WEBVTT 00:07.020 --> 00:08.540 Guten Tag, meine Damen und Herren. 00:09.000 --> 00:11.380 Ich darf Sie recht herzlich zur heutigen Vorlesung begrüßen. 00:13.060 --> 00:15.000 Heute denke ich mal ganz am Anfang dran. 00:17.180 --> 00:19.620 Sie wissen, die Vorlesung wird aufgezeichnet. 00:20.640 --> 00:25.080 Wenn Sie nicht im Bild erscheinen wollen, achten Sie darauf, dass Sie 00:25.080 --> 00:26.600 an entsprechenden Plätzen sitzen. 00:30.040 --> 00:34.500 Ansonsten hatten wir uns in der letzten Vorlesung mit der rekursiven 00:34.500 --> 00:38.480 Beschreibung von dem Mehrkörpersystem beschäftigt. 00:38.960 --> 00:42.640 Das heißt, wir hatten einzelne Starkkörper, die über Gelenke verbunden 00:42.640 --> 00:46.000 sind, wobei Gelenke sehr allgemein aufzufassen sind. 00:46.600 --> 00:51.420 Das ganz allgemeine Gelenk, das ist sozusagen gar nicht vorhanden. 00:51.480 --> 00:53.840 Das ist, wenn der Körper sich frei bewegen kann. 00:55.440 --> 00:58.520 Und ansonsten, was wir natürlich kennen von der Technik her, sei es 00:58.520 --> 01:01.680 bei einem Roboter oder irgendwo anders, das sind so Drehgelenke zum 01:01.680 --> 01:08.280 Beispiel, die nichtsdestotrotz relativ schnell zu komplizierten 01:08.280 --> 01:14.240 Zusammenhängen zwischen den Gelenkkoordinaten und den interessierenden 01:14.240 --> 01:18.720 kinematischen Größen führen, nämlich den Beschleunigungen der 01:18.720 --> 01:24.680 Schwerpunkte, irgendwelchen Lagekoordinaten, Geschwindigkeitsvektoren 01:24.680 --> 01:25.240 und so weiter. 01:25.900 --> 01:28.960 Und letztendlich auch bei den Winkelgeschwindigkeiten und 01:28.960 --> 01:29.900 Winkelbeschleunigungen. 01:30.740 --> 01:34.400 Nun, wenn wir die Winkelbeschleunigungen und Winkelgeschwindigkeiten 01:34.400 --> 01:40.560 ausdrücken über die Gelenkkoordinaten und auch die 01:40.560 --> 01:46.180 Schwerpunktsbeschleunigungen, was dann letztendlich noch fehlt für das 01:46.180 --> 01:50.680 Mehrkörpersystem, das sind natürlich die entsprechenden Gleichungen 01:50.680 --> 01:51.500 der Kinetik. 02:02.310 --> 02:08.670 Wir schneiden dazu jeden der Teilkörper frei und wenden auf jeden 02:08.670 --> 02:13.230 Körper den Drall und den Impulssatz bzw. 02:13.490 --> 02:23.570 Schwerpunktsatz an, also jeden Körper freischneiden und 02:33.000 --> 02:37.640 dann eben Impuls und Drallsatz anwenden, 02:49.780 --> 02:58.640 das heißt, für den Impulssatz haben wir dann Masse des freigestellten 02:58.640 --> 03:06.700 Körpers MJ mal Beschleunigung des zugehörigen Schwerpunktes SJ im 03:06.700 --> 03:13.420 Inertialsystem ergibt Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte. 03:14.180 --> 03:21.880 Das sind zum einen die äußeren Kräfte FJ plus die inneren Kräfte von 03:21.880 --> 03:27.400 den anderen Körpern, also eine Summe von K gleich 1 bis N. 03:28.160 --> 03:30.840 Das machen wir ähnlich wie bei den Massenpunktsystemen, dann haben wir 03:30.840 --> 03:40.640 hier FJK und das Ganze gilt natürlich für alle Körper für J gleich 1 03:40.640 --> 03:47.080 bis N, also J gleich 1 bis N, wenn N die Zahl der beteiligten 03:47.080 --> 03:47.960 Starkörper ist. 03:51.700 --> 03:58.440 Analog den Drallsatz, den wir auswerten bezüglich dem zugehörigen 03:58.440 --> 03:59.140 Schwerpunkt. 04:00.540 --> 04:14.380 Also, Drallsatz, und er schreibt sich zunächst mal relativ einfach, 04:15.140 --> 04:21.800 nämlich die Ableitung des Dralls bezüglich dem Schwerpunkt, und der 04:21.800 --> 04:30.860 Punkt bedeutet Ableitung im Inertialsystem, entspricht der Summe der 04:30.860 --> 04:39.560 Momente auf den Körper, hier müssen wir noch den Schwerpunkt 04:39.560 --> 04:42.020 vielleicht mit SJ bezeichnen, 04:49.450 --> 04:54.490 das heißt, was an der Stelle ein bisschen schwierig ist, ist natürlich 04:54.490 --> 04:59.510 die Ableitung des Dralls auszuwerten, weil wir haben gesehen, den 04:59.510 --> 05:03.270 Drall, den formulieren wir am besten bezüglich einer körperfesten 05:03.270 --> 05:09.350 Basis, das heißt, wir leiten zunächst mal im körperfesten Bezugssystem 05:09.350 --> 05:23.770 ab, das ergibt dann Phi mal Omega in Klammerpunkt, 05:27.500 --> 05:31.200 wobei Phi und Omega im körperfesten Bezugssystem ist, nun im 05:31.200 --> 05:34.760 körperfesten Bezugssystem ist der Dreckheitssensor, oder die Matrix, 05:34.760 --> 05:39.440 wenn wir das über eine Matrixauswertung machen, eine konstante Größe, 05:39.860 --> 05:45.260 also bleibt dort lediglich stehen, die Omega von Körper J im 05:45.260 --> 05:53.520 Inertialsystem nach DT, das ist aber die Ableitung des Dralls im 05:53.520 --> 05:58.300 körperfesten Bezugssystem, dann kommt eben hinzu, plus jetzt die 05:58.300 --> 06:05.000 Winkelgeschwindigkeit von dem Bezugssystem, in dem zunächst abgeleitet 06:05.000 --> 06:08.960 wird, der wird abgeleitet in J, 06:13.640 --> 06:20.960 bezüglich dem Bezugssystem, in dem die Ableitung erfolgen soll, also 06:20.960 --> 06:26.120 Omega von J in I-Kreuz, das, was wir ableiten, und das, was abgeleitet 06:26.120 --> 06:31.280 wird, ist eben der Drall, also Phi bezüglich SJ, das sollte man 06:31.280 --> 06:33.820 vielleicht noch vermerken, hier SJ, 06:37.980 --> 06:42.960 SJ, Omega von Körper J im Inertialsystem. 06:54.020 --> 06:58.640 Also letztendlich das, was wir für den Einzelkörper bestimmt haben, 06:58.780 --> 07:02.560 das wenden wir jetzt sukzessive an für alle N beteiligten Körper. 07:04.460 --> 07:07.880 Wie gesagt, beim Drallsatz sieht es noch am wildesten aus, der Impuls 07:07.880 --> 07:09.800 hat es dann relativ einfach. 07:10.360 --> 07:13.400 Die Schwierigkeit dabei, beim Freischneiden werden natürlich die 07:13.400 --> 07:17.820 Kräfte in den Gelenken und auch die Zwangsmomente in den Gelenken, die 07:17.820 --> 07:20.120 werden zu äußeren Kräften und äußeren Momenten. 07:20.860 --> 07:27.560 Die treten also in den rechten Seiten hier auf, wie man sieht, linear. 07:28.840 --> 07:32.820 Man sieht auch, für jeden Körper ergibt es zunächst einmal formal, 3 07:32.820 --> 07:36.620 plus 3 sind 6 skalare Gleichungen. 07:38.420 --> 07:43.040 Unter Umständen, wenn wir N Körper haben, haben wir damit 6 N 07:43.040 --> 07:43.620 Gleichungen. 07:46.560 --> 07:51.200 Insgesamt aber vielleicht viel weniger Freiheitsgrade, das heißt es 07:51.200 --> 07:54.840 müssen entsprechend viele Zwangsbedingungen vorliegen, mit 07:54.840 --> 07:58.340 entsprechend vielen Zwangsreaktionen, sei es Zwangskräfte oder 07:58.340 --> 07:59.040 Zwangsmomente. 07:59.720 --> 08:05.020 Und um dann auf die Bewegungsgleichungen zu kommen, ist es natürlich 08:05.020 --> 08:08.660 so, dass wir die Zwangskräfte und Zwangsmomente zunächst einmal 08:08.660 --> 08:10.200 eliminieren müssen. 08:10.720 --> 08:15.000 Das heißt, wir nehmen uns von den 6 N Gleichungen entsprechend viele 08:15.000 --> 08:20.460 Gleichungen heraus, wie wir Zwangsreaktionen haben, lösen das 08:20.460 --> 08:25.040 zugehörige lineare Gleichungssystem für die Zwangsreaktionen, dann 08:25.040 --> 08:27.820 haben wir die Zwangsreaktionen in Abhängigkeit der verbleibenden 08:27.820 --> 08:30.280 Ableitungen, der Koordinaten usw. 08:30.940 --> 08:37.540 setzen die in den restlichen Gleichungen ein und haben so letztendlich 08:37.540 --> 08:43.100 gerade die Bewegungsgleichungen des Systems, können diese dann durch 08:43.100 --> 08:45.440 numerische Integration im Allgemeinen lösen. 08:48.040 --> 08:52.080 Und wenn wir die gelöst haben, können wir sozusagen rück einsetzen und 08:52.080 --> 08:55.040 auch die Zwangskräfte und Zwangsmomente bestimmen. 08:56.580 --> 09:00.040 Nun zunächst einmal, rein für die Bewegungsgleichungen sind natürlich 09:00.040 --> 09:02.580 die Zwangskräfte und Zwangsmomente nicht interessant. 09:03.360 --> 09:07.780 Für Sie als Maschinenbauer sind sie natürlich durchaus von Belang, 09:09.000 --> 09:12.640 wobei wir wissen, um die Zwangskräfte und Zwangsmomente zu kennen, 09:13.340 --> 09:18.440 müssen wir im Allgemeinen die Bewegungsgleichungen gelöst haben, weil 09:18.440 --> 09:24.660 die Zwangskräfte und Zwangsmomente eben auch von der Bewegung 09:24.660 --> 09:25.120 abhängen. 