Wir haben in der letzten Vorlesung die freien Schwingungen behandelt
von einem Einfreiheitsgrad-System.
Das führt, wenn man Dämpfung hat, zu exponentiell abklingenden
Schwingungen.
Ohne Dämpfung sind es einfach harmonische Funktionen.
Und wie gesagt, jetzt erzwungene Schwingungen.
Nun wären die freien Schwingungen, wie gesagt, es ist ja im Grunde
genommen immer irgendwo Dämpfung vorhanden, mit der Zeit dann
letztendlich abklingen, sind gerade die erzwungenen Schwingungen
natürlich viel bedeutender, weil in vielen Fällen diese unerwünscht
sind, das ist das eine.
Es gibt aber auch durchaus Fälle, bei denen die Schwingungen erwünscht
sind.
Wann sind Schwingungen erwünscht?
Nun zum Beispiel bei einem Schwingförderer oder, ich nenne mal ein
weiteres Beispiel, das kennen die meisten jetzt wahrscheinlich nicht,
bei sogenannten Ultraschallmotoren.
Das sind Motoren, bei denen bestimmte Teile von dem System zu
Schwingungen erregt werden und wenn man dann irgendwas dagegen presst,
dann kann man sich vorstellen, na gut, wenn jetzt irgendein Teil so
eine Schwingung macht und ein Punkt sich ellipsenförmig bewegt, dann
wird das Ganze dann letztendlich weiter transportiert.
In so einem Fall wünscht man natürlich gerade die Schwingung.
Aber wie gesagt, in vielen Fällen sind die Schwingungen eher störend,
Beispiel beim Automobil oder bei irgendwelchen Geräuschen.
Und deshalb jetzt, was haben wir als Ausgangsdifferenzialgleichung?
Und die Bewegungsgleichung war mx2 Punkt plus k mal x Punkt plus c mal
x gleich eine Erregung f und t.
Wenn man sieht, x gleich 0 ist jetzt nicht mehr eine Lösung dieser
Differenzialgleichung.
x wird also ungleich 0 sein.
Also x von t identisch 0.
Keine Lösung mehr.
Auch für t gegen unendlich.
Jetzt kann man die verschiedensten Erregungen haben.
Wir beschränken uns hier auf den Fall einer harmonischen Erregung.
Also hier
Beschränkung auf
harmonische Erregung.
Das heißt, das f und t ist dann gerade sinusförmig oder kosinusförmig
oder einfach, wie gesagt, harmonisch.
Mit einer Amplitude f' und wir beschränken uns entweder auf den Fall
f' sinus Omega t oder f' mal Kosinus Omega t.
Der ganz allgemeine Fall wäre dann zum Beispiel f' Sinus von Omega t
plus einen Nullphasenwinkel.
Aber diesen Nullphasenwinkel können wir natürlich immer durch Wahl des
Zeitnullpunktes so hinbekommen, dass der verschwindet oder auch
genauso beim Kosinus.
Auch da könnte man einen Nullphasenwinkel reinmachen, das ändert aber
prinzipiell nichts.
Und man sieht in dem Fall ist dann gegeben die Amplitude der Kraft,
das f''.
Es ist aber auch gegeben die Erregerkreisfrequenz Groß-Omega im
Gegensatz zur Eigenkreisfrequenz.
Die Eigenkreisfrequenz, zumindest die des ungedämpften Systems, die
ist ja gegeben durch die Systemparameter.
Hier die Erregerkreisfrequenz, die geben wir von außen vor, je
nachdem, ob wir langsam erregen oder schnell erregen.
Und wie sieht es aus, wenn wir jetzt dran denken, ja gut, wenn wir
über eine Straße fahren mit dem Auto, dann wird in den seltensten
Fällen der Untergrund harmonisch sein.
Es wird irgendwie eine ziemlich unregelmäßige Oberfläche sein.
Zunächst mal, wenn man dran denkt, ja gut, F und T nicht harmonisch,
der nächstkompliziertere Fall wäre wahrscheinlich, dass wir einfach
eine periodische Erregung haben.
Periodisch heißt aber, ich kann die Erregung des F und T dann
darstellen über eine Fourier-Reihe.
Wer kennt das aus der Mathematik noch?
Das müssen eigentlich alle wissen wahrscheinlich.
Also ich kann ein periodisches Signal durch die Fourier-Reihe
darstellen, dann habe ich auf der rechten Seite einzelne Summanden und
bei der Fourier-Reihe beliebig viele unter Umständen.
Und jetzt haben wir den Vorteil, dass wir eine lineare
Differenzialgleichung haben.
Das heißt, wenn wir zu einem Term dieser vielen Terme eine partikuläre
Lösung finden und zu einem anderen Term auch eine partikuläre Lösung,
dann können wir praktisch die beiden partikulären Lösungen überlagern
und die erfüllen dann praktisch die inhomogene Differenzialgleichung,
wenn auf der rechten Seite die beiden Terme stehen.
Und wenn ich so praktisch zu jedem Term auf der rechten Seite eine
partikuläre Lösung finde, kann ich durch Überlagern der einzelnen
partikulären Lösungen die Gesamtlösung, die Partikuläre finden und man
sieht ja gut bei einer Fourier-Reihe, die setzt sich wieder zusammen,
je nachdem wie ich das darstelle, durch harmonische Funktionen, Sinus
Omega t bzw.
Kosinus Omega t, wobei dann das Groß-Omega einfach eine Vielfache von
der Grundfrequenz der periodischen Funktion ist.
Also die Grundfrequenz habe ich gegeben, dann habe ich auch die
Frequenzen der höheren Harmonischen gegeben, das heißt, wenn ich es
jetzt schaffe, zu so einer harmonischen Erregung eine partikuläre
Lösung zu finden, dann kann ich das im Prinzip auch sehr schnell
machen für eine periodische Erregung.
Und wenn ich jetzt eine aperiodische Erregung habe und dann habe ich
immer noch die Möglichkeit, ich kann das Erreger-Signal Fourier
transformieren.
Dann habe ich also praktisch die Erreger-Funktion als Überlagerung von
vielen harmonischen Funktionen, wobei allerdings alle Frequenzen
vorkommen unter Umständen.
Das heißt, ich muss dann jeden Frequenzanteil wieder eine partikuläre
Lösung finden und alle die wieder überlagern, sprich ein Integral
drüber machen, und bekomme so dann letztendlich auch eine partikuläre
Lösung.
Lange Rede, kurzer Sinn.
Man sieht, wenn wir den Fall behandeln, dass f und t eine harmonische
Funktion ist, dann können wir auch schon sehr viel mehr aussagen,
müssen das nur entsprechend auswerten.
Nun für so eine inhomogene Differenzialgleichung, da wissen wir,
dass sich die Lösung zusammensetzt aus,
also x von t setzt sich zusammen aus xh von t, das ist die Lösung der
homogenen Differenzialgleichung.
Und sehr oft sagt man auch so ein bisschen lapidar, die homogene
Lösung.
Die homogene Lösung bedeutet eigentlich x von t gleich 0.
In dem Fall ist xh von t nicht gleich 0, sondern die Lösung der
homogenen Differenzialgleichung plus xp von t.
Was ist xp von t?
Die partikuläre Lösung, oder?
Das ist richtig, die partikuläre Lösung.
Gibt es auch eine zweite?
Ja, wie viele gibt es denn?
Ah, warum?
Ich frage jetzt mal die anderen.
Wie?
Ne.
Also eine partikuläre Lösung ist eine Lösung, welche die inhomogene
Differenzialgleichung erfüllt.
Und jetzt wissen wir, es gibt auch eine Lösung der homogenen
Differenzialgleichung.
Wenn ich jetzt irgendeine partikuläre Lösung habe und überlagere
irgendein Vielfaches von der Lösung der homogenen
Differenzialgleichung, dann habe ich wieder eine Lösung, die die
inhomogene Differenzialgleichung erfüllt.
Es gibt beliebig viele partikuläre Lösungen, die sich aber immer durch
Lösungsanteile unterscheiden, die Lösung der homogenen
Differenzialgleichung sind.
Und wir, wenn wir von der partikulären Lösung sprechen, meinen sehr
oft dann letztendlich den eingeschwungenen Zustand.
Also wenn wir irgendwas erregen, sinusförmig oder kusinusförmig, dann
wissen wir, rein formal setzt sich die Lösung zusammen aus Lösung der
homogenen Differenzialgleichung plus partikuläre Lösung.
Und jetzt wird es natürlich so sein, dass die Lösungsanteile der
homogenen Differenzialgleichung, wenn Dämpfung vorhanden ist, die
exponentiell mit der Zeit abklingen, also die sind nach einer gewissen
Zeit nicht mehr beobachtbar, sodass dann nur noch der stationäre
Anteil zu sehen ist.
Und das ist eigentlich der, der uns interessiert.
Und dann haben wir zunächst mal rein formal die Schwierigkeit, ja wir
wissen ja eigentlich nicht, welche Teile von XP sind jetzt Lösung der
homogenen Differenzialgleichung, die da drin vorkommen, aber man wird
es natürlich sehr schnell sehen, weil die Lösungen der homogenen
Differenzialgleichung bei einer Schwingungsdifferenzialgleichung, die
haben wir ausreichend kennengelernt.
Also das war Lösung
der homogenen Differenzialgleichung, das war irgendeine partikuläre
Lösung und die Lösung der homogenen Differenzialgleichung, wie gesagt,
die haben wir schon andiskutiert.
Wie kriegen wir irgendeine partikuläre Lösung?
Und es ist unter Umständen nicht ganz so einfach.
Oft durch Variation der Konstanten oder Ansatz vom Typ der rechten
Seite.
Also partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten
oder Ansatz vom Typ der rechten Seite.
