Das ballistische Pendel betrachtet hatten.
Das heißt, wir wollen wissen, wie groß ist die
Abschussgeschwindigkeit, zum Beispiel von einer Gewehrkugel.
Dazu wird das Geschoss in so ein Pendel reingeschossen.
Es findet ein plastischer Stoß statt.
Das heißt, man hat zunächst einmal für die Stoßsituation die bekannte
Masse der Kugel.
M1 hat die unbekannte Geschwindigkeit Va1 der Kugel vor dem Stoß.
Dann hat man das Pendel, das wir mal als mathematisches Pendel
betrachten.
Geschwindigkeit vor dem Stoß 0, Masse 2.
Aufgrund des plastischen Stoßes sind die Geschwindigkeiten der beiden
Massen nach dem Stoß gleich.
Also Ve1 gleich Ve2 gleich Ve.
Da konnten wir ausdrücken, dass das M1 Va1 dividiert durch M1 plus M2
ist.
Und natürlich wird bei dem plastischen Stoß Energie vernichtet, aber
direkt nach dem plastischen Stoß gilt wieder die Erhaltung der
mechanischen Energie.
Das heißt, wir können dann den Energiesatz anwenden.
Das Pendel schlägt aus bis zu einem Maximalwinkel Ve1.
Und
wir müssen dann nur noch bestimmen, ja gut, wie groß sind kinetische
Energie und potenzielle Energie bei Maximalausschlag.
Können das dann gleichsetzen mit der kinetischen und potenziellen
Energie in der Situation direkt nach dem Stoß?
Machen wir das mal.
Nach dem Stoß oder am Umkehrpunkt, da haben wir T1 und am Umkehrpunkt
ist das Pendel in Ruhe, also keine kinetische Energie, stattdessen nur
potenzielle Energie, also V1.
Und die beträgt einfach Gesamtmasse, das war M1 plus M2 mal
Erdbeschleunigung mal Höhe über dem Nullniveau.
Wir hatten das Nullniveau so festgelegt, dass das in der lotrechten
Lage war, deshalb M1 plus M2 mal G und die Höhe ist einfach L Cosinus
V1 oder L minus dem Stück hier oben, also mal L1 minus Cosinus V1.
Setzen wir das gleich, dann gilt ein Halb, M1 plus M2.
VE Quadrat ist gerade M1 dividiert durch M1 plus M2 zum Quadrat mal
VA1 Quadrat.
Das sollte sein T1, das war 0 plus V1, also M1 plus M2 mal G mal L mal
1 minus Cosinus V1.
Wir sehen,
das M1 plus M2, das können wir kürzen.
Was wir wollen ist das VA1, bzw.
zunächst mal VA1 Quadrat.
Dazu müssen wir wieder den Kehrwert von hier multiplizieren.
Das gibt zunächst mal VA1 Quadrat, gleich mit 2 multipliziert, also 2
mal G mal L mal 1 minus Cosinus V1 und dann haben wir noch M1 plus M2
dividiert durch M1 zum
Quadrat, sodass sich letztendlich ergibt VA1 gleich M1 plus M2
dividiert durch M1, das ist die Wurzel von dem Quadrat, multipliziert
mit der Wurzel von 2 GL 1 minus Cosinus V1.
Das heißt, wenn wir die Massen M1, M2, die Länge des Pendels und den
Maximalwinkel V1 kennen, dann können wir daraus die Geschwindigkeit
der Kugel direkt vor dem Stoß bestimmen.
Gibt es soweit Fragen?
Zum Schluss noch den Schiefenstoß,
das heißt die Geschwindigkeiten der beteiligten Massenpunkte sind dann
nicht mehr gleich gerichtet.
Das heißt, wenn wir mal so ein kathesisches Koordinatensystem in der
Gestalt einführen, dass während des Stoßes die beiden Massenpunkte
sich im Ursprung berühren, dann hat eben der eine Massenpunkt eine
Geschwindigkeit vor dem Stoß, ich nenne es mal VA2,
entsprechend der andere eine Geschwindigkeit
VA1.
Nach dem Stoß dann entsprechend
Geschwindigkeiten VE1 bzw.
VE2.
Wir sehen, ich habe jetzt hier zwar die Massenpunkte zu einem relativ
großen Zeitpunkt vor dem Stoß angezeichnet, wir betrachten jedoch
immer die Situation direkt vor dem Stoß, dann erfolgt der Stoß im
Idealfall in einer verschwindenden kurzen Zeitdauer und dann haben die
beiden Massenpunkte im Grunde genommen noch dieselbe Position, dann
aber schon andere Geschwindigkeiten.