09:26.040 --> 09:28.700 Als Beispiel habe ich hier mal mitgebracht, Sie kennen es ja aus den 09:28.700 --> 09:36.000 Übungen wahrscheinlich, da haben wir so ein Wägelchen und es wirkt 09:36.000 --> 09:39.100 eine Zwangskraft in seitlicher Richtung, die ist weniger wichtig. 09:40.400 --> 09:44.880 Wir wissen alle, es wirkt eine Zwangskraft von der Führung auf den 09:44.880 --> 09:51.420 Massenpunkt oder auf den Wagen in dem Falle und dass die Kraft von der 09:51.420 --> 09:55.240 Führung auf den Wagen von der Bewegung selbst abhängt, das sehen wir, 09:55.420 --> 09:58.720 ich habe jetzt nicht geübt, aber wenn wir das von hier loslassen, dann 09:58.720 --> 10:06.660 fällt das nämlich runter, also dann wird die Kraft null, wohingegen, 10:06.840 --> 10:08.920 wenn wir das von genügend weit oben loslassen, 10:13.300 --> 10:16.180 dann sehen Sie, dann liegt überall eine Zwangskraft vor. 10:16.700 --> 10:20.020 Und wenn wir jetzt hergehen und stoßen das Wägelchen noch an, dann 10:20.020 --> 10:25.120 sind natürlich die Kräfte aufgrund der nährungsweisen Kreisbewegung 10:25.120 --> 10:26.680 hier noch größer. 10:27.180 --> 10:30.440 Also Zwangskräfte hängen wirklich von der Bewegung ab, das heißt, wenn 10:30.440 --> 10:35.060 Sie irgendwo ein System haben, das Sie bemessen müssen, zum Beispiel 10:35.060 --> 10:39.660 Sie müssen irgendwelche Lager auslegen, dann kann es natürlich 10:39.660 --> 10:43.120 durchaus wichtig sein, welche Bewegungen treten für das System 10:43.120 --> 10:43.840 überhaupt auf. 10:46.080 --> 10:48.680 Also Zwangskräfte für die Bewegungsgleichungen selbst sind die 10:48.680 --> 10:53.500 uninteressant, für Sie als Ingenieure sind die natürlich durchaus von 10:53.500 --> 10:53.840 Belang. 10:54.260 --> 10:55.400 Gibt es soweit Fragen? 11:05.340 --> 11:08.420 Und dann können wir vielleicht noch ergänzend vermerken, 11:11.500 --> 11:20.670 dass Arbeits- und Energiesatz wie bei Massenpunktsystemen weiter 11:20.670 --> 11:35.880 gelten, also Arbeits- und Energiesatz wie bisher. 11:41.670 --> 11:46.570 Und eine weitere wichtige Anwendung sind 11:51.880 --> 11:56.920 auch hier dann letztendlich Stoßvorgänge. 12:04.020 --> 12:10.220 Wir verschieben das weitgehend auf die Übung und betrachten das hier 12:10.220 --> 12:11.080 nur prinzipiell. 12:11.860 --> 12:18.080 Und vorher hatten wir im Grunde genommen Stöße von Massenpunkten, wenn 12:18.080 --> 12:23.920 Sie aber Massenpunkte haben, die gegeneinander stoßen, dann wird 12:23.920 --> 12:28.860 natürlich die Ausdehnung der Körper, die ist vernachlässigt. 12:30.880 --> 12:34.860 Jetzt haben wir Stahlkörper, das heißt die Geometrie des Stoßes wird 12:34.860 --> 12:35.400 noch wichtig. 12:39.340 --> 12:48.490 Also Ausdehnung der Körper für 12:56.860 --> 13:03.640 die Geometrie der Stoßsituation. 13:11.320 --> 13:13.740 Und die Kinetik wichtig, 13:26.540 --> 13:29.600 das heißt im allgemeinen Fall haben wir jetzt einen schiefen 13:29.600 --> 13:30.860 exzentrischen Stoß, 13:44.480 --> 13:49.400 wenn wir mal zwei Körper betrachten. 13:59.750 --> 14:02.330 Ich versuche es mal anzudeuten. 14:03.290 --> 14:13.290 Wir haben den einen Körper, meinetwegen so ein Quader, der jetzt gegen 14:13.290 --> 14:14.830 eine Kugel stößt. 14:22.260 --> 14:30.760 Die Geschwindigkeit der Kugel, die Seite ist schräg nach unten 14:30.760 --> 14:31.380 gerichtet. 14:33.200 --> 14:35.160 VA1, Körper 1 ist die Kugel. 14:36.960 --> 14:40.020 Dann haben wir die Stoßnormale da drin liegen. 14:44.380 --> 14:47.400 Wenn man sieht, in dem Fall geht die Stoßnormale bei der Kugel durch 14:47.400 --> 14:52.860 den Schwerpunkt, aber nicht beim Quader, das heißt der Schwerpunkt S2 14:52.860 --> 14:55.280 liegt zumindest mal außerhalb der Stoßnormalen. 14:56.280 --> 15:08.880 Und die entsprechende Geschwindigkeit von Quader 2, sei in dem Fall 15:08.880 --> 15:18.260 mal VA2, geht im Allgemeinen nicht durch den Schwerpunkt von Körper 1, 15:18.840 --> 15:23.980 sondern liegt eben exzentrisch und schief. 15:25.280 --> 15:30.620 Das heißt zusätzlich haben die Körper vielleicht eine 15:30.620 --> 15:37.460 Winkelgeschwindigkeit vor dem Stoß, Omega A2 bzw. 15:38.700 --> 15:40.020 Omega A1. 15:45.870 --> 15:51.990 Im Stoßpunkt treten dann Stoßkräfte auf, jeweils paarweise. 15:52.990 --> 16:01.650 Auf der einen Seite die Normalkraft und vielleicht je nach Situation 16:01.650 --> 16:04.910 eine Reibungskraft R. 16:06.790 --> 16:12.410 Diese Kräfte treten am Körper 1 genauso auf, allerdings 16:12.410 --> 16:13.930 entgegengesetzt gerichtet. 16:15.810 --> 16:17.710 N und R. 16:23.140 --> 16:39.700 Das heißt bekannt sind die Geschwindigkeiten VA1, VA2 vor dem Stoß, 16:40.380 --> 16:46.900 sowie die Winkelgeschwindigkeiten Omega von 1 in I bzw. 16:47.440 --> 16:55.060 Omega von Körper 2 in I vor dem Stoß, also am Anfang des Stoßes. 16:57.520 --> 17:05.740 Und gesucht sind natürlich die entsprechenden Größen direkt nach dem 17:05.740 --> 17:12.220 Stoß, also die Geschwindigkeit von Körper 1 am Ende des Stoßes, die 17:12.220 --> 17:17.040 Geschwindigkeit von Körper 2 am Ende des Stoßes und die 17:17.040 --> 17:23.800 Winkelgeschwindigkeit Omega 1 in I am Ende des Stoßes bzw. 17:24.700 --> 17:29.880 Omega 2 in I am Ende des Stoßes. 17:31.240 --> 17:32.600 Und wie gehen wir vor? 17:33.720 --> 17:35.240 Im Grunde genommen wie bisher. 17:35.240 --> 17:37.960 Also 17:48.260 --> 17:59.960 Lösungsweg dann im ersten Schritt. 18:01.120 --> 18:02.620 Also erster Schritt. 18:05.620 --> 18:09.260 Da haben wir den Impulssatz und den Trallsatz. 18:14.620 --> 18:20.980 Und wie schon zuvor integrieren wir da über die gesamte Stoßdauer. 18:21.980 --> 18:26.620 Wir nehmen an, die Stoßkräfte sind sehr groß oder die stoßrelevanten 18:26.620 --> 18:30.200 Kräfte, die sind sehr sehr groß, weil die Stoßdauer sehr klein ist. 18:30.200 --> 18:34.340 Das heißt, alle anderen Kräfte wie Gewichtskräfte, Federkräfte usw. 18:34.720 --> 18:38.200 die sind gegenüber den Impulsrelevanten Kräften oder den 18:38.200 --> 18:40.180 stoßrelevanten Kräften vernachlässigbar. 18:42.020 --> 18:48.160 Also das in integraler Form für 18:54.040 --> 18:55.180 die einzelnen Teilkörper. 18:57.560 --> 19:01.160 Wie man sieht, würden wir als Beispiel mal doch so ein ebenes Problem 19:01.160 --> 19:04.020 nehmen, weil es doch ein bisschen einfacher ist. 19:06.080 --> 19:10.740 Dann haben wir die Geschwindigkeiten der beteiligten Körper 19:10.740 --> 19:14.620 beschrieben durch zwei Geschwindigkeitskoordinaten jeweils. 19:15.100 --> 19:17.960 Das sind vier Größen, die unbekannt sind nach dem Stoß. 19:18.360 --> 19:21.960 Dann haben wir die Winkelgeschwindigkeit oder Winkelgeschwindigkeiten, 19:22.620 --> 19:27.640 die in dem Falle dann alle senkrecht auf der Bewegungsebene stehen. 19:27.780 --> 19:30.360 Das heißt, die werden beschrieben durch jeweils eine Koordinate, sind 19:30.360 --> 19:34.240 also insgesamt sechs unbekannte Größen nach dem Stoß. 19:34.240 --> 19:37.600 Vier Geschwindigkeitskoordinaten, zwei Winkelgeschwindigkeiten. 19:40.060 --> 19:44.620 Allerdings sind ja auch die Stoßkräfte und damit auch die Integrale 19:44.620 --> 19:46.180 über die Stoßkräfte unbekannt. 19:47.380 --> 19:50.040 Und wenn wir die Zahl der Gleichungen anschauen, die wir jetzt aus 19:50.040 --> 19:54.320 Impuls und Trallsatz erhalten können, dann sehen wir im ebenen Fall 19:54.320 --> 19:58.620 zwei Gleichungen aus dem Impulssatz, eine Gleichung aus dem Trallsatz. 19:58.620 --> 20:02.600 Also wir erhalten aus Impuls und Trallsatz nur sechs Gleichungen, 20:02.720 --> 20:04.040 haben aber mehr unbekannte. 20:04.460 --> 20:08.720 Das ist wieder eine Situation, wie wir sie schon oft bei Stoßproblemen 20:08.720 --> 20:08.920 hatten. 20:09.280 --> 20:13.200 Wir brauchen irgendwelche zusätzlichen Annahmen oder zusätzliche 20:13.200 --> 20:13.840 Bedingungen. 