WEBVTT

00:06.590 --> 00:08.250
Was haben wir heute vor?

00:08.330 --> 00:12.430
Wir werden uns heute, wie Sie vom Titel her sehen, hauptsächlich mit

00:12.430 --> 00:15.010
einem neuen Thema beschäftigen, und zwar mit der Interpolation.

00:15.770 --> 00:17.990
Das werden wir die nächsten drei Wochen machen.

00:21.650 --> 00:27.170
Der Ausblick ist der, dass wir heute über Newton-Interpolation

00:27.170 --> 00:31.230
sprechen, nächste Woche über Chebyshev-Interpolation und übernächste

00:31.230 --> 00:33.290
Woche die Spline-Interpolation ansprechen wollen.

00:33.370 --> 00:34.730
Das ist das Programm für die nächste Zeit.

00:34.730 --> 00:40.110
Ein kleiner Nachtrag möchte ich noch liefern zum CG-Verfahren, was wir

00:40.110 --> 00:41.210
letzte Woche gemacht haben.

00:41.930 --> 00:46.090
Eine Frage blieb da ein bisschen offen und auch die Argumente zum

00:46.090 --> 00:49.830
Schluss verliefen etwas schnell am Schluss der Vorlesung.

00:49.910 --> 00:52.970
Das können wir uns in den ersten Viertelstunden, 20 Minuten heute

00:52.970 --> 00:54.550
nochmal in Ruhe anschauen.

00:56.150 --> 00:58.770
Der Nachtrag ist zum einen folgender.

00:58.870 --> 01:03.570
Wir hatten ja relativ viel motiviert von dieser Zeichnung hier, die

01:03.570 --> 01:07.850
uns sagt, okay, wir starten von einem Punkt xk, haben dann in eine

01:07.850 --> 01:12.450
Suchrichtung dk ein eindimensionales Problem minimiert.

01:13.390 --> 01:16.490
Die Lösung davon, die war immer eindeutig bestimmt, das lag an der

01:16.490 --> 01:18.170
positiven Definitheit der Matrix.

01:18.310 --> 01:22.770
Vielleicht erinnern Sie sich, die Idee war ja A x gleich b zu lösen

01:22.770 --> 01:26.590
und das A selber ist eine symmetrische, positiv definierte Matrix.

01:26.590 --> 01:29.950
Und diese Eigenschaft garantierte uns, dass es einen eindeutigen Punkt

01:29.950 --> 01:34.670
gibt, den wir dann natürlich mit xk plus 1 bezeichnen, an dem dieses

01:34.670 --> 01:40.210
eindimensionale Problem, also die Minimierung entlang von dk sozusagen

01:40.210 --> 01:40.910
gelöst wird.

01:42.430 --> 01:45.530
So, was haben wir jetzt gemacht in dem Punkt xk plus 1, wenn wir den

01:45.530 --> 01:46.710
neuen Punkt gefunden haben?

01:48.370 --> 01:49.290
Was war das?

01:49.370 --> 01:52.990
Wir prüften, oder wir haben geprüft, ob A x gleich b vielleicht schon

01:52.990 --> 01:54.630
für dieses x erfüllt ist.

01:54.630 --> 01:56.690
Das heißt, wir haben das Residuum ausgerechnet.

01:57.650 --> 01:59.310
Das Residuum, was war das?

01:59.390 --> 02:04.350
Das war nichts anderes als der Rest, der übrig bleibt, wenn ich xk

02:04.350 --> 02:11.350
plus 1 einsetze in die Gleichung A x gleich b oder A x minus b gleich

02:11.350 --> 02:11.610
0.

02:13.730 --> 02:16.730
Ja, wenn das Residuum 0 ist, dann habe ich meine Lösung gefunden und

02:16.730 --> 02:17.430
kann aufhören.

02:17.430 --> 02:21.210
Wenn das Residuum nicht 0 ist, sprich das Residuum wie hier

02:21.210 --> 02:24.650
eingezeichnet ein Vektor ist, was haben wir dann gemacht?

02:25.850 --> 02:29.710
Wir sind dann ausgehend von diesem Residuum, haben wir eine a

02:29.710 --> 02:33.110
-orthogonale neue Suchrichtung dk plus 1 konstruiert.

02:33.450 --> 02:34.730
Das macht man mit Gramm-Schmidt.

02:34.990 --> 02:41.450
Man hat aus dem rk plus 1 alles rausgenommen, was in dk-Richtung

02:41.450 --> 02:47.390
zeigt, um dann was Orthogonales zu bekommen und das haben wir dann dk

02:47.390 --> 02:48.030
plus 1 genannt.

02:48.110 --> 02:49.090
Das ist die neue Suchrichtung.

02:49.270 --> 02:52.290
Motiviert von dem zweidimensionalen Fall sehen Sie dann auch, oh, dann

02:52.290 --> 02:54.630
wäre ich ja schon nach zwei Schritten direkt an der exakten Lösung.

02:55.590 --> 02:58.650
Die exakte Lösung ist hier das Zentrum von diesen Kreisen.

02:59.490 --> 03:01.090
Habe ich gar nicht explizit hingeschrieben.

03:01.190 --> 03:04.070
Das x-Stern ist sozusagen der Mittelpunkt von diesen Kreisen.

03:04.070 --> 03:07.490
Okay, aber die Frage, die sich noch stellte und die nicht ganz klar

03:07.490 --> 03:13.030
beantwortet war, wieso ist es überhaupt möglich aus dem rk plus 1, aus

03:13.030 --> 03:16.410
dem Residuum, also wenn es verschwindet, sind wir sowieso fertig, wenn

03:16.410 --> 03:20.630
es aber nicht verschwindet, warum ist es überhaupt möglich, diesen

03:20.630 --> 03:24.390
Vektor dk plus 1 zu konstruieren, der orthogonal auf dk steht.

03:24.930 --> 03:29.250
Mit anderen Worten, warum liegt denn dieser Vektor rk plus 1 nicht

03:29.250 --> 03:33.750
vollständig in dem eindimensionalen Raum, der durch dk aufgespannt

03:33.750 --> 03:34.090
wird.

03:34.890 --> 03:36.990
In der Zeichnung habe ich es natürlich schon so angedeutet, dass das

03:36.990 --> 03:40.810
rk plus 1 und das dk linear unabhängig sind voneinander.

03:41.490 --> 03:43.990
Dann kann ich natürlich eine Suchrichtung, eine orthogonale

03:43.990 --> 03:45.670
Suchrichtung konstruieren mit Gramm-Schmidt.

03:46.150 --> 03:50.870
Aber hätte es nicht sein können, dass dieses Residuum rk plus 1,

03:51.170 --> 03:54.410
anders als suggeriert durch die Zeichnung, komplett linear abhängig

03:54.410 --> 03:55.390
ist mit dk.

03:55.730 --> 04:01.430
Und das Argument liefere ich Ihnen heute nach, dass das nicht der Fall

04:01.430 --> 04:01.570
ist.

04:01.570 --> 04:03.590
Dass die immer linear unabhängig sind voneinander.

04:04.750 --> 04:06.330
Also, wie haben wir das nochmal gemacht?

04:06.450 --> 04:08.910
Dieses eindimensionale Minimierungsproblem haben wir im Grunde

04:08.910 --> 04:10.950
genommen wie in der Schule gelöst.

04:11.110 --> 04:14.730
Wir haben geschaut, wo die Funktion, die jetzt nur noch abhängig ist

04:14.730 --> 04:18.470
von dem skalaren Parameter Alpha, wo die verschwindet.

04:19.330 --> 04:21.890
Wir haben in der Schule gelernt, das ist eine notwendige Bedingung

04:21.890 --> 04:23.750
dafür, dass ein Extremum vorliegt.

04:23.970 --> 04:26.970
Und in dem Fall, wegen der positiven Definitheit der Matrix, ist es

04:26.970 --> 04:30.070
auch eine hinreichende Bedingung, weil wir sofort garantieren können,

04:30.190 --> 04:32.830
dass die zweite Ableitung an dieser Stelle größer ist als 0.

04:33.510 --> 04:36.070
Das heißt, es ist eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür,

04:36.170 --> 04:39.210
dass das Minimum vorliegt, sich die Nullstelle von dieser

04:39.210 --> 04:42.250
eindimensionalen Funktion Phi anzuschauen.

04:42.290 --> 04:43.550
Wir hatten sie Phi letzte Woche genannt.

04:44.230 --> 04:47.250
Sie müssen die Rechnung nicht mehr im Detail nachvollziehen oder das

04:47.250 --> 04:48.550
im Kopf haben, das kann ich nicht erwarten.

04:48.610 --> 04:49.850
Ich habe es aber nochmal aufgeschrieben.

04:50.790 --> 04:54.470
Wenn Sie das eindimensionale Minimierungsproblem lösen, sprich Phi'

04:54.850 --> 05:00.210
von Alpha gleich 0 lösen und Sie an etwas rechnen, man muss also

05:00.210 --> 05:07.890
diesen Ausdruck xk plus Alpha k dk in das Funktional einsetzen und

05:07.890 --> 05:11.250
danach Alpha differenzieren, das wollen wir nicht jetzt nochmal

05:11.250 --> 05:17.550
nachvollziehen, aber am Ende kommt heraus, dass die Suchrichtung dk

05:17.550 --> 05:25.170
transponiert mal das Residuum rk plus 1 senkrecht aufeinander stehen.

05:25.850 --> 05:28.870
Und zwar senkrecht bezüglich der euclidischen Norm.

05:29.030 --> 05:31.610
Gucken Sie sich die letzte Zeile hier an, das ist nichts anderes als

05:31.610 --> 05:34.210
ein euclidisches Skalarprodukt hier unten.

05:34.870 --> 05:38.790
Und hier steht, die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

05:38.790 --> 05:46.030
Das heißt, das rk plus 1 kann nicht linear abhängig sein von dem dk,

05:46.390 --> 05:47.470
sonst kommt nicht gleich 0 raus.

05:47.590 --> 05:49.210
Sie stehen wirklich senkrecht aufeinander.

05:49.390 --> 05:53.270
Also entweder ist das rk plus 1 0, dann haben wir gewonnen, dann sind

05:53.270 --> 05:54.070
wir nämlich schon am Ziel.

05:54.730 --> 05:58.350
Und wenn es nicht 0 ist, steht es in der euclidischen Norm senkrecht

05:58.350 --> 06:03.950
auf dem dk, liegt also nie und nimmer in der gleichen eindimensionalen

06:03.950 --> 06:06.130
Raum, der durch den Spann von dk gegeben ist.

06:06.830 --> 06:13.390
Okay, das war ein Nachtrag, um zu klären, warum das Bild immer die

06:13.390 --> 06:14.710
richtige Vorstellung liefert.

06:15.550 --> 06:20.150
Dass also das rk plus 1 immer linear unabhängig ist von dem dk.

06:20.650 --> 06:23.430
Gut, das war noch offen.

06:23.770 --> 06:26.010
Auch wollte ich zur praktischen Durchführung nochmal das eine oder

06:26.010 --> 06:26.830
andere sagen.

06:29.450 --> 06:31.050
Gut, was war das alpha k?

06:31.350 --> 06:32.230
Sie erinnern sich, dunkel.

06:32.230 --> 06:34.330
Das alpha k hatten wir gerade angesprochen.

06:36.730 --> 06:41.150
Das ist genau der Wert, wo ich eben genau das Minimum finde von dem

06:41.150 --> 06:43.170
eindimensionalen Minimierungsproblem.

06:43.430 --> 06:44.690
Das ist wirklich Schulmathematik.

06:44.850 --> 06:47.810
Wir hatten eine Formel hergeleitet für das alpha k.

06:49.030 --> 06:52.030
Das beta k, woher kam das?

06:53.870 --> 06:58.230
Das beta k kam aus dem Orthogonalisieren.

06:58.230 --> 07:03.430
Wir haben aus dem Residuum rk plus 1 alles rausgenommen, was in dk

07:03.430 --> 07:08.430
-Richtung zeigt, bezüglich der Energienorm oder bezüglich des a

07:08.430 --> 07:09.430
-Skalarproduktes.

07:10.210 --> 07:13.270
Und am Ende blieb nur noch die neue Suchrichtung dk plus 1 übrig.

07:14.550 --> 07:19.070
Und um alles rauszuziehen aus diesem Vektor dk, aus der alten

07:19.070 --> 07:21.390
Suchrichtung, braucht man diesen Parameter beta.

07:22.670 --> 07:25.590
Der kommt aus der Orthogonalisierung von Gram-Schmidt.

07:26.650 --> 07:30.290
Und wir hatten Formeln hergeleitet letzte Woche, die waren wirklich

07:30.290 --> 07:31.670
nicht ganz so schwer.

07:32.630 --> 07:34.210
Und hier sind alternative Formulierungen.

07:34.330 --> 07:36.750
Da muss man ein bisschen rechnen, ein bisschen was investieren.

07:37.110 --> 07:40.870
Das dauert einen Moment, bis man das sieht, dass man das alpha k auch

07:40.870 --> 07:44.070
alternativ so berechnen kann und das beta k alternativ auch so

07:44.070 --> 07:44.610
berechnen kann.

07:45.210 --> 07:46.490
Was bringt das für einen Vorteil?

07:47.390 --> 07:50.470
Die Rechnung selber ist vielleicht etwas länglich, aber nicht

07:50.470 --> 07:51.610
unbedingt hoch kompliziert.

07:51.610 --> 07:54.090
Aber möchte ich nicht vorführen.

07:55.190 --> 07:57.810
Aber schauen Sie sich jetzt mal die Ausdrücke für alpha k und beta k

07:57.810 --> 07:58.110
an.

08:00.330 --> 08:02.050
Fangen wir mal hinten an, das beta k.

08:03.230 --> 08:07.490
Das beta k hat jetzt oben und unten, weil ich an die Skalarprodukte

08:07.490 --> 08:12.710
nichts dran geschrieben habe, also kein Index a, ist das wirklich das

08:12.710 --> 08:14.450
Ihnen bekannte euclidische Skalarprodukt.

08:15.810 --> 08:21.190
Und ich bilde da das euclidische Skalarprodukt mit dem Residium k plus

08:21.190 --> 08:22.370
1, mit sich selbst.

08:23.230 --> 08:29.430
Und unten im Nenner habe ich das Residium rk, mit sich selbst im

08:29.430 --> 08:30.430
euclidischen Skalarprodukt.

08:31.870 --> 08:33.210
Gut, was ist zu beobachten?

08:34.370 --> 08:38.430
Auf was ich jetzt hinaus möchte und Sie sensibel machen möchte, ist

08:38.430 --> 08:39.750
der Aufwand der ganzen Geschichte.

08:40.010 --> 08:41.390
Es geht ja letztlich um den Aufwand.

08:41.390 --> 08:44.470
Wir hatten ja schon letzte Woche diskutiert, man macht überhaupt die

08:44.470 --> 08:49.750
Geschichte Sinn, iterativ ein lineares Gleichungssystem zu lösen, wenn

08:49.750 --> 08:53.330
ich es doch bei einer SPD-Matrix direkt lösen kann mit der Cholesky

08:53.330 --> 08:53.790
-Zerlegung.

08:54.270 --> 09:00.310
Das macht nur Sinn, wenn ich es viel schneller kann, also viel oder

09:00.310 --> 09:06.510
etwas oder zumindest schneller kann und ich darauf verzichten kann,

09:06.670 --> 09:09.210
von der Anwendung her darauf verzichten kann, dass ich das perfekte

09:09.210 --> 09:10.430
Ergebnis in der Hand haben muss.

09:10.430 --> 09:11.610
Ich kann darauf verzichten.

09:12.010 --> 09:15.630
Cholesky liefert uns eine sehr, sehr gute Approximation und hier

09:15.630 --> 09:17.570
nähere ich mich iterativ.

09:18.610 --> 09:20.630
Also wir müssen jetzt ein bisschen über den Aufwand sprechen.

09:20.930 --> 09:23.510
Kann ich den so klein halten, dass es eine Chance gibt, dass ich

09:23.510 --> 09:25.190
iterativ schneller bin?

09:26.690 --> 09:34.050
Und da fällt einem auf, dass bei dem Beta-k der Zähler der Nenner ist

09:34.050 --> 09:34.950
von dem Schritt davor.

09:36.950 --> 09:38.670
Nee, das ist falsch gesagt.

09:40.170 --> 09:44.530
Der Zähler ist der Nenner von dem Schritt danach.

09:45.290 --> 09:45.930
So ist es, ja?

09:47.190 --> 09:50.670
Okay, der Zähler, wo wir also K plus 1 stehen haben, ist der Nenner

09:50.670 --> 09:51.350
von dem Schritt danach.

09:51.470 --> 09:54.850
Das heißt, sie rechnen dieses Skalarprodukt einmal aus und speichern

09:54.850 --> 09:58.790
das als skalare Größe bis zum nächsten Schritt und müssen es dann

09:58.790 --> 09:59.670
nicht nochmal ausrechnen.

09:59.930 --> 10:00.890
Das ist die Botschaft, ja?

10:01.890 --> 10:03.750
Und jetzt gucken wir uns das Alpha-k an.

10:03.830 --> 10:08.590
Das Alpha-k hat oben im Zähler den gleichen Ausdruck wie Beta-k im

10:08.590 --> 10:08.830
Nenner.

10:08.930 --> 10:10.230
Das heißt, diesen Ausdruck kennen wir.

10:10.630 --> 10:12.870
Und zusätzlich müssen wir noch den Nenner ausrechnen.

10:12.970 --> 10:18.890
Das ist dieses dk im A-Skalarprodukt mit sich selbst.

10:19.390 --> 10:22.130
Also wenn man das zusammenfasst, sind es nur zwei Skalarprodukte, die

10:22.130 --> 10:23.310
man zu berechnen hat pro Schritt.

10:23.890 --> 10:25.870
Weil das eine speichere ich mir für den nächsten.

10:27.570 --> 10:30.410
Aber wichtig dabei ist natürlich, dass wir verstehen, dieses A

10:30.410 --> 10:32.650
-Skalarprodukt ist im gewissen Sinne teuer zu berechnen.

10:32.730 --> 10:33.810
Wie war das denn nochmal definiert?

10:34.010 --> 10:36.330
Hier dieser Nenner.

10:38.150 --> 10:39.110
Wissen Sie das noch?

10:39.790 --> 10:46.030
Das ist dk transponiert mal A mal dk.

10:47.590 --> 10:51.150
Das war praktisch das euclidische Skalarprodukt, wo wir in die Mitte

10:51.150 --> 10:54.350
diese symmetrisch-positiv definierte Matrix eingeschmuggelt haben.

10:55.350 --> 10:58.650
Und was sagen Sie jetzt zu den Kosten von dem Skalarprodukt?

11:03.560 --> 11:06.560
Im Gegensatz zu so einem euclidischen Skalarprodukt.

11:11.060 --> 11:13.980
Wie teuer ist das euclidische Skalarprodukt von zwei Vektoren?

11:21.670 --> 11:24.410
Was machen Sie beim euclidischen Skalarprodukt?

