Ja, meine Damen und Herren,
nochmals am Anfang der Vorlesung den Hinweis, wir nehmen die Vorlesung
auf, wenn Sie nicht ins Bild kommen wollen, schauen Sie, dass Sie sich
möglichst nach hinten setzen.
Wir sind nach wie vor bei der Relativmechanik, um das nochmal an einem
kleinen Beispiel abschließend zu demonstrieren, habe ich hier mal ein
paar Bilder von Getrieben mitgebracht.
Nun, da dreht sich sehr viel, da gibt es sehr viele Zahnräder, das
heißt, man könnte sich vorstellen, man führt da sehr viele
Bezugssysteme ein.
Wir betrachten jetzt mal so ein Planetengetriebe.
Wer weiß nicht, was ein Planetengetriebe ist?
Sie wissen es nicht, wer weiß, was ein Planetengetriebe ist?
Also die Vereinigungsmenge derjenigen, die sich gemeldet haben, bildet
nicht die Zahl der Studenten ab, also vielleicht hat es sich auch nur
eben niemand getraut.
Bei einem Planetengetriebe hat man zunächst mal so ein Hohlrad
außenrum.
Jetzt habe ich den Pointer vergessen, das macht aber nichts.
Dann hat man in der Mitte ein Sonnenrad und jetzt könnten sich das
Hohlrad und das Sonnenrad drehen oder auch andere Komponenten, denn
dazwischen hat man die Planetenräder und ich denke, man sieht es ein
bisschen besser.
Wenn man so eine Darstellung wählt, nehmen wir mal an, das äußere Rad
steht fest und das Sonnenrad dreht sich, egal, was man jetzt als
Antrieb nimmt oder als Abtrieb, was passiert?
Nun, die Planetenräder, die rollen am Umfang ab, das heißt, die
bewegen sich weiter, gleichzeitig führen die eine Rotationsbewegung
durch, das Ganze hängt natürlich ab von der Geometrie des Ganzen.
Man kann sich vorstellen, wenn das Sonnenrad einen sehr kleinen
Durchmesser hat, sprich wenn dort die Zähnezahl sehr klein ist und man
das Sonnenrad antreibt, dann wird die Bewegung der Planetenräder sehr
langsam verlaufen, wohingegen, wenn der Durchmesser des Sonnenrades
groß ist im Vergleich zu den Planetenrädern, dann werden sich die
Planetenräder sehr schnell drehen.
Und wenn man jetzt die Achsen der Planetenräder mit einem Steg
verbindet, dann dreht sich der Steg entsprechend und man sieht, man
kann auch in so einem Getriebe mehrere Bezugssysteme definieren.
Hier haben wir so ein ganz einfaches Prinzip, im Grunde genommen wird
es ausreichen, wir haben in der Mitte das Sonnenrad, das entsprechend
gelagert ist, ein Planetenrad und das Hohlrad und das ist auch das,
was wir im Folgenden betrachten wollen.
Das heißt, wir zeichnen uns jetzt mal
skizzenhaft das Sonnenrad an, das in der Mitte gelagert ist und sich
mit der Winkelgeschwindigkeit, ich nenne das mal Omega S dreht, dann
haben wir das Planetenrad,
das sich dreht mit der Winkelgeschwindigkeit Omega P,
ich drehe jetzt mal so an das Hohlrad, das praktisch als großer Kreis
außenrum geht.
Wir nehmen mal an, das sei fest, das bewegt sich nicht, wobei das an
der Stelle noch unwichtig ist, wir haben den Radius des Sonnenrades
RS, den Radius des Planetenrades RP,
ich habe jetzt annähernd gleich groß gezeichnet, die müssen natürlich
nicht gleich groß sein und man sieht, der Radius des Hohlrades, der
muss dann gerade betragen RS plus 2 mal RP, damit das Ganze
funktioniert.
So, jetzt sind wir interessiert, ich drehe jetzt mal so an, an der
Geschwindigkeit von Punkten und wir greifen uns jetzt mal raus, den
Punkt A, an der Stelle,
wichtig sind auch noch die Punkte B und C, beim Punkt B liegt der
Kontakt zwischen Sonnenrad und Planetenrad vor, beim Punkt C der
Kontakt zwischen Planetenrad und Hohlrad und wenn wir uns vorstellen,
wir haben da eine Verzahnung, dann kann am Punkt B bzw.
am Punkt C das Planetenrad nicht schleifen gegenüber den anderen
Systemteilen, das heißt, wir müssen an den Punkten dann wirklich
Rollen vorliegen haben.
Jetzt wollen wir die Geschwindigkeit bzw.
die Beschleunigung des Punktes A bestimmen.
Und ganz einfach, das Planetenrad, das bewegt sich im Raum,
gleichzeitig dreht es sich, also müssen wir mal schauen, wie wir das
machen.
Wir führen deshalb zunächst mal ein Relativsystem ein,
und zwar die Xi-Achse,
sozusagen Tangential an die Bahn, die der Mittelpunkt des
Planetenrades beschreibt, wenn das Planetenrad sich um das Sonnenrad
bewegt, dann wird der Mittelpunkt des Planetenrades sich auf einem
Kreis bewegen, da haben wir dann die Xi-Achse, die Eta-Achse dann in
Verlängerung der Mittelpunkte der beiden Räder, das heißt, als
Koordinatenursprung unseres Relativsystems haben wir den Mittelpunkt
des Planetenrades O-Strich, nun die Lage bzw.
die Verdrehung des Relativsystems gegenüber dem Inertialsystem,
wenn wir mal davon ausgehen, hier haben wir ein rundes Bezugssystem
XY, dann liegt zwischen der Y-Achse und der Eta-Achse der Winkel Phi,
das heißt, die Winkelgeschwindigkeit
des Relativsystems im Inertialsystem, die ist dann gerade Phi-Punkt,
das ist die Verdrehung des Relativsystems, jetzt müssen wir aufpassen,
Xi -Eta-Zeta, also wenn wir den Winkel Phi in der Drehrichtung
einführen, dann wäre das gerade Minus Phi-Punkt mal E-Zeta.
