WEBVTT

00:09.910 --> 00:14.270
Meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich zur heutigen

00:14.270 --> 00:17.470
Vorlesung Technische Mechanik I für Wirtschaftsingenieure.

00:18.590 --> 00:24.190
Und am Anfang nochmal alles Gute für Sie fürs neue Jahr, sowohl für

00:24.190 --> 00:27.050
das, was Sie in der Technischen Mechanik, als auch für das, was Sie in

00:27.050 --> 00:30.970
Ihrem Studium vorhaben, als auch für die vielen, vielen privaten

00:30.970 --> 00:35.530
Unternehmungen, die Sie in diesem Jahr erwarten und herausfordern.

00:36.650 --> 00:41.230
Ich wünsche mir für diese Vorlesung eigentlich nur, dass wir ohne

00:41.230 --> 00:42.810
technische Pannen durchkommen.

00:43.310 --> 00:46.230
Eine kleine hatten wir jetzt schon am Anfang, der Strom war hier weg,

00:46.750 --> 00:49.530
aber irgendwo gab es doch noch einen Einschalter.

00:50.370 --> 00:54.550
Also, nachdem der richtige Schalter gefunden war, kann es eigentlich

00:54.550 --> 00:56.230
hier problemlos losgehen.

00:57.050 --> 00:58.750
Wir haben heute viel vor.

00:59.490 --> 01:04.690
Wir sind nämlich mitten in der elementaren Stabtheorie, dem Kerngebiet

01:04.690 --> 01:09.490
der Festigkeitslehre, so wie Sie hier nur unterrichten können in der

01:09.490 --> 01:12.650
Technischen Mechanik I für Wirtschaftsingenieure.

01:13.350 --> 01:18.350
Das heißt, dieser Kernbereich elementarer Stabtheorie besteht aus drei

01:18.350 --> 01:19.110
Vorlesungen.

01:19.750 --> 01:26.070
Die erste Vorlesung zum Thema Zugdruck hat Ihnen die Frau Gauss schon

01:26.070 --> 01:28.190
vor Weihnachten näher gebracht.

01:28.750 --> 01:30.570
Heute kommt die Königsdisziplin.

01:31.070 --> 01:34.530
Die schwierigste, die anspruchsvollste Disziplin, das ist die Biegung.

01:35.010 --> 01:37.570
Und nächste Woche machen wir dann die Torsion.

01:38.550 --> 01:41.890
Die Biegung hat es in sich, deswegen haben wir sie insgesamt auf zwei

01:41.890 --> 01:42.970
Termine verteilt.

01:43.430 --> 01:46.650
Ich bringe Ihnen heute in der Vorlesung die Fakten bei.

01:47.330 --> 01:51.530
Und morgen haben Sie mit Frau Gauss nochmal die Möglichkeit, alle

01:51.530 --> 01:55.630
diese Fakten zu üben, sich selbst zu erproben an der Biegung.

01:55.890 --> 01:59.510
Und dann sollte dieses etwas schwierigere Thema im Vergleich zu

01:59.510 --> 02:03.030
Zugdruck und Torsion für Sie auch kein Problem sein.

02:04.210 --> 02:08.490
Wenn Sie nochmal nachlesen wollen, finden Sie hier die Quellangaben im

02:08.490 --> 02:12.670
Buch von Großhauger-Schnell, war zwei Festigkeitslehre, und im Buch

02:12.670 --> 02:16.030
von Himmler ebenfalls zwei Festigkeitslehre.

02:17.790 --> 02:23.030
Nochmal ganz kurz, Weihnachten lag jetzt dazwischen, eine große Pause.

02:23.650 --> 02:26.310
Worum geht es überhaupt bei der Festigkeitslehre?

02:26.450 --> 02:27.490
Was sind unsere Ziele?

02:37.340 --> 02:39.500
Also, was wollen wir können?

02:44.580 --> 02:49.600
Wir wollen, und das ist jetzt neu im Vergleich zur Statik, Spannungen

02:49.600 --> 02:53.620
ausrechnen können und wir wollen Verformungen ausrechnen können.

02:59.410 --> 03:04.510
Spannungen und Verformungen ausrechnen, das konnten wir mit der

03:04.510 --> 03:06.410
elementaren Statik noch nicht.

03:12.930 --> 03:14.550
Und warum wollen wir das können?

03:14.950 --> 03:19.110
Weil wir den sogenannten Festigkeitsnachweis führen wollen bzw.

03:19.330 --> 03:22.810
führen müssen, denn das verlangen die Sicherheitsvorschriften.

03:23.750 --> 03:28.150
Wir müssen nachweisen, dass unser Bauteil richtig bemessen ist, dass

03:28.150 --> 03:28.630
es hält.

03:37.000 --> 03:41.620
Und so ein Festigkeitsnachweis besteht in der Regel aus zwei großen

03:41.620 --> 03:42.160
Schritten.

03:42.700 --> 03:46.100
Das erste ist das Dimensionierungsproblem, das heißt, wir überlegen

03:46.100 --> 03:50.420
uns beispielsweise, wie groß muss unser Querschnitt sein, welches

03:50.420 --> 03:53.460
Material wollen wir verwenden, damit unser Bauteil hält.

03:53.940 --> 03:59.000
Und der zweite ist dann der Nachweis, dass die zulässigen Spannungen

03:59.000 --> 04:02.680
nicht überschritten werden bei unserem Bauteil, an keiner Stelle des

04:02.680 --> 04:06.900
Bauteils und dass sich auch die Verformungen in den vorgeschriebenen

04:06.900 --> 04:07.660
Grenzen halten.

04:07.840 --> 04:10.820
Und dazu müssen wir Spannungen und Verformungen berechnen können.

04:11.980 --> 04:17.340
Und das zweite ist sozusagen ein Nebenprodukt, ein ganz nettes

04:17.340 --> 04:18.200
Beiprodukt.

04:18.620 --> 04:22.780
Wir können jetzt gewisse statisch unbestimmte Probleme rechnen.

04:29.360 --> 04:34.220
Berechnung statisch unbestimmter Probleme.

04:43.150 --> 04:47.330
So, wie sieht die allgemeine Methode oder Vorgehensweise der

04:47.330 --> 04:48.750
Festigkeitslehre aus?

04:52.210 --> 04:56.370
Die Idee war, Sie erinnern sich, Vorlesung, Einführung in die

04:56.370 --> 05:00.290
Festigkeitslehre, auf der einen Seite der schöne Königssohn, auf der

05:00.290 --> 05:07.150
anderen Seite die ebenso schöne Prinzessin, Schnittgrößen und

05:09.770 --> 05:11.090
Geometrieänderungen.

05:13.110 --> 05:18.690
Und diese beiden Größen sind miteinander zunächst inkompatibel, sie

05:18.690 --> 05:22.550
können nicht zusammenkommen, sondern wir müssen daraus andere Größen

05:22.550 --> 05:23.150
ableiten.

05:23.950 --> 05:26.050
Bei den Schnittgrößen sind das die Spannungen,

05:29.110 --> 05:34.910
bei den Geometriegrößen also den Lageänderungen, den Verschiebungen

05:34.910 --> 05:37.010
beispielsweise sind das die Verzerrungen.

05:39.550 --> 05:44.810
Und zwischen den Verzerrungsgrößen und den Spannungen vermittelt dann

05:44.810 --> 05:49.690
im Fall der linearen Elastizitätstheorie das Hoogsche Gesetz.

05:51.770 --> 05:55.350
Also dort brauchen wir dann die Werkstoffwissenschaften, dort brauchen

05:55.350 --> 05:59.590
wir den Versuch, um unsere Materialparameter zu kennen.

06:00.090 --> 06:06.770
Und dann können wir diese Brücke schlagen zwischen einerseits Kraft-

06:06.770 --> 06:10.150
und Momentengrößen, dynamischen Größen und auf der anderen Seite

06:10.150 --> 06:11.690
geometrischen Größen.

06:12.630 --> 06:21.510
Als Beispiel, Wiederholung, Zugdruck, war jetzt alles schon vor

06:21.510 --> 06:23.590
Weihnachten, also nochmal kurz wiederholt.

06:24.130 --> 06:28.350
Was haben wir für eine Schnittgröße, die im Zentrum der elementaren

06:28.350 --> 06:30.290
Stabtheorie für Zug und Druck steht?

06:31.370 --> 06:33.970
Wir haben hier die Normalkraft M.

06:34.650 --> 06:39.390
Was erwarten wir als Geometriegröße, wenn wir eine Normalkraft, eine

06:39.390 --> 06:41.090
Kraft in Längsrichtung aufbringen?

06:41.690 --> 06:45.710
Wir erwarten, dass der Stab länger wird oder kürzer wird, gedehnt wird

06:45.710 --> 06:52.250
oder gestaucht wird, also eine Längenänderung in axialer Richtung, mit

06:52.250 --> 06:53.350
U bezeichnet.

06:55.550 --> 06:57.330
Was haben wir für eine Verzerrung?

06:57.430 --> 07:03.270
Wir haben eine Verzerrung in axialer Richtung, Y, X, ausgedrückt durch

07:03.270 --> 07:08.450
die erste Ableitung von U nach X, die U nach die X.

07:09.890 --> 07:15.770
Auf der anderen Seite können wir die Normalspannung identifizieren als

07:15.770 --> 07:18.510
Sigma, gleich N durch A.

07:19.190 --> 07:22.250
Dabei haben wir angenommen, dass diese Normalspannung über den

07:22.250 --> 07:24.030
gesamten Querschnitt konstant ist.

07:24.130 --> 07:26.150
Wir haben also eine Zusatzannahme gemacht.

07:28.010 --> 07:30.970
Zwischen diesen Größen vermittelt jetzt das Hoopsche Gesetz.

07:31.910 --> 07:38.710
Das Hoopsche Gesetz lautet jetzt Sigma gleich E mal Y, X in der

07:38.710 --> 07:40.530
Elementaren Stabtheorie.

07:40.970 --> 07:42.370
Was haben wir vernachlässigt?

07:42.430 --> 07:46.390
Wir haben die Querkontraktion dieses Stabes vernachlässigt.

07:47.190 --> 07:51.590
Jetzt sehen wir, wir können also von der Geometrie, von der

07:51.590 --> 07:56.970
Längsverschiebung U bis hin zu einer Normalkraft N oder zur

07:56.970 --> 07:58.610
Normalspannung Sigma kommen.

08:00.830 --> 08:05.630
An einer Stelle müssen wir dabei aber eine kleine

08:05.630 --> 08:07.350
Differenzialgleichung lösen.

08:08.130 --> 08:17.110
Nämlich, Sie sehen hier, die Verzerrung Epsilon hängt über der ersten

08:17.110 --> 08:19.170
Ableitung mit der Verschiebung zusammen.

08:19.730 --> 08:25.210
Das heißt, wir bestimmen U aus einer bekannten Verzerrung Epsilon

08:25.210 --> 08:26.750
durch einfache Integration.

08:27.690 --> 08:32.310
Besonders einfach wird das, wenn der Stab homogen ist, nur an seinem

08:32.310 --> 08:33.470
Ende belastet wird.

08:33.990 --> 08:41.570
Dann finden wir für Y, X Delta L durch L und die Verschiebung U wird

08:41.570 --> 08:43.270
dann einfach Delta L.

08:43.550 --> 08:45.810
Das ist der einfachste Sonderfall.

08:49.070 --> 08:57.150
Die gleiche Vorgehensweise, die wir bei Zug und Druck verwendet haben,

08:57.710 --> 08:59.890
möchten wir jetzt auch bei der Biegung verwenden.

09:00.570 --> 09:04.010
Nur bei der Biegung wird das Ganze ein klein wenig aufwendiger.

09:04.670 --> 09:06.510
Also wir brauchen eine Schnittgröße.

09:07.590 --> 09:10.490
Kandidat für diese Schnittgröße ist das Biegermoment.

09:10.850 --> 09:14.010
Sonst hätten wir es ja nicht Biegermoment genannt, wenn es nichts mit

09:14.010 --> 09:15.130
der Biegung zu tun hätte.

09:15.350 --> 09:19.450
Also Biegermoment ist schon mal ein Kandidat für die Schnittgröße.

09:21.990 --> 09:24.290
Spannungen werden wir uns dann ausrechnen.

09:24.450 --> 09:27.210
Dazu brauchen wir auch wieder eine Näherungsannahme, wie die

09:27.210 --> 09:29.350
Spannungen über den Querschnitt verteilt sind.

09:30.350 --> 09:34.310
Wir können uns relativ rasch überlegen, dass die Näherungsannahme, die

09:34.310 --> 09:37.910
Spannungen sind konstant über den Querschnitt verteilt, hier nicht

09:37.910 --> 09:38.850
zutreffend ist.

09:39.690 --> 09:42.570
Dazu überlegen wir uns mal den einfachsten Fall einer Biegung.

09:42.930 --> 09:46.770
Nämlich, wir schauen uns mal unsere Wirbelsäule an, stellen uns vor,

09:46.890 --> 09:50.110
wir seien ein Stab und biegen uns einfach mal nach vorne.

09:50.990 --> 09:54.870
Dann merken wir schon mal, hier hinten zieht was und da vorne im

09:54.870 --> 09:55.790
Bauch, da drückt was.

09:55.910 --> 09:59.350
Je nachdem wie viel Bauchansatz Sie haben, drückt da mehr oder weniger

09:59.350 --> 09:59.730
was.

10:00.130 --> 10:05.330
Also, hier im Rücken spüren Sie eine positive Spannung, eine

10:05.330 --> 10:06.150
Zugspannung.

10:06.490 --> 10:09.470
Hier im Bauch spüren Sie eine Druckspannung.

10:09.930 --> 10:12.930
Damit können aber die Spannungen nicht konstant über den Querschnitt

10:12.930 --> 10:17.230
verteilt sein, sondern Sie haben auf der einen Seite Zugspannungen,

10:17.730 --> 10:19.710
auf der anderen Seite Druckspannungen.

10:20.630 --> 10:23.630
Also werden wir eine andere Näherungsannahme hier brauchen.

10:24.610 --> 10:28.850
Und dann schauen wir uns die Geometrieseite an und überlegen uns,

10:29.210 --> 10:32.370
welche Verschiebungen sind das denn jetzt, die für uns wichtig sind.

10:32.910 --> 10:35.570
Die Längsverschiebung kann das eigentlich nicht sein.

10:35.790 --> 10:41.270
Wenn wir so einen Stab nehmen, ich will den nicht kaputt machen, und

10:41.270 --> 10:45.650
wir biegen den durch, naja, das geht hier kaum, legen wir den hier

10:45.650 --> 10:50.650
rauf, biegen den durch, dann sehen wir, das ist eine Verschiebung, die

10:50.650 --> 10:55.830
jetzt in vertikale Richtung geht, also eine Verschiebung quer zu

10:55.830 --> 10:59.590
unserer Längsrichtung in der sogenannten Z-Richtung, nach unten, wie

10:59.590 --> 11:01.170
wir damit reden, sage ich mal.

11:02.390 --> 11:06.610
Und damit haben wir schon unsere wichtigsten Mitspieler identifiziert.

11:08.670 --> 11:12.090
Jetzt gehen diese Königsdisziplinen in drei Etappen.

11:12.470 --> 11:14.990
Sie sehen, die Lernziele sind bombastisch.

11:14.990 --> 11:17.710
Also, wie kommen sie durch?

11:18.490 --> 11:21.810
Erstens, im ersten Teil der Vorlesung werde ich Ihnen die

11:21.810 --> 11:23.150
Spannungsformel herleiten.

