Ja, meine Damen und Herren, ich würde sagen, wir fahren mit der
Vorlesung fort.
Wir haben jetzt generalisierte Koordinaten eingeführt, mithilfe derer
wir die Lage des Systems beschreiben.
Wir haben gesagt, wir unterscheiden zwei Fälle.
Einmal hängt es noch explizit von der Zeit ab, einmal nicht.
Und wir machen jetzt einfach mal ein Beispiel, nämlich ein
mathematisches Pendel,
bei dem allerdings der Fußpunkt jetzt nicht an einem starren Lager
verbunden ist, sondern wo der Fußpunkt sich noch vertikal bewegen
kann.
Also, ich schreibe mal,
Fußpunkt elastisch befestigt.
Das heißt, wenn wir als Ausgangslage das irgendwie so haben, dann
haben wir x und z als Koordinaten für das Pendel.
Das war die Ausgangslage,
dass nämlich das vertikal nach unten hängt.
Und hier oben haben wir jetzt eben die Feder.
Und in der ausgelenkten Lage, da haben wir dann entsprechend wieder
unsere xz-Koordinatenachsen.
Hier oben dann die Befestigung der Feder.
Und der Fußpunkt kann sich dann vertikal bewegen.
Das Pendel ist natürlich auch zur Seite ausgelenkt.
Jetzt sollte natürlich die Pendelstange in beiden Fällen gleich lang
sein.
Da haben wir nach wie vor jetzt die Feder.
Und vielleicht deuten wir so an, der Fußpunkt wird also irgendwie
seitlich geführt, dass der sich nur vertikal bewegen kann.
Und dann sehen wir, in dem Falle haben wir eben zwei generalisierte
Koordinaten, mit denen wir die Lage des Pendels beschreiben.
Zum einen den Verdrehwinkel phi.
Zum anderen die Verschiebung y
des Fußpunktes.
Vielleicht der Vollständigkeit halber noch den Ortsvektor eingeführt
oder eingezeichnet.
Das war jetzt letztendlich der Ortsvektor r, der in dem Falle von y
und von phi abhängt.
Also in dem Falle r gleich und jetzt sehen wir, in x-Richtung haben
wir einfach Pendellänge.
Pendel hat die Länge L, oder Pendelstange.
Dann haben wir L mal Sinusphi in x-Richtung und in y-Richtung dann
entsprechend, oder in z-Richtung besser gesagt, y plus L mal
Cosinusphi.
Also in dem Falle zum Beispiel q1 gleich y, q2 gleich phi und wir
sehen jetzt auch, warum das so generalisierte Koordinate heißt, weil
da können sich natürlich Winkel dahinter verbergen, da können sich
Verschiebungen dahinter verbergen, es könnte auch eine Kombination
sein von einer kathesischen Koordinate plus irgendeine Länge
multipliziert mit einem Winkel, all das kann man sich da vorstellen.
Also wie gesagt, q1, q2 und R ist dann R abhängig von q1 und q2, das
heißt man hat zwei Freiheitsgrade.
Allerdings kann man sich auch den Fall vorstellen, dass der Fußpunkt
sich vertikal bewegt, aber diese vertikale Bewegung explizit
vorgegeben ist.
Das heißt, das wäre der erste Fall.
Jetzt betrachten wir den zweiten Fall, dass die vertikale Bewegung des
Fußpunktes explizit als Zeitfunktion vorgegeben ist.
Also, B, Fußpunkt geführt.
Für das y soll jetzt explizit gelten, y gleich y0 mal Sinus Omega t,
wobei das Omega gegeben ist, das y0 als Amplitude der Bewegung ist
ebenfalls gegeben.
Also gegeben.
Nun, die ausgelegte Lage, die stellt sich natürlich genauso dar wie
oben auch.
Also R ist in dem Falle L mal Sinus Phi, beziehungsweise y plus L mal
Cosinus Phi.
Und man sieht, das war gerade L mal Sinus Phi.
Das y, haben wir gesagt, ist y0 mal Sinus Omega t, da gibt es keinen
Freiheitsgrad mehr drin, plus L mal Cosinus Phi, sodass in dem Falle
das R eine Funktion ist, nur noch von dem Winkel Phi, den hatten wir
oben als generalisierte Koordinate Q2 bezeichnet und dafür explizit
von der Zeit abhängig.
Also, nur einen Freiheitsgrad und explizit von t abhängig.
Kommen wir damit zu den virtuellen Verrückungen.
Und zwar, wir fangen mal an mit dem letzten Fall, dass der Ortsvektor
gegeben ist, als Funktion von Q2 und explizit von der Zeit t abhängig.
Also ist R gleich
L Sinus Phi, y0 Sinus Omega t, plus L mal Cosinus Phi.