20:19.020 --> 20:27.060 Also zweiter Schritt, irgendwelche Zusatzgleichungen über 20:33.220 --> 20:37.420 Stoßzahlgleichungen oder 20:45.220 --> 20:48.480 eben über eine Bedingung, dass zum Beispiel der Stoß glatt verlaufe, 20:49.360 --> 20:53.160 was dazu führen würde, dass die Reibkraft in dem Fall verschwindet. 20:53.160 --> 20:58.560 Also wie auch immer, wir brauchen zwei zusätzliche Annahmen und erst 20:58.560 --> 21:01.500 dann können wir im dritten Schritt das Ganze auswerten. 21:14.670 --> 21:16.730 Gibt es soweit Fragen? 21:20.870 --> 21:25.650 Wie gesagt, das lernen Sie am besten anhand der Übungen. 21:29.510 --> 21:34.330 Auf was wir uns jetzt im Folgenden konzentrieren wollen, ist ein neues 21:34.330 --> 21:39.510 Kapitel, was wir im Grunde genommen hier schon vielleicht ein bisschen 21:39.510 --> 21:44.510 motiviert haben, nämlich bevor wir irgendwie an Zwangskräfte und 21:44.510 --> 21:47.810 Zwangsbedingungen denken, müssen wir ja eigentlich die 21:47.810 --> 21:49.570 Bewegungsgleichungen gelöst haben. 21:50.350 --> 21:54.330 Das heißt, wir brauchen zunächst mal die Bewegungsgleichungen und wenn 21:54.330 --> 21:56.870 wir wissen wollen, wie das System sich bewegt, dann interessieren uns 21:56.870 --> 21:59.850 auch die Zwangsreaktionen nicht. 21:59.850 --> 22:05.370 Und wenn wir jetzt gerade mal daran denken, wir haben ein System, was 22:05.370 --> 22:08.330 vielleicht sehr viele Körper hat, die sich bewegen. 22:10.130 --> 22:12.930 Was weiß ich, denken Sie an einen Motor mit einem dranhängenden 22:12.930 --> 22:13.510 Getriebe? 22:18.700 --> 22:23.060 Was ist denn ein, wer weiß, ein Auto mit möglichst vielen Zylindern? 22:24.040 --> 22:26.180 Ich müsste jetzt mal einen Junior fragen, der kann mir das alles 22:26.180 --> 22:27.660 sagen, also ich bin da... 22:27.660 --> 22:31.640 Ein Bugatti, wie viel? 22:32.640 --> 22:34.400 16 Zylinder, gut. 22:35.140 --> 22:38.140 Das heißt, wir haben zunächst mal 16 Zylinder, die sich auf und ab 22:38.140 --> 22:42.840 bewegen, dann haben wir die Koppelwelle, die sich dreht, dann haben 22:42.840 --> 22:46.360 wir das Getriebe, wo sich sehr viele Wellen drehen und was ist 22:46.360 --> 22:47.400 letztendlich der Fall? 22:51.030 --> 22:53.070 Und letztendlich hat man wie viele Freiheitsgrade? 22:56.570 --> 22:58.350 Wie viele Freiheitsgrade hat denn so ein Motor? 22:58.730 --> 23:00.610 16 Zylinder, wer bietet am meisten? 23:15.210 --> 23:16.870 Einen, der bietet wenig, oder? 23:18.210 --> 23:19.190 Und der hat auch noch recht. 23:20.430 --> 23:23.470 Also wenn man es entsprechend modelliert, hängen natürlich die Auf- 23:23.470 --> 23:26.230 und Abbewegungen der Zylinder, die hängen alle mit der Drehung der 23:26.230 --> 23:29.630 Koppelwelle zusammen und auch praktisch das, wenn die Kupplung nicht 23:29.630 --> 23:32.610 gedreht ist, dass was dann im Getriebe passiert, das hängt ja alles 23:32.610 --> 23:34.270 von dem einen Drehfreiheitsgrad ab. 23:34.890 --> 23:37.470 Also wir haben sehr viele beteiligte Körper, aber letztendlich nur 23:37.470 --> 23:42.290 einen Freiheitsgrad, das heißt, wenn wir stupide rangehen und nehmen 23:42.290 --> 23:45.690 wir mal unsere Gleichungen und in dem Getriebe kann sich ja durchaus 23:45.690 --> 23:48.830 was räumlich bewegen, was nicht ganz so trivial ist. 23:50.110 --> 23:54.790 Denken Sie mal an irgendwelche schräg verzahnten Planetengetriebe oder 23:54.790 --> 23:55.410 was weiß ich. 23:56.490 --> 24:03.550 Also das kann durchaus kompliziert sein und letztendlich haben wir 24:03.550 --> 24:10.610 sechs N-Gleichungen und damit sehr viele Zwangsreaktionen, wenn am 24:10.610 --> 24:12.510 Ende eine Gleichung übrig bleiben soll. 24:12.930 --> 24:16.870 Und die Idee, die jetzt aufkommt, ist natürlich, ja, gibt es 24:16.870 --> 24:21.310 vielleicht Methoden, mit denen wir direkt die Bewegungsgleichung in 24:21.310 --> 24:25.630 dem Falle herleiten können, ohne dass wir explizit die 24:25.630 --> 24:30.110 Zwangsbedingungen da überhaupt benötigen und die Zwangsreaktionen. 24:32.050 --> 24:39.350 Und das sind jetzt die Themen, die man dann in der analytischen 24:39.350 --> 24:42.070 Mechanik macht, mit den Prinzipien der Mechanik. 25:11.020 --> 25:19.380 Und zwar bisher hatten wir die Bewegungsgleichungen hergeleitet aus 25:19.380 --> 25:20.160 den Axiomen. 25:41.620 --> 25:45.000 Was jetzt kommt ist, wir wollen die Axiome im Grunde genommen 25:45.000 --> 25:49.320 umformen, sodass wir die Bewegungsgleichungen einfach aus 25:49.320 --> 25:51.300 Energieausdrücken herleiten können. 25:52.200 --> 25:53.620 Also jetzt 25:57.380 --> 26:09.080 Herleitung analytisch aus Energie ausdrücken. 26:24.560 --> 26:29.660 Und dazu zunächst mal das Prinzip von d'Alembert in Lagranger Fassung. 27:05.690 --> 27:09.750 Und wir haben schon gesehen, die Kräfte können wir einteilen in 27:09.750 --> 27:16.830 Zwangskräfte, eingeprägte Kräfte und Dreckheitskräfte, 27:27.310 --> 27:31.910 Zwangskräfte und 27:36.350 --> 27:37.470 Dreckheitskräfte. 27:47.360 --> 27:51.300 Und die Zwangskräfte Fz, 27:54.440 --> 27:58.480 das sind eben Reaktionskräfte von der Umgebung auf einen Massenpunkt. 27:58.480 --> 28:01.720 Und wir nehmen jetzt einfach mal an, wir haben einen Massenpunkt oder 28:01.720 --> 28:04.920 einen Körper, bestens stellen wir uns mal wirklich einen Massenpunkt 28:04.920 --> 28:06.920 vor, ähnlich wie ich den hier habe. 28:08.040 --> 28:13.320 Gerade habe ich mit dem Modell noch gezeigt, dass die Zwangskräfte, 28:13.480 --> 28:17.500 die in dem System auftreten können, von der Bewegung abhängen. 28:18.040 --> 28:23.840 Bei dem Modell sieht man auch relativ schnell, in Bewegungsrichtung, 28:24.740 --> 28:29.620 da kann keine Zwangskraft von der Führung auf den Massenpunkt wirken. 28:31.440 --> 28:33.240 Die Zwangskräfte werden wie stehen? 28:35.380 --> 28:38.200 Und die stehen in dem Fall senkrecht auf der Führung. 28:39.060 --> 28:43.040 Also in dem Fall so schräg nach oben, beziehungsweise irgendwo in der 28:43.040 --> 28:46.140 Ebene, es könnte ja auch sein, dass eine seitliche Zwangskraft 28:46.140 --> 28:46.660 vorliegt. 28:47.460 --> 28:50.100 Dann geht es hier in den Kreis über, dann zieht man die Richtung der 28:50.100 --> 28:53.440 Zwangskraft, die ändert sich natürlich entsprechend, weil die immer 28:53.440 --> 28:56.400 senkrecht auf der Führung stehen muss. 28:58.000 --> 29:01.220 Ich denke, das wird relativ schnell ersichtlich, oder? 29:06.700 --> 29:07.460 Also, 29:10.940 --> 29:12.720 bei einem Massenpunkt, 29:24.190 --> 29:31.930 Zwangskraft senkrecht auf der Bewegung, 29:38.870 --> 29:48.430 oder, ich habe hier wirklich eine Ebene vorliegen, also wenn der 29:48.430 --> 29:53.210 Massenpunkt sich auf einer Ebene zwangsweise bewegen soll, dann wird 29:53.210 --> 29:57.150 unter Umständen eine Kraft wichtig, die senkrecht von der Ebene auf 29:57.150 --> 29:58.210 den Massenpunkt wirkt. 29:59.150 --> 30:01.850 Das können wir natürlich verallgemeinern, die Ebene muss nicht nur 30:01.850 --> 30:05.070 flach sein, das kann mathematisch gesehen eine Ebene sein, die auch 30:05.070 --> 30:06.030 irgendwelche Krümmungen hat. 30:06.690 --> 30:11.890 Und auch dann steht eben die Zwangskraft immer senkrecht lokal auf der 30:11.890 --> 30:12.230 Ebene. 30:20.420 --> 30:25.040 Jetzt führen wir noch den Begriff der virtuellen Verrückung ein. 30:37.640 --> 30:44.180 Das ist eine gedachte infinitesimal kleine Verrückung, welche die 30:44.180 --> 30:54.540 Ebene oder welche die Zwangsbedingung augenblicklich zulässt, also die 30:54.540 --> 30:57.660 mit den Bindungen des Systems verträglich ist. 31:00.160 --> 31:01.320 Virtuelle Verrückung, 31:06.190 --> 31:14.130 infinitesimale Bewegung, mit 31:19.050 --> 31:22.970 den Bindungen des Systems verträglich. 31:46.550 --> 31:52.130 Jetzt haben wir gesehen, dass eine virtuelle Verrückung, Delta R, die 31:52.130 --> 31:56.230 steht senkrecht auf einer Zwangskraft, die auf den Massenpunkt wirkt. 31:56.810 --> 32:05.050 Das heißt, Zwangskraft fz, skalar multipliziert mit Delta R, ist in 32:05.050 --> 32:05.650 dem Falle null. 32:06.370 --> 32:09.810 Das ist jetzt so eine virtuelle Arbeit der Zwangskraft. 32:10.370 --> 32:12.150 Virtuelle Arbeit kennen Sie von der TM1. 