Guten Tag, meine Damen und Herren, ich würde Sie bitten, Platz zu
nehmen und den Lärmpegel etwas zu senken.
Wir sind in der letzten Vorlesung so weit gekommen, dass wir am Ende
noch so ein bisschen die Kinematik des Kurbeltriebes, zumindest in der
Animation, gesehen haben.
Das heißt, wir wollen jetzt heute als Anwendung des Arbeitssatzes
nochmal überlegen, wenn wir im Brennraum den Treibstoff zünden, den
Druck aufbauen, der Kolben sich bewegt, wie groß ist eigentlich die
Arbeit, die das Gas letztendlich am Kolben verrichtet.
Wir haben dazu so einen Viertaktmotor, das heißt, es wird zunächst mal
eingespritzt, dann wird verdichtet, gezündet, entspannt, dann werden
die Ventile geöffnet, das Abgas rausgedrückt, die anderen Ventile
geöffnet, das frische Gas in den Zylinder reingezogen und dann fangen
wir von vorne an wieder mit Verdichten und so weiter.
Dazu nehmen wir mal an, dass im Brennraum das Gas adiabatisch
verdichtet wird.
Ich weiß nicht, ob Sie das schon in der Thermodynamik hatten, ja oder
nein?
Wenn nicht, dann können Sie das noch nachholen während des Semesters.
Wir nehmen auch an, dass für unser Modell das Gas, während es
rausgedrückt wird, das Abgas, mehr oder weniger den Umgebungsdruck
hat, das neue Gas, das reingezogen wird, beim gleichen Umgebungsdruck
dann letztendlich in den Zylinder strömt.
Das ist natürlich nur ernährungsweise erfüllt, aber für uns soll das
mal genügen.
Und wie das Ganze funktioniert, sieht man hier nochmal in der
Animation.
Sie alle haben Zugriff auf Internet, können sich das alle irgendwo
anschauen.
Los, zünden, rausdrücken, neues Gas rein, verdichten, zünden,
entspannen, rausdrücken, reinziehen und so weiter.
Hier sehen wir schon mal das PV-Diagramm, also der Druck, der im
Zylinder wirkt, während des Vorganges.
Dazu vielleicht noch ein paar Annahmen, wobei, auch heute möchte ich
am Anfang der Vorlesung nochmals zwei Ankündigungen machen.
Die mir wichtige Ankündigung heute Mittag, denken Sie an die Carl Benz
-Vorlesung, 16 Uhr Thula Hörsaal, das ist das eine.
Das andere, ich weiß nicht, ob ich das noch mehrmals ansage, Sie
wissen, wir zeichnen die Vorlesung auf.
Sie könnten eventuell ins Bild kommen, wenn Sie nicht damit
einverstanden sind, bitte umsetzen.
So, wir nehmen mal an, der Zylinder hat ein Totvolumen, V0, also das
ist das Volumen, wenn der Kolben ganz oben ist.
Der Hubraum,
der bestimmt sich zum einen aus dem Radius der Kurbel, zum anderen aus
der Querschnittsfläche des Kolbens.
Also, wir haben dann R mal A, aber da der Radius natürlich einmal nach
oben, einmal nach unten gehen kann, 2RA.
Wie gesagt, R-Radius der Kurbel.
Wir nehmen mal an, wir haben einen Kreisprozess,
das heißt, nachdem das frische Gas eingeströmt ist, sind wir beim
Punkt 1.
Der Kolben bewegt sich dann nach oben, verdichtet die Luft
adiabatisch, dadurch ändert sich der Druck bis auf den Wert P2.
Und jetzt nehmen wir an, dass praktisch instantan der Treibstoff
gezündet wird, damit steigt die Wärme augenblicklich an, das führt zu
einem Druckanstieg, nämlich genau auf den Druck P3, beim gleichen
Volumen, also es passiert zu einem Augenblick.
Danach geht der Kolben nach unten, das Volumen wird größer, das Gas
entspannt sich, das ist dann die Kurve zwischen dem Punkt 3 und dem
Punkt 4.
Bis der Kolben wieder am unteren Todpunkt ist, am Punkt 4, dann nehmen
wir an, dass die Ventile öffnen und sich augenblicklich der
Umgebungsdruck einstellt.
Das heißt, von Punkt 4 kommen wir dann in derselben Stellung auf den
Punkt 1.
Dann wird das Abgas rausgeschoben, ich hatte gesagt, beim
Umgebungsdruck, das heißt, das haben wir jetzt hier gar nicht groß
eingezeichnet, das ist eine Linie entlang des Druckes P1, bis der
Kolben ganz oben ist, dann ist alles Abgas rausgeschoben, dann ändern
wir die Ventilstellungen, das neue Gas wird beim gleichen Druck
hereingezogen, dann sind wir wieder beim Punkt 1 und beginnen wieder
mit der Verdichtung von Punkt 1 auf den Punkt 2 und so weiter.
Also Druckverlauf,
Siehe Diagramm,
wobei wir wissen, dass bei der Verdichtung
für den Druck gilt,
P von X, die X-Koordinate ist die Bewegungskoordinate des Kolbens, die
geht einmal bis Plus R, einmal bis Minus R.
Da hat man also den Druck P1 mal, und jetzt haben wir das Volumen V1
dividiert durch das augenblickliche Volumen.
Nun, das augenblickliche Volumen, das ist das Volumen V1 am unteren
Totpunkt, reduziert um A mal X.
Nun, wenn wir das X aus der Mittelstellung zählen, dann kommt noch
Minus R mal A hinzu.
Und das Ganze hoch Kappa,
und bei der Entspannung,
da haben wir eben das P von X,
gerade Druck P3 mal das Volumen am oberen Totpunkt, das war gerade das
Totvolumen, V0, dividiert durch das aktuelle Volumen, das ist dann
gerade V1 minus A mal X minus R mal A.
Das V1 minus A X minus R mal A, das entspricht auch gerade dem V0,
Plus R mal A, Minus A mal X, Sie können es sich mal überlegen.
