Ich hatte in der letzten Vorlesung gesagt, bei der Relativmechanik
fließt der Rhein nach Norden.
Und die Frage ist, der Rhein fließt in ein bewegtes Bezugssystem.
Welches Ufer wird stärker abgetragen?
Vielleicht in dem Zusammenhang eine kleine Frage.
Wer traut sich?
Wer schätzt, wie groß oder wie lang eine Brücke mindestens sein muss,
um von Deutschland nach Frankreich zu kommen?
Wie viel?
Zehn Meter?
Wer bietet mehr?
Jetzt geht ein leises Gemurmel durch die Rhein.
Ich habe ihn jetzt ein bisschen reingelegt.
Warum?
Ich habe viel vom Rhein erzählt und jeder weiß, aus Karlsruhe kommt
man nach Frankreich nur, wenn man den Rhein überquert.
Wer aber wie ich in der Pfalz wohnt, der weiß natürlich, dass man da
durchaus trockenen Fußes rüberkommt, weil natürlich wir eine
gemeinsame Grenze haben, die nicht durch den Rhein gebildet ist.
Aber nichtsdestotrotz,
wenn wir mal die Erde betrachten, dann haben wir irgendwo den Äquator
und irgendwo den Längengrad, auf dem Karlsruhe liegt.
Und dann wissen wir, oder sollten wir wissen, ja gut, Karlsruhe liegt
auf welchem Breitengrad?
Ungefähr auf dem 49.
Und der Rhein, der fließt auf der Landkarte nach Norden, das heißt, er
fließt entlang des Längengrades in Richtung Nordpol und gleichzeitig
hat eben die Erde eine Winkelgeschwindigkeit.
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde?
Wie?
Omega, ja.
Das hätten wir jetzt nicht gedacht.
Wie drücken wir die Winkelgeschwindigkeit immer aus?
Also 2P durch einen Tag und jetzt müssen wir ausrechnen, wie lange ein
Tag ist, das sind ungefähr 84.000 Sekunden, wenn ich das noch richtig
weiß.
Also, das ist zwar eine sehr kleine Größe, wenn wir bei der
Zentrifugalkraft sind, wer schätzt ungefähr ab, wie oft oder wie viel
schneller muss die Erde drehen, damit man am Äquator abheben würde?
30 Mal so schnell, 100 Mal so schnell, oder?
Sie haben gesehen, die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich sehr
klein, oder?
Also, überlegen Sie es sich mal zu Hause.
So, unser Rhein fließt nach Norden, das heißt, wir haben jetzt ein
bewegtes Bezugssystem,
die Winkelgeschwindigkeit nehmen wir als Konstant an, die
Relativgeschwindigkeit, die habe ich im Grunde genommen schon
angezeichnet, wir werden ein erdfestes Bezugssystem nehmen, das heißt,
wenn wir die entsprechenden Beschleunigungen anschauen, dann gehen wir
davon aus, der Mittelpunkt der Erde, der wird nicht beschleunigt, das
ist auch nicht ganz richtig, aber näherungsweise.
Dann haben wir also nur eine Führungsbeschleunigung aufgrund von
Rotation, das ist zum einen radial nach außen, beziehungsweise nach
innen, aufgrund der Drehung und man sieht, in tangentialer Richtung
wird natürlich nichts beschleunigt, weil Omega konstant ist.
Was gibt es noch?
Nun, es gibt die Relativbeschleunigung, wie groß ist die
Relativbeschleunigung?
Das ist die Beschleunigung, die das Wasser erfährt aufgrund der
Bewegung im bewegten Bezugssystem.
Das Wasser bewegt sich auf einer Kreisbahn, also das wäre dann eine
Beschleunigung, die in Richtung Erdmittelpunkt geht.
Und zum Schluss bleibt noch die Coriolis-Beschleunigung, da haben wir
Omega, Kreuz, Vrelativ, das war also Vrelativ.
Dann sehen wir, Omega, Kreuz, Vrelativ gibt jetzt eine Beschleunigung,
die praktisch, ich tue es jetzt mal so an, senkrecht zu dem hier
steht, also bei uns, in welche Richtung zeigt, in Richtung Frankreich,
das kann man sich auch so vorstellen.
Wenn wir nach Norden wandern, ich weiß jetzt nicht, in welche Richtung
ich gerade wandere, müsste ich jetzt den Kompass rausholen, aber
nehmen wir an, das ist Norden, dann bin ich zunächst mal schneller als
die Punkte, zu denen ich mich hinbewege.
Das heißt, ich muss entsprechend abgebremst werden, das bedeutet in
dem Falle die Coriolis-Beschleunigung.
Das war also die Coriolis-Beschleunigung, das war die Relativ
-Beschleunigung und das die Führungsbeschleunigung.
Die entsprechenden Kräfte, die Trägheitskräfte, sind entgegengesetzt
gerichtet, das heißt, wir haben jetzt eine Trägheitskraft aufgrund der
Relativbewegung, die zeigt praktisch senkrecht nach oben auf der
Erdoberfläche, die interessiert nicht.
Wir haben eine Führungskraft, die radial nach außen zeigt, die
interessiert eigentlich auch nicht.
Lediglich die Coriolis-Kraft, die zeigt jetzt
nach rechts.
Und wir sehen, dementsprechend muss eine Kraft von der Umgebung auf
den Massenpunkt wirken, die dem entgegenwirkt, also vom Ufer nach
Westen.
Und dementsprechend wird eben diese Kraft vom östlichen Ufer
aufgebracht, also wenn wir den Rhein hochwärts wandern, würde
theoretisch aufgrund der Coriolis-Beschleunigung und der Coriolis
-Kraft das rechte Rheinufer stärker erodiert als das linke.