32:13.210 --> 32:16.010 Da haben wir also die Kraft, skalar multipliziert mit einer virtuellen 32:16.010 --> 32:19.290 Verrückung und da in dem Falle, die senkrecht aufeinander stehen, 32:20.850 --> 32:23.510 verschwindet die entsprechende virtuelle Arbeit. 32:37.740 --> 32:42.640 Das heißt, wenn wir den Massenpunkt betrachten, dann 32:47.660 --> 32:52.200 können wir aus dem Prinzip von d'Alembert anschreiben, 33:00.220 --> 33:09.000 fe plus fz plus ft gleich null. 33:13.730 --> 33:22.430 ft war minus m mal a oder minus mr2-Punkt. 33:22.890 --> 33:24.170 Wie gesagt, wir haben einen Massenpunkt. 33:28.500 --> 33:32.640 Jetzt multiplizieren wir das ganze Skalar mit Delta R. 33:37.900 --> 33:42.620 Dann sehen wir, null mal Delta R gibt eine skalare Null. 33:45.660 --> 33:47.880 fe mal Delta R. 33:49.580 --> 33:54.900 Dann haben wir hier fz mal Delta R, fz mal Delta R ist aber null. 33:55.780 --> 34:00.920 Dann haben wir noch ft mal Delta R, also letztendlich bleibt übrig 34:07.580 --> 34:15.840 fe plus ft, skalar multipliziert mit der virtuellen Verrückung des 34:15.840 --> 34:26.150 Massenpunktes, gleich null und man sieht, die Zwangskraft tritt in dem 34:26.150 --> 34:27.810 Falle nicht auf. 34:32.600 --> 34:37.820 Jetzt könnte man hergehen und die virtuelle Arbeit der eingeprägten 34:37.820 --> 34:47.160 Kräfte definieren also virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte. 34:52.360 --> 35:05.360 Das wäre Delta we gleich fe, Skalar mit Delta R multipliziert und die 35:05.360 --> 35:07.360 virtuelle Arbeit der Drägheitskräfte. 35:20.490 --> 35:29.930 Dann hätten wir Delta wt als ft, Skalar multipliziert mit Delta R. 35:33.820 --> 35:35.300 Dann sehen wir, entspricht das gerade. 35:36.620 --> 35:39.340 Delta we plus Delta wt gleich null. 36:00.690 --> 36:04.190 Das heißt, die Bewegung verläuft so, dass zu jedem Zeitpunkt die 36:04.190 --> 36:07.870 virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und die virtuelle Arbeit der 36:07.870 --> 36:11.370 Drägheitskräfte sich gegenseitig aufheben. 36:12.770 --> 36:23.050 Jetzt haben wir gesagt, wir suchen eigentlich etwas, wo wir das Ganze 36:23.050 --> 36:29.790 auch für Starkkörpersysteme ein bisschen vereinfachen können. 36:30.570 --> 36:36.130 Nun betrachten wir da zunächst mal den einzelnen Starkkörper. 36:48.270 --> 36:50.450 Also für einen Starkkörper, 36:54.110 --> 36:56.230 wie sieht es da aus? 36:56.710 --> 36:58.830 Und da müssen wir das Ganze ein bisschen modifizieren. 37:01.310 --> 37:06.670 Wir haben dann Translation und Rotation, das heißt, wir müssen uns 37:06.670 --> 37:15.390 dann wieder auf den Schwerpunkt beziehen, haben fe plus ft mal Skalar 37:15.390 --> 37:17.130 multipliziert mit Delta R. 37:18.530 --> 37:21.130 Virtuelle Verrückung des Schwerpunktes. 37:22.950 --> 37:32.590 ft, in dem Fall natürlich minus Masse des Körpers mal, jetzt kommt es 37:32.590 --> 37:34.370 darauf an, Schwerpunktsbeschleunigung. 37:36.130 --> 37:40.790 Also wichtig wieder bei Starkkörpern, wir müssen spezifizieren, die 37:40.790 --> 37:42.490 Beschleunigung welchem Punkt es ist. 37:43.770 --> 37:51.130 Jetzt kommt noch etwas von der Drehung hinzu, also plus eingeprägtes 37:51.130 --> 37:53.470 Moment bezüglich dem Schwerpunkt 37:56.930 --> 37:59.630 plus Drägheitsmoment bezüglich dem Schwerpunkt. 38:00.790 --> 38:08.950 Mal einer virtuellen Winkelverdrehung Delta Phi gleich Null, wobei an 38:08.950 --> 38:11.570 der Stelle man als Studentin oder Student vielleicht ein bisschen 38:11.570 --> 38:16.310 Schwierigkeiten hat, weil es hieß ja eigentlich Winkelverdrehungen, 38:17.070 --> 38:20.410 die haben keine Vektoreigenschaft, jetzt schreiben wir dahin Delta Phi 38:20.410 --> 38:24.590 als Vektor und ich hatte damals schon gesagt, bei infinitesimal 38:24.590 --> 38:27.630 kleinen Winkelverdrehungen, da haben die wieder eine 38:27.630 --> 38:28.310 Vektoreigenschaft. 38:29.630 --> 38:32.010 Ähnlich wie die Winkelgeschwindigkeit. 38:37.580 --> 38:44.860 Und das Drägheitsmoment bezüglich dem Schwerpunkt dann eben in dem 38:44.860 --> 38:51.480 Falle Minus und jetzt steht hier Drägheitsdiode bezüglich dem 38:51.480 --> 39:02.920 Schwerpunkt, Omega Punkt plus eben Omega Kreuz Phi bezüglich S Omega. 39:18.930 --> 39:23.830 Das also, wenn wir einen Schlagkörper haben. 39:28.750 --> 39:34.850 Wenn wir irgendwo einen raumfesten Punkt haben, dann genügt es 39:34.850 --> 39:39.150 natürlich die Drehung, um den raumfesten Punkt zu betrachten. 39:42.370 --> 39:43.250 Also 39:51.150 --> 39:57.780 bei Drehung um festen Punkt O, 40:04.160 --> 40:07.340 dann genügt es mehr oder weniger den Drehanteil, 40:14.500 --> 40:17.740 Zweiter Term schreibe ich mal genügt. 40:21.080 --> 40:26.020 Mit S ersetzt durch den festen Punkt O. 40:27.240 --> 40:31.720 Also letztendlich eingeprägte Momente bezüglich dem Punkt O plus 40:31.720 --> 40:35.100 Drägheitsmomente bezüglich dem Punkt O mal Delta Phi gleich 0. 40:35.560 --> 40:38.720 Und dann müssen wir natürlich beim Drägheitsmoment entsprechend auch 40:38.720 --> 40:42.840 den Drägheitstensor ersetzen durch den Drägheitstensor bezüglich O, 40:43.460 --> 40:46.300 wie wir das im Grunde genommen schon gewohnt sind. 40:49.520 --> 40:55.900 Jetzt ist die Frage, wie sieht es aus, wenn das System mehrere 40:55.900 --> 40:59.400 Freiheitsgrade hat, beziehungsweise wenn mehrere Körper beteiligt 40:59.400 --> 40:59.780 sind. 41:00.780 --> 41:06.160 Und bei mehreren Körpern, da wird es natürlich ein bisschen, 41:08.820 --> 41:11.480 vielleicht von der Anschauung her schwieriger. 41:12.240 --> 41:20.580 Zunächst mal, wenn ich eine gekrümmte Ebene habe, auf der der 41:20.580 --> 41:26.900 Massenpunkt sich bewegt, ganz klar, dann habe ich immer eine Kraft, 41:29.060 --> 41:32.100 die normal auf der Oberfläche steht. 41:36.700 --> 41:38.350 Das wäre in dem Fall die Normalkraft. 41:45.130 --> 41:53.460 Frage, wie sieht es aus, wenn diese Oberfläche mit einer vorgegebenen 41:53.460 --> 41:54.560 Bewegung bewegt wird. 42:05.530 --> 42:08.230 Also wir haben jetzt irgendwie eine Ebene, dringend eine schiefe 42:08.230 --> 42:10.650 Ebene, jetzt haben wir einen Extender dran und die wird immer so 42:10.650 --> 42:11.070 bewegt. 42:12.850 --> 42:15.150 Wie ist dann die Zwangskraft gerichtet? 42:17.850 --> 42:24.210 Nun die ist trotzdem immer senkrecht auf die momentan ausgerichtete 42:24.210 --> 42:24.590 Ebene. 42:25.070 --> 42:28.170 Auch wenn sich die Ausrichtung ändert, dann ändert sich auch praktisch 42:28.170 --> 42:29.250 die Richtung der Zwangskraft. 42:30.570 --> 42:33.710 Weil ja entlang der Ebene nichts übertragen werden kann. 42:34.770 --> 42:36.130 So muss man sich das vorstellen. 42:38.530 --> 42:48.150 Das führt letztendlich dazu, dass man in Gedanken sich vielleicht am 42:48.150 --> 42:55.090 besten merkt, das Ganze wird so durchgeführt, dass alle Uhren still 42:55.090 --> 42:55.330 stehen. 42:55.470 --> 43:00.050 Also wie wenn das System momentan bezüglich der Zeit eingefroren wird. 43:04.300 --> 43:06.760 Jetzt kommen wir aber zu einem anderen Beispiel, nämlich wir nehmen 43:06.760 --> 43:08.160 mal an, wir haben so eine Kurbel. 43:09.540 --> 43:10.600 Die ist hier gelagert. 43:13.620 --> 43:17.280 Die bewegt sich so auf einer Kreisbahn. 43:20.120 --> 43:22.220 Dann haben wir eine Koppelstange 43:28.260 --> 43:32.240 und meinetwegen eine Führungsstange und letztendlich noch einen 43:32.240 --> 43:32.900 Zylinder dran. 43:34.220 --> 43:35.760 Da haben wir irgendwelche Lager. 43:49.050 --> 43:52.090 Und jetzt sehen wir, für so ein System haben wir natürlich nicht nur 43:52.090 --> 43:55.310 eine Zwangskraft, da haben wir sehr viele Zwangskräfte. 43:55.970 --> 44:00.950 Nämlich wir haben Zwangskräfte hier im Lager, deren Richtung wir nicht 44:00.950 --> 44:01.250 kennen. 44:02.910 --> 44:04.410 Allerdings im Lager ist es einfach. 44:04.530 --> 44:04.730 Warum? 44:05.210 --> 44:09.430 Die zugehörige virtuelle Verschiebung vom Lager ist natürlich null. 44:10.490 --> 44:14.030 Also die Zwangskräfte im Lager, die haben keinen Anteil. 