Herzlich willkommen zu dieser frühen Stunde zu einer weiteren
Vorlesung Technische Mechanik.
Ich habe hier so ein Gerät von der UB bekommen.
Wir sind quasi jetzt alle Testkaninchen, Versuchskaninchen.
Wir haben zum ersten Mal versucht, diese Vorlesung vom Visualizer
aufzunehmen.
Vielleicht schaffen wir es tatsächlich, dann auch so eine Art
Videoaufzeichnung mit Audio ihnen zur Verfügung zu stellen.
Das ist aber noch ein neues Gerät und es wurde in dem Umfeld hin und
nicht so eingesetzt.
Also mal gucken, ob es funktioniert.
Das Lämpchen blinkt.
Das sieht auf jeden Fall mal so aus, wie es gestern auch schon aussah,
als ich das trainiert habe und gezeigt bekommen habe.
Ich bin mal recht zuversichtlich.
Versprechen kann ich allerdings noch nichts.
Wie gesagt, es ist noch ein Versuch.
Also hoffen wir mal alle, drücken die Daumen und gucken mal.
Was wir heute machen wollen, ist ein Schritt weiter über das, was wir
bisher getan haben, hinaus.
Bisher haben wir uns quasi nur die Geometrie der Bewegung angesehen,
haben Begriffe wie Geschwindigkeit, Beschleunigung kennengelernt.
Aber die Ursache für die Beschleunigung oder wie eine Bewegung
zustande kommt, das haben wir bisher noch nicht diskutiert.
Um das zu beschreiben, werden wir heute den Impulssatz für den starren
Körper kennenlernen, der in der Regel mit dem Namen eines sehr
bekannten Wissenschaftlers, nämlich Isaac Newton, verbunden ist.
Und wir werden das Prinzip von d'Alembert kennenlernen, das mit einem
anderen Wissenschaftler, der nicht ganz so bekannt ist, verbunden ist,
nämlich Jean-Laurent d'Alembert, der eine gewisse Modifikation oder
Uminterpretation von Newtons Theorem vorgenommen hat, was auf den
ersten Blick ein bisschen banal erscheint, aber sehr tragfähig ist und
weitere Folgen hatte.
Werden wir aber alles gleich kennenlernen.
Zunächst mal eine kurze Wiederholung,
ganz knapp.
Die Kinematik des starren Körpers, also Wiederholung, Kinematik des
starren Körpers.
Starrer Körper bedeutet in diesem Kontext, dass man eine Ansammlung
von Materie hat, die abgeschlossen ist, die sich nicht verändert.
Und vor allem, dass man Punkte auf diesem Körper hat, die einen
Abstand nicht verändern.
Das heißt, man hat zwei Punkte, A und B, deren Abstand bleibt immer
konstant.
Wenn der Abstand sich verändern würde, würde das bedeuten, dass der
Körper sich deformiert, dass er seine Gestalt verändert.
Und wir haben letztes Mal schon eine Formel kennengelernt, die
manchmal als Grundformel der Kinematik bezeichnet wird, oder als
Euler'sche Geschwindigkeitsformel, die uns erlaubt, wenn wir die
Geschwindigkeit zweier Punkte haben, oder zunächst mal die Lage des
Punktes A und die Lage des Punktes B.
Und wir haben den Verbindungsvektor von A nach B.
Dann sind wir in der Lage, die Geschwindigkeiten dieser Punkte sehr
einfach auszurechnen, indem wir sagen, die Geschwindigkeit von B ist
gleich die Geschwindigkeit von A, plus ein Anteil, der infolge der
Rotation von B um A entsteht.
Also Omega Kreuz RAB.
Ja, wir konnten auch die Lage von B ausdrücken, das war nicht sehr
schwierig.
Und auch, indem man diese Formel nochmal abgeleitet hat, wir hatten
diese Ableitungsregel kennengelernt, konnte man auch die
Beschleunigung darstellen.
Diese Geschwindigkeitsformel, die kann man sich mal so im Kopf
behalten.
Und dahinter steckt, wie gesagt, das ist die Translation, das ist der
rotatorische Anteil.
Und bei diesem rotatorischen Anteil, da kann man sich immer so im
Hinterkopf behalten, dass man im Prinzip eine Drehachse hat.
Und wenn man jetzt mit der rechten Hand, wenn man die rechte Handregel
anwendet, um dieses Kreuzprodukt hier auszuwerten, dann zeigt der
Daumen entlang der Winkelgeschwindigkeit, also entlang des
Winkelgeschwindigkeitsvektors.
Der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist entlang der Drehachse gerichtet
und hat den Betrag Omega, das deute ich mal mit diesem Kringel hier
an, also das rotiert um diesen Vektor.
Wir haben den Verbindungsvektor von A nach B, also hier wäre A.
Dann ist das hier der Verbindungsvektor A nach B.
Hier ist B.
Der steht senkrecht auf dem Drehvektor.
Und die resultierende Geschwindigkeit, jetzt in diesem Fall können Sie
es ganz leicht nachvollziehen, Omega Kreuz Zeigefinger ergibt den
Mittelfinger.
Das heißt, das hier ist die Geschwindigkeit infolge der Rotation von B
um A.
So, dieses Geschwindigkeitsfeld dieses
Körpers hier wird vollständig charakterisiert
durch die Angabe eines Punktes, dessen Geschwindigkeit und der
Winkelgeschwindigkeit des Körpers.
Was heißt hier eigentlich Feld?
Naja, Feld bedeutet, man hat eine verteilte Größe, eine Feldgröße, die
an verschiedenen Orten existiert.
Ich kann mir zu jedem Punkt auf diesem Körper eine Geschwindigkeit
verschaffen.
Das heißt, wenn ich hier überall diese Geschwindigkeitsfeilchen
einzeichnen würde, also von mir aus, wenn das hier die Geschwindigkeit
VA wäre, und dann das hier vielleicht, naja, das hängt von der
Winkelgeschwindigkeit ab, die habe ich jetzt nicht eingezeichnet, aber
sagen wir mal, die VB wäre so.
Und jetzt könnte ich mir an jedem Punkt dieses Körpers diese
Geschwindigkeitsfeile einzeichnen, dann kriegt man was, was mit ein
bisschen Fantasie wie so wogende Ehren aussieht, also wirklich wie ein
Kornfeld, vielleicht kommt daher dieser Begriff.
Jedenfalls, wir haben hier ein Geschwindigkeitsfeld, also wir können
jedem Punkt dieses Körpers ein Geschwindigkeitsvektor zuordnen.
Und um dies zu tun, brauchen wir einzig und allein die Angabe eines
einzigen Punktes, dessen Geschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit
vektoriell des Körpers.
Dieses Triple an Informationen nennt man auch Kinemate.
Diesen Begriff habe ich letztes Mal nicht eingeführt, ich wollte ihn
jetzt nur erwähnen, weil er manchmal in Lehrbüchern über den Weg
läuft.
Nicht häufig, aber er wird manchmal verwendet, also wenn Sie Kinemate
lesen, nicht überrascht sein.
Das fasst einfach diese drei Informationen zusammen.
Es gibt einen besonderen Punkt, also ein besonderer Bezugspunkt,
ist nämlich der sogenannte Momentanpol M.
Und für den Momentanpol gilt, also wenn ich den Punkt M als
Bezugspunkt nehme, dann ist dessen Geschwindigkeit definitionsgemäß
gerade 0.
Das kennzeichnet das Besondere dieses Punktes.
Und auch wiederum der Winkelgeschwindigkeitsvektor des Körpers.
Zur Erinnerung, was das mit dem Momentanpol auf sich hatte und warum
der so praktisch ist, möchte ich einen kurzen Rückgriff auf das letzte
Beispiel der letzten Vorlesung nehmen.
Da fehlt mir jetzt die Folie, das tut mir leid.
Da muss ich es neu zeichnen.
Also wenn Sie diese Folie hier noch dabei haben, dann können Sie die
benutzen.
Ich muss das neu zeichnen.
Also das Beispiel ist folgendes.
Also wir haben hier C Beispiel Zahnstangengetriebe.
So, da ist hier so eine Zahnstange, jetzt wird es wüst.
Also wir haben hier so eine Zahnstange, da sind so Zähne drauf.
Und hier unten auch eine Zahnstange,
da sind auch so Zähne drauf, die zeichne ich gleich.
Und hier zwischendrin hat man ein Zahnrad, das hier mit seinen Zähnen
da reingreift.
So, das können Sie sich zu Ende gemalt denken.
Beziehungsweise, wenn Sie die Folie haben, haben Sie das ja sowieso.
Und hier unten auch die Zähne.
Oh weh, oh weh, oh weh.
Also das würde ein bisschen knirschen, was ich hier gemalt habe, aber
es geht ja ums Prinzip.
Jetzt ist die Frage, was hat das Zahnrad mit der Kinematik zu tun?
Naja, wir wollen eine Verknüpfung, oder wir wollen uns überlegen, wie
jetzt die Geschwindigkeit dieser oberen Stange mit der Geschwindigkeit
der unteren Stange und der Geschwindigkeit dieses Rades im
Zusammenhang steht.
