Guten Tag, meine Damen und Herren,
ich hoffe, dass Sie jetzt alles verstehen.
Wir haben jetzt quasi heute Premiere, dass zum ersten Mal jemand
filmt.
Wir haben mal versucht, das Mikrofon direkt in meine Nähe zu bringen,
sodass man später vielleicht, als mal dass jemand interessiert und
nachschaut, dass man dann auch den Ton hat.
Ich hoffe, dass das klar geht.
Sie sollten deshalb auch nicht allzu laut sein, dass wir keine
störenden Geräusche drauf haben.
Und ansonsten werden wir mit der Vorlesung wie gewohnt weiterfahren.
Wir waren das letzte Mal so weit gekommen, dass wir ein Beispiel
hatten für die Beschreibung einer Bewegung in kathesischen
Koordinaten.
Das war der schiefe Wurf.
Danach hatten wir untersucht, wie sieht es aus, wenn wir die Bewegung
eines Punktes in einem Bezugssystem beschreiben, indem wir quasi im
Bezugssystem ein zylindrisches Koordinatensystem einführen.
Das ist dann schon ein bisschen ungewohnt, weil die drei
Einheitsvektoren, die wir einführen, an der Position, wo sich der
Punkt befindet, die hängen von der Position ab, ändern also während
der Bewegung ihre Richtung.
Das waren die Einheitsvektoren er, evi und ez, wobei die
Zeitableitungen der Vektoren er und evi, die sind von null
verschieden, hängen davon ab, wie sich der Winkel phi mit der Zeit
ändert, also von phi Punkt.
Und wir hatten dann zum Schluss noch gesagt, lokal können wir eine
allgemeine Bewegung auffassen als eine Bewegung auf einem
infinitesimal kleinen Kreisbogen, sodass wir das Ganze mehr oder
weniger beschreiben können durch eine Bewegung in Längsrichtung,
sprich die Geschwindigkeit ist ein einfacher Betrag der
Geschwindigkeit in Richtung des Tangenteneinheitsvektors, das werden
wir heute nochmal ein bisschen genauer herleiten.
Und eine Bewegung auf einem Kreisbogen hat eine Beschleunigung im
Allgemeinen in Richtung der Bewegung, nämlich dann, wenn sich der
Betrag der Geschwindigkeit ändert und einen Anteil in Richtung des
Krümmungsmittelpunktes der Bewegung, einfach aufgrund dessen, dass der
Geschwindigkeitsvektor die Richtung ändert.
Ich würde Sie bitten, den Lärmpegel zu senken.
Reden können Sie draußen.
Also wir haben jetzt quasi ein orthonormales Dreibein wieder.
Wie gesagt, ET und EN, die ergeben sich in natürlicher Weise aus der
Bewegung.
Der dritte Einheitsvektor, den wählen wir einfach so, dass sich eine
orthonormierte Basis ergibt.
Das heißt am einfachsten, indem wir einfach das EB über so ein
Kreuzprodukt von ET und EN bilden.
Also drei Basisvektoren ET, EN und EB.
Wir sind verbunden mit dem Punkt und
machen die Bewegung quasi in natürlicher Weise mit.
Deshalb auch natürliche Koordinaten.
Und wenn wir mal Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung ganz analog
zu den anderen Beschreibungsweisen angehen, dann sehen wir zunächst
mal der Lagevektor, der ergibt sich sehr einfach.
Da haben wir einfach R gleich R von T.
Das heißt, den können wir in der Form eigentlich gar nicht so genau
spezifizieren.
Wir nehmen einfach an, die Lage kennen wir.
Die Geschwindigkeit, da wissen wir, die ist gegeben durch die
zeitliche Ableitung.
R-Punkt des Ortsvektors, das war dr nach dt.
Jetzt wissen wir allerdings,
T und S hängen ja zusammen.
Also könnte man quasi sagen, das ist ja zunächst mal dr nach ds mal ds
nach dt.
Also dr nach ds mal S-Punkt.
Und wenn wir jetzt mal die Bahn des Punktes ein bisschen anschauen,
dann sehen wir, na gut, hier haben wir die Bahn.
Wir haben irgendwo den Ortsvektor R von S zum Zeitpunkt T.
Zu einem Zeitpunkt später haben wir den Ortsvektor R von S plus delta
S quasi zum Zeitpunkt T plus delta T.
Die Änderung des Ortsvektors delta R ergibt sich aus der Differenz
beider Vektoren.
Und wir sehen, wenn wir endliche Differenzen haben, dann gilt
zumindest näherungsweise, dass eben der Betrag von delta R ungefähr
delta S ist.
Wenn wir das im Grenzübergang machen und quasi zwei infinitesimal
benachbarte Zustände betrachten, dann ist quasi die Bogenlänge im
Grenzwert gerade so lang wie das delta R.
Also im
Grenzwert haben wir dann Limes delta R betragsmäßig dividiert durch
delta S für delta S gegen 0.
Der Ortswechsel gibt
dementsprechend gerade 1.
Jetzt sehen wir gut, D delta R ist der gerade Betrag von delta R mal
dem Einheitsvektor in Richtung von delta R.
Also Richtung von delta R ist, wenn delta R oder delta S gegen 0 geht,
gerade tangential an die Bahn gerichtet.
Das heißt, daraus ergibt sich dann dr nach dt gleich Betrag davon, das
war 1, mal dem Richtungsvektor, also et.
Das heißt, für die Geschwindigkeit haben wir jetzt eine Beziehung.
V von t ist einfach Betrag der Geschwindigkeit, V von t, in Richtung
des Tangenteneinheitsvektors.
Also Geschwindigkeit in natürlichen Koordinaten.
Und eine gleichförmige Geschwindigkeit, die
liegt dann vor, wenn der Geschwindigkeitsvektor sich nicht ändert.
Also V muss dann konstanter Vektor sein.
Das heißt, der Betrag muss konstant sein, die Richtung muss konstant
sein.
Also bleibt als Ergebnis für eine gleichförmige Geschwindigkeit nur
übrig, dass wir uns quasi entlang einer Geraden bewegen mit einem
konstanten Geschwindigkeitsbetrag, weil eben das et auch konstant sein
muss.
Also V muss konstant sein und et muss ein konstanter Vektor sein.
Wir werden es mal versuchen.
Sie können vielleicht mal den Kommilitonen schon mal danken, der
versucht, dass wir das Ganze auch für die Krankheitsfälle ins Internet
bringen.
