WEBVTT 00:09.980 --> 00:11.540 Guten Tag meine Damen und Herren, 00:15.210 --> 00:19.890 nochmals kurz am Anfang der Vorlesung der Hinweis, dass die Vorlesung 00:19.890 --> 00:23.270 aufgezeichnet wird und Sie sich, wenn Sie nicht im Bild sein wollen, 00:23.350 --> 00:24.270 bitte nach hinten setzen. 00:26.790 --> 00:30.650 Ansonsten hatten wir in der letzten Vorlesung begonnen. 00:30.650 --> 00:37.710 Wie sieht es aus mit der Arbeit einer Kraft, welche sich aus einem 00:37.710 --> 00:39.610 Potenzial herleiten lässt? 00:39.770 --> 00:49.990 Für die Kraft F gilt dann, dass sie gerade ist, minus dv nach dx in x 00:49.990 --> 01:07.430 -Richtung, minus dv nach dy in y-Richtung und minus dv nach dz in z 01:07.430 --> 01:20.030 -Richtung, was gerade entspricht minus Gradient der skalaren Größe v, 01:20.630 --> 01:25.430 die in dem Falle abhängen kann von den kathesischen Koordinaten x, y 01:25.430 --> 01:26.130 und z. 01:27.750 --> 01:32.470 Nochmal der Hinweis, wenn keine kathesischen Koordinaten verwendet 01:32.470 --> 01:35.390 werden, sondern irgendwelche anderen Koordinaten, Zylinder- oder 01:35.390 --> 01:40.870 Kugelkoordinaten, dann sieht das Ganze etwas anders aus, der 01:40.870 --> 01:41.930 Gradientenoperator. 01:46.850 --> 01:53.570 Und wenn wir jetzt noch entsprechend die Verschiebung dr dazu nehmen, 01:53.710 --> 02:04.570 da haben wir dx in x-Richtung, dy in y-Richtung und dz in z-Richtung, 02:06.090 --> 02:13.210 dann sehen wir, dass sich für die Arbeit ergibt, das war laut 02:13.210 --> 02:25.030 Definition Integral fdr zwischen R0 und R1, bilden wir das 02:25.030 --> 02:30.890 Skalarprodukt, dann ergibt sich gerade minus dv nach dx mal dx, minus 02:30.890 --> 02:38.430 dv nach dy mal dy, minus dv nach dz mal dz, also ein Integral, das 02:38.430 --> 02:42.870 Minuszeichen können wir vor das Integral ziehen, dann haben wir noch 02:42.870 --> 03:01.170 drin stehen, dv nach dx, dx plus dv nach dy, dy plus dv nach dz, dz. 03:03.670 --> 03:09.510 Wenn wir davon ausgehen, dass das Potential abhängt von x, y und z, 03:10.050 --> 03:20.910 dann wissen wir aber, dv, wenn v von x, y und z abhängt, ist gerade dv 03:20.910 --> 03:36.070 nach dx mal dx plus dv nach dy, dy plus dv nach dz, dz, so dass wir 03:36.070 --> 03:43.330 sehen, die rechte Seite, die steht gerade im Integrand, also 03:43.330 --> 03:47.810 entspricht das gerade Minusintegral dv, 03:54.980 --> 03:58.220 dv können wir sehr leicht integrieren, es gibt nämlich gerade das 03:58.220 --> 04:01.620 Potential v, so dass sich letztendlich ergibt, 04:18.150 --> 04:29.630 Arbeit war Integral f dr von r0 bis r1, da haben wir gesehen, das ist 04:29.630 --> 04:38.190 jetzt gerade Minusintegral dv, also ist das Minus v zum einen bei r 04:38.190 --> 04:50.630 gleich r0, zum anderen bei r gleich r1, also obere Grenze eingesetzt, 04:50.630 --> 05:01.450 ergibt also Minus v von r1, Minus, untere Grenze eingesetzt ergibt 05:01.450 --> 05:17.970 dann Plus v von r0 oder Minus, V von r1 Minus v von r0, das heißt in 05:17.970 --> 05:25.530 dem Fall sehen wir, die Arbeit w hängt nicht mehr ab vom Weg, sondern 05:25.530 --> 05:31.630 hängt nur noch ab von Anfangs- und Endpunkt. 05:37.580 --> 05:42.280 Also Arbeit nur 05:46.240 --> 05:52.280 noch abhängig von Anfangs- und Endpunkt. 06:06.420 --> 06:14.140 Jetzt, wie können wir überprüfen, ob für eine Kraft es möglich ist, 06:14.220 --> 06:18.040 die aus einem Potential herzuleiten und letztendlich dann so ein 06:18.040 --> 06:19.360 Potential zu formulieren. 06:23.480 --> 06:26.080 Also der Nachweis, 06:30.990 --> 06:41.800 dass Kraft aus einem Potential abgeleitet werden kann, 06:47.740 --> 06:49.460 schreiben wir es zunächst mal formal an. 06:50.800 --> 07:00.020 Wir bilden einfach Rotation von f, wobei, wenn wir wieder kathesische 07:00.020 --> 07:05.180 Koordinaten verwenden, das f abhängt von x, y und z. 07:06.820 --> 07:11.460 Also Rotation von f muss in dem Fall sein, nun Rotation von einem 07:11.460 --> 07:16.040 Vektor ergibt wieder einen Vektor, in dem Fall der Nullvektor. 07:18.660 --> 07:23.760 Also das Kraftfeld muss 07:27.620 --> 07:28.540 wirbelfrei sein. 07:39.000 --> 07:42.740 Nun Rotation von f, wie bilden wir das? 07:43.490 --> 07:47.240 Wir können das anschauungsmäßig so machen. 07:48.140 --> 07:57.040 Wir haben im Grunde genommen eine Determinante von Ex, Ey, 08:00.120 --> 08:00.540 Ez. 08:01.520 --> 08:07.520 Dann haben wir d nach dx, d nach dy, d nach dz. 08:09.080 --> 08:13.580 Und zum Schluss den Vektor, von dem die Rotation gebildet werden soll, 08:14.180 --> 08:18.360 beschrieben durch die Koordinaten fx, fy und fz. 08:19.340 --> 08:25.940 Wenn wir jetzt die Determinante auswerten, dann ergibt das gerade 08:25.940 --> 08:38.500 wieder, angeschrieben für die einzelnen Koordinaten, in x-Richtung 08:38.500 --> 08:42.840 dann dfz nach dy, 08:46.380 --> 08:51.420 minus dfy nach dz. 08:52.780 --> 08:57.620 Jetzt wird zyklisch vertauscht, also aus z wird x, aus y wird z. 08:57.620 --> 09:13.240 Deshalb als nächstes dfx nach dz, minus dfz nach dx und als letzte 09:13.240 --> 09:24.280 Koordinate des Vektors Rotation dann dfy nach dx, minus dfx nach dy. 09:27.020 --> 09:32.680 So, das ist der erste Satz. 09:34.680 --> 09:41.840 Dann kommen wir 09:45.700 --> 09:46.860 zum zweiten Satz. 09:47.300 --> 09:52.700 Der zweite Satz ist der dritte Satz. 09:52.700 --> 09:54.280 Der dritte Satz ist der vierte Satz. 09:54.280 --> 09:54.300 Der vierte Satz ist der vierte Satz. 09:54.760 --> 09:55.620 Der 10:07.650 --> 10:07.810 vierte Satz ist der vierte Satz. 10:07.810 --> 10:13.930 Wir haben zunächst mal die Kraft fx. 10:15.010 --> 10:22.190 Sehen wir, fx ist minus dv nach dx. 10:22.890 --> 10:34.310 Also fx gleich minus dv nach dx. 10:35.310 --> 10:45.950 Wir wissen, fy ist minus dv nach dy. 10:48.170 --> 10:52.690 Wenn wir jetzt die Kraft fx nach y ableiten, 10:56.110 --> 11:01.390 dann müssen wir rechts auch nach y nochmals ableiten. 11:01.570 --> 11:03.930 Das ergibt dann minus d2v nach dxdy. 11:04.670 --> 11:09.170 Des Weiteren leiten wir dfy nach dx ab. 11:10.130 --> 11:13.070 Dann müssen wir auch auf der rechten Seite nochmals partiell nach x 11:13.070 --> 11:13.670 ableiten. 11:16.150 --> 11:19.730 Und jetzt sehen wir, ob wir zunächst nach x partiell und dann nach y 11:19.730 --> 11:22.130 ableiten oder umgekehrt. 11:22.150 --> 11:23.050 Das ist egal. 11:23.650 --> 11:25.710 Also müssen die beiden gleich sein. 11:25.850 --> 11:30.870 Das heißt, dfx nach dy gleich dfy nach dx. 11:41.720 --> 11:48.400 Und nichts anderes bedeutet die letzte Koordinate der Rotation gleich 11:48.400 --> 11:48.660 null. 11:50.040 --> 11:54.800 Und bei den anderen Bedingungen hat man es dann ganz analog. 