So, ich hoffe, wir sind alle wieder da.
Also ich möchte fortfahren bzw.
jetzt ich möchte fortfahren abzuschließen, also ich möchte jetzt das
Thema Mehrkörpersysteme abschließen.
Zunächst mal noch eine Anmerkung zu einer Frage, die jetzt gerade in
der Pause kam.
Ich habe hier Summen geschrieben.
Hören Sie mich richtig?
Das Mikrofon fühlt sich anders an als vorher.
Ich habe hier Summen geschrieben in der Formel.
Zum einen Summe über die Gelenkkräfte, Summe über die Momente und
Summe über die durch die Gelenkkräfte erzeugten Momente.
Jetzt wurde ich gefragt, hier müsste ja eigentlich nur stehen,
Zwangskraft zwischen J und K und J und I.
Das ist richtig, also in der Situation, wie ich sie gemalt habe, gibt
es nur die Zwangskräfte JK und JI, das heißt sozusagen vom Körper J
zum Folgekörper und vom Körper J zum Vorgängerkörper.
Diese Formulierung gilt in der Form zum Beispiel auch, wenn man noch
weitere Gelenke hat.
Man könnte zum Beispiel auch ein Gelenk haben, was nicht zwischen I
und K, sondern zwischen I und Z ist.
Also die Gelenke, die Körper könnten auch in so einer Art Schleife
verbunden sein.
Das heißt, diese Formulierung ist ein bisschen allgemeiner, als dieses
Bildchen hier angelegt ist.
Es wäre wahrscheinlich ein bisschen zu kompliziert geworden, dieses
Bild, wenn ich da noch mehr Punkte reingemalt hätte.
Also die Gleichungen sind nicht falsch, die sind sozusagen nur ein
bisschen für dieses Bild überdimensioniert und weiterführend
sozusagen.
So, zum Zweiten.
Eine zweite Frage war bezüglich der Einteilung eingeprägte Kräfte,
Zwangskräfte.
Dieses Blaue hier, ich hatte gesagt, das ist die resultierende Kraft
auf dem Körper J, es ist die resultierende eingeprägte Kraft auf dem
Körper J, also ohne die aus den Gelenken resultierenden Zwangskräfte,
denn die habe ich ja extra behandelt.
Das heißt, Fj und Mj bezüglich S sind eingeprägte Kräfte.
Zwangskräfte, die hier in diesem System, so wie es angenommen ist, nur
in den Gelenken entstehen, die sind hier in Rot geschrieben.
Zunächst eine kleine Anmerkung, das hier sind die Schwerpunktsätze,
das heißt quasi nutensches Grundgesetz, eulische Gleichung und darüber
hinaus gelten, natürlich, ich sage zu diesem Wort natürlich gleich
noch was dazu, gelten der Arbeits- und der Energiesatz unverändert vor
Ort.
Also Arbeits- und Energiesatz
gelten weiterhin.
Ich habe es aus Erlaubnis natürlich gesagt, das liegt letzten Endes
daran, wenn Sie sich erinnern, der Arbeitssatz, der war durch
Integration, also für den Massenpunkt war der Arbeitssatz durch
Integration aus dem nutenschen Grundgesetz entstanden, das gleiche
kann man für die eulischen Gleichungen machen, das heißt, der
Arbeitssatz ist im Prinzip durch Integration aus diesen
Impulsgleichungen hervorgegangen.
Lässt sich hier für das System genauso machen.
So, man kann sich jetzt noch Stoßvorgänge ansehen,
also Stoßvorgänge in solchen Systemen.
Im Gegensatz zu Stößen in Massenpunktsystemen muss man jetzt noch die
Ausdehnung der Körper beachten.
Also jetzt spielt die Ausdehnung eine Rolle, das heißt, jetzt muss die
räumliche Ausdehnung berücksichtigt werden.
Und ich schreibe mal dazu, Achtung, die Stoßzahlgleichung gilt nur im
Kontaktpunkt.
Gilt nur im Kontaktpunkt.
Und die Stoßzahlgleichung verknüpft in der Form, in der Sie sie
kennengelernt haben, auch nur die Vertikalkomponenten, also die
Komponenten entlang der Stoßnormalen der Geschwindigkeiten.
Im Kontaktpunkt, Ausrufezeichen.
So, das heißt so viel wie, na was heißen diese beiden Punkte, ich
mache mal so ein Bildchen.
Also, wenn jetzt hier der eine Körper ist, dann habe ich hier den
Schwerpunkt 1, Körper 1, und der stößt jetzt hier in diesem Punkt,
stößt dagegen Körper 2, mit Schwerpunkt 2.
Hier kann man diese Tangente, Tangentenebene reinlegen, senkrecht dazu
steht die Stoßnormale.
Und wenn ich mir diese Situation etwas vergrößere, dann habe ich quasi
hier den Körper 1 und hier den Körper 2.
Die Stoßnormale sieht so aus.
Und ich habe entlang der Stoßnormalen eine Normalkraft
und orthogonal dazu eine Reibungskraft.
Kann man haben,
weil Stöße mit Reibung ein heikles Thema sind.
Und für die Stoßzahl gilt minus, also Epsilon ist gleich minus, Delta
V in normalen Richtung nach dem Stoß, durch Delta V in normalen
Richtung vor dem Stoß.
So, das hier sind die Normalkomponenten
der Relativgeschwindigkeit
im Kontaktpunkt.
Und es sind natürlich Skalaregrößen, weil Sie nur Skalare auf diese
Form durcheinander teilen können.
Das heißt, wenn ich mir hier noch so ein Kinematikbild darunter male,
Körper 1, Körper 2,
dann hier die Stoßnormale,
dieser Kontaktpunkt auf Körper 2 hat von mir aus diese
Absolutgeschwindigkeit und der hier unten,
diese Absolutgeschwindigkeit vor dem Stoß und was es in die
Stoßzahlgleichung eingeht,
ist zum einen quasi Vn1,
senkrecht, senkrecht, und das ist Vn2 und Delta Vn ist dann zum
Beispiel Vn1 minus Vn2.
Und das hier können
Sie auch umgekehrt machen.
Das kürzt sich dann bei der Definition sozusagen raus.
So, das war im Prinzip nichts Neues, das war nur zur Erinnerung.
Worauf ich hinweisen möchte, ist, die Schwerpunktsätze geben die
Bewegung dieses Punktes.
Die Stoßzahlgleichung verknüpft Geschwindigkeiten in diesem Punkt.
Das heißt, wenn Sie solche Aufgaben lösen, müssen Sie von diesem Punkt
mit der kinematischen Grundgleichung und diesem Punkt eine Verbindung
herstellen.
Das heißt, der Lösungsweg ist schematisch,
erstens Impulssatz und Drehimpulssatz,
am besten in integraler Form,
bezüglich Schwerpunkt für alle Teilkörper,
also die Gleichungen, die wir vorhin angeschrieben hatten, integriert
über die Zeit, über das Stoßintervall integriert.