11:23.590 --> 11:26.530
Wir werden also nur mit den Schnittgrößen und mit den Spannungen

11:26.530 --> 11:27.150
arbeiten.

11:28.090 --> 11:31.910
Wenn wir die Spannungsformel haben, wird dabei eine Geometriegröße

11:31.910 --> 11:32.610
auftreten.

11:33.530 --> 11:38.750
Sie erinnern sich, Sigma gleich N durch A war die Formel für die

11:38.750 --> 11:39.450
Zugspannung.

11:39.450 --> 11:42.990
Dabei tritt im Nenner eine Geometriegröße die Fläche auf.

11:43.630 --> 11:48.590
Auch bei der Biegung tritt eine Geometriegröße auf, aber sie ist etwas

11:48.590 --> 11:50.110
komplizierter als die Fläche.

11:50.610 --> 11:52.910
Es handelt sich um das sogenannte Flächenmoment.

11:53.510 --> 11:56.690
Damit ist klar, was ich Ihnen im zweiten Teil der Vorlesung erläutern

11:56.690 --> 11:57.130
möchte.

11:57.470 --> 12:01.670
Im zweiten Teil der Vorlesung möchte ich Ihnen erläutern, was das

12:01.670 --> 12:05.290
Flächenmoment zweiten Grades ist, wie Sie dieses Flächenmoment

12:05.290 --> 12:09.030
berechnen für einfache Querschnitte und wie es sich bei

12:09.030 --> 12:11.710
Koordinatensystemtransformationen verhält.

12:12.490 --> 12:16.630
Und dann haben wir als drittes, dass wir überwechselnd zu den

12:16.630 --> 12:20.870
Verschiebungen und uns die sogenannte Biegelinie, also diese

12:20.870 --> 12:26.110
Durchsenkung unseres Beidens, bei Biegung anschauen und ausrechnen

12:26.110 --> 12:26.370
können.

12:26.790 --> 12:31.350
Das, was die Geometrieseite bei Zugdruck war, die Längenänderung, ist

12:31.350 --> 12:32.430
jetzt die Durchbiegung.

12:33.090 --> 12:38.270
Diese drei Punkte müssen wir heute abarbeiten und das ist viel, viel

12:38.270 --> 12:39.970
Arbeit, viel, viel Theorie.

12:40.530 --> 12:43.370
Also schneiden Sie sich an, los geht's.

12:44.650 --> 12:46.470
Zunächst einmal einige Begriffe.

12:47.210 --> 12:50.330
Was wir hier nun machen werden, ist die sogenannte reine Biegung.

12:50.930 --> 12:52.310
Was heißt reine Biegung?

12:53.230 --> 12:55.290
Schauen wir uns unseren Biegebalken mal an.

12:55.430 --> 13:02.330
Nehmen wir mal an, wir haben einen Kragträger und dieser Kragträger

13:02.330 --> 13:04.270
wird belastet durch eine Kraft F.

13:05.310 --> 13:09.910
Diese Kraft F am Ende des Kragträgers ruft natürlich im Kragträger

13:09.910 --> 13:13.230
selbst als Schnittreaktion ein Biegemoment hervor.

13:13.970 --> 13:17.710
Das größte Biegemoment, das maximale Biegemoment erwarten wir an der

13:17.710 --> 13:18.750
Einspannstelle.

13:20.770 --> 13:25.350
Wir erwarten aus der Anschauung jedenfalls, stellen Sie sich vor, das

13:25.350 --> 13:29.330
wären Sie, eingespannt, einzementiert in die Wand und da drückt jemand

13:29.330 --> 13:34.050
auf Ihren Kopf rauf, die Füße sind einzementiert, wir erwarten, dass

13:34.050 --> 13:39.070
sich das Ganze so nach unten durchbiegt irgendwie im Ergebnis.

13:39.510 --> 13:41.390
Das wollen wir ausrechnen.

13:42.590 --> 13:48.870
Diese Verschiebung hier nach unten, die würden wir mit W bezeichnen, W

13:48.870 --> 13:51.290
als Funktion der Längskoordinate X.

13:51.290 --> 13:57.630
Das ist das Endziel der ganzen Übung, dass wir diese sogenannte

13:57.630 --> 13:59.610
Biegelinie ausrechnen wollen.

14:00.530 --> 14:04.510
Jetzt sehen Sie, diese Kraft F ruft aber nicht nur ein Biegemoment

14:04.510 --> 14:07.450
hervor, sondern natürlich auch eine Querkraft.

14:08.290 --> 14:10.970
Und den Einfluss dieser Querkraft, den werden wir hier

14:10.970 --> 14:11.810
vernachlässigen.

14:12.150 --> 14:16.290
Wir werden uns einzig und allein auf das Biegemoment M beschränken.

14:17.210 --> 14:19.850
Das nennt man dann die sogenannte reine Biegung.

14:20.350 --> 14:24.510
Bei der reinen Biegung wird der Querkrafteinfluss vernachlässigt und

14:24.510 --> 14:26.990
nur das Biegemoment selbst betrachtet.

14:27.790 --> 14:31.210
Und jetzt gibt es zwei Fälle dieser sogenannten reinen Biegung.

14:31.690 --> 14:34.910
Und auch da werden wir uns auf den ersten Fall beschränken, auf die

14:34.910 --> 14:36.430
sogenannte gerade Biegung.

14:37.430 --> 14:43.330
Bei der geraden Biegung werden alle Kräfte so eingeleitet, dass sie

14:43.330 --> 14:48.450
durch die sogenannte Querschnittshauptachse, durch eine Symmetrieachse

14:48.450 --> 14:50.990
entlang dieses Querschnitts verlaufen.

14:51.550 --> 14:56.070
Also, hier haben wir einen Rechteckquerschnitt.

14:56.770 --> 15:01.130
Hier in der Mitte verläuft in Längsrichtung eine Symmetrieebene.

15:01.890 --> 15:05.670
Bezüglich dieser Ebene ist dieser Querschnitt symmetrisch.

15:06.050 --> 15:11.310
Sie sehen, die Kraft F greift genau in dieser Ebene an, schön in der

15:11.310 --> 15:13.910
Mitte, schön senkrecht von oben nach unten.

15:14.570 --> 15:19.290
Aber es könnte ja auch eine gemeine Kraft F kommen und einfach mal

15:19.290 --> 15:24.810
hier so schräg, vielleicht noch zentral, aber irgendwie so schräg an

15:24.810 --> 15:26.270
diesem Querschnitt angreifen.

15:26.270 --> 15:31.610
Da müsste ich diese Kraft zerlegen in einen Anteil entlang dieser

15:31.610 --> 15:36.710
Symmetrieebene, also in Richtung der Kräfte F1 und F2 und einen

15:36.710 --> 15:39.790
zweiten Anteil, der dann senkrecht zu dieser Symmetrieebene steht.

15:40.090 --> 15:42.430
Und dann bin ich bei der sogenannten schiefen Biegung.

15:42.870 --> 15:43.990
Das ist der Fall hier unten.

15:44.510 --> 15:45.910
Da ist diese Kraft zerlegt.

15:46.850 --> 15:47.730
Sie sehen das hier.

15:48.230 --> 15:51.310
Die Kraft wirkt zwar hier noch senkrecht, aber wir haben den

15:51.310 --> 15:52.190
Querschnitt gedreht.

15:52.190 --> 15:55.970
Die Symmetrieachse ist jetzt hier und Sie sehen, wir haben eine Kraft

15:55.970 --> 16:00.730
mit H bezeichnet, die senkrecht zu unserer Symmetrieebene steht und

16:00.730 --> 16:04.530
diese Kraft wirft eine sogenannte schiefe Biegung hervor und diesen

16:04.530 --> 16:07.310
Fall können wir hier nicht betrachten.

16:07.490 --> 16:10.130
Das würde einfach uns zu viel Arbeit kosten.

16:10.490 --> 16:13.930
Also wir beschränken uns auf die gerade Biegung, auf den Fall, dass

16:13.930 --> 16:18.670
alle Kräfte entlang dieser Symmetrieachse des Querschnitts wirken.

16:19.930 --> 16:22.430
Dann kommen wir zum nächsten Begriff.

16:23.190 --> 16:25.950
Wenn Sie sich noch einmal daran erinnern, Sie bücken sich.

16:26.550 --> 16:30.530
Sie spüren hier im Kreuz einen Zug, im Bauch einen Druck.

16:30.530 --> 16:36.290
Also, auf der einen Seite wird, wenn Sie sich das als eine Faser

16:36.290 --> 16:41.530
vorstellen, als eine Sehne, eine Sehne, die außen, naja, relativ weit

16:41.530 --> 16:45.970
außen, also an der Wirbelsäule angreift, die wird gedehnt, länger

16:45.970 --> 16:46.390
gemacht.

16:47.050 --> 16:51.290
Irgendwas, was hier im Bauch ist, Muskelfaser, so vorhanden, wird

16:51.290 --> 16:53.590
zusammengedrückt, verkürzt.

16:54.490 --> 16:59.390
Logisch ist, wenn an der einen Seite die Faser verlängert wird und an

16:59.390 --> 17:02.570
der anderen Seite die Faser verkürzt wird, dann muss es doch in der

17:02.570 --> 17:05.790
Mitte auch Fasern geben, die sich überhaupt nicht ändern.

17:06.590 --> 17:09.390
Und das nennt man dann die neutrale Faser.

17:09.770 --> 17:12.110
Also, wir führen neu an den Faserbegriff.

17:13.810 --> 17:17.630
Eine Faser können wir uns so vorstellen, unser ganzes Material ist

17:17.630 --> 17:23.330
geschichtet in Längsrichtung aus Materialbestandteilen, so wie ein

17:23.330 --> 17:27.790
Brett erstmal aus einer Baumstampe ausgesägt wird, als lauter

17:27.790 --> 17:30.010
übereinander geschichtete Bretter.

17:30.010 --> 17:34.770
Die äußere Faser wird vielleicht auf Zug beansprucht an der einen

17:34.770 --> 17:37.970
Seite, auf der anderen Seite wird sie auf Druck beansprucht.

17:38.070 --> 17:42.550
Die eine Faser wird länger gemacht, die andere Faser wird verkürzt.

17:43.090 --> 17:47.290
In der Mitte muss es folgerichtig eine Faser geben, deren Länge sich

17:47.290 --> 17:51.070
nicht ändert und diese Faser nennen wir die neutrale Faser.

17:51.510 --> 17:53.030
Sie sehen das hier dargestellt.

17:53.030 --> 17:56.850
Stellen Sie sich vor, Sie nehmen dort sogar Material, Gummi oder

17:56.850 --> 18:01.530
irgendwas, machen dort drei Kästchen drauf, schauen Sie diese Kästchen

18:01.530 --> 18:06.110
an, dann stellen Sie fest, auf der einen Seite werden die Längen immer

18:06.110 --> 18:10.830
größer als im ursprünglichen Zustand, auf der anderen Seite werden die

18:10.830 --> 18:14.830
Längen kleiner als im ursprünglichen Zustand und irgendwo in der Mitte

18:14.830 --> 18:19.790
bleiben diese Längen gleich und das nennt man die sogenannte neutrale

18:19.790 --> 18:20.270
Faser.

18:20.270 --> 18:26.910
Die neutrale Faser ist die Faser Ihres Materials in Längsrichtung, die

18:26.910 --> 18:31.390
während der Biegung ihre Länge beibehält, nicht ändert.

18:32.590 --> 18:35.570
Damit haben wir schon mal die wesentlichen Grundbegriffe

18:35.570 --> 18:41.170
kennengelernt, also wir betrachten nur gerade Biegung und wir haben

18:41.170 --> 18:45.530
den Faserbegriff kennengelernt und jetzt geht's los, jetzt wollen wir

18:45.530 --> 18:51.290
aus dem Biegemoment ausrechnen, wie die Spannungsverteilung bei einer

18:51.290 --> 18:53.390
Biegebelastung ausschaut.

18:55.010 --> 19:00.170
Dazu schauen wir uns einen Träger an, hier ein Träger auf zwei

19:00.170 --> 19:05.250
Stützen, aber die Lagerungsart spielt keine Rolle, genauso spielen die

19:05.250 --> 19:08.250
Kräfte auf diesem Träger keine Rolle, ich habe einfach mal als

19:08.250 --> 19:12.510
Beispiel irgendwelche Kräfte eingezeichnet, wichtig ist natürlich nur,

19:12.890 --> 19:14.590
es entsteht ein Biegemoment.

19:14.590 --> 19:22.530
Wir haben es also mit einem Moment MY, einem Biegemoment, zu tun, als

19:22.530 --> 19:23.390
Schnittreaktion.

19:23.750 --> 19:26.830
Diese Schnittreaktion haben wir ausgerechnet, das heißt wir haben

19:26.830 --> 19:30.870
zuerst die Lagerreaktionen für den Balken bestimmt und als zweites die

19:30.870 --> 19:34.710
Schnittreaktionen ausgerechnet und wir kennen den Verlauf unseres

19:34.710 --> 19:35.490
Biegemoments.

19:36.190 --> 19:38.070
Jetzt treffen wir einige Annahmen.

19:38.750 --> 19:43.730
Die erste Annahme ist, wir betrachten nur gerade Biegung.

19:47.960 --> 19:57.580
Die zweite Annahme ist, wir legen unsere X-Achse so, dass sie alle

19:57.580 --> 19:59.880
Flächenmittelpunkte miteinander verbindet.

20:00.820 --> 20:05.160
Das ist eigentlich nur eine Konvention, also wir einigen uns darauf, X

20:05.160 --> 20:07.980
-Achse verbindet die Flächenmittelpunkte.

20:21.000 --> 20:27.440
Und jetzt kommt die dritte Annahme und das ist vielleicht zunächst

20:27.440 --> 20:31.640
einmal die entscheidende, alles entscheidende neue dritte Annahme.

20:31.640 --> 20:35.840
Wir brauchen eine Annahme, wie unsere Spannungen über den Querschnitt

20:35.840 --> 20:36.680
verteilt sind.

20:37.780 --> 20:41.540
Bei Zugdruck haben wir gesagt, die Spannungen sind näherungsweise

20:41.540 --> 20:43.660
konstant über den Querschnitt verteilt.

20:43.660 --> 20:48.220
Wir haben uns durch eine einfache Rumpfbeuge davon überzeugt, dass

20:48.220 --> 20:50.240
dies bei Biegung nicht der Fall sein kann.

20:50.600 --> 20:54.180
Bei Biegung muss die Spannung über den Querschnitt variieren, sie kann

20:54.180 --> 20:55.520
nicht überall gleich sein.

20:57.020 --> 21:02.700
Aber, dann nehmen wir doch die einfachste Möglichkeit, wenn wir schon

21:02.700 --> 21:07.320
eine Änderung der Spannung über den Querschnitt zulassen müssen, dann

21:07.320 --> 21:10.600
nehmen wir doch die einfachste Möglichkeit, wie sich die Spannung über

21:10.600 --> 21:12.160
diesen Querschnitt ändern kann.

21:12.160 --> 21:16.780
Und die einfachste Möglichkeit, die es gibt, ist, wenn es nicht eine

21:16.780 --> 21:20.960
konstante Funktion ist, dann ist es eben eine lineare Funktion.

21:21.440 --> 21:36.950
Also, in Näherung nehmen wir an, die Spannung ändert sich linear über

21:36.950 --> 21:37.730
den Querschnitt.

21:44.140 --> 21:44.760
So.

