleicht, geht man so vor, dass man sich
Lösungen besorgt, auf diesem Gebiet, also Lösungen der partiellen
Differenzialgleichung, das geht natürlich nur in Spezialfällen, also
lineare partielle Differenzialgleichung und vielleicht für besonders
strukturierte Gebiete, für besonders einfache Gebiete mag das noch
gehen.
Und dann kümmere ich mich nur noch um die Anpassung an die
Randbedingungen.
Das wäre im Prinzip auch die Vorgehensweise gewesen, die Sie bei der
Differenzialgleichung der Biegellinie erst einmal gemacht haben.
Sie haben die Biegellinie-Differenzialgleichung erst einmal gelöst,
dann hatten Sie eine beliebige Lösung mit Integrationskonstanten und
im zweiten Schritt haben Sie sich erst darum gekümmert, wie Sie die
Integrationskonstanten so anpassen, dass auch die Randbedingung
erfüllt ist.
Ein derartiges Verfahren würde man Randmethode nennen, wenn die
Randbedingungen nur approximiert werden.
Vorteil der Randmethode ist natürlich, ich muss die Approximation
selbst nur noch in dem hier zweidimensionalen oder in dieser Zeichnung
sogar nur eindimensionalen Randgebiet ausführen, das heißt in dem
Gebiet, das eine Dimension weniger hat als dieses Volumen V, auf dem
ich meine partielle Differenzialgleichung zu lösen habe.
Das heißt, ich habe mein numerisches Problem, meine numerische
Approximation, hier bei Verwendung einer Randmethode um eine Dimension
heruntergekocht.
Der Preis dafür war, ich habe Dirndl-Schmalz reinstecken müssen, um
diese Lösung zu finden.
Das ist der einfachere Weg, aber der numerisch ineffizientere Weg,
weil ich auf einem dreidimensionalen Gebiet approximiere im
allgemeinen Fall.
Das ist der effizientere, aber analytisch kompliziertere, komplexere
Weg.
Und dieser Aufwand, der hier reingesteckt wird, der macht den Vorteil
meistens schnell zunichte.
Ich muss hier nur noch auf einem Gebiet approximieren, das eine
Dimension weniger hat als hier bei dem Verfahren.
Und dann gibt es natürlich auch gemischte Verfahren nach dem Motto,
ich bin faul, ich weiß nichts, ich mache mir keine Gedanken.
Also ich möchte sowohl auf dem Gebiet als auch auf dem Rand
approximieren.
Das wäre zunächst einmal eine grobe Unterteilung der numerischen
Approximationsverfahren.
Und ich möchte jetzt im wesentlichen Verfahren innere Methoden
besprechen, also Verfahren, bei denen die partielle
Differenzialgleichung auf einem Gebiet approximiert wird, auf einem
Volumen V.
Als erstes die Methoden des gewichteten Restes.
Also wir machen für unsere Lösung einen Reihenansatz.
Wir stellen diese Funktion dar, als einen Anteil phi von x, der von
den Raumdimensionen abhängt, und irgendwelche
Approximationskoeffizienten ai.
Solche Ansätze kennen Sie bei der Lösung partieller
Differenzialgleichung, wenn Sie daran denken, Bernoulli-Ansatz für die
lineare Schwingungsdifferenzialgleichung von Seitenschwingen zum
Beispiel.
Da haben Sie u angesetzt als eine Funktion,
u von x, t als eine Funktion a von t, x von x.
Im Prinzip haben Sie dort einen einzigen Term verwendet und haben hier
einen zeitabhängigen Koeffizienten.
Das wäre also der Fall i gleich 1, a1 von t.
Auch so eine Approximation.
Die aber in diesem Fall sogar auf die vollständige Lösung führt.
Wenn Sie hier ein zeitabhängiges Problem zusätzlich haben, dann werden
also diese Entwicklungskoeffizienten ai von der Zeit abhängen.
Diese Funktion phi dürfen Sie nicht beliebig wählen, die müssen zwei
Bedingungen erfüllen.
Einmal müssen sie ein orthogonales Funktionssystem haben und sie
müssen vollständig sein.
Orthogonal heißt, wenn ich zwei von diesen phis miteinander
multipliziere und darüber integriere, dann soll die Null herauskommen,
also integral über meinen Volumen.
V phi i von x, phi j von x soll Delta ij sein, also Null.
Also, wenn i und j verschieden sind, 1, falls i gleich j ist.
Vollständigkeit heißt, ich möchte in meinem Funktionenraum
beispielsweise die quadratisch integrierbaren Funktionen jede Funktion
durch mein Funktionssystem approximieren können, mit beliebiger
Genauigkeit.
Also, Vollständigkeit heißt grob gesprochen, jede Funktion soll durch
eine Summe ai, phi i, wobei ich dann unendlich viele von diesen
Funktionen meines Funktionssystems zulassen muss, darstellbar sein.
In der Praxis kann ich natürlich hier nicht unendlich viele Funktionen
wählen, sondern ich mache einen Approximationsfehler, indem ich diese
Reihenentwicklung bei einer Ordnung klein n, so wie hier oben
angegeben, abbreche.
Dann mache ich einen Fehler, das heißt, unquer ist nicht mehr die
exakte Lösung unserer partiellen Differenzialgleichung, deswegen der
Querstrich, sondern es ist eine Näherungslösung.
Wenn ich also den Differenzialoperator auf das Unquer anwende und die
rechte Seite davon abziehe, dann sehe ich einen Fehlerterm, einen
Restterm r von x, den ich mir natürlich ausrechnen kann, indem ich
einfach diesen Ansatz einsetze, in meiner partiellen
Differenzialgleichung die Ableitung bilde und f davon abziehe.
