Wir hatten uns in der letzten Vorlesung mit der Orientierung bzw.
mit der Winkelgeschwindigkeit von Körpern bzw.
ganz allgemein zunächst einmal von Bezugssystemen beschäftigt und
kommen jetzt heute zu den Bewegungsgleichungen bzw.
zu den Eulerschen Kreiselgleichungen.
Nun, die allgemeine Kinetik von einem starren Körper, die wird meist
auch Kreiseltheorie genannt und
wenn wir zunächst einmal die Freiheitsgrade von so einem starren
Körper abzählen, dann wissen wir, wenn wir irgendeinen Punkt des
starren Körpers nehmen, dann können wir den zunächst einmal in drei
Raumrichtungen verschieben.
Also, wenn wir den Körper haben und den Punkt P1, den ersten
Bezugspunkt, dann können wir den in drei Raumrichtungen verschieben, d
.h.
der Punkt hat drei Freiheitsgrade.
Falls der Punkt P1 der Lage nach festliegt, dann wissen wir, ein
beliebiger Punkt P2, der kann sich jetzt auf einer Kugeloberfläche um
den Punkt P1 bewegen, also auf einer Kugeloberfläche um den Punkt P1,
d.h.
P2 hat dann nur noch zwei Freiheitsgrade.
Und wenn wir jetzt den dritten Punkt nehmen, der nicht auf der Geraden
zwischen P1 und P2 liegt, P3, dann wissen wir, wenn P1 und P2
festliegen, dann kann sich der Punkt P3 nur noch bewegen auf einer
Kreisbahn um die Achse, die durch P1 und P2 geht, also der Punkt P3
bewegt sich dann auf einer Kreisbahn,
hat damit lediglich noch einen Freiheitsgrad,
so dass wir sehen, der Stahlkörper hat letztendlich sechs
Freiheitsgrade.
Also wenn ich eine Ecke festhalte, dann kann sich die zweite Ecke eben
auf einer Kugeloberfläche um den ersten Punkt bewegen und wenn ich
zwei Punkte irgendwo im Raum festhalte, dann kann ein dritter Punkt
des Körpers sich eben nur noch auf einer Kreisbahn bewegen.
Wenn wir einen Punkt des Körpers festhalten,
dann spricht man auch von einem Kreisel und
gut, wenn wir zwei Punkte festhalten, dann haben wir im Grunde
genommen eine raumfeste Drehachse, das ist ein Fall, den wir schon im
letzten Semester eigentlich diskutiert hatten.
Man hat dann lediglich noch einen Freiheitsgrad.
Und wenn man den allgemeinen Stahlkörper hat, der sich in sechs
Freiheitsgraden hat,
dann müssen wir auch entsprechende Bewegungsgleichungen formulieren
können.
Also bei sechs Freiheitsgraden ergeben sich dann sechs
Bewegungsgleichungen.
Was sind das?
Das sind zum einen die Gleichungen aufgrund des Schwerpunktsatzes,
das nämlich die Gesamtmasse des Körpers
multipliziert mit der Beschleunigung, in dem Falle wichtig, der
Beschleunigung des Schwerpunktes.
Gerade entspricht der Summe der äußeren Kräfte auf den Körper.
Kürzen wir die Summe der äußeren Kräfte mal mit dem Kraftvektor f ab.
Also m war die Gesamtmasse,
rs der Ortsvektor zum Schwerpunkt und
f die Summe der äußeren Kräfte.
Hinzu kommt jetzt, das ist eine Vektorgleichung, aber wir wissen, der
Ortsvektor und der Kraftvektor, die haben jeweils drei Richtungen,
oder wir können Komponenten oder Koordinaten formulieren bezüglich
drei Richtungen.
Das heißt, das entspricht letztendlich drei skalaren Gleichungen.
Jetzt fehlen noch drei weitere skalare Gleichungen,
nämlich infolge des Trallsatzes,
den wir hier bezüglich des bewegten Schwerpunktes formulieren.
Also hier bezüglich dem bewegten Schwerpunkt.
Das geht genauso gut, auch wenn wir einen raumfesten Punkt des Körpers
haben, denken Sie an ein Pendel, dort haben wir einen Punkt des
Körpers, der sich nicht bewegt.
Auch dann können wir den Trallsatz eben bezüglich so einem festen
Punkt formulieren, führt zu ganz ähnlichen Gleichungen.
Also, auch für festen Punkt nennen wir den mal einfach O.
Und dann besagt der Trallsatz, dass die Ableitung des Tralles im
Inertialsystem, und beim Trall müssen wir immer einen Bezugspunkt
angeben, wir haben gesagt, wir machen das bezüglich des Schwerpunktes
oder später bezüglich des festen Punktes O, also L bezüglich S,
abgeleitet nach der Zeit im Inertialsystem, ist Summe der Momente,
aufsummiert über K, und zwar die Momente, das können freie Momente
sein, das können aber auch Momente von Kräften sein, bei Kräften
müssen wir dann wieder einen Bezugspunkt S angeben, den selben
Bezugspunkt wie beim Trall, das gibt also das Gesamtmoment M bezüglich
S, L bezüglich S war der Gesamttrall,
M das resultierende Moment,
und zwar beides bezüglich dem Schwerpunkt S oder auch dem festen Punkt
O.
Also hier bezogen auf S.
Nun den Trall, den hatten wir bisher so richtig nur für die
Ebenebewegung, beziehungsweise eben für Massenpunktsysteme, da müssen
wir im Grunde genommen hier den Körper wieder diskretisieren,
beziehungsweise aufteilen in infinitesimal kleine Massenelemente,
deren Trall bestimmen und dann aufsummieren und bei infinitesimalen
Größen, heißt es wieder aufintegrieren, also Trall durch Integration
von differenziell kleinem Trall
eines Massenelementes dm.
Wir wissen, der differenzielle kleine Trall eines Massenelementes, der
beträgt gerade dL bezüglich S, ergibt den Vektor vom Bezugspunkt, das
war S, zum Massenelement, kreuz dem Impuls, das war V dm.
