WEBVTT 00:06.840 --> 00:08.600 Schönen guten Morgen, ich begrüße Sie ganz herzlich. 00:09.240 --> 00:12.480 Wir wollen heute die numerische Integration tatsächlich auch schon 00:12.480 --> 00:14.980 wieder abschließen und uns noch ein paar Gedanken machen. 00:15.580 --> 00:18.160 Kurz wiederholen, was die Ordnung einer Quadraturformel ist. 00:18.900 --> 00:21.800 Und dann haben wir im Grunde genommen drei Dinge abzuarbeiten. 00:22.880 --> 00:26.100 Das erste ist, wir wollen symmetrische Quadraturformeln definieren und 00:26.100 --> 00:28.660 kennenlernen, was deren Eigenschaften sind. 00:29.820 --> 00:34.160 Zum anderen wollen wir Quadraturformeln höherer Ordnung herleiten und 00:34.160 --> 00:36.420 einen Ansatz verfolgen, um das zu tun. 00:36.600 --> 00:39.800 Und als drittes wollen wir uns Gedanken machen heute über den Fehler, 00:40.000 --> 00:41.380 den wir machen bei der numerischen Integration. 00:42.700 --> 00:48.340 Okay, fangen wir nochmal kurz an und wiederholen, was die Idee ist. 00:48.360 --> 00:53.800 Wir wollen also ein Riemann-Integral von a bis b über f lösen und 00:53.800 --> 00:54.660 haben keine Stammfunktionen. 00:55.920 --> 00:59.140 Und machen das also numerisch und approximieren das dann durch so eine 00:59.140 --> 01:00.280 Quadraturformel. 01:00.700 --> 01:03.200 Die Quadraturformel sieht folgendermaßen aus. 01:03.260 --> 01:08.720 Man könnte sagen b minus a Grundseite mal Höhe, während die Höhe so 01:08.720 --> 01:12.120 eine Gewichtung von Funktionswerten ist, eben des Graphen. 01:12.600 --> 01:15.960 Die bi's sind die Gewichte, die in der Summe in der Regel 1 ergeben. 01:16.020 --> 01:19.340 Das hatten wir schon gesehen an der ersten Ordnungsbedingung, dass das 01:19.340 --> 01:19.900 Sinn macht. 01:19.900 --> 01:25.040 Sonst könnten wir noch nicht mal konstante Funktionen perfekt 01:25.040 --> 01:28.860 ausrechnen. 01:29.320 --> 01:32.300 Und die ci's, das sind die sogenannten Knoten. 01:32.760 --> 01:36.340 Erst die Übertragung durch a plus ci mal b minus a nennen wir 01:36.340 --> 01:36.860 Stützstelle. 01:36.980 --> 01:40.440 Das ist jetzt eine Stelle, die lebt zwischen a und b, während die ci's 01:40.440 --> 01:44.300 somiert bezüglich des Intervalls 0,1 definiert sind, hier in der 01:44.300 --> 01:44.900 Vorlesung. 01:44.900 --> 01:48.840 Also damit Sie das wieder im Kopf haben, die bi's sind die Gewichte, 01:48.940 --> 01:51.080 mit denen wir die fi's gewichten, die Höhen. 01:52.220 --> 01:55.460 Und die ci's, die Knoten, die bestimmen im Grunde genommen, an welcher 01:55.460 --> 01:57.240 Stelle wir das Ganze auswerten. 01:59.940 --> 02:03.080 Okay, wir hatten definiert, was eine Ordnung einer Quartaturformel 02:03.080 --> 02:03.340 ist. 02:03.920 --> 02:07.700 Die Ordnung einer Quartaturformel ist p, wenn alle Polynome bis zum 02:07.700 --> 02:12.520 Grad p minus 1 exakt integriert werden oder exakt berechnet werden. 02:12.520 --> 02:16.240 Wenn also das exakte Integral des Polynoms übereinstimmt mit der 02:16.240 --> 02:18.380 Quartaturformel, 1 zu 1 übereinstimmt. 02:19.000 --> 02:22.720 Und dann hatten wir uns schon letzte Woche überlegt, wie das möglich 02:22.720 --> 02:26.980 ist, das irgendwie anders auszudrücken. 02:27.780 --> 02:31.740 Ja, das haben wir so gemacht, indem wir erstmal konstante Polynome, 02:31.780 --> 02:35.580 also von Grad 0, eingesetzt haben in unsere Integral. 02:35.620 --> 02:38.280 Das haben wir direkt ausgerechnet in unsere Quartaturformel, haben das 02:38.280 --> 02:40.300 gleichgesetzt und haben dann eine Bedingung erhalten. 02:40.300 --> 02:43.900 Dann haben wir lineare Polynome genommen, eine weitere Bedingung 02:43.900 --> 02:46.760 erhalten, quadratische Polynome eingesetzt, eine weitere Bedingung 02:46.760 --> 02:47.240 erhalten. 02:47.760 --> 02:50.660 Und so erhalten wir tatsächlich p viele Bedingungen. 02:50.800 --> 02:55.680 Achten Sie darauf, wir fangen beim Grad 0 an und gehen bis zum Grad p 02:55.680 --> 02:56.340 minus 1. 02:56.780 --> 02:58.300 Und das sind p Bedingungen. 03:00.400 --> 03:04.580 Und diese Ordnungsbedingungen sind sozusagen eine Charakterisierung 03:04.580 --> 03:07.080 der Ordnung, wie sie oben definiert ist. 03:09.000 --> 03:12.360 Charakterisierung deutet darauf hin, dass etwas 1 zu 1 äquivalent ist. 03:12.480 --> 03:15.600 Sie hätten die Ordnung auch direkt über diese Ordnungsbedingungen 03:15.600 --> 03:16.580 definieren können. 03:17.140 --> 03:19.480 Es ist äquivalent zu der Definition, die drüber steht. 03:23.140 --> 03:26.600 Oben sehen Sie, bei der Definition steht hinten dieses Zusatzwörtchen, 03:26.680 --> 03:28.120 wobei p maximal ist. 03:28.200 --> 03:33.800 Das soll heißen, es gibt irgendwie ein Polynom vom Grad p, was Sie 03:33.800 --> 03:35.440 nicht mehr exakt integrieren können. 03:36.700 --> 03:39.540 Bis zu Grad p minus 1 klappt alles dann nicht mehr. 03:40.120 --> 03:44.500 Das spiegelt sich wieder unten in der Charakterisierung durch, aber 03:44.500 --> 03:46.900 nicht mehr für q gleich p plus 1. 03:47.000 --> 03:49.960 Das heißt, die p plus erste Ordnungsbedingung, das ist die erste, die 03:49.960 --> 03:50.620 verletzt ist. 03:51.660 --> 03:54.720 Wenn die erfüllt wäre, dann würden ja auch Polynome vom Grad p exakt 03:54.720 --> 03:55.480 integriert werden. 03:55.820 --> 03:57.340 Das ist die erste, die nicht mehr erfüllt ist. 03:57.420 --> 04:00.820 Das ist die Maximalität, das entspricht 1 zu 1 der Maximalität oben in 04:00.820 --> 04:01.720 der Definition. 04:03.080 --> 04:05.140 Gut, Ordnungsbedingungen, die lassen sich leicht überprüfen. 04:06.660 --> 04:09.460 Quadraturformeln sind im Grunde genommen durch die Gewichte und Knoten 04:09.460 --> 04:10.320 eindeutig bestimmt. 04:10.580 --> 04:14.280 Ich gebe Ihnen hier einen Satz von Gewichten und Knoten, vielleicht 04:14.280 --> 04:15.300 die Simpson-Regel. 04:15.740 --> 04:18.880 Und Sie könnten jetzt hier an den Ordnungsbedingungen abchecken, bis 04:18.880 --> 04:22.860 zu welcher Ordnung diese Ordnungsbedingungen gelten. 04:23.560 --> 04:26.140 Und könnten mir sagen, die Quadraturformel, die Sie mir gegeben haben, 04:26.280 --> 04:28.520 hat Ordnung 4, wie bei der Simpson-Regel. 04:29.560 --> 04:32.480 Oder, wie bei der Mittelpunktregel, Ordnung 2. 04:33.820 --> 04:37.280 Oder, wie bei der Trapez-Regel, Ordnung 2. 04:39.000 --> 04:40.540 Und das ist auch schon ganz interessant. 04:40.720 --> 04:42.480 Also hier haben wir nochmal... ach nee, haben wir nicht. 04:42.960 --> 04:44.700 Da kommt erst mal eine Folie dazwischen. 04:45.140 --> 04:48.060 Diese Ordnungsbedingungen... okay, da gehen wir lieber nochmal ganz 04:48.060 --> 04:48.760 kurz zurück. 04:49.400 --> 04:52.600 Jetzt gucken wir nochmal auf die Ordnungsbedingungen auf diese Summe 04:52.600 --> 04:52.880 hier. 04:54.080 --> 04:55.640 Hier, schauen Sie mal hier genauer hin. 04:55.740 --> 04:56.420 Was passiert? 04:57.400 --> 05:02.500 Es wird immer das Bi, und zwar in lineare Art und Weise, das Bi steht 05:02.500 --> 05:07.320 immer da, mit einem Ci-Hochexponent multipliziert. 05:07.440 --> 05:09.180 Eine Exponenz eben q-1. 05:09.720 --> 05:12.740 Abhängig davon, in welcher Ordnungsbedingung wir uns gerade befinden. 05:14.020 --> 05:18.100 Das heißt, das Bi verändert sich nicht und ist sozusagen linear. 05:18.100 --> 05:26.700 Sie könnten diese Geschichte hier als Vektor interpretieren, als 05:26.700 --> 05:27.380 Skalarprodukt. 05:27.760 --> 05:33.100 Sehen Sie, Sie würden das so schreiben, c1 hoch q-1. 05:34.960 --> 05:40.260 Und da machen Sie einen Zeilenvektor draus, bis cs hoch q-1. 05:40.340 --> 05:42.300 Den schreiben Sie jetzt hier in so einen Zeilenvektor. 05:43.120 --> 05:47.620 Und den multiplizieren Sie mit einem Spaltenvektor, wo hier die Bs 05:47.620 --> 05:50.300 drinstehen, b1 bis bs. 05:51.140 --> 05:53.080 Das ist so ein euclidisches Skalarprodukt. 05:53.260 --> 05:55.560 Wenn Sie das ausmultiplizieren, dann geht das ja komponentenweise, 05:55.620 --> 05:58.800 wird das multipliziert und komplett aufaddiert, dann kommt genau die 05:58.800 --> 05:59.340 Summe raus. 06:00.100 --> 06:00.800 Von diesen Produkten. 06:01.760 --> 06:04.480 Sie können das also als Seile mal Spalte interpretieren. 06:07.380 --> 06:10.160 Und zwar könnten Sie jetzt sagen, die Spalte ändert sich nie. 06:10.160 --> 06:13.060 Die Bs gehen immer in linearer Art und Weise in die 06:13.060 --> 06:14.900 Ordnungsbedingungen ein. 06:14.960 --> 06:19.100 Das Einzige, was sich ändert, ist doch das q, der Exponent, der bei 06:19.100 --> 06:20.300 den cis auftaucht. 06:21.380 --> 06:25.300 Für q gleich 1 steht da nur ci hoch 0. 06:27.140 --> 06:27.780 Das ist 1. 06:28.280 --> 06:32.300 Das heißt, da wäre diese Seile, die jetzt vor diesem B-Vektor steht, 06:32.440 --> 06:34.880 wäre konstant der Vektor von dem konstanten Wert 1. 06:35.750 --> 06:42.440 Als nächstes käme der Vektor c1 bis cs, dann käme c1² bis cs² und so 06:42.440 --> 06:43.060 weiter und so fort. 06:44.300 --> 06:45.260 Lange Rede, kurzer Sinn. 06:45.340 --> 06:47.080 Sie könnten das in eine Matrix schreiben. 06:47.840 --> 06:50.980 Jede einzelne Ordnungsbedingung entspricht Seile mal Spalte. 06:51.720 --> 06:53.720 Jetzt haben Sie q Ordnungsbedingungen. 06:54.420 --> 06:56.800 Dann haben Sie q mal Seile mal Spalte. 06:56.800 --> 07:00.180 Und dann schreiben Sie diese Zeilen, die sich ändern, untereinander 07:00.180 --> 07:01.320 und erhalten eine Matrix. 07:02.160 --> 07:04.420 Und das b geht in lineare Art und Weise da ein. 07:05.620 --> 07:10.220 Das ist eine kompakte Schreibweise für exakt das Gleiche, was auf der 07:10.220 --> 07:12.000 Folie davor steht. 07:12.720 --> 07:14.420 Und das ist also ein lineares Gleichungssystem. 07:15.620 --> 07:18.320 Welche Frage stellt sich jetzt bei dem linearen Gleichungssystem? 07:19.880 --> 07:21.080 Unter Umständen 07:25.420 --> 07:33.120 ist das löstbar und löstbar hier in Hinblick auf die bs, in Hinblick 07:33.120 --> 07:35.100 auf die Gewichte. 07:35.920 --> 07:37.820 Gucken wir uns mal die Bemerkung da unten an. 07:37.880 --> 07:42.780 Da steht für p gleich s, also zumindest wenn ich die ersten s 07:42.780 --> 07:47.640 Ordnungsbedingungen mal hinschreibe, nur die ersten s, dann erhalte 07:47.640 --> 07:51.740 ich eine quadratische Matrix und dann könnte man sich fragen, ob die 07:51.740 --> 07:57.000 Matrix selber invertierbar ist, sodass ich dann also für vorgegebene 07:57.000 --> 08:01.940 Knoten c, die bilden ja die Matrix, die Gewichte in eindeutiger Weise 08:01.940 --> 08:02.760 berechnen kann. 08:03.480 --> 08:04.560 Oder muss, wie Sie wollen. 08:04.640 --> 08:06.800 Die sind da sozusagen festgelegt eindeutig. 08:07.380 --> 08:10.920 Haben Sie schon mal die Struktur einer solchen Matrix kennengelernt in 08:10.920 --> 08:11.780 der linearen Algebra? 08:13.580 --> 08:16.120 Unter Umständen könnte Ihnen das über den Weg gelaufen sein. 08:16.200 --> 08:18.240 Das ist eine sogenannte Vandermonde-Matrix. 08:19.460 --> 08:22.800 Die hat ja Struktur, weil sie in der ersten Zeile immer hoch 0 hat. 08:24.220 --> 08:28.160 Also da stehen s Einträge, hoch 0, dann hoch 1, hoch 2 und so weiter. 08:28.260 --> 08:29.280 Das ist viel Struktur. 08:29.460 --> 08:32.660 Das ist eine bekannte Matrix-Struktur und die nennt man Vandermonde 08:32.660 --> 08:33.160 -Matrix. 08:33.900 --> 08:39.620 Und tatsächlich ist die invertierbar, wenn die Knoten alle verschieden 08:39.620 --> 08:40.380 voneinander sind. 08:40.380 --> 08:42.840 Also kein Pärchen zweimal vorkommt. 08:43.340 --> 08:46.820 Also nein, Sie können kein Pärchen wählen und die sind identisch, die 08:46.820 --> 08:47.160 Knoten. 08:47.360 --> 08:48.960 Sie sind paarweise verschieden. 08:49.460 --> 08:53.360 Also paarweise verschieden sagen wir Mathematiker dazu, dass wir 08:53.360 --> 08:55.120 meinen, die sind alle unterschiedlich. 08:56.080 --> 08:58.620 Sie nehmen zwei raus und die sind verschieden. 08:59.540 --> 09:03.340 Und unter dieser Voraussetzung ist diese Vandermonde-Matrix 09:03.340 --> 09:04.640 tatsächlich invertierbar. 09:07.460 --> 09:17.400 Das heißt, wenn ich Knoten vorgebe, die Cs vorgebe, sind durch die 09:17.400 --> 09:22.640 ersten S-Ordnungsbedingungen, wenn ich die verlange, schon die 09:22.640 --> 09:24.080 Gewichte eindeutig bestimmt. 