Und jetzt ist die Aufgabe, diesen Fehler zu bewichten, also dieser
Fehler soll möglichst klein sein, am besten ist es, wenn er
verschwindet.
Überall kann ich ihn nicht verschwinden lassen, dann hätte ich die
exakte Lösung ja gefunden, sondern ich werde mich mit irgendwelchen
Kompromissen zufriedengeben müssen und so ein Kompromiss sieht so aus,
ich integriere über das Volumen, gewichte den Fehler vielleicht noch
mit einer Gewichtsfunktion und möchte aber dann, dass wenigstens im
Mitte der Fehler verschwindet.
Also ich werde ihn nicht mehr an jedem Punkt des Gebietes zum
Verschwinden bringen lassen, dann hätte ich ja die exakte Lösung
gefunden, aber im Rahmen einer Näherung wäre ich schon glücklich, wenn
ich ihn im Mitte auf bestimmten Gebieten dann halt verschwinden lassen
könnte.
Wenn ich die Randbedingungen erfüllen möchte, kann ich das entweder so
machen, dass ich für u-quer zusätzlich noch die Randbedingungen
fordere, oder im Sinne einer inneren Methode könnte ich auch mein
Funktionssystem zusätzlich einer Bedingung unterwerfen, dass nämlich
dieses Funktionssystem phi schon die Randbedingungen erfüllen soll.
Dann erfüllt natürlich automatisch auch u die Randbedingungen, denn es
wird ja nur noch mit einer konstanten bzw.
einer zeitlich abhängigen Größe multipliziert.
Das heißt, die Dinger hier, phi i, die sind zuständig für die
Erfüllung der Randbedingungen.
So, jetzt kann ich natürlich hier verschiedene Gewichte wie i wählen,
mit denen ich diesen Fehler hier gewichte, und dementsprechend erhalte
ich verschiedene Verfahren des gewichteten Restes.
Methoden des gewichteten Restes wäre also der Überbegriff.
Je nachdem, wie ich die Gewichtung des Fehlers hier vorsehe,
unterscheidet man innerhalb dieser Klasse, Methoden des gewichteten
Restes, verschiedene Verfahren.
Beispiele habe ich hier aufgeführt.
Das erste Beispiel ist das einfachste, die sogenannte Kollokation.
Ich suche mir also in meinem Gebiet gewisse Punkte heraus, und an
diesen Punkten möchte ich meine Differenzialgleichung exakt erfüllen.
Dann ist also meine Gewichtsfunktion nichts anderes als die Dirac'sche
Delta -Distribution.
Die Dirac-Distribution hat folgende Eigenschaften, wenn Sie die auf
eine Funktion loslassen, dann ist das gerade F an der Stelle XI.
Sofern natürlich dieser Punkt XI in dem Integrationsgebiet drin liegt,
aber darum gehen wir hier aus.
Das heißt, hier ist mathematisch verklausuliert nichts anderes
dargestellt, als ich fordere, dass mein Rest, mein Fehler, an
ausgewählten Punkten des Gebietes genau exakt verschwindet.
Das heißt, meine Näherungslösung stimmt in gewissen Punkten des
Gebietes mit der exakten Lösung überein.
Was zwischen diesen Punkten passiert, da garantiere ich für nichts.
Da sagt diese Methode nichts aus, und das ist der große Schwachpunkt.
Man weiß, dass derartige Verfahren in der Regel ineffizient sind,
nämlich vor allen Dingen dann, wenn Raumstrukturen zusammenhängen, wie
das beispielsweise in der Festkörpermechanik der Fall ist, Spannungen,
als wenn sie Flüsse haben, praktisch von einem Punkt zum nächsten.
Was hilft es Ihnen dann, wenn Sie an einem Punkt die Lösung exakt
gefunden haben, aber über die Gradienten verteilen sich die Fehler
praktisch, und in den Nachbarpunkten haben Sie dann wenige Fehler.
Das hilft Ihnen dann wenig.
Sie müssten ein ganz, ganz feines Netz von Punkten über Ihre Struktur
rüberlegen, und in diesem ganz, ganz feinen Netz müssten Sie dafür
sorgen, dass der Fehler tatsächlich gleich null ist, dann konvergiert
dieses Verfahren auch, aber es ist nicht besonders effizient.
Eine andere sehr interessante Methode ist die Methode der kleinsten
Quadrate.
Da würde ich ja einfach sagen, okay, ich nehme das Quadrat des
Fehlers, gleich noch mit einer Funktion p multipliziert, und bringe
das Quadrat des Fehlers zum Minimum.
Das heißt nichts anderes, wenn ich hier das Minimum dieser Funktion
bilde, notwendige Bedingungen für Ihre Ableitung von diesem Ding ist
null.
Ableitung muss ich bilden mit Bezug auf die Entwicklungskoeffizienten,
AI.
Also muss ich diese Funktion hier, notwendige Bedingungen nach den AIs
ableiten.
Hier bilden Sie Delta AI.
Diese Ableitung spielt natürlich nur für das R-Quadrat eine Rolle,
denn nur in dem Fehler R geht ja der Ansatz U gleich Summe AI Phi I
von X überhaupt ein.
Das heißt, Sie leiten das Argument dieses Integrals nach AI ab.
Das heißt, Sie leiten das R nach AI ab, und dann erhalten Sie das für
das Gewicht, Px dr Delta AI, wenn Sie die Ableitung bilden.
Notwendige Bedingung,
0 gleich Delta Delta AI, Integral P von X, R-Quadrat von X dx, ist
dann, Sie vertauschen Integration und Ableitung, P, diese zusätzliche
Gewichtsfunktion nochmal, müssen Sie nicht ableiten nach den AIs, weil
dort die Entwicklungskoeffizienten nicht drin sind.
Das R-Quadrat müssen Sie ableiten.
