Damit kommen wir zur eigentlich letzten Vorlesung.
Ich muss ganz ehrlich gestehen, ich bin nächsten Dienstag nicht da,
aber ein Kollege von mir, der viele Jahre in der Industrie gearbeitet
hat, der hat mir versprochen und meine Mitarbeiter, dass er so ein
bisschen nochmals die Mechanik aus Sicht der Industrie ihnen versucht
nahezubringen und zu motivieren.
Vielleicht hätten wir das auch ganz am Anfang machen sollen.
Ich muss aber auch dazu sagen, es ist immer so ein bisschen eine
spannende Sache, ob mit all den Terminen, die während des Semesters
sind, mit den sonstigen Dienstaufgaben, die man hat, wo man vielleicht
eine Vorlesung ausfällt, ob wir da genügend Termine finden, den
Vorlesungsstoff durchzubringen und insofern machen wir jetzt am
Schluss eine gewisse Kür.
Deshalb nächsten Dienstag, 14 Uhr hier im Benz Hörsaal, wie gesagt, so
eine hoffentlich sehr interessante Vorstellung und anschließend auch
die Übung, soll ich noch mal sagen, findet ebenfalls hier im Benz
Hörsaal statt.
Es ist eine rein vorgerechnete Übung ohne seminaristische Aufgaben,
also für alle Studenten, sagen Sie das weiter, hier in diesem Hörsaal.
So, wir hatten in der letzten Vorlesung zum Schluss noch die
erzwungenen Schwingungen von einem Mehrfreiheitsgradsystem behandelt
und wollen jetzt so ganz grob mal anreißen, wie müsste das eigentlich
aussehen, wenn wir kein diskretes System mehr haben, wo wir wirklich
verschiedene Federsteifigkeiten identifizieren können, verschiedene
Massen von Massenpunkten oder vielleicht auch Massen von Stagkörpern
und irgendwelche Massenträgheitsmomente, wo vielleicht irgendwo
diskrete Dämpfer sind, sondern jetzt nehmen wir einfach ein System,
bei dem alles verteilt ist und ein ganz einfaches System wäre zum
Beispiel so ein Balken oder ein Stab.
Nun, wenn wir ein bisschen mit dem hantieren, dann sehen wir, ich haue
den mal so ein bisschen auf den Tisch
und er schwingt, also er bewegt sich.
Wir sehen aber auch, so wie er im Moment schwingt, ist die Amplitude
am Ende relativ groß, die Amplitude hier an der Einspannung, weil ich
den eben fest einspanne, die ist null.
Und ansonsten haben wir praktisch Schwingungsamplituden, die an jedem
Punkt des Stabes oder Balkens hier verschieden sind.
Ein anderes Beispiel, ich habe es jetzt nicht dabei, physikalisch,
aber das kennen Sie sicher, ist eine Seide oder ein Seil.
Das heißt, man hat eine Längskraft und Sie wissen alle aus Erfahrung,
man hat eine Masse, die verteilt ist über die Länge und wenn wir jetzt
aus irgendwelchen Anfangsbedingungen das Ganze loslassen, dann
schwingt das.
Und wir wissen aus der Physik, ja gut, da sind verschiedene Frequenzen
beteiligt und bevor man das aber alles ausrechnen kann, brauchen wir
zunächst auch mal die Bewegungsgleichung oder die
Bewegungsgleichungen, die solche Phänomene beschreiben.
Wir wissen zum Beispiel auch bei der Seide oder beim Seil, dass wenn
wir erzwungene Schwingungen haben, dass es da mehrere Möglichkeiten
gibt.
Wenn wir daran denken, ein Seil relativ straff gespannt, vielleicht
nicht unbedingt geradlinig verlaufend aufgrund der Gewichtskraft, das
sehen wir tagtäglich, wenn wir durch Deutschland fahren, was zunehmend
wichtig wird, wenn wir den Strom von Norddeutschland von den
Windkraftanlagen in den Süden transportieren müssen, das sind die
Überlandleitungen.
Und wenn Sie mal so eine Überlandleitung sehen, das Leiterseil, das
sind Aluminiumdrähte, die meistens um den Stahldraht dann noch
gewickelt sind, wenn man den mal in der Hand hat, dann hat das Ganze
natürlich eine gewisse Biegesteifigkeit, also es fällt schwer, das
auch irgendwie zu biegen, wenn man jetzt aber wieder die Spannweiten
denkt, die da vorhanden sind von einem Masten zum anderen, so 400
Meter oder bei Extremfällen bis zu 5 Kilometern, dann kann man sich
vorstellen, die Biegesteifigkeit, die spielt da praktisch keine Rolle,
man hat das Ganze dann ähnlich wie ein Seil, bei dem keine
Biegesteifigkeit vorliegt, sondern praktisch die ganze Rückstellung
über die Längskraft erfolgt.
Nun bei so einem Hochspannungsleiterseil, wenn das anfängt zu
schwingen, dann wird es wahrscheinlich daherkommen, dass entlang des
Seiles irgendwelche zeitabhängigen Kräfte wirken.
Also das kann zu Schwingungsanregungen führen.
Bei kontinuierlichen Systemen gibt es aber auch eine andere
Möglichkeit, dass wir nämlich das System über die Randbedingungen zu
Schwingungen anregen.
Und auch da kennen Sie natürlich, wenn wir uns das Seil anschauen, ein
altes Beispiel, schon aus Kindertagen, wenn man ein Springseil hat,
dann hat man das irgendwo gezogen und jetzt regt man das in zwei
Richtungen zu Schwingungen an, nämlich einmal vertikal, einmal
horizontal und aus Erfahrung weiß man, das muss man so 90 Grad Phasen
verschoben machen, also sich auf so einem Kreis bewegen und wenn man
das irgendwie macht, dann macht das Seil irgendwie eine Bewegung, wenn
man da aber so eine Resonanzfrequenz erreicht, dann kann man auch
wirklich große Amplituden erreichen und Seilspringen machen.
Das sind also Dinge, die wir eigentlich aus Erfahrung alle kennen.
Die Frage ist, wie können wir das beschreiben?
