Guten Tag meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung recht
herzlich begrüßen.
Wie immer am Anfang die Ansage, dass wir die Vorlesung aufzeichnen,
dass eventuell diejenigen, die relativ weit vorne sitzen, ins Bild
kommen, wir das Bild aber weltweit freischneiden oder den Film.
Sollten Sie nicht gefilmt werden wollen, bitten wir Sie entweder auf
die Empore zu gehen oder ein bisschen nach hinten.
Vielen Dank.
Nun, wir haben in der letzten Vorlesung den Arbeitssatz behandelt und
vielleicht als kleine Anwendung das, was die Maschinenbauer so lieben.
Hier haben wir den Viertaktmotor, man sieht den Zylinder, die
Motorwelle, Gegengewichte, das ist im Moment alles nicht so wichtig.
Was wichtig ist, ist hier oben der Brennraum, dann sieht man auch die
Ventile und ganz da, hier im Brennraum, da wird Wärme zugeführt
dadurch, dass der Treibstoff verbrannt wird.
Dadurch steigt der Druck.
Wenn jetzt der Kolben sich nach unten bewegt, dann wird der Druck oder
die Druckkraft wird Arbeit verrichten am Kolben.
Wenn jetzt bei der Verdichtung der Kolben sich nach oben bewegt, dann
wird der Kolben Arbeit verrichten am Gas, also dann wird dem Kolben
Arbeit entzogen.
Und jetzt schauen wir mal, wie das Ganze so funktioniert.
Hier nochmal für diejenigen, die das nicht so kennen.
Man sieht beim Viertaktmotor, jetzt wird frisches Gemisch eingezogen,
gezündet, jetzt rausgeschoben und genau wenn die Zündung erfolgt, dann
kann man eben annehmen, dass die Temperatur schlagartig steigt, damit
auch der Druck.
Wenn man das Ganze mal anschaut, das Volumen oberhalb des Kolbens, das
ist zeitabhängig, das ändert sich also je nach Verdrehwinkel der
Motorwelle.
Und wenn wir mal den Druck als Funktion des Volumens anschauen, dann
sehen wir, gut, wir werden uns entlang verschiedener Kurven bewegen.
Wie kann man sich das vorstellen?
Nun am Punkt 1, da haben wir das Brennstoffgemisch eingesogen oder es
wird praktisch Brennstoff eingespritzt bzw.
die Frischluft wird jetzt verdichtet.
Der Druck steigt an auf den Druck P2, wie er hier bezeichnet ist.
Jetzt führen wir schlagartig Wärme zu durch Verbrennen.
Dann steigt der Druck bei diesem Volumen, das sich instantan nicht
ändert, auf den Druck P3 an.
Bei der Bewegung des Kolbens nach unten wird es entspannt, der Druck
nimmt ab, dann wird hier das verbrauchte Gas rausgeschoben, das neue
Gemisch reingezogen und der Zyklus beginnt erneut.
So, was nehmen wir an?
Wir nehmen mal an, wir haben eine antibiotische Zustandsänderung, das
heißt der Druck ist proportional dem Verhältnis des Volumens
hochkappbar.
Wir nehmen an, die Wärmezufuhr erfolgt am oberen Totpunkt,
wodurch der Druck von P00 auf P10 ansteigt.
Der Gasaustausch, der erfolgt bei gleichbleibendem Druck.
Und was haben wir sonst noch?
Wir brauchen noch Geometriegrößen.
Das ist zum einen die Kurbellänge R, zum anderen die Bläulänge L,
woraus sich dann das Schubstangenverhältnis ergibt, nämlich das
Verhältnis aus Kurbellänge zu Bläulstangenlängen und man sieht die Y
-Koordinate des Kolbens, wenn wir mal die vertikale Koordinate mit Y
bezeichnen.
Da haben wir zum einen von der Kurbel das R mal Sinus Psi, also das
Psi, das wäre jetzt praktisch der Winkel der Motorwelle.
Wenn der Winkel Psi halber ist, dann ist praktisch das in der
gestreckten Lage.
Und da kommt noch der Anteil hinzu von der Bläulstange.
Die Bläulstange schließt allerdings mit der Vertikalen einen anderen
Winkel ein als die Kurbel.
Deshalb hier so ein Wurzelterm, 1-R² durch L² Sinus² Psi.
Und das L ziehen wir einfach nochmal ab, dann haben wir nämlich Y und
wirklich das sich verändernde Volumen.
Könnte es eventuell noch normieren mit der Bläulänge L.
Wie kommt man auf die Beziehungen?
Vielleicht mal ganz kurz.
Wenn wir hier den Kolben haben, das Bläul, angedeutet, dann die
Kurbel, die dreht, dann haben wir hier unten den Winkel Psi.
Wir haben Länge L, Kurbellänge R und sehen, diese Strecke, die setzt
sich zusammen aus R mal Sinus Psi.
Also wenn wir das mal
zunächst mit X bezeichnen, dann haben wir zum einen X gleich R mal
Sinus Psi plus, jetzt haben wir L mal
den Kosinus von dem Winkel, nennen wir den mal Gamma, also plus L
Kosinus Gamma.
Jetzt sind aber Gamma und Psi nicht unabhängig voneinander.
Nämlich man sieht, R mal Kosinus Psi muss gerade sein, L mal Sinus
Gamma.
Wir sehen, R durch L Kosinus Psi entspricht gerade, Moment, Sinus
Gamma.
Und Sinus entspricht Wurzel aus 1 minus Kosinus Quadrat.
Wir ersetzen
hier oben Kosinus durch Wurzel aus 1 minus Sinus.
