WEBVTT

00:08.500 --> 00:15.740
Ich darf Sie recht herzlich begrüßen zur ersten Vorlesung in TM4,

00:16.060 --> 00:18.180
dieses Jahr leider in der Vorosterwoche.

00:22.060 --> 00:28.080
Leider auch in diesem Jahr das Dynamics Lab nicht relativ am Anfang

00:28.080 --> 00:31.000
des Semesters, sondern eher mittendrin.

00:31.900 --> 00:36.500
Die Aufgabe des Dynamics Lab, die müsste eigentlich so langsam online

00:36.500 --> 00:36.780
stehen.

00:36.940 --> 00:41.960
Denken Sie daran, dass Sie da schon einen nicht unerheblichen

00:41.960 --> 00:44.300
Zeitaufwand haben, das zu lösen.

00:46.540 --> 00:55.100
Machen Sie das auch relativ frühzeitig, damit Sie das quasi als

00:55.100 --> 01:01.300
Wiederholung von TM3 auch für die Vorlesung und die Übungen in TM4

01:01.300 --> 01:02.080
benutzen können.

01:04.260 --> 01:09.880
Und ansonsten sind wir natürlich durch die Kürze der Vorlesungszeit,

01:09.960 --> 01:14.160
das Semester geht ja bis Ende September offiziell, aber die

01:14.160 --> 01:21.580
Vorlesungszeit sind eben nur, wenn ich es noch einige Feiertage darin,

01:23.000 --> 01:31.340
so dass für die TM4 der Dienstag sieht noch relativ gut aus.

01:31.520 --> 01:36.060
Montags und Donnerstags sind im Sommersemester Tage, bei denen man

01:36.060 --> 01:37.220
relativ viel verliert.

01:37.780 --> 01:41.840
Aus diesem Grund haben wir am heutigen Tag auch im Anschluss an die

01:41.840 --> 01:44.180
Vorlesung schon die erste Übung.

01:45.120 --> 01:49.460
Jetzt muss ich mal fragen, wer ist neu hinzugekommen in diesem

01:49.460 --> 01:51.620
Semester bei der TM4?

01:53.720 --> 01:56.100
Niemand, dann muss ich mich auch nicht groß vorstellen.

01:57.220 --> 02:01.280
Was ich allerdings die ersten paar Vorlesungen zumindest wieder mache,

02:01.600 --> 02:06.560
ist, Sie wissen, die Vorlesungen werden aufgezeichnet, die werden

02:06.560 --> 02:09.940
gefilmt von da hinten, da steht die Kamera, die läuft.

02:12.220 --> 02:16.260
Studentinnen und Studenten, die in gewissen Bereichen des Hörsaals

02:16.260 --> 02:19.660
sitzen, laufen Gefahr, mit ins Bild zu kommen.

02:20.900 --> 02:23.840
Wir veröffentlichen das Ganze weltweit.

02:24.240 --> 02:27.940
Wenn Sie nicht wollen, dass Sie im Bild erscheinen, werden Sie deshalb

02:27.940 --> 02:31.880
gebeten, sich nach hinten oder zur Seite zu setzen.

02:33.720 --> 02:36.040
Ich denke, dass das aber den meisten egal ist.

02:43.020 --> 02:47.060
Was haben wir in der TM3 bisher alles gemacht?

02:47.960 --> 02:52.200
Ich nehme an, Sie haben jetzt zwar eine relativ lange Zeit keine

02:52.200 --> 02:56.580
Vorlesung gehabt, aber doch nichts für die TM3, TM4 gemacht.

02:58.180 --> 03:02.380
Erfahrungsgemäß ist der Stoff von TM3 dann nicht mehr ganz so präsent,

03:02.820 --> 03:06.600
deshalb vielleicht in ein paar kurzen Worten, was war eigentlich der

03:06.600 --> 03:08.540
Inhalt von TM3?

03:09.480 --> 03:14.720
Zunächst mal hatten wir die Kinematik bei der Bewegung eines Punktes

03:14.720 --> 03:16.280
beschrieben.

03:16.720 --> 03:25.280
Ein Punkt bewegt sich im Raum, das heißt, wir

03:35.670 --> 03:40.710
legen dann irgendwo ein Koordinatensystem fest und ermitteln den

03:40.710 --> 03:44.290
Ortsvektor vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt.

03:45.010 --> 03:47.630
Geschwindigkeit und Beschleunigung erhalten wir dann durch

03:47.630 --> 03:48.530
Differentiation.

03:50.090 --> 03:53.670
Das ist in kathesischen Koordinaten relativ einfach.

03:54.110 --> 03:56.990
Wir haben gesehen, wir müssen nicht unbedingt kathesische Koordinaten

03:56.990 --> 04:00.890
nehmen, es genügt auch oder wir können auch durchaus, wenn das

04:00.890 --> 04:05.570
vielleicht problemangepasster ist, im Bezugssystem, also zunächst mal

04:05.570 --> 04:09.270
im Inertialsystem, ein zylindrisches Koordinatensystem oder ein

04:09.270 --> 04:13.350
Kugelkoordinatensystem irgendwie einführen oder vielleicht auch

04:13.350 --> 04:18.750
natürliche Koordinaten und erhalten so, wie gesagt, durch

04:18.750 --> 04:21.730
Differentiation Geschwindigkeit und Beschleunigung.

04:22.370 --> 04:27.050
Der Kollege Gratzfeld hat mir mal aufgetragen, bei Bahnsystemen ist

04:27.050 --> 04:28.550
auch ganz wichtig der Ruck.

04:29.030 --> 04:32.830
Der Ruck, der entspricht dann der Ableitung der Beschleunigung.

04:33.230 --> 04:36.330
Das brauchen wir auf der mechanischen Seite nicht, das braucht aber

04:36.330 --> 04:42.930
der Kollege Gratzfeld durchaus bei der Komfortfrage und natürlich,

04:43.190 --> 04:46.970
wenn wir vielleicht mit dem Auto oder mit dem Fahrrad in eine Kurve

04:46.970 --> 04:52.230
fahren, auch da hat der Ruck eine gewisse Rolle oder spielt eine

04:52.230 --> 04:52.730
gewisse Rolle.

04:53.890 --> 04:58.050
Wenn Sie auf die Kurve zusteuern, dann wissen Sie, ja gut, irgendwann

04:58.050 --> 05:01.390
in der Kurve gibt es eine Querbeschleunigung und wenn wir jetzt die

05:01.390 --> 05:05.290
Kurve so ausführen, dass ein Geradenstück kommt und danach ein

05:05.290 --> 05:08.870
Kreisbogen, dann hat man zunächst auf dem Geradenstück keine

05:08.870 --> 05:09.750
Querbeschleunigung.

05:10.490 --> 05:16.110
Plötzlich, wenn der Kreisbogen kommt, springt die Querbeschleunigung

05:16.110 --> 05:17.490
auf einen gewissen Wert hoch.

05:18.270 --> 05:23.710
Angenommen, wir fahren mit einer konstanten Geschwindigkeit und man

05:23.710 --> 05:27.450
kann sich relativ leicht vorstellen, wenn wir jetzt die

05:27.450 --> 05:29.970
Querbeschleunigung auch noch ändern.

05:32.230 --> 05:35.510
Geübte Fahrer können das mal auf einem Parkplatz ausprobieren, einfach

05:35.510 --> 05:39.750
fahren und die Querbeschleunigung durch Bewegen des Lenkrades stetig

05:39.750 --> 05:43.770
ändern, dann merkt man, dass die Ableitung der Beschleunigung durchaus

05:43.770 --> 05:47.290
auch im wirklichen Leben eine gewisse Rolle spielt, weil dann das

05:47.290 --> 05:48.530
Ganze aufschaukeln kann.

05:49.150 --> 05:51.390
Bedingt noch durch die Bauart des Fahrzeugs.

05:53.930 --> 05:58.510
Wir hatten auch noch bewegte Bezugssysteme eingeführt.

05:59.590 --> 06:00.350
Was heißt das?

06:00.990 --> 06:05.610
Nun, das sind Bezugssysteme, die kein Inertialsystem sind, aber in

06:05.610 --> 06:09.410
denen sich die Bewegung eines Punktes oder dann vielleicht später

06:09.410 --> 06:11.990
eines Körpers sehr leicht beschreiben lässt.

06:12.670 --> 06:16.690
Wichtig jedoch für die Mechanik sind immer die Ableitungen im

06:16.690 --> 06:17.490
Inertialsystem.

06:18.970 --> 06:21.910
Das haben wir dann auch bei der Kinetik zunächst mal angenommen.

06:22.070 --> 06:27.230
Wir haben ein Inertialsystem und wenn wir ein Inertialsystem haben,

06:27.330 --> 06:30.310
dann gilt für den Massenpunkt, dass die Summe aller am Massenpunkt

06:30.310 --> 06:37.250
angreifenden Kräfte gerade der Beschleunigung des Massenpunktes

06:37.250 --> 06:39.570
multipliziert mit der Masse des Massenpunktes entspricht.

06:40.690 --> 06:44.130
Der Drallsatz selbst gibt für den Massenpunkt keine weitere

06:44.130 --> 06:48.710
Information, wenn wir allerdings ein System von Massenpunkten haben,

06:50.070 --> 06:51.550
dann wird es ein bisschen komplizierter.

06:52.290 --> 06:57.050
Das System von Massenpunkten bewegt sich so, dass der Schwerpunkt sich

06:57.050 --> 07:02.430
so bewegt, wie wenn alle am System angreifenden äußeren Kräfte am

07:02.430 --> 07:08.550
Schwerpunkt angreifen und beim Massenpunktsystem braucht man unter

07:08.550 --> 07:10.130
Umständen schon den Drallsatz.

07:11.910 --> 07:14.490
Lediglich für den Sonderfall, dass die Kräfte zwischen den

07:14.490 --> 07:17.550
Massenpunkten immer in Richtung der Verbindungsgeraden zwischen den

07:17.550 --> 07:22.070
Massenpunkten liegen, liefert der Drallsatz keine neue Information,

07:22.310 --> 07:23.570
braucht man auch kein neues Axiom.

07:24.730 --> 07:26.310
Dann haben wir das noch weiter gesteigert.

07:26.310 --> 07:32.430
Wir haben den starren Körper betrachtet, der macht eine Translation

07:32.430 --> 07:36.370
plus eine Rotation und wir haben aber den ganz leichten Fall

07:36.370 --> 07:42.310
herausgegriffen, dass eben eine ebene Bewegung vorliegt, sprich die

07:42.310 --> 07:49.070
Winkelgeschwindigkeit des Körpers ist ein Vektor, der zwar den Betrag

07:49.070 --> 07:53.350
ändert, aber nicht die Richtung, also in dem Fall wäre das vielleicht

07:53.350 --> 07:57.710
eine Bewegung hier angedeutet, die Winkelgeschwindigkeit ist dann ein

07:57.710 --> 08:02.610
Vektor, der senkrecht auf der Bewegungsebene steht und alle Punkte des

08:02.610 --> 08:07.030
Körpers bewegen sich in Ebenen, die parallel zueinander sind und die

08:07.030 --> 08:09.130
senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit stehen.

