Hallo.
Herzlich willkommen zur letzten Vorlesung in TM4 in diesem
Sommersemester.
Genau, sehr gut.
Wer wartet, den stelle ich ein.
Sehr gut.
Vielen Dank.
Genau, also herzlich willkommen zur letzten Vorlesung in TM4.
Es wird nur, ich sage mal, eine halbe Vorlesung plus minus.
Ich mache jetzt einen Abschluss zu dem Thema Schwingungen und danach
gibt es, sage ich mal, eine Abschlussübung, also ein paar praktische
Aspekte zu Schwingungsrechnungen.
Und im zweiten Teil, wie letzte Woche angekündigt, findet statt Übung
von 1545 bis 1715 ein, ich sage mal, ein kleiner Ausblick auf die
Zukunft statt.
Zum einen ein kleines Potpourri, Erfahrungen aus der Praxis, wo
tauchen Schwingungsprobleme auf, wo taucht die TM da auf und zum
zweiten eine Vorstellung von weiterführenden Vorlesungen bei unserem
Institut, wie auch Forschungsthemen, die für Sie vielleicht
interessant sein könnten als Bachelorarbeit, später als Masterarbeit
oder als HIVI oder ähnliches.
Da werden wir Ihnen nachher was zeigen.
So, zur Erinnerung, wir hatten letztes Mal, hatten wir uns Folgendes
angesehen, wir hatten uns in Erweiterung dessen, was wir davor gemacht
haben, davor hatten wir ein Freiheitsgrad Schwingungssysteme, also
quasi immer eine Masse, eine Feder oder eben einen Schwinger mit einem
Freiheitsgrad angesehen.
In Erweiterung dessen hatten wir uns das letzte Mal ein
Schwingungssystem mit zwei Massen, also zwei Freiheitsgraden
angesehen.
Ja, und als erste Aufgabe eben die Frage nach den freien Schwingungen
und wir hatten festgestellt, dort wo der Einmassenschwinger eine
Eigenkreisfrequenz hat, hat der Zweimassenschwinger zwei
Eigenkreisfrequenzen und es kommt noch was zusätzlich hinzu und zwar
hat er nicht nur diese beiden Eigenkreisfrequenzen, sondern er hat zu
jeder dieser Eigenkreisfrequenzen gehörend eine charakteristische
Schwingungsform.
Ich hatte diese charakteristischen Schwingungsformen das letzte Mal
versucht zu demonstrieren, ich gehe mal ein bisschen weg hier von
diesen Dingern, also diese niedrigste Schwingungsform, die ist dadurch
gekennzeichnet, dass beide Massen mehr oder minder in Phase schwingen,
die gehen sozusagen synchron runter oder hoch und die zweite
Schwingungsform, die ist dadurch gekennzeichnet, dass diese beiden
Massen quasi gegenphasig schwingen.
Also zwei sozusagen fundamental unterschiedliche Baumuster an
Schwingungen und an diesen fundamentalen Baumustern aus diesen
Eigenschwingungsformen lassen sich alle freien Schwingungen
zusammensetzen.
Okay, das Kapitel freie Schwingungen hatte ich letztes Mal
abgeschlossen, das kann ich jetzt hier wegnehmen und möchte Ihnen
heute was zeigen, was in der technischen Anwendung wahrscheinlich, ich
möchte nicht sagen wichtiger, aber mindestens genauso häufig, wenn
nicht sogar häufiger auftritt, als die freien Schwingungen, das sind
die sogenannten erzwungenen Schwingungen.
So, sehen Sie was da?
Ja, sollte man sehen, oder?
Genau, also was Sie hier sehen ist so ein Schwingungssystem, dieser
blaue Wagen, der kann schwingen und hier oben drauf diese rote Masse,
die kann auch schwingen.
Also das hier, das ist quasi der zwei-Massen-Schwinger.
So, also wenn ich den mal loslasse irgendwie, dann sehen Sie, dass
beide Massen sich irgendwie bewegen, man sieht auch zwei
charakteristische Frequenzen, also das ist eine freie Schwingung, wenn
ich das so loslasse, Sie sehen quasi diese beiden Frequenzen, nämlich
die tieffrequente Bewegung, bei der der blaue Wagen dominiert und die
hochfrequente Bewegung, bei der die rote Masse dominiert.
Man darf aber nicht sagen, dass die tieffrequente Schwingung nur der
blaue Wagen ausführt und man darf nicht sagen, dass die hochfrequente
Schwingung nur die rote Masse ausführt, denn beide sind ja gekoppelt.
Also vielleicht sieht man das so ein bisschen, wir werden es nachher
noch deutlicher sehen, dass zum Beispiel so ganz gegen Ende sieht man,
dass diese tieffrequente Schwingung, dass die der rote auch mitmacht,
der bewegt sich ja so mit.
So, das waren die freien Schwingungen, in der Technik viel wichtiger
sind erzwungene Schwingungen, oder häufig wichtiger sind erzwungene
Schwingungen und zum Einstieg mache ich erst mal aus diesem
Zweimassenschwinger einen Einmassenschwinger, ich habe jetzt diese
rote Masse blockiert, jetzt habe ich im Wesentlichen nur noch die
Bewegung des blauen Wagens und so, sehen Sie das, genau die Frequenz,
ich mache diesen Kollegen hier mal an, so, was wir jetzt am Anfang
sehen, ist diese Überlagerung von homogener Lösung und partikulärer
Lösung, der Einschwingvorgang und irgendwann hat sich das Ding
eingependelt und schwingt mit einer konstanten Amplitude, das ist die
Amplitude, die Sie mit diesem V-Diagramm ausrechnen können, also
Eingangs -Amplitude mal V ergibt dann die Amplitude der
Zwangsschwingungsform.
