WEBVTT 00:08.040 --> 00:10.560 Guten Tag, meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung 00:10.560 --> 00:11.120 begrüßen. 00:11.740 --> 00:16.460 Was wir heute noch machen müssen, ist, die Evaluation durchzuführen. 00:18.420 --> 00:20.200 Ein kleines Wort zur Evaluation. 00:20.520 --> 00:25.260 Ich weiß natürlich, dass einer der großen Kritikpunkte das fehlende 00:25.260 --> 00:26.100 Skript ist. 00:29.770 --> 00:34.590 Ich kann Ihnen aber auch sagen, dass ab jetzt, was wir in der 00:34.590 --> 00:41.150 Vorlesung machen, dass Sie das großteils, fast eins zu eins, in der 00:41.150 --> 00:44.330 neuen Bibel des Bachelor Maschinenbaustudiums finden. 00:45.250 --> 00:50.510 Also insofern rentiert es sich vielleicht doch, diese sich von den 00:50.510 --> 00:54.730 Großeltern oder irgendwelchen Sponsoren unter den Weihnachtsbaum legen 00:54.730 --> 00:55.150 zu lassen. 00:56.150 --> 01:01.030 Bevor wir evaluieren, brauchen wir allerdings eine Studentin oder 01:01.030 --> 01:02.910 einen Studenten Ihres Vertrauens. 01:05.750 --> 01:07.710 Wer erklärt sich bereit? 01:11.840 --> 01:16.760 Würde jemand die Evaluationsbögen nach der Vorlesung zum 01:16.760 --> 01:18.000 Evaluierungsbüro bringen? 01:26.720 --> 01:27.160 Niemand? 01:29.020 --> 01:29.940 Würden Sie es machen? 01:31.260 --> 01:33.660 Also Sie müssen später dann gerade hochkommen, kriegen einen Umschlag, 01:33.760 --> 01:34.520 machen da alles rein. 01:34.920 --> 01:36.420 Da ist auch beschrieben, wo Sie das abgeben. 01:48.160 --> 01:51.840 Ich würde sagen, wir geben gerade so drei Minuten Zeit. 06:25.280 --> 06:28.360 Haben Sie alles einigermaßen die Evaluationsbögen ausgefüllt? 06:29.440 --> 06:32.500 Also ich würde vorschlagen, dass Sie die am Ende der Vorlesung gerade 06:32.500 --> 06:33.220 vorbeibringen. 06:33.220 --> 06:36.560 Er sammelt die dann ein und bringt die in einem geschlossenen Kuvert 06:36.560 --> 06:39.280 zum Evaluationsbüro. 06:40.020 --> 06:42.820 Kommen wir damit wieder zur Mechanik zurück. 06:43.680 --> 06:46.140 An der Stelle vielleicht ein kleiner Vorschlag. 06:46.940 --> 06:52.040 Es gibt jetzt die Möglichkeit, wir machen den Stoff zügig durch und 06:52.040 --> 06:58.060 ich mache zur Not vielleicht mal kleine Überziehungen zwischen 0 und 5 06:58.060 --> 06:58.500 Minuten. 06:59.260 --> 07:03.420 Und wir sparen uns dadurch nach Möglichkeit eine Vorlesung nächsten 07:03.420 --> 07:06.100 Montag und eine Vorlesung am 5. 07:06.220 --> 07:06.560 Januar. 07:06.780 --> 07:10.360 Würden das die Studenten für okay finden? 07:11.300 --> 07:14.520 Das Problem ist, den Stoff muss ich durchbekommen, weil mittlerweile 07:14.520 --> 07:17.400 es Studenten gibt, die nur die TM3 prüfen lassen. 07:17.800 --> 07:20.140 Andere sowohl TM3 als auch TM4. 07:26.400 --> 07:29.420 Heute Morgen war ein Student bei mir, der meinte, der sei eigentlich 07:29.420 --> 07:30.280 offiziell frei. 07:30.420 --> 07:32.540 Ich wollte da noch nachschauen, ich habe es nicht mehr geschafft. 07:33.060 --> 07:35.620 Ich habe meine Mitarbeiter gefragt, die wussten es aber auch nicht, 07:35.700 --> 07:37.740 weil wir prinzipiell nie frei haben. 07:37.860 --> 07:40.240 Insofern tangiert uns das nicht. 07:44.200 --> 07:45.720 Also wenn Sie am 5. 07:45.880 --> 07:49.640 frei haben, dann können Sie um 11.30 Uhr ein gutes Buch lesen. 07:54.240 --> 07:56.120 Kommen wir wieder zurück zur Vorlesung. 07:56.220 --> 08:01.120 Wir haben in der letzten Vorlesungsstunde Massenpunktsysteme 08:01.120 --> 08:06.920 abgeschlossen und kommen jetzt zur Bewegung, sowohl Kinematik wie auch 08:06.920 --> 08:09.820 Kinetik, von starren Körpern. 08:09.820 --> 08:13.560 Wobei wir im ersten Schritt in der TM3 das sehr einfach machen. 08:13.680 --> 08:13.880 Warum? 08:14.840 --> 08:22.780 Wir betrachten nur einen Körper, bei dem sich die Punkte alle in 08:22.780 --> 08:23.820 Ebenen bewegen. 08:24.380 --> 08:27.340 Also nicht allgemein räumlich, sondern jeder Punkt bewegt sich in 08:27.340 --> 08:30.580 einer Ebene, wobei die Ebenen parallel sind. 08:50.990 --> 08:58.830 Also Ebenebewegung eines starren Körpers. 09:09.540 --> 09:12.760 Nun wir wissen, im Allgemeinen setzt sich dann so eine Bewegung 09:12.760 --> 09:15.000 zusammen aus Translation und Rotation. 09:44.620 --> 09:49.500 Wobei wir noch sehen werden, dass speziell bei einer Ebenenbewegung 09:49.500 --> 09:57.780 man die ganze Bewegung auch auffassen kann als Drehung des Körpers um 09:57.780 --> 09:58.760 eine Achse. 10:00.020 --> 10:04.940 Um den sogenannten Momentanpol, wobei dieser Momentanpol dann durchaus 10:04.940 --> 10:07.460 auch irgendwo im Unendlichen liegen kann. 10:09.640 --> 10:13.540 Das heißt, alle Punkte beschreiben dann fast wie so Kreisbögen um den 10:13.540 --> 10:14.380 Momentanpol. 10:14.740 --> 10:18.880 Der Momentanpol selbst kann sich ändern während der Bewegung. 10:20.380 --> 10:26.820 Allerdings schon im Hinblick auf eine räumliche Bewegung, bei einer 10:26.820 --> 10:33.080 allgemeinräumlichen Bewegung, da gibt es jetzt nicht unbedingt einen 10:33.080 --> 10:38.480 Punkt, um den der Körper scheinbar rotiert. 10:39.280 --> 10:43.780 Bei einer allgemeinräumlichen Bewegung hat man im Allgemeinen immer 10:43.780 --> 10:48.120 eine Translation mit einer Rotation überlagert, in der Form, dass man 10:48.120 --> 10:52.020 das im allgemeinsten Fall als Schraubenbewegung auffassen kann. 10:52.020 --> 10:57.260 Das heißt, man hat eine Rotation um eine Achse, aber gleichzeitig eine 10:57.260 --> 10:59.180 Vorwärtsbewegung in Richtung der Achse. 11:00.280 --> 11:04.060 Bei einer Ebenenbewegung fehlt eben diese Vorwärtsbewegung, sodass man 11:04.060 --> 11:07.600 letztendlich das Ganze wirklich als Rotation um eine fiktive Achse 11:07.600 --> 11:08.260 auffassen kann. 11:11.880 --> 11:16.560 Damit sind wir schon beim ersten Punkt, nämlich bei der Kinematik, 11:20.900 --> 11:24.900 wobei wir zunächst einmal die reine Translation betrachten wollen. 11:37.510 --> 11:39.750 Und wenn eine reine Translation vorliegt, 11:43.880 --> 11:48.960 dann dreht sich der Körper nicht, das heißt, 11:58.670 --> 11:59.970 keine Drehung des Körpers. 12:07.440 --> 12:11.040 Das heißt, der Vektor zwischen zwei festen Punkten auf dem Körper, 12:33.070 --> 12:36.290 der ändert die Richtung nicht. 12:55.820 --> 13:03.680 Das heißt, wir können das Ganze im Grunde genommen mal so andeuten. 13:03.680 --> 13:07.800 Wir haben zunächst einmal unser Inertialsystem mit einem 13:07.800 --> 13:12.220 Koordinatensystem beschrieben, durch die Einheitsvektoren, jetzt in 13:12.220 --> 13:20.480 dem Falle E1, E2 und E3. 13:21.480 --> 13:22.960 Wir haben den Körper. 13:30.200 --> 13:35.880 Auf dem Körper können wir körperfeste Einheitsvektoren K1, K2, K3 13:35.880 --> 13:45.400 einführen, die fest mit dem Körper verbunden sind. 13:47.020 --> 13:53.840 Und wie gesagt, wir hatten zwei Punkte, P1 und P2. 13:54.740 --> 13:58.880 Das heißt, dazwischen liegt der Vektor R12. 14:00.820 --> 14:07.460 Und wie gesagt, bei einer reinen Translation ändert dieser Vektor die 14:07.460 --> 14:08.120 Richtung nicht. 14:08.700 --> 14:15.180 Das können wir zum Beispiel dadurch erreichen, dass wir irgendwo, ich 14:15.180 --> 14:18.500 deute es mal an, so eine Art Parallelführung haben. 14:23.680 --> 14:29.180 Wenn wir zum Beispiel so eine derartige Lagerung haben, dann ist ganz 14:29.180 --> 14:37.500 klar, wenn die Pendelstützen sich in dem Falle drehen, dann machen 14:37.500 --> 14:43.620 beide Pendelstützen die gleiche Winkelverdrehung und die Orientierung 14:43.620 --> 14:45.560 des Körpers ändert sich nicht. 14:48.260 --> 14:52.500 Allerdings ist es nicht beschränkt auf so einen Fall. 14:53.340 --> 14:58.500 Ich habe noch mal meine Einheitsvektoren mitgebracht. 14:59.300 --> 15:03.000 Und es ist natürlich so, eine reine Translation liegt dann vor, wie 15:03.000 --> 15:07.280 gesagt, wenn körperfeste Einheitsvektoren die Richtung nicht ändern. 15:07.440 --> 15:10.300 Das hatten wir alles schon bei der Relativbewegung im Grunde genommen 15:10.300 --> 15:10.660 gehabt. 15:11.640 --> 15:16.200 Selbst wenn die Bewegung des Körpers, zwar ist es keine ebene 15:16.200 --> 15:19.840 Bewegung, aber bei einer ebenen Bewegung, das sehen wir, die kann 15:19.840 --> 15:22.140 relativ kompliziert sein. 15:22.700 --> 15:27.440 Wichtig ist, dass die körperfesten Einheitsvektoren nicht die Richtung 15:27.440 --> 15:27.740 ändern. 15:38.440 --> 15:42.620 Dies bedeutet, dass wir jetzt im Grunde genommen die 15:42.620 --> 15:45.120 Winkelgeschwindigkeit als Vektor einführen können. 