Zu einer weiteren Vorlesung, Theme 4.
Wie letztes Mal angekündigt, werde ich heute die Evaluation
durchführen.
Das mache ich gegen Ende.
Das heißt, ich werde knappe 10 Minuten vor Ende diese Bögen austeilen.
Ich werde dazu noch etwas sagen.
Und am Ende müssen wir jemanden finden, der das zur Evaluationstelle
bringt, weil ich das ja nicht mehr anfassen darf.
Ich würde sagen, das besprechen wir alles nachher.
Wenn Sie Angst haben, dass ich das irgendwie vergessen haben sollte,
warnen Sie mich vielleicht so um Viertel nach drei nochmal.
Also bremsen Sie mich dann.
Okay, ansonsten würde ich sagen, fangen wir an.
Wir hatten letztes Mal mit einer längeren Rechnung, sah ein bisschen
kompliziert aus.
Es sind im Wesentlichen mathematische Umformungen, von denen man sich
nicht abschrecken lassen sollte.
Was dabei rauskommt, das letzte Mal, sind die Lagrangian-Gleichungen
zweiter Art in dieser Form.
Ich sage jetzt in dieser Form, weil wir hier an dieser Stelle auf der
linken Seite noch die kinetische Energie stehen haben.
Einmal abgeleitet nach den generalisierten Geschwindigkeiten, einmal
abgeleitet nach den generalisierten Koordinaten.
Und auf der rechten Seite haben wir die generalisierte Kraft entlang
der Iten-Koordinate.
Diese Lagrangian-Gleichungen zweiter Art, die gelten, ich sage mal
immer, im Rahmen des Geltungsbereichs der Lagrangian-Gleichungen
zweiter Art.
Das heißt Systeme mit holonomen Bindungen.
Wenn Sie in die Literatur gucken, dann werden Sie unter dem Stichwort
Lagrangian -Gleichungen zweiter Art häufig eine Variante finden, bei
der hier nicht T, sondern L steht.
Und diese Variante, die wollen wir jetzt noch herleiten, um zu
verstehen, was sich dahinter verbirgt.
Ja, und wenn wir das gemacht haben, möchte ich noch zwei kleine
Beispiele zu diesen Lagrangian-Gleichungen zweiter Art, zwei wirklich
sehr kurze Beispiele, vorführen.
Und danach ein neues Kapitel anfangen, das uns dann bis zum Ende des
Semesters begleiten wird.
So, liebe Leute, es ist heiß, ich weiß, schwül, es macht einen nervös
und kribbelig, aber, ja, genau.
Also, Lagrangian-Gleichungen zweiter Art, hier stehen auf der rechten
Seite Qi, das sind generalisierte Kräfte.
An der Stelle haben wir noch keine Unterscheidung vorgenommen, ob
diese generalisierten Kräfte nun Potentialkräfte oder Potentialose
-Kräfte sind.
Sie erinnern sich, wir hatten im Kontext mit Energieausdrücken
festgestellt, dass es Kräfte gibt, die sich aus einem Potential
ableiten lassen.
So, und es stellt sich nun als praktisch heraus, hier an dieser Stelle
nochmal eine Unterscheidung zu treffen.
Und zwar möchte ich hier weitermachen, Kräfte mit Potential,
das bedeutet Kräfte, zu denen man eine Potentialfunktion kennt.
Es kann durchaus vorkommen, dass Sie eine Kraft haben, die zwar
konservativ ist, aber aufgrund ihrer komplizierten Struktur Sie
einfach keine Potentialfunktion finden.
Also, es muss nicht immer funktionieren, aber bei den allermeisten
Dingen kennt man die Potentialfunktion zu den Kräften.
Und was wir möchten, also das Ziel ist jetzt eine Aufteilung
dergestalt, dass wir diese generalisierte Kraft entlang der Iden
-Koordinate in eine generalisierte Kraft aufteilen möchten, die sich
aus einer Potentialfunktion ableitet, also Qi-Pot, und eine
generalisierte Kraft, die ich mit NP beschreiben möchte, das heißt
sozusagen Nichtpotential.
Manchmal sagt man auch Potentiallos, das ist ein bisschen irreführend,
weil man auch Potentialkräfte, wenn man das Potential nicht findet,
mit der sozusagen hier reinstecken könnte, wenn man es einfach nicht
besser weiß.
Also NP heißt Nichtpotentialanteil, also der Anteil, der nicht hier
links in diesem Potentialanteil enthalten ist.
So, und wenn wir jetzt die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte am
System anschreiben,
das war der Weg, über den wir die QIs bestimmt hatten.
Also schreiben wir mal an, virtuelle Arbeit ist gleich Summe über alle
Koordinaten I von 1 bis F, also über alle generalisierten Koordinaten,
dann Summe von J gleich 1 bis N, das ist die Summation über die
Massenpunkte, genauer gesagt über die Kraftangriffspunkte, und dann
die J-Kraft projiziert auf diesen Gradienten Rj nach Qi abgeleitet,
Delta Qi, und diesen Klammerausdruck hier, das ist bisher nichts
Neues, diesen Klammerausdruck hier, den hatten wir als Qi bezeichnet.
So, wenn wir jetzt wissen, dass es Kräfte gibt, die sich aus
Potentialen ableiten und solche, zu denen wir vielleicht kein
Potential kennen oder es keines gibt, können wir also bei den Kräften
die Aufteilung vornehmen, Fj lässt sich darstellen als eine
Potentialkraft und einen Nichtpotentialanteil.
Diese Potentialkraft hier, die kann man darstellen als negativen
Gradienten einer Potentialfunktion, das ist eine skalare Funktion,
abgeleitet nach Rj, und bei diesem Nichtpotentialanteil, da kann man
nichts machen, der bleibt so kompliziert, wie er ist.
So, und wenn ich jetzt diese Aufteilung bei den Kräften vornehme, dann
erhalte ich hier, schreibe da oben alles ab und setze dieses F hier
ein, Summation I von 1 bis F, Klammer auf, Summation über J, Minus
partielle Ableitung von Vj nach Rj, also hier in Skalar, mal Rj mal
Qi, plus Summation über J, und bei den Nichtpotentialkräften kann man
nichts machen, schreiben wir einfach von oben ab, Qi, Klammer zu.
Virtuelle Änderung von Qi.
So, diesen Anteil hier, den kann ich noch zusammenfassen, und erhalte
dann Summation I gleich 1 bis F, große Klammer auf, Summation über J,
Minus partielle Ableitung von Vj nach Qi, plus die Summation über J,
und das ist der Anteil, wie er oben eben steht, einfach nochmal
abgeschrieben, nach Qi, Klammer zu, Delta Qi.
Und diesen Anteil da vorne, das ist sozusagen die generalisierte Kraft
aller Potentialkräfte entlang der I-Koordinate, also das ist Qi
Potential, das hier ist Qi Nichtpotential, und das Gesamte, also die
Summe aus beiden, ist unser Gesamt-Qi.
Okay, mit der Aufteilung gehen wir an die Formel, die wir letztes Mal
hergeleitet hatten, ich schreibe sie hier nochmal an.
Das ist die absolute Zeitableitung, angewandt auf die partielle
Ableitung der kinetischen Energie nach der generalisierten Koordinate
Qi Punkt, Minus partielle Ableitung der kinetischen Energie nach der
generalisierten Koordinate Qi.
So, jetzt ersetze ich hier auf der rechten Seite stand ursprünglich
Qi, da setze ich jetzt diese Aufspaltung ein und verwende dabei diesen
Ausdruck, nämlich partielle Ableitung der potenziellen Energie nach
Qi, das steht hier, Minus partielle Ableitung des Gesamtpotentials
nach Qi plus Groß-Qi Nichtpotential.