08:09.810 --> 08:13.910
Und da gibt es dann auch Translation und Rotation, wobei wir

08:13.910 --> 08:20.030
herausgefunden haben, bei einer ebenen Bewegung, da kann man immer den

08:20.030 --> 08:26.690
Momentanpol irgendwo finden, das ist der Punkt, um den momentan der

08:26.690 --> 08:31.210
Körper rotiert, da kann auch mal beispielsweise eine Translation

08:31.210 --> 08:36.450
irgendwo im Unendlichen liegen, ansonsten liegt der ja irgendwo im

08:36.450 --> 08:44.530
Raum und wenn wir alle Momentanpole als Punkte des Raumes verbinden,

08:44.650 --> 08:51.790
dann erhalten wir die Rastpolbahn und wenn wir alle Punkte des

08:51.790 --> 08:55.770
Körpers, müssen wir das ein bisschen verallgemeiner betrachten, das

08:55.770 --> 09:00.210
sind nicht unbedingt Punkte, die genau auf dem Körper liegen müssen,

09:00.290 --> 09:02.470
die können auch ein bisschen außerhalb des Körpers liegen, aber wir

09:02.470 --> 09:06.370
nehmen an, dass die in dem Bezugssystem Körper dann beschrieben

09:06.370 --> 09:08.510
werden, das ergibt dann die Gangpolbahn.

09:12.050 --> 09:16.970
Und bei der Kinetik haben wir gesehen, für die Translationsbewegung,

09:17.090 --> 09:20.410
da wird wichtig, die Summe der angreifenden Kräfte auf den Körper

09:20.410 --> 09:24.350
entspricht gerade der Masse des Körpers mal der Beschleunigung, jetzt

09:24.350 --> 09:27.390
müssen wir aber aufpassen, weil jeder Punkt des Körpers eine andere

09:27.390 --> 09:30.270
Beschleunigung hat, also mal der Beschleunigung des Schwerpunktes.

09:31.290 --> 09:34.690
Und bei der Drehbewegung, auch da haben wir es relativ einfach,

09:35.410 --> 09:41.010
wichtig wird dann die Momentbilanz um eine Achse in Richtung der

09:41.010 --> 09:45.190
Winkelgeschwindigkeit, also senkrecht zur Bewegungsebene und da haben

09:45.190 --> 09:52.910
wir gesehen, da wird das Massenträgheitsmoment wichtig und wenn wir

09:52.910 --> 09:57.230
einen Punkt haben, fest im Raum, um den der Körper dreht, zum Beispiel

09:57.230 --> 10:01.470
bei einem Pendel, dann machen wir eine Momentbilanz um diesen Punkt

10:01.470 --> 10:04.850
und brauchen auch das Massenträgheitsmoment bezüglich dieses Punktes,

10:05.350 --> 10:09.390
wenn das eine Bewegung ist, ganz allgemein, mit Translation und

10:09.390 --> 10:13.490
Rotation, dann liegt es nahe, immer den Schwerpunkt wieder zu

10:13.490 --> 10:19.090
verwenden, also praktisch den Trailsatz bezüglich des Schwerpunktes

10:19.090 --> 10:19.790
auszuwerten.

10:21.590 --> 10:24.810
Ganz zum Schluss hatten wir noch kinetische Energie von so einem

10:24.810 --> 10:28.810
starren Körper, auch das war sehr einfach, bei einer ebenen Bewegung,

10:28.870 --> 10:32.690
nämlich eine halbe Masse mal, und jetzt wieder aufpassen,

10:33.130 --> 10:38.930
Geschwindigkeit des Schwerpunktes zum Quadrat, plus ein halbes Mal

10:38.930 --> 10:42.710
Massenträgheitsmoment, und auch da wieder wichtig, bezüglich des

10:42.710 --> 10:47.210
Schwerpunktes mal der Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat, und

10:47.210 --> 10:50.390
Winkelgeschwindigkeit in dem Fall zum Quadrat, können wir sagen, weil

10:50.390 --> 10:54.210
ja die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors immer konstant

10:54.210 --> 10:59.230
bleibt und sozusagen die skalare Größe Omega dann ausreicht, um das zu

10:59.230 --> 10:59.630
beschreiben.

11:00.610 --> 11:02.350
Gibt es soweit Fragen?

11:04.470 --> 11:07.170
Und was ich jetzt ganz zum Schluss weggelassen habe, das waren die

11:07.170 --> 11:11.650
Stoßprobleme, das war nur so eine Anwendung, mehr oder weniger, und

11:11.650 --> 11:15.870
auch Systeme mit Massenzu- oder Abfuhr, die sind mal ganz lustig,

11:16.410 --> 11:20.550
durchaus wichtig in der Technik, aber letztendlich haben die nichts

11:20.550 --> 11:27.850
damit zu tun, ob der Körper, eine ebene Bewegung durchführt, oder eine

11:27.850 --> 11:28.750
allgemein räumliche.

11:29.870 --> 11:35.410
Und jetzt wenden wir uns der allgemeinen Bewegung zu,

11:41.580 --> 11:44.460
kommen also zu Systemen starrer Körper,

11:58.220 --> 12:04.940
und dazu, bevor wir wirklich Systeme von Körpern betrachten, weder der

12:04.940 --> 12:09.400
Einzelkörper, allerdings jetzt bei einer räumlichen Bewegung.

12:10.300 --> 12:18.180
Also zunächst mal eine allgemeinräumliche Bewegung eines

12:24.060 --> 12:47.280
Einzelkörpers, und auch da zunächst mal fangen wir wieder an mit der

12:47.280 --> 12:48.400
Kinematik.

12:57.810 --> 13:04.950
Das klingt jetzt zunächst mal sehr einfach, eine allgemeinräumliche

13:04.950 --> 13:06.430
Bewegung von einem starren Körper.

13:07.010 --> 13:11.770
Nun, im Grunde genommen, wenn der Körper sich auch dreht, führt das

13:11.770 --> 13:17.290
sehr schnell zur Kreiseltheorie, und diejenigen, die schon was mit

13:17.290 --> 13:21.010
Kreiseln zu tun hatten, die wissen, dass so ein Kreisel, der macht

13:21.010 --> 13:24.890
durchaus Dinge, die man schon auf den ersten Blick gar nicht erwartet.

13:26.010 --> 13:28.830
Daher verhält es sich manchmal ganz anders, als man das gewohnt ist.

13:30.090 --> 13:33.950
Und wie gesagt, das resultiert aus der Bewegung eines einzelnen

13:33.950 --> 13:36.130
Körpers, allerdings bei einer räumlichen Bewegung.

13:36.610 --> 13:41.510
Das Ganze wird also doch etwas komplizierter werden, als bei der

13:41.510 --> 13:42.470
Ebenenbewegung.

13:43.470 --> 13:47.070
Und wenn wir jetzt die Kinematik betrachten, da haben wir noch keine

13:47.070 --> 13:52.230
Kräfte und Momente, dann müssen wir einfach wieder Lage und

13:52.230 --> 13:55.550
Orientierung des starren Körpers betrachten.

13:57.450 --> 14:05.350
Und zwar, wenn ich so einen starren Körper habe, gut, dass der bei

14:05.350 --> 14:09.590
einer rein räumlichen Bewegung komplizierte Bewegungen machen kann,

14:09.710 --> 14:12.570
das hatte ich in einer der ersten Vorlesungen schon mal vorgeführt.

14:13.230 --> 14:16.710
Wenn ich den hochwerfe und lasse den drehen, dann sieht man, na gut,

14:17.510 --> 14:20.850
das macht eigentlich keine spektakuläre Bewegung.

14:23.010 --> 14:28.170
Allerdings, wenn ich den so drehen lasse, dann sehen zumindest die in

14:28.170 --> 14:32.750
den ersten paar Reihen, dass der, ähnlich wie so ein Turmspringer bei

14:32.750 --> 14:36.630
der Olympiade, durchaus relativ komplizierte Drehungen macht.

14:37.110 --> 14:41.430
Der dreht sich plötzlich nicht nur um die Querachse, sondern der

14:41.430 --> 14:46.250
beginnt auch zu taumeln und macht eine etwas wilde Bewegung, was er

14:46.250 --> 14:47.650
eigentlich bei dem hier nicht macht.

14:48.300 --> 14:52.670
Sie dürfen sich mal irgendwann zu Hause auch so einen ähnlichen Körper

14:52.670 --> 14:54.010
nehmen und den hochwerfen.

14:55.050 --> 14:58.610
Ich lasse das hier im Hörsaal nicht machen, aus Gefahrgründen.

15:01.230 --> 15:07.450
Und Sie werden auch feststellen, dass die Bewegung um die eine Achse

15:07.450 --> 15:12.690
und um eine entsprechende zweite Achse, die sind relativ unkritisch,

15:12.850 --> 15:17.170
nur eine der Achsen, die ist so, dass man es fast nicht hinkriegt,

15:17.650 --> 15:20.710
dass der wirklich eine geordnete Bewegung macht.

15:22.530 --> 15:25.810
Nun, dass der eine ungeordnete Bewegung macht, das ist schon wieder

15:25.810 --> 15:28.990
etwas relativ Kompliziertes, er fordert eigentlich eine

15:28.990 --> 15:33.670
Stabilitätsuntersuchung dieser vorgegebenen Bewegung, die man haben

15:33.670 --> 15:39.130
will und dann erkennt man, dass gerade die hier instabil ist, dass

15:39.130 --> 15:45.050
aber die Bewegung, wie ich sie jetzt vormache, von der zuerst

15:45.050 --> 15:47.650
gemachten Bewegung, dass die stabil sind.

15:48.510 --> 15:52.530
Wie gesagt, das wäre dann eher Thema von weiterführenden Vorlesungen,

15:52.610 --> 15:57.070
aber man sieht schon, es wird doch relativ kompliziert, weil jetzt

15:57.070 --> 16:03.730
eben Winkelgeschwindigkeit sich als Vektor ergibt, der nicht nur den

16:03.730 --> 16:06.590
Betrag, sprich die Länge, ändert, sondern auch die Richtung.

16:07.530 --> 16:14.610
Und wir wissen, das ist so ein starrer Körper, recht und schön, wenn

16:14.610 --> 16:19.170
wir den beschreiben wollen, oder die Lage richtig beschreiben wollen,

16:19.730 --> 16:24.570
dann genügt es nicht nur, irgendeinen Punkt des Körpers zu kennen,

16:25.390 --> 16:29.510
sondern wir müssen auch dessen Orientierung wissen, also wenn wir den

16:29.510 --> 16:33.230
Schwerpunkt an einer ganz bestimmten Stelle im Raum haben, dann kann

16:33.230 --> 16:36.490
die Orientierung dennoch ganz verschieden sein.

16:37.190 --> 16:41.230
Und jetzt ist die Frage, wie können wir eigentlich die Orientierung

16:41.230 --> 16:42.930
des Körpers beschreiben?

16:44.050 --> 16:50.110
Dazu habe ich jetzt mal wieder zwei autonomierte Basen, von einer mit

16:50.110 --> 16:56.410
Einheitsvektoren mitgebracht, das eine sind Einheitsvektoren, die, wir

16:56.410 --> 17:01.530
wissen zwar, der Hörsaal ist kein ideales Inertialsystem, aber

17:01.530 --> 17:04.930
Nährungsweise, also die mit dem Inertialsystem verbunden sind oder mit

17:04.930 --> 17:11.830
dem Bezugssystem Hörsaal, und den anderen Set, den verbinde ich jetzt

17:11.830 --> 17:19.210
mal mit meinem Körper, und ganz klar, wenn wir zunächst mal die

17:19.210 --> 17:23.750
gleiche Ausgangslage haben und dann die Orientierung des Körpers

17:23.750 --> 17:27.230
ändern, also dass der sich auch translatorisch bewegt, das spielt

17:27.230 --> 17:32.930
keine Rolle, bei der Orientierung kommt es nur auf die Ausrichtung an,

17:33.750 --> 17:38.270
dann sieht man, na gut, die Einheitsvektoren, die wir auf dem Körper

17:38.270 --> 17:43.570
festgemacht haben, die ändern bezüglich der Einheitsvektoren unseres

17:43.570 --> 17:48.510
Bezugssystems die Richtung und wenn wir diese Richtungen kennen, der

17:48.510 --> 17:52.390
Einheitsvektoren, dann kennen wir auch die Orientierung des Körpers.