11:25.450 --> 11:29.430
Sie nehmen die Vektoren immer komponentenweise miteinander mal und

11:29.430 --> 11:30.710
addieren die Produkte auf.

11:31.270 --> 11:34.850
Das ist also immer eine Multiplikation und eine Summation.

11:34.850 --> 11:36.190
Und das N mal.

11:36.750 --> 11:39.170
Summieren müssen wir tatsächlich nur N minus einmal, aber das

11:39.170 --> 11:40.510
schlappern wir.

11:40.810 --> 11:43.310
Das sind N Operationen.

11:43.330 --> 11:45.770
Wir hatten ja immer eine Addition und eine Multiplikation

11:45.770 --> 11:46.020
zusammengefasst.

11:46.430 --> 11:47.350
Das ist ein linearer Aufwand.

11:49.210 --> 11:51.690
Was sagen Sie jetzt zu dem Skalarprodukt hier?

11:53.330 --> 11:54.510
Offensichtlich nicht mehr linear.

11:54.810 --> 11:58.650
Das Problem ist, dass ich irgendwie Matrix mal Vektor ausrechnen muss.

12:00.770 --> 12:02.510
Und das hat was für einen Aufwand?

12:04.190 --> 12:06.670
Das sind N mal euclidische Skalarprodukte.

12:07.290 --> 12:08.010
Also N Quadrat.

12:08.650 --> 12:10.010
Das ist wirklich ein N Quadrat Aufwand.

12:10.130 --> 12:11.330
Aber was haben wir dazu zu sagen?

12:12.410 --> 12:14.310
Das ist keine so ganz gute Nachricht.

12:16.590 --> 12:19.730
Der Aufwand von Cholesky war 1 Sechstel N hoch 3.

12:20.930 --> 12:21.690
Immerhin kubisch.

12:21.990 --> 12:26.470
Aber hier ist jetzt schon N Quadrat der Aufwand.

12:26.770 --> 12:27.770
Aber was sagen Sie dazu?

12:27.770 --> 12:31.270
Vielleicht erinnern Sie sich noch, die Voraussetzung für die Matrix A

12:31.270 --> 12:33.930
war nicht nur, dass sie symmetrisch ist und positiv definit.

12:34.470 --> 12:39.150
Sondern aus vielen Anwendungen heraus ist diese Matrix dünn besetzt.

12:39.350 --> 12:40.470
Das ist das Zauberwort hier.

12:41.590 --> 12:43.970
Das heißt, wir haben ganz ganz viele Nullen in der Matrix drin stehen.

12:44.830 --> 12:47.090
Diese Matrix wird auch tatsächlich im Computer ganz anders

12:47.090 --> 12:47.850
repräsentiert.

12:47.970 --> 12:49.630
Und nicht wirklich als quadratisches Array.

12:50.050 --> 12:52.590
Das würde unter Umständen den Hauptspeicher komplett sprengen.

12:52.590 --> 12:56.550
Sondern wir merken uns einfach irgendwo, es stehen Einträge an

12:56.550 --> 12:58.190
gewissen Stellen und die sind ungleich Null.

12:58.530 --> 13:00.250
Das ist viel viel weniger Datenmaterial.

13:01.030 --> 13:03.730
Und jetzt stellen Sie sich mal vor, jetzt müssen wir so eine

13:03.730 --> 13:04.970
Multiplikation ausführen.

13:05.830 --> 13:07.670
Dünn besetzte Matrix mal Vektor.

13:08.390 --> 13:11.230
Da sollte Ihnen klar sein, der Aufwand ist viel viel kleiner als N

13:11.230 --> 13:11.750
Quadrat.

13:12.250 --> 13:14.910
Weil viele Multiplikationen mit Null kann ich mir sparen.

13:15.530 --> 13:18.690
Also das ist die Botschaft, dieses CG-Verfahren funktioniert

13:18.690 --> 13:22.290
insbesondere sehr sehr gut für dünn besetzte Matrizen.

13:22.910 --> 13:24.450
Und die hat man dann auch oft in der Anwendung.

13:25.090 --> 13:27.790
Dann ist diese Multiplikation nicht so teuer, wie sie im ersten Moment

13:27.790 --> 13:28.410
daherkommt.

13:30.490 --> 13:34.610
Okay, und Sie sehen jetzt im zweiten Punkt, wir speichern dieses

13:34.610 --> 13:35.370
Produkt auch.

13:36.130 --> 13:39.330
Wir rechnen jetzt einmal aus, es ist doch in der Regel sehr viel

13:39.330 --> 13:40.490
günstiger als N Quadrat.

13:40.550 --> 13:43.410
Und wir speichern dieses Produkt auch, weil wir es nochmal gebrauchen

13:43.410 --> 13:43.650
können.

13:43.650 --> 13:46.970
Wenn Sie hier unten jetzt in den letzten Punkt schauen, wir müssen ja

13:46.970 --> 13:50.150
immer das Residuum ausrechnen, um aus dem Residuum dann die a

13:50.150 --> 13:52.150
-orthogonale Suchrichtung zu konstruieren.

13:52.930 --> 13:55.950
Und da gibt es, wenn Sie das hier einmal nachvollziehen, die letzte

13:55.950 --> 13:56.470
Zeile.

13:57.250 --> 13:59.370
Das Residuum ist definiert als...

14:00.070 --> 14:02.430
Achso, es ist definiert, das hatte ich eben vielleicht falsch gesagt,

14:02.570 --> 14:04.530
vom Vorzeichen her, aber das ist ja auch relativ egal.

14:05.030 --> 14:07.130
Es ist rechte Seite minus Ax.

14:08.430 --> 14:12.310
Ja, das Residuum, wir setzen das also für xk plus 1 mal ein und dann

14:12.310 --> 14:15.690
können wir den Ausdruck für xk plus 1 einsetzen und können die

14:15.690 --> 14:21.690
Berechnung des k plus ersten Residuums auf das k-te Residuum

14:21.690 --> 14:22.370
zurückführen.

14:22.950 --> 14:28.050
Indem wir dann einfach noch minus Alpha k diesen Vektor a mal dk

14:28.050 --> 14:28.810
nehmen.

14:28.810 --> 14:35.010
Wenn wir a dk gespeichert haben und schon im Computer berechnet haben,

14:35.130 --> 14:37.290
dann ist das wieder eine lineare Operation.

14:38.090 --> 14:41.790
Weil wir von dem alten Residuum lediglich ein Vielfaches eines Vektors

14:41.790 --> 14:42.230
abziehen.

14:42.550 --> 14:43.810
Alles linear.

14:45.470 --> 14:51.930
Gut, dann schauen wir uns nochmal den Algorithmus zusammen an.

14:54.830 --> 14:56.030
Gut, was machen wir am Anfang?

14:56.110 --> 14:59.250
Wir wählen uns irgendein x0 als Startvektor.

14:59.850 --> 15:04.230
Und was bleibt uns anderes übrig, als am Anfang genau das Residuum als

15:04.230 --> 15:05.170
Suchrichtung zu nehmen?

15:05.270 --> 15:07.490
Das bietet sich vielleicht jetzt erstmal nichts besseres an.

15:09.650 --> 15:12.570
Wenn wir jetzt zufällig schon ein 0 daraus hätten, dann hätten wir die

15:12.570 --> 15:13.510
Lösung geraten.

15:13.650 --> 15:15.550
Aber ansonsten haben wir d0 als die Suchrichtung.

15:15.730 --> 15:16.450
Und jetzt geht es los.

15:16.510 --> 15:19.030
Jetzt machen wir iterativ diese Geschichte der letzten Woche.

15:19.030 --> 15:20.530
Wir berechnen das αk.

15:21.910 --> 15:24.650
Das αk lieferte uns immer die Lösung für das eindimensionale

15:24.650 --> 15:25.390
Minimierungsproblem.

15:25.610 --> 15:29.110
Sehen Sie, dann haben wir das xk plus 1 als diese Lösung definiert.

15:30.070 --> 15:35.470
Aber bei der Berechnung des αk brauchen wir im Nenner, wegen dem a

15:35.470 --> 15:38.590
-Skalarprodukt, brauchen wir das Produkt a mal dk.

15:39.570 --> 15:40.630
Das müssen wir speichern.

15:40.930 --> 15:46.050
Also das Produkt, was hier vorkommt, kommt auch da schon mal vor.

15:48.050 --> 15:52.130
Jetzt haben wir, also erst haben wir die neue iterierte xk plus 1 als

15:52.130 --> 15:54.240
Lösung des eindimensionalen Minimierungsproblems.

15:54.870 --> 16:00.450
Wir berechnen das neue Residuum aus dem alten in linearer Zeit.

16:01.030 --> 16:04.450
Dann das βk, das ist dieser Orthogonalisierungsparameter.

16:04.710 --> 16:06.030
Und dann die neue Suchrichtung.

16:06.970 --> 16:10.210
Und wenn Sie sich das jetzt alles anschauen, sind alle Operationen

16:10.210 --> 16:10.530
linear.

16:10.730 --> 16:11.350
Alles ist linear.

16:11.730 --> 16:13.910
Wir rechnen nur Skalarprodukte aus.

16:13.910 --> 16:18.150
Wir addieren Vektoren auf andere Vektoren oder multiplizieren Vektoren

16:18.150 --> 16:18.830
mit einem Skalar.

16:18.930 --> 16:19.450
Alles linear.

16:19.910 --> 16:22.690
Der einzige Punkt, der nicht linear ist und der den Gesamtaufwand

16:22.690 --> 16:26.010
dominiert, ist eben das Produkt a mal dk.

16:26.690 --> 16:31.490
Was sicher nicht mehr linear ist, aber abhängig von der dünnen

16:31.490 --> 16:35.730
Besetztheit der Matrix relativ gut oder böse ist.

16:36.550 --> 16:40.730
Aber der Gesamtaufwand wird durch die Multiplikation a mal dk

16:40.730 --> 16:42.730
dominiert.

16:45.710 --> 16:49.970
Und jetzt ist eben die Frage, wenn ich in der Regel nur 10 Schritte

16:49.970 --> 16:54.590
brauche und der Gesamtaufwand von a mal dk relativ klein ist, dann

16:54.590 --> 16:56.270
kann ich mich gegenüber Cholesky behaupten.

16:57.750 --> 17:01.730
Haben Sie noch Fragen zum CG-Verfahren bis hierhin?

17:06.470 --> 17:08.510
Gut, wenn das nicht mehr der Fall ist, es kam jetzt ein bisschen

17:08.510 --> 17:09.750
tröpfchenweise hinterher.

17:09.830 --> 17:11.710
Es tut mir leid, dass ich es nicht mehr geschafft habe, letzte Woche

17:11.710 --> 17:12.930
in der Form abzuschließen.

17:13.490 --> 17:16.350
Müssen Sie vielleicht dann nochmal mit den Aufzeichnungen von letzter

17:16.350 --> 17:17.450
Woche in Verbindung bringen.

17:17.650 --> 17:18.950
Das wäre dann Ihr Job.

17:20.090 --> 17:24.350
Gut, dann würden wir zum neuen Thema kommen von heute.

17:24.470 --> 17:25.730
Das ist die Interpolation.

17:27.890 --> 17:31.330
Das ist jetzt vielleicht für den Anfang wieder ein bisschen

17:31.330 --> 17:33.310
entspannend für Sie, denke ich.

17:35.830 --> 17:39.010
Zunächst wollen wir über die Polynom-Interpolation sprechen.

17:39.150 --> 17:41.950
Und ich möchte Ihnen das Problem ein bisschen skizzieren.

17:42.030 --> 17:45.690
Ich meine, im Grunde genommen ist es vielleicht nicht schlecht, dieses

17:45.690 --> 17:48.390
Bildchen, was ich hier als Motivation nehmen wollte, ein bisschen im

17:48.390 --> 17:49.010
Kopf zu haben.

17:50.410 --> 17:51.810
Gegeben sind irgendwelche Punkte.

17:51.950 --> 17:55.030
Hier in dem Bild sind es tatsächlich zwei, vier, sechs, sieben Punkte,

17:55.650 --> 17:57.110
die da so auf dem Graphen rumliegen.

17:57.730 --> 17:59.770
Und die Idee ist, die sieben Punkte sind gegeben.

18:00.950 --> 18:05.830
Finde ich einen Polynom, sodass diese Punkte alle auf dem Graphen des

18:05.830 --> 18:06.710
Polynoms liegen.

18:07.270 --> 18:10.850
Und das Polynom soll bitte schön nicht beliebig hohen Grad haben,

18:11.090 --> 18:13.770
sondern wir fordern zusätzlich, dass das Polynom einen Grad hat, der

18:13.770 --> 18:15.370
kleiner gleich sieben ist in dem Fall.

18:16.390 --> 18:18.070
Das ist die Fragestellung.

18:19.370 --> 18:21.250
Ganz allgemein, wir haben Stützpunkte.

18:23.010 --> 18:28.150
Ich spreche immer von den Stützpunkten, wenn ich die Werte x und f

18:28.150 --> 18:28.970
zusammenfasse.

18:29.650 --> 18:32.790
Von den Stützstellen, wenn ich nur von den x-Werten spreche.

18:33.330 --> 18:35.390
Und von den Stützwerten, wenn ich von f spreche.

18:36.150 --> 18:39.530
Also die Stützpunkte sind jetzt die Tupel da, x und f.

18:41.170 --> 18:41.990
Warum heißen die f?

18:42.050 --> 18:45.470
Weil die Idee ist, dass es irgendeine zugrunde liegende,

18:45.750 --> 18:51.310
hinterliegende Funktion f gibt, die diese Funktionswerte geliefert

18:51.310 --> 18:51.570
hat.

18:52.250 --> 18:53.710
Aber ich kenne die natürlich nicht.

18:53.710 --> 18:56.310
Unter Umständen kenne ich das f nicht und brauche jetzt eine

18:56.310 --> 19:00.150
Alternative, ein p eben.

19:00.310 --> 19:03.830
Das ist unter Umständen gut approximiert, dieses f.

19:03.910 --> 19:05.150
Aber da gehen wir nochmal genauer drauf ein.

19:05.450 --> 19:08.050
Okay, die Stützstellen, das sind die x-Werte.

19:09.090 --> 19:11.510
Ich habe jetzt hier hingeschrieben, die seien alle schon in der Reihe

19:11.510 --> 19:12.250
nach sortiert.

19:12.890 --> 19:15.370
x0, kleiner x1 bis xn.

19:16.970 --> 19:20.510
Was ich eigentlich nur brauche im Folgenden ist, dass die alle

19:20.510 --> 19:21.750
paarweise verschieden sind.

19:21.750 --> 19:26.450
Es macht ja keinen Sinn, an einer Stelle zwei Funktionswerte

19:26.450 --> 19:27.090
vorzugeben.

19:27.250 --> 19:27.910
Wie soll das gehen?

19:28.770 --> 19:31.190
Da finden wir nie ein Polynom, das da durchläuft, noch nicht mal eine

19:31.190 --> 19:31.570
Funktion.

19:32.110 --> 19:36.430
Das heißt, wir haben nie und nie mal die Situation, dass eine

19:36.430 --> 19:38.490
Stützstelle gleich der anderen ist.

19:38.530 --> 19:39.330
Das macht überhaupt keinen Sinn.

19:40.290 --> 19:44.390
Und wenn das f bei beiden identisch wäre, dann haben wir nicht zwei

19:44.390 --> 19:45.990
Stützpunkte, sondern nur einen.

19:45.990 --> 19:52.170
Also nochmal, wenn zwei dieser xi identisch wären und die

19:52.170 --> 19:54.630
Funktionswerte wären nicht identisch, ist das Problem nicht gut

19:54.630 --> 19:54.970
gestellt.

19:55.090 --> 19:56.970
Ist nicht lösbar, weil es keine Funktionen gibt.

19:57.230 --> 20:00.270
Haben die noch den gleichen Funktionswert und gleiche Stelle, ja gut,

20:00.330 --> 20:01.310
dann ist ein und derselbe Punkt.

20:01.410 --> 20:03.970
Dann kann ich ihn gleich rausstreichen aus meiner Menge von Punkten.

20:04.330 --> 20:07.290
Also ohne Einschränkung sind die alle verschieden, der Mathematiker

20:07.290 --> 20:09.430
sagt paarweise verschieden.

20:09.430 --> 20:11.830
Das müssen Sie lernen.

20:11.910 --> 20:15.470
Sie nehmen sich zwei beliebige Stützstellen heraus und die sind nicht

20:15.470 --> 20:15.870
gleich.

20:16.150 --> 20:17.370
Das heißt paarweise verschieden.

20:17.610 --> 20:20.530
Damit können Sie tatsächlich garantieren, dass sie alle verschieden

20:20.530 --> 20:21.270
voneinander sind.

20:21.530 --> 20:22.990
Wie man im Umgang sprachlich immer sagt.

20:23.450 --> 20:25.910
Aber für uns als Mathematiker würden wir sagen, es ist paarweise

20:25.910 --> 20:26.450
verschieden.

20:26.890 --> 20:31.510
So, jetzt stehen wir am Anfang dieses Prozesses.

20:31.630 --> 20:33.970
Das heißt, ich kann mir diese paarweise verschiedenen Stellen einfach

20:33.970 --> 20:35.530
alle dahin schreiben.

20:36.150 --> 20:39.170
Und dann nehme ich die kleinste, nenne die 0 und die größte nenne ich

20:39.170 --> 20:39.410
n.

20:39.770 --> 20:41.550
Ich sortiere die nach der Größe.

20:41.790 --> 20:42.390
Kann ich ja machen.

20:43.150 --> 20:45.650
Ist aber nicht wesentlich, das wollte ich an dieser Stelle sagen.

20:46.450 --> 20:49.550
Gucken Sie mit mir gleich die einzelnen Folien durch und passen Sie

20:49.550 --> 20:52.090
auf, ich habe nirgendwo ausgenutzt, dass sie wirklich streng nach der

20:52.090 --> 20:53.030
Reihe geordnet sind.

20:54.050 --> 20:56.890
Ich werde nur ausnutzen, dass sie alle paarweise verschieden sind

20:56.890 --> 20:57.350
voneinander.

20:58.390 --> 21:00.670
Letztlich können Sie sich auch irgendeine Umordnung vorstellen, das

21:00.670 --> 21:01.330
ändert nichts.

21:01.630 --> 21:03.510
Das ist nicht ganz unwesentlich, der Aspekt.

21:05.090 --> 21:08.210
Aber ich habe jetzt am Anfang, ohne Einschränkungen sind die geordnet.

21:10.070 --> 21:13.830
Gut, das ist also die Situation, die ist gegeben und wir suchen jetzt

21:13.830 --> 21:14.590
ein Polynom.

21:16.110 --> 21:18.730
Der Grad des Polynoms soll kleiner gleich n sein.

21:18.890 --> 21:21.170
Da müssen Sie auch ein bisschen aufpassen.

21:21.350 --> 21:25.090
Die Stützpunkte fangen wir an ab 0 zu zählen bis n.

21:25.110 --> 21:27.350
Wir haben also n plus 1 solcher Punkte.

