WEBVTT 00:05.250 --> 00:06.540 Guten Tag, meine Damen und Herren. 00:10.320 --> 00:13.340 Wir waren in der letzten Vorlesung soweit gekommen, dass wir das 00:13.340 --> 00:18.180 Prinzip von d'Alembert angewandt haben für den Fall, dass wir die 00:18.180 --> 00:21.760 Bewegung eines Massenpunktes in einem Relativsystem beschreiben. 00:22.400 --> 00:26.560 Das hat dann dazu geführt, dass eben entsprechende Trägheitstherme 00:26.560 --> 00:31.120 auftraten, je nachdem, welche Beschleunigungsanteile, 00:31.480 --> 00:34.080 Führungsbeschleunigung, Coriolisbeschleunigung und 00:34.080 --> 00:37.940 Relativbeschleunigung für den konkreten Fall vorlagen. 00:43.560 --> 00:51.640 Heute wollen wir 00:58.600 --> 01:10.640 wieder von der Newton'schen Grundgleichung ausgehen und schauen, wie 01:10.640 --> 01:13.400 wir mit den Begriffen Arbeit, Leistung bzw. 01:14.260 --> 01:17.580 dem Arbeitssatz entsprechende Probleme lösen können. 01:39.540 --> 01:47.360 Wenn wir vom Newton'schen Grundgesetz ausgehen, dann kennen Sie F, die 01:47.360 --> 01:54.140 Summe der äußeren Kräfte auf den Massenpunkt, gleich m mal a, also 01:54.140 --> 01:58.840 gleich m mal r2. 02:00.140 --> 02:04.860 Also verknüpft das Newton'sche Grundgesetz die Beschleunigung mit den 02:04.860 --> 02:06.460 am Massenpunkt wirkenden Kräften. 02:08.560 --> 02:13.220 Wir haben gesehen, falls wir die Zwangskräfte, die eventuell noch 02:13.220 --> 02:17.680 vorliegen, eliminieren, erhalten wir eine oder mehrere 02:17.680 --> 02:18.800 Bewegungsgleichungen. 02:18.940 --> 02:22.680 Und wenn wir an der Bewegung selbst interessiert sind, dann werden wir 02:22.680 --> 02:27.360 die Bewegungsgleichungen, was ja Differenzialgleichungen bezüglich der 02:27.360 --> 02:32.260 Zeit sind, durch eine Integration lösen können. 02:32.260 --> 02:38.100 Das heißt, man denkt dann zunächst mal immer bei der Integration an 02:38.100 --> 02:39.800 eine Integration nach der Zeit. 02:40.700 --> 02:44.280 Was wir aber genauso machen können ist, dass wir eben auf beiden 02:44.280 --> 02:46.740 Seiten der Gleichung integrieren. 02:48.760 --> 02:54.160 In dem Falle aber nicht bezüglich der Zeit, sondern bezüglich dem Ort. 02:55.000 --> 02:59.140 Also wir machen einfach eine Skalarmultiplikation mit dr, 03:02.320 --> 03:10.640 integrieren auf beiden Seiten, zum Beispiel von einem Ort r0 bis r1. 03:16.320 --> 03:20.180 Das heißt, auf der linken Seite der Gleichung haben wir jetzt einen 03:20.180 --> 03:23.360 Ausdruck stehen f mal dr. 03:26.590 --> 03:31.350 Das Skalarprodukt von Kraft und Verschiebung. 03:33.590 --> 03:40.010 Wenn wir mal die Bahn aufzeichnen von so einem Massenpunkt. 03:44.620 --> 03:45.920 Wir haben hier den Massenpunkt. 03:50.240 --> 03:56.070 Wir haben den Ortsvektor r zum Massenpunkt. 03:57.390 --> 04:03.170 Am Massenpunkt selbst wirkt eine Kraft, das war die Kraft f. 04:10.490 --> 04:18.410 Das dr erfolgt jetzt in Richtung der Bahn. 04:20.550 --> 04:26.650 Das heißt, das dr verläuft tangential an die Bahn. 04:26.650 --> 04:31.070 Wir wissen, beim Skalarprodukt wird wichtig, der Anteil der Kraft f, 04:31.610 --> 04:34.910 der in Richtung der Verschiebung der dr geht. 04:36.350 --> 04:39.510 Also wenn wir die Kraft entsprechend aufteilen, 04:47.100 --> 04:54.500 dann könnten wir die jetzt aufteilen in den Anteil in Richtung von dr. 04:56.580 --> 04:58.440 Das ist der Tangentialanteil. 05:03.520 --> 05:16.200 Und da wissen wir, der hat gerade die Größe f Betrag der Kraft mal 05:16.200 --> 05:24.020 Cosinus des eingeschlossenen Winkels und in dem Fall ist das der 05:24.020 --> 05:32.060 Winkel Alpha zwischen der Kraft und dr, also Cosinus Alpha. 05:32.060 --> 05:34.720 Das 05:46.840 --> 06:06.080 heißt, Integral f Skalar dr von r0 bis r1 ist dann gerade Integral f 06:06.080 --> 06:14.160 Cosinus Alpha dr von r0 bis r1. 06:16.680 --> 06:24.620 Und das definieren wir jetzt einfach als die Arbeit der Kraft f. 06:25.880 --> 06:33.420 Also das definieren wir als Arbeit und 06:39.780 --> 06:44.100 die Arbeit hat die Einheit Newton Meter. 06:55.420 --> 06:57.340 Betrachten wir mal ein paar Sonderfälle. 07:06.740 --> 07:11.340 Was passiert, wenn die Kraft senkrecht auf dem Weg steht? 07:13.200 --> 07:19.080 Also a, Kraft steht senkrecht auf dem Weg. 07:22.570 --> 07:24.270 Dann haben wir die Kraft f, 07:28.890 --> 07:40.610 senkrecht dazu das dr oder wenn wir eine endliche Verschiebung haben, 07:40.690 --> 07:41.510 das delta r. 07:42.630 --> 07:47.450 Wichtig, sofern zwischen beiden ein rechter Winkel vorliegt, sehen 07:47.450 --> 07:53.930 wir, Cosinus Alpha wird ein gerade 0 sein, also letztendlich wird die 07:53.930 --> 08:00.450 Arbeit dieser Kraft dann gerade verschwinden, also w gleich 0. 08:16.110 --> 08:22.710 Ein anderer Sonderfall liegt natürlich vor, wenn die Kraft gerade in 08:22.710 --> 08:30.550 Richtung des Weges zeigt, also b, 08:34.860 --> 08:44.450 Kraft parallel zum Weg. 08:45.770 --> 08:48.610 Und wir nehmen mal an, die Kraft sei konstant, 09:01.270 --> 09:04.630 zum Beispiel, dass die Kraft ein konstanter Vektor ist und der Weg die 09:04.630 --> 09:05.830 Richtung auch nicht ändert. 09:09.410 --> 09:16.670 Dann zeigt die Kraft f in die gleiche Richtung wie dr. 09:20.050 --> 09:23.650 Cosinus Alpha ist in dem Falle dann gerade 1, weil der Winkel Alpha 09:23.650 --> 09:24.850 gleich 0 ist. 09:29.030 --> 09:37.050 Also w ist in dem Falle ein Integral zum Beispiel von s gleich 0 bis 09:37.050 --> 09:42.290 zu einem allgemeinen s, f mal ds quer. 09:43.030 --> 09:45.410 Wir unterscheiden mal die Integrationsvariable und die 09:45.410 --> 09:55.530 Integrationsgrenze und sehen, dass in dem Falle sich gerade ergibt f 09:55.530 --> 10:00.030 mal s minus 0, also gerade f mal s. 10:02.890 --> 10:05.130 Also in dem Falle können wir wirklich sagen, 10:11.130 --> 10:16.070 dass die Arbeit entspricht Kraft mal Weg, 10:20.050 --> 10:26.090 setzt aber wie hier gezeigt voraus, dass die Kraft dieselbe Richtung 10:26.090 --> 10:26.970 hat wie der Weg. 10:36.150 --> 10:41.390 Und wenn wir so eine Arbeit