Fangen wir vielleicht mal mit einem Schwingungssystem an, das keine
Dämpfung hat.
Dann haben wir
mx2 Punkt plus c mal x gleich f und t.
Wir dividieren dann noch das Ganze durch die Masse.
Dann haben wir nämlich x2 Punkt plus und dann haben wir c durch m, das
war Omega 0 Quadrat, mal x gleich und jetzt haben wir rechts f' mal
Cosinus Omega t oder f' mal Sinus Omega t.
Nehmen wir es mal f' durch m, kürzen das wiederum ab durch f' mal
Cosinus Omega t.
Also dieses f' entspricht dem oberen f' dividiert durch m.
Man sieht, die Differenzialgleichung beinhaltet jetzt nur noch das
Omega 0 Quadrat und natürlich von außen gegeben das f' Dach und das
Omega.
Und Ansatz vom Typ der rechten Seite heißt, ich schaue mal die rechte
Seite genau an, da ist eine harmonische Funktion, das heißt es liegt
jetzt nahe, als partikuläre Lösung zu schauen, ob es da auch eine
harmonische Funktion gibt.
Und man sieht, wenn ich für x etwas wähle in der Form von Cosinus
Omega t, dann ist das x2 Punkt auch irgendwas mal Cosinus Omega t.
Also wenn ich einen Ansatz mache,
xp von t gleich eine Amplitude mal Cosinus Omega t, dann könnte es
sein, dass der Lösungsansatz die Differenzialgleichung erfüllt.
Wie sehen wir das?
Wir müssen einfach den Lösungsansatz in die Differenzialgleichung
einsetzen, das heißt xp2 Punkt ist dann minus a mal Omega Quadrat mal
Cosinus Omega t.
Das heißt, jetzt setzen wir das ein, dann haben wir minus a mal Omega
Quadrat mal Cosinus Omega t plus Omega Nullquadrat mal x, das war a
mal Cosinus Omega t, das soll es sein, f'Cosinus Omega t.
Und jetzt sehen wir, das muss für alle Zeiten erfüllt sein, nun
Cosinus Omega t ist nur für ganz bestimmte Zeiten null, ansonsten ist
es ungleich null, das können wir also aus der Gleichung rauskürzen,
das heißt es muss jetzt gelten, dann haben wir a, also a mal Omega
Nullquadrat minus Großomega Quadrat gleich f'Dach oder a gleich f'Dach
dividiert durch Omega Nullquadrat minus Omega Quadrat.
Jetzt sehen wir, als Lösung ergibt sich eine harmonische Funktion,
deren Amplitude, das war das a, von der Erregerfrequenz abhängt und
natürlich linear noch von der Erregerkraftamplitude.
Und wenn wir jetzt mal das Ganze auftragen als Funktion von der
Erregerkreisamplitude und hier das Ganze noch normieren mit f'Dach,
dann sieht man, das was ich hier auftrage ist im Prinzip 1 dividiert
durch Omega Nullquadrat minus Omega Quadrat, dann habe ich irgendwo
das Omega Null, man sieht für Erregerkreisfrequenz Omega gleich Null
gibt es gerade 1 durch Omega Nullquadrat, fängt irgendwo da an, dann
wird der Nenner sukzessive kleiner, bis wir praktisch für Omega gleich
Omega Null so eine Polstelle erhalten,
dann klappt das Vorzeichen sozusagen um
und man sieht für ganz große Werte der Erregerkreisfrequenz wird die
Amplitude ganz ganz klein.
Jetzt was passiert bei Omega gleich Omega Null?
Resonanzkatastrophe.
Was können wir jetzt da aussagen?
Da ist ja die Amplitude unendlich, oder?
Gut, ganz einfach.
Wenn O groß Omega gleich Omega Null ist, dann ist in dem Falle das A
nicht definiert, das heißt jetzt nicht, dass es für Omega gleich Omega
Null keine Lösung gibt, sondern es heißt einfach, dass der
Lösungsansatz, den wir für die partikuläre Lösung gemacht haben, dass
der an der Stelle nicht zum Ziel führt.
Das heißt, falls Omega ungleich Omega Null ist, dann geht der
Lösungsansatz, die partikuläre Lösung haben wir dann bestimmt.
Falls wirklich mal das zufälligerweise Groß Omega gleich Omega Null
ist, dann führt der Lösungsansatz nicht zum Ziel.
Also für Omega gleich Omega Null.
Und ich verrate es jetzt mal, dann müssen wir mit ein bisschen
Erfahrung auch wieder so einen Ansatz vom Typ der rechten Seite
machen.
Dann haben wir einfach xp von t ist eine Amplitude,
eine Konstante, mal t mal Sinus-Omega-t.
Und wenn wir noch nichts Genaues wissen, dann könnten wir auch
probieren a mal t mal Sinus-Omega-t plus b mal t mal Cosinus-Omega-t.
Und dann muss man eben den Lösungsansatz einsetzen und wie gesagt,
durch Anpassen der noch offenen Parameter, Groß A und Groß B sind im
Ansatz Größen, die noch angepasst werden können.
Wenn wir es dann schaffen, durch Anpassen, wie gesagt, ich habe jetzt
gleich mal das ein bisschen vereinfacht, haben wir nur eine Größe, die
angepasst werden muss, dann schaffen wir es eben auch in dem Fall eine
Lösung zu finden.
Wie gesagt, in dem Fall sind es im Grunde genommen in
Anführungsstrichen Amplituden, die linear mit der Zeit anwachsen.
Vielleicht an der Stelle schon ein kleiner Hinweis.
Wenn wir jetzt ein System haben, das wir mit einer Frequenz anregen,
die nahe bei der Eigenkreisfrequenz liegt, was passiert dann?
Und dann starten wir vielleicht mit irgendwelchen Anfangsbedingungen
und die Anfangsbedingungen, die schaffen wir anzupassen, weil wir ja
noch in der Lösung der homogenen Differenziergleichung die
Integrationskonstanten haben.
Das heißt, wir haben dann in dem Fall eine ungedämpfte Schwingung
Lösung der homogenen Differenziergleichung, eine Schwingung in der
Form, der zwar nicht Kosinus-Omega-T drinsteht und Sinus-Omega-T,
sondern Omega-Null, aber Groß-Omega und Omega-Null liegen nah
beieinander.
Was passiert in so einem Fall?
Nun, in so einem Fall hat man letztendlich eine Überlagerung von zwei
Schwingungen, deren Frequenzen nahe beieinander liegen.
Was passiert da?
Wie?
Da gibt es eine Schwebung.
Also da tritt folgender Effekt auf.
Je nachdem, wie nahe das die beieinander liegen, gibt es dann...
gibt es dann eine Schwingung, die eben entsprechend eine bestimmte
Frequenz hat.
Und die Amplitude ist mal groß und ist mal klein.
Die Frequenz, mit der die Schwebung auftritt,
die ist proportional zum Abstand der beiden Frequenzen Omega-Null und
Omega, das heißt, wenn Omega-Null und Omega-Null immer weiter
zusammengehen, dann zieht sich das immer mehr auseinander.
Man kann sich vorstellen, na gut, wenn beide übereinander liegen, dann
gibt es praktisch wirklich so einen linearen Anstieg.
Wie gesagt, wenn die nicht genau aufeinander liegen, sondern nah
beieinander, dann hängt es von den Anfangsbedingungen ab.
Wenn die Anfangsbedingungen so sind, dass die Lösung der homogene
Differenzialgleichen nicht angeregt wird, dann gibt es natürlich keine
Schwebung, dann gibt es nur den Teil, den wir hier, nur den Ansatz
gefunden haben.
Und wenn der aber auftritt, dann kann es vielleicht passieren, dass
das System plötzlich anfängt zu wackeln, wieder aufhört, wieder
anfängt zu wackeln, wieder aufhört und so weiter.
Kann man durchaus auch in der Natur beobachten.
Wenn man nicht weiß, was dahinter steckt, ist man vielleicht ein
bisschen verwirrt, wundert sich, warum das so plötzlich aufklingt und
wieder abklingt, aber im Prinzip steckt eine Schwebung dahinter.
Gibt es soweit Fragen?
Und wenn wir jetzt einen Schritt weiter gehen und eine partikuläre
Lösung suchen für den Fall, dass wir eine Dämpfung drin haben,
dann schreiben wir auch in dem Fall zunächst mal die
Differenzialgleichung ein bisschen um.
Nämlich x2 Punkt.
Und jetzt haben wir nicht einen Parameter Omega 0, sondern zwei,
nämlich den Dämpfungsparameter noch.
Also 2D Omega 0 mal x Punkt plus Omega 0 Quadrat mal x.
Gleich, und jetzt haben wir auf der rechten Seite wieder irgendeine
Amplitude, mal Sinus oder Kosinus Omega t.
Nehmen wir mal den Kosinus Omega t.
Allerdings haben wir gesehen, je nachdem, wie wir unser System
erregen, über eine Feder, also Fußpunkterregung, oder direkt über eine
Kraft, das war das eine, dann wenn wir die Erregung über einen Dämpfer
laufen lassen, dann haben wir gesehen, bei der Feder ist die
Erregerkreisfrequenz nicht in der Amplitude enthalten, beim Dämpfer
steht das große Omega drin, und wenn wir eine Massenkrafterregung
haben, dann haben wir die Amplitude proportional zu Omega Quadrat, das
heißt, das können wir alles berücksichtigen, indem wir das
entsprechend umformen, und dann auf der rechten Seite mal schreiben,
Omega 0 Quadrat mal e mal x0,
dann haben wir zunächst mal 2 mal Delta war k durch m, das Omega 0
Quadrat war c durch m, soweit nichts Neues, das d war das Delta, dann
dividiert durch das Omega 0,
und wenn wir jetzt noch zusätzlich ein Frequenzverhältnis einführen,
nämlich das Verhältnis von Erregerkreisfrequenz, Groß-Omega, zu
Eigenkreisfrequenz Omega 0, und das mit Eta bezeichnen,
dann sehen wir, ja gut, das Groß-E ist 1 bei einer Krafterregung,
das ist 2d Eta bei einer Erregung über einen Dämpfer,
und Eta Quadrat bei einer Massenkrafterregung,
und das x0 ist in dem Falle f0 durch c,
beziehungsweise u0 bei Krafterregung,
das ist u0 bei einer Dämpfererregung,
und m0 durch m mal r bei einer Massenkrafterregung.
