Meine Damen und Herren, ich heiße Sie herzlich willkommen zur heutigen
Vorlesung Technische Mechanik I für Wirtschaftsingenieure.
Was wir heute vorhaben, ist so ein kleines Ende der Statik.
Ein Kapitel, das zur Statik immer noch dazugehört, das aber nicht im
Zentrum der Statik steht.
Das Wichtigste haben Sie jetzt schon in der Statik erlebt.
Das war freischneiden, Lagerreaktionen bestimmen durch Formulierung
der Gleichgewichtsbedingungen und Schnittreaktionen bestimmen und
grafisch darstellen können.
Heute noch ein Thema, das in technischen Systemen von gewisser
Wichtigkeit ist, das aber aus Sicht der Statik nicht besonders
anspruchsvoll ist.
Und das ist das sogenannte Haften.
Damit schließen wir dann in dieser Woche die Vorlesung zur Statik ab.
Nächste Woche haben Sie noch ein bisschen Zeit und diese Woche
natürlich auch, diesen Stoff zu rekapitulieren und zu üben.
Nächste Woche dann statt der Vorlesung eine große Wiederholungsübung
über den gesamten Stoff aus der Statik.
Und in 14 Tagen steigen wir dann ein in die Festlichkeitslehre.
Also nutzen Sie diese Zeit, um noch Lücken in der Statik zu schließen,
damit Sie dann optimal vorbereitet sind und Sie nicht erst ganz zum
Schluss auf die Klausur vorbereiten müssen.
Dann ist es häufig zu spät und dann läuft einem die Zeit davon.
Was sind die Aufgaben?
Was wollen wir heute machen?
Wir wollen uns nochmal ganz am Anfang auch als eine Art Wiederholung
den Kraftbegriff anschauen und wollen noch einmal sauber unterscheiden
zwischen eingeprägten äußeren Kräften und den Reaktionskräften.
Natürlich sind beides Kräfte, aber wir können diese beiden
Kraftgruppen nochmal unterscheiden.
Und diese Unterscheidung möchte ich Ihnen insbesondere dann am Haften
deutlich machen.
Also die Frage, ist die Haftkraft eine eingeprägte Kraft oder ist sie
eine Reaktionskraft, die wird uns am Anfang der Vorlesung
beschäftigen.
Und dann wollen wir wieder hergehen, Freischnitte machen,
Gleichgewichtsbedingungen formulieren, und zwar für Körper, die
aneinander haften.
Das heißt, wir werden dann an der Kontaktstelle natürlich
freischneiden und werden Berechnungen anstellen, um die Haftkraft
selbst auszurechnen.
Dabei werden wir zwei Fälle unterscheiden.
Der einfachste Fall ist der Fall eines Klotzes auf einer schiefen
Ebene.
Und der Klotz rutscht diese schiefe Ebene runter.
Der zweite Fall, der uns hier auch beschäftigen wird und der von der
mathematischen Seite bei der Herleitung vielleicht ein bisschen
anspruchsvoller ist, das ist die Seilreibung.
Das heißt, wir werden uns damit beschäftigen, wie Seile oder Riemen
auf einer Unterlage haften.
Und wir werden dazu auch technische Anwendungen sehen.
Das heißt, dieses Kapitel ist schon von einiger technischer Relevanz,
genauso wie das Haften eines Klotzes auf einer schiefen Ebene.
Das ist also das Programm für heute.
Kleiner Abschluss der Statik, steigen wir gleich ein.
Wie können wir die Kräfte einteilen?
Wir haben, wenn wir Berechnungen angestellt haben, immer gewisse
Kräfte bei unserem Tragwerk als bekannt vorausgesetzt.
Das waren die sogenannten äußeren, eingeprägten Kräfte.
Und wir haben andere Kräfte ausgerechnet.
Das waren beispielsweise die Lagerreaktionen.
Also wir können ganz grob einteilen und sagen, okay, alle Kräfte sind
vor den Naturgesetzen gleich, aber für unseren Berechnungsapparat gibt
es Kräfte, die sind in der Regel bekannt.
Die können wir voraussetzen, als gegeben voraussetzen.
Und es gibt andere Kräfte, die sind unbekannt, und die müssen wir erst
aufrechnen.
Das kommt also auf uns zu.
Wir müssen freischneiden, um diese Kräfte sichtbar zu machen.
Und wir müssen dann Gleichgewichtsbedingungen formulieren am
Gesamtsystem oder an Teilsystemen, um diese Kräfte ausrechnen zu
können.
Also wir unterscheiden die sogenannten eingeprägten Kräfte...
und die Reaktionskräfte.
Eingeprägte Kräfte wirken also von außen auf unser System ein, sind in
der Regel als bekannt vorauszusetzen.
Reaktionskräfte werden im Verlauf der Berechnung durch Freischneiden
und Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ausgerechnet.
Bei den eingeprägten Kräften haben wir häufig beispielsweise die
Gewichtskraft, denken Sie an das Bücherregal, eine klassische
eingeprägte Kraft.
Bei den Reaktionskräften haben wir die Lagerreaktionen als innere
Kräfte an den Lagerstellen, die wir dadurch sichtbar machen, dass wir
an den Lagerstellen schneiden, unser System also von der Umgebung
abtrennen.
Aber auch die Schnittreaktionen zählen natürlich zu diesen
Reaktionskräften und Momenten, müsste man dann sagen,
Schnittreaktionen, die wir dadurch sichtbar machen, dass wir an einer
beliebigen Stelle unseres Systems schneiden und uns an dieser Stelle
die entstehenden Reaktionen anschauen.
Sie wissen, die Flächenkraftdichte, die dort entsteht, fassen wir
zusammen zu Normalkraft, Querkraft und Biegermoment für ein ebenes
Problem.
Auf der Seite der eingeprägten Kräfte können irgendwelche anderen von
außen auf unser Bauwerk einwirkenden Kräfte stehen, beispielsweise die
Windkraft, Windwiderstand bei einem Fahrzeug oder eine Windlast, die
auf ein Bauwerk einwirkt.
Das könnte eine Windkraft sein, das könnte eine Schneelast sein,
das könnte eine Federkraft sein, die irgendwie an unserem Bauteil
wirkt, das könnte ein Dämpferelement sein und was uns alles hier noch
einfällt.
Alles was von außen an einem Bauteil wir uns vorstellen können, was
dort angreift, können wir hier mit einfügen.
Auf der Seite der Reaktionskräfte fallen uns vielleicht noch die
Gelenkreaktionen ein, die wir ja auch im Verlauf der Statik
ausgerechnet haben.
So.
Und jetzt ist die Frage, wo ordnen wir das Haften ein?
Ist die Haftkraft eine eingeprägte Kraft oder ist sie eine
Reaktionskraft?
Was glauben Sie?
Haben Sie eine Vermutung?
Wenn Sie keine Vermutung haben, dann entscheiden wir das vielleicht
demokratisch.
Stimmen wir einfach ab.
Wer ist dafür, dass die Haftkraft eine eingeprägte Kraft sein soll?
Wer ist der Meinung, dass die Haftkraft eine Reaktionskraft ist?
Das ist die Mehrheit.
Mal sehen, ob die Mehrheit recht hat.
Schauen wir uns das Bildchen da unten an.
Da ist so ein bisschen aufgezeichnet, was beim Haften passiert.
Wenn wir uns die Oberflächen anschauen von zwei Körpern, die
aufeinander haften, beispielsweise ein Klotz, haben wir hier mit
Kreide gefüllt und den tun wir auf eine schiefe Ebene.
Laut Gewichtskraft müsste ein Anteil der Gewichtskraft, da ja die
Ebene schief ist, diesen Klotz nach unten ziehen.
Der Klotz rutscht aber nicht die Ebene hinunter, weil ihn die
Haftkraft daran hindert.
Jetzt schauen wir uns mit einem Mikroskop mal die Oberflächen an.
Die Oberflächen von diesem Gefäß und die Oberflächen von meinem Holz.
Und dann stellen wir fest, diese Oberflächen sind rau.
Das ist hier unten mal aufgezeichnet, also ganz schlimm sieht das
irgendwie so aus.
Und die andere Oberfläche, die sieht irgendwie auch so gezackt aus.
Wenn wir da mit dem Mikroskop rangehen.
Jetzt verhaken sich diese Zacken ineinander.
Wenn ich diese beiden Bauteile zusammenpresse.
Nun werden Sie sagen, ich presse ja dieses Bauteil gar nicht zusammen.
Aber denken Sie daran, es wirkt ja immer das Eigengewicht.
Und diese Plastikschale, gefüllt mit ein paar Kreidestücken, hat
durchaus ein Eigengewicht.