15:46.120 --> 15:48.660 Wie wir sie schon beim Relativsystem hatten. 15:49.460 --> 15:53.060 Nur, dass eben im Falle der reinen Translation, wenn der Körper nicht 15:53.060 --> 15:57.340 rotieren soll, diese Winkelgeschwindigkeit gerade Null ist. 15:58.600 --> 16:03.080 Also die Winkelgeschwindigkeit Omega, 16:10.290 --> 16:15.090 das wäre jetzt die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Relativsystem 16:15.090 --> 16:19.690 sich dreht, also letztendlich die Einheitsvektoren K1, K2, K3 die 16:19.690 --> 16:20.270 Richtung ändern. 16:21.530 --> 16:29.850 Die ist dann eben Null, also Omega von Körper K im Inertialsystem I, 16:30.510 --> 16:37.270 so hat man das immer ausgedrückt, das war das Inertialsystem, ist dann 16:37.270 --> 16:40.290 gerade Null. 16:49.850 --> 16:55.330 Für einen beliebigen Punkt des Körpers gilt 17:11.380 --> 17:27.150 deshalb, wenn wir hier den Koordinatenursprung haben, 17:32.540 --> 17:43.320 den Punkt P und einen Bezugspunkt Q auf dem Körper, 17:47.320 --> 17:51.260 dann sehen wir, der Vektor zum Punkt P, 17:55.800 --> 18:00.560 RP, der setzt sich zusammen aus dem Vektor zum Punkt Q, 18:05.510 --> 18:10.530 plus dem Vektor von Q nach P, dem Relativvektor. 18:21.830 --> 18:38.430 Das heißt RP ergibt sich in dem Fall als RQ plus R Relativ und 18:45.650 --> 18:50.470 für die Geschwindigkeit des Punktes P Und später auch für die 18:50.470 --> 18:56.130 Beschleunigung des Punktes P. Da müssen wir ja gerade den Ortsvektor 18:56.130 --> 19:00.030 rp zunächst einmal ableiten und dann ein weiteres Mal. 19:01.190 --> 19:07.510 Also für die Geschwindigkeit vp des Punktes P gilt demnach, dass das 19:07.510 --> 19:12.430 die Ableitung des Vektors rp im Inertialsystem ist. 19:13.430 --> 19:19.210 Also drp nach dt im Inertialsystem. 19:19.470 --> 19:21.250 Jetzt müsst ihr sich ein bisschen zurückerinnern an die 19:21.250 --> 19:22.230 Relativmechanik. 19:23.010 --> 19:27.670 Das ergibt gerade die Ableitung der Summe im Inertialsystem. 19:27.990 --> 19:40.090 Ist also drq nach dt im Inertialsystem plus drrelativ nach dt im 19:40.090 --> 19:41.110 Inertialsystem. 19:42.430 --> 19:47.310 Wir wissen, die Ableitung des Ortsvektors des Punktes Q im 19:47.310 --> 19:50.570 Inertialsystem ist gerade die Geschwindigkeit des Punktes Q im 19:50.570 --> 19:53.130 Inertialsystem, ist also vq. 19:56.790 --> 20:04.390 Die Ableitung des Relativvektors, da können wir jetzt die bekannte 20:04.390 --> 20:09.530 Ableitungsformel nehmen, das ergibt nämlich die Ableitung des 20:09.530 --> 20:14.870 Relativvektors im Relativsystem, also im Körperfestenbezugssystem. 20:15.610 --> 20:24.710 Das ist also drrelativ nach dt im Körperfestenbezugssystem. 20:25.710 --> 20:30.170 Jetzt brauchen wir noch die Ergänzung plus, und jetzt kommt die 20:30.170 --> 20:34.070 Winkelgeschwindigkeit von dem Bezugssystem, in dem wir jetzt zunächst 20:34.070 --> 20:39.750 ableiten, das ist das k, bezüglich dem Bezugssystem, in dem wir die 20:39.750 --> 20:44.710 Ableitung bilden wollen, das war das i, kreuz den Vektor, den wir 20:44.710 --> 20:47.610 ableiten, und der Vektor, den wir ableiten, ist in dem Fall das 20:47.610 --> 20:48.390 rrelativ. 20:53.640 --> 20:59.560 Da jetzt die Punkte Q und P, zum einen der Bezugspunkt, zum anderen 20:59.560 --> 21:05.340 der Punkt P, fest auf dem Körper sind, ist die körperfeste Ableitung 21:05.340 --> 21:13.140 des Relativvektors in dem Fall 0, also das ist gerade 0. 21:13.800 --> 21:21.960 Wir haben gesehen, die Winkelgeschwindigkeit, auch die ist 0, das 21:21.960 --> 21:26.080 heißt die beiden letzten Terme, die verschwinden, und es gilt, dass 21:26.080 --> 21:30.220 die Geschwindigkeit des Punktes P gerade der Geschwindigkeit des 21:30.220 --> 21:31.300 Punktes Q entspricht. 21:31.840 --> 21:38.320 Also V von P gleich V von Q, was wiederum bedeutet, dass alle Punkte 21:38.320 --> 21:44.260 des starren Körpers, bei einer ebenen Bewegung und reiner Translation, 21:45.920 --> 21:47.460 dieselbe Geschwindigkeit haben. 21:48.520 --> 21:53.000 Wenn die dieselbe Geschwindigkeit haben, dann haben die natürlich auch 21:53.000 --> 21:59.540 dieselbe Beschleunigung, denn wenn wir jetzt den Vektor VP im 21:59.540 --> 22:03.460 Inertialsystem ableiten, ist das dasselbe wie den Vektor VQ im 22:03.460 --> 22:04.780 Inertialsystem abgeleitet. 22:04.780 --> 22:27.040 Also gilt P gleich Q und alle Punkte des starren Körpers haben demnach 22:27.040 --> 22:30.100 dieselbe Beschleunigung. 22:38.320 --> 22:44.780 Alle Punkte haben dieselbe Beschleunigung. 22:52.940 --> 22:57.520 Das heißt, wenn wir keine Rotation von einem starren Körper haben, 22:57.600 --> 22:59.660 dann können wir den auffassen wie so einen Massenpunkt. 23:00.100 --> 23:03.020 Deshalb war wahrscheinlich bei den Aufgaben, die Sie bearbeitet haben, 23:03.180 --> 23:07.060 nicht immer das Ganze als Massenpunkt aufgefasst, sondern zum Teil als 23:07.060 --> 23:09.560 Block, als starrer Körper im Grunde genommen. 23:09.560 --> 23:15.080 Wir sehen aber, wenn der starre Körper sich nicht dreht, dann hat 23:15.080 --> 23:18.180 jeder Punkt des starren Körpers dieselbe Beschleunigung, dann ist das 23:18.180 --> 23:19.040 schon gerechtfertigt. 23:19.960 --> 23:21.080 Gibt es hierzu Fragen? 23:25.950 --> 23:32.730 Dann kommen wir als nächstes zur Drehung des starren Körpers um eine 23:32.730 --> 23:33.730 raumfeste Achse. 23:46.540 --> 23:49.080 Also 3.1.2 23:52.480 --> 23:58.690 Drehung um raumfeste Achse. 24:07.270 --> 24:10.450 Das haben wir zum Beispiel, wenn wir eine Turbine haben, die irgendwo 24:10.450 --> 24:13.390 im Maschinenhaus steht und rotiert. 24:14.490 --> 24:16.990 Es gibt aber auch genügend andere Beispiele, wo das auftritt. 24:17.750 --> 24:20.950 Denken Sie an Getriebe oder irgendwelche anderen drehenden Bauteile. 24:22.550 --> 24:26.050 Gekennzeichnet ist das Ganze zunächst einmal dadurch, dass wir eine 24:26.050 --> 24:27.030 Drehachse haben. 24:30.190 --> 24:34.170 Bezüglich der Drehachse ist der starre Körper dann natürlich gelagert 24:34.170 --> 24:34.690 irgendwie. 24:35.530 --> 24:37.350 Also ich deute das mal so an. 24:40.610 --> 24:42.890 Das ist dann die raumfeste Drehachse. 25:00.180 --> 25:04.280 Wir haben dann einen Körper, einen starren Körper. 25:05.520 --> 25:09.980 Sie sehen, der muss nicht unbedingt rotationssymmetrisch bezüglich der 25:09.980 --> 25:10.860 Drehachse sein. 25:11.720 --> 25:14.600 Der ist einfach so gelagert, dass er um die Drehachse rotiert. 25:17.280 --> 25:20.880 Die Drehung selbst, die wird jetzt beschrieben durch die 25:20.880 --> 25:22.600 Winkelgeschwindigkeit des Körpers. 25:22.600 --> 25:26.620 Wobei die Winkelgeschwindigkeit in dem Fall ein Vektor ist, der in 25:26.620 --> 25:28.600 Richtung der Drehachse zeigt. 25:31.600 --> 25:35.760 Also ich deute das mal so an, wir haben dann die Winkelgeschwindigkeit 25:35.760 --> 25:43.960 Omega des Körpers im Inertialsystem. 25:55.780 --> 26:00.320 Wobei wir an der Stelle schon mal annehmen, dass die Richtung der 26:00.320 --> 26:06.660 Drehachse dadurch gekennzeichnet wird, dass wir ein Koordinatensystem 26:06.660 --> 26:12.120 so einführen, dass die Z-Achse des Koordinatensystems in Richtung der 26:12.120 --> 26:13.080 Drehachse zeigt. 26:13.080 --> 26:16.640 Da die Drehachse sich zeitlich nicht ändert oder die Richtung nicht 26:16.640 --> 26:24.560 ändert, haben wir in dem Fall also Omega EZ als Winkelgeschwindigkeit 26:24.560 --> 26:25.200 des Körpers. 26:27.120 --> 26:33.520 Zur Beschreibung können wir jetzt noch das Inertialsystem einführen 26:33.520 --> 26:39.500 mit Koordinatenursprung in O. 26:40.460 --> 26:44.060 Und auch hier werden wir für die Beschreibung der Kinematik der 26:44.060 --> 26:48.480 einzelnen Körperpunkte wiederum einen Bezugspunkt auf den festen 26:48.480 --> 26:49.320 Körper einführen. 26:50.420 --> 26:53.900 Wobei wir den in dem Fall auf die Drehachse legen. 26:54.780 --> 27:01.200 Also wir wählen uns jetzt einen Punkt Q auf der Drehachse, 27:07.130 --> 27:11.130 haben dementsprechend den Vektor RQ. 27:18.890 --> 27:21.570 Dann noch einen beliebigen Punkt P, 27:25.910 --> 27:30.850 dessen Lage auf dem starren Körper gekennzeichnet wird, wiederum durch 27:30.850 --> 27:33.390 den Relativvektor Rrelativ. 27:38.500 --> 27:44.880 Allerdings wissen wir, dass alle Punkte des starren Körpers aufgrund 27:44.880 --> 27:49.860 der Drehung um die raumfähigste Achse sich auf Kreisbahnen um diese 27:49.860 --> 27:50.660 Achse bewegen. 