WEBVTT 00:11.130 --> 00:14.070 Guten Tag, meine Damen und Herren, ich würde Sie bitten, mal ein 00:14.070 --> 00:14.910 bisschen ruhiger zu sein. 00:15.870 --> 00:17.590 Wir haben jetzt mehrere Probleme gehabt. 00:17.990 --> 00:20.630 Zum einen, die Medienanlage war gar nicht eingeschaltet, die braucht 00:20.630 --> 00:21.910 aber ein bisschen, bis sie hochfährt. 00:22.370 --> 00:23.330 Das haben wir jetzt gelöst. 00:24.210 --> 00:28.270 Dann hatte ich auf meinem Zettel stehen, dass die Vorlesung im Daimler 00:28.270 --> 00:31.030 Hörsaal stattfindet, wo dann auch so ca. 00:31.130 --> 00:32.330 10 Studenten waren. 00:33.050 --> 00:35.050 Ich habe dann erst gedacht, was ist jetzt los? 00:35.130 --> 00:37.030 Die haben dann gemeint, der Großteil sitzt unten. 00:37.630 --> 00:41.150 Ich glaube, da gab es ein bisschen Verwirrung, weil eigentlich zwei 00:41.150 --> 00:42.530 Hörsäle angegeben sind. 00:43.550 --> 00:45.110 Wir werden es nicht unbedingt übertragen. 00:45.230 --> 00:46.410 Ich denke, die Plätze reichen hier. 00:47.270 --> 00:50.650 Das hat auch ein bisschen fakultäts-taktische Gründe. 00:53.790 --> 00:55.410 Das darf ich vielleicht gar nicht so laut sagen. 00:55.530 --> 00:58.450 Ich glaube, die Fakultät will sich den Raum für die Zukunft 00:58.450 --> 00:58.970 reservieren. 00:59.130 --> 01:02.090 Wenn der einmal weg ist, dann ist er weg. 01:02.750 --> 01:08.170 Dann haben die anderen Fakultäten zugegriffen und die Fakultät 01:08.170 --> 01:11.150 Maschinenbau muss dann wieder auf irgendwelche dubiosen Räume 01:11.150 --> 01:11.730 ausweichen. 01:12.610 --> 01:15.970 Ich persönlich finde den Hörsaal auf jeden Fall besser als zum 01:15.970 --> 01:17.510 Beispiel den Hörsaal am Fasanengarten. 01:25.000 --> 01:30.800 So, jetzt haben Sie eine relativ lange Zeit. 01:32.500 --> 01:37.100 Wahrscheinlich sich nicht so viel mit Mechanik, speziell TM3 01:37.100 --> 01:41.120 beschäftigt, beziehungsweise allgemein mit Dynamik. 01:41.660 --> 01:44.520 Deshalb vielleicht noch ganz kurz, was haben wir eigentlich im letzten 01:44.520 --> 01:45.460 Semester gemacht? 01:46.020 --> 01:46.820 Wo stehen wir? 01:48.060 --> 01:51.500 Hat diejenigen, die schon mit der Aufgabe vom Dynamics Lab begonnen 01:51.500 --> 01:55.140 haben, die müssten wieder ein bisschen in Übung gekommen sein. 01:56.240 --> 01:59.800 Die Übung heute Mittag, die handelt auch vom Dynamics Lab. 02:00.620 --> 02:03.780 Wenn ich richtig informiert bin, fällt deshalb auch nächste Woche die 02:03.780 --> 02:08.920 Vorlesung aus, weil zu Vorlesungs- und Übungsterminen entsprechende 02:08.920 --> 02:09.900 Veranstaltungen sind. 02:11.180 --> 02:16.680 Wir hoffen natürlich mit dem Dynamics Lab, Ihnen a, so ein bisschen 02:16.680 --> 02:21.540 auch beizuzeigen, dass die Dynamik ihre Berechtigung hat. 02:22.360 --> 02:24.780 B, dass die durchaus schön sein kann. 02:25.220 --> 02:31.080 Und ich denke, beim letzten Mal waren die Kritiken eigentlich 02:31.080 --> 02:36.480 vornehmlich positiv, weil man erst einmal so ein bisschen ein Beispiel 02:36.480 --> 02:40.560 hat, wo man das Ganze anwendet, was nicht so ein bisschen exotisch 02:40.560 --> 02:40.760 ist. 02:40.920 --> 02:44.660 Exotisch in dem Sinne, wenn Sie bisher irgendwelche Dinge berechnet 02:44.660 --> 02:47.860 haben, dann war das so zugeschnitten, dass das hauptsächlich darum 02:47.860 --> 02:51.980 ging, dass wir auch die Thematik ein bisschen üben. 02:52.080 --> 02:55.120 Das führt dann dazu, dass das vielleicht keine so praktischen 02:55.120 --> 02:57.900 Beispiele sind und die Studenten und Studentinnen lieben es natürlich 02:57.900 --> 02:58.920 immer ein bisschen praktisch. 03:00.480 --> 03:06.120 Also im letzten Semester haben wir zunächst uns mit der Kinematik 03:06.120 --> 03:10.740 beschäftigt, nämlich der Kinematik bei der Bewegung eines Punktes. 03:11.220 --> 03:16.180 Das führt dann zu Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung. 03:16.360 --> 03:19.760 Wir haben gesehen, es gibt verschiedene Bezugssysteme, in denen wir 03:19.760 --> 03:21.080 die Bewegung beschreiben können. 03:21.460 --> 03:24.940 Wichtig in der Mechanik ist immer ein Inertialsystem, das heißt, wenn 03:24.940 --> 03:27.660 ich die Bewegung in einem bewegten System beschreibe, dann muss ich 03:27.660 --> 03:32.980 auch noch berücksichtigen, dass sich das Bezugssystem bewegt, vor 03:32.980 --> 03:34.980 allen Dingen auch, wenn das Bezugssystem dreht. 03:36.860 --> 03:41.480 Dann haben wir gesehen, für die Bewegung selbst, wenn es jetzt 03:41.480 --> 03:45.340 wirklich um Ortsvektoren geht, da muss ich noch ein Koordinatensystem 03:45.340 --> 03:45.920 einführen. 03:47.040 --> 03:52.340 Bei Kraftvektoren, Momentvektoren und so weiter, da genügt es ja, wenn 03:52.340 --> 03:57.620 ich Einheitsvektoren habe, eine Basis, um die entsprechenden Vektoren 03:57.620 --> 03:58.220 zu beschreiben. 03:58.540 --> 04:01.900 Aber beim Ortsvektor haben wir immer noch irgendwo den Ursprung, von 04:01.900 --> 04:02.880 dem aus wir das messen. 04:03.300 --> 04:10.040 Dann kam als nächstes die Kinetik des Massenpunktes, Lapidar F gleich 04:10.040 --> 04:14.480 m mal a, das kennen wir alle schon, und da war vielleicht das 04:14.480 --> 04:19.420 Schwierigste, wie sieht es aus, wenn wir die Bewegung in einem 04:19.420 --> 04:25.060 bewegten Bezugssystem beschreiben, was für Beschleunigungsanteile gibt 04:25.060 --> 04:28.120 es da und zu was für Trägheitskräften führt das Ganze. 04:28.120 --> 04:32.320 Dann haben wir die Bewegungsgleichung im Grunde genommen in 04:32.320 --> 04:36.020 verschiedener Art und Weise integriert und einmal gibt es den 04:36.020 --> 04:41.100 Impulssatz in integraler Form, beziehungsweise bei der anderen 04:41.100 --> 04:44.660 Integration haben wir gesehen, da werden Energien wichtig. 04:45.500 --> 04:48.820 Kinetische Energie und beim Massenpunkt ein halber mv², 04:49.480 --> 04:55.380 beziehungsweise die Arbeit, die eine Kraft am Massenpunkt verrichtet. 04:56.120 --> 04:59.460 Und dann konnte man noch Potenziale einführen und dann entsprechend 04:59.460 --> 05:03.860 den Arbeitssatz oder auch den Energieerhaltungssatz der Mechanik 05:03.860 --> 05:11.180 formulieren, wenn denn keine mechanische Energie irgendwie in Wärme 05:11.180 --> 05:11.900 umgewandelt wird. 05:14.000 --> 05:17.640 Es wird ja keine Energie vernichtet, sondern nur in eine andere 05:17.640 --> 05:19.100 Energieform umgewandelt. 05:19.940 --> 05:22.180 Das ist ähnlich wie mit Geld und Schulden. 05:24.800 --> 05:28.700 Meistens, wenn man kein Geld mehr hat, hatte man das mal, aber jetzt 05:28.700 --> 05:29.420 hat es jemand anderes. 05:34.040 --> 05:41.400 So, als nächstes kamen dann Massenpunktsysteme. 05:41.620 --> 05:44.740 Das heißt, wir hatten verschiedene Massenpunkte, die in Wechselwirkung 05:44.740 --> 05:45.080 stehen. 05:47.240 --> 05:51.920 Wichtig dabei, innere Kräfte, die zwischen den Massenpunkten wirken, 05:51.920 --> 05:57.860 die führen nicht dazu, dass der Schwerpunkt beschleunigt wird. 05:59.560 --> 06:00.660 Das war der Schwerpunktsatz. 06:02.040 --> 06:07.280 Ein Trallsatz, und da müssen wir ein bisschen aufpassen, wenn alle 06:07.280 --> 06:11.220 Kräfte zwischen den Massenpunkten in Richtung der Verbindungsgeraden 06:11.220 --> 06:14.520 zwischen den Massenpunkten jeweils wirken, also zentrale Kräfte 06:14.520 --> 06:18.160 vorliegen, dann kann man den Trallsatz aus dem Impulssatz herleiten. 06:19.240 --> 06:22.960 Wenn wir das nicht so ohne weiteres sagen können, dann wird plötzlich 06:22.960 --> 06:25.060 der Trallsatz ein eigenständiges Axiom. 06:27.580 --> 06:30.660 Und der nächste Schritt war dann, na gut, wir betrachten jetzt einen 06:30.660 --> 06:36.600 starren Körper, aber nicht in einer allgemeinen Bewegung, sondern in 06:36.600 --> 06:37.660 einer ebenen Bewegung. 06:37.960 --> 06:39.620 Also ich habe hier mal einen Körper mitgebracht. 06:40.220 --> 06:46.260 Wenn der sich irgendwie bewegt, dass die einzelnen Körperpunkte sich 06:46.260 --> 06:49.240 in Ebenen bewegen, die parallel sind, dann spricht man von einer 06:49.240 --> 06:50.120 ebenen Bewegung. 