Und ebenfalls hoch Kappa, wir nehmen mal an für Frischluft und Abgas
haben wir den gleichen Exponenten Kappa.
Beim Austausch haben wir jeweils P
gleich P1, oder Umgebungsdruck, und die Frage ist jetzt, wenn wir so
eine Kurbel haben, ich deute das mal ein bisschen an, haben wir hier
den Radius der Kurbel,
R, wir haben den Kurbelwinkel Psi,
dann haben wir die Pleuelstange und da oben den Kolben und Zylinder.
Pleuelstange hat die Länge L und
jetzt sehen wir, wenn ich das mit X bezeichne,
beziehungsweise eigentlich nur die Verschiebung des Kolbens gegenüber
der Stellung, wenn der Kurbelwinkel Psi
gerade 0 ist, beziehungsweise sich der Kolben in der Mitte der beiden
Höchst - und Tiefsausschläge befindet, dann sieht man eben X ist
gerade, dann haben wir R mal Sinus Psi,
dann haben wir noch L mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels
zwischen der Pleuelstange und der Vertikalen, also plus L mal,
ich nenne es mal Kosinus Phi, das war dann Phi,
ziehen wir mal das L ab, dann bleibt das schön zwischen Minus R und R.
Das heißt, wenn wir jetzt das X durch R bilden, haben wir rechts Sinus
Psi, jetzt sehen wir aber,
R mal Kosinus Psi ist
gerade L mal Sinus Phi,
also Sinus Phi ist dann gerade R durch L mal Kosinus Psi, jetzt
brauchen wir den Kosinus von Phi, das heißt Kosinus von Phi ist Wurzel
aus 1 minus Sinus Phi Quadrat, also Wurzel aus 1 minus R Quadrat durch
L Quadrat Kosinus Quadrat Psi, das können wir entsprechend einsetzen,
also plus Wurzel aus 1 minus R Quadrat durch L Quadrat Kosinus Quadrat
Psi, in dem Fall mit dem Minus L dann noch Minus 1.
Und wir sehen, jetzt können wir noch das Schubstangenverhältnis Lambda
einführen, das wäre dann gerade Lambda gleich R durch L,
dann würde hier stehen, Wurzel aus 1 minus Lambda Quadrat Kosinus
Quadrat Psi.
Und das führt auch dazu, was ich in der letzten Vorlesung am Ende
gezeigt habe, dass eben die Bewegung des Kolbens nicht mehr ganz
harmonisch ist, sondern bei großen Lambda-Werten, also wenn das R im
Vergleich zum L fast in der gleichen Größenordnung liegt, dann sich
zwar noch ein periodischer Verlauf ergibt für das X, aber eben kein
harmonischer mehr.
So, fassen wir das nochmal zusammen, das P von X ist dann praktisch
antibiotische Zustandsänderung proportional dem Volumen, das muss
eigentlich heißen P0 mal, Entschuldigung, das Plus muss ein Mal sein,
V0 durch V von X hoch Kappa.
Das mit der Wärmezufuhr am oberen Todpunkt habe ich erklärt, das mit
dem Gasaustausch genauso, Kurbellänge R und Bleulänge L führt
letztendlich zur Kinematik, die hier nochmal angegeben ist, hier jetzt
anstatt X mit Y bezeichnet, sollte Sie auch nicht groß verwirren.
Und
hier mit Mathematika sehen wir das Ganze nochmal dargestellt, dass
eben die Bewegung des Kolbens, wenn das Schubstangenverhältnis groß
ist, fast harmonisch ist, wenn wir aber das Schubstangenverhältnis
sehr klein machen, dann verpart der Kolben relativ lange in der
unteren Stellung, also man sieht schon, das ist nichts mehr
Harmonisches, sondern nur noch was Periodisches.
Was wird jetzt bei uns wichtig?
Uns interessiert die Arbeit, die das Gas am Kolben verrichtet.
Dann haben wir zunächst mal W1, das ist die Arbeit während des
Verdichtens des Gases.
Und da wissen wir, am Kolben, ich zeige es mal so an, da wirkt jetzt
eine Druckkraft.
Die Kraft setzt sich zusammen aus Druck mal Querschnittsfläche.
Das heißt, letztendlich hängt das Volumen von X ab, das X von
Kurbelwinkel Psi.
Und wir erhalten minus A mal P während der Verdichtung.
Nun, DX ist die Verschiebung des Kolbens und die Verschiebung geht
eben von minus R bis plus R.
Dann haben wir die Arbeit W2, während das Gas entspannt wird.
Das ist dann Integral und das X geht vom oberen Totpunkt, also von X
gleich R, bis minus R, ebenfalls minus P mal A.
Jetzt die andere Abhängigkeit während der Entspannung.
DX und das W3, das ist die Arbeit während dem Gasaustausch.
Da geht also das X von minus R bis R.
Dann haben wir minus P mal A, das war aber Umgebungsdruck P0.
DX plus eben, wenn das neue Gas hereingezogen wird, von R bis minus R.
Selber Druck, also minus P0 mal A, DX.
Und wir sehen schon, während dem Gasaustausch wird insgesamt natürlich
keine Arbeit am Kolben verrichtet.
Das hebt sich also weg.
Und die Arbeit wird bestimmt letztendlich während der Arbeit, die der
Druck am Kolben verrichtet, bei der Verdichtung.
Plus die Arbeit während der Entspannung.
Und wenn man sich das mal aufträgt...
Ich gehe nochmal auf das vorige Diagramm zurück.
Dann haben wir hier das Diagramm.
Das V ist proportional dem X, also man müsste jetzt praktisch den
Druck über X auftragen, multipliziert.
Mit der Querschnittsfläche A hat man dann sofort die Kraft.
Und das Integral entspricht dann gerade der Fläche unter der
jeweiligen Kurve.
Das heißt, die entsprechende Differenz.
