WEBVTT 00:08.960 --> 00:12.880 Ich stehe hier heute in Vertretung vom Herrn Kollegen Seemann. 00:13.980 --> 00:19.420 Ich gehöre als emeritierter Professor auch noch zu dem Institut. 00:20.020 --> 00:22.260 Mein Name ist Wauer. 00:27.230 --> 00:32.410 Ich bin seit 2007 im Ruhestand, bin aber nach wie vor, glaube ich, 00:32.510 --> 00:37.970 kompetent genug, um Ihnen hier auch die TM4, heißt es glaube ich 00:37.970 --> 00:39.730 jetzt, vorzutragen. 00:40.290 --> 00:45.670 Wir haben noch ein kleines Kapitel der TM3 abzuschließen. 00:45.830 --> 00:47.470 Das möchte ich zunächst machen. 00:48.270 --> 00:52.470 Wir gehen dann auch noch in der ersten Vorlesungsdoppelstunde. 00:53.170 --> 00:57.310 Ja, Sie wissen glaube ich, dass wir heute anstelle der Übungen auch 00:57.310 --> 01:01.370 noch eine weitere Vorlesung anschließen im gleichen Hörsaal. 01:02.590 --> 01:07.750 Und wir haben also hier zwei Doppelstunden miteinander zu verbringen. 01:08.550 --> 01:12.830 Es könnte sein, dass die erste Doppelstunde geringfügig länger wird, 01:13.270 --> 01:16.310 bitte ich Sie zu entschuldigen, da komme ich aber gerade zu einem 01:16.310 --> 01:18.190 abschließenden Punkt. 01:18.890 --> 01:23.330 Ich möchte Ihnen jetzt schon versprechen, dass ich also mit Sicherheit 01:23.330 --> 01:27.770 zum Ende der zwei Doppelstunden die Zeit nicht überziehen werde. 01:27.770 --> 01:33.610 Ja, also wir werden rechtzeitig insgesamt dann Viertel nach sechs oder 01:33.610 --> 01:36.670 vielleicht auch fünf Minuten früher fertig werden. 01:37.750 --> 01:40.070 Ja, es ist alles genau... 01:40.610 --> 01:40.870 Bitte? 01:41.510 --> 01:43.010 Das ist eine Stunde überzogen. 01:44.250 --> 01:47.370 Viertel nach fünf, ja natürlich, um Gottes Willen. 01:47.470 --> 01:48.850 Um Gottes Willen. 01:49.170 --> 01:50.650 Das wäre selbst für mich zu viel. 01:53.310 --> 01:57.810 Sie erinnern sich, denke ich, noch von den Vorlesungsstunden mit Prof. 01:58.050 --> 02:05.290 Seemann, dass wir gerade noch das Kapitel, ich will das mal salopp, 02:07.210 --> 02:13.170 Ebene -Scheiben-Bewegung über Schreiben abzuschließen haben. 02:20.640 --> 02:28.780 Also wir betrachten hier Ebene-Scheiben, also starre Körper, die zur 02:28.780 --> 02:34.960 Tafel -Ebene symmetrisch sind und sich im allgemeinen Falle hier 02:34.960 --> 02:39.360 entlang der Tafel-Ebene, in der Tafel-Ebene bewegen können. 02:40.060 --> 02:45.100 Dabei ist als Sonderfall eingeschlossen die Drehung um eine feste 02:45.100 --> 02:49.680 Achse, eine feste Achse, die dann eben auf sie zuweist beispielsweise, 02:50.520 --> 02:54.820 und natürlich der allgemeinere Fall der Ebenen-Scheiben-Bewegung. 02:55.420 --> 02:57.760 Wir haben da schon das meiste kennengelernt. 02:58.440 --> 03:02.260 Wir haben also die Bewegungsgleichung für diese Ebene-Scheiben 03:02.260 --> 03:06.520 -Bewegung hergeleitet und aufgestellt. 03:07.240 --> 03:09.440 Die sind bekannt als Schwerpunktsatz. 03:10.160 --> 03:13.820 Es gibt also eine Vektorgleichung bestehend aus zwei skalaren 03:13.820 --> 03:17.780 Gleichungen in diesem ebenen Fall für die Schwerpunktbewegung 03:17.780 --> 03:22.940 gewissermaßen des starren Körpers, genauer gesprochen für die Bewegung 03:22.940 --> 03:27.840 des starren Körpers mit der Schwerpunktbeschleunigung als 03:27.840 --> 03:29.640 charakteristische Beschleunigung. 03:30.400 --> 03:35.180 Und es gibt den Trallsatz, dieses bei der Ebenen-Scheiben-Bewegung, 03:35.300 --> 03:41.380 dann eine skalare Gleichung für die Drehbewegung in dieser Tafel 03:41.380 --> 03:41.720 -Ebene. 03:41.720 --> 03:46.600 Also insgesamt sind es drei skalare Gleichungen, die die Bewegung des 03:46.600 --> 03:47.500 Körpers beschreiben. 03:48.180 --> 03:53.720 Wir sind danach übergegangen, diese Gleichungen in differenzieller 03:53.720 --> 03:59.020 Form zu integrieren, einmal bezüglich des Ortes. 03:59.660 --> 04:04.120 Das hat auf den Arbeitssatz für die Ebene-Scheiben-Bewegung geführt 04:04.720 --> 04:08.840 und natürlich als Sonderfall auch auf den Energieerhaltungssatz. 04:08.840 --> 04:14.640 Und es steht uns jetzt noch bevor, die vollständige Abarbeitung auch 04:14.640 --> 04:19.600 eines ersten Integrals dieses Schwerpunktsatzes und Trallsatzes in 04:19.600 --> 04:22.760 differenzieller Form bezüglich der Zeit. 04:23.420 --> 04:25.840 Sie haben einen ersten Teil schon erledigt. 04:26.540 --> 04:31.140 Das ist dann der Impulssatz, genauer der Impulssatz in integraler 04:31.140 --> 04:35.420 Form, eben nachdem bezüglich der Zeit integriert worden ist. 04:35.420 --> 04:40.400 Und jetzt fehlt noch der Trallsatz in integraler Form, den man dann 04:40.400 --> 04:41.860 auch Drehimpulssatz nennt. 04:42.600 --> 04:51.120 Also wir hatten das mit 3, 3, 5 Impuls- 04:54.600 --> 04:57.540 und Drehimpulssatz genannt. 05:06.210 --> 05:10.890 Es gibt noch den Sonderfall, dass beispielsweise beim Impulssatz in 05:10.890 --> 05:15.510 integraler Form eben die resultierende äußere Kraft verschwindet. 05:15.510 --> 05:21.030 Dann kommt man eben vom Impulssatz in integraler Form zum 05:21.030 --> 05:23.670 Impulserhaltungssatz. 05:24.370 --> 05:28.870 Also ich will das gerade noch einmal in den zwei wesentlichen Formeln 05:28.870 --> 05:31.370 möchte ich das noch einmal hier anschreiben. 05:32.390 --> 05:46.310 Also Integral von T0 bis T1 F DT ist gleich PS, also wir beziehen uns 05:46.310 --> 05:55.250 dabei auch wiederum auf den Schwerpunkt, PS1 minus PS0. 05:56.710 --> 06:02.750 Und wenn Sie sich noch an die Definition des Impulses erinnern, ist 06:02.750 --> 06:06.510 das also gerade das Produkt von Masse und entsprechenden 06:06.510 --> 06:07.490 Geschwindigkeiten. 06:07.890 --> 06:13.430 In dem Falle, das weist dieser Index aus, Schwerpunktgeschwindigkeit. 06:13.790 --> 06:21.390 Also M mal VS1 minus VS0. 06:23.730 --> 06:24.710 So und daraus, 06:30.900 --> 06:44.140 wenn die resultierende Kraft verschwindet, dann folgt daraus, PS ist 06:44.140 --> 06:57.180 gleich M mal VS ist gleich M mal VS0 ist gleich ein konstanter Vektor. 07:00.750 --> 07:06.570 Also das sind die beiden hergeleiteten Formeln, die am Ende der 07:06.570 --> 07:09.290 letzten Vorlesung von Herrn Kollegen Seemann standen. 07:09.730 --> 07:13.170 So wir machen jetzt an dieser Stelle weiter. 07:15.030 --> 07:20.090 Ich möchte noch Folgendes sagen, ich werde also bei meinen Vorlesungen 07:20.090 --> 07:23.950 hier an den zentralen Tafeln bleiben, dann haben Sie es von der Seite 07:23.950 --> 07:28.650 auch noch hinreichend einfach alles zu sehen. 07:28.650 --> 07:36.710 So wir gehen jetzt B zum Drehimpulssatz. 07:40.580 --> 07:44.880 Eigentlich muss man hier auch immer den Zusatz sagen in integraler 07:44.880 --> 07:45.120 Form. 07:45.320 --> 07:49.940 Wir haben ja den Tralsatz, der der Drehimpulssatz in differenzieller 07:49.940 --> 07:55.840 Form ist, den haben wir ja bereits hergeleitet, der sollte jetzt in 07:55.840 --> 07:58.540 unserer Erinnerung verfügbar sein. 07:58.540 --> 08:04.760 Der Drehimpulssatz entsteht ja im Prinzip in differenzieller oder auch 08:04.760 --> 08:12.380 in integraler Form, indem Sie den Impulssatz von links in Form eines 08:12.380 --> 08:16.960 Kreuzproduktes mit einem entsprechenden Ortsvektor von einem 08:16.960 --> 08:20.600 Bezugspunkt aus gemessen, versehen und auswerten. 