So, bevor wir richtig einsteigen, und ich mache mir da eigentlich
keine Illusionen, Sie haben jetzt die TM3 wahrscheinlich nicht separat
prüfen lassen, es sei denn vielleicht der eine oder andere
Mechatroniker.
Dementsprechend gehe ich davon aus, dass die TM3 beziehungsweise das
Üben des TM3-Stoffes nicht im Vordergrund während der Vorlesung freien
Zeit stand.
Das heißt, wir müssen uns vielleicht erst nochmal kurz klar machen,
was haben wir in der Dynamik bisher gemacht.
Zunächst hatten wir am Anfang des letzten Semesters die Kinematik
behandelt, nämlich wie bewegt sich ein Punkt, wie können wir so eine
Bewegung des Punktes beschreiten, auch unter Zuhilfenahme
verschiedener Bezugssysteme.
Das war dann auch das, was sich mit der Relativmechanik ergab.
Also dann bewegte Bezugssysteme brauchen aber Geschwindigkeit und vor
allen Dingen Beschleunigung im ruhenden Bezugssystem, also in dem
Bezugssystem, in dem letztendlich die Axiome gelten.
Dann haben wir einfach einen Massenpunkt betrachtet.
Insofern hat man es natürlich leicht, weil dessen Trägheitseigenschaft
wird allein beschrieben durch die Masse.
Und dann wissen wir, der Impuls ist maximal Geschwindigkeit, also
Impuls und Geschwindigkeit haben die gleiche Richtung.
Die unterscheidet sich A durch die Dimension und vielleicht auch
Betrag, oder wenn man da überhaupt vom Betrag reden kann.
Und die Beschleunigung, da besagt das Niemische Grundgesetz, die
Beschleunigung entspricht gerade der am Massenpunkt angreifenden
Kräfte, wenn wir die Beschleunigung noch mit der Masse multiplizieren,
also f gleich m mal a und ausgehend vom einzelnen Massenpunkt haben
wir dann Massenpunktsysteme beschrieben.
Zunächst mal vielleicht unter der Voraussetzung, dass die einzelnen
Kräfte zwischen den Massenpunkten zunächst mal in Richtung der
Verbindungsgeraden liegen, also solche zentralen Kräfte, dann reicht
wirklich das Niemische Grundgesetz, um das zu beschreiben.
In dem Fall, in dem das nicht mehr gewährleistet ist, da brauchen wir
dann letztendlich den Trallsatz als eigenständiges Axiom hinzu.
Und wenn wir eben dann sukzessive die Zahl der Massenpunkte erhöhen
und hin zu einem starren Körper kommen, dann brauchen wir sowieso
Impuls und Trallsatz oder Impulssatz und Holzmannaxiom als
eigenständige Axiome.
Und wir haben es uns aber an der Stelle wieder sehr einfach gemacht,
denn wir haben gesagt, wenn wir so einen starren Körper betrachten,
der bewegt sich, dann nehmen wir doch mal glatt an, dass die Bewegung
eben ist, das heißt die einzelnen Punkte des Körpers, die bewegen sich
in Ebenen und die einzelnen Ebenen, die sind noch parallel zueinander.
Das heißt, selbst wenn sich die Bewegung des Körpers zusammensetzt aus
Translation und Rotation, dann ist die Winkelgeschwindigkeit, welche
die Rotation beschreibt, immer ein Vektor, der senkrecht zur
Bewegungsebene steht, der also nicht die Richtung ändert.
Und letztendlich konnten wir für den Fall auch dann den Momentanpol
definieren, der Punkt, um den der Körper momentan rotiert.
Unter Umständen kann der allerdings im unendlichen liegen.
So, jetzt, wie sieht es aus, wenn wir das ein bisschen
verkomplizieren?
Bezüglich dem Momentanpol kann man sich sehr leicht vorstellen, wenn
der Körper rotiert, wie jetzt hier, dann gibt es eine Rotationsachse,
also wird der Momentanpol da auf der Achse liegen oder die
Momentanpole für die zugehörigen Ebenen.
Wenn jetzt aber gleichzeitig eine Translationsbewegung in Richtung der
Drehachse erfolgt, dann gibt es eben keinen Punkt mehr des Körpers,
der in Ruhe ist.
Also das ist so ein kleiner Unterschied zur ebenen Bewegung.
Aber, was natürlich noch viel komplizierter ist, das ist, wenn ich
einfach so eine räumliche Bewegung habe, dann sieht man schon, wer ein
schnelles Auge hat, dass bei so einer Bewegung plötzlich der Körper
anfängt zu taumeln.
Der dreht also nicht nur um eine Achse, die längs des Drehsens hier
liegt, sondern der beginnt auch noch sich so komisch zu drehen.
Nun, wenn ich eine Drehung will, bei der die Drehachse sich nicht
ändert, dann sehen wir, dann geht es natürlich auch.
Und um dem mal ein bisschen vorzugreifen, wenn ich diesen Körper um
die Längsachse rotieren lasse, dann funktioniert das auch relativ gut.
Lediglich die Drehung um die entsprechende Achse, die ich im Netz
drehen lasse, die bereitet da ein bisschen Schwierigkeiten.
Sie können es mal selbst zu Hause ausprobieren.
Das ist gar nicht so einfach, den in Anfangsbedingungen zu versetzen,
sodass der wirklich nährungsweise nur noch um die Längsachse dreht
hier.
Man schafft es nur durch Zufall.
Also, was wir jetzt angehen wollen, ist eine allgemein räumliche
Bewegung und wir machen das so, dass wir das schon unter das Kapitel
stellen, Systeme starrer Körper.
Vielleicht noch ein kleiner Hinweis in eigener Sache.
Ich würde Sie bitten, während der Vorlesung wirklich den Lärmpegel
etwas ruhig zu halten.
Ich hoffe auch, dass meine Konzentration nicht nachlässt.
Ich muss ganz ehrlich dazu sagen, ich hatte die zwei Blöcke vorher
auch schon Vorlesung und sechs Stunden Seemann am Stück.
Das ist wahrscheinlich für die Studenten schon anstrengend.
Das ist auch für den Seemann selbst noch ein bisschen mehr
anstrengend.
Also insofern hoffe ich, dass ich das physikalisch durchstehe.
So,
vorher hatten wir eine Drehung des Körpers um eine Achse.
Mit konstanter Richtung.
Wie gesagt, senkrecht zur Bewegungsebene.
Jetzt wollen wir eine allgemein räumliche Bewegung haben und
eben den Körper auch bei einer entsprechenden allgemein räumlichen
Bewegung beschreiben und behandeln zu können.
Und auch Mehrkörpersysteme, die sich aus mehreren Körpern
zusammensetzen, müssen wir natürlich zunächst mal nochmal Wert auf den
Einzelkörper legen.