Ich schreibe mal als Überschrift schwingende Kontinua,
wobei ich gleich sagen will, die Schwingungen selbst zu bestimmen und
auch die Frequenzen, was dahinter steckt, das machen wir praktisch
heute nicht, wir beschränken uns mal darauf, die entsprechenden
Gleichungen herzuleiten und wie man das Ganze dann löst, wie man auf
die Frequenzen kommt, auf die Eigenschwingungsformen und so weiter,
das ist dann wirklich Thema von weiterführenden Vorlesungen, sei es im
Bachelor -Bereich oder sei es im Master-Bereich.
Und wir fangen mal mit was ganz Einfachem an, nämlich
Längsschwingungen in einem Stab,
das heißt, wir haben den Stab,
beschreiben den als eindimensionales Kontinuum, das heißt, wir führen
eine Längskoordinate ein,
x und jetzt kann jeder Punkt des Stabes eine Verschiebung in
Stablängsrichtung machen, ich deute das mal so an, dann haben wir also
u, die Längsverschiebung, die hängt natürlich von der Zeit ab, das
wissen wir, die hängt aber auch, ich hatte es bei den Querschwingungen
gezeigt, von der Ortskoordinate x ab, also u hängt ab von x und t und
man sieht, vorher hatten wir immer eine endliche Zahl von
Freiheitsgraden, jetzt kann jeder Punkt des Stabes sich unabhängig von
den anderen verschieben, oder mehr oder weniger unabhängig, das heißt,
nach unserer Zellweise hat so ein Stab als Kontinuum unendlich viele
Freiheitsgrade.
Bei einem n-Freiheitsgrad-System, da hatten wir als
Bewegungsgleichungen erhalten, n Differentialgleichungen zweiter
Ordnung, jetzt haben wir beliebig viele Freiheitsgrade, jetzt wollen
wir aber nicht beliebig viele Gleichungen an die Tafel schreiben, wir
werden sehen, das Ganze wird von den Gleichungen her relativ einfach,
das zu lösen dann wieder ein bisschen schwieriger.
So, was haben wir noch?
Nun, wir nehmen mal an, wir haben eine Linienlast, also eine Kraft pro
Stablänge, die in Längsrichtung wirkt, ich deute das mal so an,
und zwar in Richtung der Verschiebung u, das ist also das p, eine
Kraft pro Stablänge, ebenfalls abhängig von x und t.
Nun, der Stab, der hat eine Länge, wir nehmen an, der Stab hat die
Länge L, dann muss irgendwo x gleich 0 eingeführt werden, das führen
wir am linken Stabende ein, dann haben wir am rechten Stabende eben x
gleich L.
Und was jetzt noch spezifiziert werden muss, das ist, wie wir den Stab
lagern.
Je nachdem ergeben sich dann auch verschiedene Frequenzen,
letztendlich.
Wir nehmen mal an, wir lagern den Stab so, dass wir den am linken Ende
fest einspannen und am rechten Ende ein freies Ende haben.
So, wie können wir jetzt Bewegungsgleichungen herleiten?
Nun, zunächst mal schneiden wir jetzt ein differenzielles kleines
Massenelement des Stabes frei.
Das hat die Länge dx,
das heißt die Masse dieses Massenelementes ist dann, wie groß?
Nun, Volumen mal Dichte, also Rho mal das differenziell kleine
Volumen, wie groß ist das Volumen?
Und es ist einfach dx mal der Querschnittsfläche des Stabes, falls die
Querschnittsfläche des Stabes sich entlang des Stabes ändert.
Und dann würde da noch eine kleine Änderung hinzukommen, aber diese
kleine Änderung der Querschnittsfläche, die macht sich praktisch hier
nicht bemerkbar, das ist zweiter Ordnung, sodass wir hier schreiben
können, Rho mal A mal dx.
Rho mal A wird oft abgekürzt als die Masse pro Stablänge,
My, also eine Masse pro Länge.
So, was für Kräfte wirken an diesem Stabelement?
Nun zunächst mal, aufgrund der Linienlast haben wir eine Kraft in
Richtung P und die differenziell kleine Kraft der Linienlast ist in
dem Fall einfach P von x und t mal der Länge des Elementes, also P von
x und t mal dx.
Was haben wir noch?
Nun wir haben Normalkräfte,
links und rechts,
am linken Schnittufer die Normalkraft N, am rechten Schnittufer, nun
da hat sich die Normalkraft ein wenig geändert, also können wir dort
schreiben, wir haben die Normalkraft N plus eine differentielle
Änderung dN.
Und wenn wir das Prinzip von d'Alembert für das Massenelement
verwenden wollen, dann brauchen wir eben noch die entsprechende
Trägheitskraft.
Man sieht, die Verschiebung ist positiv nach rechts, die entsprechende
Beschleunigung ist U2-Punkt nach rechts, also ist die Trägheitskraft
entsprechend dm mal U2-Punkt und die Richtung habe ich jetzt durch den
Feind kenntlich gemacht.
Das heißt, wenn wir jetzt die Kräftebilanz für den Stab bilden,
was erhalten wir dann?
Und dann haben wir N plus dN in
negative Richtung, das N.
Dann haben wir das P von x und t, das Abhängigkeit von x und t lasse
ich mal weg, mal dx.
Dann haben wir noch minus U2-Punkt mal dm, also minus U2-Punkt, dm war
aber Rho mal A mal dx.
Das muss Null sein, jetzt sehen wir das N, das kürzt sich heraus,
sodass wir letztendlich haben U2-Punkt mal Rho mal A und jetzt
dividiere ich gleich durch dx.
Dann sieht man minus dN dividiert durch dx gleich P. Das P ist
gegeben, das Rho A, das ist auch gegeben durch den Stab.
Unbekannt sind die Verschiebung U und die Normalkraft.
Das heißt, wir haben jetzt eine Gleichung und zwei Unbekannte.
Jetzt brauchen wir weitere Gleichungen.
Nun zum einen haben wir jetzt die
Normalkraft, das ist ja gerade die Normalspannung Sigma mal
Querschnittsfläche A.
Das heißt, jetzt haben wir zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte,
weil jetzt habe ich plötzlich das Sigma noch drin.
Jetzt brauche ich noch einen Zusammenhang zwischen dem Sigma und der
Verschiebung U.
Dazu kann ich jetzt zunächst mal die Dehnung einführen, das Epsilon.
Das Epsilon für einen längsschwingenden Stab, die Ableitung der
Verschiebung ist also in dem Falle du nach dx.
Jetzt habe ich noch eine weitere Gleichung, aber auch eine weitere
Unbekannte, das Epsilon.