08:21.250 --> 08:30.020 Wir haben gelernt, dass bei Massenpunktsystemen, wenn die 08:30.020 --> 08:34.720 Wechselwirkungskräfte nicht allesamt auf der gleichen Wirkungslinie 08:34.720 --> 08:42.140 agieren, dass dann der Tralsatz in differenzieller Form bereits schon 08:42.140 --> 08:44.400 ein zusätzliches Axiom ist. 08:44.400 --> 08:50.480 Und das ist natürlich hier dann beim starren Körper genauso. 08:50.660 --> 08:54.540 Der starre Körper geht ja aus einem Massenpunktsystem dadurch hervor, 08:55.200 --> 09:01.900 dass die ursprünglich N, nämlich endlich vielen, Massenpunkte jetzt 09:01.900 --> 09:07.960 sehr dicht, im Grenzfalle unendlich dicht gepackt sind und in ihrer 09:07.960 --> 09:13.760 Zahl N gegen unendlich gehen, sodass dann die Summation, die man bei 09:13.760 --> 09:18.200 endlich vielen Teilkörpern eben ausführt, dann letztendlich in eine 09:18.200 --> 09:19.420 Integration übergeht. 09:19.580 --> 09:25.040 Also das ist das, was man dabei im Hinterkopf zu halten hat, sodass 09:25.040 --> 09:32.340 dann eben auch bei einem starren Körper eben der Tralsatz kein 09:32.340 --> 09:39.360 identisches Gebilde ist, das man aus dem Impulssatz herleiten kann, 09:39.480 --> 09:42.520 sondern es ist ein zusätzliches Axiom. 09:43.520 --> 09:48.060 Dieses Axiom wird zwar durch jede Erfahrung bestätigt, ist aber eben 09:48.060 --> 09:52.820 zu den Newton'schen Grundgesetzen als Grundaxiom hinzuzufügen. 09:53.800 --> 10:00.700 Newton hat also nur den fallenden Apfel vom Baum diskutiert, also 10:00.700 --> 10:02.280 Massenpunktmechanik gemacht. 10:03.000 --> 10:08.820 Erst Euler hat sich dann eben mit Erweiterungen beschäftigt und hat 10:08.820 --> 10:14.300 ein vollständiges theoretisches Gebäude der Starkörpermechanik 10:14.300 --> 10:14.820 entwickelt. 10:15.080 --> 10:16.340 Und dabei sind wir ja gerade. 10:16.340 --> 10:24.020 Also wir wollen jetzt den Drehimpulssatz in integraler Form für die 10:24.020 --> 10:28.300 ebene Scheibenbewegung hier angeben und wollen das dann auch mit zwei 10:28.300 --> 10:30.120 Beispielen vertiefen. 10:30.660 --> 10:37.360 Wir gehen aus, das ist der Ausgangspunkt, Ausgangspunkt ist der 10:37.360 --> 10:43.670 Tralsatz in differenzieller Form. 10:50.260 --> 10:54.500 Also ich hatte an Eingang schon gesagt, bei der ebenen 10:54.500 --> 10:57.720 Scheibenbewegung ist das eine skalare Gleichung für die 10:57.720 --> 11:00.220 Schwerpunktbewegung des starren Körpers. 11:02.000 --> 11:12.200 Also, MS ist gleich, also so wird es häufig gemacht, das ist kein 11:12.200 --> 11:16.840 Muss, sich auf den Schwerpunkt dabei zu beziehen als Bezugspunkt. 11:18.500 --> 11:23.560 Wir stellen fest, das ist auch schon hier gezeigt worden, dass bei 11:23.560 --> 11:28.320 Bezug auf den Schwerpunkt S die Gleichungen besonders einfach sich 11:28.320 --> 11:28.900 gestalten. 11:28.900 --> 11:36.180 Also MS ist gleich Theta S mal Phi 2 Punkt. 11:37.560 --> 11:48.480 Oder wir können genauso gut schreiben, MS ist gleich LS Punkt. 11:49.300 --> 11:59.280 Wir haben damit den sogenannten Drehimpuls eingeführt mit LS ist 11:59.280 --> 12:04.780 gleich Theta S mal Omega. 12:05.080 --> 12:10.940 Also bekanntlich ist Theta S das axiale Massenträgheitsmoment 12:10.940 --> 12:16.060 bezüglich einer Achse durch S, die senkrecht auf der Bewegungsebene 12:16.060 --> 12:17.000 steht. 12:18.400 --> 12:22.020 Omega charakterisiert die Drehung des starren Körpers, wird 12:22.020 --> 12:23.620 Winkelgeschwindigkeit genannt. 12:24.400 --> 12:30.480 Sie sehen, wenn Sie also jetzt dieses hier auswerten, also die 12:30.480 --> 12:34.680 Ableitung dieses Ausdrucks bilden, weil Theta S zeitunabhängig ist, 12:35.100 --> 12:40.340 kommt da genau dann Theta S mal Omega Punkt heraus. 12:40.540 --> 12:44.480 Und Omega Punkt ist ja definitionsgemäß die zweite Ableitung des 12:44.480 --> 12:45.080 Winkels. 12:46.000 --> 12:51.800 Also bei diesem einfachen Problem, dass sich die Verdrehung in der 12:51.800 --> 12:53.180 Tafelebene abspielt. 12:53.300 --> 12:57.940 Wir werden gleich nachher mit dem eigentlich ersten Kapitel der TM4 12:57.940 --> 12:58.400 beginnen. 12:59.680 --> 13:04.100 Starkörperbewegung allgemein, also irgendwelche unsymmetrisch 13:04.100 --> 13:08.980 geformten dreidimensionalen Körper sind in allgemeinster Bewegung. 13:09.960 --> 13:13.420 Und dort ist dann alles etwas komplizierter, wie wir noch sehen 13:13.420 --> 13:13.720 werden. 13:15.280 --> 13:21.360 So, wenn Sie also dieses jetzt 13:24.940 --> 13:30.520 bezüglich der Zeit integrieren, kommen wir dann zum Drehimpulssatz. 13:32.700 --> 13:39.400 Der noch kein Erhaltungssatz ist, ist dann das äußere Moment gleich 13:39.400 --> 13:39.800 null. 13:39.800 --> 13:45.880 Kriegt man genauso wie eben oben drüber beim Impulssatz den 13:45.880 --> 13:50.520 Impulserhaltungssatz, kriegt man dann jetzt die Spezialisierung des 13:50.520 --> 13:53.800 Drehimpulssatzes in Form des Drehimpulserhaltungssatzes. 13:54.840 --> 13:56.800 Also zunächst einmal Zeitintegration. 14:04.160 --> 14:06.880 So, das ist relativ einfach. 14:07.560 --> 14:13.920 Wir bringen das auf zwei Seiten des Gleichheitszeichens. 14:13.920 --> 14:19.020 Also hier Integration von T0 bis T1. 14:20.040 --> 14:26.160 ms dt ist gleich L1. 14:27.000 --> 14:30.440 Hier immer Bezugspunkt bewegter Schwerpunkt S. 14:30.660 --> 14:34.960 Ja, minus L, auch wiederum gleicher Bezugspunkt. 14:35.360 --> 14:38.320 Jetzt hier zum Anfangszeitpunkt 0. 14:38.320 --> 14:41.580 So, und das können wir auch noch ausdrücken. 14:42.180 --> 14:50.000 Das ist gerade Theta S mal Omega 1 minus Omega 0. 14:52.540 --> 14:55.200 Also das ist der Drehimpulssatz. 15:03.700 --> 15:07.240 Früher hatten wir den in der differenziellen Form als Trallsatz 15:07.240 --> 15:07.940 bezeichnet. 15:08.020 --> 15:13.520 Man kann jetzt das hier auch als Trallsatz in integraler Form 15:13.520 --> 15:14.240 bezeichnen. 15:15.480 --> 15:16.640 Integraler Form. 15:19.500 --> 15:23.540 Also Sie sehen, das ist kein Hexenwerk. 15:23.700 --> 15:28.560 Die Zeitintegration als ein erstes Integral ist immer möglich. 15:34.760 --> 15:39.540 So, jetzt zu dem Sonderfall noch, der ganz analog zu dem, was oben 15:39.540 --> 15:44.640 steht, zu spezialisieren ist. 15:44.640 --> 15:46.020 Für den Sonderfall, 15:53.340 --> 15:58.680 dass MS gleich 0 wird, 16:02.910 --> 16:06.130 möchte ich dazu, das schreibe ich nicht an die Tafel, ich möchte aber 16:06.130 --> 16:09.250 dazu ergänzend Folgendes sagen. 16:10.410 --> 16:15.990 MS gleich 0 heißt nicht zwingend, wenn an dem starken Körper nur 16:15.990 --> 16:19.990 Kräfte angreifen, dass auch sämtliche Kräfte gleich 0 sein müssen. 16:19.990 --> 16:25.530 Es kann nämlich sein, dass die Kräfte zwar ungleich 0 sind, aber alle 16:25.530 --> 16:27.470 durch den bewegten Schwerpunkt gehen. 16:27.930 --> 16:31.290 Dann ist natürlich das Moment dieser Kräfte gleich 0. 16:31.910 --> 16:35.790 Also für zentrale Kraftsysteme kann es auch zum 16:35.790 --> 16:39.610 Drehimpulserhaltungssatz kommen, obwohl die Kräfte selbst nicht 16:39.610 --> 16:40.170 verschwinden. 16:40.930 --> 16:46.830 Also nicht ganz so speziell wie beim Impulssatz. 16:46.830 --> 16:50.810 Dort müssen tatsächlich, wenn es zu einer Erhaltung kommen soll, muss 16:50.810 --> 16:52.910 die resultierende Kraft verschwinden. 16:53.810 --> 16:56.690 Hier muss nicht die resultierende Kraft verschwinden, nur das 16:56.690 --> 16:57.830 resultierende Moment. 