Dann haben wir X gleich, dann habe ich das gleich ersetzt, R mal Sinus
Psi plus L und Kosinus Gamma ist Wurzel aus 1 minus Sinus Quadrat,
also Wurzel aus 1 minus und Sinus Quadrat ist R Quadrat durch L
Quadrat mal Kosinus Quadrat Psi.
Jetzt haben wir also das X dargestellt als Funktion des Verdrehwinkels
Psi.
Wir können dann auch das Schubstangenverhältnis mit Lambda einführen,
also mit Lambda gleich R durch L folgt dann X durch L gleich, dann
haben wir R durch L gibt Lambda Sinus Psi plus eben Wurzel aus 1 minus
Lambda Quadrat Kosinus Quadrat Psi.
Man erkennt insgesamt, ist das Ganze was Periodisches in Psi.
Wenn man sich das mal ein bisschen genauer anschaut,
ich mache das immer mit Mathematika, dann kann man zum Beispiel hier
sich mal die Kurven zeichnen lassen.
Was haben wir da?
Und da haben wir zum einen das X, in dem Fall Minus L, damit es schön
um den Nullpunkt herum sich bewegt.
Die andere Kurve entspricht dann der Geschwindigkeit und das was hier
mit A bezeichnet ist, das entspricht im Grunde genommen dem Lambda.
Das heißt, wenn ich das mal ein bisschen ändere, dann sieht man für
ein großes Lambda, hier in dem Falle Lambda gleich 5, dann sind das
schön für das Auge harmonische Funktionen, also es sieht aus wie Sinus
- oder Kosinusförmiger Verlauf.
Ist es allerdings nicht ganz, wie wir an unserer Herleitung gesehen
haben.
Das war die falsche Taste.
Und wenn wir jetzt das Schubstangenverhältnis ändern, dann ändern sich
eben die entsprechenden Verläufe und speziell für Lambda-Werte, die in
der Größenordnung von 1 liegen,
sieht man, dass das mitnichten ein harmonischer Verlauf ist.
Das sieht man auch, wenn man mal die Bewegung des Kolbens sich
anschaut.
Ich habe das hier ebenfalls mit Mathematika gemacht.
P ist dann der Verdrehwinkel Psi, kann ich also durchlaufen lassen.
Und jetzt ändere ich wieder das Schubstangenverhältnis, wenn ich das
relativ lang mache, dann bewegt sich der Kolben näherungsweise
harmonisch, falls unten eine konstante Drehzahl vorliegt.
Man sieht aber, wenn ich das Schubstangenverhältnis kleiner mache, in
die Gegend von 1, dann hat man am oberen Totpunkt, da verbringt er
viel mehr Zeit.
Das war das, was sich auch oben aus den Kurven gezeigt hat.
Oder wenn man es ganz extrem macht, das was ich hier habe, das ist das
1,02.
Das würde man natürlich in Wirklichkeit nicht machen, aber man sieht,
da kommen doch ganz schön lustige Verläufe raus.
Was haben wir sonst noch?
Und jetzt müssen wir im Grunde genommen noch, wenn wir die Arbeit
wissen wollen, die am Kolben verrichtet wird, dann haben wir eine Nach
-Unten -Bewegung, wobei oben das heiße Gas ist.
Dann haben wir eine Nach-Oben-Bewegung bei einem näherungsweise
konstanten Druck.
Dann wieder eine Nach-Unten-Bewegung bei einem näherungsweise
konstanten Druck.
Sowie, wenn praktisch das frische Gas drin ist, wieder beim
Hochbewegen eine Verdichtung.
Ich habe gesagt, eine adiabatische Zustandsänderung.
Das bedeutet,
zunächst mal der Hubraum, um den sich das Volumen verändert.
Maximal, das ist gerade Querschnittsfläche des Kolbens mal 2R.
2R war die Hoch- und Niederbewegung.
A die Querschnittsfläche.
Das Todvolumen, das ist das Volumen am oberen Todpunkt.
Das sei mal mit V0 bezeichnet.
Und wenn wir jetzt
mal die Verdichtung betrachten,
dann haben wir dort einen Druck P1 während der Verdichtung.
Das ist der Druck am unteren Todpunkt, P00.
Jetzt Volumen V1 am unteren Todpunkt dividiert durch das x-abhängige
Volumen.
Das war also V1 minus A mal X minus R mal A.
Jetzt müssen wir allerdings beachten, wir haben gesagt, adiabate
Zustandsänderung.
Das heißt Hochkappa.
Während der Entspannung haben
wir das P2 als Funktion P10.
Das war der Druck nach dem Zünden.
Dann haben wir im Prinzip Volumen am oberen Todpunkt, das war das
Todvolumen, dividiert durch, jetzt haben wir wieder V1 minus A mal X
minus A mal R.
Und wieder Hochkappa, wenn wir annehmen, dass der gleiche
Adiabatenkoeffizient vorliegt.
Und der Gasaustausch,
der erfolgt bei einem Druck P3, der gerade dem P00 entsprechen soll.
Wie gesagt, das ist im Prinzip eine Modellfrage.
Wir nehmen einfach an, dass dieses Modell gilt.
Wenn Sie natürlich den Motor berechnen, müssten Sie das vielleicht ein
bisschen ausgefeilter machen.
Und wie sieht es jetzt aus mit der Arbeit?
Und die Kraft auf den Kolben, die drückt ja drauf, das heißt, die ist
entgegen der Koordinate X gerichtet.
Also,
das V1 während der Verdichtung ist dann gerade ein Integral.
Und die Kraft beträgt minus A mal P1 hier oben.