44:14.590 --> 44:16.330 Jetzt, wie sieht es aus im Gelenk? 44:17.450 --> 44:19.290 Nun im Gelenk haben wir eine Gelenkkraft. 44:20.910 --> 44:21.550 Das heißt, 44:25.320 --> 44:32.540 wenn ich mal das Teil hier rausgreife, dann wirkt die Gelenkkraft, ich 44:32.540 --> 44:33.160 weiß es nicht. 44:33.560 --> 44:36.540 Wir nehmen mal an, in der Richtung. 44:42.720 --> 44:44.180 Dann haben wir die Koppelstange 44:51.310 --> 44:54.850 und dann haben wir das, was noch drankommt. 44:58.030 --> 44:59.070 Und wir haben die Lager. 44:59.270 --> 45:02.190 Nun bei den Lagern, das ist wieder einfach, da wirkt nur eine 45:02.190 --> 45:05.990 Zwangskraft praktisch senkrecht zur Verschiebung. 45:06.150 --> 45:09.430 Also in dem Fall eine virtuelle Verschiebung von der Stange, die 45:09.430 --> 45:10.390 verläuft horizontal. 45:11.170 --> 45:14.930 Die Zwangskräfte in den Lagern, die sind eben in der Lagerebene, also 45:14.930 --> 45:16.130 die stehen senkrecht drauf. 45:16.130 --> 45:20.490 Die virtuelle Arbeit dieser Zwangskräfte, die ist wirklich Null. 45:22.530 --> 45:25.530 Also hier haben wir Delta W gleich Null. 45:26.150 --> 45:28.890 Da haben wir die zugehörige virtuelle Arbeit gleich Null. 45:33.440 --> 45:37.300 An der Stelle wissen wir natürlich auch nicht, wie die Gelenkkraft 45:37.300 --> 45:37.840 aussieht. 45:38.940 --> 45:43.660 Wir nehmen mal an, die wirkt eine beliebige Richtung. 45:44.320 --> 45:45.460 Das wäre jetzt G2. 45:51.830 --> 45:57.710 Und was wir wissen ist, dass die Gelenkkraft am gegenüberliegenden 45:57.710 --> 46:01.130 Teil genauso groß ist, den gleichen Betrag hat, aber entgegengesetzt 46:01.130 --> 46:01.850 gerichtet ist. 46:02.550 --> 46:09.790 Also haben wir an der Stelle Analog G1 in die entgegengesetzte 46:09.790 --> 46:10.130 Richtung. 46:10.930 --> 46:17.290 An der Stelle haben wir G2. 46:18.410 --> 46:22.550 Jetzt, wie sieht es aus mit den virtuellen Verschiebungen? 46:23.510 --> 46:30.790 Ich habe gesagt, die virtuellen Verschiebungen sind hier Delta R. 46:35.130 --> 46:42.690 Und das Gelenk, wenn sich das ganz allgemein verschiebt, dann haben 46:42.690 --> 46:44.510 wir irgendeine virtuelle Verschiebung. 46:46.510 --> 46:50.610 Für die Konfiguration, die ich angemalt habe, ist die virtuelle 46:50.610 --> 46:54.810 Verschiebung natürlich senkrecht auf die Kurbel. 46:56.730 --> 47:00.550 Wenn wir das mal vernachlässigen, dann nehmen wir an, wir haben eine 47:00.550 --> 47:05.250 Verschiebung Delta R vom Gelenk 1. 47:06.710 --> 47:10.710 Dann aufgrund der Zwangsbedingungen verschiebt sich natürlich der 47:10.710 --> 47:12.270 entsprechende Gelenkpunkt hier. 47:12.270 --> 47:17.290 Genauso um Delta R G1. 47:19.770 --> 47:24.230 Entsprechend, die virtuelle Verschiebung an der Stelle, die ist 47:24.230 --> 47:29.310 aufgrund der Konstruktion eigentlich horizontal gerichtet. 47:30.430 --> 47:33.310 Kann sich ja nur von links nach rechts und umgekehrt bewegen. 47:33.750 --> 47:36.790 Wenn wir mal annehmen, das kennen wir gar nicht, dann haben wir hier 47:36.790 --> 47:42.870 eine virtuelle Verschiebung Delta R vom Gelenk 2. 47:44.130 --> 47:47.230 Der Gelenkpunkt an der Stelle, der muss sich natürlich genauso 47:47.230 --> 47:53.210 verschieben, also der hätte dann Delta R G2 genauso. 47:54.810 --> 48:00.490 Und jetzt sehen wir, die virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte links 48:00.490 --> 48:07.870 und rechts, die sind natürlich nicht null, aber die sind null in der 48:07.870 --> 48:08.190 Summe. 48:08.490 --> 48:08.630 Warum? 48:09.790 --> 48:14.850 Die virtuelle Verschiebung ist gleich gerichtet, die Kräfte haben die 48:14.850 --> 48:19.290 gleiche Richtung, sind aber entgegengesetzt, also richtungsmäßig sind 48:19.290 --> 48:22.370 parallel, sind aber entgegengesetzt gerichtet, sodass die virtuelle 48:22.370 --> 48:26.790 Arbeit der Zwangskraft hier unten gerade das Negative der virtuellen 48:26.790 --> 48:27.750 Arbeit hier oben ist. 48:27.750 --> 48:34.630 Genauso an der Stelle, das heißt, in diesem Fall sind dann die 48:34.630 --> 48:38.190 virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte nicht unbedingt null, aber in der 48:38.190 --> 48:40.010 Summe sind die virtuellen Arbeiten null. 48:40.470 --> 48:44.530 Wir müssen dann also über die einzelnen Systemteile summieren, damit 48:44.530 --> 48:48.550 sich die einzelnen virtuellen Arbeiten wieder der Zwangskräfte 48:48.550 --> 48:49.630 gegenseitig ausheben. 48:51.170 --> 48:54.270 Und wenn wir das machen, dann stellt man eben fest, ja gut, die 48:54.270 --> 48:58.010 virtuelle Arbeit der Zwangskräfte insgesamt ist null, also die 48:58.010 --> 48:59.890 Zwangskräfte brauche ich dann nicht mehr berücksichtigen. 49:10.900 --> 49:12.540 Also 49:18.040 --> 49:40.260 für ein System von Körpern, da ist die Summe der virtuellen Arbeiten 49:42.200 --> 49:46.640 der Zwangskräfte null. 50:08.440 --> 50:15.360 Und wenn ich jetzt praktisch für jeden Massenpunkt die entsprechende 50:15.360 --> 50:20.360 Gleichung anschreibe, wie gesagt, mit der entsprechenden virtuellen 50:20.360 --> 50:28.540 Verschiebung multipliziere, oder auch für den Körper hier, und alles 50:28.540 --> 50:34.240 aufsummiere, dann ist eben in der Summe fallen die Zwangskräfte raus 50:34.240 --> 50:38.980 und letztendlich, je nach Zahl der Freiheitsgrade, kann ich die 50:38.980 --> 50:42.240 virtuellen Verschiebungen der einzelnen Massenpunkte, siehe 16 50:42.240 --> 50:47.400 Zylinder, die kann ich eben ausdrücken über eine einzige virtuelle 50:47.400 --> 50:47.940 Verschiebung. 50:49.420 --> 50:51.500 Ähnlich wie Sie das in der Theme 1 gemacht haben. 50:52.940 --> 51:01.730 Dann schreibe ich das an und zum Schluss bleibt dann noch übrig 51:01.730 --> 51:09.430 irgendwas, mal virtuelle Änderungen von dem Winkel oder von der 51:09.430 --> 51:14.470 Koordinate, ich nenne das einfach mal Delta Q, das sei der 51:14.470 --> 51:19.790 Freiheitsgrad, wenn das System einen Freiheitsgrad hat, wenn das 51:19.790 --> 51:26.690 System mehrere Freiheitsgrade hat, dann können wir das aufsplitten in 51:26.690 --> 51:42.780 Q1, Q2 bis Qn gleich 0, das ist also das, was über die virtuellen 51:42.780 --> 51:43.840 Arbeiten herauskommt. 51:44.460 --> 51:59.720 Und jetzt kommt derselbe Schluss wie bei Theme 1, wenn die virtuellen 51:59.720 --> 52:04.260 Änderungen der Koordinaten, die wir als Freiheitsgrade wählen, wenn 52:04.260 --> 52:10.060 die beliebig sind, infinitesimal klein, aber von 0 verschieden, dann 52:10.060 --> 52:16.940 kann in der Summe das nur 0 ergeben, wenn jede einzelne Klammer für 52:16.940 --> 52:17.560 sich 0 wird. 52:19.380 --> 52:31.100 Also letztendlich müsste das dann 0 sein, das müsste 0 sein, wenn 52:31.100 --> 52:33.180 praktisch die Delta Qs unabhängig sind. 52:33.180 --> 52:39.480 Und auch das letzte, gleich 0, man sieht, je nachdem, wie viel 52:39.480 --> 52:45.100 Freiheitsgrade ich habe, habe ich eine bestimmte Anzahl von 52:45.100 --> 52:48.440 Gleichungen und in den Gleichungen treten jetzt wirklich die 52:48.440 --> 52:50.820 Zwangskräfte nicht mehr explizit auf. 52:52.160 --> 52:55.300 Und ganz besonders einfach wird es natürlich wirklich, wenn ich alle 52:55.300 --> 52:57.740 virtuellen Verschiebungen und Winkelverdrehungen usw. 52:58.280 --> 53:02.520 in Abhängigkeit von einer Koordinate ausdrücken kann, dann bleibt ihr 53:02.520 --> 53:06.340 praktisch nur das hier vorne, das hier hinten tritt gar nicht auf und 53:06.340 --> 53:09.740 dann hat man direkt die eine Bewegungsgleichung hergeleitet. 53:11.200 --> 53:13.120 Gibt es soweit Fragen? 53:34.040 --> 53:39.920 Also wenn Haften vorliegt, ist die Reibkraft eine Zwangskraft. 53:41.400 --> 53:46.060 Wenn Gleiten vorliegt, ist die Reibkraft eine eingeprägte Kraft. 53:59.110 --> 54:01.650 Ja gut, die entsprechende Verschiebung an der Stelle ist aber 0. 