Dann haben wir dr gleich, und jetzt sehen wir, das hängt ab von R und
t, also leiten wir einmal das R nach Phi ab, also dr gleich dr nach
dPhi, mal dPhi plus dr nach dt mal dt.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das nach Phi ableiten, erhalten wir L
Cosinus Phi, dann haben wir hier, das hängt nicht von Phi ab, also
hier minus L Sinus Phi mal dPhi, plus, jetzt Ableitung nach t, das ist
oben 0,
unten haben wir y0 Omega mal Cosinus Omega t,
mal dt,
also dr gleich L Cosinus Phi, und y0 Omega mal dPhi,
y0 Omega mal Cosinus Omega t, mal dt, dt minus L Sinus Phi dPhi.
Wie sieht es allerdings aus mit der virtuellen Verrückung?
Und ich hatte das in der letzten Vorlesung schon ein bisschen
motiviert.
Bei einer virtuellen Verrückung führen wir das Ganze so aus, dass die
Zeit nicht verändert wird.
Damit ist dt gleich 0, das heißt, für die virtuelle Verrückung gilt
dann Delta R gleich, und jetzt sehen wir, das wird nicht variiert,
also das fällt dann weg, bleibt nur noch stehen L Cosinus Phi, Delta
Phi, minus L Sinus Phi, Delta Phi, also letztendlich L Cosinus Phi,
bzw.
machen wir es hier rein, Delta Phi, und minus L Sinus Phi, Delta Phi,
oder L mal, und jetzt haben wir hier Cosinus Phi, minus Sinus Phi, mal
Delta Phi.
Also Delta T gleich 0, ich mache es mal in Anführungsstrichen, alle
Uhren stehen still,
im Sinne der Variationsrechnung heißt es, wir variieren die
Freiheitsgrade, aber wir variieren nicht die Zeit.
In höheren Semestern gibt es dann noch andere Vorlesungen, zum
Beispiel die Einführung in die Mehrkörperdynamik, wo wir das alles
noch ein bisschen vertiefen.
Dort gibt es dann nicht nur das Prinzip der virtuellen Verrückungen,
sondern auch das Prinzip der virtuellen Leistung.
Was verbirgt sich dort dahinter?
Und dort haben wir nicht virtuelle Änderungen der Freiheitsgrade,
sondern virtuelle Änderungen der Geschwindigkeiten, wie das die
Freiheitsgrade zulassen.
Also wir können dann den Systemszustand virtuell verändern, indem wir
Geschwindigkeitsänderungen anbringen, und das bei festgehaltener Lage,
das heißt dort würde dann bei dem Prinzip die Lage nicht variiert, und
auch die Zeit würde festgehalten.
Wie gesagt, hier beschränken wir uns, so ein bisschen kommend vom
Prinzip der virtuellen Arbeit, auf die virtuellen Verschiebungen, wo,
wie gesagt, bei uns die Zeit nicht variiert wird.
Wenn wir das ein bisschen verallgemeinern, dann haben wir ja gesagt, R
ist R abhängig von Q1 bis Qn und T,
das heißt Delta R ist dann einfach Ableitung von R nach Q1 mal Delta
Q1 plus dr nach dQ2 mal Delta Q2 bis dr nach dQn mal Delta Qn.
Jetzt sieht es aus, wir haben gesagt, generalisierte Koordinaten,
generalisierte Kräfte, was sind die generalisierten Kräfte?
Nun, die werden ermittelt aus der virtuellen Arbeit der eingeprägten
Kräfte, also ermittelt über die virtuelle Arbeit
der beliebig angreifenden Kräfte.
Später werden wir dann natürlich ausnutzen, dass wenn wir in einem
System Zwangskräfte haben, dass gerade die Summe der Zwangskräfte, die
jeweils multipliziert mit einer virtuellen Verrückung, dann insgesamt
verschwindet, also dann werden nur noch wichtig die generalisierten
Kräfte, die sich ergeben aufgrund der eingeprägten Kräfte.
Nun, bei N Kräften
Fj ergibt sich dann gerade die virtuelle Arbeit gleich Summe der
virtuellen Arbeiten der einzelnen Kräfte, also Fj, skalar
multipliziert mit Delta Rj, virtuelle Verschiebung vom j
-Kraftangriffspunkt, aufsummiert über alle Kräfte, also in dem Falle
von j gleich 1 bis Groß N.
Das war die virtuelle Verschiebung des Kraftangriffspunktes.
Und wenn später bei unserem System, wir machen das hier zunächst mal
hauptsächlich für Massenpunkte, da sieht man die Herleitung besser,
später sagen wir dann einfach, das gilt auch für Körper.
Bei Körpern können natürlich auch Momente angreifen und dann wird
natürlich auch wichtig, die virtuelle Arbeit der Momente, die sich
dann wieder ergeben aus einer virtuellen Verdrehung des Momentes.
Nun setzen wir unsere Beziehung für Delta R letztendlich ein, in
unserer virtuellen Arbeit.