12:03.840 --> 12:08.940 Nun solche Kräfte, wie wir sie hier betrachtet haben, 12:12.440 --> 12:18.780 nennt man auch konservative Kräfte. 12:28.220 --> 12:31.300 Die besitzen ein Potenzial, wie wir gesehen haben. 12:42.610 --> 12:46.470 Das heißt, die Gesamtarbeit, wenn wir irgendwo starten und wieder zum 12:46.470 --> 12:51.010 Ausgangspunkt zurückgehen, dann ist die Gesamtarbeit letztendlich 12:51.010 --> 12:54.050 null, weil dort dasselbe Potenzial vorliegt. 13:03.400 --> 13:06.140 Jetzt haben wir zwar formal ein Potenzial eingeführt. 13:06.140 --> 13:12.440 Die Frage ist, wie können wir das Potenzial überhaupt dann berechnen. 13:16.540 --> 13:22.240 Und das berechnen wir, indem wir die Arbeit einsetzen. 13:23.160 --> 13:27.800 Weil wir wissen, Potenzial und Arbeit, die hängen zusammen. 13:28.880 --> 13:32.300 Jetzt kann man natürlich sagen, was ist dann der Vorteil, wenn wir im 13:32.300 --> 13:35.600 Arbeitssatz anstatt der Arbeit das Potenzial einsetzen wollen. 13:35.600 --> 13:39.640 Ziel wird natürlich sein, dass wir für viele Elemente a priori schon 13:39.640 --> 13:44.140 ein Potenzial formuliert haben, nur noch das Potenzial einsetzen und 13:44.140 --> 13:48.200 nicht mehr letztendlich über die Arbeit in jedem Fall bestimmen 13:48.200 --> 13:48.520 müssen. 13:53.180 --> 13:57.520 Also Potenzialberechnung über 14:04.750 --> 14:08.150 die Berechnung der Arbeit. 14:20.030 --> 14:31.970 Wir haben gesehen, die Arbeit, das war Integral f dr von 14:35.740 --> 14:40.340 r0 bis r1, die ist gerade Minus, 14:43.880 --> 14:50.620 und jetzt nennen wir das Potenzial am Punkt r gleich r1 gerade V1 und 14:50.620 --> 14:55.640 das Potenzial am Punkt r gleich r0 V0, dann haben wir hier V1 minus 14:55.640 --> 14:56.320 V0. 14:58.860 --> 15:09.060 Das heißt, das Potenzial V1 ergibt sich dann, multiplizieren wir die 15:09.060 --> 15:15.440 Gleichung mit Minus 1 durch, dann ergibt sich Minus Integral von r0 15:15.440 --> 15:23.200 bis r1 f dr, bringen das V0 nach links, also letztendlich ist das dann 15:23.200 --> 15:32.200 V0 minus Integral von r0 bis r1 f dr, 15:35.860 --> 15:44.980 oder wenn wir die Arbeit W nehmen, haben wir dann V0 minus W. 15:46.060 --> 15:49.280 Also das Potenzial hängt mit der Arbeit noch mit dem negativen 15:49.280 --> 15:51.200 Vorzeichen zusammen, das sollten Sie sich merken. 15:55.120 --> 15:59.780 Und, auch ganz wichtig, das Potenzial ist im Grunde genommen immer 15:59.780 --> 16:04.040 bestimmt bis auf eine beliebige Konstante, das heißt später, wenn wir 16:04.040 --> 16:09.180 irgendwelche Potenziale bestimmen oder berechnen oder mitnehmen in der 16:09.180 --> 16:13.600 Rechnung, dann legen wir das so fest, dass die Rechnung möglichst 16:13.600 --> 16:14.380 einfach wird. 16:20.160 --> 16:23.900 Nun, in der Mechanik, der technischen Mechanik, sind vor allem zwei 16:23.900 --> 16:25.000 Potenziale wichtig. 16:25.740 --> 16:33.480 Das eine ist das schwere Potenzial, das andere das Potenzial von der 16:33.480 --> 16:33.740 Feder. 16:34.760 --> 16:42.540 Also in technischer Mechanik wichtig, 16:49.930 --> 16:51.550 zunächst das schwere Potenzial. 17:17.890 --> 17:26.230 Das schwere Potenzial, das heißt, wenn wir uns das mal aufskizzieren, 17:26.330 --> 17:31.550 dann haben wir meinetwegen die Koordinaten x, y und z, wobei wir jetzt 17:31.550 --> 17:36.330 in dem Fall die z-Koordinate so einführen, dass die entgegengesetzt 17:36.330 --> 17:38.690 gerichtet ist zum Schwerkraftvektor. 17:39.450 --> 17:42.950 Das heißt, wenn wir jetzt irgendwo eine Bahn haben und unseren 17:42.950 --> 17:51.550 Massenpunkt, dann haben wir da eine Kraft m mal g in negative z 17:51.550 --> 17:52.050 -Richtung. 17:55.030 --> 18:03.570 Das wiederum bedeutet, die Kraft f ist gerade minus m mal g mal e z. 18:13.270 --> 18:20.630 Überprüfen wir, ob es hierfür ein Potenzial gibt, anhand der 18:20.630 --> 18:24.070 Bedingung, dass die Rotation verschwindet. 18:24.550 --> 18:28.050 Nun, fz nach 18:31.240 --> 18:31.740 dy. 18:34.100 --> 18:39.240 Da sehen wir, fz ist minus m mal g, hängt nicht von y ab, ist also 18:39.240 --> 18:39.500 null. 18:41.820 --> 18:44.080 Minus dfy nach dz. 18:46.260 --> 18:50.840 Nun, fy ist a priori null, also ist das erfüllt. 18:52.400 --> 18:57.100 Und wenn wir dann die anderen Koordinaten des Rotationsvektors 18:57.100 --> 19:01.200 anschauen, dann sehen wir, fx ist null, weil nur ein fz vorliegt. 19:01.300 --> 19:05.000 Das fz hängt aber nicht von x ab, also ist auch die zweite Koordinate 19:05.000 --> 19:05.440 null. 19:05.440 --> 19:10.320 Und bei der letzten Koordinate treten wir auf, fx und fy, und die sind 19:10.320 --> 19:10.880 beide null. 19:11.480 --> 19:17.740 Also letztendlich haben wir hier Rotation von f gleich null erfüllt. 19:22.280 --> 19:26.580 Das heißt, die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft. 19:27.820 --> 19:31.620 Und jetzt müssen wir nur noch das schwere Potenzial bestimmen. 19:35.970 --> 19:39.090 Das machen wir wie oben angedeutet. 19:40.150 --> 19:47.790 Also, V von R ist dann eine konstante V0. 19:48.390 --> 19:57.430 Minus Integral f dr, also minus Integral von R0 bis R1. 19:57.970 --> 20:07.810 Und dann haben wir f mal dr. Nun, die Kraft f ist minus m mal g mal 20:07.810 --> 20:08.210 ez. 20:11.110 --> 20:19.510 Skalar multipliziert mit der Verschiebung dx in ex-Richtung plus dy in 20:19.510 --> 20:24.290 ey -Richtung plus dz in z-Richtung. 20:27.430 --> 20:31.370 Das sehen wir, da bleibt übrig V0. 20:34.170 --> 20:39.510 Minus, und jetzt haben wir hier nur dz mal minus m mal g mit dem 20:39.510 --> 20:42.770 Minuszeichen vor dem Integral ergibt plus das Integral. 20:47.680 --> 20:48.660 Also ergibt 20:55.880 --> 21:01.000 letztendlich dann V0. 21:01.820 --> 21:07.340 Dann wie gesagt, minus mal minus gibt plus ein Integral und dann steht 21:07.340 --> 21:10.440 noch drin m mal g mal dz. 21:14.370 --> 21:18.450 Von z gleich z0 bis z gleich z1. 21:19.770 --> 21:22.730 Nun, m mal g ist eine Konstante, also haben wir im Grunde genommen ein 21:22.730 --> 21:23.630 Integral dz. 21:23.930 --> 21:29.810 Das ist ausgewertet gerade z, also Integrationsgrenzen eingesetzt 21:29.810 --> 21:31.250 ergibt zunächst mal V0. 21:31.250 --> 21:37.270 Plus, dann haben wir gesagt, m mal g und jetzt mal z und 21:37.270 --> 21:42.510 Integrationsgrenzen eingesetzt ergibt z1 minus z0. 21:44.310 --> 21:49.470 Wenn wir jetzt sagen, unsere obere Grenze z1, die ist beliebig. 21:52.230 --> 21:59.510 Also z1 beliebig und wir nennen das nur noch z. 21:59.970 --> 22:04.010 Dann sehen wir also V0 plus m mal g mal z minus z0. 