Dx, wobei wir am unteren Totpunkt beginnen, das heißt, X in dem Fall
von minus R bis R.
Der Weg X verändert sich von minus R am unteren Totpunkt zu plus R am
oberen Totpunkt.
Die Arbeit während der Entspannung, W2, die beträgt Integral.
Und jetzt die Kraft ist entgegengesetzt gerichtet zu X, also minus A
mal P2.
Dx, wobei wir jetzt integrieren vom oberen Totpunkt, das heißt, von X
gleich R bis zum unteren Totpunkt, das heißt, minus R.
Man sieht, das wäre das Gleiche wie das P2, das A mal P2 integriert
von minus R bis plus R mit einem Pluszeichen.
Also da wird wirklich Arbeit zugeführt.
Hier braucht man Arbeit.
Und das W3 während dem Austausch, das ist dann einfach Integral von
minus R bis R.
Und dann haben wir minus A mal P3, Dx plus eben von R bis minus R,
minus A P3, das wird also letztendlich keinen Beitrag liefern, Dx.
Also das Wesentliche ergibt dann gerade das W1 und das W2.
Beim Auswerten ist es scheinbar natürlich ein bisschen kompliziert,
weil die Abhängigkeit des Druckes von X hier mit dem Hochkappa und so
weiter, für konkrete Werte kann man das aber natürlich machen.
Ich will da jetzt nicht in die Details gehen, man sieht aber
letztendlich, hier haben wir mal für ein paar Zahlenwerte das Ganze
eingesetzt, da kann man eben die einzelnen Integrale dann sehr schön
zum Beispiel in Mathematika auswerten und dann die Summe bilden, was
dann letztendlich gerade die Gelbe Fläche ergibt, die von der Kurve
der Drücke umrandet wird.
Gibt es soweit Fragen?
So, das war jetzt einfach die Arbeit von Kräften, wobei die Kräfte vom
Weg abhängen.
Und wie gesagt, die X oder die Verschiebung, die kann mal
gleichgerichtet sein zur Kraft, die kann in dem Fall auch
entgegengesetzt gerichtet sein.
Man muss in dem Fall das gar nicht unbedingt über den Verdrehwinkel
machen.
Die Abhängigkeit des Druckes vom Verdrehwinkel, das sehen wir hier
unten nochmal ein bisschen angedeutet bei meiner Kurve hier.
Das sieht dann sogar ein bisschen komplizierter aus, weil hier
Richtung oberer Totpunkt läuft das mehr oder weniger so horizontal
ein, genauso hier.
Unterer Totpunkt läuft das wieder so horizontal ein und so weiter.
Also Abhängigkeit des Druckes vom Verdrehwinkel ist dann ein bisschen
komplizierter, weil eben da noch die Geometrie dazwischen liegt.
So, damit kommen wir zu einem relativ einfachen Beispiel, bei dem wir
allerdings dann wirklich auch Geschwindigkeiten ausrechnen wollen,
mithilfe des Arbeitssatzes.
Und zwar, wir nehmen mal an, wir haben einen Massenpunkt auf einer
schiefen Ebene.
Die schiefe Ebene hat den Neigungswinkel Alpha.
Der Massenpunkt bewegt sich von S gleich S0 bis S gleich S1.
Also, das ist die Koordinate S.
Dann haben wir hier S0 beziehungsweise S gleich S1.
Der Massenpunkt selbst hat die Masse m.
Zwischen dem Massenpunkt und der schiefen Ebene haben wir den
Reibkoeffizient µ.
Und natürlich haben wir noch die Erdbeschleunigung g nach unten.
Und gesucht ist jetzt die Geschwindigkeit V1 bei S gleich S1, wobei
die Geschwindigkeit V0 am Punkt S gleich S0 gegeben sein soll.
Was wir einsetzen wollen, ist dann letztendlich den Arbeitssatz.
Das heißt, wir wollen das Ganze lösen über W gleich T1 minus T0.
Das heißt, zunächst benötigen wir die kinetischen Energien bei S
gleich S0 und S gleich S1.
Dann haben wir T0 ist gerade m halbe mal Geschwindigkeit bei S gleich
S0 zum Quadrat.
Das bezeichnen wir mal mit V0, dann mit V0 Quadrat.
Die kinetische Energie bei S gleich S1 entsprechend T1 ergibt dann m
halbe mal der Geschwindigkeit am Punkt S gleich S1 zum Quadrat, das
heißt V1 Quadrat.
Was jetzt noch fehlt, ist die Arbeit aller Kräfte.
Also W gleich Integral, ich schreibe mal von R0 bis R1 F dr. Oder, da
der Massenpunkt sich nur in Richtung der Koordinate S bewegt, können
wir auch schreiben Integral von S gleich S0 bis S gleich S1 Fs mal ds.
Wobei Fs die Komponenten aller Kräfte in Richtung von S bezeichnet.
Was haben wir da?
Nun zum einen haben wir in Richtung S die Gewichtskraft, die einen
Anteil entlang der schiefen Ebene hat und wir haben die Reibkraft µ
mal n, die entgegen der Koordinate S wirkt.
Das heißt wir haben W gleich Integral von S0 bis S1, zunächst mal
Anteil der Gewichtskraft ist Gewichtskraft G mal den Sinus von Alpha.
Die Reibkraft wirkt entgegen S, deshalb minus R ds und wir wissen, die
Reibkraft ist gerade µ mal n,
wenn n die Normalkraft zwischen der schiefen Ebene und dem Massenpunkt
bezeichnet.
Und die Normalkraft n, die erhalten wir dann eben über ein
Kräftegleichgewicht in normalen Richtung, da sehen wir, in normalen
Richtung haben wir die Gewichtskraft G mal Cosinus Alpha in die eine
Richtung, die Normalkraft n in die andere Richtung.