27:51.380 --> 28:00.280 Das heißt, wir können im Grunde genommen so andeuten, der Punkt P, der 28:00.280 --> 28:03.840 bewegt sich auf so einer Kreisbahn um die Drehachse. 28:06.220 --> 28:18.680 Und wir führen jetzt zunächst mal den radialen Abstand R des Punktes P 28:18.680 --> 28:26.780 von der Drehachse ein, sowie zusätzlich Einheitsvektoren am Punkt P, 28:27.640 --> 28:35.060 zum einen den Einheitsvektor ER in radialer Richtung, den 28:35.060 --> 28:43.460 Einheitsvektor EZ in Richtung der Z-Achse und sinkrecht auf beiden den 28:43.460 --> 28:47.700 Einheitsvektor EFI, der in dem Fall dann eben tangential an die Bahn 28:47.700 --> 28:49.260 des Punktes P verläuft. 28:50.040 --> 28:55.200 Also tangential den Einheitsvektor EFI. 29:00.980 --> 29:07.460 Das heißt, für den Punkt P gilt jetzt wieder, Ortsvektor von P setzt 29:07.460 --> 29:12.340 sich zusammen aus Ortsvektor von Q plus Rrelativ. 29:17.710 --> 29:22.930 Wiederum sehen wir, dass ein Bezugssystem, welches wir fest mit dem 29:22.930 --> 29:29.270 Körper verbinden, die Winkelgeschwindigkeit Omega von K in I hat, in 29:29.270 --> 29:30.970 dem Falle gerade Omega EZ. 29:32.410 --> 29:37.710 Das heißt, für die Geschwindigkeit des Punktes P folgt jetzt ganz 29:37.710 --> 29:45.270 analog wie zuvor, das ergibt sich zur Geschwindigkeit des Punktes Q, 29:45.790 --> 29:50.610 das war nämlich die Zeitableitung des Ortsvektors im Inertialsystem, 29:50.810 --> 29:59.570 und zwar des Ortsvektors zum Punkt Q plus, und jetzt haben wir in dem 29:59.570 --> 30:07.770 Falle die Ableitung des Relativvektors im Inertialsystem, das setzen 30:07.770 --> 30:14.670 wir wieder zusammen aus Ableitung des Relativvektors nach der Zeit im 30:14.670 --> 30:26.190 körperfesten Bezugssystem plus eben Omega von K in I kreuz Rrelativ. 30:27.170 --> 30:38.570 Und jetzt sehen wir, die Geschwindigkeit des Punktes Q, die ist gerade 30:38.570 --> 30:43.070 0, weil der Bezugspunkt auf der Drehachse liegt und sich nicht bewegt, 30:43.750 --> 30:46.690 also das ist 0. 30:47.520 --> 30:52.790 Die Ableitung des Relativvektors im körperfesten Bezugssystem, auch 30:52.790 --> 30:59.410 die ist 0, wie schon bei der reinen Translation, weil im körperfesten 30:59.410 --> 31:03.010 Bezugssystem sich dieser Vektor nicht ändert, das heißt, es verbleibt 31:03.010 --> 31:08.370 jetzt einzig und allein das Omega von K in I kreuz Rrelativ. 31:10.740 --> 31:21.260 Das heißt, für die Geschwindigkeit des Punktes P gilt jetzt Omega von 31:21.260 --> 31:25.740 K in I kreuz Rrelativ. 31:26.500 --> 31:35.160 Und jetzt sehen wir, Omega von K in I war Omega EZ, Rrelativ, wir 31:35.160 --> 31:42.920 schreiben das mal ausführlich hin, gibt also Omega EZ kreuz, 31:47.200 --> 31:52.580 und jetzt der Relativvektor, der hat einen Anteil in radialer Richtung 31:52.580 --> 31:59.780 RER plus einen Anteil in Richtung der Z-Achse, nennen wir das einfach 31:59.780 --> 32:04.740 mal AEZ, wobei wir das A gar nicht spezifiziert haben, wir sehen aber, 32:05.640 --> 32:09.720 in dem Fall ist das A gar nicht notwendig, weil eben beim Kreuzprodukt 32:09.720 --> 32:15.480 das Omega EZ kreuz AEZ, EZ kreuz EZ, 0 ergibt. 32:16.400 --> 32:22.940 Das heißt, was jetzt noch verbleibt, ist dann lediglich Omega EZ kreuz 32:22.940 --> 32:30.880 RER, das ist Omega mal R mal EZ kreuz ER, EZ kreuz ER ist aber nach 32:30.880 --> 32:35.000 der rechten Handregel gerade das EFI, also erhalten wir hier Omega mal 32:35.000 --> 32:38.600 R mal EFI. 32:55.850 --> 32:58.270 Dementsprechend folgt für die Beschleunigung, 33:09.060 --> 33:12.540 also die 33:18.230 --> 33:28.440 Beschleunigung des Punktes P, das war gerade die zeitliche Ableitung 33:28.440 --> 33:34.460 der Geschwindigkeit des Punktes P, haben wir hier oben, im 33:34.460 --> 33:35.440 Inertialsystem. 33:36.540 --> 33:39.680 Da sehen wir, wir haben zum einen das Omega von K in I, zum anderen 33:39.680 --> 33:43.920 das R-Relativ, also müssen wir beim zeitlichen Ableiten die 33:43.920 --> 33:53.240 Produktregel anwenden, das ergibt D Omega von K in I nach DT in I 33:53.240 --> 34:01.400 plus, Entschuldigung, kreuz R-Relativ plus, und jetzt haben wir das 34:01.400 --> 34:12.580 Omega von K in I kreuz der Ableitung des Relativvektors nach der Zeit 34:12.580 --> 34:17.160 im Inertialsystem. 34:20.120 --> 34:23.600 Die zeitliche Ableitung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ist gerade 34:23.600 --> 34:34.660 die Winkelbeschleunigung, das ergibt also in dem Falle Alpha von K in 34:34.660 --> 34:50.500 I kreuz R-Relativ plus Omega von K in I kreuz und die Ableitung des 34:50.500 --> 34:54.920 Relativvektors nach der Zeit im Inertialsystem, das hatten wir oben 34:54.920 --> 35:01.380 schon mal, das ist gerade Omega von K in I kreuz R-Relativ, ergibt 35:01.380 --> 35:10.660 also hier Omega von K in I kreuz R-Relativ. 35:12.460 --> 35:16.800 Wie gesagt, die runde Klammer entspricht der Ableitung des 35:16.800 --> 35:18.380 Relativvektors im Inertialsystem. 35:21.520 --> 35:26.900 Wenn wir wieder berücksichtigen, dass ja Omega von K in I gerade Omega 35:26.900 --> 35:33.500 mal EZ ist, EZ aber die Richtung nicht ändert, dann muss die Ableitung 35:33.500 --> 35:37.680 der Winkelgeschwindigkeit gerade Omega Punkt in Richtung EZ sein, 35:38.680 --> 35:49.700 ergibt also in dem Falle Omega Punkt EZ kreuz R-Relativ ist wieder RER 35:49.700 --> 35:55.260 plus AEZ. 35:56.040 --> 36:00.480 Man sieht auch hier, die Z-Komponente des Relativvektors ist 36:00.480 --> 36:01.280 uninteressant. 36:03.840 --> 36:10.640 Plus, und jetzt haben wir Omega von K in I, das ist Omega EZ kreuz und 36:10.640 --> 36:14.480 Omega von K in I kreuz R-Relativ, das haben wir oben gesehen, ist 36:14.480 --> 36:21.620 Omega REV, sodass wir schlussendlich das Ergebnis erhalten. 36:22.570 --> 36:31.340 Omega Punkt mal R mal EZ kreuz ER, das war gerade E phi, ergibt also R 36:31.340 --> 36:33.120 Omega Punkt E phi. 36:35.340 --> 36:37.160 EZ kreuz EZ war 0. 36:37.940 --> 36:44.100 Hier haben wir EZ kreuz E phi, EZ kreuz E phi ergibt minus ER, also 36:44.100 --> 36:46.680 erhalten wir minus Omega Quadrat mal R, 36:49.780 --> 36:54.420 in Richtung von ER, das ist im Grunde genommen die 36:54.420 --> 37:00.080 Zentripetalbeschleunigung des Punktes P, aufgrund der Bewegung auf der 37:00.080 --> 37:00.620 Kreisbahn. 37:01.720 --> 37:08.300 Und das R Omega Punkt E phi, das war natürlich die Beschleunigung in 37:08.300 --> 37:15.900 Umfangsrichtung bei konstantem Radius, Starkkörper heißt ja, das R 37:15.900 --> 37:20.540 ändert sich nicht und im Grunde genommen müssten Sie die Anteile alle 37:20.540 --> 37:21.440 kennen. 37:26.890 --> 37:28.930 Gibt es hierzu Fragen? 37:39.560 --> 37:47.240 Ich habe im Grunde genommen auf dem Starkkörper so Zylinderkoordinaten 37:47.240 --> 37:47.820 eingeführt. 37:47.820 --> 37:50.280 Das ER hängt vom Punkt ab. 37:54.200 --> 37:59.500 Also der Relativvektor ist immer so, dass ich einen Anteil habe in 37:59.500 --> 38:02.300 Richtung von ER, das ER aber vom Punkt abhängt. 38:04.020 --> 38:05.940 Denken Sie zurück an die Zylinderkoordinaten. 38:08.620 --> 38:09.540 Weitere Fragen? 38:20.670 --> 38:24.250 Schauen Sie, R hat immer die Dimension Meter. 38:25.690 --> 38:27.170 Und was ist Omega? 38:27.330 --> 38:29.770 Omega hat 1 durch Sekunde oder Rad pro Sekunde. 38:30.250 --> 38:33.910 Eine Ableitung nach der Zeit bringt immer 1 durch Sekunde, also haben 38:33.910 --> 38:37.270 wir 1 durch Sekunde Quadrat, mit dem Meter gibt es Meter pro Sekunde 38:37.270 --> 38:41.270 Quadrat, gibt die Dimension von einer Beschleunigung und das Omega 38:41.270 --> 38:44.890 Quadrat hat auch 1 durch Sekunde Quadrat mal Meter, gibt Meter pro 38:44.890 --> 38:45.830 Sekunde Quadrat. 38:46.610 --> 38:50.330 An den Einheiten sieht man oft schon, ob das Ergebnis plausibel ist 38:50.330 --> 38:50.690 oder nicht. 38:51.110 --> 38:51.790 Sofern haben Sie recht. 38:56.390 --> 39:02.250 So, kommen wir damit zur allgemeinen Ebenenbewegung. 39:02.990 --> 39:06.850 Also wie gesagt, wir haben immer noch die Einschränkung, dass wir eben 39:06.850 --> 39:07.850 eine Bewegung betrachten. 39:08.250 --> 39:13.450 Keine allgemein räumliche, aber jetzt eben eine Bewegung, bei der die 39:13.450 --> 39:17.930 Bewegung des Körpers so ist, dass wir sowohl ein Omega ungleich 0 39:17.930 --> 39:20.410 haben, als auch die Drehachse. 39:20.410 --> 39:25.770 Drehachse, die wird nicht die Richtung ändern, aber die könnte die 39:25.770 --> 39:26.470 Lage ändern. 