Und dieses Eigengewicht sorgt dafür, dass sich diese kleinen
Rauigkeiten ineinander verhaken.
Also was zum Schluss entsteht, ist grob übertrieben so etwas.
Nicht in dieser schönen Regelmäßigkeit, aber um Ihnen diesen Effekt
darzustellen, so verhaken die sich ineinander.
Jetzt bleibt die untere Oberfläche, das ist ja unser Holz, das bleibt
in Ruhe.
Und die obere Oberfläche, die würde sich ganz gerne bewegen.
Nehmen wir mal an, in diese Richtung würde die ganz gerne rutschen.
Diese Haken, mit denen sich die Oberflächen ineinander verkrallen, die
haben etwas dagegen.
Die Rauigkeit der Oberfläche, die hat etwas dagegen, dass diese
Bewegung tatsächlich einsetzt und hält die Bewegung auf.
Jedenfalls ein ganz klein wenig.
Wenn ich natürlich dem Klotz hier noch einen Schuss mitnehme, dann
gerät das Ganze ins Rutschen.
Das heißt, wenn diese Kraft groß ist, ich beispielsweise noch ein
bisschen hinterher drücke, hier an dieser ersten Oberfläche, dann
können auch diese ganz, ganz kleinen Verhakungen nichts mehr daran
ändern, dass das ganze Gebäude ins Rutschen gerät.
Aber solange wir sagen, die Kräfte sind nicht so groß, dass hier etwas
ins Rutschen gerät, solange haften diese Oberflächen aufeinander und
solange wirkt mein Untergrund wie ein Lager, das Kräfte in
horizontaler Richtung aufnimmt.
Also, Haftkraft heißt,
entspricht Lager,
horizontale Kräfte werden bis zu einer bestimmten Größe aufgenommen.
Damit ist aber klar, wo wir die Haftkraft einordnen müssen.
Nämlich dort, wo wir auch die Lagerreaktionen eingeordnet haben, also
bei den Reaktionskräften.
Hier müssen wir die Haftkraft hinschreiben.
Trotzdem darf ich die Fraktion trösten, die für die eingeprägten
Kräfte war.
Nämlich, wenn diese Haftkraft überwunden wurde, also die äußeren
Kräfte, die an meinem Bauteil angreifen, so groß werden, dass es nicht
mehr zum Haften kommt, sondern zum Losbrechen des Körpers, wir uns
also nicht mehr im Fall der Statik befinden, sondern im Fall der
Dynamik, also eine Bewegung entsteht, dann haben wir natürlich auch
einen Effekt zwischen den beiden Oberflächen, den nennen wir aber
nicht mehr Haften, sondern den nennen wir Reiben.
Es entstehen beispielsweise Geschwindigkeitsverluste durch Reibung.
Und das entsteht beim Auto überall, an der gesamten Oberfläche, einmal
gegenüber dem Luftwiderstand und dann Rollwiderstand an den Rädern.
Wir wissen natürlich, wie diese Reibkraft wirken muss.
Wenn also unser Körper sich nach rechts bewegt, dann wirkt die
Reibkraft nach links, die ist beharrend, die möchte den Körper gerne
aufhalten.
Klar, sonst wäre das Leben wunderbar, wenn die Reibkraft uns helfen
würde, beispielsweise beim Fahrradfahren, dann wären wir schneller in
der Uni.
Aber die Reibkraft wirkt der Bewegung entgegen, die Reibkraft hält uns
auf, die Reibkraft kostet uns zusätzliche Energie.
Diese Reibkraft ist also eine Kraft, die außen an unserem Körper
angreift, als Widerstandskraft und die immer entgegengesetzt der
Bewegung gerichtet ist.
Und diese Reibkraft ist eine eingeprägte Kraft.
Hier gehört also die Reibkraft hin.
Jetzt kann ich Sie trösten, die Reibkraft begegnet Ihnen erst wieder
in der Dynamik, das heißt in der technischen Mechanik.
Zwei für Wirtschaftsingenieure in der technischen Mechanik.
Eins in der Statik beschäftigen wir uns also nur mit dem Fall der
Haftkraft.
Einzig die Haftkraft werden wir jetzt im Folgenden untersuchen.
Das ist das Einzige, was uns interessiert und wir haben schon gesehen,
die Haftkraft, die werden wir nur bis zu einem bestimmten Betrag haben
und danach fängt der Körper an zu rutschen.
Machen wir dazu ein einfaches Experiment.
Wir sind ja hier bei den Chemikern, dürfen wir ein bisschen
experimentieren.
Zerlegen wir mal ein bisschen den Hörsaal.
Ich klaue mir mal dieses Holzbrett hier, stelle das schräg an, tue
diese Kreideschale drauf und wenn ich das so halte, passiert nichts.
Klar, es wird die Haftkraft, können Sie alle sehen.
Jetzt kippe ich diese Ebene immer weiter an, der Winkel wird immer
größer und irgendwann fängt diese Schale an zu rutschen.
Wenn der Winkel kleiner ist, passiert nichts.
Wir können diesen Winkel, ich habe kein Geodreieck dabei.
Chemiker, habt ihr ein Geodreieck?
Wenn das jetzt Mathematiker wären, die hätten immer so ein schönes
großes Geodreieck.
Hat jemand von Ihnen ein Geodreieck?
Keiner?
Dann müssen wir schätzen.
Schätzen wir, wie groß ist der Winkel.
15°, 30°?
Da sagen wir, 45° waren es noch nicht, aber vielleicht 35°.
35° merken wir uns für dieses Experiment.
Jetzt wollen wir das Experiment analysieren.
Nächste Folie.
Da haben wir unseren Klotz auf der schiefen Ebene.
Das war hier unsere schiefe Ebene.
Wir haben den Anstellwinkel variiert, der Anstellwinkel heißt hier
Alpha.
Und wir haben festgestellt, bei Alpha ungefähr 35° fängt der Klotz an
zu rutschen.
Da setzt Bewegung ein.
Vorher Ruhe.
Und wenn wir Ruhe haben, heißt das, wir haben Statik.
Und wir können mitten in der Statik dieses Problem analysieren.
Alles, was wir dazu machen müssen, ist einfach nur ein Freischnitt.
Und dann können wir unsere Kräfte ausrechnen.
Machen wir das einfach.
Irgendein netter Mensch hat uns hier schon die Gewichtskraft
eingetragen.
Also der Klotz hat eine gewisse Masse m.
Diese Masse m ruft eine Gewichtskraft g gleich m mal g hervor.
Und diese Gewichtskraft können wir zerlegen in zwei Anteile.
Ein Anteil, der senkrecht zu unserer schiefen Ebene wirkt.
Und der sogenannte Hangabtrieb.
Der Anteil, der unseren Klotz die Ebene hinunterziehen möchte.
Der also parallel zu der schiefen Ebene wirkt.
Und das ist der Anteil g mal Sinus Alpha.
Dieser Anteil, der möchte den Klotz in den Abgrund ziehen.
Und der Anteil g mal Sinus Alpha.
Das ist der Anteil, mit dem der Klotz in die Ebene versucht
einzudringen.
Und die Ebene, die wehrt sich natürlich heftig dagegen.
Jetzt machen wir den Freischnitt.
Also wir schneiden zwischen Klotz und schiefer Ebene frei.
Was sehen wir dann?
Wir sehen unseren Klotz.
Wir haben hier den Schwerpunkt, Massenmittelpunkt des Klotzes.
Wir tragen uns die Gewichtskraft G ein, die wir zerlegen können.
Und wir sehen zwei Reaktionskräfte.
Die eine Reaktionskraft ist die Kraft, mit der sich die Ebene gegen
ein Eindringen des Klotzes wehrt.
Die nennen wir Normalkraft.
Warum wieder Normalkraft?
Weil diese Kraft senkrecht zur Oberfläche steht.
Und zu senkrecht sagen die Mathematiker und Physiker Normal, in
normalen Richtung.
Also senkrecht zur Oberfläche, die Normalkraft M.
Dann haben wir aber auch noch eine Kraft, die durch das Verhaken
entsteht.
Wie wir uns eben überlegt haben.
Und die auch eine Reaktionskraft ist.
Die also hier durch Freischneiden sichtbar gemacht wird.
Und das ist die Haftkraft.
Und jetzt muss ich mir nur überlegen, in welche Richtung wirkt denn
die Haftkraft?
Naja, die verhindert ja gerade, dass unsere Masse den Hang
hinunterrutscht.
Also muss sie wohl hangaufwärts wirken und der Hangabtriebskraft damit
Paroli bieten.
Also, hier wirkt unsere Haftkraft H.
Wenn wir jetzt geübt sind an Schnittreaktionen, dann könnten wir
sagen, Moment, wenn das jetzt echte Schnittreaktionen sind, in der
Ebene, dann haben wir doch immer zwei Kräfte.