Nun, als Lösungsansatz
bietet sich dann an, xp von t,
gleich machen wir das ähnlich wie hier, wieder eine Amplitude, um die
aber entsprechend auftragen zu können, normieren wir die gleich mit
x0, also v mal x0, weil wir wissen, ja gut, wenn wir mit dem Doppelten
x0 erregen, bei einer linearen Differenzialgleichung wird es dann so
sein, dass die Systemantwort einfach doppelt so groß ist.
Wenn die Erregeramplitude halb so groß ist, dann wird auch die
Systemantwort halb so groß sein, im eingesprungenen Zustand.
Deshalb v, also so eine Art Vergrößerungsfunktion, mal x0,
Vergrößerungsfunktion, das habe ich oben schon ein bisschen bei der
gelben Kurve angedeutet, die Amplitude kann groß sein oder klein, und
wie gesagt, das kann man ausdrücken über so eine
Vergrößerungsfunktion.
Und dann probieren wir zunächst mal wieder in altgewohnter Weise,
cosinus Omega t, allerdings, wenn wir den einsetzen, den
Lösungsansatz, dann sehen wir, ja gut, x ist dann zwar in der Form
cosinus Omega t, das x2-Punkt ist in der Form cosinus Omega t, aber
das x-Punkt ist nicht cosinusförmig, sondern sinusförmig, also können
wir dann nicht mehr einfach den cosinus rausstreichen, was wird
auftreten.
Und da müssen wir was anderes probieren.
Rein anschauungsmäßig wissen wir, wenn wir ein System mit Dämpfung
haben und erregen das, dann läuft es nicht in Phase.
Hier oben beim ungedämpften Spinger läuft es in Phase.
Also wenn wir praktisch unterhalb von Omega 0 erregen, mit einer
Frequenz, die kleiner ist als Omega 0, ich stelle es mal an, wenn das
die Masse ist und das da oben der Federfußpunkt, dann läuft es im
Prinzip so.
Beides cosinusförmig.
Wenn Omega größer als Omega 0 ist, was haben wir dann?
Dann haben wir einen Vorzeichenwechsel.
Ein Vorzeichenwechsel heißt eine Phasenverschiebung von Pi.
Dann verläuft das Ganze so, also während ich oben nach oben ziehe,
geht dann der Massenpunkt gerade nach unten.
Gegen Phase.
So, wenn ich jetzt ein System mit Dämpfung habe und wir das genau
anschauen, dann passiert Folgendes, bei ganz kleinen Frequenzen ist es
in Phase.
Jetzt muss ich aufpassen, die Konzentration, Koordination.
Jetzt, irgendwann geht die Erregung der Systemantwort voran, bis es
bei ganz großen Frequenzen wieder in Gegenphase verläuft.
Also, lange Rede kurzer Sinn, es tritt an der Stelle eine
Phasenverschiebung auf.
Sie haben jetzt noch keine Regelungstechnik gehabt, die
Regelungstechnik macht etwas Ähnliches.
Die schreibt jetzt rein, plus einen Phasenwinkel.
In der Schwingungstechnik hat sich eingebürgert, na gut.
Wir wissen, die Masse, die eilt der Erregung hinterher.
Also führen wir da einen Phasenwinkel in der Form ein, minus Epsilon,
weil wenn das hinterher eilt, dann wird das Epsilon in dem Falle
positiv sein.
So, jetzt könnten wir den Lösungsansatz wieder in die
Differenzialgleichen einsetzen.
Dann haben wir hier immer irgendwas, Kosinus, Kosinus und Sinus,
allerdings noch den Phasenwinkel drin.
Was wir anpassen können, damit die Lösung, die Differenzialgleichen
erfüllt, ist ja das V und das Epsilon, das wird aber in dem Falle
relativ schwer.
Das heißt, es ist an der Stelle besser, einen äquivalenten
Lösungsansatz zu machen.
Nämlich ich sage einfach, ja gut, die Phasenverschiebung kann ich auch
anders ausdrücken, indem ich sage, dass xp von
t ist V1 mal Kosinus Omega t plus V2 mal Sinus Omega t.
Dann habe ich im x einen Sinusterm und einen Kosinusterm.
Ich habe aber auch im x Punkt einen Sinus- und einen Kosinusterm,
genauso wie im x2 Punkt.
Das heißt, die können wir jetzt mal bestimmen.
xp Punkt ist dann, man sieht es, minus V1 Omega Sinus Omega t plus V2
Omega Kosinus Omega t.
Und das xp2 Punkt,
das ist minus V1 Omega Quadrat Kosinus Omega t minus V2 Omega Quadrat
Sinus Omega t.
Das können wir einsetzen.
Dann haben wir also x2 Punkt, das ist minus V1 Omega Quadrat mal
Kosinus Omega t
minus V2 Omega Quadrat mal Sinus Omega t plus 2d Omega 0 mal x Punkt,
also xp Punkt.
Dann haben wir also irgendwas beim Sinus, also minus 2d Omega 0 mal V1
Omega mal Sinus Omega t
plus V2 Omega Kosinus Omega t, also plus 2d Omega 0 V2 Omega mal
Kosinus Omega t.
Jetzt fehlt noch plus Omega 0 Quadrat x.
Also haben wir hier plus V1 Omega 0 Quadrat mal Kosinus Omega t und
hier plus V2 Omega 0 Quadrat mal Sinus Omega t.
Das muss sein Omega 0 Quadrat mal e mal x0 mal
Kosinus Omega t.
Und wir sehen, diese Differenzialgleichung ist erfüllt.
Wenn die erste Klammer, die steht beim Kosinus, gerade den Term auf
der rechten Seite ergibt, der beim Kosinus steht und der Term, der
beim Sinus steht, der muss natürlich insgesamt 0 sein, weil auf der
rechten Seite kein Sinus-Term auftritt.
Also unser Lösungsansatz ist Lösung der inhomogene
Differenzialgleichung, falls linksrot gleich rechtsrot ist und
linksgelb gleich 0.
Das heißt, das Ganze ist erfüllt, wenn, und jetzt schauen wir mal,
jetzt haben wir V1, V2, V1, also Omega 0 Quadrat minus Groß Omega
Quadrat mal V1, das sind die beiden Terme, plus 2D Omega 0 V2.
Das muss gerade sein, Omega 0 Quadrat e mal x0 und gelber Term, das
sehen wir, da haben wir einmal ein Term mit V1, zwei Terme mit V2, das
gibt also minus 2D Omega 0 Groß Omega mal V1 plus Omega 0 Quadrat
minus Omega Quadrat mal V2 gleich 0 und jetzt sehen wir, falls V1 und
V2 so gewählt werden, dass diese beiden Gleichungen erfüllt sind, also
dass das inhomogene Gleichungssystem erfüllt ist, das Lineare, dann
ist unser Lösungsansatz eine partikuläre Lösung.
Können Sie mir mal diese untere Tafel und links oben, die rechts oben
lassen Sie noch stehen.
So, also wenn die erfüllt sind, die erste Frage, gibt es da immer eine
Lösung?
Gibt es da immer eine Lösung?
Was meinen Sie?
Also, es gibt dann eine Lösung,
wenn die Koeffizientendeterminante des Gleichungssystems nicht
verschwindet.
Richtig?
So, wann ist das der Fall?
Und man sieht, wenn keine Dämpfung vorliegt,
dann haben wir also hier nur was mit V1, da haben wir nur was mit V2
und wenn dann aber unglücklicherweise Groß Omega mit Omega 0
übereinstimmt, dann haben wir links überall 0, rechts haben wir aber
noch eine rechte Seite, das ist im Grunde genommen gerade der Fall,
den er jetzt hat stehen lassen, nämlich ungedämpftes System, Resonanz.
Dann liefert natürlich dieser Lösungsansatz keine Lösung.
Man sieht aber auch, ja gut, für ein gedämpftes System, da sind die
Eigenwerte immer komplex.
Die Erregerkreisfrequenz ist aber eine reelle Größe, also im
gedämpften Fall wird es nie so sein, dass der Lösungsansatz keine
Lösung liefert.
Das Ausrechnen, das können Sie mal nachvollziehen mit Maple, das spare
ich mir an der Stelle, geht nur das Ergebnis an, nämlich V1 ist in dem
Fall Omega 0² minus Omega² mal Omega 0² E mal X0
dividiert durch Omega 0² minus Omega² zum Quadrat plus 2D Omega Omega
0 zum Quadrat Und das V2, ganz analog.
Da haben wir 2D.
Omega 0 Groß Omega mal Omega 0 Quadrat E mal X0.
Und dann dividiert durch den selben Nenner.
Also Omega 0 Quadrat minus Omega Quadrat zum Quadrat plus 2D Omega 0
Groß Omega zum Quadrat.
So, wenn wir den Lösungsansatz betrachten, dann sehen wir,
hier haben wir V1 und V2, eine harmonische Funktion mit Amplitude mal
Großsinus plus eine andere Amplitude mal Sinus von der gleichen
Frequenz, können wir zusammenfassen auf eine Form, wie wir sie da oben
stehen haben.
Dann ist das V mal X0 gerade die Wurzel aus V1 Quadrat plus V2
Quadrat.
