Guten Tag, meine Damen und Herren, ich darf Sie recht herzlich zur
heutigen Vorlesung begrüßen, vielleicht mal wieder zwischendurch.
Der kleine Hinweis, dass wir die Vorlesung per Video aufzeichnen, das
sind also diejenigen, die hier vorne irgendwo sich setzen in den
günstigen Plätzen, dass die eventuell ins Bild kommen können.
Falls Sie das nicht wünschen, bitte setzen Sie sich um.
Eigentlich müsste das jetzt jeder irgendwann kapiert haben.
Zunächst mal ein kleiner Hinweis in eigener Sache.
Und zwar,
wir führen so einen deutsch-französischen Workshop in Zusammenarbeit
mit dem Lycée Koufignal in Straßburg durch.
Diejenigen, die sich ein bisschen für Frankreich interessieren, die
wissen, dass in Frankreich die Ausbildung auch im Ingenieurbereich ein
bisschen anders ist.
Deshalb haben die Franzosen durchaus noch den Diplom-Ingenieur als
erstes Ziel.
Sie machen ja alle Bachelor und Master.
Dementsprechend sind die Ingenieurstudenten zunächst mal gar nicht an
der Hochschule, sondern an einem Lycée für die Klasse Préparatoire.
Und da gibt es in Straßburg, wie gesagt, das Lycée Koufignal.
Das Ganze findet statt am 29.
Mai.
Bis 18.
Mai sollten Sie sich angemeldet haben.
Hier sehen Sie so einen kleinen Programmentwurf.
Also zunächst mal Accueil, Café et Croissant.
Dann Dekouverte des Salles, d'Atelier, Präsentation des Plateaux,
Dessinage, Multi-Axe.
Da wird also so ein kleiner Rundgang durch das Labor dort gemacht.
Dann gibt es Atelier, Bilingue, de Science, de l'Ingenieur, en Tandem,
Franco -Allemand.
Das heißt, da hat man die Möglichkeit, zusammen mit einer Französin
oder einem Franzosen da irgendetwas durchzuführen, auch praktisch.
Und danach noch so Présentation Parmentier-Nierenberger, du Robot-Nau.
Da wird also der Humanoide Roboter Nau vorgeführt.
Und von 12.30 Uhr bis 13.50 Uhr dann so ein gemeinsames Essen.
Danach Freiverfügung in Paris.
Also ich denke, das ist zum einen interessant von der Seite her, dass
man mal die französischen Glas-Préparatoires kennenlernt und wie es da
zugeht.
Zum anderen hat man dann die Möglichkeit, mal umsonst einen Ausflug
nach Straßburg zu machen und hat den Mittag zur freien Verfügung.
Also ich denke, eigentlich eine gute Möglichkeit.
Ich kann es nur empfehlen.
Ich denke, in der Übung später wird auch noch mal kurz Werbung
gemacht, aber wenn Sie das schon mal im Hinterkopf haben.
Gibt es dazu Fragen?
Dann hatte ich beim Kapitel, wo es um die allgemeinräumliche Bewegung
eines starren Körpers ging, mal gesagt, ja gut, wir hatten mal ein
kleines Projekt mit einer Firma, wo es darum ging, eine Siebmaschine,
ich sage mal, zu beruhigen, weil, ja gut, das merken Sie selbst,
vielleicht ist es schon länger her, wo Sie als Kind Sand gesiebt
haben, wie macht man das?
Man nimmt das Sieb und dann macht man solche Siebbewegungen.
Und ganz klar, da müssen Massen beschleunigt werden, da gibt es aber
auch die Massenträgheitsmomente, da wackelt relativ viel und wenn
jetzt das Sieb bzw.
die ganze Maschine relativ groß ist, das weiß ich, zwei Tonnen,
irgendwo auf einem 15-Meter-Turm steht, dann kann das zu extremer
Schwingungsanregung führen, das will man natürlich vermeiden.
Eigentlich müsste man es jetzt sehen.
Also ich starte jetzt nochmal den Rechner neu, wir machen einfach so
lange weiter.
Gestern bei der ID-Vorlesung hat noch alles geklappt, da hat man alles
gesehen, also ich weiß jetzt nicht, in was das liegt.
Wir haben in der letzten Vorlesung die Lagrangian Gleichungen in der
Art hergeleitet, dass wir am Ende hatten, aus der Voraussetzung, dass
die virtuellen Änderungen unserer Freiheitsgrade unabhängig
voneinander sind, dann ergab sich virtuelle Arbeit, die wir da
angeschrieben haben, nur dann, wenn jede Glamour getrennt für sich
verschwindet.
Das ergab dann N-Gleichungen, alle in der Form, totale Zeitableitung
von Partzellerableitung der kinetischen Energie nach Qi Punkt, Minus
Partzellerableitung der kinetischen Energie nach Qi, gleich
generalisierte Kraft Groß-Qi, das Ganze für i gleich 1 bis N, also
insgesamt N Bewegungsgleichungen, wie wir das erwarten, ohne, dass wir
die Zwangskräfte da kennen müssen, ohne, dass wir die berücksichtigen
müssen.
Die kinetische Energie wird dabei aufgefasst als Funktion der zwei N
-Variablen, nämlich Q1 bis Qn und Q1 Punkt bis Qn Punkt.
Jetzt gibt es aber sehr oft in den Systemen Kräfte, die an den
Massenpunkten oder an den Körpern angreifen, beziehungsweise auch
Momente, für die sich ein entsprechendes Potential angeben lässt, so
dass man die Kräfte oder die Momente aus dem Potential ableiten kann.
In dem Falle, also für Kräfte mit einem Potential,
da gilt jetzt, dass die virtuelle Arbeit gerade entspricht, jetzt
müssen wir aufpassen, das Potential war die negative Arbeit, ich hatte
gesagt, die virtuelle Arbeit ist eigentlich nicht die Variation von
einer Arbeit, weil wenn nicht konservative Kräfte da sind, ist das
nicht der Fall, aber für Kräfte mit einem Potential, da ergibt sich ja
gerade die Arbeit als Potentialdifferenz, das heißt, eine virtuelle
Arbeit ist dann eine virtuelle Änderung des Potentials, das Potential
selbst hängt aber nur von den Freiheitsgraden ab, ist also eine
Funktion von Q1 bis Qn.