09:25.400 --> 09:30.360 Das haben wir hier mal hingeschrieben, in den Satz formuliert. 09:31.960 --> 09:37.420 Sehen Sie, die erste Zeile da, die Knoten C1 bis Cs, sollen der Reihe 09:37.420 --> 09:39.400 nach geordnet sein, und zwar streng kleiner. 09:39.480 --> 09:42.900 Das heißt genau, dass sie paarweise verschieden sind und wir sie so 09:42.900 --> 09:46.240 indiziert haben, dass sie der Reihe nach hingeschrieben werden können. 09:46.320 --> 09:47.880 Das können wir ja ohne Einschränkung machen, das ist ja nur ein 09:47.880 --> 09:50.420 Vergeben von Namen, wenn wir die C1, C2 usw. 09:50.640 --> 09:50.800 nennen. 09:51.540 --> 09:53.860 Also in dieser Voraussetzung steckt schon die paarweise 09:53.860 --> 09:54.620 Verschiedenheit. 09:55.100 --> 09:58.280 Und wenn wir jetzt eben von einer Quadraturformel mindestens die 09:58.280 --> 10:01.720 Ordnung S verlangen, und von 90% der Quadraturformeln ist das der 10:01.720 --> 10:04.840 Fall, und ich glaube zu 100% von denen, die wir hier auch diskutieren, 10:06.220 --> 10:10.060 das ist sozusagen das Minimum, was ich fordere, dass ich zumindest die 10:10.060 --> 10:14.520 ersten S-Ordnungsbedingungen erfülle, dann kann ich eben das B 10:14.520 --> 10:18.060 schreiben als, naja, das ist die Lösung des linearen Gleichungssystems 10:18.060 --> 10:18.420 da drüben. 10:19.420 --> 10:22.340 Das heißt, die Gewichte sind in eindeutiger Weise bestimmt. 10:24.540 --> 10:27.780 Tatsächlich können wir, das ist eine Darstellung über die 10:27.780 --> 10:30.440 Ordnungsbedingungen, Ordnungsbedingungen schaue ich mal so hin, nicht 10:30.440 --> 10:35.000 Oberbürgermeister, Ordnungsbedingungen, so kann ich das lösen, und 10:35.000 --> 10:40.780 das, die Darstellung hier unten, die folgt mehr aus der Definition. 10:41.260 --> 10:42.260 Gehen wir das mal zusammen durch. 10:42.260 --> 10:45.480 Die Lagrange-Polynome, die sind uns ja schon mal über den Weg gelaufen 10:45.480 --> 10:47.360 bei der Interpolation. 10:48.320 --> 10:51.820 Hier sind die Lagrange-Polynome jetzt definiert bezüglich der Knoten 10:51.820 --> 10:52.240 Ci. 10:53.300 --> 11:00.360 Das heißt, das Ite-Lagrange-Polynom hat am Knoten Ci den Wert 1 und an 11:00.360 --> 11:03.680 anderen Knoten den Wert 0, so hatten wir es ja definiert. 11:04.800 --> 11:09.500 Frage an Sie nochmal, dieses Lagrange-Polynom, wenn es bezüglich der 11:09.500 --> 11:11.940 Knoten definiert ist, welchen Grad hat es dann? 11:12.520 --> 11:20.320 Wenn es bezüglich der S-Knoten C1 bis Cs definiert ist, welchen Grad 11:20.320 --> 11:22.040 hat dann das zugehörige Lagrange-Polynom? 11:27.240 --> 11:27.760 Ja? 11:29.520 --> 11:33.820 Super, S-1, weil wir einen einzigen Linearfaktor ja weglassen, wenn 11:33.820 --> 11:38.400 Sie sich erinnern, das Produkt war ja immer J gleich 1 bis S, J 11:38.400 --> 11:39.000 ungleich I. 11:39.540 --> 11:42.000 Also einen müssen wir rausnehmen, also S-1. 11:43.000 --> 11:46.240 Jetzt passen Sie auf, wenn wir die Ordnung mindestens S verlangen, 11:47.440 --> 11:53.020 dann verlangen wir, dass alle Polynome bis zum Grad S-1 zumindest die 11:53.020 --> 11:55.780 exakt integriert werden nach der Definition. 11:56.520 --> 12:01.360 Das Lagrange-Polynom ist aber ein Polynom vom Grad S-1, das heißt, wir 12:01.360 --> 12:03.460 verlangen, dass es exakt integriert wird. 12:04.460 --> 12:10.600 Hier mindestens die Ordnung S, das heißt, Polynome vom Grad S-1 werden 12:10.600 --> 12:15.540 exakt integriert, das heißt, das Integral, wir haben vorausgesetzt, 12:15.640 --> 12:19.240 dass das Integral bitte schön das gleiche ist wie die Quadraturformel. 12:19.240 --> 12:20.820 Wie war nochmal die Quadraturformel? 12:20.860 --> 12:25.260 Da war einmal die B-A-Stamm ganz vorne, das ist aber hier bei 0 bis 1 12:25.260 --> 12:27.080 der Wert 1, können wir also weglassen. 12:28.060 --> 12:29.080 Welchen Index nehmen wir? 12:29.160 --> 12:30.560 Jetzt nehmen wir lieber den Index J. 12:34.100 --> 12:41.780 Gewicht J mal L I ausgewertet in C J. 12:41.780 --> 12:46.860 Das ist die Quadraturformel hingeschrieben für das Intervall 0,1. 12:47.600 --> 12:49.660 Da fliegt ganz, ganz viel weg von der Quadraturformel. 12:49.740 --> 12:52.120 Der Vorfaktor fliegt weg und Sie werden sich erinnern, die 12:52.120 --> 12:57.160 Stützstellen, die waren doch A plus C I mal B minus A. 12:57.800 --> 13:01.820 Aber wenn A 0 ist und B 1, reduziert sich das zu C I oder hier in dem 13:01.820 --> 13:02.460 Fall C J. 13:03.620 --> 13:06.920 Der Knoten fällt in dem Intervall mit der Stützstelle zusammen. 13:08.140 --> 13:13.620 Und jetzt sehen Sie, das hier ist eben, wir Mathematiker schreiben oft 13:13.620 --> 13:19.060 dieses Chronikersymbol, das soll heißen, nur wenn I und J identisch 13:19.060 --> 13:21.060 sind, ergibt das 1, sonst immer 0. 13:21.780 --> 13:23.380 Was hat das denn für eine Konsequenz? 13:23.780 --> 13:28.980 Das hat die Konsequenz, dass für J gleich I eine 1 rauskommt, sonst 13:28.980 --> 13:31.860 immer 0, das heißt es kommt B I raus in dieser Summe. 13:34.340 --> 13:37.840 Okay, also das obere ist mehr aus den Ordnungsbedingungen hergeleitet, 13:37.920 --> 13:40.860 das untere ist aus der Definition direkt hergeleitet, das sind ja 13:40.860 --> 13:42.040 äquivalente Geschichten. 13:43.100 --> 13:46.340 Wir haben eine eindeutige Darstellung der Gewichte, wenn die Knoten 13:46.340 --> 13:51.160 vorgegeben sind und Sie mindestens die Ordnung S verlangen und die 13:51.160 --> 13:52.460 Knoten paarweise verschieden sind. 13:52.880 --> 13:56.980 Okay, das halten wir nochmal ein bisschen im Kopf, werden wir nachher 13:56.980 --> 13:57.740 nochmal drauf eingehen. 13:57.740 --> 14:00.420 So, was sind jetzt symmetrische Quadraturformeln? 14:00.880 --> 14:03.780 Symmetrische Quadraturformeln stellen Bedingungen an die Knoten und an 14:03.780 --> 14:04.340 die Gewichte. 14:04.960 --> 14:09.420 An die Knoten wird die Bedingung gestellt, dass C I gleich 1 minus C S 14:09.420 --> 14:17.540 plus 1 minus I ist, das soll heißen, dass der I-te Knoten und der 14:17.540 --> 14:23.760 entsprechend I-letzte Knoten, das ist der S plus 1 minus I, die nehmen 14:23.760 --> 14:26.880 immer so Paare von Knoten, den ersten, den letzten, den zweiten, den 14:26.880 --> 14:30.880 vorletzten und so weiter und die sind symmetrisch zu der Achse 14:30.880 --> 14:31.400 einhalb. 14:32.620 --> 14:35.900 Also, welche symmetrischen Quadraturformeln kennen wir jetzt schon? 14:36.380 --> 14:37.380 Die Trapezregel. 14:37.740 --> 14:41.040 Sie haben zwei Knoten, 0 und 1. 14:41.820 --> 14:44.620 Also es gibt nur einen ersten und einen letzten und die sind wunderbar 14:44.620 --> 14:45.460 symmetrisch zu einhalb. 14:46.260 --> 14:49.020 Die Mittelpunktregel ist symmetrisch zu einhalb, weil sie nur einen 14:49.020 --> 14:50.460 Knoten haben und der ist einhalb. 14:52.320 --> 14:56.080 Wenn Sie eine ungerade Anzahl an Knoten haben, muss einhalb immer mit 14:56.080 --> 14:59.320 dabei sein, damit diese Gleichung hier erfüllt ist. 15:00.300 --> 15:02.660 Sie bilden immer ein Pärchen, aber wenn Sie Pärchen bilden und haben 15:02.660 --> 15:05.780 eine ungerade Anzahl von Knoten, dann bleibt einer übrig, wie beim 15:05.780 --> 15:11.100 Auszählen den Sport, der nirgendwo hin darf am Schluss, wenn es nicht 15:11.100 --> 15:14.460 aufgeht und der muss aufgrund der Formel dann einhalb sein, geht nicht 15:14.460 --> 15:14.780 anders. 15:15.540 --> 15:18.220 Jetzt nehmen Sie zum Beispiel die Simpson-Regel. 15:18.300 --> 15:20.740 Die Simpson-Regel hat ja die Knoten 0, 1, 1. 15:21.300 --> 15:23.120 Das heißt, Sie haben wieder ein Pärchen, 0 und 1. 15:23.200 --> 15:24.700 Sie sind symmetrisch zu einhalb, wunderbar. 15:25.120 --> 15:26.300 Und der letzte ist einhalb. 15:26.720 --> 15:29.240 Also auch die Simpson-Regel ist in Bezug auf die Knoten jetzt 15:29.240 --> 15:30.260 symmetrisch. 15:31.700 --> 15:36.080 Es ist auch in Bezug auf die Gewichte symmetrisch, weil man sind die 15:36.080 --> 15:37.140 Gewichte symmetrisch. 15:37.220 --> 15:40.820 Ich sage da immer dazu, dass Sie den Gewichtsvektor entweder von oben 15:40.820 --> 15:44.420 nach unten lesen oder von unten nach oben, aber beide Lesarten sind 15:44.420 --> 15:45.000 identisch. 15:46.420 --> 15:47.940 So merke ich mir Symmetrie der Gewichte. 15:48.140 --> 15:54.520 Das heißt, der erste Knoten ist gleich dem letzten Gewicht, das zweite 15:54.520 --> 15:57.600 Gewicht ist gleich dem vorletzten Gewicht und so weiter. 15:58.960 --> 16:00.160 Das heißt Symmetrie. 16:00.300 --> 16:02.380 Jetzt gucken wir uns nochmal ganz kurz die Trapez-Regel an. 16:02.840 --> 16:07.360 Die Trapez-Regel hatte die Knoten 0 und 1 und beim Trapez wurden beide 16:07.360 --> 16:10.000 mit dem Gewicht einhalb belegt. 16:10.220 --> 16:14.520 Das heißt, es ist symmetrisch, weil das erste Gewicht und das letzte 16:14.520 --> 16:16.120 Gewicht, es gibt ja nur zwei, identisch sind. 16:17.340 --> 16:21.440 Haben Sie eine ungerade Anzahl von Gewichten, dann haben Sie an das 16:21.440 --> 16:25.900 mittlere Gewicht, das hat kein Pärchen sozusagen, keine Bedingungen. 16:25.900 --> 16:28.060 Dann steht nämlich hier nur mittleres Gewicht gleich mittleres 16:28.060 --> 16:28.420 Gewicht. 16:28.680 --> 16:31.440 Die Formel degeneriert zu dieser Bedingung und das ist keine 16:31.440 --> 16:31.840 Bedingung. 16:33.580 --> 16:35.580 Nehmen Sie sich zum Beispiel den Simpson her. 16:35.680 --> 16:39.460 Der Simpson hatte nochmal die Knoten 0, 1,5, 1 und die Gewichte waren 16:39.460 --> 16:44.000 1,6, 4,6, 1,6. 16:45.100 --> 16:49.840 Aha, das erste Gewicht 1,6 und das letzte Gewicht 1,6 sind identisch, 16:49.900 --> 16:51.060 das muss sein bei Symmetrie. 16:51.060 --> 16:54.020 Und in der Mitte bleibt ein Gewicht übrig, 4,6, haben Sie gar keine 16:54.020 --> 16:54.700 Bedingungen dran. 16:55.160 --> 16:57.540 Aus Symmetriegründen haben Sie keine Bedingungen daran. 16:59.080 --> 17:02.860 Aus Ordnungsbedingungsgründen ist klar, dass die Mitte 4,6 geben muss, 17:03.560 --> 17:05.340 damit die Summe der Gewichte 1 ergibt. 17:06.240 --> 17:09.020 Können Sie ungefähr wissen, was symmetrische Quadraturformeln dann 17:09.020 --> 17:09.240 sind? 17:09.360 --> 17:12.060 Und jetzt wird behauptet, dass die eine gerade Ordnung haben. 17:13.440 --> 17:17.900 Das ist der Grund, weshalb zum Beispiel Trapezregel hat eben Ordnung 17:17.900 --> 17:19.120 2, da passt das. 17:21.380 --> 17:24.420 Mittelpunktregel ist auch symmetrisch, hat Ordnung 2. 17:25.300 --> 17:28.700 Simpsonregel ist auch symmetrisch, hat Ordnung 4, passt alles. 17:29.940 --> 17:32.460 Scheint zu stimmen, der Satz, wir beweisen ihn ja auch gleich noch 17:32.460 --> 17:32.720 kurz. 17:34.700 --> 17:40.080 Aber passen Sie auf, nicht jede Quadraturformel mit gerader Ordnung 17:40.080 --> 17:40.840 ist auch symmetrisch. 17:40.840 --> 17:42.260 Also die Umkehrung gilt in keinem Fall. 17:43.320 --> 17:47.220 Jede symmetrische Quadraturformel hat gerade Ordnung. 17:47.340 --> 17:48.280 Wie können wir das beweisen? 17:49.180 --> 17:49.920 Machen wir das mal. 17:52.480 --> 17:54.680 Das ist eigentlich ein ganz schöner Beweis. 18:06.190 --> 18:08.170 Okay, machen wir es so. 18:09.850 --> 18:10.390 Annahme, 18:17.180 --> 18:18.300 die Ordnungsbedingungen. 18:19.300 --> 18:22.360 Schreiben wir ruhig mal wieder Ordnungsbedingungen. 18:25.140 --> 18:26.540 gelten 18:31.370 --> 18:56.750 bis 2m-1 Also Polynome vom Grad 2m-2 2m-2 werden exakt berechnet. 18:57.250 --> 19:06.590 Werden exakt durch Quadraturformel berechnet. 19:09.330 --> 19:13.390 Also wir nehmen für einen kurzen Moment an, dass alles in Ordnung ist. 19:13.510 --> 19:22.110 Bis zur Ordnung 2m-1 Also wir nehmen mal eine ungerade Ordnung an, 19:22.190 --> 19:27.570 nämlich 2m-1 Und werden jetzt zeigen, dass dann automatisch die 19:27.570 --> 19:29.730 nächste Ordnungsbedingung auch erfüllt ist. 19:30.070 --> 19:32.350 Bei symmetrischen Quadraturformeln. 19:32.730 --> 19:35.290 Dass die Ordnung also tatsächlich um 1 höher ist. 19:41.640 --> 19:48.700 Also wir nehmen an, Quadraturformel hat Ordnung 2m-1 Das heißt, alle 19:48.700 --> 19:52.920 Polynome vom Grad bis 2m-2 werden exakt integriert. 19:53.300 --> 19:57.460 Wir wollen zeigen, dass auch noch die Polynome um 1 Grad höher exakt 19:57.460 --> 19:58.160 integriert werden. 