39:28.410 --> 39:33.930 Ich versuche es mal vorzumachen, also nehmen wir an, mein Sixpack 39:33.930 --> 39:35.110 -Bauch ist ein Starkkörper. 39:37.810 --> 39:42.110 Dann kann der Starkkörper momentan um eine Achse rotieren, die aber 39:42.110 --> 39:44.850 sich ändert. 39:46.570 --> 39:48.010 Das steckt im Grunde genommen dahinter. 39:52.060 --> 39:55.280 Also jetzt allgemeine Bewegung, 39:59.000 --> 40:01.960 aber schreiben wir es in Klammern dazu, dass wir das nicht vergessen, 40:02.620 --> 40:03.440 eben eine Bewegung. 40:14.790 --> 40:15.870 Das heißt, 40:19.870 --> 40:26.610 wenn wir jetzt wieder ein Bezugssystem nehmen, das wir fest mit dem 40:26.610 --> 40:29.830 Körper verbinden, dann hat es jetzt wirklich eine 40:29.830 --> 40:30.810 Winkelgeschwindigkeit. 40:37.940 --> 40:48.430 Also, Winkelgeschwindigkeit, die ist dann gegeben durch Omega des 40:48.430 --> 40:50.850 Körpers im Inertialsystem. 40:54.350 --> 40:55.310 Und 41:03.590 --> 41:07.890 im Grunde genommen haben wir wieder dasselbe Bild, wie schon zuvor. 41:10.270 --> 41:17.190 Wir haben den Körper, wir haben das Inertialsystem, wählen ein 41:17.190 --> 41:27.130 Koordinatensystem im Inertialsystem, also Ursprung in O, dann haben 41:27.130 --> 41:27.750 wir den Körper. 41:28.750 --> 41:37.590 Wir wählen den Bezugspunkt Q auf dem Körper, beschrieben durch den 41:37.590 --> 41:38.970 Ortsvektor RQ. 41:38.970 --> 41:50.210 Wir haben dann den Punkt P mit dem Ortsvektor RP sowie dem 41:50.210 --> 41:58.120 Relativvektor Rrelativ. 41:58.940 --> 42:11.000 Es gilt RP gleich RQ plus Rrelativ, dementsprechend folgt für die 42:11.000 --> 42:16.940 Geschwindigkeit des Punktes P VP gleich Ableitung. 42:20.730 --> 42:28.870 Zunächst mal des Ortsvektors RP nach der Zeit im Inertialsystem, damit 42:28.870 --> 42:36.770 Ableitung des Vektors RQ nach der Zeit im Inertialsystem plus 42:36.770 --> 42:44.410 Ableitung des Relativvektors nach der Zeit im Inertialsystem. 42:45.450 --> 42:50.290 Wir wissen, die Ableitung des Ortsvektors des Punktes Q im 42:50.290 --> 42:55.910 Inertialsystem, das ist gerade die Geschwindigkeit des Punktes Q VQ 42:55.910 --> 43:03.170 und wir wissen, die Ableitung des Relativvektors, die können wir 43:03.170 --> 43:10.390 umschreiben als Ableitung des Relativvektors nach der Zeit im 43:10.390 --> 43:11.410 Körperfestenbezugssystem. 43:11.410 --> 43:16.110 Da jetzt aber ein Stagkörper vorliegt, wird diese Ableitung eben 43:16.110 --> 43:19.530 wieder Null sein, das können wir schon an der Stelle angeben. 43:21.110 --> 43:26.350 Plus, und jetzt aufgrund der Ableitungsregel, wissen wir, es fehlt ein 43:26.350 --> 43:33.030 Term Omega von dem Bezugssystem, in dem wir jetzt zunächst ableiten, 43:33.130 --> 43:37.110 das ist das K bezüglich dem Bezugssystem, in dem eigentlich die 43:37.110 --> 43:39.870 Ableitung gebildet werden soll, das war das Inertialsystem. 43:40.670 --> 43:43.830 Kreuz den Vektor, den wir ableiten und an der Stelle leiten wir immer 43:43.830 --> 43:52.360 noch ab den Vektor R relativ, sodass wir letztendlich für die 43:52.360 --> 43:55.280 Geschwindigkeit des Punktes P erhalten. 43:58.980 --> 44:05.460 VP gleich VQ, der mittlere Term fällt weg, bleibt noch übrig, plus 44:05.460 --> 44:07.600 Omega von K in I. 44:10.940 --> 44:14.380 Kreuz R relativ. 44:35.540 --> 44:39.430 Aus diesen Termen berechnen wir dann die Beschleunigung des Punktes P 44:39.430 --> 44:44.250 durch erneutes Ableiten nach der Zeit im Inertialsystem. 44:52.110 --> 44:54.230 Also analog Beschleunigung, 45:01.780 --> 45:05.940 da wissen wir, die Beschleunigung des Punktes P ist Ableitung der 45:05.940 --> 45:11.020 Geschwindigkeit des Punktes P nach der Zeit im Inertialsystem, dann 45:11.020 --> 45:18.740 haben wir die verschiedenen Terme, ergibt also DVQ nach DT in I, wenn 45:18.740 --> 45:21.500 wir das scharf anschauen, dann wissen wir, das ist gerade die 45:21.500 --> 45:27.600 Beschleunigung des Punktes Q im Inertialsystem, plus, und jetzt haben 45:27.600 --> 45:31.580 wir ein Kreuzprodukt, das heißt wir müssen die Produktregel anwenden, 45:31.780 --> 45:41.920 gibt also D Omega von K in I nach DT in I, Kreuz R relativ, plus eben 45:41.920 --> 45:43.420 Omega von K in I, 45:46.440 --> 45:53.300 Kreuz der Ableitung des Relativvektors nach der Zeit in I, 45:56.840 --> 46:00.020 wir hatten gesagt, der erste Term, das ist die Beschleunigung des 46:00.020 --> 46:10.580 Punktes Q, ich schreibe mal AQ in Klammer im Inertialsystem, plus, und 46:10.580 --> 46:15.340 jetzt haben wir an der Stelle die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit 46:15.340 --> 46:19.080 nach der Zeit im Inertialsystem, wir haben mal hergeleitet, da ist es 46:19.080 --> 46:21.860 irrelevant, ob wir im Inertialsystem ableiten oder im 46:21.860 --> 46:24.880 Körperfestenbezugssystem, weil wenn wir zunächst im 46:24.880 --> 46:27.980 Körperfestenbezugssystem ableiten, dann kommt noch das Kreuzprodukt 46:27.980 --> 46:33.180 hinzu, allerdings das Kreuzprodukt von Omega von K in I, Kreuz Omega 46:33.180 --> 46:38.740 von K in I, das war gerade 0, also letztendlich dürfen wir deshalb 46:38.740 --> 46:48.800 hier auch schreiben, Omega von K in I Punkt, Kreuz R relativ, plus 46:48.800 --> 46:54.600 Omega von K in I, und jetzt die Ableitung des Relativvektors nach der 46:54.600 --> 46:58.320 Zeit im Inertialsystem, das hatten wir hier oben schon mal, das ist 46:58.320 --> 47:01.000 gerade Omega von K in I, Kreuz R relativ. 47:02.400 --> 47:10.000 Also Kreuz, und jetzt der letzte Term, ergibt Omega von K in I, Kreuz 47:10.000 --> 47:13.220 R relativ. 47:14.140 --> 47:21.220 Wie gesagt, das entspricht jetzt der Beschleunigung des Punktes P im 47:21.220 --> 47:22.020 Inertialsystem. 47:24.040 --> 47:29.920 Sie sollten durchaus mal hergehen und versuchen, diese Formeln einfach 47:29.920 --> 47:30.280 nachzuvollziehen. 47:31.260 --> 47:34.960 Schauen Sie sich dazu nochmal die Kapitel an, die wir bei der 47:34.960 --> 47:36.420 Relativmechanik behandelt hatten. 47:45.410 --> 47:51.190 Und wenn man genau hinschaut, dann haben wir bei der Herleitung der 47:51.190 --> 47:54.490 Formeln für die Geschwindigkeit des Punktes P und für die 47:54.490 --> 47:58.810 Beschleunigung des Punktes P an keiner Stelle jetzt zunächst mal 47:58.810 --> 48:03.490 verwendet, dass eine ebene Bewegung vorliegt. 48:03.950 --> 48:07.110 Also diese beiden Gleichungen für Geschwindigkeit und Beschleunigung 48:07.110 --> 48:12.330 des Punktes P, die gelten auch dann, wenn eine allgemein räumliche 48:12.330 --> 48:13.350 Bewegung vorliegt. 48:14.050 --> 48:17.290 Für eine ebene Bewegung allerdings wird es ein bisschen einfacher, 48:18.070 --> 48:24.630 weil dann die Winkelbeschleunigung ein Vektor ist, der die Richtung 48:24.630 --> 48:28.150 nicht ändert und in die gleiche Richtung zeigt, wie die 48:28.150 --> 48:32.130 Winkelgeschwindigkeit, nämlich senkrecht zur Bewegungsebene und die 48:32.130 --> 48:35.790 Winkelgeschwindigkeit, auch das ist ein Vektor bei der ebenen 48:35.790 --> 48:41.210 Bewegung, der die Richtung nicht ändert und ständig senkrecht auf der 48:41.210 --> 48:42.950 Bewegungsebene steht. 48:44.120 --> 48:47.210 Also das macht das Ganze eben sehr, sehr viel einfacher. 49:05.880 --> 49:17.360 Also Sonderfallebene Bewegung, ich schreibe mal in der XY-Ebene mit 49:24.880 --> 49:31.620 Omega von K in I, K in I ist 49:35.100 --> 49:43.840 Omega EZ und Omega von K in I Punkt, die Winkelbeschleunigung ist dann 49:43.840 --> 49:46.500 eben Omega Punkt EZ. 50:22.910 --> 50:26.470 Das heißt, wenn wir jetzt den Körper anschauen, dann haben wir gesagt, 50:26.590 --> 50:30.150 das Ganze findet in der XY-Ebene statt. 50:33.920 --> 50:35.720 Wir haben den Körper, 50:40.080 --> 50:41.760 wir haben den Bezugspunkt Q, 50:45.120 --> 50:49.860 wir haben den Punkt P mit 50:57.470 --> 51:18.730 RP beziehungsweise RQ, sowie den Relativvektor Rrelativ, das heißt 51:18.730 --> 51:37.510 zunächst mal gilt RP gleich RQ plus Rrelativ und wenn alles in der XY 51:37.510 --> 51:47.450 -Ebene verläuft, dann können wir in dem Falle Einheitsvektoren ER und 51:47.450 --> 52:00.710 EFI derartig einführen, dass ER in Richtung von Rrelativ zeigt, EFI 52:00.710 --> 52:02.750 senkrecht darauf steht. 