Hier wird einmal von R bis minus R integriert, einmal von minus R bis
R, das könnten wir umdrehen, das Vorzeichen umdrehen.
Dann haben wir eben da die Differenz drin und sehen, das entspricht
dann letztendlich gerade der blau eingezeichneten Kurve.
Wie gesagt, unter der Voraussetzung, dass wir da noch
Querschnittsfläche und solche Dinge berücksichtigen.
Was man natürlich im Diagramm noch angeben kann, mit Mathematika
relativ einfach, das sehen wir jetzt hier.
Hier haben wir mal den Kurbelwinkel Psi aufgetragen, also den
Verdrehwinkel der Kurbel.
Und wir sehen das gelbe, fast orange Kurve, beziehungsweise die Fläche
darunter.
Das ist der Bereich während der Verdichtung.
Nun eigentlich würden wir ja erwarten, dass bei der Verdichtung der
Druck so spitz ansteigt.
Aber beachten Sie, das Psi geht natürlich über den Kosinus irgendwo
ein, das heißt oben ist das Ganze abgeflacht.
Dann haben wir die Wärmezufuhr, den Druckanstieg auf den hohen Wert.
Dann kommt die Entspannung, wobei die Entspannung natürlich auch
zunächst mal kosinusförmig verläuft, deshalb da auch ein bisschen
abgeflacht.
Dann sind wir am unteren Druck angelangt, dann wird das Ventil
geöffnet.
Dann haben wir den Winkel 2 Psi während einer Umdrehung, Gasaustausch,
den konstanten Druck und danach wieder die Verdichtung.
Gibt es soweit Fragen?
Dann kommen wir jetzt zum nächsten Abschnitt,
nämlich Potential- und Energiesatz.
Und wir wissen, die Arbeit, die hatten wir definiert als ein Integral
Fdr vom Punkt R1 zum Punkt R2 oder vom Punkt R0 zum Punkt R1.
Wir sehen, Fdr ist ein Skalarprodukt.
Den Vektor F können wir darstellen als Fx in Richtung Ex plus Fy in
Richtung Ey und so weiter.
Genauso können wir die Verschiebung Dr darstellen als Dx in Ex
-Richtung, Dy in Ey-Richtung.
Vielleicht gebe ich das gerade nochmal an.
Also wir haben F gleich Fx, Ex plus Fy, Ey plus Fz, Ez.
Genauso haben wir Dx in Ex-Richtung plus Dy in Ey-Richtung plus Dz in
Z -Richtung.
Wir sehen das Skalarprodukt, ergibt deshalb gerade Fx, Dx plus Fy, Dy
plus Fz, Dz.
Ich trage das da oben ein, gibt also Integral Fx, Dx plus Fy, Dy plus
Fz, Dz.
Wobei wir wissen, dass im Allgemeinen diese Arbeit vom Weg abhängt.
Also Arbeit im Allgemeinen wegabhängig.
Das bedeutet, wenn wir mal den Anfangsvektor R0, den Endvektor R1
haben, dann erhalten wir auf dem einen Weg eine Arbeit W1, auf dem
anderen Weg eine Arbeit W2.
Wobei W1 und W2 im Allgemeinen verschieden sind.
Aber es gibt eben auch den Sonderfall, dass eben W1 und W2 gleich sind
und die Arbeit zwischen den Punkten R0 und R1 gar nicht mehr vom Weg
abhängt, sondern nur noch von den Endpunkten R0 und R1.
Also Sonderfall W
wegunabhängig, das heißt integrabel,
ohne Kenntnis
des Weges.
Sodass dann gilt, dass eben W1 und W2 gleich sind und ganz allgemein
dem W entsprechen.
Also dann W1 gleich W2 gleich W.
Und das gilt jetzt eben insbesondere immer dann,
wenn die Kraft F ein Potential hat.
Nun das Potential ist eine skalare Größe, gehen wir es also noch an,
ein skalares Potential hat.
Und es gibt auch Vektorpotentiale in der Mechanik, hier aber nicht
wichtig.
Wir nennen das Potential mal V.
Also wenn F ein skalares Potential V hat und beide verknüpft sind,
also mit Verknüpfung F
die Kraft, die von X, Y und Z abhängen kann, ist gerade, und wir
hatten es gehabt, Fx, Ex plus Fy, Ey plus Fz, Ez und die Koordinaten
Fx, Fy und Fz eben durch die partiellen Ableitungen des Potentials
gegeben sind.
Zum einen dv nach dx in x-Richtung, zum anderen dv nach dy in y
-Richtung und dv nach dz in z-Richtung.
Allerdings definieren wir dies jetzt so, dass es gerade das Negative
von dem entspricht.
Und jetzt sehen wir, wenn wir ein Potential haben, was von X, Y und Z
abhängt, dann gilt also dv,
abhängig von X, Y und Z, ist ja gerade dv nach dx mal dx plus
dv nach dy mal dy plus dv nach dz mal dz.
Das heißt, Fx, dx plus Fy, dy plus Fz, dz, das haben wir fast jetzt
hier stehen, wir müssen nur noch ein Minuszeichen davor machen und
haben dann praktisch den Integranten,
das heißt, wir haben jetzt W gleich Integral, das, was im Integranten
steht, ist aber gerade minus dv, also minus Integral dv, dv integriert
ergibt also gerade das Integral.
Und wenn wir eben von R0 bis R1 integrieren, haben wir hier von R0 bis
R1, dann haben wir hier, wir gehen auf V über, also von V von R0 bis V
von R1,
also ergibt das gerade V, Integrationsgrenzen eingesetzt, mit
Minuszeichen minus V von R1 plus V von R0.
Oder, wenn wir hier das mit Minuszeichen lassen wollen, müssen wir
eine eckige Klammer drum herum machen.
So, vielleicht der Vollständigkeit halber, F von x, y und z, tragen
wir das noch ein, minus dv nach dx mal ex minus dv nach dy, ey und so
weiter, entspricht gerade dem Gradienten.