Sie erhalten 2 P von X, Delta R nach Delta AI mal R, dx gleich 0.
Die 2 können Sie dann noch herauskürzen.
Und Sie erhalten also insgesamt 0 gleich Integral P von X, Delta R,
Delta AI, R, dx.
Und jetzt interpretieren Sie das Ganze als Ihre Funktion,
Gewichtsfunktion W von X.
Das heißt, Sie können die Methode der kleinsten Quadrate bei der
numerischen Approximation partieller Differentialgleichung als ein
Verfahren des gewichteten Restes mit dieser speziellen
Gewichtsfunktion interpretieren.
Das ist eine sehr interessante Variante.
Warum?
Weil sie eigentlich anders konzipiert ist.
Sie passt zwar in das Konzept der Methode des gewichteten Restes
herein, aber eigentlich ist sie anders konzipiert.
Sie ist konzipiert als eines dieser Methoden, wie wir gleich sehen,
als ein Extremwertproblem, bei dem ich eine notwendige Bedingung
auswerte.
Diese Bedingung hier.
Was ist der Vorteil, wenn ich das als Extremwertproblem formuliere?
Ich bekomme hier, ich suche dieses Minimum und ich weiß, wenn ich
Therme dazu nehme, muss ich mich diesem Minimum immer weiter nähern.
Das heißt, ich könnte Kontrollrechnungen machen, ich nehme noch mehr
Therme dazu, dann muss dieses Integral hier immer kleiner werden, weil
ich hier ein Minimum suche.
Das heißt, je feiner ich werde mit meinem Netz, desto geringer wird
hier dieses Minimum.
Das heißt, ich nähe mich dieser Größe aus einer Richtung, nämlich von
größeren Größen zu kleineren.
Damit kann ich aber ganz einfach eine Fehlerabschätzung machen.
Denn ich kann mir die Differenz ausrechnen.
Also nehmen wir mal an, Sie nehmen n Approximationstherme, bestimmen
diese n Approximationstherme und dann bestimmen Sie das Minimum, was
Sie mit n Thermen gefunden haben.
Dann nehmen Sie n plus 1 Therme dazu und stellen Sie fest, ups, ich
habe hier ein Minimum gefunden, das ist aber ein Stück kleiner.
Dann wissen Sie, diese Differenz ist der Fehler, der
Approximationsfehler, den Sie gemacht haben, wenn Sie von der Ordnung
n zur Ordnung n plus 1 übergehen.
Man spricht hier von einer gerichteten Konvergenz.
Sie wissen, Sie nähern sich diesem Minimum.
Wenn Sie beispielsweise bei einer Kollokationsmethode noch einen
weiteren Punkt dazunehmen, also noch einen Punkt n plus 1 und Sie
fragen sich nach Rx, dem Rest, an irgendeiner Stelle, wo x Nicht
-Element der xi ist, von 1 bis n plus 1.
Klar, sonst wäre es trivial, weil da wissen Sie, ist es 0.
Also, Sie rechnen den Rest an einer anderen Stelle außerhalb von Ihren
Kollokationspunkten.
Sie machen das einmal, indem Sie eine n-Punkt-Kollokation machen und
zum anderen eine n plus 1-Punkt-Kollokation.
Was können Sie über den Fehler sagen?
Gar nichts.
Sie bekommen hier einen Rest heraus.
Der Rest, der kann schwanken.
Der kann der tatsächliche Wert, da wissen Sie, ist der Rest 0, aber
der Rest kann sowohl größer 0 sein, größer 0, R von x kann kleiner 0
sein.
Hier haben Sie eine ganz klare Richtung.
Dieses Restintegral kann immer nur größer sein als das tatsächliche
Minimum.
Wenn Sie das approximieren, bekommen Sie eine gerichtete Konvergenz.
Hier haben Sie eine ungerichtete Konvergenz.
Das ist der Vorteil bei der Methode der kleinsten Quadrate.
Jetzt haben wir noch die Galerkin-Methode.
Bei der Galerkin-Methode werden praktisch die Ansatzfunktionen
recycelt.
Das heißt, unsere Approximationsfunktionen phi i von x, die uns schon
geholfen haben, um den Ansatz für unsere unbekannte Funktion u zu
bilden, werden jetzt als Gewichtsfunktion hier wieder reingesteckt.
Das ist ein ganz häufiges Verfahren, als beispielsweise die Methode
der finiten Elemente.
Was ist da der Vorteil?
Der Vorteil ist, ich nutze die Orthogonalität meines Funktionssystems
phi i bestmöglich aus.
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen linearen Integraloperator, den
Sie hier bei der Berechnung des Restes hier verwenden.
Dann können Sie das Ganze nach einigen partiellen Integrationen auf
Produkte dieser Ansatzfunktionen oder vielleicht ihrer Ableitung
zurückführen.
Und aufgrund der Orthogonalität fällt da vieles weg.
Das heißt, Galerkin-Verfahren führen häufig auf schwach besetzte
Matrizen.
Damit können Sie auch große Systeme effizient lösen.
Die Matrizen haben nur sehr wenig Einträge, können sehr gut
gespeichert werden.
Also Bandform als dünn besetzte Matrix und auch die Matrix-Vektor
-Operation und die Invertierung zu einer Matrix ist relativ
preisgünstig zu haben.
Das ist der Vorteil bei der Galerkin-Methode.
Und die beiden anderen Methoden sind so ein bisschen, ja, nochmal...
Es gibt sie, aber sie werden nicht mehr so häufig eingesetzt, die
Momenten -Methode und die Zerlegungs-Methode.
Also hier ist die Idee, einen Polynomen-Ansatz zu machen, einzelne
Monome herzunehmen, um zu fordern, dass der Fehler in Bezug auf diesen
Polynomen -Ansatz verschwindet.