21:28.130 --> 21:32.090
Und das Polynom soll höchstens 1 Grad weniger haben.

21:32.090 --> 21:33.750
Also Grad n höchstens.

21:34.530 --> 21:37.870
Und wir fordern, das Polynom soll eben an diesen Stellen die Werte

21:37.870 --> 21:38.350
annehmen.

21:38.610 --> 21:41.890
An die Stelle x i soll es den Wert f i annehmen.

21:44.550 --> 21:47.110
Gut, wir sagen dann p interpoliert f an den Stützstellen.

21:48.210 --> 21:51.890
Und ich werde im folgenden das p dann immer Interpolationspolynom

21:51.890 --> 21:52.130
nennen.

21:52.230 --> 21:55.030
Und weil das so ewig lang ist, einfach mit ip abkürzen.

21:56.690 --> 21:57.030
Okay.

22:00.370 --> 22:04.030
Die erste Frage, die sich immer stellt, die haben wir uns auch schon

22:04.030 --> 22:06.030
gestellt bei linearen Gleichungssystemen.

22:06.610 --> 22:07.610
Gibt es überhaupt eine Lösung?

22:07.730 --> 22:08.850
Ist die Lösung eindeutig?

22:09.810 --> 22:11.590
Das sind die Fragen der nächsten 10 Minuten.

22:16.510 --> 22:17.310
Wie ist es in der Schule?

22:17.370 --> 22:20.350
In der Schule haben Sie auch schon ein paar Interpolationsprobleme

22:20.350 --> 22:20.750
gelöst.

22:22.050 --> 22:27.730
Wenn Sie zwei Punkte vorgegeben haben, war die Frage, für zwei Punkte

22:27.730 --> 22:30.350
wäre die Frage, gibt es eine Gerade, die durch diese beiden Punkte

22:30.350 --> 22:30.650
geht?

22:31.150 --> 22:32.170
Okay, das wissen Sie, natürlich.

22:32.330 --> 22:34.070
Wir verbinden einfach die beiden Punkte miteinander.

22:35.090 --> 22:37.250
Genauso haben Sie in der Schule wahrscheinlich relativ ausführlich

22:37.250 --> 22:37.690
geübt.

22:38.050 --> 22:40.910
Gegeben sind drei verschiedene Punkte, finden Sie die Parabel, die

22:40.910 --> 22:41.930
durch die drei Punkte geht.

22:42.050 --> 22:42.630
Haben Sie nicht geübt?

22:43.290 --> 22:44.530
Also ich habe das noch in der Schule gemacht.

22:45.770 --> 22:47.650
Oh, ich dachte, das wäre irgendwie gängig.

22:47.990 --> 22:52.690
Aber Sie können sich vorstellen, dass eine Parabel eindeutig bestimmt

22:52.690 --> 22:53.950
ist durch drei verschiedene Punkte.

22:54.710 --> 22:56.930
Ich gebe drei verschiedene Punkte in der Ebene vor, dann gibt es eine

22:56.930 --> 22:59.030
eindeutige Parabel, die durch diese drei Punkte geht.

22:59.450 --> 23:01.830
Ich hatte gehofft, daran Wissen anzuknüpfen, was Sie schon kennen.

23:03.270 --> 23:04.790
So ist es nämlich dann auch für höheres n.

23:06.170 --> 23:12.110
Geben Sie vier Punkte vor, dann gibt es tatsächlich ein Polynom vom

23:12.110 --> 23:17.070
Grad kleiner gleich drei, was durch diese vier Punkte durchgeht.

23:18.190 --> 23:19.170
Woran liegt das?

23:23.530 --> 23:25.290
Okay, also die Fragen hatte ich schon motiviert.

23:26.330 --> 23:28.290
Existiert ein solches und gibt es mehrere.

23:28.870 --> 23:30.490
Und was vielleicht ein bisschen ungewöhnlich für Sie ist, wir machen

23:30.490 --> 23:33.750
erstmal die Eindeutigkeit, ohne uns über die Existenz Gedanken zu

23:33.750 --> 23:33.990
machen.

23:38.090 --> 23:40.910
Aber den Fundamentalsatz der Algebra haben Sie doch kennengelernt.

23:41.670 --> 23:44.090
Die gerade eben gesagt haben, nein, nein, ich habe nicht gelernt, dass

23:44.090 --> 23:47.130
wenn ich drei Punkte vorgebe, geht eine Parabel eindeutiger durch.

23:47.890 --> 23:50.490
Sie haben in der Linie an Algebra oder in der Analyse, in der

23:50.490 --> 23:52.910
Grundausbildung der Mathematik, den Fundamentalsatz der Algebra

23:52.910 --> 23:53.570
kennengelernt.

23:55.050 --> 23:55.450
Ja?

23:56.770 --> 23:58.030
Was sagte der nochmal aus?

24:00.990 --> 24:02.790
Okay, steht tendenziell hier oben schon.

24:09.870 --> 24:11.510
Das ist im Grunde genommen genau das.

24:11.870 --> 24:14.290
Unter Umständen haben Sie Varianten davon kennengelernt.

24:15.170 --> 24:16.590
Ich versuche mal anzuknüpfen.

24:16.670 --> 24:21.710
Wie ist es, wenn Sie jetzt ein Polynom haben, Entengrades, und das hat

24:21.710 --> 24:23.670
Ent plus 1 Nullstellen, dieses Polynom.

24:25.610 --> 24:27.530
Haben Sie dann eine Aussage darüber getroffen in Ihrer

24:27.530 --> 24:27.750
Grundausbildung?

24:29.330 --> 24:30.150
Das Polynom, ja?

24:31.670 --> 24:33.270
Dann ist es schon das Nullpolynom, ja?

24:33.270 --> 24:36.610
Also eine andere Variante, eine äquivalente Variante des

24:36.610 --> 24:38.410
Fundamentalsatzes der Algebra ist folgende.

24:39.110 --> 24:42.950
Habe ich ein Polynom Entengrades, was schon Ent plus 1 Nullstellen

24:42.950 --> 24:45.210
hat, dann ist es komplett das Nullpolynom.

24:45.630 --> 24:46.610
Muss überall verschwenden.

24:47.190 --> 24:48.490
Hat also unendlich viele Nullstellen.

24:49.550 --> 24:53.350
Also sprich, ein Polynom Entengrades kann nicht, was nicht das

24:53.350 --> 24:57.450
Nullpolynom ist, kann nicht mehr als N Nullstellen haben.

24:58.030 --> 25:02.350
Klar, also eine Gerade hat eine Nullstelle, also maximal eine

25:02.350 --> 25:02.830
Nullstelle.

25:03.590 --> 25:06.150
Eine Parabel hat maximal zwei Nullstellen.

25:06.710 --> 25:09.810
Ein kubisches Polynom, kennen Sie noch, hat maximal drei Nullstellen.

25:10.650 --> 25:14.590
Also wenn es nicht komplett das Nullpolynom ist.

25:14.870 --> 25:15.910
Und das gilt ganz allgemein.

25:15.950 --> 25:17.910
Das ist eine Variante des Fundamentalsatzes.

25:18.930 --> 25:22.250
Und die hilft uns zu sagen, es kann nur ein solches

25:22.250 --> 25:26.690
Interpolationspolynom geben.

25:26.690 --> 25:28.630
Stellen Sie sich mal vor, wir hätten zwei solche

25:28.630 --> 25:34.110
Interpolationspolynome, die beide an den Stellen x i die

25:34.110 --> 25:38.990
Funktionswerte f i annehmen und beide einen Grad haben, kleiner gleich

25:38.990 --> 25:39.290
n.

25:40.570 --> 25:42.670
Was könnten wir machen mit den beiden Polynomen?

25:45.330 --> 25:48.450
Subtrahieren, wir bilden die Differenz von diesen beiden Polynomen.

25:49.510 --> 25:51.250
Was könnten wir jetzt über die Differenz aussagen?

26:18.240 --> 26:22.660
Ich fasse mal kurz zusammen, der Grad des Polynoms erhöht sich nicht.

26:22.800 --> 26:24.000
Das wollen wir mal ganz kurz festhalten.

26:24.300 --> 26:26.620
Die Differenz hat also auch den Grad kleiner gleich n.

26:27.720 --> 26:31.000
Das andere, da meinen Sie das Richtige, haben Sie es nicht ganz

26:31.000 --> 26:31.900
richtig ausgedrückt.

26:32.760 --> 26:36.140
Erste Beobachtung, ich bilde die Differenz von zwei Polynomen vom Grad

26:36.140 --> 26:36.780
kleiner gleich n.

26:36.920 --> 26:40.380
Also hat auch die Differenz einen Grad selber im Polynom und hat den

26:40.380 --> 26:41.280
Grad kleiner gleich n.

26:41.640 --> 26:43.440
Und jetzt gehen wir nochmal auf die Nullstellen zurück.

26:43.440 --> 26:47.920
Beide Polynome interpolieren, wir nehmen mal an, beide Polynome

26:47.920 --> 26:51.100
interpolieren die Stützpunkte.

26:51.720 --> 26:56.600
Das heißt, an der Stelle x i leben beide Polynome f i an, den Wert f i

26:56.600 --> 26:56.840
an.

26:57.820 --> 26:59.860
So, was können Sie jetzt über die Nullstellen der Differenz sagen?

27:14.620 --> 27:19.320
Sehr schön, Sie sagten genau, wir haben nämlich n plus 1 Stützstellen

27:19.320 --> 27:23.200
und Sie haben richtig gesagt, an den Stützstellen jedes x i, wenn Sie

27:23.200 --> 27:25.960
das einsetzen in die Differenz, da steht ja f i minus f i, da kommt

27:25.960 --> 27:30.700
also 0 raus, sprich alle Stützstellen sind Nullstellen, dann haben wir

27:30.700 --> 27:34.720
aber n plus 1 Nullstellen für ein Polynom vom Grad kleiner gleich n,

27:34.760 --> 27:36.440
es muss schon das komplette Nullpolynom sein.

27:37.600 --> 27:38.620
Das haben Sie geschlossen.

27:39.100 --> 27:42.420
Das heißt, wenn ich ein Interpolationspolynom habe, ist es per se

27:42.420 --> 27:43.000
eindeutig.

27:43.620 --> 27:46.060
Die sind identisch, die beiden, die ich angenommen habe.

27:46.840 --> 27:50.220
Das Argument der Eindeutigkeit ist im Grunde genommen ein

27:50.220 --> 27:51.120
Fundamentalsatz der Algebra.

27:52.620 --> 27:55.580
Es kann nur eins geben, nehmen Sie an, es gäbe zwei, bilden die

27:55.580 --> 27:58.320
Differenz und können mit dem Fundamentalsatz der Algebra schließen,

27:58.420 --> 27:59.820
dass die beiden identisch sein mussten.

28:00.540 --> 28:01.660
So läuft der Beweis.

28:03.900 --> 28:04.280
Gut.

28:05.680 --> 28:06.520
Zur Existenz.

28:07.700 --> 28:09.780
Jetzt werden wir die Lagrange-Polynome kennenlernen.

28:10.680 --> 28:13.220
Die sind auch nicht ganz unwichtig, die kommen immer mal wieder vor.

28:13.380 --> 28:14.440
Gehen wir die mal zusammen durch.

28:15.380 --> 28:20.280
Wir definieren jetzt sogenannte Lagrange-Polynome zu den Stützstellen

28:20.280 --> 28:20.900
X, Y.

28:21.320 --> 28:23.520
Die haben also überhaupt nichts zu tun mit den S.

28:24.280 --> 28:27.620
Nichts mit den Stützwerten, nur mit den Stützstellen, nur mit den X,

28:27.680 --> 28:27.780
Y.

28:27.900 --> 28:28.840
Gucken wir uns das mal an.

28:29.220 --> 28:32.620
Der erste Teil sieht ziemlich groß aus.

28:33.240 --> 28:35.400
Den habe ich extra mal kompliziert hingeschrieben.

28:35.700 --> 28:39.920
Womit wir arbeiten werden, ist immer die hintere, kompaktere Version.

28:40.280 --> 28:42.880
Aber ich möchte motivieren, wie die L, Y definiert sind.

28:42.880 --> 28:45.620
Deswegen habe ich mal diesen wilden Bruch dahingeschrieben.

28:46.060 --> 28:48.260
Die L, Y sollen folgendermaßen definiert sein.

28:48.380 --> 28:51.800
Gucken Sie mal auf diese Zeile hier.

28:51.900 --> 28:52.800
Gucken Sie mal hier hin.

28:56.540 --> 29:02.120
Ich möchte, dass die L, Y an den Stützstellen vorgegebene Werte

29:02.120 --> 29:02.580
annehmen.

29:03.440 --> 29:11.180
Und zwar möchte ich, dass sie, wenn sie ein X, Y einsetzen in L, Y, in

29:11.180 --> 29:15.480
das Ythe Lagrange-Polynom, dass da immer Null rauskommt.

29:16.420 --> 29:22.920
Wenn J nicht I ist, aber wenn J gleich I ist, also wenn sie LI von XI

29:22.920 --> 29:25.500
bilden, dann soll bitte schon 1 rauskommen.

29:26.780 --> 29:31.440
Das Ythe Lagrange-Polynom soll an allen Stützstellen verschwinden.

29:32.440 --> 29:35.720
Nur an der Ythen-Stützstelle, an der Stützstelle XI, soll es bitte den

29:35.720 --> 29:36.580
Wert 1 annehmen.

29:36.580 --> 29:41.360
Das ist im Grunde genommen wieder eine Polynom-Interpolation.

29:42.300 --> 29:43.760
Sie geben wieder Punkte vor.

29:44.660 --> 29:47.800
Nämlich die Stützstellen, die heißen fast alle, Stützstelle Komma

29:47.800 --> 29:48.080
Null.

29:48.780 --> 29:50.940
Nur die eine heißt XI Komma 1.

29:51.520 --> 29:54.120
Das heißt, Sie geben wieder N plus 1 Stützstellen vor.

29:54.920 --> 29:57.700
Und hier, sage ich Ihnen, sehen Sie, das Polynom da oben, wir gucken

29:57.700 --> 29:59.880
uns das gleich nochmal genauer an, das ist die Lösung.

30:00.700 --> 30:01.940
Das ist offensichtlich die Lösung.

30:02.600 --> 30:05.020
Das kennen Sie doch auch aus der Schule schon relativ gut.

30:05.020 --> 30:11.280
Wenn wir fordern, dass dieses Polynom an N Stellen verschwindet,

30:11.580 --> 30:16.320
nämlich an allen Stützstellen ungleich XI, dann kann ich es doch

30:16.320 --> 30:18.260
schreiben als Produkt von Linearfaktoren.

30:19.220 --> 30:21.240
Das haben Sie in der Schule doch auch gemacht, wenn Sie die

30:21.240 --> 30:25.380
Nullstellen ausrechnen sollten von der kubischen Funktion, dann haben

30:25.380 --> 30:28.340
Sie eine geraten, dann haben Sie eine Polynom-Division gemacht, wenn

30:28.340 --> 30:28.880
Sie sich erinnern.

30:29.400 --> 30:30.060
Das haben Sie gemacht.

30:30.840 --> 30:33.860
Das heißt, Sie konnten eine Nullstelle rausziehen, Sie konnten das

30:33.860 --> 30:34.680
faktorisieren.

30:35.620 --> 30:42.900
Wir können Polynome schreiben als Produkt der Linearfaktoren, wenn es

30:42.900 --> 30:44.100
die gibt, die Linearfaktoren.

30:44.200 --> 30:48.860
Aber hier fordere ich Sie ja, ich fordere, dass es an N Stellen dieses

30:48.860 --> 30:49.740
Polynom Null wird.

30:49.920 --> 30:52.700
Das heißt, ich habe N Nullstellen, fordere ich schon.

30:53.300 --> 30:54.120
Ja gut, was mache ich denn?

30:54.200 --> 30:57.180
Ich schreibe einfach das Produkt der Linearfaktoren hin.

30:57.180 --> 31:00.260
Das ist der Zähler hier oben, Produkt der Nullstellen.

31:00.780 --> 31:01.900
Ja, so ist garantiert.

31:02.060 --> 31:03.460
Sehen Sie, gucken Sie sich den Zähler genau an.

31:03.520 --> 31:07.560
Es ist einfach ein Produkt von Linearfaktoren und egal welches x, y

31:07.560 --> 31:13.180
Sie einsetzen, solange j nicht gleich i ist, ist der Zähler natürlich

31:13.180 --> 31:16.720
Null, weil es ein Produkt von Linearfaktoren ist und immer wird ein

31:16.720 --> 31:17.620
Linearfaktor Null.

31:18.640 --> 31:19.620
Also ist das Produkt Null.

31:22.480 --> 31:27.020
Okay, jetzt habe ich also garantiert, dass das Polynom verschwindet an

31:27.020 --> 31:30.440
allen Stützstellen x, y, j und gleich i.

31:30.880 --> 31:35.660
Aber ich habe noch nicht garantiert, dass es an der Stelle x, i den

31:35.660 --> 31:36.640
Wert 1 annimmt.

31:37.960 --> 31:38.860
Ja, wie mache ich das?

31:39.640 --> 31:43.360
Ich setze das x, i in dieses Produkt der Linearfaktoren ein.

31:43.360 --> 31:46.080
Das gibt irgendeinen Wert, malwegen 1000,5.

31:46.720 --> 31:47.080
Egal.

31:47.760 --> 31:51.060
Und dann schreibe ich unten im Nenner genau den Wert, 1000,5.

31:51.960 --> 31:54.120
Damit sich das wegkürzt und 1 rauskommt am Schluss.

31:55.160 --> 31:57.880
Deswegen nenne ich dieses untere da einen Normierungsfaktor.

32:01.020 --> 32:02.500
Der Nenner ist der Zähler.

32:02.520 --> 32:04.140
Da habe ich wohl mein Problemchen mit.

32:05.040 --> 32:09.420
Der Nenner ist der Zähler, einfach für den Wert x, i eingesetzt.

32:10.120 --> 32:10.840
Nichts anderes.

32:13.260 --> 32:15.880
Können Sie jetzt nachvollziehen, dass wenn ich x, i einsetze, der

32:15.880 --> 32:17.820
Zähler und Nenner natürlich identisch sind und 1 rauskommt?

32:18.880 --> 32:22.300
Für alle anderen Stützstellen kommt 0 raus, weil es ja als Produkt von

32:22.300 --> 32:23.260
0 Stellen geschrieben ist.

32:23.800 --> 32:28.180
Okay, also wir haben eben bewiesen, dass es eine eindeutige Lösung

32:28.180 --> 32:31.900
gibt von der Polynominterpolation.

32:32.420 --> 32:36.480
Jetzt gebe ich Ihnen ein ganz, ganz einfaches Problem daher und

32:36.480 --> 32:37.620
liefere Ihnen gleich die Lösung.

32:37.620 --> 32:39.000
Die kann man konstruieren.

32:40.600 --> 32:43.940
Und jetzt können Sie natürlich diesen Quotienten, wo das Produkt oben

32:43.940 --> 32:46.720
und unten steht, auch als Produkt von Quotienten schreiben.