52:11.450 --> 52:15.770 Bei der Relativmechanik hatten wir das schon ähnlich gemacht, wenn es 52:15.770 --> 52:18.190 sich um eine ebene Bewegung gehandelt hat. 52:18.850 --> 52:26.230 Das heißt, in dem Falle können wir jetzt sagen, das ergibt RQ plus 52:26.230 --> 52:36.330 Länge des Relativvektors, sagen wir das ist R, in Richtung von ER. 52:39.840 --> 52:42.940 An der Stelle müssen wir ein bisschen aufpassen, nämlich wenn wir 52:42.940 --> 52:49.220 jetzt einen Körper haben, der nicht beliebig dünn ist, bei dem ist es 52:49.220 --> 52:53.700 vorstellungsmäßig sehr leicht, sondern eben beliebig ist, wir haben ja 52:53.700 --> 52:58.340 nur gesagt, er bewegt sich eben, das heißt die einzelnen Punkte 52:58.340 --> 53:01.820 bewegen sich in Ebenen, die parallel zueinander sind, das heißt 53:01.820 --> 53:04.560 Punkte, die weiter oben sind, bewegen sich in einer anderen Ebene als 53:04.560 --> 53:05.800 Punkte, die weiter unten sind. 53:07.480 --> 53:13.320 Dann kommt hier beim Relativvektor noch ein Anteil in Z-Richtung 53:13.320 --> 53:19.880 hinzu, aber wir haben schon oben oder vorher bei der Rotation des 53:19.880 --> 53:24.820 starren Körpers um eine raumfeste Achse gesehen, dass dieser Anteil in 53:24.820 --> 53:30.380 Z -Richtung, dass der in dem Falle bei der Kinematik keine große Rolle 53:30.380 --> 53:36.040 spielt, der spielt höchstens später bei der Kinetik eine entsprechende 53:36.040 --> 53:36.820 Rolle. 53:39.180 --> 53:42.820 Jetzt machen wir wieder mal ein kurzes Gedankenexperiment, ob die 53:42.820 --> 53:44.080 Studenten mir folgen können. 53:46.820 --> 53:54.800 Bei der Kinetik spielt die Dickenrichtung durchaus eine Rolle, wenn 53:54.800 --> 53:58.680 man als Beispiel das Auto nimmt. 53:59.880 --> 54:00.860 Wer fährt Auto? 54:03.900 --> 54:06.240 Wer hat beim Auto schon mal die Reifen gewechselt? 54:08.380 --> 54:11.560 Wer hat nicht nur die Reifen gewechselt, sondern war in der Werkstatt 54:11.560 --> 54:13.520 und hat praktisch neue Reifen aufziehen lassen? 54:15.100 --> 54:17.640 Das macht wahrscheinlich immer der Papa, weil man da kräftig zahlen 54:17.640 --> 54:17.940 muss. 54:20.300 --> 54:21.840 Was wird dort gemacht? 54:25.600 --> 54:27.520 Und dort wird ausgewuchtet. 54:28.300 --> 54:30.580 Was hat denn das Ganze jetzt hiermit zu tun? 54:31.240 --> 54:34.300 Stellen Sie sich einfach mal gedankenmäßig vor, Sie fahren auf der 54:34.300 --> 54:41.200 Autobahn, schnurgerade Strecke, relativ schnell, dann macht der Reifen 54:41.200 --> 54:42.580 eine ebene Bewegung. 54:43.380 --> 54:46.620 Er macht eine Translation und gleichzeitig eine Rotation. 54:46.920 --> 54:49.880 Also gerade das, was wir jetzt hier betrachtet haben. 54:49.880 --> 54:54.240 Das heißt, die Punkte des Reifens, die bewegen sich alle in Ebenen, 54:54.300 --> 54:55.560 die parallel zueinander sind. 54:56.820 --> 54:59.580 Für die Kinematik ist das zunächst mal okay. 55:00.280 --> 55:03.220 Für die Kinetik, und das werden wir noch sehen, und das wird besonders 55:03.220 --> 55:06.460 wichtig im nächsten Semester, weil es dann schon mal in Richtung 55:06.460 --> 55:11.880 allgemeinräumliche Bewegung geht, ist es natürlich so, dass die 55:11.880 --> 55:18.480 einzelnen Massenpunkte dann relativ zur Drehachse des Reifens auf 55:18.480 --> 55:27.040 Kreisbahnen sich bewegen und die Bewegung auf den Kreisbahnen zu 55:27.040 --> 55:28.080 Fliehkräften führt. 55:29.480 --> 55:32.580 Und jetzt kann man sich vorstellen, wenn die Verteilung der 55:32.580 --> 55:38.140 Fliehkräfte in dicken Richtungen, wenn die nicht ideal ist, was 55:38.140 --> 55:39.060 passiert plötzlich? 55:39.440 --> 55:46.380 Plötzlich gibt es da irgendwelche Momente, solche Schleudermomente. 55:47.080 --> 55:50.040 Und das merken Sie dann natürlich im Auto, wenn Sie fahren, weil dann 55:50.040 --> 55:54.320 plötzlich der Reifen versucht, sich während einer Umdrehung immer so 55:54.320 --> 55:54.980 zu bewegen. 55:55.540 --> 55:58.860 Das müssen Sie mit dem Lenkrad dagegenhalten, also irgendwann wackeln 55:58.860 --> 55:59.700 Ihnen dann die Finger. 56:00.400 --> 56:01.940 Das wird natürlich auch ziemlich unsicher. 56:02.600 --> 56:05.880 Lange Rede, kurzer Sinn, der Mechaniker in der Werkstatt, der sorgt 56:05.880 --> 56:08.960 dann letztendlich dafür, dass gerade dieses Phänomen nicht auftritt, 56:09.780 --> 56:11.120 indem er den Reifen auswuchtet. 56:11.720 --> 56:14.680 Aber wie gesagt, wir sind hier jetzt bei der Kinematik, und bei der 56:14.680 --> 56:17.600 Kinematik haben wir gesehen, na gut, die Komponente in dicken 56:17.600 --> 56:21.420 Richtungen, die spielt keine große Rolle als Hausaufgabe über 56:21.420 --> 56:24.380 Weihnachten, weil ja so viele Vorlesungen ausfallen. 56:24.820 --> 56:27.980 Versuchen Sie mal, die Z-Komponente hier mitzunehmen und zu schauen, 56:28.100 --> 56:29.780 was sich letztendlich als Ergebnis ergibt. 56:30.640 --> 56:35.000 Wir beschränken es an der Stelle darauf, dass wir sagen, na gut, die Z 56:35.000 --> 56:38.260 -Komponente können wir auf jeden Fall vernachlässigen, wenn unser 56:38.260 --> 56:41.880 Körper beliebig dünn ist, dann sind alle Punkte in der XY-Ebene. 56:41.880 --> 56:44.820 Wie gesagt, wenn wir die Z-Ebene mitnehmen, wird es nur etwas 56:44.820 --> 56:48.600 komplizierter, unübersichtlicher, aber letztendlich ändert sich nicht 56:48.600 --> 56:48.860 viel. 56:52.020 --> 56:58.220 Nun, die Geschwindigkeit des Punktes P, da wissen wir, das gibt die 56:58.220 --> 56:59.780 Geschwindigkeit des Punktes Q, 57:07.930 --> 57:11.270 plus, jetzt müssen wir R, E, R ableiten. 57:12.230 --> 57:14.810 Was ergibt R, E, R abgeleitet? 57:15.630 --> 57:19.910 Nun, der Abstand der Punkte P und Q, der ändert sich nicht, also das R 57:19.910 --> 57:26.630 wird konstant sein, aber das E, R, das ändert sich natürlich, das 57:26.630 --> 57:30.350 ändert die Richtung, wenn der Körper sich dreht und da haben wir 57:30.350 --> 57:35.890 gesehen, die Änderung des Einheitsvektors mit der Zeit ist in dem Fall 57:35.890 --> 57:36.950 gerade Omega, 57:40.050 --> 57:43.550 E, Phi und was noch fehlt, ist der Vorfaktor R. 57:45.310 --> 57:47.750 Also im Grunde genommen hat man das auch schon mal behandelt. 57:48.670 --> 57:53.010 Und ganz analog ergibt sich dann für die Beschleunigung des Punktes P, 57:54.270 --> 58:02.070 zunächst mal die Beschleunigung des Punktes Q, wenn wir Omega, R, E, 58:02.190 --> 58:07.210 Phi ableiten, dann sehen wir, Omega kann sich mit der Zeit ändern, 58:07.430 --> 58:10.770 wenn nämlich die Winkelgeschwindigkeit sich betragsmäßig ändert, das 58:10.770 --> 58:13.430 R, der Abstand der beiden Punkte, der ändert sich nicht, ist eine 58:13.430 --> 58:17.370 Konstante, das E, Phi, der Einheitsvektor in Phi-Richtung, auch der 58:17.370 --> 58:22.150 ändert die Richtung, wenn sich der Körper dreht, das heißt, wir haben 58:22.150 --> 58:27.510 da ebenfalls einen entsprechenden Anteil, sodass sich letztendlich 58:27.510 --> 58:31.190 ergibt, laut Produktregel, Omega Punkt R, E, Phi, 58:34.590 --> 58:41.830 plus, und jetzt haben wir Omega, R, mal der Zeitableitung von E, Phi, 58:41.930 --> 58:48.550 die Zeitableitung von E, Phi ist aber, was war das, minus Omega mal E, 58:48.610 --> 58:57.670 R, ergibt also Omega Quadrat R, mal minus E, R, ich schreibe es mal 58:57.670 --> 59:00.630 so, wir hätten auch schreiben können, minus Omega Quadrat R, E, R. 59:02.930 --> 59:05.290 Wie gesagt, das ist wieder so ein Zentripetalanteil. 