WEBVTT 00:08.200 --> 00:14.040 Meine Damen und Herren, ich darf Sie zur heutigen Vorlesung recht 00:14.040 --> 00:14.960 herzlich begrüßen. 00:17.160 --> 00:22.220 Zunächst wieder der kleine Hinweis, dass heute die Vorlesung 00:22.220 --> 00:28.180 aufgezeichnet wird, Sie eventuell im Bild auftauchen können, deshalb 00:28.180 --> 00:32.320 sichtbar sind, sofern Sie sich nicht auf die seitlichen Plätze setzen. 00:34.680 --> 00:38.980 An der Stelle schon ein Hinweis, da betrifft es wahrscheinlich weniger 00:38.980 --> 00:42.760 Sie, die hier sind, als vielmehr diejenigen, die nicht hier sind und 00:42.760 --> 00:44.160 sich auf den Mitschnitt verlassen. 00:45.520 --> 00:49.040 Ich selbst muss mich in den nächsten zwei Wochen leider vertreten 00:49.040 --> 00:49.280 lassen. 00:52.860 --> 01:02.500 Die Vertretungen, die lassen sich nicht gern aufzeichnen, also ich 01:02.500 --> 01:07.160 würde den Aufzeichner bitten, einfach nochmal Rücksprache zu halten. 01:07.940 --> 01:09.840 Wahrscheinlich wird es nicht aufgezeichnet. 01:14.440 --> 01:15.040 So, 01:20.080 --> 01:26.120 in der 01:32.190 --> 01:36.250 letzten Vorlesung waren wir soweit gekommen, dass wir die Lagrangian 01:36.250 --> 01:37.870 Gleichungen hergeleitet hatten. 01:38.870 --> 01:44.770 Die da sind die totale zeitliche Ableitung, wobei man an der Stelle 01:44.770 --> 01:47.510 vielleicht als Studentin oder Student ein bisschen Schwierigkeiten 01:47.510 --> 01:50.530 hat, warum ist an der einen Stelle eine Parzelleableitung, an der 01:50.530 --> 01:53.210 anderen Stelle eine totale Zeitableitung. 01:53.810 --> 01:57.330 Das ergab sich einfach aus der Herleitung der entsprechenden 01:57.330 --> 01:57.870 Gleichungen. 01:59.330 --> 02:03.790 Parzelleableitungen in dem Fall, weil Qi und Qi-Punkt als 02:03.790 --> 02:07.150 unterschiedliche Variablen aufgefasst wurden. 02:07.990 --> 02:12.650 Und die Zeitableitung hier, wie gesagt, ergab sich dann aus der 02:12.650 --> 02:13.190 Herleitung. 02:13.190 --> 02:18.790 Also totale zeitliche Ableitung der Parzellenableitung der Lagrange 02:18.790 --> 02:20.850 -Funktion nach Qi-Punkt 02:23.870 --> 02:30.810 minus Parzelleableitung der Lagrange-Funktion nach Qi gleich 02:30.810 --> 02:33.550 generalisierte Kraft Groß Qi. 02:34.550 --> 02:41.230 In dem Falle für i gleich 1 bis n, n war die Zahl der generalisierten 02:41.230 --> 02:42.030 Koordinaten. 02:42.890 --> 02:47.250 Was wir so verstanden haben, dass das Minimalkoordinaten sind, also 02:47.250 --> 02:51.010 letztendlich Zahl der Freiheitsgrade, da wir ein holonomes System 02:51.010 --> 02:56.030 vorliegen haben, bei dem keine nicht-holonomen Zwangsbedingungen zu 02:56.030 --> 02:57.050 berücksichtigen sind. 02:57.990 --> 03:08.430 Die Lagrange-Funktion war T minus V und die generalisierten Kräfte, 03:08.870 --> 03:12.990 die bestimmen wir aus der virtuellen Arbeit. 03:13.770 --> 03:18.330 Nun, wenn wir die virtuelle Arbeit bestimmen, all derer an Kräften und 03:18.330 --> 03:25.250 Momente, die nicht im Potential berücksichtigt sind, dann können wir 03:25.250 --> 03:32.190 die letztendlich darstellen aus einer Linearkombination, also Summe i 03:32.190 --> 03:41.030 gleich 1 bis n, Linearkombination der Delta Qi und die Vorfaktoren 03:41.030 --> 03:44.450 sind dann eben gerade die generalisierten Kräfte. 03:54.030 --> 03:58.030 Wenn Sie sowas in 04:02.570 --> 04:08.650 der Klausur sehen, dann ist es meistens so, dass die entsprechende 04:08.650 --> 04:12.690 Aufgabe, die beginnt irgendwie mit Kinematik und dann soll irgendwas 04:12.690 --> 04:17.930 anderes bestimmt werden, das liegt letztendlich darin begründet, dass 04:17.930 --> 04:21.010 sie in der Klausur entsprechend hingeführt werden. 04:21.830 --> 04:28.550 Im wirklichen Leben, da heißt die Aufgabe, wir messen ja das System. 04:30.150 --> 04:35.150 Das System soll die und die Bewegung ausführen bzw. 04:35.370 --> 04:37.510 soll so angetrieben sein oder wie auch immer. 04:38.530 --> 04:43.930 Sie müssen dann wissen, wie groß sind die entsprechenden 04:43.930 --> 04:48.230 Gelenkreaktionen, wie groß sind die Momente, die auftreten. 04:48.230 --> 04:50.550 Sie müssen ja irgendwelche Dinge dann letztendlich bemessen. 04:51.230 --> 04:55.350 Und diese Größen, die hängen ab natürlich auch von der Bewegung 04:55.350 --> 04:59.310 selbst, das heißt letztendlich müssen Sie zunächst mal wissen, wie 04:59.310 --> 05:00.470 bewegt sich das System. 05:01.450 --> 05:04.350 Dazu brauchen Sie die Bewegungsgleichungen und wenn wir die 05:04.350 --> 05:07.170 Bewegungsgleichungen haben, das haben wir bisher nicht gemacht, 05:07.670 --> 05:10.230 vielleicht führe ich Sie in einer der nächsten Vorlesungen mal vor, 05:10.910 --> 05:16.690 dann müssen Sie die zunächst mal lösen, da die im Allgemeinen nicht 05:16.690 --> 05:19.370 linear sind und gekoppelt, kriegen Sie das nicht mehr so ohne weiteres 05:19.370 --> 05:19.530 hin. 05:20.250 --> 05:23.910 Nur noch nährungsweise, numerisch, kann man auch machen. 05:25.030 --> 05:27.650 Und wenn wir die numerische Lösung haben, dann können wir wieder 05:27.650 --> 05:29.870 schauen, na gut, wie sieht es aus mit den Zwangskräften, 05:30.410 --> 05:33.770 Zwangsmomenten, wie müssen die Lager letztendlich bemessen sein. 05:34.490 --> 05:37.930 Nun für die Herleitung der Bewegungsgleichungen, auch da sagt Ihnen im 05:37.930 --> 05:40.450 wirklichen Leben niemand, wie Sie das machen sollen, Sie nehmen 05:40.450 --> 05:42.530 einfach eine der vorgestellten Methoden. 05:43.990 --> 05:47.410 Und wenn Sie sich für Lagrange entscheiden, dann wissen Sie, na gut, 05:47.510 --> 05:50.410 die Lagrange-Gleichungen, die sehen sehr einfach aus. 05:50.870 --> 05:55.230 Totale Zeitableitung von Parzelleableitung minus Parzelleableitung 05:55.230 --> 05:56.590 gleich generalisierte Kraft. 05:57.110 --> 05:58.990 Jetzt müssen wir nur noch wissen, was brauchen wir dazu. 05:59.990 --> 06:02.750 Da muss also der nächste Schritt sein, ich brauche dazu die Lagrange 06:02.750 --> 06:06.890 -Funktion, T minus V, also brauche ich die kinetische Energie und ich 06:06.890 --> 06:08.410 brauche die potenzielle Energie. 06:09.510 --> 06:11.850 Bei der potenziellen Energie, das geht im Allgemeinen. 06:13.810 --> 06:19.550 Sollte Sie lineare Federn haben, Drehfedern, irgendwelche 06:19.550 --> 06:23.170 translatorische Federn, wenn Sie eine nicht-lineare Feder haben, 06:23.290 --> 06:26.050 müssten Sie das entsprechende Potenzial sich zunächst mal herleiten. 06:26.970 --> 06:32.610 Beim Gravitationspotenzial, da legen Sie sich zunächst mal irgendwo 06:32.610 --> 06:37.030 ein Nullniveau fest und wir sehen, die Lage des Nullniveaus, die ist 06:37.030 --> 06:40.730 völlig egal, weil es ist lediglich eine Konstante, bei der sich die 06:40.730 --> 06:43.650 verschiedenen Nullniveaus unterscheiden und beim Parzellenableiten, da 06:43.650 --> 06:45.110 fliegt die Konstante sowieso raus. 06:45.930 --> 06:47.450 Deshalb kommt es da auch nicht drauf an. 06:49.350 --> 06:53.290 Und was vielleicht ein bisschen aufwendiger ist, das ist die 06:53.290 --> 06:54.270 kinetische Energie. 06:54.750 --> 06:54.930 Warum? 06:56.050 --> 06:58.630 Nun zunächst mal wissen wir, die kinetische Energie von einem starren 06:58.630 --> 07:02.290 Körper war ein Halbmal Masse mal Schwerpunktgeschwindigkeit zum 07:02.290 --> 07:08.110 Quadrat plus eben die Rotationsenergie, wenn wir das Ganze mit einem 07:08.110 --> 07:10.950 Schwerpunkt machen, bei einer Ebenenbewegung ein 07:10.950 --> 07:15.150 Halbmassenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat, bei 07:15.150 --> 07:17.070 einer allgemeinen räumlichen Bewegung wird es ein bisschen 07:17.070 --> 07:18.430 komplizierter, das wissen wir. 07:20.270 --> 07:25.870 Was dort dann die Schwierigkeit ist, das ist, dass wir die kinetische 07:25.870 --> 07:31.190 Energie letztendlich darstellen müssen, als Funktion der 07:31.190 --> 07:33.790 generalisierten Koordinaten und deren Ableitungen. 07:35.290 --> 07:38.710 Das heißt, wenn wir ein System haben mit mehreren Körpern, aber nur 07:38.710 --> 07:42.610 wenigen Freiheitsgraden, dann hängen eben Schwerpunktgeschwindigkeiten 07:42.610 --> 07:47.690 und vielleicht auch die Winkelgeschwindigkeiten von ganz wenigen 07:47.690 --> 07:50.570 generalisierten Koordinaten und deren Ableitungen ab. 07:50.970 --> 07:54.630 Also brauchen wir dazu die Kinematik. 07:57.410 --> 08:01.090 Die kriegen wir auch oft über Abrollbedingungen und solche Sachen. 08:02.450 --> 08:06.990 Wie gesagt, um bei der Klausur Sie da ein bisschen zu führen, wird in 08:06.990 --> 08:09.750 so einer Aufgabe dann meistens ganz hinten angefangen, also mit der 08:09.750 --> 08:10.410 Kinematik. 08:11.950 --> 08:15.390 Dann wird mit der Kinematik die kinetische Energie bestimmt oder 08:15.390 --> 08:19.450 vielleicht potenzielle Energie und dann letztendlich sollen die 08:19.450 --> 08:21.070 Lagrangiangleichungen hergeleitet werden. 