Okay, wir gehen zurück auf die Kinematik allgemein räumlicher
Drehungen.
Also ich hatte ja schon gesagt, allgemein räumliche Drehungen.
Ein
Dreibein -Ei in allgemeiner Lage gegenüber einem raumfesten
Ii, also E1, E2, E3 gegenüber I1, I2, I3.
Die Drehachsen sind dann, also des endgültigen Körpers zum Beispiel,
die E3-Achse ist dann gegenüber der ursprünglichen I1-Achse um einen
räumlichen Winkel verdreht.
Das ist also gewissermaßen das, was hier dahinter steckt.
Und jetzt habe ich gerade vorhin gesagt, es gibt verschiedene
Möglichkeiten diese räumliche Verdrehung darzustellen.
Zwei davon möchte ich Ihnen eben hier schildern, restliche möchte ich
nur noch mit dem Namen erwähnen.
Also mehrere Möglichkeiten gibt
es diese räumliche Verdrehung zu beschreiben.
Wir machen zunächst das, was Sie aus der Schulmathematik kennen, das
läuft unter dem Stichwort Richtungscosinus.
Richtungscosinus, plural dasselbe wie Singular.
So das beruht einfach auf einer Gleichung, die Zusammenhang mit einer
räumlichen Drehung heißt, dass das räumlich verdrehte Dreibein mit
seinen Einheitsvektoren E1, E2, E3 steht in Verbindung über
mathematisch eine nicht-lineare Transformation mit den ursprünglichen
Einheitsvektoren IL.
Und die verknüpfende Transformation ist eine Matrix, die heißt dann
MKL.
Also Sie hätten auch vielleicht, ja das ist also hier auch, Sie müssen
dann die Indizes unterschiedlich benennen, damit eben hier bei dieser
Matrix die Doppelindizierung mit K und L alle, sowohl die sämtlichen
Reihen als auch Spalten erfasst.
Also ausgeschrieben ist das MK1 mal I1 plus MK2 mal I2 plus MK3 mal
I3.
So und abgekürzt schreibt man das in dieser Form.
Doppelt vorkommende Indizes heißt nämlich in dieser Kurzschreibweise,
dass darüber summiert wird.
Also bedeutet Summation.
Also nehmen Sie beispielsweise K gleich 1, also E1 ist also dann mit
dem Wert von diesem Vorfaktor M11, M12 und M13 gegenüber I1, I2 und I3
verdreht.
Und wenn Sie sich das in der Ebene beispielsweise vorstellen, also
eine Verdrehung zweier Einheitsvektoren gegeneinander, dann ist eben
das über den Kosinus des eingeschlossenen Winkels anschaulich.
Im Dreidimensionalen ist es mit Mühe wegen meiner auch noch
anschaulich, aber schon deutlich weniger anschaulich.
Die Bedeutung dieses Symbols ist also der Kosinus des eingeschlossenen
Winkels zwischen den betreffenden Achsen.
Also Bedeutung
9, also insgesamt sind das ja 9 Elemente, wenn K und L laufen von 1
bis 3.
Also 9 Elemente M, K, L sind Kosinuswerte der jeweils
eingeschlossenen Achsrichtungen.
Also ein bisschen kürzer, M, K, L ist der Kosinus von der jeweiligen
Achse E, K und I, L.
Also jede dieser Achse, die Achsen sind windschief bei räumlicher
Betrachtung, das macht es eben so kompliziert, aber dadurch wird ein
klarer Winkel definiert und der Kosinuswert dieses eingeschlossenen
Winkels, das entspricht eben genau diesen Elementen der
Transformationsmatrix.
Sie besitzt wie gesagt 9 Elemente, eine resultierende Drehung ist aber
durch 3 unabhängige Elemente schon bestimmt, also müssen 6 dann noch
aus entsprechenden, wenn sie so wollen, kinematischen oder
geometrischen Gleichungen bestimmt werden können.
Also diese Richtungskosinus
legen die Lage von EI gegenüber II fest.
Wie gesagt, bei der Mathematischen Verknüpfung und weil dort bei der
Transformationsmatrix eine doppelte Indizierung vorkommt, müssen Sie
eben entsprechende Vielfalt von Buchstaben bei den Indizes nehmen,
sonst kommen Sie damit nicht zurecht.
Sie können nicht alles mit dem gleichen Index I in der Rechenformel,
in der Rechentransformation bezeichnen, das geht nicht.
So, es gelten dabei 6 Nebenbedingungen,
MiK mal MiL ist Delta KL ist gleich, das ist eine
Abkürzung, also wenn Sie diese miteinander multiplizieren, also
parallele Achsen, dort ist ja gerade der Kosinus gleich 1 und bei
senkrecht aufeinander stehenden Achsen ist der Kosinus gleich 0, also
ist gleich 1 für K gleich L und gleich 0 für K ungleich L.
Also das hier bezeichnet man in der Mathematik als Kronecker-Symbol,
das ist aber alles unwichtiges Beiwerk.
Also wenn Sie sich jetzt hier diese Multiplikation im Einzelnen
vornehmen, dann sehen Sie, dass das herauskommt.
Und zwar in 6 entsprechenden Gleichungen und das erscheint auch
plausibel bei einer räumlichen Drehung, also stellen Sie sich hier
eine windschiefe Achse gegenüber dem Tisch vor, indem Sie sich
irgendeine Bezugsachse oder ein Bezugsdreibein definieren, dann ist
durch drei Winkel ist eben diese windschiefe Achse fixiert.
Und jetzt im Nachhinein können wir also zeigen, dass es tatsächlich
sechs Nebenbedingungen gibt, dass also nur drei Elemente voneinander
unabhängig sind.
Es verbleiben drei unabhängige
Parameter, die die räumliche Drehung festlegen.
So, das ist relativ abstrakt und man sucht vielleicht nach anderen,
mehr anschaulichen Möglichkeiten, eine räumliche Drehung durch drei
andere Parameter, die anschauliche Bedeutung besitzen, festzulegen.
Und das gibt es und die bekanntesten davon sind sogenannte Euler
-Winkel.
Also das ist jetzt die zweite Möglichkeit, die ich hier noch
ansprechen möchte, B, Euler-Winkel.