Also et muss ein konstanter Vektor sein.
Also eine gerade Bahn mit
konstanter Geschwindigkeit.
Geschwindigkeit jetzt als Betrag der Geschwindigkeit.
Und wenn wir einen Schritt weiter gehen und die Beschleunigung in
natürlichen Koordinaten wissen wollen...
Beschleunigung in natürlichen Koordinaten, da wissen wir formal ganz
einfach, A ist V-Punkt, Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.
Und die Geschwindigkeit haben wir oben stehen, allerdings als Produkt.
Und wenn wir mal so eine Bahn betrachten, nehmen wir an, die Bahn, die
verlaufe hier in der Ebene.
Jetzt muss ich nur aufpassen, dass das E-B auch wirklich senkrecht...
Es klappt sogar.
Also wenn wir quasi die Bahn hier durchlaufen, dann sehen wir, gut, da
der normalen Einheitsvektor immer in Richtung Mittelpunkt zeigt und
der Tangentenvektor immer in Richtung der Bahn, lokal, dann ändern
diese Einheitsvektoren ihre Richtung.
Wenn aber Einheitsvektoren die Richtung ändern, heißt das, dass die
Vektoren zeitabhängig sind.
Also, wenn wir das Produkt V von T mal E-T betrachten, dann hängen
sowohl V von T als auch der Tangenteneinheitsvektor von der Zeit ab.
Wir brauchen also die Produktregel.
Gibt also dann letztendlich V-Punkt von T in Richtung E-T plus V von T
mal der Ableitung des Tangenteneinheitsvektors.
Und wenn wir die bestimmen wollen, dann betrachten wir einfach wieder
die Änderung des Tangenteneinheitsvektors während einer infinitesimal
kleinen Zeitdauer.
Also, wenn wir die Bahn haben mit dem Krümmungsmittelpunkt bzw.
dem Krümmungsradius Rho.
Ich habe jetzt das Problem, die Tafel lässt sich fast nicht
beschreiben.
Ich schreibe es mal hier hin.
Dann haben wir den Einheitsvektor E-T.
Wir haben den Tangenteneinheitsvektor, den hauptnormalen
Einheitsvektor E-N.
Man sieht, zu einem infinitesimal kleinen Zeitpunkt später, da
befindet sich dann der Punkt, meinetwegen hier.
Ich mache mal das relativ weit auseinander, dass Sie noch was in der
Zeichnung erkennen.
Wohlwissend, dass wir im Grenzübergang das natürlich beliebig nahe
zueinander zusammenschieben.
Man sieht, der Krümmungsradius, der hat sich jetzt natürlich ein
bisschen geändert.
Wobei diese Änderung, die Rho, die spielt hier keine Rolle.
Weil, wenn man das alles auswertet, das letztendlich zu einer Änderung
zweiter Ordnung, also quadratischen Änderung führt, die im
Grenzübergang vernachlässigt wird.
Genauso wie der Fall, dass quasi der Krümmungsmittelpunkt an der
Stelle natürlich sich auch ein bisschen geändert hat.
Aber die Änderungen, die Rho, beziehungsweise die Änderung der
Position des Krümmungsmittelpunktes, die sind sehr klein im Vergleich
zum Krümmungsradius.
So, an der Stelle hat jetzt der Tangenteneinheitsvektor eine etwas
andere Richtung.
Also haben wir an der Stelle das ET plus DET.
Sodass, wenn wir das Ganze auswerten...
Ja.
Haben wir hier ET, dann ET plus DET.
Also die Tafel lässt sich ganz schlecht beschreiben.
Ich glaube, wir müssen auf eine andere Tafel gehen.
Und jetzt haben wir die Änderung DET.
Man sieht, die beiden Einheitsvektoren, die haben natürlich immer die
Länge 1, also sowohl der obere als auch der untere.
Wir haben gesagt, wir lassen im Grenzwert quasi das DET gegen 0 gehen.
Und DET entspricht in dem Falle quasi einem Winkel D phi.
Diesen Winkel D phi, den finden wir auch an der Stelle.
Sehen Sie das hinten?
Sie sehen es wahrscheinlich nicht, oder?
So, das bedeutet,
das DS ist in dem Falle Rho mal D phi.
Und jetzt sehen Sie, wenn wir statt diesem Krümmungsradius den anderen
Krümmungsradius nehmen und das gleiche D phi, dann hätten wir das ist
quasi Rho plus D Rho mal D phi.
Sodass im Grenzübergang, wenn alle Änderungen gegen 0 gehen, das D Rho
mal D phi, das ist von höherer Ordnung, das kann quasi vernachlässigt
werden.
Also ob Sie jetzt hier quasi das Rho verwenden oder das Rho plus D
Rho, das spielt keine Rolle, sofern Sie den Grenzübergang machen.
So, das bedeutet, wenn wir die obere Formel verwenden, dann wissen wir
den Zusammenhang zwischen D phi, Rho und DS.
Also,
des Weiteren, die Änderung D E T, das war ein Vektor, dieser Vektor
hat eine Länge und eine Richtung.
Und wenn wir den Betrag anschauen, das ergibt die Länge des Vektors,
dann haben wir an der Stelle quasi wie so ein Kreisbogen.
Im Grenzwert geht der Kreisbogen gegen so eine Gerade über.
Die Länge ist dann gerade Länge oder Radius hier, das war 1 mal
eingeschlossenen Winkel, das war D phi.
Also, der Betrag von D E T ist 1 mal D phi.
Die Richtung,
das sieht man jetzt im Grenzwert, ist das D E T sinkrecht auf E T bzw.
sinkrecht auf E T plus D E T.
Und der Vektor, der sinkrecht steht auf E T, ist gerade des E N.
Also, Richtung von D E T ist der normale Einheitsvektor in Richtung
des Krümmungsmittelpunktes.
Setzen wir das ein, dann haben wir E T Punkt gleich D E T dividiert
durch D T.
Das gibt gerade,
Betrag war 1 mal D phi, haben wir da oben, also 1 mal D phi, D phi
dividiert durch D T mal
dem Einheitsrichtungsvektor, also E N, also letztendlich gerade D phi
durch D T.
Schauen wir nochmal hoch.
D phi ist gerade D E S dividiert durch Rho, also gleich D E S, 1 durch
Rho, dividiert durch D T mal E N, D E S nach D T, also D E S dividiert
durch Rho, das war D phi, dividiert durch D T, gibt jetzt 1 dividiert
durch Rho mal D E S nach D T, D E S nach D T war aber gerade das V von
T.