Ist das als Zahnrad erkennbar, dieses Ding hier, was ich da fabriziert
habe?
Manche gucken so skeptisch.
Ui.
Na gut, also Zahnrad.
Was kann man da machen?
Wir wissen zum Beispiel, wenn wir uns hier unten mal, oder hier oben
vielleicht, das sieht ein bisschen netter aus, wenn wir uns diesen
Kontaktpunkt hier ansehen,
dann haben wir hier folgende Situation.
Wir haben hier die Zahnflanke des oberen Zahns.
Das ist der Zahn, der zu der Zahnstange gehört.
Und wir haben die Zahnflanke dieses unteren Zahnes, der zum Zahnrad
gehört.
Und die beiden Berührpunkte hier, also konkret gesagt, der Punkt auf
dem oberen Zahn und der Punkt auf dem unteren Zahn, die müssen jetzt
dieselbe Geschwindigkeit haben.
Wenn sie das nicht hätten, also das wäre horizontal, wenn sie das
nicht hätten, dann würde ja quasi das untere Zahnrad in das obere
eindringen, was nicht sein darf.
Also genau in diesem Berührpunkt müssen beide die gleiche
Geschwindigkeit haben, sonst würden sie einander durchdringen.
Das heißt, wir haben hier die Forderung, dass dieser
Geschwindigkeitsvektor gleich diesem ist.
Man müsste die eigentlich quasi aufeinander zeichnen.
Das habe ich jetzt aus Darstellungsgründen nicht getan.
Also wenn ich diesen Punkt hier oben P nenne und diesen Punkt hier
unten P', dann sehe ich, dass VP gerade VP' ist.
So, das Gleiche hatten wir schon mal.
Das entspricht der Situation, die wir beim Rollen den Rad hatten.
Dort hatten wir auch gesagt,
dass es beim Abrollen, wenn es nicht zum Schlupf kommen soll,
VP' und VP',
dass diese Geschwindigkeiten gleich sein müssen.
Das heißt, wenn ich zwei kämmende Zahnräder habe, also Zahnräder im
Eingriff, oder Zahnrad, Zahnstange, so eine Zahnstange ist im Prinzip
ein abgewickeltes Zahnrad,
dann entspricht es dem Abrollen zweier Kreise, die sogenannten
Welzkreise.
Das brauchen Sie aber nicht wissen, das ist Gegenstand eines anderen
Faches im Maschinenbau.
Beziehungsweise hier ist der untere Kreis abgewickelt oder hat einen
ähnlich großen Radius, beziehungsweise hier eines Kreises auf einer
Geraden.
Das heißt, diese Situation kann man jetzt ersetzen durch das Abrollen
des Welzkreises dieses Zahnrades
auf den entarteten Welzkreisen, also in diesem Fall sind es Geraden
der oberen und unteren Zahnstange.
Und jetzt können wir hier unsere Rollbedingung anwenden.
Und wir wissen aus der Rollbedingung, wenn das hier oben der Punkt C
ist, und das hier unten der Punkt B, also hier Punkt C und hier unten
Punkt B, dann ist die Geschwindigkeit, ich nenne die mal V1, obere
Zahnstange, und die Geschwindigkeit V2, dann ist diese Geschwindigkeit
hier oben, dieses Punkt ist hier oben, gerade dieses V2 und die
Geschwindigkeit hier unten ist gerade dieses V1.
Wenn ich jetzt die übrigen Geschwindigkeiten haben möchte,
dann kann ich jetzt wieder auf den Momentanpol zurückgreifen und ich
weiß, dass der Momentanpol, dass der auf einer Geraden liegt, die
senkrecht zu den Geschwindigkeiten liegt, also irgendwie muss der
Momentanpol hier auf dieser Geraden liegen.
Außerdem weiß ich ja, dass alle Geschwindigkeiten als reine Rotation
um diesen Momentanpol aufgefasst werden können.
Das heißt, ich suche jetzt hier irgendeinen Punkt, bezüglich dessen
diese Geschwindigkeit quasi eine reine Rotation ist, rechte Handregel,
diese Geschwindigkeit eine Rotation.
Ich habe also zwei Bedingungen,
die entlang dieser Geraden erfüllt sind und der Schnittpunkt dieser
und dieser Geraden ist der Momentanpol.
Damit kann ich jetzt alle anderen Geschwindigkeitspfeilchen auf diesem
Zahnrad mir konstruieren.
Das heißt, ich kann mir so ein Geschwindigkeitsfeld, die
Geschwindigkeitsverteilung in diesem Zahnrad beschaffen.
Das ist zum Beispiel, wie man sieht, auch zur Analyse von einfachen
Kinematiken, von einfachen Getrieben gut geeignet, weil man mit rein
geometrischen, mit rein zeichnerischen Methoden
Geschwindigkeitsverteilungen bei einfachen Ebenenbewegungen sich
besorgen kann.
Wenn sie gleich wären, hätte ich keine Rotationsgeschwindigkeit.
Und wenn sie unterschiedlich sind, dann geht das.
Also die Frage war, ob das überhaupt sich drehen kann.
Jetzt suche ich irgendwas, was rundes.
Also wenn Sie sich vorstellen, Sie nehmen sozusagen diesen Stift.
Sieht man das so ein bisschen?
Diesen Stift in die Hand.
Und wenn jetzt meine beiden Finger dieselbe Geschwindigkeit haben,
dann rotiert der natürlich nicht.
Wenn aber jetzt der obere ein bisschen schneller ist als der untere,
können sich beide in diese Richtung bewegen und trotzdem rotiert der
Stift.
Jetzt sehen Sie das?
Also ja, geht.
Wirkt zunächst ein bisschen kurios, geht aber.
Ist übrigens insofern auch ein wichtiges Beispiel, weil rollen nicht
immer bedeutet, dass der Kontaktpunkt auch der Momentanpol ist.
Also wir hatten das letzte Mal das Beispiel dieses rollenden Rades
kennengelernt.
Da habe ich hinzugefügt, dass es auf einem ruhenden Untergrund rollt.
Das hier ist im Prinzip das Beispiel eines Rades, das auf einem nicht
ruhenden Untergrund rollt.
Also wenn Sie in einem Zug Fahrrad fahren, dann haben Sie quasi
Situationen, rollen auf einem nicht ruhenden Untergrund, dann ist Ihr
Momentanpol nicht der Kontaktpunkt zum Boden, sondern irgendwo ein
Punkt unterhalb des Zuges.
Okay.
Ja?
Dann habe ich wahrscheinlich einen Fehler gemacht.
Gute Frage.
Ist natürlich schlecht, wenn das alles so aufgezeichnet wird hier.
Vielleicht sabotiere ich dieses Gerät jetzt im Nachhinein.
Also in der Tat, Sie haben recht, oben ist V1, dieser
Geschwindigkeitsvektor ist der hier drüben und dieser ist derselbe wie
hier.
So.
Gibt es noch Fragen oder haben Sie noch eine Fehlleistung entdeckt?
Ich hoffe nicht.
Okay.
Kommen wir mal zum eigentlichen Gegenstand der heutigen Vorlesung.
Das Impulsgesetz des starren Körpers.
Das Impulsgesetz des starren Körpers...
Die Folie wird ein bisschen voller.
Vielleicht orientieren Sie sich so ein bisschen an meiner Aufteilung.
Das Impulsgesetz des starren Körpers geht auf Isaac Newton zurück.
Newton hat es nicht so gesagt, aber man könnte sagen, dass das
Impulsgesetz besagt, dass die Ableitung des Impulses gleich der
Resultierenden der äußeren Kräfte ist.
Und diese Resultierende der äußeren Kräfte ist einfach die Summe über
alle an diesem Körper angreifenden Kräfte.
Und so eine Jahreszahl, die man mit dieser Formel verbinden könnte,
ist 1687.
Newton hat es nicht so gesagt.
Newton hat es verbal formuliert auf Latein.
Und er hat quasi gesagt, dass ein Körper, er hat auch noch nicht
weiter gesagt, was ein Körper ist, ob das ein Massenpunkt ist oder ein
ausgedehnter Körper, ob der rotiert oder nicht.
Er hat sich nur Translationen angeguckt und hat gesagt, dem Körper
wohnt eine Bewegungsgröße inne, die wir heute als Impuls bezeichnen,
und äußere Kräfte ändern diesen Impuls.
Im Prinzip ist das eine relativ eingängige Vorstellung.
Zunächst einmal, was ist eine Bewegungsgröße?
Wenn Sie sich überlegen, Sie haben zwei Fahrzeuge, von mir aus
Kleinwagen, und einen LKW, der mit Kies beladen ist, und die fahren
dieselbe Geschwindigkeit.
In welchem von beiden steckt mehr Wumms drin?
Also wo ist da mehr Bewegungsstärke dahinter?
Der Kieslaster ist klar, der hat viel mehr Masse.
Wenn Sie sich vorstellen, Sie haben zwei Fahrzeuge gleicher Masse,
also von mir aus zwei Kleinwagen, und die fahren mit unterschiedlicher
Geschwindigkeit.
Wer hat da mehr Wumms dahinter?