Hier nur etwas rausgezogen gezeichnet, damit man das besser erkennt.
X und Y entsprechen in so einem Falle dann gerade der Stoßnormalen,
das wäre also die Stoßnormale,
beziehungsweise der Berührebene.
So, wenn wir mal die beiden Massenpunkte während des Stoßes
freischneiden, dann wirkt eine Stoßkraft zwischen den beiden
Massenpunkten, ich zeichne die mal an,
jeweils paarweise.
F von T, Aktion gleich Reaktion, aber entgegengesetzt gerichtet, also
links hatten wir M1, rechts hatten wir M2 und jetzt ergeben die
Impulsbilanzen, die sollten wir in dem Falle natürlich in den
entsprechenden Richtungen angeben, das heißt es liegt jetzt nahe, dass
wir die entsprechenden Geschwindigkeitskoordinaten noch einzeichnen.
Das sind also V A1 in X-Richtung, beziehungsweise V A1 in Y-Richtung,
dann V A2 in X-Richtung, beziehungsweise V A2 in Y-Richtung.
Genauso für die Geschwindigkeiten direkt nach dem Stoß, V E2 in X
-Richtung, beziehungsweise V E2 in Y-Richtung
und V E1 in X-Richtung, beziehungsweise V E1 in Y-Richtung.
Dann ergeben jeweils Impulssatz angewandte X-Richtungen,
da hätten wir für die Masse M1, dann wie man sieht, die Kraft F von T,
die wirkt in negative X-Richtung, das heißt wir hätten dann Minus F
von T, DT über die Stoßdauer zu integrieren, das ergibt gerade M1 mal
V E1 in X-Richtung minus V A1 in X-Richtung.
Allerdings, wenn ich die Koordinaten oben so einzeige, da müssen wir
ein bisschen aufpassen, V E1 in X wäre in dem Fall etwas Negatives,
wenn es wirklich nach links zeigt.
Da wir das aber noch nicht wissen, müssten wir eigentlich immer
annehmen, dass zunächst mal nach dem Stoß, wir die Geschwindigkeit
nicht kennen, wir nehmen die in positive X-Richtung an, dann steht
dort direkt V E1 in X-Richtung minus V A1 in X-Richtung.
Falls das Ergebnis so ist, wie oben im Bild dargestellt, dann würde
das bedeuten, dass sich für das V E1 in X etwas Negatives ergibt.
Ich lasse es aber lieber so stehen.
Für den Massenpunkt M2, da haben wir entsprechend die Kraft F in
positive Achsenrichtung, also Integral F von T in dt gleich M2, dann
haben wir da V E2 in X minus V A2 in X, wobei, so wie wir das
dargestellt haben, das V A2 in X etwas Negatives wäre, wenn sich der
Massenpunkt wirklich in negative X-Richtung bewegt.
Wenn man sieht, das ist ganz ähnlich wie beim Geradenstoß, man hat
drei Unbekannte, F von T, bzw.
das Integral über F von T, sowie die beiden Geschwindigkeiten in X
-Richtung direkt nach dem Stoß.
Wir brauchen also eine Zusatzannahme, Stoßzahl zum Beispiel.
Wie sieht es aus in Y-Richtung?
Da haben wir zum einen für den Massenpunkt M1, und wenn die Kraft F
von T in horizontaler Richtung wirkt, bedeutet dies, wir haben 0
gleich und dann steht da M1 mal V E1 in Y-Richtung minus V A1 in Y
-Richtung Und wir haben als
weitere Gleichung,
nun auch am Massenpunkt M2 wirkt die Kraft nur in horizontaler
Richtung, deshalb bei M2 genauso, Kraft in vertikaler Richtung gleich
0, deshalb das Integral drüber gleich 0, gleich M2.
Und dann haben wir stehen VE2y-VA2y.
Und wir sehen beim Impulssatz in vertikaler Richtung, da halten wir
aus der einen Gleichung direkt VE1y-VA1y gleich 0 oder VE1y gleich
VA1y, beziehungsweise für Massenpunkt 2 genauso.
VE2y letztendlich gleich VA2y.
Woran liegt das, dass wir in der vertikalen Richtung das Ergebnis
sofort angeben können, aber in der horizontalen Richtung nicht?
Nun, letztendlich habe ich angenommen, die Kraft wirkt nur horizontal.
Das bedeutet, das kann nur der Fall sein, wenn ein glatter Stoß
vorliegt, wenn also keine Reibung wirkt oder keine Verzahnung oder
irgendwas in der Richtung da ist.
