Ich stehe hier heute in Vertretung vom Herrn Kollegen Seemann.
Ich gehöre als emeritierter Professor auch noch zu dem Institut.
Mein Name ist Wauer.
Ich bin seit 2007 im Ruhestand, bin aber nach wie vor, glaube ich,
kompetent genug, um Ihnen hier auch die TM4, heißt es glaube ich
jetzt, vorzutragen.
Wir haben noch ein kleines Kapitel der TM3 abzuschließen.
Das möchte ich zunächst machen.
Wir gehen dann auch noch in der ersten Vorlesungsdoppelstunde.
Ja, Sie wissen glaube ich, dass wir heute anstelle der Übungen auch
noch eine weitere Vorlesung anschließen im gleichen Hörsaal.
Und wir haben also hier zwei Doppelstunden miteinander zu verbringen.
Es könnte sein, dass die erste Doppelstunde geringfügig länger wird,
bitte ich Sie zu entschuldigen, da komme ich aber gerade zu einem
abschließenden Punkt.
Ich möchte Ihnen jetzt schon versprechen, dass ich also mit Sicherheit
zum Ende der zwei Doppelstunden die Zeit nicht überziehen werde.
Ja, also wir werden rechtzeitig insgesamt dann Viertel nach sechs oder
vielleicht auch fünf Minuten früher fertig werden.
Ja, es ist alles genau...
Bitte?
Das ist eine Stunde überzogen.
Viertel nach fünf, ja natürlich, um Gottes Willen.
Um Gottes Willen.
Das wäre selbst für mich zu viel.
Sie erinnern sich, denke ich, noch von den Vorlesungsstunden mit Prof.
Seemann, dass wir gerade noch das Kapitel, ich will das mal salopp,
Ebene -Scheiben-Bewegung über Schreiben abzuschließen haben.
Also wir betrachten hier Ebene-Scheiben, also starre Körper, die zur
Tafel -Ebene symmetrisch sind und sich im allgemeinen Falle hier
entlang der Tafel-Ebene, in der Tafel-Ebene bewegen können.
Dabei ist als Sonderfall eingeschlossen die Drehung um eine feste
Achse, eine feste Achse, die dann eben auf sie zuweist beispielsweise,
und natürlich der allgemeinere Fall der Ebenen-Scheiben-Bewegung.
Wir haben da schon das meiste kennengelernt.
Wir haben also die Bewegungsgleichung für diese Ebene-Scheiben
-Bewegung hergeleitet und aufgestellt.
Die sind bekannt als Schwerpunktsatz.
Es gibt also eine Vektorgleichung bestehend aus zwei skalaren
Gleichungen in diesem ebenen Fall für die Schwerpunktbewegung
gewissermaßen des starren Körpers, genauer gesprochen für die Bewegung
des starren Körpers mit der Schwerpunktbeschleunigung als
charakteristische Beschleunigung.
Und es gibt den Trallsatz, dieses bei der Ebenen-Scheiben-Bewegung,
dann eine skalare Gleichung für die Drehbewegung in dieser Tafel
-Ebene.
Also insgesamt sind es drei skalare Gleichungen, die die Bewegung des
Körpers beschreiben.
Wir sind danach übergegangen, diese Gleichungen in differenzieller
Form zu integrieren, einmal bezüglich des Ortes.
Das hat auf den Arbeitssatz für die Ebene-Scheiben-Bewegung geführt
und natürlich als Sonderfall auch auf den Energieerhaltungssatz.
Und es steht uns jetzt noch bevor, die vollständige Abarbeitung auch
eines ersten Integrals dieses Schwerpunktsatzes und Trallsatzes in
differenzieller Form bezüglich der Zeit.
Sie haben einen ersten Teil schon erledigt.
Das ist dann der Impulssatz, genauer der Impulssatz in integraler
Form, eben nachdem bezüglich der Zeit integriert worden ist.
Und jetzt fehlt noch der Trallsatz in integraler Form, den man dann
auch Drehimpulssatz nennt.
Also wir hatten das mit 3, 3, 5 Impuls-
und Drehimpulssatz genannt.
Es gibt noch den Sonderfall, dass beispielsweise beim Impulssatz in
integraler Form eben die resultierende äußere Kraft verschwindet.
Dann kommt man eben vom Impulssatz in integraler Form zum
Impulserhaltungssatz.
Also ich will das gerade noch einmal in den zwei wesentlichen Formeln
möchte ich das noch einmal hier anschreiben.
Also Integral von T0 bis T1 F DT ist gleich PS, also wir beziehen uns
dabei auch wiederum auf den Schwerpunkt, PS1 minus PS0.
Und wenn Sie sich noch an die Definition des Impulses erinnern, ist
das also gerade das Produkt von Masse und entsprechenden
Geschwindigkeiten.
In dem Falle, das weist dieser Index aus, Schwerpunktgeschwindigkeit.
Also M mal VS1 minus VS0.
So und daraus,
wenn die resultierende Kraft verschwindet, dann folgt daraus, PS ist
gleich M mal VS ist gleich M mal VS0 ist gleich ein konstanter Vektor.
Also das sind die beiden hergeleiteten Formeln, die am Ende der
letzten Vorlesung von Herrn Kollegen Seemann standen.
So wir machen jetzt an dieser Stelle weiter.
Ich möchte noch Folgendes sagen, ich werde also bei meinen Vorlesungen
hier an den zentralen Tafeln bleiben, dann haben Sie es von der Seite
auch noch hinreichend einfach alles zu sehen.
So wir gehen jetzt B zum Drehimpulssatz.
Eigentlich muss man hier auch immer den Zusatz sagen in integraler
Form.
Wir haben ja den Tralsatz, der der Drehimpulssatz in differenzieller
Form ist, den haben wir ja bereits hergeleitet, der sollte jetzt in
unserer Erinnerung verfügbar sein.