Der mit der höheren Geschwindigkeit.
Also es ist eine Größe, man kann sich noch so weitere Überlegungen
machen, man stellt aber fest, egal was man anfasst, es kommt immer
wieder auf diese Masse-Geschwindigkeitskombination zurück.
Und der Impuls ist das Produkt aus Geschwindigkeit mal Masse.
Das ist eine, so aus der Anschauung, offensichtlich sinnvolle Größe,
um die Stärke, um die Wucht einer Bewegung zu beschreiben.
Und Sie können sich auch überlegen, wenn Sie eine dieselbe Kraft
haben, dann macht die an dem Kieslaster praktisch keine
Geschwindigkeitsänderung, aber an dem Kleinwagen eine unter Umständen
große Geschwindigkeitsänderung.
Das heißt, durch weitere Überlegungen stellt man fest, dass
Geschwindigkeitsänderung würde ja den Impuls ändern, das heißt, dass
die Kraft irgendwie mit dem Impuls und dessen Änderung vor allem, also
dessen Änderungsrate korreliert.
Also diese Aussage, die erscheint so im Nachhinein vielleicht
irgendwie plausibel oder simpel, und man kennt sie auch aus der Schule
wahrscheinlich, aber letzten Endes ist es eine ziemliche gedankliche
Leistung, hat auch recht lange gedauert.
Also es gab da vor einige Jahrhunderte verschiedene Anläufe, ähnliche
Erklärungen zu starten und die waren alle nicht von Erfolg gekrönt.
Aber ich kann für diese geniale Idee...
Ich habe gesagt, Newton hat noch nicht darüber nachgedacht, ob das für
den starren Körper gilt oder nur für den Punkt.
Es wird ja häufig kolportiert, es hätte er sich für den Apfel
überlegt, also für so eine Art punktförmige Masse.
Die Überlegung, wie das auf den starren Körper anzuwenden ist, die kam
später und die können wir jetzt hier nachvollziehen, wenn wir uns
überlegen, wir haben hier so einen Körper, also wieder irgendwie so
ein Objekt und wir greifen uns mal aus diesem Körper so ein
Elementarwürfelchen raus.
Diesen Körper, den nenne ich jetzt B, für Body zum Beispiel.
Und wir brauchen ein Koordinatensystem, das uns einen Ursprung gibt
und Richtungen.
Das habe ich jetzt nur eingezeichnet, weil wir das grundsätzlich
brauchen.
Ja?
Ist der schon wieder drin?
Entschuldigung.
Danke für den Hinweis.
So, dann brauchen wir den Ortsvektor dieses Masseteilchens.
Also nehmen wir den mal rp.
Und dieses Masseteilchen hat die Geschwindigkeit v.
Ja, und es hat die Masse dm.
Und dm ist
ein sogenannter materieller Punkt.
Also ein Punkt aus diesem Körper, der Materie bezeichnet, der also
Masse hat.
Man könnte das so als Elementarwürfel bezeichnen.
Und um dieses dm auszurechnen, kann man auch auf die Dichte
zurückgreifen Und man kann sagen, dm ist gleich Rho mal dV,
weil Rho die Dichte ist.
Und die Einheit von Rho ist Kilogramm pro Kubikmeter.
So, jetzt ist der Impuls von dm.
Der Impuls von dm ist gerade di, also der kleine Impulsbeitrag, der
aus diesem kleinen dm resultiert.
Der ist gerade Geschwindigkeit mal Masse.
Die Geschwindigkeit ist eben der Geschwindigkeitsvektor.
Und dm ist dieses kleine dm, dieses Würfels.
Und das kann ich mit dieser Dichte auch umschreiben als Rho mal V dV.
Dieses große V ist das Volumen und dieses kleine die Geschwindigkeit.
Wenn ich jetzt den Impuls des gesamten Körpers haben möchte, was muss
ich machen?
Das Körper ist b.
Nun, ich kenne jetzt dieses Würfelchen, dessen Impuls kenne ich.
Ich muss jetzt quasi aufsummieren.
Und wenn Sie sich überlegen, in der Mathematik hat man die Summation
gemacht und hat die Intervalle immer kleiner gemacht.
Das hieß dann Riemannsumme und hat ein Integral ergeben.
Das heißt, wenn ich jetzt hier diese Summation über alle Würfelchen
durchführe und mache diese Würfelchen gedanklich immer kleiner, mache
ich im Prinzip so eine Art Riemannsumme.
Das heißt, da resultiert ein Integral draus.
Integration und Summation sind sehr verwandte Vorgänge.
Und wenn ich jetzt also hier quasi alle Beiträge, also alle kleinen
di´s im Körper aufsummieren möchte und ich habe hier differenzielle
Würfelchen, also differenziell kleine, infinitesimal kleine, dann muss
ich eine Integration durchführen.
Das heißt, der Impuls des gesamten Körpers ist gerade das Integral
über den Körper b, all dieser kleinen di´s, jetzt kann ich das von
hier oben einsetzen, also da setze ich das ein und erhalte dann
Integral über b, ro, v, dv.
So, und dieses Ergebnis, das kann ich jetzt...
Ja, was muss ich noch machen?
Ich muss hier oben für den Impulssatz, muss ich die Ableitung bilden.
Also ich berechne jetzt d nach di.
Oh, Entschuldigung.
Ich brauche die Ableitung des Impulses nach der Zeit.
Das ist also gerade die Ableitung nach der Zeit dieses Integrals, also
Integral ro, v, dv.
Das ist gerade die Zeitableitung des Integrals über b von dt, von rp,
das ist die Position dieses Würfelchens, ro, dv.
Und jetzt benutze ich, dass m Punkt gleich 0 ist.
Das bedeutet, dass die Integralgrenzen sich nicht verändern.
Das heißt, für m Punkt gleich 0 darf ich die Integration und die
Differentiation vertauschen.
Das heißt, ich darf diese beiden Dinger hier austauschen.
Also diese beiden Operationen darf ich vertauschen.
Und erhalte dann zweite Ableitung des Integrals über b von ro, rp, dv
als Änderung des Impulses.
So, und dieses Ding hier,
das ist ein Integral, was in der TM1 schon mal aufgetaucht ist und
auch in dem Brückenkurs letzte Woche oder vorletzte Woche angesprochen
wurde.
Das ist nämlich nichts anderes als das Integral, was man ausrechnet,
um den Massenmittelpunkt zu bestimmen.
Also wenn Sie quasi in die TM1 zurückblättern, dann stellen Sie fest,
dass dieses Integral gerade Masse des Körpers mal Ortsvektor des
Schwerpunktes bzw.
des Massenmittelpunktes ist.
So, und wir hätten gesagt, m Punkt ist gleich 0.
Das heißt, m ist konstant und das für alle Zeiten.
Daraus folgt auch, dass m2 Punkt gleich 0 ist.
Und aus dieser Operation hier folgt somit, dass die Änderung des
Impulses gerade m mal zweite Ableitung des Ortsvektors ist.
So, und mit dem, was wir jetzt da rausgefunden haben, kann man jetzt
in den Impulssatz gehen.
Dem gebe ich mal hier den blauen Stern, also in die Formel blauer
Stern.
Änderung des Impulses, also zeitliche Änderungsrate des Impulses ist
gleich m mal zweite Zeitableitung des Ortsvektors.
Auf der rechten Seite steht die Summe der äußeren Kräfte.
Das heißt, hier steht m, zweite Ableitung des Ortsvektors, des
Massenmittelpunktes, ist gerade die resultierende der äußeren Kräfte.
Das hier ist übrigens einfach die Beschleunigung.
Das heißt, m mal A ist gleich F, so kennen wir das.
Und welches A ist gemeint?
Das ist das A des Massenmittelpunktes gemeint.
Und das F ist die resultierende der äußeren Kräfte.
Also A ist die Beschleunigung des Massenmittelpunktes.
Wir haben jetzt hier eine Formel, die drei Größen verknüpft.
Nämlich die Kraft als Ursache der Beschleunigung, die Masse, die die
Menge der Materie quantifiziert.
Da hat mein Drucker offensichtlich zwei wichtige Zeichen verschluckt.
Also m Punkt ist gleich 0.
Diese Formeln gelten nur für Körper mit konstanter Masse.
Es gibt auch Körper, die Masse verlieren.
Denken Sie an Raketen, die schleudern hinten ständig verbrannten
Treibstoff raus und werden dadurch leichter.
Dafür gelten andere Formeln, die zwar auch auf dieser Formel basieren,
aber an der Stelle wird die Ableitung ein bisschen diffiziler.
Und Beschleunigung im absoluten Raum.
Die haben wir vorletztes Mal schon kennengelernt.
Und das hier ist der Massenmittelpunkt.
Siehe Themen 1.
Okay, das war jetzt viel zu schreiben.
Ich glaube auf den nächsten Folien wird es ein bisschen weniger.
Haben das alle soweit mitgenommen, mitgeschrieben?
So, wie geht man da jetzt vor?
Also Impulsgesetz des starren Körpers.
Wie ist die Vorgehensweise bei dem Impulsgesetz oder Impulssatz nach
Newton?