Dann erhalten wir also mit Delta Rj gleich, nun da müssen wir einfach
Rj in der Beziehung einsetzen, dann sehen wir, das ist eine Summe, Drj
nach Dqi mal Delta Qi, aufsummiert von i gleich 1 bis N, also das, was
ich jetzt in der einen Formel so lang als Summe aufgeschrieben habe,
das habe ich jetzt einfach zusammengefasst.
Man sieht, es wird über i von 1 bis N aufsummiert, Ableitung nach Qi
mal Delta Qi,
folgt dann, dass eben Delta W sich ergibt als Summe j gleich 1 bis N,
dann haben wir fj,
skalarmultipliziert mit Delta Rj, das war aber eine Summe, i gleich 1
bis N, Drj nach Dqi mal Delta Qi, und jetzt sehen wir, die Summe über
i, die können wir natürlich vorziehen, vor das fj,
dann haben wir also gleich Summe j gleich 1 bis N, eine Summe i gleich
1 bis N, und dann haben wir drin stehen, fj, skalarmultipliziert mit
Drj nach Dqi mal Delta Qi,
und jetzt sehen wir, jetzt können wir die Summationsreihenfolge
vertauschen, das heißt, wir summieren jetzt mal zunächst über i, also
i gleich 1 bis N, und dann steht da drin eine Summe j gleich 1 bis N,
und dann haben wir drin stehen, fj, skalarmultipliziert mit der
partiellen Ableitung von Rj nach Qi, und das noch multipliziert mit
Delta Qi.
Sodass, wenn wir jetzt sagen, die virtuelle Arbeit Delta W ist Summe i
gleich 1 bis N, Groß Qi mal Delta Qi, dann sehen wir, das Groß Qi
entspricht gerade der geschweiften Klammer.
Also, das entspricht dem Groß Qi.
Und das Groß Qi wird jetzt gerade als generalisierte Kraft bezeichnet.
Also, Groß Qi gleich generalisierte Kraft.
Warum generalisierte Kraft?
Ganz einfach, wir haben gesehen, die QIs, das können Verschiebungen
sein, das können Winkel sein.
Die virtuellen Größen Delta Qi, das sind dann virtuelle Verschiebungen
oder virtuelle Verdrehwinkel.
Die virtuelle Arbeit ist dann entsprechend Dimension Kraft mal
virtuelle Verschiebung oder irgendein Ausdruck, der die Dimension
eines Momentes hat, mal virtuelle Verdrehung.
Also je nachdem, was da steht, handelt es sich letztendlich um einen
Moment oder um eine Kraft.
Und wie gesagt, das sind dann solche Größen, die letztendlich sich aus
der Berechnungsvorschrift hier bestimmen lassen.
Die Studenten haben dann meistens, wenn das gemacht werden muss, so
ein bisschen die Schwierigkeit, oh, wie bestimmt man denn die Groß Qi?
Und da wissen die ja, die bestimmt man aus der virtuellen Arbeit.
Also später bei den Lagrangian Gleichungen zweiter Art, da steht eben
rechts gleich Groß Qi.
Und jetzt muss ich das Groß Qi bestimmen.
Dann wissen wir, die Groß QIs, die können wir bestimmen, wenn wir die
virtuelle Arbeit bestimmen.
Wie bestimmen wir das?
Und da muss man einfach mal vielleicht, wenn man es nicht weiß, ganz
formal vorgehen.
Man stellt dann den Ortsvektor zum Kraftangriffspunkt auf, in
Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten.
Und dann bildet man die Ableitungen dr nach dq1, dr nach dq2 und so
weiter und kann dann die virtuelle Arbeit berechnen.
In Abhängigkeit der Delta-QIs, dann kann man das sortieren.
Und wenn man das schön sortiert hat, dann kann man eben die einzelnen
generalisierten Kräfte entsprechend ablesen.
Also wichtig ist, Delta W gleich eine Summe, i gleich 1 bis n, Groß Qi
mal Delta Qi.
An der Stelle noch vielleicht ein kleiner Hinweis.
Delta R bedeutet im Sinne der Variationsrechnung, wir variieren das R.
Wenn das R von den q1 bis qn abhängt, dann bedeutet ja das nichts
anderes als Ableitung von R nach q1 mal Delta q1 plus und so weiter.
Beim Delta W ist das Delta-Zeichen ein Teil des Namens.
Also wir könnten jetzt auch genauso gut hergehen und definieren, ich
mache das mal in Klammern, Delta W gleich W virtuell, weil das kein
Variationszeichen ist, sondern das ist ein Teil des Namens.
Genauso wie wir oft sagen, na gut, die Anfangsbedingung, wenn wir
einen Differentialgleichen lösen, ist Y0 von 0 ist Y0 und die
Ableitung von Y zum Zeitpunkt t gleich 0 ist Y0 Punkt.
Der Punkt kann dann auch nicht die Ableitung von Y0 bedeuten, sondern
ist dann Teil des Namens.
