So, ansonsten wurde in der letzten Vorlesung mit Mehrfreiheitsgrad
-Systemen begonnen.
Das heißt, zunächst mal die freien Schwingungen, beschrieben durch
gekoppelte lineare Differentialgleichungen.
Ein Lösungsansatz, wenn man den für jeden Freiheitsgrad separat macht,
könnte man vielleicht zunächst mal davon ausgehen, dass der eine
Freiheitsgrad, wir einen Lösungsansatz machen, Amplitude mal e hoch
Lambda 1 t, dann für den nächsten Amplitude mal e hoch Lambda 2 t,
dann sieht man aber nach Einsätzen, dass Lambda 1 gleich Lambda 2 sein
muss, also letztendlich macht man den Lösungsansatz in der Form
X, eine Matrix, wo die ganzen Koordinaten oder
Verschiebungsfreiheitsgrade in dem Fall drinstehen, also X1 bis Xn
gleich so ein X-Dach, ich schreibe mal X1-Dach, X2-Dach bis Xn-Dach,
mal e hoch Lambda t.
Unbekannt sind darin noch die einzelnen Matrizenelemente X1-Dach bis
Xn -Dach, sowie das Lambda und nach Einsätzen führt es dann auf ein
Eigenwertproblem.
Man sieht, es gibt nur Lösungen, die von Null verschieden sind, sofern
bestimmte Lambda-Werte vorliegen.
Die Bestimmungsgleichungen für die N-Amplituden liegen dann vor in
Form von N-1 gekoppelten Gleichungen, lineare Gleichungen, eigentlich
N -Gleichungen, die sind aber linear abhängig, also sind es
letztendlich nur noch N-1 linear unabhängige Gleichungen.
Das heißt, wir können eine der Größen vorgeben, zum Beispiel das X1
-Dach und die restlichen in Abhängigkeit dieser vorgegebenen Größe
bestimmen, sodass letztendlich die Gesamtamplitude, die sich da
ergibt, beliebig ist, wie schon beim Einfreiheitsgradsystem, freie
Schwingungen, und dass aber die Verhältnisse zwischen den einzelnen
Matrizenelementen hier feste Größen dann sind.
So, wie sieht es aus, wenn wir erzwungene Schwingungen haben?
Wenn wir nochmal unser Schwingungssystem betrachten,
ich lasse mal die Dämpfung weg, dann hatten wir hier Massenpunkt M1,
dann M2 und eine Erregerkraft F
und T,
Federsteifigkeiten lineare Federn C1 und C2.
Die sich ergebenden Differentialgleichungen waren dann mit den
Absolutverschiebungen X1 bzw.
X2, M1, X1, zwei Punkt Beschleunigung von Massenpunkt 1, plus, jetzt
steht hier C1, plus C2 mal X1 minus C2 mal X2 gleich 0,
bzw.
M2, X2, zwei Punkt, plus C2 mal X2 minus C1 mal X1 gleich F und T und
wie gesagt, bei den erzwungenen Schwingungen ist dann das F und T
jetzt ungleich 0.
Oder nicht identisch 0, das kann natürlich zu einem bestimmten
Zeitpunkt auch 0 sein, denken Sie an einen harmonischen Verlauf, dann
haben wir immer wieder Zeitpunkte, an denen die Kraft verschwindet,
aber im Allgemeinen ist die eben ungleich 0.
Jetzt, wie lösen wir das Ganze, wenn wir das mal vergleichen mit dem
Einfreiheitsgradsystem, dann sehen wir, wenn wir voraussetzen, wir
haben eine harmonische Erregung der Form Amplitude F0 mit Sinus oder
Kosinus, nehmen wir mal Kosinus Omega T, was wir vielleicht auch
schreiben können als C0 mal Y0, dann haben wir irgendwo eine
Rechengröße drin, das C0 dann wegen der Dimension, mal Kosinus Omega
T, dann haben wir jetzt auf der rechten Seite einmal 0, einmal eine
Zeitabhängigkeit, Kosinus Omega T, beim Einfreiheitsgradsystem haben
wir so einen Ansatz vom Typ der rechten Seite gemacht und wir sehen
bei unserem ungedämpften System, was ich jetzt hier angegeben habe,
wenn wir da für X1 und für X2 jeweils wieder eine Funktion in Form von
Amplitude mal Kosinus Omega T annehmen, dann ist X2 und X1 hat einen
kosinusförmigen Verlauf, X1 hat auch einen kosinusförmigen Verlauf,
also da könnte man schon versuchen, die erste Differenzialgleichung zu
erfüllen, bei der zweiten Differenzialgleichung sehen wir, X2
Zweipunkt hätte dann auch einen kosinusförmigen Verlauf, X2 und X1
auch, das F und T kosinusförmig, also auch dort könnten wir die
Differenzialgleichung unter Umständen erfüllen, mit einem
entsprechenden Ansatz.
Also hätten wir X1 von T für die partikuläre Lösung, irgendwas mal
Kosinus von Omega T, nun wir haben gesehen beim
Einfreiheitsgradsystem, die Amplitude, die sich ergibt für die
Schwingung bei der Antwort, die hängt ab von der Erregerfrequenz, wenn
wir die Erregerfrequenz ändern, ändert sich die Amplitude, also würden
wir da vielleicht schreiben, wir haben das Y0 drin stehen, also Y0 mal
eine Vergrößerungsfunktion V1 und für das X2 analog auch das
kosinusförmig, also Kosinus Omega T, nun dort können wir natürlich
eine etwas andere Vergrößerungsfunktion V2 haben, ebenfalls von Omega
abhängig.
Und wenn wir jetzt weitergehen und uns überlegen, bei einem gedämpften
Einfreiheitsgradsystem, da kommt es zu einer Phasenverschiebung
zwischen Systemeingang und Systemausgang, wenn wir in so einem System
noch Dämpfung mit berücksichtigen, wird es auch hier zu einer
entsprechenden Phasenverschiebung kommen, also im allgemeinen Fall,
wenn wir Dämpfung berücksichtigen, müssten wir da noch
berücksichtigen, so einen Nullphasenwinkel Epsilon, der wiederum für
beide Komponenten unterschiedlich sein könnte, also Epsilon 1 bzw.
Epsilon 2 und der Nullphasenwinkel Epsilon 1 bzw.
Nullphasenwinkel Epsilon 2 ist dann ebenfalls abhängig von der
Erregerkreisfrequenz.
