WEBVTT 00:12.510 --> 00:13.950 Guten Tag, meine Damen und Herren, 00:19.170 --> 00:24.330 ich darf Sie zur Vorlesung recht herzlich begrüßen. 00:24.430 --> 00:30.390 Ich hoffe, Sie haben das Dynamics Lab hoffentlich gut überstanden, 00:31.390 --> 00:34.410 haben etwas dazugelernt, vielleicht auch ein bisschen Motivation für 00:34.410 --> 00:35.370 die Mechanik bekommen. 00:35.370 --> 00:38.550 Was wir hier in der Vorlesung machen, das sind ja meistens 00:38.550 --> 00:43.110 irgendwelche Bausteine, die notwendig sind, um letztendlich vom 00:43.110 --> 00:47.810 physikalischen Modell auf das mathematische Modell zu kommen. 00:48.210 --> 00:50.790 Die Auswertung des mathematischen Modells bzw. 00:51.370 --> 00:56.050 auch, wie komme ich zum physikalischen Modell, da können wir in der 00:56.050 --> 00:57.870 Vorlesung gar nicht so drauf eingehen. 00:58.650 --> 01:02.390 Wir abstrahieren meist irgendein System, modellieren das als starren 01:02.390 --> 01:02.710 Körper. 01:02.710 --> 01:07.490 Sie haben jetzt im Dynamics Lab gesehen, wenn man so ein technisches 01:07.490 --> 01:10.290 System vor sich hat, dann muss man erst einmal überlegen, wie kann ich 01:10.290 --> 01:13.970 das entsprechend modellieren, sodass ich mit den Hilfsmitteln, die ich 01:13.970 --> 01:17.170 kenne, das Ganze auch untersuchen kann. 01:17.750 --> 01:18.310 Das ist eine. 01:19.830 --> 01:22.250 Dann Herleitung der Bewegungsgleichung des Ganzen. 01:22.990 --> 01:26.130 Das ist das, was wir eigentlich in der Dynamik lernen. 01:26.130 --> 01:28.110 Das können Sie dann anwenden. 01:28.890 --> 01:33.150 Was im Dynamics Lab auch noch möglich war, was wir hier in der 01:33.150 --> 01:37.370 Vorlesung und praktisch in den Übungen nicht machen können, das ist 01:37.370 --> 01:42.590 dann die Auswertung, sprich die Integration der Gleichungen, um dann 01:42.590 --> 01:49.770 letztendlich zu sehen, wie wirken sich Veränderungen im System auf das 01:49.770 --> 01:50.950 Systemverhalten aus. 01:53.190 --> 01:55.330 Gibt es dazu noch Fragen? 01:58.870 --> 01:59.510 Nicht? 01:59.890 --> 02:01.950 Dann kommen wir wieder zur Vorlesung zurück. 02:02.870 --> 02:08.810 Es ist jetzt schon zwei Wochen her, dass wir uns mit der Kinematik der 02:08.810 --> 02:10.790 räumlichen Bewegung beschäftigt haben. 02:10.930 --> 02:14.950 Wir haben gesehen, schwierig wird es, wenn es um die Orientierung 02:14.950 --> 02:16.670 eines starren Körpers geht. 02:16.670 --> 02:21.010 Bei der Ebenenbewegung haben wir es relativ einfach, weil die 02:21.010 --> 02:24.350 Orientierung letztendlich nur durch einen Verdrehwinkel beschrieben 02:24.350 --> 02:24.570 wird. 02:24.970 --> 02:28.490 Die Winkelgeschwindigkeit ist dann ein Vektor, der stets senkrecht zur 02:28.490 --> 02:29.750 Bewegungsebene steht. 02:30.450 --> 02:34.910 Bei einer allgemeinen räumlichen Bewegung, da ist der 02:34.910 --> 02:40.410 Winkelgeschwindigkeit ein Vektor, der den Betrag ändern kann, der aber 02:40.410 --> 02:41.590 auch die Richtung ändern kann. 02:42.610 --> 02:48.510 Wir haben gesehen, zur Beschreibung der Orientierung gibt es zum 02:48.510 --> 02:53.750 Beispiel die Möglichkeit, Eulerwinkel einzuführen, also drei einfache 02:53.750 --> 02:56.930 Drehungen um verschiedene Achsen, und je nachdem, wie die 02:56.930 --> 02:58.790 Drehreihenfolge bzw. 02:59.130 --> 03:02.430 die Achsenreihenfolge ist und um welche Achsen gedreht wird, ergeben 03:02.430 --> 03:08.390 sich natürlich andere Darstellungsformen, was letztendlich... 03:10.310 --> 03:13.190 Ansonsten würde ich Sie bitten, zum Essen und zum Reden rauszugehen. 03:18.650 --> 03:23.610 Ansonsten führt das natürlich alles zur Drehmatrix, die Matrix der 03:23.610 --> 03:29.730 Richtungscosinus, die, wie wir uns noch klargemacht haben, im Grunde 03:29.730 --> 03:34.970 genommen sich dadurch bestimmt, dass wir Einheitsvektoren im 03:34.970 --> 03:42.590 feststehenden System haben, Einheitsvektoren im bewegten System und 03:42.590 --> 03:47.350 die Skalarprodukte jeweils von einem Einheitsvektor des beruhenden 03:47.350 --> 03:51.870 Systems mit einem Einheitsvektor des bewegten Systems ergibt dann 03:51.870 --> 03:54.690 letztendlich so einen Eintrag in der Drehmatrix. 03:56.030 --> 03:57.730 Jetzt gehen wir einen Schritt weiter, jetzt kommen wir zu den 03:57.730 --> 04:00.670 Bewegungsgleichungen beziehungsweise dann zu den Euler'schen 04:00.670 --> 04:01.530 Kreisgleichungen. 04:03.850 --> 04:11.890 Vielleicht nochmal ganz kurz, wenn wir so einen starren Körper haben. 04:12.330 --> 04:15.150 Wir haben gesehen, letztendlich brauchen wir zur Beschreibung der 04:15.150 --> 04:19.470 Orientierung drei Größen. 04:19.570 --> 04:25.190 Wir können uns das auch so vorstellen, wenn wir einen allgemeinen 04:25.190 --> 04:30.850 Körper haben, dann brauchen wir zur Beschreibung der Lage eines 04:30.850 --> 04:34.750 Punktes des Körpers P1 drei Koordinaten. 04:35.950 --> 04:40.090 Also bei P1 haben wir im Grunde genommen drei Freiheitsgrade. 04:41.970 --> 04:44.410 Wenn wir jetzt einen zweiten Punkt wählen, P2, 04:50.350 --> 04:54.950 ich nehme mal die Ecke hier unten als P1. 04:56.250 --> 05:01.790 Wenn deren Lage festliegt, dann sehen Sie, der Punkt P2, die obere 05:01.790 --> 05:05.730 Ecke, die kann sich nur auf einer Kugeloberfläche bewegen. 05:06.350 --> 05:10.010 Das heißt letztendlich genügen zur Beschreibung dieser Lage zwei 05:10.010 --> 05:10.750 Koordinaten. 05:12.170 --> 05:18.410 Also haben wir bei P2 zwei Freiheitsgrade. 05:19.160 --> 05:24.810 Und wenn P1 und P2 festliegen, dann können wir uns das so vorstellen, 05:24.970 --> 05:30.830 dann kann der Körper nur noch um eine Achse drehen, die durch beide 05:30.830 --> 05:31.550 Punkte geht. 05:32.290 --> 05:43.670 Also ein Punkt P3 kann sich im Grunde genommen in zwei Richtungen 05:43.670 --> 05:44.170 bewegen. 05:44.170 --> 05:49.650 P3 kann dann letztendlich sich nur noch auf einer Kreisbahn bewegen. 05:50.250 --> 05:58.910 Also P3 hat dann einen Freiheitsgrad und damit so ein Starkkörper ohne 05:58.910 --> 06:02.030 irgendwelche Zwangsbedingungen oder Bindungsgleichungen hat 06:02.030 --> 06:06.770 dementsprechend sechs Freiheitsgrade. 06:07.770 --> 06:17.630 Also Bewegung eines Starkkörpers ohne 06:22.160 --> 06:37.940 Zwangsbedingungen wären dann 3 plus 2 plus 1 gleich 6 Freiheitsgrade. 06:42.760 --> 06:48.860 Nun wenn wir einen Punkt festhalten, zum Beispiel den Punkt P1, dann 06:48.860 --> 06:52.880 verbleiben noch 2 plus 1, also letztendlich drei Freiheitsgrade. 06:59.540 --> 07:04.720 Also wird ein Punkt festgehalten, 07:12.070 --> 07:14.290 in dem Falle sprechen wir dann von einem Kreisel, 07:20.560 --> 07:28.440 dann haben wir drei Freiheitsgrade und bei einer festen Drehachse, 07:37.150 --> 07:40.050 da bleibt dann letztendlich das, was wir schon gehabt haben, nämlich 07:40.050 --> 07:43.450 nur noch ein Freiheitsgrad für die Drehung um die Drehachse. 07:50.500 --> 07:52.760 Oh, jetzt hat man die Tafel nicht ganz gewischt. 08:10.820 --> 08:11.300 So, 08:16.260 --> 08:23.240 und wenn so ein Körper ohne irgendwelche Zwangsbedingungen, aber bitte 08:23.240 --> 08:23.700 schön wischen, 08:27.090 --> 08:31.670 wenn so ein Körper ohne Zwangsbedingungen sechs Freiheitsgrade hat, 08:31.950 --> 08:36.410 dann erwarten wir intuitiv natürlich auch sechs Bewegungsgleichungen. 08:37.270 --> 08:39.090 Und die Frage ist, wie kommen wir jetzt auf diese 08:39.090 --> 08:41.450 Bewegungsgleichungen? 08:45.730 --> 08:54.080 Also sechs Freiheitsgrade heißt sechs Bewegungsgleichungen. 08:54.680 --> 09:01.940 Wenn Sie sich erinnern, Bewegung auf einer Ebene, dort hatten wir ohne 09:01.940 --> 09:06.440 irgendwelche Zwangsbedingungen drei Freiheitsgrade für jeden Körper, 09:07.360 --> 09:11.220 dementsprechend auch drei Bewegungsgleichungen, zum Beispiel zwei aus 09:11.220 --> 09:15.060 dem Impulssatz und eine Bewegungsgleichung aus dem Trallsatz. 09:15.180 --> 09:18.840 Und wenn wir entsprechend Zwangsbedingungen vorliegen haben, dann 09:18.840 --> 09:23.020 reduziert sich natürlich die Zahl der Bewegungsgleichungen 09:23.020 --> 09:23.540 entsprechend. 