So, was erwarten Sie, das ist ein Einmassenschwinger in dem Fall,
zwangsdirekte Schwingung, Einmassenschwinger, wir erwarten, dass bei
einer charakteristischen Frequenz sehr große Amplituden auftreten, bei
der Resonanzfrequenz, die können wir uns erst mal suchen, ich hoffe,
wir kriegen die, okay, also offensichtlich,
okay, offensichtlich komme ich hier nicht unterhalb die 8 Hertz, nehme
ich mal an, das heißt, ich bin hier schon überkritisch, also die
Resonanz sehe ich in diesem Beispiel jetzt nicht, dafür sehe ich was
anderes, vielleicht muss man da auch einen Knopf drücken, wo ist der
Knopf für unterhalb 8 Hertz, weiß ich nicht, ich würde sagen, ich
probiere die Knöpfe nachher aus, ich versuche erst mal, dass das
funktioniert, was wir auf jeden Fall auch erwarten ist, wenn ich sehr
hohe Frequenzen, sehr hohe Erregungsfrequenzen einstelle,
das ist ein krafterregender Schwinger für sehr hohe
Erregungsfrequenzen geht die Amplitude der Zwangsschwingungsantwort
gegen 0, Sie erinnern sich, das war dieser Asymptote gegen 0 in dem V
-Diagramm, also wird immer immer geringer diese Amplitude, steht im
Prinzip still und je weiter ich nach unten gehe, desto größer wird die
Amplitude.
Jetzt passiert was ziemlich komisches, wenn ich hier diese rote Masse
loslasse, dann habe ich ein gekoppeltes Schwingungssystem.
Zwei Massenschwinger, die wir uns angeguckt haben, wir erwarten zwei
Eigenkreisfrequenzen, also zwei Resonanzen, das können wir jetzt schon
so ein bisschen mit dem, was wir wissen vom Einmassenschwinger, können
wir das so ein bisschen antizipieren, wir sehen noch was weiteres, ich
zeige es Ihnen mal, also wir sehen in Abhängigkeit von der
Erregerfrequenz, macht die blaue Masse irgendwelche Amplituden.
Jetzt erhöhe ich mal die Erregungsfrequenz und
jetzt gibt es hier eine Frequenz, was sehen Sie, was fällt jetzt auf?
Die blaue Masse steht im Prinzip still.
Also der blaue Wagen steht still und die Schwingung, die scheint quasi
komplett umgeleitet auf diese rote Masse.
Was wir hier sehen, das sogenannte Tilgung, ich mache das mal aus,
das ist offenbar gelungen, der blaue Wagen, als ich die rote Masse
blockiert hatte, hat er irgendwie Schwingungen ausgeführt.
Mit der roten Masse, wenn ich die aufsetze, ist es plötzlich möglich,
bei einer bestimmten Frequenz es zu erreichen, dass dieser blaue Wagen
still steht, sogenannte Tilgung.
Und das ist ein technisches System mit häufig verwendeter Effekt,
dieser Tilgungseffekt, dass man durch geschicktes Design, das Design
besteht ja sozusagen in der roten Masse, die muss abgestimmt werden,
also die Feder muss abgestimmt werden, die Masse muss abgestimmt
werden, dass man es an bestimmten Betriebspunkten erreichen kann, dass
das eigentliche Schwingungssystem, nämlich der blaue Wagen, also
sozusagen das eigentliche Objekt, was mich interessiert, dass das zur
Ruhe kommt und ich sozusagen die Schwingungen umleite in irgendein
Subsystem, was ich vielleicht irgendwo verstecke, wo es keinen stört.
Und wie das funktioniert, das wollen wir uns heute angucken.
Ich zeige das nachher nochmal.
So, jetzt müssen wir wieder ein bisschen rechnen.
So,
also nachdem wir das letzte Mal uns freie Schwingungen angesehen
hatten, kommen wir jetzt zu 6, 4, 2, erzwungene Schwingungen.
Von, in diesem Fall, einem Zweifreiheitsgrad-System.
Erzwungene Schwingung bedeutet, dass die Erregerkraft nicht mehr
verschwindet, das heißt f von t ungleich Null.
Und wir nehmen wieder an, dass die Erregerkraft eine harmonische
Funktion ist, beispielsweise Kraftamplitude mal Kosinus Omega t oder
Kraftamplitude, Entschuldigung, mal Sinus Omega t und das können wir
auch schreiben als C Null, Y Null, Kosinus Omega t.
Sie erinnern sich, das Umschreiben der Kraftamplitude in die
Darstellung Federsteifigkeit mal charakteristische Auslenkung oder mal
Auslenkungsamplitude lag daran, dass man diese Krafterregung häufig
mit einer fußpunkterregenden Feder bewerkstelligt, zum Beispiel auch
hier.
Hier war das ja quasi eine Feder, die an dem blauen Wagen angeschraubt
ist und der Fußpunkt der Feder wird bewegt und dadurch realisiert man
eine Kraft auf dem Wagen.
So, wir suchen jetzt Lösungen nach dem Typ der rechten Seite, man
könnte es auch mit einer E-Funktion rechnen oder so, aber wir suchen
jetzt Ansatz vom Typ der rechten Seite und machen das analog zum
Vorgehen beim Einfreiheitsgradschwinger und suchen x1 ist gleich v1 y0
Kosinus Omega t minus y1 und x2 ist v2 y0 Kosinus Omega t minus y2.
