WEBVTT 00:06.300 --> 00:10.660 So, meine Damen und Herren, ich begrüße Sie ganz herzlich zur heutigen 00:10.660 --> 00:15.480 Übung Technische Mechanik I für Wirtschaftsingenieure, beziehungsweise 00:16.060 --> 00:20.580 wir haben das Ganze ja integriert, Übung und Vorlesung, heute 00:20.580 --> 00:23.560 Technische Mechanik I für Wirtschaftsingenieure. 00:24.700 --> 00:28.260 Ich möchte ganz kurz wiederholen, was wir uns gestern erarbeitet 00:28.260 --> 00:28.540 haben. 00:30.000 --> 00:35.680 Das Wichtigste war, wir haben den Moorschen Spannungskreis vorbereitet 00:36.300 --> 00:40.000 und Sie werden heute den Moorschen Spannungskreis live in Aktion 00:40.000 --> 00:40.520 erleben. 00:40.940 --> 00:42.120 Was haben wir gemacht? 00:42.220 --> 00:45.860 Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, wie können wir 00:45.860 --> 00:50.560 Koordinatensysteme drehen und was passiert dann mit den Spannungen in 00:50.560 --> 00:52.580 einem gedrehten Koordinatensystem? 00:53.520 --> 00:55.300 Also, Spannungen... 00:57.920 --> 00:58.540 Uiuiuiui... 00:58.540 --> 01:01.340 Ach, das ist überhaupt nicht kalibriert, tut mir leid. 01:01.960 --> 01:06.660 Wir müssen nochmal das Smartboard kalibrieren. 01:27.160 --> 01:28.480 So, weiter geht's. 01:30.460 --> 01:32.660 Also, Spannungen... 01:40.860 --> 01:48.240 Spannungen im gedrehten Koordinatensystem. 01:59.570 --> 02:02.130 Das war das Thema der letzten Vorlesung. 02:02.130 --> 02:09.630 Und dazu hatten wir unser Koordinatensystem um den Winkel Phi gedreht. 02:11.470 --> 02:14.250 Drehung des Koordinatensystems. 02:25.150 --> 02:28.270 Und wir haben die Spannungen Sigma Xi... 02:32.210 --> 02:32.650 Beta... 02:33.530 --> 02:38.230 ausgedrückt in diesem gedrehten Koordinatensystem, also die beiden 02:38.230 --> 02:44.910 Hauptspannungen aus den ursprünglichen Spannungen Sigma X und Sigma Y. 02:46.910 --> 02:50.690 Plus, Minus, Einhalb... 02:50.690 --> 02:53.290 Sigma X minus Sigma Y... 02:55.030 --> 02:57.490 mal Cosinus 2 Phi... 02:59.310 --> 03:01.230 plus, Minus... 03:01.230 --> 03:04.290 Tau XY... 03:05.230 --> 03:07.810 mal Sinus von 2 Phi. 03:08.330 --> 03:13.590 Also, wenn Sie den Spannungszustand im Original-Koordinatensystem 03:13.590 --> 03:18.750 kennen, Sigma X, Sigma Y und Tau XY, zwei Normalspannungen, eine 03:18.750 --> 03:22.590 Schubspannung, dann können Sie mit Hilfe dieser Formel die beiden 03:22.590 --> 03:26.450 Werte Sigma Xi und Sigma Eta, die beiden Normalspannungen im gedrehten 03:26.450 --> 03:28.270 Koordinatensystem, ausrechnen. 03:28.790 --> 03:33.430 Die negativen Vorzeichen gelten für Sigma Eta, das positive Vorzeichen 03:33.430 --> 03:34.730 überall für Sigma Xi. 03:37.410 --> 03:37.890 So, 03:42.050 --> 03:43.850 jetzt haben wir das Maximum hier erreicht. 03:45.090 --> 03:48.770 Ich kriege hier andauernd eine Rückkopplung, einen Schall, also ich 03:48.770 --> 03:50.490 muss mir fast die Ohren zuhalten jetzt. 03:51.210 --> 03:52.590 Sie können mich hören, da ganz hinten? 03:53.750 --> 03:54.630 Schon eingeschlafen? 03:54.830 --> 03:55.390 Ne, okay. 03:56.750 --> 03:57.990 Das will ich nicht weiter stören. 03:58.990 --> 04:07.670 So, für die Schubspannung Tau hatten wir herausgefunden Tau Xi Eta 04:07.670 --> 04:26.070 sind hier gleich 1,5 Sigma X minus Sigma Y Sinus 2 Phi plus Tau XY 04:26.070 --> 04:30.110 Cosinus 2 Phi. 04:34.680 --> 04:37.120 Was haben wir jetzt damit gemacht? 04:39.040 --> 04:42.520 Wir haben diese Gleichung genommen und haben uns gefragt, wo finden 04:42.520 --> 04:45.780 wir Extremwerte der Normalspannung und der Schubspannung. 04:45.900 --> 04:49.220 Und wir haben festgestellt, erstens A, wir finden diese Extremwerte, 04:49.680 --> 04:51.380 wir können sie berechnen, wunderbar. 04:51.820 --> 04:54.320 Und B, sie sind auch recht aussagekräftig. 04:54.640 --> 04:57.860 Denn unter dem Maximum der Schubspannung haben wir gesehen, gibt es 04:57.860 --> 05:01.600 bestimmte Materialien, die versagen und es gibt andere Materialien, 05:01.760 --> 05:04.040 die versagen unter dem Maximum der Normalspannung. 05:04.040 --> 05:07.800 Also das Ganze ist sinnvoll und das Ganze ist wichtig, wenn Sie 05:07.800 --> 05:11.900 Bauteile bemessen wollen, dann müssen Sie Ihr Koordinatensystem so 05:11.900 --> 05:15.300 lange drehen, bis Sie das Maximum der Normalspannung erhalten, 05:15.700 --> 05:18.840 beziehungsweise so lange drehen, bis Sie das Maximum der Schubspannung 05:18.840 --> 05:22.520 erhalten und genau den Wert verwenden Sie dann bei der Bemessung. 05:22.940 --> 05:27.940 Je nachdem, ob Ihr Material stärker auf die Normalspannungen oder 05:27.940 --> 05:30.340 stärker auf die Schubspannungen anspricht. 05:31.400 --> 05:36.220 Jetzt gab es einen Trick, wie man sofort alle Normal- und 05:36.220 --> 05:41.680 Schubspannungen in einem gedrehten Koordinatensystem unter beliebigem 05:41.680 --> 05:44.380 Drehwinkel V aufzeichnen kann. 05:44.880 --> 05:47.860 Und dazu braucht man nur einen Zirkel, mehr brauchen Sie nicht. 05:48.720 --> 05:51.580 Dazu wurden diese beiden Formeln einfach quadriert und zusammenaddiert 05:51.580 --> 06:06.260 und das Ergebnis war Sigma Xi minus 1,5 Sigma X plus Sigma Y zum 06:06.260 --> 06:21.420 Quadrat plus Tau Xi Eta zum Quadrat gleich 1,5 Sigma X minus Sigma Y 06:21.420 --> 06:23.800 zum Quadrat 06:28.170 --> 06:33.010 plus Tau XY zum Quadrat. 06:33.010 --> 06:37.570 Rechte Seite ist bekannt und stellt den Radius eines Kreises dar. 06:38.110 --> 06:45.390 Linke Seite Sigma Xi und Tau Xi Eta sind die beiden unbekannten Größen 06:45.960 --> 06:49.340 und die beiden Größen, die lassen sich jetzt an einem Kreis anordnen 06:49.530 --> 06:54.210 mit dem Radius Wurzel aus 1,5 Sigma X minus Sigma Y Quadrat plus Tau 06:54.210 --> 06:59.950 XY Quadrat steht gerade auf der rechten Seite und verschoben entlang 06:59.950 --> 07:06.970 der Sigma Xi Achse genau um 1,5 Sigma X plus Sigma Y verschoben. 07:07.710 --> 07:10.630 Das wird uns auf den Mohr'schen Spannungskreis führen. 07:11.070 --> 07:15.230 Das ist die Kreisgleichung für den Mohr'schen Spannungskreis. 07:18.370 --> 07:19.810 Otto Mohr. 07:20.750 --> 07:24.930 Muss schon Otto Mohr heißen, um einen Kreis zu erfinden. 07:26.030 --> 07:27.650 Können Sie sich ganz einfach merken. 07:29.010 --> 07:33.410 Also wer so viele runde Os in seinem Namen hat, als einziges Vokal das 07:33.410 --> 07:36.150 O, der muss doch den Spannungskreis erfinden. 07:36.750 --> 07:40.810 So, wie sehen die Maxima aus? 07:42.970 --> 07:46.810 Die Maxima haben wir gefunden, wir haben bisher das Sigma Max 07:46.810 --> 07:47.370 ermittelt. 07:48.370 --> 07:58.330 Sigma Max haben wir herausgefunden, tritt dann auf, wenn der Tangens 07:58.330 --> 08:14.770 von 2 Alpha gerade 2 Tau XY durch Sigma X minus Sigma Y ist und genau 08:14.770 --> 08:20.170 dann wird für diesen Winkel Tau XY 0. 08:21.150 --> 08:27.470 Und der Sigma, der Maximalwert ist dann Sigma X plus Sigma Y 08:31.080 --> 08:49.760 plus minus 1,5 Sigma X minus Sigma Y zum Quadrat plus 4 Tau XY Quadrat 08:52.900 --> 08:57.180 und daraus die Wurzel. 09:03.360 --> 09:04.520 So, okay. 09:07.060 --> 09:09.120 Wie haben wir diesen Wert ausgerechnet? 09:09.240 --> 09:14.220 Wir haben dazu einfach die Gleichung für das Sigma Xi Eta abgeleitet 09:16.460 --> 09:21.120 nach dem Argument, nach dem Winkel Phi und diese Ableitung 0 gesetzt. 09:21.280 --> 09:24.100 Erste Ableitung 0 gesetzt und das Maximum ausgerechnet. 09:24.100 --> 09:29.720 Genauso kann man sich jetzt natürlich auch das Maximum ausrechnen für 09:29.720 --> 09:30.820 die Schubspannung. 09:32.640 --> 09:34.680 Also maximale Schubspannung. 09:41.380 --> 09:46.540 Und das Witzige ist, für den Winkel Beta, unter dem die maximale 09:46.540 --> 09:53.500 Schubspannung auftritt, findet man dann Tangens 2 Alpha mal Tangens 2 09:53.500 --> 09:56.100 Beta gleich 1. 09:58.200 --> 10:02.320 Wer von Ihnen kann mir sagen, welche Beziehung dann zwischen Alpha und 10:02.320 --> 10:08.020 Beta gelten muss, wenn Tangens 2 Alpha mal Tangens 2 Beta gleich 1 10:08.020 --> 10:08.380 ist? 10:11.940 --> 10:15.080 Nehmen wir den Winkel Alpha beispielsweise. 10:18.620 --> 10:21.880 Da muss ich zu dem Winkel Alpha noch irgendwas dazu addieren, damit 10:21.880 --> 10:22.840 ich auf Beta komme. 10:25.320 --> 10:26.980 Wie viel muss ich dazu addieren? 10:30.840 --> 10:31.560 Was glauben Sie? 10:33.380 --> 10:35.140 Pi Viertel, genau. 10:37.560 --> 10:39.200 Wie kommt man auf Pi Viertel? 10:40.200 --> 10:41.600 Im Skript nachlesen, okay. 10:42.280 --> 10:44.880 Wenn man nicht im Skript nachliest, wie kann man sich das Ganze dann 10:44.880 --> 10:45.340 überlegen? 10:45.960 --> 10:47.660 Na ja, was passiert denn? 10:47.880 --> 10:52.380 Tangens 2 Alpha und Tangens 2 Beta müssen reziprok zueinander sein. 10:52.380 --> 10:56.860 Im Tangens 2 Alpha steht Sinus 2 Alpha durch Kosinus 2 Alpha. 