Ist also gerade V dividiert durch Rho mal E N.
Eingesetzt in unsere Gleichung für die Beschleunigung ergibt das
Beschleunigung gleich
V Punkt mal E T plus V von T mal E T Punkt, also V Quadrat durch Rho
mal E N.
Oder, wenn wir das über entsprechende Koordinaten ausdrücken, dann
nehmen wir natürlich das Dreibein, was wir an der Stelle eingeführt
haben und bestimmen die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser
Einheitsvektoren.
Es gibt dann gerade A T, E T plus A N, E N.
Also, die Beschleunigung eines Punktes hat in natürlichen Koordinaten
zwei Anteile, nämlich wir haben zum einen die Beschleunigung A T in
tangentialer Richtung,
wir haben die Beschleunigung in Richtung zum Krümmungsmittelpunkt A N.
Die Gesamtbeschleunigung ist dann, wie man sieht, nicht tangential und
auch nicht ganz normal, sondern im Allgemeinen eben in einer
bestimmten Richtung.
Das wäre dann die Gesamtbeschleunigung A.
Vielleicht können wir hier noch die Einheitsvektoren einzeichnen.
E T beziehungsweise E N.
Man sieht, die Beschleunigung in tangentialer Richtung, die ist dann
von Null verschieden.
Wenn der Betrag der Geschwindigkeit sich ändert, also wenn V nicht
konstant ist und man sieht, die Normalbeschleunigung A N ist ungleich
Null, im Allgemeinen auch dann,
wenn V konstant ist.
Einfach aufgrund der Tatsache, dass sie im Allgemeinen die Richtung
ändert.
Und E T ändert die Richtung.
Gibt es soweit Fragen?
Also die Essenz, die Gewinnessenz war immer die,
wir wollen im Allgemeinen Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung
beschreiben.
Manchmal interessiert uns die Lage nicht so direkt, wie jetzt in dem
Fall.
Wenn wir zunächst die Beschleunigung kennen, dann müssen wir das
integrieren.
Das geht aber in kathesischen Koordinaten im Allgemeinen besser, weil
hier haben sie die Richtungsvektoren E T und E N, die ständig die
Richtung ändern.
Sie müssen sich auch vor Augen halten, im Allgemeinen haben wir nicht
so zweidimensionale Kurven, wie wir das hier an der Tafel haben,
sondern quasi dreidimensionale Kurven.
Also einmal haben wir quasi den Krümmungsmittelpunkt vielleicht hier,
dann ändert der Krümmungsmittelpunkt aber seine Position im Raum.
Also die Krümmung kann dann auch räumlich erfolgen.
Das wird dann im Allgemeinen natürlich sehr viel komplizierter.
Wichtig dabei ist, dass wir quasi an jedem Punkt der Bahn ein
autonomiertes Dreibein haben, quasi die Einheitsvektoren, mithilfe
derer wir wieder Vektoren in Komponenten zerlegen bzw.
die Koordinaten bestimmen können.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zur sogenannten Relativbewegung bzw.
zur Beschreibung der Bewegung in dem Relativsystem,
also Relativbewegung,
ich sag mal in und von Koordinatensystemen, oder wir schreiben
Bezugssystemen.
So, um das nochmal klar zu machen, wenn wir schon filmen, dann können
wir vielleicht mal einen Assistenten oder eine Assistentin kurz
herbitten.
Wer meldet sich freiwillig?
Nichts Schlimmes, muss man nicht viel machen.
Also egal ob Paul oder Max, wir nehmen auch den Egon oder den Peter,
eine Klara oder eine Hilde, kommen Sie mal her.
So, Sie halten jetzt mit der einen Hand die drei Einheitsvektoren vor
sich.
Nehmen wir mit der linken Hand am besten, weil Sie sind ja ein starker
Mensch und machen jetzt mal eine richtige Faust.
Am besten so halten, dann haben wir das Bezugssystem, wir haben dann
Einheitsvektoren, die relativ, der Ingenieur lebt ja immer ein
bisschen symmetrisch, dann haben wir quasi die Ebenen des Körpers so
ein bisschen beschrieben, vielleicht nicht zu weit nach unten halten,
das irritiert die Damen.
Ich bin ja jetzt auch ein Bezugssystem, Sie heißen?
Bezugssystem Paul.
Ich bin Bezugssystem Daimler, warum?
Ich bewege mich hier nicht, ich bin einfach die Befestigung der
Einheitsvektoren, die wir nehmen, um den Daimler zu beschreiben.
Also der Daimler ist unser Bezugssystem, jetzt haben wir noch das
Bezugssystem Paul.
Und das Bezugssystem Paul, das wird sich jetzt im Bezugssystem Daimler
ein bisschen bewegen, indem quasi Sie jetzt einfach mal ein paar
Bewegungen da machen.
Nein, Sie laufen, Sie lassen das alles konstant.
Und jetzt laufen Sie mal durch die Gegend.
Und jetzt sehen Sie, wenn Sie jetzt die Aufgabe haben, die Bewegung
seiner Hand zu beschreiben, dann ist das natürlich im Daimler-Hörsaal
ein bisschen kompliziert, weil er macht ja so komplizierte Bewegungen.
Er hat die immer noch relativ gut gemacht, gestern Abend nicht zu viel
gefeiert.
Wenn wir das Bezugssystem Paul nehmen, um die Bewegung zu beschreiben,
dann haben wir es relativ einfach.
Warum?
Er hat ja immer nur so gemacht, also der Punkt befand sich im
Bezugssystem Paul sogar immer an der gleichen Position.
Also der Ortsvektor in einem Koordinatensystem, das wir an Paul
festmachen.
Da können wir die Bewegung sehr elegant beschreiben.
Nehmen wir an, der Daimler sei unser Inertialsystem, wo wir später mal
die Gesetze der Mechanik formulieren müssen.
Dann wird es natürlich kompliziert, weil da brauchen wir letztendlich
die Bewegung seiner Hand in diesem Bezugssystem und nicht in Pauls
Bezugssystem.
Und das ist das, was wir jetzt quasi angehen wollen.
Was passiert, wenn wir verschiedene Bezugssysteme haben, um die
Bewegung beschreiben zu können?
Wir kennen vielleicht die Bewegung in einem Bezugssystem und wollen
die Bewegung in einem anderen Bezugssystem wissen.