54:02.970 --> 54:06.330 Die natürliche Verrückung, wenn es haftet, haftet es. 54:32.620 --> 54:35.120 Vielleicht noch ein kleiner Hinweis, während ich hier die Tafel 54:35.120 --> 54:40.480 wische, wir müssen demnächst wieder evaluieren und ich glaube, ich 54:40.480 --> 54:44.880 muss das vorher bekannt geben, ich gebe also bekannt, wenn ich das 54:44.880 --> 54:48.040 nächste Mal dran denke, dann bringe ich die Evaluierungsbögen mit, 54:48.740 --> 54:52.840 wenn ich nicht dran denke, dann bringe ich sie wahrscheinlich nicht 54:52.840 --> 54:53.100 mit. 55:11.240 --> 55:15.160 Sie haben ja gesehen, wir haben das geschickt gemacht, wir haben 55:15.160 --> 55:18.860 Trägheitskräfte und Trägheitsmomente eingeführt und konnten die volle 55:18.860 --> 55:22.100 Statik anwenden, was die Studenten ja lieben, oder? 55:23.180 --> 55:23.720 Ganz ehrlich. 57:00.220 --> 57:07.100 Das, was ich jetzt als Zwischending bringe, das hängt jetzt vielleicht 57:07.100 --> 57:13.460 nicht unbedingt mit den analytischen Methoden der Dynamik zusammen, 57:13.460 --> 57:21.880 aber wenn es später die Lagrange-Gleichung in zweiter Art gibt, dann 57:21.880 --> 57:24.980 kommt immer so die Frage auf, ja, gibt es dann auch noch Lagrange 57:24.980 --> 57:26.120 -Gleichung in erster Art? 57:26.860 --> 57:31.200 Das ist das, was wir jetzt mal kurz machen. 57:53.190 --> 57:56.090 Und wenn wir mal einen freien Massenpunkt haben, 57:59.770 --> 58:05.650 ohne irgendwelche Zwangsbedingungen oder Zwangskräfte, dann wissen 58:05.650 --> 58:16.790 wir, eingeprägte Kräfte plus Trägheitskräfte muss dann Null ergeben. 58:20.860 --> 58:24.720 Wenn jetzt zusätzlich eine 58:27.910 --> 58:29.690 Zwangsbedingung erfüllt sein soll, 58:35.620 --> 58:42.280 zum Beispiel, dass der Massenpunkt sich auf einer Ebene bewegt, dann 58:42.280 --> 58:49.820 kann die vorgegeben werden in der Form phi von x, y, z und im 58:49.820 --> 58:52.020 Allgemeinen könnte man vielleicht noch die Zeit reinschreiben, mache 58:52.020 --> 58:54.760 ich jetzt mal nicht, gleich Null. 58:56.880 --> 59:01.280 Und wir müssen eine Zwangskraft einführen, damit der Massenpunkt 59:01.280 --> 59:03.040 wirklich auf der Ebene bleibt. 59:06.460 --> 59:09.800 Also, das führt zu einer Zwangskraft. 59:29.580 --> 59:35.300 Das heißt, jetzt haben wir eingeprägte Kräfte plus die Zwangskraft 59:35.300 --> 59:41.080 plus Trägheitskraft gleich Null. 59:42.320 --> 59:46.780 Wir wissen, die Zwangskraft, die steht senkrecht auf der Ebene. 59:48.120 --> 59:52.160 Nun, ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht, wie können wir 59:52.160 --> 59:53.280 den mathematisch bilden? 01:00:03.010 --> 01:00:04.210 Welcher Operator? 01:00:04.410 --> 01:00:05.930 Nun, Gradient von phi. 01:00:06.930 --> 01:00:11.850 Gradient macht aus der skalaren Größe einen Vektor, also Gradient phi 01:00:20.700 --> 01:00:34.780 ist dann d phi nach d x mal e x plus d phi nach d z mal e z plus d phi 01:00:34.780 --> 01:00:45.140 nach d z mal, hier muss y sein, Entschuldigung, y, hier haben wir d 01:00:45.140 --> 01:00:48.920 phi nach d z, d phi nach d z. 01:00:50.910 --> 01:00:57.460 Nun, wir sehen aus phi von x, y und z, 01:01:03.080 --> 01:01:28.700 beziehungsweise d x, e x plus d y, e y plus d z, e z, das ist gerade d 01:01:28.700 --> 01:01:35.080 r, eine beliebige Verschiebung zum Differenzial. 01:01:39.640 --> 01:01:40.880 Und jetzt sehen wir, 01:01:45.120 --> 01:01:52.200 aus phi von x, y und z gleich Null, folgt aber, wenn wir das total 01:01:52.200 --> 01:02:07.080 ableiten nach der Zeit, d phi nach d x mal d x plus d phi nach d y, d 01:02:07.080 --> 01:02:21.400 y plus d phi nach d z, d z, das ist das d phi, das ist Null, weil der 01:02:21.400 --> 01:02:23.020 phi von x, y und z Null ist. 01:02:25.360 --> 01:02:31.840 Wenn wir jetzt mal vergleichen, dann sehen wir, wenn ich d r mit 01:02:31.840 --> 01:02:37.220 Gradient phi multipliziere, dann erhalte ich gerade das, was ich hier 01:02:37.220 --> 01:02:43.880 angeschrieben habe, also das entspricht auch d r, Skala multipliziert 01:02:43.880 --> 01:02:53.740 mit Gradient phi, das hier, also den Gradienten multipliziert mit d r, 01:02:53.860 --> 01:02:58.620 gibt d phi nach d x mal d x plus d phi nach d y mal d y plus d phi 01:02:58.620 --> 01:03:05.120 nach d z, d z, sodass also wirklich Gradient phi und d r senkrecht 01:03:05.120 --> 01:03:05.840 zueinander stehen. 01:03:08.760 --> 01:03:18.240 Das heißt, letztendlich kann ich jetzt die Zwangskraft schreiben als 01:03:18.240 --> 01:03:25.660 ein Vielfaches von Gradient phi und den Faktor, den nenne ich einfach 01:03:25.660 --> 01:03:26.460 mal Lambda. 01:03:28.140 --> 01:03:30.580 Und wenn man das ein bisschen verallgemeinert, dann spielt das 01:03:30.580 --> 01:03:34.320 durchaus auch in der analytischen Mechanik eine Rolle. 01:03:35.040 --> 01:03:38.560 Das sind dann die sogenannten Lagrange-Multiplikatoren. 01:03:38.740 --> 01:03:40.620 Das sagt Ihnen jetzt wahrscheinlich nichts. 01:03:41.320 --> 01:03:46.380 Wenn Sie irgendwann mal den Begriff hören, dann denken Sie vielleicht 01:03:46.380 --> 01:03:51.300 an den Seemann zurück, wie er sich damals in TM4 abgemüht hat, das den 01:03:51.300 --> 01:03:53.200 Studenten ein bisschen schmackhaft zu machen. 01:03:55.460 --> 01:03:56.060 Naja, 01:04:00.260 --> 01:04:01.100 Sie lachen jetzt. 01:04:03.840 --> 01:04:05.200 Warum lachen Sie da? 01:04:08.630 --> 01:04:09.270 Wo? 01:04:10.850 --> 01:04:11.970 In HM3? 01:04:13.190 --> 01:04:14.750 Bei der Variationsrechnung? 01:04:21.470 --> 01:04:23.670 Die Variationsrechnung, sagt Ihnen die was? 01:04:25.450 --> 01:04:25.910 Nein. 01:04:28.670 --> 01:04:34.410 Das ist wieder typisch, Sie sind ja Bachelor, aber so typisch 01:04:34.410 --> 01:04:38.310 ingenieurmäßig, man macht im Prinzip irgendwas, ohne zu wissen, was 01:04:38.310 --> 01:04:38.790 man macht. 01:04:39.750 --> 01:04:44.150 Wenn Sie mal Variationsrechnung anschauen, da werden sehr oft, meine 01:04:44.150 --> 01:04:47.990 Frau sagt immer, das sind so kryptische Zeichen, was wir verwenden, da 01:04:47.990 --> 01:04:50.290 gibt es dann solche Dinge wie das Delta-Zeichen. 01:04:53.650 --> 01:04:57.530 Das ist so eine, wir sagen ja eine virtuelle Änderung oder eine 01:04:57.530 --> 01:05:01.270 gedachte Änderung von der Koordinate oder eine virtuelle Verschiebung. 01:05:01.930 --> 01:05:03.970 Das könnte man auch eine Variation nennen. 01:05:05.090 --> 01:05:10.050 Das Schicke ist, das, was Sie alles kennen, das ist, ich habe eine 01:05:10.050 --> 01:05:15.590 Funktion und habe irgendwo das x und das y, jetzt ändere ich das y ein 01:05:15.590 --> 01:05:16.450 bisschen, das gibt dann dy. 01:05:18.770 --> 01:05:21.370 Das kennen Sie wahrscheinlich alle und dann suchen Sie irgendwo ein 01:05:21.370 --> 01:05:26.390 Minimum, in dem man sagt, na gut, dy nach dx muss dort 0 sein, 01:05:26.470 --> 01:05:26.670 richtig? 01:05:30.230 --> 01:05:35.090 Bei der Variationsrechnung macht man etwas Ähnliches, nur mit ganzen 01:05:35.090 --> 01:05:35.360 Funktionen. 01:05:38.450 --> 01:05:42.230 Wenn man das so am Anfang mal hört, ein bisschen verwirrend, muss ich 01:05:42.230 --> 01:05:46.570 glaube ich gestehen, aber ein Beispiel ist, ich habe jetzt schon mal 01:05:46.570 --> 01:05:48.970 ein ähnliches Modell hier stehen. 01:05:50.370 --> 01:05:56.250 Sie wollen von A nach B kommen und das möglichst schnell. 01:05:56.250 --> 01:05:58.230 Haben wir eigentlich Blondinen hier? 01:06:03.510 --> 01:06:05.510 Dann darf ich den Witz nicht erzählen. 01:06:12.860 --> 01:06:15.580 Müssen wir uns hart an die Variationsrechnung halten. 01:06:16.160 --> 01:06:20.920 Also, Trick ist der, ich habe einen Massenpunkt, der startet hier und 01:06:20.920 --> 01:06:24.620 wird beschleunigt nur durch die Erdanziehung. 01:06:25.240 --> 01:06:27.640 Kennen wir alle, es gilt an der Energie, wenn keine Reibung gilt. 01:06:28.800 --> 01:06:33.920 Und jetzt ist die Frage, wie muss die Bahn sein, damit der Massenpunkt 01:06:33.920 --> 01:06:36.300 möglichst schnell von hier nach hier kommt. 01:06:40.600 --> 01:06:43.900 Das kann man sich vorstellen, ganz doof wäre es natürlich, wenn wir 01:06:43.900 --> 01:06:47.900 den hier oben ganz langsam kullern lassen und dann fällt er hinten 01:06:47.900 --> 01:06:48.220 runter. 