Wenn dann gilt, Delta W gleich minus Delta V, und jetzt in dem Fall
ist das die Variation des Potentials, dann wissen wir, die Variation
des Potentials ist dV nach dQ1 mal Delta Q1 plus dV nach dQ2 Delta Q2
bis dV nach dQn Delta Qn, also in dem Falle dann gerade Minus Summe I
gleich 1 bis n und dann haben wir da drin stehen, dV nach dQi mal
Delta Qi, wir haben aber auch gesehen, die virtuelle Arbeit dieser
Anteile, ist dann gerade eine Summe, generalisierte Kraft, Groß Qi mal
Delta Qi aufsummiert von I gleich 1 bis n, das heißt,
für Anteile an den generalisierten Kräften, die sich über ein
Potential formulieren lassen, gilt gerade Qi gleich, vergleichen wir
es, hier haben wir das Minuszeichen, Minus dV nach dQi,
das heißt, oben haben wir die generalisierte Kraft, Groß Qi drin
stehen, die würden wir jetzt unterteilen in den Anteil
Groß QiV für Anteile, die sich aus dem Potential herleiten lassen,
Plus Qi quer,
dann sehen wir, gilt d nach dt, von dt nach dQi Punkt, Minus dt nach
dQi gleich, und jetzt haben wir Minus dV nach dQi,
Plus Qi quer, im Qi quer sind dann all die Anteile drin, die wir nicht
im Potential berücksichtigt haben, das dV nach dQi, das können wir
nach links bringen, dann wird es hier Plus dV nach dQi, mit dem
Minuszeichen hier vorne, können wir das zu einem Term zusammenfassen,
Minus dt-V nach dQi,
hier haben wir d nach dt, d von, und jetzt sehen wir, t nach Qi Punkt
abgeleitet, ja gut, da können wir auch das Potential partiell nach Qi
Punkt abgeleitet einfügen, weil das Potential hängt nicht von Qi Punkt
ab, also ist die Ableitung null, also rein formal können wir hier
genauso schreiben, d von t-V nach dQi Punkt, weil eben die Ableitung
des Potentials nach Qi Punkt null ist, und rechts steht dann Qi quer,
oder, wenn wir das kinetische Potential, also die Lagrange-Funktion L
einführen, dann L gleich t minus V, ergibt dann d nach dt, von dL nach
dQi Punkt, Minus dL nach dQi, gleich Qi quer, für i gleich 1 bis n,
das heißt auch hier erhalten wir die n Bewegungsgleichungen direkt aus
Energiegrößen, was wir lediglich noch brauchen, sind die
verallgemeinerten Kräfte, der Anteile, die wir nicht im Potential
berücksichtigt haben, das heißt, wenn wir jetzt ein konservatives
System hätten, bei dem wir für alle Kräfte und Momente ein
entsprechendes Potential formulieren können, dann würde hier auf der
rechten Seite sogar die Null stehen, das ist meistens das, was den
Studenten am liebsten ist.
Das Leben ist aber meist ein bisschen komplizierter.
Wie gesagt, konservatives System, wir packen alles ins Potential, dann
haben wir eben d nach dt, von dL nach dQi Punkt, minus dL nach dQi
gleich 0, das L ist eine skalare Größe, wir erhalten daraus aber n
Bewegungsgleichungen.
Und das Qi quer, wie schon zuvor, all die Anteile, die wir nicht im
Potential berücksichtigt haben, dafür berechnen wir die virtuelle
Arbeit für eine virtuelle Verschiebung des Systems und sortieren das
so, dass eben die virtuelle Arbeit sich ergibt aus einer Summe Qi
quer, Delta Qi, E von 1 bis n.
Das ist der Trick dabei.
Nun, wann gilt es, wir hatten gesagt, wenn die Delta Qi unabhängig
voneinander sind, wir hatten es in der letzten Vorlesung angedeutet,
das ist dann der Fall, wenn ein holonomen System vorliegt, bei einem
nicht holonomen System, Beispiel Schlittschuh, da hängt das Delta X
von Delta Y ab, da müssen wir ein bisschen vorsichtig sein, da geht es
also nicht ohne weiteres, aber für holonome Systeme ohne weiteres.
Wenn wir jetzt also Bewegungsgleichungen herleiten müssen, wie sieht
das dann im wirklichen Leben aus?
Nun, im wirklichen Leben haben Sie zunächst mal wahrscheinlich die
Klausur und bei der Klausur, das hat ein bisschen den Nachteil, da
kriegen Sie das immer so häppchenweise serviert.
Wenn Sie also mal später all die Klausuraufgaben rechnen, dann sehen
Sie, es kommt zunächst meistens immer so ein Kinematikteil.
Da steht also, drücken Sie den Winkel Phi oder die
Winkelgeschwindigkeit Phi Punkt in Abhängigkeit der
Winkelgeschwindigkeit Alpha Punkt aus, zum Beispiel.
Oder drücken Sie die Verschiebung X als Funktion der Verschiebung Y
und des Winkels Phi aus, in dem Stile.
Warum?
Nun, weil letztendlich natürlich alles wieder dargestellt werden muss
als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten, die wir dann
irgendwann wählen müssen, als entweder ein Winkel Phi oder ein Winkel
Alpha oder je nachdem.
Das ist dann Kinematik.
Dann steht irgendwann, bestimmen Sie die potenzielle Energie.
Bestimmen Sie die kinetische Energie.
Und die kinetische Energie, wenn es mehrere Körper sind, die würde
sich dann zusammensetzen aus der kinetischen Energie von den einzelnen
Körpern aufsummiert und die kinetische Energie der einzelnen Körper
wieder aus Translationsenergie und Rotationsenergie und dem Allem.
Und dann müssen wir natürlich, um später das richtig abzuleiten, auch
die kinetische Energie wieder darstellen als Funktion der Qi und der
Qi Punkt.
Genauso die potenzielle Energie.
Und dann steht irgendwann, nehmen Sie die Lagrangian Gleichungen, um
die Bewegungsgleichungen herzuleiten.
Das heißt, Sie müssen dann eigentlich noch das L bilden und dann
setzen Sie das...
Wenn wir das L haben, ist eigentlich die Mechanik erledigt.
Alles andere ist ja nur noch einsetzen in den Formalismus.
Da muss man eben ableiten können.
Und ganz klar, das ist dann eigentlich nichts mehr Wildes.
Wenn Sie nach der Klausur im wirklichen Leben, zum Beispiel bei Herrn
Albers oder in der Firma oder wie auch immer, die Aufgabe kriegen,
legen Sie das System aus.
Dann müssen Sie überlegen, wenn ich das System auslegen will, was
brauche ich denn da alles?
Da brauche ich vielleicht Kräfte und Momente, um die richtigen Lager
zu bestimmen.
Also letztendlich brauchen wir auch vielleicht die Zwangskräfte und
Zwangsmomente, die wir hier an der Stelle gar nicht bestimmen.
Aber um die zu bestimmen, brauchen wir die Bewegung.
Und wenn Kräfte und Momente vorgegeben sind, dann wollen wir wissen,
wie bewegt sich das System.
Dann müssen wir also die Bewegungsdeichungen lösen.
Um die zu lösen, müssen wir die aber zunächst herleiten.
Und wenn Sie ein System mit sehr vielen Körpern haben, aber nur
wenigen Freiheitsgraden, dann können Sie natürlich jeden Körper für
sich freischneiden, Impuls und Trallsatz anwenden und dann die
Zwangsreaktionen eliminieren.
Das wird vielleicht dann aufwendig sein.
Unter Umständen sagen Sie dann, na gut, da gab es mal was, da brauche
ich die Zwangsreaktionen nicht.
Stichwort Lagrange-Gleichungen.
Und dann geht man im Prinzip so vor.
Aber wie sehen denn die aus?
Ich brauche d nach dt von dL nach dQI.
Minus dL nach dQI gleich QI quer.
Da muss man zunächst mal wissen, was was bedeutet.
Aber auf jeden Fall weiß ich dann, na gut, dafür brauche ich die
kinetische Energie und die potenzielle Energie.
Ich brauche auch die verallgemeinerten Kräfte.
Na gut, die verallgemeinerten Kräfte, da packe ich all die Anteile
rein, für die ich kein Potenzial formulieren kann und muss dazu deren
virtuelle Arbeit berechnen.
Das ist also ein Punkt, den man machen muss.
Und dann durch Vergleich von dem, was ich in der virtuellen Arbeit
ausrechne und dem formalen Ansatz QI quer mal DeltaQI aufsummiert über
I bestimme ich die einzelnen verallgemeinerten Kräfte.
Dann geht es weiter.
Gut, potenzielle Energie, das kriegt man meistens noch hin, weil oft
nimmt man, was weiß ich, irgendwelche Gewichtskräfte, da kann ich ein
Gewichtspotential einführen oder Federkräfte, Entschuldigung, oder
eine Drehfeder, all die Dinge, da habe ich schon vorgefertigte
potenzielle Energien, die kann ich leicht einsetzen.
Ein bisschen komplizierter wird es unter Umständen bei der kinetischen
Energie, aber bei der kinetischen Energie habe ich natürlich gegenüber
dem Impulssatz den Vorteil, ich brauche nur die Geschwindigkeit.