Also, Gesamtamplitude aus
A gleich Wurzel aus V1 Quadrat plus V2 Quadrat.
Jetzt sehen wir, wir haben beides mal den selben Nenner.
Das ist auch positiv, weil hier beides mal Quadrat Quadrat steht.
Das heißt, wenn wir den
Nenner quadrieren und dann die Wurzel draus ziehen, steht zunächst mal
wieder der Originalnenner da, nämlich Omega 0 Quadrat minus Omega
Quadrat zum Quadrat plus 2D Omega 0 Omega zum Quadrat.
Man sieht, im Zähler haben wir immer den gleichen Faktor Omega 0
Quadrat E mal X0,
den können wir sozusagen ausklammern.
Und dann müssen wir nur noch den Faktor quadrieren, den zweiten Faktor
quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen.
Das ergibt also letztendlich Wurzel aus, und dann steht da drin, wir
hatten Omega 0 Quadrat minus Omega Quadrat zum Quadrat plus den Term
2D Omega 0 Omega zum Quadrat.
Wie gesagt, daraus die Wurzel.
Und jetzt sehen wir, es steht oben die Wurzel, unten steht im Grunde
genommen die Wurzel zum Quadrat.
Unter der Wurzel steht dasselbe wie im Nenner.
Das heißt, insgesamt ergibt sich eine Amplitude Omega 0 Quadrat E mal
X0, dividiert durch Wurzel aus Omega 0 Quadrat minus Omega Quadrat zum
Quadrat plus 2D Omega 0 Omega zum Quadrat.
Und für den Phasenwinkel haben
wir gesehen, wenn wir nicht minus Epsilon, sondern plus Epsilon
schreiben, dann gilt für den Tangens von Epsilon gleich minus V2
dividiert durch V1.
Jetzt haben wir aber das Minuszeichen noch im Lösungsansatz verwendet,
damit wird es plus V2 durch V1.
Wie gesagt, das sind Beziehungen, die können Sie auch mal in dem
mathematischen Formelhandbuch nachschlagen.
V2 durch V1.
Und dann sehen wir, V2 dividiert durch V1, da kürzt sich der Nenner
weg, da kürzt sich das Omega 0 Quadrat E mal X0 weg.
Es bleibt lediglich stehen, dass 2D Omega 0 Omega
dividiert durch Omega 0 Quadrat minus Omega Quadrat.
Jetzt haben wir im
Grunde genommen vorher, leider schon weggewischt, aber Sie wissen es
noch, das Eta, was wir oben eingeführt haben, das war so ein
Frequenzverhältnis, Groß Omega durch Omega 0 Quadrat.
Man sieht, wenn wir an der Stelle den Zähler durch Omega 0 Quadrat
dividieren und den Nenner durch Omega 0 Quadrat dividieren, dann gilt
eben Tankens Epsilon gleich 2 mal D mal Groß Omega durch Omega 0, das
war gerade Eta,
hier dividieren wir durch Omega 0 Quadrat, das gibt 1, minus Omega,
Groß Omega Quadrat dividiert durch Omega 0 Quadrat, das gibt Eta
Quadrat.
Also mit dem Frequenzverhältnis Eta lässt sich das sehr einfach
darstellen.
Tankens Epsilon gleich 2D Eta dividiert durch 1 minus Eta Quadrat.
Genauso können wir die Amplitude ausdrücken, wir haben nämlich gesagt,
das V ist im Grunde genommen die Amplitude dividiert durch X0,
rechts oben hat man mal V eingeführt, V mal X0 entspricht der
Amplitude A, also ist V gleich A dividiert durch X0, es fällt also das
X0 weg.
Dann können wir auch hier sowohl im Zähler wie auch im Nenner mit
Omega 0 Quadrat dividieren, dann fällt oben das Omega 0 Quadrat weg,
das X0 fällt weg, es bleibt also stehen das E,
dividiert durch die Wurzel aus und wenn wir den Zähler durch Omega 0
Quadrat dividieren, dann müssen wir in der Wurzel durch Omega 0 hoch 4
dividieren und wir sehen, dann müssen wir praktisch hier das
reinziehen, dann müssen wir das Innere mit Omega 0 Quadrat dividieren,
das gibt dann gerade 1 minus Eta Quadrat zum Quadrat und wenn wir an
der Stelle durch Omega 0 hoch 4 dividieren, mit dem Quadrat hier
außen, müssen wir innerhalb der Wurzel mit Omega 0 Quadrat dividieren,
dann gibt es 2 mal D mal 1 mal Eta, also 2D Eta in Klammer zum
Quadrat.
Das heißt, die partikuläre Lösung lässt sich jetzt darstellen
als V mal X0, wobei das V von Eta abhängt, mal Kosinus von Omega T
minus Epsilon und das Epsilon, wie gesagt, auch eine Funktion von Eta
ist.
Man sieht auf jeden Fall, die Frequenz
im eingeschwungenen Zustand ist dieselbe wie die der Erregung.
Also Frequenz wie bei Erregung
Amplitude ich schreibe mal groß oder klein
abhängig von Eta.
Fangen wir mal mit dem Phasenwinkel an.
Wir sehen, wenn wir den Phasenwinkel Epsilon darstellen
als Funktion der Erregerkreisfrequenz und da können wir das Eta
heranschreiben oder auch das Omega, da ist ja nur eine Normierung mit
der Eigenkreisfrequenz dazwischen.
Wenn wir Eta auftragen, dann liegt die Resonanzstelle gerade bei Eta
gleich 1.
Man sieht im ungedämpften Fall den haben wir hier stehen
ich habe gesagt, wir sind immer in Phase
solange die Erregerkreisfrequenz kleiner als Omega 0 ist, also für Eta
kleiner als 1
und wir sind allerdings in Gegenphase für Eta größer als 1.
Gegenphase, was bedeutet das?
Ich hatte es erwähnt, eine Phasenverschiebung von Pi.
Also hier haben wir dann Pi Halbe und da oben Pi.
Also im ungedämpften Fall und bei Eta gleich 1 ist das zwar nicht
definiert, ich zeichne das trotzdem mal so ein wenn wir jetzt ein
bisschen Dämpfung zuschalten dann wird es so sein dass die
Phasenverschiebung zunächst mal sehr klein ist, dann nimmt die hier zu
und was passiert?
Nun man sieht wenn D wirklich von 0 verschieden ist dann ist bei Eta
gleich 1 der Zähler 2 mal D also ein endlicher Wert der Nenner geht
aber gegen 0 das heißt für Eta gleich 1 geht Tangens von Epsilon gegen
Unendlich oder Minusunendlich was heißt das?
Das heißt eine Phasenverschiebung von Pi Halbe.
Und man sieht dann letztendlich sehr schnell egal wie groß die
Dämpfung ist, immer bei Eta gleich 1 haben wir eine Phasenverschiebung
von Pi Halbe.
Also alle Kurven gehen letztendlich durch den Punkt Eta gleich 1 Pi
Halbe also hier hatten wir D gleich 0
hier hatten wir D
sehr viel kleiner als 1 wenn wir jetzt die Dämpfung noch weiter
erhöhen sieht das dann so irgendwo aus beziehungsweise bei ganz großer
Dämpfung dann vielleicht so ich schreibe mal in der Richtung D
ist da jetzt mal so an D zunehmend.
Auf jeden Fall sehen wir, Phasenwinkel hängt ab, nicht nur von Eta,
sondern auch von der Dämpfung.
Also man kann jetzt für die Auftragungsart Epsilon als Funktion von
Eta mehrere Kurven zeichnen für verschiedene Werte von dem
Dämpfungsparameter.
Also alle Kurven gehen durch diesen Punkt.
Das war Eta gleich 1, Epsilon gleich die halbe.
Unabhängig von D.
Wir haben gesehen, links von Eta gleich 1, da haben wir weitgehend
Inphase und rechts davon weitgehend Ingegenphase.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn wir jetzt die Vergrößerungsfunktion V anschauen, dann sehen wir,
das V beinhaltet noch das E.
Das E war aber gerade, ich gebe es jetzt nochmal an,
das E war 1 bei Krafterregung, 2 D Eta bei einer Erregung über den
Dämpfer und Eta² bei einer Massenkrafterregung.
Das heißt, man sieht, die Kurven, die sich für die
Vergrößerungsfunktion ergeben, die hängen ja wieder ab von Eta und von
der Dämpfung.
Also können wir auch für verschiedene Werte der Dämpfung Kurven in der
Eta -V-Ebene zeichnen.
Allerdings müssen wir beachten, dass die Abhängigkeit der
Vergrößerungsfunktion von Eta ja auch noch über das E gegeben ist.
Also wir müssen im Grunde genommen alle drei Fälle unterscheiden.
Und was ergibt sich da?
Also für den Amplitudengang V
von Eta eine Fallunterscheidung.
Zunächst mal Krafterregung,
da war E gleich 1.
Wir haben also Eta.
Hier haben wir Eta gleich 1, die Resonanzstelle.
Vielleicht schreibe ich die Vergrößerungsfunktion bzw.
das V da nochmal an.
Das Va ist dann 1 dividiert durch Wurzel aus 1-Eta² zum Quadrat plus
2dEta zum Quadrat.
Man sieht für Eta gleich 0.
Ist das 0?
Hier haben wir die 1, also 1 durch 1.
Der ergibt sich gerade, egal welche Dämpfung vorliegt, der Wert 1.
Da starten alle Kurven.
Wir haben gesehen, wenn die Dämpfung 0 vorliegt,
dann wird der Nenner kleiner mit zunehmendem Eta.
Ist Eta gleich 1, dann ist der Nenner 0.
Das entspricht gerade dem Fall von rechts.
Also, ungedämpft hatte ich blau.