Der Gesamtrall, wie gesagt,
ergibt sich dann durch Integral über den gesamten Körper, das heißt in
dem Falle Integral über die gesamte Masse M.
Das heißt, wenn wir das mal machen, dann liegt es nahe, dass wir die
Geschwindigkeit eines Massenelementes wieder ausdrücken, über die
Geschwindigkeit eines Bezugspunktes, plus, jetzt müssen wir noch
aufpassen, die zeitliche Änderung des Vektors vom Bezugspunkt zum
Massenelement, das ist auf dem Körper ein konstanter Vektor, das
heißt, eine zeitliche Änderung kann sich nur ergeben dadurch, dass der
Vektor sich dreht, das war gerade der Anteil Omega kreuz dem Vektor.
Also, die Geschwindigkeit V des Massenelementes ergibt sich aus der
Geschwindigkeit eines Bezugspunktes und wenn wir alles auf den
Schwerpunkt beziehen, dann wird es nahe liegen, als Bezugspunkt den
Schwerpunkt zu wählen, plus eben Omega kreuz dem Vektor vom
Bezugspunkt zum Massenelement, also plus Omega, das ist die
Winkelgeschwindigkeit des Körpers im Inertialsystem, kreuz dem Vektor
von S zum Massenelement, ich nenne das mal P, an dem soll sich das
Massenelement befinden.
Wir setzen das in den Drall ein, das ergibt L bezüglich S gleich,
jetzt haben wir RSP kreuz einer Summe, das können wir aufteilen
integral über die gesamte Masse, dann haben wir zunächst mal RSP kreuz
Vs dm plus integral über die gesamte Masse Und dann haben wir als
nächstes das RSP Kreuz-Omega-Kreuz-RSP-DM.
Beim ersten Integral, da sehen wir, die Geschwindigkeit des
Schwerpunktes ist bei der Integration eine Konstante, weil die nicht
vom Massenelement abhängt.
Das war eine konstante Geschwindigkeit des Schwerpunktes, eine einzige
Größe.
Die hängt zwar vielleicht von der Zeit ab, aber nicht vom
Massenelement, was wir hier betrachten.
Das heißt, wir können das Ganze schreiben als Integral über die
gesamte Masse RSP-DM Kreuz-VS,
und wenn Sie sich an die Definition des Schwerpunktes zurückerinnern,
dann ist dieses Integral RSP-DM gerade Null, soweit gerade der
Schwerpunkt definiert.
Also das ist Null, sodass einzig und allein übrig bleibt L bezüglich S
ergibt das zweite Integral, also Integral über die gesamte Masse RSP
Kreuz Omega Kreuz RSP-DM.
Das heißt, als Gleichungen, die wir aufstellen können, um die Bewegung
des Körpers zu beschreiben, haben wir jetzt zunächst mal Summe
der äußeren Kräfte gleich M mal RS2-Punkt und die Summe der äußeren
Momente bezüglich S, das ist ein Vektor, das muss gerade sein, der
Vektor, der entsteht, wenn wir den Drall im Inertialsystem nach der
Zeit ableiten, und zwar den Drall bezüglich des Schwerpunktes.
Und L bezüglich S, wie gesagt, das Integral RSP Kreuz Omega Kreuz RSP
-DM.
Insgesamt sechs skalare Gleichungen.
Oft sind F und M gekoppelt, dann sind natürlich auch die
Bewegungsgleichungen gekoppelt.
Also oft F und M bezüglich S abhängig voneinander,
das heißt, die Gleichungen sind gekoppelt.
Wenn allerdings ein Kreisel vorliegt,
dann haben wir einen Punkt fest,
dann liegt es nahe, als Bezugspunkt diesen Punkt zu wählen.
Es gibt dann nur noch drei Drehfreiheitsgrade, also drei
Drehfreiheitsgrade und die entsprechenden drei Bewegungsgleichungen,
die halten wir Summe der Momente bezüglich dieses festen Bezugspunktes
O, muss gerade sein der Ableitung des Dralls bezüglich dem selben
Bezugspunkt O nach der Zeit und zwar wiederum abgeleitet im
Inertialsystem.
Und L bezüglich O war dann in dem Falle ganz analog zum oberen
Integral, allerdings jetzt Rsp ersetzt durch Rop, Kreuz Omega, Kreuz
Rop, dm.
Wir wissen auch, wenn ein raumfester Punkt vorliegt, der sich nicht
bewegt, dann ist die Geschwindigkeit eines Punktes gerade Omega Kreuz
dem Vektor vom festen Punkt zum Massenelement.
Und das war gerade das Omega Kreuz Rop.
Nun, die Gleichungen, die sehen sehr einfach aus, das haben wir jetzt
gesehen.
Wir haben jetzt hier mal so einen Kreisel mitgebracht.
Was ist jetzt hier eigentlich der Kreisel?
Und der Kreisel, das ist der starre Körper, der sich hier in der Mitte
drehen kann.
Und wenn der Mechaniker das alles gut ausgerichtet hat, dann sehen
Sie, der Schwerpunkt, der liegt auf den Schnittachsen der einzelnen
Drehachsen.
Das heißt, der Schwerpunkt ist in dem Falle unbewegt.
Also man hat wirklich einen Kreisel vorliegen.
Wir haben einen festen Drehpunkt O, das sieht man jetzt nur nicht so
richtig, weil man hat ja noch drei Freiheitsgrade, was wir natürlich
in dem Falle auch haben, das dürfen wir nicht vergessen.
Wir haben den starren Körper natürlich nicht so gelagert, dass wenn
der sich verdreht, von ihm oder von der Umgebung keine Momente auf ihn
wirken können.
Warum?
Nun, wenn ich jetzt hier irgendeinen Moment wirken lasse, dann beginnt
der natürlich schon sich zu verdrehen.
Aber wenn er sich verdreht, dann leuchtet uns ein, es gibt Reibung in
den Gelenken.
Wir haben drei Drehachsen, die erste Drehachse, eine vertikale
Drehachse.
