aus binären Variablen besteht und erst durch die Belegung der binären
Variablen im Ausdruck
mit Wahrheitswerten erhält der Bulsche Ausdruck einen Wahrheitswert.
Weitere Definitionen, die Belegung einer Menge von binären Variablen
eines Bulschen Ausdrucks mit Wahrheitswerten bezeichnet man als eine
Interpretation.
Das heißt, wenn wir jetzt einen Bulschen Ausdruck nehmen, A konjunktiv
verknüpft mit B und jetzt belegen wir hier die Variablen A mit 1 zum
Beispiel und B mit 0, dann wäre jetzt hier die Belegung der Variablen
eine mögliche Interpretation von dem Bulschen Ausdruck.
Die Interpretation liefert eine Aussage, die entweder wahr oder falsch
ist.
Und verschiedene Interpretationen eines Bulschen Ausdrucks können zu
derselben Wahrheit führen.
Das haben wir ja bereits gesehen anhand der Realisierung der
Verknüpfungen zum Beispiel oder der Darstellung der Verknüpfungen,
Konjunktionen und Distributionen mithilfe von Wahrheitstabellen.
Das heißt, wenn wir hier zum Beispiel A und B, zwei Variablen, und
dann haben wir hier A konjunktiv verknüpft mit B, dann haben wir
gesehen, dass wir hier unterschiedliche Belegungen dieser
Eingangsvariablen haben.
Also die sollen auch unterschiedlich sein, unterschiedliche Belegungen
der Eingangsvariablen haben und dass diese unterschiedlichen
Belegungen zu unterschiedlichen Werten führen können.
Zum Beispiel die Belegungen 0,0 und 0,1 und 1,0 führen immer zum
gleichen Wahrheitswert der Konjunktion von A und B.
Und ein burscher Ausdruck, bei dem alle möglichen Interpretationen zum
Wahrheitswert wahrführen, wollen wir Tautologie nennen.
Beispiel A disjunktiv verknüpft mit A quer, das ist immer eine 1, das
ist eine Tautologie.
So, die nächsten Definitionen sind die Definition von
Burschenfunktionen.
Das heißt, wie bereits erwähnt, das sind Funktionen von binären
Variablen.
Das heißt, die unabhängigen Variablen der Funktionen, die können
nur...
Ein Tüppel von binären Variablen eingegeben, x1 bis xn.
Eine n-stellige Burschenfunktion erordnet jeder möglichen
Wahrheitswertbelegung dieser Variablen genau einem Wahrheitswert zu.
Das heißt, wir haben eine Funktion f, die unabhängigen Variablen der
Funktionen sind x1 bis xn.
Die Funktion ist definiert auf die Definitionsmenge 0 und 1 hoch n.
Und die Funktion nimmt nur Werte in der Menge 0 und 1.
Das heißt, wenn wir hier zum Beispiel eine Funktion mit drei Variablen
nehmen, eine Funktion mit drei Variablen, also f von x3, x2, x1.
Was bedeutet das?
Das bedeutet, die Funktion ist jetzt definiert auf die Menge 0, 1 hoch
3.
Und die nimmt nur Werte in der Menge 0 und 1.
Was bedeutet 0, 1 hoch 3?
0, 1 hoch 3 bedeutet nichts anderes als die unterschiedlichen
Kombinationen, eigentlich wenn wir an Kapitel 1 denken, die
Codierungen, die man für diese Bit-Kombinationen für die drei
Variablen x3 bis x1 hat.
Und wir wissen, dass das nichts anderes ist als das hier.
Also wir haben insgesamt acht unterschiedliche Kombinationen und somit
acht unterschiedliche Belegungen der Eingangsvariablen der Funktion.
Und wir wissen, dass die Werte, die diese Funktion annimmt, die können
nur 0 oder 1 sein.
Das heißt, wir haben hier allgemein zwei hoch N Belegungen.
In unserem Beispiel vorher sind das dann acht Belegungen.
Und zu jeder Belegung kann die Funktion entweder 0 oder 1 sein.