19:58.320 --> 20:03.780 Also die Polynome vom Grad 2m-1 Weil dann wäre die Ordnung 2m und sie 20:03.780 --> 20:04.220 wäre gerade. 20:05.460 --> 20:27.320 Also sei f ein Polynom, also ein beliebiges Polynom vom Grad 2m-1 Also 20:27.320 --> 20:32.660 1 höher als die anderen jetzt, die schon exakt berechnet werden. 20:35.240 --> 20:38.720 Dann gilt folgendes. 20:40.200 --> 20:42.360 Wie sieht das denn dann aus, dieses f von x? 20:42.740 --> 20:44.500 Das sieht irgendwie folgendermaßen aus. 20:44.560 --> 20:49.140 Das hat irgendein Leitkoeffizienten K, meinetwegen. 20:49.620 --> 20:55.980 Wenn es den Grad 2m-1 hat, dann käme irgendwie das Monomen 2m-1 Und 20:55.980 --> 20:59.560 dann kämen nur noch Terme kleinerer Ordnung. 21:00.000 --> 21:01.700 Monome mit kleineren Exponenten. 21:01.700 --> 21:04.900 Die Idee ist jetzt, dass wir das f dann anders schreiben. 21:07.040 --> 21:10.060 Dass wir das f schreiben als diesen K-Faktor. 21:10.180 --> 21:17.040 Und jetzt wollen wir hier ein Polynom einschmuggeln vom Grad 2m-1 Was 21:17.040 --> 21:21.280 die Eigenschaft hat, dass es symmetrisch ist zur Achse 1,5 Das heißt 21:21.280 --> 21:29.140 wir schreiben hier einfach x-1,5 Die Idee, die dahinter steckt, ist im 21:29.140 --> 21:31.680 Grunde genommen die, dass wenn wir jetzt darüber integrieren Denken 21:31.680 --> 21:32.600 Sie an x hoch 3. 21:32.700 --> 21:35.280 Wenn Sie x hoch 3 über ein symmetrisches Intervall um 0 herum 21:35.280 --> 21:37.660 integrieren, dann haben Sie immer eine negative Fläche und eine 21:37.660 --> 21:39.000 positive Fläche, die sich weghebt. 21:39.740 --> 21:43.000 Und so ist hier die Idee, diesen vorderen Teil, den werden wir nachher 21:43.000 --> 21:47.480 aufgrund von Symmetriegründen wegheben lassen, weil tatsächlich 21:47.480 --> 21:50.760 negative Flächen und positive Flächen sich eins zu eins wegheben. 21:53.020 --> 21:55.660 Natürlich kann ich das f von x nicht erstmal so schreiben. 21:55.900 --> 22:00.180 Das wäre ja purer Zufall, wenn ich mein beliebig gewähltes f jetzt so 22:00.180 --> 22:01.460 schreiben könnte in dieser Form. 22:01.580 --> 22:03.920 Aber ich mache natürlich einen Fehler dabei. 22:04.000 --> 22:05.200 Ich muss eine Korrektur vornehmen. 22:05.900 --> 22:07.660 Aber was wissen Sie, haben Sie eine Idee? 22:08.420 --> 22:11.340 Die Korrekturen, geben wir Ihren Namen für einen kurzen Moment, g von 22:11.340 --> 22:15.600 x, das ist ja nichts besonders wichtiges, aber welche Eigenschaft 22:15.600 --> 22:19.500 dieser Korrektur hinten, des Polynoms g, ist sehr wichtig und können 22:19.500 --> 22:20.220 Sie formulieren. 22:21.840 --> 22:23.260 Welche Eigenschaft hat das g? 22:28.540 --> 22:31.800 Also vorne dieses Polynom, das multiplizieren Sie einfach mal schön 22:31.800 --> 22:32.160 aus. 22:32.400 --> 22:35.400 Da steht x-1,5 hoch 2m-1. 22:35.980 --> 22:39.060 Das können Sie jetzt mal, wenn Sie Lust haben, ausmultiplizieren. 22:39.320 --> 22:41.160 Und was ist der Leitkoeffizient von diesem Polynom? 22:42.100 --> 22:44.730 Der ist 1 und wird dann auch mit k multipliziert. 22:45.360 --> 22:49.280 Das heißt, wir kriegen wirklich diesen Faktor k mal x hoch 2m-1. 22:49.320 --> 22:51.520 Den kriegen wir wunderbar daraus, aus diesem Polynom. 22:51.520 --> 22:55.820 Das heißt, das Monom von f mit dem höchsten Exponenten, das ist 22:55.820 --> 22:59.520 sozusagen sehr gut abgedeckt durch diesen Faktor vorne. 22:59.620 --> 23:00.600 Was ist nicht abgedeckt? 23:01.120 --> 23:06.340 Alle anderen Monome mit kleinerem Exponent sind a nicht abgedeckt und 23:06.340 --> 23:10.040 werden b, durch dieses Polynom kommen sogar noch welche dazu. 23:11.380 --> 23:13.880 Unter Umständen, die in dem f noch gar nichts drin gesteckt haben. 23:15.060 --> 23:15.720 Wenn Sie das ausmultiplizieren. 23:16.200 --> 23:19.420 Na gut, das stecken wir alles in das g, als Korrektur. 23:20.240 --> 23:24.560 Was ist jetzt wichtig über das g auszusagen, in Bezug auf den Grad? 23:36.670 --> 23:40.370 Genau, der ist maximal 2m-2. 23:40.630 --> 23:42.650 Also das ist sozusagen eine Polynom-Division. 23:43.310 --> 23:48.130 Sie machen eine Polynom-Division von f und dividieren durch dieses x-1 23:48.130 --> 23:51.290 ,5 hoch 2m-1, meinetwegen noch mit dem k davor. 23:52.630 --> 23:54.830 Und das ist eine Polynom-Division mit Reste unter Umständen. 23:55.350 --> 23:58.650 Aber von dem Rest können wir zumindest garantieren, dass er nicht den 23:58.650 --> 24:01.190 Grad hat, größer als 2m-2. 24:01.550 --> 24:02.510 So, jetzt ist wunderbar. 24:02.610 --> 24:04.430 Jetzt gehen wir her, nehmen uns das Integral. 24:05.290 --> 24:07.450 Jetzt die Frage, auf welchem Intervall machen wir das? 24:07.510 --> 24:09.470 Das machen wir natürlich auf dem Intervall 0,1. 24:09.590 --> 24:10.210 Das reicht. 24:11.290 --> 24:13.390 Das haben wir uns letzte Woche schon überlegt, dass wir das durch 24:13.390 --> 24:15.990 Substitution immer auf dieses Intervall bringen können. 24:17.810 --> 24:26.770 So, das ist jetzt offensichtlich k mal das Integral von 0 bis 1, x-1,5 24:26.770 --> 24:32.130 hoch 2m-1 plus Atx. 24:34.010 --> 24:35.730 Das ist die Linearität des Integrals. 24:35.870 --> 24:37.630 Das heißt, ich kann die Summe hier schön rausziehen. 24:47.010 --> 24:49.610 Es ist nicht überraschend, machen wir es relativ zügig, dass dieses 24:49.610 --> 24:54.570 Integral hier, Sie integrieren von 0 bis 1 und genau die Mitte ist die 24:54.570 --> 24:55.630 entscheidende Geschichte. 24:56.530 --> 25:03.970 Das ist eine symmetrische Funktion zur Achse x-1,5, punktsymmetrisch. 25:04.410 --> 25:08.650 Das heißt, jede positive Fläche kommt auf jeden Fall auch mal negativ 25:08.650 --> 25:09.610 auf der anderen Seite vor. 25:10.090 --> 25:13.990 Können Sie jetzt auch noch formal substituieren, in die Nähe von 0 25:13.990 --> 25:16.470 bringen, aber die Idee war genau so gewählt, dass das 0 ist. 25:17.330 --> 25:20.750 Wie bei x hoch 3, wenn Sie das symmetrisch um 0 herum integrieren. 25:20.750 --> 25:22.530 Und was wissen wir jetzt über das hintere? 25:23.190 --> 25:29.950 Naja, das wird also exakt durch die Quadraturformel ausgerechnet, weil 25:29.950 --> 25:34.570 es ja ein Polynomial vom Grad höchstens 2m-2 und die werden ja exakt 25:34.570 --> 25:35.190 integriert. 25:36.230 --> 25:47.690 Also hier, das hier wird exakt durch Quadraturformel berechnet. 25:50.050 --> 25:56.050 So, was wir jetzt machen ist, wir wenden jetzt die Quadraturformel, so 25:56.050 --> 25:57.870 hat mir das letzte Mal geschrieben, das finde ich eigentlich ganz 25:57.870 --> 25:59.050 schön, auf f an. 25:59.370 --> 26:01.110 Auch die Quadraturformel ist linear. 26:02.190 --> 26:09.470 Das heißt, Sie haben hier k mal Quadraturformel von diesem Faktor x-1 26:09.470 --> 26:19.630 ,5 hoch 2m-1 plus Quadraturformel angewendet auf g. Und diese hintere 26:19.630 --> 26:22.790 Teilquadraturformel von g, das ist ja tatsächlich das Integral, was 26:22.790 --> 26:23.310 drüber steht. 26:23.490 --> 26:24.150 Die sind identisch. 26:24.710 --> 26:26.730 Diese beiden Dinge hier sind identisch. 26:27.950 --> 26:33.910 Was muss jetzt folgern, damit wir auch f exakt integrieren können? 26:34.150 --> 26:34.670 Haben Sie eine Idee? 26:37.330 --> 26:41.370 Naja, k mal die Quadraturformel von diesem Term muss 0 sein. 26:41.370 --> 26:45.130 Wenn das hier 0 wäre, das ist das, was wir jetzt gleich zeigen wollen, 26:45.370 --> 26:45.690 denke ich. 26:46.470 --> 26:50.930 Wenn das hier 0 wäre, dann wären diese Dinge hier gleich. 26:53.050 --> 26:55.790 Das ist also das Ziel, zu zeigen, dass das 0 ist. 26:56.290 --> 27:00.670 Dann wären die gleich und f war ein beliebiges Polynom von g 2m-1. 27:01.090 --> 27:03.090 Also werden auch diese Polynome exakt integriert. 27:03.470 --> 27:07.130 Also war unsere angenommene Ordnung von 2m-1 nicht richtig, sondern 27:07.130 --> 27:08.470 die Ordnung war schon gleich 2m. 27:09.210 --> 27:13.730 So, jetzt gucken wir uns mal an, warum das auch wirklich 0 ist. 27:17.450 --> 27:23.810 Also, wir nehmen die Quadraturformel und wenden sie an auf x-1,5 hoch 27:23.810 --> 27:25.590 2m -1. 27:27.830 --> 27:30.510 Klammer zu und dann erhalten wir, wie geht das? 27:30.590 --> 27:39.970 Das ist die Summe über i gleich 1 bis s, Gewicht Bi mal Ci-1,5. 27:41.290 --> 27:48.150 Das ist nämlich jetzt die Funktion ausgewertet in Ci hoch 2m-1. 27:50.530 --> 27:56.170 So, wie sieht das jetzt aus mit diesem Ausdruck hier? 27:57.190 --> 28:04.070 Ci-1,5, behaupte ich, ist aufgrund von Symmetrie das gleiche wie 1,5 28:04.070 --> 28:09.770 minus cs plus 1 minus i. 28:09.850 --> 28:11.370 Das liegt an der Symmetrie der Knoten. 28:11.370 --> 28:17.110 Weil die Symmetrie zur Achse 1,5, können wir dieses Ci-1,5, der 28:17.110 --> 28:25.070 Abstand von Ci zu 1,5, ist der gleiche wie der Abstand von 1,5 zu s 28:25.070 --> 28:27.810 plus 1 minus i, weil die Symmetrie sind zu dem 1,5. 28:27.810 --> 28:34.750 So, das heißt, jetzt haben wir hier stehen, ist gleich Summe über i 28:34.750 --> 28:42.910 gleich 1 bis s Bi, jetzt können wir die Klammer ersetzen als 1,5 minus 28:42.910 --> 28:48.250 cs plus 1 minus i hoch 2m-1. 28:48.250 --> 28:50.230 Was machen wir jetzt in der nächsten Zeile? 28:50.950 --> 28:55.610 Wir nehmen ein Minus raus aus der Klammer, dann haben wir hier stehen 28:55.610 --> 29:00.330 von i gleich 1 bis s, die Gewichte lassen wir mal noch kurz außen vor. 29:00.450 --> 29:05.830 Dann steht hier cs plus 1 minus i minus 1,5, weil warum? 29:06.050 --> 29:09.750 Der Exponent ist ungerade, deswegen kann ich das Minuszeichen 29:09.750 --> 29:12.230 rausziehen als Minuszeichen und vor die Summe schreiben. 29:12.230 --> 29:15.710 Dafür ist aber entscheidend, dass der Exponent ungerade ist. 29:15.950 --> 29:18.550 Minus 1 hoch ungerade, es gibt wieder Minus 1. 29:19.130 --> 29:20.410 Und was machen wir mit den Bs? 29:21.210 --> 29:24.270 Wir hatten gesagt, die Bs kann man von unten, also den Vektor der 29:24.270 --> 29:26.870 Gewichte kann man von unten nach oben oder oben nach unten identisch 29:26.870 --> 29:31.390 lesen, das heißt, das Bi können wir auch schreiben als Bs plus 1 minus 29:31.390 --> 29:32.870 i, sind identisch. 29:34.110 --> 29:39.330 Und wenn Sie jetzt i laufen lassen von 1 bis s, durchlaufen Sie mit 29:39.330 --> 29:44.070 dem Index s plus 1 minus i alle Zahlen von 1 bis s. 29:44.970 --> 29:49.130 Das heißt, Sie können das auch gedroht so schreiben, das Minus müssen 29:49.130 --> 29:55.390 wir noch beachten, machen Sie i oder j meinetwegen, von j gleich 1 bis 29:55.390 --> 30:02.630 s, bj mal cj minus 1,5 hoch 2 minus 1. 30:02.630 --> 30:06.510 Jetzt sehen Sie, der Index bei den Bs und den Cs sind mittlerweile 30:06.510 --> 30:12.410 identisch, die sind immer s plus 1 minus i und sie durchlaufen alle 30:12.410 --> 30:13.430 Zahlen von 1 bis s. 30:14.210 --> 30:17.210 Das heißt, ich kann gerade dieses s plus 1 minus i durch j ersetzen 30:17.210 --> 30:19.650 und j laufen lassen von 1 bis s. 30:20.470 --> 30:27.290 Aber jetzt gucken Sie mal genau hin, dieser Ausdruck hier oben, dieser 30:27.290 --> 30:35.210 hier, steht 1 zu 1 hier, bis auf die kleine Tatsache, dass Sie einmal 30:35.210 --> 30:40.290 den Laufindex i und einmal j nennen, das ist egal, aber davor steht 30:40.290 --> 30:41.090 noch ein Minuszeichen. 30:42.330 --> 30:45.710 Welche Zahl kennen Sie, die gleich Ihren negativen Wert ist? 30:45.970 --> 30:48.110 Naja, es gibt nur eine, 0. 30:48.690 --> 30:52.170 0 ist gleich minus 0 und sonst gibt es keine andere. 30:52.330 --> 30:57.430 Das heißt, hier folgt genau dieser Ausdruck, machen wir es so, ja, 30:57.510 --> 30:59.290 dieser Ausdruck ist 0, geht nicht anders. 31:01.990 --> 31:03.870 Okay, dann haben wir das bewiesen. 31:06.650 --> 31:08.930 Die Ordnung einer Quadraturformel ist gerade. 31:09.370 --> 31:13.130 Gut, das merken wir uns als wichtige Eigenschaft dieser Geschichte, 31:14.010 --> 31:15.370 dieser Quadraturformel. 