Also gleich Minusgradient V, abhängig von x, y und z.
Also wir haben eine skalare Größe, das Potential V, wie macht man da
draußen Vektor?
Nun über einen Gradientenoperator.
Und wie gesagt, das Minuszeichen, das haben wir jetzt im Grunde
genommen als Definition dazugenommen.
So haben wir das einfach definiert.
Und man sieht, wenn eben die Kraft F sich aus einem skalaren Potential
ableiten lässt, dann hängt die Arbeit wirklich nur noch von
Anfangspunkt R0 und Endpunkt R1 ab.
Und jetzt kann man fragen, wie kann man eigentlich zeigen, dass so
eine Kraft F aus einem Potential abgeleitet werden kann?
Also Nachweis,
ob eben F aus einem Potential abgeleitet werden kann,
das können wir einfach mal formal hinschreiben.
Wir sagen, na gut, die Rotation, ui, wieder so ein Vektoroperator.
Jetzt angewandt auf den Vektor F, F hängt aber ab von x, y und z.
Das muss gerade den Nullvektor ergeben.
Jetzt, was ist eigentlich die Rotation?
Die kann man sich so vorstellen.
Rotation F können wir bilden aus einer Determinante.
Da schreiben wir Ex, Ey und Ez in die erste Zeile.
Dann D nach Dx, D nach Dy und D nach Dz in die zweite Zeile.
Und in die letzte Zeile dann die Koordinaten des Vektors, also Fx, Fy
und Fz.
Das heißt, bei uns ausgewertet ergibt es gerade in Richtung von Ex,
Dfz nach Dy minus Dfy nach Dz, also Dfz nach Dy minus Dfy nach Dz.
Als zweite Koordinate dann gibt es Dfx, zyklisch vertauscht, nach Dz
minus Dfz nach Dx.
Und in der letzten Zeile dann analog Dfy nach Dx minus Dfx nach Dy.
Und das muss gerade, wie gesagt, den Nullvektor ergeben, also 0, 0, 0.
Das ist so die formale Vorgehensweise.
Wie kann man sich das anschaulich erklären?
Nun wir sehen,
letztendlich entspricht das den sogenannten
Integrabilitätsbedingungen.
Integrabilitätsbedingungen, was haben wir da?
Nun wir wissen,
Fx war ja Dv nach Dx mit einem Minuszeichen.
Und Dv nach Dy mit einem Minuszeichen war Fy.
Wenn wir jetzt die zweiten Ableitungen des Potentials bilden, also D2v
nach Dx, Dy, dann muss das gleich sein, D2v nach Dy nach Dx.
Also müssen wir hier nach Y ableiten, rechts Fy nach X.
Das heißt, wenn wir das vergleichen, Dfy nach Dx muss gerade sein, Dfx
nach Dy, oder eben die Differenz von beiden muss 0 ergeben.
Also über die gemischten Ableitungen des Potentials, die müssen gleich
sein, egal in welcher Reihenfolge abgeleitet wird, da kann man das
letztendlich anschaulich zeigen.
Jetzt Kräfte,
deren Arbeit bei einem geschlossenen Umlauf
vollständig zurückgewonnen werden.
Die heißen konservativ und
die besitzen ein Kräftepotential.
Und wenn wir an unseren Viertaktmotor zurückdenken, dann haben wir
während der Verdichtung angenommen, adiabatische Zustandsänderung, wir
haben nicht berücksichtigt, dass dadurch das Gas natürlich sich
erwärmt und streng genommen wahrscheinlich über die Zylinderaußenwände
und über den Kolben dann Wärme abgeführt wird.
Wenn wir dies vernachlässigen, dann haben wir zunächst mal, allein
aufgrund der adiabatischen Zustandsänderung, wenn wir jetzt nichts
machen würden und wieder entspannen, hätten wir ja in der Summe keine
Arbeit, also das wäre eine konservative Kraft.
Allerdings haben wir jetzt am oberen Todpunkt ja die Zündung, das
heißt wir führen mechanische Energie zu.
Dadurch, dass der Druck erhöht wird, dann während der Entspannung, das
wäre auch so ein konservativer Vorgang, weil wenn wir das Gas
entspannen bei dem hohen Druck und dann wieder verdichten würden,
würde sich genauso der hohe Druck wieder einstellen, vorausgesetzt,
dass wirklich eine adiabatische Zustandsänderung vorliegt, bei der
keine Wärme an die Umgebung abgegeben wird.
Falls wir solch einen Wärmeaustausch berücksichtigen, haben wir
natürlich kein konservatives Verhalten mehr.
Wenn wir so ein Potenzial einer Kraft zuordnen können, dann wäre die
Arbeitsberechnung besonders leicht.
Wir haben gesehen, die Arbeit entspricht dann gerade der Differenz der
Potenziale, aber wir haben natürlich auch die Schwierigkeit, wie sieht
denn das Potenzial aus, was ist die potenzielle Energie, wenn ich die
Kraft gegeben habe.
Und wie berechnet man die?
Nun letztendlich wieder über die Arbeit.
Jetzt kann man natürlich sagen, na gut, dann habe ich ja Mühe
reingesteckt, um etwas zu sparen, was ich praktisch reinstecken muss.
Allerdings ist es natürlich so, dass bei bestimmten Kräften, Beispiel
Gewichtskraft, Beispiel Federkräfte usw., die treten so oft auf und
wenn man da einmal die potenzielle Energie sich hergeleitet hat, dann
kann man das eben immer wieder verwenden und kann das praktisch schon
ein bisschen schematisiert benutzen.
Also Potenzialberechnung eben
über die Berechnung der Arbeit.
Wir wissen, die Arbeit war gerade Integral von R0 bis R1 F dr. Das war
aber gerade Minuspotenzial am Punkt R1, Minuspotenzial am Punkt R0,
sodass wir nach V1 zum Beispiel auflösen können und erhalten V1.
