WEBVTT 00:00.970 --> 00:01.680 Schönen guten Tag. 00:01.840 --> 00:06.520 Ich begrüße Sie zur Fortsetzung der Vorlesung Grundlageninformatik II. 00:07.360 --> 00:09.020 Ich wünsche Ihnen zunächst mal ein gutes neues Jahr. 00:09.140 --> 00:10.940 Ich hoffe, Sie sind gut reingekommen, hatten ein paar schöne 00:10.940 --> 00:11.660 Feiertage. 00:13.120 --> 00:19.700 Und jetzt geht es frisch und munter weiter mit Grundlageninformatik 00:19.700 --> 00:20.080 II. 00:20.980 --> 00:26.380 Es haben sich übrigens für die Bonusklausur rund 600 Studenten 00:26.380 --> 00:27.080 angemeldet. 00:27.080 --> 00:31.800 Das ist eine große Zahl, aber es ist nicht genau die Zahl der 00:31.800 --> 00:33.800 Studenten, die wir erwartet hatten. 00:34.420 --> 00:37.380 Es hätten sogar noch ein bisschen mehr sein können, aber das ist schon 00:37.380 --> 00:37.820 in Ordnung. 00:38.480 --> 00:42.220 Ansonsten ist es so, dass jetzt auch die Anmeldung läuft für die 00:42.220 --> 00:44.940 Abschlussklausur. 00:44.960 --> 00:47.900 Für die richtige Klausur. 00:48.280 --> 00:50.740 Am Montag nach Ende der Vorlesungszeit. 00:51.460 --> 00:54.440 Das hat jetzt vor ein paar Tagen begonnen mit der Anmeldung. 00:54.440 --> 00:56.040 Und auch das wollten Sie demnächst machen. 00:56.180 --> 00:58.000 Da werde ich Sie beim nächsten Mal darauf hinweisen. 00:58.800 --> 01:01.260 Dann vielleicht nochmal eine Bemerkung zu den weiteren 01:01.260 --> 01:02.360 Vorlesungsterminen. 01:03.240 --> 01:06.880 Sie wissen ja, dass es eigentlich eine dreistündige Vorlesung ist. 01:07.060 --> 01:09.260 Ich habe jetzt fast durchgehend vierstündig gelesen. 01:09.560 --> 01:12.400 Es gab mal zwei Wochen, wo ich das nicht gemacht habe. 01:14.280 --> 01:19.100 Und das Kontingent der vierstündigen Wochen ist eigentlich um. 01:19.100 --> 01:22.380 Ich nehme aber die Freiheit, das diese Woche nochmal zu machen. 01:22.540 --> 01:25.700 Ich werde also am Mittwoch früh nochmal auch Mittwochs die Vorlesung 01:25.700 --> 01:26.040 machen. 01:26.460 --> 01:28.780 In den nächsten Wochen dann nur noch montags. 01:29.580 --> 01:32.160 Das heißt, wir haben noch insgesamt sechs Termine. 01:32.400 --> 01:35.040 Das ist sehr knapp für den Stoff, der hier vorgegeben ist. 01:35.520 --> 01:38.640 Ich werde also ein bisschen was noch hier streichen müssen. 01:39.360 --> 01:42.340 Aber das werden wir sehen, was dann konkret rausfällt. 01:43.140 --> 01:49.020 Gut, ich wollte vielleicht diese Werkzeuge mal genießen, damit wir 01:49.020 --> 01:50.140 nicht geschlüpft sind. 02:03.330 --> 02:07.270 Also, wir gehen zur Vorlesung. 02:07.350 --> 02:08.710 Was haben wir in der Vorlesung gemacht? 02:09.310 --> 02:12.210 Vor Weihnachten im alten Jahr. 02:12.890 --> 02:15.870 Dort ging es um Codierung und Zahlendachstellung. 02:15.870 --> 02:24.450 Wir haben uns die verschiedenen Möglichkeiten angeschaut, 02:24.450 --> 02:25.790 Informationen zu codieren. 02:25.910 --> 02:29.230 Wir hatten viele verschiedene Sachen angeschaut, generell zu 02:29.230 --> 02:29.910 Codierungen. 02:30.090 --> 02:33.610 Ich habe Ihnen etwas erzählt über Codierungen allgemein, Mause 02:33.610 --> 02:36.990 -Codierungen, über die Frage der Umkehrbarkeit. 02:37.090 --> 02:42.930 Ich habe Ihnen etwas erzählt über Fehlererkennung und Korrektur. 02:42.930 --> 02:48.710 Da gab es dieses schöne Bild, dass wir alle fehlerhaften Codewörter 02:48.710 --> 02:54.570 erkennen können, die zwischen irgendwelchen richtigen Codewörtern 02:54.570 --> 02:54.890 liegen. 02:55.590 --> 03:00.230 Und wenn man die minimale Distanz hat zwischen je zwei Codewörtern in 03:00.230 --> 03:04.990 einem Code, dann kann man eben auch sagen, bis zu welchem Fehlergrad 03:04.990 --> 03:08.950 man garantiert einen Fehler erkennen kann, wenn ein Codewort irgendwo 03:08.950 --> 03:11.390 zwischen solchen realen Codeworten liegt. 03:11.390 --> 03:16.010 Und wenn wir uns dann noch die Entfernung anschauen, bis zu der wir 03:16.010 --> 03:20.630 eindeutig zuordnen können, aus welchem richtigen Codewort ein 03:20.630 --> 03:23.010 fehlerhaftes Codewort entstanden ist, dann können wir diese Fehler 03:23.010 --> 03:23.890 auch korrigieren. 03:24.390 --> 03:30.530 Deswegen ist die Korrigierbarkeit gerade halb so groß wie die minimale 03:30.530 --> 03:32.230 Distanz zwischen zwei Codewörtern. 03:32.230 --> 03:36.330 Also die minimale Distanz zwischen zwei Codewörtern. 03:37.090 --> 03:39.710 Und damit haben wir also dann die Korrigierbarkeit und die 03:39.710 --> 03:40.270 Erkennbarkeit. 03:40.430 --> 03:41.370 Das waren diese beiden Begriffe. 03:41.990 --> 03:47.110 Wir haben uns dann beschäftigt mit der Häufigkeitsabhängigen 03:47.110 --> 03:47.590 Kodierung. 03:47.770 --> 03:49.510 Ich habe Ihnen den Huffman Code vorgestellt. 03:50.070 --> 03:53.630 Dieses Bild, wo wir eine Koalition haben über die Häufigkeit von 03:53.630 --> 03:57.970 Zeichen und dann eine Kodierung wählen, die möglichst bitzfrei ist. 03:57.970 --> 04:02.390 Das heißt, ich verwende für die häufigen Zeichen mehr Bitz als für die 04:02.390 --> 04:08.530 weniger häufigen Zeichen und habe dadurch dann eine Reduktion des 04:08.530 --> 04:11.870 Platzes für die Kodierung. 04:12.530 --> 04:17.290 Und die Huffman-Kodierung ist halt ein Ansatz, bei dem man eine 04:17.290 --> 04:20.130 optimale Kodlänge garantieren kann. 04:20.550 --> 04:22.130 Das Verfahren war relativ einfach. 04:22.130 --> 04:27.590 Wir bauen diesen Kodbaum auf und können dann einfach auf den Wegen von 04:27.590 --> 04:34.490 der Wurzel zu den Blättern, die mit 0 und 1 jeweils kodiert sind, 04:34.790 --> 04:36.170 können wir dann halt kurz ableiten. 04:36.290 --> 04:40.430 Wobei man dem eines sagen kann, die Zuordnung, ob ich jetzt nach links 04:40.430 --> 04:46.590 mit 0 oder nach rechts mit 1 das bezeichne, ist völlig egal. 04:46.770 --> 04:50.330 Sie können irgendeine Zuordnung machen, jeweils mit 0 und 1 auf diese 04:50.330 --> 04:50.990 Kanten. 04:50.990 --> 04:56.050 Es muss eben nur dann entsprechend abgelesen werden von der Wurzel zu 04:56.050 --> 05:01.170 den Blättern, damit man eben diesen Kod bekommt, der am Ende die 05:01.170 --> 05:02.210 Fahnenbedingungen erfüllt. 05:02.330 --> 05:05.550 Das heißt, es darf kein Kodwort, Anfangswort eines anderen Kodwortes 05:05.550 --> 05:05.830 sein. 05:06.430 --> 05:10.230 Und wenn man das gewährleisten kann, dann wissen wir, ist der Kod auch 05:10.230 --> 05:11.010 umkehrbar. 05:11.590 --> 05:12.150 Eindeutig. 05:12.890 --> 05:15.630 Das ist halt wichtig für die Kodierung von irgendwelchen längeren 05:15.630 --> 05:16.390 Texten. 05:16.390 --> 05:18.310 Das waren die Tasmenkodierungen. 05:18.410 --> 05:22.010 Ich habe Ihnen dann erzählt über die Darstellung von Zeichensätzen. 05:22.230 --> 05:25.350 Wir hatten uns den ASCII-Kode angeschaut, den EBCD-Kode. 05:25.870 --> 05:30.210 Ich habe Ihnen etwas gezeigt bezüglich Unicode, genau. 05:30.370 --> 05:33.290 Dann haben wir uns mit den Daten von Ziffern beschäftigt, haben uns 05:33.290 --> 05:37.890 das genauer angeschaut und kamen dann zu der Darstellung von Zahlen 05:37.890 --> 05:42.170 und hatten uns dort schon angesehen, die einfachen 05:42.170 --> 05:43.210 Zahlendarstellungen. 05:43.630 --> 05:46.450 Dann haben wir uns überlegt, die Anforderungen, die wir haben, dass 05:46.450 --> 05:50.050 der Aufwand für die Darstellung intern nicht zu hoch sein darf. 05:50.490 --> 05:53.050 Und es muss natürlich möglich sein, dass wir intern auch rechnen 05:53.050 --> 05:55.630 können in dieser kodierten Form. 05:55.770 --> 06:00.250 Das heißt, auch wenn wir auf den kodierten Wörtern Operationen 06:00.250 --> 06:03.310 ausführen, dass es gleiche Ergebnisse gibt, als wenn wir erst 06:03.310 --> 06:06.030 Operationen ausführen und dann kodieren, weil wir ja im Rechner 06:06.030 --> 06:07.130 arbeiten. 06:07.130 --> 06:12.270 Und ich hatte dann die Dualdarstellung Ihnen kurz nochmal erläutert. 06:12.710 --> 06:16.490 Wir hatten uns dann überlegt, wie man prinzipiell ganze Zahlen 06:16.490 --> 06:17.290 darstellen kann. 06:17.370 --> 06:21.650 Da ist das Problem, dass wir negative und positive Zahlen haben, die 06:21.650 --> 06:24.150 entsprechend geeignet kodiert sein müssen. 06:24.770 --> 06:27.910 Und dafür gibt es halt verschiedene Möglichkeiten, Vorzeichenbetrag, 06:27.990 --> 06:29.650 XSQ, Komplementdarstellungen. 06:30.130 --> 06:33.450 Und diese Komplementdarstellung, die wird jetzt genauer betrachtet. 06:33.450 --> 06:42.250 Vielleicht fange ich mit der Folie hier an, die hier nochmal kurz 06:42.250 --> 06:44.570 diese Möglichkeiten zeigt. 06:45.550 --> 06:48.470 Also das, was wir jetzt als nächstes betrachten, ist die 06:48.470 --> 06:55.890 Komplementdarstellung, bei der man eben eine Zahl X negiert, dadurch, 06:56.110 --> 07:00.290 dass man das Komplement zu einer großen anderen Zahl betrachtet, zu 07:00.290 --> 07:03.190 dieser Zahl groß K, für Komplement. 07:04.110 --> 07:07.530 Und dadurch habe ich dann halt die positiven Zahlen in dem unteren 07:07.530 --> 07:12.730 Bereich hier von 0 bis K halbe und die negativen Zahlen entsprechend 07:12.730 --> 07:15.170 von K halbe plus 1 bis K. 07:15.330 --> 07:19.910 Das sind dann meine Möglichkeiten, auf die Art und Weise positive und 07:19.910 --> 07:21.370 negative Zahlen darzustellen. 07:21.370 --> 07:28.410 Und diese Möglichkeit ist eine der Standardmöglichkeiten, die wir in 07:28.410 --> 07:29.850 den Rechnern tatsächlich verwenden. 07:30.270 --> 07:32.930 Zwei Komplement, ein Komplementdarstellung sind Standard 07:32.930 --> 07:33.990 -Zahlendarstellungen. 07:34.170 --> 07:36.750 Und ich muss Ihnen kurz erzählen, was es damit auf sich hat. 07:38.010 --> 07:42.510 Zwei Komplementdarstellung heißt nicht, dass das große K jetzt gleich 07:42.510 --> 07:46.350 zwei ist und bei einem Komplement gleich eins, sondern es geht darum, 07:46.350 --> 07:51.030 dass bei der Zweierkomplementdarstellung das große K gleich zwei hoch 07:51.030 --> 07:51.690 N ist. 07:52.050 --> 07:59.610 Für N-Bit-Zahlen also eine Darstellung komplementär zu der Zahl K 07:59.610 --> 08:00.690 gleich zwei hoch N. 08:01.090 --> 08:10.530 N-Bit-Zahlen und jetzt nochmal angegeben, wir haben also hier unsere 08:10.530 --> 08:13.470 Zahlenbereich, den wir darstellen wollen. 08:14.550 --> 08:16.770 Zweierkomplementdarstellung mit N-Bit-Zahlen. 08:17.310 --> 08:20.650 Das heißt, wir haben insgesamt zwei hoch N mögliche Werte. 08:21.550 --> 08:24.410 Und das, was wir konkret darstellen in diesem Fall, sind die Zahlen 08:24.410 --> 08:29.350 von minus 2 hoch N minus 1 bis 0 und von 1 bis 2 hoch N minus 1 minus 08:29.350 --> 08:30.250 1. 08:30.390 --> 08:33.690 Das sind genau diese zwei hoch N verschiedenen Zahlen, die man 08:33.690 --> 08:37.650 darstellen kann, halt gleichmäßig aufgeteilt auf positive und negative 08:37.650 --> 08:38.090 Zahlen. 08:39.190 --> 08:45.190 Und die Darstellung geht halt so, dass wir die positiven Zahlen von 0 08:45.190 --> 08:50.430 bis 2 hoch N minus 1 minus 1, das ist gerade dieser linke Teil hier, 08:50.910 --> 08:54.270 dieser Bereich, die werden dann einfach direkt als Dualzahlen 08:54.270 --> 08:54.830 dargestellt. 08:55.730 --> 08:59.970 Die negativen Zahlen, wenn ich also einen Wert habe, der zwischen 08:59.970 --> 09:05.450 minus 2 hoch N minus 1 und minus 1 liegt, dann wird dieser Wert 09:05.450 --> 09:08.530 dargestellt als Komplement zu 2 hoch N. 09:09.030 --> 09:12.410 Das heißt, ich habe hier hingeschrieben 2 hoch N plus X. 09:13.390 --> 09:17.450 Da das X ein negativer Wert ist, heißt das, ich habe genau hier, also 09:17.450 --> 09:20.290 hier, da müsste ich genauer hinschreiben, damit das zueinander passt, 09:20.830 --> 09:25.530 K minus Betrag von X für diese negativen Zahlen. 09:28.730 --> 09:30.530 Also hier steht ja 2 hoch N plus X. 09:30.590 --> 09:34.330 Ich hätte auch hinschreiben können 2 hoch N minus Betrag von X, falls 09:34.330 --> 09:35.590 das X eine negative Zahl ist. 09:36.450 --> 09:38.570 So, und dann müssen wir uns angucken, welche Eigenschaften diese 09:38.570 --> 09:39.230 Codierung hat. 09:39.390 --> 09:43.490 Also die positiven Zahlen sind halt einfach die üblichen 09:43.490 --> 09:46.630 Dualzahldarstellungen der Zahlen. 09:47.050 --> 09:50.650 Bei den negativen habe ich halt diese Darstellung, das ist nochmal 2 09:50.650 --> 09:51.430 hoch N minus X. 09:51.430 --> 09:54.850 Und das Bit N minus 1 ist natürlich gleich 1. 09:55.370 --> 10:01.250 Das Bit N minus 1, also wenn ich mir die Zahl angucke, habe ich das 10:01.250 --> 10:05.050 Bit 0 hier, und das Bit N minus 1 ist dauernd das oberste Bit. 10:05.430 --> 10:09.410 Dieses oberste Bit ist natürlich 1, weil wir hier in der 10:09.410 --> 10:13.210 Dualdarstellung Zahlen betrachten, die in diesem Bereich liegen. 10:13.830 --> 10:20.110 Und das sind halt Zahlen von 2 hoch N minus 1 plus 0, 1, 2, 3 und so 10:20.110 --> 10:20.250 weiter. 10:21.870 --> 10:25.810 Und deswegen ist das erste Bit immer 1. 10:26.870 --> 10:29.870 So, und schauen wir uns das nochmal an. 10:30.010 --> 10:34.810 Also es ist so, dass wir für diese Binärdarstellung, BN minus 1 bis 10:34.810 --> 10:43.070 B0, wenn das die Darstellung ist, dann, die wir eben dann auch häufig 10:43.070 --> 10:47.070 so kennzeichnen, dass hier 2K,N dran steht, damit wir wissen, wie wir 10:47.070 --> 10:48.010 das interpretieren müssen. 