06:50.460 --> 06:54.760 Ganz klar, man hat einen Bezugspunkt auf den Körper, sehr oft ist das 06:54.760 --> 06:58.920 der Schwerpunkt, dessen Lage wird durch zwei Koordinaten beschrieben, 06:59.320 --> 07:02.980 die Orientierung des Körpers wird durch eine Koordinate beschrieben, 07:03.440 --> 07:06.560 meinetwegen den Verdrehwinkel, und die Winkelgeschwindigkeit, und das 07:06.560 --> 07:10.340 macht das Ganze sehr einfach, ist einfach ein Vektor, der senkrecht 07:10.340 --> 07:11.820 auf der Bewegungsebene steht. 07:14.880 --> 07:18.000 Und dann hat man ein paar Sonderfälle in reiner Translation, also was 07:18.000 --> 07:21.340 weiß ich, heißt einfach, dass der Körper sich nicht bewegt. 07:22.240 --> 07:25.800 Dann gab es eine Rotation um eine raumfeste Achse, was weiß ich, wenn 07:25.800 --> 07:29.320 eine Turbine im Turbinenhaus steht und Strom liefern soll, dann dreht 07:29.320 --> 07:32.200 die sich um eine raumfeste Achse, das war so ein Sonderfall. 07:32.920 --> 07:37.500 Oder eben die allgemeine, ebene Bewegung, bei der allgemeinen 07:37.500 --> 07:45.360 Bewegung, da haben wir gesehen, wichtig ist beim Impulssatz, F gleich 07:45.360 --> 07:51.780 M mal A, aber jetzt nicht einfach A, warum? 07:52.540 --> 07:57.000 Die Beschleunigung eines Punktes auf dem Körper ist verschieden, je 07:57.000 --> 07:58.420 nachdem, welchen Punkt ich betrachte. 07:59.000 --> 08:01.460 Das heißt, dort müssen wir wirklich angeben, die Beschleunigung 08:01.460 --> 08:03.120 welchen Punktes, und das war der Schwerpunkt. 08:04.040 --> 08:07.460 F gleich M mal AS, also Beschleunigung des Schwerpunktes. 08:08.100 --> 08:12.140 Und wir haben gesehen, für den Trallsatz gibt es jetzt noch eine 08:12.140 --> 08:19.820 Bilanz, nämlich die Summe aller Momente der Kräfte bezüglich der 08:19.820 --> 08:28.600 vertikalen Achse entspricht dem Massenträgheitsmoment mal der 08:28.600 --> 08:29.380 Winkelbeschleunigung. 08:29.520 --> 08:32.680 Und zwar beziehen wir uns bei einer allgemeinen Bewegung immer 08:32.680 --> 08:36.520 zunächst mal auf den Schwerpunkt, man kann es auch noch ein bisschen 08:36.520 --> 08:40.340 anders machen, oder wenn wir einen raumfesten Drehpunkt haben, dann 08:40.340 --> 08:43.600 könnten wir uns auch auf den raumfesten Drehpunkt beziehen, müssen 08:43.600 --> 08:46.840 dann aber auch das Massenträgheitsmoment entsprechend bezüglich einer 08:46.840 --> 08:48.780 Achse durch diesen Punkt wählen. 08:50.260 --> 08:54.580 Bei der kinetischen Energie war es dann auch relativ einfach, da wird 08:54.580 --> 08:59.140 wichtig, ein halbes Mal Masse mal wiederum Geschwindigkeit des 08:59.140 --> 09:03.300 Schwerpunktes, also ganz wichtig, des Schwerpunktes zum Quadrat, plus 09:03.300 --> 09:09.020 als weiteren Anteil ein Halb Massenträgheitsmoment bezüglich des 09:09.020 --> 09:13.460 Schwerpunktes mal Omega-Quadrat und Omega war die 09:13.460 --> 09:17.220 Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Körper dreht, also Vieh-Punkt 09:17.220 --> 09:17.700 -Quadrat. 09:19.440 --> 09:22.780 Was wir jetzt dann machen, ist eine allgemeinräumliche Bewegung. 09:23.420 --> 09:25.940 Da wird das Ganze ein bisschen komplizierter, das sehen wir dann. 09:27.080 --> 09:29.160 Dann ist es nicht mehr ganz so einfach. 09:29.940 --> 09:33.880 Aber wie gesagt, hier habe ich nochmal ein Beispiel dabei, auch das, 09:34.560 --> 09:35.440 ebene Bewegung. 09:36.020 --> 09:41.440 Wir haben zwei Körper, einer der rotiert um die raumfeste Achse und 09:41.440 --> 09:44.920 der andere, der macht eine allgemein ebene Bewegung, der hat jetzt 09:44.920 --> 09:47.000 keine spezielle Achse, um die er dreht. 09:47.800 --> 09:50.520 Man kann zwar zu jedem Zeitpunkt vielleicht einen Momentanpol 09:50.520 --> 09:53.300 definieren, aber Sie wissen, der Momentanpol, der ändert sich ständig. 09:54.580 --> 09:59.700 Und obwohl dieses System nur zwei Freiheitsgrade hat, macht es doch 09:59.700 --> 10:01.260 manchmal recht lustige Bewegungen. 10:13.730 --> 10:17.590 Kommen wir damit jetzt zu 10:21.450 --> 10:24.610 Systemen von starren Körpern. 10:43.040 --> 10:47.600 Und zwar jetzt auch für eine allgemeinräumliche Bewegung. 11:14.670 --> 11:19.070 Und bei einer allgemeinräumlichen Bewegung haben wir die 11:19.070 --> 11:23.310 Schwierigkeit, bei der ebenen Bewegung, da genügt zur Beschreibung der 11:23.310 --> 11:28.310 Orientierung des Körpers ein Verdrehwinkel, nämlich ein Verdrehwinkel 11:28.310 --> 11:29.510 um die vertikale Achse. 11:30.850 --> 11:34.070 Wenn wir jetzt plötzlich den Körper ganz allgemein sich bewegen 11:34.070 --> 11:40.390 lassen, dann müssen wir uns überlegen, wie können wir eigentlich diese 11:40.390 --> 11:42.250 Orientierung ganz allgemein beschreiben. 11:43.190 --> 11:46.330 Deshalb zunächst mal wieder zurückgehend auf den Einzelkörper. 11:49.730 --> 12:04.340 Also P1, allgemeinräumliche Bewegung eines Einzelkörpers. 12:11.240 --> 12:13.680 Und dazu zunächst mal die entsprechende Kinematik. 12:32.710 --> 12:37.770 Nun, wenn wir wieder dran denken, schon bei der ebenen Bewegung haben 12:37.770 --> 12:38.690 wir das immer so gemacht. 12:39.690 --> 12:45.210 Wir beschreiben die Lage eines Bezugspunktes auf dem Körper. 12:45.610 --> 12:47.950 Das kann zum Beispiel der Schwerpunkt sein, das könnte aber auch ein 12:47.950 --> 12:48.750 anderer Punkt sein. 12:50.470 --> 12:53.630 Und zur Beschreibung dieses Punktes braucht man natürlich drei 12:53.630 --> 12:54.250 Koordinaten. 12:55.730 --> 13:00.190 Da ändert sich im Grunde genommen gegenüber der ebenen Bewegung nicht 13:00.190 --> 13:03.690 sehr viel, nur dass der Bezugspunkt jetzt noch eine dritte Koordinate 13:03.690 --> 13:04.070 kriegt. 13:04.470 --> 13:05.830 Das kann also auch irgendwie abheben. 13:07.470 --> 13:14.130 Deshalb, was besonders schwierig ist, ist die Orientierung und dazu 13:14.130 --> 13:19.270 brauchen wir eben die Grundlagen der räumlichen Drehung. 13:37.540 --> 13:38.360 Wie können wir das machen? 13:42.580 --> 13:46.880 Und wenn wir mal annehmen, unser Hörsaal hier ist das Inertialsystem, 13:47.980 --> 13:52.180 dann wissen wir, wir können das Inertialsystem, oder wir können 13:52.180 --> 13:55.680 Vektoren im Inertialsystem darstellen, indem wir im Inertialsystem 13:55.680 --> 13:57.520 drei feste Einheitsvektoren wählen. 13:58.560 --> 14:02.120 Die nehmen wir am besten orthonormal, das heißt, die sind jeweils 14:02.120 --> 14:07.500 senkrecht aufeinander, orthogonal und die sind normiert, sodass jeder 14:07.500 --> 14:09.240 Einheitsvektor die Länge 1 hat. 14:11.280 --> 14:12.580 Und die machen wir irgendwo fest. 14:15.260 --> 14:20.140 Jetzt habe ich leider nur eine rechte Hand und leider nur dann als 14:20.140 --> 14:21.320 weitere Hand eine linke Hand. 14:21.560 --> 14:23.520 Deshalb wird es jetzt ein bisschen schwierig, das vorzuführen. 14:23.960 --> 14:27.500 Denken Sie sich diese drei Einheitsvektoren hier vom Inertialsystem. 14:28.000 --> 14:33.020 Und jetzt gehe ich her und mache drei andere Einheitsvektoren, 14:33.300 --> 14:36.200 ebenfalls orthonormiert, auf dem Körper fest. 14:37.720 --> 14:41.900 Und die Orientierung des Körpers, die kenne ich jetzt, wenn ich 14:41.900 --> 14:45.940 praktisch die Ausrichtung der Einheitsvektoren bezüglich der 14:45.940 --> 14:49.400 Einheitsvektoren des Inertialsystems kenne. 14:52.640 --> 14:58.620 Also haben wir als Ziel die 15:09.980 --> 15:13.280 Verdrehung eines 15:17.520 --> 15:18.860 orthogonalen Dreibeins, 15:32.920 --> 15:35.200 also fest mit dem Körper verbunden, 15:47.050 --> 15:51.250 gegenüber einem raumfesten Dreibein. 16:15.290 --> 16:27.860 Wir nehmen mal an, dass die Einheitsvektoren des raumfesten, ne, war 16:27.860 --> 16:36.200 mal raumfest, haben wir Einheitsvektoren I1, I2 und I3. 16:37.800 --> 16:40.020 Das erinnert so ein bisschen an ein Inertialsystem. 16:41.820 --> 16:43.600 Und wir haben jetzt auf dem Körper 16:47.560 --> 17:01.580 entsprechende Einheitsvektoren, wir nennen die mal E1, E2 und E3. 