Neben technischer Mechanik habe ich auch noch ein bisschen ein anderes
Fable.
Vielleicht wissen Sie die einen oder anderen schon, ich bin auch so
ein bisschen verantwortlich für so Frankreich Aktivitäten im
Maschinenbau.
Sie wissen, es gibt Doppelabschlüsse mit diversen französischen
Hochschulen.
Polytechnik, Ensam und Insalion.
Und wir versuchen die Studenten schon relativ frühzeitig für solche
Dinge zu gewinnen.
Nicht nur wegen uns, sondern vor allen Dingen wegen Ihnen, dass Sie
auch so ein bisschen über den eigenen Tellerrand rausschauen können.
Dass der eine oder die andere vielleicht auch die Möglichkeit hat, ein
anderes Bildungssystem kennenzulernen.
Wir wissen zwar, Frankreich fängt nicht weit von hier an.
Das Bildungssystem selbst ist dann doch sehr unterschiedlich im
Vergleich zum Deutschen.
Und mit dazu gehört natürlich auch, dass man eine gewisse Kompetenz
bezüglich der Interkulturalität erlangt.
Wir bieten dazu Veranstaltungen an.
Die nächste Veranstaltung zum Thema Deutschland und Frankreich.
Man kann es jetzt leider schlecht lesen.
Die Frau Belanger teilt allerdings entsprechende Handzettel aus.
Da geht es um Komiker.
Deshalb, Frankreich-Liebhaber, aufgepasst.
Der französische Humor ist ja meistens ein bisschen anders als der
deutsche Humor.
Am Mittwoch, den 7.11.
um 17.45 Uhr, also in etwas mehr als einer Woche, findet in den
Seminarräumen A und B beim Audimax, da müssen Sie die Treppe hochgehen
und sich rechts halten, eine entsprechende Veranstaltung statt.
Auch bezüglich der Doppelabschlüsse möchte ich schon darauf hinweisen,
dass wir irgendwann eine Informationsveranstaltung machen, bei der Sie
sich über Ablauf, Möglichkeiten, Chancen und so weiter entsprechend
informieren können.
Diejenigen, die mit so einem Gedanken spielen, sollten vielleicht
schon daran denken, eventuell einen Sprachkurs zu machen.
Es gibt sicherlich viele von Ihnen, die genügend französisch sprechen.
Meistens ist es so, dass man sich das selbst nicht zutraut.
Die Erfahrung zeigt, die Sprache ist eigentlich meistens nicht das
Hindernis.
Gibt es jetzt speziell hierzu noch Fragen?
Vielen Dank, Frau Belanger.
Also da vorne liegen noch ein paar Zettel, für diejenigen, die keinen
bekommen haben,
wenden wir uns wieder der Mechanik zu.
Der Herr Wiegert war soweit gekommen,
dass wenn wir einen Vektor haben,
Q, den darstellen über Einheitsvektoren B1, B2 und B3, also zum
Beispiel C, B1 plus Eta, B2 plus Zeta, B3 und wir diesen Vektor
ableiten.
Machen wir das mal mit einem Punkt.
Nun dann hat man die Tendenz zunächst mal, na gut, da leiten wir die
Koordinaten ab.
Das wird also ergeben, C Punkt B1 plus Eta Punkt B2 plus Zeta Punkt
B3.
Das ist auch insofern richtig, wenn sich die Einheitsvektoren B1, B2
und B3 nicht mit der Zeit ändern.
Falls diese Einheitsvektoren sich allerdings ändern.
Nun, wie können die sich ändern?
Nehmen wir einfach mal drei Einheitsvektoren.
Dass die jetzt alle beim gleichen Punkt beginnen, muss nicht unbedingt
sein.
Einheitsvektor kann ich beliebig verschieben.
Und jetzt sehen wir, diese Einheitsvektoren, die ändern natürlich mit
der Zeit nicht die Länge, die können aber die Orientierung ändern.
Und genau das drückt sich da aus.
Wenn wir also Einheitsvektoren haben, die in dem System, in dem wir
die Ableitung bilden, sich ändern, dann muss dies entsprechend
berücksichtigt werden.
Man erhält also zusätzlich plus Xi, B1 Punkt, plus Eta, B2 Punkt, plus
Zeta, B3 Punkt.
Jetzt hoffe ich, dass die Projektion geht.
Also es tut mir jetzt furchtbar leid, warum das die Technik hier an
der Stelle versagt.
Es tut mir jetzt leid, letztes Mal hat es wenigstens noch
umgeschaltet, als ich die Vorlesung hier gehalten habe.
Dieses Mal tut sich gar nichts.
Wir müssen das das nächste Mal nachholen.
Ich wollte einfach mal ein paar Beispiele zeigen, wo eine
entsprechende Vorgehensweise,
wie So, wir haben jetzt aber eins.
Wenn wir die
Formel anwenden wollen, dann haben wir...
Ich muss gerade den Projektor ausschalten.
Wir brauchen die zeitlichen Ableitungen der Einheitsvektoren.
Und da schauen wir einfach mal.
Wenn wir einen Einheitsvektor Bi haben, beliebig, dann haben wir
gesagt, zeitlich kann der sich in einem Bezugssystem nur dadurch
ändern, dass er sich dreht.
Deshalb ist jetzt noch die Drehrichtung wichtig.
Das muss also nicht die Achse sein, um die unser gedachtes System
dreht, sondern es kommt nur darauf an, wie die Achse gerichtet ist.
Nehmen wir mal an, wir haben hier die Drehachse.
Die Rotationsachse, die zeigt jetzt in Richtung der
Winkelgeschwindigkeit Omega vom Bezugssystem B, in dem unsere
Einheitsvektoren fest sind bezüglich dem Bezugssystem A, in dem wir
die Ableitungen wollen.
Und wir sehen Einheitsvektor Bi und Omega von B in A, die schließen
den Winkel Beta ein.