Also deshalb zunächst Betrachtung eines
Einzelkörpers, deshalb die allgemein räumliche Bewegung eines
einzelnen Körpers, also eines Einzelkörpers.
Und dann machen wir das Ganze im Grunde genommen wie früher auch.
Wir unterteilen das Ganze mal in eine Kinematik, wobei uns relativ
schnell klar sein sollte, dass das Problem natürlich auch darin liegt,
wie können wir eigentlich die Lage beziehungsweise noch viel schlimmer
die Orientierung des Körpers beschreiben.
Je nachdem wie der Körper orientiert ist, ändert das natürlich dessen
Position beziehungsweise Orientierung.
Also zunächst mal die Kinematik.
Das heißt, wir brauchen jetzt zunächst mal die Grundlagen der
räumlichen Drehung.
Ja, wie beschreiben wir eigentlich die Orientierung?
Und wir wissen, wenn wir so einen Körper haben und die Position
beschreiben, Position x, y und z, das geht eigentlich nur für einen
einzelnen Punkt.
Das heißt, wir machen das wie früher schon.
Wir wählen uns einen Bezugspunkt auf den Körper.
Das kann zum Beispiel der Schwerpunkt sein.
Das könnte jetzt aber, weil ich es dann relativ einfach habe, auch so
ein Eckpunkt sein.
Also wir haben als Bezugspunkt so einen Eckpunkt.
Jetzt können wir durch drei Koordinaten die Lage dieses Eckpunktes
festlegen oder bestimmen.
Aber wie gesagt, je nach Orientierung ändert sich natürlich die Lage
des Körpers.
Und wie beschreiben wir das?
Letztendlich macht man das ganz ähnlich, wie wenn wir Bezugssysteme
haben.
Bei der Relativmechanik haben wir schon verschiedene Bezugssysteme
eingeführt.
Das waren einfach Systeme, in denen wir gerechnet haben.
Die haben wir unter Umständen fiktiv eingeführt oder das waren
vielleicht auch Körper.
Und ich habe jetzt wieder mal so meine Einheitsvektoren mitgebracht.
Die einen Einheitsvektoren, die lassen wir mal fest mit dem Hörsaal,
was jetzt unser Inertialsystem sein soll.
Und jetzt habe ich ein zweites Set von Einheitsvektoren und die kann
ich jetzt fest mit meinem Körper oder fest auf meinem Körper machen.
Und jetzt sieht man, wenn sich die Orientierung des Körpers ändert,
dann ändern sich natürlich auch die Richtungen der Einheitsvektoren.
Und das Ganze sind Einheitsvektoren, die müssen also nicht den
Ursprung im gleichen Punkt haben, weil Einheitsvektoren kann ich
hinlegen an eine beliebige Stelle.
Die werden nur beschrieben durch Betrag 1 und eine bestimmte Richtung.
Ich habe jetzt mal so gemacht, dass meine Einheitsvektoren von dem
Bezugssystem alle hier enden, weil dann kann ich die gut festmachen.
Und man sieht, wenn es mir jetzt gelingt, die Richtungen der
Einheitsvektoren des Körpers zu beschreiben, dann habe ich auch
gleichzeitig die Orientierung des Körpers beschrieben.
Also haben wir als Ziel die Verdrehung eines orthogonalen Dreibeins,
also drei Einheitsvektoren, nennen wir die mal EI,
die fest mit dem Körper verbunden sind in
der allgemeinen Lage gegenüber
einem feststehenden Dreibein
zu beschreiben.
Man kann sich vorstellen, das ist natürlich am einfachsten, wenn ich
sage, ja gut, zu meinem Ausgangsteilpunkt oder Ausgangslage erstimmen
die zwei Dreibeine über einen und wenn ich jetzt das eine Dreibein
gegenüber dem anderen Dreibein verdrehe, dann sieht man, na gut, das
entwickelt sich so mit der Zeit und zu einem gegebenen Zeitpunkt habe
ich eben die Richtungen des verdrehten Bezugssystems gegenüber dem
anderen Bezugssystem.
Das muss ich dann irgendwie ausdrücken.
Und was für Möglichkeiten gibt es da?
Mehrere Möglichkeiten.
Zum einen den sogenannten Richtungscosinus.
Was steckt dahinter?
Nun, wenn wir das verdrehte Dreibein nehmen bzw.
einen Einheitsvektor EK dieses Dreibeins,
dann können wir den ja ausdrücken über die Einheitsvektoren des
stehenden Dreibeins.
Also wenn ich jetzt den Einheitsvektor nehme, dann kann ich den
praktisch zusammensetzen aus Anteilen in Richtung des einen, des
anderen und des dritten Einheitsvektors des Dreibeins.
Also kann ich schreiben, wenn ich mit I1, I2 und I3 die
Einheitsvektoren des Inertialsystems mal bezeichne, dann habe ich zum
einen irgendwas in Richtung von I1, irgendwas in Richtung von I2 und
irgendwas in Richtung von I3 und ich bezeichne das einfach mal mit mk1
plus mk2 plus mk3, wobei die Koordinaten mk1, mk2 und mk3 ich zunächst
mal nicht kenne.
Wenn ich die einsteinische Summationskonvention einführe, kann ich das
auch ein bisschen abkürzen darstellen.
Dann sage ich EK ist MKL mal IL, da werden also übergleiche Indizes
aufsummiert, in dem Falle von L gleich 1 bis 3.
Und auch das K, was ja den einzelnen Einheitsvektor des
Bewegungssystems beschreibt, geht dann von 1 bis 3, also K und L von 1
bis 3.
Dann schreibe ich mal dazu, einsteinische Summationskonvention.
Wenn ich das anschreibe für E1, E2 und E3, dann ergibt das m11, m12,
m13, m21, m22, m23, beziehungsweise m31, m32 und m33 mal I1, I2 und
I3.
Ich habe also letztendlich den Zusammenhang über eine 3-kreuz-3
-Matrix.
Das heißt, ich habe 9 Elemente, sind die alle unabhängig voneinander.
Wer hat eine Idee?
Wer denkt, die sind unabhängig?
Wer denkt, die sind nicht unabhängig?
Also eigentlich schließen sich beide Dinge aus und die
Vereinigungsmenge der Hände müsste die Zahl der Studenten ergeben.
Da sind wir jetzt leider relativ weit davon weg.
Also natürlich werden nicht alle 9 Elemente unabhängig voneinander
sein.
Warum?
Es gibt auch noch Nebenbedingungen.
Nämlich, es muss gelten,
EK multipliziert mit EL.
Was ergibt das?
Und es ergibt gerade 1, wenn K und L identisch sind und ergibt 0, wenn
K und L verschieden sind.
Das können wir ausdrücken über das Brunegger-Delta, Delta KL.
Was nichts anderes bedeutet als 1, wenn K gleich L, 0, wenn K ungleich
L ist.