Das heißt, jetzt haben wir drei Gleichungen, vier Unbekannte, wir
brauchen noch eine weitere Gleichung, in der keine weitere Unbekannte
auftritt.
Und jetzt hat er schon vorgeschlagen, naja, Epsilon wäre doch Sigma
dividiert durch E.
Ist das richtig?
Er nickt.
Wer denkt, dass es richtig ist?
Wer denkt, dass es nicht richtig ist?
Warum nicht?
Wie?
Ja, er hat gesagt, Epsilon ist Sigma dividiert durch E.
Stimmt?
Also nochmal, wer sagt, es stimmt?
Ah, jetzt hat einer schon gesagt, es kommt ja drauf an.
Natürlich kommt es drauf an.
Nämlich, dass Epsilon gleich Sigma dividiert durch E ist, das war
unser einfaches Materialgesetz für ein rein linearelastisches
Materialverhalten.
Wenn jetzt aber irgendwo das Materialverhalten ganz komisch ist, dann
sieht vielleicht das Materialgesetz, also die konstitutive Gleichung,
die sieht dann eben ein bisschen anders aus.
Auf jeden Fall, hier zwischen, ich sage mal, zwischen Sigma und
Epsilon gibt es jetzt eine Beziehung, die vom Materialverhalten her
bestimmt wird.
Und wir, die wir es uns sowieso immer ganz einfach machen, wir nehmen
jetzt natürlich gerade sein Materialgesetz und sagen, na gut, das
Epsilon ist Sigma dividiert durch E.
Das heißt, ich kann jetzt rückwärts einsetzen, N ist Sigma mal A, also
Epsilon mal E mal
A.
Epsilon war aber du nach dx.
Und jetzt sehen wir, das müssen wir einmal nach x ableiten.
Aha, es passen doch ein paar auf.
Ich meine, Sie von weiter hinten sehen es viel besser.
Danke.
So, also erhalten wir zum Schluss Rho mal A mal U, zweipunkt, minus,
und jetzt haben wir d nach dx von E mal A von du nach dx gleich p von
x und t.
Man sieht, wir haben mitnichten natürlich keine unendlich vielen
Bewegungsgleichungen, sondern wir haben eine einzige Gleichung für
unser System mit beliebig vielen Freiheitsgraden, allerdings jetzt
nicht mehr nur Ableitungen nach der Zeit, sondern es treten jetzt auf
Ableitungen nach der Zeit plus Ableitungen nach dem Ort.
Also jetzt haben wir eine partielle Differenzialgleichung
mit Ableitungen nach Ort und Zeit.
Zweite Ordnung im Ort, zweite Ordnung in der Zeit, das heißt, wichtig
werden jetzt zum einen Anfangsbedingungen, zum anderen auch
Bedingungen bezüglich dem Ort.
Wenn wir unseren Stab anschauen, dann sehen wir, die Bedingungen, die
wir bezüglich des Ortes erhalten, das sind sogenannte Randbedingungen.
Die liegen also vor an den Rändern, hier bei x gleich 0 und bei x
gleich L.
Für so einen längsschwingenden Balken, Differenzialgleichung ist
zweite Ordnung im Ort, da brauchen wir zwei Bedingungen, also eine
links und eine rechts, also Anfangsbedingungen notwendig,
aber auch Randbedingungen.
Bei unserem Beispiel sind die Randbedingungen,
wie nun an der linken Seite, ist die Verschiebung 0 für alle Zeiten,
also U von 0 für alle Zeiten muss 0 sein.
Und wie sieht es aus am rechten Rand?
Nun rechts muss die Normalkraft 0 sein, weil wir ein freies Ende
haben.
Die Normalkraft ist aber y mal e mal a, man sieht es ist e mal a mal
du nach dx, also e mal a ist ungleich 0, also muss in dem Falle du
nach dx an der Stelle x gleich L für alle Zeiten 0 sein.
Also hier linkes Lager unverschieblich und die Bedingung entspricht
keiner Normalkraft bei
x gleich L.
Nun man sieht, diese partielle Differentialgleichung, die wird ein
bisschen einfacher, wenn der Querschnitt entlang des Balkens sich
nicht ändert oder entlang des Stabes.
Das heißt, wenn der Elastizitätsmodul und der Querschnitt konstant
sind, dann können wir das als Konstante vor die Ableitungen ziehen.
Das heißt, für einen konstanten Querschnitt mit
konstanter Dehnsteifigkeit e mal a gilt eben Rho mal a mal u2 Punkt
minus e mal a mal uxx gleich 0, wobei ich jetzt eingeführt habe, ein
Index x bedeutet eine partielle Ableitung nach x, also x war d nach
dx.
Was für eine Gleichung ist das?
Das ist eine ganz besondere Gleichung.
Ich habe gesagt, für einen ganz einfachen Fall, konstanter
Querschnitt, was ich vergessen hatte zu sagen, war ohne Erregung.
So, das ist eine ganz bekannte Gleichung, wahrscheinlich wissen Sie
die schon gesehen haben, nämlich in den Wellenphänomenen, wie?
Das ist eigentlich eine Wellengleichung, und zwar bezüglich einer
Dimension.
So, dann haben wir die Möglichkeit, Lösungen gibt es,
also Lösungen in
der Form u von x und t
gleich eine beliebige Funktion f, die jetzt nur noch abhängt von x
minus ct plus eine Funktion g, die abhängt von x plus ct.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das mal einsetzen, dann haben wir rho
mal a, ich nehme das nur mal für die Funktion f, dann haben wir rho
mal a, u2 Punkt ist minus c Quadrat mal die Funktion f von x minus ct
zweimal nach dem ganzen Argument abgeleitet.
Entschuldigung, minus c ist dann die innere Ableitung, da zweite
Ableitung ist das Quadrat.
Und dann haben wir minus e mal a, und jetzt sehen wir uxx, da müssen
wir wieder die Funktion f zweimal nach dem gesamten Argument ableiten,
mal der inneren Ableitung zum Quadrat, die innere Ableitung ist aber
in dem Falle 1, wenn wir nach x ableiten, das muss 0 sein und jetzt
sehen wir, wir haben zweimal die Funktion f nach dem gesamten Argument
abgeleitet, also gibt es rho mal a mal c Quadrat,
f zweimal nach dem Argument abgeleitet,
minus e mal a, f zweimal nach dem Argument abgeleitet, gleich 0.