Weil wenn Sie eine konstante Y0 nach der Zeit ableiten würden, würde
ja 0 rauskommen.
Also da müssen wir immer ein bisschen vorsichtig sein, da machen sich
die Studenten wahrscheinlich gar nicht so viele Gedanken.
Wie gesagt, ich erwähne es an der Stelle nur mal.
Normalerweise bedeutet dieses Zeichen Delta so eine Variation, aber
bei der virtuellen Arbeit ist es eher aufzufassen als Teil des Namens.
Da wird nicht irgendeine Größe W variiert.
Machen wir als Beispiel wieder unser Pendel mit bewegtem Fußpunkt.
Das heißt im ausgelenkten Zustand haben
wir jetzt X und Z.
Dann hat man gesagt, wir haben da die Feder.
Dann haben wir das Pendel selbst.
Das war der Winkel Phi, hier hatten wir das Y.
Und wir nehmen jetzt an, wir haben eine Kraft, die stets sinkrecht auf
der Pendelstange steht.
F,
und zwar Betrag von F soll sein F0.
Und sinkrecht zur Pendelstange.
Wir berechnen jetzt nur die virtuelle Arbeit dieser Kraft.
Also,
virtuelle Arbeit dieser
Kraft.
Da haben wir dann Delta W gleich F, skalarmultipliziert mit Delta R.
Und jetzt sehen wir, wir brauchen zum einen die Kraft F als Vektor,
zum anderen das Delta R.
Das F,
und da sehen wir, das hat in X-Richtung eine Komponente, da haben wir
hier nochmal den Winkel Phi.
Also F0 mal Cosinus Phi.
In Z-Richtung haben wir eine Komponente, F0 mal Sinus Phi, allerdings
in negative Z-Richtung, deshalb minus F0.
Sinus Phi,
das Delta R, jetzt müssen wir aufpassen, wir haben da oben Delta R
bestimmt allerdings für den Fall, dass die Bewegung des Fußpunktes
vorgegeben war.
Wenn die Bewegung nicht vorgegeben ist und das Y ein Freiheitsgrad
ist, dann sehen wir, dann müssen wir das verwenden.
R ist L mal Sinus Phi in X-Richtung, bzw.
Y plus L mal Cosinus Phi in Z-Richtung.
Das heißt, in dem Fall hängt das R von den Freiheitsgraden Y und Phi
ab.
Deshalb ist das Delta R dann
L Cosinus Phi mal Delta Phi in X-Richtung und in Z-Richtung dann Delta
Y minus L Sinus Phi mal Delta Phi.
Hat jemand Schwierigkeiten, auf dieses Delta R zu kommen?
Ich mache mal die Gegenprobe, lieber nicht.
Das heißt, Delta W, die virtuelle Arbeit, ist jetzt das Skalarprodukt
von F mit Delta R, das heißt, wir multiplizieren X-Koordinate mit X
-Koordinate, das gibt F0 mal L mal Cosinus Quadrat von Phi mal Delta
Phi plus Y-Koordinate mal Y-Koordinate, also minus F0 Sinus Phi mal
Delta Y
plus F0 mal L mal Sinus Quadrat Phi mal Delta Phi und jetzt sehen wir,
das ergibt minus F0 mal Sinus Phi mal Delta Y, der mittlere Term, dann
haben wir plus F0 mal L, dann haben wir hier Cosinus Quadrat Phi, hier
Sinus Quadrat Phi mal Delta Phi.
Also, das gibt gerade in der Summe Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat
gleich 1, also F0 L mal Delta Phi.
Formal wissen wir, dass Delta
W, die virtuelle Arbeit gerade ist, Q1 mal Delta Q1 plus Q2 mal Delta
Q2, das heißt, Q1 war Y, Q2 war Phi,
also Q1, das kleine war Y, das kleine Q2 war Phi, gibt also QY mal
Delta Y plus Q Phi mal Delta Phi.
Sie können auch das 1 und 2 stehen lassen, je nachdem, wie Sie wollen.
Und wie kriegen wir jetzt das QY bzw.
Q Phi heraus?
Nun einfach durch Vergleich, man sieht, QY steht bei Delta Y, das ist
in dem Fall gerade minus F0 mal Sinus Phi.
Das Q Phi ist der Vorfaktor von Delta Phi, also Q Phi ist dann gerade
F0 mal L.
Wie sieht es aus, warum
das ein Moment ist?
Jetzt habe ich gesagt, die generalisierten Kräfte heißen so, weil das
schon dimensionsmäßig entweder ein Moment sein kann oder eine Kraft,
je nachdem, was ich als verallgemeinerte Koordinate habe.
Wenn ich als verallgemeinerte Koordinate einen Winkel habe, dann muss
das die Dimension eines Momentes haben.
