Meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich zur zweiten
Vorlesung.
So, zweiter Anlauf.
Ich begrüße Sie ganz herzlich zur heutigen Vorlesung Technische
Mechanik I für Wirtschaftsingenieure, die zweite Vorlesung.
Und ich würde Sie bitten, Platz zu nehmen, damit Sie mich auch hören
können.
Ich möchte anfangen mit einer kleinen Wiederholung.
Was haben wir beim letzten Mal gemacht?
Was war das Wichtigste, was wir beim letzten Mal gemacht haben?
Das Wichtigste, was ich Ihnen erzählt habe, war, dass wir hier ein
sogenanntes Kontinuumsmodell betrachten.
Unsere Mechanik, die technische Mechanik, basiert auf dem
Kontinuumsmodell.
Das heißt, wir nehmen an, dass die Materie,
zu den Kenntnissen der Atomphysik, aber wir wissen auch, dass wir uns
auf diese Atomarusskala nicht hinabbegeben wollen, sondern dass unsere
Dinge, die uns interessieren, im Hier und Jetzt derartige Abmessungen
besitzen, dass wir sie sehr gut durch so ein Kontinuumsmodell
beschreiben können, dass wir also die Materie sozusagen über den Raum
verschmieren können.
Also die Grundannahme ist, die Materie ist lückenlos,
kontinuierlich verteilt.
Wir stellen uns das Ganze so vor, dass wir die berühmte Mechaniker
-Kartoffel haben.
So.
Die berühmte Mechaniker-Kartoffel.
Diese Mechaniker-Kartoffel besteht aus der Materie eines Körpers
beispielsweise, kontinuierlich verteilt, und wir können diese
kontinuierlich verteilte Materie, diesen Körper, beschreiben, durch
seine Oberfläche und durch sein Volumen.
Beides können Sie mit einem Punktmassenmodell nicht machen.
Wo ist jetzt meine Zeichnung geblieben?
Egal.
Noch eine Mechaniker-Kartoffel.
So.
Diese Mechaniker-Kartoffel besitzt eine Oberfläche, die bezeichne ich
mit einem geschwungenen A, und ein Volumen, hier im zweidimensionalen
dargestellt, das Volumen V, und das Ganze werden wir dann nachher als
Körper bezeichnen.
Die Grundgrößen in der Kontinuierungsmechanik sind Zeit, gemessen in
Sekunde, Länge, gemessen in Meter, und Masse, gemessen in Kilogramm.
Die Grundannahmen sind, der Zeitablauf ist kontinuierlich.
Das heißt, wir können uns jeden beliebigen Zeitpunkt herauspicken und
beispielsweise eine Bewegung zu jedem beliebigen Zeitpunkt
beschreiben.
Keine zeitdiskreten Ereignisse, sondern ein kontinuierlicher
Zeitablauf.
Wir messen die Zeit in Sekunden, und wir verwenden als Modell entweder
den Raum der reellen Zahlen oder den Raum der positiven reellen
Zahlen, R+.
Der physikalische Raum.
Im physikalischen Raum liegt als Längenmaß das Meter zugrunde.
Das heißt, wir können im physikalischen Raum Längen messen, Strecken
messen, und tun das in der Einheit Meter.
Und das mathematische Modell ist der dreidimensionale Raum der reellen
Zahlen, R3, aber unter einer Voraussetzung, nur dann, wenn wir uns
vorher auf einen Koordinatenursprung geeinigt haben.
Im Prinzip müssen meine physikalischen Grundgesetze so formuliert
sein, dass sie unabhängig sind von dem Ursprung meines
Koordinatensystems.
Jetzt könnte ja einer auf die Idee kommen, mein Ursprung
ist an der Eingangstür, und für jedes Koordinatensystem müssen die
Naturgesetze natürlich die gleichen sein.
Also R3, wenn der Koordinatenursprung festgelegt wurde.
Koordinatenursprungs.
Okay, und dann haben wir noch die Materie.
Das Maß für die Menge der Materie, die wir in einem Raum haben, ist
die Masse.
Die Masse hat die Einheit Kilogramm.
Und wir können die Masse eines Körpers, eines geschlossenen Mediums
errechnen, indem wir über das Volumen integrieren, und zwar was
integrieren wir?
Wir integrieren die Dichte auf O von X, meinetwegen XYZ, wenn Sie mit
drei Koordinaten arbeiten wollen, DV.
Wir haben also jetzt axiomatisch eingeführt, was wir unter Zeit
verstehen, was wir unter den Raum verstehen, und wir haben eine Dichte
eingeführt, axiomatisch, und wenn wir über die Dichte integrieren,
bekommen wir die Masse.
Das sind unsere drei Grundgrößen.
Jetzt haben wir noch ein weiteres Axiom, das ist das Axiom der
Massenerhaltung.
Auch im krassen Widerspruch zu Einstein.
Also wir werden annehmen, dass die Masse ein und derselben
Materiemenge konstant ist.
Also wir werden keine Vorgänge annehmen, bei denen sich Masse in
Energie umwandelt und umgekehrt, sondern wir bleiben im Hier und Jetzt
und betrachten nur solche Phänomene, wo das nicht der Fall ist.
Was ist dann ein Körper?
Ein Körper ist stets ein und dieselbe Materiemenge.
Das heißt, ich bezeichne dieses Ding, diese Mechanikerkartoffel, als
einen Körper, B wie Body, Körper, gekennzeichnet durch eine Oberfläche
A, ein Volumen V und stets ein und dieselbe Materiemenge.
Und daraus folgt der Satz,
die Masse eines Körpers ist konstant.
Das heißt, die Masse M ist ein Maß zur Beschreibung dieses Körpers,
nämlich zur Beschreibung der Masse dieses Körpers.
Und das ist invariant, das ändert sich nicht.
Die Masse eines Körpers ist konstant.
Um Ihnen das nochmal zu veranschaulichen, was dieses Modell aussagt.
Das Modell arbeitet im Prinzip genauso, wie Sie in der Geometrie
arbeiten.
Sie haben ein Volumen V und dieses Volumen besteht aus lauter Punkten.
Und Sie können beispielsweise darüber integrieren, dann bekommen Sie
den Volumeninhalt.
Sie können über eine Fläche, über alle Punkte integrieren, dann
bekommen Sie den Flächeninhalt.
Und Sie können natürlich auch Funktionen über diese Fläche oder über
das Volumen betrachten und dann können Sie diese Funktionen auch
integrieren.
Also in der Geometrie haben wir es mit einem Gebiet, einem Raumgebiet
zu tun.
Und in diesem Gebiet haben wir Punkte, geometrische Punkte.
Und wir können einen Körper betrachten, B.
Dieser Körper besitzt ein Volumen, er besitzt eine Oberfläche und er
besteht aus Punkten.
Diese Punkte sind aber nicht nur geometrische Punkte, sondern sie sind
gleichzeitig Träger der Materie, also ausgestattet durch eine
Kenngröße der Dichte.
Und wenn wir über die Dichte integrieren, bekommen wir die Masse raus
und deshalb nennen wir diese Punkte materielle Punkte.
Aber die Analogie ist natürlich völlig klar.
Wir haben ein geometrisches Gebiet mit einem Volumen und wir haben
einen Körper mit einem Volumen, einer Oberfläche.
Und dieser Körper besteht aus den materiellen Punkten, während in der
Geometrie das Volumen aus geometrischen Punkten besteht.
Das ist jetzt das Grundgerüst der Mechanik.
Was aber noch fehlt, sind die mechanischen Einwirkungen.
Also das, was so einen Körper sozusagen umtreibt.
Einwirkungen auf so einen Körper können ganz verschiedenartig sein,
beispielsweise thermische Einwirkungen.
Sie fangen an, den zu erhitzen, ein bisschen mit Feuer zu spielen.
Klar, macht Spaß.
Chemische Einwirkungen werden hier viel vorgeführt, aber nicht von
mir.
Elektrische Einwirkungen und, und, und.