17:52.390 --> 17:54.910
Also,

18:15.640 --> 18:18.900
Beschreibung der Orientierung

18:26.510 --> 18:29.450
eines Körpers

18:33.790 --> 18:43.920
über Körperfeste, Einheitsvektoren,

18:50.500 --> 18:56.260
ich nenne die mal an der Stelle später, ich erkläre gleich, warum,

18:57.540 --> 19:03.340
nennen wir die mal K1, K2 und K3,

19:10.950 --> 19:12.770
welche die Richtungen

19:19.030 --> 19:27.660
gegenüber den Einheitsvektoren

19:31.620 --> 19:42.360
I1, I2 und I3, das sind die Einheitsvektoren des Inertialsystems oder

19:42.360 --> 19:46.280
unseres Bezugssystems, in dem wir die Orientierung beschreiben wollen,

19:47.140 --> 19:47.460
ändern.

19:51.620 --> 19:55.340
Und jetzt, wie kann man das letztendlich beschreiben?

20:02.230 --> 20:05.730
Entweder über die Richtungscosinus,

20:17.180 --> 20:18.180
was steckt dahinter?

20:18.180 --> 20:18.300
Oder,

20:21.710 --> 20:30.030
die körperfesten Einheitsvektoren K1, K2, K3, das sind natürlich

20:30.030 --> 20:37.050
Vektoren, die ich mit Hilfe der Basis I1, I2, I3 ausdrücken kann.

20:38.040 --> 20:44.870
Also, ich kann zum Beispiel den

20:50.660 --> 21:03.330
Einheitsvektor, ich schreibe mal KK, K als Index läuft von 1 bis 3,

21:03.490 --> 21:18.410
also K1, K2, K3, K3 ist dann eine Koordinate MK1 mal Einheitsvektor I1

21:18.410 --> 21:30.710
plus MK2 mal Einheitsvektor I2 plus MK3 mal Einheitsvektor I3.

21:33.470 --> 21:38.030
Einfach, weil ich die körperfesten Einheitsvektoren ausdrücke über die

21:38.030 --> 21:42.610
Basis und die Frage ist jetzt, wie groß sind eigentlich MK1, MK2 und

21:42.610 --> 21:43.310
MK3?

21:47.940 --> 21:52.060
Und was wir oft verwenden, ist so eine Summationskonvention, dass wir

21:52.060 --> 21:53.880
über gleiche Indizes aufsummieren.

21:53.880 --> 22:06.220
Das wäre in dem Falle also MKL, IL und man sieht K und L, die Indizes,

22:06.680 --> 22:10.320
die laufen in dem Falle von 1 bis 3.

22:17.920 --> 22:24.360
Und jetzt sehen wir, ja gut, diese Koordinaten, die erhalten wir

22:24.360 --> 22:37.160
leicht, wenn wir einfach mal das Skalarprodukt von KK mit IL bilden.

22:42.280 --> 22:47.760
Das heißt, wir multiplizieren die rechte Seite Skalar mit IL und dann

22:47.760 --> 22:54.380
sehen wir IL mit I1 Skalar multipliziert, das gibt gerade was?

22:56.520 --> 22:59.540
Das gibt 1, wenn L gleich 1 ist und 0 sonst.

23:03.140 --> 23:12.520
IL Skalar mit I2 multipliziert ergibt gerade 1, wenn L gleich 2 ist

23:12.520 --> 23:15.500
und gibt 0, wenn L gleich 1 bzw.

23:15.820 --> 23:16.300
3 ist.

23:16.300 --> 23:18.960
Genauso ganz analog beim I3.

23:19.980 --> 23:23.860
Also man sieht, das ergibt gerade

23:33.770 --> 23:58.370
MKL, also wie gesagt, L gleich 1 haben wir MK1, L gleich 2 ergibt MK2

23:58.370 --> 23:58.770
usw.

23:59.690 --> 24:01.150
Wie ich das gerade angegeben habe.

24:01.890 --> 24:06.010
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren, das können wir aber sehr leicht

24:06.010 --> 24:09.490
berechnen, das gibt nämlich Betrag des einen Vektors mal Betrag des

24:09.490 --> 24:15.090
anderen Vektors mal den Kosinus des Winkels zwischen beiden, gibt also

24:15.090 --> 24:24.450
in dem Falle gerade Kosinus des Winkels zwischen dem Einheitsvektor KK

24:24.450 --> 24:27.190
und dem Einheitsvektor IL.

24:34.900 --> 24:39.680
Das heißt, jetzt haben wir neun Koordinaten, K und L gehen ja von 1

24:39.680 --> 24:40.660
bis 3 jeweils.

24:41.600 --> 24:46.280
Jetzt ist die Frage, haben wir damit neun Parameter, mit denen wir die

24:46.280 --> 24:48.540
Orientierung des Körpers beschreiben?

24:52.490 --> 24:53.650
Fahr mal andersrum.

24:55.730 --> 25:01.610
Wer weiß, wie viel Freiheitsgrade ein Starkkörper hat bei einer

25:01.610 --> 25:02.450
räumlichen Bewegung?

25:06.440 --> 25:08.640
6 wird hier geboten, bietet jemand mehr?

25:13.130 --> 25:13.490
Nicht?

25:14.930 --> 25:16.190
Wer denkt, dass es mehr sind?

25:18.910 --> 25:20.470
Ja, ich habe ja schon neun Parameter.

25:21.330 --> 25:24.590
MKL, also M11, M12, M13 usw.

25:27.010 --> 25:30.470
Wie viele Parameter beschreiben die Drehung des Körpers, sprich die

25:30.470 --> 25:31.210
Orientierung?

25:33.810 --> 25:34.750
Weiß das jemand?

25:38.570 --> 25:43.730
Und ein kleiner Tipp, wenn ich mal den starren Körper nehme und den

25:43.730 --> 25:48.550
Schwerpunkt an einem Punkt im Raum platziere, dann wird die Lage des

25:48.550 --> 25:52.710
Schwerpunktes beschrieben durch drei Koordinaten, XY und Z zum

25:52.710 --> 25:54.730
Beispiel, des Schwerpunktes.

25:55.950 --> 25:59.750
Jetzt haben wir gesagt, irgendjemand hat sechs Freiheitsgrade geboten,

25:59.850 --> 26:04.890
dann müssten eigentlich drei Größen reichen, um die Orientierung zu

26:04.890 --> 26:05.370
beschreiben.

26:06.430 --> 26:09.010
Warum haben wir jetzt plötzlich hier neun?

26:11.330 --> 26:14.490
Nun, die sind natürlich nicht unabhängig voneinander.

26:15.210 --> 26:17.590
Zwischen denen gelten noch Zwangsbedingungen.

26:18.330 --> 26:19.290
Was gilt zum Beispiel?

26:20.970 --> 26:24.350
Nun, wir haben gesehen, wir haben jetzt drei Einheitsvektoren, K1, K2,

26:24.490 --> 26:24.990
K3.

26:26.890 --> 26:29.550
Wir haben angenommen, die sind wieder orthonormal.

26:31.050 --> 26:36.850
Orthonormal heißt, das Skalarprodukt von K1 mit K1 muss gerade 1

26:36.850 --> 26:37.250
ergeben.

26:37.770 --> 26:44.570
Nun, wenn wir K1 mit K1 skalarmultiplizieren, ergibt das ja gerade M11

26:44.570 --> 26:52.050
mal M12 plus M13 mal M13.

26:53.290 --> 26:54.750
Und das muss 1 ergeben.

26:55.390 --> 27:01.090
Genauso für Skalarprodukt von K2 mit K2, auch das muss 1 ergeben.

27:01.850 --> 27:05.010
Skalarprodukt von K3 mit K3 muss auch 1 ergeben.

27:05.450 --> 27:07.250
Haben wir also schon drei Zwangsbedingungen.

27:09.130 --> 27:16.610
Und dann haben wir orthonormale Einheitsvektoren, das heißt, das

27:16.610 --> 27:20.650
Skalarprodukt von zwei unterschiedlichen Einheitsvektoren, also zum

27:20.650 --> 27:26.550
Beispiel E1 mit E2, das muss 0 ergeben, E1 mit E3 muss 0 ergeben und

27:26.550 --> 27:31.570
E2 mit E3 muss 0 ergeben, sind also insgesamt sechs Zwangsbedingungen,

27:32.010 --> 27:33.530
die noch erfüllt sein müssen.

27:37.390 --> 27:41.950
Also es gelten sechs Nebenbedingungen.

27:46.980 --> 28:03.060
Und man sieht, MIL multipliziert mit MIK muss in dem Falle gerade

28:03.060 --> 28:06.180
Delta KL ergeben.

28:07.180 --> 28:16.560
Kronecker-Delta bedeutet, das ist 1, wenn K gleich L ist und 0, wenn K

28:16.560 --> 28:18.940
ungleich L ist.

28:22.600 --> 28:32.960
Das heißt, wir haben insgesamt drei unabhängige Parameter

28:37.020 --> 28:40.260
zur Beschreibung der Drehung.

28:43.680 --> 28:45.740
Beziehungsweise der Orientierung.

28:59.530 --> 29:04.010
Und was wir zum Beispiel machen können ist, wir können diese

29:04.010 --> 29:09.090
Koordinaten MKL in eine Matrix reinschreiben, das gibt dann die

29:09.090 --> 29:15.310
Drehmatrix, Richtungscosinusmatrix und wie gesagt, die einzelnen

29:15.310 --> 29:18.530
Matrizenelemente, die müssen noch den Zwangsbedingungen genügen,

29:18.970 --> 29:21.490
sodass die letztendlich von drei Größen abhängen.

29:21.490 --> 29:25.790
Und die Frage ist, was für drei Größen können wir zum Beispiel

29:25.790 --> 29:28.510
einführen, um das Ganze eben zu beschreiben.

30:21.280 --> 30:27.280
Und wir führen dazu dann zunächst mal den sogenannten Euler-Winkel

30:27.280 --> 30:27.580
ein.

30:39.350 --> 30:40.310
Was haben wir dabei?

30:41.190 --> 30:44.070
Wir haben drei hintereinander geschaltete

30:51.770 --> 30:54.570
Drehungen.

31:02.070 --> 31:05.650
Und zwar sogenannte Elementardrehungen,

31:11.200 --> 31:14.400
die dann zur Gesamtdrehung verübt werden.

31:51.990 --> 31:53.190
Was haben wir da?

31:56.540 --> 31:58.640
Ich führe es mal hier vor an meinem Block.

32:01.160 --> 32:07.780
Wir nehmen an, wir haben zunächst mal die Einheitsvektoren körperfest,

32:07.780 --> 32:12.840
genauso ausgerichtet wie die Einheitsvektoren unseres Bezugssystems.

32:13.120 --> 32:15.700
Die 1-Achse, die 2-Achse und die 3-Achse.

32:16.880 --> 32:22.840
Und jetzt führen wir Drehungen durch um verschiedene Achsen.

32:23.920 --> 32:29.480
Und bei Euler-Winkel ist es zunächst mal die erste Drehung um die 3

32:29.480 --> 32:29.840
-Achse.

32:31.840 --> 32:39.640
Elementardrehung bedeutet, dass bei so einer Drehung ein Vektor des

32:39.640 --> 32:44.080
neuen Bezugssystems, des verdrehten Bezugssystems und ein Vektor des

32:44.080 --> 32:47.900
Ausgangsbezugssystems die Richtung nicht ändern.