Also letztendlich entspricht n gerade G mal Cosinus Alpha, sodass sich
für die Reibkraft ergibt µ mal G mal Cosinus Alpha.
Das heißt W ergibt jetzt gerade Integral von S0 bis S1, dann haben wir
drinstehen G mal Sinus Alpha minus µ mal G mal Cosinus Alpha ds.
Man sieht, alle Kräfte sind unabhängig von S, das heißt die
Integration kann leicht durchgeführt werden, das ergibt nämlich dann
gerade G mal Sinus Alpha minus µ Cosinus Alpha mal S zwischen S0 und
S1.
Das heißt die Arbeit ergibt sich zu G mal Sinus Alpha minus µ Cosinus
Alpha und hier S1 minus S0.
Das Ganze können wir jetzt in den Arbeitssatz einsetzen.
G war M mal G, also M mal G mal Sinus Alpha minus µ Cosinus Alpha mal
S1 minus S0.
Das war W.
Gleich auf der rechten Seite steht jetzt T1 M halbe V1 Quadrat minus
T0, also minus M halbe V0 Quadrat.
Wir sehen, das M halbe V0 Quadrat bringen wir auf die andere Seite,
lösen nach V1 Quadrat auf, dann steht links 2 mal G, die Masse kürzt
sich dann raus, mal Sinus Alpha minus µ Cosinus Alpha S1 minus S0 plus
V0 Quadrat und daraus die Wurzel.
Also V1 Quadrat gleich V0 Quadrat plus 2 mal G Sinus Alpha minus µ
Cosinus Alpha S1 minus S0.
Das heißt, wenn wir jetzt die Wurzel draus ziehen, ich mache das so,
dass ich da die zwei durchstreiche, dann haben wir rechts die Wurzel.
Was wir allerdings nicht unterscheiden können, das ist, ob der
Massenpunkt sich nach oben oder nach unten bewegt, wie das eben bei
Energien ist.
Die Energie wäre ja dasselbe, egal, ob er sich nach oben oder nach
unten bewegt, die kinetische.
Aber man sieht, man hat jetzt die Geschwindigkeit am Punkt 1
ausgedrückt über die Geschwindigkeit am Punkt 0 plus eben den Anteil
der Kräfte.
Wie der zeitliche Verlauf ist, spielt in dem Moment keine Rolle mehr,
sondern man ordnet nur praktisch die Geschwindigkeitszustände den
einzelnen Punkten zu.
Man sieht auch, die Reibung, die führt dazu, dass letztendlich...
Die Reibung, die führt dazu, dass letztendlich...
Die Frage ist jetzt, wann ist das der Fall?
Also...
Und ich behaupte mal, dies gilt dann,
wenn die Kraft F ein skalares
Potential besitzt.
Nennen wir das mal V.
So.
Jetzt wissen wir, die Kraft F, das ist eine vektorielle Größe.
Wir haben gesagt, das Potential des Zugehörigen ist eine skalare
Größe.
Wie kann man aus einem Skalar eine vektorielle Größe machen?
Und das geht über den Gradientenoperator.
Also...
F abhängig von den Koordinaten x, y und z ist dann Kraftkoordinate Fx
in x-Richtung plus Kraftkoordinate Fy in y-Richtung plus
Kraftkoordinate Fz in z-Richtung.
Und das ist dann gerade...
Und ich habe gesagt, Gradient, das heißt dV nach dx in Richtung ex
plus dV nach dy in Richtung ey plus dV nach dz in z-Richtung.
So könnte man es machen.
In Wirklichkeit macht man es noch ein bisschen anders, nämlich wir
fügen noch ein Minuszeichen ein.
Das ist allerdings Konvention, also wir sagen F entspricht gerade
Minus, dV nach dx, ex, dV nach dy, ey, dV nach dz, ez.
Oder das war ja gerade Gradient der skalaren Größe V.
Also gleich Minus Gradient V, wobei das Potential V im Allgemeinen von
x, y und z abhängt.
Wenn wir mal vergleichen, dann sehen wir, das Fx ist gerade Minus, dV
nach dx, also Fx gleich Minus, dV nach dx, Fy gleich Minus, dV nach dy
und Fz gleich Minus, dV nach dz.
Wenn wir mal das dr ebenfalls ausdrücken als Vektor, dann können wir
schreiben, dr ist
dx in x-Richtung plus dy in y-Richtung plus dz in z-Richtung.
Das heißt hier können wir letztendlich schreiben Integral und das
Skalarprodukt von F mit dr ergibt dann gerade Fx, dx
plus Fy, dy
plus Fz dz.
Setzen wir die
Kraftkoordinaten ein.
Dann ergibt das W gleich Integral.
Dann steht da
das Minuszeichen ziehe ich mal raus.
Das steht ja bei jeder Ableitung dabei.
Also dV nach dx dx plus dV nach dy mal dy plus dV nach dz dz.
dV von x, y, z wenn das Potential von x, y, z abhängt.
Wie es das definiert ist aber gerade dV nach dx dx plus dV nach dy dy
plus dV nach dz dz.
Wir sehen, das entspricht gerade dem, was in der runden Klammer steht.
Also Arbeit W gleich Minus und jetzt steht Integral dV
Das können wir so stehen lassen.
Das heißt, dV integriert ergibt einfach das Potential V gibt also
Minus V
von R1 und ich mach es jetzt mal so Minus V am Punkt R0 Also man sieht
in dem Falle hängt die Arbeit wirklich nur noch von den Endpunkten
beziehungsweise vom Endpunkt beziehungsweise vom Startpunkt ab.