Dann haben wir eine zweite Drehachse und die dritte Drehachse.
Ähnlich wie bei Kardanwinkeln.
Letztes Mal hatten wir Eulerwinkel.
Ich habe gesagt, Kardanwinkel heißt 1-2-3-Achse drehen.
Das wäre also die 1-Achse, die 2-Achse und die 3-Achse.
Dementsprechend kann der auch eine beliebige Orientierung annehmen.
Aber wenn er die Orientierung ändert, dann müssen zwangsweise auch die
Rahmen sich verdrehen und die in den vorderen Reihen, die sehen es
zumindest, die Rahmen sind schon sehr massiv, also die werden
natürlich auch Trägheitseigenschaften haben und insofern können wir
das anschauungsmäßig alles hier zeigen, aber da sind noch weitere
Effekte eigentlich drin.
Was haben wir?
Wenn ich jetzt, also Sie sehen auch, ganz ausgerichtet ist er nicht,
er versucht sich da immer irgendwie zu drehen.
Es ist auch schwierig, die Achse da so zu justieren.
Was aber jedem natürlich einleuchtet ist, wenn ich an der Stelle einen
Gewicht hinhänge, dann gibt es einen Moment bezüglich des festen
Punktes O.
Also wird es eine Drehung bezüglich dem festen Punkt O geben.
Und wie sieht die Drehung aus?
Die erfolgt um die mittlere Achse, also um die Zweiachse.
Sehen wir auch, fällt runter.
Und wir sehen, na gut,
wenn das jetzt nach unten kippt, dann kann ich hier außen am Rahmen
drehen, wie ich will.
Den kriege ich natürlich nicht hoch, weil ich muss ja im Moment in die
Achse übertragen.
So, jetzt lassen wir mal den Kreisel drehen.
Jetzt wäre es natürlich gut, wenn irgendjemand die Schnürsenkel
auszieht und wir den richtig andrehen können.
Ich versuche es trotzdem mal so ein bisschen von Hand zu machen.
Und jetzt hängen wir wieder das Gewicht hier ran und wir sehen, jetzt
geht es gar nicht runter.
Es wackelt zwar noch ein bisschen, weil ich es abspingen lassen.
Man sieht auch, es wird natürlich ein bisschen abgebremst, durch die
Reibung, das habe ich gesagt, aber ich kann jetzt, wenn ich kurz
hergehe, kann ich es wieder nach oben bringen.
Also wenn es mir zu weit runter geht, dann drehe ich einfach am
äußeren Rahmen und vorher hat es natürlich nichts gebracht, aber jetzt
plötzlich geht das Gewicht, je nachdem wie ich drehe, nach oben oder
nach unten.
Das sind alles Dinge, wenn man diese zum ersten Mal sieht, dann ist es
schon ein bisschen verwunderlich.
Aber wie gesagt, Kreiseltheorie, ich weiß nicht, ob ich es jetzt
gesagt habe oder nicht, aber auch mathematisch durchaus anspruchsvoll.
Und das ist das, was letztendlich mal einen
Universitätsmaschinenbauer, auch von einem Fachhochschulmaschinenbauer
vielleicht unterscheiden sollte, dass man auch solche räumlichen
Bewegungen dann mal ein bisschen nachvollziehen kann, obwohl man es
wahrscheinlich nicht so auf die Schnelle sich reintrichtern kann.
Es gibt auch wirklich so dicke Bücher über Kreiseltheorie, wo dann die
verschiedenen Effekte aufgeführt sind.
Wir können hier praktisch nur einen ganz kleinen Ausschnitt bringen.
Aber das vielleicht zur Motivation.
Nun das Ganze fängt schon an, wenn man die Gleichungen entsprechend
auswerten will.
Das F gleich m mal r ist 2 Punkt, das hatten wir im Grunde genommen
schon hergeleitet bei der ebenen Bewegung.
Wenn Sie dort einfach mal nachschauen, dort hatten wir eigentlich bei
der Herleitung des Schwerpunktsatzes Summe der äußeren Kräfte gleich
Gesamtmasse des Körpers mal Beschleunigung des Schwerpunktes.
Dort hatten wir eigentlich an keiner Stelle vorausgesetzt, dass es
wirklich eine ebene Drehung ist.
Das hatten wir erst danach beim Trallsatz, weil wir uns dort auf die
eine Komponente beschränkt haben und gesagt haben, na gut, die
Winkelgeschwindigkeit zeigt immer in dieselbe Richtung und dann kommt
das und das heraus.
Also, Auswertung des Impulssatzes und
die Herleitung wie zuvor.
Ähnlich der ebenen Bewegung, nur dass jetzt noch hinzukommt die dritte
Raumrichtung, also Masse mal der Beschleunigung in Z-Richtung, gleich
Summe der Kräfte in Z-Richtung, so kann man es sich vorstellen.
Auswertung des Trallsatzes.
Da müssen wir jetzt beachten, dass ja die Differentiation nach der
Zeit nicht in einem x-beliebigen oder körperfesten Bezugssystem
geschehen soll, sondern dass die Ableitung des Tralls im
Inertialsystem zu erfolgen hat.
Also Ableitung im
Inertialsystem zu bilden.
Und später, jetzt gleich im Anschluss dran werden wir sehen, dass es
natürlich zweckmäßig ist, den Trall zunächst im körperfesten
Bezugssystem aufzustellen.
Also zunächst Aufstellung oder Berechnung des Tralls im körperfesten
Bezugssystem.
Nennen wir das mal Bezugssystem K für Körper.
Dann ist aber die Ableitung im Inertialsystem.
Was?
Die Ableitung des Tralls,
beziehungsweise Schwerpunkt nach der Zeit, im körperfesten
Bezugssystem.
Plus jetzt die Winkelgeschwindigkeit des Systems, in dem wir zunächst
ableiten, bezüglich dem System, in dem wir die Ableitung bilden
wollen, kreuz dem Vektor, den wir ableiten wollen, das ist also das L
bezüglich S.