22:05.670 --> 22:08.730 Und dann noch mit einer Normierung, 22:13.930 --> 22:22.910 dass eben das V0 zum Beispiel gerade m mal g mal z0 ist. 22:23.810 --> 22:28.530 Dann heben sich die beiden weg und es bleibt übrig für das schwere 22:28.530 --> 22:32.650 Potential letztendlich V 22:39.010 --> 22:45.450 von R gleich m mal g. Mal z. 22:47.690 --> 22:52.590 Wir sehen, das hängt also nur von der z-Koordinate, also von der 22:52.590 --> 22:53.610 Höhenkoordinate ab. 23:02.900 --> 23:04.760 Wie sieht es dann konkret aus? 23:06.840 --> 23:08.860 Nun, wenn wir irgendwo den Massenpunkt haben, 23:13.600 --> 23:16.460 haben die Erdbeschleunigungen g nach unten. 23:18.580 --> 23:23.120 Dann legen wir irgendwo ein Nullniveau fest. 23:23.820 --> 23:26.660 Und wie gesagt, das können wir im Grunde genommen beliebig festlegen. 23:27.400 --> 23:29.900 Das bestimmt letztendlich nur noch die Konstante V0. 23:31.980 --> 23:34.780 Das heißt, das ist das Nullniveau. 23:38.690 --> 23:40.250 Hier irgendwo. 23:41.670 --> 23:49.170 Dann haben wir die Koordinate z beginnend mit dem Nullniveau. 23:51.270 --> 23:58.870 Und wenn der Massenpunkt sich oberhalb des Nullniveaus befindet, also 24:00.430 --> 24:15.390 Massenpunkt oberhalb Nullniveau, dann haben wir eben potenzielle 24:15.390 --> 24:18.870 Energie größer 0. 24:19.450 --> 24:23.250 Und wenn der Massenpunkt sich unterhalb befindet, 24:30.630 --> 24:35.670 dann ist eben die potenzielle Energie negativ. 24:35.670 --> 24:38.490 Was Sie allerdings nicht machen dürfen, ist, wenn Sie das Nullniveau 24:38.490 --> 24:42.070 festgelegt haben, zu sagen, dass sich das während der Bewegung ändert. 24:42.690 --> 24:45.690 Das müssen wir einmal festlegen und dann werden ab diesem Nullniveau 24:45.690 --> 24:51.510 die ganzen potenziellen Energien von Massenpunkten, wenn mehrere 24:51.510 --> 24:53.050 Massenpunkte beteiligt sind, bestimmt. 24:58.380 --> 25:03.460 Das nächste Potenzial, was oft anzutreffen ist, das ist das Potenzial 25:03.460 --> 25:04.120 einer Feder. 25:25.030 --> 25:30.170 Und ich nehme an, das Potenzial von etwas wie der Gravitation, das hat 25:30.170 --> 25:32.290 im Grunde genommen jeder gewusst, wie sieht es aus beim 25:32.290 --> 25:34.030 Federpotenzial, wie groß ist das? 25:40.430 --> 25:42.170 Wie groß ist das Federpotenzial? 25:47.650 --> 25:50.390 Wenn ich jetzt eine Auslenkung x habe, wie groß ist das? 25:53.530 --> 25:54.970 Hat das noch nie jemand bestimmt? 26:00.050 --> 26:03.750 Also Federkonstante mal Auslenkung ist dimensionsmäßig. 26:05.370 --> 26:07.170 Newton pro Meter mal Meter ist Newton. 26:07.690 --> 26:12.470 Und die Arbeit hat eine Dimension Newtonmeter. 26:14.190 --> 26:15.690 Also kann es das nicht ganz sein. 26:17.950 --> 26:17.990 Ja? 26:20.250 --> 26:27.230 cx² Also gut, wir bezeichnen die Federkonstante meistens mit c. 26:28.190 --> 26:31.530 Das heißt, wir nehmen mal an, wir haben eine hübsche lineare Feder. 26:50.980 --> 26:56.100 Das heißt, wenn ich jetzt hier die Feder habe, die bei x entspannt 26:56.100 --> 27:04.770 ist, dann habe ich hier irgendwo den Massenpunkt und jetzt ziehen wir 27:04.770 --> 27:05.370 an der Feder. 27:17.330 --> 27:20.490 Hübsche lineare Feder heißt, ich kann das über eine Federkonstante c 27:20.490 --> 27:21.010 beschreiben. 27:23.490 --> 27:33.190 Dann habe ich irgendwo mein x gleich x0 und habe irgendwo das x. 27:42.930 --> 27:50.670 Und ich gehe mal hier von dem x aus, das ich so einführe, dass die 27:50.670 --> 27:52.910 Feder entspannt ist bei x gleich 0. 28:12.580 --> 28:17.480 Jetzt wollen wir die potenzielle Energie, abhängig von R-Wissen, 28:18.540 --> 28:19.520 schreiben wir das wieder ab. 28:19.700 --> 28:20.540 Das war V0. 28:22.980 --> 28:23.540 Minus. 28:24.180 --> 28:28.000 Und jetzt haben wir Integral von 28:31.770 --> 28:32.990 R0 bis R1. 28:38.460 --> 28:40.660 Und jetzt haben wir die Federkraft. 28:41.920 --> 28:45.840 Und die Federkraft, wie groß ist die bei einer linearen Feder? 28:52.960 --> 28:54.260 10 mal x. 28:55.580 --> 28:57.000 Und in x-Richtung, oder? 28:58.760 --> 29:00.200 Also 10 mal x. 29:02.860 --> 29:03.360 Ex. 29:05.000 --> 29:08.840 Multipliziert mit der Verschiebung, da sehen wir. 29:09.920 --> 29:10.880 Da haben wir dx. 29:11.940 --> 29:13.840 Ex plus dy. 29:14.500 --> 29:16.900 Ey plus dz. 29:18.800 --> 29:19.780 Ez. 29:20.940 --> 29:22.440 Das heißt. 29:25.140 --> 29:28.880 Werten wir das aus, dann ergibt sich V0. 29:30.900 --> 29:31.940 Minus. 29:33.680 --> 29:38.380 Und jetzt Cx ex mal dx ex ergibt gerade Cx dx. 29:44.930 --> 29:49.690 Von x0 bis x1. 29:53.190 --> 29:53.690 Ergibt. 29:55.530 --> 29:57.390 Nach dem Integrieren. 29:57.890 --> 30:01.250 Nun C mal x integriert ergibt C halbe x Quadrat. 30:02.510 --> 30:04.770 Also ergibt V0. 30:05.710 --> 30:06.710 Minus. 30:07.890 --> 30:08.810 C halbe. 30:10.110 --> 30:12.070 Und dann haben wir da x1 Quadrat. 30:13.870 --> 30:16.010 Minus x0 Quadrat. 30:18.270 --> 30:22.390 So dass nach entsprechender Normierung. 30:37.420 --> 30:41.940 Mit einem entsprechenden V0 sich gerade wieder ergibt. 30:46.480 --> 30:52.160 V von R gleich in dem Falle V von x. 30:54.380 --> 30:55.640 Und dann sehen wir. 30:56.520 --> 30:58.740 Das x1 wäre wieder ein beliebiges x. 30:58.740 --> 31:02.560 Ist also C halbe x Quadrat. 31:06.340 --> 31:07.880 Allerdings mit einem Minuszeichen. 31:10.920 --> 31:13.020 Sie haben aber geboten C x Quadrat. 31:13.140 --> 31:14.360 Also jetzt haben wir einen Faktor in halb. 31:15.080 --> 31:16.920 Und haben einfach noch ein anderes Vorzeichen, oder? 31:22.030 --> 31:23.250 Was gibt es da zu lachen? 31:27.930 --> 31:31.690 Was hätten Sie gedacht, was das Federpotential ist? 31:43.170 --> 31:46.010 Er hat nichts erwartet, aber man kann es gut ausrechnen. 31:48.340 --> 31:54.990 Hat schon mal jemand im technischen Gymnasium oder irgendwo anders ein 31:54.990 --> 31:57.030 Potential von einer Feder berechnet? 32:02.180 --> 32:04.910 Und es war minus C halbe x Quadrat. 32:06.570 --> 32:06.890 Wie? 32:10.390 --> 32:11.850 C halbe x Quadrat. 32:11.930 --> 32:13.830 Und ich komme auf minus C halbe x Quadrat. 32:13.950 --> 32:16.890 Wo liegt denn jetzt der Fehler? 32:27.510 --> 32:30.330 Ich habe da die Kraft eingezeichnet, die geht in x Richtung. 32:32.390 --> 32:34.470 Und wir ziehen ja an der Feder, oder? 32:51.260 --> 32:57.640 Also der Trick ist der, wir betrachten die Kräfte am Massenpunkt. 32:59.000 --> 33:05.240 Das heißt, wenn ich jetzt mal meinen Massenpunkt betrachte, dann habe 33:05.240 --> 33:10.060 ich dort natürlich auch die Federkraft, aber in 33:13.540 --> 33:14.720 negative x Richtung. 