Der Drehimpulssatz entsteht ja im Prinzip in differenzieller oder auch
in integraler Form, indem Sie den Impulssatz von links in Form eines
Kreuzproduktes mit einem entsprechenden Ortsvektor von einem
Bezugspunkt aus gemessen, versehen und auswerten.
Wir haben gelernt, dass bei Massenpunktsystemen, wenn die
Wechselwirkungskräfte nicht allesamt auf der gleichen Wirkungslinie
agieren, dass dann der Tralsatz in differenzieller Form bereits schon
ein zusätzliches Axiom ist.
Und das ist natürlich hier dann beim starren Körper genauso.
Der starre Körper geht ja aus einem Massenpunktsystem dadurch hervor,
dass die ursprünglich N, nämlich endlich vielen, Massenpunkte jetzt
sehr dicht, im Grenzfalle unendlich dicht gepackt sind und in ihrer
Zahl N gegen unendlich gehen, sodass dann die Summation, die man bei
endlich vielen Teilkörpern eben ausführt, dann letztendlich in eine
Integration übergeht.
Also das ist das, was man dabei im Hinterkopf zu halten hat, sodass
dann eben auch bei einem starren Körper eben der Tralsatz kein
identisches Gebilde ist, das man aus dem Impulssatz herleiten kann,
sondern es ist ein zusätzliches Axiom.
Dieses Axiom wird zwar durch jede Erfahrung bestätigt, ist aber eben
zu den Newton'schen Grundgesetzen als Grundaxiom hinzuzufügen.
Newton hat also nur den fallenden Apfel vom Baum diskutiert, also
Massenpunktmechanik gemacht.
Erst Euler hat sich dann eben mit Erweiterungen beschäftigt und hat
ein vollständiges theoretisches Gebäude der Starkörpermechanik
entwickelt.
Und dabei sind wir ja gerade.
Also wir wollen jetzt den Drehimpulssatz in integraler Form für die
ebene Scheibenbewegung hier angeben und wollen das dann auch mit zwei
Beispielen vertiefen.
Wir gehen aus, das ist der Ausgangspunkt, Ausgangspunkt ist der
Tralsatz in differenzieller Form.
Also ich hatte an Eingang schon gesagt, bei der ebenen
Scheibenbewegung ist das eine skalare Gleichung für die
Schwerpunktbewegung des starren Körpers.
Also, MS ist gleich, also so wird es häufig gemacht, das ist kein
Muss, sich auf den Schwerpunkt dabei zu beziehen als Bezugspunkt.
Wir stellen fest, das ist auch schon hier gezeigt worden, dass bei
Bezug auf den Schwerpunkt S die Gleichungen besonders einfach sich
gestalten.
Also MS ist gleich Theta S mal Phi 2 Punkt.
Oder wir können genauso gut schreiben, MS ist gleich LS Punkt.
Wir haben damit den sogenannten Drehimpuls eingeführt mit LS ist
gleich Theta S mal Omega.
Also bekanntlich ist Theta S das axiale Massenträgheitsmoment
bezüglich einer Achse durch S, die senkrecht auf der Bewegungsebene
steht.
Omega charakterisiert die Drehung des starren Körpers, wird
Winkelgeschwindigkeit genannt.
Sie sehen, wenn Sie also jetzt dieses hier auswerten, also die
Ableitung dieses Ausdrucks bilden, weil Theta S zeitunabhängig ist,
kommt da genau dann Theta S mal Omega Punkt heraus.
Und Omega Punkt ist ja definitionsgemäß die zweite Ableitung des
Winkels.
Also bei diesem einfachen Problem, dass sich die Verdrehung in der
Tafelebene abspielt.
Wir werden gleich nachher mit dem eigentlich ersten Kapitel der TM4
beginnen.
Starkörperbewegung allgemein, also irgendwelche unsymmetrisch
geformten dreidimensionalen Körper sind in allgemeinster Bewegung.
Und dort ist dann alles etwas komplizierter, wie wir noch sehen
werden.
So, wenn Sie also dieses jetzt
bezüglich der Zeit integrieren, kommen wir dann zum Drehimpulssatz.
Der noch kein Erhaltungssatz ist, ist dann das äußere Moment gleich
null.
Kriegt man genauso wie eben oben drüber beim Impulssatz den
Impulserhaltungssatz, kriegt man dann jetzt die Spezialisierung des
Drehimpulssatzes in Form des Drehimpulserhaltungssatzes.
Also zunächst einmal Zeitintegration.
So, das ist relativ einfach.
Wir bringen das auf zwei Seiten des Gleichheitszeichens.
Also hier Integration von T0 bis T1.
ms dt ist gleich L1.
Hier immer Bezugspunkt bewegter Schwerpunkt S.
Ja, minus L, auch wiederum gleicher Bezugspunkt.
Jetzt hier zum Anfangszeitpunkt 0.
So, und das können wir auch noch ausdrücken.
Das ist gerade Theta S mal Omega 1 minus Omega 0.
Also das ist der Drehimpulssatz.
Früher hatten wir den in der differenziellen Form als Trallsatz
bezeichnet.
Man kann jetzt das hier auch als Trallsatz in integraler Form
bezeichnen.
Integraler Form.
Also Sie sehen, das ist kein Hexenwerk.
Die Zeitintegration als ein erstes Integral ist immer möglich.
So, jetzt zu dem Sonderfall noch, der ganz analog zu dem, was oben
steht, zu spezialisieren ist.
Für den Sonderfall,
dass MS gleich 0 wird,
möchte ich dazu, das schreibe ich nicht an die Tafel, ich möchte aber
dazu ergänzend Folgendes sagen.
MS gleich 0 heißt nicht zwingend, wenn an dem starken Körper nur
Kräfte angreifen, dass auch sämtliche Kräfte gleich 0 sein müssen.
Es kann nämlich sein, dass die Kräfte zwar ungleich 0 sind, aber alle
durch den bewegten Schwerpunkt gehen.
Dann ist natürlich das Moment dieser Kräfte gleich 0.