17:07.380 --> 17:10.760 Und jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten, die Verdrehung zu 17:10.760 --> 17:11.220 beschreiben. 17:12.740 --> 17:18.040 Eine Möglichkeit besteht mit der Matrix der Richtungscosinus. 17:30.950 --> 17:31.950 Was steckt dahinter? 17:36.840 --> 17:42.220 Nun zunächst mal E1, E2, E3. 17:43.100 --> 17:46.380 Wie auch I1, I2, I3 sind jeweils eine Basis. 17:52.070 --> 17:57.710 Das heißt, ich kann jetzt eigentlich hergehen und kann z.B. 17:57.950 --> 18:21.530 den Einheitsvektor E1 darstellen als M11 mal I1 plus M12 mal I2 plus 18:21.530 --> 18:25.970 M13 mal I3. 18:28.830 --> 18:34.930 Na gut, wir wissen die Quadrate von M11, M12 und M13 aufsummiert, das 18:34.930 --> 18:39.190 müsste eigentlich gerade wieder 1 ergeben, weil ja E1 die Länge 1 hat. 18:39.810 --> 18:48.890 Also E1 dargestellt über die Basis I1 bis I3. 18:49.910 --> 18:52.270 Das gleiche können wir machen für E2 bzw. 18:52.570 --> 18:53.070 E3. 18:53.890 --> 18:57.710 Das heißt, ich kann jetzt das 1 durch 2 ersetzen. 18:59.170 --> 19:03.250 Ich kann aber auch hergehen und kann das so schreiben. 19:04.370 --> 19:19.950 EK ist dann MK1 mal I1 plus MK2 mal I2 plus MK3 mal I3. 19:19.950 --> 19:22.090 Das entspricht also 3 Gleichungen. 19:41.060 --> 19:47.320 Nun solche Summationen kann man oft ein bisschen einfacher darstellen, 19:47.660 --> 19:51.280 wenn man so eine Summationskonvention einführt, das nämlich über 19:51.280 --> 19:53.780 gleiche Indizes aufsummiert wird. 19:53.780 --> 20:02.760 Wie man sieht, hier wird über MK1 I1 MK2 I2 aufsummiert, also könnte 20:02.760 --> 20:13.100 ich auch schreiben EK gleich MKL mal IL. 20:13.860 --> 20:17.700 Das bedeutet, ich summiere über L. 20:17.900 --> 20:19.100 L geht von 1 bis 3. 20:19.830 --> 20:20.900 Sagt das gleiche aus. 20:26.390 --> 20:32.310 Also einsteinische Summationskonvention. 20:41.080 --> 20:46.680 Und die Frage ist jetzt, wie bekommen wir eigentlich das MKL, wie 20:46.680 --> 20:47.680 können wir das ausrechnen? 20:48.680 --> 20:50.540 Ganz einfach. 20:52.540 --> 21:04.760 Wenn wir die Gleichung für EK mit IL multiplizieren, das heißt EK 21:04.760 --> 21:07.940 skalarmultipliziert mit IL. 21:09.600 --> 21:11.000 Was ergibt das? 21:11.660 --> 21:17.420 Das gibt MK1 I1 skalarmultipliziert mit IL. 21:20.720 --> 21:24.840 I1 skalarmultipliziert mit IL, das ist 1, wenn L gerade 1 ist, das ist 21:24.840 --> 21:25.580 aber 0 sonst. 21:27.900 --> 21:40.100 Plus MK2 mal I2 skalarmultipliziert mit IL gibt 0, wenn L von 2 21:40.100 --> 21:49.300 verschieden ist und gibt 1 mal MK2, wenn L gleich 2 ist. 21:49.300 --> 21:55.100 Also letztendlich gibt das gerade MKL. 22:03.990 --> 22:04.670 Das heißt, 22:07.690 --> 22:11.990 wenn wir MKL, K geht von 1 bis 3, L von 1 bis 3 können wir darstellen 22:11.990 --> 22:14.570 in einer Matrix, 3 mal 3. 22:16.750 --> 22:22.630 Und das MKL, das Element MKL, das wird gebildet aus dem Skalarprodukt 22:22.630 --> 22:24.850 von EK mit IL. 22:25.990 --> 22:31.490 Das Skalarprodukt von zwei Vektoren, das bilden wir aber über Betrag 22:31.490 --> 22:37.250 des einen Vektors mal Betrag des anderen Vektors mal Kosinus des 22:37.250 --> 22:38.810 eingeschlossenen Winkels. 22:38.810 --> 22:42.530 Nun, es sind beides Einheitsvektoren, also die Beträge sind 1, bleibt 22:42.530 --> 22:50.170 noch übrig gleich Kosinus des Winkels, der gebildet wird zwischen EK 22:50.170 --> 22:54.860 und IL. 22:54.860 --> 22:57.460 Das 23:02.380 --> 23:20.280 heißt, MKL als Matrix ist dann gerade M11, M12, M13, M21, M22, M23, 23:21.820 --> 23:29.420 M31, M32 und M33. 23:30.980 --> 23:37.140 Wobei jeweils der Kosinus des Winkels drin steht zwischen den 23:37.140 --> 23:38.620 entsprechenden Einheitsvektoren. 23:42.060 --> 23:43.420 Ist die Matrix symmetrisch? 23:58.530 --> 24:00.730 Er sagt, die Matrix ist symmetrisch. 24:01.750 --> 24:03.590 Wer meint, dass die Matrix symmetrisch ist? 24:06.570 --> 24:09.330 Wer meint, dass die Matrix nicht symmetrisch ist? 24:10.290 --> 24:13.970 Das ist die deutliche Minderheit, die deutliche Mehrheit ist 24:13.970 --> 24:14.530 Nichtwähler. 24:16.150 --> 24:21.410 Und Sie sehen wieder, Demokratie ist die schlechteste aller 24:21.410 --> 24:25.570 Staatsformen, ausgenommen aller anderen. 24:28.450 --> 24:30.450 Also, die Demokratie hat versagt. 24:32.830 --> 24:33.590 Warum? 24:34.590 --> 24:36.050 Machen wir ein Beispiel. 24:38.990 --> 24:48.030 M12 ist E1 mal I2. 24:50.110 --> 24:56.410 M21 ist E2, skalar multipliziert mit I1. 24:57.590 --> 25:01.430 Und die beiden Skalarprodukte sind im Allgemeinen eben verschieden. 25:01.730 --> 25:03.570 Also die Matrix ist nicht symmetrisch. 25:07.850 --> 25:12.610 Aber die Elemente, das sind ja insgesamt neun Stück, die sind auch 25:12.610 --> 25:14.130 nicht unabhängig voneinander. 25:14.290 --> 25:14.430 Warum? 25:16.710 --> 25:20.550 Meine Eks, die müssen ja noch Bedingungen erfüllen. 25:20.630 --> 25:23.590 Wir haben gesagt, Eks sind Einheitsvektoren. 25:24.330 --> 25:28.670 Das heißt, E1, skalar mit E1 multipliziert, muss 1 ergeben. 25:28.770 --> 25:29.670 Das ist eine Bedingung. 25:31.130 --> 25:34.970 E2 mit E2 multipliziert, muss 1 ergeben. 25:35.610 --> 25:36.410 Eine zweite Bedingung. 25:37.190 --> 25:39.390 E3 mit E3 muss 1 ergeben. 25:40.050 --> 25:40.930 Eine dritte Bedingung. 25:41.750 --> 25:42.970 Und wir haben gesagt, die sind orthonormiert. 25:43.830 --> 25:47.610 Also E1 mit E2 muss 0 ergeben. 25:47.810 --> 25:48.590 Eine vierte Bedingung. 25:49.370 --> 25:51.030 E1 mit E3 muss 0 ergeben. 25:51.130 --> 25:51.970 Eine fünfte Bedingung. 25:52.390 --> 25:54.990 Und die sechste Bedingung ist E2 mit E3. 25:57.070 --> 26:00.650 Nun, E2 mit E1, das hatten wir schon, das ist keine neue Bedingung. 26:01.150 --> 26:06.570 Also wir haben insgesamt sechs Zwangsbedingungen, welche diese 26:06.570 --> 26:08.050 Elemente noch erfüllen müssen. 26:15.880 --> 26:20.300 Also zusätzlich sechs Bedingungen, 26:28.040 --> 26:35.840 welche die MKL erfüllen müssen. 26:46.960 --> 26:52.120 Nämlich E1 mit E1 gleich 1. 26:53.040 --> 26:57.700 E2 mit E2 multipliziert gleich 1. 26:58.440 --> 27:03.420 E3 mit E3 multipliziert gleich 1. 27:04.280 --> 27:05.280 Das waren die ersten drei. 27:06.800 --> 27:12.380 Und eben E1 mit E2 gleich 0. 27:14.020 --> 27:17.440 E1 mit E3 gleich 0. 27:18.680 --> 27:22.160 E2 mit E3 gleich 0. 27:22.240 --> 27:26.820 Man sieht, E2 mit E1 ist dasselbe wie E1 mit E2 multipliziert skalar. 27:27.280 --> 27:28.280 Das bringt also nichts Neues. 27:28.380 --> 27:32.480 Insgesamt sechs Bedingungen für neun Matrix-Elemente. 27:32.580 --> 27:35.760 Das heißt, im Grunde genommen können wir lediglich über drei Elemente 27:35.760 --> 27:36.400 frei verfügen. 27:37.540 --> 27:42.300 Nicht ganz frei, aber drei kann man irgendwo vorgeben. 27:42.680 --> 27:43.660 Also, 27:55.290 --> 28:06.870 wir haben jetzt insgesamt nur 9 minus 6 gleich 3 unabhängige 28:06.870 --> 28:07.410 Parameter. 28:19.530 --> 28:25.430 Das heißt, die Orientierung können wir mit drei Parametern oder drei 28:25.430 --> 28:27.530 Koordinaten bestimmen. 28:28.650 --> 28:33.850 Jetzt ist die Frage, wie können wir das machen? 28:40.760 --> 28:44.600 Nehmen wir zunächst mal Euler-Winkel. 28:52.180 --> 28:53.120 Was steckt dahinter? 29:00.650 --> 29:04.710 Ich habe hier den Körper. 29:08.350 --> 29:13.470 Und den richte ich jetzt mal so aus, dass die Einheitsvektoren, die 29:13.470 --> 29:16.990 körperfest sind, die gleiche Orientierung haben wie die 29:16.990 --> 29:19.770 Einheitsvektoren des Inertialsystems. 29:19.890 --> 29:22.130 Also einmal so, einmal so. 29:24.330 --> 29:34.330 Und jetzt führe ich drei hintereinander geschaltete Drehungen durch 29:34.330 --> 29:37.590 und da habe ich verschiedene Möglichkeiten. 29:38.510 --> 29:43.970 Im deutschen Sprachgebrauch Euler-Winkel heißt, ich drehe zunächst mal 29:43.970 --> 29:45.970 um die Dreiachse. 