Also müssten wir eigentlich noch hier angeben, vielleicht glatter
Stoß.
Das ist im Prinzip eine Zusatzannahme, wie schon die Annahme über die
Stoßzahl.
Also auch in vertikaler Richtung brauchen wir irgendwas Zusätzliches,
sei es eine kinematische Bedingung über eine Stoßzahl oder Glatter
Stoß, dass keine Kraft in der Richtung wirkt zwischen den beiden
Massenpunkten.
Also letztendlich auch eine Zusatzannahme.
Was eben ganz typisch ist bei Stoßproblemen.
Insofern fügt sich das gut ein.
Gibt es soweit noch Fragen?
Und ich denke, solche Stoßprobleme, das sind Probleme, die sich auch
sehr gut in den Übungen behandeln lassen und da wird dann auch
speziell dazu geübt.
Ansonsten kommen wir zum nächsten Thema, was ein bisschen mit dem Stoß
verwandt ist.
Jetzt hoffe ich bloß, dass mir der alte Luftballon nicht explodiert.
Er explodiert nicht, er hat schon ein Loch.
Das ist jetzt wirklich peinlich, dass die schon so lange in meinem
Modellschrank liegen, dass die jetzt so langsam den Geist aufgeben.
Was hat so ein Luftballon mit einem Stoßproblem zu tun?
Letztendlich, wenn ich den loslasse, was passiert?
Ui, er fliegt davon.
Also er wird beschleunigt.
Er wird jetzt aber nicht dadurch beschleunigt, dass er die
Umgebungsluft über so einen Propeller praktisch sich dort abstößt oder
sich über Reibung irgendwo abstößt, sondern er drückt einfach die
enthaltene Luft raus.
Das führt letztendlich zu einem Antrieb, ganz ähnlich wie bei einer
Rakete oder wie bei einem Flugzeugtriebwerk, so einem Jet.
Was hat das mit einem Stoß zu tun?
Nun, zunächst einmal könnten wir das Gleiche auch erreichen, wenn,
jetzt müssen wir vielleicht, so wird es eher ein Stoß, wenn man auf
dem Boot steht, jemand wirft einem einen Stein zu, was passiert?
Man fängt den Stein, das wäre dann wie so ein plastischer Stoß und
gleichzeitig muss aber der Impulssatz gelten, also das wird dazu
führen, dass man selbst in das Boot dann in Bewegung kommt.
Auf der anderen Seite kann ich natürlich, wenn ich Steine auf dem Boot
habe, die nehmen, nach hinten rauswerfen, was passiert?
Dadurch werde ich und das Boot nach vorne beschleunigt.
Allerdings hat man bei einem Triebwerk oder bei so einem Luftballon
natürlich nicht diskrete Massenpunkte, die man da wegwirft, sondern
man hat einen kontinuierlichen Massenstrom.
Also man hat ein System, bei dem sich die Masse verändert.
Also, wir haben jetzt Systeme mit veränderlicher Masse.
Bei welcher Überschrift waren wir?
Nummerierung 3.5 kommt jetzt, glaube ich, oder?
Nun zunächst mal setzen wir voraus, wir haben stoßartige Zu- oder
Abfuhr von Teilmassen und
das Newton'sche Grundgesetz, das war ja
zunächst mal F gleich m mal a,
Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, m war eigentlich eine diskrete
Einzelmasse, a die Beschleunigung,
wir kennen aber auch, na gut, der Impuls ist Masse mal Geschwindigkeit
und wir hatten ja di nach dt gleich F, hat man auch mal gesagt.
Jetzt könnte man ja meinen, na gut, di nach dt, wir haben ein System,
was die Masse verändert, da haben wir also di nach dt gleich, aber
wenn beides zeitveränderlich ist, m Punkt mal v plus m v Punkt.
Das sollten Sie jetzt nicht unbedingt mitschreiben.
Warum?
Bei Newton bezieht sich das immer auf dieselbe Masse.
Da ändert sich die Masse nicht.
Also, das müssen wir mal ganz dicht durchstreichen.
Stattdessen, wenn wir so einen kontinuierlichen Massenstrom haben,
durch den dem System oder dem, wir nehmen mal an, wir haben den
Massenpunkt, dem Massenpunkt Masse zugeführt wird oder Masse abgeführt
wird, dann betrachten wir das sozusagen wie so ein plastischer Stoß
und, na gut, wenn der Massenstrom kontinuierlich ist, dann betrachten
wir einfach mal so ein ganz kleines Zeitintervall, im Grenzwert dt,
infinitesimal klein.