10:48.870 --> 10:53.970 Dann ist der Wert der Zahl X, die hier dargestellt wird, in dieser 10:53.970 --> 10:58.690 Zweierkomplementdarstellung, dadurch zu halten, dass wir das Bit BN 10:58.690 --> 11:05.810 minus 1 mal 2 hoch N minus 1, also damit modifizieren, minus B hoch N 11:05.810 --> 11:07.690 minus 1 mal 2 hoch N minus 1. 11:07.870 --> 11:09.770 Warum minus B hoch N minus 1? 11:09.810 --> 11:14.250 Wenn das BN minus 1 0 ist, dann sind wir hier in dem Bereich der 11:14.250 --> 11:18.550 positiven Zahlen, dann steht dort nur im Prinzip die Summe dieser Bi, 11:19.110 --> 11:20.470 die gleich 0 bis N minus 2. 11:21.970 --> 11:27.770 Und wenn das oberste Bit BN minus 1 1 ist, dann sind wir halt bei der 11:27.770 --> 11:30.530 Dualdarstellung in diesem Bereich, aber bei der tatsächlich 11:30.530 --> 11:34.230 dargestellten Zahl, das ist eine negative Zahl, müssen wir halt das 2 11:34.230 --> 11:35.870 hoch N minus 1 abziehen. 11:36.030 --> 11:39.670 Das heißt, wir müssen ja vom Wert hier in einen Bereich kommen, der 11:39.670 --> 11:42.150 hier links von der 0 liegt. 11:42.150 --> 11:45.750 Da müssen wir hin, das ist minus 2 hoch N minus 1. 11:47.630 --> 11:53.970 Ja, deswegen, die Werte, der konkret dargestellte Wert, wenn wir uns 11:53.970 --> 11:57.330 BN minus 1 bis B0 anschauen, das aus Dualstand interpretieren, sind 11:57.330 --> 12:01.670 wir irgendwo in dem Bereich, aber die Zahl, die dargestellt wird, 12:01.770 --> 12:03.410 liegt ja in diesem Bereich. 12:03.410 --> 12:10.950 Und da müssen wir halt genau von diesem Wert hier die Frequenz N minus 12:10.950 --> 12:11.370 1 halten. 12:12.210 --> 12:17.110 Okay, das ist eine ganz einfache Konsequenz dieser Definition, die wir 12:17.110 --> 12:18.430 hier oben gemacht haben. 12:18.990 --> 12:21.770 Wenn man sich das jetzt anschaut für N gleich 4, sehr einfache Zahlen. 12:22.410 --> 12:25.170 N gleich 4 heißt, 16 verschiedene Zahlen sind möglich. 12:27.270 --> 12:32.010 Die 0 wird in diesem Fall natürlich dargestellt einfach nur durch die 12:32.010 --> 12:32.850 4 Nullen. 12:33.970 --> 12:37.610 Also 0 bis 7 ist ganz klar, das sind einfach die Kodierungen von 0 bis 12:37.610 --> 12:40.070 7, Dualkodierungen, das kennen Sie alle. 12:41.210 --> 12:42.310 Aber eben mit 4 Bit. 12:42.930 --> 12:44.690 Und jetzt kommen die negativen Zahlen. 12:44.690 --> 12:52.010 Und dann ist eben die Zweikomplementarstellung von minus 1, ist die 12:52.010 --> 12:57.050 Darstellung von 2 hoch N minus 1. 12:57.450 --> 13:01.270 Das ist genau dieser Wert, wo 4 einzeln stehen. 13:02.530 --> 13:06.670 Und minus, das ist natürlich dann der Wert hier genau an der Stelle, 13:06.770 --> 13:07.590 das ist die minus 1. 13:07.590 --> 13:13.010 Und entsprechend die minus 2 bis minus 8 sind dann diese anderen 13:13.010 --> 13:16.430 Werte, wo wir halt jeweils als erstes mit einer 1 haben. 13:16.650 --> 13:20.610 Und ansonsten dann natürlich auch wieder die Zahlen von 0 bis 7, aber 13:20.610 --> 13:23.870 eben Dual 0 bis 7 oder entsprechend. 13:25.550 --> 13:28.930 So haben wir dann hier die Zahlen dargestellt, minus 1 bis minus 8. 13:30.150 --> 13:33.390 Das ist einfach die Darstellung dieser Zahlen. 13:33.390 --> 13:35.630 Und jetzt schaut man sich das noch ein bisschen genauer an und schaut 13:35.630 --> 13:38.950 sich die genaue Beziehung an zwischen diesen beiden Werten, zwischen x 13:38.950 --> 13:40.430 und dem Zweikomplement von x. 13:42.690 --> 13:46.130 Und was man sich hier überlegen kann, ist folgendes. 13:46.190 --> 13:50.790 Die Definition ist ja, dass wenn wir das Zweikomplement von x 13:50.790 --> 13:54.470 betrachten, wir 2 hoch N minus x ausrechnen müssen. 13:54.470 --> 13:58.130 Jetzt kann ich einen kleinen Trick anwenden und schreibe hier hin, 13:58.810 --> 14:02.770 dieses 2 hoch N minus x ist ja das gleiche, als wenn ich 2 hoch N 14:02.770 --> 14:07.870 minus 1 betrachte, davon x abziehe und dann 1 drauf addiere. 14:08.630 --> 14:09.570 Warum mache ich das? 14:10.270 --> 14:12.550 Das hat ganz einfach folgenden Grund, den Sie hier unten drunter 14:12.550 --> 14:12.970 sehen. 14:12.970 --> 14:17.450 Wenn ich das, was hier steht, dieses 2 hoch N minus 1 minus x plus 1, 14:17.990 --> 14:23.650 wenn ich das also kodiert hinschreibe, dann steht hier Dualdarstellung 14:23.650 --> 14:30.150 von 2 hoch N minus 1 minus Dualdarstellung von x plus Dualdarstellung 14:30.150 --> 14:30.890 von 1. 14:33.270 --> 14:37.130 Dualdarstellung von 2 hoch N minus 1, das sind nur Einsen. 14:38.530 --> 14:39.610 Das sind auch N Einsen. 14:41.250 --> 14:47.430 Dualdarstellung von x, das sind gerade meine B N minus 1 plus B Null. 14:48.110 --> 14:50.170 Das sind also meine Zahl x. 14:50.830 --> 14:52.250 Und da muss man hier 1 drauf addieren. 14:53.750 --> 14:57.470 So, das heißt, ich habe hier Einsen, ich habe hier irgendwelche Bits, 14:57.910 --> 14:59.430 da kommt noch dieser Wert dazu. 15:00.070 --> 15:05.670 Wenn ich mir jede einzelne Position anschaue, dann heißt das doch, ich 15:05.670 --> 15:09.550 muss jeweils von einer Eins, ich habe hier oben überall die Einsen 15:09.550 --> 15:18.210 stehen, und darunter steht jetzt mein B, in dem Fall B4, B3, B4 bis B 15:18.210 --> 15:18.490 Null. 15:18.990 --> 15:21.850 Ich muss jeweils 1 minus Bi rechnen. 15:23.310 --> 15:29.690 1 minus Bi heißt, ich muss einfach den Wert, der dort steht, negieren, 15:29.830 --> 15:31.050 also das Bit praktisch nur kippen. 15:31.430 --> 15:34.530 Ich kippe alle Bits und muss am Ende nochmal eine Eins addieren. 15:35.590 --> 15:36.590 Das ist ja ganz einfach. 15:39.870 --> 15:46.050 Also, wenn ich mir irgendeine Zahl betrachte, dann kommen die 0, 1, 0, 15:46.330 --> 15:47.210 1, 0. 15:47.810 --> 15:50.010 Zweierkomplement davon ist also ganz einfach. 15:51.790 --> 15:54.190 Das wäre das Zweierkomplement davon. 15:54.370 --> 15:57.930 Ist dann also einfach, dass ich überall die Bits kippe. 15:58.130 --> 16:01.450 0, 0, 1, 0, 1. 16:01.450 --> 16:04.810 Und dann noch eine Eins addiere. 16:05.490 --> 16:09.870 Und dann kommt hier raus 0, 1, 1, 0, 0, 1. 16:10.470 --> 16:13.270 Das wäre das Zweierkomplement zu dieser Zahl. 16:13.330 --> 16:21.570 Wenn das hier x ist, dann wäre das hier unten das Zweierkomplement von 16:21.570 --> 16:21.890 x. 16:24.690 --> 16:27.110 Das ist also eine ganz einfache Rechenregel. 16:27.730 --> 16:31.150 Und diese sehr einfache Rechenregel haben wir uns dadurch abgeleitet, 16:31.270 --> 16:36.350 dass wir uns diese Definition Zweierkomplement ist 2 auf m-x ein 16:36.350 --> 16:39.130 bisschen anders aufgeschrieben haben und festgestellt haben, dass es 16:39.130 --> 16:42.590 geht auf diese einfache Art und Weise, Bits kippen und Eins agieren. 16:43.790 --> 16:45.390 Und die Eins geht halt immer auf die letzte. 16:45.670 --> 16:48.810 Das heißt, wir haben ganz recht einmal eine Eins drauf zu agieren. 16:48.930 --> 16:51.170 Je nachdem, welche Bits da stehen, läuft das eventuell noch weiter 16:51.170 --> 16:51.550 nach links. 16:54.650 --> 16:55.090 Gut. 16:55.090 --> 16:57.110 Dann kann man sich noch ein paar Sachen überlegen. 16:57.590 --> 17:03.710 Wenn ich zweimal das Komplement bilde, zweimal negieren, sollte 17:03.710 --> 17:05.650 eigentlich die Identität bilden. 17:05.650 --> 17:06.910 Habe ich hier natürlich auch. 17:09.670 --> 17:16.190 Wenn z das Zweierkomplement von y ist und y das Zweierkomplement von 17:16.190 --> 17:23.010 x, dann wäre also das z gleich 2 auf m-y, das y ist 2 auf m-x. 17:23.670 --> 17:25.770 Und wenn Sie das hinschreiben, kommt dann natürlich wieder x rein. 17:26.630 --> 17:29.450 Das ist klar, das ist natürlich sinnvoll so definiert. 17:29.990 --> 17:32.350 Wir haben also doppelt negiert hier wieder den alten Wert. 17:32.930 --> 17:36.450 Jetzt kann man sich diesen Zahlenbereich, den man jetzt darstellen 17:36.450 --> 17:40.270 kann, positive und negative Zahlen, auch so aufschreiben wie hier in 17:40.270 --> 17:41.230 diesem Zahlenring. 17:41.350 --> 17:45.610 Wir haben also unsere Zahlen, die jetzt hier, was den dualen Wert 17:45.610 --> 17:48.930 angeht, eigentlich in dieser Richtung aufsteigend angeordnet sind. 17:49.350 --> 17:50.770 0, 1, 2, 3 bis 7. 17:51.610 --> 17:54.790 Und dann geht es mit minus 8, minus 7, minus 6 usw. 17:55.010 --> 17:55.130 weiter. 17:55.270 --> 17:58.530 Das heißt, hier geht es im Prinzip vom Wert her auch aufsteigend, aber 17:58.530 --> 18:01.770 eben entsprechend verschoben, dass wir jetzt negative Zahlen, indem 18:01.770 --> 18:03.750 wir die auch aufsteigend angeguckt haben. 18:04.690 --> 18:11.810 Eigentlich haben wir hier von minus 8 bis 7 die Zahlen angeordnet, 18:12.050 --> 18:17.330 aber der numerische Wert, der ist halt, hier haben wir halt, gehen wir 18:17.330 --> 18:21.430 halt von 2 auf m-1, bringen wir dann auf die 0, wenn wir von der minus 18:21.430 --> 18:22.410 1 auf die 0 gehen. 18:23.290 --> 18:26.610 Gut, das ist also dieses zweite Komplement. 18:27.330 --> 18:31.050 Die Definition ist, dass wir den Wert abziehen von 2 auf m. 18:31.610 --> 18:35.630 Der konkrete Weg, wie wir ein 2-Komplement bilden, ist, dass wir alle 18:35.630 --> 18:37.730 Bits kippen und dann eine 1 addieren. 18:38.270 --> 18:42.010 Das haben wir festgestellt, dass das sinnvoll ist, aufgrund dieser 18:42.010 --> 18:45.870 Darstellung, diesem Vorgang von 2 auf m, x abziehen. 18:46.710 --> 18:47.190 Okay. 18:48.030 --> 18:52.330 Und dann ist hier nochmal dieser Code angegeben, hier an diesem Kreis 18:52.330 --> 18:52.930 dargestellt. 18:53.450 --> 18:55.950 Das ist das, was sich schon auf der vorigen Folie hat. 18:55.950 --> 18:59.730 Wenn wir uns jetzt anschauen, was das heißt bezüglich der Arithmetik, 18:59.770 --> 19:02.390 wir hatten ja gesagt, dass wir Zahlen darstellen, müssen wir das so 19:02.390 --> 19:05.050 machen, dass wir auf einfache Art und Weise die arithmetischen 19:05.050 --> 19:06.670 Operationen ausführen können. 19:07.190 --> 19:09.670 Wenn wir jetzt eine Zahl addieren, was passiert denn dann? 19:10.450 --> 19:16.330 Also ich addiere irgendetwas auf einen Wert hier drauf, dann wandere 19:16.330 --> 19:18.750 ich doch einfach in meinem Ring etwas weiter. 19:20.270 --> 19:24.030 Also 2 plus 5 gibt natürlich 7. 19:25.530 --> 19:26.110 Ja. 19:27.270 --> 19:29.670 2 plus 6 gibt 8. 19:31.230 --> 19:35.610 Das würde uns den Wert liefern, wenn wir die dual addieren, das wäre 19:35.610 --> 19:36.270 bei minus 8. 19:36.370 --> 19:36.870 Das wäre schlecht. 19:37.710 --> 19:41.270 Das heißt, da müssen wir aufpassen, wenn wir hier Zahlen addieren, 19:42.030 --> 19:46.890 dass wir dabei natürlich eventuell unseren Zahlenbereich verlassen 19:46.890 --> 19:47.270 können. 19:48.150 --> 19:51.210 Also klar, wenn wir eine positive Zahl addieren, dann wandern wir 19:51.210 --> 19:54.680 immer entsprechend gegen den Uhrzeigersinn, durch unseren Kreis durch. 19:55.040 --> 19:57.820 Wenn wir eine negative Zahl addieren, dann müssen wir die Zahl 19:57.820 --> 19:58.400 abziehen. 19:58.780 --> 20:03.560 Gehen wir in den Uhrzeigersinn, negative Zahlen addieren, Kreisleben 20:03.560 --> 20:05.140 beginnen in der anderen Richtung. 20:05.600 --> 20:06.220 Im Uhrzeigersinn. 20:07.380 --> 20:11.460 Wenn wir jetzt in zweier Komplementarstellung addieren, dann kann es 20:11.460 --> 20:15.960 sein, dass wir den Zahlenbereich verlassen, beziehungsweise dass wir 20:15.960 --> 20:21.420 hier, wir müssen aufpassen, eine 8 ist hier nicht darstellbar, das ist 20:21.420 --> 20:23.540 außerhalb des Bereichs, das müssen wir erkennen können. 20:23.860 --> 20:24.700 Wie können wir das erkennen? 20:26.200 --> 20:31.460 Also, schauen wir uns mal an, welche Fälle es hier zum Beispiel geben 20:31.460 --> 20:31.800 kann. 20:32.320 --> 20:34.900 Minus 2 plus 3, was ergibt das denn? 20:34.940 --> 20:35.700 Was kommt denn hier raus? 20:36.900 --> 20:41.080 Minus 2 ist diese Zahl, die da oben steht, die 3 ist da unten 20:41.080 --> 20:41.580 angegeben. 20:41.680 --> 20:48.780 Wenn wir die beiden addieren, kommt daraus 1, 0, 0, 0, 1. 20:50.660 --> 20:51.740 Im Überlauf. 20:52.960 --> 20:54.700 Was müsste denn rauskommen? 20:55.680 --> 20:57.640 Es müsste rauskommen minus 1. 21:00.650 --> 21:03.070 Ich meine 1 natürlich, minus 2 plus 3 ergibt 1. 21:03.470 --> 21:06.910 Also die 1 steht hier, 0, 0, 0, 1. 21:08.230 --> 21:12.610 Das ist genau der Wert, der hier steht, 0, 0, 0, 1. 21:13.410 --> 21:18.190 Aber hier ist noch eine 1 dort vorne entstanden. 21:19.690 --> 21:22.990 Und wenn wir uns das hier anschauen, minus 2, minus 3, was passiert 21:22.990 --> 21:23.670 dann? 21:23.870 --> 21:31.210 Wenn ich die beiden addiere, dann kommt raus 1, 1, 0, 0, 21:34.320 --> 21:35.040 1. 21:37.760 --> 21:38.060 So. 21:38.960 --> 21:41.560 Minus 2, minus 3 müsste ja eigentlich... 21:44.400 --> 21:44.960 Ähm... 21:44.960 --> 21:45.760 Das stimmt auch nicht. 21:46.640 --> 21:47.540 Hier kommt eine 1 hin. 21:47.540 --> 21:48.140 Ja. 21:49.140 --> 21:51.080 Da hätten wir nicht so gut produzieren müssen. 21:51.600 --> 21:54.460 1, 1, die beiden werden addiert, gibt eine 0. 21:54.660 --> 21:57.120 Übertrag 1, 3, 1, addiert, gibt eine 1. 21:58.240 --> 21:59.860 Und noch ein Übertrag 1. 22:00.200 --> 22:05.960 Und dieses 1, 0, 1, 1, das ist natürlich gerade die Minus 5. 22:06.060 --> 22:06.560 Das ist so richtig. 22:07.020 --> 22:08.700 Wir haben hier einen Überlauf. 22:09.500 --> 22:11.560 Also diesen Überlauf können wir getrost ignorieren. 22:13.920 --> 22:19.740 Wir reduzieren im Prinzip Modulus 2 hoch N, um die richtige 2 22:19.740 --> 22:21.380 -Komplementzahl zu erhalten. 