Wir sprechen jetzt nicht über eine bestimmte Funktion, sondern wir
wollen alle möglichen Funktionen, die man mit drei Variablen
realisieren kann, betrachten.
Acht unterschiedliche Belegungen der Eingangsvariablen.
Wenn man so will, das ist nichts anderes als die Werte, die die
Eingangsvariablen annehmen können.
Und die Funktion kann für jeden Wert entweder 0 oder 1 sein.
Das heißt, insgesamt haben wir zwei hoch zwei hoch N unterschiedliche
Funktionen, die wir mit N Variablen definieren können.
In diesem Beispiel haben wir also zwei hoch acht Eingangsbelegungen
von x3, x2 und x1.
Und wir wissen, dass diese Funktion für jede Belegung zwei Werte
annehmen kann.
Also für die Belegung, wenn alle drei Variablen 1 sind, dann können
wir eine Funktion definieren, die den Wert 0 bzw.
den Wert 1 hat.
Und wenn man das Ganze hier betrachtet, dann gibt es insgesamt nichts
anderes als 2 mal 2 hoch 3.
Also insgesamt zwei hoch, also daraus folgt, wir haben zwei hoch drei,
also das ist hier zwei hoch drei.
Entschuldigung, gut, dass wir darüber geredet haben.
Zwei hoch acht wäre zu viel.
Wieso meldet sich keiner, wenn ich Fehler mache?
Das habt ihr doch gemacht im letzten Semester.
Aber ihr sitzt zu weit, das ist das Problem.
Ihr sitzt zu weit in diesem Hörsaal.
Aber okay, ich passe jetzt öfter auf.
Schreit mal, hebt mal die Hand, klopft mal, macht irgendein Zeichen,
damit ich das merke.
Okay, also zwei.
Da habe ich wiederum einen Fehler gemacht.
Also wie viele sind das jetzt?
Zwei hoch drei,
also zwei hoch acht ist gleich wie viele Funktionen?
Okay, so, jetzt gucken wir mal das Ganze nochmal an, anhand von einem
einfacheren Beispiel.
Eine einstellige Funktion, die ordnet jeden Operanden aus dem
Definitionsbereich.
Einstellige Funktion, das heißt n gleich 1.
Das heißt, der Definitionsbereich ist 0,1 und die Bildmenge ist auch 0
,1.
Und da sehen wir hier, die Variable a kann entweder 0 oder 1 sein.
Und wir können jetzt folgende Funktionen definieren.
Einmal eine Funktion, die den Wert 0 hat für a gleich 0 und a gleich
1.
Das wäre die 0-Funktion.
Eine zweite Funktion, die den Wert 0 hat, wenn a 0 ist und den Wert 1
hat, wenn a 1 ist.
Das ist also die Funktion f gleich a.
Eine dritte Funktion, die den Wert 1 hat für a gleich 0, bzw.
den Wert 0 hat für a gleich 1.
Das ist also f gleich a quer.
Und die vierte Funktion ist die konstante 1-Funktion.
Das heißt, f ist unabhängig von a, ist gleich 1, sowohl für a gleich
0, als auch für a gleich 1.
Das heißt, wir haben hier n gleich 1, einstellige Funktion.
n ist gleich 1.
Daraus folgt, wir haben 2 hoch 1 Belegungen der Eingangsvariablen.
Ist gleich 2.
Das sind hier diese Belegungen.
Das sind die zwei Belegungen der Eingangsvariablen.
Und wir haben 2 hoch 2 hoch 1,
die man hier definieren kann.
Und zwar die konstante Funktion f 0, die konstante Funktion f gleich 1
und dann die Funktion f gleich a und f gleich a quer.
Zweistellige Bulsche Funktionen.
Das heißt, wir haben jetzt nicht nur eine Eingangsvariable a, sondern
wir haben zwei Eingangsvariablen a und b.
Das heißt, solche Funktionen sind definiert auf 0 1 hoch 2, bzw.
0 1 kreuz 0 1.
Und die Werte werden immer in der Menge 0 1 eingenommen.
Und die Darstellung dieser Funktionen kann man natürlich durch eine
Funktionstabelle machen, beziehungsweise in symbolischer Form mithilfe
von dem Bulschen Ausdruck.
