Guten Tag, meine Damen und Herren, ich darf Sie auch in diesem Jahr
ganz herzlich in der Vorlesung Technische Mechanik 3 begrüßen.
Zunächst einmal allen ein frohes neues Jahr.
Wir waren im vergangenen Jahr so weit gekommen, dass wir
Massenpunktsysteme behandelt haben, speziell den Schwerpunktsatz und
den Trallsatz, wobei der Trallsatz sich bei zentralen Kräften, bei
denen also die Kräfte zwischen den einzelnen Massenpunkten in Richtung
der verbindenden zwischen den Massenpunkten wirken, aus dem Impulssatz
hergeleitet werden kann.
Und wenn dies nicht der Fall ist, dann ist eben der Trallsatz ein als
eigenständiges Axiom einzuführen.
Das war das, was wir hatten.
Bevor ich es vergesse, noch ein kleiner Hinweis.
Wie immer wird die Vorlesung mitgeschnitten.
Das heißt, diejenigen, die nicht ins Bild kommen wollen, sollten sich
am besten Sitzplätze suchen, die etwas im weiter hinten liegenden
Bereich sind.
Wir kommen dann noch ganz kurz zum Arbeits- und Energiesatz für
Massenpunktsysteme.
Zunächst mal den Arbeitssatz für einen herausgegriffenen Massenpunkt,
den Massenpunkt I.
Also Arbeitssatz für I, den Massenpunkt.
Für einen Massenpunkt hatten wir gesehen, dass die Differenz der
kinetischen Energie, Delta-Ti,
das war die kinetische Energie am Ende, minus kinetische Energie von
Massenpunkt I am Anfang, dass das gerade entspricht der Arbeit aller
am Massenpunkt angreifenden Kräfte, Massenpunkt I.
Und die Arbeit war gerade das Integral der Kräfte über den Weg, also
Integral von den Kräften, die am Massenpunkt I angreifen, sind die
äußeren Kräfte Fi und eben die inneren Kräfte von den jeweils anderen
Massenpunkten, also plus eine Summe über J, FiJ,
D, Ri.
Und das können wir eben aufsplitten durch einführen, der Arbeit der am
Massenpunkt I angreifenden äußeren Kräfte Fi, also wir können
einführen die Arbeit WiA als Integral FiDiRi als Arbeit der am
Massenpunkt I
angreifenden äußeren Kräfte,
entsprechend eine Arbeit der inneren Kräfte, also W von Massenpunkt I
der inneren Kräfte als ein Integral über die inneren am Massenpunkt I
angreifenden Kräfte, also eine Summation über J, FiJ, D, Ri
als Arbeit der am Massenpunkt I angreifenden inneren Kräfte,
sodass wir insgesamt schreiben können, Massenpunkt DeltaTi gleich Wi
und das entspricht gerade der Arbeit Wi der äußeren Kräfte plus Arbeit
Wi der inneren Kräfte.
Als nächstes wird über alle Massenpunkte aufsummiert,
also Summation über alle Massenpunkte, wobei
wir zunächst mal die gesamte kinetische Energie T definieren, also mit
Definition der gesamten kinetischen Energie,
einfach als Summe der einzelnen kinetischen Energien, also T ist die
Summe über alle Ti, aufsummiert über alle Massenpunkte
und die gesamte Arbeit aller
Kräfte in der Form, dass wir eben W als Summation über alle
Teilarbeiten Wi auffassen,
aufsummiert über alle Massenpunkte und
man sieht, das ergibt dann schnell, wenn wir oben über alle
Massenpunkte aufsummieren, haben wir auf der linken Seite Summation
über alle DeltaTi, gleich Summation über alle Arbeiten, also
letztendlich T minus kinetische Energie am Anfang gleich Arbeit aller
angreifenden Kräfte und inneren Kräfte und das gleich Wa plus Wi.
Das als Arbeitssatz für
Massenpunktsysteme.
Nun kommen wir zu ein paar Spezialisierungen.
Zunächst mal, wie sieht es aus, wenn starre Bindungen vorliegen.
Bei starren Bindungen anschaulich sieht man es am Beispiel der Handel,
bei deren zwei Massenpunkte über eine starre Stange verbunden sind.
Da kann sich der eine Massenpunkt gegenüber dem anderen Massenpunkt
nur praktisch auf so einer Kugelfläche bewegen.
Das heißt, die relative Verschiebung vom einen Massenpunkt zum anderen
ist immer senkrecht zur Kraft zwischen den beiden Massenpunkten,
sofern die Kraft eben in Richtung der Verbindenden geht.
Wenn der Fall vorliegt, dass die Kraft zwischen den Massenpunkten
nicht in Richtung der Verbindenden geht, muss man eben den Trallsatz
noch hinzunehmen.
Insgesamt kann man dann zeigen, dass für diesen Sonderfall dann die
Arbeit der inneren Kräfte nach der Summation gerade verschwindet.
Also Arbeit der inneren Kräfte bei starren Bindungen gleich Null.
Ich schreibe mal ohne Beweis.
Wenn man gerade die Handel betrachtet, falls der eine Massenpunkt sich
in Richtung der Kraft bewegt, dann bewegt sich der andere Massenpunkt
um den gleichen Betrag in Richtung der Kraft, beide in die gleiche
Richtung.