22:21.760 --> 22:28.340 Das heißt, wenn wir minus 2 und minus 3 addieren, oder minus 2 und 3, 22:28.900 --> 22:31.260 kriegen wir zwar einen Überlauf, aber der interessiert uns gar nicht. 22:31.760 --> 22:35.300 Das kommt das Richtige dabei raus, wenn wir nur die vier signifikanten 22:35.300 --> 22:36.560 Bits betreiben. 22:37.360 --> 22:38.780 Das ist der eine Fall. 22:39.560 --> 22:46.200 Und dann gibt es aber auch noch ein Problem, das wir kriegen, wenn wir 22:46.200 --> 22:47.260 den Bereich überschreiten. 22:47.360 --> 22:49.260 Das hatte ich vorhin angesprochen. 22:49.720 --> 22:52.240 Wenn wir eben aus dem Zahlenbereich rausgehen. 22:52.720 --> 22:55.140 Wenn wir zum Beispiel 7 und 3 addieren. 22:56.040 --> 22:57.640 Also, da komme ich gleich drauf. 22:58.180 --> 23:00.080 Noch kurz zu den anderen Bemerkungen, die hier stehen. 23:00.200 --> 23:04.580 Bei der Subtraktion ist es ganz genauso wie bei der Addition. 23:04.820 --> 23:06.820 Ich addiere ja einfach das Komplement. 23:07.620 --> 23:12.600 Wenn ich eine Zahl subkarieren will, kann ich einfach die negative 23:12.600 --> 23:13.500 Zahl addieren. 23:14.100 --> 23:16.300 Ich brauche also nur die Addition zu betrachten. 23:16.780 --> 23:20.800 Wenn ich multipliziere, dividiere, dann kann ich mir im Prinzip die 23:20.800 --> 23:22.600 Operation für die Addition anschauen. 23:22.980 --> 23:25.620 Das ist ein bisschen komplizierter, was man da alles machen muss. 23:26.160 --> 23:28.980 Darauf gehe ich im Einzelnen nicht ein, aber im Prinzip kann man das 23:28.980 --> 23:34.420 über diese Betrachtung der Addition sich überlegen, wie man bei den 23:34.420 --> 23:38.000 Zweierkomplementzahlen multiplizieren und dividieren muss, damit man 23:38.000 --> 23:39.100 das richtige Ergebnis braucht. 23:39.680 --> 23:41.780 Schauen wir uns jetzt nochmal an diesen Fall der 23:41.780 --> 23:46.340 Bereichsüberschreitung, dass wir tatsächlich Zahlen rausbekommen, die 23:46.340 --> 23:48.340 außerhalb des darstellbaren Bereichs liegen. 23:48.440 --> 23:50.580 Wenn wir 7 und 3 addieren, was passiert denn dann? 23:51.280 --> 23:56.420 Dann kommt doch hier raus, einmal 0, über Trag 1 gibt es dann hier 23:56.420 --> 24:03.480 eine 1, über Trag 1 gibt es dort eine 0, über Trag 1 gibt es hier eine 24:03.480 --> 24:06.220 1 und hier vorne steht eine 0. 24:07.140 --> 24:08.380 Schauen wir uns das mal an. 24:08.740 --> 24:10.580 Was passiert dann? 24:11.280 --> 24:17.320 Die beiden werden addiert, kommt hier eine 0, die beiden werden 24:17.320 --> 24:24.000 addiert, kommt hier über Trag 1, hier haben wir 0 plus 1 ist 1, 1 plus 24:24.000 --> 24:26.420 1 ist 0, über Trag 1. 24:28.000 --> 24:29.720 Was machen wir denn damit? 24:29.880 --> 24:32.500 Wenn wir jetzt so vorgehen würden, wie vorher, dass wir einfach den 24:32.500 --> 24:37.220 Überlauf hier ignorieren, würde hier 1, 0, 1, 0 rauskommen. 24:37.360 --> 24:41.640 1, 0, 1, 0 wäre Minus 6 und völlig verkehrt. 24:41.700 --> 24:43.300 Also 7 plus 3 ist nicht Minus 6. 24:43.440 --> 24:44.760 Das heißt, das wäre hier falsch. 24:45.420 --> 24:46.560 Hier müssen wir anders vorgehen. 24:46.680 --> 24:50.700 Wir haben ja festgestellt, wir sind jetzt außerhalb des Bereichs. 24:51.580 --> 24:55.160 Hier müsste ja, hier wird jetzt ja dargestellt die Zahl 10. 24:56.040 --> 24:57.980 Die Zahl 10 haben wir aber nicht in unserem Zahlenbereich. 24:58.580 --> 25:03.980 Und ich erkenne das ganz einfach dadurch, dass ich das Vorzeichen der 25:03.980 --> 25:13.350 Summe von beiden Vorzeichen der Summanden unterscheide. 25:13.630 --> 25:19.490 Also, das Vorzeichen der Summe in diesem Fall, ich ignoriere ja den 25:19.490 --> 25:21.830 Überlauf, ist 1. 25:22.710 --> 25:25.290 Die beiden Operanten hatten aber Vorzeichen 0. 25:26.750 --> 25:33.930 Und hier ist Vorzeichen der Summe 0 und beide Operanten hatten 25:33.930 --> 25:37.910 Vorzeichen 1, also Minus 1. 25:41.050 --> 25:45.850 Das heißt, wenn bei der Addition von negativen Zahlen eine positive 25:45.850 --> 25:49.310 Zahl rauskommt, oder bei der Addition von positiven Zahlen eine 25:49.310 --> 25:52.290 negative Zahl, dann ist das eine Bereichsüberschreitung. 25:52.790 --> 25:54.590 Und wir können das also einfach daran erkennen. 25:55.270 --> 26:00.090 Das heißt, in der Implementierung so eines Additionswerkes muss man 26:00.090 --> 26:03.930 überprüfen, ob diese Fälle auftreten, ob sich das Vorzeichen oder ob 26:03.930 --> 26:10.270 das erste Bit unterschiedlich ist von beiden Operanten, dann kann ich 26:10.270 --> 26:12.590 sagen, ich habe eine Bereichsüberschreitung und kann entsprechend eine 26:13.290 --> 26:16.270 Fehlermeldung und eine Exception bzw. 26:16.270 --> 26:18.410 ein Fehlersignal nach außen schicken. 26:19.270 --> 26:21.710 Das muss ich halt erkennen können, kann man auf diese Art und Weise 26:21.710 --> 26:26.030 einfach erkennen, wenn man einen Bereich überschreitet und auf diese 26:26.030 --> 26:29.750 Art und Weise können wir also die Additionen und auch die Sonderfälle 26:29.750 --> 26:30.650 darin betrachten. 26:31.250 --> 26:32.550 Das ist hier nochmal zusammengefasst. 26:32.710 --> 26:39.090 Euer Komplement ist also in der Lage die Zahlen von 2 hoch n-1 minus 2 26:39.090 --> 26:42.670 hoch n-1 bis 2 hoch n-1 minus 1 darzustellen. 26:43.270 --> 26:46.750 Das ist unsymmetrisch zum Nullpunkt, weil wir eine gerade Anzahl von 26:46.750 --> 26:51.930 Werten haben und wir haben halt die Null und dann gleich viele eben 26:51.930 --> 26:54.590 nicht gleich viele, sondern eine negative Zahl mehr als die positive 26:54.590 --> 26:54.910 Zahl. 26:56.530 --> 26:58.710 Komplementbildung ist einfach, hat man festgestellt. 26:58.870 --> 27:01.950 Die einfache Vorschrift ist, alle Bits kippen und eins zu eins 27:01.950 --> 27:02.450 agieren. 27:03.710 --> 27:08.810 Die Definition ist natürlich den Wert von x abziehen von 2 hoch n. 27:09.390 --> 27:10.910 Dann habe ich das Komplement gebildet. 27:12.570 --> 27:15.350 Die Subtraktion geschieht über die Addition des Komplementes. 27:15.410 --> 27:16.070 Das hatte ich auch gesagt. 27:16.170 --> 27:19.970 Die Negation der Komplementbildung, Überlaufbehandlung war relativ 27:19.970 --> 27:20.490 einfach. 27:21.210 --> 27:23.270 Einfach Modus 2 hoch n reduzieren. 27:23.270 --> 27:26.430 Das heißt, dass sich das Überlaufbild ignorieren und 27:26.430 --> 27:30.250 Bereichsüberschreitungen erkennen dadurch, dass sich das Vorzeigen von 27:30.250 --> 27:32.390 beiden Argumenten unterscheidet. 27:32.530 --> 27:36.450 Damit hat man dann die wesentlichen Eigenschaften dieser 2-Komplement 27:36.450 --> 27:37.110 -Darstellung. 27:37.870 --> 27:40.750 Und jetzt gibt es auch noch eine andere Darstellung, die ein bisschen 27:40.750 --> 27:41.550 anders ist. 27:42.510 --> 27:45.030 Das bisschen ist gerade der Wert 1, der hier steht. 27:45.170 --> 27:51.110 Wir machen jetzt zum Komplement nicht zu 2 hoch n, sondern zu 2 hoch n 27:51.110 --> 27:51.770 minus 1. 27:52.810 --> 27:54.670 Also fast das Gleiche. 27:55.430 --> 27:56.190 Das ist es auch. 27:56.290 --> 27:59.150 Wir haben also hier im Prinzip die gleichen Sachen stehen. 27:59.230 --> 28:02.510 Hier steht es eben nur 2 hoch n minus 1 plus x. 28:03.270 --> 28:05.750 Und entsprechend sind jetzt hier die positiven und negativen Zahlen 28:05.750 --> 28:08.550 etwas anders dargestellt. 28:09.790 --> 28:14.630 Das Interessante ist, wir haben auf einmal zwei Darstellungen der 28:14.630 --> 28:14.990 Null. 28:16.210 --> 28:17.130 Das sehen Sie gleich. 28:19.090 --> 28:23.250 Wir haben eine positive Null und eine negative Null. 28:24.030 --> 28:27.470 Vier Nullen sind die positive Null. 28:27.610 --> 28:29.270 Vier Einzelnen sind die negative Null. 28:30.010 --> 28:30.990 Das macht natürlich keinen Sinn. 28:31.450 --> 28:34.650 Hier ist halt die 2-Darstellung der Null in diesem Fall. 28:35.050 --> 28:38.790 Und wir haben eine symmetrische Anzahl von positiven und negativen 28:38.790 --> 28:39.430 Werten. 28:39.430 --> 28:40.750 Wieder von 1 bis 7. 28:40.910 --> 28:44.250 Und hier ist eben nicht von minus 1 bis minus 8, sondern von minus 1 28:44.250 --> 28:44.930 bis minus 7. 28:46.290 --> 28:53.170 Und genau wie vorher der Wert des höchstrisikanten Bits, das bn-1, 28:54.750 --> 29:00.730 gibt halt an, ob wir 2 auf n-1 subtrahieren müssen oder nicht, um den 29:00.730 --> 29:03.390 realen Wert der dargestellten Zahl zu bekommen. 29:04.030 --> 29:07.950 Das ist völlig analog zu der Folie beim 2er-Komplement. 29:09.150 --> 29:12.510 Und das Wesentliche ist sich jetzt nicht anzugucken, wie sieht das 29:12.510 --> 29:17.150 denn hier aus mit der Rechenregel, um die Komplementbildung 29:17.150 --> 29:18.290 tatsächlich durchzuführen. 29:19.350 --> 29:22.410 Und da sehen Sie hier in diesem Fall, subtrahieren wir ja einfach von 29:22.410 --> 29:25.050 2 auf n-1 das x. 29:25.630 --> 29:31.410 Das heißt, wenn wir hier 2 auf n-1 stehen haben und davon jetzt um die 29:33.310 --> 29:40.730 4 bis 0 subtrahieren, dann müssen wir halt einfach in dem Fall immer 29:40.730 --> 29:42.510 nur 1-Bi rechnen. 29:42.850 --> 29:43.930 Das heißt, nur die Bits müssen kippen. 29:44.330 --> 29:48.390 Das heißt, in diesem Fall ist es einfacher, wir brauchen nur die Bits 29:48.390 --> 29:49.470 zu kippen. 29:49.730 --> 29:54.690 Nicht mehr eine 1 addieren, wie wir das bei dem 2er-Komplement machen. 29:55.030 --> 29:58.910 Das ist noch einfacher, das auf einer Komplement zu bilden. 29:59.070 --> 30:02.610 Einfach nur alle Bits negieren, dann haben wir das 1er-Komplement. 30:04.270 --> 30:07.310 Und auch in diesem Fall ist es natürlich so, dass wir durch doppelte 30:07.310 --> 30:09.830 Anwendung des 1er-Komplements wieder das x erhalten. 30:10.310 --> 30:13.590 Das ist einfach aus der Definition her so klar. 30:13.950 --> 30:16.110 Und auch hier können wir das Ganze als Zahlenring darstellen. 30:16.670 --> 30:21.010 Und da sieht man hier eben nochmal, die 0 ist halt durch zwei Code 30:21.010 --> 30:24.590 -Wörter dargestellt, die anderen Zeichen entsprechend auf diesem 30:25.630 --> 30:27.710 Zahlenring so angeordnet. 30:28.630 --> 30:32.130 Und die Frage, die wir hier angucken müssen, ist wieder wie sieht das 30:32.130 --> 30:34.710 aus, oder was passiert, wenn wir hier rechnen? 30:35.290 --> 30:37.030 Addition, Subtraktion, genau wie vorher. 30:37.350 --> 30:40.530 Wir addieren einfach die negative Zahl, wenn wir subtragieren wollen. 30:41.790 --> 30:46.570 Und das Ganze ist eben wieder entweder ein Weg gegen den Uhrzeigersinn 30:46.570 --> 30:50.970 oder mit dem Uhrzeigersinn, je nachdem, ob wir etwas positiv addieren 30:50.970 --> 30:52.470 oder negativ addieren. 30:53.690 --> 30:55.810 Der Überlauf kann natürlich wieder entstehen. 30:55.890 --> 30:57.370 Die Frage ist, was passiert denn in diesem Fall? 30:57.570 --> 30:59.370 Das sieht ein bisschen anders aus in diesem Fall. 31:00.710 --> 31:03.030 Addieren wir zwei Zahlen, wieder unsere beiden Zahlen, die wir vorher 31:03.030 --> 31:03.510 auch hatten. 31:04.290 --> 31:05.550 Minus 2 plus 3. 31:05.810 --> 31:10.090 Wenn wir die beiden addieren, kommt hier wieder raus, dual addiert, 0 31:10.990 --> 31:18.330 0 Hier kommt 0 raus, da kommt 0 raus, da kommt auch wieder 1 plus 0 31:18.330 --> 31:24.370 ist 0, 1 plus hier ist 1 und hier ist auch 1. 31:24.450 --> 31:34.230 Also 1, 1, 0, 0 1, 1 0, 0, 1, 1 0, 0 Habe ich richtig gerechnet? 31:35.930 --> 31:38.790 0, 0, 0. 31:39.410 --> 31:40.950 Mein Gott, was mache ich jetzt? 31:44.880 --> 31:45.920 0, 1. 31:46.160 --> 31:46.300 So. 31:51.480 --> 31:58.940 1 plus 1 ist 0, Übertrag 1, 1 plus 1 ist 0, Übertrag 1, 1 plus 1 ist 31:58.940 --> 32:03.380 0, Übertrag 1, 1 plus 1 ist 0, Übertrag 1, ich habe hier den Übertrag. 32:05.260 --> 32:13.680 Und bei Minus 2, Minus 3, 1 plus 0 ist 0, 0 plus 0 ist 0, 1 plus 0 ist 32:13.680 --> 32:19.000 0, 1 plus 1 ist 0, Übertrag 1, dann habe ich hier eine 0 und da die 32:19.000 --> 32:19.620 Übertrag 1. 32:25.540 --> 32:31.000 Es ist 1 plus 1 ist 0, Übertrag 1 gibt hier eine 1 und entsprechend 32:31.000 --> 32:32.000 einen Übertrag von 1. 32:32.380 --> 32:34.400 Also 1, 1, 0, 0, 1. 32:35.060 --> 32:35.940 Jetzt schauen wir uns das an. 32:35.940 --> 32:37.320 Hier haben wir einen Wert 0. 32:37.460 --> 32:38.320 Wir suchen nur die Nullen. 32:40.860 --> 32:44.000 Wir können also nicht so vorgehen wie bei der Zweierkompliment. 32:44.220 --> 32:46.440 Da haben wir eine etwas anders verschobene Darstellung. 32:47.220 --> 32:48.900 Rauskommen soll in dem Fall 1. 32:49.000 --> 32:50.220 Also der Wert soll rauskommen. 32:52.360 --> 32:55.840 Und wir haben aber den Wert hätten wir die 4 Nullen. 32:56.800 --> 32:59.600 Und bei dem anderen steht hier 1, 0, 0, 1. 32:59.720 --> 33:03.540 1, 0, 0, 1 ist hier der Wert. 33:03.540 --> 33:05.860 Jetzt soll aber dieser Wert rauskommen. 33:07.380 --> 33:10.960 Und das können wir ganz einfach bekommen, indem wir diese 1, die hier 33:10.960 --> 33:17.040 vorne steht, einfach nehmen und sie dort drauf addieren. 33:17.920 --> 33:22.020 Dann steht hier 1, 0, 0, 0. 33:22.620 --> 33:23.780 Und das gleiche hier machen. 33:23.880 --> 33:30.480 Diese 1, dort wieder drauf addieren, steht hier und wir addieren 0, 1, 33:30.740 --> 33:31.900 0, 1. 33:32.460 --> 33:32.900 So. 33:33.560 --> 33:36.340 Und das ist also der richtige Wert für Minus 5. 33:36.840 --> 33:39.560 Und die 0, 0, 0, 1 ist der richtige Wert für die 1. 