So,
jetzt sehen wir hier, dass wir zwei Ausdrücke haben, den hier und den
hier, bei denen eine Ableitung, eine partielle Ableitung nach Qi, nach
der Iten-generalisierten Koordinate gemacht wird.
Irgendwie denkt man ja, das könnte man zusammenfassen, also das könnte
ich quasi rüberbringen und könnte das unter eine Klammer schreiben,
ich hätte nicht so arg viel gewonnen, weil das T hier vorne immer noch
alleine steht.
Jetzt erkenne ich aber, V, also das Potential, hängt nicht von den
Geschwindigkeiten ab, also V hängt nur von den Qk, also Q1, Q2, Q3 bis
Qf ab und vielleicht von der Zeit explizit, aber nicht von den
generalisierten Geschwindigkeiten.
So, daraus folgt, dass die partielle Ableitung von V nach Qi Punkt
gleich Null ist.
Das heißt, das darf in Gleichung Stern, mit Gleichung Stern meine ich
die hier oben, ergänzt werden.
Ich darf das ja da oben einfach dazu addieren.
So, damit erhalte ich absolute Zeitableitung der partiellen Ableitung,
es steht hier nicht mehr T, ich schreibe gleich hin, was da steht,
partielle Ableitung nach Qi Punkt von T minus V, Klammer zu, Klammer
zu, minus die partielle Ableitung nach der iten-generalisierten
Koordinate von T minus V ist gleich Qi Nichtpotential.
So, diese Klammer hier, die zwingt einen ja quasi, eine neue Variable
einzuführen, und die nennt man L.
L ist vollkommen klar, L nach Lagrange, das sogenannte Lagrange
-kinetische Potential, und damit erhält man die Form, die man
normalerweise in Lehrbüchern findet, nämlich absolute Zeitableitung,
partielle Ableitung der Lagrange-Funktion des Lagrange-kinetischen
Potentials nach Qi Punkt minus partielle Ableitung des kinetischen
Potentials nach Qi ist gleich Qi, also Groß-Qi, generalisierte Kraft
entlang der iten-generalisierten Koordinate, und zwar Nichtpotential.
Also hier, das sind die Anteile, die nicht im Potential verarbeitet
worden sind.
So, Kasten außenrum,
das sind die Lagrange-Gleichungen zweiter Art,
und ich schreibe darunter mal Klammer in der Version für Potential
-Kräfte, oder für Potential- und Potentialose-Kräfte.
So, und dazu noch folgende Erläuterung, also mit, dieses L ist eine
Funktion der generalisierten Koordinaten, der generalisierten
Geschwindigkeiten, und kann auch explizit von der Zeit abhängen,
berechnet sich als Differenz zwischen kinetischer und potenzieller
Energie und heißt kinetisches Potential.
Es wird manchmal auch als Lagrange-Funktion bezeichnet, das kann
insofern verwirren, wenn Sie, ich denke, dass Sie in der HM
Optimierung unter Nebenbedingungen gemacht haben, wenn man Optimierung
unter Nebenbedingungen macht, dann taucht da auch eine Lagrange
-Funktion auf, das ist aber nicht diese hier.
Also, wenn man in der Mechanik von Lagrange-Funktionen spricht, dann
meint man damit, dieses L, das kinetische Potential.
In diesem kinetischen Potential steht die kinetische Energie, die
kinetische Energie hängt zunächst mal offensichtlicherweise von den
Geschwindigkeiten ab, von den generalisierten, kann aber auch von den
generalisierten Koordinaten abhängen, also Lagen, und kann explizit
von der Zeit abhängen.
Das Potential hängt nicht von den Geschwindigkeiten ab, hängt von den
generalisierten Koordinaten ab und kann auch explizit von der Zeit
abhängen, wenn wir nachher ein Beispiel sehen, bei dem das auftaucht,
das ist die kinetische Energie, das ist die potenzielle Energie,
außen tauchen darin auf Qk und Qk, die generalisierten Koordinaten und
generalisierten Geschwindigkeiten.
So, hier links könnte man noch dazu schreiben, diese Gleichung hier,
von diesen Gleichungen habe ich F-Stück, nämlich dieser Index I, der
läuft von 1 bis F, wobei F die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems
ist.
So, und bei dem QiNp ist nun wichtig, das sind die generalisierten
Kräfte, die
nicht im Potential V berücksichtigt wurden.
So, mögliche Gründe dafür sind, entweder haben sie kein Potential,
oder man kennt keine Potentialfunktion, beziehungsweise findet keine
Potentialfunktion.
Oder man kennt keine geeignete Potentialfunktion.
So, das heißt also so viel wie, wenn Sie zu irgendeiner Kraft, auch
wenn sie konservativ ist, aber aus irgendwelchen Gründen finden Sie
die Potentialfunktion nicht, und wenn Sie die eben nicht finden,
können Sie trotzdem weiterarbeiten, müssen dann aber eben diese Kraft
in dem QiNp berücksichtigen.
Andersrum, wenn eine Kraft hier drin steht, darf sie natürlich nicht
im Potential berücksichtigt werden.
Also auch hier gilt, wie sonst auch immer, man darf nicht doppelt
bilanzieren, also anders als bei den Betriebswirten.
Hier müssen Sie sich entscheiden, entweder an einer Stelle oder an der
anderen Stelle.
So, vielleicht als letzte Anmerkung noch, die Gültigkeit dieser
Gleichungen, diese Lagrangian-Gleichungen zweiter Art sind gültig für
holonome Systeme,
und zwar Systeme von Massenpunkten oder starren Körpern
mit F-endlich vielen Freiheitsgraden.
Und denken Sie daran, in der kinetischen Energie steht die
Absolutgeschwindigkeit, aber ich denke, das ist klar.
So, gucken wir uns mal ein Beispiel an.
Bisher sieht es ja recht kryptisch aus.
Und die Vorteile dieser Herangehensweise sind, denke ich mal, an
dieser Stelle noch nicht offensichtlich.
Also schauen wir uns mal ein Beispiel an.
5-3-3-Beispiel.
Und wir fangen mit etwas ganz Einfachem an.
Der sogenannte physikalische Pendel.
Dieses physikalische Pendel ist also ein starrer Körper, der an einem
Punkt, nennen wir den mal O, aufgehängt ist.
Ich zeichne mir noch Koordinatensysteme XY ein, bräuchten wir
eigentlich nicht so wirklich, aber der Vollständigkeit halber, die
machen auch gleich eine Sache einfacher.
Dieser Körper hat einen Schwerpunkt S,
Masse M, befindet sich im schweren Feld der Erde und der wird also so
hin und her schwingen, wird so hin und her pendeln.
So, zunächst mal die Frage, wie viele Freiheitsgrade haben wir.
Also man sieht ohne große Rechnung, dass man einen Freiheitsgrad hat.
Man könnte das Ganze auch rechnen, wenn man sagt, das ist ein starrer
Körper, der eine ebene Bewegung ausführt, dann hat der a priori mal
drei Freiheitsgrade, nämlich zwei translatorisch, einen rotatorisch,
eben eine Bewegung.
Jetzt ist an diesem Punkt, ist quasi die Bewegung in x- und y-Richtung
eingeschränkt, das heißt man bekommt zwei skalare Bindungsgleichungen,
also drei Freiheitsgrade minus zwei skalare Bindungsgleichungen gibt
einen Freiheitsgrad.