32:48.120 --> 32:50.700
Also ähnlich wie bei einer ebenen Bewegung.

32:50.960 --> 32:53.780
Dort war die Drehung so, dass um eine Achse gedreht wird.

32:54.940 --> 32:57.520
Das wäre wie gesagt die erste Drehung.

32:58.440 --> 33:02.880
Als zweite Drehung haben wir beim Euler-Winkel dann eine Drehung um

33:02.880 --> 33:04.420
die neue 1-Achse.

33:04.500 --> 33:09.680
Die neue 1-Achse ist jetzt die Achse, dann drehen wir also um die 1

33:09.680 --> 33:10.060
-Achse.

33:10.760 --> 33:15.200
Und die dritte Drehung, die erfolgt wiederum um die neue 3-Achse,

33:15.780 --> 33:16.420
entsprechend so.

33:17.160 --> 33:21.260
Jetzt hätten wir also die Endorientierung bei den drei Euler-Winkeln,

33:21.340 --> 33:22.620
die ich jetzt eingeführt habe.

33:22.620 --> 33:27.660
Wenn wir eine beliebige Orientierung unseres Körpers haben, dann

33:27.660 --> 33:31.780
müssen wir natürlich irgendwie die zugehörigen Euler-Winkel bestimmen,

33:33.740 --> 33:36.840
sodass sich die Orientierung wie jetzt hier ergibt.

33:37.620 --> 33:40.280
Das ist dann nicht ganz leicht, kann man aber machen.

33:40.960 --> 33:42.440
Lassen wir an der Stelle aus.

33:43.460 --> 33:46.640
Wir beschränken uns darauf, dass wir wissen, wenn wir solche drei

33:46.640 --> 33:50.320
Elementardrehungen einführen, dann können wir die Orientierung

33:50.320 --> 33:50.900
beschreiben.

33:51.740 --> 33:55.760
Und die einzelnen Elementardrehungen, die lassen sich wieder sehr

33:55.760 --> 33:57.320
leicht angeben.

33:59.060 --> 34:02.280
Ich habe es mal hier ein

34:08.160 --> 34:09.200
bisschen angedeutet.

34:10.100 --> 34:10.920
Was steckt dahinter?

34:19.880 --> 34:24.440
Das war praktisch unsere Ausgangskonfiguration, um das ein bisschen

34:24.440 --> 34:25.240
deutlich zu machen.

34:26.600 --> 34:34.040
Das Ganze ist Teil eines Buches, was wahrscheinlich in einem halben

34:34.040 --> 34:35.800
Jahr ungefähr rauskommt von Springer.

34:39.140 --> 34:43.840
Da ich die Zeichnungen hatte, ist es für mich eleganter, die

34:43.840 --> 34:47.260
fortzuführen, anstatt hier an der Tafel alles anzuzeichnen.

34:48.180 --> 34:51.860
Man sieht also, um das zu verdeutlichen, haben wir so eine Pyramide,

34:52.580 --> 34:56.780
die eine bestimmte Ausrichtung im Ausgangssystem hat.

34:57.280 --> 35:01.200
Jetzt kommt die erste Elementardrehung, wie gesagt um die Dreiachse.

35:02.240 --> 35:06.320
Das heißt, wir führen jetzt so ein Zwischensystem ein.

35:07.400 --> 35:09.200
Ich versuche es mal anzudeuten.

35:10.300 --> 35:15.980
Also vom Inertialsystem I führen wir so ein Zwischensystem ein.

35:15.980 --> 35:17.440
Ich nenne das mal S.

35:18.080 --> 35:26.600
Das wird beschrieben durch die Einheitsvektoren K1', K2' und K3'.

35:41.860 --> 35:49.960
KI', die einzelnen Einheitsvektoren des vertreten Bezugssystems, die

35:49.960 --> 35:56.140
bestimmen sich jetzt, ähnlich wie wir das da drüben hatten, über M IL

35:56.140 --> 36:02.340
mal Einheitsvektor IL, also aufsummiert über L.

36:03.420 --> 36:08.420
Und um das kenntlich zu machen, für die Drehung um die Dreiachse mit

36:08.420 --> 36:10.140
dem Verdrehwinkel Psi.

36:11.760 --> 36:21.040
Das heißt, für den ersten Einheitsvektor K1', da sehen wir, der liegt

36:21.040 --> 36:23.180
in der I1, I2-Ebene.

36:23.320 --> 36:28.220
Der hat also eine Komponente in I1-Richtung und eine Komponente in I2

36:28.220 --> 36:28.680
-Richtung.

36:29.840 --> 36:37.040
In I1-Richtung hat er gerade die Komponente Kosinus des Winkels Psi,

36:37.040 --> 36:40.560
weil er die Länge des Vektors K1' gerade 1 ist.

36:41.800 --> 36:50.860
Dann haben wir also Kosinus Psi mal I1, dann haben wir Sinus Psi mal

36:50.860 --> 36:51.500
I2.

36:52.700 --> 36:58.540
Und da der Vektor K1' in der I1, I2-Ebene liegt, haben wir eben 0 in

36:58.540 --> 36:59.760
Richtung von I3.

37:00.760 --> 37:06.600
Und beim Einheitsvektor K2', da sehen wir, der hat eine Komponente in

37:06.600 --> 37:08.900
negative I1-Richtung.

37:09.500 --> 37:15.500
Betrag Sinus Psi, also Minus Sinus Psi.

37:16.280 --> 37:23.020
In I2-Richtung hat der Vektor K2' eine Komponente mit dem Betrag

37:23.020 --> 37:28.600
Kosinus Psi, 0 in Richtung von I3.

37:30.300 --> 37:36.640
Und der neue Vektor K3', der entspricht ja gerade dem I3, also haben

37:36.640 --> 37:38.040
wir da 001.

37:41.120 --> 37:50.960
Das heißt, die Matrix MIL, Psi, die ist gerade durch die angegebene

37:50.960 --> 37:53.200
Matrix bestimmt.

37:53.980 --> 38:00.320
Das war also die erste Elementardrehung um

38:06.010 --> 38:10.070
Psi, wie gesagt um die Dreiachse.

38:14.140 --> 38:17.380
Jetzt kommt die nächste Elementardrehung,

38:20.800 --> 38:22.920
das sehen wir hier,

38:26.960 --> 38:31.560
also die zweite Elementardrehung um

38:38.880 --> 38:40.000
den Winkel Theta.

38:41.000 --> 38:47.440
Und jetzt sehen wir um die neue 1-Achse, also um die Achse K1', das

38:47.440 --> 38:50.400
heißt K1' und K1''.

38:52.400 --> 38:57.900
Also um K1', beziehungsweise K1''.

38:57.900 --> 39:00.960
Beide Vektoren sind dieselben.

39:06.030 --> 39:13.490
Das heißt, jetzt führen wir, das war der Winkel Psi, jetzt führen wir

39:13.490 --> 39:18.970
ein weiteres Zwischensystem ein, nennen wir das mal T.

39:18.970 --> 39:30.350
Das wird jetzt beschrieben durch die Einheitsvektoren K1', K2' und

39:30.350 --> 39:32.210
K3'.

39:32.970 --> 39:38.090
Und zwar eine Drehung um den Winkel Theta, um die 1-Achse, also um die

39:38.090 --> 39:39.030
neue 1-Achse.

39:40.030 --> 39:53.580
Das heißt, jetzt haben wir die Einheitsvektoren Kj2'.

39:54.580 --> 40:07.140
Die ergeben sich aus den Einheitsvektoren Ki' über Mji

40:10.620 --> 40:15.360
mal Ki'.

40:17.160 --> 40:21.600
Und um das zu unterscheiden von der ersten Elementardrehung, schreibe

40:21.600 --> 40:23.080
ich da den Winkel Theta dazu.

40:26.740 --> 40:32.140
Das heißt, wenn wir jetzt wieder die zugehörige Drehmatrix

40:32.140 --> 40:38.800
zusammenbasteln, dann sehen wir K1' entspricht gerade K1''.

40:38.800 --> 40:50.800
Also haben wir da 1, 0, 0, einmal K1', 0 mal K2', 0 mal K3'.

40:51.340 --> 41:02.000
Dann K2', liegt in der K2', K3'-Ebene, hat also nichts in Richtung von

41:02.000 --> 41:04.220
K1', bzw.

41:05.200 --> 41:06.940
K1' gestrichen.

41:06.940 --> 41:14.080
Und man sieht, K2' hat in Richtung von K2' einen Anteil Kosinus-Theta

41:14.080 --> 41:17.580
und in Richtung von K3' gerade Sinus-Theta.

41:18.760 --> 41:25.500
Also Kosinus-Theta, Sinus-Theta.

41:28.680 --> 41:37.200
Und der neue Einheitsvektor in 3-Richtung, K3', der hat Kosinus-Theta

41:37.200 --> 41:44.240
in Richtung von K3', aber Sinus-Theta in negative K2'-Richtung.

41:44.240 --> 41:54.080
Deshalb 0, minus Sinus-Theta, Kosinus-Theta, das ist jetzt sozusagen

41:54.080 --> 41:58.420
die Matrix M, J, I,

42:01.900 --> 42:02.380
Theta.

42:08.450 --> 42:13.850
Und was jetzt fehlt, ist die dritte Elementardrehung.

42:20.730 --> 42:26.050
Und da sehen wir, diese dritte Elementardrehung, die erfolgt wieder um

42:26.050 --> 42:28.610
die neue 3-Achse, also wieder um die 3-Achse.

42:29.990 --> 42:32.950
Grün praktisch Ausgang wieder, schwarz das, was sich ergibt.

42:32.950 --> 42:40.490
Man sieht, K3, da haben wir jetzt wirklich das körperfeste

42:40.490 --> 42:41.410
Bezugssystem.

42:42.170 --> 42:49.590
In dem Falle sind das die Einheitsvektoren K1, K2 und K3.

42:53.010 --> 42:58.570
K3 entspricht gerade dem Einheitsvektor K3''.

42:58.570 --> 43:03.390
Das heißt, wenn wir jetzt das hier noch einführen, dritte

43:03.390 --> 43:16.740
Elementardrehung, um den Winkel Phi, um die K3', bzw.

43:17.340 --> 43:19.780
das war die K3-Achse.

43:24.060 --> 43:36.920
Und wenn wir da schreiben, dass eben KK, gerade ist, M,

43:40.390 --> 43:51.390
KI, Phi mal KI2 gestrichen.

43:52.610 --> 43:59.010
Dann sehen wir K1' bzw.

44:01.470 --> 44:08.870
K1 setzt sich zusammen aus K1' und K2'.

44:09.390 --> 44:12.690
Ganz analog wie bei der ersten Elementardrehung, die erste

44:12.690 --> 44:15.710
Elementardrehung war ja auch eine Drehung um die 3-Achse.

44:16.150 --> 44:18.690
Also da können wir das Ganze im Grunde genommen abschreiben.

44:18.690 --> 44:29.810
Das heißt, für K1 erhalten wir Cosinus Phi, Sinus Phi, 0.

44:30.490 --> 44:37.990
Für K2 erhalten wir Minus Sinus Phi, Cosinus Phi, 0.

44:39.370 --> 44:47.510
Und für K3, das entspricht ja gerade dem K3'', also 0, 0, 1.

44:48.690 --> 44:56.850
Das ist jetzt die Drehmatrix, die Drehung um die K3-Achse, bzw.

44:57.090 --> 45:06.710
K3'-Achse, beschreibt also MKI, Phi als Matrix wie angegeben.

45:13.460 --> 45:15.180
Gibt es soweit Fragen?