33:15.620 --> 33:18.700 Das heißt, wenn wir das richtig machen, dann müssen wir eigentlich 33:18.700 --> 33:20.700 hier ein Minuszeichen reinmachen. 33:23.880 --> 33:28.380 Dann ergibt sich hier unten ein Pluszeichen. 33:31.120 --> 33:33.060 Auch da ergibt sich ein Pluszeichen. 33:33.940 --> 33:37.840 Und jetzt sehen wir, dann ergibt sich da ein Pluszeichen, wenn ich 33:37.840 --> 33:44.840 nämlich für das V0 gerade C halbe x 0 Quadrat einsetze. 33:55.700 --> 34:01.870 Und man sieht, das Schwerepotential, wenn der Massenpunkt sich 34:01.870 --> 34:04.390 unterhalb dem Nullniveau befindet, ist es negativ. 34:05.010 --> 34:07.230 Oberhalb des Nullniveaus ist es positiv. 34:07.230 --> 34:12.030 Hier beim Federpotential haben wir eigentlich immer ein positives 34:12.030 --> 34:13.230 Potential. 34:15.250 --> 34:18.530 Egal, ob die Feder gedehnt oder zusammengedrückt wird. 34:22.520 --> 34:26.800 Und wenn wir das Ganze dreidimensional machen, also eine Verschiebung 34:26.800 --> 34:28.320 der Endpunkte im Raum, 34:36.540 --> 34:52.800 also dreidimensional haben wir dann V von R gleich C halbe R Quadrat, 34:53.840 --> 34:58.380 wenn jetzt die Feder spannungslos ist bei R gleich 0. 35:01.480 --> 35:03.740 Also R gleich 35:07.700 --> 35:18.420 Federverlängerung oder Verkürzung und 35:30.160 --> 35:33.120 zwar gegenüber der entspannten Lage. 35:49.300 --> 35:52.380 Jetzt sieht es aus, als wäre das immer das Potential von einer Feder. 35:56.320 --> 35:59.860 Nun natürlich nicht, das ist nur das Potential, wenn wir voraussetzen, 36:00.560 --> 36:04.200 hübsche Feder und lineares Verhalten. 36:04.880 --> 36:10.300 Jetzt wissen wir, die meisten Federn, wenn wir die relativ stark 36:10.300 --> 36:13.380 auseinanderziehen oder zusammendrücken, dann haben die irgendwann ein 36:13.380 --> 36:14.600 nicht lineares Verhalten. 36:15.680 --> 36:16.660 Wie sieht es dann aus? 36:21.980 --> 36:25.200 Also bei einer nicht linearen Federkennlinie, 36:58.770 --> 37:02.890 da hängt dann die Kraft nicht mehr linear von der Verschiebung ab, 37:02.970 --> 37:07.270 sondern irgendwie in einem nicht linearen Zusammenhang und es bleibt 37:07.270 --> 37:12.570 uns ja nichts anderes übrig, als letztendlich das V von X direkt über 37:12.570 --> 37:17.010 die Arbeit zu bestimmen, nämlich nun die Feder, die zieht am 37:17.010 --> 37:21.870 Massenpunkt, deshalb Minus Integral, und wenn wir es wieder entlang 37:21.870 --> 37:27.450 einer Strecke machen, dann haben wir eben das Integral von X0 bis X 37:28.150 --> 37:35.110 und dann die Federkraft, die abhängt von der Auslenkung mal der 37:35.110 --> 37:35.810 Verschiebung. 37:35.810 --> 37:41.670 Nun, um jetzt Integrationsgrenze zu unterscheiden, machen wir da 37:41.670 --> 37:49.050 einfach ein X quer bei der Integration und je nach Charakteristik 37:49.050 --> 37:52.770 ergibt sich eben ein anderer Verlauf der Federkraft in Abhängigkeit 37:52.770 --> 37:53.990 der Auslenkung. 37:55.090 --> 37:58.890 Nehmen wir als Beispiel mal eine Feder mit kubischer Charakteristik. 38:01.050 --> 38:18.620 Also, zum Beispiel eine Kennlinie mit kubischem Anteil. 38:25.500 --> 38:29.120 Beispiel, wenn Sie ein Gummi nehmen und dran ziehen, dann fällt sich 38:29.120 --> 38:34.860 das zunächst mal relativ linear, wenn Sie dann aber die Auslenkung 38:34.860 --> 38:38.000 genügend groß machen, dann spüren Sie, ja gut, jetzt nimmt die Kraft 38:38.000 --> 38:39.360 überproportional zu. 38:41.640 --> 38:48.500 Zum Beispiel können wir das beschreiben durch eine Federkraft, die 38:48.500 --> 38:58.020 abhängt von der Auslenkung über Minus C1X, also die hat nach wie vor 38:58.020 --> 39:05.360 so einen Anteil proportional dem X, aber zusätzlich noch einen Anteil 39:05.360 --> 39:07.980 proportional dem X hoch 3. 39:08.560 --> 39:12.340 Das heißt, wenn das C2 positiv ist, dann hätten wir so eine 39:12.340 --> 39:13.100 progressive Feder. 39:13.100 --> 39:15.160 Also 39:22.190 --> 39:24.970 das wäre linear, 39:32.910 --> 39:46.680 das wäre progressiv für C2 größer 0 und degressiv, wenn das C2 kleiner 39:46.680 --> 39:47.260 0 ist. 40:00.620 --> 40:05.900 Und das Potenzial selbst, das bestimmen wir über die angegebene 40:05.900 --> 40:16.960 Formel, das heißt es gilt V von X ist Minus Integral von X0 bis X1 40:16.960 --> 40:17.560 bzw. 40:17.820 --> 40:29.260 X und dann haben wir als Federkraft Minus C1X² Minus C2X² hoch 3 dx. 40:31.740 --> 40:35.100 Wir sehen, das Minus kürzt sich wieder mit dem Minuszeichen im 40:35.100 --> 40:40.740 Integrand, es ergibt sich ein positives Integral und dann haben wir 40:40.740 --> 40:51.840 C1X² zu integrieren, das ergibt gerade C1X²½, dann müssen wir das C2X² 40:51.840 --> 40:53.960 hoch 3 integrieren, das ergibt gerade 40:57.220 --> 40:59.760 C2Viertel mal X² hoch 4, 41:05.780 --> 41:20.140 Grenzen X0 und X und wir sehen, wenn wir, im Grunde genommen hätten 41:20.140 --> 41:24.000 wir hier noch das V0 wieder mitnehmen können und das so anpassen, dass 41:24.000 --> 41:26.100 sich das mit der unteren Grenze weghebt. 41:26.900 --> 41:30.840 Ich mache das mal ein bisschen salopp, obere Grenze eingeführt ergibt 41:30.840 --> 41:52.740 C1½ X² plus C2Viertel X hoch 4 Minus C1½ X0² Minus C2½ X0 hoch 4 und 41:56.990 --> 42:10.890 schreibe dazu, das kann verschwinden bei Normierung von V0 und man 42:10.890 --> 42:16.210 sieht, letztendlich ergibt das einen Anteil wieder quadratisch in X, 42:17.270 --> 42:21.070 man sieht der Faktor ½, der kommt eben vom Integrieren und genauso 42:21.070 --> 42:25.890 beim kubischen Anteil, da hat man jetzt was, was proportional X hoch 4 42:25.890 --> 42:32.210 ist und der Faktor ¼, der kommt ebenfalls vom Integrieren. 46:27.360 --> 46:32.560 Nun, wenn man das Sperrepotenzial so einführt, wie wir das eingeführt 46:32.560 --> 46:34.320 haben, dann sieht man oben im Integral, 46:48.150 --> 46:52.810 Wenn man das Sperrepotenzial so bestimmt, wie wir das bestimmt haben, 46:53.250 --> 46:58.210 dann war die Voraussetzung dafür, dass eben die Gewichtskraft MLG 46:58.210 --> 47:07.230 nicht vom Ort abhängt und stets die gleiche Richtung hat. 47:08.050 --> 47:11.430 Wenn wir jetzt an Weltraumanwendungen denken, dann wissen wir ja gut, 47:12.970 --> 47:16.630 wenn ich weit genügend von der Sonne oder von einem Planeten oder wie 47:16.630 --> 47:22.330 auch immer weggehe, dann ändert sich natürlich die Erdbeschleunigung 47:22.330 --> 47:28.390 G, das ist dann keine Konstante mehr und auch die Richtung der Kraft, 47:28.510 --> 47:29.710 die ändert sich natürlich. 