08:23.130 --> 08:26.470 Gibt es soweit noch Fragen? 08:28.190 --> 08:30.770 Wichtig, dass Sie wissen, wann dürfen wir die anwenden? 08:31.530 --> 08:35.310 Die dürfen Sie anwenden für Starkkörpersysteme, also auch für 08:35.310 --> 08:38.850 räumliche Bewegungen von starren Körpern, hergeleitet haben wir es nur 08:38.850 --> 08:45.910 für Massenpunkte, gilt aber genauso für starre Körper, und zwar für 08:45.910 --> 08:51.610 Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden, die holonom sind. 08:51.710 --> 08:55.210 In dem Falle, wenn holonome Zwangsbedingungen vorliegen, müssen wir 08:55.210 --> 08:59.930 das noch ein bisschen erweitern, das zeigen wir dann in der Einführung 08:59.930 --> 09:02.370 in die Mehrkörperdynamik, in der weiterführenden Vorlesung. 09:08.430 --> 09:14.110 Damit kommen wir jetzt zu Beispielen, sowohl für das Prinzip von D 09:14.110 --> 09:20.090 'Alain -Berlin-Lagrange-Erfassung, wie auch für die Lagrangian 09:20.090 --> 09:21.270 -Gleichung in zweiter Art. 09:38.340 --> 09:44.900 Also zunächst Prinzip von D'Alain-Berlin 09:48.770 --> 09:51.830 -Lagrange -Erfassung. 09:56.980 --> 10:00.820 Wir betrachten ein relativ einfaches System, das aus zwei 10:00.820 --> 10:06.380 Massenpunkten besteht, mit einem Freiheitsgrad, wir haben nämlich zwei 10:06.380 --> 10:07.580 schiefe Ebenen, 10:12.230 --> 10:16.990 die eine mit dem Neigungswinkel Alpha, die andere mit dem 10:16.990 --> 10:18.130 Neigungswinkel Beta. 10:19.570 --> 10:28.720 Wir haben zwei Massenpunkte, 10:34.600 --> 10:36.780 M1 bzw. 10:39.140 --> 10:40.540 M2, 11:01.980 --> 11:08.400 die Lage der Massenpunkte wird gekennzeichnet durch die Koordinaten 11:14.100 --> 11:17.960 Y1 entlang der einen schiefen Ebene bzw. 11:20.600 --> 11:24.100 Y2 entlang 11:27.290 --> 11:28.590 der anderen schiefen Ebene. 11:29.730 --> 11:34.330 Ich hatte gesagt, wir haben insgesamt einen Freiheitsgrad, das heißt, 11:34.430 --> 11:37.730 was noch fehlt, das ist die Kopplung zwischen den beiden 11:37.730 --> 11:43.290 Freiheitsgraden, die erfolgt hier über so ein masseloses Rad und ein 11:43.290 --> 11:44.650 undehnbares Seil. 11:46.910 --> 11:51.250 Wie man sieht, die Koordinaten Y1 und Y2, die müssen nicht unbedingt 11:51.250 --> 11:58.730 gleich sein, aber wir wissen zumindest aufgrund der Kinematik, dass 11:58.730 --> 12:01.130 hier ein Freiheitsgrad vorliegt. 12:03.710 --> 12:09.090 Und das eben gilt, Y1 Punkt entspricht gerade Y2 Punkt. 12:13.180 --> 12:16.380 An der Stelle haben wir es uns jetzt ein bisschen leicht gemacht, 12:16.800 --> 12:22.600 würden wir die Koordinate Y2 von hier unten zum Massenpunkt messen, 12:23.340 --> 12:28.540 dann kehrt sich hier das Ganze um, dann ist Y1 Punkt gleich minus Y2 12:28.540 --> 12:28.940 Punkt. 12:29.760 --> 12:33.520 Also an der Stelle muss man sich das wirklich entweder vektorell oder 12:33.520 --> 12:34.720 aus der Anschauung überlegen. 12:35.820 --> 12:38.640 Das bezeichnen wir in dem Fall einfach mal mit Y Punkt. 12:39.500 --> 12:45.320 Und wenn wir jetzt unser System mal virtuell verrücken, dann sehen wir 12:45.320 --> 12:48.920 die virtuelle Verrückung von Massenpunkt 1, die entspricht gerade der 12:48.920 --> 12:50.820 virtuellen Verrückung von Massenpunkt 2. 12:51.620 --> 12:58.760 Also gilt in dem Fall auch Delta Y1 gleich Delta Y2. 13:00.220 --> 13:02.480 Das nennen wir einfach mal Delta Y. 13:07.720 --> 13:16.540 Also hier hatten wir Delta Y1, hier hatten wir Delta Y2. 13:19.700 --> 13:26.380 Und wir haben dann entsprechend Kräfte, zum einen aufgrund der 13:26.380 --> 13:28.220 Gravitation die Gewichtskräfte 13:33.940 --> 13:40.760 M1 mal G nach unten, beziehungsweise M2 mal G. 13:43.800 --> 13:48.180 Wir nehmen an, wir haben zusätzlich noch eine Antriebskraft, die am 13:48.180 --> 13:53.000 Massenpunkt 2 wirkt, parallel zur entsprechenden schiefen Ebene, das 13:53.000 --> 13:55.000 ist die Kraft F0. 14:00.920 --> 14:06.560 Und wir haben Reibung vorliegen zwischen den Massenpunkten und den 14:06.560 --> 14:14.240 schiefen Ebenen, die entgegen der Bewegungsrichtung gerichtet sind. 14:15.700 --> 14:21.240 Also haben wir hier die Reibkraft R1, beziehungsweise hier die 14:21.240 --> 14:24.040 Reibkraft R2. 14:27.240 --> 14:31.240 Nun für das Prinzip von D'Alembert und Lagrange-Erfassung brauchen wir 14:31.240 --> 14:37.800 jetzt zusätzlich noch die Trägheitskräfte. 14:38.480 --> 14:42.700 Die Trägheitskräfte wirken entgegen den positiven Beschleunigungen, 14:42.820 --> 14:46.980 das heißt die positive Beschleunigung von Massenpunkt 1, die ist Y1 14:46.980 --> 14:52.480 zwei Punkt schräg nach oben, deshalb die entsprechende Trägheitskraft 14:52.480 --> 15:01.760 M1 Y1 zwei Punkt nach unten und die positive Beschleunigung von 15:01.760 --> 15:05.940 Massenpunkt 2, die geht in positive Y2-Richtung, also die 15:05.940 --> 15:14.540 entsprechende Trägheitskraft in negative Y2-Richtung M2 Y2 zwei Punkt. 15:16.940 --> 15:22.480 Jetzt wird die virtuelle Arbeit für alle Kraftanteile bestimmt. 15:24.040 --> 15:32.780 Wir sehen, Delta W, virtuelle Arbeit, ist in dem Falle, man sieht, R1 15:32.780 --> 15:42.140 ist entgegen Delta Y1 gerichtet, deshalb Minus R1 Delta Y1. 15:42.840 --> 15:49.220 Dann haben wir das Skalarprodukt von der virtuellen Verschiebung mit 15:49.220 --> 15:52.980 der Gewichtskraft, gibt gerade den Anteil entlang der schiefen Ebene, 15:53.100 --> 15:55.240 das ist M1 mal G mal Sinus Alpha, 16:00.820 --> 16:03.240 multipliziert mit Delta Y1. 16:03.980 --> 16:06.900 Beide sind entgegengesetzt gerichtet, deshalb Minus. 16:08.200 --> 16:08.980 Was haben wir noch? 16:10.620 --> 16:17.620 Dann haben wir noch die Trägheitskraft, die ebenfalls in negative Y1 16:17.620 --> 16:25.200 -Richtung geht, also Minus M1 Y1 zwei Punkt Delta Y1. 16:27.720 --> 16:31.700 Und wir haben noch weitere Kräfte, die Normalkraft und die Seilkraft, 16:31.700 --> 16:35.340 das sind aber Zwangskräfte, die hier nicht explizit berücksichtigt 16:35.340 --> 16:38.460 werden müssen, im Prinzip von D'Alembert und Lagrange-Erfassung. 16:38.960 --> 16:43.840 Deshalb jetzt noch die Anteile an der virtuellen Arbeit infolge der 16:43.840 --> 16:44.200 Kräfte. 16:45.040 --> 16:50.180 Am Massenpunkt 2, da haben wir in positive Y2-Richtung die 16:50.180 --> 16:54.900 Antriebskraft F0, also Plus F0 Delta Y2. 16:55.650 --> 17:03.660 Dann haben wir M2 mal G mal Sinus-Beta, ebenfalls in positive Y2 17:03.660 --> 17:11.400 -Richtung, deshalb Plus M2 G Sinus-Beta Delta Y2. 17:13.020 --> 17:18.380 In negative Y2-Richtung haben wir die Reibkraft und die zugehörige 17:18.380 --> 17:30.420 Trägheitskraft, also Minus R2 Delta Y2 minus M2 Y2 zwei Punkt Delta 17:30.420 --> 17:31.400 Y2. 17:33.900 --> 17:39.280 Das heißt, wenn wir jetzt das Ganze mal auswerten und eben unsere 17:39.280 --> 17:44.180 Beziehung Y1 Punkt gleich Y2 Punkt gleich Y Punkt einsetzen, 17:44.180 --> 17:49.520 beziehungsweise Delta Y1 gleich Delta Y2 gleich Delta Y. 17:50.360 --> 17:57.040 Und wir brauchen noch das Y1 zwei Punkt und das Y2 zwei Punkt, aber Y1 17:57.040 --> 18:03.520 zwei Punkt ist gerade ja Y2 zwei Punkt, beziehungsweise Y zwei Punkt. 18:05.660 --> 18:16.400 Das heißt, wir erhalten für die virtuelle Arbeit den Gesamtausdruck 18:16.400 --> 18:19.000 Delta W gleich. 18:19.560 --> 18:23.180 Und jetzt sehen wir, bei jedem Term steht das Delta Y1 beziehungsweise 18:23.180 --> 18:24.400 das Delta Y2. 18:24.940 --> 18:27.340 Das können wir also ausklammern als Delta Y. 18:27.680 --> 18:34.180 Dann steht hier drinnen R1 mit Minus. 18:35.140 --> 18:52.320 Dann haben wir Minus M1 G Sinus Alpha Minus M1 Y2 Punkt plus F0 plus 18:52.320 --> 18:54.160 M2 G Sinus Beta 18:58.620 --> 19:07.860 Minus R2 Minus M2 Y2 Punkt. 19:09.080 --> 19:13.740 Das mal Delta Y muss Null sein. 19:15.600 --> 19:17.760 Für Delta Y ungleich Null. 19:23.820 --> 19:27.680 Das heißt, das schaffen wir nur dadurch, dass die runde Klammer 19:27.680 --> 19:28.150 verschwindet. 19:29.330 --> 19:36.830 Und wenn wir jetzt noch einsetzen, dazu brauchen wir allerdings das 19:36.830 --> 19:41.830 Newton'sche Grundgesetz, dass eben R1 gerade ist. 19:42.410 --> 19:55.850 µ mal M1 G Sinus Alpha und das R2 entsprechend über eine Kräftebilanz 19:55.850 --> 19:57.790 normal zur Ebene. 19:58.630 --> 20:05.650 µ mal M2 G Sinus Beta. 20:06.650 --> 20:23.900 Dann ergibt sich letztendlich als Bewegungsgleichung M1 plus M2 mal Y2 20:23.900 --> 20:24.420 Punkt. 20:24.420 --> 20:35.640 Dann haben wir plus µ mal G mal M1 Cosinus Alpha plus M2 Cosinus Beta 20:35.640 --> 20:43.060 plus G. 20:44.880 --> 20:59.420 Dann haben wir drin stehen M1 Sinus Alpha minus M2 Sinus Beta minus F0 20:59.420 --> 21:02.280 gleich Null. 21:02.360 --> 21:04.520 Sie sehen, ich habe im Grunde genommen das Vorzeichen einmal 21:04.520 --> 21:08.280 umgekehrt, weil runde Klammer gleich Null mit Minus 1 21:08.280 --> 21:11.420 durchmultipliziert ergibt dann gerade die hier angegebene Gleichung. 