31:15.990 --> 31:18.890 Eine letzte Sache, die wir noch zu symmetrischen Quadraturformeln 31:18.890 --> 31:23.890 machen wollen, ist, dass wenn ich symmetrische Knoten vorgebe, die 31:23.890 --> 31:27.650 symmetrisch heißt eben zu dieser Achse 1,5 und die paarweise 31:27.650 --> 31:33.130 verschieden sind, und wenn wir verlangen von dieser Quadraturformel, 31:34.330 --> 31:37.710 die ich jetzt, wenn ich von einer Quadraturformel verlange, dass sie 31:37.710 --> 31:40.550 mindestens die Ordnung S hat, dann erinnern wir uns an den Satz 31:40.550 --> 31:44.130 vorher, dass aus vorgegebenen paarweise verschiedenen Knoten schon 31:44.130 --> 31:46.190 eindeutige Gewichte erzeugt werden. 31:46.190 --> 31:50.590 Und die Aussage, die dieses Korollar hier trifft, ist, sind die 31:50.590 --> 31:54.790 Knoten, die vorgegebenen Knoten, symmetrisch gewählt, dann ergeben 31:54.790 --> 31:57.870 sich die Gewichte automatisch auch als symmetrisch. 31:57.870 --> 31:58.690 Ja, 32:02.500 --> 32:05.120 das können wir hier kurz skizzieren. 32:05.500 --> 32:06.840 Die Geschichte ist nicht sehr schwer. 32:07.160 --> 32:10.040 Was hatten wir denn aus dem Satz hergeleitet? 32:10.140 --> 32:16.040 Die Bi's konnten geschrieben werden als Integral von 0 bis 1 über das 32:16.040 --> 32:17.300 Ite -Lagrange-Polynom. 32:22.470 --> 32:26.110 Das war eine Ausdrucksweise, wie ich die Bi's schreiben konnte. 32:28.290 --> 32:32.330 Und was sie jetzt zeigen können, ist, dass das Ite-Lagrange-Polynom 32:32.330 --> 32:37.670 von x, das will ich jetzt im Einzelnen nicht vorrechnen, weil es mich 32:37.670 --> 32:43.710 etwas zu viel Zeit kostet, aber aufgrund der Symmetrie der Knoten, die 32:43.710 --> 32:46.790 ich ja voraussetze hier in dem Korollar, lässt sich relativ leicht 32:46.790 --> 32:50.090 zeigen, gucken Sie ins Skript, da steht es ein bisschen genauer, dass 32:50.090 --> 32:58.730 das Li gleich Ls plus 1 minus i von 1 minus x ist. 33:06.700 --> 33:07.340 Genau. 33:08.880 --> 33:17.080 Das heißt, wir haben hier das Integral von 0 bis 1 über s plus 1 minus 33:17.080 --> 33:20.720 i von 1 minus x dx. 33:20.920 --> 33:25.140 Jetzt machen sie eine kleine Substitution, nämlich dass sie 1 minus x 33:25.140 --> 33:32.220 durch y ersetzen, dann haben sie hier stehen s plus 1 minus i von y dx 33:32.220 --> 33:33.600 müssen sie jetzt durch was ersetzen? 33:33.600 --> 33:38.340 Durch dy, machen aber eine innere Ableitung, ein Minus dazu und die 33:38.340 --> 33:42.680 Integralgrenzen sind, wenn sie 1 minus x durch y ersetzen, dann von 1 33:42.680 --> 33:43.160 bis 0. 33:43.820 --> 33:45.020 Die müssen sie auch drehen. 33:45.600 --> 33:49.420 Jetzt hilft uns das Minuszeichen vorne, die wieder zurückzudrehen zu 0 33:49.420 --> 33:50.080 bis 1. 33:54.160 --> 33:57.280 Und hier können sie wieder x dx schreiben, wenn sie lustig sind. 33:58.500 --> 34:02.060 Und dann kriegen sie hier bs plus 1 minus i. 34:03.260 --> 34:07.540 Das heißt, das Gewicht bi ist tatsächlich gleich dem Gewicht bs plus 1 34:07.540 --> 34:08.120 minus i. 34:08.600 --> 34:13.260 Das hier ist eine leichte Substitution, die ganze Idee liegt dahinter, 34:13.320 --> 34:15.880 was auch wirklich nicht sehr schwer ist an dieser Stelle hier. 34:18.460 --> 34:21.540 Dass die Lagrange-Polynome aufgrund der Symmetrie in diesem 34:21.540 --> 34:22.300 Zusammenhang stehen. 34:23.020 --> 34:26.280 Gut, das ist alles, was ich zu symmetrischen Quadraturformeln sagen 34:26.280 --> 34:26.620 wollte. 34:27.180 --> 34:28.840 Es ist eine einfache Definition. 34:29.680 --> 34:32.920 Man kann sich merken, dass die Ordnungen immer gerade sind. 34:33.940 --> 34:40.000 Und wenn sie verschiedene Knoten vorgeben, die symmetrisch sind und 34:40.000 --> 34:43.220 sie mindestens die Ordnung s verlangen, ergeben sich die eindeutig 34:43.220 --> 34:46.120 bestimmten Gewichte, die sind ja eindeutig bestimmt, das haben wir 34:46.120 --> 34:48.180 heute schon bewiesen, auch symmetrisch. 34:48.180 --> 34:50.900 Das ist erstmal alles. 34:51.720 --> 34:52.700 Haben Sie bis hierhin Fragen? 34:56.740 --> 35:00.440 Okay, dann würden wir die symmetrischen Quadraturformeln hinter uns 35:00.440 --> 35:01.920 lassen für einen kurzen Moment. 35:02.020 --> 35:04.580 Wir werden heute noch eine ganz wichtige symmetrische Klasse 35:04.580 --> 35:05.240 kennenlernen. 35:05.240 --> 35:11.140 Aber die nächste Fragestellung ist, wie können wir Quadraturformeln 35:11.140 --> 35:16.360 herleiten, die jetzt nicht nur die Ordnung s haben, sondern wesentlich 35:16.360 --> 35:17.200 höhere Ordnungen. 35:19.740 --> 35:25.800 Ich meine, wir können die Ordnungsbedingungen alle nachrechnen, das 35:25.800 --> 35:27.440 ist aber nicht ganz so einfach. 35:27.440 --> 35:30.220 Ich meine, das ist ja ein hochgradig nicht-lineares System. 35:30.660 --> 35:35.180 Nicht-linear, weil die Knoten gehen ja in nicht-lineare Art und Weise 35:35.180 --> 35:36.620 in die Ordnungsbedingungen herein. 35:36.720 --> 35:42.300 Das ist nicht so ganz leicht, ad hoc zu sagen, ich will jetzt 35:42.300 --> 35:46.440 garantieren, dass die ersten zehn Ordnungsbedingungen erfüllt werden. 35:47.000 --> 35:48.700 Und ich möchte bitte aber s gleich fünf wählen. 35:48.740 --> 35:49.740 Das ist nicht so ganz einfach. 35:50.400 --> 35:52.020 Wir brauchen einen Ansatz dafür. 35:52.540 --> 35:56.720 Es ist einfach, die ersten s Ordnungsbedingungen erfüllen zu lassen. 35:56.960 --> 35:59.560 Das geht folgendermaßen, Sie nehmen sich einfach Gewichte her, 36:00.140 --> 36:02.120 Entschuldigung, Knoten. 36:02.320 --> 36:05.740 Knoten, die sind paarweise verschieden. 36:06.760 --> 36:10.560 Und wenn Sie die vorgegeben und mindestens die Ordnung s fordern, dann 36:10.560 --> 36:13.860 können Sie die bs als Lösung eines linearen Gleichungssystems schnell 36:13.860 --> 36:14.460 ausrechnen. 36:14.960 --> 36:17.280 Also die Ordnung s zu garantieren ist gar kein Problem, das ist ein 36:17.280 --> 36:17.880 lineares Gleichungssystem. 36:18.340 --> 36:23.680 Aber alles, was darüber hinausgeht, wird schwierig, weil die cs in 36:23.680 --> 36:26.400 nicht -linearer Art und Weise in die Ordnungsbedingungen eingehen. 36:26.480 --> 36:28.200 Und deswegen brauchen wir dafür einen neuen Ansatz. 36:28.600 --> 36:29.300 Das haben wir gemacht. 36:32.310 --> 36:33.430 Ja, hier habe ich es nochmal gesagt. 36:36.790 --> 36:39.970 Sehen Sie, wenn Sie die Knoten paarweise verschiedene Knoten vorgeben 36:39.970 --> 36:44.570 und die Ordnung s garantieren, dann haben Sie die Gewichte in 36:44.570 --> 36:45.630 eindeutiger Art und Weise. 36:46.630 --> 36:49.710 Tatsächlich ist dann aber auch schon die Ordnung, wenn sie größer ist 36:49.710 --> 36:50.790 als s, festgelegt. 36:51.490 --> 36:53.850 Sie haben ja keine Chance mehr zu variieren. 36:54.350 --> 36:56.950 Die Knoten sind festgelegt und dadurch die Gewichte auch. 36:57.510 --> 36:58.590 Fertig ist der Salat. 36:59.010 --> 37:01.910 Sie haben Ihre Quadraturformel festgelegt. 37:02.570 --> 37:05.790 Die Frage, welche Ordnung Sie eigentlich erreicht haben, können Sie 37:05.790 --> 37:06.770 doch gar nicht beantworten. 37:06.830 --> 37:09.130 Sie können höchstens beantworten, ich habe meine Ordnung mindestens s 37:09.130 --> 37:09.570 erreicht. 37:10.030 --> 37:12.250 Aber Sie wissen gar nicht, welche Ordnung Sie genau erreicht haben. 37:12.950 --> 37:15.770 Die Frage, die sich auch stellt, ist, wie kann ich die c vielleicht 37:15.770 --> 37:20.970 geschickt wählen, sodass mit den eindeutig bestimmten b, die ja 37:20.970 --> 37:25.490 automatisch herauskommen, insgesamt eine möglichst hohe Ordnung 37:25.490 --> 37:26.010 herauskommt. 37:26.410 --> 37:27.070 Das ist die Frage. 37:29.590 --> 37:31.990 Und wie kann die Ordnung überhaupt sein, ist vielleicht auch eine ganz 37:31.990 --> 37:35.610 interessante Frage, die wir auch beantworten wollen. 37:38.670 --> 37:43.510 Die erste Zeile dieser Folie sollte Ihnen jetzt schon relativ klar 37:43.510 --> 37:43.710 sein. 37:43.810 --> 37:47.150 Wir suchen Quadraturformeln mit Ordnung p gleich s. 37:47.510 --> 37:48.910 s ist sowieso das Minimum. 37:51.790 --> 37:55.090 Damit können wir sozusagen die bs eindeutig bestimmen. 37:55.330 --> 37:58.970 Aber wir suchen jetzt Quadraturformeln mit p gleich s plus m. 37:59.110 --> 38:00.490 Und m startet erst ab 1. 38:00.490 --> 38:04.110 Weil ich meine, bitteschön, Quadraturformeln mit Ordnung p gleich s, 38:04.210 --> 38:05.490 das ist trivial. 38:05.630 --> 38:06.050 Höchst trivial. 38:06.230 --> 38:07.810 Da brauche ich nur ein lineares Gleichungssystem lösen. 38:08.370 --> 38:13.570 Aber jetzt suchen wir Ordnungsquadraturformeln mit Ordnung p gleich s 38:13.570 --> 38:14.050 plus m. 38:14.550 --> 38:18.650 Und die Frage ist, wie kann ich das geschickt machen und wie groß kann 38:18.650 --> 38:19.490 m überhaupt sein. 38:20.690 --> 38:24.150 Und dazu definieren wir uns dieses M von x, dieses Polynomen. 38:24.890 --> 38:27.890 Das erinnert stark an diese Newton-Polynome. 38:27.890 --> 38:32.430 Sie könnten sagen, das ist das s-te Newton-Polynomen zu den cj, wenn 38:32.430 --> 38:32.810 Sie wollen. 38:33.910 --> 38:34.990 Muss aber auch nicht sein. 38:35.050 --> 38:36.490 Das ist einfach ein Produkt von Linearfaktoren. 38:37.210 --> 38:40.910 Dieses Polynomen verschwindet an jedem Knoten. 38:41.550 --> 38:42.550 Und hat welchen Grad? 38:42.630 --> 38:43.650 Natürlich den Grad s. 38:45.190 --> 38:47.570 Und jetzt kommt so etwas Ähnliches, wie wir es eben schon mal gemacht 38:47.570 --> 38:47.950 haben. 38:48.830 --> 38:53.350 Wenn Sie jetzt ein beliebiges Polynomen vom Grad s plus m minus 1 38:53.350 --> 38:53.850 hernehmen... 38:53.850 --> 38:55.810 Warum eigentlich s plus m minus 1? 38:55.810 --> 39:02.810 Wir wollen doch Bedingungen herleiten, unter denen unsere 39:02.810 --> 39:05.910 Quadraturformel die Ordnung s plus m hat. 39:06.590 --> 39:08.190 Und wie war die Ordnung nochmal definiert? 39:08.310 --> 39:12.390 Alle Quadraturformeln bis zum Grad p minus 1, sprich hier in dem Fall 39:12.390 --> 39:14.990 s plus m minus 1, sollen exakt integriert werden. 39:15.290 --> 39:18.670 Also nehmen wir uns mal so ein beliebiges Polynomen f her, was im Grad 39:18.670 --> 39:20.670 s plus m minus 1 hat... 39:20.670 --> 39:24.950 und wollen mal untersuchen, ob die Quadraturformel das exakt löst. 39:24.950 --> 39:27.750 Unter welchen Bedingungen es das exakt löst. 39:28.530 --> 39:32.770 Und jetzt gucken Sie sich diese Sternengleichung mal an. 39:34.290 --> 39:36.770 Das ist im Grunde genommen etwas, was wir heute schon gemacht haben. 39:39.170 --> 39:43.190 Wollen wir Sie erstmal begreifen, diese Sternzeile? 39:43.730 --> 39:49.590 Ich behaupte, f und x kann geschrieben werden als ein bestimmtes 39:49.590 --> 39:53.890 Polynomen g, was ich mit m multipliziere, plus Rest. 39:56.070 --> 40:00.010 Und das Entscheidende wird dann natürlich dabei sein, was ich über das 40:00.010 --> 40:01.850 g weiß und was ich über den Rest weiß. 40:02.390 --> 40:06.990 Und tatsächlich ist es so, dass dieses Polynomen g einen Grad hat, der 40:06.990 --> 40:09.110 kleiner gleich m minus 1 ist... 40:09.110 --> 40:12.030 und der Rest hat einen Grad, der kleiner gleich s minus 1 ist. 40:13.590 --> 40:16.370 Warum sollte das möglich sein, das f so zu schreiben? 40:22.600 --> 40:24.820 Haben Sie schon mal den Euclidischen Divisionsalgorithmus 40:24.820 --> 40:25.500 kennengelernt? 40:27.020 --> 40:29.660 Sollten Sie, glaube ich, in der Informatik. 40:29.780 --> 40:32.160 Den lernt man oft für ganze Zahlen kennen. 40:33.520 --> 40:35.520 Den Euclidischen Divisionsalgorithmus. 40:35.920 --> 40:39.740 Sie haben irgendwie 1430 und die Zahl 17. 40:40.880 --> 40:46.320 Und jetzt ist relativ klar, dass Sie die 17 in diese Zahl 1430 oder 40:46.320 --> 40:48.980 was ich eben auch immer gesagt habe, reinpacken können. 40:49.620 --> 40:53.380 Eine gewisse Anzahl oft, aber unter Umständen bleibt ein Rest. 40:55.880 --> 40:58.940 Und vor dem Rest wissen Sie hier in dem Fall, wenn Sie die 17 da immer 40:58.940 --> 41:02.100 reinpacken wollen, dass der Rest irgendeiner ist zwischen 0 und 16. 41:03.780 --> 41:06.480 Dieser Euclidische Divisionsalgorithmus gilt auch für Polynome. 41:07.200 --> 41:11.300 Sie gucken, wie oft das Polynom m von x sozusagen in das Polynom f von 41:11.300 --> 41:12.080 x reinpasst. 41:13.780 --> 41:16.560 Und dann haben Sie gegebenenfalls noch ein Rest, der übrig bleibt. 41:18.460 --> 41:21.980 Man könnte das als Stichwort des Euclidischen Divisionsalgorithmus, 41:22.080 --> 41:24.440 die uns diese Darstellung garantiert, oder Sie nennen es Polynom 41:24.440 --> 41:24.940 -Division. 