WEBVTT

00:07.110 --> 00:10.350
Meine Damen und Herren, ich heiße Sie herzlich willkommen zur heutigen

00:10.350 --> 00:14.290
Vorlesung Technische Mechanik I für Wirtschaftsingenieure.

00:15.290 --> 00:21.630
Was wir heute vorhaben, ist so ein kleines Ende der Statik.

00:22.170 --> 00:27.210
Ein Kapitel, das zur Statik immer noch dazugehört, das aber nicht im

00:27.210 --> 00:28.850
Zentrum der Statik steht.

00:29.310 --> 00:32.090
Das Wichtigste haben Sie jetzt schon in der Statik erlebt.

00:32.090 --> 00:37.170
Das war freischneiden, Lagerreaktionen bestimmen durch Formulierung

00:37.170 --> 00:41.350
der Gleichgewichtsbedingungen und Schnittreaktionen bestimmen und

00:41.350 --> 00:42.710
grafisch darstellen können.

00:43.690 --> 00:46.690
Heute noch ein Thema, das in technischen Systemen von gewisser

00:46.690 --> 00:51.010
Wichtigkeit ist, das aber aus Sicht der Statik nicht besonders

00:51.010 --> 00:52.050
anspruchsvoll ist.

00:52.150 --> 00:53.550
Und das ist das sogenannte Haften.

00:54.270 --> 00:58.350
Damit schließen wir dann in dieser Woche die Vorlesung zur Statik ab.

00:58.990 --> 01:01.830
Nächste Woche haben Sie noch ein bisschen Zeit und diese Woche

01:01.830 --> 01:04.870
natürlich auch, diesen Stoff zu rekapitulieren und zu üben.

01:05.670 --> 01:09.370
Nächste Woche dann statt der Vorlesung eine große Wiederholungsübung

01:09.370 --> 01:12.030
über den gesamten Stoff aus der Statik.

01:12.470 --> 01:16.570
Und in 14 Tagen steigen wir dann ein in die Festlichkeitslehre.

01:17.210 --> 01:21.190
Also nutzen Sie diese Zeit, um noch Lücken in der Statik zu schließen,

01:21.570 --> 01:24.730
damit Sie dann optimal vorbereitet sind und Sie nicht erst ganz zum

01:24.730 --> 01:26.650
Schluss auf die Klausur vorbereiten müssen.

01:26.650 --> 01:30.190
Dann ist es häufig zu spät und dann läuft einem die Zeit davon.

01:32.310 --> 01:33.310
Was sind die Aufgaben?

01:33.410 --> 01:34.370
Was wollen wir heute machen?

01:34.490 --> 01:39.170
Wir wollen uns nochmal ganz am Anfang auch als eine Art Wiederholung

01:39.170 --> 01:43.710
den Kraftbegriff anschauen und wollen noch einmal sauber unterscheiden

01:43.710 --> 01:48.630
zwischen eingeprägten äußeren Kräften und den Reaktionskräften.

01:49.410 --> 01:53.190
Natürlich sind beides Kräfte, aber wir können diese beiden

01:53.190 --> 01:54.950
Kraftgruppen nochmal unterscheiden.

01:54.950 --> 01:59.090
Und diese Unterscheidung möchte ich Ihnen insbesondere dann am Haften

01:59.090 --> 01:59.910
deutlich machen.

02:00.110 --> 02:04.750
Also die Frage, ist die Haftkraft eine eingeprägte Kraft oder ist sie

02:04.750 --> 02:09.030
eine Reaktionskraft, die wird uns am Anfang der Vorlesung

02:09.030 --> 02:09.730
beschäftigen.

02:10.670 --> 02:13.990
Und dann wollen wir wieder hergehen, Freischnitte machen,

02:14.430 --> 02:18.130
Gleichgewichtsbedingungen formulieren, und zwar für Körper, die

02:18.130 --> 02:19.070
aneinander haften.

02:19.070 --> 02:21.690
Das heißt, wir werden dann an der Kontaktstelle natürlich

02:21.690 --> 02:26.610
freischneiden und werden Berechnungen anstellen, um die Haftkraft

02:26.610 --> 02:28.590
selbst auszurechnen.

02:29.810 --> 02:31.710
Dabei werden wir zwei Fälle unterscheiden.

02:32.370 --> 02:35.710
Der einfachste Fall ist der Fall eines Klotzes auf einer schiefen

02:35.710 --> 02:36.110
Ebene.

02:37.550 --> 02:40.130
Und der Klotz rutscht diese schiefe Ebene runter.

02:40.850 --> 02:45.410
Der zweite Fall, der uns hier auch beschäftigen wird und der von der

02:45.410 --> 02:48.150
mathematischen Seite bei der Herleitung vielleicht ein bisschen

02:48.150 --> 02:51.030
anspruchsvoller ist, das ist die Seilreibung.

02:51.230 --> 02:54.910
Das heißt, wir werden uns damit beschäftigen, wie Seile oder Riemen

02:54.910 --> 02:57.350
auf einer Unterlage haften.

02:58.570 --> 03:00.870
Und wir werden dazu auch technische Anwendungen sehen.

03:01.370 --> 03:05.570
Das heißt, dieses Kapitel ist schon von einiger technischer Relevanz,

03:05.690 --> 03:09.290
genauso wie das Haften eines Klotzes auf einer schiefen Ebene.

03:10.310 --> 03:12.150
Das ist also das Programm für heute.

03:12.150 --> 03:17.070
Kleiner Abschluss der Statik, steigen wir gleich ein.

03:18.970 --> 03:22.010
Wie können wir die Kräfte einteilen?

03:24.090 --> 03:29.210
Wir haben, wenn wir Berechnungen angestellt haben, immer gewisse

03:29.210 --> 03:33.550
Kräfte bei unserem Tragwerk als bekannt vorausgesetzt.

03:34.030 --> 03:37.850
Das waren die sogenannten äußeren, eingeprägten Kräfte.

03:38.370 --> 03:40.630
Und wir haben andere Kräfte ausgerechnet.

03:40.630 --> 03:43.610
Das waren beispielsweise die Lagerreaktionen.

03:44.390 --> 03:50.290
Also wir können ganz grob einteilen und sagen, okay, alle Kräfte sind

03:50.290 --> 03:54.950
vor den Naturgesetzen gleich, aber für unseren Berechnungsapparat gibt

03:54.950 --> 03:57.550
es Kräfte, die sind in der Regel bekannt.

03:58.890 --> 04:01.930
Die können wir voraussetzen, als gegeben voraussetzen.

04:02.130 --> 04:06.630
Und es gibt andere Kräfte, die sind unbekannt, und die müssen wir erst

04:06.630 --> 04:07.550
aufrechnen.

04:07.550 --> 04:08.950
Das kommt also auf uns zu.

04:09.050 --> 04:12.530
Wir müssen freischneiden, um diese Kräfte sichtbar zu machen.

04:13.830 --> 04:19.470
Und wir müssen dann Gleichgewichtsbedingungen formulieren am

04:19.470 --> 04:23.990
Gesamtsystem oder an Teilsystemen, um diese Kräfte ausrechnen zu

04:23.990 --> 04:24.230
können.

04:24.690 --> 04:28.550
Also wir unterscheiden die sogenannten eingeprägten Kräfte...

04:35.010 --> 04:37.110
und die Reaktionskräfte.

04:44.520 --> 04:49.400
Eingeprägte Kräfte wirken also von außen auf unser System ein, sind in

04:49.400 --> 04:52.380
der Regel als bekannt vorauszusetzen.

04:54.060 --> 04:58.560
Reaktionskräfte werden im Verlauf der Berechnung durch Freischneiden

04:58.560 --> 05:01.440
und Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ausgerechnet.

05:02.140 --> 05:05.280
Bei den eingeprägten Kräften haben wir häufig beispielsweise die

05:05.280 --> 05:09.920
Gewichtskraft, denken Sie an das Bücherregal, eine klassische

05:09.920 --> 05:12.100
eingeprägte Kraft.

05:17.600 --> 05:28.880
Bei den Reaktionskräften haben wir die Lagerreaktionen als innere

05:28.880 --> 05:33.260
Kräfte an den Lagerstellen, die wir dadurch sichtbar machen, dass wir

05:33.260 --> 05:37.220
an den Lagerstellen schneiden, unser System also von der Umgebung

05:37.220 --> 05:37.660
abtrennen.

05:37.660 --> 05:41.080
Aber auch die Schnittreaktionen zählen natürlich zu diesen

05:41.080 --> 05:45.880
Reaktionskräften und Momenten, müsste man dann sagen,

05:50.140 --> 05:53.540
Schnittreaktionen, die wir dadurch sichtbar machen, dass wir an einer

05:53.540 --> 05:58.900
beliebigen Stelle unseres Systems schneiden und uns an dieser Stelle

05:58.900 --> 06:02.020
die entstehenden Reaktionen anschauen.

06:02.020 --> 06:05.180
Sie wissen, die Flächenkraftdichte, die dort entsteht, fassen wir

06:05.180 --> 06:11.120
zusammen zu Normalkraft, Querkraft und Biegermoment für ein ebenes

06:11.120 --> 06:11.560
Problem.

06:14.740 --> 06:19.580
Auf der Seite der eingeprägten Kräfte können irgendwelche anderen von

06:19.580 --> 06:23.600
außen auf unser Bauwerk einwirkenden Kräfte stehen, beispielsweise die

06:23.600 --> 06:28.980
Windkraft, Windwiderstand bei einem Fahrzeug oder eine Windlast, die

06:28.980 --> 06:30.320
auf ein Bauwerk einwirkt.

06:30.320 --> 06:36.460
Das könnte eine Windkraft sein, das könnte eine Schneelast sein,

06:39.600 --> 06:48.600
das könnte eine Federkraft sein, die irgendwie an unserem Bauteil

06:48.600 --> 07:00.000
wirkt, das könnte ein Dämpferelement sein und was uns alles hier noch

07:00.000 --> 07:00.640
einfällt.

07:03.700 --> 07:08.520
Alles was von außen an einem Bauteil wir uns vorstellen können, was

07:08.520 --> 07:10.820
dort angreift, können wir hier mit einfügen.

07:12.220 --> 07:15.360
Auf der Seite der Reaktionskräfte fallen uns vielleicht noch die

07:15.360 --> 07:19.720
Gelenkreaktionen ein, die wir ja auch im Verlauf der Statik

07:19.720 --> 07:20.820
ausgerechnet haben.

07:27.520 --> 07:28.200
So.

07:29.540 --> 07:33.420
Und jetzt ist die Frage, wo ordnen wir das Haften ein?

07:34.340 --> 07:39.960
Ist die Haftkraft eine eingeprägte Kraft oder ist sie eine

07:39.960 --> 07:41.420
Reaktionskraft?

07:43.460 --> 07:44.260
Was glauben Sie?

07:46.640 --> 07:47.780
Haben Sie eine Vermutung?

07:52.380 --> 07:56.140
Wenn Sie keine Vermutung haben, dann entscheiden wir das vielleicht

07:56.140 --> 07:56.480
demokratisch.

07:57.720 --> 07:59.200
Stimmen wir einfach ab.

08:00.360 --> 08:04.140
Wer ist dafür, dass die Haftkraft eine eingeprägte Kraft sein soll?

08:10.580 --> 08:15.100
Wer ist der Meinung, dass die Haftkraft eine Reaktionskraft ist?

08:16.880 --> 08:18.340
Das ist die Mehrheit.

08:19.020 --> 08:20.560
Mal sehen, ob die Mehrheit recht hat.

08:21.280 --> 08:23.400
Schauen wir uns das Bildchen da unten an.

08:24.620 --> 08:27.840
Da ist so ein bisschen aufgezeichnet, was beim Haften passiert.

08:28.840 --> 08:32.580
Wenn wir uns die Oberflächen anschauen von zwei Körpern, die

08:32.580 --> 08:38.660
aufeinander haften, beispielsweise ein Klotz, haben wir hier mit

08:38.660 --> 08:41.760
Kreide gefüllt und den tun wir auf eine schiefe Ebene.

08:43.220 --> 08:47.500
Laut Gewichtskraft müsste ein Anteil der Gewichtskraft, da ja die

08:47.500 --> 08:49.800
Ebene schief ist, diesen Klotz nach unten ziehen.

08:50.780 --> 08:55.240
Der Klotz rutscht aber nicht die Ebene hinunter, weil ihn die

08:55.240 --> 08:57.100
Haftkraft daran hindert.

08:57.820 --> 09:01.120
Jetzt schauen wir uns mit einem Mikroskop mal die Oberflächen an.

09:01.960 --> 09:07.160
Die Oberflächen von diesem Gefäß und die Oberflächen von meinem Holz.

09:07.640 --> 09:10.080
Und dann stellen wir fest, diese Oberflächen sind rau.

09:11.220 --> 09:14.740
Das ist hier unten mal aufgezeichnet, also ganz schlimm sieht das

09:14.740 --> 09:15.740
irgendwie so aus.

09:16.460 --> 09:21.820
Und die andere Oberfläche, die sieht irgendwie auch so gezackt aus.

09:22.300 --> 09:24.180
Wenn wir da mit dem Mikroskop rangehen.

09:25.700 --> 09:28.560
Jetzt verhaken sich diese Zacken ineinander.

09:29.300 --> 09:32.660
Wenn ich diese beiden Bauteile zusammenpresse.

09:33.200 --> 09:36.100
Nun werden Sie sagen, ich presse ja dieses Bauteil gar nicht zusammen.

09:36.300 --> 09:38.860
Aber denken Sie daran, es wirkt ja immer das Eigengewicht.

09:40.160 --> 09:43.380
Und diese Plastikschale, gefüllt mit ein paar Kreidestücken, hat

09:43.380 --> 09:45.000
durchaus ein Eigengewicht.

09:45.600 --> 09:49.120
Und dieses Eigengewicht sorgt dafür, dass sich diese kleinen

09:49.120 --> 09:51.800
Rauigkeiten ineinander verhaken.

09:53.240 --> 09:58.040
Also was zum Schluss entsteht, ist grob übertrieben so etwas.

09:59.420 --> 10:03.780
Nicht in dieser schönen Regelmäßigkeit, aber um Ihnen diesen Effekt

10:03.780 --> 10:06.480
darzustellen, so verhaken die sich ineinander.

10:07.260 --> 10:11.500
Jetzt bleibt die untere Oberfläche, das ist ja unser Holz, das bleibt

10:11.500 --> 10:12.060
in Ruhe.

10:14.300 --> 10:17.440
Und die obere Oberfläche, die würde sich ganz gerne bewegen.