Der Effekt wird natürlich klein sein, aber nur um mal ein Beispiel für
ein bewegtes Bezugssystem zu zeigen.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zu den Begriffen Arbeit, Leistung
und wenn wir die Arbeit definiert haben, dann entsprechend den
Arbeitssatz.
Und wir starten wieder mit der Grundgleichung der Dynamik, nämlich
Masse mal Beschleunigung des Massenpunktes entspricht gerade der Summe
aller angreifenden Kräfte.
Und jetzt haben wir natürlich die Möglichkeit, so eine Gleichung auch
zu integrieren.
Eine Möglichkeit, die vielleicht dem einen oder anderen sofort in den
Sinn kommt, die besteht darin, wir haben Zeitableitungen, dann können
wir ja nach der Zeit integrieren.
Das wäre also Integral von T0 bis T1 MR2 Punkt DT gleich Integral von
T0 bis T1 FDT.
Wie gesagt, aufgrund der Tatsache, dass ja Zeitableitungen vorkommen.
Das werden wir zwar auch noch machen, das ist aber nicht, was wir an
der Stelle machen.
Stattdessen nehmen wir die Grundgleichung,
ich schreibe es jetzt mal in der Form, F gleich M mal R2 Punkt und
integrieren auf beiden Seiten über die Bahn des Massenpunktes, also
von einem Ortsvektor R0 bis zu einem Ortsvektor R1 und dann müssen wir
auch hier das Skalarprodukt nehmen und auch rechts wird integriert von
R0 bis R1 DR.
Zunächst betrachten wir da mal die linke Seite der Gleichung.
Also die linke Seite der Gleichung.
Dann haben wir zunächst mal die Bahn des Massenpunktes.
Wir haben den Massenpunkt selbst, dementsprechend irgendwo den
Ortsvektor zum Massenpunkt.
Die Bogenlänge, das war S, die uns die Lage auf der Trajektorie
beschreibt.
Jetzt haben wir eine Kraft am Massenpunkt F und wir haben eine
differentielle Verschiebung entlang der Trajektorie.
Nun, die differentielle Verschiebung, die geht in Richtung der
Trajektorie.
So wie ich das eingezeichnet habe, ist das eine endliche Änderung der
Bahn, also Delta R.
Wir wissen allerdings, wenn wir das beliebig klein machen, dann liegt
dieser Vektor praktisch tangential oder auf der Bahn und das
Skalarprodukt, das ergibt sich einfach, wenn wir jetzt den Anteil der
Kraft in Richtung von dr nehmen, den Tangentialanteil der Kraft F,
wobei dieser Anteil mit der Kraft F gerade den Winkel Alpha
einschließt.
Nun, dann ist der Tangentialanteil gerade F mal Kosinus Alpha.
Das schreibe ich jetzt da oben rein.
Sodass, wenn wir das auswerten,
Skalarprodukt von F mit dr ergibt ja gerade F mal dr mal den Kosinus,
des eingeschlossenen Winkels.
Also gilt jetzt Integral von R1 bis R2.
F dr ist gerade Integral von, ich habe es R0 bis R1 bezeichnet, von R0
bis R1.
F mal Kosinus Alpha mal, nun dr ist betragsmäßig, wie wir wissen, ds,
sodass eigentlich streng genommen wir hier die Integrationsgrenzen
ändern müssen, anpassen von S0 bis S1.
Die Einheit dieses Ausdrucks, was wir mit Arbeit W bezeichnen, ist
dementsprechend Newtonmeter, also das war die Arbeit der Kraft.
Und Sonderfälle liegen natürlich vor.
Sonderfall A, wenn zum
einen die Kraft senkrecht zum Weg steht,
also Sonderfall A, wenn die Kraft senkrecht auf dem Weg steht, das
heißt die Kraft F
und ds,
die schließen einen Winkel von 90° ein, dann wissen wir, Kosinus von
90° ist dementsprechend 0 und die Kraft leistet keine Arbeit, W gleich
0.
Ein anderer Sonderfall liegt vor, wenn sowohl die Verschiebung wie
auch die Kraft parallel sind, also Kraft
und Weg parallel,
das heißt die Kraft F ist jetzt gleichgerichtet mit dem Weg, das heißt
für die Arbeit ergibt sich jetzt ein
Integral von S0 bis S oder allgemein über S, F und Kosinus von Alpha
ist jetzt gerade 1, Kosinus von 0, also F mal S ds, wenn die Kraft F
jetzt noch konstant ist, ganz klar, dann erhalten wir also
Kraft F, konstant bedeutet dann, dass W gleich, das F können wir dann
rauskürzen, jetzt habe ich natürlich einen Fehler gemacht, wir hatten
F mal Kosinus Alpha ds, also F mal 1 mal ds, F aus dem Integral
rausgezogen, ergibt dann entsprechend Integral über ds, also gerade F
mal S1 minus S0.
S0.
Ich habe jetzt mal hier so
einen Massenpunkt mitgebracht, der rot aussieht, den Sie auch
hoffentlich dadurch gut sehen, und die Kugel, die besteht also aus
sehr guter Ernährung, Massenpunkt, auch noch aus Gummi, das heißt da
wird eine Reibkraft zwischen der Unterlage und dem Massenpunkt
auftreten.
Was für Kräfte wirken jetzt auf diesen Massenpunkt, wenn ich den hier
über die Oberfläche ziehe?
Wer hat eine Idee?
Was für Kräfte wirken auf den Massenpunkt?
Nun zunächst mal sind wir nicht im Weltraum, also wird die
Gewichtskraft wirken.
Die wirkt vertikal nach unten.