Wir bekommen Unbekannte, nämlich die Kräfte im Kontakt, also
beispielsweise die Stoßnormalkraft.
Um dieses Gleichungssystem lösen zu können, brauchen wir
Zusatzgleichungen.
Im Rahmen der Themen 3 und 4 lernen Sie diese Stoßzahlvariante kennen,
das heißt zum Beispiel, dass wir uns die Zusatzgleichung über diese
Modellvorstellung der Stoßzahl besorgen, also über Stoßzahl,
plus Kontaktkinematik,
das heißt die Verbindung von S nach Kontaktpunkt, nennen wir den mal C
hier, Kontaktpunkt,
mittels der kinematischen Grundgleichung,
also quasi so als Bildchen, dass man sagt, hier ist der Schwerpunkt,
dort ist der Kontaktpunkt, nennen wir mal CJ, und hier habe ich einen
Verbindungsvektor Rho, dann wäre also Geschwindigkeit des
Kontaktpunktes auf J, Geschwindigkeit des Schwerpunktes plus Omega
Kreuz Rho, und dann Auswertung, also Auflösung des entstehenden
Gleichungssystems.
Also im Prinzip ist auch für solche Systeme das Vorgehen genau
dasselbe, wie Sie schon am Einzelkörper oder an Anordnungen von zwei
Körpern trainiert haben, schematisch exakt dasselbe, bei ausgedehnten,
starren Körpern muss man halt beachten, und das ist eine häufige
Fehlerquelle, dass man die Schwerpunktsätze bezüglich des
Schwerpunktes auswertet, also die Impulssätze bezüglich des
Schwerpunktes auswertet, die Stoßzahlgleichung aber im Kontaktpunkt
gilt.
Man braucht also noch die kinematische Grundgleichung.
Okay, gibt es Fragen?
Soweit.
Das Ganze bisher sollte so eine Art Ausblick auf das Thema
Mehrkörperdynamik geben, ist natürlich nicht erschöpfend behandelt
worden, damit kann man ganze Vorlesungen füllen, über mehrere
Semester, je nachdem, wie tief man das treiben möchte.
Wenn Sie Lust haben, können Sie dazu mehr im Hauptstudium erfahren.
Wenn es keine Fragen gibt, würde ich das an der Stelle abschließen und
zum ganz neuen Thema kommen.
Fragen soweit?
Keine Fragen?
Dann nun zu etwas völlig anderem.
Und zwar heißt es Prinzip der Mechanik.
Diese Prinzip der Mechanik, das ist auch eine interessante historische
Entwicklung, dazu ein bisschen nachzulesen.
Ich kann dazu jetzt nicht groß ausholen, a, weil ich nicht so
bezüglich der Historie bis ins letzte Thesis vorbereitet bin und zum
zweiten, weil es den Rahmen sprengen würde.
Es ist aber wahnsinnig interessant, weil was wir bisher gemacht haben,
ist sozusagen ganz klassische Mechanik Newton-Euler.
Auf Grundaxiomen aufbauend, das sind keine Gesetze, die man beweisen
könnte, das sind Axiome, also Dinge, die man quasi aus der Beobachtung
der Natur abgeleitet hat und die bis heute, abgesehen von
relativistischen Effekten, keine Widersprüche erfahren haben.
Das heißt, bisher haben wir Bewegungsgleichungen entweder aus
newtonschen Axiomen
und den Euler-Gleichungen hergeleitet, beziehungsweise, ich sage mal,
äquivalent oder als Uminterpretation dieser Gleichungen,
äquivalent, mithilfe des Prinzips von d'Alembert.
Wobei das Prinzip von d'Alembert, das heißt zwar Prinzip, ist aber in
der Form, ja, es steht so an der Schwelle und öffnet sozusagen den Weg
zu dem Prinzip, in die Folgen ist aber, so wie wir es bisher verwendet
haben, eigentlich nur, ich sage mal, eine Umformulierung von Newton.
So, was wir jetzt machen wollen, wir wollen Prinzipien verwenden,
um dasselbe Ziel, nämlich die Formulierung der Bewegungsgleichungen
auf anderem Wege und am besten natürlich einfacher, eleganter zu
erreichen.
Also um dasselbe Ziel auf anderem, beispielsweise einfacherem Weg zu
erreichen.
Und diese Prinzipien sind ganz häufig Formulierungen, die auf
energieartigen Ausdrücken basieren.
Meist energieartige Ausdrücke, das klingt ein bisschen komisch, oder
dass man Arbeitsausdrücke verwendet.
Sie haben in der Themen 1, vielleicht auch Themen 2, ich nehme an,
Themen 1 haben Sie schon was kennengelernt, das Prinzip der virtuellen
Arbeit.
Ist das allen geläufig?
Ja, oder?
Wem war das Prinzip der virtuellen Arbeit dubios?
Mal Hand hoch, ganz ehrlich.
Klingt ja ein bisschen komisch.
Virtuelle Arbeit, das klingt unecht, oder?
Wir machen das heute auch.
Ich werde versuchen, dieses Prinzip der virtuellen Arbeit, oder diese
Idee, die dahinter steckt, ein bisschen zu beleuchten.
Wir brauchen ein bisschen, bis wir soweit sind, wir brauchen ein
bisschen Vorbereitung und werden uns jetzt zunächst mal mit den
Begriffen Nebenbedingungen, Zwangskraft und virtuelle Verrückung
beschäftigen.
Denn diese virtuellen Verrückungen, die wirken, ja, das klingt
virtuell, das klingt nicht echt, das klingt komisch, dubios und
unglaubwürdig, aber eigentlich ist die Idee, wie man darauf kommt,
fast nachvollziehbar.
Da gehört schon ein gewisser Genius dazu.
Das waren große Geister, die nach Newton sich den Kopf zerbrochen
haben.
Leute wie Lagrange, d'Alembert und so weiter, die da tolle Ideen
hatten und wirklich sehr leistungsfähige Werkzeuge erdacht haben.
Das ist sensationell.
Ich finde aber diese Ideen nachvollziehbar und das wollen wir jetzt
mal versuchen.
Ich möchte versuchen, die Idee nachzuvollziehen, weil es dann
vielleicht eingängiger wird, was man da macht.
Also, ich fange mal an mit 5.0.
Nebenbedingungen, Zwangskräfte und virtuelle Verrückung.
Zunächst mal, was machen denn solche Nebenbedingungen überhaupt?
Also erstens, Nebenbedingungen.
Wir hatten in der Vorlesung zuvor über Gelenke gesprochen.
Ich hatte gesagt, Gelenke schränken die Bewegungsfreiheit ein zwischen
den Körpern, Gelenke führen Bindungsgleichungen ein, Gelenke werden
quasi durch Nebenbedingungen repräsentiert, Gelenke erzeugen
Zwangskräfte.
