WEBVTT 00:06.200 --> 00:10.300 Wir kommen damit zu einem wesentlichen anderen oder weiteren Kapitel, 00:10.820 --> 00:16.160 das wir auch noch uns genauer angucken müssen, das mich eigentlich 00:16.160 --> 00:20.640 noch, ich kann nicht sagen noch mehr interessiert, aber es 00:20.640 --> 00:24.800 interessiert mich auf jeden Fall sehr stark, weil dieses Thema 00:24.800 --> 00:30.620 Rechenbarkeit und Komplexität halt ein Thema ist, das sehr stark meine 00:30.620 --> 00:34.620 Forschung charakterisiert, nicht so sehr im Bereich der theoretischen 00:34.620 --> 00:37.460 Untersuchungen zu Berechenbarkeit und Komplexität, sondern mehr in 00:37.460 --> 00:40.600 Bezug auf die konkreten Dinge, die wir mit Rechnern machen können. 00:41.220 --> 00:43.780 Also in diesem Kapitel wollen wir uns fragen, was können wir 00:43.780 --> 00:47.220 prinzipiell mit Rechenanlagen eigentlich bewirken. 00:47.900 --> 00:51.680 Welche Funktionen können wir berechnen und das heißt, was wir uns 00:51.680 --> 00:56.560 anschauen müssen ist, womit arbeiten wir eigentlich im Rechner? 00:56.620 --> 00:59.480 Wir arbeiten mit Algorithmen, kennen Sie alles aus der 00:59.480 --> 01:03.080 Grundlageninformatik 1, Sie wissen, was ein Algorithmus ist, nämlich 01:03.080 --> 01:07.780 ein endlich beschriebenes Verfahren mit Ein- und Ausgabe, das für alle 01:07.780 --> 01:10.320 zulässigen Eingaben nach endlich vielen Schritten hält. 01:11.140 --> 01:13.440 Es gibt viele Charakterisierungen von Algorithmen. 01:13.900 --> 01:17.000 Man kann auch sagen, ein für alle zulässigen Eingaben terminierendes 01:17.000 --> 01:19.200 Programm endlicher Länge auf einem abstrakten Rechner. 01:20.140 --> 01:24.320 Man könnte auch sagen, eine beliebige Turingmaschine ist ein 01:24.320 --> 01:28.180 Algorithmus und genau die Richtung werden wir jetzt weiter vorgehen. 01:28.980 --> 01:31.820 Wir werden uns erstmal anschauen, was die wesentlichen Eigenschaften 01:31.820 --> 01:32.580 nochmal waren. 01:33.260 --> 01:36.880 Wenn wir davon reden, allgemein etwas zu sagen über Algorithmen, 01:36.980 --> 01:40.780 müssen wir etwas wissen, worum es eigentlich geht. 01:41.100 --> 01:44.680 Es darf also insbesondere nicht nur um einen Spezialfall gehen. 01:45.120 --> 01:50.880 Ein Algorithmus, der mir nur Folgen der Länge 27 sortiert mit 01:50.880 --> 01:53.740 bestimmten Inhalten, der ist wertlos. 01:53.740 --> 01:58.880 Ein Algorithmus, ein Verfahren muss immer für eine ganze Problemklasse 01:58.880 --> 01:59.920 anwendbar sein. 02:00.360 --> 02:04.860 Also Sortieralgorithmus muss beliebige Folgen sortieren können oder 02:04.860 --> 02:13.000 zumindest bei Folgen gleicher Länge beliebige Inhalte solcher Werte, 02:13.100 --> 02:13.860 die dort stehen können. 02:14.380 --> 02:17.460 Also eine größere Klasse von Problemausprägungen, es muss etwas 02:17.460 --> 02:21.560 Allgemeinerbares sein, die generell Wissenschaft nur einen Wert hat, 02:21.760 --> 02:24.920 wenn daraus generalisierbare Erkenntnisse gewonnen werden können. 02:25.600 --> 02:30.180 Dann kommt eine weitere Anforderung, die aber etwas kritisch ist. 02:30.980 --> 02:31.700 Determiniertheit. 02:32.260 --> 02:36.940 Determiniertheit wacht, wenn ich den Algorithmus anwende, meinen 02:36.940 --> 02:42.440 Algorithmus A, den wende ich an auf X, dann kommt da irgendeine Lösung 02:42.440 --> 02:43.240 L raus. 02:43.940 --> 02:48.620 Und wenn ich den Algorithmus A nochmal anwende auf X, dann kommt da 02:48.620 --> 02:49.360 wieder L raus. 02:49.700 --> 02:51.740 Selbstverständlich werden Sie sagen, natürlich muss ja so sein. 02:53.620 --> 02:55.360 Das ist auch die übliche Forderung. 02:55.900 --> 02:58.720 Also wiederholte Ausführung des Verfahrens mit gleicher Eingabe führen 02:58.720 --> 02:59.600 zu gleicher Ausgabe. 03:00.080 --> 03:03.200 Es gibt aber Algorithmen, bei denen das nicht so ist. 03:03.560 --> 03:09.360 Wenn Sie würfeln und Sie wollen das Ergebnis haben eines Würfel 03:09.360 --> 03:10.760 -Experiments, das ist ein Algorithmus. 03:11.880 --> 03:15.440 Und Sie wissen, Sie können bei jedem Würfelereignis eine Zahl zwischen 03:15.440 --> 03:16.700 1 und 6 rausbekommen. 03:17.420 --> 03:21.140 Aber wenn Sie mehrfach den gleichen Würfel werfen, werden Sie 03:21.140 --> 03:24.620 unterschiedlich, werden Sie hoffentlich unterschiedliche Ergebnisse 03:24.620 --> 03:27.340 kriegen, damit es auch wirklich ein idealer Würfel ist, der mit 03:27.340 --> 03:29.320 gleicher Wahrscheinlichkeit Ihnen alle Ergebnisse liefert. 03:30.000 --> 03:34.680 Das heißt, manchmal sind wir daran interessiert, etwas randomisiert zu 03:34.680 --> 03:34.940 machen. 03:35.560 --> 03:36.120 Zufällig. 03:37.500 --> 03:40.920 Manchmal nur innerhalb von Algorithmen, manchmal aber ist es so, dass 03:40.920 --> 03:45.080 wir tatsächlich bei randomisierten Algorithmen auch unterschiedliche 03:45.080 --> 03:46.140 Ergebnisse haben wollen. 03:46.780 --> 03:51.700 Das ganze Gebiet der Metaheuristiken mit Tabu-Search oder mit 03:51.700 --> 03:56.880 evolutionären Algorithmen oder diese ganzen naturspirierten 03:56.880 --> 04:01.920 Algorithmen, simulated annealing und so weiter, da wäre es fatal, wenn 04:01.920 --> 04:05.680 jede Ausführung des Algorithmus immer das gleiche Ergebnis liefern 04:05.680 --> 04:06.020 würde. 04:06.960 --> 04:10.800 Da wollen Sie gerade durch Randomisierung erreichen, dass Sie 04:10.800 --> 04:14.520 möglichst den Suchraum weit ausschöpfen. 04:14.940 --> 04:18.940 Das heißt, es gibt Algorithmen, wo Determiniertheit Unsinn wäre. 04:19.660 --> 04:23.400 Trotzdem in einem gewissen Sinne wollen wir sicher sein, dass wir 04:23.400 --> 04:25.400 immer ein vernünftiges Ergebnis bekommen. 04:25.940 --> 04:29.540 Man muss nur wissen, worüber man an den entsprechenden Stellen redet. 04:30.320 --> 04:34.740 Also wenn ich hier, ich schreibe nur das Stichwort auf, EA oder 04:34.740 --> 04:42.040 simulated annealing, das sind so Bereiche, Algorithmen, bei denen man 04:42.040 --> 04:47.100 randomisiert vorgeht und wo halt die Ergebnisse unterschiedlich sein 04:47.100 --> 04:47.780 sollen sogar. 04:48.780 --> 04:51.940 Dann, es gibt übrigens auch Algorithmen, bei denen man nur intern 04:51.940 --> 04:54.780 etwas randomisiert macht, aber das Ergebnis immer determiniert sein 04:54.780 --> 04:55.060 soll. 04:55.440 --> 04:56.500 Das sind noch wieder andere Dinge. 04:56.640 --> 04:59.400 Auch darüber kann man also eine eigene Vorlesung halten, über 04:59.400 --> 05:00.700 Randomisierung in Algorithmen. 05:01.080 --> 05:04.020 Sehr interessante Dinge, hat man viel erreicht in den letzten Jahren, 05:04.480 --> 05:06.280 hat dadurch sehr effiziente Dinge erreichen können. 05:06.360 --> 05:10.840 Ein typisches Beispiel, wo man sehr viel hat erreichen können, durch 05:10.840 --> 05:13.240 Randomisierung ist der Primzahltest. 05:14.120 --> 05:16.580 Randomisierte Algorithmen sind da wahnsinnig schnell, wenn Sie das 05:16.580 --> 05:19.040 deterministisch machen, dauert es sehr lange. 05:20.960 --> 05:23.620 Auch da könnte man einiges zu erzählen, passt aber leider nicht in 05:23.620 --> 05:24.180 diese Vorlesung. 05:24.940 --> 05:26.940 Dann kommt der nächste Begriff, die Endlichkeit. 05:28.220 --> 05:33.100 Wir wollen alles, was wir dort machen, was wir ein Verfahren formal 05:33.100 --> 05:35.200 beschreiben, natürlich auch wirklich hinschreiben können. 05:35.800 --> 05:40.080 Das heißt, die Beschreibung des Verfahrens muss von endlicher Länge 05:40.080 --> 05:40.360 sein. 05:40.420 --> 05:44.300 Ich muss Ihnen ein Blatt Papier geben oder ein Stück Dapel Papier 05:44.300 --> 05:47.780 geben können oder ein ganz langes Band und da drauf muss der gesamte 05:47.780 --> 05:48.480 Algorithmus stehen. 05:49.560 --> 05:53.140 Dann werde ich eine Folge von Schritten ausführen, das müssen alles 05:53.140 --> 05:57.680 effektive Schritte sein, müssen endlicher Zeit ausführbar sein und der 05:57.680 --> 06:02.800 Algorithmus sollte für jede zulässige Eingabe nur endlich viele 06:02.800 --> 06:03.480 Schritte brauchen. 06:04.860 --> 06:07.980 Auch hier muss man ein bisschen genauer hinschauen, es gibt bestimmte 06:07.980 --> 06:13.240 Anwendungen, meinetwegen Betriebssysteme oder dort tauchen solche 06:13.240 --> 06:13.860 Dinge auf. 06:13.960 --> 06:17.420 Da erwarten Sie, dass das Verfahren nicht endet. 06:18.540 --> 06:21.860 Wenn Ihr Algorithmus oder Ihr Rechner immer nach endlich vielen 06:21.860 --> 06:24.500 Schritten aufhören würde zu laufen, wären Sie nicht zufrieden. 06:25.220 --> 06:28.480 Trotzdem sind die einzelnen Operationen, die dort gemacht werden, alle 06:28.480 --> 06:31.920 in endlich vielen Schritten durchführbar und das heißt, man muss genau 06:31.920 --> 06:33.060 gucken, worüber man redet. 06:33.540 --> 06:36.480 Also einen Algorithmus brauche ich, um irgendeinen Teilabschnitt in 06:36.480 --> 06:38.060 solch einem Verfahren zu machen. 06:39.020 --> 06:42.200 Terminiertheit ist ein wichtiger Punkt, war auch gerade bei dem 06:42.200 --> 06:45.180 Kapitel über formale Sprachen jetzt genau der Punkt, dass wir immer 06:45.180 --> 06:48.540 sagten, wir wollen nach endlich vielen Schritten schauen können, was 06:48.540 --> 06:53.820 ist das Ergebnis unserer Frage, kann ich ein Wort erzeugen oder ist 06:53.820 --> 06:56.660 ein Wort in der Sprache, kann ich das entsprechend analysieren, um 06:56.660 --> 07:04.220 herauszufinden, ob das Wort entsprechend von der Grammatik erzeugt 07:04.220 --> 07:05.060 werden kann. 07:05.780 --> 07:09.160 Also das sind diese drei Dinge und jetzt machen wir dazu mal ein paar 07:09.160 --> 07:11.480 Beispiele hier angegeben. 07:11.820 --> 07:14.840 Sortierverfahren, das ist selbstverständlich ein allgemeines 07:14.840 --> 07:18.480 Verfahren, das terminiert immer, wir sind auch normalerweise 07:18.480 --> 07:22.280 determiniert, ich habe immer das gleiche sortierte Ergebnis am Ende. 07:22.960 --> 07:26.140 Bei Berechnung kürzester Wege ist es ebenso für beliebige Graphen, 07:26.860 --> 07:29.840 aber wenn sie sich anschauen, die realen Algorithmen, ihre 07:29.840 --> 07:32.480 Navigationssysteme im Fahrzeug, wenn sie verschiedene 07:32.480 --> 07:35.780 Navigationssysteme haben, da werden die Ergebnisse bezüglich der 07:35.780 --> 07:39.560 kürzesten Wege unterschiedlich aussehen, weil die mit Approximationen 07:39.560 --> 07:42.660 arbeiten, die nehmen nicht das gesamte Straßennetz dort mit rein, 07:42.660 --> 07:46.140 machen bestimmte heuristische Annahmen und so hat man auf einmal hier, 07:46.720 --> 07:50.960 wenn man in der Realität guckt, manchmal unterschiedliche Ergebnisse. 07:51.440 --> 07:54.360 Wenn ich aber sage, ich möchte auf jeden Fall kürzeste Wege berechnen, 07:54.420 --> 07:58.140 kann ich das machen für einen beliebigen Graphen, auch im Straßennetz 07:58.140 --> 07:59.540 und kriege den kürzesten Weg raus. 08:00.400 --> 08:03.560 Reduktion endlicher Automaten, wissen Sie auch, ist ein schönes 08:03.560 --> 08:04.240 Verfahren. 08:05.080 --> 08:08.320 Die Transformation kontextfreier Grammatik, Kellerautomaten, haben wir 08:08.320 --> 08:10.900 auch gesehen, wie das funktioniert oder die Syntaxanalyse einer 08:10.900 --> 08:14.520 kontextfreien Grammatik, der Koki-Yanga-Kasami-Algorithmus, auch den 08:14.520 --> 08:15.080 kennen Sie. 08:15.460 --> 08:18.280 Das war alles kein Problem, das sind schöne Algorithmen. 08:19.080 --> 08:21.620 Randomisierte Algorithmen, hatte ich Ihnen schon gerade eben kurz 08:21.620 --> 08:22.560 angesprochen. 08:23.300 --> 08:27.680 Primzahltest, brauchen Sie, wann immer Sie ein Schlüsselpaar erzeugen 08:27.680 --> 08:33.020 wollen für die typischen Public-Key-Verfahren, also bei dem mit 08:33.020 --> 08:35.660 öffentlichem Schlüssel, brauchen Sie ein Paar von öffentlichem und 08:35.660 --> 08:39.180 geheimen Schlüssel und das Wesentliche dabei ist eine große Zahl, die 08:39.180 --> 08:42.900 das Produkt von zwei Primzahlen ist, von zwei sehr großen Primzahlen. 08:43.020 --> 08:45.960 Das heißt, Sie müssen hierfür sehr, sehr große Zahlen, Zahlen mit 08:45.960 --> 08:51.740 irgendwie mehreren tausend Bit, müssen Sie überprüfen können, 08:52.400 --> 08:57.760 inwieweit solch eine Zahl N irgendwie das Produkt ist von zwei Zahlen 08:57.760 --> 08:58.460 P und Q. 08:58.620 --> 08:59.640 Das ist ein Faktorisierungsproblem. 09:00.300 --> 09:04.240 Das können Sie deterministisch zum Glück nur in sehr, sehr, sehr, sehr 09:04.240 --> 09:06.320 langer Zeit herausfinden, sehr aufwendig. 09:06.600 --> 09:12.360 Können Sie natürlich raten, da könnten Sie Glück haben, aber so eine 09:12.360 --> 09:15.820 Zahl faktorisieren ist sehr aufwendig und Sie müssen, um also solche 09:15.820 --> 09:20.020 Zahlen zu erzeugen, wie diese Zahl N, solche Primzahlen erstmal haben 09:20.020 --> 09:23.280 und Sie müssen dann, Sie suchen sich eine beliebige Zahl und müssen 09:23.280 --> 09:24.980 feststellen, ist das eigentlich eine Primzahl? 09:26.200 --> 09:28.800 Also eine Zahl mit 500 Bit, wollen Sie feststellen, ist das eine 09:28.800 --> 09:29.300 Primzahl? 09:29.400 --> 09:33.200 Und das können Sie halt randomisiert sehr effizient machen, war ein 09:33.200 --> 09:37.140 ganz wichtiger Algorithmus und der ist also ganz wichtige Grundlage 09:37.140 --> 09:43.140 dafür, dass man effizient tatsächlich sich die Schlüssel für Public 09:43.140 --> 09:46.800 -Key -Verfahren erzeugen kann, wenn Sie also mit PGP oder so sich 09:46.800 --> 09:50.280 selbst ein Schlüssel erzeugen, dann laufen genau solche Verfahren dort 09:50.280 --> 09:50.460 ab. 09:51.140 --> 09:53.800 Evolutionäre Algorithmen, Ameisen- Algorithmen, Particles-Form 09:53.800 --> 09:59.580 -Optimization, alles Themen, die wir in unserer Vorlesung, Nature 09:59.580 --> 10:07.180 -Inspired -Optimization machen, eine Vorlesung, die im Augenblick 10:07.180 --> 10:10.740 angeboten wird von Frau Moster-Gehm und Herrn Schukler, da tauchen 10:10.740 --> 10:13.480 solche Verfahren auf, aber auch in anderen Bereichen, auch im 10:13.480 --> 10:17.100 Operations - Research werden solche Verfahren behandelt. 10:17.120 --> 10:17.340 Z.B. 10:17.420 --> 10:21.700 in den Liegelingen natürlich auch, das kennen Sie vielleicht aus dem 10:21.700 --> 10:22.460 Operations -Research. 10:24.060 --> 10:28.640 Also nochmal zu den Algorithmen, das waren alles bisher 10:28.640 --> 10:30.900 Beschreibungen, die waren nicht formal. 10:31.060 --> 10:33.820 Ich habe gesagt, so naja, wie man beschreibt das so, endliches 10:33.820 --> 10:35.100 Verfahren und so weiter. 10:36.440 --> 10:40.900 Hier steht also nur eine Problemklasse ist uns gegeben, eine, das ist 10:40.900 --> 10:45.480 die Menge aller Problemausprägungen, Probleminstanzen, L, die Menge 10:45.480 --> 10:49.060 der Lösungen zu den Problemen aus dieser allgemeinen Klasse, also A 10:49.060 --> 10:52.620 soll hier stehen für allgemeine Problemklasse und jetzt brauchen wir 10:52.620 --> 10:54.840 einen Algorithmus AP zu der Klasse. 10:55.580 --> 11:00.220 Das ist ein allgemeines Verfahren, welches auf richtige Anfangsdaten A 11:00.220 --> 11:02.600 aus A angewendet, also A aus A. 11:02.700 --> 11:04.460 Was ist denn ein kleiner A aus Groß A? 11:05.560 --> 11:08.900 Die Menge konkreter Problemausprägungen, das heißt, das ist jeweils 11:08.900 --> 11:09.680 ein kleines A. 11:10.660 --> 11:15.940 Jede Problemausprägung beim Sortierproblem, jede zu sortierende Liste 11:15.940 --> 11:19.620 ist eine solche Problemausprägung und das allgemeine Problem ist halt 11:19.620 --> 11:20.760 das Sortierproblem. 11:21.980 --> 11:24.840 Nach endlich vielen elementaren Schritten hält und die Lösung L A aus 11:24.840 --> 11:25.260 L liefert. 11:25.460 --> 11:30.920 Sehr intuitiv aufgeschrieben und das heißt, wir sagen jetzt einfach AP 11:31.600 --> 11:35.340 bildet jedes Element aus dieser Problemklasse A ab auf die 11:35.340 --> 11:36.340 entsprechende Lösung. 11:37.460 --> 11:39.020 Sofern ist das eine Art Funktion. 11:40.120 --> 11:42.440 Sofern das determiniert ist, ist es eine Funktion, ansonsten wird das 11:42.440 --> 11:43.020 nur eine Relation. 11:43.760 --> 11:46.380 Ist aber keine präzise Definition. 11:46.720 --> 11:47.920 Wie kann ich das präzisieren? 11:48.000 --> 11:52.600 Das war die Frage, die sich Church und Turing zum Beispiel gestellt 11:52.600 --> 11:54.560 haben in den 30er Jahren. 11:55.340 --> 11:59.340 Eine Möglichkeit ist halt, genau das mit einem Modell zu machen, 11:59.740 --> 12:02.400 nämlich mit der Turing-Maschine. 12:02.540 --> 12:05.000 Darauf kommen wir noch gleich oder etwas später wieder zurück. 12:05.960 --> 12:09.960 Was uns interessiert ist also, was kann ich, das eine waren die 12:09.960 --> 12:12.960 Probleme, die ich lösen möchte und jetzt sage ich, ich möchte im 12:12.960 --> 12:16.360 Rechner ja auch etwas rechnen, ich möchte Funktionen ausführen, ich 12:16.360 --> 12:20.180 möchte, wenn ich hier mein Anfangsband anschaue, bei einer Turing 12:20.180 --> 12:24.560 -Maschine irgendein Wort, das hier gegeben ist, überführen, irgendwie 12:24.560 --> 12:28.240 in eine Inschrift, die etwas anders aussieht, meinetwegen V. 12:29.700 --> 12:33.420 Und das soll das Ergebnis sein, die Anwendung einer Funktion F. 12:34.380 --> 12:40.460 Das heißt, ich möchte im Prinzip für irgendeine Teilmenge von Wörtern 12:40.460 --> 12:46.800 über meinem Eingabealphabet irgendeine Funktion berechnen, die mir 12:46.800 --> 12:50.800 also angesetzt auf ein Wort W, ein Wort V liefert. 12:51.580 --> 12:57.160 Das ist also jetzt die Frage, kann ich das machen mit einem 12:57.160 --> 12:57.820 Algorithmus. 12:57.980 --> 13:01.880 Also so eine Funktion wäre berechenbar, wenn es einen Algorithmus 13:01.880 --> 13:08.580 gibt, der jedes Element aus der Problemklasse M1 geeignet zu einer 13:08.580 --> 13:09.620 Lösung führt. 13:09.980 --> 13:12.320 Die Lösung wäre das entsprechende Element aus M2. 13:13.100 --> 13:16.320 Also AF von W gleich F von W für alle W aus M1. 13:16.660 --> 13:19.040 Das wäre dann eine berechenbare Funktion. 13:19.180 --> 13:23.500 Das heißt, die Funktion ist dann berechenbar, wenn ich zu F ein 13:23.500 --> 13:25.680 Algorithmus AF finden kann. 13:27.880 --> 13:34.720 Beispiel, ich habe die Menge der Dezimalziffern 0 bis 9 und eine 13:34.720 --> 13:40.460 Sprache von die folgendermaßen aussieht. 13:40.560 --> 13:44.660 Da ist die Null drin und alle Wörter, die mit Ziffern 1 bis 9 anfangen 13:44.660 --> 13:46.760 und danach irgendwelche weiteren Ziffern haben. 13:47.640 --> 13:54.220 Das hier ist eine Abbildung, das sind beliebige Teilmengen von E 13:54.220 --> 13:54.560 -Stern. 13:55.820 --> 14:02.000 Hier ist es so, dass ich diese Wörter natürlich schreiben kann auf das 14:02.000 --> 14:02.360 Band. 14:03.000 --> 14:06.720 Ich kann sogar eine direktive Abbildung angeben, die mir jedes Wort 14:06.720 --> 14:09.960 dieser Sprache abbildet auf N-Null. 14:10.860 --> 14:17.160 N-Null ist nun eine andere, ich kann also jedes Wort auf diese Art und 14:17.160 --> 14:20.420 Weise mit natürlichen Zeichen oder mit natürlichen Zahlen 14:21.700 --> 14:22.300 identifizieren. 14:22.520 --> 14:26.200 Kann ich direktiv abbilden und es ist klar, wie man das macht. 14:26.300 --> 14:31.200 Man interpretiert halt einfach irgend so eine Folge 1, 0, 3, 7. 14:31.820 --> 14:35.860 Eine Folge von Digitalziffern als eine natürliche Zahl. 14:36.480 --> 14:40.200 Wie man das macht, wissen Sie, Stellenwert, Geschichten und ähnliches, 14:40.300 --> 14:45.740 7 plus 3 mal 10 plus 0 mal 100 plus 1 mal 1000, das ist dann genau die 14:45.740 --> 14:46.760 Zahl 1037. 14:47.580 --> 14:53.420 Auf die Art und Weise kann man also daraus Zahlen machen und 14:53.420 --> 14:59.580 berechenbare Funktionen jetzt auf der Menge natürlicher Zahlen, die 14:59.580 --> 15:03.540 ich jetzt jeweils, hier steht jetzt jeweils N-Null, stelle also die 15:03.540 --> 15:07.760 Zahlen aus N-Null, dadurch solche Folgen von Ziffern. 15:07.820 --> 15:10.980 Das kann ich mir anschauen, welche Funktionen berechenbar sind. 15:11.420 --> 15:16.120 Zum Beispiel die Funktion, die mir gerade die nächstgrößere Zahl 15:16.120 --> 15:18.300 liefert, von N auf N plus 1. 15:18.940 --> 15:21.380 Da hatten wir sogar einen Algorithmus uns angeschaut, das war der 15:21.380 --> 15:27.320 Algorithmus mit einer Turing-Maschine, um eine Zahl um 1 zu erhöhen. 15:27.380 --> 15:29.120 Den hatte ich Ihnen schon gezeigt, und zwar auf einer 15:29.120 --> 15:30.020 Binärdarstellung. 15:30.980 --> 15:34.900 Da hatten wir nicht die Darstellung über Nullen bis beliebige 15:34.900 --> 15:36.840 Dezimalziffern, da hatten wir nur Binärziffern genommen. 15:38.060 --> 15:42.580 Dann kann ich mir einen Algorithmus überlegen, der irgendeine 15:42.580 --> 15:46.260 beliebige natürliche Zahl als Eingabe bekommt und er soll mir liefern, 15:46.380 --> 15:47.100 ja oder nein. 15:48.200 --> 15:51.420 Und zwar ja, wenn das N eine Primzahl ist und nein, wenn es keine 15:51.420 --> 15:52.120 Primzahl ist. 15:52.520 --> 15:55.120 Hatte ich gerade eben etwas darüber erwähnt, dass man das 15:55.120 --> 15:56.160 unterschiedlich machen kann. 15:56.640 --> 15:57.900 Offensichtlich kann man das berechnen. 15:58.100 --> 16:01.460 Es braucht ja nur zu sehen, ob irgendeine kleinere Zahl ein Teiler 16:01.460 --> 16:02.260 dieser Zahl ist. 16:03.540 --> 16:09.640 Oder ich möchte gerne für zwei Zahlen feststellen, was der größte 16:09.640 --> 16:10.640 gemeinsame Teiler ist. 16:11.580 --> 16:17.140 Also die EGT-Funktion, auch das wäre eine Funktion, bei der wir 16:17.140 --> 16:21.920 wissen, wie das geht, können wir also problemlos machen. 16:22.260 --> 16:25.680 Gibt es einfache Verfahren für, der Algorithmus ist Ihnen lange 16:25.680 --> 16:26.100 bekannt. 16:27.480 --> 16:32.920 Wie ich also den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen finde, für 16:32.920 --> 16:34.040 den Euclidischen Algorithmus. 16:35.080 --> 16:38.720 Dann weiß ich etwas über Berechenbarkeit. 16:39.800 --> 16:44.280 Ich möchte darauf kommen, dass wir irgendwann zu einem formalen Modell 16:44.280 --> 16:47.580 kommen für berechenbare Funktionen. 16:48.220 --> 16:51.540 Zunächst mal mache ich aber noch ein bisschen auf diesem intuitiven 16:51.540 --> 16:55.840 Begriff weiter und wir stellen uns ein paar Fragen. 16:56.640 --> 17:01.320 Eine Frage ist, ob jede Funktion von N nach N berechenbar ist. 17:02.340 --> 17:05.380 Also jede Funktion auf natürlichen Zahlen, die wieder eine natürliche 17:05.380 --> 17:07.360 Zahl liefert, ist die berechenbar? 17:08.440 --> 17:10.160 Und das schauen wir uns gleich an. 17:11.000 --> 17:14.680 Dazu muss ich Ihnen aber noch einen Begriff formulieren, den Sie noch 17:14.680 --> 17:17.100 nicht kennen, vielleicht nicht kennen, vielleicht haben Sie den in der 17:17.100 --> 17:18.440 Mathematik schon mal kennengelernt. 17:19.100 --> 17:22.680 Ich möchte mir anschauen, ein Begriff, der hat etwas zu tun mit 17:22.680 --> 17:24.560 abzählbar und überabzählbar. 17:25.100 --> 17:31.420 Ich nenne eine Menge M abzählbar, wenn M injektiv in N abbildbar ist. 17:32.380 --> 17:36.560 Also ich habe hier meine Menge M und hier habe ich meine natürlichen 17:36.560 --> 17:36.960 Zahlen. 17:38.040 --> 17:41.520 1, 2, 3, 4, 5, 6 und so weiter. 17:41.640 --> 17:44.880 Ich möchte mir irgendein Element hier hernehmen und das abbilden auf 17:44.880 --> 17:45.500 irgendeine Zahl. 17:45.620 --> 17:47.680 Anderes Element, auch abbilden auf irgendeine Zahl. 17:47.820 --> 17:50.680 Noch ein Element, auch abbilden auf irgendeine Zahl. 17:51.540 --> 17:58.260 Die Anforderung ist, ich kann M injektiv in N abbilden, sodass also 17:58.260 --> 18:04.200 keine zwei Elemente von M auf die gleiche Zahl abgebildet werden. 18:05.320 --> 18:11.820 Also, nehmen wir folgende Menge her, zum Beispiel diese Menge, die nur 18:11.820 --> 18:12.760 ein Element enthält. 18:13.940 --> 18:17.220 Da werden Sie mir sofort viele Abbildungen nennen können, mit denen 18:17.220 --> 18:20.320 ich dieses Element abbilden kann, zum Beispiel A auf 1. 18:20.700 --> 18:21.980 Fertig, abzählbar. 18:22.860 --> 18:27.880 Ich nehme die Menge 1, 2, 3 bis 10. 18:29.620 --> 18:32.380 Auch die kann ich problemlos abbilden, die Menge natürlichen Zahlen, 18:33.280 --> 18:34.380 für eine identische Abbildung. 18:35.580 --> 18:36.900 Injektiv, ganz leicht zu machen. 18:38.740 --> 18:42.680 Ich nehme die Menge E-Stern. 18:45.120 --> 18:48.880 Die Menge aller Wörter über dem Alphabet E. 18:50.340 --> 18:52.940 Dann nehme ich das ehre Wort Lambda. 18:53.400 --> 18:55.080 Nehmen wir mal an, dass E ist 0,1. 18:57.120 --> 18:59.680 Nehmen wir an, dass wäre die Menge 0,1. 19:00.180 --> 19:03.040 Dann würden wir hier 0 hinschreiben, wir würden 1 hinschreiben, wir 19:03.040 --> 19:08.580 würden 0,0 hinschreiben, wir würden 0,1 hinschreiben, 1,0, 1,1 und so 19:08.580 --> 19:08.900 weiter. 19:09.100 --> 19:10.500 Dann vielleicht 0,0,0. 19:12.040 --> 19:14.960 Das können wir ja daran gehen, einfach in der Folge. 19:15.080 --> 19:17.200 Sie sehen, ich habe das ganz systematisch aufgeschrieben. 19:17.980 --> 19:23.320 Immer Wörter wachsender Länge und innerhalb der Wörter gleicher Länge, 19:23.460 --> 19:25.120 so eine lexikografische Ordnung. 19:26.300 --> 19:28.400 Das kann ich ja ganz systematisch aufschreiben. 19:28.500 --> 19:32.340 Da habe ich eine Folge von Wörtern und das kann ich natürlich einfach 19:32.340 --> 19:35.700 sagen, das ist die erste Position, die zweite, die dritte, die vierte, 19:35.800 --> 19:37.760 die fünfte, die sechste und so weiter. 19:38.320 --> 19:40.980 Ich kann doch jedem Wort hier drin, entsprechend der Position in 19:40.980 --> 19:44.180 dieser Folge, eine Zahl zuordnen. 19:44.880 --> 19:46.040 Also das geht offensichtlich. 19:46.800 --> 19:48.660 Es muss ja nur injektiv sein. 19:50.940 --> 19:55.460 Okay, wenn das nicht geht, dann ist das M überabzählbar. 19:55.940 --> 20:01.440 Wenn ich also nicht eine solche Abbildung angeben kann, sodass ich 20:01.440 --> 20:08.220 jedem Element der Menge eine andere natürliche Zahl zuordne, dann ist 20:08.220 --> 20:09.380 das überabzählbar. 20:10.800 --> 20:13.780 Ich habe doch unendlich viele Zahlen, da kann ich jede Menge 20:13.780 --> 20:15.220 reinschreiben, gar kein Problem. 20:15.220 --> 20:16.660 Sie werden sehen, das ist nicht so einfach. 20:18.120 --> 20:21.240 Abzählbare Mengen, jede endliche Menge habe ich Ihnen gerade eben 20:21.240 --> 20:24.800 angedeutet oder A-Stern für ein endliches Alphabet habe ich Ihnen auch 20:24.800 --> 20:25.680 gerade angedeutet. 20:26.620 --> 20:31.540 Und überabzählbare Mengen, zum Beispiel die Menge aller reellen Zahlen 20:31.540 --> 20:32.440 zwischen 0 und 1. 20:34.200 --> 20:35.500 Nicht abzählbar. 20:36.120 --> 20:39.080 Kann man beweisen über Diagonalisierung. 20:40.260 --> 20:42.380 Jetzt wissen Sie gar nicht, was Diagonalisierung ist, ich werde Ihnen 20:42.380 --> 20:47.840 gleich einen Diagonalisierungsbeweis vorführen, bei dem Sie sehen, was 20:47.840 --> 20:48.320 man da macht. 20:48.680 --> 20:49.840 Potenzmenge von A-Stern. 20:50.540 --> 20:56.820 Also wenn ich alle Sprachen betrachte, über einem Alphabet, dann bin 20:56.820 --> 20:57.660 ich überabzählbar. 20:58.240 --> 20:59.700 Ebenfalls durch Diagonalisierung. 21:00.880 --> 21:03.320 Auch das könnte ich Ihnen explizit vorführen. 21:04.040 --> 21:06.400 Ich will aber diese Frage hier genau anschauen gleich. 21:08.480 --> 21:12.720 Ich will dazu kommen, dass nicht jede Funktion berechenbar sein kann. 21:13.160 --> 21:16.480 Und es geht genau darüber, das werden Sie gleich sehen, dass wir 21:16.480 --> 21:21.060 einsehen werden, die berechenbaren Funktionen sind eine abzählbare 21:21.060 --> 21:25.520 Menge, während die Funktionen insgesamt von N nach N eine 21:25.520 --> 21:27.000 überabzählbare Menge sind. 21:28.140 --> 21:32.420 Also, der Satz, den ich Ihnen jetzt zeigen möchte, oder Ihnen 21:32.420 --> 21:35.720 darstellen möchte, oder erläutern möchte, oder verständlich machen 21:35.720 --> 21:42.180 möchte, ist, dass für ein Alphabet E die Menge aller Funktionen F von 21:42.180 --> 21:44.700 E -Stern nach E-Stern überabzählbar ist. 21:45.880 --> 21:50.780 Und das zweite, die Menge aller berechenbaren Funktionen nur abzählbar 21:50.780 --> 21:51.440 sein kann. 21:51.440 --> 21:57.020 Das heißt, nur eine kleine Teilmenge, klein in Anführungszeichen, 21:57.200 --> 22:04.560 immer noch unendlich groß, von Funktionen über E-Stern ist 22:04.560 --> 22:05.260 berechenbar. 22:07.820 --> 22:10.940 Insbesondere heißt das, nicht jede Funktion ist berechenbar. 22:11.080 --> 22:13.720 Es gibt sehr, sehr viele nicht berechenbare Funktionen. 22:13.720 --> 22:16.360 Das heißt, wir müssen genauer gucken, wenn ich Ihnen eine Aufgabe 22:16.360 --> 22:21.380 gebe, dann sollten Sie schon wissen, naja, das werden alles 22:21.380 --> 22:25.400 berechenbare Probleme sein oder entscheidbare Probleme, bei denen man 22:25.400 --> 22:28.100 tatsächlich eine Lösung in endlicher Zeit erzeugen kann. 22:29.020 --> 22:30.160 Deswegen ist das wichtig. 22:31.620 --> 22:36.100 Oder wenn Sie ein Problem bekommen und Sie wissen, Sie bewerben sich 22:36.100 --> 22:40.260 um irgendeine Ausschreibung, tolle Aufgabe ist ausgeschrieben, gibt es 22:40.260 --> 22:43.600 viel Geld für, wenn Sie da feststellen, da ist aber ein Problem drin, 22:43.680 --> 22:46.640 das ist gar nicht in der Form berechenbar, dann sollten Sie kein 22:46.640 --> 22:47.500 Angebot abgeben. 22:49.200 --> 22:53.440 Weil Sie dann die Aufgabe gar nicht erfüllen können. 