29:45.970 --> 29:47.270 Die Dreiachse ist die hier. 29:48.790 --> 29:52.010 Also die Achse in Richtung des Einheitsvektors I3. 29:54.750 --> 29:59.410 Dann drehe ich um die neue Einsachse. 29:59.450 --> 30:02.130 Die neue Einsachse zeigt jetzt nicht mehr senkrecht, sondern ein 30:02.130 --> 30:04.110 bisschen verdreht um den Winkel. 30:05.750 --> 30:08.390 Und dann wiederum um die neue Dreiachse. 30:09.870 --> 30:13.550 Also die drei Winkel, die ich jetzt angegeben habe, die führen genau 30:13.550 --> 30:15.130 zu der Orientierung, wie sie jetzt ist. 30:15.970 --> 30:18.550 Die Schwierigkeit ist natürlich, wenn ich eine allgemeine Orientierung 30:18.550 --> 30:22.110 habe, wie groß müssen dann die Verdrehwinkel sein, die einzelnen. 30:22.530 --> 30:24.870 Das ist noch ein bisschen ein Problem, das behandeln wir auch nicht, 30:25.430 --> 30:27.470 das müsste man dann rückwärts rechnen. 30:28.130 --> 30:31.570 Geht nicht ganz so einfach, aber kann man natürlich auch machen. 30:32.990 --> 30:37.810 Also, lange Rede, kurzer Sinn, wir führen drei Verdrehwinkel ein um 30:37.810 --> 30:39.910 verschiedene Achsen. 30:41.990 --> 30:44.730 Es wird relativ schnell deutlich, da gibt es auch andere 30:44.730 --> 30:45.020 Möglichkeiten. 30:47.010 --> 30:48.730 Deutscher Sprachgebrauch, Kardanwinkel. 30:49.450 --> 30:53.410 Bei Kardanwinkel, da drehe ich, wie das vielleicht der Student oder 30:53.410 --> 31:00.390 die Studentin machen würde, zunächst mal um die Einsachse, dann um die 31:00.390 --> 31:04.470 Zweiachse und zum Schluss um die neue Dreiachse. 31:05.810 --> 31:08.450 Aber, wie gesagt, es gibt verschiedene Möglichkeiten. 31:08.950 --> 31:12.550 Ich kann auch hergehen, zunächst mal um die Zweiachse drehen, dann um 31:12.550 --> 31:16.070 die Dreiachse und dann um die Einsachse. 31:16.730 --> 31:19.590 Oder, wie viele Möglichkeiten gibt es? 31:26.310 --> 31:31.410 Nun, ich kann zunächst mal um die Einsachse drehen. 31:31.410 --> 31:38.470 Wenn ich um die Einsachse gedreht habe, dann kann ich entweder um die 31:38.470 --> 31:42.690 Zweiachse drehen oder um die Dreiachse. 31:42.710 --> 31:45.590 Wenn ich wieder um die Einsachse drehe, dann bringt es nichts Neues. 31:46.450 --> 31:48.970 Also, zweimal um die gleiche Achse drehen bringt nichts. 31:50.090 --> 31:56.670 Jetzt habe ich eins, zwei, eins, drei und jetzt sieht man, als letzte 31:56.670 --> 32:01.030 Drehung bringt es nichts, wenn ich wiederum um die Zweiachse drehe, 32:01.350 --> 32:04.410 sondern in dem Fall müsste ich um die Einsachse oder um die Dreiachse 32:04.410 --> 32:04.770 drehen. 32:04.950 --> 32:07.590 Also, es gibt noch die eins oder eins, zwei, drei. 32:08.470 --> 32:11.390 Und in dem Fall darf ich natürlich als dritte Drehung nicht die 32:11.390 --> 32:18.930 Dreiachse nehmen, sondern entweder die Einsachse oder die Zweiachse. 32:19.770 --> 32:22.430 Und das Gleiche kann ich jetzt machen, wenn ich nicht mit der 32:22.430 --> 32:24.910 Einsachse anfange, sondern mit der Zweiachse. 32:25.670 --> 32:28.490 Das Gleiche kann ich machen, wenn ich mit der Dreiachse zunächst 32:28.490 --> 32:28.870 anfange. 32:29.030 --> 32:32.270 Also insgesamt gibt es zwölf verschiedene Möglichkeiten, derartige 32:32.270 --> 32:39.880 Winkel einzuführen. 32:44.630 --> 32:54.590 Die Winkel, die sich dann ergeben für die einzelnen Drehungen, die 32:54.590 --> 32:58.410 hängen natürlich davon ab, welche Reihenfolge man wählt. 32:59.290 --> 33:01.250 Und da sind wir bei einem anderen Problem. 33:02.150 --> 33:05.330 Wir haben sehr oft irgendwelche Dinge, die Vektoreigenschaft haben. 33:06.290 --> 33:10.910 Bei der Winkelgeschwindigkeit von einem Bezugssystem, da haben wir 33:10.910 --> 33:12.650 schon das als Vektor formuliert. 33:13.770 --> 33:18.770 Wie sieht denn das aus, wenn wir endliche Drehungen haben? 33:22.200 --> 33:23.840 Nun probieren wir das mal aus. 33:23.840 --> 33:27.860 Wenn endliche Drehungen Vektoreigenschaft haben, dann ist die 33:27.860 --> 33:29.740 Reihenfolge der Drehung eigentlich egal. 33:33.880 --> 33:35.400 Ich fange jetzt einfach mal an. 33:39.900 --> 33:42.080 Die Studenten vorne, die helfen mir ein bisschen, die 33:42.080 --> 33:45.260 Ausgangsorientierung ist zu ihnen hingerichtet, die brauchen wir 33:45.260 --> 33:45.740 später wieder. 33:47.020 --> 33:56.360 Ich drehe jetzt mal 90° um die 1-Achse, 90° um die 2-Achse und 90° um 33:56.360 --> 33:57.020 die 3-Achse. 33:57.780 --> 33:59.160 Das zeigt jetzt glaube ich so zu Ihnen. 34:01.480 --> 34:02.020 Sie merken es. 34:02.880 --> 34:04.400 Das war unsere Ausgangslage. 34:05.280 --> 34:15.560 Jetzt drehe ich zunächst mal 90° um die 2-Achse, dann drehe ich 90° um 34:15.560 --> 34:21.360 die 3-Achse und jetzt 90° um die 1-Achse. 34:21.500 --> 34:23.720 Jetzt kriege ich eine andere Orientierung, also da muss ich vorsichtig 34:23.720 --> 34:24.040 sein. 34:24.760 --> 34:26.700 Endliche Drehungen haben keine Vektoreigenschaft. 34:30.140 --> 34:33.400 Infinitesimal kleine Verdrehwinkel, wenn ich die hintereinander 34:33.400 --> 34:35.600 schalte, die haben dann wieder Vektoreigenschaft. 34:36.340 --> 34:40.860 Also wenn man von virtuellen Verdrehungen sprechen würde. 34:41.680 --> 34:44.580 Sie kennen schon den Begriff virtuelle Arbeit, virtuelle Verrückungen 34:44.580 --> 34:45.000 usw. 34:45.820 --> 34:46.620 aus der Statik. 34:48.560 --> 34:52.840 Für sehr kleine Größen haben auch die Winkelverdrehungen dann 34:52.840 --> 34:54.920 letztendlich Vektoreigenschaften, deshalb auch die 34:54.920 --> 34:55.900 Winkelgeschwindigkeit. 34:55.900 --> 35:00.120 Die allgemeine, die nicht nur eine bestimmte Richtung hat, auch die 35:00.120 --> 35:02.180 haben dann letztendlich Vektoreigenschaften. 35:03.700 --> 35:10.680 Kommen wir aber zurück zu unseren Drehungen. 35:12.620 --> 35:16.800 Wir haben gesagt, wir drehen zunächst um die 3-Achse, dann um die neue 35:16.800 --> 35:20.260 1 -Achse und zum Schluss wieder um die neue 3-Achse. 35:20.260 --> 35:23.940 Jetzt wird es ein bisschen kompliziert, das darzustellen. 35:28.270 --> 35:38.750 Nun, da wir jeweils Verdrehungen haben um Achsen, die praktisch neue 35:38.750 --> 35:41.990 und alte Achse eine gemeinsam haben, nennt man das Elementardrehungen. 35:41.990 --> 35:49.290 Also die erste Elementardrehung, die 35:57.090 --> 36:08.380 erfolgt dann um den Winkel Psi und wir haben gesagt um die 3-Achse, 36:09.640 --> 36:15.990 also um die E-3-Achse. 37:13.440 --> 37:16.040 Jetzt wollte ich natürlich vermeiden, dass die Leinwand runter geht. 38:07.720 --> 38:08.860 So, was haben wir hier? 38:18.260 --> 38:22.580 Seht irgendjemand den 38:27.210 --> 38:27.830 Zeigestock? 38:28.910 --> 38:31.730 Wir haben zunächst mal, um das zu verdeutlichen, mal hier ein bisschen 38:31.730 --> 38:38.430 angedeutet, wir haben das Ausgangssystem mit den Einheitsvektoren I1, 38:38.490 --> 38:39.450 I2, I3. 38:39.950 --> 38:43.050 Um das so ein bisschen zu verdeutlichen, so eine Art Pyramide als 38:43.050 --> 38:44.930 Körper, dass man sieht, wie das Ganze dreht. 38:44.930 --> 38:49.350 Jetzt kommt also als nächstes so 38:52.640 --> 38:56.120 eine Drehung um die 3-Achse, um den Winkel Psi. 38:57.900 --> 39:01.760 Bitte stören Sie sich nicht daran, dass an der Stelle anstatt 39:01.760 --> 39:06.400 Einheitsvektor irgendwas mit E jetzt ein Einheitsvektor K' auftritt. 39:06.860 --> 39:11.280 Also K1', K2' und K3'. 39:11.280 --> 39:14.780 Das sind die Einheitsvektoren des gedrehten Systems und zwar des 39:14.780 --> 39:17.300 Systems, was um Psi verdreht ist. 39:18.200 --> 39:24.100 Man sieht K3' gleich I3, also bei uns wäre das E3' gleich I3. 39:32.190 --> 39:35.790 Also E3' gleich I3. 39:37.130 --> 39:43.410 Und dann sehen wir, E1' hat eine Komponente in Richtung von I1, die 39:43.410 --> 39:49.850 Länge von E1' ist gerade 1, also haben wir da eine Länge von Cosinus 39:49.850 --> 39:50.170 Psi. 39:52.110 --> 40:01.610 Also E1' ist Cosinus Psi in Richtung von I1 plus, und wir sehen, der 40:01.610 --> 40:09.330 Einheitsvektor hat auch eine Komponente in Richtung von I2, also Sinus 40:09.330 --> 40:12.090 Psi mal I2. 