Und dann sage ich vielleicht doch noch 2-3 Worte, was natürlich jedes
Jahr kommt, das ist, wo ist das Skript?
Um ganz ehrlich zu sein, ich habe mit meinem Kollegen, der früher auch
am Institut war, dem Herrn Wauer, mal die Pearson-Bücher ins Deutsch
übertragen, das war relativ viel Arbeit.
Das deckt natürlich jetzt nicht den Stoff, den ich präsentiere, 1 zu 1
ab, insofern, als die Aufgaben dann anders sind und als es vielleicht
ein bisschen anders dargestellt ist.
Das liegt einfach daran, dass diese Bücher ursprünglich aus dem
Amerikanischen kommen und man das aus Lizenzgründen dann so gemacht
hat, dass praktisch die Bilder dieselben sind und damit auch die
Beispiele und alles.
Es war schon sehr viel Arbeit, das vom amerikanischen Stil in den
deutschen Stil zu übertragen.
Warum?
Nun, die Amerikaner, ich darf ja jetzt nichts Böses sagen, aber sie
rechnen eben ab der ersten Seile mit Zahlenwerten auf vier Stellen
genau und dann wird es durchgezogen bis zum Schluss.
Wenn die also irgendwann anstatt A gleich 1,2 Meter A gleich 1,5 Meter
einsetzen, müssen sie alles nochmals durchrechnen.
Das macht man natürlich im Deutschen nicht, das sehen Sie auch bei der
Vorlesung hier.
Wir rechnen immer fast, soweit es geht zumindest, bis zum Schluss mit
Symbolen und wenn dann am Ende irgendwie bestimmte Zahlenwerte
eingesetzt werden müssen, dann kann man das ohne weiteres tun.
Wie gesagt, wir haben extra dann noch ein paar Zusatzkapitel
geschrieben, die auch so ein bisschen den deutschen Stoff abdecken, so
wie die analytische Mechanik, Lagrange-Gleichungen zweiter Art usw.
Und um ganz ehrlich zu sein, es gibt jetzt ja die Springerbibel, wie
heißt es, Einführung in den Maschinenbau, glaube ich.
Der eine oder andere kennt das vielleicht, ein relativ dickes Buch,
dort gibt es nicht nur Mechanik, da gibt es auch andere himmlische
Wissenschaften, Thermodynamik, aber auch MKL und andere Dinge.
Natürlich vielleicht nicht immer so, wie das die Kollegen oder auch
ich in der Vorlesung bringen.
Ich persönlich habe dort drei Kapitel geschrieben, das ist nämlich
Kinematik und Kinetik des starren Körpers mit dem Stoß, dann umfasst
das noch die analytische Mechanik, also alles, was die
Energiemethoden, Prinzip der virtuellen Arbeit oder Prinzip von D
'Alembert in lagranger Fassung, beziehungsweise auch die Lagrange
-Gleichungen zweiter Art umfasst.
Dort erkennen Sie allerdings fast eins zu eins, was ich hier auch in
der Vorlesung bringe.
Also wenn man das alles in Betracht zieht, dann sollten Sie die
Vorlesung so auffassen, dass Sie in die Vorlesung gehen.
Ein bisschen langweiliger finde ich es, wenn man die zu Hause bei
einer Tasse Kaffee im Bildschirm anschaut, weil dann man
wahrscheinlich doch abgeneigt ist.
Außerdem verpasst man dann, wenn man das zu Hause anschaut, die
hübschen Kommilitonen und Kommilitoninnen zu treffen.
Man bekommt auch nicht den Kopf massiert, wie das ja hier durchaus mal
der Fall war.
Also ich persönlich würde immer den Vorlesungsbesuch vorziehen und Sie
müssen sich immer überlegen, wenn Sie nur das Skript anschauen, dann
geht das nicht so ins Innere des Gehirns, wie wenn Sie selbst
versuchen, das Wichtigste mitzuschreiben.
Ich schreibe eh, würde ich sagen, im Moment weniger an, als ich
vielleicht ganz am Anfang meiner Karriere angeschrieben habe.
Ich weiß auch aus eigener Erfahrung, die Studentenseite ist bei mir
zwar schon ein paar Jahre her, aber ich weiß immer, der Professor hat
angeschrieben, hat was erzählt und man selber musste zuhören, musste
dann vorschauen, was er anschreibt, dann muss man mitschreiben.
Währenddessen hat er aber weiter erzählt und weiter angeschrieben.
Das kam einem dann relativ schnell vor.
Wenn man dann vorne steht, kommt einem das selbst gar nicht mehr so
schnell vor.
Nichtsdestotrotz, als Student muss man eben durch bestimmte Dinge
durch und wie gesagt, das, was Sie selbst mal schreiben, das merken
Sie sich viel besser, als wenn Sie nur Sachen anschauen und ins Skript
reinschauen und denken, ja, das ist ja alles klar.
Unter Umständen geht es Ihnen dann wie denjenigen, die dann in die
mündliche Prüfung kommen und immer behaupten, Sie haben eigentlich
alles gewusst.
Ich habe das ja schon mal erzählt.
Ich sage Ihnen dann, wie Sie lernen, nämlich, Sie haben die Aufgabe
rechts, dann haben Sie das Blatt, wo Sie die bearbeiten, in der Mitte,
dann wird bearbeitet und dann nach einigen Minuten kommt die erste
Schwierigkeit, dann liegt links die Lösung, man schaut kurz rüber und
sagt, naja, das hätte ich ja gewusst.
Man rechnet weiter, die nächste Schwierigkeit kommt, man schaut nach
links, hätte man ja gewusst.
Das geht in allen Klausuren relativ zügig durch, man hat das Gefühl,
man kann ja alles bestens bestehen, allein während der Klausur fehlt
die linke Seite.
Also wenn Sie auf die Klausur lernen, auch das ist jetzt ein Hinweis,
das hat mit dem Skript nichts zu tun, nehmen Sie zunächst mal
vielleicht ein paar alte Übungsaufgaben, Sie haben ja dann, wenn Sie
alle Testdate haben, doch eine gewisse Sammlung, schauen Sie sich die
nochmal an, oder rechnen Sie die Aufgaben nochmal kurz an, nehmen dann
alle Klausuren, die es ja gibt, machen zunächst mal ein, zwei oder
drei Klausuren, durchaus mit Hilfe der Lösungen, dass man da mal
Routine bekommt, und spätestens ab der vierten Klausur wird die Lösung
ganz weit weggelegt, am besten aus dem Fenster geworfen, und dann geht
man die erst holen, wenn man die gesamte Klausur durchgerechnet hat.