Jetzt könnte man sagen, K und L gehen ja von 1 bis 3 jeweils, das gibt
ja dann 9 Bedingungen.
Aber es sind eben keine 9 Bedingungen, sondern nur E1 mit E1 gleich 1,
E2 mit E2.
Skalar multipliziert ergibt 1, E3 mit E3 ergibt 1 und dann haben wir
noch E1.
Skalar mit E2 multipliziert gibt eben dasselbe wie E2 mit E1.
Das gibt nämlich 0.
E1 mit E3, was dasselbe ist wie E3 mit E1, ergibt 0.
Und E2 Skalar mit E3 multipliziert muss auch 0 geben.
Also man hat insgesamt 6 Nebenbedingungen,
sodass letztendlich von den insgesamt 9 Elementen nur 3 mehr oder
weniger unabhängig sind.
Und das passt natürlich auch, denn die Orientierung kann ich ja
beschreiben durch 3 Größen.
So, jetzt ist die Frage, wie berechnen wir denn diese m?
Und da kann ich hergehen und kann einfach die Gleichung, die hier
unten steht, EK gleich MK1 mal I1 plus MK2 mal I2 plus MK3 mal I3
nehmen und EK Skalar mit dem Einheitsvektor IL multiplizieren.
Was ergibt das?
Nun, I1 mit IL multipliziert ergibt 1, wenn L gleich 1 ist und 0, wenn
L gleich 2 oder 3 ist.
I2 mit IL multipliziert ergibt 1, wenn L gleich 2 ist und 0 sonst.
Und genau so ist es bei der Multiplikation von I3 mit IL.
Da haben wir auch 0, es sei denn L gleich 3.
Also, das ergibt gerade MKL.
Also MKL ist das Skalarprodukt von EK mit IL.
Jetzt wissen wir, das Skalarprodukt berechnet sich Länge des einen
Vektors mal Länge des anderen Vektors mal dem Kosinus des
eingeschlossenen Winkels.
Die Länge der Einheitsvektoren ist jeweils 1, also entspricht das
gerade dem Kosinus des Winkels zwischen dem Einheitsvektor EK und dem
Einheitsvektor IL.
Deshalb auch Richtungskosinusmatrix.
An der Stelle können wir uns schon überlegen.
Wir haben eine Matrix 3x3 bestehend aus Skalarprodukten.
Ist die Matrix symmetrisch?
Wir müssen mal wieder Politik machen.
Wir machen Demokratie.
Wer denkt, dass diese Matrix symmetrisch ist?
Wer denkt, dass diese Matrix nicht symmetrisch ist?
Oh, Sie sind aber eine Minderheit.
Sie brauchen ja schon Minderheitenschutz.
Und ich fühle mich wieder bestätigt.
Der Großteil derer, die abstimmen, wählt falsch.
Man darf schon alles wählen, man darf sich nur später nicht beklagen,
wenn es nicht so läuft, wie man sich das vorstellt.
Das zeigen wir aber ein bisschen später.
Wir haben also jetzt eine Matrix, welche uns den Zusammenhang zwischen
den einzelnen Einheitsvektoren beschreibt.
Und ganz klar, mit solch einer Matrix, die Drehmatrix, kann ich sehr
leicht Einheitsvektoren des einen Bezugssystems durch Einheitsvektoren
des anderen Bezugssystems ausdrücken.
In dem Fall drücke ich die Einheitsvektoren E1, E2, E3 durch die
Einheitsvektoren I1, I2 und I3 aus.
Es kann aber auch durchaus vorkommen, dass ich die Einheitsvektoren
I1, I2 und I3 ausdrücken will durch die Einheitsvektoren E1, E2 und
E3.
Wenn ich so eine Matrizendarstellung habe, wie mache ich das?
Ich multipliziere einfach mit der inversen Matrix durch.
Dann kriege ich I1, I2, I3 gleich und jetzt habe ich die Inverse.
Ich drehe jetzt mal so an, M11, M12 bis M33 hoch minus 1 mal E1, E2,
E3.
Das heißt, dahinter versteckt sich jetzt die Beziehung IK gleich und
da können wir es ganz ähnlich machen.
Die Elemente der Inversen, die bezeichne ich mal mit Mk1 quer mal E1
plus Mk2 quer mal E2 plus Mk3 quer mal E3.
Und wie bestimmen wir diese Koordinaten Mk1, Mk2, Mk3 quer?
In dem Fall müssen wir dann nicht mit I1, I2 oder I3 durch
multiplizieren, sondern mit E1, E2 oder E3.
Das heißt, wenn wir jetzt IK mit EL multiplizieren,
ergibt das gerade Mkl quer.
Das ist aber gerade
MLk.
Das heißt, die beiden Matrizen, die hoch minus 1 und die
Ausgangsmatrix, die kriegt man auch dadurch, dass man einfach die eine
transponiert.
Also in dem Fall sehen wir die Drehmatrix, die kann ich sehr leicht
invertieren.
Ich muss einfach die transponierte Matrix nehmen.
Also,
Inverse gleich
transponierte.
Weiß jeder, was die transponierte Matrix ist?
Ich spiegle die einfach an der Diagonalen, also mal von innen aus.
So, das war jetzt eine Möglichkeit.
Eine andere Möglichkeit, die Orientierung zu beschreiben, ist die, ich
führe, ich weiß ja, die Orientierung kann ich durch drei verschiedene
Parameter beschreiben.
Ich führe einfach drei Winkelverdrehungen ein.
Und da habe ich jetzt mehrere Möglichkeiten.
Und zwar, ich kann zunächst mal Beispiel Euler-Winkel verwenden.
Ui, um was handelt es sich da?
Bei Euler-Winkel wird in einer bestimmten Reihenfolge um bestimmte
Achsen gedreht.
Das heißt, wenn das die Ausgangslage ist, dann drehe ich zunächst um
die Dreiachse.
Wenn das die Einsachse ist, das die Zwei und das die Drei.
Dann drehe ich also zunächst mal um einen bestimmten Winkel um die
Dreiachse.
Drehe danach um einen Winkel um die neue Einsachse, das ist die hier.
Und zum Schluss noch einmal um die neue Dreiachse, das ist die Achse.
Das sieht dann praktisch so aus.
Wenn ich drei Winkel vorgebe, dann kann ich das leicht machen.
Wenn ich jetzt hergehe und sage, mein Körper liegt so, was sind die
zugehörigen Euler-Winkel?
Das ist natürlich ein bisschen komplizierter, das machen wir hier
nicht.
Das kann man aber auch rauskriegen.
Wir gehen jetzt einfach davon aus, ich habe diese drei Winkel, nennen
wir die mal Psi, Theta und Phi.
Also Psi, Theta und Phi.
Dann kann ich damit letztendlich jede beliebige Orientierung des
Körpers erzeugen.