Und man sieht, der Einheitsvektor Bi bzw.
die Spitze von Bi, die verläuft jetzt auf einem Kreis um die
Rotationsachse.
Der Kreis, den die Spitze beschreibt, der hat einen Radius R.
Und wir sehen, die Ebene, in der der Kreis liegt, die steht natürlich
sinkrecht zur Drehachse.
Und wenn der Einheitsvektor Bi sich ändert, dann erfolgt die Änderung
D Bi tangential an den Kreis in der Kreisebene.
Und man sieht, ja gut, man hat jetzt zusätzlich noch einen rechten
Winkel zwischen der Änderung des Einheitsvektors Bi und dem
Einheitsvektor selbst.
Wie gesagt, die Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit Omega von B in
A, erfolgt gemäß der rechten Handregel.
Die Änderung von D Bi, die erhalten wir wie folgt.
Man sieht, während der Zeitdauer Dt, also während Zeitdauer Dt, da
dreht sich die Spitze des Einheitsvektors praktisch um.
Ich drehe jetzt mal so an, den Winkel D Bi.
Die Länge beträgt dann gerade.
Länge der Änderung von Einheitsvektor Bi ist dann R mal D Bi.
Wenn die Winkelgeschwindigkeit Omega von B in A ist, dann ist die
Winkeländerung während der Zeitdauer Dt gerade.
Betrag von Omega von B in A mal Dt.
Und man sieht gemäß dem rechten Winkel hier ist der Radius des Kreises
gegeben durch Länge des Einheitsvektors mal dem Sinus des
eingeschlossenen Winkels, das war Sinus Beta.
Die Länge des Einheitsvektors ist natürlich gerade 1, sodass wir
letztendlich erkennen, D Bi betragsmäßig ergibt sich zu R mal Sinus
Beta mal
Betrag von Omega von B in A mal Dt.
Die Richtung von D Bi ist senkrecht auf dem Einheitsvektor und
senkrecht auf Omega.
Wenn wir so eine Richtung wollen, liegt es nahe, das Kreuzprodukt zu
verwenden.
Also Omega Kreuz Bi ergibt dann gerade die Richtung, in der D Bi
zeigt.
Also, die Richtung von D Bi ist dann gerade Omega von B in A Kreuz Bi.
Wenn wir einen Einheitsvektor in dieser Richtung haben wollen, müssen
wir doch durch den Betrag dividieren.
Also dividiert durch den Betrag von Omega von B in A Kreuz Bi.
Der Betrag des Kreuzproduktes ist aber gerade Länge des einen Vektors
multipliziert mit Länge des anderen Vektors mal dem Sinus.
Moment, jetzt habe ich was falsch gemacht.
Das R war, das müssen wir Länge des anderen Vektors mal dem Sinus des
eingeschlossenen Winkels.
Also D Bi, haben wir gesagt, ist der Betrag, den haben wir oben
stehen, Sinus Beta mal Betrag von Omega von B in A mal DT mal dem
Richtungseinheitsvektor mal Omega von B in A Kreuz Bi.
Dividiert, das ergibt gerade Betrag von Omega von B in A mal Betrag
des anderen Vektors, das ist aber ein Einheitsvektor, also mal 1,
lassen wir weg, mal Sinus des eingeschlossenen Winkels, das war Sinus
Beta und jetzt sehen wir, das kürzt sich gerade entsprechend weg,
Sinus Beta beziehungsweise Betrag von Omega von B in A.
Es bleibt übrig das Kreuzprodukt von Omega von B in A mit Bi
multipliziert mit DT, Bi Punkt, die Ableitung des Einheitsvektors im
Bezugssystem A ist gerade D Bi dividiert durch DT und damit, wenn wir
durch DT dividieren, Omega von B in A Kreuz Bi.
Das heißt, wenn wir das auf unsere drei Einheitsvektoren anwenden,
erhalten wir B1 Punkt, gerade Omega von B in A Kreuz B1, B2 Punkt,
gleich Omega von B in A Kreuz B2 und genauso mit B3 Punkt, Omega von B
in A Kreuz B3.
Das heißt, wenn wir das an der Stelle einsetzen, erhalten wir Q Punkt
gleich, schreiben wir es ab, Xi Punkt B1 plus Eta Punkt B2 plus Zeta
Punkt B3 plus und jetzt haben wir Xi mal B1 Punkt.
B1 Punkt war aber Omega von B in A Kreuz B1 und ob ich das Xi als
Skalariegröße davor schreibe oder in das Kreuzprodukt reinziehe, das
macht keinen Unterschied.
Ich kann also hier das Xi schreiben.
Dann habe ich als nächstes Eta mal B2 Punkt.
B2 Punkt war zunächst mal Omega von B in A Kreuz B2.
Auch da macht es keinen Unterschied, wo ich die Skalariegröße Eta
heranschreibe, die kann ich davor schreiben oder ins Kreuzprodukt
reinziehen.
Deshalb schreibe ich mal hier Eta B2 plus Omega von B in A Kreuz B3.
Das war B3 Punkt multipliziert mit der Skalariegröße oder Koordinate
Zeta, die schreibe ich wieder vor das B3.
Dann sieht man an der Stelle das, was die ersten drei Terme sind.
Das ergibt gerade die Ableitung des Vektors Q nach der Zeit im
bewegten System B.
Und für die letzten Anteile, das sehen wir, da steht überall Omega von
B in A Kreuz.
Omega von B in A Kreuz, Omega von B in A Kreuz, das kann ich umformen
in Omega von B in A Kreuz.
Und was bleibt dann stehen?
Xi mal B1 plus Eta mal B2 plus Zeta mal B3.
Und wenn wir unseren ursprünglichen Vektor Q anschauen, das war das,
was ganz oben nur in Weiß auftrat, dann entspricht die runde Klammer
gerade dem Vektor Q, also Omega von B in A Kreuz dem Vektor Q.
Damit erhalten wir eine wichtige Formel, nämlich die Ableitung eines
Vektors Q nach der Zeit in dem Bezugssystem A.