Wir beschränken uns aber auf die mechanischen Einwirkungen.
Und das ist unser Programm für den heutigen Tag.
Das sind zunächst die Kräfte.
Die möchte ich Ihnen vorstellen, die möchte ich einführen.
Die sollen Sie dann zerlegen können in Teilkräfte und auch wieder
zusammenaddieren können.
Und dann haben wir als zweite Kenngröße die Momente.
Die Momente besitzen einen Bezugspunkt und ich möchte Ihnen das
Konzept der Momente ebenfalls erläutern.
Und insbesondere Sie auf die Wichtigkeit des Bezugspunktes hinweisen.
Denn je nachdem, welchen Bezugspunkt Sie wählen, erhalten Sie ein
anderes Moment.
Jetzt kennen Sie wahrscheinlich Kräfte aus der Schule.
Diejenigen, die auf einem technischen Gymnasium waren, kennen das
natürlich noch viel besser.
Aber auch in der normalen Schulphysik sind Ihnen hoffentlich Kräfte
mal begegnet.
Und wenn Sie sich an das erinnern, was Sie in der Schule sich unter
Kräften vorgestellt haben, dann sind Sie schnell bei diesem
Kraftpfeil.
Also da wurden immer so wilde Pfeile gemalt.
Jetzt ist die Frage, was ist das?
Wie kommt man da auf diese wilden Pfeile?
Ich fand das immer ganz lustig, das erinnert so ein bisschen an
Winnetou, an die Indianer und da kommt so ein Pfeil.
Aber stellen Sie sich vor, dieser Pfeil wäre tatsächlich eine Kraft
und der Körper wäre Ihr eigener Körper.
Dann würde doch eigentlich dieser Pfeil durch Ihren Körper
durchdringen.
Wenn er Sie dann irgendwo trifft, im Herz oder im Kopf, dann wäre es
um Sie geschehen.
Kann das wirklich die Kraft sein?
Wenn wir uns an unser Kontinuierungsmodell erinnern, dann haben wir
doch eigentlich nur Volumen und Oberfläche zur Verfügung.
Und aus unserer Anschauung wissen wir, auf unseren Körper wirkt
irgendetwas ein, was auf alle Punkte entweder der Oberfläche einwirkt
oder auf alle Punkte des Körpers selbst, also des Volumens einwirkt.
Etwas, was wir uns als mechanische Eindrücke vorstellen.
Beispiel.
Auf unserem Körper wirkt unsere Gewichtskraft ein, die
Erdgravitationsfeldstärke wirkt ein und wenn wir uns auf die Waage
stellen, dann messen wir unsere Gewichtskraft und bekommen das
Ergebnis angezeigt.
Wir bekommen die Masse angezeigt und nicht die Gewichtskraft.
Diese Masse muss sich doch zusammensetzen aus der Dichte unseres
Körpers und an jedem einzelnen Punkt unseres Körpers muss doch die
Erdgravitationsfeldstärke angreifen, weil wir uns ja im Sphärefeld der
Erde befinden und bewegen.
Also scheint das eine Größe zu sein, die an jedem Punkt, also im
Volumen dieses Körpers, in jedem materiellen Punkt, der zum Volumen
des Körpers gehört, angreift und als Ganzes eine Kraft ergibt, die wir
dann messen können, wenn wir uns auf die Waage stellen und als
Ergebnis bekommen wir dann die Masse heraus.
Zweites Beispiel.
Sie gehen draußen lang in einem schönen Herbststurm und der Wind bläst
auf die Oberfläche Ihres Körpers.
Klar, das was Sie dort merken, diesen Druck, das greift nicht an jedem
Punkt des Körpers an, beispielsweise wenn der Wind von vorne bläst,
merken Sie an Ihrem Rücken natürlich nichts, sondern er greift nur an
der Oberfläche und auch nur aus der Richtung, wo der Wind kommt, erst
einmal an.
Also eine Größe, die an der Oberfläche des Körpers angreift, aber wenn
Sie diesen Druck über Ihre Oberfläche aufaddieren, bekommen Sie so
eine Art Gesamtwirkung des Winds auf Ihren Körper und wenn er zu stark
wird, dann gehen Sie rückwärts oder Ihr Regenschirm klappt um oder
sonst irgendwas passiert.
Also eine mechanische Einwirkung, die nur auf die Oberfläche des
Körpers wirkt.
Jetzt wollen wir diese ganz einfachen Überlegungen versuchen, in unser
axiomatisches Modell des Körpers zu überführen.
Also, unser Körper hat ja nur sein Volumen und seine Oberfläche.
Bei der Masse haben wir schon kennengelernt, wir können in jedem Punkt
des Volumens ein Dichtefeld aufbauen, das in jedem Punkt des Körpers
definiert ist und wir können darüber integrieren, das Volumenintegral
bilden und dann bekommen wir die Masse dieses Körpers.
Jetzt kann ich doch auch hier gehen und sagen, ich führe ein
Dichtefeld ein, das Dichtefeld der Oberflächenkraftdichte, das sehen
Sie hier, das führe ich wieder axiomatisch ein.
Ich sage, so etwas existiert oder kann existieren, könnte ja auch Null
sein, der Körper Glück gehabt, kein Druck, der ihn ärgert, aber so
eine Oberflächenkraftdichte kann existieren.
Die führe ich axiomatisch ein und die wirkt nur auf der Oberfläche des
Körpers.
So, und dann integriere ich einfach darüber, ich integriere diese
Oberflächenkraftdichte über die gesamte, jetzt habe ich das hier S
genannt, S über die gesamte Oberfläche des Körpers auf, also ich
integriere meine Oberflächenkraftdichte FS von RDS über die gesamte
Oberfläche und schreiben Sie das S hier ein bisschen anders,
vielleicht so geschwungen, das ist die Oberfläche, die Sie integrieren
und dieses DS ist ein kleines Oberflächenelement.
Integrieren Sie alles auf oder stellen Sie sich vor, Sie würden das
alles aufsummieren und nennen dieses Ergebnis die Oberflächenkraft FS.
Und das ist jetzt eine Definition, ich nenne das einfach so
Oberflächenkraft.
Ich sage dazu, das ist meine Oberflächenkraft FS.
Diese Oberflächenkraft ist ein Vektor.
Warum?
Weil meine Flächenkraftdichte ein Vektorfeld ist.
Klar, der Druck des Windes, der kann aus jeder beliebigen Richtung
kommen, wie gerade der Wind geht, der kann mich von der Seite treffen,
der kann mich von vorne treffen, der kann mich irgendwie treffen, ist
also ein Vektor.
Dieser Wind besteht aus Betrag und Richtung, also hat auch unsere
Oberflächenkraft Betrag und Richtung.
Was mit der Oberfläche funktioniert hat, kann ich doch jetzt genauso
auch mit dem Volumen machen.
Also, ich führe axiomatisch ein, eine Volumenkraftdichte FV,
die in jedem materiellen Punkt, der zum Volumen meines Körpers gehört
wird, Beispiel, schwere Feld der Erde, dies ist auch wieder ein
Vektorfeld, das geht beispielsweise hier ziemlich senkrecht nach
unten, aber das müsste ja nicht unbedingt der Fall sein.
Wenn Sie in den Raum fliegen wollen, dann ändert sich auch dieses
schwere Feld natürlich.
So, und dann kann ich wieder dieses schwere Feld oder diese
Volumenkraftdichte aufintegrieren, aufsummieren und erhalte eine
integrale Größe.
Also, ich integriere über das Gesamtvolumen meines Körpers FV dV und
nenne das Ganze Volumenkraft.
So, und diese Größe ist natürlich auch wieder ein Vektor.
Und jetzt habe ich zwei Vektoren, aber das könnten ja Äpfel und Birnen
sein.
Die Frage ist, darf ich die Oberflächenkraft und die Volumenkraft
einfach so zusammenaddieren?
Das klingt vielleicht trivial, vielleicht sagen Sie sich, warum denn
nicht?