Wenn er praktisch so steht, dann wirkt gleichzeitig eine Normalkraft
von der Unterlage auf den Massenpunkt.
Das war eine Zwangskraft.
Wenn ich den ziehe, dann sehen Sie, der Faden, von Seil will ich mal
nicht sprechen, der ist gespannt, also wirkt auch von mir eine Kraft
auf den Massenpunkt.
Wenn ich den so nehme, dann ist die Seilkraft so schräg nach oben
gerichtet, die setzt sich also zusammen aus einem Anteil parallel zur
Ebene und einem Anteil normal zur Ebene.
Und als letztes wirkt natürlich noch die Reibkraft.
In dem Falle vielleicht als trockene Reibung modelliert, entgegen der
Bewegung.
Und wenn wir jetzt die entsprechenden Kraftanteile hier einsetzen,
dann sehen wir natürlich die Gewichtskraft.
Wenn ich den über die Oberfläche ziehe, dann steht das DR oder das S,
das steht senkrecht zur Gewichtskraft.
Die Gewichtskraft leistet also keine Arbeit.
Die Reibkraft, auch die steht senkrecht zum Weg, auch die leistet
keine Arbeit.
Die Reibkraft, die ist immer der Bewegung entgegengesetzt gerichtet,
also die hat eine negative Arbeit.
Und man sieht, wenn ich hier meinen Startpunkt habe und ziehe den
Massenpunkt hierher, dann hat die Reibkraft einen bestimmten Betrag.
Wenn ich am gleichen Punkt starte und mache aber einen Umweg,
dann bin ich zwar am gleichen Endpunkt, aber die Arbeit der Reibkraft
wird eine andere sein.
Also im Allgemeinen ist es so, dass die Arbeit von Kräften dann
abhängt davon, wie die Trajektorie aussieht.
Es gibt aber auch Kräfte, und das werden wir noch behandeln, bei denen
die Arbeit unabhängig vom Weg ist und nur noch von Anfangspunkt und
Endpunkt abhängt.
Also, Wert des Linienintegrals
hängt im Allgemeinen vom
Verlauf der Bahnkurve ab,
aber wie gesagt, da gehen wir später noch drauf ein.
Machen wir zunächst mal ein Beispiel.
Wir gehen davon aus, wir haben einen Massenpunkt, der sich auf einer
kreisförmig gebogenen Unterlage bewegt.
Also wir haben zunächst mal die Unterlage, die verläuft hier eben, und
dann ab V gleich 0 haben wir so einen kreisförmigen Verlauf.
Das heißt, die Lage des Massenpunktes, die können wir am besten in dem
Falle über den Winkel Phi beschreiben, wobei der Radius dieser
Bahnkurve gerade gegeben sein soll durch R0.
Also, Beispiel Massenpunkt auf Kreisbahn.
Wir nehmen an, dass zwischen dem Massenpunkt und der Unterlage Reibung
vorliegt, beschrieben durch den Reibkoeffizient µ.
Es liegt eine Antriebskraft vor, wenn der Massenpunkt bei Phi gleich 0
startet, immer tangential an die Bahn.
Also so eine Antriebskraft.
Und jetzt haben wir gesagt, es wirkt die Reibkraft.
Dementsprechend muss eine Reibkraft, nennen wir die mal R,
der Bewegung entgegenwirken.
Es wirkt eine Normalkraft von der Unterlage auf den Massenpunkt.
Und wenn wir noch annehmen, dass das Ganze im Schwerfeld der Erde
stattfindet, haben wir noch die Gewichtskraft, die vertikal nach unten
wirkt.
G gleich Masse mal Erdbeschleunigung.
Das heißt, wenn wir jetzt die Arbeit bestimmen, dann hängt ja die
Richtung, in der sich der Massenpunkt bewegt, von der Lage ab.
Deshalb führen wir zunächst mal noch einen Einheitsvektor in radialer
Richtung ein und in tangentialer Richtung, in Phi-Richtung.
So dass wir jetzt zwei Lösungsmöglichkeiten haben.
Zum einen rein formal über das Skalarprodukt.
Zum anderen, wenn wir die einzelnen Komponenten betrachten und
schauen, wie verschiebt sich der Massenpunkt augenblicklich und
betrachten dann nur noch die entsprechenden Kräfte in
Verschiebungsrichtung.
Also, zum einen über das Skalarprodukt,
zum anderen über eine Skalarrechnung,
wobei dann die Richtungen aus der Anschauung kommen.
Machen wir es zunächst mal formal.
Also,
formal über ein Skalarprodukt.
Dann wissen wir, die Arbeit aller Kräfte am Massenpunkt ist gerade
Integral von R0 bis R1, F, Skalar mit dr multipliziert.
Das heißt, wir brauchen zunächst mal den Kraftvektor.
Für den Kraftvektor lesen wir ab, die Summe aller Kräfte, wir haben es
FA bezeichnet, also insofern kann man das nicht mit der Antriebskraft
verwechseln.
Die Summe aller Kräfte, da haben wir Anteile in radialer Richtung, wir
haben Anteile in V-Richtung.
Man könnte das auch angeben in X- und Y-Komponenten, aber hier wird es
eben einfacher sein, wenn wir das Ganze in Richtung ER und E-Phi
unterteilen.
Nun zunächst mal, was wirkt in ER-Richtung?
In ER-Richtung haben wir einen Anteil der Gewichtskraft MLG.
Nun zwischen dem Einheitsvektor ER und der Gewichtskraft liegt gerade
wieder der Winkel Phi vor, sodass der Anteil in Richtung von ER gerade
MLG mal Cosinus Phi ist.
Des Weiteren wirkt in ER-Richtung die Normalkraft N, allerdings in
negative ER-Richtung.