Ich muss nur die Winkel entsprechend wählen.
Also haben wir als zweites die Euler-Winkel.
Das heißt, wir haben jetzt drei einfache Drehungen.
Was bedeutet an der Stelle eine einfache Drehung?
Das heißt, bei einer einfachen Drehung habe ich in beiden
Bezugssystemen, die ich zunächst habe, eine gemeinsame Achse, die sich
nicht ändert.
Das ist also, wenn ich jetzt so will, ich habe das Ausgangssystem und
jetzt habe ich das körperfeste System.
Beide drehen sich gegeneinander um eine gemeinsame Achse, in dem Fall
die Dreiachse.
Das ist eine einfache Drehung.
Und auch die zweite Drehung, nämlich um eine gemeinsame neue
Einsachse, ist ebenfalls eine einfache Drehung.
Und die letzte genauso.
Der Vorteil liegt darin, dass ich bei so einer einfachen Drehung die
Zusammenhänge sehr einfach beschreiben kann.
Also, erste Elementardrehung.
Ich habe es hier mal versucht ein bisschen zu verdeutlichen, indem ich
einfach so eine Pyramide genommen habe, bei der die Grundfläche
zunächst mal so ausgerichtet ist, dass die entlang I2 und I1 geht.
I3 dann senkrecht dazu.
Und jetzt sieht man, ich drehe bei Eulerwinkel zunächst mal um die
Dreiachse.
Das heißt, das Grüne war meine Ausgangslage.
Das Rote ist jetzt die neue Lage.
Man sieht, man dreht um den Winkel Psi.
Dadurch verdrehen sich die Einheitsvektoren I1 und I2.
Die werden im getretenen Bezugssystem dann zu den Einheitsvektoren K1'
und K2' in dem Falle.
Ich bezeichne die aber jetzt zunächst mal.
Wir haben Verdrehung um den Winkel Psi, um die Dreiachse.
Das heißt, wenn ich das mal mit den Einheitsvektoren K1', K2' und K3'
mache, dann ergibt sich K1', K2' und K3' in Abhängigkeit von I1, I2
und I3 folgendermaßen.
Man sieht, K1' setzt sich zusammen aus einer Komponente in Richtung
von I1 und einer Komponente in Richtung von I2.
Nämlich gerade Kosinus von Psi in Richtung von I1.
In Richtung von I2 haben wir gerade Sinus von Psi.
Und da praktisch K1' in der I1, I2-Ebene liegt, haben wir natürlich 0
in Richtung von I3.
Wenn wir jetzt den Einheitsvektor K2' betrachten, dann sehen wir, der
hat eine Komponente in Richtung von I2, Größe Kosinus von Psi.
Der hat auch eine Komponente in Richtung von I1, allerdings in
negative I1-Richtung, in Betrag Sinus Psi, deshalb Minus Sinus Psi.
Hat ebenfalls keine Komponente in I3-Richtung.
Und wir haben das Ganze ja so eingeführt, dass K3' gerade I3
entspricht.
Deshalb die letzte Beziehung ist 0, 0, 1.
Das heißt, wir haben jetzt eine Drehmatrix M, I, L, Psi, die gerade
ist Kosinus Psi, Sinus Psi, 0, Minus Sinus Psi, Kosinus Psi, 0, 0, 0,
1.
Und jetzt sehen wir, was ich schon angedeutet hatte, diese Matrix ist
natürlich nicht symmetrisch, also die Minderheit hatte recht.
Sie können es auch mal ausprobieren, ob jetzt wirklich die
transponierte Matrix multipliziert mit der Ausgangsmatrix, dann
diagonal die Einheitsmatrix ergibt, das ist natürlich so.
Also man sieht, in dem Falle gilt jetzt K, I', ist gerade laut
Summationskonvention M, I, L,
mal Einheitsvektor I, L, das heißt es wird über L summiert und wir
haben auch das Psi.
Als nächstes haben wir eine zweite Elementardrehung um die neue 1
-Achse.
Als Verdrehwinkel haben wir jetzt den Winkel Theta, Grün wieder, die
rote Lage von oben, Rot die Lage nach der Verdrehung.
Man sieht, in dem Falle geht es ganz analog, also zweite
Elementardrehung.
Dann haben wir jetzt Theta um die K1-Achse,
das heißt das verdrehte Bezugssystem hat dann die Einheitsvektoren K1
,2 gestrichen, K2,2 gestrichen und K3,2 gestrichen, wobei K1,2
gestrichen identisch mit K1' ist.
Das heißt, es gilt jetzt wieder eine Beziehung,
K, J, 2 gestrichen, ist M, J, I,
Moment, mal K, I', sowas.
Hier noch den Winkel Theta dazu, dass wir wissen, dass das die
Drehmatrix ist für die Elementardrehung um den Winkel Theta, um die
neue 1-Achse und das M, J, I, Theta als Matrix, da sehen wir K1,2
gestrichen gleich K1', das heißt es muss was ergeben mit 1,0,0 und 0,0
hier.
K2,2 gestrichen und K3,2 gestrichen liegen in der K2', K3' Ebene, man
sieht K2,2 gestrichen setzt sich zusammen, Kosinus von Theta in
Richtung von K2', Sinus Theta in Richtung von K3', also Kosinus Theta,
Sinus Theta.
Entsprechend K3,2 gestrichen, ein Vektor mit einer Komponente Kosinus
Theta in Richtung von K3' und Minus Sinus Theta in Richtung von K2',
also Minus Sinus Theta,
Kosinus Theta und
jetzt haben wir die dritte Elementardrehung
und zwar um den Winkel Phi, um die neue Dreiachse,
jetzt wird nochmal um die K3 bzw.
K3,2 gestrichene Achse gedreht,
also um die neue Dreiachse.
Auf dem Bild habe ich jetzt, weil ich das der dicken Bibel des
Maschinenbaus entnommen habe, was jetzt im Springer erschien, dort
wurden die Einheitsvektoren des Körpers, nicht wie in meinem Skript
hier aktuell mit E bezeichnet, sondern mit K, für K im Körper.
Wir haben jetzt hier schon mit E angefangen, dann würde ich sagen, in
dem Falle nehmen wir die Einheitsvektoren in der finalen Lage, wieder
E, dann haben wir also EK gleich und in dem Falle dann eben MKI
mal KI2 gestrichen, für den verdrehten Winkel Phi und das MKI-Phi als
Matrix.
Nun, da es sich wieder um eine Drehung um die Dreiachse handelt,
können wir diese Matrix im Grunde genommen abschreiten, ganz oben,
dort hatten wir auch eine Drehung um die Dreiachse, nur dass wir jetzt
den Winkel Psi ersetzen müssen durch den Winkel Phi, also ist das
gerade Cosinus Phi, Sinus Phi 0, Minus Sinus Phi, Cosinus Phi 0, 0, 0,
1.