Das ergibt dann so
eine Kurve.
Sie können die natürlich sehr viel schöner zeichnen, wenn Sie Mabel
oder Matlab oder irgendwas verwenden.
Man sieht auch für große Werte von Eta im ungedämpften Fall, da ist
die 1 gegenüber dem Eta² vernachlässigbar.
Dann gibt es innerhalb der Wurzel Eta hoch 4, daraus die Wurzel Eta².
Also für große Werte von Eta ist Va1 dividiert durch Eta².
Das geht dann relativ schnell hier asymptotisch gegen die 0.
Also Va von Eta gegen unendlich ist 0.
Wenn wir jetzt ein bisschen Dämpfung im System haben, das war also d
gleich 0, dann ist bei Eta gleich 0 der Startwert wieder bei 1, das
hatten wir gesehen.
Bei Eta gleich 1 ist zwar die 1 minus Eta² 0, dann haben wir aber hier
noch 2 mal d, Eta war ja 1, also 2d², daraus die Wurzel gibt 2d, also
Va von Eta gleich 1 ist
1 dividiert durch 2d.
Das heißt, wenn die Dämpfung klein ist,
ist es immer noch ein sehr großer Wert, aber eben endlich,
und die Kurve selbst liegt natürlich dann unterhalb der blauen Kurve.
Wie gesagt, Sie können das mit irgendeinem Programm sehr viel schöner
zeichnen.
Wenn jetzt die Dämpfung noch weiter zunimmt, was passiert?
Dann nimmt natürlich der Maximalwert ab.
Und was auch noch auftritt ist, dass der Maximalwert dann nicht mehr
bei Eta gleich 1 liegt, sondern ein bisschen links davon.
Meines Weges so.
Bei noch größerer Dämpfung,
also die Maxima, die liegt irgendwo hier auf einer Kurve.
D1 soll größer 0 sein, dann haben wir hier D2, das ist größer als D1.
Und das letzte war dann D3, größer als D2, also die Dämpfung nimmt da
jeweils zu.
Und der Wert von Eta, bei dem der Maximalwert auftritt,
also Eta-Max, der beträgt gerade Wurzel aus 1-2d²
und Sie sehen, ab einer bestimmten Dämpfung liegt der Maximalwert
praktisch links, wenn die Dämpfung noch größer wird, dann gibt es
keinen Maximalwert mehr, dann nimmt die Amplitude mit zunehmendem Eta
direkt bei Eta gleich 0 ab.
Der Maximalwert selbst,
der hängt natürlich wieder ab von der Dämpfung, haben wir gesehen, der
beträgt dann Va-Max gleich 1 dividiert durch 2d mal Wurzel aus 1-d².
Dann als nächstes die Dämpfungskrafterregung,
da ist E gleich 2d Eta,
dementsprechend das Vb gleich 2d Eta, dividiert durch Wurzel aus 1-e²
sum² plus 2d Eta sum².
Wenn wir dafür das
auftragen, dann haben wir irgendwo wieder Eta gleich 1.
Wir sehen, für Eta gleich 0, da haben wir im Nenner die 1 stehen, im
Zähler haben wir aber 2d Eta, Eta gleich 0 heißt, alle Kurven beginnen
bei Frequenz 0 bei 0.
Und man sieht, wenn keine Dämpfung vorhanden ist, dann wird es immer 0
sein, dann wird es auch keine Erregung geben.
Ansonsten hängt die Erreger-Amplitude noch von dem d ab, also lange
Rede kurzer Sinn.
Wie sieht es letztendlich aus für ganz große Werte von Eta?
Nun da haben wir im Zähler, der ist proportional Eta, der Nenner
insgesamt, der ist proportional Eta², weil hier die 1 kann dann
gegenüber dem Eta² vernachlässigt werden, es gibt Eta² sum², gibt Eta
auch 4, daraus die Wurzel gibt Eta², also für große Werte.
Von Eta haben wir 2d Eta dividiert durch Eta², gibt 2d dividiert durch
Eta, egal wie groß die Dämpfung ist, das geht gegen 0.
Wie sieht es aus bei Eta gleich 1?
Da sehen wir, das wird 0, das wird 2d².
2d sum², die Wurzel daraus ist wieder 2d, Eta gleich 1 heißt, der
Zähler ist 2d, also ist insgesamt das V gerade 1.
Also wenn Dämpfung von 0 verschieden ist, dann haben wir hier gerade
die 1.
Ungedämpfter Fall macht keinen Sinn, aber wie sieht es aus, wenn ein
bisschen Dämpfung vorhanden ist?
Und das ist dann so ein
kleiner Peak.
Und je größer die Dämpfung ist,
wie gesagt, auch hier lässt es sich mal von dem Zeichenprogramm
entsprechend zeichnen.
Zum Schluss noch die Massenkrafterregung.
Da ist E gleich Eta².
Das heißt, das Vc ist dann Eta², dividiert durch Wurzel aus 1-Eta²
sum² plus 2d Eta sum².
Auch hier hängen die Kurven wieder vom Dämpfungsparameter ab, wenn wir
die einzeichnen.
Dann sehen wir, im ungedämpften Fall, für Eta gegen 1 haben wir wieder
Resonanz.
Also da wird es sehr große Amplituden geben im eingeschwungenen
Zustand.
Wie sieht es aus für Eta gleich 0?
Und da sehen wir, Eta gleich 0, haben wir hier 0.
1 sum² gibt 1, also die Wurzel ergibt insgesamt 1.
Oben steht aber die 0.
Das heißt auch jetzt beginnen alle Kurven bei V gleich 0.
Werden zumindest für kleine Dämpfungen in der Nähe von Eta gleich 1.
Sehr groß.
Wie sieht es aus für Eta gegen unendlich?
Nun Eta gegen unendlich, das haben wir gesehen, da geht die ganze
Wurzel insgesamt gegen Eta², den Nenner.
Oben steht aber auch Eta², sodass letztendlich für ganz große Werte
von Eta das V gegen 1 geht.
Also für große Werte von Eta gehen die Kurven alle gegen diese
Asymptote.
Fangen wir wieder beim ungedämpften Fall an.
Das war Dämpfung 0.
Jetzt mit zunehmender Dämpfung sieht
es dann entsprechend aus, nur dass jetzt die Maximalwerte zwar auch
nicht mehr bei Eta gleich 1 liegen, aber nicht unterhalb von Eta
gleich 1, sondern jetzt in dem Fall oberhalb von Eta gleich 1.
Also in dem Fall sieht es dann meinetwegen so aus.
Und irgendwann geht es dann meinetwegen auch so.
Die Maximalwerte, wenn wir die mal wieder verbinden und die Kurve
bestimmen auf der die liegen, dann sehen wir Eta-Max.
Der Eta-Wert, bei dem das Maximum auftritt, das hängt ab von d.
Das ist in dem Fall 1 dividiert durch Wurzel aus 1-2d².
Und der Maximalwert selbst,
der beträgt 1 dividiert durch 2d mal Wurzel aus 1-d².
Man sieht, der Maximalwert, das ist dasselbe wie im Fall a.
Und man kann relativ leicht zeigen, dass die Vergrößerungsfunktion c,
wenn ich anstatt Eta 1 dividiert durch Eta 1 setze, gerade die
Vergrößerungsfunktion Va ergibt.
Also Va bei einem Wert Eta-Stern.
Und nehmen in der Vergrößerungsfunktion Vc für Eta einen Wert 1 durch
Eta -Stern, den ich dort gewählt habe, dann kommt hier dasselbe Wert
raus.
Also Va von Eta ist Vc von 1 durch Eta.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn man sieht, hier oben, da habe ich jetzt das a noch
vorzeichenbehaftet aufgetragen.
Das macht natürlich in dem Fall, wenn ich nur noch praktisch so eine
betragsmäßige Amplitude mir dann anschaue und nicht so ein Koeffizient
a, der sowohl noch positiv wie auch negativ sein kann.
Hier ist V ja eine wirkliche Amplitude, die immer positiv definiert
ist.
Dann sieht man, letztendlich entspricht das dem hier oben.
Wenn ich einfach den Betrag von dem hier oben nehme, dann glaube ich,
nehme ich das von unten gerade hoch und es ergibt letztendlich sich
die Kurve an der Stelle für D gleich 0.
Was müssen wir noch beachten?
Und wenn wir im Labor mal solche Kurven bestimmen wollen, was machen
wir dann?
Wir erregen das System harmonisch.
Diese Kurven, also ich meine das richtige Empfinden dafür zu haben,
dass man als Student zunächst mal denkt, ja gut, ich verändere einfach
das Omega.
Aber bei all diesen Kurven haben wir vorausgesetzt, wir erregen unser
System mit einer Frequenz groß Omega und die lassen wir dann konstant.
Lediglich die Amplituden, die sich ergeben für verschiedene Werte von
Omega, das ist das, was hier zum Ausdruck kommt.
Also im...
Wer pfeift da aus dem letzten Loch?
Oder war das irgendein Wiham?
Hat jemand sein Pferd geparkt?
Also wenn wir so eine Kurve im Labor bestimmen wollten, dann müssten
wir das System erregen, müssten die Erreger-Amplitude natürlich
bestimmen, weil wir wissen, wenn wir mit einer doppelten Amplitude
erregen, ergibt sich auch bei einem linearen System die doppelte
Amplitude der Antwort.
Dann müssen wir warten, bis alle Lösungsanteile der homogenen
Differenzialgleichen abgeklungen sind, bis also der eingeschwungene
Zustand vorliegt, messen dann die Systemantwort-Amplitude, dividieren
die durch die Eingangs-Amplitude und erhalten so praktisch einen
bestimmten Punkt in der Kurve.
Dann müssen wir das Omega verändern, müssen wieder warten, bis der
eingeschwungene Zustand vorhanden ist, messen wieder, tragen das ein
und so weiter.
