Wir haben in der letzten Vorlesung den Impuls und den Trallsatz bei
einer ebenen Bewegung in integraler Form kennengelernt und wollen das
Ganze heute im Grunde genommen anwenden bei Stoßproblemen.
Nun, um vielleicht mal in Stoßprobleme so ein bisschen einzuführen,
habe ich mal einen Hüpfball mitgebracht.
Sie sehen, wenn ich den loslasse, ganz auf die ursprüngliche Höhe
kommt er nicht mehr zurück.
Sie wissen aber auch, im Grunde genommen werden wahrscheinlich Impuls
und Trallsatz nicht ausreichen, um das Resultat von so einem
Stoßproblem bestimmen zu können.
Warum?
Nun, wenn wir Bälle unterschiedlichen Materials nehmen, dann wissen
wir, wenn wir die Bälle aus der gleichen Höhe loslassen, ich habe
jetzt leider keinen Vergleichsball dabei, aber denken Sie einfach mal
an ein Stück Knet, dann wird es wohl so sein, dass die Knete nicht
mehr so weit hoch kommt, wenn überhaupt die wieder abhebt, wohingegen
eben der Springball dann doch eine merkliche Höhe erreicht.
Diejenigen, die viel Übung mit solchen Bällen haben, die wissen auch
unter Umständen, hängt das Ergebnis auch vom Untergrund ab, wie der
Untergrund beschaffen ist.
Das heißt, das hängt allerdings damit zusammen, dass sowohl der
Untergrund wie auch der Ball natürlich keine wirklich starren Körper
sind, sondern eben elastische Körper, eventuell sogar mit Dissipation,
sodass sich Wellen ausbreiten können usw.
Vielleicht nochmal ein kleiner Hinweis, ich muss denn jede Vorlesung
geben, vielleicht werde ich sonst mal irgendwann verhaftet, Sie
wissen, Sie hier vorne können ins Bild kommen, wobei ich nicht weiß,
wie die Filmer da oben das Ganze eingestellt haben.
Des Weiteren gibt es natürlich auch Stoßprobleme, die ein bisschen
komplizierter sind.
Um das jetzt mal ein bisschen...
Ich habe das File leider nicht runtergeladen, ich habe es im Büro
nochmal angeschaut, dachte, es ist jetzt auf dem Rechner.
Leider scheint es nicht so zu sein.
Was passiert dann?
Wie?
Also
eigentlich...
Also ich würde vorschlagen, wir probieren es später nochmal,
vielleicht klappt es dann.
Vielleicht kennt der eine oder andere die Sequenz, wenn Bud Spencer
und Terence Hill da ein bisschen Billard spielen, die können das
natürlich sehr viel besser als ich, deshalb bringt es nichts, wenn ich
das hier vorführe, denn beim Billardspielen, da ist es natürlich so,
dass nicht nur Massenpunkte aufeinanderstoßen, da stoßen wirklich
Körper aufeinander, zum Teil bewegen die sich natürlich
dreidimensional.
Warum?
Da rollt eine Kugel, aber die rollt natürlich nicht in einen geraden
Weg, sondern die beschreibt dann auch eine Kurve usw.
und nach dem Stoß direkt haben dann die Kugeln nicht nur eine
Translationsgeschwindigkeit, sondern auch eine entsprechende
Rotationsgeschwindigkeit.
Jetzt wollte ich Ihnen da mal ein bisschen die Vorlesung lustig
gestalten, wie gesagt, es tut mir leid, dass wir jetzt im Moment
Verbindungsprobleme haben.
Packen wir zunächst mal die Theorie.
Also Stoßvorgänge und
wir wissen, Integral, ich sag mal über die Stoßdauer, Delta TS von der
Stoßkraft F in X-Richtung, dt muss ja gerade ergeben,
Masse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit in X-Richtung am Ende des
Stoßes, minus Schwerpunktsgeschwindigkeit in X-Richtung am Anfang des
Stoßes, also zu Beginn des Stoßes.
Und wir haben gesagt, ja gut, das Integral können wir, wenn wir viel
rechnen, noch abkürzen, also in F X-Dach,
dann haben wir dasselbe in Y-Richtung,
Masse mal Vs in Y-Richtung am Ende, minus Vs in Y-Richtung am Anfang
des Stoßes
Und dasselbe für das Moment,
bezüglich dem Schwerpunkt, gleich Massenträgheitsmoment bezüglich dem
Schwerpunkt, mal Omega am Ende des Stoßes minus Omega am Anfang des
Stoßes.
Was ist alles unbekannt?
Nun, zunächst mal sind die Geschwindigkeiten Vs X am Ende, Vs Y am
Ende und Omega E am Ende unbekannt, das sind also drei unbekannte,
haben wir drei Gleichungen.
Allerdings sind auch noch unbekannt, die Kräfte F X-Dach bzw.
F Y-Dach bzw.
die Integrale über die Stoßkräfte einmal in horizontaler, einmal in
vertikaler Richtung, ich habe es jetzt mit X und Y benannt.
Wenn Körper aufeinander stoßen, dann muss allerdings dieser Satz von
Gleichungen gelten für jeden der beiden Körper.
Also können wir das einmal schreiben für den Körper 1, drei
Gleichungen, dann für den Körper 2, drei Gleichungen, allerdings
bringt uns das drei weitere Unbekannten, nämlich Geschwindigkeit in X,
Geschwindigkeit in Y und Winkelgeschwindigkeit jeweils am Ende des
Stoßes für den zweiten Körper.