Und dann erkennt man relativ schnell, ob man die Klausur hätte auch
wirklich machen können.
Und denken Sie immer daran, ach, die TM,
wenn Sie die Prüfung bestehen, haben Sie noch lange nicht die TM
verstanden.
Der Vorgänger von Herrn Maas, ich habe auch mal in Karlsruhe studiert,
der hatte uns dann immer zur Thermodynamik gesagt, bei der Entropie,
da ist immer die Frage, was stellt man sich denn unter der Entropie
vor?
Und da ist es so, der liebe Gott weiß es, der Professor ahnt es, und
der Student muss damit rechnen.
Also, was Sie vor allen Dingen in der Klausur brauchen, um die zu
bestehen, ist eine gewisse Routine.
Deshalb, üben, üben, üben.
Das kann man durch viel Training, wie beim 100-Meter-Lauf kann man das
machen.
All das mit Powerpoint ist recht und schön, aber ich denke, dass
niemand durch das Betrachten von Powerpoint ein Profispieler bei
Bayern München wird.
Wer Profi bei Bayern München wird, muss sich plagen.
Das leuchtet im Sport noch jedem ein.
Beim Lernen heißt es immer, die Professoren sollen das mal richtig
aufbereiten, dann sollen da Begleitveranstaltungen gemacht werden,
sodass der Student es praktisch nur noch im Vorbeigehen aufschnappen
muss.
Das klappt alles nur bis zu einem gewissen Grade.
Das Gehirn reagiert oft auch so, wie ein ganz normaler Muskel, dass es
nämlich fitter wird, je mehr man es nimmt.
Das merken alle, die im Handy rumspielen.
Ich bin jetzt gar niemand, der am Handy rumspielt.
Ich bin beim SMS-Tippen immer noch beim System Adler, während meine
Kinder da wie wild tippen.
Aber das sind alles Übungsdinge, manche tippen schneller, als sie
denken.
Denken kann ich schnell, aber tippen kann ich wenig.
Bei mir ist es dann umgekehrt.
Gibt es sonst noch Fragen?
Jetzt haben wir einen kleinen Exkurs gemacht.
Und wie gesagt, diejenigen, die jetzt in der Vorlesung sind, die haben
ja immerhin ein gewisses Interesse an der Mechanik, das ehrt sie, das
freut uns auch natürlich.
Denken Sie auch immer daran, Sie lernen nicht für die Mitarbeiter und
Professoren des Instituts.
Sie lernen eigentlich für sich selbst.
Jetzt kann man sich natürlich fragen, er brauche ich das überhaupt
irgendwann mal?
Diese Frage ist berechtigt.
Aber ich persönlich stehe auf dem Standpunkt, Sie sollen an der Uni
auch lernen, zu lernen.
Sie werden später nie genau das machen, was Sie vielleicht irgendwo
mal in der Diplomarbeit oder in der Masterarbeit gemacht haben,
sondern man muss lernen, auch auf neue Dinge entsprechend reagieren zu
können.
So, kommen wir jetzt wieder zu unserem Frequenzgang,
der schon ein bisschen älter ist.
Also das, was man in Mechanik macht.
Nehmen wir mal das Newton'sche Axiom, das ist schon ein paar hundert
Jahre alt, und immer noch quälen sich die Studenten damit.
Also es gibt bestimmte Dinge, wie die heiße Herdplatte, wo man sich
immer eben die Finger verbrennen muss.
Und der Frequenzgang, der ist für die Maschinenbauer immer zunächst
mal ein bisschen unbeliebt, weil das komplexe Zahlen sind.
Wenn man dann mal kapiert hat, die nimmt man eigentlich nur zum
Rechnen, irgendwann habe ich mich dann darauf geeinigt, ich nehme
entweder immer nur den Realteil oder den Imaginärteil, dann geht das
ganz flott von der Hand.
Und dann kann man natürlich die Lösung x von t angeben, als
Frequenzgang f von i Omega, mal wird es dann so normiert, y0 mal e
hoch i Omega t, die werden dann ja auch das Beispiel des Ein-Massen
-Schwingers betrachtet und das an dem durchgezogen.
Der Frequenzgang beinhaltet dann sowohl die Amplitudenverstärkung,
also die Vergrößerungsfunktion, die eine Funktion der
Erregerkreisfrequenz Omega ist, und die Phasenverschiebung zwischen
Erregung und Systemantwort.
All das ist im Frequenzgang enthalten und das e hoch i Omega t, das
macht wieder deutlich, dass es harmonische Erregung und harmonische
Systemantwort ist, was bei linearen Systemen mit zeitunabhängigen
Koeffizienten immer der Fall ist.
Wenn Sie zeitabhängige Koeffizienten haben, geht das nicht mehr.
Also alles das, was wir jetzt gemacht haben, erfordert gewisse
Voraussetzungen.
Und genauso, wenn Sie ein nicht-lineares System haben, dann gibt es
wiederum Effekte, die wir hier nicht erfassen können.
Eine harmonische Erregung führt unter Umständen nicht zu einer
harmonischen Systemantwort.
Stattdessen können auch andere Frequenzen dann in der Systemantwort
vertreten sein.
Oder, was mal ganz modern war als Forschungsrichtung, die sogenannten
chaotischen Schwingungen.
Man hat ein System sinus- oder kosinusförmig erregt und das System hat
praktisch ganz wild geantwortet, ohne irgendwelche Regelmäßigkeiten.
Das waren die chaotischen Schwingungen.
Aber das sind eben nicht-lineare Systeme, bei denen im Übrigen
natürlich auch das Superpositionsgesetz nicht mehr gilt.
Das heißt, wenn wir da die Erregung mit der Frequenz Omega 1, eine
Systemantwort, kennen und erregen das System mit einer anderen
Frequenz, kennen wir die Systemantwort.
Wenn wir dann das System mit beiden Erregungsarten gemeinsam erregen,
kennen wir damit immer noch nicht die Systemantwort, sondern die kann
dann ganz anders aussehen.
So, das heißt, was wir dann noch machen müssen ist,
physikalisch existent dann, je nachdem,
Imaginärteil von dem x von t, wie ich es oben angeschrieben habe, oder
auch der Realteil von dem x von t von oben.
Wie gesagt, je nachdem, was wir als Erregung ansetzen oder haben.