10:17.440 --> 10:20.700
Nehmen wir mal an, in diese Richtung würde die ganz gerne rutschen.

10:22.300 --> 10:27.860
Diese Haken, mit denen sich die Oberflächen ineinander verkrallen, die

10:27.860 --> 10:29.080
haben etwas dagegen.

10:29.520 --> 10:33.080
Die Rauigkeit der Oberfläche, die hat etwas dagegen, dass diese

10:33.080 --> 10:37.000
Bewegung tatsächlich einsetzt und hält die Bewegung auf.

10:37.720 --> 10:39.480
Jedenfalls ein ganz klein wenig.

10:39.480 --> 10:45.220
Wenn ich natürlich dem Klotz hier noch einen Schuss mitnehme, dann

10:45.220 --> 10:46.620
gerät das Ganze ins Rutschen.

10:46.740 --> 10:50.600
Das heißt, wenn diese Kraft groß ist, ich beispielsweise noch ein

10:50.600 --> 10:56.340
bisschen hinterher drücke, hier an dieser ersten Oberfläche, dann

10:56.340 --> 10:59.700
können auch diese ganz, ganz kleinen Verhakungen nichts mehr daran

10:59.700 --> 11:02.540
ändern, dass das ganze Gebäude ins Rutschen gerät.

11:02.540 --> 11:08.300
Aber solange wir sagen, die Kräfte sind nicht so groß, dass hier etwas

11:08.300 --> 11:14.600
ins Rutschen gerät, solange haften diese Oberflächen aufeinander und

11:14.600 --> 11:19.180
solange wirkt mein Untergrund wie ein Lager, das Kräfte in

11:19.180 --> 11:21.120
horizontaler Richtung aufnimmt.

11:21.120 --> 11:26.300
Also, Haftkraft heißt,

11:30.690 --> 11:32.110
entspricht Lager,

11:36.340 --> 11:47.860
horizontale Kräfte werden bis zu einer bestimmten Größe aufgenommen.

12:05.010 --> 12:09.670
Damit ist aber klar, wo wir die Haftkraft einordnen müssen.

12:10.430 --> 12:15.070
Nämlich dort, wo wir auch die Lagerreaktionen eingeordnet haben, also

12:15.070 --> 12:16.610
bei den Reaktionskräften.

12:17.170 --> 12:19.010
Hier müssen wir die Haftkraft hinschreiben.

12:23.090 --> 12:27.190
Trotzdem darf ich die Fraktion trösten, die für die eingeprägten

12:27.190 --> 12:28.410
Kräfte war.

12:28.870 --> 12:33.870
Nämlich, wenn diese Haftkraft überwunden wurde, also die äußeren

12:33.870 --> 12:37.730
Kräfte, die an meinem Bauteil angreifen, so groß werden, dass es nicht

12:37.730 --> 12:41.590
mehr zum Haften kommt, sondern zum Losbrechen des Körpers, wir uns

12:41.590 --> 12:44.750
also nicht mehr im Fall der Statik befinden, sondern im Fall der

12:44.750 --> 12:48.270
Dynamik, also eine Bewegung entsteht, dann haben wir natürlich auch

12:48.270 --> 12:51.730
einen Effekt zwischen den beiden Oberflächen, den nennen wir aber

12:51.730 --> 12:54.170
nicht mehr Haften, sondern den nennen wir Reiben.

12:54.910 --> 12:58.230
Es entstehen beispielsweise Geschwindigkeitsverluste durch Reibung.

12:58.770 --> 13:02.950
Und das entsteht beim Auto überall, an der gesamten Oberfläche, einmal

13:02.950 --> 13:07.630
gegenüber dem Luftwiderstand und dann Rollwiderstand an den Rädern.

13:07.630 --> 13:11.770
Wir wissen natürlich, wie diese Reibkraft wirken muss.

13:12.190 --> 13:16.150
Wenn also unser Körper sich nach rechts bewegt, dann wirkt die

13:16.150 --> 13:19.970
Reibkraft nach links, die ist beharrend, die möchte den Körper gerne

13:19.970 --> 13:20.570
aufhalten.

13:21.090 --> 13:24.570
Klar, sonst wäre das Leben wunderbar, wenn die Reibkraft uns helfen

13:24.570 --> 13:27.590
würde, beispielsweise beim Fahrradfahren, dann wären wir schneller in

13:27.590 --> 13:27.930
der Uni.

13:28.590 --> 13:32.750
Aber die Reibkraft wirkt der Bewegung entgegen, die Reibkraft hält uns

13:32.750 --> 13:35.810
auf, die Reibkraft kostet uns zusätzliche Energie.

13:36.830 --> 13:43.450
Diese Reibkraft ist also eine Kraft, die außen an unserem Körper

13:43.450 --> 13:49.070
angreift, als Widerstandskraft und die immer entgegengesetzt der

13:49.070 --> 13:51.210
Bewegung gerichtet ist.

13:51.330 --> 13:55.190
Und diese Reibkraft ist eine eingeprägte Kraft.

13:55.830 --> 13:57.750
Hier gehört also die Reibkraft hin.

14:00.970 --> 14:04.550
Jetzt kann ich Sie trösten, die Reibkraft begegnet Ihnen erst wieder

14:04.550 --> 14:07.250
in der Dynamik, das heißt in der technischen Mechanik.

14:07.350 --> 14:11.070
Zwei für Wirtschaftsingenieure in der technischen Mechanik.

14:11.150 --> 14:15.470
Eins in der Statik beschäftigen wir uns also nur mit dem Fall der

14:15.470 --> 14:16.130
Haftkraft.

14:17.930 --> 14:22.090
Einzig die Haftkraft werden wir jetzt im Folgenden untersuchen.

14:22.090 --> 14:25.790
Das ist das Einzige, was uns interessiert und wir haben schon gesehen,

14:26.230 --> 14:30.930
die Haftkraft, die werden wir nur bis zu einem bestimmten Betrag haben

14:30.930 --> 14:34.070
und danach fängt der Körper an zu rutschen.

14:35.230 --> 14:37.310
Machen wir dazu ein einfaches Experiment.

14:38.790 --> 14:40.950
Wir sind ja hier bei den Chemikern, dürfen wir ein bisschen

14:40.950 --> 14:41.950
experimentieren.

14:45.850 --> 14:47.690
Zerlegen wir mal ein bisschen den Hörsaal.

14:49.130 --> 14:54.950
Ich klaue mir mal dieses Holzbrett hier, stelle das schräg an, tue

14:54.950 --> 14:58.530
diese Kreideschale drauf und wenn ich das so halte, passiert nichts.

14:59.230 --> 15:02.610
Klar, es wird die Haftkraft, können Sie alle sehen.

15:04.190 --> 15:09.530
Jetzt kippe ich diese Ebene immer weiter an, der Winkel wird immer

15:09.530 --> 15:13.870
größer und irgendwann fängt diese Schale an zu rutschen.

15:15.770 --> 15:19.170
Wenn der Winkel kleiner ist, passiert nichts.

15:19.650 --> 15:22.490
Wir können diesen Winkel, ich habe kein Geodreieck dabei.

15:23.390 --> 15:25.150
Chemiker, habt ihr ein Geodreieck?

15:26.190 --> 15:28.870
Wenn das jetzt Mathematiker wären, die hätten immer so ein schönes

15:28.870 --> 15:29.950
großes Geodreieck.

15:30.970 --> 15:32.830
Hat jemand von Ihnen ein Geodreieck?

15:35.030 --> 15:35.510
Keiner?

15:35.790 --> 15:36.810
Dann müssen wir schätzen.

15:37.850 --> 15:39.510
Schätzen wir, wie groß ist der Winkel.

15:40.870 --> 15:42.450
15°, 30°?

15:45.590 --> 15:50.210
Da sagen wir, 45° waren es noch nicht, aber vielleicht 35°.

15:51.430 --> 15:53.770
35° merken wir uns für dieses Experiment.

15:54.370 --> 15:56.350
Jetzt wollen wir das Experiment analysieren.

15:58.630 --> 15:59.670
Nächste Folie.

16:00.830 --> 16:05.870
Da haben wir unseren Klotz auf der schiefen Ebene.

16:06.790 --> 16:08.350
Das war hier unsere schiefe Ebene.

16:08.990 --> 16:12.590
Wir haben den Anstellwinkel variiert, der Anstellwinkel heißt hier

16:12.590 --> 16:12.870
Alpha.

16:12.870 --> 16:18.730
Und wir haben festgestellt, bei Alpha ungefähr 35° fängt der Klotz an

16:18.730 --> 16:19.290
zu rutschen.

16:27.650 --> 16:29.710
Da setzt Bewegung ein.

16:36.270 --> 16:37.670
Vorher Ruhe.

16:38.770 --> 16:41.850
Und wenn wir Ruhe haben, heißt das, wir haben Statik.

16:42.430 --> 16:45.930
Und wir können mitten in der Statik dieses Problem analysieren.

16:46.670 --> 16:50.190
Alles, was wir dazu machen müssen, ist einfach nur ein Freischnitt.

16:50.990 --> 16:53.010
Und dann können wir unsere Kräfte ausrechnen.

16:53.350 --> 16:54.430
Machen wir das einfach.

16:55.750 --> 16:59.510
Irgendein netter Mensch hat uns hier schon die Gewichtskraft

16:59.510 --> 17:00.410
eingetragen.

17:01.310 --> 17:03.670
Also der Klotz hat eine gewisse Masse m.

17:06.150 --> 17:11.310
Diese Masse m ruft eine Gewichtskraft g gleich m mal g hervor.

17:11.310 --> 17:14.990
Und diese Gewichtskraft können wir zerlegen in zwei Anteile.

17:15.410 --> 17:19.990
Ein Anteil, der senkrecht zu unserer schiefen Ebene wirkt.

17:20.830 --> 17:23.010
Und der sogenannte Hangabtrieb.

17:23.510 --> 17:26.690
Der Anteil, der unseren Klotz die Ebene hinunterziehen möchte.

17:27.090 --> 17:29.930
Der also parallel zu der schiefen Ebene wirkt.

17:30.070 --> 17:32.150
Und das ist der Anteil g mal Sinus Alpha.

17:33.330 --> 17:38.650
Dieser Anteil, der möchte den Klotz in den Abgrund ziehen.

17:38.650 --> 17:41.470
Und der Anteil g mal Sinus Alpha.

17:42.130 --> 17:45.650
Das ist der Anteil, mit dem der Klotz in die Ebene versucht

17:45.650 --> 17:46.390
einzudringen.

17:46.530 --> 17:49.110
Und die Ebene, die wehrt sich natürlich heftig dagegen.

17:49.850 --> 17:51.090
Jetzt machen wir den Freischnitt.

17:52.050 --> 17:56.470
Also wir schneiden zwischen Klotz und schiefer Ebene frei.

17:57.510 --> 17:58.810
Was sehen wir dann?

18:01.590 --> 18:03.590
Wir sehen unseren Klotz.

18:04.670 --> 18:09.030
Wir haben hier den Schwerpunkt, Massenmittelpunkt des Klotzes.

18:09.810 --> 18:13.190
Wir tragen uns die Gewichtskraft G ein, die wir zerlegen können.

18:15.170 --> 18:18.030
Und wir sehen zwei Reaktionskräfte.

18:19.070 --> 18:23.690
Die eine Reaktionskraft ist die Kraft, mit der sich die Ebene gegen

18:23.690 --> 18:25.610
ein Eindringen des Klotzes wehrt.

18:26.710 --> 18:28.470
Die nennen wir Normalkraft.

18:29.690 --> 18:31.470
Warum wieder Normalkraft?

18:31.590 --> 18:33.990
Weil diese Kraft senkrecht zur Oberfläche steht.

18:34.630 --> 18:38.370
Und zu senkrecht sagen die Mathematiker und Physiker Normal, in

18:38.370 --> 18:39.250
normalen Richtung.

18:39.990 --> 18:42.630
Also senkrecht zur Oberfläche, die Normalkraft M.

18:43.450 --> 18:47.110
Dann haben wir aber auch noch eine Kraft, die durch das Verhaken

18:47.110 --> 18:48.250
entsteht.

18:48.690 --> 18:50.030
Wie wir uns eben überlegt haben.

18:50.150 --> 18:52.050
Und die auch eine Reaktionskraft ist.

18:52.410 --> 18:54.930
Die also hier durch Freischneiden sichtbar gemacht wird.

18:55.410 --> 18:56.610
Und das ist die Haftkraft.

18:56.610 --> 18:59.910
Und jetzt muss ich mir nur überlegen, in welche Richtung wirkt denn

18:59.910 --> 19:00.630
die Haftkraft?

19:01.190 --> 19:06.330
Naja, die verhindert ja gerade, dass unsere Masse den Hang

19:06.330 --> 19:06.710
hinunterrutscht.

19:07.470 --> 19:12.270
Also muss sie wohl hangaufwärts wirken und der Hangabtriebskraft damit

19:12.270 --> 19:13.090
Paroli bieten.

19:14.370 --> 19:18.470
Also, hier wirkt unsere Haftkraft H.

19:20.270 --> 19:25.150
Wenn wir jetzt geübt sind an Schnittreaktionen, dann könnten wir

19:25.150 --> 19:29.450
sagen, Moment, wenn das jetzt echte Schnittreaktionen sind, in der

19:29.450 --> 19:32.170
Ebene, dann haben wir doch immer zwei Kräfte.

19:32.490 --> 19:35.730
Okay, die sind da, stehen beide senkrecht aufeinander, wunderschön.

19:36.250 --> 19:38.390
Aber wir haben eigentlich auch noch einen Moment.

19:39.350 --> 19:44.170
Dieses Moment würde hier für ein Verkippen dieses Klotzes sorgen.

19:45.370 --> 19:48.330
Jetzt kann dieser Klotz aber auf der Ebene nicht verkippen.

19:48.330 --> 19:51.990
Denn wenn der sich um seine eigene Achse drehen würde, also um die

19:51.990 --> 19:55.550
Achse, die jetzt senkrecht zu Ihnen kommt, um diese Achse, das wäre ja

19:55.550 --> 19:56.150
ein Verkippen.

19:56.610 --> 19:59.610
Dann müsste er auf der einen Seite in die Ebene eindringen und auf der

19:59.610 --> 20:03.350
anderen Seite würde er nach oben rauskommen, von der Ebene abheben.