Also für zentrale Kraftsysteme kann es auch zum
Drehimpulserhaltungssatz kommen, obwohl die Kräfte selbst nicht
verschwinden.
Also nicht ganz so speziell wie beim Impulssatz.
Dort müssen tatsächlich, wenn es zu einer Erhaltung kommen soll, muss
die resultierende Kraft verschwinden.
Hier muss nicht die resultierende Kraft verschwinden, nur das
resultierende Moment.
Und das ist etwas weiter gefasst.
Also für den Sonderfall, dass MS gleich 0 wird, kommt man zum
Drehimpulserhaltungssatz.
Also L mit dem Schwerpunkt des starren Körpers als bewegtem
Bezugspunkt ist gleich Theta S mal Omega ist gleich Theta S, auch zu
einem Anfangszeitpunkt, ist gleich konstant.
Das ist ja nur eine skalare Gleichung, also kann ich mir hier den
Zusatz ist gleich konstanter Vektor verkneifen.
So, Sie sehen also ganz analoge Gleichungspaare.
Ähnlich, man fragt sich jetzt dann abschließend, was ist die Anwendung
von diesen mechanischen Prinzipien, das ist ähnlich wie bei
Massenpunkten und Massenpunktsystemen für Stoßvorgänge.
In dem Falle jetzt komplizierteren Stoßvorgängen zeigt sich eben die
Nützlichkeit dieser Sätze in der Anwendung.
Anwendungen von Impuls- und Drehimpulssatz und natürlich auch den
Spezialisierungen bei
Stoßvorgängen.
So und genau das wollen wir jetzt noch in zwei ausgewählten Beispielen
hier innerhalb der Vorlesung diskutieren.
Wir werden dann in den Übungen ab nächster Woche das vertiefen.
Also nach wie vor sind wir bei einzelnen starren Körpern, also
einzelnen Ebenenscheiben.
Wenn wir also jetzt hier einen Stoßvorgang diskutieren, dann kann das
im Prinzip eben der Stoß einer Ebenenscheibe, die muss jetzt nicht
eine Kreisscheibe sein, auf eine starre Wand, glatt oder auch rau, das
ist zunächst einmal belanglos.
Das sind also die Art von Stoßvorgängen, die wir jetzt hier
diskutieren.
Wenn Sie später bei Kapitel 4 werden wir auch Systeme starrer Körper
kurz ansprechen, dann sind Sie natürlich auch in der Lage das
komplizierteste Problem, unter Umständen sogar räumlich, also
Zusammenstoß von starren Körpern.
Sie wissen alle, auch das ist ja nicht die Realität, aber wenn eben
beispielsweise ein Unfall zu begutachten ist zwischen zwei Pkw, dann
kommen diese Stoßgesetze zur Anwendung und dann sogar eben allgemeine
starre Körper unsymmetrisch, die dann im allgemeinsten Fall
aufeinander stoßen können und im Extremfalle natürlich auch sich nicht
auf der Straßenoberfläche nur bewegen können, sondern beim Stoß kann
natürlich auch ein Aufbäumen irgendeines der beteiligten Fahrzeuge
auftreten.
Also dann sind wir sehr nah bei der allgemeinen räumlichen Bewegung
starrer Körper oder sogar von starren Körpersystemen.
Also wie gesagt, da darf ich sehr auf das nächste Beispiel verweisen.
Also jetzt hier Beispiel 1.
Ich greife hier zwei vergleichsweise einfache Dinge hervor.
Wir diskutieren einen Starrkörper in Form einer ebenen Scheibe mit
einer festen Drehachse in einem bestimmten Körperpunkt, den wir A
nennen.
Körper mit fester Drehachse A.
Also das Ganze sieht dann beispielsweise so aus.
Wir wollen also hier den Einfluss des Gewichts vernachlässigen.
Wir haben also hier den Körper in einer allgemeinen Lage.
Also wir nehmen mal an, dass hier an dieser Stelle der Schwerpunkt
ist.
Das ist der Aufhängepunkt A.
Wir können dann in einem
kathesischen Koordinatensystem den Aufhängepunkt gegenüber S oder
umgekehrt vermaßen.
Also wir haben hier eine
Abmessung, die wir mit Eta bzw.
Xi bezeichnen.
Also so wird die relative Lage von A gegenüber S oder umgekehrt eben
festgelegt.
Es soll jetzt folgendes Problem auftreten.
Wir wollen diesen hier auf dem Tisch liegenden plattenförmigen Körper,
der so gelagert ist, den wollen wir an einer beliebigen Stelle
gekennzeichnet durch den Abstand B.
Den wollen wir mit einer vorgegebenen Kraft anstoßen.
Und es soll jetzt hier die Frage untersucht werden, wo muss A der
Lagerpunkt sein, damit in dem Lagerpunkt beim Stoß infolge der Kraft F
keine Stoßreaktion im Lager A auftreten.
Also wenn wir das Lager spielfrei annehmen, aber trotzdem so, dass der
Körper sich dort reibungsfrei drehen kann, dann ist ja glaube ich
sofort anschaulich klar, wenn sie hier gegen den Körper an irgendeiner
Stelle dagegenstoßen, dann ergibt es augenblicklich im Lager
entsprechende Lagerreaktionen, Stoßreaktionen von gleicher
Größenordnung.
Also stoßrelevante Größen treten da auf.
Also wo muss A sein, damit
während des Stoßes, während Stoß,
keine Lagerreaktion auftritt.
Also man muss hier diese Abstände Xi und Eda entsprechend bestimmen.
Ist der Lagerpunkt so bestimmt in seiner Geometrie bezüglich S, dass
dort bei einem beliebigen Stoß an beliebiger Stelle durch eine
Stoßkraft F keine Stoßreaktion auftritt, dann bezeichnet man diesen
Lagerpunkt als Stoßmittelpunkt.