Die Geschwindigkeit des Punktes O-Strich, wir sehen, der Punkt O
-Strich bewegt sich auf einer Kreisbahn, ist dann in Richtung der Xi
-Achse gerichtet und beträgt dann Abstand des Punktes zum Mittelpunkt
der Kreisbahn, das ist gerade R-S plus R-P,
mal Ableitung des Winkels, welcher die Position beschreibt, das war
Phi -Punkt und wie gesagt, die Richtung war in Xi-Richtung.
Und wenn wir die Geschwindigkeit des Punktes A bestimmen wollen, dann
setzt sich die zusammen aus Führungsgeschwindigkeit aufgrund von
Translation, das war gerade das V von O-Strich, plus
Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Rotation, plus V-Relativ, wir
haben gesehen, V von O-Strich, das war die Führungsgeschwindigkeit
aufgrund von Translation, die Führungsgeschwindigkeit aufgrund von
Rotation, die war Winkelgeschwindigkeit des
Relativsystems, das war Minus Phi-Punkt E-Theta, Kreuz dem
Relativvektor, das war R-P in Richtung von Xi, also R-P E-Xi und man
sieht E-Theta Kreuz E-Xi ergibt E-Eta, mit dem Minuszeichen hier vorne
gibt es Minus-R-P Phi-Punkt E-Eta und
die Relativgeschwindigkeit,
was ist das?
Und der Punkt A bewegt sich aufgrund der Drehung des Planetenrades
relativ zum gelben Bezugssystem, allerdings müssen wir an der Stelle
aufpassen, nämlich das Omega-P, das ist die Winkelgeschwindigkeit des
Planetenrades bezüglich des runden Bezugssystems, jetzt dreht sich das
gelbe Bezugssystem, das Relativsystem zusätzlich noch im
Uhrzeigersinn, das heißt die Winkelveränderung, welche die Bahn des
Punktes A im gelben System beschreibt, die ist dann gerade Omega von P
bezüglich dem Relativsystem, also Planetenrad bezüglich dem
Relativsystem ist Omega-P plus Phi-Punkt, das heißt die zeitliche
Änderung des Winkels, mit dem die Lage von A im gelben Bezugssystem
beschrieben wird, ist dann in der Falle Omega-P plus Phi-Punkt mal den
Abstand zum Punkt O-Strich, das ist nämlich der Mittelpunkt der
Kreisbahn, der dann die A um O-Strich ausführt, das war dann RP, und
die Richtung geht in ETA-Richtung, also E-ETA.
Das bedeutet, die Geschwindigkeit von Punkt A,
addieren wir alle Anteile zusammen, ist RS plus RP mal Phi-Punkt E
-XI, minus RP Phi-Punkt E-ETA,
plus Omega-P plus Phi-Punkt mal RP E-ETA, man sieht, das minus RP Phi
-Punkt E-ETA kürzt sich mit dem Phi-Punkt RP E-ETA und wir erhalten
schlussendlich VA gleich RS plus RP mal Phi-Punkt EXI plus Omega P mal
RP E Eta.
Dazu müssen wir uns allerdings vor Augen halten, dass wenn wir das
Hohlrad festhalten, dann hängt ja die ganze Bewegung von der Bewegung
des Sonnenrades ab.
Oder ich gebe das Phi-Punkt vor, dann hängt das Omega P von Phi-Punkt
ab.
Letzte Möglichkeit ist, ich gebe Omega P vor, dann hängt allerdings
Phi -Punkt und die Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades von Omega P
ab.
Hintergrund ist der, dass ich von den drei Größen Phi-Punkt, Omega P
und Omega S nur eine vorgeben kann und die anderen beiden von der
vorgegebenen abhängen.
Rein theoretisch könnte ich auch die Bewegung des Hohlrades zusätzlich
noch vorgeben, das heißt ich kann dann zwei Bewegungsbewegungen
vorgeben, die anderen beiden ergeben sich als Funktion von denen.
Bauen Sie sich einfach mal mit Lego oder mit irgendwas so ein
Planetengetriebe zusammen und spielen da mal ein bisschen rum.
So, wie kriegen wir das in den Griff?
Nun dazu betrachten wir die Punkte B und C.
Da wissen wir für den Punkt B,
da gilt genauso, die Geschwindigkeit des Punktes B setzt sich zusammen
aus Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Translation, die haben wir,
plus Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Rotation, plus V-Relativ.
Da wissen wir, V-Führung aufgrund von Rotation ist wiederum die
Winkelgeschwindigkeit des Relativsystems, das war Minus-Phi-Punkt-E
-Theta, Kreuz dem Vektor von O' zum Punkt B.
Man sieht, der Vektor von O' zum Punkt B, das ist gerade Länge, Radius
des Planetenrades, rp, Richtung Minus-E-Eta, also in dem Falle Kreuz
-rp, E-Eta, das heißt E-Theta-Kreuz-E-Eta, ergibt Minus-E-Xi, Minus
-Phi -Punkt mal Minus-rp, ergibt Phi-Punkt-rp, ergibt insgesamt Minus
-Phi -Punkt-rp in Xi-Richtung.
Die Relativgeschwindigkeit,
also V-Rel von Punkt B, die ist in dem Falle, nun auch B bewegt sich
auf einer Kreisbahn wie der Punkt A, der Betrag der Geschwindigkeit
wird dasselbe sein, nur dass in dem Falle der Punkt B sich nicht in
Eta -Richtung bewegt, sondern in Xi-Richtung, das heißt, wir können
das abschreiben, das ergibt Omega-P plus Phi-Punkt in Xi-Richtung,
so dass sich insgesamt ergibt, V von Punkt B ist,
oben haben wir wieder Rs plus rp mal Phi-Punkt in
Xi -Richtung, das war die Führungsgeschwindigkeit aufgrund von
Translation plus, jetzt haben wir Führungsgeschwindigkeit aufgrund von
Rotation, das war minus Phi-Punkt mal rp in Xi-Richtung plus V
-Relativ, also plus Omega-P plus Phi-Punkt, Moment, da fehlt jetzt
noch das rp,
rp in Xi-Richtung,
so dass sich insgesamt ergibt, dieses minus Phi-Punkt mal rp in Xi
-Richtung hebt sich mit dem Phi-Punkt rp in Xi-Richtung weg, das
heißt, es ergibt sich jetzt
VB gleich Rs plus rp mal Phi-Punkt und dann haben wir plus Omega-P rp
und das ganze in Xi-Richtung.