32:49.700 --> 32:52.620
Also der Quotient von den Produkten schreiben Sie als Produkt von

32:52.620 --> 32:55.480
Quotienten, damit Sie das nicht mehr so ein Riesenpaket haben, wenn

32:55.480 --> 32:56.040
Sie das hinschreiben.

32:56.440 --> 32:58.340
Aber im Grunde genommen, wenn Sie die Idee verstanden haben von den

32:58.340 --> 33:02.100
Lagrange -Polynomen, dann könnte ich Sie morgen auf dem Campus treffen

33:02.100 --> 33:05.220
und fragen, wie waren nochmal die Lagrange-Polynome definiert.

33:05.220 --> 33:09.660
Sie merken es nicht nur hier unten, dass das Ite-Lagrange-Polynom

33:09.660 --> 33:12.200
bitte schön an allen Stützstellen verschwindet, nur an der Iten selber

33:12.200 --> 33:15.700
den Wert 1 annimmt und dann müssten Sie in der Lage sein, diesen

33:15.700 --> 33:16.840
Quotienten selber hinzuschreiben.

33:18.140 --> 33:21.420
Also bitte nicht nur auswendig lernen, sondern verstehen, was dahinter

33:21.420 --> 33:21.760
steckt.

33:22.710 --> 33:27.640
Und jetzt können wir diese Lösungen, wir haben also n plus 1

33:27.640 --> 33:40.660
Interpolationsprobleme gelöst, das sind die Lagrange-Polynome, das

33:40.660 --> 33:46.500
sind die Lösungen, L0 bis Ln, das sind n plus 1 Stück.

33:47.040 --> 33:50.280
Sehen Sie, dieses Li hängt ja von dem Index i ab und jetzt können Sie

33:50.280 --> 33:52.520
das i variieren von 0 bis n.

33:52.580 --> 33:54.860
Das sind n plus 1 Stück, n plus 1 viele.

33:56.220 --> 34:00.900
Und ich behaupte, das Interpolationspolynom kann geschrieben werden

34:00.900 --> 34:04.480
als Summe Fi Li.

34:08.940 --> 34:11.440
Können wir das zusammen kurz klären, warum das der Fall ist?

34:12.200 --> 34:15.320
Warum kann ich das Interpolationspolynom jetzt, wenn ich die Lagrange

34:15.320 --> 34:19.180
-Polynome definiert habe, in dieser Form hier schreiben?

34:41.480 --> 34:45.180
Super, Sie haben gerade begründet, warum dieses P wirklich

34:45.180 --> 34:45.900
interpoliert.

34:46.520 --> 34:51.820
Ist klar, wir setzen eine der Stützstellen ein, die Summe mit n plus 1

34:51.820 --> 34:54.500
Summanden reduziert sich sofort auf einen einzigen Summand, weil alle

34:54.500 --> 34:57.720
anderen 0 sind, und der liefert uns wegen der 1 genau Fi.

34:57.920 --> 34:58.320
Wunderbar.

34:59.000 --> 35:00.180
Aber was müssen wir noch klären?

35:00.300 --> 35:05.400
Jetzt haben wir geklärt, dass dieses Ding, dieses P, interpoliert.

35:06.080 --> 35:06.480
Ja,

35:15.870 --> 35:16.470
genau, sehr schön.

35:16.590 --> 35:19.910
Sie sagen, wir müssen über den Grad sprechen vom P, das ist genau

35:19.910 --> 35:21.670
richtig und das passt, da haben Sie auch recht.

35:22.250 --> 35:28.250
Sie haben argumentiert über die Ls, also Sie haben richtig gesagt, das

35:28.250 --> 35:30.070
Li hat auch den Grad kleiner gleich n.

35:30.070 --> 35:32.630
Weil ich ja nur n Linearfaktoren aufmultipliziere.

35:33.070 --> 35:36.710
Wenn Sie das ausrechnen, ist der höchste Grad, der auftaucht, n.

35:37.710 --> 35:42.430
Das heißt, die Lagrange-Polynome haben selber zu n plus 1

35:42.430 --> 35:46.350
Stützstellen, haben alle den Grad n, dann werden die hier unten mit

35:46.350 --> 35:49.230
einer Konstanten multipliziert, das ändert den Grad sowieso nicht, und

35:49.230 --> 35:50.370
dann addieren Sie die alle auf.

35:50.370 --> 35:55.010
Und beim Aufaddieren wie beim Subtrahieren ändert sich der Grad unter

35:55.010 --> 36:00.070
Umständen, aber er wird in jedem Fall, wenn dann nur kleiner.

36:00.390 --> 36:01.790
Und nie größer.

36:02.090 --> 36:05.270
Es könnte ja passieren, dass beim Addieren sich die höchsten Monome

36:05.270 --> 36:06.250
gegenseitig aufheben.

36:06.550 --> 36:08.490
Und dann könnte der Grad kleiner werden, aber größer werden wird er

36:08.490 --> 36:09.090
auf keinen Fall.

36:09.590 --> 36:12.630
Das heißt, Sie haben richtig argumentiert, das P selber ist ein

36:12.630 --> 36:14.130
Polynom vom Grad kleiner gleich n.

36:14.130 --> 36:15.290
Schreiben wir es vielleicht nochmal hier hin.

36:15.870 --> 36:21.670
Grad p kleiner gleich n.

36:22.410 --> 36:22.930
Schön.

36:23.810 --> 36:24.010
Gut.

36:24.990 --> 36:26.970
Damit haben wir die Existenz in Eindeutigkeit erledigt.

36:29.330 --> 36:33.070
Eindeutigkeit, Fundamentalsatz der Algebra, Existenz, hier steht es.

36:33.870 --> 36:34.530
Ich habe es hingeschrieben.

36:35.050 --> 36:37.510
Das ist eher ein theoretischer Ansatz, das so hinzuschreiben.

36:37.510 --> 36:43.370
Wir wollen jetzt uns überlegen, bevor ich Ihnen noch eine Folie zeige,

36:43.430 --> 36:44.970
wo wir die ganze Sache zusammenfassen.

36:45.690 --> 36:48.310
Diesen theoretischen Ansatz wollen wir dann einen etwas praktischeren

36:48.310 --> 36:50.830
Ansatz kennenlernen, wie wir es im Computer wirklich berechnen.

36:51.510 --> 36:53.950
Hier ist das zusammengefasst, das ist die sogenannte Lagrange

36:53.950 --> 36:55.950
-Interpolationsformel.

36:56.110 --> 36:57.350
Alle das, was wir eben gesagt haben.

36:57.430 --> 36:59.950
Sehen Sie, hier habe ich auch darauf verzichtet, in dem Satz, dass die

36:59.950 --> 37:01.890
x irgendwie geordnet sind zueinander.

37:01.890 --> 37:05.830
Ich sage einfach, wir haben n plus 1 Stützpunkte, also solche Paare x,

37:05.890 --> 37:06.590
i und f, i.

37:07.330 --> 37:09.770
Und die Stützstellen sollen mit dem Schönen alle paarweise verschieden

37:09.770 --> 37:10.530
sein zueinander.

37:11.630 --> 37:15.050
Die Aussage ist dann, dann existiert genau ein Interpolationspolynom

37:15.050 --> 37:17.970
vom Grad kleiner gleich n und da steht es.

37:18.450 --> 37:19.670
Und so können Sie es hinschreiben.

37:20.350 --> 37:23.430
Wobei die Lagrange-Polynome entsprechend definiert sind.

37:23.550 --> 37:27.390
Das i der Lagrange-Polynom ist eben so definiert, damit das alles

37:27.390 --> 37:27.910
schön passt.

37:27.910 --> 37:30.630
Das ist eher ein theoretisches Ergebnis.

37:31.250 --> 37:33.030
Haben Sie noch eine Frage dazu bis hierhin?

37:48.440 --> 37:54.080
Sie sagen, weil es nur ein einziges Interpolationspolynom gibt, ist in

37:54.080 --> 37:55.820
einem gewissen Sinne der Grad minimal.

37:56.960 --> 38:00.760
Also wir fordern von Anfang an, dass der Grad kleiner gleich n ist.

38:01.340 --> 38:03.840
Wobei die Anzahl der Stützstellen n plus 1 ist.

38:04.720 --> 38:07.380
Die Existenz und auch die Eindeutigkeit sagt nicht wirklich was

38:07.380 --> 38:10.680
darüber aus, welchen Grad das Interpolationspolynom hat.

38:10.880 --> 38:13.860
Aber weil es eindeutig ist, gibt es ja nur eins.

38:14.260 --> 38:18.380
Das ist das Polynom mit maximalem Grad oder minimalem Grad mit der

38:18.380 --> 38:19.580
Eigenschaft, dass es interpoliert.

38:21.400 --> 38:22.520
Oder habe ich Sie nicht richtig verstanden?

38:23.920 --> 38:24.700
Sonst versuchen Sie es nochmal.

38:33.400 --> 38:38.820
Ob die Lagrange-Interpolationsformel schon gleich das Polynom mit dem

38:38.820 --> 38:43.440
kleinsten Grad findet, es findet das eindeutig bestimmte

38:43.440 --> 38:46.460
Interpolationspolynom und somit auch das mit dem kleinsten Grad, was

38:46.460 --> 38:47.040
interpoliert.

38:47.460 --> 38:50.680
Aber im Übrigen auch das mit dem größten Grad, kleiner gleich n, was

38:50.680 --> 38:51.220
interpoliert.

38:51.980 --> 39:06.460
Ja, okay, ich verstehe.

39:09.760 --> 39:11.960
Nein, das geht eben nicht.

39:13.120 --> 39:15.600
Das war eine schöne Frage gerade, wollen wir das nochmal ganz kurz

39:15.600 --> 39:16.060
diskutieren.

39:16.140 --> 39:17.300
Ich versuche das wieder zu wiederholen.

39:17.580 --> 39:21.620
Wenn ich drei Punkte vorgebe in der Ebene und die drei Punkte liegen

39:21.620 --> 39:27.260
zufällig auf einer Geraden, dann sagen Sie, okay, kann ich eine Gerade

39:27.260 --> 39:27.800
durchziehen?

39:27.940 --> 39:31.120
Klar, das ist ja schon in jedem Fall ein Interpolationspolynom und vom

39:31.120 --> 39:32.240
Grad kleiner gleich eins.

39:33.340 --> 39:36.480
Unter Umständen, wenn es sogar eine konstante Gerade ist, dann habe

39:36.480 --> 39:37.260
ich sogar Grad null.

39:38.380 --> 39:40.480
Aber unter Umständen ist es auch eine Gerade mit Steigung.

39:41.000 --> 39:41.700
Grad eins.

39:41.880 --> 39:44.280
Und Sie sagen, aber wenn ich drei vorgebe, dann muss ich auch eine

39:44.280 --> 39:45.320
Parabel dadurch finden.

39:45.880 --> 39:49.780
Oder eine Parabel, das wäre noch erlaubt.

39:50.080 --> 39:52.740
Ein kubisches Polynom ist nicht erlaubt, das ist nicht die

39:52.740 --> 39:53.480
Fragestellung hier.

39:53.800 --> 39:55.400
Sie haben ja nur drei Punkte vorgegeben.

39:56.080 --> 39:58.760
Sie haben drei Punkte vorgegeben und wir suchen ein Polynom vom Grad

39:58.760 --> 40:01.840
kleiner gleich n, das heißt n ist hier zwei.

40:02.820 --> 40:05.540
Sie haben recht, es könnte ein Polynom dritten Grades, vierten Grades,

40:05.640 --> 40:08.960
fünften Grades geben, das ist aber nicht der Blickpunkt dieser

40:08.960 --> 40:09.560
Fragestellung.

40:10.040 --> 40:11.400
Aber es gibt keine Parabel.

40:11.880 --> 40:12.980
Das ist richtig.

40:13.320 --> 40:15.720
Also wenn Sie drei Punkte vorgeben und die liegen alle auf einer

40:15.720 --> 40:19.960
Geraden, finden Sie keine Parabel, eine wirkliche Parabel, also eine

40:19.960 --> 40:24.000
Funktion mit quadratischen Termen, die da durchgeht, das finden Sie

40:24.000 --> 40:24.180
nicht.

40:24.940 --> 40:26.080
Das habe ich Ihnen gerade bewiesen.

40:26.080 --> 40:30.320
Es gibt nur ein Polynom vom Grad kleiner gleich zwei und das wäre die

40:30.320 --> 40:30.660
Gerade.

40:31.120 --> 40:31.980
Es gibt kein anderes.

40:32.300 --> 40:34.340
Aber Sie haben recht, ein Polynom dritten Grades, vierten Grades,

40:34.520 --> 40:36.980
haben Sie viel mehr Freiheitsgrade.

40:37.200 --> 40:38.700
Natürlich können Sie die finden und da durchlegen.

40:40.500 --> 40:42.080
Ja, schön, vielen Dank für die Frage.

40:43.620 --> 40:44.240
Weitere Fragen?

40:46.520 --> 40:48.440
Okay, dann gehen wir mal...

40:48.440 --> 40:49.800
Wir wollen jetzt zur Praxis kommen.

40:49.880 --> 40:51.100
Das ist mehr die Theorie gewesen.

40:51.420 --> 40:54.320
Wir werden die Lagrange Polynomen immer wieder noch benutzen.

40:55.200 --> 40:56.900
Aber das ist mehr eine theoretische Geschichte.

40:56.960 --> 40:58.100
Wie wird es im Computer gemacht?

40:58.240 --> 41:02.260
Und dafür ist dieses Lemma von Eitgen eine ganz, ganz wichtige

41:02.260 --> 41:02.740
Geschichte.

41:02.920 --> 41:03.620
Gehen wir es mal durch.

41:03.760 --> 41:05.460
Es ist gar nicht kompliziert, wirklich nicht.

41:05.560 --> 41:10.600
Selbst wenn relativ viel Formel da zu sehen ist.

41:11.220 --> 41:12.900
Also gehen wir es mal ganz langsam durch.

41:15.020 --> 41:20.320
Gucken Sie, das Erste, was auftaucht, ist das p mit dem Index 0,n.

41:21.140 --> 41:22.140
Wollen wir mal ganz kurz...

41:22.140 --> 41:24.460
Ich möchte jetzt so...

41:24.460 --> 41:27.520
Ich möchte oder bin gezwungen, jetzt Indizes einzuführen.

41:27.900 --> 41:32.160
Wir wollen jetzt Interpolationspolynome rekursiv in Zusammenhang

41:32.160 --> 41:33.200
setzen zueinander.

41:33.940 --> 41:35.780
Und dafür brauche ich eine Unterscheidung.

41:35.980 --> 41:41.280
Das kann p nicht mehr nur p heißen, sondern p muss jetzt p 0,n heißen,

41:41.360 --> 41:45.240
weil es das Interpolationspolynom ist, zu den Stützstellen,

41:46.100 --> 41:50.420
Stützpunkten x 0,f 0 bis x n,f n.

41:50.420 --> 41:54.380
Also zu diesem Satz von Stützpunkten soll das das

41:54.380 --> 41:55.580
Interpolationspolynom sein.

41:58.240 --> 42:00.900
Und sehen Sie, jetzt wird eine Aussage getroffen, dass ich dieses

42:00.900 --> 42:05.760
Interpolationspolynom auch schreiben kann in folgender Form.

42:05.860 --> 42:07.160
Gehen wir es mal ganz langsam durch.

42:07.440 --> 42:08.840
Gehen wir mal oben den Zähler durch.

42:10.400 --> 42:13.520
Da kommt erstmal ein Linearfaktor x 0 minus x.

42:14.440 --> 42:17.680
Und der wird ran multipliziert an...

42:17.680 --> 42:21.400
Jetzt müssen wir die neue Schreibweise schon verinnerlicht haben.

42:21.500 --> 42:23.420
Was ist p 1,n?

42:24.700 --> 42:26.220
Ich habe es hier unten nochmal hingeschrieben.

42:26.520 --> 42:30.900
Wir nehmen den allerersten, nämlich x 0,f 0, diesen Punkt einfach mal

42:30.900 --> 42:31.920
weg, einfach beiseite.

42:33.160 --> 42:35.240
Jetzt haben wir nur noch n Stützpunkte.

42:36.860 --> 42:37.900
Ein Punkt weniger.

42:38.420 --> 42:40.700
Dazu gibt es ja auch ein eindeutiges Interpolationspolynom.

42:40.700 --> 42:43.400
Und das sei bitte schön genau p 1,n.

42:44.340 --> 42:46.000
Das hat jetzt ein Grad niedriger.

42:46.380 --> 42:48.720
Also in der Tendenz.

42:49.440 --> 42:50.980
Kann ich nicht ganz garantieren.

42:51.520 --> 42:59.260
Es ist das Interpolationspolynom zu den Stützpunkten x 1,f 1 bis x n,f

42:59.260 --> 42:59.500
n.

43:00.060 --> 43:05.080
Und jetzt addieren wir, jetzt kommt wieder ein Linearfaktor x minus x

43:05.080 --> 43:05.380
n.

43:06.320 --> 43:10.000
Und jetzt multiplizieren wir das an das Polynom p 0,n minus 1.

43:10.000 --> 43:11.880
Okay, jetzt langsam haben Sie gelernt, wie das geht.

43:12.140 --> 43:13.800
Wir nehmen den allerletzten Punkt weg.

43:14.500 --> 43:16.000
Und betrachten nur die ersten n.

43:16.840 --> 43:21.600
Von x 0,f 0 bis x n minus 1,f n minus 1.

43:21.820 --> 43:24.240
Einmal nehmen wir den ersten Punkt weg, einmal den letzten Punkt weg.

43:24.840 --> 43:28.280
Nehmen uns diese beiden Interpolationspolynome her.

43:28.460 --> 43:30.840
Geben denen einen Namen, sodass wir sie auch wiedererkennen können.

43:30.840 --> 43:35.520
Und mit Hilfe derer können wir das Interpolationspolynom zum Gesamten,

43:35.740 --> 43:39.980
zu allen Stützpunkten in dieser Form darstellen.

43:40.380 --> 43:43.500
Gut, wir teilen dann noch durch so einen Normierungsfaktor x 0 minus x

43:43.500 --> 43:43.740
n.

43:43.940 --> 43:45.980
Der ist im gewissen Sinne einfach.

43:49.400 --> 43:52.980
Haben Sie das einfach nur von der Struktur her verstanden?

43:55.760 --> 43:56.360
Genau,

44:01.420 --> 44:03.660
der Satz gilt für ganz beliebige Stützstellen.

44:04.540 --> 44:06.760
Hauptsache, die sind alle paarweise verschieden voneinander.

44:07.400 --> 44:08.460
Aber sie sind ganz beliebig.

44:12.910 --> 44:15.930
Letztlich könnten wir auch diese nach der Reihenfolge geordnete

44:15.930 --> 44:17.630
Geschichte fallen lassen.

44:17.890 --> 44:20.390
Also unter Umständen könnte sogar x 0 größer sein als x n.

44:21.610 --> 44:23.990
Aber ohne Einschränkung könnten wir es umbenennen.