33:41.120 --> 33:44.920 Das heißt, wir haben uns zwar bei der Komplimentbildung gespart, dass 33:44.920 --> 33:47.900 wir noch eine 1 addieren müssen, nach dem Kippen der Bits. 33:48.400 --> 33:53.240 Wir müssen aber bei der Addition den Überlauf, den wir bekommen, also 33:53.240 --> 33:56.400 jeden Überlauf Bit, dürfen das nicht mehr ignorieren. 33:57.320 --> 34:00.040 Das war die Reduktion modulo 2 ON. 34:00.040 --> 34:04.280 Sondern in diesem Fall machen wir die Reduktion modulo 2 ON minus 1. 34:05.700 --> 34:07.860 Das heißt, wir müssen eine 1 addieren. 34:08.860 --> 34:10.080 Das ist genau dieser Punkt. 34:10.200 --> 34:12.220 Das Überlauf-Bit addieren wir praktisch immer. 34:12.760 --> 34:16.580 Wenn das Überlauf-Bit eine 1 ist, wird es halt addiert. 34:16.620 --> 34:18.720 Wenn es eine 0 ist, das geht ja nicht weiter. 34:19.440 --> 34:25.340 Also in diesem Fall müssen wir eine 1 addieren. 34:25.460 --> 34:27.880 Das ist unser Einer-Rücklauf bei dem Einer-Kompliment. 34:29.020 --> 34:33.380 Da haben wir etwas mehr zu tun bei den Additionen, bei der Arithmetik, 34:33.800 --> 34:37.840 bei der Umwandlung, Komplimentbildung haben wir weniger zu tun als bei 34:37.840 --> 34:39.120 dem Zweier-Kompliment. 34:40.500 --> 34:43.800 Damit haben wir also diese Arithmetik uns auch angeschaut. 34:44.840 --> 34:47.240 Und dann gibt es natürlich noch den anderen Fall mit der 34:47.740 --> 34:48.220 Bereichsüberschreitung. 34:48.440 --> 34:49.540 Schauen wir uns das auch wieder an. 34:50.960 --> 34:52.240 Das gleiche wie vorher. 34:52.780 --> 34:54.000 1 und 1 ist 0. 34:54.480 --> 34:56.520 Übertrag 1, dann kriegen wir eine 1. 34:56.940 --> 34:58.520 Übertrag 1, kriegen wir eine 0. 34:58.640 --> 35:00.000 Übertrag 1 ist eine 1. 35:00.400 --> 35:01.440 Davor steht eine 0. 35:01.940 --> 35:05.920 Hier entsprechen die beiden Additionen 0, 1, 0 und 1. 35:06.280 --> 35:16.600 Wieder der Fall, dass das Vorzeichen der Summe hier steht, sich 35:16.600 --> 35:20.840 unterscheidet von dem Vorzeichen der beiden Argumente. 35:21.560 --> 35:24.820 Das heißt, wir haben den Zahlenbereich auch wieder genauso einfach zu 35:24.820 --> 35:28.440 erkennen, wie bei dem Zweier-Kompliment, dass es hier nicht 35:28.440 --> 35:29.040 unterscheidet. 35:30.620 --> 35:34.480 Damit haben wir hier die Eigenschaften wieder ganz einfach 35:34.480 --> 35:35.480 zusammengefasst. 35:35.960 --> 35:39.220 In diesem Fall ist das Ganze tatsächlich symmetrisch zum Nullpunkt. 35:39.780 --> 35:41.460 Da haben wir die 0 zweimal dargestellt. 35:42.140 --> 35:43.400 Komplimentbildung ist einfacher. 35:43.560 --> 35:44.300 Kippen der Bits. 35:45.060 --> 35:47.000 Suchtfraktion ist wieder eine Addition des Kompliments. 35:47.140 --> 35:49.300 Negation entsprechen Komplimentbildung. 35:49.880 --> 35:52.200 Überlaufbehandlung, Reduktionmodus 2 und 1. 35:52.420 --> 35:54.020 Das heißt, wir haben diesen Einer-Rücklauf. 35:54.780 --> 35:57.120 Wir müssen die 1 noch drauf ergreifen. 35:58.080 --> 36:00.500 Einfache Art, wie wir hier Arithmetik machen können. 36:01.340 --> 36:06.040 Und auf diese Art und Weise haben wir also jetzt eine Arithmetik auf 36:06.040 --> 36:09.540 kodierten Zahlen, die negativ und positiv sein können. 36:11.040 --> 36:12.920 So, damit können wir die ganzen Zahlen darstellen. 36:13.080 --> 36:16.120 Jetzt geht es darum, wie wir die reellen Zahlen darstellen können. 36:16.620 --> 36:18.040 Was sind denn eigentlich reelle Zahlen? 36:18.040 --> 36:24.180 Also, reelle Zahlen können rational sein. 36:24.860 --> 36:27.560 Dann habe ich einen Bruch von zwei ganzen Zahlen. 36:28.380 --> 36:29.240 Oder irrational. 36:29.740 --> 36:36.880 Dann haben wir eine Darstellung, die eine unendliche Folge von Dezimal 36:36.880 --> 36:37.280 stellt. 36:37.380 --> 36:39.240 Eine nicht abbrechende Dezimalentwicklung. 36:40.740 --> 36:44.400 Und eine nicht abbrechende Dezimalentwicklung können Sie natürlich in 36:44.400 --> 36:45.480 keinem Rechner darstellen. 36:45.480 --> 36:49.800 Weil wir halt unendlich viele Ziffern darstellen müssen. 36:50.160 --> 36:51.300 Das geht natürlich nicht. 36:52.060 --> 36:53.320 Also wir können... 36:53.320 --> 36:55.220 also wenn wir eine irrationale Zahl haben, 37:00.570 --> 37:02.290 die können wir nicht darstellen. 37:02.390 --> 37:06.430 Diese irrationalen Zahlen können im Rechner nicht exakt dargestellt 37:06.430 --> 37:06.830 werden. 37:08.270 --> 37:14.170 Jede exakte Darstellung einer Zahl, so durch irgendwelche Bits, ist 37:14.170 --> 37:17.970 eine Darstellung, die unendlich viele Bits hat und damit als 37:19.510 --> 37:22.210 Verhältnis von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden kann. 37:23.150 --> 37:26.250 Trotzdem rechnen wir natürlich im Rechner mit reellen Zahlen. 37:27.430 --> 37:29.670 Das sind aber alles im Prinzip rationale Zahlen. 37:29.810 --> 37:33.330 Es sei denn, wir stellen diese irrationalen Zahlen auf symbolische Art 37:33.330 --> 37:34.110 und Weise dar. 37:34.790 --> 37:37.850 Dann können wir damit durchaus umgehen, aber das ist eine andere Ebene 37:37.850 --> 37:39.530 darüber zu reden. 37:39.670 --> 37:43.850 Zunächst mal müssen wir darum gehen, wenn wir reelle Zahlen als N 37:43.850 --> 37:49.330 -Bitworte darstellen können, es geht nur mit endlich vielen Bits und 37:49.330 --> 37:51.750 damit haben wir immer nur rationale Zahlen dargestellt. 37:51.910 --> 37:54.310 Wir haben also jede Zahl nur approximativ dargestellt. 37:56.010 --> 38:00.410 Einfache Beispiele sind natürlich hier 0,5 minus 10,75. 38:00.830 --> 38:02.550 Einfache, reelle Zahlen. 38:03.030 --> 38:05.730 Pi und E sind Beispiele für Zahlen, bei denen wir wissen, das sind 38:05.730 --> 38:06.650 irrationale Zahlen. 38:07.090 --> 38:08.770 Die können wir also nicht exakt darstellen. 38:10.090 --> 38:11.990 Jetzt gibt es Möglichkeiten, das unterschiedlich zu machen. 38:12.090 --> 38:16.330 Das ist eine Möglichkeit zu sagen, ich einige mich darauf, dass ich 38:16.330 --> 38:21.510 immer eine feste Anzahl von Stellen vor und hinter dem Dezimalpunkt 38:21.510 --> 38:21.870 habe. 38:22.790 --> 38:30.870 Zum Beispiel, wenn ich N-Bits habe, dann nehme ich N-M für Vorzeichen 38:31.730 --> 38:41.050 und Zahlen vor dem Punkt und dann habe ich noch M übrig rechts neben 38:41.050 --> 38:41.870 dem Dezimalpunkt. 38:44.150 --> 38:48.710 Eigentlich könnte ich auch sagen, Festpunkt kann auch den Punkt 38:48.710 --> 38:56.170 einfach durch Multiplikation mit 2 hoch M ganz nach rechts 38:56.170 --> 38:56.670 verschieben. 38:57.990 --> 38:59.970 Dann ist das Ganze eine ganze Zahl. 39:01.550 --> 39:05.890 Wenn ich eine solche Zahl, bei der ich M stelle, rechts habe neben dem 39:05.890 --> 39:10.150 Dezimalpunkt, wenn ich einfach mit 2 hoch M multipliziere, kommt eine 39:10.150 --> 39:11.050 ganze Zahl raus. 39:12.690 --> 39:15.250 Und dann kann ich ja das Gleiche machen, wie bei der Darstellung von 39:15.250 --> 39:15.930 ganzen Zahlen. 39:16.570 --> 39:21.890 Falls Festpunkt-Darstellung ganz einfach ist, das Problem ist nur, ich 39:21.890 --> 39:28.290 habe hier das Problem, dass ich nur eine feste Möglichkeit habe, eine 39:28.290 --> 39:30.750 feste Anzahl von Stellen vor dem Komma und hinter dem Komma. 39:32.150 --> 39:38.650 Und wenn ich also irgendeine Zahl darstellen will, wie 1,5 mal 10 hoch 39:38.650 --> 39:45.650 57 oder sowas, das ist durchaus eine Zahl, die interessant wäre, oder 39:45.650 --> 39:49.750 auch 10 hoch minus 57, das sind reelle Zahlen, mit denen ich umgehen 39:49.750 --> 39:51.130 möchte im Rechner. 39:52.350 --> 39:53.650 Wie mache ich das denn? 39:54.230 --> 39:57.090 Also so etwas kann ich mit Festpunkt nicht darstellen. 39:57.410 --> 40:02.550 Wenn ich also sowas darstellen möchte, 10 hoch minus 57 mal plus 57, 40:02.850 --> 40:05.250 dann müsste ich ja beliebig viele Stellen vor und hinter dem Komma 40:05.250 --> 40:05.790 haben können. 40:06.490 --> 40:07.690 Mit N-Bits geht das nicht. 40:08.990 --> 40:10.810 Da muss ich etwas anderes ausrechnen. 40:10.890 --> 40:14.730 Also das hier ist durchaus eine Darstellung, die man wählen kann, die 40:14.730 --> 40:18.890 aber eigentlich eher für die Darstellung nach außen sinnvoll ist, 40:18.990 --> 40:23.290 sofern ich tatsächlich Zahlen in diesem Bereich habe, also zwischen 2 40:23.290 --> 40:29.810 hoch N minus M also kleiner als 2 hoch N minus M und nicht wirklich 40:29.810 --> 40:31.970 kleiner als 0. 40:34.230 --> 40:35.990 Quatsch, nicht kleiner als 1. 40:36.310 --> 40:37.930 Also nicht wesentlich kleiner als 1. 40:39.530 --> 40:42.830 Also hier kann ich im Prinzip die Darstellungsmöglichkeiten der ganzen 40:42.830 --> 40:43.650 Zahlen verwenden. 40:44.270 --> 40:46.090 Festpunktdarstellung ist nicht wirklich interessant. 40:48.470 --> 40:54.530 Wichtiger ist, Zahlen darstellen zu können, die diese Darstellung 40:54.530 --> 40:56.990 haben, wie ich gerade eben angedeutet hatte, also zum Beispiel die 40:56.990 --> 40:58.030 Avogadro -Zahl. 40:59.230 --> 41:02.210 Eine Konstante aus der Chemie. 41:04.570 --> 41:09.870 6,0225 mal 10 hoch 21 oder die Planck-Konstante 6, das Planck'sche 41:09.870 --> 41:10.190 Wirkungsquantum. 41:11.150 --> 41:15.270 6,6 und noch ein paar weitere Ziffern mal 10 hoch minus 34. 41:16.590 --> 41:19.590 Solche Zahlen muss ich auch sinnvoll darstellen können. 41:20.250 --> 41:22.670 Natürlich kann man sich sofort überlegen, naja, ich brauche ja nur 41:22.670 --> 41:24.950 diese Zahl darzustellen. 41:25.790 --> 41:27.130 Das ist irgendein x. 41:27.710 --> 41:30.610 Dann muss ich wissen, es gibt hier irgendeine Basis. 41:32.130 --> 41:34.010 Und es gibt irgendein Exponenten. 41:34.730 --> 41:38.430 Wenn ich mich auf die Basis geeinigt habe, dann brauche ich eigentlich 41:38.430 --> 41:40.330 nur x und e darzustellen. 41:41.370 --> 41:42.590 Natürlich auch das Vorzeichen. 41:43.490 --> 41:44.370 Muss ich auch noch darstellen. 41:44.450 --> 41:46.370 Ob ich jetzt eine positive oder negative Zahl habe. 41:46.510 --> 41:47.590 Aber das wissen wir, wie man das macht. 41:48.470 --> 41:51.470 Entsprechend muss ich mir solche Zahlen geeignete Repräsentierungen 41:51.470 --> 41:52.030 überlegen. 41:52.030 --> 41:56.270 Dann kann ich solche sehr sehr großen und auch sehr sehr kleinen 41:56.270 --> 41:59.810 Zahlen, die also sehr unterschiedliche Größenordnung haben, sinnvoll 41:59.810 --> 42:00.190 darstellen. 42:01.030 --> 42:05.010 Das ist eine übliche Zahl der Art der Darstellung reeller Zahlen. 42:05.810 --> 42:09.050 Natürlich immer nur mit begrenzter Genauigkeit, wenn ich hier nur 42:09.050 --> 42:12.890 entsprechend wenige Dezimalstellen angebe. 42:13.410 --> 42:17.330 Grundsätzlich kann ich natürlich jede reelle Zahl in dieser Form 42:17.330 --> 42:22.150 repräsentieren als x, m mal w hoch i. 42:22.410 --> 42:26.950 Man schreibt nicht x mal w hoch e, sondern m mal w hoch i. 42:27.690 --> 42:31.630 Und ich habe hier also eine sogenannte Mantisse, m und gleich 0. 42:32.530 --> 42:36.190 Und einen Exponenten habe ich jetzt hier i genannt, also eine ganze 42:36.190 --> 42:37.250 Zahl als Exponent. 42:39.430 --> 42:45.030 Und damit das Ganze eindeutig ist, also ich könnte ja jede reelle Zahl 42:45.030 --> 42:48.110 auf sehr unterschiedliche Art und Weise darstellen, also solche 42:48.110 --> 42:51.450 Produkte von Mantisse und Basis hoch Exponent. 42:52.550 --> 42:56.750 Damit das Ganze eindeutig wird, normiere ich meine Gleitpunktzahlen 42:56.750 --> 43:02.930 und sage, die Mantisse soll vom Wert her immer zwischen 1 liegen und 43:02.930 --> 43:04.710 dieser Basis b. 43:05.710 --> 43:09.930 Also wenn ich Basis 10 habe, dann sollen also diese Werte zwischen 0 43:09.930 --> 43:11.210 und 9 liegen. 43:12.290 --> 43:16.890 Hier haben wir zwei Beispiele, wo wir einbeziehen, den Wert, das ist 43:16.890 --> 43:19.030 wieder so 6, irgendwas. 43:20.650 --> 43:22.030 Liegt zwischen 0 und 9. 43:23.390 --> 43:25.170 Und ich habe zwischen 1 und 9. 43:25.290 --> 43:27.370 Zwischen 1 würde ich mindestens 1 haben. 43:28.170 --> 43:31.530 Und dann maximal den Wert b-1. 43:32.310 --> 43:39.450 Wenn ich Basis 2 habe, also Basis 2, das betrachte, hätte ich nur 43:40.030 --> 43:43.830 Zahlen zwischen 1 und kleiner als 2 bei der Mantisse. 43:45.450 --> 43:51.670 Ich habe also als b 0, wie sieht das denn jetzt aus? 43:51.770 --> 44:02.170 Hier meine b irgendwas, ich sag mal hier b r 0, dann kommt hier Punkt 44:02.170 --> 44:09.090 b -1 b-2 hat ich m gesagt. 44:09.090 --> 44:10.270 Zum Beispiel. 44:11.470 --> 44:19.490 Hätte also das b-0 ist also in dem Fall die Ziffer vor dem 44:19.490 --> 44:26.950 Dezimalpunkt und bei den normierten Leitpunktzahlen steht also bei dem 44:26.950 --> 44:31.290 b -0 immer eine Ziffer ungleich 0. 44:32.980 --> 44:35.010 Die anderen tauchen ja gar nicht auf. 44:36.890 --> 44:40.590 Und ich habe also hier immer, wenn ich das zu Basis 2 betrachte, steht 44:40.590 --> 44:44.790 hier also immer eine 1 und dahinter stehen auch irgendwelche anderen 44:44.790 --> 44:45.130 Zahlen. 44:46.190 --> 44:48.770 Und man kann sich einfach überlegen, dass sich halt jede reale Zahl 44:48.770 --> 44:51.410 auf eindeutige Art und Weise darstellen kann als normierte 44:51.410 --> 44:55.950 Leitpunktzahl, wenn ich die Basis festgelegt habe, dann also für jede 44:55.950 --> 45:00.670 Basis natürlich eine eindeutige normierte Leitpunktzahl. 45:02.090 --> 45:02.230 So. 45:02.730 --> 45:06.510 Für b-gleich 10 zum Beispiel hier ein einfaches Beispiel das wäre eben 45:06.510 --> 45:10.270 eine solche Leitpunktzahl 1,017. 