Analog dann mit dem Punkt C,
also für den Punkt C,
dann haben wir wieder die gleiche Geschwindigkeit des
Koordinatenursprungs, dann haben wir die Geschwindigkeit Vf aufgrund
von Rotation, die ist wieder minus Phi-Punkt e.
Zeta kreuzt den Vektor von O-Strich nach C, das ist rp in Eta
-Richtung, ist dann also E-Zeta kreuzt E-Eta, ist minus E-Xi, mit dem
Minuszeichen hier vorne gibt es plus E-Xi, also Phi-Punkt rp in Xi
-Richtung und die Relativgeschwindigkeit, die ist in negative Xi
-Richtung gerichtet, also Vrelativ gleich Minus und das war dann wie
zuvor auch das Omega-P plus Phi-Punkt mal rp E-Xi.
Zusammen mit V von O-Strich sieht man, geht alles in Xi-Richtung, das
heißt, die Geschwindigkeit des Punktes C, die muss gerade sein, rs
plus rp mal Phi-Punkt, dann haben wir plus Phi-Punkt mal rp, minus Phi
-Punkt mal rp, das hebt sich weg, verbleibt noch Minus Omega-P mal rp
in Xi-Richtung und jetzt sehen wir,
aufgrund der Verzahnung, haben wir gesagt, gelten hier
Kontaktbedingungen, nämlich die Geschwindigkeit des Punktes B als
Punkt des Planetenrades muss genauso groß sein, wie die
Geschwindigkeit des Punktes B als Punkt des Sonnenrades und wenn man
den entsprechenden Punkt des Sonnenrades an der Stelle betrachtet,
dann beschreibt er eine Kreisbahn um den Mittelpunkt des Sonnenrades,
die Geschwindigkeit ist dann einfach Omega-S mal Radius des
Sonnenrades in Xi-Richtung, also Punkt B des Sonnenrades hat die
Geschwindigkeit VB gleich Omega-S mal rs in Xi-Richtung und Punkt C
Punkt C des Hohlrades,
da wissen wir, der Punkt C als Punkt des Hohlrades hat die
Geschwindigkeit 0, weil wir gesagt haben, das bewegt sich nicht, also
muss das 0 sein.
Und wie gesagt, aus der Gleichheit der entsprechenden
Geschwindigkeiten am Punkt B und am Punkt C, folgt zunächst mal Punkt
C, haben wir hier eine Bedingung.
rs plus rp mal phi Punkt, minus Omega p mal rp muss 0 sein.
Und aus der Bedingung gleiche Geschwindigkeiten am Punkt B folgt, das
sehen wir oben, rs plus rp mal phi Punkt plus Omega p mal rp gleich
Omega s mal rs.
Das heißt, jetzt haben wir zwei zusätzliche Bedingungen für unsere
drei Größen Omega s, Omega p und phi Punkt und wir können zum Beispiel
die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades ausdrücken über die
Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades und wir können das phi Punkt als
Funktion von Omega s bestimmen.
In dem Falle gebe ich einfach mal das Ergebnis an.
Es ergibt sich Omega p gleich rs dividiert durch 2rp mal
Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades und das phi Punkt ergibt sich zu
rs dividiert durch 2 mal rs plus rp mal Omega s, wenn ich alles
richtig gerechnet habe.
Und jetzt können wir natürlich die Geschwindigkeit des Punktes A ganz
oben dort noch einsetzen, phi Punkt und Omega p als Funktion von Omega
s.
Das heißt, in dem Fall ergibt dann das Va gerade rs plus Omega s mal
Omega s halbe in die Xi-Richtung
plus rs Omega s halbe in die Eta-Richtung.
Wenn
wir jetzt noch die Beschleunigung von Punkt A bestimmen wollen, und
zwar für konstante Drehzahlen, also das Omega s ändert sich mit der
Zeit nicht, dann ändern sich natürlich phi Punkt und Omega p ebenfalls
nicht mit der Zeit.
Das heißt, die Beschleunigung für eine konstante Drehzahl Omega s, was
dann bedingt, dass Omega p konstant bleibt und das phi Punkt konstant
ist, da wissen wir, die Beschleunigung des Punktes A setzt sich
zusammen aus der Beschleunigung des Punktes O'
plus eine Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation.
Transversal plus Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation.
Radial plus Coriolisbeschleunigung plus die Relativbeschleunigung.
Jetzt, wie groß sind die einzelnen Anteile?
Zunächst mal die Beschleunigung vom Punkt O'.
Wir haben gesagt, der Punkt O' bewegt sich auf einer Kreisbahn.
Da Omega s konstant ist, ist auch phi Punkt konstant, haben wir
gesagt.
Damit haben wir einen konstanten Betrag der Geschwindigkeit, aber die
Richtung ändert sich.
Das heißt, der Punkt O' wird in negative Eta-Richtung beschleunigt.
Die entsprechende Beschleunigung ist Radius des Kreises, das war R s
plus R p.
Mal Winkelgeschwindigkeit oder mal zeitliche Änderung des Winkels zum
Quadrat, also phi Punkt Quadrat.
Und das Ganze geht in negative Eta-Richtung, also mal minus E Eta.
Die Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation, Transversal, die
hängt damit zusammen, dass eventuell die Winkelgeschwindigkeit des
Relativsystems sich ändert, dass eine Winkelbeschleunigung da ist.
Das ist in unserem Fall nicht der Fall, weil phi Punkt konstant ist,
also ist das 0.
Die Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation,
die ist wie groß in radialer Richtung?
Die war in dem Falle Winkelgeschwindigkeit des Relativsystems zum
Quadrat mal Abstand von O Strich zum Punkt A, das war R p.