44:23.990 --> 44:26.890
Haben Sie noch mehr Fragen zur Struktur, dass Sie zumindest verstanden

44:26.890 --> 44:27.770
haben, worüber wir sprechen?

44:28.250 --> 44:32.730
Wir können dieses Interpolationspolynom zu n plus 1 Stützstellen

44:32.730 --> 44:39.970
hinschreiben in einer Darstellung, wo nur Interpolationspolynome

44:39.970 --> 44:41.990
vorkommen, die nur n Stützpunkte haben.

44:42.430 --> 44:43.090
Also ein weniger.

44:44.050 --> 44:46.010
Und jetzt können Sie sich natürlich vorstellen, jetzt könnte ich die

44:46.010 --> 44:50.130
wiederum ausdrücken durch welche, die noch einen Punkt weniger haben

44:50.130 --> 44:50.490
usw.

44:51.250 --> 44:53.590
Jetzt denken Sie mal, bei so regressiven Dingen brauchen wir dann

44:53.590 --> 44:54.750
immer irgendwie so einen Anfang.

44:56.470 --> 44:58.910
Was wäre wohl die einfachste Situation?

45:01.900 --> 45:04.400
Die einfachste Situation ist, Sie haben nur einen einzigen Punkt

45:04.400 --> 45:04.960
vorgegeben.

45:06.360 --> 45:08.320
Einen einzigen Punkt, den Sie interpolieren wollen.

45:08.480 --> 45:10.420
Wie lautet dazu das Interpolationspolynom?

45:21.060 --> 45:23.340
Genau, Sie sagen recht, die Konstante.

45:23.680 --> 45:26.480
Eine konstante Funktion, die gleich dem Fi ist.

45:26.500 --> 45:26.880
Überall.

45:26.880 --> 45:31.440
Also wenn Sie nur einen Punkt haben, erlauben wir ja nur Polynome vom

45:31.440 --> 45:32.560
Grad kleiner gleich 0.

45:33.540 --> 45:35.200
Sprich, konstante Funktionen.

45:35.240 --> 45:38.080
Und dann wäre das Interpolationspolynom die Gerade, die durch diesen

45:38.080 --> 45:38.720
Punkt durchgeht.

45:39.040 --> 45:41.640
Das ist sozusagen das einfachste Problem mit einem Punkt.

45:42.080 --> 45:44.920
Und wenn Sie ein Problem haben mit n plus 1 Punkten, können Sie es auf

45:44.920 --> 45:48.640
das Problem zurückführen mit n Punkten, n minus 1 Punkten, n minus 2

45:48.640 --> 45:51.120
Punkten, bis Sie irgendwann mal bei n gleich 1 sind.

45:51.220 --> 45:54.660
Und das sind die Konstanten, sind dann die Interpolationspolynome.

45:55.880 --> 45:58.440
Was meinen Sie, wie können wir denn das beweisen, das Lemma von

45:58.440 --> 45:59.420
Eidgen, haben Sie eine Idee?

46:03.600 --> 46:05.680
Das ist ein schöner Beweis, den können Sie mal sogar an der Klausur

46:05.680 --> 46:07.480
abfragen, der ist nämlich so schön einfach.

46:08.500 --> 46:09.060
Ja, haben Sie eine Idee?

46:11.840 --> 46:14.780
Vollständige Induktion wurde vorgeschlagen, macht die Sache nach

46:14.780 --> 46:16.920
meiner Meinung unnötig kompliziert.

46:17.040 --> 46:18.880
Könnte funktionieren, habe ich nie drüber nachgedacht.

46:19.000 --> 46:19.680
Das geht einfacher.

46:20.680 --> 46:21.300
Haben Sie eine Idee?

46:25.500 --> 46:29.220
Ich sage, das Interpolationspolynom hat die Form der rechten Seite.

46:36.840 --> 46:38.080
Sehr schön, das ist eine gute Idee.

46:38.160 --> 46:41.740
Sie sagten, wir setzen mal jede Interpolationsstelle, also Stützstelle

46:41.740 --> 46:43.960
mal ein in die rechte Seite und gucken mal, was rauskommt.

46:44.080 --> 46:44.780
Das ist eine gute Idee.

46:46.100 --> 46:47.420
Ja, machen wir das einfach mal ganz kurz.

46:49.780 --> 46:54.040
Was ist, wenn Sie oben in diese Geschichte, in die rechte Seite, wir

46:54.040 --> 46:56.340
können uns das mal, das nennen wir mal rechte Seite.

46:58.940 --> 47:05.080
Dann bilden wir mal die rechte Seite von X0.

47:06.460 --> 47:07.740
Was kommt denn daraus?

47:08.880 --> 47:14.720
Wenn Sie X0 einsetzen, der erste Linearfaktor wird 0, das heißt, der

47:14.720 --> 47:15.360
Teil ist weg.

47:15.880 --> 47:21.180
Dann haben Sie da hinten stehen, X0-Xn mal irgendwas geteilt durch X0

47:21.180 --> 47:23.300
-Xn, das heißt, dieser Vorfaktor kürzt sich weg.

47:23.640 --> 47:26.500
Dann haben Sie nur das hintere Polynom ausgewertet in X0.

47:26.500 --> 47:30.840
Aber das ist ja ein Interpolationspolynom zu dieser Stelle, das heißt,

47:30.920 --> 47:32.280
es liefert den Wert F0.

47:33.840 --> 47:35.240
Ja, also hier kommt F0 raus.

47:37.980 --> 47:43.160
Machen wir das Ganze mal rechte Seite an der Stelle Xn, die

47:43.160 --> 47:44.500
Argumentation ist die gleiche.

47:45.940 --> 47:47.420
Rechte Seite von Xn.

47:48.560 --> 47:51.200
Wenn Sie Xn einsetzen, fällt der hintere Teil weg.

47:51.480 --> 47:54.360
Vorne steht wieder X0-Xn, das können Sie wieder wegkürzen.

47:54.900 --> 47:57.280
Und dann steht P1,n von Xn.

47:57.540 --> 48:00.280
Ah, das war ja ein Interpolationspolynom zu der allerletzten Stelle,

48:00.400 --> 48:02.400
liefert Ihnen also den Wert Fn.

48:06.640 --> 48:09.700
Und Sie vermuten schon, das wird auch für alle anderen funktionieren.

48:10.520 --> 48:14.900
Machen wir es mal, R mal S von Xi.

48:17.840 --> 48:22.960
Wenn Sie jetzt Xi einsetzen, und i ist jetzt echt zwischen 0 und n,

48:23.120 --> 48:23.580
was passiert?

48:23.660 --> 48:25.660
Dann steht da X0-Xi.

48:28.140 --> 48:32.760
Jetzt ist das Xi aber der Punkt, der von P1,n interpoliert wird.

48:32.880 --> 48:34.760
Das heißt, ich kriege Fi zurück.

48:35.900 --> 48:37.100
Und hinten im Übrigen auch.

48:37.840 --> 48:40.720
Bei dem hinteren Interpolationspolynom kriege ich auch Fi wieder.

48:41.320 --> 48:43.080
Jetzt gucken Sie sich den Zähler mal an.

48:43.080 --> 48:45.440
Einmal steht da minus X mal Fi.

48:46.700 --> 48:51.360
Und einmal steht hinten plus Xi mal Fi.

48:51.480 --> 48:52.700
Das hebt sich gegeneinander weg.

48:53.580 --> 48:57.140
Und am Ende bleibt im Zähler nur noch stehen X0-Xn mal Fi.

48:57.980 --> 49:01.280
Und unten im Nenner steht noch X0-Xn, das kürzt sich wieder weg.

49:01.560 --> 49:03.100
Also das Endprodukt ist Fi.

49:05.180 --> 49:05.820
So, schön.

49:07.180 --> 49:07.900
Ganz leicht.

49:08.180 --> 49:10.820
Wir haben einfach in der rechten Seite die Stützstellen eingesetzt.

49:11.620 --> 49:14.040
Und wir kriegen die Stützwerte, die wir gefordert haben.

49:14.600 --> 49:17.260
Was müssen wir uns jetzt noch überlegen, um den Beweis vollständig zu

49:17.260 --> 49:17.480
machen?

49:21.280 --> 49:21.980
Was meinen Sie?

49:24.920 --> 49:26.940
Genau, wir müssen überlegen, ist das auf der rechten Seite überhaupt

49:26.940 --> 49:27.540
ein Polynom?

49:27.640 --> 49:28.420
Und stimmt der Grad?

49:30.900 --> 49:32.060
Sagen wir mal, das wäre so.

49:32.160 --> 49:34.480
Sagen wir mal, die rechte Seite ist ein Polynom vom Grad kleiner

49:34.480 --> 49:34.980
gleich n.

49:36.740 --> 49:38.980
Und wir haben bewiesen, dass es interpoliert.

49:39.520 --> 49:43.180
Was können wir jetzt machen, wenn wir die beiden Eigenschaften hätten?

49:43.520 --> 49:44.740
Das eine haben wir ja noch nicht gezeigt.

49:49.040 --> 49:51.180
Na gut, das Interpolationspolynom ist eindeutig.

49:51.740 --> 49:56.120
Wenn rechts ein Interpolationspolynom steht, dann muss es schon das

49:56.120 --> 50:00.120
eindeutige Interpolationspolynom sein, dem wir den Namen P0n gegeben

50:00.120 --> 50:00.460
haben.

50:01.820 --> 50:06.140
Wenn das rechts wirklich ein Polynom ist vom Grad kleiner gleich n,

50:06.600 --> 50:09.740
und es auch interpoliert, ja dann ist es das Interpolationspolynom und

50:09.740 --> 50:11.700
die Gleichheit ist gerechtfertigt in dem Lemma.

50:12.540 --> 50:13.660
Deswegen ist es ein schöner Beweis.

50:13.820 --> 50:17.980
Die Eindeutigkeit liefert Ihnen dann den Beweis des Satzes oder des

50:17.980 --> 50:18.360
Lemmas.

50:19.560 --> 50:22.500
Gut, warum ist es auf der rechten Seite ein Polynom vom Grad kleiner

50:22.500 --> 50:23.300
gleich n?

50:24.020 --> 50:25.040
Das können wir mündlich machen.

50:25.620 --> 50:29.360
Sehen Sie, die Interpolationspolynome, die ich benutze auf der rechten

50:29.360 --> 50:31.560
Seite, haben den Grad kleiner gleich n minus 1.

50:32.000 --> 50:34.720
Jetzt werden die mit einem Linearfaktor durchmultipliziert, dann haben

50:34.720 --> 50:38.540
die den Grad kleiner gleich n, und dann summieren wir die noch, dann

50:38.540 --> 50:41.400
bleibt der Grad kleiner gleich n, und dann dividieren wir noch durch

50:41.400 --> 50:41.680
einen Nummerungsfaktor.

50:42.240 --> 50:43.800
Alles bleibt kleiner gleich n.

50:45.380 --> 50:46.780
Das schreiben wir doch gerade hier einmal hin.

50:48.740 --> 50:49.900
Das war schon wieder gefährlich.

51:11.230 --> 51:12.630
Okay, hier schreiben wir das hin.

51:16.130 --> 51:21.650
Grad rechte Seite kleiner gleich n.

51:24.010 --> 51:27.270
Okay, ich habe schon mittlerweile Nerven aus Stahl.

51:27.410 --> 51:28.810
Das interessiert mich alles gar nicht mehr.

51:29.610 --> 51:31.730
Sie können wissen, ich habe schon ein paar Dinge ausprobiert.

51:33.350 --> 51:35.470
Den Akkubatterie der Professional, damit kann man das auch nicht

51:35.470 --> 51:36.010
ordentlich machen.

51:36.210 --> 51:40.050
Es gibt noch ein paar Softwarealternativen, die ich noch testen werde,

51:40.130 --> 51:42.070
aber ich habe einfach nicht die Zeit dazu in einem Semester.

51:42.070 --> 51:43.290
Wir machen das so weiter.

51:45.010 --> 51:46.010
Wir schaffen das, ja.

51:47.710 --> 51:49.170
Ich denke, das ist kein so großes Problem.

51:49.410 --> 51:52.630
Die wenigen Annotationen, die ich jetzt eben gemacht habe, kann ich im

51:52.630 --> 51:54.510
Nachhinein wieder einfügen und Sie haben das zur Verfügung.

51:55.290 --> 51:55.610
Gut.

51:58.150 --> 51:59.770
Aber das war mal ein bisschen abgelenkt.

51:59.870 --> 52:00.450
Was haben wir gemacht?

52:00.510 --> 52:02.910
Wir haben gezeigt, dass die rechte Seite ein Grad kleiner gleich n hat

52:02.910 --> 52:05.630
und interpoliert, also ist das Interpolationspolynom fertig.

52:06.350 --> 52:10.270
So, jetzt können Sie sich vorstellen, einfach nur von der Struktur

52:10.270 --> 52:15.350
her, gucken Sie mal ganz rechts außen, hier auf der Folie steht p0,n.

52:15.730 --> 52:18.010
Das ist das Polynom, was ich eigentlich ausrechnen möchte.

52:18.710 --> 52:22.750
Und der Satz vorher, oder das Lemma von Eitgen sagt mir, naja, wenn

52:22.750 --> 52:28.890
ich die beiden habe, nämlich hier p0,n-1 und das p1,n, kann ich über

52:28.890 --> 52:32.110
das Lemma von Eitgen p0,n ausrechnen.

52:32.590 --> 52:34.970
Was brauche ich jetzt, um diese beiden auszurechnen?

52:35.050 --> 52:37.270
Naja, dann brauche ich irgendwelche anderen Interpolationspolynomen

52:37.270 --> 52:37.670
usw.

52:37.670 --> 52:42.710
Und ganz links stehen diese konstanten Interpolationspolynome, wo ich

52:42.710 --> 52:44.490
nur einen einzigen Punkt vorgebe.

52:45.530 --> 52:50.750
Ich kann also schematisch, rekursiv, aus den vorderen alle anderen

52:50.750 --> 52:51.330
errechnen.

52:52.410 --> 52:54.810
Oder rückwärtsgewand, ich kann eben von dem...

52:55.910 --> 52:58.590
Ich kann dieses Polynom errechnen, wenn ich dieses hier kenne usw.

52:59.250 --> 53:00.970
Und ganz vorne, die kenne ich alle.

53:01.890 --> 53:02.890
Vorne, die kenne ich alle.

53:02.930 --> 53:03.650
Das sind alles Konstanten.

53:04.450 --> 53:05.750
Okay, was ist das Problem?

53:07.670 --> 53:09.410
Wann kenne ich eigentlich ein Polynom?

53:09.470 --> 53:10.070
Was meinen Sie?

53:11.790 --> 53:13.370
Wann habe ich ein Polynom in der Hand?

53:15.350 --> 53:17.290
Wodurch ist ein Polynom eigentlich gegeben?

53:17.530 --> 53:24.110
Wenn ich Ihnen jetzt sagen möchte, ich möchte Ihnen per E-Mail meine

53:24.110 --> 53:26.330
Rechnung, das Interpolationspolynom, zumailen.

53:26.590 --> 53:28.910
Was kann ich dann geschickt Ihnen übermitteln?

53:30.610 --> 53:31.010
Ja?

53:41.930 --> 53:45.670
Ja genau, Sie haben gesagt, dass Sie bei einem Polynom n-ten Grades

53:45.670 --> 53:48.790
haben Sie tatsächlich n plus 1, Sie müssen den Nullten auch noch

53:48.790 --> 53:49.170
mitnehmen.

53:50.510 --> 53:52.190
Faktoren sagen Sie, Koeffizienten meinen Sie.

53:52.790 --> 53:55.930
Also das sind eben die Faktoren vor den Monomen.

53:56.470 --> 54:00.250
Also wenn Sie ein Polynom haben vom Grad n, dann haben Sie n plus 1

54:00.250 --> 54:01.750
Koeffizienten.

54:01.930 --> 54:04.790
Das heißt, ich könnte Ihnen die Koeffizienten zumailen und sagen,

54:04.990 --> 54:07.250
sehen Sie hier, das ist im Grunde genommen das, was das Polynom

54:07.250 --> 54:07.730
ausmacht.

54:08.570 --> 54:11.250
Das ist auch so das, was wir tendenziell immer machen wollen.

54:11.350 --> 54:14.470
Wir wollen Polynome immer darstellen als Summe von Monomen.

54:15.110 --> 54:16.150
Wissen Sie, was ein Monom ist?

54:16.270 --> 54:19.710
x hoch 2 ist ein Monom, x hoch 3, x hoch n, das nennt man Monom.

54:20.990 --> 54:22.310
Und wir wollen das wie in der Schule.

54:24.350 --> 54:27.250
Immer ausmultiplizieren und am Ende als Summe von Monomen schreiben.

54:28.010 --> 54:29.470
Ich sage Ihnen, das ist nicht unbedingt sinnvoll.

54:30.810 --> 54:32.050
Es gibt auch andere.

54:32.370 --> 54:35.730
Der Raum der Polynome, also die Polynome vom Grad derner gleich 5,

54:36.470 --> 54:38.850
bilden einen Vektorraum, wie Sie vielleicht aus der Linie an Algebra

54:38.850 --> 54:39.190
wissen.

54:41.350 --> 54:42.750
Und ein Vektorraum hat eine Basis.

54:43.710 --> 54:45.070
Ein Vektorraum hat verschiedene Basen.

54:46.090 --> 54:49.530
Natürlich können Sie die Monome nehmen, die Monomenbasis, und damit

54:49.530 --> 54:50.590
jedes Polynom darstellen.

54:50.670 --> 54:52.550
Das haben wir in der Schule, jetzt sind wir konditioniert worden

54:52.550 --> 54:52.830
darauf.

54:53.590 --> 54:56.110
Und jetzt muss ich Ihnen beibringen, dass es nicht immer sinnvoll ist,

54:56.210 --> 54:59.610
sondern wir sagen, nein, wir können uns auch andere Basen vorstellen.

54:59.790 --> 55:01.190
Zum Beispiel die Lagrange-Basis.

55:01.510 --> 55:02.530
Die haben Sie heute schon kennengelernt.

55:02.530 --> 55:06.250
Sie können jedes Polynom über die Lagrange-Polynome linear

55:06.250 --> 55:06.810
kombinieren.

55:07.310 --> 55:08.230
Das ist eine andere Basis.

55:08.910 --> 55:12.110
Und jetzt bringe ich Ihnen eine bei, die wichtig ist, die gute

55:12.110 --> 55:16.090
Eigenschaften hat, die dann einfließen kann in den Computer, wie wir

55:16.090 --> 55:18.350
Interpolationspolynome wirklich berechnen können.

55:18.470 --> 55:19.730
Das ist die sogenannte Newton-Basis.

55:20.910 --> 55:24.090
Wir nehmen nicht Monome, sondern wir nehmen eine andere Basis, in der

55:24.090 --> 55:26.750
wir das Interpolationspolynom linear kombinieren.

55:28.890 --> 55:31.730
Und das sind die sogenannten Newton-Polynome.