Sind doch zwei Vektoren, hauen wir die einfach zusammen.
Das ist auch wieder ein Axiom.
Also, wir können FV und FS zusammenaddieren und erhalten die
Gesamtkraft, die auf diesem Körper wirkt.
Und dass wir das hier dürfen, ist ein weiteres Axiom.
Und dass wir das dann als Gesamtkraft bezeichnen, ist einfach nur eine
Definition.
Ich nenne das halt irgendwie, Kraft finde ich ganz passend.
Wenn das eine Oberflächenkraft heißt und das eine Volumenkraft und ich
tue die beiden zusammen, dann sage ich, das ist die Kraft.
Das ist also die gesamte Einwirkung auf diesen Körper.
Und jetzt stellen Sie fest, aha, das ist ein Vektor.
Den beschreibe ich durch Betrag und Richtung.
Und den kann ich mir vorstellen durch einen Vektorpfeil.
Und dieser Vektorpfeil, der hat eine Länge, das ist sein Betrag.
Und der hat auch eine Richtung.
Und ich zeichne diesen Vektorpfeil hin.
Und das sind diese Vektorpfeile, die Sie in der Schulphysik gesehen
haben, wenn Sie den Begriff Kraft sich veranschaulicht haben.
Das heißt, dieser Vektorpfeil ist aus einem komplizierten Prozess
hervorgegangen, den man in der Schulphysik natürlich ausblenden
musste.
Man kann sie da ja nicht mit Volumenintegralen und
Oberflächenintegralen erschlagen.
Hier an der Uni dürfen wir das.
Also, diese Kraft F ist über einen Integrationsprozess aus einer
Oberflächenkraftdichte und oder einer Volumenkraftdichte mal
hervorgegangen.
Und das wollen wir jetzt üben an einfachen Beispielen.
Und Sie werden schon sehen, die Beispiele stammen aus einem Buch, dem
Hibbera.
Auf der ersten Folie, bin ich jetzt schon drüber gegangen, habe ich
Ihnen die entsprechenden Seiten in dem Buch von Hibbera angegeben und
auch in dem Buch von Großhauger.
Schnell, Sie können den ganzen Vorlesungsstoff nachlesen, wenn Sie das
möchten, in diesen Büchern.
Und da werden Sie eins feststellen, wenn Sie sich die Beispiele
anschauen.
Sie werden sich sagen, na nun, unser Körper, der war doch eigentlich
so ein schönes dreidimensionales Gebilde.
Und diese Oberflächenkräfte oder Oberflächenkraftdichte, die wirken
doch auf der gesamten Oberfläche.
Jetzt fällt hier alles zusammen.
Jetzt ist das alles eindimensional.
Wo ist der Rest geblieben?
Wo sind die anderen Dimensionen geblieben?
Überlegen wir uns das mal an dem Beispiel des Bücherregals.
Sowas haben Sie hoffentlich alle zu Hause noch.
Nicht nur den Computer und CDs, sondern auch noch ein paar Bücher
nebenher.
Das ist jetzt der Bücherregal.
Und Sie wissen, aha, jedes Buch hat ein Gewicht.
Wiegt also etwas.
Also wir wissen, wir haben hier, wenn wir so ein Buch haben, nehmen
wir mal an, das ist eine lose Platzsammlung von Papier, dann haben wir
da eine Dichte roh von dem Papier.
Roh ist die Dichte von Papier.
Die Dichte, wissen Sie, ist Masse pro Volumen, hat also die Einheit,
die schreiben wir uns gleich hier hinten noch auf, die Einheiten,
Kilogramm durch Volumen Kubikmeter.
So.
Jetzt haben wir allein die Dichte.
Wir wissen, wenn wir jetzt über das Volumen dieser Bücher in unseren
Bücherregal integrieren, vorausgesetzt, die haben alle die gleiche
Dichte, davon gehen wir jetzt mal aus, also Pappdeckel werden hier
nicht berücksichtigt, dann erhalten Sie die Masse aller Ihrer Bücher
in dem Bücherregal.
Klar, das war das, was ich Ihnen noch in der letzten Vorlesung gesagt
habe.
Jetzt multiplizieren wir diese Dichte mit der
Erdgravitationsfeldstärke, G, also mit 9,81 Meter pro Sekundequadrat.
Dann erhalten wir insgesamt eine Größe, die die Einheit hat, Kilogramm
mal Meter durch Sekundequadrat.
Der ein oder andere erinnert sich noch an seine Schulphysik, das ist
das berühmte Newton.
Wir erhalten also Newton durch Meter hoch drei als Einheit.
Jetzt ist klar, wenn ich diese Größe pro Papier mal G, Vektor der
Erdgravitationsfeldstärke, mein Volumenkraftdichtefeld Fv nenne, also
das nennen wir Fv, und aufintegriere über das Volumen meiner Bücher im
Bücherregal, also über dieses Integral dV, V, Volumen meiner Bücher,
dann erhalte ich die Volumenkraft, und das wäre jetzt hier diese
Volumenkraft, die ich jetzt noch irgendwie auf dieses Bücherregal
verteilen müsste, aber das wäre jedenfalls die Volumenkraft, die meine
Bücher auf dieses Bücherregal ja ausüben, was anderes ist nicht da.
Jetzt sehen Sie aber, dass hier einfach nur eine Linie gezeichnet ist,
die hier leider ein bisschen nur herwackelt, aber es ist nur so eine
Linie gezeichnet.
Jetzt ist die Frage, wie kommen wir zu dieser Linie hin?
Da müssen wir unsere Volumenkraft noch etwas modifizieren.
Nehmen wir mal das Rho p mal g. Unsere Volumenkraftdichte Rho p mal g.
Und wir sagen jetzt folgendes.
Eine Dimension fehlt hier, das ist die Tiefe.
Haben wir uns noch gar nicht darüber unterhalten.
Wir nehmen mal an, diese Bücher seien alle gleich.
Wenn Sie es aufschlagen, ist es die Breite.
Also die Dimension der Tiefe hier in die Ebene rein, die sei überall
gleich und die nennen wir klein t.
Ich multipliziere diese Volumenkraftdichte mit dem klein t.
Dann muss ich hier eine weitere Dimension hinzufügen, nämlich die
Länge Meter.
Dann habe ich doch insgesamt Newton mal Meter hoch 3 mal Meter.
Also wenn ich hier weiterschreibe, erhalte ich insgesamt Newton pro
Meter Quadrat.
Aha, jetzt könnte man sagen, das ist die Oberflächenkraftdichte.
Vielleicht ist das die Oberflächenkraftdichte der Bücher auf das
Bücherregal.
Richtig oder falsch?
Nein, richtig.
Also mein Nein ist richtig, meine Behauptung ist falsch.
Welche Dimension müsste ich nehmen, um die Oberflächenkraftdichte
herauszubekommen, die diese Bücher auf die Oberfläche meines
Bücherregals ausüben?
Was muss ich da betrachten?
Schauen Sie sich diese Oberfläche mal an.
Also Sie fliegen jetzt von oben auf Ihr Bücherregal drauf, schauen von
oben runter und stellen fest, die Fläche, über die Sie integrieren,
die hat diese Abmessung hier, B plus C, nennt die der Hebeler.
Und die hat natürlich auch hier diese Tiefe, die Sie jetzt hier bei
mir nicht sehen.
So, da sind Ihre Bücher.
Aber welche Dimension ist uns verloren gegangen?
Weswegen hat hier jemand einbehauptet?
Uns ist die Höhe verloren gegangen, genau.
Das heißt, wir müssen hier nicht die Tiefe nehmen, sondern wir müssen
die Höhe nehmen.
Rho P mal G mal H gibt uns jetzt die Oberflächenkraftdichte Fs,
die diese Bücher auf die Oberfläche meines Bücherregals ausüben.
Jetzt haben diese Bücher eine unterschiedliche Höhe.
Und da ist die Modellannahme hier im Hebeler.