Also R p phi Punkt Quadrat, allerdings in Richtung von A zum Punkt O
Strich, also in Richtung von minus E Xi.
Was fehlt jetzt noch?
Jetzt fehlen die Coriolisbeschleunigung und die Relativbeschleunigung.
Die Coriolisbeschleunigung, die war zweimal Winkelgeschwindigkeit des
Relativsystems.
Das Relativsystem, haben wir gesagt, dreht sich mit minus phi Punkt E
Zeta.
Kreuz der Relativgeschwindigkeit, die Relativgeschwindigkeit des
Punktes A, die haben wir dort stehen, Omega p plus phi Punkt mal R p E
Eta.
Also Omega p plus phi Punkt mal R p E Eta.
Und die Relativbeschleunigung,
da müssen wir wieder beachten, dass der Punkt A sich im gelben
Bezugssystem auf einer Kreisbahn bewegt.
Die Änderung des Winkels mit der Zeit, durch den die Kreisbahn
beschrieben werden kann, das war gerade Omega p plus phi Punkt.
Also ergibt sich lediglich ein Beschleunigungsanteil.
Die Kreisbahn wird mit einem konstanten Betrag der Geschwindigkeit
durchlaufen im Relativsystem.
Also gibt es nur eine Beschleunigung vom Punkt A in Richtung O Strich.
In dem Falle in negative Xi-Richtung, also Minus und zwar der Radius
war R p der Kreisbahn mal zeitliche Änderung des Winkels, das war
Omega p plus phi Punkt.
Das muss zum Quadrat genommen werden, E Xi.
Und wenn Sie jetzt alle Anteile ausrechnen und noch die Abhängigkeiten
von Omega p und phi Punkt von Omega s einsetzen, dann ergibt sich
letztendlich eine Beschleunigung.
Ich versuche es mal bildlich darzustellen.
Ist es den anderen klar, warum das so sein muss?
Wem ist das nicht klar?
Warum fragt nur er?
Die Schwierigkeit ist jetzt die,
ich habe hier mal die körperfesten Achsen des Planetenrades.
Also nicht des gelben, sondern des Planetenrades.
Also die können irgendwie liegen.
Jetzt wissen wir, das Planetenrad, das dreht sich im Raum, also
gegenüber dem runden Bezugssystem mit Omega p.
Die Richtung bleibt immer dieselbe.
Geht aus der Tafelebene raus, also im Grunde genommen so.
Das ist die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades.
Gleichzeitig haben wir jetzt das gelbe Bezugssystem.
Und das gelbe Bezugssystem dreht sich langsam mit Phi-Punkt.
Und jetzt sehen Sie, wenn das eine so dreht und das andere so, dann
addieren sich beide Winkelgeschwindigkeiten, wenn wir die
Relativgeschwindigkeit, also die relative Verdrehung zwischen beiden
Bezugssystemen nehmen.
Und der Punkt A war ja fest auf dem Planetenrad.
Also die Bewegung des Punktes A, jetzt machen wir den hier raus.
Jetzt haben wir nur noch den Punkt A.
Der Punkt A bewegt sich aufgrund von Omega p nach oben, gleichzeitig
bewegt sich das gelbe Bezugssystem nach unten.
Das heißt, im gelben Bezugssystem ist die Winkeländerung mit der Zeit,
mit der ich die Kreisbahn beschreiben kann, ist gerade Phi-Punkt plus
Omega p.
Und bei einer Kreisbahn haben wir gesehen, selbst wenn die
Geschwindigkeit betragsmäßig konstant ist, ergibt es immer eine
Beschleunigung in Richtung des Mittelpunktes der Kreisbahn.
Und dort wird wichtig, die zeitliche Änderung des Winkels, also in dem
Fall gerade Phi-Punkt plus Omega p, das müssen wir dann quadrieren und
mit dem Abstand multiplizieren, das ergab in dem Fall
Normalbeschleunigung.
Hat es das erklärt?
Also, ich bin mal ein bisschen arrogant und sage, wir sind ja hier
nicht an einer Fachhochschule, man soll sich durchaus auch mal was
Komplizierteres vorstellen können.
Aber gerade diese Relativbewegung, die ist, wenn man das so zum ersten
Mal sieht, vielleicht nicht so ganz leicht zu fassen.
Überlegen Sie es sich zu Hause nochmal.
So, wenn wir alles einsetzen, und das sollten Sie zu Hause durchaus
mal machen, dann ergibt sich insgesamt die Beschleunigung des Punktes
A zu Minus rs² dividiert durch 4 mal rs plus rp mal Omega s² in Eta
-Richtung Minus RS² dividiert durch 4RP mal Omega S² in Xi-Richtung.
Also mit ein bisschen Erfahrung weiß man, da die
Winkelgeschwindigkeiten sich betragsmäßig nicht ändern und auch die
Richtungen sich nicht ändern, muss in dem Falle die Beschleunigung
quadratisch von den Winkelgeschwindigkeiten abhängen und wir haben
gesagt, wir drücken alles aus über Omega S.
Das heißt letztendlich muss die Beschleunigung des Punktes A
proportional zu Omega S² sein.
Später, wenn wir eben eine Bewegung eines starren Körpers betrachten
und dort noch die Kinematik, dann können wir auch die Beschleunigung
von einzelnen Körperpunkten bestimmen.
Wenn Sie an der Stelle der Vorlesung sind, können Sie mal
nachschlagen, beziehungsweise das auch über die Bewegung des starren
Körpers dann entsprechend versuchen nochmal zu bestimmen.
Müsste eigentlich auf dasselbe rauskommen.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann schließen wir jetzt die Kinematik zunächst mal ab und
kommen zur Kinetik.
Und zwar zunächst mal das Newton'sche Grundgesetz.
Dazu nehmen wir an, was im Maschinenbau praktisch immer gerechtfertigt
ist, dass wir eine konstante Masse haben, dass die Masse sich nicht
ändert.