16:58.650 --> 17:00.510 Und das ist etwas weiter gefasst. 17:00.510 --> 17:15.620 Also für den Sonderfall, dass MS gleich 0 wird, kommt man zum 17:15.620 --> 17:19.160 Drehimpulserhaltungssatz. 17:29.570 --> 17:37.550 Also L mit dem Schwerpunkt des starren Körpers als bewegtem 17:37.550 --> 17:47.170 Bezugspunkt ist gleich Theta S mal Omega ist gleich Theta S, auch zu 17:47.170 --> 17:50.750 einem Anfangszeitpunkt, ist gleich konstant. 17:50.750 --> 17:55.810 Das ist ja nur eine skalare Gleichung, also kann ich mir hier den 17:55.810 --> 17:59.130 Zusatz ist gleich konstanter Vektor verkneifen. 18:00.050 --> 18:04.790 So, Sie sehen also ganz analoge Gleichungspaare. 18:06.030 --> 18:11.510 Ähnlich, man fragt sich jetzt dann abschließend, was ist die Anwendung 18:11.510 --> 18:16.670 von diesen mechanischen Prinzipien, das ist ähnlich wie bei 18:16.670 --> 18:20.970 Massenpunkten und Massenpunktsystemen für Stoßvorgänge. 18:21.230 --> 18:27.370 In dem Falle jetzt komplizierteren Stoßvorgängen zeigt sich eben die 18:27.370 --> 18:31.350 Nützlichkeit dieser Sätze in der Anwendung. 18:37.930 --> 18:52.000 Anwendungen von Impuls- und Drehimpulssatz und natürlich auch den 18:52.000 --> 18:56.140 Spezialisierungen bei 19:05.790 --> 19:08.850 Stoßvorgängen. 19:14.340 --> 19:20.180 So und genau das wollen wir jetzt noch in zwei ausgewählten Beispielen 19:20.180 --> 19:22.320 hier innerhalb der Vorlesung diskutieren. 19:22.840 --> 19:27.540 Wir werden dann in den Übungen ab nächster Woche das vertiefen. 19:43.310 --> 19:49.910 Also nach wie vor sind wir bei einzelnen starren Körpern, also 19:49.910 --> 19:51.410 einzelnen Ebenenscheiben. 19:51.410 --> 19:57.230 Wenn wir also jetzt hier einen Stoßvorgang diskutieren, dann kann das 19:57.230 --> 20:04.130 im Prinzip eben der Stoß einer Ebenenscheibe, die muss jetzt nicht 20:04.130 --> 20:11.490 eine Kreisscheibe sein, auf eine starre Wand, glatt oder auch rau, das 20:11.490 --> 20:13.230 ist zunächst einmal belanglos. 20:13.370 --> 20:17.810 Das sind also die Art von Stoßvorgängen, die wir jetzt hier 20:17.810 --> 20:18.530 diskutieren. 20:18.530 --> 20:26.930 Wenn Sie später bei Kapitel 4 werden wir auch Systeme starrer Körper 20:26.930 --> 20:32.190 kurz ansprechen, dann sind Sie natürlich auch in der Lage das 20:32.190 --> 20:38.110 komplizierteste Problem, unter Umständen sogar räumlich, also 20:38.110 --> 20:41.700 Zusammenstoß von starren Körpern. 20:42.480 --> 20:46.860 Sie wissen alle, auch das ist ja nicht die Realität, aber wenn eben 20:46.860 --> 20:54.340 beispielsweise ein Unfall zu begutachten ist zwischen zwei Pkw, dann 20:54.340 --> 21:02.620 kommen diese Stoßgesetze zur Anwendung und dann sogar eben allgemeine 21:02.620 --> 21:06.960 starre Körper unsymmetrisch, die dann im allgemeinsten Fall 21:06.960 --> 21:13.120 aufeinander stoßen können und im Extremfalle natürlich auch sich nicht 21:13.120 --> 21:18.560 auf der Straßenoberfläche nur bewegen können, sondern beim Stoß kann 21:18.560 --> 21:23.220 natürlich auch ein Aufbäumen irgendeines der beteiligten Fahrzeuge 21:23.220 --> 21:23.940 auftreten. 21:24.120 --> 21:28.360 Also dann sind wir sehr nah bei der allgemeinen räumlichen Bewegung 21:28.360 --> 21:31.240 starrer Körper oder sogar von starren Körpersystemen. 21:31.240 --> 21:35.820 Also wie gesagt, da darf ich sehr auf das nächste Beispiel verweisen. 21:35.960 --> 21:39.540 Also jetzt hier Beispiel 1. 21:42.960 --> 21:47.800 Ich greife hier zwei vergleichsweise einfache Dinge hervor. 21:47.800 --> 21:56.980 Wir diskutieren einen Starrkörper in Form einer ebenen Scheibe mit 21:56.980 --> 22:03.880 einer festen Drehachse in einem bestimmten Körperpunkt, den wir A 22:03.880 --> 22:04.160 nennen. 22:04.340 --> 22:10.120 Körper mit fester Drehachse A. 22:11.120 --> 22:18.100 Also das Ganze sieht dann beispielsweise so aus. 22:18.600 --> 22:25.500 Wir wollen also hier den Einfluss des Gewichts vernachlässigen. 22:26.160 --> 22:35.270 Wir haben also hier den Körper in einer allgemeinen Lage. 22:36.270 --> 22:42.790 Also wir nehmen mal an, dass hier an dieser Stelle der Schwerpunkt 22:42.790 --> 22:43.110 ist. 22:43.290 --> 22:46.070 Das ist der Aufhängepunkt A. 22:46.810 --> 22:50.550 Wir können dann in einem 22:55.760 --> 23:03.700 kathesischen Koordinatensystem den Aufhängepunkt gegenüber S oder 23:03.700 --> 23:05.320 umgekehrt vermaßen. 23:05.320 --> 23:10.280 Also wir haben hier eine 23:18.180 --> 23:21.160 Abmessung, die wir mit Eta bzw. 23:21.720 --> 23:22.600 Xi bezeichnen. 23:23.240 --> 23:28.600 Also so wird die relative Lage von A gegenüber S oder umgekehrt eben 23:28.600 --> 23:29.220 festgelegt. 23:31.480 --> 23:34.300 Es soll jetzt folgendes Problem auftreten. 23:35.600 --> 23:42.940 Wir wollen diesen hier auf dem Tisch liegenden plattenförmigen Körper, 23:42.940 --> 23:47.040 der so gelagert ist, den wollen wir an einer beliebigen Stelle 23:47.040 --> 23:53.180 gekennzeichnet durch den Abstand B. 23:53.980 --> 23:59.320 Den wollen wir mit einer vorgegebenen Kraft anstoßen. 24:00.320 --> 24:10.730 Und es soll jetzt hier die Frage untersucht werden, wo muss A der 24:10.730 --> 24:20.170 Lagerpunkt sein, damit in dem Lagerpunkt beim Stoß infolge der Kraft F 24:20.170 --> 24:24.250 keine Stoßreaktion im Lager A auftreten. 24:24.250 --> 24:30.370 Also wenn wir das Lager spielfrei annehmen, aber trotzdem so, dass der 24:30.370 --> 24:34.550 Körper sich dort reibungsfrei drehen kann, dann ist ja glaube ich 24:34.550 --> 24:39.530 sofort anschaulich klar, wenn sie hier gegen den Körper an irgendeiner 24:39.530 --> 24:44.790 Stelle dagegenstoßen, dann ergibt es augenblicklich im Lager 24:44.790 --> 24:50.070 entsprechende Lagerreaktionen, Stoßreaktionen von gleicher 24:50.070 --> 24:50.850 Größenordnung. 24:51.850 --> 24:54.930 Also stoßrelevante Größen treten da auf. 24:55.110 --> 24:57.770 Also wo muss A sein, damit 25:01.540 --> 25:06.460 während des Stoßes, während Stoß, 25:14.890 --> 25:19.950 keine Lagerreaktion auftritt. 25:31.440 --> 25:37.240 Also man muss hier diese Abstände Xi und Eda entsprechend bestimmen. 25:37.960 --> 25:43.980 Ist der Lagerpunkt so bestimmt in seiner Geometrie bezüglich S, dass 25:43.980 --> 25:49.720 dort bei einem beliebigen Stoß an beliebiger Stelle durch eine 25:49.720 --> 25:54.500 Stoßkraft F keine Stoßreaktion auftritt, dann bezeichnet man diesen 25:54.500 --> 25:56.960 Lagerpunkt als Stoßmittelpunkt. 25:57.320 --> 26:02.220 Dieser Stoßmittelpunkt hat praktische Bedeutung, denn wenn sie 26:02.220 --> 26:09.260 beispielsweise mit einem Tennisschläger auf irgendeinem Tennisfeld den 26:09.260 --> 26:16.200 Ball schlagen und oft schlagen wollen, dann sind sie daran 26:16.200 --> 26:22.860 interessiert, dass ihr Arm möglichst wenig an Reaktionskraft dort an 26:22.860 --> 26:25.380 der Stelle, wo sie den Schläger halten, abbekommt. 26:26.060 --> 26:30.620 Sonst, bekannt, kriegt man irgendwann einen Tennisarm, das möchte man 26:30.620 --> 26:31.280 vermeiden. 26:31.280 --> 26:36.580 Der Tennisschläger muss also entsprechend konstruiert sein, dass bei 26:36.580 --> 26:43.980 der üblichen Annahme, dass der Ball die Fläche des Schlägers zentral 26:43.980 --> 26:50.540 trifft, dass dann der übliche Haltepunkt, wo sie den Tennisschläger am 26:50.540 --> 26:53.920 Griff packen, dass sie dort möglichst wenig Reaktion spüren. 