Okay, die sind da, stehen beide senkrecht aufeinander, wunderschön.
Aber wir haben eigentlich auch noch einen Moment.
Dieses Moment würde hier für ein Verkippen dieses Klotzes sorgen.
Jetzt kann dieser Klotz aber auf der Ebene nicht verkippen.
Denn wenn der sich um seine eigene Achse drehen würde, also um die
Achse, die jetzt senkrecht zu Ihnen kommt, um diese Achse, das wäre ja
ein Verkippen.
Dann müsste er auf der einen Seite in die Ebene eindringen und auf der
anderen Seite würde er nach oben rauskommen, von der Ebene abheben.
Dieses Eindringen in die Ebene kann aber nicht stattfinden, denn mein
Holzbrett gibt nicht nach, ist unnachgiebig, ist ein starrer, starrer
Körper.
Also, wir brauchen hier kein Kippmoment antragen.
Jetzt müssen wir unsere beiden Reaktionskräfte ausrechnen, also die
Haftkraft und die Normalkraft.
Dazu stehen uns ja in der Statik drei Gleichungen zur Verfügung.
Wir werden aber natürlich nur zwei brauchen.
Wir könnten beispielsweise mit zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen
arbeiten.
Die dritte Gleichung, das Momentengleichgewicht, würde uns nur
aussagen, dass so ein Kippmoment nicht auftreten kann, weil der Körper
nicht in die Ebene eindringen kann.
Also, wir begnügen uns mit dem horizontalen und dem vertikalen
Kräftegleichgewicht.
Und wenn ich jetzt hier frage...
Beim Wasser, da kann der Körper natürlich in die Ebene eindringen.
Also, wenn Sie irgendwas haben, was nachgiebig ist, was weich ist,
dann haben Sie so eine Verkippung.
Dann müssten Sie die mit berücksichtigen.
Wasser könnte schon heißen, ich habe nur einen Fluidfilm.
Dann wird die Sache natürlich viel komplizierter.
Dann würde der Körper zum Teil diesen Fluidfilm verdrängen können.
Diesen Effekt haben Sie dann in der Tat.
Haben wir hier aber alles nicht.
Wir haben hier nur die sogenannte trockene Reibung oder eigentlich nur
das Haften.
Reibung machen wir gar nicht.
So, jetzt hatte ich gesagt, wir brauchen ein horizontales und ein
vertikales Kräftegleichgewicht.
Mit horizontal und vertikal meine ich aber immer aus Sicht der
schiefen Ebene.
Das heißt einmal entlang unseres Hanges und einmal senkrecht zu
unserem Hang.
Und es hat uns ja schon jemand die Gewichtskraft zerlegt in eine Kraft
senkrecht zum Hang und parallel zum Hang.
Und damit haben wir eigentlich alle Kräfte, die wir brauchen.
Und können das Kräftegleichgewicht aufstellen in horizontaler und in
vertikaler Richtung.
Und beachten Sie bitte, unser Koordinatensystem ist dieses hier.
X, Y.
Das hat sich mit dem Hang geneigt.
So, dann haben wir in horizontaler Richtung die Haftkraft, entgegen
der X-Achse wirkend.
Und in Richtung der X-Achse wirkt die sogenannte Hangabtriebskraft,
derjenige Anteil der Gewichtskraft, der den Klotz nach unten zieht.
Also G mal Sinus Alpha.
Und zum anderen haben wir in vertikaler Richtung den Anteil G mal
Sinus Alpha und
zum anderen die Normalkraft N.
Wenn wir das also jetzt nach unseren Reaktionskräften ausrechnen, dann
stellen wir fest, nichts einfacher als das.
H ist gleich G mal Sinus Alpha.
Und N ist gleich G mal Cosinus Alpha.
Ah, das war ja einfach.
Aber, jetzt kommt's.
Wir schauen uns nochmal unser Experiment an.
Wir haben gesehen, diesen Fall der Statik, den haben wir nicht immer.
Irgendwann fängt der Klotz an zu rutschen, bei einem gewissen Winkel.
Irgendwann hört also die Betrachtung der Statik an dieser Stelle auf.
Und dieses Irgendwann hat man durch Experimente charakterisiert und
hat gesagt, es gibt eine Beziehung zwischen der Haftkraft und der
Kraft, Normalkraft, mit der mein Körper versucht, in die Oberfläche
einzudringen.
Je stärker der versucht, in die Oberfläche einzudringen, desto stärker
verhaken sich diese Mikrorauigkeiten der Oberfläche, sogenannten
Asperiten, ineinander und desto schwerer ist es, diesen Körper nach
unten zu ziehen.
Und diese Funktion hat man beschrieben durch eine Proportionalität,
das heißt, je größer die Normalkraft, desto größer die Haftkraft,
bevor das Ding auseinanderfällt, bevor das Ding anfängt zu rutschen.
Also hat man folgende Beziehung sich überlegt.
Die Haftkraft muss immer kleiner sein als ein gewisser Anteil der
Normalkraft.
Und diesen Anteil hat man experimentell bestimmt und hat gesagt,
dazwischen herrscht eine Proportionalität, in erster Näherung.
Und diese Proportionalität wird ausgedrückt durch den sogenannten
Haftbeiwert µ0.
Und ich behaupte, diesen Haftbeiwert, den können wir alle ganz einfach
ausrechnen.
Setzen wir doch einfach mal unsere Haftkraft ein.
Dann steht dort G mal Sinus-Alpha auf der linken Seite.
Auf der rechten Seite steht µ0 mal Normalkraft, also µ0 mal G mal
Cosinus -Alpha.
Offenbar ist das Ergebnis unabhängig von der Gewichtskraft G.
Es ist nur abhängig von dem Winkel, was wir erhalten ist, wenn wir
durch den Cosinus-Alpha dividieren.
Tangens-Alpha kleiner gleich µ0.
Solange der Winkel unserer schiefen Ebene, der Tangens dieses Winkels,
kleiner ist als der Haftbeiwert µ0, herrscht der Fall der Statik.
Also, nochmal.
Wir kippen die Ebene an.
Jetzt ist der Winkel der Tangens dieses Winkels hier kleiner als µ0.
Irgendwann kommt der Punkt, wo sich der Klotz losreißt.
Achtung.
Diesen Winkel haben wir gemessen, ungefähr 35°, und stellen fest, für
diesen Winkel gilt offenbar dann im Moment des Losbrechens Tangens
-Alpha 0 genau gleich µ0.
Das heißt, µ0 ist der Akustangens von diesem Winkel, µ0 ist der
Akustangens von 35°, und damit haben Sie µ0 ausgerechnet.
Hat jemand einen Taschenrechner?
µ0, Akustangens von 35°, vermutlich etwas in der Größenordnung von 0
,4.
Kann das mal jemand bestätigen, eintippen?
Sonst machen Sie es zu Hause.
Also, wir haben hier festgestellt, µ0 in unserem Fall ist ungefähr
Akustangens von 35°, und für technische Anwendungen, also Stahl auf
Stahl, das hängt natürlich von den Oberflächen ab, von der
Beschaffenheit der Oberfläche, also Stahl poliert oder Stahl völlig
rau, hängt das alles ab, liegen diese Werte zwischen 0,3, 0,4,
eventuell 0,5.
In dieser Größenordnung liegt dieser Haftbeiwert.
Okay?
Ja, jetzt kann ich mir Folgendes überlegen.
Es entsteht ja an der Oberfläche zwischen Klotz und meiner schiefen
Ebene eine Reaktionskraft.
Die habe ich zerlegt in zwei Anteile, h und n.
Aus diesen beiden Anteilen kann ich wieder die Resultierende bilden
und ich kann mich fragen, wie verläuft diese Resultierende im Fall des
Haftens und wie ist sie eingegrenzt im Fall des Haftens,
beziehungsweise was passiert im Fall des Reibens, wann habe ich eine
Haftkraft, die größer ist als µ0 mal n.
Und das können wir uns grafisch ganz hervorragend vorstellen.
Stellen wir uns vor, der Klotz auf der schiefen Ebene, Eigengewicht
und irgendjemand versucht diesen Klotz hier wegzuziehen.
Aufgrund dieser Gewichtskraft g, die hier wirkt, entsteht eine
Normalkraft n.
Die Haftkraft, die wehrt sich dagegen, dass dieser Klotz weggezogen
wird.
Die Haftkraft ist aber begrenzt für den Fall des Haftens auf h kleiner
gleich µ0 mal n, also auf einem Bruchteil der Kraft n.
Diese Situation habe ich mal hier dargestellt.
Also die Haftkraft ist stets kleiner als µ0 mal n im Grenzfall.