10:57.520 --> 11:01.620 Im Tangens 2 Beta steht Sinus 2 Beta durch Kosinus 2 Beta. 11:02.080 --> 11:06.340 Damit die beiden reziprok sind, muss der Winkel Beta praktisch so weit 11:06.340 --> 11:11.960 weitergewandert sein, dass aus dem Sinus 2 Alpha ein Kosinus 2 Alpha 11:11.960 --> 11:19.560 wird und vom Wert her aus dem Kosinus 2 Alpha ein Sinus 2 Alpha 11:19.560 --> 11:20.320 geworden ist. 11:20.320 --> 11:24.980 Das wäre bei einem Argument Phi ein Winkel von 90°. 11:25.200 --> 11:30.280 Wir wandern in unserem Sinus oder unserem Kosinus genau um 90° weiter. 11:30.880 --> 11:34.480 Jetzt steht aber im Argument nicht einfach der Winkel Phi oder Beta, 11:35.020 --> 11:36.600 sondern es steht der Winkel 2 Beta. 11:37.080 --> 11:40.740 Also muss ich nicht um 90° weiterwandern, sondern nur um 45°. 11:41.520 --> 11:45.500 Die Multiplikation mit dem Vorfaktor 2 sorgt dann dafür, dass aus dem 11:45.500 --> 11:49.040 Winkel von 45° ein Phasenversatz von 90° wird. 11:49.880 --> 11:55.340 Also Beta und Alpha sind gerade um Pi Viertel plus minus Pi Viertel 11:55.340 --> 11:57.280 phasenversetzt zueinander. 11:58.820 --> 12:04.700 Wenn das eine Maximum bei 15° auftritt, tritt das andere bei 45° plus 12:04.700 --> 12:07.820 15°, also bei 60° auf und so weiter. 12:09.180 --> 12:13.160 Und auch den Wert kann ich mir ausrechnen, indem ich mir jetzt einfach 12:13.160 --> 12:19.200 hier diesen Morschenspannungskreis, diese Formel hier anschaue und mir 12:19.200 --> 12:24.320 überlege, Tau Xi Eta wird doch dann am größten sein, wenn der erste 12:24.320 --> 12:26.600 Summand am kleinsten ist. 12:27.880 --> 12:33.780 Also heißt das, Tau Xi Eta wird dann am größten sein, dieser zweite 12:33.780 --> 12:34.220 Summand. 12:35.060 --> 12:37.940 Die rechte Seite ist ja immer die gleiche, das sind ja die Werte im 12:37.940 --> 12:39.540 ungedrehten Koordinatensystem. 12:39.540 --> 12:46.460 Wenn ich mein Sigma Xi gerade so hinbekomme, das ist ein Halb Sigma X 12:46.460 --> 12:48.440 plus Sigma Y ist. 12:49.660 --> 13:03.500 Also Tau Max tritt dann auf für Sigma Xi gleich ein Halb Sigma X plus 13:03.500 --> 13:04.220 Sigma Y. 13:04.220 --> 13:07.420 Und da sehen wir schon einen wichtigen Unterschied. 13:09.140 --> 13:13.640 Beim Maximum der Normalspannung verschwindet die Schubspannung, beim 13:13.640 --> 13:17.320 Maximum der Schubspannung verschwindet aber nicht die Normalspannung, 13:17.460 --> 13:21.800 sondern sie nimmt einen Wert an, ein Halb Sigma X plus Sigma Y. 13:23.160 --> 13:27.720 Wir befinden uns gerade über dem Mittelpunkt dieses Kreises sozusagen, 13:28.280 --> 13:31.560 also der Wert Sigma Xi nimmt gerade den Wert dem Mittelpunkt dieses 13:31.560 --> 13:32.320 Kreises an. 13:33.140 --> 13:35.680 Tau ist dann sozusagen der Rest. 13:36.400 --> 13:39.920 Tau ist dann das, was auf der rechten Seite steht, das heißt der 13:39.920 --> 13:43.260 gesamte Radius fließt in meine Schubspannung Tau ein. 13:43.700 --> 13:49.040 Tau Max ist dann rechte Seite, können Sie hier einfach abschreiben 13:49.040 --> 13:50.320 oder sich unterstreichen. 13:51.280 --> 14:01.660 Ein Halb Sigma X minus Sigma Y zum Quadrat plus Tau XY Quadrat. 14:02.320 --> 14:06.980 Jetzt haben wir viele Formeln gesehen und ich verspreche Ihnen, das 14:06.980 --> 14:09.840 war eigentlich jetzt so gut wie die letzte Formel, die ich Ihnen 14:09.840 --> 14:10.820 hergeleitet habe. 14:11.320 --> 14:14.520 Der Rest ist dann, wir schauen uns den Urschussspannungskreis mal an, 14:14.860 --> 14:18.580 also eine geometrische Konstruktion, aber mit Formeln und Herleiten 14:18.580 --> 14:20.140 ist jetzt erstmal Schluss. 14:20.680 --> 14:23.420 Jetzt wollen wir ein bisschen was rechnen, das heißt wir wollen die 14:23.420 --> 14:26.660 Formeln in Arbeit übersetzen und schauen, was wir damit anfangen 14:26.660 --> 14:28.100 können für konkrete Beispiele. 14:28.900 --> 14:32.620 Beispielsweise für so etwas, was auch einmal einer Klausur entstammt. 14:33.980 --> 14:35.680 Was ist denn das für ein Gebilde? 14:36.420 --> 14:41.020 Da stellen wir fest, auf der rechten Seite haben wir hier eine feste 14:41.020 --> 14:45.980 Einspannung, dann kommt ein Stab und dieser Stab wird an seinem Ende 14:45.980 --> 14:49.040 belastet durch eine Kraft F. 14:49.680 --> 14:55.920 Diese Kraft F greift aber nicht einfach in Richtung der Symmetrieachse 14:55.920 --> 15:00.600 des Querschnittes an, also auf dem Niveau des Flächenmittelpunktes, 15:00.940 --> 15:05.280 greift also nicht einfach hier an, sondern sie greift versetzt dazu 15:05.280 --> 15:05.540 an. 15:05.940 --> 15:10.140 Sie sehen das, hier ist ein Hebelarm A noch vorhanden. 15:10.700 --> 15:14.740 Dadurch ruft diese Kraft F nicht nur ein Biegemoment hervor, sondern 15:14.740 --> 15:15.980 auch ein Torsionsmoment. 15:15.980 --> 15:20.940 Die erste Frage ist daher Schnittgrößen. 15:27.440 --> 15:33.700 Für die elementare Stabtheorie brauchen wir die Fälle Biegung und 15:33.700 --> 15:38.000 Torsion, also benötigen wir bei den Schnittgrößen das Biegemoment MB 15:38.000 --> 15:41.080 und das Torsionsmoment MT. 15:42.460 --> 15:45.280 Für eine beliebige Stelle des Querschnitts. 15:45.580 --> 15:46.440 Wie gehen Sie vor? 15:47.560 --> 15:51.300 Sie schneiden den Träger, Sie betrachten natürlich das negative 15:51.300 --> 15:54.760 Schnittufer, denn Sie wollen ja nicht erst die Auflagereaktionen 15:54.760 --> 15:56.960 ausrechnen, das wäre ja viel zu umständlich. 15:57.460 --> 16:01.400 Also Sie betrachten das negative Schnittufer, machen sich einen 16:01.400 --> 16:04.980 schönen Freischnitt und berechnen die Schnittgrößen MB und MT. 16:05.880 --> 16:07.220 Was wollen wir danach wissen? 16:09.400 --> 16:14.080 Danach wollen wir wissen, wie groß sind denn die Spannungen, die MB 16:14.080 --> 16:15.500 und MT hervorrufen. 16:16.660 --> 16:18.500 Welche Spannungen rufen die denn hervor? 16:19.180 --> 16:23.180 Also das Biegemoment ruft eine Biegesspannung hervor, diese 16:23.180 --> 16:25.300 Biegesspannung ist eine Normalspannung. 16:26.020 --> 16:27.960 Sigma in Folge Biegung. 16:28.820 --> 16:32.840 Das Torsionsmoment ruft eine Schubspannung, Tau hervor. 16:35.300 --> 16:39.340 Beide Formeln habe ich Ihnen hergeleitet in der Vorlesung, Sie können 16:39.340 --> 16:42.080 also diese beiden Spannungen ausrechnen. 16:42.200 --> 16:45.540 Und dann ist die dritte Frage, wie groß sind die Hauptspannungen? 16:49.060 --> 16:50.700 Was muss ich dort machen? 16:51.600 --> 16:55.820 Ich muss einfach eine Folie wieder zurückblättern oder mich an die 16:55.820 --> 17:00.200 Vorlesung am Montag erinnern, muss die Formeln hernehmen für Sigma Xi 17:00.200 --> 17:06.360 und Sigma Eta, für den Winkel Phi gleich Alpha, muss die Spannungen 17:06.360 --> 17:10.660 Sigma und Tau einsetzen, dazu muss ich aus denen erstmal einen ebenen 17:10.660 --> 17:18.140 Spannungszustand machen, Sigma X, Sigma Y und Tau, haben wir beim 17:18.140 --> 17:24.180 letzten Mal auch geübt für einige Sonderfälle, und kann dann mir damit 17:24.180 --> 17:25.960 die Hauptspannungen ausrechnen. 17:25.960 --> 17:32.340 So, das ist die Aufgabe, da werden wir so ungefähr, na, 10 Minuten 17:32.340 --> 17:34.400 oder so, lasse ich Sie jetzt mal ein bisschen rechnen. 17:34.900 --> 17:40.360 Wenn Sie Fragen haben zu der Aufgabe, zur Vorlesung, zu anderen 17:40.360 --> 17:44.320 Übungsaufgaben oder zu irgendwelchen sonstigen Dingen, solange Sie 17:44.320 --> 17:49.300 halbwegs mit Mechanik zu tun haben, melden Sie sich, ich komme hin und 17:49.300 --> 17:50.520 dann besprechen wir das Ganze. 17:50.520 --> 17:54.960 Ansonsten lautet die Aufgabe, sauberer Freischnitt, MB und MT, 17:55.680 --> 18:00.280 Spannungsformeln auswerten für Normal- und Schubspannung, die den 18:00.280 --> 18:03.020 ebenen Spannungszustand ermitteln und dann die Hauptspannung 18:03.020 --> 18:09.060 ausrechnen, und das ist eine typische Klausuraufgabe, aber bei weitem 18:09.060 --> 18:13.180 nicht vollständig, in der Klausur haben Sie zwei Aufgaben und die sind 18:13.180 --> 18:16.740 hammerhart und Sie haben 75 Minuten Zeit, also Sie müssen sich 18:16.740 --> 18:20.240 unheimlich ranhalten, da ist die Aufgabe noch ein bisschen länger. 27:27.360 --> 27:33.880 Wir zeichnen uns unser negatives Schnittufer ein, Normalkraft, 27:34.980 --> 27:43.900 Querkraft, Biegermoment und wenn Sie sich jetzt wundern, warum die 27:43.900 --> 27:49.040 Querkraft nach oben zeigt und das Biegermoment im Uhrzeigersinn dreht, 27:49.140 --> 27:52.380 also mathematisch negativ, dann denken Sie einfach dran, das ist das 27:52.380 --> 27:53.260 negative Schnittufer. 27:53.260 --> 27:58.220 Unser Koordinatensystem sitzt ganz links in der festen Einspannung, 27:58.920 --> 28:04.380 wir betrachten den rechten Abschnitt des Trägers, diese Seite hier, 28:04.940 --> 28:07.460 dann müssen wir das negative Schnittufer betrachten. 28:07.460 --> 28:11.980 Und jetzt kommt noch eine Größe dazu bei diesem Schnittufer, das ist 28:11.980 --> 28:13.160 das Torsionsmoment. 28:14.600 --> 28:18.640 Torsionsmoment zeigt ebenfalls in negative Richtung nach links. 28:19.320 --> 28:24.640 Dann haben wir noch die Kraft F, hier hinten auf diesem Träger 28:24.640 --> 28:25.200 wirkend. 