So, anstelle der Dreier-Richtungs-Cosinus können wir jetzt eine
resultierende räumliche Drehung aufbauen durch Hintereinanderschaltung
von Elementardrehungen, wie man sagt.
Also stellen Sie sich vor, das Dreibein E-I ist zunächst in
Übereinstimmung mit dem Dreibein I-I.
Gilt also für jede Achse 1, 2 und 3.
So und jetzt werden also Drehungen hintereinander geschaltet.
Also zunächst wird eine Teildrehung um eine der drei Achsen, bei Euler
-Winkeln ist es eben jetzt die I-III-Achse durchgeführt.
Dadurch gibt es ja schon eine Verdrehung des Dreibeins gegenüber dem
ursprünglichen.
Das ist aber eine besonders einfache Situation, weil es ja auch eine
spezielle Teildrehung war, nämlich um die I-III-Achse.
Also das Dreibein bleibt dementsprechend dann in der horizontalen
Ebene, wenn das der Ausgangspunkt ist.
So und dann wird also eine zweite Teildrehung durch die erste
Teildrehung entstandene Dreibein, das nennen wir dann mal E-I-Strich.
Wiederum um die 1, 2 oder 3-Achse, bei Euler-Winkeln ist es die 1
-Achse dieses gestrichenen Systems, wird eine weitere Elementardrehung
angeschlossen.
Dadurch entsteht ein Dreibein E-I-2 gestrichen.
So und dann kommt es zur dritten Teildrehung, die passiert wieder um
die 3-Achse, und zwar um die E-3-2-Achse.
Und damit sind wir dann in der allgemeinen räumlichen Position,
nachdem dieser dritte Winkel mit seiner Drehung durchgeführt worden
ist.
Das will ich Ihnen also jetzt hier in einem Bild ein bisschen
veranschaulichen.
Also wir nehmen an,
dass das
das Dreibein I-1, I-2,
I -3 ist.
Das zu verdrehende Dreibein fällt jetzt mit diesem zusammen.
Also ich will hier noch ein bisschen verbal etwas dazuschreiben.
Wir haben anstelle der drei unabhängigen Richtungscosinus,
drei hintereinander geschaltete Teildrehungen.
So, das machen wir jetzt nacheinander.
Also zunächst, erste Teildrehung,
das ist ein Winkelpsi um die I-3-Achse, um I-3.
Also das neue Koordinatensystem, das dadurch entsteht, durch diese
Teildrehung bezeichnen wir mit E-I-Strich.
Und diese Achse wird gedreht, also ist die E-3-Achse mit der
ursprünglichen I-3-Achse zusammengefallen.
Und nur diese beiden werden verdreht.
Also das ist jetzt der Winkelpsi,
also E-I-Strich, E-2-Strich.
Das ist jetzt das neue Dreibein.
Also die Achsen stehen alle noch genau wie das ursprüngliche
aufeinander senkrecht.
Also das sind die gleichen Winkel.
So, wie wird jetzt die erste Teildrehung mathematisch beschrieben?
Also E-I-Strich ist gleich M-I-L, erste Teildrehung Psi mal I-L.
Mit M-I-L-Psi ist gleich, ich schreibe das jetzt mal so hin und dann
mache ich es auch noch plausibel.
Also das sind insgesamt wiederum, also ich habe Ihnen ja gerade
gesagt, die dritte Achse bleibt gleich.
Also die eigentliche Drehung kann man sich sehr schön
veranschaulichen, diese Teildrehung, weil das Wesentliche in der Ebene
auftritt, nämlich in der 1-2-Ebene.
Die Strich-1-2-Achsen bleiben ja in der gleichen Ebene wie die
ursprüngliche I-1-2-Ebene.
Also Cosinus Psi, Sinus Psi, 0, minus Sinus Psi, Cosinus Psi, 0, 0, 0
und 1, das ist die maßgebliche Achse.
Also wie gesagt, der Spaltenvektor oder die Spaltenmatrix dieser
Einheitsvektoren E1', E2', E3', ist das Matrizenprodukt von dieser
Matrix multipliziert mit I1, I2, I3.
Und dadurch, dass hier unten beispielsweise zweimal die 0 und die 1
steht, wenn Sie sich diese Matrizenmultiplikation ausgeführt
vorstellen, dann kommt eben heraus, das ist durch diese letzte Zeile
repräsentiert, E3' ist gleich I3, weil die beiden anderen Achsen mit
dem Gewichtsfaktor 0 multipliziert werden.
Und nur die dritte 1, also das macht klar, dass also dieses gilt.
So und den Rest hier, diese vier Elemente, die spielen sich ja bei der
Drehung in der Ebene ab, in dieser horizontalen Ebene.
Also ich will mal das noch veranschaulichen.
Also ich mache jetzt eine Draufsicht auf die horizontale Ebene.
Da ist also ursprünglich das I1 hier und das I2 da und
das ist das E1'.
Und das ist das E2'.
Und hier taucht der Winkel Psi auf und hier taucht der Winkel Psi auf.
Also wenn Sie sich diese Gleichung tatsächlich in Matrizenform
hinschreiben, ist ja dieses hier eine Spaltenmatrix E1', E2', E3'.
Das ist eine Dreikreuz-3-Matrix und die wird multipliziert mit der
Spaltenmatrix I1', I2', I3'.
Also sagt die erste Zeile des Ganzen aus E1', E1', setzt sich zusammen
aus den Projektionen von I1 und I2 auf diese Richtung E1'.
Und da kommt eben einmal der Kosinus-Psi vor und einmal der Sinus-Psi.
Bei der zweiten Zeile ist es genauso, da wird also dann der neue
Einheitsvektor E2' als Element dieser Spaltenmatrix repräsentiert.
E2', da sehen Sie der Anteil von I1, die Projektion von I1 auf diese
neue Richtung weist in die negative E2-Richtung, also steht hier der
Minus, das Minuszeichen.
Es ist dann der Sinus und der Kosinus.
Also mit Hilfe dieses Bildes können Sie sich diese vier Elemente sehr
einfach vorstellen und ausrechnen, definitiv.
Die Ebene Drehung ist eben anschaulich.