47:29.710 --> 47:34.490 Wobei die Kraft immer so gerichtet ist, dass die in Richtung, in 47:34.490 --> 47:38.010 unserem Falle der Erde geht, oder wenn man einen Himmelskörper hat, 47:38.110 --> 47:41.990 immer in Richtung des Schwerpunktes des Himmelskörpers. 47:42.930 --> 47:48.650 Wenn man das berücksichtigt, dann entspricht das dem 47:48.650 --> 47:52.950 Gravitationspotenzial von 47:57.680 --> 47:58.320 zwei Massen. 48:05.810 --> 48:08.410 Nehmen wir die mal Groß-M und Klein-M. 48:12.610 --> 48:17.530 Und ohne das herzuleiten, gilt in dem Falle, dass das Potenzial 48:17.530 --> 48:32.070 abhängig von R gerade ist, minus K, große Masse mal kleine Masse, 48:33.190 --> 48:38.770 dividiert durch den Betrag des Abstandsvektors. 48:46.790 --> 48:52.670 Also wichtig für Weltraumanwendungen, 49:02.800 --> 49:08.800 man sieht, das Potenzial geht gegen Null, wenn R beliebig groß ist, 49:08.960 --> 49:10.440 ansonsten ist es negativ. 49:15.080 --> 49:20.380 Man hat also praktisch das Nullniveau, wo man das Null setzt, gegen 49:20.380 --> 49:21.260 unendlich gelegt. 49:23.000 --> 49:32.440 Und wie sieht es aus, wenn man jetzt einsetzt, einen Abstand, zum 49:32.440 --> 49:37.360 Beispiel hier auf der Erde, der mehr oder weniger dem Erdradius 49:37.360 --> 49:37.980 entspricht. 49:41.100 --> 49:49.240 Also für Abstand gleich Erdradius, nennen wir den mal Groß-R, plus 49:49.240 --> 49:58.240 jetzt eine Koordinate Z, was wir als Höhe über dem Erdradius 49:58.240 --> 49:59.240 bezeichnen würden. 50:11.200 --> 50:40.700 Dann führt es, also geht dies über in das zuvor angegebene schwere 50:40.700 --> 50:41.360 Potenzial. 50:46.060 --> 50:53.560 Und man sieht, da steht im Nenner eben R plus Z, das können wir dann 50:53.560 --> 51:05.360 entwickeln, da hat man dann nämlich 1 durch R plus Z ergibt 1 durch R 51:05.360 --> 51:13.240 mal Und als nächstes haben wir dann oben stehen 1 51:19.410 --> 51:39.800 plus Z durch R, also durch Entwicklung von 1 dividiert durch R mal 1 51:39.800 --> 51:43.420 plus Z durch R. 51:45.660 --> 51:55.320 Ist ungefähr 1 durch R mal 1 minus Z durch R. 51:57.740 --> 52:04.300 Und dann sehen wir, das gibt eine Konstante, der erste Anteil und das 52:04.300 --> 52:08.680 andere ergibt gerade, minus mal minus gibt plus, dann haben wir K mal 52:08.680 --> 52:14.260 M mal M, dividiert durch R Quadrat und wenn Sie dann ein bisschen im 52:14.260 --> 52:20.680 Physikunterricht nachschlagen, dann ist das K mal große Masse, 52:21.380 --> 52:25.860 dividiert durch R Quadrat, das entspricht gerade dem G. 52:28.100 --> 52:31.800 Als Hausaufgabe mal im Physikunterricht das Ganze nachschlagen. 52:35.100 --> 52:38.560 Jetzt haben wir viele Potenziale bestimmt, das heißt, wenn wir in 52:38.560 --> 52:42.320 Zukunft das schwere Potenzial benötigen, setzen wir einfach ein, M mal 52:42.320 --> 52:46.940 G mal Z, wobei Z die Höhe über einem frei wählbaren Nullniveau ist. 52:47.340 --> 52:50.880 Bei der Feder setzen wir ein, wenn es eine lineare Feder ist, C halbe 52:50.880 --> 52:56.300 X Quadrat, wobei X die Auslenkung gegenüber der entspannten Feder ist. 52:59.640 --> 53:03.560 Und wie sieht es dann mit dem Arbeitssatz aus? 53:19.480 --> 53:22.380 Also, falls alle Kräfte konservativ, 53:35.800 --> 53:45.220 dann ergibt sich die Arbeit zu Minus V am Ende, Minus V am Anfang. 53:47.000 --> 53:51.080 Aus dem Arbeitssatz wissen wir, das war aber gerade die Differenz der 53:51.080 --> 53:59.880 kinetischen Energien, also gleich T1 minus T0, so dass wir sehen, wenn 53:59.880 --> 54:04.200 wir das V1 nach rechts bringen und das T0 nach links, dann haben wir 54:04.200 --> 54:12.120 Minus mal Minus gibt Plus, also letztendlich dann T1 plus V1 gleich T0 54:12.120 --> 54:14.260 plus V0. 54:17.200 --> 54:20.540 Den Energieerhaltungssatz der Mechanik, 54:34.480 --> 54:38.700 der, ich hatte es schon erwähnt, ja nur bei konservativen Systemen 54:38.700 --> 54:44.840 gilt, bei denen alle Kräfte aus einem Potenzial herleitbar sind. 54:45.800 --> 54:51.340 Und wir wissen, na gut, in dem Fall das T0 plus V0, das entspricht 54:51.340 --> 54:58.340 gerade einer konstanten E sozusagen, die Gesamtenergie. 55:19.060 --> 55:22.360 Und wenn wir ein konservatives System vorliegen haben, dann können wir 55:22.360 --> 55:29.880 eben mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes der Mechanik, dann wieder 55:29.880 --> 55:36.300 bei einem gegebenen Anfangszustand den Endzustand bestimmen und so zum 55:36.300 --> 55:39.540 Beispiel die Geschwindigkeit als Funktion der Position bestimmen. 55:40.780 --> 55:45.960 Also nützlich, wenn 55:53.850 --> 55:58.210 eine zeitfreie Lösung gesucht ist und 56:11.200 --> 56:13.580 nur Anfangs- und Endzustand interessieren. 56:50.640 --> 56:52.460 Machen wir dazu mal ein Beispiel. 57:21.740 --> 57:23.800 Wir nehmen ganz einfach ein mathematisches Pendel. 57:29.680 --> 57:31.680 Ohne Reibung und Luftwiderstand. 57:50.160 --> 57:56.700 Und wir können mal kathesische Koordinaten einzeichnen. 57:57.860 --> 57:58.980 X und Y. 58:00.640 --> 58:05.920 Dann haben wir vertikal nach unten die Gravitation. 58:07.560 --> 58:12.020 Wir haben dann das Pendel selbst, das ja hier gelagert ist am 58:12.020 --> 58:12.660 Ursprung. 58:13.980 --> 58:18.460 Das heißt, wir haben ein Pendel, Pendellänge L. 58:20.780 --> 58:26.530 Wir haben den Massenpunkt mit der Masse M. 58:27.250 --> 58:31.770 Die Lage des Pendels wird beschrieben durch den Winkel Phi zwischen 58:31.770 --> 58:33.490 der Vertikalen und der Pendelstange. 58:37.260 --> 58:43.120 Und wir wissen, der Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn. 58:44.920 --> 58:54.940 Das heißt, wir wollen jetzt wissen, wie groß ist die Geschwindigkeit 58:54.940 --> 58:59.840 des Pendels in einer beliebigen Lage. 59:00.640 --> 59:06.800 Wobei wir natürlich definieren müssen, wie groß z.B. 59:06.960 --> 59:09.180 hier unten die Maximalgeschwindigkeit ist. 59:09.780 --> 59:12.080 Oder wie groß der Maximalausschlag ist. 59:12.180 --> 59:13.180 Das werden wir aber noch sehen. 59:15.380 --> 59:25.060 Also gesucht ist die Winkelgeschwindigkeit Phi Punkt in 59:29.300 --> 59:30.280 allgemeiner Lage. 59:37.350 --> 59:41.210 Wir lösen das Ganze mit dem Energiesatz. 59:53.060 --> 59:59.460 Wir wissen, Summe aus kinetischer und potenzieller Energie muss, weil 59:59.460 --> 01:00:02.880 in dem Fall jetzt alle Kräfte konservativ sind, es gibt ja nur die 01:00:02.880 --> 01:00:14.680 Gewichtskraft, muss gerade sein Gesamtenergie gleich konstant sein. 01:00:15.540 --> 01:00:21.220 Das heißt, zunächst müssen wir die kinetische Energie bestimmen. 01:00:22.340 --> 01:00:28.000 Nun, die kinetische Energie des Massenpunktes ist gerade M halbe mal V 01:00:28.000 --> 01:00:28.680 Quadrat. 