Deshalb MLG Cosinus Phi minus N in Richtung von ER.
Plus jetzt die Anteile in Phi-Richtung, da haben wir zunächst mal die
Antriebskraft FA.
Dann haben wir in negative Richtung den Anteil der Gewichtskraft minus
MLG mal Sinus Phi.
Und wir haben die Reibkraft entgegen dem Einheitsvektor E-Phi.
Wobei wir wissen, die Reibkraft bei trockener Reibung, die beträgt
gerade My mal N.
Jetzt wie groß ist die Reibkraft, oder wie groß ist die Normalkraft in
diesem Fall?
Wer hat eine Idee?
Er schaut so bedächtig, was meinen Sie?
Jetzt könnte man natürlich auf die Idee kommen, ich habe ja F, einen
Anteil in radialer Richtung plus einen Anteil in Phi-Richtung.
Der radiale Anteil ist 0, wenn N gleich MLG mal Cosinus Alpha ist.
Aber, jetzt müssten Sie sofort Einspruch erheben, der Massenpunkt
bewegt sich ja auf einer Kreisbahn, das heißt der Massenpunkt muss in
Richtung des Mittelpunktes beschleunigt werden.
Also brauchen wir noch einen zusätzlichen Anteil M mal A radial für
die Normalkraft.
Dementsprechend
muss gelten
F radial, die Summe aller Kräfte in radialer Richtung, gleich Masse
mal der Beschleunigung des Massenpunktes in radialer Richtung.
Nun, F radial war M mal G mal Cosinus Phi minus N.
A radial,
der Radius des Kreises ist konstant, also ist die entsprechende
Beschleunigung in radialer Richtung minus R0 mal Phi Punktquadrat.
Das heißt, M mal G mal Cosinus Phi minus N muss gerade minus,
also F r war M mal G mal Cosinus Phi minus N gleich minus M mal R0 Phi
Punktquadrat.
Wir lösen das Ganze nach N auf und erhalten für die Normalkraft gerade
M mal G mal Cosinus Phi, das wäre der Anteil, wenn sich die Masse
nicht bewegt, plus M R0 Phi Punktquadrat.
Entsprechend dann die Reibkraft R gleich Mu mal M mal G Cosinus Phi
plus M R0 Phi Punktquadrat.
Jetzt, wie sieht es aus mit der Verschiebung dr?
Und die Verschiebung dr beträgt gerade Radius der Kreisbahn mal d Phi,
das ist dann die Strecke, und die Richtung ist gerade e Phi, also R
mal d Phi in Phi-Richtung.
Setzen wir das Ganze ein in den Ausdruck für die Arbeit, dann erhalten
wir Integral über, jetzt F skalar multipliziert mit dr, dann nehmen
wir den Er-Anteil von F, multiplizieren den mit dem Er-Anteil von dr,
das war aber 0, also die Kräfte in Richtung von er haben keinen
Beitrag, dann bleibt noch übrig der Anteil in Richtung von e Phi von
der Kraft, multipliziert mit dem R d Phi e Phi, e Phi, Skalar mit e
Phi multipliziert, ergibt gerade 1, so dass wir insgesamt erhalten F
A, Minus Mg Sin Phi,
Minus R, also Minus µ Mg Cos Alpha, Minus, ich schreibe mal hier unten
weiter, Minus µ M R0 Phi Punkt Quadrat,
mal R mal d Phi, oder R0 war das, R0 d Phi, und dementsprechend passen
wir die Integrationsgrenzen an, wenn wir jetzt auf Phi als Koordinate
übergehen, R0 entspricht gerade Phi gleich 0,
R1 entspricht einer allgemeinen Koordinate Phi,
allerdings wenn wir das so machen, sollten wir Integrationsvariable
und Integrationsgrenze ein bisschen unterscheiden, das können wir
vielleicht machen, wenn wir hier ein Phi quer drüber machen, und wir
sehen, na gut, an der Stelle können wir das Integral eigentlich nicht
direkt auswerten, weil wir haben die Größe Phi Punkt Quadrat drin
stehen, die ja von der Bewegung selbst abhängt, wenn wir jetzt aber
mal annehmen, dass die Geschwindigkeit, mit der sich der Massenpunkt
bewegt, sehr klein ist, sodass der Anteil µm R0 Phi Punkt Quadrat im
Vergleich zu den anderen Anteilen sehr klein ist und vernachlässigt
werden kann, dann ergibt sich eben entsprechend,
also bei Vernachlässigung der
Fliehkraft, das war gerade das M R0 Phi Punkt Quadrat,
W gleich Integral von 0 bis Phi, dann haben wir drin stehen, FA minus
MG Sinus Phi quer minus µMG Cosinus Alpha mal R0 D Phi quer.
Die Integration kann jetzt ausgeführt werden,
W gleich, ich mache es mal ausführlich, dann haben wir FA Phi quer,
eine Konstante integriert, Sinus Phi quer integriert ergibt minus
Cosinus Phi quer, ergibt also plus MG mal Cosinus Phi quer,
Moment, da fehlt jetzt noch das R0 und hier fehlt noch das R0 und wir
haben minus µMG R0 Cosinus Alpha Phi quer,
jeweils 0 und Phi,
wir sehen, wenn wir die obere Integrationsgrenze einsetzen, ergibt das
FA mal Phi mal R0,
Ja, naja, das passiert immer, wenn ich meine Brille nicht aufhabe, das
muss, glaube ich, Phi heißen.
Danke für den Hinweis,
oben muss auch Phi quer heißen und dann haben wir hier natürlich Sinus
Phi quer, sonst wird es auch nicht mit meinem Skript übereinstimmen,
wie gesagt, in Ihrem Alter sah ich das alles noch sehr gut,
mittlerweile muss man dem Alter ein bisschen Tribut zollen.