betrachten, sprich das Integral, dann ist 10:41.390 --> 10:54.960 klar, dass der Wert des Linienintegrals, der 11:04.490 --> 11:09.910 hängt außer von den Integrationsgrenzen und dem Integranten, 11:15.400 --> 11:22.220 hängt also außer vom Integranten und 11:27.230 --> 11:34.550 den Integrationsgrenzen noch 11:43.890 --> 11:45.270 vom Verlauf des Weges ab, 11:55.630 --> 12:00.070 also vom Verlauf der Bahnkurve und 12:04.800 --> 12:08.580 zwar von R1 nach R2 ab oder von R0 nach R1 ab. 12:08.580 --> 12:12.320 Also, Sie 12:26.450 --> 12:30.770 können es sich so vorstellen, wenn Sie mal eine Schnur nehmen, nehmen 12:30.770 --> 12:38.770 den Klotz, ziehen den Klotz hinter sich her, dann ist in dem Falle, 12:38.810 --> 12:42.930 Modell trockene Reibung, die Reibkraft immer entgegengesetzt gerichtet 12:42.930 --> 12:48.270 zur Richtung, in der Sie den Klotz ziehen, also in dem Falle wäre dann 12:48.270 --> 12:53.070 der Winkel Alpha gerade 180 Grad, dementsprechend würde sich als 12:53.070 --> 12:54.910 Arbeit etwas Negatives ergeben. 12:57.250 --> 13:00.170 Und jetzt nehmen Sie mal irgendeinen Ausgangspunkt des Klotzes und Sie 13:00.170 --> 13:07.490 ziehen den zu einem Endpunkt, also von R0 nach R1, dann hängt die 13:07.490 --> 13:11.750 Arbeit, die Sie leisten müssen, wissen Sie aus Erfahrung, natürlich 13:11.750 --> 13:15.910 davon ab, welchen Weg Sie zwischen R0 und R1 zurücklegen. 13:16.710 --> 13:20.750 Machen Sie den großen Umweg, dann werden Sie viel schwitzen, gehen Sie 13:20.750 --> 13:24.490 den direkten Weg, dann werden Sie vielleicht weniger schwitzen. 13:26.130 --> 13:30.810 Also, wie gesagt, die Arbeit hängt ab vom Integranten, von den 13:30.810 --> 13:36.050 Integrationsgrenzen und im Allgemeinen noch vom Weg oder der Bahn, die 13:36.050 --> 13:38.470 wir zwischen R0 und R1 wählen. 13:43.450 --> 13:45.030 Machen wir mal ein Beispiel, 13:56.490 --> 14:01.290 und zwar ein Massenpunkt, der sich im Schwerefeld bewegt, 14:07.510 --> 14:09.150 und zwar auf einer Kreisbahn. 14:34.590 --> 14:36.230 Wir haben also so eine Kreisbahn, 14:40.330 --> 14:42.830 auf der bewegt sich der Massenpunkt. 14:51.210 --> 14:59.690 Die Kreisbahn am Radius R0, die Lage des Massenpunktes auf der 14:59.690 --> 15:02.390 Kreisbahn, die können wir dadurch beschreiben, dass wir eine 15:02.390 --> 15:04.610 Koordinate Phi, also einen Winkel einführen, 15:09.490 --> 15:14.070 zwischen dem radialen Strahl vom Mittelpunkt der Kreisbahn zum 15:14.070 --> 15:16.050 Massenpunkt und der Vertikalen. 15:19.370 --> 15:23.770 Im Schwerefeld heißt es, die Erdbeschleunigung G wirkt nach unten in 15:23.770 --> 15:26.630 dem Falle. 15:27.210 --> 15:31.550 Und wenn wir mal die einzelnen Kräfte einzeichnen, die auf den 15:31.550 --> 15:37.650 Massenpunkt wirken, dann wissen wir, es wirkt eine Gewichtskraft G, 15:37.930 --> 15:39.510 vertikal nach unten. 15:46.570 --> 15:48.270 Bis gerade MLG. 15:52.900 --> 16:00.680 Wir haben eine Normalkraft von der Kreisbahn auf den Massenpunkt, die 16:00.680 --> 16:03.560 entspricht einer Zwangskraft, die eben den Massenpunkt auf der 16:03.560 --> 16:04.360 Kreisbahn hält. 16:09.970 --> 16:13.790 Wenn zwischen Massenpunkt und Bahn Reibung vorliegt, dann wirkt eine 16:13.790 --> 16:18.390 Reibkraft entgegen der Bewegung, das wäre in dem Fall eine Tangential. 16:23.630 --> 16:30.210 Und wir nehmen an, wir haben zusätzlich noch eine Antriebskraft, die 16:30.210 --> 16:39.870 Tangentialverlaufe, also mit Antriebskraft nennen 16:44.020 --> 16:46.180 wir die mal FA 16:51.680 --> 16:54.720 -Tangential. 16:57.200 --> 17:06.180 Das heißt, wir haben dann zusätzlich noch die Kraft FA. 17:09.770 --> 17:15.310 Gesucht ist jetzt die Arbeit all dieser am Massenpunkt angreifenden 17:15.310 --> 17:34.490 Kräfte, die Arbeit W aller Kräfte oder aller äußeren Kräfte. 17:42.720 --> 17:52.320 Das sind dann die Kraft G, die Kraft N, die Kraft R und das FA. 17:54.460 --> 18:00.020 Und wir wissen, die Gesamtkraft aller Kräfte oder die Summe aller 18:00.020 --> 18:14.140 Kräfte ist dann gerade G plus N plus R plus FA. 18:19.710 --> 18:22.230 Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, dies zu machen. 18:23.190 --> 18:30.530 Zum einen, indem wir das Ganze vektoriell machen, zum anderen über 18:30.530 --> 18:32.070 eine skalare Vorgehensweise. 18:33.110 --> 18:35.770 Das heißt, bei der skalaren Vorgehensweise würden wir uns zwei 18:35.770 --> 18:36.490 Richtungen suchen. 18:37.390 --> 18:41.190 Eine möglichst in Verschiebungsrichtung, die andere senkrecht dazu. 18:42.270 --> 18:46.490 Das können wir an der Stelle machen, indem wir einfach zwei 18:46.490 --> 18:48.050 Einheitsvektoren einführen. 18:50.210 --> 18:54.610 Einmal ein Einheitsvektor, ich zeige den mal hier hin, in radialer 18:54.610 --> 18:56.750 Richtung, ER. 18:58.070 --> 19:00.770 Sie wissen, Einheitsvektoren können wir hinzeichnen, wo wir wollen. 19:00.770 --> 19:08.730 Der andere Vektor dann in Richtung von der Tangente, also in dem Falle 19:08.730 --> 19:09.990 E phi. 19:40.560 --> 19:42.760 Also zwei Lösungsmöglichkeiten. 19:56.180 --> 19:58.740 Zum einen direkt über Skalarprodukte, 20:08.580 --> 20:12.640 das heißt wir stellen die Verschiebung als Vektor auf, wir stellen die 20:12.640 --> 20:16.460 Kraft als Vektor auf, bilden dann das Skalarprodukt rein formal. 20:17.400 --> 20:20.480 Das hat natürlich den Vorteil, dass wir da nicht so viel überlegen 20:20.480 --> 20:20.800 müssen. 20:21.960 --> 20:25.260 Also in komplizierten Fällen ist das dann eher vorzuziehen. 20:42.250 --> 20:45.130 Oder eben über eine skalare Rechnung, 20:53.480 --> 20:56.720 wobei wir dann meist die Richtungen aus der Anschauung entnehmen. 20:57.420 --> 21:06.380 Also mit Richtungen aus der Anschauung machen 21:32.420 --> 21:34.120 wir das zunächst mal über das Skalarprodukt. 21:40.620 --> 21:45.080 Also über das Skalarprodukt. 21:53.020 --> 22:08.980 Wir wissen, die Arbeit ergibt sich als ein Integral F dr von R0 bis 22:08.980 --> 22:09.680 R1. 22:16.850 --> 22:21.830 F ist in dem Falle, jetzt müssen wir mal die Kräfte vektorell 22:21.830 --> 22:22.350 aufstellen. 