Wenn ich als verallgemeinerte Koordinate eine Verschiebung habe, dann
muss das die Dimension einer Kraft haben.
Weil virtuelle Arbeit dann entweder gibt Moment mal virtuelle
Verdrehung oder Kraft mal virtuelle Verschiebung.
Wird jetzt klar.
Vielleicht machen wir der Vollständigkeit halber noch den Fall, dass
die Bewegung vorgegeben ist.
Also bei vorgegebener Bewegung, dann hatten wir nur einen
Freiheitsgrad, nämlich das Phi.
Das F ist nach wie vor F0 Cosinus Phi minus F0 Sinus Phi.
Das Delta R in dem Falle die virtuelle Verschiebung des Pendels, also
des Pendelpunktes, ist dann aber, machen wir es bestimmt da oben, L
Cosinus Phi in X-Richtung mal Delta Phi, beziehungsweise minus L Sinus
Phi mal Delta Phi, also L Cosinus Phi Delta Phi minus L Sinus Phi
Delta Phi, sodass die virtuelle Arbeit, das Skalarprodukt aus Kraft
und virtueller Verschiebung in dem Falle ergibt, F0 L mal Cosinus
Quadrat Phi mal Delta Phi minus mal minus gibt Plus, dann haben wir F0
L Sinus Quadrat Phi Delta Phi, also Plus Sinus Quadrat Phi und man
sieht, dass das in dem Falle gerade ergibt, F0 L mal Delta Phi.
Gleichzeitig wissen wir, die virtuelle Arbeit setzt sich zusammen, aus
verallgemeinerten Kräften multipliziert, jeweils mit den virtuellen
Änderungen der Freiheitsgrade, also Delta W gleich, und in dem Falle
haben wir eben nur einen Freiheitsgrad, dann ist das das Q Phi mal
Delta Phi, sodass wir sehen, das Groß-Q-Phi ist eben F0 L.
Und ein QY gibt es nicht, weil das kein Freiheitsgrad ist.
Gibt es soweit Fragen?
Dann kommen wir jetzt zur Herleitung der Lagrangian-Gleichungen.
Um
das noch irgendwie übersichtlich zu halten, machen wir die Herleitung
nur für Massenpunktsysteme in der Vorlesung.
Also hier für Massenpunktsysteme,
sie gelten aber auch für Systeme starrer Körper.
Und von was gehen wir aus?
Ausgangspunkt ist das Prinzip von d'Alembert.
In Lagrangian-Fassung, also das, was wir gerade eben hatten, als wir
die Zwangskräfte da rausgeworfen haben, indem wir mit virtuellen
Verrückungen der Massenpunkte jede einzelne Gleichung, die sich aus
den jüdischen Aktionen ergab, multipliziert haben und dann aufsummiert
haben.
Also, Startpunkt war für den Massenpunkt j,
dass dann die Summe aller Kräfte auf den Massenpunkt j minus Masse des
Massenpunktes j mal Beschleunigung des Punktes, also Rj, zweipunkt,
gleich Null ist.
Wir haben gesagt, das multiplizieren wir mit Delta Rj.
Null multipliziert mit Delta Rj gibt immer noch die Null.
Jetzt eine Skalare Null.
Und, wenn wir jetzt noch hergehen und über alle j Massenpunkte
aufsummieren, wir nehmen an, wir haben N Massenpunkte,
also insgesamt N Massenpunkte, dann haben wir den Vorteil, dass ja die
Zwangskräfte keine Rolle mehr spielen.
Das heißt, dann müssen wir in den Kräften, die auf den Massenpunkt j
wirken, nur noch die eingeprägten Kräfte berücksichtigen.
Also, jetzt in der Form,
dann erführt nur eingeprägte Kräfte.
Wie gesagt, weil in der Summe dann die Anteile der Zwangskräfte
verschwinden.
So, das war zunächst auch ganz allgemein.
Jetzt haben wir gesagt, unser System können wir beschreiben durch
insgesamt N generalisierte Koordinaten.
Das hatte ich schon mal angedeutet, dass die virtuellen Verrückungen
von Massenpunkt j dann ausgedrückt werden können über die virtuellen
Änderungen der Freiheitsgrade, über Delta Q1, Delta Q2 und so weiter.
Das hatten wir irgendwo,
also an der Stelle hatten wir das schon ein bisschen eingebracht.
Hier war es, Delta Rj ist Drj nach Dqi mal Delta Qi.
Das setzen wir im Grunde genommen dann da vorne ein.
Also, nach Einführung generalisierter Koordinaten ersetzen wir das
Delta Rj durch die Summe Drj nach Dqi.
Multipliziert mit Delta Qi, also erhalten wir dann Summe j gleich 1
bis n.
Dann haben wir Fj minus MjRj, 2 Punkt.
Und das Delta Rj war Summe i gleich 1 bis n.
Und dann haben wir Drj nach Dqi mal Delta Qi.