Das ist ein relativ allgemeiner Ansatz für Schwingungen in linearen
Systemen.
Die Idee dahinter ist wieder isochroner Ansatz, das heißt, wenn ich
eine Erregung habe mit einer Kreisfrequenz Omega, dann nehme ich an,
dass im eingeschwungenen Zustand auch die Antwort diese Kreisfrequenz
aufweisen wird und die Antwort, die wird irgendwie phasenverschoben
sein, die kommt ein bisschen später.
Entweder kommt sie synchron oder ein bisschen später oder zum Beispiel
gegenphase, dann wird die Phase Pi.
Also an der Stelle nichts Neues, das sind dieselben Ideen, wie wir sie
schon beim Einmaßenschwinger diskutiert haben.
Zur Erinnerung, das V ist die Vergrößerung und das Y ist die Phase.
Und wir können es uns an der Stelle ein bisschen einfacher machen.
Man findet nämlich heraus, dass für ungedämpfte Systeme
die Phasenverschiebung YI, also 1 oder 2, entweder 0 oder Pi ist.
So, 0 oder Pi, das heißt Gleich- oder Gegenphase, das könnte ich auch
durch einen Vorzeichenwechsel im Sinus berücksichtigen.
Also das ist äquivalent zu Vorzeichenwechsel bei Sinus oder Kosinus.
Der Sinus von irgendeinem Argument plus Pi ist gerade Minus-Sinus von
diesem Argument.
Das heißt, wir können also hier, weil wir keine Dämpfung haben,
Dämpfung gleich 0, können wir also den Ansatz machen, X1 ist gleich
V1, Y0, Kosinus, Omega-T und X2 ist V2, Y0, Kosinus, Omega-T.
So, und wenn ich das in die Differenzialgleichung einsetze,
der hat man in der letzten Vorlesung angeschrieben, also einsetzen und
sortieren, liefert mir ein Gleichungssystem, das folgendermaßen
aufgebaut ist, ich brauche jetzt zwei Zeilen, also zum einen C1 plus
C2 minus M1 Groß-Omega V1 minus C2 V2 ist gleich 0.
Und eine zweite Zeile, minus C2 V1 plus C2 minus M2 Groß-Omega
Quadrat, Klammer zu, V2 ist gleich C0.
Hier oben habe ich einen Quadrat vergessen, die Omegas, die müssen
quadratisch auftauchen, weil diese Omega-Quadrate, die rühren von den
Trägheitstermen her, also von der zweiten Ableitung, das heißt, wenn
ich einen Sinus oder Kosinus zweimal ableite, bekomme ich einen Omega
-Quadrat vorne rein, es kann also gar nichts anderes hier auftreten,
es sei denn, ich hätte Dämpfung.
So, haben Sie das schon mal gesehen, sowas?
Also jetzt in der TM-Vorlesung, wir hatten letztes Mal etwas sehr
ähnliches, wir hatten letztes Mal auch so ein gleiches System, das
sich nur dadurch unterschied, dass auf der rechten Seite eine 0 stand.
Und links stand statt Groß-Omega, Klein-Omega und es waren die
unbekannten Eigenkreisfrequenzen.
Hier ist es jetzt anders, hier ist das Groß-Omega bekannt, das wäre
die Erregerfrequenz, ist also nicht gesucht, sondern das ist bekannt.
Ich habe auch keine homogene Seite mehr, sondern eine Inhomogenität
rechts.
Und gesucht sind jetzt die V1 und V2.
Also es sieht zwar sehr ähnlich aus wie das Gleichungssystem, das wir
für die freien Schwingungen erhalten haben, zur Bestimmung der
Eigenkreisfrequenzen, die unbekannten sind hier aber andere und die
Frage deswegen auch dahinter eine andere.
Also da darf man sich nicht verwirren lassen, es ist zwar sehr ähnlich
zu dem Gleichungssystem für die freie Schwingung,
aber hier ist jetzt Omega gegeben,
das ist nämlich die Anregungsfrequenz.
Wir haben hier ein inhomogenes Gleichungssystem,
lineares Gleichungssystem, und gesucht sind die Vergrößerungsfaktoren
V1 und V2.
So, ich will jetzt nicht alles hier vorrechnen und aufschreiben.
Wichtig ist in dem Fall die Struktur, also das kann man leicht
rechnen, aber es ist ein bisschen mühselig einfach, die Struktur
dieses Problems ist, wir haben hier eine Koeffizientenmatrix, die
hängt von Omega, von der Anregungsfrequenz, wir haben so eine
Spaltenmatrix der unbekannten Vergrößerungsfunktionen und wir haben
eine Inhomogenität, also ich schreibe mal hin, V ist V1 und V2, das
suchen wir.
Ja, die A-Matrix können Sie sich dann leicht hier ablesen und das B
auch.
Und das ist ja gesucht, das heißt, so rein formal können wir uns das V
einfach ausrechnen über die Inverse dieser Matrix A mal der
Inhomogenität B.
Bei den freien Schwingungen war das nicht möglich, weil A dort nicht
invertierbar war und weil wir gar keine rechte Seite hatten.
Deswegen konnten wir dieses Vorgehen bei den freien Schwingungen nicht
wählen, hier ist es möglich.
So, die Lösung, es gibt viele verschiedene Varianten, um sowas
auszurechnen.
Für einfache Probleme, ich schreibe mal für einfache Probleme, wie in
diesem Fall, weil wir da ein recht kleines System noch haben,
können wir hier die Kramersche Regel verwenden.