Da sehen wir hier zum Beispiel die Konjunktiv, das heißt f, zum
Beispiel a Konjunktiv verknüpft mit b, können wir auch durch diese
Funktionstabelle hier darstellen, wo f nur dann den Wert 1 hat, wenn
beide Eingangsvariablen den Wert 1 haben.
Aber das ist eine der möglichen Funktionen, die wir für zwei Variablen
definieren können.
Wir können auf die gleiche Art und Weise die 0-Funktion definieren,
die Konstante 0, die Konstante 1-Funktion, das heißt zwei Funktionen,
die unabhängig von a und b, die sind immer mit dabei.
Und natürlich können wir nicht nur die Konjunktion definieren, sondern
auch die Disjunktion beispielsweise und andere Sachen.
Und die Folge der Tabelle gibt uns die 16 Funktionen, die man bei n
gleich 2 definieren kann.
Das heißt, in n gleich 2, wir haben zwei Variablen x0 und x1, die sind
hier leider gekennzeichnet, nicht a und b, aber das spielt keine
Rolle.
Und das sind die unterschiedlichen Belegungen, zwei Variablen, dann
haben wir vier Belegungen, 2 hoch 2.
Also die können 0, 0 sein, 1, 0, 0, 1 bzw.
1, 1.
Und die Funktionen, die man hier definieren kann, die müssen 2 hoch 2
hoch 2 sein, also 16 insgesamt.
Und die sind hier bezeichnet mit f0 bis f15.
Also nochmal, das sind hier die vier Belegungen der Eingangsvariablen.
Und das sind hier die unterschiedlichen Funktionen, die man definieren
kann.
Unterschiedliche 2 hoch 2 hoch 2 Funktionen.
Also n gleich 2, daraus folgt 4 Belegungen und dann somit 16
Funktionen.
Und viele dieser Funktionen oder einige der Funktionen kennen wir
bereits und viele von denen kennt ihr schon an.
Zum Beispiel f0, die Funktion soll für jede Belegung der
Eingangsvariablen den Wert 0 haben.
f15, die Funktion soll für jede Belegung von x0 und x1 den Wert 1
haben, das ist die Konstante 1.
Dann sehen wir hier, dass wir die Konjunktion an der zweiten Stelle
haben.
Das heißt, die Funktion hat nur für die Belegung 1 1 den Wert 1.
Das ist hier unsere Konjunktion, die wir kennengelernt haben.
Konjunktion, die wir kennengelernt haben und die heißt auch
Konjunktion.
Dann haben wir hier die Dysfunktion und wir sehen bei der Dysfunktion,
dass die Funktion den Wert 1 hat, wenn mindestens eine der
Eingangsvariablen den Wert 1 hat.
Das heißt nur 0, wenn beide Eingangsvariablen 0 sind.
Dann gibt es hier die Funktionen, zum Beispiel die Negation von x1.
Wenn x1 0 0 1 1 ist, dann ist die Funktion hier 1 1 0 0.
Irgendwo muss es die Negation von x0 geben, das ist das hier.
Dann gibt es eine Funktion, die heißt Äquivalenz.
Das heißt, die Funktion hat den Wert 1, wenn beide Eingangsvariablen
gleich belegt sind.
Und das sieht man hier, das heißt an der Stelle hier und an der Stelle
hier.
Wenn x0 und x1 0 sind bzw.
1 sind, dann hat die Funktion den Wert 1.
Zwillingsschwester davon ist natürlich die Antivalenz.
Die Antivalenz sitzt auch hier.
Und da hat die Funktion den Wert 1, wenn die Eingangsvariablen
unterschiedlich belegt sind.
Also wie 1 0 hier oder 0 1 hier und da.
Dann gibt es natürlich die Inhibition.
Das heißt nicht x0 aber x1.
Identisch x1 und so weiter und so fort.
Also man sieht hier, dass man mit Hilfe von diesen zwei
Eingangsvariablen 16 unterschiedliche zweistellige Bulsche Funktionen
realisieren kann.