Vielleicht als Motivation.
Natürlich interessiert uns in der Mechanik dann vor allen Dingen, wie
sieht es mit der Beschleunigung im Inertialsystem aus?
Weil das brauchen wir letztendlich für Newton und Euler, was am
Schluss kommt.
Vielen Dank, kleinen Applaus.
Tut mir leid, ich kann die Tafel praktisch nicht verwenden.
Da bleibt die Kreide nicht haften.
Also wir haben jetzt verschiedene Bezugssysteme.
Das kürzt sich oft ab als Bezugssysteme zur Beschreibung der Bewegung.
Eines Punktes wichtig
ist natürlich die Beschreibung im Inertialsystem, weil
eben manchmal die Beschreibung in einem sich bewegenden Bezugssystem
sehr zweckmäßig ist.
Ich schreibe mal ein Beispiel.
Paul.
Das hat jetzt jeder gesehen.
Oder wenn wir ein fahrzeugfestes Bezugssystem haben, was weiß ich, ein
Bezugssystem was fest mit dem Auto verbunden ist oder ein Bezugssystem
was fest mit der Straßenbahn verbunden ist.
Oder wenn Sie vielleicht eher eine industrielle Anwendung an den
Roboter denken, der aus mehreren Segmenten besteht, die sich alle
relativ zueinander bewegen, dann kann man natürlich für jedes Segment
ein eigenes Bezugssystem einführen.
Innerhalb dieses Segmentes lassen sich dann quasi die Bewegungen in
den Achsen und Gelenken sehr leicht bestimmen.
Was letztendlich dann interessiert ist natürlich die Bewegung, sprich
Beschleunigung, Geschwindigkeit usw.
im globalen System.
Also die Aufgabe ist dann Umrechnung
in der kinematischen Größen.
Insbesondere der Beschleunigung ins
Inertialsystem.
Deshalb gehen wir zunächst mal davon aus, wir haben einfach zwei
Bezugssysteme und das eine könnten wir jetzt Paul, das andere Wolfgang
nehmen oder Paul und Hilde oder wie auch immer, wir nennen die der
Einfachheit halber A und B.
Das sagt noch nichts darüber aus, ob das überhaupt Inertialsysteme
sind, sondern das sind einfach zwei Bezugssysteme, die sich zueinander
bewegen.
Also zwei Bezugssysteme A
und B.
Nun wir haben an den Bezugssystemen unsere Einheitsvektoren
festgemacht.
Wenn wir später Ortsvektoren zum Beispiel bestimmen wollen, dann
brauchen wir auch irgendwelche Koordinatensysteme in den
Bezugssystemen.
Das sind zwei Begriffe, die sich ein bisschen trennen müssen.
Und da haben wir gerade gesehen, innerhalb eines Bezugssystems kann
ich natürlich verschiedene Koordinatensysteme einführen.
Ich muss nur irgendwann mal den Ursprung des Koordinatensystems
festlegen, den Punkt O meinetwegen, und vielleicht ein kathesisches
Koordinatensystem.
Also das wären dann einfach drei Koordinatenachsen, meistens dann in
Richtung der Einheitsvektoren.
Oder ich gehe her, lege den Ursprung fest und nehme ein zylindrisches
Koordinatensystem.
Wenn Sie jetzt daran denken, ich mache
es mal so, das sieht jetzt zwar ein bisschen komisch aus, ich habe
aber meine roten Massenpunkte vergessen, wenn Sie die Endpunkte der
Stäbe betrachten, dann bewegen die sich auf Kreisbahnen in meinem
Bezugssystem.
Also wird es vielleicht in dem Fall einfach sein, die Bewegung in
meinem Bezugssystem durch ein zylindrisches Koordinatensystem zu
beschreiben.
Also wie gesagt, das hängt dann oft auch vom Problem ab, was für ein
Koordinatensystem Sie letztendlich einführen.
Das sollte Sie in den Übungen und Aufgaben nicht verwirren.
Also zwei Bezugssysteme A und B,
die sich gegeneinander bewegen
und verdrehen können.
Und ganz klar, wenn wir unsere Einheitsvektoren betrachten, die wir in
den Bezugssystemen A und B eingeführt haben, wenn Einheitsvektoren
sich voneinander entfernen und wieder nähern, das macht eigentlich
nichts, weil die können wir anzeichnen, wo wir wollen.
Was aber bei den Einheitsvektoren wichtig ist, das ist die relative
Orientierung zueinander.
Und Sie sehen, wenn sich die Bezugssysteme zueinander drehen, dann
ändern sich eben die relativen Orientierungen.
Wenn wir jetzt mal das
andeuten, dann haben wir also zunächst mal das Bezugssystem A.
Und ich führe schon mal ein entsprechendes Koordinatensystem auf dem
Bezugssystem A ein.
X, Y und Z mit entsprechenden Einheitsvektoren, nennen wir die mal A1,
A2, A3.
Und das Bezugssystem B, auf welchem wir ebenfalls ein koordinatisches
Koordinatensystem festmachen.
Das hier haben wir den Punkt O, dann haben wir dort einen anderen
Koordinatenursprung, den Punkt Q.
Mit anderen Achsen nennen wir die mal Xi, Eta und Zeta.
Mit entsprechenden Einheitsvektoren B1 in Richtung der Xi-Achse, B2 in
Richtung der Eta-Achse und B3 in Richtung der Zeta-Achse.
Das war also Bezugssystem B.
Dann können wir jetzt hergehen und uns irgendeinen x-beliebigen Vektor
Q einzeichnen.
Und Sie sehen, dieser Vektor kann jetzt mit Hilfe der Einheitsvektoren
A1, A2 und A3 dargestellt werden.
Der kann aber auch über die Einheitsvektoren B1, B2 und B3 dargestellt
werden.
Also, wir wissen, der Vektor Q ist zum Beispiel x mal A1 plus eine
Koordinate y mal A2 plus eine Koordinate z mal A3.
Und wenn wir zur Darstellung des Vektors nicht die Einheitsvektoren
A1, A2 und A3 verwenden, sondern B1, B2 und B3, geht das natürlich
genauso.
Wir erhalten dann Q gleich, in dem Falle xi mal B1 plus Eta mal B2
plus Zeta mal B3.
Sie sind wahrscheinlich gewohnt, dass wir oft diese Koordinaten
einfach in eine Matrix reinschreiben, oder?
Wie stellen Sie Vektoren dar?