Das heißt, wir haben dann acht Unbekannte.
Nun beim zweiten Körper treten dieselben Integrale auf, F X-Dach bzw.
F Y-Dach, nur Aktion gleich Reaktion umgekehrt gerichtet, mit einem
Minuszeichen dann entsprechend.
Und das Moment bzw.
das Integral über das Moment im S-Dach, das hängt natürlich von den
Stoßkräften ab, also da kommen im Allgemeinen keine weiteren
Unbekannten hinzu.
Aber wir sehen sofort, was wir vermutet hatten durch meinen Ball.
Es reicht nicht aus, Impuls und Rallsatz für jeden der beiden Körper
zu berücksichtigen.
Stattdessen brauchen wir noch entsprechende Zusatzbedingungen, die wir
dann noch kennenlernen.
Nun, wenn wir jetzt von einem richtigen Stoß ausgehen,
dann gibt es im Grunde genommen verschiedene Arten von Stößen.
Wenn Sie jetzt daran denken, wir haben einen Zug, der hat am Ende
solche Puffer und ein zweiter Waggon, der stößt da.
Dann wird es natürlich so sein, dass die Puffer eine Elastizität
bieten.
Die Federn in den Puffern, die werden dann zusammengedrückt, der ganze
Stoß verläuft dann relativ moderat.
Die Kräfte sind dann auch nur so groß wie die Federkräfte.
Also da wird man nicht von einem wirklichen Stoß reden, wie zum
Beispiel beim Billardspielen.
Bei den Stößen, die wir jetzt untersuchen, da nehmen wir an, dass die
Stoßdauer Delta TS beliebig klein ist, also im Grenzfall praktisch zu
einem Augenblick, dass der ganze Stoß stattfindet.
Da aber ein gewisser Impuls übertragen werden muss, bedeutet dies,
dass die Stoßkräfte, in dem Falle Fx bzw.
Fy, dann unter Umständen beliebig groß werden.
Das Integral darüber ist dann ein endlicher Wert.
Das heißt, wenn wir solche Stoßkräfte mit den anderen eingeprägten
Kräften vergleichen, dann wird es natürlich so sein, dass wir zum
Beispiel die Gewichtskraft oder auch irgendwie eine Federkraft
gegenüber diesen Stoßkräften letztendlich vernachlässigen können.
Deshalb, Voraussetzungen.
Kleine Stoßdauer.
Dadurch werden zum einen die Stoßkräfte so
groß, dass andere eingeprägte Kräfte
vernachlässigbar sind.
Wobei wir aufpassen müssen, Lagerkräfte unter Umständen, oder das sind
Zwangskräfte, die könnten auch beliebig groß werden.
Und aufgrund der verschwindend geringen Stoßdauer wird es so sein,
dass die Geschwindigkeiten sich während des Stoßes zwar ändern, nicht
aber die Lage des Systems.
Also,
Lageänderungen während
dem Stoß vernachlässigbar.
Und wir haben es ja im Grunde genommen immer von starren Körpern
gehabt, das heißt, irgendwelche elastischen Verformungen der Körper
werden auch so klein, letztendlich angenommen, dass diese die
Geometrie des Stoßes nicht verändern.
Also,
Deformationen klein,
sodass Auswirkungen auf Stoßsituation vernachlässigbar
sind.
Das heißt, bei einer allgemeinen Stoßsituation haben wir den Körper 1,
wir haben den Körper 2, mit den Schwerpunkten S1 bzw.
S2
und wir haben den Berührpunkt P,
wobei dann zwischen den beiden Körpern so eine Berührebene vorliegt,
das war die Berührebene,
deren Normalen die gemeinsame Flächennormale durch den Punkt P ist,
bezüglich der beiden Körper.
Das heißt, wir haben dann entsprechend die Stoßnormale, die senkrecht
zur Berührebene steht.
Also,
Stoßnormale.
Also, ich schreibe es da oben hin.
Das ist die gemeinsame Flächennormale der
berührenden Flächen.
So, dementsprechend unterscheiden wir jetzt verschiedene Arten von
Stößen.
Nämlich, wenn die Geschwindigkeit der beiden berührenden Punkte, von
Körper 1 und Körper 2,
auf einer gemeinsamen Geraden liegen, also, falls Geschwindigkeiten
der beiden Berührpunkte auf
gemeinsamen Normalen liegen.
Dann sprechen wir von einem geraden Stoß.
Andernfalls von einem schiefen Stoß.
Wenn die Stoßnormale durch die beiden Schwerpunkte geht, dann haben
wir auch einen Sonderfall vorliegen.
Also geht die Stoßnormale durch die beiden Schwerpunkte.
Dann haben wir einen zentrischen Stoß oder einen zentralen Stoß.
Oder zentraler Stoß.
Sonst einen exzentrischen Stoß.
Und wie gesagt, wenn wir so eine ganz allgemeine Stoßsituation haben,
können Sie das mit den Gleichungen, die wir dann aufstellen,
letztendlich machen.
Über die Zusatzbedingungen, die man noch braucht, dazu muss man
entsprechende Modelle machen.
Einfacher in unserem Falle wird es natürlich sein, wenn wir anstatt
von Körpern einfach mal von Massenpunkten ausgehen oder von Kugeln.