Und jetzt ist es natürlich interessant, wie sieht der Zusammenhang aus
zwischen den Einheitsvektoren des Inertialsystems und den körperfesten
Einheitsvektoren EK in der endgültigen Lage?
Wie gesagt, auch das, eine Drehmatrix.
Dazu müssen wir zunächst mal, da haben wir es ganz oben, müssen wir
aufpassen, hier haben wir EK, hier haben wir KI2 gestrichen, also die
Einheitsvektoren KI2 gestrichen, die müssen wir ersetzen durch die
Einheitsvektoren KI' aus der oberen Beziehung, dann müssen wir die
Einheitsvektoren KI' ersetzen durch die Einheitsvektoren I1, I2 und
I3, dazu benutzen wir die Gleichung ganz oben auf der Tafel, sodass
sich letztendlich ergibt, EK gleich MKL mal IL, das wäre die
Darstellung, die wir eigentlich wollen.
Wir schreiben jetzt dazu E, E wie Eulerwinkel und
sehen, das ist gerade MKJ4 mal KI2 gestrichen.
KJ2 gestrichen ist aber MJI Theta mal KI', KI' ist aber MILC mal IL.
Wir haben das immer so aufgefasst, dass die einsteinsche
Summationskonvention gilt, also wir müssen jetzt für immer doppelt
auftretende Indizes summieren von 1 bis 3, das können wir natürlich
auch ein bisschen eleganter machen, weil wahrscheinlich einige von
Ihnen die Matrizenrechnung kennen, das heißt wir können das Ganze auch
so schreiben, dass also E1, E2, E3 ist die Matrix MKJ4, das deutet
immer eine Matrix an, wohingegen wir ja MKJ4 als Matrizelement haben,
multipliziert mit der Matrix MJI Theta,
multipliziert mit der Matrix MILC,
multipliziert mit den Einheitsvektoren I1, I2 und I3.
Und jetzt sehen wir, das Matrizenprodukt dieser drei Matrizen ergibt
letztendlich dann die Drehmatrix zwischen den Einheitsvektoren
Körperfest und den Einheitsvektoren des Inertialsystems.
Wenn man die Matrizenprodukte ausführt, dann wird es zwar für die
Studenten scheinbar ein bisschen kompliziert, das ist nämlich ein
bisschen Schreibarbeit, im Grunde genommen sind es aber immer noch
ganz einfache Ausdrücke, also das MKLE als Matrix, was sich dann
ergibt, da erhalten wir, ich zeige es mal so an, als erstes Element,
Cosinus Psi, Cosinus Phi, Minus Sinus Psi, Cosinus Theta, Sinus Phi.
Das zweite Element in der ersten Zeile ist Sinus Psi, Cosinus Phi,
Plus Cosinus Psi,
Cosinus Theta, Sinus Phi.
Das letzte Element ist etwas einfacher, Sinus Theta, Sinus Phi, in der
zweiten Zeile haben wir dann drinstehen, Minus Cosinus Psi, Sinus Phi,
Minus Sinus Psi, Cosinus Theta, Cosinus Phi.
Als zweites Element Minus Sinus Psi, Sinus Phi, dann haben wir Plus
Cosinus Psi,
Cosinus Theta, Cosinus Phi, als letztes Sinus Theta, Cosinus Phi.
Und die letzte Zeile ein bisschen einfacher, da haben wir als erstes
Element der Zeile Sinus Psi, Sinus Theta, als zweites Element Minus
Cosinus Psi, Sinus Theta, und als letztes Element Cosinus Theta.
Wie gesagt, das sieht dann scheinbar ein bisschen komplizierter aus.
Nichtsdestotrotz gilt natürlich, dass wenn wir die Transponierte davon
nehmen und mit dieser Matrix multiplizieren, dann muss die
Einheitsmatrix rauskommen, haben wir ganz allgemein mal hergeleitet.
Und man sieht jetzt spätestens an der Stelle, dass das natürlich
nichts mit einer symmetrischen Matrix zu tun hat.
Eine symmetrische Matrix wird sich bei dem Skalarprodukt nur ergeben,
wenn wir praktisch das Skalarprodukt Ei mal Ey, aber das wäre dann
eine diagonale Matrix, nehmen würden.
Gibt es soweit Fragen?
Also wie gesagt, die Schwierigkeit ist die, wenn ich sage, das ist
mein Inertialsystem, das war meine Ausgangslage, jetzt habe ich diese
Orientierung, was sind die zugehörigen Eulerwinkel, dann habe ich es
ein bisschen schwieriger, weil dann kenne ich jetzt zwar die
Richtungen, dann kann ich formal die Skalarprodukte auswerten, habe
damit die Matrix und muss dann aus der Matrix dann praktisch mir die
entsprechenden Winkel zusammenbasteln.
An der Stelle sollte man auch ein bisschen vorsichtig sein, denn mit
so endlichen Winkelverdrehungen, da hat man die Schwierigkeit, die
Winkelverdrehungen haben keine Vektoreigenschaft.
Wir haben schon viel mit Winkelgeschwindigkeiten gearbeitet.
Zumindest an der Stelle, als wir Relativsysteme eingeführt haben.
Und da hat sich gezeigt, Winkelgeschwindigkeiten, die können wir
vektoriell addieren.
Jetzt brauche ich vielleicht mal zwei Mitdenker, die mir dann sagen,
was Ausgangslage und Endlage waren.
Wer erklärt sich bereit?
Sie nehmen das.
Ausgangslage.
Sie merkt sich die Endlage.
Und zwar, ich mache jetzt folgendes, ich mache ganz einfach jeweils
eine Drehung um 90 Grad.
Um das aber einfach zu handhaben, mache ich das um raumfeste Achsen.
Ich drehe einmal 90 Grad um die 1-Achse, dann 90 Grad um die 2-Achse
und 90 Grad um die 3-Achse.
Sie kennen noch die Ausgangslage?
Sie merken sich die hier.
Was war die Ausgangslage?
Ich glaube es war so.
So, jetzt machen wir folgendes, jetzt drehen wir zunächst mal 90 Grad
um die 3-Achse.
Dann drehen wir 90 Grad um die 2-Achse und 90 Grad um die 1-Achse.
Das ist die gleiche Endlage.
Einmal war es da so, oder?
So?
Dass das zu mir zeigt.
Machen wir es nochmal.
Also wie gesagt, das ist jetzt mein dritter Vorlesungsblock in Folge,
da muss ich immer ein bisschen aufpassen.
Also 90, 90, 90.
Und dann haben wir hier 90, 90, 90.
Das war ja wieder das selbe.
Dann machen wir es ein bisschen anders.
Also 90, 90, 90.
Das war 1, 2, 3.
Und jetzt machen wir einfach 3, 1...
1...
Ne, die 2 geht so.
Also, Sie können es mal zu Hause ausprobieren.