26:53.920 --> 26:57.900 Also ist das durchaus von technischer Relevanz. 26:58.540 --> 27:06.740 So, hier steht jetzt die Fragestellung und es ist dann so, dass man 27:06.740 --> 27:14.080 also mit dem Impulssatz und dem Drehimpulssatz, beispielsweise 27:14.080 --> 27:19.980 bezüglich des bewegten Schwerpunktes S, dann diese Frage beantworten 27:19.980 --> 27:20.180 kann. 27:20.180 --> 27:22.460 Das werden wir also jetzt gleich sehen. 27:26.590 --> 27:32.390 Vielleicht noch als zusätzliche Vereinfachung vor dem Stoß soll also 27:32.390 --> 27:33.770 der Körper in Ruhe sein. 27:35.670 --> 27:46.330 Vorstoß, unmittelbar vor dem Stoß, Körper in Ruhe. 27:46.330 --> 27:53.890 So, wir schneiden also jetzt den Körper während des Stoßzeitpunktes 27:53.890 --> 27:58.690 frei und bringen alle stoßrelevanten Kräfte an und schreiben dann eben 27:58.690 --> 28:04.550 die Impuls- und Drehimpulssätze in integraler Form an. 28:06.030 --> 28:07.590 Also Freischnitt, 28:11.460 --> 28:13.420 während Stoß, 28:16.620 --> 28:20.240 also das ist jetzt eine Duplette, 28:29.540 --> 28:33.020 bringen also nochmal im Wesentlichen diese Abmessungen hier ins Spiel. 28:33.020 --> 28:40.740 Also hier F, wir haben also hier, wenn das der Drehpunkt ist, hier 28:40.740 --> 28:45.000 eine entsprechende Stoßreaktion, im allgemeinsten Fall ist es ein 28:45.000 --> 28:45.880 ebenes Problem. 28:46.020 --> 28:54.160 Wir haben also zwei Komponenten, also beispielsweise hier Ay und hier 28:54.160 --> 28:57.280 Hx. 28:58.260 --> 29:02.800 Also wir nehmen schon die richtige Richtung für Ax herum an, dann 29:02.800 --> 29:07.160 brauchen wir uns da nicht so sehr mit den Vorzeichen herumzuschlagen. 29:07.640 --> 29:07.720 Also, 29:12.110 --> 29:17.730 diese Richtungspfeile sollen also positive Zählrichtungen andeuten, 29:18.250 --> 29:22.790 wenn wir also jetzt diese drei Impulsgleichungen anschreiben. 29:22.790 --> 29:28.290 Die Impulsgleichung in Vektorform sind zwei Skalaregleichungen plus 29:28.290 --> 29:33.670 Drehimpulssatz, der sowieso schon eine Skalaregleichung ist bei Ebener 29:33.670 --> 29:39.810 Bewegung, also drei Skalaregleichungen als Impulsgleichung. 29:44.390 --> 29:52.030 Also es wird dabei über das unbekannte Stoßzeitintervall integriert. 29:53.030 --> 30:07.210 Also in x-Richtung ist es ja offensichtlich, F minus Hx dt ist gleich 30:07.210 --> 30:15.210 m mal, zum Ende des Stoßes nennen wir also die Geschwindigkeit Vse. 30:17.690 --> 30:26.370 Und zwar x-Richtung, zu Anfang ist der Körper in Ruhe, also minus 0. 30:27.670 --> 30:30.090 In vertikaler Richtung 30:33.370 --> 30:48.170 Ay dt ist gleich m mal Vsy zum Ende des Stoßvorganges minus dem zum 30:48.170 --> 30:51.330 Anfang, also auch hier steht gleich 0. 30:59.040 --> 31:07.460 So, wir haben also jetzt noch den Drehimpulssatz in integraler Form, 31:07.520 --> 31:11.260 wie wir ihn da oben stehen haben, eben auszuwerten. 31:11.380 --> 31:19.260 Wir haben also zunächst einmal Bezugspunkt hier, das war gleich b, 31:22.450 --> 31:27.130 das war gleich eta, das war gleich xy. 31:27.130 --> 31:32.810 Also wir können die Hebelarme bezüglich S, können wir also direkt hier 31:32.810 --> 31:34.130 ablesen. 31:35.650 --> 31:45.890 Wir haben also F mal b minus eta. 31:52.030 --> 31:55.990 Ja, wir haben ja das resultierende Moment zu nehmen, also das war der 31:55.990 --> 31:57.530 Anteil von F. 31:57.530 --> 32:07.610 Wir sehen, dass Ay, also mit dem Hebelarm in die negative Richtung 32:07.610 --> 32:37.810 dreht, Ay mal xy und Ax plus Ax mal eta dt ist gleich Theta S mal 32:37.810 --> 32:38.930 Omega E. 32:38.930 --> 32:44.230 Auch hier wiederum zu Anfang gleich ist die Winkelgeschwindigkeit 32:44.230 --> 32:45.510 gleich 0, also 0. 32:46.010 --> 32:48.170 So, das sind die drei Impulsgleichungen. 32:50.070 --> 32:55.030 Sie sehen, da sind eine ganze Menge mehr an Unbekannten drin, als 32:55.030 --> 32:57.070 Gleichungen vorhanden sind. 32:57.750 --> 33:04.070 Wenn Sie sich das Problem anschauen, dann ist das ja auch hier keine 33:04.070 --> 33:09.370 allgemeinste Ebene Scheibenbewegung, sondern ein Sonderfall, es ist 33:09.370 --> 33:13.070 eine Drehung um diesen Festpunkt A. 33:13.210 --> 33:19.570 Wir können also die Schwerpunktgeschwindigkeit in x- bzw. 33:19.870 --> 33:25.070 y-Richtung oder auch vektoriell, können wir mit dem entsprechenden 33:25.070 --> 33:30.370 Abstand vom Drehpunkt, können wir das also kinematisch ausdrücken. 33:30.670 --> 33:35.730 Wir können also diese Abhängigkeit, die durch diesen festen Drehpunkt 33:35.730 --> 33:40.270 entsteht, die können wir in Form von zwei zusätzlichen kinematischen 33:40.270 --> 33:44.330 Gleichungen, können wir die eben einbringen. 33:55.830 --> 34:04.030 So, das wollen wir also jetzt noch hier zusätzlich angeben. 34:04.110 --> 34:08.050 Wir wollen damit dann die Impulsgleichung vereinfachen. 34:09.390 --> 34:12.630 Das sind ja die Impulsgleichungen in allgemeiner Form. 34:12.790 --> 34:17.550 Wir geben dann unsere Forderung in die Gleichungen ein, dass die 34:17.550 --> 34:22.950 Auflagereaktion verschwinden soll und dann bleiben gerade entsprechend 34:22.950 --> 34:26.230 viele Unbekannte übrig, die man dann nämlich ausrechnen kann, nämlich 34:26.230 --> 34:33.330 die Koordinaten Xi und Eta, die also den Abstand zwischen Schwerpunkt 34:33.330 --> 34:34.910 und Lagerpunkt definieren. 34:36.550 --> 34:38.830 Also Kinematik 34:44.510 --> 34:57.570 VSE in X-Richtung ist gleich der entsprechende skalare Hebelarm, 34:57.670 --> 35:03.110 kürzester Abstand, der für die Geschwindigkeit in X-Richtung ist, ist 35:03.110 --> 35:14.130 der vertikale Abstand Eta mal Omega E und ähnlich für die Y-Koordinate 35:14.130 --> 35:19.430 ergibt sich Xi mal Omega E. 35:20.430 --> 35:28.770 Also das bringen wir jetzt in die Gleichung ein. 35:35.270 --> 35:56.110 Delta S TS F DT minus AX DT ist gleich, das nennen wir abgekürzt, die 35:56.110 --> 36:01.810 Integrationsdauer ist ja auch beispielsweise unbekannt, also das 36:01.810 --> 36:15.390 nennen wir dann einfach F DACH minus AX DACH, das ist also gerade M 36:15.390 --> 36:25.590 mal Eta Omega E, also indem wir die Kinematik hier mit einbringen. 36:26.290 --> 36:37.170 Das nächste, die Integration von AY über das Stoßzeitintervall, das 36:37.170 --> 36:48.410 bezeichnen wir mit AY DACH und das ist dann gleich M mal Xi mal Omega 36:48.410 --> 36:55.310 E, also das bezeichnen wir jetzt als Gleichung 1 Strich, das als 36:55.310 --> 36:57.130 Gleichung 2 Strich 37:04.030 --> 37:13.830 und Integral Delta TS, also diese Hebelarme, die sind ja von der 37:13.830 --> 37:17.130 Integration unabhängig im Drehimpulserhaltungssatz. 37:17.990 --> 37:23.010 Im Drehimpulssatz können wir also diese Größen, diese Hebelarme Xi und 37:23.010 --> 37:26.270 Eta beispielsweise vor das Integral ziehen. 37:26.270 --> 37:37.330 Also F DT mal B minus Eta minus 37:42.730 --> 37:51.670 AX DT mal Eta minus... 37:54.110 --> 37:56.350 Also jetzt muss ich nochmal die... 38:04.070 --> 38:21.910 Minus Delta TS AY DT mal Xi ist gleich Theta S mal Omega E. 38:26.810 --> 38:41.650 So, wir können also jetzt aus 3 Strich mit, das führe ich Ihnen aber 38:41.650 --> 38:45.270 jetzt im Detail diese Rechnung nicht mehr vor, das sind immer so ein 38:45.270 --> 38:48.510 oder zwei Zeilen Zwischenrechnung, das überlasse ich Ihnen. 