Und ganz klar, wenn zwei Kugeln stoßen, dann geht zunächst mal die
Stoßnormale immer durch die beiden Schwerpunkte.
Man hat dann immer einen zentrischen Stoß.
Je nachdem, wie die stoßen, könnte das noch ein gerader oder ein
schieferer Stoß sein.
Aber um eben das Essentielle kennenzulernen, würde ich sagen, wir
beschränken uns hier auf den Stoß von Massenpunkten, die Auswertung,
wie das dann geht, wenn starre Körper berücksichtigt werden oder
gegeneinander stoßen.
Das verlagern wir auf die Übungen.
Allerdings, wenn wir Massenpunkte oder Kugeln betrachten, jetzt müssen
wir natürlich ein bisschen aufpassen, wenn das ein gerader Stoß ist,
dann sind die Geschwindigkeiten der beiden Massenpunkte zunächst mal
oder der beiden Kugeln ja auf einer gleichen Geraden.
Das heißt, da wird es so sein, dass die Stoßkraft wirklich eine Kraft
ist, die normal auf der Berührebene steht.
Dann muss die Momentbilanz da als dritte Gleichung, die wird dann
rausfallen.
Aufpassen muss man natürlich, wenn man wirklich von Kugeln spricht und
nicht mehr von Massenpunkten.
Also bei Massenpunkten macht die Gleichung sowieso keinen Sinn, ein
Massenpunkt hat keinen Massenträgheitsmoment.
Aber wenn Kugeln vorliegen, dann kann es natürlich so sein, dass die
Stoßkraft auch eine tangentiale Komponente hat und dann könnte
natürlich direkt nach dem Stoß auch eine entsprechende
Winkelgeschwindigkeit auftreten.
Jetzt versuche ich es mal über ein anderes Netzwerk.
Weil nämlich genau dieser Effekt bei den Kugeln sehr schön
herauskommt.
Also irgendwie gibt es Verbindungsschwierigkeiten.
So,
und wenn wir von so einem Stoß zweier Kugeln oder zweier Massenpunkte
ausgehen, dann zunächst mal betrachten wir den geraden Stoß.
Das heißt, vor dem Stoß haben wir zwei Massenpunkte oder zwei Kugeln,
M1, M2.
Masse 1 hat eine Geschwindigkeit v am Anfang des Stoßes, 1.
Die Masse 2 hat eine Geschwindigkeit vor dem Stoß va2, also am Anfang
des Stoßes.
Und natürlich wird es so sein, oder muss es so sein, dass va1 größer
ist als va2, damit überhaupt was stößt.
Nun während des Stoßes berühren sich die beiden Massen.
Das heißt, die beiden Schwerpunkte liegen jetzt zwar auf einer Ebene,
aber wir werden während des Stoßes die beiden Massenpunkte
freischneiden und nach dem Stoß wird es dann so sein, dass der
Massenpunkt M1 sich mit einer Geschwindigkeit v am Ende des Stoßes 1,
beziehungsweise die Masse 2 sich mit der Geschwindigkeit v am Ende von
Masse 2 bewegt.
Das heißt, während des Stoßes
schneiden wir mal beide Massen frei.
Zum einen M1, zum anderen M2.
Zwischen den beiden wirkt eine Stoßkraft F,
die den gleichen Betrag hat bei beiden Massen, aber entgegengesetzt
gerichtet ist.
Und wir wissen, die Stoßkraft F kann zeitabhängig sein.
Den genauen Verlauf kennen wir eigentlich nicht.
Aber wir wissen,
wenn wir die Stoßkraft mal antragen,
dann fängt bei T gleich 0 in unserem Diagramm der Stoß an.
Die Stoßkraft steigt dann an.
Man hat eine sogenannte Kompressionsphase und dann eine
Restitutionsphase.
Am Ende wäre die Zeit Delta TS, am Ende des Stoßes.
Also, wir können mal unterteilen in eine Kompressionsphase und
eine Restitutionsphase.
Nennen wir das mal T-Stern.
Bis zum Ende der Kompression.
Dann ist die Fläche unter der Kurve, entspricht ja gerade dem Integral
über so einer Kraft.
Also haben wir da FK-Dach.
Rechts meinetwegen FR-Dach.
Und je nachdem, wie diese beiden Flächen aussehen, ergibt sich für den
Stoß dann entsprechend ein anderes Ergebnis.
Also, gehen wir das vielleicht noch an.
Kompressionsphase.
Das hier dann.
Restitutionsphase.
Und wenn wir z.B.
einen plastischen Stoß haben, dann gibt es gar keine
Restitutionsphase.
Also bei einem plastischen Stoß,
da gibt es dann eine Kompressionsphase, aber eben keine
Restitutionsphase.
Und da jetzt die Verbindung steht, versuchen wir das mal jetzt doch
anzuzeigen.
Moment.
Wahrscheinlich kennen Sie die Regeln sehr viel besser als ich, aber
ich meine, es müssen sich immer verschiedene Kugeln da berühren.
Wenn Sie den Ton wollen, schauen Sie mal zu Hause nach.
Wie gesagt, auf YouTube finden Sie das.
Da sieht man, das war schon ein etwas trickreicherer Stoß, den ich so
wahrscheinlich nicht vorführen könnte.
Wenn man falsch stößt, kann der durchaus mal die Billardtischfläche
verlassen.