Und die Kramersche Regel sagt, dass aus diesem Lösungsvektor V1, V2,
wobei die Ite-Lösung, also VI, ergibt sich als Determinante von AI
durch Determinante von A, wobei AI der
Matrix A entspricht,
wobei die Ite-Spalte durch die Inhomogenität B ersetzt worden ist.
Ich denke, das haben Sie in Heim rauf und runter gerechnet.
Der Knackpunkt hierbei ist die Determinantenbildung.
Das geht bei so kleinen Problemen, gerade bei so 2x2, ist das ziemlich
einfach, zack zack.
Wenn die größer werden, ist es nicht unbedingt mehr zu empfehlen, es
sei denn, dass man bestimmte Vereinfachungen vornehmen kann.
Ich gebe die Gleichung einfach mal an.
Also, hier kommt so ein bisschen Rechnung.
Und wir kriegen dann raus, V1 ist gleich langer Bruchstrich.
Hier oben kommt ein Bruch, also im Zähler steht selber ein Bruch.
Das ist C2 mal C0 durch M1, M2.
Und im Nenner steht eigentlich ein längerer Ausdruck, den man
faktorisieren kann.
Omega-Quadrat minus Omega-1-Quadrat mal Omega-Quadrat minus Omega-2
-Quadrat.
Und für das V2 kriegen wir was ähnlich Aufgebautes.
Der Nenner sieht gleich aus, Omega-Quadrat minus Omega-1-Quadrat und
Omega -Quadrat minus Omega-2-Quadrat.
Der Zähler ist anders, der Zähler ist wieder ein Bruch, der ist ein
bisschen länger.
Und im Zähler-Zähler steht Klammer C1 plus C2 minus M1 Omega-Quadrat,
Klammer zu, mal C0, durch M1, M2.
Fertig.
Da steht sozusagen alles, was wir gerade gesehen haben.
Bis auf die transienten Einschwingvorgänge.
Sehen Sie das?
Versuchen Sie mal mitzudenken, was man hier sieht.
Also wir hatten zum einen gesagt, es gibt Resonanz.
Resonanz ist gekennzeichnet durch sehr große Amplituden.
Und sehr große Amplituden werden immer dann auftreten, wenn ein Nenner
Null wird.
Also wenn ich durch Null oder durch eine sehr kleine Zahl dividiere,
bekomme ich eine sehr große Zahl.
Das heißt, als wesentliche Effekte oder Phänomene, wesentliche
Phänomene, Phänomene, sehen wir hier erstens die Resonanz.
Die werde ich Ihnen auch gleich nochmal vorführen.
Die Resonanz tritt immer dann auf, wenn in 1 oder 2, also wenn 1 oder
2, also eine von diesen beiden Vergrößerungsfunktionen, gegen
unendlich geht.
Und das ist der Fall, wenn der jeweilige Nenner verschwindet.
Ja, und der jeweilige Nenner verschwindet, wenn entweder diese Klammer
hier vorne Null wird.
Und daraus ergibt sich sofort der Fall Omega gleich klein Omega 1.
Das heißt, wenn die Erregerkreisfrequenz die erste Eigenkreisfrequenz
trifft.
Und die zweite Klammer wird Null, wenn die Erregerkreisfrequenz die
zweite Eigenkreisfrequenz trifft.
Das heißt, das ist der Fall, wenn Groß-Omega gleich Klein-Omega 1 ist.
Oder wenn Groß-Omega Klein-Omega 2 ist.
Klein-Omega 2 ist.
So, das ist ein Ergebnis, das korrespondiert zu den Ergebnissen, die
wir beim Einfreiheitsgrad-Schwinger schon gefunden hatten.
Also vergleiche Einfreiheitsgrad-Schwinger.
Und es unterstreicht an der Stelle auch, dass es auch für die
erzwungenen Schwingungen sinnvoll ist, das freie Schwingungssystem zu
analysieren.
Denn aus den freien Schwingungen oder aus der Analyse des freien
Schwingungssystems haben wir die Eigenkreisfrequenzen erhalten.
Und wenn wir die kennen, dann wissen wir sofort, wo Resonanz auftreten
kann.
Es gibt aber noch einen zweiten Effekt.
So, der zweite Effekt ist die sogenannte Tilgung.
Das war das, was ich Ihnen eben vorgeführt hatte.
Tilgung bedeutet ja, in dem Beispiel war das für den blauen Wagen der
Fall, dass die Amplitude verschwindet.
Das heißt, ja, in diesem System wurde gewackelt, also mit einer nicht
verschwindenden Eingangsamplitude, aber die Ausgangsamplitude des
Wagens, also des blauen Wagens, die war 0.
Das heißt, der Übertragungsfaktor, der Vergrößerungsfaktor muss 0
sein.
Das heißt, wir suchen also Situationen, in denen einer von diesen
beiden Vergrößerungsfaktoren verschwindet.
Also Tilgung liegt dann vor, wenn 1 oder und 2 verschwindet.
Und das ist der Fall, wenn der Zähler gleich 0 ist.
Also bei der Resonanz war es der Nenner, der macht ganz große
Amplituden.
Wenn der Zähler 0 ist, dann verschwindet die Amplitude oder die
Vergrößerungsfunktion.
Hier ist es der Fall, oder hier sehen wir, dass V1, dort kann sich
keine Tilgung
einstellen, weil der Zähler, der wird nie 0, also für keine
Betriebssituation wird der 0.
Seitdem ich habe verschwindende Federn, was Unsinn ist.