59:11.010 --> 59:14.650 Nun, bei einer ebenen Bewegung kann man das grafisch auch sehr schön 59:14.650 --> 59:30.600 darstellen, bei einer ebenen Bewegung, 59:36.800 --> 59:43.460 wir haben also XY, nochmal, dass wir uns das vorstellen können, dann 59:43.460 --> 59:48.280 hat man gesagt, wir hatten irgendwo den Punkt Q, und den Punkt P, 59:57.670 --> 01:00:09.570 dann haben wir am Punkt Q, die Geschwindigkeit VQ, am Punkt P, 01:00:13.080 --> 01:00:16.140 da haben wir als Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit des Punktes Q, 01:00:16.140 --> 01:00:17.940 fragen wir die mal an, 01:00:21.750 --> 01:00:30.670 plus Omega R, E, Phi, das ist also ein Anteil, der senkrecht zur Achse 01:00:30.670 --> 01:00:38.490 Q, P steht, also das ist ein Anteil hier senkrecht darauf, nennen wir 01:00:38.490 --> 01:00:41.650 den mal Omega 01:00:44.940 --> 01:00:50.740 R, E, Phi, und wie lang das dieser Pfeil ist, das hängt natürlich auch 01:00:50.740 --> 01:00:55.260 davon ab, wie groß Omega ist, und wie groß R ist, müssen wir dann 01:00:55.260 --> 01:00:58.880 maßstäblich machen, und wir sehen, die Geschwindigkeit des Punktes Q 01:00:58.880 --> 01:01:02.700 setzt sich vektorell zusammen aus diesen beiden Anteilen, das heißt, 01:01:02.760 --> 01:01:07.580 jetzt brauchen wir noch praktisch die Parallelogrammregel und erhalten 01:01:07.580 --> 01:01:12.300 dementsprechend hier die Geschwindigkeit des Punktes P. 01:01:20.170 --> 01:01:22.870 Ganz analog, die Beschleunigung, 01:01:36.850 --> 01:01:48.890 wir haben den Punkt Q, der eine Beschleunigung AQ hat, wir haben den 01:01:48.890 --> 01:01:50.050 Punkt P, 01:01:55.340 --> 01:01:58.940 die Beschleunigung des Punktes P, haben wir gesehen, setzt sich 01:01:58.940 --> 01:02:01.800 zusammen aus der Beschleunigung des Punktes Q, 01:02:11.280 --> 01:02:15.480 beziehungsweise ich mache es mal anders, ich nehme mal zunächst die 01:02:15.480 --> 01:02:21.480 beiden anderen Anteile, nämlich den Anteil Omega Punkt mal R in 01:02:21.480 --> 01:02:27.180 Richtung von E, Phi, E, Phi war senkrecht auf der Geraden zwischen Q 01:02:27.180 --> 01:02:39.200 und P, das ergibt also einen Anteil Omega Punkt R E Phi, dann haben 01:02:39.200 --> 01:02:49.310 wir den Anteil Minus Omega Quadrat mal R mal ER, das ist der Anteil 01:02:49.310 --> 01:02:50.250 hier nach unten, 01:02:55.130 --> 01:03:01.770 mit einem Minuszeichen, und wie gesagt, jetzt müssen wir alle drei 01:03:01.770 --> 01:03:10.050 Anteile addieren, das heißt wir addieren zunächst mal das AQ zu Omega 01:03:10.050 --> 01:03:19.350 Punkt R E Phi hinzu, das waren dann hier AQ, dann noch den Anteil 01:03:19.350 --> 01:03:21.310 Minus Omega Quadrat R ER 01:03:26.860 --> 01:03:31.880 und erhalten somit als Ergebnis die Beschleunigung des Punktes P, als 01:03:31.880 --> 01:03:36.520 Pfeil von P zur Spitze des letzten Vektors, also das entspricht gerade 01:03:36.520 --> 01:03:39.140 der Beschleunigung des Punktes P. 01:03:42.560 --> 01:03:45.260 Gibt es soweit Fragen? 01:03:47.860 --> 01:03:52.800 Wenn wir nicht, dann machen wir jetzt ein paar Beispiele, ich würde 01:03:52.800 --> 01:03:54.100 aber kurz vorher die Tafel wischen. 01:06:28.320 --> 01:06:32.040 Und zwar betrachten wir die Schubkurbel für verschiedene Stellungen. 01:07:02.920 --> 01:07:06.060 Zunächst mal in 01:07:10.600 --> 01:07:14.240 einer Stellung, bei der wir die Kurbel haben, 01:07:19.710 --> 01:07:26.690 die gegenüber der Horizontalen den Winkel Phi einschließt. 01:07:29.010 --> 01:07:34.130 Wir wissen, das Ende der Kurbel bewegt sich auf einer Kreisbahn, ich 01:07:34.130 --> 01:07:35.190 deute das mal so an. 01:07:36.070 --> 01:07:39.070 Jetzt haben wir die Schubstange, die Schubstange sei so, 01:07:39.410 --> 01:07:44.510 beziehungsweise die Kurbel hat die Länge R, gleichzeitig der Radius 01:07:44.510 --> 01:07:48.190 des Kreises, welchen der Gelenkpunkt beschreibt. 01:07:49.750 --> 01:07:51.070 Nehmen wir den mal den Punkt A. 01:07:52.270 --> 01:07:58.710 Und wir haben jetzt die Kurbelstange, die in Verlängerung der Kurbel 01:07:58.710 --> 01:07:59.430 gehen soll. 01:07:59.430 --> 01:08:08.990 Das Ganze ist dann so gelagert, dass praktisch der Punkt B, am Ende 01:08:08.990 --> 01:08:12.590 der Schubstange, dass der vertikal geführt wird. 01:08:14.150 --> 01:08:19.670 Das heißt auch hier haben wir gerade im Moment den Winkel Phi. 01:08:20.830 --> 01:08:25.690 Wohlwissend, dass wenn die Bewegung weiter verläuft, der Winkel der 01:08:25.690 --> 01:08:28.990 Kurbel nicht dem Winkel der Schubstange entspricht, die müsste man 01:08:28.990 --> 01:08:30.710 also unterscheiden. 01:08:30.830 --> 01:08:34.230 Aber wie gesagt, in der augenblicklichen Stellung ist Phi der Winkel, 01:08:34.590 --> 01:08:35.430 der beide beschreibt. 01:08:38.890 --> 01:08:42.230 Und dementsprechend haben wir für die Kurbel eine 01:08:42.230 --> 01:08:44.230 Winkelgeschwindigkeit Omega 1. 01:08:44.850 --> 01:08:48.030 Die Winkelgeschwindigkeit der Schubstange wird allerdings verschieden 01:08:48.030 --> 01:08:50.310 sein, nennen wir die mal Omega 2. 01:08:51.110 --> 01:08:56.670 Und wir nehmen an, dass die Länge der Schubstange gerade L ist. 01:08:56.670 --> 01:09:00.730 Wie gesagt, im Gegensatz zum Radius R der Kurbel. 01:09:02.610 --> 01:09:06.970 Und wenn wir zunächst das Ganze rechnerisch machen, dann liegt es 01:09:06.970 --> 01:09:09.630 vielleicht nahe, dass wir ein entsprechendes Koordinatensystem 01:09:09.630 --> 01:09:10.010 einführen. 01:09:11.570 --> 01:09:16.090 XY mit Ursprung im Lager der Kurbel. 01:09:21.720 --> 01:09:23.060 Wir hatten gesehen, 01:09:28.800 --> 01:09:33.940 wenn wir jetzt die Drehung der Kurbel vorgeben, dann ist die Kurbel 01:09:33.940 --> 01:09:37.480 zwar ein starrer Körper, aber wir kennen dann letztendlich die 01:09:37.480 --> 01:09:39.480 Geschwindigkeit aller Punkte auf der Kurbel. 01:09:40.100 --> 01:09:43.900 Damit auch die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A. 01:09:46.380 --> 01:09:52.560 Und das Problem ist jetzt, wie sieht das Ganze für die Schubstange 01:09:52.560 --> 01:09:52.920 aus? 01:09:53.100 --> 01:09:54.380 Hier oben haben wir den Punkt B. 01:09:55.040 --> 01:09:59.220 Wie groß ist die Geschwindigkeit des Punktes B in der augenblicklichen 01:09:59.220 --> 01:09:59.680 Stellung? 01:10:01.160 --> 01:10:05.180 Und wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit Omega 2 des Omega 1? 01:10:05.240 --> 01:10:08.760 Das können wir vorgeben, aber die Frage ist, wie groß ist Omega 2? 01:10:11.480 --> 01:10:15.840 Das heißt, jetzt betrachten wir die Schubstange als starren Körper und 01:10:15.840 --> 01:10:20.460 wir sehen als Bezugspunkt, von dem wir die Geschwindigkeit kennen, 01:10:20.860 --> 01:10:23.540 haben wir dann natürlich sofort den Gelenkpunkt A. 01:10:24.240 --> 01:10:29.000 Und wie gesagt, wichtig ist dann die Geschwindigkeit des Punktes B. 01:10:29.000 --> 01:10:33.840 Wobei wir an der Stelle schon sagen können, so ganz unbekannt ist die 01:10:33.840 --> 01:10:35.680 Geschwindigkeit des Punktes B nicht. 01:10:35.820 --> 01:10:40.380 Was wir auf jeden Fall kennen, ist die Richtung. 01:10:41.660 --> 01:10:45.640 Nämlich die Geschwindigkeit des Punktes B muss ein Vektor sein, der 01:10:45.640 --> 01:10:48.540 praktisch vertikal eine Richtung hat. 01:10:50.360 --> 01:10:51.500 So, schauen wir mal. 01:10:51.960 --> 01:10:56.520 Wir wissen auf jeden Fall, die Geschwindigkeit des Punktes A, des 01:10:56.520 --> 01:11:01.260 Gelenkpunktes, die ist vorgegeben durch die Drehung der Kurbel. 01:11:02.380 --> 01:11:09.740 Die Geschwindigkeit des Punktes A ist Omega 1 mal R, allerdings so 01:11:11.880 --> 01:11:21.400 gerichtet, dass das in negative X-Richtung zeigt in dem Falle und für 01:11:21.400 --> 01:11:24.280 die augenblickliche Stellung in positive Y-Richtung. 01:11:25.060 --> 01:11:33.120 Also man erkennt die Geschwindigkeit des Punktes A, die ist Omega 1 01:11:33.120 --> 01:11:34.120 mal R 01:11:37.670 --> 01:11:41.610 und man sieht, wenn der Punkt sich hier unten befindet, dann geht die 01:11:41.610 --> 01:11:43.410 ganze Geschwindigkeit in Y-Richtung. 01:11:43.990 --> 01:11:50.110 Also haben wir in X-Richtung den Anteil Sinus Phi, allerdings in 01:11:50.110 --> 01:11:55.730 negative X-Richtung, also Minus Sinus Phi Ex und dementsprechend in 01:11:55.730 --> 01:12:01.790 vertikaler Richtung Plus Cosinus Phi Ey. 01:12:07.120 --> 01:12:10.500 Das ist also, wenn wir das übertragen jetzt, die bekannte 01:12:10.500 --> 01:12:12.220 Geschwindigkeit des Bezugspunktes. 01:12:12.360 --> 01:12:15.080 Früher hat man das mit Q bezeichnet, jetzt Gelenkpunkt A. 01:12:16.560 --> 01:12:27.780 Die Geschwindigkeit des Punktes B ist dementsprechend V A plus, wenn 01:12:27.780 --> 01:12:28.560 wir es abschreiben, 01:12:32.180 --> 01:12:35.040 Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers, wir betrachten die 01:12:35.040 --> 01:12:38.060 Schubsprange, also haben wir da die Winkelgeschwindigkeit Omega 2 01:12:41.120 --> 01:12:50.980 mal Abstand der beiden Punkte, das war L, in Richtung von E Phi, wobei 01:12:50.980 --> 01:12:56.940 E Phi, das war ein Vektor, der senkrecht auf der Verbindungsgrade 01:12:56.940 --> 01:13:03.240 zwischen A und B liegt, also der Vektor E Phi zeigt hier irgendwo in 01:13:03.240 --> 01:13:03.680 die Richtung. 