So, wie gesagt, wir haben den Vorteil, wir betrachten zunächst mal das
ungedämpfte System, setzen die beiden Lösungsansätze ein, ungedämpftes
System heißt, es genügt, einen kosinusförmigen Verlauf einzusetzen,
was ergibt dann die erste Differentialgleichung.
Wir haben M1,
V1, Y0, jetzt die zweite Ableitung von Kosinus Omega T ergibt Minus
Omega Quadrat, Kosinus Omega T, dann haben wir Plus C1 Plus C2, V1,
Y0, Kosinus Omega T, Minus C2, V2, Y0, Kosinus Omega T gleich 0.
Wir sehen, es tritt überall auf, das Y0, das können wir also
rauskürzen, es tritt überall auf, das Kosinus Omega T, das ist nicht
identisch 0, das muss auch für alle Zeiten gelten, also können wir
auch das rauskürzen, sodass letztendlich verbleibt als Gleichung Minus
Omega Quadrat M1 V1,
Plus C1 Plus C2 Mal V1, Minus C2 V2 gleich 0.
Und wenn wir den Lösungsansatz in die zweite Differentialgleichung
einsetzen, dann können wir auch dort überall das Y0 rauskürzen und
überall das Kosinus Omega T, sodass letztendlich stehen bleibt, Minus
Omega Quadrat M2 Mal V2, X2 war gerade Minus Omega Quadrat V2 Y0 Mal
Kosinus Omega T, Plus C2 Mal V2 Mal, das andere haben wir rausgekürzt,
das Y0 Mal Kosinus Omega T, bleibt noch stehen das Minus C1 V1, auf
der rechten Seite hatten wir zunächst mal C0 Y0 Kosinus Omega T, also
bleibt dort lediglich stehen das C0,
weil wir das F von T dargestellt haben als C0 Y0 Kosinus Omega T,
sodass wenn wir die beiden Gleichungen genau anschauen, wir jetzt ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem für V1 und V2 haben, wir haben
nämlich Minus Omega Quadrat M1 Plus C1 Plus C2 Mal V1 Minus C2 Mal V2
Gleich 0 Und als zweite Gleichung bringen wir alles zunächst mal mit
V1, da haben wir nur das Minus C1.
V1 plus Minus M2 Omega Quadrat plus C2 mal V2 gleich C0.
Was schließen wir daraus?
Nun unser Lösungsansatz, Ansatz vom Typ der rechten Seite, den wir
hier gemacht haben für X1 und X2, führt zu einer Lösung, sofern diese
beiden linearen Gleichungen für V1 und V2 erfüllt sind.
Inhomogenes lineares Gleichungssystem, gibt es da immer Lösungen?
Wann gibt es keine Lösung?
Nun zunächst mal können wir ganz stupide hergehen, zum Beispiel die
Grammerregel anwenden.
Ich gebe mal das Ergebnis an.
Also,
Lösung zum Beispiel mit Grammerregel.
Wer kennt die nicht?
Also,
unser Gleichungssystem hat im Grunde genommen die Form A11 mal V1 plus
A12 mal V2 gleich R1.
Wenn wir vergleichen, A11 ist Minus Omega Quadrat M1 plus C1 plus C2.
Das A12 ist das Minus C2 und das R1 ist in dem Falle 0, aber das ist
die allgemeine rechte Seite.
Es könnte ja sein, dass wenn am ersten Massenpunkt auch eine
harmonische Erregung wirkt, dass da auch eine Kraft vorliegt.
Die zweite Gleichung A21 V1 plus A22 mal V2 gleich R2.
Das können wir jetzt schreiben als Matrix A11 A12 A21 A22
multipliziert mit V1 V2 gleich R1 R2.
Rein formal, Matrizenrechnung, können wir jetzt von links mit der
inversen Matrix von A11 A12 A21 A22 durchmultiplizieren.
Also die Lösung wäre dann gegeben durch V1 V2 gleich A11 A12 A21 A22
hoch Minus 1.
Die Frage ist, wie berechnen wir die inverse Matrix?
Nun das kann man natürlich machen, wir machen es jetzt nicht explizit,
mal R1 R2.
Wenn ich also die inverse Matrix habe, dann kann ich das durch eine
Matrizenmultiplikation machen.
Jetzt kann ich aber auch hergehen und sagen, Delta ist die
Determinante der Koeffizientenmatrix, also A11 A12 A21 A22.
Was ergibt das?
Das ergibt A11 A22 minus A21 A12.
A11 A22 minus A21 A12.
Und jetzt bilde ich die Determinanten Delta 1 bzw.
Delta 2, indem ich die jeweilige Spalte durch die rechte Seite
ersetze.
Also Delta 1 wäre R1 R2, ich habe praktisch die erste Spalte durch die
rechte Seite ersetzt, dann verbleibt noch A12 A22, ich rechne die
jetzt gar nicht explizit aus.
Genauso können wir das Delta 2 bestimmen, da ersetzen wir dann die
zweite Spalte durch die rechte Seite.
Es gibt also A11 R1 A21 R2, davon die Determinante.
Wenn wir jetzt ein Gleichungssystem hätten mit noch mehr Unbekannten,
dann könnten wir weitere Determinanten Delta i bestimmen, indem wir
jeweils die i-te Spalte durch die rechte Seite ersetzen.
Und Gramers Regel besagt jetzt eben, dass V1 in dem Falle ergibt Delta
1 dividiert durch Delta, V2 gleich Delta 2 dividiert durch Delta und
wie gesagt, jetzt müssen Sie im Grunde genommen da nur noch die
entsprechenden Größen einsetzen, mit Mabel können Sie auch das
Gleichungssystem direkt auflösen lassen.
Gut ist immer noch, wenn man so ein bisschen die Hintergründe kennt
und nicht nur alles auf den Rechner auslagt.
So, man sieht, das Delta A11, A12, A21 und A21, die enthalten zum Teil
das Omega-Quadrat.
Also A11 und A22, die enthalten Omega-Quadrat, deshalb ist Delta
abhängig von Omega.
Wenn wir schauen, Delta 1, da haben wir A22 drin stehen, das A22 hängt
von Omega ab.
Also ist auch Delta 1 eine Funktion von Omega, genauso Delta 2 und
Delta.
Also letztendlich sieht man auch hier, die Vergrößerungsfunktionen V1
und V2, die hängen von Omega ab.
Je nachdem, wie groß die Erregerfrequenz ist, ist das Verhältnis
zwischen Eingangsamplitude und Ausgangsamplitude anders, wie beim
Einmassenschwinger.
Wie sieht es aus mit dem Delta?
Ich gebe das mal auf der nächsten Tafel an.