Meistens über so eine Matrix.
Also sind das jetzt zwei verschiedene Vektoren, oder?
Einmal haben wir x, y und z.
Einmal haben wir xi, Eta und Zeta.
Die sind ja, wie man anschaulich sieht, nicht die selben.
Also hat sich der Vektor geändert, oder?
Ich denke, der Vektor selbst nicht.
Ah, er denkt der Vektor selbst nicht.
Also wir müssen uns immer im Hinterkopf halten.
Der Vektor hat sich natürlich nicht geändert.
In beiden Fällen.
Der Vektor Q, das ist eine Größe, die hat eine bestimmte Länge und
eine bestimmte Richtung.
Weder die Länge noch die Richtung haben sich geändert.
Es hat sich lediglich die Darstellungsform geändert.
Die Koordinaten x, y und z sind natürlich andere als die Koordinaten
xi, Eta und Zeta.
Also, ich schreibe mal hier derselbe Vektor.
Allerdings haben wir eine Schwierigkeit, nämlich wenn wir den Vektor
mal nach der Zeit ableiten.
DQ nach DT gehen von der ersten Darstellungsform aus.
Dann haben wir hier gerade x Punkt mal A1 plus y Punkt mal A2 plus z
Punkt mal A3.
Beziehungsweise DQ nach DT.
Andere Darstellungsform wäre ja xi Punkt B1 plus Eta Punkt B2 plus
Zeta Punkt B3.
Nun, da x, y und z beziehungsweise xi, Eta und Zeta sich
unterscheiden, werden auch die Zeitableitungen verschieden sein.
Denken Sie an Paul, der Vektor vom Koordinatenursprung bis zu seiner
Faust.
Das ist ein Vektor, den können wir natürlich darstellen im Daimler
-Bezugssystem mit meinen Einheitsvektoren oder in seinem Bezugssystem
mit den anderen Einheitsvektoren.
Und jetzt sehen wir, in seinem Bezugssystem, diesen Ortsvektor
abgeleitet, würde er gerade 0 ergeben.
Diesen Vektor von seinem Koordinatenursprung zur Faust, abgeleitet im
Daimler -Hörsaal, würde nicht 0 ergeben.
Man sieht, der Betrag des Vektors wäre zwar konstant, aber da sich die
Richtung seines Vektors ändert, würde eine zeitliche Ableitung
auftreten.
Lange Rede, kurzer Sinn.
Wenn wir einen Vektor nach irgendeiner Größe ableiten, also auch nach
der Zeit, dann müssen wir immer zunächst angeben, in welchem
Bezugssystem wir ableiten wollen.
Dementsprechend haben wir jetzt quasi die Möglichkeit, zwei
Ableitungen zu definieren.
Wir können sagen, dq nach dt im Bezugssystem A ist einfach so
definiert, dass quasi der Vektor mit Hilfe der Einheitsvektoren A1,
A2, A3 dargestellt wird und dann einfach die entsprechenden
Koordinaten nach der Zeit abgeleitet werden.
Entsprechend die Ableitung des Vektors Q im Bezugssystem B ist dann
definiert, dass quasi der Vektor in B dargestellt wird und die
Koordinaten entsprechend nach der Zeit differenziert werden.
Die Koordinaten sind skalare Größen, da macht das Bezugssystem selbst
nichts aus.
Das heißt an der Stelle,
wenn wir mit einem Punkt eine Zeitableitung bezeichnen, dann ist das
bei einer skalaren Größe, da müssen wir eigentlich nicht achtgeben,
die skalare Größe wird einfach abgeleitet.
Bei einem Vektor müssen wir da sehr vorsichtig sein, da müssen wir
immer spezifizieren, der Punkt bedeutet Ableitung nach der Zeit in dem
und dem Bezugssystem.
Also, im Allgemeinen gilt zunächst mal, Ableitung des Vektors Q nach
der Zeit im Bezugssystem A ist eben verschieden von der Ableitung des
Vektors Q nach der Zeit im Bezugssystem B.
Und wenn wir jetzt mal sagen, ein Punkt soll im Folgenden die
Ableitung, wenn der Punkt bei einem Vektor steht, nach der Zeit im
Bezugssystem A bedeuten.
Also mit d von dem Vektor nach dt in A sei einfach Vektor Punkt.
Erhalten wir?
X.A1 plus Y.A2 plus Z.A3 im Bezugssystem A sind die Einheitsvektoren
A1, A2, A3, die sind konstant, also deren zeitliche Ableitungen
verschwinden wirklich.
Wenn wir allerdings die Darstellung des Vektors Q im Bezugssystem B,
also über die Einheitsvektoren B1, B2, B3, nehmen, dann sehen wir, Q
Punkt ist dann formal C Punkt mal B1 plus Eta Punkt mal B2 plus Zeta
Punkt mal B3.
Allerdings ändern die Einheitsvektoren B1, B2 und B3 im Bezugssystem A
im Allgemeinen die Richtung.
Deshalb sind die Zeitableitungen von null verschieden.
Wir müssen also die Produktregel beachten, das heißt es kommt noch ein
Term hinzu plus C mal B1 Punkt plus eben Produktregel ein Term Eta mal
B2 Punkt plus eben dritter Term Zeta mal B3 Punkt.
Und die Frage ist jetzt, wie sehen eigentlich diese Änderungen der
Einheitsvektoren aus, die, man hat es glaube ich anschaulich gesehen,
daher rühren, dass sich die beiden Bezugssysteme eben zueinander
verdrehen.
Und die momentane Verdrehung, die beschreiben wir über die sogenannte
Winkelgeschwindigkeit, also B, I Punkt treten auf infolge der
Verdrehung.
Der Bezugssysteme.
Beschrieben wird die momentane Verdrehung durch die
Winkelgeschwindigkeit Omega
und zwar vom Bezugssystem B gegenüber dem Bezugssystem A.
Also wir geben jetzt mal hier von Bezugssystem B in Bezugssystem A.
In dem Fall wäre quasi das A fest, das B dreht sich gegenüber dem A
und Omega von B in A beschreibt dann die Verdrehung von Bezugssystem B
in Bezugssystem A.
Würden Sie mir mal kurz den Projektor anmachen.
Hinweis in eigener Sache.
Vielleicht weiß der eine oder andere schon, dass ich neben der
Mechanik noch für einen anderen Bereich ein bisschen zuständig bin,
nämlich für so deutsch-französische Aktivitäten, auch von KIT.