Also Nebenbedingungen schränken die Anzahl der Freiheitsgrade ein.
Diese Nebenbedingungen erzwingen nämlich bestimmte Bewegungen oder sie
verbieten bestimmte Bewegungen.
Das heißt, sie erzwingen oder verbieten, das hängt davon ab, wie rum
man das sieht,
bestimmte Bewegungen.
Also zum Beispiel diese rote Box hier.
Für die gilt natürlich Newton.
Das Newton'sche Grundgesetz gilt jetzt in diesem Augenblick für diese
rote Box.
Die Bewegung ist aber offensichtlich eingeschränkt durch den Tisch.
Das heißt, der Tisch verbietet dieser Box nach unten zu fallen.
Ich kann aber trotzdem sie auf diesem Tisch hin und her bewegen.
Das heißt, die Anzahl der Freiheitsgrade für diese rote Box, wenn ich
jetzt mal von rotatorischen absehe, die als Massenpunkt mir überlege,
dann hätte die drei Freiheitsgrade rauf, runter, rechts, links,
vorwärts, rückwärts.
Der Tisch schränkt diesen rauf, runter quasi ein.
Das heißt, ich habe nur noch vorwärts, rückwärts, links, rechts.
Ich habe jetzt noch zwei Freiheitsgrade.
Das heißt, der Tisch ist eine Nebenbedingung, er fordert nämlich von
der Box, dass sie quasi immer die Höhe 1,20 Meter von dem Boden da
unten hat und auch beibehält und nicht nach unten durchfällt.
Also Nebenbedingungen sind auch für uns auf dem Boden etwas sehr
Praktisches und durchaus Gewolltes.
So, Beispiele.
Ich schreibe jetzt hier, ich mache jetzt zwei Beispiele nebeneinander.
Also können Sie vielleicht versuchen, da zweispaltig zu zeichnen.
Einmal ein freier Massenpunkt und dann B, Massenpunkt auf einem Tisch.
Das, was ich da eben quasi mit dieser Box versucht habe zu
symbolisieren.
Also schauen wir uns mal einen freien Massenpunkt an.
Das ist ein freier Massenpunkt.
Der ist von mir aus im Schwerefeld, können irgendwelche Kräfte auf ihn
wirken, das ist total egal.
Die Frage ist, wie kann der sich bewegen?
So, der ist frei und der kann jetzt im Prinzip so, so, so, so sich
bewegen.
Das hängt von den Anfangsbedingungen ab und von den Kräften, die auf
ihn wirken.
Und seine Bewegung wird gegeben durch die Differenzialgleichung.
Hier drüben, Treckheitstherme und in dem Fall ist es nur die
Gewichtskraft.
So, was macht der auf dem Tisch?
Also wenn ich mir das zum Beispiel so vorstelle, dass ich sage, hier
ist der Boden.
Ich habe hier ein XY-System, da ist ein Tisch.
Dieser Tisch hat die Höhe H0 und jetzt liegt hier der Massenpunkt
drauf.
Wieder M.
Ich habe eben gesagt, für diese rote Box, also für diesen Massenpunkt
gilt natürlich wieder das Newton'sche Grundgesetz, also in dem Fall
die Gewichtskraft.
Ja und was wirkt noch?
Es wirkt noch eine Zwangskraft, nämlich die Kraft, die der Tisch auf
dem Massenpunkt ausübt.
Also hier diese Zwangskraft, die wirkt vertikal nach oben, 0 N
Zwangskraft.
Und diese Zwangskraft, die ist assoziiert mit der Nebenbedingung,
NB für Nebenbedingung, 0 ist gleich Y minus H0.
Ich habe die jetzt gleich implizit geschrieben, das macht man
normalerweise so, dass man die Nebenbedingung implizit schreibt.
Ich hätte genauso schreiben können, Y ist gleich H0, konstant.
Also der Unterschied zwischen dem freien Massenpunkt und dem
Massenpunkt auf dem Tisch, ist sozusagen der, der Tisch schränkt die
Bewegungsfreiheit in vertikaler Richtung ein, das ist quasi meine
kinematische Nebenbedingung, und die wird erzwungen durch eine
Zwangskraft.
Und jetzt ist die Frage, wie groß ist die Zwangskraft?
Wie groß sind Zwangskräfte?
Klar, Sie lesen direkt ab, dass die Zwangskraft MAG ist.
Eigentlich müsste man sagen, die Zwangskraft ist gerade so groß, wie
sie sein muss, um den Massenpunkt daran zu hindern, diese Höhe zu
verlassen.
Wenn Sie sich zum Beispiel vorstellen, der Tisch würde angehoben, dann
wäre es nämlich nicht MAG, sondern MAG plus die Trägheitskraft, die
auf diesen Massenpunkt wirkt.
Zwangskräfte kann man erst ausrechnen, wenn man die Bewegung
ausgerechnet hat.
Deswegen sind sie bisher immer in den Übungsaufgaben aufgefordert
worden, rechnen Sie die Bewegungsgleichungen aus, und wenn Sie die
hatten, konnten Sie die Zwangskräfte ausrechnen.
Andersrum geht es gar nicht.
Beispiel C.
Ich mache noch ein bisschen allgemeinere Beispiele für Massenpunkte.
Zum Beispiel Bewegung entlang einer Fläche.
Das könnte dann sowas sein.
Irgendwie so eine verbogene Fläche im Raum, und auf der darf sich der
Massenpunkt jetzt bewegen.
Das darf jetzt hier so rumrutschen.
Oder zum Beispiel entlang einer Bahn,
sagen wir Bahnkurve, also er dürfte zum Beispiel so, und dann darf der
Massenpunkt entlang dieser Bahn sich bewegen.
Sie hatten Nebenbedingungen schon in der TM 1-2 kennengelernt, nämlich
als Lager.
Also zum Beispiel, wenn ich mal das da so hinmale, dann hätte
ich hier so ein Gelenk, und hier so ein Gelenk.
So für den ebenen Fall wäre das hier ein zweiwertiges Lager, und das
hier einwertig.
Ich habe jetzt die Richtung in das Blatt mal unterschlagen, eben eine
Betrachtung.
So, hier wirkt vielleicht eine Kraft F.
Und die Kräfte hier in den Lagern
A, B, sind quasi Zwangskräfte, die jetzt erzwingen, da fehlt noch eine
hier, A, X, A, Y, das sind Zwangskräfte, die erzwingen, dass die
Forderung, dass der Punkt sich hier vertikal nicht verschiebt und
horizontal nicht verschiebt, dass die erfüllt bleibt.
Und auch hier, dass der Punkt sich vertikal nicht verschiebt, dass die
erfüllt bleibt.
Wir hatten es vorhin schon gesagt, im anderen Kontext, gemäß der
Wertigkeit der Nebenbedingungen, also zweiwertig produziert zwei
Gleichungen, einwertig produziert eine Gleichung, bekomme ich R
-skalare Gleichungen.