Da haben wir Delta,
was eine Funktion von Omega ist, ergibt in dem Falle
M1 M2 und jetzt haben wir hier drin Omega hoch 4 minus M1 C2 plus M2
C1 plus M2 C2 dividiert durch m1 m2 mal Omega-Quadrat plus C1 C2
dividiert durch m1 m2.
So, jetzt ist die Frage, wie sieht denn das Delta aus?
Das steht hier im Nenner.
Und man sieht, da kann es schon mal eine Schwierigkeit geben.
Nämlich unter Umständen wird das Delta Null.
Wann wird denn das Delta Null?
Wenn Sie sich an die letzte Vorlesung zurückerinnern, da tritt
dieselbe Determinante auf, nur dass anstatt dem Groß-Omega-Quadrat an
der Stelle das kleine Omega-Quadrat steht.
Und die Bedingung für freie Schwingungen war, dass diese Determinante
gerade Null wird.
Also wenn Groß-Omega, die Erregerkreisfrequenz, mit einer der
Eigenkreisfrequenzen übereinstimmt, beim ungedämpften System, dann
passiert folgendes, dann wird nämlich gerade die eckige Klammer Null.
Das heißt,
der Nenner geht hier gegen Null.
Jetzt müssen wir mal schauen, wie sieht es aus mit Delta 1 und Delta
2.
Delta 1 ergibt in dem Falle gerade C2C0, ist also im Grunde genommen
gar nicht von Omega abhängig und das Delta 2 ergibt C1 plus C2 minus
m1 Omega-Quadrat mal C0.
Also wir sehen, die Eigenkreisfrequenzen, die waren sicherlich nicht
bei Omega-Quadrat gleich C1 plus C2 dividiert durch m1, die waren
woanders.
Also der Zähler ist in beiden Fällen ungleich Null, wenn hier der
Nenner bei den Eigenkreisfrequenzen gegen Null geht.
Das heißt, man erkennt schon ein Phänomen, nämlich dass in der Nähe
der Eigenkreisfrequenzen die Amplituden sehr groß werden.
Das ist gerade das Resonanzphänomen wieder.
Man erkennt aber auch hier im ungedämpften System, dass das nicht nur
bei einer Kreisfrequenz auftritt, sondern bei mehreren.
Und zwar, wir haben jetzt ein System mit zwei Freiheitsgraden, da gibt
es zwei Eigenfrequenzen, wenn wir ein System mit N Freiheitsgraden
haben, gibt es unter Umständen N Eigenfrequenzen und entsprechend mehr
Resonanzstellen.
Also, Delta von Omega wird
Null für Omega gleich Omega 1 oder Omega gleich Omega 2.
Das heißt, wir können die eckige Klammer dann gerade schreiben
Delta von Omega gleich M1 M2
Omega Quadrat minus Omega 1 Quadrat mal Omega Quadrat minus Omega 2
Quadrat und in der Nähe von Omega gleich Omega 1 oder Omega gleich
Omega 2 erhalten wir sehr große Amplituden,
das war gerade Resonanz.
Und was passiert bei Erregerkreisfrequenz gleich Omega 1 und
Erregerkreisfrequenz gleich Omega 2?
Nun, dort teilen wir dann durch Null, das gibt keine Lösung, das heißt
jetzt nicht, dass dann die Amplituden beliebig groß werden, die werden
natürlich schon sehr groß, aber letztendlich, wenn die
Erregerkreisfrequenz gerade so eine Eigenkreisfrequenz trifft, dann
gilt eben unser Lösungsansatz von oben in der Form nicht mehr.
Also das führt dann in dem speziellen Fall nicht zu einer Lösung.
Nun, wenn man es ein bisschen weiter strickt und Dämpfung mit
berücksichtigt, dann wird wie schon beim Einfreiheitsgradsystem
natürlich die Amplitude endlich, das wird sich auch hier zeigen, wir
machen es jetzt nicht explizit, wir weisen nur schon mal ein bisschen
drauf hin.
Und wenn wir Delta 1 und Delta 2 entsprechend einsetzen, dann ergibt
sich eben für V1 bzw.
V2,
dann C2, C0, dividiert durch M1, M2 und das ganze dividiert durch
Omega Quadrat minus Omega 1 Quadrat mal Omega Quadrat minus Omega 2
Quadrat und das V2 entsprechend zu C1 plus C2 Minus m1 Omega-Quadrat
mal c0, dividiert durch m1, m2 und das Ganze dann wiederum dividiert
durch den Nenner wie von oben, also Omega-Quadrat minus Omega-1
-Quadrat mal Omega-Quadrat minus Omega-2-Quadrat.
Das Phänomen Resonanz, das hatten wir schon.
Also Resonanz
bei Delta 1 oder Delta 2 ungleich 0 und Delta gleich 0.
Das war also bei Omega gleich Omega 1 oder Omega gleich Omega 2.
Jetzt gibt es aber noch ein anderes Phänomen, und zwar wir sehen,
die Vergrößerungsfunktion V1, die ist immer, sofern der Nenner nicht 0
wird, die ist immer von 0 verschieden, c2, c0, dividiert durch m1, m2,
also die Masse m1, die schwingt immer.
Also wir erregen hier mit einer harmonischen Kraft, kosinusförmig, und
die Masse m1, egal was für eine Frequenz wir haben, die schwingt.
Jetzt schauen wir mal die Vergrößerungsfunktion V2 an, dann sehen wir,
da steht ja c1 plus c2 minus m1 Omega-Quadrat.
Das heißt, es könnte natürlich vorkommen, oder es gibt Punkte, oder
eine Erregerfrequenz Omega, bei der der Zähler hier 0 ist, sodass
insgesamt das V 0 wird.
Das heißt, in dem Falle ist der Massenpunkt m2 in Ruhe.
Wie nennt man das?
Das nennt man Tilgung.
Tilgung, also Delta 2 gleich 0, Delta ungleich 0, wie kann man sich
das vorstellen?
Physikalisch, geht das überhaupt?
Wir erregen an der einen Masse und die andere schwingt.
Wenn man sich das so anschaut, dann sieht man, die Masse m2 bleibt in
Ruhe, wir haben eine Kraft f und t, wenn die Masse in Ruhe bleibt,
dann muss die Kraft f und t gerade kompensiert werden, durch die Kraft
in der Feder c2.
Damit sehen wir, wenn die Masse m2 in Ruhe ist, dann schwingt die
Masse m1 frei, die macht eine freie Schwingung.
Man hat hier praktisch das festgehalten, m1 macht eine freie
Schwingung.