21:14.040 --> 21:18.780 Also haben wir jetzt auf die Art und Weise die Bewegungsgleichung 21:18.780 --> 21:19.380 hergeleitet. 21:26.410 --> 21:30.590 Und wenn wir die Seilkraft explizit wissen wollen, dann sehen Sie, 21:30.650 --> 21:38.290 dann geht es nur, wenn wir das Freischneiden entsprechend und das 21:38.290 --> 21:39.530 Newton'sche Axiom anwenden. 21:40.090 --> 21:41.850 Gibt es zu den Beispielfragen. 21:47.590 --> 21:51.030 Dann gehen wir gleich zu den Lagrangengleichungen zweiter Art. 22:05.780 --> 22:11.080 Betrachten als erstes Beispiel ein sehr einfaches Beispiel, nämlich 22:11.080 --> 22:13.640 ein physikalisches Pendel. 22:28.350 --> 22:33.110 Das heißt, wir haben irgendwo den Lagerpunkt, dann haben wir unseren 22:33.110 --> 22:40.130 starren Körper, der irgendwo den Schwerpunkt hat. 22:42.310 --> 22:47.510 Dann sehen wir, der Schwerpunkt bzw. 22:47.970 --> 22:54.270 die Verbindende zwischen Schwerpunkt und Lager, die hat gegenüber der 22:54.270 --> 23:01.610 Vertikalen, das nenne ich mal die Y-Achse, horizontal nehme ich mal 23:01.610 --> 23:06.890 die X-Achse, dann haben wir da gerade den Winkel Phi, 23:12.550 --> 23:19.350 welcher die Bewegung beschreibt und der Abstand des Schwerpunktes vom 23:19.350 --> 23:25.030 Lager, der sei gerade klein a. 23:27.240 --> 23:29.990 Die Masse des Körpers sei m. 23:33.230 --> 23:39.650 Das Massenträgheitsmoment in dem Falle bezüglich dem Lagerpunkt O 23:44.610 --> 23:50.430 für eine Drehung um die Z-Achse, ganz wichtig, das sei gegeben durch J 23:50.430 --> 24:00.430 -O und wir nehmen an, vertikal nach unten wirkt die Erdbeschleunigung. 24:01.570 --> 24:07.090 Das heißt zunächst, wenn wir das Problem mit den 24:07.090 --> 24:10.850 Lagrangiansgleichungen zweiter Art lösen wollen, sollten wir uns 24:10.850 --> 24:13.090 überlegen, wie viele Freiheitsgrade hat das System. 24:14.030 --> 24:17.270 Ganz klar, in dem Fall hat das System einen Freiheitsgrad, nämlich den 24:17.270 --> 24:18.450 Verdrehwinkel Phi. 24:20.310 --> 24:26.650 Das heißt, n ist 1, wir haben nur ein Q1 und das ist gerade der Winkel 24:26.650 --> 24:26.910 Phi. 24:33.470 --> 24:43.810 Also wir haben einen Freiheitsgrad, n ist 1, Q1 ist Phi. 24:47.990 --> 24:56.390 Das heißt, wir können anschreiben, d nach dt, von dL nach dPhi Punkt, 24:57.390 --> 25:02.830 minus dL nach dPhi gleich groß Q Phi. 25:04.810 --> 25:11.590 L war t minus V, das heißt, wir benötigen sowohl die kinetische 25:11.590 --> 25:16.810 Energie als auch die potenzielle Energie als Funktion des Winkels Phi 25:16.810 --> 25:18.130 und Ableitungen davon. 25:18.810 --> 25:22.930 Dann war zunächst mal t gleich was. 25:22.930 --> 25:28.590 Wir haben eine Drehung um den raumfesten Punkt, wir haben das gegeben, 25:28.670 --> 25:32.430 das Massenträgheitsmoment bezüglich dem raumfesten Punkt, also können 25:32.430 --> 25:39.050 wir hier einfach schreiben, 1 halb J bezüglich O mal Phi Punkt 25:39.050 --> 25:39.590 Quadrat. 25:41.050 --> 25:42.030 Das ist sehr einfach. 25:44.190 --> 25:50.590 Die potenzielle Energie, da haben wir nur das schwere Potenzial, für 25:50.590 --> 25:54.370 das schwere Potenzial wählen wir uns ein Nullniveau irgendwo. 25:54.990 --> 25:58.410 Wir nehmen das Nullniveau bei Y gleich Null. 26:00.070 --> 26:01.490 Da wäre also das Nullniveau, 26:06.350 --> 26:16.250 das heißt, die Höhe über dem Nullniveau, M mal G mal H und die Höhe 26:16.250 --> 26:24.990 über dem Nullniveau ist aber Minus A mal Cosinus Phi, also Minus M mal 26:24.990 --> 26:30.270 G mal A mal Cosinus Phi ist dann letztendlich die zugehörige 26:30.270 --> 26:31.930 potenzielle Energie. 26:34.870 --> 26:42.290 Das kinetische Potenzial L war T minus V, also 1 halb J O Phi Punkt 26:42.290 --> 26:49.450 Quadrat Minus Minus gibt Plus M mal G mal A mal Cosinus Phi. 26:53.810 --> 26:54.650 Wenn 27:01.300 --> 27:05.380 die Erdbeschleunigung nach unten geht, dann ist immer wichtig, die 27:05.380 --> 27:08.300 Höhe über dem Nullniveau. 27:09.080 --> 27:16.200 Also das Potenzial wäre in dem Falle Minus M mal G mal Y und Y ist A 27:16.200 --> 27:17.020 mal Cosinus Phi. 27:20.840 --> 27:25.380 Wenn ich das Y nach oben positiv annehme, dann ist das die potenzielle 27:25.380 --> 27:27.620 Energie M mal G mal Y. 27:29.060 --> 27:33.400 Wenn ich das Y nach unten annehme und bei Y gleich Null das Nullniveau 27:33.400 --> 27:35.960 festlege, ist es Minus M mal G mal Y. 27:35.960 --> 27:36.440 Wie? 27:47.150 --> 27:53.710 Das Y war, also das schwere Potenzial gleich M mal G mal Y gilt nur, 27:54.030 --> 27:59.410 wenn die Y-Achse Ihnen praktisch entgegengesetzt zu G gerichtet ist, 27:59.570 --> 28:00.390 nach oben. 28:01.190 --> 28:03.550 Jetzt haben wir das Y, das können wir einführen wie wir wollen, nach 28:03.550 --> 28:04.410 unten positiv. 28:05.730 --> 28:08.970 Dann ist das schwere Potenzial Minus M mal G mal Y. 28:11.550 --> 28:15.090 So, was jetzt noch fehlt in der Gleichung, das ist natürlich das Q 28:15.090 --> 28:18.670 Phi, die generalisierte Kraft. 28:18.870 --> 28:22.070 All der Kräfte und Momente, die wir noch nicht berücksichtigt haben, 28:22.390 --> 28:25.670 nun da wir in dem Falle keinen Dämpfer haben und das Gewichtskraft 28:25.670 --> 28:28.730 haben wir ins Potenzial reingearbeitet, haben wir keine weiteren 28:28.730 --> 28:33.550 Anteile mehr, also das Groß-Q Phi ist in dem Falle Null, weil die 28:33.550 --> 28:37.730 virtuelle Arbeit von nicht konservativen Anteilen hier nicht auftritt. 28:38.930 --> 28:41.410 Das heißt, jetzt können wir wirklich die Gleichungen anwenden. 28:41.550 --> 28:43.530 Zunächst haben wir D L nach D Phi Punkt. 28:44.290 --> 28:46.650 D L nach D Phi Punkt. 28:47.390 --> 28:52.310 Bei dieser partiellen Ableitung, da werden Phi Punkt und Phi als 28:52.310 --> 28:53.850 separate Variablen aufgefasst. 28:54.790 --> 29:00.150 Das heißt, die Ableitung nach Phi Punkt haben wir in dem Falle, Phi 29:00.150 --> 29:02.250 Punkt Quadrat abzuleiten nach Phi Punkt. 29:02.390 --> 29:03.810 Das gibt zweimal Phi Punkt. 29:04.470 --> 29:07.070 Mit dem Faktor ein Halb gibt es gerade Phi Punkt. 29:07.070 --> 29:11.890 Gibt also in dem Falle J O Phi Punkt. 29:13.970 --> 29:22.810 Das D L nach D Phi oder Cosinus Phi abgeleitet nach Phi Punkt ist 29:22.810 --> 29:28.390 Null, weil Phi eine andere Variable ist als Phi Punkt beim partiellen 29:28.390 --> 29:28.810 Ableiten. 29:30.130 --> 29:34.730 Jetzt die Ableitung von L nach Phi, da ist Phi Punkt unabhängig von 29:34.730 --> 29:37.930 Phi, also die partielle Ableitung vom ersten Term ist Null. 29:38.990 --> 29:41.390 Hier haben wir den zweiten Term, der hängt von Phi ab. 29:41.930 --> 29:44.190 Das ergibt also M mal G mal A. 29:45.870 --> 29:51.430 Und die Ableitung von Cosinus Phi, die war Minus Sinus Phi. 29:52.530 --> 29:58.250 Das heißt, wenn wir jetzt das Ganze in die Gleichungen einsetzen, 30:01.850 --> 30:06.270 dann haben wir gerade J O mal Phi Punkt. 30:11.100 --> 30:13.380 Nochmals nach der Zeit abzuleiten. 30:14.100 --> 30:17.300 Das gibt aber J O mal Phi zwei Punkt. 30:19.780 --> 30:22.180 Minus D L nach D Phi. 30:23.020 --> 30:24.920 Minus mal Minus gibt Plus. 30:25.860 --> 30:32.340 M mal G mal A mal Sinus Phi. 30:34.700 --> 30:41.020 Auf der rechten Seite steht Q Phi, das war aber Null, also gleich 30:41.020 --> 30:41.780 Null. 30:43.540 --> 30:50.040 Das heißt, so haben wir jetzt sehr einfach die Gleichung für das 30:50.040 --> 30:52.420 physikalische Pendel hergeleitet. 31:00.700 --> 31:04.580 Und wenn wir beim Pendel sind, dann machen wir mal ein anderes 31:04.580 --> 31:05.040 Beispiel. 31:13.490 --> 31:17.450 Nämlich, wir nehmen an, wir haben ein physikalisches Pendel in Form 31:17.450 --> 31:18.710 von so einem schlanken Stab. 31:27.040 --> 31:28.620 Drehpunkt in O. 31:30.800 --> 31:36.420 Die Verdrehung gegenüber der Vertikalen, das ist gerade wieder der 31:36.420 --> 31:37.020 Winkel Phi. 31:44.470 --> 31:50.150 Der Stab selbst hat das Massenträgheitsmoment bezüglich dem Lagerpunkt 31:50.150 --> 31:51.310 O, J O. 31:52.590 --> 32:00.450 Und jetzt haben wir eine Buchse auf dem Stab, die auf dem Stab gleiten 32:00.450 --> 32:00.810 kann. 32:01.910 --> 32:10.130 Die über zwei Federn, jeweils Federsteifigkeit C halbe. 32:13.480 --> 32:20.140 Da jetzt mal so an, mit der Umgebung verbunden ist. 32:21.120 --> 32:31.420 Und die Höhe der Federn, das sei gerade immer vertikaler Abstand klein 32:31.420 --> 32:31.720 a. 32:34.000 --> 32:37.620 Und man sieht, Gravitation brauchen wir in dem Falle nicht, die 32:37.620 --> 32:40.500 Gravitation soll meinetwegen senkrecht, zu Zeichen Ebenen wirken oder 32:40.500 --> 32:41.520 soll nicht vorhanden sein. 32:42.100 --> 32:49.840 Und die Frage ist jetzt, was ergibt sich als Bewegungsgleichung für 32:49.840 --> 32:50.720 dieses Beispiel? 