09:32.140 --> 09:34.620 Nun, die Gleichungen selbst, 09:44.510 --> 09:49.930 die erhalten wir zunächst mal aus dem Schwerpunktsatz. 10:08.820 --> 10:13.580 Wenn wir diskrete Massen haben, dann haben wir gesehen, die Summe 10:13.580 --> 10:17.960 aller Massen, also Gesamtmasse des Systems mal 10:17.960 --> 10:27.840 Schwerpunktbeschleunigung ergibt gerade die Summe aller äußeren 10:27.840 --> 10:28.840 angreifenden Kräfte. 10:37.660 --> 10:42.600 Wenn wir die Summe aller Kräfte mal mit F abkürzen, also M mal RS2 10:42.600 --> 10:44.700 Punkt gleich F. 10:46.400 --> 10:53.740 Und für ein Massenpunktsystem hatten wir zusätzlich noch den 10:53.740 --> 11:10.800 Trallsatz, entweder bezüglich dem Schwerpunkt S 11:14.080 --> 11:20.580 oder einem runden Punkt oder einem festen Punkt O. 11:33.340 --> 11:40.300 Und das war einfach, dass die Ableitung des Tralls bezüglich des 11:40.300 --> 11:43.240 Bezugspunktes, also entweder dem Schwerpunkt oder dem festen Punkt O, 11:44.000 --> 11:50.760 abgeleitet nach der Zeit im Inertialsystem, ergibt gerade die Summe 11:50.760 --> 11:57.900 aller Momente, und zwar der Momente bezüglich dem selben Bezugspunkt. 12:01.840 --> 12:04.880 Das heißt L war der Gesamttrall, 12:17.020 --> 12:21.000 L bezüglich S war der Gesamttrall, 12:26.860 --> 12:29.680 M, das können wir noch einfügen, 12:34.020 --> 12:42.900 M bezüglich S, die Summe aller Momente, also das Gesamtmoment, 12:48.360 --> 12:52.060 beides bezüglich dem Schwerpunkt S, 12:59.520 --> 13:09.200 und wie schon erwähnt, M aus dem Schwerpunktsatz, das war die 13:09.200 --> 13:09.820 Gesamtmasse. 13:29.580 --> 13:35.980 Und beim Übergang von einem Massenpunktsystem auf einen starren 13:35.980 --> 13:43.080 Körper, wenn Sie da in der TM3 nachschauen, beim Impulssatz, dort 13:43.080 --> 13:47.180 hatten wir einfach eingeführt, wir haben so ein Massenelement, 13:49.000 --> 13:56.380 Beschleunigung des Massenelementes, mal der differentiellen Masse, 13:56.780 --> 14:01.980 muss sein der Summe aller Kräfte auf dieses Massenelement, dann haben 14:01.980 --> 14:06.940 wir wegen Aktion gleich Reaktion, aber umgekehrte Richtung, gesehen, 14:07.120 --> 14:12.460 dass die inneren Kräfte beim Impulssatz keine Rolle spielen, wer 14:12.460 --> 14:18.300 erinnert sich noch, hoffentlich alle, was letztendlich dazu führt, 14:18.740 --> 14:26.140 dass wenn wir zur Beschreibung der Beschleunigung des Massenelementes 14:26.440 --> 14:30.720 einen Bezugspunkt wählen, plus noch einen Relativvektor und dann die 14:30.720 --> 14:35.120 Integration über alle Massenelemente durchführen, dann kam automatisch 14:35.120 --> 14:40.900 heraus, Gesamtmasse des Körpers mal Schwerpunktbeschleunigung gleich 14:40.900 --> 14:43.680 Summe aller äußeren am Körper angreifenden Kräfte. 14:44.180 --> 14:51.760 Also im Wesentlichen, oder man muss anders sagen, im Prinzip das, was 14:51.760 --> 14:52.960 wir auch hier stehen haben, 14:56.080 --> 14:59.280 lediglich für einen starren Körper und wenn Sie die Gleichung genau 14:59.280 --> 15:04.560 anschauen, dann geht dort an keiner Stelle ein, dass eine ebene 15:04.560 --> 15:06.100 Bewegung vorausgesetzt wird. 15:10.960 --> 15:16.000 Nun, wenn dort nicht explizit eine ebene Bewegung vorausgesetzt ist, 15:16.380 --> 15:22.120 dann gilt es natürlich auch für eine allgemein räumliche Bewegung von 15:22.120 --> 15:22.780 einem Starrkörper. 15:24.000 --> 15:30.720 Das heißt, der Impulssatz für einen Starrkörper, der lautet wie 15:30.720 --> 15:54.800 gehabt, Gesamtmasse des Starrkörpers mal Schwerpunktbeschleunigung 15:54.800 --> 16:01.160 gleich Summe aller am Körper angreifenden Kräfte. 16:01.760 --> 16:04.560 Egal, ob das Zwangskräfte sind oder eingeprägte Kräfte. 16:09.920 --> 16:17.660 So, genauso und beim Massenpunktsystem, so wie beim starren 16:17.660 --> 16:24.200 Körperebene Bewegung haben wir gesagt, der Trallsatz ist ein eigenes 16:24.200 --> 16:24.500 Axiom. 16:26.220 --> 16:28.020 Das heißt, das können wir jetzt eh nicht beweisen. 16:28.780 --> 16:33.000 Was wir aber wissen ist, die Ableitung des Tralls, ganz ähnlich wie 16:33.000 --> 16:39.460 beim Massenpunktsystem, wenn wir eben die einzelnen Massen immer 16:39.460 --> 16:45.640 kleiner machen, differenziell klein, und dann über alle Massen des 16:45.640 --> 16:49.040 Starrkörpers aufsummieren, dann wird natürlich die Summation durch 16:49.040 --> 16:51.040 eine Integration und so weiter ersetzt. 16:51.040 --> 16:55.180 Wichtig ist dann die 17:02.020 --> 17:14.580 Ableitung des Tralls nach der Zeit bezüglich eines Punktes O, und zwar 17:14.580 --> 17:27.240 im Inertialsystem ist gleich Summe aller Momente bezüglich des selben 17:27.240 --> 17:28.620 Bezugspunktes. 17:31.480 --> 17:36.320 Und ohne das jetzt hier nochmal explizit zu zeigen, wenn man einen 17:36.320 --> 17:40.280 bewegten Punkt O hat, dann wird es ein bisschen komplizierter, wenn 17:40.280 --> 17:43.240 man einen allgemeinen bewegten Punkt als Bezugspunkt nimmt. 17:44.160 --> 17:46.840 Es sei denn, und das sollten sich die Studierenden wieder merken, 18:00.020 --> 18:05.640 man kann auch einen bewegten Bezugspunkt nehmen, und da tut man immer 18:05.640 --> 18:08.200 gut daran, wenn man den Schwerpunkt nimmt. 18:09.700 --> 18:21.740 Also die Ableitung des Tralls bezüglich des Schwerpunktes ist die 18:21.740 --> 18:25.240 Summe der Momente ebenfalls bezüglich des Schwerpunktes. 18:39.400 --> 18:50.230 Der Trall bezüglich dem Schwerpunkt, der ist dann definiert als ein 18:50.230 --> 18:52.290 Integral über die gesamte Masse des Körpers. 18:53.290 --> 18:55.610 Also wir integrieren immer die gesamte Masse. 18:57.390 --> 19:08.810 Und dann haben wir eben den Vektor vom Schwerpunkt zum Massenelement 19:11.770 --> 19:19.770 kreuz dem Impuls des Massenelementes, das war Vdm. 19:23.870 --> 19:31.190 Und die Geschwindigkeit des Massenelementes, das war wieder 19:31.190 --> 19:34.950 Geschwindigkeit des Schwerpunktes. 19:38.850 --> 19:43.110 Gerade letzte Woche waren wieder mündliche Prüfungen, da ist es eine 19:43.110 --> 19:47.630 beliebte Frage, wenn ich die Geschwindigkeit eines Punktes des Körpers 19:47.630 --> 19:47.890 kenne. 19:48.690 --> 19:52.570 Wie berechnet sich die Geschwindigkeit eines anderen Punktes? 19:53.690 --> 19:57.090 Nun, Geschwindigkeit, gesuchte Geschwindigkeit ist dann 19:57.090 --> 20:00.090 Geschwindigkeit des Bekannten oder bekannte Geschwindigkeit des 20:00.090 --> 20:13.310 Punktes plus eben Omega kreuz dem Vektor vom Punkt, für den ich die 20:13.310 --> 20:17.370 Geschwindigkeit kenne, das ist S, zum Punkt, an dem ich die 20:17.370 --> 20:20.540 Geschwindigkeit wissen will, wohlbekannte Formel. 20:22.230 --> 20:30.750 Das heißt, wenn wir das einsetzen in unser Integral, dann ergibt sich 20:30.750 --> 20:32.670 für den Drall bzgl. 20:32.790 --> 20:38.990 S gerade Integral über die gesamte Masse. 20:38.990 --> 20:42.930 Jetzt haben wir einmal RSP kreuz VS 20:46.700 --> 20:53.680 DM plus einen weiteren Term, da schreibe ich jetzt ein extra Integral 20:53.680 --> 20:57.820 an, also plus Integral über die gesamte Masse. 20:58.290 --> 21:05.440 Und dann haben wir Omega kreuz RSP bzw. 21:05.780 --> 21:17.100 zunächst einmal RSP kreuz und jetzt den Anteil Omega kreuz RSP DM. 21:31.710 --> 21:44.610 Und wir sehen RSP kreuz VS, die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, das 21:44.610 --> 21:48.950 ist ein konstanter Vektor bzgl. 21:49.090 --> 21:53.210 dieser Integration, weil die Geschwindigkeit des Schwerpunktes hängt 21:53.210 --> 21:56.450 ja nicht davon ab, welches Massenelement wir betrachten, also können 21:56.450 --> 22:00.950 wir das aus dem Integral rausziehen, das ergibt dann letztendlich 22:00.950 --> 22:14.890 Integral über die gesamte Masse RSP DM kreuz VS 22:19.430 --> 22:33.040 plus Integral über die gesamte Masse RSP kreuz Omega kreuz RSP DM. 22:43.400 --> 22:47.620 Nun, Integral RSP DM, was ist das? 22:48.040 --> 22:50.580 Das ist gerade 0, so war der Schwerpunkt definiert. 