01:13:06.700 --> 01:13:13.840 Oder, wenn wir das wieder rechnerisch machen, dann sehen wir die 01:13:13.840 --> 01:13:18.920 Geschwindigkeit des Punktes B, muss also sein V A, das war minus Omega 01:13:18.920 --> 01:13:34.100 1 R Sinus Phi E X plus Omega 1 R Cosinus Phi E Y plus Omega 2 L mal E 01:13:34.100 --> 01:13:34.360 Phi. 01:13:35.620 --> 01:13:42.760 Nun, wir sehen, E Phi können wir in die gleichen Anteile zerlegen wie 01:13:42.760 --> 01:13:48.320 die Geschwindigkeit V A, weil nämlich die Richtung von E Phi dieselbe 01:13:48.320 --> 01:13:54.020 ist wie die Richtung von V A, also steht hier minus Omega 2 L 01:13:57.240 --> 01:13:59.960 Entschuldigung, E X plus 01:14:03.920 --> 01:14:17.540 Sinus Phi E X plus Omega 2 L Cosinus Phi E Y Das heißt, jetzt können 01:14:17.540 --> 01:14:20.760 wir alle X- und Y-Komponenten zusammenfassen. 01:14:26.050 --> 01:14:31.710 Das heißt, für V B ergibt sich zunächst mal in X-Richtung haben wir 01:14:31.710 --> 01:14:38.890 minus Omega 1 R Sinus Phi minus Omega 2 L Sinus Phi, das ergibt minus 01:14:38.890 --> 01:14:52.330 Omega 1 R plus Omega 2 L mal Sinus Phi E X und in Y-Richtung haben wir 01:14:52.330 --> 01:14:56.730 jeweils Omega 1 R beziehungsweise Omega 2 L, jeweils multipliziert mit 01:14:56.730 --> 01:15:10.610 Cosinus Phi, also plus Omega 1 R plus Omega 2 L Cosinus Phi E Y 01:15:17.320 --> 01:15:28.040 Das ergibt V B X in X-Richtung plus V B Y in Y-Richtung, wobei wir 01:15:28.040 --> 01:15:33.320 wissen, dass der Anteil V B X in X-Richtung aufgrund der Lagerung am 01:15:33.320 --> 01:15:35.000 Punkt B gerade verschwinden muss. 01:15:44.950 --> 01:15:54.710 Also, aus Lagerbedingungen folgt V B X gleich 0. 01:15:55.590 --> 01:16:00.430 Das war aber gerade minus Omega 1 R plus Omega 2 L mal Sinus Phi. 01:16:01.530 --> 01:16:05.490 Das heißt, Omega 1 R plus Omega 2 L muss 0 sein. 01:16:19.210 --> 01:16:26.150 Das wiederum bedeutet, Omega 2 ist unbekannt, R, L und Omega 1 wird 01:16:26.150 --> 01:16:27.390 als bekannt vorausgesetzt. 01:16:27.830 --> 01:16:34.830 Das heißt, Omega 2 ist in dem Falle minus Omega 1 R durch L. 01:16:43.310 --> 01:16:50.150 Wenn wir dieses Ergebnis in die Gleichung für V B einsetzen, dann 01:16:50.150 --> 01:16:54.330 sehen wir, V B ist, die erste Klammer war 0. 01:16:54.850 --> 01:16:57.290 Und jetzt sehen wir, wenn die erste Klammer 0 ist, dann ist natürlich 01:16:57.290 --> 01:16:58.490 auch die zweite Klammer 0. 01:16:58.850 --> 01:17:03.250 Das heißt, auch die Y-Komponente der Geschwindigkeit des Punktes B 01:17:03.250 --> 01:17:07.130 verschwindet in dem Falle, sodass für die augenblickliche Stellung 01:17:07.130 --> 01:17:11.330 sich für die Geschwindigkeit des Punktes B gerade der Nullvektor 01:17:11.330 --> 01:17:11.650 ergibt. 01:17:15.840 --> 01:17:22.180 Wenn wir das Ganze grafisch lösen wollen, dann sehen wir, 01:17:28.240 --> 01:17:33.900 grafisch setzt sich die Geschwindigkeit des Punktes B zusammen aus der 01:17:33.900 --> 01:17:35.700 Geschwindigkeit des Punktes A. 01:17:46.680 --> 01:17:47.620 Das war V A. 01:17:52.020 --> 01:17:57.220 Und für die Geschwindigkeit des Punktes B, um die zu erhalten, müssen 01:17:57.220 --> 01:18:08.000 wir jetzt noch den Anteil Omega 2 L mal E phi hinzuaddieren. 01:18:09.220 --> 01:18:12.580 Den kennen wir zwar betragsmäßig nicht, von dem kennen wir aber die 01:18:12.580 --> 01:18:12.940 Richtung. 01:18:16.760 --> 01:18:24.880 Das heißt, der Anteil Omega 2 L E phi, der liegt irgendwo auf der 01:18:24.880 --> 01:18:25.460 Geraden. 01:18:28.460 --> 01:18:32.400 Und als Ergebnis muss sich ein Vektor ergeben, 01:18:35.480 --> 01:18:39.240 der auf der Vertikalen durch den Punkt B liegt. 01:18:39.860 --> 01:18:44.800 Also als Ergebnis für den Punkt B muss sich ein Vektor ergeben, der 01:18:44.800 --> 01:18:46.000 auf der Geraden liegt. 01:18:46.500 --> 01:18:50.940 Und jetzt sehen wir, wenn wir das entsprechend auswerten, dann gibt es 01:18:50.940 --> 01:18:55.860 nur die Möglichkeit, dass eben, ich zeichne das jetzt mal grün ein, 01:18:56.920 --> 01:19:04.180 dass der Vektor Omega 2 L E phi ist. 01:19:04.740 --> 01:19:06.800 Das Omega 2 ist in dem Falle negativ. 01:19:07.420 --> 01:19:11.020 Und als Gesamtergebnis erhalten wir eine Geschwindigkeit, die eben 01:19:11.020 --> 01:19:15.100 gerade dem Nullvektor entspricht, weil dieser Pfeil im Punkt B endet. 01:19:16.800 --> 01:19:18.860 Das ist ein bisschen ein Sonderfall bei der grafischen Lösung. 01:19:22.060 --> 01:19:27.600 Betrachten wir noch eine zweite Stellung. 01:19:49.660 --> 01:19:55.020 Also im Falle B haben wir jetzt wieder die Kurbel, 01:19:59.930 --> 01:20:01.570 die so eine Kreisbahn beschreibt. 01:20:02.330 --> 01:20:03.630 Wir haben wieder den Winkel phi. 01:20:05.190 --> 01:20:08.030 Die Kurbel hat die Winkelgeschwindigkeit Omega 1. 01:20:09.530 --> 01:20:14.510 Jetzt ist aber die Koppelstange so gerichtet, dass die gerade vertikal 01:20:14.510 --> 01:20:14.910 steht. 01:20:15.850 --> 01:20:18.730 Also die Konstruktion sieht jetzt natürlich ein bisschen anders aus. 01:20:19.170 --> 01:20:20.930 Stimmt nicht genau mit dem von oben überein. 01:20:22.310 --> 01:20:25.070 Wiederum hat die Koppelstange die Länge L. 01:20:27.270 --> 01:20:32.710 In dem Falle haben wir noch die Winkelgeschwindigkeit Omega 2 von der 01:20:32.710 --> 01:20:33.210 Koppelstange. 01:20:33.210 --> 01:20:36.870 Wie gesagt, der Winkel der Koppelstange zur Horizontalen beträgt 01:20:36.870 --> 01:20:39.110 gerade 90 Grad. 01:20:41.990 --> 01:20:47.890 Die Geschwindigkeit des Punktes A, die ist wieder bekannt, weil die 01:20:47.890 --> 01:20:55.550 Winkelgeschwindigkeit Omega 1 bekannt ist und die Kurbel den Radius R 01:20:55.550 --> 01:20:55.850 hat. 01:20:58.510 --> 01:21:02.530 Die Koordinaten Achsen X und Y, die zeichne ich jetzt mal nicht ein. 01:21:03.170 --> 01:21:06.970 Wir wissen auf jeden Fall die Geschwindigkeit des Punktes A. 01:21:09.090 --> 01:21:14.010 Die ist im Grunde genommen durch das gegeben, was wir zuvor hatten. 01:21:14.010 --> 01:21:34.550 Also Omega 1 R mal Minus Sinusphi E X plus Cosinusphi E Y und die 01:21:34.550 --> 01:21:37.050 Geschwindigkeit des Punktes B. 01:21:40.030 --> 01:21:43.430 Moment, das sollte natürlich so sein, dass es hier gleiten kann. 01:21:44.370 --> 01:21:48.970 Die Geschwindigkeit des Punktes B, die setzt sich zusammen aus der 01:21:48.970 --> 01:21:57.850 Geschwindigkeit des Punktes A plus die Drehung des Punktes B um den 01:21:57.850 --> 01:21:58.590 Punkt A. 01:21:59.030 --> 01:22:09.470 Das heißt in dem Falle hat E Phi eine Richtung in negative X 01:22:09.470 --> 01:22:15.890 Achsenrichtung, sodass für die Geschwindigkeit des Punktes B sich 01:22:15.890 --> 01:22:22.210 ergibt V A plus Omega 2 L E Phi. 01:22:23.190 --> 01:22:29.610 Wir sehen, das V A, das können wir abschreiben, Omega 1 R minus 01:22:29.610 --> 01:22:43.830 Sinusphi E X plus Cosinusphi E Y und wir sehen, das E Phi lässt sich 01:22:43.830 --> 01:22:45.530 in dem Falle sehr leicht ausdrücken. 01:22:46.110 --> 01:22:51.490 Das ist nämlich gerade Minus E X, sodass jetzt noch folgt Minus Omega 01:22:51.490 --> 01:22:52.770 2 L E X. 01:22:55.330 --> 01:22:56.990 Wir fassen wieder zusammen. 01:22:57.990 --> 01:23:05.770 Alle Anteile in X- und Y-Richtung, das ergibt in dem Falle also Minus 01:23:05.770 --> 01:23:26.390 Omega 1 R Sinusphi plus Omega 2 L in X-Richtung plus Omega 1 R 01:23:26.390 --> 01:23:31.230 Cosinusphi in E Y-Richtung. 01:23:35.310 --> 01:23:41.770 Und wir sehen, auch hier gilt, dass aufgrund der Lagerung die 01:23:41.770 --> 01:23:45.470 Geschwindigkeit des Punktes B keinen Anteil in X-Richtung haben kann, 01:23:46.250 --> 01:23:51.390 das heißt insgesamt muss der Anteil 0 ergeben. 01:23:52.390 --> 01:23:56.910 Das ergibt dann die Forderung, 01:24:15.390 --> 01:24:22.530 also Forderung aus 01:24:25.910 --> 01:24:27.030 Lagerung von B, 01:24:31.460 --> 01:24:34.020 dass eben V B X gleich 0 ist. 01:24:37.280 --> 01:24:46.660 Das war Minus Omega 1 R Sinusphi plus Omega 2 L. 01:24:47.900 --> 01:24:51.780 Und jetzt sehen wir, Omega 2 muss also gerade sein. 01:24:56.220 --> 01:25:03.200 Doch, Minus Omega 1 mal R Sinusphi dividiert durch L. 01:25:10.040 --> 01:25:14.640 Setzen wir das Ergebnis in der Geschwindigkeit für den Punkt B ein, 01:25:14.700 --> 01:25:16.760 dann sehen wir, die X-Komponente fällt weg. 01:25:16.760 --> 01:25:20.780 Es verbleibt einzig und allein Omega 1 R mal Cosinusphi. 01:25:21.220 --> 01:25:32.900 Also V B ergibt sich dann zu Omega 1 R Cosinusphi E Y. 01:25:35.460 --> 01:25:36.980 Nun die grafische Lösung, 01:25:43.340 --> 01:25:45.760 auch die können wir uns nochmal klar machen. 01:25:55.450 --> 01:26:00.690 Wir wissen, die Geschwindigkeit des Punktes B, die setzt sich zusammen 01:26:00.690 --> 01:26:03.090 aus der Geschwindigkeit des Punktes A. 01:26:06.520 --> 01:26:08.720 Soll jetzt also parallel sein und gleich lang. 01:26:14.780 --> 01:26:22.080 Plus die Drehung des Punktes B um den Punkt A, ein Anteil in Richtung 01:26:22.080 --> 01:26:24.940 von E Phi, also in dem Fall in horizontaler Richtung. 