Ergibt demnach gerade, wir bringen das V1 nach links, dann bleibt
rechts das V0 stehen, Minus mal Minus gibt Plus, Minus eben Integral
von R0 bis R1 F dr. Oder F dr war ja gerade die Arbeit der Kraft, also
V0 minus W.
Das lässt sich leicht merken, die potenzielle Energie entspricht im
Grunde genommen dem Negativen der Arbeit.
Zusätzlich haben wir an der Stelle eine Konstante drinstehen, das V0,
wir werden aber sehen, dass wir das Potenzial praktisch immer irgendwo
ableiten oder Potenzialdifferenzen wichtig werden, wir sehen es ja
hier schon.
Und bei der Differenz von Potenzialen, da hebt sich eben die beliebige
Konstante dann letztendlich wieder raus.
Nun bei uns sind zunächst mal, ich hatte es schon erwähnt, zwei
Potenziale wesentlich.
Also in der technischen Mechanik sind zwei Potenziale wesentlich.
Zum einen das schwere Potenzial,
das heißt, wenn wir mal unser Koordinatensystem haben, X, Y und Z,
dann nehmen wir eben sehr oft an, dass die Z-Achse nach oben zeigt,
die Erdbeschleunigung selbst, die wirkt nach unten, das heißt, wenn
wir irgendwo die Bahn des Massenpunktes haben, dann wirkt eben am
Massenpunkt die Gewichtskraft in negative Z-Richtung, also für die
Kraft aufgrund des schwere Potenzials gilt dann F gleich M mal G, G
wäre jetzt der Vektor der Gravitation, wir sehen, das ist gerade M mal
G, aber in negative Z-Richtung, also minus M mal G mal EZ.
Jetzt können wir zunächst mal formal überprüfen, ob wir eine
potenzielle Energie hierzu formulieren können.
Wir sehen, in dem Falle haben wir nur FZ gleich minus M mal G, Fx ist
0, Fy ist 0, Rotation F muss 0 sein, Sie sehen, bei der Rotation
werden die Koordinaten der Kraft jeweils abgeleitet nach X, Y und Z.
Nun, Fx und Fy sind a priori 0, da kann nichts passieren, Fz ist
konstant, also wenn wir das noch ableiten nach X, nach Y oder nach Z,
in dem Fall müssen wir es ableiten nach X und nach Y, wird die
Ableitung jeweils 0, also die Rotation F ist wirklich 0, also wir
haben eine konservative Kraft,
jetzt besieht die potenzielle Energie aus.
Wir wissen, wenn wir die berechnen, geht das V an einem allgemeinen
Punkt, ist gerade das V0, minus die Arbeit der Kraft, also minus, und
jetzt die Kraft, hat die Arbeit integral von R0 bis R1, und dann haben
wir drinstehend die Kraft, das war minus M mal G mal EZ, das DR ist
gerade DX, EX plus DY, EY plus DZ, EZ.
Wir sehen, EX mal EZ gibt 0, EY mal EZ gibt 0, EZ mal EZ gibt 1, es
bleibt also lediglich übrig, gleich ein Integral, Entschuldigung, V0,
minus, und im Integral steht jetzt minus M mal G mal DZ, also plus M
mal G mal DZ, wichtig werden dann nur die Integrationsgrenzen für die
Z -Koordinate, also von Z gleich Z0 bis Z gleich Z1,
bzw.
ich habe das R als allgemein angenommen, dann geht das natürlich nur
bis zu einem allgemeinen R und hier auch nur bis zu einem allgemeinen
Z.
Und wir erhalten dann letztendlich für V von R gerade V0, plus E mal G
mal Z minus Z0.
Nun die konstante V0, die können wir letztendlich irgendwo wählen, wo
es uns geschickt ist, also wir wählen zum Beispiel V0 gleich M mal G
mal Z0, also mit Normierung V0
gleich M mal G mal Z0 ergibt sich eben gerade V von R hängt nur noch
von Z ab, also V von Z und das ist gerade M mal G mal Z.
Und das Z muss eben in dem Falle die Höhe sein über einem
entsprechenden Nullniveau, was wir beliebig wählen können.
Also Z entspricht der Höhe über einem beliebig gewählten
Nullniveau.
Das heißt wir legen irgendwo das Nullniveau fest,
wenn wir das gewählt haben, dann lassen wir das auch da und das Z ist
dann die Höhe über diesem Nullniveau.
Wenn ein Massenpunkt sich irgendwo bewegt, was man in mündlichen
Prüfungen natürlich sehr oft sieht, ist, dass die immer das Nullniveau
an die Stelle legen, wo der Massenpunkt sich gerade befindet.
Das kann man natürlich für den Augenblick machen, dann muss man aber
für die weitere Rechnung das Nullniveau auch immer an diesem Punkt
lassen und darf das Nullniveau nicht mit dem Massenpunkt nach oben
oder nach unten verschieben.
Also denken Sie daran, ich wünsche Ihnen das natürlich nicht, dass Sie
ja in die Vorlesung kommen, dass Sie irgendwann mal in einer
mündlichen Prüfung landen.
Ab und zu berichte ich vielleicht doch in der Vorlesung, was bestimmte
Notwendigkeiten sind, was man in einer mündlichen Prüfung mindestens
wissen sollte.
Ich bin ganz ehrlich, ich kann dann den Studenten auch direkt ins
Gesicht sagen, dass die nicht in der Vorlesung waren.
Also, hin und wieder rentiert es sich doch auch, in die Vorlesung zu
kommen.
Oder die zumindest im Internet nachzuschauen.
Wir sehen, wenn wir das Nullniveau gewählt haben, dann ist oberhalb
des Nullniveaus die potenzielle Energie größer als Null.
Und wenn eben der Massenpunkt sich unterhalb des Nullniveaus befindet,
dann hat er eine potenzielle Energie, die kleiner als Null ist.
Als nächstes kommen wir jetzt zum Potenzial von einer Feder.
Also, Federpotenzial.
Wir nehmen mal an, wir haben eine hübsche lineare Feder.