45:11.910 --> 45:15.550 Und jetzt überlegt man sich, wenn ich solche Zahlen dargestellt habe, 45:16.090 --> 45:20.310 auf diese Art und Weise also immer als irgendeine Mantisse mal Basis 45:20.310 --> 45:26.410 hoch e1 oder Mantisse m2 mal Basis hoch e2, jetzt möchte ich mit 45:26.410 --> 45:28.490 solchen Zahlen Operationen ausführen. 45:28.710 --> 45:32.210 Ich möchte also agieren, modifizieren, möchte die Werte vergleichen 45:32.210 --> 45:32.970 oder was auch immer. 45:34.210 --> 45:39.590 Also wenn ich die vergleichen möchte in der Größe, dann muss ich ja 45:39.590 --> 45:42.330 erst mal angucken, in welchem Bereich liegen die eigentlich. 45:43.970 --> 45:54.470 Also wenn e1 kleiner als e2 der Exponent der Zahl x1 kleiner als der 45:54.470 --> 45:58.950 Exponent bei der Zahl x2, dann ist natürlich klar, dass x1 kleiner als 45:58.950 --> 45:59.390 x2. 46:01.790 --> 46:07.230 Weil das m ja immer kleiner als b ist, das heißt ich kann durch die 46:07.230 --> 46:13.470 Modifikation mit m, mit der Mantisse, nicht diesen Unterschied 46:13.470 --> 46:15.510 zwischen den beiden Exponenten ausgleichen. 46:16.050 --> 46:21.530 Wenn die gleichen Exponentenhaare e1 und e2 identisch sind, dann ist 46:21.530 --> 46:26.850 natürlich x1 kleiner als x2, wenn die Mantisse von x1 kleiner ist als 46:26.850 --> 46:27.890 die Mantisse von m2. 46:29.550 --> 46:32.570 Das ist also auf die Art und Weise einfach festzustellen. 46:32.670 --> 46:35.830 Ich muss erst mal die Exponenten vergleichen. 46:35.890 --> 46:39.790 Wenn also die Differenz der beiden Exponenten ungleich 0 ist, dann 46:39.790 --> 46:43.550 weiß ich sofort, wie weit die unterschiedlich sind. 46:44.250 --> 46:48.270 Wenn die Differenz der beiden Exponenten 0 ist, dann muss ich mir 46:48.270 --> 46:50.230 anschauen, die Differenz der beiden Mantissen. 46:50.950 --> 46:58.390 Und wenn der halt, wenn m2-m1 halt ungleich 0 ist, dann weiß ich, ich 46:58.390 --> 47:00.970 habe x1 kleiner als x2. 47:02.290 --> 47:05.390 Und wenn ich feststellen will, ob zwei Zahlen gleich sind, was mache 47:05.390 --> 47:05.850 ich denn dann? 47:07.130 --> 47:08.650 Sie haben irgendeine Abfrage. 47:10.090 --> 47:13.970 Sie wollen feststellen, ich mache irgendeine Iteration so lange, bis 47:13.970 --> 47:16.230 irgendwie x gleich y. 47:17.290 --> 47:22.110 Oder x1 gleich x2. 47:22.110 --> 47:26.590 Also x1 gleich x2. 47:26.770 --> 47:29.350 Und dann geht das um die zwei verschiedene Möglichkeiten. 47:30.790 --> 47:37.710 Das Problem ist, natürlich müsste dann e1 gleich e2 sein und m1 gleich 47:37.710 --> 47:38.210 m2. 47:38.550 --> 47:39.350 Das ist schon richtig. 47:39.470 --> 47:40.470 Dann sind die beiden gleich. 47:42.170 --> 47:47.870 In dem Augenblick, wo ich hier Probleme habe mit der Anzahl der 47:47.870 --> 47:51.930 darstellbaren Bits, bekomme ich allerdings Probleme, damit ich Sie an 47:51.930 --> 47:53.330 dieser Stelle gleich darauf hinweisen. 47:54.810 --> 48:00.210 Sie haben, wenn Sie nur eine endliche Anzahl von Bits zur Verfügung 48:00.210 --> 48:03.770 haben, für die Darstellung dieser Zahlen, nur einen gewissen 48:03.770 --> 48:05.390 Zahlenbereich für die Mantisse. 48:07.210 --> 48:12.770 Und jetzt gibt es zum Beispiel zwei Möglichkeiten, eine Zahl, ich sag 48:12.770 --> 48:13.510 mal einfach die Zahl 48:18.190 --> 48:27.530 1.999999 die Zahl 1.999999 und die Zahl 2.000000. 48:28.530 --> 48:30.590 Die sind ja als reale Zahlen eigentlich identisch. 48:31.170 --> 48:33.130 In der Darstellung aber unterschiedlich. 48:35.430 --> 48:35.610 Ja? 48:37.070 --> 48:40.490 Das heißt, wenn Sie auf diese Art und Weise das suchen würden, würden 48:40.490 --> 48:42.090 Sie feststellen, die beiden sind verschieden. 48:42.750 --> 48:43.790 Sie sind aber identisch. 48:45.450 --> 48:52.290 Das heißt, man sollte, wenn man in einem Programm eine Abfrage machen 48:52.290 --> 48:57.170 möchte, oder etwas abfragen möchte, in der Art, ob zwei Werte gleich 48:57.170 --> 49:01.130 sind in den Zahlen, dann bekommt man einfach Probleme, weil man diese 49:01.130 --> 49:03.970 Gleichheit eventuell gar nicht feststellen kann. 49:05.090 --> 49:11.130 Das heißt, man sollte dann lieber fragen, ob der Betrag von x1 minus 49:11.130 --> 49:14.690 x2 kleiner als ein y. 49:17.450 --> 49:22.850 Wenn ich das abfragen kann, dann habe ich eine sinnvolle Abfrage. 49:23.210 --> 49:26.290 Es macht bei reellen Zahlen keinen Sinn, auf Gleichheit zu 49:26.290 --> 49:26.710 feststellen. 49:27.990 --> 49:29.350 Das sieht man an dieser Stelle sofort. 49:30.890 --> 49:34.930 Jetzt ist die Frage, wie addiere ich solche Zahlen? 49:35.070 --> 49:36.970 Ich habe zwei Zahlen, die sollen addiert werden. 49:37.870 --> 49:39.010 x1 und x2. 49:40.810 --> 49:45.030 Und da muss ich natürlich zunächst mal dafür sorgen, dass die 49:45.030 --> 49:46.410 Exponenten angeglichen werden. 49:47.230 --> 49:48.870 Ich habe hier meine beiden Zahlen. 49:49.810 --> 49:50.870 Das ist mein Exponent. 49:52.250 --> 49:57.210 Und damit sich die Bits auf die gleiche Stellenwertigkeit beziehen, 49:57.670 --> 50:01.050 kann es eben sein, dass ich die Mantissen gegeneinander verschieben 50:01.050 --> 50:01.310 muss. 50:02.370 --> 50:06.930 Mantissen gegeneinander verschieben heißt, ich muss die Differenz der 50:06.930 --> 50:12.050 beiden Exponenten mir anschauen und muss die eine Mantisse und genau 50:12.050 --> 50:13.430 diese Differenz verschieben. 50:15.050 --> 50:21.230 Dann bekomme ich eine Stellenwertrichtige Anordnung meiner Bits der 50:21.230 --> 50:23.170 beiden Mantissen, M1 und M2. 50:23.970 --> 50:26.570 Und dann kann ich die entsprechend addieren. 50:27.490 --> 50:33.010 Was sind denn dann die richtigen Werte, wenn ich nur eine begrenzte 50:33.010 --> 50:33.810 Zahl von Bits habe? 50:33.930 --> 50:34.890 Da kommen wir später noch drauf. 50:35.330 --> 50:39.150 Auf jeden Fall muss ich also, damit die Zahlen richtig addiert werden, 50:39.150 --> 50:45.530 sagen, ich addiere also M1 mal B hoch E1 und verschobene Mantisse 2 50:45.530 --> 50:47.310 auch mal B hoch E1. 50:48.730 --> 50:53.010 Das gibt dann entsprechend meinen neuen Wert. 50:53.430 --> 50:59.470 Das gibt also M1 plus M2 mal B hoch E2 minus E1 mal B hoch E1. 51:00.550 --> 51:04.270 Und das gibt dann meine neue Gleitpunktzahl. 51:04.910 --> 51:06.210 Jetzt muss die normiert sein. 51:06.210 --> 51:09.230 Das soll eine normierte Gleitpunktzahl sein. 51:09.670 --> 51:16.050 Wenn also dieser Wert, der dort steht, M1 plus M2 mal B hoch E2 minus 51:16.050 --> 51:24.190 E1, wenn der Wert größer wird als B, oder größer gleich B ist, dann 51:24.190 --> 51:26.170 muss ich noch etwas tun. 51:26.270 --> 51:29.330 Wenn er also kleiner ist als B, bin ich in dem Bereich der normierten 51:29.330 --> 51:30.190 Zahlen geblieben. 51:30.630 --> 51:33.630 Dann ist der neue Exponent E1. 51:33.630 --> 51:39.670 Wenn der Wert größer geworden ist, also größer gleich B ist, dann muss 51:39.670 --> 51:42.410 ich im Prinzip den Wert noch mal durch B dividieren. 51:42.530 --> 51:47.130 Und das heißt, ich muss einfach meine Exponenten entsprechend um 1 51:47.130 --> 51:47.590 erhöhen. 51:48.330 --> 51:57.310 Also Mantisse und durch B dividiert heißt, ich muss bei dem Exponenten 51:57.310 --> 51:58.290 eine 1 drauf addieren. 51:59.930 --> 52:01.670 Und dann habe ich das richtig gemacht. 52:01.670 --> 52:03.750 Und das heißt, die Addition ist gar nicht so einfach. 52:03.910 --> 52:04.730 Ich habe mehrere Schritte. 52:05.690 --> 52:12.670 Ich muss zunächst mal die Mantisse verschieben um E2 minus E1. 52:14.450 --> 52:15.750 Das ist der erste Schritt. 52:16.530 --> 52:19.990 Dann muss ich die Mantissen, die so verschobenen Mantissen addieren. 52:20.490 --> 52:22.050 Und dann muss ich noch normieren. 52:22.930 --> 52:24.210 Mehrere Schritte nacheinander. 52:25.890 --> 52:29.790 Das heißt, Leitpunkt Addition ist ein durchaus etwas aufwändiger 52:29.790 --> 52:30.070 Schritt. 52:32.010 --> 52:34.250 Wenn wir subtrahieren, geht es im Prinzip genauso. 52:34.510 --> 52:36.090 Das ist also kein großer Unterschied. 52:37.290 --> 52:44.090 Und bei der Multiplikation da muss ich folgendes machen. 52:44.510 --> 52:49.810 Wenn ich zwei solche normierten Leitpunktzahlen multipliziere, dann 52:49.810 --> 52:53.610 muss ich also einfach M1 und M2 multiplizieren. 52:55.210 --> 52:58.970 Und ich muss die beiden Potenzen multiplizieren. 52:59.130 --> 53:01.070 B hoch E1 mal B hoch E2. 53:01.470 --> 53:03.970 Das gibt aber gerade B hoch E1 plus E2. 53:05.070 --> 53:11.870 Das heißt, ich muss in dem Fall die Exponenten addieren und die 53:11.870 --> 53:16.290 Mantissen multiplizieren und anschließend natürlich noch normieren. 53:16.910 --> 53:20.710 Also in diesem Fall Multiplikation der Mantissen, Addition der 53:20.710 --> 53:23.230 Exponenten und anschließend normalisieren. 53:24.010 --> 53:27.150 Diese beiden Operationen kann ich aber parallel machen, da oben. 53:27.410 --> 53:30.270 Multiplizieren der Mantissen und Addieren der Exponenten, das geht 53:30.270 --> 53:30.890 gleichzeitig. 53:32.210 --> 53:35.450 Während wir hier oben eine strenge Folge von Operationen haben. 53:36.290 --> 53:42.870 Erst verschieben, also erst Exponenten subtrahieren voneinander, dann 53:42.870 --> 53:48.090 verschieben um die Differenz, danach addieren, danach normieren. 53:48.610 --> 53:52.510 Bei der Multiplikation brauche ich nur zu multiplizieren und zu 53:52.510 --> 53:54.670 addieren, das mache ich gleichzeitig und anschließend noch einmal 53:54.670 --> 53:55.070 normieren. 53:55.970 --> 53:56.930 Und dann bin ich damit fertig. 53:59.050 --> 54:03.290 Also das zeigt schon, die Gleitpunkt-Arithmetik ist deutlich 54:03.290 --> 54:08.730 aufwendiger als die einfache Arithmetik auf reellen Zahlen und auch 54:08.730 --> 54:09.550 auf ganzen Zahlen. 54:11.250 --> 54:15.690 Das Problem, das ich hier in rot schon angedeutet habe, ist, wir haben 54:15.690 --> 54:17.770 in der Realität Rundungsfehler. 54:17.770 --> 54:21.730 Wir haben nur eine begrenzte Anzahl von Bits zur Verfügung für die 54:21.730 --> 54:24.230 Darstellung von Zahlen und dadurch bekomme ich natürlich viele in der 54:24.230 --> 54:24.750 Darstellung. 54:25.370 --> 54:28.230 Und insbesondere, wenn ich solche Operationen mache, da werden Sie 54:28.230 --> 54:30.210 gleich noch Beispiele zu sehen, was da passieren kann. 54:31.370 --> 54:34.590 Also das ist Arithmetik normierter Gleitpunktzahlen. 54:34.770 --> 54:37.790 Wenn Sie eine Drehzahl immer als normierte Gleitpunktzahl darstellen 54:37.790 --> 54:43.130 wollen, müssen Sie entsprechend hier diese Repräsentationen 54:44.030 --> 54:47.010 modifizieren, um richtig addieren zu können und anschließend wieder 54:47.010 --> 54:49.970 die richtige normierte Gleitpunktzahl ermitteln. 54:51.470 --> 54:51.830 Gut. 54:52.190 --> 54:55.290 Jetzt kommen wir zur Dualdarstellung solcher normierten 54:55.290 --> 54:57.850 Gleitpunktzahlen mit einer begrenzten Zahl von Bits. 54:58.950 --> 55:02.970 Das heißt, wir haben N Bits zur Verfügung und wir wissen, es gibt 55:02.970 --> 55:04.610 diese eindeutige Darstellung. 55:05.230 --> 55:06.490 Jetzt müssen wir sehen, wie das passiert. 55:06.570 --> 55:08.270 Natürlich nur x ungleich 0. 55:08.590 --> 55:11.290 Was für x gleich 0 passiert, müssen wir uns nochmal überlegen. 55:13.110 --> 55:17.430 Wie man das darstellen wird, das werden wir gleich noch ansprechen. 55:18.010 --> 55:24.210 Zunächst mal muss ich also eine Zahl ungleich 0 sinnvoll darstellen 55:24.210 --> 55:24.950 mit N Bits. 55:25.450 --> 55:31.270 Und ich teile einfach auf, meine Bits auf die Darstellung der Mantisse 55:31.810 --> 55:34.630 und auf die Darstellung des Exponenten. 55:35.570 --> 55:38.130 Und Sie sehen, auch das ist wieder gar nicht so einfach. 55:38.730 --> 55:43.110 Zunächst mal sage ich, ich nehme k Bits für die Darstellung der 55:43.110 --> 55:44.670 Mantisse einschließlich Vorzeichen. 55:44.790 --> 55:55.370 Das heißt, ich habe k-1 Bits für meine Mantisse und N-k Bits für den 55:55.370 --> 55:56.110 Exponenten. 55:56.510 --> 55:58.030 Jetzt sehen Sie ja gar nicht den Exponenten. 55:58.070 --> 55:59.550 Da steht eine Charakteristik. 56:01.350 --> 56:02.730 Diese Charakteristik. 56:03.810 --> 56:09.510 Der Exponent ist eine Zahl, die kann positiv oder negativ sein. 56:09.510 --> 56:10.350 Eine ganze Zahl. 56:11.310 --> 56:14.810 Und wir wollen natürlich wieder entsprechend die Daten und die ganzen 56:14.810 --> 56:15.710 Zahlen verwenden. 56:17.010 --> 56:19.530 Und damit man die Operation, die wir gerade auf der vorigen Seite 56:19.530 --> 56:22.790 gesehen haben, die wir ausführen müssen, wenn wir noch die 56:23.470 --> 56:26.370 Leitpunktzahlen addieren, modifizieren, subtrahieren, dividieren usw. 56:27.030 --> 56:30.890 Damit wir die auf eine effiziente Art und Weise machen können, wählt 56:30.890 --> 56:36.770 man für die Darstellung des Exponenten eine Darstellung ... 56:39.550 --> 56:40.430 ... 56:40.430 --> 56:44.130 die XSQ-Darstellung des Exponenten. 56:44.650 --> 56:51.410 XSQ hieß doch, ich habe meinen Zahlenstrahl da ist ein bestimmter 56:51.410 --> 56:54.690 Zahlenbereich angegeben, den ich darstellen möchte. 56:56.170 --> 56:59.590 Also ein unterer Wert und ein oberer Wert. 57:00.750 --> 57:03.730 Und ich habe N-Bits zur Verfügung. 57:03.730 --> 57:08.990 Also habe ich hier gerade das ist so etwa 2 hoch N-1 z.B. 57:10.930 --> 57:12.470 N-1 ... 57:13.750 --> 57:15.550 unterschiedliche Arten das darzustellen. 57:16.190 --> 57:24.250 Und hier irgendwie 2 hoch N-1 Wir wissen, da muss ich überlegen. 