41:26.920 --> 41:31.800 Sie dividieren das f von x durch das m, kriegen das g von x raus und 41:31.800 --> 41:34.520 den Rest, der leider durch m nicht mehr dividiert werden kann. 41:36.000 --> 41:39.560 Und dieser Rest, warum kann der dann nicht mehr durch m dividiert 41:39.560 --> 41:39.800 werden? 41:39.800 --> 41:45.660 m hat einen Grad s und der Rest hat dann eben den Grad s-1. 41:45.840 --> 41:49.460 Also der Rest hat einen Grad, der kleiner gleich s-1 ist. 41:50.020 --> 41:53.960 Hätte er einen Grad, der noch größer ist, größer gleich s, dann könnte 41:53.960 --> 41:55.960 ich es ja nochmal teilen durch m. 41:56.300 --> 41:57.780 Dann könnte ich ein m nochmal rausziehen. 41:58.700 --> 42:02.300 Sie ziehen so oft das m raus aus dem f, bis ein Rest übrig bleibt, der 42:02.300 --> 42:04.080 einen Grad hat, der kleiner gleich s-1 ist. 42:04.220 --> 42:06.680 Sie können das also auch durch Polynom-Division begründen. 42:08.380 --> 42:09.300 Diese Darstellung. 42:09.660 --> 42:16.120 Oder letzte Möglichkeit, Sie stellen sich das f irgendwie als in Monom 42:16.120 --> 42:17.020 -Darstellung vor. 42:17.840 --> 42:19.820 Das m in Monom-Darstellung. 42:19.940 --> 42:23.120 Dann haben Sie gewisse Freiheitsgrade in g. Sie setzen einfach ein 42:23.120 --> 42:27.600 Polynom für g an, vom Grad kleiner gleich m-1. 42:27.720 --> 42:28.340 Und auch für das r. 42:28.420 --> 42:31.400 Und dann multiplizieren Sie aus, machen einen Koffizettenvergleich und 42:31.400 --> 42:32.100 kriegen das auch hin. 42:32.540 --> 42:36.080 Das sind jetzt drei verschiedene Argumente, weshalb so eine 42:36.080 --> 42:38.100 Darstellung sinnvoll ist und immer existiert. 42:40.280 --> 42:42.080 Was machen wir jetzt mit der Darstellung? 42:43.700 --> 42:44.880 Ich schreibe das schon mal hier unten hin. 42:45.920 --> 42:49.760 Die Idee ist ja doch, dass wir wieder das Integral von 0 bis 1 bilden 42:49.760 --> 42:51.880 wollen über f von x dx. 42:52.240 --> 42:55.540 Und letztlich würden wir gerne, dass das gleich der Quadraturformel 42:55.540 --> 42:55.740 ist. 42:56.860 --> 42:58.360 Das wäre dann eine Bedingung. 42:59.200 --> 43:06.060 Was wir wollen nachher ist, dass das gleich der Quadraturformel ist, 43:06.380 --> 43:08.280 angewendet auf f. 43:09.440 --> 43:19.080 Das ist eine Bedingung, dass also auch Polynome von g kleiner gleich s 43:19.080 --> 43:21.400 plus m minus 1 exakt integriert werden. 43:22.880 --> 43:24.580 Wir fragen uns, wann ist das der Fall? 43:24.940 --> 43:26.980 Gut, dann gehen wir mal her und rechnen das aus. 43:26.980 --> 43:38.160 Wir können das f jetzt ersetzen durch m von x mal g von x dx plus, 43:38.180 --> 43:43.340 wegen der Linearität, r von x dx. 43:44.440 --> 43:46.280 Was wissen wir über die Quadraturformel? 43:46.340 --> 43:48.700 Schreiben wir das mal drunter, wenn wir die auf f anwenden. 43:49.240 --> 43:50.720 Naja, die war ja auch linear. 43:50.720 --> 43:57.140 Das ist also die Quadraturformel angewendet auf m mal g plus die 43:57.140 --> 44:00.680 Quadraturformel angewendet auf r. 44:02.420 --> 44:03.900 Weil das linear ist. 44:04.220 --> 44:06.240 Was ist jetzt mit dem Quadraturformel von r? 44:06.700 --> 44:09.960 r ist ein Polynom kleiner gleich s minus 1. 44:10.460 --> 44:12.560 Also das wird in jedem Fall exakt integriert. 44:12.680 --> 44:13.480 Das ist keine Frage. 44:13.480 --> 44:17.900 Das heißt, diese Dinge hier hinten, können Sie das nachvollziehen? 44:18.060 --> 44:20.260 Das bezieht sich nur auf die beiden letzten Summanden. 44:20.320 --> 44:21.020 Die sind identisch. 44:21.800 --> 44:25.240 Die Quadraturformel von r ist gleich dem Integral über r, weil r einen 44:25.240 --> 44:27.000 hinreichend kleinen Grad hat. 44:27.740 --> 44:29.120 Da funktioniert alles wunderbar. 44:30.160 --> 44:31.980 Wie ist das jetzt mit dem vorderen Teil? 44:32.180 --> 44:38.380 Die Quadraturformel von m mal g. Gucken wir uns das mal an. 44:38.440 --> 44:43.580 Auf dem Intervall 0,1 haben wir gleich die Summe von i gleich 1 bis s. 44:47.360 --> 44:48.400 bi mal... 44:48.400 --> 44:53.260 Weil wir auf dem Intervall 0,1 sind, werden jetzt die Knoten exakt die 44:53.260 --> 44:53.820 Stützstellen. 44:54.000 --> 44:58.460 Das heißt, wir werten diese Funktion an den Stützstellen aus. 44:58.540 --> 45:02.540 Das heißt, es ist m von ci mal g von ci. 45:02.700 --> 45:03.500 Was sagen Sie dazu? 45:03.500 --> 45:07.840 Naja, wir haben das m genau so gewählt, dass es an allen Stützstellen 45:07.840 --> 45:09.660 und Knoten hier identisch verschwindet. 45:09.740 --> 45:11.020 Das heißt, das ist definitiv 0. 45:14.800 --> 45:18.140 So, streichen wir ruhig durch hier drüben den Summanden. 45:19.320 --> 45:20.620 Der taucht nicht auf, der ist 0. 45:20.980 --> 45:24.440 Das heißt, die Quadraturformel auf f angewendet, liefert Ihnen exakt 45:24.440 --> 45:26.780 den Wert Quadraturformel auf r angewendet. 45:28.460 --> 45:31.260 Aber das Integral von f hat zwei Summanden. 45:32.740 --> 45:33.920 Was fordern wir also? 45:33.980 --> 45:36.580 Was ist jetzt diese Bedingung, dieses Ausrufezeichen hier vorne? 45:37.980 --> 45:39.620 Wann sind die Dinge wirklich gleich? 45:44.870 --> 45:48.670 Quadraturformel auf f ist gleich Quadraturformel auf r angewendet. 45:49.050 --> 45:51.670 Quadraturformel auf r angewendet ist gleich dem Integral über r. 45:52.910 --> 45:55.630 Und das Integral über f können wir schreiben als zwei Integrale. 45:56.210 --> 45:58.730 Integral über m mal g und Integral über r. 45:58.730 --> 46:02.970 Was stört, damit die Dinge gleich sind? 46:06.170 --> 46:09.790 Genau, das Integral von m mal g muss bitte schön 0 sein, sonst können 46:09.790 --> 46:10.690 die Dinge nicht gleich sein. 46:11.010 --> 46:11.570 Exakt. 46:12.430 --> 46:17.070 Und jetzt fordern wir also, dass dieses Polynom verschwindet für alle 46:17.070 --> 46:22.110 Polynome g vom Grad kleiner gleich m minus 1. 46:23.550 --> 46:26.890 Sehen Sie, das f ist ja ein beliebiges Polynom, was ich gewählt habe 46:26.890 --> 46:29.990 vom Grad kleiner gleich s plus m minus 1. 46:30.090 --> 46:30.850 Es war ein beliebiges. 46:31.090 --> 46:35.830 Wenn ich also f jetzt variiere, wird auch das g variieren in dieser 46:35.830 --> 46:36.450 Darstellung. 46:37.290 --> 46:41.010 Das heißt, ich darf das hier nicht speziell für ein festes g fordern, 46:41.110 --> 46:45.090 sondern ich muss es für alle Polynome g fordern, dass dieses Integral 46:45.090 --> 46:48.610 verschwindet, wo g ein Grad hat kleiner gleich m minus 1. 46:49.870 --> 46:54.130 Wenn das der Fall ist, dann sind die Dinge identisch und dann hat die 46:54.130 --> 47:00.410 Geschichte die Ordnung s plus m minus 1. 47:00.810 --> 47:06.030 Ne, s plus m, dann hat es die Ordnung s plus m. 47:06.430 --> 47:07.450 So, gucken wir es uns nochmal an. 47:07.510 --> 47:08.570 Ich habe es hier nochmal hingeschrieben. 47:09.910 --> 47:11.350 Das hier war die Quadraturformel. 47:12.210 --> 47:15.950 Das hier verschwindet. 47:16.410 --> 47:17.670 Die hinteren Dinge sind gleich. 47:17.670 --> 47:21.170 Also die entscheidende Geschichte ist, das hier bitte schön muss 47:21.170 --> 47:21.970 gleich 0 sein. 47:22.070 --> 47:22.930 Das ist unsere Bedingung. 47:23.770 --> 47:25.210 Das muss gleich 0 sein. 47:27.250 --> 47:30.650 Das heißt, wir erhalten Quadraturformeln höherer Ordnung 47:30.650 --> 47:36.810 folgendermaßen, wenn sie eine Quadraturformel haben der Ordnung p 47:36.810 --> 47:43.490 größer gleich s, dann ist die Ordnung genau dann s plus m, falls 47:43.490 --> 47:46.550 dieses Integral verschwindet für alle Polynome vom Grad kleiner gleich 47:46.550 --> 47:47.330 m minus 1. 47:48.750 --> 47:49.990 Das haben wir gerade hergeleitet. 47:51.110 --> 47:56.230 Wir haben sozusagen a die Ordnungsbedingungen bis zu s. 47:56.350 --> 47:57.870 Die kann man so 1 zu 1 hinschreiben. 47:58.450 --> 48:01.710 Und die weiteren Ordnungsbedingungen, die weiteren m 48:01.710 --> 48:04.470 Ordnungsbedingungen, haben wir jetzt sozusagen in Form dieses 48:04.470 --> 48:05.510 Integrals hingeschrieben. 48:07.750 --> 48:12.090 Das Integral muss bitte schön 0 sein über alle g. Wegen der Linearität 48:12.090 --> 48:14.730 des Integrals können Sie jetzt hier was einsetzen. 48:15.470 --> 48:19.210 Sie können jetzt für g erstmal konstant gleich 1 einsetzen, dann x, 48:19.590 --> 48:25.150 dann x² und können dann sozusagen wieder m viele Ordnungsbedingungen 48:25.150 --> 48:25.890 herleiten. 48:26.270 --> 48:27.990 Unter Umständen machen Sie das ein bisschen geschickter, dass Sie 48:27.990 --> 48:32.850 nicht die Monombasis nehmen, sondern eine andere Basis, um zu 48:32.850 --> 48:36.470 garantieren, dass alle Polynome vom Grad kleiner gleich m minus 1 hier 48:36.470 --> 48:38.370 ein verschwindendes Integral haben. 48:39.210 --> 48:39.730 Okay. 48:42.230 --> 48:44.610 Das heißt, die Bedingung ist folgende. 48:44.770 --> 48:51.250 Sie haben die c so zu wählen, dass diese Bedingungen hier, und sehen 48:51.250 --> 48:53.610 Sie, da kommen keine Gewichte vor in diesen Bedingungen. 48:53.690 --> 48:56.150 Das m ist nur definiert über die Knoten c. 48:56.990 --> 48:58.130 Kein b taucht auf. 48:58.690 --> 49:00.310 Es sind nur Bedingungen an die c. 49:01.690 --> 49:05.970 Wenn Sie die erfüllen können, dann ergeben sich die b automatisch und 49:05.970 --> 49:09.130 Sie haben eine Ordnung s plus m garantiert. 49:11.750 --> 49:15.270 Jetzt wird da unten behauptet, dass die maximale Ordnung 2s ist. 49:16.990 --> 49:20.310 Das lässt sich jetzt relativ leicht aus dem folgern, was oben steht. 49:21.730 --> 49:26.610 Oben sagen wir, die Ordnung ist s plus m, genau dann, wenn das und das 49:26.610 --> 49:26.930 gilt. 49:30.010 --> 49:33.950 Warum kann jetzt m nicht s plus 1 sein? 49:35.850 --> 49:40.190 Also warum können wir nicht eine Quadraturformel mit einer Ordnung 2s 49:40.190 --> 49:41.710 plus 1 bekommen? 49:42.510 --> 49:43.230 Warum nicht? 49:45.050 --> 49:46.530 Machen Sie mal hier in Gedanken. 49:46.910 --> 49:48.730 Ich schreibe hier extra Versuch. 49:50.230 --> 49:51.990 Der wird scheitern, natürlich. 49:52.250 --> 49:53.030 Ich erkläre Ihnen, warum. 49:53.710 --> 49:58.110 Versuch m gleich s plus 1. 49:59.770 --> 50:05.150 Also Ordnung p gleich 2s plus 1. 50:05.150 --> 50:07.130 Das wäre die Folgerung. 50:07.690 --> 50:08.390 Warum geht das nicht? 50:08.630 --> 50:09.770 Was würden wir dann fordern? 50:09.890 --> 50:14.210 Wir würden dann fordern, dass alle Polynome g vom Grad kleiner gleich 50:14.210 --> 50:18.590 s ein verschwindendes Integral haben. 50:18.950 --> 50:22.570 Hier stünde ja dann an der Stelle, m minus 1 ist ja dann s. 50:23.770 --> 50:24.830 In dem Versuch. 50:26.490 --> 50:31.290 Jetzt geben Sie mir mal ein Polynom vom Grad s an, wo dieses Integral 50:31.290 --> 50:32.250 sicher nicht verschwindet. 50:32.930 --> 50:33.990 Kennen Sie eins? 50:35.110 --> 50:40.350 Welches Polynom könnten Sie für g wählen, das ein Grad s hat, wo Sie 50:40.350 --> 50:43.790 sicher sagen können, naja, dieses Integral ist nicht 0? 50:46.490 --> 50:48.170 Sie wählen g gleich m. 50:51.350 --> 50:57.570 Wähle dann g von x gleich m von x. 50:57.610 --> 50:59.450 m von x ist ja ein Polynom vom Grad s. 51:00.970 --> 51:09.570 Jetzt müsste das Integral von 0 bis 1 über m von x zum Quadrat die x 0 51:09.570 --> 51:09.930 sein. 51:10.550 --> 51:11.310 Und das geht nicht. 51:13.750 --> 51:16.290 Welches Polynom kennen Sie, was stetig ist? 51:16.610 --> 51:17.650 Also Polynome sind immer stetig. 51:18.170 --> 51:21.750 Welches Polynom kennen Sie, dass wenn Sie es quadrieren und dann 51:21.750 --> 51:25.730 darüber integrieren, über ein nicht endartes Intervall, sodass das 51:25.730 --> 51:27.510 Ergebnis 0 sein muss? 51:28.850 --> 51:29.750 Welches Polynom, ja? 51:30.870 --> 51:32.810 0 ist ein Nullpolynom, nichts anderes gibt es. 51:32.910 --> 51:35.630 Bei jedem anderen Polynom haben Sie sofort eine Fläche und es kann 51:35.630 --> 51:37.530 sich ja nicht wegheben, die Fläche, weil Sie ja quadrieren. 51:38.230 --> 51:40.630 Das heißt, dieses Ding ist immer ungleich 0. 51:40.750 --> 51:41.750 Das hier ist ein Widerspruch. 51:43.090 --> 51:44.190 Ist immer ungleich 0. 