Und jetzt sehen wir, das ist genau erfüllt, wenn die runde Klammer
verschwindet, also rho a c Quadrat gleich e mal a oder c Quadrat
gleich e dividiert durch rho.
Das ist rein formal mathematisch die Lösung, wenn wir das mal ein
bisschen schauen, dann sehen wir, das Argument, das bleibt gleich,
wenn für zunehmende Zeit das x zunimmt, also in dem Falle handelt es
sich, wenn x nach rechts geht, um eine nach rechts laufende Welle, man
sieht, das f ist beliebig, das behält sogar die Form bei, also wenn
die Welle eine Form hat, dann verändert sich die Form nicht, wandert
entsprechend in positive x-Richtung.
Genauso wird es natürlich gehen bei der Funktion g, können wir
dasselbe machen, kommen wir auf dieselbe
Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, dort sehen wir allerdings, mit
zunehmender Zeit t ist das Argument dasselbe, wenn das x abnimmt, also
beschreibt g eine nach links laufende Welle.
Also sehen wir, die Wellengleichung, die hat Lösungen in Form rechts
und links laufender Wellen, die Formen der Wellen bleiben in dem Fall
erhalten, wodurch werden die bestimmt, nun die werden natürlich
bestimmt durch die Anfangsbedingungen in dem Fall.
Das war aber jetzt rein die Lösung der partialen
Differenzialgleichung.
Was wir an der Stelle nicht berücksichtigt haben, das sind natürlich
die Ränder,
was passiert an den Rändern, nun wir führen es hier nicht explizit
vor, da treten einfach Reflexionen auf von den Wellen, allerdings
hängt die Art der Reflexion, wie das reflektiert wird, das hängt davon
ab, was für eine Randbedingung vorliegt.
Nun, um von der Wellenausbreitung auf periodische Lösungen zu kommen,
sprich zu Schwingungen, das kann man sich schon überlegen, das ist
aber ein bisschen kompliziert, wie man Schwingungen letztendlich dann
behandeln kann, ist einfach eine Separation,
also Schwingungen über U von X und T,
das setzen wir zusammen aus einer Funktion U, die nur abhängt von X,
multipliziert mit einer Funktion T, die nur abhängt von der Zeit und
wie gesagt, an der Stelle brechen wir das ab, weil das dann für Sie im
Moment zu kompliziert wird, das führt dann letztendlich zu einem
Eigenwertproblem wieder.
Ähnlich wie bei den Schwingungen von Systemen mit konzentrierten
Parametern, dort hatten wir ein Eigenwertproblem, allerdings ein
Matrizeneigenwertproblem, an der Stelle werden wir, wenn wir das
sukzessive machen, auf eine transzendente Funktion kommen, für die
Eigenwertgleichung, für die charakteristische Gleichung, bei diskreten
Systemen waren das ja immer Polynome in Omega-Quadrat.
Gibt es soweit zum Stab noch Fragen?
Wenn wir das Ganze machen für eine Saite, ich mache es hier jetzt
nicht explizit, dann kommen wir letztendlich zu einer
Differentialgleichung, die ganz ähnlich aussieht, auch zweite
Ableitung in der Zeit, zweite Ableitung im Ort, allerdings stehen ganz
andere Systemparameter drin, zwar auch die Masse pro Saitenlänge, aber
anstatt EA tritt dann auf die Längskraft in der Saite, man kann sich
ingenieurmäßig vorstellen, EA, das ist ein Maß für die
Federsteifigkeit, also wenn EA groß ist, beziehungsweise hier steht
auch die Fläche A drin, man sieht es, die hätten wir auch an vielen
Stellen direkt vorher schon rauskürzen können, also letztendlich das
Verhältnis von E-Modul zu Dichte wird hier wichtig, bei der Saite wird
wichtig das Verhältnis von Längskraft zu Rho mal A, auch das gibt dann
dort wieder ein Maß für die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, wobei
bei einer Saite die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Allgemeinen
sehr, sehr viel kleiner ist, als bei so einem längsschwingenden,
zumindest bei einem Stahlstab.
Und Sie wissen, wenn man so einen Stab hat, wenn wir da am Ende mit
dem Hammer draufklopfen, dann läuft eine Welle in den Stab rein, wird
am anderen Ende reflektiert, kommt zurück, wenn wir die Laufzeit
messen, dann können wir auf die Länge des Stabes schließen, das sind
alles so Möglichkeiten, die man dann hat.
Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit in Stahl, die ist aber so
irgendwo in der Gegend von 5000 m pro Sekunde, wie gesagt, bei einer
Saite sehr, sehr viel weniger, und bei Luft, das weiß jeder, der
Gewitter beobachtet, da ist es auch sehr viel weniger als bei Stahl.
So, das waren Längsschwingungen in einem Stab, machen wir vielleicht
noch das Ganze für das, was ich am Anfang gezeigt habe, nämlich so
einen Balken, Querschwingungen, auch da beschränken wir uns im
Wesentlichen auf die Herleitung der Bewegungsgleichung.
Sie könnten mir vielleicht die mittlere Tafel mal putzen.
Also,
schwingender Balken.
Nun, ein Balken ist wiederum ein Kontinuum, bei dem im Wesentlichen
die Bewegung von einer Ortskoordinate abhängt.
Beim Stab war es in Längsrichtung, jetzt haben wir in Querrichtung.
Nun, wenn wir den Stab ein bisschen genauer betrachten, dann wissen
wir natürlich, wenn der Stab Längsbewegungen ausführt und praktisch
eine Längskraft oder Längsspannungen wirken, was passiert?
Eigentlich aufgrund der Längsspannungen tritt eine Dehnung nicht nur
in Stablängsrichtung auf, sondern auch quer dazu.
Wenn der Stab jetzt dick ist, im Vergleich zu meinen Wellenlängen, die
auftreten, dann sind natürlich die Querverschiebungen aufgrund der
Querkontraktion, die sind dann unter Umständen wichtig.
Die haben wir bei unserem Stabmodell weggelassen.
Das heißt, auch schon beim Stab müssen wir eigentlich verschiedene
Stabmodelle, also physikalische Modelle unterscheiden.
Was nehmen wir alles an Effekten mit?
Letztendlich kann ich sagen, alles ist ein 3D-Kontinuum, aber im
Dreidimensionalen ist die Lösung natürlich sehr viel schwieriger, da
denkt dann jeder an Finite-Elemente-Rechnungen, nun auch das sind
eigentlich Nährungsrechnungen.