Und wie gesagt, das dritte Element E3' ist gleich 0 mal I1' plus 0 mal
I2' plus 1 mal I3'.
E3' ist ja auch gerade I3'.
Also die 1 ist glaube ich auch besonders anschaulich.
Also so kann man sich diese Teildrehungen leicht über die
Richtungskosinus eben darlegen, weil für die Teildrehung das
Wesentliche in der Ebene passiert und nicht von vornherein alles
räumlich ist.
So, jetzt zweite Teildrehung.
Das bezeichne ich mit dem Winkel Theta um die E1'-Achse.
Also ich zeichne das jetzt hier rein.
Das neue Resultat kennzeichne ich in Rot.
Also jetzt wird um die E1'-Achse gedreht.
Das ist also die Achse E1', weil um die gedreht wird.
Die beiden anderen Achsen, nämlich E3' und E2', verdrehen sich um den
Winkel Theta.
Also nehmen wir mal an, das sei so etwas.
Das ist das E3', zweigestrichen.
Und hier ist das E2', zweigestrichen.
So und das ist der Winkel Theta.
Der ist natürlich auch hier sichtbar.
Also bevor ich das formelmäßig hier anschreibe, das passiert wiederum
in solch zwei Relationen, zeichne ich jetzt noch, damit wir dann mit
dem Bild fertig sind, die dritte Teildrehung hinein.
Und die dritte Teildrehung passiert wiederum um diese rote Achse, um
die E3', zweigestrichen Achse.
Also jetzt, ich denke Sie sehen das ja schon, das Dreibein Rot ist ja
jetzt schon gegenüber der ursprünglichen horizontalen Ebene geneigt.
Und in dieser geneigten Ebene passiert jetzt diese Drehung.
Also die bezeichnen wir dann mit Phi, zeichnen das jetzt in Blau.
Also ist gleich E3, das ist die Endgültige.
Und
das ist jetzt E1.
Und
das Einzige, was natürlich jetzt nicht mehr anschaulich ist, ist der
wahre Wert des betreffenden Winkels.
Das geht ja jetzt um schräg liegende Achsen, also kann man sich das
jetzt nicht mehr so gut vorstellen.
Also das ist jetzt schließlich dieser Winkel Phi.
Insbesondere bei der ersten Teiltrehung ist das noch besonders klar,
weil die ursprüngliche 1-2 Ebene die Horizontalebene ist und die
Drehung genau in dieser Horizontalebene passiert.
Wenn dann diese erste Drehung vorüber ist, dann ist also die 1-2 Ebene
keine horizontal liegende Ebene mehr, sondern die hat sich schon
geneigt und in der tritt dann die wahre Drehung mit dem Winkel...
die letzte Teiltrehung mit dem Winkel Phi auf.
Also ich möchte das jetzt noch formelmäßig vervollständigen.
Zweite Elementardrehung mit dem Winkel Theta.
Wir haben Ej2 gestrichen, ist gleich Mji Theta mal Ei' mit Mji Theta.
Mji Theta ist gleich auch wiederum eine Matrix mit insgesamt neun
Elementen.
1, 0, 0, 0 und 0 und hier steht Cosinus Theta und Sinus Theta und
Minus Sinus Theta und Cosinus Theta.
Also so wird die zweite Teiltrehung geschrieben, die dort oben
veranschaulicht ist.
Und die dritte Elementardrehung, die lautet Phi und findet statt um
die E3 2' Achse.
Also Sie können das mathematisch beschreiben, Ek ist gleich Mki Phi
mal Ei2 gestrichen mit Mki Phi.
Mki Phi ist gleich auch wiederum neun Elemente und da wir wiederum um
eine 3' Achse stehen, muss also hier 0, 0, 1, 0 und 0 stehen wie bei
der ersten.
Und im Prinzip hat diese Matrix jetzt das gleiche Aussehen wie die
erste Teiltrehung, nur steht anstelle von Psi, steht jetzt Phi.
Cosinus Phi, Sinus Phi, Minus Sinus Phi, Cosinus Phi.
Also ich denke da es drei Teiltrehungen um Elementare 1, 2 oder 3
Achsen sind, sind also insbesondere mit der Ebenenprojektion sind
sämtliche Teiltrehungen tatsächlich anschaulich.
Also bis man die zweite und dritte dann wirklich im Kopf drin hat,
dauert das natürlich seine Zeit, aber es läuft genauso wie die erste
Teiltrehung.
Wie soll das eigentlich zweimal um die 3 Achse gehen, ist das egal?
Nein, das ist nicht egal.
Es gibt verschiedenste Reihenfolgen, die Drehung wie ich sie Ihnen
hier vorgestellt habe, zuerst um die 3 Achse, dann um die 1 und dann
wieder um die 3 Achse, werden als Eulerwinkel bezeichnet.
Geht auf Euler zurück, ich werde gleich unter 10 noch den Namen
Kadernwinkel erwähnen, dort ist die Reihenfolge eine andere, aber es
ist im Prinzip dieselbe Philosophie, Teiltrehungen hintereinander zu
schalten.
Und es gibt, Sie können sich ja das jetzt kombinieren, es gibt also
nicht nur zwei Möglichkeiten, sondern noch mehr.
Die zwei, Euler und Kadern, sind aber populär geworden.
Aus bestimmten Gründen, das möchte ich jetzt nicht hier erörtern.
Die haben sowohl Vorteile als auch bei bestimmten Drehungen auch
Nachteile, das kann ich jetzt hier nicht alles diskutieren.
Resultierende Drehung ist
die Hintereinander-Schaltung.
Sie können sich das jetzt sukzessive klar machen, indem Sie diese
angegebene Reihenfolge gewissermaßen rückgängig machen.
Also hier steht ja diese Beziehung.
Oben drüber steht die Beziehung, die zwei gestrichene als Funktion von
einmal gestrichen darstellt.
Das kann man also hier wieder einsetzen.
Und dann können Sie die letzte Zeile von ganz oben nehmen und können
auch die gestrichene Richtung, die können Sie auf die ursprünglichen
inertialen Richtungen zurückführen.