Bei der Zerlegungs-Methode ist ein bisschen die Idee ähnlich wie bei
der Kollokation.
Nur verwende ich nicht einzelne Punkte, sondern ich verwende
Teilgebiete und ich sage, der Fehler soll auf einem Teilgebiet VI
meines Gesamtvolumens verschwinden.
Und es ist klar, wenn ich diese Teilgebiete klein wähle, also viele
von diesen Teilgebieten anordnen, dann habe ich den Fehler auch gut
approximiert, also die Lösung recht gut gefunden.
Aber ich habe die gleichen Nachteile wie bei der Kollokation.
Das Verfahren ist relativ ineffizient.
Es braucht schon eine sehr kleine Struktur, eine sehr feine Zerlegung
des Gebietes, um wirklich aus dieser Mittelungseigenschaft
sicherzustellen, dass die Lösung überall konvergiert.
Jetzt habe ich Ihnen dazu mal ein Anwendungsbeispiel mitgebracht.
Das ist eine schwere Kette.
Also, wir stellen uns vor, wir hängen eine Kette an zwei Punkten auf.
Dann haben wir hier die Differentialgleichung für die durchsehenden
Punkte, jedenfalls näherungsweise, also zweite Ableitung von U minus K
und hier sehen Sie die Wurzel aus U'² plus 1.
Also immerhin eine hochgradig nicht-lineare Differentialgleichung
durch die Wurzelfunktion und das Quadrat.
Die exakte Lösung kann man aber noch finden durch zweifache
Integration.
Das sind nämlich gerade diese sogenannten Kettenfunktionen, also hier
der Größen- und das Überholungsstücke eingeben.
In Abhängigkeit von diesem Parameter K.
K wurde hier einfach mal auf ein Halb gesetzt.
Und dann sehen Sie hier, wie diese schwere Kette durchhängt.
Und dieses Minimum wurde hier im Rahmen der Rechnergenauigkeit mal
berechnet.
Jetzt wollen wir auf dieses Verfahren einfach mal die Methoden des
gewichteten Restes, die Sie kennen, loslassen.
Das heißt, wir machen einen Ansatz für U, setzen diesen Ansatz hier in
die Differentialgleichung ein, rechnen den Fehler aus, das heißt das,
was das U' ist, projizieren das mithilfe einer Gewichtsfunktion Wi, je
nachdem, welches Verfahren wir wählen, ist diese Funktion Wi
unterschiedlich, und bestimmen die Ehrungskoeffizienten aus der
Forderung, dass dieser Fehler gleich Null sein soll.
Also hier ist das Ganze dargestellt.
Wir machen einen Ansatz.
Der Ansatz stellt, diese Ansatzfunktion stellt sicher, dass meine
Randbedingungen erfüllt sind.
Das heißt, angestellt A gleich Null und B gleich 1 an den beiden Enden
der Kette, die Kette unverschieblich gelagert ist, praktisch auf
dieser Höhe, wie hier dargestellt.
Diese beiden Randbedingungen muss ich hier erfüllen, dass hier die
Auslenkung gleich Null ist.
Und dazu füge ich diese beiden Faktoren in meine Ansatzfunktion Phi
von X ein.
Und Sie sehen, wenn ich X gleich A wähle, bzw.
X gleich B, dann verschwinden alle Ansatzfunktionen Phi.
Das heißt, meine Randbedingungen sind erfüllt durch diese beiden
Faktoren, und mehr brauche ich mich nicht zu kümmern.
Und dann möchte ich hier einen Polynomenansatz haben.
Das heißt, ich entwickle das Ganze in Polynomen.
So sieht also mein Ansatz aus.
A sind die unbekannten Entwicklungskoeffizienten, die ich noch
bestimmen will.
Um sie zu bestimmen, nehme ich diesen Ansatz Phi i her, setze den hier
ein, leite das Ganze zweimal ab nach X.
Das heißt, ich leite das Phi nach X ab, leite das Phi einmal nach X ab
und quadriere und ziehe wieder die Wurzel draus.
Und dann verwende ich ein Verfahren des gewichteten Restes, mal
Kollokation, mal Quadratmittelapproximation, also kleinste
Fehlerquadrate, mal Galerkin-Verfahren und so weiter, und bekomme dann
ein algebraisches Gleichungssystem für die Entwicklungskoeffizienten.
Das ist jetzt natürlich nicht linear, das liegt hier an dieser Nicht
-Linearität.
Die zerstört die Linearität dieses Gleichungssystems.
Das kann ich aber wenigstens noch näherungsweise lösen.
Mit MATLAB wurde das gemacht.
Und die Bildung dieses Fehlers, die Gewichtung des Fehlers, das wurde
mit symbolischer Mathematik, also mit Maple, gemacht.
Also klassische Kombination, Sie stellen die Gleichung erstmal mit
Maple auf, lesen das Ganze dann, oder benutzen gleich das Maple-Modul
von MATLAB, lesen das Ganze dann in MATLAB ein und lösen dieses Nicht
-Lineare algebraische Gleichungssystem näherungsweise numerisch in
MATLAB auf.
So, hier sehen Sie die Näherungen für das Galerkin-Verfahren.
Erst einmal würde man sagen, man sieht gar nichts.
Also, die exakte Lösung, schwarz, und die drei Näherungen, die liegen
hier völlig übereinander.
Sie sehen keinen Unterschied.
Das zeigt Ihnen, wie gut diese Verfahren schon arbeiten.
Schon mit ganz wenig Näherungen können Sie diese Kosinus Hyperbolicus
mit einem Polynom-Ansatz sehr gut approximieren.
Jetzt schauen wir aber einfach nochmal auf dieses Gebiet.