Das heißt, wenn wir das hier festhalten, hat m1 praktisch noch einen
Freiheitsgrad, also wir wissen, die Steifigkeiten c1 und c2 sind
parallel geschaltet, das heißt, die Gesamtsteifigkeit, mit der die
Masse m1 im System befestigt ist, die ist gerade c1 plus c2, die
zugehörige Masse ist m1, sodass wir die Tilga-Frequenz,
bei der das auftritt, schreiben können einfach c1 plus c2, das war die
Gesamtsteifigkeit, dividiert durch die schwingende Masse, das war m1,
also c2 plus c2 dividiert durch m1.
Man sieht, wir haben jetzt einen Massenpunkt oder Masse oder Körper,
an dem wirkt eine Erregerkraft, normalerweise würde der schwingen, und
was man jetzt machen kann, ist, man bringt eine entsprechende Tilga
-Masse an, dann schwingt, wenn man es richtig auslegt, die Tilga
-Masse, und die Masse, die eigentlich erregt wird, die bleibt in Ruhe,
das kann durchaus sein, dass man das will.
Dementsprechend gibt es auch Hochhäuser, die ja immer schwanken,
gewisse Eigenfrequenzen haben, und wenn das zu groß wird, bringt man
da auch Tilga an.
Man sieht,
es kommt jetzt nur auf das Verhältnis c1 plus c2 dividiert durch m1
an, wir haben eine lineare Betrachtungsweise, also da könnten die
Amplituden auch sehr sehr groß sein, in Realität sind die natürlich
beschränkt, und wenn ich mit einer beschränkten Amplitude eine gewisse
Kraft realisieren will, welche eine Erregerkraft kompensieren soll,
dann brauche ich auch entsprechende Größen, also rein theoretisch
kommt es nur auf das Verhältnis an, wenn ich aber eine große Brücke
oder ein großes Hochhaus entsprechend auslegen will, mit einem Tilga,
dann brauche ich eben Tilga-Massen von mehreren Tonnen.
Also, erregte Masse bleibt
in Ruhe.
So, jetzt haben wir V1 und V2 bestimmt, das heißt wir können die jetzt
einsetzen wieder in unseren Lösungsansatz, wie gesagt, bei uns
ungedämpfte Schwingung war Y jeweils 0, Y1 und Y2, wir kennen jetzt
das V1, wir kennen das V2 und damit auch die partikuläre Lösung, der
wir letztendlich noch die Lösung der homogenen Differenzialgleichung
überlagern müssen.
Das heißt, wenn wir so ein ungedämpftes System haben, erregendes,
harmonisch, mit einer Frequenz groß Omega, was tritt dann auf?
Nun, die Eigenbewegungen, also die freien Schwingungen, die klingen
nicht ab, weil wir keine Dämpfung an der Stelle vorausgesetzt haben,
die freien Schwingungen, die sind aber notwendig, um unter Umständen
die Anfangsbedingungen zu erfüllen, das heißt, bei den freien
Schwingungen ergab sich schon eine Überlagerung zweier Frequenzen,
nämlich Omega 1 und Omega 2, je nachdem wie Omega 1 und Omega 2
beschaffen sind, wenn das Verhältnis von beiden eine irrationale Zahl
ist, dann ist das gar kein periodischer Vorgang mehr, was wir da
beobachten, das ist das eine.
Zum anderen, wenn jetzt noch eine erzwungene Schwingung hinzukommt,
mit einer Frequenz groß Omega, die in der Nähe einer der
Eigenkreisfrequenzen liegt, was passiert dann?
Und dann sind da Schwingungen drin, mit zwei Frequenzen, die sehr nah
beieinander liegen, was passiert dann wieder?
Dann kann es wieder zu Schwebungen kommen.
Probieren Sie mal mit MATLAB oder mit Maple oder mit Mathematica oder
was aus, Sie überlagern eine Schwingung, Kosinus Omega 1t plus Kosinus
Omega 2t, wobei Omega 1 und Omega 2 nah beieinander sind, das gibt
dann praktisch so Einhüllende für die Amplituden, und dazwischen dann
eine Schwingung ungefähr mit der Frequenz Omega, mit der
Mittelfrequenz.
Gibt es soweit Fragen?
Jetzt bin ich mal gespannt, ob ich es jetzt zum Laufen kriege.
Ich habe den falschen Eingang ausgewählt, das sah immer so aus, wie
wenn das beim 3er-Eingang reingeht, ich habe immer 3 gedrückt, jetzt
habe ich gesehen, das geht doch bei 4 rein.
Tut mir jetzt leid, was haben wir hier jetzt aufgetragen?
Nun, V1 und V2 sehen wir, die hängen von Omega ab.
Das heißt, wir setzen bei der Lösung voraus, die Erregerkreisfrequenz,
die ist konstant, die ändert sich nicht mit der Zeit.
Was wir aber machen können ist, wir können eine Erregerkreisfrequenz
wählen, dann warten, bis das System eingesprungen ist, und wir haben
jetzt zwar keine Dämpfung berücksichtigt, in Wirklichkeit gibt es
natürlich immer irgendwo Dämpfung, sodass hoffentlich irgendwann der
stationäre Zustand erreicht ist, dann schauen wir, was ist V1 und V2
und tragen das für verschiedene Werte von Omega auf.
Sie haben eine Frage?
Das war in Anlehnung an die Fußpunkterregung.
Wenn Sie mit dem Auto über eine unebene Straße fahren, mit einem
harmonischen Profil, dann hat das Profil eine gewisse Amplitude.
Ich kann auch hier einfach das F0 lassen.
Dann definiere ich eine statische Auslenkung, die das F0 bewirkt, also
das C0 war hier nur dimensionsmäßig eingeführt.
Sie könnten jetzt natürlich auch sagen, ein F0, eine Kraft hier, führt
zu einer statischen Auslenkung von der Masse und von der Masse.
Und Sie wählen sich eine davon.
Also praktisch nur, um das mal dimensionsmäßig vergleichen zu können.
Im Grunde genommen, wenn ich eine Kraft habe, habe ich hier eine
Wegamplitude, das kann ich auch ins Verhältnis setzen.
Und ich weiß, ein lineares System, wenn die Kraftamplitude doppelt so
groß ist, ist die Wegamplitude doppelt so groß.
Deshalb dividieren wir oft die Systemantwort durch den Eingang.
Weil eben ein lineares System vorliegt, hat sich das einigermaßen
beantwortet.
Also wir tragen jetzt V1 und V2 auf.