Können Sie das überhaupt sehen?
Ich kann es hier vorne ganz schlecht sehen.
Sie können gut sehen?
Ja?
Okay, Sie sehen besser als ich.
Also, der Hebeler hat gesagt, okay, wir haben im Grunde genommen zwei
Arten von Büchern.
Das eine ist unsere Gesamtausgabe Goethes gesammelte Werke, die haben
alle die gleiche Höhe.
Und daneben stehen unsere Atlanten.
Die sind natürlich viel höher als Goethes gesammelte Werke.
Also, im Wesentlichen haben wir hier eine Höhe, das geht bis hier hin.
Und dann haben wir eine zweite Höhe.
Okay?
Zwei Höhen.
So.
Und jetzt könnte ich diese Oberflächenkraftdichte, FS, hinschreiben.
Einmal als FS1.
Roh-P-G-H1.
Und einmal als FS2.
Rohpapier-G-Erdgravitationsfeldstärke mal H2.
Für jeden, jede Teilfläche.
Eine Teilfläche wäre also die Teilfläche, wo die niedrigen Bücher
draufstehen.
Die andere Teilfläche wäre die, wo die höheren Bücher draufstehen.
Und jetzt geht's aber noch einen Schritt weiter.
Jetzt multipliziere ich hier jeweils nochmal die Tiefe heran.
So, machen wir das.
Also, wir nehmen Roh-P-G-T und multiplizieren hier nochmal die Höhe
ran.
Dann haben wir also insgesamt das Produkt aus Tiefe mal Höhe mal
Dichte des Papiers mal Erdgravitationsfeldstärke.
Die Einheit dieses ganzen Zeugs ist jetzt...
Hier muss ich einen Meterquadrat heranschreiben.
Und es bleibt mir nur noch übrig, hier habe ich einen Quadrat
vergessen.
Hier habe ich einen Meter gekürzt, das steht also Newton pro Meter
Quadrat.
Jetzt schreibe ich noch einmal einen Meter heran und erhalte als
Einheit Newton pro Meter.
Um daraus eine Kraft zu machen, muss ich jetzt nur noch in eine
Richtung integrieren.
In welche Richtung muss ich jetzt integrieren, um die Gesamtkraft
herauszubekommen, die auf die Oberfläche meines Bücherregals wirbt.
Das ist die Querrichtung.
Die hier.
Die nennen wir jetzt einfach x.
Diese Koordinate.
x.
Ich führe also ein.
Ich führe ein q1 von x gleich Dichte von Papier mal
Erdgravitationsfeldstärke mal Tiefe des Bücherregals mal Höhe der
ersten Bücher.
Und das ist ein Vektor, also ein Vektorpeilchen drauf.
Ich führe ein q2 von x pro p g t h2.
So.
Jetzt können wir uns folgendes fragen.
Da ist ein Vektorpeil drauf.
Vektoren müssen wir nach Betrag und Richtung bestimmen.
Betrag ist klar.
Pro p g t mal h, jeweils mit Index 1 und 2.
Die Richtung dieses Vektors, wohin zeigt der?
Der zeigt senkrecht nach unten.
Im Wesentlichen interessiert uns also nur der Betrag.
Das zweite, was wir uns fragen können, hier steht als Argument immer
ein x drin.
Also ich wollte damit ausdrücken, dass die Größe, die auf der rechten
Seite steht, von x, also von der Position, an der Sie gerade im
Bücherregal sind, in Querrichtung abhängt.
Von der Querkoordinate.
Wenn ich mir diese rechte Seite aber anschaue, stelle ich fest, na
nun, da steht ja gar kein x.
Da hat er mir jetzt ein q1 und ein q2 hingeschrieben.
Wie ist das gemeint?
Das q von x ist eine Funktion, die stückweise konstant ist.
So wie das hier aufgemalt wurde.
Der erste Abschnitt ist konstant zwischen 0, kleiner gleich x, kleiner
gleich b.
Da haben wir q1 von x, also eine konstante q1.
Das x kann ich jetzt weglassen, das ist in diesem Abschnitt konstant.
Und in dem Bereich zwischen b und c, Moment, b, kleiner gleich x,
kleiner gleich b plus c, haben wir q2.
Und außerhalb dieses Bereichs, außerhalb dieses Intervalls, ist die
Oberflächenkraftdichte 0.
Sie können sie beliebig weit fortsetzen, aber das stört keinen großen
Geist, die ist dann halt 0.
So, das ist jetzt keine Oberflächenkraftdichte, sondern das hat die
Dimensionen in Newton pro Meter.
Das wird als Streckenlast bezeichnet.
Also dieses q bezeichnet man gemeinhin als Streckenlast.
Und nur diese Streckenlasten finden Sie in der Regel in den
Lehrbüchern abgebildet.
Es gibt also einen Übergang von der Volumenkraftdichte bzw.
der Oberflächenkraftdichte zu einer Streckenlast, in dem eine
Dimension stillschweigend immer als konstant angenommen wird,
mindestens eine Dimension, und die schon außen vor gelassen wird.
In diesem Fall ist das die Tiefe der Bücher, die wird gar nicht mehr
betrachtet.
Warum macht man das?
Weil man sie nicht ärgern möchte.
Das heißt, man möchte ihnen aufwändige Integrationen über ein Volumen
oder über eine Oberfläche ersparen und versucht möglichst nur
eindimensional zu integrieren.
Also die ganzen Lehrbücher gehen meistens davon aus, naja, das sind
Studenten, die kommen gerade aus der Schule und da können die gerade
mal eindimensional integrieren.
Ich weiß, Sie können natürlich viel mehr, aber nur, dass Sie merken,
was in den Büchern so vor sich geht.
So, jetzt können wir loslegen und können sagen, wir wollen unsere
Kraft F bestimmen, indem wir unsere Streckenlast einfach nur einmal
aufintegrieren.
Das heißt, wir integrieren von 0 bis b plus c über die gesamte
Querrichtung dx und wir integrieren eine Streckenlast q von x auf.
Und um dieses Integral auszurechnen, zerlege ich es in zwei
Teilintegrale, in das Teilintegral 0 bis b, o, p, g, ach herrje, ich
schreibe mal hier oben weiter.
Also, unsere Kraft F.
Wir zerlegen das Integral in zwei Teilintegrale 0 bis b, q1 von x dx
und das Integral b bis b plus c, q2 von x dx.
In jedem dieser Teilintegrale integrieren wir eine konstante Größe.
Wir dürfen sie vor das Integral ziehen, die ganze Integration ist
absolut lächerlich, stimmt's?
Sie müssen nur q1 mit b multiplizieren und sie müssen b plus c minus
b, damit also hier das b wegfällt, mit q2 multiplizieren.
Und dann erhalten sie als Ergebnis q1 und dafür setzen wir ein, Dichte
von Papier, Erdgravitationsfeldstärke Tiefe mal h1b plus h2c.
Und das wäre jetzt die Gesamtkraft auf der Oberfläche ihres
Bücherregals.
Also die mechanische Einwirkung ihrer Bücher auf ihr Bücherregal.
Jetzt habe ich Ihnen das ganz ausführlich mal auseinander gedröselt.
Jetzt sind Sie an der Reihe, versuchen Sie das gleiche mal zu machen
mit diesem Gebilde hier.
Was könnte das sein?
Das könnte beispielsweise so eine Wand sein und hier befindet sich
Wasser.
Sie wissen vielleicht, dass der Druck des Wassers linear zunimmt und
immer senkrecht zur Oberfläche steht.
Dann sehen Sie hier den Wasserdruck, der nimmt offenbar linear zu,
fängt an mit q1 und endet bei q2.
Er steht senkrecht auf der Oberfläche und die Dimension der Tiefe, die
wurde hier natürlich wieder im Rahmen dieser Vereinfachung, hätten Sie
hier noch die Tiefe, wurde gleich mal weggelassen.