Unter anderem als Programmbeauftragter für so Doppelabschlüsse
zwischen Karlsruhe und Ensam.
Dann gibt es noch Karlsruhe mit Insa und es gibt auch in anderen
Fakultäten gibt es noch entsprechende Doppelabschlüsse.
Eine entsprechende Informationsveranstaltung speziell für Sie werden
wir noch innerhalb des Semesters ankündigen.
Diejenigen, die sich vorstellen können, sowas zu machen, da empfehlen
wir immer eine französische Vorlesung, die quasi jemand aus Frankreich
hier am KIT hält, in französischer Sprache.
Nennt sich hier Mathematik appliqué aux sciences de l'ingenieur.
Das findet so ein bisschen als Blockveranstaltung statt.
Die erste Einführungsveranstaltung ist am Freitag, 6.
November, 14 bis 17.15 Uhr.
Seminarraum 1 im Maschinenbau Hochhaus.
Ich denke, der Stoff ist nicht allzu schwierig, da hat man so ein
bisschen Mix von Fachvorlesung und gleichzeitig Vorlesung in einer
fremden Sprache.
Das tut eigentlich mal ganz gut, ist eine ganz gute Übung.
Wie gesagt, nehmen Sie das Ganze wahr, Sie können nur davon
profitieren.
Gibt es Fragen dazu?
Also im Gegenzug dazu halte ich auch an der ENSAM deutsche
Vorlesungen, also wir versuchen uns da schon auszutauschen.
Wer Fragen zu dem Ganzen hat, auch zu einem eventuell geplanten
Doppelabschluss, der kann jetzt schon die KIT DEFI, also die KIT
deutsch -französische Initiative, Geschäftsstelle aufsuchen, die gar
nicht so weit weg ist, die ist auch im Maschinenbau Hochhaus 7.
OG.
Sie dürfen nur nicht zu den Mitarbeitern von Herrn Albers gehen,
sondern müssen dann die entsprechenden Mitarbeiter der KIT DEFI
-Geschäftsstelle aufsuchen.
Und wie gesagt, ich mache schon an der Stelle ein bisschen Werbung,
ich werde es vielleicht noch ein paar Mal machen.
Viele Studenten haben natürlich die Meinung, naja gut, man muss vor
allen Dingen vielleicht mal nach USA, weil USA ist ja das Größte.
Wie hieß es, Messe, hat jemand die Werbung gesehen von KIT?
Mir
und meinen Kollegen nicht unbedingt auf positive Reaktionen gestoßen
ist.
Also jeder denkt, Messe, Messe, irgendwie englisch, amerikanisch, das
muss man können, da muss man hin.
Vergessen aber, dass der mit der wichtigste Handelspartner von
Deutschland nicht die USA ist, sondern wirklich Frankreich.
Es gibt zahlreiche deutsch-französische Firmen, wir haben auch
durchaus gewisse Sponsoren, also Studenten, gute Studenten vor allen
Dingen, die in so einem Doppelprogramm, ich sage immer noch
Doppeldiplom, sie sind aber schon Bachelor-Master-Studenten, wobei,
das ist an der Stelle schon mal angeführt, die Deutschen, wenn denen
was gesagt wird, dann machen die das minutiös und gehorchen wie zu
Zeiten Bismarcks.
Wenn den Franzosen was gesagt wird, die sagen, wir gehorchen, aber sie
machen nichts.
Die Franzosen behalten natürlich nach wie vor ihr Diplom bei und es
ist für die französischen Studenten viel wichtiger, das Diplom zu
erhalten, als da noch ein paar Stunden zusätzlich und ein Master zu
machen.
Also diejenigen, die quasi so einen Doppelabschluss mit Frankreich
machen, die kriegen natürlich jetzt an ihrer Stelle dann bei Erfolg
den Bachelor von Karlsruhe, den Master von Karlsruhe, wie geplant,
aber eben von der französischen Einrichtung, je nachdem, welche Gruppe
man macht.
Zumindest mal das Diplom, das französische, was eben in Frankreich
anerkannt ist.
Und wenn man in der Gruppe B das Ganze macht, könnte man eventuell
auch noch den französischen Master für Recherche bekommen.
Also insofern, wer nach wie vor noch denkt, das Diplom sei was Gutes,
da hat man die Möglichkeit, das wirklich noch zu erlangen.
In Karlsruhe geht das nicht mehr so leicht.
Und nehmen Sie die Gelegenheiten wahr.
So, kommen wir zurück zu unserer Mechanik, beziehungsweise...
Bevor ich jetzt hier weitermache, Sie haben gerade gesehen, ich habe
die Tafel gewischt, das kostet mich immer sehr viel Zeit.
Das kann man natürlich sagen, das waren ja jetzt nur drei oder vier
Minuten.
Aber über das Semester aufsummiert gibt es doch eine ganze Menge.
Im letzten Semester habe ich das so gemacht, ich habe mir aus den
Reihen der Studenten einen Hiwi eingestellt, der mir innerhalb der
Vorlesungszeit dann für Tafelwischen verantwortlich ist.
Das heißt, man muss meistens dann einmal kurz aufstehen und dann die
Tafel möglichst ordentlich wischen.
Wenn da jemand Interesse hat, auf einen umgerechnet guten Stundenlohn
zu kommen.
Die Krux dabei ist natürlich, dass man jede Vorlesung da sein sollte.
Aber das sollte auch der normale Student ohne Hiwi-Job sein.
Also wenn da jemand Interesse hat, die Filminteressierten haben leider
abgelehnt.
Wir haben noch Jobs zu vergeben, um quasi wieder ein Teil der
Studiengebühren an die Studenten zurückfließen zu lassen.
So, wie gesagt, wir haben jetzt die Winkelgeschwindigkeit Omega von B
in A.
Zunächst mal so anschauungsmäßig eingeführt, das wird ein Vektor sein.
Wenn ich jetzt mal quasi augenblicklich so eine Verdrehung habe, dann
wird das ein Vektor sein, der vielleicht in die Richtung zeigt und die
Geschwindigkeit der Verdrehung wird wahrscheinlich durch den Betrag
des Vektors gekennzeichnet sein.
Wenn man zunächst mal gar keine Vorstellung von der
Winkelgeschwindigkeit hat, denken Sie einfach mal an eine rotierende
Welle.