Viel interessanter ist V2.
V2 kann 0 werden, wenn dieser Ausdruck hier verschwindet.
Der ist dann 0, wenn diese Klammer verschwindet und das kann man durch
Anschauen schon auflösen.
Das heißt, wenn die Erregerkreisfrequenz oder das Quadrat der
Erregerkreisfrequenz gerade C1 plus C2 durch M1 ist.
Dann haben wir nämlich genau den Fall, dass M2 still steht,
obwohl an dem System eine Kraft angreift.
Und zwar eine oszillierende Kraft angreift.
Und das Tolle ist, das ist ein Effekt, der im Einfreiheitsgradsystem
nicht zu beobachten ist.
Versuchen wir uns mal diese Vergrößerungsfunktion zu zeichnen.
Vielleicht kann ich die irgendwie so da drunter legen.
So, das sind die Vergrößerungsfunktionen.
Ich zeichne die mal.
Also wir haben hier nach oben Vergrößerungsfunktion V1 oder V2.
Nach rechts die Erregerkreisfrequenz.
Okay, und um die zu zeichnen, können wir uns an den charakteristischen
Punkten aufhängen.
Also zum Beispiel, wir sehen, die Asymptoten sind bei den
Eigenkreisfrequenzen.
Entschuldigung, die Polstellen sind bei den Eigenkreisfrequenzen.
Das heißt, hier und beispielsweise hier, dort ist Omega gleich Omega 1
und hier ist Omega gleich Omega 2.
Die Vergrößerungsfunktionen sind jetzt nicht so schick normiert
worden, wie wir es vorher gemacht haben.
Deswegen kann ich jetzt nichts hier über die Amplitude sagen.
Aber wenn ich mir einmal Zahlen einsetze, also zum Beispiel hier eine
0 und da eine 0, dann sehe ich, dass der Nenner positiv ist und der
Zähler ist auch positiv.
Das heißt, wenn ich mir diese V1-Kurve angucke, dann geht die bei
einer positiven Zahl los, hat hier eine Polstelle, also geht hier so
hoch.
Und wenn ich jetzt mit dem Omega diesen Punkt, also diese Polstelle
überschreite, dann dreht sich das Vorzeichen der ersten Klammer um.
Das heißt, ich bekomme im gesamten Ausdruck ein negatives Vorzeichen,
muss also jetzt von unten sozusagen da so hoch kommen.
Ich weiß außerdem, dass ich keine Nullstelle habe in dem V, das heißt,
wenn ich in diesem Sektor bin und hier die nächste Polstelle habe,
dann habe ich sozusagen als Möglichkeit nur so eine Kurve hier.
Und bei der zweiten Polstelle dreht sich wieder das Vorzeichen um und
die Funktion kommt jetzt sozusagen so von oben runter.
Und für sehr große Omegas geht sie asymptotisch gegen 0, das heißt, es
muss irgendwie so gegen die 0 gehen.
Das ist die Vergrößerungsfunktion V1.
Und für die zweite nehme ich mal eine andere Farbe.
Bei der zweiten Vergrößerungsfunktion wissen wir, sie hat auch zwei
Polstellen.
Wir können uns auch überlegen, dass die hier bei einer positiven Zahl
beginnt.
Das heißt, sie muss irgendwie so da hoch gehen.
Sie wird auch asymptotisch gegen die 0 gehen.
Interessant ist hier zwischendrin was, und zwar hat dieses V eine
Nullstelle.
Wenn man sich die Formel für die Nullstelle ansieht, stellt man fest,
dass die Nullstelle zwischen den beiden Polstellen liegen muss.
Das heißt, hier habe ich eine Nullstelle.
Ich komme also von hier unten hoch,
nähere mich dann so der Polstelle.
Dort habe ich wieder ein Vorzeichenwechsel.
Das heißt, ich muss dann von hier unten kommen und nähere mich
asymptotisch der Omegageraden.
So, das ist V2.
An der Stelle ist V2 gleich 0.
Das war die Tilgung.
Und an den Stellen hier haben wir Resonanz.
Okay, also was bedeutet die Tilgung?
Tilgung bedeutet, in dem Fall V2 ist 0, das heißt die zweite Masse
kommt zur Ruhe.
Wenn wir uns die Formel für diese Tilgerfrequenz ansehen, dann stellen
wir fest, dass es diese Tilgerfrequenz nur dann gibt, oder eine
Abhängigkeit von M1 nur gibt.
Das heißt, wir müssen diese zweite Masse, diese Masse M1, die muss man
so einstellen, in Verbindung mit ihrer Feder, dass bei der gewünschten
Betriebsfrequenz, also gewünschten Betriebsbereich Omega, die Masse M2
zur Ruhe kommt.
So, schreiben wir mal auf, Tilgung.
Tilgung gibt es nur in zwangserregten Systemen.
Und man stellt fest, dass die Unterdrückung von Zwangsschwingungen
möglich ist.
Und zwar an einzelnen Freiheitsgraden.
Salopp gesagt, diese Energie, die muss ja irgendwo hin.
Also wenn die eine Masse still steht, dann muss diese Energie, die
muss irgendwo anders sozusagen hingeschickt werden, hingesteckt
werden.
Das heißt, die muss in irgendeinen anderen Freiheitsgrad reingehen.
Und was man hierzu macht, ist, dass man auf das Schwingungssystem, was
man eigentlich hat, sozusagen das technische Nutzsystem, wird ein
weiterer Schwinger aufgesetzt.