Also wenn Sie das machen, immer wieder einsetzen, entsteht hier dann
zum Schluss ein Zusammenhang, EK als Funktion von IL und die
verknüpfende Matrix ist das Produkt dieser drei Matrizen, die ich
Ihnen jetzt hier angeschrieben habe.
So, das ist also auch eine elementare, aber längliche Rechnung.
Ich schreibe Ihnen jetzt dann nur noch das Ergebnis hin.
Also EK ist gleich MKL Euler, schreibe ich jetzt eben hier hin, IL,
mit MKL Euler resultierend eben jetzt MKJ, da steht der Winkel Phi
drin, mal MJI, da steht der Winkel Theta drin, multipliziert mit MIL,
da steht der Winkel Psi drin.
Also da muss man auch auf gewisse Reihenfolgen achten, es kommt genau
diese Reihenfolge heraus, wenn Sie von hier aus ausgehen und dann
sukzessive die Beziehungen einsetzen.
Mit MKL Euler ist gleich, also ich hoffe ich kriege es hier hin, ist
also jetzt eine kompliziert aufgebaute Matrix, sie lautet zum guten
Schluss Kosinus Psi Kosinus Phi minus Sinus Psi Kosinus Theta mal
Sinus Phi.
Das ist das erste Element von neun.
Dann kommt Sinus Psi Kosinus Phi plus Kosinus Psi Kosinus Theta Sinus
Phi Und dann kommt hier hinten Sinus-Theta-Sinus-Phi.
Also die letzten drei sind relativ einfach.
Hier in der nächsten Zeile steht dann Sinus-Theta-Cosinus-Phi.
Und hier unten steht Cosinus-Theta.
So, und die restlichen vier Elemente sind auch kompliziert.
Ich schreibe es noch hin.
Minus Cosinus-Psi-Sinus-Phi.
Minus Sinus-Psi-Sinus-Phi.
Ne, das stimmt nicht.
Sinus-Psi, Entschuldigung.
Cosinus-Theta-Cosinus-Phi.
Also das nächste lautet Sinus-Psi-Sinus-Theta.
Und hier haben wir jetzt noch Minus Sinus-Psi-Sinus-Phi.
Plus Cosinus-Psi-Cosinus-Theta-Cosinus-Phi.
Und hier unten haben wir noch Minus Cosinus-Psi-Sinus-Theta.
Also das sind die 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Elemente der
resultierenden Drehung.
Sie sehen also eine hochgradig nicht lineare, sehr komplizierte
Transformationsmatrix.
Also Sie müssen sich jetzt hier nicht diese ganzen Details merken.
Sie sollen so den roten Faden verstehen.
Also räumliche Drehungen sind auch in der Auswertung dann äußerst
komplex und kompliziert.
So, ich möchte nur noch C sagen, dass es weitere Möglichkeiten gibt.
Weitere Möglichkeiten.
Eine davon, die findet man auch in der Populärliteratur sehr häufig,
wie Kadernwinkel.
Also das ist etwas ähnliches wie die Eulerwinkel, nur in anderer
Reihenfolge der 3 Elementardrehungen, die hintereinander geschaltet
werden.
Es gibt etwas, was dann mehr theoretischer Natur ist, aber auch unter
Umständen gewisse Vorteile bietet, sogenannte Eulerparameter.
Und es gibt noch eine ganze Menge weiterer.
Also es existieren etwa 5, 6 Beschreibungen, die sich in der
räumlichen Kinematik eingebürgert haben.
Von unterschiedlicher Komplexität, Vor- und Nachteile in gewissen
Elementen gegeneinander aufwiegend.
Also das machen wir hier nicht mehr.
Herr Seemann bietet, ich glaube im Masterstudium oder im
fortgeschrittenen Bachelorstudium auch noch Einführungen in die
Mehrkörperdynamik, Computergestütze und ähnliche Dinge an.
Dort sind dann diese Dinge wichtig.
So,
also das ist jetzt das Wesentliche, um die Kompliziertheit räumlicher
Drehungen so ein bisschen Ihnen nahe zu bringen.
Sie können sich erinnern, dass wir bei der ebenen Scheibenbewegung,
dass wir dort auch schon mal in dem Kapitel Kinematik, sogenannte
kinematische Grundgleichung hergeleitet haben.
Also es wurde dort ein starker Körper diskutiert bei einer ebenen
Bewegung, Bezugspunkt A allgemeiner Punkt B.
Und für diesen allgemeinen Punkt B wollte man unter Bezug auf diesen
Referenzpunkt A sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung
berechnen.
Das wurde damals als die kinematische Grundgleichung, genau besprochen
sind es zwei, einmal für die Geschwindigkeit, einmal für die
Beschleunigung, wurde das so benannt.
Diese kinematischen Grundgleichungen bleiben jetzt bei allgemein
räumlicher Betrachtung grundsätzlich bestehen.
Nur sind die beteiligten Vektoren komplizierterer Natur, das muss man
berücksichtigen.
Also wir wollen jetzt Erinnerung an kinematische Grundgleichung.
Die gelten auch dreidimensional, also jetzt ohne Beweis, aber wenn Sie
noch einmal zurückblättern in das damalige Kapitel, dort waren dann
die eigentlichen Formeln hergeleitet worden, ohne dass man den Punkt
ebene Bewegung da als wichtig herausstellen musste.
Es waren dann dort nur im ebenen Falle die einzelnen Vektoren, die in
diesen kinematischen Grundgleichungen aufstellen, eben einfach
anzugeben, das ist jetzt hier ein bisschen komplizierter.
Aber qualitativ gelten die Gleichungen unverändert, gelten auch
dreidimensional.
So und das sollte man nochmal unterlegen mit einem entsprechenden
Referenzsystem, also x, y und z-Achse mit entsprechenden
Einheitsvektoren.
Also auch hier nochmal wesentlich ist nicht, dass das Bezugssystem
kathesisch ist, wie ich es eigentlich hier immer zeichne.
Also es geht genauso mit einem zylindrischen oder mit einem
natürlichen Koordinatensystem, das ist immer nur beispielhaft zu
verstehen.
Kathesisch lässt sich also am einfachsten glaube ich zeichnen.
Also i, x, i, y, i, z, das sind die entsprechenden Einheitsvektoren.