Während der Zeit wird auch eine infinitesimal kleine Masse zu oder
abgeführt.
Das heißt, für ein Massenelement
dm haben wir dann folgende Situation.
Wir haben vor dem Stoß das
Massenelement dm
mit einer Geschwindigkeit v0 und wir haben den Massenpunkt, der
natürlich sehr viel größer ist, m,
der sich mit der Zeit natürlich an Masse verändert, aber zu dem
Zeitpunkt haben wir gerade m von t und der bewegt sich mit der
aktuellen Geschwindigkeit v und vielleicht wirkt auch noch
eine Kraft, f
und nach dem Stoß dann entsprechend,
da haben wir das m,
zusätzlich mit dem Massenpunkt,
also wir haben jetzt eine Masse,
m plus dm und aufgrund des Stoßes hat sich die Geschwindigkeit von m
ein bisschen verändert um dv, also haben wir jetzt eine
Geschwindigkeit v plus dv und in dem Falle muss also das v0 größer
sein als das v, damit wirklich so der Stoß stattfindet.
Bei Massenabfuhr, wenn Masse weggeschleudert wird, ganz klar, da
müssen wir Energie aufwenden, um die wegzuschleudern, hier wird
praktisch Energie während des plastischen Stoßes vernichtet.
Und man sieht, während der Stoßphase gibt es jetzt eine Kraft zwischen
dem Massenelement und der
Masse, m, also während Stoßphase haben wir jetzt,
da haben wir noch die Kraft F, die weiterhin wirken kann, was weiß
ich, das sind alle Kräfte mit gemeint, Reibungskräfte, sonstige
Antriebskräfte, was alles so wirken kann auf dem Massenpunkt.
Da hätten wir jetzt noch die Kraft F und die Stoßkraft, die wir in dem
Falle mal S nennen.
Der Impulssatz, wenn wir über die differentielle Zeit dt, während der
die Masse dm, der Masse m von t zugefügt wird, wenn wir da den
Impulssatz integrieren, ergibt das gerade.
Und für m von t, da wirkt S und F in positive Richtung, also die Summe
der Kräfte in x-Richtung ist F plus F mal dt, m von t muss gerade
sein, m von t mal, nun Geschwindigkeit nach dem Stoß, das war aber
gerade, also das hat doch v plus dv,
minus Geschwindigkeit vor dem Stoß, das war v.
Man sieht, das ergibt gerade m mal dv.
Und für dm ergibt sich minus S dt gleich Masse, das war dm, mal
Geschwindigkeit nach dem Stoß, das war v plus dv,
minus Geschwindigkeit vor dem Stoß, das war v0, wobei v0 größer als v
war.
Und man sieht beim Grenzübergang, wenn dm und damit auch dv gegen 0
gehen, infinitesimal klein werden, dann ist das Produkt dm dv von
höherer Ordnung.
Was also wichtig ist, ist auf der rechten Seite gleich dm mal v minus
v0.
Oder wenn wir durch dt dividieren, ergibt sich S gleich, was ergibt
sich dann?
V0 minus v mal dm nach dt,
mal v0 minus v.
Wir sehen, dm nach dt, das ist dann der stetige Massenstrom im Punkt.
Gleich M Punkt mal v0
minus v.
Setzen wir das in die obere Gleichung ein, dann ergibt sich, wenn wir
noch durch dt dividieren, M Punkt mal v0 minus v, plus f, gleich M mal
dv nach dt, also letztendlich M mal v Punkt oder M mal a.
Also man sieht, in dem Falle führt der Massenstrom zu einer
Impulskraft, die in der Gleichung auftritt wie eine ganz normale
äußere Kraft.
Wichtig ist aber, dass eben die Geschwindigkeiten von entweder
ausgestoßener Masse oder hinzukommender Masse und die Geschwindigkeit
des Massenpunktes, dass die verschieden sind.
Also wenn Sie mal die durchgestrichene Formel auf der linken Seite
betrachten, da würde eben das hier fehlen.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn wir das anschreiben im Sinne der Lombärs,
wäre das dann f plus M Punkt mal v0 minus v,
plus Trägheitskraft, das war minus M mal a,
wir betrachten nur eine Richtung, brauchen wir keine Vektoren, also
minus Masse mal Beschleunigung in der Richtung gleich 0.
Und warum haben wir die Kraft mit s bezeichnet?
Ganz einfach, weil das dann zu einem Schubanteil führt.
Also der Schubanteil dabei,
das war gerade s gleich, wollen wir es oben, M Punkt mal v0 minus v.