Können Sie diese Streckenlast aufintegrieren und die Gesamtkraft auf
diese Wand ausrechnen?
Erste Frage.
Macht diese Abteilung.
Die andere Abteilung beschäftigt sich mit diesem Holzstapel.
Großer Holzstapel, das ist natürlich ein großes Volumen, also
dreidimensional.
Auch hier wurde in der Zeichnung wieder diese Dimension, naja, die
Tiefe ist hier noch angedeutet durch die perspektivische Zeichnung.
Also Sie haben hier auch wieder drei Dimensionen, eins, zwei, drei.
Das erste, was Sie immer brauchen, ist das Koordinatensystem.
Gegeben ist Ihnen eine konstante Streckenlast, Q0.
Woher kommt diese konstante Streckenlast, ist die Frage, die Sie
beantworten sollen.
Und wie erhalte ich daraus die Kraft Fr, die auf meine Stütze
einwirkt.
Jede Abteilung kann jetzt für sich arbeiten und danach tauschen wir
uns aus.
Und Sie können sich mit Ihren Kommilitonen nochmal unterhalten, was
ist das überhaupt, eine Oberflächenkraft, eine Volumenkraft, wie komme
ich auf diese Streckenlasten und wie erhalte ich daraus diese Kräfte.
Merken Sie, man versteht Dinge nur, wenn man sie sich gegenseitig
erklärt.
Also versuchen Sie sich gegenseitig das zu erklären, was ich Ihnen
jetzt hier erklärt habe.
Wenn Sie Fragen haben, melden Sie sich, ich komme zu Ihnen hin und
erkläre es Ihnen nochmal ausführlich.
Kurze Unterbrechung, jetzt sind Sie an der Reihe.
Nichts weiter Spannendes.
Die Kraft F stellen wir dar durch drei Komponenten, Fx, Fy und Fz.
Wir schreiben die auch gerne mit Basisvektoren.
Sie sehen blau eingezeichnet hier das Basiskoordinatensystem,
Basisvektor Ex, Ey und Ez für unsere kathesische Basis.
Und wir schreiben das dann gerne auch mit Basisvektoren Ex, Ey und Ez.
Also eigentlich überhaupt nichts Neues, wenn Sie einen Vektor zerlegen
können, dann können Sie auch eine Kraft zerlegen.
Und der Betrag von F ist dann einfach nach Pythagoras Fx² plus Fy²
plus Fz² Wurzel.
So, jetzt haben wir eine Kraft und wir haben noch eine andere Kraft.
Beispielsweise zwei verschiedene Einwirkungen auf den gleichen Körper.
Und wir wollen diese beiden Einwirkungen zusammen addieren.
Also wir haben Kräfte F1 und F2 und wir wollen ausrechnen die
sogenannte resultierende Kraft R als Summe von F1 plus F2.
Wie machen wir das?
Wir begeben uns einfach ins gleiche Koordinatensystem und addieren
komponentenweise zusammen.
Auch nichts Neues.
Also wir schreiben F1 im gleichen Koordinatensystem wie F2.
F1y, F1z, Ez und wir schreiben die Kraft F2 in Komponentenschreibweise
F2x.
Basisvektor x plus F2y, Basisvektor y plus F2z, Basisvektor z.
Und jetzt addieren wir die beiden Vektoren zusammen.
F1 plus F2 und dann haben sie F1x plus F2x, Ex, plus F1y plus F2y,
Basisvektor y plus F1z plus F2z, Basisvektor ez.
Und wenn sie wieder auf Koordinatenschreibweise gehen wollen, dann ist
das nichts anderes als F1x plus F2x, F1y plus F2y, F1z plus F2z.
Also überhaupt nichts Ungewöhnliches, wenn sie Vektoren zusammen
addieren können.
Jetzt machen wir dazu auch wieder gleich eine Übung.
Wir übertragen das Ganze ins Praktische.
Addition von Kräften, da ist das Bildchen.
Also, erste Gruppe, linke Seite.
Bauer Ernst und Bauer Hugo wollen einen Baumstamm aus dem Wald ziehen.
Frage, gelingt Ihnen das?
Der eine zieht mit der Kraft Fa in Richtung Alpha.
Der andere zieht mit der Kraft Fb unter dem Winkel Theta.
Die Frage ist, entsteht eine Kraft Fy, die an dem Baumstamm angreift,
also eine resultierende Kraft in Querrichtung, die diesen Baumstamm
von seinem Weg abtreibt.
Das sollen sie jetzt ausrechnen.
Und die Frage ist, wann entsteht diese Kraft Fy an diesem Baumstamm?
Was muss dazu gelten?
Das ist die Frage, die jetzt sich diese Gruppe hier stellen soll.
Sie sollen sich die beiden Boote hier anschauen.
Das sind zwei Menschen und ziehen an diesem Boot.
Der eine zieht mit der Kraft T unter dem Winkel Alpha.
Der andere zieht mit der Kraft P unter dem Winkel Theta.
Die beiden Kräfte T und F sind gegeben.
Der Winkel Alpha ist ebenfalls gegeben.
Und die Frage ist, wie muss dieser rot gekleidete Mann oder diese rot
gekleidete Frau ziehen?
Mit welcher Kraft und in welche Richtung?
Mit der Kraft P und Theta, damit sich dieses Boot genau in Richtung F,
also genau senkrecht bewegt.
Also das sind die gegebenen Größen.
Gesucht sind P, Theta.
Sodass sich gerade dieser Zustand einstellt, dass dieses Boot genau
senkrecht zum Flussufer gezogen wird.
Okay?
Ja.
Ich kann noch mal kurz eine Folie zurück.
Ja?
Achso, ging zu schnell, ja?
Okay.
Alles klar?
Danke für die Aufgabenstellung.
Also, Sie machen den Bauern und Sie machen das Schiffchen.
Okay.
Machen wir weiter.
Was war Ihre Aufgabe?
Schauen Sie es sich an.
Sie mussten die resultierende Kraft berechnen aus den beiden Kräften F
A und F B, mit denen also diese beiden Traktoren an den Baumstamm
ziehen.
Aber Sie brauchten nur eine einzige Komponente dieser resultierenden
Kraft, nämlich die Komponente in Y-Richtung, also in Querrichtung.
Diese Kraft F Y berechnen Sie, indem Sie die entsprechenden
Querkomponenten der Einzelkräfte F A und F B zusammenaddieren.
Sie müssen sich also ausrechnen, wie groß ist der Anteil der Kraft F A
in Querrichtung.
Den finden Sie hier.
Und Sie sehen, das ist nichts weiter als Betrag von F A multipliziert
mit dem Sinus Alpha.
Und für F B ist das nichts anderes als Minus, denn die Kraft zeigt ja
jetzt entgegengesetzt zu meiner positiven Koordinate Y, F B mal Sinus
Theta.
Damit also keine Querkraft F Y an den Balken entsteht und dieser
Balken also in Querrichtung geschleudert wird, muss gelten F A mal
Sinus Alpha gleich F B mal Sinus Theta.
Das heißt, diese beiden Bauern, die müssen nicht unter dem gleichen
Winkel und mit der gleichen Kraft ziehen, aber sie müssen das
Verhältnis aus Kraft und Winkel so einstellen, dass diese Bedingung
erfüllt ist, sonst bricht Ihnen der Baumstamm in Querrichtung aus.
Wie war das jetzt bei dem Schiff?
Bei dem Schiff mussten Sie auch die Gleichung für die resultierende
Kraft aufstellen, allerdings ist Ihnen hier die resultierende Kraft
bekannt.
Sie ist nämlich F Null, wenn das hier Ihre X-Richtung ist und quer
dazu Ihre Y-Richtung.
Und diese Kraft F Null, die an dem Schiff angreift, die erhalten Sie,
wenn Sie P und T zusammen addieren.
Also als Ergebnis der Anstrengungen dieser beiden Menschen dort.