Wichtig für uns ist, alles prinzipiell zu verstehen.
Beim Balken ist es ganz ähnlich.
Wenn Sie sich zurückerinnern an Ihre TM2-Vorlesung, dann wissen Sie,
in so einem Balken, da tritt eine Verformung in Querrichtung auf,
dadurch, dass wir reine Biegung haben, also durch das Biegemoment, es
gibt aber auch Querverschiebungen aufgrund von Schubverformungen.
Und die Schubverformungen, die sind im Allgemeinen bei einem sehr
schlanken Stab, gegenüber den Biegeverformungen zu vernachlässigen, so
würde ich sagen.
Das heißt, wir nehmen mal an, wir haben den schlanken Stab, eine
Verformung tritt nur auf, aufgrund von Biegeeffekten.
Dann wissen wir, da gibt es eine neutrale Faser, die Verzerrung in den
einzelnen Fasern, die hängt ab vom Abstand von der neutralen Faser,
das sind alles Dinge, die Sie noch wissen müssten.
Und wenn nur Biegung auftritt, dann kann ich so einen Querschnitt
nehmen und wenn der Balken sich durchbiegt, dann bleibt der
Querschnitt stets senkrecht zur neutralen Faser.
Wenn Sie mal meinen etwas großen Querschnitt in Form einer Hand
anschauen, dann sehen Sie, wenn die neutrale Faser sich neigt, dann
dreht sich der Querschnitt, das heißt, die Punkte des Querschnittes,
die erfahren natürlich aufgrund der Querverschiebung eine Bewegung in
Querrichtung, die erfahren aber auch eine Bewegung in
Stablängsrichtung, wobei diese Bewegung größer ist, je größer der
Abstand von der neutralen Faser.
Wir machen es uns wieder leicht und sagen, diese Verschiebungen in
Balkenlängsrichtung, die vernachlässigen wir, weil wir wieder einen
schlanken Stab haben und praktisch die Effekte unberücksichtigt
bleiben können.
Das heißt, wir nehmen das sogenannte Euler-Bernoulli-Balkenmodell,
das heißt, keine Schubverformung,
nur Biegung
und die Drehträgheit der Querschnitte, das ist das, was ich sage, wenn
sich der Querschnitt so verdreht, dann haben natürlich, je weiter
außen die Punkte liegen, die eine größere Trägheit, das wird in dem
Falle vernachlässigt.
Drehträgheit der Querschnitte vernachlässigt.
Das heißt, wir haben jetzt so einen Balken, beschreiben den wieder
durch eine Ortskoordinate in Längsrichtung,
das x, wir führen das so ein, dass x gleich 0 am linken Ende ist, x
gleich L am rechten Ende.
Jetzt führen wir noch die Verschiebung ein.
Und jetzt könnten Sie natürlich nachschauen und alles in der TM2
praktisch abschreiben, dann müssen Sie aber verschiedene Konventionen
einhalten, damit alles vorzeichenrichtig gilt.
Jetzt bin ich jemand, der mehr TM3, TM4 macht und die TM2 mit ihren
ganzen Konventionen ein bisschen vergessen hat, aber das macht nichts,
warum?
Ich setze meine eigenen Richtungen jetzt ein und wenn ich alles
richtig durchziehe, muss das Endergebnis natürlich unabhängig davon
sein, was ich künstlich eingeführt habe.
Weil das Endergebnis muss natürlich dasselbe sein.
Das heißt, ich führe jetzt zunächst mal eine Verschiebung in
transversaler Richtung ein,
das ist das W und auch hier hängt das W sowohl ab von der
Ortskoordinate wie auch von der Zeit und ich führe mal eine Linienlast
ein, nun jetzt haben wir eine Linienlast, wie Sie sie vielleicht eher
kennen, nämlich quer zum Balken und ich nehme mal an, eine positive
Last wirkt in Verschiebungsrichtung, also in dem Falle nach oben,
das ist dann das P von X und T
und um jetzt wieder auf die Bewegungsgleichung zu kommen, schneiden
wir mal ein differenzielles kleines Massenelement frei,
tragen alle an ihm wirkenden Kräfte und Momente an, zum einen die
Kraft P mal dx, dx die Länge des Elementes,
eine Normalkraft haben wir keine, aber wir haben eine Querkraft, das
heißt, ich habe jetzt eine Querkraft Q am linken Schnittofer,
entsprechend am rechten Schnittofer eine Querkraft Q plus eine kleine
Änderung und ich habe natürlich ein Biegemoment am linken Schnittofer
M und entsprechend ein Biegemoment am rechten Schnittofer in
entgegengesetzter Richtung M plus dm, also wie gesagt, an der Stelle
sind die Konventionen für die Richtungen und die Vorzeichen usw.
in Themen 2 vielleicht ein bisschen anders, ich war jetzt zu faul
danach zu schauen, wollte Ihnen auch zeigen, dass das völlig belanglos
ist, man muss das nur richtig durchziehen, das heißt,
jetzt haben wir zunächst Summe der Kräfte,
nun wenn wir hier schreiben gleich 0, dann haben wir an der Stelle
noch was vergessen, nämlich die Trägheitskraft, die entgegen der
positiven Beschleunigung geht, wir haben das W nach oben positiv
angenommen, also geht die Beschleunigung nach oben positiv, die
Trägheitskraft entsprechend nach unten, also haben wir eine
Trägheitskraft wie 2 Punkt mal dm,
also schauen wir jetzt mal, was geht nach oben, dann haben wir q plus
dq, dann haben wir minus q am linken Schnittofer, dann haben wir pdx
und minus w2.dm, also plus pdx minus w2 Punkt und dm war wieder Rho
mal a mal dx, also µ, die Masse pro Balkenlänge mal dx, wir sehen, das
ergibt zunächst mal, das q fällt raus, also haben wir dq gleich w2
Punkt mal Rho mal a mal dx minus pdx, das heißt, ich dividiere jetzt
durch das dx und sehe, ja gut, dq nach dx ist in dem Falle w2 Punkt
Rho a minus p, das ist im Grunde genommen das, was Sie auch in der TM1
schon gehabt haben, bei den Schnittgrößen, dass die Ableitung der
Querkraft proportional ist der Linienlast, ob das plus oder minus ist,
das hängt dann davon ab, wie Sie die Größen einführen.