28:26.300 --> 28:29.500 So, wir interessieren uns nicht für alle Schnittgrößen, sondern nur 28:29.500 --> 28:32.660 für das Biegermoment und für das Torsionsmoment, also machen wir auch 28:32.660 --> 28:42.900 nur ein Momentengleichgewicht um unsere Y-Achse im Schnittpunkt S. 28:45.220 --> 28:48.140 Und die Summe aller Momente ist natürlich Null. 28:49.520 --> 28:56.500 Dann haben wir einmal unser Biegermoment MB, negativ orientiert, also 28:56.500 --> 29:02.320 Minus -MB und wir haben die Wirkung unserer Kraft F. 29:02.320 --> 29:07.200 Um diese Wirkung richtig einschätzen zu können, müssen wir hier uns 29:07.200 --> 29:09.660 vergewissern, dass wir an der Stelle X schneiden. 29:10.920 --> 29:12.580 Wie lang ist dann der Hebelarm? 29:14.600 --> 29:16.520 Klar, L-X. 29:17.740 --> 29:22.960 Diese Strecke hier wäre die Stelle X, an der ich schneide. 29:22.960 --> 29:26.240 Der restliche Hebelarm ist L-X. 29:26.880 --> 29:34.720 Minus-MB plus F L-X. 29:37.540 --> 29:46.460 Und wir haben es mit einer Drehung hier im Uhrzeigersinn zu tun, also 29:46.460 --> 29:47.760 negatives Uhrzeichen. 29:47.760 --> 29:57.020 Also Minus F L-X und damit MB gleich Minus F L-X. 29:59.960 --> 30:02.360 So, jetzt brauchen wir noch das Torsionsmoment. 30:03.600 --> 30:11.360 Also Summe aller Momente um die X-Achse im Flächenmittelpunkt der 30:11.360 --> 30:13.720 Schnittfläche gleich Null. 30:19.050 --> 30:24.390 MT, rechte Handregel, dreht natürlich in entgegengesetzter Richtung, 30:24.630 --> 30:29.070 das heißt Minus-MT muss sich hier als erstes eintragen. 30:29.570 --> 30:30.970 Jetzt haben wir noch die Kraft F. 30:31.830 --> 30:35.650 Die Kraft F hat, und das sehen Sie an dem linken Bildchen, den 30:35.650 --> 30:36.870 Hebelarm A. 30:37.490 --> 30:40.150 Also F mal A wäre das Moment. 30:40.630 --> 30:43.430 Und jetzt muss ich mir nur noch überlegen, in welche Richtung dreht 30:43.430 --> 30:43.670 es. 30:44.130 --> 30:48.630 Sie sehen hier, die X-Achse kommt Ihnen entgegen, die Kraft F ist so 30:48.630 --> 30:51.790 versetzt, wie in dieser dreidimensionalen Zeichnung noch angedeutet, 30:52.450 --> 30:58.390 also dreht sie, rechte Handregel, im positiven Drehsinn, also Plus F 30:58.390 --> 30:59.510 mal A. 31:00.850 --> 31:06.850 Das Ganze ist Null, also ist das Torsionsmoment MT gleich F mal A. 31:07.310 --> 31:09.750 Insbesondere ist das Torsionsmoment konstant. 31:10.330 --> 31:15.190 Das Biegemoment nimmt mit kleiner werdenden X-Werten zu. 31:15.190 --> 31:17.490 Wo ist das Biegemoment am größten? 31:18.470 --> 31:21.270 Welches Biegemoment muss ich für die Dimensionierung verwenden? 31:22.290 --> 31:26.870 Das maximale Biegemoment, und das ist vom Betrag her maximal 31:26.870 --> 31:32.950 jedenfalls F mal L an der Einspannstelle. 31:33.990 --> 31:39.490 An der Einspannstelle liegt das Maximum dieses Biegemoments vor. 31:41.950 --> 31:45.990 Wenn Sie möchten, können Sie hier das negative Vorzeichen mit 31:45.990 --> 31:46.630 reinsetzen. 31:46.750 --> 31:49.910 Betragsmäßig ist das Biegemoment dort am größten. 31:51.010 --> 31:55.690 Auswirkungen hat das Vorzeichen dann auf die Frage, wo ist die 31:55.690 --> 31:59.450 Zugfaser und wo ist die Druckfaser bei unserem Querschnitt. 31:59.450 --> 32:04.070 So, jetzt haben wir die erste Frage beantwortet, Schnittgrößen haben 32:04.070 --> 32:04.650 wir gefunden. 32:05.470 --> 32:07.770 Wie leiten wir daraus jetzt die Spannungen ab? 32:11.860 --> 32:13.920 Wie sieht denn die Biegespannung aus? 32:15.500 --> 32:18.820 Sigma B, maximale Biegespannung. 32:20.460 --> 32:23.080 Das ist das maximale Biegemoment, 32:27.640 --> 32:32.880 geteilt durch das Flächenmoment, zweiten Grades der Fläche. 32:36.560 --> 32:40.160 Das ist aber noch nicht alles. 32:40.920 --> 32:43.820 Wir müssen das Ganze multiplizieren mit dem Randabstand Z. 32:44.820 --> 32:47.060 Wie groß ist dieser Randabstand? 32:48.160 --> 32:50.420 Kreisquerschnitt, Radius R. 32:55.740 --> 32:59.420 Um diese Formel wirklich auswerten zu können, brauchen wir das Iy. 32:59.420 --> 33:07.880 Iy für einen Kreisquerschnitt ist eine Formel, hatte ich Ihnen in der 33:07.880 --> 33:11.060 Vorlesung nicht hergeleitet, wir hatten nur das polare Flächenmoment. 33:11.500 --> 33:18.000 Wir wissen, das polare Flächenmoment ist Pi halber R hoch 4. 33:20.100 --> 33:28.600 Wie schaut es dann mit Iy aus, wenn Ip Pi halber R hoch 4 ist? 33:29.540 --> 33:33.160 Ip, das polare Flächenmoment, ist gleich Iy plus Iz. 33:34.620 --> 33:38.200 Iy und Iz für einen Kreisquerschnitt werden aus Symmetriegründen 33:38.200 --> 33:39.100 gleich groß sein. 33:39.100 --> 33:42.500 Also ist Ip zweimal Iy. 33:42.900 --> 33:46.060 Da muss also Iy gerade einhalb mal Ip sein. 33:46.500 --> 33:50.080 Also müssen Sie hier noch mit einhalb multiplizieren. 33:50.560 --> 33:56.440 Iy ist gleich Pi mal R hoch 4 viertel. 33:58.180 --> 33:59.780 Setzen Sie das Ganze ein. 34:01.040 --> 34:03.880 Ups, dann habe ich keinen Platz mehr, aber Sie vielleicht noch. 34:03.980 --> 34:10.520 Sigma Bmax ist dann gleich maximales Wiegemoment. 34:11.580 --> 34:15.780 Davon nehmen wir jetzt mal die Beträge, damit wir positive Werte 34:15.780 --> 34:16.180 haben. 34:16.180 --> 34:23.600 Teilen durch Pi R hoch 4, multiplizieren mit R und multiplizieren mit 34:23.600 --> 34:24.100 einer 4. 34:24.740 --> 34:34.020 Ein R kürzt sich heraus und Sie haben 4 mal F mal L geteilt durch Pi R 34:34.020 --> 34:34.760 hoch 3. 34:36.580 --> 34:38.760 Wie sieht es aus mit der Torsion? 34:40.760 --> 34:42.640 Schubspannung entfolgt Torsion. 34:43.580 --> 34:45.340 Welche Formel haben wir da kennengelernt? 34:46.140 --> 34:51.820 Torsionsmoment F mal A geteilt durch polares Flächenmoment, 34:52.040 --> 34:56.920 Kreisquerschnitt, also Pi mal R hoch 4 mal 2. 34:57.620 --> 34:59.280 Schreiben wir gleich in den Zähler. 35:00.080 --> 35:05.400 Und dann müssen wir noch den Randabstand berücksichtigen, den Radius 35:05.400 --> 35:10.080 R, eigentlich klein R, der läuft zwischen Null und Groß R und am 35:10.080 --> 35:19.980 größten wird das Tau am Außenrand des Kreisquerschnittes, also Groß R 35:19.980 --> 35:21.180 müssen wir hier einsetzen. 35:21.920 --> 35:27.380 So, damit haben wir jetzt Taumax und Sigma Bmax ermittelt. 35:29.560 --> 35:35.840 Jetzt können wir auf Zahlenwerte gehen und könnten beispielsweise 35:35.840 --> 35:44.340 Aufgabe 3 lösen, indem wir jetzt diese Formel hier auswerten. 35:45.000 --> 35:47.060 Wie werten wir die Formel aus? 35:52.730 --> 35:55.970 Ups, da ist leider jetzt kein Platz mehr auf der Folie. 35:56.190 --> 35:57.470 Egal, lieber die nächste. 35:59.610 --> 36:09.970 Also, wir kennen Sigma Bmax und wir kennen den maximalen Wert unserer 36:09.970 --> 36:10.870 Schubspannung. 36:12.810 --> 36:17.590 Wir brauchen, um die Formel anzuwenden, die auf der Wiederholungsfolie 36:17.590 --> 36:20.190 steht, um die Hauptspannung auszurechnen für den ebenen 36:20.190 --> 36:24.270 Spannungszustand, brauchen wir Werte Sigma X, Sigma Y, Tau XY. 36:25.270 --> 36:27.330 Nichts einfacher als das Sigma X. 36:27.830 --> 36:33.510 Die Normalspannung in X-Richtung setzen wir an als Sigma Bmax, unsere 36:33.510 --> 36:35.310 maximale Normalspannung. 36:35.950 --> 36:38.490 Sigma Y haben wir nicht, ist Null. 36:39.110 --> 36:41.560 Tau XY ist gerade Taumax. 36:43.780 --> 36:50.080 Mit den Werten gehen wir jetzt rein in 36:53.270 --> 37:03.790 die Formel für Sigma Max und werten die Formel aus und erhalten mit 37:03.790 --> 37:09.130 dem Vorzeichen die beiden Hauptspannungen für unser Problem. 37:12.490 --> 37:21.190 Jetzt hat mir das mal ein Student bei uns vorgerechnet, hat diese 37:21.190 --> 37:22.330 Formel ausgewertet. 37:22.710 --> 37:24.310 Also, wie lautet die für diesen Fall? 37:24.310 --> 37:37.070 Die lautet Sigma 1,2 gleich 1,5 Sigma X plus minus 1,5 Sigma X zum 37:37.070 --> 37:42.930 Quadrat plus 4 Tau XY zum Quadrat. 37:43.810 --> 37:48.330 Und dann haben wir ihm gesagt, okay, Länge dieses Stabes sei ein 37:48.330 --> 37:53.050 Meter, also sehr lange Türklinke, Radius des Kreisquerschnitts seien 37:53.050 --> 38:03.470 zwei Zentimeter und A, dieser Hebel habe die Länge 20 Zentimeter und 38:03.470 --> 38:06.850 die Kraft, mit der wir dort draufdrücken, das seien 250 Newton. 38:11.230 --> 38:14.330 Daraus können wir uns das Sigma Bmax errechnen, 38:17.430 --> 38:25.410 das waren dann 39,78 Newton pro Millimeter Quadrat und wir können uns 38:25.410 --> 38:36.330 das Taumax ausrechnen, das waren 3,9789 Newton pro Millimeter Quadrat. 38:39.090 --> 38:50.830 Und jetzt folgen die Hauptspannungen, Sigma 1 ungefähr 40,1827 Newton 38:50.830 --> 38:58.890 pro Millimeter Quadrat und Tau, oder Sigma 2, die zweite 38:58.890 --> 39:05.270 Normalspannung 19,5 Newton pro Millimeter Quadrat. 39:07.590 --> 39:11.470 Frage, glauben wir das dem Hiwi oder glauben wir das dem nicht? 39:12.890 --> 39:17.010 Ach, bloß nichts nachrechnen müssen, Taschenrechner ist zu auffällig. 