Wir haben also hier jetzt einen allgemein starren Körper bei seiner
Bewegung.
Und hier haben wir also den Ursprung des raumfesten
Koordinatensystems, des Inertialsystems.
Wir haben einen
Referenzpunkt A und wollen unter Bezug auf diesen Referenzpunkt,
wollen wir die
Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines allgemeinen Körperpunktes
B ausrechnen.
Also in einem derartigen Bild kann man die entsprechende Lage direkt
angeben, beschrieben durch den Ortsvektor ra, rb.
Und hier haben wir einen Verbindungsvektor, den wir von A aus nach B
bezeichnen.
So, Sie wissen, also auf Lageebene ist der Zusammenhang hier direkt
abzulesen.
Das ist also ra plus rab.
Um zur Geschwindigkeit zu kommen, müssen wir ableiten.
Wir müssen allerdings in einem raumfesten Bezugssystem ableiten.
So, und dadurch, dass jetzt bei einer allgemeinen Bewegung dieser
Vektor ra, b auch seine Richtung verändert, er dreht sich ja, und
damit drehen sich eben die betreffenden Vektoren, das muss man eben
beim Zeitableiten berücksichtigen.
Und damit entstehen dann folgende Formeln, das ist gleich va plus vab,
so kann man auch das benennen, aber dieses vab, das kann man jetzt
über ein Kreuzprodukt mit der Winkelgeschwindigkeit besonders einfach
darstellen.
Also ist gleich va plus omega kreuz rab.
Also die Winkelgeschwindigkeit omega ist eben die
Winkelgeschwindigkeit eines am Starkkörper angehefteten Dreibeins
gegenüber dem Inertialsystem.
So, entsprechende Formel für die Beschleunigung ist gleich aa plus ab.
Und wie Sie wissen, bei der Beschleunigung, das ist ja die zweite
Zeitableitung, kommen eben dann so Zweikreuzprodukte vor, ist gleich
aa plus omega Punkt kreuz rab plus omega Kreuz, omega Kreuz rab.
Also die Formeln müssen Ihnen zumindest noch bekannt vorkommen, das
sind genau die gleichen Formeln, wie damals eben im entsprechenden
Kapitel bei der ebenen Scheibenbewegung, nur sind jetzt eben die
beteiligten Vektoren, zum Beispiel omega und rab, omega Punkt, die
haben eben drei Komponenten und nicht nur zwei, wie im ebenen Fall.
Oder im ebenen Fall hat ja die Winkelgeschwindigkeit sogar nur einen
Anteil, die Winkelgeschwindigkeit weist ja als Vektorpfeil in die
dritte Richtung, also Achse, die senkrecht auf der Bewegungsebene
steht, hier stehen jetzt eben wirklich drei Elemente in drei
orthogonalen Richtungen und das macht es dann wirklich kompliziert.
Also wie Sie vielleicht auch noch wissen oder noch einmal durch
Zurückblättern sich klar machen sollten, das kann man jetzt als
Tangentialanteil der Drehung von B um A deuten und das als
Normalanteil.
Also diese Beschleunigungsanteile haben auch so eine gewisse
anschauliche Bedeutung, das möchte ich aber jetzt nicht mehr
vertiefen.
Also ich will nur noch hier damit, also ein am Körper festgemachtes
E1, E2, E3-Koordinatensystem, wenn Sie das eben zugrunde legen, ein am
starren Körper festgeheftetes Koordinatensystem EK, dann können Sie
also Omega kurz und bündig dadurch definieren, es ist die
Winkelgeschwindigkeit dieses Körperfesten gegenüber dem inertialen
Dreibein.
Und zwar ist das jetzt eben eine räumliche Winkelgeschwindigkeit.
Während früher bei der ebenen Bewegung das ein Vektorpfeil war, der in
der Richtung E3 zeigte.
Also das kann man dick einrahmen, das gilt nach wie vor mit Omega der
Winkelgeschwindigkeit eines am Körper festgehefteten
Dreibeins EI
gegenüber dem raumfesten Dreibein II.
So und das Omega müssen Sie jetzt entsprechend beschreiben, wie wir
vorher Drehungen beschrieben haben.
Also ganz analog, wie wir hier eine räumliche Drehung durch drei
Parameter beschrieben haben, zum Beispiel durch drei physikalische
Winkel, Psi, Theta und Phi.
So können wir jetzt dann eben hier, aber das ist durchaus schon nicht
mehr so ganz einfach, haben wir diese Winkelgeschwindigkeit eben auch
durch drei Winkelgeschwindigkeitskomponenten in einem der bezeichneten
Bezugssysteme anzugeben.
Eine Möglichkeit, nämlich über Euler-Winkel, das möchte ich jetzt hier
noch ausführen.
Also Omega dabei aus drei Parametern der räumlichen Drehung angebbar,
zum Beispiel mittels Euler-Winkel.
Also wir hatten, Sie erinnern sich ja denke ich noch, das Bild ist ja
noch hier, wir hatten also, das waren ja dann wirklich physikalische
Winkel, die erste Teildrehung mit dem Winkel Psi, die zweite mit dem
Winkel Theta, die dritte mit dem Winkel Phi.
Dabei wurde aber, wenn Sie sich eben jetzt erinnern, um verschiedene
Achsen gedreht.
Und die neuen Achsen sind gegenüber den alten Achsen ja schon im
allgemeinen Fall räumlich verdreht und beim zeitlichen Ableiten, also
Omega ist ja die Winkelgeschwindigkeit, das ist ja jetzt nicht die
Winkeldrehung, müssen Sie also das Verdrehen der entsprechenden
Einheitsvektoren mit beachten und es ist natürlich praktisch
unumgänglich, die resultierende Winkelgeschwindigkeit einheitlich in
einem wirklich konsistenten Dreibein darzustellen.
Also, wenn Sie bei Euler-Winkel jetzt an diese verschiedenen Dreibeine
denken, dann können Sie dieses Dreibein darstellen im ursprünglichen,
im erst-, im zweitgedrehten und auch im endgültig gedrehten
Koordinatensystem.
Die dabei auftretenden Zeitableitungen sind aber natürlich bezüglich
des Inertialsystems durchzuführen.