Wohl wissend, dass wenn Massenpunkte sehr große Geschwindigkeiten
annehmen können, die groß sind oder in der gleichen Größenordnung wie
die Lichtgeschwindigkeit, dass sich da was ändern kann.
Das wird an der Stelle vernachlässigt.
Wir formulieren das Ganze dann analog zu Newton
mit entsprechenden Axiomen.
Wir nehmen also an, die Geschwindigkeiten seien klein,
zumindest im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.
Und dann gibt es das erste Newton'sche Gesetz,
nämlich den Dreckheitssatz,
nämlich ohne Einwirkungen von Kräften, verharrt der Körper in seinem
Bewegungszustand.
Das heißt, wenn wir das formelmäßig formulieren, dann würden wir
sagen, ohne Einwirkung von Kräften, also wenn F gleich Null ist,
dann ist der Impuls ein konstanter Vektor
und der Impuls ist gerade Masse des Massenpunktes mal Geschwindigkeit.
Das ist also ein konstanter Vektor.
Und im Grunde genommen haben sie das schon in der Statik ausgenutzt.
Wenn sich die einzelnen Massenpunkte nicht bewegen, heißt das, die
Kräfte müssen im Gleichgewicht sein.
Die Summe aller Kräfte muss Null sein und die Geschwindigkeit ist dann
eben Null.
Das bedeutet aber auch,
so ein konstanter Impuls, M war ja eine skalare Größe, also die
Bewegung erfolgt dann längs einer Geraden mit einem konstanten Betrag
der Geschwindigkeit.
An der Stelle vielleicht schon mal der Hinweis, beim Impuls handelt es
sich also um einen Vektor, der dieselbe Richtung hat wie die
Geschwindigkeit, weil wir multiplizieren ja den Geschwindigkeitsvektor
lediglich mit einer skalaren Größe.
Später führen wir noch den Drall ein.
In TM3 ist das zunächst mal ein Vektor, der meistens immer dieselbe
Richtung hat.
Dann wird das Ganze sehr einfach.
Im nächsten Semester, wenn es um die Bewegung, die räumliche Bewegung
eines starren Körpers geht, dann werden wir sehen, der Drall ist dann
eine Größe, so ähnlich wie der Impuls hier, hängt mit der
Winkelgeschwindigkeit des Körpers zusammen, hat aber nicht dieselbe
Richtung und das bedingt dann allerlei Widrigkeiten.
Aber wie gesagt, im Wintersemester haben wir den Vorteil, dass
zunächst mal, auch später beim Drall, das meistens so ist, dass die
Winkelgeschwindigkeit dieselbe Richtung hat wie der Drall und hier
jetzt speziell wieder zum Impuls zurückkommend, der Impuls hat
dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit.
Dann kommen wir zum zweiten jüdischen Gesetz, welches das erste als
Sonderfall enthält,
also zweites jüdisches Grundgesetz.
Das kennen Sie sicherlich alle, es besagt, dass die Beschleunigung
eines Massenpunktes proportional ist der Summe der am Massenpunkt
angreifenden Kräfte, also F gleich M mal A.
Das heißt, wir haben zum einen die Kraft oder die Summe der Kräfte am
Massenpunkt, zum anderen die Beschleunigung des Massenpunktes und ganz
klar, die Beschleunigung ist Null, wenn keine Kräfte wirken.
Wenn die Beschleunigung Null ist, dann muss eben, haben wir gesehen,
die Geschwindigkeit wirklich ein konstanter Vektor sein,
also das erste als Sonderfall im zweiten enthalten.
Und die Beschleunigung selbst, mit der haben wir uns jetzt lang und
breit beschäftigt, die letzten vier Vorlesungen, als wir die Bewegung
eines Punktes im Raum beschrieben haben.
An der Stelle wird jetzt nur wichtig, ja gut, wir haben einen
Massenpunkt, also unser Punkt hat jetzt eine Masse.
Alle Masse ist auf diesen Punkt konzentriert.
Die Masse selbst, die kennen wir eigentlich schon, wenn wir irgendein
Gewicht haben, wobei schwere Masse und die Masse, die an der Stelle
auftritt, äquivalent sind.
Auf der linken Seite haben wir die Kraft.
Und Kräfte sind ein bisschen komplizierter.
Eine Kraft kann man eigentlich nicht so richtig sehen.
Man kann nur deren Wirkungen sehen.
Das weiß ich.
Wenn wir eine Feder haben, dann streckt oder dehnt die Kraft die
Feder.
Also letztendlich muss man Kräfte immer indirekt messen.
Man sieht auch, dass die Beschleunigung eines Massenpunktes sehr groß
ist, wenn bei gleicher Kraft die Masse klein ist oder wenn bei
gleicher Masse die Kraft groß ist und eben auch umgekehrt.
Die Beschleunigung wird klein sein, wenn die Kraft klein ist,
beziehungsweise wird klein sein, wenn bei gleicher Kraft die Masse
groß ist.
Als drittes haben wir noch das Wechselwirkungsgesetz.
Also das dritte,
jüdische Grundgesetz,
das Wechselwirkungsgesetz,
das eben besagt, dass eine Kraft nie aus sich selbst heraus existiert,
sondern immer eine entsprechende Gegenkraft benötigt.
Auch das haben sie im Grunde genommen schon in der Statik ausgenutzt.
Wenn sie irgendwo den Balken freischneiden, dann müssen sie
entsprechende Kräfte, Normalkräfte und Querkräfte letztendlich auch
die Momente an beiden Schnittufern antragen.
Wir können das so formulieren, dass einfach Aktio gleich Reaktio ist.
Das heißt, die Kraft vom Massenpunkt 1 auf den Massenpunkt 2 ist
genauso groß wie die Kraft von Massenpunkt 1 auf Massenpunkt 2,
allerdings entgegengesetzt gerichtet, deshalb hier das Minuszeichen.
Und was weiterhin gilt, aber das kennen Sie schon, das ist die
Parallelogrammregel, dass nämlich Kräfte wie Vektoren aufaddiert
werden und sich somit auch gegenseitig wegheben können.