Und ich denke, es ist naheliegend, hier diesen Winkel zu wählen,
so, den Winkel V, dieser Winkel V ist sozusagen der Winkel zwischen
der Vertikalen und der Verbindungslinie zwischen dem Aufhängepunkt und
dem Schwerpunkt.
Die Bedeutung ist, denke ich, klar, also wenn ich hier nichts mache,
wenn dieser Körper senkrecht nach unten hängt, also statische Lösung,
dann befindet sich der Schwerpunkt genau auf dieser Y-Achse.
Und V ist also die Auslenkung aus genau dieser Situation, also aus der
statischen Ruhelage.
So, ein Freiheitsgrad, das heißt ich habe F gleich 1, ich brauche also
nur eine generalisierte Koordinate und ich wähle V, also wähle
generalisierte Koordinate Q1, ist gleich Q, ist gleich einfach V.
So, und jetzt müssen wir nur folgende Dinge formulieren, wir müssen
die kinetische Energie formulieren, wir müssen die potenzielle Energie
formulieren und die generalisierte Kraft formulieren.
Kinetische Energie, da braucht man nicht viel denken, 1,5
Treckheitsmoment bezüglich O, bezüglich des Aufhängepunktes, mal V
-Punktquadrat.
Die potenzielle Energie kann man direkt angeben als Minus-Mg-A-Cosinus
-V, A ist der Abstand hier.
So, dabei habe ich das Nullniveau bei Y gleich 0 gelegt.
Wie sieht es mit der generalisierten Kraft aus?
Gibt es Vorschläge für die generalisierte Kraft?
Nun ja, was gibt es überhaupt an eingeprägten Kräften hier?
Es gibt die Gewichtskraft, die hat ein Potenzial, das haben wir schon
hier verarbeitet, das ist das schwere Potenzial hier in dem V.
Gibt es sonst eingeprägte Kräfte an dem Ding?
Ne, kein Dämpfer, keine Feder, es ist nur die Rückstellung infolge der
Gewichtskraft, das heißt, die einzige eingeprägte Kraft ist die
Gewichtskraft, diese ist bereits im Potenzial berücksichtigt.
Das heißt, die generalisierten Kräfte, die noch nicht im Potenzial
stecken, sind Null.
So, ich sage mal, an der Stelle mache ich einen Strich drunter.
An der Stelle ist nämlich die gesamte Arbeit beendet.
Also da, wo Sie bisher immer überlegen mussten, Koordinatensysteme,
wie rechne ich das, wie lautet die absolute Beschleunigung, dem
Koordinatensystem, Kräftegleichgewicht aufstellen, je nachdem welche
Methode Sie verwenden, dann die Zwangskräfte eliminieren oder auch
nicht.
Für die Lagrangian-Gleichung zweiter Art ist jetzt an dieser Stelle
das Denken beendet.
Jetzt müssen Sie nur noch rechnen.
Das Rechnen wird manchmal ein bisschen länglich, aber das Gute ist,
das kann man ja auch im Computer machen lassen.
Das heißt, im Prinzip, der Anteil Nachdenkens ist bei der Lagrangian
-Gleichung zweiter Art vergleichsweise kurz, der Anteil von, ich sag
mal, Schweißarbeit, der ist ein bisschen größer, aber den kann man ja
auch Maschinen machen lassen.
In der Prüfung natürlich nicht, aber ich meine so ganz grundsätzlich.
So, das Lagrange-Potenzial, wir müssen jetzt nur die Differenz aus T
und V bilden, ist einfach 1,5, Trecker zum Moment bezüglich O, 4 Punkt
Quadrat, minus V, deswegen kommt hier ein Plus hin, plus MgA Kosinus
V.
So, und jetzt müssen wir die Ableitungen bilden.
Ich lege die Lagrange-Gleichung nochmal auf.
So, ich lege sie mal hier daneben.
Wir brauchen also partielle Ableitung nach Q Punkt I, wir brauchen
dann die absolute Zeitableitung dieses Terms und wir brauchen die
partielle Ableitung nach Q I.
Unser Q I, ich habe hier nur ein I, unser Q ist hier einfach V, das
heißt, ich muss jetzt zum einen absolute Zeitableitung der partiellen
Ableitung nach V Punkt bilden.
Partielle Ableitung nach V Punkt von diesem Term hier, naja, da steht
kein V Punkt drin, bleibt nur der erste Summand und der ist
vergleichsweise einfach.
Das nehme ich einfach J0 mal V Punkt und das Ganze muss ich noch
absolut nach der Zeit ableiten und da wir nicht relativistisch
rechnen, ist unsere Drehmasse hier zeitkonstant, das heißt, hier steht
dann einfach J0 V II Punkt.
Der zweite Ausdruck, das Minuszeichen nehme ich gleich mal mit, ist
quasi Minuspartielle Ableitung von L nach Q I, ist also Minuspartielle
Ableitung von L nach V.
Ja, der erste Term hängt nicht von V ab, hier hängt nur der zweite von
V ab, der ist Minus MgA Sinus V, da steht ja noch ein Minus davor, das
heißt, das ist Plus MgA Sinus V.
So, das plus dem ergibt J0 oder JO V II Punkt plus MgA Sinus V ist
gleich Null.
So, wie gesagt, wir mussten uns keine Gedanken machen über
Koordinatensysteme, es ist nirgends der Begriff Absolutbeschleunigung
oder Ähnliches aufgetreten, das Einzige, was ich machen musste, war
die kinetische Energie zu formulieren, die potenzielle Energie
formulieren und die generalisierten Kräfte und damit war die Arbeit im
Prinzip erledigt.
Also die intellektuelle Anstrengung war damit sozusagen beendet.
Zweites Beispiel, ein fußpunkterregter Schwinger,
bestehend aus einer Masse M,
die vertikal geführt wird und elastisch, ja also mit einer Feder und
einem Dämpfer an so einer Bodenplatte befestigt ist und diese
Bodenplatte wird mit einer Zeitfunktion U von T bewegt.
Was ich hier hingemalt habe, ist im Prinzip das Prinzip-Schaltbild
eines Autos.
Also wenn Sie ein bisschen Fantasie walten lassen, ist das so eine Art
Minimalmodell zur Untersuchung von Fahrzeugschwingungen.
Der Boden, also die Straßenoberfläche, die ist sozusagen zeitlich
veränderlich, wenn man drüber fährt und die Masse, also der Aufbau
samt Fahrer etc.
ist elastisch und disziplativ, also über das Fahrwerk elastisch und
Dämpfer, also Feder-Dämpfer-Fahrwerk an den Boden angebunden.
Diese mechanischen Skizzen sind ja im Prinzip wie elektrische
Schaltbilder, so eine Art Symbolzeichnung eigentlich.
So, wir brauchen jetzt noch eine Koordinate.
Ich wähle jetzt hier mal die Höhe des Schwerpunktes, also das soll der
Schwerpunkt sein und das hier ist die Lage des Schwerpunktes in
vertikaler Richtung.
Gewichtskraft wird vernachlässigt.
Die Frage war, ob auf der linken Seite ein Viehpunkt dazukommt.
Bei welcher Ableitung?
Hier?
Okay, die Frage war, ob ein Viehpunkt dazukommt.
Warum sollte das dazukommen?
Was Sie gemacht haben, ist eine Zeitableitung.
Die Frage ist insofern gut, im Prinzip sind Sie ja quasi...
Ich könnte mir gut vorstellen, dass man durch die letzten Semester TM,
zumindest mal, wahrscheinlich auch durch die HM, ist man total darauf
gedrillt, absolute Zeitableitungen zu bilden.