01:00:32.870 --> 01:00:34.810 Und wie groß ist die Geschwindigkeit? 01:00:35.550 --> 01:00:35.770 V. 01:00:37.370 --> 01:00:39.630 Und mit ein bisschen Übung müssten Sie das jetzt eigentlich schon 01:00:39.630 --> 01:00:39.970 sehen. 01:00:40.090 --> 01:00:43.950 Die Geschwindigkeit des Massenpunktes beträgt gerade L, das war ja 01:00:43.950 --> 01:00:45.710 eine Konstante, mal Phi Punkt. 01:00:46.410 --> 01:00:54.170 Ergibt also in dem Falle M halbe L Quadrat Phi Punkt Quadrat. 01:00:55.390 --> 01:01:04.550 Für die potenzielle Energie, da sehen wir, es gibt eigentlich nur die 01:01:04.550 --> 01:01:08.190 Gewichtskraft, also brauchen wir so ein Gravitationspotenzial. 01:01:08.750 --> 01:01:12.050 Das heißt, wir müssen uns irgendwo jetzt ein Nullniveau festlegen. 01:01:12.590 --> 01:01:15.650 Das könnten wir jetzt zum Beispiel machen bei Y gleich Null. 01:01:16.230 --> 01:01:21.330 Wir können aber auch das Nullniveau festlegen hier unten. 01:01:24.460 --> 01:01:35.780 Dann haben wir an der Stelle die Höhe H des Massenpunktes über dem 01:01:35.780 --> 01:01:36.700 Nullniveau. 01:01:37.500 --> 01:01:44.340 Damit ergibt sich die potenzielle Energie zu M mal G mal H. 01:01:44.940 --> 01:01:52.000 Das H hängt aber von Phi ab, also ergibt das in dem Falle M mal G. 01:01:52.800 --> 01:01:58.320 Und die Höhe H, da sehen wir, das ist gerade von der unteren Lage zum 01:01:58.320 --> 01:01:59.780 Lager haben wir die Länge L. 01:02:00.240 --> 01:02:04.020 Davon ziehen wir jetzt ab, das L mal Cosinus vom eingeschlossenen 01:02:04.020 --> 01:02:04.640 Winkel Phi. 01:02:05.200 --> 01:02:10.360 Ergibt also letztendlich L minus L Cosinus Phi. 01:02:33.990 --> 01:02:37.870 Das heißt, wenn wir jetzt kinetische Energie und potenzielle Energie 01:02:37.870 --> 01:02:47.050 in den Energiesatz einsetzen, dann erhalten wir M halbe L Quadrat Phi 01:02:47.050 --> 01:02:55.250 Punkt Quadrat plus M mal G, das L können wir ausklammern, mal 1 minus 01:02:55.250 --> 01:02:59.450 Cosinus Phi muss gerade Gesamtenergie E ergeben. 01:03:00.930 --> 01:03:06.090 Was wir jetzt wissen wollen, ist das Phi Punkt als Funktion der Lage 01:03:06.090 --> 01:03:06.490 Phi. 01:03:07.630 --> 01:03:09.850 Also müssen wir nach Phi Punkt auflösen. 01:03:10.370 --> 01:03:14.490 Dazu bringen wir das MGL mal 1 minus Cosinus Phi nach rechts mit einem 01:03:14.490 --> 01:03:15.290 Minuszeichen. 01:03:16.030 --> 01:03:18.550 Multiplizieren mit 2, dividieren durch die Masse. 01:03:19.350 --> 01:03:33.060 Ergibt dann letztendlich für Phi Punkt Quadrat gerade 2 dividiert 01:03:33.060 --> 01:03:36.740 durch ML Quadrat mal E. 01:03:38.740 --> 01:03:44.920 Und dann sehen wir Minus, das M kürzt sich weg, dann haben wir 2G 01:03:44.920 --> 01:03:46.180 dividiert durch L. 01:03:54.040 --> 01:03:56.160 Jetzt habe ich das M hier... 01:03:57.160 --> 01:03:58.540 Machen wir es mal so, 01:04:03.120 --> 01:04:07.940 MGL mal 1 minus Cosinus Phi. 01:04:12.000 --> 01:04:18.000 Oder für Phi Punkt dann die Wurzel gezogen, also Phi Punkt ist dann 01:04:18.000 --> 01:04:21.560 Wurzel aus 1 durch L Quadrat, ist 1 dividiert durch L. 01:04:22.760 --> 01:04:29.960 Und dann haben wir innerhalb der Wurzel noch stehen, 2 dividiert durch 01:04:29.960 --> 01:04:41.040 M mal Gesamtenergie E minus MGL mal 1 minus Cosinus Phi. 01:04:48.140 --> 01:04:51.360 Jetzt haben wir noch eine konstante E drin stehen, die müssen wir 01:04:51.360 --> 01:04:51.980 irgendwie bestimmen. 01:04:51.980 --> 01:04:55.560 Ich habe gesagt, entweder mit dem Maximalausschlag oder mit der 01:04:55.560 --> 01:04:56.960 Maximalgeschwindigkeit. 01:05:01.160 --> 01:05:03.100 Also Bestimmung von E, 01:05:06.180 --> 01:05:10.600 entweder über den Maximalausschlag. 01:05:21.730 --> 01:05:25.670 Wenn der vorliegt bei Phi gleich Phi 1, dann bedeutet das, dass an der 01:05:25.670 --> 01:05:31.290 Stelle die Geschwindigkeit 0 sein muss, weil sonst wird sich sie ja 01:05:31.290 --> 01:05:32.010 noch weiter bewegen. 01:05:32.770 --> 01:05:42.130 Also, dann haben wir Phi Punkt von Phi 1 muss 0 sein, also 0 gleich 1 01:05:42.130 --> 01:05:46.370 dividiert durch L, Wurzel aus 2 durch M. 01:05:48.170 --> 01:06:00.170 Und jetzt steht da drin, E minus MGL mal 1 minus Cosinus Phi, und zwar 01:06:00.170 --> 01:06:03.690 bei Phi gleich Phi 1, also 1 minus Cosinus von Phi 1. 01:06:06.490 --> 01:06:10.890 Jetzt sehen wir, das wird 0, wenn E gerade entspricht, M mal G mal L 01:06:10.890 --> 01:06:13.310 mal 1 minus Cosinus Phi 1. 01:06:14.170 --> 01:06:28.060 Also haben wir das Vorliegen bei E gleich MGL mal 1 minus Cosinus Phi 01:06:28.060 --> 01:06:28.600 1. 01:06:30.400 --> 01:06:34.220 Setzen das wieder in die Beziehung für Phi Punkt ein, dann ergibt sich 01:06:34.220 --> 01:06:37.460 Phi Punkt gleich 1 dividiert durch L. 01:06:38.520 --> 01:06:47.300 Jetzt haben wir die Wurzel, und jetzt steht hier E minus MGL, also 2 01:06:47.300 --> 01:06:52.380 durch M. 01:06:54.180 --> 01:06:57.860 Jetzt haben wir E minus, also MGL, 01:07:00.940 --> 01:07:12.740 minus MGL Cosinus Phi 1, das ist das E, minus MGL plus MGL 01:07:17.080 --> 01:07:20.100 Cosinus Phi. 01:07:25.890 --> 01:07:30.870 Man sieht, das MGL, das kürzt sich weg. 01:07:32.310 --> 01:07:38.710 Dann haben wir minus MGL Cosinus Phi 1 plus MGL Cosinus Phi, da können 01:07:38.710 --> 01:07:43.730 wir das MGL ausklammern, dann kürzt sich noch die Masse hier weg. 01:07:44.600 --> 01:07:49.750 Sodass wir letztendlich erhalten, Phi Punkt gleich 1 dividiert durch 01:07:49.750 --> 01:08:03.500 L, Wurzel aus 2GL mal Cosinus Phi minus Cosinus Phi 1. 01:08:26.010 --> 01:08:33.010 Man sieht, Phi ist immer kleiner als der Maximalausschlag Phi 1 oder 01:08:33.010 --> 01:08:33.790 höchstens gleich. 01:08:34.910 --> 01:08:39.150 Wenn Phi kleiner ist als Phi 1, dann ist aber der Cosinus von Phi 01:08:39.150 --> 01:08:47.410 größer als der Cosinus von Phi 1, sodass letztendlich das immer 01:08:47.410 --> 01:08:49.170 positiv wird. 01:08:49.770 --> 01:08:50.550 Macht auch Sinn. 01:08:58.090 --> 01:09:02.770 Was wir noch machen könnten wäre, die Konstante E aus der 01:09:02.770 --> 01:09:04.550 Maximalgeschwindigkeit bestimmen. 01:09:12.810 --> 01:09:24.530 Die liegt natürlich vor bei Phi 0 gleich 0 und sei mal mit Phi 0 Punkt 01:09:24.530 --> 01:09:25.110 gegeben. 01:09:26.950 --> 01:09:29.590 Und wenn wir das haben, dann haben wir Phi 0 Punkt. 01:09:32.790 --> 01:09:51.650 Gleich 1 durch L mal Wurzel aus 2 dividiert durch M mal E minus MGL 01:09:51.650 --> 01:09:54.490 mal 1 minus Cosinus Phi. 01:09:55.930 --> 01:10:00.250 Für Phi gleich Phi 0 gleich 0 ist das Cosinus von 0. 