Das liegt auch daran, dass hier der Maßstab sehr groß gewählt ist.
Also wir wählen mal hier die maximale Durchsenkung hier aus, dieses
Gebiet, um den Wert 0,5.
Und da sehen Sie, da liegt jetzt die rote, also die dritte Näherung
mit der schwarzen Kurve tatsächlich hier übereinander, wenn wir da
genauer hinschauen.
Und blau und grün sind jeweils die Näherungen.
Also, erste Näherung, zweite Näherung, und hier die dritte Näherung.
Und die dritte Näherung stimmt dann exakt mit der tatsächlichen
Lösung, im Rahmen dieser Zeichengenauigkeit jedenfalls, mit der
exakten Lösung überein.
Also das Galerkin-Verfahren arbeitet hier recht gut.
So, dann haben wir hier noch Quadratmittel, also die Methode der
kleinsten Quadrate, hier auf der linken Seite.
Und auf der rechten Seite das Kollokationsverfahren.
Hier sehen Sie auch die Übereinstimmung hervorragend.
Und man muss schon wieder genau auflösen in diesem Bereich der
größtmöglichen Durchsenkung, um überhaupt einen Unterschied
festzustellen.
Und Sie sehen auch hier, die dritte Näherung stimmt mit der exakten
Lösung überein.
Die erste und zweite Näherung liegen noch etwas weiter weg.
Und hier ist es genau das Gleiche, nur in umgekehrter Richtung.
Hier sagen also die ersten beiden Näherungen bei dem Verfahren
kleinste Quadrate, sagen also eine zu große Durchsenkung voraus und
hier ist die Durchsenkung eher zu klein.
So, dann haben wir die verschiedenen Verfahren mal übereinander
gelegt.
Einmal die erste Näherung, da sehen Sie, die passt eigentlich schon
recht gut, wenn Sie das global betrachten.
Dritte Näherung natürlich noch viel besser, Sie sehen bei keinem
dieser Verfahren einen großen Unterschied.
Und Sie sehen selbst, wenn Sie sich die maximale Durchsenkung so
herauszoomen, wie das hier gemacht wurde, sehen Sie bei der dritten
Näherung schon keinen Unterschied mehr.
Also die Verfahren funktionieren hervorragend.
So, jetzt schauen wir uns hier nochmal an die erste Näherung.
Da sehen wir allerdings dann schon etwas Unterschiede, nämlich das
Galerkin -Verfahren liefert Ihnen hier den kleinsten Feder.
Das ist also etwas, was wir häufig festgestellt haben.
Das Galerkin-Verfahren funktioniert aufgrund der Ausnutzung der
Orthogonalität bei den Gewichtsfunktionen.
Orthogonalität bedeutet immer, ich habe praktisch keine Überlappung
zwischen den verschiedenen Ansatzfunktionen.
Wenn Sie eine Basis aufstellen mit orthogonalen Vektoren, dann zeigen
die halt völlig unabhängig voneinander in Raumrichtung.
Das heißt, sie gewichten völlig unabhängig voneinander.
Und dann haben Sie hier schon in der ersten Näherung einen sehr
kleinen Fehler.
Alle anderen Verfahren hier, also Least-Square, Zerlegungsmethode und
die Kollokationsmethode zur anderen Seite hin, liefern Ihnen
größenordnungsmäßig hier für die erste Näherung in erster Näherung
größere Fehler.
Das macht man sich bei der Methode der finiten Elemente zunutze.
Man wählt erstmal ein Galerkin-Verfahren und zum zweiten verwendet man
nur Ansätze erster Näherung.
Aber nicht global, wie das hier gemacht wurde, sondern natürlich
lokal.
Aber man profitiert hier von dem hervorragenden
Approximationsverhalten der ersten Näherung, also der linearen
Ansätze, schon bei Galerkin-Verfahren.
So, hier nochmal der absolute Fehler über X,
dargestellt für die erste Näherung, für die zweite Näherung und bei
der dritten Näherung haben Sie diesen Kosinus Hyperbolicus schon sehr
gut approximiert.
Das ist hier mal aufgezeigt für das Galerkin-Verfahren, für die
anderen Verfahren sieht es so ähnlich aus.
Hier sehen Sie für den Mittelpunkt nochmal einen Fehlervergleich, die
soll Sie jetzt nicht irritieren, die ist ein bisschen unglücklich
gewählt.
Über die Näherungsverfahren, hier wird ein kontinuierlicher Verlauf
vorgegaukelt, allerdings dürfen Sie das hier vergessen.
Also Sie haben tatsächlich nur diese drei Punkte, 1, 2 und 3, dort ist
das Näherungsverfahren aufgetragen, diese Werte dazwischen, sie hat
das Matlab hier reingesetzt und der Assistent einfach unbedingt
übernommen, da gibt es keine Zwischenwerte mehr.
Im Prinzip dürfte man hier nur die Verbindungslinien, dienen
eigentlich nur der Visualisierung, um Ihnen nochmal zu zeigen, dass
hier das Galerkin-Verfahren ungefähr gleichmäßig linear den
Approximationsfehler zu Null macht, während bei den anderen Verfahren
Sie in erster und zweiter Näherung noch sehr hohe Fehler haben für
diesen Punkt in der Mitte und erst bei der dritten Näherung dann diese
Übereinstimmung mit der Cosinus Hyperbolicus Funktion erzielen.
Also das soll Ihnen nochmal ein bisschen die Vorteile des Galerkin
-Verfahrens hier bei diesem Beispiel klar machen.
So, jetzt habe ich noch nach diesem Beispiel zwei kleine Folien, ich
möchte Ihnen einmal noch die finiten Differenzen erläutern und dann
nochmal die Variationsmethoden darstellen.