Und wir wissen ja gut, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers im
Inertialsystem, das war genau die Winkelgeschwindigkeit, die wir hier
auch angesetzt haben.
Weil wir jetzt keine verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten haben, ist
das im Grunde genommen das Omega.
Wenn wir uns zurückerinnern, dann wissen wir ja gut, der Impuls eines
starren Körpers, das war gerade die Gesamtmasse,
mal die Geschwindigkeit des Schwerpunktes, also eine relativ einfache
Formel.
Wie sieht das aus für unseren Trall, den wir ja benötigen, um den
Trallsatz auswerten zu können?
Nun der Trall,
der war gegeben, Integral über die gesamte Masse.
Wenn wir uns wieder auf den Schwerpunkt beziehen, RSP, Kreuz Omega,
Kreuz RSP, dm.
Bisher hatten wir das Omega immer irgendwie rausziehen können, jetzt
haben wir plötzlich das Omega in der Mitte stehen, wir können es also
nicht mehr so ohne weiteres als Konstante vor das Integral ziehen.
Wir wissen zwar, das Omega ist für jeden Punkt des Körpers dasselbe,
hängt also nicht vom Massenelement dm ab, aber wie können wir das als
Konstante vor das Integral ziehen?
Nun, wir können den Entwicklungssatz der Vektorrechnung benutzen.
Dann steht da nämlich Integral und dann haben wir Omega multipliziert
mit dem Skalarprodukt von RSP mit RSP.
Das gibt letztendlich RSP².
Man sieht, das ist eine Skalargröße, multipliziert mit dem Vektor,
gibt wieder einen Vektor,
Minus, und jetzt haben wir hier RSP multipliziert mit dem
Skalarprodukt von RSP mit Omega.
Jetzt können wir das Omega immer noch nicht rausziehen.
Jetzt können wir aber eines machen.
Wir wissen, RSP multipliziert mit dem Skalarprodukt von RSP mit Omega,
das können wir mit Hilfe von dem Tensor ausdrücken.
Das ergibt nämlich gerade,
was haben wir dann stehen?
Hier hinten haben wir Minus RSP dyadisch mit RSP und das ganze Skalar
multipliziert mit Omega.
Das war also dieses Minus RSP mal dem Skalarprodukt von RSP mit Omega.
So ist gerade ein Tensor zweiter Stufe definiert.
Wenn wir den Tensor zweiter Stufe von links Skalar mit Omega
multiplizieren, dann gibt es RSP mal dem Skalarprodukt von den beiden.
Oder wenn ich den Tensor von links mit Omega multipliziere, dann gibt
es das Skalarprodukt von Omega mit RSP mal dem Vektor RSP.
Da in dem Falle RSP dyadisch mit RSP steht, spielt es eigentlich keine
Rolle, weil das ja zwei gleiche Vektoren sind.
Jetzt haben wir nur die Frage, wie sieht es mit RSP² aus?
Das ist ja eine Skalargröße.
Und jetzt habe ich hier einen Tensor zweiter Stufe, will auch vorne
einen Tensor zweiter Stufe machen.
Dann sage ich einfach, das ist RSP² multipliziert mit dem
Einheitstensor.
Gut, den können wir jetzt mit E oder mit U oder wie auch immer.
Ich mache es mal so, Einheitstensor.
Einheitstensor.
Das ergibt dann gerade, wenn wir den multiplizieren mit Omega,
dann gibt es gerade wieder Omega.
So ist der Einheitstensor definiert.
So, DM.
Und jetzt sehen wir, jetzt haben wir den großen Vorteil.
Jetzt haben wir einen Ausdruck, Skalar mit Omega multipliziert, minus
einen anderen Ausdruck, Skalar mit Omega multipliziert.
Das heißt, wir können jetzt das Omega ausklammern.
Haben dann RSP² mal Einheitstensor minus RSP, dyadisch mit RSP.
Skalar mit Omega multipliziert, DM,
also Integral über die gesamte Masse.
Und dann haben wir RSP² mal U minus RSP, dyadisch mit RSP, DM.
Und das ganze Skalar mit Omega multipliziert.
Jetzt haben wir also eine Darstellung, ähnlich wie ganz oben mit dem
Impuls.
Das Omega haben wir jetzt rausgezogen.
Und man sieht, der Rest, das Integral, das hängt jetzt wirklich nur
noch von der Verteilung der Masse auf dem Körper aus.
Das ist insgesamt jetzt ein Tensor zweiter Stufe, wird schon mal mit
Tensoren gerechnet.
Wie haben Sie da die Tensoren dargestellt?
Und wenn Sie das Koordinatensystem gedreht haben?
Da hat sich der Tensor geändert, oder?
So, das war die Antwort, die ich erwartet habe.
Warum?
Aus seinen Fehlern hat er mehr gelernt als aus seinen richtigen
Antworten.
Der Tensor selber hat sich natürlich nicht geändert, sondern nur die
Darstellungsform.
Der Spannungstensor beschreibt mir den Spannungszustand an einem
Punkt.
Und der Punkt weiß ja nicht, welche Koordinatenrichtungen ich
einführe.
Das ist ihm auch völlig egal.
Der hat einen Spannungszustand und ganz ähnlich einen
Verzerrungszustand.
Und den muss ich beschreiben.
Und ein bisschen einfacher sieht man es, wenn man einen Tensor erster
Stufe nimmt.
Was ist ein Tensor erster Stufe?
Das ist ein Vektor.
Und bei einem Vektor, da habe ich es glaube ich auch schon gesagt,
wenn wir da die Koordinaten in eine Matrix reinschreiben, dann ist das
eigentlich eine Matrix und kein Vektor, weil der Vektor hat die
Richtungsinformation eigentlich noch.
Aber wir müssen natürlich irgendwann mit dem Ganzen rechnen.
Das heißt, wir führen Koordinatenrichtungen ein oder Einheitsvektoren.