21:45.760 --> 21:48.700
Jetzt müssen wir das aber noch ein bisschen verdeutlichen, was das

21:48.700 --> 21:49.180
heißt.

21:50.740 --> 21:56.680
Das heißt, geometrisch gesprochen, stellen Sie sich vor, hier ist Ihr

21:56.680 --> 21:57.120
Balken.

21:59.120 --> 22:03.540
Der Balken wird irgendwie auf Biegung beansprucht.

22:04.520 --> 22:07.400
Da tanzt beispielsweise ein Elefant auf diesem Balken.

22:07.940 --> 22:11.180
Was macht der Balken, also Schwebebalken mit Elefant drauf?

22:11.660 --> 22:12.880
Der biegt sich durch.

22:15.080 --> 22:16.840
Aus dem wird so eine Banane.

22:18.740 --> 22:22.100
Je nachdem, wie schwer der Elefant ist, der da drauf tanzt.

22:23.440 --> 22:26.480
Links wieder unser Festlager, rechts unser Loslager.

22:27.920 --> 22:28.100
So.

22:29.040 --> 22:34.880
Jetzt schauen wir uns drei Punkte an, die hier genau senkrecht

22:34.880 --> 22:35.780
übereinander liegen.

22:35.780 --> 22:37.600
Oh, ich kann da nur zwei reinzeichnen.

22:37.820 --> 22:40.380
Also, die sollen natürlich alle drei auf dem Querschnitt liegen.

22:40.820 --> 22:44.080
Ich kriege das hier mit meinem Stift nicht mehr so genau hin, aber Sie

22:44.080 --> 22:45.600
auf dem Papier vielleicht umso besser.

22:46.160 --> 22:47.760
Drei Punkte auf diesem Querschnitt.

22:48.440 --> 22:51.720
Jetzt schauen wir uns die drei Punkte an, dort unten auf dem

22:51.720 --> 22:52.240
Querschnitt.

22:52.760 --> 22:53.660
Was ist passiert?

22:54.280 --> 22:59.400
Die drei Punkte haben ihre Lage geändert, aber nach dieser Hypothese,

22:59.740 --> 23:03.040
die Spannung ändert sich linear über den Querschnitt, heißt das

23:03.040 --> 23:06.720
natürlich auch, wenn wir das Hooke'sche Gesetz im Hinterkopf behalten,

23:07.420 --> 23:11.240
ja, auch die Verzerrungen ändern sich nur linear über den Querschnitt,

23:11.520 --> 23:15.440
das heißt, diese drei Punkte liegen immer noch auf einer Geraden.

23:16.220 --> 23:20.240
Also, wenn Sie sich das hier anschauen, dann können die zwar gekippt

23:20.240 --> 23:26.180
sein, diese drei Punkte, aber sie liegen immer noch auf einer Geraden,

23:26.780 --> 23:29.720
sie bilden immer noch eine Gerade, sie bilden keine irgendwie

23:29.720 --> 23:30.700
gekrümmte Fläche.

23:32.640 --> 23:44.360
Das heißt also, Querschnitte, wenn Sie einen Schnitt durchlegen durch

23:44.360 --> 23:48.220
Ihren Balken, Querschnitte bleiben während der Biegung eben.

23:48.620 --> 23:52.340
Sie können sich nicht in Ihrer Querschnittsfläche krümmen, wenn Sie

23:52.340 --> 23:56.220
diesen Balken senkrecht von oben nach unten durchschneiden und Sie

23:56.220 --> 24:00.900
schauen sich das Ergebnis nach der Biegung an, dann darf diese Ebene

24:00.900 --> 24:03.980
zwar verkippen, sie darf sich aber nicht in sich krümmen.

24:04.640 --> 24:17.000
Querschnitte bleiben während der Verformung eben.

24:20.200 --> 24:24.240
Und diese Hypothese ist die sogenannte Bernoulli-Hypothese vom

24:24.240 --> 24:27.080
Ebenbleiben der Querschnitte bei der Biegung.

24:31.380 --> 24:37.960
So, was besagt jetzt diese Aussage rein formell als Gleichung

24:37.960 --> 24:38.620
hingeschrieben?

24:39.780 --> 24:44.140
Zunächst mal müssen wir identifizieren, welche Spannungen sind das

24:44.140 --> 24:44.460
dann?

24:45.280 --> 24:49.780
Wenn wir uns an dieses Experiment erinnern, dann stellen wir fest, wir

24:49.780 --> 24:51.180
spüren Zug und Druck.

24:51.840 --> 24:55.980
Also müssen das Spannungen sein in Längsrichtung unseres Querschnitts.

24:56.340 --> 25:00.480
Einmal Spannungen, die in der Lage sind, die Fasern zu ziehen und dann

25:00.480 --> 25:01.320
zu drücken.

25:01.800 --> 25:05.820
Also müssen es die gleichen Spannungen sein wie bei Zugdruck, nämlich

25:05.820 --> 25:07.240
die Normalspannung Sigma.

25:10.180 --> 25:13.960
Die Hypothese, die Spannung ändert sich linear über den Querschnitt,

25:14.460 --> 25:17.940
heißt, die Spannung hängt linear von den Koordinaten ab.

25:18.480 --> 25:21.520
Von welcher Koordinate hängt sie jetzt genau linear ab?

25:21.620 --> 25:23.100
Schließlich haben wir drei zur Verfügung.

25:23.680 --> 25:26.180
Mit der x-Koordinate kann das nichts zu tun haben.

25:28.220 --> 25:31.620
Lediglich hat mein Querschnitt, wenn ich an einer Stelle x gleich

25:31.620 --> 25:35.180
konstant schneide, noch eine y- und eine z-Koordinate.

25:36.060 --> 25:38.120
Entscheidend ist aber die z-Koordinate.

25:38.340 --> 25:43.000
Die y-Koordinate leert hier zu diesem Weg, die z-Koordinate zeigt aber

25:43.000 --> 25:43.540
nach unten.

25:43.540 --> 25:49.460
Und unser Experiment lehrt uns, dass mit Änderung der z-Koordinate

25:49.460 --> 25:53.740
Spannung sich ändert in unserem Körper.

25:54.620 --> 26:00.860
Außen, ganz oben, für negative z-Werte, sozusagen, spüren wir Zug.

26:01.240 --> 26:06.420
Für positive z-Werte ganz unten, am unteren Querschnittsende, also

26:06.420 --> 26:13.600
einmal hier und einmal hier oben, spüren wir in dem Fall, so wie es

26:13.600 --> 26:16.600
hier fixiert ist, oben den Druck, unten den Zug.

26:16.840 --> 26:21.760
Wenn sie sich beugen, spüren sie oben den Zug und unten den Druck.

26:22.360 --> 26:25.700
Also brauchen wir eine lineare Abhängigkeit von der z-Achse.

26:25.700 --> 26:30.060
Wir formulieren also die Bernoulli-Hypothese mathematisch als Sigma

26:30.060 --> 26:36.580
gleich mz plus n als eine lineare Funktion mit zwei unbekannten

26:36.580 --> 26:42.800
Parametern, m und n.

26:45.780 --> 26:49.080
Und diese beiden Parameter müssen wir jetzt ausrechnen.

26:49.760 --> 26:51.180
Und das geht so.

26:55.940 --> 27:04.880
Wir nehmen unsere Normalkraft n her und wissen, Normalspannung ist ja

27:04.880 --> 27:07.520
nichts anderes als eine Oberflächenkraftdichte.

27:07.520 --> 27:12.000
Wenn ich über diese Oberflächenkraftdichte integriere, bekomme ich die

27:12.000 --> 27:13.460
Normalkraft n heraus.

27:13.800 --> 27:18.800
Also, Normalkraft n hat doch nichts anderes zu sein als das Integral

27:18.800 --> 27:21.100
Sigma x dA.

27:22.840 --> 27:29.180
Für dieses Integral Sigma x dA kann ich jetzt einsetzen.

27:29.560 --> 27:32.880
Moment, erlauben Sie mir das zu ändern.

27:33.340 --> 27:36.760
Wir nehmen hier die Verzerrung in Epsilon, die wir linear annehmen.

27:36.920 --> 27:40.500
Also außen wird die Faser länger, innen wird die Faser kürzer.

27:40.500 --> 27:45.240
Wir setzen für Sigma ein E mal Epsilon,

27:49.770 --> 27:58.510
setzen also ein E mal mz plus n, integrieren über dA.

27:59.570 --> 28:04.910
dA ist unsere Querschnittsfläche, also wir integrieren den E-Modul,

28:05.170 --> 28:07.590
eine Konstante, schreiben wir vor das Integral.

28:07.590 --> 28:15.670
Und dann haben wir ein Zweifachintegral m mal z plus n dy dz.

28:15.930 --> 28:19.170
Wir integrieren also über unsere Querschnittsfläche für ein

28:19.170 --> 28:20.770
festgehaltenes E.

28:21.390 --> 28:23.170
Diese lineare Funktion.

28:23.170 --> 28:26.030
Was ergibt nun dieses Integral?

28:26.890 --> 28:31.470
Zunächst können wir das Integral in zwei Anteile aufteilen und m und n

28:31.470 --> 28:34.850
sind zwei Konstanten, die können wir also noch vor das Integral

28:34.850 --> 28:35.250
schreiben.

28:35.510 --> 28:45.990
Also insgesamt erhalten wir E mal m Integral z dA plus E mal n mal

28:45.990 --> 28:46.850
Fläche A.

28:47.850 --> 28:51.470
Wie groß ist dieses Integral?

28:52.170 --> 28:53.210
Z dA.

28:54.210 --> 28:58.310
Dieses Integral ist nichts anderes als das Flächenmoment erster

28:58.310 --> 29:02.830
Ordnung, das haben Sie schon kennengelernt beim Flächenmittelpunkt,

29:02.950 --> 29:04.590
beim sogenannten Flächenschwerpunkt.

29:05.830 --> 29:10.390
Dieses Integral verschwindet immer dann, wenn der Koordinatenursprung

29:10.390 --> 29:12.890
im Mittelpunkt der Fläche ist.

29:13.690 --> 29:17.190
Genau das haben wir aber mit der Hypothese 2 hier oder mit dieser

29:17.190 --> 29:18.590
Konvention 2 vorausgesetzt.

29:18.590 --> 29:23.990
Da haben wir gesagt, Ursprung unseres Koordinatensystems liegt im

29:23.990 --> 29:24.930
Flächenmittelpunkt.

29:25.510 --> 29:29.630
In dem Fall muss dieses Integral aus Symmetriegründen verschwinden.

29:30.110 --> 29:43.050
Also dieses Integral ist gleich Null, falls Koordinatenursprung gleich

29:43.050 --> 29:45.070
Flächenmittelpunkt.

29:53.150 --> 29:54.990
Damit habe ich eins geschafft.

29:55.650 --> 30:02.910
Ich habe den ersten Parameter in meiner Hypothese ausgedrückt durch

30:02.910 --> 30:04.150
die Normalkraft m.

30:05.970 --> 30:08.330
Jetzt haben wir noch den Parameter klein m.

30:09.010 --> 30:11.550
Dazu wählen wir einfach unser Biegemoment m.

30:12.830 --> 30:17.090
Wie berechnen wir diese Schnittgröße, das Biegemoment m, Sie können da

30:17.090 --> 30:21.270
auch noch einen Index klein y ran machen, aus der

30:21.270 --> 30:23.490
Oberflächenkraftdichte Sigma x.

30:25.030 --> 30:28.370
Dazu müssen wir diese Oberflächenkraftdichte nochmal multiplizieren

30:28.370 --> 30:29.230
mit dem Hebelarm.

30:30.190 --> 30:33.670
Wir erwarten, dass sich die Spannung über den Querschnitt ändern kann,

30:33.770 --> 30:35.110
genauso wie die Verzerrung.

30:35.570 --> 30:41.550
Also ist der Hebelarm der vertikale Abstand der Spannung z.

30:42.210 --> 30:44.430
Sigma x mal z dA.

30:44.430 --> 30:50.210
Wir wenden wieder das Hooke'sche Gesetz ohne Querkontraktion an und

30:50.210 --> 30:57.330
erhalten e mal z mal m z plus n dA.

30:58.710 --> 31:04.350
Wir multiplizieren das z in die Klammer hinein und separieren das

31:04.350 --> 31:09.270
Integral in zwei Anteile, berücksichtigen, dass unsere Parameter nicht

31:09.270 --> 31:13.070
von der Integrationsvariable selbst abhängig sind und erhalten das

31:13.070 --> 31:25.830
Integral e mal m z² dA plus e mal n mal Integral z dA.

31:26.710 --> 31:30.150
Für das letzte Integral können wir offenbar die gleiche Argumentation

31:30.150 --> 31:31.250
wie vorher anwenden.

31:31.810 --> 31:33.650
Dieses Integral ist wieder null.

31:34.630 --> 31:38.610
Übrig bleibt uns e mal m mal z² dA.

31:39.190 --> 31:42.750
Und mit dem Integral z² dA können wir noch nicht so viel anfangen.

31:42.750 --> 31:46.670
Also führe ich dafür erstmal eine Abkürzung ein, damit wir

31:46.670 --> 31:47.750
weiterarbeiten können.

31:48.230 --> 31:51.070
Wir müssen uns aber dieses Integral nochmal genau anschauen.

31:51.550 --> 31:55.810
Dieses Integral nennt man das sogenannte Flächenmoment zweiten Grades.

31:56.470 --> 32:03.650
Und wir kürzen das ab als e mal m mal Iy.

32:04.250 --> 32:13.650
Und Iy ist dieses Integral und wir nennen Iy das Flächenmoment zweiten

32:13.650 --> 32:14.150
Grades.

32:14.290 --> 32:18.490
Und ich verspreche Ihnen, wir werden das heute noch ausrechnen für

32:18.490 --> 32:19.610
einfache Querschnitte.

32:20.770 --> 32:26.090
Also, heute und in der Übung werden Sie lernen, was es damit auf sich

32:26.090 --> 32:26.330
hat.

32:27.410 --> 32:38.660
Aber Ziel der Übung war, wir wissen jetzt, Parameter n ist Normalkraft

32:38.660 --> 32:42.060
n geteilt durch e mal a.

32:42.060 --> 32:50.680
Parameter klein m ist Biegemoment my durch e mal Iy.

32:52.120 --> 33:01.620
Damit wissen wir, unsere Verzerrung y setzt sich zusammen aus my durch

33:01.620 --> 33:10.400
e Iy mal z plus n geteilt durch e a.

33:10.400 --> 33:21.540
Unsere Spannung setzt sich zusammen aus Sigma gleich e mal y.

33:35.400 --> 33:38.720
Sigma ist gleich e mal y.

33:42.660 --> 33:54.700
m gleich Iy mal z plus n durch a.

33:56.340 --> 34:04.400
Und dann sehen Sie, hier haben wir den Konstantanteil der

34:04.400 --> 34:05.360
Normalspannung.

34:06.120 --> 34:10.680
Dieser Konstantanteil der Normalspannung wird hervorgerufen durch

34:10.680 --> 34:15.200
Zugdruck, durch die Normalkraft, die verantwortlich ist für Zugdruck.

34:15.200 --> 34:26.580
Hier haben wir, vorne zu stehen, den Linearanteil der Normalspannung.

34:27.020 --> 34:31.220
Und dieser Linearanteil der Normalspannung wird hervorgerufen durch

34:31.220 --> 34:32.320
das Biegemoment.