22:23.770 --> 22:27.950 Machen wir das am besten unter Ausnützung der Einheitsvektoren ER und 22:27.950 --> 22:28.410 E phi. 22:29.050 --> 22:34.390 Dann sehen wir, G, die Gewichtskraft, hat eine Komponente in positive 22:34.390 --> 22:38.230 ER -Richtung, eine negative Komponente in E phi-Richtung. 22:39.850 --> 22:46.430 Also G mal Cosinus phi in R-Richtung. 22:47.450 --> 22:53.590 Minus G mal Sinus phi in phi-Richtung. 22:55.430 --> 22:57.570 Als nächstes haben wir die Kraft N. 22:58.130 --> 23:00.670 Die Kraft N zeigt in negative ER-Richtung. 23:00.670 --> 23:04.230 Also minus N ER. 23:06.230 --> 23:09.890 Dann haben wir die Kraft R, die zeigt in negative phi-Richtung. 23:10.770 --> 23:15.890 Minus R mal E phi. 23:19.560 --> 23:24.720 Bleibt noch die Antriebskraft FA, die zeigt in positive phi-Richtung. 23:25.380 --> 23:28.560 Also plus FA mal E phi. 24:00.050 --> 24:02.250 Wie sieht es aus für die Verschiebung? 24:10.910 --> 24:16.110 DR zeigt in dem Falle in Richtung von E phi. 24:18.390 --> 24:21.430 DR können wir wieder ausdrücken über den Winkel phi. 24:22.490 --> 24:27.070 Also geht in phi-Richtung. 24:29.930 --> 24:34.350 Und die Länge von DR entspricht gerade R0 mal D phi. 24:35.150 --> 24:45.310 Gibt also hier R0 D phi in phi-Richtung. 24:47.650 --> 24:58.210 Das heißt, F skalarmultipliziert mit DR ist R0 mal D phi. 25:04.480 --> 25:10.300 Und man sieht, jetzt wird nur noch alle Kräfte in Richtung von E phi 25:10.300 --> 25:12.500 wichtig, weil dann das Skalarprodukt gerade 1 ergibt. 25:12.500 --> 25:13.580 E phi mit E phi. 25:14.120 --> 25:16.840 E phi skalarmultipliziert mit ER ergibt 0. 25:17.560 --> 25:20.840 Das heißt, da bleibt stehen minus G mal Sinus phi. 25:25.180 --> 25:31.050 Dann haben wir minus R plus FA. 25:42.340 --> 25:48.600 Also letztlich für die Arbeit W 25:55.830 --> 26:05.150 gleich Integral von F DR von R0, 26:08.230 --> 26:13.290 wobei das R0 jetzt nicht den Betrag R0 haben soll, sondern das heißt 26:13.290 --> 26:19.290 einfach von hier unten bis zu einem allgemeinen Punkt R1. 26:21.490 --> 26:30.290 Setzen wir das ein, dann ergibt das R0 D phi, also R0 mal minus G 26:30.290 --> 26:39.690 Sinus phi minus R plus FA mal D phi. 26:41.670 --> 26:45.690 In dem Falle integrieren wir von phi gleich 0. 26:50.490 --> 26:52.710 Bis zu einem allgemeinen Winkel phi. 26:53.470 --> 26:55.670 Wenn wir das dann streng mathematisch machen wollen, müssen wir 26:55.670 --> 26:58.490 natürlich die Integrationsvariable von der Integrationsgrenze 26:58.490 --> 26:59.070 unterscheiden. 26:59.570 --> 27:02.570 Also können wir da D phi quer einsetzen. 27:05.930 --> 27:07.850 Wir sehen, die Antriebskraft, die war konstant. 27:09.210 --> 27:13.750 Die Gewichtskraft, auch die ist natürlich konstant, wie sieht es aus 27:13.750 --> 27:14.510 mit der Reibkraft? 27:15.870 --> 27:18.930 Die Reibkraft hängt ab von der Normalkraft. 27:19.830 --> 27:24.510 Das kann man sich vorstellen, die Normalkraft, die wiederum hängt ab 27:24.510 --> 27:27.090 als Zwangskraft von der Bewegung selbst. 27:28.870 --> 27:32.990 Also an der Stelle dürfen wir die Integration nicht so ohne weiteres 27:32.990 --> 27:33.610 ausführen. 27:34.490 --> 27:40.130 Stattdessen müssen wir erstmal die Newton'sche Grundgleichung in 27:40.130 --> 27:45.490 Querrichtung anwenden, um eben die Normalkraft zu bestimmen. 27:47.010 --> 27:50.170 Wie ergibt sich die? 27:50.170 --> 27:53.630 Wie ergibt sich die? 27:55.530 --> 28:07.350 Also N aus Newton'schem Grundgesetz. 28:12.750 --> 28:23.690 Wir wissen, in radialer Richtung gilt Fr gleich Masse mal der 28:23.690 --> 28:25.410 Beschleunigung in radialer Richtung. 28:26.410 --> 28:28.750 Die Kraft in radialer Richtung, 28:32.150 --> 28:39.970 das sehen wir, da haben wir gerade M mal G mal Cosinus phi. 28:45.430 --> 28:54.130 Wir haben in negative radiale Richtung die Normalkraft N, Minus N, 28:56.730 --> 28:59.970 sonst haben wir keine Kräfte in radialer Richtung, gleich. 29:03.760 --> 29:08.620 Und jetzt die Beschleunigung in radialer Richtung. 29:11.800 --> 29:12.760 Wer sieht es? 29:13.220 --> 29:15.640 Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn. 29:15.640 --> 29:19.000 Die Kreisbahn hat einen konstanten Radius, nämlich gerade R0. 29:19.520 --> 29:23.700 Damit wird der Massenpunkt ständig in Richtung des Mittelpunktes 29:23.700 --> 29:24.360 beschleunigt. 29:25.180 --> 29:29.640 Und zwar mit einer Beschleunigung R0 mal phi Punkt Quadrat. 29:30.880 --> 29:42.120 Also gleich Minus M mal R0 phi Punkt Quadrat infolge der 29:42.120 --> 29:44.080 Zentripetalbeschleunigung des Massenpunktes. 29:45.080 --> 29:47.680 Daraus folgt die Normalkraft, 30:22.510 --> 30:40.210 nämlich N gleich G mal Cosinus phi plus M R0 phi Punkt Quadrat. 30:40.310 --> 30:43.010 Und man sieht, gerade der letzte Anteil, der hängt von der Bewegung 30:43.010 --> 30:43.210 ab. 30:46.790 --> 30:52.010 Die Reibkraft und der Annahme, dass das kulinarische Reibgesetz gilt, 30:52.670 --> 31:12.190 ist dann My mal N, also gerade My mal G Cosinus phi plus M R0 phi 31:12.190 --> 31:13.070 Punkt Quadrat. 31:13.070 --> 31:16.430 Und man sieht, das phi Punkt Quadrat, das hängt von der Bewegung ab, 31:17.090 --> 31:21.190 sodass letztendlich, wenn wir die Arbeit bestimmen, der Integrant noch 31:21.190 --> 31:22.370 von der Bewegung abhängt. 31:24.290 --> 31:31.050 Falls wir voraussetzen, dass die Fliehkraft, das M R0 phi Punkt 31:31.050 --> 31:37.370 Quadrat, dass dieser Anteil vernachlässigbar ist im Vergleich zum 31:37.370 --> 31:42.390 Anteil der Gewichtskraft, dann wird es wieder einfacher. 