Ganz wichtige Funktionen, die wir auch begegnen werden, sind die
sogenannten Nend und Nor Funktionen.
Diese Nend Funktion ist nichts anderes als die konjunktive Verknüpfung
von x0 mit x1 und dann die Negation davon.
Und man sieht hier die konjunktive Verknüpfung von x1 und x0.
Das ist ja die Konjunktion, sehen wir hier oben bei f1.
Und die Negation dazu sieht man, dass hier eine 0 ist und der Rest 1
im Gegensatz dazu.
Und die duale Funktion dazu ist natürlich die Nor Funktion.
Das heißt, das ist die konjunktive Verknüpfung von x0 und x1 negiert.
Und wir sehen die Konjunktion, die Disjunktion war ja unten.
Die Disjunktion ist hier, das heißt die Nor Funktion sitzt gerade hier
drunter.
Und man sieht hier, dass die Belegungen oder die Werte der Funktionen
spiegelbildlich zu denen der Disjunktion sind.
Gut, wenn wir das hier haben, dann können wir jetzt hier Bulsche
Funktionen definieren.
Wir haben ja zwei unterschiedliche Möglichkeiten zur Beschreibung von
Bulschen Funktionen gesehen.
Anhand von der Konjunktion haben wir gesehen, dass wir die Konjunktion
entweder mit Hilfe von einem Bulschen Ausdruck beschreiben können oder
mit Hilfe von einer Funktionstabelle.
Und die Frage ist, wie kommt man dann von der symbolischen Darstellung
zur Funktionstabelle.
Dazu gibt es hier ein paar Konventionen, die man beachten muss.
Zum Beispiel, dass die Negation vor Konjunktion und dass die
Konjunktion vor Disjunktion berechnet werden muss.
Und diese kann man im Ausdruck anders machen.
Das heißt, durch Klammern kann eine andere Reihenfolge der Auswertung
festgelegt werden.
So, jetzt wissen wir, wie viele unterschiedliche Bulsche Funktionen
mit N Eingangsvariablen definiert werden können.
Wir wissen, dass wir Bulsche Funktionen mithilfe von Funktionstabellen
bzw.
mit Hilfe von dem Bulschen Ausdruck beschreiben können.
Aber die Frage ist, wie können wir eine Bulsche Funktion eindeutig
beschreiben oder welche Operatoren stehen uns zur Verfügung, um eine
Bulsche Funktion darzustellen.
Wir wissen ja z.B.
anhand des De Morgan Gesetzes, dass wir beispielsweise A konjunktiv
verknüpfen mit B und dann die Negation davon, was ja eine Bulsche
Funktion ist, weil das ein Bulsche Ausdruck ist, wie wir sehen.
Das sind zwei Variablen und wir wissen, dass das die Nend-Funktion
ist.
Wir wissen, dass wir dazu schreiben können, das ist A quer disjunktiv
verknüpft B quer.
So, das heißt, wir haben unsere Disjunktion, die wir bei der
Definition der Bulschen Algebra hier haben und wir sehen, dass wir
diese Disjunktion hier mithilfe von einem anderen Operator oder
mithilfe auf eine andere Art und Weise darstellen können.
Das gleiche gilt für z.B.
wenn wir eine Funktion Y gleich A quer haben, also einfach die
Negation der Variable, eine einstellige Funktion.
Wir wissen z.B.
anhand von dem, dass wir für A A konjunktiv verknüpft A schreiben
können, das ist das Edempotenzgesetz und das ist negiert jetzt.
Und wir wissen, dass laut dem Organ nichts anderes ist, als A quer
konjunktiv verknüpft mit A quer und so weiter und so fort.
Das heißt, die Frage hier, das gleiche gilt natürlich hier für A
disjunktiv verknüpft mit A und dann negiert für A quer und das ist
nichts anderes als A quer konjunktiv verknüpft mit A quer und so
weiter und so fort.
Aber die Sachen, die wir hier kennengelernt haben, das ist ja nichts
anderes als die Nennfunktion, die wir vorher kennengelernt haben.