Also in dem Fall, wo sich der Klotz gerade von der Oberfläche lösen,
losreißen will und die Bewegung einsetzt, gilt offenbar h0 gleich µ0
mal n.
Wenn wir uns diese Haftkraft einzeichnen,
und zwar mit der richtigen Richtung, also wegweisend vom Klotz, wenn
die Kraft f tatsächlich nach links zieht und wenn die Kraft f den
Klotz nach rechts ziehen würde, dann würde die Haftkraft natürlich
nach links wirken.
Das wäre also für den Fall, dass jemand mit –f an unserem Klotz zieht,
dann wirkt h0 entgegengesetzt.
Die tatsächliche Haftkraft für den Fall des Haftens muss kleiner sein
als dieses h0.
Die resultierende Kraft kann also maximal hier außen liegen.
Ist die Haftkraft kleiner, verläuft die resultierende Kraft vielleicht
so, oder so, oder so.
Sie verläuft jedenfalls innerhalb dieses geometrischen Gebildes.
Ah, nun würden Sie sagen, naja gut, dieses geometrische Gebilde kenne
ich, das ist ein Dreieck.
Fast.
Wenn ich das Ganze als Ebenesproblem betrachte, ist das ein Dreieck.
Aber, wenn ich hier von echten dreidimensionalen Körpern ausgehe, dann
hindert natürlich keiner daran und diese Kraft f wirkt, dass die Kraft
f vielleicht auch ein bisschen schräg an diesem Klotz zieht, also den
hier so seitlich wegzieht.
Kann auch passieren.
Dann muss die Haftkraft natürlich entsprechend auch seitlich wirken.
Das heißt, das Ganze wird ein Kreis mit Radius h0 als Grundfläche und
darauf aufgebaut ein Dreieck, das also mit einem Radius h0 um den
Mittelpunkt unseres Körpers rotiert und das Ganze gibt dann einen
Kegel.
Das ist der sogenannte Reibkegel, oder Haftkegel müsste ich hierzu
sagen.
Der Haftkegel.
Verläuft die resultierende der Reaktionskraft zwischen
Klotz, also zwischen Körper und Oberfläche, Körper und Oberfläche,
innerhalb des Haftkegels,
dann liegt tatsächlich Haften vor.
Ist eine größere Haftkraft erforderlich, also eine Haftkraft, sodass
die resultierende Kraft außerhalb dieses Kegels liegen würde, wäre
diese Haftkraft hier beispielsweise erforderlich, um der Kraft f
Paroli zu bieten, dann ist das nicht mehr möglich.
So viel Haftkraft kann, können diese kleinen Verhakelungen nicht
aufnehmen, der Körper bricht los und wir haben nicht mehr Statik,
sondern Dynamik, also Reibkraft und das machen wir hier nicht mehr.
Sie müssen also stets überprüfen, ob diese Beziehung H kleiner gleich
µ0 mal n erfüllt ist für die Reaktionskraft H, die Sie ausrechnen.
Mithin lautet eine klassische Aufgabe mit Haften, erstens
freischneiden, zweitens Reaktionskräfte bestimmen, also Haftkraft und
Normalkraft bestimmen, drittens überprüfen, ist die Haftkraft
tatsächlich kleiner gleich µ0 mal n.
Und das ist die klassische Aufgabe der Statik im Bereich des Haftens
und das üben wir jetzt einfach nochmal an einem Beispiel.
Also eine Walze, die irgendjemand in diese Ecke gelegt hat.
Die Walze berührt offenbar an zwei Punkten diese Ecke, die
unverschiebbare Oberfläche.
An dieser Walze hängt ein Gewicht klein m, die Walze hat auch noch ein
Eigengewicht groß m.
Und jetzt ist natürlich klar, wenn ich dieses Gewicht klein m hier
sehr groß wähle, dann wird die Walze anfangen zu rollen.
Mit anderen Worten, wenn ich mich an dieses Seil ranhänge und
ordentlich ziehe, dann dreht diese Walze durch und es kommt zu einem
Rollvorgang, es kommt zum Reiben und nicht mehr zum Haften der Walze
an der Wand.
Wenn die Gewichtskraft aber sehr klein ist, also nur eine kleine Masse
daran hängt, dann kann ich die Walze so in der Ecke parken und sie
bleibt dort an der Wand haften.
Aufgrund dieser Verhakelungen zwischen Walze und Wand.
Das wollen wir einfach mal ausrechnen.
Also die Frage ist, wie groß muss ich die Masse m hier wählen, damit
gerade noch Haften auftritt.
In welchem Bereich darf diese Masse klein m liegen?
Wie beantworte ich die Frage?
Indem ich einen Freischnitt mache, indem ich die
Gleichgewichtsbedingungen aufstelle und indem ich mir den Grenzzustand
anschaue, dass die Haftkraft gerade µ0 mal n ist.
Die Haftkraft, die ich aufwenden muss, ist gerade µ0 mal n und dann
erhalte ich die Masse, die ich mir hier erlauben kann.
Machen wir das Ganze Schritt für Schritt.
Erstens einen sauberen Freischnitt.
Wo müssen wir überall schneiden?
Wir müssen einmal die Seilkraft bestimmen, also die Masse von dem Seil
abschneiden, klar, das haben wir schon oft genug gemacht.
Und zum anderen müssen wir hier an den Kontaktpunkten die Walze
freischneiden.
Dann sieht also unser Gebilde so aus.
Wir haben hier die große Walze, in der Mitte haben wir noch diese
kleine Rolle, an der Rolle wirkt die Seilkraft, S1 meinetwegen.
Diese Seilkraft hat die Größe m mal g, Aktio gleich Reaktio, klar,
hier haben wir die Masse, m mal g, S1 und damit wissen wir, S1 ist
gleich m mal g, klarer Fall.
Der Abstand hier ist klein r, der Radius nach außen, der ist groß A
und jetzt haben wir noch die beiden Kontaktpunkte, einmal hier unten,
einmal dort oben.
Da wirken also jetzt Normalkräfte, die das Eindringen des Körpers in
die Wand verhindern, also nennen wir den Kontaktpunkt 2 und den
Kontaktpunkt hier unten 1.
Und es wirken Haftkräfte, die entgegengesetzt der Bewegungsmöglichkeit
dieser Walze sind.
Jetzt wollen wir uns das mal überlegen, stellen wir uns mal vor, da
unten zieht jemand mit einer sehr großen Kraft an dieser Walze.
Was wird passieren?
Die Walze wird sich so lang drehen, im Uhrzeigersinn.
Die Haftkräfte werden also diese Drehung verhindern müssen.
Dann muss also die Haftkraft hier oben, nach oben gerichtet sein und
die Haftkraft an dieser Stelle muss nach rechts zeigen.
So, damit haben wir den Freischnitt aber vollständig darzustehen.
Jetzt brauchen wir als nächstes die Gleichgewichtsbedingungen.
Gleichgewichtsbedingungen können wir drei Stück formulieren.
Zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen, eine
Momentengleichgewichtsbedingung.
Für die Momentengleichgewichtsbedingung würde es sich ja anbieten, mal
eine Kombination aus Haft und Normalkraft einfach auszuschalten, indem
wir das Momentengleichgewicht um einen der beiden Kontaktpunkte
formulieren.
Da bietet sich, egal welcher an, ich habe mal hier unten den Punkt A
verwendet.
Also, was wir formulieren, ist das horizontale Kräftegleichgewicht in
X -Richtung.
Geben wir hier noch ein schönes Koordinatensystem an.
X, Y gleich Null, Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung und
Momentengleichgewicht um den Punkt A gleich Null.
Und da sollen Sie jetzt noch mal üben.
Formulieren Sie die Gleichgewichtsbedingungen für dieses Problem.
Kleine Wiederholung aus der Statik.
Wenn Sie Fragen haben sollten, komme ich zu Ihnen hin, melden Sie sich
einfach und dann helfe ich Ihnen.
So, ich schreibe Ihnen die Gleichgewichtsbedingungen auf.
In horizontaler Richtung haben wir H1 minus N2.
In vertikaler Richtung haben wir N1 plus H2 minus MLG.
Halt, ich habe etwas vergessen.
Ich habe ja etwas vergessen.
Hier ist noch die Gewichtskraft.
Groß M mal G der großen Walze.
Sehen Sie, wenn man den Freischnitt nicht sauber macht, da macht man
sofort einen Fehler.
Geht auch mir so.
Wenn Sie eine Kraft im Freischnitt vergessen, werden Sie die auch
meistens bei den Gleichgewichtsbedingungen vergessen.
Also Gewicht der großen Walze.
Groß M haben wir vergessen.
Groß M mal G Gewichtskraft.