Omega ergibt gerade die Ableitung des Vektors nach der Zeit in dem
Bezugssystem B.
Da das aber im Allgemeinen sich unterscheidet, brauchen wir noch einen
zusätzlichen Term, nämlich gerade plus Omega und zwar von dem
Bezugssystem, in dem wir zunächst jetzt die Ableitung bilden,
bezüglich dem Bezugssystem, in dem die Ableitung gebildet werden soll.
Kreuz und jetzt den Vektor, den wir ableiten, also Kreuz Q.
Und in der Mechanik, da wissen wir später, ja,
Moment, ich verstehe Sie jetzt nicht.
Der Betrag des Vektors Omega von B in A Kreuz Bi ist
Betrag von Omega von B in A mal Betrag von Bi mal dem Sinus des
eingeschlossenen Winkels.
Und wenn wir das Schaubild anschauen, dann sehen wir, der
eingeschlossene Winkel, das war gerade der Winkel Beta, also steht
hier Sinus Beta.
Hat das die Frage beantwortet?
Ja.
Das sind zwei verschiedene Bezugssysteme.
Ui, was ist denn das?
Als Student spricht man sehr oft von Koordinatensystemen.
Und dann gibt es Bezugssysteme und man denkt ja immer, das ist
dasselbe.
Aber ein Bezugssystem und ein Koordinatensystem muss nicht dasselbe
sein.
Ein Bezugssystem kann etwas Gedachtes sein, zum Beispiel das
Inertialsystem.
Da habe ich einfach einen gedachten, stillstehenden oder gleichförmig
bewegten Raum.
So weit klar.
Wenn ich
hergehe und sage, naja, die Erde, die ist zwar kein, also fangen wir
anders an, auch ein Körper kann ein Bezugssystem sein.
Und wenn ich jetzt mir vorstelle, ja gut, die Erde ist ein Körper,
dann bewegt der sich.
Für uns als Menschen ist der scheinbar in Ruhe, weil die Bewegung bzw.
die Rotationsgeschwindigkeit und auch dann die Bewegung um die Sonne
usw., da das für uns praktisch nicht wahrnehmbar ist.
Die Rotation der Erde, die nehmen wir wahr, weil es einmal hell und
einmal dunkel ist.
So, und wenn ich jetzt mal, obwohl es vielleicht kein Inertialsystem
ist, einfach sage, ich habe das Bezugssystem Erde.
Dann habe ich jetzt drei Einheitsvektoren, die fest mit dem
Bezugssystem Erde verbunden sind.
Und dann habe ich drei Einheitsvektoren, die fest mit dem Bezugssystem
Seemann verbunden sind.
Und Sie sehen, wenn ich jetzt meine täglichen Handelübungen machen
sollte, dann ist die Drehachse hier, die lässt sich in meinem
Bezugssystem sehr leicht beschreiben.
Also auch die zeitliche Änderung, ich mache jetzt einen Vektor draus,
dieses Vektors, die Armlänge bleibt gleich, die Unterarmlänge, nur die
Richtung ändert sich im Bezugssystem Seemann.
Das lässt sich aber sehr leicht beschreiben, es ist ja nur eine
Rotation.
Wenn jetzt aber der Seemann gleichzeitig noch kompliziert spazieren
geht, dann ist natürlich die zeitliche Änderung dieses Vektors viel
komplizierter.
Wird jetzt klar.
Technisch angewendet, wenn Sie, was jeder wahrscheinlich kennt in der
Automobilindustrie oder sonst irgendwo, so einen Roboter haben, der
mehrere Segmente hintereinander geschaltet hat.
Dann führen die einzelnen Körper und damit auch letztendlich die
Greifhand oder was am Ende vielleicht montiert ist, oder die Düse, die
das Auto spritzt, die führen eine komplizierte Bewegung aus.
Die Relativbewegungen, die lassen sich in den einzelnen Segmenten sehr
einfach beschreiben.
Aber Sie wollen ja wissen, wie groß ist die Ableitung, zum Beispiel im
Inertialsystem oder im Bezugssystem Erde, nährungsweise.
Wird jetzt klar.
Ich glaube, diese Woche beginnt Jahrmarkt in Karlsruhe.
Richtig?
Die Studenten sind ja über gar nichts mehr informiert.
Nun, die Beispiele, die ich Ihnen jetzt gezeigt hätte, die sind alle
auch so ein bisschen aus dem Bereich Jahrmarktgeschäfte.
Und zwar, wenn Sie da mal durchlaufen, Sie müssen ja nichts kaufen,
dann bleibt es auch billig.
Dann schauen Sie sich mal, vielleicht nicht unbedingt die Geisterbahn,
aber es gibt Fahrgeschäfte, da dreht sich irgendwie alles umeinander.
Und wenn man da reinsitzt, dann merkt man, die Bewegung, die man
ausführt, die ist relativ kompliziert.
Die Bewegung von mir bezüglich dem Sitz, wo ich sitze, die ist relativ
einfach.
Das sind so Beispiele, wo es vielleicht sinnvoll ist, solche
Relativsysteme einzuführen.
So,
also in der Mechanik oft Inertialsystem.
Wichtig, obwohl sich vielleicht die Bewegung in einem
Nichtinertialsystem sehr viel leichter beschreiben lässt.
Also das Bezugssystem A wäre dann praktisch so ein Inertialsystem.
Man kann sich vorstellen, wenn ich ein System habe, ich habe es gerade
erwähnt, so einen Roboter.
Da treten sehr viele Bezugssysteme auf, nämlich die einzelnen
Segmente.
Da gibt es sehr viele unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten, was
weiß ich, Winkelgeschwindigkeit von Segment 5 bezüglich Segment 3.
Winkelgeschwindigkeit von Segment 5 bezüglich dem Inertialsystem und
so weiter.
Dort ist es natürlich sinnvoll, wenn man die von mir eingeführte
Bezeichnung verwendet, nämlich dass man beide Bezugssysteme angibt.