So, dann haben wir also obere Grenze eingesetzt, minus µMG R0 mal
Sinus Phi,
hier die obere Grenze eingesetzt, ergibt M mal G mal Cosinus Phi mal
R0, M mal G mal R0 mal Cosinus Phi, jetzt müssen wir minus untere
Grenze eingesetzt, das ist bei FA Phi quer R0 gerade 0, weil untere
Grenze 0, hier ebenfalls Sinus von 0 ist 0, allerdings hier haben wir
Cosinus von 0 und Cosinus von 0 ist gerade 1, also haben wir minus M
mal G mal R0, deshalb machen wir das entsprechend so.
Und wir sehen, die Arbeit, welche die Kräfte am Massenpunkt leisten,
die unterteilt sich jetzt in die Arbeit der Antriebskraft, das war
gerade FA mal der zugehörigen Verschiebung, Phi mal R0, dann haben wir
vermindert um den Anteil der Reibkraft, deshalb Minuszeichen,
ebenfalls µ mal M mal G mal R0, allerdings müssen wir da beachten, die
Reibkraft, die wird mit zunehmender Verschiebung des Massenpunktes
kleiner, werden ja die Fliehkraft vernachlässigt, deshalb steht hier
der Sinus Phi und auch hier haben wir jetzt M mal G mal R0 mal Cosinus
Phi minus 1, das können wir im Grunde genommen umformen in M mal G mal
R0 mit einem Minuszeichen und dann steht hier 1 minus Cosinus Phi und
das R0 mal 1 minus Cosinus Phi, wenn ich das als Höhe H abkürze, dann
sehe ich die Höhe H, R0 mal 1 minus Cosinus Phi entspricht gerade
dieser Höhe.
Also die Arbeit der Gewichtskraft in dem Fall ist negativ, weil beim
Hochgehen des Massenpunktes die Gewichtskraft ja nach unten zeigt.
Gibt es soweit Fragen?
Nun, wenn wir die Skalarechnung machen,
also B,
eine Skalarechnung und dann können wir wieder den Massenpunkt zunächst
einmal betrachten, mit den Kräften, die am Massenpunkt angreifen,
werden gesagt, das war die Antriebskraft FA, dem entgegen die
Reibkraft R, dann haben wir die Gewichtskraft M mal G, die Normalkraft
N, die wir unterteilen können in den Anteil in
Richtung der Normalen und den Anteil in Richtung der Tangente.
Was haben wir sonst noch?
Nun, dann haben wir noch die Verschiebung in Richtung der Verschiebung
des Massenpunktes und da sehen wir, die war gerade R0 D Phi in Phi
-Richtung, so dass wir jetzt multiplizieren können direkt.
Also W ist Integral und dann haben wir eben R0 D Phi mal FA,
dann haben wir minus R mal R0 D Phi und
wir haben den Anteil der Gewichtskraft in negative Phi-Richtung, das
war M mal G mal Sinus Phi, also minus M G Sinus Phi, wieder
multipliziert mit R0 D Phi, also hier noch ein R0 D Phi.
Wenn wir jetzt die Reibkraft entsprechend einsetzen und dabei
vorgehen, wie hier auf der linken Seite, um diese Reibkraft zu
bestimmen, dann sehen wir wiederum, dass wir natürlich das Integral
nur ausführen können, wenn wir die Phi-Kraft wieder entsprechend
vernachlässigen.
Letztendlich ergibt sich dann derselbe Ausdruck und damit auch
dasselbe Ergebnis.
So, was wir an der Stelle aber schon mal gesehen haben, ist die
Normalkraft, was in dem Fall eine Zwangskraft ist, die steht in dem
Fall senkrecht zur möglichen Verschiebung, also die leistet auf jeden
Fall keine Arbeit.
Gibt es soweit Fragen?
So,
jeder von uns weiß, es kommt im Leben nicht nur auf die Arbeit an,
sondern auch auf die Leistung.
Deshalb, wie sieht es aus mit der Leistung?
Wäre eine Idee, wenn wir die Arbeit weh haben, dann ist die Leistung
einfach die Arbeit
durch Zeit, sagt er.
Nun, ich würde mal sagen, da wir die Arbeit pro Zeit nicht immer die
gesamte Arbeit betrachten, sondern praktisch momentan, dann haben wir
einfach dW nach dt,
was war die Arbeit?
Nun, wenn wir annehmen, die Kraft zeigt in die gleiche Richtung wie
der Weg, dann haben wir ja W gleich F mal S, oder Arbeit gleich Weg
mal Kraft oder Kraft mal Weg.
Was ergibt sich also für die Leistung?
Beim Ableiten?
Wenn wir das nach der Zeit ableiten?
Wäre eine Idee.
Und beides kann ja von der Zeit abhängen, also was machen wir?
Er hat keine Ahnung.
Wer denkt, dass er Ahnung hat?
Niemand traut sich also.
Nun, wenn ich das jetzt ableite, weil Kraft und Weg ja von der Zeit
abhängen, dann haben wir einmal F mal S Punkt plus F Punkt mal S.
Richtig?
Jetzt ist die Frage, ist es auch wirklich richtig?
Wer meint, dass es richtig ist?
Wer meint, dass es nicht richtig ist?
Ein paar wenige.
Das kann ich ja leicht beheben.
Jetzt ist es wieder richtig, oder?
Also, wer meint, dass es richtig ist?
Nochmal Gegenprobe, wer meint, dass es nicht richtig ist?
Es ist natürlich hart, wenn man weltweit gesehen werden kann, wie man
streckt.