Und jetzt machen wir noch eine Momentbilanz,
Drehdrehigkeit haben wir keine, also haben wir zum einen m plus dm
minus m,
jetzt müssen wir uns irgendwie einigen, wenn wir als Momentbezugspunkt
irgendwo den Mittelpunkt wählen, dann haben wir einmal die Querkraft q
mal dx halbe, dann haben wir hier die Querkraft q plus dq mit dem
Hebelarm dx halbe, man sieht, dass dq mal dx, das ist zweiter Ordnung,
das wird also beim Grenzübergang verschwinden, wir könnten auch sagen,
wir haben als Momentbezugspunkt das linke Schnittofer, dann haben wir
als Moment q plus dq mal dx, auch dx mal dq ist zweiter Ordnung, also
egal, wie wir es wenden, bleibt da übrig, plus q mal dx, und jetzt was
passiert mit dem p mal dx und das w2-Punkt mal dm?
Nun das sind Kräfte, die irgendwo im Bereich letztendlich wirken, wenn
wir das linke Schnittofer nehmen oder das rechte Schnittofer als
Momentbezugspunkt, man sieht, der Hebelarm, der ist kleiner als dx,
also haben wir dx mal dx, dx mal dm, das sind alles Größen zweiter
Ordnung, die da nicht mehr auftreten, das heißt, was wir aus der
Momentbilanz erhalten ist, m fällt raus, dm dividiert durch dx,
gleich minus q,
also eine Gleichung zwischen Querkraft und Moment, auch die kennen Sie
natürlich schon, aus der TM1 müsste noch bekannt sein, dass die
Ableitung, das Liegemoment, das Proportional ist der Querkraft.
Also wir betrachten ja im Prinzip ein Infinitesimal.
Da haben wir gerade gesagt vorher, keine Drehdrehigkeit.
Woher die Annahme kommt?
Die Verschiebung, wenn der Balken sehr schlank ist, in transversaler
Richtung ist sehr viel größer als die Verschiebungen in
Balkenlängsrichtung.
Warum?
Nun die Verschiebungen selber und damit auch die
Verschiebungsableitung, die Verschiebungsableitung ist ja das, was den
Balkenquerschnitt dreht.
Wenn Sie jetzt eine Wellenlänge haben von einem Meter und eine
Amplitude von einem Millimeter, dann ist wirklich der Verdrehwinkel
extrem klein.
So, jetzt haben wir also zwei Gleichungen.
Man sieht, dQ nach dx ist im Grunde genommen d2m nach dx².
Nichtsdestotrotz, wenn wir die eine Gleichung in die andere Gleichung
einsetzen, haben wir eine Gleichung, zwei unbekannte, nämlich das W
ist unbekannt und das M ist unbekannt.
Wenn wir beide Gleichungen für sich zählen, haben wir drei unbekannte,
nämlich Q, W und M.
Nur zwei Gleichungen, wir brauchen also noch mehr Gleichungen.
Und dazu können wir mal das Element im
verformten Zustand anzeichnen.
Das hat sich dann ein bisschen verschoben.
Hier haben wir irgendwo die neutrale Faser.
Und jetzt sieht man an der linken Seite, da haben wir eine Verdrehung
W'.
Am rechten Ende haben wir eine Verdrehung W' plus dW'.
Das heißt, die neutrale Faser hat die Länge dx.
Eine Faser, die oberhalb der neutralen Faser ist, die hat sich jetzt
bei uns ein bisschen verkürzt.
Eine Faser, die unterhalb der neutralen Faser ist, die hat sich
verlängert.
Dementsprechend treten Verzerrungen der Fasern auf, die vom Abstand
von der neutralen Faser abhängen.
Wie groß sind die?
Und das Epsilon von
einer Faser ist ja gerade L nach der Verformung minus L0 dividiert
durch L0.
Wie groß ist die Länge einer Faser nach der Verformung?
Nun, man sieht, die ist zunächst mal dx.
Aufgrund der Verdrehung am linken Ende, W', verschiebt sich der Punkt
um dx mal z.
Also hier haben wir jetzt die Koordinate z, praktisch über den
Querschnitt.
Startet in der neutralen Faser, also dx plus W' mal z.
Jetzt verschiebt sich aber auch am rechten Ende das Faserende.
Dort haben wir allerdings die Verdrehung W' plus dW'.
Also minus, weil es sich nach links verschiebt, W' plus dW' mal z.
Das ist jetzt die Länge L', der Faser nach der Verformung.
Minus ursprüngliche Länge, das war dx, dividiert durch die
ursprüngliche Länge der Faser, das war dx.
Wir sehen, dieses dx, das kürzt sich weg.
Das W' mal z kürzt sich gegenseitig, es bleibt übrig.
Z mal dW' nach dx mit einem Minuszeichen ist also gerade minus z mal
W2 gestrichen.
Wie gesagt, ein Strich bedeutet eine Ableitung nach der
Längskoordinate x.
Das heißt, wir kennen jetzt die Verzerrungen der einzelnen Fasern
eines Querschnittes.
Bringt uns zunächst mal auch nicht weiter.
Was können wir da noch machen?
Nun, wir können ja sagen, das Biegemoment,
das ist gerade die Normalspannung an dem Querschnittspunkt Sigma, was
abhängt von x und z.
Die Normalspannung in Längsrichtung, die hängt ab vom Abstand von der
neutralen Faser.
Die hängt aber auch ab von der x-Koordinate.
Nun, Sigma von x und z multipliziert mit
dem Abstand von der neutralen Faser, das gibt jetzt mal z mal dA, eine
differentielle Fläche des Querschnittes,
multipliziert oder integriert über den gesamten Querschnitt.
Jetzt müssen wir aber aufpassen.
Wir haben gesagt, am rechten Schnittufer ist ein positives Moment in
der Richtung.
Also eine Normalspannung wirkt aber hier in entgegengesetzter
Richtung, also brauchen wir da noch ein Minuszeichen.
So, jetzt sehen wir, jetzt haben wir wieder die Verzerrung, die
abhängt von x und z.
Wir haben die Spannung, die abhängt von x und z.
Die Verzerrung hängt wieder mit w zusammen und was uns jetzt noch
letztendlich fehlt, ist wieder der Zusammenhang zwischen der
Verzerrung und der Normalspannung.
Also eine konstitutive Gleichung mit
Sigma gleich irgendeiner Funktion von Epsilon.