Müssen wir im Gesamtschwerpunkt antragen, also genau in der Mitte.
Haben wir jetzt nachgeholt.
Jetzt brauchen wir noch das Momentengleichgewicht.
Um den Punkt A.
Da haben wir einmal die Seilkraft.
S1.
Die dreht mit dem Hebelarm klein R.
Radius dieser kleinen Walze.
Und sie dreht mathematisch negativ.
Sie dreht im Uhrzeigersinn.
Also minus M mal G mal R.
Die Gewichtskraft Groß M mal G brauchen wir nicht berücksichtigen.
Wir brauchen die Haftkraft H1 nicht berücksichtigen.
Und wir brauchen die Normalkraft N1 nicht berücksichtigen.
Wenn wir uns in den Punkt A stellen und den einfach mal festhalten.
Wir haben also noch die Horizontalkraft H2 und die Normalkraft N2.
Beide Kräfte drehen gegen den Uhrzeigersinn, also mathematisch
positiv.
Und in beiden Fällen ist der Hebelarm der Radius der großen Walze,
nämlich klein A.
Also plus H2 mal A plus N2 mal A.
An dieser Stelle, wenn Sie die Gleichgewichtsbedingungen haben,
sollten Sie zunächst einmal einen kleinen Moment innehalten und die
Unbekannten zählen.
Also, was ist uns hier alles unbekannt?
Wir kennen die Reaktionskräfte nicht, also H1, N2, N1 und H2.
Vier unbekannte Reaktionskräfte.
Und außerdem wollten wir ja die Masse klein m bestimmen.
Die hier.
Also kennen wir wohl auch das klein m nicht.
Damit haben wir fünf Unbekannte, aber nur drei Gleichungen.
Das kann nicht gut gehen.
Drei Gleichungen und fünf Unbekannte.
Wir brauchen also noch zwei zusätzliche Gleichungen, um das Problem
lösen zu können.
Wie lauten die zusätzlichen Gleichungen?
Wo bekomme ich die her?
Vorschlag.
Was weiß ich noch?
Denken Sie an das, was ich Ihnen über das Haften erzählt habe.
Denken Sie an den schönen Versuch, ich habe jetzt hier schon alles
wieder zurückgebaut, damit wir keinen Ärger von den Chemikern
bekommen, wenn wir hier den Hörsaal auseinander nehmen.
Denken Sie an die schiefe Ebene.
Was haben wir uns da angeschaut?
Wir haben uns den Grenzzustand angeschaut, den Zustand, bei dem der
Klotz gerade sich zu bewegen beginnt.
Was gilt in diesem Grenzzustand?
Vorschlag.
Es gilt H gleich µ0 mal n.
Jetzt kann ich für dieses Problem diese Gleichung gleich zweimal
aufschreiben.
Einmal an der Kontaktstelle A, H1 gleich µ0 mal n1.
Und dann für die Kontaktstelle 2, H2 gleich µ0 mal n2.
Jetzt werden Sie vielleicht sagen, naja, jetzt hat er ja fünf
Gleichungen, aber eigentlich hat er jetzt sechs Unbekannte.
Nämlich µ0.
Aber µ0 kann ich aus einem einfachen Experiment bestimmen.
Haben wir eben gemacht, Klotz auf der schiefen Ebene, schon habe ich
mein µ0 bestimmt.
Also µ0 ist unser Haftbeiwert und den nehmen wir als bekannt an.
Und dann habe ich tatsächlich fünf Gleichungen mit fünf Unbekannten.
Und jetzt kann ich nach der Masse klein m auflösen.
Also wie gehe ich da beispielsweise vor?
Ich sehe aus der ersten Gleichung, nummerieren wir die mal durch,
erstens, zweitens, drittens.
Aus der ersten Gleichung sehe ich sofort H1 gleich n2.
Dann weiß ich aus der Haftbeziehung, H2 ist gleich µ0 mal n2, also µ0
mal H1 ist gleich µ0 zum Quadrat mal n1.
Also die haben wir alle miteinander jetzt in eine Beziehung gesetzt.
Die vier unbekannten Reaktionskräfte.
Jetzt kann ich mir einfach die Gleichung 3 hernehmen, kann dort H2 und
n2 eliminieren, dann erhalte ich immer noch eine Unbekannte da drin,
also H2 kann ich beispielsweise jetzt ersetzen durch µ0 mal H1 und n2
kann ich ebenfalls durch H1 ersetzen.
Also machen wir das.
0 gleich minus M mal G mal R plus µ0 mal H1 plus A mal H1.
Und jetzt kann ich mir die zweite Gleichung hernehmen und kann in der
zweiten Gleichung ebenfalls die Ersetzung vornehmen, also ich kann mir
H1 ausrechnen.
Dazu setze ich in zweitens.
n1 ist µ0 mal H1, also H1 durch µ0 plus H2, µ0 mal H1 minus M mal G
minus M mal G.
Und jetzt kann ich beispielsweise aus der Gleichung drittens, also H1
eliminieren, dann erhalte ich H1 gleich M mal G mal R geteilt durch µ0
plus A.
Halt, da haben wir was vergessen, da haben wir ein A vergessen hier an
der Stelle.
A mal µ0 plus A gleich M mal G mal R, 1 plus µ0 mal A.
Wir setzen dieses Ergebnis in diese Gleichung ein und stellen nach
klein M frei und erhalten klein M gleich.
Groß M R 1 plus µ0 zum Quadrat geteilt durch A µ0 1 plus µ0 minus 1 im
Nenner.
Also was sehen wir?
Das klein M, also das was ich mir dort erlauben kann an Gewicht, was
ich dort ranhängen kann an Masse, hängt ab von der Masse M.
Je größer M, desto größer die Masse klein M.
Je mehr Masse im Schwerpunkt konzentriert ist, der Walze, desto mehr
Masse kann ich dort heranhängen und die Walze bleibt in dieser Ecke
stehen.
Und dann hängt es natürlich von den Hebelarmen ab.
Klar, klein R wandert in den Nenner.
Je größer dieser Hebelarm klein R wird, desto gefährlicher ist der
Einfluss der Masse, der drehende Effekt.
Das heißt, je größer klein R ist, desto kleiner ist die Masse, die ich
mir noch erlauben kann.
Wenn ich die Masse genau in den Schwerpunkt aufhängen würde, dann wäre
ja alles in Ordnung.
Dann würde gar nichts passieren, wir hätten ein statisches
Gleichgewicht.
Und mit klein a verhält es sich genau umgekehrt.
Je größer der Radius der äußeren Walze, desto größer ist der Abstand
der Haftkräfte vom Zentrum und desto größer wird der Hebelarm dieser
Haftkräfte und damit wird der Einfluss der Haftkraft größer.
Also ich kann mir wieder eine größere Masse M erlauben.
Damit genug.
Ein paar bunte Bilderchen, um Ihnen praktische Anwendungen zu zeigen.
Bleiben wir bei diesen Walzen.
Schauen wir uns jetzt diese Konfiguration an.
Wir haben drei Röhren aufeinander gelegt, finden Sie häufig auf
Baustellen.
Da werden die Röhren einfach so übereinander gestapelt.
Ist eigentlich eine ganz schön gewagte Sache, würde man denken.
Hier unten ist nirgendwo ein Keil, der diese Walzen irgendwie am
Wegrollen hält.
Die liegen einfach so auf der Oberfläche.
Natürlich, unter dem Eigengewicht der Walze hier oben, möchten sich
diese Walzen gerne nach außen bewegen und werden nach außen
weggedrückt.
Aber wenn wir uns das anschauen, hier unten sehen Sie den Freischnitt.
Dann gibt es dort Haftkräfte, die dem Ganzen entgegenwirken.
Wir sehen Haftkräfte einmal zwischen den Walzen, hier und hier.
Die dafür sorgen, dass die untere Walze nicht weggedrückt wird und
Haftkräfte an der Oberfläche zum Boden ebenfalls der Bewegung
entgegengesetzt.
Untere Rolle möchte nach außen rollen, Haftkraft wirkt dem entgegen.
Also schauen Sie sich immer an bei diesen Beispielen, wie hier diese
Haftkraft angetragen ist.
Das nächste ist ein wunderschönes Modell.
Da könnten Sie sich vorstellen, dieser kleine Körper hier ist Ihre
Bandscheibe.
Hier sitzt Ihr Wirbel drauf und Sie belasten den Wirbel mit Ihrem
Gewicht und irgendwann wird diese Bandscheibenmasse herausgedrückt.
Also, wenn hier oben dieses Gewicht immer weiter zunimmt, dann
marschiert dieser Körper nach außen.