51:51.910 --> 51:57.670 Das heißt, m kann nicht s plus 1 sein, weil dann finden Sie ein g, 51:57.790 --> 51:59.070 sodass es nicht erfüllt ist. 51:59.070 --> 52:05.490 Das heißt, m kann höchstens s sein, nach unserer Argumentation. 52:06.050 --> 52:08.630 Das heißt, die Ordnung kann höchstens 2s sein. 52:09.490 --> 52:11.690 Die maximale Ordnung, die Sie erreichen können, ist 2s. 52:12.650 --> 52:14.030 Frage ist, erreichen wir die? 52:14.630 --> 52:17.710 Gibt es tatsächlich Quadraturformeln der Ordnung 2s? 52:17.770 --> 52:18.530 Ja, die gibt es. 52:21.370 --> 52:23.950 Und das möchte ich gerne ohne Beweis Ihnen vorstellen, diese 52:23.950 --> 52:24.870 Quadraturformeln. 52:26.090 --> 52:29.710 Es existieren eindeutige Quadraturformeln der Ordnung 2s, und das sind 52:29.710 --> 52:31.690 die sogenannten Gauss-Quadraturformeln. 52:31.930 --> 52:37.630 Und die Knoten haben Sie so zu wählen, nämlich als 1 halb mal in 52:37.630 --> 52:40.710 Klammern 1 plus Gamma i, und die Gamma i sind die Nullstellen des 52:40.710 --> 52:41.590 Legendre -Polynoms. 52:42.010 --> 52:46.150 Das ergibt sich aus dieser Bedingung, die wir eben hergeleitet haben, 52:46.250 --> 52:48.130 mit ein bisschen Aufwand, den ich nicht betreiben möchte. 52:49.370 --> 52:52.610 Aber es gibt diese Quadraturformeln, die diese maximale Ordnung 52:52.610 --> 52:53.430 wirklich annehmen. 52:53.430 --> 52:56.810 Und das sind die Gauss-Quadraturformeln. 52:58.430 --> 52:59.430 Ich zeige Ihnen mal... 53:01.810 --> 53:03.150 Erst sage ich Ihnen noch ein paar Dinge. 53:03.270 --> 53:05.810 Die Gewichte der Gauss-Quadraturformel sind positiv. 53:09.250 --> 53:11.570 Das kriegen Sie raus, indem Sie die Gewichte... 53:14.870 --> 53:17.430 können Sie jetzt schreiben als... 53:18.230 --> 53:19.630 Das wissen wir ja sowieso hier. 53:19.630 --> 53:23.790 Wir wissen sowieso, dass das Gewicht Bi geschrieben werden kann, als 53:23.790 --> 53:25.630 Integral über die Lagrange-Polynome. 53:26.030 --> 53:29.970 Aber was Sie jetzt ohne weiteres machen können, ist das hier mal eben 53:29.970 --> 53:30.550 quadrieren. 53:32.310 --> 53:33.370 Dann gilt das immer noch. 53:33.530 --> 53:33.710 Warum? 53:35.590 --> 53:36.570 Warum gilt das immer noch? 53:36.650 --> 53:39.870 Weil 0 zum Quadrat 0 ist und 1 zum Quadrat immer noch 1. 53:39.990 --> 53:43.990 Das heißt, diese schöne Eigenschaft, dass die Dinge an einem einzigen 53:43.990 --> 53:46.870 Stelle den Wert 1 annehmen und sonst überall 0, die bleibt erhalten, 53:46.970 --> 53:47.630 wenn Sie quadrieren. 53:47.630 --> 53:53.410 Und, dass ein Polynom von Grad s-1, wenn Sie das quadrieren, hat es 53:53.410 --> 53:54.050 welchen Grad? 53:55.690 --> 54:03.470 Ein Polynom von Grad s-1 hat, wenn Sie es quadrieren, einen Grad 2s-2. 54:04.950 --> 54:09.290 Und da die Gauss-Quadraturformeln aber die Ordnung 2s haben, werden 54:09.290 --> 54:11.430 Polynome von diesem Grad noch exakt integriert. 54:11.650 --> 54:14.810 Und Sie können also die gleiche Analyse hinschreiben, wie wir sie eben 54:14.810 --> 54:15.670 auch hingeschrieben haben. 54:15.670 --> 54:19.550 Aber damit ergibt sich automatisch, dass die Dinge größer sind als 0. 54:23.640 --> 54:26.700 Und jetzt wird noch behauptet, dass die Knoten und die Gewichte und 54:26.700 --> 54:29.340 somit auch die Gewichte, das ergibt sich ja automatisch, der Gauss 54:29.340 --> 54:30.240 -Quadratur symmetrisch sind. 54:30.340 --> 54:33.280 Das heißt, die Gauss-Quadratur ist die Quadraturformel mit höchster 54:33.280 --> 54:38.040 Ordnung und hat auch die Eigenschaft, dass sie symmetrisch ist. 54:38.600 --> 54:40.900 Ich gebe Ihnen mal die Beispiele für s-1. 54:42.380 --> 54:47.840 Für s-1 ist die Nullstelle des Legendre-Polynoms lediglich 0, weil das 54:47.840 --> 54:50.820 Legendre -Polynom von Grad 1 nichts anderes ist als die Identität. 54:51.460 --> 54:52.800 Das können Sie nachlesen. 54:52.880 --> 54:58.280 Das heißt, wir kriegen automatisch c1 gleich 1,5, b1 gleich 1 und es 54:58.280 --> 55:00.060 stellt sich heraus, aha, das ist die Mittelpunktregel. 55:00.400 --> 55:05.020 Die Mittelpunktregel ist also eine Gauss-Quadratur mit der Ordnung 2s 55:05.020 --> 55:06.940 für s gleich 1. 55:09.260 --> 55:11.320 Und dann haben wir hier noch für s gleich 2, habe ich in meinem 55:11.320 --> 55:16.320 Beispiel hingeschrieben, da ist das Legendre-Polynom 3,5x-1,5. 55:16.320 --> 55:19.480 Dann kriegen Sie da zwei Nullstellen und daraus können Sie dann mit 55:19.480 --> 55:23.000 der Formel die Knoten ausrechnen und die Gewichte sind ja dann 55:23.000 --> 55:24.000 automatisch bestimmt. 55:25.460 --> 55:26.980 Das ist jetzt schon eine mit der Ordnung 4. 55:28.620 --> 55:33.120 Das lesen wir in den Tabellen nach, diese ganzen Koeffizienten. 55:34.620 --> 55:37.720 Letztlich die Gewichte, aber weil Sie keine Lust haben, die Knoten 55:37.720 --> 55:39.900 meine ich, aber weil Sie keine Lust haben, die Gewichte durch ein 55:39.900 --> 55:41.780 lineares Gleichungssystem zu lösen, kann ich verstehen. 55:41.780 --> 55:43.420 Die stehen natürlich dann auch in der Tabelle. 55:43.900 --> 55:46.100 Die Gewichte können Sie dann auch mit abschreiben. 55:48.340 --> 55:52.460 Haben Sie noch Fragen zu der Idee, wie man Quadraturformeln höherer 55:52.460 --> 55:53.340 Ordnung herleitet? 55:55.340 --> 55:58.500 Die Hauptidee war der Ansatz über dieses m-Polynom. 56:00.280 --> 56:03.440 Dann setzen wir wieder die Geschichte gleich, Quadraturformel 56:03.440 --> 56:10.740 angewendet auf einem Polynom vom Grad s plus m minus 1 und Integral. 56:10.800 --> 56:13.680 Wir setzen sie gleich und daraus ergibt sich eine Bedingung. 56:14.740 --> 56:17.180 Und das war genau das Verschwinden dieser Integrale. 56:21.820 --> 56:24.520 Und das kann man dann nutzen, um Quadraturformeln höherer Ordnung 56:24.520 --> 56:28.900 herzuleiten, wie zum Beispiel mit dieser Formel, mit dieser 56:28.900 --> 56:30.820 Ordnungsbedingung, die wir da hergeleitet haben, kann man dann 56:30.820 --> 56:35.320 beweisen, dass die Gauss Quadraturformeln die Ordnung 2s haben. 56:35.720 --> 56:36.800 Und mehr geht ja sowieso nicht. 56:38.360 --> 56:40.820 Gut, haben Sie noch Fragen an der Stelle? 56:43.460 --> 56:43.880 Ja. 56:48.090 --> 56:50.790 Wie allgemein die Legendre-Polynome definiert sind, kann ich nicht aus 56:50.790 --> 56:51.370 dem Ärmel schütteln. 56:52.150 --> 56:52.650 Weiß ich nicht. 56:53.110 --> 56:54.230 Müssen wir nachgucken. 56:54.890 --> 57:01.710 Das sind gewisse Orthogonalitätsbedingungen bezüglich gewisser 57:01.710 --> 57:04.490 Gewichtsfunktionen, die ich jetzt auch nicht auswendig im Kopf habe. 57:04.590 --> 57:05.490 Müsste ich nochmal nachlesen. 57:07.990 --> 57:08.630 Genau. 57:09.950 --> 57:12.430 Wir haben ja schon einige Polynome kennengelernt, wie Newton 57:12.430 --> 57:19.270 -Polynomen, Bernstein-Polynomen, Lagrange-Polynomen und ich habe jetzt 57:19.270 --> 57:23.090 nicht vorgehabt, Ihnen auch noch die Legendre-Polynome um die Ohren zu 57:23.090 --> 57:23.330 hauen. 57:25.950 --> 57:30.070 Letztlich dienen sie an der Stelle nur dazu, um die Gauss Quadratur 57:30.070 --> 57:33.590 -Koeffizienten, die Sie sowieso nicht per Hand ausrechnen, sondern 57:33.590 --> 57:34.530 irgendwo nachlesen. 57:35.730 --> 57:38.270 Und spielen in der Theorie bei uns dann keine weitere Rolle mehr. 57:39.810 --> 57:40.110 Gut. 57:42.310 --> 57:44.790 Das Letzte, was wir heute noch vorhaben in der letzten halben Stunde, 57:44.910 --> 57:48.150 ist auch leider noch ein bisschen herausfordernd für eine halbe 57:48.150 --> 57:51.030 Stunde, aber wir gucken mal, was wir verstehen können. 57:52.450 --> 57:55.870 Das ist der Fehler, den wir bei der ganzen Geschichte machen. 57:56.110 --> 57:58.570 Okay, wir machen keinen Fehler, wenn wir Polynome in unsere 57:58.570 --> 57:59.770 Quadraturformel einsetzen. 58:00.250 --> 58:04.070 Und zwar Polynome bis zum Grad p-1, wenn ich die Ordnung p habe. 58:04.070 --> 58:06.430 Machen wir keinen Fehler, weil dann wird exakt integriert. 58:06.890 --> 58:11.790 Okay, das ist jetzt nicht so besonders, weil Polynome zu integrieren, 58:11.850 --> 58:13.090 das ist sowieso kein Problem. 58:13.230 --> 58:14.570 Da bräuchten wir eigentlich noch nicht mal unbedingt die 58:14.570 --> 58:15.570 Quadraturformel dafür. 58:16.770 --> 58:19.810 Sie können ja Monome leicht integrieren, das ist ja kein Problem. 58:20.190 --> 58:24.190 Also das hilft uns jetzt nicht wirklich so entscheidend weiter, dass 58:24.190 --> 58:26.650 wir Polynome bis zum Grad p-1 exakt integrieren können. 58:26.730 --> 58:28.510 Das ist kein so ein Riesengewinn, sage ich mal. 58:29.530 --> 58:32.490 Die Frage, die sich doch stellt, ist, wenn wir jetzt beliebige 58:32.490 --> 58:36.710 Funktionen f hernehmen, links steht das Integral, was wir eigentlich 58:36.710 --> 58:40.250 berechnen wollen, das ist das hier, und rechts steht die 58:40.250 --> 58:41.150 Quadraturformel. 58:41.530 --> 58:46.750 Hier könnten wir schön schreiben, Integral von f minus Quadraturformel 58:46.750 --> 58:47.230 von f. 58:48.590 --> 58:50.770 Und die Frage, die sich stellt, wie groß ist das? 58:52.110 --> 58:55.950 Welchen Fehler machen wir überhaupt, wenn f jetzt eben nicht ein 58:55.950 --> 58:56.830 einfaches Polynom ist? 58:57.710 --> 59:02.830 Wenn f eine beliebige Funktion ist, wird sich herausstellen, wir 59:02.830 --> 59:07.490 müssen eine gewisse Voraussetzung stellen an die Glattheit von f. 59:07.690 --> 59:08.430 Was meine ich damit? 59:09.130 --> 59:13.710 Wir müssen voraussetzen, dass wir f hinreichend oft stetig 59:13.710 --> 59:14.590 differenzieren können. 59:15.110 --> 59:18.610 Das werden wir gleich sehen, wo das eingeht, weil letztlich ist die 59:18.610 --> 59:22.610 Idee, dass wir das f-Taylor entwickeln in ein Taylor-Polynom, das 59:22.610 --> 59:26.770 haben Sie ja schon gemacht in der Analyse, wir würden das entwickeln 59:26.770 --> 59:31.130 in einem Taylor-Polynom, warum überhaupt Taylor-Polynome, weil die 59:31.130 --> 59:34.990 nämlich schon exakt integriert werden, plus ein Restglied. 59:36.190 --> 59:39.690 Das Restglied wird dann tatsächlich genau den Fehler ausmachen und das 59:39.690 --> 59:43.010 Taylor -Polynom, was vorne drin steht, wird sich in dieser Differenz 59:43.010 --> 59:47.030 wegheben, weil dieses Taylor-Polynom wird dann einen Grad haben, der 59:47.030 --> 59:50.870 entsprechend klein ist, sodass die Quadraturformel, wenn sie eine 59:50.870 --> 59:55.330 gewisse Ordnung hat, hier in der Differenz sich die Geschichte links 59:55.330 --> 59:58.650 und rechts raushebt, weil es sowohl in i drin steckt, als auch in qf 59:58.650 --> 01:00:00.170 drin steckt, in gleicher Art und Weise. 01:00:00.810 --> 01:00:04.010 Also die Hauptidee, um den Fehler zu berechnen, ist Taylor 01:00:04.010 --> 01:00:05.070 -Entwicklung. 01:00:05.770 --> 01:00:09.510 Und das aus gutem Grund, weil die Taylor-Polynome dann hier 01:00:09.510 --> 01:00:10.690 rausfliegen aus der Darstellung. 01:00:12.670 --> 01:00:17.970 Das Erste, was wir machen, ist, wir wollen uns dieses Intervall a, b 01:00:17.970 --> 01:00:18.990 wieder vom Hals schaffen. 01:00:21.490 --> 01:00:25.750 Wir normieren den Quadraturfehler in dem Sinne, dass wir es auf das 01:00:25.750 --> 01:00:27.830 Intervall 0,1 transformieren. 01:00:28.230 --> 01:00:31.570 Da müssen wir uns wieder auskennen mit Substitutionsregeln. 01:00:33.310 --> 01:00:35.470 Aber das können Sie ja, das ist ja auch keine so schwere 01:00:35.470 --> 01:00:36.690 Transformation. 01:00:37.410 --> 01:00:39.950 Wir gehen also auf das Intervall 0 bis 1. 01:00:42.510 --> 01:00:45.810 Dann kriegen wir eine innere Ableitung davor, das ist b-a. 01:00:46.870 --> 01:00:49.590 Aha, diesen Faktor haben wir hier auch schon stehen, in der 01:00:49.590 --> 01:00:50.530 Quadraturformel. 01:00:52.450 --> 01:00:57.010 Und durch die Substitution kriegen Sie dann hier a plus t mal b minus 01:00:57.010 --> 01:00:57.310 a. 01:00:59.150 --> 01:01:03.750 Das heißt, wir können das b minus a rausnehmen und diese neue Funktion 01:01:03.750 --> 01:01:07.050 f von a plus t mal b minus a nennen wir g von t. 01:01:08.070 --> 01:01:08.830 Das ist ein neuer Name. 01:01:09.810 --> 01:01:14.030 Also, einfache Substitution und neuer Name führt auf diese 01:01:14.030 --> 01:01:14.530 Darstellung. 