Also,
eine lineare Charakteristik.
Die Federkraft hängt linear von der Verlängerung oder Verkürzung ab.
Das heißt, wenn ich mal die Feder skizziere,
das weiß ich, irgendwo habe ich den Punkt x gleich x Null.
Irgendwo habe ich dann die Feder gezogen.
Dann haben wir hier das x.
Wir nehmen an, wenn x gleich Null ist, dann ist die Feder entspannt.
Federkonstante war c.
Das heißt, wir haben jetzt eine Kraft F.
Das heißt, F von R ist in dem Falle F von x.
Das ist gerade c mal x mal Ex.
Das c ist größer Null.
Ich schreibe mal Feder entspannt bei
x gleich Null.
Das heißt, das V von R.
Beziehungsweise, ich wollte noch etwas anderes zeigen, deshalb habe
ich das hier stehen lassen.
Wir müssen erst überprüfen, Rotation von F.
Jetzt sehen wir, Fx ist c mal x.
Hängt also von der Koordinate ab.
Aber wir sehen, Fz und Fy sind Null.
Also die erste Koordinate von der Rotation ist Null.
Fx nach z abgeleitet ergibt Null.
Fz war Null, also auch die zweite Koordinate ist Null.
Und auch in der letzten Zeile, da tritt das Fy auf, das ist Null.
Das Fx, das war c mal x, abgeleitet nach y, gibt wieder Null.
Also Rotation F ist Null.
Das heißt konservativ.
Und wir können jetzt anschreiben,
V von R ist wiederum V Null.
Plus eben die negative Arbeit, das heißt Minus Integral von R Null bis
R.
Und was haben wir da drin stehen?
Die Kraft, die ist c mal x Ex multipliziert mit dx Ex plus dy Ey plus
dz Ez.
Wir sehen beim Skalarprodukt bleibt lediglich übrig c mal x mal dx.
Also gleich V Null minus Integral und dann haben wir drin stehen c mal
x dx.
Wir müssen dann entsprechend von x Null bis x integrieren und erhalten
nun V Null.
Minus cx integriert ergibt cx Quadrat Halbe.
Obere Grenze eingesetzt ergibt c Halbe x Quadrat.
Minus untere Grenze eingesetzt ergibt c Halbe x Null Quadrat.
Das heißt, wenn wir entsprechend normieren,
V Null einfach als...
Und wenn wir das mit Minus c Halbe x Null Quadrat machen, dann ergibt
sich gerade das Federpotential zu V von R gleich V von x gleich...
Und was haben wir da?
Minus c Halbe x Quadrat.
Was hätten die Studenten erwartet?
Vielleicht fragen wir die zwei, die gerade Richtung Essen gehen.
Was hätten Sie erwartet?
Ui, jetzt wird es peinlich.
Wer hat schon mal was von einem Federpotential gehört?
Oder Potential von einer Federkraft?
Wie groß ist die?
Also ein Halb cs Quadrat, ich habe jetzt das s mit x bezeichnet, also
ein Halb cx Quadrat, aber bei mir steht Minus c Halbe x Quadrat.
Was ist jetzt richtig?
Wie?
Also muss ich an der Feder nach rechts ziehen, oder?
Was meinen die anderen Studenten?
Und er ist natürlich auf dem richtigen Weg.
Ich habe es jetzt ein bisschen genarrt.
Ja,
nur bei x gleich Null.
Da ist die Federkraft Null.
Das heißt nicht, dass wir einen Gleichgewichtszustand haben, wir
wissen ja gar nicht, was Gleichgewicht oder sonst irgendwas ist.
Der Trick ist, wir wollen doch wissen, wie groß ist die Arbeit, die
die Feder am Massenpunkt leistet.
Das heißt, ich muss eigentlich hergehen und nicht die Feder
betrachten, natürlich muss ich an der Feder nach rechts ziehen.
Aber was wichtig ist, das ist mein Massenpunkt und an dem zieht die
Federkraft nach links.
Das heißt, die Federkraft F von R, die ist eben nicht c mal x mal ex,
deshalb hat der Seemann hier schon ein bisschen Platz gelassen, minus
c mal x.
Nun, Rotation F, da ändert das Minuszeichen nichts.
Schauen wir mal weiter.
Dann haben wir hier, anstatt c mal x haben wir minus c mal x, das
ergibt hier unten plus das Integral.
Dann haben wir hier plus und dann müssen wir natürlich auch eine
entsprechende Normierung machen, sodass am besten das x0 Quadrat
rausfällt, also eine Normierung V0 gleich plus c halbe x0 Quadrat,
sodass wir letztendlich das erhalten, was wir eigentlich gewohnt sind,
nämlich das Potential von der Federkraft ist c halbe x Quadrat.
Wenn x die Verlängerung der Feder angibt, oder man sieht es hier, ob
wir die Feder verlängern oder verkürzen, ist letztendlich egal.
Die potenzielle Energie ist dieselbe.
Also wie gesagt, wichtig in dem Falle ist eben die Kraft nicht an der
Feder, sondern am Massenpunkt.
Und wenn wir die Feder dreidimensional betrachten,
was haben wir dann?
Nun nehmen wir mal an, wenn wir r gleich 0 haben, sei die Feder
entspannt.
Dann gilt V von r gleich c halbe r Quadrat und r ist jetzt eben die
Verlängerung der Feder oder die Verkürzung der Feder gegenüber dem
entspannten Zustand und ob wir die Verschiebung des Federendpunktes
irgendwie räumlich machen oder nicht.
Wichtig ist immer nur, wie lange ist die Feder am Ende, wie lange war
die Feder am Anfang.
Also mit Federverlängerung r und
zwar gegenüber dem entspannten Zustand.
Wie sieht es aus, wenn wir anstatt einer linearen Federcharakteristik
eine nicht lineare Federcharakteristik haben?
Also für eine nicht lineare Federkennlinie, sei es, dass unsere Feder
progressiv oder degressiv ist.