Von R1 und R0.
Also Arbeit nur noch abhängig von Anfangs und Endpunkt.
Jetzt müssen wir natürlich noch irgendein Rezept angeben gemäß dem wir
entscheiden können ob praktisch für eine Kraft wirklich auch ein
Potential sich ergibt.
Da schauen wir mal.
fx
war dv nach dx
fy war dv nach dy mit einem Minuszeichen.
Jetzt sehen wir wenn wir jetzt das so stehen haben, dann können wir
natürlich an der Stelle fx nach y ableiten.
Dann haben wir also
df x nach dy das ist gerade minus d2v nach dx dy
dfy nach dy x ist minus d2v nach dy dx und die partiellen Ableitungen,
die können wir vertauschen.
Dann haben wir beides mal zwei Ableitungen partiell nach x und y
abgeleitet, die müssen gleich sein, also letztendlich muss dfx nach dy
gleich dfy nach dx sein als Voraussetzung.
Und für die anderen Kraftkoordinaten kann man das natürlich genauso
machen, sodass sich letztendlich ergibt
dfz nach dy minus dfy nach dz, dann als nächstes dfx nach dz minus dfz
nach dx und in der letzten Zeile dfy nach dx minus dfx nach dy.
Das muss gerade
jeweils 0 ergeben und das, was wir auf der linken Seite stehen haben,
das ist im Grunde genommen die Koordinatendarstellung oder die
Koordinaten in eine Matrix reingeschrieben von der Rotation.
Also letztendlich ergibt sich die Rotation von f, wobei f von x, y und
z abhängen kann, muss gerade den Nullvektor ergeben.
Also der Nachweis, dass eine Potentialkraft vorliegt, erfolgt über
Rotation f gleich 0.
Also Nachweis, dass f aus einem Potential abgeleitet werden kann.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn man jetzt mal davon ausgeht, dass so ein Fall vorliegt, so eine
Kraft, dann sieht man, ja gut, wenn ich an einem Punkt starte und
bewege mich irgendwie und habe als Ziel wieder den Startpunkt, dann
habe ich als Gesamtarbeit gerade 0, weil Anfangs- wenn ich da je
zwischendurch Energie in den Massenpunkt reinstecke, dann kriege ich
die am Ende wieder zurück.
Also die mechanische Energie bleibt dann dort erhalten.
Also
Kräfte, deren Arbeit bei einem geschlossenen Umlauf
zurückgewonnen wird,
die heißen jetzt konservative Kräfte.
Und sie besitzen einen letztendlichen Kräftepotential.
Und wenn wir eine Kraft gegeben haben und wir dann letztendlich für
den Arbeitssatz das Potenzial berechnen, wie machen wir das?
Im konkreten Fall dann wohl doch wieder über die Arbeitsberechnung.
Jetzt kann man sich fragen, haben wir damit überhaupt irgendwas
gewonnen?
Dann könnte ich ja gleich praktisch gemäß dem Arbeitssatz die Arbeit W
der Kraft der entsprechenden bestimmen.
Aber es ist natürlich so, dass es Fälle gibt, bei denen man zuvor mal
die entsprechende potenzielle Energie berechnet.
Und wenn man dann Anwendungsbeispiel hat, dann setzt man dort
praktisch immer die gegebene potenzielle Energie ein und hat praktisch
das vorab schon bestimmt.
Das steckt dahinter.
Also Potenzialberechnung über
den Arbeitssatz.
Wir wissen, die Arbeit W entspricht Integral von R0 bis R1.
F Skalar mit dr multipliziert.
Das ergibt dann Minuspotenzial bei R1 minus Potenzial bei R gleich R0.
Wir sehen V1 ist dann gerade, drehen wir das nach links, V0 minus B.
Also V0 minus Integral von R0 bis R1 F dr. Und man sieht, die
potenzielle Energie, die haben wir jetzt bestimmt, bis auf eine
Konstante, nenne ich das V0.
Also Potenzial bestimmt bis
auf eine Konstante,
das war das V0.
Und später, wenn man potenzielle Energien bestimmt, letztendlich auf
die Konstante kommt es nicht an.
Im Gegenteil, man kann die dann im Prinzip beliebig wählen und wird
die immer so wählen, dass ein möglichst einfacher Ausdruck für das
Potenzial rauskommt.
Wenn man mal Kräfte betrachtet, für die wir ein Potenzial formulieren
können, dann sind bei uns in der technischen Mechanik zwei potenzielle
Energien oder zwei Potenziale wesentlich.
Nenne ich zunächst das schwere Potenzial,
wir deuten es mal an, wenn wir annehmen, dass hier irgendwo die Bahn
des Punktes ist, dann geht die entsprechende Gewichtskraft m mal g
vertikal nach unten, also in dem Falle zum Beispiel in negative Z
-Richtung.
Das heißt, für die Kraft gilt jetzt f gleich m mal g, g haben wir
gesagt, g die negative Z-Richtung, deshalb gleich minus m mal g mal
ez.
Überprüfen wir zunächst mal die Bedingung, ob sich überhaupt ein
Potenzial formulieren lässt,
also Rotation f, fz war m mal g, hängt nicht von y ab, also partielle
Ableitung gleich 0, fy ist 0, fx ist 0, fz hängt nicht von x ab, unten
haben wir nur fy und fx stehen, also Rotation f gleich 0 ist erfüllt.
Das heißt, wir haben eine konservative Kraft,
damit V von R gleich V0,
Minusintegral von R0 bis R1.