Beim Impulssatz müssen Sie nochmal ableiten, um die Beschleunigung zu
erhalten.
Gut, letztendlich müssen Sie das hier auch, das passiert nur dann an
der formalen Stelle hier unten.
Aber zunächst einmal brauchen wir nur die Geschwindigkeit und die
Winkelgeschwindigkeit, bestimmen dann die kinetische Energie.
Ja gut, und wenn Sie das machen, dann werden Sie irgendwann
feststellen, ja, ich habe vielleicht viele Koordinaten eingeführt und
muss jetzt die einzelnen Koordinaten noch ausdrücken, über
irgendwelche kinetischen Beziehungen, als Funktion der
verallgemeinerten Koordinaten, die ich einführe.
Und dazu brauche ich dann praktisch die Kinematik, das, was wir ganz
am Anfang hatten.
Deshalb sich immer klar machen, wie ist eigentlich die logische
Vorgehensweise dabei.
So, jetzt probieren wir es nochmal.
Ah, jetzt tut sich was.
So, was macht so eine Siebmaschine?
Sieht man es vielleicht ein bisschen besser?
Also das ist so ein großer Tank, da sind auch mehrere Siebe im
Allgemeinen drin, das ist dann, was weiß ich, wie hoch, je nachdem.
Und zunächst hat man eine Welle, die sich dreht, das ist praktisch die
zentrale Welle, die im Fuß drin ist und auch oben.
Und dann hat man auf der Welle, kann man jetzt einen Teil der Welle
seitlich verschieben.
Das heißt, wenn ich den seitlich verschiebe und die untere Welle dreht
sich, macht die so eine Bewegung.
So, wenn ich jetzt aber die seitlich verschobene Welle noch ein
bisschen zur Seite neige und dann drehe, dann macht die, mit der Hand,
ich kann mich jetzt schlecht drehen, Sie können sich vorstellen, die
macht dann so eine Bewegung.
Und jetzt habe ich da drauf den Behälter mit den Sieben drin, das
heißt, wenn ich den jetzt gegenüber einer globalen Drehung verhindere,
dann macht der genau so eine Bewegung.
Räumlich nicht ganz leicht vorzustellen.
Und in dem Falle hat der Student das dann sogar so mal modelliert,
dass man sieht, zunächst ist der untere Teil der Welle und der obere
Teil der Welle, die sind praktisch ein Stück.
Und dann verschiebt er den oberen Teil zur Seite, dadurch macht es
dann irgendwann so, und dann neigt er den auch noch und dann wird die
Siebbewegung eingeleitet und die Teile da außen, die braucht man
natürlich um den Behälter global.
Der wird über so Federelemente dann letztendlich festgehalten, damit
das nicht ganz mit dreht.
Sie sehen, jetzt fährt er das ein bisschen zur Seite, dann wird es
exzentrisch und
jetzt wird die Schiefstellung da erhöht, was letztendlich dann gerade
die Siebbewegung ergibt.
Und Sie sehen es hier schon ein bisschen angedeutet, die Firma meinte
zunächst mal, man macht irgendwo ein Ausgleichsgewicht dran, um den
Massenausgleich zu machen, aber ganz so einfach geht es dann in dem
Fall jedoch nicht.
Also um den idealen Massenausgleich zu machen, den kriegt man so gar
nicht hin, den muss man ein bisschen anders dann machen.
Aber letztendlich ist das ein Beispiel, wo man sieht, man hat
eigentlich eine einfache Bewegung, aber trotzdem, wenn es räumlich
wird, wird es relativ schnell kompliziert.
Die Firma hatte eigentlich ursprünglich mal einen Ingenieur
eingestellt, allerdings von der Fachhochschule, der das Problem lösen
sollte.
An der einen oder anderen Stelle sollte man doch gewisse Unterschiede
zwischen der Fachhochschule und uns dann bemerken.
Gibt es dazu Fragen?
So, kommen wir wieder zurück zur Mechanik und was wir jetzt machen,
das ist einfach ein paar Beispiele.
Und wir fangen an mit einem Beispiel zum Prinzip von d'Alain-Berlin
-Lacroix -Fassung.
Ich mache mal gerade hier weiter.
Also zunächst mal ein Prinzip von d'Alain-Berlin-Lacroix-Fassung.
Wir haben im Grunde genommen zwei Massenpunkte, oder zwei Körper, die
sich nicht drehen, und zwar jeweils auf einer schiefen Ebene.
Die eine schiefe Ebene, die hat den Neigungswinkel Alpha, die andere
den Neigungswinkel Beta.
Dann haben wir einen Massenpunkt und den anderen Massenpunkt.
Beide Massenpunkte sind durch ein undehnbares Seil verbunden.
Also hier ein undehnbares Seil, das Seil selbst ist masselos, die
Rolle, die das Seil umlenkt, die sei auch masselos, die hat auch keine
Reibung hier drin.
Man sieht schon, das ergibt eine Zwangsbedingung zwischen den beiden
Massenpunkten.
Und jetzt haben wir noch die Erdbeschleunigung vertikal nach unten.
So, jetzt haben wir zunächst mal Koordinaten, mithilfe derer wir die
Bewegung der Massenpunkte beschreiben.
Da haben wir zum einen hier mal die Koordinate Y1 für den Massenpunkt,
der die Masse M1 hat.
Und dann haben wir meinetwegen an der Stelle die Koordinate Y2.
Der Massenpunkt 2 hat die Masse M2.
Und was wir ebenfalls noch berücksichtigen wollen, das ist die Reibung
zwischen Massenpunkt und schiefer Ebene.
Da können wir verschiedene Arten von Reibung annehmen, wir könnten
jetzt viskose Reibung annehmen, das heißt, wenn so ein Ölfilm zwischen
den Massenpunkten und der schiefen Ebene ist, dann wäre die Reibkraft
proportional der Geschwindigkeit.
Wir nehmen mal an, trockene Reibung modellieren das mit einer
Coulangen -Reibkennlinie, das heißt, letztendlich haben wir da eine
Reibkraft, die der Bewegung entgegen geht, und die Reibkraft selbst
ist proportional der Normalkraft, das heißt, in dem Fall hätten wir
dann ein Beispiel für die Bewegungsgleichung selbst, zunächst mal,
wenn wir die mit dem Prinzip von d'Alembert in Lacan'scher Fassung
herleiten, brauchen wir die Zwangskräfte nicht zu kennen, aber um eben
alle auf die Massenpunkte wirkenden Kräfte, die dann zur Energiebilanz
beitragen, um die zu kennen, brauchen wir letztendlich dann doch die
Zwangskräfte, das sind nämlich die Normalkräfte zwischen den
Massenpunkten und den schiefen Ebenen.
So, wenn wir Prinzip von d'Alembert in Lacan'scher Fassung machen, was
brauchen wir?
Wir brauchen zunächst mal alle eingeprägten Kräfte, zeichnen wir mal
die eingeprägten Kräfte ein, zum einen die Gewichtskraft,
m1 mal g, bzw.
m2 mal g, dann haben wir die Reibkräfte, wenn das Ganze nach rechts
oben, bzw.
rechts unten sich bewegt, hätten wir an der Stelle die Reibkraft r1,
am anderen Massenpunkt die Reibkraft r2.
Wir nehmen an, dass zusätzlich noch eine Antriebskraft f0 am zweiten
Massenpunkt wirkt, in Richtung der Verschiebung.
Das sind zunächst mal alle eingeprägten Kräfte, die in der
Energiebilanz eine Rolle spielen.
Was wir jetzt aber noch brauchen, sind die Trägheitskräfte.