Wir müssen uns zunächst mal auf ein Koordinatensystem einigen.
Also wenn man so eine Aufgabe löst, ein Koordinatensystem einführen
ist immer das Erste.
Dann den Beschleunigungsvektor formulieren.
Dann braucht man die Summe der äußeren Kräfte.
M braucht man natürlich auch.
Wenn wir A und F haben, dann können wir das hier auswerten.
Und können danach durch Integration von Beschleunigung auf
Geschwindigkeit und danach von Geschwindigkeit auf Lage können wir uns
die Position und die Geschwindigkeit des Objektes zu jedem Zeitpunkt
beschaffen.
Wenn wir die Anfangsbedingungen kennen.
Das sehen wir gleich in einem Beispiel.
Zunächst mal noch was Definitorisches.
In der TM1 hatte ich gesagt, dass Kraft in der Statik irgendwas ist,
was man mit der Gewichtskraft in Relation setzen kann.
Das ist quasi eine altertümische Definition.
Die moderne Definition, die letzten Endes auch die physikalische
Einheit des Newtons, was man als Einheit für die Kraft verwendet,
erklärt, geht in der Regel über dieses Newtonische Grundaxiom.
Dass man sagt, die Kraft ist quasi definiert als F ist gleich M mal
Schwerpunktbeschleunigung.
Und daraus folgt im Prinzip unmittelbar die Einheit, dass die Einheit
der Kraft, also das Newton, gerade Kilogramm mal Meter pro Sekunde
Quadrat sein muss.
Warum ist das so?
Wenn Sie sich überlegen, Sie haben einen Ortsvektor und dessen
physikalische Einheit ist Meter.
Also irgendeine Position wird in Metern gemessen.
Wenn man die jetzt zeitlich ableitet, dann bilden Sie die
Zeitableitung und stellen die Frage, wie stark ändert sich die
Position pro Zeiteinheit.
Das heißt, Positionsänderung wird man in Metern messen pro
Zeiteinheit.
Zeit ist Sekunde.
Das heißt, die physikalische Einheit der Geschwindigkeit ist Meter pro
Sekunde.
Und wenn man jetzt dieses Spiel von
Meter pro Sekunde, pro Sekunde, also Meter pro Sekunde Quadrat.
Das hier ist also die Einheit der Beschleunigung.
Und das hier ist die Einheit der Masse.
Also ein Newton ist ein Kilogramm Meter pro Sekunde Quadrat.
Heißt im Prinzip, ein Newton ist die Kraft, die die Masse ein
Kilogramm in einer Sekunde auf ein Meter pro Sekunde beschleunigt.
So kann man das sehen.
Oder besser gesagt, ein Newton ist die Kraft, die die Geschwindigkeit
einer Masse von einem Kilogramm innerhalb einer Sekunde um einen Meter
pro Sekunde verändert.
So, das ist aber jetzt alles ein bisschen graue Theorie.
Mal ein konkretes Beispiel.
Wiederum ein sehr einfaches Beispiel, das aber schon relativ viel
beinhaltet.
Wir wollen uns dieses Pendel ansehen.
Eine masselose Schnur besteht, an der eine Masse hängt.
Diese Kugel da unten ist die Masse klein m.
Die Schnur, an der diese Masse hängt, hat die Länge l.
Und dieses Pendel bewegt sich im schwere Feld der Erde.
Gut, aus der Anschauung wissen wir, das wird so hin und her.
Schwingen, Pendeln.
Da der Abstand der Masse von diesem Aufhängepunkt hier oben konstant
ist, ist ja zu erwarten, dass diese Masse sich auf einem Kreis bewegt.
Und aus diesem Grund sind Polarkoordinaten, also Kreiskoordinaten,
vernünftig oder mit Sicherheit eine gute Wahl.
Also wir nehmen Polarkoordinaten.
Und zwar zum einen den Winkel Theta.
Und eigentlich bräuchten wir noch den Radius R.
Der ist in unserem Fall aber einfach konstant und hat konstant die
Länge l.
Das heißt, am Ende brauchen wir uns nur Theta anzusehen.
Also, schauen wir uns mal die Beschleunigung an.
Das war quasi Schritt 2, nachdem man gesagt hat, wie die Koordinaten
sein sollen.
Es ist übrigens noch ganz gut, sich noch so ein Basissystem
einzuzeichnen.
Also, wenn wir diese Masse hier nehmen, dann kann man hier den
Einheitsvektor in Radialrichtung einzeichnen und den Einheitsvektor in
Tangentialrichtung.
Einmal eR und einmal eTheta.
Jetzt brauchen wir die Beschleunigungsanteile.
Wir haben hier eine Kreisbewegung.
Wir haben zum einen diese Tangentialbeschleunigung.
Hier, so tangential zur Bahn.
Die hat die Größe L mal Theta zwei Punkt.
Das können Sie sich zum Beispiel bei natürlichen Koordinaten
beschaffen.
Oder dass Sie sich die Bogenlänge besorgen, zweimal ableiten und dann
feststellen, dass es gerade L mal zwei Punkt.
Oder Sie gucken in die Beispiele vom letzten Mal.
Kreisbewegung.
Außerdem brauchen wir bei der Kreisbewegung noch eine
Beschleunigungskomponente, die sicherstellt, dass der
Geschwindigkeitsvektor quasi auf dieser Kreisbahn bleibt.
Der also immer zum Kreisinneren umgebogen wird.
Das war die Zentripetalbeschleunigung.
Zentripetal, weil sie dem Zentrum zustrebt.
Und die hat den Betrag L Vieh Punkt Quadrat.
Und zeigt zum Zentrum dieser Kreisbewegung.
Was wir noch brauchen, sind die Kräfte.
Also das ist die Beschleunigung.
Beschleunigung des Schwerpunkts.
Der Schwerpunkt des Schwerpunktes ist gerade L mal Vieh Punkt Punkt in
tangentialer Richtung.
Das heißt, das ist L Vieh Punkt Punkt.
Tangentiale Richtung ist diese E Theta Richtung.
Also mal E Theta.
Plus L Theta Punkt Quadrat zum Inneren.
Das heißt, die negative Radialrichtung, also minus L Theta Punkt
Quadrat mal E R.
Das ist die Beschleunigung.
Die Kräfte, die auf diese Masse wirken.
Ich habe die Masse hier mal freigeschnitten.
Das heißt, die Masse losgelöst von dem Seil.
Also quasi die Verbindung zwischen dem Seil und der Masse gedanklich
getrennt.
Das Seil übt natürlich eine Kraft auf die Masse aus.
Das heißt, wenn ich dieses Seil entferne, muss ich das entfernte Seil
durch die Kraft ersetzen.
Also ich muss die Wirkung des Seiles irgendwie zum Ausdruck bringen.
Das ist die Seilkraft.
Die nenne ich S.
Außerdem, wir hatten gesagt, wir sind im schweren Feld der Erde.
Haben wir nach unten die Kraft m mal g.
Und zur Erinnerung, das hier oben war der Winkel Theta.
Der taucht hier unten nochmal auf.
Da ist nochmal Theta.
Weil diese Vertikale und diese Vertikale parallel sind.
Und wenn ich jetzt diese Kraft zerlege, entlang der Radial- und der
Tangentialrichtung, dann erhalte ich zum einen die Radialkomponente.
Die ist ziemlich offensichtlich.
In radialer Richtung habe ich zum einen das S.
Das zeigt in negative Radialrichtung.
Also habe ich hier minus S.
Außerdem habe ich den Anteil der Gewichtskraft entlang dieser
Radialrichtung.
Und dieser Anteil ist m mal g mal Cosinus Theta.
Und zeigt nach außen, also in positive Radialrichtung.
Also plus mg Cosinus Theta in die Radialrichtung.
Außerdem habe ich einen Anteil in Tangentialrichtung.
Und zwar die Projektion der Gewichtskraft m mal g auf die
Umfangsrichtung.
Und das ist gerade diese Komponente hier.
Das ist m mal g mal Sinus Theta.
Und die zeigt in negative Umfangsrichtung.
Die hätte ich so positiv eingeführt.
Das heißt, ich habe hier minus m mal g mal Sinus Theta E Theta.
An der Stelle noch so ein kleiner Hinweis für Klausur- oder
Übungsaufgaben.
Wenn Sie so Kräfte haben und die zerlegen, dann muss da natürlich
immer Cosinus und Sinus auftreten, wenn Sie rechtwinklige
Koordinatensysteme benutzen.
Also wenn ich jetzt hier ein Cosinus Theta stehen hätte, und somit in
beiden Zeilen ein Cosinus Theta, wüsste ich ziemlich sicher, ich habe
irgendwo einen Denkfehler gemacht.
Die müssen immer paarweise auftauchen, weil wenn ich das in
rechtwinkligen Koordinatensystemen zerlege, brauche ich ja einmal den
Cosinus -Anteil und einmal den Sinus-Anteil.
Wir haben Beschleunigung, wir haben Kraft und wir können jetzt direkt
den Impulssatz auswerten.
Also Auswertung des Impulssatzes.