38:53.530 --> 39:10.890 Wir erhalten Omega E ist gleich F Dach mal B, dividiert durch Theta A 39:10.890 --> 39:25.680 mit Theta A ist gleich Theta S plus M Xi Quadrat plus Eta Quadrat. 39:27.840 --> 39:36.420 Also das ist ein Zwischenergebnis und jetzt können wir die Forderungen 39:36.420 --> 39:42.900 aufstellen, es soll im Lager A keine Stoßreaktion auftreten, also AX 39:42.900 --> 39:49.820 gleich AY gleich 0 oder auch die Integration darüber, also AX Dach 39:49.820 --> 39:55.560 beziehungsweise AY Dach gleich 0, das können wir jetzt als Forderung 39:55.560 --> 40:01.620 verwerten und können die dann noch einzig zwei Unbekannten Xi und Eta, 40:02.180 --> 40:06.140 die eben den Abstand zwischen dem nun dadurch definierten 40:06.140 --> 40:09.500 Stoßmittelpunkt und dem Schwerpunkt definieren, können wir ausrechnen. 40:16.310 --> 40:19.570 Also jetzt Forderung, 40:26.470 --> 40:47.230 dass AX AY gleich 0, das heißt AX Dach AY Dach gleich 0 wird, 40:54.000 --> 40:59.000 also Sie sehen beispielsweise aus der Gleichung zwei Strich, sehen Sie 40:59.000 --> 41:07.520 dann unmittelbar, dass Xi gleich 0 werden muss und aus Gleichung, also 41:07.520 --> 41:30.180 aus zwei Strich Xi gleich 0 und aus ein Strich Eta ist gleich Theta A 41:30.180 --> 41:36.920 dividiert durch M mal B. 41:42.200 --> 41:48.760 Also diese geometrische Relation muss erfüllt sein, dann ist 41:48.760 --> 41:54.040 tatsächlich eben der Stoßmittelpunkt gefunden und in dem Stoß im 41:54.040 --> 41:59.700 Lagerpunkt A treten keine Stoßkräfte auf in Form von Reaktion. 42:02.240 --> 42:07.540 So Theta A ist natürlich unter Berücksichtigung schon von Xi gleich 0, 42:08.020 --> 42:13.540 dann auch noch ein kleines bisschen einfacher, also Theta A ist dann 42:13.540 --> 42:21.020 Theta S plus M Eta Quadrat, das in diese Gleichung eingesetzt ist dann 42:21.020 --> 42:26.640 eine quadratische Gleichung für die zwei möglichen Werte von Eta aus 42:26.640 --> 42:27.800 Symmetriegründen. 42:28.400 --> 42:36.740 Also das will ich dann gerade noch zum guten Schluss angeben. 42:45.570 --> 42:52.430 Also kleine Ruhepause, Sie können auch in der Zeit natürlich gerne 42:52.430 --> 42:56.950 eine Frage stellen, auch zwei oder drei oder vier. 43:07.190 --> 43:09.190 Ist etwas unklar geblieben? 43:10.910 --> 43:14.550 Also Sie brauchen jetzt, Sie sehen ja, ich bin mit der Tafel 43:14.550 --> 43:18.570 beschäftigt, Sie brauchen jetzt hier sich nicht zu melden in dem 43:18.570 --> 43:22.590 Sinne, sondern stellen Sie gleich Ihre Frage, wenn es eine gibt. 44:15.170 --> 44:19.230 So scheinbar alles klar. 44:49.410 --> 44:56.210 Also Xi und Eta sind die Koordinaten des sogenannten 44:56.210 --> 44:59.130 Stoßmittelpunktes. 45:08.030 --> 45:19.690 Wie gesagt, Xi gleich 0 und die andere Gleichung Eta ist gleich Theta 45:19.690 --> 45:34.030 A jetzt eingesetzt, Theta S plus M Eta Quadrat durch M mal B ist 45:34.030 --> 45:37.570 offensichtlich, auch ohne dass ich das jetzt in die Normalform 45:37.570 --> 45:40.630 schreibe, eine quadratische Gleichung für Eta. 45:40.630 --> 45:56.690 Also Eta 1,2 ist gleich B halbe plus minus B Quadrat Viertel minus 45:56.690 --> 45:59.390 Theta S durch M. 46:00.050 --> 46:08.150 Also damit sind die Koordinaten des Stoßmittelpunktes vollständig 46:08.150 --> 46:08.530 bestimmt. 46:17.390 --> 46:24.250 So ein zweites Beispiel, auch vergleichsweise einfach und 46:24.250 --> 46:31.490 übersichtlich, aber durchaus eben auch von entsprechender Relevanz. 46:31.490 --> 46:34.630 Ja, das will ich vielleicht hier noch dazuschreiben. 46:38.290 --> 46:53.130 Technische Anwendung, zum Beispiel beim Tennisschläger. 46:58.280 --> 47:10.980 So, also auch das zweite Beispiel ist aus dem Bereich des Sportes 47:10.980 --> 47:11.780 genommen. 47:16.730 --> 47:23.890 Also wir diskutieren eine Billardkugel auf dem Billardtisch. 47:23.890 --> 47:24.110 Bitte? 47:25.430 --> 47:27.590 Bitte sehr. 47:34.750 --> 47:36.790 Nein, nein, nein, nein. 47:38.150 --> 47:40.210 Das ist ja ein ganz fataler Irrtum. 47:40.950 --> 47:49.430 Also ein starrer Körper, wenn er sich dreht, dreht sich immer um jeden 47:49.430 --> 47:52.830 Punkt mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit Omega. 47:53.690 --> 48:00.370 Sie ziehen da Hilfsüberlegungen zu Rate, die aber für sich allein eine 48:00.370 --> 48:02.550 ungültige Spezialisierung darstellen. 48:02.710 --> 48:07.950 Also es ist natürlich offensichtlich, man sieht ja bei einem 48:07.950 --> 48:11.530 Lagerpunkt, stellt man sich, wenn man einen anderen Punkt sich 48:11.530 --> 48:15.290 betrachtet für diesen starren Körper, sieht man in Gedanken die 48:15.290 --> 48:19.270 Verbindungslinie und die dreht sich dann mit der Winkelgeschwindigkeit 48:19.270 --> 48:19.670 Omega. 48:19.670 --> 48:24.170 Und dann meint man, der Körper würde sich nur um den Lagerpunkt mit 48:24.170 --> 48:26.090 der Winkelgeschwindigkeit Omega drehen. 48:26.570 --> 48:29.590 Das tut er aber, wenn Sie jetzt mal ein bisschen länger drüber 48:29.590 --> 48:30.390 nachdenken. 48:30.930 --> 48:36.290 Sie nehmen jeden x-beliebigen Punkt, der Körper dreht sich, wenn Sie 48:36.290 --> 48:42.570 dann eine Verbindungslinie körperfest zwischen zwei Punkten sich 48:42.570 --> 48:46.570 vorstellen, rot markiert, dann dreht sich diese Linie immer mit der 48:46.570 --> 48:47.790 gleichen Winkelgeschwindigkeit. 48:49.070 --> 48:53.230 Überraschendes Ergebnis, aber das sollte eigentlich schon aus den 48:53.230 --> 48:56.970 vier, fünf Vorlesungen vorher auch bekannt klar geworden sein. 48:57.150 --> 49:00.750 Also ich hoffe, dass es jetzt damit etwas klarer geworden ist. 49:00.750 --> 49:09.270 Also ich möchte noch einmal dazu sagen, die Hilfsvorstellung, dass 49:09.270 --> 49:17.010 sich die Kinetik eines starren Körpers auf die, so sagt man in 49:17.010 --> 49:23.670 Kurzform, salopp, etwas unscharf, Translation des Schwerpunktes plus 49:23.670 --> 49:25.610 Drehung um den Schwerpunkt. 49:26.520 --> 49:33.750 Das ist also eine nicht visualisierbare Beschreibung der allgemeinen 49:33.750 --> 49:34.410 Bewegung. 49:34.890 --> 49:39.490 Sie können die allgemeine Bewegung eines ebenen Körpers, aber später 49:39.490 --> 49:44.590 auch eines unsymmetrischen starren Körpers, können Sie nicht visuell 49:44.590 --> 49:50.410 beim Beobachten aufteilen in eine Translation und eine Rotation. 49:50.410 --> 49:53.150 Sie sehen immer die Überlagerung. 49:53.870 --> 49:55.770 Das hilft nur rechentechnisch. 49:56.350 --> 50:02.330 Rechentechnisch wird die allgemeine Bewegung dargestellt auf eine 50:02.330 --> 50:06.730 Translationsbewegung des Körpers mit der Schwerpunktgeschwindigkeit 50:06.730 --> 50:10.790 und eine Drehung in Klammern um den Schwerpunkt. 50:11.690 --> 50:15.310 Aber um jeden anderen Punkt dreht sich der Körper auch mit der 50:15.310 --> 50:16.310 gleichen Geschwindigkeit. 50:16.310 --> 50:19.970 So, jetzt zurück zu unserem Beispiel. 50:21.290 --> 50:25.250 Also wir haben eine Kugel, zunächst auf einem Billardtisch. 50:28.210 --> 50:35.850 Der Billardtisch soll jetzt der Wirklichkeit nicht entsprechend glatt 50:35.850 --> 50:36.230 sein. 50:36.870 --> 50:42.010 Ideal glatt, es sollen also keine Reibungseinflüsse hier diskutiert 50:42.010 --> 50:42.310 werden. 50:43.020 --> 50:45.130 Also die Unterlage sei glatt. 50:49.510 --> 50:56.990 Also die Kugel soll den Radius groß R, die Masse M haben. 