01:26:26.800 --> 01:26:31.880 Und das Ganze muss ergeben, einen Vektor, der durch den Punkt B geht 01:26:31.880 --> 01:26:33.700 und vertikal ausgerichtet ist. 01:26:33.700 --> 01:26:35.240 Das hatten wir gesagt. 01:26:41.110 --> 01:26:45.670 Also das Ganze muss einen Vektor ergeben, der so gerichtet ist und wir 01:26:45.670 --> 01:26:49.110 sehen, das geht natürlich nur dadurch, dass wir jetzt hier einen 01:26:49.110 --> 01:26:59.190 Anteil Omega 2 L E Phi haben und sich dadurch ein Vektor ergibt, 01:27:02.630 --> 01:27:05.250 V B in vertikaler Richtung. 01:27:05.810 --> 01:27:06.870 Das war die grafische Lösung. 01:27:08.070 --> 01:27:09.890 Gibt es soweit Fragen? 01:27:27.380 --> 01:27:31.700 Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zum sogenannten Momentanpol. 01:27:51.950 --> 01:27:58.390 Ich hatte schon den Begriff erwähnt, das ist der momentane Punkt, um 01:27:58.390 --> 01:28:02.270 den sich der Körper bei der ebenen Bewegung gerade dreht. 01:28:03.810 --> 01:28:07.290 Dieser Punkt muss nicht auf dem Körper liegen, der kann auch irgendwo 01:28:07.290 --> 01:28:08.470 außerhalb des Körpers liegen. 01:28:09.750 --> 01:28:12.490 Jetzt hat man allerdings zwei Betrachtungsweisen, man kann den Punkt 01:28:12.490 --> 01:28:16.130 immer noch als Teil des Körpers betrachten und kann den Punkt aber 01:28:16.130 --> 01:28:18.410 auch als Teil des Inertialsystems betrachten. 01:28:19.790 --> 01:28:24.190 Und wir haben gesehen, die Lage dieses Punktes, sowohl auf dem Körper 01:28:24.190 --> 01:28:29.470 wie auf dem Inertialsystem, die kann sich ändern mit der Zeit. 01:28:30.730 --> 01:28:37.850 Das heißt, wenn wir alle Punkte in dem körperfesten Bezugssystem 01:28:37.850 --> 01:28:44.430 miteinander verbinden, die irgendwann mal Momentanpol werden, dann 01:28:44.430 --> 01:28:45.790 ergibt das die Gangpolbahn. 01:28:47.170 --> 01:28:50.530 Und wenn wir alle Punkte des Inertialsystems, die irgendwann mal 01:28:50.530 --> 01:28:54.970 Momentanpol werden, miteinander verbinden, dann ergibt das die 01:28:54.970 --> 01:28:55.690 Rastpolbahn. 01:28:55.690 --> 01:29:00.250 Und ohne das hier zu zeigen, rollen beide aufeinander ab. 01:29:00.450 --> 01:29:02.250 Das wäre zum Beispiel auch wichtig bei Getrieben. 01:29:04.190 --> 01:29:09.690 Nun, ich hatte gesagt, der Momentanpol ist der Punkt, um den sich der 01:29:09.690 --> 01:29:15.170 Körper momentan dreht, wobei wir, um das noch zu sagen, bei einer 01:29:15.170 --> 01:29:19.330 reinen Translation natürlich den Momentanpol im Unendlichen liegen 01:29:19.330 --> 01:29:19.690 haben. 01:29:20.410 --> 01:29:25.170 Aber was muss dann letztendlich für den Momentanpol gelten? 01:29:42.020 --> 01:29:49.140 Und die Geschwindigkeit des Momentanpols P, nennen wir den einfach mal 01:29:49.140 --> 01:29:54.340 P, die setzt sich ja zusammen aus der Geschwindigkeit eines Punktes A, 01:29:55.220 --> 01:29:56.400 die wir kennen, 01:30:00.800 --> 01:30:05.860 plus Omega kreuzt den Vektor vom Bezugspunkt, das war in dem Fall der 01:30:05.860 --> 01:30:09.380 Punkt A, zum Punkt, an dem wir die Geschwindigkeit wissen wollen, das 01:30:09.380 --> 01:30:18.040 war der Momentanpol P, also Kreuz R, A, P und wenn der Momentanpol der 01:30:18.040 --> 01:30:21.820 Punkt ist, um den sich der Körper momentan dreht, dann hat er eben die 01:30:21.820 --> 01:30:22.720 Geschwindigkeit Null. 01:30:23.590 --> 01:30:29.760 Also das ist die Forderung, das muss gerade Null ergeben. 01:30:32.100 --> 01:30:36.200 Also mit beliebigem Bezugspunkt A. 01:30:52.880 --> 01:31:05.220 Jetzt machen wir eine Vektormultiplikation von links mit Omega, dann 01:31:05.220 --> 01:31:11.080 ergibt sich Omega kreuz VA, 01:31:15.750 --> 01:31:24.550 plus, und jetzt haben wir Omega kreuz Omega kreuz R, A, P. 01:31:27.650 --> 01:31:31.490 Rechts haben wir Omega kreuz Null, Omega kreuz Null ist immer noch die 01:31:31.490 --> 01:31:31.750 Null. 01:31:38.920 --> 01:31:41.760 Wir können jetzt einführen, dass ja Omega, 01:31:46.800 --> 01:31:50.180 Omega EZ ist, 01:31:54.660 --> 01:32:01.000 VA ist VA mal E Phi 01:32:05.800 --> 01:32:17.800 und RAP ist Betrag des Vektors RAP mal ER. 01:32:18.140 --> 01:32:21.280 Also wir haben im Grunde genommen wieder so eine Art Dreibein 01:32:21.280 --> 01:32:23.300 eingeführt, wie bei Zylinderkoordinaten. 01:32:25.280 --> 01:32:29.800 Setzen das in das Kreuzprodukt ein, 01:32:33.800 --> 01:32:44.100 dann haben wir Omega EZ kreuz VA E Phi 01:32:47.190 --> 01:33:04.500 plus Omega EZ kreuz Omega EZ kreuz RAP ER gleich Null. 01:33:06.900 --> 01:33:11.240 Jetzt ist EZ und ER senkrecht. 01:33:18.650 --> 01:33:19.690 Das heißt, 01:33:22.870 --> 01:33:30.530 EZ kreuz EZ kreuz ER ergibt gerade einen Vektor in negative ER 01:33:30.530 --> 01:33:30.990 -Richtung. 01:33:31.990 --> 01:33:42.890 Also EZ kreuz EZ kreuz ER ergibt dann minus ER. 01:33:49.480 --> 01:34:03.340 Das heißt, wir haben jetzt Omega VA EZ kreuz E Phi 01:34:07.840 --> 01:34:15.220 minus Omega Quadrat RAP ER 01:34:19.850 --> 01:34:29.360 muss Null sein oder, ich schreibe mal auf der linken Tafel hier 01:34:29.360 --> 01:34:48.820 weiter, RAP ER gleich, müssen wir durch Omega Quadrat dividieren und 01:34:48.820 --> 01:34:55.140 eine auf die rechte Seite, also im Grunde genommen VA dividiert durch 01:34:55.140 --> 01:35:03.060 Omega EZ kreuz E Phi 01:35:07.600 --> 01:35:17.680 oder 1 durch Omega Quadrat, wir erweitern also mit Omega, schreiben 01:35:17.680 --> 01:35:22.780 das Omega allerdings vor das EZ und das VA vor das E Phi, gibt also 01:35:22.780 --> 01:35:32.040 Omega EZ kreuz VA E Phi und jetzt sehen wir Omega EZ, das war gerade 01:35:32.040 --> 01:35:36.620 die Geschwindigkeit Omega, das VA E Phi war die Geschwindigkeit VA, 01:35:36.620 --> 01:35:46.620 gibt also 1 dividiert durch Omega Quadrat mal Omega kreuz VA. 01:35:50.170 --> 01:35:53.490 Damit ist die Lage des momentanen Pols bestimmt 01:36:09.770 --> 01:36:15.160 und wir sehen, Omega und VA stehen senkrecht zueinander 01:36:17.900 --> 01:36:23.840 beziehungsweise die Lage des momentanen Pols ist so, dass ausgehend 01:36:23.840 --> 01:36:29.700 von A, der auf einer Geraden liegt, die sowohl senkrecht zu Omega, das 01:36:29.700 --> 01:36:33.480 heißt liegt an der Bewegungsebene, wie auch senkrecht zu VA ist. 01:36:33.920 --> 01:36:39.120 Das heißt, wenn ich jetzt irgendwo mein VA gegeben habe, dann weiß 01:36:39.120 --> 01:36:45.000 ich, dass der Momentanpol irgendwo senkrecht dazu liegt. 01:36:46.080 --> 01:36:52.580 Also wenn ich irgendwo das VA habe, dann weiß ich, mein Momentanpol 01:36:52.580 --> 01:36:56.600 liegt irgendwo auf einer Geraden, die senkrecht zu VA steht. 01:36:56.720 --> 01:37:00.980 Wo er dann genau liegt, das hängt dann von den Größen ab, das muss man 01:37:00.980 --> 01:37:06.980 ausrechnen oder wenn man eben zwei Punkte hat, von denen man aufgrund 01:37:06.980 --> 01:37:13.340 der Lagerung die Richtung kennt, dann kann man auf beiden Punkten die 01:37:13.340 --> 01:37:16.880 Senkrechte zur Geschwindigkeitsrichtung bilden und der Momentanpol 01:37:17.300 --> 01:37:21.740 muss sich dann halt auf dem Schnittpunkt dieser beiden Geraden liegen. 01:37:22.220 --> 01:37:24.780 Ich würde sagen, wir haben jetzt den Momentanpol zumindest mal 01:37:24.780 --> 01:37:27.420 hergeleitet, Sie können sich das über Weihnachten nochmal anschauen. 01:37:27.780 --> 01:37:30.960 Ich weiß, es war am Ende etwas schnell. 01:37:31.980 --> 01:37:36.200 Wir werden, weil jetzt eine größere Pause dazwischen liegt, das 01:37:36.200 --> 01:37:39.500 nochmal ganz kurz wiederholen, aber wirklich nur kurz und dann eher 01:37:39.500 --> 01:37:40.220 Beispiele machen. 01:37:41.960 --> 01:37:44.480 Damit sind wir am Ende der heutigen Vorlesung angelangt. 01:37:44.620 --> 01:37:48.340 Wir schließen deshalb die Vorlesung für dieses Jahr ab. 01:37:48.980 --> 01:37:51.600 Ich hoffe, wir sehen uns alle gesund im neuen Jahr wieder. 01:37:52.660 --> 01:37:57.340 Ich wünsche Ihnen allen ein frohes Weihnachtsfest und, wie sagt man so 01:37:57.340 --> 01:38:01.740 schön, einen möglichst guten Wirkungsgrad des Nikolauses oder des 01:38:01.740 --> 01:38:03.200 Weines des Christkindchens. 01:38:03.200 --> 01:38:08.160 Viel Spaß beim Skifahren, einen guten Rutsch und bis demnächst. 01:38:08.260 --> 01:38:08.660 Vielen Dank.