Das entspricht also gerade M Punkt mal v Relativ.
Also mal der Relativgeschwindigkeit zwischen der strömenden Masse und
der Geschwindigkeit des Massenpunktes.
Ich habe gesagt, es gibt Massenzufuhr und es gibt Massenabfuhr.
Bei Massenzufuhr, da ist M Punkt größer 0 und was können wir noch
vermerken?
F, das waren die resultierenden der äußeren Kräfte,
die eben in dieser Richtung wirken.
Wenn Sie eben Massenzufuhr und Abfuhr in verschiedenen Richtungen
haben, müssen Sie das entsprechend für die Richtungen auswerten.
V Rel, die Relativgeschwindigkeit,
wenn man sieht, wenn wir irgendwo im luftleeren Raum sind, irgendwo im
Weltall, oder auch irgendwo, meinetwegen, dass wir irgendwo schweben,
und es ist uns nicht möglich, so eine Antriebskraft aufgrund von
Reibung zu realisieren, ähnlich wie im Auto oder im Fahrrad, wenn wir
über eine glatte Eisfläche fahren, dann wissen wir aus Erfahrung,
Antriebskräfte lassen sich dort nicht immer in genügender Größe
realisieren, dann wäre es vielleicht gut, man hätte irgendwas, was das
nicht bedarf, und da ist eben so ein Schubantrieb dann sehr nützlich.
Vielleicht zum Schluss noch, Massenabfuhr dann entsprechend M
Punkt, kleiner 0.
Gibt es jetzt soweit noch Fragen?
Dann machen wir mal zwei Beispiele dafür.
Zum einen eine Rakete.
Gehen wir die Gleichung nochmal an.
F plus M Punkt, V Relativ, gleich M mal V Punkt.
Wir nehmen an, wir haben eine Relativ-Einfall-Rakete, bei der immer
gleichmäßig viel Treibstoff verbraucht wird, und der immer relativ
gesehen zur Rakete nach hinten rausgeht, mit der
Relativgeschwindigkeit c.
Wir haben gesagt, Massenabfuhr heißt M Punkt kleiner 0, sei also
gerade minus µ, µ die Massenrate, Masse pro Zeiteinheit, die die
Rakete verlässt, und V Relativ,
die Geschwindigkeit der ausstrahlenden Masse relativ zur Rakete ist
negativ, deshalb minus c, wobei die Relativgeschwindigkeit zwischen
Rakete und Treibstoff immer gleich sei.
Positiv, wird alles nach rechts angenommen.
Wenn man sieht, wir nehmen mal an, wir haben keine sonstigen Kräfte
auf die Rakete, das heißt,
wenn wir alle Reibungskräfte, Gewichtskräfte, Druckanteil usw.
vernachlässigen, ergibt sich dann, F war 0, M Punkt ist minus µ mal V
Relativ, das ist minus c, gleich M von T mal V Punkt, man sieht, der
Schubanteil, der ist gerade µ mal c, minus µ mal minus c gibt µ mal c,
ist also positiv.
Und, wir nehmen mal an,
ich hatte es erwähnt, die Rate des Massenausstoßes sei konstant, dann
gilt, M von T ist im Nutz, das sei einfach mal die Masse von
Transportgut und auch der Raketenhülle usw.
Dann haben wir plus Masse des Treibstoffes am Anfang, minus µ mal T,
setzen wir das ein, dann haben wir M von T mal V Punkt, also,
ich kürze das mal ab, Mn plus Mt minus µT mal V Punkt, das war dV nach
dt, gleich µ mal c, und wir können durch den Klammerausdruck
dividieren, durch c dividieren, dann haben wir letztendlich dV
dividiert durch c, gleich, rechts steht µ mal dt, dividiert durch Mn
plus Mt minus µT, können wir so ausdrücken, dt, dividiert durch Mn
plus Mt, dividiert durch µ minus T,
das heißt, wir haben jetzt eine Trennung der Veränderlichen
durchgeführt, können eine Integration durchführen,
dann steht auf der linken Seite, 1 durch c,
dV integriert, c war eine Konstante, dV integriert ergibt gerade V von
T, gleich, und auf der rechten Seite, müssen wir aufpassen, das ergibt
integriert den natürlichen Logarithmus, wir müssen aufpassen, vor dem
T steht noch ein Minuszeichen, das ergibt hier vorne ein Minuszeichen,
also steht letztendlich noch Ln von dem Nenner, das war Mn plus Mt,
dividiert durch µ minus T, jetzt müssen wir beachten, wenn wir
unbestimmt integrieren, dann brauchen wir noch eine
Integrationskonstante, also plus eine Integrationskonstante k,
oder V von T ist
dann gerade Minus c,
Ln, was haben wir dann, Mn plus Mt, dividiert durch µ minus T, plus,
das steht hier eigentlich k mal c, also wir können das so machen, dass
wir die Integrationskonstante hier oben mit k quer bezeichnen, und
dann hier unten die Integrationskonstante k quer mal c durch die neue
Integrationskonstante k ersetzen.