Das ist einmal in X-Richtung P mal Cosinus Theta plus T mal Cosinus
Alpha und zum anderen in Querrichtung, genau wie beim Baumstamm, P mal
Sinus Theta minus T mal Sinus Alpha.
Nur, jetzt waren folgende Größen auszurechnen, P und Theta.
Sieht erstmal ziemlich schwierig aus, ist nämlich sogar eine nicht
-lineare Gleichung, aber Sie können einfach den trigonometrischen
Pythagoras anwenden.
Sie wissen, Sinus Quadrat Theta plus Cosinus Quadrat Theta gleich 1.
Also, Sie stellen nach P Cosinus Theta und P Sinus Theta frei,
quadrieren das Ganze, addieren das Ganze zusammen.
Trigonometrischer Pythagoras, Sie bekommen eine P heraus.
Umgekehrt können Sie, wenn Sie dann P haben, sich den Tangens des
Winkels ausrechnen und der Arcus Tangens, der ist dann der gesuchte
Winkel selbst.
Also, der Rest sind elementare mathematische Umformungen, zwei
Gleichungen mit zwei Unbekannten und es gelingt Ihnen, nach diesen
zwei Unbekannten eindeutig aufzulösen.
Das ist das Prinzip hier.
Ein ebenes Problem in beiden Fällen und Sie haben zwei Gleichungen und
können zwei Bestimmungsstücke, zwei Unbekannte ausrechnen.
Solche resultierenden Kräfte treten in der Praxis recht häufig auf.
Hier sind also ein paar Beispiele angegeben, beispielsweise so ein
Kranhaken, der fasst praktisch die beiden Lasten zusammen, die am
linken und am rechten Ende an diesen beiden Ketten angreifen zur
resultierenden Kraft.
Ein anderes Beispiel ist so ein Seilspanner, also Seilkräfte, vier
verschiedene Kräfte und dieser Seilspanner, der darf Ihnen nicht
abreißen und darf auch nicht aus der Erde herausgeschleudert werden.
Also müssen Sie die resultierende Kraft an diesem Seilspanner kennen.
Und hier gibt es noch mal ein Beispiel, also eine schöne
Ladenhauspassage mit einem etwas in die Jahre gekommenen Dach.
Drei Kräfte, die angreifen an diesem Mauerwerk und die Gesamtkraft,
die jetzt an diesem Mauerwerk angreift, ist die resultierende Kraft
dieser drei einzelnen Kräfte.
Jetzt kennen Sie also schon eine ganze Menge.
Sie wissen, woher diese Kräfte kommen.
Aus einer Volumenkraftdichte und einer Oberflächenkraftdichte, Sie
wissen, da ist ein ganzer Weg zu gehen, über eine Streckenlast, über
eine Integration.
Am Ende stehen dann einzelne Kräfte, die hier angegeben sind und die
können Sie wie Vektoren behandeln und zu einer resultierenden
zusammenfassen.
Das ist jetzt aber noch nicht alles.
Jetzt schauen wir uns den zweiten Fall an.
Jetzt kommen die Momente ins Spiel.
Warum kommen hier Momente ins Spiel?
Wunderschöne alte Zeichnungen aus dem Schwarzer Bergbuch.
Schauen Sie sich die beiden Leute links an.
Die versuchen da gerade Wasser zu schöpfen.
Ewiges Problem in Bergwerken.
Wasser, Wasser, Wasser und Sie müssen dieses Wasser herausbringen.
Mühe voller Handarbeit.
Rechts war man schon etwas leider und hat die Leute im Kreis laufen
lassen.
Wir können uns auch das rechte Bild anschauen, wie Sie möchten.
Wir stellen jedenfalls fest, die beiden Menschen bemühen sich nach
Kräften, hier an diesem Rad zu drehen.
Und der andere dreht dort noch an der Kurbel, den lassen wir mal weg.
Oder hier, die beiden bringen eine Kraft über ihre Hände auf diese
Spindel auf.
Jetzt gehen wir mal davon aus, die beiden Menschen sind gleich stark.
Dann sind diese beiden Kräfte gleich groß, wenn ich die mit F1 und F2
bezeichne.
Dann stelle ich fest, die Beträge sind gleich groß.
F1 ist F2.
Sind also beide gleich stark.
Die beiden Kräfte sind aber genau entgegengesetzt gerichtet.
Sie sehen das an den Richtungspfeilen.
Der eine drückt in die eine Richtung, der andere drückt in die andere
Richtung.
Also gilt doch F1 gleich minus F2.
Wenn ich die jetzt zusammen addiere und die resultierende Kraft bilde,
also ich addiere F1 und F2 zusammen,
dann habe ich F1 minus F1, denn F2 ist ja gleich minus F1 und das gibt
Null.
Ja, wenn da keine Kraft ausgeübt wird auf diese Spindel, warum dreht
die sich dann?
Da würde man sich doch jetzt am Kopf kratzen und sagen, irgendwas ist
hier faul.
Wie kann das sein?
Die beiden Kräfte heben sich genau auf und trotzdem dreht sich die
Spindel.
Trotzdem passiert irgendwas.
Da muss doch eine dynamische Wirkung noch vorhanden sein.
Wo kommt die her?
Ja, aus dem Moment.
Warum?
Die beiden Kräfte greifen versetzt an.
Das wäre der Fall, wenn die beiden Leute tatsächlich hier gegen diese
Spindel selbst drücken würden.
Dann drücken die einfach so, wie man gegen einen Baumstamm drückt und
nichts passiert.
Der eine drückt von der einen Seite, der andere von der anderen Seite
und das hebt sich gegenseitig auf.
Oder wie beim Tauziehen.
Der eine zieht am einen Ende, der andere am anderen Ende und was
passiert?
Das Seil reißt.
Also nichts passiert.
So, hier greifen die aber beide versetzt an und es bleibt dann eine
Wirkung.
Und diese Wirkung steht natürlich hier auf der Folie drauf.
Es entsteht ein Moment eines Kräftepaares.
Phänomenologisch, anschaulich haben wir jetzt verstanden, was ein
Moment ist.
Es ist etwas, was in einer drehenden Wirkung resultiert.
Also es ist mehr als die Kraft, es ist Kraft mal Hebelarm, was wir
hier betrachten müssen.
Hier sehen Sie es nochmal dargestellt, anhand so eines einfachen
Rades.
Wir haben zwei entgegengesetzt wirfende, parallele Kräfte, F1 und F2.
Und je nachdem, wo ich an diesem Rad angreife, mache ich es mir
leichter oder ich mache es mir schwerer.
Mein Hebelarm ist kleiner oder größer.
Die Definition eines Momentes ist also für ein Kräftepaar das Produkt
aus der Kraft F mal den 40.
Abstand A, der parallele Wirkung.
Jetzt sind da Folgendes.
Wir sehen zum einen, wir müssen so einen Moment immer auf einen Punkt
beziehen.
Wir müssen uns immer überlegen, von wo aus wollen wir denn messen.
Bei diesem Kräftepaar F1 und F2 könnte ich mich beispielsweise hier in
der Mitte hinstellen und sagen, ich berechne die drehende Wirkung von
diesen beiden Kräften F1 und F2 bezogen auf diesen Punkt und dann
erhalte ich hier Hebelarme.
Und dann brauchen wir auch noch ein mathematisches Werkzeug, um diese
Definition umzusetzen.
Bisher haben wir gesagt, wir brauchen den kürzesten Abstand und die
Wirkungslinie dieser Kraft F.
Was ist überhaupt die Wirkungslinie?
Das ist die Verlängerung der Richtung des Kraftvektors hier und dort.
Also ein Produkt aus kürzestem Abstand mal Kraft und dann führen wir
auch noch eine Vorzeichenkonvention ein.
Also was wollen wir als positiv ansehen, wenn das Ding links herum
dreht, also so praktisch im Uhrzeigersinn oder wenn das gegen den
Uhrzeigersinn dreht.
Die Mathematiker sagen immer, gegen Uhrzeigersinn ist positiv, also
schließen wir uns den Mathematikern ein.