Also letztendlich, wenn wir dann den sogenannten Sweep Up machen, so
einen Sido-Sweep, dann verändern wir die Frequenz sukzessive, da gibt
es auch Messgeräte, die das praktisch automatisch machen, die erhöhen
dann immer die Frequenz, warten ein bisschen, bis hoffentlich der
eingeschwungene Zustand erreicht ist, messen dann, erhöhen wieder die
Frequenz, warten wieder, bis einigermaßen eingeschwungen ist und so
weiter.
Oder auch beim Sweep Down, da fängt man einfach bei einer hohen
Amplitude an, erregt, misst, erniedrigt die Amplitude ein bisschen,
erregt, misst und so weiter.
Gibt es soweit Fragen?
Dann vielleicht noch eine Bemerkung.
Wenn wir ein Schwingungssystem haben,
wo wir so einen kubischen Term drin haben, und das kann durchaus
auftreten, dann gilt natürlich das alles nicht mehr.
Aber wenn wir dann wieder im Labor solche Kurven zeichnen, dann kann
es passieren, dass wenn wir hochfahren, plötzlich das runter geht,
und dann so weiter.
Also hier haben wir praktisch so einen senkrechten Abfall.
Wenn wir einen Sweep Down machen und oben anfangen, dann geht es an
der Stelle weiter und springt plötzlich hoch und geht dann hier
runter.
Wie gesagt, wenn wir von unten hochfahren, springt es hier.
Wenn wir von oben runterfahren, springt es hier hoch.
Etwas, was wir an der Stelle beim linearen System nicht beobachten
können.
Das ist einfach dadurch bedingt, dass es bei einer Frequenz und einer
bestimmten Erreger-Amplitude mehrere Möglichkeiten für eine System
-Anfahrt -Amplitude gibt.
Es gibt sogar im Prinzip hier noch so einen Ast, einen dritten, der
allerdings instabil ist, also den können wir schlecht realisieren, der
wird sich dann in der Natur ohne Kunstgriffe nicht einstellen, sodass
man entweder die obere Lösung oder die untere Lösung im
eingeschwungenen Zustand, wie gesagt, sieht.
Das sind dann aber Dinge, im Prinzip Stoff von Spezialvorlesungen.
Ich würde sagen, an der Stelle machen wir eine kleine Pause und machen
vielleicht noch eine Dreiviertelstunde, wäre das okay?
Wie lange brauchen wir als Pause?
Zehn Minuten, Viertelstunde?
Wie?
Machen wir noch ein bisschen weiter.
Und zwar als nächstes
die Frequenzgangrechnung.
Was steckt dahinter?
Und wir haben jetzt partikuläre Lösungen, also speziell bei
erzwungenen Schwingungen gefunden, indem wir praktisch direkt Lösungen
gesucht haben.
Was wir jetzt machen wollen, ist, dass wir eine komplexe Rechnung,
also nicht eine komplizierte Rechnung, sondern einfach eine Rechnung
im Komplexen, in der komplexen Zahlenebene nehmen, um solche
erzwungenen Schwingungen zu lösen.
Also, Anwendung der
komplexen Rechnung
zur Lösung der erzwungenen Schwingungen.
Bevor ich es vergesse, vielleicht eine Bemerkung.
Ich hatte vorher gesagt, die Lösung, die Gesamtlösung der
Differenzialgleichung, setzt sich zusammen aus Lösung der homogenen
Differenzialgleichung plus irgendeine partikuläre Lösung.
Und wir haben gesagt, die stationäre Lösung, also die Lösung, die sich
bei großen Zeiten ergibt, das wird die sein, bei der alle
Lösungsanteile der homogenen Differenzialgleichung abgeklungen sind.
Und wenn wir irgendwie Dämpfung vorhanden haben, wird das zumindest
der Fall sein.
Wenn wir unsere Lösung anschauen, die wir jetzt gerade bestimmt haben,
und wir im Hinterkopf die Lösung der homogenen Differenzialgleichung
haben, dann sehen wir direkt, die Lösung, die wir bestimmt haben, als
partikuläre Lösung, ist dann wirklich die Lösung, die sich im
eingeschwungenen Zustand einstellen wird.
Weil da kein Lösungsanteil der Lösung der homogenen
Differenzialgleichung dabei war.
Das vielleicht noch als Nachsatz.
So.
Scheinbar oft benutzt in
der Elektrotechnik oder
Regelungstechnik.
Die Elektrotechnik hat natürlich sehr viel mit harmonischen Signalen
zu tun.
Wenn man an Wechselstrom denkt, da wissen Sie, das sind sinus- oder
großnussförmige Signale.
Und dann wissen Sie auch, bei Widerständen ist der Strom dann
proportional der angelegten Spannung.
Bei einer Spule, da kommt auch die Stromänderung an.
Das heißt, wenn der Strom dann harmonisch ist, dann wird die Ableitung
des Stromes auch eine harmonische Funktion sein, allerdings mit einer
Phasenverschiebung.
Also da treten ganz ähnlich Effekte auf, wie wir sie hier in der
Mechanik beobachtet haben.
Allerdings muss man sich vor Augen halten, das was wir jetzt machen,
das macht nur Sinn, wenn wirklich lineare Systeme vorliegen.
So einen kleinen Seitenhieb auf nicht-lineare Systeme hatte ich
gezeigt mit meinem Diagramm, was dann plötzlich ganz andere Phänomene
zeigt.
Also sinnvoll nur für lineare Systeme.
Was steckt dahinter?
Wenn wir in der komplexen Zahlenebene einen Zeiger betrachten, der um
den Ursprung rotiert, dann ist das ja praktisch eine komplexe Zahl,
weil der Real- und Imaginärteil sich dann entsprechend ändern.
Wenn wir nur den Realteil oder nur den Imaginärteil betrachten,
entspricht es aber gerade einer harmonischen Funktion.
Also bei
Betrachtung der
komplexen Zahlenebene
ergibt die Projektion
eines mit konstantem Omega umlaufenden Zeigers
eine harmonische
Zeitfunktion.
Das heißt,
wenn wir mal die komplexe Zahlenebene betrachten, auf der Horizontalen
den Realteil, auf der Vertikalen den Imaginärteil, dann haben wir so
einen komplexen Zeiger.
Zeiger A.
Und wenn der umläuft, dann bewegt sich die Spitze auf einem Kreis.
Wenn der Zeiger sich bei t gleich 0 in einer Lage befindet, die den
Winkel Alpha einschließt, zu Horizontalen, dann haben wir jetzt hier
Omega t.
Dann wissen wir, dass A von t
ist dann Länge des Zeigers A mal e hoch i Phi, wobei Phi der Winkel
zwischen dem Zeiger und der reellen Achse ist.
Also gerade A mal e hoch i Omega t plus Nullphasenwinkel Alpha.
Mit der Euler-Formel können wir das zerlegen in Real- und
Imaginärteilen.
Also Zerlegung mit Euler-Formel.
Da gibt es dann das A von t.
Gerade groß A mal, und dann haben wir Kosinus Omega t plus Alpha
plus i mal Sinus Omega t plus Alpha.
Das heißt, wenn wir jetzt von A von t den Realteil nehmen,
Realteil von A von t ergibt dann gerade A mal Kosinus Omega t plus
Alpha und der Imaginärteil von A von t ergibt entsprechend A mal Sinus
Omega t plus Alpha.
Wenn wir jetzt ans Differenzieren denken,
also Differentiation
wird besonders einfach,
nämlich aus A gleich A mal e hoch i Omega t plus Alpha folgt dann A
Punkt ist nun A mal i Omega also letztendlich i mal Omega mal A mal e
hoch i Omega t plus Alpha
Kettenregel.
Jetzt sehen wir A mal e hoch i Omega t plus Alpha, das war aber gerade
das A, ist also i mal Omega mal A und entsprechend A zwei Punkt
ist i mal Omega mal A mal der Ableitung von e hoch i Omega t plus
Alpha das ist wieder e hoch i Omega t plus Alpha mal innere Ableitung
ist i Omega also letztendlich i Omega in Klammer zum Quadrat das
ergibt minus Omega Quadrat mal A mal e hoch i Omega t plus Alpha also
letztendlich gerade minus Omega Quadrat mal A mal e hoch i Omega t
plus Alpha war wieder das kleine A.
Was heißt das?
Nun in der komplexen Zahlenebene, wenn wir unseren komplexen Zeiger
haben, das A,
dann ist das A Punkt.
Das hat ein bisschen eine andere Länge, nämlich Omega mal die Länge
von A.
Also je nachdem, ob Omega groß oder klein ist, wird es dann größer
oder kleiner.
Hat ja auch eine andere Dimension.
Aber multipliziert mit i, Multiplikation mit i heißt, 90 Grad Phasen
verschoben.
Also das A Punkt ist
dann gerade 90 Grad Phasen verschoben.
Das war i mal Omega und man sieht, das A2 Punkt ist minus Omega
Quadrat mal A, das hat also gerade eine andere, in die
entgegengesetzte Richtung von A.
Also minus
Omega Quadrat mal A war das A2 Punkt.
So werden wir jetzt an unsere erzwungenen Schwingungen denken.
Wie sieht es da aus?
Und dann haben wir als Differentialgleichung x2 Punkt plus 2D Omega 0
mal x Punkt
plus Omega 0 Quadrat mal x gleich
Omega 0 Quadrat e mal y0 Mal und jetzt entweder Sinus-Omega-T
beziehungsweise Cosinus-Omega-T.
Wenn wir das jetzt mit oben vergleichen, dann sehen wir, gut, Sinus
-Omega -T würde bedeuten, wir schreiben einfach mal Alpha gleich Null.