22:52.660 --> 22:55.260 Also das Integral ergibt 0, 22:58.550 --> 23:01.030 Definition vom Schwerpunkt, 23:15.980 --> 23:24.580 sodass wir jetzt erhalten, der Drall des Körpers bzgl. 23:24.700 --> 23:34.900 S ist gegeben durch Integral über die gesamte Masse RSP kreuz Omega 23:34.900 --> 23:41.860 kreuz RSP DM. 23:44.640 --> 23:47.720 Und damit haben wir im Grunde genommen jetzt unsere sechs Gleichungen, 23:47.920 --> 23:50.580 nämlich zweimal eine Vektorgleichung. 23:57.160 --> 24:09.160 Zum einen F gleich M mal RS2-Punkt, und wenn Sie mal in einer 24:09.160 --> 24:12.340 mündlichen Prüfung sitzen, weil Sie zweimal in der schriftlichen 24:12.340 --> 24:18.300 durchgefallen sind, dann sollten Sie, wenn ich nach dem Impulssatz für 24:18.300 --> 24:23.740 einen starren Körper frage, nicht sagen F gleich M mal A. 24:24.840 --> 24:25.400 Warum? 24:26.780 --> 24:30.760 Weil jeder Punkt des Körpers irgendwo eine andere Beschleunigung hat. 24:31.160 --> 24:33.920 Also man muss dann schon genau spezifizieren, die Beschleunigung 24:33.920 --> 24:35.340 welchem Punkt es ist. 24:35.340 --> 24:39.780 Und als Studierende, der oder die? 24:43.140 --> 24:44.640 Haben wir überhaupt Frauen drin? 24:45.080 --> 24:45.520 Ah ja, ein paar. 24:58.360 --> 25:03.000 Also man tut immer gut daran, irgendwo an den Schwerpunkt zu denken. 25:07.820 --> 25:12.140 Und die weitere Gleichung ist dann eben, dass die Summe aller Momente 25:12.140 --> 25:20.680 ebenfalls bezüglich dem Schwerpunkt gegeben ist durch Ableitung des 25:20.680 --> 25:21.320 Tralls. 25:21.880 --> 25:25.020 Ich schreibe mal einen Punkt darüber, aber gemeint ist natürlich die 25:25.020 --> 25:29.580 Ableitung des Tralls im Inertialsystem, genauso wie wir hier den 25:29.580 --> 25:31.840 Ortsvektor im Inertialsystem ableiten müssen. 25:32.840 --> 25:34.540 Ebenfalls bezüglich dem Schwerpunkt. 25:35.380 --> 25:41.760 Und das L bezüglich S war eben gegeben durch das Integral, also ein 25:41.760 --> 25:45.340 Integral über die gesamte Masse. 25:46.780 --> 25:54.680 RSP kreuz Omega kreuz RSP DM. 26:03.890 --> 26:06.530 Wie gesagt, sechs skalare Gleichungen. 26:07.550 --> 26:14.390 Wenn irgendwelche Zwangsbedingungen vorliegen, dann werden diese 26:14.390 --> 26:17.830 Zwangsbedingungen realisiert dadurch, dass dort entsprechende Kräfte, 26:18.130 --> 26:20.710 Zwangskräfte oder eben entsprechende Momente wirken. 26:25.380 --> 26:29.100 Diese Zwangskräfte und Zwangsmomente müssten Sie dann noch 26:29.100 --> 26:34.740 entsprechend aus diesen Gleichungen eliminieren, um letztendlich auf 26:34.740 --> 26:36.280 die Bewegungsgleichung zu kommen. 26:37.020 --> 26:42.600 Und Sie sehen, wenn wir eine gewisse Zahl von Zwangsbedingungen 26:42.600 --> 26:46.140 vorliegen haben, schränkt das die Bewegungsmöglichkeit ein, das 26:46.140 --> 26:48.960 schränkt die Zahl der Freiheitsgrade ein und dementsprechend bekommen 26:48.960 --> 26:51.180 wir eben weniger Gleichungen. 26:53.260 --> 26:55.160 Vielleicht noch ein paar Anmerkungen. 27:00.200 --> 27:04.720 Zunächst mal sind es sechs skalare Gleichungen. 27:16.100 --> 27:20.020 Oft sind die Kräfte und die Momente voneinander abhängig. 27:21.020 --> 27:33.100 Also oft sind F und die Momente bezüglich dem Schwerpunkt 27:37.740 --> 27:41.620 voneinander abhängig, 27:48.480 --> 27:54.960 sodass entsprechend Translation und Rotation gekoppelt sind. 28:25.680 --> 28:30.720 Und ein Kreisel ist 28:36.120 --> 28:40.000 jetzt eben so ausgelegt, dass ein Punkt des Körpers festgehalten ist, 28:42.760 --> 28:48.360 also ein Punkt O 28:53.280 --> 28:56.320 festgehalten. 28:56.320 --> 28:58.900 Damit hat er nur noch drei Freiheitsgrade, 29:02.050 --> 29:05.110 und zwar Drehfreiheitsgrade. 29:17.220 --> 29:25.200 Und für den Fall können wir als Bezugspunkt, oder ist es besser, als 29:25.200 --> 29:28.700 Bezugspunkt nicht den Schwerpunkt zu nehmen und Impuls und Trallsatz 29:28.700 --> 29:32.820 auszuwerten, sondern eben als Bezugspunkt für den Trallsatz dann den 29:32.820 --> 29:37.760 festgehaltenen Punkt, sodass dann dort eben steht die Summe der 29:37.760 --> 29:41.920 Momente bezüglich dieses ausgezeichneten Punktes O. 29:42.920 --> 29:47.820 Ergibt gerade die Ableitung des Tralls, aber der Trall dann ebenfalls 29:47.820 --> 29:55.140 formuliert bezüglich dem festgehaltenen Punkt O und damit L bezüglich 29:55.140 --> 30:00.420 O ist gegeben als Integral über den gesamten Körper. 30:01.420 --> 30:09.680 Und dann haben wir eben entsprechend anstatt R Sp haben wir R Op Kreuz 30:09.680 --> 30:17.900 Omega Kreuz R Op Dm. 30:27.220 --> 30:32.000 Und wie schon erwähnt, der Schwerpunktsatz oder der Impulssatz, der 30:32.000 --> 30:38.740 bietet eigentlich nichts Neues, was zunächst mal gar nicht so 30:38.740 --> 30:44.740 kompliziert erscheint, aber eben in der Auswertung dann doch ein 30:44.740 --> 30:45.800 bisschen komplizierter ist. 30:45.800 --> 30:46.920 Das ist der Trallsatz. 30:48.380 --> 30:54.300 Das war für eine Ebenebewegung im Grunde genommen auch nicht ganz 30:54.300 --> 30:54.700 einfach. 30:54.860 --> 30:58.600 Wir haben uns da nur ein bisschen trickreich beholfen. 30:59.060 --> 31:03.200 Wir haben nämlich immer nur die Z-Komponente dieser Vektoren 31:03.200 --> 31:03.720 betrachtet. 31:04.420 --> 31:08.840 Und das war dann bei einer Ebenenbewegung eine relativ einfache 31:08.840 --> 31:15.180 Auswertung, nämlich Massenträgheitsmoment bezüglich dem Bezugspunkt 31:15.180 --> 31:19.860 oder der Drehachse multipliziert mit der Winkelgeschwindigkeit in 31:19.860 --> 31:20.720 Richtung... 31:22.100 --> 31:25.720 Und die Winkelgeschwindigkeit hatte nur eine Komponente senkrecht zur 31:25.720 --> 31:29.420 Bewegungsebene, also multipliziert mit der skalaren Koordinate, 31:30.440 --> 31:34.660 zweimal abgeleitet, also Winkelbeschleunigung, ergibt Summe aller 31:34.660 --> 31:38.860 Momente ebenfalls in der Richtung, also für eine Drehung um die 31:38.860 --> 31:40.780 senkrechte zur Bewegungsebene. 31:41.700 --> 31:43.720 Das ist dann natürlich sehr einfach. 31:44.620 --> 31:50.360 Wenn man den Trallsatz selbst bei einer Ebenenbewegung genau anschaut, 31:50.520 --> 31:54.040 so vektoriell, hat man dort schon gesehen, da gibt es ja eventuell 31:54.040 --> 31:58.400 auch Anteile, die in der Bewegungsebene liegen. 32:03.040 --> 32:04.960 Sogenannte Deviationsmomente werden dann wichtig. 32:05.520 --> 32:09.220 Das ist aber das, worauf wir jetzt noch näher zu sprechen kommen. 32:26.720 --> 32:32.320 Was wir jetzt noch beachten müssen, um den Trallsatz auszuwerten, 32:32.560 --> 32:34.440 müssen wir den Trall bestimmen. 32:35.280 --> 32:40.960 Wir müssen über den gesamten Körper integrieren. 32:44.280 --> 32:47.180 Jetzt habe ich mir mal hier so einen einfachen, starren Körper 32:47.180 --> 32:47.740 mitgebracht. 32:51.040 --> 33:00.320 Wenn wir als Bezugspunkt den Schwerpunkt nehmen, dann wissen wir, wenn 33:00.320 --> 33:04.380 ich den starren Körper jetzt hochwerfe und mal die Luftreibung 33:04.380 --> 33:06.800 vernachlässige, dann wirkt auf den die Gravitation. 33:09.060 --> 33:15.420 Bezüglich des Schwerpunktes ist das Moment der Gravitation... 33:16.500 --> 33:17.660 Wie groß? 33:24.950 --> 33:26.390 Keiner traut sich. 33:27.370 --> 33:28.210 Null. 33:29.370 --> 33:35.510 Also, wenn ich den mal irgendwie hochwerfe, dann sehen Sie, der 33:35.510 --> 33:36.610 rotiert da irgendwie. 33:38.890 --> 33:40.630 Wirkt ja auch keine Momente. 33:42.850 --> 33:48.470 Aber, wenn wir jetzt mal das Integral anschauen, dann sehen wir, wenn 33:48.470 --> 33:57.850 wir die Vektoren R, S, P und Omega zum Beispiel ausdrücken über 33:57.850 --> 34:05.100 Koordinaten bezüglich raumfester Einheitsvektoren, dann werden die 34:05.100 --> 34:07.900 Integrationsgrenzen, die ändern sich jetzt ständig. 34:09.220 --> 34:10.680 Also, das wird nichts Schönes sein. 34:12.160 --> 34:19.140 Wenn wir aber das R, S, P, das Omega... 34:19.140 --> 34:20.600 Das R, S, P tritt nochmal auf. 34:20.840 --> 34:25.220 Also, wenn wir die beiden Vektoren ausdrücken mit Koordinaten 34:25.220 --> 34:28.780 bezüglich körperfester Einheitsvektoren, 34:32.020 --> 34:36.040 dann können wir die Integration relativ leicht ausführen. 34:36.960 --> 34:44.180 Das heißt, wenn wir das machen, dann erhalten wir als Ergebnis die 34:44.180 --> 34:49.920 Koordinaten des Tralls wiederum bezüglich mitdrehender 34:49.920 --> 34:51.600 Einheitsvektoren. 