Nun, wenn wir speziell das zweite jüdische Axiom F gleich MLA
betrachten und wir kennen die Kraft F als Funktion von Ortsvektor und
Geschwindigkeitsvektor.
Also, wenn die Kraft F als Funktion von Ortsvektor R,
Geschwindigkeitsvektor R Punkt und eventuell der Zeit T bekannt ist,
dann sieht man die Grundgleichung der Dynamik,
nämlich Massimalbeschleunigung.
Wir haben gesehen in der Kinematik, dass die Beschleunigung gerade die
zweite Ableitung des Ortsvektors ist, also M mal zweite Ableitung des
Ortsvektors ergibt dann im Grunde genommen eine Funktion von R, R
Punkt und T.
Nun, wenn diese Funktion oder Abhängigkeit bekannt ist, dann sieht
man, dann liegt an der Stelle nichts anderes vor als eine
Differenzialgleichung zweiter Ordnung.
Also,
man hat so eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung.
Das heißt, die Bestimmung des Ortsvektors und damit der Lage ist
möglich, wenn wir einfach zweimal nach der Zeit integrieren.
Also formal durch Zeitintegration möglich.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn wir nicht, dann erläutern wir kurz, wie wir da am besten
vorgehen.
Also, Vorgehensweise.
Zunächst mal wählen wir ein entsprechendes Koordinatensystem.
Also, Koordinatensystem wählen.
Dann haben wir gesehen, die Lage vom Massenpunkt, um die zu
beschreiben, müssen wir auch entsprechende Koordinaten letztendlich
einführen.
Das heißt, wenn wir die einführen, haben wir auch positive
Koordinatenrichtungen.
Denken Sie daran, den Winkel V, den können wir im Uhrzeigersinn oder
entgegen im Uhrzeigersinn wählen.
Die Koordinate X können wir nach rechts, nach links oder nach oben
oder nach unten irgendwo festlegen.
Also brauchen wir irgendwo eine positive allgemeine Lage und
entsprechende Kraftrichtungen.
Also positive Kräfte wirken meinetwegen nach rechts bzw.
nach oben.
Allerdings können wir das wählen, wie wir wollen.
Als nächstes brauchen wir den Beschleunigungsvektor und
drücken den dann durch die Koordinaten aus, welche wir im ersten Punkt
eingeführt haben.
Also durch obige Koordinaten ausdrücken.
Dann müssen wir irgendwo die Kräfte, die am Massenpunkt wirken, ins
Spiel bringen.
Dazu schneiden wir den Massenpunkt in der allgemeinen Lage frei.
Also Massenpunkt in allgemeiner Lage freischneiden.
Dann am freigeschnittenen Massenpunkt den Kraftvektor formulieren.
Also Kraftvektor
formulieren.
Der setzt sich zusammen aus eingeprägten Kräften, z.B.
die Gewichtskraft, die Federkraft, eine Dämpferkraft oder irgendwie
eine Antriebskraft, wenn wir am Massenpunkt ziehen.
Also haben wir eingeprägte Kräfte.
Hinzu kommen aber auch Zwangskräfte.
Und wenn ich mich hier im Hörsaal bewege, dann wirkt auf mich eine
Zwangskraft vom Boden, vertikal nach oben, die dafür sorgt, dass ich
praktisch in der Höhe gehalten werde.
Also hinzu kommen Zwangskräfte.
Vielleicht gehen wir das ein bisschen genauer an.
Also F setzt sich zusammen aus den eingeprägten Kräften und den
Zwangskräften.
Und als letztes dann müssen wir noch das Newton'sche Grundgesetz
anwenden.
Wenn wir das machen, resultiert letztendlich eine
Differenzialgleichung.
Und ganz klar, der Ortsvektor, der hat drei Koordinaten oder drei
Komponenten.
Das heißt, wenn wir das koordinatenweise betrachten, dann hätten wir
zunächst mal drei Gleichungen.
Allerdings heißt es nicht, dass wir drei gekoppelte
Differenzialgleichungen, die zudem im Allgemeinen noch nicht linear
sind, haben.
Sondern es kann durchaus sein, dass aufgrund dessen, dass Zwangskräfte
beteiligt sind, und das sind eben jetzt Kräfte, die nicht a priori
gegeben sind, sondern die auch vom Bewegungszustand abhängen können.
Und dann können wir mithilfe eines Teils der drei Gleichungen
Zwangskräfte bestimmen, können die in die verbleibenden Gleichungen
einsetzen und erhalten dann Bewegungsgleichungen oder
Differenzialgleichungen, bei denen die Zwangskräfte nicht mehr
explizit auftreten.
Und wer kennt Zwangskräfte, die vom Bewegungszustand abhängen?
Das wäre jetzt keine Zwangskraft, sondern da kommt ins Spiel, dass der
Drall geändert werden muss, das hängt gerade mit dem zusammen, was wir
im vierten Semester machen.
Ne, eine Zwangskraft, ich weiß nicht, beste Beispiel, das findet man
immer auf dem Jahrmarkt, ich weiß nicht, ob es dieses Mal das gab.
Es gibt zum Beispiel so eine Scheibe, wo man sich außen dann so im
Prinzip hinsetzt und die Scheibe dreht sich und natürlich presst es
einen dann gegen den Sitz.
Wenn die Scheibe sich langsam dreht, dann ist die Kraft, die vom Sitz
auf den Massenpunkt, Student oder Seemann wirkt, entsprechend kleiner,
als wenn die Scheibe sich stark dreht.
Also die Kraft, die bewirkt, dass wir auf der Kreisbahn bleiben, die
hängt davon ab, wie der Bewegungszustand ist.
Oder wenn sie mit dem Auto irgendwo, oder wenn die Straßenbahn in eine
Kurve fährt, dann presst sie es Richtung Nachbar viel stärker, wenn
die schnell fährt, als wenn die langsam fährt.
Und das, was Sie dann als Kraft merken, das ist die Kraft vom
Nachbarn, der auf Sie drücken muss, damit Sie die Bahn beschreiben,
die Sie eigentlich beschreiben sollen.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann machen wir jetzt einen kleinen Trick.