31:48.700 --> 31:57.340 Also, falls Fliehkrafteinfluss 32:03.890 --> 32:21.160 vernachlässigbar, das heißt M R0 phi Punkt Quadrat, sehr viel kleiner 32:21.160 --> 32:24.280 als G mal Cosinus phi, 32:32.400 --> 32:43.220 dann ergibt sich für die Arbeit W gleich Integral von 0 bis phi, und 32:43.220 --> 32:48.320 dann haben wir drin stehen, minus G Sinus phi, 32:53.670 --> 33:05.130 minus, und R war My, mal G mal Cosinus phi, minus M, das haben wir 33:05.130 --> 33:07.970 vernachlässigt, also plus F A, 33:11.240 --> 33:14.520 D phi quer, hier haben wir noch ein phi quer, da haben wir ein phi 33:14.520 --> 33:21.020 quer, so dass sich letztendlich ergibt, 33:26.370 --> 33:40.070 das integriert ergibt gerade G mal Cosinus phi, minus My mal G mal 33:40.070 --> 33:50.010 Sinus phi, plus F A mal phi, allerdings überall phi quer, gehen wir 33:50.010 --> 33:52.730 noch die Grenzen an, nämlich 0 und phi, 34:20.910 --> 34:33.150 also das ergibt obere Grenze phi eingesetzt, G mal Cosinus phi, minus 34:33.150 --> 34:37.150 My mal G mal Sinus phi, G mal Cosinus phi, 35:14.440 --> 35:24.200 also G mal Cosinus phi, minus My mal G mal Sinus phi, plus F A mal 35:24.200 --> 35:33.330 phi, minus untere Grenze eingesetzt, und da sehen wir, untere Grenze 35:33.330 --> 35:36.930 eingesetzt ergibt beim G minus 1, 35:40.190 --> 35:45.570 beim Sinus phi ergibt die untere Grenze 0, beim F A mal phi quer 35:45.570 --> 35:49.790 ergibt die untere Grenze 0, also fehlt an der Stelle nur noch das R0, 35:56.300 --> 36:01.300 so dass sich insgesamt die Arbeit ergibt zu, fangen wir mal mit der 36:01.300 --> 36:12.460 Antriebskraft an, F A mal R0 mal phi, dann haben wir minus, ich drehe 36:12.460 --> 36:20.060 es mal um, G mal R0 mal 1 minus Cosinus phi, 36:29.860 --> 36:38.740 und zum Schluss noch minus My mal G mal R0 mal Sinus phi. 36:42.860 --> 36:47.720 Also wir haben eine Antriebskraft, G mal R0, 36:51.340 --> 36:55.500 1 minus Cosinus phi, das sehen wir, 36:59.380 --> 37:05.300 das entspricht letztendlich gerade, das R0 mal 1 minus Cosinus phi, 37:06.240 --> 37:07.600 das entspricht der Höhe h, 37:20.260 --> 37:25.400 also je größer das h wird, desto mehr ziehen wir ab, und auch die 37:25.400 --> 37:28.820 Reibung ist in dem Fall eine negative Arbeit. 37:33.060 --> 37:34.980 Gibt es soweit Fragen? 37:37.620 --> 37:40.680 Also Arbeit am Massenpunkt wird verrichtet zum einen durch die 37:40.680 --> 37:48.720 Antriebskraft, aber negative Arbeit infolge des Gewichtes, weil der 37:48.720 --> 37:54.080 Massenpunkt angehoben wird um die Höhe h, und negative Arbeit aufgrund 37:54.080 --> 37:56.000 der Reibung, der trockenen Reibung. 38:07.410 --> 38:11.090 Wenn wir das Ganze über eine Skalare Auswertung machen, 38:26.370 --> 38:29.350 dann greifen wir uns einfach nochmals den Massenpunkt heraus, 38:35.460 --> 38:44.280 wir haben hier den Winkel phi, wir haben den Massenpunkt, die am 38:44.280 --> 38:47.320 Massenpunkt angreifenden Kräfte, 38:50.580 --> 39:03.250 G, F, A, R und N. 39:08.050 --> 39:18.090 Die Verschiebung ist in dem Falle in Richtung von F, A, nämlich gerade 39:18.090 --> 39:22.150 R0 mal d phi. 39:23.770 --> 39:26.890 Wie gesagt, die Richtung haben wir jetzt aus der Anschauung, weil sich 39:26.890 --> 39:28.930 der Massenpunkt auf der Kreisbahn bewegt. 39:30.070 --> 39:34.230 Das heißt, was jetzt wichtig wird, ist lediglich noch eine Zerlegung 39:34.230 --> 39:40.290 der Gewichtskraft in den Anteil in Richtung von R0 d phi und einen 39:40.290 --> 39:41.550 Anteil senkrecht dazu. 39:44.290 --> 39:50.130 Und die Arbeit ergibt sich in dem Falle als Integral, was haben wir 39:50.130 --> 39:50.730 als Kraft? 39:51.150 --> 39:59.330 Kraft in Richtung der Verschiebung haben wir F, A, minus R, minus G 39:59.330 --> 40:07.770 mal, und da haben wir den Sinus vom Winkel phi, also G mal Sinus phi. 40:10.410 --> 40:13.350 Das multipliziert mit der Verschiebung R0 d phi, 40:19.090 --> 40:21.290 müssen dann wieder integrieren von z.B. 40:21.410 --> 40:27.050 phi gleich 0 bis zu einem beliebigen Winkel phi, unterscheiden auch 40:27.050 --> 40:30.850 hier natürlich Integrationsvariable und obere Grenze. 40:31.890 --> 40:38.010 Und man sieht, letztendlich ergibt sich auch hier dasselbe Ergebnis 40:38.010 --> 40:51.430 wie bei der vektoriellen Auswertung, also Ergebnis siehe oben. 40:59.950 --> 41:05.790 Was man an dem Beispiel auch sieht ist, dass die Zwangskraft, die dazu 41:05.790 --> 41:09.730 führt, dass der Massenpunkt immer auf der Bahn bleibt, dass die keine 41:09.730 --> 41:11.170 Arbeit leistet. 41:12.170 --> 41:18.250 Also auch hier 41:22.010 --> 41:35.430 Zwangskraft N leistet keine Arbeit. 41:49.360 --> 41:50.840 Gibt es soweit Fragen? 41:53.680 --> 41:56.740 Die Definition der Arbeit, die müssten Sie eigentlich auch in Thema 1 41:56.740 --> 41:59.440 schon ein bisschen gehabt haben, wenn es um die virtuelle Arbeit geht, 42:00.200 --> 42:03.160 wo Sie ein System haben, was dann einfach virtuell verschoben wird, 42:03.300 --> 42:07.100 auch dort ist wichtig, wie groß ist der Anteil der virtuellen 42:07.100 --> 42:14.360 Verschiebung in Richtung der Kraft oder wie groß ist die Verdrehung in 42:14.360 --> 42:15.540 Richtung eines Momentes. 42:16.200 --> 42:18.460 Das führt dann eventuell zu einer virtuellen Arbeit. 42:18.460 --> 42:22.180 Hier haben wir einfach nochmals die Arbeit von der Kraft. 42:26.590 --> 42:30.950 Nun, wenn man das ein bisschen weiter spinnt, dann wissen Sie, nicht 42:30.950 --> 42:33.570 nur die Arbeit ist wichtig, sondern auch die Leistung. 42:33.670 --> 42:34.490 Was ist die Leistung? 42:39.530 --> 42:41.050 Wer kennt die Definition der Leistung? 42:43.670 --> 42:44.710 Arbeit pro Zeit. 42:46.390 --> 42:50.430 Also ist das eigentlich gerade die Ableitung der Arbeit nach der Zeit, 42:50.510 --> 42:50.570 oder? 42:58.180 --> 43:10.600 Also, wenn Zeitbezug wichtig ist, dann haben wir die Leistung. 43:21.170 --> 43:22.290 Wie würden Sie das jetzt machen? 43:26.670 --> 43:28.510 Die Arbeit ist Kraft mal Weg, oder? 43:34.610 --> 43:41.170 Also, W ist F mal S. 43:45.610 --> 43:51.810 Das heißt, P gleich W, Punkt. 43:52.830 --> 43:53.590 Wäre dann, 44:00.510 --> 44:01.250 wer wagt es? 44:08.320 --> 44:08.440 Wie? 44:10.280 --> 44:13.360 Ja, wenn wir das doch ableiten, F mal S, was gibt denn das? 44:14.480 --> 44:15.040 Wie? 44:16.240 --> 44:17.360 Dann ist F Punkt. 