Das heißt, man rechnet dann automatisch immer, naja, sozusagen äußere
Ableitung mal innere Ableitung.
Also Sie haben quasi gerechnet, aus dem Kosinus-Vieh wird ein Sinus
-Vieh mal Viehpunkt.
Das ist die innere Ableitung.
Hier steht aber eine partielle Ableitung.
Das heißt, Sie leiten partiell nach der Variable Vieh ab und nicht
nach T.
Das ist so, wie wenn Sie, sagen wir mal, x² ableiten, nach x ableiten,
dann bekommen Sie 2x raus.
Wenn Sie x² nach T ableiten und x von T abhängt, dann bekommen Sie 2x
mal x Punkt raus.
Also einmal tritt die innere Ableitung auf und das andere Mal nicht.
Also bei den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art müssen Sie wirklich
aufpassen an diese geklammerten Terme.
Einmal sind es partielle Ableitungen, nämlich hier und hier.
Dort leitet man nur nach der Variablen ab.
Und das Einzige ist hier diese absolute Zeitableitung, die dann diesen
Gesamtterm nach der Zeit ableitet.
Da muss man aufpassen.
Das ist eine typische Fehlerquelle, dass man da sich verrechnet, weil
man das wirklich so häufig drin hat, dass man die innere Ableitung
noch so mitnehmen möchte.
Also da muss man aufpassen.
Eine zweite typische Fehlerquelle ist dieses Minuszeichen hier.
Da sollten Sie auch aufpassen.
Das vergisst man auch leicht.
Wie sieht das aus?
Also die Frage war, ist es wichtig, wo man das Nullniveau wählt?
Weil dann wird ja mein V rausfallen.
Beim schweren Potenzial ist es egal.
Also wenn Sie sich an die ganzen Energieaufgaben erinnern, das schwere
Potenzial, das linear in der Verschiebung ist, könnten Sie sozusagen
jedes beliebige x0 dazu addieren.
Bei der partiellen Ableitung fängt diese Konstante, fällt raus.
Und übrig bleibt nur die Ableitung eben nach x.
Und das ist dann gerade der Term MRG.
Also beim schweren Potenzial, was linear ist, ist die Wahl egal.
Ansonsten ist es nicht egal.
Also bei Federpotenzialen zum Beispiel, so klassischerweise c halber x
Quadrat, ist es nicht egal.
So, also wir vernachlässigen die Gewichtskraft.
Die kinetische Energie dieser Masse ist einfach m halber x Punkt
Quadrat.
Die potenzielle Energie, gut, worin besteht die potenzielle Energie,
wenn ich das schwere Potenzial vernachlässige, dann ist die einzige
Speichermöglichkeit für potenzielle Energie diese Feder hier.
Federsteifigkeit c.
Das heißt, ich habe dann hier c halbe und jetzt brauche ich die
Kompression der Feder.
Und die Kompression der Feder ist, wenn ich davon ausgehe, dass für x
gleich 0 und u gleich 0 die Feder entspannt ist, dann habe ich hier
einfach stehen x minus u von t zum Quadrat.
Also, Feder entspannt für x gleich 0 und u gleich 0.
Das ist die Wahl des Nullniveaus, die gerade angesprochen wurde.
So, was fehlt jetzt noch?
Ich brauche jetzt noch die generalisierte Kraft entlang x.
Was würden Sie da reinstecken in die generalisierte Kraft, was fehlt
noch?
Also, die Feder haben wir verarbeitet, jetzt fehlt der Dämpfer, den
nenne ich mal d.
Die Dämpferkraft ist einfach minus d x Punkt, so, falsch, Klammer auf,
x Punkt minus u Punkt.
Das ist nämlich die Kompressionsrate, also quasi die Relativ-, oder
die Geschwindigkeit, mit der dieser Abstand zwischen dieser
Bodenplatte und der Masse zusammengedrückt wird, also x Punkt minus u
Punkt.
Und die virtuelle Arbeit lautet dementsprechend minus d, Klammer auf,
x Punkt minus u Punkt, das ist die Dämpferkraft, mal Delta x.
Das hier vorne ist also mein Qx.
So, jetzt habe ich im Prinzip alles angeschrieben, was ich brauche,
jetzt bilde ich mir das kinetische Potential.
T minus V ist gleich m halbe x Punkt Quadrat minus c halbe x minus u
zum Quadrat, hier ein Minuszeichen, da muss man aufpassen an der
Stelle, dieses Minus, das bereitet häufig Kopfschmerzen, wenn man das
nämlich vergisst, dann drehen sich in der Folge ein paar Vorzeichen
um.
So, und jetzt wieder absolute Ableitung der partiellen Ableitung von L
nach x Punkt.
Das ist also die absolute Zeitableitung.
Wenn ich diesen Ausdruck hier partiell nach x Punkt ableite, dann sehe
ich wiederum, man hat nur der erste Summand, hängt von x Punkt ab, das
heißt da bleibt m x Punkt stehen, also zwei kommt runter, m x Punkt.
Davon die Zeitableitung ist m x zwei Punkt.
Außerdem der Term minus partielle Ableitung von L nach x ist gerade c
halbe, zwei kommt runter, das heißt hier steht dann plus c x minus u
und die generalisierte Kraft ist einfach minus d x Punkt minus u
Punkt.
Und jetzt muss ich nur alles zusammenfassen, also den Term, den Term
und den Term und erhalte die Bewegungsgleichung m x zwei Punkt plus d
x Punkt plus c x ist gleich d u Punkt plus c u.
Ich habe die schon ein bisschen sortiert.
Ich habe die schon ein bisschen sortiert, weil das nämlich in gewisser
Weise schon eine Überleitung zum nächsten Thema ist.
So, gibt es Fragen soweit?
Also die Lagrangiangleichung zweiter Art sind wie gesagt praktisch,
insbesondere deswegen, weil man eigentlich nur so von der Denkleistung
her Energien aufstellen muss, da darf man natürlich keinen Fehler
machen und der ganze Rest ist in Anführungszeichen stupides Rechnen.
Da kann man natürlich auch Fehler machen, aber da kann man keine
prinzipiellen Denkfehler mehr machen, außer eben technische
Rechenfehler.
So, wenn es keine weiteren Fragen dazu gibt, heute Nachmittag in der
Übung werden Sie direkt die Lagrangiangleichung zweiter Art üben, ich
glaube in der nächsten Übung auch noch.
Das heißt, Sie haben jetzt ausreichend Gelegenheit, diese Gleichung
von verschiedenen Seiten her kennenzulernen.
Ich möchte dann ganz gerne zum nächsten Thema übergehen.
Was fällt Ihnen zu dieser Differenzialgleichung hier unten ein?
Ich meine die rechts unten hier.
mx2.
plus dx.
plus cx ist gleich irgendwas.
Schon mal gesehen?
In HM bestimmt.
Das ist eine Schwingungsdifferenzialgleichung, vorausgesetzt, dass m
positiv ist und c positiv ist, aber solche Kleinigkeiten wollen wir
jetzt mal außen vor lassen.
Das ist eine Schwingungsdifferenzialgleichung.
Ich möchte jetzt bis zum Ende der Vorlesungsreihe, also jetzt die
nächsten vier Veranstaltungen, das Thema Schwingungen behandeln.
Wir fangen an mit einfachen Schwingungen, machen die ein bisschen
komplizierter.
Und so ein bisschen zur Motivation, ich habe ein paar Beispiele
mitgebracht, das ist mit Sicherheit nicht abschließend.