Wir haben uns das angeguckt, Nebenbedingungen erzeugen Zwangskräfte
und ich bekomme so viele Zwangskräfte, wie ich skalare
Bindungsgleichungen habe.
Jetzt der Begriff der virtuellen Verrückung.
Zweitens,
virtuelle Verrückung,
wir hätten gesagt, die Nebenbedingungen lassen sich als skalare
Gleichungen ausdrücken.
Schauen wir uns mal eine skalare Gleichung an, die könnte zum Beispiel
so aussehen.
G von R und T, also R ist ein Ortsvektor, G ist irgendeine Gleichung,
ist gleich 0.
Das könnte zum Beispiel bedeuten, naja, da haben wir eine stehen, Y-H0
Das Y ist der Y-Eintrag aus meinem R-Vektor.
Minus H0 ist eine vorgegebene Größe, ist nicht zeitabhängig, aber es
passt auf jeden Fall in dieses Schema rein.
Also das ist Ort und Zeit.
Und die Forderung, die diese Nebenbedingungen jetzt an mein System
oder an die Bewegung stellt, ist jetzt, dass die Bewegung R von T so
verläuft, dass stets G gleich 0 gilt.
Also es muss immer gelten.
Daraus folgt übrigens, ich schreibe das drunter, weil ich hier
nebendran noch was hinschreiben möchte, dass DG 0 ist.
Das ist ein ganz normales Differential.
Also wenn Sie quasi ein bisschen DR, also wenn Sie den Ortsvektor
differenziell ändern, dann ändert sich das G differenziell, wenn Sie
die Zeit differenziell verschieben, also einen kleinen Augenblick
weiter, dann ändert sich das G auch differenziell.
Das hier oben, das könnte man auch verbal sagen als ist 0, und das
hier heißt quasi bleibt 0, ändert sich nämlich nicht.
So, und das totale Differential von
G, zur Erinnerung, G ist eine Funktion von R und T, lautet dann
einfach, DG ist G partiell nach R abgeleitet, mal DR, das hier ist ein
Vektor, nämlich der sogenannte Gradient, also Grad R, man kann auch
schreiben, diesem Nabla-Symbol, ich mache noch eine Schlange drunter,
um zu symbolisieren, dass es ein Vektor ist,
also Grad G,
das ist Gradient G,
und Gradient G ist senkrecht, auf der Fläche G.
G gleich 0 ist eine Fläche oder eine Kurve oder ein Objekt im Raum.
So, totales Differential, das hängt nicht nur von R ab, sondern auch
von T, das heißt hier Plus, partielle Ableitung von G nach T, mal DT.
Und das Ganze soll 0 ergeben.
Ich male hier mal so ein Bildchen drunter.
Und zwar,
sagen wir mal, das ist die durch diese implizite Gleichung G gleich 0
gegebene Kurve.
Gradient von G steht da drauf, senkrecht in diesem Punkt.
So, geht wieder, oder?
Da steht ein großer Eimer mit leeren Batterien drin.
Aus der Gleichung hier folgt ja unter anderem auch noch Folgendes.
Und zwar, das plus dem ist gleich 0, das heißt, hieraus folgt, dass
der Gradient von G mal dr gleich minus DG nach T DT ist.
So, das könnte man sich zum Beispiel jetzt auch so deuten, dass man
sagt, also Skalarprodukt von dr auf den Gradient von G, also wenn das
hier dr ist, dann ist das das Skalarprodukt.
Und diese Strecke hier ist gerade minus DG nach DT DT.
Wir werden es nicht wirklich brauchen, aber wir machen noch die
nächsten Minuten, wenn wir uns häufiger so Überlegungen hier, so
Bildchen malen.
So, wenn man das hier jetzt mal anguckt, ich nenne diese Gleichung,
die nenne ich mal Gleichungsstern.
Wann wird die besonders einfach, Gleichungsstern?
Sie erinnern sich vielleicht, Sie hatten die virtuelle Verrückung
kennengelernt, nehme ich zumindest an, dass sie so eingeführt wurde,
als eine gedachte Verrückung, die mit den kinematischen
Nebenbedingungen verträglich ist und bei festgehaltener Zeit abläuft.
Wenn man sich dieses Ding nämlich anguckt, da könnte man zum Beispiel
auf die Idee kommen, dass es eine besonders nette Form erhält, wenn DT
Null ist.
Also wenn DT Null ist, das heißt, wenn ich die Zeit einfriere, mir das
Ganze bei festgehaltener Zeit ansehe, DT ist Null, dann steht hier
eine große Null, und dann hätte ich sozusagen dastehen, Gradient von G
mal dr unter der Nebenbedingung DT ist Null, ist Null.
Mal gucken, was man damit anstellen kann.
Also, ich sag mal, es fällt auf,
dass die Gleichungsstern besonders einfach wird,
wenn sie bei festgehaltener Zeit betrachtet wird.
Wenn bei festgehaltener Zeit betrachtet.
Das heißt, DT gleich Null.
Ich schreibe da mal römisch 1 dahinter, das ist nämlich so eine Idee,
die wir gleich brauchen werden.
Das heißt, ich mache mal eine Definition, ich definiere mir jetzt das
Variationsdelta, also dieses Kringeldelta von einer Größe, das soll
genau wie das Differential funktionieren, nur unter der Nebenbedingung
DT ist gleich Null.
Das heißt, um die Variation oder die virtuelle Veränderung zu bilden,
berechne ich mir das Differential und fordere DT gleich Null.
Und damit folgt also Ausgleichungsstern, die da unten, mit der
Umbenennung D nach Delta und DT gleich Null, folgt dann Gradient von G
mal dieses Delta, R ist gleich Null.
Das heißt also somit, eine virtuelle Verrückung
auch als Variation bezeichnet, ist eine differenzielle Änderung
eines Vektors, also hier R,
die bei festgehaltener Zeit passiert.
Und diese Forderung, festgehaltene Zeit, das war ja DT gleich Null,
also quasi unsere Gleichung 1 hier oben.
Und daraus resultiert quasi diese Anweisung, dass es eine gedachte
Bewegung ist.
Ich halte die Zeit fest, dann bewegt sich ja nichts.
Und jetzt tue ich so, bei festgehaltener Zeit, wie würde es sich
sozusagen bewegen?
Also ich spiele so ein bisschen an den Freiheitsgraden rum.
Das heißt, diese Variation friert die Bewegung ein und ich gucke
jetzt, wie sind meine Freiheitsgrade meines Systems.
Also diese Interpretation mit den Freiheitsgraden, die kommt
eigentlich jetzt erst, aber das Gedacht bedeutet zunächst mal nur, ich
friere die Zeit ein, die Systemkonfiguration ist so, wie sie ist, ich
halte die Zeit fest.
Also gedacht.
Klassisches Mantra ist dabei, alle Uhren stehen still.
Alle Uhren stehen still.