Jetzt haben wir f, dr drinstehen, f ist minus m mal g mal ez, das ist
der Kraftvektor,
dr ist dx, ex plus dy, ey plus dz, ez.
Hier das Skalarprodukt, wir sehen, ez skalar mit ex multipliziert
ergibt 0, ez skalar mit ey multipliziert ergibt 0, ez skalar mit ez
multipliziert ergibt 1,
so dass sich letztendlich ergibt V0 und jetzt haben wir Minus mal
Minus gibt Plus, also Plusintegral und jetzt bleibt ja noch stehen, m
mal g mal dz.
Das heißt, für die Integrationsgrenzen bedeutet dies z beim Punkt R0
bis z beim Punkt R1, das ist also von z gleich z0 bis z gleich z1,
also V0, die Integration lässt sich gleich durchführen, also m mal g
mal z1 minus z0.
Und jetzt sehen wir, wenn wir eben das V0 günstig normieren, in dem
Falle gerade m mal g mal z0, dann hebt sich das m mal g mal z0 mit dem
V0 hier vorne weg.
Also mit einer Normierung V0 gleich m mal g mal z0 ergibt sich dann V
von R gleich V nur noch abhängig von z gleich m mal g mal z.
Allerdings müssen wir aufpassen, in dem Falle ist die z-Koordinate
entgegengesetzt gerichtet zum Schwerkraftvektor.
Falls mal die z-Koordinate nach unten geht, müsst ihr das entsprechend
durch ein anderes Vorzeichen berücksichtigen.
Also im Grunde genommen sieht man, für das schwere Potential können
wir uns irgendwo ein Niveau festlegen, das Nullniveau,
ab dem dann das Z beginnt.
Und wichtig ist dann die Höhe über diesem Nullniveau, die potenzielle
Energie ist dann in dem Falle positiv, wenn sich der Massenpunkt über
oder oberhalb dem Nullniveau befindet und negativ, wenn er sich
darunter befindet.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann kommen wir zum Federpotential.
Wir nehmen an, wir haben eine lineare Feder, das heißt die Kraft ist
proportional der Verlängerung oder Verkürzung der Feder.
Deuten wir das mal an.
Dann haben wir die Kraft, F, welche die Feder verlängert.
Die Feder selbst wird gekennzeichnet durch die Federsteifigkeit C.
Irgendwo haben wir x gleich x null.
Hier haben wir jetzt den Punkt x,
also nach rechts haben wir die x-Achse, wir ziehen nach rechts,
insofern wird es ein bisschen einfacher.
Also, F ist dann nun
linear und entspannt bei x gleich null, schreiben wir das noch dazu.
Dann ergibt sich für die Kraft F gerade C mal x, Ex.
Wir können wieder überprüfen, ob die Bedingung erfüllt ist.
Nun, in dem Fall haben wir nur eine Kraft in x-Richtung.
Oben ist erfüllt, Fz und Fy sind null, Fx ist unabhängig von Z, Fx ist
unabhängig von Y, also Rotation Y ist null.
Rotation F gleich null.
Schauen wir mal, was erhalten wir dann?
V von R ergibt V null.
Minus, jetzt haben wir wieder Integral von R null bis R eins.
Die Kraft als Vektor ist gerade C mal x mal Ex, multipliziert mit dr,
also dx, ex plus dy, ey plus dz, ez.
Wir sehen, das ergibt V null.
Und beim Skalarprodukt, da bleibt nur übrig Ex, Skalar mit Ex
multipliziert, das ergibt eins.
Ex mit Ey verschwindet, Ex mit Ez verschwindet, also bleibt noch
stehen.
Minus Integral Cx, bleibt dx, integriert von R null entspricht x
gleich x null, R eins entspricht x gleich x eins.
Also irgendwo, jetzt haben wir halt hier unseren Startpunkt liegen.
Man sieht, der Integrant hängt jetzt ab von x, das können wir aber
leicht ausführen.
Wir haben C mal x integriert,
ergibt dann Minus C einhalb Cx Quadrat zwischen x null und x eins.
Oder V null minus einhalb C mal x eins Quadrat minus x null Quadrat.
Und jetzt sehen wir, wenn wir V null entsprechend wählen, in dem Falle
minus einhalb Cx null Quadrat, dann fällt das gerade raus.
Also mit Normierung haben
wir dann gerade V von R gleich V von x gleich minus einhalb Cx eins
Quadrat.
Jetzt haben sicherlich alle schon mal mit einem Federpotential zu tun
gehabt.
Oder?
Was kam denn da raus?
Da kam nicht minus einhalb Cx Quadrat, sondern plus einhalb Cx
Quadrat.
Das haben wir falsch gemacht.
Das ist eigentlich ganz einfach, aber das soll Ihnen nur mal zeigen,
dass man ein bisschen nachdenkt.
Man nimmt vieles einfach so als gegeben hin und setzt sich da rein und
hört zu.
Sie müssen manchmal auch ein bisschen mitdenken.
Nämlich, wir haben jetzt eine Kraft eingeführt, die an der Feder
zieht.
Was wir aber bei der Arbeit benötigen, das ist immer die Kraft, die am
Massenpunkt wirkt.
Und wenn wir unseren Massenpunkt da mal einzeichnen, dann
wirkt eben die Feder, entsprechend Aktion gleich Reaktion, in die
entgegengesetzte Richtung.
Das heißt, die Federkraft ist eben nicht, also die Kraft auf den
Massenpunkt, die ist nicht C mal X mal Ex, sondern, Sie sehen es, ich
habe schon ein bisschen Platz gelassen, minus Cx mal Ex.
Rotation F ist nach wie vor null, weil das Vorzeichen nichts ändert.