Also finite Differenzen, Verfahren des gewichteten Restes verpassen
wir jetzt.
Finite Differenzen kennen Sie ja schon aus der numerischen Integration
und genauso ist die Idee auch hier.
Also wir ersetzen die Ableitungen, die partiellen Ableitungen in
unserer Differenzialgleichung durch Differenzen und berechnen dann
spezielle Funktionswerte, nämlich Funktionswerte an den Knotenpunkten.
Das hört sich also ungefähr genauso an wie eine Kollokationsmethode,
bei der ich ja auch versuche, den Fehler an Knotenpunkten zu Null zu
setzen und praktisch an den Knotenstellen die exakte Lösung zu
treffen.
Nur, dass ich hier die Ableitungen ersetze durch einen
Differenzenquotienten und damit auch die Ableitungen praktisch
diskretisiere.
Und deswegen kann ich hier noch ein vergleichsweise relativ grobes
Netz, wenn man es jetzt mit dem Kollokationsverfahren und den Punkten,
die ich bei der Kollokation brauche, die völlig unabhängig voneinander
sind, kann ich hier noch ein relativ grobes Netz sehen.
Also man unterscheidet einmal Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen, die
haben Sie auch schon kennengelernt bei der Integration.
Einmal geht der Schritt nach vorne, das könnte hier irgendwie die
Näherung sein für einen Gradientenwechsel, plus h minus fxd.
Das wäre die Differenz, dann müssten Sie das Ganze noch durch das h
dividieren, dann hätten Sie die Differenzenquotienten.
Genauso müssten Sie hier überall auch durch h dividieren.
Das wäre also der Schritt nach vorne, das wäre die Rückwärtsdifferenz,
der Schritt nach hinten, und dann die Zentraldifferenz, also ich mache
einen halben Schritt nach vorne und einen halben Schritt nach hinten
und dividiere dann auch wieder durch
h.
So, der Vorteil bei diesen beiden Verfahren ist, ich benutze hier mit
x i plus h, Sie sehen, dass der i plus h, 1 und i, benutze ich
praktisch ein ganz klar äquidistantes Gitter, bei dem ich immer die
Punkte i und i plus 1 bzw.
i und i minus 1 verwende und hier verwende ich Zwischenstellen, i plus
1,5 und i minus 1,5.
Das heißt, ich habe ein Gitter, auf dem ich die Punkte fi festlege und
dann verwende ich bei den Ableitungen die Werte i plus 1,5 und i minus
1,5.
Jetzt stellen Sie sich vor, Sie haben nicht nur Ableitungen drin zu
stehen, sondern Sie haben vielleicht auch noch eine Flächenlast oder
irgendwas anderes, was Sie diskretisieren müssen, also Funktionswerte
selbst.
Dann haben Sie natürlich die Überlagerung von zwei Gittern.
Ein Gitter für die Ableitung der Funktion, wo Sie fi plus 1,5 oder fi
minus 1,5 haben und dann noch ein anderes Gitter, bei dem Sie die
Funktionswerte selbst nehmen, wo Sie die Werte fi und fi plus 1 haben.
Das ist ein bisschen der Nachteil dieser Aufwandssteigerung bei den
zentralen Differenzen.
Abhilfe ist, wenn es möglich ist, bringen Sie bei den Funktionswerten
auch auf dieses versetzte Gitter über.
Dann machen Sie natürlich einen gewissen Kompromiss.
Eigentlich sind das ja die Ableitungen an der Stelle xi und nicht an
der Stelle i plus 1,5.
Also Sie arbeiten mit zwei verschiedenen Gittern in dem Fall.
Also wenn Sie es sauber machen, dann führt das dazu, dass Sie zwei
Gitter verwenden müssen.
Das heißt, zusätzlich zu den unbekannten Funktionswerten an den
Stellen xi kommen noch die Funktionswerte an den Stellen xi plus 1,5
bzw.
xi minus 1,5 dazu.
Das heißt, Sie haben doppelt so viele Unbekannte.
Bei den zweiten Ableitungen können wir auch wieder Vorwärtsableitungen
bilden.
fi plus 1 minus fi und zwar jetzt das Delta, das heißt, die springen
hier wieder rein.
Dann kommt natürlich noch ein Funktionswert mehr ins Spiel, nämlich i
plus 2 minus 2 i plus 1 plus f i und Rückwärtsdifferenzen, bei denen
Sie die Rückwärtsdifferenz auf die Rückwärtsdifferenz selbst wieder
anwenden.
Also ineinander geschaffte Rückwärtsdifferenzen.
Wenn Sie das auswerten, kommt hier auch wieder der Schritt i minus 2
ins Spiel.
Und genauso kann man dann auch zentrale Differenzen bilden.
Und siehe da, jetzt kommen natürlich wieder, dass Sie hier plus 1,5
haben und dann gehen Sie nochmal einen halben Schritt weiter.
Jetzt kommen hier wieder die Werte Ihres ursprünglichen Bitters, also
i plus 1 und i zum Vorschlag.
Also bei den zentralen Differenzen haben Sie doppelt so viele Punkte,
an denen Sie der Unbekannten rechnen.
Aber Sie haben häufig einen Genauigkeitsvorteil bei den zentralen
Differenzen gegenüber den Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen.
Anschaulich intuitiv ist uns das klar.
Hier mache ich einen balancierten Schritt.
Ich gehe ein halb nach vorne und ein halb nach hinten.
Und hier extrapoliere ich ein Ergebnis, das praktisch von vorne kommt,
nach hinten.
Und hier extrapoliere ich ein Ergebnis, das von hinten kommt, nach
vorne.
Ja, mehr ist dazu nicht zu sagen.
Also Sie haben dann hier die räumliche Diskretisierung herausgeführt.