22:54.900 --> 22:57.520 Also Sie müssen schon wissen, wie man sowas charakterisieren kann. 22:58.340 --> 23:03.200 Und das ist nicht etwas, was nur irgendwo esoterisch ein Problem ist, 23:03.200 --> 23:04.420 was nie in der Praxis auftaucht. 23:05.080 --> 23:08.260 Schauen wir uns das Beispiel an, das wir betrachten wollen. 23:09.020 --> 23:13.100 Wir betrachten diese Tabelle, wir wollen zeigen, die Menge der 23:13.100 --> 23:20.900 Funktionen von E-Stern nach E-Stern ist überabzählbar. 23:21.860 --> 23:26.540 Dann nehmen wir einfach an, das Ganze wäre abzählbar. 23:26.640 --> 23:30.760 Das heißt, wir betrachten diese Tabelle, bei der wir, das kommt jetzt 23:30.760 --> 23:34.580 gleich, also erstmal folgendes machen, wir schreiben einfach alle 23:34.580 --> 23:37.580 Wörter hin, über dem Alphabet E. 23:38.760 --> 23:41.860 Also das ist hier unser gesamtes E-Stern. 23:43.440 --> 23:46.080 Ich schreibe alle Wörter hin, ich habe Ihnen gerade erläutert, wie das 23:46.080 --> 23:46.700 funktioniert. 23:47.360 --> 23:50.620 Ich kann die ja einfach der Reihe nach aufschreiben und wenn ich 23:50.620 --> 23:55.060 irgendein Wort habe, von dem ich wissen will, welche Nummer hat das 23:55.060 --> 23:58.300 eigentlich, dann brauche ich ja nur der Reihe nach durchzulaufen, alle 23:58.300 --> 24:02.180 Wörter bis zu der Länge anzugucken, die alle durchzählen, habe dann 24:02.180 --> 24:03.260 die Nummer für dieses Wort. 24:04.140 --> 24:07.020 Das ist also, offensichtlich ist sowas machbar. 24:07.940 --> 24:12.240 Und jetzt nehme ich einfach an, ich kann ja einfach auflisten, alle 24:12.240 --> 24:12.880 Funktionen. 24:12.880 --> 24:21.060 Und ich nehme an, ich habe eine abzählbare Menge von Funktionen. 24:21.520 --> 24:27.140 Wenn die abzählbar sind, dann kann ich F1, F2, F3 usw. 24:27.240 --> 24:28.260 ja irgendwie hinschreiben. 24:30.880 --> 24:35.740 Wenn ich diese Abbildung habe, in die Menge der natürlichen Zahlen, 24:36.640 --> 24:41.140 dann kann ich doch genau solche Funktionen F1, F2, F3 der Reihe nach 24:41.140 --> 24:41.580 hinschreiben. 24:42.220 --> 24:44.780 Und jetzt definiere ich eine weitere Funktion. 24:45.800 --> 24:49.820 Ich definiere eine Funktion G von E-Stern nach E-Stern auf folgende 24:49.820 --> 24:50.500 Art und Weise. 24:50.620 --> 24:53.060 Und jetzt kommt der Diagonalisierungsansatz. 24:54.020 --> 24:59.920 Ich betrachte nämlich gerade die Elemente auf der Diagonalen usw. 25:01.300 --> 25:02.520 Inwiefern betrachte ich die? 25:02.520 --> 25:07.180 Ich schaue mir an, das I-te Wort WI bzw. 25:07.400 --> 25:14.140 irgendein Wort W aus meinem E-Stern hat irgendeine Nummer, meinetwegen 25:14.140 --> 25:14.460 I. 25:15.220 --> 25:17.940 Jetzt schaue ich mir an, wie es G auf diesem WI definiert. 25:19.560 --> 25:25.740 Dieses G auf WI ist gleich U, wobei U irgendein Wort aus der Sprache E 25:25.740 --> 25:26.420 -Stern ist. 25:26.420 --> 25:32.960 Falls das FI von WI, also der entsprechende Eintrag auf der Diagonalen 25:32.960 --> 25:36.560 mit dem Index I, ungleich U ist. 25:37.080 --> 25:41.260 Ich kann ja nachschauen, diese ganzen Felder hier in der Diagonalen, 25:41.380 --> 25:42.040 wie die aussehen. 25:42.140 --> 25:45.160 Ich nehme irgendein Wort W, das hat einen Index I. 25:45.820 --> 25:52.960 Schaue ich nach, das fällt I, da steht drin das Wort FI von WI. 25:52.960 --> 25:57.760 Wenn das ungleich U ist, dann sage ich, das G, das soll aber jetzt 25:57.760 --> 25:58.920 genau den Wert U haben. 25:59.460 --> 26:01.740 Damit ist G also unterschiedlich von FI. 26:04.260 --> 26:10.820 Und wenn das FI von WI gleich U ist, dann nehme ich einfach ein 26:10.820 --> 26:11.640 anderes Wort. 26:12.280 --> 26:16.460 Und ich nehme an, es gibt mindestens zwei unterschiedliche Wörter in E 26:16.460 --> 26:16.680 -Stern. 26:17.600 --> 26:18.500 Mehr brauche ich dafür nicht. 26:21.400 --> 26:28.620 Jetzt weiß ich, G ist definiert für alle Wörter aus E-Stern. 26:29.280 --> 26:30.320 Liebiges Wort. 26:31.040 --> 26:34.720 Ich schaue mir an, auf welche Nummer, welche natürliche Zahl wird 26:34.720 --> 26:35.500 dieses Wort abgebildet. 26:37.580 --> 26:40.080 Das W kann ich ja einfach suchen. 26:40.080 --> 26:45.540 Ich gehe in die entsprechende Diagonale, in das Feld I, I. 26:46.400 --> 26:48.600 Schaue nach, welches Wort steht dort. 26:48.940 --> 26:53.400 Steht dort das U drin, dann ist das G von WI gleich V. 26:53.620 --> 26:57.080 Steht dort nicht U drin, dann ist das G von WI gleich U. 26:58.800 --> 27:03.920 Und jetzt haben wir also eine Funktion, die eine Diagonalisierung 27:03.920 --> 27:05.720 dieser Tabelle darstellt. 27:06.470 --> 27:10.060 Ich gebe eben hier, diese Funktion ist definiert genau über diese 27:10.060 --> 27:13.740 markierten Felder, eine Diagonalisierungsfunktion. 27:14.340 --> 27:16.840 Ein Standardverfahren, mit dem man viele interessante Sachen zeigen 27:16.840 --> 27:17.180 kann. 27:18.080 --> 27:21.720 Und jetzt nehme ich an, dass F abzählbar ist. 27:21.900 --> 27:28.000 Das heißt, wenn das abzählbar ist, dann gibt es natürlich eine 27:28.000 --> 27:32.480 Funktion FK, die gleich dem G sein muss. 27:32.480 --> 27:37.960 Wenn es abzählbar ist, ja diese Funktion ist ja berechenbar, dazu 27:37.960 --> 27:38.480 kommen wir noch. 27:40.840 --> 27:43.240 Um Berechenbarkeit geht es hier nicht, es geht nur um Abzählbarkeit. 27:43.440 --> 27:44.920 Es ist ja eine der Funktionen. 27:45.480 --> 27:48.760 Es geht um alle Funktionen von E-Stern nach E-Stern. 27:49.440 --> 27:50.960 Das war das große F. 27:51.980 --> 28:04.370 Die Menge aller Funktionen von E-Stern nach E-Stern. 28:07.860 --> 28:13.200 Wenn es abzählbar ist, dann ist insbesondere diese Funktion G, das ist 28:13.200 --> 28:15.940 ja auch eine Funktion von E-Stern nach E-Stern, die wir gerade 28:15.940 --> 28:19.000 definiert haben, ist dann irgend ein solches FK. 28:19.700 --> 28:22.620 Irgendeine natürliche Zahl ist zugeordnet. 28:22.960 --> 28:31.340 Das heißt, das FK muss natürlich auch auf das WK anwendbar sein. 28:31.460 --> 28:33.740 Ich schaue also nach bei FK von WK. 28:35.280 --> 28:40.100 Und da das G gleich FK ist, muss natürlich G von WK gleich FK von WK 28:40.100 --> 28:40.400 sein. 28:41.290 --> 28:47.300 Wir haben aber hier gerade festgelegt, dass die Funktion G immer 28:47.300 --> 28:52.880 gerade unterschiedlich ist von dem Eintrag in einem Diagonalelement. 28:53.960 --> 28:56.900 Also G ist garantiert unterschiedlich von FK WK. 28:57.760 --> 28:59.240 Hiernach müsste es aber gleich sein. 28:59.800 --> 29:04.760 Und das heißt, dass G kann nicht gleich FK sein und damit heißt das, 29:05.360 --> 29:09.260 diese Annahme F ist abzählbar, die muss irgendwie falsch sein. 29:13.580 --> 29:15.360 Das Verfahren ist sehr abstrakt. 29:15.820 --> 29:17.540 Richtig, da haben Sie recht. 29:18.780 --> 29:20.180 Allerdings auch sehr konkret. 29:20.880 --> 29:24.080 Ich kann Ihnen genau angeben, wie ich Wörter anordne. 29:24.800 --> 29:28.220 Wenn ich also die 0, wenn ich da 0,1 habe, ich kann Ihnen alle 29:28.220 --> 29:34.280 Abbildungen angeben von Binärwörtern auf irgendwelche Binärwörter. 29:35.100 --> 29:38.140 Und das Ganze ist natürlich in dem Sinne abstrakt, dass das ein 29:38.140 --> 29:40.340 Argument ist. 29:41.000 --> 29:48.740 Ich nehme an, dass F ist abzählbar, dann muss es zu jeder Funktion da 29:48.740 --> 29:52.000 drin eine natürliche Zahl geben, weil es abzählbar ja heißt. 29:52.920 --> 29:56.020 Jedes Element kann auf eine natürliche Zahl eindeutig abgebildet 29:56.020 --> 29:56.360 werden. 29:57.060 --> 30:02.940 Und ich habe diese Abbildung G, die offensichtlich eine Abbildung von 30:02.940 --> 30:06.860 E -Stern nach E-Stern ist und also drin ist in der Menge F, gerade so 30:06.860 --> 30:10.880 definiert, dass sie unterschiedlich sein muss von allen diesen 30:10.880 --> 30:13.900 Diagonalelementen FK von WK. 30:14.620 --> 30:16.840 Und damit kann es eben keine solche Funktion G sein. 30:16.900 --> 30:20.900 Das ist ein abstraktes Argument, aber man kann eben mit abstrakten 30:20.900 --> 30:23.600 Überlegungen sehr praktische Erkenntnisse gewinnen. 30:24.600 --> 30:25.580 Noch eine Frage. 30:26.600 --> 30:28.360 Absolut nicht verständlich. 30:29.340 --> 30:30.340 Das tut mir sehr leid. 30:32.340 --> 30:36.260 Aber das müssen Sie sich einfach trotzdem klar machen. 30:37.460 --> 30:41.960 Das Argument ist ein Diagonalisierungselement. 30:42.120 --> 30:44.440 Oder ein Diagonalisierungsargument. 30:45.640 --> 30:49.100 Sie nehmen an, die Menge ist abzählbar. 30:49.100 --> 30:54.880 Wenn die abzählbar ist, dann gibt es eine Abbildung, die hatten wir 30:54.880 --> 30:56.260 vorher mal aufgeführt. 30:57.520 --> 31:06.580 Dann kann ich eben jedes Element von F, jede solche Funktion F, kann 31:06.580 --> 31:10.380 ich halt abbilden auf irgendein Element K. 31:11.100 --> 31:16.140 Jede Funktion wird auf irgendein Element K aus N abgebildet. 31:17.100 --> 31:19.640 Ich bilde F auf N ab. 31:20.780 --> 31:21.920 Das war die Abzählbarkeit. 31:22.940 --> 31:29.460 Jetzt stelle ich fest, diese Funktion G ist ein solches Element von F, 31:30.240 --> 31:33.000 also muss ich dafür eine natürliche Zahl finden können. 31:34.580 --> 31:38.740 Und wenn ich also angenommen habe, dass ich eine solche Tabelle 31:38.740 --> 31:44.680 aufschreiben kann, in der alle diese Funktionen auftreten, dann stelle 31:44.680 --> 31:51.140 ich fest, diese Funktion G ist aber keine solche, die dort aufgeführt 31:51.140 --> 31:51.420 ist. 31:51.920 --> 31:55.840 Das heißt, die Annahme, ich kann eine solche Tabelle aufschreiben, die 31:55.840 --> 31:56.960 ist einfach falsch. 31:58.180 --> 32:03.940 Ich kann keine solche Tabelle aufschreiben, bei der alle Funktionen so 32:03.940 --> 32:09.080 abgezählt werden, also abzählbar sind entsprechend dieser natürlichen 32:09.080 --> 32:09.360 Zahl. 32:09.360 --> 32:10.480 Noch eine Frage. 32:13.430 --> 32:14.130 Danke. 32:15.070 --> 32:15.870 Alles offensichtlich. 32:16.570 --> 32:18.810 Also beschäftigen Sie sich ein bisschen damit, dann kommen Sie von dem 32:18.810 --> 32:22.750 Zustand absolut nicht verständlich zu alles offensichtlich. 32:23.930 --> 32:28.710 Das ist ein Standardverfahren, das man anwendet in Überlegungen zu so 32:28.710 --> 32:33.710 Mächtigkeiten, die man sich irgendwo noch genauer angucken kann. 32:33.710 --> 32:38.770 Also, das ist also der Widerspruch und damit haben wir gezeigt, dass 32:38.770 --> 32:44.010 die Menge der Funktionen von E-Stern nach E-Stern nicht abzählbar ist, 32:44.070 --> 32:44.970 also überabzählbar. 32:45.990 --> 32:50.110 Andererseits, wenn wir uns anschauen, die Menge der berechenbaren 32:50.110 --> 32:54.710 Funktionen, dann wissen wir, jede berechenbare Funktion ist durch 32:54.710 --> 32:56.690 einen Text endlicher Länge beschrieben. 32:57.690 --> 33:01.750 Ein Text endlicher Länge ist irgendein Wort über einem Alphabet. 33:02.870 --> 33:06.510 Wir wissen, die Wörter eines Alphabets kann ich alle der Reihe nach 33:06.510 --> 33:07.150 aufschreiben. 33:08.350 --> 33:13.770 Da kann ich Ihnen sofort angeben, wie ich die Zahl bestimme zu 33:13.770 --> 33:14.990 irgendeinem beliebigen Wort. 33:16.550 --> 33:23.270 Und das heißt, da die Menge aller Wörter abzählbar ist, ist damit auch 33:23.270 --> 33:25.550 die Menge aller berechenbaren Funktionen abzählbar. 33:25.550 --> 33:30.870 Weil ich hier genau durch solche Wörter, nicht jedes Wort wird eine 33:30.870 --> 33:35.270 berechenbare Funktion beschreiben, aber die Menge der berechenbaren 33:35.270 --> 33:39.290 Funktionen über einem geeigneten Alphabet, nein, die Menge der 33:39.290 --> 33:42.550 Beschreibungen von berechenbaren oder von berechenbaren Funktionen, 33:42.910 --> 33:47.010 ist halt eine Teilmenge aller Wörter über einem geeigneten Alphabet. 33:47.630 --> 33:51.310 Und damit weiß ich, die Menge der berechenbaren Funktionen ist 33:51.310 --> 33:51.930 abzählbar. 33:52.690 --> 33:55.930 Das heißt, die berechenbaren Funktionen sind wirklich eine Teilklasse. 33:57.090 --> 34:00.990 Und ich muss mir genau überlegen, was sind eigentlich die Funktionen, 34:00.990 --> 34:04.550 die ich berechnen kann, wie kann ich diejenigen charakterisieren, die 34:04.550 --> 34:06.630 nicht berechenbar sind. 34:08.230 --> 34:13.030 Von der Berechenbarkeit kommen wir noch zu einem äquivalenten Begriff, 34:13.170 --> 34:15.310 zu dem Begriff der Entscheidbarkeit. 34:16.310 --> 34:25.990 Hier haben wir, betrachten wir Folgendes, eine Menge M1 und eine Menge 34:25.990 --> 34:26.870 M2. 34:27.670 --> 34:34.550 Und M1 nennen wir entscheidbar relativ zu M2, wenn wir für jedes 34:34.550 --> 34:46.390 Element aus M2 feststellen können, ob das W in M1 liegt oder nicht. 34:47.710 --> 34:51.110 Dann ist M1 entscheidbar relativ zu M2. 34:52.970 --> 34:57.030 Also, eine endliche Menge, wenn ich eine endliche Menge habe als 34:57.030 --> 35:01.370 Teilmenge von E-Stern, die ist immer relativ entscheidbar oder 35:01.370 --> 35:03.870 entscheidbar relativ zu E-Stern, selbstverständlich. 35:04.070 --> 35:05.470 Ich gebe Ihnen gleich ein paar Beispiele. 35:07.470 --> 35:11.430 Ein solches Verfahren, das diese Entscheidung trifft, gehört das 35:11.430 --> 35:16.330 Element zu M1 oder nicht zu M1, sondern zu M2, nennt man dann ein 35:16.330 --> 35:17.370 Entscheidungsverfahren. 35:20.270 --> 35:23.710 Und das ist also der Algorithmus, der dieses Entscheidungsverfahren 35:23.710 --> 35:24.310 darstellt. 35:25.230 --> 35:29.110 Und dann nennt man eine Menge absolut entscheidbar oder einfach nur 35:29.110 --> 35:33.850 entscheidbar, wenn M relativ zu E-Stern entscheidbar ist, wenn also 35:33.850 --> 35:35.690 diese M2 das E-Stern ist. 35:37.250 --> 35:43.230 So, das ist also die Definition und dann nochmal die Beziehung jetzt 35:43.230 --> 35:45.170 zu den berechenbaren Funktionen. 35:46.050 --> 35:51.050 Wenn ich eine Menge mir hernehme, oder die beiden Mengen M1 und M2, 35:51.190 --> 35:56.510 dann kann ich eine Funktion angeben, die gerade auf jedes Element von 35:56.510 --> 36:01.870 M2 angewandt wird und jeweils True oder False ausgibt, je nachdem, ob 36:01.870 --> 36:05.950 ein Element aus M2 zu M1 gehört oder nicht. 36:07.170 --> 36:14.530 Also die charakteristische Funktion zu M1 und M2, also von M1 36:14.530 --> 36:21.090 bezüglich M2, ist gerade die Funktion, die mir sagt, wahr, wenn das 36:21.090 --> 36:25.970 ein Element von M1 ist und falsch, wenn das kein Element von M1 ist. 36:25.970 --> 36:29.550 Das ist die charakteristische Funktion einer Menge und das soll 36:29.550 --> 36:33.230 einfach nur darstellen, ich kann eine Menge beschreiben durch eine 36:33.230 --> 36:35.870 charakteristische Funktion, also die Mitgliedschaft in einer Menge 36:35.870 --> 36:41.410 durch eine charakteristische Funktion angeben und wenn also M1 36:41.410 --> 36:47.490 entscheidbar ist, relativ zu M2, das war diese Definition hier oben, 36:48.230 --> 36:53.470 dann ist also die charakteristische Funktion für M1 und M2 eine 36:53.470 --> 36:54.670 berechenbare Funktion. 36:54.670 --> 36:57.370 Wir haben dann ja einen solchen Algorithmus, ein 36:57.370 --> 37:01.090 Entscheidungsverfahren, das gerade diese Funktion berechnet. 37:01.690 --> 37:05.750 Also Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit haben sehr viel miteinander 37:05.750 --> 37:08.990 zu tun, wie es hier dargelegt wird. 37:09.570 --> 37:12.370 In Betracht der Entscheidbarkeit kann ich entscheiden, ob ein Element 37:12.370 --> 37:13.570 zur Sprache gehört oder nicht. 37:13.650 --> 37:16.650 Wir haben uns häufig jetzt schon mit Entscheidbarkeitsfragen 37:16.650 --> 37:20.370 beschäftigt, nämlich bei der Frage, gehört ein Wort über dem Alphabet 37:20.370 --> 37:25.510 zu einer rechtslinearen Sprache oder kontextfreien Sprache oder 37:25.510 --> 37:30.710 kontextsensitiven Sprache, bezogen auf eine bestimmte Grammatik oder 37:30.710 --> 37:33.230 einen Automaten einer bestimmten Klasse. 37:33.950 --> 37:36.910 Das waren alles Entscheidungsprobleme, nämlich Wortprobleme. 37:38.210 --> 37:41.210 Und jetzt sagen wir, wir können das auch übersetzen in 37:41.210 --> 37:44.610 Berechenbarkeit, wenn nämlich die jeweils charakteristische Funktion 37:44.610 --> 37:47.970 berechenbar ist, dann ist die Menge entsprechend entscheidbar. 37:50.310 --> 37:57.270 Beispiele, die Menge der Primzahlen ist entscheidbar relativ zur Menge 37:57.270 --> 37:58.330 der natürlichen Zahlen. 37:59.870 --> 38:06.490 Man kann für jede natürliche Zahl feststellen, ob diese Zahl eine 38:06.490 --> 38:07.570 Primzahl ist oder nicht. 38:08.090 --> 38:11.190 Also entscheidbar relativ zu N. 38:11.190 --> 38:17.030 Man muss nur testen, ob es irgendeine kleinere Zahl gibt, die diese 38:17.030 --> 38:18.050 Zahl N teilt. 38:19.210 --> 38:21.130 Oder jede endliche Menge ist entscheidbar. 38:22.090 --> 38:25.190 Ich muss ja nur diese endliche Menge durchsuchen und bin fertig. 38:25.430 --> 38:30.290 Wenn ich also irgendein Wort habe, ich kenne die Menge, diese endliche 38:30.290 --> 38:34.790 Menge Rm, dann muss ich ja nur diese Menge einmal durchschauen, 38:35.030 --> 38:38.030 endlich viele Dinge angucken, das ist in endlicher Zeit machbar. 38:38.030 --> 38:41.030 Die Beschreibung dieser Menge gibt mir schon das endliche Verfahren 38:41.030 --> 38:42.130 an, ganz einfach. 38:43.830 --> 38:48.410 Oder kontextfreie Grammatik mit der endlichen... 38:48.410 --> 38:57.390 Hier ist also die Frage, alle Grammatiken, M1 ist eine Menge von 38:57.390 --> 39:03.110 Grammatiken, die kontextfrei sind und die von der Grammatik erzeugte 39:03.110 --> 39:04.190 Sprache ist endlich. 39:05.250 --> 39:12.310 Jetzt die Frage, ist diese Menge entscheidbar, relativ zu M2? 39:13.110 --> 39:16.290 Und M2 ist die Menge aller beliebigen kontextfreien Grammatiken. 39:16.730 --> 39:24.690 Das heißt, kann ich entscheiden, ob eine Grammatik eine endliche 39:24.690 --> 39:26.990 Sprache erzeugt oder eine unendliche Sprache? 39:28.470 --> 39:33.390 Ja, ich habe also eine Grammatik gegeben, kontextfrei und die Frage 39:33.390 --> 39:42.230 ist, ist L von G Betrag davon aus N? 39:42.950 --> 39:43.630 Endlich. 39:45.790 --> 39:48.610 Da sind Sie zunächst mal, werden Sie rätseln, wieso das entscheidbar 39:48.610 --> 39:49.230 sein soll. 39:50.250 --> 39:53.190 Aber erinnern Sie sich an das Pumping Lemma. 39:54.950 --> 39:59.450 Wir brauchen nur nachzuschauen, ob diese kontextfreie Grammatik 40:00.690 --> 40:06.170 irgendein Wort ableiten kann über einer bestimmten Grenze. 40:06.750 --> 40:10.990 Nämlich einer Grenze, bei der der Ableitungsbaum einen Pfad enthält, 40:11.990 --> 40:16.250 bei dem mindestens ein Nicht-Terminalzeichen doppelt auftaucht. 40:17.010 --> 40:21.410 Und sobald sie auf einer Grammatik einen Ableitungsbaum erzeugen kann, 40:21.410 --> 40:27.390 bei dem ein Zeichen doppelt auftaucht, also sich wiederholt, wissen 40:27.390 --> 40:31.450 Sie, dann können Sie beliebig viele Wörter erzeugen. 40:32.150 --> 40:34.430 Weil Sie dann gerade so eine Pumpstelle erzeugt haben. 40:35.190 --> 40:39.490 Das heißt, Sie brauchen nur die Grammatik anzuschauen, sich alle 40:39.490 --> 40:44.270 Pfade, Ableitungsbäume anzuschauen bis zu einer bestimmten Länge und 40:44.270 --> 40:47.950 sofort wissen Sie, ob die Sprache, die erzeugt wird, endlich ist oder 40:47.950 --> 40:48.530 nicht endlich. 40:48.990 --> 40:51.930 Falls Sie also einen solchen Ableitungsbaum erzeugen können aus der 40:51.930 --> 40:55.210 Grammatik, bei dem Sie eine Wiederholung von Nicht-Terminalzeichen 40:55.210 --> 40:56.830 bekommen, wissen Sie, die ist nicht endlich. 40:57.350 --> 40:59.570 Das ist sehr einfach zu entscheiden. 41:00.430 --> 41:05.550 Das heißt, ich kann diese Menge M1 entscheiden, relativ zu M2. 41:06.410 --> 41:09.650 Was ich entscheiden muss, ist eigentlich nur, ist die Sprache zu einer 41:09.650 --> 41:13.570 Grammatik, zu einer kontextfreien Grammatik, endlich oder unendlich. 41:14.290 --> 41:15.470 Geht also relativ leicht. 41:16.710 --> 41:18.210 Jetzt kommt der nächste Begriff. 41:19.390 --> 41:20.470 Wir hatten jetzt Abzählbarkeit. 41:21.670 --> 41:25.270 Tut mir leid, ich muss Ihnen das alles darstellen, weil wir auf einen 41:25.270 --> 41:28.950 großen Satz hinsteuern, mit dem wir charakterisieren wollen, 41:29.070 --> 41:31.210 Funktionen, die nicht berechenbar sind. 41:32.170 --> 41:34.990 Jetzt müssen wir uns noch Folgendes anschauen, nämlich gerade in Bezug 41:34.990 --> 41:36.470 auf diese Berechenbarkeit. 41:37.350 --> 41:45.490 Wir sagen, eine Menge ist aufzählbar, genau dann, wenn es eine 41:45.490 --> 41:51.050 surreaktive, berechenbare Funktion gibt, die für jede natürliche, die 41:51.050 --> 41:54.490 praktisch die Menge der natürlichen Zahlen abbildet, auf meine Menge 41:54.490 --> 41:54.810 M. 41:56.730 --> 41:58.270 Was ist da das Interessante? 41:59.810 --> 42:01.430 Aufzählbar heißt Folgendes. 42:01.430 --> 42:07.870 Ich mache mir eine Tabelle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und so weiter. 42:09.010 --> 42:12.850 Ich schreibe mir die Zahlen hin, fange sogar mit 0 an. 42:14.250 --> 42:17.890 Und jetzt möchte ich die Menge aufzählen. 42:18.550 --> 42:24.470 Das heißt, meine Funktion f hier, die soll mir jetzt angeben ein Wort 42:24.470 --> 42:30.630 w0 und ein Wort w1 und ein Wort w2 und so weiter. 42:31.370 --> 42:40.930 Ich möchte also zu jeder Zahl angeben können, das ist das Wort mit dem 42:40.930 --> 42:42.590 Index 1, 2 oder was immer. 42:42.710 --> 42:45.610 Es kann sein, dass die 3 auch auf das w2 abgebildet wird. 42:46.310 --> 42:49.550 Und die 4 vielleicht auf irgendein w4 und so weiter. 42:51.750 --> 42:54.690 Also es muss nicht injektiv sein. 42:54.850 --> 42:56.290 Das heißt, es kann eine ähnliche Menge sein. 42:56.290 --> 42:59.330 Es kann sein, dass die alle anderen dann nur noch hier auf das w4 42:59.330 --> 42:59.610 gehen. 43:01.250 --> 43:07.630 Aber ich muss in der Lage sein, alle Elemente von M aufzuzählen, zu 43:07.630 --> 43:11.870 bekommen, dadurch, dass ich für jede Zahl mir anschaue, was ist das 43:11.870 --> 43:12.590 entsprechende Wort. 43:13.950 --> 43:16.990 Und wenn das eine berechenbare Funktion ist, dann habe ich also ein 43:16.990 --> 43:24.470 Verfahren, um die Menge M mit einem Algorithmus aufzuzählen. 43:26.590 --> 43:30.230 Das ist also etwas anderes als nur abzählen. 43:30.810 --> 43:36.690 Das hieß nur, es gibt eine Funktion, die die Menge injektiv abbildet 43:36.690 --> 43:37.890 in die Menge der natürlichen Zahlen. 43:38.650 --> 43:40.770 Hier möchte ich es wirklich aufzählen können. 43:41.210 --> 43:45.730 Das heißt, ich schaue mir an, für irgendein k, was ist eigentlich das 43:45.730 --> 43:47.710 Element wk, das dazu gehört. 43:50.250 --> 43:55.210 Und der Satz, den man hier zu sich überlegen kann, ist, für jede 43:55.210 --> 43:59.510 beliebige Menge M, wenn das M aufzählbar ist, dann ist M auch 43:59.510 --> 44:00.190 abzählbar. 44:01.150 --> 44:02.750 Umkehrung gilt natürlich nicht. 44:03.450 --> 44:06.450 Also das ist auch nicht ganz offensichtlich. 44:06.670 --> 44:10.750 Bei Aufzählbarkeit reden wir von einer Abbildung von N0 nach M. 44:12.370 --> 44:15.650 Bei Abzählbarkeit reden wir von einer Funktion von M in die Menge der 44:15.650 --> 44:16.410 natürlichen Zahlen. 44:16.410 --> 44:19.430 Wir können praktisch über die Umkehrfunktion dieser 44:19.430 --> 44:23.510 Aufzählungsfunktion genau diese Abzählbarkeit wieder hinbekommen. 44:25.710 --> 44:35.870 Und das M ist entscheidbar, genau dann, wenn M und e-M aufzählbar 44:35.870 --> 44:36.130 sind. 44:37.070 --> 44:38.530 Wie kann man das denn einsehen? 44:41.810 --> 44:46.410 Ich habe irgendein Wort W aus dem M. 44:47.230 --> 44:49.490 Ich habe irgendein Wort W aus dem E-Stern. 44:51.110 --> 44:55.870 Und ich möchte wissen, die Frage ist, ist das W aus M? 44:58.470 --> 45:01.170 Wie kann ich das über Aufzählbarkeit hinbekommen? 45:02.650 --> 45:04.910 Ich mache es einfach folgendermaßen. 45:05.370 --> 45:10.570 Ich weiß ja, ich kann die Menge M aufzählen. 45:10.830 --> 45:17.870 Ich kann also F von 0 hinschreiben, F von 1, F von 2 und so weiter. 45:19.550 --> 45:24.210 Ich kann mir auch E-Stern-M hernehmen. 45:24.330 --> 45:28.350 Ich nehme an, E-Stern-M ist auch aufzählbar. 45:28.350 --> 45:38.510 Dann kann ich hier angeben irgendein F' von 0, F' von 1, F' von 2 und 45:38.510 --> 45:38.970 so weiter. 45:41.390 --> 45:45.210 Das erste Aufzählungsverfahren F liefert mir alle Elemente von M. 45:45.870 --> 45:50.170 Das Aufzählungsverfahren F' liefert mir alle Elemente von E-Stern-M. 45:50.990 --> 45:59.130 Jetzt gucke ich der Reihe nach an, F0, F' von 0, F1, F' von 1, F2, F' 45:59.330 --> 45:59.910 von 2. 46:02.050 --> 46:08.530 Und irgendwann, wenn das Wort in W in M ist, wird es irgendwann 46:08.530 --> 46:09.170 auftreten. 46:11.670 --> 46:17.210 Es ist ja irgendwann einmal, wenn es in M ist, ist es irgendein F von 46:17.210 --> 46:17.490 K. 46:17.490 --> 46:19.450 Dann taucht das irgendwann auf. 46:20.150 --> 46:26.110 Wenn es nicht in M ist, dann ist es ja hier in der Menge E-Stern-M. 46:26.510 --> 46:30.930 Dann ist es irgendein Erstrich von K oder Erstrich von J oder was 46:30.930 --> 46:31.110 immer. 46:32.430 --> 46:40.170 Das heißt, wenn ich gleichmäßig M und E-Stern-M aufzähle durch meine 46:40.170 --> 46:45.610 Funktion F' bekomme ich irgendwann raus, ob das W in der Aufzählung 46:45.610 --> 46:50.550 von M auftaucht oder in der Aufzählung von E-Stern-M und damit kann 46:50.550 --> 46:58.270 ich entscheiden, also nach endlicher Zeit feststellen, ob das W zu M 46:58.270 --> 47:01.510 gehört oder zu E-Stern-M. 47:02.610 --> 47:08.690 Deswegen, wenn die Menge und ihr Komplement aufzählbar sind, dann ist 47:08.690 --> 47:09.590 die Menge entscheidbar. 47:10.970 --> 47:14.370 Das ist also noch eine weitere Erkenntnis, die man hier gewinnen kann. 47:15.210 --> 47:19.930 Damit haben wir also jetzt hier diese Struktur der Bezug auf 47:19.930 --> 47:21.810 Entscheidbarkeit uns überlegt. 47:21.910 --> 47:24.950 Es gibt also die abzählbaren Mengen, die hatte ich Ihnen zunächst 47:24.950 --> 47:25.710 dargestellt. 47:26.290 --> 47:29.310 Dann gibt es die aufzählbaren Mengen, das sind diejenigen mit einer 47:29.310 --> 47:30.490 berechenbaren Funktion. 47:31.310 --> 47:36.410 Und ich habe die entscheidbaren Mengen, bei denen die Menge aufzählbar 47:36.410 --> 47:38.590 ist und der Komplement auch aufzählbar ist. 47:40.230 --> 47:44.310 Und damit habe ich also jetzt so bestimmte Begriffe definiert. 47:44.410 --> 47:48.810 Wenn Sie in der Literatur nachschauen, finden Sie manchmal Begriffe 47:48.810 --> 47:49.930 wie rekursiv. 47:50.530 --> 47:52.910 Das ist das gleiche wie entscheidbar. 47:53.670 --> 47:56.870 Also eine rekursive Menge ist eine entscheidbare Menge. 47:57.470 --> 48:00.650 Eine rekursiv aufzählbare Menge ist eine aufzählbare Menge. 48:01.250 --> 48:03.150 Oder es ist auch eine semi-entscheidbare Menge. 48:03.150 --> 48:07.690 Nur das ist so, wenn Sie irgendwo was lesen, dass Ihnen klar ist, was 48:07.690 --> 48:08.610 damit gemeint ist. 48:10.430 --> 48:13.850 Damit habe ich Ihnen jetzt mehrere Begriffe dargestellt, die zunächst 48:13.850 --> 48:14.970 mal sehr abstrakt klingen. 48:16.010 --> 48:20.850 Sind auch sehr allgemeine Überlegungen, weil man damit fundamentale 48:20.850 --> 48:23.910 Erkenntnisse gewinnen kann, denen wir uns allmählich nähern. 48:25.190 --> 48:28.810 Das nächste ist die Frage, welche Funktion kann ich eigentlich mit 48:28.810 --> 48:30.150 Turing -Maschinen berechnen. 48:30.150 --> 48:32.690 Das ist jetzt die Turing-Maschine, die Turing-Berechenbarkeit. 48:33.710 --> 48:36.410 Allgemeine Berechenbarkeit war unabhängig von einem Maschinenmodell 48:36.410 --> 48:37.170 definiert worden. 48:37.830 --> 48:39.210 Irgendein endliches Verfahren. 48:40.050 --> 48:42.930 Selbstverständlich ist jede Turing-Maschine ein endliches Verfahren. 48:43.250 --> 48:45.150 Habe ich in endlichem Text hingeschrieben. 48:45.350 --> 48:47.990 Ich weiß, wie ich eine Turing-Maschine arbeiten lasse. 48:48.090 --> 48:52.690 Das heißt, ich habe dort eine endliche Beschreibung eines Verfahrens, 48:53.070 --> 48:54.850 das irgendetwas tun soll. 48:56.570 --> 48:59.070 Sind entscheidbare Mengen selbst aufzählbar? 49:00.170 --> 49:00.930 Selbstverständlich. 49:01.690 --> 49:04.850 Die Frage hätten Sie selbst beantworten können, trotzdem dürfen Sie 49:04.850 --> 49:05.590 die gerne stellen. 49:06.290 --> 49:10.010 Eine entscheidbare Menge ist entscheidbar, wenn sie selbst und ihr 49:10.010 --> 49:12.770 Komplement aufzählbar sind. 49:12.930 --> 49:16.610 Also, entscheidbare Menge muss selbst aufzählbar sein. 49:17.570 --> 49:20.290 Das steht in der Definition gerade drin. 49:20.290 --> 49:25.290 In dem Satz haben wir das gerade eben festgestellt. 49:26.690 --> 49:32.030 Also, jetzt gehen wir zu den Turing-Maschinen und sagen, wir haben 49:32.030 --> 49:35.730 jetzt eine Turing-Maschine mit einem bestimmten Eingabeband. 49:36.450 --> 49:37.690 Da steht das Wort W drauf. 49:38.390 --> 49:44.250 Wenn die Turing-Maschine aufhört zu arbeiten, wenn sie endet mit ihrer 49:44.250 --> 49:47.410 Berechnungsfolge, steht auf dem Band irgendwas anderes. 49:47.410 --> 49:52.170 Und wir sagen, das V ist jetzt das Bild von W. 49:53.190 --> 49:55.890 Beziehungsweise, wir sagen, die Turing-Maschine berechnet eine 49:55.890 --> 50:01.390 Funktion F, wenn sie für jedes Wort W nach endlich vielen Schritten 50:01.390 --> 50:05.930 anhält und der Bandinhalt dann gerade das Bild von W und der F ist. 50:07.290 --> 50:10.810 Ja, das also dann hält an in einem Endzustand. 