Zur Erinnerung, m mal Schwerpunktbeschleunigung ist gleich die
resultierende der äußeren Kräfte.
Das ist die resultierende hier oben.
Und das kann ich jetzt komponentenweise machen.
Das heißt, ich kann mir zum einen die ER-Richtung ansehen.
So, jetzt sammle ich mal alle ER-Anteile auf.
Ich schreibe also hier m mal Beschleunigungsanteil in die ER-Richtung,
das ist minus L Theta Punkt Quadrat ist gleich und der Anteil der
Kraft in die ER-Richtung ist minus S.
Plus mg Cosinus Theta.
Und in die E Theta-Richtung ist es m mal Beschleunigung in die Theta
-Richtung, also L Theta 2 Punkt, ist gleich Anteil der Gewichtskraft
minus m mal g mal Sinus Theta.
So, jetzt haben wir hier zwei Gleichungen.
Ich habe hier oben gesagt, wir haben eigentlich nur eine Bewegung.
Das heißt, diese Masse, die kann sich ja nur in Theta frei bewegen.
Das heißt, wir müssen eigentlich nur herausfinden, wie ist denn
eigentlich der Zeitverlauf von Theta.
Dafür brauchen wir eine Differentialgleichung.
Das ist diese hier unten.
Diese untere Gleichung, da stehen nämlich nur Theta-Größen drin.
Die restlichen Sachen kennen wir, m kennen wir, l kennen wir, g kennen
wir.
Theta ist unbekannt.
Das ist eine direkte Gleichung zur Bestimmung der Bewegungsgröße
Theta.
Und dieses Ding nennt man Bewegungsgleichung.
Also die Bewegungsgleichung, die liefert mir Theta als Funktion von
der Zeit durch Integration.
Das gucken wir uns gleich an.
Diese obere Gleichung, die hat auch einen Nutzen.
Und zwar steckt hier nämlich diese Seilkraft S drin.
Das heißt, sobald ich Theta bestimmt habe, kann ich hier oben in die
Gleichung reingehen.
Dann kenne ich ja alles, m, l, Theta, Punkt und g und Theta kenne ich
sowieso.
Und kann damit S ausrechnen.
Das heißt, damit kann ich die Seilkraft ausrechnen.
Und die Seilkraft ist die sogenannte Zwangskraft, die diese Masse auf
diese Kreisbahn zwingt.
Und diese Gleichung ist die sogenannte Zwangskraftgleichung.
Und aus der bekomme ich S als Funktion von T.
Das wirkt zunächst mal nicht so wichtig.
Dieses S ist aber, gerade wenn es um technische Belange geht, häufig
sehr sehr wichtig.
Denn wenn Sie so ein Pendel hier bauen wollen, dann müssen Sie ja
quasi wissen, welche Kraft auf das Seil wirkt.
Wie stark zieht die Masse an dem Seil.
Und es hängt natürlich nicht nur von der Gewichtskraft ab.
Nicht nur von der Gewichtskraft, sondern auch davon, wie schnell
dieses Ding schwingt.
Also in dem Fall von der Zentrifugalkraft, die irgendwie nach außen
zieht.
Wollen wir uns aber zunächst mal auf die Bewegungsgleichung
fokussieren.
Das hier unten ist die Bewegungsgleichung.
Wenn ich die noch ein bisschen schöner hinschreibe, indem ich durch M
und L teile, dann bekomme ich hier raus, Theta 2 Punkt plus G durch L
Sinus Theta ist gleich 0.
Das ist unsere Bewegungsgleichung.
Was ist daran erstaunlich an dieser Bewegungsgleichung?
Also die Bewegungsgleichung beschreibt mir die Bewegung von diesem
Pendel.
Was ist daran erstaunlich?
Überlegen Sie sich mal, ich stelle mal eine suggestive Frage.
Dieses Pendel, würde sich das gleich verhalten hier auf der Erde und
auf dem Mond?
Warum nicht?
Wegen G, genau auf dem Mond wäre G anders.
Würde dieses Pendel sich anders verhalten, wenn ich gleiches G und
gleiches L habe, aber doppelte Masse?
Nö, dann würde es das gleiche machen.
Das heißt, offensichtlich ist die Masse für die Pendelbewegung
überhaupt nicht relevant.
Der Ort sehr wohl, nämlich wegen des Gs.
Und das L ist eine weitere Konstruktionsvariable.
Das heißt, wenn Sie eine Pendeluhr haben, dann ist sozusagen das
Verhalten dieses Pendels eigentlich irrelevant oder unabhängig von der
Masse, die unten dran hängt, wird nur bestimmt durch das Verhältnis
aus G zu L.
Das ist schon mal irgendwie erstaunlich.
Wir hatten ein ganz ähnliches Ergebnis beim freien Fall auch
kennengelernt.
Das ist keine Sache, die man auswendig lernen muss, aber man kann
sowas erwarten.
Und zwar, das tritt eigentlich immer dann auf, wenn man die Situation
hat, dass die Schwerkraft, also quasi die Schwere der Masse, mit der
Trägheit der Masse in Relation tritt.
Hier ist ja quasi die beschleunigende Wirkung, also die Wirkung, die
die Bewegung hervorruft, ist die Schwere der Masse.
Und was dieser Bewegung entgegensteht, ist die Trägheit der Masse.
Und beides ist mit M verknüpft.
Das eine ist M mal A und das andere ist M mal G.
Und M fällt raus.
Von diesem kleinen Exkurs noch was Technisches.
Das ist eine nichtlineare Differentialgleichung.
Dazu sind die Methoden zur Berechnung von Lösungen, abgesehen von
numerischen Methoden, nicht so gut ausgebaut wie für lineare
Gleichungen und das ist auch ziemlich kompliziert.
Man kann aber für kleine Winkel diese Gleichung linearisieren.
Also für kleine Winkel, um die vertikale Lage, also um die vertikale
Lage.
Vertikale Lage bedeutet, dass das Ding runterhängt und kleine
Ausschläge macht, so ein bisschen hin und her pendelt.
Da können wir sagen, das Theta ist sozusagen die vertikale Lage, Theta
Null plus eine kleine Abweichung.
Und wenn ich diese vertikale Hängelage, so wie hier eingeführt habe,
dann ist das gleich Null für vertikale Hängelage als Referenz.
So, mit dem Ding gehe ich formal in eine Taylor-Entwicklung und
entwickle mir diesen Sinus.
Also Sinus von Theta ist gerade Sinus von Theta Null plus Cosinus von
Theta Null mal Delta Theta plus Therme höherer Ordnung.
Für die Hängelage, Sinus von Null ist gleich Null, Theta Null gleich
Null, dieses Ding hier ist gleich 1.
Das heißt, der Sinus von Theta ist für kleine Winkel,
damit ich die Therme höherer Ordnung vernachlässigen kann, ist es
gerade Delta Theta.
Und damit erhalte ich die linearisierte Bewegungsdifferentialgleichung
dieser Pendelbewegung als Delta Theta 2.0 plus G durch L mal Delta
Theta ist gleich Null.
Das ist eine lineare Differentialgleichung, die man mit Methoden aus
der HM sehr einfach lösen kann.
Diese wird zum Beispiel durch Sinus und Cosinus gelöst.
Okay, Details dazu gucken Sie sich in der Übung an oder werden in der
Übung behandelt.
Ich möchte noch ein zweites Beispiel kurz ansprechen, das auf den
ersten Blick einfacher erscheint, weil die Beschleunigung einfacher
ist, das aber ein, zwei kleine Tücken hat.
Es geht jetzt um eine Masse, also ein Klotz, so ein eckiges Stück
Masse, die Masse M, die den Schwerpunkt S hat.
Und diese Masse gleitet auf so einer Unterlage, also auf irgendeinem
Boden.
Dieser Boden ist rau, das impliziert, dass wir hier Gleitreibung haben
können.
Und das Ganze soll sich wiederum im schweren Feld der Erde befinden.
So, der erste Schritt ist wiederum Koordinaten einführen.
Da dieses Ding sich ja nur von rechts nach links bewegt, ist es
irgendwie naheliegend, keine Polarkoordinaten einzuführen, sondern
kathesische Koordinaten.
Also zum Beispiel EX in horizontaler Richtung und EY in vertikaler
Richtung.
Formal könnten wir noch Z einführen, das sparen wir uns mal, hier
genügt eine ebene Betrachtung.
Also kathesische Koordinaten XY.
Damit ist die Beschleunigung dieses Punktes auch einfach anzugeben.
Und zwar, wenn dieser Pfeil hier die X-Position, also die
Horizontalposition des Schwerpunktes ist, dann ist die Beschleunigung
des Schwerpunktes einfach die zweifache Ableitung von diesem X.
In Y-Richtung ist die Bewegung ja blockiert, d.h.
die Geschwindigkeit in Y-Richtung ist 0 und die bleibt 0.
Die Geschwindigkeit ist also unverändert, d.h.
die Beschleunigung in Y-Richtung, also Y-Anteil der Beschleunigung
gleich 0, da VY identisch 0 ist und bleibt.
Und damit können wir den Beschleunigungsvektor sehr einfach angeben
als X2-Punkt mal EX.