57:24.510 --> 57:27.930 Einer Kompliment, zweier Kompliment oder XSQ. 57:28.010 --> 57:33.390 Und XSQ hieß, ich schiebe einfach diesen ganzen Bereich hier nach 57:33.390 --> 57:36.570 rechts um Q-Positionen. 57:37.330 --> 57:42.470 Und das Q soll gerade entsprechend dafür sorgen, dass dieser Wert U 57:42.470 --> 57:43.950 geschoben wird auf die Null. 57:45.570 --> 57:48.710 Das heißt, ich muss genau diesen Wert um diesen Wert das Ganze 57:49.590 --> 57:49.990 verschieben. 57:50.090 --> 57:50.930 Es gibt hier ein N. 57:51.890 --> 57:54.010 N-Bit-Zahlen-Darstellungen. 57:54.390 --> 57:57.750 Wir haben aber nur N-K-Bits zur Verfügung. 57:59.150 --> 58:06.510 Also ist dieses Q, ich sagte, das ist 2 hoch Anzahl der Bits minus 1, 58:06.750 --> 58:14.370 minus 1 2 hoch N-K minus 1, minus 1 Also genau diese Verschiebung um 58:14.370 --> 58:16.830 den halben Zahlenbereich. 58:17.530 --> 58:18.490 Das ist das, was wir machen. 58:18.630 --> 58:23.270 Und der Vorteil ist, dann sind alle unsere Exponenten schön numerisch 58:23.270 --> 58:24.590 aufsteigend dargestellt. 58:25.650 --> 58:29.930 Und ich kann diese Operationen, ist ein Exponent kleiner als der 58:29.930 --> 58:33.910 andere, durch Vergleich der Dualzahlen also einfach diese 58:34.470 --> 58:35.890 Charakteristikwerte machen. 58:36.910 --> 58:40.010 Ich habe hier kein Problem damit, wie bei der Zweierkompliment oder 58:40.010 --> 58:43.650 Einerkompliment -Darstellung, dass bei der Interpretation als Dualzahl 58:43.650 --> 58:45.550 ich mit dem Vorzeichen aufpassen muss. 58:45.990 --> 58:47.750 Dieses Problem ist hier beseitigt. 58:47.970 --> 58:51.170 Das heißt, ich kann Vergleiche von Exponenten sehr einfach machen auf 58:51.170 --> 58:51.870 die Art und Weise. 58:52.910 --> 58:57.130 Und diesen verschobenen Wert, den nennt man dann Charakteristik. 58:58.250 --> 59:02.570 Das heißt, die Charakteristik ist der Wert, den ich bekomme, wenn ich 59:02.570 --> 59:06.450 den Exponenten gerade um den halben Wert des darstellbaren 59:06.450 --> 59:08.110 Zahlenbereichs verschiebe. 59:09.030 --> 59:12.770 Ja, also diese XSQ-Darstellung, dann habe ich hier die schön 59:12.770 --> 59:14.250 dargestellt, alle in diesem Bereich. 59:15.050 --> 59:20.530 Hier die negativen, negativen, positive und entsprechend. 59:21.570 --> 59:24.170 Ist das dann über die Charakteristik so dargestellt. 59:24.750 --> 59:27.910 Und jetzt steht hier die Mantisse, da steht aber auch nicht die 59:27.910 --> 59:31.410 Mantisse, die wir eigentlich haben, sondern Betrag der Mantisse minus 59:31.410 --> 59:31.830 1. 59:33.530 --> 59:34.590 Warum das? 59:35.350 --> 59:39.290 Für die Mantisse machen wir zur Basis 2, äh Quatsch, die 59:40.310 --> 59:41.850 Leitpunktverandachung zur Basis 2. 59:42.330 --> 59:47.310 Bei Basis 2 haben alle Mantissen als erstes Bild vor dem Punkt immer 59:47.310 --> 59:47.890 eine 1. 59:48.510 --> 59:54.350 Danach stehen hier irgendwelche B-1, B-2 und so weiter bis B- und so 59:54.350 --> 59:54.670 weiter. 59:56.010 --> 01:00:00.630 Das heißt, wenn ich weiß, jede Mantisse hat hier vorne eine 1 stehen, 01:00:01.110 --> 01:00:03.010 dann brauche ich diesen Wert nicht abzuspeichern. 01:00:03.490 --> 01:00:05.590 Weil der ja immer da sein muss. 01:00:07.210 --> 01:00:10.530 Abspeichern muss ich nur das, was ich verändern kann und das sind die 01:00:10.530 --> 01:00:11.270 Werte, die dort stehen. 01:00:12.390 --> 01:00:18.410 Deswegen Betrag der Mantisse minus 1 und ich weiß, wenn ich also den 01:00:18.410 --> 01:00:23.070 Wert der Zahl ermitteln möchte, wie dargestellt wird, dann muss ich 01:00:24.210 --> 01:00:25.850 mein Vorzeichen berücksichtigen. 01:00:26.450 --> 01:00:29.110 Minus 1 hoch Vorzeichen bit. 01:00:29.750 --> 01:00:31.810 Wenn das eine 1 ist, steht da also minus 1. 01:00:32.550 --> 01:00:33.970 Wenn das 0 ist, steht dort 0. 01:00:34.950 --> 01:00:37.470 Also minus 1 hoch 0 ist halt 1. 01:00:38.990 --> 01:00:41.010 Und, äh, steht nicht 0, sondern 1 da dann. 01:00:41.350 --> 01:00:44.830 Plus 1 oder Minus 1, je nachdem, ob das auch 0 oder 1 ist. 01:00:44.830 --> 01:00:51.570 Und, äh, dann muss ich auf den Wert, der dort steht, dieses Betrag der 01:00:51.570 --> 01:00:58.330 Mantisse minus 1, das m' 1 draufaddieren und das Ganze modifizieren 01:00:58.830 --> 01:01:00.830 mit dem Exponenten. 01:01:01.570 --> 01:01:05.010 Das heißt, von der Charakteristik, die dargestellt ist, muss ich 01:01:05.010 --> 01:01:10.190 gerade diesen Wert q abziehen, damit ich wieder die richtige 01:01:10.190 --> 01:01:13.870 Rücktransformation mache, auf den tatsächlichen Wert des Exponenten. 01:01:14.870 --> 01:01:21.470 Also das ist die Zahl, die durch diese Darstellung sich ergibt. 01:01:22.170 --> 01:01:26.250 Ich habe also Vorzeichen, ich habe Charakteristik, Mantisse minus 1. 01:01:27.470 --> 01:01:30.110 Und ich muss also minus 1 hoch Vorzeichen bit nehmen. 01:01:30.270 --> 01:01:32.070 Das gibt entweder plus 1 oder minus 1. 01:01:32.730 --> 01:01:36.090 Ich muss auf die Mantisse m'1 addieren, damit ich die richtige 01:01:36.090 --> 01:01:36.910 Mantisse habe. 01:01:37.490 --> 01:01:41.550 Und ich muss von der Charakteristik gerade diesen, äh, 01:01:42.370 --> 01:01:43.830 Verschiebungswert q abziehen. 01:01:43.910 --> 01:01:49.610 Der Verschiebungswert ist gerade die Hälfte des, im Prinzip, mit n 01:01:49.610 --> 01:01:53.190 -bits oder in dem Fall mit n-k-bits darstellbaren Zahlenbereichs. 01:01:54.510 --> 01:01:59.990 Damit habe ich jetzt eine Darstellung für beliebige reelle Zahlen mit 01:01:59.990 --> 01:02:04.330 n -bits bis auf die 0. 01:02:04.970 --> 01:02:07.670 Und natürlich muss ich mir hier auch überlegen, was passiert, wenn ich 01:02:07.670 --> 01:02:10.710 jetzt aus dem darstellbaren Bereich raus laufe. 01:02:11.510 --> 01:02:15.390 Wenn ich Zahlen addiere und ich hab da einfach ja, irgendwie muss da 01:02:15.390 --> 01:02:18.990 was verschieben, dann fallen ja irgendwelche bits weg oder was 01:02:18.990 --> 01:02:22.290 passiert denn, wenn ich eine Zahl, wenn ich auf einmal sehr kleine 01:02:22.290 --> 01:02:24.610 Zahlen habe, was mache ich denn mit den Zahlen zwischen 0 und 1? 01:02:26.730 --> 01:02:27.450 0, irgendetwas. 01:02:27.890 --> 01:02:28.690 Kann ich ja gar nicht darstellen. 01:02:29.970 --> 01:02:34.890 Was passiert dann mit, wenn ich also die Zahl 0,123, na gut, ich 01:02:34.890 --> 01:02:36.890 könnte sie ja einfach verschieben. 01:02:37.890 --> 01:02:42.150 Ja, ich könnte das ja genauso mit 1,23 oder mal 10 und minus 1. 01:02:43.190 --> 01:02:44.170 Das ist ja kein Problem. 01:02:44.310 --> 01:02:47.990 Aber ich kann mir sofort überlegen, es gibt hier Zahlen, die sind 01:02:47.990 --> 01:02:50.830 einfach nicht vernünftig darstellbar. 01:02:51.150 --> 01:02:53.190 Das sind Sonderfälle, auf die ich gleich noch eingehen darf. 01:02:54.970 --> 01:02:57.810 Für diese Darstellung der Zahlen kann man sich nun, also das ist so 01:02:57.810 --> 01:03:00.810 das allgemeine Schema, überlegen, wie teile ich das denn jetzt auf? 01:03:00.850 --> 01:03:01.910 Wie wähle ich den Wert k? 01:03:03.150 --> 01:03:03.990 Wie wähle ich den Wert n? 01:03:04.410 --> 01:03:05.570 Was ist denn da überhaupt sinnvoll? 01:03:05.950 --> 01:03:07.570 Und dafür gibt es internationale Standards. 01:03:07.850 --> 01:03:09.270 Das war zu Anfang nicht der Fall. 01:03:09.370 --> 01:03:10.630 Hier kommt gleich ein Beispiel. 01:03:11.470 --> 01:03:14.870 Sie können sich vorstellen, wenn Sie das auf jedem Rechner 01:03:14.870 --> 01:03:20.730 unterschiedlich machen, dann würden Ihre Programme völlig 01:03:20.730 --> 01:03:23.210 unterschiedliche Ergebnisse liefern, je nachdem, auf welchem Rechner 01:03:23.210 --> 01:03:24.470 Sie diese Programme ausführen. 01:03:25.870 --> 01:03:29.230 Wenn Sie das, je nachdem, wie viele Bits diese Charakteristik und 01:03:29.230 --> 01:03:32.130 Mathese verwenden, hätten Sie unterschiedliche Darstellungen. 01:03:32.750 --> 01:03:37.910 Genau das ist in der Anfangszeit der Rechner so gewesen, dass die 01:03:37.910 --> 01:03:40.570 Darstellung der reellen Zahlen unterschiedlich war. 01:03:41.430 --> 01:03:42.710 Floating Point usw. 01:03:42.850 --> 01:03:43.890 war nicht standardisiert. 01:03:45.310 --> 01:03:48.630 Und in dem Fall ist es einfach nicht möglich, ohne weitaus ein 01:03:48.630 --> 01:03:51.730 Programm von einem Rechner auf den anderen zu übertragen und dort 01:03:51.730 --> 01:03:52.290 laufen zu lassen. 01:03:52.550 --> 01:03:55.750 War in der Anfangszeit der Rechner auch nicht erforderlich, weil man 01:03:55.750 --> 01:03:57.370 ein Programm für einen Rechner geschrieben hat. 01:03:58.530 --> 01:04:02.130 Und sobald Sie diese Programme transferieren, würden Sie 01:04:02.130 --> 01:04:04.310 unterschiedliche Ergebnisse bekommen, wenn die Darstellungen 01:04:04.310 --> 01:04:05.130 unterschiedlich sind. 01:04:05.890 --> 01:04:08.370 Schauen wir uns nochmal kurz an, wie das jetzt nochmal, um das 01:04:08.370 --> 01:04:16.110 Beispiel anzuschauen, wie entsteht also solch eine Leitpunktzahl mit 01:04:16.110 --> 01:04:17.970 einer bestimmten Anzahl von Bits. 01:04:18.330 --> 01:04:21.530 Und hier habe ich jetzt eine sehr einfache Darstellung gewählt. 01:04:21.770 --> 01:04:28.730 Ein Vorzeichen-Bit, 3 Bits für die Charakteristik und 4 Bits für die 01:04:28.730 --> 01:04:29.510 Mantisten. 01:04:30.230 --> 01:04:34.990 Wir wollen Zahl 5,75 als Leitpunktzahl darstellen. 01:04:36.070 --> 01:04:39.110 Das ist eine positive Zahl, deswegen haben wir hier vorne schonmal 01:04:39.110 --> 01:04:40.270 eine Null stehen. 01:04:41.050 --> 01:04:42.010 Das ist ganz einfach. 01:04:42.710 --> 01:04:43.610 Und dann geht es weiter. 01:04:44.930 --> 01:04:47.350 Charakteristik hat 3 Bits. 01:04:48.490 --> 01:04:53.630 3 Bits heißt, ich muss, um das Q zu berechnen, für meine XSQ 01:04:53.630 --> 01:04:57.410 -Darstellung, muss ich von der 3 1 abziehen. 01:04:59.330 --> 01:05:00.970 2 hoch 3 minus 1. 01:05:01.450 --> 01:05:03.810 Und davon noch 1 subtrahieren. 01:05:04.210 --> 01:05:05.790 Es gibt also gerade die Zahl der 1. 01:05:07.350 --> 01:05:08.270 Ich muss also... 01:05:09.050 --> 01:05:11.470 Ich habe ja 8 Zahlen, die ich darstellen kann. 01:05:13.470 --> 01:05:16.910 Die Hälfte ist mal 4 und dann davon nochmal minus 1. 01:05:17.050 --> 01:05:20.310 Das gibt mir dann gerade meine Verschiebung. 01:05:20.410 --> 01:05:21.050 Das ist das Q. 01:05:21.050 --> 01:05:28.030 Also um 3 muss ich den Wert der Charakteristik reduzieren, damit ich 01:05:28.030 --> 01:05:29.010 einen Exponenten bekomme. 01:05:31.070 --> 01:05:32.570 Jetzt habe ich die 5,75. 01:05:34.410 --> 01:05:39.470 Die muss ich jetzt irgendwie umwandeln in eine Leitpunktzahl. 01:05:40.770 --> 01:05:44.410 5,75 ist doch 5 plus 3,40. 01:05:45.290 --> 01:05:49.390 5 ist 2 hoch 2 plus 1. 01:05:51.250 --> 01:05:51.810 Plus... 01:05:51.810 --> 01:05:54.250 Ja, das 3,40 ist ein Halb. 01:05:55.230 --> 01:05:56.690 Plus ein Viertel. 01:05:58.490 --> 01:06:05.530 Das heißt, ich habe hier stehen 2 hoch 2 plus 2 hoch 0 plus 2 hoch 01:06:05.530 --> 01:06:07.310 minus 1 plus 2 hoch minus 2. 01:06:10.410 --> 01:06:16.310 Das heißt doch, das Ganze ist 2 hoch 2 mal, das kann ich mit 2 hoch 2 01:06:16.310 --> 01:06:24.430 aus, dann steht hier 1 plus 1 durch 2 hoch 2 macht 2 hoch minus 2 01:06:24.430 --> 01:06:27.770 entsprechend hier 2 hoch minus 3 und 2 hoch minus 4. 01:06:28.990 --> 01:06:31.510 Das heißt, jetzt habe ich ja eine Darstellung als nur mit der 01:06:31.510 --> 01:06:32.110 Leitpunktzahl. 01:06:33.530 --> 01:06:43.670 2 hoch 2 als erstes Basishochexponent mal 1 plus ein Wert, der ist 01:06:43.670 --> 01:06:45.110 kleiner als 1. 01:06:47.230 --> 01:06:49.830 1, das heißt, da kommt den Faraus 1 Punkt irgendwas. 01:06:50.690 --> 01:06:51.650 Aber das ist ja ganz einfach. 01:06:53.650 --> 01:06:55.150 1, die brauche ich nicht abzuspeichern. 01:06:55.310 --> 01:06:56.950 Dieser 1 hier kann ich ignorieren. 01:06:57.910 --> 01:06:58.930 Da steht hier minus 2. 01:06:59.190 --> 01:07:01.030 Also muss ich an der Stelle eine 1 machen. 01:07:02.090 --> 01:07:05.230 Bei minus 3 muss ich eine 1 machen und bei minus 4 eine 1 machen. 01:07:05.590 --> 01:07:06.290 Und dann eine 0. 01:07:08.510 --> 01:07:10.270 Das ist offensichtlich meine Mantis. 01:07:12.190 --> 01:07:15.050 Und jetzt ist die Frage, was steht denn jetzt bei der Charakteristik? 01:07:15.150 --> 01:07:18.010 Ich muss um 3 verschieben. 01:07:18.410 --> 01:07:19.770 Die Charakteristik ist 2. 01:07:20.690 --> 01:07:28.650 Also, ich muss in dem Fall als Charakteristik 3 addieren, gibt 5. 01:07:29.190 --> 01:07:32.390 Das heißt, in dem Fall muss ich die Lineardarstellung von 5 dorthin 01:07:32.390 --> 01:07:33.850 schreiben, dass gerade 1 0 ist. 01:07:34.730 --> 01:07:41.950 Und damit habe ich meine Darstellung, Dualdarstellung von 5,75 als 01:07:41.950 --> 01:07:50.310 Leitpunktzahl in diesem Schema mit Vorzeichen, Charakteristik und 01:07:50.310 --> 01:07:51.570 Mantisse minus 1. 01:07:52.630 --> 01:07:54.510 Das ist jetzt eine solche Zahl. 01:07:55.530 --> 01:08:01.790 Auf die Art und Weise kann man für beliebige Kombinationen von Bits 01:08:01.790 --> 01:08:06.030 für Charakteristik und Bits für Mantisse kann man also solche Zahlen 01:08:06.030 --> 01:08:06.930 wählen. 01:08:07.450 --> 01:08:10.270 Und natürlich einigt man sich, wie viele Bits man normalerweise 01:08:10.270 --> 01:08:10.950 verwendet. 01:08:11.390 --> 01:08:14.130 Diese Einigung ist das, was man... 01:08:14.530 --> 01:08:16.230 Genau, das hatte ich alles schon gesagt. 