44:22.590 --> 44:29.210 Also, wenn ich F mal S ableite, dann gibt doch das eigentlich F mal S, 44:29.310 --> 44:34.490 Punkt, plus F Punkt mal S, oder? 44:37.950 --> 44:40.390 Jetzt ist die Frage, ist das wirklich die Leistung? 44:48.980 --> 44:53.360 Also, wenn man es sich mal richtig überlegt, wenn ich das S konstant 44:53.360 --> 44:56.600 lasse und nur die Kraft, das F Punkt, was passiert dann? 44:59.020 --> 45:02.140 Dann werde ich wahrscheinlich keine Leistung haben, oder? 45:03.140 --> 45:04.320 Also, wo liegt der Knackpunkt? 45:06.900 --> 45:12.660 Und der Knackpunkt liegt oben, dass wir hatten, W gleich Integral 45:19.410 --> 45:22.630 F dr. 45:28.320 --> 45:51.510 Das heißt, das dW ist dann F dr. Damit P gleich dW nach dt ist einfach 45:51.510 --> 46:03.850 F mal dr nach dt oder F skalar multipliziert mit der Geschwindigkeit. 46:05.370 --> 46:12.590 Oder, wenn wir wieder den Winkel Alpha einführen zwischen dr, oder in 46:12.590 --> 46:16.050 dem Fall zwischen der Geschwindigkeit und der Kraft, dann wäre das 46:16.050 --> 46:21.750 gerade F mal Cosinus Alpha mal V. 46:23.350 --> 46:30.410 Also, lange Rede, kurzer Sinn, Sie müssen von der Definition der 46:30.410 --> 46:32.410 differenziellen Arbeit ausgehen. 46:32.410 --> 46:36.710 Also, das streichen wir mal irgendwie wieder durch. 46:45.930 --> 46:47.130 Das war die Leistung, 46:51.170 --> 46:56.190 welche eine Dimension hat, Newtonmeter pro Sekunde, 47:00.530 --> 47:09.530 beziehungsweise Watt, nicht zu verwechseln mit der Arbeit, also in 47:09.530 --> 47:13.430 einem Fall heißt es Watt, wenn es eine Einheit ist, im anderen Fall, 47:13.890 --> 47:20.870 hier heißt es Arbeit, oder eben, einen Newtonmeter haben wir 47:20.870 --> 47:24.570 vielleicht noch vergessen anzugeben, wäre gerade ein Joule pro 47:24.570 --> 47:25.030 Sekunde. 47:29.700 --> 47:34.080 Die Sonderfälle, die dabei auftreten können, dass also die Kraft 47:34.080 --> 47:38.620 gerade senkrecht auf der Geschwindigkeit steht, beziehungsweise, dass 47:38.620 --> 47:42.980 die Kraft gerade in Richtung der Geschwindigkeit zeigt, die existieren 47:42.980 --> 47:47.520 nach wie vor wie schon bei der Arbeit, also Sonderfälle 47:53.970 --> 48:02.190 dieselben wie bei der Arbeit. 48:10.230 --> 48:14.450 Was eventuell auch wichtig ist im Zusammenhang mit Arbeit 48:14.450 --> 48:21.390 beziehungsweise Leistung, das ist der Wirkungsgrad dann. 48:31.180 --> 48:36.480 Wirkungsgrad, der kennzeichnet eben die Verluste, 48:59.050 --> 49:07.370 den bezeichnen wir mit Eta und Eta ist dann gerade die genutzte 49:07.370 --> 49:21.310 Leistung, im Verhältnis zur zugeführten Leistung oder 49:32.280 --> 49:39.840 eben anders ausgedrückt als Pn-Nutzleistung durch Pz, zugeführte 49:39.840 --> 49:40.300 Leistung. 49:42.940 --> 49:48.880 Man sieht, die Einheit des Wirkungsgrades ist natürlich gerade 1, der 49:48.880 --> 49:52.440 ist dimensionslos und 49:59.660 --> 50:04.960 angestrebt ist, den Wirkungsgrad natürlich möglichst hoch zu halten. 50:08.280 --> 50:21.660 Also Eta gleich 1 ist angestrebt, aber eben in Realität ist Eta 50:21.660 --> 50:24.020 kleiner als, 50:28.100 --> 50:32.000 sei es in irgendeinem Getriebe oder sonst wo. 50:39.870 --> 50:43.310 Kommen wir zurück zu unserer Grundgleichung. 50:44.370 --> 50:46.790 Wir haben jetzt die linke Seite der Grundgleichung, nämlich das 50:46.790 --> 50:54.170 Integral über die Kraft, integriert über den Weg, ausführlich 50:54.170 --> 50:55.610 betrachtet. 50:56.270 --> 51:02.810 Auf der rechten Seite haben wir jetzt Integral über MR2.DR von R0 bis 51:02.810 --> 51:06.890 R1 und auch das können wir ein bisschen umformen. 51:13.800 --> 51:38.270 Also jetzt rechte Seite von Integral FDR gleich Integral MR2.DR, die 51:38.270 --> 51:39.530 Integrationsgrenzen lasse ich mal weg, 51:52.370 --> 51:59.330 der Tafelwischer, Sie können mal ab hier das rüber und die rechten 51:59.330 --> 52:00.570 zwei oberen wischen. 52:15.920 --> 52:20.700 Beziehungsweise das Beispiel wegwischen und das hier können Sie alles 52:20.700 --> 52:21.140 wegwischen. 52:22.600 --> 52:26.140 Die Tafel ganz und die oberen zwei linken lassen Sie stehen. 52:28.420 --> 52:31.560 Also hier unten alles weg, oben nur die zwei rechten. 52:35.380 --> 52:47.780 Wir haben also Integral von R0 bis R1 MR2.DR, 52:58.180 --> 53:06.420 erweitern wir im Integrant mit DT, dann haben wir jetzt ein Integral 53:06.420 --> 53:15.340 MR2.DR dividiert durch DT. 53:16.460 --> 53:21.900 DT müssen dann entsprechend die Integrationsgrenzen anpassen, nämlich 53:21.900 --> 53:24.520 T0 bis T1. 53:28.370 --> 53:34.690 Wir sehen DR nach DT, das ergibt gerade R Punkt, ist also ein Integral 53:34.690 --> 53:49.050 MR2 Punkt skalar multipliziert mit R Punkt DT von T0 bis T1. 53:49.050 --> 53:56.530 Das ist R2 Punkt mal R Punkt, das entspricht aber gerade der Ableitung 53:56.530 --> 54:06.100 von R Punkt Quadrat Halbe. 54:07.100 --> 54:13.660 Wenn wir das ableiten, ergibt das zweimal R Punkt Halbe, das gibt R 54:13.660 --> 54:17.200 Punkt, mal innere Ableitung, das ergibt R2 Punkt. 54:18.000 --> 54:22.360 Es gibt also gerade R2 Punkt skalar multipliziert mit R Punkt. 54:22.360 --> 54:35.780 Also steht hier, und ich ziehe schon mal das M Halbe jetzt raus, 54:37.260 --> 54:47.140 Integral von T0 bis T1, und dann haben wir drinstehen, DR Punkt 54:47.140 --> 54:51.860 Quadrat nach DT. 54:54.320 --> 54:59.920 Man sieht, das DT fällt jetzt wieder weg, es bleibt übrig ein 54:59.920 --> 55:00.580 Integral. 55:03.870 --> 55:10.430 Und ich mache jetzt nur noch Zustand 0 bis Zustand 1, das M Halbe 55:10.430 --> 55:24.050 haben wir davor, DR Punkt Quadrat integriert ergibt aber gerade R 55:24.050 --> 55:34.990 Punkt Quadrat, multipliziert mit dem Vorfaktor M Halbe, einmal Zustand 55:34.990 --> 55:45.890 0, einmal Zustand 1, also ergibt das gerade M Halbe mal R am Punkt 1 55:45.890 --> 55:53.230 Punkt Quadrat minus R am Punkt 0 Punkt zum Quadrat. 55:59.650 --> 56:07.150 R Punkt beim Punkt 1 ist gerade die Geschwindigkeit am Punkt 1, also 56:07.150 --> 56:16.410 haben wir hier M Halbe V am Punkt 1 zum Quadrat minus V am Punkt 0 zum 56:16.410 --> 56:16.910 Quadrat. 