Dann ist Sinus-Omega-T der Imaginärteil von E hoch I-Omega-T.
Also können wir dann im Grunde genommen schreiben,
anstatt im Sinus-Omega-T schreiben wir einfach E hoch I-Omega-T und
nehmen in Gedanken einfach den Imaginärteil.
Wir können dann für das X im Grunde genommen einen Lösungsansatz
machen, Ansatz vom Typ der rechten Seite, nämlich ebenfalls E hoch I
-Omega -T.
Wenn wir rechts den Imaginärteil nehmen, dann müssen wir allerdings
links ebenso nur den Imaginärteil nehmen.
Das heißt, das X-Punkt, auch da nehmen wir nur den Imaginärteil und
vom X-Zweipunkt nehmen wir in Gedanken auch nur den Imaginärteil.
Oder wenn wir eine Erregung in Form von Cosinus-Omega-T haben, dann
schreiben wir, gut, Cosinus-Omega-T ist ja der Realteil von E hoch I
-Omega -T.
Also in dem Fall können wir auch rechts E hoch I-Omega-T schreiben,
nehmen dann aber in Gedanken immer nur den Realteil.
Also wir erweitern praktisch das ein bisschen, indem wir das
allgemeiner anschreiben und schränken dann das später ein, indem wir
einfach sagen, na gut, bei der Lösung interessiert uns immer nur das,
was als Imaginärteil oder als Realteil herauskommt in der komplexen
Lösung.
Und was wir zunächst machen können, ist wir abstrahieren das ein
bisschen.
Das macht dann im nächsten Semester auch die Regelungstechnik in dem
Sinne, dass wir jetzt einführen, wir haben den Erreger, dann haben wir
den Schwinger
und die Zwangsschwingung,
Gesundheit, nenne ich im Sinne der linearen Systemtheorie,
indem wir einfach von dem Eingang sprechen,
dann haben wir das System selbst
und den Systemausgang.
Bei uns war eben das System, Sonderfall, Schwingungssystem, das heißt
beschrieben durch die Differenzialgleichen zweiter Ordnung.
Jetzt will man an ganz allgemeine Systeme denken, ganz klar, dann kann
natürlich so ein ganz allgemeines System durch Differenzialgleichen
beschrieben werden, die irgendeine Ordnung hat.
Erste Ordnung, zweite Ordnung, dritte Ordnung, je nachdem.
Und grafisch können wir das noch ein bisschen unterlegen, indem wir
dann praktisch das System haben als Block.
Dann haben wir den Systemeingang,
bezeichnen wir das mal mit Y von T, und den Systemausgang,
das X von T.
Und in der Regelungstechnik, da lernt man dann das System selbst.
Das können wir vielleicht beschreiben durch irgendwelche Kennlinien,
das können wir beschreiben durch irgendwelche Differenzialgleichungen.
Das können die Regelungstechniker auch beschreiben, indem die zum Teil
bei Einfahrenssystemen einfach reinmalen, was für eine Systemantwort
ergibt sich, wenn ich als Eingang eine Sprungfunktion habe.
Also ich fahre über einen Bordstein, oder ich regle bordsteinartig.
Also ich habe 0 und plötzlich auf einem konstanten Wert.
Das ergibt mir eine bestimmte Systemantwort, das machen die
Regelungstechniker auch.
Die Regelungstechniker führen dann, aber das macht auch nur Sinn, bei
linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, die
führen sogenannte Übertragungsfunktionen ein.
Wer hat schon mal was von einer Übertragungsfunktion gehört?
Ganz wenige.
Das sind dann irgendwie Zählerpolynomen durch Nennerpolynomen.
Und wenn der Student das zum ersten Mal sieht, dann denkt er, was
steckt denn da dahinter?
Und dazu wird einfach die Differenzialgleichung Fourier transformiert.
Dann nimmt man vom Ausgang und vom Eingang die Fourier
transformierten, dividiert die durcheinander und das ist im Prinzip
das, was das System beschreibt, das ist dann einfach im Fourier
-Bereich ein Polynom dividiert durch ein anderes Polynom.
Und die Polynome werden eben bestimmt durch die Differenzialgleichung
selbst.
Das steckt dahinter.
Wir machen es noch nicht ganz so weit.
Wie gesagt, das lernen Sie dann nächstes Semester in der
Regelungstechnik kennen.
Regelungstechnik an sich hat aber immer sehr viel zu tun, auch mit
dem, was letztendlich in der Schwingungslehre gemacht wird.
Und wenn jetzt der Eingang als harmonische Funktion gegeben ist,
zum Beispiel sinusförmig,
also zum Beispiel in der Form
y von t ist ein Gegebnis y0, eine Amplitude, mal Sinus Omega t, Omega
ist auch gegeben, dann kann ich ja das gemäß dem rechts schreiten als
Imaginärteil von y0 mal e hoch i Omega t.
Und wenn der Systemeingang harmonisch ist, und jetzt schreibe ich mal
eine Differenzialgleichung ein bisschen verallgemeinert auf, nämlich,
ich sag mal an, ne, doch, Koeffizient an,
mal xn mal nach der Zeit abgeleitet, das war der Systemausgang, plus
an -1 xn-1 mal nach der Zeit abgeleitet, bis a2 x2 Punkt plus a1 mal x
plus a0 mal x gleich, und jetzt haben wir als Systemeingang y0 mal
Sinus Omega t.
Jetzt denken wir mal unseren Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite
ein bisschen weiter.
Wir hatten zunächst mal Schwingungsdifferenzialgleichung a2 x2 Punkt
plus a1 x Punkt plus a0 x.
Dann haben wir gesehen, Lösungsansatz x von t gleich a mal Sinus Omega
t plus b mal Cosinus Omega t, der führte zum Ziel.
Und wir sehen auch hier, wenn ich diesen Lösungsansatz mache, dann
treten beim x Sinus und Cosinus auf, beim x Punkt treten Sinus und
Cosinus auf, beim x2 Punkt Sinus und Cosinus, bis hin, bei allen
Ableitungen treten immer nur Sinus und Cosinus auf, und jetzt mache
ich im Grunde genommen dasselbe wie vorher auch, ich sortiere nach
Sinus, nach Cosinus, und setze praktisch alle Sinustherme auf der
linken Seite, muss gerade dem y0 entsprechen, alle Cosinustherme
müssen sich bei der speziellen Erregung gerade wegheben, das heißt
letztendlich habe ich wieder zwei inhomogene Gleichungen zur
Bestimmung von a und b oder besser gesagt zur Anpassung von a und b,
damit der Lösungsansatz die Differenzialgleichung erfüllt.
Das heißt, so kann ich wirklich eine partikuläre Lösung bestimmen,
falls die Differenzialgleichung, die mein System beschreibt, von der
Art ist.
Das steckt also dahinter.
Das wiederum bedeutet, wir haben es gesehen, wenn die Lösung, die
Partikuläre, in der Form gegeben ist, dann kann ich die auch
darstellen als v mal y0 mal Sinus von Omega t minus Epsilon.
Wie gesagt, die Regelungstechnik schreibt an der Stelle plus Epsilon.
Aber das ist nur in den Diagrammen dann umgedreht.
Also von dem Ausdruck auf den rechten Ausdruck, ich wurde gerade in
der Pause gefragt, das ist einfach, das können Sie in Bornstein
nachlesen, die Gesamtamplitude v mal y0 ist einfach Wurzel aus a² bis
b² und das Epsilon hängt eben durch das Verhältnis von a und b ab.
Entsprechend.
So, das wiederum bedeutet, im eingeschwungenen Zustand, unser
Systemausgang antwortet mit der selben Frequenz wie der Systemeingang.
Also wenn ich so ein lineares System mit konstanten Koeffizienten mit
einer Frequenz harmonisch errege, dann ergibt sich als Antwort eine
Schwingung mit der selben Frequenz, aber, wie schon bei uns vorher,
die Amplitude kann groß oder klein sein, je nachdem, und die
Phasenverschiebung hängt von der Erregerfrequenz ab.
So, dieses v mal y0 mal Sinus Omega t minus Epsilon, das kann ich aber
dann darstellen,
also als Imaginärteil von v mal y0, und Imaginärteil von e hoch i
Omega t minus Epsilon.
Also e hoch i Omega t minus Epsilon.
Das wiederum ist Imaginärteil von v mal e hoch minus i Epsilon mal
y0 mal e hoch i Omega t.
Und jetzt sehen wir, dass y0 mal e hoch i Omega t, das war gerade das
y, also können wir in dem Falle schreiben, Imaginärteil von v mal e
hoch minus i Epsilon, da hängt sowohl das v wie auch das epsilon von
Omega und den Systemparametern ab, also wir können da schreiben, ist f
von i Omega mal y.
Der Akku ist sowieso fast leer, also insofern.
Ich vermute, es war ein Kollege, tut mir leid.
So, also für Allgemeinheit können wir im Grunde genommen schreiben,
x von t ist f von i Omega mal y von t beziehungsweise f von i Omega
mal y0 mal e hoch i Omega t.
Also wie gesagt, wenn wir hier so groß y von t schreiben, müssen wir
uns immer im Hinterkopf behalten, so ganz allgemein war das y von t
nicht, sondern es war eine harmonische Funktion in dem Falle.
So, und man sieht,
im Grunde genommen, wenn ich das so darstelle,
muss ich, um wieder meine reelle Lösung zu erhalten, natürlich
wiederum von dem Gesamten letztendlich den Imaginärteil verwenden.
Und wie gesagt, wenn ich da vorne was Cosinus-förmiges gehabt hätte,
dann muss ich den Realteil verwenden, aber ansonsten sieht es ganz
analog aus.
Man spricht dann auch von einer komplexen Erweiterung.
Als Student fragt man sich dann wahrscheinlich, ja gut, komplexe
Zahlen mussten es sein.