01:06:48.360 --> 01:06:50.960 Dann wird er zwar hier schnell, aber da braucht er unheimlich lang. 01:06:53.280 --> 01:06:59.180 Wenn wir den auf direktem Weg runterschicken, na gut, dann ist der Weg 01:06:59.180 --> 01:07:00.000 ziemlich kurz. 01:07:00.160 --> 01:07:04.460 Aber die Frage ist, wenn ich den zuerst mal praktisch möglichst 01:07:04.460 --> 01:07:07.820 schnell runterlasse, hier, dann gewinnt er relativ schnell 01:07:07.820 --> 01:07:11.960 Geschwindigkeit und kann vielleicht unten das wieder wegmachen. 01:07:13.220 --> 01:07:17.660 Und jetzt ist die Frage, was ist dann letztendlich die Funktion, bei 01:07:17.660 --> 01:07:19.640 der die Zeit minimal wird. 01:07:20.600 --> 01:07:23.340 Das ist so ein typisches Problem von einer Variationsaufgabe. 01:07:25.200 --> 01:07:31.600 Und die Rätselslösung ist natürlich die, auch wenn der gerade Weg von 01:07:31.600 --> 01:07:37.780 hier nach hier, sozusagen die Luftlinie, der kürzeste Weg ist, der 01:07:37.780 --> 01:07:40.040 schnellste Weg ist nicht unbedingt. 01:07:40.720 --> 01:07:42.780 Es wird also so ein bisschen gebogen. 01:07:44.480 --> 01:07:46.480 Jetzt muss ich vielleicht doch den Blondinenwitz erzählen, oder? 01:07:48.600 --> 01:07:51.860 Verzeihen es mir die blond aussehenden Ausnahmen, die hier sitzen. 01:07:54.600 --> 01:07:58.700 Zwei Blondinen unterhalten sich ja von hier bis zur nächsten Stadt. 01:07:59.120 --> 01:07:59.880 Wie weit ist da noch? 01:08:00.020 --> 01:08:03.820 Ach, Luftlinie sind es 20 Kilometer, meint der eine, und dann sagt der 01:08:03.820 --> 01:08:06.280 andere, ach, macht nichts, vielleicht gibt es eine Abkürzung. 01:08:14.720 --> 01:08:18.360 Da muss ich leider immer dran denken, wenn ich das Beispiel hier 01:08:18.360 --> 01:08:18.660 bringe. 01:08:20.960 --> 01:08:21.680 So. 01:08:24.320 --> 01:08:30.740 Das heißt, für unseren Massenpunkt können wir jetzt die drei 01:08:30.740 --> 01:08:33.700 Gleichungen, die Skalaren, entsprechend aufstellen. 01:08:35.620 --> 01:08:37.500 Vielleicht zunächst mal vektoriell. 01:08:37.960 --> 01:08:42.160 Wir haben eingeprägte Kraft, Fe, plus Zwangskraft, das war Lambda, 01:08:42.360 --> 01:08:49.540 Gradient V, plus Dreckheizkraft, FT, gleich Null. 01:08:52.580 --> 01:09:03.640 Das heißt, Fex plus Lambda, und die X-Koordinate von Gradient V war 01:09:03.640 --> 01:09:13.220 gerade dV nach dx, plus, ich mache mal Minus gleich draus, jetzt 01:09:13.220 --> 01:09:18.100 müssen wir Plus Minus schreiben, also minus MX2-Punkt gleich Null. 01:09:19.460 --> 01:09:26.960 Wir haben FeY plus Lambda, dV nach dy, das ist nämlich die Y 01:09:26.960 --> 01:09:34.460 -Koordinate von Gradient V, Minus My2-Punkt gleich Null, und wir haben 01:09:34.460 --> 01:09:45.500 FeZ plus Lambda, dV nach dz, Minus Mz2-Punkt gleich Null. 01:09:50.420 --> 01:09:54.340 Das heißt, wenn wir unsere Unbekannten mal an der Stelle zählen, dann 01:09:54.340 --> 01:09:57.780 haben wir zunächst mal die drei Koordinaten X, Y und Z. 01:09:58.620 --> 01:10:01.980 Wir haben leider noch als Unbekannte natürlich das Lambda drin stehen, 01:10:02.120 --> 01:10:04.920 also wir haben vier Unbekannte, aber nur drei Gleichungen. 01:10:05.400 --> 01:10:06.700 Frage, wie lösen wir das Problem? 01:10:12.100 --> 01:10:15.120 Nun, wir haben ja im Grunde genommen noch eine vierte Gleichung, 01:10:15.240 --> 01:10:21.620 nämlich links haben wir als Zwangsbedingung V von X, Y und Z muss Null 01:10:21.620 --> 01:10:21.880 sein. 01:10:22.740 --> 01:10:25.680 Also wir haben wirklich vier Gleichungen für vier Unbekannte, müssen 01:10:25.680 --> 01:10:28.880 das nur entsprechend ummodeln. 01:10:30.080 --> 01:10:39.540 Und vielleicht als Anmerkung, wenn zwei Zwangsbedingungen wirken, 01:10:44.880 --> 01:10:56.280 dann haben wir V1 von X, Y und Z gleich Null, und V2 von X, Y und Z 01:10:56.280 --> 01:10:57.720 gleich Null. 01:11:01.280 --> 01:11:06.180 Und dementsprechend dann als Gleichung, 01:11:09.680 --> 01:11:15.540 beziehungsweise als Zwangskraftanteile Lambda Gradient V1 und andere 01:11:15.540 --> 01:11:19.320 Zwangsbedingungen Lambda mal Gradient V2, wobei die Lambda-Werte sich 01:11:19.320 --> 01:11:20.500 dann unterscheiden können. 01:11:21.000 --> 01:11:25.060 Das heißt, wir müssen letztendlich für den Fall schreiben, eingeprägte 01:11:25.060 --> 01:11:37.040 Kräfte plus Lambda 1, Gradient V1 plus Lambda 2, Gradient V2 plus 01:11:37.040 --> 01:11:39.440 Trägheitskraft FT gleich Null. 01:11:42.380 --> 01:11:45.640 Da sehen wir, wenn wir das in der skalaren Weise schreiben würden, 01:11:45.760 --> 01:11:49.340 hätten wir jetzt drei Gleichungen und fünf Unbekannte, nämlich X, Y 01:11:49.340 --> 01:11:51.740 und Z, Lambda 1 und Lambda 2. 01:11:51.740 --> 01:11:57.480 Aber wir haben ja zusätzlich noch zwei Zwangsbedingungen, also zwei 01:11:57.480 --> 01:11:57.960 Gleichungen. 01:11:58.840 --> 01:12:01.220 Also auch das lässt sich dann entsprechend lösen. 01:12:03.080 --> 01:12:04.760 Machen wir mal gerade ein Beispiel dazu, 01:12:08.850 --> 01:12:11.730 nämlich einen Massenpunkt auf einer schiefen Ebene. 01:12:21.170 --> 01:12:23.530 Wir betrachten das Problem in der XZ-Ebene. 01:12:29.720 --> 01:12:35.700 Wir haben eine abfallende schiefe Ebene, mit Winkel Alpha. 01:12:41.110 --> 01:12:47.010 Der Massenpunkt bewegt sich auf der Ebene, 01:12:53.340 --> 01:12:56.100 ist über eine Feder noch horizontal gehalten, 01:13:00.590 --> 01:13:05.470 also die bewegt sich hier irgendwo vertikal, die Feder, mit dem 01:13:05.470 --> 01:13:08.610 Massenpunkt, Federkonstante C. 01:13:11.950 --> 01:13:18.050 Hier oben haben wir die Koordinate Z gleich A 01:13:22.260 --> 01:13:26.780 und wir haben vertikal nach unten wirkend die Gewichtskraft. 01:13:29.600 --> 01:13:40.100 Das heißt, in dem Falle haben wir eine Zwangsbedingung, V von X und Z, 01:13:40.220 --> 01:13:43.740 das Y tritt nicht auf, das spielt also keine Rolle. 01:13:45.840 --> 01:14:00.570 Z gleich 0 in der Form Z minus A plus X Tangents Alpha, 01:14:06.250 --> 01:14:17.050 also für X gleich 0, da sehen Sie, da ist Z gleich A und für, 01:14:21.220 --> 01:14:33.300 Moment, Z ist 0 für, jetzt müssen wir es nochmal einsetzen, Steigung 01:14:33.300 --> 01:14:34.620 war Tangents Alpha, genau. 01:14:35.920 --> 01:14:39.880 Also X mal Tangents, oder minus Tangents Alpha war die Steigung, wenn 01:14:39.880 --> 01:14:43.120 wir das aber auf die eine Seite bringen, ergibt sich gerade die Form 01:14:43.120 --> 01:14:44.420 der Zwangsbedingung. 01:14:45.960 --> 01:14:50.180 Und jetzt stellen wir die skalaren Gleichungen auf für X und Z. 01:14:51.180 --> 01:14:57.220 Da haben wir zunächst mal FEX, die eingeprägten Kräfte in X-Richtung, 01:14:57.300 --> 01:15:01.440 das sieht man, das ist die Federkraft, die Feder soll entspannt sein, 01:15:03.940 --> 01:15:10.280 für X gleich 0, die Feder zieht in negative X-Richtung, deshalb minus 01:15:10.280 --> 01:15:13.800 C mal X, das ist die eingeprägte Kraft in X-Richtung. 01:15:15.230 --> 01:15:18.140 Dann haben wir plus Lambda, 01:15:21.340 --> 01:15:25.220 d phi nach dx, das ist gerade Tangents Alpha, 01:15:31.160 --> 01:15:36.720 minus MX2-Punkt gleich 0. 01:15:38.160 --> 01:15:43.180 Als zweite Gleichung dann die Gleichung in Z-Richtung, eingeprägte 01:15:43.180 --> 01:15:50.680 Kraft in Z-Richtung, das ist die Gewichtskraft, also minus MLG, dann 01:15:50.680 --> 01:15:58.320 haben wir plus Lambda mal d phi nach dz, also plus Lambda, d phi nach 01:15:58.320 --> 01:16:08.700 dz ist gerade 1, also mal 1, minus MZ2-Punkt gleich 0. 01:16:12.280 --> 01:16:13.760 Das war's dann auch. 01:16:14.500 --> 01:16:16.980 Das heißt, jetzt müssen wir das Ganze noch auswerten. 01:16:19.320 --> 01:16:22.260 Zunächst mal aus der zweiten Gleichung können wir das Lambda 01:16:22.260 --> 01:16:28.720 bestimmen, also Lambda ist MZ2-Punkt plus MLG, 01:16:32.890 --> 01:16:38.990 setzen das in die erste Gleichung ein, dann haben wir also minus CX, 01:16:45.300 --> 01:16:54.820 plus Lambda mal Tangents Alpha, also plus MZ2-Punkt Tangents Alpha, 01:16:55.900 --> 01:16:59.860 plus MG mal Tangents Alpha, 01:17:05.960 --> 01:17:08.200 minus MX2-Punkt gleich 0. 