Wenn man den einfacheren Fall hat, dass lediglich zwei Bezugssysteme
betrachtet werden, dann muss ich die vielleicht nicht explizit
bezeichnen.
Dann führen wir einfach vielleicht den Namen Omega ein.
Also,
falls nur ein bewegtes Bezugssystem, dann können wir das einfach Omega
nennen, ohne dass wir das verwenden.
So,
und jetzt schauen wir mal, ob wir das Ganze auch verstanden haben.
Nämlich die Winkelgeschwindigkeit Omega von B in A, das ist ein
Vektor.
Und den leiten wir jetzt mal im Bezugssystem A ab.
Also, das ergibt dann die Winkelbeschleunigung Alpha von B in A.
Und da sehen wir, wir leiten ab Omega von B in A, so heißt unser
Vektor.
Den leiten wir ab im Bezugssystem A, das ergibt Ableitung des Vektors
im Bezugssystem B.
Plus, wir schreiben es einfach von rechts ab, also plus Omega von dem
System, in dem wir zunächst ableiten, das ist das B, bezüglich dem
Bezugssystem, in dem wir ableiten wollen, das ist das A,
Kreuz den Vektor, den wir ableiten und wir sehen zufälligerweise,
haben wir jetzt beim zusätzlichen Term das Kreuzprodukt von dem Vektor
mit sich selbst, was ergibt das?
Das ist natürlich der Nullvektor und
wir sehen bei der Winkelbeschleunigung von Bezugssystem A im
Bezugssystem B, ist es egal, ob wir den Vektor in A ableiten oder in
B.
Also D Omega von B in A nach DT, in A ist in dem Falle D Omega von B
in A nach DT in B.
Also in beiden Fällen müssen wir nur die Koordinaten ableiten.
Falls Sie den Vektor Omega von B in A in dem dritten Bezugssystem
ableiten, dann müssen Sie das wieder berücksichtigen.
Gibt es soweit Fragen?
So, was wir jedoch wollen, ist die Bewegung eines Punktes zu
beschreiben.
Also wir haben einen Punkt P, der bewegt sich auf seiner Bahn.
Wir haben ein Bezugssystem I, meinetwegen das Inertialsystem und wir
haben ein Relativsystem.
Nun, um die Bewegung des Punktes P im Inertialsystem zu beschreiben,
braucht man einen Ursprung und dann auch entsprechende Koordinaten.
Wobei es jetzt naheliegt, vielleicht kathesische Koordinaten zu
verwenden.
Wir könnten als Koordinatensystem auch ein zylindrisches
Koordinatensystem einführen oder Kugelkoordinaten oder was auch immer.
Da sehen Sie schon ein bisschen den Unterschied zwischen
Koordinatensystem und Bezugssystem.
Und wie gesagt, beim Ortsvektor, sprich der Bewegung eines Punktes P,
brauchen wir auch einen Bezugspunkt, den Ursprung.
Legen wir den mal hier fest.
Dann haben wir X, Y und Z-Achse und den Vektor R von T.
Gleichzeitig haben wir unser Relativsystem.
Das heißt, wir führen jetzt auf dem Relativsystem auch einen
Bezugspunkt ein, einen Koordinatenursprung.
Nennen wir den mal Q.
Plus Koordinatenachsen, in dem Fall auch von einem kathesischen
Koordinatensystem.
Also meinetwegen Xi, Eta und Zeta.
Und wir sehen den Vektor R von T, den können wir darstellen aus dem
Vektor vom Ursprung O zum bewegten Punkt Q.
Plus eben den Relativvektor, nämlich den Vektor vom Punkt Q zum Punkt
P. Also RQP von T ist da Rrelativ von T, sodass sich die einfache
Beziehung ergibt.
R von T gleich ROQ von T plus Rrelativ.
Die Geschwindigkeit des Punktes P im Inertialsystem, die ist gegeben
durch die Ableitung des Ortsvektors im Inertialsystem.
Also V,
nennen wir es mal absolut, ist dann V von P in I.
Das ist die Ableitung von R nach der Zeit in I.
Und wir sehen, das ergibt DROQ nach DT in I.
Plus DRrelativ nach DT in I.
Ich schreibe es mal direkt an der benachbarten Tafel weiter.
Wir kommen gleich höher.
Nämlich V von P in I ergibt dann Ableitung des Vektors R von O nach Q
nach der Zeit in I.
Das ist die Geschwindigkeit des Punktes Q im Inertialsystem.
Also V von Q in I plus, und jetzt haben wir die Ableitung des
Relativvektors im Inertialsystem.
Da wissen wir, falls im Relativsystem die Ableitung einfacher geht,
können wir das berücksichtigen.
Dann haben wir nämlich gerade DRrelativ nach DT im Relativsystem R.
Plus Omega vom Relativsystem im Inertialsystem kreuzt den Vektor, den
wir ableiten wollen.
An der Stelle wollen wir eben den Relativvektor ableiten, also
Rrelativ.
Man sieht, das ergibt also V von Q in I plus, da bringen wir zunächst
mal Omega von R in I kreuz Rrelativ.
Plus, und jetzt sehen wir die Ableitung des Relativvektors nach der
Zeit im Bezugssystem R.
Das ist gerade die Geschwindigkeit des Punktes P im System R.
Das ist also die Geschwindigkeit von P im Bezugssystem R, die
Relativgeschwindigkeit.
Man sieht, die ersten beiden Anteile, das sind Geschwindigkeiten
aufgrund der Bewegung des Relativsystems.
Die nennen wir dann Führungsgeschwindigkeit, weil die Führung sich da
bewegt.
Das war die Relativgeschwindigkeit,
das ist also die Geschwindigkeit, die ein Beobachter misst, der fest
mit dem Bezugssystem R verbunden ist.
Führungsgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Beobachter
misst im Inertialsystem, wenn sich der Punkt P im Relativsystem nicht
bewegt.