Aber die NSA weiß das sowieso.
Ihr Abstimmungsverhalten.
Jetzt müsste ich noch fragen, wer weiß, dass er nichts weiß?
Das müsste jetzt der große Rest sein.
So, jetzt müssen wir das Ganze mal ein bisschen hinterfragen.
Stimmt das jetzt oder stimmt das nicht?
Und ich habe gesagt, P gleich dW nach dt.
Was war dW?
Schauen Sie mal, das war F skalar multipliziert mit dr. Das ist
praktisch die differenzielle Arbeit.
Dividiert durch dt.
Gibt also letztendlich F mal dr nach dt.
Also F mal dr nach dt.
Gleich F mal V.
Also, wie gesagt, das, was wir mal falsch gemacht haben, das bleibt
viel besser im Kopf hängen, als das, was wir immer so lapidar
anschreiben.
Wichtig ist, dass bei vielen Energien, das müsste eigentlich auch in
der Thermodynamik immer ein bisschen rauskommen, wir nie praktisch die
Gesamtenergie definieren, sondern die Änderung der Energie.
Und mechanisch ist das eben F dr. Und genauso in der Thermodynamik
gibt es dann die Zustandsgrößen und dann ist eben die eine
Zustandsgröße multipliziert mit der Änderung der anderen
Zustandsgröße, dann eine entsprechende Änderung.
So, das heißt, wenn wir wieder berücksichtigen, dass dr und F den
Winkel Alpha einschließen, wäre das gerade F mal Cosinus Alpha mal den
Betrag der Geschwindigkeit.
Die entsprechenden Sonderfälle, Alpha gleich 90 Grad oder Alpha gleich
0, die existieren hier genauso.
Und zum Schluss jetzt vielleicht noch den Wirkungsgrad.
Da wissen wir, der kennzeichnet Verluste.
Und der Wirkungsgrad Eta, der ist definiert als genutzte Leistung,
dividiert durch die zugeführte Leistung.
Also Nutzleistung durch zugeführte Leistung.
So, jetzt habe ich leider meine Grundgleichung, die ich über dr
integriere, schon wieder weggewischt.
Ich schreibe sie deshalb nochmals kurz an.
Wir hatten als Start F gleich M mal R2 Punkt.
Hatten das Ganze dann integriert.
Hatten jetzt oder bis jetzt die linke Seite ausgewertet und kommen
jetzt zur rechten Seite.
Was können wir eigentlich aussagen über MR2 Punkt mal DR?
Wenn wir wissen,
Integral MR2 Punkt DR,
das können wir schreiben als Integral MR2 Punkt.
Und jetzt erweitern wir mit DT.
Das heißt DR dividiert durch DT mal DT.
Das heißt, hier hatten wir zunächst mal eine Integration von R0 bis
R1.
Dementsprechend hier eine Integration von T0 bis T1.
DR nach DT, das war gerade R Punkt.
Das heißt, hier haben wir jetzt stehen R2 Punkt mal R Punkt.
R2 Punkt mal R Punkt DT.
Jetzt braucht man ein bisschen Erfahrung, dann sieht man.
R2 Punkt mal R Punkt.
Das kriegen wir, wenn wir R Punkt Quadrat nach der Zeit ableiten.
Wir sehen die Ableitung von R Punkt Quadrat.
Die gibt gerade zweimal R2 Punkt mal R Punkt.
Hier haben wir den Faktor 2 nicht, deshalb dividieren wir da noch
durch 2.
Dann sehen wir, R2 Punkt mal R Punkt gibt gerade die Zeitableitung von
R Punkt Quadrat, halbe.
Gibt also hier Integral von T0 bis T1.
Und dann haben wir M mal D nach DT von R Punkt Quadrat halbe DT.
Das heißt, wir können jetzt das noch umschreiben als Integral M DR
Punkt Quadrat halbe.
Ich schreibe mal vom Zustand 0 bis zum Zustand 1.
Und wenn wir das auswerten, dann sehen wir, das M ist eine Konstante.
Und DR Punkt Quadrat halbe gibt gerade R Punkt Quadrat halbe zwischen
0 und 1.
Also, ich schreibe es hier unten noch hin, gibt es gerade M mal obere
Grenze eingesetzt, gibt R Punkt Quadrat halbe zum Zeitpunkt.
Das Halb ziehe ich noch raus, M halbe.
Dann haben wir R Punkt Quadrat, das ist V1 Quadrat minus untere Grenze
eingesetzt ergibt V0 Quadrat.
Wobei V1 die Geschwindigkeit ist, die beim Ortsvektor R1 vorliegt und
V0 die Geschwindigkeit, die am Beginn beim Ortsvektor R0 vorliegt.
Wenn wir jetzt noch entsprechend die sogenannte kinetische Energie
definieren, als M halbe V Quadrat,
also Definition kinetische Energie,
nennen wir die T, dann haben wir T gleich M halbe V Quadrat.
Nun von der Dimension her ist es gerade Kilogramm Meter Quadrat pro
Sekunde Quadrat, also Kilogramm Meter pro Sekunde Quadrat mal Meter.
Da sehen wir Kilogramm Meter pro Sekunde Quadrat waren Newton, gibt
also gerade von der Dimension her Newton Meter, wie die Arbeit.
Das sollte auch so sein, weil das in der Gleichung entsprechend
auftritt.
Und wir haben als Gesamtergebnis jetzt durch Integration der
Grundgleichung erhalten.
Integral FDR, das war die Arbeit, oder schreiben wir es nochmal hin,
Integral von R0 bis R1.
FDR ist rechte Seite integriert und die rechte Seite integriert war ja
gerade M halbe.
V1 Quadrat minus M halbe V0 Quadrat.