Schwingungen sind außerordentlich vielfältig und wenn Sie vielleicht
heute nach dieser Vorlesung oder auch sonst mit offenen Augen und
Ohren und ein bisschen Fingerspitzengefühl durch die Welt gehen,
manchmal braucht man nicht mal die Fingerspitze, manchmal ist es
brutale Gewalt, da sage ich gleich was dazu.
Wenn Sie ein bisschen durch das Leben gehen, dann werden Sie
feststellen, dass Schwingungen, Vibrationen, akustische Ereignisse
allgegenwärtig sind.
Sie reichen von natürlich gewünschten oder erwünschten
Schwingungsphänomenen.
Wissen Sie, was das hier oben ist?
Man erkennt es vielleicht ein bisschen schlecht.
Das hier oben, das sind so Rüttelfahrzeuge.
Ich habe mir sagen lassen, dass so eine Kolonne, also das sind so drei
LKWs, die fahren dann so Bodenplatten nach unten und leiten
Schwingungen in den Boden ein.
Ich habe mir sagen lassen, dass solche LKWs vor wenigen Jahren hier in
der Gegend rumgefahren sind, weil es wohl irgendwo in der Pfalz
Erdölvorkommen gibt.
Also mit diesen Dingern werden seismische Wellen in den Boden
eingeleitet und anhand der reflektierten Wellen kann man Rückschlüsse
treffen auf die Beschaffenheit des Untergrundes, auf eventuell
vorhandene Öl- oder Gaslagerstellen und ähnliches.
So, das kennt, denke ich mal, jeder.
Das ist so ein Rüttelgerät von der Baustelle.
Das ist ein Schwingförderer oder Schwingsieb.
Dort werden leichte Teile in Vibrationen versetzt und bewegen sich
dann zu irgendwelchen Löchern, wo sie dann sortiert rausfallen.
Die schönste Variante von Schwingungen habe ich natürlich vergessen.
Was fällt Ihnen noch zum Thema Schwingungen ein auf der erwünschten
Seite?
Nein, nicht das, was da drüben getuschelt wurde.
Also ich meine jetzt nicht diese Good Vibrations, sondern ich meine
jetzt...
Also zum Beispiel Streichinstrumente oder Blasinstrumente und
ähnliches.
Die Klasse von erwünschten Schwingungen ist wirklich groß.
Die Klasse von unerwünschten Schwingungen ist leider Gottes auch sehr
groß, insbesondere in der Technik.
Also zum Beispiel Vibrationen von Verbrennungsmotoren wird ein Haufen
Aufwand betrieben.
Diejenigen, die sich für Verbrennungsmotoren interessieren und sich
vielleicht bisher schon damit beschäftigt haben, wissen es schon, die
anderen werden es im Rahmen weiterführender Vorlesungen wahrscheinlich
hören, dass man großen Aufwand betreiben muss, um die Massenkräfte,
also Unwuchten und ähnliches, aus Verbrennungsmotoren abzuschirmen, zu
kompensieren etc.
Also das ist so ein schematisches Beispiel, da muss man viel machen.
Anderes Beispiel, was jeder kennt, Bremsenquietschen.
Wenn es nicht auftritt, fragt man sich, ob das überhaupt ein Problem
ist.
Wenn das Fahrrad mal anfängt zu quietschen, denke ich, kennt jeder,
der das schon mal hatte, das nervt einen dermaßen, dass man das Ding
am liebsten wegschmeißen würde.
Das heißt, wenn es mal da ist, ist es ein echtes Komfortproblem.
Und gerade bei Kraftfahrzeugen erzeugt es einen Haufen Garantiekosten.
So, und das da unten, ich glaube, man erkennt es ein bisschen
schlecht, das ist so ein Modell eines LKWs und hier sind angedeutet
die Schwingungen, die direkt an der Achse entstehen, die hier an der
Verbindungsstelle zwischen der Radaufhängung und dem Aufbau entstehen
und die der Fahrer oben mitbekommt.
Sehen Sie das?
Das heißt, was man hier auch schon so ein bisschen angedeutet hat, ist
quasi auch die Aufgabe, die so ein Fahrwerk hat, nämlich Schwingungen
vom Fahrer oder von der Fracht fernzuhalten.
Genau, und da kommt es darauf an, dass man diese Dinge richtig
auslegt, richtig designt.
So, es gibt auch im Zwischenfeld natürlich Beispiele.
Also hier eines der Beispiele, so ein Bohrhammer.
Am einen Ende hat man auf jeden Fall erwünschte Schwingungen, nämlich
die Wirkung, die in den Beton eingeleitet wird.
Am anderen Ende unerwünschte Schwingungen, nämlich die, die dann zu
dieser weißen Händekrankheit kommen, das ist, glaube ich,
Durchblutungsstörungen, Kribbeln in den Fingern und dass man dann
abends sich so fühlt, bis hin zu schweren Erkrankungen, die man nicht
mehr los wird.
So, was ich jetzt kurz angesprochen hatte, noch nicht explizit
angesprochen hatte, ist natürlich auch das, was hier gerade passiert.
Also die Tatsache, dass Sie mich hören, basiert letzten Endes darauf,
dass hier mechanische Schwingungen quasi aus meinem, ja von meinen
Stimmlippen erzeugt werden, durch die Luft übertragen werden,
elektrisch verstärkt und so weiter, und durch die Luft mechanische
Schwingungen zu Ihrem Ohr geraten und dann im Ohr über komplizierte
Knöchelchen in Sinneseindrücke umgewandelt werden.
Das Ganze ist letzten Endes eine Kette, die nur aufgrund von, ja,
mechanischen und elektrischen Schwingungen funktioniert.
Sie können jetzt selber entscheiden, in welche Kategorie das hier
gehört, ob das erwünscht oder unerwünscht ist, dass Sie mich hören.
Ja, also Schwingungen ist ein interessantes Thema.
Ich sag mal, um solche praktischen Probleme verstehen zu können,
braucht man erstmal ein bisschen 1x1 und das wollen wir jetzt machen.
Also Grundlagen zum Thema Schwingungen und Schwingungstechnik.
So, wir beginnen mit Kapitel 6.
Einfache Schwingung.
Zunächst mal stellt sich ja die Frage, was ist überhaupt eine
Schwingung?
Es gibt mit Sicherheit eine Vielzahl von Definitionen.
Wahrscheinlich ist keine wirklich allumfassend, aber eine recht gute
Definition für Schwingung ist, dass man einen Vorgang oder ein Signal
hat mit Wiederkehr bestimmter Eigenschaften.
Wiederkehr gewisser Merkmale.
Beim Zeitablauf.
So, was heißt das Wiederkehr gewisser Merkmale?
Also, ich denke mal, wenn Sie an diesen Bohrhammer denken, dann wird
vielleicht die Beschleunigung des Punktes, an dem der Werker dieses
Gerät in der Hand hat, die wird vielleicht so aussehen.
So, gefühlt.
Also irgendwie ein ziemliches Gezacke.
Da würden Sie glaube ich sofort sagen, dass das eine Schwingung ist.
Wenn ich hier Zeitverlauf und hier vielleicht, ja, ich schreibe mal X
dran, irgendeine Messgröße.
Hingegen würden Sie wahrscheinlich bei sowas, X über T, nicht sagen,
dass es eine Schwingung ist.
Also das ist, denke ich mal, intuitiv keine Schwingung und das ist
eine Schwingung.
Das Kriterium hier oben, Wiederkehr gewisser Merkmale, das greift im
Prinzip dadurch oder insofern, als dass wir hier ja ständig
wiederkehrend, also das ist eine Schwingung hier, als dass wir hier
links wiederkehrend zum Beispiel diese Nulldurchgänge haben.