01:10:03.230 --> 01:10:07.250 Cosinus von 0 ist 1, also fällt das gerade weg. 01:10:15.070 --> 01:10:23.070 Das heißt, wenn wir mit L multiplizieren, dann haben wir Phi 0 Punkt 01:10:23.070 --> 01:10:25.470 Quadrat L Quadrat. 01:10:25.470 --> 01:10:29.490 Jetzt haben wir schon quadriert, dann steht rechts gleich 2 durch M 01:10:29.490 --> 01:10:29.950 mal E. 01:10:31.010 --> 01:10:34.710 Also gleich E mal 2 durch M gibt hier M halbe. 01:10:39.010 --> 01:10:43.630 L Quadrat Phi 0 Punkt Quadrat, das hätten wir natürlich auch gleich 01:10:43.630 --> 01:10:48.250 erkennen können, wenn wir beachtet hätten, dass an der Lage Phi gleich 01:10:48.250 --> 01:10:49.150 Phi 0 gleich 0. 01:10:50.150 --> 01:10:53.950 Am unteren Punkt wäre das Nullniveau festgelegt haben, das heißt dort 01:10:53.950 --> 01:10:55.570 haben wir ja keine potenzielle Energie. 01:10:55.570 --> 01:10:59.550 Nur kinetische Energie, also wäre die Gesamtenergie gerade die 01:10:59.550 --> 01:11:01.690 kinetische Energie an der Stelle. 01:11:02.770 --> 01:11:10.470 Und wenn wir das dann entsprechend einsetzen, ergibt sich, ich habe es 01:11:10.470 --> 01:11:14.230 jetzt, glaube ich, gar nicht mehr explizit ausgedrückt. 01:11:14.930 --> 01:11:20.010 Das können Sie aber auch im Grunde genommen zu Hause selbst machen. 01:11:20.010 --> 01:11:26.430 Sie setzen jetzt das E noch in die allgemeine Formel ein und dann 01:11:26.430 --> 01:11:32.990 haben Sie eben wieder das Phi Punkt als Funktion der Lage Phi, weil 01:11:32.990 --> 01:11:38.610 eben die Gesamtenergie E mit M halbe L Quadrat Phi 0 Punkt Quadrat 01:11:38.610 --> 01:11:40.510 explizit vorgegeben ist. 01:11:41.430 --> 01:11:43.330 Gibt es soweit Fragen? 01:12:45.460 --> 01:12:49.100 Dann kommen wir jetzt noch zur Methode Energieintegral. 01:13:14.120 --> 01:13:18.980 Wir haben gesehen, so ein Massenpunkt, der hat im Allgemeinen 01:13:18.980 --> 01:13:23.600 vielleicht drei Freiheitsgrade, kann sich in drei Raumrichtungen 01:13:23.600 --> 01:13:27.680 bewegen, jetzt gibt es aber auch eingeschränkte Bewegungen und wenn 01:13:27.680 --> 01:13:31.480 jetzt ein Massenpunkt vorliegt, ähnlich unserem Pendel, bei dem die 01:13:31.480 --> 01:13:35.820 Bewegung durch eine Koordinate beschrieben werden kann und wenn wir 01:13:35.820 --> 01:13:41.780 noch voraussetzen, dass ein konservatives System vorliegt, das heißt, 01:13:41.860 --> 01:13:46.220 dass alle Kräfte, die am Massenpunkt angreifen, konservativ sind, also 01:13:46.220 --> 01:13:57.160 bei konservativen mechanischen Systemen, 01:14:03.960 --> 01:14:11.820 ich schreibe mal gleich, mit einem Freiheitsgrad, 01:14:16.490 --> 01:14:30.510 da wissen wir, beim Massenpunkt gilt M halbe mal R Punkt Quadrat plus 01:14:30.510 --> 01:14:34.930 potenzielle Energie, abhängig von R, 01:14:39.380 --> 01:14:41.140 gleich Gesamtenergie E. 01:14:42.220 --> 01:14:45.480 Jetzt haben wir aber gesagt, der Massenpunkt hat nur einen 01:14:45.480 --> 01:14:49.520 Freiheitsgrad, das heißt, die Ortskoordinate oder der Ortsvektor R, 01:14:50.080 --> 01:15:00.120 der hängt nur ab von einer Größe S entlang der Trajektorie, das heißt, 01:15:01.240 --> 01:15:06.740 wir können das dann so umformulieren, wenn wir hier oben irgendwo eine 01:15:06.740 --> 01:15:13.560 Masse M haben, ich nenne die mal M quer, dann hängt das R Punkt wieder 01:15:13.560 --> 01:15:17.320 mit S Punkt zusammen linear, das heißt, wir haben dann letztendlich M 01:15:17.320 --> 01:15:25.940 halbe, S Punkt Quadrat plus V von R von S, also letztendlich V von S, 01:15:26.620 --> 01:15:28.860 gleich Gesamtenergie E. 01:15:32.820 --> 01:15:37.940 Also wie gesagt, ein Massenpunkt, ein Freiheitsgrad, beim Pendel 01:15:37.940 --> 01:15:39.520 bewegt sich der Massenpunkt. 01:15:40.100 --> 01:15:44.940 Auf einer Kreisbahn, da haben wir dann als entsprechende Koordinate, 01:15:45.440 --> 01:15:55.740 wie man sieht, wenn wir als S den Winkel V einführen, so ganz 01:15:55.740 --> 01:16:01.580 allgemein, dann haben wir irgendwas mal V Punkt Quadrat plus ein 01:16:01.580 --> 01:16:06.500 Potential, das von V abhängt, gleich Gesamtenergie E, wobei der 01:16:06.500 --> 01:16:10.220 Vorfaktor vor dem S Punkt Quadrat nicht unbedingt immer einer Masse 01:16:10.220 --> 01:16:13.740 entsprechen muss, das hängt davon ab, was das S ist. 01:16:14.700 --> 01:16:17.640 Aber letztendlich beschreibt eine Koordinate die Bewegung. 01:16:19.920 --> 01:16:28.520 Und dann liegt es nahe, das Ganze nach S Punkt aufzulösen, das heißt, 01:16:28.720 --> 01:16:35.080 S Punkt ist dann, jetzt bringen wir das V von S nach rechts, dann 01:16:35.080 --> 01:16:36.820 haben wir E minus V von S, 01:16:41.060 --> 01:16:49.740 dann müssen wir mit 2 durch M quer multiplizieren, also mal 2 01:16:49.740 --> 01:16:54.540 dividiert durch M quer, das quer lasse ich jetzt an der Stelle wieder 01:16:54.540 --> 01:16:55.820 weg, ich sage es jetzt nur dazu. 01:16:57.440 --> 01:17:01.720 Das war jetzt nur, um zu zeigen, das muss nicht unbedingt Dimension 01:17:01.720 --> 01:17:05.440 Masse haben, das könnte auch beim Pendel was ML Quadrat. 01:17:07.180 --> 01:17:11.500 Das war dann S Punkt, um S zu erhalten, brauchen wir noch die Wurzel. 01:17:14.860 --> 01:17:24.900 Jetzt wissen wir aber, S Punkt ist ja DS dividiert durch DT, was jetzt 01:17:24.900 --> 01:17:28.960 bedeutet, wenn wir die Gleichung mit DT multiplizieren und durch die 01:17:28.960 --> 01:17:33.080 Wurzel dividieren, dann haben wir links nur das DT stehen, 01:17:37.540 --> 01:17:46.800 also DT und rechts dann das DS dividiert durch die Wurzel, 01:17:50.040 --> 01:18:00.880 also 2 durch M mal E minus V von S, das heißt links hängen jetzt alle 01:18:00.880 --> 01:18:04.800 Größen nur noch von der Zeit ab, rechts nur noch von S, damit haben 01:18:04.800 --> 01:18:06.800 wir eine Trennung der Veränderlichen durchgeführt, 01:18:25.900 --> 01:18:29.540 das heißt wir können jetzt formal auf beiden Seiten integrieren 01:18:41.590 --> 01:18:46.270 und auf der linken Seite, wenn wir von T gleich T0 bis T gleich T1 01:18:46.270 --> 01:18:49.810 integrieren, dann haben wir im Grunde genommen, ich stelle es mal so 01:18:49.810 --> 01:18:58.570 an, ein Integral und hier ein Integral, dann haben wir hier von T0 bis 01:18:58.570 --> 01:19:06.470 T1, hier haben wir von S0 bis S1, die linke Integration, die können 01:19:06.470 --> 01:19:09.990 wir leicht durchführen, DT integriert ergibt einfach T, Grenzen 01:19:09.990 --> 01:19:12.490 eingesetzt ergibt T1 minus T0, 01:19:15.590 --> 01:19:25.730 rechts haben wir dann das Integral stehen von S0 bis S1 und dann steht 01:19:25.730 --> 01:19:36.850 drin DS, dividiert durch 2 durch M, E minus V von S und daraus die 01:19:36.850 --> 01:19:49.840 