Dort hat man sehr einfach die Richtung der Winkelgeschwindigkeit, das
ist dann natürlich die Rotationsrichtung, gemäß rechter Handregel und
ganz klar der Betrag der Winkelgeschwindigkeit, das wird dann gerade
der Drehzahl quasi, aber ausgedrückt in Rad pro Sekunde entsprechen.
Bei einer allgemeinen Bewegung von zwei Bezugssystemen zueinander und
auch später bei der allgemeinen Bewegung des starren Körpers, wo die
richtigen Schwierigkeiten erst anfangen, dann wird es dann so sein,
dass natürlich...
Also ich habe weder den Fliegen noch sonst irgendwas gesehen, was da
drüber läuft.
Da wird es dann so sein, dass die Winkelgeschwindigkeit quasi momentan
so die Drehachse angibt, der Betrag der Geschwindigkeit so momentan
die Drehgeschwindigkeit, aber natürlich können sich dann Betrag und
Richtung ständig ändern.
Denken Sie an Holz, was da so hoch wird.
Was dann taumelt.
Also Betrag von Omega von B in A
gibt momentane Drehgeschwindigkeit
an.
Die Richtung...
die momentane Drehachse.
Das heißt, wenn ich mal die Rotationsachse hier anzeichne,
dann ist in Richtung der Rotationsachse quasi die
Winkelgeschwindigkeit Omega von B in A betragsmäßig.
Und wenn wir quasi die Stellung zum Zeitpunkt T und zu einem
infinitesimal kleinen Zeitpunkt später betrachten, dann wird sich
während dieser Zeitspanne, während dieser infinitesimal kleinen
Zeitspanne, hat sich das Ganze um einen differenziell kleinen Winkel
verdreht.
Der Verdrehwinkel.
Der zeigt dann in die gleiche Richtung, das Defi.
Sodass, wenn wir jetzt mal so einen Einheitsvektor Bi antragen,
dann hat der natürlich den Betrag nicht geändert, sondern während
dieser infinitesimal kleinen Verdrehung hat er lediglich die Richtung
ein bisschen geändert.
Und was hat er gemacht?
Nun, seine Spitze bewegt sich auf einem Kreis um diese Rotationsachse.
Deuten wir das mal an.
Also auf so einem Kreis bewegt sich dann das Bi.
Wobei Bi und die Rotationsachse in den Winkel Beta einschließen.
Und wir sehen,
der Radius des Kreises,
nennen wir das mal R, hängt natürlich gerade mit dem Winkel Beta
zusammen.
Also R ergibt sich, Betrag des Vektors Bi, das war aber gerade eins,
war aber trotzdem mal Betrag von Bi, mal dem Sinus des
eingeschlossenen Winkels.
Also 1 mal Sinus Beta.
Und während der Zeitspanne dt, verdreht sich das Ganze um Defi.
Also können wir jetzt quasi die Änderung D Bi eintragen.
Wenn sich die Spitze auf der Kreisbahn bewegt, dann ist die Änderung
quasi tangential an den Kreis.
Also,
Betrag von D Bi, dementsprechend, wie wir das schon die ganze Zeit
hatten.
Dann haben wir quasi hier so einen differenziellen Kreisbogen, den
können wir quasi ersetzen durch so ein geraten Stück.
Der Kreisbogen hat die Länge Radius mal differenziell eingeschlossenen
Winkel Defi.
Also ich drehe jetzt mal so ein bisschen an.
Zu einem Zeitpunkt später ab, wäre quasi der Strahl an der Stelle.
Das heißt, da hätten wir jetzt die Verdrehung Defi,
die ich hier unten auch eingezeichnet habe.
Also, Betrag von D Bi ist dann R mal Defi.
Defi ist aber gerade Betrag der Winkelgeschwindigkeit, Omega von B in
A, ohne Tilde, mal DT.
Also ist Omega von B in A mal DT,
mal dem R, R ist Sinus-Beta, die Richtung
Die haben wir dann, wir sehen senkrecht zu Omega von B in A als
Vektor.
Senkrecht Omega von B in A.
Die Änderung muss aber auch senkrecht zum Einheitsvektor selbst sein.
Also, senkrecht ebenfalls zu Bi.
Und wir sehen, naja gut, wenn wir mal unsere rechte Hand hochnehmen
und mal den Daumen in Richtung von Omega zeigen lassen,
den Zeigefinger in Richtung von Bi, dann geht der Mittelfinger quasi,
genau in die Richtung, wo ich das D Bi jetzt eingezeichnet habe.
Das heißt, Omega B und D Bi, also das Ganze können wir ausdrücken über
ein Kreuzprodukt.
Die Richtung von D Bi ist der Einheitsvektor der in Richtung des
Kreuzproduktes von Omega von B in A mit dem Einheitsvektor selbst
geht.
Also, in Richtung
von Omega von B in A Kreuz Bi
So, dann schauen wir.
Der Richtungsvektor ist dann einfach Omega von B in A Kreuz Bi
Dividiert durch den Betrag dieses Vektors, dann haben wir nämlich
gerade den Einheitsvektor, der in diese Richtung zeigt.
Also durch den Betrag von Omega von B in A Kreuz Bi
Das heißt
Schauen wir mal D Bi Dividiert durch DT ist dann gerade Omega von B in
A mal Sinus D DBI nach DT ist Betrag von DBI nach DT mal den
Einheitsvektor, also Betrag von DBI nach DT mal den Einheitsvektor,
den hatten wir hier, Omega von B in A kreuz BI, dividiert durch den
Betrag von Omega von B in A kreuz BI.
Omega kreuz BI ist aber,
ich rechne mal einen Vektor, mal Betrag des anderen Vektors, mal
Kosinus von Winkel.
Sie können auch sagen, wie Boris Becker, meine Niederlagen haben mich
weitergebracht als meine Erfolge.
Warum?
Das merken Sie sich jetzt viel leichter, weil ich darauf hingewiesen
habe.
Der Kosinus, der tritt auf beim Skalarprodukt, beim Kreuzprodukt tritt
auf der Sinus des eingeschlossenen Winkels.
Also wenn zwei Vektoren parallel sind, dann ist das Kreuzprodukt 0,
entsprechend ist auch der Sinus des Winkels 0.
Beim Skalarprodukt ist es gerade umgekehrt.
Dort haben wir praktisch dann einfach Betrag des einen mal Betrag des
anderen.
Der Kosinus wäre dann 1.
Also, lange Rede, kurzer Sinn.
In dem Falle haben wir Omega von BnA, das war der Betrag von Omega von
BnA.