Ja, und das war's.
Ich kann mal formal noch dazuschreiben, plus 0 mal EY, ist aber
eigentlich klar.
Wie sieht's aus mit den Kräften?
Spendieren wir der Masse hier noch eine Kraft, die sie irgendwie
zieht.
Da zieht eine Kraft an der Masse und diese Kraft soll F heißen.
Und wenn wir uns jetzt die Kräfte ansehen, die auf diese Masse wirken,
dann ist es zum einen diese Kraft F in horizontaler Richtung.
Wir haben die Schwerkraft in vertikaler Richtung, m mal g.
Dieser Klotz, der ist jetzt hier so frei vom Boden losgelöst, d.h.
ich muss die Kräfte noch einzeichnen, die der Boden auf den Klotz
ausübt.
Also die Schnittkräfte, die durch das Loslösen des Klotzes vom Boden
frei werden oder sichtbar werden.
Das ist zum einen diese Normalkraft N, das ist die, mit der der Boden
auf den Klotz drückt.
Außerdem kann ich eine Reibungskraft haben.
So, die zeichne ich mal hier so ein.
Ein bisschen übertrieben, weil ich da noch was heranschreiben möchte.
Diese Reibungskraft kann man jetzt z.B.
mit dem Coulomb'schen Reibungsgesetz als µ mal N ansetzen.
Und jetzt ist noch wichtig, dass die ja immer der Bewegung
entgegengesetzt steht.
D.h.
wenn der Klotz sich nach rechts bewegt, dann steht sie so.
Und wenn er sich nach links bewegen würde, dann würde sie genau
andersrum zeigen.
Das kann ich hier berücksichtigen durch diese Signum-Funktion.
Signum x-Punkt.
Das sieht jetzt alles hässlich aus, ist aber eigentlich nur ein
Schalter, der sozusagen die Richtung einfach umdreht.
Signum von der positiven Zahl ist plus 1 und Signum von der negativen
Zahl ist minus 1.
So, damit kann ich den Kraftvektor jetzt einfach angeben.
f ist gleich diese Skalarekraft f, die in horizontaler Richtung zeigt,
minus µ N Signum von x-Punkt in die e-x-Richtung plus minus m-mal g
plus N in die e-y-Richtung.
Und damit kann ich jetzt direkt den Impulssatz auswerten.
Zum einen in die e-x-Richtung alle Beiträge sammeln.
Dort habe ich stehen diese Beschleunigung mal der Masse, also m x
-Zweipunkt ist gleich der Kraft des Kraftanteils in der x-Richtung,
also ist gleich f minus µ N Signum von x-Punkt.
Und in die e-y-Richtung habe ich dort stehen, die Beschleunigung in y
-Richtung ist 0, also dort steht 0 ist gleich dieser Anteil minus m
-mal g plus N.
Was sehen wir hier?
Wir sehen jetzt zum einen hier oben, das wird irgendwie unsere
Bewegungsgleichung liefern, weil hier steckt dieses x-Zweipunkt drin,
da steckt auch noch x-Punkt drin.
Das einzig doofe ist, hier steckt dieses N drin und dieses N kenne ich
nicht.
Das N ist nämlich die Zwangskraft, die verhindert, dass der Klotz
durch die Deckel rauscht.
Dieses N kann ich mir aber einfach beschaffen aus dieser
Zwangskraftgleichung.
Also das hier unten ist die Zwangskraftgleichung, dieses Ding hier.
Aus der kann ich mir sofort, sieht man ja gleich, N ist gleich m-mal g
ablesen.
Das hätte man vielleicht auch intuitiv schon geahnt, aber es ist immer
besser, das streng zu rechnen, weil man manchmal mit so intuitiven
Überlegungen auch Schiffbruch erleiden kann.
Also das hier ist die Zwangskraft, die Zwangskraft N.
Jetzt kann ich diese Zwangskraft N hier oben einsetzen und habe dann
nur noch bekannte Größen.
m kenne ich, f kenne ich, µ kenne ich, Signum x-Punkt kenne ich noch
nicht, aber diese Gleichung dient ja der Berechnung von x.
Also ich bekomme dann, nochmal leicht umgeformt, die Gleichung x2
-Punkt ist gleich f durch m minus µ g mal Signum von x-Punkt.
Das ist meine Bewegungsgleichung.
Was war jetzt hier neu?
An dem Beispiel mussten wir die Zwangskraftgleichung verwenden, um die
Zwangskraft in dieser ersten Gleichung zu eliminieren und dann die
Bewegungsgleichung zu erhalten.
Die Bewegungsgleichung habe ich erst durch eine leichte Umformung
erhalten, indem ich die Zwangskraft eliminiert habe.
Bewegungsgleichung bedeutet, ich finde eine Differentialgleichung für
meine Bewegungskoordinate, die keine Zwangskraft mehr beinhaltet.
So, wie kann man jetzt so eine Lösung berechnen?
Nehmen wir mal an, die Bewegungsgleichung, die heißt x2-Punkt ist
gleich f durch m minus µ g Signum x-Punkt.
Jetzt nochmal die Annahme, dass f konstant sei und der Klotz sich nur
nach rechts bewegt, also x-Punkt größer 0.
Damit erhalten wir x2-Punkt ist gleich c2, ist gleich konstant.
Weil wenn f konstant ist, m ist konstant, µ ist konstant, g ist
konstant und das hier ist konstant plus 1.
Also wegen dem x-Punkt größer 0, dann folgt daraus Signum x-Punkt ist
gleich plus 1.
Durch eine einfache Integration erhalte ich aus dem x2-Punkt mein x
-Punkt.
Jetzt muss ich eine Konstante integrieren, das ist einfach c2 mal t
plus eine weitere Integrationskonstante c1.
Wenn ich das differenziere, fällt die heraus.
Das heißt, ich kann an dieser Stelle hier auf Beschleunigungsebene
nicht sagen, wie groß dieses c1 hier ist.
Eine weitere Integration liefert mir x ist gleich 1,5 c2t² plus c1t
plus c0.
Dieses c2 kenne ich, das ist nämlich genau einfach diese rechte Seite
hier.
c1 und c0 kenne ich allerdings nicht, die sind unbekannt.
Woher bekomme ich die?
Dieses c0 und dieses c1 sind sogenannte Integrationskonstanten.
Und die werden aus den Anfangsbedingungen ermittelt.
Also Folgen aus den Anfangsbedingungen, AB abgekürzt.
Und diese Anfangsbedingungen sind die Anfangslage.
Ich suche ja Lösungen, die sowohl die Anfangslage erfüllen, als auch
die Anfangsgeschwindigkeit erfüllen.
Also die Anfangslage, x zum Zeitpunkt t gleich 0 ist x0.
Und die Anfangsgeschwindigkeit, dass nämlich x zum Zeitpunkt t gleich
0 gerade v0 ist.
Das sind zwei Gleichungen für zwei Unbekannte.
Kann ich also lösen.
Diese Anpassung an die Anfangsbedingungen, die ist deswegen notwendig
und plausibel, weil dieser Klotz, so wie er da liegt oder wie ich ihn
da hingezeichnet habe, und auch die daraus folgenden Gleichungen, also
quasi bis zu der Stelle hier, die würden ja sowohl für den Klotz
gelten, wenn er quasi aus der Ruhe startet und mit der Kraft F nach
rechts gezogen wird, als auch für dieselbe Konstellation, wenn der
Klotz mit einer Anfangsgeschwindigkeit startet.
Und sie gelten genauso, ich habe ja hier keine Anfangsposition
angegeben, diese Gleichungen gelten genauso für die Situation, in der
der Klotz bei einer Anfangslage von x gleich 0 startet, genauso wie in
der Anfangslage von x gleich 17 oder 21.
Das heißt, das hier ist die Bewegungsgleichung, die gilt allgemein,
und im konkreten Fall, also die spezifische Lösung, die dann
rauskommt, die hängt von den Anfangsbedingungen ab, das heißt, die
erhalte ich durch Anpassung dieser allgemeinen Gleichung
beziehungsweise ihrer allgemeinen Lösung an die Anfangsbedingungen.
Okay, gehen wir mal einen Schritt weiter.
Ich lege nochmal diese Folie von eben auf.
Wir hatten hier schon im Prinzip so eine Unterscheidung getroffen.
Sozusagen normale Kräfte, F oder Mrg, die ich kenne.
Gewichtskraft kenne ich, die ist Mrg, da habe ich ein Gesetz.
Diese Kraft F, die kenne ich auch, die gebe ich irgendwie vor.
Die wirkt von außen durch einen Motor oder sowas, das heißt, diese
Kraft kenne ich.
Aber diese Kraft N, die entsteht dadurch, dass die Bewegung irgendwie
eingeschränkt worden ist.
Also N ist nur da, weil der Klotz auf einem Tisch liegt.
Wenn ich diesen Tisch wegnehme und der frei fallen kann, dann ist
dieses N nicht da.
Das heißt, diese Zwangskraft N, die resultiert aus einer kinematischen
Beschränkung der Bewegung.
Und ich kann dieses N auch nicht direkt angeben.
Ich kann nicht sagen, wie groß das ist.