Und rechnen dann mit den Koordinaten und wissen genau, wenn sich die
Einheitsvektoren ändern, sprich wenn wir einfach andere
Einheitsvektoren oder Koordinatenrichtungen nehmen, dann ändern sich
auch die Koordinaten selbst.
Das Ergebnis, was letztendlich dahinter steckt, das wird dasselbe
sein.
So ähnlich ist es hier auch.
Wir haben jetzt hier einen Tensor zweiter Stufe, das steht jetzt im
Prinzip.
Wenn R, S, P, ich sage mal X, Y und Z, einfach die Koordinaten in drei
Richtungen sind, dann haben wir hier R, S, P, diadisch mit R, S, P
wäre dann X mal X mal E, X diadisch mit E, X.
Plus X, Y, E, X diadisch mit E, Y und so weiter.
Und Sie sehen, wenn Sie jetzt das Skalarprodukt bilden mit Omega, dann
können Sie das Omega mit ganz anderen Einheitsvektoren ausdrücken.
Es müssen nicht E, X, E, Y und E, Z sein.
Aber wenn Sie das Skalarprodukt bilden, dann treten auf die
Skalarprodukte einen Einheitsvektor von Omega mit E, X, Einheitsvektor
von Omega mal E, Y und so weiter.
Sie müssen dann also die Orientierung der verschiedenen Sets von
Einheitsvektoren zueinander kennen.
Letztendlich wieder die Drehmatrix, die dazwischen steht.
Ganz einfach, also lange Rede, kurzer Sinn, die Darstellungsform hat
den Vorteil, der Trägheitstensor, den müssen Sie nicht jetzt unbedingt
bezüglich derselben Basis aufstellen, wie das Omega, das ist noch
völlig allgemein.
Da haben wir nichts von Basisvektoren oder so gesagt.
Eine andere Möglichkeit, das ist wahrscheinlich für die Studenten die
eingängigere, die besteht jetzt darin, dass wir den Trall RSP Kreuz
Omega Kreuz RSP über entsprechende Koordinaten direkt auswerten.
Das hat aber den Nachteil, wir müssen sowohl das Omega wie auch das
RSP bezüglich derselben Basis ausdrücken, sonst haben wir wieder
Schwierigkeiten beim Kreuzprodukt.
Also die andere Möglichkeit ist jetzt die, wir sagen
RSP gleich Omega gleich, und zwar wählen wir jetzt einfach mal
Einheitsvektoren.
Jetzt mache ich mich wahrscheinlich wieder unbeliebt bei den
Studenten, aber ich sage immer, bei mir lernt man im Vorbeilauf noch
so ein bisschen Griechisch.
All diejenigen, die den billigen Griechenlandurlaub im Sommer
anstreben, die sind froh, dass sie wenigstens die Schrift lesen
können.
Nämlich RSP gleich eine Koordinate Xi Strich in Richtung des
Einheitsvektors E Xi Strich plus Eta Strich Einheitsvektor E Eta
Strich plus Zeta Strich E Zeta Strich und genauso Omega, da haben wir
jetzt Omega Xi Strich E Xi Strich plus Omega Eta Strich E Eta Strich
plus Omega Zeta Strich E Zeta Strich.
Wie gesagt, wir müssen das bezüglich derselben Basis machen.
Und an der Stelle müssen wir uns schon darüber im Klaren sein, wir
müssen ja über die gesamte Masse integrieren.
Um jetzt nicht während der Bewegung sich ändernde Grenzen der
Integration zu haben, liegt es nahe, dass wir eine körperfeste
Beschreibung machen.
Weil dann eben die Integration immer dieselbe ist, die
Integrationsgrenzen sind dieselben.
Also, wenn ich von so einem schönen symmetrischen Körper die
entsprechenden Integrationsgrenzen nehme, dann liegt es wahrscheinlich
nahe, dass wir als Achsen körperfeste Achsen nehmen, die gerade den
Symmetrieachsen entsprechen.
Und ich weiß auch, ich muss von, was weiß ich, minus b halbe bis plus
b halbe integrieren, integrieren von minus l halbe bis l halbe und
von, was weiß ich, minus t halbe bis t halbe, je nachdem, wie ich die
Längen da bezeichne.
Und dann wird die Integration eben sehr leicht durchführbar.
Also, lange Rede, kurzer Sinn, e Xi', e Eta' und e Ceta' sind in dem
Falle körperfeste Achsen, aber sonst noch relativ beliebig.
Also, e Xi', e Eta', e Ceta', körperfeste Einheitsvektoren,
bezüglich derer wir sowohl die Lage eines Punktes, sprich den Vektor
vom Schwerpunkt zum Punkt, ausdrücken wie auch die
Winkelgeschwindigkeit.
Und jetzt sehen wir, jetzt haben wir zunächst mal das Kreuzprodukt
Omega Kreuz RSP.
Und wenn wir das einsetzen, dann erhalten wir gerade, ich gebe nur das
Ergebnis an, Omega Eta', Ceta', minus Omega Ceta', Eta', in Richtung
von e Xi'.
Und jetzt wird einfach zyklisch vertauscht.
Also plus, und es steht hier, Omega Ceta', Xi', minus Omega Xi',
Ceta', in Richtung von e Eta', plus eben zum Schluss Omega Xi', Eta',
minus Omega Eta', Xi', in Ceta' Richtung.
Und jetzt erlaube ich mir mal, die Koordinaten des doppelten
Kreuzprodukts bezüglich e Xi', e Eta', und e Ceta', auch in die Matrix
reinzuschreiben.
Also ich drücke es mal ein bisschen unsauber aus.