34:33.360 --> 34:37.300
Die sogenannte reine Biegung heißt, wir lassen auch noch die

34:37.300 --> 34:41.580
Normalkraft außen vor und konzentrieren uns mal nur auf die Wirkung

34:41.580 --> 34:42.620
des Biegemoments.

34:43.220 --> 34:47.460
Dann besteht die Wirkung des Biegemoments darin, einen linearen

34:47.460 --> 34:51.040
Verlauf der Normalspannung hervorzurufen über den Querschnitt.

34:51.040 --> 34:55.940
Also, ganz wichtige Skizze wird von mir immer in mündlichen

34:55.940 --> 34:57.580
Nachprüfungen verlangt.

34:57.980 --> 35:03.160
Wenn ich hier die Normalspannung Sigma auftrage und ich schneide

35:03.160 --> 35:08.740
meinen Querschnitt entlang der x-Achse für ein x-Gleichkonstant durch

35:08.740 --> 35:12.640
und schaue mir mal den Querschnitt an und trage nach unten meine z

35:12.640 --> 35:13.460
-Achse auf.

35:13.460 --> 35:19.240
Wie sieht dann die Normalspannung in Folge reiner Biegung nur in Folge

35:19.240 --> 35:20.640
des Biegemoments aus?

35:21.840 --> 35:25.940
Die Normalspannung ist Null im Flächenmittelpunkt.

35:27.080 --> 35:29.900
Dort befindet sich meine sogenannte neutrale Faser.

35:31.400 --> 35:34.840
Die Normalspannung ist je nachdem, wie Sie den Balken jetzt

35:34.840 --> 35:35.460
durchbiegen.

35:35.860 --> 35:39.500
Auf der einen Seite eine Zugspannung positiv, auf der anderen Seite

35:39.500 --> 35:41.500
eine Druckspannung negativ.

35:41.640 --> 35:45.660
Das Vorzeichen hängt davon ab, welches Vorzeichen Ihr Biegemoment hat.

35:45.660 --> 35:47.780
Also beispielsweise sowas.

35:51.240 --> 35:56.860
Hier haben Sie negative Normalspannung, eine Druckspannung und auf der

35:56.860 --> 36:00.400
anderen Seite positive Normalspannung, eine Zugspannung.

36:00.920 --> 36:03.820
Aber dieser Verlauf ist linear über den Querschnitt.

36:04.300 --> 36:08.040
Zeichnen Sie dort immer eine lineare Funktion ein, nie irgendeine

36:08.040 --> 36:09.420
willkürliche Schlangenlinie.

36:09.420 --> 36:11.280
Warum ist das so?

36:11.580 --> 36:14.100
Wir haben es als Annahme oben reingesteckt.

36:14.360 --> 36:18.500
Die sogenannte Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte

36:18.500 --> 36:22.160
zeigt uns, Spannung ändert sich linear über den Querschnitt,

36:22.420 --> 36:25.200
Verzerrung ändert sich linear über den Querschnitt.

36:25.200 --> 36:30.060
So, jetzt stellen Sie sich vor, wir schalten die Normalkraft wieder

36:30.060 --> 36:30.460
dazu.

36:30.960 --> 36:33.600
Also wir hätten nicht nur einen Biegemoment, sondern auch noch eine

36:33.600 --> 36:36.540
Normalkraft, jemand der noch an diesen Balken zieht.

36:37.180 --> 36:39.420
Dann überlagern sich zwei Spannungsfälle.

36:39.420 --> 36:46.780
Dieser Spannungsfall, linearer Verlauf, Nullspannung genau im

36:46.780 --> 36:54.020
Flächenmittelpunkt, überlagert sich mit einer konstanten

36:54.020 --> 36:58.080
Normalspannung aus Zugdruckbelastung.

36:59.080 --> 37:03.940
Hier habe ich eine positive Normalkraft angenommen, also diese

37:03.940 --> 37:07.520
Normalkraft führt zu einer Zugbelastung, zu einer Verlängerung des

37:07.520 --> 37:08.020
Balkens.

37:08.540 --> 37:11.680
Wenn sich beide Diagramme überlagern, was passiert?

37:12.300 --> 37:14.380
Ihre neutrale Faser ändert sich.

37:14.380 --> 37:20.740
Je nachdem, wie groß die konstante Normalspannung jetzt ist und wie

37:20.740 --> 37:26.340
groß die Steigung der Geraden ist bei der reinen Biegung, ändert sich

37:26.340 --> 37:31.280
die Lage dieses Punktes, an dem die Spannung Null wird.

37:31.280 --> 37:39.520
Bei diesem hier aufgezeichneten Fall wird dieser Punkt ein Stückchen

37:39.520 --> 37:40.920
weiter nach oben wandern.

37:46.700 --> 37:52.440
Im ganz extremen Fall kann es passieren, dass dieser Punkt außerhalb

37:52.440 --> 37:54.480
des eigentlichen Balkens liegt.

37:54.480 --> 37:59.280
Das heißt, die neutrale Faser existiert nicht mehr im Balken, sondern

37:59.280 --> 38:03.600
sie hat überall Zuspannungen oder überall Druckspannungen.

38:03.760 --> 38:04.460
Das kann passieren.

38:05.040 --> 38:11.360
Aber in Folge zum Druck, überlagert mit einer Biegung, verschiebt sich

38:11.360 --> 38:14.320
die neutrale Faser in diesem Fall nach oben.

38:14.320 --> 38:17.720
Denkbar wäre auch, dass sie sich nach unten verschiebt, wenn hier

38:17.720 --> 38:21.620
keine Zuspannung, sondern eine Druckspannung dazukommen würde, als ob

38:21.620 --> 38:24.520
jemand noch versucht diesen Balken zusammenzudrücken.

38:27.000 --> 38:30.280
Das ist die berühmte Spannungsformel.

38:31.400 --> 38:32.680
Die müssen Sie sich merken.

38:32.680 --> 38:35.220
Wir haben diese Formel hier.

38:37.940 --> 38:43.240
Das ist das erste wichtige Zwischenergebnis aus Biegung und Zugdruck.

38:43.500 --> 38:45.160
Die sogenannte Spannungsformel.

38:45.380 --> 38:48.380
Und ich werde Ihnen gleich zeigen, was wir damit alles machen können.

38:49.380 --> 38:54.440
Wir sind jetzt in der Lage, mit dieser Formel Bemessungsgrenzen für

38:54.440 --> 38:56.260
Biegeträger nachzuweisen.

38:56.380 --> 38:58.940
Und zwar diesen ersten Punkt, den können wir behandeln.

39:00.200 --> 39:06.060
Wir können mit einer zulässigen Spannung unsere tatsächlich maximal

39:06.060 --> 39:11.460
auftretende Spannung vergleichen und können sagen, liegen wir drunter

39:11.460 --> 39:12.680
oder liegen wir drüber.

39:12.680 --> 39:16.780
Liegen wir drüber, ist der Festlichkeitsnachweis nicht geführt und wir

39:16.780 --> 39:18.640
müssen unser Bauteil umdimensionieren.

39:19.000 --> 39:22.240
Liegen wir drunter, ist der Festlichkeitsnachweis für die Spannung

39:22.240 --> 39:23.340
positiv geführt.

39:23.720 --> 39:26.100
Aber es bleiben noch einige Restaufgaben.

39:26.600 --> 39:29.600
Wir müssen noch in Zahl schauen, wie sieht es aus mit der

39:29.600 --> 39:30.240
Durchliebung.

39:31.020 --> 39:35.180
Also mit der Formänderung des Balkens, ist die größer als zumutbar.

39:35.180 --> 39:38.660
Und dann gibt es noch ein Problem, was wir in der letzten Vorlesung

39:38.660 --> 39:40.620
dieser Vorlesungsreihe behandeln werden.

39:40.820 --> 39:45.060
Also ganz zum Schluss, am Ende der TM1, werden wir uns mit Fragen wie

39:45.060 --> 39:48.840
Instabilität durch Kicken oder durch Ausknicken behandeln.

39:49.040 --> 39:53.220
Also es könnte sein, dass dieser Balken sich durchbiegt und irgendwann

39:53.220 --> 39:54.660
anfängt auszuknicken.

39:55.420 --> 39:56.840
Auch das wäre möglich.

39:56.840 --> 40:00.160
Aber den ersten Punkt, den können wir schon mal abarbeiten.

40:00.760 --> 40:02.140
Was brauchen wir alles dazu?

40:02.720 --> 40:06.680
Wir müssen uns überlegen, was ist für uns der schlimmstmögliche Fall

40:06.680 --> 40:07.980
für unseren Träger.

40:08.580 --> 40:14.560
Der schlimmstmögliche Fall ist offenbar der Querschnitt x2 Konstant,

40:15.120 --> 40:19.400
den wir betrachten müssen, an dem das Biegemoment so groß wie möglich

40:19.400 --> 40:19.740
wird.

40:19.740 --> 40:23.680
Wir müssen uns also das maximale Biegemoment anschauen, den Betrag

40:23.680 --> 40:25.500
dieses maximalen Biegemoments.

40:26.740 --> 40:34.200
Also, wir brauchen erstens maximales Biegemoment und

40:38.350 --> 40:47.170
wir brauchen zweitens den größtmöglichen Abstand zum Hand von unserer

40:47.170 --> 40:51.330
neutralen Faser, also von unserem Flächenmittelpunkt bei reiner

40:51.330 --> 40:51.810
Biegung.

40:52.510 --> 40:55.970
Wenn das hier ein Rechteckquerschnitt ist, dann liegt das genau in der

40:55.970 --> 40:56.150
Mitte.

40:56.890 --> 40:59.610
Aber stellen Sie sich vor, Sie hätten so einen T-Träger.

41:02.450 --> 41:05.510
Dann liegt der Flächenmittelpunkt natürlich nicht in der Mitte,

41:05.970 --> 41:09.930
sondern irgendwo aufgrund der großen Fläche dort oben ist er etwas

41:09.930 --> 41:11.290
weiter nach oben gerutscht.

41:11.290 --> 41:17.330
Dann wäre dieser Abstand natürlich kleiner als der Abstand hier unten.

41:19.150 --> 41:24.750
Und die größte Spannung tritt am Rand unseres Trägers auf.

41:24.890 --> 41:25.070
Warum?

41:25.290 --> 41:28.770
Weil die Spannung ja linear mit dem Abstand vom Flächenmittelpunkt

41:28.770 --> 41:29.270
zunimmt.

41:29.830 --> 41:33.670
Das wäre hier, wenn wir den mal mit E1 bezeichnen würden und mit E2,

41:34.150 --> 41:36.590
dann wäre E2 größer als E1.

41:36.590 --> 41:41.730
Und Sie müssten maximales Biegemoment verwenden und Sie müssten den

41:41.730 --> 41:47.230
Abstand E2 verwenden, um sich die größte Normalspannung auszurechnen.

41:47.590 --> 41:50.690
Und diese größte Normalspannung müssen Sie vergleichen mit der

41:50.690 --> 41:51.730
zulässigen Spannung.

41:52.210 --> 41:55.050
Machen wir das einfach mal für ein paar einfache Beispiele.

41:56.430 --> 41:59.590
Erstens, schauen wir uns mal so einen Kragträger an.

42:00.730 --> 42:03.470
Kragträger heißt einfach nur, auf der einen Seite ist er fest

42:03.470 --> 42:04.190
eingespannt.

42:06.110 --> 42:08.910
Belastet wird der Kragträger durch eine Kraft F.

42:10.570 --> 42:14.290
Wie dann die Lagerreaktionen aussehen und wie die Schnittreaktionen

42:14.290 --> 42:16.330
aussehen, können wir ganz einfach berechnen.

42:16.330 --> 42:19.290
Lagerreaktionen brauchen wir noch nicht einmal, um den

42:19.290 --> 42:21.250
Biegemomentenverlauf auszurechnen.

42:21.550 --> 42:26.510
Wir wissen, der Biegemomentenverlauf nimmt zu und ist im Einspannpunkt

42:26.510 --> 42:27.310
am größten.

42:27.310 --> 42:33.350
Dort haben wir also im Einspannpunkt das maximale Biegemoment, MB,

42:33.790 --> 42:34.270
Max.

42:35.890 --> 42:44.370
Und das ist einfach nur Kraft F mal Hebelarm L an dieser Stelle, an

42:44.370 --> 42:45.470
der Einspannstelle.

42:45.470 --> 42:50.250
Das wäre vom Betrag her das größte Biegemoment, das uns erwarten kann.

42:50.910 --> 42:56.510
Also 60 Newton mal 1000 Millimeter.

42:58.690 --> 43:05.550
Also 60.000 Newton Millimeter.

43:05.550 --> 43:11.830
So, jetzt wollen wir dafür ein sogenanntes Breitfuß-T-Profil, TB50,

43:11.970 --> 43:12.450
verwenden.

43:12.990 --> 43:16.030
Was interessiert uns daran nur an diesem TB50?

43:16.650 --> 43:21.010
Wir blättern unser Tabellenbuch auf und lesen nach, wie groß ist dann

43:21.010 --> 43:27.810
das Flächenträgheitsmoment Iy für so ein Breitfuß-T-Profil.

43:27.810 --> 43:33.770
Und da lesen wir in unserem Tabellenbuch ab, oh, Iy finden wir

43:33.770 --> 43:34.530
vielleicht gar nicht.

43:34.630 --> 43:38.610
Wir finden Iy durch den größten Abstand E1.

43:40.210 --> 43:44.950
Da lesen wir ab 4780 Millimeter hoch 3.

43:44.950 --> 43:48.230
Wie können wir diese Information nun verwenden?

43:49.690 --> 43:57.050
Wir wissen, unsere maximale Normalspannung aufgrund reiner Biegung,

43:57.110 --> 44:07.060
die sich einstellt, ist größtmögliches Moment geteilt durch Iy

44:07.060 --> 44:13.440
multipliziert mit dem größtmöglichen Abstand und das ist genau dieser

44:13.440 --> 44:14.720
Abstand E1.

44:15.720 --> 44:19.100
Okay, mal E1.

44:19.960 --> 44:21.900
So, das müssen wir ausrechnen.

44:22.380 --> 44:28.220
Jetzt haben wir MBmax aus unserer Schnittreaktion herausbekommen mit

44:28.220 --> 44:33.020
60.000 Newton-Millimeter.

44:33.020 --> 44:39.080
Aus unserem Tabellenbuch haben wir das Verhältnis Iy zu E1

44:39.080 --> 44:46.500
herausgelesen mit 4780 Millimeter hoch 3.

44:46.920 --> 44:53.460
Wir kürzen und erhalten 60.000 durch 4780, kann ich nicht ganz im

44:53.460 --> 44:59.180
Kopf, aber es soll wohl 12,6 ungefähr ergeben, Newton pro Millimeter

44:59.180 --> 44:59.840
Quadrat.

45:00.840 --> 45:06.800
Diesen Wert müssen wir vergleichen mit der zulässigen Spannung für

45:06.800 --> 45:08.800
unsere Materialien.

45:12.410 --> 45:17.110
Unsere zulässige Spannung sei beispielsweise für dieses Material,

45:25.180 --> 45:34.500
also Beispiel Sigma zulässig, sei 14 Newton pro Millimeter Quadrat.

45:34.500 --> 45:36.660
Das ist schon ein recht kleiner Wert.

45:37.280 --> 45:40.180
Wenn das ein Stahl ist, dann hält der durchaus auch noch mehr aus.