Und die Mathematiker haben ein wunderschönes Werkzeug in der Linie
haben eingebracht, entwickelt, um solche Probleme zu beschreiben.
Also Abstand mal Kraft, nämlich das Vektorprodukt.
Wir können also für eine einzige Kraft M ausrechnen als Hebelarm R
Kreuz F.
Mit dem Vektorprodukt, mit dem Kreuzprodukt in der Mathematik.
Das ist also anschaulich gesprochen das Moment.
Jetzt ist wieder die Frage, wie entstehen solche Momente?
Da müssen wir wieder zurückgehen und sagen, wir betreiben
Kontinuumsmechanik.
In der Kontinuumsmechanik kennen wir zunächst nur
Oberflächenkraftdichten und Volumenflächenkraftdichten.
Und auf diesem Niveau der Oberflächenkraftdichten und der
Volumenkraftdichten müssen wir unser Moment einführen.
Machen wir das.
Also, wir haben hier wieder axiomatisch eingeführt die
Oberflächenkraftdichte.
Wir suchen uns einen Bezugspunkt.
Zu diesem Bezugspunkt möchten wir das Moment berechnen.
Das ist der Punkt Q.
Wir möchten das Moment einer Oberflächenkraftdichte MS zu dem
Bezugspunkt Q ausrechnen.
Wie machen wir das?
Wir fahren einmal unsere ganze Oberfläche lang.
Wir summieren auf, also Integral SDS.
Die Oberflächenkraftdichte FS in jedem Punkt der Oberfläche
multipliziert mit dem Abstand.
Und der Abstand ist vom Nullpunkt dieser Vektor R.
Den Abstand, den wir aber suchen, ist der Abstand vom Punkt Q, denn
wir wollen das Moment bezüglich des Punktes Q ausrechnen.
Und das ist dieser Vektor.
Und den Vektor erhalte ich, indem ich die Differenz bilde, aus dem
Vektor R, blau eingezeichnet.
Oh, und jetzt gehen mir die Farben aus, ich habe nicht mehr als drei.
Und dem Vektor RQ.
Also R minus RQ.
Und dazwischen kommt das Kreuzprodukt.
Jetzt kann ich genau das gleiche auch machen mit dem Volumen und der
Volumenkraftdichte.
Also das Moment einer Volumenkraftdichte wird definiert als Integral
über das Volumen dV.
Und was integrieren wir auf?
Wir integrieren auf die Volumenkraftdichte in jedem einzelnen Punkt
des Volumens und bilden das Kreuzprodukt mit dem Abstandsvektor R
minus RQ zum Punkt Q.
So ist streng mathematisch, streng axiomatisch das Moment definiert.
Die erste Frage, die wir uns jetzt stellen können mit diesen
Definitionen ist, was passiert eigentlich, wenn ich jetzt diesen Punkt
Q ändere?
Also, der Punkt Q ist ja willkürlich genommen.
Ich habe gesagt, ich nehme irgendeinen Punkt Q und zu diesem Punkt Q
schaue ich mir den Abstandsvektor an.
Jetzt kommt jemand auf die Idee und sagt, okay, der Punkt Q
interessiert mich nicht, ich hätte gerne hier hinten diesen Punkt P.
Ich hätte gerne gewusst, wie groß ist das Moment einer
Oberflächenkraft oder einer Volumenkraft im Punkt P. Kann ich das
irgendwie ausrechnen, wenn ich das Moment im Punkt P kenne?
Oder muss ich mich da wieder durch die ganzen Volumenkraftdichten,
Oberflächenkraftdichten und so weiter quälen?
Das wäre ja was, was wir nicht wollen.
Denken Sie an die ganzen Schulbücher und an die ganzen Bücher, die
hier für die technische Mechanik verwendet werden.
So wie man dort versucht, Volumenintegrale und Oberflächenintegrale zu
unterdrücken und nur mit Streckenlasten zu arbeiten, so kann es doch
nicht sein, dass man hier tatsächlich immer wieder mit Kreuzprodukt
und Oberflächenkraftdichte und Volumenkraftdichte arbeiten muss.
Nein, es ist auch nicht so.
Sie können das Moment im Punkt P aus dem bekannten, dann einmal
ausgerechneten Moment im Punkt Q ausrechnen.
Und ich werde Ihnen ganz schnell hinschreiben, braucht nicht mehr als
eine Folie, wie Sie das machen.
Ganz einfache Umformungen.
Das ist die sogenannte Momentenversetzungsgleichung.
Also die Momentenversetzungsgleichung erlaubt uns, das Moment im Punkt
P auszurechnen aus dem Moment im Punkt Q.
Wir schreiben uns zunächst einmal die Definitionen noch einmal auf.
Das Moment im Punkt P besteht aus einem Moment der
Oberflächenkraftdichte und einem Moment der Volumenkraftdichte.
Also Integral r-rp Kreuzprodukt Oberflächenkraftdichte aufintegriert
über die Oberfläche plus Integral über unser Gesamtvolumen des Körpers
r -rp Kreuzprodukt Volumenkraftdichte dv Und genau das gleiche für MQ.
R minus RQ, Kreuzprodukt mit der Oberflächenkraftdichte.
Die Oberflächenkraftdichte und die Volumenkraftdichte sind natürlich
die gleichen, weil es sich ja um den gleichen Körper handelt.
So, das haben wir dazustehen.
Jetzt sagen wir einfach, wir ziehen die mal beide voneinander ab,
diese beiden Gleichungen.
Dann haben wir die Differenz MP minus MQ.
Und was passiert, wenn Sie die Differenz bilden?
Die unangenehmsten Integrale fallen weg.
Nämlich, es fallen die Integrale Ortsvektor R, Kreuzprodukt mit FS,
jeweils weg und Ortsvektor R mal Kreuzprodukt FV.
Aber diese Integrale hier, die heben sich doch wechselseitig auf, wenn
ich die Differenz bilde.
Was bleibt übrig?
Es bleibt übrig, Integral über die Oberfläche, Minus RP, Kreuz FS,
DS, plus Integral über das Volumen, Minus RP, Kreuz FV mal DV, plus
Integral über die Oberfläche, RQ, Kreuz FS, DS, plus Integral über das
Volumen, RQ, Kreuz FV, DV.
So, jetzt schauen wir uns an, was integrieren wir dort eigentlich?
Da steht immer der Ortsvektor zu dem Punkt P, bzw.
zu dem Punkt Q, multipliziert mit einer Oberflächenkraftdichte oder
einer Volumenkraftdichte.
Es ist eine dieser beiden Größen konstant, nämlich immer der
Ortsvektor RP.
Ist doch immer der Ortsvektor zum gleichen Punkt P, der ist unabhängig
von der Integration über die gesamten Punkte der Oberfläche.
Schauen Sie es sich nochmal an, ich blätter nochmal zurück.
Der Vektor RP, oder nehmen Sie den Vektor RQ, der ist hier
eingezeichnet.
Dieser Vektor, das ist doch stets der gleiche Vektor zum Punkt Q, egal
welchen Punkt auf der Oberfläche Sie hier betrachten.
Egal wo wir sind, der Vektor R, das ist ein schlimmer Finger, der
ändert sich mit jedem Punkt der Oberfläche, aber der Vektor RQ ist bei
der Integration konstant, also stets der gleiche.
Also können wir ihn vor das Integral ziehen.
Und genau das gleiche gilt für den Punkt P. Da war ich etwas schnell.
Wir klammern aus, minus RP, Kreuz, Integral über die Oberfläche, FSDS,
plus Integral über das Volumen, FVDV.
Und wir klammern aus, RQ, den Ortsvektor, Kreuzprodukt, Integral über
die Oberfläche, FSDS, plus Integral über das Volumen, FVDV.
So, und jetzt schauen wir uns die großen Klammern an und erinnern uns,
als wir die Kräfte eingeführt hatten, aha, da haben wir gesagt, das
war die Oberflächenkraft FS, das war die Volumenkraft FV und die
beiden dürfen wir zusammenaddieren, axiomatisch, und das Ganze gibt
unsere Gesamtkraft F.