Und man sieht, die Führungsgeschwindigkeit, die können wir nochmal
unterteilen in eine Führungsgeschwindigkeit infolge der Translation
des bewegten Koordinatenübersprungs Q plus einen Anteil Omega R in I
Kreuz R Relativ aufgrund dessen, dass sich das Relativsystem im
Inertialsystem dreht.
Also V
für Translation ist dann gerade V von Q in I, also infolge Translation
von Koordinatenursprung Q
und wir haben eine Führungsgeschwindigkeit aufgrund der Rotation des
Relativsystems, nämlich gerade Omega von R in I Kreuz R Relativ.
Und in dem Falle, wo wir nur zwei Bezugssysteme haben, da hätten wir
auch R und I bei der Bezeichnung von Omega weglassen können.
Machen wir vielleicht das im Folgenden.
Kommen wir damit zur Beschleunigung des Punktes P im Inertialsystem.
Also A Absolut ist dann gerade die Ableitung von V Absolut nach der
Zeit im Inertialsystem.
Wir haben gesehen, das umfasst im Wesentlichen drei Terme.
Leiten wir die mal ab, das ergibt also die Ableitung von V von Q in I
nach der Zeit im Inertialsystem plus Ableitung nach der Zeit im
Inertialsystem von Omega von R in I.
Ich habe gesagt, wir lassen es weg, dann wird es ein bisschen kürzer.
Von Omega Kreuz R Relativ plus eben Ableitung von V Relativ nach der
Zeit im Inertialsystem.
Das ergibt jetzt die
Ableitung der Geschwindigkeit des Punktes Q im Inertialsystem nach der
Zeit.
Es gibt gerade die Beschleunigung von Q im Inertialsystem.
Also gibt A von Q in I, das ist nichts Kompliziertes.
Jetzt sehen wir, wenn wir das Kreuzprodukt ableiten, dann müssen wir
die Produktregel beachten.
Es gibt also plus, leiten wir zunächst mal Omega ab, B Omega nach DT
in I.
Kreuz R Relativ plus, jetzt R Relativ abgeleitet, also Omega Kreuz
Ableitung von R Relativ nach der Zeit in I.
Plus und die Ableitung von V Relativ im Inertialsystem ist die
Ableitung von V Relativ im Relativsystem.
Plus, also Ableitung in I ergibt Ableitung in R, jetzt kommt unsere
wohlbekannte Formel, plus Omega von R in I, das war Omega, Kreuz R
Relativ.
Moment, V Relativ sowas.
Omega nach der Zeit abgeleitet im Inertialsystem, das war Alpha,
die Winkelbeschleunigung.
Dann R Relativ nach der Zeit im Inertialsystem abgeleitet, ist
Ableitung im Relativsystem.
Plus, jetzt Omega Kreuz R Relativ, die Ableitung von
V Relativ im Relativsystem, das war gerade die Beschleunigung von
Punkt P im Relativsystem.
Also die Beschleunigung, die ein Beobachter misst, der fest mit dem
Bezugssystem R verbunden ist.
So, jetzt müssen wir alles ordnen.
Was erhalten wir?
Und wir erhalten A von Q in I plus Alpha Kreuz R Relativ.
Und jetzt sehen wir, jetzt haben wir Omega Kreuz R Relativ, also plus
Omega Kreuz Omega Kreuz R Relativ.
Das war das mit dem, was jetzt noch fehlt, ist Omega Kreuz Ableitung
von R Relativ nach der Zeit in R, das war die Relativgeschwindigkeit V
Relativ.
Also plus Omega Kreuz V Relativ, plus Relativbeschleunigung,
Beschleunigung von P in R,
plus Omega Kreuz V Relativ.
Das Omega Kreuz V Relativ, das haben wir aber hier schon mal, da
können wir also gerade den Faktor 2 davor schreiben.
Das heißt, wir haben jetzt die
Führungsbeschleunigung, die praktisch der Punkt P erfährt.
Falls der Punkt P sich nicht im Relativsystem bewegt, dann haben wir
die Relativbeschleunigung.
Das ist die Beschleunigung, ich hatte es erwähnt, die sich für P
ergibt, wenn das Bezugssystem R sich nicht bewegt.
Jetzt gibt es aber im Gegensatz zur Geschwindigkeit noch einen
Beschleunigungsanteil, der hängt ab sowohl von der Bewegung des
Relativsystems, nämlich über das Omega, als auch von der Bewegung des
Punktes P im Relativsystem, nämlich von der Relativgeschwindigkeit.
Und das ist die Coriolisbeschleunigung.
Das heißt, die gesamte Beschleunigung des Punktes P, also A von P im
Inertialsystem, ergibt sich aus Führungsbeschleunigung plus
Coriolisbeschleunigung plus Relativbeschleunigung.
Und man sieht,
die Coriolisbeschleunigung tritt nur auf, wenn sich sowohl das
Bezugssystem R als auch der Punkt P in R bewegen.
Also,
Coriolisbeschleunigung tritt nur auf, wenn gleichzeitig
Omega nicht verschwindet, V-Relativ nicht verschwindet und beide nicht
parallel sind.
Also, und beide nicht parallel.
Kurze Frage, wenn Sie am Nordpol oder am Südpol beginnen zu laufen,
tritt dann eine Coriolisbeschleunigung auf oder nicht?
Wer denkt das nicht?
Wie?
Das ist schade.
Dann stellen Sie die Frage, währenddessen können die Studenten mal
nachdenken, ob eigentlich am Nordpol, wenn ich laufe, eine
Coriolisbeschleunigung auftritt.
Und als nächsten Unterpunkt, denken Sie mal nach, tritt eine
Coriolisbeschleunigung auf, wenn ich am Äquator mich bewege.
Jetzt Frage.
Wenn die Studenten mal ruhig sind, dann verstehe ich sie auch.
Moment.
So, jetzt nochmal, wo war es auftritt bei R-Relativ?