Das heißt, das gleiche können wir hier behaupten, für A konjunktiv
verknüpft mit A ist es auch nichts anderes als A nennt verknüpft mit
A.
Hier können wir dazu schreiben, das ist nichts anderes als A nur
verknüpft mit A.
Die Frage ist jetzt, mit welchen Operatoren bzw.
mit welcher Menge von Operatoren lassen sich alle Funktionen
beschreiben?
Das führt uns zu der Definition von den sogenannten vollständigen
Operatorensystemen und die Definition ist, dass ein System von
Operatoren, mit dem man alle Bulschenfunktionen darstellen kann, heißt
vollständiges Operatorensystem.
Das heißt, die Operatoren, die wir kennengelernt haben bei der
Definition der Schaltalgebra, Konjunktion, Disjunktion und
Denigration, die bilden ein vollständiges Operatorensystem.
Beispiel, wir können die Equivalence, die Funktion, die wir gerade
kennengelernt haben, auf die gleiche Art und Weise schreiben wie das
hier.
Equivalence bedeutet, die Funktion hat den Wert 1, wenn beide
Eingangsvariablen bejaht sind, also 1 sind bzw.
beide negiert sind.
Das heißt, für die Equivalence können wir schreiben oder wir können
die Equivalence mithilfe von den Grundoperatoren Konjunktion,
Disjunktion und Negation beschreiben.
Andere Beispiele habe ich bereits angegeben, also wie man
unterschiedliche Funktionen mit unterschiedlichen Operatoren
beschreibt.
Eine Liste von vollständigen Operatoren ist hier angegeben.
Das heißt, wir haben bereits die Konjunktion, Disjunktion und Negation
kennengelernt und wir sehen, das ist ein vollständiges
Operatorensystem, weil wir können die Negation damit ausdrücken.
Wir können die Konjunktion, also A konjunktiv verknüpft mit B.
Wir können auch die Disjunktion damit ausdrücken.
Das ist ziemlich einfach in dem Beispiel, weil das sind ja die
Operatoren, das sind die Operationen, die wir überhaupt ausführen
können, die auftauchen können bei einer Bool'schen Funktion.
Das ist einmal die Negation, einmal die Konjunktion und einmal die
Disjunktion.
Und wenn wir als vollständiges Operatorensystem Konjunktion,
Disjunktion und Negation haben, dann ist klar, dass wir für jedes A, A
querschreiben.
Wir haben den Operator dazu, für die Konjunktion, wir haben auch den
Operator dazu, für die Disjunktion auch.
Schwieriger wird es, wenn wir beispielsweise, also in der zweiten
Zeile sieht man, dass wir zum Beispiel alleine mit der Konjunktion und
Negation, natürlich die Negation hier beschreiben können, die
Konjunktion von zwei Variablen können wir auch beschreiben, aber die
Disjunktion hier, das ist auch einfach, weil wir wissen, wir wissen
laut dem Organ, dass es hier nichts anderes ist, als A zweimal
disjunktiv verknüpft mit B zweimal negiert, also ist gleich A
disjunktiv verknüpft mit B.
Das gleiche gilt hier, das ist nichts anderes als A zweiquer
konjunktiv verknüpft mit B zweiquer und die Negation ist A, also A
konjunktiv B.
Komplizierter wird es, wenn wir jetzt hier statt dieser Operatoren nur
so etwas haben, also nur Nend, bzw.
Und und Antivalence.
Und das will ich euch zeigen, dass diese zwei, also zum Beispiel Nend,
Nor, bzw.
Antivalence und Konjunktion, dass sie auch vollständige Operatoren
-Systeme sind.
Fangen wir mal an mit Nend.
Was bedeutet das eigentlich?
Also Nend,
das ist die Nend-Funktion, die in unserer Tabelle vorher war.
Was bedeutet das, wenn wir jetzt ein Operatoren-System bekommen, also
ihr bekommt von hier, zum Beispiel Konjunktion, Disjunktion und
Equivalence, die hatten wir auf der Liste nicht.
Aber allgemein, wenn ich sage jetzt Konjunktion und Equivalence, was
müsst ihr machen, damit ihr beweist, dass dieses Operatoren-System ein
vollständiges Operatoren-System ist.