Das ist unsere Kraft F.
Ergo ist das Ergebnis unserer Rechnung, RQ minus RP,
Kreuzprodukt F.
Okay.
So, das heißt, wir haben MP gleich RQ minus RP mal F plus Moment im
Punkt Q.
Das heißt, wenn ich die Gesamtkraft F, die gesamte Einwirkung der
Umgebung auf meinen Körper kenne, entweder indem ich mühevoll über
Oberflächenkraftdichte, Volumenkraftdichte und Integration über die
Oberfläche und über das Volumen gegangen bin und diese Kraft F kenne,
und wenn ich den gleichen mühevollen Weg einmal geschritten habe, um
dieses Moment MQ auszurechnen, dann kenne ich das Moment in jedem
Punkt.
Das Moment bezüglich jedes beliebigen Punktes kann ich mir da ganz
leicht ausrechnen, ich muss nur noch die Differenz der beiden
Ortsvektoren berechnen, Kreuzprodukt, fertig, aus, Ende.
Und jetzt ist es so, in den meisten Büchern wird Ihnen das Moment
vorgegeben, dieses hier, und es wird Ihnen von der Kraft, entweder die
Kraft schon vorgegeben oder es wird Ihnen eine Streckenlast vorgegeben
und Sie müssen nur noch über eine Dimension integrieren, um die
resultierende Kraft herauszubekommen, die Gesamtkraft
herauszubekommen.
Jetzt schauen wir uns aber die Kraft nochmal an und stellen fest, die
Kraft selbst ist als Vektor nur gegeben durch Betrag und Richtung.
Sie kennen aber aus der Schulphysik, die meisten jedenfalls, noch den
Satz, eine Kraft ist bestimmt durch Betrag und Richtung, klar, weil es
ein Vektor ist, und durch den Angriffspunkt.
Von Angriffspunkt haben wir jedoch bisher gar nichts gesagt.
Also muss da noch was fehlen.
Also kann diese Kraft F nicht das sein, was bei Ihnen in der
Schulphysik, auch im technischen Gymnasium oder sonst wo mal als Kraft
deklariert wurde.
Was ist der Unterschied?
Wir sehen anhand dieser wunderbaren Gleichung, wir können alles
beschreiben, wenn wir drei Größen kennen, Kraft, Moment und den
Bezugspunkt des Momentes.
Wir fassen diese drei Größen mal zusammen zu einer Übergröße, einfach
durch eine Klammer sagen wir, das ist, wenn wir das Ding wissen, dann
kennen wir die gesamte mechanische Einwirkung der Umgebung auf unseren
Körper und die nennen wir eine Dyname.
Das ist einfach die Definition für dieses Ding.
Jetzt sehen Sie dort zwei Sonderfälle, nämlich der eine Sonderfall
ist, wir haben keine Kraft, aber einen Moment.
Sonderfall.
MQ, Q und der Kraftvektor ist 0.
So etwas nennt man ein freies Moment.
Und den zweiten Sonderfall, den wir uns denken können ist, wir
schieben die 0 einfach mal auf das Moment und betrachten den
Sonderfall.
Moment ist 0 im Bezugspunkt Q und wir haben eine Kraft F.
Jetzt würde man vielleicht denken, das nennt man jetzt eine freie
Kraft, aber das nennt man eine Einzelkraft.
Eine Einzelkraft ist also nicht etwa gegeben durch Betrag und
Richtung, sondern durch Betrag und Richtung und einem Punkt und
bezüglich dieses Punktes verschwindet das resultierende Moment dieser
Kraft.
Und diese Einzelkraft ist genau das, was man Ihnen in der Schulphysik
als Kraft verkauft hat und gesagt hat, sie ist gegeben durch Betrag,
Richtung und Angriffspunkt.
Das ist der Angriffspunkt dieser Kraft und das ist in Wirklichkeit,
ganz sauber auseinandergedröselt, die Einzelkraft.
Jetzt muss ich Ihnen noch etwas sagen.
Bisher war das, was Sie über das Moment gehört haben, noch relativ
theoretisch.
Warum?
Weil dort noch dieses Kreuzprodukt auftaucht.
Sie können alles ausrechnen, aber Sie wären niemals fertig.
Sie sind viel zu langsam und ein Ingenieur, der muss schnell, schnell,
schnell arbeiten.
Zeit ist Geld, Wirtschaftsingenieur sowieso.
Also, versucht man dieses Kreuzprodukt zu umgehen und versucht sich an
die Definition zu erinnern, dass das Moment nichts anderes ist als das
Produkt aus Kraft mal Hebelarm und der Hebelarm ist genau das, was
senkrecht zu der Wirkungslinie meiner Kraft steht.
Und damit man sich das möglichst gut veranschaulichen kann, macht man
es im Zweidimensionalen, weil unser Blatt Papier ebenso schön
zweidimensional ist und die Tafel so schön zweidimensional ist und
bricht das Ganze auf den zweidimensionalen Fall herunter.
Wie schaut das dann aus?
Stellen Sie sich das so vor.
Sie haben hier in der Ebene eine Kraft F und Sie wollen das Moment
bezüglich des Punktes Null berechnen.
Also wir suchen M Null.
Wir wissen, diese Kraft F, so wie sie hier jetzt eingezeichnet ist,
ist eine Einzelkraft.
Das heißt, das resultierende Moment bezüglich des Punktes A ist Null.
Also bezüglich A haben wir MA gleich Null.
Momentenversetzungsgleichung würde jetzt sagen, nimm einfach dieses
Kreuzprodukt und diesen Vektor R, der hier eingezeichnet ist, und
bilde das Kreuzprodukt R Kreuz F.
Na gut, kann man machen.
Da sagen wir aber, nö, das ist ja viel zu aufwendig.
Wie machen wir es einfacher?
Wir zerlegen die Kraft F in ihre Horizontalkomponente und ihre
Vertikalkomponente und zerlegen den Ortsvektor R in seine
Horizontalkomponente.
Das war die Vertikalkomponente, pardon, seine Horizontalkomponente und
seine Vertikalkomponente.
Rx und Ry.
Und was muss ich jetzt multiplizieren?
Wie lautet jetzt dieses Moment M Null?
Das ist doch einfach.
Rx mal Ry.
Dann habe ich eine im Gegenurzeigersinn drehende Wirkung, nämlich so
rum, das ist der Gegenurzeigersinn, um die mir aus der Zeichnung
entgegenkommende Achse Z.
Also ist der Basisvektor E-Vektor Z.
Jetzt habe ich aber noch Fx.
Fx multipliziere ich mit Ry und erhalte eine drehende Wirkung um den
Punkt Null im Urzeigersinn.
Nämlich so lang.
Da aber der Gegenurzeigersinn mathematisch positiv ist, kommt hier
noch ein negatives Vorzeichen und die Richtung ist auch E-Z.
In der Ebene, wenn Sie das Kreuzprodukt in der Ebene ausrechnen,
bekommen Sie nur eine einzige Richtung, nämlich die Richtung senkrecht
zu dieser Ebene.
Eigenschaft des Kreuzproduktes aus der linearen Algebra sicherlich
bekannt und das Ergebnis ist Rx mal Ry minus Ry mal Fx mal E-Z.
Also, kurz und gut, wir brechen das Ganze auf die Ebene runter und
berechnen das Moment einfach durch Kraft mal Hebelarm.
Das erfordert ein bisschen Training und ein bisschen
Anschauungsvermögen.
Üben Sie das einfach mal mit verschiedenen Konfigurationen.
Entweder zu Hause oder auch morgen in der Übung greifen wir das Thema
nochmal auf.
Also mit ein bisschen Übung werden Sie da ganz flotte Meister des
Moments.
Damit bedanke ich mich für Ihre Aufmerksamkeit und wir sehen uns
wieder in einer Woche.