Und zum Beispiel bei einer Erregung y von t gleich Realteil von y0 e
hoch i Omega t, das entspricht einer kosinusförmigen Erregung, haben
wir dann eben das x von t in der Form ebenfalls Realteil und jetzt das
x ist dann f von i Omega mal y0 mal e hoch i Omega t
Und jetzt sehen wir, das f von i Omega, das war ja gerade die
Vergrößerungsfunktion, das war der Betrag, mal e hoch j mal der Phase,
mal y0 e hoch i Omega t, also ist das gerade betragsmäßig das V, das
war eine Funktion der Erregerkreisfrequenz.
Mal dem y0, wollen wir es hier, y0, und jetzt brauchen wir noch den
Phasenwinkel.
Der Phasenwinkel selbst war e hoch minus i Epsilon, das können wir mit
dem e hoch i Omega t zusammenfassen, sodass e hoch i Omega t minus
Epsilon, Realteil davon gibt gerade Kosinus von Omega t minus Epsilon.
Und auch die Phasenverschiebung Epsilon, ich habe es jetzt an der
Stelle nicht angedeutet, hängt natürlich vom Verhältnis oder von der
Erregerkreisfrequenz ab, also letztendlich auch von dem Eta vom
Frequenzverhältnis Erregerkreisfrequenz zu Eigenkreisfrequenz.
Die vollständige Lösung, die dann letztendlich an die
Anfangsbedingungen anzupassen ist, die setzt sich wieder zusammen aus
Lösungen der homogenen Differentialgleichung, die hatten wir aber
schon, plus eben eine partikuläre Lösung, wie wir sie hier unter
Umständen bestimmt haben.
Also, vollständige Lösung haben
wir dann x von t gleich x Hom, Lösung der homogenen
Differentialgleichung als Funktion der Zeit, plus partikuläre Lösung x
Partikulär von t.
Und das x Partikulär, das können wir eben über den Frequenzgang dann
zum Beispiel bestimmen.
Ich hatte es schon erwähnt, die Lösung der homogenen
Differentialgleichung, falls eine Dämpfung vorliegt, die klingt
exponentiell ab, das heißt, wenn wir genügend lange warten, dann ist
der Lösungsanteil abgeklungen, wenn wir das x Partikulär so bestimmen
wie auf der oberen Tafel, dann haben wir da keinen Lösungsanteil der
Lösung der homogenen Differentialgleichung enthalten, das heißt, das
entspricht dann einer Dauerschwingung, da ändert sich auch nichts,
wenn wir die Zeit zunehmen lassen, also letztendlich für große Zeiten
bleibt dann nur noch das x Part stehen, wenn wir das von oben nehmen.
Sie wissen immer, eine partikuläre Lösung ist eine Lösung, welche die
inhomogene Differentialgleichung erfüllt, da gibt es nicht nur eine
davon, da gibt es beliebig viele, nämlich wenn ich eine partikuläre
Lösung habe und addiere ein Vielfaches von der Lösung der homogenen
Differentialgleichung dazu, dann erfüllt diese neue Lösung wieder die
gesamte Differentialgleichung, also letztendlich habe ich dann wieder
eine partikuläre Lösung.
Und dann wird natürlich wichtig, welche partikuläre Lösung enthält
keine exponentiell abklingenden Lösungsanteile der homogenen Lösung
oder der Lösung der homogenen Differentialgleichung, und das war
gerade so eine.
Gibt es soweit noch Fragen?
Dann kommen wir jetzt zu Schwingungen mit endlich vielen
Freiheitsgraden.
Wir haben gesehen, wenn wir ein System haben mit mehreren
Freiheitsgraden, Endfreiheitsgrade, dann erhalten wir im Allgemeinen
genauso viele Differentialgleichungen, sprich Bewegungsgleichungen,
wie wir Freiheitsgrade haben, die einzelnen Differentialgleichungen
sind gekoppelt.
Und bei ganz einfachen Systemen sind die im Allgemeinen auch nicht
linear.
Nicht lineare Differentialgleichungen, die können wir gar nicht mehr
so ohne weiteres lösen.
Was wir aber machen können ist, wir können die zum Beispiel um eine
Ruhelage linearisieren.
Das machen wir jetzt hier in der Vorlesung nicht direkt.
Eine andere Möglichkeit ist die, wir haben ein System vorliegen mit
mehreren Freiheitsgraden und die Bewegungsgleichungen, die wir für das
System herleiten, die sind dann direkt in Form linearer
Bewegungsgleichungen, die gekoppelt sind, vorgegeben.
Das wäre zum Beispiel der Fall bei einem System von Massenpunkten, die
über Federn verbunden sind, und zwar Federn mit einer linearen
Charakteristik.
Also, ich schreibe mal hier vorgeführt
zwei Freiheitsgraden am Beispiel
eines Zweimassenspringers.
Das heißt, wir gehen mal davon aus, wir haben so eine Unterlage, da
haben wir jetzt zwei Massen drauf, die sich reibungsfrei bewegen
können und
die bewegen sich nur translatorisch, deshalb können wir die Blöcke
hier wie Massenpunkte benutzen.
Die erste Masse hat die Masse M1, die zweite die Masse M2, dann sind
die mit der Umgebung über eine lineare Feder, in dem Fall
Federsteifigkeit C1, beziehungsweise miteinander über eine lineare
Feder, Federsteifigkeit C2 verbunden.
Die Bewegung der Massenpunkte wird beschrieben durch zwei
Absolutkoordinaten, ich deute das mal an, also hier haben wir die
erste, hier die zweite, das heißt, hier haben wir dann X1,
beziehungsweise an der Stelle dann X2, ich zeichne also die Massen in
einer ausgelenkten Lage, X1 gleich 0 und X2 gleich 0 im entspannten
Zustand der Federn
und im Allgemeinen haben wir vielleicht noch irgendwo eine Kraft an
den Massenpunkten, wir nehmen mal an, wir haben nur eine Kraft am
Massenpunkt 2, das F und T.
Die Bewegungsgleichungen für so ein System herzuleiten, das müssten
Sie jetzt mittlerweile kennen, ich gebe die mal direkt an.
Man hat zunächst mal M1, X1, 2 Punkt, dann haben wir die
Federrückstellungen, also plus C1 mal X1 plus C2 mal X1 minus X2
gleich 0, das ist im Grunde genommen eine Kräftebilanz für den
Massenpunkt 1 mit der Trägheitskraft M1, X1, 2 Punkt, eine
entsprechende Kräftebilanz für den Massenpunkt 2, ergibt dann
entsprechend M2, X2, 2 Punkt plus C2 mal X2 minus X1 gleich, jetzt
haben wir nicht 0, sondern F und T, in dem Falle die Antriebskraft,
plus Anfangsbedingungen,
wie viele Anfangsbedingungen haben wir, und was wir vorgeben können
für die beiden Massenpunkte ist jeweils eine Ausgangslage, das sind
schon mal zwei Anfangsbedingungen, plus eben die
Anfangsgeschwindigkeiten, also insgesamt haben wir vier
Anfangsbedingungen.