50:11.370 --> 50:15.510 Dann sagen wir, diese Turing-Maschine kann die Funktion F berechnen. 50:16.280 --> 50:17.890 Das steht hier formal nochmal drin. 50:18.530 --> 50:23.570 Hier war es nur die bildliche Beschreibung, intuitiv, formal müssen 50:23.570 --> 50:24.430 wir es so hinschreiben. 50:25.350 --> 50:29.330 Wir haben eine Funktion von M1 nach M2 und wir sagen, dass die Turing 50:29.330 --> 50:35.010 -Maschine diese Funktion berechnen kann, wenn für jedes Wort aus M1 50:35.010 --> 50:39.870 genau dieses V erzeugt werden kann. 50:39.870 --> 50:44.950 Also wenn W aus M1 ist und V gleich F von W, dann kann ich aus der 50:44.950 --> 50:48.970 Anfangskonfiguration, bei der W auf dem Band steht und ich im 50:48.970 --> 50:52.770 Anfangszustand S0 bin, nach endlich vielen Schritten auf eine 50:52.770 --> 50:58.430 Endkonfiguration kommen, bei der die Bandinschrift UX gleich V ist und 50:58.430 --> 51:03.370 das S ist ein Endzustand und ich kann nicht mehr weitermachen. 51:04.050 --> 51:05.910 Die Turing-Maschine hat aufgehört zu arbeiten. 51:07.510 --> 51:12.030 Also für W nicht aus M1 ist allerdings das Verhalten der Maschine 51:12.030 --> 51:12.550 unbestimmt. 51:12.630 --> 51:15.770 Ich sage nur für alle Elemente aus M1. 51:16.690 --> 51:18.690 F ist aber auch nur eine Funktion von M1 nach M2. 51:20.270 --> 51:23.990 Und das F heißt, diese Funktion heißt also Turing-Berechenbar, wenn 51:23.990 --> 51:27.750 ich eine Turing-Maschine beschreibe oder erzeugen kann, die genau 51:27.750 --> 51:28.810 diese Funktion berechnet. 51:28.810 --> 51:32.170 Und jetzt habe ich ein formales Modell für einen 51:32.170 --> 51:32.810 Berechenbarkeitsbegriff. 51:33.650 --> 51:37.790 Ich kann Ihnen genau sagen, zu einem Text, den Sie mir hinschreiben, 51:38.270 --> 51:41.050 beschreibt dieser Text eine Turing-Maschine oder beschreibt er 51:41.050 --> 51:41.670 irgendwas anderes. 51:42.510 --> 51:45.910 Wenn er eine Turing-Maschine beschreibt und diese Turing-Maschine 51:45.910 --> 51:49.130 meine Funktion berechnet, dann ist diese Funktion Turing-Berechenbar. 51:51.210 --> 51:55.110 Beispiel hatte ich Ihnen schon einige Jahre genannt. 51:55.110 --> 51:59.730 Hier ist ein Beispiel, das Sie noch nicht so richtig einordnen können. 51:59.830 --> 52:02.430 Hier steht, berechnen das 1-Komplement von W. 52:03.530 --> 52:05.550 Das 1-Komplement lernen wir später kennen. 52:06.190 --> 52:09.910 Das ist eine gewisse Möglichkeit, wie man irgendein Binärwort 52:09.910 --> 52:13.350 umwandeln kann in eine Darstellung. 52:13.350 --> 52:21.390 Wenn das also eine Zahl x ist, dann will ich das Komplement zu x 52:21.390 --> 52:22.030 berechnen. 52:22.230 --> 52:30.270 Das ist also im Prinzip 2 hoch n-1-x. 52:31.070 --> 52:35.810 Das ist in dem Fall ein Komplement. 52:36.670 --> 52:38.950 Kommen wir später drauf bei Zahlendarstellungen. 52:39.230 --> 52:44.790 Wenn ich Zahlen, positive und negative Zahlen darstellen will, dann 52:44.790 --> 52:47.290 stelle ich die negativen Zahlen dadurch solche Komplemente. 52:48.190 --> 52:52.290 Und das Witzige ist, man kann das genau erzeugen, indem man hier 52:52.290 --> 52:55.190 einfach die Bits alle kippt. 52:56.150 --> 52:59.350 Also wenn ich für x, wenn das irgendeine Binärkombination ist, 52:59.430 --> 53:05.070 irgendeine Zahl ist, eine Binärzahl, ist das 1-Komplement zu x gerade 53:05.070 --> 53:10.090 das Wort, das entsteht, wenn ich alle Bits kippe aus einer 1 eine 0 53:10.090 --> 53:11.190 und aus einer 0 eine 1 mache. 53:11.830 --> 53:14.790 Genau das solche Geschehen durch meine Turing-Maschine, also diese 53:14.790 --> 53:18.690 Funktion f, liefert für die leere Eingabe die leere Eingabe ab. 53:18.690 --> 53:23.250 Und für ein Wort, das mit einer 1 beginnt, wird ein Wort abgeliefert, 53:23.390 --> 53:25.650 das mit einer 0 beginnt. 53:25.730 --> 53:29.810 Und danach wird das Restwort entsprechend verarbeitet und andersrum 53:29.810 --> 53:31.190 aus 0 wird 1. 53:31.930 --> 53:34.050 Und die Turing-Maschine, die das macht, kann ich ganz einfach 53:34.050 --> 53:34.670 aufschreiben. 53:35.370 --> 53:40.550 Im Anfangszustand, wenn ich eine 0 sehe, im Anfangszustand schreibe 53:40.550 --> 53:43.930 ich eine 1 und gehe nach rechts und bleibe in dem Zustand. 53:43.930 --> 53:46.830 Und wenn ich eine 1 sehe, schreibe ich eine 0 und gehe nach rechts und 53:46.830 --> 53:47.770 bleibe in dem Zustand. 53:48.130 --> 53:51.290 Wenn ich das Wort vollständig abgearbeitet habe und das Leerzeichen 53:51.290 --> 53:55.790 sehe, gehe ich in Endzustand und mache gar nichts mehr, bzw. 53:55.990 --> 53:59.450 gehe nach links auf letzte Zeichen und von der 1 kann ich nichts mehr 53:59.450 --> 53:59.750 tun. 53:59.850 --> 54:00.850 S1 ist der Endzustand. 54:01.290 --> 54:04.530 Dann habe ich also hier eine ganz einfache Turing-Maschine, die das 1 54:04.530 --> 54:06.390 -Komplement einer Zahl berechnet. 54:07.390 --> 54:10.270 Wir kommen also später nochmal auf diese ganzen Zahlendarstellungen. 54:11.090 --> 54:14.310 Dann haben wir entsprechend jetzt weitere Begriffe. 54:14.550 --> 54:16.850 Wir haben jetzt Berechenbarkeit definiert über Turing-Maschinen. 54:17.330 --> 54:22.270 Jetzt können wir auch die Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit über 54:22.270 --> 54:23.310 Turing -Maschinen definieren. 54:23.750 --> 54:29.630 Wir können nämlich sagen, eine Menge ist Turing-aufzählbar, genau 54:29.630 --> 54:33.810 dann, wenn es eine surjektive Turing-berechenbare Funktion von N0 nach 54:33.810 --> 54:34.270 M gibt. 54:34.270 --> 54:40.030 Das heißt, wenn die Funktion für die Aufzählbarkeit gerade eine Turing 54:40.030 --> 54:41.270 -berechenbare Funktion ist. 54:41.910 --> 54:45.490 Und entsprechend Turing-entscheidbar, wenn die charakteristische 54:45.490 --> 54:46.790 Funktion Turing-berechenbar ist. 54:46.870 --> 54:49.410 Ich ersetze praktisch in allen Definitionen, die wir bisher hatten, 54:49.970 --> 54:51.990 berechenbar durch Turing-berechenbar. 54:53.310 --> 54:56.550 Offensichtlich sind alle Turing-berechenbaren Funktionen berechenbar, 54:56.650 --> 54:57.550 das ist sofort klar. 54:58.590 --> 55:01.730 Damit haben wir jetzt eine Teilklasse charakterisiert von Funktionen, 55:01.830 --> 55:03.070 die Turing-berechenbar sind. 55:03.070 --> 55:05.330 Teilklasse der berechenbaren Funktionen. 55:07.150 --> 55:11.070 Und es ist offensichtlich, M ist Turing-aufzählbar, genau wenn es eine 55:11.070 --> 55:14.890 Turing -Maschine gibt, die genau die Eingaben W aus M akzeptiert, aber 55:14.890 --> 55:17.150 für W nicht aus M eventuell nie stoppt. 55:19.570 --> 55:25.530 Und man nennt deswegen diese Turing-aufzählbaren Mengen auch semi 55:25.530 --> 55:26.510 -entscheidbar. 55:26.810 --> 55:29.810 Also das kann man sich leicht überlegen, dass das so der Fall ist, die 55:29.810 --> 55:31.170 Begriffe hatte ich Ihnen schon dargestellt. 55:31.170 --> 55:35.810 Und jetzt wollen wir uns folgendes weiteres überlegen. 55:37.850 --> 55:43.410 Wir haben in der Rechnerwelt, wir wollen ja allgemein über 55:43.410 --> 55:45.190 berechenbare Funktionen reden können. 55:46.090 --> 55:48.870 Ich habe jetzt als Modell die Turing-Maschine genannt. 55:49.630 --> 55:54.510 Sie haben in Ihren Hosentaschen oder vor sich stehen irgendeinen 55:54.510 --> 55:54.950 Rechner. 55:55.630 --> 55:59.630 In Ihrem Laptop oder in Ihrem Handy oder wer weiß wo. 56:01.310 --> 56:05.070 Das sind Rechner, die können nicht nur eine Funktion berechnen, die 56:05.070 --> 56:06.470 können viele Funktionen berechnen. 56:06.990 --> 56:11.150 Das heißt, wir erwarten eigentlich, dass unsere Rechner 56:11.150 --> 56:17.970 Universalrechner sind, in dem Sinne, dass sie jede beliebige 56:17.970 --> 56:20.130 berechenbare Funktion berechnen können. 56:20.790 --> 56:23.490 Unsere Turing-Maschine kann aber nur eine Funktion berechnen. 56:25.690 --> 56:28.090 Ist also kein gutes Modell. 56:28.130 --> 56:29.270 Sehr eingeschränkt. 56:29.610 --> 56:31.410 Jede Turing-Maschine berechnet eine Funktion. 56:32.850 --> 56:37.610 Wenn Sie sich genauer anschauen, den Universalrechner, den wir noch 56:37.610 --> 56:41.670 genauer kennenlernen werden, etwas später in der Vorlesung, dann ist 56:41.670 --> 56:46.210 das natürlich auch nur ein Automat, den Sie beliebig füttern können, 56:46.690 --> 56:47.490 mit Programmen. 56:48.190 --> 56:53.950 Sie können ein Programm eingeben in einen Rechner und dieses Programm 56:53.950 --> 56:55.070 berechnet eine Funktion. 56:55.890 --> 57:00.610 Wenn Sie also einen Rechner betrachten, in Bezug auf die Ausführung 57:00.610 --> 57:05.570 eines Programms, dann ist das ein Gerät, das eine Funktion berechnet, 57:05.730 --> 57:07.350 nämlich die Funktion dieses Programms. 57:09.490 --> 57:11.450 Jetzt ist die Idee, kann ich das nicht übertragen auf Turing 57:11.450 --> 57:11.810 -Maschinen? 57:11.810 --> 57:18.470 Kann ich nicht einfach sagen, ich schreibe einfach auf mein Band der 57:18.470 --> 57:24.450 Turing -Maschine ein Programm und dann schreibe ich dahinter noch 57:24.450 --> 57:28.210 irgendein Eingabewort und dann soll die Turing-Maschine alles das, was 57:28.210 --> 57:33.690 auf dem Band steht, interpretieren, geeignet, um das Wort, also ich 57:33.690 --> 57:37.690 habe hier mein großes Band, dann schreibe ich hier einfach erst mein 57:37.690 --> 57:43.710 Programm hin und dann schreibe ich hier das W hin, die Eingabe und 57:43.710 --> 57:48.290 dann soll meine Turing-Maschine, die hier unten dran sitzt und darauf 57:48.290 --> 57:52.750 das lesen kann, für jedes Zeichen, oder praktisch dieses Wort W, 57:52.910 --> 57:55.870 entsprechend bearbeiten, entsprechend dem, was hier in diesem 57:55.870 --> 57:57.050 Programmteil drin steht. 57:57.370 --> 57:59.990 Das kann man ja alles lesen und interpretieren und so weiter. 58:01.250 --> 58:03.950 Das heißt, die Frage ist, kann ich nicht einfach eine Turing-Maschine 58:03.950 --> 58:08.630 definieren, die das kann, die eine beliebige Beschreibung einer 58:08.630 --> 58:12.050 Rechenvorschrift auf dem Band akzeptiert, das ist hier meine 58:12.050 --> 58:18.210 Rechenvorschrift und dann das, was dort steht, geeignet umsetzt, in 58:18.210 --> 58:21.830 eine Bearbeitung dieses Wortes, das hier eingegeben wurde, um daraus 58:21.830 --> 58:25.690 dann irgendwann das F von W zu erzeugen. 58:27.790 --> 58:31.050 Wenn ich eine solche Turing-Maschine beschreiben könnte oder 58:31.050 --> 58:34.890 definieren könnte, dann ist die ja genauso universell wie unser 58:34.890 --> 58:38.710 normaler Rechner, der beliebiges Programm akzeptieren kann. 58:39.070 --> 58:42.690 Und das ist genau die Idee, die man hier verwendet. 58:44.510 --> 58:51.630 Ich möchte also das Verhalten einer beliebigen Turing-Maschine bei 58:51.630 --> 58:56.270 Eingabe von W simulieren können, mit einer universellen Turing 58:56.270 --> 58:56.950 -Maschine U. 58:57.770 --> 58:59.990 Das heißt, ich brauche eigentlich gar nicht, mir ganz viele Turing 58:59.990 --> 59:03.990 -Maschinen zu definieren, ich definiere mir eine und dann viele 59:03.990 --> 59:08.690 Beschreibungen von Turing-Maschinen, die mir im Prinzip jeweils dafür 59:08.690 --> 59:13.030 sorgen, dass das entsprechende Programm richtig interpretiert wird. 59:14.250 --> 59:19.750 Hier ist die Idee nochmal, auf das Band dieser universellen Turing 59:19.750 --> 59:24.090 -Maschine schreibe ich die Arbeitsweise einer Turing-Maschine rauf. 59:24.650 --> 59:27.990 Ich brauche ja nur die Tabelle raufzuschreiben, unsere Turing-Tafel, 59:28.510 --> 59:31.070 die schreibe ich einfach auf das Band einer anderen Maschine rauf. 59:32.950 --> 59:37.030 Und jetzt liest, hier steht irgendwo die Initialkonfiguration der 59:37.030 --> 59:42.010 Turing -Maschine und dann muss ich einfach nachschauen, was macht 59:42.010 --> 59:44.710 eigentlich die Turing-Maschine mit dieser entsprechenden 59:44.710 --> 59:45.530 Konfiguration. 59:45.530 --> 59:50.350 Das steht ja alles in dieser Arbeitsweise hier drin und dann wird das 59:50.350 --> 59:55.930 einfach angewandt und ich kann dann die nächste Konfiguration erzeugen 59:55.930 --> 59:57.150 und die nächste und die nächste. 59:57.950 --> 01:00:01.750 Ich erzeuge also alle Folgekonfigurationen von T, entsprechend der 01:00:01.750 --> 01:00:06.430 Arbeitsweise, die dort definiert wurde und wenn ich auf dem Band eine 01:00:06.430 --> 01:00:11.790 Endkonfiguration von T erzeugt habe, dann geht auch unsere universelle 01:00:11.790 --> 01:00:13.490 Turing -Maschine in eine Endkonfiguration. 01:00:14.550 --> 01:00:17.890 Das heißt, das simuliert genau das, was wir machen, wenn wir ein 01:00:17.890 --> 01:00:20.550 Programm schreiben und in unseren Rechner ausführen lassen. 01:00:21.830 --> 01:00:24.450 Genau das wird hier durch eine universelle Turing-Maschine gemacht. 01:00:25.790 --> 01:00:29.250 Und jetzt kann man natürlich annehmen, ich habe die Turing-Maschinen 01:00:29.250 --> 01:00:33.230 alle normiert, beschreibe die alle durch Nullen und Einzen. 01:00:34.190 --> 01:00:38.830 Das heißt, ich mache irgendeine binäre Inschrift und muss die geeignet 01:00:38.830 --> 01:00:39.570 interpretieren. 01:00:40.070 --> 01:00:41.010 Das kann man alles machen. 01:00:41.010 --> 01:00:45.550 Ich muss meine Zustandsmenge geeignet kodieren. 01:00:45.890 --> 01:00:47.810 Da habe ich irgendwie N Zustände drin. 01:00:48.210 --> 01:00:52.650 Die kann ich durch entsprechende Zahlen von 0 bis N oder 0 bis N-1 01:00:52.650 --> 01:00:53.990 gerade beschreiben. 01:00:54.550 --> 01:00:57.130 Ich habe einen Anfangszustand, ich habe eine Endzustandsmenge. 01:00:57.590 --> 01:00:59.090 All das muss ich geeignet kodieren. 01:01:00.150 --> 01:01:03.930 Und dann habe ich eine Kodierung, die dann zum Beispiel so aussieht. 01:01:04.830 --> 01:01:12.590 Ich habe bei einem Übergang von SJ und dem Zeichen BI auf ein SK, 01:01:12.910 --> 01:01:16.770 schreibe das Zeichen BR und mache eine Operation XM. 01:01:18.210 --> 01:01:23.070 Muss ich nur folgendes machen, ich kann das beschreiben durch J 01:01:23.070 --> 01:01:28.470 Einzen, davor eine 0, dann kommt wieder eine 0 und dann kommen hier I 01:01:28.470 --> 01:01:33.090 Einzen, es kommt wieder eine 0, es kommen K Einzen, es kommt wieder 01:01:33.090 --> 01:01:39.410 eine 0, es kommen jetzt R Einzen und dann habe ich wieder eine 0 und 01:01:39.410 --> 01:01:41.090 es kommen M Einzen. 01:01:41.390 --> 01:01:43.790 Das M kann sehr klein sein, weil ich hier nur drei verschiedene 01:01:43.790 --> 01:01:45.130 Operationen unterscheiden muss. 01:01:46.590 --> 01:01:47.270 Das ist sehr einfach. 01:01:47.490 --> 01:01:52.090 Aber das hier würde genau das kodieren, was hier steht. 01:01:54.110 --> 01:01:55.510 Durch 0 und 1 kodiert. 01:01:55.510 --> 01:01:57.390 Dann muss ich die geeignet voneinander trennen, dann muss ich 01:01:57.390 --> 01:02:00.150 vielleicht zwei Nullen machen, um diese unterschiedlichen Sachen 01:02:00.150 --> 01:02:01.070 voneinander zu trennen. 01:02:01.790 --> 01:02:04.350 Und auf die Art und Weise kann ich also eine solche Tabelle 01:02:04.350 --> 01:02:04.870 aufschreiben. 01:02:05.430 --> 01:02:09.170 Also die aktuelle Bandentschrift und der aktuelle Zustand sind durch 01:02:09.170 --> 01:02:11.210 Nullen getrennt und so weiter. 01:02:11.730 --> 01:02:18.930 So kann ich meine Turing-Tabelle aufschreiben auf das Band und ich 01:02:18.930 --> 01:02:20.190 kann das geeignet interpretieren. 01:02:20.190 --> 01:02:23.830 Ich muss eben immer nur zählen können, habe ich hier J Einzen oder I 01:02:23.830 --> 01:02:26.450 Einzen oder K Einzen, R Einzen oder M Einzen. 01:02:27.670 --> 01:02:30.710 Entsprechend muss ich das alles in meine Zustandsmenge meines 01:02:30.710 --> 01:02:34.530 Automaten geeignet kodieren und kann das dann ausführen. 01:02:35.390 --> 01:02:38.970 Und die Position des Schreiblesekopfes auf dem Band muss ich auch 01:02:38.970 --> 01:02:39.610 simulieren. 01:02:40.450 --> 01:02:43.830 Das mache ich durch drei aufeinanderfolgende Nullen vor dem zu 01:02:43.830 --> 01:02:46.750 lesenden Zeichen auf dem Band und bin dann damit auch fertig. 01:02:47.370 --> 01:02:50.890 Alles geeignet kodiert, kann man alles so machen und dann muss ich 01:02:50.890 --> 01:02:53.170 schrittweise die Turing-Maschine simulieren. 01:02:53.790 --> 01:02:56.890 Ich will Ihnen das jetzt nicht alles explizit formal hinschreiben, wie 01:02:56.890 --> 01:02:59.470 die Funktion genau aussieht von U, die genau das macht. 01:02:59.790 --> 01:03:02.450 Aber ich denke, Sie bekommen einen Eindruck davon, dass man das machen 01:03:02.450 --> 01:03:02.870 kann. 01:03:03.970 --> 01:03:07.490 Dass ich also die Arbeitsweise einer Turing-Maschine durch eine Folge 01:03:07.490 --> 01:03:09.170 von Nullen und Einzen beschreiben kann. 01:03:10.570 --> 01:03:13.990 Durch geeignete Kodierung mit wieder weiteren Nullen, ich eine 01:03:13.990 --> 01:03:16.710 Trennung herstellen kann zwischen der Beschreibung der Arbeitsweise 01:03:16.710 --> 01:03:23.550 und der Bandinschrift, kann andeuten, wo ich gerade bin. 01:03:24.210 --> 01:03:25.410 Also alles ist machbar. 01:03:26.270 --> 01:03:30.710 Das ist dann die Simulation einer solchen Turing-Maschine, die eben 01:03:30.710 --> 01:03:37.630 beginnt mit der Beschreibung der Arbeitsweise der Turing-Maschine mit 01:03:37.630 --> 01:03:42.850 der Anfangskonfiguration und dann entsprechend in einen neuen Zustand 01:03:42.850 --> 01:03:49.110 übergeht und neben dieser Anfangsarbeitsweise jetzt die Beschreibung 01:03:49.110 --> 01:03:53.550 der Folgekonfiguration hat und so weiter, bis man irgendwann auf eine 01:03:53.550 --> 01:03:57.510 Endkonfiguration kommt, sofern die Maschine tatsächlich anhält oder 01:03:57.510 --> 01:03:57.890 auch nicht. 01:03:58.770 --> 01:04:03.510 Das heißt, ich kann eine universelle Turing-Maschine angehen, eine 01:04:03.510 --> 01:04:05.430 beliebige Turing-Maschine simulieren. 01:04:06.610 --> 01:04:11.890 Und damit habe ich jetzt also die Möglichkeit, mit einer Turing 01:04:11.890 --> 01:04:15.150 -Maschine alle berechenbaren Funktionen zu berechnen. 01:04:17.210 --> 01:04:20.630 Ich kann natürlich auch alle möglichen Turing-Maschinen in eine feste 01:04:20.630 --> 01:04:21.430 Reihenfolge bringen. 01:04:22.070 --> 01:04:28.310 Ich muss ja nur meine Beschreibung der Turing-Maschinen mexikografisch 01:04:28.310 --> 01:04:29.410 anordnen zum Beispiel. 01:04:29.410 --> 01:04:37.510 Da kann ich alle aufschreiben und habe dann eine Anordnung dieser 01:04:37.510 --> 01:04:38.690 Turing -Maschinen. 01:04:40.550 --> 01:04:45.850 Dann kann ich natürlich alle möglichen Eingabewörter ebenfalls 01:04:45.850 --> 01:04:50.570 anordnen in eine feste Reihenfolge, wie 1, wie 2, wie 3. 01:04:52.510 --> 01:05:01.430 Und wenn ich das so mache, dann mache ich im Prinzip das gleiche, was 01:05:01.430 --> 01:05:02.710 ich vorher auch schon überlegt hatte. 01:05:04.370 --> 01:05:10.330 Gibt es eine Sprache, die ich nicht durch eine Turing-Maschine 01:05:10.330 --> 01:05:11.670 erzeugen kann? 01:05:14.560 --> 01:05:16.200 Beziehungsweise akzeptieren kann. 01:05:16.420 --> 01:05:18.140 Das wäre eine Sprache LNA. 01:05:18.980 --> 01:05:22.300 Und diese Sprache können wir uns ganz einfach, völlig analog zum 01:05:22.300 --> 01:05:29.160 Existenz einer nicht berechenbaren Funktion hier überlegen. 01:05:30.120 --> 01:05:32.080 Es gibt eine Turing-Maschine T. 01:05:34.360 --> 01:05:39.920 Also ich nehme an, kann diese Sprache NA erzeugen, mit einer Turing 01:05:39.920 --> 01:05:40.320 -Maschine. 01:05:41.680 --> 01:05:46.700 Dann gibt es natürlich, wegen der Abzählbarkeit der Menge der Turing 01:05:46.700 --> 01:05:48.840 -Maschinen, das hatten wir gesagt, wir können uns die alle so 01:05:48.840 --> 01:05:52.540 anordnen, wir können also eine Abzählbarkeit auf jeden Fall 01:05:52.540 --> 01:05:53.220 postulieren. 01:05:53.860 --> 01:05:59.160 Dann gibt es eine Turing-Maschine TJ, die gerade diese Turing-Maschine 01:05:59.160 --> 01:06:02.520 ist, die die Sprache NA akzeptiert. 01:06:02.520 --> 01:06:06.020 Und jetzt kommt das Gleiche. 01:06:07.600 --> 01:06:11.640 Das WJ, hier diese Sprache NA, ist eine besondere Sprache. 01:06:11.840 --> 01:06:18.960 WI ist in der Sprache, wenn WI nicht aus der Sprache der ITEN-Turing 01:06:18.960 --> 01:06:19.940 -Maschine ist. 01:06:20.520 --> 01:06:23.460 Also wieder so eine Diagonalisierungssprache, genau wie vorher die 01:06:23.460 --> 01:06:25.140 Diagonalisierungsfunktion. 01:06:28.560 --> 01:06:33.280 Wenn ich also eine Turing-Maschine hätte, die diese Sprache 01:06:33.280 --> 01:06:37.840 akzeptieren kann, bei der gerade das Wort WI nicht aus der Sprache der 01:06:37.840 --> 01:06:42.500 Turing -Maschine TI ist, dann weiß ich, die Turing-Maschine ist 01:06:42.500 --> 01:06:44.360 irgendeine Turing-Maschine TJ. 01:06:45.320 --> 01:06:51.300 Das WJ ist also in der Sprache LNA, genau dann, wenn WJ aus L von T 01:06:51.300 --> 01:06:53.940 ist, weil ich annehme, L von T ist gleich LNA. 01:06:55.700 --> 01:07:00.900 Dann ist das WJ aber aus L von TJ, weil ich sage, T ist gleich TJ. 01:07:01.960 --> 01:07:06.840 Wenn aber das WJ aus L von TJ ist, ist WJ nicht aus LNA wegen dieser 01:07:06.840 --> 01:07:07.080 Definition. 01:07:09.560 --> 01:07:12.600 Und das heißt, ich habe hier einen Widerspruch, kann ja nicht sein, 01:07:12.740 --> 01:07:15.560 dass WJ aus LNA ist, genau wie wenn es nicht aus LNA ist. 01:07:15.940 --> 01:07:20.580 Das heißt, die Annahme, ich kann diese Sprache hier erzeugen durch 01:07:20.580 --> 01:07:23.080 eine Turing-Maschine, ist falsch. 01:07:23.940 --> 01:07:26.700 Es gibt eine Sprache, die kann ich nicht durch eine Turing-Maschine 01:07:26.700 --> 01:07:27.980 akzeptieren. 01:07:28.280 --> 01:07:31.800 Ich kann Ihnen die nicht explizit hinschreiben, aber es gibt eine 01:07:31.800 --> 01:07:34.040 solche Sprache, die ich hier formal definiert habe. 01:07:35.300 --> 01:07:38.140 Und das heißt, diese Sprache ist nicht durch eine Turing-Maschine 01:07:38.140 --> 01:07:38.980 berechenbar. 01:07:41.680 --> 01:07:44.680 Also, es gibt Sprachen, die nicht in L0 enthalten sind. 01:07:45.220 --> 01:07:50.340 L0 waren ja alle Sprachen, die ich durch Turing-Maschinen akzeptieren 01:07:50.340 --> 01:07:57.020 kann, beziehungsweise die erzeugt werden können von Typ-0 Grammatiken. 01:07:58.260 --> 01:08:01.040 Und dann ist die Frage, wie kann ich überhaupt Turing-Maschinen 01:08:01.040 --> 01:08:01.840 konstruieren? 01:08:03.000 --> 01:08:06.960 Das macht man einfach so, dass man elementare Funktionen sich hier 01:08:06.960 --> 01:08:11.460 nimmt, für die einfache Turing-Maschine aufschreibt und dann einfach 01:08:11.460 --> 01:08:16.040 für Addition, Multiplikation und Vergleich sich weitere erzeugt. 01:08:16.040 --> 01:08:20.060 Also ich erzeuge mir eine Turing-Maschine, die irgendwelche 01:08:20.060 --> 01:08:23.780 elementaren Anweisungen machen kann und schreibe dann auf, wie die 01:08:23.780 --> 01:08:25.440 Hintereinanderausführung aussehen soll. 01:08:25.520 --> 01:08:27.460 Ich kann eine Wiederholung machen, ich kann eine Verzweigung 01:08:27.460 --> 01:08:32.500 definieren und kann dann das im Prinzip aufschreiben als Verknüpfung 01:08:32.500 --> 01:08:33.460 von Turing-Maschinen. 01:08:34.100 --> 01:08:37.380 Und Sie sehen, das sind Beschreibungen von Turing-Maschinen, die auf 01:08:37.380 --> 01:08:40.280 einmal sehr ähnlich aussehen wie programmiersprachliche 01:08:40.280 --> 01:08:40.940 Beschreibungen. 01:08:41.500 --> 01:08:45.500 Das heißt im Prinzip erzeuge ich mit einer, wenn ich eine Turing 01:08:45.500 --> 01:08:50.000 -Maschine konstruiere, ein höhersprachliches Programm und ich habe die 01:08:50.000 --> 01:08:52.940 Analogie hinbekommen zwischen den Turing-Maschinen und 01:08:52.940 --> 01:08:54.260 höhersprachlichen Programmen. 01:08:56.020 --> 01:08:59.480 Jetzt ist es so, dass, das muss ich jetzt noch ganz kurz, dann bin ich 01:08:59.480 --> 01:09:03.500 am Ende eines wohldefinierten Abschnitts, es ist sicherlich so, dass 01:09:03.500 --> 01:09:07.060 jede Turing-berechenbare Funktion auch intuitiv berechenbar ist. 01:09:07.720 --> 01:09:10.760 Und die Turing-Maschine war das erste formale Modell zur 01:09:10.760 --> 01:09:13.260 Charakterisierung intuitiv berechenbarer Funktionen. 01:09:13.760 --> 01:09:16.460 Jetzt kann ich viele andere Sachen angeben. 01:09:16.620 --> 01:09:21.000 Ich kann den Lambda-Kalkül angeben, ich kann Postsysteme angeben, ich 01:09:21.000 --> 01:09:25.980 kann sehr viele verschiedene Formalisierungen berechenbarer Funktionen 01:09:25.980 --> 01:09:26.440 angeben. 01:09:27.280 --> 01:09:33.920 Und der Wissenschaftler Church hat diese Hypothese formuliert, der 01:09:33.920 --> 01:09:37.740 sagt, jede im intuitiven Sinne berechenbare Funktion ist auch Turing 01:09:37.740 --> 01:09:38.360 -berechenbar. 01:09:38.840 --> 01:09:41.200 Das ist eine These, weil ich sie nicht beweisen kann. 01:09:41.860 --> 01:09:45.060 Weil ich nicht sagen kann, was ist eine intuitiv berechenbare 01:09:45.060 --> 01:09:45.640 Funktion. 01:09:46.500 --> 01:09:48.380 Ich sage, die ist auch Turing-berechenbar. 01:09:48.520 --> 01:09:52.120 Das heißt, was immer ich mir für ein Modell mache für eine 01:09:52.120 --> 01:09:55.560 berechenbare Funktion, kann ich das überführen auf eine Turing 01:09:55.560 --> 01:09:56.600 -berechenbare Funktion. 01:09:57.380 --> 01:10:00.820 Und das ist die Church-These, die also die Grundlage darstellt dafür, 01:10:00.820 --> 01:10:05.160 dass ich mir für beliebige Fragestellungen auch unterschiedliche 01:10:05.160 --> 01:10:06.340 Modelle hernehmen kann. 01:10:06.940 --> 01:10:09.420 Ich muss nicht alles mit Turing-Maschinen machen, ich kann es auch mit 01:10:09.420 --> 01:10:14.220 anderen machen, aber diese intuitiv berechenbaren Funktionen sind im 01:10:14.220 --> 01:10:15.600 Prinzip alle Turing-berechenbar. 01:10:15.680 --> 01:10:17.500 Ich könnte mich also auf Turing-Maschinen beschränken. 01:10:18.060 --> 01:10:20.840 Wir werden das nicht tun, wir werden sehr schnell davon wegkommen und 01:10:20.840 --> 01:10:25.180 andere Maschinen betrachten, aber im Prinzip kann ich das so machen. 01:10:25.900 --> 01:10:29.560 Und man meint sogar, dass eben die Turing-Maschinen sogar die 01:10:29.560 --> 01:10:33.440 Rechenzeit bis auf polynomielle Faktoren richtig erfassen. 01:10:33.960 --> 01:10:39.220 Das heißt, ein Problem ist genau dann effizient polynomiell lösbar, 01:10:39.740 --> 01:10:45.780 also wenn ich die Problemgröße N habe, in Zeit O von N hoch K für 01:10:45.780 --> 01:10:49.500 irgendein Polynom, wenn es von Turing-Maschinen in polynomieller Zeit 01:10:49.500 --> 01:10:50.480 gelöst werden kann. 01:10:52.980 --> 01:10:56.460 Dann, Folgerung der Church-Synthese, die man natürlich nicht beweisen 01:10:56.460 --> 01:10:59.660 kann, weil ich nicht beweisen kann, was es heißt, dass etwas intuitiv 01:10:59.660 --> 01:11:00.340 berechenbar ist. 01:11:00.440 --> 01:11:02.040 Das ist kein formales Modell. 01:11:03.260 --> 01:11:07.320 Ich kann also in Bezug auf die Berechenbarkeit mich darauf 01:11:07.320 --> 01:11:09.260 beschränken, Turing-Maschinen zu betrachten. 01:11:09.880 --> 01:11:13.140 Ich darf aber, wenn ich andere Fragestellungen habe, bei denen die 01:11:13.140 --> 01:11:15.360 Turing -Maschine nicht so gut geeignet ist, auch andere Modelle 01:11:15.360 --> 01:11:18.060 verwenden, von denen ich Ihnen eigentlich kein einziges vorgeführt 01:11:18.060 --> 01:11:18.360 habe. 01:11:18.360 --> 01:11:21.440 Es gibt andere Modelle, wie sogenannte Postmaschinen, Postschirm 01:11:21.440 --> 01:11:24.700 -Modelle, es gibt den Lambda-Kalkül, es gibt myorekursive Funktionen, 01:11:24.920 --> 01:11:29.000 es gibt eine ganze Reihe verschiedener Charakterisierungen von 01:11:29.000 --> 01:11:32.480 berechenbaren Funktionen und jede dieser darf man verwenden, weil sie 01:11:32.480 --> 01:11:33.780 äquivalent sind zur Turing-Maschine. 01:11:33.920 --> 01:11:36.240 Das kann man alles beweisen, dass Postmaschinen äquivalent sind zur 01:11:36.240 --> 01:11:39.700 Turing -Maschine, dass Lambda-Kalkül äquivalent ist zur Turing 01:11:39.700 --> 01:11:44.220 -Maschine, dass die rekursiven Funktionen dazu äquivalent sind und so 01:11:44.220 --> 01:11:44.500 weiter. 01:11:44.640 --> 01:11:48.300 Das kann man von den verschiedenen Modellen zeigen können und deswegen 01:11:48.300 --> 01:11:49.260 diese Churchill-These. 01:11:50.400 --> 01:11:53.820 Also, das sind die ganzen Erkenntnisse, die man hier gewinnen kann. 01:11:54.020 --> 01:11:56.820 Jede aufzählbare Menge ist natürlich auch Turing-aufzählbar und 01:11:56.820 --> 01:12:00.460 umgekehrt wegen dieser Churchill-These und es ist so, dass jede 01:12:00.460 --> 01:12:02.680 entscheidbare Menge auf Turing-entscheidbar ist. 01:12:03.620 --> 01:12:09.640 Alles im Sinne dieser Churchill-These, das ist im Wesentlichen der 01:12:09.640 --> 01:12:10.140 Berechenbarkeitsbegriff. 01:12:11.280 --> 01:12:14.220 Und jetzt kommen wir zu einem Problem, bei dem ich Ihnen jetzt 01:12:14.220 --> 01:12:18.700 tatsächlich zeigen möchte, das ist ein Problem, das sehr einfach 01:12:18.700 --> 01:12:21.480 formulierbar ist und wir werden zeigen, dieses Problem ist nicht 01:12:21.480 --> 01:12:22.160 entscheidbar. 01:12:22.660 --> 01:12:27.760 Das ist folgende Frage, mit der man durchaus zu tun haben kann in 01:12:27.760 --> 01:12:28.760 dieser Praxis. 01:12:30.440 --> 01:12:33.680 Und aus dieser Frage folgen viele andere, die sehr praxisrelevant 01:12:33.680 --> 01:12:34.120 sind. 01:12:34.720 --> 01:12:37.340 Die Frage ist, gibt es einen Algorithmus, der für jedes beliebige 01:12:37.340 --> 01:12:41.320 Programm entscheidet, ob das Programm bei Eingabe eines beliebigen 01:12:41.320 --> 01:12:43.300 Wortes hält oder nicht. 