Und Sie sehen im ersten Bild, das ist ein Zwei-Massen-Schwinger, V1
und V2, ich habe das einfach mal mit MATLAB ausgerechnet.
Und man erkennt, V1, das ist blau, bei Omega gleich 0 starten wir
irgendwo, statische Auslenkung.
Bei V2 starten wir bei Omega gleich 0, auch bei der statischen
Auslenkung.
Nun, wenn ich C1 und C2 gleich wähle, dann heißt statische Auslenkung,
die Masse M2 verschiebt sich gerade doppelt so groß, doppelt so viel
wie die Masse M1.
Das kommt auch hier hin.
Und dann ändern wir die Frequenz und jetzt passiert plötzlich eins,
das MATLAB zeichnet hier eine senkrechte Linie ein, die gibt es
natürlich in Wirklichkeit nicht.
Warum?
Ich habe einfach in einer Matrix dann verschiedene Werte von Omega
praktisch gehabt, zu jedem Omega den Wert von V1 bzw.
V2 berechnen und dann die einzelnen Punkte verbunden.
Das heißt, irgendwo hat man da oben einen Punkt, jetzt geht es
eigentlich gegen unendlich für das ungedämpfte System, springt dann
runter und kommt von unten von minusunendlich wieder hoch und MATLAB
zeichnet dann natürlich entsprechend zwei fast senkrechte Linien ein,
die müssen sich im Grunde genommen wegdenken.
Und man sieht, wenn wir jetzt weitergehen, die blaue Kurve, die ist
immer von Null verschieden.
Die grüne Kurve, die schneidet hier irgendwo die Achse, das heißt an
der Stelle wäre jetzt gerade der Tilga-Punkt.
Also an der Stelle wäre die Amplitude von Massenpunkt 2 gerade Null.
Und man kann es schon erahnen, ich habe einfach mal M1 gleich 1, M2
gleich 1, C1 gleich 1 und C2 gleich 1 gesetzt und das Ganze dann wie
gesagt berechnen lassen.
Wenn wir uns zurückerinnern, erzwungene Schwingungen beim
Einfreiheitsgrad -System, dann war es auch so, für den ungedämpften
Fall, da haben wir einmal Inphase, einmal Ingegenphase, das spiegelt
sich hier wieder, also hier hätten wir Gegenphase, wenn es negativ
ist, hier oben Inphase, man sieht zunächst mal sind beide Inphase,
dann beide Ingegenphase.
Irgendwann schwingt das eine in die eine Richtung, das andere in die
andere Richtung.
Die schwingen dann praktisch gegenphasig und hier entsprechend
genauso, man sieht auch für große Werte von Omega, aufgrund der
Masseneffekte gehen die Amplituden wieder auf Null zurück.
Es liegt aber nahe, anstatt das Vorzeichen richtig aufzutragen, wieder
den Betrag zu nehmen, wie schon bei der komplexen Rechnung, dort war
die Amplitude immer der Betrag der komplexen Zahl, des komplexen
Zeigers, die Phase war dann die Phasenverschiebung des Epsilon, das
konnte man beim Einfreiheitsgradsystem relativ gut auswerten, und wenn
man das entsprechend anträgt, dann sieht man jetzt hier,
dass es dann Kurven gibt, ähnlich wie bei den Vergrößerungskurven vom
Einfreiheitsgradsystem, allerdings eben mit mehreren Resonanzstellen,
wie gesagt, in dem Fall zwei Resonanzstellen.
Wenn man Dämpfung mitnimmt, wird es natürlich so sein, dass die
Resonanzstellen hier nicht mehr ganz ausgeprägt sind.
Was haben wir als nächstes?
Als nächstes haben wir mal die freien Schwingungen, und zwar, ich habe
das für eine andere Vorlesung, für die Technische Schwingungslehre mal
gemacht, hier können wir das einfach vorführen, ohne zu sehr ins
Detail zu gehen, dabei handelt es sich um so eine Schwingerkette mit
drei Massenpunkten,
also M1 bis M3, dann haben wir die Federsteifigkeiten C1 bis C3, so
ein System hat dann drei Eigenwerte, Omega 1, Omega 2, Omega 3, wir
hatten das vorgeführt, oder der Herr Deppler müsste das vorgeführt
haben, für das Zweifreiheitsgradsystem, da gibt es Omega 1 und Omega
2, jetzt haben wir noch eine mehr, und wenn man das mal anschaut, dann
sieht man für die erste Eigenkreisfrequenz, sieht man es jetzt
einigermaßen, wie sich das bewegt, die sind also alle in Phase,
also wie schnell sich das bewegt, das hat jetzt nichts mit Omega 1 und
Omega 2 und Omega 3 zu tun, ich habe das einfach für verschiedene
Zeitpunkte da mal ausgegeben, ohne dass es praktisch für höhere
Eigenfrequenzen schneller schwingen müsste, wenn man die zweite
Eigenschwingungsform anschaut,
dann sieht man, zwei Massenpunkte bewegen sich in die eine Richtung,
der andere bewegt sich entgegen,
und beim dritten ist es ganz ähnlich,
und jetzt kann man natürlich die entsprechenden Größen auch ändern,
also wenn wir die Masse M3 relativ groß machen, ich mache die mal auf
5 anstatt 1,
dann sieht man bei der ersten Eigenschwingungsform, da bewegen die
sich wieder, in Phase, bei der zweiten Eigenschwingungsform, dadurch,
dass ich die Masse M3 sehr groß gemacht habe, bewegt die sich fast
nicht mehr, weil die entsprechenden Trägheitskräfte da sehr groß
werden, und dementsprechend wird es auch sein, dass bei der dritten
Eigenschwingungsform die inneren beiden Massen wahrscheinlich
gegeneinander schwingen, ohne das jetzt vorher ausprobiert zu haben,
machen wir es einfach mal, also man sieht, bei der dritten
Eigenschwingungsform bewegt sich die äußere Masse fast gar nicht mehr
und die inneren bewegen sich so gegeneinander.
Als letztes noch, bei den erzwungenen Schwingungen,
da habe ich zunächst mal an jedem Massenpunkt noch
eine Erregerkraft, und zwar in dem Falle harmonisch, alle mit der
gleichen Frequenz, dann können wir die Lösung wieder relativ einfach
machen, damit auch in der Resonanzstelle die Amplituden endlich
bleiben, sind da im Grunde genommen noch Dämpfer drin, jetzt mit
Dämpfung, wie macht man es da?