55:32.530 --> 55:33.450
Gehen wir das mal durch.

55:34.790 --> 55:38.190
Also nochmal, die Botschaft ist die, ein Polynom ist eindeutig

55:38.190 --> 55:39.890
bestimmt, wenn ich die Koeffizienten habe.

55:41.190 --> 55:45.630
Aber es müssen nicht die Koeffizienten sein, der Linearkombination von

55:45.630 --> 55:49.970
Monomen, sondern ich sage Ihnen, wir können irgendeine Basis nehmen

55:49.970 --> 55:51.150
und das linear kombinieren.

55:52.630 --> 55:55.670
Nehmen wir mal diese Basis, gucken Sie sich mal dieses Ite-Newton

55:55.670 --> 55:56.290
-Polynom an.

55:56.390 --> 55:59.710
Heute haben Sie einige neue Polynome kennenzulernen.

56:00.830 --> 56:03.390
Was ist denn das Ite-Newton-Polynom?

56:05.530 --> 56:07.270
Gucken Sie sich das mal kurz an hier.

56:09.530 --> 56:10.510
Die Geschichte.

56:17.960 --> 56:21.900
Es ist eine Linearkombination, nein, es ist ein Produkt

56:21.900 --> 56:24.120
offensichtlich, von Linearfaktoren.

56:25.600 --> 56:31.560
Und zwar, passen Sie auf, der Index an dem w ist i, aber das Produkt

56:31.560 --> 56:33.140
läuft nur bis i-1.

56:33.140 --> 56:35.240
Da muss man ein bisschen aufpassen, es fängt ja schon bei 0 an.

56:36.440 --> 56:38.140
Es hat also i Linearfaktoren.

56:39.680 --> 56:41.240
Und welche Linearfaktoren sind das?

56:43.360 --> 56:48.240
x-x0 bis x-i-1.

56:48.520 --> 56:51.880
Also wir nehmen die ersten i Stützstellen her, bilden daraus die

56:51.880 --> 56:54.220
Linearfaktoren und multiplizieren das alles auf.

56:55.360 --> 56:57.920
Was können wir über dieses Ding lernen?

56:58.600 --> 56:59.880
Es ist offensichtlich ein Polynom.

57:01.000 --> 57:05.460
Es ist ein Polynom vom Grad i, weil ich i Linearfaktoren

57:05.460 --> 57:06.200
multipliziere.

57:10.090 --> 57:13.010
Und mit aufsteigendem i kriegen Sie immer ein Grad dazu.

57:13.190 --> 57:16.970
Das heißt, es ist relativ naheliegend, dass das eine Basis ist von dem

57:16.970 --> 57:18.290
Raum der Polynome vom Grad n.

57:21.070 --> 57:25.290
Das heißt, ich kann das gesuchte Interpolationspolynom linear

57:25.290 --> 57:26.970
kombinieren über diese Basis.

57:27.490 --> 57:30.530
Das heißt, ich suche jetzt diese Koeffizienten a0 bis a1.

57:33.370 --> 57:36.910
Warum haben wir überhaupt diese Basis gewählt und nicht die Monome zum

57:36.910 --> 57:37.310
Beispiel?

57:37.770 --> 57:40.490
Es gibt hier eine ganz wichtige Eigenschaft, die hier in der letzten

57:40.490 --> 57:41.350
Zeile steht.

57:42.270 --> 57:44.530
Das ist wieder so eine rekursive Eigenschaft.

57:45.710 --> 57:51.910
Das Polynom, was ich suche, nämlich p0,n, das Interpolationspolynom zu

57:51.910 --> 57:58.170
allen Stützpunkten, kann geschrieben werden als Summe von dem Polynom

57:58.170 --> 58:00.210
der ersten n Stützpunkte.

58:02.550 --> 58:06.110
Plus genau der Koeffizient, den ich suche, an, das ist einer der

58:06.110 --> 58:11.270
Koeffizienten, die ich suche, mal das n-te Newtonpolynom.

58:12.590 --> 58:14.850
Gucken Sie sich mal die Struktur da oben an.

58:17.650 --> 58:18.650
Warum gilt das?

58:20.190 --> 58:24.570
Warum ist das letzte hier wahrscheinlich richtig, wenn ich an richtig

58:24.570 --> 58:25.130
definiere?

58:25.490 --> 58:27.290
Wir haben an noch nicht festgelegt.

58:27.550 --> 58:29.390
Aber warum gibt es eine Chance, dass das funktioniert?

58:33.420 --> 58:36.460
Also das ganze Prohi machen wir wirklich nur hier wegen der letzten

58:36.460 --> 58:36.860
Zeile.

58:39.120 --> 58:43.380
Diese Newtonpolynome, das ist eine so geschickte Basis, dass diese

58:43.380 --> 58:44.420
untere Zeile hier gilt.

58:44.960 --> 58:48.400
Können wir die nochmal kurz diskutieren, warum könnte die gelten, die

58:48.400 --> 58:49.000
untere Zeile?

59:26.480 --> 59:28.820
Ja, sehr schön haben Sie das gesagt, es war sehr lang die Antwort, ich

59:28.820 --> 59:29.320
versuche es mal zusammenzufassen.

59:30.520 --> 59:32.980
Das erste, was Sie gesagt haben, war, vom Grad her stimmt das.

59:33.500 --> 59:37.820
Links, das hat eigentlich Grad kleiner gleich n, rechts, das hat, der

59:37.820 --> 59:41.300
erste Summand hat ein Grad kleiner gleich n-1 und das hintere hat Grad

59:41.300 --> 59:41.640
n.

59:41.940 --> 59:45.140
Passt, also insgesamt ist die Summe etwas vom Grad kleiner gleich n,

59:45.240 --> 59:45.680
das passt.

59:45.960 --> 59:48.560
Jetzt haben Sie den zweiten Schritt gemacht, Sie haben schon mal

59:48.560 --> 59:50.820
Stützstellen eingesetzt und haben richtig argumentiert.

59:51.180 --> 59:55.980
Nehmen wir mal eine Stützstelle xi von den ersten n Stützstellen.

59:56.900 --> 59:58.320
Was kommt auf der rechten Seite raus?

59:58.320 --> 01:00:03.240
Vorne kommt fi raus, weil es ja das Interpolationspolynom ist zu den

01:00:03.240 --> 01:00:04.540
ersten n Stützpunkten.

01:00:04.700 --> 01:00:09.780
Also der erste Teil hier, dieser Teil hier ist fi und Sie haben

01:00:09.780 --> 01:00:14.560
richtig gesagt, der hintere Teil, weil es ja das Produkt von den Ja

01:00:14.560 --> 01:00:18.460
-Faktoren sind, die aus den Stützstellen generiert ist, dieses

01:00:18.460 --> 01:00:18.820
Produkt.

01:00:19.220 --> 01:00:22.800
Und Sie jetzt xi einsetzen und xi ist eins der vorderen n

01:00:22.800 --> 01:00:24.640
Stützstellen, fliegt das raus.

01:00:24.640 --> 01:00:30.540
Okay, das heißt die ersten n Stützstellen werden richtig interpoliert

01:00:30.540 --> 01:00:32.920
von der Summe auf der rechten Seite.

01:00:33.260 --> 01:00:38.000
Jetzt fehlt uns nur noch diese letzte Stützstelle, die xn Stützstelle.

01:00:38.180 --> 01:00:39.920
Was passiert, wenn wir xn einsetzen?

01:00:41.780 --> 01:00:45.440
Das ist im Grunde genommen, Sie haben gestockt, weil es auch richtig,

01:00:45.860 --> 01:00:48.100
Sie wissen, der erste Summand, über den wissen Sie nicht genau, was

01:00:48.100 --> 01:00:48.640
rauskommt.

01:00:49.120 --> 01:00:52.540
Der gibt irgendeinen Wert, aber Sie haben ja auch das an noch nicht

01:00:52.540 --> 01:00:52.740
festgelegt.

01:00:53.880 --> 01:00:58.020
Entscheidend ist nur, dass das hintere, was passiert mit dem Newton

01:00:58.020 --> 01:01:01.820
-Polynom, mit dem n-ten Newton-Polynom, wenn Sie xn einsetzen?

01:01:04.280 --> 01:01:06.220
Oder was passiert in dem Fall nicht?

01:01:09.000 --> 01:01:12.300
Es ist nicht null, das ist ganz wichtig, es verschwindet nicht.

01:01:12.720 --> 01:01:17.480
Das heißt, Sie können das nach dem an auflösen, um die letzte

01:01:17.480 --> 01:01:19.500
Interpolationsbedingungen zu gewährleisten.

01:01:20.080 --> 01:01:23.540
Sie haben recht, an der richtigen Stelle haben Sie gestockt.

01:01:24.080 --> 01:01:27.000
Es gibt noch eine Geschichte, die ist noch nicht ganz klar, aber wir

01:01:27.000 --> 01:01:28.660
haben ja auch einen Freiheitsgrad, nämlich das an.

01:01:29.020 --> 01:01:31.740
Das muss so gewählt werden, dass es funktioniert.

01:01:38.520 --> 01:01:40.860
Gucken wir mal auf die nächste Folie, ist mir nicht ganz klar, was

01:01:40.860 --> 01:01:41.320
jetzt kommt.

01:01:42.260 --> 01:01:46.300
Dieses an, was so gewählt werden muss, dass es funktioniert, dem geben

01:01:46.300 --> 01:01:47.400
wir jetzt wieder neuen Namen.

01:01:47.880 --> 01:01:50.820
Tut mir leid, dass es immer ein bisschen komplizierter wird.

01:01:51.320 --> 01:01:54.100
Wir wollen ja gleich diese rekursive Geschichte anwenden.

01:01:54.260 --> 01:01:59.280
Das heißt, wir müssen uns permanent mit zwei Indizes rumschlagen.

01:01:59.540 --> 01:02:04.800
Nämlich mit einer Menge von Punkten, von Stützpunkten, die irgendwo

01:02:04.800 --> 01:02:06.820
anfangen und irgendwie enden mit dem Index.

01:02:06.900 --> 01:02:11.320
Verstehen Sie, das an hat bisher nur einen Index, nämlich n, und sagt,

01:02:11.440 --> 01:02:14.320
das ist der Koeffizient vor wn.

01:02:14.720 --> 01:02:17.220
Das war die Motivation, um das an zu nennen.

01:02:17.400 --> 01:02:18.460
Damit werden wir jetzt nicht mehr hinkommen.

01:02:18.560 --> 01:02:23.220
Wir brauchen demnächst zwei Indizes, um das Rekursiv auf die vorderen

01:02:23.220 --> 01:02:24.160
zurückführen zu können.

01:02:24.360 --> 01:02:26.300
Sonst ist das nicht mehr ordentlich definiert.

01:02:26.360 --> 01:02:27.480
Ich kann Sie da also nicht schonen.

01:02:28.440 --> 01:02:32.680
Wir nennen das an ab jetzt f0,n.

01:02:35.940 --> 01:02:38.420
Und wir nennen das die entedividierte Differenz.

01:02:38.540 --> 01:02:40.700
Der Name ist noch überhaupt nicht motiviert, überhaupt nicht.

01:02:40.960 --> 01:02:43.340
Das muss gleich noch passieren.

01:02:44.660 --> 01:02:49.240
Aber nehmen wir uns mal ganz kurz zur Kenntnis, diese neue Bezeichnung

01:02:49.240 --> 01:02:50.240
f0,n.

01:02:50.700 --> 01:02:54.340
Und zwar ist das die dividierte Differenz zu allen Stützpunkten.

01:02:56.060 --> 01:02:58.620
x0,f0 bis xn,fn.

01:03:00.600 --> 01:03:05.340
Und wenn wir jetzt das, was wir auf der vorderen Folie gelernt haben,

01:03:06.380 --> 01:03:07.560
schauen Sie sich das hier unten an.

01:03:07.660 --> 01:03:12.600
Wir konnten den letzten Summanden jetzt lediglich so schreiben.

01:03:12.600 --> 01:03:14.100
Da ist überhaupt nichts passiert.

01:03:15.060 --> 01:03:16.920
Wir haben einfach die neue Definition eingesetzt.

01:03:17.380 --> 01:03:21.060
Aber wir können das ja jetzt auf den Summanden davor auch tun und auf

01:03:21.060 --> 01:03:22.260
den Summanden davor auch tun.

01:03:23.220 --> 01:03:27.720
Wir können das ja rekursiv weiterführen und bekommen dann diese

01:03:27.720 --> 01:03:29.080
Darstellung hier komplett.

01:03:30.360 --> 01:03:30.860
Diese hier.

01:03:32.140 --> 01:03:33.300
Können Sie das nachvollziehen?

01:03:34.740 --> 01:03:35.920
Gehen wir nochmal einen Schritt zurück.

01:03:36.200 --> 01:03:39.060
Sie machen das gleiche jetzt für den Summanden hier.

01:03:39.060 --> 01:03:44.080
Den können Sie ja wieder schreiben als Interpolationspolynomen von den

01:03:44.080 --> 01:03:52.320
ersten n-1 Stützpunkten plus n-1 Dividierte Differenz mal wn-1.

01:03:52.460 --> 01:03:54.520
Sie können das rekursiv immer wieder anwenden.

01:03:54.920 --> 01:03:56.880
Und ich behaupte, das ist dann am Ende das, was rauskommt.

01:04:01.010 --> 01:04:02.630
Okay, bis hierhin ist nicht viel passiert.

01:04:02.770 --> 01:04:06.570
Ich habe lediglich neue Namen eingeführt.

01:04:07.530 --> 01:04:12.410
Die Frage ist jetzt, wie ich diese Koeffizienten alle berechnen kann.

01:04:12.530 --> 01:04:16.410
Und da hilft uns dieses Lemma von Eitgen ganz stark.

01:04:17.950 --> 01:04:22.050
Gehen wir mal ins Lemma von Eitgen und setzen diese Darstellung ein.

01:04:23.590 --> 01:04:25.350
Diese Darstellung hier unten.

01:04:25.970 --> 01:04:31.090
Wenn Sie das in das Lemma von Eitgen einsetzen und dann machen Sie

01:04:31.090 --> 01:04:37.390
einen Koeffizientenvergleich an dem Monom mit höchstem Grad.

01:04:37.670 --> 01:04:40.390
Das ist ja ärgerlich, wir haben doch gar keine Monome.

01:04:42.270 --> 01:04:43.290
Doch, haben wir schon.

01:04:44.190 --> 01:04:45.170
Gucken Sie mal.

01:04:47.250 --> 01:04:50.050
Hier, gucken Sie sich dieses Polynom nochmal an, an der Stelle.

01:04:51.150 --> 01:04:57.510
Das a n ist der Koeffizient vor dem Newton-Polynom mit höchstem Index.

01:04:59.530 --> 01:05:02.030
Wenn Sie mal kurz wieder in die Schule zurückgehen und sagen, wenn ich

01:05:02.030 --> 01:05:06.130
das jetzt ausmolibizieren würde und alle Monome zusammenfassen würde,

01:05:06.210 --> 01:05:07.490
wo würde das a n stehen?

01:05:12.990 --> 01:05:18.550
Sehen Sie, alle Summanden davor sind Polynome vom Grad kleiner gleich

01:05:18.550 --> 01:05:21.230
n -1, also streng kleiner als n.

01:05:21.850 --> 01:05:24.950
Das w n hinten ist das Polynom mit dem höchsten Grad.

01:05:25.850 --> 01:05:27.150
Es ist ein Polynom vom Grad n.

01:05:27.830 --> 01:05:30.610
Wenn Sie jetzt auf die Idee kämen, das alles ausmolibizieren,

01:05:36.280 --> 01:05:39.540
das a n wäre der Koeffizient vor dem Monom mit höchstem Grad.

01:05:40.260 --> 01:05:41.540
Okay, das merken wir uns mal.

01:05:41.700 --> 01:05:45.700
Also diese dividierte Differenz steht vor dem Monom mit höchstem Grad.

01:05:45.820 --> 01:05:49.320
Jetzt gehen wir mal zu der Darstellung hier von dem Lemma von Eicken.

01:05:49.480 --> 01:05:55.120
Gucken Sie mal, links steht dieses a n, oder meinetwegen f 0, n, das

01:05:55.120 --> 01:05:59.500
war die neue Bezeichnung, steht links als Koeffizient vor dem Monom

01:05:59.500 --> 01:06:00.300
mit höchstem Grad.

01:06:00.440 --> 01:06:02.320
Jetzt gucken wir mal, wie können wir auf der rechten Seite

01:06:02.320 --> 01:06:06.940
herausfinden, was der Koeffizient ist vor dem höchsten Grad.

01:06:07.640 --> 01:06:08.720
Wo muss man das mal anschauen?

01:06:09.460 --> 01:06:10.860
Die linke Seite ist eine Summe.

01:06:10.960 --> 01:06:12.360
Gehen wir erstmal den vorderen Summanden.

01:06:12.420 --> 01:06:16.520
Da wird ein Linearfaktor x 0 minus x ranmultipliziert an einen

01:06:16.520 --> 01:06:17.040
Polynom.

01:06:18.580 --> 01:06:23.740
Wenn wir von dem Polynom den Koeffizienten kennen würden, der vor dem

01:06:23.740 --> 01:06:27.840
Monom steht mit höchstem Grad, dann wird das noch mit dem Linearfaktor

01:06:27.840 --> 01:06:28.640
multipliziert.

01:06:29.580 --> 01:06:30.680
Das x kommt noch dazu.

01:06:30.680 --> 01:06:35.360
Aber dieser Koeffizient wäre auch der Koeffizient des Monoms mit

01:06:35.360 --> 01:06:36.460
höchstem Grad von dem Produkt.

01:06:36.720 --> 01:06:37.740
Oh, das war kompliziert.

01:06:38.700 --> 01:06:39.160
Also nochmal.

01:06:41.260 --> 01:06:49.560
Wenn ich von dem p 1, n den Koeffizienten kennen würde, der vor dem

01:06:49.560 --> 01:06:54.200
Monom steht mit höchstem Grad, dann würde ich auch den Koeffizienten

01:06:54.200 --> 01:06:55.040
des Produktes kennen.

01:06:55.460 --> 01:06:56.980
Das ist der gleiche.

01:06:57.060 --> 01:06:59.700
Da kommt nur noch der Linearfaktor dazu.

01:07:00.980 --> 01:07:03.740
Und mit minus x wird er nochmal reinmultipliziert.

01:07:04.200 --> 01:07:05.860
Achso, er wäre mit einem Minuszeichen versehen.

01:07:05.980 --> 01:07:07.100
Da müssen wir aufpassen.

01:07:07.780 --> 01:07:08.980
Können Sie das nachvollziehen?

01:07:12.020 --> 01:07:17.620
Wie wollen wir denn von diesen Dingen, der Koeffizient vor dem Monom

01:07:17.620 --> 01:07:19.620
mit höchstem Grad, wissen Sie wie der heißt?

01:07:21.280 --> 01:07:23.120
Nach den Bezeichnungen, die wir eingeführt haben.

01:07:24.940 --> 01:07:25.940
Haben Sie eine Idee?