39:17.590 --> 39:22.070 Also, überlegen wir uns das mal. 39:23.810 --> 39:28.970 Die Werte kann man im Taschenrechner relativ schnell nachrechnen, also 39:28.970 --> 39:29.730 die sind okay. 39:31.330 --> 39:37.110 Sigma 1 müsste die größte Normalspannung sein, die auftritt, 39:37.710 --> 39:41.710 Schubspannung ist da 0, das heißt die gesamte Schubspannung Tau XY 39:41.710 --> 39:45.210 wird umgewandelt durch Drehung des Koordinatensystems in eine 39:45.210 --> 39:46.010 Normalspannung. 39:46.450 --> 39:50.510 Wir erwarten also eine Normalspannung, die etwas größer ist als der 39:50.510 --> 39:52.210 Wert 39,78. 39:53.010 --> 39:57.930 Klingt unverdächtig, also den Wert akzeptieren wir auch noch. 39:58.690 --> 40:02.810 Jetzt haben wir die kleinste Normalspannung. 40:04.110 --> 40:07.130 Und da überlegen wir uns folgendes, das war doch so ein Kreis. 40:07.830 --> 40:09.170 Zeichnen wir mal einen Kreis. 40:12.370 --> 40:17.670 Sie werden sich vielleicht wundern, aber ich trage mal die 40:17.670 --> 40:19.050 Schubspannung nach unten ab. 40:19.830 --> 40:22.610 Ich trage hier Sigma Xi ab. 40:23.750 --> 40:29.510 Ich weiß, der Mittelpunkt dieses Kreises nach MOA ist gerade 1,5 Sigma 40:29.510 --> 40:33.630 X, also 1,5 Sigma Bmax, also liegt ungefähr bei 20. 40:35.150 --> 40:39.450 Hier liegt der Mittelpunkt dieses Kreises, wenn wir hier das ganze in 40:39.450 --> 40:41.550 Newton pro Millimeter Quadrat auftragen. 40:43.050 --> 40:43.570 Hier auch. 40:47.980 --> 40:53.940 So, ein Punkt auf dem Radius dieses Kreises ist zweifelsohne der Wert 40:53.940 --> 40:59.940 im nicht gedrehten Koordinatensystem, der irgendwo bei 39,78 und 3,978 40:59.940 --> 41:03.680 liegt, also wenn wir mal hier diesen Maßstab haben, dann wäre der 41:03.680 --> 41:04.920 Punkt vielleicht irgendwo hier. 41:06.340 --> 41:08.060 Jetzt nehmen wir uns einen Zirkel. 41:09.180 --> 41:16.100 Dieser Zirkel hat den Radius des MOA-Spannungskreises, also dieser 41:16.100 --> 41:21.340 Zirkel, den stecke ich einmal hier in den Mittelpunkt ein, bei 41:21.340 --> 41:25.760 ungefähr 20, und hier, und dann ziehe ich einen Kreis. 41:26.440 --> 41:29.060 Da brauche ich gar keinen Zirkel zu, das kann ich hier auch mit diesem 41:29.060 --> 41:30.820 Ding machen, also mit so einem Stift. 41:31.240 --> 41:32.540 Ungefähr kriege ich das hin. 41:33.780 --> 41:37.680 Das Ganze sieht ungefähr so aus. 41:43.220 --> 41:48.940 Wo finde ich jetzt meine Hauptnormalspannung, diesen Wert von 40,1827? 41:49.440 --> 41:53.040 Ich weiß ja, an diesem Wert ist die Schubspannung gleich null, also 41:53.040 --> 41:54.740 finde ich doch den größten Wert hier. 41:55.700 --> 41:58.500 Das ist auch das, was er mir hier angeboten hat, das ist okay. 41:58.500 --> 42:01.340 Aber wo finde ich natürlich den kleinsten Wert? 42:02.880 --> 42:04.460 Den finde ich hier hinten. 42:05.760 --> 42:09.600 Für den erwarte ich irgendwas, was ungefähr null ist. 42:10.300 --> 42:14.420 Ein Wert von 20 kann überhaupt nicht sein, da bin ich ja gerade mal 42:14.420 --> 42:16.400 beim Mittelpunkt des Kreises angelangt. 42:17.060 --> 42:20.680 Ich will aber ganz ans Ende, wo die Schubspannung wieder null ist, wo 42:20.680 --> 42:22.400 der Wert tatsächlich am kleinsten ist. 42:22.800 --> 42:27.560 Auf diesem Kreisradius liegen doch alle Werte Sigma Xi, Sigma Eta und 42:27.560 --> 42:27.840 Tau. 42:28.660 --> 42:31.320 Die liegen alle auf dem Kreisradius drauf. 42:31.840 --> 42:36.700 Also das kann nicht dieser Wert sein, haben wir jetzt festgestellt. 42:37.240 --> 42:40.200 Durch ingenieurmäßige Überlegung, einfach durch Anschauung 42:40.200 --> 42:43.180 festgestellt, nee, das glauben wir dem nicht. 42:43.700 --> 42:52.420 Und in der Tat, nachrechnen ergibt, minus 0,394 Newton pro Millimeter 42:52.420 --> 42:53.000 Quadrat. 42:54.260 --> 42:57.820 Also durch eine ganz einfache Konstruktion kann ich solche Ergebnisse 42:57.820 --> 42:59.920 sofort auf Plausibilität überprüfen. 43:00.860 --> 43:03.860 Und jetzt wollen wir uns anschauen, wie das Ganze etwas systematischer 43:03.860 --> 43:04.380 funktioniert. 43:05.000 --> 43:06.880 Also was ist das mit diesem Kreis? 43:08.620 --> 43:14.720 Der Kreis ist nur eine Umsetzung der Spannungsformel, die ich Ihnen 43:14.720 --> 43:15.740 eben gegeben habe. 43:15.740 --> 43:17.740 Und diesen Kreis nennt man Morschenspannungskreis. 43:18.660 --> 43:21.680 Und ich möchte Ihnen zeigen, wie man diesen Morschenspannungskreis 43:21.680 --> 43:22.980 konstruiert. 43:23.360 --> 43:26.740 Und wie man an diesem Morschenspannungskreis für einen gedrehten 43:26.740 --> 43:31.160 Zustand die Normalspannungen und die Schubspannungen abliest. 43:33.100 --> 43:35.880 Da sehen wir nochmal unser Flächenelement. 43:38.440 --> 43:48.120 Hier haben wir die Schubspannung Tau C Äther und hier haben wir unsere 43:48.120 --> 43:50.880 Normalspannung Sigma C. 43:53.080 --> 43:55.860 Wie konstruieren wir uns diesen Kreis? 43:56.400 --> 44:02.100 Wir kennen den Radius des Kreises und wir kennen den Mittelpunkt des 44:02.100 --> 44:02.720 Kreises. 44:03.660 --> 44:15.050 So, wir kennen Sigma X, Sigma Y, Tau XY. 44:15.730 --> 44:18.750 Wir kennen unseren ebenen Spannungszustand im nicht gedrehten 44:18.750 --> 44:19.790 Koordinatensystem. 44:20.530 --> 44:26.070 Wir nehmen Sigma X plus Sigma Y und teilen das Ergebnis durch zwei und 44:26.070 --> 44:30.510 landen genau im Mittelpunkt dieses Kreises, unseres 44:30.510 --> 44:31.470 Koordinatensystems. 44:32.890 --> 44:39.110 Beachten Sie, bei dem Koordinatensystem tragen wir nach rechts gehend 44:39.110 --> 44:47.950 die Normalspannungen auf, nach unten zeigend die Schubspannungen. 44:48.290 --> 44:52.510 Also bei Ihnen nach rechts zeigend die Normalspannungen, nach unten 44:52.510 --> 44:53.730 zeigend die Schubspannungen. 44:54.370 --> 44:57.590 Den ersten Punkt, den wir uns suchen, ist der Mittelpunkt des Kreises 44:57.590 --> 45:00.350 und der liegt bei einem Halb Sigma X plus Sigma Y. 45:01.470 --> 45:04.850 Der zweite Punkt, den wir brauchen, das ist ein Punkt auf der 45:04.850 --> 45:05.890 Kreisbahn selbst. 45:06.610 --> 45:09.690 Dann können wir einen Zirkel nehmen, den Mittelpunkt mit dem Punkt auf 45:09.690 --> 45:13.950 der Kreisbahn verbinden und einfach unseren Zirkel einmal schlagen und 45:13.950 --> 45:15.830 schwuppdiwupp ist der Kreis gezeichnet. 45:16.350 --> 45:19.310 Also, wie finde ich diesen Punkt hier auf der Kreisbahn? 45:19.310 --> 45:27.170 Naja, ich habe ja diesen Wert, Sigma X, Sigma Y, Tau XY, also gehe ich 45:27.170 --> 45:33.770 doch mal her und trage ein Sigma X und Tau XY, also eine der beiden 45:33.770 --> 45:39.450 Normalspannungen in meinem Koordinatensystem und das andere die 45:39.450 --> 45:42.990 Schubspannung, die dazugehört in diesem gleichen Koordinatensystem. 45:42.990 --> 45:56.330 Also, dieser blaue Punkt hat die Koordinaten Sigma X, Tau XY, der 45:56.330 --> 46:12.800 Mittelpunkt, rot, hat die Koordinaten Sigma X plus Sigma Y und Null. 46:14.380 --> 46:14.900 Okay? 46:16.300 --> 46:18.720 Zwei Punkte reichen mir, um den Kreis zu konstruieren. 46:19.140 --> 46:22.480 Den Mittelpunkt, da stechen Sie Ihren Zirkel ein, den Punkt auf dem 46:22.480 --> 46:28.140 Radius, dort taucht Ihre Bleistiftmine ein und los geht's, einmal 46:28.140 --> 46:30.400 Zirkel rumgeschlagen und fertig ist der Kreis. 46:30.980 --> 46:33.860 Jetzt werden Sie sagen, wunderbar, Kreise zeichnen hatte ich ja schon 46:33.860 --> 46:37.880 in der Schule, aber wie kann ich an diesem Kreis jetzt die Spannungen 46:37.880 --> 46:38.500 ablesen? 46:40.220 --> 46:45.180 Dazu müssen wir uns überlegen, wir arbeiten nie mit dem Winkel Phi im 46:45.180 --> 46:47.240 Kreis, sondern immer mit dem Winkel 2 Phi. 46:48.900 --> 46:53.660 Wir können jetzt einen Winkel 2 Phi abtragen und unter dem Winkel 2 46:53.660 --> 46:55.800 Phi den neuen Spannungszustand berechnen. 46:56.700 --> 46:58.560 Nächste Folie, ist das dargestellt? 46:59.200 --> 47:00.800 Wunderbar, dieser Kreis. 47:02.960 --> 47:06.280 Hier unten wieder unsere Schubspannungsachse, dort die 47:06.280 --> 47:06.800 Normalspannungsachse. 47:08.020 --> 47:09.980 Hier ist der Mittelpunkt, den haben wir gefunden. 47:10.660 --> 47:13.800 Hier ist, ach den hatten wir rot, okay, machen wir rot raus. 47:14.440 --> 47:19.560 Hier ist der Punkt auf der Achse für den nicht gedrehten Zustand und 47:19.560 --> 47:22.560 diesem Punkt weisen wir jetzt den Winkel, wir haben den immer Phi 47:22.560 --> 47:23.020 genannt. 47:23.020 --> 47:27.520 Also machen wir da raus einen Phi, Phi gleich 0° zu. 47:29.840 --> 47:34.800 So, jetzt hätte ich aber gerne einen anderen Winkel Phi. 47:35.580 --> 47:39.900 Jeder kann sich einen wünschen, 10°, 15°, 20°, also was mache ich? 47:41.300 --> 47:47.460 Ich zeichne mir die Achse ein, zwischen dem Mittelpunkt des Kreises 47:47.460 --> 47:51.060 und dem Punkt auf dem Radius des Kreises. 47:52.060 --> 47:57.580 Ich trage ausgehend von dieser Achse nicht den Winkel Phi auf, sondern 47:57.580 --> 48:00.080 Sie sehen es, den Winkel 2, Phi. 48:03.180 --> 48:07.900 Dort zeichne ich mir wieder eine Gerade ein, vom Mittelpunkt des 48:07.900 --> 48:09.980 Kreises zum Radius des Kreises. 