01:12:45.560 --> 01:12:48.040 Ein beliebiges Programm, ich sage jetzt hier nicht Turing-Maschine, 01:12:48.140 --> 01:12:49.300 sondern ein beliebiges Programm. 01:12:50.260 --> 01:12:54.100 Ich kann aber, weil ich weiß, ein Programm beschreibt eine 01:12:54.100 --> 01:12:57.500 berechenbare Funktion, kann ich auch fragen, gibt es eine Turing 01:12:57.500 --> 01:13:02.340 -Maschine, die für jede Turing-Maschine T entscheidet, ob T bei 01:13:02.340 --> 01:13:03.620 Eingabe W hält oder nicht. 01:13:03.720 --> 01:13:05.480 Wir hatten ja gesehen, es gibt eine universelle Turing-Maschine. 01:13:06.180 --> 01:13:08.980 Diese universelle Turing-Maschine, die kann jede andere simulieren. 01:13:09.620 --> 01:13:12.400 Jetzt die Frage, gibt es auch eine, die die nicht nur simuliert, 01:13:12.400 --> 01:13:17.960 sondern die einfach diese Frage beantwortet, hält die Maschine bei 01:13:17.960 --> 01:13:19.540 Eingabe von W oder nicht. 01:13:21.200 --> 01:13:24.620 Und das Problem ist natürlich, wenn ich sage, die entscheidet das, 01:13:25.240 --> 01:13:28.180 dann muss die mir sagen können, diese Maschine wird nicht halten bei 01:13:28.180 --> 01:13:28.980 Eingabe von W. 01:13:29.920 --> 01:13:33.100 Wenn sie aber die Maschine simuliert, dann hält sie selber nicht, dann 01:13:33.100 --> 01:13:34.000 kann sie mir nichts mehr sagen. 01:13:36.040 --> 01:13:38.620 Das könnte ja sein, dass man die Maschine analysieren kann, die 01:13:38.620 --> 01:13:42.300 Beschreibung einer Maschine analysieren kann, so dass man feststellen 01:13:42.300 --> 01:13:45.740 kann, ob die Maschine bei Eingabe von irgendeinem Wort halten wird 01:13:45.740 --> 01:13:46.240 oder nicht. 01:13:47.600 --> 01:13:50.480 Wenn man die simuliert, eine Maschine, die bei Eingabe eines Wortes 01:13:50.480 --> 01:13:53.300 nicht hält, dann hält die simulierende Maschine natürlich auch nicht. 01:13:54.280 --> 01:13:55.700 Also ist das eine andere Frage. 01:13:56.220 --> 01:14:04.740 Und das ist so die Frage, naja, wenn ich als Übungsleiter Aufgaben von 01:14:04.740 --> 01:14:06.980 Studenten bearbeiten möchte und die liefern mir alle möglichen Turing 01:14:06.980 --> 01:14:10.080 -Maschinen ab, ich möchte gerne überprüfen können, sind das eigentlich 01:14:10.080 --> 01:14:11.040 vernünftige Programme. 01:14:12.160 --> 01:14:17.400 Und man kann also leicht zeigen, dass man auch damit das Problem 01:14:17.400 --> 01:14:21.040 festzustellen, ob zwei Programme, die mir geliefert werden, das 01:14:21.040 --> 01:14:21.880 gleiche tun. 01:14:23.220 --> 01:14:25.080 Auch das ist dann auf einmal nicht entscheidbar. 01:14:25.160 --> 01:14:26.360 Da kommen wir später nochmal drauf zurück. 01:14:26.960 --> 01:14:28.840 Und das sieht doch aus wie eine ganz übliche Aufgabe. 01:14:29.280 --> 01:14:32.920 Ich bekomme irgendwelche schönen Turing-Maschinen geliefert, 01:14:33.040 --> 01:14:37.640 irgendwelche Beschreibungen von 550 Studenten oder 600 Studenten und 01:14:37.640 --> 01:14:41.100 da zu überprüfen per Hand, sind die jetzt eigentlich diese speziellen 01:14:41.100 --> 01:14:43.780 Maschinen, halten die für jede Eingabe an oder nicht. 01:14:44.340 --> 01:14:47.360 Das kann man natürlich für eine spezielle Maschine überlegen, ob das 01:14:47.360 --> 01:14:48.360 das tut oder nicht. 01:14:48.840 --> 01:14:52.160 Aber ich kann nicht einen Algorithmus entwerfen, der das für alle tut. 01:14:52.860 --> 01:14:55.420 Und das ist ziemlich frustrierend. 01:14:55.480 --> 01:14:56.920 Und das ist auch ein praktisches Problem. 01:14:57.540 --> 01:15:00.280 Und trotzdem habe ich hier ein Problem, wo ich sagen kann, das ist ein 01:15:00.280 --> 01:15:01.760 Problem, das kann ich nicht entscheiden. 01:15:02.600 --> 01:15:05.000 Warum das so ist, wollen wir uns heute klar machen. 01:15:05.460 --> 01:15:06.800 Das ist gar nicht so schwer einzusehen. 01:15:07.540 --> 01:15:10.220 Dieses Problem nennt man das Halteproblem für Turing-Maschinen. 01:15:10.740 --> 01:15:12.440 Man könnte auch sagen, das Halteproblem für Programme. 01:15:13.060 --> 01:15:15.600 Aber formal beweisen tun wir das für die Turing-Maschinen, für dieses 01:15:15.600 --> 01:15:16.280 formale Modell. 01:15:17.760 --> 01:15:21.400 Und dieses Halteproblem für Turing-Maschinen ist unentscheidbar. 01:15:21.820 --> 01:15:25.660 Das ist also ein wesentlicher Satz über die Berechenbarkeit von 01:15:25.660 --> 01:15:27.080 Funktionen bzw. 01:15:28.100 --> 01:15:29.720 Entscheidbarkeit von Problemen. 01:15:30.280 --> 01:15:34.400 Und wir machen das so, dass wir einfach annehmen, es sei entscheidbar. 01:15:36.100 --> 01:15:38.760 Wenn wir annehmen, das Problem ist entscheidbar. 01:15:39.580 --> 01:15:41.500 Was heißt ein Problem ist entscheidbar? 01:15:41.840 --> 01:15:44.740 Dann heißt das, ich kann das mit einem Algorithmus entscheiden. 01:15:45.380 --> 01:15:48.720 Also gibt es dann eine Turing-Maschine H für Halten. 01:15:49.220 --> 01:15:53.400 Also die Haltemaschine oder die Maschine, die das Halteproblem löst. 01:15:54.040 --> 01:15:58.520 Die entscheidet, ob eine beliebige Turing-Maschine T angesetzt auf ein 01:15:58.520 --> 01:16:01.300 beliebiges Wort W hält oder nicht. 01:16:02.200 --> 01:16:03.640 Wir nehmen einfach an, das geht. 01:16:04.700 --> 01:16:07.780 Und dann müssen wir uns überlegen, ob wir daraus schließen können, 01:16:08.340 --> 01:16:13.400 dass eine Aussage bewiesen wird, von der wir wissen, dass sie falsch 01:16:13.400 --> 01:16:13.780 ist. 01:16:16.660 --> 01:16:20.140 Wenn wir also aus dieser Annahme etwas schließen können, von dem wir 01:16:20.140 --> 01:16:23.120 wissen, dass es falsch ist, dann war die Annahme falsch. 01:16:28.120 --> 01:16:30.480 Also, oder da haben wir eben Widerspruch daraus. 01:16:30.740 --> 01:16:35.240 Wir nehmen an, die Turing-Maschine H existiert. 01:16:36.220 --> 01:16:39.480 Und wir zeigen daraus, dass wir dann eine Turing-Maschine konstruieren 01:16:39.480 --> 01:16:42.360 können, die diese Sprache LNA akzeptiert. 01:16:43.640 --> 01:16:46.720 Wir wissen aber, es kann keine Turing-Maschine geben, die die Sprache 01:16:46.720 --> 01:16:47.480 LNA akzeptiert. 01:16:47.480 --> 01:16:50.380 Das habe ich letztes Mal gezeigt, das war der wesentliche Grund, warum 01:16:50.380 --> 01:16:53.300 ich Ihnen zeigen musste, es gibt keine Turing-Maschine, die die 01:16:53.300 --> 01:16:54.720 Sprache LNA akzeptiert. 01:16:57.080 --> 01:17:03.160 Und diese Maschine T, von der wir zeigen werden, wenn es eine Maschine 01:17:03.160 --> 01:17:07.240 H gibt, die das Halteproblem löst, dann kann ich eine Maschine T 01:17:07.240 --> 01:17:11.620 konstruieren, die die Sprache LNA akzeptiert, die werden wir jetzt wie 01:17:11.620 --> 01:17:12.540 folgt konstruieren. 01:17:12.540 --> 01:17:14.520 Das kommt jetzt auf dieser Folie. 01:17:15.760 --> 01:17:16.940 Was ist die Eingabe? 01:17:17.920 --> 01:17:21.760 Wir wollen also zeigen, wir können eine Turing-Maschine konstruieren, 01:17:21.960 --> 01:17:23.960 die diese Sprache LNA akzeptiert. 01:17:23.960 --> 01:17:35.370 LNA war die Sprache, das war die folgende Sprache, die Sprache W. 01:17:36.330 --> 01:17:38.290 Quatsch, die Menge aller Wörter W. 01:17:39.730 --> 01:17:45.950 Ich hatte gerade gesagt, die Menge aller WI, sodass WI nicht aus der 01:17:45.950 --> 01:17:48.970 Sprache ist, der I die Turing-Maschine. 01:17:49.950 --> 01:17:50.930 Das war das LNA. 01:17:55.650 --> 01:17:59.510 Wobei wir eben davon ausgehen, eigentlich hätte ich schreiben müssen, 01:17:59.750 --> 01:18:00.350 Menge aller W, 01:18:04.310 --> 01:18:10.690 sodass, das W hat ja irgendeinen Index, dass die Maschine mit dem 01:18:10.690 --> 01:18:14.450 Index dieses Wortes eine Sprache akzeptiert, in der das WI selbst 01:18:14.450 --> 01:18:14.970 nicht drin ist. 01:18:15.790 --> 01:18:18.290 Das ist hier aber nochmal dargestellt, so wie letztes Mal auch. 01:18:18.290 --> 01:18:22.730 Das ist also die Eingabe, wir wollen jetzt für ein Wort W überprüfen, 01:18:23.050 --> 01:18:25.790 ob dieses Wort in der Sprache LNA drin ist oder nicht. 01:18:25.970 --> 01:18:31.910 Das heißt, dieser Algorithmus, die Maschine soll uns sagen, ja, wenn 01:18:31.910 --> 01:18:34.370 das Wort aus LNA ist. 01:18:35.010 --> 01:18:38.570 Und andernfalls soll die Maschine sagen, nein. 01:18:39.110 --> 01:18:39.850 True oder false. 01:18:40.730 --> 01:18:41.870 Soll ja oder nein sagen. 01:18:43.150 --> 01:18:44.050 Was mache ich? 01:18:44.130 --> 01:18:47.970 Ich muss erstmal rausfinden, was ist der Index dieses Wortes. 01:18:47.970 --> 01:18:48.630 Ein W. 01:18:49.350 --> 01:18:52.530 Also bestimme ich erstmal den Index dieses Wortes. 01:18:53.070 --> 01:18:54.230 Das kann ich machen. 01:18:54.750 --> 01:18:58.250 Die Ordnung, wie ich also die Wörter über einem Alphabet E 01:18:58.250 --> 01:19:02.410 aufschreiben kann, das hatten wir uns überlegt. 01:19:02.570 --> 01:19:06.890 Das ist etwas, was ich hier auf jeden Fall hinschreiben kann. 01:19:06.970 --> 01:19:10.090 Ich kann genau den Index des Wortes bestimmen in Bezug auf eine 01:19:10.090 --> 01:19:11.190 Anordnung dieser Wörter. 01:19:11.850 --> 01:19:13.650 Die Anordnung kann ich berechenbar gestalten. 01:19:14.470 --> 01:19:24.230 Ich bestimme mein Ti, die Beschreibung der Iten-Turing-Maschine. 01:19:24.730 --> 01:19:30.890 Ich kann die Beschreibung der Turing-Maschinen alle aufschreiben und 01:19:30.890 --> 01:19:34.370 kann so den Index der Iten-Turing-Maschine bestimmen. 01:19:35.430 --> 01:19:37.630 Jede Turing-Maschine hat irgendeinen Index. 01:19:37.810 --> 01:19:40.530 Ich kann also die Ite-Turing-Maschine bestimmen, das Ti. 01:19:41.210 --> 01:19:46.750 Und jetzt simuliere ich die Maschine H. 01:19:47.650 --> 01:19:52.410 Also in diesem Algorithmus, den ich hier baue, simuliere ich jetzt die 01:19:52.410 --> 01:19:53.170 Maschine H. 01:19:53.270 --> 01:19:56.150 Die Maschine H war die Haltemaschine. 01:19:56.250 --> 01:20:00.230 Die Maschine, die überprüft, ob eine beliebige Turing-Maschine für 01:20:00.230 --> 01:20:01.950 eine beliebige Eingabe hält oder nicht. 01:20:03.230 --> 01:20:10.710 Also ich frage, das ist die Simulation, ich frage, hält die Maschine 01:20:10.710 --> 01:20:12.710 Ti angesetzt auf Wi an? 01:20:13.370 --> 01:20:16.350 Diese Frage kann die Maschine H beantworten. 01:20:16.670 --> 01:20:17.550 Das war die Annahme. 01:20:18.790 --> 01:20:22.890 Die Maschine H simuliere ich jetzt mit meiner Turing-Maschine T, die 01:20:22.890 --> 01:20:23.970 ich hier konstruieren möchte. 01:20:25.610 --> 01:20:32.590 Also ich lasse im Prinzip H laufen und bekomme von H, von dieser 01:20:32.590 --> 01:20:35.670 Turing -Maschine eine Antwort auf diesen Test. 01:20:36.430 --> 01:20:38.470 Hält Ti angesetzt auf Wi? 01:20:39.670 --> 01:20:46.790 Wenn ich die Antwort habe, dann kann ich entsprechend der Antwort 01:20:46.790 --> 01:20:48.150 unterschiedlich vorgehen. 01:20:48.890 --> 01:20:54.550 Das heißt, wenn sie hält, dann nehme ich meine universelle Turing 01:20:54.550 --> 01:21:00.990 -Maschine her und simuliere die Turing-Maschine Ti mit der Eingabe Wi. 01:21:02.410 --> 01:21:06.490 Die Turing-Maschine Ti ist irgendeine Turing-Maschine, die kann ich 01:21:06.490 --> 01:21:10.410 simulieren mit U, mit meiner universellen Turing-Maschine und kann sie 01:21:10.410 --> 01:21:16.810 auf Wi laufen lassen, auf Wi arbeiten lassen und bekomme dann von 01:21:16.810 --> 01:21:20.650 dieser Turing-Maschine, da sie ja hält, das steht hier oben, in 01:21:20.650 --> 01:21:23.070 endlicher Zeit eine Antwort auf diese Frage. 01:21:23.690 --> 01:21:25.490 Ist Wi aus L von Ti? 01:21:26.530 --> 01:21:30.450 Ich weiß, diese Antwort wird mir in endlicher Zeit geliefert, weil die 01:21:30.450 --> 01:21:33.190 Maschine ja hält. 01:21:34.010 --> 01:21:39.250 Ich bin in diesem Zweig drin, dieses If-Statements, die Maschine hält. 01:21:39.730 --> 01:21:42.610 Weil sie hält, kann ich diese Frage stellen, ich bekomme nach endlich 01:21:42.610 --> 01:21:47.350 vielen Schritten die Antwort, ist das Wort Wi aus L von Ti oder nicht? 01:21:47.650 --> 01:21:54.430 Wenn es aus L von Ti ist, dann wissen wir, kann das Wort Wi nicht in 01:21:54.430 --> 01:21:58.150 der Sprache LNA sein, das heißt die Ausgabe muss dann sein falsch. 01:21:59.230 --> 01:22:04.450 Wenn das Wi nicht aus L von Ti ist, dann wissen wir, das Element Wi 01:22:04.450 --> 01:22:05.610 ist in LNA drin. 01:22:06.330 --> 01:22:07.990 Dann haben wir also diese Entscheidung getroffen. 01:22:09.650 --> 01:22:15.590 Das war der Zweig für die Aussage, das Ti hält, angesetzt auf Wi an. 01:22:16.410 --> 01:22:22.590 Und wenn das Ti nicht hält, angesetzt auf Wi, dann wissen wir, dieses 01:22:22.590 --> 01:22:28.870 Wort Wi kann von L von Ti nicht akzeptiert werden, hält nicht in 01:22:28.870 --> 01:22:31.670 endlicher Zeit an, das hat uns die Haltemaschine gesagt. 01:22:32.250 --> 01:22:38.030 Und deswegen müssen wir auch dann sagen, dieses Wort Wi ist dann 01:22:38.030 --> 01:22:42.470 natürlich in LNA, weil das Wort Wi nicht in der Sprache von Ti ist. 01:22:43.850 --> 01:22:46.250 Die Maschine Ti hält ja nicht an auf Wi. 01:22:46.250 --> 01:22:51.710 Und damit haben wir genau entscheiden können, oder nicht entscheiden 01:22:51.710 --> 01:23:00.510 können, sondern festlegen können, wie diese Sprache LNA von einer 01:23:00.510 --> 01:23:02.630 Turing -Maschine akzeptiert werden kann. 01:23:04.150 --> 01:23:08.270 Die sind genau die Schritte und das Wesentliche war, dieser Punkt, 01:23:10.350 --> 01:23:17.590 diese Annahme, wir können durch eine Turing-Maschine H überprüfen, ob 01:23:17.590 --> 01:23:22.550 die Turing-Maschine Ti bei Eingabe des Wortes Wi hält oder nicht. 01:23:23.170 --> 01:23:26.170 Das war die entscheidende Annahme, denn sobald wir das entscheiden 01:23:26.170 --> 01:23:31.470 können, können wir auch die Frage beantworten, ob Wi aus L von Ti ist 01:23:31.470 --> 01:23:36.110 oder nicht und können damit genau diese Antwort geben auf die Frage, 01:23:36.250 --> 01:23:38.470 ob Wi in LNA ist oder nicht. 01:23:39.350 --> 01:23:43.410 Und das ist eindeutig ein Widerspruch zu unserem kurzen Beweis, dass 01:23:43.410 --> 01:23:46.490 die Sprache LNA von keiner Turing-Maschine akzeptiert werden kann. 01:23:47.790 --> 01:23:51.190 Hier zeige ich, wie das trotzt, wie das geht, basiert aber auf der 01:23:51.190 --> 01:23:56.050 Annahme, dass ich diese Frage in endlicher Zeit beantworten kann. 01:23:56.550 --> 01:23:57.950 Also muss die Annahme falsch sein. 01:23:59.750 --> 01:24:02.850 Das ist die wesentliche Annahme, ich habe angenommen, ich kann 01:24:02.850 --> 01:24:06.270 entscheiden, daraus folgt eine Aussage, von der ich weiß, dass sie 01:24:06.270 --> 01:24:09.330 falsch ist, also kann das nicht gestimmt haben. 01:24:10.090 --> 01:24:16.150 Und damit wissen wir, dass die Annahme nicht gilt. 01:24:16.510 --> 01:24:20.210 Es kann nicht sein, dass das Halteproblem entscheidbar ist. 01:24:20.430 --> 01:24:26.070 Das ist also die wesentliche Aussage und damit wissen wir, das 01:24:26.070 --> 01:24:27.430 Halteproblem ist unentscheidbar. 01:24:27.610 --> 01:24:30.070 Können Sie sagen, das Halteproblem interessiert mich nicht. 01:24:30.990 --> 01:24:34.010 Wir werden sehen, dass es eine ganze Reihe anderer Fragen gibt, die 01:24:34.010 --> 01:24:35.870 daraus folgen, die auch unentscheidbar sind. 01:24:37.810 --> 01:24:44.130 Kurze Bemerkung, wenn ich mich jetzt nur konzentriere auf eine 01:24:44.130 --> 01:24:50.990 Teilmenge, ich definiere eine Sprache LH, H für Haltend, das ist die 01:24:50.990 --> 01:24:54.930 Menge aller Wörter, die bestehen aus einer Beschreibung einer Turing 01:24:54.930 --> 01:24:59.550 -Maschine und einem Wort, sodass diese Turing-Maschine T angesetzt auf 01:24:59.550 --> 01:25:00.210 W hält. 01:25:00.830 --> 01:25:05.210 Das ist eine gewisse Sprache, kann ich als Sprache über 0,1 01:25:05.210 --> 01:25:09.030 definieren, entsprechend einer Kodierung der Turing-Maschine, 01:25:09.250 --> 01:25:13.290 Kodierung des Wortes, sodass das T angesetzt auf W hält. 01:25:13.470 --> 01:25:17.670 Das wäre also die Menge aller Beschreibungen von haltenden Instanzen 01:25:17.670 --> 01:25:18.910 von Turing-Maschinen. 01:25:20.230 --> 01:25:24.810 Diese Sprache kann ich akzeptieren durch eine Turing-Maschine. 01:25:24.810 --> 01:25:27.950 Durch ein ähnliches Verfahren, wie ich Ihnen das gerade eben 01:25:27.950 --> 01:25:32.150 dargestellt habe, weil ich dann nämlich, wenn ich weiß, das sind alles 01:25:32.150 --> 01:25:37.710 haltende Turing-Maschinen, dann kann ich ja die jeweils simulieren. 01:25:38.630 --> 01:25:41.970 Wenn ich weiß, hier sind nur solche Wörter drin, das heißt, das ist 01:25:41.970 --> 01:25:46.030 eine Sprache, hier steht L0, die kann ich aufzählen. 01:25:46.530 --> 01:25:50.570 Für jedes Wort aus dieser Sprache kann ich in endlicher Zeit 01:25:50.570 --> 01:25:55.110 feststellen, dass es in der Sprache ist. 01:25:55.410 --> 01:25:58.450 Ich kann also jedes Wort erzeugen von dieser Sprache. 01:25:59.230 --> 01:26:01.570 Ich kann aber nicht das Komplement aufzählen. 01:26:01.670 --> 01:26:05.710 Ich kann nicht für Wörter, die nicht darin sind, also ein Wort, das 01:26:05.710 --> 01:26:09.330 eine Turing-Maschine beschreibt, die für die Eingabe eines Wortes W 01:26:09.330 --> 01:26:13.710 nicht hält, das kann ich nicht überprüfen. 01:26:15.270 --> 01:26:18.790 Also hier kann man das noch ein bisschen etwas differenzieren. 01:26:18.790 --> 01:26:24.130 Das ist also eine Sprache, die ist tatsächlich aufzählbar, aber sie 01:26:24.130 --> 01:26:28.390 ist nicht entscheidbar. 01:26:29.710 --> 01:26:34.830 Das Komplement dieser Sprache ist nicht aufzählbar. 01:26:37.010 --> 01:26:41.050 Und das Interessante ist, wenn ich mir das eine Problem angucke, das 01:26:41.050 --> 01:26:45.590 zweite Problem, folgen daraus eine ganze Reihe weiterer Fragen, die 01:26:45.590 --> 01:26:47.410 auch nicht entscheidbar sind. 01:26:47.410 --> 01:26:54.090 Das erste einfache ist, dass ich von der Nichtentscheidbarkeit der 01:26:54.090 --> 01:26:57.670 Turing -Maschine sagen kann, ich kann das auch für beliebige Programme 01:26:57.670 --> 01:26:58.650 formulieren. 01:26:58.770 --> 01:27:02.310 Wenn ich also sage, ich brauche irgendetwas, was für ein beliebiges 01:27:02.310 --> 01:27:05.770 Programm entscheidet, ob das Programm hält oder nicht, dann ist das 01:27:05.770 --> 01:27:07.090 genauso nicht entscheidbar. 01:27:08.350 --> 01:27:11.490 Das heißt aber auch, ich kann nicht überprüfen, ob ein Programm total 01:27:11.490 --> 01:27:12.350 korrekt ist. 01:27:13.150 --> 01:27:15.330 Was heißt es, ein Programm ist total korrekt? 01:27:15.330 --> 01:27:19.370 Programm ist total korrekt heißt, ich habe eine Spezifikation meines 01:27:19.370 --> 01:27:26.230 Programms, das sagt, für jede zulässige Eingabe soll eine gewisse 01:27:26.230 --> 01:27:28.290 Ausgabe mit gewissen Eigenschaften entstehen. 01:27:28.390 --> 01:27:31.010 Das ist Spezifikation, eine Ausgabespezifikation. 01:27:31.730 --> 01:27:37.350 Und totale Korrektheit heißt, für jede akzeptable Eingabe meines 01:27:37.350 --> 01:27:43.630 Programms kann ich überprüfen, ob das Ergebnis den Anforderungen 01:27:43.630 --> 01:27:44.190 entspricht. 01:27:44.190 --> 01:27:46.190 Also ob das richtig ist. 01:27:46.630 --> 01:27:50.930 Das totale Korrektheit heißt, für jede Eingabe hält das Programm und 01:27:50.930 --> 01:27:52.310 das Ergebnis ist richtig. 01:27:53.070 --> 01:27:56.890 Um aber überprüfen zu können, ob das Programm für jede Eingabe hält, 01:27:57.790 --> 01:28:00.010 habe ich das Halteproblem als Teilproblem da drin. 01:28:00.470 --> 01:28:02.970 Und das Halteproblem kann ich nicht allgemein lösen. 01:28:03.190 --> 01:28:04.150 Das ist nicht entscheidbar. 01:28:04.650 --> 01:28:08.150 Das heißt, ich kann auch die totale Korrektheit eines Programms nicht 01:28:08.150 --> 01:28:09.050 entscheiden. 01:28:09.190 --> 01:28:11.210 Für beliebige Programme und beliebige Eingaben. 01:28:12.650 --> 01:28:16.890 Das heißt, ich kann nur über partielle Korrektheit reden. 01:28:17.430 --> 01:28:23.630 Für jede Eingabe eines Programms, bei dem das Programm hält, da kann 01:28:23.630 --> 01:28:27.230 ich überprüfen, ob das, was rauskommt, tatsächlich auch richtig ist 01:28:27.230 --> 01:28:27.690 oder nicht. 01:28:29.530 --> 01:28:33.150 Und das hat schon wieder eine weitere Konsequenz, wenn ich mir die 01:28:33.150 --> 01:28:36.030 Aufgabe anschaue, ich habe zwei Programme. 01:28:37.330 --> 01:28:41.770 Und diese zwei Programme, meinetwegen P und Q, die will ich daraufhin 01:28:41.770 --> 01:28:44.270 überprüfen, ob sie die gleiche Funktion berechnen. 01:28:45.670 --> 01:28:49.170 Sie bekommen zwei, Sie wollen sich ein Verfahren überlegen, bei dem 01:28:49.170 --> 01:28:51.670 Sie für beliebige Programme, die Ihnen geliefert werden, überprüfen 01:28:51.670 --> 01:28:51.990 können. 01:28:52.250 --> 01:28:53.310 Machen die das Gleiche? 01:28:54.750 --> 01:28:57.150 Dann ist auch diese Frage allgemein nicht entscheidbar. 01:28:57.690 --> 01:28:59.650 Sie können kein solches Verfahren angeben. 01:28:59.730 --> 01:29:03.630 Sie können das für eine Teilklasse von Programmen machen. 01:29:04.190 --> 01:29:05.990 Aber nicht für beliebige Programme. 01:29:06.250 --> 01:29:06.810 Warum nicht? 01:29:06.810 --> 01:29:13.010 Es könnte ja sein, dass ich Ihnen ein Programm gebe, das im Prinzip 01:29:13.010 --> 01:29:16.470 eine Schleife, wenn ich da genau reingucke, dann ist da irgendeine 01:29:16.470 --> 01:29:17.470 Schleife drin. 01:29:18.090 --> 01:29:20.570 Dieses Programm hält nie. 01:29:22.670 --> 01:29:27.870 Da wäre aber eine Äquivalenz dieser beiden Programme nur gegeben, wenn 01:29:27.870 --> 01:29:29.750 auch das Programm P nie hält. 01:29:30.770 --> 01:29:33.530 Das kann ich aber nicht entscheiden für ein beliebiges Programm. 01:29:34.330 --> 01:29:38.450 Das heißt, ich habe hier als Teilproblem der Äquivalenz von zwei 01:29:38.450 --> 01:29:40.790 beliebigen Programmen das Halteproblem drin. 01:29:41.370 --> 01:29:43.190 Also ist dieses Problem auch nicht entscheidbar. 01:29:44.410 --> 01:29:45.410 Jetzt geht es noch weiter. 01:29:46.370 --> 01:29:50.610 Ich gebe Ihnen beliebige kontextfreie Grammatiken G und G'. 01:29:52.110 --> 01:29:53.930 Kontextfreie Grammatiken sind ja ganz einfach. 01:29:54.090 --> 01:29:57.230 Da waren ja immer nur solche Nicht-Terminalzeichen und rechts konnte 01:29:57.230 --> 01:30:00.810 irgendwas stehen, zum Beispiel irgendwie A auf BC, also das war, wenn 01:30:00.810 --> 01:30:05.430 wir Chomsky Normalform nehmen, A auf BC oder A auf A, nur von diesem 01:30:05.430 --> 01:30:07.330 Typ, ganz einfache Grammatiken. 01:30:09.530 --> 01:30:13.930 Für beliebige kontextfreie Grammatiken kann ich für beliebige 01:30:13.930 --> 01:30:18.950 kontextfreie Grammatiken entscheiden, ob die äquivalent sind oder 01:30:18.950 --> 01:30:20.610 nicht, ob die die gleiche Sprache erzeugen. 01:30:22.390 --> 01:30:25.750 Auch das kann man nachweisen, ist nicht entscheidbar. 01:30:27.070 --> 01:30:31.370 Das heißt, für beliebige Grammatiken geht das nicht. 01:30:31.510 --> 01:30:32.630 Sie müssen sich einschränken. 01:30:34.030 --> 01:30:37.890 Und das ist einfach etwas, was ich Ihnen vermitteln möchte an dieser 01:30:37.890 --> 01:30:38.250 Stelle. 01:30:39.030 --> 01:30:42.810 Man muss sich genauer angucken, wenn Ihnen ein Problem gegeben wird, 01:30:43.610 --> 01:30:46.530 wie sind die Eigenschaften dieses Problems? 01:30:46.610 --> 01:30:50.650 Kann ich das überhaupt formal bearbeiten oder kann ich nur einen 01:30:50.650 --> 01:30:54.270 kleinen Ausschnitt davon tatsächlich entscheiden über einen 01:30:54.270 --> 01:30:54.910 Algorithmus? 01:30:57.010 --> 01:30:59.530 Also wenn Sie nachweisen können, bei einem Auftrag, den Sie kriegen, 01:30:59.650 --> 01:31:02.470 das ist gar nicht entscheidbar, dann geben Sie sofort den Auftrag 01:31:02.470 --> 01:31:05.150 zurück oder sagen, ich bewerbe mich nur für einen Teil davon. 01:31:05.690 --> 01:31:08.250 Den Rest kann man gar nicht machen. 01:31:09.730 --> 01:31:13.790 Also das ist die wichtige Erkenntnis, es gibt Fragen praktischer 01:31:13.790 --> 01:31:16.710 Bedeutung, bei denen man weiß, die sind nicht entscheidbar. 01:31:17.770 --> 01:31:22.890 Und dann kommt natürlich, gut, hier nochmal kurze Bemerkung zu dem, 01:31:22.890 --> 01:31:25.590 was wir uns eigentlich jetzt überlegt haben. 01:31:26.050 --> 01:31:28.070 Wir kommen gleich dann noch auf das nächste Problem. 01:31:28.190 --> 01:31:31.010 Wenn ich weiß, ich kann etwas berechnen, wie ist eigentlich der 01:31:31.010 --> 01:31:31.670 Aufwand dafür? 01:31:31.750 --> 01:31:32.610 Da kommen wir gleich drauf. 01:31:32.950 --> 01:31:35.510 Aber erstmal nochmal kurz eine Bemerkung, das ist jetzt das, was wir 01:31:35.510 --> 01:31:38.950 uns überlegt haben, die ganzen Sprachklassen der Chomsky-Hierarchie. 01:31:39.450 --> 01:31:43.090 Wir haben also jetzt ziemlich gut Kenntnis über diese Struktur der 01:31:43.090 --> 01:31:44.170 Menge der Sprachen. 01:31:45.090 --> 01:31:48.950 Wenn wir uns die Chomsky-Hierarchie anschauen, also die Typen 3, 2, 1, 01:31:49.050 --> 01:31:53.610 0 Sprachen, oben drüber beliebige Sprachen, von denen wir wissen, da 01:31:53.610 --> 01:31:57.010 gibt es auch welche, die nicht ein 0 sind, wie eben dieses LNA zum 01:31:57.010 --> 01:31:57.450 Beispiel. 01:31:59.750 --> 01:32:01.690 Und das ist die Struktur der Sprachen. 01:32:02.550 --> 01:32:04.930 Man muss sich enttäuschen, es gibt leider auch noch andere Modelle. 01:32:05.990 --> 01:32:07.990 Es gibt zum Beispiel Lindenmayr-Systeme. 01:32:08.890 --> 01:32:09.830 Noch ein Wissenschaftler. 01:32:10.410 --> 01:32:14.590 Lindenmayr war kein Sprachtheoretiker, Lindenmayr ist ein Biologe, ein 01:32:14.590 --> 01:32:14.830 Systembiologe. 01:32:16.170 --> 01:32:19.970 Und der Lindenmayr hat sich angeguckt, es gibt so Wachstumsprozesse. 01:32:21.390 --> 01:32:27.450 Irgendein Element wächst und wachsen heißt, irgendwelche Zellen teilen 01:32:27.450 --> 01:32:27.850 sich. 01:32:29.030 --> 01:32:31.590 Und wenn sich Zellen teilen, dann machen sie das häufig parallel. 01:32:31.950 --> 01:32:34.850 Das kann ich jetzt nicht machen, weil ich nur einen Stift habe. 01:32:36.610 --> 01:32:40.750 Dann entstehen irgendwelche Strukturen, da wächst irgendetwas. 01:32:41.570 --> 01:32:43.330 Wachsen geschieht durch Zellteilung. 01:32:43.490 --> 01:32:44.710 Was ist denn eine Zellteilung? 01:32:45.370 --> 01:32:49.990 Aus einer Zelle A entsteht irgendetwas, meinetwegen BB. 01:32:51.150 --> 01:32:54.570 Oder vielleicht entsteht da auch etwas AA oder sowas. 01:32:55.150 --> 01:33:02.350 Und wenn ich irgendein Wort habe, meinetwegen A, B, A, A, und ich habe 01:33:02.350 --> 01:33:06.790 diese Regeln hier, A, BB oder A, A, A, dann kann ich auf einmal daraus 01:33:06.790 --> 01:33:09.970 in einem Schritt, wenn ich das parallel mache, erzeugen. 01:33:10.030 --> 01:33:13.350 Zum Beispiel hier gehe ich auf BB, das eine B bleibt stehen, das 01:33:13.350 --> 01:33:16.930 nächste A geht auf AA, das nächste A auch auf AA. 01:33:17.710 --> 01:33:20.510 Dann habe ich auf einmal, wenn ich sage, ich habe jetzt sowas wie 01:33:20.510 --> 01:33:27.030 parallele Zellteilung, dann mache ich eine kleine Modifikation meiner 01:33:27.030 --> 01:33:30.050 Ableitungsregeln bei formalen Sprachen und sage, ich mache das nicht 01:33:30.050 --> 01:33:34.610 sequenziell, dass ich jedes einzelne Nicht-Terminalsymbol ersetze 01:33:34.610 --> 01:33:38.070 durch das, was auf der rechten Seite steht, sondern ich mache das 01:33:38.070 --> 01:33:40.090 parallel, gleichzeitig. 01:33:41.330 --> 01:33:45.510 Das ist das, was wir in der Natur sehen, dass Zellteilungen parallel 01:33:45.510 --> 01:33:46.010 passieren. 01:33:46.130 --> 01:33:48.050 Und das wollte der Lindenmaier genau untersuchen. 01:33:48.930 --> 01:33:53.830 Wie kann ich eigentlich Wachstumsprozesse in der Natur durch formale 01:33:53.830 --> 01:33:55.170 Systeme untersuchen? 01:33:56.090 --> 01:34:00.870 Man hat dafür Modelle entwickelt, die man eben so auf diese Art und 01:34:00.870 --> 01:34:03.570 Weise beschreiben kann, durch parallele Ableitungen. 01:34:04.490 --> 01:34:08.370 Das gibt dann auch wieder eine Hierarchie von solchen verschiedenen 01:34:08.370 --> 01:34:09.270 Lindenmaier -Systemen. 01:34:09.350 --> 01:34:11.470 Da kann ich wiederum die verschiedenen Regeln aufschreiben. 01:34:11.470 --> 01:34:16.190 Ich kann das kontextsensitiv, kontextfrei machen und kann da 01:34:16.190 --> 01:34:18.110 verschiedenste Sachen aufschreiben. 01:34:19.150 --> 01:34:23.030 Und kann, wenn ich mir kontextfreie Regeln hernehme, kann ich schon 01:34:23.030 --> 01:34:25.450 sehr viel untersuchen und kann dann das Wachstum von Organismen 01:34:25.450 --> 01:34:25.890 beschreiben. 01:34:27.750 --> 01:34:30.290 Was ähnlich ist, sind die ganzen Fraktale. 01:34:31.490 --> 01:34:35.550 Fraktale sind auch im Prinzip endliche Systeme, Ersetzungsregeln, mit 01:34:35.550 --> 01:34:37.590 denen ich neue Strukturen erzeuge. 01:34:37.950 --> 01:34:40.170 Damit können Sie sehr komplexe Bilder erzeugen. 01:34:40.170 --> 01:34:45.630 Also solche formalen Modelle, endliche Systeme, mit denen Sie komplexe 01:34:45.630 --> 01:34:49.650 Systeme beschreiben können oder komplexe Prozesse, gibt es nicht nur 01:34:49.650 --> 01:34:53.330 zur Beschreibung von Sprachen, sondern auch von anderen Dingen, wie 01:34:53.330 --> 01:34:58.090 eben hier zur Beschreibung des Wachstums von Organismen. 