Bei komplizierten Materialzusammenhängen kommt da vielleicht auch noch
das Epsilon-Punkt oder irgendwelche andere Größen ins Spiel, also da
wird es dann ganz kompliziert.
Wir beschränken uns wieder auf den Fall, dass wir natürlich sagen, das
Sigma ist Epsilon mal E.
Also hier, Sigma gleich Epsilon mal E,
das wiederum bedeutet, das Biegemoment ist Minusintegral über die
gesamte Fläche A.
Dann haben wir Epsilon mal E gibt Minus z w2 gestrichen mal E mal z
mal dA.
Das heißt, Minus mal Minus gibt Plus, das w hängt nur von x ab und der
Zeit können wir also bezüglich der Integration über den Querschnitt
vorziehen, genauso wie das E.
Dann haben wir also E mal w2 gestrichen mal Integral z Quadrat dA
integriert über die gesamte Querschnittsfläche und das kennen Sie
natürlich, das Integral z Quadrat dA.
Das ist das Flächenträgheitsmoment, also haben wir gerade E mal I mal
w2 gestrichen, in dem Falle.
Das heißt,
wir haben aus der Gleichung zunächst mal w2 Punkt mal Rho mal A.
Das P bringe ich auf die andere Seite, das dQ nach dx, das bringe ich
nach links.
Dann steht Minus dQ nach dx, Minus dQ nach dx ist aber d2m nach dx
Quadrat, also m2 gestrichen,
gleich P von x und t,
Moment, plus haben wir gesagt, Minus dQ nach dx, Minus dQ nach dx ist
aber m2 gestrichen.
Und jetzt setzen wir noch das Ergebnis von oben ein.
Man sieht, m2 gestrichen ist einfach ei mal w2 gestrichen.
Zwei gestrichen, also haben wir letztendlich Rho A, w2 Punkt plus, und
jetzt haben wir ei, w2 gestrichen, zwei gestrichen, gleich P von x und
t, als Differenzialgleichung, mit der wir die Querschwingungen des
Balkens beschreiben können.
Wiederum eine partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung in der
Zeit.
Jetzt allerdings vierter Ordnung im Ort, das heißt wir brauchen auch
vier Randbedingungen insgesamt.
Also, Anfangsbedingungen, was wären die Anfangsbedingungen?
Wir haben beliebig viele Freiheitsgrade, wie viele Anfangsbedingungen
brauchen wir?
Nicht beliebig viele Gleichungen, sondern wir sagen einfach die
Auslenkung, w von x zum Zeitpunkt t gleich 0 ist eine vorgegebene
Funktion w0 von x und die Geschwindigkeit, nämlich das w Punkt von x
und 0 ist ebenfalls eine vorgegebene Funktion v0 von x.
Das hätten wir an der Stelle irgendwo beim längsschwingenden Stab
genauso vermerken können.
Das waren also die Anfangsbedingungen, wie sieht es aber aus mit den
Randbedingungen?
Vier Stück, zwei an jeder Berandung und
jetzt sieht man, ich kann natürlich verschiedene Arten von Lagern an
der Stelle vorgeben, links und rechts.
Ich kann das linke Lager anders machen als das rechte Lager.
Ich kann zum Beispiel ein Festlager machen.
Was wäre bei einem Festlager?
Was wären da die Randbedingungen?
Und da wäre w von 0 für alle Zeiten gleich 0 und w' von 0 gleich 0.
Also da muss die Tangente immer horizontal sein, sonst hat der Balken
da einen Knick.
Oder wenn wir so ein Lager haben, dann ist die Verschiebung w von 0
für alle Zeiten gleich 0.
Das Biegemoment muss 0 sein.
Ja.
Und jetzt sehen wir, das Biegemoment ist 0.
Also m war e mal i mal w2 gestrichen, also w2 gestrichen von 0 und t
gleich 0.
Wie sieht es aus bei einer freien Berandung?
Und da muss Biegemoment und Querkraft gleich 0 sein, also w2
gestrichen von 0 und t gleich 0.
Und wenn wir mal annehmen, der Balken hat einen konstanten
Querschnitt, dann haben wir also w3 gestrichen von 0 und t gleich 0.
Weil Querkraft war ja Ableitung des Momentes, Ableitung des Momentes
war Ableitung von e mal i mal w2 gestrichen, also da kommt praktisch
die dritte Ableitung ins Spiel.
Dann kann man sich natürlich noch exotische Fälle vorstellen.
Was weiß ich, ich habe eine Berandung, bei der der Balken sich zwar
verschieben kann, aber immer eine horizontale Tangente hat.
Dann wäre also in dem Fall das w' von 0 und t gleich 0 und das w3
gestrichen, weil keine Querkraft vorhanden ist, von 0 und t gleich 0.
Gibt es soweit Fragen?
Also wie gesagt, jetzt haben wir partielle Differenzialgleichung, wir
haben jeweils Randbedingungen am linken Rand 2, am rechten Rand 2.
Nun, wenn entsprechende Lager am rechten Rand vorliegen, gelten die
ganzen Bedingungen natürlich an der Stelle x gleich L.
Für einen Balken mit konstantem Querschnitt, ohne Erregung, erhalten
wir also
konstanter Querschnitt,
Rho mal a mal w2 Punkt, plus e mal i mal w4 gestrichen, gleich 0.
Jetzt sehen wir, da ist jetzt keine Wellengleichung mehr.
Wir können jetzt harmonische Funktionen annehmen und schauen, wie die
sich entlang der x-Achse ausbreiten.
Also,
Wellen in Form w von x und t gleich Sinus von Omega t plus k mal x
oder minus k mal x, genauso geht das mit Kosinus von Omega t plus
minus k mal x.
Da sieht man dann, Omega ist eine Kreisfrequenz, k ist eine
Wellenzahl, die ist, wenn wir die Wellenlänge Lambda haben, ist das k
gerade 2pi durch Lambda, also das k ist umgekehrt proportional zur
Wellenlänge.
Dann sieht man, in dem Falle breiten sich die Wellen mit einer
Geschwindigkeit aus, bei der die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Omega
bzw.
von k abhängt.
Also, breiten sich mit einer Geschwindigkeit c abhängig von Omega bzw.
abhängig von k aus.
Was bedeutet das, wenn die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit von der
Frequenz abhängt?
Dispersion.