40:12.090 --> 40:16.650 Und dann sehen wir, bei E2' bzw. 40:16.970 --> 40:19.370 auf dem Bild wäre das K2', da sehen wir, müssen wir ein bisschen 40:19.370 --> 40:25.470 aufpassen, der hat eine Komponente in Richtung von I2, Betrag Cosinus 40:25.470 --> 40:32.150 von Psi, aber eine Komponente in negative I1-Richtung, also minus 40:32.150 --> 40:43.510 Sinus Psi mal I1 plus Cosinus Psi mal I3. 40:43.510 --> 40:47.890 Das heißt, ich kann das Ganze darstellen in der Form, 40:53.460 --> 40:56.820 ich muss aufpassen, dass ich mit dem Skript konform bin, 41:02.560 --> 41:18.620 ich habe das mal EI' genannt, ist M I L Psi, also so eine Matrix hier 41:18.620 --> 41:25.460 mit Psi für die Verdrehung Psi um die Dreiachse, mal I L, wieder 41:25.460 --> 41:35.580 Summationskonvention, und die Matrix M I L Psi, da haben wir einfach 41:35.580 --> 41:46.420 stehen, nun bei E1 steht Cosinus Psi, Sinus Psi 0, bei E2' steht minus 41:46.420 --> 41:54.980 Sinus Psi, Cosinus Psi 0 und bei E3' steht entsprechend 001. 41:58.220 --> 42:00.320 Das wäre die erste Elementardrehung. 42:02.040 --> 42:06.360 Als nächstes kommt die zweite Elementardrehung. 42:10.460 --> 42:14.640 Man sieht, das was hier oben ist, die schwarze Pyramide, das ist jetzt 42:14.640 --> 42:16.380 hier unten die grüne Pyramide. 42:16.380 --> 42:24.220 Als nächstes wird um die neue 1-Achse gedreht, das heißt, der neue 1 42:24.220 --> 42:32.820 -Vektor ist der alte 1-Vektor, aber E2' wird zu E22 gestrichen, E3' 42:33.120 --> 42:35.280 wird zu E32 gestrichen. 42:35.280 --> 42:38.940 Den Verdrehwinkel bei dieser Drehung nennen wir mal Theta. 42:49.520 --> 42:52.180 Dann haben wir also die zweite Elementardrehung, 43:05.010 --> 43:14.810 den Winkel Theta, um die E1' gleich E12'-Achse. 43:18.480 --> 43:27.720 Jetzt sehen wir die EJ2'-Einheitsvektoren. 43:28.240 --> 43:34.140 Die kann ich wieder darstellen über die Einheitsvektoren E1', E2', E3' 43:34.360 --> 43:34.800 usw. 43:35.600 --> 43:44.740 Ganz analog in der Form MJI, wir schreiben noch ein Theta dazu, um 43:44.740 --> 43:49.100 kenntlich zu machen, dass das die Matrix ist, für die Drehung um den 43:49.100 --> 44:04.660 Winkel Theta mal EI' EI' und das MJI Theta als Matrix, da sieht man, 44:06.140 --> 44:13.440 E1' gleich E1', führt sofort zu 1 0 0. 44:16.830 --> 44:24.130 Man sieht, E22', das entspricht hier dem K22', hat eine Komponente in 44:24.130 --> 44:33.210 Richtung von E2' und eine Komponente in Richtung positives E3' oder 44:33.210 --> 44:34.410 K3'. 44:37.230 --> 44:45.030 Also haben wir 0 in Richtung von E2', haben wir gerade Kosinus, Theta 44:45.030 --> 44:48.410 in Richtung von E3', haben wir Sinus-Theta. 44:50.170 --> 44:56.610 Und beim neuen E3'-Einheitsvektor, da sieht man, der hat eine 44:56.610 --> 45:03.730 Komponente in positive E3'-Richtung, aber in negative E2'-Richtung, 45:04.450 --> 45:06.630 jeweils Anteil Kosinus-Theta bzw. 45:06.850 --> 45:07.710 Sinus-Theta. 45:07.710 --> 45:18.750 Und dementsprechend 0, Minus-Sinus-Theta, Kosinus-Theta und was da 45:18.750 --> 45:19.250 noch fehlt, 45:26.160 --> 45:29.360 das ist die letzte Elementardrehung. 45:30.220 --> 45:34.920 Dann haben wir wieder eine Verdrehung um die neue 3-Achse, also um 45:34.920 --> 45:36.800 diese Achse, um diese gemeinsame. 45:37.800 --> 45:45.420 Man sieht, aus dem Vektor E1' wird dann letztendlich der Vektor E1, 45:45.460 --> 45:48.280 den wir eigentlich suchen, also in der endgültigen Lage. 45:49.000 --> 45:54.500 Und aus dem Vektor E2' wird der Einheitsvektor E2. 45:55.500 --> 45:59.680 Also, dritte Elementardrehung, 46:14.740 --> 46:28.860 da haben wir jetzt um den Winkel Phi, um die E3' gleich E3'-Achse. 46:31.160 --> 46:53.340 Dementsprechend gilt jetzt E-K gleich M-K-J-Phi mal E-J' wieder 46:53.340 --> 46:55.220 aufsummiert eben über J. 46:59.970 --> 47:11.270 Und in dem Fall haben wir eben die Matrix M-K-J-Phi und die haben wir 47:11.270 --> 47:12.950 im Grunde genommen schon mal dastehen gehabt. 47:13.070 --> 47:15.710 Das ist dasselbe wie die erste Elementardrehung, wir drehen ja um die 47:15.710 --> 47:16.290 3 -Achse. 47:16.970 --> 47:19.930 Lediglich, dass wir jetzt den Winkel Psi von der ersten 47:19.930 --> 47:24.550 Elementardrehung ersetzen müssen durch den Winkel Phi bei dieser 47:24.550 --> 47:24.970 Drehung. 47:24.970 --> 47:36.410 Also wir erhalten Kosinus-Phi, Sinus-Phi, 0, Minus-Sinus-Phi, Kosinus 47:36.410 --> 47:41.270 -Phi, 0 und 0, 0, 1. 48:22.160 --> 48:24.460 So, wie müssen wir jetzt vorgehen? 48:27.810 --> 48:32.910 Wir wollen den Zusammenhang zwischen den Einheitsvektoren E-K in der 48:32.910 --> 48:40.610 finalen Position mit den Einheitsvektoren I-L. 48:41.650 --> 48:48.090 Das heißt, was wir im Grunde genommen wissen wollen, ist der 48:58.960 --> 48:59.780 Zusammenhang. 49:00.960 --> 49:02.080 Wie sieht es aus? 49:02.620 --> 49:14.600 E-K gleich M-K-L I-L und eben um diese Drehmatrix zu kennzeichnen, 49:14.660 --> 49:18.340 sagen wir, das ist die Drehmatrix für Euler-Winkel. 49:21.940 --> 49:29.940 Wenn wir sehen, zunächst haben wir E-K über die E-J-Zweigestrichen 49:29.940 --> 49:30.400 dargestellt. 49:30.520 --> 49:33.840 Was wir jetzt machen müssen ist, wir müssen die E-J-Zweigestrichen 49:33.840 --> 49:37.040 über die entsprechende Gleichung hier darstellen. 49:37.940 --> 49:41.740 Dann haben wir die Einheitsvektoren E-I-Strich drin stehen, müssen die 49:41.740 --> 49:44.880 noch ersetzen durch den oberen Zusammenhang. 49:45.280 --> 50:09.330 Das heißt, jetzt ergibt sich M-K-L-E gleich M-K-J-Phi M-J-I-Theta M-I 50:09.330 --> 50:11.230 -L -Psi. 50:11.890 --> 50:15.390 Wie gesagt, wir müssten dann immer über gleiche Indizes aufsummieren. 50:17.910 --> 50:22.110 Das können wir natürlich anschaulicher machen, wenn wir das über die 50:22.110 --> 50:22.850 Matrizen machen. 50:23.430 --> 50:23.610 Warum? 50:24.770 --> 50:37.670 Die Matrix M-K-L-E, die ergibt sich einfach über das Matrizenprodukt M 50:37.670 --> 50:41.010 -K -J-Phi als Matrix. 50:42.150 --> 50:53.330 Multipliziert mit M-J-I-Theta als Matrix, multipliziert mit M-I-L-Psi 50:53.330 --> 50:55.350 ebenfalls als Matrix. 50:59.750 --> 51:01.270 Was erhalten wir dann? 51:03.710 --> 51:08.490 Und diese Matrix, die sich dann ergibt, wie gesagt, hier im Falle von 51:08.490 --> 51:09.110 Euler -Winkel. 51:11.070 --> 51:12.950 Die sieht gar nicht mehr so einfach aus. 51:13.510 --> 51:14.910 Ich versuche, die mal anzugeben. 51:19.500 --> 51:34.620 Wir haben M-K-L-E als Matrix, ist dann Kosinus-Psi, Kosinus-Phi, Minus 51:34.620 --> 51:39.460 -Sinus -Psi, Kosinus-Theta, 51:42.620 --> 51:43.660 Sinus -Phi. 51:44.380 --> 51:45.960 Das ist das erste Element. 51:46.880 --> 51:48.180 Jetzt kommt das zweite Element. 51:48.740 --> 52:02.980 Sinus-Psi, Kosinus-Phi, Plus-Kosinus-Psi, Kosinus-Theta, Sinus-Phi. 52:04.200 --> 52:08.460 Und das letzte Element, Sinus-Theta, Sinus-Phi. 52:13.420 --> 52:26.200 Dann haben wir Minus-Kosinus-Psi, Sinus-Phi, Minus-Sinus-Psi, Kosinus 52:26.200 --> 52:36.620 -Theta, Kosinus-Phi, Minus-Sinus-Psi, Sinus-Phi. 52:39.060 --> 52:46.380 Plus-Kosinus-Psi, Kosinus-Theta, Kosinus-Phi. 52:47.920 --> 52:54.580 Und zum Schluss Sinus-Theta, Kosinus-Phi. 52:55.560 --> 52:57.800 Die letzte Zeile ist dann ein bisschen einfacher. 52:57.800 --> 52:59.320 Sinus-Psi, Sinus-Theta, 53:04.760 --> 53:06.580 dann Minus-Kosinus-Psi, 53:10.280 --> 53:15.240 Sinus -Theta und zum Schluss noch Kosinus-Theta. 53:19.340 --> 53:23.400 Und wie gesagt, die Matrix sieht relativ kompliziert aus. 53:24.220 --> 53:28.000 Sie gibt den Zusammenhang an zwischen den Einheitsvektoren, damit 53:28.000 --> 53:29.880 letztlich auch zwischen den Koordinaten. 53:31.680 --> 53:33.040 Deshalb Drehmatrix. 53:34.420 --> 53:36.960 Also wenn ich einen Vektor habe und stelle den dar über die 53:36.960 --> 53:40.160 Koordinaten, so wie Sie das oft gewohnt sind, dass ich die Koordinaten 53:40.160 --> 53:43.800 in die Matrix reinschreibe, dann ergeben sich die Koordinaten eben im 53:43.800 --> 53:46.220 anderen Bezugssystem, indem ich entsprechend mit einer Matrix 53:46.220 --> 53:46.960 multipliziere. 