01:34:58.790 --> 01:35:02.850 Ein anderer Punkt ist, wie gesagt, hier sind die Sprachen dann ganz 01:35:02.850 --> 01:35:05.870 anders strukturiert als die Chomsky-Sprachen. 01:35:06.490 --> 01:35:11.990 Wenn wir uns noch wieder etwas anderes angucken, bei den Automaten, da 01:35:11.990 --> 01:35:14.490 muss nicht immer alles deterministisch laufen, es geht auch nicht 01:35:14.490 --> 01:35:15.250 deterministisch. 01:35:15.850 --> 01:35:18.650 Nicht deterministisch hieß aber nur, wir haben eine gewisse 01:35:18.650 --> 01:35:20.990 Unsicherheit über das, was passiert. 01:35:21.450 --> 01:35:24.970 Der Automat wird aber natürlich irgendeine Fahrt, irgendeine 01:35:24.970 --> 01:35:29.290 Möglichkeit dort nachvollziehen, wird also irgendeinen Pfad durch die 01:35:29.290 --> 01:35:32.590 Möglichkeit oder durch die möglichen Wege durchlaufen. 01:35:33.330 --> 01:35:36.990 Wir hatten gesagt, da wird ein Wort akzeptiert, wenn es überhaupt 01:35:36.990 --> 01:35:39.210 irgendeine Möglichkeit gibt, dort hinzukommen. 01:35:39.690 --> 01:35:43.690 Bei den stochastischen Automaten, da ist es so, dass bei jedem 01:35:43.690 --> 01:35:47.110 Zustandsübergang, wenn wir also hier von einem Zustand S auf einen 01:35:47.110 --> 01:35:51.730 Zustand T übergehen, bei Eingabe eines Wortes W, dass wir dabei noch 01:35:51.730 --> 01:35:55.370 eine gewisse Wahrscheinlichkeit P haben, mit der dieser Übergang 01:35:55.370 --> 01:35:56.230 stattfinden wird. 01:35:56.310 --> 01:35:58.830 Was ähnliches wie Markov-Modelle oder ähnliche Dinge. 01:35:59.650 --> 01:36:02.590 Markov-Prozesse sind was ganz Ähnliches wie stochastische Automaten. 01:36:03.770 --> 01:36:06.910 Und da können Sie auf einmal für Sprachen definieren oder für Wörter 01:36:06.910 --> 01:36:11.050 definieren, wann solche Wörter akzeptiert werden, wenn sie nämlich mit 01:36:11.050 --> 01:36:15.550 einer gewissen Mindestwahrscheinlichkeit zu einem Endzustand führen. 01:36:16.450 --> 01:36:19.870 Und darüber kriegen Sie dann wieder eine Klassifizierung verschiedener 01:36:19.870 --> 01:36:23.210 Sprachen, die völlig quer liegt zu diesen Sprachen der Chomsky 01:36:23.210 --> 01:36:23.520 -Hierarchie. 01:36:24.230 --> 01:36:29.510 Nur um anzudeuten, diese Modelle zur Beschreibung von Sprachen sind 01:36:29.510 --> 01:36:32.610 deutlich vielfältiger als nur das, was wir in der Chomsky-Hierarchie 01:36:32.610 --> 01:36:33.370 betrachtet haben. 01:36:34.030 --> 01:36:37.090 Chomsky-Hierarchie ist aber das, was wir brauchen, wenn wir die Frage 01:36:37.090 --> 01:36:41.710 beantworten wollen, mit der wir uns zu Anfang gestellt haben. 01:36:41.910 --> 01:36:45.450 Was ist das richtige Modell, um Programmiersprachen zu beschreiben? 01:36:45.950 --> 01:36:51.130 Und dafür waren die Chomsky-Grammatiken die richtige formale 01:36:51.130 --> 01:36:51.710 Modellierung. 01:36:52.370 --> 01:36:56.990 Aber es gibt viele andere Dinge, die man ähnlich untersuchen kann. 01:36:56.990 --> 01:37:00.570 Wie gesagt, Lindenmeier-Systeme, stochastische Automaten, bei denen 01:37:00.570 --> 01:37:05.070 man einfach an der Art, wie wir diese Prozesse gestalten, etwas tut. 01:37:05.650 --> 01:37:09.990 Bei Lindenmeier-Systemen machen wir diese Übertragungen, also diese 01:37:09.990 --> 01:37:12.150 Ersetzungen parallel auf einmal. 01:37:12.610 --> 01:37:17.070 Bei stochastischen Automaten geht es um Wahrscheinlichkeiten für den 01:37:17.070 --> 01:37:19.010 Übergang von einem Zustand in den anderen. 01:37:20.170 --> 01:37:23.250 Insgesamt haben wir jetzt diese Tabelle weitgehend ausgefüllt, die wir 01:37:23.250 --> 01:37:24.390 uns hier aufgemalt haben. 01:37:25.090 --> 01:37:28.910 Jetzt in den letzten Doppelstunden haben wir herausgefunden, dass es 01:37:28.910 --> 01:37:32.450 entscheidbare Sprachen, das habe ich Ihnen nicht gezeigt, dass es also 01:37:32.450 --> 01:37:35.170 entscheidbare Sprachen gibt, die nicht kontextsensitiv sind. 01:37:36.010 --> 01:37:39.230 Es gibt aber aufzielbare Sprachen. 01:37:40.070 --> 01:37:43.510 Ich hatte Ihnen gezeigt, oder kurz beschrieben definiert, die Sprache 01:37:43.510 --> 01:37:48.330 LH, eine Sprache, die aufzielbar ist, aber nicht entscheidbar. 01:37:48.870 --> 01:37:51.670 Aber eben eine L0-Sprache akzeptiert werden kann durch eine Turing 01:37:51.670 --> 01:37:52.070 -Maschine. 01:37:52.070 --> 01:37:57.290 Ich hatte Ihnen die Sprache angegeben und gezeigt, diese Sprache LNA 01:37:57.290 --> 01:38:00.890 ist nicht durch eine Turing-Maschine akzeptierbar, also nicht in L0. 01:38:01.810 --> 01:38:05.630 Und damit wissen wir etwas eben deutlich mehr über diese verschiedenen 01:38:05.630 --> 01:38:06.470 Strukturen. 01:38:07.210 --> 01:38:10.570 Wir wissen auch, wenn wir beliebige Sprachen haben, dann kann 01:38:10.570 --> 01:38:13.770 natürlich der Aufwand zur Akzeptierung beliebig groß werden. 01:38:14.290 --> 01:38:19.110 Exponentiell ist ja immer noch deutlich, also in einem kleinen 01:38:19.110 --> 01:38:22.950 Bereich, wir können ja auch etwas hyper-exponentiell haben, 2 hoch 2 01:38:22.950 --> 01:38:26.070 hoch N oder 2 hoch und hier irgendwas hoch N. 01:38:26.650 --> 01:38:30.930 Beliebig hoch exponentiell kann etwas sein, vom Aufwand her. 01:38:32.190 --> 01:38:35.390 Die erste Exponentialstufe ist schon schwierig genug. 01:38:36.130 --> 01:38:39.370 Es kann natürlich darüber hinaus noch wesentlich schwierigere Probleme 01:38:39.370 --> 01:38:40.850 geben und gibt es auch genügend. 01:38:41.290 --> 01:38:44.530 Wir müssen sehen, dass wir uns mit Problemen beschäftigen, die 01:38:45.290 --> 01:38:47.930 einigermaßen vernünftig zu bearbeiten sind. 01:38:47.930 --> 01:38:51.610 Das heißt, wir müssen uns damit beschäftigen, nicht nur, ist etwas 01:38:51.610 --> 01:38:55.190 prinzipiell, entscheidbar oder nicht entscheidbar oder berechenbar 01:38:55.190 --> 01:38:58.870 oder nicht berechenbar, sondern welche Kosten verursacht das? 01:38:59.930 --> 01:39:04.970 Der Mathematiker fragt nur, ist etwas entscheidbar oder nicht? 01:39:05.410 --> 01:39:07.330 Ist ein Problem lösbar oder nicht? 01:39:08.330 --> 01:39:10.830 Wie groß der Aufwand ist, interessiert den eigentlich normalerweise 01:39:10.830 --> 01:39:11.430 überhaupt nicht. 01:39:11.890 --> 01:39:15.030 Uns interessiert das selbstverständlich, was kostet die Berechnung 01:39:15.030 --> 01:39:18.290 einer Funktion, das interessiert jeden Informatiker und erst recht 01:39:18.290 --> 01:39:19.310 jeden Wirtschaftsingenieur. 01:39:20.450 --> 01:39:24.350 Was sind die Kosten, die ich investieren muss, um bestimmte Aufgaben 01:39:24.350 --> 01:39:25.230 erfüllen zu können? 01:39:25.650 --> 01:39:27.770 Und wenn die Kosten zu hoch sind, dann gucke ich mir an, kann ich 01:39:27.770 --> 01:39:30.810 eventuell mit einer eingeschränkten Variante dieser Funktionalität 01:39:30.810 --> 01:39:34.350 arbeiten, die ich mit weniger Aufwand realisieren kann. 01:39:35.590 --> 01:39:40.970 Also Kosten anzugucken ist ein ganz wesentlicher Punkt, sowohl bei 01:39:40.970 --> 01:39:44.530 Informatikern als auch insbesondere bei Wirtschaftsingenieuren. 01:39:45.210 --> 01:39:49.110 Und natürlich ist es so, dass die Kosten für eine Berechnung abhängen 01:39:49.110 --> 01:39:52.850 vom Berechnungsmodell und vom verwendeten Algorithmus. 01:39:53.530 --> 01:39:56.730 Wenn ich eine Turing-Maschine nehme, mit diesem endlos langen Band, 01:39:57.670 --> 01:40:01.450 dann ist allein die Aufgabe zu überprüfen, was stand eigentlich 01:40:01.450 --> 01:40:03.150 irgendwo vorne bei dem Band. 01:40:04.230 --> 01:40:08.070 Also wenn ich hier mein sehr langes Band habe, ich bin irgendwo da 01:40:08.070 --> 01:40:10.730 hinten und will nachgucken, was stand eigentlich hier vorne. 01:40:10.730 --> 01:40:14.090 Dann muss ich das ganze Ende zurücklaufen, angucken, was da gestanden 01:40:14.090 --> 01:40:17.990 hat, mir das merken und laufe hier wieder zurück und kann da irgendwas 01:40:17.990 --> 01:40:18.430 schreiben. 01:40:20.390 --> 01:40:22.010 Das dauert natürlich sehr lange. 01:40:22.810 --> 01:40:26.270 Wenn ich ein anderes Modell habe, bei dem ich einfach einen Speicher 01:40:26.270 --> 01:40:29.370 habe, bei dem ich sage, was stand eigentlich hier oben, ich bin hier 01:40:29.370 --> 01:40:32.310 unten, habe mir das angeschaut, will nachgucken, was steht da oben, 01:40:32.390 --> 01:40:33.930 dann gehe ich einfach da hin und schaue nach. 01:40:35.610 --> 01:40:39.230 Wenn ich darauf wahlfrei zugreifen kann, habe ich ein ganz anderes 01:40:39.230 --> 01:40:39.630 Modell. 01:40:41.330 --> 01:40:44.930 Das heißt, wenn das in einem Schritt möglich ist, ist das ja etwas 01:40:44.930 --> 01:40:45.950 viel schnelleres. 01:40:46.010 --> 01:40:47.690 Also das Berechnungsmodell ist ganz wichtig. 01:40:48.970 --> 01:40:51.610 Ich hatte zwar gesagt, im Prinzip reicht das Turing-Maschinen-Modell 01:40:51.610 --> 01:40:55.750 aus, aber es ist durchaus wichtig, ob etwas Linearzeit dauert oder 01:40:56.990 --> 01:41:00.110 quadratisch, kubisch oder N hoch 4 oder N hoch 5 oder sowas. 01:41:00.750 --> 01:41:03.270 Auf diese Unterschiede kommt es uns nicht an, wenn wir nur Turing 01:41:03.270 --> 01:41:06.850 -Maschinen betrachten, aber bei realen Aufwandsabschätzungen schon. 01:41:07.990 --> 01:41:13.010 Also, wir wollen im Prinzip Antworten haben, bezüglich von Klassen 01:41:13.010 --> 01:41:14.430 ähnlicher Berechnungsmodelle. 01:41:15.530 --> 01:41:18.490 Zum Beispiel wollen wir unterscheiden, sequenzielle Berechnungen mit 01:41:18.490 --> 01:41:21.510 elementaren Operationen und parallele Berechnungen mit elementaren 01:41:21.510 --> 01:41:21.790 Operationen. 01:41:22.650 --> 01:41:26.750 Kann ich auf einem Multicore oder Manicore Rechner oder auf einem 01:41:26.750 --> 01:41:29.030 hochparallelen Rechner, was kann ich da eigentlich besser machen als 01:41:29.030 --> 01:41:29.530 auf dem anderen? 01:41:30.470 --> 01:41:34.470 Kann ich dort alle Funktionen entsprechend mit dem Zeitgewinn 01:41:34.470 --> 01:41:36.030 berechnen oder nicht? 01:41:37.030 --> 01:41:38.510 Muss man sich genauer angucken. 01:41:39.230 --> 01:41:41.570 Und die üblichen Ansätze sind, eben verschiedene Modelle zu 01:41:41.570 --> 01:41:45.090 betrachten, zum Beispiel Turing-Maschine oder Register-Maschine oder 01:41:45.090 --> 01:41:49.150 Random -Axis-Machines oder Parallel-Random-Axis-Machines. 01:41:50.770 --> 01:41:55.450 Ich werde über die parallelen Verfahren Ihnen hier nicht viel erzählen 01:41:55.450 --> 01:41:57.470 können, das mache ich in der Vorlesung effizienter Algorithmen. 01:41:58.290 --> 01:42:02.630 Da geht es um beliebige oder über die sinnvolle Nutzung beliebiger 01:42:02.630 --> 01:42:05.730 Rechner -Infrastrukturen, insbesondere auch von parallelen Strukturen. 01:42:06.350 --> 01:42:09.750 Hier werden wir uns nur auf die Turing-Maschinen beschränken und 01:42:09.750 --> 01:42:14.270 sehen, was können wir prinzipiell aussagen über diese Berechnungen mit 01:42:14.270 --> 01:42:15.090 Turing -Maschinen. 01:42:16.490 --> 01:42:19.270 Und zwar wollen wir zunächst mal jetzt charakterisieren die 01:42:19.270 --> 01:42:20.970 Komplexität von Problemen. 01:42:22.230 --> 01:42:25.430 Sie haben in Grundlagen der Informatik 1 gelernt, wie man den 01:42:25.430 --> 01:42:29.230 Berechnungsaufwand eines Algorithmus abschätzt. 01:42:29.230 --> 01:42:33.230 Da waren elementare Operationen drin, Sie haben die gezählt und haben 01:42:33.230 --> 01:42:36.050 festgestellt, dieser Algorithmus braucht so und so viel Rechenzeit 01:42:36.050 --> 01:42:37.610 oder so und so viel Speicher. 01:42:38.950 --> 01:42:43.530 Jeder Algorithmus liefert also eine obere Schranke für den 01:42:43.530 --> 01:42:45.210 Berechnungsaufwand eines Problems. 01:42:45.230 --> 01:42:48.310 Wenn Sie ein Sortierproblem haben und Sie finden einen Algorithmus, 01:42:48.570 --> 01:42:51.330 der das Sortierproblem löst, schauen Sie an, welchen Aufwand hat der, 01:42:51.790 --> 01:42:54.670 dann haben Sie eine obere Schranke für den Aufwand zur Lösung des 01:42:54.670 --> 01:42:58.210 Sortierproblems, weil Sie wissen, maximal brauche ich so viel Zeit für 01:42:58.210 --> 01:43:00.110 diesen Algorithmus, den ich gerade analysiert habe. 01:43:00.590 --> 01:43:02.090 Es mag auch besser gehen. 01:43:03.630 --> 01:43:09.710 Eine untere Schranke, also das ist hier, Sie haben hier eine Skala für 01:43:09.710 --> 01:43:12.830 die Komplexität und Sie sagen, naja, ich habe jetzt hier durch einen 01:43:12.830 --> 01:43:15.830 bestimmten Algorithmus, habe ich die Rechenzeit abgeschätzt für den 01:43:15.830 --> 01:43:20.910 Algorithmus A, dann kann es natürlich sein, dass es einen anderen 01:43:20.910 --> 01:43:23.370 Algorithmus gibt, der besser ist. 01:43:23.570 --> 01:43:26.630 Dann habe ich hier TA- könnte sein, dass es noch einen besseren gibt. 01:43:26.790 --> 01:43:27.170 TA-. 01:43:27.910 --> 01:43:30.430 Sie erinnern sich, beim Sortierproblem war es so, da hatten Sie bei 01:43:30.430 --> 01:43:34.990 den naiven Zeit n² für folgende Länge n, und das konnte man reduzieren 01:43:34.990 --> 01:43:36.210 darunter auf n log n. 01:43:36.890 --> 01:43:40.010 Vielleicht geht es ja auch mit n oder log n oder sowas. 01:43:41.190 --> 01:43:43.250 Da kann man sich sofort überlegen, dass log n nicht sein kann, aber n 01:43:43.250 --> 01:43:45.610 könnte ja sein, dass ich nur jedes Element angucken muss und ich bin 01:43:45.610 --> 01:43:45.990 fertig. 01:43:47.410 --> 01:43:53.550 Also, interessant ist, gibt es hier irgendeine untere Schranke, sodass 01:43:53.550 --> 01:43:56.950 ich sagen kann, egal welchen Algorithmus sie mir liefern, ich weiß, 01:43:57.050 --> 01:43:59.570 der braucht mindestens so viele Schritte. 01:44:00.750 --> 01:44:04.710 Und diese Aussage möchte ich machen durch Analyse des Problems. 01:44:06.690 --> 01:44:11.070 Ich gucke mir also Problemeigenschaften an und möchte daraus auf 01:44:11.070 --> 01:44:12.290 untere Schranken kommen. 01:44:12.530 --> 01:44:15.410 Und dann kann ich Qualitätsaussagen machen für Algorithmen, kann 01:44:15.410 --> 01:44:19.910 sagen, nicht nur sagen, Algorithmus A- ist besser als A, sondern ich 01:44:19.910 --> 01:44:24.970 kann sagen, wie weit ein Algorithmus entfernt ist von der optimalen 01:44:25.730 --> 01:44:26.250 Komplexität. 01:44:26.970 --> 01:44:31.090 Wie gut ist der eigentlich, ist das ein optimaler Algorithmus in Bezug 01:44:31.090 --> 01:44:32.070 auf den Zeitaufwand? 01:44:32.650 --> 01:44:35.670 Das kann ich nur machen, wenn ich untere Schranken habe, sonst nicht. 01:44:36.870 --> 01:44:42.570 Und wir werden also entsprechend uns jetzt dieses etwas genauer 01:44:42.570 --> 01:44:46.350 angucken, wie kann ich solche Aussagen über obere und untere Schranken 01:44:46.350 --> 01:44:49.790 machen, wie kann ich den Aufwand für Probleme klassifizieren. 01:44:50.870 --> 01:44:54.010 Jetzt kommt es wieder, zurück zu den Turing-Maschinen, wir machen das 01:44:54.010 --> 01:44:57.310 wieder über Komplexität von Turing-Maschinen, genauso wie wir die 01:44:57.310 --> 01:45:01.410 Berechenbarkeit charakterisiert haben über Turing-Maschinen, machen 01:45:01.410 --> 01:45:06.070 wir das jetzt auch mal für die Komplexität, für den Aufwand für die 01:45:06.070 --> 01:45:07.110 Berechnung von Problemen. 01:45:07.350 --> 01:45:11.930 Wir nehmen also an, wir haben irgendeine berechenbare Funktion von M1 01:45:11.930 --> 01:45:15.750 nach M2, die durch eine Turing-Maschine entsprechend berechnet wird, 01:45:15.830 --> 01:45:18.910 also Turing-Berechenbare Funktion und dann definieren wir 01:45:18.910 --> 01:45:21.250 Komplexitätsmaße, Zeit- und Platzkomplexität. 01:45:22.030 --> 01:45:28.070 Wir haben also unsere Funktion f, nochmal von M1 nach M2 und wir haben 01:45:28.070 --> 01:45:35.290 die Turing-Maschine tm, die das berechnet und jetzt ist die 01:45:35.290 --> 01:45:39.930 Zeitkomplexität der Berechnung von f, also um so ein f von w zu 01:45:39.930 --> 01:45:45.310 berechnen mit der Maschine tm, schauen wir uns an, wie lang ist die 01:45:45.310 --> 01:45:52.070 kürzeste Konfigurationfolge von der Anfangs- zur Endkonfiguration. 01:45:52.230 --> 01:45:55.230 Zunächst also, es kann ja sein, dass es unterschiedliche gibt, wenn es 01:45:55.230 --> 01:45:58.370 eine nicht deterministische Turing-Maschine ist, aber zunächst, also 01:45:58.370 --> 01:46:02.150 wir sagen die kürzeste Konfigurationfolge von der Anfangs- zur 01:46:02.150 --> 01:46:02.930 Endkonfiguration. 01:46:03.790 --> 01:46:06.210 Wenn es eine deterministische Turing-Maschine ist, gibt es nur eine 01:46:06.210 --> 01:46:08.730 Konfigurationfolge, da sind wir gleich, da wissen wir sofort, welche 01:46:08.730 --> 01:46:09.410 Länge das ist. 01:46:10.390 --> 01:46:15.870 Und dann haben wir also für dieses Wort w festgestellt, wie ist der 01:46:15.870 --> 01:46:21.910 Aufwand, um dieses f von w zu berechnen mit der Turing-Maschine tm. 01:46:23.410 --> 01:46:27.590 Und jetzt schauen wir uns an, eine Verallgemeinerung, nicht nur ein 01:46:27.590 --> 01:46:30.910 Wort w, sondern alle Wörter der gleichen Länge. 01:46:32.070 --> 01:46:37.590 Wir betrachten also die Problemgröße als Länge des Wortes und sagen, 01:46:37.670 --> 01:46:42.050 jetzt schauen wir uns an, wie ist der Aufwand der Turing-Maschine zur 01:46:42.050 --> 01:46:45.610 Berechnung von f von w für alle Wörter der gleichen Länge n. 01:46:46.610 --> 01:46:50.670 Und da gucken wir uns an, den schlechtesten Fall, also das Maximum 01:46:50.670 --> 01:46:53.010 über alle solche Berechnungen. 01:46:54.550 --> 01:46:59.990 tm von w, das war die Länge der kürzesten Konfigurationfolge für die 01:46:59.990 --> 01:47:04.450 Berechnung von f von w für ein spezielles w, das jetzt für alle Wörter 01:47:04.450 --> 01:47:10.770 der gleichen Länge betrachtet, dann habe ich eine Aussage über den 01:47:10.770 --> 01:47:14.990 schlechtesten Fall, die höchste Rechenzeit, die ich brauche, wenn ich 01:47:15.470 --> 01:47:17.590 ein Eingabewort der Länge n habe. 01:47:19.010 --> 01:47:26.390 Das ist also eine worst case execution time, nennt man auch so 01:47:26.390 --> 01:47:27.070 manchmal, bz. 01:47:28.390 --> 01:47:34.090 Ganz wichtige Sache, wenn Sie in irgendwelchen technischen Systemen 01:47:34.090 --> 01:47:37.930 analysieren wollen, ob die verschiedenen Prozesse, die da wichtig 01:47:37.930 --> 01:47:43.690 sind, ob die mit den Echtzeitanforderungen zurechtkommen. 01:47:44.210 --> 01:47:49.950 Sie haben irgendwelche Mindestreaktionszeiten, oder Sie haben 01:47:49.950 --> 01:47:53.190 Reaktionszeitenanforderungen in einem technischen System, wie z.B. 01:47:53.310 --> 01:47:54.030 einem Flugzeug. 01:47:55.450 --> 01:47:59.070 Da müssen Sie worst case execution time Analysen machen, d.h. 01:47:59.230 --> 01:48:05.290 Untersuchungen für die längste zu erwartende Ausführungszeit für eine 01:48:05.290 --> 01:48:06.290 bestimmte Teiloperation. 01:48:08.090 --> 01:48:11.810 Und das ist also bei EADS z.B., bei der Flugzeugkonstruktion, bei den 01:48:11.810 --> 01:48:17.850 Airbus -Maschinen, da wird ganz systematisch untersucht, sind die 01:48:17.850 --> 01:48:20.850 ganzen Echtzeitanforderungen von den vielfältigen Prozessen, die da 01:48:20.850 --> 01:48:23.430 ablaufen, tatsächlich erfüllbar. 01:48:23.550 --> 01:48:27.110 Und da macht man sehr geschickte Untersuchungen über worst case 01:48:27.110 --> 01:48:31.930 execution times, also über Zeitverhalten im schlechtesten Fall. 01:48:33.210 --> 01:48:34.910 Sehr wichtige Art der Analyse. 01:48:36.090 --> 01:48:40.590 Für viele Probleme mag es sein, dass man nicht nur den schlechtesten 01:48:40.590 --> 01:48:41.170 Fall anguckt. 01:48:41.790 --> 01:48:44.310 Das eine ist die Zeit, die man braucht, das andere ist der Platz. 01:48:44.710 --> 01:48:46.170 Das kann man natürlich genauso machen. 01:48:46.610 --> 01:48:49.730 Da schaue ich mir an, den Platz, den ich brauche, was ist der Platz 01:48:49.730 --> 01:48:50.630 bei einer Touringmaschine? 01:48:51.470 --> 01:48:53.810 Ja, das ist der Platz auf dem Band, den ich brauche. 01:48:53.970 --> 01:48:59.830 Also Anzahl der durch Schreiben veränderten Zellen des Bandes. 01:49:00.550 --> 01:49:01.690 Das ist ein wichtiger Punkt. 01:49:02.590 --> 01:49:04.110 Nur durch Schreiben verändert. 01:49:05.230 --> 01:49:12.710 Wenn ich nur lese, ich muss ja das Wort einmal einlesen, dann zähle 01:49:12.710 --> 01:49:13.330 ich das nicht. 01:49:14.330 --> 01:49:17.230 Ansonsten könnte ich zum Beispiel nicht sagen, dass ich für die 01:49:17.230 --> 01:49:22.090 Bearbeitung irgendeines Problems irgendwie sehr wenig Zeit brauche. 01:49:22.610 --> 01:49:23.750 Also weniger als Linearzeit. 01:49:23.750 --> 01:49:25.790 Dann hätte ich ja für immer Linearzeit, mindestens. 01:49:26.150 --> 01:49:27.130 Wenn ich alles lesen muss. 01:49:30.270 --> 01:49:32.870 Also Anzahl der durch Schreiben veränderten Zellen, wobei man 01:49:32.870 --> 01:49:39.270 natürlich auch sagen kann, wenn ich eine Zelle angeguckt habe, wir 01:49:39.270 --> 01:49:47.390 merken, es war etwas unscharf, wenn ich hier mein Band habe, ich gehe 01:49:47.390 --> 01:49:53.270 durch das Band durch und sage, ich schaue mir jetzt diese Zelle an und 01:49:53.270 --> 01:49:54.290 schreibe dort etwas hin. 01:49:54.810 --> 01:49:59.210 Dann schaue ich mir noch diese Zelle an und schreibe da etwas hin. 01:49:59.750 --> 01:50:02.890 Auf der Turingmaschine muss ich natürlich hier durchlaufen, von links 01:50:02.890 --> 01:50:03.770 nach rechts darüber. 01:50:05.850 --> 01:50:09.150 Aber wenn ich dort nichts verändere, sage ich, das zähle ich nicht. 01:50:10.090 --> 01:50:13.850 Ich schaue mir ja nur einige Punkte hier an und mache dort etwas mit. 01:50:15.130 --> 01:50:17.370 Und dann sage ich, dann kann ich eben, dadurch, dass ich nur an 01:50:17.370 --> 01:50:19.950 einigen Stellen gucke und ansonsten nur rüberlaufe, wenn ich nur 01:50:19.950 --> 01:50:23.250 rüberlaufe und nichts mit den Dingen mache, die ich dort sehe, dann 01:50:23.250 --> 01:50:24.550 zähle ich diesen Aufwand nicht. 01:50:25.030 --> 01:50:28.230 Das heißt, dann könnte ich auch sagen, ich kann gewisse Probleme zum 01:50:28.230 --> 01:50:30.530 Beispiel in logarithmischer Zeit lösen. 01:50:32.230 --> 01:50:36.830 Also wenn ich suche in einer sortierten Folge, wenn ich irgendwie ein 01:50:36.830 --> 01:50:40.290 bestimmtes Element suche, geht das ja in logarithmischer Zeit. 01:50:41.230 --> 01:50:43.690 Das wissen Sie, logarithmische Anzahl von Operationen. 01:50:44.390 --> 01:50:49.250 Aber, dann darf ich nicht das zählen, dass ich also bis zu einem Punkt 01:50:49.250 --> 01:50:49.970 erstmal laufe. 01:50:51.330 --> 01:50:54.090 Das sind so kleine Dinge, die man da beachten muss. 01:50:54.510 --> 01:50:58.710 Hier zähle ich also nur den Platz der beschreiben veränderten Zellen. 01:50:59.210 --> 01:51:01.870 Bei den Zellen, wo etwas gleich bleibt, zähle ich es nicht. 01:51:02.630 --> 01:51:04.350 Das ist also die Platzkomplexität. 01:51:05.510 --> 01:51:10.470 Und, ich könnte also auch sagen, ich habe bei der Turing-Maschine, nur 01:51:10.470 --> 01:51:12.830 um das nochmal zu verdeutlichen, ich habe mein Eingabeband und ich 01:51:12.830 --> 01:51:15.970 habe hier noch dazu, da lese ich etwas drauf und ich habe hier ein 01:51:15.970 --> 01:51:20.890 Arbeitsband und im Prinzip zähle ich also die Anzahl der Zellen auf 01:51:20.890 --> 01:51:25.570 dem Arbeitsband, die ich brauche, um meine Funktionen zu berechnen, 01:51:25.650 --> 01:51:28.310 insofern ich auf dem Eingabeband nur lesen darf. 01:51:29.350 --> 01:51:33.710 Also wenn ich ein reines Leseband habe als Eingabeband und die ganze 01:51:33.710 --> 01:51:36.730 Arbeit auf einem extra Arbeitsband machen muss. 01:51:36.790 --> 01:51:41.270 Wir wissen, dass das prinzipiell äquivalent ist, aber für diese Zwecke 01:51:41.270 --> 01:51:41.610 nicht. 01:51:42.250 --> 01:51:45.610 Da kann ich nämlich sagen, ich habe hier ein Arbeitsband und dort 01:51:45.610 --> 01:51:46.850 mache ich die relevanten Operationen. 01:51:47.810 --> 01:51:50.850 Dann zähle ich nur das, was ich auf diesem Arbeitsband tatsächlich 01:51:50.850 --> 01:51:54.430 verändern muss, als Platzkomplexität. 01:51:54.530 --> 01:51:57.930 Wie viel Platz brauche ich auf dem Arbeitsband, um ein Problem zu 01:51:57.930 --> 01:51:58.570 lösen? 01:51:59.890 --> 01:52:01.590 Das ist also die Platzkomplexität. 01:52:02.710 --> 01:52:07.130 Ich könnte auch sagen, wie viel brauche ich an internem Speicher, um 01:52:07.130 --> 01:52:08.190 ein Problem zu lösen? 01:52:09.610 --> 01:52:12.670 Ja, das ist das, was ich hier im Prinzip sage, mit dieser 01:52:12.670 --> 01:52:13.630 Platzkomplexität. 01:52:15.010 --> 01:52:17.190 Dann eben auch Platzkomplexität im schlechtesten Fall. 01:52:18.110 --> 01:52:21.950 Ich könnte natürlich genauso den mittleren Fall definieren oder den 01:52:21.950 --> 01:52:22.650 besten Fall. 01:52:23.070 --> 01:52:25.650 Die Definition erspare ich mir jetzt, kann man sich hinschreiben, 01:52:25.770 --> 01:52:29.930 wobei ich für den mittleren Fall natürlich annehmen muss, was ist 01:52:29.930 --> 01:52:32.090 eigentlich die Verteilung der Probleminstanzen? 01:52:33.810 --> 01:52:39.610 Was macht dann Aussagen über den Erwartungswert für eine bestimmte 01:52:41.030 --> 01:52:41.470 Aufgabe? 01:52:42.130 --> 01:52:45.110 Ich kann auch sagen, ich habe eine bestimmte, das ist meine ganze 01:52:45.110 --> 01:52:49.050 Problemklasse, Menge aller Instanzen, und es gibt darin eine bestimmte 01:52:49.050 --> 01:52:56.110 Teilmenge, irgendeine Problemklasse P', Teilmenge eines Problems, und 01:52:56.110 --> 01:52:59.010 ich schaue mir an, wie ist denn die Rechenzeit, um alle Probleme 01:52:59.010 --> 01:53:00.350 dieser Teilmenge zu lösen? 01:53:01.530 --> 01:53:04.270 Dann habe ich wieder was anderes als eine mittlere Rechenzeit und habe 01:53:04.270 --> 01:53:05.850 ich nur für einen Ausschnitt das betrachtet. 01:53:05.850 --> 01:53:08.950 Aber wenn das genau die sind, die ich in einem definierten Zeitraum 01:53:08.950 --> 01:53:12.770 bearbeiten muss, dann weiß ich etwas über den Aufwand für diese Menge 01:53:12.770 --> 01:53:13.610 von Problemen. 01:53:13.770 --> 01:53:17.890 Also man kann das noch sehr weiter verfeinern, ich beschränke mich 01:53:17.890 --> 01:53:21.850 aber auf den schlechtesten Fall für diese weiteren Untersuchungen. 01:53:23.370 --> 01:53:26.550 Das andere, mittlerer, bester Fall, haben Sie ja angeschaut in 01:53:26.550 --> 01:53:29.870 Grundlagen der Informatik I, schaue ich an in Effiziente Algorithmen 01:53:29.870 --> 01:53:34.630 und schaue mir in vielen anderen Vorlesungen an, wo es um Komplexität 01:53:34.630 --> 01:53:37.030 geht oder um Effiziente Algorithmen. 01:53:37.370 --> 01:53:41.010 Jetzt habe ich also diese Abschätzungen und jetzt bestimme ich 01:53:41.010 --> 01:53:43.050 bestimmte Komplexitätsklassen. 01:53:44.710 --> 01:53:49.450 Komplexitätsklassen heißt, ich fasse gewisse Turing-Maschinen 01:53:49.450 --> 01:53:54.670 zusammen, die ähnlich viel Zeit brauchen. 01:53:56.450 --> 01:54:02.770 Also, jetzt kommen wir hier zu einer Klasse D-Time von G. 01:54:03.050 --> 01:54:03.910 D-Time von G. 01:54:04.010 --> 01:54:06.470 D steht für deterministisch. 01:54:07.830 --> 01:54:08.670 Deterministisch. 01:54:09.510 --> 01:54:12.490 Alles sind Turing-Maschinen und es geht hier um Zeit. 01:54:13.050 --> 01:54:13.430 Time. 01:54:13.710 --> 01:54:14.410 D-Time. 01:54:14.510 --> 01:54:15.670 Deterministic Time. 01:54:16.870 --> 01:54:17.750 Von G. 01:54:19.030 --> 01:54:26.130 Und G ist die Zeitkomplexität oder charakterisiert die Zeitkomplexität 01:54:26.130 --> 01:54:27.750 einer bestimmten Turing-Maschine. 01:54:28.390 --> 01:54:33.290 G kann zum Beispiel G ist eine Funktion, steht hier von N nach N. 01:54:34.790 --> 01:54:38.450 G kann also zum Beispiel eine lineare Funktion sein. 01:54:39.310 --> 01:54:45.270 Könnte also sagen, G sei zum Beispiel aus O von N. 01:54:49.190 --> 01:54:52.350 Also O von oder hier, dieses F. 01:54:52.550 --> 01:54:54.990 F ist mit Zeitkomplexität O von G berechenbar. 01:54:55.090 --> 01:54:59.410 Die Zeit wäre da drin. 01:54:59.510 --> 01:55:01.190 Also G ist eine lineare Funktion. 01:55:01.910 --> 01:55:08.310 Wenn das G eine lineare Funktion ist, wäre in D-Time von N oder von D 01:55:08.310 --> 01:55:14.290 -Time von G wären alle Turing-Maschinen oder alle Funktionen drin, die 01:55:14.290 --> 01:55:19.090 mit Zeitkomplexität O von N von einer deterministischen Turing 01:55:19.090 --> 01:55:19.990 -Maschine berechenbar sind. 01:55:20.050 --> 01:55:21.310 In linearer Zeit berechenbar. 01:55:22.170 --> 01:55:25.210 Oder ich nehme N² als Funktion G. 01:55:25.850 --> 01:55:29.210 Dann wären das alle Turing-Maschinen, beziehungsweise alle Funktionen 01:55:30.090 --> 01:55:33.790 ich habe hier betrachtete Funktionen alle Funktionen, alle Probleme, 01:55:34.470 --> 01:55:39.310 die mit quadratischem Aufwand berechenbar sind von einer Turing 01:55:39.310 --> 01:55:39.670 -Maschine. 01:55:40.590 --> 01:55:43.310 Quadratisch in der Größe der Eingabe. 01:55:44.590 --> 01:55:47.510 Das also kann ich, egal welche Funktion ich nehme, ich sage, ich gucke 01:55:47.510 --> 01:55:50.090 mir alle an, die mit Aufwand 2 hoch N berechenbar sind. 01:55:51.770 --> 01:55:56.750 Alle Funktionen, die maximal exponentielle Zeit brauchen, um von 01:55:56.750 --> 01:55:57.970 Turing -Maschinen berechnet zu werden. 01:55:58.550 --> 01:56:00.750 Dann habe ich also verschiedene Problemklassen, oder verschiedene 01:56:00.750 --> 01:56:03.110 Komplexitätsklassen für Probleme. 