50:58.230 --> 51:08.190 Damit ist auch das Theta S bestimmt, das kann man ausrechnen, das 51:08.190 --> 51:09.330 möchte ich hier nicht tun. 51:09.330 --> 51:14.770 Das axiale Massenträglichkeitsmoment bezüglich einer Achse durch den 51:14.770 --> 51:21.350 Schwerpunkt ist zwei Fünftel M r². 51:22.450 --> 51:24.070 Ja, so kann man das ausrechnen. 51:27.270 --> 51:29.170 So, das ist also eine Kugel. 51:31.150 --> 51:32.830 Zunächst in Ruhe. 51:41.750 --> 51:48.710 Die Kugel wird jetzt an dieser Stelle, ich will das jetzt also so 51:48.710 --> 51:52.190 kennzeichnen, durch das Kö angestoßen. 51:53.530 --> 52:00.330 Im Abstand H größer R. 52:02.610 --> 52:09.790 Und es ist jetzt die Frage, bei dem nicht der Wirklichkeit 52:09.790 --> 52:13.690 entsprechenden Sonderfall, dass die Unterlage glatt ist. 52:13.950 --> 52:16.430 Mit Reibung wird das Ganze noch ein bisschen aufwendiger. 52:17.370 --> 52:18.790 Möchte ich hier nicht diskutieren. 52:19.610 --> 52:23.870 In welcher Höhe muss ich also die Kugel anstoßen, dass sie unmittelbar 52:23.870 --> 52:27.750 nach dem Stoß auf der Unterlage sofort rollt. 52:28.750 --> 52:32.550 Ja, das ist also durchaus eine interessante Fragestellung. 52:32.670 --> 52:37.070 Die interessiert dann allerdings mit dem Zusatz von Reibung natürlich 52:37.070 --> 52:39.890 auch einen guten Billardspieler. 52:39.990 --> 52:43.010 Was er dann da für Kunststücke mit der Kugel alles so machen kann, 52:43.430 --> 52:45.430 hängt damit unmittelbar zusammen. 52:45.670 --> 52:50.190 Also ein Billardspieler muss entweder intuitiv oder tatsächlich 52:50.190 --> 52:52.330 gelernt etwas von Mechanik verstehen. 52:56.200 --> 52:59.860 Also, in welcher Höhe H 53:04.880 --> 53:18.270 muss der Stoß erfolgen, damit die Kugel unmittelbar nach dem Stoß 53:18.270 --> 53:20.450 sofort rollt. 53:20.530 --> 53:22.710 Damit Kugel sofort rollt. 53:36.950 --> 53:38.850 Also, das ist die Frage. 53:39.070 --> 53:43.970 Auch hier hilft wiederum das Anwenden der Impulsgleichung. 53:44.230 --> 53:47.590 Genauer, das Anwenden der Impulsgleichung. 53:48.390 --> 53:52.050 Natürlich, ich denke, das ist sofort klar. 53:52.590 --> 53:56.970 Die eigentliche Impulsgleichung ist hier nur in horizontaler Richtung 53:56.970 --> 53:57.890 von Interesse. 53:57.890 --> 54:06.590 Also gegebenenfalls eine Stoßreaktion hätte ja nur hier, also die für 54:06.590 --> 54:10.770 diese Fragestellung relevant ist, ist nur die Stoßreaktion in 54:10.770 --> 54:12.770 horizontaler Richtung wichtig. 54:13.090 --> 54:19.050 Und wegen glatter Unterlage gibt es eben keine Reibungsreaktion. 54:19.130 --> 54:22.650 Es gibt also keine Reaktion in horizontaler Richtung an diesem 54:22.650 --> 54:23.570 Auflagepunkt. 54:24.390 --> 54:29.470 Das kann man sich alles bei dieser Gelegenheit überlegen. 54:30.670 --> 54:35.190 Also, Freischnitt, auch hier wiederum, ist das A und O. 54:36.690 --> 54:38.870 Also ich hoffe, das haben Sie ja inzwischen gelernt. 54:39.370 --> 54:45.990 Freischnitt ist generell bei Lösen von Kinetikaufgaben eben immer der 54:45.990 --> 54:46.690 erste Schritt. 54:53.620 --> 55:01.440 Also jetzt bringe ich hier tatsächlich die Kraft auf im Abstand vom 55:01.440 --> 55:02.480 Auflagepunkt. 55:02.880 --> 55:06.180 Also das ist der Auflagepunkt. 55:08.100 --> 55:09.380 Auflagepunkt. 55:13.370 --> 55:20.710 An diesem Auflagepunkt keine horizontale Stoßreaktion. 55:21.430 --> 55:22.110 Keine. 55:22.230 --> 55:22.970 Das ist wichtig. 55:22.970 --> 55:30.110 Keine horizontale Stoßreaktion. 55:36.090 --> 55:37.650 Also noch einmal warum? 55:38.190 --> 55:42.190 Weil die Unterlage glatt ist und keine Reibung auftreten kann. 55:42.550 --> 55:44.010 Das ist der Grund dafür. 55:48.940 --> 55:54.960 Also beispielsweise, das sollen die Pfeilrichtungen als positive 55:54.960 --> 55:59.980 Zählrichtungen sein beim Anschreiben des Impulssatzes in X-Richtung 55:59.980 --> 56:03.940 und beim Anschreiben des Drehimpulssatzes um den Schwerpunkt. 56:04.140 --> 56:08.480 Der Schwerpunkt ist natürlich hier in der Mitte. 56:10.960 --> 56:13.240 Radius, wie gesagt, R. 56:16.670 --> 56:20.750 Also auch hier wiederum die Impulsgleichungen. 56:23.190 --> 56:25.410 In dem Falle zwei Relevante. 56:25.410 --> 56:32.450 Also die eine Impulsgleichung in X-Richtung und der Drehimpulssatz. 56:33.450 --> 56:39.210 Integral über unbekannte Stoßzeitintervall FDT. 56:40.450 --> 56:55.410 Ist gleich, FDACH genannt, ist gleich MVSX-Komponente von VSE-0. 56:55.410 --> 57:03.330 Wenn die Kugel zunächst in Ruhe ist und hier jetzt Drehimpulssatz. 57:04.070 --> 57:09.470 Natürlich wird hier genauso über die unbekannte Stoßzeit integriert. 57:09.470 --> 57:24.650 F mal H minus R DT ist gleich FDACH mal H minus R. 57:25.810 --> 57:32.950 Definitionsgemäß und das ergibt mit anfänglich Kugel in Ruhe. 57:35.830 --> 57:41.550 M mal Omega E minus 0. 57:43.590 --> 57:50.390 So und auch hier gibt es eine Kinematik, die steckt hier in der 57:50.390 --> 57:51.490 Fragestellung drin. 57:52.210 --> 57:56.930 Unmittelbar nach dem Stoß soll ja die Kugel sofort rollen. 57:56.930 --> 58:03.490 Das heißt also zwischen der Schwerpunktgeschwindigkeit und der 58:03.490 --> 58:08.310 Winkelgeschwindigkeit besteht ein kinematischer Zusammenhang. 58:08.870 --> 58:13.830 Weil dieser Auflagepunkt gleich der Momentanpol ist. 58:14.970 --> 58:21.890 Also diese zusätzliche Gleichung können wir aus der Kinematik 58:21.890 --> 58:22.590 herausholen. 58:22.590 --> 58:27.570 Und dann ist die Frage wieder, die ursprünglich gestellt worden ist, 58:27.890 --> 58:29.270 beantwortbar. 59:36.070 --> 59:38.070 Gibt es Fragen bis hierhin? 59:38.490 --> 59:38.490 Ja? 59:45.210 --> 59:46.430 Ja, natürlich. 59:47.530 --> 59:49.610 Ja, das verbessere ich natürlich. 59:50.570 --> 59:53.030 Vielen Dank für die Korrektur. 59:55.870 --> 01:00:01.070 Natürlich, bei der Drehung kommen ja Massenträgheitsmomente ins Spiel 01:00:01.070 --> 01:00:02.590 und keine Massen. 01:00:04.170 --> 01:00:05.990 Vielen Dank für die Korrektur. 01:00:17.710 --> 01:00:20.810 So, das muss hier natürlich Theta S heißen. 01:00:43.580 --> 01:00:45.620 So, Kinematik. 01:00:51.310 --> 01:00:58.010 Es soll ja für die Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Stoß sollen 01:00:58.010 --> 01:01:00.890 ja Rollen vorausgesetzt werden. 01:01:00.890 --> 01:01:18.200 Also VSI in X-Richtung minus R mal Omega I gleich 0. 01:01:18.900 --> 01:01:28.630 Weil Auflagepunkt gleich der Momentanpol ist. 01:01:35.090 --> 01:01:41.390 Also momentan hat man beim Rollen auf dem Auflagepunkt keine 01:01:41.390 --> 01:01:42.810 Geschwindigkeit. 01:01:50.020 --> 01:01:54.040 Also wenn Sie jetzt das 01:01:58.380 --> 01:02:01.520 unbekannte Stoßintegral f''. 01:02:01.520 --> 01:02:04.720 Elimination von f''. 01:02:04.720 --> 01:02:10.880 Wenn Sie das vornehmen unter Verwendung der Kinematik, können Sie eben 01:02:10.880 --> 01:02:18.460 dann eben die Frage lösen. 01:02:22.570 --> 01:02:27.410 Also es kommt, ja ich will vielleicht eine Hilfsgleichung noch 01:02:27.410 --> 01:02:28.030 hinschreiben. 01:02:28.030 --> 01:02:42.550 M mal H minus R mal R Omega I ist gleich Theta S mal Omega I. 01:02:43.730 --> 01:02:49.250 Also diese Gleichung ist, wie Sie dann beim Einsetzen sehen, für jedes 01:02:49.250 --> 01:02:50.530 Omega erfüllt. 01:02:50.530 --> 01:02:53.810 Wie das natürlich auch der Fall sein muss. 01:02:54.230 --> 01:02:57.990 Und Sie können dann eben hier diese Höhe H ausrechnen. 