Nämlich, wir kommen zum Prinzip von d'Alembert, was einem dynamischen
Kräftegleichgewicht entspricht.
Also 2-3-2, das Prinzip von
d 'Alembert,
als dynamisches Kräftegleichgewicht.
Sie alle kennen aus der Statik, Summe aller Kräfte gleich 0, das ist
allen wohl bekannt.
Das heißt, wir starten wieder, F war ja eingeprägte Kraft Fe plus
Zwangskraft Fz gleich m mal a.
Das heißt, formal können wir das m mal a auf die linke Seite ziehen,
erhalten dann Fe, eingeprägte Kraft oder Kräfte plus Fz, Zwangskräfte
minus m mal a gleich 0.
Das heißt, wenn wir jetzt eine sogenannte Trägheitskraft einführen, Ft
gleich minus m mal a,
dann resultiert letztendlich eingeprägte Kräfte plus Zwangskräfte plus
Trägheitskraft gleich 0.
So wie Sie das im Prinzip schon aus der Statik kennen.
Allerdings jetzt dynamisches Kräftegleichgewicht, weil die Dynamik
über die Trägheitskraft mit berücksichtigt wird.
Also merken, die Trägheitskraft, die hat eine Richtung entgegen der
Beschleunigung a.
Jetzt haben wir gesehen, die Beschleunigung a, die gibt sich durch
entsprechende Zeitableitungen unserer Koordinaten.
Wenn wir gerade mal ein bisschen zurück uns erinnern, dann haben wir
gesehen, bei kathesischen Koordinaten, das ist relativ einfach eine
Beschleunigung, in positive Koordinatenrichtung ist dann positiv, also
x2 -Punkt zeigt in Richtung der x-Achse, y2-Punkt zeigt in Richtung
der y-Achse und z2-Punkt in Richtung der z-Achse.
Die entsprechenden Trägheitstherme sind dann praktisch alle in
negative Achsenrichtung gerichtet.
Wenn wir die Bewegung eines Massenpunktes mit Zylinderkoordinaten
beschreiben, dann gibt es da Beschleunigungsanteile, die gehen in
positive ER-Richtung und es gibt Beschleunigungsanteile, die gehen in
negative ER-Richtung.
Und jetzt die zugehörigen Trägheitskraftanteile, die gehen in
entgegengesetzte Richtung im Vergleich zu den positiven
Beschleunigungen, das heißt eine Beschleunigung, die ursprünglich in
positive ER-Richtung gerichtet war, die hat jetzt eine Richtung in
negative ER-Richtung und die Zentripetalbeschleunigung, die war ja in
negative ER-Richtung, die hat eine entsprechende Trägheitskraft in
positive ER-Richtung, das ist gerade die Zentrifugalkraft.
Auch hier kurz die Vorgehensweise.
Und auch beim Prinzip von d'Alembert müssen wir natürlich
entsprechende Koordinatensysteme einführen oder ein Koordinatensystem
mit Koordinaten.
Bei kathesischen Koordinaten haben wir X, Y und Z, bei
Zylinderkoordinaten haben wir R, V und Z und so weiter mit
entsprechenden Kraftrichtungen.
Also ich schreibe einfach mal siehe links.
Als nächstes haben wir den Beschleunigungsvektor beim Newton.
Beim Prinzip von d'Alembert müssen wir zunächst mal die positiven
Beschleunigungsrichtungen bestimmen.
Wir haben gesehen, das hängt von den gewählten Koordinaten ab.
Dann müssen wir den Massenpunkt in der allgemeinen Lage freischneiden,
das müssen wir auch hier machen.
Als nächstes müssen wir natürlich entsprechende Kräfte eintragen und
den Kraftvektor formulieren.
Also siehe
links, Kräfte am Massenpunkt eintragen.
Zusätzlich aber dann auch die Trägheitskräfte und
zwar entgegen den positiven Beschleunigungsrichtungen.
Und zum Schluss bleibt dann eigentlich nur noch, das entsprechende
dynamische Kräftegleichgewicht auszuwerten.
Also Auswertung des dynamischen Kräftegleichgewichtes und
eventuell Elimination der Zwangskräfte.
Machen wir einfach mal ein Beispiel zu den beiden Vorgehensweisen.
Also ein Beispiel,
wir betrachten einen Massenpunkt und was ich bisher noch nicht gesagt
habe, im Prinzip kann man einen Körper, doch die meisten Massenpunkte,
die wir so in der Technik haben, haben eine gewisse Ausdehnung.
Wenn der Körper sich allerdings nur translatorisch bewegt, dann
bewegen sich alle Punkte mit derselben Geschwindigkeit.
Das heißt, dann kann ich auch einen etwas ausgedehnteren Körper als
Massenpunkt entsprechend hier modellieren und verwenden.
Das heißt, wir nehmen jetzt mal an der Stelle einen Block, der auf
einer glatten Unterlage sich reibungsfrei bewegen kann.
Also ich schreibe mal hier glatt.
Oder man könnte sich auch vorstellen, man hat hier so kleine
reibungsfreie Rädchen.
Der Massenpunkt hat die Masse M, es wirkt an ihm eine äußere Kraft,
die vorgegeben ist, F und T.
Und der Massenpunkt ist über eine Feder mit einer linearen
Federcharakteristik und einem viskosen Dämpfer.
Das heißt, die Dämpfungskraft ist proportional der
Relativgeschwindigkeit der beiden Dämpferenden.
Jeweils gekennzeichnet durch die Federsteifigkeit K bzw.
die Dämpferkonstante C bzw.
die Dämpferkonstante K.
Und wie sieht die Bewegungsgleichung in dem Falle aus?
Wir vereinfachen uns jetzt an der Stelle das Ganze, dass wir sagen,
wir betrachten nur die Bewegungsebene, wie sie hier vorgegeben ist, in
der dritten Dimension spielt sich nichts ab.
Das heißt, wir haben irgendwo eine Ruhelage x gleich 0 und eine
allgemeine Lage, bei welcher der Massenpunkt ausgelenkt ist.