01:56:03.370 --> 01:56:06.430 Das sind hier meine Funktionen F, das sind jetzt meine zu berechnenden 01:56:06.430 --> 01:56:06.890 Funktionen. 01:56:08.310 --> 01:56:12.970 Ich charakterisiere sie anhand dieses Aufwandes, um sie mit Turing 01:56:12.970 --> 01:56:14.050 -Maschinen zu berechnen. 01:56:14.810 --> 01:56:17.830 Das kann ich machen für deterministische Turing-Maschinen, ich kann es 01:56:17.830 --> 01:56:20.250 aber auch machen für nicht-deterministische Turing-Maschinen. 01:56:20.250 --> 01:56:22.810 Dann rede ich von N-Time. 01:56:23.830 --> 01:56:28.930 Alle Turing-Maschinen, alle berechenbaren Funktionen F, die mit einem 01:56:28.930 --> 01:56:38.150 gewissen Aufwand maximal Groß-O von G berechenbar sind, von einer 01:56:38.150 --> 01:56:39.270 Turing -Maschine. 01:56:41.950 --> 01:56:43.830 Und zwar von einer nicht-deterministischen Turing-Maschine. 01:56:44.670 --> 01:56:47.090 Sie wissen, das ist was anderes als eine deterministische, bei der 01:56:47.090 --> 01:56:50.270 deterministischen habe ich nur eine Folge von Konfiguration, bei der 01:56:50.270 --> 01:56:52.990 nicht -deterministischen wissen wir, wenn wir die deterministisch 01:56:52.990 --> 01:56:55.430 simulieren wollen, kann der Aufwand deutlich größer werden. 01:56:56.390 --> 01:56:59.870 Aber nicht-deterministisch heißt ja dann, ich gucke mir an, die Länge 01:56:59.870 --> 01:57:08.050 der kürzesten akzeptierenden Pfad bei der Ausführung einer nicht 01:57:08.050 --> 01:57:10.630 -deterministischen Turing-Maschine, um die Funktion F zu berechnen. 01:57:11.070 --> 01:57:12.970 Das gleiche kann ich machen für den Platz. 01:57:13.650 --> 01:57:15.770 Dann habe ich D-Space und N-Space. 01:57:17.250 --> 01:57:21.910 Der Platz, um mit einer deterministischen Turing-Maschine eine 01:57:21.910 --> 01:57:27.630 Funktion zu berechnen, sei beschränkt durch dieses G, die O von G. 01:57:28.130 --> 01:57:29.490 Kommen gleich konkrete Beispiele. 01:57:30.810 --> 01:57:33.990 Und genauso N-Space von G. 01:57:35.110 --> 01:57:38.210 Das heißt, ich schaue mir an, wie ist der Zeitaufwand, wie ist der 01:57:38.210 --> 01:57:41.690 Platzaufwand zur Berechnung von Funktionen mit Turing-Maschinen. 01:57:42.550 --> 01:57:44.730 Und jetzt kommen hier also typische spezielle Funktionen. 01:57:44.830 --> 01:57:47.250 Also G von N kann sein, irgendein N hoch K. 01:57:48.210 --> 01:57:50.230 K gleich eins, zwei, drei, irgendwas. 01:57:50.790 --> 01:57:52.710 Linear, quadratisch, kubisch oder noch höher. 01:57:54.470 --> 01:57:57.290 Sie haben bei Sortierverfahren kennengelernt. 01:57:57.390 --> 01:57:59.490 Das sind also Sortierproblemen. 01:57:59.850 --> 01:58:05.510 Die Funktion, oder das Problem, eine Folge zu sortieren, wissen Sie, 01:58:06.770 --> 01:58:11.490 ist in D-Time von N log N. 01:58:12.190 --> 01:58:15.970 Weil Sie mit einem deterministischen Algorithmus jede sortierende 01:58:15.970 --> 01:58:18.350 Folge in Zeit N log N sortieren können. 01:58:18.870 --> 01:58:22.510 Deswegen ist das Sortierproblem in D-Time von N log N. 01:58:24.010 --> 01:58:28.250 Oder Sie können exponentielle Komplexitätsklasse hinschreiben oder 01:58:28.250 --> 01:58:31.170 auch eine Klasse log hoch K von N. 01:58:31.330 --> 01:58:37.230 Das heißt, das ist nicht log, log, log, log von N, sondern das ist log 01:58:37.230 --> 01:58:41.050 N zum Quadrat hoch 3 oder irgendetwas. 01:58:42.850 --> 01:58:44.850 Auch das ist eine typische Klasse, die man anschaut. 01:58:46.090 --> 01:58:47.790 Natürlich ist logarithmisch ganz toll. 01:58:48.670 --> 01:58:52.310 Bei der binären Suche, wissen Sie, geht das logarithmischer Zeit bei 01:58:52.310 --> 01:58:53.630 Eingaben der folgenden Länge N. 01:58:54.070 --> 01:58:57.670 Das wäre also ein Problem, das in D-Time von N log N drin ist. 01:58:58.390 --> 01:59:00.310 Und so können wir verschiedene Klassen betrachten. 01:59:00.390 --> 01:59:01.750 Für jeweils festes K natürlich. 01:59:03.270 --> 01:59:06.450 Und jetzt können wir das noch weiter verallgemeinern. 01:59:06.590 --> 01:59:12.890 Wir können sagen, wir betrachten einfach alle Funktionen, die von 01:59:12.890 --> 01:59:18.130 deterministischen Turing-Maschinen in der Zeit N hoch K berechnet 01:59:18.130 --> 01:59:21.570 werden können, für irgendein K. 01:59:22.450 --> 01:59:28.830 Das heißt, wir vereinigen alle diese Klassen von Problemen, die für 01:59:28.830 --> 01:59:33.090 irgendein N hoch K in der Zeit O von N hoch K berechenbar sind. 01:59:33.350 --> 01:59:40.410 Und nennen das einfach groß P. Als Klasse der Funktionen, die in 01:59:40.410 --> 01:59:44.410 polynomialer Zeit durch deterministische Turing-Maschinen berechenbar 01:59:44.410 --> 01:59:44.750 sind. 01:59:46.050 --> 01:59:52.610 Und können entsprechend eine Klasse definieren von Problemen, die von 01:59:52.610 --> 01:59:56.130 nicht deterministischen Turing-Maschinen in polynomialer Zeit 01:59:56.130 --> 01:59:57.010 berechenbar sind. 01:59:59.070 --> 02:00:04.030 Nicht deterministisch berechnet, aber die kürzeste 02:00:04.910 --> 02:00:08.890 Konfigurationenfolge, die zu der Lösung führt, hat polynomielle Länge 02:00:08.890 --> 02:00:12.390 in der Größe des Problems. 02:00:12.910 --> 02:00:16.350 Das wäre also die Vereinigung aller N-Time von N hoch K-Klassen. 02:00:17.150 --> 02:00:19.770 Nicht deterministisch, mit polynomiellem Aufwand. 02:00:21.370 --> 02:00:24.370 Und das kann ich etwas anders charakterisieren. 02:00:25.210 --> 02:00:31.870 NP, diese Klasse, bedeutet also, es gibt eine Konfigurationenfolge, 02:00:32.890 --> 02:00:35.010 die polynomielle Zeit braucht. 02:00:35.930 --> 02:00:37.730 Ich kann es etwas anders formulieren. 02:00:38.670 --> 02:00:43.670 Ich kann eine potenzielle Lösung raten und dann in polynomialer Zeit 02:00:43.670 --> 02:00:46.490 überprüfen, ob die Lösung korrekt ist oder nicht. 02:00:47.010 --> 02:00:48.310 Ganz einfaches Beispiel. 02:00:50.010 --> 02:00:54.710 Sie haben eine Aufgabe, Sie wollen von einer Stadt, das seien alles 02:00:54.710 --> 02:00:58.070 Städte, und Sie wollen eine Rundtour durch diese Städte machen. 02:00:58.070 --> 02:00:59.670 Das geht natürlich hier sofort ganz einfach. 02:01:00.110 --> 02:01:01.790 Aber ist das die kürzeste Rundtour? 02:01:03.330 --> 02:01:06.570 Ich habe hier einfach eine aufgemalt, muss ja nicht unbedingt die 02:01:06.570 --> 02:01:07.330 kürzeste sein. 02:01:08.650 --> 02:01:09.890 Das heißt, Sie haben eine Folge von Städten. 02:01:09.910 --> 02:01:12.850 Das typische Problem des Handelsreisenden, haben Sie im Operations 02:01:12.850 --> 02:01:17.230 Research vielleicht schon kennengelernt, geht es darum, dass ich die 02:01:17.230 --> 02:01:19.850 kürzeste Rundtour, den kürzesten Hamiltonischen Kreis finde. 02:01:21.070 --> 02:01:22.770 Sie wissen, das ist ein sehr schwieriges Problem. 02:01:23.710 --> 02:01:25.290 Hier können wir es genau charakterisieren. 02:01:26.010 --> 02:01:30.250 Dieses Problem kann ich auf folgende Art und Weise lösen. 02:01:30.730 --> 02:01:33.590 Ich rate einfach eine Lösung. 02:01:34.810 --> 02:01:38.710 Wenn ich also fragen will, gibt es eine Rundtour kleiner gleich 02:01:38.710 --> 02:01:42.030 irgendeine obere Grenze G, meinetwegen. 02:01:43.290 --> 02:01:47.230 Ich gebe mir irgendeine Schranke vor und sage, gibt es eine Rundtour, 02:01:47.490 --> 02:01:49.370 die nicht länger als G ist. 02:01:51.470 --> 02:01:53.450 Rundtour nicht länger als G. 02:01:56.190 --> 02:02:00.610 Dann rate ich eine Lösung, eine Rundtour und überprüfe, ist diese 02:02:00.610 --> 02:02:02.830 Rundtour kürzer als G. 02:02:02.930 --> 02:02:03.950 Das kann ich schnell überprüfen. 02:02:04.290 --> 02:02:06.850 Ich kann nämlich die Länge einer solchen Tour ganz einfach berechnen, 02:02:07.290 --> 02:02:10.830 das ist lineare Aufwand in der Größe des Problems und stelle dann 02:02:10.830 --> 02:02:13.150 fest, ist diese Länge kleiner gleich G oder nicht. 02:02:13.590 --> 02:02:16.030 Wenn ich eine gefunden habe, kleiner gleich G, dann gucke ich das 02:02:16.030 --> 02:02:19.210 nächste Mal an, ob ich auch eine finde für die halbe Länge und wenn 02:02:19.210 --> 02:02:21.490 nicht, mache ich dreiviertel Länge und so weiter. 02:02:21.670 --> 02:02:24.170 Da kann ich also dann einfach suchen, kann die optimale Länge 02:02:24.170 --> 02:02:24.570 bestimmen. 02:02:26.630 --> 02:02:31.290 Aber, ich rate einfach eine Lösung. 02:02:31.650 --> 02:02:37.150 Und ich kann ja sagen, naja, ich könnte ja gerade diese beste Lösung 02:02:37.150 --> 02:02:42.770 raten und damit habe ich nicht deterministisch das Problem gelöst. 02:02:43.610 --> 02:02:49.050 Nicht deterministisch heißt ja, es gibt eine Folge von 02:02:49.050 --> 02:02:52.830 Konfigurationen, die in polynomeller Zeit die Antwort liefert. 02:02:54.290 --> 02:02:57.210 Und das ist durch solch ein Verfahren machbar. 02:02:57.270 --> 02:03:00.690 Wenn ich sage, ich rate die Lösung, dann kann ich ja auch die beste 02:03:00.690 --> 02:03:03.170 raten und kann die überprüfen und bin fertig. 02:03:04.430 --> 02:03:07.570 Also so kann ich das prinzipiell abstrakt charakterisieren. 02:03:08.270 --> 02:03:11.770 Das ist kein praktisches Verfahren, weil ich ja raten muss. 02:03:14.110 --> 02:03:18.150 Praktisch heißt das, ich muss tatsächlich deterministisch irgendetwas 02:03:18.150 --> 02:03:22.050 machen und da sind wir damit geschlagen, dass wir leider wissen, wenn 02:03:22.050 --> 02:03:24.750 wir etwas deterministisch simulieren, was eigentlich nicht 02:03:24.750 --> 02:03:28.450 deterministisch ist, dann haben wir im schlechtesten Fall auf einmal 02:03:28.450 --> 02:03:31.370 einen exponentiellen höheren Aufwand. 02:03:32.230 --> 02:03:33.930 Und da sind wir weit weg von polynomiell. 02:03:35.170 --> 02:03:39.290 Und das interessante ist, natürlich ist es so, dass P enthalten in NP 02:03:39.290 --> 02:03:39.930 ist, das ist klar. 02:03:40.570 --> 02:03:43.270 Jede deterministische Toremaschine ist auch nicht deterministisch, 02:03:43.370 --> 02:03:46.390 also wenn ich etwas deterministisches in der Zeit machen kann, dann 02:03:46.390 --> 02:03:47.570 natürlich auch nicht deterministisch. 02:03:48.710 --> 02:03:52.370 Aber andersrum weiß man das nicht. 02:03:53.530 --> 02:03:59.650 Das ist eines der interessantesten offenen Probleme der Informatik. 02:04:01.590 --> 02:04:07.830 Kann ich ein Problem, das auf diese Weise lösbar ist, in polynomieller 02:04:07.830 --> 02:04:13.710 Zeit, kann ich das auch deterministisch in polynomieller Zeit lösen? 02:04:14.910 --> 02:04:17.970 Das heißt, das ist ja eine gewisse Teilklasse. 02:04:18.110 --> 02:04:20.930 Es könnte ja sein, dass der Aufwand immer exponentiell ist. 02:04:21.030 --> 02:04:25.670 Selbst wenn ich geraten habe, alle Pfade, die ich brauche, haben 02:04:25.670 --> 02:04:26.550 exponentielle Länge. 02:04:26.830 --> 02:04:29.150 Dann ist es weit außerhalb dieser Menge NP. 02:04:31.330 --> 02:04:34.290 Aber wenn ich in der Klasse NP bin, die sind ja gar nicht so schlimm, 02:04:34.770 --> 02:04:38.850 da bin ich doch in Bereichen, ich muss ja nur raten und dann kann ich 02:04:38.850 --> 02:04:39.950 die richtige Lösung finden. 02:04:40.050 --> 02:04:46.070 Wenn ich das geschickt mache, geschickt raten, sodass ich zum Problem 02:04:46.070 --> 02:04:50.070 komme oder vielleicht ganz nah herankomme an das Problem, geht das 02:04:50.070 --> 02:04:52.530 nicht effizienter und effizient heißt polynomiell? 02:04:54.270 --> 02:05:00.050 Das ist eine ganz spannende Frage und man weiß es nicht. 02:05:00.630 --> 02:05:05.430 Man weiß bis heute nicht, ob die beiden Mengen übereinstimmen oder ob 02:05:05.430 --> 02:05:06.370 sie unterschiedlich sind. 02:05:07.610 --> 02:05:10.490 Man nimmt an, dass sie unterschiedlich sind. 02:05:10.890 --> 02:05:14.090 Es gibt bis heute keinen Beweis dafür, dass das so ist. 02:05:14.470 --> 02:05:18.010 Das heißt, man hat bis heute kein einziges Problem finden können, von 02:05:18.010 --> 02:05:23.410 dem nachweisbar ist, deterministisch kann ich dieses Problem nicht in 02:05:23.410 --> 02:05:24.530 polynomieller Zeit lösen. 02:05:26.410 --> 02:05:27.330 Das ist heute nicht gelungen. 02:05:27.410 --> 02:05:29.850 Für kein einziges Problem, das in NP liegt. 02:05:30.930 --> 02:05:33.250 Nun ist die Frage, wie geht man da eigentlich vor? 02:05:34.410 --> 02:05:38.770 Wie kann ich denn eine solche Frage überhaupt untersuchen? 02:05:40.390 --> 02:05:42.950 Das heißt, ich suche nach einem schwierigen Problem. 02:05:43.510 --> 02:05:48.010 Ein Problem, von dem ich zeigen kann, das geht nicht deterministisch 02:05:48.010 --> 02:05:48.990 in polynomieller Zeit. 02:05:51.250 --> 02:05:52.430 Wie mache ich sowas denn? 02:05:52.490 --> 02:05:55.010 Wie kann ich denn etwas sagen, das ist jetzt ein ganz schwieriges 02:05:55.010 --> 02:05:55.270 Problem? 02:05:55.390 --> 02:05:59.770 Das heißt, ich habe meine Menge NP, das ist also hier meine Menge NP 02:05:59.770 --> 02:06:03.670 und ich weiß, irgendwo da drin liegt meine Menge P, die kann ich alle 02:06:03.670 --> 02:06:04.370 außen vor lassen. 02:06:05.310 --> 02:06:08.750 Ich weiß, das ist NP, die interessieren mich nicht für diese Frage. 02:06:09.450 --> 02:06:13.730 Ich suche also irgendein Problem, das da liegt, das muss ja schwerer 02:06:13.730 --> 02:06:20.030 sein als P, möglichst ganz schwierig, möglichst weit am Rand dieser 02:06:20.030 --> 02:06:22.590 Menge und das wollen wir jetzt charakterisieren. 02:06:24.050 --> 02:06:28.530 Probleme, die zu den schwersten gehören in NP, von denen ich 02:06:28.530 --> 02:06:36.370 nachweisen kann, irgendeine Teilklasse der Probleme, von denen ich 02:06:36.370 --> 02:06:41.090 zeigen kann, wenn ich irgendeines dieser Probleme rausnehmen kann und 02:06:41.090 --> 02:06:45.570 zeigen kann, ich kann für dieses Problem zeigen, das geht in 02:06:45.570 --> 02:06:50.210 polynomieller Zeit, dann kann ich alle Probleme aus NP in 02:06:50.210 --> 02:06:51.270 polynomieller Zeit lösen. 02:06:54.320 --> 02:06:55.900 Das ist jetzt noch eine andere Frage. 02:06:56.000 --> 02:06:58.280 Ich hätte es jetzt gesagt, wir suchen nach einem Problem, von dem ich 02:06:58.280 --> 02:07:01.520 zeigen kann, es geht nicht in polynomieller Zeit. 02:07:02.740 --> 02:07:06.180 Was ich gerade eben gesagt habe, war noch ein anderer Ansatz. 02:07:06.860 --> 02:07:11.820 Ich nehme irgendein Problem her, irgendein Problem X und wenn ich 02:07:11.820 --> 02:07:18.360 weiß, das ist eines der schwersten in NP und ich kann dieses, das 02:07:18.360 --> 02:07:21.540 eines der schwersten ist, tatsächlich in polynomieller Zeit lösen, 02:07:21.620 --> 02:07:25.600 deterministisch, dann will ich daraus schließen können, dann kann ich 02:07:25.600 --> 02:07:30.280 die gesamte Klasse NP, also jedes einzelne Problem daraus in 02:07:30.280 --> 02:07:31.280 polynomieller Zeit lösen. 02:07:32.960 --> 02:07:35.420 Und das ist der Ansatz, den wir jetzt angucken. 02:07:36.000 --> 02:07:38.260 Das geht also praktisch darum, wie kann ich beim Problem 02:07:38.260 --> 02:07:42.220 charakterisieren, dass es zu den schwersten in NP gehört. 02:07:44.320 --> 02:07:50.620 Und das, was hier also jetzt hinter dieser Animation steht, ist eben, 02:07:50.700 --> 02:07:53.300 dass wir von vielen praktischen Problemen wissen, dass sie in NP 02:07:53.300 --> 02:07:53.620 liegen. 02:07:54.100 --> 02:07:57.480 Die meisten Probleme, die sie im Operations Research vorgesetzt 02:07:57.480 --> 02:08:01.420 bekommen, liegen in NP und leider liegen die meisten daran auch noch 02:08:01.420 --> 02:08:03.840 in der Menge der schwersten Probleme von NP. 02:08:04.600 --> 02:08:07.080 Ich hatte Ihnen das Problem des Handelsreisenden genannt, das ist 02:08:07.080 --> 02:08:08.100 eines dieser schwersten. 02:08:09.560 --> 02:08:13.060 Und es gibt noch viele andere, sehr, sehr, sehr viele andere, leider 02:08:13.060 --> 02:08:16.180 liegen die meisten Probleme im Operations Research in einer dieser 02:08:16.180 --> 02:08:17.000 Klassen. 02:08:17.100 --> 02:08:19.280 Das heißt, die meisten Probleme, mit denen Sie zu tun haben als 02:08:19.280 --> 02:08:21.860 Wirtschaftsingenieure, liegen in dieser Klasse. 02:08:22.540 --> 02:08:25.360 Es sei denn, Sie haben irgendwelche schönen weiteren Randbedingungen, 02:08:25.780 --> 02:08:29.260 die es Ihnen erlauben zu zeigen, mein Problem ist in NP, ich kann es 02:08:29.260 --> 02:08:29.980 effizient lösen. 02:08:30.480 --> 02:08:32.100 Auf diese Frage kommen wir gleich noch wieder zurück. 02:08:33.280 --> 02:08:37.120 Jetzt möchte ich diese Probleme charakterisieren und feststellen, an 02:08:37.120 --> 02:08:39.200 welcher Stelle liegen die eigentlich. 02:08:40.620 --> 02:08:43.920 Und dazu will ich ja den Aufwand der Probleme charakterisieren. 02:08:44.040 --> 02:08:48.240 Ich möchte zwei Probleme vergleichen und sagen können, das eine 02:08:48.240 --> 02:08:51.540 Problem ist irgendwie mindestens so schwer wie das andere. 02:08:52.060 --> 02:08:54.080 Ich habe jetzt zwei Probleme P und Q. 02:08:54.620 --> 02:08:55.540 P und Q. 02:08:57.040 --> 02:09:00.220 Und ich möchte wissen, gibt es da irgendeine Beziehung zwischen diesen 02:09:00.220 --> 02:09:01.220 beiden Problemen? 02:09:02.580 --> 02:09:10.660 Und ich sage folgendes, ich gucke mir das Problem Q an und überlege 02:09:10.660 --> 02:09:15.840 mir ein Verfahren, wie ich jede Instanz dieses Problems hier 02:09:15.840 --> 02:09:19.640 überführen kann in eine Instanz des anderen Problems. 02:09:20.480 --> 02:09:25.080 Also zum Beispiel das Problem des Handelsreisenden. 02:09:26.980 --> 02:09:30.920 Also das Travelling Salesman Problem. 02:09:32.420 --> 02:09:39.440 Das kann ich doch irgendwie ausdrücken als ein Problem, ich schreibe 02:09:39.440 --> 02:09:43.800 einfach mal hin, Satisfiability Problem, Erfüllbarkeitsproblem der 02:09:43.800 --> 02:09:44.640 Aussagenlogik. 02:09:45.360 --> 02:09:49.160 Das, was ich hier hinschreibe als TSP, als Travelling Salesperson 02:09:49.160 --> 02:09:53.060 Problem, kann ich doch in einer aussagenlogischen Formel hinschreiben. 02:09:55.920 --> 02:09:58.500 Das ist ja eine Beschreibung eines Problems, das kann ich 02:09:58.500 --> 02:09:59.480 aussagenlogisch machen. 02:09:59.560 --> 02:10:03.260 Sie kennen aus Grundlagen der Informatik 1, wissen Sie, was 02:10:03.650 --> 02:10:04.400 Aussagenlogik ist. 02:10:06.120 --> 02:10:12.900 Und wenn ich eine Instanz T aus TSP überführen kann in eine 02:10:14.400 --> 02:10:21.700 aussagenlogische Formel, eine Aussagenlogik, dann kann ich mir 02:10:21.700 --> 02:10:23.700 anschauen, kann ich diese Formel erfüllen. 02:10:24.840 --> 02:10:31.040 Gibt es eine Belegung der Variablen dieser Formel, sodass ich die 02:10:31.040 --> 02:10:31.660 erfüllen kann. 02:10:31.740 --> 02:10:34.120 Das heißt, ich habe das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik, wenn 02:10:34.120 --> 02:10:37.560 die erfüllt ist, die Formel, dann habe ich festgestellt, gibt es eine 02:10:37.560 --> 02:10:40.140 Rundtour, die kürzer ist als eine bestimmte Schranke. 02:10:41.540 --> 02:10:47.200 Und dann übertrage ich diese Aussage, das ist wahr oder falsch, es 02:10:47.200 --> 02:10:52.240 gibt eine Tour kürzerer Länge oder nicht, übertrage ich eine Lösung 02:10:52.240 --> 02:10:54.260 meines ursprünglichen Problems. 02:10:56.280 --> 02:11:02.240 Und nun ist die wesentliche Aussage, diese Überführung hier, von der 02:11:02.240 --> 02:11:04.460 nehmen wir an, die geht in polynomialer Zeit. 02:11:06.560 --> 02:11:11.340 Also um ein Problem, Travelling Salesperson Problem, zu übertragen in 02:11:11.340 --> 02:11:14.660 eine aussagenlogische Formel, das ist nicht sehr aufwendig. 02:11:14.800 --> 02:11:18.040 Das geht in polynomialer Zeit in der Größe der Beschreibung des 02:11:18.040 --> 02:11:20.000 Problems t aus tsp. 02:11:21.000 --> 02:11:23.620 Deswegen in polynomialer Zeit überführbar. 02:11:24.680 --> 02:11:29.360 Jede Instanz aus dem Problem q ist überführbar in eine Instanz aus dem 02:11:29.360 --> 02:11:30.040 Problem p. 02:11:30.820 --> 02:11:35.380 Dann löse ich diese Instanz mit einem Verfahren, mit dem ich hier mein 02:11:35.380 --> 02:11:37.100 Problem p zu lösen habe. 02:11:38.080 --> 02:11:42.300 Und sofern ich in polynomialer Zeit die Lösung meines Problems p 02:11:42.300 --> 02:11:47.260 überführen kann in eine Lösung meines Problems q, dann habe ich hier 02:11:47.260 --> 02:11:49.380 also eine Reduzierbarkeit. 02:11:50.160 --> 02:11:57.040 Dann sage ich das Problem q ist polynomial Zeit reduzierbar auf das 02:11:57.040 --> 02:11:57.720 Problem p. 02:11:58.140 --> 02:12:02.220 So geschrieben habe ich hier eine Beziehung. 02:12:02.360 --> 02:12:07.940 Ich sage dann nämlich folgendes, ich kann ja aus der Lösung eines 02:12:07.940 --> 02:12:13.940 Problems p etwas ableiten über die Schwierigkeit der Lösung des 02:12:13.940 --> 02:12:14.620 Problems q. 02:12:15.580 --> 02:12:17.480 Was weiß ich auf diesem Weg? 02:12:18.320 --> 02:12:22.400 Ich weiß, ich brauche um das f hier zu berechnen, polynomiale Zeit. 02:12:23.120 --> 02:12:23.660 Maximal. 02:12:24.980 --> 02:12:27.540 Um das p zu berechnen, brauche ich irgendeine Zeit. 02:12:28.740 --> 02:12:29.300 tp. 02:12:32.240 --> 02:12:34.940 Und dann brauche ich noch irgendeine Zeit, um das g, diese 02:12:34.940 --> 02:12:37.180 Rücktransformation zu berechnen, das ist polynomial. 02:12:37.940 --> 02:12:44.320 Und das heißt doch, die Zeit für die Berechnung von q, die ist jetzt 02:12:44.920 --> 02:12:49.920 leicht zu bestimmen, das ist die Zeit, um f zu berechnen, die Zeit, um 02:12:49.920 --> 02:12:53.120 p zu lösen und die Zeit, um g zu berechnen. 02:12:55.360 --> 02:12:59.760 Das heißt, wenn das p zum Beispiel auch polynomial Zeit lösbar wäre, 02:13:00.680 --> 02:13:04.540 wenn das polynomial Zeit zu machen wäre, wenn das tp ein Polynom wäre, 02:13:05.200 --> 02:13:09.740 in der Größe der Instanz, dann hätte ich über diesen Weg hier einmal 02:13:09.740 --> 02:13:14.220 ganz rum das Problem q in Polynomialzeit gelöst. 02:13:17.050 --> 02:13:23.230 Also, wenn das q reduzierbar ist auf p in Polynomialzeit und das p 02:13:23.230 --> 02:13:28.150 polynomial lösbar, dann kann ich auch das q polynomial lösen. 02:13:30.050 --> 02:13:34.290 Andersrum heißt das aber auch, wenn ich nachweisen kann, das Problem 02:13:34.290 --> 02:13:41.370 p, äh Quatsch, wenn ich nachweisen kann, das Problem q ist nicht 02:13:41.370 --> 02:13:46.530 polynomiell lösbar, dann ist auch das Problem p nicht polynomiell 02:13:46.530 --> 02:13:47.050 lösbar. 02:13:50.980 --> 02:13:53.100 Ja, das ist genau die Umkehrung davon. 02:13:55.520 --> 02:14:00.040 Also, das ist, weil ja das Problem q im Prinzip ein Teilproblem ist 02:14:00.040 --> 02:14:00.940 von dem Problem p. 02:14:02.820 --> 02:14:06.600 Also, das sind die wesentlichen Erkenntnisse hier, wir können Probleme 02:14:06.600 --> 02:14:10.100 aufeinander abbilden und haben dann so eine Abschätzung der 02:14:10.100 --> 02:14:10.840 Komplexität. 02:14:11.400 --> 02:14:19.100 Kleine Beispiele, ich möchte mir anschauen, zwei Probleme, 02:14:19.460 --> 02:14:24.060 Multiplikation von n x n Matrizen und Inversion von n x n Matrizen. 02:14:26.060 --> 02:14:29.080 Probleme, die sind beide polynomiell, das ist ja nicht weiter wichtig 02:14:29.080 --> 02:14:29.640 im Augenblick. 02:14:30.740 --> 02:14:37.480 Also, ich habe als Problem q das Matrix-Multiplikationsproblem. 02:14:37.640 --> 02:14:39.200 Ich möchte zwei Matrizen multiplizieren. 02:14:39.780 --> 02:14:40.980 Ich weiß nicht, wie das geht. 02:14:41.500 --> 02:14:44.500 Ich weiß aber, wie ich Matrizen invertieren kann. 02:14:46.340 --> 02:14:49.980 Dann bilde ich einfach diese Matrix c. 02:14:50.880 --> 02:14:54.240 Also, mein Problem ist, ich möchte a mal b berechnen. 02:14:55.520 --> 02:14:59.620 Ich plette das ein in ein anderes Problem für das Inversionsproblem 02:14:59.620 --> 02:15:03.660 Ich definiere eine Matrix, die so aussieht, eine große Matrix. 02:15:03.780 --> 02:15:08.380 Wenn ich also n x n Matrizen a und b habe, baue ich mir eine 3n x 3n 02:15:08.380 --> 02:15:12.560 Matrix, die hier auf der Diagonale Einheitsmatrizen hat und die beiden 02:15:12.560 --> 02:15:15.980 Matrizen a und b hier im oberen Dreieck und ganz oben noch eine 02:15:15.980 --> 02:15:18.180 Nullmatrix und unten drunter auch nur Nullmatrizen. 02:15:18.940 --> 02:15:22.480 Dann kann ich sofort nachweisen, ich weiß c hoch minus 1, die Inverse 02:15:22.480 --> 02:15:27.780 von c ist gerade eine Matrix dieser Gestalt und da ist dann hier oben 02:15:27.780 --> 02:15:29.140 das Produkt drin. 02:15:30.140 --> 02:15:33.920 Können Sie sich überlegen, wenn Sie die beiden Matrizen 02:15:33.920 --> 02:15:35.760 multiplizieren, kommt die Einheitsmatrix raus. 02:15:36.440 --> 02:15:38.080 Ganz einfache Berechnung. 02:15:39.440 --> 02:15:44.980 Also, wenn ich in der Lage bin, Matrizen zu invertieren, dann kann ich 02:15:44.980 --> 02:15:49.440 das Problem der Multiplikation einbetten in dieses Inversionsproblem. 02:15:49.660 --> 02:15:54.680 Ich kann das Polynomialzeit reduzieren auf das Inversionsproblem, kann 02:15:54.680 --> 02:15:57.760 die Lösung mir angucken und kann aus der Lösung die Lösung meines 02:15:57.760 --> 02:16:00.540 Matrixmultiplikationsproblems heraus destillieren. 02:16:00.920 --> 02:16:02.740 Das ist nämlich gerade hier die obere rechte Ecke. 02:16:04.980 --> 02:16:08.380 Das ist eine solche einfache Transformation. 02:16:10.820 --> 02:16:14.560 Und jetzt machen wir das ein bisschen, jetzt schauen wir uns an, wie 02:16:14.560 --> 02:16:18.340 wir damit auf diese Frage kommen können, wie wir die Schwierigkeit von 02:16:18.340 --> 02:16:22.240 Problemen jetzt in Bezug auf diese Frage NP und P Verhältnisse 02:16:22.240 --> 02:16:23.240 charakterisieren können. 02:16:23.240 --> 02:16:29.500 Wir sagen jetzt folgendes, ein Problem X, irgend beliebiges Problem X, 02:16:30.540 --> 02:16:37.620 das ist NP schwer, das heißt mindestens so schwer wie jedes beliebige 02:16:37.620 --> 02:16:44.980 Problem aus NP, wenn wir jedes Problem Q aus NP, das wollte ich hier 02:16:44.980 --> 02:16:52.020 nicht, das wollte ich auch nicht, wenn ich jedes beliebige Problem Q 02:16:52.020 --> 02:16:57.980 aus NP, irgendein Problem Q oder Q' oder Q2', verschiedentlich jedes 02:16:57.980 --> 02:17:04.240 Problem aus NP Polynomialzeit reduzieren kann auf dieses Problem X. 02:17:04.480 --> 02:17:08.980 Also nicht nur eines, wie gerade eben Matrixmultiplikation auf 02:17:08.980 --> 02:17:13.520 Inversion, sondern ich kann, ich nehme ein Problem X her und zeige 02:17:13.520 --> 02:17:18.140 dieses Problem oder will zeigen, dieses Problem ist mindestens so 02:17:18.140 --> 02:17:23.440 schwer wie jedes andere in NP, dann heißt das, ich muss jedes Problem 02:17:23.440 --> 02:17:29.540 aus NP in Polynomialzeit reduzieren können auf das Problem X. 02:17:31.460 --> 02:17:36.620 Und dann weiß ich ja, wenn wir diesen Satz von der vorigen Folie 02:17:36.620 --> 02:17:41.900 nehmen, wenn ich jetzt zeigen könnte, dieses Problem X hier kann ich 02:17:41.900 --> 02:17:47.220 in Polynomialzeit lösen, deterministisch, dann könnte ich jedes 02:17:47.220 --> 02:17:49.460 Problem in NP in Polynomialzeit lösen. 02:17:50.100 --> 02:17:53.680 Das heißt, diese NP-schweren Probleme sind genau solche, die ich mir 02:17:53.680 --> 02:17:57.540 angucken müsste, um eine Antwort zu kriegen auf die Frage oder um 02:17:57.540 --> 02:18:03.920 zeigen zu können, NP ist gleich P. Beziehungsweise dieses Problem X 02:18:03.920 --> 02:18:05.500 ist sicherlich ein sehr schweres Problem. 02:18:05.660 --> 02:18:07.140 Allerdings ist das ein beliebiges Problem. 02:18:10.180 --> 02:18:15.820 Also ich habe jetzt aufgrund des Satzes von der vorigen Folie 02:18:16.340 --> 02:18:20.300 zumindest schon mal die Aussage, wenn man X in Polynomialzeit lösen 02:18:20.300 --> 02:18:25.220 kann, dann kann ich also, wenn das X ist NP-schwer, dann habe ich für 02:18:25.220 --> 02:18:28.640 jedes Problem aus NP ein Polynomiallösungsverfahren, das heißt, dann 02:18:28.640 --> 02:18:33.080 ist NP gleich P. Wenn einem von Ihnen, ich hätte Ihnen das als Aufgabe 02:18:33.080 --> 02:18:37.980 geben müssen, als Übungsaufgabe, dass Sie das für irgendeines dieser 02:18:37.980 --> 02:18:41.240 Probleme überprüfen, ob Sie dafür einen polynomialen Algorithmus 02:18:41.240 --> 02:18:41.600 finden. 02:18:42.320 --> 02:18:46.000 Wenn Ihnen das gelingt, für eines der Probleme, von denen man weiß, 02:18:46.100 --> 02:18:49.160 dass NP schwer ist, zu zeigen, das geht deterministisch im Polynomial 02:18:49.160 --> 02:18:53.840 der Zeit, dann haben Sie den Nobelpreis für Informatik verdient. 02:18:54.080 --> 02:18:56.460 Den gibt es leider nicht, aber haben Sie den Turing Award verdient. 02:18:57.040 --> 02:18:58.920 Das ist also der höchste Preis der Informatiker. 02:18:59.740 --> 02:19:01.680 Der Turing Award vergleichbar zum Nobelpreis. 02:19:04.320 --> 02:19:07.700 Also, ein NP-Problem ist mindestens so schwer wie jedes beliebige 02:19:07.700 --> 02:19:08.620 Problem aus NP. 02:19:10.340 --> 02:19:12.160 Und das reicht uns aber noch nicht. 02:19:12.240 --> 02:19:17.280 Wir wollten ja eigentlich sagen, wir haben hier unsere Klasse NP, wir 02:19:17.280 --> 02:19:20.140 haben die Klasse P und wir wollten hier jetzt irgendwelche schweren 02:19:20.140 --> 02:19:21.460 Probleme charakterisieren. 02:19:22.820 --> 02:19:25.900 Das sollte hier ein NP sein. 02:19:28.260 --> 02:19:31.020 Wir wollten jetzt hier schwierige Probleme charakterisieren. 