01:02:58.430 --> 01:03:02.970 H ist gleich 7 Fünftel R. 01:03:06.580 --> 01:03:12.040 Also unter Verwendung dieser Kinematik-Gleichung können Sie zu dieser 01:03:12.040 --> 01:03:12.900 Beziehung kommen. 01:03:13.460 --> 01:03:19.060 Sie sehen, die ist für jede Winkelgeschwindigkeit ungleich 0 erfüllt. 01:03:19.060 --> 01:03:26.720 Und damit können Sie also die Höhe, bei der das Kö an der Kugel 01:03:26.720 --> 01:03:28.360 angreifen muss, ausrechnen. 01:03:30.160 --> 01:03:34.860 Ich möchte noch eine abschließende Bemerkung machen. 01:03:36.680 --> 01:03:40.440 Schiefe Stöße bei 01:03:44.590 --> 01:03:46.330 ebener Scheibenbewegung. 01:03:47.490 --> 01:03:51.330 Also das kann man sich beispielsweise so vorstellen. 01:03:51.330 --> 01:04:00.870 Also wir nehmen hier an eine glatte oder raue Wand. 01:04:09.270 --> 01:04:14.850 Wir haben dann die Stoßnormale, die steht nämlich auf dieser glatten 01:04:14.850 --> 01:04:17.210 oder rauen Wand senkrecht. 01:04:17.210 --> 01:04:19.290 Wenn wir also hier 01:04:28.530 --> 01:04:40.090 jetzt mit einem Winkel Alpha, der ungleich 0 ist, diesen starren 01:04:40.090 --> 01:04:44.990 Körper gegen diese Unterlage ballen lassen, dann liegt eben kein 01:04:44.990 --> 01:04:48.650 zentraler Stoß mehr vor, sondern ein schiefer Stoß. 01:04:50.790 --> 01:04:54.030 Das möchte ich also hier in der Vorlesung nicht mehr behandeln. 01:04:54.030 --> 01:04:55.950 Da möchte ich auf die Übungen verweisen. 01:04:56.090 --> 01:05:02.410 Dort werden also ein oder zwei Aufgaben dazu noch diskutiert werden. 01:05:05.350 --> 01:05:10.890 Also insbesondere wenn bei einer rauen Unterlage Reibung im Spiel ist, 01:05:11.030 --> 01:05:14.070 sind diese Dinge schon nicht mehr so ganz trivial. 01:05:15.090 --> 01:05:19.470 Wenn das Ganze dann räumlich passiert, gibt es selbst heute noch 01:05:19.470 --> 01:05:26.870 ungelöste Fragen, weil dann natürlich eben auch noch, also stellen Sie 01:05:26.870 --> 01:05:32.150 sich hier so eine Unterlage vor, eine Kugel, ein Billardball oder was 01:05:32.150 --> 01:05:37.230 immer kommt hier an, der kann auch eben um eine Achse sich drehen, die 01:05:37.230 --> 01:05:43.650 senkrecht auf dieser Unterlage steht, dann kommt es zu solchen 01:05:43.650 --> 01:05:46.230 Bohrreibungsproblemen. 01:05:46.230 --> 01:05:51.010 Probleme treten natürlich heutzutage nur dann auf, wenn auch Reibung 01:05:51.010 --> 01:05:51.890 noch im Spiel ist. 01:05:52.190 --> 01:05:59.430 Also allgemein räumliche Stöße dreidimensionaler Körper mit Reibung, 01:05:59.630 --> 01:06:02.410 gibt es auch heute noch ungelöste Probleme. 01:06:03.870 --> 01:06:10.090 Es ist erstaunlich, dass so etwas scheinbar Elementares noch riesige 01:06:10.090 --> 01:06:11.610 Probleme aufwerfen kann. 01:06:16.800 --> 01:06:22.660 So, wir beginnen, in diesem Moment haben wir also die TM3 01:06:22.660 --> 01:06:28.480 abgeschlossen, wir beginnen jetzt mit der TM4 und dort werden 01:06:28.480 --> 01:06:36.600 insbesondere behandelt starre Körper, völlig unsymmetrisch, also 01:06:36.600 --> 01:06:42.000 stellen Sie sich eine krumme Kartoffel vor, die allgemein 01:06:42.000 --> 01:06:46.800 translatorisch, räumlich und rotatorisch sich bewegt. 01:06:49.620 --> 01:06:54.880 Dann hat man es eben mit dem zu tun, was wir jetzt im Kapitel 4 01:06:54.880 --> 01:06:55.980 diskutieren wollen. 01:06:56.680 --> 01:07:00.760 Wir werden dann noch ein weiteres Kapitel 5 anschließen, in dem wir in 01:07:00.760 --> 01:07:05.080 dem Sinne nichts Neues mehr von der Modellierung der Körper 01:07:05.080 --> 01:07:13.660 kennenlernen, sondern weitere sogenannte analytische Methoden der 01:07:13.660 --> 01:07:18.540 Mechanik, die zur alternativen Herleitung von Bewegungsgleichungen 01:07:18.540 --> 01:07:21.680 dienen, wenn die Probleme kompliziert werden. 01:07:21.840 --> 01:07:26.660 Sie werden sehen, dass da diese analytischen Prinzipien Vorteile 01:07:26.660 --> 01:07:34.240 gegenüber dem Freischneiden und vektoriellen Aufstellen von Kräfte- 01:07:34.240 --> 01:07:36.340 und Momentengleichungen haben. 01:07:37.680 --> 01:07:43.080 Und dann werden wir noch ein letztes Kapitel anschließen, das sich mit 01:07:43.080 --> 01:07:48.960 einer besonderen und zwar besonders wichtigen Form von Bewegungen 01:07:48.960 --> 01:07:52.280 beschäftigt, nämlich Schwingungen. 01:07:52.760 --> 01:07:57.520 Schwingungen kommen allen Teilen in der Technik vor, Schwingungen sind 01:07:57.520 --> 01:08:03.120 häufig gefährlich, manchmal auch nützlich, aber häufig meistens 01:08:03.120 --> 01:08:03.530 gefährlich. 01:08:04.220 --> 01:08:09.820 Deswegen muss man Kenntnisse über Phänomene bei Schwingungen besitzen. 01:08:10.420 --> 01:08:13.180 Dazu dann das Kapitel 6. 01:08:13.420 --> 01:08:17.330 4, 5, 6, das sind jetzt die drei vor uns stehenden Kapitel. 01:08:17.330 --> 01:08:25.750 Im Kapitel 4 beschäftigen wir uns jetzt mit Systemen starrer Körper. 01:08:39.980 --> 01:08:44.360 Also Systeme starrer Körper bei beliebigen Bewegungen sind schon 01:08:44.360 --> 01:08:47.120 äußerst komplizierte technische Gebilde. 01:08:48.080 --> 01:08:52.840 Wenn Sie beispielsweise eine Autofabrik besuchen und dort einen 01:08:52.840 --> 01:08:58.040 Schweißroboter sich anschauen, bei seinen Bewegungen, wenn die 01:08:58.040 --> 01:09:01.860 Karosserie zusammengeschweißt wird, dann können Sie sich eben die 01:09:01.860 --> 01:09:04.340 Komplexität ein bisschen vorstellen. 01:09:05.080 --> 01:09:06.900 Zunächst eine Vorstufe. 01:09:10.160 --> 01:09:13.240 Also ich will das aber noch ein bisschen erklären und einführen. 01:09:13.240 --> 01:09:28.030 Bisher in Kapitel 3 starre Einzelkörper, 01:09:31.180 --> 01:09:37.640 also Betonung lag auf Einzelkörper und zwar in Form ebener Scheiben. 01:09:37.640 --> 01:09:42.540 Also gewisse Symmetrien waren hier gegeben. 01:09:43.980 --> 01:09:44.700 In Form 01:09:48.370 --> 01:09:53.130 ebener Scheiben. 01:10:01.800 --> 01:10:02.680 Hier jetzt 01:10:05.970 --> 01:10:15.470 zunächst auch Einzelkörper, aber jetzt ohne Symmetrie, Bedingungen bei 01:10:15.470 --> 01:10:18.370 allgemeinster räumlicher Bewegung. 01:10:18.370 --> 01:10:23.310 Hier jetzt zunächst auch 01:10:26.410 --> 01:10:52.170 Einzelkörper, aber unsymmetrisch in allgemeinräumlicher Bewegung. 01:11:00.620 --> 01:11:04.800 Dann werden wir noch ein paar Bemerkungen machen zu Systemen starrer 01:11:04.800 --> 01:11:05.080 Körper. 01:11:05.080 --> 01:11:08.220 Dann noch 01:11:12.570 --> 01:11:16.070 Systeme. 01:11:16.510 --> 01:11:18.370 Also das ist jetzt der Fahrplan. 01:11:22.190 --> 01:11:28.650 Dementsprechend haben wir jetzt also das Kapitel 4.1 Bewegung 01:11:28.650 --> 01:11:32.170 allgemeiner Bewegung starrer Einzelkörper. 01:11:35.880 --> 01:11:44.840 Also 4.1 allgemeinräumliche 01:11:48.610 --> 01:12:02.770 Bewegung unsymmetrischer starrer Einzelkörper. 01:12:12.530 --> 01:12:19.010 So genau wie in bisherigen Kapiteln auch ein paar Bemerkungen vorab 01:12:19.010 --> 01:12:20.450 zur Kinematik. 01:12:22.050 --> 01:12:26.610 Und dann gehen wir über zur wichtigeren Kinetik. 01:12:35.040 --> 01:12:41.840 So die wesentliche Komplikation gegenüber früher ist jetzt die Drehung 01:12:41.840 --> 01:12:44.200 bei allgemeiner Bewegung. 01:12:44.200 --> 01:12:48.380 Das ist nämlich jetzt tatsächlich auch eine räumliche Drehung. 