01:01:14.870 --> 01:01:19.950 Wir können den Fehler e, f, arrow, f, schreiben als Länge des 01:01:19.950 --> 01:01:23.450 Intervalls mal einen Fehler, den wir machen. 01:01:23.530 --> 01:01:27.830 Da steht ja wieder das Integral minus Quadraturformel, aber diesmal 01:01:27.830 --> 01:01:29.630 bezüglich des Intervalls 0,1. 01:01:30.450 --> 01:01:31.430 Und da fällt ein Haufen weg. 01:01:31.970 --> 01:01:34.490 Das ist irgendwie schöner zu rechnen. 01:01:34.490 --> 01:01:36.210 Das ist eine Art Normierung. 01:01:36.410 --> 01:01:38.350 Und was ist noch nicht ganz unentscheidend? 01:01:38.370 --> 01:01:40.530 Das hatten wir auch schon mal im Rahmen der Interpolation. 01:01:42.070 --> 01:01:46.770 Wenn f ein Polynom ist eines gewissen Grades und ich eine solche 01:01:46.770 --> 01:01:49.750 Substitution durchführe, was ist denn die Substitution? 01:01:49.890 --> 01:01:51.070 Was wird denn hier substituiert? 01:01:51.590 --> 01:01:56.150 Da wird x ersetzt durch a plus t mal b minus a. 01:01:56.870 --> 01:02:01.370 Und wenn jetzt f ein Polynom ist von irgendeinem Grad, in x, und Sie 01:02:01.370 --> 01:02:06.510 setzen da dieses lineare Polynom a plus t mal b minus a ein, was 01:02:06.510 --> 01:02:07.690 erhalten Sie dann in t? 01:02:09.730 --> 01:02:10.590 Das ist schwer. 01:02:10.590 --> 01:02:16.070 Also wenn das f, wir nehmen mal für einen kurzen Moment an, f von x 01:02:16.070 --> 01:02:25.750 ist Polynom vom Grad n. 01:02:27.610 --> 01:02:29.850 Also n, das soll nichts mit p zu tun haben. 01:02:29.950 --> 01:02:31.910 Das ist einfach irgendein Grad. 01:02:31.910 --> 01:02:39.130 Und jetzt bilden Sie f von a plus t mal b minus a. 01:02:39.230 --> 01:02:42.090 Das ist jetzt offensichtlich eine Funktion in t. 01:02:42.650 --> 01:02:45.190 Das wollen wir ja dann g von t nennen. 01:02:47.010 --> 01:02:47.810 Was ist das dann? 01:02:50.270 --> 01:02:55.590 Wenn Sie dieses lineare Polynom in f einsetzen, was erhalten Sie? 01:02:55.650 --> 01:02:58.630 Wenn f selber ein Polynom vom Grad n ist. 01:03:06.620 --> 01:03:09.020 Erstmal ist es ein Polynom und das hat auch Grad n. 01:03:16.580 --> 01:03:19.300 Das ist nicht ganz unwichtig. 01:03:20.080 --> 01:03:22.500 Das hatten wir ja auch schon mal im Rahmen der numerischen 01:03:22.500 --> 01:03:25.860 Integration, als wir die Ordnungsbedingungen von a, b auf 0,1 01:03:25.860 --> 01:03:26.540 transformiert haben. 01:03:26.600 --> 01:03:27.620 Das ist exakt hier das gleiche. 01:03:27.640 --> 01:03:28.520 Das ist eine wichtige Eigenschaft. 01:03:28.900 --> 01:03:30.380 Die sollten wir nicht ganz auf den Blick verlieren. 01:03:31.600 --> 01:03:34.980 Das heißt, wenn wir den Fehler jetzt auf einem beliebigen Intervall 01:03:34.980 --> 01:03:37.700 verstehen wollen, können wir genauso gut den Fehler nur auf dem 01:03:37.700 --> 01:03:41.220 Intervall 0,1 verstehen und nachher mit b minus a durchmodifizieren. 01:03:47.680 --> 01:03:52.280 Dieses Rg, das ist jetzt das Restfunktional, das ist letztlich der 01:03:52.280 --> 01:03:55.920 Quadraturfehler auf dem normierten Intervall 0,1. 01:03:56.040 --> 01:03:56.480 Nichts anderes. 01:03:56.600 --> 01:03:58.400 Das ist nur eine Definition. 01:03:58.980 --> 01:04:02.000 Aber was nicht ganz unwichtig ist, wir wissen, das Integral ist 01:04:02.000 --> 01:04:06.920 linear, die Quadraturformel ist linear und dieses Restfunktional R ist 01:04:06.920 --> 01:04:12.300 ja nur eine Summe oder Differenz von zwei linearen Abbildungen, also 01:04:12.300 --> 01:04:13.600 muss es selber auch linear sein. 01:04:13.680 --> 01:04:14.700 Das habe ich ja nochmal hingeschrieben. 01:04:15.640 --> 01:04:19.200 Also R angewendet auf eine Linearkombination ist gleich die 01:04:19.200 --> 01:04:21.180 Linearkombination der R-Anwendungen. 01:04:21.620 --> 01:04:22.980 Das ist Linearität. 01:04:27.100 --> 01:04:28.440 Das brauchen wir. 01:04:29.040 --> 01:04:29.700 Warum brauchen wir das? 01:04:29.700 --> 01:04:32.220 Ich hatte Ihnen schon gesagt, die Hauptidee wird daran bestehen, das F 01:04:32.220 --> 01:04:32.620 bzw. 01:04:32.920 --> 01:04:35.080 jetzt das G in eine Taylor-Entwicklung zu schreiben. 01:04:35.800 --> 01:04:39.060 Taylor-Entwicklung als Taylor-Polynom plus Restglied. 01:04:39.460 --> 01:04:42.180 Und natürlich brauchen wir die Linearität dann, um die Dinge zu 01:04:42.180 --> 01:04:46.540 zerteilen in den Teil mit den Restgliedern und den Teil mit den 01:04:46.540 --> 01:04:46.960 Polynomen. 01:04:47.940 --> 01:04:49.080 Deswegen brauchen wir die Linearität. 01:04:50.460 --> 01:04:50.980 Gut. 01:04:57.860 --> 01:04:58.380 So, 01:05:05.610 --> 01:05:10.210 jetzt steht da, der Quartaturfehler lässt sich nur für glatte G 01:05:10.210 --> 01:05:10.690 bestimmen. 01:05:11.570 --> 01:05:14.050 Das haben wir schon oft gesehen in unserer Vorlesung, dass wenn wir 01:05:14.050 --> 01:05:16.850 irgendeinen Fehler herleiten, denken Sie zum Beispiel auch an den 01:05:16.850 --> 01:05:24.970 Interpolationsfehler, dann geht das nicht anders, als das Ganze... 01:05:25.570 --> 01:05:29.110 Also auch da kam dann die P plus erste Ableitung vor, wenn Sie sich 01:05:29.110 --> 01:05:29.550 erinnern. 01:05:29.950 --> 01:05:33.030 Also das passiert ziemlich oft in Fehlerdarstellungen, dass wir 01:05:33.030 --> 01:05:34.310 differenzieren müssen. 01:05:34.750 --> 01:05:37.030 Das heißt, unsere Instanz muss hinreichend glatt sein, sonst 01:05:37.030 --> 01:05:38.110 funktioniert es überhaupt nicht. 01:05:38.730 --> 01:05:41.270 Und hier geht es eben auch, weil wir jetzt diese Taylor-Entwicklung 01:05:41.270 --> 01:05:41.830 machen wollen. 01:05:41.830 --> 01:05:46.950 Dann machen wir das mal und schreiben das G von X... 01:05:50.410 --> 01:05:53.390 Achso, machen wir das hier auf der Folie oder machen wir das lieber... 01:05:54.130 --> 01:05:56.270 Lassen Sie mich die Rechnung lieber in der anderen Software 01:05:56.270 --> 01:05:57.750 aufschreiben, die gefällt mir einfach besser. 01:05:59.730 --> 01:06:01.290 Das andere stürzt mir zu oft ab. 01:06:01.990 --> 01:06:03.030 So, machen wir die Rechnung hier. 01:06:04.250 --> 01:06:12.450 Wir wollen das G von X durch Taylor-Entwicklung folgendermaßen 01:06:12.450 --> 01:06:13.070 ausdrücken. 01:06:13.730 --> 01:06:19.950 Es ist G ausgewertet in der Stelle 0 plus G' ausgewertet in der Stelle 01:06:19.950 --> 01:06:23.570 0 mal X minus 0. 01:06:23.610 --> 01:06:25.090 X minus 0 geht einfach nur X. 01:06:25.830 --> 01:06:27.310 Mal X, wenn Sie sich erinnern. 01:06:27.630 --> 01:06:28.930 Plus und so weiter und so fort. 01:06:29.010 --> 01:06:31.230 Das ist eine ganz normale Taylor-Entwicklung. 01:06:31.350 --> 01:06:33.070 Dann haben wir hier... 01:06:40.780 --> 01:06:41.220 Moment... 01:06:41.220 --> 01:06:43.540 Dann haben wir hier stehen... 01:06:44.060 --> 01:06:46.900 Ich gehe mal bis Q minus 1. 01:06:48.040 --> 01:06:51.520 Das ist die Q minus erste Ableitung von G an der Stelle 0. 01:06:51.660 --> 01:06:53.140 Was macht man bei einer Taylor-Entwicklung noch? 01:06:53.180 --> 01:06:55.760 Dann hat man X hoch Q minus 1. 01:06:55.920 --> 01:06:59.780 Und falls Sie sich erinnern, wir müssen noch durch Q minus 1 Fakultät 01:06:59.780 --> 01:07:00.360 teilen. 01:07:01.900 --> 01:07:03.800 Und jetzt kommt das Restglied. 01:07:03.880 --> 01:07:06.060 Und das Restglied schreibe ich in der Form hin, das könnte Ihnen 01:07:06.060 --> 01:07:07.020 vielleicht neu sein. 01:07:07.020 --> 01:07:10.360 Das ist eine Integraldarstellung des Restglieds. 01:07:10.420 --> 01:07:12.420 Ups, das ist nicht G, das ist ein Q. 01:07:14.340 --> 01:07:16.940 Q minus 1 Fakultät. 01:07:17.420 --> 01:07:21.060 Das Integral von 0 bis 1 über... 01:07:21.060 --> 01:07:26.960 Und jetzt sehen Sie schon, das ist jetzt die Q-Ableitung von G an T 01:07:26.960 --> 01:07:33.280 mal X minus T hoch Q minus 1 dt. 01:07:33.280 --> 01:07:36.540 Also wenn Sie das jetzt nicht wissen, ist das kein Problem. 01:07:37.920 --> 01:07:41.520 Das hier ist einfach eine Restglieddarstellung, wie wir das Ganze 01:07:41.520 --> 01:07:42.140 schreiben können. 01:07:42.200 --> 01:07:44.660 Sie haben vielleicht in der Analyse die Lagrange-Darstellung des 01:07:44.660 --> 01:07:45.700 Restgliedes kennengelernt. 01:07:45.780 --> 01:07:46.320 Das ist eine andere. 01:07:46.980 --> 01:07:49.100 Da habe ich auch den Namen vergessen, wie die heißt. 01:07:49.260 --> 01:07:49.820 Ist egal. 01:07:50.920 --> 01:07:53.960 Es gibt auch andere Darstellungen als die Lagrange-Darstellung für das 01:07:53.960 --> 01:07:55.180 Restglied in der Taylor-Entwicklung. 01:07:55.740 --> 01:07:58.260 Eine mögliche ist diese Integraldarstellung. 01:07:58.260 --> 01:08:02.060 Geben wir dem einen Namen und nennen das das Restglied. 01:08:06.660 --> 01:08:09.640 Ich habe im Skript den Namen jetzt Q minus 1 gegeben. 01:08:09.800 --> 01:08:11.260 Vielleicht liegt das an dem Exponenten da. 01:08:11.320 --> 01:08:11.980 Weiß ich nicht genau. 01:08:12.560 --> 01:08:13.120 Von X. 01:08:14.060 --> 01:08:15.920 Das ist ja eine Funktion von X. 01:08:16.260 --> 01:08:22.400 Das Integral wird integriert über T, aber für ein festes X. 01:08:22.740 --> 01:08:26.820 Für jedes X wird der Integrand ausgewertet und dann über T integriert. 01:08:26.820 --> 01:08:29.720 Das heißt, das Ganze ist jetzt eine Funktion von X. 01:08:30.360 --> 01:08:34.460 Und das hier vorne, das ist das Taylor-Polynom. 01:08:35.780 --> 01:08:37.340 Nehmen wir das einfach U von X. 01:08:43.210 --> 01:08:53.890 Das machen wir für Q kleiner gleich P. P ist die Ordnung. 01:08:56.150 --> 01:08:57.810 Das gucken wir uns gleich nochmal genauer an. 01:09:01.480 --> 01:09:04.020 Was machen wir jetzt mit dem Restglied? 01:09:05.800 --> 01:09:06.640 Das Restglied... 01:09:06.640 --> 01:09:07.920 Oh, kleinen Moment. 01:09:08.380 --> 01:09:10.040 Das Restglied habe ich falsch hingeschrieben. 01:09:11.800 --> 01:09:15.120 Entschuldigung, hier müssen wir schreiben, das geht von 0 bis X. 01:09:16.620 --> 01:09:19.100 Das ging nicht bis 1, das geht nur von 0 bis X. 01:09:21.940 --> 01:09:24.540 Was ich aber jetzt machen möchte im nächsten Schritt, ist das Ganze 01:09:24.540 --> 01:09:26.840 tatsächlich bis 1 laufen zu lassen. 01:09:26.840 --> 01:09:34.960 Also wir wollen dieses Restglied schreiben als 1 durch Q minus 1 01:09:34.960 --> 01:09:35.920 Fakultät. 01:09:36.700 --> 01:09:40.740 Dann wollen wir nicht nur von 0 bis X laufen lassen, sondern 01:09:40.740 --> 01:09:41.960 tatsächlich bis 1. 01:09:42.400 --> 01:09:45.040 Und die Erlaubnis hole ich mir gleich durch eine Manipulation des 01:09:45.040 --> 01:09:45.640 Integranten. 01:09:46.540 --> 01:09:47.540 Gucken wir uns das mal an. 01:09:47.840 --> 01:09:53.820 Der Integrand ist GQ mal abgeleitet von T. 01:09:54.600 --> 01:10:02.260 Jetzt steht hier so ein X minus T hoch Q minus 1 DT. 01:10:03.000 --> 01:10:09.680 Und sehen Sie, das ist ein Polynom in X minus T und T variiert ja 01:10:09.680 --> 01:10:13.740 jetzt in dem Integral und zwar zunächst von 0 bis X. 01:10:14.720 --> 01:10:18.180 Da steht X minus T und T läuft von 0 bis X. 01:10:19.220 --> 01:10:24.340 Wenn Sie X einsetzen, dann haben Sie in dieser Klammer X minus X 01:10:24.340 --> 01:10:25.320 stehen und sind bei 0. 01:10:25.840 --> 01:10:27.440 Dann haben Sie den Funktionswert 0. 01:10:27.560 --> 01:10:30.780 0 hoch Q minus 1, wenn Q größer gleich 2 ist. 01:10:31.400 --> 01:10:32.720 0 hoch 0 wollen wir da ausschließen. 01:10:33.700 --> 01:10:36.420 Also Q wird nachher größer gleich 2 sein für die ganze Geschichte. 01:10:37.980 --> 01:10:42.660 Das ist also ein Polynom, was an der Stelle T gleich X den Wert 0 01:10:42.660 --> 01:10:43.200 annimmt. 01:10:43.840 --> 01:10:47.860 Warum nicht an der Stelle das Polynom, das kommt irgendwie an und 01:10:47.860 --> 01:10:49.860 trifft auf die X-Achse. 01:10:49.880 --> 01:10:54.840 Was wir jetzt machen ist, ab diesem Punkt X es einfach konstant gleich 01:10:54.840 --> 01:10:55.350 0 vorzusetzen. 01:11:02.530 --> 01:11:10.690 Hier tragen wir T auf und hier ist das X. 01:11:11.890 --> 01:11:13.350 Das ist irgendein Polynom. 01:11:13.530 --> 01:11:16.730 Diese Geschichte X minus T hoch Q minus 1 ist ein Polynom. 01:11:18.690 --> 01:11:29.070 Wenn Sie etwas für T kleiner einsetzen und X ist positiv, dann kommt 01:11:29.070 --> 01:11:30.690 das hier an. 01:11:32.450 --> 01:11:36.470 Jetzt ist das für T gleich X hat es den Wert 0 und jetzt setzen wir es 01:11:36.470 --> 01:11:38.310 an der Stelle einfach mit 0 fort. 01:11:39.510 --> 01:11:40.490 Konstant gleich 0. 