Ich weiß nicht, woher das kommt, das hat eine gewisse Historie bei uns
im Institut.
Also, die über festgehaltener Zeit passiert und mit den kinematischen
Bindungen Bindungen verträglich ist.
Und diese Verträglichkeit ist eine Folge aus 1 und 2.
Wobei 2 das hier sein soll.
Also, die virtuelle Verrückung
ist eigentlich nichts Obskures.
Es ist so eine Art Differential, bei dem die Zeit aber festgehalten
wird.
Was das bringt, die Zeit festzuhalten, können wir uns an einem
einfachen Beispiel mal überlegen.
Bisher war die Begründung quasi nur die, dass diese Gleichung
besonders nett wird.
Es hat aber auch eine praktische Bedeutung.
Also es hat viele praktische Bedeutungen.
Aber gucken wir uns mal eine an.
Wir können uns mal folgendes Beispiel ansehen.
Beispiel.
Ein Punkt P auf einem Kreisring,
dessen Mittelpunkt
vertikal bewegt wird.
Und zwar gemäß Y ist gleich H von T.
Ich male mal das Bildchen dazu.
Also quasi Y, X.
Hier ist der Mittelpunkt des Kreisrings.
Also das hier ist die Höhe H von T.
Das soll der Mittelpunkt eines Kreises sein.
Der ist
der Mittelpunkt.
Dieser Kreisring, der hat den Radius R.
Und wir gucken uns jetzt den Punkt P an.
Wenn dieser Punkt auf diesem Kreisring sich bewegt, wie viel
Freiheitsgrade hat der dann?
Also der gleitet reibungsfrei.
Ich möchte jetzt eigentlich nicht über Kräfte sprechen, aber wir
nehmen mal an, da gibt es keine Kräfte.
Der kann auf diesem Ring gleiten.
Wie viel Freiheitsgrade hat der dann?
Was kann sich überhaupt frei einstellen?
Naja, die Position des Mittelpunktes des Ringes ist vorgeschrieben.
Das heißt, das Einzige, was sozusagen noch offen ist an diesem ganzen
Problem, ist die Position auf dem Umkreis.
Ein Freiheitsgrad.
Das heißt, ich habe ein Freiheitsgrad.
Zum Beispiel diesen Winkel V.
Und ich kürze es ein bisschen ab.
Das DR, also das Differential.
Ich kann mir jetzt R hinschreiben.
Das ist nicht allzu schwierig.
Und das DR, das ist einfach R D Phi Cosinus Phi und Minus R D Phi
Sinus Phi.
Das ist die Bewegung.
Das ist der Anteil des DRs infolge Veränderungen von Phi.
Also wenn ich an einem Freiheitsgrad etwas verändere, dann verändert
sich der Ortsvektor in der Form.
Hinzu kommt ja noch die aufgeprägte Vertikalbewegung H Punkt D T.
Also quasi das, was von außen aufgeprägt wird.
An dem es nichts zu deuteln gibt.
Da ist kein Freiheitsgrad, keine Diskussion.
Dieser Ring bewegt sich genau mit diesem Ding rauf und runter.
Mit dieser Funktion.
Das heißt, was ich hier habe, ist zum einen ein Anteil in vertikaler
Richtung.
Also H Punkt DR, das ist dieser hier.
Der ist sozusagen aufgezwungen.
Und ich habe einen Anteil hier in tangentialer Richtung, das ist
dieser hier.
Der ist sozusagen, ich nenne es mal frei.
Also das ist quasi frei und das ist aufgezwungen.
Oder ein bisschen mit mehr Text.
Das hier ist der Anteil der Bewegung, genauer des
Bewegungsdifferentials.
Der durch die Freiheitsgrade, hier ist es eigentlich nur ein
Freiheitsgrad, beeinflusst werden kann.
Da steckt im Prinzip das Wort auch drin.
Das ist der Freiheitsgrad des Systems.
Das ist das, was die Physik in dieser Masse überhaupt noch ausrichten
kann.
Weil das Grüne hier, das ist aufgezwungen.
Das ist eine erzwungene Bewegung, da gibt es nichts zu diskutieren.
Keine Freiheit.
Und dieser Teil ist a priori bekannt.
Der ist a priori bekannt und der hier ist noch unbekannt.
Durch welche Gleichung, wenn man jetzt Newton verwendet und so weiter
und lange rumrechnet, durch welche Gleichung wird dann dieser Teil,
nämlich die Bewegung im Vieh, beschrieben?
Durch die Bewegungsgleichung.
Das heißt, die Bewegungsgleichung wird letzten Endes das sein, was uns
die Antwort auf die Frage gibt, wie verhält sich ein Vieh in der Zeit?
Die Zwangskräfte werden was mit dem Teil zu tun haben.
Mit so ein bisschen Hintergrundwissen, das Sie jetzt bereits haben,
kann man hier schon ein bisschen was erahnen.
Wir haben uns vorher überlegt, die virtuelle Verrückung passiert bei
festgehaltener Zeit.
Das heißt, die virtuelle Verrückung ist bei dt gleich 0.
Das heißt, die virtuelle Verrückung ist gerade genau der Teil hier.
Also r dV cosinusV minus r dV sinusV, Klammer zu.
Also der blaue Teil.
Das heißt, diese virtuelle Verrückung, die filtert mir sozusagen aus
dieser allgemeinen Bewegung den Teil raus, den meine Systemdynamik
überhaupt nur beeinflussen kann.
Und der Teil, der von außen aufgeprägt wird, der wird quasi durch das
Zeit einfrieren, wird der eliminiert, der wird ausgeblendet sozusagen.
Das heißt, durch Übergang auf virtuelle Verrückungen gelingt
die Trennung zwischen a priori bekannten Anteilen,
Zwangsbewegungen und solchen, Klammer auf, in den Freiheitsgraden, die
noch unbekannt sind.
Das ist an der Stelle vielleicht ein großer Schritt, aber man kann es
wahrscheinlich erahnen oder zumindest akzeptieren.
Durch diese virtuelle Verrückung wird es uns gelingen, die
Zwangskräfte aus unseren Gleichungen von vornherein rauszuschmeißen,
weil wir uns von vornherein nur auf den Teil konzentrieren, der
wirklich die Freiheitsgrade betrifft.
Und die Zwangskräfte werden rausgefiltert, ohne das lästige Umformen.
So,
das waren jetzt eigentlich zunächst mal Vorüberlegungen.
Unsere Überlegungen zu den Begriffen virtuelle Verrückung,
Zwangskraft, Nebenbedingungen.
Jetzt machen wir was damit, also bisher ist eigentlich noch gar keine
Bewegungsgleichung oder kein Prinzip oder ähnliches aufgetaucht.
War nur ein bisschen Begrifflichkeit.
Also, jetzt kommt 5.1, Prinzip von d'Alembert in der Fassung von
Lagrange.
In der Fassung von Lagrange.