Aber es ist in dem Falle so, es lässt sich eben alles sehr viel
schöner rechnen.
Und viel eleganter, weil Sie sehen ja, wenn ich jetzt...
das f von i Omega, das hängt nicht von der Zeit ab, das y von 0 hängt
nicht von der Zeit ab, die Zeitabhängigkeit, die steckt hier hinten.
Und wenn ich jetzt das e hoch i Omega t ableite, dann gibt es immer
einen Term e hoch i Omega t, das gibt zwar dann noch einen Vorfaktor i
Omega, aber letztendlich habe ich den Vorteil, wenn ich als Erregung
in Gedanken nicht den Sinus oder Cosinus nehme, sondern das e hoch i
Omega t, dann finde ich viel leichter eine partikuläre Lösung zu
diesem erweiterten Problem.
Und wenn ich die Lösung dann vom erweiterten Problem habe, dann kann
ich die Lösung für Sinus bzw.
Cosinus dann einfach dadurch wieder bestimmen, dass ich real oder
imaginär teilnehme, je nachdem.
Also wie gesagt, wenn ich mir an meine eigene Studentenseite
zurückdenke, so für die Elektrotechniker sind da ein bisschen geübter,
war immer mein Eindruck, die Maschinenbauer, die schrecken immer bei
komplexen Zahlen zunächst mal ein bisschen zurück.
Warum?
Weil sie noch nie eine komplexe Zahl gesehen haben, oder, in
Wirklichkeit?
Wer hat schon mal eine komplexe Zahl gesehen?
Jetzt lachen alle.
Dann muss ich aber eines einwenden.
Wer hat schon mal eine negative Zahl gesehen?
Mit denen rechnen Sie doch auch, oder?
Jetzt sind wir wieder bei meinem Lieblingsthema, der Politik.
Wie war der schöne Spruch?
Ein Professor befindet sich mit drei Studenten im Hörsaal.
Plötzlich verlassen fünf Studenten den Hörsaal.
Da sagt der Professor, ach je, wenn jetzt zwei kommen, bin ich ganz
allein.
Also auch die negativen Zahlen sind letztendlich nur Rechengrößen,
genauso wie die komplexen.
Wenn man die einführt, dann kann man eben viel eleganter was
durchführen.
So müsste sich das Ganze vorstellen, dann verlieren Sie hoffentlich
auch die Angst ein bisschen davor.
So, und man sieht, das f von i Omega, das bezeichnet jetzt den
Frequenzgang.
Der Frequenzgang selbst hängt natürlich vom System ab,
weil da die ganzen Systemparameter drinstehen.
Letztendlich über die Differenzialgleichung.
Und der beschreibt bei
harmonischer Erregung,
ich unterstreiche das nochmal, die Frequenzabhängigkeit des
Verhältnisses von
Ausgang und Eingang und
letztendlich auch die Phasenverschiebung.
So,
und wir haben gesehen, das x von t,
setzen wir ein, im Grunde genommen f von i Omega mal
Y0 e hoch i Omega t.
Das heißt, x Punkt ist was?
Ist f von i Omega mal Y0 mal i Omega mal e hoch i Omega t.
Und so weiter, bis x n mal abgeleitet ist dann gerade f von i Omega
mal Y0 mal i Omega hoch n mal e hoch i Omega t.
Das heißt, wenn ich das jetzt mal einsetze in der
Differenzialgleichung, die wir hier stehen haben, dann steht da an mal
f von i Omega mal Y0 mal e hoch i Omega t, also f von i Omega mal Y0
mal e hoch i Omega t mal i Omega hoch n.
Plus, jetzt das nächste,
da haben wir a n minus eins und dann haben wir die n minus ein der
Ableitung, da sehen wir, da tritt wieder der Faktor auf, f von i Omega
Y0 e hoch i Omega t, also steht hier i Omega hoch n minus eins.
Plus, das geht so weiter bis A1 mal i Omega plus
A0 und auf der rechten Seite hatten wir die Eingang, Systemeingang,
das war Y0 und jetzt verallgemeinert eben e hoch i Omega t.
Jetzt sehen wir den großen Vorteil, jetzt müssen wir uns nicht mehr so
um die Vorzeichen, ob es Sinus oder Kosinus ist, kümmern.
Das e hoch i Omega t, das kürzt sich jetzt weg, das Y0,
Linealdifferenzialgleichung muss sich wegkürzen, dann bleibt rechts in
dem Falle die 1 stehen, also f von i Omega ist 1 dividiert durch und
dann haben wir a n, i Omega hoch n plus a n minus 1, i Omega hoch n
minus 1 bis A1, i Omega plus A0.
Was will ich damit zeigen?
Nun zum einen die Koeffizienten der Ableitungen, die letztendlich das
System beschreiben, da stehen die ganzen Geometrie oder
Massenparameter, Dämpfungsparameter und so weiter bei unserem
Schwingungssystem drin, die sind natürlich im Frequenzgang enthalten.
Man sieht auch, jetzt haben wir i Omega hoch n, i Omega hoch n minus
1, also der Nenner ist komplex, also ist f von i Omega eine komplexe
Größe.
Eine komplexe Größe können wir im realen Imaginärteil unterteilen.
Also Frequenzgang
ist komplexe Größe,
die im Real- und im Imaginärteil
aufgeteilt werden kann.
Und bezogen auf unsere Systemdarstellung als Block, heißt das dann
letztendlich, das System selbst kann ich durch den Frequenzgang f von
i Omega beschreiben.
Als Systemeingang habe ich die harmonische Funktion y von t gleich y
null mal e hoch i Omega t
Und als Systemausgang dann entsprechend x von t gleich f von i Omega
mal y0 e hoch i Omega t.
Was wir hier jetzt nicht im Einzelnen zeigen, sondern vielleicht nur
angeben, ist, wenn wir im Frequenzbereich arbeiten, indem wir alles
Fourier transformieren.
Also im Frequenzbereich nach
einer Fourier Transformation,
da gilt dann wirklich x von Omega ist f von i Omega mal y von Omega.
Jetzt hatten wir gesehen, der Frequenzgang ist komplex.
Das heißt, der Betrag und die Phasenlage, die hängen ab von Omega.
Es liegt jetzt also nahe, für verschiedene Werte von Omega den realen
Imaginärteil, damit die komplexe Zahl des Frequenzgangs zu bestimmen
und für verschiedene Werte von Omega in die komplexen Zahlenebene
einzutragen.
Das ergibt dann nämlich gerade die Ortskurve.
Also Auftragung des
komplexen Frequenzgangs
als Kurve in der komplexen Zahlenebene.
Mit eben der Regerkreisfrequenz als Kurvenparameter.
Und für ein typisches Schwingungssystem ergibt sich dann eine Kurve,
die irgendwo so aussieht.
Und zwar in der Richtung laufend, wenn Omega zunimmt.
Das heißt, hier würden wir starten bei Omega gleich 0.
Hier würden wir irgendwo enden bei Omega gegen unendlich.
Man sieht ja gut, für einen bestimmten Wert von Omega haben wir da
jetzt praktisch den Frequenzgang als Zeiger.
Die Länge des Zeigers wäre dann gerade das V.
Wir haben hier wirklich ein Epsilon, weil ein positives Epsilon eine
Nacheilung ergibt.
In der Regelungstechnik wäre ein positives Epsilon oberhalb der
reellen Achse.
Hier haben wir den Realteil des Frequenzgangs, da den Imaginärteil.
Und wie gesagt, das V von Omega, das ist dann gerade der Betrag von F
und I Omega als Vergrößerungsfunktion.
Und Tangents von Epsilon, auch das ist eine Funktion von Omega, ist in
dem Falle...
Tangents sind wir hier, das ist der Imaginärteil, allerdings ist hier
der Imaginärteil negativ.
Wir brauchen aber hier was Positives, also minus den Imaginärteil,
dividiert durch den Realteil, jeweils des Frequenzgangs,
als Phasenverschiebung.
Wie gesagt, das negative Vorzeichen,
da Epsilon positiv im Uhrzeigersinn.
Und wie gesagt, wie konkret ein F von I Omega aussieht, hängt vom
System ab, weil ja die ganzen Systemparameter da drin stehen.
Ich habe jetzt auf der rechten Seite das mal ein bisschen angedeutet,
wie das für ein typisches Schwingungssystem ist, wie wir das auch
heute schon behandelt haben, also für einen Massenschwinger mit
Dämpfung.
Wenn wir was Komplizierteres haben, dann können die Kurven natürlich
verschieden aussehen, auch ganz kompliziert.
Nun schon beim typischen Schwingungssystem gibt es da natürlich
unterschiedliche Kurven, je nachdem, wie groß die Dämpfung ist.
Also wenn wir jetzt eine andere Dämpfung wählen für ein
Schwingungssystem, würde sich eine andere Kurve als Ortskurve ergeben.
Das sollten Sie mal im Hinterkopf halten.
Ich würde sagen, wie das Ganze aussieht für ein konkretes
Schwingungssystem, das machen wir in der nächsten Vorlesung, wir haben
jetzt heute schon ein bisschen vorgearbeitet, allerdings, ich muss
darauf hinweisen, nächsten Dienstag bin ich persönlich in Berlin, da
wird eine Übung stattfinden, wir lassen dort aber dann die Vorlesung
ausfallen, das heißt, wir sehen uns heute wieder in 14 Tagen.
Wenn Sie das bitte Ihren Kommilitonen sagen, die heute aus
irgendwelchen Pfingstferiengründen nicht an der Vorlesung teilnehmen
konnten.
Gibt es sonst noch Fragen?
Wenn nicht, dann wie gesagt, sind wir am Ende der heutigen
Veranstaltung angelangt.
Vielen Dank.