Also die Arbeit aller Kräfte, die am Massenpunkt wirken, entspricht
gerade der Differenz der kinetischen Energien, also T1 minus T0.
Gibt es hierzu Fragen?
Und der Arbeitssatz, wie er hier steht, der ist dann hilfreich, wenn
wir eine zeitfreie Lösung haben wollen.
Wie gesagt, es treten in der Gleichung lediglich Geschwindigkeiten
auf, in der Grundgleichung treten ja Beschleunigungen auf.
Also man hat hier schon a priori eine Integration vorweggenommen.
Machen wir jetzt noch ein Beispiel dazu.
Wir betrachten einen Massenpunkt, z.B.
ein Fahrzeug oder einfach eine Masse, die an einer schiefen Ebene sich
entlang bewegt.
Also Beispiel.
Fahrzeug als Massenpunkt auf einer schiefen, rauen Ebene.
Der Neigungswinkel der schiefen Ebene, der sei gerade Alpha.
Der Reibkoeffizient, den kennzeichnen wir mit µ, trockene Reibung.
Und die Anfangsgeschwindigkeit auf der schiefen Ebene,
die sei durch die Geschwindigkeit V0 gegeben.
Das heißt, wir haben die schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel Alpha.
Bei S gleich S0 haben
wir jetzt das S0.
Das entspricht dann dem Zustand 0.
Uns interessiert, wie groß ist die Geschwindigkeit des Massenpunktes,
wenn der Massenpunkt gerade die Position S1 erreicht hat.
Das war also der Zustand 1.
Also gesucht ist in dem Fall die Geschwindigkeit V1 in der Position 1.
Die Lösung, die machen wir jetzt mit dem Arbeitssatz.
Das heißt, es gilt W gleich T1 minus T0.
Dazu brauchen wir also die Bewegungsenergien.
Zum einen am Punkt 0, zum anderen am Punkt 1.
Und die Bewegungsenergie T0, die wird gerade sein, Masse des
Massenpunktes halbe mal der Geschwindigkeit am Punkt 0, das war V0 zum
Quadrat.
Also in dem Fall M halbe V0 Quadrat, wobei das V0 bekannt war.
Die kinetische Energie am Punkt 1 beträgt entsprechend Masse des
Massenpunktes halbe mal der Geschwindigkeit V1 Quadrat.
Diese Geschwindigkeit V1, die ist gesucht, also unbekannt.
Jetzt, wie sieht es aus mit der Arbeit der Kräfte, die am Massenpunkt
angreifen.
Da wissen wir, die Arbeit gleich Integral von R0 bis R1 FDR.
Und wir wissen, das entspricht auch der Arbeit aller Kraftanteile in
Richtung von S multipliziert mit dS.
Also gibt Fs mal dS.
Fs, wie gesagt, die Kraftanteile in Richtung von S, integriert in dem
Falle dann von S gleich S0 bis S gleich S1.
Jetzt schauen wir mal, wenn wir den Massenpunkt freischneiden,
was wirkt am Massenpunkt.
Nun zum einen die Gewichtskraft, nennen wir die mal G.
Zum anderen die Normalkraft von der schiefen Ebene auf den
Massenpunkt.
So wie eine Reibkraft,
dann nennen wir die mal R.
Die ist aber gerade µ mal n.
Das heißt, die Kräfte in Bewegungsrichtung Fs, die sind jetzt, hier
haben wir jetzt den Winkel Alpha nochmal, also M mal G mal Sinus
Alpha.
In Richtung von S, die Reibkraft entgegen, also minus µ mal n.
Also auch hier brauchen wir wieder die Normalkraft, haben aber den
Vorteil, dass die Ebene nicht gekrümmt ist.
Damit haben wir keine Beschleunigung des Massenpunktes normal zur
Ebene.
Wenn die Beschleunigung des Massenpunktes in der Richtung normal zur
Ebene 0 ist, dann muss auch die entsprechende Summe der Kräfte in der
Richtung 0 sein, das ergibt uns sofort n gleich G mal Cosinus Alpha.
Und wir sehen damit Reibkraft gleich µ mal G mal Cosinus Alpha.
Die Kräfte in Bewegungsrichtung liegen damit fest.
Wir können in den Arbeitsplatz einsetzen, das erhalten wir, nun W ist
ein Integral von S0 bis S.
Und dann haben wir drin stehen, G mal Cosinus Alpha minus µ mal G mal
Sinus Alpha.
Wir müssen hier oben, minus µ G Cosinus Alpha dS.
Wir sehen, die Kraftanteile sind jetzt konstant bei der Integration
über S.
Deshalb ergibt sich an
der Stelle G mal Sinus Alpha minus µ mal G mal Cosinus Alpha Und jetzt
das Ganze in Klammer.
Mal... nun, S eingesetzt zwischen den Grenzen, gibt also in dem Falle,
hier war es, S1, multipliziert mit S1 minus S0.
Wir sehen, das G, das können wir noch ausklammern, G war Masse mal
Erdbeschleunigung.
Deshalb, wenn wir gleichsetzen die Arbeit W und die Differenz der
kinetischen Energien, dann ergibt sich sofort M mal G mal Sinus-Alpha
minus µ Kosinus-Alpha mal S1 minus S0 gleich und jetzt haben wir auch
auf der rechten Seite die Differenz der kinetischen Energien, also M
halbe V1 Quadrat minus M halbe V0 Quadrat.
Wir sehen, in dem Falle können wir die Masse auf beiden Seiten der
Gleichungen rauskürzen.
Wir sehen, G ist bekannt, µ ist bekannt, S1 und S0 sind bekannt, V0
ist bekannt, wir können die Gleichung nach V1 Quadrat zunächst mal
auflösen.