Allerdings die Kräfte am Massenpunkt 1 bzw.
am Massenpunkt 2 sind zwar gleich groß, aber entgegengesetzt
gerichtet, sodass eben in der Summe die entsprechende Arbeit
verschwindet.
Als nächsten Sonderfall, wie sieht es aus bei konservativen Systemen?
Dort bleibt eben die mechanische Energie erhalten.
Und es gilt T plus Potential der äußeren Kräfte plus Potential der
inneren Kräfte gleich kinetische Energie am Anfang plus potenzielle
Energie der äußeren Kräfte am Anfang plus potenzielle Energie der
inneren Kräfte am Anfang.
Mit eben den potenziellen Energien in
der Form, dass die Arbeit der äußeren Kräfte gerade sich ergibt als
Differenz der Potenziale der äußeren Kräfte, allerdings
definitionsgemäß mit einem Minuszeichen und genauso für die Arbeit der
inneren Kräfte erhalten wir entsprechend die Differenz der Potenziale
definitionsgemäß ebenfalls mit einem negativen Vorzeichen.
Also wie gesagt, für den Schwerpunktsatz haben wir gesehen, haben die
inneren Kräfte keine Bedeutung, der Schwerpunkt bewegt sich, als
würden alle äußeren Kräfte am Schwerpunkt angreifen.
Beim Arbeits- bzw.
Energiesatz, da können die inneren Kräfte durchaus eine Rolle spielen,
wie kann man sich das vorstellen, als einfachstes Beispiel stellen
sich ein paar Massen vor, die über Federn gekoppelt sind, natürlich
lassen die Federn dann relativ Verschiebungen zu und können auch
entsprechend Arbeit speichern.
Gibt es soweit Fragen?
Dann kommen wir jetzt zu ein paar Anwendungen.
Zunächst mal Stoßvorgänge,
wobei uns speziell natürlich Stoßvorgänge zwischen zwei Massenpunkten
interessieren.
Also wir beschränken das auf einen Stoßvorgang zwischen zwei
Massenpunkten.
Massenpunkten und die Voraussetzungen dafür, die sind ähnlich wie für
den Stoß von einem Massenpunkt gegen eine feste Wand.
Das heißt, wir haben eine kleine Stoßdauer,
was dazu führt, dass während des Stoßes die Lage der Massenpunkte sich
nicht ändert oder diese Änderungen so klein sind, dass sie
vernachlässigbar sind.
Also keine Lageänderung während des Stoßes.
Dann die Stoßkräfte werden
dadurch sehr groß,
und zwar so groß, dass die sonstigen Kräfte während der Stoßphase
vernachlässigt werden können.
Also so groß, dass sonstige Kräfte während
der Stoßphase vernachlässigbar sind.
Die Verformungen der Körper sollen klein sein.
Und das bezieht sich jetzt darin, dass im Grunde, wenn wir auch hier
Massenpunkte betrachten, im wirklichen Leben immer Körperstoßen und
dann die Kräfte zu Verformungen in den Körpern führen.
Wir haben jedoch das Modell Massenpunkte, sodass im Grunde genommen
diese Voraussetzung für uns gar nicht so relevant ist.
Und wenn wir mal einfach von einem stoßenden Körper ausgehen oder von
zwei stoßenden Körpern und das Herunterbrechen auf unsere
Massenpunkte.
Also wir betrachten einfach mal eine allgemeine Stoßsituation zwischen
zwei Körpern.
Wir haben den einen Körper, wir haben den anderen Körper.
Und ganz klar,
wenn wir Körper haben, dann haben wir auch Schwerpunkte.
Wenn links der Körper Körper 1 sein soll und auf der rechten Seite
Körper 2, dann sind eben die zugehörigen Schwerpunkte S1 bzw.
S2.
Wir können eine Berührebene definieren.
Wir haben den Kontaktpunkt zwischen den beiden Körpern, durch den dann
die Stoßnormale geht.
Die senkrecht zur Berührebene steht.
Also wenn wir hier die Oberfläche der Körper betrachten, dann steht
die Stoßnormale senkrecht sowohl zur einen Körperoberfläche wie auch
zur anderen Körperoberfläche am Stoßpunkt.
Und falls jetzt die Geschwindigkeit der Berührpunkte, also falls
Geschwindigkeit der Berührpunkte,
und zwar zum einen der Berührpunkt als Punkt des Körpers 1, zum
anderen der Berührpunkt als Punkt des Körpers 2, falls deren
Geschwindigkeiten auf einer gemeinsamen Geraden liegen,
dann sprechen wir von einem geraden Stoß.
Andernfalls von einem schiefen Stoß.
Ein Sonderfall wäre zum Beispiel, wenn die Geschwindigkeiten der
Berührpunkte sogar auf der Stoßnormalen liegen.
Des Weiteren sieht man, dass die Stoßnormale im hier dargestellten
Fall relativ allgemein liegt.
Es gibt aber auch den Sonderfall, dass die Stoßnormale, oder dass die
Schwerpunkte auf der Stoßnormale liegen.
Also
liegen die Schwerpunkte S1 bzw.
S2 auf der Stoßnormalen.
Dann spricht man von einem zentrischen oder einem zentralen Stoß,
andernfalls von einem exzentrischen.