Sie müssen das für alle Ableitungen, Funktionswerte selbst ihrer
unbekannten Größe machen und erhalten als Dank dafür zum Schluss ein
algebraisches Gleichungssystem zur Bestimmung dieser ganzen
unbekannten Funktionswerte.
Nachteilig ist, Sie können per se von vornherein nichts über die
Besetzung dieses Gleichungssystems sagen.
Wenn Sie dort tatsächlich so etwas nur drin haben, erste und zweite
Ableitung, dann sehen Sie hier, das würde also bestenfalls Tri
-Diagonal -Struktur haben.
Bei der zweiten Ableitung, bei der ersten Ableitung haben Sie zwei
Diagonale dieser Matrix nun besetzt.
Also Sie haben große Hoffnung, dass es ein schwach besetztes Problem,
eine dünn besetzte Matrix wird zur Bestimmung dieser Werte, I plus I
FI, der unbekannten Funktionswerte.
Aber anders sieht das natürlich aus, wenn Sie nicht lineare Probleme
haben, oder wenn Sie irgendwelche anderen Produkte noch haben, mit
anderen ortsabhängigen Funktionen.
Dann kann das mit der Besetzung schon wieder ganz anders aussehen,
dieser Matrix.
So viel nur zu dem Verfahren der finiten Differenzen.
Als letztes ein Verfahren, das sich jetzt, finite Differenzen und
finite Volumen sind so Verfahren, die gerne in der Strömungsmechanik
verwendet werden.
Jetzt noch ein letztes Verfahren, das Ritz-Verfahren, das mehr in der
Dynamik verwendet wird, also die sogenannten Variationsformulierungen.
Die setzen da an, wo die Approximation des gewichteten Restes mit dem
Feder -Quadrat-Mittelfeder aufgehört hat.
Nämlich die Überlegung, dass es ja ganz sinnvoll sein kann, eine
gerichtete Konvergenz zu haben.
Also zu sagen, ich habe irgendeine Funktion, ein Integral
beispielsweise, und ich möchte dieses Integral minimieren.
Und das macht man sich hier zu Nutze.
Das heißt, der Ansatz ist der gleiche wie bei der Methode des
gewichteten Restes.
Aber die Auswertung ist eine andere.
Die Auswertung geht über ein Variationsfunktional, beispielsweise in
der Dynamik über das Prinzip von Hamilton.
Sie können auch andere Variationsprinzipien nehmen.
Das sagt Ihnen, Sie haben hier ein Integral über irgendeine Funktion
drin zu stehen, und die Variation dieses Integrals ist Null.
Denken Sie an das Prinzip von Hamilton.
Wenn Sie jetzt so einen Ansatz haben, dann setzen Sie dieses U einfach
mal näherungsweise hier ein, und dann werden Sie natürlich Delta J
nicht exakt gleich Null herausbekommen, aber näherungsweise werden Sie
das gleich Null herausbekommen.
So, wie bestimmen Sie dann das U quer so, dass es diese Bedingung
erfüllt?
Sie leiten einfach, setzen das U quer hier ein, und leiten dann nach
Ihren unbekannten Koeffizienten ab.
Das heißt, Sie bilden Ihren Ansatz so, dass im Raum der
Ansatzfunktionen dieses Funktional, was hier steht, minimiert wird.
Also Sie bilden die Ableitung nach dem Delta I und dann die Variation
nach dem Koeffizienten Delta I.
Da diese Variationen aber alle voneinander unabhängig sind, folgt als
notwendige Bedingung daraus, dass dieses Gebilde, also die partielle
Ableitung, beispielsweise beim Prinzip von Hamilton, des Funktionals
nach den Approximationskoeffizienten gleich Null ist.
Vorteil, nehmen wir mal an, Sie fügen noch einen weiteren
Koeffizienten dazu, also Sie wollen diesen Ansatz noch bis N plus 1
betreiben, dann fügen Sie einfach an Ihr Gleichungssystem noch die
Gleichung Delta J, Delta A, N plus 1, gleich Null an.
Das heißt, es kommt einfach nur noch eine Gleichung dazu, die
unabhängig ist von diesen anderen Gleichungen.
Das macht es besonders einfach, bei einem RITZ-Verfahren einen
zusätzlichen Näherungsterm sich zu besorgen.
Und Sie haben wieder den Vorteil der gerichteten Konvergenz, das
heißt, wenn Sie hier noch einen zusätzlichen Term mit dazunehmen und
sich wieder dieses Funktional ausrechnen, dann soll dieses Funktional
bitte schön kleiner sein, mit einem Term der Ordnung N plus 1 als
vorher und die Differenz charakterisiert gerade genau Ihren Fehler.
Es gibt praktisch kein Überschießen zur anderen Seite.
Da Sie nicht wissen, sind Sie links oder rechts von dem exakten Wert,
sondern Sie haben eine gerichtete Konvergenz.
Sie wissen, egal was passiert, je mehr Terme ich dazunehme, desto
kleiner muss dieses J werden.
Und wenn das J sich weigert, kleiner zu werden, dann heißt es, es ist
eh schon konvergiert.
Ich brauche keinen zusätzlichen Term mehr verwenden.
So, jetzt gibt es für diese Variationsmethoden zwei Ansätze.
Denken Sie an das, was ich am Anfang gesagt habe, über die numerische
Approximation.
Es gibt die inneren Verfahren, inneren Methoden und die Randmethoden.
Beim Ansatz von Ritz muss dieser Ansatz bereits die Randbedingungen
erfüllen, wo Ziel ist, die Differenzialgleichung im Gebiet zu
approximieren.
Das heißt, J ist dann eine schwache Formulierung, wie beim Prinzip von
Hamilton, der Differenzialgleichung im Volumen selbst.
Das wäre also eine innere Methode.