Da ist ein Nulldurchgang, hier ist ein Nulldurchgang, Nulldurchgang,
Null, Null, Null.
Das heißt, dieses Signal, das geht immer wieder durch die Null durch.
Da kommt also irgendwas, kommt sozusagen immer wieder, also dieser
Nulldurchgang.
Wir könnten auch sagen, dass wir sozusagen ständig Umkehrpunkte zu
finden sind, also dort, wo ich ein Maximum habe.
Dort gibt es offensichtlich irgendwelche Vorgänge, die immer wieder
passieren.
Also wichtige Größen, in denen man Schwingungen feststellt oder misst
oder beobachtet, sind zum Beispiel Bewegungsgrößen, also Weg,
Geschwindigkeit, Beschleunigung oder auch Kraft und natürlich viele
andere.
Temperatur könnte zum Beispiel eine Schwingung zeigen.
Und in der Technik sind besonders wichtig sogenannte periodische
Schwingungen.
So, diese periodischen Schwingungen sind wichtig in der Technik
und sie zeichnen sich durch eine periodische Wiederkehr, also nicht
nur eine irgendwie geartete Wiederkehr gewisser Merkmale, sondern
periodische Wiederkehr gewisser Merkmale.
So, und ein Beispiel könnte sowas hier sein.
T, X.
So, und da sehen wir sozusagen diese Nulldurchgänge hier,
dass die mit einer festen Periodendauer T immer wiederkehren.
So, ich hatte Ihnen vorhin ein paar Bilder von technischen Beispielen
mitgebracht.
Sehen Sie alle dieses Teil hier?
Dieses Gerät, mit diesem Gerät begann für mich sozusagen alles.
Da saß ich nämlich da hinten vor dieser Wand und Herr Professor
Wittenburg, der Vorgänger von Herrn Seemann, hat damals genau dieses
Pendel hier hochgehalten und ich habe es irgendwann geerbt, als er in
den Ruhestand gegangen ist.
Also sozusagen, ja, vielleicht steht einer von Ihnen oder eine von
Ihnen in ein paar Jahren hier vorne.
Also dieses Ding, so, das ist im Prinzip ein einfaches Beispiel, um
sich mal Schwingungen anzugucken, was da eigentlich passiert.
So, das ist, denke ich, offensichtlich eine Schwingung.
Wir haben periodische Wiederkehr von Eigenschaften, also, dass die
Geschwindigkeit Null wird, das ist hier oben und hier unten der Fall,
also quasi bei den Maxima, bei den maximalen Auslenkungen.
Das kehrt periodisch wieder, der Punkt maximaler Geschwindigkeit,
nämlich hier irgendwo zwischendrin, der kehrt periodisch wieder.
Was würden Sie denn sagen, wenn Sie dieses Minimalbeispiel angucken?
Wenn wir uns das mal vorstellen, das hier ist sozusagen so das Minimum
an Dingen, die ich brauche, um etwas Schwingendes zu produzieren.
Was steckt hier drin, so an Eigenschaften?
Was steckt hier drin?
Was ist das hier?
Das Schwere?
Masse.
Das ist Masse und was speichert Masse?
Kinetische Energie, genau.
Und das hier?
Feder, Potenzial, elastische Energie.
Also, wenn man sich andere Schwingungsbeispiele anguckt, dann findet
man, ich schreibe mal drüber, 6.1, Erscheinungsformen und Beispiele.
Also
man findet, dass im Allgemeinen Systeme mit Trägheit und Rückstellung
schwingungsfähig sind.
So, und zwar Trägheit, also Masse m,
und Rückstellung, z.B.
c, könnte aber auch m mal g sein.
Trägheit oder die Masse korrespondiert mit kinetischer Energie.
Diese Rückstellung, also Steifigkeiten z.B., die korrespondieren mit
potenzieller Energie.
So, und diese beiden Energieformen, das sind quasi Energiespeicher,
also ich kann einem Festkörper Energie mitgeben, indem ich seine
kinetische Energie erhöhe.
Also ich kann Energie in der Masse speichern.
Oder wenn dieser Festkörper elastische Eigenschaften hat, dann kann
ich z.B.
Energie in dieser Elastizität speichern, als potenzielle Energie, also
es ist ein Energiespeicher.
Und beim Schwingungsvorgang tauschen diese Energiespeicher,
ja, die tauschen quasi oszillierend Energie aus.
Also wenn Sie hier gucken, wenn das Ding schwingt, dann gibt es eine
Situation, in der es quasi die potenzielle Energie maximal hier, an
der Stelle ist die Geschwindigkeit maximal, dort ist die kinetische
Energie maximal und im oberen Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit
wieder null und die potenzielle Energie minimal.
Das heißt, hier tauschen diese beiden Energiespeicher ständig die
Energie aus, die in diesem System drin steckt.
Idealerweise bewegt sich meine Hand nicht, das heißt, ich führe diesem
System idealerweise keine Energie zu.
Was nicht ganz stimmt, weil ein bisschen wackele ich ja doch, aber so
idealerweise, wenn ich eine ganz starre Hand hätte, dann wäre das ein
System ohne Energiezufuhr und es klingt dann langsam nur ab aufgrund
der Luftreibung.
So, also ich kann noch von außen Energie zuführen und ich kann Energie
abführen, zum Beispiel durch Dissipation.
Dissipation,
also Energiewechsel zwischen Energiespeichern.
Außerdem, bei diesem Ding jetzt nicht, aber in technischen Anwendungen
sind die Amplituden in der Regel sehr klein.
Also wenn Sie sich überlegen, beispielsweise wenn Sie im Auto fahren
und irgendwo brummt es hinterm Handschuhfach,
oder, ja, keine Ahnung, oder Ihr anderes Beispiel, Ihre Vorderbremse
am Fahrrad quietscht, dann werden Sie in den seltensten Fällen diese
Schwingung wirklich sehen, weil die Amplitude wahnsinnig klein ist.
Sie hören es trotzdem sehr stark.
Genauso, es gibt eine Vielzahl von Schwingungen, die man spürt, aber
nicht sieht.
Also wenn Sie überlegen, wenn Sie im Flugzeug sitzen, spüren Sie ganz
deutlich, dass dieses Ding vibriert, aber die Schwingungen der
Oberfläche sehen Sie in der Regel nicht.
Also, wünsche ich zumindest.
Wünsche ich Ihnen.
Also, die Amplituden sind oft sehr klein,
sind also meistens in der Technik, meistens visuell nicht wahrnehmbar,
aber meistens fühl- und hörbar.
Schauen wir uns mal Beispiele an.
Und zwar Beispiele dafür, wie solche Differentialgleichungen
eigentlich aussehen.
Also, Beispiel 1, das mathematische Pendel.
So, in dem mathematischen Pendel versteht man einen Massenpunkt M, der
in einer Stange, der Länge L, an einer massenlosen Stange, der Länge L
befestigt ist.
Diese Anordnung befindet sich im Schwerefeld.
Und diese Stange ist um den Winkel Phi aus der statischen Ruhelage,
also aus dieser nach unten hängen Lage, ausgelenkt.
So, wenn ich jetzt hier rechts einen Freischnitt mache, das ist die
Masse M, dann kann ich
beispielsweise Basisvektoren in radialer Richtung ER und in
tangentialer Richtung E Phi einführen.
Die eingeprägten Kräfte, die auf diese Masse wirken, sind einerseits
die Schwerkraft nach unten,
MLG, die Schwerkraft schließt mit diesem Radialbasisvektor den Winkel
Phi ein.