Und dann müssen wir einfach das V von x bestimmen aus, ganz ähnlich,
Minus Integral von x0 bis x und Federkraft, die jetzt abhängt von x in
einer nicht linearen Weise, integriert nach x.
Zum Beispiel bei einer kubischen Kennlinie,
dort setzt sich die Federkraft zusammen aus einem linearen Anteil,
also Minus C1x minus C2x hoch 3.
Das C2 könnte jetzt positiv sein, dann haben wir eine progressive
Kennlinie, das könnte auch negativ sein, dann haben wir eine
degressive Kennlinie, je nachdem.
Und dann gilt V von x gleich, in dem Falle Minus Integral von x0 bis
x, die Federkraft war Minus C1x minus C2x hoch 3.
Also Minus C1x minus C2x hoch 3 dx und wir sehen, das gibt dann
entsprechend C1x integriert, Minus mal Minus gibt Plus, gibt C1 halbe,
x Quadrat,
Minus mal Minus gibt Plus, also Plus C2 und x hoch 3 integriert ergibt
eben in dem Falle x hoch 4 Viertel in den Grenzen zwischen x0 und x.
Das V0 habe ich jetzt mal weggelassen.
Also letztendlich die Grenzen einzusetzen, ich denke, das können Sie
mal zu Hause machen, das gibt einfach x Quadrat Minus x0 Quadrat, hier
an der Stelle x hoch 4 Minus x0 hoch 4.
Mit einer entsprechenden Konstante könnten wir die x0-Thermen auch
noch wegbringen, auf das kommt es uns gar nicht so an.
Wichtig, dass Sie sehen, man kann auch für nicht-lineare
Federcharakteristiken entsprechende Potenziale formulieren, muss dann
aber die Arbeit hierzu entsprechend auswerten.
Gibt dann, wie gesagt, bei einer kubischen Kennlinie quadratische
Therme im Potenzial und Therme mit x hoch 4.
Nun, wie sieht es jetzt aus, wenn wir das Gravitationspotenzial
betrachten, aber zum Beispiel einen Satelliten hochschießen wollen,
dann wissen wir, die Erdbeschleunigung wird nicht mehr konstant sein,
die hängt dann natürlich zum einen richtungsmäßig oder die Kraft hängt
ab von der Position, was die Richtung anbelangt, und auch die
Gewichtskraft nimmt mit zunehmendem Abstand zur Erde oder zum
Zentralkörper ab.
Deshalb als Anmerkung des Gravitationspotenzials zweier Massen,
nennen wir die mal Groß-M und Klein-M, dann ergibt sich dort V von R
als Minus-Gravitationskonstante K,
mal große Masse, kleine Masse, dividiert durch den Betrag des
Abstandsvektors R, wie gesagt, K die Gravitationskonstante.
Man sieht, das ist immer negativ, außer wenn der Abstand gegen
unendlich geht, dann geht es gegen Null.
Und wie gesagt, wichtig für Weltraumanwendungen.
Nun, wenn wir den Abstand R mal annehmen, gerade Radius der Erde, R
plus Z, dann wäre Z die Höhe über der Erdoberfläche,
mit der Höhe Z sehr viel kleiner als R, das können Sie mal machen,
einsetzen, dann geht das entsprechende Gravitationspotential
letztendlich über in das, was wir uns hergeleitet haben.
Also geht
Potential in das zuvor angegebene schwere Potential über.
Und wenn wir jetzt einen Massenpunkt haben, an dem nur Kräfte
angreifen, für die wir potenzielle Energien formulieren können, dann
haben wir ein konservatives System.
Also
sind alle Kräfte am Massenpunkt konservativ.
Dann folgt aus dem Arbeitssatz der
Energiesatz, dass dann die mechanische Energie erhalten bleibt.
Wir wissen, wie die Arbeit der Kräfte, die können wir bestimmen über
die Differenz der Potenziale, also minus V1 minus V0.
Die Arbeit W entspricht aber gleichzeitig der Differenz der
kinetischen Energien des Massenpunktes, gibt also T1 minus T0.
Und jetzt sehen wir, wenn wir die rechte Seite hier unserer
Zweigleichungen betrachten, dann haben wir minus V1 plus V0 gleich T1
minus T0.
Das minus V1 bringen wir nach rechts, das minus T0 nach links, sodass
dann letztendlich folgt, dass das T1 plus V1 gerade ergibt T0 plus V0.
Das entspricht der Gesamtenergie E und das bleibt konstant.
Wie gesagt, Voraussetzung dafür, alle Kräfte, die am Massenpunkt
angreifen, sind konservativ.
Wenn nicht alle Kräfte konservativ sind, dann bleibt natürlich die
Gesamtenergie immer noch konstant, allerdings wird dann ein Teil der
mechanischen Energie eben in Wärmeenergie umgewandelt.
Das haben Sie dann mehr in der Thermodynamik.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wie beim Arbeitssatz können wir letztendlich mit dem Energiesatz, wie
er hier steht bei konservativen Systemen, wieder im Grunde genommen
die Grundgleichung einmal hoch integrieren und können dann praktisch
zwei Zustände ineinander überführen, ohne letztendlich die zugehörige
Bewegungsgleichung zuvor zu lösen.
Machen wir zum Schluss noch ein Beispiel.
In Form eines Pendels ohne Reibung und Luftwiderstand.
Pendel ohne Reibung und
Luftwiderstand.
Wir nehmen an, wir haben ein mathematisches Pendel, dann haben wir das
irgendwo gelagert.
Pendellänge L, den Massenpunkt M, der sich auf einer Kreisbahn bewegt.
Wir beschreiben die Bewegung über den Verdrehwinkel Phi gegenüber der
Vertikalen.
Die Erdbeschleunigung, die wirkt nach unten.
Gesucht ist jetzt die Winkelgeschwindigkeit Phi Punkt in allgemeiner
Lage.