Das heißt, an der Oberfläche entsteht dann hier eine Haftkraft, die
dem Ganzen entgegengesetzt ist, die also gerade verhindert, dass diese
Bandscheibe herausdrückt.
Wir haben die Normalkraft der Oberfläche, also alles richtig
eingezeichnet.
Und häufig haben Sie dann Anwendungen noch, wie diese Gewindestange,
bei denen also ein Gewinde für Haften sorgt, also dafür sorgt, dass
diese Verbindung nicht aus der Wand herauskommt.
Hier sehen Sie ein paar typische Anwendungen.
Ganz rechts unten, wunderschöne Sache, ist schon sehr alt, kannten
schon die alten Römer.
Also, Sie haben so einen Greifer, gehen damit innen in die Röhre rein
und können die Röhre jetzt anheben.
Allein durch die Haftkraft an dieser Oberfläche wird diese Röhre
gehalten.
Wie ist das möglich?
Die Normalkraft wird durch diesen Mechanismus sehr groß.
Große Normalkraft heißt H gleich 0 mal N.
Ich kann mir viel Haftkraft hier erlauben, um tatsächlich so viel
Haftkraft zu haben, dass ich das Eigengewicht dieser Röhre damit
tragen und transportieren kann.
Typische Anwendungen, Hebebühnen, hier dargestellt, oder in Ihrer
Werkstatt, zu Hause Hobbywerkstatt, hier so ein Schraubstock.
Sie können jetzt an diesem Bauteil, an diesem Holzklotz, rumsägen, wie
Sie wollen.
Wenn Sie hier durch Anziehen des Schraubstocks für eine hohe
Normalkraft sorgen, haben Sie viel Haftkraft zur Verfügung, um selbst,
wenn Sie wie ein Verrückter sägen, diese Kräfte noch aufzunehmen,
sodass Ihr Werkstück nicht verrutscht.
Wenn Sie dagegen meinen, Sie müssten die Oberfläche Ihres Werkstücks
vielleicht noch einölen, dann können Sie natürlich nicht mehr viel
Haftkraft übertragen.
Dann sinkt Ihr Haftballwert mü 0, wenn Sie natürlich einen kleinen
Haftballwert haben, und Sie fangen dann an, wie verrückt zu sägen,
oder Sie spannen den Schraubstock nicht fest genug.
Wollen Sie vielleicht nicht, damit Sie die Oberfläche nicht
beschädigen und eindrücken, dann haben Sie eventuell nicht genug
Haftkraft und Ihr Bauteil verrutscht Ihnen.
Dann bitten Sie einfach Ihren Freund, Kommilitonen, Kollegen zur
Hilfe, der soll dann vielleicht auch noch ein bisschen mit
draufdrücken, dann passt das Ganze schon.
Also, viele, viele praktische Anwendungen dieses Themas Klotz auf der
schiefen Ebene, hier bei technischen Systemen, einfach die Haftkraft,
und jetzt komme ich noch in der letzten halben Stunde zu einer
besonders schönen Anwendung, das ist die sogenannte Seilbeibung.
Schauen wir uns das Seilhaften an.
Was ist hier los?
Wir legen ein Seil, haben wir ein Seil, nehmen Sie immer ein Kabel,
wir legen das über so einen Klotz rüber,
auf dieser ganzen Oberfläche haftet das Seil, und jetzt gibt es zwei
Möglichkeiten.
An der einen Seite stehen Sie und ziehen an dem Seil, und an der
anderen Seite zieht eine Masse und zieht natürlich auch an dem Seil.
Gibt zwei Möglichkeiten, entweder Sie sind stärker als die Masse, dann
rutscht das Seil zu Ihnen rüber, oder die Masse ist stärker als Sie,
oder Sie lassen los, dann rutscht die Masse nach unten in die Tiefe.
Diese beiden Fälle müssen wir wieder unterscheiden, wir müssen wieder
die Bewegung analysieren und uns überlegen, in welche Richtung soll
die Bewegung einsetzen.
Ich habe mich hier für den Fall entschieden, dass Sie stärker sind als
die Masse.
Das heißt, Sie ziehen an dem Seil und die Masse rutscht nach oben.
Die Masse soll sich nach oben bewegen und das Seil also zu Ihnen rüber
rutschen.
Und wir fragen uns wieder nach dem Grenzzustand, das heißt, welche
Seilkraft S2 ist erforderlich oder maximal möglich?
S2 ist maximal möglich,
damit das Seil nicht rutscht.
So, Fragezeichen.
Die Frage möchte ich jetzt mit Ihnen beantworten.
Worin besteht jetzt die Schwierigkeit?
Die Schwierigkeit besteht jetzt darin, dass unsere Oberfläche ja nicht
mehr geraden ist, sondern gekrümmt, dass es eine Kreisoberfläche ist,
ein Ausschnitt eines Kreises.
Wie groß dieser Ausschnitt ist, hängt von dem sogenannten
Umschlingungswinkel Alpha ab.
Der Umschlingungswinkel Alpha markiert also den Teil des Kreisbogens,
an dem das Seil an der Oberfläche haftet.
Der geht also von hier bis ungefähr hier und dort löst sich das Seil
von der Oberfläche.
In diesem gesamten Bereich, für diesen Winkel Alpha, liegt hier
überall Haften an der Oberfläche vor.
Hier überall haftet das Seil an der Oberfläche.
Und das ist jetzt die Schwierigkeit, dass diese Oberfläche gekrümmt
ist und wir diese gekrümmte Oberfläche betrachten müssen.
Da machen wir es uns halt etwas einfach und schneiden einfach mal ein
kleines Element aus diesem Seil heraus und schneiden dieses kleine
Element frei.
Sie sehen, ich habe hier den Winkel Phi eingezeichnet, der läuft von
rechts los.
Phi gleich Null würde also bedeuten, wenn der Umschlingungswinkel Phi
wäre und Phi gleich Null wäre, würde das Seil gerade senkrecht stehen,
die Seilkraft wäre Q oder m mal g, wenn dort eine Masse m dranhinge
und wir würden das Seil nur senkrecht halten.
Jetzt schneiden wir unter dem Winkel Phi, also ähnlich wie bei den
Schnittkräften.
Was sehen wir dort?
Wir schneiden ein Winkelelement Delta Phi heraus, so ein Tortenstück.
Wir sehen an dieser Stelle, an der wir hier dieses Stück
herausschneiden, eine Normalkraft, die verhindert, dass das Seil in
den Körper eindringt.
Die nennen wir mal Delta N, weil wir uns auf dieses Teilstück Delta
Phi beziehen.
Delta Phi.
Und wir sehen eine Haftkraft, die der Bewegung entgegengesetzt
arbeitet und die Tangential zu der Oberfläche verläuft.
Delta H.
Jetzt haben wir noch Seilkräfte.
Wir haben ja das Seil durchgeschnitten, wenn wir dieses kleine
Winkelstückchen Delta S betrachten.
Und da müssen wir eigentlich genauso vorgehen wie bei den
Schnittreaktionen, nur wir haben es mit einem Seil zu tun.
Das heißt, wir wissen sofort, es kann keine Querkraft entstehen.
Ein Seil kann keine Querkraft aufnehmen.
Ein Seil kann keinen Biegemoment aufnehmen, ist biegeschlaff.
Ein Seil kann also nur Zugkräfte aufnehmen.
Das heißt, wir haben hier eine Zugkraft des Seils und auf der anderen
Seite auch eine Zugkraft.
Aber diese beiden Zugkräfte sind natürlich nicht genau gleich groß und
entgegengesetzt, denn wir haben nicht nur an einem Punkt
freigeschnitten, sondern wir haben ein kleines, kleines Seilelement.
Das heißt, auf der rechten Seite wird die Seilkraft noch etwas kleiner
sein als auf der linken Seite.
Schreiben wir dafür, hier ist die Seilkraft S und hier haben wir dann
schon S plus Delta S.
Denn diese Seilkraft S2 ist ja größer als die Seilkraft S1.
Jetzt haben wir ein ganz kleines Problem.
Die Haftkraft greift tangential an der Oberfläche an.
Diese beiden Seilkräfte, die gehen aber in Richtung des Seils und das
Seil ist hier schon ein kleines Stückchen weiter gegangen.
Hier ist ein Winkel zwischen Seil, Richtung der Seilkraft und Richtung
der Haftkraft.
Und die Frage ist, wie groß ist dieser Winkel?
Dazu zeichnen wir uns hier die Winkelhalbierende ein.
Und die Winkelhalbierende, die verläuft genau in Richtung der
Normalkraft, denn die Normalkraft greift genau in der Mitte von diesem
kleinen Winkelelement an.
Und diese Winkelhalbierende, die finden wir hier oben wieder.
Das heißt, dieser Winkel ist Delta Phi Halbe.