Außerdem übt diese Stange hier, die übt eine Zwangskraft in radialer
Richtung aus, also Stangenkraft.
Und ich habe natürlich Trägheitswirkungen, die man beispielsweise
aufspalten kann in die Trägheitswirkung infolge der
Bahnbeschleunigung, also tangential ML Phi 2 Punkt, der positiven
Beschleunigungsrichtung entgegengesetzt.
Also wenn das hier die positive Phi-Richtung ist, dann steht es der
positiven Phi-Beschleunigung entgegengesetzt und hat den Betrag ML Phi
2 Punkt.
So, und die Trägheitswirkung infolge der Radialbeschleunigung zeigt
nach außen und hat den Betrag ML Phi Punkt Quadrat.
Zur Erinnerung, das Blaue hier in radialer Richtung, das ist die
Zentrifugalkraft, die aus der Zentripetalbeschleunigung herrührt.
Also bei dieser Kreisbewegung brauche ich eine
Zentripetalbeschleunigung, die also zum Zentrum hin zeigt der
Bewegung, und die erzeugt eine Zentrifugalkraft, also die vom Zentrum
weg zeigt.
So, okay.
Ich kann jetzt ein Dallon-Bär-Gleichgewicht machen.
Bei diesem einfachen Beispiel muss man jetzt keine besonderen Methoden
bemühen, um die Zwangskraft, die Stangenkraft zu eliminieren.
Man kann einfach direkt ein Dallon-Bär-Gleichgewicht in die E4
Richtung machen und erhält Minus ML Phi 2 Punkt Minus MG, der Anteil
hier ist der Sinus Phi, also MG Sinus Phi ist gleich Null.
Jetzt sieht man was ganz Typisches für diese Schwere oder für
Schwingungen im Schwerefeld.
Das M kürzt sich nämlich raus.
Ich kann noch durch L teilen und ich kann durch Minus 1 teilen und
erhalte dann eine Gleichung dieser Form, Phi 2 Punkt plus G durch L,
Sinus Phi ist gleich Null.
Dass dieses Ding hier sich rauskürzt, dieses M, das liegt an der
Gleichheit von schwerer und träger Masse.
Also das hier ist das M aus der Trägheit und das hier ist das M aus
dem Gewicht.
Und da Trägemasse und Schweremasse, zumindest für uns, identisch sind,
kann man das einfach rauskürzen.
M spielt also offensichtlich für das Verhalten dieses Pendels gar
keine Rolle.
Und das Verhalten dieses Pendels ist offensichtlich nur bestimmt vom
Verhältnis aus G zu L.
Das hier ist übrigens jetzt gleich was relativ hässliches, das ist
eine nicht-lineare Bewegungsgleichung, also eine nicht-lineare
Differenzialgleichung.
Und die ist homogen, also eine homogene und gewöhnliche
Differenzialgleichung.
DGL heißt Differenzialgleichung, wird noch ein paar mal auftauchen.
Ich denke, in der HM haben sie sich relativ viel mit
Differenzialgleichungen beschäftigt, die allermeiste Zeit mit
linearen.
Es gab wahrscheinlich auch ein paar nicht-lineare, aber das waren dann
so ausgewählte Beispiele, die man lösen kann, für die man aus Zufall
oder mit ein bisschen Strategie, aber mit einer gehörigen Portion
Glück eine Lösung gefunden hat.
Im Allgemeinen kann man sagen, dass nicht-lineare
Differenzialgleichungen, die Theorie dazu ist nicht so gut ausgebaut
wie die für lineare.
Das ist alles nicht so ohne mit den nicht-linearen
Differenzialgleichungen.
Deswegen wird man häufig versuchen, diese nicht-linearen
Differenzialgleichungen zu linearisieren.
Das bedeutet, wenn ich es irgendwie schaffe, diese
Differenzialgleichung zumindest mal unter bestimmten Voraussetzungen
in eine lineare Gleichung, die mir das Verhalten ausreichend genau,
für meine Zwecke ausreichend genau beschreibt, zu überführen, dann
habe ich viel gewonnen, weil dann kann ich sofort die gesamte lineare
Theorie, die ich habe, die gut ausgebaut ist, die zwar auch
kompliziert ist, aber die ist ausgebaut, das ist eine in sich
schlüssige Theorie quasi mit Kochrezepten, kann ich sofort verwenden.
Das Stichwort dazu ist sozusagen diese Feststellung, dass die meisten
Schwingungen der Technik von kleiner Amplitude sind.
Das heißt, ich kann in allermeisten Fällen davon ausgehen, dass dieses
Vieh zum Beispiel klein ist.
Wenn ein Wert klein ist, dann kann man eine Taylor-Entwicklung
versuchen.
Also was ich machen möchte, ich möchte für kleine Bewegungen,
ich nenne die mal Delta-Vieh, also kleine Abweichungen um die
statische Ruhelage,
möchte ich linearisieren.
So, die statische Ruhelage, aufgrund der Art und Weise, wie ich das
Vieh eingeführt habe, die ist einfach gegeben durch Vieh Null ist
gleich Null.
Und ich möchte jetzt meine Auslenkung ausdrücken als Ruhelage plus
kleine Auslenkung aus dieser Ruhelage.
Hieraus folgt gleich die Geschwindigkeit ist gleich Ableitung der
Ruhelage plus kleine Abweichung von dieser Ruhelage.
Jetzt ist die Ruhelage ja dadurch gekennzeichnet, dass ihre
Geschwindigkeit verschwindet.
Deswegen ist es ja die Ruhelage.
Das heißt, dieser Term ist Null, da Ruhelage.
Oder in anderen Worten, da es eine statische Lösung ist.
Sie erinnern sich an der Statik, verschwinden die Geschwindigkeiten
und Beschleunigung.
So, genau so.
Die Beschleunigung besteht nun aus der Beschleunigung der Ruhelage
plus Abweichung von dieser Beschleunigung.
Und da es die Ruhelage ist, verschwinden auch die Beschleunigungen.
So, wenn ich das jetzt einsetze, also in meine Differenzialgleichung
einsetze, dann erhalte ich...
V2-Punkt plus G durch L.
Ich mache mir hier so eine große Klammer auf.
Sinus von V0 plus Delta-V ist gleich Null.
Ich habe meinen Winkel V ersetzt durch V0 plus Delta-V.
Und da das Delta-V klein sein soll, ist meine Annahme, kann ich hier
eine Taylor-Entwicklung machen.
Also, Taylor-Entwicklung.
Und aus der erhalte ich Delta-V2-Punkt plus G durch L, Klammer auf.
Sinus-V an der Stelle V gleich V0 plus 1 durch 1.
Kosinus-V an der Stelle V gleich V0 mal Delta-V plus Terme höherer
Ordnung.
Das hier verschwindet, da mein V0 gerade Null ist und Sinus von Null
ist Null.
Das hier wird gerade 1, eben mit derselben Begründung.
V0 ist Null, oder mit fast derselben Begründung.
Und der Kosinus von V0 ist damit nämlich gerade 1.
Und was also übrig bleibt, ist die linearisierte Differentialgleichung
V2 -Punkt plus G zu L Delta-V ist gleich Null.
Ich schreibe mal nebendran.
Gültig für, naja, was waren die Annahmen?
Die Annahmen waren, ich bewege mich in der Nähe der Ruhelage, deswegen
sind diese V.0 und V.2.0 rausgefallen und meine Delta-V sind klein.
Das heißt im Prinzip stehen die Annahmen sozusagen hier und hier.