Wobei wir für eine gegebene Lage den Anfangszustand kennen müssen.
Also die Anfangsgeschwindigkeit in einer bestimmten Lage.
Die Lösung hier erfolgt dann mit dem Energiesatz.
Warum?
Es greifen nur konservative Kräfte am Massenpunkt an.
Nämlich die Gewichtskraft.
Jetzt, wie sieht es aus mit der Zwangskraft?
Wir sehen, die Zwangskraft wirkt in Richtung vom Pendel zum Lager.
Die Bewegung des Pendels ist dazu senkrecht.
Also an der Stelle greifen wir der Vorlesung schon mal ein bisschen
vor.
Dass nämlich die Zwangskraft hier keine Arbeit verrichtet.
Also, alle Kräfte konservativ.
Das heißt, wir können den Energiesatz nehmen.
T plus V muss gerade der Gesamtenergie sein.
Das muss dann eine Konstante ergeben.
So.
Die kinetische Energie T, da wissen wir, die beträgt M halbe.
M war Masse des Massenpunktes.
Mal der Geschwindigkeit des Massenpunktes zum Quadrat.
Mal V Quadrat.
Und wenn wir den Winkel V einführen, dann ist die Geschwindigkeit des
Massenpunktes gerade L mal V Punkt.
Ist also M halbe.
L mal V Punkt zum Quadrat gibt L Quadrat V Punkt Quadrat.
Für die potenzielle Energie, die ergibt sich aus dem Schwerepotenzial.
Jetzt müssen wir zunächst mal irgendwo ein Nullniveau festlegen.
Das könnten wir jetzt entweder festlegen hier oben im Lagerpunkt.
Wie groß ist die potenzielle Energie dann?
Nun ist dann gerade Minus, weil sich die Masse unterhalb des
Nullniveaus befindet, Minus M mal G mal L mal Cosinus des
eingeschlossenen Winkels.
Das wäre die Strecke.
Wie gesagt unterhalb, das ist halt negativ.
Oder wir machen das so, dass wir das Nullniveau hier festlegen.
Und dementsprechend die Höhe H über dem Nullniveau bestimmen.
Dann haben wir als potenzielle Energie V gerade M mal G mal H.
H ist aber gerade L minus L Cosinus Phi.
Also M mal G mal L mal 1 minus Cosinus Phi.
Sie sehen, wenn Sie das Nullniveau am Lagerpunkt festlegen, dann haben
wir gesagt, die potenzielle Energie ist Minus M mal G mal L mal
Cosinus Phi.
Also M mal G mal L mal Minus Cosinus Phi.
Beide unterscheiden sich lediglich durch die Konstante M mal G mal L.
Macht auch Sinn.
Das heißt, wenn wir jetzt kinetische Energie und potenzielle Energie
im Energiesatz einsetzen,
dann erhalten wir gerade kinetische Energie im Halbe.
L Quadrat Phi Punkt Quadrat plus M mal G mal L mal 1 minus Cosinus Phi
gleich Gesamtenergie E.
Bleibt also konstant.
Das heißt, wenn wir jetzt das M mal G mal L mal 1 minus Cosinus Phi
nach rechts bringen, dann bleibt übrig im Halbe L Quadrat Phi Punkt
Quadrat gleich E minus M mal G mal L mal 1 minus Cosinus Phi.
Wir multiplizieren mit 2, dividieren durch ML Quadrat, das ergibt Phi
Punkt Quadrat, sodass wir Phi Punkt letztendlich erreichen.
Phi Punkt gleich 2 dividiert durch ML Quadrat, dann steht hier E minus
MGL mal 1 minus Cosinus Phi, daraus die Wurzel, wobei auch das
Negative davon möglich wäre.
Das macht sich dadurch kändig, dass das Pendel natürlich sich vorwärts
oder rückwärts bewegen kann, also in Richtung Phi Punkt oder in
Richtung Minus Phi Punkt.
Wir sind gleich so weit.
Und was jetzt noch fehlt, ist eben, wie kann man das E bestimmen.
Also Bestimmung von E.
Da haben wir die Möglichkeit A aus dem Größtausschlag.
Und wenn das Pendel den maximalen Winkel erreicht, dann haben wir Phi
gleich Phi Null.
Das Phi Punkt ist dann Null, weil da der Umkehrpunkt ist.
Phi Punkt gleich Null.
Dann sehen wir, E minus MGL mal 1 minus Cosinus von Phi Null muss
gerade Null sein.
Also E gleich MGL mal 1 minus Cosinus von Phi Null.
Wir setzen das ein.
Hier, dann haben wir MLG mal L minus MLG mal L.
Dann haben wir minus MLG mal L Cosinus Phi Null.
Hier haben wir plus MLG mal L mal Cosinus Phi.
Also letztendlich, Phi Punkt ist dann Wurzel aus 2 dividiert durch ML
Quadrat.
Und dann steht drin, MLG mal L mal Cosinus Phi Null minus Cosinus von
Phi Null.
Und wir sehen, der Cosinus vom Maximalausschlag ist natürlich kleiner
als der Cosinus, wenn Phi kleiner als Phi Null ist, betragsmäßig.
Also haben wir hier wirklich was Positives stehen.
Was wir noch machen könnten, wäre natürlich hier das L kürzen und das
M, sodass letztendlich unter der Wurzel steht 2G dividiert durch L mal
Cosinus Phi minus Cosinus Phi Null.
Und ganz analog könnten wir auch die Geschwindigkeit vorgeben, wenn
das Pendel sich bei Phi gleich Null befindet.
Das Phi Null Punkt, also aus der Maximalgeschwindigkeit, das führt
dann auf ein ähnliches Ergebnis, das ich aber an der Stelle gar nicht
weiter angeben will.
Das leiten Sie sich mal zu Hause her.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir heute am Ende.
Wir sehen uns, wie gesagt, nächste Woche wieder.
Denken Sie an die Karl-Benz-Gedächtnisvorlesung heute Mittag.
Vielen Dank.