Und hier drüben ist das auch der Winkel Delta Phi Halbe.
Jetzt können wir für diesen Freischnitt das Kräftegleichgewicht
aufstellen.
Einmal in normaler Richtung, Delta N, und dann in tangentialer
Richtung, Delta H.
Das heißt, ich führe ein Kräftegleichgewicht ein, Summe aller Kräfte
in X-Richtung gleich Null und meine damit in Richtung der
Horizontalkraft und Summe aller Kräfte in Y-Richtung gleich Null.
Das heißt, mein Koordinatensystem, das ich verwende, verläuft hier
tangential X und senkrecht zur Oberfläche Y an diesem kleinen
ausgeschnittenen Winkelelement mit dem Winkel Delta Phi.
Was haben wir hier in X-Richtung?
Was denn?
Oha.
Wie kriegen wir den denn wieder hin?
Uiuiui.
Dann machen wir es so.
Bis der Projektor wieder da ist, schreibe ich Ihnen das Ergebnis an
die Tafel an.
Ich bin mal optimistisch und hoffe, der Projektor kommt gleich wieder.
Also.
Ich zeige Ihnen hier noch mal ein Beispiel drauf.
Tangential verläuft Delta A.
Normalverläuft Delta B.
Hier haben wir gerade die Winkelradierende, Delta Phi Alpha.
Hier haben wir die Gleichkraft S plus Delta S.
Hier haben wir die Gleichkraft S und der Winkel zwischen diesen beiden
Gleichkräften, der ist Delta Phi Alpha.
Unser Koordinatensystem, das wir verwenden wollen, und machen es noch
mal unterschiedlich, vielleicht kommt er ja noch mal wieder,
ist dieses hier.
YX8.
Bis ich das Projektor gleich wieder hingeschrieben habe, ist der
Übergreif wieder da.
Liefert hier Minus Delta A.
Okay, dann können wir das auch hier weitermachen.
Also Minus Delta H haben wir schon mal festgestellt.
Jetzt haben wir noch die Anteile aus der Seilkraft.
S plus Delta S.
Minus S.
Plus Minus S.
Plus Delta S.
S plus Delta H?
Ne, wenn die X-Richtung nach rechts zeigt, dann ist es Minus Delta H.
X zeigt nach rechts.
Wir ziehen ja das Seil nach links rüber, Delta H zeigt nach rechts.
Hier habe ich mich vertan.
Hier, die Beispiele sind da drin.
Und dann ist es Plus Delta H von links.
Also, Plus Delta H, Sie haben völlig recht.
S zeigt positiv.
S plus Delta S zeigt in die negative Richtung.
Und die Winkelfunktion dazwischen, in H-Richtung, ist das der Posinus.
Posinus Delta V Halber.
In Normalrichtung ist das die Normalkraft Delta N.
Und jeweils von den Winkeln S plus Delta S und S.
In Richtung von Delta N zeigend.
Ne, entgegengesetzt zeigend, nach unten zeigend.
Minus S plus Delta S Sinus Delta V Halber.
So, dann erhalten wir also aus der ersten Gleichung...
Delta H gleich.
Delta S Posinus Delta V Halber.
Wir erhalten aus der zweiten Gleichung...
Delta N gleich.
Zwei S plus Delta S...
mal Sinus Delta V Halber.
Jetzt nehmen wir an, dass wir kleine Winkel haben.
Wir schneiden ja nur so ein kleines Winkel-Element aus.
Im Grenzübergang geht Delta V gegen das Differential dV.
Der Posinus von Delta V Halber marschiert dann gegen 1...
und der Sinus von Delta V Halber marschiert dann gegen dV Halber.
Dann lauten also meine beiden Gleichungen.
dH gleich dS...
und dN gleich 2S mal dV Halber.
Also S mal dV.
Außerdem weiß ich, dass an der Haftgrenze...
H gleich µ0 mal N gilt.
Damit kann ich schreiben dH gleich µ0 mal dN.
Das sind meine drei Gleichungen, die mir zur Verfügung stehen.
Die ersten beiden Gleichungen kommen aus dem Kräftegleichgewicht.
Die dritte Gleichung kommt aus der Beziehung für die Haftgrenze...
aus der Betrachtung des Grenzzustands.
Jetzt sehen wir wieder die Unbekannten.
Unbekannt sind H, N und S.
Drei unbekannte, drei Gleichungen, das geht auch.
An den Reaktionskräften H und N sind wir nicht interessiert, sondern
wir sind an der Frage interessiert...
Wie groß ist die Seilkraft S2?
Die interessiert uns.
Das wollen wir wissen.
Wie groß muss der Mensch dort höchstens dran ziehen, damit das Seil
nicht rutscht?
Also lösen wir das Ganze auf nach dS und S.
Und Sie sehen, da bekomme ich natürlich eine Differenzialgleichung.
Aus der ersten Gleichung erhalte ich dS gleich µ0 mal dN.
Dann habe ich 1 und 3 miteinander kombiniert.
Und wenn ich jetzt noch für dN SdP einsetze, erhalte ich dS...
Jetzt ist es wieder aus.
Wunderbare Technik bei den Chemikern.
dS gleich µ0 SdP.
Ich schreibe Ihnen die Gleichung an die Tafel und den Rest.
Da muss ich nicht mehr viel zeichnen, da muss man nur noch ein
bisschen rechnen.
Den Rest rechnen wir ganz einfach aus.
Also, dS gleich...
Was hat man gesagt?
dS gleich...
Da muss ich mal hier auf meine Folie spickeln.
dH.
dN.
µ0 dH gleich µ0 dN.
dN.
Sie setzen die zweite Gleichung hier ein.
dS gleich µ0 mal SdP.
Wie lösen Sie das Ganze auf?
Das Ganze ist eine Differenzialgleichung, die wir auflösen durch
Variablen.
Den lernen Sie noch in der Mathematik kennen.
Aber das ist nicht schwer zu verstehen.
Sie schreiben das Ganze so.
Variablen-Trennung.
Warum?
Weil alles, was mit S zu tun hat, jetzt auf der linken Seite steht.
Hier steht das S.
Und auf der rechten Seite steht alles, was mit V zu tun hat.
Und jetzt integrieren wir einfach auf beiden Seiten.
Unbestimmt.
Integrieren auf beiden Seiten.
Unbestimmt.
Und erhalten µS minus µS0.
Sie können das auch so schreiben.
V1 in den Grenzen von V0 gleich µ0 mal V1.
So.
Jetzt ist die Frage, was muss ich für die Grenzen einsetzen, wenn ich
hier integriere.
Jetzt müsste ich natürlich wieder das schöne Bild von dem Seil haben.
Also, ich zeichne es Ihnen nochmal an.
Das Ganze sah so aus.
Hier war unser Seil.
Hier unten war letztlich das Gewicht.
Und hier lief unser Winkel Pi.
Das Ende des V1 habe ich, wenn ich hier den Winkel Alpha, den
Umschwingungswinkel, habe.
Und die Null ist einfach die Null Grad.
Dann habe ich also hier zu schweben.
Logarithmus S von Alpha minus Logarithmus S an der Spitze.
Jetzt muss ich mir noch überlegen, wie groß ist die Seilkraft?
Ich spiele den Fall in Null Grad.
Wenn hier meine Gewichtskraft U ist, dann ist S von I gleich Null Grad
gleich U.
Das ist ja auch der Seil, der Freischnitt hier.
Seil durchgeschnitten bei Null Grad.
Seil steht senkrecht zu einer Universe senkrecht bei U.
Also steht hier Logarithmus von S von Alpha.
So,
jetzt kann ich...
Ah, Logarithmus von U.
Logarithmus von U.
Jetzt kann ich das aber auch schreiben.
Das ist der Logarithmus von S von Alpha.
Auf beiden Seiten wende ich jetzt die Exponentialfunktion an.
Und erhalte die Seilkraft in Abhängigkeit von meiner
Beschränkungslinie Alpha.
Insgesamt ist Alpha gleich U mal Exponentialfunktion Null mal Alpha.
Das ist das Ergebnis unserer Überlegung.
Diese Formel hier bezeichnet man als die sogenannte Eitelbeinformel.
Die Formel
von Euler-Eitelbein zur Berechnung der Seilkraft.
Und wir sehen also, die Seilkraft, die maximalmögliche Seilkraft,
damit die Masse nicht rutscht, dient exponentiell mit dem
Beschränkungswinkel zu.
Da kommt mir natürlich eine gute Idee.
Wenn ich ein Wegrutschen eines Gegenstandes verhindern will, dann muss
ich also nur den Beschränkungswinkel Alpha möglichst groß machen und
so weiter.