20:04.110 --> 20:07.550
Dieses Eindringen in die Ebene kann aber nicht stattfinden, denn mein

20:07.550 --> 20:11.390
Holzbrett gibt nicht nach, ist unnachgiebig, ist ein starrer, starrer

20:11.390 --> 20:11.730
Körper.

20:12.690 --> 20:17.610
Also, wir brauchen hier kein Kippmoment antragen.

20:18.430 --> 20:22.110
Jetzt müssen wir unsere beiden Reaktionskräfte ausrechnen, also die

20:22.110 --> 20:23.890
Haftkraft und die Normalkraft.

20:24.790 --> 20:27.850
Dazu stehen uns ja in der Statik drei Gleichungen zur Verfügung.

20:28.410 --> 20:30.470
Wir werden aber natürlich nur zwei brauchen.

20:30.970 --> 20:34.810
Wir könnten beispielsweise mit zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen

20:34.810 --> 20:35.430
arbeiten.

20:36.130 --> 20:39.810
Die dritte Gleichung, das Momentengleichgewicht, würde uns nur

20:39.810 --> 20:44.670
aussagen, dass so ein Kippmoment nicht auftreten kann, weil der Körper

20:44.670 --> 20:46.470
nicht in die Ebene eindringen kann.

20:47.150 --> 20:51.610
Also, wir begnügen uns mit dem horizontalen und dem vertikalen

20:51.610 --> 20:52.790
Kräftegleichgewicht.

20:53.370 --> 20:55.290
Und wenn ich jetzt hier frage...

20:55.290 --> 20:59.690
Beim Wasser, da kann der Körper natürlich in die Ebene eindringen.

20:59.810 --> 21:03.270
Also, wenn Sie irgendwas haben, was nachgiebig ist, was weich ist,

21:03.350 --> 21:04.690
dann haben Sie so eine Verkippung.

21:04.790 --> 21:06.450
Dann müssten Sie die mit berücksichtigen.

21:07.190 --> 21:10.230
Wasser könnte schon heißen, ich habe nur einen Fluidfilm.

21:11.170 --> 21:13.570
Dann wird die Sache natürlich viel komplizierter.

21:13.950 --> 21:17.090
Dann würde der Körper zum Teil diesen Fluidfilm verdrängen können.

21:18.770 --> 21:20.870
Diesen Effekt haben Sie dann in der Tat.

21:21.210 --> 21:22.570
Haben wir hier aber alles nicht.

21:22.670 --> 21:26.930
Wir haben hier nur die sogenannte trockene Reibung oder eigentlich nur

21:26.930 --> 21:27.570
das Haften.

21:28.050 --> 21:29.250
Reibung machen wir gar nicht.

21:29.770 --> 21:34.330
So, jetzt hatte ich gesagt, wir brauchen ein horizontales und ein

21:34.330 --> 21:35.450
vertikales Kräftegleichgewicht.

21:36.290 --> 21:41.150
Mit horizontal und vertikal meine ich aber immer aus Sicht der

21:41.150 --> 21:41.910
schiefen Ebene.

21:42.490 --> 21:46.990
Das heißt einmal entlang unseres Hanges und einmal senkrecht zu

21:46.990 --> 21:47.670
unserem Hang.

21:48.950 --> 21:53.530
Und es hat uns ja schon jemand die Gewichtskraft zerlegt in eine Kraft

21:53.530 --> 21:56.210
senkrecht zum Hang und parallel zum Hang.

21:56.950 --> 22:00.430
Und damit haben wir eigentlich alle Kräfte, die wir brauchen.

22:00.430 --> 22:07.210
Und können das Kräftegleichgewicht aufstellen in horizontaler und in

22:07.210 --> 22:08.370
vertikaler Richtung.

22:09.970 --> 22:15.670
Und beachten Sie bitte, unser Koordinatensystem ist dieses hier.

22:15.910 --> 22:18.730
X, Y.

22:19.470 --> 22:21.650
Das hat sich mit dem Hang geneigt.

22:25.680 --> 22:34.080
So, dann haben wir in horizontaler Richtung die Haftkraft, entgegen

22:34.080 --> 22:35.260
der X-Achse wirkend.

22:36.080 --> 22:41.220
Und in Richtung der X-Achse wirkt die sogenannte Hangabtriebskraft,

22:41.380 --> 22:44.800
derjenige Anteil der Gewichtskraft, der den Klotz nach unten zieht.

22:44.920 --> 22:47.260
Also G mal Sinus Alpha.

22:53.100 --> 23:04.120
Und zum anderen haben wir in vertikaler Richtung den Anteil G mal

23:04.120 --> 23:07.860
Sinus Alpha und

23:11.440 --> 23:16.380
zum anderen die Normalkraft N.

23:19.520 --> 23:25.540
Wenn wir das also jetzt nach unseren Reaktionskräften ausrechnen, dann

23:25.540 --> 23:28.120
stellen wir fest, nichts einfacher als das.

23:28.340 --> 23:31.600
H ist gleich G mal Sinus Alpha.

23:33.300 --> 23:37.580
Und N ist gleich G mal Cosinus Alpha.

23:39.300 --> 23:40.380
Ah, das war ja einfach.

23:42.200 --> 23:44.620
Aber, jetzt kommt's.

23:46.020 --> 23:48.220
Wir schauen uns nochmal unser Experiment an.

23:48.840 --> 23:51.860
Wir haben gesehen, diesen Fall der Statik, den haben wir nicht immer.

23:53.540 --> 23:59.900
Irgendwann fängt der Klotz an zu rutschen, bei einem gewissen Winkel.

24:02.120 --> 24:06.460
Irgendwann hört also die Betrachtung der Statik an dieser Stelle auf.

24:07.260 --> 24:14.800
Und dieses Irgendwann hat man durch Experimente charakterisiert und

24:14.800 --> 24:19.140
hat gesagt, es gibt eine Beziehung zwischen der Haftkraft und der

24:19.140 --> 24:23.960
Kraft, Normalkraft, mit der mein Körper versucht, in die Oberfläche

24:23.960 --> 24:25.340
einzudringen.

24:25.340 --> 24:30.260
Je stärker der versucht, in die Oberfläche einzudringen, desto stärker

24:30.260 --> 24:34.740
verhaken sich diese Mikrorauigkeiten der Oberfläche, sogenannten

24:34.740 --> 24:39.140
Asperiten, ineinander und desto schwerer ist es, diesen Körper nach

24:39.140 --> 24:39.980
unten zu ziehen.

24:41.580 --> 24:47.020
Und diese Funktion hat man beschrieben durch eine Proportionalität,

24:47.220 --> 24:53.040
das heißt, je größer die Normalkraft, desto größer die Haftkraft,

24:53.280 --> 24:57.960
bevor das Ding auseinanderfällt, bevor das Ding anfängt zu rutschen.

24:58.880 --> 25:03.060
Also hat man folgende Beziehung sich überlegt.

25:03.300 --> 25:07.640
Die Haftkraft muss immer kleiner sein als ein gewisser Anteil der

25:07.640 --> 25:08.420
Normalkraft.

25:09.200 --> 25:13.060
Und diesen Anteil hat man experimentell bestimmt und hat gesagt,

25:13.140 --> 25:18.000
dazwischen herrscht eine Proportionalität, in erster Näherung.

25:19.000 --> 25:23.100
Und diese Proportionalität wird ausgedrückt durch den sogenannten

25:23.100 --> 25:25.460
Haftbeiwert µ0.

25:34.350 --> 25:37.710
Und ich behaupte, diesen Haftbeiwert, den können wir alle ganz einfach

25:37.710 --> 25:38.430
ausrechnen.

25:38.430 --> 25:41.330
Setzen wir doch einfach mal unsere Haftkraft ein.

25:42.210 --> 25:48.930
Dann steht dort G mal Sinus-Alpha auf der linken Seite.

25:49.830 --> 25:54.810
Auf der rechten Seite steht µ0 mal Normalkraft, also µ0 mal G mal

25:54.810 --> 25:55.770
Cosinus -Alpha.

25:57.470 --> 26:02.830
Offenbar ist das Ergebnis unabhängig von der Gewichtskraft G.

26:04.290 --> 26:10.350
Es ist nur abhängig von dem Winkel, was wir erhalten ist, wenn wir

26:10.350 --> 26:12.130
durch den Cosinus-Alpha dividieren.

26:13.290 --> 26:16.990
Tangens-Alpha kleiner gleich µ0.

26:17.810 --> 26:21.950
Solange der Winkel unserer schiefen Ebene, der Tangens dieses Winkels,

26:22.050 --> 26:27.810
kleiner ist als der Haftbeiwert µ0, herrscht der Fall der Statik.

26:28.070 --> 26:29.730
Also, nochmal.

26:30.570 --> 26:31.710
Wir kippen die Ebene an.

26:32.350 --> 26:40.870
Jetzt ist der Winkel der Tangens dieses Winkels hier kleiner als µ0.

26:41.870 --> 26:45.510
Irgendwann kommt der Punkt, wo sich der Klotz losreißt.

26:45.950 --> 26:46.490
Achtung.

26:51.390 --> 26:57.030
Diesen Winkel haben wir gemessen, ungefähr 35°, und stellen fest, für

26:57.030 --> 27:02.330
diesen Winkel gilt offenbar dann im Moment des Losbrechens Tangens

27:02.330 --> 27:04.710
-Alpha 0 genau gleich µ0.

27:04.710 --> 27:09.610
Das heißt, µ0 ist der Akustangens von diesem Winkel, µ0 ist der

27:09.610 --> 27:13.890
Akustangens von 35°, und damit haben Sie µ0 ausgerechnet.

27:14.490 --> 27:15.730
Hat jemand einen Taschenrechner?

27:15.930 --> 27:21.070
µ0, Akustangens von 35°, vermutlich etwas in der Größenordnung von 0

27:21.070 --> 27:21.610
,4.

27:23.010 --> 27:25.110
Kann das mal jemand bestätigen, eintippen?

27:26.070 --> 27:27.670
Sonst machen Sie es zu Hause.

27:28.050 --> 27:33.970
Also, wir haben hier festgestellt, µ0 in unserem Fall ist ungefähr

27:33.970 --> 27:41.510
Akustangens von 35°, und für technische Anwendungen, also Stahl auf

27:41.510 --> 27:44.450
Stahl, das hängt natürlich von den Oberflächen ab, von der

27:44.450 --> 27:49.730
Beschaffenheit der Oberfläche, also Stahl poliert oder Stahl völlig

27:49.730 --> 27:56.150
rau, hängt das alles ab, liegen diese Werte zwischen 0,3, 0,4,

27:56.310 --> 27:57.570
eventuell 0,5.

27:57.890 --> 28:02.050
In dieser Größenordnung liegt dieser Haftbeiwert.

28:02.050 --> 28:02.870
Okay?

28:06.050 --> 28:09.550
Ja, jetzt kann ich mir Folgendes überlegen.

28:11.210 --> 28:17.430
Es entsteht ja an der Oberfläche zwischen Klotz und meiner schiefen

28:17.430 --> 28:19.390
Ebene eine Reaktionskraft.

28:19.390 --> 28:23.990
Die habe ich zerlegt in zwei Anteile, h und n.

28:24.890 --> 28:29.030
Aus diesen beiden Anteilen kann ich wieder die Resultierende bilden

28:29.030 --> 28:35.670
und ich kann mich fragen, wie verläuft diese Resultierende im Fall des

28:35.670 --> 28:41.750
Haftens und wie ist sie eingegrenzt im Fall des Haftens,

28:41.910 --> 28:47.730
beziehungsweise was passiert im Fall des Reibens, wann habe ich eine

28:47.730 --> 28:50.930
Haftkraft, die größer ist als µ0 mal n.

28:50.930 --> 28:54.470
Und das können wir uns grafisch ganz hervorragend vorstellen.

28:56.690 --> 29:01.530
Stellen wir uns vor, der Klotz auf der schiefen Ebene, Eigengewicht

29:01.530 --> 29:04.970
und irgendjemand versucht diesen Klotz hier wegzuziehen.

29:06.150 --> 29:13.230
Aufgrund dieser Gewichtskraft g, die hier wirkt, entsteht eine

29:13.230 --> 29:16.790
Normalkraft n.

29:18.450 --> 29:23.370
Die Haftkraft, die wehrt sich dagegen, dass dieser Klotz weggezogen

29:23.370 --> 29:23.770
wird.

29:23.770 --> 29:32.470
Die Haftkraft ist aber begrenzt für den Fall des Haftens auf h kleiner

29:32.470 --> 29:36.650
gleich µ0 mal n, also auf einem Bruchteil der Kraft n.

29:39.410 --> 29:42.590
Diese Situation habe ich mal hier dargestellt.

29:43.270 --> 29:49.550
Also die Haftkraft ist stets kleiner als µ0 mal n im Grenzfall.

29:56.280 --> 29:59.780
Also in dem Fall, wo sich der Klotz gerade von der Oberfläche lösen,

29:59.940 --> 30:07.360
losreißen will und die Bewegung einsetzt, gilt offenbar h0 gleich µ0

30:07.360 --> 30:08.340
mal n.

30:09.460 --> 30:12.280
Wenn wir uns diese Haftkraft einzeichnen,

30:15.420 --> 30:20.240
und zwar mit der richtigen Richtung, also wegweisend vom Klotz, wenn

30:20.240 --> 30:24.080
die Kraft f tatsächlich nach links zieht und wenn die Kraft f den

30:24.080 --> 30:27.980
Klotz nach rechts ziehen würde, dann würde die Haftkraft natürlich

30:27.980 --> 30:29.120
nach links wirken.

30:31.500 --> 30:35.260
Das wäre also für den Fall, dass jemand mit –f an unserem Klotz zieht,

30:36.000 --> 30:39.000
dann wirkt h0 entgegengesetzt.

30:39.000 --> 30:46.880
Die tatsächliche Haftkraft für den Fall des Haftens muss kleiner sein

30:46.880 --> 30:47.860
als dieses h0.

30:48.540 --> 30:54.580
Die resultierende Kraft kann also maximal hier außen liegen.

30:54.580 --> 30:58.880
Ist die Haftkraft kleiner, verläuft die resultierende Kraft vielleicht

30:58.880 --> 31:02.120
so, oder so, oder so.

31:02.740 --> 31:08.740
Sie verläuft jedenfalls innerhalb dieses geometrischen Gebildes.

31:10.420 --> 31:14.100
Ah, nun würden Sie sagen, naja gut, dieses geometrische Gebilde kenne

31:14.100 --> 31:15.160
ich, das ist ein Dreieck.

31:15.800 --> 31:16.140
Fast.