45:19.850 --> 45:24.230
Wir sehen also, wenn wir jetzt das Pferd mal von hinten aufzäumen,

45:26.430 --> 45:38.810
dann haben wir aus der Darstellung K1, K2 und K3 ist gerade die Matrix

45:38.810 --> 45:47.930
MKI Phi mal I1, I2

45:54.590 --> 45:58.190
K1', K2' und K3'

46:01.810 --> 46:10.130
Wir wissen aber, K1, K2 und K3, jeweils 2' ist gerade die Matrix MJI

46:10.130 --> 46:22.290
mal Theta Also ergibt das MKI Phi Und K1', K2' und K3' können wir

46:22.290 --> 46:26.970
ersetzen durch die Matrix MJI

46:33.230 --> 46:45.430
Theta multipliziert mit den Einheitsvektoren K1', K2' und K3'

46:52.350 --> 46:57.370
Und jetzt können wir noch K1', K2' und K3' ersetzen durch die erste

46:57.370 --> 47:02.610
Elementardrehung, also durch I1, I2, I3 Das heißt, wir erhalten dann

47:02.610 --> 47:18.210
MKI Phi, MJI Theta Und K1', K2', K3', da haben wir eben die Matrix

47:18.210 --> 47:34.910
MJLC mal I1, I2 und I3

47:40.890 --> 47:50.680
Das wollte ich ja noch eintragen, das war der Winkel Was wir jetzt

47:50.680 --> 48:04.160
noch sehen ist, K1', K2' und K3' ist ja gerade die Gesamtdrehmatrix

48:04.160 --> 48:07.920
MKL mal

48:11.010 --> 48:21.330
I1, I2, I3 Also MKL,

48:25.840 --> 48:40.800
die Gesamtmatrix ist dann MKI Phi multipliziert mit MJI Theta

48:40.800 --> 48:50.980
multipliziert mit MJLC Sie, also die Gesamtmatrix, die sich ergibt,

48:51.060 --> 48:54.100
die erhalten wir jetzt leicht, indem wir die Matrizen für die

48:54.100 --> 48:57.360
einzelnen Elementardrehungen einfach miteinander multiplizieren.

49:15.130 --> 49:18.710
Weil wir in beiden Fällen um die Dreiachse drehen.

49:18.710 --> 49:26.110
Allerdings drehen wir oben um die Dreiachse I3, die gerade K3'

49:26.390 --> 49:26.950
entspricht.

49:27.330 --> 49:30.390
Hier unten drehen wir auch um die Dreiachse, allerdings ist das eine

49:30.390 --> 49:31.210
andere Dreiachse.

49:32.190 --> 49:34.830
Aber die Zusammenhänge bei einer Elementardrehung sind immer

49:34.830 --> 49:36.670
dieselben, wenn wir um die gleiche Achse drehen.

49:41.790 --> 49:44.910
In beiden Fällen wird um die Dreiachse gedreht.

49:44.910 --> 49:52.790
Wie gesagt, vom Bezugssystem T ins Bezugssystem K drehen wir um die

49:52.790 --> 49:57.850
Dreiachse und vom Bezugssystem I ins Bezugssystem S drehen wir auch um

49:57.850 --> 49:58.490
die Dreiachse.

50:00.290 --> 50:04.490
Das sind allerdings andere Bezugssysteme, bloß die Zusammenhänge sind

50:04.490 --> 50:04.950
dieselben.

50:06.970 --> 50:10.950
So, was jetzt natürlich ein bisschen kompliziert wird...

50:26.960 --> 50:29.150
Das bekommen Sie als Hausaufgabe.

50:35.990 --> 50:40.050
Die Indizierung spielt im Grunde genommen keine Rolle, weil ich dort

50:40.050 --> 50:42.050
andeuten wollte, das sind Matrizen.

50:50.700 --> 50:58.340
Also, vielen Dank, Sie sehen, wenn Sie Schwierigkeiten haben, dieser

50:58.340 --> 51:04.880
Kommilitone, dieser charmante junge Mann, er nimmt gerne Anfragen an,

51:05.000 --> 51:06.960
bevorzugt von hübschen Damen wahrscheinlich.

51:37.900 --> 51:40.300
Also, müsste ich hier schreiben,

51:43.420 --> 51:54.540
J, dann haben wir hier J, dann haben wir hier J, dann haben wir hier

51:54.540 --> 51:56.820
I, ne, dann haben wir hier...

51:59.320 --> 52:00.880
Was habe ich jetzt rausgewischt?

52:35.930 --> 52:42.190
Er hat natürlich insofern recht, wenn über gleiche Indizes aufsummiert

52:42.190 --> 52:44.990
wird, ich habe aber deshalb bewusst die runden Klammern da rum

52:44.990 --> 52:48.010
gemacht, damit man sieht, dass es Matrizen sein sollen.

52:51.210 --> 52:56.470
So, erste Frage, die Drehmatrizen, sind die symmetrisch?

53:04.680 --> 53:06.400
Er lacht, sind sie symmetrisch?

53:10.370 --> 53:14.290
Ah, Mathe haben Sie schon gehabt.

53:17.450 --> 53:19.650
Jetzt fahren wir mal, ich bin ja emanzipiert, jetzt fahren wir mal

53:19.650 --> 53:20.050
eine Dame.

53:24.540 --> 53:26.340
Aber sie sitzt nie mehr so weit nach vorne.

53:28.700 --> 53:30.980
Ja, Sie müssen auch eine Meinung haben, sind die Drehmatrizen

53:30.980 --> 53:31.620
symmetrisch?

53:33.080 --> 53:33.560
Nein?

53:35.020 --> 53:37.980
Aha, endlich mal ein paar gestandene Männer, die auch eine Meinung

53:37.980 --> 53:38.500
vertreten.

53:39.740 --> 53:41.560
Die in dem Falle sogar richtig ist.

53:43.040 --> 53:46.140
Natürlich sind die Drehmatrizen nicht symmetrisch, man sieht es ja,

53:46.760 --> 53:52.160
man hat hier Minus Sinus Theta, rechts dann Sinus Theta, wenn die

53:52.160 --> 53:54.800
symmetrisch wären, dürfte das Vorzeichen nicht unterschiedlich sein,

53:54.860 --> 53:55.760
außerhalb der Diagonalen.

53:58.160 --> 54:01.240
Aber sehr oft in der Mechanik hat man es mit symmetrischen Matrizen zu

54:01.240 --> 54:01.920
tun, z.B.

54:02.060 --> 54:05.880
wenn Sie die Koordinaten vom Spannungstensor oder vom

54:05.880 --> 54:08.560
Verzerrungstensor reinschreiben, dann sind das immer symmetrische

54:08.560 --> 54:09.000
Größen.

54:10.040 --> 54:11.680
Hier sieht es ein bisschen anders aus.

54:12.180 --> 54:18.440
Und wenn wir jetzt dieses mehrfache Matrizenprodukt ausführen, dann

54:18.440 --> 54:20.080
sieht es noch ein bisschen wilder aus.

54:22.380 --> 54:23.880
Das müssen wir jetzt mal angeben.

54:24.880 --> 54:28.580
Das ergibt nämlich MKL.

54:31.680 --> 54:33.340
Ergibt eine Matrix.

54:35.580 --> 54:36.960
Und jetzt muss ich die Brille holen.

54:40.480 --> 54:55.540
Cosinus Psi, Cosinus Phi, Minus Sinus Psi, Cosinus Theta, Sinus Phi.

54:56.180 --> 55:01.680
Als nächstes Element in der ersten Zeile haben wir dann Sinus Psi,

55:02.040 --> 55:02.800
Cosinus Phi.

55:04.380 --> 55:12.840
Plus Cosinus Psi, Cosinus Theta, Sinus Phi.

55:15.040 --> 55:20.440
Und zum Schluss Sinus Theta, Sinus Phi.

55:22.040 --> 55:33.060
In der zweiten Zeile Minus Cosinus Psi, Sinus Phi, Minus Sinus Psi,

55:35.680 --> 55:40.080
Cosinus Theta, Cosinus Phi.

55:41.680 --> 55:47.640
Als nächstes Element dann Minus Sinus Psi, Sinus Phi.

55:51.740 --> 55:59.300
Plus Cosinus Psi, Cosinus Theta, Cosinus Phi.

56:02.500 --> 56:05.200
Zum Schluss Sinus Theta, Cosinus Phi.

56:10.460 --> 56:12.640
Die letzte Zeile ist dann ein bisschen einfacher.

56:13.640 --> 56:15.200
Dann haben wir Sinus Psi,

56:18.360 --> 56:23.760
Sinus Theta, Minus Cosinus Psi,

56:30.280 --> 56:36.120
Sinus Theta und zum Schluss Cosinus Theta.

56:37.820 --> 56:42.200
Das ist also die Matrix, die sich am Ende ergibt und man sieht, da

56:42.200 --> 56:45.360
sieht man es jetzt besser als bei der Richtungscosinusmatrix, dass das

56:45.360 --> 56:50.100
natürlich eine Matrix ist, die nur von drei Größen abhängt.

56:50.200 --> 56:53.340
In dem Falle Psi, Theta und Phi.

56:55.760 --> 57:04.080
Nun, es gibt natürlich auch, auch der linke Flügel sollte mal...

57:07.650 --> 57:12.870
Es gibt natürlich noch andere Möglichkeiten, zum Beispiel Drehwinkel

57:12.870 --> 57:13.630
einzuführen.

57:14.230 --> 57:18.970
Wir haben jetzt das gemacht, Drehung um die Dreiachse, Drehung um die

57:18.970 --> 57:21.090
neue Einsachse, Drehung um die Dreiachse.

57:21.910 --> 57:24.050
Das wird im Deutschen als Eulerwinkel bezeichnet.

57:24.890 --> 57:28.770
Wenn Sie auf die Bezeichnung Kardanwinkel stoßen, dann heißt das, wir

57:28.770 --> 57:32.210
drehen zunächst nicht um die Dreiachse, sondern um die Einsachse,

57:32.850 --> 57:36.810
danach um die neue Zweiachse und zum Schluss um die neue Dreiachse.

57:37.610 --> 57:42.590
Das wäre eine Drehreihenfolge 1-2-3, zuvor Eulerwinkel 3-1-3.

57:43.770 --> 57:46.610
Und jetzt kann man vorstellen, wenn man das ganz allgemein macht, dann

57:46.610 --> 57:49.770
kann man mit solchen Drehwinkeln natürlich viele verschiedene

57:49.770 --> 57:51.010
Kombinationen machen.

57:51.670 --> 57:59.570
Was weiß ich, 1-2-1, 1-3-1, 1-2-3 oder 1-3-3-2.

57:59.570 --> 58:02.150
Man kann auch mit 2- oder 3-Achse anfangen.

58:02.650 --> 58:07.810
Das Einzige, was man nicht darf, ist, dass zwei hintereinanderfolgende

58:07.810 --> 58:09.490
Drehungen um die gleiche Achse erfolgen.

58:09.810 --> 58:11.350
Das würde natürlich keinen Sinn machen.

58:12.310 --> 58:17.650
Und wie gesagt, deshalb unterscheiden sich dann letztendlich die

58:17.650 --> 58:23.090
einzelnen Darstellungen, also die trigonometrischen Funktionen, die da

58:23.090 --> 58:23.630
drin stehen.

58:24.110 --> 58:25.990
Je nachdem, was für Winkel das wir wählen.

58:25.990 --> 58:31.170
Wenn wir allerdings irgendeine Orientierung des Körpers haben, dann

58:31.170 --> 58:34.410
muss am Ende immer dieselbe Matrix rauskommen, wenn wir die richtigen

58:34.410 --> 58:35.410
Winkel einsetzen.