Sie müssen still sein, ich verstehe Sie sonst nicht.
Also, dies R-Relativ ist das hier.
Sprechen Sie mal lauter.
Was wohl die hier ist?
Relativvektor nach der Zeit im Relativsystem abgeleitet ist V-Relativ.
Mit dem Omega von hier ergibt es Omega-Kreuz-V-Relativ.
An der Stelle.
Und es gibt nochmal Omega-Kreuz-V-Relativ vom letzten Term.
Frage beantwortet.
Also, wer denkt, dass am Nordpol eine Coriolisbeschleunigung auftritt?
Wer denkt, dass keine auftritt?
Also, meine Demokratie-Erfahrung gibt mir weder recht, die Mehrheit
denkt immer das Falsche.
Wenn Sie am Nordpol gehen, dann ist der Vektor Omega in
Körperlängsrichtung.
Und wenn Sie jetzt laufen, dann ist die Relativgeschwindigkeit
senkrecht dazu.
Beide sind ungleich null, also tritt eine Coriolisbeschleunigung auf.
Das ist dasselbe, wie wenn Sie auf einer Scheibe versuchen, nach außen
zu gehen.
Das mit der Trägheit, das kommt erst später, aber da merken Sie, wenn
Sie nach außen gehen wollen, auf einer Linie folgen, die auf der
Scheibe gerade verläuft und sich mit der Scheibe mitdreht, dann werden
Sie anscheinend so zur Seite gedrückt.
Richtig?
Ausprobieren.
So, wie sieht es aus am Äquator?
Gibt es am Äquator eine Coriolisbeschleunigung oder nicht?
Wer denkt, es gibt keine?
Wer denkt, es gibt eine Coriolisbeschleunigung?
Wer denkt, es hängt davon ab?
Genau, also am Äquator hängt es wirklich davon ab, ob ich längs des
Äquators gehe.
Dann tritt in meiner Rechnung eine Coriolisbeschleunigung auf.
Da muss man sich mal überlegen, wie sieht die eigentlich aus?
Wenn ich in Nord-Süd-Richtung gehe, dann ist die Richtung von V
-Relativ parallel zu Omega und damit tritt keine
Coriolisbeschleunigung auf.
Jetzt müssen Sie nur noch mal zu Hause überlegen, warum, wenn Sie in
Äquator -Längsrichtung gehen, eine Coriolisbeschleunigung auftritt.
Was es damit auf sich hat.
So, wenn es keine Fragen mehr gibt,
dann kommen wir jetzt zum ersten Sonderfall,
nämlich, wir haben nur Translation.
Nur Translation heißt, das Relativsystem, das rotiert nicht, sondern
macht nur eine Translationsbewegung.
Und damit gilt, dass eben Omega identisch 0 ist und Alpha identisch 0.
Schauen wir, was heißt das für die Geschwindigkeit.
Und wir sehen, die Führungsgeschwindigkeit hat nur einen Term, nämlich
den Anteil infolge der Bewegung des Ursprungs Q im Relativsystem.
Omega war ja 0 und wir haben noch die Relativgeschwindigkeit.
Das heißt,
Absolutgeschwindigkeit ist dann Führungsgeschwindigkeit plus
Relativgeschwindigkeit.
Wir haben gesehen, die Führungsgeschwindigkeit, die normalerweise
einen Anteil infolge Translation und einen Anteil infolge Rotation
hat, die hat nur den Translationsanteil, also Führungsgeschwindigkeit
infolge Translation plus Vrelativ.
Und die Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Translation, das war
gerade die Geschwindigkeit des Punktes Q im Inertialsystem.
Wie sieht es aus mit der Beschleunigung?
Da sehen wir, die Absolutbeschleunigung oder die Beschleunigung des
Punktes P in I, die war Beschleunigung des Punktes Q in I, Alpha ist
0, Omega ist 0, also eine Führungsbeschleunigung, die lediglich
aufgrund der Translation des Ursprungs hervorgerufen wird, also A für,
die besteht nun aus Translation, die Coriolisbeschleunigung, die
verschwindet, weil Omega gleich 0 ist, es bleibt noch übrig die
Relativbeschleunigung, also plus A Relativ.
Und auch hier ist die Beschleunigung infolge Translation dadurch
gegeben, dass eben Punkt Q im Inertialsystem beschleunigt wird.
Das Ganze kann man sich so vorstellen, also wenn ich eine allgemeine
Bewegung mache, dann sehen Sie ja, die Einheitsvektoren, die ändern
die Richtung, eine reine Translation würde vorliegen, wenn die
Richtungen der Einheitsvektoren sich nicht ändern, obwohl vielleicht
die Translationsbewegung an sich relativ kompliziert ist und sehr oft,
und das ist vielleicht am Anfang etwas verwirrend, hat man den Fall,
dass der Koordinatenursprung sich auf einer Kreisbahn bewegt.
Da muss man immer im Deutschen ein bisschen aufpassen, weil dann
rotiert ja der Punkt Q, meinetwegen um eine Achse, dann spricht man
schon wieder von Rotation, obwohl eigentlich das Bezugssystem, also
das Relativsystem nicht rotiert.
Da müssen Sie immer ein bisschen vorsichtig sein und dürfen sich nicht
verwirren lassen.
Also egal, wie die Bewegung erfolgt, wenn die Einheitsvektoren die
Richtungen nicht ändern, hat man eine reine Translationsbewegung.
Beispiel,
wenn ich zwei Schiffe habe, die sich bewegen,
also zwei Schiffe P1 bzw.
P2, die fahren immer entlang ihrer Richtung, also die beiden
Bezugssysteme, die drehen sich nicht zueinander.
Nehmen wir mal an,
wir haben beim einen die Geschwindigkeit V2, beim anderen die
Geschwindigkeit V1.
Ein Sonnenfall lautet immer die Frage, gehen die auf Kollisionskurs?
Dann wissen wir, V2 ist V1 plus Vrelativ.