Und diese Rechnung ist kompliziert, die kann ich Ihnen jetzt hier im
Detail nicht vorführen.
Ich gebe Ihnen auch hier wiederum im Wesentlichen ein Endergebnis an,
wenn Sie mit Euler-Winkeln arbeiten würden.
Ja, ich glaube, das braucht man nicht mehr.
Kleine Ruhepause, Zeit zum Fragen.
Also, resultierende Winkelgeschwindigkeit
entsprechend resultierender Winkeldrehung.
Zum Beispiel gemäß Euler-Winkel.
Also, die Drehung auf Winkelebene, auf Lageebene sehen Sie ja noch da
oben.
Dementsprechend können wir also jetzt hier die Winkelgeschwindigkeiten
mit den entsprechenden Zeitableitungen versehen entlang der jeweiligen
Achsen.
Also, ich schreibe das mal hier an, dann denke ich, wird das sofort
klar.
Ich habe sie Punkt mal I3
plus Theta Punkt mal E1 Strich plus Phi Punkt mal E3 zweigestrichen.
Also ganz analog, der resultierende Winkel ergibt sich aus Psi mal I3
plus Theta mal E1 Strich, können Sie alles da oben direkt ablesen,
plus Psi plus Phi mal E3 zweistrich.
Das sind ja physikalische Winkel, die Zeitableitung dieser
physikalischen Winkel ist für diese betreffenden Teildrehungen eine
entsprechende Teilwinkelgeschwindigkeit und in dieser Aufaddition muss
das Ganze dann die resultierende Winkelgeschwindigkeit ergeben.
Das ist zumindest anschaulich.
So, jetzt sind aber die, das ist eben jetzt der Nachteil, das
dargestellte Bezugssystem ist noch nicht konsistent.
Hier haben wir das Inertiale verwendet, hier das gestrichene und hier
das zweigestrichene.
Also Sie müssen das alles in ein konsistentes Dreibeinbezugssystem
umrechnen.
Da hilft beispielsweise jetzt schon eine Teilumrechnung.
Sie können oben ablesen, dass das gerade gleich ist dem E3 Strich.
Das hier ist auch gleich dem E12 gestrichen und das hier ist gleich
dem E3.
So, Sie können sich jetzt auswählen, in welche Basis, in die
ungestrichene, in die einmalgestrichene oder in die zweimalgestrichene
Sie umrechnen, um den resultierenden Winkelgeschwindigkeitsvektor
darzustellen.
Es ist üblich in der Literatur, das hier in das endgültige,
ungestrichene EK-System, indem dies vorzunehmen.
Dazu müssen Sie dann das gestrichene zunächst in ein zweigestrichenes
und das zweigestrichene in das ungestrichene umrechnen.
Dazu dienen diese Matrizen, die ich Ihnen auf Lageebene schon mal
angegeben habe.
Wenn Sie das alles im Detail machen, längliche Rechnung ist, wenn man
Matrizenmultiplikationen beherrscht, ist es einigermaßen elementar,
aber formal.
Es bringt also hier nichts.
Ich gebe Ihnen das Schlussergebnis an.
Nach längerer Zwischenrechnung,
zum Beispiel in EK, ergibt sich folgendes.
Plus Omega ist gleich Omega 1 mal E1 plus Omega 2 mal E2 plus Omega 3
mal E3 mit Omega 1 Also das müssen Sie mir jetzt glauben an der
Stelle.
Ist gleich Psi Punkt mal Sinus Theta mal Sinus Phi plus Theta Punkt
mal Cosinus Phi.
Omega 2 ist gleich Psi Punkt mal Sinus Theta mal Cosinus Phi minus
Theta Punkt mal Sinus Phi.
Also Sie sehen relativ komplizierte Formeln.
Omega 3 schließlich ist gleich Psi Punkt mal Cosinus Theta plus Phi
Punkt.
So Sie sehen also, die Winkelgeschwindigkeit der resultierenden
Drehung, das ist wesentlich, ist also nicht direkt eine Zeitableitung
von physikalischen Winkeln.
Sie sehen ja, es kommen auch noch trigonometrische Funktionen vor.
Und zwar in sehr komplizierter nicht-linearer Form.
Das ist also auch eine weitere Komplikation bei räumlichen Drehungen,
dass also die Winkelgeschwindigkeit sich nicht allein aus
Zeitableitungen physikalischer Winkel repräsentieren lässt.
Für die entsprechenden Beschleunigungen gilt das erst recht, wird noch
viel, viel komplizierter.
Also das ist wichtig zu vermerken.
Omega 1, 2, 3, keine Zeitableitungen physikalischer Winkel.
Also man bezeichnet das als nicht-holonome
Geschwindigkeitskoordinaten.
Wir werden später im Kapitel 5, wenn gewisse analytische Methoden
hergeleitet werden zur alternativen Herleitung von Bewegungsgleichung,
werden wir auf diese Begriffsbildung nochmal ein kleines bisschen von
einem anderen Blickwinkel drauf eingehen.
Hier nehmen Sie es einfach mal als Namen, der nicht kommentiert wird.
Nicht-holonome
Geschwindigkeitskoordinaten.
Also früher hatten Sie ja gelernt, Winkelgeschwindigkeit ist zeitliche
Ableitung.
Eines, ja, noch heute in der allerersten Stunde stand folgendes dran,
Winkelphi, Omega ist gleich Phi Punkt, Alpha, oder Epsilon, glaube
ich, hatten wir das bezeichnet, ist gleich Omega Punkt, ist gleich Phi
2 Punkt.
Also Sie sehen, die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung
waren einfache Zeitableitungen des ursprünglichen Winkels Phi.
Das ist jetzt bei räumlichen, resultierenden räumlichen Drängen viel
komplizierter.
Die sind also nicht einfach zu integrieren.
Sie können also aus diesen Beziehungen, ist es unsäglich schwierig,
die Winkel durch Integration herzuleiten.
Ja, hier ist es ganz einfach, Phi ist gleich Omega dt, integral
drüber.
Da ist es direkt durch Integration zu machen.
Hier geht das nicht mit elementaren Integration aus
Winkelgeschwindigkeiten, Winkel auszurechnen.