Jetzt wird es natürlich schwer, dass man wirklich auch mehrere Bälle
trifft.
Jetzt ziehe ich dann, glaube ich, lieber den Stecker, weil das dann
immer ganze jugendfrei ist.
Der eine hat nämlich gewettet, dass er es nicht schafft und wenn er es
schafft, zieht er die Hose aus und das wollen wir hier dann nicht
sehen.
Ich meine, das Billardspielen ist jetzt nicht unbedingt die Anwendung,
die für den Maschinenbau so relevant ist.
Nichtsdestotrotz würde ich sagen, gibt es viele Anwendungen für Stöße
im Bereich Maschinenbau.
Denken Sie einfach, Sie müssen einen Nagel in ein Brett irgendwie
befestigen.
Was macht man?
Man nimmt natürlich den Hammer und wenn man draufhaut, kriegt man eine
sehr große Kraft, die letztendlich dazu führt, dass dann auch der
Nagel ins Brett reingeht.
Kompressions- und Restitutionsphase.
Nun, am Ende der Kompressionsphase wird die Geschwindigkeit gerade
Null sein.
Das heißt, wenn wir das mal für eine entsprechende Masse anschreiben,
dann heißt das Masse mal die Geschwindigkeit nach dem ersten Teil oder
nach der Kompressionsphase, die ist gerade Null, minus Geschwindigkeit
am Anfang des Stoßes, ergibt dann gerade das FK Dach und Masse mal die
Geschwindigkeit am Ende des Stoßes, minus und jetzt sind wir in der
zweiten Phase, da war die Geschwindigkeit zu Anfang der
Restitutionsphase gerade Null, gleich FR Dach und jetzt sehen wir, na
gut, wenn FR Dach sehr viel kleiner als FK Dach ist, dann wird eben
die Geschwindigkeit betragsmäßig am Ende des Stoßes sehr viel kleiner
sein als das VA.
Kommen wir wieder mit der Überlegung zu unseren stoßenden Massen M1
und M2 zurück.
Wir haben gesehen, die Stoßkraft F und T, die hängt noch von diversen
Dingen ab.
Was wir allerdings machen können ist, wir stellen die entsprechenden
Gleichungen zunächst mal auf, wir haben nur eine Bewegung in X
-Richtung, deshalb wird nur maßgeblich Integral der Stoßkraft in X
-Richtung über die Zeit gleich Masse mal Geschwindigkeit des
Massenpunktes am Ende minus Geschwindigkeit des Massenpunktes am
Anfang.
Das allerdings angewandt auf M1 und M2, das heißt für den Massenpunkt
M1 wirkt die Stoßkraft in negative horizontale Richtung, wenn wir X
nach rechts positiv annehmen und die Geschwindigkeit nach rechts
positiv, dann haben wir also Integral F von T dt mit einem
Minuszeichen integriert über den Stoß gleich Masse des Massenpunkts 1
mal V1 am Ende, wir nehmen mal an, es ist ein Massenpunkt, minus V1 am
Anfang.
Wie gesagt, in Y-Richtung, die Gleichung interessiert uns nicht und
das Moment entsprechend auch nicht, also bleibt noch, die Gleichungen
auf den Massenpunkt 2 anzuwenden, dort wirkt allerdings die Stoßkraft
F in positive Richtung, also F von T dt integriert über die Stoßdauer,
ergibt dann gerade M2 mal V2 am Ende minus V2 am Anfang des Stoßes.
Und wir sehen, jetzt haben wir drei Unbekannte, nämlich V1 am Ende, V2
am Ende und die Stoßkraft, bzw.
das Integral über die Stoßkraft.
Was wir machen können ist, wir können die Stoßkraft eliminieren, indem
wir einfach beide Gleichungen addieren.
Wenn wir beide Gleichungen addieren, steht links 0, weil sich die
Integrale gerade wegheben, rechts haben wir M1 V1 am Ende minus M1 V1
am Anfang plus M2 V2 am Ende minus M2 V2 am Anfang.
Bringen wir jeweils die Geschwindigkeiten am Anfang und am Ende auf
eine Seite, dann gilt eben M1 V1 am Anfang plus M2 V2 am Anfang muss
gerade ergeben M1 V1 am Ende plus M2 mal V2 am Ende.
Das ist eine Gleichung, die hätten wir eigentlich schon früher wissen
können, warum?
Denken Sie an den Schwerpunktsatz zurück, wenn wir die beiden, ich
nenne es mal Massenpunkte, wirklich als Massenpunktsystem betrachten,
dann hätten wir gesagt, Kräfte zwischen den Massenpunkten, die spielen
für die Bewegung des Schwerpunktes keine Rolle, also gilt schon
aufgrund des Schwerpunktsatzes, dass M1 V1 A plus M2 V2 A gerade sein
muss, der rechten Seite, weil eben die Stoßkraft in dem Fall eine
innere Kraft ist.
Das heißt, wir haben das Ganze jetzt reduziert auf eine Gleichung,
allerdings mit den zwei unbekannten V1 E und V2 E.
Und jetzt haben wir mehrere Möglichkeiten, was Sie vielleicht schon
kennen, das ist der vollelastische Stoß oder der idealplastische Stoß.
Beim idealplastischen Stoß, man denke immer an Knete, da bewegen sich
die beiden Punkte, oder in dem Fall die beiden Massenpunkte, eben nach
dem Stoß mit derselben Geschwindigkeit, weil die auch nach dem Stoß
zusammenkleben.