Oder Vrelativ gleich V2 minus V1.
Und zwei Vektoren werden relativ leicht subtrahiert.
Ich deute es hier mal an.
Dann erhalten wir den Vektor Vrelativ.
Oder ich trage hier minus V1 an, habe dann hier unten Vrelativ.
Das ist also die Geschwindigkeit, mit der sich das Schiff 2 relativ
zum Schiff 1 bewegt.
Und jetzt sieht man, wenn ich die Relativgeschwindigkeit verlängere,
hier war der Punkt, an dem sich das Schiff V1 befindet, dann ist eben
der kürzeste Abstand, der zwischen den beiden Schiffen auftritt,
gerade der hier, nämlich senkrecht hier auf die
Relativgeschwindigkeit, das ist der kürzeste Abstand der
beiden Schiffe.
Gibt es dazu Fragen?
Dann kommen wir zum nächsten Beispiel,
und zwar
Bewegung eines Punktes auf
einer Schaukel
und zwar, nehmen wir mal an, wir haben eine Schaukel in der Art, dass
ich hierauf einen Punkt P bewegen kann, hier haben wir die Mitte der
Schaukel, ich zeichne mal den Punkt P ein und die Schaukel bewegt
sich, ohne sich zu drehen, das heißt, wir nehmen mal an, die ist an
zwei Seilen oder an zwei Stangen so aufgehängt, dass diese beiden
Stangen oder Seile parallel sind,
dann legen wir ein XY-Koordinatensystem fest, das heißt, X nach
rechts, Y nach unten, das sei das feststehende Bezugssystem und als
bewegtes Bezugssystem wählen wir jetzt ein System, das fest mit der
Schaukel verbunden ist, das heißt, hier oben haben wir den Punkt O,
wir wählen jetzt ein Bezugssystem Xi-Eta, das den Ursprung in
der Mitte der Schaukel hat, das ist dann der Punkt O' und man sieht,
der Vektor von O nach O' ist parallel zu den Stangen hier außen und
aufgrund der Parallelführung ist, werde ich sichergestellt, dass das
Relativsystem, das Xi-Eta-System, dass das sich nicht dreht.
So, was brauchen wir noch?
Nun, wir haben den Ortsvektor von O nach P und
gesucht sind jetzt die Absolutgeschwindigkeit und die
Absolutbeschleunigung.
Also gesucht, Absolutgeschwindigkeit und Absolutbeschleunigung.
In dem Falle wissen wir, die Absolutgeschwindigkeit ist die
Geschwindigkeit des bewegten Koordinatenursprungs, also V von O', plus
eben Relativgeschwindigkeit.
Und man sieht,
der Punkt O', der bewegt sich jetzt, das haben wir gerade so in dem
Fall vorliegen, wie ich den angedeutet hatte, der bewegt sich auf
einer Kreisbahn mit festem Abstand zum Punkt O.
Also,
V O' ist in dem Falle, wenn wir das mal als L bezeichnen, die Länge
der Stange, dann haben wir die auch hier vorliegen, dann ist die
Geschwindigkeit auf der Kreisbahn gerade L mal Phi Punkt.
Jetzt haben wir aber den Winkel Phi eingeführt, den müssen wir da noch
andeuten, das ist der Winkel Phi, in dessen Richtung auch Phi Punkt
geht.
Also L mal Phi Punkt ist der Betrag der Geschwindigkeit von Punkt O'.
Jetzt brauchen wir noch die Richtung, da liegt es nahe, den
Einheitsvektor E Phi, ich teile das mal so an, einzuführen, E Phi,
später dann auch noch den Einheitsvektor E R.
Warum?
Nun, weil eben der Punkt O' sich auf einer Kreisbahn befindet.
E R war in Richtung der Verbindenden von O nach O'.
E Phi senkrecht dazu und jetzt sehen wir, wir haben als
Führungsgeschwindigkeit gerade L Phi Punkt mal E Phi.
Das war die Führungsgeschwindigkeit.
V Relativ, da sehen wir, der Punkt P bewegt sich im Bezugssystem Xi
Eta nur entlang der Xi Achse, also V Relativ gleich Xi Punkt in
Richtung der Xi Achse,
das wäre also V Relativ.
Wenn wir das so in das Diagramm einzeichnen.
Und jetzt kommt die Beschleunigung.
Bei der Beschleunigung haben wir gesehen, es gibt nur die
Beschleunigung des Punktes Q in I als Führungsbeschleunigung, also A
absolut gleich Führungsbeschleunigung, in dem Falle aufgrund von
Translation von O'.
Coriolisbeschleunigung ist 0, fehlt noch Relativbeschleunigung.
Und wir sehen die Führungsbeschleunigung aufgrund von Translation, die
wird jetzt ein bisschen komplizierter.
Der Punkt O' bewegt sich auf einer Kreisbahn.
Wenn Sie da in Ihren früheren Unterlagen nachschauen, dann sehen Sie,
da gibt es eine Komponente der Beschleunigung in Umfangsrichtung,
nämlich gerade L mal Phi 2 Punkt in
Richtung des Einheitsvektors E Phi.
Da aber der Punkt sich auf einer Kreisbahn befindet, muss er immer in
Richtung O beschleunigt werden, also es gibt auch eine
Zentripetalbeschleunigung, also plus L Phi Punkt Quadrat, allerdings
in negative ER-Richtung.
Das heißt, wir können jetzt zwei Anteile einzeichnen, das wäre jetzt
die Führungsbeschleunigung aufgrund von Translation.
Von O' in Umfangsrichtung, aufgrund dessen, dass es eine Kreisbahn
ist.
Und wir haben eine Beschleunigung,
Führungsbeschleunigung aufgrund von Translation des Ursprungs in
radialer Richtung.
Radial, weil wir es gesagt haben, auf einer Kreisbahn.
So, was jetzt noch fehlt, ist die Relativbeschleunigung.