32:58.820 --> 32:59.460 Wo? 33:06.470 --> 33:08.190 Wer spricht hier gerade? 33:09.270 --> 33:09.910 Ganz hinten. 33:11.550 --> 33:13.270 Nur aus Fehlern haben wir gut gelernt. 33:15.330 --> 33:17.410 Ich habe J O Vieh Punkt Punkt geschrieben. 33:19.090 --> 33:19.590 Richtig? 33:20.950 --> 33:21.450 Warum? 33:26.410 --> 33:27.370 Wo ist der Stock? 33:33.730 --> 33:34.770 So, jetzt gehe ich am Stock. 33:37.590 --> 33:41.370 Wir haben hier die partielle Ableitung von L nach Vieh Punkt, die gibt 33:41.370 --> 33:42.510 J O Vieh Punkt. 33:43.630 --> 33:46.630 Und die müssen wir aber nochmal nach der Zeit ableiten, den ganzen 33:46.630 --> 33:47.090 Ausdruck. 33:47.090 --> 33:51.050 Also wenn wir das nach der Zeit ableiten, J O ist konstant, dann gibt 33:51.050 --> 33:52.190 es J O Vieh 2 Punkt. 33:55.910 --> 34:03.230 So, wir sind mal mutig, damit wir das Prinzip von D'Alembert nicht 34:03.230 --> 34:03.930 ganz vergessen. 34:05.490 --> 34:07.210 Machen wir es mal durch Freischneiden. 34:08.330 --> 34:12.930 Und wir haben hier unten einen Lagerpunkt, da tragen wir mal die 34:12.930 --> 34:16.610 Lagerkräfte, meinetwegen F X und F Y an. 34:18.990 --> 34:21.710 Die interessieren uns allerdings nicht so sehr. 34:24.130 --> 34:28.490 Gewicht haben wir keines, weil ja die Gravitation nicht berücksichtigt 34:28.490 --> 34:28.690 wird. 34:29.150 --> 34:30.490 Wir haben aber die Federkräfte. 34:36.960 --> 34:45.340 F Feder 1 ist in dem Falle Federsteifigkeit C Halbe mal Delta L 1. 34:45.980 --> 34:51.000 Und wir haben hier eine Federkraft nach links. 34:53.320 --> 34:56.680 Feder 2 ist dann Federsteifigkeit, das war C Halbe. 34:57.620 --> 35:02.300 Nun die Verlängerung auf der Seite ist so groß betragsmäßig wie die 35:02.300 --> 35:03.720 Verkürzung auf der Seite. 35:04.080 --> 35:07.800 Da wir jetzt die Richtung hier schon eingearbeitet haben, haben wir 35:07.800 --> 35:08.840 Delta L 2. 35:11.160 --> 35:19.200 Das heißt, wir können jetzt angeben, Delta L 1 gleich Delta L 2 gleich 35:19.200 --> 35:20.060 Delta L. 35:20.740 --> 35:30.020 Das ist aber gerade, wenn die Federn spannungslos sind, bei Phi gleich 35:30.020 --> 35:30.300 0. 35:30.400 --> 35:35.680 Dann haben wir hier, das ist Delta L, das war A, das ist Phi. 35:35.680 --> 35:44.550 Also das dividiert durch das, Delta L durch A ist Tangens Phi. 35:46.110 --> 35:50.250 Also Delta L ist A mal Tangens Phi. 35:57.110 --> 36:00.010 Was jetzt noch fehlt, das sind die Trägheitstherme. 36:01.090 --> 36:05.550 Nun das Phi geht positiv im Uhrzeigersinn, dann ist das entsprechend 36:05.550 --> 36:12.730 die Trägheitsmoment, um das Lagergerade J O Phi 2 Punkt. 36:15.350 --> 36:18.510 Entgegen einer positiven Beschleunigung, positive Beschleunigung geht 36:18.510 --> 36:19.310 in Richtung von Phi. 36:19.750 --> 36:21.650 Also das Trägheitsmoment entgegen. 36:22.150 --> 36:24.950 Und wir sehen, die Lagerkräfte, die interessieren uns nicht. 36:25.470 --> 36:28.010 Jetzt machen wir eine Momentbilanz um diesen Punkt. 36:28.930 --> 36:29.890 Und erhalten. 36:37.050 --> 36:39.750 Dann haben wir J O Phi 2 Punkt. 36:42.730 --> 36:49.890 Plus F1, F1 mal A plus F2 mal A, der Abstand der beiden Kräfte ist ja 36:49.890 --> 36:50.530 gerade A. 36:52.310 --> 36:56.150 Also man sieht, Delta L1 gleich Delta L2. 36:56.690 --> 37:01.090 Dann haben wir C halbe Delta L plus C halbe Delta L gibt also C mal 37:01.090 --> 37:02.170 Delta L. 37:02.170 --> 37:05.770 Das ergibt C mal A mal Tangens Phi. 37:06.670 --> 37:10.870 Das noch multipliziert mit dem Hebelarm, klein A, gibt hier ein A 37:10.870 --> 37:13.570 Quadrat gleich Null. 37:15.450 --> 37:27.690 Also J O Phi 2 Punkt plus C A Quadrat Tangens Phi gleich Null. 37:33.680 --> 37:36.360 Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser. 37:37.100 --> 37:41.500 Wir kontrollieren das Ganze mit den Lagrangian Gleichungen. 37:42.520 --> 37:43.220 Zweiter Art. 37:44.120 --> 37:45.180 Ich mache das mal hier daneben. 37:47.880 --> 37:48.820 Was brauchen wir da? 37:48.980 --> 37:52.160 Und wir haben einen Freiheitsgrad, nämlich wieder unseren Winkel Phi. 37:52.700 --> 37:56.500 Das heißt, wir haben D nach D T von D L nach D Phi Punkt minus D L 37:56.500 --> 37:58.080 nach D Phi gleich Groß Q Phi. 37:59.060 --> 38:02.780 Wir sehen, einen Dämpfer oder sowas haben wir nicht. 38:03.660 --> 38:05.340 Also Groß Q Phi ist Null. 38:06.620 --> 38:11.280 Sofern wir die Federkräfte in Potential einarbeiten. 38:12.040 --> 38:14.800 Dann brauchen wir also noch L, das war T minus V. 38:15.960 --> 38:17.320 Das T, das bleibt genauso. 38:17.560 --> 38:24.800 Das ist 1 halb J O Phi Punkt Quadrat. 38:27.780 --> 38:33.280 Einzig das Federpotential wird ein bisschen anders als das 38:33.280 --> 38:34.300 Gewichtspotential. 38:35.020 --> 38:41.400 Da haben wir nämlich V gleich V von Feder 1 plus V von Feder 2. 38:42.040 --> 38:48.100 Das war 1 halb mal, und jetzt haben wir die Federsteifigkeit von Feder 38:48.100 --> 38:52.780 1, das war C halbe, mal Delta L 1 Quadrat. 38:55.740 --> 39:02.720 Plus 1 halb Federsteifigkeit von Feder 2, das war C halbe, mal Delta L 39:02.720 --> 39:03.780 2 Quadrat. 39:04.620 --> 39:07.620 Und man sieht, über die Vorzeichen müssen wir uns hier gar keine 39:07.620 --> 39:10.120 Gedanken machen, ob das nach links oder nach rechts geht. 39:10.580 --> 39:11.500 Das ist der Vorteil. 39:11.860 --> 39:14.540 Wir haben gesehen, Delta L 1 ist Delta L 2. 39:14.540 --> 39:20.140 Dann haben wir C halbe plus C halbe gibt also letztendlich 1 halb mal 39:20.140 --> 39:23.540 C mal Delta L Quadrat. 39:24.380 --> 39:30.340 Delta L zum Quadrat ist aber gerade A Quadrat Tangents Quadrat Phi. 39:39.710 --> 39:49.330 Das heißt die Lagrange-Funktion ist jetzt 1 halb J O Phi Punkt Quadrat 39:49.330 --> 39:59.650 minus 1 halb C A Quadrat Tangents Quadrat Phi. 40:10.990 --> 40:14.110 Jetzt brauchen wir in der Lagrange-Gleichung wieder D L nach D Phi 40:14.110 --> 40:14.470 Punkt. 40:18.080 --> 40:24.760 Das ergibt 1 halb mal J O mal 2 mal Phi Punkt. 40:25.380 --> 40:31.280 Der Faktor 2 kürzt sich mit dem Faktor 1 halb, gibt also J O Phi 40:31.280 --> 40:31.700 Punkt. 40:34.440 --> 40:42.020 Wenn wir das Ganze nochmal nach der Zeit differenzieren, dann gibt es 40:42.020 --> 40:45.980 rechts J O ist die Konstante, also Phi 2 Punkt, jetzt wird es 40:45.980 --> 40:46.700 vielleicht deutlicher. 40:48.900 --> 40:52.020 Ein bisschen komplizierter wird es bei der Parzellenableitung von L 40:52.020 --> 40:53.160 nach Phi. 40:56.380 --> 41:00.080 Also der Term hier hinten, der hängt nicht von Phi Punkt ab, der hängt 41:00.080 --> 41:00.860 nur von Phi ab. 41:01.540 --> 41:05.040 Phi Punkt und Phi sind beim Parzellenableiten unterschiedliche 41:05.040 --> 41:05.620 Variablen. 41:07.020 --> 41:11.240 Bei der Ableitung nach Phi, da ist Phi Punkt eine andere Variable, 41:11.900 --> 41:12.620 fällt also weg. 41:12.620 --> 41:26.040 Dann haben wir minus 1 halb C A Quadrat mal Tangents Quadrat Phi 41:26.040 --> 41:33.480 abgeleitet ergibt 2 mal Tangents Phi mal der Ableitung von Tangents 41:33.480 --> 41:34.100 nach Phi. 41:34.100 --> 41:35.160 Was gibt das? 41:42.500 --> 41:51.930 Und das gibt zunächst mal 1 durch Cosines Quadrat Phi. 42:05.260 --> 42:10.780 Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser, das stimmt aber zumindest in 42:10.780 --> 42:11.700 meinem Skript überein. 42:13.720 --> 42:15.620 So, jetzt setzen wir das ein. 42:16.660 --> 42:18.440 Dann haben wir also J O Phi 2 Punkt. 42:22.160 --> 42:23.820 Minus Minus gibt Plus. 42:25.280 --> 42:28.840 1 halb, kürzt sich mit einem Faktor 2, gibt also C A Quadrat. 42:29.940 --> 42:34.320 Und jetzt haben wir hier Tangents Phi dividiert durch Cosines Quadrat 42:34.320 --> 42:34.500 Phi. 42:34.620 --> 42:40.120 Das gibt im Grunde genommen Sinus Phi dividiert durch Cosines hoch 3 42:40.120 --> 42:41.580 Phi. 42:43.100 --> 42:43.960 Gleich 0. 42:52.800 --> 42:55.580 Und an der Stelle haben wir jetzt natürlich das Problem, dass wir beim 42:55.580 --> 43:01.160 einen Mal einfach das Tangents Phi haben, beim anderen Mal Sinus Phi 43:01.160 --> 43:04.620 durch Cosines hoch 3 Phi, das war gerade Tangents Phi dividiert durch 43:04.620 --> 43:05.700 Cosines Quadrat Phi. 43:06.540 --> 43:11.040 Also, wenn wir linearisieren würden für kleine Winkel Phi, dann würde 43:11.040 --> 43:11.800 es nichts ausmachen. 43:13.120 --> 43:16.800 Aber da unsere Bewegungsgleichung natürlich auch für große Winkel Phi 43:16.800 --> 43:19.620 gelten soll, ist jetzt die Frage, jetzt haben wir zwei verschiedene 43:19.620 --> 43:21.180 Bewegungsgleichungen hergeleitet. 43:22.080 --> 43:27.120 Sind jetzt beide richtig oder ist eine davon falsch oder woran liegt 43:27.120 --> 43:27.340 es? 43:32.670 --> 43:33.830 Wer hat eine Idee? 43:42.690 --> 43:46.130 Ja, wer denkt, dass nur eine richtig ist? 43:48.950 --> 43:49.910 Das denkt niemand. 