Und man kann sich vorstellen, in dem Fall, wo wir wirklich nur
Massenpunkte haben, bei denen die ganze Masse und damit auch der
Schwerpunkt an einem Punkt ist, geht natürlich die Stoßnormale auch
durch die Schwerpunkte.
Das heißt, in unserem Falle
gibt es nur zentrische Stöße.
Zum Beispiel vorstellungsmäßig, wenn sich zwei Kugeln rein
translatorisch bewegen, dann entspricht das am besten der Vorstellung,
die wir hier haben.
Kugel 1, Kugel 2, man hat die Stoßnormale und die Schwerpunkte S1 bzw.
S2, die liegen dann eben gerade auf der Stoßnormalen.
Zunächst
betrachten wir dann den Sonderfall, dass die Geschwindigkeiten der
Berührpunkte und damit auch der Schwerpunkte oder allgemein der
Massenpunkte auf einer Geraden liegen.
Das heißt, wir haben einen geraden Stoß.
Wir betrachten zunächst die Situation vor dem Stoß.
Situation vor dem Stoß.
Wir haben Massenpunkt M1, wir haben Massenpunkt M2.
Massenpunkt M1 bewegt sich mit der Geschwindigkeit V, am Anfang 1.
Massenpunkt M2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit V, A2.
Während des Stoßes berühren sich die beiden Massenpunkte,
also M1 bzw.
M2,
die Schwerpunkte liegen in dem Fall auf der Geraden, in deren Richtung
auch die Geschwindigkeiten V A1 und V A2 gehen und natürlich sehen
wir, dass diese Situation nur eintritt, wenn V A1 wirklich größer ist
als V A2.
Nach dem Stoß
bewegt sich Massenpunkt M1 bzw.
Massenpunkt M2 mit einer geänderten Geschwindigkeit V E1 bzw.
V E2.
Und dass die Geschwindigkeiten nach dem Stoß für diesen Fall, den wir
hier betrachten, in die gleiche Richtung zeigen wie V A1 bzw.
V A2.
Ich denke, das sieht man schon aus der Anschauung, das brauchen wir
hier nicht näher betrachten.
Im Allgemeinen wird es natürlich so sein, dass V E1 kleiner ist als V
E2, wobei das Kleiner sich auch auf die Richtung beziehen kann.
Also aus Erfahrung wissen wir, wenn so ein Massenpunkt auf einen
anderen Massenpunkt stößt und der Massenpunkt 2 könnte sich ja auch
nach links bewegen, kann es durchaus sein, dass der Massenpunkt 1 dann
mit einer relativ großen Geschwindigkeit sich nach links bewegt.
Nun schwierig wird es natürlich, wie sieht die Situation während des
Stoßes aus.
Dazu schneiden wir beide Massenpunkte während des Stoßes frei, also
Freischnitt.
Wir haben dann Massenpunkt 1 bzw.
Massenpunkt 2.
Zwischen beiden wirkt eine Druckkraft,
die noch von der Zeit abhängen kann, deshalb F und T.
F und T, wobei der Verlauf der Stoßkraft, wie wir wissen, unbekannt
ist.
Also der Stoßkraftverlauf während
der Stoßphase Delta
TS ist unbekannt.
Was wir wissen, ist, dass wie schon bei dem Stoß eines Massenpunktes
gegen eine feste Wand unter Umständen eine Kompressionsphase und eine
Restitutionsphase auftreten.
Also bekannt,
Kompressionsphase und Restitutionsphase
treten auf.
Wir hatten das so angedeutet, dass eben über die Zeit, wenn das gerade
die Stoßphase Delta TS ist, der Stoßkraftverlauf so erfolgt, dass die
Stoßkraft zunimmt, danach wieder abfällt, wir das Ganze wie gesagt in
Kompressionsphase und Restitutionsphase unterteilen und schon beim
Stoß eines Massenpunktes gegen eine feste Wand hängt das durchaus vom
Material ab.
Wenn man Körper betrachtet und die zugehörigen
Wellenausbreitungsvorgänge, die da auftreten können, dann stellt man
fest, dass das theoretisch auch noch von der Form der Körper abhängt,
wobei in unserem Modell natürlich wieder nur Massenpunkte betrachtet
werden, sodass wir das eigentlich nicht in Betracht ziehen.
Während der Kompressionsphase und der Restitutionsphase erfahren die
Massenpunkte dann Geschwindigkeitsänderungen.
Also wir erhalten
Geschwindigkeitsänderungen, die Geschwindigkeit von Massenpunkt 1
ändert sich von VA1 vor dem Stoß auf VE1 nach dem Stoß, analog die
Geschwindigkeit von Massenpunkt 2, von VA2 auf VE2.
Und wie wir das behandeln können?
Ganz klar, wir wenden einfach den Impulssatz an.
Also den Impulssatz, wobei wir hier eine skalare Auswertung vornehmen
in Richtung der Geschwindigkeiten, die in diesem Fall auftreten, also
eine skalare Auswertung in Richtung der stoßnormalen.
Wobei alle Kräfte und Geschwindigkeiten in unserem Fall nach rechts
positiv gezählt werden, alle Kräfte und Geschwindigkeiten, die nach
links zeigen, entsprechend negativ.