Wie man sieht, das Ganze sind jetzt lineare Differenzialgleichungen,
direkt auch ohne Linearisierung, aber das kommt von der
Problemstellung her,
bei N Freiheitsgraden haben wir N Differenzialgleichungen, wie gesagt,
wir haben zwei Freiheitsgrade, deshalb zwei Differenzialgleichungen,
in dem Fall treten keine ersten Zeitableitungen auf, das liegt einfach
daran, dass wir keine gyroskopischen Therme und auch keine
Dämpfungstherme haben, bei einer viskosen Dämpfung, viskose Dämpfer
kennen Sie, da kommt immer dann die erste Ableitung irgendwo ins
Spiel.
Also, wenn Dämpfung oder
gyroskopische Therme,
dann auch erste Zeitableitungen,
man sieht, beide Differenzialgleichungen sind gekoppelt,
und zwar über die Koordinaten,
also x1 oder x2, es gibt aber auch Systeme, bei denen die Kopplung
nicht in den Koordinaten vorliegt, sondern in den Ableitungen der
Koordinaten, dass also in beiden Gleichungen dann zum Beispiel
auftritt, x1 Zweipunkt und x2 Zweipunkt.
Also, auch Kopplung in
den Beschleunigungen möglich,
das Ganze ist aber problemabhängig.
Und zwar problemabhängig insofern, wie ich mein Problem löse.
Sie sehen, ich habe im vorliegenden Fall x1 und x2 eingeführt als
Absolutkoordinaten, also jeweils gegenüber dem raumfesten System.
Wenn ich jetzt x1 als Absolutkoordinate für die Bewegung von
Massenpunkt 1 nehme und x2 als Relativbewegung zwischen der einen
Masse und der anderen Masse, dann sieht man, dass die Beschleunigung
von Massenpunkt 2 nicht x2 Zweipunkt entspricht, sondern x1 Zweipunkt
plus x2 Zweipunkt.
Also dann kann es auch in den Beschleunigungen entsprechend gekoppelt
sein.
Gyroskopisch, das erinnert uns ja sozusagen wieder an das griechische
Schuldentrauma.
Wer würde so gerne Gyros essen, oder?
Das Gyros ist eng verwandt mit dem Kebab, oder?
Ja oder nein?
Das eine ist türkisch, das andere ist griechisch.
Beides sind Spieße mit einem Braten, der da praktisch gebraten wird.
Und zwar in so einer Form, dass der Spieß sich dreht.
Also gyroskopisch bedeutet, das sind Therme, die ursprünglich mal
auftraten bei Systemen, die in Rotation sind.
Gyroskop, also der Kreisel.
Wenn Sie die Vorlesung zurückverfolgen, da wo wir die Kreiseltheorie
hatten, da treten oft solche Therme auf mit den Ableitungen.
Jetzt ist es allerdings so, das sehen Sie dann in weiterführenden
Vorlesungen, da gibt es Systeme, da treten die gyroskopischen Therme
auf, die haben fast ein Aussehen wie die normalen Dämpfungstherme.
Das sind also eine konstante mal Zeitableitung von einer Größe.
Und die treten auch wechselseitig auf.
Allerdings führen die gyroskopischen Therme nicht zu einer
Energiedissipation, also die verändern die Gesamtenergie nicht, die
dämpfen dementsprechend auch das System nicht, wohingegen ein echter
Dämpfungstherm dem System ja Energie entzieht.
Also wenn eine echte Dämpfung vorliegt und man hätte Schwingungen,
dann klingt irgendwas exponentiell ab.
Bei einem gyroskopischen Therm ist das nicht der Fall.
Aber wie gesagt, gyroskopisch kommt von Tränen.
Und dass das Gyros auf der griechischen Seite einen Namen hat und dann
einen türkischen Namen auf der anderen Seite, das ist ja beim Schnaps
genauso.
Wer schon mal in der Türkei in den Griechenland war, der weiß
natürlich der Rake und der Ouzo, das ist im Prinzip auch dasselbe,
genauso wie der Pastis in Frankreich, alles andere Namen, gleicher
Inhalt, erkennt man spätestens dann, wenn man ein bisschen Wasser
zufügt und alles trüb wird.
So, gibt es weitere Fragen?
Nun, dann bleibt als Frage, wie lösen wir solche gekoppelten
Differentialgleichungen?
Das heißt, wie können wir solche Schwingungen dann voraussagen, was
für Effekte gibt es dann da?
Nun, wenn wir die zwei Differentialgleichungen anschauen, dann sehen
wir, die sind gekoppelt, das haben wir gesehen, die sind linear, das
ist schön, das sind gewöhnliche Differentialgleichungen, aber die sind
in dem Fall auch inhomogen, weil wir eine äußere Erregung haben.
Das F und T.
Und jetzt wissen wir von Einzeldifferentialgleichungen, die Lösung von
einer inhomogenen linearen Differentialgleichung, die setzt sich
zusammen aus Lösung der homogenen Differentialgleichung plus eine
partikuläre Lösung.
Ganz ähnlich wird es auch bei Systemen von linearen
Differentialgleichungen sein.
Das heißt, das Erste, was wir jetzt anschauen müssen, sind die
ungedämpften, oder die freien, so will ich sagen, die freien, wir
haben keine Dämpfung, also ungedämpften Schwingungen.
Wenn nämlich die äußere Erregung fehlt, dann haben wir homogene
Differentialgleichungen vorliegen.
Und es ungedämpft, das kann man sich so vorstellen, dass wir uns das
Leben an der Stelle ein bisschen einfacher halten wollen.
Sie alle haben gesehen, dass beim Einfreiheitsgradsystem, also beim
Einmassenschwinger, wenn da Dämpfung vorliegt, da eine Lösung zu
bestimmen, das wird schon ein bisschen komplizierter im Vergleich zum
ungedämpften Fall, das wird hier noch viel schlimmer, bei gekoppelten
Systemen, sodass wir uns auf das Wesentliche beschränken und mal die
Dämpfung außen vor lassen.