Und natürlich muss das nach der Summation immer noch die Null ergeben.
Moment, bevor ich jetzt weitermache, wische ich mir da schon mal ein
bisschen die Tafel, dass die trocknen kann.
Das heißt, wir haben jetzt Summe j gleich 1 bis n.
Dann haben wir Fj multipliziert mit der zweiten Summe.
Und das j, das können wir relativ leicht in die zweite Summe
reinziehen.
Gibt also Summe i gleich 1 bis n.
Und dann haben wir drinstehen Fj multipliziert mit Drj nach Dqi mal
Delta Qi minus
und jetzt steht Summe j gleich 1 bis N.
Und auch da können wir natürlich, ne, lass uns mal stehen, MjRj, 2
Punkt, Summe i
gleich 1 bis n, Drj nach Dqi, Delta Qi muss Null sein.
Jetzt müssen wir sehen, an der Stelle können wir, ähnlich wie wir das
da drüben schon gemacht haben, die Summationsreihenfolge vertauschen.
Das heißt, an der Stelle steht jetzt Summe i gleich 1 bis n.
Und dann haben wir drinstehen Summe j gleich 1 bis N, Fj, Drj nach
Dqi, Delta Qi.
Dann steht rechts noch Minus Summe j gleich 1 bis N.
Und dann haben wir MjRj, 2 Punkt, mal der Summe i gleich 1 bis n, Drj
nach Dqi mal Delta Qi gleich Null.
Wenn wir jetzt vergleichen, dann sehen wir, Summe j gleich 1 bis N,
Fj, Drj nach Dqi, war gerade das Groß-Qi.
Also an der Stelle steht Groß-Qi.
Jetzt sieht es aus mit dem rechten Term.
Also wir haben MjRj, 2 Punkt, Summe i gleich 1 bis n, Drj nach Dqi mal
Delta Qi.
Das ist das, was wir jetzt untersuchen.
Und was haben wir als Ziel?
Das darzustellen über die kinetische Energie.
Also Darstellung und zwar, man sieht es hier, die kinetische Energie,
die tritt da auf, aber die wird noch zu bearbeiten sein, also
letztendlich Ziel ist die Darstellung über Ableitungen der kinetischen
Energie.
Darstellung durch Ableitungen der
kinetischen Energie.
Das
heißt, wir haben im Grunde genommen Mj mal Fj Punkt mal
Summe i gleich 1 bis n,
Drj nach Dqi mal Delta Qi.
So,
jetzt sehen wir gut, wenn wir die Summation rausziehen über n, dann
haben wir eine
Summe i gleich 1 bis n und jetzt haben wir drinstehen, MjVj Punkt Drj
nach Dqi mal Delta Qi.
Dann schreibe ich mal hier, MjVj multipliziert mit Drj nach Dqi Punkt
mal Delta Qi.
Wenn wir da mal ableiten, Mj ist ja eine Konstante, dann haben wir Mj
mal Vj Punkt Drj nach Dqi, das haben wir hier stehen, aber jetzt
müssen wir die Produktregel beachten, dann tritt es ja noch auf, plus
Mj mal Vj mal der Zeitableitung von Rj nach Qi.
Also müssen wir da schreiben, Minus, und jetzt haben wir MjVj mal der
Zeitableitung von Drj nach Dqi und da haben wir noch das Delta Qi
drinstehen, also da steht jetzt noch Delta Qi und dann die eckige
Klammer zu.
Ich schreibe es vielleicht nochmal hier vorne hin, gleich Summe i
gleich 1 bis n und dann haben wir Mj mal Vj mal Drj nach Dqi Punkt
Minus Vj Die Skala multipliziert mit drj nach dqi-Punkt
mal delta qi.
So, jetzt schauen wir mal.
Der
vj, das an der Stelle auftritt, ist der rj-Punkt.
rj hängt von q1 bis qn ab.
Unterzeit t, das können wir also schreiben als Summe.
k gleich 1 bis n drj nach dqk mal qk-Punkt.
Also wir bilden die einzelnen partiellen Ableitungen von rj nach qk,
jeweils multipliziert mit der zeitlichen Änderung von qk.
Dann müssen wir berücksichtigen, dass das rj unter Umständen noch
explizit von der Zeit abhängt, also plus drj nach dt.
Allerdings ist jetzt, wenn wir vj nach qi-Punkt ableiten, sehen wir,
vj nach qi-Punkt abgeleitet ist, da setzen wir das ein, das ist alles
0, außer wenn k gleich i ist, dann haben wir nämlich drj nach dqk, die
Ableitung nach qi-Punkt ist dann 1, also drj nach dqi, ist also drj
nach dqi.
Das heißt, wenn wir da mal auf die linke Seite schauen, dann haben wir
drj nach dqi, können wir schon mal ersetzen durch dvj nach dqi-Punkt
später.