Also, gültig für V0 ist gleich Null und Delta-V ist vom Betrag her
viel kleiner als 1.
So, und dieses Ding hier ist eine lineare, gewöhnliche, homogene
Differentialgleichung.
Ein zweites Beispiel,
Beispiel 2,
ist die Bewegung einer Flüssigkeit in einem Rohr, und zwar in einem U
-Rohr.
Also Schwingungen, Flüssigkeitsschwingungen in
einem U-Rohr.
So, das Bildchen dazu ist, ich mal mal zunächst so eine Mittellinie,
also so ein gebogenes Rohr in U-Form.
Und da steht jetzt Wasser drin und in der Ausgangslage soll das diesen
Spiegel haben.
Hier unten ist alles mit Wasser gefüllt.
Das Ganze steht im Schwerefeld.
So, und wenn es jetzt anfängt zu schwappen, also quasi auf der einen
Seite der Spiegel sich anhebt und auf der anderen sich absenkt durch
eine kleine Störung, dann steht der Spiegel auf der einen Seite jetzt
hier oben.
Und auf der anderen, wenn die Flüssigkeit inkompressibel ist und der
Querschnitt überall konstant, ist es um dieselbe Höhe abgesenkt.
Also wir nehmen an, Rohr ist konstant und der Querschnitt ist
konstant.
Und wenn sich dieses Ding hier um Z gehoben hat, dann ist der Spiegel
auf dieser Seite um Z abgesunken.
So, die Länge dieser Wassersäule entlang der Mittellinie ist L.
So, das ist zunächst mal ein Beispiel, auf das wir nicht unbedingt
sofort unsere bisherigen Kenntnisse anwenden können.
Wir können aber auf jeden Fall mal anschreiben, die schwingende Masse.
Naja, die schwingende Masse ist Roh mal das Volumen.
Das Volumen ist, wenn man sich das so abgewickelt denkt und die
Krümmung vernachlässigt, dann ist das einfach Querschnittsfläche mal
Länge.
Das heißt, das schwingende Volumen ist L mal A und die schwingende
Masse ist deswegen Roh mal L mal A.
Das ist die schwingende Masse, das ist ein Baustein, den ich für
Schwingungen brauche.
Was brauche ich noch für Schwingungen?
Ich brauche Rückstellungen.
Was wirkt jetzt sozusagen rückstellend, also was wirkt dieser Bewegung
entgegen?
Diese Bewegung wirkt die Schwerkraft entgegen.
Wenn ich auf der einen Seite Masse sozusagen anhebe und sie auf der
anderen Seite fehlt, dann ist quasi das Übergewicht, das
Ungleichgewicht, was dadurch entstanden ist, das steht sozusagen
dieser Auslenkung entgegen, das ist die rückstellende Kraft.
Das heißt, ich bekomme Rückstellung, also den zweiten Baustein, den
ich für Schwingungen brauche, den bekomme ich durch das Übergewicht.
Und die entsprechende Kraft ist also minus 2 mal 2, weil ich hier und
dort Übergewicht habe, A mal Z, Roh, G.
Und zwar dieses A mal Z, das ist sozusagen das Delta V, also Delta V,
das ist das Volumen, das verschoben wurde, mit Roh multipliziert
ergibt dann die zugehörige Masse, das ist Delta M.
Und M mal G ist eben die Kraft, einmal die Kraft, die hier oben drückt
und quasi die hier unten fehlt.
Und jetzt kann man ein D'Alembert-Gleichgewicht machen, entlang
der Mittellinie.
Und er erhält jetzt minus schwingende Masse, mal Z, Punkt, Punkt,
minus 2AZ, Roh, G, ist gleich 0.
Jetzt setze ich hier oben eine Masse ein, das ist minus Roh, LA, minus
2A, Roh, G, Z, ist gleich 0.
A kürzt sich raus, Roh kürzt sich raus,
und übrig bleibt Z2-Punkt plus 2G durch L mal Z ist gleich 0.
Schwingungen in so einer U-förmigen Wassersäule werden also
offensichtlich von vornherein durch lineare Gleichungen beschrieben,
also eine lineare Differentialgleichung,
auch ohne Linearisierung.
Und es ist eine gewöhnliche und homogene Differentialgleichung.
Okay, an der Stelle möchte ich für heute aufhören und mit der
Evaluation weitermachen.
Gibt es Fragen bisher?
Gibt es Fragen zu diesen Schwingungsbeispielen, die wir bisher gesehen
haben?
Okay, also mit der Evaluation.
Zunächst mal, ich werde jetzt gleich diese Evaluationsbögen austeilen.
Und ich bräuchte dann hinterher jemanden, der die einsammelt, in den
Umschlag steckt und heute Abend zur Evaluationsstelle bringt.
Beziehungsweise auch morgen früh, das ist mir egal.
Ich kann es nicht machen, da ich es nicht machen darf.
Wer würde sich denn bereit erklären?
Würde sich jemand bereit erklären, diese Evaluationsbögen nachher
einzusammeln?
Super, sehr gut.
Dankeschön, genau, Applaus.
So, würden Sie das gerade mal durchgeben?
Bevor Sie anfangen, diese Bögen auszufüllen, möchte ich noch ein paar
Sachen sagen.
Also füllen Sie bitte mal nur nicht aus.
Die Sache mit der Evaluation ist wichtig.
Und zwar insofern, als dass es ja für Sie quasi jetzt die anonyme und
deswegen hoffentlich objektive Möglichkeit ist, die volle Wahrheit zu
sagen.
Die volle Wahrheit bedeutet, oder sollte meinen Augen bedeuten, dass
das Ganze konstruktiv abläuft, weil es ja quasi nachfolgende
Generationen eine vielleicht bessere, verbesserte, gute
Lehrveranstaltung bescheren soll.
Also ich würde Sie deswegen zum einen darum bitten, seien Sie objektiv
und fair.
Davon gehe ich sowieso aus bei Ihnen.
Ich möchte Sie insbesondere bitten, seien Sie, soweit es geht,
konstruktiv und geben Sie Verbesserungsvorschläge.
Also der erste Teil dieses Blattes mit den Schulnoten, der ist
interessant für die Statistik.
Es ist manchmal aber im Nachhinein relativ schwierig aus einer
Bewertung von, ich sag mal, Raumgröße ist 2,1, da kann man wenig
daraus ablesen.
Das kann man sich dann sozusagen, das kann man so vergleichen, ich
habe besser als du, aber so richtig was rauslesen sozusagen für
Abhilfemaßnahmen kann man nicht.
Ich würde Sie deswegen bitten, wenn Sie was verbessern möchten, was
dazu beitragen möchten, nehmen Sie sich ein paar Augenblicke und
schreiben Sie vielleicht so eine Volltextbewertung in dieses Feld
unten rein.
Meiner Erfahrung nach ist das das Gewinnbringendste aus unserer Sicht.
Also wenn Sie etwas schlecht finden, machen Sie einen
Verbesserungsvorschlag.
Sie können natürlich auch loben, also nicht im Sinne von loben, dass
ich mich gut fühle, sondern im Sinne von positives Verstärken.
Das heißt, wenn Sie Dinge gut finden, können Sie das natürlich genauso
ansprechen, damit die in Zukunft auch so bleiben und vielleicht
ausgebaut werden.
Also Sie könnten auch reinschreiben, das und das sollte ausgebaut
werden.
Okay, also ich sage an der Stelle schon mal vielen Dank, weil ich
klinke mich jetzt gleich aus und freue mich auf nächste Woche und ich
bin sehr gespannt auf die Evaluationsergebnisse.
Bis denn, tschüss.