34:55.170 --> 34:59.350 Dann müssen wir nur noch an einer Stelle aufpassen, nämlich bei der 34:59.350 --> 35:00.610 Ableitung des Tralls. 35:04.410 --> 35:09.090 Da dürfen wir nicht im mitdrehenden Koordinatensystem ableiten, 35:09.210 --> 35:12.690 sondern wir müssen im Inertialsystem ableiten. 35:13.970 --> 35:17.530 Aber, da haben wir ja die Formel kennengelernt. 35:18.490 --> 35:22.670 Die Ableitung eines Vektors... 35:26.170 --> 35:28.790 Dann nennen wir einfach mal den Trall. 35:30.210 --> 35:31.930 Das kann ein x-beliebiger Vektor sein. 35:32.030 --> 35:37.930 Wenn wir den nach der Zeit ableiten im Inertialsystem, dann war das 35:37.930 --> 35:42.770 gerade Ableitung des Vektors im Drehenden Koordinatensystem. 35:42.770 --> 35:50.310 Also Ableitung in dem Falle vom Trall nach der Zeit im Körperfesten 35:50.310 --> 35:50.770 Koordinatensystem. 35:52.170 --> 36:00.450 Plus, und jetzt kommt es, Omega vom Drehenden System in dem System, in 36:00.450 --> 36:02.510 dem die Ableitung gebildet werden soll, in I. 36:03.950 --> 36:08.650 Kreuz den Vektor, den wir ableiten, also Kreuz L. 36:12.930 --> 36:16.230 Und ganz klar, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers im 36:16.230 --> 36:20.030 Inertialsystem, das war ja gerade das, was wir hier als Omega ohne 36:20.030 --> 36:23.150 irgendwelche Zusatznotationen verwendet haben. 36:23.410 --> 36:25.850 Wir haben ja an der Stelle nur ein Omega gehabt. 36:28.630 --> 36:30.430 Also das war gleichzeitig das Omega. 36:49.030 --> 36:52.670 Nun, bevor wir das machen, vielleicht noch eine andere Bemerkung. 36:53.630 --> 36:57.590 Wenn Sie in so ein Formelbuch reinschauen, zum Beispiel in den 36:57.590 --> 37:07.370 Bronstein, dann finden Sie, dass man, ich gebe es mal an, L bezüglich 37:07.370 --> 37:19.610 S war ja Integral über die Gesamtmasse, RSP Kreuz Omega Kreuz RSP dm. 37:20.470 --> 37:24.330 Vorher, da hatten wir immer solche Kniffe angewandt, dass eben 37:24.330 --> 37:28.210 irgendwelche Größen konstant sind, die wir vor das Integral ziehen 37:28.210 --> 37:28.590 können. 37:30.750 --> 37:33.990 Das Omega, das ist natürlich konstant für alle Massenelemente. 37:35.030 --> 37:38.430 Aber wir haben in dem Fall das Problem, das Omega, das steht 37:38.430 --> 37:38.950 mittendrin. 37:40.210 --> 37:42.970 Das können wir nicht so ohne weiteres aus dem Integral rausziehen, 37:43.090 --> 37:46.090 sonst hätte ich das schon lange auf der linken Tafelseite gemacht. 37:47.310 --> 37:49.150 Aber wir können das Ganze mal umformen. 37:52.070 --> 37:57.430 Nämlich mit dem Entwicklungssatz der Vektorrechnung ergibt sich dann 37:57.430 --> 37:59.430 ein Integral, das bleibt stehen. 37:59.950 --> 38:01.290 Und jetzt geht es um das doppelte Kreuzprodukt. 38:02.190 --> 38:04.290 Das können wir ausdrücken über... 38:05.530 --> 38:12.570 Jetzt haben wir bei einem Skalarprodukt oder bei einem Skalar 38:12.570 --> 38:17.330 multipliziert mit einem Vektor ergibt es dann gerade RSP². 38:17.780 --> 38:24.210 Das ist eine skalare Größe, multipliziert mit Omega. 38:26.590 --> 38:31.490 Und jetzt haben wir an der Stelle RSP, 38:36.210 --> 38:42.410 multipliziert mit einer skalaren Größe, nenne ich das Skalarprodukt 38:42.410 --> 38:45.430 aus RSP und Omega. 38:51.790 --> 38:56.530 Und jetzt sehen wir, an der Stelle haben wir das Omega schon mal so 38:56.530 --> 38:58.650 stehen, dass wir das eventuell rausziehen könnten. 38:59.770 --> 39:02.850 An der Stelle wird es noch ein bisschen schwierig. 39:22.380 --> 39:27.080 Und jetzt frage ich mal völlig ungeniert, wer hat schon mal was von 39:27.080 --> 39:28.040 der Dyade gehört? 39:31.040 --> 39:36.060 Das ist jetzt keine Anti-Baby-Pille, sondern... 39:36.060 --> 39:37.220 Ah, jetzt machen sie wieder auf. 39:38.260 --> 39:41.440 Das ist ein Tensor. 39:43.880 --> 39:47.460 Und es wird schon mal mit Tensoren gearbeitet. 39:52.040 --> 39:53.920 Mit was für Tensoren? 39:55.360 --> 39:55.500 Wie? 39:55.500 --> 39:56.460 Matrizen? 39:59.940 --> 40:01.840 Matrizen sind keine Tensoren. 40:06.520 --> 40:10.880 Sie assoziieren da, was bei den Studenten immer ein bisschen 40:10.880 --> 40:11.700 durcheinander geht. 40:11.820 --> 40:12.620 Also ich erkläre es mal. 40:14.340 --> 40:17.120 Ein Vektor ist ein Tensor erster Stufe. 40:18.400 --> 40:21.540 Und Sie sind gewohnt, und wir machen das jetzt dann auch, dass man so 40:21.540 --> 40:25.200 die Koordinaten von einem Vektor in eine Matrix reinschreibt. 40:25.980 --> 40:29.600 Und dann sagt man landläufig, das ist ja der Vektor. 40:30.360 --> 40:36.540 Wenn ich jetzt andere Einheitsvektoren als Basis nehme, dann ändern 40:36.540 --> 40:39.680 sich die Koordinaten, dann ändert sich also die Matrix. 40:40.960 --> 40:44.040 Und jetzt müsste man natürlich sagen, der Vektor hat sich geändert. 40:45.340 --> 40:49.440 Aber der Vektor ist eine Größe, der hat einen Betrag und eine 40:49.440 --> 40:49.720 Richtung. 40:50.560 --> 40:54.200 Und egal wie ich den darstelle, ändert sich das nicht. 40:54.200 --> 40:57.280 Also der Vektor ändert sich nicht, das ist beides mal derselbe Vektor. 40:58.400 --> 41:01.460 Genauso ist es mit Tensoren zweiter Stufe. 41:02.740 --> 41:06.100 Also bei einem Tensor zweiter Stufe, die Sie schon kennengelernt 41:06.100 --> 41:08.900 haben, das müsste der Spannungs- und der Verzerrungstensor zum 41:08.900 --> 41:09.540 Beispiel sein. 41:09.920 --> 41:12.600 Da sind Sie auch gewohnt, die in eine Matrix reinzuschreiben, richtig? 41:14.100 --> 41:19.060 Sie wählen dazu eine Basis und tragen wieder, wie beim Vektor, die 41:19.060 --> 41:22.180 Koordinaten bezüglich dieser Basis in eine Matrix ein. 41:23.600 --> 41:27.640 Wenn Sie jetzt die Koordinatenrichtungen ändern, ändert sich die 41:27.640 --> 41:28.080 Matrix. 41:29.100 --> 41:33.240 Aber der Spannungszustand und der Verzerrungszustand an dem Punkt, den 41:33.240 --> 41:36.460 Sie gerade betrachten, ist ja derselbe. 41:37.700 --> 41:41.500 Also wenn ich jetzt mal einen Spannungszustand auf dem Tisch erzeuge, 41:41.600 --> 41:47.080 an dem Punkt unter meinem Zeigefinger, dann ist es dem 41:47.080 --> 41:50.580 Spannungszustand egal, wie ich mein Koordinatensystem wähle. 41:51.120 --> 41:54.080 Es ist ja immer derselbe Spannungszustand, also das steckt im Grunde 41:54.080 --> 41:54.680 genommen dahinter. 41:56.320 --> 41:57.200 Der Vorteil... 42:03.120 --> 42:05.160 Vielleicht hätten wir den Herrn Albers auch mal ein bisschen noch 42:05.160 --> 42:06.700 Tensorechnung beibringen sollen. 42:10.500 --> 42:14.720 Der Vorteil, wenn ich das über Tensoren mache, die noch die 42:14.720 --> 42:20.040 Richtungsinformationen drin haben, dann muss ich mich nicht darum 42:20.040 --> 42:22.700 kümmern, dass ich alles im selben Bezugssystem darstelle. 42:23.700 --> 42:29.200 Beispiel hier, ich kann natürlich die einzelnen Vektoren in 42:29.200 --> 42:32.160 verschiedenen Bezugssystemen darstellen oder mit verschiedenen 42:32.160 --> 42:36.180 Basisvektoren und kann das Kreuzprodukt auswerten, dann muss ich aber 42:36.180 --> 42:41.120 wissen, wie die einzelnen Basisvektoren zueinander ausgerichtet sind. 42:41.120 --> 42:46.880 Also letztendlich steckt wieder darin, wie ist die Orientierung der 42:46.880 --> 42:47.660 Basen zueinander. 42:49.000 --> 42:51.120 Drehmatrix, was wir schon in der letzten Vorlesung hatten. 42:51.740 --> 42:56.400 So, jetzt haben wir also die Richtungsinformationen noch im Tensor 42:56.400 --> 42:56.640 drin. 42:57.400 --> 43:00.760 Und dazu gibt es jetzt das Tensorprodukt von Einheitsvektoren bzw. 43:00.940 --> 43:05.600 das Tensorprodukt von Vektoren. 43:06.320 --> 43:09.840 Und wenn ich das jetzt mal darauf anwende, dann sehe ich... 43:10.580 --> 43:12.600 das kann ich jetzt umformen in... 43:14.180 --> 43:16.600 das Integral bleibt stehen... 43:17.140 --> 43:18.600 und jetzt sehen wir... 43:22.700 --> 43:23.260 rsp²... 43:34.220 --> 43:34.780 Omega... 43:37.120 --> 43:37.680 Minus... 43:37.680 --> 43:41.600 und jetzt habe ich hier eine Skalaregröße multipliziert mit einem 43:41.600 --> 43:42.000 Vektor. 