Dieser Stoßmittelpunkt hat praktische Bedeutung, denn wenn sie
beispielsweise mit einem Tennisschläger auf irgendeinem Tennisfeld den
Ball schlagen und oft schlagen wollen, dann sind sie daran
interessiert, dass ihr Arm möglichst wenig an Reaktionskraft dort an
der Stelle, wo sie den Schläger halten, abbekommt.
Sonst, bekannt, kriegt man irgendwann einen Tennisarm, das möchte man
vermeiden.
Der Tennisschläger muss also entsprechend konstruiert sein, dass bei
der üblichen Annahme, dass der Ball die Fläche des Schlägers zentral
trifft, dass dann der übliche Haltepunkt, wo sie den Tennisschläger am
Griff packen, dass sie dort möglichst wenig Reaktion spüren.
Also ist das durchaus von technischer Relevanz.
So, hier steht jetzt die Fragestellung und es ist dann so, dass man
also mit dem Impulssatz und dem Drehimpulssatz, beispielsweise
bezüglich des bewegten Schwerpunktes S, dann diese Frage beantworten
kann.
Das werden wir also jetzt gleich sehen.
Vielleicht noch als zusätzliche Vereinfachung vor dem Stoß soll also
der Körper in Ruhe sein.
Vorstoß, unmittelbar vor dem Stoß, Körper in Ruhe.
So, wir schneiden also jetzt den Körper während des Stoßzeitpunktes
frei und bringen alle stoßrelevanten Kräfte an und schreiben dann eben
die Impuls- und Drehimpulssätze in integraler Form an.
Also Freischnitt,
während Stoß,
also das ist jetzt eine Duplette,
bringen also nochmal im Wesentlichen diese Abmessungen hier ins Spiel.
Also hier F, wir haben also hier, wenn das der Drehpunkt ist, hier
eine entsprechende Stoßreaktion, im allgemeinsten Fall ist es ein
ebenes Problem.
Wir haben also zwei Komponenten, also beispielsweise hier Ay und hier
Hx.
Also wir nehmen schon die richtige Richtung für Ax herum an, dann
brauchen wir uns da nicht so sehr mit den Vorzeichen herumzuschlagen.
Also,
diese Richtungspfeile sollen also positive Zählrichtungen andeuten,
wenn wir also jetzt diese drei Impulsgleichungen anschreiben.
Die Impulsgleichung in Vektorform sind zwei Skalaregleichungen plus
Drehimpulssatz, der sowieso schon eine Skalaregleichung ist bei Ebener
Bewegung, also drei Skalaregleichungen als Impulsgleichung.
Also es wird dabei über das unbekannte Stoßzeitintervall integriert.
Also in x-Richtung ist es ja offensichtlich, F minus Hx dt ist gleich
m mal, zum Ende des Stoßes nennen wir also die Geschwindigkeit Vse.
Und zwar x-Richtung, zu Anfang ist der Körper in Ruhe, also minus 0.
In vertikaler Richtung
Ay dt ist gleich m mal Vsy zum Ende des Stoßvorganges minus dem zum
Anfang, also auch hier steht gleich 0.
So, wir haben also jetzt noch den Drehimpulssatz in integraler Form,
wie wir ihn da oben stehen haben, eben auszuwerten.
Wir haben also zunächst einmal Bezugspunkt hier, das war gleich b,
das war gleich eta, das war gleich xy.
Also wir können die Hebelarme bezüglich S, können wir also direkt hier
ablesen.
Wir haben also F mal b minus eta.
Ja, wir haben ja das resultierende Moment zu nehmen, also das war der
Anteil von F.
Wir sehen, dass Ay, also mit dem Hebelarm in die negative Richtung
dreht, Ay mal xy und Ax plus Ax mal eta dt ist gleich Theta S mal
Omega E.
Auch hier wiederum zu Anfang gleich ist die Winkelgeschwindigkeit
gleich 0, also 0.
So, das sind die drei Impulsgleichungen.
Sie sehen, da sind eine ganze Menge mehr an Unbekannten drin, als
Gleichungen vorhanden sind.
Wenn Sie sich das Problem anschauen, dann ist das ja auch hier keine
allgemeinste Ebene Scheibenbewegung, sondern ein Sonderfall, es ist
eine Drehung um diesen Festpunkt A.
Wir können also die Schwerpunktgeschwindigkeit in x- bzw.
y-Richtung oder auch vektoriell, können wir mit dem entsprechenden
Abstand vom Drehpunkt, können wir das also kinematisch ausdrücken.
Wir können also diese Abhängigkeit, die durch diesen festen Drehpunkt
entsteht, die können wir in Form von zwei zusätzlichen kinematischen
Gleichungen, können wir die eben einbringen.
So, das wollen wir also jetzt noch hier zusätzlich angeben.
Wir wollen damit dann die Impulsgleichung vereinfachen.
Das sind ja die Impulsgleichungen in allgemeiner Form.
Wir geben dann unsere Forderung in die Gleichungen ein, dass die
Auflagereaktion verschwinden soll und dann bleiben gerade entsprechend
viele Unbekannte übrig, die man dann nämlich ausrechnen kann, nämlich
die Koordinaten Xi und Eta, die also den Abstand zwischen Schwerpunkt
und Lagerpunkt definieren.
Also Kinematik
VSE in X-Richtung ist gleich der entsprechende skalare Hebelarm,
kürzester Abstand, der für die Geschwindigkeit in X-Richtung ist, ist
der vertikale Abstand Eta mal Omega E und ähnlich für die Y-Koordinate
ergibt sich Xi mal Omega E.
Also das bringen wir jetzt in die Gleichung ein.
Delta S TS F DT minus AX DT ist gleich, das nennen wir abgekürzt, die
Integrationsdauer ist ja auch beispielsweise unbekannt, also das
nennen wir dann einfach F DACH minus AX DACH, das ist also gerade M
mal Eta Omega E, also indem wir die Kinematik hier mit einbringen.