Wir haben gesehen, wir können entweder die Phasenverschiebungen Y1,
Y2, Y3 einführen, oder wir sagen, F1 von T ist ein komplexer Zeiger,
also F1 ist komplex, mal E hoch I Omega T, F2 von T ist ein komplexer
Zeiger, F2 mal E hoch I Omega T, F3 analog,
man sieht, je nachdem wie die Phasen von F1 quer, F2 quer und F3 quer
sind, kann man da auch unter den Erregerkräften dann
Phasenverschiebungen anbringen, beziehungsweise vorauswählen, und dann
X1, X2 und X3, ganz analog, gibt also X1 Dach, E hoch I Omega T, X2
Dach, E hoch I Omega T und X3 Dach, E hoch I Omega T, wobei X1 Dach,
X2 Dach und X3 Dach dann natürlich wieder komplexe Größen sind und die
Phasenverschiebungen dann praktisch im Phasenwinkel der komplexen
Zeiger enthalten sind.
Wenn Sie das jetzt einsetzen, in die entsprechenden
Differentialgleichungen ergeben sich wieder lineare inhomogene
Gleichungen für X1 Dach, X2 Dach und X3 Dach, in Abhängigkeit von F1
quer, F2 quer und F3 quer.
So, nichts anderes habe ich im Prinzip hier mal programmiert,
habe mal wieder alles mit entsprechenden Werten vordefiniert
und in dem Fall ergeben sich Amplituden für Massenpunkt 1, Massenpunkt
2, Massenpunkt 3, also drei Amplitudenverläufe, man sieht in dem
Diagramm, wenn jetzt Dämpfung vorhanden ist, ist es plötzlich so, dass
die Resonanzstellen bei Omega 2 und Omega 3, die sind in dem Fall noch
ein bisschen zu sehen, die sind aber schon sehr stark gedämpft, wenn
wir jetzt die Dämpfung ein bisschen rausnehmen, dann wachsen hier die
Resonanzstellen wieder an.
Man sieht auch, wenn man Dämpfung mit berücksichtigt, dann gibt es
hier auch wieder so eine Art Tilgerpunkte.
Wenn aber ein Dämpfer zwischen beiden eingebaut ist, dann kann
natürlich nie die Amplitude von der anderen Masse null sein, weil wenn
die innere schwingt, gibt es dann eben eine zusätzliche Erregung von
M2, beziehungsweise man muss auch so sagen, wenn die innere schwingt
und Dämpfung vorhanden ist, dann muss Energie von der Erregerkraft zur
Masse fließen, das geht nur, wenn die Masse M2, in dem Fall sind es
eben drei Massen, die dabei beteiligt sind, aber nehmen wir mal das
Zweimassensystem, wenn also die Masse M2 sich auch bewegt, ansonsten
könnte keine Energie zu der inneren Masse hinzufließen.
Wenn wir mal die Dämpfung ein bisschen rausnehmen, ich mache mal die
alle null,
wenn wir die null machen, dann sehen wir, die Resonanzstellen, die
sieht man jetzt natürlich als schmale Peaks, wenn Sie das im
Experiment machen, sind die natürlich aufgrund der Dämpfung dann hier
irgendwo begrenzt, die gehen nicht so weit hoch, bei der ersten
Eigenkreisfrequenz, da ist die Resonanzstelle noch relativ stark
ausgeprägt und man sieht, wenn ich mir jetzt mal eine Frequenz
rausgreife, in dem Falle Omega gleich 1, dann ist also die Masse 1
wird sich fast nicht bewegen, Masse 2 wird sich ein bisschen bewegen
und die dritte Masse wird sich sehr viel bewegen,
das sieht man jetzt auch in der Animation.
Wenn wir jetzt einen anderen Bereich raussuchen, zum Beispiel Omega
gleich 1,5
und uns das Ganze animieren lassen, dann sehen wir, bei der Frequenz
schwingt eben die rechte Masse relativ wenig, die beiden inneren
schwingen, also da gibt es jetzt die verschiedensten Phänomene, das
weiß ich nicht, haben Sie Zugriff zum MATLAB?
Soll ich mal diese Spielzeuge ins Netz stellen lassen, ist Interesse
da oder nicht?
Also ich muss Sie nur vorwarnen, den Ehrgeiz hatte ich nicht, das so
zu schreiben, dass wenn man in einer Resonanzstelle irgendwo das
erregt und sich animieren lassen will, dann sind ja die Amplituden
sehr sehr groß, in dem Falle versagt ein bisschen die
Darstellungsform, dann durchdringen sich auch die Massen, das habe ich
außen vor gelassen, da können Sie das alles viel besser machen, mir
ging es nur dabei um das Prinzipielle, dass man mal sieht, wie die
einzelnen Massenpunkte schwingen, dass wenn man bei Dämpfung in der
Nähe von einer Eigenkreisfrequenz das System anregt, dass das
eventuell auch so schwingt, wie die Eigenschwingungsform ausgebildet
ist und so weiter.
Gibt es hierzu noch Fragen?
Nachdem das Problem gelöst ist, kann ich dann auch noch mal kurz die
Folie zeigen, wo der Maschinenbautag angekündigt wird, also wie
gesagt, 19.
Juli, ein Freitag, ich hoffe, dass schönes Wetter ist, dann macht es
auch ein bisschen Laune, kommen Sie einfach dazu.
Würden Sie mir vielleicht gerade noch in der Mitte ein bisschen
putzen?
Jetzt zum Schluss noch, vielleicht auch als Hinführung, so ein
bisschen auf andere Vorlesungen, ich sage mal als Beispiel die
Strömungslehre, bei der Strömungslehre hat man ja nicht irgendwelche
diskreten Massenpunkte oder Federn oder irgendwas, das ist alles so
verteilt, das heißt, was man dort macht, ist dann sehr oft, man greift
sich ein differenzielles Element heraus und betrachtet dann das
differenzielle Element, um letztendlich Gleichungen herzuleiten, die
das System beschreiben, das ist bei uns dann das, was wir unter
schwingendem Continuo verstehen.
Machen wir als Beispiel die Längsschwingungen eines Stabes,
das heißt, wir haben einen Stab,
als ausgedehntes Bauteil,
und jetzt wissen wir, ja gut, eigentlich, wenn der Stab dick ist, dann
müssen wir, um alle Massenpunkte oder alle Massenelemente zu
beschreiben, drei Koordinaten einführen, was weiß ich, wenn es ein
runder Stab ist, ähnlich wie der vielleicht, radiale Koordinate,
Umfangskoordinate und Längskoordinate.