Und freie Schwingungen, habe ich gesagt, wenn keine Erregung vorliegt,
das heißt, das f und t ist dann identisch null, sodass zwei gekoppelte
Differentialgleichungen vorliegen, nämlich m1 mal x1 zwei Punkt plus
c1 mal x1 plus c2 mal x1 minus x2 gleich null Und m2 x2 2.
plus c2 x2 minus x1 ebenfalls gleich 0, weil ja jetzt f und t 0 sein
soll.
Und jetzt müssen wir im Grunde genommen wieder ein bisschen in unseren
Erfahrungsschatz reingreifen.
Wir wissen, wenn wir lineare Differenzialgleichungen haben, na gut,
der Wirtschaftsingenieur, der macht immer einen e hoch Lambda t
Ansatz, egal was für eine Art von lineare Differenzialgleichung
vorliegt, der Maschinenbauer, der weiß hoffentlich zumindest, dass der
e hoch Lambda t Ansatz nur dann sinnvoll ist, wenn die Koeffizienten
der Differenzialgleichung nicht von der Zeit abhängen.
Das ist eine Voraussetzung, die wir in dem Fall schon mal haben.
Die Koeffizienten c1, c2 und m1 und m2, die ändern sich ja mit der
Zeit nicht.
Also könnten wir mal ansetzen, x1 gleich, jetzt muss ich aufpassen,
c1 mal e hoch Lambda 1 t und das x2 gleich c2 mal e hoch Lambda 2 t.
Dann sehen wir allerdings sehr schnell, wenn wir diesen Lösungsansatz
hier einsetzen, dann kommen wir zu einer Lösung nur dann, wenn e hoch
Lambda 1 t sich mit e hoch Lambda 2 t kürzen lässt, sodass also Lambda
1 gleich Lambda 2 sein muss.
Also nach Einsetzen sehen
wir, dass x1 gerade c1 e hoch Lambda t sein muss und x2 gleich c2 mal
e hoch Lambda t, weil nur dann die Zeitabhängigkeit sich aus den
Differenzialgleichungen rauskürzen kann.
Haben wir damit auf jeden Fall eine Lösung oder erhalten wir damit auf
jeden Fall eine Lösung?
Wir wissen es im Moment noch nicht, wir setzen ja nur mal einen
Lösungsansatz ein und schauen, ob dieser Lösungsansatz in der Lage
ist, die Differenzialgleichungen zu erfüllen.
Also im Grunde genommen hätten wir auch einsetzen können, x1, x2 als
Matrix gleich Konstante c1 bzw.
c2 mal e hoch Lambda t.
Wenn wir jetzt mal vergleichen, unser Einfreiheitsgradsystem muss sich
ja im Mehrfreiheitsgradsystem wiederfinden.
Wie war es beim Einfreiheitsgradsystem?
Beim Einfreiheitsgradsystem ohne Dämpfung, da ergeben sich Lösungen in
Form von Schwingungen mit der Eigenkreisfrequenz Omega 0.
Schwingungen würde aber bedeuten, dass das Lambda, das wir an der
Stelle bestimmen, wie ist?
Rein imaginär.
Das bietet natürlich dem durchschnittlichen Maschinenbaustudenten
schon wieder ein bisschen Kopfzerbrechen.
Das heißt, wir können uns das auch einfach machen,
weil ungedämpft können wir auch den Lösungsansatz machen, x1 oder x2
gleich c1 bzw.
c2, müssen wir aufpassen, die c's, die wir an der Stelle rauskriegen,
sind natürlich andere, als die wir an der Stelle rausbekommen.
Ich benenne die jetzt allerdings nicht um.
Also c1, c2 mal Sinus Omega t bzw.
Cosinus Omega t.
Ob wir jetzt Sinus Omega t einsetzen oder Cosinus Omega t, ist ja
zunächst mal egal.
Man sieht, das ist gleichbedeutend bei der komplexen Erweiterung mit
c1 bzw.
c2 mal e hoch i Omega t.
Wenn wir wieder in Gedanken nur den Imaginärteil nehmen oder für den
Cosinus dann den Realteil.
So, was machen wir jetzt?
Jetzt setzen wir unseren Lösungsansatz in die Differenzialgleichung
ein.
Und jetzt habe ich die Differenzialgleichung nicht in Matrizenform
geschrieben, auch die könnten wir in Matrizenform schreiben, mache ich
an der Stelle nicht.
Damit wir aber das x1 bzw.
x1 zweipunkt und das x2 bzw.
x2 zweipunkt einsetzen können, gebe ich die nochmal an, also x1 ist
dann c1 mal Sinus Omega t und das x2 c2 mal Sinus Omega t.
Und wir sehen, an unserem Lösungsansatz haben wir jetzt noch drei
Unbekannte, nämlich c1 und c2, die sind unbekannt, sowie das Omega,
auch das kennen wir in dem Falle noch nicht.
Das sind also Dinge, die wir entsprechend anpassen können, damit der
Lösungsansatz letztendlich eine Lösung ergibt.
So, was machen wir?
Wir setzen das Ganze ein, dann haben wir m1, jetzt was ist x1
zweipunkt?
Das ist minus c1 Omega Quadrat mal Sinus Omega t plus, und jetzt sehen
wir hier, c1 plus c2, jetzt müssen wir nur ein bisschen aufpassen mit
großen und kleinen Schreibungen, also plus c1 plus c2, das waren die
Federsteifigkeiten, mal x1, also mal c1 Sinus Omega t minus c2 mal x2,
also minus c2 x2 ist aber groß c2 mal Sinus Omega t gleich 0.
In der zweiten Gleichung eingesetzt, dann ist m2 x2 zweipunkt minus m2
c2 mal Omega Quadrat Sinus Omega t, weil eben die zweiten Ableitungen
vom Sinus gerade minus Omega Quadrat mal dem Sinus ergeben, an der
Stelle.
Plus c2 mal x2, also plus c2 x2 war groß c2 mal Sinus Omega t minus c2
x1, also minus c2 x1 war groß c1 Sinus Omega t gleich 0.
Und jetzt sehen wir, beide Differenzialgleichungen sind erfüllt.
Zunächst mal können wir noch aus jeder Gleichung das Sinus Omega t
rauskürzen, weil das außer für ganz bestimmte Zeitpunkte ungleich 0
ist.
Und wir sehen, wir haben jetzt noch die unbekannten c1 und c2 drin,
sowie das Omega und jetzt sortieren wir das mal entsprechend für die
unbekannten Konstanten, groß c1 und groß c2.
Machen wir das mal, das ergibt groß c1, haben wir hier.
c1 plus c2 minus m1 Omega Quadrat mal c1.