Ich muss das erst ausrechnen.
Das heißt, dieses N ist nicht a priori bekannt.
Offensichtlich sind es zwei unterschiedliche Typen von Kräften.
Man kann also Kräfte einteilen, also die Gesamtkraft, die kann man
einteilen in sogenannte Zwangskräfte und in eingeprägte Kräfte.
Die sind jetzt hier in der falschen Reihenfolge.
Ich fange mit den eingeprägten Kräften an.
Eingeprägte Kräfte sind alle Kräfte, die ich von vornherein kenne.
Wo ich ein Kraftgesetz kenne, wo ich zum Beispiel sagen kann,
Gewichtskraft ist mRG, Luftwiderstand ist irgendeine Formel.
Also wo ich eine Formel habe, zum Beispiel aus einer Messung, wo ich
eine Art Kraftgesetz kenne, in physikalischem Zusammenhang.
Also Gewichtskräfte, Antriebskräfte, Federkräfte.
Eine Federkraft ist zum Beispiel so eine eingeprägte Kraft.
Diese hier, eine Zwangskraft.
Zwangskräfte, die entstehen dadurch, dass kinematische
Nebenbedingungen die Bewegung einschränken.
Also was heißt das?
Das heißt zum Beispiel, ich habe diese Masse, die ist zunächst mal
noch frei.
Und jetzt binde ich die mit einem Faden irgendwo an so einem Punkt
fest.
Dadurch zwinge ich sie auf die Kreisbahn.
Und damit das passiert, also ich fordere kinematisch, dass das Ding
sich auf einer Kreisbahn bewegt.
Und um diese kinematische Forderung zu erzwingen, muss man irgendwie
diese Seilkraft realisieren.
Also in diesem Fall eine radiale Zwangskraft nach innen, indem ich
dann dieses Seil dran montiere.
Das zweite war diese Masse auf der Unterlage.
Also wenn ich diese Masse einfach so habe, diesen Klotz, dann kann der
frei fallen.
Der kann machen, was er will.
Da wirkt hier unten noch keine Kraft.
Erst wenn ich jetzt sage, okay, Kollege, du bewegst dich nur
horizontal.
Vertikalbewegungen sind eingeschränkt, sind verboten.
Dann brauche ich eine Kraft, die das erzwingt.
Nämlich diese Normalkraft N, die nämlich diese kinematische
Nebenbedingung, nur horizontale Bewegung, erzwingt.
Das heißt, Zwangskräfte erzwingen kinematische Nebenbedingungen.
Also infolge von Führungen, von irgendwelchen vorgegebenen Bahnkurven.
Und die sind häufig, aber das ist eigentlich eine sehr heikle Aussage,
ich würde es meist sogar einklammern, die sind oft senkrecht zur Bahn.
Also in diesen einfachen Beispielen hier steht die Zwangskraft S, die
steht tatsächlich senkrecht zur Bahn.
Auch hier, dort haben wir die Zwangskraft N und mögliche Bewegungen
sind horizontal.
Auch hier wäre sie senkrecht zur Bahn, aber das gilt bei Weitem nicht
immer.
Bei so einfachen Beispielen mit einem Massenpunkt gilt es.
Man muss diese Unterscheidung nicht machen, die ist aber ganz
zweckmäßig.
Und wenn man diese Unterscheidung macht, und sich sowieso mal so
Gedanken macht über Kräfte, was Kräfte eigentlich sind, dann kann man
vom Impulsgesetz des starren Körpers, ja man kann was weiteres
ableiten.
Und zwar das sogenannte Prinzip von D'Alembert, das steht hier unten
auf der Folie.
Machen wir es mal Schritt für Schritt.
Also die Grundgleichung, die wir bisher angewandt hatten, war F ist
gleich M mal A.
Und dieses F, das kann man auftrennen.
Jetzt kann man diese Formel ja umschreiben.
Also ich kann quasi hier dieses M mal AS auf die rechte Seite bringen
und erhalte dann diese Gleichung.
Das erscheint jetzt zunächst mal wie eine einfache Umformung und die
suggeriert dir sofort, naja, das sind alles Kräfte.
Dann sage ich einfach dieses Ding hier, also ich mache jetzt eine
Definition und sage dieser Ausdruck hier, wenn das ja alles Kräfte
sind, dann ist das auch eine Kraft, die nenne ich einfach minus M mal
AS.
Ist auch irgendwie intuitiv, das ist die Trägheitskraft sozusagen, das
was wir sowieso glauben immer zu spüren.
Und wenn ich dieses Ft einführe, dann habe ich hier drüben ja quasi
nur noch stehen, Summe der eingeprägten Kräfte, Summe der Zwangskräfte
und Summe der Trägheitskräfte.
Die müssen alle zusammen Null ergeben, das heißt ich habe wieder so
eine Art, ja ich habe so ein Kräftegleichgewicht da stehen.
Also dieses Ding da.
Oder anders gesagt, durch diese simple Umformung führt man den Newton,
der also sagt, Änderung der Beschleunigung ist proportional zur Kraft,
den führt man auf ein dynamisches Kräftegleichgewicht zurück.
Jetzt kann man sich viel darüber streiten, was der Aussagewert dieser
Umformung ist.
Böse Zungen behaupten, das sei ein Taschenspielertrick.
Das ist ja eine einfache, naja, wie gesagt, ich bring das da rüber und
erkenne, das ist wie eine Kraft und benenne es mit F und fertig.
Meines Erachtens liegt der Knackpunkt ein bisschen tiefer, denn die
Aussage von Newton ist zunächst mal nur die, dass eine Kraft eine
Beschleunigung erzeugt und dieser Beschleunigung proportional ist.
Wenn man sich weiter damit beschäftigt und sich quasi fragt, ob denn
dieses Minusm mal As, ob das eigentlich eine Kraft ist, dann stellt
man fest, dass das irgendwie keine richtige Kraft ist, so wie die
anderen.
Also zum Beispiel diese eingeprägte Kraft und die Zwangskraft, die
erfüllen das dritte newtonsche Aktion.
Aktion gleich Reaktion.
Ich finde zu den eingeprägten Kräften und Zwangskräften immer eine
Gegenkraft.
Also wenn Sie sich vorstellen, bei den Zwangskräften zwischen Klotz
und Boden haben Sie immer plus n und minus n auf zwei Körper.
Bei den eingeprägten Kräften, wenn ich eine Feder ziehe, also wenn ich
eine Feder lang ziehe, ich habe ja zufällig eine dabei, wenn Sie sich
vorstellen, Sie ziehen diese Feder lang, dann wirkt diese Federkraft
sowohl auf meinen rechten Daumen, als auch auf meinen linken Daumen.
Also da gibt es immer Aktion gleich Reaktion.
Bei dieser Trägheitskraft ist das nicht der Fall.
Das heißt, die erfüllt nicht dieses Prinzip Aktion gleich Reaktion.
Die ist also irgendwas anderes.
Trotzdem, und das ist meines Erachtens zunächst mal so die gedankliche
Leistung von d'Alembert, hat er quasi durch Überlegen und durch Denken
vieler Beispiele festgestellt, dass er sich, auch wenn es keine Kraft
in diesem klassischen Sinne ist, also auch wenn sie Newton drei
verletzt, dass er sich trotzdem so behandeln lässt.
Zumindest hier im Sinne der nicht relativistischen Mechanik.
Das heißt, wir dürfen, wenn wir keine relativistische Mechanik machen,
dürfen wir eine Trägheitskraft einführen und danach mit dem
Kräftegleichgewicht arbeiten.
Die weitere Folge war übrigens die, dass man damit das Problem der
Dynamik, also Bewegung, quasi auf die Statik zurückführt.
Und man konnte damit schlagartig alle Prinzipien, die man aus der
Statik bereits kannte, auf die Dynamik übertragen.
Jetzt gibt es hier ein ganz wichtiges Achtung.
Der Klassiker ist,
dass die Leute beides vermischen und dann quasi Newton machen und die
Trägheitskraft einzeichnen.
Also häufig, wenn es heißt, bearbeiten sie eine Aufgabe mithilfe des
Impulssatzes, dann malen die Leute, klar, so ein Diagramm, malen alle
Kräfte rein.
Die Trägheitskraft, die ist so intuitiv, dass man die auch noch mit
reinzeichnet.
Und dann haben sie quasi Newton mit der dann noch mehr Trägheitskraft
und dann haben sie die Trägheit ja zweimal in ihrem Gleichungssystem.
Das heißt, sie müssen sich entscheiden, entweder Newton oder d
'Alembert.
Also entweder der oder der.
Zur Erinnerung, entweder sie machen das so, oder sie machen das
sozusagen plus minus m mal a s ist gleich null.
Sie müssen aber aufpassen, dass sie jetzt sozusagen nicht den Newton
machen und in dieses f noch diese Trägheitskräfte reinschreiben.
Also entweder oder.
So, gucken wir uns das Kochrezept dazu an.
Ist im Prinzip wie vorher.
Koordinaten wählen, Beschleunigungsvektor, den brauchen sie ja nach
wie vor.
Also wir brauchen den Beschleunigungsvektor des Schwerpunktes.