56:18.390 --> 56:24.890 Das heißt, wir haben uns jetzt eine Größe hergeleitet, M Halbe mal V 56:24.890 --> 56:30.630 Quadrat, dann haben wir die Größe einmal am Punkt 1, einmal am Punkt 56:30.630 --> 56:30.870 0. 56:32.030 --> 56:37.750 Das heißt, wir definieren uns jetzt die sogenannte kinetische Energie, 56:58.000 --> 57:05.580 gehen wir dann in Buchstaben, T ist dann gerade 1 Halb mal M, also M 57:05.580 --> 57:15.480 Halbe mal V zum Quadrat und V Quadrat ist dasselbe wie Betrag der 57:15.480 --> 57:20.200 Geschwindigkeit zum Quadrat, also M Halbe V Quadrat, also eine 57:20.200 --> 57:21.020 eskalare Größe. 57:21.020 --> 57:23.580 Auch 57:26.870 --> 57:37.810 hiervon ist dann die Einheit gerade 1 Kilogramm Meter Quadrat pro 57:37.810 --> 57:44.890 Sekunde Quadrat, also gerade Newtonmeter beziehungsweise Joule. 58:00.640 --> 58:05.400 Schauen wir wieder unser Ausgangsproblem an. 58:06.860 --> 58:12.860 Wir haben Integral F dr integriert von R0 bis R1 gleich rechte Seite 58:12.860 --> 58:16.580 MR2.dr integriert von R0 bis R1. 58:33.060 --> 58:45.720 Also können wir schreiben, Integral von R0 bis R1 F Skala dr ist 58:45.720 --> 58:46.240 gerade. 58:47.120 --> 58:50.660 Jetzt die rechte Seite, haben wir gesehen, die können wir ersetzen 58:50.660 --> 59:07.480 durch T1 minus T0 beziehungsweise M Halbe V1 Quadrat minus M Halbe V0 59:07.480 --> 59:08.120 Quadrat. 59:10.080 --> 59:16.720 Wenn wir die linke Seite noch ersetzen durch die Arbeit W der äußeren 59:16.720 --> 59:23.100 Kräfte, die wir oben eingeführt haben, dann ergibt sich der 59:23.100 --> 59:30.460 Arbeitssatz in der Form W gleich T1 minus T0. 59:33.260 --> 59:37.520 Also eine skalare Aussage, die Arbeit ist eine skalare Größe, 59:38.180 --> 59:43.580 kinetische Energie am Punkt 1 beziehungsweise am Punkt 0, auch das 59:43.580 --> 59:45.000 sind skalare Größen. 01:00:04.770 --> 01:00:09.330 Eine skalare Aussage und 01:00:14.820 --> 01:00:22.280 Sie sehen, in unserer Ausgangsgleichung F gleich MR2 Punkt, da trat 01:00:22.280 --> 01:00:25.740 die zweite Zeitableitung des Ortsvektors auf. 01:00:27.820 --> 01:00:36.580 Wenn wir an der Stelle die kinetische Energie zum Zeitpunkt 0 oder am 01:00:36.580 --> 01:00:42.540 Punkt 0 kennen, dann sehen wir, falls wir die Arbeit der Kräfte 01:00:42.540 --> 01:00:48.520 bestimmen können, erhalten wir jetzt sogar eine Aussage für T1. 01:00:48.520 --> 01:00:53.080 Das T1 hängt aber mit der Geschwindigkeit zusammen, also letztendlich 01:00:53.080 --> 01:00:56.460 mit der ersten Ableitung des Ortsvektors. 01:00:57.380 --> 01:01:03.660 Also wir haben implizit jetzt schon die Grundgleichung einmal hoch 01:01:03.660 --> 01:01:04.200 integriert. 01:01:06.270 --> 01:01:08.740 Wir müssen also nicht bei den Beschleunigungen starten, sondern bei 01:01:08.740 --> 01:01:09.540 den Geschwindigkeiten. 01:01:16.250 --> 01:01:19.010 Wir sehen, der Arbeitssatz sagt einfach aus. 01:01:20.730 --> 01:01:25.670 Die Arbeit, welche die Kräfte am Massenpunkt verrichten, entspricht 01:01:25.670 --> 01:01:28.570 gerade der Differenz der kinetischen Energien. 01:01:35.550 --> 01:01:50.210 Also Arbeit der Kräfte am Massenpunkt gleich Differenz der 01:01:55.130 --> 01:01:59.750 kinetischen Energien. 01:02:07.950 --> 01:02:18.010 Und der Arbeitssatz, wie wir ihn hier stehen haben, ist besonders 01:02:18.010 --> 01:02:23.410 hilfreich, wenn wir an einer zeitfreien Lösung interessiert sind. 01:02:27.210 --> 01:02:28.470 Also 01:02:31.950 --> 01:02:36.810 Arbeitssatz ist hilfreich, 01:02:47.830 --> 01:02:50.930 wenn eine zeitfreie Lösung 01:03:01.330 --> 01:03:06.570 gesucht ist und 01:03:18.880 --> 01:03:22.980 dabei der Anfangszustand bekannt ist und ein allgemeiner Endzustand 01:03:22.980 --> 01:03:24.500 dann von Interesse ist. 01:03:34.060 --> 01:03:35.680 Machen wir mal ein Beispiel. 01:03:52.170 --> 01:03:59.490 Also wir betrachten einen Massenpunkt auf einer schiefen Ebene, 01:04:03.500 --> 01:04:07.680 wobei zwischen dem Massenpunkt und der schiefen Ebene noch Reibung 01:04:07.680 --> 01:04:08.520 vorliegen soll. 01:04:09.520 --> 01:04:15.280 Deshalb auf grauer, schiefer Ebene. 01:04:26.400 --> 01:04:29.990 Die schiefe Ebene wird gekennzeichnet durch den Neigungswinkel Alpha, 01:04:31.150 --> 01:04:37.690 die Reibung durch die Reibzahl µ und gegeben sei die 01:04:37.690 --> 01:04:39.370 Anfangsgeschwindigkeit V0. 01:05:00.330 --> 01:05:06.790 Das heißt, wir haben irgendwo die schiefe Ebene, Neigungswinkel Alpha, 01:05:12.240 --> 01:05:13.640 wir haben den Massenpunkt, 01:05:19.740 --> 01:05:24.140 haben die Anfangslage 01:05:28.390 --> 01:05:41.510 S0, also hier haben wir Zustand 0, haben irgendwo eine allgemeine 01:05:41.510 --> 01:05:51.510 Lage, das wäre das S1, 01:05:55.780 --> 01:05:58.680 also Zustand 1. 01:05:59.680 --> 01:06:07.720 Der Massenpunkt hat die Masse m, wir haben gesagt, auf der schiefen 01:06:07.720 --> 01:06:14.880 Ebene oder zwischen Massenpunkt und schiefer Ebene haben wir den 01:06:14.880 --> 01:06:16.000 Reibkoeffizient µ. 01:06:20.670 --> 01:06:22.310 Wie lösen wir das Problem? 01:06:26.190 --> 01:06:28.910 Nun zuerst mal, was ist überhaupt gesucht? 01:06:33.240 --> 01:06:37.000 Gesucht ist die Geschwindigkeit im Zustand 1, 01:06:40.930 --> 01:06:50.990 also Geschwindigkeit V1 nach einer Strecke, 01:06:55.710 --> 01:07:01.310 die zwischen 0 und 1 liegt, also S1 minus S0. 01:07:05.100 --> 01:07:08.380 Die Lösung soll über den Arbeitssatz erfolgen, 01:07:11.830 --> 01:07:28.770 also Lösung über den Arbeitssatz, das heißt, die Arbeit aller äußeren 01:07:28.770 --> 01:07:34.350 Kräfte muss gerade entsprechen der Differenz der kinetischen Energien 01:07:34.350 --> 01:07:42.530 am Endzustand und am Anfangszustand, also T1 minus T0. 01:07:43.390 --> 01:07:46.750 Das heißt, um den Arbeitssatz auszuwerten, brauchen wir zunächst mal 01:07:46.750 --> 01:07:52.130 die kinetischen Energien T1 und T0, sowie die Arbeit W der äußeren 01:07:52.130 --> 01:08:16.170 Kräfte, also wir brauchen die kinetischen Energien T0 bzw. 01:08:16.510 --> 01:08:17.210 T1. 