43:50.890 --> 43:53.210 Wer denkt, dass gar keine richtig ist? 43:54.310 --> 43:55.150 Auch niemand. 43:56.050 --> 43:57.750 Wer denkt, dass beide richtig sind? 43:58.990 --> 44:00.070 Das wäre ja ein Widerspruch, oder? 44:04.100 --> 44:05.600 Ja, an was liegt es denn jetzt? 44:09.310 --> 44:11.470 Was erscheint einem denn plausibler? 44:11.610 --> 44:16.090 Ich meine, das Prinzip von d'Alembert, so mit Dreckheitsthermen und so 44:16.090 --> 44:18.330 weiter, das war doch ziemlich einleuchtend, oder? 44:20.810 --> 44:25.570 Wohingegen wir ja hier nur ein Schema angewandt haben, oder? 44:33.000 --> 44:34.940 Ja, wem trauen die Studenten denn eher? 44:35.760 --> 44:36.220 Lagrange? 44:37.320 --> 44:38.320 Wer traut Lagrange? 44:40.620 --> 44:42.360 Wer traut Lagrange? 44:42.360 --> 44:42.680 Wer traut dem anderen? 44:45.520 --> 44:52.280 Ach, gefühlsmäßig sind es mehr, aber ich würde Ihnen jetzt mal sagen, 44:53.440 --> 44:55.320 Demokratie ist nicht immer das Richtige. 44:57.840 --> 44:59.940 Oh, das darf ich jetzt eigentlich nicht ins Mikrofon oder in die 44:59.940 --> 45:00.720 Kamera sagen. 45:01.920 --> 45:04.300 Mein Nebensatz, man sieht es an unseren Politikern. 45:10.840 --> 45:13.020 Ja, das ist leider nicht mehr zu lachen. 45:14.820 --> 45:18.860 Von den Politikern wird man erwarten, dass er das macht, was für das 45:18.860 --> 45:22.580 System, sprich für die Lebensgemeinschaft und für die Entwicklung von 45:22.580 --> 45:23.680 einem Land am besten ist. 45:24.100 --> 45:26.440 Aber leider machen das die Politiker nicht immer. 45:27.640 --> 45:29.360 So, aber an was liegt es bei uns? 45:31.120 --> 45:34.860 Nun, wir haben hier eine Hülse, die sich hier verschieben kann. 45:36.380 --> 45:39.980 Jetzt hat die Mehrzahl gemeint, sie traut dem hier natürlich mehr. 45:40.480 --> 45:45.000 Bloß, wir können natürlich wollen, genauso wie die Politiker viel 45:45.000 --> 45:47.880 wollen, die wollen, dass praktisch der Wind genau dann bläst, wenn ich 45:47.880 --> 45:48.580 Strom brauche. 45:49.360 --> 45:51.080 Ob das immer so geht, das weiß ich nicht. 45:52.020 --> 45:56.040 Oder dass die Straßen, wenn die Politiker sagen, eine Straße hält eine 45:56.040 --> 45:59.100 Achslast von 15 Tonnen aus, dann meint der Politiker, weil er das 45:59.100 --> 46:00.120 gesagt hat, ist das so. 46:00.600 --> 46:02.320 Bloß die Straße macht das nicht. 46:03.140 --> 46:04.860 Deshalb sind unsere Straßen kaputt. 46:05.620 --> 46:10.500 Ne, wir können natürlich wollen, dass die Hülse immer auf der Höhe 46:10.500 --> 46:14.800 bleibt, im Abstand A, aber wenn Sie mal ganz ehrlich sind, wenn eine 46:14.800 --> 46:17.880 Kraft von der Feder auf die Hülse wirkt, beziehungsweise von der 46:17.880 --> 46:21.580 linken Feder auf die Hülse, dann wird sich sofort die Hülse 46:21.580 --> 46:22.740 entsprechend verschieben. 46:25.100 --> 46:29.740 Das heißt, ah, haben wir jetzt falsche Annahmen gemacht, wir haben 46:29.740 --> 46:32.420 doch hier einfach das eingesetzt und haben was rausbekommen. 46:33.800 --> 46:38.920 Nun, der Trick ist der, damit diese Hülse immer auf der gleichen Höhe 46:38.920 --> 46:44.220 bleibt, müssen wir eigentlich so eine kleine Führung anbringen, 46:44.220 --> 46:48.000 meinetwegen so einen Bolzen, den wir in einer horizontalen Führung 46:48.000 --> 46:55.620 gleiten lassen, dann bleibt die Hülse wirklich auf der Höhe. 46:58.600 --> 47:01.700 Allerdings dürfen wir dann nicht mehr so ganz einfach freischneiden, 47:01.780 --> 47:02.960 wie wir das hier gemacht haben. 47:02.960 --> 47:05.280 Was wir dann machen müssen ist, 47:14.680 --> 47:21.160 wir haben dann wieder das wie gewohnt, und jetzt haben wir aber von 47:21.160 --> 47:31.450 der Hülse auf unser Pendel nur noch eine Normalkraft, N. 47:32.090 --> 47:36.630 Eine Kraft entlang des Pendels kann es ja nicht geben, und jetzt 47:36.630 --> 47:39.170 müssen wir separat noch unsere Hülse freischneiden. 47:41.990 --> 47:46.410 Da haben wir letztendlich die Normalkraft vom Pendel auf die Hülse. 47:47.110 --> 47:51.050 Wir haben die beiden Federkräfte, die fasse ich jetzt mal zu einer 47:51.050 --> 47:54.990 Kraft zusammen, und wir haben die Kraft von der Führung. 47:57.230 --> 48:01.650 Die Kraft von der Führung ist aber in dem Falle ja eine Zwangskraft. 48:03.630 --> 48:06.550 Bei den Lagrangian Gleichungen spielen die Zwangskräfte, die waren ja 48:06.550 --> 48:08.290 außen vor, die treten da gar nicht auf. 48:09.570 --> 48:12.810 Und wenn Sie jetzt alles richtig machen, dann sehen Sie die 48:12.810 --> 48:13.770 Normalkraft N. 48:16.110 --> 48:24.530 Hier haben wir die Federkraft, das war gerade C mal A mal Tangensphi. 48:28.060 --> 48:30.940 Dann machen wir eine Kräftebilanz in der Richtung. 48:33.000 --> 48:42.100 Dann wird also N mal Cosinusphi gerade so groß sein wie die 48:42.100 --> 48:49.600 Federkraft, das heißt die Normalkraft, die ist C mal A mal Tangensphi 48:49.600 --> 48:52.060 dividiert durch Cosinusphi. 48:52.180 --> 48:53.640 Jetzt haben wir also schon einen Cosinus. 48:54.360 --> 48:59.160 Und dann haben wir natürlich hier einen Hebelarm von der Normalkraft, 48:59.560 --> 49:03.500 der größer ist als der vertikale Abstand, also kriegen wir da nochmal 49:03.500 --> 49:04.860 was rein, Cosinusphi. 49:05.240 --> 49:09.180 Und kommen letztendlich über so einen Freischnitt auf genau dasselbe 49:09.180 --> 49:11.820 Ergebnis wie über die Lagrangian Gleichung. 49:15.120 --> 49:22.760 Eine andere Möglichkeit besteht natürlich darin, ich bringe an meiner 49:22.760 --> 49:28.960 Hülse einen Aktor an, den ich mit dem Pendel verbinde und regle die 49:28.960 --> 49:33.920 Kraft, die an der Hülse zieht, damit die in der Höhe bleibt, immer so 49:33.920 --> 49:36.480 abhängig von der Stellung, von der Winkelstellung. 49:37.140 --> 49:39.700 Die Kraft, mit der ich dann längs des Pendels an der Hülse ziehen 49:39.700 --> 49:41.700 muss, die ist von der Stellung abhängig. 49:43.180 --> 49:47.760 Wenn ich so einen Mechanismus mache, dann muss ich natürlich 49:47.760 --> 49:48.320 aufpassen. 49:49.620 --> 49:53.300 Und zwar muss ich dann bei den Lagrangian Gleichungen aufpassen, weil 49:53.300 --> 49:58.100 dann habe ich plötzlich eine Kraft, mit der ich Arbeit am System 49:58.100 --> 49:58.700 verrichte. 50:00.280 --> 50:05.380 Dann habe ich plötzlich nicht mehr Qphi gleich Null, sondern dann habe 50:05.380 --> 50:08.760 ich eine virtuelle Arbeit aufgrund der Verschiebung dieser Kraft. 50:09.520 --> 50:12.820 Aber wenn ich dann alles wieder richtig mache, dann komme ich mit den 50:12.820 --> 50:19.500 Lagrangian Gleichungen natürlich auf die Bewegungsgleichung. 50:21.640 --> 50:28.380 Beim Prinzip von d'Alembert ist dann diese Kraft eine innere Kraft, 50:29.940 --> 50:33.740 die ich letztlich dann, weil es eine innere Kraft ist, nicht 50:33.740 --> 50:34.620 berücksichtigen muss. 50:35.600 --> 50:40.640 Also man sieht, es ist im Grunde genommen ein einfaches Beispiel. 50:42.720 --> 50:46.260 Nichtsdestotrotz muss man sich auch bei einfachen Beispielen mitunter 50:46.260 --> 50:50.300 einiges überlegen, um das beim Auftritt erklären zu können. 50:50.460 --> 50:53.980 Und ich hoffe, dass Ihnen auch klar geworden ist, dass man mit der 50:53.980 --> 50:59.020 Methode, ich nehme mal an, dass das so ist, dass man da sehr 50:59.020 --> 50:59.980 vorsichtig sein muss. 51:01.300 --> 51:05.780 Sehr oft lösen wir Dinge aus der Anschauung. 51:07.000 --> 51:13.480 Und das kann aber in 95% gut gehen, zu einem gewissen Prozentsatz kann 51:13.480 --> 51:14.140 das schief gehen. 51:15.900 --> 51:17.880 Gibt es soweit noch Fragen? 51:32.030 --> 51:37.130 Also wenn Sie Prinzip von d'Alembert nehmen und rechnen irgendwas aus 51:37.130 --> 51:40.410 und Sie nehmen irgendeine andere Methode und es kommt nicht dasselbe 51:40.410 --> 51:44.630 raus, dann müssen Sie zumindest mal suchen, wo liegt der Fehler. 51:45.450 --> 51:49.550 Und der Fehler, Fehlersuche ist schwierig, der könnte zunächst mal 51:49.550 --> 51:52.130 darin liegen, dass Sie einfach irgendeinen Rechenfehler drin haben. 51:52.810 --> 51:54.070 Das ist das Unangenehmste. 51:54.890 --> 51:58.910 Und aber fast noch unangenehmer sind solche Modellfehler. 52:00.130 --> 52:04.730 Und die kann man durchaus vielleicht damit finden. 52:05.350 --> 52:09.730 Also ich habe auch schon durchaus renommierte Bücher über 52:09.730 --> 52:19.150 Mehrkörperdynamik gesehen, bei denen genau solche Dinge, wie auf der 52:19.150 --> 52:21.690 rechten Tafelseite dargestellt, behandelt wurden. 52:22.050 --> 52:26.330 Die haben auch den Fehler gemacht, dass die praktisch so nach dem 52:26.330 --> 52:31.250 Motto, ich nehme an, die Kraft wirkt immer in der Höhe, gehandelt 52:31.250 --> 52:31.450 haben. 52:32.610 --> 52:35.250 Ich muss dazu sagen, das waren ursprünglich Elektrotechniker. 52:41.640 --> 52:46.100 Wenn es keine Fragen mehr gibt, dann kommen wir jetzt zum dritten 52:46.100 --> 52:46.620 Beispiel. 