Es ist auf jeden Fall so, es hängt von der Reihenfolge ab.
Und wenn Sie Vektoren addieren, dann darf das Ergebnis nicht von der
Reihenfolge abhängen.
Und deshalb muss man an der Stelle ein bisschen aufpassen.
Winkelverdrehungen haben wieder vektorelle Eigenschaften, wenn es
differenziell kleine Winkel sind, um die wir verdrehen.
Und letztendlich, wenn man Winkelgeschwindigkeit betrachtet, das sind
ja differenziell kleine Winkeländerungen während einer differenziellen
Zeit.
Und da ist es dann wieder egal, in welche Reihenfolge ich es dann
mache.
Und dann habe ich die Vektoreigenschaft für die Winkelgeschwindigkeit.
Tut mir jetzt leid, dass ich da nicht kapiert habe, was ich meine.
Ich glaube, prinzipiell vom Quader her war es die gleiche
Orientierung, aber die Flächen standen irgendwie anders.
Richtig?
Wir hätten einfach noch ein Bild drauf machen sollen und hätten es
besser gesehen.
So, das waren jetzt Euler-Winkel.
Wenn Sie im deutschen Sprachraum das behandeln, dann gibt es auch noch
andere Winkel, z.B.
Kardan-Winkel.
Was haben wir bei Kardan-Winkel?
Also Euler-Winkel war 3-Achse, neue 1-Achse, neue 3-Achse, 3-1-3.
Bei Euler-Winkel wird zunächst mal um die 1-Achse gedreht, dann um die
neue 2-Achse und dann um die neue 3-Achse.
Also 1-2-3.
Aber das ist natürlich auch nicht alles, was es gibt.
Ich kann genauso gut mit der 2-Achse anfangen, dann die 3-Achse, dann
die 1-Achse oder die 2-Achse, dann die neue 3-Achse, dann die neue 2
-Achse.
Ich habe also relativ viele Möglichkeiten.
Ich muss nur an einer Stelle aufpassen, nämlich ich darf nicht zweimal
hintereinander um dieselbe Achse drehen.
Das macht natürlich keinen Sinn.
Also wenn ich zunächst mal um die 1-Achse drehe, dann kann ich um die
2 -Achse drehen und dann um die 1- oder um die 3-Achse.
Ich kann aber nicht dann 1-2-2 machen.
Genauso kann ich um die 1-Achse drehen und dann um die 3-Achse und
nach der 3-Achse um die 2- oder um die 1-Achse.
Wenn man das richtig ausprobiert, dann gibt es insgesamt zwölf
Möglichkeiten für solche Winkel.
Man hat in jedem Fall drei verschiedene Winkel, die natürlich je nach
Drehreihenfolge sich anders ergeben.
Und wenn ich die drei Winkel einführe, die dann letztendlich auch auf
andere Elemente führen.
Also wenn Sie jetzt nicht die Reihenfolge 3-1-3 wählen, sondern 1-2-3,
dann kriegen Sie eine Matrix, die sieht formal anders aus.
Wenn Sie eine gegebene Orientierung haben, ist es natürlich am
Endergebnis dieselbe Matrix, aber Sie haben in beiden Fällen
unterschiedliche Winkel.
Es gibt bei den Winkeln, die man bei so drei Elementardrehungen hat,
unter Umständen sogenannte Singularitäten.
Vor allen Dingen, wenn ich das dann später numerisch integrieren will.
Um dem abzuhelfen, gibt es dann auch noch andere Möglichkeiten, dass
man nämlich sogenannte Quaternionen einführt.
Ich erwähne das an der Stelle nur, wenn es dann interessiert.
Das soll in die Einführung in die Mehrkörperdynamik später gehen.
Dort hat man zum Beispiel Euler-Parameter.
Also keine Euler-Winkel, sondern Euler-Parameter.
Das sind aber keine drei Größen, sondern das sind vier Größen.
Jetzt haben wir gesehen, zur Beschreibung der Orientierung benötige
ich drei Größen.
Wenn ich vier nehme, dann müssen die irgendwie voneinander abhängen.
Also dort gilt dann zusätzlich noch eine Zwangsbedingung.
Aber ich habe eben später nicht die Schwierigkeit von irgendwelchen
Singularitäten.
Weitere Möglichkeiten,
zum Beispiel Quaternwinkel,
Euler -Parameter usw.
Nun, wenn wir zurückdenken, dann hatten wir im Laufe der Vorlesung die
kinematische Grundgleichung kennengelernt.
Das heißt, wir haben irgendwo unseren Körper,
das Inertialsystem mit den Koordinatenachsen x, y, z bzw.
den zugehörigen Einheitsvektoren i, x, i, y und i, z.
Wir haben dann auf dem Körper einen Bezugspunkt, nennen wir den mal a.
Dann haben wir den Vektor r, a.
Wir haben den Punkt b mit dem Ortsvektor r, b.
Und wir haben den Vektor r, a, b.
Vom Punkt a zum Punkt b.
Nun, der Vektor r, a, b, das wissen wir, wenn wir uns auf dem Körper
befinden und das mal so erkenntlich machen, wir haben dort auch ein
Dreibein, das weiß ich, e1, e2, e3.
Dann ist der Vektor r, a, b im Körperfristenbezugssystem konstant.
Das heißt, rein formal können wir schreiben r, b gleich r, a plus r,
a, b.
Die Geschwindigkeit des Punktes b ist den Ortsvektor von b im
Inertialsystem abgeleitet.
Das ist also gerade die Ableitung von r, a.
Das ist die Geschwindigkeit von Punkt a.
Plus die Ableitung von r, a, b im Inertialsystem.
Da wissen wir, da können wir zunächst im Körperfristenbezugssystem
ableiten.
Das braucht ein konstanter Vektor, da ist die Ableitung null.
Bleibt noch übrig.
Plus linke Geschwindigkeit des Körperskreuz, den Vektor r, a, b.
Und für die Beschleunigung des Punktes b erhalten wir zunächst mal die
Beschleunigung des Punktes a.
Plus, und jetzt brauchen wir eben die Produktregel, da haben wir die
Winkelbeschleunigung, Omega-Punktkreuz r, a, b.
Plus eben Omega-Kreuz der Ableitung von r, a, b.
Also Omega-Kreuz und die Ableitung von r, a, b war gerade wieder Omega
-Kreuz r, a, b.
Das sind jetzt Dinge, die Sie eigentlich noch wissen müssten.
Das heißt, was wir jetzt brauchen, ist eigentlich die
Winkelgeschwindigkeit und dann vielleicht auch die
Winkelbeschleunigung, die unser Körper hat.
Was wir bis jetzt beschrieben haben, war die Orientierung.
Also Omega gleich Winkelgeschwindigkeit des Körpers.
Und die Frage ist, wie groß ist die?