43:43.400 --> 43:46.900 Und das ist im Grunde genommen gerade das, was ich erhalte, wenn ich 43:46.900 --> 43:49.340 schreibe rsp... 43:49.340 --> 43:54.400 dyadisches Produkt, also Tensorprodukt, mit rsp... 43:56.800 --> 44:01.400 Skalar multipliziert mit Omega, das ist nämlich gerade so definiert... 44:04.160 --> 44:04.720 dass... 44:05.400 --> 44:09.400 dieses Produkt insgesamt wieder einen Vektor ergibt, also Vektor... 44:10.420 --> 44:14.680 Skalar multipliziert mit einem Tensor zweiter Stufe ergibt wieder 44:14.680 --> 44:16.420 einen Tensor erster Stufe, also ein Vektor. 44:17.340 --> 44:22.180 Und zwar gerade der Vektor rsp multipliziert mit dem Skalarprodukt aus 44:22.180 --> 44:24.240 den beiden, also das, was wir da oben stehen haben. 44:30.420 --> 44:35.560 Jetzt haben wir hier einen Tensor, wo Sie gewohnt sind, das als Matrix 44:35.560 --> 44:36.100 zu schreiben. 44:36.500 --> 44:37.720 Hier haben wir eine Skalargröße. 44:39.080 --> 44:40.380 Wie kriegen wir das noch in Einklang? 44:40.940 --> 44:46.450 Nun, jetzt multiplizieren wir das mit dem Einheitstensor. 44:47.160 --> 44:49.260 Ich schreibe mal U für Unity oder wie auch immer. 44:50.160 --> 44:51.500 Also das wäre der Einheitstensor. 44:59.900 --> 45:03.260 Einheitstensor Skalar multipliziert mit einem Vektor ergibt wieder den 45:03.260 --> 45:04.080 Vektor. 45:04.360 --> 45:04.960 Ganz einfach. 45:06.180 --> 45:08.020 So, und jetzt sehen wir... 45:08.020 --> 45:09.660 Hier haben wir noch ein Skalarprodukt. 45:10.440 --> 45:16.300 Und jetzt sehen wir, jetzt haben wir es geschafft, das Omega so zu 45:16.300 --> 45:20.340 stellen, dass wir das, weil es konstant ist bezüglich der Integration, 45:21.180 --> 45:24.460 aus dem Integral rausziehen können. 45:25.460 --> 45:30.160 Jetzt haben wir Integral über die gesamte Masse. 45:30.160 --> 45:39.560 Dann haben wir da drin stehen, R Sp Quadrat mal U minus R Sp. 45:40.540 --> 45:42.340 Und ja, das ist mit R Sp. 45:46.300 --> 45:49.320 Skalar mit Omega, das ziehe ich raus, also dm. 45:50.840 --> 45:56.200 Skalar multipliziert mit Omega. 45:58.000 --> 46:07.320 Und jetzt sehen Sie, jetzt habe ich einfach das Skalarprodukt vom 46:07.320 --> 46:13.860 Trägheitstensor, wieder ein Tensor zweiter Stufe, mit Omega. 46:15.600 --> 46:19.100 Streng genommen muss ich nur angeben, das ist bezüglich dem 46:19.100 --> 46:19.660 Schwerpunkt. 46:19.660 --> 46:27.560 Also gleich Trägheitstensor I bezüglich S-Skalar multipliziert mit 46:27.560 --> 46:27.880 Omega. 46:29.100 --> 46:33.140 Und Sie sehen, bei einer allgemeinräumlichen Bewegung ist es schon 46:33.140 --> 46:37.880 sehr viel komplizierter, für die Drehbewegung als für den Impulssatz. 46:40.980 --> 46:45.920 So, da ich annehme, dass die wenigsten von Ihnen dann wirklich mit 46:45.920 --> 46:51.720 Tensoren rechnen können, das war jetzt nur mal ein bisschen, ein 46:51.720 --> 46:57.340 bisschen müssen Sie mich auch bewundern, um zu zeigen, wie das 46:57.340 --> 46:58.140 allgemein geht. 46:59.160 --> 47:04.040 Irgendwann muss man dann immer Bezugssysteme oder Vektoren einführen. 47:04.560 --> 47:08.300 Dann hat man also, wenn man das macht, hier an der Stelle diadische 47:08.300 --> 47:12.120 Produkte von Einheitsvektoren, die lässt man einfach so stehen und hat 47:12.120 --> 47:14.060 noch Skalargrößen als Vorfaktoren. 47:15.000 --> 47:18.120 Wir machen das insofern uns ein bisschen einfach. 47:19.020 --> 47:24.460 Wir sagen, im Integral steht ja lediglich so ein doppeltes 47:24.460 --> 47:25.260 Kreuzprodukt drin. 47:26.080 --> 47:30.340 Und dieses können wir leicht auswerten, wenn wir alle Vektoren 47:30.340 --> 47:32.520 bezüglich derselben Basis darstellen. 47:34.540 --> 47:37.420 Und weil wir später gut integrieren wollen, das haben wir ja gesehen, 47:38.360 --> 47:40.840 wählen wir körperfeste Basisvektoren. 47:41.840 --> 47:49.340 Also, wir nehmen jetzt mal an, das RSP, 47:57.330 --> 48:06.170 das sei gegeben durch eine Koordinate Xi Strich in Xi Strichrichtung 48:06.170 --> 48:18.510 plus Eta Strich in Richtung von E Eta Strich plus Zeta Strich E Zeta 48:18.510 --> 48:19.070 Strich. 48:22.370 --> 48:25.450 Sie sehen, wenn Sie bei mir eine Vorlesung hören, können Sie praktisch 48:25.450 --> 48:27.110 nach Griechenland fahren und sich verständigen. 48:30.530 --> 48:32.370 So, was haben wir noch? 48:33.190 --> 48:34.230 Wir brauchen das Omega. 48:36.600 --> 48:48.180 Dort genauso, da haben wir Omega Xi Strich in Xi Strichrichtung plus 48:48.180 --> 48:59.500 Omega Eta Strich E Eta Strich plus Omega Zeta Strich E Zeta Strich. 49:13.270 --> 49:23.110 Sie sehen, jetzt können wir das Kreuzprodukt Omega Kreuz RSP, 49:27.750 --> 49:29.490 das können wir relativ leicht ausführen. 49:36.070 --> 49:36.950 Also, 49:40.070 --> 49:52.270 Omega Kreuz RSP, ich mach das mal so, hier haben wir E Xi Strich, E 49:52.270 --> 50:00.970 Eta Strich, E Zeta Strich, dann haben wir Omega Xi Strich, Omega Eta 50:00.970 --> 50:10.550 Strich, Omega Zeta Strich und zum Schluss Xi Strich, Eta Strich, Zeta 50:10.550 --> 50:11.110 Strich. 50:12.750 --> 50:14.170 Das ergibt dann, 50:17.580 --> 50:21.400 und jetzt mach ich mal eine etwas unschöne Notation, jetzt führe ich 50:21.400 --> 50:24.080 nämlich eine Matrix ein, damit es einfach wird, wo ich die einzelnen 50:24.080 --> 50:25.380 Koordinaten reinschreibe. 50:25.380 --> 50:30.460 Ich mach es mal so, es gibt also in Richtung von E Xi Strich gerade 50:30.460 --> 50:32.000 Omega Eta Strich, 50:35.800 --> 50:45.720 Zeta Strich, minus Omega Zeta Strich, Eta Strich, dann wird zyklisch 50:45.720 --> 50:46.360 vertauscht. 50:46.360 --> 50:53.660 Es gibt also als nächstes Omega Zeta Strich, Xi Strich, minus Omega Xi 50:53.660 --> 51:05.560 Strich, Zeta Strich und Omega Xi Strich, Eta Strich, minus Omega Eta 51:05.560 --> 51:09.260 Strich, Xi Strich. 51:11.840 --> 51:20.900 Und jetzt haben wir also noch RSP Kreuz dieses Gebilde, das gibt also, 51:21.020 --> 51:27.700 wenn ich das Kreuzprodukt wieder auswerte, E Xi Strich, E Eta Strich, 51:28.420 --> 51:29.700 E Zeta Strich. 51:32.830 --> 51:44.350 Dann haben wir Xi Strich, Eta Strich, Zeta Strich und dann die 51:44.350 --> 51:56.270 Koordinaten hier, Omega Eta Strich, Zeta Strich, minus Omega Zeta 51:56.270 --> 51:59.330 Strich, Eta Strich. 52:00.230 --> 52:11.650 Dann haben wir Omega Zeta Strich, Xi Strich, minus Omega Xi Strich, 52:12.270 --> 52:22.030 Zeta Strich und das letzte war dann Omega Xi Strich, Eta Strich, minus 52:22.030 --> 52:25.670 Omega Eta Strich, Xi Strich. 52:27.910 --> 52:34.230 Das gibt dann letztendlich als Koordinaten ausgedrückt, 52:44.700 --> 52:56.890 gerade, ich schreibe es, wie gesagt, in eine Matrix rein. 52:59.470 --> 53:08.550 Dann haben wir hier in Xi Strich Richtung, Eta Strich, Omega Xi 53:08.550 --> 53:20.890 Strich, Eta Strich, also Omega Xi Strich, Eta Strich Quadrat, minus 53:20.890 --> 53:22.450 Omega Eta Strich, 53:26.420 --> 53:28.970 Eta Strich Quadrat. 53:30.320 --> 53:31.580 Xi Strich, 53:36.880 --> 53:44.520 minus das Produkt, das sehen wir, minus mal minus gibt plus Omega Xi 53:44.520 --> 53:45.800 Strich, das haben wir hier schon. 53:53.260 --> 54:04.650 Zeta Strich, Zeta Strich gibt plus Zeta Strich Quadrat und jetzt fehlt 54:04.650 --> 54:09.430 noch minus Omega Zeta Strich, 54:13.710 --> 54:19.550 Zeta Strich Xi Strich. 54:24.440 --> 54:27.800 Die beiden anderen Koordinaten, die tragen Sie sich mal zu Hause ein, 54:27.880 --> 54:29.860 Sie müssen jetzt nur noch zyklisch vertauschen. 54:31.300 --> 54:33.420 Ich schreibe mal hier, zyklisch vertauschen. 54:44.630 --> 54:47.910 So, jetzt müssen wir aufpassen, das war nämlich bis jetzt nur noch das 54:47.910 --> 54:49.930 doppelte Kreuzprodukt. 54:50.530 --> 54:53.630 Sie sehen, die Auswertung ist noch relativ einfach, bloß weil wir so 54:53.630 --> 54:56.970 viel schreiben müssen, wird es ein bisschen ätzend, weil wir so viele 54:56.970 --> 54:58.410 griechische Buchstaben drin haben. 54:58.410 --> 54:59.890 Und die Strichs da noch. 55:02.190 --> 55:07.170 Was noch fehlt, ist die Integration über die gesamte Masse oder über 55:07.170 --> 55:08.050 den gesamten Körper. 