01:08:17.960 --> 01:08:28.970 Da wissen wir, T0 ist gerade m halbe mal Geschwindigkeit am Zustand 0 01:08:28.970 --> 01:08:30.090 zum Quadrat. 01:08:31.110 --> 01:08:36.310 Die Geschwindigkeit V0 ist aber bekannt, damit ist auch die kinetische 01:08:36.310 --> 01:08:37.210 Energie bekannt. 01:08:40.250 --> 01:08:50.110 Die kinetische Energie am Zustand 1 entsprechend m halbe V1 Quadrat, 01:08:51.850 --> 01:08:55.810 wobei V1 in dem Falle noch unbekannt ist, 01:08:59.000 --> 01:09:01.120 weil es gerade die gesuchte Größe ist. 01:09:08.690 --> 01:09:11.830 Was wir sonst noch brauchen, ist die Arbeit W der äußeren Kräfte. 01:09:13.710 --> 01:09:31.390 Da wissen wir, W ist Integral F dr von R0 bis R1 und in unserem Falle 01:09:31.390 --> 01:09:40.870 haben wir nur eine Koordinate S, also können wir in dem Falle 01:09:40.870 --> 01:09:47.370 schreiben, das ist gerade Integral über alle Kräfte in Richtung von S, 01:09:47.890 --> 01:09:55.470 also parallel zur schiefen Ebene, mal dS integriert von S0 bis S1. 01:09:55.470 --> 01:09:58.170 F 01:10:11.830 --> 01:10:21.970 ist in dem Falle die Gewichtskraft plus 01:10:25.070 --> 01:10:35.930 die Normalkraft von der schiefen Ebene auf den Massenpunkt plus die 01:10:35.930 --> 01:10:36.630 Reibkraft. 01:10:45.810 --> 01:10:52.750 Die Gewichtskraft können wir zerlegen in eine Kraft in Richtung von S, 01:10:53.090 --> 01:10:55.010 nämlich G mal 01:11:01.080 --> 01:11:11.920 Sinusalpha in Richtung von S, plus, 01:11:17.110 --> 01:11:18.650 ich zeichne jetzt nochmal, 01:11:24.500 --> 01:11:29.440 En und Es, da müssen wir hier allerdings mal ein Minus, 01:11:32.880 --> 01:11:43.260 G mal Cosinusalpha En, die Normalkraft auf den Massenpunkt, die wirkt 01:11:43.260 --> 01:11:52.600 in Richtung von En, also plus N En und die Reibkraft, die wirkt in 01:11:52.600 --> 01:11:59.820 negative Es Richtung, also Minus R mal Es. 01:12:31.400 --> 01:12:38.900 S, Fs, die Kraft in Richtung von Es ist dann gerade G mal Sinusalpha 01:12:41.710 --> 01:12:50.670 minus Reibkraft R, die Reibkraft R, das wissen wir, ist in dem Falle 01:12:50.670 --> 01:12:53.570 Reibkoeffizient µ mal Normalkraft N. 01:12:54.550 --> 01:12:58.170 Die Normalkraft, die erhalten wir über eine Kräftebilanz in Richtung 01:12:58.170 --> 01:13:04.550 von En, das gibt dann gerade Minus G Cosinusalpha plus N gleich 0 oder 01:13:04.550 --> 01:13:18.330 N gleich G mal Cosinusalpha, damit R gleich µ mal G mal Cosinusalpha, 01:13:18.850 --> 01:13:37.290 eingesetzt in Fs erhalten wir Fs gleich G mal Sinusalpha minus µ mal G 01:13:37.290 --> 01:13:38.830 mal Cosinusalpha. 01:13:42.290 --> 01:13:50.590 Damit Arbeit der äußeren Kräfte gleich Integral von S0 bis S1, jetzt 01:13:50.590 --> 01:13:59.250 haben wir drinstehen Fs ds, also G mal Sinusalpha minus µ Cosinusalpha 01:13:59.250 --> 01:14:07.910 ds, man sieht, der Integrant ist unabhängig von S, damit G mal 01:14:07.910 --> 01:14:15.370 Sinusalpha minus µ Cosinusalpha mal S1 minus S0. 01:14:25.810 --> 01:14:28.330 Eingesetzt in den Arbeitssatz 01:14:33.930 --> 01:14:47.870 erhalten wir G mal Sinusalpha minus µ Cosinusalpha mal S1 minus S0 01:14:47.870 --> 01:14:56.610 gleich, das war die Arbeit der äußeren Kräfte, gleich T1 minus T0, 01:14:56.790 --> 01:15:04.410 also m halbe V1 Quadrat minus m halbe V0 Quadrat. 01:15:07.630 --> 01:15:11.530 Wir sehen, alle Größen sind jetzt bekannt bis auf die Geschwindigkeit 01:15:11.530 --> 01:15:12.290 V1. 01:15:14.810 --> 01:15:18.630 Wenn wir die Gewichtskraft ersetzen durch m mal G, dann können wir 01:15:18.630 --> 01:15:22.250 sogar auf beiden Seiten der Gleichung des m herauskürzen. 01:15:23.410 --> 01:15:30.930 Wir addieren ein halb V0 Quadrat auf der linken Seite, können dann 01:15:30.930 --> 01:15:36.850 nach V1 Quadrat auflösen und erhalten so, 01:15:44.490 --> 01:16:01.670 also Auflösung ergibt V1 Quadrat gleich V0 Quadrat plus 2 mal G mal 01:16:01.670 --> 01:16:21.570 Sinusalpha minus µ Cosinusalpha mal S1 minus S0 oder V1 gleich V0 01:16:22.940 --> 01:16:34.440 Quadrat plus 2G Sinus Alpha minus Mykosinus Alpha mal S1 minus S0 und 01:16:34.440 --> 01:16:38.360 daraus die Wurzel. 01:16:40.700 --> 01:16:44.380 Also die Geschwindigkeit ergibt sich zum einen aus einer 01:16:44.380 --> 01:16:46.740 Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 0. 01:16:48.100 --> 01:16:53.220 Dann haben wir in dem Falle antreibend die Hangabtriebskraft, bremsend 01:16:53.220 --> 01:16:55.080 allerdings die Reibkraft. 01:16:59.410 --> 01:17:02.670 Und wir haben gesehen, das Beispiel ist typisch. 01:17:04.990 --> 01:17:06.930 Es treten nur zwei Zustände auf. 01:17:21.710 --> 01:17:25.130 Die Lösung ist zeitfrei, die Zeit tritt nicht explizit auf. 01:17:38.260 --> 01:17:41.780 Und es treten nur Geschwindigkeiten auf, 01:17:52.040 --> 01:17:53.580 nicht jedoch Beschleunigungen. 01:17:54.260 --> 01:17:57.320 Und bei der Beschleunigung oder bei der Geschwindigkeit, da wüssten 01:17:57.320 --> 01:18:03.840 wir jetzt, V1 ist ja gerade dS oder wenn wir anders ausdrücken, wenn 01:18:03.840 --> 01:18:10.480 wir ein allgemeines S hier einsetzen, dann hätten wir V bei S oder V 01:18:10.480 --> 01:18:11.860 als Funktion von S. 01:18:12.620 --> 01:18:17.660 V ist aber gerade dS nach dt, also letztendlich könnten wir aus der 01:18:17.660 --> 01:18:22.000 Darstellung wieder durch Trennung der Veränderlichen, wie Sie das in 01:18:22.000 --> 01:18:26.900 der Mathematik eigentlich kennengelernt haben sollten, wieder durch 01:18:26.900 --> 01:18:31.900 nochmalige Integration dann auf S als Funktion von der Zeit T kommen. 01:18:33.400 --> 01:18:36.820 Wichtig ist in dem Fall, wir haben zunächst einmal schon integriert. 01:18:37.600 --> 01:18:41.360 Wir haben keine Aussage für die Beschleunigung, sondern in dem Fall 01:18:41.360 --> 01:18:42.480 schon für die Geschwindigkeit. 01:19:01.170 --> 01:19:03.110 Gibt es soweit noch Fragen? 01:19:04.050 --> 01:19:08.390 Wenn nicht, dann würde ich vielleicht den Tafelwischer bitten, die 01:19:08.390 --> 01:19:14.910 rechten Tafeln und vielleicht die linke Tafel noch kurz zu wischen. 