31:16.940 --> 31:20.160
Wenn ich das Ganze als Ebenesproblem betrachte, ist das ein Dreieck.

31:20.160 --> 31:24.680
Aber, wenn ich hier von echten dreidimensionalen Körpern ausgehe, dann

31:24.680 --> 31:28.640
hindert natürlich keiner daran und diese Kraft f wirkt, dass die Kraft

31:28.640 --> 31:31.780
f vielleicht auch ein bisschen schräg an diesem Klotz zieht, also den

31:31.780 --> 31:33.020
hier so seitlich wegzieht.

31:33.020 --> 31:34.340
Kann auch passieren.

31:34.700 --> 31:37.700
Dann muss die Haftkraft natürlich entsprechend auch seitlich wirken.

31:38.240 --> 31:45.040
Das heißt, das Ganze wird ein Kreis mit Radius h0 als Grundfläche und

31:45.040 --> 31:51.900
darauf aufgebaut ein Dreieck, das also mit einem Radius h0 um den

31:51.900 --> 31:55.220
Mittelpunkt unseres Körpers rotiert und das Ganze gibt dann einen

31:55.220 --> 31:55.680
Kegel.

31:55.680 --> 32:00.440
Das ist der sogenannte Reibkegel, oder Haftkegel müsste ich hierzu

32:00.440 --> 32:00.780
sagen.

32:02.300 --> 32:02.920
Der Haftkegel.

32:10.340 --> 32:23.080
Verläuft die resultierende der Reaktionskraft zwischen

32:28.000 --> 32:35.360
Klotz, also zwischen Körper und Oberfläche, Körper und Oberfläche,

32:36.120 --> 32:48.840
innerhalb des Haftkegels,

32:53.400 --> 32:57.500
dann liegt tatsächlich Haften vor.

33:04.320 --> 33:10.480
Ist eine größere Haftkraft erforderlich, also eine Haftkraft, sodass

33:10.480 --> 33:14.580
die resultierende Kraft außerhalb dieses Kegels liegen würde, wäre

33:14.580 --> 33:19.820
diese Haftkraft hier beispielsweise erforderlich, um der Kraft f

33:19.820 --> 33:23.020
Paroli zu bieten, dann ist das nicht mehr möglich.

33:23.020 --> 33:27.860
So viel Haftkraft kann, können diese kleinen Verhakelungen nicht

33:27.860 --> 33:32.120
aufnehmen, der Körper bricht los und wir haben nicht mehr Statik,

33:32.180 --> 33:35.460
sondern Dynamik, also Reibkraft und das machen wir hier nicht mehr.

33:35.460 --> 33:41.180
Sie müssen also stets überprüfen, ob diese Beziehung H kleiner gleich

33:41.180 --> 33:46.340
µ0 mal n erfüllt ist für die Reaktionskraft H, die Sie ausrechnen.

33:46.980 --> 33:51.680
Mithin lautet eine klassische Aufgabe mit Haften, erstens

33:51.680 --> 33:56.340
freischneiden, zweitens Reaktionskräfte bestimmen, also Haftkraft und

33:56.340 --> 34:01.240
Normalkraft bestimmen, drittens überprüfen, ist die Haftkraft

34:01.240 --> 34:04.220
tatsächlich kleiner gleich µ0 mal n.

34:04.220 --> 34:10.500
Und das ist die klassische Aufgabe der Statik im Bereich des Haftens

34:10.500 --> 34:13.520
und das üben wir jetzt einfach nochmal an einem Beispiel.

34:19.100 --> 34:24.960
Also eine Walze, die irgendjemand in diese Ecke gelegt hat.

34:27.100 --> 34:35.190
Die Walze berührt offenbar an zwei Punkten diese Ecke, die

34:35.190 --> 34:36.950
unverschiebbare Oberfläche.

34:37.930 --> 34:42.050
An dieser Walze hängt ein Gewicht klein m, die Walze hat auch noch ein

34:42.050 --> 34:43.350
Eigengewicht groß m.

34:44.990 --> 34:50.350
Und jetzt ist natürlich klar, wenn ich dieses Gewicht klein m hier

34:50.350 --> 34:56.090
sehr groß wähle, dann wird die Walze anfangen zu rollen.

34:56.090 --> 34:59.050
Mit anderen Worten, wenn ich mich an dieses Seil ranhänge und

34:59.050 --> 35:05.170
ordentlich ziehe, dann dreht diese Walze durch und es kommt zu einem

35:05.170 --> 35:10.190
Rollvorgang, es kommt zum Reiben und nicht mehr zum Haften der Walze

35:10.190 --> 35:10.930
an der Wand.

35:11.790 --> 35:17.070
Wenn die Gewichtskraft aber sehr klein ist, also nur eine kleine Masse

35:17.070 --> 35:21.610
daran hängt, dann kann ich die Walze so in der Ecke parken und sie

35:21.610 --> 35:23.730
bleibt dort an der Wand haften.

35:24.450 --> 35:28.830
Aufgrund dieser Verhakelungen zwischen Walze und Wand.

35:30.190 --> 35:32.370
Das wollen wir einfach mal ausrechnen.

35:32.590 --> 35:38.670
Also die Frage ist, wie groß muss ich die Masse m hier wählen, damit

35:38.670 --> 35:40.870
gerade noch Haften auftritt.

35:41.810 --> 35:45.190
In welchem Bereich darf diese Masse klein m liegen?

35:45.190 --> 35:47.250
Wie beantworte ich die Frage?

35:47.710 --> 35:51.210
Indem ich einen Freischnitt mache, indem ich die

35:51.210 --> 35:55.730
Gleichgewichtsbedingungen aufstelle und indem ich mir den Grenzzustand

35:55.730 --> 36:00.330
anschaue, dass die Haftkraft gerade µ0 mal n ist.

36:00.450 --> 36:05.270
Die Haftkraft, die ich aufwenden muss, ist gerade µ0 mal n und dann

36:05.270 --> 36:08.190
erhalte ich die Masse, die ich mir hier erlauben kann.

36:08.190 --> 36:10.350
Machen wir das Ganze Schritt für Schritt.

36:11.010 --> 36:12.930
Erstens einen sauberen Freischnitt.

36:21.600 --> 36:23.520
Wo müssen wir überall schneiden?

36:24.060 --> 36:29.860
Wir müssen einmal die Seilkraft bestimmen, also die Masse von dem Seil

36:29.860 --> 36:32.400
abschneiden, klar, das haben wir schon oft genug gemacht.

36:33.300 --> 36:37.980
Und zum anderen müssen wir hier an den Kontaktpunkten die Walze

36:37.980 --> 36:38.780
freischneiden.

36:40.680 --> 36:42.960
Dann sieht also unser Gebilde so aus.

36:43.060 --> 36:49.160
Wir haben hier die große Walze, in der Mitte haben wir noch diese

36:49.160 --> 36:58.480
kleine Rolle, an der Rolle wirkt die Seilkraft, S1 meinetwegen.

37:00.340 --> 37:06.880
Diese Seilkraft hat die Größe m mal g, Aktio gleich Reaktio, klar,

37:07.140 --> 37:14.360
hier haben wir die Masse, m mal g, S1 und damit wissen wir, S1 ist

37:14.360 --> 37:16.160
gleich m mal g, klarer Fall.

37:17.680 --> 37:28.240
Der Abstand hier ist klein r, der Radius nach außen, der ist groß A

37:28.240 --> 37:33.240
und jetzt haben wir noch die beiden Kontaktpunkte, einmal hier unten,

37:33.800 --> 37:34.580
einmal dort oben.

37:34.580 --> 37:41.460
Da wirken also jetzt Normalkräfte, die das Eindringen des Körpers in

37:41.460 --> 37:45.360
die Wand verhindern, also nennen wir den Kontaktpunkt 2 und den

37:45.360 --> 37:46.860
Kontaktpunkt hier unten 1.

37:48.520 --> 37:55.140
Und es wirken Haftkräfte, die entgegengesetzt der Bewegungsmöglichkeit

37:55.140 --> 37:58.080
dieser Walze sind.

37:58.680 --> 38:02.080
Jetzt wollen wir uns das mal überlegen, stellen wir uns mal vor, da

38:02.080 --> 38:06.920
unten zieht jemand mit einer sehr großen Kraft an dieser Walze.

38:07.840 --> 38:08.980
Was wird passieren?

38:09.280 --> 38:13.620
Die Walze wird sich so lang drehen, im Uhrzeigersinn.

38:14.640 --> 38:17.640
Die Haftkräfte werden also diese Drehung verhindern müssen.

38:18.420 --> 38:26.200
Dann muss also die Haftkraft hier oben, nach oben gerichtet sein und

38:26.200 --> 38:31.920
die Haftkraft an dieser Stelle muss nach rechts zeigen.

38:33.340 --> 38:38.420
So, damit haben wir den Freischnitt aber vollständig darzustehen.

38:39.320 --> 38:42.260
Jetzt brauchen wir als nächstes die Gleichgewichtsbedingungen.

38:56.080 --> 38:59.500
Gleichgewichtsbedingungen können wir drei Stück formulieren.

39:00.280 --> 39:03.220
Zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen, eine

39:03.220 --> 39:04.180
Momentengleichgewichtsbedingung.

39:05.030 --> 39:10.100
Für die Momentengleichgewichtsbedingung würde es sich ja anbieten, mal

39:10.100 --> 39:15.560
eine Kombination aus Haft und Normalkraft einfach auszuschalten, indem

39:15.560 --> 39:19.040
wir das Momentengleichgewicht um einen der beiden Kontaktpunkte

39:19.040 --> 39:19.660
formulieren.

39:20.400 --> 39:26.900
Da bietet sich, egal welcher an, ich habe mal hier unten den Punkt A

39:26.900 --> 39:27.560
verwendet.

39:27.560 --> 39:34.360
Also, was wir formulieren, ist das horizontale Kräftegleichgewicht in

39:34.360 --> 39:35.120
X -Richtung.

39:35.540 --> 39:38.420
Geben wir hier noch ein schönes Koordinatensystem an.

39:38.420 --> 39:51.700
X, Y gleich Null, Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung und

39:51.700 --> 39:59.060
Momentengleichgewicht um den Punkt A gleich Null.

39:59.760 --> 40:01.320
Und da sollen Sie jetzt noch mal üben.

40:02.280 --> 40:05.540
Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen für dieses Problem.

40:05.700 --> 40:07.640
Kleine Wiederholung aus der Statik.

40:08.540 --> 40:11.720
Wenn Sie Fragen haben sollten, komme ich zu Ihnen hin, melden Sie sich

40:11.720 --> 40:13.040
einfach und dann helfe ich Ihnen.

42:51.220 --> 42:54.220
So, ich schreibe Ihnen die Gleichgewichtsbedingungen auf.

42:55.220 --> 43:05.540
In horizontaler Richtung haben wir H1 minus N2.

43:07.060 --> 43:19.770
In vertikaler Richtung haben wir N1 plus H2 minus MLG.

43:24.220 --> 43:25.580
Halt, ich habe etwas vergessen.

43:28.610 --> 43:30.470
Ich habe ja etwas vergessen.

43:31.750 --> 43:33.850
Hier ist noch die Gewichtskraft.

43:35.130 --> 43:39.910
Groß M mal G der großen Walze.

43:44.330 --> 43:47.290
Sehen Sie, wenn man den Freischnitt nicht sauber macht, da macht man

43:47.290 --> 43:48.190
sofort einen Fehler.

43:48.490 --> 43:49.330
Geht auch mir so.

43:49.910 --> 43:52.510
Wenn Sie eine Kraft im Freischnitt vergessen, werden Sie die auch

43:52.510 --> 43:54.750
meistens bei den Gleichgewichtsbedingungen vergessen.

43:54.750 --> 43:57.630
Also Gewicht der großen Walze.

43:58.150 --> 43:59.890
Groß M haben wir vergessen.

44:00.310 --> 44:01.830
Groß M mal G Gewichtskraft.

44:01.970 --> 44:05.310
Müssen wir im Gesamtschwerpunkt antragen, also genau in der Mitte.

44:05.830 --> 44:07.190
Haben wir jetzt nachgeholt.

44:07.590 --> 44:09.730
Jetzt brauchen wir noch das Momentengleichgewicht.

44:11.010 --> 44:12.150
Um den Punkt A.

44:13.330 --> 44:15.550
Da haben wir einmal die Seilkraft.

44:16.150 --> 44:16.870
S1.

44:18.090 --> 44:21.230
Die dreht mit dem Hebelarm klein R.

44:21.590 --> 44:23.310
Radius dieser kleinen Walze.

44:24.210 --> 44:27.310
Und sie dreht mathematisch negativ.

44:28.030 --> 44:29.410
Sie dreht im Uhrzeigersinn.

44:29.730 --> 44:32.250
Also minus M mal G mal R.

44:35.830 --> 44:39.410
Die Gewichtskraft Groß M mal G brauchen wir nicht berücksichtigen.

44:39.510 --> 44:42.170
Wir brauchen die Haftkraft H1 nicht berücksichtigen.

44:42.550 --> 44:45.590
Und wir brauchen die Normalkraft N1 nicht berücksichtigen.

44:46.170 --> 44:51.490
Wenn wir uns in den Punkt A stellen und den einfach mal festhalten.

44:51.490 --> 44:56.590
Wir haben also noch die Horizontalkraft H2 und die Normalkraft N2.

44:57.230 --> 45:02.050
Beide Kräfte drehen gegen den Uhrzeigersinn, also mathematisch

45:02.050 --> 45:02.530
positiv.

45:02.990 --> 45:08.010
Und in beiden Fällen ist der Hebelarm der Radius der großen Walze,

45:08.430 --> 45:09.550
nämlich klein A.

45:10.410 --> 45:19.670
Also plus H2 mal A plus N2 mal A.

45:20.590 --> 45:24.430
An dieser Stelle, wenn Sie die Gleichgewichtsbedingungen haben,

45:25.010 --> 45:28.870
sollten Sie zunächst einmal einen kleinen Moment innehalten und die

45:28.870 --> 45:29.990
Unbekannten zählen.

45:30.550 --> 45:32.570
Also, was ist uns hier alles unbekannt?

45:33.610 --> 45:40.330
Wir kennen die Reaktionskräfte nicht, also H1, N2, N1 und H2.

45:41.330 --> 45:43.330
Vier unbekannte Reaktionskräfte.

45:44.610 --> 45:47.490
Und außerdem wollten wir ja die Masse klein m bestimmen.

45:47.490 --> 45:48.650
Die hier.

45:49.670 --> 45:51.810
Also kennen wir wohl auch das klein m nicht.