Das ergibt V1 Quadrat gleich und dazu müssen wir mit 2 multiplizieren
und das V0 Quadrat nach links bringen, gibt also 2 mal G mal Sinus
-Alpha minus µ Kosinus-Alpha mal S1 minus S0 plus V0 Quadrat und die
entsprechende Geschwindigkeit V1, die ergibt sich, wenn wir dann die
Wurzel aus dem Ganzen ziehen, also Wurzel aus V0 Quadrat plus 2G S1
minus S0 mal Sinus-Alpha minus µ Kosinus-Alpha.
Das heißt, es gibt jetzt nur noch 2 Zustände, nämlich beim Punkt 0, da
kennen wir die Geschwindigkeit, die Position.
An der Stelle 1, da kennen wir auch die Position und über die Rechnung
dann entsprechend auch die Geschwindigkeit.
Wir müssen nicht die Gleichung einmal nach der Zeit integrieren oder
wir müssen normalerweise mit dem Judischen Grundgesetz, hätten wir
eine Bewegungsgleichung erhalten, hätten die dann integrieren müssen,
den Zeitpunkt T gleich T0 einsetzen und dann schauen, wann erreicht
der Massenpunkt den Punkt 1, müssten dann dort die Geschwindigkeit
bestimmen, das wäre sehr zeitaufwendig.
Also hier haben wir das Ganze direkt gelöst, es interessiert nur, wie
sieht es am Zustand 0 aus, wie sieht es am Zustand 1 aus und über die
Integration, die wir praktisch ganz allgemein vorgenommen haben,
können wir das dann schon lösen.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wir sind noch nicht ganz am Ende,
vielleicht als kleine Motivation, was wir in der nächsten Vorlesung
noch machen.
Erfahrungsgemäß
sind die Studenten immer ein bisschen, ich ziehe mal das ein bisschen
rüber, sind die interessiert so an Motoren, dazu muss man zunächst
einmal überhaupt verstehen, wie so ein Motor funktioniert.
Wir wissen, da gibt es den Zylinder, bzw.
den Kolben, es gibt die Bleuelstange, die Kurbel und bei modernen
Motoren sind natürlich die entsprechenden Geometrien so ausgelegt,
dass die Bleuelstange vielleicht nicht unbedingt so sehr viel größer
ist als die Kurbel.
Wenn wir das Ganze mal ein bisschen animieren, dann sehen wir, wenn
sich die Kurbel dreht, dann macht der Kolben eine Geschwindigkeit.
Nun, was uns natürlich interessiert ist, gleichzeitig wirken oben auf
den Kolben Kräfte, die vom Verdrehwinkel abhängen und da muss man
wissen, die meisten Motoren, die arbeiten als Viertaktmotoren, also da
wird irgendwas gezündet, dann gibt es aufgrund der Zündung eine
Verbrennung, die muss relativ optimal verlaufen, das ist ja das, was
der Kollege hier auch im KIT dann untersucht.
Dadurch steigt die Temperatur, nun wenn im Gas die Temperatur steigt,
wir wissen ja aus der Thermodynamik, dann steigt auch der Druck, dann
gibt es also plötzlich eine große Kraft auf den Kolben, das wird
runtergedrückt, dann geht der Kolben wieder hoch, zu dem Zeitpunkt
passiert aber was, da geht oben ein Ventil auf, sodass praktisch das
Abgas rausgedrückt werden kann, ich sage mal mehr oder weniger, wenn
wir das modellieren hier in der TM3, unter einem konstanten Druck.
Dann geht der Kolben wieder nach unten,
da wird neues Gas angesaugt, irgendwann wird dann wieder Brennstoff
zugespritzt, wenn der Kolben jetzt wieder nach oben geht, dann sind
alle Ventile geschlossen, das heißt aufgrund der Kompression steigt
die Temperatur und der Druck an, bis der Kolben ganz oben ist, dann
wird wieder gezündet, der Druck steigt stark an und presst praktisch
den Kolben mit einer größeren Kraft nach unten, als die Kraft, die
wirkte, als der Kolben nach oben geht und das Gas verdichtet.
Und hier vielleicht nochmal ganz am Ende der Vorlesung, damit Sie mal
ein bisschen sehen, wenn die Bleuelstange sehr lang ist, dann macht
der Kolben näherungsweise so eine harmonische Bewegung, wenn die
Bleuelstange stark verkürzt ist, dann sehen Sie, wenn der Kolben unten
ist, dann verharrt der relativ lange in der unteren Position, also
dann wird die Bewegung nicht mehr harmonisch sein, und aus der
Mathematik sollten Sie wissen, das ist dann zwar eine periodische
Bewegung, wenn wir eine konstante Drehzahl voraussetzen, aber es gibt
nicht nur die Grundharmonische, sondern es gibt dann die höheren
Harmonischen.
Das wäre dann wieder eine Aufgabe für den Motorenbauer, das führte
dann zu Kräften,
die periodisch sind, aber eigentlich nicht nur die Grundharmonische
enthalten, sondern auch die höheren Harmonischen und die Kräfte
insgesamt auf den Motor, die sollen natürlich so sein, dass die sich
möglichst gut gegeneinander aufheben, so dass die Motoraufhängung
nichts auf die Karosserie überträgt, weil sonst natürlich das ganze
Auto zu wackeln anfängt.
Das sind also so typische Fragestellungen, wobei wir uns in der
nächsten Vorlesung dann darauf beschränken wollen, mal die Arbeit zu
bestimmen, die praktisch das Gas während so eines Vorganges ausübt.
Mit den Bemerkungen sind wir jetzt am Ende der Vorlesung.
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.