So, wir hatten in 5.0 kam eigentlich nur Kinematik vor, d.h.
ich habe da überhaupt nichts über Kräfte gesagt.
Also, was ist mit den Kräften?
Schauen wir uns mal ein paar Beispiele an.
Also, A, Massenpunkt entlang einer zeitkonstanten Bahn.
Also, das ist so eine Art Murmelbahn, so eine Nut, deren Mittellinie
ist gegeben durch diese gestrichelte Linie.
G von R ist gleich 0, Koordinatensystem.
Und hier ist so ein Massenpunkt drin,
der den Ortsvektor R
hat.
Also, das ist sozusagen feste Wand, hier ist auch feste Wand.
Und wenn man das Ganze freischneidet, dann hat man hier diesen
Massenpunkt, hier die Wand, dort die Wand, dort diese Bahn.
Und die Wand übt auf den Massenpunkt eine Normalkraft aus, N,
eine Zwangskraft.
Und
die virtuelle Verrückung,
bei dem Beispiel, da wir eine zeitkonstante Bindung haben, ist sie
identisch mit dem Bewegungsdifferential.
Ja, was sieht man da?
Was fällt Ihnen da auf?
Die Normalkraft steht senkrecht auf dieser virtuellen Verrückung.
So, das heißt, Normalkraft senkrecht auf der virtuellen Verrückung.
Oder das heißt so viel wie, Normalkraft skalar mit dr multipliziert
ist 0.
Und dieses Ding hier, das ist ja genauso aufgebaut wie das
Arbeitsdifferential, Kraft mal differenzieller Verschiebung.
Jetzt ist es halt Kraft mal differenzieller Verschiebung bei
festgehaltenem Zeitdifferential.
Und das nennt man virtuelle Arbeit.
Virtuelle Arbeit, das heißt dW ist gleich f mal dr.
Das ist keine wirklich geleistete Arbeit.
Das ist sozusagen die Arbeit, die geleistet würde, ich halte die Zeit
fest, deswegen passiert keine Bewegung.
Aber es ist die Arbeit, die geleistet würde, wenn ich quasi an meinen
Koordinaten ein bisschen rumspiele.
Ich drehe an den Bewegungsrichtungen ein bisschen rechts, ein bisschen
links, ein bisschen vorwärts, ein bisschen rückwärts.
Und ich probiere Bewegungsalternativen durch.
Und die Arbeit, die dabei geleistet würde, ist die virtuelle Arbeit.
Das ist aber keine wirklich vorhandene Arbeit, weil die Zeit
festgehalten wird und deswegen das System in der Bewegung, in der
Konfiguration, wie es gerade ist, eingefroren ist sozusagen.
Ich spiele sozusagen Bewegungsalternativen durch.
Also die virtuelle Arbeit, und ich sehe, die virtuelle Arbeit der
Zwangskraft ist null.
Bei diesem einfachen Beispiel könnte man jetzt versucht sein, zu
postulieren, die Arbeit der Zwangskraft ist null.
Also man könnte jetzt einfach sagen, Zwangskraft mal
Bewegungsdifferential ist null, weil bei diesem einfachen Beispiel in
der Tat die Zwangskraft senkrecht auf dem Bewegungsdifferential steht.
Das findet man manchmal auch in Mechanikbüchern, das ist aber falsch.
Also wenn Sie irgendwo mal lesen, die Arbeit von Zwangskräften
verschwindet, dann ist das falsch.
Dann schmeißen Sie das Buch weg oder verkaufen Sie es.
Oder vielleicht steht in der Klammer auf dahinter, bei zeitkonstanten
Bindungen.
Wenn die Bindungen nämlich zeitlich konstant sind, dann ist das in
Ordnung.
Aber man sollte es lieber nicht sagen, so Sachen, die setzen sich dann
fest und dann vergisst man das nicht mehr.
So, also ein zweites Beispiel, wo wir nämlich sehen werden, dass das
nicht stimmt, ist ein Massenpunkt mit einer zeitveränderlichen
Bindung.
Ich habe diesmal jetzt nicht einen Tisch parat, sondern einen
Fahrstuhl.
Also quasi einen Fahrstuhl, der dazu führt, bei dem der Boden auf der
Höhe H von T ist.
Das heißt, ich habe hier so einen Fahrstuhl, hier ist mein
Koordinatensystem XY und der Fahrstuhl bewegt sich so, dass der Boden
zum Zeitpunkt T auf der Höhe H von T ist.
So, jetzt kann hier auf dem Boden ein Massenpunkt liegen,
der hat von mir aus hier von der linken Grenze den Abstand Q.
Okay, wie viel Freiheitsgrade hat der Massenpunkt?
Also wenn ich das Ganze als eben betrachte, also ebenes Problem,
und der Massenpunkt hebt nicht vom Boden ab,
was kann der überhaupt machen?
Der muss auf dem Boden bleiben, der Boden hat die vorgeschriebene Höhe
H von T.
Und was kann der Massenpunkt überhaupt noch machen in dem Fahrstuhl?
Er kann sich rechts und links bewegen.
Er hat einen Freiheitsgrad und der ist durch Q gegeben.
Also ich habe einen Freiheitsgrad, das ist hier die Variable Q.
Und ich habe eine Zwangsbewegung,
H von T.
Malen wir uns mal ein paar Sachen da rein.
Also der Massenpunkt hat einen Ortsvektor,
R.
Außerdem muss auf den Massenpunkt diese Zwangskraft wirken.
Er soll reibungsfrei gleiten, das nehmen wir jetzt mal an.
Wir haben diesen differentiellen Verschiebungsanteil H Punkt mal DT.
Das ist quasi die Vertikalbewegung, die durch die Bewegung des
Fahrstuhls aufgeprägt ist.
Da gibt es nichts zu diskutieren, der muss der Massenpunkt folgen.
Und die virtuelle Verrückung bei festgehaltener Zeit, also wenn ich
die Zeit festhalte und gucke, was kann der überhaupt differenziell
ändern, ist das hier.
Und das Gesamtdifferential der Bewegung sieht so aus.
Das ist nämlich das, was sozusagen bei festgehaltener Zeit passiert,
plus das, was passiert, wenn ich die Zeit fortschreiten lasse.
Das heißt, das hier ist das tatsächliche Bewegungsdifferential DR. Und
das hier ist die virtuelle Verrückung, die virtuelle Veränderung des
Ortsvektors R.
Bei festgehaltener Zeit.
Und ganz offensichtlich ist N mal DR ungleich Null.
Also das Skalarprodukt von N auf DR ist nicht Null, geometrisch
einfach deswegen, weil N nicht senkrecht auf DR ist.
Nicht senkrecht.
Aber wir sehen wieder, dass N mal der Variation von R verschwindet.
Weil hier nämlich dieser rechte Winkel ist.
Das heißt, auch hier gilt wieder,
die virtuelle Arbeit der Zwangskraft ist gleich Null.