53:12.390 --> 53:17.290 Nämlich ein Relativproblem, 53:21.630 --> 53:24.930 nämlich ein Massenpunkt kann sich in einem rotierenden Rohr bewegen. 53:39.660 --> 53:46.160 Wir haben also ein Inertialsystem, nennen wir das mal XY. 53:48.920 --> 53:52.220 Wir haben im Inertialsystem ein Rohr, 53:58.860 --> 54:03.820 das eigentlich schlank sein soll, soll keine Ausdehnung haben, quer zu 54:03.820 --> 54:04.600 seiner Achsrichtung. 54:06.660 --> 54:16.700 Wir führen entsprechende Relativkoordinaten X' und Y' ein, wobei das 54:16.700 --> 54:21.900 Y' eigentlich nur dazu dient, um zu zeigen, dass das Rohr gegenüber 54:21.900 --> 54:23.560 dem Inertialsystem rotiert. 54:25.200 --> 54:33.600 Der Rotationswinkel Phi, der soll sich konstant mit der Zeit ändern, 54:33.600 --> 54:37.280 das heißt, wir haben eine konstante Winkelgeschwindigkeit des Rohrs. 54:39.740 --> 54:43.940 Damit können wir die relativ leicht integrieren und auf den 54:43.940 --> 54:46.880 Verdrehwinkel kommen, nämlich für eine konstante Winkelgeschwindigkeit 54:46.880 --> 54:50.480 ergibt sich dann ein Winkelphi gleich Omega T plus eventuelle 54:50.480 --> 54:53.500 Konstante, die Konstante lassen wir jetzt einfach mal weg. 54:54.640 --> 54:56.220 Wie gesagt, Omega ist konstant. 54:57.960 --> 55:02.620 Die Gravitation, die spielt in dem Falle keine Rolle, die ist also 55:02.620 --> 55:04.500 senkrecht auf unserer Bewegungsebene. 55:05.400 --> 55:08.580 Im Rohr selbst haben wir einen Massenpunkt, 55:13.310 --> 55:34.790 Masse M, der mit dem Rohr über eine Feder und einen Dämpfer verbunden 55:36.540 --> 55:36.940 ist. 55:39.300 --> 55:45.180 Dämpferkonstante sei K, Federkonstante sei C, also eine Feder mit 55:45.180 --> 55:46.500 einer linearen Charakteristik. 55:46.500 --> 55:55.280 Feder entspannt, wenn der Massenpunkt sich gerade hier im Ursprung 55:55.280 --> 56:00.100 befindet, das heißt, für x' gleich 0 ist die Feder entspannt. 56:07.810 --> 56:11.810 Zunächst mal die Frage, wenn wir die Bewegungsgleichungen oder wie 56:11.810 --> 56:15.250 auch immer mit Lagrange herleiten, wie viele Freiheitsgrade hat das 56:15.250 --> 56:15.630 System? 56:24.810 --> 56:26.530 Wie viele Freiheitsgrade hat das System? 56:31.550 --> 56:32.610 Wer ist für einen? 56:34.970 --> 56:36.050 Wer ist für zwei? 56:38.250 --> 56:39.250 Wer ist für drei? 56:42.960 --> 56:44.340 Wo sehen Sie drei Freiheitsgrade? 56:53.690 --> 56:56.690 Er war der Protestwähler, jetzt fragen wir mal die große Mehrheit. 56:57.330 --> 56:58.270 Wer war für zwei? 57:00.770 --> 57:01.430 Welche zwei? 57:05.870 --> 57:09.210 Ja, sehen Sie, Demokratie ist nicht immer gut. 57:10.690 --> 57:13.190 Die Drehbewegung haben wir vorgegeben. 57:14.410 --> 57:18.250 Die ist explizit gegeben mit Omega t, das ist eine vorgegebene 57:18.250 --> 57:19.440 Bewegung, das ist kein Freiheitsgrad. 57:20.630 --> 57:24.150 Also letztendlich haben wir in dem Falle ein System mit nur einem 57:24.150 --> 57:24.440 Freiheitsgrad. 57:26.130 --> 57:31.090 Also wir haben einen Freiheitsgrad, n ist wieder 1 und der 57:31.090 --> 57:33.430 Freiheitsgrad ist dann gerade x'. 57:40.810 --> 57:45.910 Mit Lagrange sehen wir, wir brauchen kinetische Energie und 57:45.910 --> 57:47.030 potenzielle Energie. 57:47.510 --> 57:51.970 Für die kinetische Energie, da brauchen wir die Absolutgeschwindigkeit 57:51.970 --> 57:52.790 des Massenpunktes. 57:55.110 --> 58:03.970 Also t gleich 1,5 m mal v Absolut zum Quadrat. 58:04.670 --> 58:08.970 Und die Absolutgeschwindigkeit, die hängt natürlich ab von der 58:08.970 --> 58:10.790 Bewegung, aber auch von der Drehung. 58:11.830 --> 58:15.270 Also das sieht man jetzt nicht so ohne weiteres, deshalb macht man in 58:15.270 --> 58:16.590 so einem Fall den Dienstweg. 58:18.050 --> 58:23.650 Und wir sehen, der Ortsvektor zum Massenpunkt im Inertialsystem, der 58:23.650 --> 58:30.310 ist gerade x' mal Cosinusv in x-Richtung. 58:32.390 --> 58:42.490 Also x' Cosinusv und V war Omega t in x-Richtung und in y-Richtung 58:42.490 --> 58:51.450 gerade x' mal Sinusv, also x' Sinus Omega t. 58:53.930 --> 59:00.630 Dementsprechend haben wir dann R' gleich, jetzt müssen wir aufpassen, 59:00.750 --> 59:04.730 sowohl das x' als auch Omega t sind Funktionen der Zeit. 59:05.270 --> 59:14.210 Produktregel gibt also x' Cosinus Omega t plus x' mal der Ableitung 59:14.210 --> 59:15.930 von Cosinus Omega t. 59:15.930 --> 59:25.630 Das gibt minus Omega Sinus Omega t, also minus x' Omega Sinus Omega t. 59:27.930 --> 59:32.190 Genauso für die y-Koordinate, da erhalten wir x' Punkt. 59:34.630 --> 59:44.770 Sinus Omega t plus x' Ableitung von Sinus Omega t ist Omega Cosinus 59:44.770 --> 59:45.510 Omega t. 59:52.050 --> 59:57.790 Wir brauchen Vabsolut, das ist gerade x-Koordinate der Geschwindigkeit 59:57.790 --> 01:00:02.590 zum Quadrat plus y-Koordinate der Geschwindigkeit zum Quadrat. 01:00:02.590 --> 01:00:11.210 Also Vabsolut zum Quadrat ist, das kriegen wir hier, x' Quadrat 01:00:11.210 --> 01:00:16.670 Cosinus Quadrat Omega t 01:00:22.170 --> 01:00:30.190 Plus x' Quadrat Omega Quadrat Sinus Quadrat Omega t plus x' Quadrat 01:00:30.190 --> 01:00:35.770 Omega Quadrat Sinus Quadrat Omega t. 01:00:37.050 --> 01:00:44.390 Und jetzt der gemischte Term, mal zwei, gibt also minus zweimal x' 01:00:46.870 --> 01:00:54.990 Omega Sinus Omega t Cosinus Omega t. 01:01:00.350 --> 01:01:05.510 Plus jetzt y-Koordinate zum Quadrat, da haben wir zunächst den ersten 01:01:05.510 --> 01:01:11.190 Term zum Quadrat, also plus und der erste Term zum Quadrat ergibt x' 01:01:11.750 --> 01:01:16.030 Quadrat Sinus Quadrat Omega t. 01:01:17.530 --> 01:01:25.110 Plus den zweiten Term zum Quadrat, also plus x' Quadrat Omega Quadrat 01:01:25.110 --> 01:01:26.810 Cosinus Quadrat Omega t. 01:01:29.330 --> 01:01:37.510 Plus, jetzt zweimal den gemischten Term, gibt also plus zweimal x' x' 01:01:38.030 --> 01:01:43.430 Omega Sinus Omega t Cosinus Omega t. 01:02:03.400 --> 01:02:05.680 Jetzt muss ich nur kurz zwischendurch die Tafel wischen, dass die 01:02:05.680 --> 01:02:06.140 trocken wird. 01:03:57.710 --> 01:03:59.370 So, was haben wir dann? 01:03:59.830 --> 01:04:02.290 Nun, ich habe das so geschickt untereinander geschrieben, dass man 01:04:02.290 --> 01:04:06.190 sieht, die ersten beiden untereinander stehenden Terme, das ist x' 01:04:06.590 --> 01:04:11.070 Quadrat, einmal mit Cosinus Quadrat, einmal mit Sinus Quadrat. 01:04:11.070 --> 01:04:20.850 Das gibt also gerade v' Quadrat gleich x' Quadrat. 01:04:21.930 --> 01:04:25.830 Dann haben wir als nächstes untereinander stehen x' Quadrat Omega 01:04:25.830 --> 01:04:29.810 Quadrat, einmal mit Sinus Quadrat Omega t, einmal mit Cosinus Quadrat 01:04:29.810 --> 01:04:30.510 Omega t. 01:04:30.510 --> 01:04:38.270 Das gibt also plus x' Quadrat Omega Quadrat. 01:04:39.770 --> 01:04:43.690 Und die gemischten Terme, das sieht man, die heben sich gerade 01:04:43.690 --> 01:04:49.270 gegenseitig weg, sodass unsere Absolutgeschwindigkeit sehr einfach 01:04:49.270 --> 01:04:54.370 wird, weil eben Omega konstant vorgegeben ist. 01:04:57.010 --> 01:05:06.950 Das heißt, die kinetische Energie beträgt einfach m Halbe mal x' 01:05:07.450 --> 01:05:11.530 Quadrat plus x' Quadrat Omega Quadrat. 01:05:12.370 --> 01:05:16.010 Man sieht, jetzt haben wir mal ein Beispiel, bei dem die kinetische 01:05:16.010 --> 01:05:19.690 Energie nicht nur von der Zeitableitung von der Koordinate abhängt, 01:05:19.810 --> 01:05:21.550 sondern auch von den Koordinaten selbst. 01:05:22.890 --> 01:05:30.170 Die potenzielle Energie, und da haben wir nur die Feder, lineare 01:05:30.170 --> 01:05:34.270 Federcharakteristik heißt, die zugehörige potenzielle Energie ist 01:05:34.270 --> 01:05:38.890 einfach c Halbe mal Federverlängerung zum Quadrat, die Verlängerung 01:05:38.890 --> 01:05:39.350 bzw. 01:05:39.490 --> 01:05:43.730 Verkürzung war gerade x', also x' Quadrat. 01:05:46.190 --> 01:05:59.770 Damit haben wir L gleich 1 Halb m x' Punkt Quadrat plus x' Quadrat 01:05:59.770 --> 01:06:05.850 Omega Quadrat minus c Halbe x' Quadrat. 01:06:10.700 --> 01:06:18.100 Was jetzt noch fehlt, ist natürlich der Anteil des Dämpfers. 01:06:19.660 --> 01:06:23.460 Wie sieht es eigentlich aus mit der Kraft, mit der Normalkraft 01:06:23.460 --> 01:06:24.840 zwischen Rohr und Massenpunkt? 01:06:27.760 --> 01:06:29.280 Wie bringen wir denn die ins Spiel? 01:06:41.550 --> 01:06:44.490 Jein, es gibt eine viel einfachere Erklärung, das ist eine 01:06:44.490 --> 01:06:45.990 Zwangskraft, die interessiert uns nicht. 01:06:48.950 --> 01:06:51.870 Also Zwangskräfte müssen wir einfach nicht berücksichtigen und wenn 01:06:51.870 --> 01:06:57.090 wir verschieben würden, sehen wir auch, die bringt keinen Beitrag. 01:06:58.070 --> 01:07:00.030 Also was noch bleibt, ist der Dämpfer. 