48:10.620 --> 48:13.760 Und an diesem Punkt lese ich die neuen Koordinaten ab und die 48:13.760 --> 48:16.780 Koordinaten, die ich an diesem Punkt ablese, sind gerade die 48:16.780 --> 48:22.360 Normalspannung und die Schubspannung Sigma Xi und Tau Xi Eta für den 48:22.360 --> 48:22.980 Winkel Phi. 48:25.200 --> 48:26.700 So können Sie das machen. 48:29.640 --> 48:32.780 Häufig interessiere ich mich aber nicht für einen beliebigen Winkel 48:32.780 --> 48:35.740 Phi, sondern ich interessiere mich gerade dafür, wo finde ich denn 48:35.740 --> 48:38.740 jetzt meine maximalen Schubspannungen und meine maximalen 48:38.740 --> 48:39.000 Normalspannungen. 48:39.900 --> 48:41.960 Alle anderen Zwischenwerte sind gar nicht so wichtig. 48:41.960 --> 48:46.420 Also, wo finden wir an diesem Kreis die maximalen Normalspannungen? 48:47.120 --> 48:50.700 Klar, hier bei B ist der größte Wert. 48:51.760 --> 48:55.240 Auch klar, hinten bei D ist der kleinste Wert. 48:55.960 --> 49:00.800 Also, der Wert bei B, der Wert, den ich hier ablese, das ist gerade 49:00.800 --> 49:03.360 mein Sigma I, meine Hauptnormalspannung. 49:03.900 --> 49:07.640 Der Wert, den ich bei D ablese, am hinteren Ende, ist gerade der 49:07.640 --> 49:10.740 kleinste Wert der Normalspannung, Sigma II, die zweite 49:10.740 --> 49:11.140 Hauptnormalspannung. 49:12.400 --> 49:14.480 Wo finden wir die größten Schubspannungen? 49:15.220 --> 49:19.920 Da müssen wir einfach nur den Punkt heraus suchen, das ist der Punkt 49:19.920 --> 49:23.440 E, bei dem die Schubspannung am größten ist. 49:24.100 --> 49:26.300 Und dort lesen wir also die Schubspannung ab. 49:26.820 --> 49:32.380 Und jetzt stellen wir fest, bei den Werten Sigma I und Sigma II, bei 49:32.380 --> 49:36.060 den Werten der Hauptnormalspannung, schneidet der Kreis gerade die 49:36.060 --> 49:39.600 Tauachse, an diesen Punkten ist die Schubspannung gleich Null. 49:40.080 --> 49:42.380 Genau das haben wir analytisch auch ausgerechnet. 49:43.240 --> 49:46.600 An den Werten, wo die Schubspannung maximal wird, im Punkt E, 49:47.020 --> 49:50.860 beziehungsweise minimal wird, im Punkt F, genau der gleiche Wert mit 49:50.860 --> 49:55.740 umgekehrtem Vorzeichen, ist die Normalspannung keinesfalls Null, 49:56.180 --> 50:00.260 sondern es ist eine Normalspannung vorhanden, nämlich genau der Wert, 50:00.260 --> 50:05.720 ach, jetzt will er nicht mehr, genau der Wert C, genau der Wert im 50:05.720 --> 50:09.520 Zentrum eines Kreises, ein Halbsigma X plus Sigma Y. 50:10.640 --> 50:13.080 Jetzt fehlen uns noch die Winkel Alpha und Beta. 50:13.840 --> 50:15.740 Wo finden wir denn die Winkel Alpha und Beta? 50:16.680 --> 50:23.700 Wir gehen aus von unserer Achse, vom Zentrum des Kreises C, bis zum 50:23.700 --> 50:29.340 Punkt A und tragen den Winkel auf bis zu der Sigma-Achse. 50:30.260 --> 50:31.820 Genau dieser Winkel hier. 50:32.920 --> 50:35.280 Und das ist zweimal Alpha. 50:36.500 --> 50:43.020 Hebeler nennt es Theta H1, Theta H1 bei Hebeler entspricht Alpha. 50:45.840 --> 50:52.300 Genauso entspricht in umgekehrter Richtung der Winkel Theta S1. 50:53.400 --> 50:58.900 Der Winkel, den ich gehen muss zwischen meinem Originalzustand, 50:59.120 --> 51:02.960 ungedreht, und dem Zustand, bei dem ich das Koordinatensystem gerade 51:02.960 --> 51:08.700 so gedreht habe, dass ich die Hauptspannung erreiche, dieser Winkel 51:08.700 --> 51:10.120 ist gerade Beta. 51:10.860 --> 51:15.060 Und jetzt sehen Sie, wenn Sie zwei Alpha nehmen und zwei Beta nehmen 51:15.060 --> 51:19.060 und addieren die beiden Werte zusammen, dann erhalten Sie 90 Grad. 51:19.060 --> 51:23.720 Alles, was wir uns analytisch überlegt haben, können wir uns 51:23.720 --> 51:26.380 geometrisch in diesem Kreis vorstellen. 51:26.940 --> 51:30.420 Wer lieber geometrisch nimmt, denkt, der nimmt den Kreis, wer lieber 51:30.420 --> 51:32.740 in Formel nimmt, denkt, der nimmt halt die Formel. 51:33.160 --> 51:35.040 Also so können Sie jetzt beides machen. 51:35.800 --> 51:39.580 Okay, jetzt haben wir den Morschen Spannungskreis gesehen. 51:40.580 --> 51:44.680 Ihre Aufgabe wird es sein, in Klausuren, auch in mündlichen Prüfungen, 51:44.680 --> 51:49.540 so einen Morschen Spannungskreis zu konstruieren, für vorgegebene 51:49.540 --> 51:50.680 Ebene -Spannungszustände. 51:51.620 --> 51:53.480 Und genau das wollen wir als nächstes üben. 51:54.060 --> 51:58.480 Also, nehmen wir wieder Fälle der elementaren Stabtheorie. 51:59.300 --> 52:01.840 Der erste Fall ist unser Zugstab. 52:06.180 --> 52:08.820 Wie schaut es denn da aus mit dem Spannungszustand? 52:10.920 --> 52:13.540 Naja, hatten wir schon am Montag gehabt. 52:14.260 --> 52:16.500 Sigma X ist F durch A. 52:18.220 --> 52:19.800 Sigma Y ist 0. 52:22.400 --> 52:25.060 Schubspannung Tau ist ebenfalls 0. 52:26.780 --> 52:28.980 Wo liegt also der Mittelpunkt des Kreises? 52:29.700 --> 52:33.860 Der liegt bei 1,5 Sigma X plus Sigma Y, also bei 1,5 Sigma X. 52:36.420 --> 52:44.880 Hier liegt der Mittelpunkt des Kreises, also C, liegt bei Sigma X 52:44.880 --> 52:46.980 halbe 0. 52:48.760 --> 52:50.900 Und wie schaut es mit dem Radius aus? 52:51.760 --> 52:54.380 Na, suchen wir uns doch einfach einen Punkt auf dem Umfang des 52:54.380 --> 52:54.940 Kreises. 52:55.780 --> 52:56.360 Haben wir doch. 52:56.740 --> 52:59.180 Wir haben doch Sigma X und 0 gegeben. 53:00.260 --> 53:03.600 Also, steuern wir doch den Punkt Sigma X und 0 an. 53:04.020 --> 53:06.640 Wir wissen, dieser Punkt liegt auf dem Umfang des Kreises. 53:07.840 --> 53:08.400 Da ist er. 53:09.040 --> 53:11.440 Der hat die Koordinaten Sigma und 0. 53:11.900 --> 53:15.760 Und jetzt schlagen wir einfach einen Kreis mit unserem Zirkel. 53:16.500 --> 53:17.560 Und was stellen wir fest? 53:18.400 --> 53:21.370 Dieser Wert ist natürlich auch unsere Hauptnormalspannung. 53:22.400 --> 53:24.400 Haben wir beim letzten Mal schon herausgefunden. 53:24.400 --> 53:29.340 Und die zweite Hauptnormalspannung, Sigma 2, die ist gerade gleich 0. 53:30.240 --> 53:32.540 Wie schaut es aus mit der maximalen Schubspannung? 53:33.120 --> 53:35.860 Die maximale Schubspannung, die erhalten wir in Punkt E. 53:36.500 --> 53:38.640 Wie groß ist diese maximale Schubspannung? 53:39.080 --> 53:45.720 Wenn Sie dort einen Kreis schlagen mit Radius Sigma halbe, dann hat 53:45.720 --> 53:50.720 dieser Wert Tau einfach den Wert Sigma halbe. 53:50.940 --> 53:52.600 Tau max gleich Sigma halbe. 53:52.600 --> 53:57.520 Also das Gleiche, was wir uns gestern Montag analytisch überlegt 53:57.520 --> 54:01.380 haben, das können wir uns jetzt ganz schnell hier formelmäßig 54:01.380 --> 54:01.660 ausrechnen. 54:02.780 --> 54:06.020 Jetzt brauchen wir noch den Winkel, um den wir unser Koordinatensystem 54:06.020 --> 54:10.400 drehen müssen, damit wir die Hauptnormalspannung erreichen, bzw. 54:10.700 --> 54:12.040 die Hauptschubspannung erreichen. 54:12.700 --> 54:14.700 Wie schaut es aus bei der Hauptnormalspannung? 54:15.160 --> 54:17.620 Hauptnormalspannung ist der Sigma 1, also Sigma X. 54:18.140 --> 54:20.920 Also drehen wir unser Koordinatensystem überhaupt nicht. 54:20.920 --> 54:23.680 Also ist der Winkel Alpha gleich 0°. 54:25.060 --> 54:30.580 Alpha gleich 0°, das ist ja gar nicht... 54:30.580 --> 54:34.680 Hier zu dem Wert Sigma 1 gehört der Winkel Alpha gleich 0°. 54:36.500 --> 54:39.780 Welcher Winkel gehört zu der maximalen Schubspannung? 54:40.340 --> 54:46.920 Wir gehen aus von unserer Geraden und berechnen den Winkel zwischen 54:46.920 --> 54:52.300 dieser Geraden und der Geraden, die C mit der maximalen Schubspannung 54:52.300 --> 54:52.880 verbindet. 54:53.280 --> 54:54.820 Und dieser Winkel ist 90°. 54:55.400 --> 54:57.320 Zwei Beta ist 90°. 54:57.940 --> 54:59.800 Macht für Beta 45°. 55:01.040 --> 55:03.580 Und genau das hatten wir auch gestern ausgerechnet. 55:03.800 --> 55:09.040 Unter 45° wird die Schubspannung bei reinem Zug maximal. 55:11.340 --> 55:13.600 Jetzt schauen wir uns die Torsion an. 55:14.660 --> 55:18.860 Die Torsion, die ist ein bisschen knifflig, die hat einen ganz kleinen 55:18.860 --> 55:20.060 gemeinen Trick. 55:20.680 --> 55:22.420 Zunächst einmal überlegen wir uns die Formel. 55:22.680 --> 55:24.440 Hatten wir uns auch am Montag überlegt. 55:25.160 --> 55:28.540 Wir hatten festgestellt, bei reiner Torsion treten keine 55:28.540 --> 55:29.820 Normalspannungen auf. 55:30.480 --> 55:34.420 Sigma X und Sigma Y sind 0° und es tritt ja nur eine Schubspannung 55:34.420 --> 55:34.780 auf. 55:35.120 --> 55:35.400 Tau. 55:35.400 --> 55:35.420 Tau. 55:38.560 --> 55:44.640 Diese Schubspannung, Tau XY, die müssen wir uns nochmal ganz genau 55:44.640 --> 55:45.860 ansehen. 55:51.160 --> 55:58.620 Stellen Sie sich vor, Ihr Elementchen sieht folgendermaßen aus. 55:59.320 --> 56:04.680 Hier haben Sie die Y-Koordinate, hier haben Sie die X-Koordinate, die 56:04.680 --> 56:05.700 Stablängsachse. 56:06.700 --> 56:09.800 Wie war die Vorzeichenkonvention? 56:10.480 --> 56:24.700 Positive Spannungen haben wir hier Tau, Tau, Tau und Tau. 56:25.540 --> 56:27.520 Den einen habe ich mich hier vertan. 