Wurzel, das heißt jetzt haben wir rechts ein Integral stehen, 01:19:51.400 --> 01:19:55.860 allerdings können wir das nicht in allen Fällen auch wirklich 01:19:55.860 --> 01:19:59.360 analytisch integrieren, unter Umständen muss man das dann 01:19:59.360 --> 01:20:04.520 näherungsweise machen, aber die Lösung von so einem Integral, die ist 01:20:04.520 --> 01:20:07.660 im Allgemeinen sehr viel leichter, als wenn wir eine entsprechende 01:20:07.660 --> 01:20:13.240 Differentialgleichung numerisch lösen müssten, das heißt, wir haben 01:20:13.240 --> 01:20:16.180 jetzt das Ganze zurückgeführt auf eine sogenannte Quadratur, 01:20:22.460 --> 01:20:26.740 also nach, ich schreibe mal unter Umständen, 01:20:35.780 --> 01:20:39.600 numerischer Auswertung der 01:20:45.000 --> 01:20:45.760 rechten Seite, 01:20:51.990 --> 01:20:58.770 hat man dann das T als Funktion von S und wenn wir dann die 01:20:58.770 --> 01:21:00.430 Umkehrfunktion bilden, 01:21:07.900 --> 01:21:14.420 haben wir dann eben das S als Funktion der Zeit. 01:21:23.420 --> 01:21:28.120 Wenn wir das probieren, bei einem mathematischen Pendel, 01:21:44.030 --> 01:21:45.310 also Beispiel, 01:21:51.640 --> 01:22:04.180 mathematisches Pendel, dort hatten wir M halbe L Quadrat Phi Punkt 01:22:04.180 --> 01:22:13.160 Quadrat, plus MGL mal 1 minus Cosinus Phi, 01:22:17.080 --> 01:22:18.860 gleich Gesamtenergie E, 01:22:22.380 --> 01:22:31.360 das war dann gerade MGL mal 1 minus Cosinus Phi 1, das können wir im 01:22:31.360 --> 01:22:36.340 Grunde genommen abschreiben, von ganz oben, 01:22:43.240 --> 01:22:54.000 das heißt, das Phi Punkt Quadrat ist dann gerade das minus dem, das 01:22:54.000 --> 01:23:00.980 gab gerade Cosinus Phi minus Cosinus Phi 1, das M und ein L kürzt sich 01:23:00.980 --> 01:23:04.320 mit dem M und dem L auf der rechten Seite, sodass letztendlich übrig 01:23:04.320 --> 01:23:19.340 bleibt, 2G dividiert durch L mal Cosinus Phi minus Cosinus Phi 1 und 01:23:22.340 --> 01:23:29.110 Phi Punkt, 01:23:35.680 --> 01:23:42.440 das war dPhi dividiert durch dt, ergibt dann die Wurzel aus der 01:23:42.440 --> 01:23:44.320 rechten Seite, ich deute das mal so an, 01:23:49.720 --> 01:24:00.120 das heißt, dt ist dann dPhi, dividiert durch die Wurzel aus der 01:24:00.120 --> 01:24:08.240 rechten Seite hier, also dividiert durch Wurzel aus 2G, dPhi dividiert 01:24:08.240 --> 01:24:18.040 durch L mal der Wurzel aus Cosinus Phi minus Cosinus Phi 1, 01:24:22.740 --> 01:24:31.040 also wenn wir das für eine allgemeine Zeit und einen allgemeinen 01:24:31.040 --> 01:24:37.340 Winkel machen, dann erhalten wir T minus T0 nach Integration der 01:24:37.340 --> 01:24:42.620 linken Seite, gleich, und jetzt müssen wir auf der rechten Seite 01:24:42.620 --> 01:24:49.280 integrieren von S0 bis S, und dann haben wir da drin stehen, ne 01:24:49.280 --> 01:24:54.900 Entschuldigung, von Phi 0, wir sind ja bei Phi, bis Phi, und dann 01:24:54.900 --> 01:25:04.280 haben wir drin stehen, dPhi dividiert durch Wurzel aus 2G, dividiert 01:25:04.280 --> 01:25:11.600 durch L, und dann haben wir Wurzel aus Cosinus Phi minus Cosinus Phi 01:25:11.600 --> 01:25:16.120 1, und damit wir jetzt wieder unterscheiden zwischen 01:25:16.120 --> 01:25:19.840 Integrationsvariable und Integrationsgrenze, können wir da noch ein 01:25:19.840 --> 01:25:24.660 Phi -Quer einführen, also dPhi-Quer dividiert durch die Wurzel, das 01:25:24.660 --> 01:25:28.160 hier ist eine Konstante, und dann haben wir Wurzel aus Cosinus Phi 01:25:28.160 --> 01:25:33.340 -Quer minus Cosinus Phi 1, wenn man das jetzt nachschaut, das wird man 01:25:33.340 --> 01:25:39.240 natürlich nicht so leicht lösen können, wenn Sie das in Maple oder 01:25:39.240 --> 01:25:43.680 Mathematica einsetzen, dann gibt es noch entsprechende Lösungen, das 01:25:43.680 --> 01:25:48.500 sind dann aber Funktionen, die Sie gar nicht so genau kennen, und 01:25:48.500 --> 01:25:54.160 letztendlich hat man die Schwierigkeit, genauso wie bei Sinus, Cosinus 01:25:54.160 --> 01:25:58.760 oder E-Funktionen oder irgendwelchen anderen Funktionen, dass wenn man 01:25:58.760 --> 01:26:02.520 numerische Werte haben will, man die irgendwann berechnen muss, früher 01:26:02.520 --> 01:26:05.860 hat man die dann mal berechnet und in Tabellenbücher eingetragen und 01:26:05.860 --> 01:26:09.840 dann immer nachgeschlagen, wie groß ist der Wert bei einem bestimmten 01:26:09.840 --> 01:26:12.980 Argument, heutzutage geht es natürlich ein bisschen einfacher, 01:26:13.520 --> 01:26:17.320 nichtsdestotrotz sieht man dann eben bestimmte Charakteristika der 01:26:17.320 --> 01:26:27.400 Lösung, das führt in dem angegebenen Fall zu elliptischen Funktionen, 01:26:29.160 --> 01:26:38.440 also führt hier zu elliptischen 01:26:43.930 --> 01:26:50.370 Funktionen, ohne die jetzt genau noch anzugeben. 01:26:50.890 --> 01:26:55.630 Also wichtig, wir haben jetzt beim Arbeitssatz begonnen, wir haben 01:26:55.630 --> 01:27:03.780 gesehen, es gibt ganz bestimmte Kräfte, es gibt ganz bestimmte Kräfte, 01:27:03.900 --> 01:27:09.200 nämlich diejenigen, bei denen die Arbeit nicht vom Weg abhängt, 01:27:09.340 --> 01:27:12.360 sondern nur von Anfangs- und Endpunkt, das waren die konservativen 01:27:12.360 --> 01:27:16.320 Kräfte, da können wir ein Potential formulieren, wenn an einem 01:27:16.320 --> 01:27:19.980 Massenpunkt nur konservative Kräfte angreifen, können wir den 01:27:19.980 --> 01:27:25.120 Arbeitssatz als Energiesatz formulieren und wenn wir bestimmte 01:27:25.120 --> 01:27:28.940 Potentiale a priori schon berechnen, zum Beispiel Schwerepotential 01:27:28.940 --> 01:27:32.380 oder Federpotential, können wir die direkt einsetzen, wir müssen nur 01:27:32.380 --> 01:27:35.440 entsprechend zum Beispiel für das Schwerepotential Nullniveau 01:27:35.440 --> 01:27:39.920 formulieren oder irgendwo festlegen und dann eben die Prozedur 01:27:39.920 --> 01:27:40.820 auswerten. 01:27:41.580 --> 01:27:44.980 Falls unser Massenpunkt nur einen Freiheitsgrad hat, können wir sogar 01:27:44.980 --> 01:27:49.020 die Geschwindigkeit als Funktion der Position dann darstellen an einem 01:27:49.020 --> 01:27:56.060 allgemeinen Punkt und wie gesagt, letztendlich dann auch entsprechende 01:27:56.060 --> 01:28:00.000 Integrale auswerten, unter Umständen gibt es analytische Lösungen, 01:28:00.140 --> 01:28:03.680 unter Umständen natürlich auch nicht, dann bleiben uns zumindest aber 01:28:03.680 --> 01:28:08.580 Nährungsverfahren, die für Integrale leichter auszuwerten sind, als 01:28:08.580 --> 01:28:10.720 die Auswertung von Differenzialgleichungen. 01:28:11.400 --> 01:28:13.020 Soweit für heute, vielen Dank.