Das heißt, das entspricht dann gerade einer allgemeinen Lage,
beschrieben durch die Koordinate x.
Und wie gehen wir jetzt vor?
Nun, zunächst mal führen wir kathesische Koordinaten ein, das machen
wir sowohl für Newton als auch für d'Alembert.
Deshalb schreibe ich das so ein bisschen übergreifend hin, also
Einführung kathesischer Koordinaten.
Meinetwegen x, y, die allgemeine Lage,
die habe ich jetzt in der Skizze schon angegeben.
Und jetzt haben wir gesehen, bei Newton müssen wir mit diesen
Koordinaten den Beschleunigungsvektor angeben.
Und da der Massenpunkt sich nur entlang der x-Achse bewegen soll,
bedeutet dies, dass die Beschleunigung sich gerade ergibt als ax, ex.
Das ax war aber gerade die zweite Ableitung unserer Koordinate x, also
x2.ex.
Beim Prinzip von d'Alembert, da wissen wir, die Beschleunigung beträgt
x2.
in positive x-Richtung.
Und für Punkt 3 und Punkt 4 müssen wir den Massenpunkt freischneiden.
Fangen wir mal mit der linken Seite an, welche Kräfte wirken.
Natürlich wirkt die äußere Kraft F und T, die explizit vorgegeben ist.
Wir wissen aber auch, es wirkt die Gewichtskraft, vertikal nach unten.
m mal g. Es wirkt die Federkraft und nun, wenn wir in Richtung
positive x auslenken, dann wird die Feder um x verlängert.
Das heißt, es wirkt am Massenpunkt eine Kraft der Feder nach links.
Der Betrag ist dann gerade c mal x.
Genauso müssen wir für die Dämpferkraft davon ausgehen, dass der
Massenpunkt sich in Richtung positiver x-Punkt bewegt.
Das linke Ende des Dämpfers wird festgehalten, das rechte bewegt sich
jetzt mit x-Punkt nach rechts.
Das bedeutet, am Massenpunkt wirkt eine Kraft aufgrund des Dämpfers
nach links.
c mal x.
Entschuldigung, k mal x-Punkt.
Was fehlt jetzt noch?
Und ansonsten haben wir keine eingeprägten Kräfte.
Allerdings haben wir noch eine Zwangskraft, nämlich die Kraft von der
Unterlage auf den Massenpunkt.
Da die Unterlage den Massenpunkt immer in der gleichen Höhe hält.
Das ist eine Kraft, die wir jetzt im Moment noch nicht kennen.
Nennen wir das einfach mal Normalkraft n.
Wie sieht es aus beim Prinzip von D'Alembert?
Und wir haben gesagt, zunächst mal haben wir dieselben Kräfte, die
wirken.
Das war das F und T, das MLG, die Federkraft, die Dämpferkraft,
sowie die Normalkraft.
Was allerdings jetzt hinzukommt, das ist die Trägheitskraft.
Wir haben gesehen, die Beschleunigung ist x-Zweipunkt nach rechts.
Dann ist die Trägheitskraft m mal x-Zweipunkt nach links gerichtet.
Das heißt, im nächsten Schritt können wir jetzt den Kraftvektor für
Newton formulieren.
Wir sehen, die Kraft beträgt in dem Falle in x-Richtung F und T.
Minus Cx minus k mal x-Punkt in x-Richtung.
Plus,
jetzt haben wir in y-Richtung n minus MLG.
Das heißt, im fünften Schritt Newton, Anwendung des Newtonischen
Grundgesetzes.
Jetzt sehen wir, x-Zweipunkt Ex muss gerade ergeben, m mal x-Zweipunkt
Ex, maximal Beschleunigung gleich.
Kraftvektor also F von T minus Cx minus kx-Punkt in x-Richtung.
Plus n minus Mg, Entschuldigung, Ey.
Und wir sehen, damit x- und y-Komponenten sich links und rechts der
Gleichung aufheben, folgt hier raus, das ist gleichbedeutend mit n
gleich MLG oder n minus Mg gleich 0.
Das heißt, Normalkraft gleich MLG, man sieht mit Hilfe einer der
skalaren Begleichungen, können wir die noch unbekannte Zwangskraft n
bestimmen.
Und als nächstes haben wir m mal x-Zweipunkt gleich F von T minus Cx
minus kx-Punkt.
Also m x-Zweipunkt gleich F von T minus Cx minus kx-Punkt.
Oder, wenn wir Cx und kx-Punkt auf die linke Seite bringen,
entsprechend m x-Zweipunkt plus k mal x-Punkt plus C mal x gleich F
von T, sodass bei bekanntem F von T sich gerade eine
Differenzialgleichung zweiter Ordnung für die Koordinate x ergibt.
Wie sieht es aus beim Prinzip von d'Alembert?
Da müssen wir eine Kräftebilanz machen, zunächst in horizontaler
Richtung, dann haben wir da stehen F von T minus Cx minus kx-Punkt
minus m mal x-Zweipunkt, ansonsten wirken keine Kräfte in horizontaler
Richtung, das muss 0 sein.
Und in vertikaler Richtung haben wir entsprechend n minus m mal g
gleich 0.
Die Zwangskraftgleichung ist dieselbe, führt natürlich sofort zu n
gleich m mal g. Und man sieht, wenn wir die erste Gleichung noch
entsprechend umformen, haben wir ja gerade F von T gleich C mal x plus
k mal x-Punkt plus m mal x-Zweipunkt, also m x-Zweipunkt plus k mal x
-Punkt plus C mal x gleich F von T.
Es muss sich ja dasselbe Ergebnis ergeben, egal ob wir das Prinzip von
d 'Alembert anwenden oder das Nünscher Grundgesetz direkt.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann haben wir heute die Kinematik zunächst mal
abgeschlossen, sind zur Kinetik gegangen.
Das alles ist noch sehr einfach, weil wir nur einen Massenpunkt
betrachten.
Viele von Ihnen kennen das schon vom Gymnasium wahrscheinlich oder von
anderen Veranstaltungen.
Es wird allerdings noch etwas komplizierter.
Soweit für heute, vielen Dank.