53:47.780 --> 53:51.500 So, die sieht wie gesagt relativ kompliziert aus. 53:51.500 --> 54:02.320 Ich gehe jetzt nochmal kurz zurück auf die Matrix, die wir hier haben. 54:03.180 --> 54:07.180 Nehmen wir einfach mal die Matrix MJI-Theta. 54:08.760 --> 54:11.600 Wie groß ist die Determinante von der Matrix? 54:20.840 --> 54:28.540 Und man sieht, es ist einmal Kosinus-Theta zum Quadrat, minus, minus 54:28.540 --> 54:32.800 Sinus -Theta zum Quadrat, gibt also Kosinus-Quadrat plus Sinus-Quadrat 54:32.800 --> 54:35.360 vom Winkel Theta, gibt also gerade 1. 54:37.440 --> 54:47.340 Und die Frage ist, wie kommen wir an die Inverse dieser Matrix? 54:47.340 --> 54:48.540 Was ist die Inverse? 54:50.620 --> 54:54.200 Die Inverse von einer Matrix ist diejenige, wenn ich die 54:54.200 --> 54:57.920 Ausgangsmatrix mit der Inverse multipliziere, ergibt sich gerade die 54:57.920 --> 55:01.040 Einheitsmatrix, also eine Matrix, die lauter Einsen auf der Diagonalen 55:01.040 --> 55:03.480 hat und Null überall sonst. 55:08.320 --> 55:10.020 Nun probieren wir es mal aus. 55:11.840 --> 55:15.060 Ich hoffe, Sie haben schon mal eine Matrix mit einer anderen Matrix 55:15.060 --> 55:15.800 multipliziert. 55:16.740 --> 55:25.020 Ich schreibe mal die Ausgangsmatrix 1, 0, 0, 0, Kosinus-Theta, Sinus 55:25.020 --> 55:33.240 -Theta, 0, minus Sinus-Theta, Kosinus-Theta hin und schreibe jetzt 55:33.240 --> 55:37.960 drüber eine andere Matrix. 55:38.760 --> 55:47.960 Das Ganze soll als Ergebnis ergeben 1, 1, 1 und 0, sonst machen wir 55:47.960 --> 55:48.840 das falsche Schema. 55:49.040 --> 55:53.720 Das heißt, die Spalte wird auf die erste Zeile gelegt, dann werden 55:53.720 --> 55:58.000 entsprechende Elemente miteinander multipliziert und aufsummiert. 55:58.980 --> 56:04.480 Jetzt muss also das mit dem multipliziert und aufsummiert gerade 1 56:04.480 --> 56:14.320 ergeben und es wird wahrscheinlich eine Matrix sein, 1, 0, 0, 0, 0 und 56:14.320 --> 56:17.380 Sie können es jetzt vielleicht mal durchprobieren, ausrechnen, es gibt 56:17.380 --> 56:21.480 auch Methoden, um die Inverse zu bestimmen natürlich. 56:22.140 --> 56:23.840 Ich gebe gleich mal das Ergebnis an. 56:23.840 --> 56:32.820 Das Ergebnis ist in dem Falle Kosinus-Theta, was steht hier drin? 56:33.460 --> 56:38.920 Da steht zum einen drin Sinus-Theta, hier Sinus-Theta, jetzt müssen 56:38.920 --> 56:39.660 wir aufpassen. 56:40.740 --> 56:48.800 Man sieht, das mit demultipliziert, das ergibt wirklich Minus-Kosinus 56:48.800 --> 56:53.240 -Sinus, Plus-Sinus-Kosinus hebt sich weg, ergibt die Null, aber das 56:53.240 --> 57:00.460 mit dem multipliziert, das ergibt Sinus-Kosinus, Plus-Sinus-Kosinus, 57:01.380 --> 57:04.180 das wäre nicht Null, also hier muss noch ein Minuszeichen stehen. 57:05.620 --> 57:11.540 Wenn wir die Matrizen genau anschauen, dann heißt das, diejenige, also 57:11.540 --> 57:15.600 die, mit der wir die Ausgangsmatrix multiplizieren müssen, um die 57:15.600 --> 57:19.380 Einheitsmatrix zu erhalten, das ist gerade, wenn wir die mal 57:19.380 --> 57:21.800 vergleichen, die transponierte. 57:22.820 --> 57:27.480 Also wenn wir die einmal spiegeln an der Diagonalen, das sehen wir bei 57:27.480 --> 57:29.440 der relativ leicht. 57:30.640 --> 57:34.260 Wir führen es jetzt nicht durch, Sie können das mal in Mabel oder 57:34.260 --> 57:38.520 Mathematica oder sonst wo eingeben, wenn Sie diese Matrix, die doch 57:38.520 --> 57:42.420 relativ kompliziert aussieht und nicht symmetrisch ist, wie wir jetzt 57:42.420 --> 57:46.780 sehen, wenn Sie von der die Determinante berechnen, dann sollte 57:46.780 --> 57:52.420 ebenfalls die Eins rauskommen und wenn Sie die Matrix mit der 57:52.420 --> 57:57.720 transponierten Matrix multiplizieren, dann sollte die Einheitsmatrix 57:57.720 --> 57:58.240 rauskommen. 57:58.920 --> 58:01.060 Das sind so Eigenschaften, die solche Drehmatrizen haben. 58:01.800 --> 58:03.140 Gibt es soweit Fragen? 58:06.120 --> 58:11.160 Und wie gesagt, die Orientierung zu beschreiben mit verschiedenen 58:11.160 --> 58:12.520 Winkeln, das haben wir jetzt gehabt. 58:13.320 --> 58:17.060 Es gibt auch noch andere Möglichkeiten, die Orientierung zu 58:17.060 --> 58:17.560 beschreiben. 58:18.140 --> 58:23.240 Stichwort Euler-Parameter, nicht zu verwechseln mit den Euler-Winkeln. 58:24.220 --> 58:26.240 Vielleicht noch ein kleiner Hinweis... 58:50.780 --> 58:56.740 Wir haben gesagt, im deutschen Sprachgebrauch Euler-Winkel heißt 3-1 58:56.740 --> 58:57.020 -3. 58:57.780 --> 59:02.100 Im amerikanischen Sprachgebrauch kann es durchaus vorkommen, dass mit 59:02.100 --> 59:07.140 Euler -Winkel all diese Möglichkeiten bezeichnet werden, die ich hier 59:07.140 --> 59:08.700 versucht habe aufzuzeigen. 59:10.740 --> 59:14.840 Und Euler-Parameter, wie gesagt, ist etwas anderes. 59:15.760 --> 59:20.180 Dort hat man vier Parameter, um die Orientierung zu beschreiben. 59:21.140 --> 59:25.460 Nun, wir haben gesehen, wir haben eigentlich nur drei unabhängige 59:25.460 --> 59:25.920 Parameter. 59:26.040 --> 59:31.260 Das heißt, wenn wir vier Parameter haben, dann gilt für diese vier 59:31.260 --> 59:35.760 Parameter zusätzlich noch eine Bedingung, eine Zwangsbedingung, auf 59:35.760 --> 59:37.720 die wir aber an der Stelle nicht weiter eingehen. 59:38.280 --> 59:40.480 Jetzt, warum nimmt man einmal Euler-Winkel, bzw. 59:40.760 --> 59:43.420 warum nimmt man dann Euler-Parameter, wenn das komplizierter ist? 59:44.380 --> 59:46.900 Das hat damit zu tun, ich werde es versuchen später noch zu zeigen, 59:47.380 --> 59:52.340 dass eben bei solchen Euler-Winkeln, auch in der allgemeinen Form, 59:52.460 --> 59:57.560 also auch bei anderen Drehreihenfolgen, es stets Drehwinkel gibt, bei 59:57.560 --> 01:00:01.620 denen es dann bei der Integration zu numerischen Schwierigkeiten 01:00:01.620 --> 01:00:01.960 kommt. 01:00:03.240 --> 01:00:07.180 Zu Singularitäten, wo einfach das Ganze nicht mehr eindeutig ist. 01:00:08.860 --> 01:00:11.660 Und das kann man aber vermeiden, wenn man auf Euler-Parameter 01:00:11.660 --> 01:00:12.060 übergeht. 01:00:12.180 --> 01:00:14.540 Wie gesagt, das machen wir dann in weiterführenden Vorlesungen. 01:00:22.790 --> 01:00:29.070 Gehen wir vielleicht noch auf die kinematische Grundgleichung ein, die 01:00:32.070 --> 01:00:40.490 wir eigentlich schon hatten, in der TM3. 01:00:54.450 --> 01:00:59.390 Nehmen wir an, wir haben irgendwo das Inertialsystem mit den Achsen x, 01:00:59.390 --> 01:01:00.190 y und z. 01:01:05.340 --> 01:01:13.080 Dann zeichnen wir noch die Einheitsvektoren ein, i1, i2, i3 oder ix, 01:01:15.760 --> 01:01:17.560 iy und iz. 01:01:19.300 --> 01:01:23.300 Wie gesagt, können wir auch mit i1, i2, i3 bezeichnen. 01:01:23.300 --> 01:01:25.180 Wir haben dann den Körper, 01:01:29.400 --> 01:01:30.480 nennen wir den mal b. 01:01:32.360 --> 01:01:39.520 Wir haben den Bezugspunkt a auf dem Körper und den Punkt, 01:01:43.080 --> 01:01:45.080 jetzt zeichnen wir doch den Körper mit k. 01:01:46.580 --> 01:01:50.560 Und den Punkt, den wir eigentlich suchen, mit b. 01:01:51.520 --> 01:02:02.800 Das heißt, wir haben einmal den Vektor rA zum Bezugspunkt, den Vektor 01:02:02.800 --> 01:02:08.560 rB, um den es eigentlich geht und wir haben den Relativvektor vom 01:02:08.560 --> 01:02:15.780 Punkt a zum Punkt b, rAB und wir haben natürlich körperfeste 01:02:15.780 --> 01:02:17.500 Einheitsvektoren. 01:02:17.500 --> 01:02:20.020 Ich versuche das mal so ein bisschen anzudeuten. 01:02:25.450 --> 01:02:29.210 e1, e2 und e3. 01:02:31.570 --> 01:02:38.870 Und wir wissen natürlich, für rB gilt zunächst einmal, das setzt sich 01:02:38.870 --> 01:02:41.850 zusammen aus rA plus rAB. 01:02:42.850 --> 01:02:50.010 Die Geschwindigkeit vB des Punktes b im Inertialsystem ist einfach die 01:02:50.010 --> 01:02:54.490 Ableitung des Vektors rB nach der Zeit im Inertialsystem. 