58:36.230 --> 58:39.250
Egal, ob wir Eulerwinkel oder Kardanwinkel oder irgendwas anderes

58:39.250 --> 58:39.590
nehmen.

58:40.450 --> 58:42.310
Um das jetzt ein bisschen zu unterscheiden,

58:45.350 --> 58:47.110
gehen wir hin und schreiben.

58:47.270 --> 58:51.490
Das ist praktisch die Matrix, die sich ergibt bei Eulerwinkel.

58:55.810 --> 58:59.450
Wie gesagt, hier müssen wir es eigentlich nicht unterscheiden, weil

58:59.450 --> 59:05.070
wenn wir andere Winkel nehmen, muss sich dieselbe Matrix ergeben, weil

59:05.070 --> 59:06.570
der Zusammenhang ist ja derselbe.

59:07.490 --> 59:11.150
Allerdings das Aussehen der Matrix in Abhängigkeit der Winkel ändert

59:11.150 --> 59:11.410
sich.

59:23.820 --> 59:31.960
Was ebenfalls noch verwendet werden kann, sind zum Beispiel sogenannte

59:31.960 --> 59:33.160
Euler -Parameter.

59:34.660 --> 59:35.260
Was ist das?

59:36.400 --> 59:38.500
Das sind sogenannte Quaternionen.

59:41.240 --> 59:44.320
Da hat man nicht drei Parameter, sondern vier.

59:44.980 --> 59:47.000
Was bedeutet das?

59:49.020 --> 59:52.940
Nur drei sind frei, also muss noch eine Zwangsbedingung für diese

59:52.940 --> 59:54.040
Euler -Parameter gelten.

59:54.920 --> 59:58.740
Allerdings hat die Verwendung von Euler-Parametern, wenn man numerisch

59:58.740 --> 01:00:00.980
das Ganze integriert, dann wieder Vorteile.

01:00:01.720 --> 01:00:05.140
Aber darauf gehen wir an der Stelle nicht näher ein.

01:00:07.480 --> 01:00:14.340
Vielleicht, bevor wir weitermachen, nochmals, ich misch erstmal kurz

01:00:14.340 --> 01:00:14.840
die Tafel,

01:01:25.720 --> 01:01:31.220
jetzt nochmal zur Erinnerung, die kinematische Grundgleichung,

01:01:42.250 --> 01:01:44.290
wir hatten irgendwo das Inertialsystem,

01:01:49.700 --> 01:01:54.780
meinetwegen mit den Einheitsvektoren Ix, Iy und Iz,

01:02:03.510 --> 01:02:12.370
haben dann den Ursprung, entsprechende Achsen X, Y und Z, und den

01:02:12.370 --> 01:02:25.000
Körper, den nennen wir mal B, dann haben wir einen Bezugspunkt,

01:02:30.620 --> 01:02:31.440
den Punkt A,

01:02:34.710 --> 01:02:45.150
und wir haben den Punkt B, auf dem Körper, das heißt, wir haben den

01:02:45.150 --> 01:02:55.350
Ortsvektor RA zum Punkt A, wir haben den Ortsvektor RB zum Punkt B,

01:03:01.570 --> 01:03:12.190
und wir haben den Relativvektor vom Punkt A zum Punkt B, RAB, wir

01:03:12.190 --> 01:03:21.530
wissen, den Ortsvektor RB, den können wir darstellen, als RA plus RAB,

01:03:27.420 --> 01:03:33.460
für die Geschwindigkeit, wissen wir, die Geschwindigkeit des Punktes

01:03:33.460 --> 01:03:40.220
B, die ist die Zeitableitung des Ortsvektors RB, das ergibt gerade die

01:03:40.220 --> 01:03:44.300
Ableitung des Ortsvektors RA, das ist die Geschwindigkeit vom Punkt A,

01:03:46.840 --> 01:03:54.120
plus eben die Ableitung des Relativvektors RAB, und dort hatten wir

01:03:54.120 --> 01:03:59.940
gesehen, wenn wir diesen Vektor zunächst im Bezugsystem B, im Körper

01:03:59.940 --> 01:04:04.320
ableiten, dann ergibt das 0, weil das ein Starkkörper sein soll, und

01:04:04.320 --> 01:04:09.820
der Punkt B sich auf dem Körper nicht bewegt, plus eben die

01:04:09.820 --> 01:04:16.000
Winkelgeschwindigkeit Omega von Körper B, im Inertialsystem, kreuz den

01:04:16.000 --> 01:04:20.100
Vektor, den wir ableiten, das ist im Moment der Vektor RAB,

01:04:23.300 --> 01:04:29.300
und ganz analog für die Beschleunigung des Punktes B, da brauchen wir

01:04:29.300 --> 01:04:31.980
die Zeitableitung der Geschwindigkeit des Punktes B, im

01:04:31.980 --> 01:04:36.100
Inertialsystem, das ist also gerade die Beschleunigung des Punktes A,

01:04:37.840 --> 01:04:41.320
und jetzt haben wir ein Kreuzprodukt, müssen wir also sowohl den

01:04:41.320 --> 01:04:46.840
Vektor Omega wie auch den Vektor RAB ableiten, leiten wir zunächst mal

01:04:46.840 --> 01:04:51.680
das Omega ab, das ergibt dann die Winkelbeschleunigung, also plus

01:04:51.680 --> 01:05:01.660
Alpha von Bezugsystem B, im Inertialsystem, kreuz den Vektor RAB, plus

01:05:01.660 --> 01:05:12.280
Omega von B in A, kreuz der Ableitung des Vektors RAB, die Ableitung

01:05:12.280 --> 01:05:18.060
des Vektors RAB war aber gerade, Omega von B in A,

01:05:21.080 --> 01:05:22.840
kreuz RAB.

01:05:24.860 --> 01:05:27.680
Eigentlich ein Ergebnis, was wir schon kannten.

01:05:29.500 --> 01:05:34.940
Und ganz klar, Omega von B in A, das wird die Winkelgeschwindigkeit

01:05:34.940 --> 01:05:40.000
des Körpers im Inertialsystem sein, und ganz klar, die

01:05:40.000 --> 01:05:44.860
Winkelgeschwindigkeit des Körpers wird irgendwie mit der Orientierung

01:05:44.860 --> 01:05:46.100
des Körpers zusammenhängen.

01:05:46.240 --> 01:05:49.100
Wenn die Orientierung sich ändert, wird der Körper eine

01:05:49.100 --> 01:05:50.300
Winkelgeschwindigkeit haben.

01:05:51.940 --> 01:05:56.860
Und Frage, wie groß ist jetzt die Winkelgeschwindigkeit des Körpers?

01:05:56.860 --> 01:05:59.920
Wenn wir die Winkelgeschwindigkeit haben, dann können wir auch die

01:05:59.920 --> 01:06:01.100
Winkelbeschleunigung bestimmen.

01:06:10.230 --> 01:06:12.570
Nun, wir erinnern uns zurück,

01:06:20.150 --> 01:06:26.550
die Winkelgeschwindigkeit zwischen dem Bezugssystem S, das war mein

01:06:26.550 --> 01:06:30.890
erstes Zwischensystem nach der ersten Elementardrehung, also die

01:06:30.890 --> 01:06:35.210
Winkelgeschwindigkeit dieses Bezugssystems im Inertialsystem, die

01:06:35.210 --> 01:06:36.350
können wir sehr leicht angeben.

01:06:36.430 --> 01:06:41.010
Das ist nämlich, wie bei einer ebenen Bewegung, ein Vektor in Richtung

01:06:41.010 --> 01:06:45.410
der Dreiachse, und die Größe davon ist einfach C-Punkt.

01:06:47.610 --> 01:07:05.380
Also Omega, ich schreibe mal von S in I, ist C-Punkt mal I-Drei, bzw.

01:07:06.600 --> 01:07:09.780
C-Punkt mal K-Drei Strich.

01:07:10.540 --> 01:07:13.260
I-Drei und K-Drei Strich waren ja dasselbe.

01:07:14.140 --> 01:07:23.480
Und genauso die Drehung vom Bezugssystem S ins Bezugssystem T, das war

01:07:23.480 --> 01:07:27.140
wieder eine Drehung wie bei einer ebenen Bewegung, also eine

01:07:27.140 --> 01:07:31.760
Winkelgeschwindigkeit als Vektor in Richtung der Einsachse, und die

01:07:31.760 --> 01:07:36.760
Größe entspricht der Ableitung des Verdrehwinkels, also Th-Punkt.

01:07:37.740 --> 01:07:51.800
Also Omega von T in S ist dann Th-Punkt mal K-Eins Strich, und K-Eins

01:07:51.800 --> 01:07:56.660
Strich und K-Eins Zwei gestrichen waren ja dasselbe, also Th-Punkt K

01:07:56.660 --> 01:08:00.300
-Eins Zwei gestrichen, je nachdem wie wir das ausdrücken wollen.

01:08:02.520 --> 01:08:07.420
Und zum Schluss haben wir wieder eine Elementardrehung, also auch die

01:08:07.420 --> 01:08:12.900
Drehung vom Bezugssystem T ins Bezugssystem Körper, die entspricht

01:08:12.900 --> 01:08:24.520
Omega von B in T, ist dann gerade eine Drehung, wird gesagt, um die

01:08:24.520 --> 01:08:31.140
Dreiachse, also in dem Fall um die K-Drei-Zwei gestrichen Achse.

01:08:32.740 --> 01:08:36.040
Der Verdrehwinkel war Phi, also ist die Winkelgeschwindigkeit als

01:08:36.040 --> 01:08:37.580
Skalargröße dann Phi-Punkt.

01:08:38.900 --> 01:08:45.220
Beziehungsweise K-Drei-Zwei gestrichen war K-Drei, also Phi-Punkt K

01:08:45.220 --> 01:08:45.580
-Drei.

01:08:49.760 --> 01:08:56.480
Und wenn wir jetzt die einzelnen Winkelgeschwindigkeitsvektoren, wir

01:08:56.480 --> 01:08:59.500
haben ja schon Vektoren hier angegeben, betrachten, dann müssen wir

01:08:59.500 --> 01:09:00.760
ein bisschen aufpassen.

01:09:01.760 --> 01:09:12.400
Wenn wir Winkelverdrehungen haben und diese Winkelverdrehungen

01:09:12.400 --> 01:09:18.320
Vektoreigenschaften haben, dann müsste ja die Drehreihenfolge völlig

01:09:18.320 --> 01:09:19.000
egal sein.

01:09:20.160 --> 01:09:23.260
Das heißt, wir machen jetzt mal das Experiment, ich brauche jetzt zwei

01:09:23.260 --> 01:09:28.240
Studentinnen oder Studenten, die eine muss sich merken, was mein

01:09:28.240 --> 01:09:31.820
Ausgangspunkt war, die andere, was mein Endpunkt war.

01:09:32.460 --> 01:09:37.540
Ich drehe zunächst mal um Pi-Halbe um die Eins-Achse.

01:09:38.380 --> 01:09:47.020
Dann drehe ich um Pi-Halbe um die Zwei-Achse und zum Schluss um Pi

01:09:47.020 --> 01:09:48.380
-Halbe um die Drei-Achse.

01:09:50.080 --> 01:09:52.500
Sie merken sich die Orientierung.

01:09:55.260 --> 01:09:56.500
Sie haben eine Brille, Sie sehen gut.

01:09:59.160 --> 01:10:00.860
So, wo waren wir gestartet?

01:10:01.440 --> 01:10:02.380
Wir waren hier gestartet.

01:10:03.580 --> 01:10:06.040
Jetzt machen wir das ein bisschen anders, jetzt drehen wir zunächst

01:10:06.040 --> 01:10:16.260
mal um die Zwei-Achse, dann drehen wir um die Drei-Achse und dann um

01:10:16.260 --> 01:10:16.980
die Eins-Achse.