Wenn aber der Stab sehr schlank ist, dann können wir in guter Näherung
mal sagen, die Massenpunkte befinden sich näherungsweise auf einer
Geraden, das heißt, ich führe jetzt mal eine entsprechende Koordinate
ein, x, und bei so einem Bauteil, da wissen wir, wenn ich den hier
anschaue, der wird eher Bewegungen in Querrichtung ausführen als in
Längsrichtung.
Allerdings lassen sich die Bewegungen in Längsrichtung zunächst mal
einfacher beschreiben, deshalb beschränken wir uns mal zunächst auf
die Längsbewegung.
Und die Querbewegung dann vielleicht das nächste Mal.
Das heißt, wir sehen, jeder Punkt oder jeder Querschnitt des Balkens
bewegt sich dann
in Stablängsrichtung.
Und jetzt sehen wir, die Verschiebung u, die wird natürlich von der
Zeit abhängen, aber die kann natürlich auch abhängen vom betrachteten
Querschnitt, je nachdem, wo sich der Querschnitt befindet.
Also u ist sowohl eine Funktion der Koordinate x als auch der Zeit t.
Und wenn wir jetzt in Freiheitsgraden denken, dann sehen wir, im
Grunde genommen kann sich jeder Punkt fast unabhängig vom Nachbarpunkt
bewegen.
Also ausgedrückt, in Freiheitsgraden haben wir unendlich viele
Freiheitsgrade.
Was wir so von diskreten Systemen her kennen, da wissen wir, ein
System mit n Freiheitsgraden wird beschrieben durch n gekoppelte
Differentialgleichungen.
Jetzt haben wir beliebig viele Freiheitsgrade, beliebig viele
Differentialgleichungen werden wir eigentlich nicht haben können.
Was wir vielleicht an der Stelle noch einzeichnen sollten, das ist
eine zugehörige Erregung.
Nun, wenn uns nur die Längsbewegung in Balkenlängsachse interessiert,
dann ist das eben eine Streckenlast in Längsrichtung.
Ich deute das mal so an.
Das p und auch das p ist im Allgemeinen eine Funktion von x unter Zeit
t.
Wenn wir mal annehmen, der Stab hat die Länge L, dann liegt es nahe,
am linken Ende x gleich 0 zu wählen.
Am rechten Ende x gleich L.
Also p von x war die Erregung in Form einer
Streckenlast.
Was jetzt noch hinzukommt, ist die Schwierigkeit.
Wir betrachten nur eine Ortskoordinate, das x.
Nichtsdestotrotz hat der Stab eine endliche Länge.
Das heißt, irgendwo ist er berandet auf beiden Seiten und dort treten
entsprechende Randbedingungen hinzu.
Ich wähle die Randbedingungen mal einfach so, dass wir sagen, der
Stab, der sei auf der linken Seite fest eingespannt.
Was heißt das?
Nun, dass die zugehörige Verschiebung bei x gleich 0 verschwindet.
Für alle Zeiten.
Und am rechten Ende, da ist er frei.
Was heißt das?
Nun, dass am rechten Ende keine Normalkraft vorliegt.
Für alle Zeiten.
Wenn rechts noch irgendwo eine Erregerkraft wirkt, also wir ziehen am
Stab mit einer zeitabhängigen Kraft, dann würde das bedeuten, dass die
Normalkraft bei x gleich L gerade der Kraft entspricht.
Wie bekommen wir die entsprechenden Gleichungen zur Beschreibung
dieser Bewegung?
Machen wir zunächst mal ein Kräftegleichgewicht
am differenziellen Massenelement.
Das heißt, wir wählen uns so ein Element des Stabes, der Länge dx.
Dann wirkt
als eingeprägte Kraft zunächst die Normalkraft an der linken Seite,
die Normalkraft n, an der rechten Seite die Normalkraft n, allerdings
kann die sich etwas geändert haben, also n plus dn.
Es wirkt entlang dieses Elementes der Länge dx eine Kraft infolge der
Linienlast p von x und t mal dx in positive x-Richtung und aufgrund
der Bewegung des Massenelementes und der Verschiebung des
Massenelementes ist u Die zugehörige Beschleunigung, die beträgt dann
gerade u2 mal nach der Zeit abgeleitet.
Also dm, Masse des Elementes mal u2 Punkt.
Entgegen der positiven Beschleunigungsrichtung.
Nun, positive Beschleunigungsrichtung geht in Richtung von u.
Entgegen heißt nach links in dem Falle.
Das heißt, für die Kräftebilanz ergibt sich jetzt in positive Richtung
n plus dn minus n
plus p von x und t dx minus dm u2 Punkt gleich
0.
Wir sehen, dass n,
das hält sich gegenseitig weg, die differenzielle Masse des
Massenelementes beträgt Länge des Elementes
mal Querschnittsfläche a mal Dichte rho.
Das heißt, wenn wir das einsetzen, erhalten wir dn plus p von x und t
dx minus rho mal a mal u2 Punkt dx gleich 0.
Oder
mit einer Teilerentwicklung noch die Änderung der Normalkraft
ausgedrückt.
Da wissen wir, dn ist Ableitung der Normalkraft nach x mal dx.
Das heißt, wir haben jetzt dn beinhaltet, hier haben wir dx, da haben
wir dx, das dx können wir dann rauskürzen, das soll infinitesimal
klein, aber ungleich 0 sein.
Das ergibt dann dn nach dx minus rho a u2 Punkt gleich p von x und t
gleich 0.
Also man sieht, wir haben jetzt eine Parzelleableitung der Normalkraft
nach x, dann haben wir eine zweite Zeitableitung und auch die äußere
Erregung haben wir drin stehen.
Und was wir natürlich gerne hätten, das wäre eine
Differenzialgleichung für die Verschiebung u.
Jetzt wissen wir, wir haben zwei unbekannte Größen drin, wir haben
nämlich das n drin stehen und wir haben das u drin stehen.
Also fehlt uns noch eine Beziehung.
Was ist das?
Und es ist letztendlich das Materialgesetz.
Ist das Material mit Dämpfung behaftet?
Ist das Material rein elastisch?
Gibt es da vielleicht Material mit Gedächtnis?
Also das könnte dann sehr kompliziert sein.
Wir an der Stelle beschränken uns auf ein sehr einfaches Material,
nämlich ein linearelastisches Material, wie Sie es schon von der
Werkstoffkunde 1 her kennen, beziehungsweise vielleicht auch von TM 1,
das nämlich,
vielleicht noch einen Schritt vorne raus, das n war ja Normalspannung
Sigma mal Querschnittsfläche a.