Was wir haben, das war entweder die Drehmatrix, wobei wir wissen, die
Winkel zwischen den Einheitsvektoren, die ändern sich mit der Zeit.
Also die einzelnen Elemente, die sind zeitabhängig, da gibt es also
Zeitableitungen.
Wie man mit der Drehmatrix dann auf die Winkelgeschwindigkeit kommt,
das machen wir wieder in der Mehrkörperdynamik.
Wir machen es uns jetzt an der Stelle ein bisschen einfacher, dass wir
einfach wieder unsere Euler-Winkel nehmen als Beispiel.
Und da wissen wir, für die erste Elementardrehung, da habe ich eine
gemeinsame Achse in beiden Bezugssystemen.
Das heißt, die Winkelgeschwindigkeit ist dann wie bei meiner ebenen
Bewegung ein Vektor in Richtung dieser gemeinsamen Achse.
Und der Betrag der Winkelgeschwindigkeit oder der gerichtete Betrag,
muss man sagen, ist dann einfach die zeitliche Änderung des
Verdrehwinkels, in dem Falle Psi bei der ersten Elementardrehung.
Also
Omega -Psi ist dann gerade Psi-Punkt in Richtung der gemeinsamen
Drehachse.
Das war in dem Falle das I3.
Dann haben wir eine Winkelgeschwindigkeit für die zweite
Elementardrehung.
Das ist dann die Winkelgeschwindigkeit zwischen dem schon verdrehten
Bezugssystem und dem wiederum verdrehten Bezugssystem.
Auch das war eine Drehung um eine gemeinsame Achse.
Das heißt, dort haben wir als Winkelgeschwindigkeit Omega-Theta,
die gerade Theta-Punkt in Richtung der gemeinsamen Achse ist.
Und die gemeinsame Achse, das war die K1-Achse.
Und als letzte Drehung hatten wir das Omega-Phi.
Da hatten wir als gemeinsame Achse die E3-Achse.
Die Achse gibt also in dem Falle Phi-Punkt E3.
Jetzt haben wir gesagt, bei Winkelgeschwindigkeiten, die haben
Vektoreigenschaft.
Also wenn wir jetzt die einzelnen relativ Winkelgeschwindigkeiten
haben, dann können wir die einfach aufsummieren, um letztendlich die
Winkelgeschwindigkeit des Körpers im Inertialsystem zu bestimmen.
Also Omega vom Körper im Inertialsystem ist dann gerade Omega-Psi plus
Omega -Theta plus Omega-Phi oder
Um letztendlich später rechnen zu können, brauchen wir aber die
Winkelgeschwindigkeit beziehungsweise die Koordinaten der
Winkelgeschwindigkeit in einem Bezugssystem.
Das heißt, wir könnten jetzt vielleicht schreiben, ich setze es mal in
Klammer, Omega A mal I1 plus Omega B mal I2 plus Omega C mal I3, dann
sind Omega A, Omega B und Omega C die Koordinaten des
Winkelgeschwindigkeitsvektors bezüglich der Einheitsvektoren I1, I2,
I3.
Ich kann aber genauso gut hergehen und über meine Beziehungen, die ich
drüben hergeleitet habe, die Einheitsvektoren I3, K1 Strich und E3
durch die Körperpfisten Einheitsvektoren E1, E2 und E3 ausdrücken.
Dann erhalte ich Omega 1 mal E1 plus Omega 2 mal E2 plus Omega 3 mal
E3.
Sie sehen, ich habe den Fall, dass ich das mit I1, I2, I3 ausdrücke,
den habe ich eingeklammert, weil das für uns nicht so wichtig ist.
Später werden wir sehen, uns interessiert vor allen Dingen die
Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten Bezugssystem,
also das Omega 1, Omega 2 und Omega 3.
Und wie gesagt, wenn wir jetzt hergehen und die einzelnen
Einheitsvektoren ausdrücken, entsprechend das I3 ersetzen durch
irgendwelche Anteile in Richtung von E1, E2, E3, das K1 Strich
ersetzen usw.
Dann können wir die Koordinaten Omega 1, Omega 2 und Omega 3 angeben.
Es ergibt sich dann Omega 1 gleich Psi Punkt Sinus Theta Sinus Phi
Plus Theta Punkt, Cosinus Phi, das Omega 2 zu Psi Punkt, Sinus Theta,
Cosinus Phi,
Minus Theta Punkt, Sinus Phi, und das Omega 3...
zu Psi Punkt, Cosinus Theta, plus Phi Punkt.
Nun man sieht, Omega 1, Omega 2 und Omega 3 sind keine, sind nicht
einfach Ableitungen von irgendwelchen Größen, das sind so Quasi
-Koordinaten.
Also keine
Zeitableitungen irgendwelcher geometrischer Winkel,
das heißt man hat jetzt nichtholonome Geschwindigkeitskoordinaten.
Und wenn man die Winkelbeschleunigung haben will,
was müssen wir da machen?
Also, Winkelbeschleunigung,
da haben wir Omega Punkt gleich die Ableitung von Omega nach der Zeit
in I, im Finanzialsystem, das ist aber gerade Omega 1 Punkt mal E1
plus Omega 2 Punkt mal E2 plus Omega 3 Punkt.
Mal E3, Omega 1, Omega 2 und Omega 3 nach der Zeit ableiten, das mache
ich jetzt hier nicht explizit.
Man sieht, man muss sehr oft die Produktregel anwenden, man sieht, es
treten dann zweite Zeitableitungen der Winkel auf.
Also Psi 2 Punkt tritt auf, Theta 2 Punkt tritt auf und das Phi 2
Punkt tritt auf.
Das heißt, wenn wir später irgendwelche Bewegungsgleichungen herleiten
und solche räumlichen Drehungen sind beteiligt, dann wird es so sein,
dass da Omega 1 Punkt, Omega 2 Punkt und Omega 3 Punkt auftritt.
Und Omega 1 Punkt, Omega 2 Punkt und Omega 3 Punkt können wir dann
formal durch numerische Integration hoch integrieren und erhalten dann
Omega 1, Omega 2 und Omega 3.
Wenn wir aber die Orientierung wissen wollen, wie die sich mit der
Zeit entwickelt, dann müssen wir ja auch die Euler-Winkel oder die
Cardan -Winkel oder was immer wir verwenden.
Hoch integrieren.
Das heißt, wir haben jetzt zunächst mal gegeben Omega 1, Omega 2 und
Omega 3.
Was wir wissen wollen für die numerische Integration, sind aber die
Ableitungen Psi Punkt, Theta Punkt und Phi Punkt.
Weil wir müssen wieder angeben, Psi Punkt gleich irgendeine rechte
Seite, Theta Punkt gleich die rechte Seite, Phi Punkt gleich die
rechte Seite, um das numerisch integrieren zu können.