Wir haben dann auch angenommen, dass die Geschwindigkeiten VA1 bzw.
VA2 vor dem Stoß positiv sind.
Das heißt, für M1 ergibt sich aus dem Freischnitt, dass die Kraft F
von T nach links zeigt, so dass aus dem Impulssatz folgt, integral
über die Stoßdauer Delta TS.
Und jetzt die Kraft, die dort auftritt, ist eben Minus F von T dt.
Die ergibt gerade Masse 1 mal Geschwindigkeit von Masse 1 nach dem
Stoß minus Geschwindigkeit von Masse 1 vor dem Stoß, also VE1 minus
VA1.
Und für den Massenpunkt 2 ganz analog,
also für M2 dann ganz analog integral über Delta TS.
Die Kräfte, die während des Stoßes am Massenpunkt 2 angreifen und
stoßrelevant sind, ist nur die Stoßkraft, die beim Massenpunkt 2 in
positive Richtung zeigt, also F von T dt.
F von T ist dann gerade Masse M2 mal Geschwindigkeit von Massenpunkt 2
nach dem Stoß, das war VE2 minus Geschwindigkeit von Massenpunkt 2 vor
dem Stoß, das war VA2.
Wir sehen, in dem Fall haben wir jetzt zwei Gleichungen, allerdings
reicht diese Zahl der Gleichungen noch nicht aus, um alle Größen zu
bestimmen.
Welche Größen sind unbekannt?
Zunächst mal noch das Integral über die Stoßkraft, Sie sehen, das
Minuszeichen können wir vor das Integral schreiben, dann haben wir das
Integral, also den übertragenen Impuls als Unbekannte, sowie die
Geschwindigkeiten von Massenpunkt 1 bzw.
Massenpunkt 2 nach dem Stoß, drei unbekannte, zwei Gleichungen.
Was wir aber auf jeden Fall machen können, ist, dass wir zunächst mal
beide Gleichungen addieren, also Addition beider Gleichungen ergibt
dann, man sieht es, das Integral hebt sich dann weg.
Wir haben M1 VE1 minus VA1 plus M2 VE2 minus VA2 gleich 0.
Oder wenn wir das entsprechend umformen, M1 VE1 plus M2 VE2 gleich,
jetzt bringen wir M1 VA1 nach rechts bzw.
M2 VA2, dann ergibt das M1 VA1 plus M2 VA2.
Und wir sehen, das entspricht jetzt gerade der Impulserhaltung.
Dieses Ergebnis hätten wir eigentlich auch schon aus dem
Schwerpunktsatz herleiten können, weil nämlich das F und T, die
Stoßkraft in dem Fall, eine innere Kraft ist, die auf die
Geschwindigkeit des Schwerpunktes keinen Einfluss hat.
Nichtsdestotrotz haben wir jetzt zwar eine Gleichung mit einer
reduzierten Zahl von Unbekannten, nämlich VE1 und VE2, das heißt immer
noch eine Gleichung zu wenig.
Also eine Gleichung, zwei Unbekannte,
was wiederum typisch für Stoßprobleme ist.
Wir führen deshalb wieder, wie schon beim Stoß gegen eine feste Wand,
eine Stoßzahl ein, also Zusatzannahme für
Stoß über eine Stoßzahl,
die wir wiederum als Epsilon bezeichnen.
Und Epsilon definieren wir als Verhältnis von relativer
Separationsgeschwindigkeit nach dem Stoß, dividiert durch relative
Annäherungsgeschwindigkeit vor dem Stoß, also VE1 minus VE2, dividiert
durch VA1 minus VA2, also das war die relative
Trennungsgeschwindigkeit, im Nenner die relative
Annäherungsgeschwindigkeit.
Und da nach dem Stoß die Geschwindigkeit von Massenpunkt 2 ja größer
sein muss als die Geschwindigkeit von Massenpunkt 1, würde das ein
negatives Ergebnis ergeben, damit Epsilon wieder zwischen 0 und 1
bleibt, wie schon beim Stoß von einem Massenpunkt gegen eine feste
Wand, deshalb hier noch ein entsprechendes Minuszeichen.
Das heißt wie früher liegt jetzt Epsilon zwischen 0 und 1, wobei
wieder zwei Grenzfälle vorliegen, der Grenzfall vollelastischer Stoß
entspricht gerade Epsilon gleich 1 und der vollplastische Stoß dann
Epsilon gleich 0.
Also betrachten wir mal die beiden Grenzfälle,
zunächst mal den vollelastischen Stoß,
Epsilon gleich 1,
man sieht die Relativgeschwindigkeit ist damit gleich, also gleiche
Relativgeschwindigkeit.
Nun dieser Sonderfall folgt auch aus der Energieerhaltung für die
mechanische Energie des Gesamtsystems, also folgt auch aus Erhaltung
der mechanischen Energie des Gesamtsystems.
Hier spielt dann wieder eine Rolle, dass wir keine Lageänderungen
betrachten und sich deshalb auch die potenzielle Energie während des
Stoßes nicht ändert, das heißt die Änderung an kinetischer Energie,
das war die gesamte kinetische Energie vor dem Stoß minus gesamte
kinetische Energie nach dem Stoß, die ist gerade 0 und
in unserem Fall eben T gesamt vor dem Stoß.