Also, ich sage mal, aufsetzen eines
zusätzlichen Schwingers, nämlich des Tilgers,
auf das eigentlich interessierende Nutzsystem.
Das eigentlich interessierende Nutzsystem.
So, das war jetzt vielleicht ein bisschen theoretisch, abgesehen von
diesem Beispiel.
Haben Sie schon einen Tilger gesehen?
Hier vorne, zum Beispiel in einer anderen Vorlesung?
Also, ich kann mir gut vorstellen, dass der Herr Albers Ihnen ein
Zermassenschwungrad gezeigt hat.
Oder?
Haben Sie ein ZMS gesehen?
Ja, natürlich.
Also uns hat das damals gezeigt, und ich kann mir nicht vorstellen,
dass er das Ihnen vorenthalten wird.
Das Zermassenschwungrad ist so ein Tilger im Prinzip.
Also, da wird eine zweite Masse reingesetzt.
Und in den Betriebsbereichen, in denen der Antriebsstrang große
Schwingungen machen würde, aufgrund der Motoranregung, da kommt dann
diese zweite Tilgermasse ins Spiel.
Und die kompensiert sozusagen die störenden Schwingungen, die vom
Antriebsstrang oder von der Motoranregung her rühren.
Dadurch, dass sozusagen diese kleine Tilgermasse, die ist in diesem
ZMS drin, die nimmt diese Schwingungen auf.
Naja, und die ist da irgendwo drin, das interessiert Sie überhaupt
nicht.
Dem Nutzer, dem Fahrer ist eigentlich nur wichtig, dass das Auto ruhig
ist.
Und was da unter der Motorhaube irgendwo passiert und wackelt, ist
sekundär.
Okay.
Bevor ich Ihnen das hier nochmal vorführe an diesem Gerät, haben Sie
Fragen soweit?
Zu dem, was wir uns heute hier angeguckt haben?
Okay, wenn es keine Fragen gibt, dann würde ich sagen, ich nehme das
jetzt weg, schwenke dieses Gerät hier nochmal kurz, dann zeige ich
Ihnen nochmal was und am Ende sage ich noch was zur Klausur und dann
verschwinde ich.
Es sei denn, dass Ihnen noch was einfällt bis dahin.
Okay, kann ich das wegnehmen?
Okay.
So, gucken wir mal, dass wir hier so einen phänomenalen Aufbau dahin
kriegen.
Tipptopp.
So.
Was sehen wir?
Wir sehen jetzt hier folgendes.
Wir sehen, der blaue Wagen und die rote Masse, die bewegen sich
synchron.
Das heißt, die müssen irgendwo sein, wo der blaue Wagen und die rote
Masse das selber machen.
Das heißt, wir können also nur hier sein oder hier.
Auf einem dieser beiden Äste.
Da der blaue Wagen quasi gegenphasig zur Erregung ist, denke ich, dass
wir schon hier sind.
Also die tiefste Eigenkreisfrequenz, die ist unterhalb der Frequenz,
die der Motor kann.
Das heißt, wir können leider nur diesen Bereich uns hier angucken,
aber das ist nicht weiter schlimm.
Also, ich mache mal den Autofokus da raus.
So, also wir sind jetzt hier auf diesem Ast.
Rot und Blau machen dasselbe.
Wenn ich jetzt die Erregerfrequenz erhöhe, dann werde ich irgendwann
diesen Tilgungspunkt finden.
Ich habe dummerweise die Farben vertauscht, also die rote Kurve, die
ist hier für den blauen Wagen und die schwarze Kurve ist für die rote
Masse.
Moment, Moment, Moment, Entschuldigung.
Okay.
Also der Vorschlag war oder der Hinweis war, wenn ich den Motor
ausschalte, dann läuft der unter Umständen oder hoffentlich einfach
auf die Null runter, das heißt, dieser Resonanzbereich, der müsste
durchlaufen werden.
Können wir nachher mal ausprobieren?
Es könnte sein, dass der Durchlauf durch die Resonanz zu schnell ist,
dass man das nicht sieht, aber wir probieren es nachher mal aus.
Oder andersrum, wir probieren es jetzt sofort aus, wenn ich das wieder
anschalte, da wird die Erregungsfrequenz sozusagen von Null auf die
jetzt, was es eben war, 17 oder so erhöht.
Und dann laufen wir schon durch die Resonanz durch.
Vielleicht sehen wir was, mal schauen.
Nee, der macht erstmal nichts und dann fängt er plötzlich an.
Ja, der hat das halt elektronisch geregelt, deswegen macht er das
irgendwie zu gut.
Okay, also wir bewegen uns jetzt sozusagen mit zunehmender
Erregungsfrequenz.
Und was man jetzt so langsam sieht, ist...
Also man sieht, dass die Amplituden des blauen Wagens, die werden
immer kleiner.
Bis sozusagen jetzt in der Situation der blaue Wagen praktisch steht
und die gesamte Erregung in die rote Masse sozusagen reingeht.
Was wir jetzt hier nicht sehen, ist, dass sozusagen, also man kann
sich das auch praktisch erklären, oder intuitiv klarmachen, die rote
Masse und die Erregung schwingen jetzt gegenphase.
Also sozusagen, so wie die Feder hier schiebt, verdrückt die rote
Masse gerade dagegen.
Und die kompensiert sozusagen diese Erregungskraft, sodass der blaue
Wagen gerade still steht.
Hören Sie mich überhaupt?
Okay.
Ja, ja, ja.
Habe ich gehört.
So, was erwarten wir noch?
Also das ist jetzt die Tilgung.