01:10:16.980 --> 01:10:19.900
Das wäre, wenn vectoriell alles wäre, dasselbe.

01:10:20.760 --> 01:10:23.500
Ich glaube, Sie können sagen, die Orientierung ist jetzt eine andere,

01:10:23.640 --> 01:10:23.680
oder?

01:10:24.760 --> 01:10:28.240
Also, endliche Winkelverdrehungen können wir nicht vektoriell

01:10:28.240 --> 01:10:28.760
addieren.

01:10:29.920 --> 01:10:33.720
Jetzt, wie sieht es aus mit den Winkelgeschwindigkeiten?

01:10:43.710 --> 01:10:57.230
Wir wissen, wenn wir den Vektor V nach der Zeit im Bezug System I

01:10:57.230 --> 01:10:59.790
ableiten, was ergibt das?

01:11:00.510 --> 01:11:09.270
Das ergibt den Vektor V nach der Zeit abgeleitet im Bezug System S

01:11:11.450 --> 01:11:14.930
plus, und jetzt können Sie mal überprüfen, ob Sie alles kapiert haben,

01:11:15.510 --> 01:11:18.510
jetzt brauchen wir die Winkelgeschwindigkeit von dem Bezugssystem, in

01:11:18.510 --> 01:11:21.670
dem wir zunächst ableiten, also S bezüglich dem, in dem wir die

01:11:21.670 --> 01:11:25.550
Ableitung haben wollen, das ist I, kreuz dem Vektor selbst.

01:11:30.580 --> 01:11:35.400
So, jetzt ersetze ich die Ableitung des Vektors V im Bezug System S

01:11:35.400 --> 01:11:42.000
durch die Ableitung des Vektors V nach der Zeit im Bezug System T.

01:11:44.580 --> 01:11:48.040
Und dann erhalte ich diese Ableitung, indem ich noch ergänze, plus

01:11:48.040 --> 01:11:53.180
Omega als was von dem Bezugssystem, in dem wir zunächst ableiten,

01:11:53.540 --> 01:11:57.280
bezüglich dem Bezugssystem, in dem die Ableitung gebildet werden soll,

01:11:58.360 --> 01:12:01.200
kreuz dem Vektor selbst, den wir ableiten.

01:12:01.200 --> 01:12:04.000
Und jetzt müssen wir auch aufpassen, wir haben hier noch den Term

01:12:04.000 --> 01:12:06.320
Omega von S in I, kreuz V.

01:12:14.730 --> 01:12:16.970
So, jetzt machen wir das noch weiter.

01:12:17.650 --> 01:12:22.110
Jetzt ersetzen wir die Ableitung im Bezug System T durch die Ableitung

01:12:22.110 --> 01:12:25.550
im körperfesten Bezugssystem, nämlich K.

01:12:26.310 --> 01:12:33.230
Also gibt den Vektor V in K abgeleitet nach der Zeit, plus, wir wollen

01:12:33.230 --> 01:12:47.730
ja die Ableitung in T, also brauchen wir jetzt Omega von B in T, kreuz

01:12:47.730 --> 01:12:56.650
den Vektor V, plus die Thermik, die wir schon hatten, also plus Omega

01:12:56.650 --> 01:13:08.210
von T in S, kreuz V, plus Omega von S in I, kreuz V.

01:13:12.330 --> 01:13:25.810
Und jetzt sehen wir die Ableitung des Vektors V nach der Zeit in I ist

01:13:25.810 --> 01:13:32.430
gerade die Ableitung des Vektors V in B,

01:13:35.630 --> 01:13:40.750
plus, jetzt haben wir hier die einzelnen Omega, kreuz V, Omega, kreuz

01:13:40.750 --> 01:13:45.810
V, Omega, kreuz V, also können wir das zusammenfassen, das ergibt also

01:13:45.810 --> 01:13:55.690
Omega von S in I, ich fange mit dem an, ganz rechts, dann plus Omega

01:13:55.690 --> 01:13:57.370
von T in S,

01:14:02.270 --> 01:14:04.530
plus Omega von B in T,

01:14:10.170 --> 01:14:15.650
kreuz den Vektor V, und wir wissen, das was in der runden Klammer drin

01:14:15.650 --> 01:14:22.490
steht, das muss ja gerade gemäß unserer Formel sein, dem Omega des

01:14:22.490 --> 01:14:24.160
Körpers im Inertialsystem.

01:14:24.710 --> 01:14:28.490
Jetzt sehen wir, wir können wirklich bei den Winkelgeschwindigkeiten

01:14:28.490 --> 01:14:32.470
die Vektoren aufsummieren, also die haben Vektoreigenschaft.

01:14:33.210 --> 01:14:34.570
Können wir ohne weiteres anwenden.

01:14:35.150 --> 01:14:39.550
Also unsere einzelnen Elementardrehungen, die wir hier aufgelistet

01:14:39.550 --> 01:14:43.990
haben, die ergeben zusammenaddiert gerade die Winkelgeschwindigkeit

01:14:43.990 --> 01:14:45.730
des Körpers.

01:14:49.830 --> 01:14:57.930
Also Omega des Körpers im Inertialsystem, das nennen wir einfach jetzt

01:14:57.930 --> 01:15:02.250
mal Omega, weil wir das nicht mehr verwechseln können, ist dann

01:15:02.250 --> 01:15:04.030
gerade, was hatten wir?

01:15:04.030 --> 01:15:29.040
Psi-Punkt I3 plus Theta-Punkt K1 Strich plus Phi-Punkt mal K3,

01:15:29.200 --> 01:15:32.060
beziehungsweise K3 zwei gestrichen, das war dasselbe.

01:15:33.440 --> 01:15:34.080
So.

01:15:35.740 --> 01:15:39.800
Jetzt können wir die Winkelgeschwindigkeit natürlich ausdrücken über

01:15:39.800 --> 01:15:41.980
Einheitsvektoren des Inertialsystems.

01:15:42.100 --> 01:15:48.300
Nun dann müssen wir K1 Strich und K3 zwei gestrichen durch I1, I2 und

01:15:48.300 --> 01:15:49.120
I3 ersetzen.

01:15:49.880 --> 01:15:53.200
Die zugehörigen Rechnungen, die haben wir ja oben schon irgendwo

01:15:53.200 --> 01:15:53.960
bereitgestellt.

01:15:54.540 --> 01:15:56.880
Auch wenn man die nicht so direkt explizit sieht.

01:15:58.720 --> 01:16:04.500
Oder wir drücken das in einer körperfesten Basis aus, also durch K1,

01:16:04.620 --> 01:16:05.740
K2, K3.

01:16:06.640 --> 01:16:09.520
K3 zwei gestrichen, das entspricht gerade K3.

01:16:10.660 --> 01:16:15.300
Dann müssen wir eben das K1 Strich noch ausdrücken durch K1, K2, K3

01:16:15.300 --> 01:16:20.700
und das I3 müssen wir auch, wir haben es im Prinzip ja da oben in der

01:16:20.700 --> 01:16:26.120
Matrix dann schon stehen, ausdrücken durch die entsprechenden

01:16:26.120 --> 01:16:28.620
Einheitsvektoren K1, K2, K3.

01:16:29.500 --> 01:16:38.000
Also wir können darstellen, Omega als, ich nenne es mal Omega 1, K1

01:16:38.000 --> 01:16:46.360
plus Omega 2, K2 plus Omega 3, K3.

01:16:47.220 --> 01:16:50.280
Und wenn wir die Rechnung mit den Einheitsvektoren entsprechend

01:16:50.280 --> 01:16:56.060
ausführen, dann ergeben sich eben für Omega 1, Omega 2 und Omega 3 die

01:16:56.060 --> 01:16:58.220
folgenden Größen.

01:16:58.900 --> 01:17:01.360
Omega 1 ist dann Psi Punkt,

01:17:04.640 --> 01:17:12.140
Sinus Theta, Sinus Phi, plus Theta Punkt,

01:17:15.200 --> 01:17:16.060
Kosinus Phi.

01:17:17.220 --> 01:17:31.380
Das Omega 2 ergibt sich zu Psi Punkt, Sinus Theta, Kosinus Phi, Minus

01:17:31.380 --> 01:17:41.760
Theta Punkt, Sinus Phi und das Omega 3 entsprechend zu Psi Punkt,

01:17:43.340 --> 01:17:50.200
Kosinus Theta plus Phi Punkt.

01:17:59.120 --> 01:18:04.660
Man sieht, wenn man die Koordinaten Omega 1, Omega 2 und Omega 3

01:18:04.660 --> 01:18:10.860
anschaut, dass die sich nicht einfach dadurch ergeben, dass man drei

01:18:10.860 --> 01:18:12.940
Größen nach der Zeit ableitet.

01:18:14.200 --> 01:18:17.220
Also wir können es nicht so ohne weiteres integrieren.

01:18:19.420 --> 01:18:23.940
Man spricht in dem Falle von nicht-holonomen

01:18:23.940 --> 01:18:25.440
Geschwindigkeitskoordinaten.

01:18:48.170 --> 01:18:53.650
Weil man die eben nicht explizit integrieren kann auf drei Größen.

01:18:55.070 --> 01:18:58.570
Man kann jetzt hergehen und kann das dann vielleicht irgendwie

01:18:58.570 --> 01:19:00.230
versuchen zu integrieren.

01:19:01.910 --> 01:19:03.510
Da kommen wir gleich noch drauf.

01:19:04.170 --> 01:19:11.290
Nämlich, wie man dann die Orientierung bei gegebenem Omega 1, Omega 2

01:19:11.290 --> 01:19:12.430
und Omega 3 bestimmt.

01:19:14.090 --> 01:19:16.310
Wie sieht es aus mit der Winkelbeschleunigung?

01:19:18.810 --> 01:19:25.570
Jetzt haben wir die Winkelgeschwindigkeit dargestellt mithilfe der

01:19:25.570 --> 01:19:28.570
Einheitsvektoren K1, K2 und K3.

01:19:29.550 --> 01:19:32.090
Wenn wir die Winkel beschleunigen wollen, müssen wir eigentlich die

01:19:32.090 --> 01:19:38.190
Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit im Inertialsystem ableiten.

01:19:39.190 --> 01:19:49.990
Also Alpha von Körper B im Inertialsystem ist dann die Ableitung von

01:19:49.990 --> 01:19:57.470
Omega von B in I nach der Zeit im Körperfestbezugssystem.

01:19:57.610 --> 01:19:59.150
Das können wir relativ leicht bestimmen.

01:19:59.590 --> 01:20:04.370
Das ist nämlich gerade Omega 1 Punkt mal K1 plus Omega 2 Punkt mal K2

01:20:04.370 --> 01:20:06.630
plus Omega 3 Punkt mal K3.

01:20:06.630 --> 01:20:10.570
Wir müssen dann nur die Ausdrücke hier einmal nach der Zeit

01:20:10.570 --> 01:20:13.730
differenzieren, müssen sehr oft die Produktregel anwenden.

01:20:13.850 --> 01:20:17.730
Das gibt natürlich schon ein bisschen längere Ausdrücke, die sind aber

01:20:17.730 --> 01:20:19.290
immer noch relativ übersichtlich.

01:20:19.870 --> 01:20:22.570
Plus, was kommt jetzt?

01:20:23.270 --> 01:20:26.590
Jetzt kommt die Winkelgeschwindigkeit von dem Bezugssystem, in dem wir

01:20:26.590 --> 01:20:30.350
zunächst ableiten, bezüglich dem Bezugssystem, in dem die Ableitung

01:20:30.350 --> 01:20:31.430
gebildet werden soll.