Dann haben wir an der Stelle ein Minuszeichen oder zumindest vor dem
integralen Pluszeichen.
Wir haben dann letztendlich hier ein Pluszeichen, haben da unten ein
Pluszeichen, haben hier ein Pluszeichen.
Und deshalb habe ich die Normierung nicht explizit angegeben, sondern
jetzt müssen wir eben normieren, dass V0 gerade 1,5Cx0² ist.
Und dann kriegen wir auch hier unten das Pluszeichen raus, das wir
eigentlich erwartet haben.
Wenn wir das X1 als allgemeine Position sehen, von der Feder gegenüber
dem entspannten Zustand, wie gesagt, dann haben wir eben 1,5Cx² als
potenzielle Energie.
Nun, wie sieht es im Dreidimensionalen aus?
Also, dreidimensional, da haben wir eben V von R gleich C halbe R² mit
R dann als Federverlängerung oder Verkürzung gegenüber dem entspannten
Zustand.
Also Federverlängerung oder Federverkürzung gegenüber
dem entspannten Zustand.
Und in der Realität, da liegen eigentlich in den seltensten Fällen
Federn vor, die eine lineare Charakteristik haben.
Die haben zwar um den kleinen Arbeitsbereich, um den Arbeitspunkt
herum vielleicht so ein lineares Verhalten, wenn aber die
Federverlängerung oder Verkürzung sehr groß wird, dann treten meistens
Nichtlinearitäten auf.
Wie sieht es dann dort aus?
Betrachten wir einfach mal
zum Beispiel eine kubische Kennlinie, also für nichtlineares
Federverhalten.
Gehen wir wieder vor, analog zu dem auf der linken Tafelseite.
V von X ergibt gerade Minus Integral von X0 bis X1.
Jetzt haben wir als Federkraft nicht mehr das C mal X, sondern wir
haben einfach Kraft der Feder, die jetzt abhängt von X in einer
nichtlinearen Art und Weise.
Dx, wobei ich in dem Fall jetzt mal das Minuszeichen noch in der
Federkraft drin stehen habe.
Zum Beispiel für eine kubische
Kennlinie haben wir dann Federkraft Ff, die zieht wieder nach links,
deshalb ein Minuszeichen.
Also Minus eine Konstante C mal X zum Beispiel.
Jetzt haben wir aber noch einen kubischen Anteil, deshalb schreiben
wir am besten C1 mal X minus C2 mal X hoch 3.
Wir sehen, C1 entspricht dem, was wir linearisieren würden um den
Arbeitspunkt.
Für C2 größer 0 ist das Verhalten progressiv, für C2 kleiner als 0,
dann nimmt die Federkraft praktisch weniger stark zu, als wenn nur der
lineare Anteil vorliegt.
Und was heißt das jetzt für unser Potential?
Setzen wir die Federkraft einfach in die Formel ein,
dann ergibt sich V, ach, jetzt habe ich oben einen kleinen Fehler
gemacht.
Ich habe geschrieben V von X, dann sollten wir an der Stelle eben die
obere Grenze mit X bezeichnen, dementsprechend dann die
Integrationsvariable vom X unterscheiden.
Setzen wir das ein, dann ergibt sich V von X gleich Minus das Integral
von X0 bis X.
Federkraft ist Minus C1 X plus C2 X hoch 3 dx, wobei um eben obere
Integrationsgrenze und Integrationsvariable zu unterscheiden,
schreiben wir mal X quer im Integral und man sieht sofort, das ergibt
gerade C1 X quer integriert ergibt C1 halbe X quer Quadrat, C2 X quer
hoch 3 ergibt ein Viertel C2 X quer hoch 4 ergibt also letztendlich C1
halbe, obere Grenze eingesetzt ergibt X Quadrat, Minus untere Grenze
eingesetzt ergibt X0 Quadrat und dann vom kubischen Anteil eben
entsprechend Plus C2 Viertel mal und dann X hoch 4 Minus X0 hoch 4.
Und falls die Federkennlinie eben sinusförmig verläuft oder irgendwie,
müsste das eben entsprechend über die Integration sich ausrechnen.
So, das zum Potenzial von Federn.
Wir hatten schon das schwere Potenzial auf der rechten Seite,
allerdings für den Fall, dass die Erdbeschleunigung sowohl
richtungsmäßig wie auch betragsmäßig gleich bleibt.
Jetzt wissen wir, wenn wir uns relativ weit vom Erdmittelpunkt
wegbewegen, zum Beispiel bei irgendwelchen Weltraumanwendungen, dann
dürfen wir das Potenzial nicht mehr so leicht oder so einfach angeben.
Das heißt, was wir jetzt noch anmerken, ist einfach das
Gravitationspotenzial zweier
Massen.
Dort haben wir dann V von R, den Abstand der beiden Massen, gleich
Minus K.
K, die Gravitationskonstante, nutzt Masse der einen Masse,
multipliziert mit Masse der anderen Masse, dividiert durch den
Abstand, K war die Gravitationskonstante.
Man sieht, in dem Fall ist das Ganze so normiert, dass die potenzielle
Energie Null wird, wenn die beiden Massen beliebig weit voneinander
weg sind, weil dann der Abstand beliebig groß wird.
Jetzt nehmen wir mal den Fall an, dass alle Kräfte, die auf den
Massenpunkt wirken, konservativ sind, das heißt, wir können für alle
Kräfte auf den Massenpunkt entsprechende Potenziale formulieren oder
ein entsprechendes Gesamtpotenzial.
Also sind alle Kräfte am Massenpunkt konservativ.