An der Stelle, vielleicht ein kleiner Hinweis, natürlich macht es
zunächst mal Schwierigkeiten, wenn man überlegt, das, was im
Logarithmus steht, das hat die Dimension einer Zeit.
Was setzen wir im Logarithmus ein?
1000 Sekunden, oder sagen wir 60 Minuten, ja, dann machen wir es
anders, setzen wir da ein 1, weil wir eine Minute meinen, oder setzen
wir ein 60, weil wir 60 Sekunden meinen, also eigentlich müsste da was
Dimensionsloses stehen.
Wie kriegen wir denn da was Dimensionsloses hin?
Und letztendlich geht es in dem Fall über die Integrationskonstante.
Schauen wir mal.
Die Integrationskonstante, die bestimmen wir aus den
Anfangsbedingungen.
Also k quer aus Anfangsbedingungen, nun in dem Fall haben wir nur eine
Anfangsbedingung, wir nehmen mal an, die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt
t gleich 0, die sei 0, also wir starten irgendwo im Weltall aus der
Ruhe und beschleunigen uns dann.
Zum Beispiel v von t gleich 0 gleich 0, was haben wir dann?
Dann haben wir links stehen, 0 gleich minus c mal ln, und dann steht
hier mn plus mt durch µ plus
k, also k gleich
c mal ln, mn plus mt dividiert durch µ.
Das setzen wir wieder ein in v von t,
also v von t ergibt sich dann zu c mal, fangen wir mal mit dem k an,
ln mn plus mt dividiert
durch µ minus ln mn plus mt dividiert durch µ minus t.
Jetzt haben wir ein Problem, das eigentlich mit Mechanik gar nichts zu
tun hat, sondern mit rechten Mittel- und Oberstufen, nämlich
Logarithmen werden subtrahiert, in dem was die Argumente dividiert
werden.
Also ergibt sich schlussendlich v
von t zu c mal ln, was steht jetzt da drin?
mn plus mt dividiert
durch µ,
dividiert durch das hier, also dividiert durch mn plus mt, dividiert
durch µ minus t.
Wir sehen, wenn wir jetzt im Zähler und im Nenner mit µ erweitern,
ergibt es gerade v von t gleich c mal, natürlicher Logarithmus, dann
haben wir stehen, mn plus mt dividiert durch mn plus mt minus µ mal t.
Und die Frage ist jetzt, was für eine Geschwindigkeit kann die Rakete
zum Schluss erreichen?
Die maximale Geschwindigkeit,
die hat man am Ende der Brenndauer, wenn aller Treibstoff verbrannt
ist.
Wenn aller Treibstoff verbrannt ist, dann ist aber gerade mt minus µt
gleich 0.
Bei mt minus µt gleich 0, das heißt man hat eine Geschwindigkeit vmax,
die gerade entspricht c mal ln, mn plus mt dividiert durch mn.
Oder Logarithmus von 1 plus mt dividiert durch mn.
Das heißt, wenn wir es schaffen, am Anfang sehr viel Treibstoff zu
haben, dann ist das Verhältnis mt dividiert durch mn eventuell sehr
groß.
Und man kommt dann, wenn das Verhältnis sehr sehr groß ist, auf eine
beliebig hohe Geschwindigkeit.
In Wirklichkeit macht man das natürlich so, dass man verschiedene
Stufen hat, und die man dann wegsprengt, um eben die Masse, die man
letztendlich zu beschleunigen hat, also die Raketenhülle, um die
möglichst gering zu halten, so dass man dann auch mit weniger
Treibstoff schon ordentliche Geschwindigkeiten hinkriegt.
Man sieht auch, entscheidend ist natürlich auch, dass man die
Austrittsgeschwindigkeit relativ hoch hat.
Also bei mt sehr viel größer als mn,
Vmax größer als c erreichbar.
Gibt es dazu Fragen?
Dann kommen wir zum zweiten Beispiel.
Wir nennen mich ein Strahltriebwerk.
Zunächst einmal haben wir die Grundgleichung wieder in der Form m
Punkt mal V Relativ plus F gleich m mal V Punkt.