45:41.040 --> 45:46.320
Dann sehen Sie, 14 Newton pro Millimeter Quadrat ist größer als die

45:46.320 --> 45:50.460
größtmögliche auftretende Spannung, die ist nämlich nur 12,6 Newton

45:50.460 --> 45:55.220
pro Millimeter Quadrat, also Festigkeitsnachweis positiv geführt,

45:55.560 --> 45:56.740
dieses Bauteil hält.

45:56.740 --> 46:00.940
Jetzt können wir uns natürlich auch die umgekehrte Frage stellen, wie

46:00.940 --> 46:04.420
muss ich denn mein Bauteil dimensionieren, damit die Spannungen

46:04.420 --> 46:06.660
kleiner sind als die zulässigen Spannungen.

46:06.660 --> 46:09.160
Also, zweite Anwendung.

46:10.460 --> 46:16.760
Wir schauen uns so einen Träger an, einen Balken auf zwei Stützen,

46:16.940 --> 46:18.560
diesmal in der Mitte belastet.

46:19.120 --> 46:24.440
Wir können den Momentenverlauf ganz leicht ausrechnen.

46:24.440 --> 46:29.640
Wir sehen, das maximale Moment tritt genau in der Mitte auf, hier, und

46:29.640 --> 46:34.900
dieses maximale Moment hat die Größe ein Viertel F mal L.

46:39.110 --> 46:44.150
Die Kraft F ist uns vorgegeben, die kennen wir, wir kennen die Länge

46:44.150 --> 46:48.670
L, 6 Meter für diesen Träger, also ein stattlicher Apparat.

46:49.430 --> 46:53.770
Wir wollen ihn gerne als Doppel-T-Profil ausführen, Sie können dazu

46:53.770 --> 46:58.490
auch gerne I-Profil sagen, das wäre ein Doppel-T-Profil, also ein T

46:58.490 --> 47:02.010
oben, ein T, wenn Sie es von unten anschauen, auf dem Kopf stehen.

47:02.830 --> 47:07.350
Wir wollen das gerne als so ein Profil ausführen, aus einem Stahl, von

47:07.350 --> 47:12.370
dem wir wissen, zulässige Spannung beträgt 160 Newton pro Millimeter

47:12.370 --> 47:13.010
Quadrat.

47:13.010 --> 47:19.750
Die Frage ist, welches I-Profil, welches Doppel-T-Profil müssten wir

47:19.750 --> 47:21.530
aus unserer Tabelle heraussuchen?

47:21.990 --> 47:23.110
Wie gehen wir vor?

47:24.110 --> 47:34.430
Wir überlegen uns, Sigma-Max war doch gleich maximales Biegermoment

47:34.430 --> 47:38.930
geteilt durch Iy mal E1.

47:39.650 --> 47:42.390
Das muss kleiner sein als Sigma-zulässig.

47:44.130 --> 47:55.950
Dann muss doch Iy durch E1 größer sein als Sigma-zulässig im Nenner

47:55.950 --> 48:00.950
und M-Max im Zähler.

48:01.930 --> 48:06.950
M-Max weiß ich ist ein Viertel F mal L.

48:08.310 --> 48:09.810
Können wir ausrechnen.

48:10.030 --> 48:13.270
Zahlenwert sehen Sie hier oben, 6 mal 10 auf 4 Newtonmeter.

48:13.790 --> 48:19.690
Im Nenner stehen 160 Newton Millimeter Quadrat für die zulässige

48:19.690 --> 48:20.270
Spannung.

48:20.270 --> 48:31.210
Gibt zusammen einen Wert von 0,375 Newton mal 10 auf Minus 3 Meter

48:31.210 --> 48:31.850
hoch 3.

48:34.030 --> 48:39.050
In den Tabellenbüchern, wenn Sie ältere Exemplare haben, finden Sie

48:39.050 --> 48:43.290
meistens noch Angaben in Zentimetern hoch 3 für das Verhältnis Iy

48:43.290 --> 48:44.090
durch E1.

48:44.090 --> 48:44.810
Das ist kein Problem.

48:45.190 --> 48:46.050
Rechnen wir um.

48:49.210 --> 49:00.510
0,375 Dezimeter hoch 3 sind 375 Zentimeter hoch 3.

49:01.850 --> 49:05.370
Nehmen wir also den nächstbesten in unserem Tabellenbuch.

49:06.150 --> 49:13.590
Da werden Sie finden für den sogenannten Doppel-T-Träger 26, Iy durch

49:13.590 --> 49:23.490
E gleich 442 Zentimeter hoch 3.

49:24.630 --> 49:25.350
Preisfrage.

49:26.250 --> 49:32.210
Ist dieses E, das E1 oder das E2, welchen Abstand haben wir?

49:33.410 --> 49:35.770
Denken Sie dran, es ist ein Doppel-T-Träger.

49:37.990 --> 49:41.590
Doppel-T-Träger ist natürlich symmetrisch.

49:41.590 --> 49:45.650
Das heißt, der Flächenmittelpunkt liegt genau in der Mitte.

49:45.830 --> 49:48.650
Die beiden Abstände E1 und E2 sind gleich groß.

49:48.770 --> 49:52.210
Es ist also völlig egal, ob Sie hier E1 oder E2 heranschreiben.

49:52.690 --> 49:57.210
E1 gleich E2 gleich E für einen Doppel-T-Träger aufgrund seiner

49:57.210 --> 49:57.750
Symmetrie.

49:58.490 --> 50:03.190
Also, einfache Dimensionierungsaufgaben können wir jetzt schon lösen.

50:03.590 --> 50:07.170
Aber so richtig verstanden haben wir einen einzigen Punkt noch nicht.

50:07.470 --> 50:13.050
Nämlich, wie berechnen wir das Flächenmoment zweiten Grades Iy?

50:13.730 --> 50:17.850
Bisher war der Ausblick immer, irgendwelche Tabellenbücher werden uns

50:17.850 --> 50:20.530
schon erzählen, wie groß das Iy ist.

50:20.890 --> 50:23.150
Aber ein bisschen was wollen wir ja auch selbst machen.

50:23.150 --> 50:26.930
Also, schleichen wir uns an dieses Iy mal ran.

50:27.610 --> 50:29.290
Flächenmoment zweiten Grades.

50:29.670 --> 50:33.270
Sie sehen hier nochmal als Wiederholung, Flächenmoment ersten Grades

50:33.270 --> 50:37.890
ist einfach das Integral y da, Flächenmoment zweiten Grades wäre dann

50:37.890 --> 50:40.610
das Integral y² da und so weiter.

50:42.370 --> 50:46.930
Das Flächenmoment ersten Grades spielt für uns nur eine Rolle, wenn

50:46.930 --> 50:54.510
der Koordinatenursprung im Flächenmittelpunkt liegt, dann ist dieses

50:54.510 --> 51:08.110
Flächenmoment ersten Grades gleich 0, falls Koordinatenursprung gleich

51:08.110 --> 51:09.190
Flächenmittelpunkt.

51:12.200 --> 51:20.870
So, das Flächenmoment zweiten Grades tut uns diesen Gefallen aber

51:20.870 --> 51:26.450
nicht, denn hier liegen ja koordinatensetzbare Abscheine, also

51:26.450 --> 51:30.570
irgendeine Symmetrie bezüglich des Flächenmittelpunktes hilft uns hier

51:30.570 --> 51:33.790
nicht weiter, diese Größe wird auch dann bestehen.

51:33.790 --> 51:38.470
Also müssen wir so ein Integral einfach mal ausrechnen und dann wollen

51:38.470 --> 51:46.450
wir uns überlegen, wie wir für einfache Querschnitte effizient diese

51:46.450 --> 51:49.230
Größe Iy hier beherrschen können.

51:50.670 --> 51:54.610
Also, nehmen wir doch einfach mal einen Rechterquerschnitt, das ist ja

51:54.610 --> 51:58.150
das Einfachste, was wir uns vorstellen können und wir wollen mal

51:58.150 --> 52:04.010
ausrechnen Iy gleich Integral z² da.

52:05.070 --> 52:08.850
Das ist ein sogenanntes Flächenintegral, das heißt wir integrieren

52:08.850 --> 52:13.530
einmal über die Koordinate y und einmal über die Koordinate z unserer

52:13.530 --> 52:13.930
Fläche.

52:19.110 --> 52:23.190
Jetzt überlegen wir uns Integrationsgrenzen, also die

52:23.190 --> 52:28.350
Integrationsgrenze für das y, wenn diese Fläche die Breite b hat, dann

52:28.350 --> 52:33.470
lautet die minus b halbe bis plus b halbe.

52:35.430 --> 52:40.390
Bei der Koordinate z integrieren wir über die Höhe, also von minus h

52:40.390 --> 52:43.250
halbe bis plus h halbe.

52:44.050 --> 52:47.630
Jetzt schauen wir uns den Integranten mal scharf an und stellen fest,

52:48.130 --> 52:51.770
juhu, da tritt ja das y gar nicht auf, wir integrieren ja nur über das

52:51.770 --> 52:52.090
z.

52:52.090 --> 52:58.650
Also lösen wir als erstes das Integral über y, indem wir einfach

52:58.650 --> 53:08.950
sagen, das Ergebnis ist Integral minus h halbe bis h halbe z² dz

53:08.950 --> 53:16.030
multipliziert mit dem Integral minus b halbe bis b halbe von dy und

53:16.030 --> 53:18.290
das ist nichts anderes als b.

53:24.500 --> 53:30.000
Ja, dann haben wir doch jetzt nur noch ein Integral z² dz, das gibt

53:30.000 --> 53:37.360
mir z hoch 3 Drittel in den Grenzen von h halbe minus h halbe.

53:37.360 --> 53:46.340
So, jetzt das Ganze mal schnell potenziert, 2 mal 2 sind 4, mal 2 sind

53:46.340 --> 53:53.660
8, 8 also h hoch 3 vierundzwanzigstel, 2 mal h hoch 3

53:53.660 --> 53:59.860
vierundzwanzigstel gibt mir das mal b, das kürzt sich zu einer 12

53:59.860 --> 54:04.740
zusammen, also erhalte ich h hoch 3 mal b zwölftel.

54:07.540 --> 54:18.330
Wenn ich das iz ausrechnen würde, also das Integral über y² dr, was

54:18.330 --> 54:20.810
würde wohl herauskommen nach gleicher Rechnung?

54:21.230 --> 54:25.490
Ich muss einfach nur die Rolle von Höhe und Breite vertauschen, also

54:25.490 --> 54:30.510
es würde herauskommen, Breite hoch 3 mal Höhe geteilt durch 12.

54:34.230 --> 54:40.070
Und, glauben Sie mir, wenn Sie das iz ausrechnen, kommt dort 0 raus,

54:40.250 --> 54:42.890
aus Symmetriegründen dieses Querschnitts.

54:43.670 --> 54:47.910
So können wir das Ganze durch Integration ausrechnen, aber immer diese

54:47.910 --> 54:52.250
Flächenintegrale zu bilden ist schon ziemlich mühsam, das müsste doch

54:52.250 --> 54:53.470
auch noch einfacher gehen.

54:53.470 --> 54:58.530
Da erinnern wir uns als erstes dran, Integrale haben eine schöne

54:58.530 --> 55:03.090
Eigenschaft, gerade vor allen Dingen, wenn es sich um Flächen handelt,

55:03.190 --> 55:06.390
können wir uns das relativ schön auch anschaulich vorstellen, wir

55:06.390 --> 55:10.670
können so eine Fläche teilen und auf jeder Teilfläche dieses Integral

55:10.670 --> 55:11.790
ausrechnen.

55:11.790 --> 55:17.950
Also, stellen Sie sich vor, Sie haben so etwas hier.

55:20.330 --> 55:24.950
Dann könnte ich doch sagen, ich berechne einmal das Iy von diesem

55:24.950 --> 55:30.290
einen Teil und dann das Iy von dem anderen Teil und dann sehe ich, das

55:30.290 --> 55:33.330
sind eigentlich zwei Rechtecke und die versuche ich jetzt

55:33.330 --> 55:37.830
zusammenzubringen, zusammenzuaddieren zu einem einzigen Flächenmoment

55:37.830 --> 55:38.390
2°.

55:39.390 --> 55:41.970
Das ist der sogenannte Gruppensatz.

55:42.970 --> 55:49.810
Der Gruppensatz sagt aus, ich habe eine Fläche A1, die liefert mir ein

55:49.810 --> 55:55.470
Flächenmoment Iy1, ich habe eine zweite Fläche A2, die liefert mir ein

55:55.470 --> 56:07.850
Iy2 und ich kann Iy gleich Iy1 plus Iy2 zusammenaddieren unter einer

56:07.850 --> 56:08.450
Bedingung.

56:09.250 --> 56:10.750
Und die ist ganz wichtig.

56:11.630 --> 56:17.230
Wenn ich in beiden Fällen das gleiche Koordinatensystem verwendet

56:17.230 --> 56:21.110
habe, wenn ich andere Koordinatensysteme für jede Teilfläche verwende,

56:21.550 --> 56:24.530
ist das, wie wenn ich Äpfel mit Birnen zusammenaddiere, geht nicht.

56:24.530 --> 56:47.110
Also, wenn für Iy1 und Iy2 mit gleichen Koordinatensystemen gerechnet

56:47.110 --> 56:47.610
wurde.

56:54.080 --> 56:54.600
Okay?

56:55.300 --> 56:57.140
Nur in diesen Fällen dürfen Sie das machen.

56:58.240 --> 57:01.880
Und jetzt gibt es dann einen ganz fiesen Trick eigentlich.

57:02.440 --> 57:04.720
Stellen Sie sich unten so ein C-Profil vor.

57:05.120 --> 57:09.240
Ein C-Profil ist ein sehr beliebtes Profil, beispielsweise für Nudeln,

57:10.380 --> 57:12.840
die man hier an zwei C-Schienen festlegt.

57:13.400 --> 57:15.020
So würde ein C-Profil aussehen.

57:15.640 --> 57:19.160
Jetzt könnte man denken, naiverweise, na gut, mache ich halt drei

57:19.160 --> 57:20.540
Rechteckprofile draus.

57:21.300 --> 57:25.260
Mache ich einfach hier zu und ich mache dort zu und dann habe ich drei

57:25.260 --> 57:28.500
Rechteckquerschnitte und für einen Rechteckquerschnitt weiß ich, B mal

57:28.500 --> 57:30.820
H auf drei Zwölftel führt zum Ziel.

57:31.460 --> 57:33.160
Aber es geht noch trickreicher.

57:33.700 --> 57:34.980
Machen Sie einfach Folgendes.

57:34.980 --> 57:39.740
Sie machen das Profil hier zu, an dieser Stelle.

57:40.800 --> 57:44.920
Dann haben Sie ein großes Rechteck, dieses äußere Rechteck hier.

57:49.210 --> 57:56.150
Von diesem Rechteck wissen Sie B mal H hoch drei Zwölftel und ziehen

57:56.150 --> 58:00.170
davon dieses innere Rechteck ab.

58:01.170 --> 58:03.770
Sie rechnen mit sogenannten negativen Flächen.

58:04.910 --> 58:08.650
Dann kommen Sie, wenn Sie beides mal das gleiche Koordinatensystem

58:08.650 --> 58:16.390
verwenden, kommen Sie auf das Flächenmoment zweiten Grades für dieses

58:16.390 --> 58:17.150
C -Profil.

58:18.550 --> 58:19.430
Leichter Trick.

58:20.850 --> 58:22.250
Jetzt kommt das große Aber.