So, ich meine, warum machen wir das Ganze?
Fahrstühle ausrechnen, Murmelbahnen ausrechnen, das ist es ja nicht.
Zumindest nicht ein Leben lang.
Es geht ja momentan darum, dass man sich quasi an einfachen Beispielen
versucht, klarzumachen, was da passiert.
Und wenn man jetzt immer komplexere Beispiele rechnet, stellt man
fest, das ist praktisch immer so.
Also egal, wie schwierig so ein Beispiel ist, egal, was man sich
aussucht, es ist immer so, naja, fast immer, es kommt jetzt nämlich
noch ein Beispiel, also wenn man jetzt verschiedene Beispiele aus
verschiedenen Klassen durchrechnet und das systematisch macht, dann
stellt man fest, das ist ganz häufig so.
Und man stellt fest, dass das hier ein Sonderfall ist, von einem ein
bisschen allgemeineren Fall, den wir jetzt noch angucken wollen.
Aber bisher, das sieht schon so ein bisschen so aus, als wenn man auf
einer heißen Spur wäre, finde ich.
Also, wenn einem sowas über den Weg läuft, dann sieht das nach einer
Systematik aus, dann sieht das so aus, als wenn da irgendwie was
prinzipiell dahinter steckt, nämlich im Prinzip.
Und da sind wir ja auf der Suche nach sowas Prinzipiellem, was wir
vielleicht vorteilhaft für uns nutzen können.
Schauen wir uns mal Beispiel C an.
Wir haben jetzt zwei Massen mit einer starren, masselosen
Verbindungsstange.
Also zwei Massen, starre und masselose
Verbindungsstange.
Ich mache am besten mal eine Zeichnung, statt das Ganze mit vielen
Worten zu beschreiben.
Also, das sollen Massen sein, die sich in so einer Führung bewegen.
Diese Führung, die hat keinen dramatischen Einfluss, die soll einfach
jetzt nur das Gesamtproblem auf möglichst wenig Freiheitsgrade
runterkochen, dass man vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr sieht.
So, hier X und Y, hier unten auch eine Wand.
Das Ganze soll reibungsfrei passieren, also da reibungsfrei.
Man könnte es auch mit Reibung machen, ändert aber im Prinzip nichts.
So, was brauchen wir noch?
Wir haben jetzt hier diese Stange,
da haben wir den Schwerpunkt S1, hier haben wir den Schwerpunkt S2.
Das soll A sein, die Stange hat die Länge L.
Und da ist wieder A.
Der Abstand der Schwerpunkte quasi von der Wand dieser Kiste.
Okay, wiederum die Frage, die Kisten, jede für sich, ist in vertikaler
Richtung eingeschränkt, sind durch eine starre Stange verbunden.
Wie viele Freiheitsgrade habe ich?
Einen.
Wenn ich die Kiste bewege, dann bewegt sich der andere zwangsläufig
mit.
Das heißt, ich habe einen Freiheitsgrad und den nenne ich jetzt mal
wieder Q.
Das soll einfach der hier sein,
Q.
Und mit diesem Q kann ich jetzt den Ortsvektor zum ersten Schwerpunkt
aufstellen.
Das ist nämlich gerade Q und 0.
Und den Ortsvektor zum zweiten Schwerpunkt, das ist Q plus 2A plus L
und 0.
Die
virtuellen Verrückungen sind, Delta R1 ist Delta Q und 0.
Und Delta R2 ist Delta Q, da gibt es nichts zu variieren, hier auch
nicht, und 0.
Und das Ganze ist eigentlich auch plausibel, denn wenn ich an der
linken Masse um den Betrag Delta Q rüttle, verschiebe, dann muss es
die rechte genauso mitmachen.
Was jetzt noch fehlt, sind die Zwangskräfte.
Ich zeichne jetzt zunächst mal hier diese Normalkraft ein, die die
Wand auf die erste Masse ausübt, N1, und die Normalkraft N2, die die
Wand auf die zweite Masse ausübt.
Und die virtuellen Verrückungen sind hier Delta R1 und Delta R2.
Die kann ich auch einfach Delta R nennen, ist gleich Delta R.
So, und das Herz schlägt höher, man sieht, N1 ist orthogonal auf der
virtuellen Verrückung von R1, super.
Also genau das, was wir vorher schon entdeckt hatten, sieht man hier
wieder, sowohl für die Kraft N1 wie auch für die Kraft N2.
Da steckt offenbar System dahinter.
Das Dumme ist jetzt, die Stangenkräfte, also wenn ich die Stange
entfernen würde, dann hätte ich hier eine Stangenkraft und hier
dieselbe Stangenkraft entgegengesetzt gerichtet.
Und man sieht sofort, dass es hier nicht mehr stimmt.
Also,
wir sehen, dass S...
Wie schreibt man das am besten?
So, machen wir es mal lieber so.
Also 0 und minus S mal dr ist ungleich 0 und 0 plus S mal dr ist auch
ungleich 0.
Einfach weil 0 minus S nicht orthogonal auf dr ist und hier drüben
genau dasselbe.
Aber, wenn ich die beiden addiere, das heißt,
wenn ich die Arbeit am System ausrechnet würde, würde ich ja die
Arbeiten addieren.
Hier genau dasselbe.
Wenn ich die virtuellen Arbeiten addiere, also gesamte virtuelle
Arbeit der Stangenkraft oder Stangenkräfte, ist 0 minus S mal delta
r1, ich trenne das jetzt noch ein bisschen auf nach r1 und r2, plus 0
plus S delta r2.
Und mit delta r1 ist gleich delta r2, das ist sozusagen der
entscheidende Punkt, dass sie nämlich identisch sind, folgt jetzt
minus S plus S mal delta r ist gleich 0, weil das hier ja gerade der
Nullvektor ist.
Das heißt,
auch hier gilt offensichtlich, dass die virtuelle Arbeit der
Zwangskräfte im Gesamten, also am Gesamtsystem, gleich 0 ist.
So, und das ist im Prinzip das, was dahinter steckt.
Also man kann beliebig viele weitere Beispiele rechnen, man findet
immer, dass entweder die Zwangskraft senkrecht auf der
Verschiebungsvariation, also auf der virtuellen Verrückung steht,
oder, dass beide gleich gerichtet sind, dann aber die Zwangskraft
sozusagen paarweise auftritt und die drs gleich sind, nämlich dieser
Form von Bindung, und dann hat man diesen Fall hier vorliegen.
Also entweder dieser Fall, Ordinalität, oder sie heben sich in der
Summe weg, weil die delta r1 und delta r2 identisch sind.
Also das war sozusagen der Grund, und insgesamt findet man das hier.
Genauso wie Axiome, man kann es nicht beweisen, dass es so sein muss,
es bisher aber noch nicht gelungen ist, ein Gegenbeispiel zu
konstruieren, genauso verhält es sich mit den Newton'schen
Grundaxiomen, die im Rahmen der nicht-relativistischen Mechanik kein
Gegenbeispiel gefunden haben, deren Gültigkeitsgrenzen eben erst durch
die Relativitätstheorie aufgezeigt wurden.