45:52.950 --> 45:57.390
Damit haben wir fünf Unbekannte, aber nur drei Gleichungen.

45:58.130 --> 45:59.310
Das kann nicht gut gehen.

46:00.210 --> 46:01.670
Drei Gleichungen und fünf Unbekannte.

46:02.130 --> 46:05.330
Wir brauchen also noch zwei zusätzliche Gleichungen, um das Problem

46:05.330 --> 46:06.110
lösen zu können.

46:06.930 --> 46:08.730
Wie lauten die zusätzlichen Gleichungen?

46:10.110 --> 46:11.110
Wo bekomme ich die her?

46:13.670 --> 46:14.190
Vorschlag.

46:16.150 --> 46:17.250
Was weiß ich noch?

46:24.080 --> 46:27.200
Denken Sie an das, was ich Ihnen über das Haften erzählt habe.

46:28.520 --> 46:30.760
Denken Sie an den schönen Versuch, ich habe jetzt hier schon alles

46:30.760 --> 46:33.940
wieder zurückgebaut, damit wir keinen Ärger von den Chemikern

46:33.940 --> 46:35.920
bekommen, wenn wir hier den Hörsaal auseinander nehmen.

46:36.020 --> 46:37.280
Denken Sie an die schiefe Ebene.

46:39.860 --> 46:41.280
Was haben wir uns da angeschaut?

46:41.380 --> 46:45.180
Wir haben uns den Grenzzustand angeschaut, den Zustand, bei dem der

46:45.180 --> 46:47.820
Klotz gerade sich zu bewegen beginnt.

46:47.820 --> 46:50.540
Was gilt in diesem Grenzzustand?

46:53.460 --> 46:54.720
Vorschlag.

46:57.640 --> 47:08.560
Es gilt H gleich µ0 mal n.

47:16.380 --> 47:20.820
Jetzt kann ich für dieses Problem diese Gleichung gleich zweimal

47:20.820 --> 47:21.440
aufschreiben.

47:21.840 --> 47:27.600
Einmal an der Kontaktstelle A, H1 gleich µ0 mal n1.

47:28.240 --> 47:34.760
Und dann für die Kontaktstelle 2, H2 gleich µ0 mal n2.

47:36.140 --> 47:39.460
Jetzt werden Sie vielleicht sagen, naja, jetzt hat er ja fünf

47:39.460 --> 47:42.660
Gleichungen, aber eigentlich hat er jetzt sechs Unbekannte.

47:43.200 --> 47:44.740
Nämlich µ0.

47:48.460 --> 47:52.200
Aber µ0 kann ich aus einem einfachen Experiment bestimmen.

47:52.720 --> 47:55.900
Haben wir eben gemacht, Klotz auf der schiefen Ebene, schon habe ich

47:55.900 --> 47:56.920
mein µ0 bestimmt.

47:56.920 --> 48:06.600
Also µ0 ist unser Haftbeiwert und den nehmen wir als bekannt an.

48:10.640 --> 48:14.160
Und dann habe ich tatsächlich fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten.

48:14.640 --> 48:17.800
Und jetzt kann ich nach der Masse klein m auflösen.

48:18.820 --> 48:20.800
Also wie gehe ich da beispielsweise vor?

48:21.320 --> 48:24.340
Ich sehe aus der ersten Gleichung, nummerieren wir die mal durch,

48:24.340 --> 48:26.640
erstens, zweitens, drittens.

48:27.700 --> 48:32.180
Aus der ersten Gleichung sehe ich sofort H1 gleich n2.

48:35.320 --> 48:47.440
Dann weiß ich aus der Haftbeziehung, H2 ist gleich µ0 mal n2, also µ0

48:47.440 --> 48:55.600
mal H1 ist gleich µ0 zum Quadrat mal n1.

48:56.500 --> 49:00.740
Also die haben wir alle miteinander jetzt in eine Beziehung gesetzt.

49:01.340 --> 49:03.820
Die vier unbekannten Reaktionskräfte.

49:04.760 --> 49:12.100
Jetzt kann ich mir einfach die Gleichung 3 hernehmen, kann dort H2 und

49:12.100 --> 49:16.820
n2 eliminieren, dann erhalte ich immer noch eine Unbekannte da drin,

49:16.960 --> 49:28.360
also H2 kann ich beispielsweise jetzt ersetzen durch µ0 mal H1 und n2

49:28.360 --> 49:30.560
kann ich ebenfalls durch H1 ersetzen.

49:33.300 --> 49:34.860
Also machen wir das.

49:35.860 --> 49:47.960
0 gleich minus M mal G mal R plus µ0 mal H1 plus A mal H1.

49:49.560 --> 49:53.660
Und jetzt kann ich mir die zweite Gleichung hernehmen und kann in der

49:53.660 --> 49:59.460
zweiten Gleichung ebenfalls die Ersetzung vornehmen, also ich kann mir

49:59.460 --> 50:00.740
H1 ausrechnen.

50:01.340 --> 50:04.640
Dazu setze ich in zweitens.

50:10.110 --> 50:30.450
n1 ist µ0 mal H1, also H1 durch µ0 plus H2, µ0 mal H1 minus M mal G

50:30.450 --> 50:32.750
minus M mal G.

50:36.530 --> 50:43.210
Und jetzt kann ich beispielsweise aus der Gleichung drittens, also H1

50:43.210 --> 50:55.610
eliminieren, dann erhalte ich H1 gleich M mal G mal R geteilt durch µ0

50:55.610 --> 50:58.690
plus A.

51:00.390 --> 51:03.710
Halt, da haben wir was vergessen, da haben wir ein A vergessen hier an

51:03.710 --> 51:04.210
der Stelle.

51:04.830 --> 51:13.910
A mal µ0 plus A gleich M mal G mal R, 1 plus µ0 mal A.

51:13.910 --> 51:21.670
Wir setzen dieses Ergebnis in diese Gleichung ein und stellen nach

51:21.670 --> 51:28.770
klein M frei und erhalten klein M gleich.

51:32.450 --> 51:53.150
Groß M R 1 plus µ0 zum Quadrat geteilt durch A µ0 1 plus µ0 minus 1 im

51:53.150 --> 51:53.410
Nenner.

51:55.710 --> 51:57.110
Also was sehen wir?

52:01.830 --> 52:09.770
Das klein M, also das was ich mir dort erlauben kann an Gewicht, was

52:09.770 --> 52:17.350
ich dort ranhängen kann an Masse, hängt ab von der Masse M.

52:18.490 --> 52:26.170
Je größer M, desto größer die Masse klein M.

52:27.730 --> 52:32.950
Je mehr Masse im Schwerpunkt konzentriert ist, der Walze, desto mehr

52:32.950 --> 52:37.950
Masse kann ich dort heranhängen und die Walze bleibt in dieser Ecke

52:37.950 --> 52:38.370
stehen.

52:39.110 --> 52:41.310
Und dann hängt es natürlich von den Hebelarmen ab.

52:41.850 --> 52:44.530
Klar, klein R wandert in den Nenner.

52:44.930 --> 52:48.570
Je größer dieser Hebelarm klein R wird, desto gefährlicher ist der

52:48.570 --> 52:50.630
Einfluss der Masse, der drehende Effekt.

52:50.830 --> 52:57.010
Das heißt, je größer klein R ist, desto kleiner ist die Masse, die ich

52:57.010 --> 52:57.910
mir noch erlauben kann.

52:58.370 --> 53:01.710
Wenn ich die Masse genau in den Schwerpunkt aufhängen würde, dann wäre

53:01.710 --> 53:02.650
ja alles in Ordnung.

53:03.250 --> 53:05.970
Dann würde gar nichts passieren, wir hätten ein statisches

53:05.970 --> 53:06.710
Gleichgewicht.

53:07.710 --> 53:10.470
Und mit klein a verhält es sich genau umgekehrt.

53:10.570 --> 53:17.750
Je größer der Radius der äußeren Walze, desto größer ist der Abstand

53:17.750 --> 53:23.810
der Haftkräfte vom Zentrum und desto größer wird der Hebelarm dieser

53:23.810 --> 53:27.650
Haftkräfte und damit wird der Einfluss der Haftkraft größer.

53:27.970 --> 53:31.570
Also ich kann mir wieder eine größere Masse M erlauben.

53:33.850 --> 53:34.970
Damit genug.

53:35.450 --> 53:39.530
Ein paar bunte Bilderchen, um Ihnen praktische Anwendungen zu zeigen.

53:40.390 --> 53:41.870
Bleiben wir bei diesen Walzen.

53:44.370 --> 53:47.110
Schauen wir uns jetzt diese Konfiguration an.

53:47.630 --> 53:52.430
Wir haben drei Röhren aufeinander gelegt, finden Sie häufig auf

53:52.430 --> 53:52.990
Baustellen.

53:53.070 --> 53:55.350
Da werden die Röhren einfach so übereinander gestapelt.

53:56.170 --> 53:59.710
Ist eigentlich eine ganz schön gewagte Sache, würde man denken.

53:59.710 --> 54:07.270
Hier unten ist nirgendwo ein Keil, der diese Walzen irgendwie am

54:07.270 --> 54:08.210
Wegrollen hält.

54:08.770 --> 54:11.210
Die liegen einfach so auf der Oberfläche.

54:12.350 --> 54:20.290
Natürlich, unter dem Eigengewicht der Walze hier oben, möchten sich

54:20.290 --> 54:24.850
diese Walzen gerne nach außen bewegen und werden nach außen

54:24.850 --> 54:25.490
weggedrückt.

54:26.210 --> 54:30.570
Aber wenn wir uns das anschauen, hier unten sehen Sie den Freischnitt.

54:33.510 --> 54:40.450
Dann gibt es dort Haftkräfte, die dem Ganzen entgegenwirken.

54:41.350 --> 54:49.190
Wir sehen Haftkräfte einmal zwischen den Walzen, hier und hier.

54:51.750 --> 54:56.870
Die dafür sorgen, dass die untere Walze nicht weggedrückt wird und

54:56.870 --> 55:01.710
Haftkräfte an der Oberfläche zum Boden ebenfalls der Bewegung

55:01.710 --> 55:02.790
entgegengesetzt.

55:03.670 --> 55:08.750
Untere Rolle möchte nach außen rollen, Haftkraft wirkt dem entgegen.

55:08.890 --> 55:14.330
Also schauen Sie sich immer an bei diesen Beispielen, wie hier diese

55:14.330 --> 55:16.110
Haftkraft angetragen ist.

55:17.250 --> 55:21.070
Das nächste ist ein wunderschönes Modell.

55:21.190 --> 55:24.530
Da könnten Sie sich vorstellen, dieser kleine Körper hier ist Ihre

55:24.530 --> 55:25.210
Bandscheibe.

55:27.130 --> 55:31.590
Hier sitzt Ihr Wirbel drauf und Sie belasten den Wirbel mit Ihrem

55:31.590 --> 55:35.430
Gewicht und irgendwann wird diese Bandscheibenmasse herausgedrückt.

55:37.010 --> 55:41.390
Also, wenn hier oben dieses Gewicht immer weiter zunimmt, dann

55:41.390 --> 55:43.710
marschiert dieser Körper nach außen.

55:45.490 --> 55:53.350
Das heißt, an der Oberfläche entsteht dann hier eine Haftkraft, die

55:53.350 --> 55:57.230
dem Ganzen entgegengesetzt ist, die also gerade verhindert, dass diese

55:57.230 --> 55:58.630
Bandscheibe herausdrückt.

55:59.170 --> 56:04.030
Wir haben die Normalkraft der Oberfläche, also alles richtig

56:04.030 --> 56:04.870
eingezeichnet.

56:05.590 --> 56:08.610
Und häufig haben Sie dann Anwendungen noch, wie diese Gewindestange,

56:08.610 --> 56:15.110
bei denen also ein Gewinde für Haften sorgt, also dafür sorgt, dass

56:15.110 --> 56:17.770
diese Verbindung nicht aus der Wand herauskommt.

56:18.350 --> 56:20.170
Hier sehen Sie ein paar typische Anwendungen.

56:20.710 --> 56:23.830
Ganz rechts unten, wunderschöne Sache, ist schon sehr alt, kannten

56:23.830 --> 56:24.810
schon die alten Römer.

56:25.710 --> 56:30.190
Also, Sie haben so einen Greifer, gehen damit innen in die Röhre rein

56:30.190 --> 56:32.190
und können die Röhre jetzt anheben.

56:32.190 --> 56:38.530
Allein durch die Haftkraft an dieser Oberfläche wird diese Röhre

56:38.530 --> 56:38.990
gehalten.

56:40.010 --> 56:40.950
Wie ist das möglich?

56:41.070 --> 56:43.950
Die Normalkraft wird durch diesen Mechanismus sehr groß.

56:44.610 --> 56:48.230
Große Normalkraft heißt H gleich 0 mal N.

56:48.590 --> 56:53.010
Ich kann mir viel Haftkraft hier erlauben, um tatsächlich so viel

56:53.010 --> 56:57.250
Haftkraft zu haben, dass ich das Eigengewicht dieser Röhre damit

56:57.250 --> 56:58.910
tragen und transportieren kann.

57:00.030 --> 57:04.410
Typische Anwendungen, Hebebühnen, hier dargestellt, oder in Ihrer

57:04.410 --> 57:07.970
Werkstatt, zu Hause Hobbywerkstatt, hier so ein Schraubstock.

57:08.870 --> 57:12.950
Sie können jetzt an diesem Bauteil, an diesem Holzklotz, rumsägen, wie

57:12.950 --> 57:13.470
Sie wollen.

57:13.850 --> 57:17.170
Wenn Sie hier durch Anziehen des Schraubstocks für eine hohe

57:17.170 --> 57:21.950
Normalkraft sorgen, haben Sie viel Haftkraft zur Verfügung, um selbst,

57:22.110 --> 57:26.210
wenn Sie wie ein Verrückter sägen, diese Kräfte noch aufzunehmen,

57:26.330 --> 57:28.130
sodass Ihr Werkstück nicht verrutscht.

57:28.890 --> 57:33.930
Wenn Sie dagegen meinen, Sie müssten die Oberfläche Ihres Werkstücks

57:33.930 --> 57:37.230
vielleicht noch einölen, dann können Sie natürlich nicht mehr viel

57:37.230 --> 57:37.990
Haftkraft übertragen.

57:38.650 --> 57:42.150
Dann sinkt Ihr Haftballwert mü 0, wenn Sie natürlich einen kleinen

57:42.150 --> 57:45.310
Haftballwert haben, und Sie fangen dann an, wie verrückt zu sägen,

57:45.410 --> 57:48.230
oder Sie spannen den Schraubstock nicht fest genug.