Dann hat man also die Bedingung V1 E gleich V2 E.
Bei einem idealelastischen Stoß oder vollelastischen Stoß, da setzen
wir voraus, dass während des Stoßes keine mechanische Energie verloren
geht.
Mechanische Energie verloren heißt, sie würde in Wärme umgewandelt,
dann ist sie für die Mechanik verloren.
Die Energie bleibt ja immer erhalten.
Das bedeutet aber bei uns, da sich die Lage der beiden Körper- oder
Massenpunkte während des Stoßes aufgrund unserer Annahme nicht ändert,
ist die potentielle Energie vor und nach dem Stoß dieselbe.
Also das Einzige, was sich ändern könnte, wäre die kinetische Energie
während des Stoßes.
Wenn wir sagen, es gilt die Erhaltung der mechanischen Energie, dann
müsste die kinetische Energie vor dem Stoß und die kinetische Energie
nach dem Stoß gleich sein.
Zwischen beiden Fällen ist jetzt die Frage, wie kann man das am besten
charakterisieren.
Und da kommt eben die Stoßzahl, wir nennen sie Epsilon, ins Spiel.
Also, ich schreibe mal dazu, zwei Unbekannte,
eine Gleichung.
Das heißt, wir brauchen eine Zusatzannahme für
den realen Stoß.
Und zwar führen wir die Stoßzahl Epsilon ein.
In der Form, dass Epsilon gerade entspricht der Trenngeschwindigkeit.
Das ist die Differenz der Geschwindigkeiten am Ende des Stoßes.
Dividiert durch die relative Annäherungsgeschwindigkeit.
Das ist die Differenz der Geschwindigkeiten vor dem Stoß.
Nun, am Ende des Stoßes, wenn wir mal die beiden Massenpunkte
betrachten, wird es natürlich so sein, dass VE2 größer ist als VE1.
Wollen wir die Geschwindigkeiten da oben.
Das heißt, insgesamt wird es was Negatives ergeben.
Die Annäherungsgeschwindigkeit, die relative, da haben wir gesagt, VA1
muss größer sein als VA2, damit überhaupt ein Stoß stattfindet.
Also würde es was Negatives ergeben, damit sich was Positives ergibt,
dann noch entsprechend das Minuszeichen.
Also schreiben wir es dazu.
Relative Trenngeschwindigkeit und dividiert durch die relative
Annäherungsgeschwindigkeit.
Im Grunde genommen ist das jetzt eine zusätzliche lineare Gleichung
für die Geschwindigkeiten am Ende, VE1 und VE2.
Also wie so eine Art kinematische Bedingung.
Also eine zusätzliche lineare Gleichung für
VE1 und VE2.
Und das Epsilon, die Stoßzahl, ist natürlich abhängig.
Und ganz klar, ich habe schon erwähnt, Springball und Knete.
Also vom Material,
Stahl, Stahl wird eine größere Stoßzahl haben, als, was weiß ich, Holz
gegen Holz wahrscheinlich.
Glas hat vielleicht auch eine relativ hohe Stoßzahl.
Das Material der Billardkugeln entsprechend auch.
Aber für den Körper, also für Massenpunkte, die haben keine
Ausdehnung, da kann eigentlich das Epsilon nur vom Material abhängen.
Wenn man jetzt an Körper denkt, dann wissen wir, wenn die Körper sich
berühren und eine Stoßkraft in der Berührzone vorliegt, gut, dann
haben wir auch streng genommen nicht nur Berührung in einem Punkt,
sondern es wird irgendwie deformiert, es gibt so eine kleine
Stoßfläche.
Die Kräfte führen dann zu Wellenausbreitungen.
Das heißt, es laufen elastische Wellen in die beiden Körper rein.
Die elastischen Wellen, die werden dann an den Rändern des Körpers
reflektiert.
Das kann man sich vorstellen, wenn beim einen Körper die reflektierten
Wellen schon wieder in der Berührfläche sind, dann werden die
entsprechend dort zu Stoßkräften führen, sich vielleicht die Körper
schon wieder separieren, während beim anderen Körper die Wellen noch
gar nicht reflektiert sind.
Also letztendlich hängt das Epsilon, wenn man das so betrachtet, auch
von der Form des Körpers ab.
Und eventuell von der Form des Körpers.
Bei unserem Anwendungsfall, wie gesagt, wenn wir von Massenpunkten
ausgehen, wird es nur vom Material abhängen.
Nun, das Epsilon liegt dann zwischen 0, das wird gerade dem
vollplastischen Stoß entsprechen, wenn nämlich die beiden
Geschwindigkeiten nach dem Stoß identisch sind, dann ist Epsilon
gleich 0.
Und dem vollelastischen Stoß, das müssten wir natürlich jetzt erst
zeigen, aber wir werden es später dann noch sehen, das entspricht
gerade Epsilon gleich 1.
Also, zunächst mal der vollelastische Stoß,
Epsilon gleich 1.
Wir haben gesagt, vollelastischer Stoß heißt auch Erhaltung der
kinetischen Energie, also muss die Änderung an kinetischer Energie,
kinetische Energie vor dem Stoß, minus kinetische Energie nach dem
Stoß, muss 0 sein.