56:29.800 --> 56:34.760 Positive Y-Richtung, Spannung zeigt in positive Koordinatenrichtung, 56:34.900 --> 56:36.260 also in positive X-Richtung. 56:36.880 --> 56:37.700 So war der Spannungszustand. 56:38.820 --> 56:43.380 Jetzt stellen Sie sich vor, Sie tordieren diesen Stab, so wie 56:43.380 --> 56:43.980 angegeben. 56:44.760 --> 56:53.370 Also Sie drehen am linken Ende, 56:56.650 --> 57:00.330 am rechten Ende drehen Sie gerade, wie es Ihnen kommt. 57:00.970 --> 57:08.050 Dann stellt sich doch hier an der linken Seite eine Schubspannung ein, 57:08.250 --> 57:09.750 die gerade nach unten zeigt. 57:11.270 --> 57:12.570 An der rechten Seite. 57:12.610 --> 57:16.830 An der linken Seite, wenn Sie hier kommen, stellt sich durch dieses 57:16.830 --> 57:21.810 Torsionsmoment gerade eine Schubspannung ein, die nach oben zeigt. 57:23.690 --> 57:27.890 Diese Schubspannung ist aber gerade entgegengesetzt zu der 57:27.890 --> 57:31.810 tatsächlichen Tau, die wir an unserem Spannungselement haben. 57:32.230 --> 57:34.870 Deswegen müssen wir hier noch ein negatives Vorzeichen 57:34.870 --> 57:35.690 berücksichtigen. 57:35.690 --> 57:43.250 Also merken Sie sich einfach, bei Torsion ist der Spannungszustand so 57:43.250 --> 57:48.370 definiert, dass Sie negatives Mt haben, geteilt durch Ip. 57:49.230 --> 57:54.110 Und dann müssen Sie das Ganze natürlich noch mit dem Abstand R am 57:54.110 --> 57:56.790 Außenrand Ihres Kreises multiplizieren. 57:57.690 --> 58:00.970 Das ist also unser Spannungszustand, unser ebener Spannungszustand. 58:01.070 --> 58:05.010 Sigma X gleich 0, Sigma Y gleich 0, Tau ist negativ. 58:05.690 --> 58:09.190 Und jetzt tragen wir den in unseren Morschen Spannungskreis ein. 58:09.910 --> 58:12.830 Der Mittelpunkt dieses Morschen Spannungskreises liegt bei Sigma X 58:12.830 --> 58:15.290 plus Sigma Y halbe, also bei 0. 58:16.330 --> 58:19.830 Der Mittelpunkt des Morschen Spannungskreises liegt im Ursprung 58:19.830 --> 58:24.910 unseres Tau-Sigma-Koordinatensystems. 58:26.370 --> 58:32.050 Der Punkt auf dem Radius des Kreises, der liegt jetzt bei Sigma gleich 58:32.050 --> 58:35.470 0 und bei Tau irgendein negativer Wert. 58:35.850 --> 58:43.110 Können Sie ausrechnen, Mt durch Ip mal R, also liegt der bei 0 und 58:43.110 --> 58:44.830 dann hier oben. 58:45.830 --> 58:49.230 Jetzt nehmen Sie Ihren Zirkel und zeichnen den Kreis. 58:50.650 --> 58:54.670 Und überlegen sich, was haben Sie dahin gezeichnet, wo ist jetzt die 58:54.670 --> 58:59.090 maximale Schubspannung und wo ist die maximale Normalspannung. 58:59.750 --> 59:06.830 Und stellen fest, maximale Schubspannung, Tau Max ist gerade Betrag 59:06.830 --> 59:13.210 von Tau XY und tritt an diesem ungedrehten Querschnitt auf. 59:13.210 --> 59:22.470 Aber die maximale Normalspannung, Sigma Max, die ist jetzt genauso 59:22.470 --> 59:24.770 groß wie der Radius des Kreises. 59:25.230 --> 59:31.230 Der Radius des Kreises ist einfach Tau, also Sigma Max gleich Tau und 59:31.230 --> 59:37.890 tritt unter einem Winkel von 2 Alpha gleich 90° auf, also Alpha gleich 59:37.890 --> 59:38.290 45°. 59:39.870 --> 59:43.570 All das hatten wir uns in der letzten Vorlesung analytisch überlegt 59:43.570 --> 59:47.250 und Sie sehen, das kann man jetzt ganz schnell grafisch sich zeichnen, 59:47.350 --> 59:50.090 indem man einfach so einen Spannungskreis, den Moorschen 59:50.090 --> 59:51.950 Spannungskreis, zeichnet. 59:53.950 --> 59:57.650 Jetzt haben wir noch ein bisschen Zeit, oder? 59:58.810 --> 01:00:01.710 15.45, ein halbes Stündchen haben wir noch. 01:00:01.990 --> 01:00:04.130 Da können wir doch noch richtig Aufgaben dazu rechnen. 01:00:05.050 --> 01:00:09.870 Also, jetzt wollen wir nochmal ein paar Aufgaben rechnen, die wieder 01:00:09.870 --> 01:00:12.150 ein bisschen auf Klausurniveau zugehen. 01:00:12.830 --> 01:00:16.370 Also, Moorschen Spannungskreis konstruieren. 01:00:16.850 --> 01:00:20.290 Wir schauen uns mal an, so einen flüssigkeitsgefüllten Tank. 01:00:20.990 --> 01:00:25.390 Der steht unter dem Innendruck P. Für diesen flüssigkeitsgefüllten 01:00:25.390 --> 01:00:27.350 Tank haben wir die Kesselformen kennengelernt. 01:00:30.430 --> 01:00:32.130 Kesselformen, Sie erinnern sich noch? 01:00:32.250 --> 01:00:34.250 Würstchen kochen, Würstchen platzen lassen. 01:00:36.930 --> 01:00:43.550 Wir haben eine Spannung in tangentialer Richtung, Sigma T, gleich 01:00:43.550 --> 01:00:49.350 Druck mal Radius des Kessels, geteilt durch S. 01:00:49.350 --> 01:00:56.910 Das ist also die Dicke der Kesselwand, S, und wir haben eine Spannung 01:00:56.910 --> 01:01:02.540 in Längsrichtung, PR durch 2S. 01:01:04.290 --> 01:01:08.630 Gemeinerweise wird der Kessel auch noch auf Zug beansprucht durch eine 01:01:08.630 --> 01:01:09.330 Kraft F. 01:01:12.150 --> 01:01:16.470 Und diese beiden Spannungszustände, die überlagern sich jetzt und 01:01:16.470 --> 01:01:19.410 geben einen allgemeinen, einen ebenen Spannungszustand. 01:01:19.850 --> 01:01:22.230 Und diesen ebenen Spannungszustand müssen wir bestimmen. 01:01:23.930 --> 01:01:27.330 Bei Zugdruck wissen wir, Sigma ist F durch A. 01:01:27.930 --> 01:01:32.290 Und mit dem Sigma ist jetzt der Sigma in Längsrichtung gemeint. 01:01:34.890 --> 01:01:35.850 Sigma X. 01:01:35.850 --> 01:01:36.750 So. 01:01:37.770 --> 01:01:38.630 Erste Frage. 01:01:40.930 --> 01:01:42.370 Wie groß muss P sein? 01:01:42.370 --> 01:01:44.990 P 01:01:49.150 --> 01:01:51.130 muss P sein, 01:01:54.310 --> 01:02:01.550 damit die Spannungen in 01:02:04.740 --> 01:02:14.810 Längs - und Umfangsrichtung gleich groß sind. 01:02:27.380 --> 01:02:28.040 So. 01:02:28.540 --> 01:02:30.620 Was haben wir denn in Längsrichtung für Spannungen? 01:02:33.920 --> 01:02:38.280 Gesamte Spannungen in Längsrichtung setzen sich zusammen aus den 01:02:38.280 --> 01:02:45.380 Spannungen in Folge Kesseldruck, Sigma L, plus den Spannungen dadurch, 01:02:45.600 --> 01:02:49.160 dass da noch eine Kraft an unserem Kessel zieht, Sigma X. 01:02:50.860 --> 01:02:55.040 Diese Spannung soll genauso groß sein, wie die Spannung in 01:02:55.040 --> 01:02:59.400 Umfangsrichtung, also die Spannung, die tangential an dem Kessel 01:02:59.400 --> 01:03:00.580 angreift, Sigma T. 01:03:01.520 --> 01:03:07.420 Also Aufgabenstellung fordert uns auf, das hier gleich Sigma T zu 01:03:07.420 --> 01:03:07.760 setzen. 01:03:09.480 --> 01:03:11.680 Und jetzt rechnen wir einfach mal los. 01:03:13.720 --> 01:03:21.020 Da steht also Sigma L, P mal R geteilt durch zwei S, plus F durch A, 01:03:21.860 --> 01:03:25.260 gleich P mal R durch S. 01:03:26.960 --> 01:03:36.920 Damit steht dort F durch A, gleich P mal R geteilt durch zwei S. 01:03:37.480 --> 01:03:43.400 Wir lösen das Ganze nach P auf, denn wir wollten ja den Kesseldruck 01:03:43.400 --> 01:03:47.760 bestimmen, so dass die Spannungen in Längs- und Umfangsrichtung gleich 01:03:47.760 --> 01:03:48.280 groß sind. 01:03:48.280 --> 01:03:59.420 Und wir erhalten für P, F mal zwei S geteilt durch A. 01:04:00.100 --> 01:04:03.940 Und irgendwo habe ich noch ein R verschlampt, hier noch ein R im 01:04:03.940 --> 01:04:04.180 Nenner. 01:04:04.640 --> 01:04:06.800 Okay, sind wir jetzt fertig? 01:04:08.040 --> 01:04:12.000 Naja, wenn wir faul sind schon, wenn wir fleißig sind eigentlich noch 01:04:12.000 --> 01:04:12.280 nicht. 01:04:14.000 --> 01:04:17.840 Eine Zusatzfrage in der Klausur würde hier lauten, wie groß ist denn 01:04:17.840 --> 01:04:18.540 die Fläche A? 01:04:21.500 --> 01:04:24.320 Denn die ist ja gar nicht gegeben in der Aufgabenstellung. 01:04:25.440 --> 01:04:28.320 Sie sehen, alle Abmaße sind hier in der Skizze eingezeichnet. 01:04:28.720 --> 01:04:34.760 Ich kenne nur R, ich kenne S und ich kenne P und F, aber A habe ich 01:04:34.760 --> 01:04:35.040 nicht. 01:04:35.040 --> 01:04:45.900 Also A für so einen Tank, einen zylinderförmigen Tank, wäre fatal, 01:04:46.020 --> 01:04:48.740 wenn Sie jetzt hinschreiben würden, das ist Pi mal R². 01:04:49.880 --> 01:04:53.960 Denn der Tank hat ja auch noch einen Inhalt, eine Flüssigkeit. 01:04:54.800 --> 01:04:58.360 Das Material, was wir hier betrachten, ist ja die Wand dieses Tanks. 01:04:58.360 --> 01:05:02.160 Und das ist ein Hohlzylinder. 01:05:03.500 --> 01:05:12.020 Also Pi mal R² außen minus R innen zum Quadrat. 01:05:14.560 --> 01:05:18.280 So, wie groß sind jetzt diese Außenradien und Innenradien? 01:05:18.760 --> 01:05:23.520 Der Außenradius ist groß R, also R², der Innenradius ist halt ein 01:05:23.520 --> 01:05:24.600 Stück kleiner geworden. 01:05:24.600 --> 01:05:28.320 R minus S zum Quadrat. 01:05:31.760 --> 01:05:37.160 Jetzt rechnen wir hier einfach weiter, indem wir die binomische Formel 01:05:37.160 --> 01:05:39.460 für den zweiten Summanden in der Klammer anwenden. 01:05:40.040 --> 01:05:42.000 Klar, dann hebt sich das R² heraus. 01:05:44.560 --> 01:05:54.300 Übrig bleibt 2SR minus S zum Quadrat. 