Eine Variationsmethode, die man als innere Methode formuliert, würde
man als Ritzverfahren bezeichnen.
Und ein sogenanntes Treffsverfahren ist folgendermaßen, ich gehe
zunächst einmal aus von einer Lösung der Differenzialgleichung, die
ich mir durch mein Wissen besorgt habe.
Also ich muss zunächst einmal die Differenzialgleichung lösen und
kümmere mich dann nur noch um den Randtherm.
Und dann mache ich für den Randtherm eine Variationsformulierung, also
eine schwache Formulierung für den Randtherm.
Das wäre also eine Randmethode.
Und eine Variationsmethode für den Rand nennt man ein Treffsverfahren.
Die beiden Verfahrensklassen sind hier zu unterscheiden.
So, jetzt können Sie also ganz grob sagen, in der Strömungsmechanik
werden finite Volumen- und finite Differenzenverfahren hauptsächlich
eingesetzt.
In der Festkörpermechanik eine FEM-Formulierung, die kann aus dem
Verfahren von Ritz oder aus dem Verfahren von Galerkin hergeleitet
werden.
Also im Prinzip ein Galerkin-Verfahren.
Und in der Dynamik verwendet man sehr gerne Ritz-Formulierungen und
natürlich auch zum Teil Ritz-Galerkin-Kombinationen.
Zum Teil eben dann auch klar die FEM.
Aber häufig ist man in der Dynamik noch mit speziellen Ansätzen, also
wo man sich nochmal exklusiv um diese Funktion FII hier kümmert, ist
man schneller als mit einer allgemeinen FEM-Richtung.
Woran liegt das?
In der Dynamik haben Sie häufig den Fall, dass Sie sich
Nährungslösungen oder exakte Lösungen noch für Sonderfälle bestimmen
können.
Denken Sie beispielsweise bei Schwingungsdifferenzialgleichung dran.
Häufig können Sie sich vielleicht noch die homogene Lösung besorgen.
Oder Sie können sich die homogene Lösung besorgen, wenn Sie einen
Störterm, vielleicht die Dämpfung mal, vernachlässigen.
Das heißt, da kommt man schon auf Ansatzfunktionen, die sehr dicht an
der Realität dran liegen.
Und dann hat man nur noch Störungen, vielleicht durch Dämpfung,
vielleicht durch einen nicht-linearen Term, von denen man weiß, so
viel machen die nicht aus, aber man muss sie mit berücksichtigen.
Und dann ist man häufig mit solchen Verfahren Ritz und mit speziellen
Ansatzfunktionen schneller, als wenn man das Ganze allgemein löst.
Schneller heißt hier, der Rechner ist komplizierter, dass er Sie
vorher anarbeitet, reinstecken.
Das kann natürlich den Rahmen völlig sprengen.
Und da können dann wieder so allgemeine Ansätze, also aller FEM,
günstiger sein, für den Praktiker in der Industrie, der sagt, okay,
ich habe hier meine FEM-Kiste, zahle dafür teure Lizenzgebühren, also
sollte mir das Problem auch lösen.
Ich kann es mir nicht erlauben, einen Mitarbeiter dafür abzustellen,
um eine Viertelstunde, ein Vierteljahr nach den besten
Approximationsfunktionen zu suchen und dann auch noch
Fehlerbeseitigung zu betreiben und Qualitätssicherung und sonst
irgendwas.
Das kann in der Praxis zu teuer sein.
Das ist eben der Unterschied zwischen Theorie und Praxis.
Von der Theorie weiß man häufig, dass andere Verfahren effizienter
wären, allein von der Numerik her.
Von den Kosten weiß man dann, dass es sich für ein Unternehmen nicht
unbedingt rechnet.
Jedenfalls dann, wenn es eine kleine Forschungsabteilung hat.
Okay, damit genug von den numerischen Näherungsverfahren und von der
allgemeinen Theorie zu den Kontinuumsmodellen.
Ja, damit bin ich am Ende dieser Vorlesungsreihe.
Gedacht ist das Ganze so, dass Sie jetzt Ihr Wissen vertiefen können
oder schon vertieft haben, vorher aus Spezialvorlesungen.
Also, dass das, was Ihnen jetzt hier so als eine Aneinanderreihung von
Themen präsentiert wurde, schon mit Schwerpunkten Signale und Systeme,
jetzt nochmal punktuell in den vielen, vielen Vertiefungsfächern, die
Ihnen angeboten werden, gar nicht mal nur in der Mechanik, sondern
auch in anderen Gebieten, in Mechatronik oder in der Mess- und
Regelungstechnik, dass Sie das dort mit einbringen und dass Ihnen das
hilft, vielleicht auch bei einer Projektarbeit, Studienarbeit oder
Diplomarbeit, eine Fragestellung zu bearbeiten, wo Sie eben merken,
hoppla, das fällt in das Gebiet.
Das hatte ich also immer wieder, dass Leute zu mir kamen mit einer
Studien - oder Diplomarbeit, teilweise auch aus der Industrie ankamen
und dort eine Themenstellung mitgebracht haben und gesagt haben,
Mensch, das ist doch aber sowas wie Identifikation oder wie
Näherungsverfahren, was damals in der Simulation dynamischer Systeme
behandelt wurde, das schaue ich mir nochmal an, diese Vorlesung, dann
habe ich einen Ausgangspunkt, suche mir nochmal Literaturglieder das
ein und dann haben die relativ schnell solche Themen bearbeiten
können.
Das war so ein bisschen Sinn und Zweck des Ganzen.
Ich hoffe, Ihnen hat es Spaß gemacht und vielleicht sehe ich den ein
oder anderen wieder in einer Vertiefungsveranstaltung.
Also alles Gute und weiterhin viel Erfolg für Ihr Studio.