So, das Ganze kann
man also so zusammenfassen,
also weitere Beispiele belegen oder bestätigen, im Sinne von
widersprechen dieser Hypothese nicht, eine Bewegung läuft so, Bewegung
R von T eines mechanischen Systems verläuft so, dass die virtuelle
Arbeit der Zwangskräfte in ihrer Gesamtheit verschwindet.
Gesamtheit, das heißt quasi Summe,
am System, siehe Beispiel C,
verschwindet.
Also virtuelle Arbeit der Zwangskräfte in der Gesamtheit verschwindet.
Oder
kurz, virtuelle Arbeit der Zwangskräfte, Gesamt, ist gleich Null.
Okay, das ist jetzt im Prinzip,
also eigentlich ist das ja eine Form der Aussage, die ist zwar
interessant, sieht schick aus, es ist ästhetisch, aber das ist
eigentlich gar nicht das, was ich wissen möchte.
Ich möchte ja eigentlich nichts über die Zwangskräfte wissen,
irgendwann schon, aber meistens interessiert mich zunächst mal die
Bewegung.
Das heißt, ich hätte eigentlich viel lieber eine Aussage, was mit der
Bewegung ist und nicht, was mit den Zwangskräften passiert.
Das besorgen wir uns jetzt, sozusagen der letzte Schritt, also aus
dieser Erkenntnis lässt sich jetzt auch eine Aussage bezüglich der
Bewegung des Systems ohne die Zwangskräfte ableiten.
Und das machen wir für ein System von Massenpunkten, die Herleitung
geht genauso für Systeme von Starkkörpern, es ist nur ein bisschen
mehr Schreibaufwand, das heißt prinzipiell ändert sich nichts.
Um den Fokus auf das Wesentliche zu halten, führe ich das jetzt nur
für ein System von Massenpunkten vor, also für Systeme von
Massenpunkten, also wo man so einen Massenpunkt I hat, und an dem
greifen jetzt verschiedene Kräfte an, Trägheitskraft am Punkt I,
Zwangskraft am Punkt I
und resultierende eingeprägte Kraft am Punkt I und mit dem Prinzip von
d 'Alembert kann ich anschreiben, Summe der Trägheitskräfte plus der
eingeprägten Kräfte plus der Zwangskräfte, Massenpunkt I, ist gleich
0, wobei die Trägheitskraft gerade minus MR2.I ist.
Also das, was man quasi als dynamisches Kräftegleichgewicht
bezeichnet, wobei die Idee von d'Alembert unter anderem darin bestand,
zu sagen, wenn es so Bindungen gibt, dann muss es quasi Kräfte geben,
die diese Bindungen erzwingen.
Das ist, wenn man so den Newton hinschreibt, ja noch nicht so ganz
offensichtlich, weil die sieht man ja nicht.
Das kann ich jetzt ganz trivial umformulieren.
FZI ist gleich FEI plus FTI, also minus Zwangskräfte ist gleich Summe
aus eingeprägten Kräften und Trägheitskräften.
Und jetzt multipliziere ich das Ganze skalar mit der virtuellen
Verrückung und summiere über alle Massenpunkte und erhalte auf der
linken Seite Minus Summe über alle Massenpunkte Delta Ri mal fZi ist
gleich, hier rechts haben wir Summe über alle Massenpunkte, fEi mal
Delta Ri plus Summe über alle Massenpunkte, Trägheitskraft am
Massenpunkt i, Skalar mit der virtuellen Verrückung des Massenpunktes
i.
Das hier drüben, das ist ja genau das, was ich vorher sozusagen
gefunden hatte, nämlich das hier ist die Summe der virtuellen Arbeiten
der Zwangskräfte.
Also das hier ist Delta W Zwangskräfte Gesamt, also die gesamte, die
virtuelle Arbeit der Zwangskräfte am Gesamtsystem und die ist Null.
Siehe da drüben.
Dieses Ding hier kann man als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte
am Gesamtsystem bezeichnen und das hier als virtuelle Arbeit der
Trägheitskräfte am Gesamtsystem.
Und wir lesen ab.
Null ist gleich virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte plus
virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte insgesamt.
Und auf wundersame Art und Weise spielen die Zwangskräfte keine Rolle
mehr.
Die stehen da einfach nicht mehr drin in dieser Formulierung.
Der Trick ist sozusagen zwischen hier und da passiert.
Durch diese skalare Multiplikation mit der virtuellen Verrückung, das
ist eine Projektion auf die virtuelle Verrückung.
Die virtuelle Verrückung, ich habe vorhin gesagt, die repräsentiert
sozusagen die Bewegungsmöglichkeiten des Systems.
Das heißt, ich projiziere diese Menge an Differenzialgleichungen, die
projiziere ich auf die Richtung, entlang derer sich das System
überhaupt nur bewegen kann.
Das ist der Trick und durch diese Projektion fällt der Einfluss der
Zwangskräfte raus und ich bekomme diese Aussage, das heißt, wenn ich
Bewegungsgleichungen für ein System haben möchte, muss ich mich nur um
eingeprägte Kräfte und Trägheitskräfte kümmern, wenn ich das mit dem
Prinzip der virtuellen Arbeit mache.
An der Stelle möchte ich für heute aufhören, halt, ich möchte nur
Folgendes sagen.
Zum einen, ich habe es nur für Massenpunkte gezeigt, das gilt
natürlich auch für Systeme starrer Körper, dazu sage ich nächstes Mal
was.
Darüber hinaus, das sieht ein bisschen kryptisch aus und wirkt etwas
zu kurz.
Also an der Stelle kann man sich wirklich die Frage stellen, kann ich
denn aus dieser Saloppen, das ist eine Skalaregleichung, also das ist
eine Skalaregleichung, ein Einzeiler, kann ich aus einer
Skalarengleichung denn wirklich F von mir aus 100 Bewegungsgleichungen
extrahieren?
Dann zeige ich Ihnen das nächste Mal, es geht.
Ja, und dann gehen wir mit den Prinzipien weiter.
Nächste Woche haben wir Vorlesungen, meines Wissens ist nächste Woche
keine Übung.
Keine Übung?
Nächste Woche, wir können zwei Vorlesungen machen.
Nein, das werden Sie gelünscht.
Nein, ich habe nächste Woche nur eine Vorlesung eingeplant.
Also nächste Woche eine Vorlesung.
Wie gesagt, möchten Sie zwei Vorlesungen haben?
Nein, nächste Woche eine Vorlesung.
Es macht mir zwar sehr viel Spaß, aber wegen der Verzahnung zwischen
Übung und Vorlesung kann ich nächste Woche nur eine Vorlesung machen.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und bis nächste Woche.
Tschüss.