01:02:55.130 --> 01:03:03.190 Das ergab dann hier die Geschwindigkeit des Punktes a plus eben die 01:03:03.190 --> 01:03:08.350 zeitliche Ableitung des Vektors rAB im Inertialsystem. 01:03:08.350 --> 01:03:13.070 Der Vektor rAB hat im körperfesten Bezugssystem immer eine konstante 01:03:13.070 --> 01:03:14.330 Länge und eine konstante Richtung. 01:03:15.310 --> 01:03:18.510 Dann wissen wir, Ableitung im Inertialsystem ist Ableitung im 01:03:18.510 --> 01:03:19.390 körperfesten System. 01:03:19.530 --> 01:03:23.910 Das ist 0 plus Omega, in dem Fall vom Körper, bezüglich dem 01:03:23.910 --> 01:03:28.150 Inertialsystem kreuz dem Vektor, den wir ableiten wollen, also in dem 01:03:28.150 --> 01:03:29.750 Fall kreuz den Vektor rAB. 01:03:30.970 --> 01:03:36.830 Also ergibt das plus Omega und die Bezeichnung k in I, die schenke ich 01:03:36.830 --> 01:03:38.850 mir jetzt, weil wir nur einen Körper haben. 01:03:39.470 --> 01:03:41.350 Also Omega kreuz rAB. 01:03:45.400 --> 01:03:51.620 Die Beschleunigung des Punktes b dann als Zeitableitung im 01:03:51.620 --> 01:03:55.840 Inertialsystem von der Geschwindigkeit des Punktes b, das ergibt 01:03:55.840 --> 01:03:59.160 natürlich zunächst mal die Beschleunigung im Inertialsystem vom 01:03:59.160 --> 01:04:03.860 Bezugspunkt a plus, und jetzt brauchen wir die Produktregel, da haben 01:04:03.860 --> 01:04:10.120 wir zum einen, ich nenne es mal Omega Punkt, die Ableitung der 01:04:10.120 --> 01:04:13.660 Winkelgeschwindigkeit oder des Winkelgeschwindigkeitsvektors im 01:04:13.660 --> 01:04:22.700 Inertialsystem kreuz rAB plus eben Omega kreuz der Ableitung des 01:04:22.700 --> 01:04:23.780 Vektors rAB. 01:04:24.600 --> 01:04:28.100 Nun, die Ableitung des Vektors rAB im Inertialsystem, die hatten wir 01:04:28.100 --> 01:04:31.300 schon mal bestimmt, das war nämlich gerade Omega kreuz rAB. 01:04:31.740 --> 01:04:35.700 Dann steht also hier kreuz Omega kreuz rAB. 01:04:54.530 --> 01:04:59.670 Jetzt hatte ich schon gesagt, die Winkelgeschwindigkeit, die hat 01:04:59.670 --> 01:05:00.470 Vektoreigenschaft. 01:05:01.630 --> 01:05:05.750 Jetzt haben wir hier eine Hintereinanderschaltung von verschiedenen 01:05:05.750 --> 01:05:06.390 Verdrehungen. 01:05:07.230 --> 01:05:11.130 Zu jeder Elementardrehung, die ich gezeigt habe, können wir eine 01:05:11.130 --> 01:05:13.090 entsprechende Winkelgeschwindigkeit definieren. 01:05:13.090 --> 01:05:18.830 Das heißt, wir haben zunächst mal die Winkelgeschwindigkeit des 01:05:18.830 --> 01:05:22.550 gestrichenen Systems im Inertialsystem. 01:05:22.890 --> 01:05:23.550 Was war das? 01:05:25.150 --> 01:05:26.910 Und dann hatten wir den Verdrehwinkel Psi. 01:05:27.510 --> 01:05:31.490 Wir hatten eine gemeinsame Drehachse, das war nämlich die Achse I3. 01:05:32.430 --> 01:05:35.170 Also ist die entsprechende Winkelgeschwindigkeit wie bei einer ebenen 01:05:35.170 --> 01:05:36.410 Bewegung ganz ähnlich. 01:05:38.310 --> 01:05:45.290 Psi Punkt mal I3 beziehungsweise Psi Punkt mal E3 Strich. 01:05:46.350 --> 01:05:52.110 Als nächstes hatten wir eine Winkelgeschwindigkeit des 01:05:52.110 --> 01:05:55.610 zweigestrichenen Systems bezüglich dem gestrichenen System. 01:05:56.290 --> 01:05:59.450 Auch das war wieder ganz analog einer ebenen Bewegung. 01:05:59.850 --> 01:06:04.030 Eine Drehung um eine feste Achse, in beiden Systemen feste Achse. 01:06:05.030 --> 01:06:10.330 Das war die 1 Strichachse und der entsprechende Verdrehwinkel war 01:06:10.330 --> 01:06:10.770 Theta. 01:06:10.910 --> 01:06:14.370 Die Winkeländerung mit der Zeit war dann Theta Punkt. 01:06:14.850 --> 01:06:21.250 Dementsprechend kriegen wir hierfür Theta Punkt mal E1 Strich. 01:06:24.700 --> 01:06:33.200 Zum Schluss Omega vom Körper bezüglich dem zweigestrichenen System. 01:06:33.200 --> 01:06:37.360 Das war die letzte Elementardrehung wiederum um eine gemeinsame Achse. 01:06:38.240 --> 01:06:43.300 Und dementsprechend Phi Punkt mal Drehachse oder Drehachsenrichtung. 01:06:44.400 --> 01:06:48.340 Gibt also Phi Punkt mal, nennen wir es gleich, E3. 01:06:49.620 --> 01:06:53.060 Wir haben gesagt, Winkelgeschwindigkeit hat Vektorkarakter. 01:06:53.560 --> 01:06:57.340 Das heißt, die resultierende Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus der 01:06:57.340 --> 01:06:59.200 Summe aller drei Anteilen. 01:06:59.200 --> 01:07:03.420 Also Omega, was wir hier oben haben. 01:07:03.760 --> 01:07:06.060 Oder wenn wir es ausschreiben, Omega von K in I. 01:07:06.440 --> 01:07:13.740 Ist dann einfach Omega vom Strich in I plus Omega zweigestrichen 01:07:13.740 --> 01:07:19.700 bezüglich Strich plus Omega K bezüglich Zweigestrichen. 01:07:19.700 --> 01:07:26.340 Und man sieht, das ergibt gerade C Punkt, ersetzt mal das I3 durch das 01:07:26.340 --> 01:07:42.520 E3 Strich plus Theta Punkt mal E1 Strich plus Phi Punkt mal E3. 01:07:44.140 --> 01:07:46.440 Jetzt haben wir eine Schwierigkeit, wir haben jetzt nämlich 01:07:46.440 --> 01:07:50.020 Einheitsvektoren, die gar nicht zueinander passen. 01:07:50.160 --> 01:07:55.160 Aber mit unseren Zusammenhängen, die wir hier haben, können wir das 01:07:55.160 --> 01:07:56.020 alles umrechnen. 01:07:56.620 --> 01:08:02.460 Wir könnten jetzt zum Beispiel hergehen, das E3 Strich über I1, I2, I3 01:08:02.460 --> 01:08:02.940 darstellen. 01:08:03.060 --> 01:08:09.540 Das E1 Strich über I1, I2, I3 darstellen und das E3 über I1, I2 und 01:08:09.540 --> 01:08:09.980 I3. 01:08:11.080 --> 01:08:17.540 Wir können aber auch hergehen und die Winkelgeschwindigkeit ausdrücken 01:08:17.540 --> 01:08:23.960 über die körperfeste Basis, also mit E1, E2 und E3. 01:08:24.460 --> 01:08:25.520 Machen wir das mal. 01:08:26.520 --> 01:08:30.920 Das ergibt also Omega, 01:08:34.970 --> 01:08:45.050 ich lasse mal wieder das K in I weg, ergibt dann Omega 1 mal E1 plus 01:08:45.050 --> 01:08:50.730 Omega 2 mal E2 plus Omega 3 mal E3. 01:08:52.470 --> 01:08:56.270 Jetzt müssen wir natürlich noch Omega 1, Omega 2 und Omega 3 angeben. 01:08:57.190 --> 01:09:11.950 Da halten wir Omega 1 gleich Psi Punkt Sinus Theta Sinus Phi plus 01:09:11.950 --> 01:09:16.930 Theta Punkt Cosinus Phi. 01:09:17.930 --> 01:09:35.370 Wir halten Omega 2 zu Psi Punkt Sinus Theta Cosinus Phi minus Theta 01:09:35.370 --> 01:09:39.010 Punkt Sinus Phi. 01:09:39.770 --> 01:09:51.090 Und wir halten Omega 3 gleich Psi Punkt Cosinus Theta plus Phi Punkt. 01:09:53.610 --> 01:09:59.470 Was man sofort sieht ist, dass Omega 1, Omega 2, Omega 3 nicht durch 01:09:59.470 --> 01:10:02.610 Ableiten von irgendwelchen Winkeln sich ergibt. 01:10:03.610 --> 01:10:13.910 Man hat also in dem Falle Omega 1, Omega 2 und Omega 3. 01:10:18.360 --> 01:10:20.180 Keine Zeitableitungen, 01:10:26.850 --> 01:10:32.540 irgendwelcher geometrischer Winkel. 01:10:37.020 --> 01:10:43.020 Das nennt man dann nichtholonome Geschwindigkeitskoordinaten. 01:11:08.260 --> 01:11:09.660 Wie 01:12:29.560 --> 01:12:36.800 sieht es jetzt aus mit der Winkelbeschleunigung? 01:12:44.840 --> 01:12:52.780 Omega Punkt, das war ja die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach 01:12:55.580 --> 01:12:58.400 der Zeit im Inertialsystem. 01:12:59.180 --> 01:13:07.360 Und ich schreibe jetzt mal hier von K in I, dass uns das ein bisschen 01:13:07.360 --> 01:13:07.920 klarer wird. 01:13:08.860 --> 01:13:13.720 Da haben wir gesagt, wenn wir wie bei uns die Winkelgeschwindigkeit 01:13:13.720 --> 01:13:18.420 mit körperfesten Einheitsvektoren darstellen, dann liegt es nahe, die 01:13:18.420 --> 01:13:21.920 Winkelgeschwindigkeit zunächst im körperfesten Bezugssystem 01:13:21.920 --> 01:13:26.840 abzuleiten, plus noch den weiteren Term zu berücksichtigen, nämlich 01:13:26.840 --> 01:13:28.760 Omega Kreuz, den Vektor, den wir ableiten. 