Das nächste, die Integration von AY über das Stoßzeitintervall, das
bezeichnen wir mit AY DACH und das ist dann gleich M mal Xi mal Omega
E, also das bezeichnen wir jetzt als Gleichung 1 Strich, das als
Gleichung 2 Strich
und Integral Delta TS, also diese Hebelarme, die sind ja von der
Integration unabhängig im Drehimpulserhaltungssatz.
Im Drehimpulssatz können wir also diese Größen, diese Hebelarme Xi und
Eta beispielsweise vor das Integral ziehen.
Also F DT mal B minus Eta minus
AX DT mal Eta minus...
Also jetzt muss ich nochmal die...
Minus Delta TS AY DT mal Xi ist gleich Theta S mal Omega E.
So, wir können also jetzt aus 3 Strich mit, das führe ich Ihnen aber
jetzt im Detail diese Rechnung nicht mehr vor, das sind immer so ein
oder zwei Zeilen Zwischenrechnung, das überlasse ich Ihnen.
Wir erhalten Omega E ist gleich F Dach mal B, dividiert durch Theta A
mit Theta A ist gleich Theta S plus M Xi Quadrat plus Eta Quadrat.
Also das ist ein Zwischenergebnis und jetzt können wir die Forderungen
aufstellen, es soll im Lager A keine Stoßreaktion auftreten, also AX
gleich AY gleich 0 oder auch die Integration darüber, also AX Dach
beziehungsweise AY Dach gleich 0, das können wir jetzt als Forderung
verwerten und können die dann noch einzig zwei Unbekannten Xi und Eta,
die eben den Abstand zwischen dem nun dadurch definierten
Stoßmittelpunkt und dem Schwerpunkt definieren, können wir ausrechnen.
Also jetzt Forderung,
dass AX AY gleich 0, das heißt AX Dach AY Dach gleich 0 wird,
also Sie sehen beispielsweise aus der Gleichung zwei Strich, sehen Sie
dann unmittelbar, dass Xi gleich 0 werden muss und aus Gleichung, also
aus zwei Strich Xi gleich 0 und aus ein Strich Eta ist gleich Theta A
dividiert durch M mal B.
Also diese geometrische Relation muss erfüllt sein, dann ist
tatsächlich eben der Stoßmittelpunkt gefunden und in dem Stoß im
Lagerpunkt A treten keine Stoßkräfte auf in Form von Reaktion.
So Theta A ist natürlich unter Berücksichtigung schon von Xi gleich 0,
dann auch noch ein kleines bisschen einfacher, also Theta A ist dann
Theta S plus M Eta Quadrat, das in diese Gleichung eingesetzt ist dann
eine quadratische Gleichung für die zwei möglichen Werte von Eta aus
Symmetriegründen.
Also das will ich dann gerade noch zum guten Schluss angeben.
Also kleine Ruhepause, Sie können auch in der Zeit natürlich gerne
eine Frage stellen, auch zwei oder drei oder vier.
Ist etwas unklar geblieben?
Also Sie brauchen jetzt, Sie sehen ja, ich bin mit der Tafel
beschäftigt, Sie brauchen jetzt hier sich nicht zu melden in dem
Sinne, sondern stellen Sie gleich Ihre Frage, wenn es eine gibt.
So scheinbar alles klar.
Also Xi und Eta sind die Koordinaten des sogenannten
Stoßmittelpunktes.
Wie gesagt, Xi gleich 0 und die andere Gleichung Eta ist gleich Theta
A jetzt eingesetzt, Theta S plus M Eta Quadrat durch M mal B ist
offensichtlich, auch ohne dass ich das jetzt in die Normalform
schreibe, eine quadratische Gleichung für Eta.
Also Eta 1,2 ist gleich B halbe plus minus B Quadrat Viertel minus
Theta S durch M.
Also damit sind die Koordinaten des Stoßmittelpunktes vollständig
bestimmt.
So ein zweites Beispiel, auch vergleichsweise einfach und
übersichtlich, aber durchaus eben auch von entsprechender Relevanz.
Ja, das will ich vielleicht hier noch dazuschreiben.
Technische Anwendung, zum Beispiel beim Tennisschläger.
So, also auch das zweite Beispiel ist aus dem Bereich des Sportes
genommen.
Also wir diskutieren eine Billardkugel auf dem Billardtisch.
Bitte?
Bitte sehr.
Nein, nein, nein, nein.
Das ist ja ein ganz fataler Irrtum.
Also ein starrer Körper, wenn er sich dreht, dreht sich immer um jeden
Punkt mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit Omega.
Sie ziehen da Hilfsüberlegungen zu Rate, die aber für sich allein eine
ungültige Spezialisierung darstellen.
Also es ist natürlich offensichtlich, man sieht ja bei einem
Lagerpunkt, stellt man sich, wenn man einen anderen Punkt sich
betrachtet für diesen starren Körper, sieht man in Gedanken die
Verbindungslinie und die dreht sich dann mit der Winkelgeschwindigkeit
Omega.
Und dann meint man, der Körper würde sich nur um den Lagerpunkt mit
der Winkelgeschwindigkeit Omega drehen.
Das tut er aber, wenn Sie jetzt mal ein bisschen länger drüber
nachdenken.
Sie nehmen jeden x-beliebigen Punkt, der Körper dreht sich, wenn Sie
dann eine Verbindungslinie körperfest zwischen zwei Punkten sich
vorstellen, rot markiert, dann dreht sich diese Linie immer mit der
gleichen Winkelgeschwindigkeit.
Überraschendes Ergebnis, aber das sollte eigentlich schon aus den
vier, fünf Vorlesungen vorher auch bekannt klar geworden sein.
Also ich hoffe, dass es jetzt damit etwas klarer geworden ist.
Also ich möchte noch einmal dazu sagen, die Hilfsvorstellung, dass
sich die Kinetik eines starren Körpers auf die, so sagt man in
Kurzform, salopp, etwas unscharf, Translation des Schwerpunktes plus
Drehung um den Schwerpunkt.
Das ist also eine nicht visualisierbare Beschreibung der allgemeinen
Bewegung.