Allerdings müssen wir beachten, bei so einem Strahltriebwerk,
da geht vorne Luft rein, und es kommt hinten Luft und Abgas raus.
Das heißt, wir hätten hier vorne m Punkt zu gleich
m Punkt Frischluft.
Das ist größer als 0, weil die dem Triebwerk zugeführt wird.
Hier hinten hätten wir aber m Punkt Ab gleich m Punkt Frischluft plus
m Punkt Abgas.
Da das weggeht, wäre das kleiner 0.
Wir nehmen mal an, dass das Abgas im Vergleich zur Luft, die
durchströmt, vernachlässigbar ist.
Und wenn man sich das mal richtig anschaut in Realität, dann trifft
das auch sehr gut zu.
Also hier m
Punkt Abgas vernachlässigbar.
Jetzt noch, wie groß ist die Relativgeschwindigkeit?
Wenn das Flugzeug selbst und damit das Triebwerk mit der
Geschwindigkeit V fliegt, dann ist die Relativgeschwindigkeit der
zuströmenden Luft gerade minus V.
Die Relativgeschwindigkeit der abströmenden Luft,
da nehmen wir mal an, die wird mit einer konstanten
Relativgeschwindigkeit ausgestoßen, geht allerdings nach hinten weg,
deshalb minus c wieder.
Wobei das c an der Stelle wahrscheinlich wesentlich kleiner ist als
das c bei der Rakete.
Und da wir zwei Massenströme haben,
nämlich zu- und abströmende Luft,
bedeutet dies, wir müssen im Grunde genommen die Gleichung ein
bisschen modifizieren.
Nämlich wir haben F plus m Punkt zu mal V Relativ der zuführenden
Luft, plus m Punkt abströmend mal V Relativ abströmend gleich m mal V
Punkt.
Setzen wir das ein, dann erhalten wir F plus, wir haben gesagt, den
Massenstrom des Treibstoffes, den vernachlässigen wir, dann ist m
Punkt zu gleich,
nennen wir es mal m Punkt, m Punkt ab ist dann minus m Punkt,
die sind gleich.
Also m Punkt zu war m Punkt, V Relativ zu war minus V,
plus m Punkt ab ist minus m Punkt, mal V Relativ ab, das war minus c,
gleich m mal V Punkt,
damit erhalten wir F plus m Punkt mal, und jetzt sehen wir, das gibt
minus V, das gibt plus c, also c minus V, gleich m mal V Punkt.
Das heißt, dieses m Punkt mal c minus V, das entspricht jetzt gerade
der Schubkraft.
Und im F würden sich jetzt, was weiß ich, irgendwelche
Widerstandskräfte oder so finden, wenn wir die mal vernachlässigen,
also selbst wenn die null sind, sonstige Antriebskräfte haben wir im
Allgemeinen nicht, heißt das, dass m Punkt mal c minus V gerade m mal
V Punkt ist und man sieht, V Punkt, eine positive Beschleunigung, wird
nur so lange erreicht, wie das c minus V positiv ist, weil wir
angenommen haben, m Punkt ist positiv.
Das bedeutet aber, dass so ein Flugzeug dann oder so ein
Strahltriebwerk nur einen Schub liefert, solange das V kleiner oder
höchstens gleich dem c ist.
Also eine größere Geschwindigkeit als c können wir damit nicht
erreichen, anders bei der Rakete.
Also, ich schreibe mal hier, größer null, nur für c größer V, das
heißt, die maximale Geschwindigkeit
gibt es dazu Fragen.
Und dann sind wir am Ende mehr oder weniger der heutigen Vorlesung
angelangt, lassen Sie mich nochmal kurz zusammenfassen, wir haben in
dem Semester ganz einfach begonnen.
Wir haben zunächst mal Bezugssysteme eingeführt, dann noch
Koordinatensysteme, wir haben die Bewegung von einem Punkt in einem
Bezugssystem betrachtet, wobei die Beschreibung der Bewegung in
kathesischen Koordinaten erfolgen konnte, oder Zylinderkoordinaten,
Polarkoordinaten oder wie auch immer.
Wir haben gesehen, wenn wir dann kinetik machen, dann wird zunächst
wichtig der Massenpunkt.
Als Axiom ergab sich Masse mal Beschleunigung gleich Summe aller
Kräfte am Massenpunkt.
Für Massenpunktsysteme brauchten wir dann im ganz allgemeinen Fall
noch den Trallsatz als eigenständiges Axiom.
Lediglich, wenn ein zentrales Kräftesystem vorliegt, genügt das
Nudensche Axiom.