55:08.830 --> 55:17.410 Also jetzt könnten wir entweder hier schreiben, Integral dm oder ich 55:17.410 --> 55:20.770 kann das Integral praktisch für jede einzelne Koordinate machen. 55:21.490 --> 55:27.510 Und dann sehen wir, jetzt habe ich Integral Omega Xi Strich, Eta 55:27.510 --> 55:29.790 Strich Quadrat plus Zeta Strich Quadrat. 55:33.350 --> 55:38.950 Und jetzt kommt es bei der Integration ist natürlich das Omega Xi 55:38.950 --> 55:42.230 Strich, wenn wir über die Massenelemente integrieren, ist eine 55:42.230 --> 55:42.710 Konstante. 55:43.370 --> 55:48.510 Also kann ich hier schreiben, Integral dm. 55:51.510 --> 55:52.790 Über die gesamte Masse. 55:54.510 --> 56:01.830 Genauso habe ich hier Integral Omega Eta Strich, Eta Strich, Zeta 56:01.830 --> 56:02.290 Strich. 56:02.830 --> 56:06.430 Dort ist bei der Integration das Omega Eta Strich eine Konstante. 56:06.830 --> 56:13.010 Ich kann also beim Integrieren das rausziehen, dm. 56:15.030 --> 56:17.590 Genauso beim Omega Zeta Strich. 56:23.200 --> 56:26.920 Und Sie sehen, wenn wir jetzt zyklisch vertauschen, um die anderen 56:26.920 --> 56:32.300 Koordinaten zu bestimmen, dann treten ähnliche Integrale auf. 56:32.300 --> 56:39.080 Und Sie sehen, das sind jetzt Integrale, die, weil wir uns auf 56:39.080 --> 56:42.500 körperfeste Achsen beziehen, also Xi Strich, Eta Strich und Zeta 56:42.500 --> 56:47.240 Strich, sind jetzt irgendwelche Achsenrichtungen auf dem Körper. 56:49.260 --> 56:52.220 Aber die ändern sich mit der Zeit nicht, also kann ich die Integration 56:52.220 --> 56:53.220 einmal ausführen. 56:54.220 --> 56:56.120 Deshalb liegt es jetzt nahe, 57:12.720 --> 57:18.400 diese Integrale entsprechend zu benennen. 57:19.320 --> 57:26.640 Wir haben also Xi Strich, das nennen wir gerade das Integral Eta 57:26.640 --> 57:30.140 Strich Quadrat plus Zeta Strich Quadrat dm. 57:38.940 --> 57:40.580 Würden Sie gerade das Linke nochmal auswischen? 57:43.600 --> 57:49.760 Entsprechend tritt in der zweiten Seile ein Integral auf, das wir 57:49.760 --> 57:51.480 jetzt Eta Strich nennen, 57:56.310 --> 58:01.970 Xi Strich Quadrat plus Zeta Strich Quadrat dm. 58:02.970 --> 58:13.550 Und in der dritten Seile ein Zeta Strich, das wir nennen Integral über 58:13.550 --> 58:18.790 die gesamte Masse, Xi Strich Quadrat plus Eta Strich Quadrat dm. 58:20.610 --> 58:25.770 Wenn Sie sich das mal anschauen, dann sehen Sie Eta Strich Quadrat 58:25.770 --> 58:31.910 plus Zeta Strich Quadrat, das ist genau das Quadrat des Abstandes des 58:31.910 --> 58:35.830 Massenelementes zur Xi Strich Achse. 58:37.730 --> 58:40.950 Also ist das praktisch so etwas ähnliches wie das 58:40.950 --> 58:44.670 Massenträgheitsmoment, das Warten bei einer ebenen Bewegung. 58:44.750 --> 58:47.850 Dort war ja auch wichtig, der Abstand zum Quadrat eines 58:47.850 --> 58:49.310 Massenelementes zur Drehachse. 58:50.470 --> 58:54.150 Das sind also die axialen Massenträgheitsmomente. 59:13.670 --> 59:18.590 Dann haben wir noch Integrale Eta Strich Xi Strich, wir haben aber 59:18.590 --> 59:19.690 auch hier ein Minuszeichen. 59:19.690 --> 59:23.130 Dieses Minuszeichen, das nehmen wir praktisch noch in die Bezeichnung 59:23.130 --> 59:23.530 rein. 59:24.210 --> 59:34.710 Dann haben wir also Xi Strich Eta Strich ist Minusintegral über die 59:34.710 --> 59:38.790 gesamte Masse Xi Strich Eta Strich dm. 59:39.750 --> 59:44.510 Nun, das tritt einmal hier auf. 59:45.670 --> 59:48.650 Wenn Sie das zyklisch vertauschen, tritt es auch in der zweiten Zeile 59:48.650 --> 59:51.490 mal auf, also es tritt doppelt auf. 59:51.910 --> 59:55.470 Ich bezeichne das jetzt nicht nochmal separat als J Eta Strich Xi 59:55.470 --> 59:55.890 Strich. 59:56.890 --> 01:00:01.570 Dementsprechend haben wir noch J Xi Strich Zeta Strich als 01:00:01.570 --> 01:00:09.030 Minusintegral über die gesamte Masse Xi Strich Zeta Strich dm. 01:00:09.610 --> 01:00:26.690 Und zum Schluss J Eta Strich Zeta Strich als Minusintegral Eta Strich 01:00:26.690 --> 01:00:29.390 Zeta Strich dm. 01:00:33.940 --> 01:00:38.040 Das sind dann die Deviations- oder Zentrifugalmomente. 01:00:52.480 --> 01:00:59.440 Und wir sehen, mit diesen Größen, die wir unabhängig von der Bewegung 01:00:59.440 --> 01:01:14.240 auswerten können, ergibt sich dann L bezüglich S als J Xi Strich Omega 01:01:14.240 --> 01:01:21.000 Xi Strich plus J Xi Strich Eta Strich Omega Eta Strich dm. 01:01:21.020 --> 01:01:32.460 Plus J Xi Strich Zeta Strich Omega Zeta Strich in Xi Strich Richtung. 01:01:35.080 --> 01:01:49.200 Plus eben J Xi Strich Eta Strich Omega Xi Strich plus J Eta Strich 01:01:49.200 --> 01:01:57.340 Omega Eta Strich plus J Eta Strich Zeta Strich Omega Zeta Strich 01:01:57.340 --> 01:02:02.040 multipliziert mit E Eta Strich. 01:02:04.380 --> 01:02:13.580 Und als letztes dann J Xi Strich Zeta Strich Omega Xi Strich plus J 01:02:13.580 --> 01:02:23.400 Eta Strich Zeta Strich Omega Eta Strich plus J Zeta Strich Omega Zeta 01:02:23.400 --> 01:02:29.140 Strich E Zeta Strich. 01:02:52.610 --> 01:02:54.490 Das heißt, wir können jetzt eines machen. 01:02:55.690 --> 01:03:00.590 Wir können mal die Elemente in einer Matrix anordnen, dann sind wir 01:03:00.590 --> 01:03:03.370 wieder bei der Matrixdarstellung des Tensors. 01:03:04.470 --> 01:03:17.830 Da haben wir jetzt J Xi Strich, J Xi Strich Eta Strich, J Xi Strich 01:03:17.830 --> 01:03:18.870 Zeta Strich. 01:03:19.870 --> 01:03:28.070 Dann haben wir hier J Eta Strich, J Eta Strich Zeta Strich, hier unten 01:03:28.070 --> 01:03:29.490 J Zeta Strich. 01:03:29.490 --> 01:03:31.310 Das Ganze symmetrisch. 01:03:36.450 --> 01:03:41.570 Das ist dann die Matrixdarstellung des 01:03:46.970 --> 01:03:48.110 Trägheitstensors. 01:04:05.210 --> 01:04:06.810 Ein Tensor zweiter Stufe. 01:04:29.190 --> 01:04:36.530 Und weil wir zuvor so ganz allgemein mal den Trägheitstensor als 01:04:36.530 --> 01:04:38.010 Tensor eingeführt hatten. 01:04:39.150 --> 01:04:42.370 Und dann sehen Sie auch R Sp Quadrat. 01:04:42.750 --> 01:04:47.310 R Sp Quadrat ist gerade Xi Strich Quadrat plus Eta Strich Quadrat plus 01:04:47.310 --> 01:04:48.430 Zeta Strich Quadrat. 01:04:51.810 --> 01:04:55.530 Minus R Sp, dyadisch mit R Sp. 01:04:56.470 --> 01:05:03.750 Das heißt, bei E Xi Strich, dyadisch mit E Xi Strich multipliziert, 01:05:04.050 --> 01:05:07.350 ziehen wir gerade wieder das Xi Strich Quadrat ab. 01:05:07.350 --> 01:05:13.970 Das gibt also beim Anteil E Xi Strich, dyadisch mit E Xi Strich, 01:05:14.970 --> 01:05:19.210 gerade Eta Strich Quadrat plus Zeta Strich Quadrat, wie wir es jetzt 01:05:19.210 --> 01:05:20.030 hier hatten. 01:05:20.030 --> 01:05:23.350 Also nochmal so ein bisschen zu mitschreiben. 01:05:23.830 --> 01:05:41.640 Das I wäre jetzt J Xi Strich E Xi Strich, dyadisch mit E Xi Strich. 01:05:43.940 --> 01:05:55.080 Plus, dann hätten wir J Xi Strich Eta Strich E Xi Strich, dyadisch mit 01:05:55.080 --> 01:05:56.960 E Eta Strich. 01:05:58.440 --> 01:06:09.420 Aus dem hier unten folgt aber nochmal plus J Xi Strich Eta Strich E 01:06:09.420 --> 01:06:14.440 Eta Strich, dyadisch mit E Xi Strich. 01:06:14.440 --> 01:06:21.160 Plus, und jetzt bis wir eben alle Elemente durch haben, also bis 01:06:21.160 --> 01:06:30.300 letztendlich J Zeta Strich E Zeta Strich, dyadisch mit E Zeta Strich. 01:06:36.730 --> 01:06:39.470 Und Sie sehen, wenn wir ganz allgemeine Achsen haben, dann wird es 01:06:39.470 --> 01:06:41.190 natürlich ein bisschen kompliziert. 01:06:41.190 --> 01:06:44.710 Dann werden auch die Gleichungen sehr kompliziert, wenn wir das noch 01:06:44.710 --> 01:06:46.690 in den Trallsatz einsetzen und ableiten. 01:06:47.330 --> 01:06:47.890 Warum? 01:06:49.290 --> 01:06:54.630 Wir haben jetzt den Trall dargestellt in körperfesten Basisvektoren. 01:06:54.770 --> 01:06:58.090 Das heißt, es liegt jetzt nahe, die Ableitung im Inertialsystem so zu 01:06:58.090 --> 01:07:01.750 bilden, dass wir die Koordinaten ableiten und dann noch das 01:07:01.750 --> 01:07:03.510 Kreuzprodukt beachten. 