Also das macht die Komplexität von räumlichen Drehungen aus.
Also was ich nicht mehr ausführen möchte, es ist noch viel länglicher.
Prinzipiell geht es genauso, wenn Sie noch einmal ableiten nach der
Zeit, dann müssen Sie aber hier nach Produkt- und Kettenregel
ableiten.
Es bläst sich richtig auf, können Sie dann natürlich auch die
Beschleunigungskomponenten ausrechnen.
Durch nochmalige Differentiation, auch Winkelbeschleunigung.
So, das soll es also zur Kinematik sein.
Wir werden noch mit relativ allgemeinen Bemerkungen jetzt zur Kinetik
beginnen.
Spezifiziert wird das dann nächste Woche durch den Herrn Seemann.
Also 4.1.2 Bewegungsgleichungen.
Wenn es nur um die Drehbewegung geht, von diesen dreidimensional
unsymmetrischen Körpern, dann bezeichnet man die resultierenden drei
Bewegungsgleichungen als Euler'sche Kreiselgleichung.
So, jetzt noch vielleicht eine Namengebung.
Die allgemeine Kinetik von dreidimensionalen steilen Körpern bei
allgemeinster räumlicher Bewegung wird Kreiseltheorie genannt.
Also Hintergrund dafür, für diese Namengebung, ist eben die
Drehbewegung als Teilbewegung.
Und zwar als der maßgebliche und komplizierteste Teil dieser Bewegung.
Wir werden nachher wieder sehen, oder genau genommen in allen Details
wird es erst das nächste Mal an der Tafel stehen.
Die Translation des Körpers wird wieder beschrieben durch
Massenträgheitsmomente, durch die Masse des steilen Körpers und die
Schwerpunktgeschwindigkeit.
Und die Schwerpunktgeschwindigkeit ist der einzige Unterschied zur
ebenen Scheibenbewegung, ist eben jetzt auch dreidimensional, hat in
der Auswertung als Ergebnis drei skalare Gleichungen für die
Bewegungen X, Y und Z-Richtung.
Was wieder komplizierend ist, und das ist kompliziert nicht linear,
das ist die Drehung.
Und auch die Drehung für sich allein wird in der Literatur häufig als
Kreiselung oder Kreiselbewegung bezeichnet.
Also da rührt dieser Name her.
Der anschauliche technische Hintergrund sind Kreiselgeräte, wie ich
sie ja schon vorhin genannt habe.
Also allgemeine Kinetik starrer Körper wird meist
Kreiseltheorie.
Also sowohl begrifflich als auch dann in der mathematischen Auswertung
gibt es da schwierige Teilprobleme.
Wir werden also die Kreiseltheorie hier in der Grundlagenmechanik in
der TM4 nicht vollständig abhandeln, sondern nur in wesentlichen
Aspekten.
Begrifflich und mathematisch schwierig.
So, wir wollen mal zunächst uns klar machen, das wird noch relativ
einfach sein, wie viele Bewegungsgleichungen wir für einen Starkkörper
im allgemeinen Falle zu erwarten haben.
Also wir machen uns mal zunächst Gedanken zur Abzählung der
Freiheitsgrade.
Also die Zahl der unabhängigen Koordinaten, die eine Bewegung
beschreiben kann, die legt ja die Zahl der Freiheitsgrade fest.
So, dann kann man von folgendem Tatbestand ausgehen.
Wenn Sie auf einen allgemein dreidimensionalen starken Körper bei
diesen in dreidimensionaler Bewegung betrachten, dann ist die Bewegung
vollständig beschrieben, wenn drei Punkte des Körpers fixiert sind.
Also das ist der Ausgangspunkt auf Lageebene.
Mit seiner Geometrie im Raum braucht man die Geometrie von drei
Körperpunkten festzulegen, dann ist der gesamte dreidimensionale
Körper fixiert.
Lage von drei Punkten bestimmen die Lage des Körpers.
Also da kann man sich vielleicht nochmal so diesen starken Körper
vorstellen.
Also P1, P2, P3.
Wenn die fixiert sind, liegt der Körper fest in seiner räumlichen Lage
und Orientierung.
So, jetzt betrachten wir die Punkte nacheinander.
Wenn Sie den ersten Punkt herausgreifen, das wissen Sie von der
Punktmassenmechanik, hat dieser massenpunkt eben, also dieser
materielle Punkt genauer gesagt, hat drei Freiheitsgrade.
Er kann sich translatorisch in drei Raumrichtungen, zum Beispiel in
die kathesischen Koordinatenrichtungen XYZ bewegen.
P1, drei Freiheitsgrade,
genauer gesprochen, das will ich aber hier nicht hinschreiben, der
Translation, ein Punkt kann sich ja nur translatorisch bewegen.
So, wenn Sie jetzt den zweiten Punkt P2 hinzunehmen und P1, dessen
Bewegung mit seinen drei Freiheitsgraden ist gedanklich kurzzeitig
fixiert, dann kann P2 gegenüber relativ zu P1 noch sich auf einer
Kugelfläche bewegen.
Das kann man also durch zwei zusätzliche Kurvenparameter beschreiben.
Also gibt es offensichtlich nochmal zwei zusätzliche
Bewegungsfreiheitsgrade.
Zusätzlich zwei
weitere, da sich P2 gegen P1 auf Kugelfläche bewegen kann.
So, jetzt wird zusätzlich noch der letzte Punkt ins Spiel gebracht,
P3.
Es kommt jetzt noch ein weiterer Freiheitsgrad dazu, da wenn P1 und P2
fixiert sind, eine Drehachse generiert wird, um die allein nur noch
eine einzige Drehung stattfinden kann.
P3 kann sich eben dann auf einer Kreisbahn noch um die Achse P1, P2
bewegen.
Ein letzter,
weil P3
sich auf Kreisbahn...
Also Resultat.
Insgesamt besitzt das System starrer Einzelkörper bei allgemeinster
räumlicher Bewegung sechs Freiheitsgrade.
Und wir werden dann gleich feststellen können, wir können sie uns
veranschaulichen als drei Bewegungsgleichen, die die Translation des
Körpers festlegen und drei zusätzliche Bewegungsgleichen, die dann im
Wesentlichen die Rotation beschreiben.