57:48.870 --> 57:51.330
Wollen Sie vielleicht nicht, damit Sie die Oberfläche nicht

57:51.330 --> 57:54.650
beschädigen und eindrücken, dann haben Sie eventuell nicht genug

57:54.650 --> 57:57.370
Haftkraft und Ihr Bauteil verrutscht Ihnen.

57:57.910 --> 58:00.790
Dann bitten Sie einfach Ihren Freund, Kommilitonen, Kollegen zur

58:00.790 --> 58:03.010
Hilfe, der soll dann vielleicht auch noch ein bisschen mit

58:03.010 --> 58:05.570
draufdrücken, dann passt das Ganze schon.

58:06.190 --> 58:12.290
Also, viele, viele praktische Anwendungen dieses Themas Klotz auf der

58:12.290 --> 58:17.790
schiefen Ebene, hier bei technischen Systemen, einfach die Haftkraft,

58:18.250 --> 58:21.110
und jetzt komme ich noch in der letzten halben Stunde zu einer

58:21.110 --> 58:24.810
besonders schönen Anwendung, das ist die sogenannte Seilbeibung.

58:26.910 --> 58:29.410
Schauen wir uns das Seilhaften an.

58:30.910 --> 58:31.990
Was ist hier los?

58:32.750 --> 58:36.750
Wir legen ein Seil, haben wir ein Seil, nehmen Sie immer ein Kabel,

58:36.750 --> 58:40.190
wir legen das über so einen Klotz rüber,

58:43.920 --> 58:50.840
auf dieser ganzen Oberfläche haftet das Seil, und jetzt gibt es zwei

58:50.840 --> 58:51.580
Möglichkeiten.

58:53.020 --> 58:59.400
An der einen Seite stehen Sie und ziehen an dem Seil, und an der

58:59.400 --> 59:03.280
anderen Seite zieht eine Masse und zieht natürlich auch an dem Seil.

59:04.140 --> 59:08.700
Gibt zwei Möglichkeiten, entweder Sie sind stärker als die Masse, dann

59:08.700 --> 59:12.760
rutscht das Seil zu Ihnen rüber, oder die Masse ist stärker als Sie,

59:13.240 --> 59:16.980
oder Sie lassen los, dann rutscht die Masse nach unten in die Tiefe.

59:18.500 --> 59:22.120
Diese beiden Fälle müssen wir wieder unterscheiden, wir müssen wieder

59:22.120 --> 59:27.300
die Bewegung analysieren und uns überlegen, in welche Richtung soll

59:27.300 --> 59:28.620
die Bewegung einsetzen.

59:28.620 --> 59:33.240
Ich habe mich hier für den Fall entschieden, dass Sie stärker sind als

59:33.240 --> 59:34.460
die Masse.

59:34.900 --> 59:39.160
Das heißt, Sie ziehen an dem Seil und die Masse rutscht nach oben.

59:40.300 --> 59:46.540
Die Masse soll sich nach oben bewegen und das Seil also zu Ihnen rüber

59:46.540 --> 59:46.960
rutschen.

59:47.500 --> 59:52.040
Und wir fragen uns wieder nach dem Grenzzustand, das heißt, welche

59:52.040 --> 01:00:00.680
Seilkraft S2 ist erforderlich oder maximal möglich?

01:00:05.490 --> 01:00:07.650
S2 ist maximal möglich,

01:00:13.910 --> 01:00:18.130
damit das Seil nicht rutscht.

01:00:28.800 --> 01:00:30.180
So, Fragezeichen.

01:00:31.400 --> 01:00:34.160
Die Frage möchte ich jetzt mit Ihnen beantworten.

01:00:36.140 --> 01:00:38.180
Worin besteht jetzt die Schwierigkeit?

01:00:39.280 --> 01:00:42.520
Die Schwierigkeit besteht jetzt darin, dass unsere Oberfläche ja nicht

01:00:42.520 --> 01:00:47.740
mehr geraden ist, sondern gekrümmt, dass es eine Kreisoberfläche ist,

01:00:47.840 --> 01:00:49.420
ein Ausschnitt eines Kreises.

01:00:50.400 --> 01:00:53.060
Wie groß dieser Ausschnitt ist, hängt von dem sogenannten

01:00:53.060 --> 01:00:54.820
Umschlingungswinkel Alpha ab.

01:00:56.560 --> 01:01:01.400
Der Umschlingungswinkel Alpha markiert also den Teil des Kreisbogens,

01:01:01.400 --> 01:01:04.540
an dem das Seil an der Oberfläche haftet.

01:01:04.600 --> 01:01:09.200
Der geht also von hier bis ungefähr hier und dort löst sich das Seil

01:01:09.200 --> 01:01:10.160
von der Oberfläche.

01:01:10.780 --> 01:01:15.840
In diesem gesamten Bereich, für diesen Winkel Alpha, liegt hier

01:01:15.840 --> 01:01:18.500
überall Haften an der Oberfläche vor.

01:01:20.140 --> 01:01:23.060
Hier überall haftet das Seil an der Oberfläche.

01:01:25.940 --> 01:01:29.620
Und das ist jetzt die Schwierigkeit, dass diese Oberfläche gekrümmt

01:01:29.620 --> 01:01:33.180
ist und wir diese gekrümmte Oberfläche betrachten müssen.

01:01:33.720 --> 01:01:37.940
Da machen wir es uns halt etwas einfach und schneiden einfach mal ein

01:01:37.940 --> 01:01:45.020
kleines Element aus diesem Seil heraus und schneiden dieses kleine

01:01:45.020 --> 01:01:45.940
Element frei.

01:01:46.640 --> 01:01:49.960
Sie sehen, ich habe hier den Winkel Phi eingezeichnet, der läuft von

01:01:49.960 --> 01:01:51.340
rechts los.

01:01:53.060 --> 01:01:58.640
Phi gleich Null würde also bedeuten, wenn der Umschlingungswinkel Phi

01:01:58.640 --> 01:02:03.320
wäre und Phi gleich Null wäre, würde das Seil gerade senkrecht stehen,

01:02:03.720 --> 01:02:09.940
die Seilkraft wäre Q oder m mal g, wenn dort eine Masse m dranhinge

01:02:09.940 --> 01:02:12.680
und wir würden das Seil nur senkrecht halten.

01:02:13.540 --> 01:02:16.940
Jetzt schneiden wir unter dem Winkel Phi, also ähnlich wie bei den

01:02:16.940 --> 01:02:17.660
Schnittkräften.

01:02:18.600 --> 01:02:20.080
Was sehen wir dort?

01:02:20.160 --> 01:02:24.460
Wir schneiden ein Winkelelement Delta Phi heraus, so ein Tortenstück.

01:02:32.720 --> 01:02:39.160
Wir sehen an dieser Stelle, an der wir hier dieses Stück

01:02:39.160 --> 01:02:46.040
herausschneiden, eine Normalkraft, die verhindert, dass das Seil in

01:02:46.040 --> 01:02:47.340
den Körper eindringt.

01:02:48.440 --> 01:02:52.780
Die nennen wir mal Delta N, weil wir uns auf dieses Teilstück Delta

01:02:52.780 --> 01:02:53.540
Phi beziehen.

01:02:56.220 --> 01:02:57.480
Delta Phi.

01:02:59.540 --> 01:03:05.320
Und wir sehen eine Haftkraft, die der Bewegung entgegengesetzt

01:03:05.320 --> 01:03:11.960
arbeitet und die Tangential zu der Oberfläche verläuft.

01:03:14.420 --> 01:03:16.060
Delta H.

01:03:19.080 --> 01:03:20.840
Jetzt haben wir noch Seilkräfte.

01:03:22.320 --> 01:03:25.320
Wir haben ja das Seil durchgeschnitten, wenn wir dieses kleine

01:03:25.320 --> 01:03:27.520
Winkelstückchen Delta S betrachten.

01:03:28.340 --> 01:03:30.680
Und da müssen wir eigentlich genauso vorgehen wie bei den

01:03:30.680 --> 01:03:34.760
Schnittreaktionen, nur wir haben es mit einem Seil zu tun.

01:03:35.240 --> 01:03:38.100
Das heißt, wir wissen sofort, es kann keine Querkraft entstehen.

01:03:38.620 --> 01:03:40.460
Ein Seil kann keine Querkraft aufnehmen.

01:03:40.900 --> 01:03:44.660
Ein Seil kann keinen Biegemoment aufnehmen, ist biegeschlaff.

01:03:44.660 --> 01:03:47.680
Ein Seil kann also nur Zugkräfte aufnehmen.

01:03:47.820 --> 01:03:53.840
Das heißt, wir haben hier eine Zugkraft des Seils und auf der anderen

01:03:53.840 --> 01:03:55.360
Seite auch eine Zugkraft.

01:03:57.280 --> 01:04:01.060
Aber diese beiden Zugkräfte sind natürlich nicht genau gleich groß und

01:04:01.060 --> 01:04:04.140
entgegengesetzt, denn wir haben nicht nur an einem Punkt

01:04:04.140 --> 01:04:07.120
freigeschnitten, sondern wir haben ein kleines, kleines Seilelement.

01:04:07.120 --> 01:04:12.740
Das heißt, auf der rechten Seite wird die Seilkraft noch etwas kleiner

01:04:12.740 --> 01:04:14.620
sein als auf der linken Seite.

01:04:14.740 --> 01:04:18.180
Schreiben wir dafür, hier ist die Seilkraft S und hier haben wir dann

01:04:18.180 --> 01:04:19.800
schon S plus Delta S.

01:04:21.680 --> 01:04:28.680
Denn diese Seilkraft S2 ist ja größer als die Seilkraft S1.

01:04:29.660 --> 01:04:31.460
Jetzt haben wir ein ganz kleines Problem.

01:04:34.140 --> 01:04:38.520
Die Haftkraft greift tangential an der Oberfläche an.

01:04:39.220 --> 01:04:43.780
Diese beiden Seilkräfte, die gehen aber in Richtung des Seils und das

01:04:43.780 --> 01:04:46.440
Seil ist hier schon ein kleines Stückchen weiter gegangen.

01:04:47.080 --> 01:04:53.620
Hier ist ein Winkel zwischen Seil, Richtung der Seilkraft und Richtung

01:04:53.620 --> 01:04:54.500
der Haftkraft.

01:04:55.500 --> 01:04:57.680
Und die Frage ist, wie groß ist dieser Winkel?

01:04:59.540 --> 01:05:02.540
Dazu zeichnen wir uns hier die Winkelhalbierende ein.

01:05:03.820 --> 01:05:07.720
Und die Winkelhalbierende, die verläuft genau in Richtung der

01:05:07.720 --> 01:05:11.540
Normalkraft, denn die Normalkraft greift genau in der Mitte von diesem

01:05:11.540 --> 01:05:12.980
kleinen Winkelelement an.

01:05:13.980 --> 01:05:16.660
Und diese Winkelhalbierende, die finden wir hier oben wieder.

01:05:17.100 --> 01:05:20.140
Das heißt, dieser Winkel ist Delta Phi Halbe.

01:05:20.720 --> 01:05:25.100
Und hier drüben ist das auch der Winkel Delta Phi Halbe.

01:05:27.680 --> 01:05:31.060
Jetzt können wir für diesen Freischnitt das Kräftegleichgewicht

01:05:31.060 --> 01:05:31.680
aufstellen.

01:05:32.520 --> 01:05:36.980
Einmal in normaler Richtung, Delta N, und dann in tangentialer

01:05:36.980 --> 01:05:39.900
Richtung, Delta H.

01:05:40.620 --> 01:05:44.740
Das heißt, ich führe ein Kräftegleichgewicht ein, Summe aller Kräfte

01:05:44.740 --> 01:05:48.560
in X-Richtung gleich Null und meine damit in Richtung der

01:05:48.560 --> 01:05:53.940
Horizontalkraft und Summe aller Kräfte in Y-Richtung gleich Null.

01:05:53.940 --> 01:05:58.720
Das heißt, mein Koordinatensystem, das ich verwende, verläuft hier

01:05:58.720 --> 01:06:06.400
tangential X und senkrecht zur Oberfläche Y an diesem kleinen

01:06:06.400 --> 01:06:11.380
ausgeschnittenen Winkelelement mit dem Winkel Delta Phi.

01:06:12.540 --> 01:06:14.480
Was haben wir hier in X-Richtung?

01:06:15.260 --> 01:06:16.120
Was denn?

01:06:18.020 --> 01:06:18.580
Oha.

01:06:19.600 --> 01:06:20.880
Wie kriegen wir den denn wieder hin?

01:06:44.410 --> 01:06:44.970
Uiuiui.

01:06:46.070 --> 01:06:47.050
Dann machen wir es so.

01:06:53.770 --> 01:06:58.870
Bis der Projektor wieder da ist, schreibe ich Ihnen das Ergebnis an

01:06:58.870 --> 01:06:59.650
die Tafel an.

01:07:00.290 --> 01:07:05.270
Ich bin mal optimistisch und hoffe, der Projektor kommt gleich wieder.

01:07:29.240 --> 01:07:30.120
Also.

01:07:36.770 --> 01:07:39.830
Ich zeige Ihnen hier noch mal ein Beispiel drauf.

01:07:45.800 --> 01:07:48.500
Tangential verläuft Delta A.

01:07:51.780 --> 01:07:55.160
Normalverläuft Delta B.

01:07:55.700 --> 01:08:00.080
Hier haben wir gerade die Winkelradierende, Delta Phi Alpha.

01:08:01.160 --> 01:08:06.020
Hier haben wir die Gleichkraft S plus Delta S.

01:08:06.020 --> 01:08:14.580
Hier haben wir die Gleichkraft S und der Winkel zwischen diesen beiden

01:08:14.580 --> 01:08:17.860
Gleichkräften, der ist Delta Phi Alpha.

01:08:20.720 --> 01:08:26.960
Unser Koordinatensystem, das wir verwenden wollen, und machen es noch

01:08:26.960 --> 01:08:31.760
mal unterschiedlich, vielleicht kommt er ja noch mal wieder,

01:08:35.360 --> 01:08:36.520
ist dieses hier.

01:08:42.440 --> 01:08:43.140
YX8.

01:08:46.530 --> 01:08:49.410
Bis ich das Projektor gleich wieder hingeschrieben habe, ist der

01:08:49.410 --> 01:08:50.570
Übergreif wieder da.