RSP Kreuz Omega Kreuz RSP gibt dann, so wie Sie es meistens gewohnt
sind, alles als Matrix zu schreiben, Omega Xi', Eta', minus Omega
Eta', Eta', Ceta', minus Omega Ceta', Xi', Eta', plus Omega Xi',
Ceta', in der zweiten Zeile Omega Eta', dann haben wir Ceta', Minus,
ich schreibe jetzt mal Punkt, Punkt, Punkt, Punkt, das müssen Sie
einfach durch zyklische Vertauschung sich anschreiben, das können wir
uns hier sparen, dann wäre hier Omega Eta', Xi', Quadrat,
das heißt,
wir können jetzt anschreiben, L bezüglich S ergibt, das war die
Koordinate des Integranten bezüglich e Xi', also müssen wir noch
integrieren, nun man sieht, wenn wir jetzt hier noch das Integral
davor schreiben und über die Masse integrieren, dann können wir jetzt
wirklich Omega Xi' als Konstante rausziehen, das Omega Eta' können wir
als Konstante rausziehen, das Omega Ceta' können wir als Konstante
rausziehen, das heißt, wir halten jetzt gerade, j Xi', Omega Xi', in E
Xi' Richtung, und zwar sehen wir, j Xi' muss sein,
Eta' Quadrat plus Ceta' Quadrat und das Ganze integriert über die
gesamte Masse.
Also das muss sein, Integral über die gesamte Masse, Eta' Quadrat plus
Ceta' Quadrat dm.
Eine ähnliche Größe hatten wir schon im letzten Semester bei der
Ebenenbewegung, das war das Massenträgheitsmoment bezüglich einer
Achse, die senkrecht zur Eta' beziehungsweise Ceta' Achse war.
So, was haben wir noch?
Dann haben wir plus irgendwas mal Omega Eta', also plus j Xi' Eta'
Omega Eta' und wir sehen, das j Xi' Eta' muss dann gerade sein minus
das Integral Eta' Ceta'
dm plus, dann haben wir j Xi' Ceta' mal Omega Ceta' und dazu muss das
j Xi' Ceta' gerade sein, minus Integral über die Masse
Ceta' Xi' dm plus,
jetzt kommt die nächste Zeile, dort sieht es ganz ähnlich aus, dort
haben wir dann j Xi' Eta' Omega Xi'
wir könnten das auch als j Eta' Xi' bezeichnen, das entspricht aber
gerade wieder dem Minus Integral Eta' Ceta' plus jetzt j Eta' Omega
Eta' j Eta' ist in dem Falle Integral über die gesamte Masse und dann
haben wir da drinstehen, Xi-Strich Quadrat plus Zeta-Strich Quadrat.
Plus als nächstes J Eta-Strich Zeta-Strich mal Omega Zeta-Strich und
das Ganze in Richtung von E Eta-Strich und J Eta-Strich Zeta-Strich
ist dann Minus das Integral über die gesamte Masse Eta-Strich Zeta
-Strich dm und in der letzten Zeile ganz analog dann noch J Xi-Strich
Zeta -Strich Omega Xi-Strich plus J Eta-Strich J zeta Strich, Omega
eta Strich, plus J zeta Strich, Omega zeta Strich, in E zeta Strich
Richtung.
Und das J zeta Strich war dann integral über die gesamte Masse und
dann haben wir drin stehen, Xi Strich Quadrat plus Eta Strich Quadrat.
DM,
das heißt J Xi Strich, J Eta Strich und J Zeta Strich.
Da wird ja über Quadrate
aufintegriert, das heißt die sind immer größer oder höchstens im
Modellfall gleich 0.
Das sind die Massenträgheitsmomente.
Und entsprechend die
anderen Größen, J Xi Strich, Eta Strich,
J Xi Strich, Zeta Strich und J Eta Strich, Zeta Strich, die
sogenannten Deviations- oder Zentrifugalmomente.
Damit sehen wir die Koordinaten des Tralls in dem körperfesten
Bezugssystem.
Die lassen sich sehr leicht aus einer Matrizenmultiplikation
bestimmen.
Koordinaten des Tralls aus einer Matrizenmultiplikation.
Man sieht, der Trall ist dann einfach die Matrix, in die wir die
axialen Massenträgheitsmomente bzw.
die Deviationsmomente reinschreiben.
J Xi Strich, J Xi Strich, Eta Strich, J Xi Strich, Zeta Strich, hier J
Xi Strich, Eta Strich, J Eta Strich und J Eta Strich, Zeta Strich.
Zum Schluss noch jxi-strich, zeta-strich, jeta-strich, zeta-strich und
jzeta -strich.
Multipliziert mit eben den Koordinaten des
Winkelgeschwindigkeitsvektors, das war omega-xi-strich, omega-eta
-strich und omega-zeta-strich.
Wie gesagt, relativ einfach, über eine Matrizmultiplikation,
allerdings dann alle Größen müssen bezüglich derselben Basis dann
ausgedrückt werden.
Und ganz klar, diese Matrix, sagt man die Trägheitsmatrix, man sieht,
das ist eine symmetrische Matrix, ich habe schon die Symmetrie da
eingesetzt, wir könnten auch das als jeta-strich, xi-strich
bezeichnen, das entsprechend als jzeta-strich, xi-strich, dann wären
das neun Elemente, aber von denen wären zwei jeweils gleich.
Also man hat auf jeden Fall eine symmetrische Matrix, ähnlich wie beim
Spannungs - und Verzerrungstensor.
Und wie gesagt, das ist das, was Sie wahrscheinlich gewohnt sind, wenn
man Tensoren hat, man lege sich Richtungen fest, drücke dann die
Koordinaten des Tensors bezüglich dieser Richtungen entsprechend aus,
ordne das Ganze in eine Matrix, die Matrixdarstellung, die ändert
sich, wenn die Koordinatenrichtungen sich ändern, das ist dann die
Schwierigkeit, die man dabei hat.
Gibt es soweit noch Fragen?
Also ich sage mal, das ist jetzt die Trägheitsmatrix, ich schreibe
jetzt nicht mehr explizit hin, das ist immer so viel Schreibarbeit,
und da ich den zweiten Block Vorlesung hatte, den dritten Block
Vorlesung hatte und jetzt schon wieder einen Block Vorlesung habe,
adert das in Schwerarbeit manchmal aus.
Also das war die Matrixdarstellung des
Trägheitstensors, wie gesagt, die allgemeine Darstellung als Tensor,
das haben wir versucht auf der linken Seite mal ein bisschen
anzudeuten.