02:19:31.140 --> 02:19:33.480 Das Problem X lag aber irgendwo hier draußen. 02:19:35.040 --> 02:19:43.420 Und jetzt sagen wir, das Problem P ist NP-vollständig, wenn es NP 02:19:43.420 --> 02:19:49.000 -schwer ist und außerdem selber in NP liegt. 02:19:51.000 --> 02:19:56.540 Ja, also wenn ich hier irgendein Problem habe, in NP, von dem ich 02:19:56.540 --> 02:20:00.840 zeigen kann, ich kann jedes andere Problem aus dieser Klasse darauf 02:20:00.840 --> 02:20:05.980 reduzieren in polynomial Zeit, dann ist das ein NP-vollständiges 02:20:05.980 --> 02:20:06.400 Problem. 02:20:09.380 --> 02:20:14.940 Das ist also etwas, was eine ganz wichtige Erkenntnis ist und eine 02:20:14.940 --> 02:20:17.220 ganz wichtige Charakterisierung ist. 02:20:17.760 --> 02:20:22.320 Das ist vor 40 Jahren gemacht worden von Stephen Cook in Toronto. 02:20:23.400 --> 02:20:28.020 Der hat das als erster sich so überlegt und seitdem hat man für viele 02:20:28.020 --> 02:20:31.300 Probleme nachgewiesen, dass sie NP-vollständig sind. 02:20:31.380 --> 02:20:34.300 Das erste Problem, das hat Stephen Cook gemacht, war der Nachweis, 02:20:34.440 --> 02:20:38.220 dass das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik ein NP-schweres 02:20:38.220 --> 02:20:38.880 Problem ist. 02:20:39.680 --> 02:20:45.900 Wir wissen, dass das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik, also für 02:20:45.900 --> 02:20:50.780 eine beliebige Formel der Aussagenlogik in konjunktiver Normalform, 02:20:50.920 --> 02:21:04.680 also irgendwie x oder y oder z und hier mal wegen x-strich oder y 02:21:04.680 --> 02:21:07.520 -strich oder z und so weiter. 02:21:07.700 --> 02:21:12.600 Also irgendeine Formel, bei der sie konjunktiver Normalform hieß ja, 02:21:13.040 --> 02:21:16.920 sie haben eine Konjunktion von Disjunktionen. 02:21:18.020 --> 02:21:21.040 Disjunktionen und die sind durch Konjunktionen verbunden. 02:21:21.280 --> 02:21:25.080 Sie können jede Formel der Aussagenlogik in konjunktiver Normalform 02:21:25.080 --> 02:21:25.640 angeben. 02:21:26.100 --> 02:21:31.680 Also eine große Konjunktion von irgendwelchen Klauseln und das ist 02:21:31.680 --> 02:21:33.660 also irgendeine Formel der Aussagenlogik. 02:21:33.660 --> 02:21:38.920 Irgendeine Konjunktion von Formeln CI und jede Formel CI, jede Klausel 02:21:38.920 --> 02:21:40.300 CI ist eine Disjunktion. 02:21:42.640 --> 02:21:44.800 Das ist also das Erfüllbarkeitsproblem. 02:21:44.980 --> 02:21:46.720 Ist eine solche Formel erfüllbar oder nicht? 02:21:46.820 --> 02:21:49.840 Gibt es also eine Belegung der Variablen mit Wahrheitswerten, sodass 02:21:49.840 --> 02:21:52.540 diese Formel den Wert wahr hat? 02:21:53.120 --> 02:21:55.740 Das war das erste Problem, bei dem man die NP-Vollständigkeit 02:21:55.740 --> 02:21:56.660 nachweisen konnte. 02:21:56.780 --> 02:22:00.820 Das heißt, man kann jedes Problem aus NP als eine Aussagenlogische 02:22:00.820 --> 02:22:01.740 Formel beschreiben. 02:22:01.740 --> 02:22:06.440 Diese Transformation dauert polymelle Zeit und aus der Lösung, aus der 02:22:06.440 --> 02:22:11.720 Erfüllbarkeit der Formel folgt dann in polymelle Zeit die Lösung 02:22:11.720 --> 02:22:13.320 meines Ausgangsproblems. 02:22:14.300 --> 02:22:18.020 Das Travelling Salesperson Problem ist ein solches NP-Vollständiges 02:22:18.020 --> 02:22:18.440 Problem. 02:22:19.480 --> 02:22:27.000 Ich kann zeigen, ich kann, das ist jetzt interessant, ich habe hier NP 02:22:27.000 --> 02:22:35.660 nochmal aufgemalt und ich weiß, dass das Satzproblem hier außen hin, 02:22:35.700 --> 02:22:40.300 obwohl wir wissen, das ist in NP direkt, ich kann jedes Problem aus NP 02:22:40.300 --> 02:22:42.740 auf Satz abbilden. 02:22:42.960 --> 02:22:43.580 Jedes Problem. 02:22:44.900 --> 02:22:52.740 Und jetzt muss ich nur Folgendes zeigen, ich kann das, anders als ich 02:22:52.740 --> 02:22:56.700 es gerade eben angedeutet habe, ich kann das Erfüllbarkeitsproblem 02:22:58.840 --> 02:23:02.480 reduzieren in polynomial Zeit auf das TSP-Problem. 02:23:05.470 --> 02:23:09.210 Ich kann also aus jedem TSP-Problem, oder ich kann aus jedem 02:23:09.210 --> 02:23:13.110 Satzproblem, jedem Erfüllbarkeitsproblem eine im Prinzip Tour durch 02:23:13.110 --> 02:23:19.250 Städte konstruieren und das Problem von TSP, ob das eine Tour, kleiner 02:23:19.250 --> 02:23:23.650 gleich irgendeine Schranke ist, entspricht dann der Lösung dieses 02:23:23.650 --> 02:23:24.830 Erfüllbarkeitsproblems. 02:23:24.970 --> 02:23:30.090 Wenn ich das kann, diese eine Überführung machen kann, dann kann ich 02:23:30.090 --> 02:23:36.010 durch Transitivität jedes Problem aus NP, jedes Problem X aus NP erst 02:23:36.010 --> 02:23:38.130 in Satz und dann in TSP überführen. 02:23:38.530 --> 02:23:42.710 Und habe dann schon gezeigt, dass TSP auch ein NP-schweres Problem 02:23:42.710 --> 02:23:42.890 ist. 02:23:42.990 --> 02:23:46.950 Das heißt, wenn ich ein Problem habe, und das war dieses Satzproblem, 02:23:47.890 --> 02:23:53.010 wenn ich von dem bewiesen habe, das ist NP-vollständig, dann ist jedes 02:23:53.010 --> 02:23:58.810 Problem, auf das ich dieses Satzproblem in Polynomialzeit reduzieren 02:23:58.810 --> 02:24:05.350 kann, auch wieder NP-schwer. 02:24:05.690 --> 02:24:07.970 Und wenn es in NP liegt, NP-vollständig. 02:24:09.190 --> 02:24:11.330 Also das TSP-Problem gehört dazu. 02:24:11.790 --> 02:24:15.870 Genauso Projektplanung mit beschränkten Ressourcen und zeitlichen und 02:24:15.870 --> 02:24:16.470 so weiter. 02:24:17.870 --> 02:24:20.670 Das ist so, wenn Sie Projektplanung mit beschränkten Ressourcen 02:24:20.670 --> 02:24:23.250 machen, kennen Sie vielleicht aus dem Operations-Research, wenn Sie 02:24:23.250 --> 02:24:27.050 dann auch weitere Dinge dazufügen, wie zeitliche Mindest- und 02:24:27.050 --> 02:24:30.410 Maximalabstände, zwischen der Ausführung von irgendwelchen 02:24:30.410 --> 02:24:35.250 Teilvorgängen, dann ist sogar die Bestimmung einer zulässigen Lösung 02:24:35.250 --> 02:24:37.470 selbst ein NP-schweres Problem. 02:24:37.970 --> 02:24:41.870 Nicht nur der optimale Projektplan, die Bestimmung des optimalen 02:24:41.870 --> 02:24:45.050 Projektplans ist dann NP-vollständig, sondern selbst die Bestimmung 02:24:45.050 --> 02:24:46.630 einer akzeptablen Lösung. 02:24:47.870 --> 02:24:51.070 Das heißt, das ist dann schon ein schwieriges Problem, gehört mit zu 02:24:51.070 --> 02:24:52.430 den schwierigsten Problemen in NP. 02:24:53.190 --> 02:24:55.230 Und jetzt ist die Frage, was heißt das eigentlich? 02:24:57.750 --> 02:25:01.950 Es gibt zig Probleme mittlerweile, von denen man weiß, sie sind in NP. 02:25:03.010 --> 02:25:07.970 Und deswegen vermutet man, dass es keinen Algorithmus gibt, der NP 02:25:07.970 --> 02:25:10.930 -vollständige Probleme in polymerer Zeit löst. 02:25:11.630 --> 02:25:13.010 Man weiß es bis heute nicht. 02:25:14.090 --> 02:25:15.370 Und da ist man also dran. 02:25:15.370 --> 02:25:21.050 Und wenn man also zeigen will, dass ein Problem vermutlich nicht 02:25:21.050 --> 02:25:27.070 polynomial lösbar ist, dann zeigt man, dass sich ein beliebiges NP 02:25:27.070 --> 02:25:30.430 -vollständiges Problem auf dieses Problem P reduzieren lässt. 02:25:31.010 --> 02:25:38.070 Ich habe irgendein Problem X, das habe ich, da steht P, da muss ich 02:25:38.070 --> 02:25:43.250 auch P hinschreiben, also dieses Problem P und ich habe ein Problem X, 02:25:43.250 --> 02:25:48.490 das ist NP-vollständig, dann wenn ich das reduzieren kann auf das P, 02:25:48.590 --> 02:25:55.290 wenn ich also zeigen kann, X ist kleiner gleich P in polynomialer Zeit 02:25:55.290 --> 02:25:59.290 reduzierbar auf das P, dann ist das P selber auch genau in der 02:25:59.290 --> 02:25:59.930 gleichen Klasse. 02:26:01.610 --> 02:26:05.610 Und damit haben wir also hier jetzt diese Beziehung, Klasse NP, da 02:26:05.610 --> 02:26:10.990 gibt es die Klasse der in polynomialer Zeit lösbaren deterministisch, 02:26:10.990 --> 02:26:15.150 dann gibt es die NP-vollständigen, aber ob das richtig ist, was ich 02:26:15.150 --> 02:26:20.730 hier aufmale, dass die NP-vollständigen außerhalb liegen von P, das 02:26:20.730 --> 02:26:22.530 ist die große Frage, das weiß man nicht. 02:26:23.170 --> 02:26:25.050 Es kann sein, dass es alles eine Klasse ist. 02:26:26.850 --> 02:26:31.730 Es gibt also durchaus Komplexitätsklassen, von denen man lange der 02:26:31.730 --> 02:26:36.090 Meinung war, das ist eine Hierarchie von Klassen und auf einmal hat 02:26:36.090 --> 02:26:37.810 einer festgestellt, die fallen alle zusammen. 02:26:38.890 --> 02:26:43.190 Also es ist nicht ausgeschlossen, dass die zusammenfallen, aber wir 02:26:43.190 --> 02:26:45.690 haben bisher dafür keine wirklichen Lösungen. 02:26:46.870 --> 02:26:52.470 Es gibt es noch viel mehr, es gibt noch, hier ist eine ganze Reihe 02:26:52.470 --> 02:26:57.550 angegeben, also ich kann genauso die Klasse P-Space definieren. 02:26:58.470 --> 02:27:02.730 Alle Funktionen, alle Probleme, die mit polynomiellem Platz 02:27:02.730 --> 02:27:08.210 deterministisch lösbar sind, ist übrigens gleich der Klasse der 02:27:08.710 --> 02:27:11.970 Funktionen, die nicht deterministisch mit polynomiellem Platz lösbar 02:27:11.970 --> 02:27:12.310 sind. 02:27:12.870 --> 02:27:16.990 Oder alle Probleme, die deterministisch in exponentieller Zeit lösbar 02:27:16.990 --> 02:27:21.110 sind, ist übrigens gleich der Klasse, die von nicht deterministischen 02:27:21.110 --> 02:27:24.010 Maschinen in exponentieller Zeit lösbar sind. 02:27:24.730 --> 02:27:33.130 Oder X-Space und da weiß man, dass das hier eine echte, dass das P 02:27:33.130 --> 02:27:34.810 -Space echt größer ist als NP. 02:27:35.290 --> 02:27:36.410 Hier weiß man es nicht. 02:27:37.350 --> 02:27:40.890 Da weiß man das, bei X-Time weiß man das, bei X-Space weiß man das 02:27:40.890 --> 02:27:41.170 auch. 02:27:42.630 --> 02:27:46.230 Das sind weitere und ich kann beliebig weitergehen, kann dort noch 02:27:46.230 --> 02:27:48.690 wesentlich größere Klassen aufmalen. 02:27:49.050 --> 02:27:53.510 Wir werden am Mittwoch, nicht am Mittwoch, am Montag, geht es darum, 02:27:53.990 --> 02:27:57.330 dann nochmal sich konkret anzugucken für ein Problem, wie man hier 02:27:57.330 --> 02:28:01.490 diese Reduzierung macht, für in dem Fall für das Problem Dreisat auf 02:28:01.490 --> 02:28:02.450 Klick zu reduzieren. 02:28:02.790 --> 02:28:06.090 Dabei geht es nicht um Fernsehprogramme, sondern da geht es um ein 02:28:06.090 --> 02:28:12.630 Problem, dass ich eine aussagenlogische Formel habe mit drei Variablen 02:28:12.630 --> 02:28:15.430 oder drei Literalen pro Klausel maximal. 02:28:16.590 --> 02:28:19.390 Und das will ich auf das Klickenproblem überführen, ein typisches 02:28:19.390 --> 02:28:23.510 anderes Problem, bei dem es darum geht, dass in irgendeinem Grafen, 02:28:23.870 --> 02:28:27.010 irgendein Teilgraf vollständig verbunden ist. 02:28:27.370 --> 02:28:30.990 Und ich will wissen, ob es eine Klicke einer bestimmten Größe gibt. 02:28:31.250 --> 02:28:34.050 Und jetzt möchten wir nochmal auf diese Reduktion zurückkehren. 02:28:34.830 --> 02:28:36.910 Wir wollen jetzt reduzieren Dreisat nach Klicke. 02:28:37.830 --> 02:28:39.050 Und warum machen wir das? 02:28:39.330 --> 02:28:40.990 Also, wir wollen jetzt folgendes zeigen. 02:28:41.090 --> 02:28:47.430 Dreisat, kleiner gleich Pol, Klicke. 02:28:49.190 --> 02:28:50.550 Und warum könnten wir das tun wollen? 02:28:50.730 --> 02:28:53.030 Das heißt, wir wissen dann später, dass die Relation zwischen Dreisat 02:28:53.030 --> 02:28:56.650 und Klicke die ist, dass Dreisat nichts schwerer ist als Klicke oder 02:28:56.650 --> 02:28:58.090 Klicke nicht leichter ist als Dreisat. 02:28:59.850 --> 02:29:02.410 Also, welche zwei Sachen können wir jetzt eigentlich feststellen? 02:29:02.530 --> 02:29:05.710 Angenommen, wir wissen, dass Klicke leicht ist, dann können wir damit 02:29:05.710 --> 02:29:07.830 herausfinden, dass Dreisat auch leicht ist. 02:29:09.170 --> 02:29:12.390 Wenn Klicke leicht ist und Dreisat ist leichter als Klicke, ist 02:29:12.390 --> 02:29:13.150 Dreisat auch leicht. 02:29:13.730 --> 02:29:16.070 Das ist aber nicht die Richtung, die wir jetzt machen wollen, sondern 02:29:16.070 --> 02:29:17.710 die Richtung, die wir machen wollen, ist genau die umgekehrte. 02:29:18.170 --> 02:29:19.970 Wir sagen jetzt, wir wissen, dass Dreisat schwer ist. 02:29:20.110 --> 02:29:23.170 Wir haben schon vorher mal herausgefunden, nicht wir, aber andere 02:29:23.170 --> 02:29:26.590 Leute haben das herausgefunden, dass Dreisat Np-vollständig ist. 02:29:28.270 --> 02:29:31.230 Und Np-vollständig heißt insbesondere Np-schwer, also alle Probleme 02:29:31.230 --> 02:29:32.650 aus Np sind darauf reduzierbar. 02:29:33.370 --> 02:29:34.670 Also ist Dreisat ein schweres Problem. 02:29:35.870 --> 02:29:40.110 Wenn wir jetzt Dreisat auf Klicke reduzieren könnten, dann wüssten wir 02:29:40.110 --> 02:29:41.550 also, dass Klicke auch ein schweres Problem ist. 02:29:42.090 --> 02:29:44.310 Ich weiß, dass Sie die Begriffe Dreisat und Klicke vielleicht noch 02:29:44.310 --> 02:29:48.090 nicht so verinnerlicht haben, kommen gleich auf den nächsten Folien, 02:29:48.170 --> 02:29:49.710 aber das ist zumindest die Idee. 02:29:49.890 --> 02:29:53.810 Wenn man zwei Probleme in Relation setzt mit dieser kleiner Gleich 02:29:53.810 --> 02:29:57.790 -Poll -Relation, dann weiß man, dass eins leichter oder höchstens so 02:29:57.790 --> 02:29:58.530 schwer ist, wie das andere. 02:29:59.370 --> 02:30:02.630 Und in dem Fall wollen wir zeigen, dass Dreisat ist schon schwer, das 02:30:02.630 --> 02:30:05.010 wissen wir, und wir wollen zeigen, dass Klicke also auch schwer ist. 02:30:05.710 --> 02:30:06.150 Np-schwer. 02:30:07.490 --> 02:30:13.750 Das Problem Dreisat dürfte Ihnen bekannt sein, zumindest von der Idee 02:30:13.750 --> 02:30:13.970 her. 02:30:14.070 --> 02:30:17.830 Es ist nämlich eine Einschränkung des Problems Sat, wo wir die Frage 02:30:17.830 --> 02:30:20.330 stellen, wir haben eine aussagenlogische Formel, die kann irgendwie 02:30:20.330 --> 02:30:23.510 aussehen, die kann auch, muss es nicht diese strenge Form haben, wie 02:30:23.510 --> 02:30:26.670 hier bei Dreisat, sondern die kann irgendwelche mit und und oder 02:30:26.670 --> 02:30:28.510 verknüpften Literale haben. 02:30:29.830 --> 02:30:34.090 Und die Frage ist, gibt es eine erfüllende Belegung für diese Formel? 02:30:34.650 --> 02:30:36.830 Ja, also können wir irgendwie da Nullen und Einsen zuweisen, den 02:30:36.830 --> 02:30:39.530 Variablen, sodass da am Ende Eins rauskommt. 02:30:41.590 --> 02:30:44.630 Und da, das ist eben dieses erste Problem, für das gezeigt wurde, dass 02:30:44.630 --> 02:30:50.410 es entweder vollständig ist, und bei Dreisat sind diese Formeln jetzt 02:30:50.410 --> 02:30:51.610 sehr stark eingeschränkt. 02:30:51.690 --> 02:30:54.630 Das heißt, wir haben jetzt eine beliebige Anzahl von Klauseln. 02:30:54.750 --> 02:30:55.830 Also das hier ist eine Klausel. 02:30:56.550 --> 02:31:00.450 C1, C2 und C3. 02:31:00.870 --> 02:31:02.090 Davon kann es beliebig viele geben. 02:31:02.270 --> 02:31:04.550 Das kann auch hier weitergehen mit C4. 02:31:05.610 --> 02:31:08.750 Aber es gibt nur drei Literale in jeder Klausel. 02:31:10.250 --> 02:31:11.490 Und das ist immer diese Struktur. 02:31:11.610 --> 02:31:14.930 Wir haben immer X1 oder X2 oder X3 und dann und. 02:31:15.570 --> 02:31:19.050 Dann wieder Literal 1 oder Literal 2 oder Literal 3 und so weiter. 02:31:20.010 --> 02:31:21.850 Und damit kann man eben auch zeigen, das ist auch schon irgendwie 02:31:21.850 --> 02:31:22.470 vollständig. 02:31:23.730 --> 02:31:26.490 Kann man dann auch so schreiben, einfach als Tupel von diesen 02:31:26.490 --> 02:31:27.390 Klauseln. 02:31:29.270 --> 02:31:32.590 Wobei dann, ja genau, mit diesen Klauseln hier halt. 02:31:33.690 --> 02:31:35.410 Und das ist jetzt einfach eine andere Schreibweise und das ist unser 02:31:35.410 --> 02:31:36.050 Problem Dreisat. 02:31:36.130 --> 02:31:37.810 Ich frage, gibt es eine erfüllende Belegung dafür? 02:31:38.910 --> 02:31:39.530 Ja, das steht hier nochmal. 02:31:39.530 --> 02:31:43.230 Sucht eine Belegung der Variablen X1 bis X4 mit 0 oder 1. 02:31:43.730 --> 02:31:45.930 Sodass A insgesamt den Wert 1 annimmt. 02:31:46.830 --> 02:31:50.370 Falls es so eine Belegung gibt, A erfüllbar, dann geben wir also True 02:31:50.370 --> 02:31:50.710 aus. 02:31:51.370 --> 02:31:53.190 Wenn wir einen Algorithmus dafür geschrieben haben. 02:31:53.890 --> 02:31:55.450 Und sonst geben wir False aus. 02:31:57.170 --> 02:32:00.290 Hier nochmal der Kommentar, ist es einfach ein Lösungskandidaten auf 02:32:00.290 --> 02:32:01.750 seine Gültigkeit hin zu überprüfen? 02:32:02.890 --> 02:32:07.010 Ja, wenn jemand Ihnen sagt, wir geben hier 1 sein, hier 1 sein und 02:32:07.010 --> 02:32:09.910 hier 1 sein und hier irgendwie, keine Ahnung, andere Werte, hier geben 02:32:09.910 --> 02:32:10.990 wir 0 ein und was weiß ich was. 02:32:11.890 --> 02:32:14.970 Dann können Sie leicht ausrechnen, ob das dann eine 1 ergibt am Ende. 02:32:15.650 --> 02:32:16.430 Das ist kein Problem. 02:32:16.930 --> 02:32:20.870 Wenn es eine 1 ergibt, wissen Sie, die logische Formel ist erfüllbar. 02:32:21.570 --> 02:32:24.150 Aber das Finden eines gültigen Lösungskandidaten ist schwierig. 02:32:25.210 --> 02:32:26.750 Und das ist, warum das Problem in NP liegt. 02:32:28.850 --> 02:32:33.070 das hier ist der Grund, warum es in NP liegt, weil nämlich eine nicht 02:32:33.070 --> 02:32:34.830 -heterogenistische Turing-Maschine kann ja einfach raten. 02:32:34.830 --> 02:32:36.110 Das ist ja das, was sie können. 02:32:36.710 --> 02:32:40.670 Sie können einfach eine Lösung erraten und dann kann man in mehrer 02:32:40.670 --> 02:32:43.010 Zeit überprüfen, ob diese Lösung stimmt. 02:32:44.050 --> 02:32:45.610 Das ist immer die Idee bei der nicht-heterogenistischen Turing 02:32:45.610 --> 02:32:48.550 -Maschine, weil die so viele Berechnungswege auf einmal abgehen kann, 02:32:50.590 --> 02:32:52.710 kann man es sich als Raten vorstellen. 02:32:52.810 --> 02:32:54.270 Sie sucht sich einfach den richtigen raus, sozusagen. 02:32:55.630 --> 02:32:58.390 Und wenn es einen richtigen gibt, man weiß ja nicht, ob es einen 02:32:58.390 --> 02:33:01.370 richtigen gibt, deswegen muss man am Ende noch überprüfen, ob das, was 02:33:01.370 --> 02:33:02.650 sie herausgefunden hat, auch wirklich richtig ist. 02:33:04.170 --> 02:33:04.650 So. 02:33:05.650 --> 02:33:06.450 Das war Dreisatz. 02:33:07.030 --> 02:33:08.050 Kommt das Problem Clique. 02:33:08.290 --> 02:33:10.490 Und Clique ist vielleicht sogar noch ein bisschen einfacher, zumindest 02:33:10.490 --> 02:33:11.290 von der Vorstellung her. 02:33:11.710 --> 02:33:16.470 Wir haben einen ungerichteten Graphen gegeben und wir haben ein K 02:33:16.470 --> 02:33:20.770 -Element N gegeben, also irgendeine Zahl, eine natürliche Zahl. 02:33:21.790 --> 02:33:25.830 Und die Frage ist, hat dieser Graph jetzt hier eine Clique der Größe 02:33:25.830 --> 02:33:26.330 K? 02:33:26.490 --> 02:33:28.650 Und Clique ist in dem Fall ein vollständig verbundener Teilgraph. 02:33:29.350 --> 02:33:34.870 Also die größte Clique für K gleich 3 wäre das eben genau diese Clique 02:33:34.870 --> 02:33:36.370 hier, die jetzt gerade rot geworden ist. 02:33:37.410 --> 02:33:38.390 Die sind vollständig verbunden. 02:33:38.850 --> 02:33:40.390 Alle Knoten müssen paarweise verbunden sein. 02:33:42.150 --> 02:33:45.790 Wenn wir eine Clique der Größe 4 haben wollten, dann könnten wir zum 02:33:45.790 --> 02:33:46.830 Beispiel hier so etwas verbinden. 02:33:48.150 --> 02:33:49.730 Aber es müssten alle miteinander verbunden sein. 02:33:51.230 --> 02:33:53.310 Ist die Clique-Definition klar? 02:33:54.990 --> 02:33:56.790 Und Dreisatz ist auch klar geworden allen? 02:33:57.850 --> 02:33:58.210 So. 02:33:59.310 --> 02:34:01.270 Jetzt denken Sie vielleicht, die beiden Probleme sind ja irgendwie 02:34:01.270 --> 02:34:02.010 unterschiedlich. 02:34:03.870 --> 02:34:07.050 Die Frage ist, wie kann man jetzt eigentlich eine Eingabe für Dreisatz 02:34:07.050 --> 02:34:08.330 in eine Eingabe für Clique umwandeln? 02:34:09.630 --> 02:34:13.630 Sodass dann, wenn wir das Problem Clique lösen, auch eine Lösung für 02:34:13.630 --> 02:34:14.690 Dreisatz rauskommt. 02:34:14.850 --> 02:34:16.870 Man denkt sich, wir haben hier außer-agnotische Formeln und hier haben 02:34:16.870 --> 02:34:17.670 wir ein Graph-Problem. 02:34:18.110 --> 02:34:18.990 Wie macht man das eigentlich? 02:34:19.770 --> 02:34:22.450 Und das Schöne ist, dass es eigentlich relativ einfach geht. 02:34:24.290 --> 02:34:26.790 Wir müssen jetzt nur ein bisschen kurz mitdenken, es sieht schwieriger 02:34:26.790 --> 02:34:27.710 aus, als es ist eigentlich. 02:34:28.550 --> 02:34:32.690 Also wir haben ein Dreisatzproblem. 02:34:33.370 --> 02:34:34.870 Das sind also M-Klauseln. 02:34:36.050 --> 02:34:42.210 Und jede Klausel CI besteht aus einem Literal oder drei Literalen CI1, 02:34:42.310 --> 02:34:43.230 CI2 und CI3. 02:34:43.490 --> 02:34:46.690 Also Literal ist immer eine Variable oder eine Negation der Variablen. 02:34:47.690 --> 02:34:47.710 Klar. 02:34:49.270 --> 02:34:49.870 So. 02:34:50.870 --> 02:34:52.590 Und wir haben also M von diesen Klauseln. 02:34:53.470 --> 02:34:56.970 Und jetzt konstruieren wir einen Graphen auf folgende Art. 02:34:57.890 --> 02:35:00.490 Wir nehmen drei M-Knoten rein. 02:35:01.270 --> 02:35:04.170 Drei M heißt, für jede Klausel nehmen wir drei Knoten rein. 02:35:04.250 --> 02:35:06.990 Das ist relativ naheliegend, weil jede Klausel ja auch drei Literale 02:35:06.990 --> 02:35:07.170 hat. 02:35:07.210 --> 02:35:08.930 Und jeder Knoten wird dann auch zu einem Literal gehören. 02:35:09.910 --> 02:35:12.050 Also wenn wir uns dieses Beispiel hier mal anschauen, das, was hier 02:35:12.050 --> 02:35:16.470 unten steht, mit diesen Belegungen hier, dann würde dieser Knoten, 02:35:16.570 --> 02:35:18.810 also das ist hier die erste Klausel, zweite Klausel und dritte 02:35:18.810 --> 02:35:19.270 Klausel. 02:35:20.470 --> 02:35:23.130 Und dieser erste Knoten würde zu X1 gehören. 02:35:23.250 --> 02:35:25.490 Also das ist dieses Literal hier. 02:35:26.290 --> 02:35:28.730 Das würde zu X2 gehören und das zu X3. 02:35:29.710 --> 02:35:32.030 Dann haben wir die nächste Klausel, die machen wir einfach eins 02:35:32.030 --> 02:35:32.390 drunter. 02:35:33.550 --> 02:35:37.970 X1' X2 X3'. 02:35:39.490 --> 02:35:45.190 Und ganz unten haben wir hier das hier, X1 X2' X3'. 02:35:46.210 --> 02:35:47.050 Und X3. 02:35:47.970 --> 02:35:50.110 So, wir haben also jedem Literal jetzt einen Knoten zugewiesen, 02:35:50.170 --> 02:35:50.450 sozusagen. 02:35:51.410 --> 02:35:53.850 Und dann befolgen wir folgende Regel, um Kanten einzubauen. 02:35:54.650 --> 02:35:57.650 Wir sagen, also ich habe die Knoten jetzt, das ist keine Benennung der 02:35:57.650 --> 02:35:59.490 Knoten, die Benennung steht immer hier daneben. 02:36:00.630 --> 02:36:03.630 Die Knoten sind immer mit IJ benannt, wobei immer IJ für die 02:36:05.090 --> 02:36:11.590 entsprechend, also ein Knoten IJ gehört auch immer zu dem Literal CIJ. 02:36:13.450 --> 02:36:16.970 Und dann bauen wir Kanten ein, indem wir sagen, eine Kante IJ nach I 02:36:16.970 --> 02:36:25.170 'J' ist genau dann vorhanden, Element der Kanten, des Graphen, genau 02:36:25.170 --> 02:36:27.950 dann, wenn erstens I ungleich I' ist. 02:36:28.390 --> 02:36:31.030 Das heißt, wir dürfen keine Kanten, so eine Kante ist nicht erlaubt, 02:36:31.070 --> 02:36:33.730 zwischen zwei Knoten innerhalb einer Klausel. 02:36:35.070 --> 02:36:35.850 Da werden wir gleich sehen, warum. 02:36:37.410 --> 02:36:41.370 Und CIJ und C'J' müssen gleichzeitig erfüllbar sein. 02:36:42.490 --> 02:36:46.230 Also nicht gleich einer Variablen XI und deren Komplement XI' sein. 02:36:46.990 --> 02:36:48.970 Das ist einfach die einzige Regel hier. 02:36:49.170 --> 02:36:53.490 So eine Kante dürfen wir nicht einbauen, weil die beiden nicht 02:36:53.490 --> 02:36:54.310 gleichzeitig erfüllbar sind. 02:36:54.630 --> 02:36:58.470 Aber wir dürfen zum Beispiel diese Kante einbauen, diese Kante 02:36:58.470 --> 02:37:01.010 einbauen, diese hier oder diese hier. 02:37:02.490 --> 02:37:08.010 Also diese hier wieder nicht, aber diese hier, oder, keine Ahnung, 02:37:08.090 --> 02:37:08.850 diese Kante hier. 02:37:09.670 --> 02:37:11.630 All diese Kanten können wir einbauen, wenn wir das alles komplett 02:37:11.630 --> 02:37:16.130 eingebaut haben, dann kommt hier also ein etwas unbesichtiger Graph 02:37:16.130 --> 02:37:16.330 raus. 02:37:16.370 --> 02:37:18.990 Und das ist auch logisch, wenn das Problem einfach wäre, könnten wir 02:37:18.990 --> 02:37:21.350 ja das Dreisat auch mit erschlagen gleich. 02:37:21.670 --> 02:37:24.810 Also in diesem Graphen hier sehen Sie nicht gleich, ob es eine Clique 02:37:24.810 --> 02:37:25.690 der Größe 3 gibt. 02:37:26.490 --> 02:37:27.630 Und das ist jetzt aber genau die Idee. 02:37:28.390 --> 02:37:32.270 Wir nehmen jetzt dieses M hier, was die Anzahl der Klauseln ist, in 02:37:32.270 --> 02:37:37.630 dem früheren Dreisat-Problem, und sagen unser K, diese Frage nach der 02:37:37.630 --> 02:37:39.830 Größenclique, ist genau gleich M. 02:37:39.970 --> 02:37:42.550 Und in dem Fall ist es gleich 3, weil wir hier eben 3 Klauseln haben. 02:37:43.810 --> 02:37:45.730 Und jetzt kommt der Knackpunkt. 02:37:46.230 --> 02:37:51.690 Wenn es eine Clique der Größe 3 gibt, dann muss die ja aus jeder Ebene 02:37:51.690 --> 02:37:55.770 hier einen Knoten enthalten. 02:37:56.210 --> 02:38:00.730 Weil Knoten aus einer einzelnen Ebene sind ja nie miteinander 02:38:00.730 --> 02:38:01.170 verbunden. 02:38:01.730 --> 02:38:04.530 Das heißt, es können zwei Knoten aus einer Ebene auch nicht Teil einer 02:38:04.530 --> 02:38:05.050 Clique sein. 02:38:06.430 --> 02:38:08.530 Knoten, die miteinander verbunden sind, können Teil einer Clique sein. 02:38:09.550 --> 02:38:13.010 Also aus jeder Ebene muss genau ein Knoten vorhanden sein, weil wir M 02:38:13.010 --> 02:38:15.470 -Ebenen haben und das K gleich M gesetzt wird. 02:38:16.690 --> 02:38:19.770 Und zusätzlich haben wir ja gesagt, dass die alle miteinander 02:38:19.770 --> 02:38:20.530 erfüllbar sein müssen. 02:38:20.930 --> 02:38:23.870 Wir haben ja Kanten nur eingebaut, wenn die Knoten dazwischen 02:38:24.430 --> 02:38:25.850 gleichzeitig erfüllbar sein konnten. 02:38:27.430 --> 02:38:29.410 Das heißt, wenn wir so eine Clique finden, dann haben wir auch eine 02:38:29.410 --> 02:38:32.430 erfüllbare Lösung gefunden. 02:38:32.850 --> 02:38:35.310 Also wenn wir eine Clique finden, dann ist diese aussagenlogische 02:38:35.310 --> 02:38:35.950 Formel erfüllbar. 02:38:36.610 --> 02:38:38.930 Die Lösung gefunden haben wir dann noch nicht gleich, aber zumindest 02:38:38.930 --> 02:38:40.110 haben wir das dann bewiesen. 02:38:42.210 --> 02:38:42.970 Ist das klar soweit? 02:38:43.870 --> 02:38:47.130 Ich weiß, dass das ein bisschen auf den ersten Blick ein bisschen 02:38:47.130 --> 02:38:51.630 unintuitiv ist, aber Sie können sich das ja nochmal genau daheim 02:38:51.630 --> 02:38:51.990 anschauen. 02:38:52.650 --> 02:38:54.790 Aber was Sie hier mitnehmen sollen, ist auf jeden Fall, wir haben ein 02:38:54.790 --> 02:38:58.170 Problem, das sich auf aussagenlogische Formeln bezieht. 02:38:58.270 --> 02:39:00.170 Jetzt übertragen auf ein graftheoretisches Problem. 02:39:01.310 --> 02:39:04.870 Wo man zuerst vielleicht denken würde, dass das vielleicht gar nicht 02:39:04.870 --> 02:39:05.110 geht. 02:39:06.010 --> 02:39:07.150 Gibt es dazu konkrete Fragen? 02:39:14.630 --> 02:39:15.330 Ja, genau. 02:39:21.490 --> 02:39:23.470 Die Frage ist, ob... 02:39:23.470 --> 02:39:26.130 Ich habe ja gesagt, dass dieses I ungleich I Strich bedeutet, dass es 02:39:26.130 --> 02:39:28.750 nicht auf einer Ebene, dass zwei Knoten nicht auf einer Ebene 02:39:28.750 --> 02:39:29.470 verbunden sein dürfen. 02:39:30.270 --> 02:39:31.170 Und wie war das dann? 02:39:31.410 --> 02:39:33.630 1 ,1 zu... 02:39:33.630 --> 02:39:35.150 1,2 zu 2,2. 02:39:35.150 --> 02:39:36.430 Ja, das ist ja in Ordnung. 02:39:36.810 --> 02:39:38.390 Ebenenweise meine ich diese Ebenen hier. 02:39:40.330 --> 02:39:44.370 Innerhalb einer Klausel darf es keine zwei verbundenen Knoten geben. 02:39:46.910 --> 02:39:47.930 Noch weitere Fragen? 02:39:51.350 --> 02:39:51.610 Okay. 02:39:52.570 --> 02:39:56.810 Wie gesagt, das ist der bisschen knifflige Beweis, aber da... 02:39:59.530 --> 02:40:01.210 Wenn Sie das mal verstanden haben, dann haben Sie auch diese ganze 02:40:01.210 --> 02:40:02.250 Reduktionsgeschichte verstanden. 02:40:04.090 --> 02:40:04.490 So. 02:40:05.270 --> 02:40:07.070 Hier steht nochmal, was ich eigentlich schon gesagt habe. 02:40:08.390 --> 02:40:10.770 Offensichtlich, das habe ich noch nicht gesagt, aber diese 02:40:10.770 --> 02:40:13.450 Transformation, die wir gerade gemacht haben, die geht in polemneller 02:40:13.450 --> 02:40:13.810 Zeit. 02:40:14.650 --> 02:40:19.590 Ja, wir müssen einfach nur für jeden Knoten, für jedes Literal aus der 02:40:19.590 --> 02:40:22.750 Formel, einen Knoten einbauen und dann halt diese Kanten einsetzen. 02:40:22.850 --> 02:40:27.470 Also maximal n² in der Anzahl der Variablen Zeit kostet das. 02:40:28.390 --> 02:40:31.190 Das heißt, wir haben, also wenn wir uns dieses Diagramm hier nochmal 02:40:31.190 --> 02:40:33.270 anschauen, wir haben 3 Satz. 02:40:33.370 --> 02:40:34.670 Das wollen wir auf Clique reduzieren. 