01:07:27.860 --> 01:07:29.800
Der ist jetzt wohl definiert.

01:07:30.060 --> 01:07:31.840
Wo wir die f eingeführt haben.

01:07:32.320 --> 01:07:33.060
Der hat jetzt einen Namen.

01:07:34.360 --> 01:07:34.400
Ja?

01:07:35.840 --> 01:07:36.400
Genau.

01:07:37.980 --> 01:07:39.720
f 1, n.

01:07:39.880 --> 01:07:45.780
Das ist der Koeffizient, der da in dem Polynom vor dem Monom steht mit

01:07:45.780 --> 01:07:46.460
höchstem Grad.

01:07:47.180 --> 01:07:49.940
Der wird jetzt noch mit Minus durchmultipliziert.

01:07:51.200 --> 01:07:56.040
Dann haben wir den Koeffizienten von dem Produkt, der vor dem Monom

01:07:56.040 --> 01:07:56.840
steht mit höchstem Grad.

01:07:57.200 --> 01:07:58.860
Wie ist es bei dem Hinteren genauso?

01:07:59.500 --> 01:08:02.680
Und wie heißt der Koeffizient vor dem Monom mit höchstem Grad?

01:08:02.740 --> 01:08:04.460
Der heißt f 0, n-1.

01:08:07.480 --> 01:08:09.160
Der wird nur mit x multipliziert.

01:08:09.360 --> 01:08:13.000
Also der Koeffizient wird nur mit 1 multipliziert.

01:08:13.360 --> 01:08:18.260
Aber können Sie jetzt unten diese Gleichung verstehen, die ich unten

01:08:18.260 --> 01:08:19.060
hingeschrieben habe?

01:08:19.800 --> 01:08:25.400
Koeffizientenvergleich des Monoms mit höchstem Grad, dieses f 0, n-1

01:08:25.400 --> 01:08:27.820
kommt von hinten und dann haben wir das andere immer noch mit einem

01:08:27.820 --> 01:08:29.800
Minuszeichen versehen und nachher müssen wir natürlich noch alles

01:08:29.800 --> 01:08:32.060
durch x 0, minus x n teilen.

01:08:33.920 --> 01:08:38.160
Es war da ein Koeffizientenvergleich des Monoms mit höchstem Grad,

01:08:38.260 --> 01:08:39.700
liefert uns diesen Zusammenhang.

01:08:41.080 --> 01:08:46.100
Wir können also die n-te dividierte Differenz tatsächlich als

01:08:46.100 --> 01:08:49.600
dividierte Differenz, das ist im wahrsten Sinne des Wortes eine

01:08:49.600 --> 01:08:55.660
dividierte Differenz, darstellen über n-erste dividierte Differenzen

01:08:56.400 --> 01:08:58.920
zu einer anderen Menge von Stützpunkten.

01:08:59.280 --> 01:09:01.980
Einmal nehmen wir den letzten weg, einmal nehmen wir den ersten weg.

01:09:02.940 --> 01:09:06.940
Aber der Quotient, der hier steht, gibt dem Ganzen einen Namen.

01:09:09.140 --> 01:09:10.340
Dividierte Differenzen.

01:09:11.440 --> 01:09:18.160
Also wir haben jetzt die Newton-Basis genommen, die ist geschickt, die

01:09:18.160 --> 01:09:23.060
erlaubt es nämlich, die Koeffizienten rekursiv alle zu berechnen über

01:09:23.060 --> 01:09:25.920
diese Darstellung, über diese dividierten Differenzen.

01:09:26.060 --> 01:09:30.700
Ich kann die n-te dividierte Differenz über n-erste dividierte

01:09:30.700 --> 01:09:31.900
Differenzen berechnen.

01:09:32.440 --> 01:09:34.500
Sehen Sie, und das machen wir jetzt genau so in dem Tableau.

01:09:35.460 --> 01:09:37.820
Und wie heißen die 0-ten dividierten Differenzen?

01:09:38.860 --> 01:09:44.360
Das sind ja wieder die Koeffizienten, diesmal von dem Polynom vom

01:09:44.360 --> 01:09:45.240
Gradländer gleich 0.

01:09:45.340 --> 01:09:47.020
Das hatten wir eben schon gesagt, das sind die Konstanten.

01:09:47.940 --> 01:09:52.040
Und der Koeffizient ist sozusagen der konstante Wert selbst.

01:09:52.280 --> 01:09:54.620
Das heißt, die 0-ten dividierten Differenzen sind die f's, die

01:09:54.620 --> 01:09:55.360
vorgegeben sind.

01:09:55.860 --> 01:10:00.080
Und aus denen kann ich jetzt alle anderen dividierten Differenzen

01:10:00.080 --> 01:10:00.440
berechnen.

01:10:00.660 --> 01:10:02.900
Wo sehe ich denn jetzt, können Sie folgen, das ist schwer.

01:10:03.340 --> 01:10:05.260
Das müssen Sie vielleicht nochmal zu Hause anschauen.

01:10:05.800 --> 01:10:09.940
Wenn ich das jetzt gerechnet habe, wo kann ich in diesem Tableau oder

01:10:09.940 --> 01:10:16.020
Schema die eigentlich interessanten Koeffizienten ablesen, die ich

01:10:16.020 --> 01:10:16.980
brauche für das Polynom.

01:10:21.010 --> 01:10:22.250
Ganz genau, ja, Sie haben recht.

01:10:22.350 --> 01:10:26.570
Die Diagonale hier oben, also von da...

01:10:26.570 --> 01:10:27.530
Ups, einen habe ich durchgestrichen.

01:10:28.850 --> 01:10:30.470
Aber Sie wissen, was gemeint ist.

01:10:30.690 --> 01:10:31.470
Genau, Sie haben völlig recht.

01:10:31.550 --> 01:10:33.490
Diese Diagonale ist die eigentlich Interessante, das andere ist das

01:10:33.490 --> 01:10:33.890
Beiwerk.

01:10:34.110 --> 01:10:35.390
Das muss ich halt mitberechnen.

01:10:36.810 --> 01:10:40.890
Aber die Diagonale liefern Ihnen genau die Koeffizienten.

01:10:41.490 --> 01:10:46.130
f00 ist der Koeffizient vor dem konstanten Teil, dann f01 ist der

01:10:46.130 --> 01:10:51.050
Koeffizient vor dem ersten Newton-Polynom, f02 ist der Koeffizient des

01:10:51.050 --> 01:10:52.250
zweiten Newton-Polynoms.

01:10:52.590 --> 01:10:54.670
Also Sie müssen das bitte dann auch als Koeffizienten des Newton

01:10:54.670 --> 01:10:57.730
-Polynoms interpretieren und nicht als Monom in der Monondarstellung.

01:11:01.430 --> 01:11:03.970
Was meinen Sie, wenn ich jetzt noch einen zusätzlichen Punkt dazu

01:11:03.970 --> 01:11:04.310
nehme.

01:11:04.390 --> 01:11:07.610
Ich mache eine Messung am Computer in der Chemie, Biologie, weiß ich

01:11:07.610 --> 01:11:10.630
nicht und ich kriege zu gewissen Zeiten irgendwelche Messwerte zurück.

01:11:11.310 --> 01:11:13.790
Jetzt habe ich das ausgerechnet alles, habe mir viel Arbeit gemacht

01:11:14.330 --> 01:11:18.530
und ich mache mir mein Messapparat zu einem späteren Zeitpunkt noch

01:11:18.530 --> 01:11:19.590
einen Messwert aus.

01:11:19.870 --> 01:11:21.170
Ich kriege einen zusätzlichen Punkt.

01:11:22.670 --> 01:11:24.090
Was meinen Sie, was könnte ich machen?

01:11:37.180 --> 01:11:39.000
Ich glaube, Sie haben es richtig gemeint.

01:11:39.080 --> 01:11:40.260
Ich habe Sie nicht hundertprozentig verstanden.

01:11:41.920 --> 01:11:44.920
Es ist kein Problem, war Ihre Botschaft, das ist schon mal richtig,

01:11:45.020 --> 01:11:46.100
wenn ich einen zusätzlichen Punkt bekomme.

01:11:46.160 --> 01:11:49.180
Was könnten Sie machen in dem Schema mit diesem zusätzlichen Punkt?

01:11:50.260 --> 01:11:51.020
Sagen Sie es ruhig nochmal.

01:11:55.720 --> 01:12:00.240
Sie könnten den als neuen Nullwert nehmen, also mein Gefühl wäre das,

01:12:00.280 --> 01:12:02.880
ich würde das als zusätzlichen Punkt ganz unten hinschreiben.

01:12:03.560 --> 01:12:08.200
Dann brauche ich nur noch eine Zeile neu berechnen und kriege den

01:12:08.200 --> 01:12:10.160
nächsten Koeffizient, den ich brauche.

01:12:10.620 --> 01:12:12.100
Da brauche ich die anderen nicht auf den Müll schmeißen.

01:12:12.160 --> 01:12:15.760
Wenn Sie das jetzt oben hinschreiben ins Tableau, dann berechnen Sie

01:12:15.760 --> 01:12:19.100
eine komplett neue, es ist nicht aufwendig, es ist genau das gleiche

01:12:19.100 --> 01:12:23.040
Aufwand, aber Sie berechnen eine neue obere Diagonale.

01:12:23.580 --> 01:12:28.760
Das Polynom, was Sie dann bekommen, hat andere Koeffizienten, weil die

01:12:28.760 --> 01:12:31.440
Newton -Polynome, die involviert sind, andere sind.

01:12:31.820 --> 01:12:35.240
Ich würde es unten hinschreiben und eine Zeile neu berechnen, dann

01:12:35.240 --> 01:12:37.040
kriegen Sie ganz rechts noch ein neues Diagonalelement.

01:12:37.740 --> 01:12:38.560
Das ist aber das gleiche, ja?

01:12:48.200 --> 01:12:49.300
Das ist überzeugend.

01:12:50.600 --> 01:12:51.120
Das ist richtig.

01:12:53.160 --> 01:12:53.960
Ist das richtig?

01:12:54.180 --> 01:12:55.040
Ja, das ist richtig, ja.

01:12:56.920 --> 01:12:57.740
Schönes Argument.

01:12:58.440 --> 01:13:02.600
Wenn ich es oben hinschreibe, kann ich die neue Diagonale nur mithilfe

01:13:02.600 --> 01:13:05.440
dieser Diagonalen berechnen und brauche das alles unten nicht

01:13:05.440 --> 01:13:05.940
speichern.

01:13:06.160 --> 01:13:06.900
Das ist richtig, ja.

01:13:07.620 --> 01:13:08.380
Schön, danke.

01:13:10.120 --> 01:13:12.700
Sehen Sie, ich habe das schon hundertmal gerechnet.

01:13:12.820 --> 01:13:15.400
Sie werden auch eine Übungsaufgabe bekommen und vielleicht können Sie

01:13:15.400 --> 01:13:17.760
da mal noch drüber nachdenken und das auch so machen, ja?

01:13:17.820 --> 01:13:18.540
Sie haben noch eine Anmerkung?

01:13:30.870 --> 01:13:35.010
Genau, Sie haben gesagt, das kann ja nicht sein, wenn ich zwei Punkte

01:13:35.010 --> 01:13:36.790
vertausche, kriege ich andere Vorfaktoren raus.

01:13:36.830 --> 01:13:37.190
Das stimmt.

01:13:38.330 --> 01:13:40.850
Sie achten darauf, dass dann die Newton-Polynome anders sind.

01:13:41.210 --> 01:13:42.450
Sie kriegen eine andere Basis.

01:13:42.810 --> 01:13:44.410
Natürlich kriegen Sie dann andere Koeffizienten.

01:13:45.490 --> 01:13:46.710
Die Basis ändert sich auch.

01:13:47.110 --> 01:13:48.090
Aber das ist eine schöne Idee.

01:13:48.430 --> 01:13:49.530
Ich denke, Sie haben recht.

01:13:50.350 --> 01:13:52.490
Gut, fassen wir das zusammen.

01:13:52.630 --> 01:13:55.510
Das ist wieder ein wilder Satz, passt überhaupt kaum auf die Folie.

01:13:56.230 --> 01:13:58.010
Fassen wir alles zusammen, was wir gemacht haben.

01:13:58.650 --> 01:14:02.670
Es ist die Newton'sche Interpolationsformel.

01:14:02.750 --> 01:14:05.550
Wir nehmen n plus 1 Stützpunkte, paarweise verschiedene Stützstellen,

01:14:05.630 --> 01:14:05.890
wie immer.

01:14:05.890 --> 01:14:09.790
Es gibt ein eindeutiges Interpolations-Polynom und ich sage, wir

01:14:09.790 --> 01:14:10.650
können es so schreiben.

01:14:11.090 --> 01:14:14.570
Also Linearkombination der Newton-Polynome und die Koeffizienten sind

01:14:14.570 --> 01:14:17.130
die entsprechenden dividierten Differenzen.

01:14:17.850 --> 01:14:19.790
Hier habe ich nochmal hingeschrieben, wie die Newton-Polynome

01:14:19.790 --> 01:14:20.710
definiert sind.

01:14:20.870 --> 01:14:23.170
Und hier unten habe ich nochmal hingeschrieben, wie Sie die

01:14:23.170 --> 01:14:25.010
dividierten Differenzen alle berechnen würden.

01:14:25.550 --> 01:14:27.510
Das ist nur eine Zusammenfassung der ganzen Folien.

01:14:28.650 --> 01:14:30.510
Der ganzen letzten drei, vier Folien.

01:14:33.330 --> 01:14:35.230
Und jetzt gebe ich Ihnen ein Beispiel.

01:14:36.570 --> 01:14:40.450
Wir haben hier vier solche Stützpunkte vorgegeben.

01:14:41.130 --> 01:14:43.490
Wir suchen also ein Polynom von Grad kleiner gleich drei.

01:14:44.670 --> 01:14:47.810
Und dann habe ich das so gemacht, wenn ich das auf dem Papier machen

01:14:47.810 --> 01:14:52.710
würde, würde ich diese Stützstellen auch nochmal hinschreiben, die x

01:14:52.710 --> 01:14:53.190
-Werte.

01:14:53.450 --> 01:14:57.470
Und dann kommen die f-Werte und jetzt bilden Sie regelmäßig diese

01:14:57.470 --> 01:14:58.750
dividierten Differenzen.

01:14:58.750 --> 01:15:02.530
Letztlich ist es egal, in welcher Reihenfolge Sie Zähler und Nenner

01:15:02.530 --> 01:15:02.750
anordnen.

01:15:04.010 --> 01:15:07.510
Sie können ja den Zähler und Nenner jeweils tauschen, dann haben Sie

01:15:07.510 --> 01:15:09.750
jeweils ein Minuszeichen, das kürzt sich wieder weg.

01:15:10.010 --> 01:15:13.830
Aber passen Sie bitte auf, dass Sie den Zähler und Nenner immer in

01:15:13.830 --> 01:15:16.430
gleicher Reihenfolge voneinander abziehen.

01:15:16.630 --> 01:15:18.430
Gucken wir uns mal den ersten an, den hier.

01:15:19.590 --> 01:15:21.370
Da steht 1-6.

01:15:21.930 --> 01:15:24.470
Die 1 kommt von hier, die 6 kommt von hier.

01:15:24.470 --> 01:15:27.470
Wenn Sie diese Reihenfolge gewählt haben, dann müssen Sie unten im

01:15:27.470 --> 01:15:29.470
Nenner bitte schön auch die Reihenfolge wählen.

01:15:29.850 --> 01:15:32.310
Das heißt hier steht Minus 1, Minus 0.

01:15:32.570 --> 01:15:33.910
Das sind diese Werte hier.

01:15:36.870 --> 01:15:40.790
Das ist die einfache dividierte Differenz, da kommt jetzt 5 raus und

01:15:40.790 --> 01:15:42.150
so ist das ganze Tableau gerechnet.

01:15:42.550 --> 01:15:45.350
Sie machen dazu eine Aufgabe, gucken Sie sich das dann nochmal in den

01:15:45.350 --> 01:15:47.350
Folien an, wie ich das gerechnet habe.

01:15:47.990 --> 01:15:49.730
So würden Sie das auch im Computer implementieren.

01:15:51.450 --> 01:15:54.870
Im Übrigen kann man das im Computer so implementieren, dass man nur

01:15:54.870 --> 01:15:56.790
einen einzigen Vektor braucht zum Speichern.

01:15:56.910 --> 01:15:58.290
Vielleicht sagen wir das ganz kurz mündlich.

01:15:58.730 --> 01:16:01.670
Sie speichern sich erst die Fs in einem Vektor, hier ein

01:16:01.670 --> 01:16:01.890
vierdimensionaler.

01:16:03.310 --> 01:16:05.250
Die 1 oben ist wichtig, die brauchen Sie.

01:16:05.430 --> 01:16:07.710
Die macht nachher einen Teil Ihres Polynoms aus.

01:16:08.150 --> 01:16:11.050
Die 6, die Minus 3 und die 3 brauchen Sie nicht mehr später.

01:16:12.150 --> 01:16:13.910
Die wollen wir jetzt nicht speichern, Sie haben recht.

01:16:14.510 --> 01:16:17.230
Wenn Sie jetzt die 5 ausgerechnet haben, was machen Sie mit der 5?

01:16:22.920 --> 01:16:26.120
Genau, Sie speichern das im Ersatz von F1, sprich die 6 wird

01:16:26.120 --> 01:16:26.600
überschrieben.

01:16:27.100 --> 01:16:28.420
Weil die 6 brauchen Sie nie wieder.

01:16:29.020 --> 01:16:31.980
Das heißt die 5 wird an die Stelle geschrieben, die Minus 9 wird an

01:16:31.980 --> 01:16:34.280
die Stelle von der Minus 3 geschrieben und die 3 an die Stelle von der

01:16:34.280 --> 01:16:34.540
3.

01:16:35.240 --> 01:16:39.180
Dann haben Sie wieder einen Vektor, wo der obere schon einer ist, der

01:16:39.180 --> 01:16:39.920
fertig ist.

01:16:40.380 --> 01:16:43.300
Und im Übrigen die 5 dann auch ein Koeffizient ist, den Sie brauchen.

01:16:43.600 --> 01:16:46.740
Und aus dem Vektor rechnen Sie jetzt die Minus 7 und 4 aus und

01:16:46.740 --> 01:16:47.840
speichern Sie wieder in diesem Vektor.

01:16:47.840 --> 01:16:50.200
Sie brauchen letztlich nur einen einzigen Vektor, wo Sie geschickt die

01:16:50.200 --> 01:16:51.320
Dinge immer wieder speichern können.

01:16:51.640 --> 01:16:54.460
Und am Ende steht in dem Vektor, stehen die Koeffizienten von oben

01:16:54.460 --> 01:16:54.880
nach unten.

01:16:55.740 --> 01:16:57.760
So würde man das im Computer realisieren.

01:17:01.920 --> 01:17:03.260
Haben Sie noch Fragen dazu?