01:13:28.760 --> 01:13:30.520 Jetzt schauen wir mal. 01:13:31.620 --> 01:13:42.240 Das gibt also die Omega von K in I nach DT im körperfesten 01:13:42.240 --> 01:13:49.160 Bezugssystem abgeleitet, plus, und jetzt erinnern Sie sich bitte 01:13:49.160 --> 01:13:54.520 zurück an TM3, jetzt haben wir Omega von dem System, in dem wir 01:13:54.520 --> 01:13:59.680 zunächst ableiten, bezüglich dem System, in dem die Ableitung gebildet 01:13:59.680 --> 01:14:00.180 werden soll. 01:14:00.300 --> 01:14:07.220 Das war I Kreuz, Kreuz den Vektor, den wir eigentlich ableiten, das 01:14:07.220 --> 01:14:10.900 ist der Vektor Omega von K in I. 01:14:12.260 --> 01:14:17.580 Und wir sehen, für den Sonderfall haben wir jetzt das Kreuzprodukt des 01:14:17.580 --> 01:14:18.760 Vektors mit sich selbst. 01:14:18.760 --> 01:14:22.680 Da wissen wir, das ergibt gerade Null. 01:14:27.920 --> 01:14:28.960 Also, 01:14:33.240 --> 01:14:41.960 Omega Punkt von K in I ist D Omega von K in I nach DT in K. 01:14:41.960 --> 01:14:52.060 Und wir sehen, das gibt einfach Omega 1 Punkt E1 plus Omega 2 Punkt E2 01:14:52.060 --> 01:14:56.600 plus Omega 3 Punkt E3. 01:15:03.700 --> 01:15:09.900 So, an der Stelle habe ich es motivationsmäßig ein bisschen schwer, 01:15:10.960 --> 01:15:13.920 weil jetzt muss ich eigentlich schon auf die Bewegungsgleichungen ein 01:15:13.920 --> 01:15:14.840 bisschen vorgreifen. 01:15:16.080 --> 01:15:21.840 Wir haben gesehen, im Pulssatz, da war wichtig die Bewegung des 01:15:21.840 --> 01:15:25.980 Schwerpunktes, sprich die Beschleunigung des Schwerpunktes. 01:15:26.660 --> 01:15:30.380 Bei der Beschleunigung des Schwerpunktes sieht jeder ein, da treten 01:15:30.380 --> 01:15:32.960 die zweiten Zeitableitungen der Koordinaten auf. 01:15:34.300 --> 01:15:39.240 Beim Trallsatz, bei der Ebenenbewegung haben wir es schon ein bisschen 01:15:39.240 --> 01:15:44.100 so gesehen, da tritt die zweite Zeitableitung von Winkeln auf. 01:15:45.180 --> 01:15:50.700 Beim Trallsatz, bei der allgemeinen Bewegung, da werden letztendlich 01:15:50.700 --> 01:15:57.640 auch auftreten die Winkelbeschleunigung plus noch irgendwie die 01:15:57.640 --> 01:15:58.540 Winkelgeschwindigkeit. 01:15:58.660 --> 01:16:03.540 Wir sehen, die Winkelbeschleunigung, die kann ich ausdrücken über 01:16:03.540 --> 01:16:06.560 Omega 1 Punkt, Omega 2 Punkt und Omega 3 Punkt. 01:16:07.380 --> 01:16:12.980 Wenn ich das Omega 1 Punkt dadurch bestimme, dass ich die Beziehungen 01:16:12.980 --> 01:16:17.840 linkszeitlich ableite, kommen automatisch die zweiten Zeitableitungen 01:16:17.840 --> 01:16:20.380 der Winkel ins Spiel. 01:16:23.200 --> 01:16:26.220 Es kommen aber auch erste Ableitungen und so weiter, also das wird 01:16:26.220 --> 01:16:27.740 relativ kompliziert. 01:16:27.740 --> 01:16:34.040 Deshalb liegt es da nahe, dass wir einfach Omega 1, Omega 2 und Omega 01:16:34.040 --> 01:16:38.160 3 als so eine Art Zustandsvariable einführen, also als 01:16:38.160 --> 01:16:39.000 Zwischenvariable. 01:16:40.460 --> 01:16:46.460 Das heißt, aus der Bewegungsgleichung Trallsatz erhalten 01:16:51.860 --> 01:16:58.420 wir dann letztendlich Differentialgleichungen der Form Omega 1 Punkt 01:16:58.420 --> 01:17:05.080 gleich eine rechte Seite, Omega 2 Punkt gleich eine rechte Seite und 01:17:05.080 --> 01:17:08.000 Omega 3 Punkt gleich eine rechte Seite. 01:17:09.160 --> 01:17:11.800 Das entspricht jetzt Differentialgleichungen erster Ordnung. 01:17:15.640 --> 01:17:21.020 Wenn ich die Lösung wissen will, Gesundheit, dann wird es wohl so 01:17:21.020 --> 01:17:26.080 sein, dass ich analytisch gar nichts mehr erhalte, sondern ich muss 01:17:26.080 --> 01:17:27.460 vielleicht numerisch integrieren. 01:17:28.460 --> 01:17:31.780 Das ist aber auch kein Beinbruch. 01:17:32.540 --> 01:17:40.200 Wenn wir das einmal numerisch integrieren, also numerische 01:17:40.200 --> 01:17:50.500 Integration, ergibt dann Omega 1, Omega 2 und Omega 3. 01:17:50.500 --> 01:17:56.860 Ich habe also die Koordinaten dann meiner Winkelgeschwindigkeit. 01:17:58.120 --> 01:18:02.060 Was ich hier aber wissen will ist, wie ändert sich die Orientierung 01:18:02.060 --> 01:18:02.620 mit der Zeit. 01:18:03.620 --> 01:18:05.080 Was muss ich also machen? 01:18:06.220 --> 01:18:13.360 Ich muss diese Gleichungen ausnutzen und letztendlich die so umformen, 01:18:14.860 --> 01:18:18.860 dass ich Psi Punkt, 01:18:24.190 --> 01:18:31.010 Theta Punkt und Phi Punkt erhalte meinetwegen als eine Funktion f1, 01:18:31.010 --> 01:18:36.310 die natürlich abhängt von Omega 1, Omega 2 und Omega 3. 01:18:36.810 --> 01:18:42.010 Die hängt auch ab von Psi, Theta und Phi. 01:18:42.730 --> 01:18:47.110 Analog hier f2 und hier f3. 01:18:49.110 --> 01:18:55.050 Wenn wir diese drei Gleichungen genau anschauen, dann sehen wir, das 01:18:55.050 --> 01:19:01.150 sind im Grunde genommen lineare Gleichungen, inhomogen, für Psi Punkt, 01:19:02.070 --> 01:19:03.790 Theta Punkt und Phi Punkt. 01:19:03.790 --> 01:19:08.330 Ich muss also im Grunde genommen dieses Gleichungssystem nur einmal 01:19:08.330 --> 01:19:15.770 umformen, sodass ich Psi Punkt, Theta Punkt und Phi Punkt als Funktion 01:19:15.770 --> 01:19:16.930 der anderen Größen erhalte. 01:19:16.930 --> 01:19:23.670 Wenn ich das mache, dann ergibt sich also 01:19:27.340 --> 01:19:46.360 Auflösung des Gleichungssystems, ergibt dann Psi Punkt gleich Sinus 01:19:46.360 --> 01:19:51.400 Phi dividiert durch Sinus Theta. 01:19:52.840 --> 01:20:02.740 Omega 1 plus Cosinus Phi dividiert durch Sinus Theta mal Omega 2. 01:20:04.800 --> 01:20:18.300 Theta Punkt ergibt sich zu Cosinus Phi Omega 1 minus Sinus Phi Omega 01:20:18.300 --> 01:20:18.900 2. 01:20:22.160 --> 01:20:30.000 Und Phi Punkt ergibt sich zu minus Sinus Phi dividiert durch Tangens 01:20:30.000 --> 01:20:40.280 Theta mal Omega 1 minus Cosinus Phi dividiert durch Tangens Theta 01:20:40.280 --> 01:20:47.760 Omega 2 plus Omega 3. 01:20:47.760 --> 01:20:52.900 Und jetzt sehen wir, was ich gemeint habe, wo es Schwierigkeiten geben 01:20:52.900 --> 01:20:57.120 kann, es kann nämlich zu Singularitäten kommen, die mittlere Gleichung 01:20:57.120 --> 01:20:57.900 ist kein Problem. 01:20:58.620 --> 01:21:04.580 Für jeden Wert von Phi, Omega 1 und Omega 2 ergibt es ein Theta Punkt, 01:21:04.960 --> 01:21:06.580 was begrenzt ist. 01:21:07.960 --> 01:21:16.260 Wenn allerdings Theta in der Nähe von 0 oder von Pi ist, was haben wir 01:21:16.260 --> 01:21:16.520 dann? 01:21:17.520 --> 01:21:23.700 Und dann ist Sinus Theta beziehungsweise Tangens Theta sehr sehr 01:21:23.700 --> 01:21:25.580 klein, also im Grenzfall sogar 0. 01:21:26.420 --> 01:21:29.760 Wir dividieren also durch 0, das heißt es gibt eine Singularität. 01:21:30.900 --> 01:21:32.240 Wie kann man sich das vorstellen? 01:21:34.500 --> 01:21:41.700 Nun, wenn Theta 0 oder Pi ist, was passiert dann? 01:21:42.440 --> 01:21:48.580 Dann habe ich Drehung 1, jetzt kommt die Drehung 2, wenn die 0 ist. 01:21:49.580 --> 01:21:52.140 Und ich drehe dann wieder um die dritte Achse, was passiert? 01:21:52.600 --> 01:21:55.320 Dann drehe ich zweimal um die gleiche Achse, dann wird es nicht mehr 01:21:55.320 --> 01:21:55.820 eindeutig. 01:21:58.720 --> 01:22:02.440 Und entsprechend geht es auch bei den anderen Möglichkeiten, die ich 01:22:02.440 --> 01:22:03.120 aufgelistet habe. 01:22:03.220 --> 01:22:05.880 Also wenn wir andere Drehreihenfolgen haben, dann gibt es halt 01:22:05.880 --> 01:22:07.880 irgendwo anders derartige Singularitäten. 01:22:09.120 --> 01:22:13.280 Und diese kann man, wie gesagt, vermeiden, wenn man anstatt der 01:22:13.280 --> 01:22:17.020 Verdrehwinkel die sogenannten Euler-Parameter einführt. 01:22:17.100 --> 01:22:21.200 Wie gesagt, das sind dann Quaternionen, also die Nummer 4 anstatt 3, 01:22:21.820 --> 01:22:23.240 eine zusätzliche Zwangsbedingung. 01:22:23.240 --> 01:22:26.220 Aber beim Integrieren gibt es dort keine Schwierigkeiten. 01:22:27.100 --> 01:22:27.860 Das so als Ausblick. 01:22:27.980 --> 01:22:28.800 Gibt es jetzt noch Fragen? 01:22:32.480 --> 01:22:35.800 Nächste Woche, wie gesagt, findet das Dynamic Lab statt, da sehen wir 01:22:35.800 --> 01:22:37.500 uns dann höchstens in den Gruppen. 01:22:39.500 --> 01:22:42.400 Die anderen sehe ich dann eventuell wieder in 14 Tagen. 01:22:42.560 --> 01:22:42.920 Vielen Dank.