Man muss zeigen, dass mit diesen Operatoren hier sowohl die Negation
als auch die Konjunktion und Disjunktion lassen sich ausdrücken.
Also wir müssen jetzt gucken, dass wir mithilfe von dem Nend-Operator
Negation, Konjunktion und Disjunktion beschreiben können.
Fangen wir mal an, zunächst mal für die Negation.
Wir wissen, A nennt A, das ist nichts anderes als A konjunktiv
verknüpft mit A und das Ganze negiert.
Laut Edempotenz-Gesetz wissen wir, dass A konjunktiv A ist, das heißt
es ist A-Quer.
Das heißt die Negation können wir mit dem Nend-Operator beschreiben.
Jetzt wollen wir mal gucken, ob wir die Konjunktion mithilfe von Nend
beschreiben können.
Also, das ist die Negation.
Für die Konjunktion können wir Folgendes schreiben.
A nennt verknüpft mit B und das Ganze nochmal Nend verknüpft mit dem
Gleichen.
Also wir haben nur den Operator Nend eigentlich, wir können nichts
anderes hier benutzen.
Und wir müssen mal zeigen, dass das jetzt hier zur Konjunktion von A-B
führt.
Und jetzt wissen wir, das ist nichts anderes als A konjunktiv
verknüpft mit B.
So, dann haben wir hier die Konjunktion nochmal A-B.
Und Nend bedeutet, dass die zwei hier nochmal negiert sind.
Das heißt, wir können jetzt hier das Ganze auswerten.
Das können wir jetzt als X mal betrachten.
Das ist gleich X und das ist hier gleich X.
Das heißt, eigentlich haben wir nichts anderes als A konjunktiv
verknüpft mit B.
Wir wissen X konjunktiv verknüpft mit X.
Das heißt, das ist nichts anderes als das hier.
Und wir wissen zweimal negiert, das ist nichts anderes als A
konjunktiv verknüpft mit B.
Das heißt, wir haben die Konjunktion gezeigt.
Jetzt wollen wir zeigen, dass wir mit dem Nend-Operator die
Disjunktion auch haben.
Dann können wir A nennt A, Nend B nennt B.
Das ist gleich, auf die gleiche Art und Weise.
Das ist nichts anderes als das hier.
Nend B nennt B.
Und das Ganze nochmal negiert.
Und wir wissen, das ist nichts anderes als A negiert B negiert.
Das Ganze negiert.
Und das ist nichts anderes als
gleich A disjunktiv verknüpft mit B.
Das heißt, wir haben hier gezeigt, dass wir mithilfe von dem Nend
-Operator sowohl die Negation als auch die Konjunktion, als auch die
Disjunktion beschreiben können.
Wie sieht es aus mit NOR?
Hat jemand eine Idee?
Wie viel soll ich schreiben, um das zu zeigen?
Genau.
Normalerweise würde man sagen analog dazu.
Aber was haben wir heute gelernt?
Dual dazu.
Das ist genau die duale Aussage.
Man kann die gleichen Sachen hier nehmen und das Dualitätsprinzip
einsetzen und dann kommt man natürlich auf den Beweis.
Also dual dazu.
Ohne Fragezeichen.
Dual dazu.
Was war noch als Beispiel?
Als ein seltsames Beispiel hatten wir als Operatoren-System, damit ich
nicht blättere, habe ich das hier aufgeschrieben, Konjunktion und
Antivalenz.
Das sieht ein bisschen exotisch aus, oder?
Aber die Vorgehensweise ist die gleiche.
Wir müssen zeigen, dass wir mit der Konjunktion und der Antivalenz die
Negation, die Konjunktion und die Disjunktion ausdrucken können.
Was bedeutet zunächst mal Antivalenz?
Weiß jemand von euch, wie das ist?
Antivalenz.
Zum Beispiel A Antivalent B.
Was kann ich hier zuschreiben, damit wir es ein bisschen einfacher
nachdenken?
Das hat immer den Funktionswert 1, wenn die Variablen unterschiedlich
belegt sind, wie wir in unserer Tabelle vorher gesehen haben.