Dann haben wir plus minus c2
mal groß c2 gleich 0.
In der zweiten Gleichung haben wir minus c2 mal c1
plus und dann haben wir c2 minus m2 Omega Quadrat mal groß c2 gleich
0.
Wenn wir das genau anschauen, dann sehen wir, das ist ja ein
homogenes, lineares Gleichungssystem für groß c1 und groß c2.
Was für Lösungen hat das?
Und so ein lineares, homogenes Gleichungssystem hat natürlich immer
die Lösung, alle gesuchten Größen gleich 0.
Dann sehen wir, c1 gleich 0 und c2 gleich 0 erfüllt das natürlich,
aber unser Lösungsansatz würde dann liefern, x1 gleich 0, x2 gleich 0,
das ist eine Lösung, die gibt es zwar, aber an der sind wir nicht
interessiert.
Wir sind ja interessiert an Lösungen, bei denen x1 und x2 ungleich 0
sind.
Wann hat denn so ein homogenes, lineares Gleichungssystem von 0
verschiedene Lösungen?
Das hat von 0 verschiedene Lösungen, wenn die Gleichungen linear
abhängig sind.
Dann kann ich nämlich eine der Gleichungen streichen, kann eine der
Unbekannten vorgeben und die restlichen Unbekannten dann aus der
verbliebenen Gleichung, also in dem Fall verbleibt nur noch eine
Unbekannte dann und eine Gleichung, da kann ich die bestimmen.
So, und wie kann ich es erreichen, dass die Gleichungen linear
abhängig werden?
Ganz einfach, indem ich die noch unbekannte Größe Omega entsprechend
anpasse.
Wann sind denn eigentlich die Gleichungen linear abhängig?
Da gibt es ein ganz einfaches Kriterium.
Die Determinante der Koeffizientenmatrix muss was sein?
Muss 0 sein.
Also,
von 0 verschiedene Lösungen,
wenn Gleichungen für c1 bzw.
c2 linear abhängig sind
und die Koeffizientendeterminante, was haben wir da?
Dann haben wir c1 plus c2 minus m1 Omega-Quadrat,
dann haben wir als nächstes Element minus c2, dann haben wir hier
minus c2, bzw.
c2 minus m2 Omega-Quadrat,
davon die Determinante, das muss 0 sein, das war die Forderung und die
Determinante können wir leicht bestimmen, das gibt einfach c1 plus c2
minus m1 Omega-Quadrat mal dem Element hier unten, minus c2 mal minus
c2.
Wenn wir das ausrechnen, dann erhalten wir die sogenannte
charakteristische Gleichung.
Also, Determinante gleich 0 führt auf die sogenannte charakteristische
Gleichung, die hat in dem Falle die Form m1 m2 mal Omega hoch 4 minus
m1 c2 plus m2 c1 plus m2 c2 mal Omega-Quadrat plus c1 c2 gleich 0.
Die c's, die in der Gleichung vorkommen, das sind alles
Federsteifigkeiten, also das ist die charakteristische Gleichung.
Man sieht ein Polynom für Omega, für der Ordnung, allerdings können
wir das auch als bigquadratische Gleichung für Omega schreiben, also
wir können jetzt Lösungen für Omega-Quadrat bestimmen und wenn wir
Omega -Quadrat die Wurzel ziehen, dann ist ganz klar, da gibt es Plus
oder Minus, also das führt jetzt auf nichts Neues.
Also eine quadratische Gleichung für
Omega -Quadrat.
Das könnten wir jetzt ausrechnen, ich mache das jetzt nicht explizit.
Was man zeigen kann in dem Falle, dass eben beide Lösungen für Omega
-Quadrat, die dann existieren, dass die positiv sind, also Omega 1
bzw.
Omega 2 Quadrat größer 0 sind, warum ist das wichtig?
Und wenn Omega-Quadrat komplex wäre oder imaginär, was haben wir dann?
Nun dann ist auch Omega komplex, wenn aber Omega komplex ist, dann hat
Omega einen Realteil und einen Imaginärteil.
Jetzt gibt es immer Lösungen, Plus, Minus Omega, weil hier Omega
-Quadrat berechnet wird.
Das heißt, Imaginärteil von Omega multipliziert mit I würde dann geben
einen reellen Wert.
Da der Plus und Minus, also Positiv und Negativ auftritt in der
Lösung, würde das ergeben, einen Anteil, der exponentiell mit der Zeit
wächst.
Das wäre gar keine Schwingung.
Aber wie gesagt, man kann zeigen, dass das Omega-Quadrat positiv ist,
dann sind auch Omega selbst, egal ob Plus oder Minus, reelle Zahlen
und hier klingt nichts auf an der Stelle.
Die Wurzeln davon, Omega 1 bzw.
Omega 2,
das sind jetzt die Eigenkreisfrequenzen.
Man sieht, für ein Zweifreiheitsgrad-System, wie wir es hier haben,
ergeben sich zwei Eigenkreisfrequenzen, entsprechend wird sich für ein
System mit N Freiheitsgraden dann noch mehr Eigenkreisfrequenzen
ergeben, nämlich insgesamt N Eigenkreisfrequenzen.
So, sind wir damit schon am Ende.
Noch nicht ganz, nämlich was wir immer noch nicht kennen, das sind ja
die konstanten C1 und C2.
Wir haben gesehen, unsere Gleichungen hier oben, die sind jetzt linear
abhängig.
Das bedeutet aber nicht, dass C1 und C2 beide beliebig gewählt werden
können.
Nämlich, es bedeutet nur, dass jetzt eine der beiden Gleichungen
gestrichen werden kann.
Wenn Omega gleich Omega 1 ist bzw.
Omega gleich Omega 2, dann erhalten wir eine Gleichung für die zwei
konstanten C1 und C2, können davon eine vorgeben und die andere als
Funktion der Vorgegebenen bestimmen.
Also, C1 und C2 sind nicht unabhängig,
sondern müssen noch eine Gleichung erfüllen.
Also für
Omega gleich Omega 1 können wir zum Beispiel die zweite Gleichung
streichen, weil ja beide linear abhängig sind.
Das bedeutet, C1 mal der ersten eckigen Klammer plus C2 mal der
zweiten eckigen Klammer gleich 0 oder in dem Falle C2
gleich C1 plus C2 minus M1, jetzt war Omega gleich Omega 1, also Omega
1², dividiert durch C2 mal groß C1
oder wenn wir die erste Gleichung streichen und die zweite nehmen,
dann ist eben C2 gleich C2, dividiert durch die zweite eckige Klammer,
das ist C2, minus M2 Omega 1² mal C1
Was gilt denn jetzt?