Dann vergrößert sich die Haftkraft exponentiell mit einer
Exponentialfunktion und die wird modifiziert mit einer kleinen
Ausgangsmasse.
Wissen Sie, wo man das in der Anwendung findet?
Denken Sie an Schiffe, die irgendwo festgemacht werden.
Also Sie befestigen ein Schiff an einem Boller,
schwingen über das Seil herum,
und Sie sind in der Lage, durch Vertäumung so eines Schiffes, die
Kraft, die so ein Schiff aufbringen kann, um sich loszureißen,
tatsächlich aufzulegen.
Mit wenigen Umdrehungen können wir ganz einfach ausrechnen.
Nehmen wir mal an, Sie haben zwei Beschwingungen.
Alpha ist 2 mal 2 Pi.
Nehmen Sie für ein blaues Seil ein Zweitbeinwerk, Y0, 0,5.
Rechnen Sie sich in der Euler-Eichstein-Formel aus,
Exponentialfunktion von Y0, 0,5 mal 2, mal 2 Pi.
Dann erhalten Sie die Exponentialfunktion von 2 Pi.
Die Exponentialfunktion von 2 Pi ist 535,49.
Das heißt, diese Seilkraft, die an diesem Ende erforderlich ist, ist
das 535 bar, um das Ding wegzuziehen.
Das heißt, wenn hier Ihr Schiff dran zieht, muss es das 535-fache der
Kraft Q aufwenden, um sich loszulösen von dem Koller.
Und das schafft es nicht mehr.
Schauen Sie sich die Rechnung an.
Wir müssen den Weg in Alpha hier im Bogenmaß einsetzen.
Bitte setzen Sie an dieser Stelle niemals den Weg in Alpha im Grad
ein.
Dann bekommen Sie auch ein riesiges Ergebnis heraus, aber es ist
falsch.
Der Weg in Alpha bitte im Bogenmaß.
Also Sie sehen die Exponentialfunktion, in dem Fall der beste Freund
der Ingenieure.
Riesige Kräfte, die Sie aufnehmen können mit solch einfachen
Seilsystemen.
Also einfach um den Poller schlingen, 535-facher Kraft, bei zweifacher
Umschlingung, kann das Schiff an den Poller ziehen und das Seil hält.
So, jetzt vielleicht kriegen wir den Kümmerer nochmal 15 Minuten, dann
rechne ich Ihnen nochmal eine kleine Aufgabe.
Ich sehe etwas Blaues.
Es sei uns doch nochmal vergönnt, einen kleinen Riementrieb hier
zurückzunehmen.
Den Poller haben wir schon gesehen.
Also, eine kleine Aufgabe zum Seilhaften.
Wir haben einen sogenannten Riementrieb.
Bei dem Riementrieb, das sehen Sie hier oben dargestellt, können Sie
ein Lager verschieben, beispielsweise das nach außen schieben, um die
Riemen vorzuspannen.
Wenn Sie die Riemen nicht richtig vorgespannt haben, wenn die also
schlaff da rumlabbern um diese Scheibe und Sie bringen dann einen
Drehmoment auf, dann rutschen die Riemen einfach durch.
Schlecht für Sie, denn die meiste Leistung geht dann darauf, Reibwärme
zu erzeugen und hier diesen Reibvorgang zu haben und das wenigste geht
in Nutzenergie übrig.
Also wollen wir natürlich diesen Riementrieb schön vorspannen, damit
wir möglichst viel Kraft auf das Seil übertragen können und damit wir
hier möglichst effizient arbeiten können.
So, dazu können wir uns ganz einfach überlegen, wie das Verhältnis der
beiden Seilkräfte aussehen muss.
Wir schneiden einfach mal hier diesen Riementrieb frei.
Rechts ist also hier in der Zeichnung im Breitschnitt das Loslager
eingezeichnet, das kann ich also verschieben, kann es also mit der
Kraft Q vorspannen.
Links das Festlager ist natürlich ein Festlager und damit ist klar,
wie die Horizontalkräfte dann aufgenommen werden müssen.
So, jetzt wirkt dort rechts ein Lastmoment ML.
Und wenn dieses Lastmoment so tatsächlich richtig herum eingezeichnet
ist, also so wie es eingezeichnet ist auch positiv wirkt, die Last,
dann können wir natürlich ganz schnell für dieses Teilsystem mit den
Kräften S1 und S2 ein Momentengleichgewicht machen.
Also das sieht dann wie folgt aus.
Summe aller Momente um den Schwerpunkt, also um den Mittelpunkt dieser
Scheibe, nennen wir diesen Mittelpunkt mal S.
Summe aller Momente um S gleich 0.
Und wir erkennen, da wirkt natürlich einmal das Lastmoment als freies
Moment, bitte immer mitnehmen an diesem Freischnitt, also das dreht
mathematisch positiv.
Die Seilkraft S1 dreht mathematisch positiv, die Seilkraft S2 dreht
mathematisch negativ.
Also S1 minus S2 und der Abstand der Hebelarm ist jeweils der Radius
R.
Hier haben Sie einen rechten Winkel zwischen dem Radius und dem Seil.
Das Seil entfernt sich tangential von dieser Walze.
An dieser Formel sehen Sie aber schon,
dass unser Lastmoment aufgenommen werden muss von der Differenz der
beiden Seilkräfte multipliziert mit dem Radius R.
Wenn also hier ein Lastmoment wirkt, dann können die beiden Seilkräfte
nicht gleich groß sein, sondern die Seilkraft S2 muss größer sein als
S1, wenn ML positiv ist.
ML größer 0, daraus folgt S2 größer S1.
Damit ist auch klar, wie Ihnen der Riemen nur wegrutschen kann.
Wenn nämlich S2 größer wird als S1, dann kann S2 den ganzen Riemen zu
sicher rüberziehen.
Also es gilt nach Euler-Eitelwein,
S2 kann maximal S1 mal Exponentialfunktion µ0α sein.
Ist das S2 größer, rutscht das Seil weg in Richtung von S2.
So, jetzt haben wir den Umschlingungswinkel, der ist hier
eingezeichnet.
Jetzt fehlt uns nur noch eine Gleichung und dann ist das Ganze
vollständig.
Uns fehlt noch ein horizontales Kräftegleichgewicht, um die Querkraft
Q mit ins Spiel zu bringen.
Also die Vorspannung Q bringen wir durch ein horizontales
Kräftegleichgewicht ins Spiel.
Summe aller Kräfte in X-Richtung.
Ich trage mal hier ein X mit ein.
Jetzt will er natürlich nicht mehr.
Er meint, wir sollen Feierabend machen.
Also, ich schreibe Ihnen noch das horizontale Kräftegleichgewicht an
und dann verrate ich Ihnen, wie wir das Ganze auflösen.
Da haben wir zum einen die Querkraft Q und entgegengesetzt wir die
beiden Seilkräfte S1 plus S2.
Allerdings mit dem Sinus von 180°
S1 plus S2.
Sinus 180° minus 1.
Wir können zwischen S1 und S2 die Beziehung nach Euler-Eitelbein
aufstellen.
Also S2 eliminieren durch S1 mal Exponentialfunktion.
Also,
da hatten wir gesagt, Lastmoment ML ist gleich S1 plus S2.
S1 minus S2.
S2 minus
S1.
Exponentialfunktion.
Minus Alpha minus 1.
Multipliziert mit R.
Lösen Sie hier noch S1 auf.
Setzen das Ergebnis hier für S1 ein.
Und Sie erhalten die Vorsprachkraft Q.
Und diese Vorsprachkraft Q kann man dann etwas komplizierter
gestalten.
Hier steht das Lastmoment, klar.
ML und S1 hängen ja direkt voneinander ab.
Proportionalitätsfaktor ist Exponentialfunktion.
Alpha minus 1 mal R.
Setzen Sie dort ein, dann kommt ML minus S1.
Und damit haben Sie von so einem Riementrieb die Vorsprachkraft
berechnet.
Ja, tut mir leid, dass es mit der Technik heute nicht so ganz geklappt
hat.
Wahrscheinlich muss dann doch wieder der andere Beamer ran.
Damit ist die Statik abgeschlossen.
Üben Sie vor allen Dingen freischneiden, Gleichgewichtsbedingungen
formulieren, Schnittgrößen ermitteln.
Nächste Woche ist nochmal eine abschließende Übung zu allem, was in
der Statik dran war.
Und das ist mindestens die halbe Miete für Ihre Klausur.
Und eignen Sie sich den Stoff jetzt schon an.
Wir werden ihn in der Festigkeitslehre immer wieder brauchen.
Kommen Sie gut durch die Woche.
Bis zum nächsten Mal in 14 Tagen.
Und dann fangen wir an mit der Festigkeitslehre.
Alles Gute.