01:07:05.590 --> 01:07:09.990 Und Sie wissen natürlich vom Spannungs- und Verzerrungstensor, es gibt 01:07:09.990 --> 01:07:15.330 jetzt ausgezeichnete Richtungen auf dem Körper, bei denen eben die 01:07:15.330 --> 01:07:19.270 Darstellung der Matrix sehr einfach wird. 01:07:19.270 --> 01:07:20.630 Das sind nämlich die Hauptachsen. 01:07:31.470 --> 01:07:37.530 Mit Hauptachsen und die bezeichnen wir jetzt einfach mal mit Xi, Eta 01:07:37.530 --> 01:07:39.210 und Zeta ohne das Strich. 01:07:40.710 --> 01:07:47.430 Da hat jetzt die Matrix Phi bezüglich S eine sehr einfache Form, 01:07:48.130 --> 01:08:00.190 nämlich JXi, JEta, JZeta. 01:08:04.030 --> 01:08:09.870 Wenn wir kündig machen wollen, dass die Darstellung der Matrix abhängt 01:08:09.870 --> 01:08:12.790 von den Achsen, dann können wir auch immer die Achsen irgendwo 01:08:12.790 --> 01:08:13.510 dazuschreiben. 01:08:13.690 --> 01:08:17.410 Also wir könnten auch hier dazuschreiben Xi', Eta', Zeta'. 01:08:17.410 --> 01:08:20.970 Dann wissen wir, bei den Koordinaten beziehen wir uns auf diese 01:08:20.970 --> 01:08:22.550 Koordinatenrichtungen. 01:08:24.830 --> 01:08:28.170 Entsprechend bei den Hauptachsen haben wir dann die Richtungen Xi, 01:08:28.970 --> 01:08:30.750 Eta, Zeta. 01:08:34.840 --> 01:08:36.060 Nun was sind Hauptachsen? 01:08:36.060 --> 01:08:44.520 Hauptachsen bei einem homogenen symmetrischen Körper, also bei einem 01:08:44.520 --> 01:08:59.840 homogenen symmetrischen Körper sind Symmetrieachsen Hauptachsen. 01:09:11.010 --> 01:09:17.850 Und die Berechnung der Massenträgheitsmomente bzw. 01:09:18.010 --> 01:09:21.650 der Deviationsmomente, da verweisen wir auf die TM3, wo wir das schon 01:09:21.650 --> 01:09:22.670 ein bisschen angerissen haben. 01:09:28.530 --> 01:09:46.790 Und Sie sehen, mit der Matrix werden zunächst mal L bezüglich S gleich 01:09:46.790 --> 01:09:49.570 I, Skala mit Omega. 01:09:50.390 --> 01:09:55.510 Das war, wenn wir uns nicht darum gekümmert haben, bezüglich welcher 01:09:55.510 --> 01:09:59.670 Basisvektoren wir den Trägheitssensor darstellen und bezüglich welcher 01:09:59.670 --> 01:10:00.830 Basisvektoren das Omega. 01:10:01.830 --> 01:10:05.370 Wenn wir alles bezüglich einer Basis machen, z.B. 01:10:05.470 --> 01:10:14.610 Körperfest, dann wissen wir in dem Falle L bezüglich S. 01:10:16.350 --> 01:10:18.750 Und jetzt habe ich wieder ein bisschen eine unsaubere Schreibweise, 01:10:18.890 --> 01:10:21.550 weil ich habe hier ein Vektor, dann kann ich das im Grunde genommen 01:10:21.550 --> 01:10:29.450 über das Matrizenprodukt machen, nämlich V von S, Matrixmultiplikation 01:10:29.450 --> 01:10:30.030 mit Omega. 01:10:32.150 --> 01:10:34.070 Ich lasse das jetzt einfach auch mal so stehen. 01:10:34.070 --> 01:10:38.950 Also hier, 01:10:43.460 --> 01:10:47.300 Skalarprodukt, hier haben wir ein Matrizenprodukt, 01:10:51.320 --> 01:10:58.650 zwischen dem Matrizenprodukt, 01:11:02.150 --> 01:11:13.710 Ergebnis ist eine Matrix mit den Koordinaten von L. 01:11:18.770 --> 01:11:23.310 Und zwar alles bezüglich derselben Basis. 01:11:25.530 --> 01:11:33.590 Man sieht jetzt auch, der Drehimpuls ist 01:11:41.200 --> 01:11:47.320 eine lineare Vektorfunktion der 01:11:57.330 --> 01:11:58.030 Winkelgeschwindigkeit. 01:12:19.970 --> 01:12:26.110 Und wenn wir uns mal auf Hauptachsen beziehen, dann wissen wir, der 01:12:26.110 --> 01:12:31.770 Drall bezüglich der Einheitsvektoren E Xi, E Eta und E Zeta, der ist 01:12:31.770 --> 01:12:32.270 sehr einfach. 01:12:32.750 --> 01:12:36.470 Wenn wir jetzt die Matrixmultiplikation mit Omega machen, dann hätten 01:12:36.470 --> 01:12:39.030 wir ja Omega Xi, Omega Eta, Omega Zeta. 01:12:39.370 --> 01:12:42.290 Wir sehen, wenn wir das draufklappen, ergibt sich für die erste 01:12:42.290 --> 01:12:45.270 Koordinate J Xi, Omega Xi. 01:12:45.270 --> 01:12:50.310 Für die zweite Koordinate lediglich J Eta, Omega Eta und für die 01:12:50.310 --> 01:12:52.510 dritte Koordinate J Zeta, Omega Zeta. 01:12:52.510 --> 01:12:55.150 Also 01:13:01.610 --> 01:13:24.770 bei Hauptachsen haben wir L bezüglich S gleich J Omega Xi in Xi 01:13:24.770 --> 01:13:28.310 -Richtung plus J Eta. 01:13:28.970 --> 01:13:40.950 Omega Eta in Eta-Richtung plus J Zeta, Omega Zeta in Zeta-Richtung. 01:13:49.780 --> 01:13:58.060 Ich schreibe mal die Koordinaten nochmal rein, also J Xi, Omega Xi, J 01:13:58.060 --> 01:14:04.120 Eta, Omega Eta, J Zeta, Omega Zeta. 01:14:04.900 --> 01:14:13.160 Wir sehen, das ist ein Vektor und jetzt kommt es, wenn nicht gerade 01:14:13.160 --> 01:14:17.900 ein Sonderfall vorliegt, dass zum Beispiel die Massenträgheitsmomente 01:14:17.900 --> 01:14:24.660 in allen drei Hauptachsenrichtungen dieselben sind, dann sehen wir, 01:14:25.980 --> 01:14:29.300 dann wäre J Xi, J Eta, J Zeta gleich, das können wir rausziehen, dann 01:14:29.300 --> 01:14:33.280 hätte die Winkelgeschwindigkeit dieselbe Richtung wie der Drall. 01:14:35.320 --> 01:14:40.560 Wenn die Winkelgeschwindigkeit gerade so vorliegt, dass die in 01:14:40.560 --> 01:14:47.780 Richtung einer Hauptachse geht, dann sind praktisch zwei Komponenten 01:14:47.780 --> 01:14:51.100 oder zwei Koordinaten null und dann hat natürlich die 01:14:51.100 --> 01:14:55.300 Winkelgeschwindigkeit wiederum dieselbe Richtung wie der Drall. 01:14:56.760 --> 01:15:04.700 Wenn aber die Winkelgeschwindigkeit Komponenten in Richtung mehr als 01:15:04.700 --> 01:15:09.400 einer Hauptachse hat und die zugehörigen Massenträgheitsmomente 01:15:09.400 --> 01:15:17.600 bezüglich dieser Achsen unterschiedlich sind, dann ist der Drall nicht 01:15:17.600 --> 01:15:21.780 mehr nur ein Vielfaches der Winkelgeschwindigkeit, sondern das ist ein 01:15:21.780 --> 01:15:25.640 Vektor, der auch eine andere Richtung hat als die 01:15:25.640 --> 01:15:26.520 Winkelgeschwindigkeit. 01:15:27.820 --> 01:15:32.520 Anders beim Impuls, beim Impuls hatten wir ja Impuls des starren 01:15:32.520 --> 01:15:34.620 Körpers gleich Masse mal Schwerpunktgeschwindigkeit. 01:15:35.840 --> 01:15:39.700 Die Masse war eine skalare Größe, also hatte der Impuls dieselbe 01:15:39.700 --> 01:15:41.260 Richtung wie die Schwerpunktgeschwindigkeit. 01:15:42.440 --> 01:15:47.300 Hier kann der Drall eine andere Richtung haben als die 01:15:47.300 --> 01:15:48.140 Winkelgeschwindigkeit. 01:15:50.700 --> 01:16:00.060 So, was passiert jetzt, wenn wir den Drall im Inertialsystem ableiten? 01:16:00.060 --> 01:16:03.320 Wir haben gesehen, 01:16:14.910 --> 01:16:33.310 dL nach dt in I ergibt dL nach dt im Körperfestenbezugssystem plus 01:16:33.310 --> 01:16:38.250 Omega kreuz den Vektor selbst. 01:16:39.390 --> 01:16:47.880 Und in dem Falle war Omega von k in I gerade Omega. 01:16:48.720 --> 01:16:51.060 Omega war ja die Winkelgeschwindigkeit des Körpers. 01:16:51.880 --> 01:16:59.560 Nun, wenn wir die Koordinaten ähnlich wie hier des Dralls in der 01:16:59.560 --> 01:17:04.120 Matrix haben, dann sehen wir die Ableitung dieser Koordinaten, also 01:17:04.120 --> 01:17:08.180 wenn wir diese Matrix einfach ableiten, ergibt dann die Ableitung des 01:17:08.180 --> 01:17:09.240 Dralls im Körperfestenbezugssystem. 01:17:09.240 --> 01:17:21.320 Das können wir natürlich darstellen als V bezüglich S mal Omega Punkt 01:17:21.320 --> 01:17:31.920 plus Omega von k in I war Omega, also haben wir an der Stelle das 01:17:31.920 --> 01:17:46.090 Kreuzprodukt von Omega Kreuz V von S mal Omega. 01:17:48.270 --> 01:17:59.090 Und das war Summe der Momente bezüglich S, also gleich Matrix der 01:17:59.090 --> 01:18:02.970 Koordinaten der Momente bezüglich S. 01:18:10.950 --> 01:18:16.330 Das heißt, werden jetzt Omega, ich hätte es gar nicht so explizit 01:18:16.330 --> 01:18:26.950 angegeben, aber implicit Omega, war ja Omega Xi, E Xi plus Omega Eta, 01:18:27.130 --> 01:18:31.230 E Eta plus Omega Zeta, E Zeta. 01:18:39.720 --> 01:18:46.360 Das heißt, wenn wir das jetzt auswerten, V S mal Omega Punkt, ich 01:18:46.360 --> 01:18:51.740 hatte gesagt, das ist im Grunde genommen die Ableitung dieser Matrix, 01:18:51.920 --> 01:18:54.380 das ist also J Xi mal Omega Xi Punkt. 01:19:01.380 --> 01:19:10.580 Als nächstes haben wir J Eta, Omega Eta Punkt und J Zeta, Omega Zeta 01:19:10.580 --> 01:19:11.000 Punkt. 