Und Massenpunkt 1 bewegt sich mit der Geschwindigkeit VA1, also 1,5 m1
VA1², das war die kinetische Energie von Massenpunkt 1.
Hinzu kommt die kinetische Energie von Massenpunkt 2, 1,5 m2 VA2².
Entsprechend die kinetische Energie, die gesamte nach dem Stoß, setzt
sich zusammen aus der kinetischen Energie von Massenpunkt 1 plus
kinetische Energie von Massenpunkt 2.
Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind VA1 bzw.
VA2, das folgt 1,5 m1 VA1² plus 1,5 m2 VA2².
Setzen wir das in die Energiebilanz ein, dann sehen wir, wir haben
eine weitere Gleichung mit zwei Unbekannten, VA1 und VA2, die zwar
nicht linear ist, so dass aber insgesamt mit der Impulsbilanz zwei
Gleichungen für zwei Unbekannte vorliegen, die gelöst werden können.
Ist der Herr Listl hier?
Ja.
Sie, jetzt muss ich gerade mal überlegen, Sie wischen mal die linken
drei Spalten.
Also die, die und die.
Als weiteren Sonderfall dann den vollplastischen Stoß,
der Y gleich 0 entspricht.
Und Y gleich 0, sehen wir, ist dann der Fall, wenn VE1 gleich VE2 ist.
Also VE1 gleich VE2.
Damit wäre das Ganze sehr einfach, in der Impulsbilanz können wir das
sofort einsetzen und haben sofort dann die Geschwindigkeit VE.
Also Geschwindigkeit beider
Massenpunkte nach dem Stoß ist dann VE1 gleich VE2 gleich VE.
Aus der Impulsbilanz erkennt man sofort, VE ist M1VA1 plus M2VA2
dividiert durch M1 plus M2.
Wenn wir die Gleichungen auflösen unter Zuhilfenahme der Stoßzahl,
dann sehen wir, wenn die Stoßzahl Y bekannt ist, haben wir eine
kinematische Bedingung zwischen VE1 und VE2 mit bekannten
Geschwindigkeiten VA1 und VA2.
Das heißt, das dient uns dann als zweite Gleichung zusätzlich zur
Impulserhaltung, um die Geschwindigkeiten zu bestimmen.
Also mit allgemeiner Stoßzahl haben wir dann zwei Gleichungen für
zwei unbekannte,
nämlich VE1 bzw.
VE2.
So ein lineares Gleichungssystem aufzulösen, das müssten Sie
eigentlich schaffen, zum Beispiel mithilfe von Maple.
Also Auflösung,
das führe ich jetzt hier nicht im Einzelnen vor, wir geben nur noch
das Ergebnis an.
Es ergibt sich für VE1 gerade m1VA1 plus m2VA2 minus Y mal m2 mal VA1
minus VA2 dividiert durch die Summe der Massen m1 plus m2 und für die
Geschwindigkeit von Von Massenpunkt 2 dann entsprechend VE2,
ganz analog, M1VA1 plus M2VA2.
In dem Falle dann plus YM1 mal VA1 minus VA2, dividiert durch die
Gesamtmasse.
Und wir sehen, dass für den Sonderfall Y gleich 0, für den ich das
Ergebnis schon angegeben habe, Y gleich 0, da verschwindet jeweils der
letzte Term im Zähler.
Es ergibt sich in beiden Fällen M1VA1 plus M2VA2 dividiert durch M1
plus M2.
Also,
elastischer Stoß,
da haben wir eben VE1 gleich VE2 gleich M1VA1 plus M2VA2 dividiert
durch M1 plus M2, wie oben schon angegeben.
Und für den elastischen Stoß dann
entsprechend VE1 gleich, jetzt setzen wir ein, Y gleich 1, dann ergibt
sich in der ersten Gleichung 2 mal M2VA2 und dann haben wir die
Differenz M1 minus M2 mal VA1, also plus M1 minus M2, VA1, dividiert
durch M1 plus M2, analog für VE2.
Dann haben wir 2 mal VA1 mal M1, also 2M1VA1 und dann haben wir plus
M2 minus M1 mal VA2,
dividiert durch M1 plus M2.
Und wenn wir jetzt nochmals für den elastischen Stoß einen Sonderfall
vornehmen, nämlich den, dass die Massenpunkte gleiche Massen haben,
also Sonderfall gleiche Massen,
das heißt M1 gleich M2 gleich M, dann gilt eben VE1 gleich, jetzt
sehen wir, das fällt weg.
Wir haben hier 2MVA2, dividiert durch 2M gibt gerade VA2 und für VE2
haben wir, der letzte Term im Zähler fällt weg, bleibt 2MVA1,
dividiert durch 2M gibt gerade VA1, also für den Sonderfall
elastischer Stoß gleiche Massen, ergibt sich gerade ein
Geschwindigkeitsaustausch insofern, dass die Geschwindigkeit von
Massenpunkt 1 nach dem Stoß der Geschwindigkeit von Massenpunkt 2 vor
dem Stoß entspricht und die Geschwindigkeit von Massenpunkt 2 nach dem
Stoß entspricht der Geschwindigkeit von Massenpunkt 1 vor dem Stoß.
Gibt es soweit noch Fragen?