In
unserem Falle war das gerade,
da machen wir es vielleicht getrennt, T kinetisch vor dem Stoß, das
war die Summe der kinetischen Energien der beiden Massen, also M1
halbe, V1 am Anfang des Stoßes zum Quadrat, plus M2 halbe, V2 am
Anfang zum Quadrat, entsprechend die kinetische Energie nach dem Stoß,
als Summe der kinetischen Energien, also M1 halbe, V1 am Ende des
Stoßes zum Quadrat, plus M2 halbe, mal V2 am Ende des Stoßes zum
Quadrat.
Ein anderer Sonderfall, wie gesagt,
der Vollplastische Stoß,
mit Epsilon gleich 0, das heißt, die Geschwindigkeiten VE1 und VE2,
die sind gleich,
dann gilt eben VE1 gleich VE2 gleich VE,
und wie gesagt, Vollelastischer Stoß haben wir jetzt eine
Zusatzgleichung im Prinzip für das Quadrat der Geschwindigkeiten, hier
Vollplastischer Stoß haben wir eine Zusatzbedingung, die wir direkt
einsetzen könnten, in unsere Gleichung aus dem Schwerpunktsatz im
Grunde genommen.
Wenn wir die Gleichung für die Stoßzahl und die aus den Impulsbilanzen
gewonnene Gleichung nehmen, dann haben wir zwei Gleichungen, jeweils
linear in VE1 und VE2, und Sie wissen, das können wir lösen, also mit
Stoßzahl Epsilon haben wir jetzt zwei lineare Gleichungen für VE1 und
VE2, die aufzulösen, das spare ich mir, das können Sie mal mit Mabel
versuchen nachzuvollziehen, als Ergebnis erhalten wir V1 am Ende zu M1
VA1 plus M2 VA2 minus Epsilon M2 mal VA1 minus VA2 Und das Ganze noch
dividiert durch die Summe der beiden Massen, also m1 plus m2.
Für die Geschwindigkeit von Massenpunkt 2 am Ende des Stoßes, V e2
erhalten wir entsprechend m1 V a1 plus m2 V a2 plus Epsilon mal m1 mal
V a1 minus V a2
Dividiert durch die Summe der beiden Massen, M1 plus M2.
Das heißt für unsere beiden Grenzfälle,
für Epsilon gleich 0, den plastischen Stoß, da gilt jetzt VE1 gleich
VE2 gleich VE, ergibt sich zu M1 VA1 plus M2 VA2, dividiert durch M1
plus M2.
Und für den anderen Grenzfall, Epsilon gleich 1, den elastischen Stoß,
da erhalten wir die Geschwindigkeit von Masse 1 am Ende des Stoßes zu
2M2 VA2 plus Und jetzt kommt m1 minus m2 mal Va1 dividiert durch m1
plus m2.
Und für Ve2 entsprechend 2m1 Va1 plus m2 minus m1 mal Va2 Sonderfall
dividiert durch M1 plus M2,
sodass wenn wir den Sonderfall betrachten, wie der ja näherungsweise
beim Billardspiel, der Fall ist nämlich gleiche Massen,
also Sonderfall gleiche Massen, das heißt M1 gleich M2 gleich M, dann
sehen wir VE1 ergibt dann gerade 2 mal M mal VA2 plus, nun die
Differenz ergibt Null, also 2MVA2 dividiert durch 2M gibt also gerade
VA2.
Für VE2 ergibt sich entsprechend M2 minus M1 ergibt Null, fällt also
weg.
2 mal M mal VA1 dividiert durch 2M, also gerade VA1, das heißt der
Massenpunkt 1 nach dem Stoß nimmt die Geschwindigkeit des
Massenpunktes 2 vor dem Stoß an und entsprechend der Massenpunkt 2
bewegt sich nach dem Stoß wie der Massenpunkt 1 vor dem Stoß, also im
Grunde genommen Geschwindigkeitsaustausch.
Gibt es dazu Fragen?
Und wenn wir durch unsere zusätzlichen Bedingungen für die Stoßzahl
Epsilon, bzw.
für die Geschwindigkeiten aufgrund der Stoßzahl Epsilon die
Geschwindigkeiten VE1 und VE2 bestimmt haben, dann können wir das in
die Bilanz der kinetischen Energie einsetzen.
Also, Verlust an mechanischer Energie,
das Delta T, wie gesagt, einfach einsetzen und von Maple ausrechnen
lassen, ergibt dann 1 minus Epsilon Quadrat halbe, dann haben wir M1
M2 dividiert durch M1 plus M2 und dann haben wir VA1 minus VA2 zum
Quadrat und wir sehen, das Ganze wird maximal, wenn Epsilon gerade
Null wird, also Delta T maximal für Epsilon gleich Null,
dann nämlich Delta T gleich 1 halb M1 M2 dividiert durch M1 plus M2
mal der Differenz der Geschwindigkeiten vor dem Stoß zum Quadrat
Und, na gut, gehen wir es noch an für den plastischen Stoß eben.
Und Delta T wird eben gerade 0, wenn Epsilon Quadrat gleich 1 ist,
also Epsilon gleich 1.
Das heißt, für den elastischen Stoß.
Gibt es soweit noch Fragen?
Machen wir mal ein Beispiel.
In der heutigen Zeit, wo es die Hochgeschwindigkeitskameras gibt, ist
es vielleicht nicht mehr ganz so dringend.
Früher hatte man diese Möglichkeit nicht.