Nun, in Querrichtung bewegen sich die Massenpunkte nicht, die bewegen
sich nur entlang der schiefen Ebenen, das heißt, man hat zunächst mal
eine Trägheitskraft m1 mal y1, in negative y1-Richtung, bzw.
m2 mal y2, bei Massenpunkt 2.
Jetzt brauchen wir allerdings noch die virtuelle Verschiebung, da
haben wir zum einen delta y1 von Massenpunkt 1, bzw.
delta y2 von Massenpunkt 2.
Die Massenpunkte können sich nur entlang der schiefen Ebene bewegen.
Das heißt, wenn wir jetzt die gesamte virtuelle Arbeit aufstellen,
dann erhalten wir zunächst mal delta w gleich.
Und jetzt haben wir,
all die Kräfte werden nach rechts oben mit delta y1 verschoben, das
heißt, ich klammer das delta y1 mal aus.
Und dann sehen wir, die virtuelle Arbeit der Trägheitskraft, die ist
negativ, weil die Trägheitskraft der virtuellen Verschiebung
entgegengesetzt gerichtet ist, ist also minus m1 y1 2 Punkt mal delta
y1.
Dann haben wir die Reibkraft R1, auch die ist entgegengesetzt
gerichtet zu delta y1, deshalb minus R1.
Dann haben wir den Anteil der Gewichtskraft in Richtung der schiefen
Ebene, da sieht man, da hat man m1 mal g mal Sinus Alpha, aber
ebenfalls der virtuellen Verschiebung entgegengesetzt gerichtet,
deshalb minus m1 g mal Sinus Alpha.
Ansonsten haben wir am Massenpunkt 1 nichts, wir haben zwar noch die
Seilkraft, aber die Seilkraft, das wissen wir, das ist eine
Zwangskraft, die muss an der Stelle nicht berücksichtigt werden.
Genauso wie am zweiten Massenpunkt.
Dort haben wir die virtuelle Verschiebung delta y2, das heißt wir
haben zunächst mal minus m2 y2 2 Punkt mal delta y2.
Dann haben wir minus R2 mal delta y2.
Dann haben wir m2 g mal, in dem Falle dann Sinus Beta.
In dem Falle Antreiben, also plus m2 g mal Sinus Beta.
Und wir haben zum Schluss noch die Antriebskraft F0, auch die hat eine
virtuelle Arbeit, die positive ist, F0 mal delta y2, also plus F0 und
das Ganze soll 0 sein.
Und jetzt haben wir an der Stelle gearbeitet mit y1 und y2, die hängen
aber zusammen, es ist zwar nicht unbedingt y1 gleich y2, die sind ja
schon unterschiedlich lang, aber wir wissen, die unterscheiden sich
nur durch eine Konstante, es gilt auf jeden Fall, y1 Punkt gleich y2
Punkt.
Das heißt, y1 2 Punkt ist y2 2 Punkt.
Das heißt, wenn wir jetzt mal y1 mit y bezeichnen, dann ist y1 Punkt
gleich y Punkt, y2 Punkt ist y Punkt und y1 2 Punkt ist y2 Punkt, y2 2
Punkt ist y2 Punkt.
Und jetzt brauchen wir noch den Zusammenhang der virtuellen
Verschiebungen in Abhängigkeit von delta y.
Und ganz klar, da gilt eben, dass delta y1 gleich delta y2 gleich
delta y ist.
Man sieht, eigentlich hätten wir das abfragen müssen, wir haben hier
ein Beispiel, das letztendlich nur einen Freiheitsgrad hat, also haben
wir auch nur eine generalisierte Koordinate da ein bisschen zu
verändern.
So setzen wir das ein, dann erhalten wir delta w gleich, was haben wir
hier, delta y1 und delta y2 sind gleich, können wir alles in eine
Klammer schreiben, das heißt minus m1 y2 Punkt.
Dann haben wir von hinten minus m2 mal y2 Punkt, also 4 plus m2 mal y2
Punkt.
Dann haben wir minus r1,
da habe ich in der Hektik das delta y2 noch reingeschrieben, das
hatten wir natürlich ausgeklammert.
Dann haben wir minus r2 minus r1, also minus r1 minus r2.
Dann haben wir g mal Sinusalpha, g mal Sinusbeta beziehungsweise m2,
das haben wir hier mit minus, da mit plus, gibt also plus g mal m2
Sinusbeta minus m1 Sinusalpha und dann haben wir noch plus f0 mal
delta y gleich 0.
Jetzt wissen wir, delta y, die virtuelle Verrückung, die soll ungleich
0 sein, also muss die Gesamtklammer gleich 0 sein.
Das bedeutet, wenn wir jetzt das minus m1 plus m2 mal y2 Punkt auf die
andere Seite bringen, ergibt es gerade m1 plus m2 mal y2 Punkt.
Dann bringen wir noch r1 plus r2 auf die andere Seite.
Was ist r1?
Nun, r1 ist µ mal der Normalkraft 1.
Die Normalkraft 1 ist aber gerade m1 mal g mal Cosinusalpha.
Gibt also plus g mal µ mal m1 Cosinusalpha und die Reibkraft 2, ganz
analog, ist auch g mal µ mal m2 Cosinusbeta.
Dann haben wir noch das minus, bzw.
das bringen wir auf die andere Seite, also plus g mal m1 Sinusalpha
minus m2 Sinusbeta gleich f0.
Wir können es noch ein bisschen vereinfachen, indem wir praktisch den
Term ein bisschen zusammenfassen.
Dann ergibt sich m1 plus m2 mal y2 Punkt plus µ mal g mal m1
Cosinusalpha plus m2 Cosinusbeta Plus G mal M1 Sinus-Alpha minus M2
Sinus -Beta und jetzt entweder minus F0 gleich 0 oder gleich F0.
Das wäre jetzt die sich ergebende Bewegungsgleichung.
Und wenn man die Seilkraft wissen will, um zu schauen, wie dick muss
das Seil sein, dann müssen wir letztendlich wieder freischneiden.
Oder wir müssten einen zweiten Freiheitsgrad einführen, die Seilkraft
zu einer äußeren Kraft machen, zu einer eingeprägten, die sowohl am
Massenpunkt 1 wie auch am Massenpunkt 2 wirkt, und die virtuelle
Arbeit bestimmen.
Dann haben wir zwei Freiheitsgrade, wir haben dann Delta Y1 und Delta
Y2, erhalten dann auch zwei Gleichungen, und müssten dann letztendlich
aus der Bedingung, dass praktisch Y2 von Y1 abhängt, dann die
Seilkraft letztendlich bestimmen aus einer der Gleichungen.
Also aus einer der Gleichungen die Seilkraft in die andere Gleichung
einsetzen, hat man wieder die Bewegungsgleichung.
So, wenn es keine Fragen gibt, dann kommen wir mal zu den Lagrangian
-Gleichungen zweiter Art.
Wir machen da zunächst mal, um das mal ganz einfach anzuschreiben, ein
sehr einfaches Beispiel,
nämlich ein physikalisches Pendel,
wir haben dann den Gelenkpunkt des Pendels, wir haben das Pendel
selbst, können jetzt X- und Y-Koordinaten einführen, wobei wir die im
Grunde genommen gar nicht explizit brauchen.
Vertikal nach unten wirkt natürlich die Gewichtskraft.
Was wir noch brauchen, ist die Lage des Schwerpunktes.
Und jetzt wissen wir, ja gut, der Schwerpunkt, der hat vom Lager den
Abstand A,
unser Pendel hat einen Freiheitsgrad, das heißt in dem Fall wird es
nahe liegen, den Verdrehwinkel zwischen der Vertikalen und der
Verbindenden zwischen Lager und Schwerpunkt als generalisierte
Koordinate einzuführen.