Ganz klar, der Punkt P kann sich im Xi-Eder-System nur in Richtung der
Xi -Achse bewegen, also Relativbeschleunigung ergibt sich dann einfach
zu Xi 2 Punkt in Richtung der Xi-Achse.
Das heißt, wenn wir alles zusammenfassen, haben wir V-Absolut.
Dann haben wir zunächst mal L-Phi-Punkt in Richtung E-Phi.
Die Richtung E-Phi können wir aber zerlegen in Richtung von EX und EY.
Dann haben wir zunächst mal in X-Richtung L-Phi-Punkt mal Cosinus-Phi.
Dann haben wir Xi-Punkt in Richtung von E-Xi.
E-Xi war aber gleichbedeutend mit E-X, also plus Xi-Punkt.
Und in Y-Richtung, da sehen wir, E-Phi hat einen Anteil in negative Y
-Richtung, also minus L-Phi-Punkt mal Sinus-Phi in Y-Richtung.
Und die Absolutbeschleunigung ganz analog.
Da haben wir gesagt, wir haben L-Phi-2-Punkt E-Phi minus L-Phi-Punkt
-Quadrat E-R plus Xi-2-Punkt E-Xi.
Wir haben gesehen, E-Phi ist Cosinus-Phi in X-Richtung minus Sinus-Phi
in Y-Richtung.
E-R, wenn Sie das genau anschauen, hat positive Komponenten in
Richtung von E-X und in Richtung von E-Y, also Sinus-Phi E-X plus
Cosinus -Phi E-Y.
Dass E-Xi gerade E-X ist, das hatten wir schon bei der Geschwindigkeit
eingesetzt, weil man das sehr leicht einsieht.
Und wenn wir das jetzt hier alles einsetzen, dann sehen wir die
Beschleunigung in X-Richtung.
Da haben wir zum einen L-Phi-2-Punkt Cosinus-Phi vom ersten Term.
Dann haben wir minus L-Phi-Punkt-Quadrat Sinus-Phi E-X, also minus L
-Phi -Punkt-Quadrat Sinus-Phi.
Moment, jetzt fehlt noch was, nämlich plus Xi-2-Punkt E-X, also plus
Xi -2-Punkt E-X.
Und in Y-Richtung, da haben wir von dem hier was Negatives, also plus
minus L-Phi-2-Punkt Sinus-Phi E-Y.
Dann haben wir minus L-Phi-Punkt-Quadrat Cosinus-Phi E-Y.
Von E-Xi haben wir nichts, also E-Y.
Und man sieht, das war jetzt gerade die Beschleunigung des Punktes P.
Wenn wir das Ganze anders angehen und zunächst mal den Vektor R
bezüglich E-X und E-Y aufstellen,
also mit R gibt's...
Und da haben wir zunächst mal in X-Richtung L mal Sinus-Phi in X
-Richtung.
Dann haben wir noch das Xi in X-Richtung.
In Y-Richtung haben wir nur L mal Cosinus-Phi.
Dann sehen wir, wenn wir das so darstellen, dann haben wir jetzt
gleich die Einheitsvektoren E-X und E-Y.
Die sind konstant bezüglich der Zeit.
Also wenn wir jetzt Geschwindigkeit und Beschleunigung bilden, dann
müssen wir nur die Koordinaten ableiten.
Also das L-Sinus-Phi bzw.
Xi und hier L-Cosinus-Phi.
Das ergibt dann also L mal Sinus-Phi abgeleitet ergibt L mal Cosinus
-Phi.
Dann müssen wir allerdings die innere Ableitung beachten, das war Phi
-Punkt.
Dann haben wir Plus-Xi abgeleitet ergibt Plus-Xi-Punkt in E-X
-Richtung.
Und hier hinten haben wir, das sehen wir, L-Cosinus-Phi abgeleitet
ergibt L mal Minus-Sinus-Phi mal innere Ableitung, das war Phi-Punkt,
mal E-Y.
Und wenn wir jetzt daraus die Beschleunigung bestimmen,
also A-Absolut, dann sehen wir, jetzt müssen wir die Produktregel
beachten, weil sowohl Phi-Punkt als auch Cosinus-Phi von der Zeit
abhängen.
Und das gibt dann also, leiten wir zunächst mal das Phi-Punkt ab, dann
L -Phi-2-Punkt, Cosinus-Phi.
Dann leiten wir das Cosinus-Phi ab, das gibt dann Minus-Sinus-Phi mal
innere Ableitung, Phi-Punkt.
Allerdings noch multipliziert mit L mal Phi-Punkt, sodass sich
insgesamt ergibt Minus-L-Phi-Punkt-Quadrat-Sinus-Phi.
Und das Xi-Punkt abgeleitet ergibt Plus-Xi-2-Punkt in X-Richtung.
Und bei der Ableitung der Koordinate von Y ergibt sich dann Plus,
leiten wir zunächst das Phi-Punkt ab, dann haben wir Minus-L-Phi-2
-Punkt -Sinus-Phi.
Dann das Sinus-Phi abgeleitet ergibt Cosinus-Phi mal Phi-Punkt, also
Minus -L-Phi-Punkt-Quadrat-Cosinus-Phi in E-Y-Richtung.
Und wir sehen, es sollte natürlich über beide Wege dasselbe Ergebnis
herauskommen.
Also egal, ob ich zunächst mal dann alles in E-X und E-Y darstelle und
dann nur noch die Koordinaten ableite oder ob ich das über das
Relativsystem mache, die Absolutbeschleunigung des Punktes sollte am
Ende dieselbe sein.
Nun, wie das geht, wenn sich auch das Relativsystem dreht, das werden
wir dann in der nächsten Vorlesung sehen.
Ich weise an der Stelle nochmal auf die Handzettel hin, die auf das
deutsch -französische Interkulturelle hinweisen.
Und ich muss mich nochmal entschuldigen, ich werde das nächste Mal
versuchen, das in Gang zu bringen, dass die Projektion der Beispiele
nicht geklappt hat.
Vielen Dank.