Das ist ja gar nicht das selbe Ergebnis, oder?
Wer hat eine Ahnung?
Nun, wenn wir Omega gleich Omega 1 einsetzen, dann sind die beiden
Gleichungen linear abhängig, das heißt, egal ob ich das so ausdrücke
oder hier unten, der Vorfaktor vor dem C1 ist derselbe, der sieht
jetzt hier nur ein bisschen anders aus, also es ist wirklich völlig
egal, ob wir das nehmen oder das hier oben, für alle Werte richtig
eingesetzt und Omega 1 eingesetzt gilt es.
Wenn wir Omega gleich Omega 2 einsetzen, was passiert dann?
Nun, dann haben wir das ganz analog, lediglich, dass hier anstatt
Omega 1² steht Omega 2² und auch an der Stelle steht Omega 2².
Jetzt kann man sich aber vorstellen, das Verhältnis hier, der Bruch,
der ergibt etwas anderes, je nachdem, ob hier Omega 1² steht oder
Omega 2².
Das heißt, das Verhältnis C2 durch C1, das nennen wir mal µ, das hängt
davon ab, ob wir Omega gleich Omega 1 nehmen oder Omega gleich Omega
2.
Ich mache das deshalb so, ich schreibe hier mal Omega gleich Omega i
und dann sieht man C2i dividiert durch C1i gleich µi, also das
Verhältnis der beiden Konstanten ist ein anderes, für Omega gleich
Omega 1 im Vergleich zu Omega gleich Omega 2.
Die Gesamtlösung selbst, die ergibt sich dann durch Überlagerung,
dann haben wir nämlich für X1 von T gerade C1i mal Sinus Omega 1t plus
C1 2 mal Sinus Omega 2 T.
X2 von T ist C2 1.
C2 1 ist aber gerade µ 1 mal C1 1 mal Sinus Omega 1 T plus C2 2 mal
Sinus Omega 2 T.
C2 2 ist aber C1 2 mal µ 2 mal Sinus Omega 2 T.
Und jetzt sieht man, jetzt haben wir eine Lösung, die noch zwei offene
Konstanten hat.
Wir haben aber vier Anfangsbedingungen zu erfüllen.
Wie kriegen wir das unter einen Hut?
Und ich hatte es ja gesagt, beim Lösungsansatz, wir machen den
Lösungsansatz mit Sinus Omega T.
Falls wir einen Lösungsansatz mit Kosinus Omega T machen, ergibt das
natürlich ebenfalls zwei von den Lösungen, linear unabhängige
Lösungen.
Es ist dann nur, man sieht, wenn man das einsetzt, anstatt im Sinus
steht überall der Kosinus.
Ansonsten bleibt alles gleich.
Also, das µ 1 und das µ 2 und das Omega 1 und das Omega 2 sind auch
für die Kosinusanteile dieselben.
Das heißt, zusätzlich noch Kosinusansatz.
Das heißt, x1 von T gleich c1 Kosinus Omega T, x2 von T gleich c2
Kosinus Omega T.
Der führt auf identische Gleichungen.
Damit auf dieselben Werte Omega 1 bzw.
Omega 2, genauso wie µ 1 und µ 2.
Das bleibt alles dieselbe,
sodass letztendlich die vollständige Lösung
der homogenen Differentialgleichungen sich ergibt in der Form,
x1 von T gleich, und jetzt führe ich mal andere Konstanten ein, A1 mal
Sinus Omega 1 T plus B1 mal Kosinus Omega 1 T plus A2 mal Sinus Omega
2 T plus B2 Kosinus Omega 2 T Und das X2, ganz analog, also X2 von T,
dann µ1 mal A1 Sinus Omega 1 T plus B1 Cosinus Omega 1 T plus µ2 und
dann haben wir A2 Sinus Omega 2 T plus B2 Cosinus Omega 2 T.
Man sieht, jetzt haben wir vier Konstanten,
also vier Integrationskonstanten,
nämlich A1, A2, B1 und B2.
Wir haben aber auch vier Anfangsbedingungen,
nämlich X1 zum Zeitpunkt T gleich 0 ist X1 0, X2 von T gleich 0 ist X2
0, das X1 Punkt von T gleich 0 ist V1 0 und das X2 Punkt von 0 ist V2
0.
Gibt es soweit Fragen?
Um das mal vielleicht ein bisschen anschaulich zu machen, werde ich
jetzt versuchen, das auf dem Rechner kurz vorzuführen.
Allerdings nicht für ein System mit zwei Freiheitsgraden, sondern in
dem Falle für ein System mit drei Freiheitsgraden.
Man hat im Grunde genommen eine Feder C1, dann einen Massenpunkt, eine
Feder C2, einen Massenpunkt und eine Feder C3 mit einem Massenpunkt,
also man hat M1, M2 und M3 sowie die Federn C1, C2 und C3.
Oh, jetzt wird es kompliziert.
Das ist ein Kabelsalat.
Jetzt sieht man es vielleicht besser.
Was habe ich an der Stelle?
Nun, ich habe mir ein kleines MATLAB-Programm geschrieben, um das auch
animieren zu können.
Ich habe zunächst mal den Massen, den Wert 1 zugeordnet jeweils, also
M1, M2 und M3 sind jeweils 1, das kann ich auch noch ändern, genauso
wie die Federsteifigkeiten, irgendwelche Einheiten habe ich jetzt
praktisch, oder ich habe es ganze dimensionslos gemacht.
Und wenn ich das animieren will, dann erhalte ich natürlich drei
Eigenfrequenzen und jetzt sieht man bei unserer Lösung, wenn ich da
nur den Anteil mit Omega 1 nehme, was habe ich dann?
Dann habe ich eine harmonische Schwingung, alle anderen Anteile sind
0, also schwingt es nur mit der Frequenz Omega 1 und zwar in einer
ganz bestimmten Form.
Sie sollten jetzt also nicht auf die Frequenz schauen, das habe ich
nicht verändert.
Bei mir schwingt jede Frequenz jetzt bei der Darstellung in derselben
Geschwindigkeit, aber man sieht genau, dass bei der einen
Eigenschwingungsform, das ist so praktisch das Verhältnis der
Konstanten, die vielleicht in Phase sind, bei den anderen die in
Gegenphase und so weiter.
Schauen wir das mal für die tiefste Frequenz an.