Streng genommen, wenn wir so eine Matrixdarstellung wählen, dann
müssten wir eigentlich immer an die Matrix noch heranschreiben, dass
das für die Achsen Xi-Strich, Eta-Strich und Zeta-Strich ist.
Jetzt mal habe ich die Achsen so kompliziert gezeichnet, mit Xi
-Strich, Eta-Strich und Zeta-Strich, das hat natürlich den Grund, das
kennen Sie schon von Spannungs- und Verzerrungstensor, es gibt ganz
ausgezeichnete Richtungen, bezüglich derer die Matrixdarstellung sehr
einfach wird, das sind nämlich, wenn wir Hauptachsenrichtungen wählen.
Wenn also unsere Koordinaten Achsen in Richtung der Hauptachsen
zeigen, dann nimmt die Matrix eine ganz besonders einfache Form an,
nämlich Diagonalformen und auf der Diagonalen stehen dann eben die
Hauptträgheitsmomente.
Also, wie bei Spannungs- und Verzerrungstensor
existieren Hauptachsen oder Hauptachsenrichtungen,
bezüglich derer dann die Deviationsmomente verschwinden,
die axialen Drehmassen, die Massenträgheitsmomente werden dann
extremal.
Wir bezeichnen die entsprechenden Achsen jetzt einfach mit Xi, Eta und
Zeta, ohne das Strich.
Das heißt, die Matrix, ich nenne die mal Phi, werden gesagt als
Bezugspunkt S, ist dann einfach J Xi 0 0 0 J Eta 0 0 0 J Zeta und wir
können noch angeben, das ist alles bezüglich Xi, Eta, Zeta, das waren
die Hauptachsen.
Nun, wie findet man solche Hauptachsen?
Wir könnten jetzt, wenn wir nicht wissen, wo die liegen, uns
irgendwelche Achsen suchen.
Dann haben wir das Phi bezüglich, also die Trägheitsmatrix bezüglich
dieser Achsen, die ist dann im Allgemeinen natürlich voll besetzt mit
Deviationsmomenten, das hatte ich vergessen zu sagen, die natürlich
entweder positiv oder negativ sein können, je nachdem, wie die
Massenverteilung ist, bzw.
wie wir die Achsen gewählt haben.
Und dann führt letztendlich das Ganze zu einem Eigenwertproblem, das
machen wir an der Stelle jetzt nicht explizit.
Wir gehen das Ganze ein bisschen einfacher an, nämlich, wir sagen mal,
bei homogenen Körpern,
das sind Symmetrieachsen, Hauptachsen,
das heißt, wenn ich so einen schönen symmetrischen Block habe, dann
wird es natürlich sehr einfach sein.
Man sieht, wenn ich Xi, Eta und Zeta entlang der jeweiligen
Symmetrieachsen lege, dann kann ich relativ schnell zeigen, dass sich
in den Integralen, die ich jetzt oben stehen habe, für jeden Wert von
Xi -strich ein entsprechender Wert von Eta-strich einmal Plus und
einmal Negativ finden lässt, die sich dann gegenseitig wegheben,
sodass eben die Deviationsmomente sich dort explizit zu Null ergeben
müssen.
Und wenn wir die axialen Drehmassen bestimmen, also Berechnung der
Massenträgheitsmomente, da verweisen wir einfach auf die TM3.
Also, zusammenfassend gilt also für den Drall oder den Drehimpuls,
dass der Drall bezüglich S sich ergibt, entweder aus dem Skalarprodukt
des Tensors mit Omega oder wir rechnen mit Koordinaten und stellen
dann alle Koordinaten bezüglich der körperfesten Basis auf.
Wohlwissend, dass dann natürlich das Ergebnis sich auch in Form von
Koordinaten bezüglich der körperfesten Basis ergibt.
Wenn wir den Drall darstellen als, ich nehme mal Hauptachsen, Lxi,
Exi plus L-Eta, E-Eta plus L-Zeta, E-Zeta, das wäre jetzt bezüglich
Hauptachsen, dann wird ganz klar, jetzt wird es leicht, den
Drallvektor im körperfesten Bezugssystem abzuleiten, weil dann müssen
wir nur die Koordinaten ableiten.
Was wir aber brauchen, ist die Ableitung im Inertialsystem und deshalb
müssen wir dann zusätzlich eben dieses Kreuzprodukt berücksichtigen.
Das steckt dahinter.
Und wie gesagt, die Auswertung in körperfesten Koordinaten, weil eben
die Integration dort geschickt durchzuführen ist.
Es gibt noch einen Sonderfall, wo man sich nicht unbedingt auf eine
körperfeste Basis oder ein körperfestes Bezugssystem beziehen muss,
nämlich wenn zum Beispiel ein symmetrischer Kreisel vorliegt.
Wie jetzt der hier, der innere Körper, der jetzt rotiert.
Da ist es so, da sind die Koordinaten des Trägheitstensors konstant.
Natürlich für eine mitdrehende Basis, aber auch aufgrund der Symmetrie
für eine Basis, die bezüglich dem mittleren Rahmen fest ist.
Aber das ist jetzt voraus, dass praktisch ein symmetrischer Körper
vorliegt.
So, jetzt haben wir L bezüglich S gleich V bezüglich S mal Omega,
haben im Vergleich dazu den Impuls,
der war Masse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit.
Und wenn wir das scharf anschauen, dann sehen wir schon eine
Besonderheit, nämlich der Impuls, der hat dieselbe Richtung wie die
Schwerpunktsgeschwindigkeit.
Irgendwo vielleicht einleuchtend.
Beim Trall, da sehen wir, der Trall ist zwar eine Vektorfunktion von
Omega, der Trall selbst hat aber nicht unbedingt dieselbe Richtung wie
Omega.
Wenn nämlich die Matrix hier voll besetzt ist, dann sieht man sehr
schnell, dass dann Trall und Omega nicht das eine ein Vielfaches vom
anderen ist, sondern dass beide unterschiedliche Richtungen haben
können.