Noch verallgemeinernd sind wir dann von Massenpunktsystemen zu einem
starren Körper gegangen, wobei die Bewegung eines starren Körpers in
der Ebene, also eine ebene Bewegung, sehr viel einfacher ist als eine
allgemein räumliche Bewegung.
Die allgemein räumliche Bewegung ist Thema des nächsten Semesters,
führt dann auch zur Kreiseltheorie, mit sehr vielen Effekten, die man
so zunächst gar nicht aus der Erfahrung kennt.
Vielleicht doch ein bisschen, aber nicht immer.
Wichtig bei der Ebenenbewegung war dann, na gut, es gibt wieder den
Trallsatz, es gibt den Impulssatz.
Beim Trallsatz wird wichtig, dass Massenträgheitsmoment um eine Achse,
wobei die Achse gekennzeichnet ist durch die Richtung der Drehung und
noch durch welchen Punkt im Körper die Achse geht.
Wir haben gesehen, wenn die Achse durch verschiedene Punkte geht,
ergeben sich unterschiedliche Massenträgheitsmomente.
Eine Achse mit dem kleinsten Massenträgheitsmoment geht durch den
Schwerpunkt.
Und wir haben dann noch Trall und Impulssatz integriert, in integraler
Form dargestellt, was ja nützlich ist bei Stoßproblemen.
Bei Stoßproblemen ergab sich dann allerdings, dass wir noch
zusätzliche Annahmen brauchen, sei es durch eine Stoßzahl, oder dass
wir annehmen, in tangentialer Richtung ein Glatterstoß.
Wir haben das nur hier jetzt durchgeführt für Massenpunkte, genauso
kann man das natürlich machen für starre Körper.
Sie zumindest, für den Fall, dass eine ebene Bewegung vorliegt,
vielleicht zum Stichwort ebene Bewegung.
Wenn Sie ein Getriebe haben, bei denen die Zahnräder nicht alle in der
gleichen Richtung ausgerichtet sind, sondern, was weiß ich, so schräg
ineinander verzahnt sind, auch das kann man natürlich über eine
Bewegung in einer Ebene abhandeln, weil ja wichtig immer nur ist, wie
bewegt sich der Körper.
Wenn unterschiedliche Körper sich in unterschiedlichen Ebenen bewegen,
aber die Drehrichtung vom jeweiligen Körper immer dieselbe bleibt,
dann kann man das problemlos anwenden.
Im nächsten Semester gibt es eine Neuerung.
Sie haben vielleicht schon festgestellt, die Reihenfolge der Themen,
die habe ich ein bisschen umgestellt.
Im nächsten Semester beginnt es praktisch sofort mit einem Workshop,
ähnlich dem MKL-Workshop.
Das heißt, Sie können, ich hatte es schon mal erwähnt, wahrscheinlich
die Aufgaben so Anfang April runterladen.
Findet auch ganz ähnlich statt, wie in der MKL.
Ist für uns auch ein Novum.
Sehen Sie uns nach, wenn es vielleicht auf Anhieb nicht ganz so
klappt.
Wir tun unser Bestes, Sie hoffentlich auch.
Ansonsten wünsche ich Ihnen gute Vorbereitung für alle Ihre Prüfungen,
auch eine gute Vorbereitung für das nächste Semester, und ich sage es
an der Stelle schon, eine gute Vorbereitung für die Prüfung.
Ich selbst bin im Sommersemester im Forschungssemester, das heißt, die
Vorlesung wird von Dr. Hetzler übernommen.
Der macht die Vorlesung wahrscheinlich besser als ich.
Die findet dann auch wieder nicht hier statt, sondern im Benz oder im
Daimler.
Also für Sie wahrscheinlich besser zu erreichen, für uns besser zu
erreichen.
Ich hoffe trotzdem, dass Sie bei mir in der Vorlesung und natürlich
auch in den Übungen entsprechend das gelernt haben, was Sie nicht nur
in der Mechanik brauchen, sondern auch im Leben.
Und die, die heute noch hier sitzen, ich denke, die haben wenigstens
ein bisschen Spaß an der Mechanik.
Schon an der Stelle möchte ich darauf hinweisen, dass wir natürlich
auch nicht nur Pflichtvorlesungen anbieten, sondern wir auch
interessante Themen bearbeiten, bei denen man sich als Studentin oder
Student in Form von, bei Ihnen sind es jetzt Bachelorarbeiten oder
Masterarbeiten, dann entsprechend einbringen kann.
Soweit, wenn es keine Fragen mehr gibt, vielen Dank.