Und wie sieht es aus mit der kinetischen Energie?
Wir haben gesehen, für den vollelastischen Stoß geht keine mechanische
Energie verloren, also die kinetische Energie vor und nach dem Stoß
sind gleich, nicht jedoch, falls Epsilon größer als 0 ist.
Also in dem Fall können wir den Verlust an kinetischer Energie
bestimmen, es ergibt Delta T.
Und ich gebe hier nur das Ergebnis an, Sie müssen einfach die
Ergebnisse für VE1 und VE2 in die Energiebilanz einsetzen.
Das ergibt dann 1 minus Epsilon Quadrat halbe.
Dann haben wir M1, M2 dividiert durch M1 plus M2 mal die Differenz der
Geschwindigkeiten am Anfang zum Quadrat.
Wir sehen, für den Fall Epsilon gleich 1, vollelastischer Stoß, ergibt
der Zähler hier gerade 0.
Also Delta T ist 0 für den vollelastischen Stoß und
Delta T ist eben maximal.
Und zwar gerade für Epsilon gleich 0, dort haben wir dann 1 halb M1 M2
dividiert durch M1 plus M2 mal VA1 minus VA2 in Klammer zum Quadrat
für den vollelastischen Stoß.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann ein kleines Beispiel.
Also Beispiel,
und zwar betrachten wir ein ballistisches Pendel zur
Messung der Geschossgeschwindigkeit von einem Projektil.
Das Ganze ist ein bisschen aufgebaut wie bei so einem
Pendelschlagwerk, was für Kerbschlagversuche verwendet wird.
Das heißt, wir haben zunächst mal ein Pendel, das in Ruhe ist.
Wir nehmen an, das Ganze sei ein mathematisches Pendel.
Das heißt, wir haben dann lediglich hier einen Massenpunkt M2,
das Pendel hat die Länge L.
Und wir haben jetzt das Geschoss, was Massenpunkt 1 entspricht.
Das ist also das Geschoss.
Und das Geschoss bewegt sich zunächst mal mit einer unbekannten
Geschwindigkeit VA1 auf das Pendel zu.
Bleibt dann im Massenpunkt M2 stecken, das heißt, es handelt sich um
einen vollplastischen Stoß.
Es wird entsprechend Impuls übertragen, Geschoss und Pendel, oder
Massenpunkt 2, bewegen sich dann entsprechend nach rechts, erreichen
irgendwann einen Maximalausschlag.
Dort haben wir also M2.
Allerdings steckt noch das Projektil M1 drin.
Also wir haben in dem Fall M1 plus M2.
Wir haben einen Maximalwinkel V1, der erreicht wird bei einer
Geschwindigkeit V des Pendels, die 0 ist am Umkehrpunkt.
Das heißt,
zunächst mal bestimmen wir die Geschwindigkeit des Pendels mit dem
Geschoss direkt nach dem Stoß.
Also Geschwindigkeit von M2 und Geschoss direkt nach dem Stoß.
Wir wissen, es liegt ein plastischer Stoß vor, also ist die
Geschwindigkeit von beiden gleich.
VE1 ist dann VE2 gleich VE.
Das können wir abschreiben für den vollplastischen Stoß unter der
Kenntnis, dass eben die Geschwindigkeit des Pendels vor dem Stoß
gerade 0 war.
Also ergibt sich lediglich M1VA1 durch die Summe der Massen.
Also M1VA1 dividiert durch M1 plus M2.
Das ist die Geschwindigkeit bei
V gleich 0.
Und der maximale Pendelausschlag, den bestimmen wir am besten aus dem
Energiesatz.
Das war V1 aus Energiesatz.
Es gilt nämlich
T0 plus V0 gleich T1 plus V1.
Während der Bewegung des Pendels tritt ja kein Verlust auf.
Das war bei V gleich 0.
Die rechte Seite bei V gleich V1.
Jetzt legen wir das Nullniveau für die potenzielle Energie der
Gravitation gerade so, dass die Null ist in der Lage V gleich 0.
Also wenn das Pendel lotrecht nach unten hängt.
Damit folgt V0 gleich 0.
Also V0 gleich 0.
Durch Festlegung des Nullniveaus.
Die kinetische Energie bei V gleich 0.
Das war die kinetische Energie von Geschoss und Pendel.
Allerdings mit der Geschwindigkeit, die direkt nach dem Stoß vorlag.
Also T0 gleich M1 plus M2 halbe.
Mal VE2 Quadrat oder VE Quadrat.
VE1 war ja VE2 gleich VE.
Dann die potenzielle Energie bei V gleich V1 ergibt sich dadurch, dass
die beiden Massenpunkte angehoben werden.
Beträgt also gerade M1 plus M2 mal der Höhe über dem Nullniveau.
Das ist aber gerade L mal 1 minus Cosinus V1.
Das war die Höhe H, die gerade hier vorliegt.
Die kinetische Energie bei V gleich V1 ist 0, weil dort der
Umkehrpunkt sein soll.
Das heißt, während der Messung wird das Geschoss auf das ruhende
Pendel geschossen.
Das Pendel schlägt aus, der Maximalwinkel wird gemessen.
Also wir kennen das V1 und wir sehen aus der Energiebilanz, folgt
jetzt sofort M1 plus M2 halbe mal der Geschwindigkeit am Ende des
Stoßes zum Quadrat.