Entsprechend können wir
drj nach dqi-Punkt, also drj nach dqi-Punkt,
also drj nach dqi ist
wieder eine Funktion von q1 bis qn, und der Zeit t ist also Summe und
jetzt drj nach
dqkqj, jetzt aufsummiert k gleich 1 bis n mal qk-Punkt plus d2 drj
nach dt dqi.
Das ist
aber Summe k gleich 1 bis n und jetzt haben wir,
hier müssen i stehen, also jetzt vertauschen wir einfach die
Reihenfolge der partiellen Ableitungen, und dann haben wir d nach dqi
von drj nach dqk mal
qk -Punkt
Plus d nach dQi von drj nach dt.
Und jetzt sehen wir, das ergibt, jetzt haben wir jeweils die Ableitung
nach Qi, sowohl in der Summe wie auch im letzten Term.
Die Ableitung nach Qi können wir rausziehen, also d nach dQi von, und
dann bleibt stehen, eine Summe, k gleich 1 bis n, und dann haben wir
drj nach dQk mal Qk-Punkt plus drj nach dt.
Das sehen wir ganz oben, das in der eckigen Klammer ist aber gerade
vj.
Das heißt, d nach dt von drj nach dQi ist dvj nach dQi.
Setzen wir das in unsere Gleichung hier ein.
Ich schreibe mal hier gleich Stern, dann haben wir Stern gleich Summe
i gleich 1 bis n,
dann haben wir drinstehen mj und dann vj mal drj nach dQi.
drj nach dQi ist dvj nach dQi-Punkt.
Das nach der Zeit abgeleitet.
Minus vj mal
der Zeitableitung von rj nach Qi, das sehen wir.
Das ist aber gerade dvj nach dQi und
das Ganze mal delta Qi.
Jetzt sehen wir, der Punkt bedeutet d nach dt und das steht hier drin.
Und da steht die Ableitung von vj² nach Qi-Punkt.
Wenn wir das allerdings ableiten, erhalten wir das Doppelte, also
müssen wir einen Faktor 1 halb davor schreiben.
Und das vj, skalarmultipliziert mit dvj nach dQi, ist einfach ein
Halbmal -Ableitung von vj² nach Qi.
So, jetzt setzen wir alles in
unsere Gleichung da oben ein.
In die hier.
Dann haben wir Summe i gleich 1 bis n.
Dann haben wir Qi mal dQi minus Summe j gleich 1 bis n.
Und dann haben wir da drin stehen, mj, bzw.
Summe i gleich 1 bis n.
1 halb mj, beidesmal steht der Faktor 1 halb dabei.
Und dann haben wir d nach dt von dvj² nach dQi-Punkt.
Minus dvj² nach dQi.
Delta-Qi gleich 0.
Also Summe i gleich 1 bis n.
Groß-Qi mal Delta-Qi.
Jetzt vertauschen wir auch hier die Summationsreihenfolge.
Dann haben wir Minus Summe i gleich 1 bis n.
Und dann haben wir das d nach dt und das d nach dQi-Punkt.
Das können wir jetzt vor die zweite Summe ziehen, vor das j.
Gibt also d nach dt von d nach dQi-Punkt von Summe j gleich 1 bis N.
Und dann steht da drin 1 halb mj vj²
minus, nun haben wir nur die Ableitung nach qj, also d nach qi.
Und dann steht da von der Summe j gleich 1 bis n von 1 halb mj vj².
Ähnliche Klammer zu.
Delta-Qi gleich 0.
Jetzt haben wir den großen Vorteil.
1 halb mj mal vj², das war die kinetische Energie von Massenpunkt j.
Also das ist, ich schreibe mal tj, das haben wir auch wieder tj.
Und wenn ich über die einzelnen Massenpunkte aufsummiere, dann habe
ich eben an der Stelle die gesamte kinetische Energie t,
sodass wir jetzt schreiben können,
Summe i gleich 1 bis n, und jetzt fasse ich das schon mal zusammen, qi
minus d nach dt von dt nach dqi Punkt
Plus dT nach dQi mal deltaQi gleich 0.
So, das bedeutet, wir haben jetzt da stehen, geschweifte Klammer auf
mal deltaQ1 plus geschweifte Klammer auf mal deltaQ2 bis geschweifte
Klammer auf mal deltaQn gleich 0.
Und falls jetzt die Veränderungen, die virtuellen in den
Freiheitsgraden unabhängig voneinander sind, also falls alle deltaQi
unabhängig voneinander, dann sind wieder die Veränderungen deltaQ1,
deltaQ2 und so weiter völlig unabhängig voneinander.
Das heißt, für beliebige Änderungen, die man da einsetzen kann, erhält
man die 0 nur dann, wenn wie schon zuvor, jeder einzelne Klammerterm
für sich 0 ist.
Dann muss also das gleich 0 sein.
Man sieht, es gibt dann insgesamt n Bedingungen oder n Gleichungen.