Der blaue Wagen steht still.
Und die rote Masse, die hat noch so eine Amplitude.
Die ist nicht wahnsinnig groß, aber gerade so groß, wie sie sein muss,
um das Ganze zu kompensieren.
Wenn wir jetzt die Erregungsfrequenz weiter erhöhen, also hier weiter
gehen, dann müssten wir gleich die Resonanz sehen.
Und zwar diese zweite Resonanzstelle.
Das sehen wir auch.
Also ich erhöhe jetzt die Erregungsfrequenz.
Der blaue Wagen macht immer größere Amplituden.
Also wir gehen quasi auf dem Ast hier nach oben.
Moment.
Genau.
Und da macht das Ganze ziemlich große Amplituden.
Leider ist es zu schnell, sodass Sie nicht mehr sehen, dass es
gegenphasisch ist.
Oder sehen Sie das, dass Sie gegenphasisch schwingen?
Ja, ja, ja.
Also wir schwingen jetzt gegenphasisch.
Und das Nächste, was man sehen wird, ist, wenn die Frequenz weiter
erhöht wird, dass beide Amplituden gegen null gehen.
Jetzt sind wir also hier.
Sehr hohe Erregungsfrequenz und beide Masse stehen fast still.
So, wenn ich jetzt wieder runterlaufe, dann werde ich die Resonanz
sehen, ich werde die Tilgung sehen und dann ist er aus.
Also...
Resonanz.
Tilgung.
So, und da sind wir irgendwo ganz nah an der tiefsten
Eigenkreisfrequenz.
So, so, so, so, so.
Aus.
Okay.
Fragen oder Anmerkungen dazu?
Soll ich es nochmal zeigen?
Ich habe mal eine blöde Frage.
Kennen Sie noch die FWV oder FVW?
Also, als ich in der Grundschule war, da gab es so große Filme.
Gibt es, gab es das bei Ihnen auch noch?
Oder ist das alles mittlerweile digital wahrscheinlich?
Für uns war damals das Tollste in der Grundschule, wenn die Filme,
dann hat die Lehrerin, wenn sie gut aufgelegt war, hat sie den
rückwärts gezeigt, wenn die zurückgespult werden mussten.
Also, deswegen, wären Sie jetzt älter im Semester, das hätten Sie
wahrscheinlich gesagt rückwärts oder nochmal, aber Sie haben ja alles
schon gesehen und können es ja auf Video zu Hause nochmal ansehen.
In diesem Sinne, vielen Dank.
Okay, wenn es keine weiteren Fragen gibt, dann sage ich noch ganz kurz
was zur Klausur.
Von meiner Warte, die restlichen Informationen bekommen Sie von Herrn
Wiegert.
So, also...
So, Moment.
Achso, ja, das können wir mal auflegen.
Also, legen wir das hier mal auf.
Ja.
Das Semester oder die Vorlesungszeit ist ja jetzt vorbei.
Für mich endet sozusagen der Spaß damit.
Es hat mir wirklich viel Spaß gemacht.
War meine erste TM4-Vorlesung in dem Stil.
Ich habe viel gelernt und würde es gerne wieder machen.
Was keine Drogen sein sollen, denn Sie sind ja sozusagen raus.
Sie trifft es ja nicht mehr.
Vielleicht sehen wir uns im Hauptstudium.
In irgendeiner Veranstaltung nochmal.
Meine Kollegen werden nachher auch ein bisschen Überblick geben über
die Lehrveranstaltung, die es im Hauptstudium gibt, freiwillig, oder
die in dem Hauptstudium drohen, im Pflichtteil.
Ja, vielleicht sehen wir uns da nochmal.
Ich habe eben gesagt, mir hat es Spaß gemacht.
Vielleicht ist es rübergekommen, vielleicht hat der ein oder andere
gedacht, hm, war eine nette Veranstaltung.
Ich möchte...
Also, wenn es so war und wenn es Ihnen auch einigermaßen Spaß gemacht
hat, dann ist es natürlich gut.
Denn ich denke, dass es nicht sinnvoll ist, wenn man eine
Lehrveranstaltung so macht, dass die abschreckt.
Schließlich müssen Sie das ja irgendwie lernen.
Und da gibt es dann zwei Wege.
Und der eine ist sozusagen der, dass es erträglich ist, und der
andere, dass es abschreckend ist.
Ich hoffe, ich habe einen erträglichen Weg gefunden.
Nichtsdestotrotz sollten Sie nicht glauben, dass die Klausur jetzt
einfacher wird als in den vergangenen Semestern oder als in
zukünftigen Semestern.
Sie wird auch nicht schwerer.
Also, das ist keine Drohung.
Ich möchte nur vermeiden, dass hinterher jemand sich, naja, sagen wir
mal, übers Ohr gehauen fühlt, so nach dem Motto, im Hörsaal hat er so
nett getan, und hinterher haut er uns eins rein.
Das ist erstens nicht mein Interesse.
Zweitens habe ich das gar nicht in der Hand.
Ich sage Ihnen gleich, wie so eine Klausur zustande kommt bei uns.
Also, ich erzähle Ihnen natürlich nicht alles, aber so ganz grob.
Und ich möchte einfach vermeiden, dass es hinterher lange Gesichter
gibt.
Also, die Klausur wird genauso schwer wie in den vergangenen
Semestern.
Sie wird genauso schwer wie in den zukünftigen Semestern.
Relevant ist der Vorlesungs- und Übungsstoff.