01:19:13.480 --> 01:19:14.780 Das war das hier. 01:19:15.640 --> 01:19:20.340 Plus, und jetzt müssen wir Omega Kreuz dieser Matrix, also im Grunde 01:19:20.340 --> 01:19:27.760 genommen haben wir, ich schreibe mal Xi, Eta, Zeta, wenn wir das 01:19:27.760 --> 01:19:29.920 Kreuzprodukt über eine Determinante ausrechnen. 01:19:29.920 --> 01:19:35.500 Dann haben wir Omega, war Omega Xi, Omega Eta, Omega Zeta. 01:19:36.920 --> 01:19:45.340 Zum Schluss noch den Drall, das war J Xi, Omega Xi, J Eta, Omega Eta, 01:19:46.240 --> 01:19:48.300 J Zeta, Omega Zeta. 01:19:49.200 --> 01:19:53.320 Davon die Determinante, dann sehen wir, in die Xi-Richtung geht Omega 01:19:53.320 --> 01:20:00.060 Eta, Omega Zeta mal J Zeta minus J Eta, Omega Zeta, Omega Eta. 01:20:00.600 --> 01:20:03.340 Also Omega Zeta, Omega Eta können wir ausklammern. 01:20:05.920 --> 01:20:16.580 Erhalten dann minus J Eta, minus J Zeta, Omega Eta, Omega Zeta. 01:20:17.580 --> 01:20:23.880 Und die anderen erhalten wir durch zyklische Vertauschung, also minus 01:20:23.880 --> 01:20:33.280 J Zeta, minus J Xi, Omega Zeta, Omega Xi. 01:20:33.840 --> 01:20:48.210 Hier haben wir minus J Xi, minus J Eta, Omega Xi, Omega Eta. 01:20:48.830 --> 01:20:56.850 Und rechts haben wir noch die Koordinaten des Momentes, also das 01:20:56.850 --> 01:21:07.490 Moment M Xi beziehungsweise M Eta, M Zeta, alles bezogen natürlich auf 01:21:07.490 --> 01:21:08.150 den Schwerpunkt. 01:21:09.150 --> 01:21:13.510 Also wir haben jetzt aus dem Trallsatz unter Zuhilfenahme von 01:21:13.510 --> 01:21:17.510 Hauptachsen drei Gleichungen hergeleitet. 01:21:17.810 --> 01:21:20.110 Das sind die sogenannten Eulerschen Kreiselgleichungen. 01:21:28.520 --> 01:21:39.290 Also Eulersche Kreiselgleichungen, 01:21:49.470 --> 01:21:54.850 Bezugspunkt sowohl für die Massenträgheitsmomente wie für die Momente 01:21:54.850 --> 01:22:04.110 ist dann jeweils der Schwerpunkt S oder ein grauenfester Punkt O. 01:22:18.930 --> 01:22:20.910 Können Sie mir noch eine Tafel wischen? 01:22:22.550 --> 01:22:28.270 So, jetzt sind wir leider ein bisschen mit dem Tafelwischen hinterher. 01:22:31.490 --> 01:22:34.790 Jetzt muss ich ein bisschen Zeit schinden, bis er die Tafel geputzt 01:22:34.790 --> 01:22:34.990 hat. 01:22:35.830 --> 01:22:38.170 Und ich habe gesagt, bei mir, das sitzt ja am besten in der ersten 01:22:38.170 --> 01:22:39.950 Reihe, dann sieht man auch was. 01:22:40.030 --> 01:22:42.990 Ich habe hier nämlich mal so einen starren Körper dabei, der ist jetzt 01:22:42.990 --> 01:22:43.730 relativ klein. 01:22:45.450 --> 01:22:49.410 Aber der ist immer dazu geeignet, den kann man nämlich so ein bisschen 01:22:49.410 --> 01:22:50.250 andrehen. 01:22:50.790 --> 01:22:53.610 Sehen, Kreisel, der dreht sich, der fällt dann auch nicht hin. 01:22:54.990 --> 01:22:56.430 Also Kreisel machen lustige Dinge. 01:22:57.350 --> 01:23:00.730 Und an der Stelle ist eigentlich immer eine kleine Wette fällig. 01:23:01.710 --> 01:23:04.730 Wer wagt es, den Kreisel gegen den Seemann zu drehen? 01:23:06.430 --> 01:23:07.470 Bei wem dreht er länger? 01:23:09.470 --> 01:23:11.410 Da müssen wir natürlich auch einen kleinen Einsatz machen. 01:23:18.330 --> 01:23:21.330 Also meine Frau hat mir nur erlaubt, zwei Euro einzusetzen. 01:23:24.730 --> 01:23:29.530 Das hält den Einsatz natürlich für den Studenten oder die Studentin 01:23:29.530 --> 01:23:31.330 auch sehr begrenzt. 01:23:31.490 --> 01:23:35.050 Also wer setzt dagegen, dass er das länger kreisen lassen kann als 01:23:35.050 --> 01:23:35.250 ich? 01:23:42.400 --> 01:23:45.980 Sie sind ja ein sehr vorsichtiger Jahrgang. 01:23:46.180 --> 01:23:47.140 Gibt es da niemanden? 01:23:49.600 --> 01:23:52.180 Meinen Sie, Sie können auch Sponsoren suchen unter den anderen? 01:24:10.260 --> 01:24:13.520 Ich muss mich nochmal ganz genau anschauen, bevor die weg sind. 01:24:15.680 --> 01:24:18.060 Also Sie müssen jetzt den so andrehen. 01:24:18.400 --> 01:24:19.640 Jetzt brauchen wir noch jemanden, der stoppt. 01:24:21.020 --> 01:24:21.980 Wer kann stoppen? 01:24:25.710 --> 01:24:30.110 Also jeder hat drei Versuche. 01:24:37.110 --> 01:24:39.710 Also er gibt Kommando. 01:24:41.070 --> 01:24:41.990 Sie starten dann. 01:24:45.090 --> 01:24:46.110 Auch nicht bescheißen. 01:24:50.130 --> 01:24:51.110 Also sind Sie soweit. 01:24:51.150 --> 01:24:52.670 Wir müssen da ein bisschen auf die Zeit gucken. 01:24:52.810 --> 01:24:56.450 Wenn der da drei Minuten drehen lässt, dann bin ich meine zwei Euro 01:24:56.450 --> 01:24:56.750 los. 01:24:56.850 --> 01:24:57.590 Die Zeit ist um. 01:25:04.050 --> 01:25:06.610 Sie können auch den Stab wegnehmen. 01:25:06.610 --> 01:25:08.050 Dann fällt er vom Tisch. 01:25:28.730 --> 01:25:31.030 Da kommt jetzt dann der Trick raus. 01:25:33.650 --> 01:25:34.650 Das ist ja verdammt gut. 01:25:36.650 --> 01:25:37.490 Wie viel? 01:25:38.370 --> 01:25:39.410 40 Sekunden. 01:25:40.750 --> 01:25:41.710 Zweiter Versuch. 01:25:42.970 --> 01:25:44.310 Ich habe gedacht, abwechselnd. 01:25:54.080 --> 01:25:54.520 Achso. 01:25:54.880 --> 01:25:55.720 Ich zähle jetzt weiter. 01:25:56.120 --> 01:25:58.360 Dann ziehen wir einfach die 39 ab. 01:25:59.980 --> 01:26:01.220 Sie können auch ein bisschen blasen. 01:26:02.140 --> 01:26:04.700 Müssen Sie auch selber machen, sonst sagen Sie, ich stoppe den. 01:26:15.010 --> 01:26:16.150 Müssen wir jetzt auch nicht so lange. 01:26:21.160 --> 01:26:21.920 Ein paar weniger. 01:26:23.620 --> 01:26:24.500 Jetzt Reset. 01:26:26.580 --> 01:26:27.480 Das ist ja vermessen. 01:26:29.360 --> 01:26:30.460 Mal gucken, ob das funktioniert. 01:26:32.040 --> 01:26:32.520 Nein. 01:26:33.400 --> 01:26:34.160 Machen Sie nochmal. 01:26:36.160 --> 01:26:37.520 Das funktioniert, glaube ich, nicht. 01:26:39.840 --> 01:26:42.840 Sie können das laufen lassen, wo Sie wollen. 01:26:45.360 --> 01:26:45.840 Blasen. 01:26:47.300 --> 01:26:49.020 Da gibt dem nochmal einen Trall. 01:26:49.740 --> 01:26:52.720 Das ist ja... 01:26:53.280 --> 01:26:55.580 Tun Sie nicht so, ich sehe bis Ewig, dass es besser geht. 01:27:18.390 --> 01:27:19.970 Oh, das wäre noch mehr. 01:27:24.250 --> 01:27:24.690 42. 01:27:26.930 --> 01:27:30.690 Jetzt müssen Sie doch nochmal meine 2 Euro anschauen, bevor die da weg 01:27:30.690 --> 01:27:30.950 sind. 01:27:40.370 --> 01:27:42.130 Da ist ein Magnet drin, oder? 01:27:44.850 --> 01:27:47.150 Das ist top secret. 01:27:49.490 --> 01:27:49.910 Sie sagen... 01:27:57.810 --> 01:27:58.530 Das 01:28:02.390 --> 01:28:04.930 ist gemein, jetzt hat er potenzielle Energie dadurch. 01:28:46.020 --> 01:28:47.060 Ach, also... 01:28:56.030 --> 01:28:57.370 Was lernen wir daraus? 01:29:01.990 --> 01:29:04.870 Es hatte mal ein Student gesagt... 01:29:04.870 --> 01:29:07.230 Also, Wettschulden sind Ehrenschulden. 01:29:07.330 --> 01:29:07.450 Warum? 01:29:08.150 --> 01:29:10.610 Weil ich dem Studenten dann an der Stelle das 2 Euro wieder 01:29:10.610 --> 01:29:11.130 zurückgebe. 01:29:12.390 --> 01:29:15.110 Ich musste dem Studenten dann allerdings zurückschreiben, das waren 01:29:15.110 --> 01:29:15.970 keine Wettschulden. 01:29:15.970 --> 01:29:18.750 Das waren Ausbildungskosten, das fällt dann in die Rubrik 01:29:18.750 --> 01:29:18.970 Studiengebühren. 01:29:19.670 --> 01:29:23.230 Und die Studenten sind natürlich bestrebt, dass die Studiengebühren 01:29:23.230 --> 01:29:24.030 wieder zurückfließen. 01:29:24.610 --> 01:29:28.470 Punkt 1, wenn der Professor eine Wette eingeht, dann ist er ziemlich 01:29:28.470 --> 01:29:29.570 sicher, dass er die auch gewinnt. 01:29:29.770 --> 01:29:32.970 Also insofern haben Sie jetzt für das Leben was gelernt. 01:29:37.010 --> 01:29:39.990 Jetzt kommt dann natürlich immer die Frage, was ist denn da drin. 01:29:40.830 --> 01:29:42.510 Aber wie gesagt, es ist top secret. 01:29:45.090 --> 01:29:46.170 Eben noch ein Applaus. 01:29:54.210 --> 01:29:57.730 Ansonsten sind wir jetzt am Ende der Vorlesung pünktlich angelangt mit 01:29:57.730 --> 01:30:00.350 den Euler'schen Kreiselgleichungen und dem Beispiel für einen Kreisel. 01:30:00.790 --> 01:30:03.730 Ich bedanke mich für die Aufmerksamkeit, bis zum nächsten Mal.