58:22.850 --> 58:26.370
Das große Aber ist die Bedingung, dass mit gleichen

58:26.370 --> 58:28.410
Koordinatensystemen gerechnet wird.

58:28.410 --> 58:33.030
Sie finden Flächenmomente zweiten Grades ebenfalls tabelliert in

58:33.030 --> 58:37.030
Tabellenbüchern für Rechteckquerschnitte, Dreieckquerschnitte,

58:37.150 --> 58:38.950
Kreisquerschnitte und so weiter.

58:39.430 --> 58:45.770
Aber immer bezogen auf den Flächenmittelpunkt und damit auf

58:45.770 --> 58:47.570
verschiedene Koordinatensysteme.

58:47.570 --> 58:51.470
Also, wenn Sie hier diese beiden Rechtecke hätten und Sie würden die

58:51.470 --> 58:55.590
Formel B mal H hoch drei Zwölftel verwenden, dann beziehen Sie sich

58:55.590 --> 58:59.490
einmal auf diesen Punkt, naja, fast getroffen, den Flächenmittelpunkt

58:59.490 --> 59:04.410
der Fläche A1 und auf diesen Punkt den Flächenmittelpunkt der Fläche

59:04.410 --> 59:04.950
A2.

59:05.950 --> 59:09.350
Was Sie aber gerne möchten ist, Sie möchten sich auf den

59:09.350 --> 59:13.790
Gesamtflächenmittelpunkt der Gesamtfläche, also bestehend aus A1 und

59:13.790 --> 59:14.850
A2, beziehen.

59:14.850 --> 59:20.710
Und dieser Gesamtflächenmittelpunkt, der würde irgendwo, naja, die

59:20.710 --> 59:23.930
obere Fläche ist ein bisschen größer, also sagen wir mal, der würde

59:23.930 --> 59:24.930
irgendwo dort liegen.

59:25.670 --> 59:29.150
Die Frage ist, wie kommen Sie zu diesem Punkt hin?

59:29.890 --> 59:33.290
Dazu müssen Sie sich überlegen, was passiert, wenn Sie Ihr

59:33.290 --> 59:37.570
Koordinatensystem transformieren, wenn Sie Ihr Koordinatensystem

59:37.570 --> 59:38.250
verschieben.

59:38.250 --> 59:43.190
Und diese Verschiebung des Koordinatensystems, die liefert Ihnen der

59:43.190 --> 59:45.870
sogenannte steinersche Satz.

59:46.430 --> 59:49.310
Den steinerschen Satz müssen wir uns als nächstes anschauen.

59:49.450 --> 59:53.130
Also, stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Rechteckquerschnitte, T

59:53.130 --> 59:53.650
-Träger.

59:55.930 --> 01:00:00.790
Sie wissen zwar B mal H hoch drei Zwölftel, aber B mal H hoch drei

01:00:00.790 --> 01:00:04.270
Zwölftel für die erste Fläche beziehen Sie sich auf diesen Punkt, für

01:00:04.270 --> 01:00:07.170
die zweite Fläche beziehen Sie sich auf diesen Flächenmittelpunkt.

01:00:07.570 --> 01:00:12.570
Sie müssen berechnen, wie groß ist das Flächenmoment zweiten Grades

01:00:12.570 --> 01:00:18.010
dieser Fläche bezogen auf den gemeinsamen Flächenmittelpunkt.

01:00:19.010 --> 01:00:23.850
Das ist abhängig von der Verschiebung des Koordinatensystems.

01:00:24.290 --> 01:00:25.650
Rechnen das einfach aus.

01:00:26.830 --> 01:00:35.190
Jetzt haben die Ingenieure die Angewohnheit, wenn sie ein

01:00:35.190 --> 01:00:39.350
Koordinatensystem verschieben, mit richtigen Buchstaben zu arbeiten.

01:00:39.630 --> 01:00:44.950
Mit den Buchstaben ETA für die Y-Achse und ZETA für die Z-Achse.

01:00:44.950 --> 01:00:49.930
Also, wir betrachten unser Ausgangskoordinatensystem, unser Y-Z

01:00:49.930 --> 01:00:51.770
-Koordinatensystem für eine Fläche.

01:00:52.210 --> 01:00:54.150
Als Beispiel mal eine Reichefläche.

01:00:56.350 --> 01:01:01.330
Das Y-Z-Koordinatensystem ist das Schwerpunktkoordinatensystem.

01:01:01.730 --> 01:01:05.210
In diesem Schwerpunktkoordinatensystem finden Sie in Tabellenbüchern

01:01:05.210 --> 01:01:06.910
das Flächenmoment zweiten Grades.

01:01:06.910 --> 01:01:12.470
Unsere Aufgabe ist, für ein beliebiges anderes Koordinatensystem, für

01:01:12.470 --> 01:01:18.230
das sogenannte ZETA-ETA-Koordinatensystem, mit einem Mittelpunkt hier

01:01:18.230 --> 01:01:24.450
oben, im Gesamtflächenmittelpunkt, die Flächenmomente zweiten Grades

01:01:24.450 --> 01:01:25.490
auszurechnen.

01:01:27.010 --> 01:01:30.310
Jetzt gibt es natürlich einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten

01:01:30.310 --> 01:01:32.030
beider Koordinatensysteme.

01:01:32.030 --> 01:01:38.890
Also, nehmen wir so ein ETA, dann ist die ETA-Koordinate doch das

01:01:38.890 --> 01:01:44.590
gleiche wie die Y-Koordinate, plus die Lage des Schwerpunktes dieser

01:01:44.590 --> 01:01:48.070
Fläche bezüglich der ETA-Achse.

01:01:48.070 --> 01:01:50.830
Also einen Anteil ETA-S.

01:01:51.990 --> 01:01:56.190
Wenn Sie sich also einen Punkt nehmen, meinetwegen hier diesen Punkt,

01:01:56.590 --> 01:02:01.550
der hat die Koordinate ETA, dann sehen Sie, diese Koordinate ETA setzt

01:02:01.550 --> 01:02:07.990
sich zusammen aus dem Abstand ETA-S plus dieses kleine Stück Y hier.

01:02:07.990 --> 01:02:10.550
ETA gleich Y plus ETA-S.

01:02:11.390 --> 01:02:13.590
Genauso machen wir das mit der ZETA-Achse.

01:02:14.390 --> 01:02:18.510
ZETA gleich Z plus ZETA-S.

01:02:20.070 --> 01:02:23.490
Jetzt nehmen wir beispielsweise das I-ETA.

01:02:25.750 --> 01:02:30.930
Von dem I-ETA wissen wir, es ist das Integral ZETA-Quadrat-DA.

01:02:31.750 --> 01:02:35.170
Für das ZETA setzen wir ein und dann sind wir die griechischen

01:02:35.170 --> 01:02:36.910
Buchstaben schon fast wieder los.

01:02:36.910 --> 01:02:42.530
ZETA plus Z plus ZETA-S zum Quadrat-DA.

01:02:43.030 --> 01:02:55.950
Wir klammern aus und erhalten Z-Quadrat-DA plus 2 Integral ZETA-S Z-DA

01:02:55.950 --> 01:03:03.010
plus Integral ZETA-S Quadrat-DA.

01:03:03.990 --> 01:03:08.510
So, und wir überlegen uns, was ist mit diesen Integralen eigentlich

01:03:08.510 --> 01:03:08.950
los.

01:03:10.530 --> 01:03:19.510
Hier integrieren wir wieder über die uns vertrauten Größen Y und Z.

01:03:20.650 --> 01:03:24.830
ZETA-S, der Schwerpunktsabstand, der schert sich überhaupt nicht um

01:03:24.830 --> 01:03:29.050
unsere Integration, das ist stets ein und dieselbe Länge, ist also

01:03:29.050 --> 01:03:32.370
konstant, kann also aus dem Integral heraus buxiert werden.

01:03:33.010 --> 01:03:37.650
Wir sehen also, im ersten Summanden steht unser Flächenmoment zweiten

01:03:37.650 --> 01:03:38.590
Grades IY.

01:03:39.490 --> 01:03:47.630
Im zweiten Summanden steht die Null, wenn unser Koordinatensystem, das

01:03:47.630 --> 01:03:52.670
Z -Koordinatensystem, das Flächenschwerpunktskoordinatensystem ist.

01:03:52.670 --> 01:03:53.790
Und das ist es ja.

01:03:54.210 --> 01:03:57.970
Das Y-Z-Koordinatensystem ist das Koordinatensystem im

01:03:57.970 --> 01:03:58.810
Flächenmittelpunkt.

01:03:59.290 --> 01:04:02.770
Alle Tabellenbücher sind so gehalten, dass das Koordinatensystem im

01:04:02.770 --> 01:04:06.710
Flächenmittelpunkt liegt und damit ist dieses zweite Integral hier

01:04:06.710 --> 01:04:07.170
Null.

01:04:08.170 --> 01:04:13.030
Übrig bleibt das dritte Integral, bei dem wir das ZETA-S² herausziehen

01:04:13.030 --> 01:04:17.110
können und das Integral DA ist einfach nur die Fläche.

01:04:17.930 --> 01:04:19.430
Und das ist der Satz von Steiner.

01:04:19.430 --> 01:04:25.830
Die nächste wichtige Formel, die Sie sich einkästen sollten, IETA

01:04:25.830 --> 01:04:31.450
gleich IY plus ZETA-S² DA.

01:04:31.990 --> 01:04:40.790
Genauso IZETA gleich IZ plus ETA-S² mal A.

01:04:40.790 --> 01:04:53.530
Und für IETA-ZETA, das Deviationsmoment gilt IYZ minus ETA-S ZETA-S

01:04:53.530 --> 01:04:54.610
mal A.

01:04:55.070 --> 01:04:56.750
Also, was heißt das?

01:04:58.230 --> 01:05:03.270
Wenn Sie beispielsweise einen Rechteckquerschnitt haben, dann wissen

01:05:03.270 --> 01:05:07.250
Sie IY ist E mal H hoch 312.

01:05:07.250 --> 01:05:13.110
Wenn Sie ein anderes Koordinatensystem verwenden möchten,

01:05:13.290 --> 01:05:20.870
beispielsweise aus irgendeinem Grund, möchten Sie sich auf den Punkt

01:05:20.870 --> 01:05:22.190
hier oben am Rand beziehen.

01:05:22.810 --> 01:05:29.850
Nehmen Sie einfach den Abstand vom Flächenmittelpunkt oder Punkt in

01:05:29.850 --> 01:05:30.250
der Ecke.

01:05:30.250 --> 01:05:34.070
Nehmen Sie den Abstand vom Flächenmittelpunkt, variieren den,

01:05:34.450 --> 01:05:38.310
multiplizieren das Ganze mit der Fläche und addieren jetzt zu Ihrer

01:05:38.310 --> 01:05:42.630
ursprünglichen Flächenmoment 2² B mal H hoch 312 D hinzu.

01:05:43.310 --> 01:05:46.090
Das nennt man den sogenannten Steineranteil.

01:05:49.780 --> 01:05:55.240
Und dann haben Sie Ihre Flächenmoment für jede beliebige Lage des

01:05:55.240 --> 01:05:56.580
Koordinatensystems.

01:05:57.400 --> 01:06:02.600
Jetzt gibt es noch ein zweites Detail, mit dem ich Sie behältigen

01:06:02.600 --> 01:06:02.900
muss.

01:06:03.660 --> 01:06:07.460
Das ist die Frage, wenn wir schon Koordinatensystemänderungen

01:06:07.460 --> 01:06:11.460
betrachten, dann sollten wir uns nicht nur auf eine Verschiebung

01:06:11.460 --> 01:06:15.640
beschränken, sondern Koordinatensysteme können sich auch dadurch

01:06:15.640 --> 01:06:16.980
ändern, dass sie gedreht werden.

01:06:16.980 --> 01:06:20.960
Das sind die beiden einzigen Möglichkeiten, wie Sie Koordinatensysteme

01:06:20.960 --> 01:06:21.540
ändern können.

01:06:21.660 --> 01:06:25.440
Sie können sie verschieben, hin und her verschieben und Sie können sie

01:06:25.440 --> 01:06:25.800
drehen.

01:06:26.320 --> 01:06:30.160
Also die Frage ist, was passiert bei Drehung des Koordinatensystems.

01:06:30.160 --> 01:06:33.100
Ich werde die Frage hier nur anreißen.

01:06:33.400 --> 01:06:36.040
Ich kann Ihnen aber versprechen, wir müssen auf diese Frage nochmal

01:06:36.040 --> 01:06:36.740
zurückkommen.

01:06:37.220 --> 01:06:40.960
Später, wenn wir uns mit allen Spannungen, die wir dann ausgerechnet

01:06:40.960 --> 01:06:43.860
haben, beschäftigen, bei der Frage, wie wir verschiedene

01:06:43.860 --> 01:06:48.940
Spannungszustände überlagern, werden wir gedrehte Koordinatensysteme

01:06:48.940 --> 01:06:49.600
haben.

01:06:49.600 --> 01:06:55.420
Also, kleiner Einstieg, Vertiefung folgt in späteren Vorlesungen zum

01:06:55.420 --> 01:06:58.800
Thema, was passiert, wenn sich Koordinatensysteme drehen.

01:07:00.260 --> 01:07:01.340
Hier dargestellt.

01:07:02.400 --> 01:07:07.540
Unser ursprüngliches Koordinatensystem, das XYZ-Koordinatensystem, das

01:07:07.540 --> 01:07:11.960
gedrehte Koordinatensystem, bekommt wieder die griechischen Buchstaben

01:07:11.960 --> 01:07:13.820
eta und zeta.

01:07:15.080 --> 01:07:20.180
Wieder ist der erste Schritt, ich rechne mir aus, wie groß sind eta

01:07:20.180 --> 01:07:24.060
und zeta in den neuen Koordinatensystemen.

01:07:24.620 --> 01:07:27.520
Also, eta und zeta ausgedrückt.

01:07:27.640 --> 01:07:31.760
Dazu brauche ich natürlich den Winkel phi, um den ich mein

01:07:31.760 --> 01:07:33.720
Koordinatensystem gedreht habe.

01:07:33.720 --> 01:07:37.560
Und dann brauche ich noch Winkelfunktionen, Kosinus und Sinus.

01:07:37.900 --> 01:07:44.600
Und dann sehe ich, eta ist y-Cosinus-phi plus z-Sinus-phi.

01:07:46.200 --> 01:07:50.900
Und zeta, die neue zeta-Koordinate, berechnet sich aus der y

01:07:50.900 --> 01:07:57.460
-Koordinate mal Sinus-phi plus z-Koordinate mal Cosinus-phi.

01:08:00.420 --> 01:08:04.900
Jetzt möchte ich Ihnen zeigen, dass es ein Koordinatensystem gibt.

01:08:05.500 --> 01:08:09.000
Wir können unsere Koordinaten so hindrehen, dass unser

01:08:09.000 --> 01:08:11.200
Deviationsmoment immer verschwindet.

01:08:11.200 --> 01:08:18.620
Das heißt, aus den drei Flächenmomenten Iy, Iz und Iyz werden bei

01:08:18.620 --> 01:08:21.420
geeigneter Drehung nur noch zwei Flächenmomente.

01:08:21.760 --> 01:08:24.860
Und das nennt man die beiden Hauptflächenmomente.

01:08:25.740 --> 01:08:28.500
Und das sind die Flächenmomente, die Sie in den Tabellenbüchern

01:08:28.500 --> 01:08:28.840
finden.

01:08:28.840 --> 01:08:35.520
Also schauen wir uns das I eta zeta mal an.