01:08:58.020 --> 01:09:01.780
Liefert hier Minus Delta A.

01:09:08.660 --> 01:09:10.820
Okay, dann können wir das auch hier weitermachen.

01:09:11.100 --> 01:09:13.700
Also Minus Delta H haben wir schon mal festgestellt.

01:09:15.460 --> 01:09:18.360
Jetzt haben wir noch die Anteile aus der Seilkraft.

01:09:19.420 --> 01:09:20.680
S plus Delta S.

01:09:22.100 --> 01:09:23.180
Minus S.

01:09:28.230 --> 01:09:29.930
Plus Minus S.

01:09:31.310 --> 01:09:32.690
Plus Delta S.

01:09:32.690 --> 01:09:34.290
S plus Delta H?

01:09:35.830 --> 01:09:40.010
Ne, wenn die X-Richtung nach rechts zeigt, dann ist es Minus Delta H.

01:09:44.600 --> 01:09:46.340
X zeigt nach rechts.

01:09:50.100 --> 01:09:53.940
Wir ziehen ja das Seil nach links rüber, Delta H zeigt nach rechts.

01:09:54.500 --> 01:09:55.600
Hier habe ich mich vertan.

01:09:59.860 --> 01:10:01.900
Hier, die Beispiele sind da drin.

01:10:02.460 --> 01:10:04.740
Und dann ist es Plus Delta H von links.

01:10:05.720 --> 01:10:09.480
Also, Plus Delta H, Sie haben völlig recht.

01:10:10.600 --> 01:10:12.000
S zeigt positiv.

01:10:13.040 --> 01:10:15.940
S plus Delta S zeigt in die negative Richtung.

01:10:17.660 --> 01:10:24.900
Und die Winkelfunktion dazwischen, in H-Richtung, ist das der Posinus.

01:10:26.860 --> 01:10:28.820
Posinus Delta V Halber.

01:10:30.620 --> 01:10:35.540
In Normalrichtung ist das die Normalkraft Delta N.

01:10:37.860 --> 01:10:41.780
Und jeweils von den Winkeln S plus Delta S und S.

01:10:42.880 --> 01:10:45.020
In Richtung von Delta N zeigend.

01:10:46.140 --> 01:10:49.140
Ne, entgegengesetzt zeigend, nach unten zeigend.

01:10:49.140 --> 01:10:58.960
Minus S plus Delta S Sinus Delta V Halber.

01:11:01.060 --> 01:11:07.300
So, dann erhalten wir also aus der ersten Gleichung...

01:11:07.300 --> 01:11:11.060
Delta H gleich.

01:11:12.180 --> 01:11:19.260
Delta S Posinus Delta V Halber.

01:11:21.480 --> 01:11:25.820
Wir erhalten aus der zweiten Gleichung...

01:11:25.820 --> 01:11:29.660
Delta N gleich.

01:11:30.740 --> 01:11:34.440
Zwei S plus Delta S...

01:11:41.180 --> 01:11:45.220
mal Sinus Delta V Halber.

01:11:47.860 --> 01:11:51.560
Jetzt nehmen wir an, dass wir kleine Winkel haben.

01:11:51.700 --> 01:11:54.180
Wir schneiden ja nur so ein kleines Winkel-Element aus.

01:11:54.700 --> 01:11:59.040
Im Grenzübergang geht Delta V gegen das Differential dV.

01:12:00.700 --> 01:12:07.180
Der Posinus von Delta V Halber marschiert dann gegen 1...

01:12:07.180 --> 01:12:15.620
und der Sinus von Delta V Halber marschiert dann gegen dV Halber.

01:12:16.560 --> 01:12:18.900
Dann lauten also meine beiden Gleichungen.

01:12:19.900 --> 01:12:24.220
dH gleich dS...

01:12:24.220 --> 01:12:30.740
und dN gleich 2S mal dV Halber.

01:12:31.460 --> 01:12:34.460
Also S mal dV.

01:12:37.320 --> 01:12:41.060
Außerdem weiß ich, dass an der Haftgrenze...

01:12:41.060 --> 01:12:43.540
H gleich µ0 mal N gilt.

01:12:44.260 --> 01:12:51.280
Damit kann ich schreiben dH gleich µ0 mal dN.

01:12:53.000 --> 01:12:55.940
Das sind meine drei Gleichungen, die mir zur Verfügung stehen.

01:12:56.680 --> 01:13:00.840
Die ersten beiden Gleichungen kommen aus dem Kräftegleichgewicht.

01:13:01.360 --> 01:13:07.680
Die dritte Gleichung kommt aus der Beziehung für die Haftgrenze...

01:13:07.680 --> 01:13:09.780
aus der Betrachtung des Grenzzustands.

01:13:09.780 --> 01:13:12.160
Jetzt sehen wir wieder die Unbekannten.

01:13:13.500 --> 01:13:18.860
Unbekannt sind H, N und S.

01:13:20.580 --> 01:13:23.340
Drei unbekannte, drei Gleichungen, das geht auch.

01:13:24.120 --> 01:13:27.580
An den Reaktionskräften H und N sind wir nicht interessiert, sondern

01:13:27.580 --> 01:13:29.760
wir sind an der Frage interessiert...

01:13:29.760 --> 01:13:32.960
Wie groß ist die Seilkraft S2?

01:13:34.420 --> 01:13:36.160
Die interessiert uns.

01:13:37.720 --> 01:13:39.000
Das wollen wir wissen.

01:13:39.100 --> 01:13:44.180
Wie groß muss der Mensch dort höchstens dran ziehen, damit das Seil

01:13:44.180 --> 01:13:44.900
nicht rutscht?

01:13:46.800 --> 01:13:52.380
Also lösen wir das Ganze auf nach dS und S.

01:13:53.060 --> 01:13:56.300
Und Sie sehen, da bekomme ich natürlich eine Differenzialgleichung.

01:13:56.300 --> 01:14:06.220
Aus der ersten Gleichung erhalte ich dS gleich µ0 mal dN.

01:14:08.060 --> 01:14:12.160
Dann habe ich 1 und 3 miteinander kombiniert.

01:14:13.440 --> 01:14:17.700
Und wenn ich jetzt noch für dN SdP einsetze, erhalte ich dS...

01:14:17.700 --> 01:14:18.740
Jetzt ist es wieder aus.

01:14:20.000 --> 01:14:22.320
Wunderbare Technik bei den Chemikern.

01:14:23.440 --> 01:14:27.980
dS gleich µ0 SdP.

01:14:28.760 --> 01:14:31.640
Ich schreibe Ihnen die Gleichung an die Tafel und den Rest.

01:14:31.760 --> 01:14:33.960
Da muss ich nicht mehr viel zeichnen, da muss man nur noch ein

01:14:33.960 --> 01:14:34.540
bisschen rechnen.

01:14:35.260 --> 01:14:37.200
Den Rest rechnen wir ganz einfach aus.

01:14:37.200 --> 01:14:43.360
Also, dS gleich...

01:14:43.360 --> 01:14:44.400
Was hat man gesagt?

01:14:48.640 --> 01:14:50.400
dS gleich...

01:14:50.400 --> 01:14:52.660
Da muss ich mal hier auf meine Folie spickeln.

01:14:52.740 --> 01:14:53.220
dH.

01:14:53.800 --> 01:14:54.320
dN.

01:15:06.040 --> 01:15:10.880
µ0 dH gleich µ0 dN.

01:15:19.010 --> 01:15:19.730
dN.

01:15:20.070 --> 01:15:22.190
Sie setzen die zweite Gleichung hier ein.

01:15:23.750 --> 01:15:29.650
dS gleich µ0 mal SdP.

01:15:31.250 --> 01:15:33.410
Wie lösen Sie das Ganze auf?

01:15:34.090 --> 01:15:38.250
Das Ganze ist eine Differenzialgleichung, die wir auflösen durch

01:15:38.250 --> 01:15:38.930
Variablen.

01:15:43.910 --> 01:15:46.250
Den lernen Sie noch in der Mathematik kennen.

01:15:47.290 --> 01:15:48.910
Aber das ist nicht schwer zu verstehen.

01:15:49.690 --> 01:15:51.030
Sie schreiben das Ganze so.

01:15:52.390 --> 01:15:53.510
Variablen-Trennung.

01:15:53.930 --> 01:15:53.930
Warum?

01:15:53.930 --> 01:15:58.530
Weil alles, was mit S zu tun hat, jetzt auf der linken Seite steht.

01:15:59.830 --> 01:16:01.230
Hier steht das S.

01:16:04.290 --> 01:16:07.710
Und auf der rechten Seite steht alles, was mit V zu tun hat.

01:16:15.800 --> 01:16:18.180
Und jetzt integrieren wir einfach auf beiden Seiten.

01:16:19.860 --> 01:16:20.380
Unbestimmt.

01:16:24.200 --> 01:16:26.000
Integrieren auf beiden Seiten.

01:16:26.320 --> 01:16:27.080
Unbestimmt.

01:16:27.560 --> 01:16:36.080
Und erhalten µS minus µS0.

01:16:37.200 --> 01:16:39.300
Sie können das auch so schreiben.

01:16:39.300 --> 01:16:54.500
V1 in den Grenzen von V0 gleich µ0 mal V1.

01:17:00.180 --> 01:17:00.480
So.

01:17:03.860 --> 01:17:07.480
Jetzt ist die Frage, was muss ich für die Grenzen einsetzen, wenn ich

01:17:07.480 --> 01:17:09.000
hier integriere.

01:17:10.720 --> 01:17:13.980
Jetzt müsste ich natürlich wieder das schöne Bild von dem Seil haben.

01:17:14.420 --> 01:17:16.580
Also, ich zeichne es Ihnen nochmal an.

01:17:17.220 --> 01:17:18.680
Das Ganze sah so aus.

01:17:19.620 --> 01:17:20.820
Hier war unser Seil.

01:17:22.060 --> 01:17:27.480
Hier unten war letztlich das Gewicht.

01:17:27.900 --> 01:17:29.480
Und hier lief unser Winkel Pi.

01:17:32.720 --> 01:17:41.120
Das Ende des V1 habe ich, wenn ich hier den Winkel Alpha, den

01:17:41.120 --> 01:17:42.360
Umschwingungswinkel, habe.

01:17:43.160 --> 01:17:49.260
Und die Null ist einfach die Null Grad.

01:17:50.780 --> 01:17:53.780
Dann habe ich also hier zu schweben.

01:17:55.220 --> 01:18:03.760
Logarithmus S von Alpha minus Logarithmus S an der Spitze.

01:18:15.900 --> 01:18:19.350
Jetzt muss ich mir noch überlegen, wie groß ist die Seilkraft?

01:18:19.760 --> 01:18:21.100
Ich spiele den Fall in Null Grad.

01:18:21.940 --> 01:18:29.740
Wenn hier meine Gewichtskraft U ist, dann ist S von I gleich Null Grad

01:18:29.740 --> 01:18:32.560
gleich U.

01:18:35.960 --> 01:18:40.740
Das ist ja auch der Seil, der Freischnitt hier.

01:18:42.080 --> 01:18:43.980
Seil durchgeschnitten bei Null Grad.

01:18:44.380 --> 01:18:48.560
Seil steht senkrecht zu einer Universe senkrecht bei U.

01:18:48.560 --> 01:18:54.200
Also steht hier Logarithmus von S von Alpha.

01:19:04.900 --> 01:19:05.580
So,

01:19:08.880 --> 01:19:10.300
jetzt kann ich...

01:19:10.300 --> 01:19:11.560
Ah, Logarithmus von U.

01:19:13.120 --> 01:19:14.320
Logarithmus von U.

01:19:17.740 --> 01:19:19.780
Jetzt kann ich das aber auch schreiben.

01:19:19.920 --> 01:19:25.220
Das ist der Logarithmus von S von Alpha.

01:19:29.120 --> 01:19:33.880
Auf beiden Seiten wende ich jetzt die Exponentialfunktion an.

01:19:36.720 --> 01:19:42.860
Und erhalte die Seilkraft in Abhängigkeit von meiner

01:19:42.860 --> 01:19:44.160
Beschränkungslinie Alpha.

01:19:55.760 --> 01:20:07.180
Insgesamt ist Alpha gleich U mal Exponentialfunktion Null mal Alpha.

01:20:08.620 --> 01:20:13.820
Das ist das Ergebnis unserer Überlegung.

01:20:16.020 --> 01:20:26.140
Diese Formel hier bezeichnet man als die sogenannte Eitelbeinformel.

01:20:26.240 --> 01:20:29.080
Die Formel

01:20:33.520 --> 01:20:37.680
von Euler-Eitelbein zur Berechnung der Seilkraft.

01:20:37.680 --> 01:20:44.500
Und wir sehen also, die Seilkraft, die maximalmögliche Seilkraft,

01:20:45.000 --> 01:20:49.660
damit die Masse nicht rutscht, dient exponentiell mit dem

01:20:49.660 --> 01:20:51.000
Beschränkungswinkel zu.

01:20:53.020 --> 01:20:55.460
Da kommt mir natürlich eine gute Idee.

01:20:55.800 --> 01:20:59.880
Wenn ich ein Wegrutschen eines Gegenstandes verhindern will, dann muss

01:20:59.880 --> 01:21:06.760
ich also nur den Beschränkungswinkel Alpha möglichst groß machen und

01:21:06.760 --> 01:21:07.400
so weiter.

01:21:08.960 --> 01:21:15.360
Dann vergrößert sich die Haftkraft exponentiell mit einer

01:21:15.360 --> 01:21:19.100
Exponentialfunktion und die wird modifiziert mit einer kleinen

01:21:19.100 --> 01:21:20.120
Ausgangsmasse.

01:21:21.520 --> 01:21:23.860
Wissen Sie, wo man das in der Anwendung findet?

01:21:25.260 --> 01:21:28.620
Denken Sie an Schiffe, die irgendwo festgemacht werden.

01:21:29.600 --> 01:21:33.980
Also Sie befestigen ein Schiff an einem Boller,

01:21:44.160 --> 01:21:45.740
schwingen über das Seil herum,

01:21:50.450 --> 01:21:59.560
und Sie sind in der Lage, durch Vertäumung so eines Schiffes, die

01:21:59.560 --> 01:22:05.860
Kraft, die so ein Schiff aufbringen kann, um sich loszureißen,

01:22:06.320 --> 01:22:07.820
tatsächlich aufzulegen.

01:22:08.780 --> 01:22:12.320
Mit wenigen Umdrehungen können wir ganz einfach ausrechnen.

01:22:12.900 --> 01:22:15.160
Nehmen wir mal an, Sie haben zwei Beschwingungen.