Wir brauchen die Kräfte, die Kräfte f.
Was jetzt neu ist, dass man jetzt entgegengesetzt der positiven
Beschleunigungsrichtung die d'Alembert-Kräfte einträgt.
Also das hier ist sozusagen neu oder das ist spezifisch für den d
'Alembert.
Das ist also jetzt ein wirklicher Unterschied zu Newton.
Und dass man jetzt eine skalare Auswertung des Kräftegleichgewichts
macht.
Also das ist auch neu.
Schauen wir uns mal das Beispiel von vorhin an.
Wieder das Pendel.
So das ist die selbe Konstellation wie vorhin.
Wir haben hier diese Masse M, die hängt an einem Seil der Länge L.
Dieses Seil hindert diese Masse an der radialen Bewegung und zwingt
sie auf eine Kreisbahn.
Das heißt wir wählen wieder Polarkoordinaten
und zeichnen mal die Beschleunigung ein.
Hier in dieses linke Bild.
Alles wie gehabt.
Wir brauchen eine Zentripetalbeschleunigung, die die Kreisbahn
aufrecht erhält.
Und wir haben eine Bahn- oder Tangentialbeschleunigung, welche dazu
führt, dass eben diese Geschwindigkeit des Pendels sich verändert.
Jetzt können wir hier drüben die Kräfte einzeichnen.
Ich habe jetzt hier 3 plus 4, nämlich Kräfte auf M inklusive der d
'Alembert -Kraft.
Also inklusive der Trägheitskraft.
Wenn ich die Masse loslöse von dem Seil, dann habe ich zum einen die
Seilkraft.
Die Seilkraft ist die Zwangskraft in diesem Fall.
Wir haben die Gewichtskraft nach unten.
Welche Kräfte tauchen noch auf?
Es treten noch die d'Alembert-Trägheitskräfte auf.
Und jetzt Achtung!
Die d'Alembert-Trägheitskraft ist minus M mal A.
Das heißt, ich muss die Beschleunigungskomponenten nehmen und deren
Richtungssinn umkehren.
Also ich nehme zum Beispiel hier diese Zentripetalbeschleunigung.
Die Beschleunigung zeigt nach innen.
Das heißt, die daraus resultierende d'Alembert-Kraft oder
Trägheitskraft zeigt nach außen.
Und hat den Betrag M mal L mal Theta Punkt Quadrat.
Und die d'Alembert-Kraft, die zu dieser Bahnbeschleunigung gehört,
also auch wieder Bahnbeschleunigung, zeigt in diese Richtung, also in
positive Theta-Richtung.
Die daraus resultierende d'Alembert-Kraft zeigt in entgegengesetzte
Richtung.
Man hat den Betrag M mal L mal Theta Zweipunkt.
Schreiben wir mal die zugehörigen Dinge noch vektoriell hin.
Also die Beschleunigung, die ist wie vorher.
Einfach L Theta Zweipunkt mal E Theta plus minus L Theta Punkt Quadrat
mal E R.
Das ist alles wie beim Beispiel vorher.
Und jetzt habe ich hier die Kräfte als eingeprägte Kraft plus
Zwangskraft.
Und ich habe jetzt noch die Trägheitskraft.
Das sind diese roten.
Und wie sind die jetzt?
Die sind wie die Beschleunigung, multipliziert mit M, aber in
entgegengesetzter Richtung.
Das heißt, ich habe zum einen minus M L Theta Zweipunkt in E Theta
-Richtung.
Also diesen Beitrag mal M und mal minus 1.
Plus dasselbe hier, das Vorzeichen dreht sich um.
Plus M L Theta Punkt Quadrat mal E R.
Und ich mache jetzt einfach ein Kräftegleichgewicht.
Also das hier brauche ich eigentlich nicht mehr.
Ich brauche jetzt nur noch diese Informationen.
Das hier ging quasi hier rein.
Und mit den Informationen gehe ich jetzt ins Kräftegleichgewicht.
Eingeprägte Kräfte plus Zwangskräfte plus Trägheitskräfte ergeben den
Nullvektor.
Und das liefert mir einfach die E Theta Komponente.
Minus M L Theta Zweipunkt minus M G Sinus Theta ist gleich 0.
Und die Radialkomponente plus M L Theta Punkt Quadrat plus M G Sinus
Theta minus S ist gleich 0.
Die selben Ergebnisse wie aus Newton, natürlich, aber auf einem leicht
anderen Weg.
Was hier übrigens auch passiert ist, wir hatten die
Zentripetalbeschleunigung.
Und das, was man alltäglich intuitiv kennt, nämlich die
Zentrifugalkraft, also die Kraft, die einem bei der Kurvenfahrt nach
außen drängt, das ist quasi die D'Alembert-Kraft, also die
Trägheitskraft, die aus der Zentripetalbeschleunigung resultiert.
Das heißt, das hier ist die Zentrifugalkraft und
die resultiert aus der Zentripetalbeschleunigung.
In den letzten zwei Minuten möchte ich noch einen zweiten wichtigen
Punkt unterbringen.
Nur bei den Trägheitskräften gilt es nicht.
Das eine ist eine Beschleunigung, aber hier auf Kraftebene.
Also wenn ich sozusagen die Masse von dem Seil trenne, dann bekomme
ich zum einen die Kraft, die an dem Seil zieht, die sehe ich an dem
Seil, und auf der anderen Seite des Schnittes sehe ich die Seilkraft,
die an der Masse zieht.
Ich kann aber gedanklich diese Trägheitskraft nicht von der Masse
loslösen, die ist an der Masse dran.
Also die ist sozusagen mit der Masse verbunden und sie wirkt auf keine
zweite Masse.
Also es gibt keinen zweiten Körper, auf den diese Kraft von gleichem
Betrag aber entgegengesetzt wirken würde.
Also man kann natürlich hergehen und sagen, ja Moment mal, diese
Zentrifugalkraft hält sich ja die Waage mit der Schwerkraft und dem
Anteil von der grünen Kraft.
Natürlich, also die halten sich die Waage, diese Schwerkraft und die
übrigen Kräfte gleichen sich aus.
Aber es ist keine Schnittkraft in dem Sinn, dass sie sichtbar wird,
wenn ich diese Masse von einer anderen Masse trenne und sie ist auch
keine Schnittkraft oder keine Kraft, die Aktion gleich Reaktion
erfüllt, in dem Sinn, dass es zu ihr ein Pendant gibt, was als
Kräftepaar sozusagen untrennbar ist.
Also es ist eine andere Situation, die hier vorliegt mit dieser
Trägheitskraft, die wirkt nur auf diese eine Masse.
Aktion gleich Reaktion gilt zum Beispiel zwischen Erde und Mond.
Die Erde zieht am Mond und der Mond zieht an der Erde.
Und diese beiden Gravitationskräfte, die treten paarweise
entgegengesetzt auf.
Da gilt Aktion gleich Reaktion.
Das ist hier halt nicht erfüllt.
Das ist ein bisschen tricky.
Also man muss sich da ein bisschen drüber sinnieren.
Okay, ich mache das zweite Beispiel das nächste Mal in Ruhe.
Ich möchte nur die Kernaussage noch unterbringen.
Das zweite Beispiel war dieser Klotz auf der Ebene.
Jetzt ist er im schwere Feld der Erde.
Ich gucke mir die Beschleunigung dieses Klotzes an.
Dieses X2-Punkt hat man vorhin schon kennengelernt.
Und jetzt geht man her und die Regel ist sozusagen, alle Kräfte
einzeichnen und die Beschleunigung umkehren.
Also Beschleunigung mal M und Richtung umdrehen.
Ich glaube es ist vollkommen klar, dass Sie hier an der Stelle als
Trägheitskraft, bei der Sie die Beschleunigung umkehren, also die
Richtung der Beschleunigung umkehren und mit M multiplizieren, das
gilt natürlich nur für die Beschleunigung im Sinne
Geschwindigkeitsänderung.
Das darf natürlich nicht für das G gelten.
Also wenn Sie jetzt hergehen und haben im Hinterkopf, A, G ist die
Erdbeschleunigung, ganz klar, ich drehe die um und zeichne M mal G
ein.
Das ist natürlich Quatsch.
Das war das, was ich letztes Mal schon sagte.
G ist keine Beschleunigung im kinematischen Sinne.
Das hat zwar dieselbe Einheit wie die Beschleunigung, ist aber,
verknüpft die schwere Masse mit ihrer zugehörigen Gewichtskraft.
Es hat nichts mit Beschleunigung und nichts mit Trägheitswirkung zu
tun.
Das gucken wir uns nächstes Mal nochmal genauer an.
Ich wollte nur sagen, der Begriff Beschleunigung im Sinne d'Alembert
bezieht sich nur auf diese kinematischen Größen, nicht auf die
sogenannte Erdbeschleunigung.
Das ist nämlich eigentlich die Gravitationsfeldstärke Konstante.
Oder hat noch viele andere Namen.
Gibt es Fragen soweit?
Wenn nicht, dann sehen wir uns nächste Woche.
Vielen Dank und bis dahin.
Tschüss.