01:08:36.160 --> 01:08:41.740
Das ist per Definition nichts anderes als das Integral über eta und

01:08:41.740 --> 01:08:42.540
zeta dA.

01:08:43.160 --> 01:08:48.720
Wir setzen wieder ein unsere Koordinaten, die wir ausgerechnet haben.

01:08:48.720 --> 01:08:57.260
Also wir setzen ein für eta y-Cosinus-phi plus z-Sinus-phi.

01:08:57.820 --> 01:09:08.740
Wir setzen für zeta ein minus y-Sinus-phi plus z-Cosinus-phi dA.

01:09:12.080 --> 01:09:17.020
Wir multiplizieren alles aus und fassen wieder zusammen.

01:09:17.700 --> 01:09:22.240
Integral y-Quadrat dA fassen wir zusammen als Iz.

01:09:22.400 --> 01:09:25.460
Integral z-Quadrat dA fassen wir zusammen als Iy.

01:09:25.460 --> 01:09:28.420
Und dann schauen wir mal, was haben wir noch.

01:09:28.960 --> 01:09:33.640
Also wir haben ein y-Quadrat Cosinus-phi Sinus-phi.

01:09:34.700 --> 01:09:41.540
Das ist also ein Iz Cosinus-phi Sinus-phi.

01:09:41.540 --> 01:09:47.040
Dann haben wir ein Integral z-Quadrat Sinus-phi Cosinus-phi mit einem

01:09:47.040 --> 01:09:48.420
negativen Vorzeichen.

01:09:48.920 --> 01:09:54.280
Minus Iy Cosinus-phi Sinus-phi.

01:09:55.520 --> 01:09:57.680
Und dann haben wir gemischte Terme.

01:09:58.680 --> 01:10:06.800
Minus Integral Iyz dA einmal Cosinus-Quadrat-phi und einmal Minus

01:10:06.800 --> 01:10:07.960
-Sinus -Quadrat-phi.

01:10:08.220 --> 01:10:18.560
Also plus Iyz Cosinus-Quadrat-phi Minus-Sinus-Quadrat-phi.

01:10:19.780 --> 01:10:23.760
Jetzt erinnern wir uns an einige trigonometrische Formeln.

01:10:24.340 --> 01:10:25.840
Die schreibe ich Ihnen mal hier auf.

01:10:26.260 --> 01:10:29.800
Cosinus-Quadrat-phi ist ein Halb.

01:10:29.800 --> 01:10:36.880
Eins-Plus-Cosinus-Zwei-phi bei Additionstheoreme.

01:10:37.320 --> 01:10:41.460
Sinus-Quadrat-phi ist ein Halb.

01:10:42.680 --> 01:10:54.500
Eins-Minus-Cosinus-Zwei-phi und Zwei-Sinus-phi-Cosinus-phi ist gleich

01:10:54.500 --> 01:10:56.100
Sinus -Zwei-phi.

01:10:57.380 --> 01:11:02.400
Wenn Sie das alles einsetzen, was erhalten Sie für I-Eta-Zeta?

01:11:03.160 --> 01:11:15.460
Sie erhalten letztlich I-Eta-Zeta gleich minus ein halb I-Y minus I-Z

01:11:15.460 --> 01:11:28.980
mal Sinus 2 Phi plus I-Y-Z mal Cosinus 2 Phi.

01:11:29.740 --> 01:11:34.820
So, was ich Ihnen versprochen habe war, es gibt eine Möglichkeit, das

01:11:34.820 --> 01:11:40.240
Koordinatensystem zu drehen, sodass I-Eta-Zeta, der sogenannte

01:11:40.240 --> 01:11:42.100
Deviationsmoment, verschwindet.

01:11:42.520 --> 01:11:44.220
Dass das hier gleich Null ist.

01:11:45.560 --> 01:11:49.200
Das gilt natürlich nicht immer, sondern für einen speziellen Winkel

01:11:49.200 --> 01:11:50.340
nennen wir den Phi-Null.

01:11:50.940 --> 01:11:54.100
Diesen Winkel können wir jetzt aus der Formel aber ganz einfach

01:11:54.100 --> 01:11:56.680
ausrechnen, indem wir das Ganze umstellen.

01:11:56.920 --> 01:11:59.500
Sie sehen, da tritt der Tangens von 2 Phi-Null auf.

01:12:00.260 --> 01:12:04.220
Also Tangens Sinus durch Cosinus 2 Phi-Null

01:12:07.990 --> 01:12:17.130
ist dann I-Y-Z im Zähler.

01:12:19.390 --> 01:12:25.850
Die 2 wandern auch noch gleich in den Zähler und im Nenner steht I-Y-I

01:12:25.850 --> 01:12:26.270
-Z.

01:12:30.170 --> 01:12:34.290
Also, nehmen wir mal an, Sie haben für irgendeine gekehrschnelle Sicht

01:12:34.290 --> 01:12:39.050
geahnt, I-Y-I-Z, I-Y-Z mühsamst errechnet.

01:12:39.530 --> 01:12:43.750
Dann wissen Sie, wie Sie das Koordinatensystem zu drehen haben, sodass

01:12:43.750 --> 01:12:48.090
dieses Deviationsmoment I-Eta-Zeta verschwindet.

01:12:48.570 --> 01:12:53.730
Und im Skript finden Sie noch eine Formel für die dann auftretenden

01:12:53.730 --> 01:12:54.650
beiden Momente.

01:12:55.090 --> 01:13:03.370
Das I-Y und das I-Z nennt man dann I-1 und I-2 und bezeichnet sie als

01:13:03.370 --> 01:13:05.330
die sogenannten Hauptflächenmomente.

01:13:05.330 --> 01:13:12.230
Die können Sie sich jetzt aus I-Y, I-Z und I-Y-Z für diesen speziellen

01:13:12.230 --> 01:13:14.210
Winkel Phi-Null ausrechnen.

01:13:14.690 --> 01:13:16.050
Formel, siehe Skript.

01:13:16.530 --> 01:13:18.730
Herleitung ist rein technisch.

01:13:19.310 --> 01:13:22.290
Reicht, wenn ich Ihnen das hier für ein großes Mal aufführe, wie das

01:13:22.290 --> 01:13:22.610
geht.

01:13:23.070 --> 01:13:28.130
Also, einfach nur Koordinatensystem drehen, neue Koordinaten aus den

01:13:28.130 --> 01:13:33.290
alten Koordinaten ausrechnen, einsetzen, Rechnung betätigen und hier

01:13:33.290 --> 01:13:34.510
gleich loslesen.

01:13:35.010 --> 01:13:36.190
Das war die Geschichte.

01:13:37.750 --> 01:13:40.490
Damit haben wir den zweiten Punkt auch abgehakt.

01:13:41.110 --> 01:13:45.870
Die Flächenträgheitsmomente, die sogenannten Flächenmomente zweiten

01:13:45.870 --> 01:13:46.410
Grades.

01:13:46.870 --> 01:13:48.690
Merken Sie sich davon bitte Folgendes.

01:13:49.310 --> 01:13:53.530
Faustformel B mal H hoch 3 zwölfte für den Rechteckquerschnitt sollten

01:13:53.530 --> 01:13:56.590
Sie im Herzen haben, Parcours auswendig gelernt.

01:13:57.470 --> 01:14:01.230
Zweitens, den sogenannten steinerschen Anteil bei Verschiebung des

01:14:01.230 --> 01:14:02.590
Koordinatensystems.

01:14:03.270 --> 01:14:08.450
Zeta S Quadrat A beziehungsweise Eta S Quadrat A, das sollten Sie

01:14:08.450 --> 01:14:08.730
können.

01:14:09.410 --> 01:14:12.730
Jetzt kommen wir zum dritten Teil, Differenzialgleichung der

01:14:12.730 --> 01:14:13.330
Biegelinie.

01:14:14.010 --> 01:14:19.930
Stellen Sie sich vor, Sie haben hier so eine Decke und eine Schneelast

01:14:19.930 --> 01:14:23.590
drauf, dann biegen sie sich durch oder hier in den Baumarkt des

01:14:23.590 --> 01:14:28.250
Vertrauens solche Paletten rumzuliegen, dann biegen sich diese Träger

01:14:28.250 --> 01:14:32.110
durch und eventuell biegt sich das größer als zulässig durch.

01:14:32.250 --> 01:14:35.550
Also müssen wir die Durchbiegung ausrechnen können.

01:14:36.150 --> 01:14:39.610
Dazu brauchen wir den Zusammenhang zwischen Verzerrungen auf der einen

01:14:39.610 --> 01:14:45.130
Seite, Verzerrungen bei unserer Y-X in Längsrichtung und der

01:14:45.130 --> 01:14:47.910
Geometrieänderung auf der anderen Seite.

01:14:48.730 --> 01:14:51.310
Dazu verwenden wir einfach den Strahlensatz.

01:14:51.790 --> 01:14:56.410
Ich habe mal ganz grob übertrieben hier unten den durchgehobenen

01:14:56.410 --> 01:14:58.310
Querschnitt hinbezeichnet.

01:14:58.490 --> 01:15:00.810
Grob übertrieben, damit man überhaupt was sieht.

01:15:01.490 --> 01:15:02.390
Was ändert sich?

01:15:03.150 --> 01:15:07.610
Es ändert sich hier, wenn das unsere neutrale Faser wäre, den Abstand

01:15:07.610 --> 01:15:11.750
dx, wenn ich eine Zugfaser hier oben nehme, habe ich dx plus ein

01:15:11.750 --> 01:15:14.250
kleines Stückchen dyx.

01:15:14.250 --> 01:15:17.870
Und dieses kleine Stückchen kann ich mir über den Strahlensatz

01:15:17.870 --> 01:15:18.710
ausrechnen.

01:15:19.130 --> 01:15:21.150
Denn es gilt folgender Zusammenhang.

01:15:22.070 --> 01:15:30.790
Wenn ich dx und du zusammen addiere, dann habe ich also die Länge der

01:15:30.790 --> 01:15:34.890
Strecke o von dx bis nach innen.

01:15:34.890 --> 01:15:38.210
Und ich setze das in Verhältnis zu dieser Strecke dx.

01:15:40.130 --> 01:15:46.690
Dann muss das doch nach dem Strahlensatz genau das gleiche sein, als

01:15:46.690 --> 01:15:51.830
wenn ich auf der einen Seite diese Strecke nehmen würde.

01:15:52.250 --> 01:15:56.510
Ja, und dann das Stückchen dazu addieren, da unsere Z-Maximabügelzeit

01:15:56.510 --> 01:15:57.610
ist das Minus-Z.

01:16:01.390 --> 01:16:09.190
Und zum anderen nehme ich die Strecke, die von dem Mittelpunkt bis

01:16:09.190 --> 01:16:10.870
hier in den Radius das R.

01:16:14.760 --> 01:16:19.720
Also ich stelle mir vor, unser Träger krümmt sich, er biegt sich

01:16:19.720 --> 01:16:20.160
durch.

01:16:20.760 --> 01:16:26.220
Ich beschreibe das Ganze näherungsweise durch einen Kreisradius mit

01:16:26.220 --> 01:16:27.480
irgendwo einem Mittelpunkt.

01:16:27.480 --> 01:16:32.520
Und der Radius ist eine ganz entscheidende Größe, um mir die

01:16:32.520 --> 01:16:36.160
Verschiebungen und die Verzerrungen ausrechnen zu können.

01:16:36.380 --> 01:16:41.780
Mithilfe dieses Kreisradius bin ich in der Lage, Verschiebungen und

01:16:41.780 --> 01:16:44.400
Verzerrungen ineinander zu überführen.

01:16:45.280 --> 01:16:50.440
Wenn ich hier weiter rechne, stelle ich fest, da steht 1 plus du nach

01:16:50.440 --> 01:16:55.940
dx gleich 1 minus Z durch R.

01:16:57.520 --> 01:17:05.160
du nach dx ist meine Verzerrung y und die kann ich jetzt ausrechnen

01:17:05.160 --> 01:17:08.640
durch Z und R, also durch reine Geometriegrößen.

01:17:09.760 --> 01:17:14.480
Das einzige Problem bei der ganzen Geschichte ist, wir haben so ein

01:17:14.480 --> 01:17:17.060
bisschen den Teufel mit dem Bälzebuch verjagt.

01:17:17.500 --> 01:17:19.000
Denn was ist dieses R?

01:17:19.940 --> 01:17:21.240
Was ist dieser Radius?

01:17:22.080 --> 01:17:25.460
Haben wir einfach eingeführt und gesagt, näherungsweise soll das auf

01:17:25.460 --> 01:17:27.000
einem Kreis liegen.

01:17:27.460 --> 01:17:29.460
Da müssen wir jetzt die Mathematik erfahren.

01:17:30.240 --> 01:17:34.320
Wir müssen in die Differenzialgeometrie reinschauen, ganz konkret in

01:17:34.320 --> 01:17:35.140
die Kurventheorie.

01:17:35.140 --> 01:17:37.380
Vielleicht hatten Sie das in der höheren Mathematik.

01:17:37.800 --> 01:17:40.500
Wenn nicht, müssen wir die Formel einfach so schlucken.

01:17:41.140 --> 01:17:45.220
Der Mathematiker sagt, 1 durch R ist der sogenannte Krümmungsradius

01:17:45.220 --> 01:17:45.980
einer Kurve.

01:17:46.560 --> 01:17:49.620
Und diesen Krümmungsradius können wir durch die zweite Ableitung

01:17:49.620 --> 01:17:50.260
ausdrücken.

01:17:51.620 --> 01:17:55.620
Unsere Kurve ist W, die Durchsenkung dieses Balkens.

01:17:57.220 --> 01:18:05.120
Die zweite Ableitung von W und im Nenner steht 1 plus W' zum Quadrat

01:18:05.120 --> 01:18:07.880
hoch 3 halber.

01:18:08.520 --> 01:18:11.660
Und jetzt kommt sofort der Ingenieur und sagt, das ist mir aber viel

01:18:11.660 --> 01:18:13.600
zu kompliziert, mein lieber Mathematiker.

01:18:14.720 --> 01:18:18.380
Mit solchen komplizierten Formeln arbeiten wir aber nicht gerne,

01:18:19.320 --> 01:18:23.100
sondern wir nehmen an, dass unsere erste Ableitung klein ist.

01:18:23.100 --> 01:18:27.660
Also die Änderung dieser Kurve, dieser Durchsenkung eines Balkens, die

01:18:27.660 --> 01:18:29.020
soll moderat ausfallen.

01:18:29.440 --> 01:18:32.940
Der knickt nicht so ab wie eine Banane, sondern das senkt sich so

01:18:32.940 --> 01:18:36.180
leicht durch, wie wenn Sie eine Palette irgendwo rauflegen oder sich

01:18:36.180 --> 01:18:37.500
Ihr Bücherregal anschauen.

01:18:38.120 --> 01:18:42.040
Also wir nehmen W' als sehr viel kleiner als 1 an.

01:18:42.040 --> 01:18:46.700
Dann können wir uns diesen schmuddeligen Nenner einfach sparen und

01:18:46.700 --> 01:18:52.820
erhalten, näherungsweise ist das Ganze dann W''.

01:18:53.820 --> 01:19:06.020
Also haben wir insgesamt yx gleich minus z mal W''.

01:19:11.640 --> 01:19:15.480
Dann haben wir 1

01:19:18.570 --> 01:19:26.190
durch R, W2', yx ist gleich minus z mal W2'.

01:19:26.190 --> 01:19:35.030
W2' ist gleich minus yx durch z.