02:40:35.690 --> 02:40:38.550 Und diese Funktion f hier, die muss in polemneller Zeit gehen. 02:40:39.550 --> 02:40:40.630 Das haben wir jetzt gezeigt. 02:40:40.770 --> 02:40:41.510 Diese Funktion f. 02:40:41.910 --> 02:40:44.070 Die haben wir gerade eben gezeigt. 02:40:44.530 --> 02:40:45.950 Dann können wir das Problem Clique lösen. 02:40:47.270 --> 02:40:48.550 Wir kriegen eine Lösung für Clique raus. 02:40:48.770 --> 02:40:50.650 Und normalerweise müssten wir das noch transformieren in eine Lösung 02:40:50.650 --> 02:40:55.350 für 3 Satz, aber weil das hier sowieso so eine True-False-Sache ist, 02:40:55.390 --> 02:40:57.750 wir kriegen hier nur wahr oder falsch raus, müssen wir da gar nichts 02:40:57.750 --> 02:40:58.290 mehr transformieren. 02:40:58.410 --> 02:40:59.570 Also diese Funktion g ist trivial. 02:41:00.110 --> 02:41:01.490 Die macht einfach gar nichts. 02:41:02.510 --> 02:41:07.270 Und dann haben wir sozusagen das Problem 3 Satz gelöst, indem wir 02:41:07.270 --> 02:41:08.930 diesen Umweg gegangen sind über das Problem Clique. 02:41:11.950 --> 02:41:14.170 Hier steht nochmal, wir müssen k gleich m wählen, gleich die Anzahl 02:41:14.170 --> 02:41:14.750 der Klauseln. 02:41:15.930 --> 02:41:18.170 Und die Frage ist, hat g eine Clique der Größe m? 02:41:18.570 --> 02:41:21.630 Dann haben wir diese Sache bewiesen. 02:41:21.810 --> 02:41:24.290 Dann gibt es m Literal in m verschiedenen Klauseln, das habe ich auch 02:41:24.290 --> 02:41:26.670 schon gesagt, sodass alle gleichzeitig erfüllt werden können. 02:41:27.570 --> 02:41:31.470 Und wir brauchen ja pro Klausel brauchen wir nur ein einziges Literal, 02:41:31.550 --> 02:41:33.870 was erfüllt ist, weil wir ja so eine und-Verknüpfung haben und innen 02:41:33.870 --> 02:41:34.890 drin sind oder-Verknüpfungen. 02:41:35.650 --> 02:41:38.270 Sobald eins in jeder erfüllt ist, ist die gesamte Formel erfüllt. 02:41:42.510 --> 02:41:45.650 Und damit haben wir gezeigt, Clique np schwer. 02:41:46.990 --> 02:41:49.450 Wer weiß, wie man zeigen würde, dass Clique in np ist, also dass es 02:41:49.450 --> 02:41:50.310 auch np-vollständig ist. 02:41:51.770 --> 02:41:52.990 Was müsste man dafür tun? 02:41:57.540 --> 02:42:01.780 Was macht man allgemein, wenn man zeigen will, dass es in np liegt? 02:42:03.500 --> 02:42:06.800 Man zeigt, dass es eine nicht-atomistische Turing-Maschine gibt, die 02:42:06.800 --> 02:42:10.560 die Lösung raten kann und in polymerer Zeit verifizieren, so wie 02:42:10.560 --> 02:42:11.600 vorhin für das Drei-Satz-Problem. 02:42:12.100 --> 02:42:14.880 Und bei Clique ist es einfach so, man kann einfach eine Teilmenge der 02:42:14.880 --> 02:42:17.120 Knoten raten und dann kann die Turing-Maschine auch wieder in 02:42:17.120 --> 02:42:19.660 polymerer Zeit verifizieren, aha, das ist eine Clique. 02:42:20.540 --> 02:42:22.420 Ja, da muss man nur noch schauen, ob die alle miteinander verbunden 02:42:22.420 --> 02:42:22.680 sind. 02:42:23.160 --> 02:42:26.900 Das dauert maximal irgendwie e², wenn n die Anzahl der Kanten ist. 02:42:29.920 --> 02:42:32.280 Nein, n², wenn n die Anzahl der Knoten ist, sagen wir es mal so. 02:42:34.540 --> 02:42:36.860 Okay, gut, dann haben wir das geschafft. 02:42:37.760 --> 02:42:40.720 Jetzt kommen noch einige Bemerkungen dazu, die jetzt auch nochmal ganz 02:42:40.720 --> 02:42:41.280 interessant sind. 02:42:41.740 --> 02:42:45.120 Wir haben uns jetzt die sogenannte Entscheidungsvariante von dem 02:42:45.120 --> 02:42:46.260 Problem Clique angeschaut. 02:42:47.960 --> 02:42:51.820 Und diese war, gibt es eine Clique der Größe k in einem Graphen g? 02:42:52.640 --> 02:42:56.420 Das heißt, wir haben sowohl den Graphen g, als auch die Zahl k 02:42:56.420 --> 02:42:57.120 vorgegeben. 02:42:58.540 --> 02:43:00.600 Jetzt könnte man sich aber vorstellen, vielleicht habe ich einen 02:43:00.600 --> 02:43:03.940 Graphen und mich interessiert nicht für ein bestimmtes k, ob es das 02:43:03.940 --> 02:43:07.980 gibt, sondern mich interessiert das größte k, für das es noch eine 02:43:07.980 --> 02:43:08.420 Clique gibt. 02:43:08.580 --> 02:43:11.280 Das ist dann die sogenannte Optimierungsvariante. 02:43:11.360 --> 02:43:13.320 Eine Optimierungsvariante, das andere ist eigentlich auch eine. 02:43:13.800 --> 02:43:17.900 Die nächste Variante, die dritte hier, ist, da wollen wir sogar eine 02:43:17.900 --> 02:43:18.820 Clique berechnen. 02:43:20.300 --> 02:43:22.580 Die größte Clique berechnen, die in diesem Graphen ist. 02:43:24.080 --> 02:43:28.480 Jetzt ist offensichtlich, was hier steht, wenn wir das Problem 3 02:43:28.480 --> 02:43:30.540 gelöst haben, dann können wir auch die anderen alle lösen. 02:43:30.940 --> 02:43:32.060 Dieses blöde Ding da. 02:43:33.320 --> 02:43:34.240 Ich konnte das nicht ausschalten. 02:43:34.300 --> 02:43:36.280 Ich wollte das eigentlich ausschalten, aber ich weiß echt nicht, wie 02:43:36.280 --> 02:43:36.920 man das deaktiviert. 02:43:36.980 --> 02:43:39.580 Das ist irgendwie mit dem Computer verwachsen, glaube ich. 02:43:40.940 --> 02:43:43.580 Da kann man nämlich so dann Schriftzeichen erkennen lassen, wenn man 02:43:43.580 --> 02:43:44.640 das hier ausfährt. 02:43:46.000 --> 02:43:46.880 Aber ist egal. 02:43:48.160 --> 02:43:51.220 Okay, also in dieser Richtung können wir, wenn wir das dritte Problem 02:43:51.220 --> 02:43:52.980 gelöst haben, können wir das zweite und erste auch lösen. 02:43:54.300 --> 02:43:57.040 Weil wenn wir eine Clique schon kennen, die größte, dann können wir 02:43:57.040 --> 02:43:59.540 einfach die Knoten zählen und wissen, aha, dann ist das also das 02:43:59.540 --> 02:43:59.980 größte K. 02:44:00.480 --> 02:44:04.780 Und wenn wir das größte K kennen, dann können wir auch wenn uns jemand 02:44:04.780 --> 02:44:08.800 fragt, gibt es eine Clique der Größe L, dann schauen wir einfach, ist 02:44:08.800 --> 02:44:12.660 das L kleiner als das K oder kleiner gleicht K, dann sagen wir ja, so 02:44:12.660 --> 02:44:13.160 eine gibt es. 02:44:13.460 --> 02:44:15.020 Für alles Kleiner gibt es ja dann. 02:44:16.080 --> 02:44:18.320 Wenn wir eine Dreiklicke haben, haben wir auch Zweiklicken und 02:44:18.320 --> 02:44:18.740 Einzerklicken. 02:44:20.960 --> 02:44:22.580 Und wenn es größer ist, sagen wir nein. 02:44:23.240 --> 02:44:24.300 Das heißt, in die Richtung ist es klar. 02:44:24.800 --> 02:44:28.840 Interessant ist jetzt aber auch, dass wir auch in die Richtung, das 02:44:28.840 --> 02:44:29.500 gilt das auch. 02:44:29.820 --> 02:44:32.040 Wenn wir das erste Problem gelöst haben, haben wir im Wesentlichen 02:44:32.040 --> 02:44:33.040 auch die anderen beiden gelöst. 02:44:33.500 --> 02:44:34.760 Bis auf problemelle Faktoren. 02:44:35.260 --> 02:44:36.260 Und zwar, wie macht man das? 02:44:36.720 --> 02:44:40.340 Angenommen, wir haben herausgefunden, wie man dieses Problem löst. 02:44:40.400 --> 02:44:41.760 Gibt es eine Clique der Größe K in G. 02:44:42.800 --> 02:44:46.320 Und wir wollen mit dieser Idee, mit diesem Algorithmus dafür, wollen 02:44:46.320 --> 02:44:49.760 wir jetzt lösen, die Frage, berechnet das größte K, sodass G eine K 02:44:49.760 --> 02:44:50.340 -Clique enthält. 02:44:51.440 --> 02:44:55.660 Es gibt ja für dieses K genau N verschiedene Möglichkeiten. 02:44:55.800 --> 02:45:01.180 Wenn wir N Knoten haben, ist die größte Clique entweder 1, also wenn 02:45:01.180 --> 02:45:02.080 es ein nicht trivialer Graph ist. 02:45:02.160 --> 02:45:04.180 In einem leeren Graphen hätten wir eine Clique der Größe 0 nur. 02:45:04.320 --> 02:45:06.440 Aber sobald wir überhaupt ein Knoten haben, haben wir schon die Größe 02:45:06.440 --> 02:45:06.700 1. 02:45:06.800 --> 02:45:07.800 Deswegen schreibe ich hier mal 1 hin. 02:45:08.560 --> 02:45:09.580 Und das Maximum ist N. 02:45:09.980 --> 02:45:13.480 Ja, wir können irgendwas zwischen 1 und N... 02:45:14.700 --> 02:45:16.500 ist dieses maximale K groß. 02:45:18.360 --> 02:45:20.540 Und dann können wir einfach eine binäre Suche auf diesem Suchraum 02:45:20.540 --> 02:45:20.780 machen. 02:45:20.920 --> 02:45:22.520 Wir können sagen, wir fangen mal mit N halber an. 02:45:23.220 --> 02:45:24.280 Eine binäre Suche kennen Sie. 02:45:24.920 --> 02:45:27.120 Wir fangen mit N halber an und schauen, gibt es eine Clique dieser 02:45:27.120 --> 02:45:27.480 Größe? 02:45:27.760 --> 02:45:30.780 Wenn es eine gibt, dann gehen wir in diese Richtung. 02:45:31.240 --> 02:45:32.480 Wenn es keine gibt, gehen wir in diese Richtung. 02:45:32.680 --> 02:45:37.760 Angenommen, es gibt eine, sind wir dann hier bei 3 Viertel N. 02:45:39.100 --> 02:45:41.620 Und testen da mal, ob es eine Clique der Größe 3 Viertel N gibt. 02:45:41.800 --> 02:45:44.080 Wenn es eine, wenn es keine gibt, dann gehen wir hier hin. 02:45:45.860 --> 02:45:47.520 5 Achtel N oder sowas hier. 02:45:49.120 --> 02:45:52.440 Und so arbeiten wir uns hier praktisch immer näher an die Lösung ran. 02:45:53.520 --> 02:45:57.680 Und brauchen maximal logarithmisch viel Zeit, um das rauszukriegen. 02:45:58.940 --> 02:46:02.100 Also um das größte K zu kriegen, müssen wir nur logarithmisch mal mehr 02:46:02.100 --> 02:46:10.360 Aufwand reinstecken, irgendwie ein Log, als wir für das ursprüngliche 02:46:10.360 --> 02:46:11.220 Problem reingesteckt haben. 02:46:11.460 --> 02:46:12.600 Also nur minimal mehr Aufwand. 02:46:13.800 --> 02:46:16.920 Und angenommen, wir haben jetzt einen Algorithmus, dementsprechend, 02:46:17.060 --> 02:46:19.740 der jetzt dieses zweite Problem löst, dann können wir 02:46:19.740 --> 02:46:21.360 interessanterweise auch das dritte Problem lösen. 02:46:21.520 --> 02:46:25.820 Wenn wir uns mal nämlich, steht hier, was gemacht werden muss. 02:46:26.440 --> 02:46:29.660 Wenn wir ein maximales K erkennen, entfernen wir einfach jede Kante 02:46:29.660 --> 02:46:33.200 probeweise aus dem Graphen und schauen, ob sich dieses maximale K 02:46:33.200 --> 02:46:33.580 ändert. 02:46:34.940 --> 02:46:38.080 Wenn es sich ändert, dann heißt es, die Kante hat zur Klicke 02:46:38.080 --> 02:46:38.700 dazugehört. 02:46:39.300 --> 02:46:42.080 Wenn es sich nicht ändert, heißt es, sie hat nicht dazugehört. 02:46:42.180 --> 02:46:46.820 Also ich habe mir hier mal so einen Beispielgraphen aufgemalt. 02:46:48.520 --> 02:46:50.620 Keine Ahnung, irgendwie so ist es eigentlich egal, wie der aussieht. 02:46:51.460 --> 02:46:54.500 Wir haben herausgefunden, dass dieser Graph der maximale Klicke der 02:46:54.500 --> 02:46:55.200 Größe 4 hat. 02:46:55.820 --> 02:46:59.240 Und das ist in dem Fall diese Knoten hier. 02:47:00.460 --> 02:47:02.720 Wenn wir jetzt einfach anfangen, irgendwelche Kanten zu löschen, sagen 02:47:02.720 --> 02:47:07.540 wir mal, wir haben hier K gleich 4 und löschen diese Kante hier. 02:47:08.620 --> 02:47:12.200 Dann festen wir es wieder und stellen fest, K ist immer noch gleich 4. 02:47:12.960 --> 02:47:14.800 Das heißt, diese Kante kann nicht zur Klicke gehört haben. 02:47:16.000 --> 02:47:18.260 Dann löschen wir vielleicht noch eine andere Kante, diese hier, und 02:47:18.260 --> 02:47:20.120 stellen fest, oh, jetzt haben wir plötzlich nur noch 3. 02:47:21.320 --> 02:47:23.000 Jetzt sagt unser Algorithmus, wir haben nur noch K gleich 3. 02:47:23.600 --> 02:47:26.120 Dann fügen wir diese Kante schnell wieder ein, weil die gehört dann 02:47:26.120 --> 02:47:26.700 zur Klicke dazu. 02:47:27.820 --> 02:47:29.840 Dann löschen wir weiter, stellen fest, wenn wir das hier löschen, 02:47:29.840 --> 02:47:30.740 bleibt es 4. 02:47:31.540 --> 02:47:32.020 Und so weiter. 02:47:32.580 --> 02:47:34.600 Und irgendwann haben wir alle Kanten durchgetestet. 02:47:34.660 --> 02:47:36.600 Das heißt, wir müssen maximal n Kanten testen. 02:47:37.120 --> 02:47:38.940 Oder maximal die Anzahl der Kanten testen. 02:47:39.700 --> 02:47:42.060 Und haben dann diese Klicke gefunden. 02:47:42.500 --> 02:47:45.380 Am Ende haben wir rausgefunden, es sind genau diese 4 Knoten. 02:47:46.760 --> 02:47:47.300 Ist das soweit? 02:47:48.360 --> 02:47:51.200 Das heißt, wir haben hier maximal einen Aufwand von der Anzahl der 02:47:53.040 --> 02:47:56.120 Knoten, sondern der Kanten. 02:47:57.380 --> 02:47:57.960 Ist das klar? 02:47:59.880 --> 02:48:04.200 Warum wir das hier zeigen für Klicke, ist einfach, weil das für viele, 02:48:04.340 --> 02:48:07.280 für sehr viele Optimierungsprobleme gilt genau dieser Zusammenhang. 02:48:07.900 --> 02:48:11.200 Also meistens genügt es, dass wir uns die Entscheidungsvariante der 02:48:11.200 --> 02:48:14.440 Probleme anschauen und wenn wir zeigen, dass die Entscheidungsvariante 02:48:14.440 --> 02:48:17.140 leicht ist, dann können wir auch die anderen Probleme lösen. 02:48:17.240 --> 02:48:18.760 Das heißt, wir müssen uns die anderen gar nicht genau anschauen. 02:48:22.290 --> 02:48:23.710 Es reicht, wenn wir uns die Entscheidungsvariante anschauen. 02:48:25.470 --> 02:48:25.730 Okay. 02:48:27.010 --> 02:48:30.350 Ich würde mal behaupten, das war jetzt dieser knifflige Teil. 02:48:32.490 --> 02:48:35.510 Gibt es zu dem, was ich davor erzählt habe, noch irgendwelche Fragen? 02:48:36.990 --> 02:48:38.410 Zu diesen Reduktionsgeschichten an dem Ganzen? 02:48:40.290 --> 02:48:42.150 Ich hoffe, dass das einigermaßen verständlich war. 02:48:44.830 --> 02:48:47.010 So, und jetzt kommt hier ein kleiner Comic, den Herr Schmeck hier mal 02:48:47.010 --> 02:48:50.750 einfügt, damit man nochmal die praktische Relevanz des Ganzen sieht. 02:48:51.250 --> 02:48:52.270 Wofür wir das eigentlich machen. 02:48:52.650 --> 02:48:54.910 Und die Idee ist einfach, Sie sind natürlich nicht der Boss, sondern 02:48:54.910 --> 02:48:56.810 der hier am Anfang, wenn Sie in Ihre Karriere einsteigen. 02:48:57.870 --> 02:49:01.990 Und Sie kommen zu Ihrem Boss und der sagt Ihnen, ich hätte gerne, dass 02:49:01.990 --> 02:49:08.390 Sie für mich keine Ahnung, vielleicht arbeiten Sie bei Facebook und 02:49:08.390 --> 02:49:11.910 der Chef möchte, dass Sie die größten Klicken rauskriegen, die es im 02:49:11.910 --> 02:49:12.690 Facebook -Netzwerk gibt. 02:49:12.810 --> 02:49:15.150 Also die größten verbundenen Teilgraphen, zufälligerweise. 02:49:16.670 --> 02:49:20.150 Und dann sagen Sie, ich weiß nicht, ich habe mich jetzt drei Wochen 02:49:20.150 --> 02:49:22.030 hingesetzt und habe keinen Algorithmus gefunden. 02:49:22.810 --> 02:49:24.830 Kann natürlich sein, dass ich da irgendwie zu blöd dafür bin. 02:49:26.350 --> 02:49:30.810 Sagt der Chef, ja, zu blöd ist doof, dann muss ich Sie leider 02:49:30.810 --> 02:49:31.410 rausschmeißen. 02:49:32.150 --> 02:49:34.650 Oder von mir aus kriegen Sie eine Abmahnung oder sowas. 02:49:36.410 --> 02:49:39.990 Die nächste Variante ist, Sie sind ein bisschen selbstbewusster und 02:49:39.990 --> 02:49:43.310 sagen, ich habe jetzt viereinhalb Monate an dem Problem gearbeitet und 02:49:43.310 --> 02:49:44.850 ich kann immer noch keinen effizienten Algorithmus finden. 02:49:45.550 --> 02:49:47.530 Ich vermute, es gibt gar keinen effizienten Algorithmus. 02:49:48.250 --> 02:49:51.250 Dann sagt der Chef, ja, vermuten kann man vieles. 02:49:52.290 --> 02:49:53.570 Sechseinhalb Monate ist eine lange Zeit. 02:49:53.650 --> 02:49:54.610 Warum haben Sie so viel Zeit verschwendet? 02:49:54.670 --> 02:49:55.390 Und dann schmeißt Sie wieder raus. 02:49:57.270 --> 02:50:00.110 Und unsere ganzen Reduktionsgeschichten hindern Sie jetzt den Chef 02:50:00.110 --> 02:50:01.070 daran, Sie auszuschmeißen. 02:50:01.130 --> 02:50:03.610 Weil das ist jetzt nämlich die Argumentation, die Sie jetzt benutzen 02:50:03.610 --> 02:50:03.830 können. 02:50:04.270 --> 02:50:06.450 Sie sagen immer noch, ich kann keinen effizienten Algorithmus finden. 02:50:07.170 --> 02:50:08.330 Sie können nicht beweisen, dass es keinen gibt. 02:50:08.670 --> 02:50:09.330 Das klappt nicht. 02:50:10.010 --> 02:50:12.950 Aber Sie können beweisen, dass das Problem entweder vollständig ist. 02:50:14.230 --> 02:50:18.430 Und das heißt, es gibt ja Tausende inzwischen von vollständigen 02:50:18.430 --> 02:50:19.090 Problemen. 02:50:20.210 --> 02:50:26.870 Wir haben jetzt hier eine Clique, die zeigt, dass es drei Satz da ist. 02:50:27.830 --> 02:50:32.750 Es gibt hier Satz und alle möglichen anderen Probleme auch. 02:50:33.230 --> 02:50:36.430 Und wir müssten nur eins von diesen lösen, um alle gelöst zu haben. 02:50:36.650 --> 02:50:38.570 Also in polymerer Zeit, deterministisch. 02:50:38.670 --> 02:50:40.010 Das ist diese Idee immer. 02:50:40.570 --> 02:50:42.770 Das heißt, all diese Leute, die sich damit schon beschäftigt haben, 02:50:43.790 --> 02:50:45.490 die das Problem lösen wollten, aus welchen Gründen auch immer. 02:50:45.650 --> 02:50:48.350 Vielleicht wollten sie diese Millionen absahnen oder irgendwas. 02:50:48.870 --> 02:50:50.990 Aber all diese haben keinen effizienten Algorithmus finden können. 02:50:52.210 --> 02:50:55.450 Und dann haben sie schon irgendwie ein deutlich besseres Argument im 02:50:55.450 --> 02:50:59.110 Rücken bei ihrem Chef und können sagen, ja gut, ich habe es zwar nicht 02:50:59.110 --> 02:51:01.450 gefunden, aber es wäre schon interessant, wenn ich es finden würde, 02:51:01.530 --> 02:51:03.130 dann müsste ich sowieso nicht mehr arbeiten. 02:51:03.210 --> 02:51:05.770 Dann hätte ich ja die Millionen verdient. 02:51:07.150 --> 02:51:08.170 Die Idee ist klar. 02:51:16.610 --> 02:51:19.050 Und wie verhält man sich jetzt aber, wenn man... 02:51:19.050 --> 02:51:21.050 das habe ich hier noch... 02:51:21.870 --> 02:51:24.370 Wenn man jetzt tatsächlich ein vollständiges Problem lösen will. 02:51:25.830 --> 02:51:28.170 Man kann zum Beispiel überprüfen, ob das Problem in einer 02:51:28.170 --> 02:51:29.450 eingeschränkten Form vorliegt. 02:51:30.090 --> 02:51:32.970 Also ob man durch zusätzliche Randbedingungen vielleicht zu einer 02:51:33.430 --> 02:51:34.350 Lösung kommen kann. 02:51:35.190 --> 02:51:37.170 Also beispielsweise könnte man bei dem Drei-Satz-Problem schauen. 02:51:38.190 --> 02:51:39.950 Vielleicht brauche ich gar kein Drei-Satz, vielleicht reicht mir schon 02:51:39.950 --> 02:51:40.450 Zwei -Satz. 02:51:41.910 --> 02:51:45.170 Interessanterweise kann man nämlich rausfinden, zeigen, dass Zwei-Satz 02:51:45.170 --> 02:51:46.110 sehr leicht lösbar ist. 02:51:46.270 --> 02:51:47.930 Zwei-Satz kann man in Linearzeit lösen. 02:51:48.790 --> 02:51:50.590 Für Drei-Satz brauchen wir wahrscheinlich Exponentialzeit. 02:51:51.390 --> 02:51:52.370 Das ist ganz interessant. 02:51:53.270 --> 02:51:56.390 Zwei-Satz heißt, dass wir immer nur zwei literale Vorformel haben. 02:51:56.670 --> 02:52:02.950 Also nicht mehr drei, sondern einfach nur zwei, wieder zwei, und so 02:52:02.950 --> 02:52:03.190 weiter. 02:52:04.410 --> 02:52:07.150 Das heißt, wir reduzieren so eine Kleinigkeit in der 02:52:07.150 --> 02:52:09.190 Problembeschreibung und plötzlich wird das Problem sehr einfach. 02:52:10.670 --> 02:52:13.830 Das ist das, was man immer zuerst anstreben sollte, wenn man so ein 02:52:13.830 --> 02:52:14.830 bevollständiges Problem hat. 02:52:15.310 --> 02:52:18.010 Wenn man jetzt irgendwie in Facebook ist, dann könnte man überlegen, 02:52:18.070 --> 02:52:20.250 ob man wirklich alle vollständig verbundenen Teilgraphen braucht oder 02:52:20.250 --> 02:52:23.730 ob es einem vielleicht reicht, herauszufinden, wer mit wem befreundet 02:52:23.730 --> 02:52:24.310 ist oder sowas. 02:52:25.330 --> 02:52:30.370 Oder irgendwie diese Problematik so ein bisschen runterbrechen auf ein 02:52:30.370 --> 02:52:31.150 einfacheres Problem. 02:52:32.810 --> 02:52:35.490 Dann die zweite Variante, wenn Sie jetzt wirklich tatsächlich dieses 02:52:35.490 --> 02:52:36.710 große Problem lösen wollen. 02:52:37.890 --> 02:52:41.470 Die zweite Variante wäre, dass man sich das Problem, dass man sich mit 02:52:41.470 --> 02:52:42.910 einer superoptimalen Lösung zufrieden gibt. 02:52:44.250 --> 02:52:47.990 Und da ist die gute Variante immer noch, es gibt für manche Probleme 02:52:47.990 --> 02:52:51.410 eine Garantie, dass wir zum Beispiel auf den Faktor 1,5 rankommen an 02:52:51.410 --> 02:52:52.190 die optimale Lösung. 02:52:53.750 --> 02:52:57.150 Travelling Salesman Problem oder Salesperson Problem ist zum Beispiel 02:52:57.150 --> 02:52:58.350 in quadratischer Zeit lösbar. 02:52:58.530 --> 02:53:01.890 Sie kennen das, Sie wollen herausfinden, ob Sie...ist das eine Frage 02:53:01.890 --> 02:53:02.410 da oben oder? 02:53:03.010 --> 02:53:03.630 Nein, nur strecken. 02:53:06.310 --> 02:53:09.510 Sie wollen die kürzeste Rundreise von mir aus irgendwie der 02:53:09.510 --> 02:53:11.930 Hauptstädte in Europa oder sowas rauskriegen. 02:53:13.690 --> 02:53:16.310 Und das ist die Optimierungsvariante, wenn Sie die kürzeste Rundreise 02:53:16.310 --> 02:53:16.610 wollen. 02:53:17.430 --> 02:53:18.910 Und keine Stadt wird mehrfach besucht. 02:53:20.570 --> 02:53:23.790 Und das kriegen Sie bis auf einen Faktor von 1,5 hin mit quadratischer 02:53:23.790 --> 02:53:24.210 Laufzeit. 02:53:24.310 --> 02:53:25.110 Das ist ja schon mal ganz nett. 02:53:25.650 --> 02:53:26.630 Quadratische Laufzeit ist schön. 02:53:26.810 --> 02:53:28.010 Das ist was, was wir gerne haben. 02:53:30.010 --> 02:53:32.990 Und wenn man sich noch ein bisschen mehr Energie reinsteckt, also mehr 02:53:32.990 --> 02:53:35.110 Zeit reinsteckt, kriegt man das auch noch ein bisschen weiter 02:53:35.110 --> 02:53:35.650 runtergedrückt. 02:53:36.630 --> 02:53:39.870 Es gibt auch so Probleme, wo man so einen logarithmischen Faktor 02:53:39.870 --> 02:53:40.330 reinkriegt. 02:53:40.810 --> 02:53:43.630 Man sagt, ich kriege das bis auf einen logarithmischen Faktor genau 02:53:43.950 --> 02:53:44.270 approximiert. 02:53:44.450 --> 02:53:45.870 Das ist zum Beispiel das Mengenüberdeckungsproblem. 02:53:46.010 --> 02:53:49.610 Das ist auch so ein vollständiges Problem, bei dem man das auch 02:53:49.610 --> 02:53:52.330 relativ gutartig ist mit diesen Theoristiken. 02:53:53.030 --> 02:53:54.370 Aber genau kriegt man es halt nicht gelöst. 02:53:54.970 --> 02:53:57.370 Es gibt sogar Probleme, die man auf einen beliebigen Faktor Epsilon 02:53:57.370 --> 02:53:59.870 runterdrücken kann, der aber immer größer Null ist. 02:54:00.310 --> 02:54:01.590 Und dadurch braucht man halt immer mehr Zeit. 02:54:01.650 --> 02:54:06.110 Aber man kriegt es trotzdem in polemialer Zeit gelöst. 02:54:07.990 --> 02:54:10.190 Man kann eine systematische Entwurfsmethodik anwenden. 02:54:10.290 --> 02:54:13.270 Das ist das, was wir Informatiker gerne tun, dynamisch programmieren. 02:54:14.510 --> 02:54:17.830 Kennen Sie, dass man so eine Tabelle sich mit den Zwischenlösungen 02:54:17.830 --> 02:54:19.270 speichert und die nicht nochmal berechnet. 02:54:20.370 --> 02:54:22.610 Divide and conquer, dass man Probleme aufspaltet in kleinere 02:54:22.610 --> 02:54:23.870 Teilprobleme und diese löst. 02:54:25.130 --> 02:54:27.190 Und branch and cut heißt, dass man sich so einen Baum aufbaut. 02:54:28.090 --> 02:54:29.370 Oder branch and bound, branch and cut. 02:54:30.150 --> 02:54:31.950 Man baut sich so einen Baum auf und versucht immer auf eine 02:54:31.950 --> 02:54:35.810 intelligente Art diese Äste des Baums einfach wegzulassen und zu 02:54:35.810 --> 02:54:39.350 hoffen, dass man da, wo man die Äste weggelassen hat, da die Lösung 02:54:39.350 --> 02:54:40.010 sowieso nicht ist. 02:54:41.450 --> 02:54:45.070 Aber all diese Problemlösungsarten bringen nur was für kleine 02:54:45.070 --> 02:54:47.090 Instanzen, weil sonst wäre das Problem nicht NP-vollständig. 02:54:48.010 --> 02:54:52.610 Solange wir die exakte Lösung haben wollen, kommen wir um dieses NP 02:54:52.610 --> 02:54:53.410 -Vollständige nicht drum herum. 02:54:53.630 --> 02:54:56.630 Also auch mit diesen tollen Methoden bleibt das Problem NP 02:54:56.630 --> 02:54:57.150 -vollständig. 02:54:57.470 --> 02:55:01.510 Es sei denn, wir können auch diese ganzen Methoden approximiert 02:55:01.510 --> 02:55:01.830 anwenden. 02:55:02.450 --> 02:55:03.090 Das geht auch. 02:55:03.730 --> 02:55:05.650 Sobald wir eine Approximation einbauen, passt es dann wieder. 02:55:05.810 --> 02:55:06.650 Dann kriegen wir es vielleicht hin. 02:55:07.690 --> 02:55:10.350 Und dann können wir auch noch ein bisschen weiter das Ganze aufweichen 02:55:10.350 --> 02:55:13.450 und sagen, wir wollen gar keine Garantie mehr für die Lösungsgüte und 02:55:13.450 --> 02:55:15.670 verwenden eine schnelle Heuristik oder so eine... 02:55:16.830 --> 02:55:17.370 Ja, genau. 02:55:17.450 --> 02:55:18.310 Zum Beispiel das nearest neighbor. 02:55:19.230 --> 02:55:24.110 Man kann solche greedy Verfahren einsetzen, um solche Probleme 02:55:24.110 --> 02:55:24.670 anzugehen. 02:55:25.230 --> 02:55:27.350 Dann kriegt man keine Lösungsgarantie raus. 02:55:27.350 --> 02:55:31.130 Man weiß nicht, wie nah man an die richtige Lösung rankommt, aber in 02:55:31.130 --> 02:55:33.830 hinreichend vielen Fällen ist man hoffentlich einigermaßen nah dran. 02:55:34.530 --> 02:55:36.250 Und das gleiche gilt auch für diese randomisierten Verfahren. 02:55:36.730 --> 02:55:39.590 TabuSearch, Simulated Annealing, Evolutionäre Algorithmen und 02:55:39.590 --> 02:55:40.790 Ameisenalgorithmen. 02:55:43.010 --> 02:55:45.390 Die schreibt der Schmeck hier auch gerne hin, weil das genau die 02:55:45.390 --> 02:55:54.570 Sachen sind, mit denen wir uns an unserem Lehrstuhl also IFB, LS1 sind 02:55:54.570 --> 02:55:58.350 so die Sachen, mit denen wir uns viel beschäftigen und wo wir uns auch 02:55:58.350 --> 02:55:58.890 gut auskennen. 02:55:59.830 --> 02:56:02.950 Also wenn Sie da Interesse daran haben, das sind Meta-Heuristiken. 02:56:16.740 --> 02:56:20.760 Meta-Heuristiken deswegen, weil man eine ganze Klasse von Heuristiken 02:56:20.760 --> 02:56:20.940 hat. 02:56:21.040 --> 02:56:23.060 Das ist nicht eine Heuristik für ein bestimmtes Problem, sondern man 02:56:23.060 --> 02:56:25.120 kann da irgendein Problem reinpacken und einen Evolutionären 02:56:25.120 --> 02:56:27.800 Algorithmus drauf ansetzen und er kriegt es dann einigermaßen raus. 02:56:28.260 --> 02:56:32.180 Die funktionieren auch ganz gut bei bei diesen NP-Vollständigen 02:56:32.180 --> 02:56:32.640 Problemen. 02:56:32.740 --> 02:56:34.860 Allerdings kann man halt nie so sicher sein, wie gut man eigentlich 02:56:34.860 --> 02:56:36.720 wird, welche Lösungen man tatsächlich kriegt. 02:56:37.460 --> 02:56:39.400 Wenn man Pech hat, kann es sein, dass man relativ weit von der 02:56:39.400 --> 02:56:40.640 richtigen Lösung entfernt bleibt. 02:56:41.480 --> 02:56:43.840 Aber in vielen Fällen kommen wir halt auf eine ganz gute Lösung. 02:56:45.100 --> 02:56:47.080 Achso, was ich dazu noch sagen wollte, genau, wir sind da 02:56:47.080 --> 02:56:50.620 gewissermaßen Experten und wenn Sie irgendwie Bachelor- Masterarbeiten 02:56:50.620 --> 02:56:55.760 suchen oder Praktikum, also ich habe zum Beispiel ein Praktikum zur 02:56:55.760 --> 02:56:56.660 evolutionären Robotik. 02:56:57.140 --> 02:56:59.200 Wenn Sie das interessiert, können Sie sich da gerne mal melden. 02:57:00.520 --> 02:57:05.580 Hat nichts mit NP zu tun, aber gehört hier auch irgendwie zu diesen 02:57:06.420 --> 02:57:07.300 randomisierten Optimierungsverfahren. 02:57:08.420 --> 02:57:13.320 Es gibt übrigens auch randomisierte Algorithmen, die doch wieder so 02:57:13.320 --> 02:57:16.060 eine Art von Garantie, Lösungsgarantie haben. 02:57:16.520 --> 02:57:20.460 Die sagen einem nämlich, das sind Algorithmen, die entweder die 02:57:20.460 --> 02:57:22.780 richtige Lösung ausspucken oder gar keine. 02:57:23.320 --> 02:57:25.160 Und die sagen einem dann, man kriegt dann immer so einen Baum raus. 02:57:25.240 --> 02:57:28.020 Man lässt diesen Algorithmus laufen, man kriegt entweder raus die 02:57:28.020 --> 02:57:32.080 Lösung oder man kriegt raus, ich habe es nicht rausfinden können. 02:57:33.340 --> 02:57:34.180 Dann was soll das jetzt? 02:57:34.240 --> 02:57:35.940 Dann denkt man sich, ja gut, das bringt mir ja nicht viel, wenn ich da 02:57:35.940 --> 02:57:38.820 in diesem zweiten Baum gelandet, in diesem zweiten Zweig gelandet bin. 02:57:39.420 --> 02:57:42.800 Aber das Schöne ist, sagen wir mal, wir brauchen hier eine halbe, also 02:57:42.800 --> 02:57:44.860 die Hälfte der Wahrscheinlichkeit ist, dass man hier landet und die 02:57:44.860 --> 02:57:45.260 Hälfte hier. 02:57:46.200 --> 02:57:48.320 Dann können wir einfach, wenn wir hier gelandet sind, den Algorithmus 02:57:48.320 --> 02:57:49.060 nochmal laufen lassen. 02:57:49.780 --> 02:57:54.100 Und wieder hoffen, vielleicht eine halbe, wir hier landen, eine halbe, 02:57:54.240 --> 02:57:55.720 dass wir wieder dieses blöde Fragezeichen kriegen. 02:57:57.020 --> 02:57:58.600 Und daran sehen Sie, das ist wie Münzen werfen. 02:57:59.400 --> 02:58:01.940 Wir können da tausendmal werfen und immer das Pech haben, dass wir 02:58:01.940 --> 02:58:06.480 beim Fragezeichen landen, aber mit etwas Glück oder eigentlich mit 02:58:06.480 --> 02:58:10.900 nahezu 100%iger Sicherheit kommen wir irgendwann mal zu der Lösung 02:58:10.900 --> 02:58:11.340 tatsächlich. 02:58:12.200 --> 02:58:14.760 Also auch damit kann man mit diesen randomisierten Algorithmen, mit 02:58:14.760 --> 02:58:17.740 dieser Art von randomisierten Algorithmen kann man die NP 02:58:17.740 --> 02:58:19.600 -Vollständigen Probleme auch angehen zum Teil. 02:58:22.480 --> 02:58:22.860 Okay. 02:58:23.780 --> 02:58:25.520 Dann wissen Sie jetzt genau, was Sie mit Ihrem Chef zu besprechen 02:58:25.520 --> 02:58:27.620 haben, falls mal so ein Thema aufkommen sollte.