01:08:16.450 --> 01:08:18.590 Das ist also unsere Zahl, die habe ich da oben schon hingeschrieben. 01:08:19.710 --> 01:08:24.910 Und jetzt gibt es ein Standard von IEEE, also Standardisierung oder 01:08:24.910 --> 01:08:29.210 das ist halt die Gesellschaft der Ingenieure, Elektrotechnik 01:08:29.210 --> 01:08:29.810 -Ingenieure. 01:08:30.950 --> 01:08:35.050 Und das muss natürlich alles festgelegt werden. 01:08:35.170 --> 01:08:39.770 Da hat man vor 4 Jahren das hat es aktualisiert und hat jetzt folgende 01:08:39.770 --> 01:08:40.250 Darstellung. 01:08:40.590 --> 01:08:41.610 Einfache Genauigkeit. 01:08:41.970 --> 01:08:45.670 Einfach heißt, ich nehme ein Wort hier. 01:08:45.850 --> 01:08:46.570 Ein Wort. 01:08:47.130 --> 01:08:52.770 Speicherwort hat standardmäßig 32 Bits. 01:08:52.990 --> 01:08:55.530 Das heißt von Bit 0 bis zu Bit 31. 01:08:56.290 --> 01:08:56.930 Ich klicke hier nochmal. 01:08:57.850 --> 01:08:59.050 Wortbreite 1. 01:08:59.910 --> 01:09:01.230 Also einfache Genauigkeit. 01:09:01.970 --> 01:09:02.330 Einfach. 01:09:03.250 --> 01:09:03.890 Ein Wort. 01:09:03.890 --> 01:09:08.830 Das ist der Datentyp Float oder Reel in Programmiersprache. 01:09:09.070 --> 01:09:12.930 Wenn wir also in Java Float sagen, dann haben wir eine Darstellung der 01:09:12.930 --> 01:09:14.890 Zahlen mit 32 Bits. 01:09:15.050 --> 01:09:16.190 Mit einer Aufteilung. 01:09:17.170 --> 01:09:19.770 1 Bit für Vorzeichen. 01:09:21.010 --> 01:09:25.050 Entsprechend 8 Bits für die Charakteristik. 01:09:26.130 --> 01:09:28.750 Also 256 mögliche Exponenten. 01:09:28.990 --> 01:09:34.930 Aufgeteilt auf die Bereiche Minus 127 eigentlich. 01:09:35.950 --> 01:09:38.450 Bis 128. 01:09:39.050 --> 01:09:39.590 Aber nein. 01:09:40.170 --> 01:09:42.870 Da sehen Sie in Rot gekennzeichnet kleine Abweichungen. 01:09:43.610 --> 01:09:50.110 Die beiden Werte der kleinste und der größte Exponent die werden als 01:09:50.110 --> 01:09:51.130 Sonderfälle betrachtet. 01:09:51.310 --> 01:09:54.230 Für die Darstellung von Sonderfällen rausgenommen. 01:09:54.890 --> 01:10:00.490 Das heißt, ich habe nur als gültige Exponenten die Werte minus 126 bis 01:10:00.490 --> 01:10:00.990 127. 01:10:02.630 --> 01:10:07.370 Und meine Mantisse hat eigentlich 23 Bits. 01:10:07.990 --> 01:10:09.670 32 minus 9. 01:10:10.490 --> 01:10:13.870 Plus 1, weil ich ja die 1 immer noch im Sinn habe. 01:10:14.390 --> 01:10:17.870 Um also die Werte darzustellen zwischen 1 und... 01:10:17.870 --> 01:10:19.970 Was ist die größte Mantisse, die ich darstellen kann? 01:10:20.690 --> 01:10:22.890 2 hoch minus 23. 01:10:24.590 --> 01:10:28.450 Ja, das ist der größte Wert der Darstellbarkeit. 01:10:28.570 --> 01:10:30.990 Das wäre also dann nur 1 in der Mantisse. 01:10:31.790 --> 01:10:32.950 Das wäre entsprechend dieser Wert. 01:10:34.510 --> 01:10:36.170 Und damit habe ich eine einfache Genauigkeit. 01:10:36.370 --> 01:10:39.790 Damit weiß ich sofort, wo sind die Wertebereiche für meine Karte. 01:10:40.330 --> 01:10:42.750 Wenn ich von einfacher Genauigkeit rede, kann ich auch von doppelter 01:10:42.750 --> 01:10:43.610 Genauigkeit reden. 01:10:43.710 --> 01:10:48.690 Dann habe ich entsprechend 64 Bits, also zwei Worte der Größe 32 Bits. 01:10:50.370 --> 01:10:53.770 Das ist dann doppelte Genauigkeit oder eben im Rechner, in 01:10:53.770 --> 01:10:56.330 Programmiersprachen auf der Datentyp Double. 01:10:57.070 --> 01:11:01.070 Und hier werden für die Charakteristik 11 Bits spendiert. 01:11:01.930 --> 01:11:08.490 Entsprechend habe ich bei den Exponenten Werte zwischen 1000, minus 01:11:08.490 --> 01:11:13.050 1000, eigentlich 23, bis 1024 wie der kleinste und größte Wert. 01:11:13.290 --> 01:11:14.850 Die werden besonders viel reserviert. 01:11:15.550 --> 01:11:20.010 Und meine Mantisse, also wenn ich nur 1 habe, ist der größte 01:11:20.010 --> 01:11:23.630 darstellbare Mantissenwert 2 minus 2 hoch minus 52. 01:11:23.970 --> 01:11:28.510 Weil ich gerade 52 Bits habe, rechts neben dem Dezimalpunkt. 01:11:30.210 --> 01:11:34.050 Entsprechend meine Werte, die ich hier entsprechend alle darstellen 01:11:34.050 --> 01:11:34.330 kann. 01:11:34.670 --> 01:11:36.510 Und dann gibt es noch die Vierfache Genauigkeit. 01:11:37.290 --> 01:11:38.650 Das Ganze wieder mal 2. 01:11:39.190 --> 01:11:41.690 Ich habe 128 Bits im Prinzip zur Verfügung. 01:11:42.070 --> 01:11:43.730 4 32-Bit-Worte. 01:11:45.210 --> 01:11:48.570 Und hier werden standardmäßig 15 Bits spendiert für die 01:11:48.570 --> 01:11:49.270 Charakteristik. 01:11:49.270 --> 01:11:54.330 Und 112 Bits für die Mantisse. 01:11:54.850 --> 01:11:58.110 Entsprechend habe ich dann Exponenten in einem deutlich größeren 01:11:58.110 --> 01:12:01.810 Bereich von minus 2 hoch 14 bis 2 hoch 14. 01:12:02.370 --> 01:12:07.890 Und die Werte der Mantisse werden entsprechend genauer. 01:12:08.290 --> 01:12:15.110 Wir haben hier 112 signifikante Bits rechts neben dem Dezimalpunkt. 01:12:16.990 --> 01:12:22.430 Können Sie sich überlegen, wenn Sie hier bei dieser Mantisse in 01:12:22.430 --> 01:12:27.930 einfacher Genauigkeit 23 Bits rechts neben dem Dezimalpunkt heißt so 01:12:27.930 --> 01:12:31.310 in etwa 7 Dezimalziffern genau. 01:12:33.070 --> 01:12:37.470 Das heißt in etwa Genauigkeit 7 Stellen hinter dem Komma. 01:12:37.810 --> 01:12:39.090 Hier bei einfacher Genauigkeit. 01:12:39.150 --> 01:12:43.170 Entsprechend bei doppelter und Vierfache Genauigkeit eine höhere 01:12:43.170 --> 01:12:45.370 Genauigkeit für die Darstellung Ihrer Zahlen. 01:12:46.390 --> 01:12:49.290 Und jetzt wissen Sie, welche Zahlen Sie darstellen können. 01:12:49.610 --> 01:12:50.650 Auf diese Art und Weise. 01:12:51.710 --> 01:12:54.570 Dann gibt es natürlich noch die Darstellung der Null. 01:12:55.310 --> 01:12:56.690 Ich muss überlegen, wie mache ich das? 01:12:57.350 --> 01:13:01.710 Und was mache ich mit zu großen oder zu kleinen Zahlen? 01:13:02.750 --> 01:13:04.690 Und dafür gibt es Sonderfälle. 01:13:06.370 --> 01:13:07.870 Sogenannte denormalisierte Zahlen. 01:13:09.110 --> 01:13:11.550 Ich möchte auch sehr kleine Zahlen darstellen können. 01:13:11.930 --> 01:13:16.390 Wenn also die Charakteristik Null ist, interpretiere ich meine 01:13:16.390 --> 01:13:17.430 Mantisse anders. 01:13:18.130 --> 01:13:23.430 Dann interpretiere ich sie nicht als 1 Plus M Strich, sondern einfach 01:13:23.430 --> 01:13:24.930 direkt als M Strich. 01:13:25.690 --> 01:13:30.590 Das heißt, ich betrachte dann auch eine Mantisse Null Punkt B Minus 1 01:13:30.590 --> 01:13:34.490 und so weiter bis B Minus... 01:13:37.800 --> 01:13:41.160 K Bits für die Mantisse. 01:13:42.920 --> 01:13:44.720 Das ist also jetzt meine... 01:13:44.720 --> 01:13:46.360 Das habe ich als eine andere Art dargestellt. 01:13:46.460 --> 01:13:47.880 Das sind denormalisierte Zahlen. 01:13:48.820 --> 01:13:50.480 Da verzichte ich auf die führende 1. 01:13:50.600 --> 01:13:51.740 Das ist ein Sonderfall. 01:13:52.700 --> 01:13:56.060 Das kann ich noch in einem anderen kleinen Bereich darstellen, mit dem 01:13:56.060 --> 01:13:56.520 Rechnen. 01:13:57.360 --> 01:13:59.480 Dann muss ich überlegen, wie ich die Null darstelle. 01:14:01.160 --> 01:14:07.060 Da sage ich einfach, wenn Charakteristik und Mantisse Null sind, dann 01:14:07.060 --> 01:14:11.680 also dieses M Strich Null sind die beiden, dann ist die Zahl, die 01:14:11.680 --> 01:14:12.960 dargestellt wird, eine Null. 01:14:13.740 --> 01:14:14.860 Das wird einfach so definiert. 01:14:15.780 --> 01:14:20.160 Und ich möchte auch zu große Zahlen oder vom Betrag zu große Zahlen 01:14:20.160 --> 01:14:21.000 darstellen können. 01:14:22.180 --> 01:14:25.480 Unendlich wird dargestellt als C ist maximal. 01:14:26.360 --> 01:14:27.980 Also der größtmögliche Exponent. 01:14:29.480 --> 01:14:31.760 Und Mantisse ist Null. 01:14:32.660 --> 01:14:34.900 Das ist der Wert Unendlich. 01:14:36.120 --> 01:14:42.660 Und alles andere, was jetzt nicht abgedeckt war, das sind Zahlen, die 01:14:42.660 --> 01:14:43.640 sind nicht abgedeckt. 01:14:44.380 --> 01:14:46.000 Da sagen wir, das ist not a number. 01:14:47.500 --> 01:14:53.480 Das heißt, diese Zahlen werden als nicht ordnungsgemäß dargestellte 01:14:53.480 --> 01:14:54.920 Zahlen repräsentiert. 01:14:55.740 --> 01:14:59.220 Und solche Zahlen können als Ergebnis von mathematischen Berechnungen 01:14:59.220 --> 01:14:59.840 entstehen. 01:15:01.000 --> 01:15:05.340 Und wenn also solche Werte entdeckt werden, bei denen also C maximal 01:15:05.340 --> 01:15:10.620 ist und das M-Strich unlike Null, dann bekommen sie als Fehlermeldung 01:15:10.620 --> 01:15:11.220 not a number. 01:15:12.640 --> 01:15:15.720 Sie wissen das in Java, wenn Sie mit den Zahlen umgehen, ist das eine 01:15:15.720 --> 01:15:20.380 der nötigen Exceptions, dass Sie Null kriegen oder Plus unendlich, 01:15:20.460 --> 01:15:22.400 Minus unendlich oder not a number. 01:15:23.800 --> 01:15:29.020 Das sind entsprechend diese Darstellungen der Zahlen aufgrund des IEEE 01:15:29.020 --> 01:15:30.100 -Standards 7.5.4. 01:15:30.760 --> 01:15:34.680 Wenn Sie dort genauer nachschauen, dann bekommen Sie auch genaue 01:15:34.680 --> 01:15:39.020 Angaben über die Rechenregeln, die Sie also in der Arithmetik, 01:15:39.100 --> 01:15:45.140 Addition, Modifikation und so weiter erarbeiten können mit solchen 01:15:46.180 --> 01:15:46.740 Ausnahmen. 01:15:48.280 --> 01:15:51.540 Da das definierte Rechenregeln sind, können Sie also definiert 01:15:51.540 --> 01:15:53.340 rechnen, ohne dass Ihr Programm abstürzt. 01:15:53.820 --> 01:15:56.360 Sie müssen nur entsprechend dafür sorgen, dass Sie Ihren Programm 01:15:56.360 --> 01:15:59.980 abchecken, ob dort irgendwo eine Exception, not a number, Null oder 01:15:59.980 --> 01:16:01.720 unendlich gesetzt wird. 01:16:03.180 --> 01:16:06.560 Also das sind diese entsprechenden Standards für die Daten und die 01:16:06.560 --> 01:16:06.860 Zahlen. 01:16:07.020 --> 01:16:10.980 Jetzt schauen wir uns an, was heißt das für die Darstellung dieser 01:16:11.680 --> 01:16:12.200 Zahlenbereiche. 01:16:12.340 --> 01:16:12.580 Naja. 01:16:13.820 --> 01:16:15.820 Welche Werte kann ich jetzt eigentlich darstellen? 01:16:20.170 --> 01:16:25.590 Ich beschränke mich jetzt auf die positiven Zahlen und ich habe eine R 01:16:25.590 --> 01:16:28.010 -Bit -Mantisse, eine S-Bit-Charakteristik. 01:16:29.690 --> 01:16:32.870 Dann kann ich die Zahlen natürlich unterschiedlich darstellen. 01:16:32.950 --> 01:16:34.490 Jetzt habe ich hier Mantisse. 01:16:35.290 --> 01:16:36.910 Das ist immer das Gleiche, was hier steht. 01:16:37.030 --> 01:16:39.550 Also was hier steht, ist in dem Bereich das Gleiche, wie das, was da 01:16:39.550 --> 01:16:39.890 steht. 01:16:40.010 --> 01:16:41.490 Auch das Gleiche, wie das, was da steht. 01:16:43.290 --> 01:16:46.450 Und auf der rechten Seite steht jeweils die Charakteristik. 01:16:47.150 --> 01:16:50.450 Das sind alle Werte, die ich hier zulassen kann. 01:16:51.430 --> 01:16:57.190 Also Charakteristik 1 bis Charakteristik 1 kleiner als die maximale 01:16:57.190 --> 01:16:57.950 Charakteristik. 01:16:58.730 --> 01:17:02.510 Das sind die Werte, die wir normal darstellen können. 01:17:03.690 --> 01:17:07.450 Wenn ich also die kleinstnötige Charakteristik mir anschaue, der Wert 01:17:07.450 --> 01:17:10.850 1, der ist also Minus Q im Prinzip. 01:17:12.190 --> 01:17:13.090 Minus Q für 1. 01:17:15.850 --> 01:17:20.570 Dann habe ich eine ziemlich kleine Zahl dargestellt. 01:17:22.390 --> 01:17:25.850 Also ich habe einen kleinen Exponent, 2 hoch Minus irgendwas. 01:17:27.830 --> 01:17:32.210 Und das heißt, ich betrachte hier irgendwelche Zahlen, die liegen sehr 01:17:32.210 --> 01:17:33.590 eng nebeneinander. 01:17:34.830 --> 01:17:36.690 Wie kann ich das differenzieren von 01:17:40.850 --> 01:17:47.910 zwischen 1 und 2 Minus 2 hoch Minus 23 zum Beispiel. 01:17:49.450 --> 01:17:51.670 Und dann schaue ich mir den nächsten Bereich an. 01:17:53.330 --> 01:17:54.330 Geht immer so weiter. 01:17:55.950 --> 01:18:00.070 Und ich habe also hier andere Zahlenbereiche, andere Bereiche, also 01:18:00.070 --> 01:18:01.150 bis K0 zum Beispiel. 01:18:02.370 --> 01:18:05.270 Das ist aber so, dass die Abstände zwischen den einzelnen Zahlen 01:18:05.270 --> 01:18:06.290 natürlich immer größer werden. 01:18:06.350 --> 01:18:11.610 Wenn ich hier hinten mir das betrachte, einen großen Exponenten, habe 01:18:11.610 --> 01:18:18.810 ich aber die gleiche Anzahl von Mantissen, die ich verwenden kann, um 01:18:19.930 --> 01:18:24.130 diesen Exponenten hier irgendwie zu modifizieren. 01:18:24.230 --> 01:18:28.410 Das heißt, ich habe jetzt Werte, die liegen sehr weit auseinander, die 01:18:28.410 --> 01:18:29.090 ich darstellen kann. 01:18:29.190 --> 01:18:33.050 Hier oben liegen sie sehr eng zusammen, hier ein bisschen weiter 01:18:33.050 --> 01:18:35.470 auseinander und hier hinten liegen sie ganz weit auseinander. 01:18:35.610 --> 01:18:38.330 Das heißt, alles, was dazwischen liegt, kann ich natürlich nicht 01:18:38.330 --> 01:18:38.710 darstellen. 01:18:41.010 --> 01:18:45.950 Das heißt, ich habe hier eine wachsende Ungenauigkeit, wachsend mit 01:18:45.950 --> 01:18:48.390 dem Exponenten oder wachsend mit der Charakteristik. 01:18:50.170 --> 01:18:53.830 Und dieser Darstellungsfehler wächst mit der Größe des Exponenten und 01:18:53.830 --> 01:18:58.090 diese Fehler sind einfach inherent mit der Darstellung von reellen 01:18:58.090 --> 01:18:58.910 Zahlen verbunden. 