Das heißt, es ist A quer, Konjunktiv verknüpft B, oder wenn A 1 und B
0.
So kann ich dazu schreiben.
Das wird umrahmt hier.
Und jetzt gucken wir mal, wie wir hier das zeigen.
Aha, ich will jetzt auf die Negation kommen.
Auf die Negation von A.
Und auf die Negation von A kann ich kommen, wenn ich zum Beispiel
folgendes schreibe.
A Antivalent 1.
Was ist A Antivalent 1?
Laut Definition oben.
Das ist A quer,
Konjunktiv verknüpft mit B.
A 1 quer ist gleich 0.
Und wir wissen, 0, Konjunktiv verknüpft mit irgendetwas, ist 0.
Das heißt, es ist gleich 0.
Und wir wissen, dass 1 als 1 Element, Konjunktiv verknüpft mit
irgendetwas, irgendetwas ist.
Insgesamt kommt also hier nichts anderes als...
Ups, wir wollen blau.
Kommt hier als Ergebnis nichts anderes als A quer.
Aha, das heißt, wir können die Negation hier...
Negation können wir beschreiben.
Aber jetzt kommt vielleicht, ist einer von euch so schlau und sagt,
aber ich habe ein bisschen gemogelt.
Ja, weil ich habe die 1 verwendet.
Das würde ich sogar akzeptieren, wenn jemand jetzt diesen Einwand
bringt.
Deshalb würde ich vielleicht hier nochmal sagen, richtigerweise sollte
man schreiben, sollte man vielleicht schreiben, das ist Operatoren
-System, Konjunktion, Antivalence und 1.
Aha, aber die 1 ist kein Operator, sondern ist ein Operant.
Deshalb ist der Punkt, das heißt, eigentlich bei dem hier können wir
die Negation beschreiben, mit Hilfe der Konstante 1.
Und deshalb wollen wir auch das so beibehalten, das heißt, dass wir
vom Operatoren-System, vollständigen Operatoren-System, Konjunktion,
Antivalence sprechen.
Aber wir wissen, wir brauchen die 1, damit wir zum Beispiel hier die
Negation beschreiben können.
So, die Sache ist leider noch nicht zu Ende, weil wir müssen natürlich
mit den 2, als nächstes die Konjunktion beschreiben, die Konjunktion
ist geschenkt.
Die Konjunktion haben wir dort, das heißt, wir wollen die Konjunktion
A und B, aber die Konjunktion ist Teil, ist ein Operator im Operatoren
-System, also ist erledigt.
Und das Dritte, wir müssen zeigen, dass wir mit Konjunktion und mit
Antivalence die Disjunktion beschreiben können.
Und dazu wird es ein bisschen abenteuerlicher.
Wir können mal gucken, Antivalent B und dann Antivalent A konjunktiv
verknüpft mit B.
Was meint ihr dazu?
Ist das etwas Gutes?
Schauen wir mal.
Und jetzt versuchen wir mal, zu gucken, was dabei herauskommt.
Und zwar zunächst mal Antivalent B Antivalent von dem Rest und B
Antivalent A konjunktiv verknüpft mit B ist nichts anderes als B quer
konjunktiv verknüpft mit dem zweiten Term also mit A Konjunktion B
oder Disjunktiv verknüpft mit B Konjunktiv verknüpft A Konjunktiv B
und die Negation davon.
Ich habe genau verwendet, was wir oben verwendet haben A quer
Konjunktiv B Disjunktiv mit A Konjunktiv B quer Und jetzt versuchen
wir mal hier auszuwerten oder man sagt auch zu kurzen Wir sehen hier,
wir haben ein B Konjunktiv verknüpft mit B quer das ist Null und Null
Konjunktiv verknüpft mit A also Null Konjunktiv verknüpft mit
irgendetwas ist eigentlich Null, deshalb kann ich hier schreiben das
ist gleich Null und es bleibt also folgendes übrig das ist gleich A
Antivalent können wir noch mal einen Schritt hier kürzen Null
Konjunktiv verknüpft mit irgendetwas ist irgendetwas das heißt das ist
B Konjunktion A B quer Dann bleibt hier also nichts anderes übrig, als
A, B...