Der Betrag von Bi war 1 mal, und der eingeschlossene Winkel, das war
Beta, also mal Sinus-Beta.
Betrag von dBi war Omega von BnA mal dT mal Sinus-Beta.
Also Omega von BnA mal Sinus-Beta mal dT.
Dividiert, wo sind wir jetzt?
Dividiert durch dT mal Omega von BnA kreuz Bi.
Dividiert durch den Betrag, das war Omega von BnA mal Sinus-Beta.
Jetzt sehen wir, das Sinus-Beta, das kürzt sich raus.
Der Betrag Omega von BnA, der kürzt sich raus.
Das dT kürzt sich raus.
Es gibt eine sehr einfache Formel für die Änderung von Bi.
Also dBi nach dT.
Das war gerade das, was wir als Bi-Punkt bezeichnet hatten.
Das ist dann in dem Falle gerade Omega von BnA kreuz Bi.
Also, lange Rede, kurzer Sinn.
B1-Punkt ist Omega von BnA kreuz B1.
B2-Punkt ist Omega von BnA kreuz B2.
Und B3-Punkt ist Omega von BnA kreuz B3.
Das heißt, wir haben jetzt die Ableitungen der Vektoren, die wir
letztendlich...
Wollen wir es da oben?
...die wir noch in unserer Ableitungsformel benötigen.
Also, Q-Punkt war Xi-Punkt B1 plus Eta-Punkt B2 plus Zeta-Punkt B3.
Plus jetzt kam Xi mal B1-Punkt.
Xi mal B1-Punkt ist Xi Omega von BnA kreuz B1 plus Eta mal B2-Punkt.
B2-Punkt war Omega von BnA kreuz B2.
Plus eben Zeta mal B3-Punkt.
B3-Punkt war Omega von BnA kreuz B3.
Und wir sehen, der erste Teil, Xi-Punkt B1 plus Eta-Punkt B2 plus Zeta
-Punkt B3, den haben wir gerade oben stehen, letzte Zeile.
Das war nämlich die Ableitung von Q nach der Zeit in Bezug auf System
B.
Also das entspricht dQ nach dt in B, sodass sich letztendlich ergibt
für Q-Punkt gleich dQ nach dt in B plus...
Und hier haben wir überall das Omega von BnA.
Xi, Eta und Zeta sind skalare Größen, die kann ich also vor das Omega
schreiben, die kann ich aber auch vor das B1, das Eta vor das B2 und
das Zeta vor das B3 schreiben.
Kann dann das Omega von BnA ausklammern.
Also habe ich hier letztlich Omega von BnA kreuz.
Jetzt sagen wir zunächst mal Xi mal B1.
Dann haben wir Eta mal B2 plus Zeta mal B3.
Schaut nach ganz links.
Sehen, dass oben zweite Zeile steht, dass Q gerade Xi mal B1 plus Eta
mal B2 plus Zeta mal B3 entspricht.
Das heißt, das was wir hier in der runden Klammer haben, das
entspricht gerade wieder dem Vektor Q,
sodass sich letztendlich für die Ableitung ergibt Q-Punkt gleich...
Oder ich schreibe es ausführlicher.
Die Ableitung von Q nach der Zeit im Bezugssystem A.
Ich mache es noch ein bisschen deutlicher.
Im Bezugssystem A ist dann die Ableitung des Vektors nach der Zeit in
einem anderen Bezugssystem, in dem Fall Bezugssystem B.
Plus eben Omega von dem Bezugssystem, in dem wir zunächst ableiten
hier, gegenüber dem Bezugssystem, in dem die Ableitung gebildet werden
soll.
Das war A kreuz dem Vektor selbst.
Ich hatte es schon erwähnt, in der Mechanik gibt es viele verschiedene
Bezugssysteme.
Wichtig letztendlich wird sein, der Fall, dass wahrscheinlich das A
ein Inertialsystem ist und wir ja die Ableitungen, insbesondere die
Beschleunigung, die zweite Zeitableitung von dem Vektor, im
Inertialsystem benötigen.
Und für den Fall, dass wir ein Bezugssystem haben und ein anderes
Bezugssystem, was sich gegenüber dem dreht, also nur zwei beteiligte
Bezugssysteme, dann können wir vielleicht auch die Buchstaben hier
weglassen.
Dann ist das eine, meinetwegen, das gestrichene Bezugssystem, das
andere das ungestrichene Bezugssystem und wir haben nur eine
Winkelgeschwindigkeit.
Und bei Mehrkörpersystemen, denken Sie an so einen Roboter, der
mehrere Segmente hat, da dreht sich jedes Segment gegenüber dem
anderen.
Man kann aber auch die Verdrehung von dem äußeren Segment gegenüber
dem relativ inneren Segment beschreiben.
Also dort gibt es die Möglichkeit, dass sehr viele relativ
Winkelgeschwindigkeiten auftreten und da ist dann einfach sinnvoll,
wenn man noch die Bezugssysteme damit angibt.
Vielleicht als letzte Bemerkung, das führt zumindest, glaube ich,
sprachlich immer zu gewissen Schwierigkeiten, wir hatten in der
letzten Vorlesung den Begriff Winkelgeschwindigkeit, nämlich wenn ein
Winkel sich mit der Zeit ändert.
Das war eine skalare Größe, einfach ein Winkel, Winkelmaß, zeitlich
geändert war eine Winkelgeschwindigkeit.
Hier haben wir jetzt eine Winkelgeschwindigkeit als Vektor, das
unterscheidet sich deutlich.
Das sollten Sie im Hinterkopf haben.
Vor allen Dingen auch dann, wenn Sie in den Übungsaufgaben
irgendwelche Aufgaben haben, wo sich Bezugssysteme zueinander bewegen,
dann gibt es dort eine Winkelgeschwindigkeit.
Jetzt hatte ich es schon vorhin versucht zu erklären, wenn dann
bestimmte Punkte sich in einem Bezugssystem auf einer Kreisbahn
bewegen, dann gibt es natürlich zu der Beschreibung dieser Bewegung
wieder eine Winkelgeschwindigkeit.
Das ist aber quasi die skalare Winkelgeschwindigkeit, da müssen Sie
ein bisschen aufpassen.
Wenn es keine Fragen mehr gibt, dann würde ich sagen, sind wir mit der
heutigen Vorlesung am Ende.
Wir sehen uns wieder am Montag, 11.30 Uhr.
Vielen Dank.