Ich denke, wir haben uns große Mühe gegeben, Ihnen in der Vorlesung
und in der Übung theoretischen Grundlagen und die praktische Anwendung
mit ein paar Rechenkniffen beizubringen.
Und für die Themen 3 und 4 Klausur, wenn ich manchmal Themen 3 sage,
liegt es daran, dass das ganze früher Themen 3.1 und Themen 3.2 hieß.
Also, wenn ich Themen 3 sage, meine ich damit Themen 3 und Themen 4.
Meines Erachtens gilt für diese Klausur wahrscheinlich ähnlich wie in
anderen Grundlagenfächern auch, dass es nicht damit getan ist, sich
das Skript reinzuziehen.
Es ist auch nicht damit getan, sich die Videos lässig bei einem
Erfrischungsgetränk zu Güte zu führen.
Man muss hier wirklich...
Ich habe letztens so einen lustigen Ausdruck dafür gehört.
Man muss hier wirklich sich hart an den Schreibtisch setzen und
knüppeln.
Das klingt wenig einladend, aber Sie müssen den Kram selber rechnen.
Sie müssen diesen Kram selber rechnen.
Es genügt nicht, wenn Sie sich eine Aufgabe angucken, die ein Kumpel
oder sonst jemand gerechnet hat.
Es gibt nichts Gefährlicheres, es gibt nichts Fataleres, als dieses
Gefühl, da wäre ich auch draufgekommen.
Also dieses, da wäre ich auch draufgekommen, das ist der Klassiker,
glauben Sie mir.
Ich habe schon ein paar mündliche Prüfungen mitgemacht, also
Nachprüfungen.
Und es ist immer wieder dasselbe, wenn man die Leute fragt, wie haben
sie sich vorbereitet?
Dann stellt sich immer wieder heraus, die haben sich die Aufgaben
angeguckt und statt sich zu überlegen, selber draufzukommen oder wenn
man nicht draufkommt, sich das hinterher gut zu überlegen, warum man
nicht draufgekommen ist, wo die Wissenslücke war, lernen die meistens
so, rechnen eine Aufgabe, denken zwei Sekunden darüber nach, wo komme
ich nicht drauf, da wäre ich auch draufgekommen und rechnen weiter.
Also sozusagen hier die Aufgabe, da die Lösung und ganz ehrlich, nach
dem Muster könnte ich auch Altgriechisch.
Also Sie müssen das selber können.
Und Sie dürfen in der Klausur, das wird der Herr Wiegert Ihnen nachher
sagen, Sie dürfen alles mitnehmen, also Sie dürfen Mitschriebe,
Literatur, Aufschriebe und so weiter, dürfen Sie alles mitnehmen.
Sie dürfen keine elektronischen Hilfsmittel benutzen, etc.
Sie dürfen, ja, Aufschriebe, Literatur, dürfen Sie alles mitnehmen.
Sie dürfen aber nicht meinen, dass Sie damit sozusagen aus dem
Schneider sind, denn ich denke, das ist Ihnen mittlerweile klar
geworden, TM ist kein Lernfach, das ist kein Fach, wo man was
ausländisch lernen kann und wenn es einem gerade mal fehlt, dann kann
man es geschwind nachgucken, wie Vokabeln oder so.
Letzten Endes ist es hier, also hier geht es darum, was zu kapieren,
so ein paar Grundgesetze sozusagen und wie man mit denen umgeht.
Wenn man diesen Aha-Effekt, wenn man das einmal geschnackelt hat,
worum es geht, also wenn man sozusagen einmal kapiert hat, wie es
funktioniert, dann kann man sich ganz viel auswendig Lernerreich
sparen.
Ich habe vor einigen Jahren mal die TM für eine andere Fakultät
gemacht und in der Fakultät sind die Leute mehr auf Folienlernen
ausgerichtet, vom Studium her und dann kamen dann teilweise, die kamen
dann in die Sprechstunde und haben gesagt, also ungelogen, die haben
dann gesagt, ich kapiere das nicht mit der So-und-So-Aufgabe, ich habe
20 Aufgaben gerechnet und habe versucht, mir da ein Prinzip daraus
abzuleiten, aber ich bin nicht draufgekommen.
Das heißt, die machen das sozusagen so im Nachhinein, gucken sich die
Aufgaben an und versuchen, da so ein Schema abzuleiten.
Der Clou war, das Schema war einfach Newton, weil die Antwort war
einfach, hey, das hat vor 300 Jahren Newton schon gemacht, du musst
einfach die Formel merken, weil du weißt, wie die funktioniert, was du
rechts reinsteckst und was links rauskommt, dann brauchst du nichts
auswendig lernen.
Also, was ich damit sagen wollte, beschäftigen Sie sich mit dem Zeug,
lernen muss man natürlich, aber versuchen Sie ein bisschen hinter die
Kulissen zu blicken und zu verstehen, warum sowas ist.
Der berühmte Aha-Effekt, ist der wirklich hilfreich?
Wenn Sie es nicht alles verstehen, Sie haben ja noch ein paar Jahre
Zeit im Studium.
Ich habe auch, muss ich ehrlich zugeben, im dritten, vierten Semester
nicht alles so hundertprozentig verstanden.
Aber Sie haben noch ein bisschen Zeit.
Man braucht ja auch ein bisschen Entwicklungspotenzial.
Sie müssen es jetzt immerhin soweit verstehen, dass Sie damit die
Klausuren rechnen können.
Bereiten Sie sich gut vor.
Ich wünsche Ihnen alles, alles Gute.
Vielleicht sehen wir uns wieder.
Vielen Dank.
Bis irgendwann.
Tschüss.