Sie können die allgemeine Bewegung eines ebenen Körpers, aber später
auch eines unsymmetrischen starren Körpers, können Sie nicht visuell
beim Beobachten aufteilen in eine Translation und eine Rotation.
Sie sehen immer die Überlagerung.
Das hilft nur rechentechnisch.
Rechentechnisch wird die allgemeine Bewegung dargestellt auf eine
Translationsbewegung des Körpers mit der Schwerpunktgeschwindigkeit
und eine Drehung in Klammern um den Schwerpunkt.
Aber um jeden anderen Punkt dreht sich der Körper auch mit der
gleichen Geschwindigkeit.
So, jetzt zurück zu unserem Beispiel.
Also wir haben eine Kugel, zunächst auf einem Billardtisch.
Der Billardtisch soll jetzt der Wirklichkeit nicht entsprechend glatt
sein.
Ideal glatt, es sollen also keine Reibungseinflüsse hier diskutiert
werden.
Also die Unterlage sei glatt.
Also die Kugel soll den Radius groß R, die Masse M haben.
Damit ist auch das Theta S bestimmt, das kann man ausrechnen, das
möchte ich hier nicht tun.
Das axiale Massenträglichkeitsmoment bezüglich einer Achse durch den
Schwerpunkt ist zwei Fünftel M r².
Ja, so kann man das ausrechnen.
So, das ist also eine Kugel.
Zunächst in Ruhe.
Die Kugel wird jetzt an dieser Stelle, ich will das jetzt also so
kennzeichnen, durch das Kö angestoßen.
Im Abstand H größer R.
Und es ist jetzt die Frage, bei dem nicht der Wirklichkeit
entsprechenden Sonderfall, dass die Unterlage glatt ist.
Mit Reibung wird das Ganze noch ein bisschen aufwendiger.
Möchte ich hier nicht diskutieren.
In welcher Höhe muss ich also die Kugel anstoßen, dass sie unmittelbar
nach dem Stoß auf der Unterlage sofort rollt.
Ja, das ist also durchaus eine interessante Fragestellung.
Die interessiert dann allerdings mit dem Zusatz von Reibung natürlich
auch einen guten Billardspieler.
Was er dann da für Kunststücke mit der Kugel alles so machen kann,
hängt damit unmittelbar zusammen.
Also ein Billardspieler muss entweder intuitiv oder tatsächlich
gelernt etwas von Mechanik verstehen.
Also, in welcher Höhe H
muss der Stoß erfolgen, damit die Kugel unmittelbar nach dem Stoß
sofort rollt.
Damit Kugel sofort rollt.
Also, das ist die Frage.
Auch hier hilft wiederum das Anwenden der Impulsgleichung.
Genauer, das Anwenden der Impulsgleichung.
Natürlich, ich denke, das ist sofort klar.
Die eigentliche Impulsgleichung ist hier nur in horizontaler Richtung
von Interesse.
Also gegebenenfalls eine Stoßreaktion hätte ja nur hier, also die für
diese Fragestellung relevant ist, ist nur die Stoßreaktion in
horizontaler Richtung wichtig.
Und wegen glatter Unterlage gibt es eben keine Reibungsreaktion.
Es gibt also keine Reaktion in horizontaler Richtung an diesem
Auflagepunkt.
Das kann man sich alles bei dieser Gelegenheit überlegen.
Also, Freischnitt, auch hier wiederum, ist das A und O.
Also ich hoffe, das haben Sie ja inzwischen gelernt.
Freischnitt ist generell bei Lösen von Kinetikaufgaben eben immer der
erste Schritt.
Also jetzt bringe ich hier tatsächlich die Kraft auf im Abstand vom
Auflagepunkt.
Also das ist der Auflagepunkt.
Auflagepunkt.
An diesem Auflagepunkt keine horizontale Stoßreaktion.
Keine.
Das ist wichtig.
Keine horizontale Stoßreaktion.
Also noch einmal warum?
Weil die Unterlage glatt ist und keine Reibung auftreten kann.
Das ist der Grund dafür.
Also beispielsweise, das sollen die Pfeilrichtungen als positive
Zählrichtungen sein beim Anschreiben des Impulssatzes in X-Richtung
und beim Anschreiben des Drehimpulssatzes um den Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt ist natürlich hier in der Mitte.
Radius, wie gesagt, R.
Also auch hier wiederum die Impulsgleichungen.
In dem Falle zwei Relevante.
Also die eine Impulsgleichung in X-Richtung und der Drehimpulssatz.
Integral über unbekannte Stoßzeitintervall FDT.
Ist gleich, FDACH genannt, ist gleich MVSX-Komponente von VSE-0.
Wenn die Kugel zunächst in Ruhe ist und hier jetzt Drehimpulssatz.
Natürlich wird hier genauso über die unbekannte Stoßzeit integriert.
F mal H minus R DT ist gleich FDACH mal H minus R.
Definitionsgemäß und das ergibt mit anfänglich Kugel in Ruhe.
M mal Omega E minus 0.
So und auch hier gibt es eine Kinematik, die steckt hier in der
Fragestellung drin.
Unmittelbar nach dem Stoß soll ja die Kugel sofort rollen.
Das heißt also zwischen der Schwerpunktgeschwindigkeit und der
Winkelgeschwindigkeit besteht ein kinematischer Zusammenhang.
Weil dieser Auflagepunkt gleich der Momentanpol ist.
Also diese zusätzliche Gleichung können wir aus der Kinematik
herausholen.
Und dann ist die Frage wieder, die ursprünglich gestellt worden ist,
beantwortbar.
Gibt es Fragen bis hierhin?
Ja?
Ja, natürlich.
Ja, das verbessere ich natürlich.
Vielen Dank für die Korrektur.
Natürlich, bei der Drehung kommen ja Massenträgheitsmomente ins Spiel
und keine Massen.
Vielen Dank für die Korrektur.
So, das muss hier natürlich Theta S heißen.