01:07:00.550 --> 01:07:04.410 Die Dämpferkraft, die wirkt entgegen einer positiven 01:07:04.410 --> 01:07:07.890 Relativgeschwindigkeit, das heißt, wenn der Massenpunkt sich in 01:07:07.890 --> 01:07:16.370 positive x' Richtung bewegt, dann ist die Dämpferkraft in negative x' 01:07:16.570 --> 01:07:17.450 Richtung gerichtet. 01:07:18.110 --> 01:07:23.730 Die zugehörige virtuelle Verschiebung ist delta x' in positive x' 01:07:23.910 --> 01:07:24.270 Richtung. 01:07:24.910 --> 01:07:33.230 Also letztendlich die virtuelle Arbeit ist minus k mal x' Punkt mal 01:07:33.230 --> 01:07:34.950 delta x'. 01:07:37.820 --> 01:07:43.700 Die ist aber auch gerade q x' mal delta x'. 01:07:44.100 --> 01:07:56.020 Man sieht, das q x' ist damit gerade minus k mal x' Punkt. 01:07:58.860 --> 01:08:06.900 Was jetzt noch fehlt, ist die Parzelleableitung von L nach x' Punkt. 01:08:07.960 --> 01:08:13.360 Nun wir sehen, in L hängt nur der erste Term von x' Punkt ab, das gibt 01:08:13.360 --> 01:08:25.640 also gerade 1 halb mal m mal 2 mal x' Punkt, gibt also m mal x' Punkt. 01:08:27.360 --> 01:08:30.980 Alle anderen Terme hängen zwar noch von x' ab, aber nicht von x' 01:08:31.240 --> 01:08:34.020 Punkt, nicht von der Zeitableitung von x'. 01:08:35.940 --> 01:08:41.720 Auch hier können wir das D nach DT letztendlich sehr einfach machen. 01:08:42.220 --> 01:08:46.000 Ich deute es mal in der gelben Farbe an, das gibt dann einfach nochmal 01:08:46.000 --> 01:08:48.000 eine Zeitableitung auf der rechten Seite. 01:08:48.540 --> 01:08:52.280 M ist konstant, also müssen wir einfach das x' Punkt nochmal nach der 01:08:52.280 --> 01:08:57.340 Zeit differenzieren, das gibt dann also x' 2 Punkt. 01:09:03.450 --> 01:09:08.750 Als letztes noch die Parzelleableitung von L nach x'. 01:09:09.630 --> 01:09:20.470 Und da sehen wir, wir haben 1 halb m x' Punkt Quadrat, partiell nach 01:09:20.470 --> 01:09:25.810 x' abgeleitet ist 0, aber x' Quadrat Omega Quadrat partiell nach x' 01:09:25.970 --> 01:09:29.600 abgeleitet ergibt 2 mal x' mal Omega Quadrat. 01:09:29.600 --> 01:09:39.920 Der Faktor 2 kürzt sich mit dem Faktor 1 halb, gibt damit m x' Omega 01:09:39.920 --> 01:09:40.700 Quadrat. 01:09:42.740 --> 01:09:47.480 Dann haben wir minus c halbe x' Quadrat partiell nach x' abgeleitet 01:09:47.480 --> 01:09:50.060 ergibt minus c mal x'. 01:09:54.260 --> 01:09:58.440 Das heißt, jetzt haben wir sowohl den ersten Term in der 01:09:58.440 --> 01:10:02.220 Lagrangiangleichung und den zweiten Term und das q x'. 01:10:02.220 --> 01:10:12.660 Wir können alles einsetzen und erhalten schlussendlich m x' 2 Punkt, 01:10:13.660 --> 01:10:18.280 minus gibt hier plus c mal x'. 01:10:19.660 --> 01:10:28.560 Minus m Omega Quadrat gibt also c minus m Omega Quadrat mal x' gleich 01:10:28.560 --> 01:10:32.660 0 als Bewegungsgleichung in dem Falle. 01:10:34.800 --> 01:10:37.200 Gibt es soweit Fragen? 01:10:47.920 --> 01:10:49.380 Er hat aufgepasst. 01:10:53.300 --> 01:10:55.460 Ich war so in meinem Ding drin. 01:10:57.100 --> 01:11:05.240 Also da steht zunächst mal gleich minus k mal x' Punkt. 01:11:06.880 --> 01:11:11.140 Dieses minus k mal x' Punkt bringe ich gleich nach links, dann heißt 01:11:11.140 --> 01:11:14.360 es plus k mal x' Punkt gleich 0. 01:11:15.160 --> 01:11:15.880 Danke. 01:11:29.930 --> 01:11:33.530 Das haben wir an der Stelle vielleicht nicht explizit gesagt, aber 01:11:33.530 --> 01:11:38.570 vorausgesetzt, dass der Massenpunkt im Rohr reibungsfrei gleiten kann. 01:11:39.650 --> 01:11:42.170 Sonst müssen wir da noch die Reibkraft berücksichtigen, genau. 01:11:54.900 --> 01:12:00.780 Als letztes dann noch ein Vergleich von den beiden Methoden für ein 01:12:00.780 --> 01:12:02.680 etwas komplizierteres Beispiel. 01:12:08.210 --> 01:12:12.910 Das etwas kompliziertere Beispiel, das können Sie nehmen so ein 01:12:12.910 --> 01:12:16.250 bisschen als Modell für das, was ich hier im räumlichen Fall 01:12:16.250 --> 01:12:16.870 vorstelle. 01:12:17.450 --> 01:12:20.570 Und wenn ich das so drauf stelle, dann kann das sowohl zur Seite 01:12:20.570 --> 01:12:22.390 kippen als auch nach vorne und hinten. 01:12:23.350 --> 01:12:26.190 Wenn Sie mal meine Hand betrachten und annehmen, meine Hand, die kann 01:12:26.190 --> 01:12:28.790 sich irgendwo in der Ebene bewegen. 01:12:29.030 --> 01:12:32.930 Also im räumlichen Fall wird die sich natürlich räumlich bewegen. 01:12:32.930 --> 01:12:38.150 Und dann kann ich natürlich die Hand ansteuern, um letztendlich das zu 01:12:38.150 --> 01:12:38.770 balancieren. 01:12:46.830 --> 01:12:48.370 Das war jetzt jetzt noch nicht wert. 01:12:51.250 --> 01:12:52.830 Das können ja sogar meine Kinder. 01:12:57.780 --> 01:13:00.960 Wir betrachten das Ganze mal in der Ebene, dann kann das zumindest 01:13:00.960 --> 01:13:02.780 nicht zur Seite fallen, gehen wir davon aus. 01:13:03.840 --> 01:13:08.160 Das heißt, wir haben jetzt so ein Wägelchen, 01:13:16.910 --> 01:13:21.650 das sich reibungsfrei auf der Unterlage bewegen kann. 01:13:22.750 --> 01:13:25.510 Man sieht, das kann auch nur eine translatorische Bewegung machen. 01:13:28.450 --> 01:13:35.630 Und dann haben wir so gelenkig im Wagen gelagert einen Stab, 01:13:36.370 --> 01:13:41.770 Flankenstab der Länge L, homogen, das heißt der Schwerpunkt, der liegt 01:13:41.770 --> 01:13:42.590 genau in der Mitte. 01:13:44.390 --> 01:13:50.410 Die Verdrehung des Stabes gegenüber der Vertikalen, das beschreiben 01:13:50.410 --> 01:13:52.110 wir durch den Winkel V. 01:13:58.570 --> 01:14:05.230 Die Bewegung des Wägelchens, die beschreiben wir durch eine Koordinate 01:14:05.230 --> 01:14:12.370 X, wobei ich jetzt mal noch zwei Koordinatenachsen einzeichne, nämlich 01:14:12.370 --> 01:14:13.630 Y und Z. 01:14:17.930 --> 01:14:25.110 Also das X ist dann gerade die Verschiebung des Wägelchens. 01:14:28.820 --> 01:14:36.420 Wir haben zusätzlich jetzt noch die Gravitation wirken. 01:14:38.900 --> 01:14:48.040 Wir haben eine Feder hier angebracht, lineare Charakteristik, 01:14:48.480 --> 01:14:54.820 Federsteifigkeit C, deren Fußpunkt bewegt wird über eine vorgegebene 01:14:54.820 --> 01:14:55.480 Bewegung. 01:14:56.300 --> 01:14:58.760 Also das U von T ist gegeben. 01:15:01.300 --> 01:15:09.480 Wir haben eine Antriebskraft am Wagen, F von T, die im Prinzip 01:15:09.480 --> 01:15:10.900 ebenfalls gegeben ist. 01:15:12.100 --> 01:15:19.040 Und wir haben jetzt noch einen Dämpfer zwischen dem Stab und dem 01:15:19.040 --> 01:15:25.380 Wägelchen mit der Dämpferkonstanten Kd. 01:15:34.260 --> 01:15:40.880 Der Wagen hat die Masse M1, der Stab die Masse M2, der Stab hat 01:15:40.880 --> 01:15:44.860 zusätzlich das Massenträgheitsmoment bezüglich dem Schwerpunkt Js2. 01:15:47.820 --> 01:15:50.980 Nun für den Wagen, da könnten wir auch so einen Massenträgheitsmoment 01:15:50.980 --> 01:15:54.260 angeben, aber Sie wissen natürlich, in dem Fall, wenn der Wagen sich 01:15:54.260 --> 01:15:56.780 nicht verdreht, ist das uninteressant, das sparen wir uns an der 01:15:56.780 --> 01:15:57.080 Stelle. 01:15:57.860 --> 01:16:01.060 Zunächst mal die Frage, wie viele Freiheitsgrade hat das System? 01:16:12.140 --> 01:16:14.940 Sie müssen doch, wenn Sie in einer mündlichen Prüfung drin sitzen, wo 01:16:14.940 --> 01:16:20.640 Sie hoffentlich nie hinkommen, wissen, wie viele Freiheitsgrade so ein 01:16:20.640 --> 01:16:21.380 System dann hat. 01:16:23.920 --> 01:16:25.040 Welche? 01:16:29.160 --> 01:16:29.440 Wie? 01:16:31.880 --> 01:16:33.540 Was ist mit dem U? 01:16:40.970 --> 01:16:42.090 Wie? 01:16:45.120 --> 01:16:49.900 Was wäre, wenn das nicht vorgegeben wäre? 01:16:50.940 --> 01:16:52.260 Wäre das dann ein Freiheitsgrad? 01:16:55.220 --> 01:16:55.620 Wie? 01:16:59.230 --> 01:17:01.830 Oh, wir haben kontroverse Diskussionen. 01:17:02.750 --> 01:17:05.450 Fast wie im Parlament, die einen sagen ja, die anderen sagen nein. 01:17:05.950 --> 01:17:07.990 Hier haben wir den Vorteil, hier gibt es eine eindeutige Antwort, wir 01:17:07.990 --> 01:17:10.570 haben keine Masse an dem Punkt befestigt, also wäre es auch kein 01:17:10.570 --> 01:17:14.870 Freiheitsgrad, wenn wir das nicht irgendwie vorgeben, die Verschiebung 01:17:14.870 --> 01:17:20.010 hier, dann wäre die Feder einfach entspannt und würde frei hängen. 01:17:20.010 --> 01:17:24.930 Wenn wir da eine Masse noch anbringen würden und nicht die 01:17:24.930 --> 01:17:28.450 Verschiebung vorgeben, dann wäre das noch ein weiterer Freiheitsgrad. 01:17:29.470 --> 01:17:31.650 Also in dem Fall haben wir zwei Freiheitsgrade, 01:17:36.140 --> 01:17:37.820 nämlich das X und das Phi. 01:17:41.670 --> 01:17:46.910 Also wenn wir später mit Lagrange das machen, haben wir N gleich 2, Q1 01:17:46.910 --> 01:17:49.250 gleich X, Q2 gleich Phi. 01:17:51.190 --> 01:17:56.110 Jetzt machen wir das allerdings mal zunächst mit dem Prinzip von d 01:17:56.110 --> 01:17:57.510 'Alembert in lagranger Fassung. 