Das heißt, letztendlich müssen wir diese drei Gleichungen umformen,
sodass wir Psi Punkt, Theta Punkt und Phi Punkt in Abhängigkeit von
Omega 1, Omega 2 und Omega 3 bekommen.
Wenn wir das machen, ergibt sich folgendes, nämlich Psi Punkt ist
Sinus Phi dividiert durch Sinus Theta mal Omega 1 plus Kosinus Phi
dividiert durch Sinus Theta mal Omega 2.
Das Theta Punkt ist Kosinus Phi mal Omega 1 minus Sinus Phi mal Omega
2.
Und das Phi Punkt ist minus Sinus Phi dividiert durch Tangens Theta
mal Omega 1 minus Kosinus Phi dividiert durch Tangens Theta mal Omega
2 Plus Omega-3.
Und wie gesagt, die Umformung ist ja nur die Umformung eines linearen
Gleichungssystems.
Wenn wir die Lösungen, C-Punkt, Theta-Punkt und Phi-Punkt in
Abhängigkeit von Omega-1, Omega-2, Omega-3 und den Euler-Winkeln
selbst uns anschauen, dann sehen wir, das geht alles relativ gut.
Bis auf die Fälle, in denen Tankens-Theta sehr klein ist oder gegen
Null geht.
Beziehungsweise das Sinus-Theta gegen Null geht.
Und Sinus-Theta ist sehr klein, beziehungsweise Null, wenn Theta
entweder Null oder 180 Grad ist.
Was bedeutet das?
Nun man sieht, wenn ich zunächst mal um einen Verdrehwinkel ziehe, um
die 3-Achse verdrehe.
Und jetzt verdrehe ich um einen Winkel Theta, um die 1-Achse, der Null
ist.
Was habe ich dann?
Dann habe ich für die letzte Drehung dieselbe Achse wie für die erste
Drehung.
Also es wird nicht mehr eindeutig.
Wenn ich als zweite Drehung 180 Grad ab, dann habe ich im Grunde
genommen wieder eine Drehung um die gleiche Achse.
Also da kriege ich das nicht mehr eindeutig hin.
Falls ich jetzt versuche, das Problem zu umgehen, dadurch, dass ich
eine andere Drehreihenfolge nehme, also andere Eukatanwinkel oder was
weiß ich, 2-3-2 oder wie auch immer, dann wird man sehen, für jede
dieser Drehreihenfolgen gibt es dann singuläre Stellungen, also
irgendwelche Winkel, für die eben dann letztendlich anschauungsmäßig
zweimal die Drehung um die gleiche Achse erfolgt.
Und dann kann ich es natürlich nicht mehr so schön auflösen.
Und das ist auch der Grund, weshalb man dann letztendlich unter
Umständen auf Euler-Parameter übergeht, weil man dort diese
Schwierigkeiten nicht hat.
Gibt es soweit Fragen?
Ah, eine gute Frage.
Ich wollte es euch erklären, habe es vergessen, aber habe gedacht, das
habe ich eh schon alles vorgeführt.
Vielen Dank.
Warum die Ableitung von Omega, ich schreibe es mal so, von K in I nach
DT im Inertialsystem, ist die Ableitung von Omega von K in I nach der
Zeit im körperfesten Bezugssystem, das ist das, was ich jetzt gerade
angegeben habe, plus, und jetzt zeigt es sich, ob Sie sich noch an die
Ableitungsregel erinnern können, plus Omega von dem Bezugssystem, in
dem wir zunächst ableiten, das ist also K, bezüglich dem Bezugssystem,
in dem die Ableitung erfolgen soll, das ist das I,
kreuz den Vektor, den wir ableiten.
Und in dem Falle leiten wir eben einen ganz besonderen Vektor ab,
nämlich das Omega von K in I.
Und jetzt sieht man, Omega von K in I kreuz Omega von K in I ist eben
der Nullvektor.
Also in dem speziellen Fall kann ich eben hergehen, die Koordinaten
bezüglich der körperfesten Basis ableiten, jeweils kommunizieren mit
dem entsprechenden Einheitsvektor und habe so auch die
Winkelbeschleunigung.
Das erklärt, wo ich aufpassen muss, ist, wenn ich die
Winkelgeschwindigkeit des Körpers nicht zunächst im körperfesten
Bezugssystem ableite, sondern in dem dritten Bezugssystem.
Also wenn hier nicht K steht, sondern im Bezugssystem, was weiß ich,
das nenne ich jetzt Seemann, dann steht nämlich an der Stelle Omega
von Seemann in I kreuz dem Omega von K in I.
Und dann ist das Kreuzprodukt nicht unbedingt Null.
Jetzt hat Ihre Frage mich so weit gebracht, dass wir noch zwei Minuten
haben.
Ich würde sagen, wir fassen noch mal kurz zusammen.
Wir haben heute gesehen, bei der allgemeinen räumlichen Bewegung wird
es schon mal schwierig, die Orientierung des Körpers zu beschreiben.
Eine ganz wichtige Größe dabei ist die Drehmatrix, die
Richtungscosinusmatrix, in der letztendlich die Skalarprodukte stehen
aus den Einheitsvektoren des einen Bezugssystems mit den
Einheitsvektoren des anderen Bezugssystems.
Wir haben dann noch ausführlich eine Möglichkeit kennengelernt, wie
man so eine Drehmatrix dann herleiten kann oder wie man die angeben
kann.
In dem Falle durch Einführung von drei Euler-Winkel.
Wir haben aber auch gesehen, es gibt andere Möglichkeiten, Winkel
einzuführen, was natürlich zu anderen Matrizen-Elementen führt.
Aber letztendlich, wenn ich dieselbe Orientierung habe, die
Zahlenwerte sind dann dieselben.
Nur die Winkel sind dann verschieden.
Und wir haben gesehen, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers, die kann
ich bestimmen, indem ich zum Beispiel die Euler-Winkelverdrehungen da
ausnutze und die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten bei den
Elementardrehungen, dann geht es noch relativ leicht.
Ich muss aber später im Allgemeinen das alles darstellen bezüglich
einer körperfesten Basis.
Die Koordinaten Omega-1, Omega-2 und Omega-3.
Da muss man dann entsprechend dazu die Einheitsvektoren der
Zwischenbezugssysteme, die ich eingeführt habe, ersetzen.
Und das kann man relativ leicht machen.
Im Umkehrschluss, wenn man dann hoch integrieren will, braucht man
wieder das Psi-Punkt, das Theta-Punkt und das Pi-Punkt als Funktion
von Omega-1, Omega-2 und Omega-3.
Auch das haben wir gezeigt und wir haben zum Schluss noch die
Winkelbeschleunigung gehabt.
Und ich denke, damit sind wir am Ende der heutigen Vorlesung
angelangt.
Wir sehen uns wieder nächsten Dienstag.
Vielen Dank.