01:05:55.280 --> 01:05:59.880 Und da wir alle Ingenieure sind, rechnen wir gerne mit Pi mal Daumen 01:05:59.880 --> 01:06:05.520 und vernachlässigen den Term S², weil er klein ist gegenüber S mal R. 01:06:06.180 --> 01:06:10.420 Klar, S ist ja nur die Blechdicke unseres Tanks, so dick ist dieses 01:06:10.420 --> 01:06:13.420 Blech nicht und wenn Sie die Dicke dann auch noch quadrieren, können 01:06:13.420 --> 01:06:14.440 Sie das gleich vergessen. 01:06:15.440 --> 01:06:20.400 Also, wir können sagen, näherungsweise in sehr guter Näherung ist das 01:06:20.400 --> 01:06:24.620 Pi mal 2 mal S und R. 01:06:25.620 --> 01:06:30.320 Wir setzen dieses Ergebnis ein und erhalten damit für den Kesseldruck 01:06:30.320 --> 01:06:45.040 P2S, kürzt sich heraus, F bleibt übrig, F geteilt durch Pi R². 01:06:50.540 --> 01:06:53.240 Und jetzt schauen Sie sich dieses Ergebnis an. 01:06:55.400 --> 01:06:56.100 Lustig, ne? 01:06:57.600 --> 01:07:04.140 Das Ergebnis hier im Nenner, Pi R², das würde ich erhalten, wenn ich 01:07:04.140 --> 01:07:09.480 die Kraft F nehme, die ja nur an den Endflächen wirkt, die Kraft F 01:07:09.480 --> 01:07:13.320 verteile auf die Gesamtfläche des Zylinders, egal ob hohl oder voll, 01:07:13.700 --> 01:07:17.860 ich verteile das auf die Gesamtfläche, mache daraus eine Spannung, F 01:07:17.860 --> 01:07:22.520 durch A und rechne mit einem A Strich, also jetzt Gesamtfläche des 01:07:22.520 --> 01:07:28.620 Zylinders Pi R², mache daraus eine Spannung und weise dieser Spannung 01:07:28.620 --> 01:07:29.480 meinem Druck zu. 01:07:30.040 --> 01:07:33.660 Dann komme ich genau auf diesen Wert P. Lustig, ne? 01:07:34.540 --> 01:07:35.600 Kommt man genau drauf. 01:07:36.440 --> 01:07:42.200 Jetzt ist die zweite Frage, wie sieht der Moor'sche Spannungskreis in 01:07:42.200 --> 01:07:43.080 diesem Fall aus? 01:07:44.260 --> 01:07:44.660 Oh, 01:07:51.260 --> 01:07:53.620 jetzt sehen Sie, ich habe nur noch wenig Platz auf der Folie. 01:07:54.380 --> 01:07:57.740 Aber ich behaupte, ich habe immer noch genug Platz, um Ihnen dort den 01:07:57.740 --> 01:07:59.920 Moor'schen Spannungskreis aufzuzeichnen. 01:08:00.520 --> 01:08:02.540 Wie sieht der Moor'sche Spannungskreis aus, ohne zu quetschen? 01:08:02.940 --> 01:08:03.760 Klar, wollen wir nicht. 01:08:04.480 --> 01:08:06.440 Wie sieht der Moor'sche Spannungskreis aus? 01:08:07.000 --> 01:08:09.600 Haben wir ganz viel Platz für den Moor'schen Spannungskreis? 01:08:11.760 --> 01:08:12.160 Aus. 01:08:13.720 --> 01:08:18.300 Okay, dazu überlegen wir uns unseren ebenen Spannungszustand. 01:08:18.940 --> 01:08:22.500 σx, σy, τ. 01:08:23.320 --> 01:08:26.140 Es wird immer weniger Platz, aber das stört mich nicht. 01:08:26.980 --> 01:08:29.080 Reicht aus für den Moor'schen Spannungskreis. 01:08:31.980 --> 01:08:35.480 σx ist ja unsere Normalspannung in x-Richtung. 01:08:36.120 --> 01:08:38.600 Klar, das ist hier σl gesamt. 01:08:41.600 --> 01:08:49.600 Also σt gleich σl gesamt oder was auch immer Sie möchten. 01:08:51.000 --> 01:08:54.660 σy, die Spannung in Umfangsrichtung, ist ja ebenfalls eine 01:08:54.660 --> 01:08:57.300 Normalspannung, ist also σt. 01:09:03.600 --> 01:09:06.220 Und die Schubspannung, über die haben wir uns noch gar nicht 01:09:06.220 --> 01:09:06.740 unterhalten. 01:09:07.560 --> 01:09:10.760 Müssen wir auch nicht, hier wird nichts tordiert, hier entsteht keine 01:09:10.760 --> 01:09:11.420 Schubspannung. 01:09:11.420 --> 01:09:13.020 Die Schubspannung ist null. 01:09:15.100 --> 01:09:18.020 Wie groß ist der Radius dieses Moor'schen Spannungskreises? 01:09:20.680 --> 01:09:21.900 Blättern wir zurück. 01:09:23.260 --> 01:09:26.680 Wie war der Radius des Moor'schen Spannungskreises definiert? 01:09:26.860 --> 01:09:27.660 Da steht es. 01:09:28.180 --> 01:09:31.400 σx minus σy, halbe zum Quadrat plus τxy. 01:09:32.140 --> 01:09:37.940 In unserem Fall ist das τxy null und der σx ist gleich σy. 01:09:41.420 --> 01:09:44.200 Wie groß ist der Radius des Moor'schen Spannungskreises? 01:09:44.600 --> 01:09:45.520 Der ist null. 01:09:46.160 --> 01:09:48.960 Ein Kreis mit Radius null ist ein einziger Punkt. 01:09:49.920 --> 01:09:53.640 Der Moor'sche Spannungskreis für diesen Fall, für diesen Kessel, 01:09:54.260 --> 01:09:56.160 degeneriert zu einem einzigen Punkt. 01:09:56.680 --> 01:09:58.800 Jetzt ist nur die Frage, wo ist dieser Punkt? 01:09:59.200 --> 01:10:03.660 Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises, bei σx plus σy halbe. 01:10:03.660 --> 01:10:12.760 σx war σt, σy war σt, also σx σt plus σt geteilt durch zwei, also bei 01:10:12.760 --> 01:10:13.340 σt. 01:10:14.840 --> 01:10:17.480 Der Moor'sche Spannungskreis für unseren Fall. 01:10:22.330 --> 01:10:23.790 Haben wir noch genug Platz? 01:10:23.970 --> 01:10:26.150 Hier sieht folgendermaßen aus. 01:10:26.730 --> 01:10:31.450 τ, σ, hier ist irgendwo unser Wert σt. 01:10:32.730 --> 01:10:35.570 Und jetzt wechsle ich die Farbe, damit Sie ihn überhaupt erkennen 01:10:35.570 --> 01:10:35.950 können. 01:10:36.290 --> 01:10:37.770 Sie müssen ihn schon mit der Lupe suchen. 01:10:38.350 --> 01:10:41.050 Das ist der Moor'sche Spannungskreis für diesen Fall. 01:10:43.550 --> 01:10:46.090 Jetzt lesen wir die maximalen Spannungen ab. 01:10:46.690 --> 01:10:49.370 Naja, da können wir nur locker mit der Schulter zucken. 01:10:50.010 --> 01:10:54.070 Also, maximale Normalspannung ist natürlich σt. 01:10:54.810 --> 01:10:56.730 Einen anderen Spannungswert haben wir gar nicht. 01:10:56.730 --> 01:10:59.370 Maximale Schubspannung ist 0. 01:11:00.690 --> 01:11:04.590 Und beide Spannungen treten natürlich am ungedrehten Querschnitt auf. 01:11:05.870 --> 01:11:08.530 Okay, nächste Aufgabe. 01:11:11.430 --> 01:11:12.390 Wieder so ein Kessel. 01:11:13.350 --> 01:11:14.830 Wieder so eine eklige Klausuraufgabe. 01:11:17.930 --> 01:11:21.750 Hier haben wir wieder einen Kessel, einmal durchgeschnitten. 01:11:26.470 --> 01:11:29.530 Kreiszylindrischer Kessel, einfach nur entlang der Längsachse 01:11:29.530 --> 01:11:30.190 durchgeschnitten. 01:11:30.330 --> 01:11:31.510 Dann sieht der Schnitt so aus. 01:11:32.210 --> 01:11:36.010 Im Innern herrscht der Kesseldruck P. Von außen kommt jetzt nicht mehr 01:11:36.010 --> 01:11:41.010 nur die Kraft F, sondern es kommt jetzt noch ein Torsionsmoment dazu. 01:11:41.730 --> 01:11:43.810 Der Kessel wird gleichzeitig tordiert. 01:11:44.430 --> 01:11:47.450 Dieses Torsionsmoment ruft natürlich eine Schubspannung hervor. 01:11:47.870 --> 01:11:50.730 Das heißt, die Überlegung, die wir eben angestellt haben, die wird 01:11:50.730 --> 01:11:52.170 hier wohl nicht auftreten. 01:11:53.530 --> 01:11:54.730 Also, was haben wir gegeben? 01:11:57.170 --> 01:12:01.390 Gegeben haben wir wieder die Abmessungen R und S unseres Kessels. 01:12:01.510 --> 01:12:02.870 Wir kennen den Kesselinnendruck. 01:12:04.390 --> 01:12:09.550 Wir kennen IP für einen Kessel. 01:12:10.150 --> 01:12:11.050 Verrate ich Ihnen. 01:12:11.730 --> 01:12:13.030 Brauchen Sie nicht ausrechnen. 01:12:13.030 --> 01:12:14.230 Zwei Pi, 01:12:17.330 --> 01:12:18.830 R hoch 3 mal S. 01:12:31.110 --> 01:12:34.590 MT geben wir an mit Pi mal P mal R hoch 3. 01:12:35.230 --> 01:12:36.330 Soll man das ausrechnen? 01:12:36.510 --> 01:12:37.650 Nee, ich glaube, das ist gegeben. 01:12:39.130 --> 01:12:40.310 Torsionsmoment ist gegeben. 01:12:41.530 --> 01:12:43.950 Pi mal P mal R hoch 3. 01:12:45.890 --> 01:12:46.050 So. 01:12:48.410 --> 01:12:49.430 Was suchen wir? 01:12:50.830 --> 01:12:53.570 Wir suchen erstens für den drucklosen Fall. 01:12:54.790 --> 01:12:56.610 Also, Druck können Sie weglassen. 01:12:59.590 --> 01:13:03.890 Druckloser Fall heißt P gleich 0. 01:13:04.730 --> 01:13:09.350 Für den Fall P gleich 0 suchen wir erstmal die Schnittgrößen und 01:13:09.350 --> 01:13:10.590 steigern uns dann langsam. 01:13:12.510 --> 01:13:16.510 Normalkraft und Torsionsmoment MT. 01:13:17.770 --> 01:13:21.250 Und wir suchen dann natürlich die Spannungen, die diese beiden Größen 01:13:21.250 --> 01:13:21.970 hervorrufen. 01:13:27.100 --> 01:13:27.700 Zweitens. 01:13:29.820 --> 01:13:34.720 Dann überlagern wir diese Spannungen für den drucklosen Fall mit den 01:13:34.720 --> 01:13:35.620 Druckspannungen. 01:13:45.330 --> 01:13:46.050 Mit den Druckspannungen. 01:13:51.000 --> 01:13:51.340 Okay? 01:13:54.260 --> 01:13:55.520 Wie schauen wir aus? 01:13:55.580 --> 01:13:57.040 Ich schreibe Ihnen die Formel nochmal hin. 01:13:57.040 --> 01:13:59.700 Da müssen Sie die nicht auswendig kennen. 01:14:00.400 --> 01:14:07.640 Also, Sigma T gleich P mal R durch S. 01:14:10.080 --> 01:14:12.840 Längsspannung P mal R durch 2S. 01:14:13.300 --> 01:14:14.000 Für den Kessel. 01:14:16.620 --> 01:14:17.280 Und drittens. 01:14:17.280 --> 01:14:20.820 Drittens sollen wir F so bestimmen, 01:14:28.780 --> 01:14:32.380 dass Sigma L die Längsspannung gerade 0 ist. 01:14:33.520 --> 01:14:36.440 Und viertens sollen wir den Morschen Spannungskreis zeichnen. 01:14:39.200 --> 01:14:41.120 Ich schreibe hier einfach nur Mor hin. 01:14:41.500 --> 01:14:43.720 Und die Hauptnormalspannungen ablesen. 01:14:45.920 --> 01:14:47.280 Typische Klausuraufgabe. 