Ja, stimmt das?
Stimmt das oder stimmt das nicht?
Dann können wir das hier mal ein bisschen aufräumen.
Das heißt, B konjunktiv verknüpft mit A quer, B quer.
Ja, und was ist das hier?
Das ist nichts anderes, also der Teil hier mit B ist gleich 1.
Und 1 konjunktiv verknüpft mit A quer ist A quer.
Die inneren Klammer fehlen, das haben wir hier vergessen.
Und da waren wir ein bisschen zu schnell.
Das ist also gleich Antivalent B A quer konjunktiv verknüpft mit B B
quer.
Und jetzt können wir hier kürzen.
Das ist gleich 1.
Das heißt, wir bekommen hier A Antivalent B A quer.
Das war ein
A, glaube ich, hier.
A quer.
Und dann hier kommt das hier.
So rum, oder?
Und dann machen wir hier weiter.
Das heißt, wir haben A Antivalent B A quer.
Müssen wir das gleiche nochmal machen.
Das heißt, das ist nichts anderes als A quer.
Wenn wir an die Definition von hier denken, A quer B.
Also A quer konjunktiv verknüpft mit B A quer.
Und das ganze disjunktiv verknüpft mit A konjunktiv verknüpft B A
quer.
Und das ganze negiert.
Und hier sehen wir, dass wir A quer B A quer.
Laut dem Potenzgesetz ist es dann nichts anderes als A quer B.
A quer B oder disjunktiv verknüpft mit A B quer oder A.
Stimmt das?
Ja?
Ok.
Und wie machen wir weiter?
Zu Tode rechnen oder kann jemand von euch irgendwas kürzen hier an der
Stelle?
Also das machen wir noch fertig.
Kann jemand von euch irgendwas hier zuschreiben, wenn ich sage, das
ist gleich A?
Weiß jemand von euch warum?
Naja, wenn wir an X konjunktiv verknüpft Y disjunktiv X denken, dann
wissen wir, das ist nichts anderes als X.
Und das war unser Absorptionsgesetz.
So, das heißt, das ist gleich A quer B konjunktiv mit A ist gleich A
quer A und
wir wissen, dass es hier gleich 1 ist.
1 und irgendetwas ist gleich irgendetwas, das heißt, das ist B.
So, was haben wir gezeigt?
Wir haben jetzt gezeigt, dass man mit den zwei Operatoren auch die
Konjunktion hier beweisen kann.
So, klar, wir sind am Ende dieser Vorlesung, aber warum ich das jetzt
in aller Ausführlichkeit gemacht habe, weil ich mache selber auch
Fehler drin, vor allem, wenn ich hier stehe und auch habt ihr bemerkt,
dass man da Operatoren mal vertauscht und so weiter und so fort.
Und das, was normalerweise in Klausuren als geschenkt gedacht ist, da
bauen die meisten Leute Fehler rein.
Und klar, in der Klausur werden Fehler bestraft, indem man keine
Punkte hier macht.
Deshalb würde ich jedem von euch empfehlen, genauestens die Anwendung
von diesen Huntingtonischen Axiomen und die daraus abgeleiteten
Gesetze mal anzugucken und solche Aufgaben auch nicht zu
unterschätzen.
Man kann sich zu Tode rechnen, zum Beispiel hier, wenn man das jetzt
hier nicht abgekürzt hätte, mit Hilfe von dem Absorptionsgesetz, dann
hätte man nochmal eine Seite rechnen müssen, damit man auf das
Ergebnis kommt.
Und man kommt ziemlich durcheinander bei diesen Aufgaben.
Also meine Bitte an euch, guckt mal, was ihr jetzt an Werkzeuge habt,
mit denen ihr solche Bullshit-Ausdrücke auf schnelle Art und Weise
vereinfachen könnt oder minimieren könnt.
Gut, für heute bedanke ich mich für die Aufmerksamkeit, wünsche euch
einen schönen Feiertag und wir sehen uns am Montag.