Dann starten wir mit dem Arbeitssatz, nämlich W war gerade T1 minus
T0, also Differenz der kinetischen Energien nachher und vorher.
W lässt sich aber ausdrücken als Differenz der entsprechenden
Potenziale am Punkt R gleich R1 beziehungsweise R gleich R0, nämlich W
war minus V1 minus V0.
Das heißt, wenn wir jetzt den rechten Teil unserer Gleichung
betrachten, dann haben wir T1 minus T0 gleich minus V1 minus V0.
Wir bringen das V1 nach links, das T0 nach rechts und es folgt sofort
T1 plus V1 gleich T0 plus V0.
Das können wir als Gesamtenergie E bezeichnen, die sich zusammensetzt
aus kinetischer Energie des Massenpunktes und potenzieller Energie.
Und man sieht, das muss konstant bleiben.
Was für konservative Systeme der Energiesatz der Mechanik ist,
also Energiesatz der Mechanik, dass die Gesamtenergie, die
mechanische, erhalten bleibt.
Wir wissen, die Gesamtenergie, die bleibt natürlich immer vorhanden,
aber die muss nicht unbedingt notwendigerweise immer als mechanische
Energie vorliegen.
Wenn irgendwelche Dissipationsvorgänge vorhanden sind, wird eben ein
Teil der mechanischen Energie dann in Wärme umgewandelt, als Beispiel.
Und wann wenden wir den an?
Vor allen Dingen dann, wenn eine zeitfreie Lösung gewünscht wird,
also Anwendung,
wenn eine zeitfreie
Lösung gesucht ist.
Das heißt, ich habe irgendwo an einer gegebenen Position, kenne ich
meine Geschwindigkeit und die Frage ist jetzt, wenn ich an einer
anderen Position bin, wie groß ist dort die Geschwindigkeit?
Also, und nur Anfangs- und Endzustand interessieren.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann zum Schluss noch, zumindest der Anfang von einem
kleinen Beispiel.
Und zwar ein Pendel.
Jetzt wissen wir, ein reales Pendel, das hat natürlich immer Reibung.
Das schließen wir in dem Falle aus, also ohne Reibung.
Und auch ohne Luftwiderstand.
Das heißt, wenn wir irgendwo das Pendel haben,
in der Länge der Pendelstange L, dann bewegt sich das Pendel auf einer
Kreisbahn.
Die Bewegung des Pendels beschreiben wir am besten über den Winkel Phi
zwischen der vertikalen und der Pendelstange.
Das ist der Winkel Phi.
Und wir können auch kathesische Koordinaten einzeichnen.
X und Y.
Vertikal nach unten wirkt noch die Erdbeschleunigung.
Gesucht ist jetzt die Winkelgeschwindigkeit Phi Punkt.
Als Funktion des Winkels Phi.
Lösung dann mit dem Energiesatz.
Nämlich T plus V muss dann T0 plus V0 sein.
Gesamtenergie als Konstant.
Das heißt, wir brauchen zunächst mal die kinetische Energie.
Die beträgt in dem Falle M halbe V Quadrat.
Wie groß ist V?
Jetzt müssen wir uns zurück erinnern.
Der Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius L.
Also die Geschwindigkeit beträgt gerade L mal Phi Punkt.
Also erhalten wir für die kinetische Energie im Halbe L Quadrat Phi
Punkt Quadrat.
Bewegung auf einer Kreisbahn.
Wie sieht es aus mit der potentiellen Energie?
Und man sieht in dem Falle haben wir keine Feder, wir haben nur das
schwere Potenzial.
Nehmen an, dass das G konstant ist.
Also wir nehmen die Formel von Ihnen aus auf der rechten Seite.
Allerdings tut man gut, dort ein Nullniveau festzulegen.
Wo können wir das festlegen?
Nun überall.
Eine Wahl wäre zum Beispiel auf der X-Achse.
Da muss ich aber aufpassen.
Für positives Y bin ich dann unterhalb des Nullniveaus.
Dann müsste ich also ein schweres Potenzial haben.
Minus M mal G mal Y.
Oder ich kann auch das Nullniveau hier unten festlegen.
Dann sieht man die Höhe H über dem Nullniveau.
Die beträgt gerade.
Also machen wir es mal so.
Dann erhalten wir V gleich M mal G mal H.
H ist aber gerade L minus L-Cosinus-Phi.
Das heißt jetzt haben wir die kinetische Energie, haben die
potenzielle Energie.
Erhalten damit M halbe V-Quadrat gleich M halbe L-Quadrat Phi-Punkt
-Quadrat.
Plus M mal G mal L mal 1 minus Cosinus-Phi.
Das war gerade die Gesamtenergie.
Beziehungsweise, wenn wir es nach Phi-Punkt auflösen, müssen wir das M
mal G mal L mal 1 minus Cosinus-Phi nach rechts bringen.
Mal 2 dividiert durch M, dividiert durch L-Quadrat.
Das ergibt schließlich Phi-Punkt gleich 1 dividiert durch L.
Und jetzt steht da die Wurzel.
Und dann haben wir 2 dividiert durch M.
E minus MGL mal 1 minus Cosinus-Phi.
Die Schwierigkeit, die wir jetzt noch haben, ist natürlich die
Gesamtenergie E.
Die können wir dadurch bestimmen, dass wir sagen, die geben wir uns
durch den maximalen Ausschlag.
Das ist eine Möglichkeit.
Oder wir nehmen die über die Geschwindigkeit am unteren Totpunkt.
Das machen wir allerdings dann in der nächsten Vorlesung.
Gibt es soweit noch eine Frage?
Das scheint nicht der Fall zu sein.
Vielen Dank.