Was wir dann noch brauchen, sind natürlich die Masse des
physikalischen Pendels und entweder das Massenträgheitsmoment
bezüglich des Schwerpunktes oder direkt bezüglich des Lagerpunktes O.
Wir nehmen mal an, wir haben das J bezüglich O gegeben.
So, sollen wir die Bewegungsgleichung herleiten?
Wir wissen, das System hat einen Freiheitsgrad.
I nimmt deshalb in dem Fall nur den Wert 1 an oder wir können auch
sagen, das Q1 ist das Phi.
Das heißt, was brauchen wir?
Letztendlich gilt d nach dt von dL nach dPhi Punkt minus dL nach dPhi
gleich Groß-Q-Phi-Quer.
Wir brauchen die kinetische Energie und die potenzielle Energie.
Die kinetische Energie, die ist, nun wir haben in dem Fall eine
Drehung um einen raumfesten Punkt, das heißt es genügt, die
Rotationsenergie bezüglich dieses Punktes aufzustellen, das ist 1,5
mal Massenträgheitsmoment bezüglich dieses Punktes, das war das Jo,
mal Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat, das war Phi Punkt zum Quadrat.
Sonst haben wir nichts.
Die potenzielle Energie, da haben wir lediglich das schwere Potential.
Um das schwere Potential aufzustellen, führen wir noch ein
entsprechendes Nullniveau ein.
Wir legen mal das Nullniveau bei y gleich 0 fest.
Dann sehen wir, die potenzielle Energie ist, die Strecke beträgt
gerade A mal Cosinus Phi, ist aber unterhalb des Nullniveaus, also
minus M mal G mal A mal Cosinus Phi.
Das heißt L ist in dem Falle 1,5 Jo Phi Punkt Quadrat minus, minus,
plus M, G, A mal Cosinus Phi.
Bevor wir jetzt einsetzen, bzw.
die verschiedenen Ableitungen berechnen, brauchen wir noch die
verallgemeinerte Kraft, qi quer.
Und da sehen wir, Delta W, die virtuelle Arbeit aller nicht
konservativen Anteile, in dem Falle ist 0, weil es gibt sonst nichts.
Es gibt nur noch die Zwangskräfte, die müssen wir aber nicht
berücksichtigen.
Also in dem Fall haben wir Delta W gleich 0.
Das ergibt gerade das q Phi mal Delta Phi.
Und jetzt sehen wir, ein Vergleich bedeutet, q Phi muss 0 sein.
Das heißt, jetzt haben wir das q Phi bestimmt, jetzt haben wir das L.
Jetzt können wir die einzelnen Ableitungen bestimmen.
Wir bestimmen vielleicht zunächst mal die partielle Ableitung von L
nach Phi Punkt.
Davon dann die Zeitableitung, also dL nach dPhi Punkt.
Und da sehen wir, hier haben wir 1,5 jo Phi Punkt Quadrat, das hängt
natürlich von Phi Punkt ab.
Das gibt 1,5 jo mal 2 mal Phi Punkt.
Oder jo Phi Punkt.
Jetzt müssen wir das noch nach der Zeit ableiten.
Das heißt, d nach dt, von dL nach dPhi Punkt, gibt gerade, jo ist eine
Konstante, also jo Phi 2 Punkt.
Als nächstes brauchen wir noch die Ableitung dL nach dPhi.
Beziehungsweise, vielleicht sollten wir hier oben noch sagen, wenn wir
jetzt weiterschauen, mGa Cosinus Phi, dann sehen wir, der Term hängt
zwar von Phi ab, Phi wird aber als andere Variable aufgefasst, als das
Phi Punkt.
Das heißt, die partielle Ableitung von Cosinus Phi nach Phi Punkt, die
war 0.
Deshalb fiel das raus.
Wenn wir jetzt L nach Phi ableiten, was haben wir dann?
Dann haben wir die Ableitung von 1,5 jo Phi Punkt Quadrat, das hängt
zwar von Phi Punkt ab, aber Phi Punkt und Phi sind unterschiedliche
Variablen, sodass beim partiellen Ableiten der Term wegfällt.
Dann haben wir noch mGa Cosinus Phi, die ist abgeleitet nach Phi,
ergibt gerade Minus mGa mal Sinus Phi.
Jetzt haben wir also die Ableitungen, haben das Q Phi, können das
einsetzen.
Das heißt, eingesetzt ergibt sich in dem Falle jo Phi 2 Punkt
plus mGa mal Sinus Phi gleich
0.
Also im Prinzip eine ganz normale Pendelgleichung.
Vielleicht sollten wir an der Stelle gerade mal schauen, wie würde das
jetzt aussehen, wenn wir das System ein bisschen verkomplizieren,
sodass vielleicht die virtuelle Arbeit der potenziallosen Anteile
nicht unbedingt 0 ist.
Können wir zum Beispiel dadurch machen, dass wir einen Drehdämpfer
anbringen.
Also wenn wir, ich deute das mal so an, zwischen der Umgebung und dem
Pendel so einen Drehdämpfer anbringen, mit einer Dämpferkonstante Kd,
was haben wir dann?
Dann wirkt auf das Pendel ein Moment entgegen dem Winkel Phi.
Das Proportional ist Phi Punkt, also ist das minus Kd mal Phi Punkt.
Das heißt, die zugehörige virtuelle Arbeit wäre dann, nun wenn wir um
Delta Phi das Pendel verdrehen, dann geht Delta Phi entgegen dem
Uhrzeigersinn.
Man sieht das Md, das Moment des Dämpfers auf das Pendel, ist im
Uhrzeigersinn, also ergibt das eine negative virtuelle Arbeit.
Und zwar Moment mal virtuelle Verdrehung, also minus Kd mal Phi Punkt
mal Delta Phi.
Wenn wir vergleichen, das soll gerade sein Q Phi mal Delta Phi, dann
wäre für den Fall, das Q Phi, wie groß?
Nun Vorfaktor von Delta Phi, also minus Kd mal Phi Punkt.
Das heißt, für den Fall hätten wir jetzt rechts in der Gleichung nicht
die Null stehen, sondern minus Kd mal Phi Punkt.
Wir sehen, das könnte man wieder auf die linke Seite bringen und
hätten dann eben die Gleichung für so ein Pendel mit einer
entsprechenden Viskosendämpfung.
Gibt es dazu Fragen?
So, zu Hause können Sie mal probieren, wenn Sie jetzt die
entsprechende Gleichung mit dem Trallsatz herleiten, indem Sie den
Trallsatz direkt auswirken für eine Drehung um den Lagerpunkt, dann
kommen Sie natürlich auf die gleiche Gleichung.
Machen wir mal ein anderes Beispiel.
Nehmen wir wieder mal ein Pendel, wie so eine Art Stange.
Lagern das mal hier unten.
Das heißt, als generalisierte Koordinate haben wir wieder den
Verdrehwinkel Phi.
Die Gewichtskraft, die lassen wir jetzt mal außen vor, das soll also
meinetwegen in der Horizontalen sein.
Wir nehmen aber an, dass wir am Pendel so eine Buchse haben, die
entlang des Pendels reibungsfrei gleiten kann und die praktisch immer
in der Höhe A, ich tu jetzt mal so an, über dem Lager ist.
Und da haben wir jetzt zwei Federn befestigt, jeweils Federsteifigkeit
C halbe,
so symmetrisch.
Das ist natürlich eine Parallelschaltung von zwei Federn, also
letztendlich entspricht das dem Fall, man hätte eine Feder mit einer
Federsteifigkeit C.
Wir haben wieder Massenträgheitsmoment bezüglich des Lagerpunktes,
wenn der hier unten ist.
So, wie sieht es jetzt aus?
Zunächst mal, wenn wir mithilfe der Lagrangian-Gleichungen die
Bewegungsgleichungen herleiten, brauchen wir wieder L gleich T minus
V.