01:17:58.630 --> 01:18:08.930 Dazu zeichnen wir uns das System nochmal raus und tragen alle 01:18:08.930 --> 01:18:15.610 relevanten Kräfte und Momente in das Bild ein, die wir brauchen. 01:18:20.280 --> 01:18:27.900 Nun ganz klar, wir haben zunächst mal die Federkraft, die 01:18:32.820 --> 01:18:34.140 am Wagen nach links zieht. 01:18:35.580 --> 01:18:37.180 Wie groß ist die Federkraft? 01:18:38.040 --> 01:18:44.140 Nun die ist C mal X, das ist aber nur X die Verlängerung der Feder, 01:18:44.520 --> 01:18:47.240 wenn das U Null ist. 01:18:47.240 --> 01:18:50.600 Wenn jetzt das U positiv ist, dann nimmt die Federverlängerung ab, 01:18:50.660 --> 01:18:53.740 nämlich genau um U, also C mal X minus U. 01:18:55.600 --> 01:19:01.140 Wir haben die Antriebskraft, F von T. 01:19:03.160 --> 01:19:10.720 Nun da letztendlich man hier eine Führung hat, haben wir zwar eine 01:19:10.720 --> 01:19:14.500 Normalkraft von der Unterlage auf den Wagen, das ist aber eine 01:19:14.500 --> 01:19:15.160 Zwangskraft. 01:19:15.160 --> 01:19:17.460 Die müssen wir dort nicht berücksichtigen. 01:19:18.640 --> 01:19:19.400 Was haben wir noch? 01:19:21.180 --> 01:19:27.400 Nun zunächst mal haben wir einen Moment auf den Stab vom Drehdämpfer. 01:19:27.920 --> 01:19:32.780 Wenn der Stab sich in positive Phi-Punkt-Richtung bewegt, dann haben 01:19:32.780 --> 01:19:38.480 wir einen Moment am Stab K D mal Phi-Punkt. 01:19:39.480 --> 01:19:43.900 Jetzt müssen wir aber aufpassen, dieses Moment wirkt auch am Wagen, 01:19:44.060 --> 01:19:49.780 also auch auf den Wagen wirkt dann ein Moment K D mal Phi-Punkt. 01:21:34.400 --> 01:21:35.480 Was haben wir noch? 01:21:35.780 --> 01:21:44.400 Wir haben die Gewichtskräfte, M1 mal G als eingeprägte Kraft, dann M2 01:21:44.400 --> 01:21:45.060 mal G. 01:21:53.760 --> 01:21:58.980 Was jetzt noch fehlt, sind die entsprechenden Trägheitstherme, die ich 01:21:58.980 --> 01:21:59.940 in gelb eintrage. 01:22:00.920 --> 01:22:01.680 Was haben wir da? 01:22:01.760 --> 01:22:07.280 Wir haben zum einen, ich trage es einfach mal hier an, obwohl es 01:22:07.280 --> 01:22:10.280 eigentlich am Schwerpunkt vom Wagen angreifen sollte, das ist die 01:22:10.280 --> 01:22:16.080 Trägheitskraft des Wagens, nämlich M1 X2-Punkt entgegen einer 01:22:16.080 --> 01:22:17.060 positiven Beschleunigung. 01:22:19.040 --> 01:22:35.110 Beim Stab müssen wir aufpassen, da haben wir zunächst mal M2 mal Y2 01:22:35.110 --> 01:22:38.470 -Punkt in horizontaler Richtung. 01:22:38.970 --> 01:22:43.910 In vertikaler Richtung haben wir entgegen der positiven Z-Richtung die 01:22:43.910 --> 01:22:50.250 Trägheitskraft M2 Z2-Punkt. 01:22:51.930 --> 01:22:57.290 Und wir haben das Trägheitsmoment, ich trage es mal so an, entgegen 01:22:57.290 --> 01:23:05.870 einer positiven Winkelbeschleunigung haben wir dann JS2 Phi-Punkt. 01:23:07.290 --> 01:23:11.570 Man sieht, wir haben jetzt eine ganze Menge Kräfte und Momente. 01:23:12.750 --> 01:23:14.770 Was haben wir jetzt noch anzutragen? 01:23:15.410 --> 01:23:22.250 Nun im Grunde genommen würde ich sagen, fehlen jetzt noch die 01:23:22.250 --> 01:23:26.910 zugehörigen virtuellen Verschiebungen, Verdrehungen und Verrückungen. 01:23:26.910 --> 01:23:36.370 Das sind beim Massenpunkt 1 lediglich ein Delta X nach rechts, 01:23:41.020 --> 01:23:50.460 hier haben wir ein Delta Y1 in Richtung der Y-Achse vom Stab, dann ein 01:23:50.460 --> 01:23:58.600 Delta Z1, virtuelle Verrückung des Schwerpunktes, und eine virtuelle 01:23:58.600 --> 01:24:05.020 Verdrehung, ein Delta Phi, die virtuelle Verdrehung des Massenpunktes 01:24:05.020 --> 01:24:05.420 ist 0. 01:24:06.700 --> 01:24:12.660 Und wenn wir jetzt die virtuelle Arbeit aufstellen, 01:24:16.870 --> 01:24:23.270 dann können wir das machen für den Wagen und für den Stab. 01:24:25.310 --> 01:24:31.690 Dann haben wir zunächst mal die Anteile des Wagens, Delta W ist, was 01:24:31.690 --> 01:24:32.170 haben wir da? 01:24:32.170 --> 01:24:39.410 Wir haben die Federkraft, skalar multipliziert mit Delta X, minus C 01:24:39.410 --> 01:24:42.590 mal X minus U mal Delta X. 01:24:43.430 --> 01:24:50.430 Dann haben wir die Antriebskraft plus F und T, Delta X. 01:24:53.480 --> 01:24:57.640 Die Gewichtskraft steht senkrecht auf Delta X, bringt also keinen 01:24:57.640 --> 01:24:58.320 Beitrag. 01:24:58.320 --> 01:25:07.160 Allerdings minus M1 X2 Punkt Delta X, was haben wir noch? 01:25:07.600 --> 01:25:12.800 Nun am Wagen greift auch das Moment an, KD mal Phi Punkt, da aber die 01:25:12.800 --> 01:25:17.600 zugehörige Winkelverdrehung Delta Phi des Wagens, oder die virtuelle 01:25:17.600 --> 01:25:21.940 Verdrehung des Wagens 0 ist, entfällt das, das waren jetzt alle 01:25:21.940 --> 01:25:27.060 Anteile des Wagens, wie sieht es aus mit dem Stab? 01:25:27.060 --> 01:25:36.440 Nun haben wir zum einen in negative Y-Richtung, also minus M2 Y2 2 01:25:36.440 --> 01:25:58.340 Punkt Delta Y2, das Delta Y2 geht nach rechts, die Trägheitskraft nach 01:25:58.340 --> 01:25:58.680 links. 01:25:58.680 --> 01:26:02.720 Dann haben wir die Trägheitskraft in Z-Richtung, auch die geht 01:26:02.720 --> 01:26:10.500 entgegen dem Delta Z2, also minus M2 Z2 2 Punkt Delta Z2. 01:26:15.110 --> 01:26:20.530 Dann haben wir die Gewichtskraft, auch die geht in negative Z 01:26:20.530 --> 01:26:25.550 -Richtung, also minus M2 G mal Delta Z2. 01:26:28.430 --> 01:26:35.130 Und jetzt fehlt noch das Trägheitsmoment und das Moment des Dämpfers, 01:26:35.970 --> 01:26:40.590 beide in negative Phi-Richtung, also entgegen dem Delta Phi, also 01:26:40.590 --> 01:26:56.510 minus JS2 Phi 2 Punkt Delta Phi minus KD mal Phi Punkt mal Delta Phi 01:26:56.510 --> 01:26:58.190 gleich 0. 01:26:58.670 --> 01:27:01.570 Ich hoffe, dass ich jetzt nichts vergessen habe im Eifer des 01:27:01.570 --> 01:27:02.230 Gefechtes. 01:27:02.230 --> 01:27:08.790 Man sieht, jetzt haben wir natürlich noch drinstehen, Z2 2 Punkt Y2 2 01:27:08.790 --> 01:27:16.810 Punkt Delta Z2 Delta Y2. 01:27:18.130 --> 01:27:22.190 Wir müssen aber all diese virtuellen Verrückungen und auch die 01:27:22.190 --> 01:27:26.230 Koordinaten ausdrücken über unsere Freiheitsgrade Q und Phi. 01:27:26.230 --> 01:27:27.730 Wie machen wir das? 01:27:28.750 --> 01:27:29.890 Das geben wir jetzt noch an. 01:27:30.690 --> 01:27:40.730 Und da wissen wir, R2, der Ortsvektor, zum Schwerpunkt des Stabes ist 01:27:40.730 --> 01:27:49.690 gerade in horizontaler Richtung das X plus L halbe Sinus Phi in 01:27:49.690 --> 01:27:52.290 vertikaler Richtung L halbe Cosinus Phi. 01:27:54.790 --> 01:28:12.510 Damit wissen wir, R2 Punkt ist X Punkt plus L halbe Phi Punkt Cosinus 01:28:12.510 --> 01:28:12.710 Phi. 01:28:12.710 --> 01:28:22.010 Dann haben wir hier minus L halbe Phi Punkt Sinus Phi und das R2 Punkt 01:28:22.010 --> 01:28:34.130 ist Y2 2 Punkt Z2 2 Punkt. 01:28:35.130 --> 01:28:38.090 Das erhalten wir noch durch Differentiation. 01:28:40.410 --> 01:28:50.770 Dann haben wir X2 Punkt plus jetzt haben wir L halbe Phi 2 Punkt 01:28:50.770 --> 01:28:51.810 Cosinus Phi. 01:28:52.870 --> 01:28:55.790 Müssen wir aufpassen, das Cosinus Phi hängt auch noch von der Zeit ab, 01:28:55.910 --> 01:29:02.050 also minus L halbe Phi Punkt Sinus Phi mal Phi Punkt gibt Phi Punkt 01:29:02.050 --> 01:29:02.650 Quadrat. 01:29:03.600 --> 01:29:11.050 Und in der unteren Zeile haben wir minus L halbe Phi 2 Punkt Sinus Phi 01:29:11.050 --> 01:29:17.790 minus L halbe Phi Punkt Quadrat Cosinus Phi, wenn wir das richtig 01:29:17.790 --> 01:29:18.330 ableiten. 01:29:18.910 --> 01:29:23.990 Sie sehen, wenn wir jetzt oben Y2 2 Punkt und Z2 2 Punkt einsetzen, 01:29:24.110 --> 01:29:25.450 wird es ein bisschen komplizierter. 01:29:25.450 --> 01:29:33.250 Was jetzt noch fehlt, sind natürlich Delta Y2 und Delta Z2 als 01:29:33.250 --> 01:29:35.850 Funktion von Delta X und Delta Phi. 01:29:35.990 --> 01:29:37.970 Das kriegen wir aber über Delta R2 raus. 01:29:48.220 --> 01:29:58.260 Und da sehen wir, es gibt gerade in dem Falle Delta X plus L halbe 01:29:58.260 --> 01:30:08.160 Cosinus Phi Delta Phi beziehungsweise minus L halbe Sinus Phi Delta 01:30:08.160 --> 01:30:08.600 Phi. 01:30:09.600 --> 01:30:15.900 Damit können wir jetzt alles einsetzen und die virtuelle Arbeit 01:30:15.900 --> 01:30:23.460 ausdrücken als Klammer 1 mal Delta X plus Klammer 2 mal Delta Phi. 01:30:24.420 --> 01:30:27.960 Beide Klammern müssen für sich verschwinden und damit haben wir die 01:30:27.960 --> 01:30:29.340 entsprechenden Bewegungsgleichungen. 01:30:32.920 --> 01:30:35.920 Das sah jetzt relativ kompliziert aus, wenn Sie das mit dem Prinzip 01:30:35.920 --> 01:30:38.580 von D'Alembert machen, haben Sie noch viel mehr Zwangskräfte drin. 01:30:39.240 --> 01:30:40.380 Da wird es noch komplizierter. 01:30:42.360 --> 01:30:43.200 Ich bin gleich soweit. 01:30:44.160 --> 01:30:44.920 Gibt es noch Fragen? 01:30:45.720 --> 01:30:46.500 Hoffentlich nicht. 01:30:48.160 --> 01:30:48.680 Vielen Dank.