Dann sehen Sie, alle drei Massen gehen gleichzeitig nach rechts,
beziehungsweise gleichzeitig nach links.
Wenn ich stattdessen die zweite Eigenschwingungsform nehme, dann gehen
die Massen M1 und M2 in die eine Richtung, die Masse M3 in die andere
Richtung, die schwingen dann also in Gegenphase.
Und wenn ich die dritte Eigenschwingungsform nehme,
dann schwingt in dem Falle die mittlere Masse in Gegenphase zu den
beiden anderen Massen.
Wenn ich jetzt eine allgemeine Schwingung habe, was passiert dann?
Nun, dann hat man eine Lösung, Lösungsanteile mit Omega 1, mit Omega 2
und bei dem Beispiel sogar mit Omega 3.
Wobei Omega 1, Omega 2 und Omega 3 von den Systemparametern abhängen.
Das heißt, insgesamt habe ich vielleicht gar keine periodische
Schwingung mehr, sondern eine Überlagerung von Schwingungen, deren
Frequenzen ein Verhältnis haben, das nicht mal rational ist.
Es könnte durchaus sein, dass das Omega 1 und das Omega 2 oder das
Omega 1 und das Omega 3 ein Frequenzverhältnis von Wurzel 5 haben.
Dann wäre das keine periodische Bewegung mehr.
Das ist das eine.
Nun, wie können wir vielleicht mal unser Zwei-Freiheitsgrad-System
auch mit dem hier ein bisschen versuchen zu simulieren.
Jetzt weiß ich nicht, wie ich mein Programm programmiert habe, das ist
schon einige Zeit her.
Ich setze einfach mal die Masse M1 auf 20.
Ich mache die mal sehr groß, dann sehen wir gleich, ob da was
passiert.
Ich sehe schon, ich gebe glaube ich die Bewegung der Masse M1 vor.
Dann machen wir das anders.
Dann setzen wir das M1 nochmal auf 1 und das M3 auf 20.
Macht aber noch nicht das, was man will.
Das ist der Vorführeffekt.
Ich kriege es nicht ausgedrückt im Moment.
Man kann aber jetzt in dem Fall ein bisschen rumspielen und wird dann
immer sehen, dass bei der tiefsten Frequenz alle in Phase sind, bei
der nächsten Eigenkreisfrequenz zwei in Gegenphase zur dritten und
auch bei der dritten Eigenfrequenz dann letztendlich eine Masse
entgegen der anderen beiden schwingt.
Wenn Sie jetzt in dem Fall zwei Massenpunkte haben, was passiert?
Bei der tiefsten Frequenz schwingen die wieder in Phase und bei einem
Zweifreiheitsgradsystem, wie gesagt, wie dem hier, würde es dann so
sein, dass bei der höheren Eigenkreisfrequenz die in Gegenphase
schwingen.
Das sind die Schwingungsmoden, dass der Begriff vielleicht auch mal
gefallen ist.
Gibt es soweit Fragen?
So, was kommt als nächstes?
Als nächstes kommen dann die erzwungenen Schwingungen.
Wir haben gesehen, bei den erzwungenen Schwingungen eines
Einfreiheitsgradsystems, da war das Ganze durchgezogen für den Fall,
dass die Erregung eine harmonische Funktion war.
Wir haben gesagt, es handelt sich um eine lineare
Differenzialgleichung, das heißt, wenn eine periodische Erregung
vorliegt, dann können wir die periodische Erregung als Fourier-Reihe
darstellen.
Wir müssen dann zu den einzelnen Erreger-Termen jeweils eine
partikuläre Lösung suchen, bestimmen und dann anschließend überlagern.
Wenn ein transientes, also ein unregelmäßiges Signal vorliegt, dann
müssen wir vielleicht eine Fourier-Transformation machen.
Ganz ähnlich sieht es natürlich bei einem Mehrfreiheitsgradsystem aus.
Für eine ganz allgemeine Erregung wird es natürlich schwer, eine
Lösung zu bestimmen, das kann man machen, das ist dann auch Stoff
weiterführender Vorlesungen.
Wir beschränken uns dann in dem Falle wiederum auf eine harmonische
Erregung.
Also wenn f von t ungleich 0 ist, zum Beispiel f von t gleich f0 mal
Kosinus Omega t.
Nun man sieht, bei den freien Schwingungen, da war das Omega eine
Größe, die wir bestimmt haben.
Es gab dann mehrere Werte für Omega bei einem Mehrfreiheitsgradsystem,
wobei die Lösungen abhängen von den Systemparametern, also deshalb
Eigenkreisfrequenzen.
Dieses Omega, das ist die Kreisfrequenz der Erregung, das ist explizit
vorgegeben, genauso wie beim Einfreiheitsgradsystem, wobei wir das
vielleicht, um das dimensionsmäßig wieder gleichzuschalten, schreiben
als c0 mal y0 mal Kosinus Omega t.
Und wenn wir das vergleichen mit dem Einfreiheitsgradsystem, dann
liegt es vielleicht nahe, dass wir sagen, wir haben zunächst mal eine
Lösung für x1 in der Form Vergrößerungsfunktion 1 mal y0 mal Kosinus
von Omega t minus y1.
Für das x2 von t haben wir dann v2 mal y0 mal Kosinus von Omega t
minus y2.
Beim Einfreiheitsgradsystem war die Phasenverschiebung bei fehlender
Dämpfung, wie groß?
Nun, die war entweder 0 oder 180 Grad, sprich entweder die Erregung,
und die Erregung waren in Phase oder beide in Gegenphase.
So wird es natürlich hier auch sein.
Das heißt, wir haben in unseren Differenzialgleichungen, den beiden,
nur zweite Ableitungen und nullte Ableitungen.
Das heißt, es liegt jetzt nahe,
da keine Dämpfung.
Das so anzuschreiben, x1 bzw.
2 gleich v1 bzw.
v2 mal y0 mal Kosinus Omega t.
Und ich würde sagen, was sich dann als Ergebnis ergibt, wenn wir dies
in die inhomogenen Differenzialgleichungen da oben einsetzen, das
sehen wir dann in der nächsten Vorlesung.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der Vorlesung angelangt.
Sie bringen das Ganze rüber.
Einen Umschlag habe ich jetzt leider vergessen.
Ich bitte aber die Studenten, die Evaluationsbögen hier vorne
abzugeben und es ein bisschen getrennt zu halten, in Evaluationsbögen,
die ausgefüllt sind und solche, die nicht ausgefüllt sind.
Und die mit schlechter Kritik, die werfen Sie gleich weg.
Vielen Dank.