So, Kinematik.
Es soll ja für die Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Stoß sollen
ja Rollen vorausgesetzt werden.
Also VSI in X-Richtung minus R mal Omega I gleich 0.
Weil Auflagepunkt gleich der Momentanpol ist.
Also momentan hat man beim Rollen auf dem Auflagepunkt keine
Geschwindigkeit.
Also wenn Sie jetzt das
unbekannte Stoßintegral f''.
Elimination von f''.
Wenn Sie das vornehmen unter Verwendung der Kinematik, können Sie eben
dann eben die Frage lösen.
Also es kommt, ja ich will vielleicht eine Hilfsgleichung noch
hinschreiben.
M mal H minus R mal R Omega I ist gleich Theta S mal Omega I.
Also diese Gleichung ist, wie Sie dann beim Einsetzen sehen, für jedes
Omega erfüllt.
Wie das natürlich auch der Fall sein muss.
Und Sie können dann eben hier diese Höhe H ausrechnen.
H ist gleich 7 Fünftel R.
Also unter Verwendung dieser Kinematik-Gleichung können Sie zu dieser
Beziehung kommen.
Sie sehen, die ist für jede Winkelgeschwindigkeit ungleich 0 erfüllt.
Und damit können Sie also die Höhe, bei der das Kö an der Kugel
angreifen muss, ausrechnen.
Ich möchte noch eine abschließende Bemerkung machen.
Schiefe Stöße bei
ebener Scheibenbewegung.
Also das kann man sich beispielsweise so vorstellen.
Also wir nehmen hier an eine glatte oder raue Wand.
Wir haben dann die Stoßnormale, die steht nämlich auf dieser glatten
oder rauen Wand senkrecht.
Wenn wir also hier
jetzt mit einem Winkel Alpha, der ungleich 0 ist, diesen starren
Körper gegen diese Unterlage ballen lassen, dann liegt eben kein
zentraler Stoß mehr vor, sondern ein schiefer Stoß.
Das möchte ich also hier in der Vorlesung nicht mehr behandeln.
Da möchte ich auf die Übungen verweisen.
Dort werden also ein oder zwei Aufgaben dazu noch diskutiert werden.
Also insbesondere wenn bei einer rauen Unterlage Reibung im Spiel ist,
sind diese Dinge schon nicht mehr so ganz trivial.
Wenn das Ganze dann räumlich passiert, gibt es selbst heute noch
ungelöste Fragen, weil dann natürlich eben auch noch, also stellen Sie
sich hier so eine Unterlage vor, eine Kugel, ein Billardball oder was
immer kommt hier an, der kann auch eben um eine Achse sich drehen, die
senkrecht auf dieser Unterlage steht, dann kommt es zu solchen
Bohrreibungsproblemen.
Probleme treten natürlich heutzutage nur dann auf, wenn auch Reibung
noch im Spiel ist.
Also allgemein räumliche Stöße dreidimensionaler Körper mit Reibung,
gibt es auch heute noch ungelöste Probleme.
Es ist erstaunlich, dass so etwas scheinbar Elementares noch riesige
Probleme aufwerfen kann.
So, wir beginnen, in diesem Moment haben wir also die TM3
abgeschlossen, wir beginnen jetzt mit der TM4 und dort werden
insbesondere behandelt starre Körper, völlig unsymmetrisch, also
stellen Sie sich eine krumme Kartoffel vor, die allgemein
translatorisch, räumlich und rotatorisch sich bewegt.
Dann hat man es eben mit dem zu tun, was wir jetzt im Kapitel 4
diskutieren wollen.
Wir werden dann noch ein weiteres Kapitel 5 anschließen, in dem wir in
dem Sinne nichts Neues mehr von der Modellierung der Körper
kennenlernen, sondern weitere sogenannte analytische Methoden der
Mechanik, die zur alternativen Herleitung von Bewegungsgleichungen
dienen, wenn die Probleme kompliziert werden.
Sie werden sehen, dass da diese analytischen Prinzipien Vorteile
gegenüber dem Freischneiden und vektoriellen Aufstellen von Kräfte-
und Momentengleichungen haben.
Und dann werden wir noch ein letztes Kapitel anschließen, das sich mit
einer besonderen und zwar besonders wichtigen Form von Bewegungen
beschäftigt, nämlich Schwingungen.
Schwingungen kommen allen Teilen in der Technik vor, Schwingungen sind
häufig gefährlich, manchmal auch nützlich, aber häufig meistens
gefährlich.
Deswegen muss man Kenntnisse über Phänomene bei Schwingungen besitzen.
Dazu dann das Kapitel 6.
4, 5, 6, das sind jetzt die drei vor uns stehenden Kapitel.
Im Kapitel 4 beschäftigen wir uns jetzt mit Systemen starrer Körper.
Also Systeme starrer Körper bei beliebigen Bewegungen sind schon
äußerst komplizierte technische Gebilde.
Wenn Sie beispielsweise eine Autofabrik besuchen und dort einen
Schweißroboter sich anschauen, bei seinen Bewegungen, wenn die
Karosserie zusammengeschweißt wird, dann können Sie sich eben die
Komplexität ein bisschen vorstellen.
Zunächst eine Vorstufe.
Also ich will das aber noch ein bisschen erklären und einführen.
Bisher in Kapitel 3 starre Einzelkörper,
also Betonung lag auf Einzelkörper und zwar in Form ebener Scheiben.
Also gewisse Symmetrien waren hier gegeben.
In Form
ebener Scheiben.
Hier jetzt
zunächst auch Einzelkörper, aber jetzt ohne Symmetrie, Bedingungen bei
allgemeinster räumlicher Bewegung.
Hier jetzt zunächst auch
Einzelkörper, aber unsymmetrisch in allgemeinräumlicher Bewegung.
Dann werden wir noch ein paar Bemerkungen machen zu Systemen starrer
Körper.
Dann noch
Systeme.
Also das ist jetzt der Fahrplan.