Und das bedingt natürlich ebenfalls zahlreiche Effekte, die eben sehr
viel komplizierter sind, als wenn wir nur den Impulssatz auswerten
müssen.
Und was wir an der Stelle auf jeden Fall machen können, ist die
Auswertung des Trallsatzes, wenn wir Hauptachsen verwenden.
Also ich fange mal an, Auswertung
in körperfesten Hauptachsen.
Der Trall
bezüglich S, da sehen wir, wenn Hauptachsen vorliegen, ist nur die
Diagonale besetzt.
Außerhalb der Diagonalen stehen die Null.
Das heißt, L Xi ist dann gerade J Xi mal Omega Xi in
Richtung von E Xi.
In Richtung von E Eta haben wir dann J Eta mal Omega Eta.
Plus J Eta Omega Eta in Eta-Richtung.
Und zum Schluss, da sehen wir 0 0 J Zeta.
Das ergibt bei der Multiplikation gerade J Zeta Omega Zeta in
Zeta -Richtung.
Beim Differenzieren müssen wir jetzt aufpassen.
Wie gesagt, wir leiten zunächst mal in der körperfesten Basis ab.
Das ergibt dann
J Xi Omega Xi Punkt.
Und an der Stelle kommt uns eben zu Hilfe, dass in körperfestem
Bezugssystem diese Integrale, die wir abgekürzt haben durch J Xi, J
Eta und J Zeta, dass die konstant sind, die ändern sich mit der Zeit
nicht.
Also J Xi Omega Xi Punkt in E Xi-Richtung plus genauso J Eta Omega Eta
Punkt in E Eta-Richtung plus J Zeta Omega Zeta Punkt in Zeta-Richtung.
Plus eben.
Und jetzt haben wir Omega Kreuz L, also Omega Xi E Xi plus Omega Eta E
Eta plus Omega Zeta E Zeta Kreuz.
Der Drall war J Xi Omega Xi E Xi plus J Eta Omega Eta in Eta-Richtung
plus J Zeta Omega Zeta in Zeta-Richtung.
Das muss gerade sein die Summe der Momente.
Das ist ein Vektor, den wir jetzt auch darstellen können über die
verschiedenen Einheitsvektoren E Xi, E Eta und E Zeta.
Also M Xi E Xi plus M Eta E Eta plus M Zeta E Zeta.
Eine Vektorgleichung.
Nun die Auswertung des Kreuzproduktes, die ist jetzt sehr leicht.
E Xi Kreuz E Xi ist Null.
E Xi Kreuz E Eta ist E Zeta.
E Xi Kreuz E Zeta ist Minus E Eta.
Es wird also Terme geben mit Plus und Minus-Vorzeichen.
Wir könnten das jetzt als eine Vektorgleichung anschreiben, aber es
ist natürlich eleganter, die einzelnen Koordinaten der Gleichung für
sich anzuschreiben.
Also was geht alles in E Xi-Richtung?
Davon hier oben J Xi Omega Xi Punkt.
Dann haben wir alles, was vom Kreuzprodukt in Xi-Richtung geht.
Das ist aber gerade Minus, ich gebe schon das Ergebnis an, J Eta minus
J Zeta mal Omega Eta Omega Zeta.
Und rechts haben wir in Xi-Richtung gerade M Xi, also gleich M Xi.
Als nächste Gleichung, nun die ergeben sich durch zyklisches
Vertauschen, haben wir J Eta Omega Eta Punkt Minus und jetzt steht
hier J Zeta Minus J Xi Omega Zeta Omega Xi gleich M Eta.
Und als dritte Gleichung J Zeta Omega Zeta Minus J Xi Minus J Eta mal
Omega Xi Omega Eta gleich M Zeta.
Das sind die Eulerschen Kreiselgleichungen in der skalaren
Schreibweise.
Und Bezugspunkt für die Massenträgheitsmomente bzw.
für die Momente auf der rechten Seite entweder S oder ein fester Punkt
O.
Man sieht, das sind Differentialgleichungen in erster Ordnung,
allerdings nicht linear, weil es treten in den Differentialgleichungen
Produkte der Größen Omega Xi, Omega Eta und Omega Zeta auf.
Also haben wir nicht lineare Differentialgleichungen und man sieht,
die Differentialgleichungen sind gekoppelt, also diese
Differentialgleichungen zu lösen ist gar nicht so einfach.
Es gibt natürlich Lösungen der Differentialgleichungen und man kann
dann auch hergehen und solche Lösungen auf Stabilität untersuchen.
Ich habe das mal versucht anzudeuten.
Eine Lösung ist zum Beispiel eine Bewegung, die so verläuft und das
sehen wir.
Das ist eine Drehung um die Achse mit dem größten
Massenträgheitsmoment, weil bezüglich der Achse haben die
Massenelemente maximalen Abstand.
Also das ist das Massenträgheitsmoment oder die Achse, bei der das
Massenträgheitsmoment am größten ist.
Genauso bei der Achse, bei der das Massenträgheitsmoment am kleinsten
ist, das ist die Längsachse, da verläuft die Bewegung auch relativ
stabil.
Wenn man allerdings die Bewegung untersucht, die rein theoretisch
möglich sein müsste, nämlich man hat eine Drehung um die Achse mit dem
mittleren Massenträgheitsmoment, das ist theoretisch möglich, aber
wenn dann kleine Störungen auftreten, dann kann man zeigen, dass die
Störungen aufklingen und das merkt man auch sofort, wenn Sie
versuchen, den, um trotz der Symmetrieachse da zu drehen zu lassen,
werden Sie es fast nicht schaffen, dass das relativ lange dreht, wie
Sie es wollen, es wird immer anfangen zu taumeln.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir heute am Ende der Vorlesung angelangt.
Wir dürfen auch mal eine Minute früher Schluss machen, obwohl wir am
Anfang die studentischen Gruppen doch einiges an Zeit weggenommen
haben, aber ich denke, wir sind noch gut im Geschäft.
Vielen Dank.