Und wenn man jetzt die Geschwindigkeit einer Gewehrkugel oder eines
Geschosses bestimmen wollte, was musste man machen?
Nun, da gab es das sogenannte ballistische Pendel.
Ballistisches Pendel.
Das heißt, was will man damit machen?
Man will die Geschossgeschwindigkeit messen.
Also, zur Messung der Geschossgeschwindigkeit.
Das heißt, man hat ein Pendel.
Wir nehmen mal an, es sei ein mathematisches Pendel.
Nun, wenn es ein physikalisches Pendel ist, ist die Vorgehensweise
ganz analog.
Für uns wird es dadurch vielleicht ein bisschen leichter.
Das heißt, das Pendel hängt zunächst mal vertikal nach unten.
Das Pendel hat die Länge L.
Die Masse M2.
Und das Pendel hat jetzt so eine Beschaffenheit, dass wenn man da eine
Gewehrkugel reinschießt, dass die darin stecken bleibt.
Das heißt, zunächst hat man so ein Geschoss M1, das sich eben mit
einer Geschwindigkeit VA1 auf das Pendel zubewegt.
Das Pendel trifft, im Pendel stecken bleibt.
Das Ganze passiert in einer sehr, sehr kurzen Zeit.
Das heißt, man hat letztendlich einen Stoß, einen plastischen Stoß, Y
gleich 0.
Danach, wenn die Kugel im Pendel drin steckt, hat das Gesamtsystem aus
Pendel und Kugel eine Geschwindigkeit, bewegt sich dann pendelnd nach
rechts, aufgrund der Schwerkraft gibt es irgendwo einen Umkehrpunkt
und wenn man den Umkehrpunkt misst, kann man eben zurückschließen auf
die Geschossgeschwindigkeit.
Und das ist das, was wir jetzt machen wollen.
Also letztendlich, man hat dann irgendwann den Winkel V0, den
Pendelausschlag, bis zu der eben das Pendel inklusive der Gewehrkugel
ausschwingt.
Das ist also jetzt M1 plus M2 und am Umkehrpunkt hat man eben die
Geschwindigkeit 0.
Aufgrund des plastischen Stoßes wissen wir, es gilt, V am Ende ist
gerade M1 mal VA1, also M1 VA1, VA2, die Geschwindigkeit des Pendels,
wenn das vertikal nach unten hängt und in Ruhe ist, ist 0, dividiert
durch M1 plus M2.
So, und wenn wir jetzt den Energiesatz anwenden, um den maximalen
Winkel zu bestimmen, dann müssen wir eben beachten,
dass wenn wir das so anschreiben, T0 plus V0 gleich T1 plus V1, dann
ist meinetwegen das T0 die kinetische Energie bei V gleich 0, V0 die
potenzielle Energie bei V gleich 0.
Jetzt haben wir die nächste Schwierigkeit, wir müssen irgendwo ein
Nullniveau festlegen für die Schwerkraft.
Das heißt, wir legen das am besten fest bei
V gleich 0, also hier unten haben wir dann irgendwo das Nullniveau.
Wenn wir da unten das Nullniveau festlegen, dann ist eben V0 gleich 0
und die
potenzielle Energie beim Winkel V0, das ist dann die potentielle
Energie V1, die ist dann gerade Masse von Pendel und Geschoss, also M1
plus M2 mal G, das ist das Gewicht, mal der Höhe der beiden Massen
über dem Nullniveau und die Höhe über dem Nullniveau, da seht man es
gerade, L mal 1 minus Cosinus V0.
Die kinetische Energie am Punkt 0 unten, jetzt müssen wir auffassen,
das ist nicht die kinetische Energie, die das Geschoss am Anfang
hatte, sondern das ist die kinetische Energie direkt nach dem Stoß.
Während des Stoßes wird ja mechanische Energie verbraucht, weil ein
plastischer Stoß vorliegt.
Die kinetische Energie direkt nach dem Stoß, die beträgt ein Halbmal
Gesamtmasse aus Pendel und Kugel, also M1 plus M2 multipliziert mit
der Geschwindigkeit von M1 und M2 direkt nach dem Stoß zum Quadrat,
das ist also gerade M1 V A1 dividiert durch M1 plus M2 zum Quadrat und
die kinetische Energie bei Phi gleich Phi Null.
Am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit Null, also ist die kinetische
Energie dort Null.
Das heißt, wenn wir das einsetzen, ergibt sich zunächst mal T Null
plus V Null, das ist ein Halb.
Und jetzt haben wir M1 Quadrat.
Ein M1 plus M2 kürzt sich mit einem M1 plus M2 im Nenner, also
dividiert durch M1 plus M2 mal V A1 Quadrat.
V Null ist Null, gleich T1, das ist Null, plus V1, das ist also gerade
M1 plus M2 mal G mal L mal 1 minus Cosinus Phi Null.
Oder, was wir wissen wollen, ist V A1 beziehungsweise V A1 Quadrat.
Zunächst mal erhalten wir V A1 Quadrat, ergibt, jetzt müssen wir mit
M1 plus M2 multiplizieren, durch M1 Quadrat dividieren.
Ergibt also M1 plus M2 dividiert durch M1 in Klammer zum Quadrat,
multipliziert mit dem Faktor 2 mal G mal L mal 1 minus Cosinus Phi
Null.