Also,
n Gleichungen, nämlich geschweifte Klammer gleich 0 heißt d nach dt,
also totale Zeitableitung von dt nach dQi.
Punkt.
Minus dt nach dQi gleich GroßQi.
Und zwar für i gleich 1 bis n.
Bei unserem Beispiel des Pendels, wenn das elastisch aufgehängt ist,
dann erhalten wir zwei Bewegungsgleichungen.
Wenn der Fußpunkt geführt ist, erhalten wir nur eine
Bewegungsgleichung.
So, jetzt kann man sich natürlich fragen, gibt es eigentlich Fälle,
bei denen diese Veränderungen deltaQi nicht unabhängig voneinander
sind?
Jetzt muss ich gerade überlegen, wer hat am Samstagabend ferngesehen?
Niemand outet sich.
Was kam am Samstagabend?
Wie?
Die Tagesschauer, die kommt nicht am Samstagabend.
Ich merke schon, Sie sind alle schon zu alt.
Nee, es kam irgendwas mit dem Stefan Raab, wie hieß es, das
Eisfußballpokal.
Ein Eisfußballpokal ist jetzt ein schlechtes Beispiel, aber da steckt
natürlich dahinter, dass es auf dem Eis sehr glatt ist und was wir
natürlich vom Eis dann eher kennen, ist vielleicht das Eishockey oder
die Sportart, die zumindest eine Nuance interessanter ist, als das
Dressurreiten, das ist das Eiskunstlaufen.
Also viel langweiligeres gibt es ja eigentlich nicht mehr.
Und nichtsdestotrotz, beim Eislaufen, da haben wir Schlittschuhe.
Na ja gut, Sie können das wahrscheinlich nicht so gut wie ich, aber
man weiß, man erreicht eigentlich jeden Punkt der Eisbahn und auch im
Prinzip jede beliebige Orientierung.
Nichtsdestotrotz, also man hat zunächst mal drei Koordinaten, nämlich
eine Koordinate, zweite Koordinate und die Orientierung.
Nichtsdestotrotz, als Eiskunstläufer selber, kann man zwar seine
Orientierung ändern, aber rutschen kann man immer nur in Richtung der
Kufe.
Also die kleinen Änderungen Delta Q, die sind so, dass bei den
kathesischen Koordinaten das Delta X und das Delta Y gekoppelt sind.
Also,
Delta QI, abhängig voneinander, zum Beispiel beim Eislaufen,
wenn wir da die Eisfläche mit den Koordinaten X und Y haben, dann
haben wir irgendwo den Punkt, wo die Kufe aufliegt, das muss
punktförmig sein, weil sonst könnten wir uns nicht drehen, und dann
gibt es die Kufe, die irgendeine bestimmte Stellung hat.
Die hat gegenüber der X-Achse zum Beispiel den Winkel Theta und dann
gilt natürlich, dass die Lage bestimmt wird durch X, Y und Theta, die
brauchen wir wirklich, um Lage und Orientierung zu beschreiben, aber
es existiert eine Abhängigkeit in
der Form, dass eben das Delta Y dividiert durch das Delta X gerade
Tangens Theta ist, das heißt in dem Fall sind Delta X und Delta Y
nicht mehr unabhängig voneinander und dann können wir natürlich bei
der Herleitung nicht jeden Klammerterm für sich null setzen, sondern
müssen diese Abhängigkeit noch berücksichtigen.
Das sind Zwangsbedingungen, die man letztendlich nur auf
Geschwindigkeitsebene formulieren kann, also das sind sogenannte nicht
-holonorme Zwangsbedingungen.
Und wie gesagt, wenn keine nicht-holonormen Zwangsbedingungen
vorliegen, sondern nur holonorme Zwangsbedingungen, dann sind ja alle
holonormen Zwangsbedingungen schon explizit erfüllt, dadurch, dass wir
die generalisierten Koordinaten entsprechend einführen und wir haben
wirklich eine Unabhängigkeit zwischen den Delta QIs, sodass
letztendlich die hier angegebenen Gleichungen resultieren.
Das sind dann die Lagrangian-Gleichungen zweiter Art.
Und in der nächsten Vorlesung werden wir dann noch sehen, dass wenn
Kräfte vorliegen im System, die wir aus einem Potential ableiten
können, dann können wir sogar die alle noch in eine Potentialfunktion
reinschieben, Potentialfunktion heißt auch wieder Energieausdruck,
sodass dann letztendlich, wenn keine nicht-konservativen Kräfte
vorliegen, für die wir kein Potential formulieren können, also wir
nehmen an, wenn alle Kräfte aus dem Potential ableitbar sind, dann
können wir die Bewegungsgleichungen sogar aus einer Kombination der
kinetischen und der potenziellen Energie ableiten, also letztendlich
aus einem Energieausdruck.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir sogar pünktlich am Ende der Vorlesung
angelangt.
Vielen Dank.