Die kinetische Energie, die haben wir ja schon zuvor bestimmt.
T war ein Halb, Jo mal Phi Punkt Quadrat.
V, da sehen wir,
wenn die Federn spannungslos sind, wenn sich das Pendel bei Phi gleich
Null befindet, dann haben wir an der Stelle gerade das Delta L.
Und dann wissen wir, Gewichtskraft haben wir keine, wir haben zwei
Federn, nehmen wir mal die potenzielle Energie der ersten Feder, das
ist ein Halb mal Federkonstante, die ist aber C Halbe, mal
Verlängerung oder Verkürzung der Feder zum Quadrat, also Delta L zum
Quadrat, plus jetzt ein Halb mal Federkonstante der zweiten Feder, das
ist C Halbe, mal Federverlängerung oder Verkürzung zum Quadrat, das
war Delta L zum Quadrat,
also V gleich ein Halb mal, und jetzt sieht man Delta L Quadrat mal C
Halbe, Delta L Quadrat mal C Halbe, der Faktor ein Halb kürzt sich
dann weg, haben wir C mal Delta L zum Quadrat.
Jetzt haben wir den Fall, jetzt müssen wir Delta L als Funktion des
Verdrehwinkels bestimmen.
Jetzt haben wir gesagt, unsere Feder, die bleibt immer in der Höhe A,
über dem Untergrund hier oder über dem Lager, das heißt, Delta L
dividiert durch A ist was?
Jetzt kommt ein bisschen Trigonometrie, die sollten Sie kennen, das
war Tangens Alpha.
Also, Delta L dividiert durch A gleich Tangens V, Tangens V, setzen
das an der Stelle ein, dann haben wir Delta L gleich A mal Tangens V,
also ich bestimme jetzt direkt mal das L, L ist ein Halb, I hat O, V
Punkt Quadrat, Minus potenzielle Energie, ein Halb mal C und Delta L
zum Quadrat ist A Quadrat, Tangens Quadrat V,
man sieht, andere Kräfte und Momente haben wir nicht, deshalb wird
wieder die generalisierte Kraft Q V gleich Null sein, also aus Delta W
gleich Null folgt, dass Q V gleich Null ist, das können wir also
direkt wieder sagen.
Dämpfer haben wir keinen, wie gerade eben, das heißt, jetzt können wir
wieder so vorgehen, partielle Ableitung von L nach V Punkt,
das sehen wir, das hängt von V Punkt ab, der zweite Term hängt nicht
von V Punkt ab, obwohl er von V abhängt, gibt also gerade J O mal V
Punkt und damit D nach DT von D L nach D V Punkt ist J O V 2 Punkt.
Dann brauchen wir D L nach D V Punkt und das...
D L nach D V, da sehen wir, der erste Term hängt zwar von V Punkt ab,
das ist aber eine andere Variable als das V, also ist die partielle
Ableitung hier Null.
Jetzt müssen wir noch das ableiten, da sehen wir, das ergibt minus 1,5
mal C mal A Quadrat
mal der Ableitung von Tangents Quadrat V nach V, was gibt das?
Ohne Maple ist man ja doch ein bisschen aufgeschmissen, nun zunächst
mal Kettenregel, gibt das zweimal Tangents V mal der Ableitung von
Tangents.
Also zweimal Tangents V mal der Ableitung von Tangents, jetzt bräuchte
man noch die Quotientenregel, wenn Sie die anwenden, ergibt es gerade
1 dividiert durch Cosinus Quadrat V.
Also mal 1 dividiert durch Cosinus Quadrat V.
Jetzt sehen wir, der Faktor 1,5 kürzt sich mit dem Faktor 2.
Tangents V ist Sinus V durch Cosinus V, gibt also in dem Fall CA
Quadrat.
Sinus V dividiert durch Cosinus, hoch 3 von V.
Und jetzt setzen wir alles ein.
Dann haben wir JO, V2 Punkt.
Das Minuszeichen fehlt natürlich noch.
Minus DL nach D V, Minus Minus gibt Plus.
CA Quadrat, Sinus V dividiert durch Cosinus, hoch 3 V, gleich 0 als
Bewegungsgleichung.
Ist das korrekt?
So, Vertrauen ist gut.
Was ist besser?
Kontrolle.
Jetzt machen wir doch mal die Kontrolle.
Wir haben das Pendel.
Gut, wenn ich das freischneide, ich weiß ja, hier habe ich einen
raumfesten Drehpunkt, also ich kann jetzt im Grunde genommen so ein
Prinzip von d'Alembert machen, mit einem Trägheitsmoment und alles
bezüglich des Lagerpunktes auswerten.
Ich könnte an der Stelle auch noch die Lagerkräfte einzeichnen,
meinetwegen OX und OY.
Machen wir es mal so.
Und jetzt hatte ich gesagt, in der Höhe A
über dem Lager befindet sich gerade meine Buchse.
Das heißt, da haben wir jetzt eine Kraft aufgrund der rechten Feder.
Die ist Federsteifigkeit c Halbe mal Delta L nach links und
gleichzeitig zieht die andere Feder c Halbe Delta L und das Delta L
war ja was?
A mal Tangensphi.
Der Drehwinkel war phi.
Was jetzt noch fehlt, ist das Trägheitsmoment.
Der Winkel phi geht im Uhrzeigersinn, dann geht das Trägheitsmoment in
entgegengesetzte Richtung
und beträgt gerade Massenträgheitsmoment bezüglich des raumfesten
Punktes mal phi 2 Punkt.
Also JO phi 2 Punkt.
Ansonsten haben wir nichts.
Jetzt machen wir die Momentbilanz bezüglich dem Lager.
Dann sehen wir, alles dreht negativ.
Also alles, was negativ dreht, zählen wir jetzt mal positiv, oder was
entgegen dem Uhrzeigersinn dreht, nehmen wir positiv.
Dann haben wir zunächst mal JO phi 2 Punkt und dann haben wir c Halbe
Delta L plus c Halbe Delta L jeweils mit dem Hebelarm A.
Der Hebelarm ist ja A.
Das gibt c mal Delta L.
Gibt also plus c mal A mal Tangensalpha
mal Hebelarm A gibt c A Quadrat für Tangens phi gleich 0 als
Bewegungsgleichung.
Na gut, rechts haben wir Sinus phi dividiert durch Cosinus hoch 3 phi.
Ansonsten ist eigentlich alles gleich.
Hier haben wir Sinus phi dividiert durch Cosinus phi.
Irgendwie scheint es doch unterschiedlich zu sein, oder nicht?
Vielleicht linearisieren wir mal.
Tangens phi ist ja Sinus phi durch Cosinus phi.
Das heißt linearisiert für phi sehr viel kleiner als 1.
Da können wir den Sinus phi durch phi ersetzen und den Cosinus phi
durch 1.
Dann gibt es gerade J O phi 2 Punkt plus c A Quadrat mal phi gleich 0.
Na gut, wenn wir den rechten Term linearisieren, oder die rechte
Gleichung, haben wir J O phi 2 Punkt plus c A Quadrat.
Und dann haben wir Sinus phi, ersetzen wir durch phi den Cosinus von
phi durch 1.
Dann haben wir phi durch 1, oder 1 hoch 3 gibt letztendlich ebenfalls
phi gleich 0.
Oh, also linearisiert kommt ja schon mal dasselbe raus.
Jetzt fragen wir mal hier, dort haben Sie gesagt, wir haben es richtig
gemacht.
Hier haben wir es doch auch richtig gemacht, oder?
Jetzt haben wir gesagt, Bewegungsgleichungen sind im Allgemeinen nicht
linear.