01:19:16.010 --> 01:19:17.030 Fangen Sie da drüben an. 01:19:21.070 --> 01:19:28.730 Wir haben gesagt, bei der Arbeit hängt die Arbeit der Kräfte natürlich 01:19:28.730 --> 01:19:36.070 vom Integranten ab, aber bei ganz allgemeinen Kräften eben auch vom 01:19:36.070 --> 01:19:37.030 gewählten Weg. 01:19:37.450 --> 01:19:41.790 Das heißt, je nachdem, welchen Weg ich zurücklege, nimmt die Arbeit 01:19:41.790 --> 01:19:43.490 einen anderen Wert an. 01:19:44.850 --> 01:19:49.150 Allerdings wird es vielleicht Sonderfälle geben, bei denen die Arbeit 01:19:49.150 --> 01:19:53.810 gar nicht mehr vom Weg abhängt, sondern zum Beispiel nur noch von 01:19:53.810 --> 01:19:55.370 Anfangs - und Endpunkt. 01:20:23.400 --> 01:20:36.520 Kommen wir damit zu den Begriffen Potential- und Energiesatz. 01:20:49.180 --> 01:20:51.340 Wir haben gesehen, die Arbeit W, 01:20:57.360 --> 01:21:05.740 die haben wir definiert als Integral f, skalarmultipliziert dr. f ist 01:21:05.740 --> 01:21:09.740 ein Vektor mit Komponenten in x-, y- und z-Richtung. 01:21:10.280 --> 01:21:15.160 dr ist eine Verschiebung mit Komponenten in x-, y- und z-Richtung. 01:21:15.160 --> 01:21:18.980 Also wenn wir das Skalarprodukt ausführen, erhalten wir in dem Falle 01:21:18.980 --> 01:21:34.190 gerade fx dx plus fy dy plus fz dz. 01:21:35.290 --> 01:21:39.230 Wie gesagt, ausgehend davon, dass die Kraft dargestellt werden kann 01:21:39.230 --> 01:21:43.310 als fx mal ex plus fy mal ey plus fz mal ez. 01:21:43.310 --> 01:21:45.470 Und bei der Verschiebung genauso. 01:21:54.450 --> 01:21:59.510 Wir haben gesagt, im Allgemeinen wegabhängig, 01:22:08.810 --> 01:22:16.850 das heißt, wenn ich irgendwo meinen Anfangspunkt R0 habe, 01:22:20.000 --> 01:22:23.040 habe den Endpunkt R1, 01:22:30.160 --> 01:22:36.600 dann habe ich, wenn ich dazwischen einen Weg zurücklege, meinetwegen 01:22:36.600 --> 01:22:38.340 eine Arbeit W1. 01:22:39.520 --> 01:22:41.660 Wenn ich einen anderen Weg wähle, 01:22:45.390 --> 01:22:47.350 habe ich eine Arbeit W2. 01:22:48.190 --> 01:22:49.970 Und wenn ich einen dritten Weg wähle, 01:22:53.730 --> 01:22:56.050 habe ich eine Arbeit W3. 01:22:56.990 --> 01:22:59.510 Wobei die im Allgemeinen alle verschieden sind. 01:22:59.510 --> 01:23:11.290 Also im Allgemeinen gilt W1 und gleich W2 und gleich W3, weil eben die 01:23:11.290 --> 01:23:13.370 Arbeit vom zurückgelegten Weg abhängt. 01:23:19.490 --> 01:23:21.030 Allerdings gibt es den Sonderfall, 01:23:28.640 --> 01:23:34.020 nämlich dass die Arbeit zwischen Anfangs- und Endpunkt eben gerade 01:23:34.020 --> 01:23:35.340 nicht vom Weg abhängt. 01:23:37.360 --> 01:23:42.220 Also W ist integrabel, 01:23:46.930 --> 01:23:48.850 ohne Kenntnis des Weges, 01:24:04.130 --> 01:24:16.690 das heißt in dem Falle ist dann W1 gleich W2 gleich W3 gleich einfach 01:24:16.690 --> 01:24:19.270 W, unabhängig vom Weg. 01:24:32.100 --> 01:24:34.080 Und dies ist immer dann der Fall, 01:24:55.950 --> 01:24:59.950 wenn wir die Kraft aus einem Potential herleiten können. 01:25:00.710 --> 01:25:12.820 Also wenn die Kraft ein zugehöriges Potential hat, 01:25:29.750 --> 01:25:30.390 was gilt dann? 01:25:32.890 --> 01:25:44.850 Dann gilt für die Kraft F, abhängig von x, y und z, gerade von Fx, Ex 01:25:44.850 --> 01:25:50.050 plus Fy, Ey plus Fz, Ez. 01:25:52.010 --> 01:26:00.190 Die einzelnen Koordinaten Fx, Fy und Fz erhalten wir durch partielle 01:26:00.190 --> 01:26:05.530 Ableitung des Potentials, wobei das Potential eine Skalaregröße ist, 01:26:06.030 --> 01:26:07.470 nach der jeweiligen Koordinate. 01:26:07.470 --> 01:26:20.950 Also in dem Falle ist Fx gerade Minus dv nach dx, das war Fx mal Ex. 01:26:21.990 --> 01:26:27.250 Und Fy analog, Minus dv nach dy, also können wir schreiben Minus dv 01:26:27.250 --> 01:26:36.210 nach dx, Ex plus dv nach dy, Ey minus, gibt dann innerhalb der 01:26:36.210 --> 01:26:38.790 Klammern, plus dv nach Ez. 01:26:42.030 --> 01:26:52.650 Jetzt kommt die Klammer zu und man sieht, das ist gerade Minus, V ist 01:26:52.650 --> 01:27:03.230 eine Skalargröße, also Gradient des Potentials V, wobei V von x, y und 01:27:03.230 --> 01:27:04.590 z im Allgemeinen abhängt. 01:27:19.180 --> 01:27:39.040 Also Fx ist Minus dv nach dx, Fy Minus dv nach dy und Fz Minus dv nach 01:27:39.040 --> 01:27:39.420 dz. 01:27:41.460 --> 01:27:50.720 Sodass wir das in das Integral für die Arbeit einsetzen können, also 01:27:50.720 --> 01:28:09.300 damit haben wir dann W gleich Integral von R0 bis R1, F Skalar dr, Fx 01:28:09.300 --> 01:28:16.180 dx können wir ersetzen als Minus dv nach dx, das Minus ziehen wir vor 01:28:16.180 --> 01:28:25.220 das Integral, dann haben wir da stehen dv nach dx, dx plus, das Minus 01:28:25.220 --> 01:28:32.300 haben wir ausgeklammert, also dv nach dy mal dy und zum Schluss für z 01:28:32.300 --> 01:28:37.880 analog, also plus dv nach dz, dz. 01:28:37.880 --> 01:28:38.840 Wir 01:28:46.540 --> 01:28:58.360 sehen unter dem Integranten, da steht jetzt gerade das dv, was ja ist 01:28:58.360 --> 01:29:11.200 dv nach dx, dx plus dv nach dy, dy plus noch mit z, also letztendlich 01:29:11.200 --> 01:29:17.160 gleich Minus Integral dv, 01:29:22.390 --> 01:29:27.570 Punkt 0 und Punkt 1, also letztendlich gerade, wenn wir das 01:29:27.570 --> 01:29:35.590 integrieren, ergibt das das Potential v, also Minus v, 0 und 1, also 01:29:35.590 --> 01:29:47.270 Minus v von R1 plus v von R0, 01:29:54.430 --> 01:30:10.310 oder W gleich Minus v von R1 Minus v von R0, man sieht, 01:30:14.050 --> 01:30:19.430 in dem Fall ist die Arbeit nicht vom Weg abhängig, sondern wirklich 01:30:19.430 --> 01:30:21.210 nur von Anfangs- und Endpunkt. 01:30:41.130 --> 01:30:43.090 Gibt es dazu direkt noch Fragen? 01:30:44.810 --> 01:30:48.210 Wenn nicht, dann sind wir leider aufgrund des Streikaufrufes drei 01:30:48.210 --> 01:30:49.210 Minuten später fertig. 01:30:50.210 --> 01:30:53.310 Ich danke Ihnen für die Aufmerksamkeit, wir sehen uns wieder nächsten 01:30:53.310 --> 01:30:53.850 Montag. 01:30:54.210 --> 01:30:54.650 Vielen Dank.