01:17:07.260 --> 01:17:10.460
Ich habe den Aufwand jetzt nicht genau im Detail nachgerechnet, das

01:17:10.460 --> 01:17:11.900
können Sie sich ja mal überlegen.

01:17:12.660 --> 01:17:17.580
Es sind immer zwei Subtraktionen und einmal eine Division pro

01:17:17.580 --> 01:17:18.600
dividierte Differenz.

01:17:18.600 --> 01:17:21.480
Dann gucken Sie mal, wie viele dividierte Differenzen Sie insgesamt

01:17:21.480 --> 01:17:23.660
rechnen müssen bei so einem Tableau und dann haben Sie den

01:17:23.660 --> 01:17:24.320
Gesamtaufwand.

01:17:26.620 --> 01:17:29.600
Das geht schnell und wird so im Computer implementiert.

01:17:33.970 --> 01:17:38.070
Gut, in den letzten zehn Minuten möchte ich mit Ihnen noch eine Frage

01:17:38.070 --> 01:17:38.450
beantworten.

01:17:40.270 --> 01:17:44.730
Und zwar, wenn ich jetzt dieses Interpolationspolynom, was es ja gibt,

01:17:44.890 --> 01:17:49.270
dieses Eindeutige, und meinetwegen mit Newton, mit den dividierten

01:17:49.270 --> 01:17:51.270
Differenzen, habe ich auch die Koeffizienten berechnet.

01:17:51.970 --> 01:17:52.770
Achso, Entschuldigung.

01:17:54.250 --> 01:17:57.110
Ich habe mich erinnert daran, ich wollte Sie unbedingt darauf

01:17:57.110 --> 01:17:59.350
hinweisen, hier unten, noch mal auf das Ergebnis.

01:17:59.610 --> 01:18:01.330
Entschuldigung, wir gehen noch mal einen Schritt zurück.

01:18:05.890 --> 01:18:08.510
Also das ist mir wichtig, gehen wir noch mal durch.

01:18:08.570 --> 01:18:12.130
Die Koeffizienten lauten 1, 5, minus 7 und 11 Viertel.

01:18:12.190 --> 01:18:13.430
Das ist die obere Diagonale.

01:18:13.850 --> 01:18:15.430
Das sind die Koeffizienten des Interpolationspolynoms.

01:18:16.670 --> 01:18:18.670
Aber gucken Sie sich das genau an.

01:18:19.390 --> 01:18:23.430
Die Darstellung ist bezüglich der Newton-Basis.

01:18:24.410 --> 01:18:26.370
Also hier sehen Sie 1, das ist der konstante Teil.

01:18:26.470 --> 01:18:29.410
Jetzt kommt 5, das ist der Koeffizient, den wir da oben ausgerechnet

01:18:29.410 --> 01:18:29.690
haben.

01:18:30.170 --> 01:18:33.770
Der wird jetzt mit dem ersten Newton-Polynom modifiziert.

01:18:33.930 --> 01:18:37.450
Und das lautet x minus x 0.

01:18:38.550 --> 01:18:41.670
Und x 0 ist minus 1, also ist es hier x plus 1.

01:18:42.350 --> 01:18:43.830
Das ist das erste Newton-Polynom.

01:18:45.830 --> 01:18:48.470
Hier steht das zweite Newton-Polynom.

01:18:50.310 --> 01:18:55.870
Das sind die Linearfaktoren x minus x 0 mal x minus x 1.

01:18:56.250 --> 01:18:57.110
x 1 ist aber 0.

01:18:58.130 --> 01:19:00.450
Also es ist im Resultat nur x mal x plus 1.

01:19:00.650 --> 01:19:03.530
Und hier hinten steht das dritte Newton-Polynom.

01:19:04.150 --> 01:19:06.590
Und da habe ich einmal schon die dritte binomische Formel ausgenutzt,

01:19:06.670 --> 01:19:09.270
weil x minus 1 mal x plus 1 gibt x Quadrat minus 1.

01:19:09.450 --> 01:19:11.210
Aber das ist mir ganz wichtig, das noch mal festzuhalten.

01:19:11.210 --> 01:19:14.870
Sie haben die Koeffizienten ausgerechnet zu einer ganz konkreten

01:19:14.870 --> 01:19:15.210
Basis.

01:19:15.910 --> 01:19:18.670
Und dann müssen Sie, wenn Sie das Polynom hinschreiben, es auch in

01:19:18.670 --> 01:19:19.590
dieser Form hinschreiben.

01:19:21.330 --> 01:19:24.370
Wir sind konditioniert von der Schule aus, das immer

01:19:24.370 --> 01:19:26.570
auszumultiplizieren und alles wieder zu sammeln.

01:19:26.730 --> 01:19:27.730
Das müssen Sie nicht.

01:19:29.290 --> 01:19:32.970
Das ist wunderbar so aufgeschrieben.

01:19:34.310 --> 01:19:34.870
Gut.

01:19:37.690 --> 01:19:42.070
Letzte Frage für heute ist die Approximationseigenschaft des

01:19:42.070 --> 01:19:43.370
Interpolationspolynoms.

01:19:43.470 --> 01:19:44.430
Was meine ich denn damit?

01:19:46.270 --> 01:19:49.110
Stellen Sie sich also irgendwie die Punkte vor und stellen Sie sich

01:19:49.110 --> 01:19:53.690
eine gegebene Funktion f vor, von der diese Punkte generiert worden

01:19:53.690 --> 01:19:54.070
sind.

01:19:54.910 --> 01:19:58.970
Und jetzt haben wir zu diesen n Punkten, n plus 1 sind es ja, n plus

01:19:58.970 --> 01:20:02.870
1, viele Punkte, haben wir ein Interpolationspolynom gefunden, was

01:20:02.870 --> 01:20:03.730
durch diese Punkte durchgeht.

01:20:04.310 --> 01:20:08.370
Die Frage, die sich jetzt stellt, oder die man stellen kann, ist, was

01:20:08.370 --> 01:20:13.130
hat eigentlich das Polynom mit der ursprünglichen Funktion zu tun in

01:20:13.130 --> 01:20:15.450
Punkten, die nicht Stützstellen sind?

01:20:16.010 --> 01:20:16.910
Wie weit liegt das auseinander?

01:20:18.230 --> 01:20:21.630
In den Stützstellen ist ja klar, in den Stützstellen nimmt das Polynom

01:20:21.630 --> 01:20:22.550
den Wert f an.

01:20:23.710 --> 01:20:27.970
Aber wie ist es eigentlich in Punkten, die keine Stützstellen sind?

01:20:28.690 --> 01:20:35.570
Also hier ist die Frage gestellt, was hat f von x minus p von x

01:20:35.570 --> 01:20:39.150
miteinander zu tun in Punkten, die nicht Stützstellen sind?

01:20:39.990 --> 01:20:43.770
Und dazu gibt es einen Satz, den wollen wir noch heute zusammen

01:20:43.770 --> 01:20:46.450
beweisen und das ist dann auch alles für heute.

01:20:46.750 --> 01:20:48.550
Das ist der Satz über den Interpolationsfehler.

01:20:51.310 --> 01:20:55.410
Das hat mich schon immer gestört, dass das Interpolationsfehler heißt.

01:20:56.410 --> 01:20:59.650
Ich hätte es Approximationsfehler genannt, aber es heißt nun mal so

01:20:59.650 --> 01:21:00.550
Interpolationsfehler.

01:21:03.090 --> 01:21:07.390
Und hier wird folgendes vorausgesetzt für den Satz.

01:21:09.190 --> 01:21:12.390
Dieses f soll hinreichend glatt sein, wir müssen das gleiche Beweis

01:21:12.390 --> 01:21:16.110
ausnutzen, also n plus einmal stetig differenzierbar sein, sonst

01:21:16.110 --> 01:21:18.270
können wir gar keine Aussage über den Fehler treffen.

01:21:18.970 --> 01:21:24.890
Und das p sei jetzt wieder das Interpolationspolynomen, wir sagen von

01:21:24.890 --> 01:21:29.270
f zu den Stützstellen x 0 bis x n.

01:21:29.350 --> 01:21:30.070
Was meine ich damit?

01:21:30.270 --> 01:21:34.130
Ich meine, dass die Stützwerte von dem f generiert werden.

01:21:35.190 --> 01:21:41.090
Das f ist der Lieferant für die Stützwerte, macht dann zusammen die

01:21:41.090 --> 01:21:46.450
Stützpunkte, heißen also x i, f von x i.

01:21:46.450 --> 01:21:48.290
So heißen die Stützpunkte.

01:21:49.230 --> 01:21:54.350
Und dann wird behauptet, dass zu jedem x aus dem Intervall a, b, das

01:21:54.350 --> 01:21:58.090
Intervall a, b ist auch der Ort, wo ich die Stützstellen wähle, es

01:21:58.090 --> 01:22:06.970
eine Zwischenstelle gibt, sodass ich f von x minus p von x darstellen

01:22:06.970 --> 01:22:08.190
kann in folgender Form.

01:22:09.010 --> 01:22:17.810
Es ist das n-plus-erste Newton-Polynom ausgewertet in x mal die n-plus

01:22:17.810 --> 01:22:20.230
-erste Ableitung von f an einer Zwischenstelle durch n-plus-eins

01:22:20.230 --> 01:22:20.650
Fakultät.

01:22:20.770 --> 01:22:24.330
Das heißt, ich würde sagen, Approximationsfehler, aber das ist der

01:22:24.330 --> 01:22:27.490
Interpolationsfehler, kann ich eben hierdurch ausdrücken.

01:22:28.770 --> 01:22:29.790
Wollen wir das beweisen?

01:22:31.870 --> 01:22:32.810
Ja, wir wollen, unbedingt.

01:22:37.750 --> 01:22:42.490
Das ist ein ganz schönes Argument, deswegen machen wir das.

01:22:44.350 --> 01:22:47.770
Schreiben wir uns nochmal kurz hin, was wir eigentlich zeigen wollen,

01:22:48.170 --> 01:22:50.010
bisschen skizzenhaft zu zeigen.

01:22:50.930 --> 01:23:01.330
f von x minus p von x, der Fehler hier in einer Nicht-Stützstelle ist

01:23:01.330 --> 01:23:11.010
das n-plus-erste Newton-Polynom mal die n-plus-erste Ableitung von f

01:23:11.010 --> 01:23:14.850
an einer Zwischenstelle, ja, xi, zeta, egal, irgendeine Zwischenstelle

01:23:14.850 --> 01:23:17.650
durch n-plus-eins Fakultät.

01:23:17.850 --> 01:23:20.610
Im Übrigen stimmt die Darstellung auch, wenn Sie in Stützstellen

01:23:20.610 --> 01:23:20.990
gehen.

01:23:21.210 --> 01:23:22.230
Was ist denn in Stützstellen?

01:23:22.330 --> 01:23:25.350
Dann ist f von x und p von x identisch.

01:23:25.470 --> 01:23:28.750
Das heißt, da kommt 0 raus, die rechte Seite ist auch 0, weil das dann

01:23:28.750 --> 01:23:31.170
eine Nullstelle ist von einem n-plus-ersten Newton-Polynom.

01:23:31.310 --> 01:23:32.410
Dann steht der 0 ist gleich 0.

01:23:33.110 --> 01:23:37.350
Also gut, für Stützstellen ist das richtig und sowieso klar.

01:23:37.350 --> 01:23:45.690
Das heißt, wir können das machen, sei x Schlange meinetwegen Element

01:23:45.690 --> 01:23:50.630
a, b, das war ja das Intervall, auf dem wir uns bewegen, keine

01:23:50.630 --> 01:23:51.570
Stützstelle.

01:23:59.030 --> 01:23:59.990
Keine Stützstelle.

01:24:00.210 --> 01:24:01.110
Was machen wir jetzt?

01:24:01.190 --> 01:24:02.130
Wir machen folgendes,

01:24:05.980 --> 01:24:21.350
definiere f von x minus p von x plus oder minus, das weiß ich noch

01:24:21.350 --> 01:24:27.050
nicht genau, ist auch egal, w n plus 1 von x,

01:24:30.060 --> 01:24:33.740
also geben wir dem einen Namen, meinetwegen q von x,

01:24:37.600 --> 01:24:49.100
so dass q von x n plus 1 Nullstellen hat.

01:24:55.200 --> 01:24:56.120
Was meinen Sie?

01:24:56.300 --> 01:24:57.020
Was sagen Sie dazu?

01:24:57.200 --> 01:25:02.980
Ich sage, definieren Sie sich eine Funktion q von x als f von x minus

01:25:02.980 --> 01:25:07.780
p von x plus k mal das n-plus-erste Newton-Polynom in der Weise, dass

01:25:07.780 --> 01:25:10.560
das q n plus 1 Nullstellen hat.

01:25:10.560 --> 01:25:12.960
Und schauen wir mal kurz, ob das überhaupt möglich ist.

01:25:14.240 --> 01:25:15.300
Ist nicht lustig.

01:25:21.320 --> 01:25:28.660
Setzen Sie mal eine Stützstelle ein, x, i, dann steht da f von x, i

01:25:28.660 --> 01:25:33.740
minus p von x, i, aber p von x, i ist ja f von x, i, weil es ja

01:25:33.740 --> 01:25:39.820
interpoliert, das heißt es ist Null, plus k mal Null, weil auch das n

01:25:39.820 --> 01:25:42.120
-plus -erste Newton-Polynom verschwindet an den Stützstellen.

01:25:42.120 --> 01:25:42.500
Das heißt,

01:25:46.580 --> 01:25:53.060
wir haben n plus 1 Nullstellen haben wir per se, jede Stützstelle.

01:25:55.040 --> 01:25:58.560
Das heißt, ich muss meinen Beweis korrigieren, der ist falsch, wir

01:25:58.560 --> 01:26:02.360
schreiben hier nicht n plus 1, die haben wir sowieso, n plus 1.

01:26:02.800 --> 01:26:05.120
Wie können Sie sich vorstellen, ich will n plus 2 Nullstellen haben.

01:26:07.400 --> 01:26:08.480
Wieso kann ich das schaffen?

01:26:08.540 --> 01:26:09.960
Das haben wir heute schon mal argumentiert.

01:26:10.080 --> 01:26:12.480
Ich muss das k, das k ist ja noch ein Parameter, den habe ich da

01:26:12.480 --> 01:26:17.500
reingeschrieben, ist ja eine Konstante, den tunen wir so, dass es an x

01:26:17.500 --> 01:26:19.600
Schlange auch eine Nullstelle gibt.

01:26:20.180 --> 01:26:21.060
Warum ist das möglich?

01:26:21.660 --> 01:26:24.780
Setzen Sie mal x Schlange ein, dann kriegen Sie f von x Schlange minus

01:26:24.780 --> 01:26:31.320
p von x Schlange, das ist irgendwas, plus k mal, und jetzt steht da w

01:26:31.320 --> 01:26:33.240
n plus 1 ausgewertet in x Schlange.

01:26:33.240 --> 01:26:36.320
Wenn x Schlange keine Stützstelle ist, dann ist das nicht Null.

01:26:37.120 --> 01:26:39.620
Das heißt, Sie können k immer so bestimmen, dass am Ende Null

01:26:39.620 --> 01:26:40.160
rauskommt.

01:26:42.620 --> 01:26:43.880
Schreiben wir uns in Klammern.

01:26:44.080 --> 01:26:46.340
k so wählen,

01:26:52.500 --> 01:27:00.260
dass q von x Schlange gleich Null ist möglich,

01:27:06.630 --> 01:27:15.090
da n plus 1 x Schlange nicht gleich Null.

01:27:15.590 --> 01:27:17.690
Ich bin gleich schon fertig, es dauert gar nicht mehr so lange.

01:27:17.830 --> 01:27:19.590
Sie müssen noch eine Minute Geduld haben.

01:27:19.590 --> 01:27:25.990
So, jetzt haben wir eine Funktion, die an n plus 2 vielen Stellen eine

01:27:25.990 --> 01:27:26.610
Nullstelle hat.

01:27:26.690 --> 01:27:28.650
Jetzt können Sie sich erinnern an Ihre Ausbildung in der Analysis,

01:27:28.910 --> 01:27:29.470
Satz von Rolle.

01:27:30.230 --> 01:27:33.570
Zwischen zwei Nullstellen hat die Ableitung wieder eine Nullstelle.

01:27:34.230 --> 01:27:38.270
Wenn ich n plus 2 viele verschiedene Nullstellen habe, dann hat die

01:27:38.270 --> 01:27:41.930
Ableitung n plus 1 viele Nullstellen.

01:27:41.930 --> 01:27:45.190
Das ist der Satz von Rolle, n plus einmal angewendet.

01:27:46.250 --> 01:27:49.150
Wenn die Ableitung aber n plus 1 viele hat, dann hat die zweite

01:27:49.150 --> 01:27:49.990
Ableitung n.

01:27:49.990 --> 01:27:53.530
Dann nochmal der Satz von Rolle angewendet auf die Ableitung und so

01:27:53.530 --> 01:27:54.330
weiter und so fort.

01:27:54.590 --> 01:28:00.750
Satz von Rolle liefert uns, also

01:28:05.860 --> 01:28:12.560
wirklich kompliziert und oft angewendet, ein xi, eine Zwischenstelle

01:28:12.560 --> 01:28:26.860
aus a, b, sodass die n plus erste Ableitung an der Stelle xi gleich 0

01:28:26.860 --> 01:28:26.920
ist.

01:28:27.060 --> 01:28:29.020
Das ist ein Mehrfachsatz von Rolle angewendet.

01:28:31.040 --> 01:28:33.680
Jetzt bilden wir noch zusammen, bevor ich Sie entlasse, die n plus

01:28:33.680 --> 01:28:35.460
erste Ableitung von q.

01:28:35.540 --> 01:28:38.620
Was ist denn die n plus erste Ableitung von q?

01:28:39.320 --> 01:28:42.460
Das ist die n plus erste Ableitung von f, offensichtlich.

01:28:44.260 --> 01:28:46.660
Was ist, wenn Sie das p n plus einmal ableiten?

01:28:46.720 --> 01:28:47.980
Das ist ja nur ein Polynom vom Grad n.

01:28:48.100 --> 01:28:50.360
Das heißt, es ist weggeleitet, nicht mehr da.

01:28:52.700 --> 01:28:59.960
Und dann haben Sie das n plus 1, das n plus erste Newton-Polynom, hat

01:28:59.960 --> 01:29:03.540
als Monom mit höchstem Grad x hoch n plus 1.

01:29:03.540 --> 01:29:11.340
Wenn Sie das n plus einmal ableiten, kommt daraus k n plus 1 Fakultät.

01:29:13.100 --> 01:29:25.180
So, und dann können Sie daraus ablesen, k ist gleich minus f n plus 1

01:29:25.180 --> 01:29:31.700
xi durch n plus 1 Fakultät.

01:29:33.480 --> 01:29:36.380
Und das setzen Sie dann oben ein und dann haben Sie Ihren Ausdruck

01:29:36.380 --> 01:29:36.720
gefunden.

01:29:37.720 --> 01:29:38.980
An der Stelle x-Schlange.

01:29:39.340 --> 01:29:41.160
Okay, vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.