Na gut, unsere beiden Gleichungen sind ja schon beide nicht linear,
aber die stehen wir nicht überein.
Das ist die große Frage, an was liegt das?
War jetzt eine unserer Methoden falsch, oder?
Wenn ja gesagt, die Buchse bleibt immer auf derselben Höhe, das heißt,
eigentlich haben wir ja die Geometrien alles hier richtig beschrieben,
wir haben das Delta L in Abhängigkeit von phi richtig beschrieben, wir
haben sicherlich die kinetische Energie und die potenzielle Energie
richtig beschrieben, und wenn wir das eigentlich für die linke Seite
machen, dann ist die Federkraft immer auf der gleichen Höhe, Weg nach
links, beide Federkräfte, jeweils C halbe Delta L, C halbe Delta L,
Moment ist dann C mal Delta L mal A, das haben wir ja gerade hier
stehen, C mal A mal Tangens phi mal A gibt genau das, und das
Trägheitsmoment haben wir eigentlich auch richtig.
Hat jemand eine Erklärung?
Oder kommt prinzipiell da Unterschiedliches raus?
Sie wollen doch alle mal, ja gut, früher hätte ich gesagt, Sie wollen
Ingenieur werden, das wollen Sie im Prinzip ja immer noch, auch wenn
das Master heißt, aber man muss doch dann irgendwie eine Erklärung
finden.
Nun, jetzt bin ich mal wieder böse, oder?
Darf ich böse sein?
Deshalb ist es vielleicht auch gerechtfertigt, wenn ich ein bisschen
mehr verdiene als ein Hiwi.
Aber woran liegt es?
Das liegt einfach daran, dass wir oft sagen, wir nehmen mal an.
Ich habe jetzt gesagt, wir nehmen mal an, die Buchse, die bleibt immer
in der Höhe A über dem Lager.
Ja, annehmen können wir viel, aber was passiert denn eigentlich mit
der Buchse?
Schauen Sie mal, ich habe es jetzt ein bisschen betrogen, ich habe
nämlich gesagt, die Federkräfte, die drücken hier auf das Pendel.
Die drücken aber gar nicht auf das Pendel.
Die drücken auf die Buchse.
Und wenn Sie jetzt mal die Buchse betrachten, dann wirken, wenn solche
Kräfte wirken, an der Buchse Kräfte, die einen Anteil haben in
Richtung des Pendels.
Das heißt, in Wirklichkeit wird eben Ihre Buchse nicht da oben
bleiben, sondern die wird das bestreben haben, sich entlang der Buchse
zu bewegen.
Das können Sie ja mal ausprobieren.
Machen Sie einfach ein kleines Modell.
Jetzt gibt es aber natürlich Maßnahmen, dass man schon das realisieren
kann, dass die Buchse immer in der Höhe A über dem Lager bleibt.
Das kann ich zum Beispiel so machen, indem ich, ich zeige mal hier das
Pendel ein bisschen größer raus, jetzt habe ich hier die Buchse, indem
ich da einfach so einen Bolzen ranmache und den horizontal führe, in
so einer Führung.
Dann bleibt die Buchse immer in der Höhe A.
Was heißt es dann aber?
Dann heißt es, ich muss eigentlich das nicht so freischneiden, wie ich
das gemacht habe, sondern ich muss das Pendel so freischneiden,
dass an der Stelle nicht eine Kraft horizontal nach links wirkt,
sondern an der Stelle wirkt natürlich nur eine Zwangskraft, senkrecht
zur Buchse.
So, und jetzt muss ich die Buchse separat noch freischneiden.
Jetzt habe ich hier die Buchse.
Jetzt, was wirkt auf die Buchse?
Auf die Buchse wirkt natürlich vom Pendel die Normalkraft N und es
wirkt von der Führung eine Normalkraft in vertikaler Richtung.
Das heißt, um diese Normalkräfte mal zu unterscheiden, nenne ich die
eine N1, die andere N2.
Und natürlich hat man jetzt immer noch die Federkräfte, C-Halbe-Delta
-L, C-Halbe-Delta-L, die auf die Buchse wirken.
Und was müssen wir jetzt machen?
Jetzt müssen wir natürlich ein Kräftegleichgewicht für die Buchse
machen.
Uns interessiert nicht das N2, sondern uns interessiert eigentlich das
N1.
Das heißt, wir machen jetzt eine Kräftebilanz in horizontaler
Richtung.
Was haben wir in horizontaler Richtung?
Da haben wir zum einen das N1 mal Kosinus-Phi.
Sie sehen, wenn das Pendel senkrecht steht, dann wirkt N1 horizontal.
Wenn sich das Pendel neigt, nimmt der Horizontalanteil von N1 ab.
Deshalb N1 mal Kosinus-Phi minus C-Halbe-Delta-L.
Minus C-Halbe-Delta-L gibt letztendlich minus C.
Und Delta-L war ja A mal Tangens-Phi.
Das muss Null sein.
Das bedeutet, N1 ist C mal A mal Tangens-Phi durch Kosinus-Phi, gibt
immerhin schon mal Sinus-Phi, dividiert durch Kosinus-Quadrat-Phi.
Jetzt ändert sich aufgrund dessen, dass das N1 hier senkrecht drauf
steht, insofern, als wir hier noch das Jo-Phi-2-Punkt, die
Trägheitsmoment haben.
Das heißt, die Momentbilanz bezüglich dem Lagerpunkt ergibt was?
Jo-Phi-2-Punkt plus N1 mal den Abstand von dem Punkt hier oben zum
Lager.
Also plus N1.
Und jetzt sehen wir, das hier ist A.
Das ist, nennen wir den Abstand mal, wie nennen wir den?
D.
Also das ist B.
Dann ist A dividiert durch B gerade Kosinus-Phi.
Ich habe es immer mit dem Alpha, ich weiß nicht warum.
Also Kosinus-Phi, das heißt, uns interessiert das B.
B ist dann A dividiert durch Kosinus-Phi, gibt also N1 mal A dividiert
durch Kosinus-Phi gleich 0.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das N1 einsetzen, dann ergibt sich
schlussendlich als Differentialgleichung Jo-Phi-2-Punkt
plus CA mal A gibt CA-Quadrat.
Dann haben wir 1 durch Kosinus-Phi mal Sinus-Phi durch Kosinus-Phi
-Quadrat, gibt also Sinus-Phi dividiert durch Kosinus-Phi gleich 0.
Jetzt sehen wir, wenn wir es richtig machen, kommt natürlich dasselbe
raus.
Jetzt gäbe es aber auch noch eine zweite Möglichkeit, weil, jetzt habe
ich gesagt, das, was ich mit Lagrange gemacht habe, das war eigentlich
richtiger.
Da muss man ein bisschen vorsichtig sein.
Das war eine Möglichkeit, die Buchse immer in der Höhe zu haben.
Es gibt auch noch eine andere Möglichkeit, nämlich wenn ich vom Pendel
auf die Buchse eine Kraft wirken lasse in Richtung des Pendels
und diese Kraft immer dafür sorgt, dass die Buchse in der richtigen
Höhe bleibt.
Könnte ich zum Beispiel erreichen, da muss ich das vielleicht
nachregeln.
So, was haben wir dann?
Und dann sieht man, in dem Falle, ich zeichne das mal hier grün ein,
hätten wir auf die Buchse eine Kraft in Richtung des Pendels,
die uns dafür sorgt, wenn wir keine Führung, wie ich sie links habe,
haben, die dafür sorgt, dass die Buchse immer in der Höhe bleibt.
Und was bedeutet dies?
Während der Bewegung verschiebt sich die Buchse entlang des Pendels.
Was bedeutet das in dem Falle dann?
Die virtuelle Arbeit nicht Null wäre.