Das heißt, bei längsschwingenden Stäben, da bleibt die Wellenform
erhalten, hier breiten sich jetzt die einzelnen harmonischen mit
unterschiedlicher Geschwindigkeit aus, das heißt, wenn wir am Anfang
eine Auslenkung haben, die eine bestimmte Form hat, dann breiten sich
deren einzelnen Anteile mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus, das
heißt, die Form, die wir nicht beibehalten, die verschwimmt dann.
Das war das eine.
Wenn man das genau untersucht, wir machen es jetzt hier nicht mehr,
dann stellt man fest, die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, die nimmt
zu mit zunehmendem Omega oder mit abnehmender Wellenlänge, also mit
zunehmendem k, mit zunehmender Wellenzahl, die wird theoretisch
beliebig groß, wenn das Omega nur beliebig groß ist.
Kann das sein?
Nun, das kann natürlich nicht sein.
Ich greife mal wieder ein Ergebnis vor, das eigentlich in
Spezialvorlesungen hergeleitet wird, bei einem Isotropenmaterial, das
nicht richtungsabhängig ist, wie zum Beispiel Stahl, und das durch
zwei Elastizitätskonstanten beschrieben werden kann, und was Sie alle
kennen, ist der E-Modul und der Schubmodul, oder der E-Modul und die
Querkontraktionszahl.
Wenn wir zwei von den dreien haben, dann können wir auch die dritte
bestimmen, das wissen wir alles.
In so einem Material, da gibt es genau zwei
Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten.
Und natürlich kann die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit in einem
Balken nicht größer werden als die größte dieser
Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten.
Nun, was machen wir jetzt also, wenn mit zunehmendem Omega scheinbar
die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit für die Biegewellen beliebig
ansteigt?
Ganz einfach, wenn die Frequenz zunimmt von so einer Welle, heißt es,
die Wellenlänge nimmt ab.
Das heißt, irgendwann sind wir in einem Bereich, wo die Wellenlänge
nicht mehr groß ist im Vergleich zu den Querabmessungen.
Das heißt, irgendwann wird dann unser Euler-Bernoulli-Balkenmodell
nicht mehr das richtige Modell sein, um die Bewegungen von so einem
Balken zu modellieren.
Zunächst wird es vielleicht genügen, dann noch Shear-Effekte und die
Querträgheit des Querschnittes mit zu berücksichtigen.
Wenn dann aber die Frequenz noch weiter zunimmt, dann wird es im
Prinzip ein 3D-Problem und obwohl der Balken dann vielleicht schlank
und lang ist, werden eben 3D-Effekte wichtig.
Also wichtig, wir haben immer zunächst mal ein physikalisches Modell,
machen davon ein mathematisches Modell, das können wir dann
untersuchen.
Wenn wir die Ergebnisse wieder rückprojizieren, dann müssen wir uns
immer fragen, ist in dem Bereich, in dem wir dann noch arbeiten, das
physikalische Modell überhaupt noch das adäquate physikalische Modell.
Gibt es hierzu noch Fragen?
Nun, wenn nicht, dann sind wir jetzt eigentlich ganz offiziell am Ende
der Vorlesung angelangt.
Wie gesagt, nächste Woche findet nochmals eine Veranstaltung statt.
Ich persönlich würde Ihnen raten, zur Vorbereitung auf die Klausur,
üben, üben, üben, ich habe das zwar schon mehrmals gesagt, aber üben
Sie nicht in einer ganz besonderen Art und Weise, nämlich viele, die
rechnen dann wirklich alte Klausuren, die haben hier die
Aufgabenstellung, die rechnen in der Mitte und haben leider links die
Lösung liegen.
Das sollten Sie durchaus vielleicht bei ein, zwei, drei oder vier
Klausuren machen, um überhaupt mal reinzukommen.
Wenn Sie so aber die ganze Klausurvorbereitung gestalten, dann laufen
Sie Gefahr, dass das Folgende passiert, man hat die Aufgabenstellung,
man rechnet, man kommt an einen Knackpunkt, wo man nicht weiter weiß,
dann kommt der Blick auf die linke Seite, ach, das hätte ich ja
gewusst.
Man rechnet weiter, es kommt der nächste kleine Knackpunkt, es kommt
der Blick nach links, ach, das hätte ich ja gewusst.
Man rechnet weiter und man hätte es eigentlich immer gewusst, bis dann
die Klausur scharf geschaltet ist, man im Hörsaal sitzt, die rechte
Seite hat, die Mitte hat, schön rechnet, dann kommt der erste
Knackpunkt und der Blick links, der ist nicht vielversprechend, weil
da ist leider die leere Bank.
Man denkt, man hätte es zwar gewusst, aber es fällt einem nicht mehr
ein und schon beginnt das Desaster.
Also bereiten Sie sich ein bisschen anders vor, Sie dürfen ja auch
sehr viel verwenden, Bücher und Unterlagen und was weiß ich, aber die
nützen Ihnen natürlich nur so viel, wie Sie auch wissen, wo was steht.
Und versuchen Sie immer, Aufgaben, die Routine sind, möglichst schnell
abzuarbeiten und dazu ist es wirklich gut, sich vorher mit viel Übung,
Routine einzutrainieren, so dass vielleicht an der einen oder anderen
Stelle, wo vielleicht die Klausur von der Routine etwas abweicht, dass
man da auch Zeit hat zum Nachdenken.
Das sind so meine Empfehlungen, ich muss ganz ehrlich gestehen, wie
die Prüfungsaufgaben genau aussehen, das wissen wir im Moment noch gar
nichts, also insofern kann ich auch gar nichts verraten.
Aber im Allgemeinen ist es so, Sie sind wahrscheinlich noch weit weg
davon, die TM 3, 4 verstanden zu haben.
Was man zunächst braucht, ist natürlich die Routine, aber Sie sollten
natürlich nicht jetzt lernen, wegen dem Seemann oder wegen was weiß
ich was, Sie sollten immer lernen um Ihrer Erkenntnis willen.
Vielleicht fällt es dann auch leichter.
Auf jeden Fall wünsche ich all denen, die so lange in der Vorlesung
ausgeharrt haben, viel viel Erfolg, hoffentlich haben Sie alle 1-0,
ich würde es Ihnen gönnen.
Und ansonsten müssen wir natürlich die Klausur fair bewerten, bedanke
ich mich für die Aufmerksamkeit, vielen Dank.
Vielen Dank.