01:19:35.990 --> 01:19:39.990
Für yx setzen wir die Spannungsformel ein bei reiner Biegung.

01:19:40.930 --> 01:19:46.610
Also Sie erinnern sich, reine Biegung, sigma x gleich e mal yx gleich

01:19:46.610 --> 01:19:49.670
m mal z durch iy.

01:19:50.670 --> 01:20:02.750
Also haben wir yx gleich m mal z geteilt durch e mal iy.

01:20:03.670 --> 01:20:08.670
Setzen alles hier ein und schwuppdiwupp erhalten wir Biegemoment

01:20:08.670 --> 01:20:14.350
geteilt durch e mal Flächenmoment zweiten Rades.

01:20:14.350 --> 01:20:20.650
Also W2', die zweite Ableitung der sogenannten Biegelinie, der

01:20:20.650 --> 01:20:27.030
Durchbiegung unseres Balkens, ist gleich Biegemoment geteilt durch

01:20:27.030 --> 01:20:29.590
Elastizitätsmodul und iy.

01:20:29.590 --> 01:20:33.870
Beachten Sie bitte, hier kommt, weil wir uns jetzt auf der

01:20:33.870 --> 01:20:38.130
Geometrieseite befinden, der E-Modul als Materialparameter ins Spiel.

01:20:38.750 --> 01:20:45.630
In der Spannungsformel sigma selbst, dieser Formel, tritt der E-Modul

01:20:45.630 --> 01:20:49.030
selbst erstmal nicht auf bei den Spannungen.

01:20:49.590 --> 01:20:52.730
Erst bei den Verzahrungen tritt der E-Modul durch das Hochschulgesetz

01:20:52.730 --> 01:20:53.250
auf.

01:20:53.250 --> 01:20:55.570
Merken Sie sich auch diese Formel.

01:20:56.710 --> 01:20:58.470
Minus m e iy.

01:20:59.190 --> 01:21:02.490
Das ist die letzte Formel aus der Biegung, die Sie sich merken müssen.

01:21:03.010 --> 01:21:04.670
Jetzt haben wir noch fünf Minütchen Zeit.

01:21:05.190 --> 01:21:08.390
Jetzt möchte ich Ihnen zeigen, was Sie damit machen können.

01:21:09.750 --> 01:21:14.030
Klar ist, wir haben leider nur eine Formel für die zweite Ableitung

01:21:14.030 --> 01:21:15.090
der Biegung.

01:21:15.670 --> 01:21:19.750
So ist die Natur, so kompliziert ist sie, so muss ich es Ihnen leider

01:21:19.750 --> 01:21:20.350
beibringen.

01:21:20.350 --> 01:21:24.150
Das bedeutet, wenn wir die Biegelinie selbst ausrechnen wollen, müssen

01:21:24.150 --> 01:21:28.690
wir zweimal integrieren, zweimal über unsere Querschnittsvariable,

01:21:28.810 --> 01:21:31.950
über unsere Variable x, Längsvariable integrieren.

01:21:32.530 --> 01:21:36.370
Wenn wir zweimal integrieren, unbestimmt integrieren, handeln wir uns

01:21:36.370 --> 01:21:38.390
zwei Integrationskonstanten ein.

01:21:38.790 --> 01:21:41.890
Diese beiden Integrationskonstanten müssen wir ausrechnen.

01:21:41.890 --> 01:21:44.170
Das ist hier einfach mal vorgeführt.

01:21:44.750 --> 01:21:49.450
Also, stellen Sie sich vor, Sie haben so einen Krakträger, auf der

01:21:49.450 --> 01:21:53.610
einen Seite fest eingespannt, auf der anderen Seite durch eine Kraft F

01:21:53.610 --> 01:21:54.590
belastet.

01:21:55.290 --> 01:21:59.670
Wir wissen, für diese Biegelinie, die hier rot eingezeichnet ist,

01:21:59.850 --> 01:22:05.250
ergibt sich W2 gleich minus m durch e iy.

01:22:06.930 --> 01:22:11.030
Unser iy, nehmen wir mal an, ist ein Rechteckquerschnitt, wäre b mal h

01:22:11.030 --> 01:22:12.570
hoch 3 zwölftel, kennen wir.

01:22:13.110 --> 01:22:16.810
E-Modul liefert uns die Werkstofftechnik, kennen wir auch.

01:22:17.590 --> 01:22:21.330
Biegemoment m, da sind die Mechaniker für verantwortlich, haben wir

01:22:21.330 --> 01:22:24.030
für so einen einfachen Krakträger heute schon ausgerechnet.

01:22:25.850 --> 01:22:28.550
Jetzt integrieren wir diese Gleichung zweimal.

01:22:29.010 --> 01:22:35.990
Wir setzen also m von x ein, iy ist hoffentlich konstant, wenn nicht,

01:22:36.090 --> 01:22:38.810
müssen wir abschnittsweise vorgehen, e-Modul ist auch konstant,

01:22:38.810 --> 01:22:42.730
integrieren zweimal auf, nach x.

01:22:51.950 --> 01:22:57.870
Welche Bedingungen kann ich denn für diese Biegelinie vorschreiben, um

01:22:57.870 --> 01:23:00.790
die beiden Integrationskonstanten auszurechnen?

01:23:01.950 --> 01:23:07.230
Na das eine ist, ich schaue mir diese Stelle hier an, bei der festen

01:23:07.230 --> 01:23:11.370
Einspannung, nur dort kann ich irgendwas sagen über die Biegelinie.

01:23:11.890 --> 01:23:19.850
Ich sehe sofort die Durchbiegung an der Stelle x gleich 0, muss wie

01:23:19.850 --> 01:23:20.490
groß sein?

01:23:21.410 --> 01:23:22.990
Die muss 0 sein.

01:23:24.810 --> 01:23:32.250
Die erste Ableitung an der Stelle x gleich 0, hier muss ein rechter

01:23:32.250 --> 01:23:35.170
Winkel noch bestehen bleiben, muss 0 sein.

01:23:36.270 --> 01:23:41.330
Damit habe ich zwei Bedingungen, um diese Biegelinie mir ausrechnen zu

01:23:41.330 --> 01:23:41.610
können.

01:23:45.130 --> 01:23:50.370
Also, was würde sich ergeben hier, wenn wir den Träger freischneiden,

01:23:50.470 --> 01:23:56.530
da würde sich für das Moment ein linearer Verlauf ergeben, a minus x,

01:23:59.600 --> 01:24:00.560
f.

01:24:02.680 --> 01:24:13.020
Setzen wir das ein, erhalten wir W2' gleich f durch EIy mal a minus x.

01:24:13.780 --> 01:24:22.440
Integrieren wir einmal, erhalten wir W' f durch EIy, a x minus x

01:24:22.440 --> 01:24:26.830
Quadrat Halbe plus Integrationskonstante C1.

01:24:26.830 --> 01:24:36.890
Wir erhalten W f durch EIy, a x Quadrat Halbe minus x hoch 3 Sechste

01:24:36.890 --> 01:24:40.810
plus C1x plus C2.

01:24:41.830 --> 01:24:43.870
Und wie groß sind die beiden Konstanten?

01:24:43.870 --> 01:24:50.390
Wir setzen zuerst die Bedingung x gleich 0 in diese Formel ein,

01:24:51.250 --> 01:24:56.130
erhalten wir C1 gleich 0, wir setzen x gleich 0 in diese Formel ein,

01:24:56.730 --> 01:25:04.550
wir erhalten C2 gleich 0.

01:25:05.470 --> 01:25:09.750
Und damit haben wir die beiden Integrationskonstanten ausgerechnet und

01:25:09.750 --> 01:25:13.170
unsere Biegelinie für diesen ersten Fall ermittelt.

01:25:14.090 --> 01:25:18.690
Im zweiten Fall haben wir hier nun ein Festlager.

01:25:19.510 --> 01:25:24.410
Bei einem Festlager dürfen wir nicht die Bedingung W' gleich 0

01:25:24.410 --> 01:25:28.990
fordern, denn Sie sehen, so ein Festlager sorgt nicht dafür, dass der

01:25:28.990 --> 01:25:32.470
rechte Winkel noch erhalten bleibt bei der Biegelinie, sondern die

01:25:32.470 --> 01:25:35.170
Biegelinie kann hier schräg einlaufen.

01:25:35.170 --> 01:25:48.270
Also, W' ist an dieser Stelle ungleich 0, taugt also nicht als eine

01:25:48.270 --> 01:25:49.110
Randbedingung.

01:25:50.030 --> 01:25:56.910
Als Randbedingung bleibt uns nur erhalten W von x gleich 0 gleich 0.

01:25:58.710 --> 01:26:01.510
Aber wir haben ja noch ein zweites Lager, wir haben ja noch das

01:26:01.510 --> 01:26:02.230
Loslager.

01:26:03.030 --> 01:26:10.250
Und an dieser Stelle beim Loslager muss die Biegelinie ebenfalls hier

01:26:10.250 --> 01:26:15.270
durch diesen Punkt durchlaufen, ist in vertikaler Richtung nicht

01:26:15.270 --> 01:26:24.090
verschiebbar, also fordern wir an der Stelle W von x gleich a gleich

01:26:24.090 --> 01:26:24.370
0.

01:26:24.370 --> 01:26:27.990
Damit haben wir wieder unsere zwei Bedingungen für zwei

01:26:27.990 --> 01:26:30.890
Integrationskonstanten für die Biegelinie.

01:26:32.270 --> 01:26:34.170
Jetzt haben wir noch ein kleines Problem.

01:26:34.990 --> 01:26:36.610
Letztes kleines Problemchen.

01:26:37.550 --> 01:26:38.970
Nur noch ein kleines Problemchen.

01:26:38.970 --> 01:26:43.530
Wir müssen ja, wenn Sie sich an die Schnittgrößen erinnern, das

01:26:43.530 --> 01:26:46.810
Biegelmoment in diesem Abschnitt bestimmen und das Biegelmoment in dem

01:26:46.810 --> 01:26:47.690
Abschnitt bestimmen.

01:26:47.830 --> 01:26:52.210
Das heißt, wir haben eigentlich zwei Abschnitte, in denen wir

01:26:52.210 --> 01:26:54.390
Biegelmomente kennen.

01:26:54.850 --> 01:26:58.190
MB römisch 1 und MB römisch 2.

01:27:00.230 --> 01:27:05.970
Folglich bekommen wir hier eine Biegelinie W römisch 1 und eine

01:27:05.970 --> 01:27:10.970
Biegelinie W römisch 2 raus, wenn wir zwei Mal aufintegrieren, so wie

01:27:10.970 --> 01:27:12.610
bei dem ersten Beispiel hier oben.

01:27:13.630 --> 01:27:18.010
Das bedeutet aber, wir haben insgesamt vier Integrationskonstanten, in

01:27:18.010 --> 01:27:20.490
jedem Abschnitt zwei Integrationskonstanten.

01:27:20.490 --> 01:27:24.290
Wir haben bisher aber nur zwei Bedingungen angegeben.

01:27:25.050 --> 01:27:27.150
Und diesen zwei Bedingungen kann ich mit nur zwei

01:27:27.150 --> 01:27:29.410
Integrationskonstanten ausrechnen.

01:27:30.070 --> 01:27:32.190
Mehr Art Bedingungen gibt es heute nicht.

01:27:32.650 --> 01:27:34.670
Aber es gibt Übergangsbedingungen.

01:27:35.450 --> 01:27:47.950
Die Biegelinie an dieser Stelle, B1, wo W1 und W2 für jeden Abschnitt

01:27:47.950 --> 01:27:52.170
zusammenfallen, die muss doch einmal stetig sein und sie soll auch

01:27:52.170 --> 01:27:53.090
keinen Knick haben.

01:27:53.090 --> 01:27:59.090
Also es muss an dieser Stelle gelten, W von römisch 1, x gleich a,

01:27:59.570 --> 01:28:02.510
gleich W von römisch 2.

01:28:05.190 --> 01:28:09.050
Nennen wir das x1 gleich a, x2 gleich 0.

01:28:10.370 --> 01:28:22.930
Und es muss gelten, W1 Strich von x1 gleich a, gleich W2 Strich von x2

01:28:22.930 --> 01:28:24.190
gleich 0.

01:28:26.010 --> 01:28:32.050
Also, bei einem sogenannten Mehrfeldträger, bei dem wir das B-Moment

01:28:32.050 --> 01:28:36.670
abschnittsweise berechnen müssen, müssen wir für jeden Abschnitt

01:28:36.670 --> 01:28:38.550
einzelne Integrationen durchführen.

01:28:38.810 --> 01:28:41.910
Und für jeden Abschnitt einzelne Biegelinie ausrechnen.

01:28:42.230 --> 01:28:45.630
Und diese Biegelinie zusammenstücke durch Übergangsbedingungen.

01:28:45.970 --> 01:28:50.070
Die Übergangsbedingungen lauten, die Biegelinie muss stetig sein und

01:28:50.070 --> 01:28:51.450
sie darf keinen Knick haben.

01:28:51.450 --> 01:28:55.710
Kleiner Ausblick noch, Sie finden solche Biegelinien in

01:28:55.710 --> 01:28:58.110
Tabellentüchern, beispielsweise auch in Himmeler.

01:28:58.790 --> 01:29:00.190
Habe ich Ihnen hier dargestellt.

01:29:00.810 --> 01:29:05.750
Sieht wild aus, Sie können damit üben, Sie können sich diese Linie in

01:29:05.750 --> 01:29:08.390
der Hand ausrechnen und Sie können damit üben.

01:29:08.390 --> 01:29:13.670
Und, ganz wichtige Bemerkung, die Differenzialreihe, die Biegelinie

01:29:13.670 --> 01:29:15.870
ist eine lineare Differenzialreihe.

01:29:16.350 --> 01:29:20.270
Wenn Sie jetzt Lastfälle haben, die nicht diesen einfachen Lastfällen

01:29:20.270 --> 01:29:25.050
entsprechen, sondern beispielsweise Paragrafen, alles klar, was in dem

01:29:25.050 --> 01:29:26.550
Lastfall ist und in dem Lastfall.

01:29:27.170 --> 01:29:27.390
Der

01:29:36.730 --> 01:29:40.190
Grund unserer Theorie war völlig linear.

01:29:40.710 --> 01:29:43.910
Es gilt das sogenannte Superpositionsprinzip der Lösungen.

01:29:43.910 --> 01:29:47.850
Sie können in Lösungen einfach zusammen agieren und erhalten

01:29:47.850 --> 01:29:50.170
Gesamtlösungen für das komplexe Problem.

01:29:50.830 --> 01:29:53.590
Deswegen sind diese Tabellen so hilfreich.

01:29:54.090 --> 01:29:56.730
Damit danke ich mich bei Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit.

01:29:56.890 --> 01:29:58.510
Ich weiß, es war heute vier Stock.

01:29:59.090 --> 01:30:00.630
Nächste Woche machen wir Torsion.

01:30:00.790 --> 01:30:03.310
Das wird viel, viel einfacher als die Biegung, kann ich Ihnen

01:30:03.310 --> 01:30:03.870
versprechen.

01:30:04.370 --> 01:30:07.390
Und die Frau Gauss wird alles mit Ihnen nochmal systematisch und

01:30:07.390 --> 01:30:08.930
gründlich morgen üben.

01:30:09.410 --> 01:30:10.650
Kommen Sie gut durch die Woche.

01:30:11.070 --> 01:30:12.070
Bis zum nächsten Mal.