Jetzt müssen Sie sich praktisch überlegen, wie groß ist die virtuelle
Verschiebung an dem Punkt bei einer virtuellen Verdrehung des Pendels.
Das hängt natürlich wieder zusammen, also jetzt haben Sie dann wieder
die Kinematik drin, dementsprechend haben Sie natürlich eine virtuelle
Arbeit und dementsprechend ist dann auch das Qv nicht Null, sondern
ungleich Null.
Wenn Sie das dann wieder einsetzen, dann müsste eigentlich dasselbe
rauskommen, wie im oberen Fall, weil wenn ich dort das Ganze
realisiere, dadurch, dass ich an der Buchse praktisch so eine Kraft
habe, dann habe ich am Pendel eine Gegenkraft, die hat aber die
Richtung entlang des Pendels, trägt zum Moment nichts bei, also dann
wäre die hergeleitete Gleichung, die ich zunächst hergeleitet habe,
die richtige.
Es hängt also davon ab, wie wir es realisieren.
Lange Rechnung, kurzes Fazit, seien Sie immer vorsichtig, wenn Sie
sagen, ich stelle mir vor oder ich nehme an.
Weil, wie hat mal jemand gesagt, es sei ein gängiger Begriff, der
Siemens -Lufthaken, wo man irgendwas in die Luft hängen kann, das sei
zwar ein schöner Ausdruck, aber in der Wirklichkeit wird man daran
immer scheitern.
Also Sie müssen immer überlegen, ob sich das auch so realisieren
lässt, oder, wenn Sie diese Annahmen machen, ist das auch so gegeben,
oder müsste ich das durch irgendwelche Kunstkniffe dann erreichen.
Also gerade so ein Beispiel, wie ich es jetzt vorgeführt habe, mit so
einer Buchse, um ganz ehrlich zu sein, da hatte ich schon renommierte
Bücher zu begutachten, die genau diesen Trugschluss aufgesessen sind.
Gibt es soweit Fragen?
Dann kommen wir jetzt zu einem weiteren Beispiel,
das wir aber wahrscheinlich mehr oder weniger nur beginnen können, Sie
können es aber vielleicht dann schon mal zu Hause selbst probieren.
Und zwar haben wir jetzt eine Relativbewegung,
von einem Massenpunkt in einem rotierenden Rohr.
Das heißt, wir haben irgendwo das Rohr,
das rotiert, sagen wir hier, das Inertialsystem, beschrieben durch x
und y,
wir haben den Verdrehwinkel phi des Rohrs, der ist jetzt vorgegeben,
das ist kein Freiheitsgrad, wenn das Rohr mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit dreht, dann können wir das sehr leicht
integrieren, der Verdrehwinkel phi ergibt sich dann als Omega mal T,
wie gesagt, Omega muss dazu konstant sein,
wir haben den Massenpunkt im Rohr,
das ist also der Massenpunkt M,
der ist hier im Grunde genommen verbunden mit dem Rohr über eine
Feder, und ich zeige es mal ein bisschen größer, so einen Dämpfer,
Federkonstante C, Dämpferkonstante K, und wir haben dann noch die
mitdrehenden Koordinaten, x Strich und y Strich, also x Strich entlang
des Rohres und y Strich dann senkrecht dazu, und man sieht, die
Position des Massenpunktes wird eben beschrieben durch die Koordinate
x Strich, eine mitdrehende Koordinate,
und wir nehmen mal an, die Feder hier, die sei entspannt, wenn sich
der Massenpunkt gerade bei x Strich gleich 0 befindet.
Also, Feder entspannt bei x Strich gleich 0.
Jetzt, wie viele Freiheitsgrade hat das System?
Wenn das Phi nicht vorgegeben wäre, dann hätten wir natürlich den
Verdrehwinkel Phi und die Bewegung des Massenpunktes entlang des
Rohres, jetzt haben wir gesagt, den Winkel Phi, den geben wir explizit
vor als Zeitfunktion, damit ist das kein Freiheitsgrad mehr, das
heißt, wir haben in dem Fall nur noch einen einzigen Freiheitsgrad,
nämlich die Bewegung des Massenpunktes entlang des Rohres, also ein
Freiheitsgrad, das heißt Q1 ist in dem Fall die Koordinate x Strich.
So, jetzt müssten wir eigentlich wieder sagen, wenn wir mit den
Lagrangian Gleichungen zweiter Art die Bewegungsgleichung herleiten
wollen, dann brauchen wir die kinetische Energie und die potenzielle
Energie, das heißt, wir brauchen die kinetische Energie, die ist
gerade ein Halb mal Masse des Massenpunktes mal die
Absolutgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit im Inertialsystem zum
Quadrat, allerdings ist die in dem Fall nicht mehr ganz so leicht zu
bestimmen und als Dienstweg hat man dann zum Beispiel die Möglichkeit,
wir stellen zunächst mal den Ortsvektor zum Massenpunkt auf und da
wissen wir, der Ortsvektor in dem Fall ist gerade, in x-Richtung haben
wir Relativkoordinate x Strich mal Cosinus Phi,
in y-Richtung haben wir x Strich mal Sinus Phi und jetzt müssen wir
aufpassen, weil jetzt ist das Phi natürlich gerade Omega t, wie
gesagt, ich hatte vorausgesetzt, Omega ist konstant, damit x Strich
Cosinus Omega t und x Strich Sinus Omega t,
daraus können wir jetzt sehr formal die Geschwindigkeit bestimmen, V
Absolut ist dann die Ableitung dieses Ortsvektors, das heißt r Punkt
und jetzt sehen wir, x Strich ist zeitabhängig, das heißt wir haben x
Strich Punkt mal Cosinus Omega t plus x Strich mal die Ableitung von
Cosinus Omega t, das heißt minus x Strich Omega Sinus Omega t und bei
der y-Komponente ganz ähnlich, da haben wir x Strich Punkt mal Sinus
Omega t plus x Strich mal die Ableitung von Sinus Omega t, also plus x
Strich Omega Cosinus Omega t.
Jetzt brauchen wir noch das Quadrat, das heißt wir nehmen x Komponente
zum Quadrat plus y Komponente zum Quadrat, ich deute das mal hier an,
das heißt V Absolut zum Quadrat gibt dann x Strich Punkt Quadrat mal
Cosinus Quadrat Omega t plus x Strich Quadrat Omega Quadrat Sinus
Quadrat Omega t
minus zweimal x Strich Punkt x Strich Omega Cosinus Omega t Sinus
Omega t
und jetzt brauchen wir die zweite Koordinate zum Quadrat, es gibt x
Strich Punkt Quadrat mal Sinus Quadrat Omega t plus x Strich Quadrat
Omega Quadrat Cosinus Quadrat Omega t
plus zweimal x Strich Punkt x Strich Omega Und dann haben wir Sinus
-Omega -T, Kosinus-Omega-T.
Und jetzt habe ich das so untereinander geschrieben, dass man schon
sieht, dass die letzten beiden Terme, die heben sich gerade
gegenseitig weg.
Dann haben wir hier x-Strich-Punkt-Quadrat, hier x-Strich-Punkt
-Quadrat, einmal mit Sinus-Quadrat, einmal mit Kosinus-Quadrat von
Omega -T.
Das gibt also dann gerade x-Strich-Punkt-Quadrat.
Und hier haben wir x-Strich-Quadrat, x-Strich-Quadrat, Omega-Quadrat,
Omega -Quadrat, einmal mit Sinus-Quadrat, einmal mit Kosinus-Quadrat.
Gibt also dann plus x-Strich-Quadrat Omega-Quadrat.
Also in dem Falle ist das V-Quadrat relativ einfach.
Und mit dem würde ich sagen, machen wir dann nächste Woche weiter.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der Vorlesung angelangt.
Vielen Dank.