Das ist aber gerade M1 VA1 durch M1 plus M2.
Also M1 VA1 dividiert durch M1 plus M2 zum Quadrat.
Das muss gerade sein, T1 war 0, also V1.
Also gleich M1 plus M2 mal G mal L mal 1 minus Cosinus V1.
Wir sehen, das M1 plus M2, das kürzt sich jetzt auf beiden Seiten.
Wir müssen also noch mit dem Faktor 2 multiplizieren.
Dann noch multiplizieren mit M1 plus M2 zum Quadrat, dividieren durch
M1 Quadrat, dann die Wurzel ziehen, sodass letztendlich folgt für die
Geschwindigkeit des Geschosses vor dem Stoß und damit die
Geschossgeschwindigkeit zu M1 plus M2 dividiert durch M1.
Zunächst mal habe ich rechts das Quadrat von dem Ausdruck stehen, da
ich aber hier VA1 Quadrat habe, ziehe ich gleich die Wurzel und dann
muss ich noch die Wurzel nehmen von all dem, was ich sonst noch habe,
also dem Faktor 2, dem G mal L und dem 1 minus Cosinus V1.
Das heißt, wenn wir das V1 messen, M1 und M2 gemessen haben, die
Erdbeschleunigungen, die Pendellänge kennen, dann können wir natürlich
V1 messen, also V1 gemessen und VA1 daraus berechnet.
Gibt es dazu konkret Fragen?
Würden Sie mir gerade nochmal die linken beiden Tafeln wischen?
Zum Schluss noch der schiefe zentrale Stoß.
Schiefer Stoß heißt, die Geschwindigkeiten der beiden Massenpunkte
liegen nicht auf einer Geraden.
Das heißt, wenn wir mal die Situation während des Stoßes betrachten,
dann haben wir zunächst mal Massenpunkt M1 beziehungsweise Massenpunkt
M2.
Die bewegen sich mit
VA1 beziehungsweise VA2 aufeinander
zu.
Während des Stoßes haben wir dann die Berührebene und
wir haben die Stoßnormale.
Nach dem Stoß bewegen sich die Massenpunkte wieder voneinander weg.
Massenpunkt 1 mit einer Geschwindigkeit VE1, Massenpunkt 2 mit einer
Geschwindigkeit VE2.
Und man sieht, man hat jetzt Vektoren, die Richtungen der
Geschwindigkeitsvektoren, die können sich ändern.
Wir müssen dann also entweder vektorell arbeiten oder wir führen
entsprechende Richtungen ein, das heißt Koordinaten, und werden das
Ganze dann skalar in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen aus,
sodass in dem Falle es am einfachsten ist, wenn wir ein XY
-Koordinatensystem in der Gestalt einführen, dass eben die X-Achse zum
Beispiel in Richtung der Stoßnormalen zeigt und die Y-Achse dann in
Richtung der Berührebene senkrecht zur Stoßnormalen.
Also Einführung eines
XY -Koordinatensystems, um dann eben entsprechend die Bilanzen
auszuwerten.
An der Stelle machen wir vielleicht die Zusatzannahme,
dass eben die Stoßflächen glatt seien, also glatte Stoßflächen, sodass
keine Reibung vorliegt.
Ein Freischnitt während des Stoßes ergibt dann die folgende Situation.
Also Freischnitt während
Stoß ergibt dann eben,
links haben wir M1, rechts M2, dazwischen die Stoßkraft F und T,
dementsprechend kann jetzt der Impulssatz in den Koordinatenrichtungen
ausgewertet werden.
Also Impulssatz in X-Richtung ergibt
dann für Massenpunkt M1.
Die Kraft F und T zeigt nach links, also Minusintegral F und T dt
ergibt M1 mal und jetzt eben die Geschwindigkeit nach dem Stoß in X
-Richtung, VE1x,
Minusgeschwindigkeit vor dem Stoß von Massenpunkt 1 in X-Richtung,
entsprechend für Massenpunkt M2.
Dort zeigt allerdings die Stoßkraft in positive X-Richtung, deshalb
Integral F und T dt ergibt dem entsprechend M2 mal und jetzt
Geschwindigkeit des Massenpunkts 2 nach dem Stoß in X-Richtung minus
Geschwindigkeit von Massenpunkt 2 vor dem Stoß in X-Richtung.
Man sieht, da hat sich jetzt nicht viel geändert zu dem, was wir
bisher hatten für unseren zentralen Stoß, den geraden Stoß, jetzt in Y
-Richtung.
Der ergibt sich entsprechend, man sieht am Massenpunkt 1 wirkt keine
Kraft in Y-Richtung, deshalb ist es Integral 0, der ergibt dann M1 mal
V von Massenpunkt 1 am Ende des Stoßes in Y-Richtung minus V von
Massenpunkt 1 vor dem Stoß in Y-Richtung, beziehungsweise für den
Massenpunkt M2 erhalten wir ebenfalls keine Kraft in Y-Richtung, und
deshalb das Integral gleich 0, gleich M2 mal VE von Massenpunkt 2 in Y
-Richtung minus VA von Massenpunkt 2 ebenfalls in Y-Richtung.