01:22:16.020 --> 01:22:18.620
Alpha ist 2 mal 2 Pi.

01:22:19.640 --> 01:22:24.940
Nehmen Sie für ein blaues Seil ein Zweitbeinwerk, Y0, 0,5.

01:22:28.790 --> 01:22:32.810
Rechnen Sie sich in der Euler-Eichstein-Formel aus,

01:22:32.810 --> 01:22:45.450
Exponentialfunktion von Y0, 0,5 mal 2, mal 2 Pi.

01:22:46.190 --> 01:22:52.650
Dann erhalten Sie die Exponentialfunktion von 2 Pi.

01:22:53.510 --> 01:23:02.990
Die Exponentialfunktion von 2 Pi ist 535,49.

01:23:10.770 --> 01:23:21.250
Das heißt, diese Seilkraft, die an diesem Ende erforderlich ist, ist

01:23:21.250 --> 01:23:25.510
das 535 bar, um das Ding wegzuziehen.

01:23:25.510 --> 01:23:33.730
Das heißt, wenn hier Ihr Schiff dran zieht, muss es das 535-fache der

01:23:33.730 --> 01:23:38.430
Kraft Q aufwenden, um sich loszulösen von dem Koller.

01:23:38.690 --> 01:23:40.030
Und das schafft es nicht mehr.

01:23:41.250 --> 01:23:42.930
Schauen Sie sich die Rechnung an.

01:23:43.590 --> 01:23:46.450
Wir müssen den Weg in Alpha hier im Bogenmaß einsetzen.

01:23:46.930 --> 01:23:50.350
Bitte setzen Sie an dieser Stelle niemals den Weg in Alpha im Grad

01:23:50.350 --> 01:23:50.670
ein.

01:23:51.190 --> 01:23:54.050
Dann bekommen Sie auch ein riesiges Ergebnis heraus, aber es ist

01:23:54.050 --> 01:23:54.450
falsch.

01:23:55.220 --> 01:23:57.970
Der Weg in Alpha bitte im Bogenmaß.

01:24:05.150 --> 01:24:09.390
Also Sie sehen die Exponentialfunktion, in dem Fall der beste Freund

01:24:09.390 --> 01:24:10.170
der Ingenieure.

01:24:12.330 --> 01:24:16.550
Riesige Kräfte, die Sie aufnehmen können mit solch einfachen

01:24:16.550 --> 01:24:17.370
Seilsystemen.

01:24:17.470 --> 01:24:22.930
Also einfach um den Poller schlingen, 535-facher Kraft, bei zweifacher

01:24:22.930 --> 01:24:27.240
Umschlingung, kann das Schiff an den Poller ziehen und das Seil hält.

01:24:28.980 --> 01:24:32.780
So, jetzt vielleicht kriegen wir den Kümmerer nochmal 15 Minuten, dann

01:24:32.780 --> 01:24:34.500
rechne ich Ihnen nochmal eine kleine Aufgabe.

01:24:38.330 --> 01:24:40.050
Ich sehe etwas Blaues.

01:24:42.470 --> 01:24:47.590
Es sei uns doch nochmal vergönnt, einen kleinen Riementrieb hier

01:24:47.590 --> 01:24:48.270
zurückzunehmen.

01:24:54.760 --> 01:24:55.820
Den Poller haben wir schon gesehen.

01:25:10.990 --> 01:25:13.790
Also, eine kleine Aufgabe zum Seilhaften.

01:25:16.450 --> 01:25:18.950
Wir haben einen sogenannten Riementrieb.

01:25:19.850 --> 01:25:23.270
Bei dem Riementrieb, das sehen Sie hier oben dargestellt, können Sie

01:25:23.270 --> 01:25:27.310
ein Lager verschieben, beispielsweise das nach außen schieben, um die

01:25:27.310 --> 01:25:27.870
Riemen vorzuspannen.

01:25:28.550 --> 01:25:31.170
Wenn Sie die Riemen nicht richtig vorgespannt haben, wenn die also

01:25:31.170 --> 01:25:35.910
schlaff da rumlabbern um diese Scheibe und Sie bringen dann einen

01:25:35.910 --> 01:25:38.330
Drehmoment auf, dann rutschen die Riemen einfach durch.

01:25:38.950 --> 01:25:44.210
Schlecht für Sie, denn die meiste Leistung geht dann darauf, Reibwärme

01:25:44.210 --> 01:25:48.810
zu erzeugen und hier diesen Reibvorgang zu haben und das wenigste geht

01:25:48.810 --> 01:25:49.910
in Nutzenergie übrig.

01:25:50.390 --> 01:25:54.810
Also wollen wir natürlich diesen Riementrieb schön vorspannen, damit

01:25:54.810 --> 01:26:00.050
wir möglichst viel Kraft auf das Seil übertragen können und damit wir

01:26:00.050 --> 01:26:02.630
hier möglichst effizient arbeiten können.

01:26:03.910 --> 01:26:10.570
So, dazu können wir uns ganz einfach überlegen, wie das Verhältnis der

01:26:10.570 --> 01:26:12.310
beiden Seilkräfte aussehen muss.

01:26:12.390 --> 01:26:15.230
Wir schneiden einfach mal hier diesen Riementrieb frei.

01:26:16.230 --> 01:26:20.450
Rechts ist also hier in der Zeichnung im Breitschnitt das Loslager

01:26:20.450 --> 01:26:23.850
eingezeichnet, das kann ich also verschieben, kann es also mit der

01:26:23.850 --> 01:26:25.290
Kraft Q vorspannen.

01:26:25.290 --> 01:26:29.330
Links das Festlager ist natürlich ein Festlager und damit ist klar,

01:26:29.530 --> 01:26:32.270
wie die Horizontalkräfte dann aufgenommen werden müssen.

01:26:32.890 --> 01:26:38.190
So, jetzt wirkt dort rechts ein Lastmoment ML.

01:26:39.070 --> 01:26:42.550
Und wenn dieses Lastmoment so tatsächlich richtig herum eingezeichnet

01:26:42.550 --> 01:26:46.410
ist, also so wie es eingezeichnet ist auch positiv wirkt, die Last,

01:26:47.230 --> 01:26:51.110
dann können wir natürlich ganz schnell für dieses Teilsystem mit den

01:26:51.110 --> 01:26:54.390
Kräften S1 und S2 ein Momentengleichgewicht machen.

01:26:55.210 --> 01:26:56.970
Also das sieht dann wie folgt aus.

01:26:59.390 --> 01:27:06.290
Summe aller Momente um den Schwerpunkt, also um den Mittelpunkt dieser

01:27:06.290 --> 01:27:10.350
Scheibe, nennen wir diesen Mittelpunkt mal S.

01:27:12.550 --> 01:27:15.550
Summe aller Momente um S gleich 0.

01:27:16.450 --> 01:27:19.890
Und wir erkennen, da wirkt natürlich einmal das Lastmoment als freies

01:27:19.890 --> 01:27:24.770
Moment, bitte immer mitnehmen an diesem Freischnitt, also das dreht

01:27:24.770 --> 01:27:26.550
mathematisch positiv.

01:27:27.470 --> 01:27:33.170
Die Seilkraft S1 dreht mathematisch positiv, die Seilkraft S2 dreht

01:27:33.170 --> 01:27:34.450
mathematisch negativ.

01:27:34.570 --> 01:27:41.330
Also S1 minus S2 und der Abstand der Hebelarm ist jeweils der Radius

01:27:41.330 --> 01:27:41.770
R.

01:27:43.770 --> 01:27:51.850
Hier haben Sie einen rechten Winkel zwischen dem Radius und dem Seil.

01:27:51.930 --> 01:27:55.050
Das Seil entfernt sich tangential von dieser Walze.

01:27:55.930 --> 01:27:57.610
An dieser Formel sehen Sie aber schon,

01:28:00.690 --> 01:28:08.950
dass unser Lastmoment aufgenommen werden muss von der Differenz der

01:28:10.800 --> 01:28:14.800
beiden Seilkräfte multipliziert mit dem Radius R.

01:28:15.180 --> 01:28:18.620
Wenn also hier ein Lastmoment wirkt, dann können die beiden Seilkräfte

01:28:18.620 --> 01:28:24.060
nicht gleich groß sein, sondern die Seilkraft S2 muss größer sein als

01:28:24.060 --> 01:28:26.620
S1, wenn ML positiv ist.

01:28:27.560 --> 01:28:32.880
ML größer 0, daraus folgt S2 größer S1.

01:28:32.880 --> 01:28:37.040
Damit ist auch klar, wie Ihnen der Riemen nur wegrutschen kann.

01:28:38.020 --> 01:28:44.780
Wenn nämlich S2 größer wird als S1, dann kann S2 den ganzen Riemen zu

01:28:44.780 --> 01:28:45.660
sicher rüberziehen.

01:28:45.660 --> 01:28:48.060
Also es gilt nach Euler-Eitelwein,

01:28:54.150 --> 01:29:07.330
S2 kann maximal S1 mal Exponentialfunktion µ0α sein.

01:29:08.290 --> 01:29:13.310
Ist das S2 größer, rutscht das Seil weg in Richtung von S2.

01:29:16.550 --> 01:29:19.450
So, jetzt haben wir den Umschlingungswinkel, der ist hier

01:29:19.450 --> 01:29:20.350
eingezeichnet.

01:29:20.790 --> 01:29:23.650
Jetzt fehlt uns nur noch eine Gleichung und dann ist das Ganze

01:29:23.650 --> 01:29:24.350
vollständig.

01:29:24.470 --> 01:29:28.890
Uns fehlt noch ein horizontales Kräftegleichgewicht, um die Querkraft

01:29:28.890 --> 01:29:30.210
Q mit ins Spiel zu bringen.

01:29:31.810 --> 01:29:35.270
Also die Vorspannung Q bringen wir durch ein horizontales

01:29:35.270 --> 01:29:36.870
Kräftegleichgewicht ins Spiel.

01:29:38.930 --> 01:29:41.070
Summe aller Kräfte in X-Richtung.

01:29:41.150 --> 01:29:42.530
Ich trage mal hier ein X mit ein.

01:29:42.950 --> 01:29:44.230
Jetzt will er natürlich nicht mehr.

01:29:44.750 --> 01:29:46.270
Er meint, wir sollen Feierabend machen.

01:29:46.810 --> 01:29:50.350
Also, ich schreibe Ihnen noch das horizontale Kräftegleichgewicht an

01:29:50.350 --> 01:29:53.810
und dann verrate ich Ihnen, wie wir das Ganze auflösen.

01:30:07.600 --> 01:30:15.580
Da haben wir zum einen die Querkraft Q und entgegengesetzt wir die

01:30:15.580 --> 01:30:18.280
beiden Seilkräfte S1 plus S2.

01:30:21.090 --> 01:30:26.730
Allerdings mit dem Sinus von 180°

01:30:35.100 --> 01:30:38.000
S1 plus S2.

01:30:39.100 --> 01:30:43.820
Sinus 180° minus 1.

01:30:45.190 --> 01:30:51.930
Wir können zwischen S1 und S2 die Beziehung nach Euler-Eitelbein

01:30:51.930 --> 01:30:52.510
aufstellen.

01:30:52.690 --> 01:31:02.130
Also S2 eliminieren durch S1 mal Exponentialfunktion.

01:31:10.250 --> 01:31:11.610
Also,

01:31:33.720 --> 01:31:39.620
da hatten wir gesagt, Lastmoment ML ist gleich S1 plus S2.

01:31:40.420 --> 01:31:41.980
S1 minus S2.

01:31:44.440 --> 01:31:45.420
S2 minus

01:31:49.670 --> 01:31:51.250
S1.

01:31:54.790 --> 01:31:55.950
Exponentialfunktion.

01:31:56.630 --> 01:32:00.470
Minus Alpha minus 1.

01:32:01.090 --> 01:32:02.430
Multipliziert mit R.

01:32:02.630 --> 01:32:05.190
Lösen Sie hier noch S1 auf.

01:32:06.110 --> 01:32:08.810
Setzen das Ergebnis hier für S1 ein.

01:32:08.810 --> 01:32:11.430
Und Sie erhalten die Vorsprachkraft Q.

01:32:12.030 --> 01:32:17.110
Und diese Vorsprachkraft Q kann man dann etwas komplizierter

01:32:17.110 --> 01:32:17.730
gestalten.

01:32:17.890 --> 01:32:20.230
Hier steht das Lastmoment, klar.

01:32:20.890 --> 01:32:24.630
ML und S1 hängen ja direkt voneinander ab.

01:32:25.450 --> 01:32:27.670
Proportionalitätsfaktor ist Exponentialfunktion.

01:32:27.670 --> 01:32:29.290
Alpha minus 1 mal R.

01:32:30.710 --> 01:32:33.590
Setzen Sie dort ein, dann kommt ML minus S1.

01:32:50.110 --> 01:32:56.370
Und damit haben Sie von so einem Riementrieb die Vorsprachkraft

01:32:56.370 --> 01:32:56.890
berechnet.

01:32:57.870 --> 01:33:01.870
Ja, tut mir leid, dass es mit der Technik heute nicht so ganz geklappt

01:33:01.870 --> 01:33:02.110
hat.

01:33:02.110 --> 01:33:04.510
Wahrscheinlich muss dann doch wieder der andere Beamer ran.

01:33:06.370 --> 01:33:08.650
Damit ist die Statik abgeschlossen.

01:33:09.690 --> 01:33:14.550
Üben Sie vor allen Dingen freischneiden, Gleichgewichtsbedingungen

01:33:14.550 --> 01:33:16.890
formulieren, Schnittgrößen ermitteln.

01:33:17.470 --> 01:33:21.490
Nächste Woche ist nochmal eine abschließende Übung zu allem, was in

01:33:21.490 --> 01:33:22.550
der Statik dran war.

01:33:22.690 --> 01:33:26.970
Und das ist mindestens die halbe Miete für Ihre Klausur.

01:33:27.830 --> 01:33:30.350
Und eignen Sie sich den Stoff jetzt schon an.

01:33:30.350 --> 01:33:33.150
Wir werden ihn in der Festigkeitslehre immer wieder brauchen.

01:33:33.810 --> 01:33:34.770
Kommen Sie gut durch die Woche.

01:33:35.290 --> 01:33:37.450
Bis zum nächsten Mal in 14 Tagen.

01:33:37.690 --> 01:33:39.750
Und dann fangen wir an mit der Festigkeitslehre.

01:33:40.030 --> 01:33:40.650
Alles Gute.