01:17:22.760 --> 01:17:26.740 Das heißt, jetzt haben wir eine Bewegungsgleichung, aber die ist 01:17:26.740 --> 01:17:28.220 natürlich unschön, warum? 01:17:28.880 --> 01:17:32.660 Da steht jetzt irgendwas mit X drin, da steht aber auch noch die 01:17:32.660 --> 01:17:33.900 Koordinate Z drin. 01:17:34.900 --> 01:17:36.500 Wie können wir denn die eliminieren? 01:17:38.900 --> 01:17:43.360 Ganz einfach, da benutzen wir wieder unsere Zwangsbedingungen. 01:17:50.460 --> 01:18:04.260 Wir wissen, Z gleich A minus Tangents Alpha mal X, was wir jetzt 01:18:04.260 --> 01:18:08.760 brauchen ist das Z2-Punkt als Funktion von X, beziehungsweise 01:18:08.760 --> 01:18:12.640 Ableitungen von X, dann haben wir Z2-Punkt ist, beim Ableiten fällt 01:18:12.640 --> 01:18:21.180 das weg, minus Tangents Alpha mal X2-Punkt, setzen das unten ein, dann 01:18:21.180 --> 01:18:35.930 erhalten wir minus CX minus MC2-Punkt Tangents Quadrat Alpha plus MG 01:18:35.930 --> 01:18:49.580 Tangents Alpha minus MX2-Punkt gleich 0 Oder, 01:18:52.940 --> 01:18:56.000 das muss x2 Punkt heißen, 01:18:59.260 --> 01:19:08.580 also z, da fehlt noch das m, also minus m x2 Punkt Tangensquadrat 01:19:08.580 --> 01:19:09.520 Alpha, das war hier, 01:19:14.150 --> 01:19:19.130 bringen wir cx minus m x2 Punkt Tangensquadrat Alpha und das minus m 01:19:19.130 --> 01:19:27.890 x2 Punkt nach rechts vertauschen, dann erhalten wir m mal 1 plus 01:19:27.890 --> 01:19:36.530 Tangensquadrat Alpha mal x2 Punkt plus 01:19:44.810 --> 01:19:46.370 c mal x 01:19:51.380 --> 01:20:00.220 gleich m mal g mal Tangensalpha. 01:20:00.220 --> 01:20:03.900 Und jetzt könnte man das 1 plus Tangensquadrat Alpha noch umformen, 01:20:03.980 --> 01:20:08.100 das gibt nämlich im Zähler Sinusquadrat plus Kosinusquadrat, es gibt 01:20:08.100 --> 01:20:15.840 gerade 1, dividiert durch Kosinusquadrat, also letztendlich eine 01:20:15.840 --> 01:20:28.640 Gleichung m mal x2 Punkt plus c mal x mal Kosinusquadrat Alpha gleich 01:20:28.640 --> 01:20:32.440 MLG mal Sinus-Alpha-Cosinus-Alpha. 01:20:45.160 --> 01:20:47.000 Gibt es hierzu noch Fragen? 01:20:51.340 --> 01:20:55.420 Also wie gesagt, man rechnet ganz formal mit allen Koordinaten weiter, 01:20:55.580 --> 01:21:00.080 berücksichtigt dann die Zwangsbedingungen über entsprechende 01:21:00.080 --> 01:21:04.120 Zwangskräfte, die man über, ich sage mal, Lagrange-Multiplikatoren ins 01:21:04.120 --> 01:21:09.280 Spiel bringt, und muss dann nur aufpassen, wie man das Ganze wieder 01:21:09.280 --> 01:21:11.440 entsprechend eliminieren kann. 01:21:17.390 --> 01:21:22.350 So, damit kommen wir zu den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art 01:21:36.680 --> 01:21:41.000 und führen dazu zunächst mal in generalisierte Koordinaten und Kräfte 01:21:41.000 --> 01:21:41.460 ein. 01:22:08.330 --> 01:22:14.710 Und die generalisierten Koordinaten, die heißen generalisiert, weil 01:22:14.710 --> 01:22:20.610 das können sowohl irgendwelche Translationskoordinaten sein, als auch 01:22:20.610 --> 01:22:25.290 Winkelkoordinaten, eventuell sogar Kombinationen aus beidem, wobei 01:22:25.290 --> 01:22:27.210 natürlich dimensionsmäßig das stimmen muss. 01:22:28.210 --> 01:22:46.180 Also generalisierte Koordinaten, das sind unabhängige Lagekoordinaten, 01:22:49.260 --> 01:23:03.100 nennen wir die mal Qi, E gleich 1 bis N, mit denen wir die Systemlage 01:23:03.100 --> 01:23:13.040 beschreiben können, also zur Beschreibung der Systemlage, 01:23:28.970 --> 01:23:33.910 und wenn man es ganz allgemein auffasst, dann könnte man die 01:23:33.910 --> 01:23:38.490 generalisierten Koordinaten so einführen, dass auch für die zusätzlich 01:23:38.490 --> 01:23:40.670 noch Zwangsbedingungen gelten müssen. 01:23:41.670 --> 01:23:46.130 Wir führen an der Stelle die generalisierten Koordinaten so ein, dass 01:23:46.130 --> 01:23:51.610 mit denen schon alle Zwangsbedingungen, und wir beschränken uns mal 01:23:51.610 --> 01:23:55.490 auf holonome Zwangsbedingungen, die wirklich auf Koordinatenebene 01:23:55.490 --> 01:23:59.970 vorliegen, dass die erfüllt sind, das heißt, im Grunde genommen haben 01:23:59.970 --> 01:24:05.070 wir Minimalkoordinaten, weil man mindestens so viele Koordinaten 01:24:05.070 --> 01:24:08.090 braucht, um die Lage des Systems zu beschreiben, das sind die Zahlen 01:24:08.090 --> 01:24:19.430 der unabhängigen Koordinaten, also hier N gleich Zahl der 01:24:19.430 --> 01:24:26.830 Freiheitsgrade, das heißt, wir haben Minimalkoordinaten vorliegen, 01:24:37.490 --> 01:24:42.550 wobei wir grundsätzlich mal zwei Fälle unterscheiden müssen, 01:24:52.960 --> 01:25:03.720 nämlich erstens, die Ortsvektoren zu Massenpunkten oder zu 01:25:03.720 --> 01:25:08.320 irgendwelchen Punkten des Systems, die hängen jetzt ab, nur von den 01:25:08.320 --> 01:25:17.640 generalisierten Koordinaten, also von Q1 bis Qn, nicht aber explizit 01:25:17.640 --> 01:25:27.900 von der Zeit, und im zweiten Fall, da können die noch von der Zeit 01:25:27.900 --> 01:25:34.900 abhängen, also hängen die dann ab von Q1 bis Qn und zusätzlich von der 01:25:34.900 --> 01:25:36.380 Zeit T. 01:25:38.100 --> 01:25:43.440 Zum Beispiel bei bewegten Führungen. 01:26:03.150 --> 01:26:08.370 Und als Beispiel, das fange ich gerade mal noch rechts an, nehmen wir 01:26:08.370 --> 01:26:14.670 einfach ein elastisch aufgehängtes Pendel, 01:26:49.300 --> 01:26:54.200 ein Pendel, ein mathematisches Pendel, was elastisch aufgehängt ist, 01:26:54.360 --> 01:27:07.590 also erstens, Fußpunkt elastisch befestigt, 01:27:17.610 --> 01:27:19.470 das heißt, in der Ausgangslage, 01:27:25.350 --> 01:27:27.590 da haben wir so eine Feder, 01:27:30.690 --> 01:27:33.190 dann haben wir im Grunde genommen eine Führung, 01:27:43.930 --> 01:27:52.170 haben hier in der Ausgangslage, wenn die Feder entspannt ist, x und z 01:27:52.170 --> 01:27:58.490 als Koordinaten und dementsprechend vertikal nach unten hängend das 01:27:58.490 --> 01:28:01.410 Pendel der Länge L. 01:28:04.270 --> 01:28:05.730 In der allgemeinen Lage, 01:28:09.180 --> 01:28:12.180 da haben wir jetzt die Feder ein bisschen verlängert, 01:28:19.140 --> 01:28:27.800 hier war x, vertikal nach unten das z, dann haben wir das Pendel 01:28:27.800 --> 01:28:35.020 ausgelenkt um den Winkel phi, das heißt, wir haben in dem Fall den 01:28:35.020 --> 01:28:39.520 Winkel phi und wir haben die Verschiebung, 01:28:43.920 --> 01:28:50.700 die wir mal mit Y bezeichnen, was die Feder ausgelenkt ist, das heißt, 01:28:51.620 --> 01:29:00.100 der Ortsvektor R zum Massenpunkt des Pendels, der ist in dem Fall in x 01:29:00.100 --> 01:29:03.280 -Richtung, sehen wir gerade L mal Sinus phi, 01:29:07.860 --> 01:29:12.460 in vertikaler oder in z-Richtung haben wir dann gerade Y plus L mal 01:29:12.460 --> 01:29:13.240 Cosinus phi, 01:29:19.220 --> 01:29:22.600 das heißt, wir haben in dem Fall wirklich zwei Koordinaten, die wir 01:29:22.600 --> 01:29:26.400 benötigen, um die Lage des Systems zu beschreiben, nämlich die 01:29:26.400 --> 01:29:33.400 Verschiebung Y und den Winkel phi, das heißt, Q1 gleich Y, 01:29:33.720 --> 01:29:38.500 beziehungsweise Q2 gleich phi. 01:29:39.700 --> 01:29:43.160 Und in der nächsten Vorlesung betrachten wir dann den Fall, dass wir 01:29:43.160 --> 01:29:46.360 eben den Aufhängepunkt nicht mehr elastisch bewegen lassen, sondern 01:29:46.360 --> 01:29:51.520 dass der über eine vorgegebene Zeitfunktion geführt wird, zum Beispiel 01:29:51.520 --> 01:29:53.840 über Sinus Omega t oder Cosinus Omega t. 01:29:54.660 --> 01:29:56.200 Gibt es soweit noch Fragen? 01:29:59.800 --> 01:30:03.060 Wenn nicht, dann sind wir am Ende der heutigen Vorlesung angelangt, 01:30:03.760 --> 01:30:07.700 wie gesagt, nächste Woche, wenn ich dran denke, werden wir versuchen, 01:30:07.860 --> 01:30:12.280 noch zu evaluieren, ansonsten sehen wir uns in einer Woche wieder, 01:30:12.420 --> 01:30:12.800 vielen Dank.