01:14:52.110 --> 01:14:52.810 So. 01:14:53.590 --> 01:14:54.450 Legen Sie los. 01:14:55.870 --> 01:14:57.490 Ja, so knapp 10 Minuten. 01:14:58.830 --> 01:15:02.390 Machen Sie erstmal einen Freischnitt von diesem Kessel und berechnen 01:15:02.390 --> 01:15:06.600 Sie an dem Freischnitt das Torsionsmoment und die Normalkraft. 01:15:09.050 --> 01:15:12.390 Und wagen Sie sich dann an den Teil 2 heran. 01:15:13.050 --> 01:15:17.210 Interpretieren Sie die dann auftretenden Spannungen, wenn Sie die 01:15:17.210 --> 01:15:19.490 Normalkraft kennen und das Torsionsmoment. 01:15:19.490 --> 01:15:23.590 Die auftretende Normalspannung und die Schubspannung. 01:15:24.230 --> 01:15:27.390 Interpretieren Sie die, überlagern Sie die mit den Druckspannungen und 01:15:27.390 --> 01:15:29.370 versuchen Sie das F auszurechnen. 01:15:31.410 --> 01:15:36.110 Wenn Sie Fragen haben zu der Aufgabe oder zu allen anderen 01:15:36.110 --> 01:15:39.850 mechanischen Problemen, heben Sie einfach Ihren Arm, ich komme zu 01:15:39.850 --> 01:15:40.470 Ihnen wieder hin. 01:23:07.630 --> 01:23:11.830 So, also ich habe gemerkt, mit dem Torsionsmoment war Ihnen das ein 01:23:11.830 --> 01:23:12.650 bisschen unheimlich. 01:23:13.310 --> 01:23:18.770 Schauen Sie, wir haben hier unsere X-Achse. 01:23:20.910 --> 01:23:25.070 Der Torsionsmoment, mit zwei Pfeilspitzen hingezeichnet, meint 01:23:25.070 --> 01:23:29.170 einfach, nehmen Sie Ihre rechte Hand, halten die rechte Hand in 01:23:29.170 --> 01:23:33.890 Richtung der zwei Pfeilspitzen und dann sagen Ihnen die anderen 01:23:33.890 --> 01:23:35.890 Finger, wie rum dieses Moment dreht. 01:23:36.750 --> 01:23:39.410 Brauchen Sie aber im Prinzip nicht, ist nur eine nette 01:23:39.410 --> 01:23:39.690 Fingergymnastikübung. 01:23:40.650 --> 01:23:44.550 Sie können sich auch einfach sagen, wenn diese Pfeilrichtungen in 01:23:44.550 --> 01:23:48.050 Richtung der positiven X-Achse zeigen, ist dieses Moment positiv, 01:23:48.670 --> 01:23:52.950 zeigen Sie entgegengesetzt zu der X-Achse, dann ist dieses Moment 01:23:52.950 --> 01:23:54.950 negativ. 01:23:55.730 --> 01:24:01.410 Dieses Moment hier zeigt entgegengesetzt mit seinen beiden 01:24:01.410 --> 01:24:04.770 Pfeilspitzen zu meiner positiven X-Achse, wäre also negativ. 01:24:06.050 --> 01:24:09.510 Dieses Moment auf der anderen Seite zeigt mit seinen beiden 01:24:09.510 --> 01:24:12.850 Pfeilspitzen in positive X-Richtung, wäre also positiv. 01:24:13.410 --> 01:24:16.490 Jetzt machen wir den Freischnitt von diesem Gebilde, das heißt, wir 01:24:16.490 --> 01:24:17.930 schneiden das einfach hier durch. 01:24:18.730 --> 01:24:23.930 Übrig bleibt so ein Kasten, den wir hier zumachen. 01:24:25.270 --> 01:24:30.130 Wir tragen hier unsere äußeren Kräfte an, F und MM, MT. 01:24:31.690 --> 01:24:36.110 Und haben hier unser positives Schnittufer, wir kommen ja jetzt von 01:24:36.110 --> 01:24:42.250 links, und ich zeichne in diesem Schnittufer nur N und MT ein. 01:24:42.730 --> 01:24:45.180 Natürlich hätte ich auch noch eine Querkraft und einen Biegemoment. 01:24:46.240 --> 01:24:48.620 Jetzt kommen wir zu den Gleichgewichtsbedingungen. 01:24:49.080 --> 01:24:51.480 Summe aller Kräfte in X-Richtung gleich 0. 01:24:53.700 --> 01:24:57.840 Da haben wir einmal die Normalkraft positiv und wir haben die Kraft F 01:24:57.840 --> 01:25:01.400 positiv, also sehen wir N ist gleich minus F. 01:25:03.140 --> 01:25:09.660 Und zum anderen betrachten wir die Summe aller Torsionsmomente im 01:25:09.660 --> 01:25:11.920 Schnittpunkt S gleich 0. 01:25:11.920 --> 01:25:16.840 Und da haben wir jetzt positiv, ach, das ist aber ärgerlich, hier muss 01:25:16.840 --> 01:25:23.620 ein großes T natürlich stehen, unser äußeres Torsionsmoment MT und 01:25:23.620 --> 01:25:28.880 ebenfalls positiv unser Schnittmoment mklein T. 01:25:30.780 --> 01:25:37.280 Sodass also auch mklein T gleich minus mgroß T ist. 01:25:38.700 --> 01:25:42.340 So welche Spannungen haben wir jetzt zu erwarten aus diesen beiden 01:25:42.340 --> 01:25:45.200 Schnittgrößen? 01:25:48.390 --> 01:25:56.190 Die Normalkraft N versorgt uns mit einer Längsspannung Sigma L gleich 01:25:56.190 --> 01:26:01.430 minus F durch A, gleich N durch A, N ist minus F, also Sigma L 01:26:01.430 --> 01:26:03.610 Längskraft in Folge. 01:26:03.610 --> 01:26:10.570 Der Zugdruck nennen wir die Sigma D gleich minus F durch A. 01:26:12.010 --> 01:26:19.090 Jetzt haben wir noch die Schubspannung in Folge Torsion, minus äußeres 01:26:19.090 --> 01:26:23.310 Torsionsmoment MT durch IP mal R. 01:26:24.170 --> 01:26:26.110 IP habe ich Ihnen oben angegeben. 01:26:27.170 --> 01:26:28.710 Das können wir jetzt ausrechnen. 01:26:28.710 --> 01:26:35.790 Setzen wir hier IP ein, setzen für MT die Formel Pi mal P mal R hoch 3 01:26:35.790 --> 01:26:39.890 ein, dann können wir ein bisschen rumrechnen, ist nicht dramatisch und 01:26:39.890 --> 01:26:45.310 wir erhalten minus P mal R durch 2S. 01:26:47.490 --> 01:26:52.390 So, jetzt kommen wir schon zur Frage 2, Überlagerung mit den 01:26:52.390 --> 01:26:53.130 Druckspannungen. 01:26:53.130 --> 01:26:58.430 Klar, Sigma T überlagert sich nicht, Tau überlagert sich nicht, das 01:26:58.430 --> 01:27:02.010 Einzige, was sich groß überlagert, sind die beiden Längsspannungen, 01:27:02.170 --> 01:27:03.510 die müssen wir zusammen addieren. 01:27:04.210 --> 01:27:12.530 Sigma L plus Sigma LD gleich 0. 01:27:13.230 --> 01:27:15.950 Das war ein bisschen blöd von mir formuliert, hier müsste ich 01:27:15.950 --> 01:27:21.130 natürlich schreiben, die Gesamtlängsspannung aus diesen beiden Fällen 01:27:21.130 --> 01:27:21.890 soll 0 sein. 01:27:22.290 --> 01:27:25.710 So war das gemeint, jawohl, so war es gemeint. 01:27:26.290 --> 01:27:31.350 Also, dann setzen wir ein, für Sigma L aus dem Kesseldruck die Formel 01:27:31.350 --> 01:27:41.410 PR durch 2S, für LD minus F durch A. 01:27:41.410 --> 01:27:45.030 Jetzt sollen wir F so bestimmen, dass das Ganze 0 wird. 01:27:46.430 --> 01:27:53.770 Klar, dann ist F gerade P mal R mal A durch 2S. 01:27:54.850 --> 01:27:59.550 Für A, die Querschnittsfläche, zaubern wir wieder unsere tolle Formel 01:27:59.550 --> 01:28:00.170 aus dem Hut. 01:28:02.050 --> 01:28:03.430 Was war das nochmal? 01:28:05.190 --> 01:28:11.890 2P mal R mal S, hab ich sie noch richtig in Erinnerung? 01:28:15.020 --> 01:28:17.460 P mal 2 mal S mal R, jawohl. 01:28:21.190 --> 01:28:27.890 P mal 2 mal S mal R, setzen alles ein, kürzen Mund darum, und erhalten 01:28:27.890 --> 01:28:38.690 für F Druck P, R² mal Pi. 01:28:39.850 --> 01:28:42.730 Naja, hat uns eigentlich auch nicht so verwundert. 01:28:44.130 --> 01:28:50.150 Diesmal die gleiche Geschichte andersrum, F gleich P mal R² mal Pi. 01:28:51.210 --> 01:28:55.370 So, jetzt sollen wir den Moorschen Spannungskreis bestimmen. 01:28:55.370 --> 01:28:59.150 Ich zeichne Ihnen den nicht mehr auf, jetzt habe ich wirklich zu wenig 01:28:59.150 --> 01:29:01.090 Platz und außerdem zu wenig Zeit. 01:29:01.530 --> 01:29:05.290 Ich verrate Ihnen aber noch den ebenen Spannungszustand, aus dem Sie 01:29:05.290 --> 01:29:08.110 sich dann den Moorschen Spannungskreis konstruieren können. 01:29:08.730 --> 01:29:12.130 Was steht in diesem ebenen Spannungszustand drin? 01:29:13.050 --> 01:29:17.270 Einmal die Spannung Sigma T in Umfangsrichtung. 01:29:19.150 --> 01:29:21.350 Die zweite Spannung ist gerade 0. 01:29:22.550 --> 01:29:25.490 Das ist die Längsspannung, die haben wir ja zu 0 gesetzt. 01:29:26.510 --> 01:29:27.570 Gesamte Längsspannung. 01:29:27.990 --> 01:29:29.490 Und dann haben wir noch die Schubspannungen. 01:29:29.990 --> 01:29:34.310 Und jetzt aufpassen bei den Schubspannungen, bitte Minus Tau hier 01:29:34.310 --> 01:29:36.370 ansetzen, wegen der Torsion. 01:29:37.050 --> 01:29:41.870 Das ist der ebene Spannungszustand und den können Sie dann geometrisch 01:29:41.870 --> 01:29:44.670 als Spannungskreis interpretieren und natürlich auch die 01:29:44.670 --> 01:29:47.030 Hauptnormalspannungen wieder ablesen. 01:29:48.070 --> 01:29:52.030 Damit alles erzählt über Drehung des Koordinatensystems. 01:29:53.070 --> 01:29:56.690 Wir verlassen dieses Kapitel wieder und fragen uns am nächsten 01:29:56.690 --> 01:30:00.290 Dienstag, wenn wir verschiedene Belastungsfälle haben, wie 01:30:00.290 --> 01:30:05.890 beispielsweise Zugdruck, Torsion und so weiter, und wir haben daraus 01:30:05.890 --> 01:30:09.630 verschiedene Spannungen, wie können wir die Ergebnisse vergleichen aus 01:30:09.630 --> 01:30:13.430 einem mehrachsigen Spannungszustand mit einem Zugversuch, der ja immer 01:30:13.430 --> 01:30:14.470 nur einachsig ist. 01:30:14.470 --> 01:30:17.990 Also das Thema der Vergleichsspannungen wird uns am nächsten Montag 01:30:17.990 --> 01:30:18.590 beschäftigen. 01:30:19.090 --> 01:30:22.350 Kommen Sie gut durch die Woche, viel Spaß noch bei Ihren sonstigen 01:30:22.350 --> 01:30:26.230 Vorlesungen und Aktivitäten und wir sehen uns am nächsten Montag in 01:30:26.230 --> 01:30:27.690 alter Frische um 8 Uhr wieder. 01:30:28.030 --> 01:30:28.490 Alles Gute.