Insgesamt also sechs Freiheitsgrade.
So Spezialisierungen sind, und das ist schon eigentlich die
komplizierteste Teilbewegung, die auftreten kann, wenn sie einen Punkt
festhalten, also gewissermaßen ein Kugelgelenk fixieren, um den herum
sich der Starkkörper noch drehen kann, dann bleiben drei
Freiheitsgrade übrig.
Also wird ein Punkt festgehalten,
drei Rotationsfreiheitsgrade
bei fester Drehachse,
zum Beispiel durch zwei Punkte, P1 und P2, bleibt noch ein
Freiheitsgrad übrig.
Ein Freiheitsgrad, ein Drehfreiheitsgrad.
So die insgesamt sechs Bewegungsgleichungen sind wie, also qualitativ,
wie bei der ebenen Scheibenbewegung, durch den Schwerpunktsatz und den
Trallsatz gegeben.
Sie werden gleich sehen, das werden wir gerade möglicherweise noch
schaffen, vielleicht auch nicht mehr.
Der Schwerpunktsatz ist eine elementare Erweiterung der zwei skalaren
Bewegungsgleichungen im Ebenenfall auf drei skalare Gleichungen.
Das was kompliziert ist und neuartig ist, sind dann die drei
Bewegungsgleichungen, die die Drehung beschreiben.
Die sind hochgradig nicht linear und sehr kompliziert zum lösen.
Das wird Ihnen dann auch in der nächsten Woche zeigen.
Also allgemeine Herleitung
der Bewegungsgleichungen bei allgemeinräumlicher Bewegung.
Gemäß dem, das ist ein Teil davon, Schwerpunktsatz.
Gemäß Schwerpunktsatz,
also Gesamtmasse mal in Vektorform rs2.
Also Trägheitswirkung bezüglich des starren Körpers mit der
Schwerpunktbeschleunigung ist gleich Summe über alle äußeren Kräfte.
Oder noch ein bisschen kürzer, ist gleich resultierende Kraft auf den
starren Körper.
Also m, Gesamtmasse,
rs, Ortsvektor zum
Schwerpunkt s, zum bewegten Schwerpunkt s, zum Schwerpunkt s und f ist
die resultierende Kraft.
Nachdem Sie den starren Körper von seiner Umgebung freigeschnitten
haben, also das sind die eingeprägten und auch die Zwangskräfte.
Allesamt, was nach dem Freischneiden auf diesen Körper mit seiner
Masse m einwirkt.
Resultierende Kraft.
Also Zwangskräfte plus eingeprägte Kräfte.
So und dann, also das ist das erste.
Verbal will ich das also noch vermerken.
Wir haben dann die formelmäßige Ausführung dann, wie gesagt, das
nächste Mal.
Also Trallsatz.
Üblich, also deswegen hier auch, bezüglich des bewegten Schwerpunktes.
Also es gibt auch die Möglichkeit, den Trallsatz bezüglich eines
raumfesten Bezugspunktes anzugeben.
Üblich, weil auch entsprechend einfach wird der bewegte Schwerpunkt
genommen.
Hier bezüglich bewegtem Schwerpunkt S.
Also Drehimpuls bezüglich des Schwerpunktes S, die zeitliche Ableitung
bezüglich eines Inertialsystems.
Die zeitliche Ableitung ist gleich der
Summe aller Momente ist gleich dem resultierenden Moment M.
Also L S ist gleich der Gesamttrall des starren Körpers.
M, ja hier sollte man natürlich, das ist ja wichtig, auf der rechten
Seite der Gleichung, ist natürlich der gleiche Bezugspunkt zu nehmen,
wie auch hier links bei der Ableitung des Tralls.
Also M S resultierendes Moment.
Also hier unten sollten Sie noch eine Klammer drunter setzen, unter
die beiden, das ist der Bezug bezüglich Schwerpunkt S.
Das ist also wichtig.
So und ich will gerade noch den Hinweis abschließend machen, wie jetzt
die Herleitung geht, im Einzelnen wird sie dann das nächste Mal
durchgeführt.
Das sind ja Formeln, die Sie auch kennen von Massenpunktsystemen.
Und so fassen Sie jetzt auch den starren Körper auf, dann ist also die
Herleitung systematisch möglich.
Wir haben also jetzt nicht nur endlich viele Massenpunkte mit M der
Gesamtmasse, sondern unendlich dichtgepackte und mit dem Grenzübergang
dann im Sinne eines Integrals anstelle einer Summe kommt man von den
maßgeblichen Gleichungen des Massenpunktsystems zu der
Bewegungsgleichung des starren Körpers.
Also das will ich vielleicht gerade noch, also ich nehme an, das
können Sie auch hier lesen.
Also Herleitung im Einzelnen
aus entsprechenden Gleichungen für einzelnes
Massenelement Mit anschließender
Integration anstelle beim Massenpunktsystem war es ja eine Summation.
Anstelle Summation bei
System von endlich vielen Massenpunkten.
Endlich vielen Massenpunkten.
So, Sie werden sehen, für den Schwerpunktsatz ist das in zwei Zeilen
zu machen.
Beim Trallsatz in der endgültigen Auswertung der linken Seite bedeutet
das, einige Zusatzrechnungen und Festlegungen auf zugrunde zu legende
Bezugssysteme.
Also die Zeitableitung ist immer bezüglich des Inertialsystems zu
nehmen.
Die Auswertung selbst kann aber natürlich in einem raumfesten, in
einem körperfesten System und sie kann auch, was das im Detail ist,
wird Ihnen der Herr Seemann das nächste Mal noch sagen, sie kann auch
in einem körperfesten Hauptachsensystem ausgewertet werden.
Das sind verschiedene Möglichkeiten.
Es ist sinnvoll, sich auf ein körperfestes Hauptachsensystem zu
beziehen in aller Regel und dieses Schlussergebnis, was dann
herauskommt für die Drehung, das nennt man dann Euler'sche
Kreisengleichung und das wird Ihnen der Herr Seemann im Detail das
nächste Mal herleiten.
Für heute vielen Dank für Ihr Zuhören.