Man sieht, seltsamerweise lassen sich diese Gleichungen direkt
auswerten, man erkennt VE1Y gleich VA1Y und VE2Y gleich VA2Y.
Also die Geschwindigkeiten der Massenpunkte in vertikaler Richtung
oder in Y-Richtung ändern sich in dem Falle nicht, warum?
Warum brauchen wir in normaler Richtung die Stoßzahl und in Richtung
der Berührebene keine Stoßzahl?
Ganz einfach, weil wir ja schon eine Annahme reingesteckt haben.
Wir haben schon eine Zusatzannahme verwertet, nämlich keine Reibung,
damit auch keine Kraft in Richtung der Y-Achse, also können wir damit
sofort die Gleichungen auswerten.
Gibt es soweit noch Fragen?
An der Stelle möchte ich schon mal darauf hinweisen, die Frau Hornig
wollte mir zwar noch Informationsfolie mitgeben, hat sie mich jetzt
leider nicht mehr erreicht, ich glaube, das ist morgen in einer Woche,
findet eine Informationsveranstaltung zum Doppeldiplom mit Frankreich
statt.
Also Interessenten sind herzlich eingeladen.
Das ist das eine.
Das andere, ein beliebtes Beispiel von Stoßproblemen kennen natürlich
viele Studenten, beim Billiardspielen.
Jetzt hoffe ich nur, dass es kommt.
Ich habe hier mal ein kleines Beispiel aus YouTube mitgebracht, die
einen oder anderen kennen es vielleicht.
Allerdings sollten Sie sich an der Stelle bewusst sein, und wir werden
das natürlich auch an den Billiardschlägen, die hier gezeigt werden,
sehen, dass Billiardspielen nicht Stöße von Massenpunkten sind.
Warum?
Nun, weil die Billiardkugeln natürlich auch rollen und das zu weiteren
Effekten führt, die Sie eigentlich erst behandeln können, wenn wir die
Bewegungen von einem starren Körper betrachten.
Ich hoffe nur, dass jetzt alles klar geht und man
das auch sieht und mein Rechner mir keinen...
Moment, wir machen es mal größer.
Das war also das normale Billiardspielen.
Sie hören jetzt leider den Ton nicht, den denken Sie sich jetzt dazu.
Auch der folgende Stoß noch relativ konventionell.
Der Stoß ist natürlich nicht mehr genau das, was wir eigentlich
machen.
Also sollten Sie vielleicht nicht unbedingt spielen, deshalb immer in
Stoßrichtung, die Stoßrichtung parallel zum Tisch.
Und später sind es jetzt natürlich klar, dass das nichts mehr mit dem
zu tun hat, was wir jetzt gerade behandeln, sondern das erfordert
wirklich den Stoß von Körpern.
Und ich denke, damit können wir an der Stelle abbrechen.
Ich würde sagen, die Zeit ist jetzt schon relativ weit
fortgeschritten.
Wir haben heute, ausgehend von einer relativ allgemeinen
Stoßsituation, wie wir sie eigentlich bei Körpern vorfinden, versucht,
das runterzubrechen auf unser Modell-Massenpunkt, dass nämlich zwei
Massenpunkte gegeneinander stoßen.
Bestimmte Effekte, wie wir sie jetzt gerade am Schluss gesehen haben,
lassen sich dadurch natürlich nicht beschreiben.
Selbst wenn Sie den Zusammenstoß von zwei Autos miteinander behandeln
wollen, dann geht es eigentlich nur, wenn die Autos so stoßen, dass
die Berührebene so gestaltet ist, dass die Stoßnormale durch die
Schwerpunkte gehen oder dass die eben frontal stoßen, was wir
natürlich nicht hoffen.
Und was jetzt als nächste Anwendung kommt, das ist dann auch wieder
wichtig für den Automobilbau, speziell für den Motorenbau.
Bei Verbrennungskraftmaschinen, da bewegen sich die Zylinder auf und
ab.
Wenn die Zylinder, die noch in guter Näherung als Massenpunkte
beschrieben werden können, eine Auf- und Abbewegung machen, dann
müssen die entsprechend beschleunigt werden, wozu Kräfte notwendig
sind.
Und das Ziel ist natürlich, den Motor so auszulegen und zu gestalten,
dass die Massenkräfte, die da auftreten, sich gegenseitig gerade
aufheben und keine Kräfte auf die Umgebung übertragen werden.
In einem Fahrzeug, in das der Motor eingebaut ist, ist es natürlich
immer so, dass auch das Fahrzeug noch eine Bewegung macht.
Die lassen wir außen vor.
Wir betrachten also in der nächsten Stunde dann eine
Verbrennungskraftmaschine und geben mal prinzipiell an, wie sieht es
aus mit Massenausgleich oder was muss erfüllt sein bei einer
Mehrzylindermaschine, die dann stationär betrieben wird.
Denken Sie an so ein großes Dieselaggregat für Notstromaggregat.
Damit beenden wir mal die Vorlesung heute, eine oder zwei Minuten vor
dem regulären Schluss.
Ich denke, es macht keinen Sinn mehr, jetzt da groß anzufangen.
Vielen Dank.
Denken Sie daran, am nächsten Donnerstag finden keine Übungen statt.
Wir treffen uns im Daimler Hörsaal zur Vorlesung.
Vielen Dank.