Dementsprechend haben wir jetzt also das Kapitel 4.1 Bewegung
allgemeiner Bewegung starrer Einzelkörper.
Also 4.1 allgemeinräumliche
Bewegung unsymmetrischer starrer Einzelkörper.
So genau wie in bisherigen Kapiteln auch ein paar Bemerkungen vorab
zur Kinematik.
Und dann gehen wir über zur wichtigeren Kinetik.
So die wesentliche Komplikation gegenüber früher ist jetzt die Drehung
bei allgemeiner Bewegung.
Das ist nämlich jetzt tatsächlich auch eine räumliche Drehung.
Also stellen Sie sich vor, das können wir ja als starren Körper
betrachten, seine Translation.
Also beobachten Sie eine körperfeste Verbindungslinie zweier Punkte,
die dann keine Drehung ausführt.
Das ist ja eine Translation.
Kann also durchaus auf gekrümmten Bahnen erfolgen.
Also es ist nicht nur eine geradlinige Bewegung, eine Translation.
Die kann beispielsweise auf einem Kreis erfolgen.
Die kann auch räumlich, also mit Hinzunahme der dritten Dimension
erfolgen.
Diese räumliche Translation ist nicht das, was die Bewegung
kompliziert macht.
Da ist das Hinzunehmen der dritten Dimension eine elementare
Erweiterung.
Ich will nicht sagen trivial, aber es ist fast trivial.
So was kompliziert ist, ist jetzt das, was an Drehung dazu passieren
kann.
Bisher haben wir also wirklich eine ebene Bewegung diskutiert.
Die Drehung ist um eine einzige Achse erfolgt, die senkrecht auf der
Bewegungsebene steht.
So, jetzt haben wir im räumlichen Fall drei Drehungen um drei Achsen,
wie man sagt.
Also Sie können sich das ein bisschen vorstellen.
Das müsste eigentlich ein Maschinenbauer schon mit Sicherheit
irgendwann mal in seinem Leben gesehen haben.
Ein Kreiselkompass in einem Segelflugzeug beispielsweise, in einem
Schiff, wo auch immer.
Der ist katanisch gelagert, wie man sagt, kann also Drehungen um drei
orthogonale Achsen ausführen.
So, und diese Drehung, diese resultierende Drehung, die man sich aus
drei Drehungen um drei Achsen zusammensetzen kann, die macht die
Bewegung kompliziert.
Also solche Drehungen sind keine Vektoren mehr, das kann man beweisen,
das mache ich hier nicht.
Das macht also die Sache rechentechnisch schwierig.
Sie werden sehen, wenn also die Drehungen um endliche Winkel, also
wenn das nicht nur winzige Schwankungen sind in der Orientierung,
sondern wirklich endliche Drehungen um einen Winkel, Pi halber oder
zwei Pi oder was auch immer, dann sind diese endlichen Drehungen
räumlicher Natur besonders kompliziert.
Ich glaube, das kann man sich auch schon so ein bisschen nach dem, was
ich jetzt geschildert habe, vorstellen.
Also wesentliche Komplikation
gegenüber früher ist
die allgemein räumliche Drehung.
Allgemein räumliche Drehung.
So, Kinematik beschäftigt sich ja eben mit der Bewegung selbst ohne
die Ursachen, nämlich die Kräfte und die Momente zu diskutieren.
Also die Schwierigkeit liegt zum großen Teil schon bereits in der
Kinematik.
Also wir beschäftigen uns jetzt in einem ersten Unterabschnitt ein
bisschen mit der Kinematik räumlicher Drehung.
Das ist also dann eine ganz wesentliche Komponente, um später die
Kinetik der Bewegung zu verstehen.
Also deshalb zunächst
Grundlagen der räumlichen Drehung.
So, das Ziel dabei ist, mathematisch können Sie das sehr kompakt
fassen, wie man dann dieses Ziel erreicht, das ist eben das
komplizierte daran.
Also das Ziel ist schnell beschrieben, auch ein bisschen abstrakt.
Stellen Sie sich vor, ein Dreibein, das befindet sich zunächst in
Übereinstimmung mit einem Dreibein in einem Inertialsystem.
Und dann wird dieses bewegliche Dreibein, das also mit dem starren
Körper fest verbunden ist, das wird in Form einer räumlichen Drehung
aus dem ursprünglichen festgehaltenen Dreibein herausgedreht.
So, und die Frage ist, wie kann man das neue Dreibein nach der Drehung
beschreiben gegenüber dem festgehaltenen, dem inertialen System.
Also Zielverdrehung eines orthogonalen
Dreibeins, das bezeichne ich jetzt mal mit EI, also E1, E2, E3, das
sind die Einheitsvektoren eben dieses Dreibeins.
Also was hat es mit der Verdrehung eines starren Körpers zu tun, das
wird sofort evident, wenn Sie dieses Dreibein sich mit einem starren
Körper fest verbunden vorstellen.
Zum Beispiel angeheftet am starren Körper.
Also die Verdrehung dieses Dreibeins in seiner allgemeinen Lage,
ursprünglich befand er sich eben in Übereinstimmung mit einem
inertialen Dreibein, dem gebe ich dann die Kennbuchstaben ii, also
klein i, das soll auf inertial hinweisen, ii zum Beispiel körperfest,
das ist ursprünglich zum Beginn der Bewegung übereinstimmend mit ii
und wird dann eben durch eine allgemeine räumliche Drehung aus diesem
ursprünglichen inertialen System herausgedreht.
Also in allgemeiner Lage gegenüber
einem raumfesten Dreibein ii.
In der Ausgangslage sollen
beide zusammenfallen.
So und jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten diese allgemeine Lage
gegenüber der ursprünglichen Lage anzugeben.
Und jetzt ist es sogar umgekehrt gekommen, das machen wir dann nach
der Pause.
Also ich würde Sie bitten, dass Sie um zehn nach halb wieder hier
erscheinen.
Dann machen wir weiter.
Bis dahin.