01:12:49.680 --> 01:12:55.840 Also stellen Sie sich vor, das können wir ja als starren Körper 01:12:55.840 --> 01:12:59.900 betrachten, seine Translation. 01:13:01.040 --> 01:13:06.460 Also beobachten Sie eine körperfeste Verbindungslinie zweier Punkte, 01:13:06.740 --> 01:13:08.520 die dann keine Drehung ausführt. 01:13:08.620 --> 01:13:09.780 Das ist ja eine Translation. 01:13:09.780 --> 01:13:14.720 Kann also durchaus auf gekrümmten Bahnen erfolgen. 01:13:16.000 --> 01:13:20.040 Also es ist nicht nur eine geradlinige Bewegung, eine Translation. 01:13:20.500 --> 01:13:24.160 Die kann beispielsweise auf einem Kreis erfolgen. 01:13:24.960 --> 01:13:28.680 Die kann auch räumlich, also mit Hinzunahme der dritten Dimension 01:13:28.680 --> 01:13:29.200 erfolgen. 01:13:29.820 --> 01:13:34.000 Diese räumliche Translation ist nicht das, was die Bewegung 01:13:34.000 --> 01:13:35.100 kompliziert macht. 01:13:35.100 --> 01:13:42.000 Da ist das Hinzunehmen der dritten Dimension eine elementare 01:13:42.000 --> 01:13:43.200 Erweiterung. 01:13:43.320 --> 01:13:45.640 Ich will nicht sagen trivial, aber es ist fast trivial. 01:13:46.620 --> 01:13:51.640 So was kompliziert ist, ist jetzt das, was an Drehung dazu passieren 01:13:51.640 --> 01:13:51.980 kann. 01:13:52.460 --> 01:13:57.960 Bisher haben wir also wirklich eine ebene Bewegung diskutiert. 01:13:59.860 --> 01:14:06.840 Die Drehung ist um eine einzige Achse erfolgt, die senkrecht auf der 01:14:06.840 --> 01:14:09.140 Bewegungsebene steht. 01:14:10.340 --> 01:14:16.640 So, jetzt haben wir im räumlichen Fall drei Drehungen um drei Achsen, 01:14:16.760 --> 01:14:17.420 wie man sagt. 01:14:17.940 --> 01:14:19.980 Also Sie können sich das ein bisschen vorstellen. 01:14:20.620 --> 01:14:24.540 Das müsste eigentlich ein Maschinenbauer schon mit Sicherheit 01:14:24.540 --> 01:14:26.960 irgendwann mal in seinem Leben gesehen haben. 01:14:26.960 --> 01:14:32.160 Ein Kreiselkompass in einem Segelflugzeug beispielsweise, in einem 01:14:32.160 --> 01:14:33.880 Schiff, wo auch immer. 01:14:34.840 --> 01:14:41.280 Der ist katanisch gelagert, wie man sagt, kann also Drehungen um drei 01:14:41.280 --> 01:14:44.800 orthogonale Achsen ausführen. 01:14:45.640 --> 01:14:49.540 So, und diese Drehung, diese resultierende Drehung, die man sich aus 01:14:49.540 --> 01:14:54.520 drei Drehungen um drei Achsen zusammensetzen kann, die macht die 01:14:54.520 --> 01:14:55.780 Bewegung kompliziert. 01:14:56.520 --> 01:15:00.700 Also solche Drehungen sind keine Vektoren mehr, das kann man beweisen, 01:15:00.800 --> 01:15:01.880 das mache ich hier nicht. 01:15:02.920 --> 01:15:05.960 Das macht also die Sache rechentechnisch schwierig. 01:15:06.540 --> 01:15:11.000 Sie werden sehen, wenn also die Drehungen um endliche Winkel, also 01:15:11.000 --> 01:15:15.220 wenn das nicht nur winzige Schwankungen sind in der Orientierung, 01:15:15.220 --> 01:15:20.740 sondern wirklich endliche Drehungen um einen Winkel, Pi halber oder 01:15:20.740 --> 01:15:27.080 zwei Pi oder was auch immer, dann sind diese endlichen Drehungen 01:15:27.080 --> 01:15:29.700 räumlicher Natur besonders kompliziert. 01:15:30.280 --> 01:15:33.120 Ich glaube, das kann man sich auch schon so ein bisschen nach dem, was 01:15:33.120 --> 01:15:35.720 ich jetzt geschildert habe, vorstellen. 01:15:39.380 --> 01:15:42.880 Also wesentliche Komplikation 01:15:53.850 --> 01:16:01.070 gegenüber früher ist 01:16:04.260 --> 01:16:06.540 die allgemein räumliche Drehung. 01:16:07.500 --> 01:16:14.280 Allgemein räumliche Drehung. 01:16:17.940 --> 01:16:24.260 So, Kinematik beschäftigt sich ja eben mit der Bewegung selbst ohne 01:16:24.260 --> 01:16:27.580 die Ursachen, nämlich die Kräfte und die Momente zu diskutieren. 01:16:28.080 --> 01:16:32.380 Also die Schwierigkeit liegt zum großen Teil schon bereits in der 01:16:32.380 --> 01:16:33.100 Kinematik. 01:16:33.840 --> 01:16:37.960 Also wir beschäftigen uns jetzt in einem ersten Unterabschnitt ein 01:16:37.960 --> 01:16:41.220 bisschen mit der Kinematik räumlicher Drehung. 01:16:41.860 --> 01:16:48.120 Das ist also dann eine ganz wesentliche Komponente, um später die 01:16:48.120 --> 01:16:51.620 Kinetik der Bewegung zu verstehen. 01:16:53.120 --> 01:16:55.540 Also deshalb zunächst 01:17:02.000 --> 01:17:06.160 Grundlagen der räumlichen Drehung. 01:17:32.160 --> 01:17:36.980 So, das Ziel dabei ist, mathematisch können Sie das sehr kompakt 01:17:36.980 --> 01:17:41.780 fassen, wie man dann dieses Ziel erreicht, das ist eben das 01:17:41.780 --> 01:17:42.920 komplizierte daran. 01:17:43.220 --> 01:17:52.840 Also das Ziel ist schnell beschrieben, auch ein bisschen abstrakt. 01:17:53.700 --> 01:18:02.360 Stellen Sie sich vor, ein Dreibein, das befindet sich zunächst in 01:18:02.360 --> 01:18:08.660 Übereinstimmung mit einem Dreibein in einem Inertialsystem. 01:18:09.700 --> 01:18:14.340 Und dann wird dieses bewegliche Dreibein, das also mit dem starren 01:18:14.340 --> 01:18:19.240 Körper fest verbunden ist, das wird in Form einer räumlichen Drehung 01:18:19.240 --> 01:18:24.840 aus dem ursprünglichen festgehaltenen Dreibein herausgedreht. 01:18:25.100 --> 01:18:30.520 So, und die Frage ist, wie kann man das neue Dreibein nach der Drehung 01:18:30.520 --> 01:18:37.300 beschreiben gegenüber dem festgehaltenen, dem inertialen System. 01:18:40.220 --> 01:18:52.910 Also Zielverdrehung eines orthogonalen 01:18:58.410 --> 01:19:06.110 Dreibeins, das bezeichne ich jetzt mal mit EI, also E1, E2, E3, das 01:19:06.110 --> 01:19:09.510 sind die Einheitsvektoren eben dieses Dreibeins. 01:19:16.040 --> 01:19:19.940 Also was hat es mit der Verdrehung eines starren Körpers zu tun, das 01:19:19.940 --> 01:19:25.780 wird sofort evident, wenn Sie dieses Dreibein sich mit einem starren 01:19:25.780 --> 01:19:27.640 Körper fest verbunden vorstellen. 01:19:27.640 --> 01:19:31.540 Zum Beispiel angeheftet am starren Körper. 01:19:47.220 --> 01:19:52.660 Also die Verdrehung dieses Dreibeins in seiner allgemeinen Lage, 01:19:54.180 --> 01:19:59.440 ursprünglich befand er sich eben in Übereinstimmung mit einem 01:19:59.440 --> 01:20:04.460 inertialen Dreibein, dem gebe ich dann die Kennbuchstaben ii, also 01:20:04.460 --> 01:20:10.860 klein i, das soll auf inertial hinweisen, ii zum Beispiel körperfest, 01:20:11.560 --> 01:20:19.140 das ist ursprünglich zum Beginn der Bewegung übereinstimmend mit ii 01:20:19.140 --> 01:20:23.780 und wird dann eben durch eine allgemeine räumliche Drehung aus diesem 01:20:23.780 --> 01:20:27.000 ursprünglichen inertialen System herausgedreht. 01:20:27.000 --> 01:20:31.540 Also in allgemeiner Lage gegenüber 01:20:36.180 --> 01:20:53.000 einem raumfesten Dreibein ii. 01:20:56.420 --> 01:21:01.660 In der Ausgangslage sollen 01:21:05.910 --> 01:21:07.250 beide zusammenfallen. 01:21:24.590 --> 01:21:32.290 So und jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten diese allgemeine Lage 01:21:32.290 --> 01:21:35.810 gegenüber der ursprünglichen Lage anzugeben. 01:21:36.780 --> 01:21:43.990 Und jetzt ist es sogar umgekehrt gekommen, das machen wir dann nach 01:21:43.990 --> 01:21:44.610 der Pause. 01:21:45.310 --> 01:21:58.390 Also ich würde Sie bitten, dass Sie um zehn nach halb wieder hier 01:21:58.390 --> 01:21:58.910 erscheinen. 01:21:59.590 --> 01:22:00.750 Dann machen wir weiter. 01:22:01.150 --> 01:22:01.670 Bis dahin.