01:19:00.730 --> 01:19:03.190 Sonderfälle hatte ich schon gesagt, da habe ich halt gerade hier dann 01:19:03.190 --> 01:19:03.870 diesen Bereich. 01:19:04.170 --> 01:19:15.210 Ich habe bei den Sonderfällen Mantisse von 0 bis entsprechend ähm 01:19:18.420 --> 01:19:23.580 klar hier Mantisse von 0 bis 0.111 und hier wieder die gleichen 01:19:23.580 --> 01:19:26.780 Mantissen, nur das erste Bit ist jetzt eine 0 und nicht eine 1. 01:19:27.560 --> 01:19:30.400 Hier ist bei der anderen Tabelle immer eine 1. 01:19:31.380 --> 01:19:36.920 Bei der Charakteristik habe ich in diesem Fall also Werte von 0. 01:19:37.020 --> 01:19:40.100 In dem Fall durfte ich eben das Rot darstellen. 01:19:41.180 --> 01:19:48.540 In den Sonderfällen entsprechend die Zahl UNENDLICH ist halt Mantisse 01:19:48.540 --> 01:19:53.740 ist 0 das Elfstrich ist 0 und Charakteristik hat den maximalen Wert, 01:19:53.880 --> 01:19:58.620 dann habe ich hier den Sonderfall UNENDLICH und alle anderen Werte 01:19:58.620 --> 01:20:00.000 sind halt diese Note nach. 01:20:02.040 --> 01:20:04.180 Und jetzt schauen wir uns nochmal an, hier halt mit der 01:20:04.180 --> 01:20:06.320 Gleitpunktdarstellung, das wissen wir ja schon wie das geht. 01:20:07.040 --> 01:20:11.120 Hatte ich eben schon ein paar Folien vorher dargestellt, wie man 01:20:11.120 --> 01:20:14.720 Gleitpunktzahlen addieren kann, genau die Operation müssen wir jetzt 01:20:14.720 --> 01:20:15.040 machen. 01:20:16.300 --> 01:20:18.200 Das Problem ist natürlich, jetzt müssen wir uns mit diesen 01:20:20.120 --> 01:20:20.920 Fehlergeschichten rumschlagen. 01:20:21.440 --> 01:20:26.000 Also wenn ich jetzt 2 Mantissen angleiche, kann es sein, dass so etwas 01:20:26.000 --> 01:20:30.460 passiert, kann aber auch sein, dass ich 2 Mantissen addieren muss, die 01:20:30.460 --> 01:20:31.620 so weit auseinander liegen. 01:20:34.140 --> 01:20:35.660 Ja, welche Werte nehme ich denn dann? 01:20:35.720 --> 01:20:38.580 Ich habe ja nur so viele Bits zur Verfügung, um die Zahl darzustellen. 01:20:39.740 --> 01:20:41.760 Was sind denn dann die richtigen Bits? 01:20:42.800 --> 01:20:47.360 Ist offensichtlich nicht einfach, das werde ich also einige Dinge mir 01:20:47.360 --> 01:20:48.300 genauer angucken müssen. 01:20:49.620 --> 01:20:53.680 Ich habe eventuell Überläufe von Exponenten, wenn ich also große 01:20:53.680 --> 01:20:59.620 Zahlen multipliziere, zum Beispiel 1,9 mal 10 hoch 25, 01:21:03.300 --> 01:21:09.400 das quadriere, kommt ein Exponent raus, der ist 10 hoch 50, Exponent 01:21:09.400 --> 01:21:13.800 50, das heißt, die 50 kann ich nicht einfach lang darstellen, die Zahl 01:21:13.800 --> 01:21:15.540 ist nicht darstellbar, ich bin rausgelaufen. 01:21:16.100 --> 01:21:19.040 Da muss dann entsprechend was Sinnvolles rauskommen, damit muss ich 01:21:19.040 --> 01:21:21.960 umgehen können, das gibt dann halt entsprechend Notename da in dem 01:21:21.960 --> 01:21:22.220 Fall. 01:21:22.860 --> 01:21:26.920 Unterlauf muss ich mir auch angucken können, was passiert, wenn ich so 01:21:26.920 --> 01:21:33.600 analog Zahlen 10 hoch minus 25, wenn ich sowas entsprechend 01:21:35.620 --> 01:21:39.280 multipliziere, kommt irgendwas raus mit 10 hoch minus 50, auch das 01:21:39.280 --> 01:21:41.380 kann ich nicht einfach lang darstellen, habe ich ein Problem. 01:21:42.460 --> 01:21:46.500 Und ich muss aufpassen bei der Addition unterschiedlich großer Zahlen, 01:21:46.680 --> 01:21:49.500 bei der Subtraktion gleich großer Zahlen, ich gebe Ihnen mal ein 01:21:49.500 --> 01:21:50.260 kleines Beispiel. 01:21:51.760 --> 01:21:57.880 Wir haben folgende Operation, in Ihrem Programm steht an der Stelle 01:21:57.880 --> 01:22:06.340 vermutlich irgendein x mal irgendwie y 01:22:10.760 --> 01:22:17.220 plus a minus b. 01:22:20.210 --> 01:22:22.810 Also x mal y plus a minus b. 01:22:23.130 --> 01:22:23.870 Das steht in Ihrem Programm. 01:22:25.190 --> 01:22:26.570 Jetzt passiert folgendes. 01:22:27.590 --> 01:22:35.130 Vielleicht haben Sie das noch so hingeschrieben, x mal y plus a minus 01:22:35.130 --> 01:22:35.650 b. 01:22:37.870 --> 01:22:40.770 Arithmetisch, Addition ist ja assoziativ, völlig egal, welche 01:22:40.770 --> 01:22:42.470 Reihenfolge mit Operation ausfällt. 01:22:43.950 --> 01:22:45.290 Jetzt schauen wir uns das genauer an. 01:22:45.470 --> 01:22:48.330 Die konkreten Werte könnten ja so sein, wie hier angegeben. 01:22:48.850 --> 01:22:54.070 Das x hat den Wert 10 hoch 23, das y den Wert 10 hoch minus 9 und a 01:22:54.070 --> 01:22:55.390 und b sind gerade gleich 1. 01:22:57.710 --> 01:23:02.850 Und jetzt mache ich Addition von links nach rechts. 01:23:03.910 --> 01:23:09.830 Der ist 10 hoch minus 9 plus 1 und ich ziehe davon 1 ab. 01:23:11.850 --> 01:23:19.730 Na ja, 10 hoch minus 9 plus 1 als einfach lange reelle Zahl 01:23:19.730 --> 01:23:24.530 dargestellt oder real Zahl dargestellt liefert den Wert 1. 01:23:26.090 --> 01:23:30.530 Also das wird falsch dargestellt als 1. 01:23:32.710 --> 01:23:36.310 Weil ich das 10 hoch minus 9 gar nicht darstellen kann. 01:23:36.410 --> 01:23:39.290 Das ist so ein Fall, dass die Bits einfach wegfallen. 01:23:39.410 --> 01:23:40.830 Ich gucke mir nur das an, was hier vorne steht. 01:23:41.530 --> 01:23:44.010 Das, was da hinten steht, wird nicht berücksichtigt. 01:23:44.850 --> 01:23:49.310 Das heißt, dann steht hier 1 minus 1, das ist 0, liefert den Wert 0. 01:23:51.190 --> 01:23:55.850 Wenn ich aber andersrum hier rechne, und ich rechne erst 1 minus 1, 01:23:56.110 --> 01:23:56.850 dann steht dort 0. 01:23:58.330 --> 01:24:02.530 Dann steht als Summe in diesem Ausdruck 10 hoch minus 9 plus 0, das 01:24:02.530 --> 01:24:03.430 ist 10 hoch minus 9. 01:24:04.270 --> 01:24:06.570 Und ich qualifiziere das mit 10 hoch 23. 01:24:07.450 --> 01:24:10.550 Dann gibt das 10 hoch 14. 01:24:14.000 --> 01:24:19.380 Und wir sehen, dass wir auf einmal einen Wert bekommen, je nachdem, 01:24:19.520 --> 01:24:22.600 wie wir in welcher Reihenfolge diese Operation ausführen. 01:24:22.600 --> 01:24:25.000 Der eine Wert ist 0, der andere ist 10 hoch 14. 01:24:26.300 --> 01:24:29.920 Das heißt, wir haben riesige Unterschiede in den Werten, einfach 01:24:29.920 --> 01:24:34.480 dadurch, dass wir bei der Addition von Zahlen eben einige Bits 01:24:34.480 --> 01:24:35.040 abschneiden. 01:24:35.100 --> 01:24:38.440 Das kann sich wenig auswirken, kann sich aber auch ganz drastisch 01:24:38.440 --> 01:24:39.680 auswirken, wie in diesem Beispiel. 01:24:41.200 --> 01:24:45.860 Und wenn Sie nicht aufpassen, bei der Formulierung Ihrer Programme, 01:24:46.660 --> 01:24:51.080 und Sie schreiben einfach etwas auf diese Art und Weise hin, oder auch 01:24:51.080 --> 01:24:55.600 auf die Art und Weise, und Sie haben hier ungünstige Kombinationen von 01:24:55.600 --> 01:25:01.160 Zahlenwerten, dann bekommen Sie völlig andere Werte, als es der 01:25:01.160 --> 01:25:02.080 Realität entspricht. 01:25:03.520 --> 01:25:07.000 Deswegen können Sie bei EL-Berechnungen eventuell völlig unsinn 01:25:07.000 --> 01:25:07.520 aufgehen. 01:25:08.600 --> 01:25:11.460 Wenn Werte rauskommen, die haben mit den eigentlichen numerischen 01:25:11.460 --> 01:25:12.480 Werten nichts zu tun. 01:25:13.520 --> 01:25:14.340 Das müssen Sie wissen. 01:25:15.180 --> 01:25:20.160 Dass Sie sich auf die Berechnungen, die auf EL-Zahlen radieren, nie 01:25:20.160 --> 01:25:20.580 verlassen. 01:25:22.240 --> 01:25:26.460 Es sei denn, man hat bei der Implementierung dieser Operationen auf EL 01:25:26.460 --> 01:25:30.600 -Zahlen darauf geachtet, dass solche Fälle entsprechend abgedeckt 01:25:30.600 --> 01:25:30.880 sind. 01:25:32.620 --> 01:25:35.740 Sie sehen, dass das Berechnen mit EL-Zahlen offensichtlich etwas ist, 01:25:35.800 --> 01:25:37.460 was einem Rechner schwierig ist. 01:25:38.960 --> 01:25:41.600 Sie können natürlich einfach da hinschreiben, ich deklariere einfach 01:25:41.600 --> 01:25:43.520 meine Zahlen als Real-Werte, das ist doch ganz einfach. 01:25:43.920 --> 01:25:46.420 Nur, dass das Wertebild rauskommt, ist völlig unzuverlässig. 01:25:47.840 --> 01:25:51.900 Es sei denn, Sie haben genaue Abschätzungen über die Größenordnung der 01:25:51.900 --> 01:25:54.840 Werte, die dort rauskommen, über die entsprechenden Fehler, die 01:25:54.840 --> 01:25:55.320 auftreten. 01:25:55.860 --> 01:26:00.100 Also, die Ergebnisse von Gleichpunktberechnungen können erheblich 01:26:00.100 --> 01:26:01.460 abweichen vom exakten Wert. 01:26:02.160 --> 01:26:04.560 Die Rechengesetze gelten nicht, die sichererweise gelten. 01:26:05.220 --> 01:26:11.480 Und deswegen können Sie bei EL-wertigen Berechnungen eventuell 01:26:11.480 --> 01:26:12.800 drastische Fehler machen. 01:26:12.800 --> 01:26:18.840 Es gibt zig Beispiele von technischen Problemen, die aufgetreten sind 01:26:18.840 --> 01:26:20.660 aufgrund solcher fehlerhafter Berechnungen. 01:26:21.420 --> 01:26:23.720 Weil man eben darauf nicht geeignet beachtet. 01:26:25.940 --> 01:26:29.060 Dann nochmal zu der Null. 01:26:29.900 --> 01:26:34.200 Da hätte ich schon darauf hingewiesen, exaktes Ergebnis Null wird in 01:26:34.200 --> 01:26:38.320 der Regel nicht angenommen, sondern ich bin immer irgendwo in der 01:26:38.320 --> 01:26:38.680 Nähe. 01:26:39.760 --> 01:26:43.280 Ich darf also niemals irgendwie abfragen, ob ein Wert gleich Null ist, 01:26:43.380 --> 01:26:45.820 sondern kann abfragen, ob der Wert kleiner als Y ist. 01:26:46.360 --> 01:26:49.760 Genauso würde ich eben nicht X minus Y gleich Null abfragen, sondern 01:26:49.760 --> 01:26:54.900 ob X minus Y kleiner als irgendein kleiner Wert ist. 01:26:55.800 --> 01:26:58.020 Nur auf diese Art und Weise kann ich damit umgehen. 01:26:58.120 --> 01:27:00.860 Ich kann nicht auf Gleichheit fest und bei der hellen Zahl. 01:27:01.480 --> 01:27:06.280 Macht keinen Sinn, weil Sie dort unsinnige Ergebnisse bekommen. 01:27:07.720 --> 01:27:10.780 Und da hatte ich schon darauf hingewiesen, dass man Probleme bekommt, 01:27:10.960 --> 01:27:14.100 wenn man nicht darauf achtet, auf die Fehlerquellen. 01:27:14.600 --> 01:27:16.840 Man kann anders arbeiten. 01:27:16.960 --> 01:27:23.620 Man kann sagen, naja, ich weiß ja, wenn ich einen Wert X habe, der 01:27:23.620 --> 01:27:30.760 kann liegen zwischen X minus Y und X plus Y. 01:27:31.600 --> 01:27:36.880 Das heißt, ich habe hier nicht einen Wert, sondern ein gewisses 01:27:37.680 --> 01:27:39.940 Intervall, in dem meine Zahl liegt. 01:27:41.380 --> 01:27:49.480 Ich muss also nicht X ob Y rechnen, sondern ich schreibe einfach hin 01:27:49.480 --> 01:27:52.900 IX ob IY. 01:27:53.660 --> 01:27:57.720 Der Intervall von X geeignet verknüpft mit dem Intervall von Y. 01:27:58.460 --> 01:28:01.320 Und dann bekomme ich raus, in welchem Intervall mein Ergebnis liegen 01:28:01.320 --> 01:28:01.620 kann. 01:28:02.520 --> 01:28:03.440 Das ist X-Akte. 01:28:05.260 --> 01:28:09.700 Da kann man also X-Akte-Werte bekommen für das, was rauskommt. 01:28:11.000 --> 01:28:14.140 Da kommt dann heraus, dass der Wert, den man hat, eine riesige 01:28:14.140 --> 01:28:14.920 Unsicherheit hat. 01:28:15.560 --> 01:28:16.680 Aber dann weiß ich das. 01:28:17.100 --> 01:28:18.020 Dann kann ich damit umgehen. 01:28:19.120 --> 01:28:20.480 Solche Dinge sind möglich. 01:28:21.020 --> 01:28:26.000 Es gibt also entsprechende Bibliotheken, es gibt auch Ideen für 01:28:26.000 --> 01:28:32.080 Rechner, also für Prozessoren, solche Dinge konkret mit den Hardwaren 01:28:32.080 --> 01:28:32.760 umzusetzen. 01:28:33.180 --> 01:28:37.140 Dann kann ich genaue Aussagen über die Genauigkeit der Ergebnisse 01:28:37.140 --> 01:28:37.500 machen. 01:28:38.240 --> 01:28:40.420 Es gibt Erweiterungen von Programmiersprachen dafür. 01:28:40.920 --> 01:28:43.580 XSC, also X-Werk Scientific Computation. 01:28:44.300 --> 01:28:46.760 Dafür gibt es entsprechende Bibliotheken, wo die Ausführung der 01:28:46.760 --> 01:28:50.660 Operationen dauert dann deutlich länger, weil ich eben auf einmal auf 01:28:50.660 --> 01:28:53.220 Intervallen rechnen muss und das ist aufwendiger, als wenn ich einfach 01:28:53.220 --> 01:28:54.580 die Zahlen... 01:28:56.160 --> 01:28:59.400 Das war im Prinzip das, was ich in diesem Kapitel vorstellen wollte. 01:28:59.400 --> 01:29:02.920 Es gibt hier noch ein Kapitel, ein Abschnitt untendran, Kodierung zur 01:29:02.920 --> 01:29:03.860 Geheimhaltung. 01:29:04.860 --> 01:29:09.080 Diesen Abschnitt füge ich an, der wird aber... ist jetzt also nicht 01:29:09.080 --> 01:29:13.940 klausurrelevant und wird auch von mir nicht vorgetragen. 01:29:14.040 --> 01:29:15.740 Ich füge ihn einfach dazu, lesen Sie sich das durch. 01:29:16.360 --> 01:29:21.420 Ich habe dazu auch unter den bereitgestellten Materialien auch ein 01:29:21.420 --> 01:29:23.420 Modul, wo Sie sich da noch mehr angucken können. 01:29:24.120 --> 01:29:26.820 Ich finde, das ist einfach ein Thema, das auch was mit Kodierung von 01:29:26.820 --> 01:29:31.200 Informationen zu tun hat, aber geht leider über den Stoff dieser 01:29:31.200 --> 01:29:32.020 Vorlesung hinaus. 01:29:32.500 --> 01:29:36.160 Ein paar Seiten habe ich dazu hinzugefügt, wo es eben darum geht, dass 01:29:36.160 --> 01:29:39.380 man so zeigt, wie man Zahlen kodieren kann und so weiter. 01:29:40.320 --> 01:29:42.900 Wie gesagt, das zeige ich Ihnen nicht in der Vorlesung. 01:29:43.180 --> 01:29:44.400 Mittwoch früh sehen wir uns wieder. 01:29:44.980 --> 01:29:46.740 Da geht es dann um Rechner-Architektur. 01:29:46.920 --> 01:29:47.320 Vielen Dank.