01:20:32.510 --> 01:20:33.570
Das war I.

01:20:34.470 --> 01:20:38.450
Kreuz den Vektor, den wir ableiten und das war Omega von B in I.

01:20:40.190 --> 01:20:44.290
Und wir sehen, in dem Fall wird das relativ einfach, weil das

01:20:44.290 --> 01:20:45.770
Kreuzprodukt gerade Null ergibt.

01:20:47.010 --> 01:20:50.810
Und wir somit die Winkelbeschleunigung einfach dadurch bestimmen

01:20:50.810 --> 01:20:55.990
können, dass wir die Koordinaten Omega 1, Omega 2 und Omega 3 nach der

01:20:55.990 --> 01:20:56.830
Zeit differenzieren.

01:21:04.870 --> 01:21:08.070
Vielleicht noch ein Wort zu den Drehmatrizen.

01:21:09.510 --> 01:21:12.830
Wir haben sehr einfache Drehmatrizen gesehen, das waren die, die sich

01:21:12.830 --> 01:21:14.510
für die Elementardrehungen ergeben.

01:21:15.050 --> 01:21:18.850
Da steht nur drin irgendwo eine 1 plus Kosinus von dem Winkel und

01:21:18.850 --> 01:21:19.770
Sinus von dem Winkel.

01:21:20.890 --> 01:21:25.230
Allerdings sieht man an diesen Beispielen, dass die Drehmatrizen

01:21:25.230 --> 01:21:30.710
schöne Eigenschaften haben, nämlich die Determinante von so einer

01:21:30.710 --> 01:21:31.430
Drehmatrix.

01:21:31.990 --> 01:21:35.950
Wenn Sie mal die Elementardrehungen betrachten, die Determinante

01:21:35.950 --> 01:21:37.070
ergibt gerade 1.

01:21:41.090 --> 01:21:47.750
Und wenn wir jetzt das Ganze umdrehen und die Einheitsvektoren I1, I2,

01:21:47.930 --> 01:21:54.830
I3 in Abhängigkeit der Einheitsvektoren K1, K2 und K3 bestimmen, dann

01:21:54.830 --> 01:22:02.370
müssen wir ja die Drehmatrix MKLE einfach invertieren, hoch minus 1.

01:22:03.430 --> 01:22:06.230
Und eine Matrix invertieren ist im Allgemeinen nicht ganz so einfach.

01:22:08.170 --> 01:22:11.050
Man kann sich aber vorstellen, ich habe das jetzt schon wieder

01:22:11.050 --> 01:22:16.810
weggewischt, da steht auch nichts anderes drin, als die

01:22:16.810 --> 01:22:17.750
Richtungskosinus.

01:22:19.050 --> 01:22:21.850
Wichtig werden wieder die Skalarprodukte zwischen den

01:22:21.850 --> 01:22:22.650
Einheitsvektoren.

01:22:22.770 --> 01:22:26.390
Das sind Größen, die ja schon in der Matrix MKLE drinstehen.

01:22:26.550 --> 01:22:31.610
Und man stellt schließlich fest, dass die Inverse der Drehmatrix sich

01:22:31.610 --> 01:22:35.950
dadurch ergibt, dass man einfach die Drehmatrix transponiert.

01:22:37.570 --> 01:22:42.770
Also praktisch entsprechende Elemente an der Diagonalen spiegelt.

01:22:45.210 --> 01:22:46.210
Das ist das eine.

01:22:48.130 --> 01:22:49.230
Was wollte ich noch sagen?

01:22:56.010 --> 01:23:00.970
Wenn wir solche Systeme im wirklichen Leben untersuchen,

01:23:05.930 --> 01:23:09.010
dann kann man zwar Bewegungsgleichungen herleiten und mit dem

01:23:09.010 --> 01:23:12.190
Trallsatz kann man dann auch Gleichungen bezüglich der Drehung

01:23:12.190 --> 01:23:12.670
herleiten.

01:23:13.660 --> 01:23:17.570
Was wir jetzt letztendlich wissen wollen, ist ja, wie bewegt sich das

01:23:17.570 --> 01:23:22.630
System bei gegebenen Kräften oder welche Kräfte sind notwendig, um

01:23:22.630 --> 01:23:25.750
eine entsprechende Bewegung zu realisieren.

01:23:26.150 --> 01:23:29.330
Speziell wenn man bei gegebenen Kräften und Momenten die Bewegung

01:23:29.330 --> 01:23:33.270
wissen will, dann haben wir schon bei der Ebenenbewegung gesehen, das

01:23:33.270 --> 01:23:36.990
können komplizierte gekoppelte Gleichungen ergeben, die man numerisch

01:23:36.990 --> 01:23:37.810
integrieren muss.

01:23:38.610 --> 01:23:45.130
Und beim Trallsatz, da werden wir sehen, da ergeben sich Gleichungen

01:23:45.130 --> 01:23:52.290
für Omega-1, Omega-2 und Omega-3, nämlich Differentialgleichungen

01:23:52.290 --> 01:23:57.930
erster Ordnung, die wir eigentlich nur noch numerisch integrieren

01:23:57.930 --> 01:23:59.310
können, also nährungsweise.

01:24:01.710 --> 01:24:06.090
Wenn wir so eine Integration der Nährungsweise machen, dann haben wir

01:24:06.090 --> 01:24:08.350
Omega -1, Omega-2 und Omega-3.

01:24:09.750 --> 01:24:12.370
Damit können wir aber nicht die Orientierung beschreiben, für die

01:24:12.370 --> 01:24:13.970
Orientierung brauchen wir ja die Winkel.

01:24:15.950 --> 01:24:18.170
Psi, Theta und Phi.

01:24:19.010 --> 01:24:25.110
Und jetzt sehen wir, bei gegebenen Omega-1, Omega-2 und Omega-3 haben

01:24:25.110 --> 01:24:29.170
wir Differentialgleichungen für Psi, Theta und Phi.

01:24:30.770 --> 01:24:33.870
Und wenn wir die numerisch integrieren wollen, müssen wir also

01:24:33.870 --> 01:24:38.790
auflösen, nach Psi-Punkt, Theta-Punkt und Phi-Punkt.

01:24:49.650 --> 01:24:58.750
Also wir brauchen Psi-Punkt, Theta-Punkt und Phi-Punkt.

01:24:59.390 --> 01:25:03.090
Und wenn wir die drei Gleichungen betrachten, dann sehen wir, Theta

01:25:03.090 --> 01:25:08.350
-Punkt, Psi-Punkt und Phi-Punkt, die treten dort nur linear auf, also

01:25:08.350 --> 01:25:13.110
im Prinzip handelt es sich um drei lineare Gleichungen, für diese drei

01:25:13.110 --> 01:25:13.630
Größen.

01:25:14.210 --> 01:25:15.270
Die können wir auflösen.

01:25:16.450 --> 01:25:18.890
Können Sie mal zu Hause probieren, wenn Sie das machen.

01:25:19.330 --> 01:25:30.030
Es ergibt sich gerade, Sinus-Phi dividiert durch Sinus-Theta mal Omega

01:25:30.030 --> 01:25:47.030
-1 plus Cosinus-Phi dividiert durch Sinus-Theta mal Omega-2.

01:25:47.830 --> 01:25:56.510
Für Theta-Punkt erhalten wir Cosinus-Phi mal Omega-1 minus Sinus-Phi

01:25:56.510 --> 01:26:06.010
mal Omega-2 und für das Phi-Punkt minus Sinus-Phi dividiert durch

01:26:06.010 --> 01:26:19.550
Tangens -Theta Omega-1 minus Cosinus-Phi dividiert durch Tangens-Theta

01:26:19.550 --> 01:26:23.650
mal Omega-2 plus Omega-3.

01:26:25.290 --> 01:26:29.170
Und jetzt sehen wir, bei der numerischen Integration, da kann es unter

01:26:29.170 --> 01:26:31.430
Umständen Schwierigkeiten geben.

01:26:32.730 --> 01:26:34.430
Da können nämlich Singularitäten auftreten.

01:26:34.830 --> 01:26:44.090
Man sieht, wenn Theta so in der Nähe von Null oder Pi ist, oder 2Pi

01:26:44.090 --> 01:26:48.550
oder wie auch immer, dann ist Sinus-Theta sehr klein, da ist auch der

01:26:48.550 --> 01:26:50.250
Tangens -Theta sehr klein.

01:26:51.830 --> 01:26:57.770
Für Theta gleich Pi-Halbe ist der sogar Null, oder sind diese Größen

01:26:57.770 --> 01:26:58.270
sogar Null.

01:26:58.730 --> 01:27:02.610
Also haben wir dann im Nenner etwas sehr Kleines oder Null stehen.

01:27:05.370 --> 01:27:07.490
Was steckt da physikalisch dahinter?

01:27:17.990 --> 01:27:24.390
Theta war die Drehung um die zweite Elementardrehung.

01:27:24.670 --> 01:27:27.190
Wir haben zunächst mal um die Dreiachse gedreht.

01:27:28.430 --> 01:27:30.730
Dann haben wir um die neue 1-Achse gedreht.

01:27:32.030 --> 01:27:35.710
Und jetzt sieht man, wenn die Drehung um die neue 1-Achse Null ist,

01:27:36.770 --> 01:27:41.750
und ich drehe um die neue 3-Achse, dann drehe ich zweimal um dieselbe

01:27:41.750 --> 01:27:43.230
Achse, dann wird es uneindeutig.

01:27:46.130 --> 01:27:52.590
Also für Theta gleich Null oder für Theta gleich Pi, dann zeigt eben

01:27:52.590 --> 01:27:55.090
die Achse nach unten, ich habe aber im Prinzip immer noch die gleiche

01:27:55.090 --> 01:27:57.630
Drehachse, da gibt es Schwierigkeiten.

01:27:57.630 --> 01:28:02.170
Wenn ich jetzt andere Drehreihenfolgen nehme, ich drehe zunächst um

01:28:02.170 --> 01:28:05.110
die 1-, dann um die 2- und die 3-Achse, dann gibt es natürlich

01:28:05.110 --> 01:28:06.150
dieselben Effekte.

01:28:06.550 --> 01:28:09.930
Wenn die mittlere Drehung gerade so ist, dass ich zweimal um dieselbe

01:28:09.930 --> 01:28:14.810
Achse letztendlich drehe, die erste und die dritte Drehung, dann führt

01:28:14.810 --> 01:28:16.890
das zu Singularitäten.

01:28:18.630 --> 01:28:23.670
Und genau das lässt sich im Grunde genommen vermeiden, wenn man statt

01:28:23.670 --> 01:28:26.870
der Winkel, die wir hier an der Stelle verwendet haben, wenn man da

01:28:26.870 --> 01:28:32.410
Euler -Parameter nimmt, also Quaternionen, die noch irgendwie eine

01:28:32.410 --> 01:28:35.730
Abhängigkeit haben, aber dort gibt es eben beim Integrieren keine

01:28:35.730 --> 01:28:36.370
Schwierigkeiten.

01:28:37.950 --> 01:28:40.370
Gibt es soweit noch Fragen?

01:28:49.460 --> 01:28:58.020
Wenn nicht, dann sind wir für heute am Ende der Vorlesung angekommen.

01:29:01.640 --> 01:29:04.880
Es findet im Anschluss jetzt gleich eine Übung statt.

01:29:05.620 --> 01:29:08.260
Wir sehen uns wieder heute in einer Woche.

01:29:09.720 --> 01:29:11.780
Mit Osterferien wird es dieses Jahr leider nichts.

01:29:12.400 --> 01:29:13.680
Soweit für heute, vielen Dank.