Wenn wir jetzt das n ersetzen durch Sigma mal a hier oben, dann haben
wir zwar das n ersetzt, aber im Grunde gehen wir durch eine neue
unbekannte, nämlich das Sigma und auch da gilt dann, wie ist
eigentlich der Zusammenhang zwischen der Spannung und der
Verschiebung.
Dort wissen wir aber, für ein linearelastisches Material,
dass Sigma gleich Epsilon mal e ist, Epsilon die Dehnung in
Stablängsrichtung, e der Elastizitätsmodul.
Jetzt haben wir Sigma ersetzt durch die neue unbekannte Epsilon.
Aber Sie sollten wissen aus der TM 2, dass eben Epsilon und die
Verschiebung u zusammenhängen, nämlich es gilt Epsilon gleich du nach
dx für so einen sich längst verformenden Stab.
Also wie gesagt, an der Stelle haben wir jetzt ein ganz bestimmtes
Materialgesetz gewählt.
Liegt für das Material ein anderes Materialgesetz vor, dann gibt es
eine andere Gleichung, eine andere Konstitutive.
Wir entscheiden uns für das Einfache, das heißt setzen wir das
rückwärts ein, das ergibt dann e mal du nach dx.
Jetzt setzen wir das Sigma noch hier ein in der Normalspannung, dann
haben wir e mal a du nach dx.
Also letztendlich als Bewegungsgleichung dn nach dx, also d nach dx
von e mal a du nach dx minus
rho a u2 Punkt gleich minus p oder ich schreibe mal das Minuszeichen
hier dazu, dann habe ich plus rho mal a mal d2u nach dt Quadrat, ich
ersetze das mal durch eine Parzelleableitung, die Punkte,
gleich p von x und t.
Jetzt sehen wir also, wir haben ein System mit beliebig vielen
Freiheitsgraden, aber letztendlich beschrieben durch eine einzige
Differenzialgleichung.
Allerdings nicht mehr wie früher, gewöhnliche Differenzialgleichungen,
sondern es treten jetzt auf Ableitungen nach verschiedenen Größen,
nämlich sowohl nach der Zeit als auch nach der Ortskoordinate.
Also haben wir jetzt
Orts - und Zeitfunktionen
mit Orts- und Zeitableitungen,
das heißt jetzt haben wir keine gewöhnlichen Differenzialgleichungen
mehr, sondern Differenzialgleichungen, bei denen Ableitungen nach
verschiedenen Größen auftreten, das sind partielle
Differenzialgleichungen.
Und anstatt beliebig viele Differenzialgleichungen, wie gesagt in dem
Fall nur eine, aber das hängt jetzt wieder vom Problem ab, das
betrachtet wird, wie gesagt für den längsschwingenden Stab dann eine
einzige Differenzialgleichung partiell.
Was haben wir noch?
Wir haben gesehen, zu den Anfangsbedingungen
treten Randbedingungen hinzu,
das heißt jetzt haben wir streng genommen ein Anfangsrandwertproblem,
Anfangsrandwertproblem für den Stab, wie ich ihn angegeben habe.
Wie gesagt, Randbedingungen,
also für t größer 0 oder größer gleich 0 gilt dann,
schauen wir mal, u an der Stelle x gleich 0, muss 0 sein und wir haben
gesagt, die Normalkraft, damit auch die Normalspannung am rechten Rand
muss 0 sein.
Wenn Sigma am rechten Rand 0 sein muss, heißt das du nach dx, also du
nach dx bei x gleich L muss 0 sein, wie gesagt für unseren Stab.
Und Anfangsbedingungen, die liegen jetzt vor für t gleich 0 im
Intervall 0 kleiner gleich x, kleiner gleich L, da sind eben u von x
und 0 eine gegebene Funktion, nennen wir die mal u0 von x und auch die
Anfangsgeschwindigkeit der einzelnen Punkte muss vorgegeben sein, also
u Punkt von x zum Zeitpunkt t gleich 0 ist dann ebenfalls eine
vorgegebene Funktion, ich nenne die einfach mal v0 für
Anfangsgeschwindigkeit abhängig von x.
Gibt es soweit noch Fragen?
Das scheint nicht der Fall zu sein, also nochmals ganz kurz, wir haben
heute die erzwungenen Schwingungen von Mehrfreiheitsgradsystemen
behandelt, wir haben uns beschränkt auf den Fall ohne Dämpfung, weil
da der Ansatz vom Typ der rechten Seite sehr einfach wird, bei einer
kosinusförmigen Erregung antworten die einzelnen Freiheitsgrade mit
ebenfalls kosinusförmigem Zeitverlauf, bei Systemen mit Dämpfung gibt
es eine Phasenverschiebung, schon wie beim Einfreiheitsgradsystem,
dann wird es ein bisschen komplizierter, muss man unter Umständen am
besten die komplexe Rechnung einführen, was für die Maschinenbauer zum
Teil immer ein bisschen suspekt ist.
Wir haben dann zumindest anschauungsmäßig gesehen, dass bei den freien
Schwingungen die Moden, die man anschauen kann, bei denen das
Amplitudenverhältnis der einzelnen Freiheitsgrade für verschiedene
Eigenkreisfrequenzen jeweils gegeben ist, wir haben dann gesehen, bei
erzwungenen Schwingungen gibt es Effekte, wie zum Beispiel den Tilger
-Effekt, dass also eine der Massen mit einer Erregerkraft
beaufschlagt, ist sich trotzdem nicht bewegt oder zur Ferndämpfung ist
nur wenig bewegt und dafür eine andere Masse oder andere Massenpunkte
schwingen.
Und zum Schluss haben wir noch gesehen, wenn wir kontinuierliche
Systeme betrachten, dann greifen wir uns immer so ein differenzielles
Element heraus, machen dort eine Bilanzgleichung, brauchen meistens
noch irgendwelche konstitutiven Gleichungen, wobei wir uns beschränkt
haben auf ein linearelastisches Materialverhalten und als Ergebnis
ergibt sich dann eben eine partielle Differenzialgleichung.
Es gibt auch Probleme, bei denen sich mehrere partielle
Differenzialgleichungen ergeben, die gekoppelt sind, wie gesagt, aber
es sind dann meistens nur ganz wenige.
Und zusätzlich noch Anfangs- und Randbedingungen.
Soweit für heute, wir sehen uns dann nächsten Dienstag noch einmal, wo
wir uns dann den Balken zuwenden und dann werden wir auch mit der
Vorlesung so langsam am Ende sein.
Vielen Dank.