Sodass, wenn wir das Ganze auflösen nach V A1, sich ergibt V
A1 gleich, jetzt müssen wir rechts die Wurzel ziehen, das ergibt M1
plus M2 dividiert durch M1,
das malt der Wurzel aus 2 GL 1 minus Cosinus Phi Null und wir sehen,
wenn wir das Phi Null messen, können wir daraus wirklich letztendlich
die Geschwindigkeit bestimmen, welche das Geschoss direkt vor dem Stoß
hatte.
Gibt es dazu Fragen?
Wenn nicht, dann noch der schiefe zentrale Stoß,
wobei, wenn wir wieder Massenpunkte betrachten, wir uns beschränken
können auf die Impulsbilanzen.
Wie gesagt, die Drallbilanz spielt dann keine Rolle.
Das heißt, ich zeichne mal die Situation während des Stoßes an.
Wir wählen die X-Achse als Stoßnormale.
Y-Achse senkrecht dazu, dann fällt es uns ein bisschen leichter.
Und die Geschwindigkeit der Massenpunkte oder der Kugeln,
die verlaufen dann entsprechend schief.
Also, ich deute das mal so an.
Wir haben die Geschwindigkeiten VA1 bzw.
VA2, die wir, weil wir jetzt X- und Y-Achse festgelegt haben durch die
Berührebene bzw.
durch die Stoßnormale, natürlich auch ausdrücken können über die
entsprechenden Geschwindigkeiten.
VA1x bzw.
VA1y bzw.
VA2x bzw.
VA2y.
Nun, nach dem Stoß werden sich die beiden Massenpunkte dann irgendwie
auf anderen Geraden bewegen.
Auf welchen Geraden, das wissen wir im Grunde genommen nicht.
Das heißt, man hat hier irgendwo Massenpunkt 2 bzw.
Massenpunkt 1 mit entsprechenden Geschwindigkeiten VE2 bzw.
VE1.
Und VE1 bzw.
VE2 können wir wieder in die entsprechenden Komponenten, ich mache es
jetzt auf der Zeichnung nicht, in X- und Y-Richtung zerlegen.
Wenn wir die beiden Massenpunkte während des Stoßes freischneiden und
mal annehmen, dass ein glatter Stoß vorliegt, dann haben wir eben eine
Stoßkraft, F von T nach links bzw.
F von T nach rechts.
Wie gesagt, ein glatter Stoß, keine Reibung.
Dann ergeben sich aus den Impulsbilanzen nun zunächst mal in
horizontaler Richtung für Massenpunkt 1 Minus Integral F von T dt
gleich M1 mal VE1 in X-Richtung minus VA1 in X-Richtung.
Das war die Differenz der Geschwindigkeiten nach und vor dem Stoß.
Für Massenpunkt 2 wirkt die Stoßkraft in positive Richtung, also
Integral F von T dt, integriert über die Stoßdauer lasse ich mal weg,
ergibt dann in dem Falle M2 mal VE2X
und für die Y-Richtung ganz analog,
da haben wir Stoßkraft in vertikaler Richtung gleich 0, also 0 gleich
M1 mal VE1Y minus VA1Y und für den Massenpunkt 2 dann ebenfalls 0
gleich M2 mal VE2 in Y-Richtung.
Minus VA2 in Y-Richtung.
Die ersten beiden Gleichungen, da sehen wir wieder, wenn wir die
addieren, haben wir zwei Gleichungen, zwei unbekannte, VE1X bzw.
VE2X.
Da bräuchten wir noch eine entsprechende Stoßzahl, dann haben wir
wieder das gewohnte Bild.
Wie sieht es aus in Y-Richtung?
Da scheint es ein bisschen einfacher zu sein.
Da links die Null steht, gilt sofort VE1Y gleich VA1Y, also die
Geschwindigkeit von Massenpunkt 1 in vertikaler Richtung hat sich
nicht geändert.
Dasselbe gilt für M2.
Auch dort hat sich die Geschwindigkeit in Y-Richtung nicht geändert.
Jetzt ist die Frage, warum brauchen wir in X-Richtung die Stoßzahl und
warum in Y-Richtung nicht?
Was könnte der Grund sein?
In Y-Richtung.
Ja, das ist aber nicht ganz der Grund.
Warum?
Nun, ich habe gesagt, wenn wir die Impulsbilanzen anschauen, dann
brauchen wir im Grunde genommen zwei zusätzliche Bedingungen.
Eine Bedingung war über die Stoßzahl.
Die zweite Bedingung, die habe ich Ihnen jetzt ein bisschen
untergejubelt.
An welcher Stelle?
Und ich hatte gesagt, dass ein glatter Stoß vorliegen soll.
Moment, ich müsste eigentlich hier reinschreiben.
Glatter Stoß.
Das heißt, ich habe keine Reibung zwischen den Körpern.
Das heißt, die Kraft, die Stoßkraft in vertikaler Richtung, die muss
wirklich null sein.
Wenn kein glatter Stoß vorliegt, denken Sie an den kleinen Film, dann
wird es natürlich so sein, dass auch durchaus eine Kraft in vertikaler
Richtung wirken kann und wir brauchen dann entsprechend eine andere
Zusatzannahme.
Also wie gesagt, ich habe Ihnen eine Zusatzannahme jetzt
untergeschoben.
Wenn wir die wieder wegnehmen wollen, dann brauchen wir irgendeine
andere Bedingung.
Gibt es dazu noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der heutigen Vorlesung anbelangt.
Vielen Dank.