01:11:41.410 --> 01:11:44.690 Wenn das konstant gleich 0 ist, dann ist der Integrant konstant gleich 01:11:44.690 --> 01:11:44.910 0. 01:11:45.010 --> 01:11:47.830 Dann kann ich gerne einfach weiter integrieren, weil keine Fläche dazu 01:11:47.830 --> 01:11:48.130 kommt. 01:11:48.690 --> 01:11:49.310 Das ist die Idee. 01:11:49.730 --> 01:11:52.130 Und wie wollen wir dieses mit 0 fortsetzen? 01:11:52.270 --> 01:11:54.730 Kennzeichen im Integranten, wir machen hier so ein Plus dran. 01:11:56.470 --> 01:11:57.530 Also lange Rede kurzer Sinn. 01:11:57.730 --> 01:11:59.830 Vorher habe ich von 0 bis X integriert. 01:12:00.550 --> 01:12:04.650 Ich möchte gleich das Integral weiter manipulieren, dafür wäre es 01:12:04.650 --> 01:12:05.090 günstig. 01:12:05.110 --> 01:12:06.910 Ich könnte von 0 bis 1 integrieren. 01:12:06.910 --> 01:12:09.090 Dann integriere ich ja zu weit. 01:12:09.550 --> 01:12:12.250 Dieser Teil von X bis 1 kommt dazu. 01:12:12.990 --> 01:12:19.110 Idee ist, ich kann auf stetige Art und Weise den Integranten so 01:12:19.110 --> 01:12:21.770 manipulieren, dass die Integrale gleich sind, weil ich den Integranten 01:12:21.770 --> 01:12:24.170 einfach mit konstant gleich 0 belege. 01:12:25.430 --> 01:12:28.130 Ab dem Wert T gleich X und dann mache ich nichts falsch. 01:12:29.590 --> 01:12:31.570 Das ist vielleicht nur eine Schreibweise. 01:12:35.210 --> 01:12:36.630 Was machen wir als nächstes? 01:12:36.630 --> 01:12:38.050 Jetzt schauen wir mal her. 01:12:38.130 --> 01:12:43.170 Wenn wir dieses Restfunktional jetzt auf G anwenden, dann ist die 01:12:43.170 --> 01:12:44.670 erste Beobachtung folgende. 01:12:56.450 --> 01:13:01.050 Sie fragen nochmal, warum X zwischen 0 und 1 liegt, weil darauf 01:13:01.050 --> 01:13:02.350 basierte meine Argumentation. 01:13:03.050 --> 01:13:06.830 Weil wir im Schritt vorher das Intervall a, b schon transformiert 01:13:06.830 --> 01:13:08.630 haben auf das Intervall 0,1. 01:13:09.230 --> 01:13:10.570 Also gucken Sie hier. 01:13:14.530 --> 01:13:22.310 Sehen Sie, dieses ganze Integral hier, das spielt sich ja alles 01:13:22.310 --> 01:13:23.410 zwischen 0 und 1 ab. 01:13:23.950 --> 01:13:28.490 Und das G, der Integrant G, der hier unten steht, der interessiert uns 01:13:28.490 --> 01:13:29.950 auch nur zwischen 0 und 1. 01:13:30.770 --> 01:13:37.870 Das heißt, wenn wir jetzt hier dieses Taylor-Polynom oben machen, dann 01:13:37.870 --> 01:13:44.890 interessieren uns nur X-Werte zwischen 0 und 1, weil uns das G nur 01:13:44.890 --> 01:13:47.230 zwischen 0 und 1 interessiert, weil wir nur zwischen 0 und 1 01:13:47.230 --> 01:13:47.750 integrieren. 01:13:50.770 --> 01:13:56.210 So, jetzt war die Idee, also das R von G können wir dann bilden als R 01:13:56.210 --> 01:13:58.750 von U plus Rest. 01:14:00.750 --> 01:14:02.430 Da schreibe ich immer noch Q-1. 01:14:02.530 --> 01:14:04.030 Mal sehen, wann ich das ändere. 01:14:04.890 --> 01:14:09.750 So, dann können wir das schreiben als R von U wegen der Linearität 01:14:09.750 --> 01:14:13.990 plus R von Rest von Q-1. 01:14:14.490 --> 01:14:18.450 Und wie ich eben schon sagte, das U ist ja ein Polynom kleineren 01:14:18.450 --> 01:14:20.950 Grades und wird exakt integriert, das heißt, das hier ist 0. 01:14:24.590 --> 01:14:31.350 So, das heißt, wir müssen uns jetzt das Restglied vornehmen. 01:14:33.230 --> 01:14:39.030 Das hier ist also der zweite Term, Restfunktional vom Restglied. 01:14:39.030 --> 01:14:40.510 Jetzt setzen wir das mal ein. 01:14:40.670 --> 01:14:50.430 Das ist die Funktion, X wird zugeordnet 1 durch Q-1 Fakultät, Integral 01:14:50.430 --> 01:14:56.130 von 0 bis 1, G, p-te Ableitung von t, nee, q-te noch, Entschuldigung, 01:14:56.250 --> 01:15:03.950 wir sind noch bei q-te, X-t plus hoch Q-1 dt. 01:15:04.950 --> 01:15:08.370 Das ist die Abbildung, nochmal ausführlich hingeschrieben, auf die wir 01:15:08.370 --> 01:15:09.950 das R anwenden. 01:15:10.530 --> 01:15:11.910 Wie war denn das R definiert? 01:15:12.010 --> 01:15:13.390 Wir hatten es gerade eben nochmal kurz gesehen. 01:15:13.590 --> 01:15:15.670 Hier ist die Definition von dem R, hier. 01:15:16.510 --> 01:15:19.330 Das heißt, wir wenden das R, das gebe ich zu, ist vielleicht ein 01:15:19.330 --> 01:15:24.990 bisschen gewöhnungsbedürftig, jetzt auf eine Funktion an, auf ein G, 01:15:25.150 --> 01:15:28.070 was jetzt ein R ist und was nicht so ganz einfach ist. 01:15:28.930 --> 01:15:32.730 Letztlich ist es aber nur das Integral und die Quadraturformel darauf 01:15:32.730 --> 01:15:33.290 angewendet. 01:15:33.330 --> 01:15:34.450 Das machen wir jetzt mal. 01:15:35.510 --> 01:15:43.510 Das heißt, es ist gleich 1 durch Q-1 Fakultät, das können wir einfach 01:15:43.510 --> 01:15:44.230 davor ziehen. 01:15:45.750 --> 01:15:52.910 Und jetzt haben wir hier stehen, Integral von 0 bis 1, das kommt aus 01:15:52.910 --> 01:15:58.210 dem R, aus dem Groß-R, angewendet auf das Klein-R. 01:15:58.710 --> 01:16:03.170 Das heißt, jetzt kommt hier das Integral von 0 bis 1, Q zur Ableitung 01:16:03.170 --> 01:16:11.310 von G, an der Stelle t mal x minus t hoch 1 plus. 01:16:11.830 --> 01:16:15.910 Und jetzt aufpassen, hier steht jetzt erstmal dt dx. 01:16:17.870 --> 01:16:21.970 Also machen Sie hier drüben bei der Darstellung gerne hier in x dx 01:16:21.970 --> 01:16:22.230 hin. 01:16:22.230 --> 01:16:27.770 Das wäre vielleicht fachdidaktisch besser, weil das entspricht jetzt 01:16:27.770 --> 01:16:30.910 der Variablen hier mit dem dx. 01:16:31.210 --> 01:16:33.650 Und das dt kommt aus diesem Integral. 01:16:34.550 --> 01:16:40.290 So, und dann haben wir noch minus die Quadraturformel angewendet auf 01:16:40.290 --> 01:16:41.110 das Klein-R. 01:16:42.070 --> 01:16:53.890 Das ist bi mal Integral von 0 bis 1, Q zur Ableitung von G, ci minus t 01:16:53.890 --> 01:17:03.470 hoch q minus 1 plus dt, Klammer zu. 01:17:03.750 --> 01:17:04.770 Okay, das ist ein wilder Ausdruck. 01:17:11.790 --> 01:17:16.230 Und was man jetzt machen möchte ist, und das machen wir für Q größer 01:17:16.230 --> 01:17:19.950 gleich 2, das interessiert uns nur, für Q größer gleich 2 ist der 01:17:19.950 --> 01:17:24.470 Integrant, diese Idee mit dem Abschneiden oder mit dem Nullsetzen, 01:17:24.830 --> 01:17:27.610 dass das eine stetige Fortsetzung ist, das klappt nur für Q größer 01:17:27.610 --> 01:17:28.170 gleich 2. 01:17:29.130 --> 01:17:31.550 Da klappt es aber, und dann ist das eine stetige Geschichte. 01:17:32.750 --> 01:17:36.190 Und weil das dann stetig ist, kann man die Integrale vertauschen. 01:17:36.190 --> 01:17:39.450 Das gibt einen Satz in der Integralrechnung, der uns das erlaubt. 01:17:39.530 --> 01:17:42.170 Das heißt, ich mache das mal hier an der Stelle einfach hier. 01:17:42.690 --> 01:17:47.810 Dann schreiben wir hier dx und hier dt. 01:17:50.590 --> 01:17:55.130 Das heißt, ich kann die Reihenfolge der Integration vertauschen. 01:17:55.450 --> 01:17:57.330 Das geht nur, wenn der Integrant stetig ist. 01:17:57.430 --> 01:17:59.010 Das ist er aber für Q größer gleich 2. 01:17:59.310 --> 01:18:02.690 Und jetzt habe ich endlich das dt beide Male außen stehen. 01:18:02.790 --> 01:18:04.510 Hier außen stehen und hier außen stehen. 01:18:04.510 --> 01:18:08.550 Das heißt, jetzt kann ich diese Geschichte unter ein Integral bringen. 01:18:09.150 --> 01:18:10.310 Das geht dann folgendermaßen. 01:18:10.370 --> 01:18:15.430 Dann haben wir hier stehen 1 durch Q minus 1 Fakultät. 01:18:16.950 --> 01:18:21.510 Dann kommt ein Integral von 0 bis 1 über... 01:18:22.350 --> 01:18:30.630 Aha, ich kann diese Q-te Ableitung von t jetzt ausklammern, weil ich 01:18:30.630 --> 01:18:33.690 ja ganz hinten hinschreiben werde dt. 01:18:36.550 --> 01:18:39.210 Es wird jetzt außen über t integriert. 01:18:39.350 --> 01:18:42.350 Das heißt, ich kann alle Teile, die von t abhängig sind, ausklammern 01:18:42.670 --> 01:18:52.470 und behalte dann hier in der Klammer das Integral Ach, das ist ja noch 01:18:52.470 --> 01:18:53.410 immer noch kompliziert. 01:18:53.870 --> 01:19:04.930 von 0 bis 1 über x minus t hoch q minus 1 plus dx Jetzt habe ich mir 01:19:04.930 --> 01:19:06.130 zu wenig Platz gelassen. 01:19:06.370 --> 01:19:07.850 Machen wir mal das nochmal kurz weg hier hinten. 01:19:11.050 --> 01:19:16.670 Minus Summe über i gleich 1 bis s bi 01:19:23.190 --> 01:19:23.910 Moment. 01:19:25.030 --> 01:19:26.870 Achso, das Integral habe ich ja vorne rausgezogen. 01:19:27.350 --> 01:19:35.970 Das heißt, hier steht jetzt nur noch ci minus t plus hoch q minus 1 01:19:35.970 --> 01:19:37.550 Klammer zu dt. 01:19:39.490 --> 01:19:44.250 Also die Idee war lediglich sozusagen die Integrale miteinander zu 01:19:44.250 --> 01:19:46.270 vertauschen, dass ich das ausklammern kann. 01:19:47.210 --> 01:19:48.870 Was hat das jetzt für einen Vorteil? 01:19:49.870 --> 01:19:54.310 Wir können jetzt den Teil hier unter dem inneren Integral, diesen Teil 01:19:54.310 --> 01:19:55.590 hier, den können wir integrieren. 01:19:55.970 --> 01:19:57.190 Ich meine, das ist nur ein Polynom. 01:19:59.850 --> 01:20:00.730 Das können wir ausrechnen. 01:20:01.210 --> 01:20:03.470 Wir haben jetzt so ein bisschen die Dinge getrennt voneinander. 01:20:03.570 --> 01:20:08.410 Wir haben Dinge getrennt, die problemabhängig sind, also die Q der 01:20:08.410 --> 01:20:10.790 Ableitung von g, die haben wir nach vorne geschrieben. 01:20:11.430 --> 01:20:16.410 Und ein Teil in diesen eckigen Klammern, der hängt nur von b und c ab 01:20:16.410 --> 01:20:17.130 und von q. 01:20:17.390 --> 01:20:21.750 Das sind alles Größen, die nur von der Quadraturformel her kommen. 01:20:23.230 --> 01:20:24.850 Und das können wir jetzt noch weiter vereinfachen. 01:20:24.910 --> 01:20:27.690 Das müssen wir leider wieder auf einer neuen Seite machen. 01:20:27.830 --> 01:20:28.310 Ist gleich. 01:20:28.690 --> 01:20:30.930 Jetzt müssen wir mal ein bisschen arbeiten. 01:20:31.350 --> 01:20:35.190 Das 1 durch q minus 1 Fakultät stand vor. 01:20:35.190 --> 01:20:42.850 Dann haben wir das Integral von 0 bis 1, die Q der Ableitung von g an 01:20:42.850 --> 01:20:43.510 der Stelle t. 01:20:43.650 --> 01:20:45.390 Die hatten wir ja ausgeklammert, wenn Sie sich erinnern. 01:20:45.650 --> 01:20:47.090 Und jetzt kam die eckige Klammer. 01:20:47.170 --> 01:20:48.390 Bis hierhin habe ich nichts verändert. 01:20:50.730 --> 01:20:52.130 Und hinten steht da noch dt. 01:20:53.610 --> 01:20:56.970 Und den hinteren Teil der Klammer, den schreibe ich auch 1 zu 1 ab. 01:20:57.530 --> 01:20:59.790 i gleich 1 bis s. 01:21:01.970 --> 01:21:07.530 bi mal ci minus t plus hoch q minus 1. 01:21:07.650 --> 01:21:08.430 Das habe ich einfach abgeschrieben. 01:21:08.510 --> 01:21:12.490 Und das vordere Integral ist ein einfaches Integral über ein Polynom. 01:21:12.890 --> 01:21:13.790 Das rechne ich aus. 01:21:13.850 --> 01:21:14.970 Das mache ich Ihnen jetzt mal nicht vor. 01:21:15.570 --> 01:21:17.130 Das ist wirklich einfach zu lösen. 01:21:17.190 --> 01:21:20.750 Man muss diese Gedanken mit dem Plus nochmal aufgreifen, den ich eben 01:21:20.750 --> 01:21:21.210 erklärte. 01:21:21.390 --> 01:21:23.350 Aber damit wollen wir uns jetzt nicht zu lange beschäftigen. 01:21:23.750 --> 01:21:24.950 Sonst verlieren wir zu viel Zeit. 01:21:32.180 --> 01:21:33.960 Genau, so müsste es richtig sein. 01:21:34.080 --> 01:21:36.060 Im Skript sind da einige Fehler, sehe ich gerade. 01:21:36.600 --> 01:21:41.680 Die müsste ich dann heute Nachmittag noch korrigieren und Ihnen dann 01:21:41.680 --> 01:21:43.360 was Besseres zukommen lassen. 01:21:45.560 --> 01:21:47.080 So, wo stehen wir jetzt? 01:21:47.420 --> 01:21:48.100 Kleinen Moment. 01:21:58.210 --> 01:22:00.930 Lassen Sie mich das noch folgendermaßen zusammenfassen. 01:22:04.090 --> 01:22:14.470 Als das Integral von 0 bis 1 über g, kute Ableitung von g, an der 01:22:14.470 --> 01:22:15.110 Stelle t. 01:22:15.790 --> 01:22:18.710 Und jetzt schreibe ich in die eckigen Klammern, den Teil werden wir 01:22:18.710 --> 01:22:20.630 aus gleichen neuen Namen geben. 01:22:21.230 --> 01:22:22.090 Und zwar was steht da jetzt? 01:22:22.150 --> 01:22:28.690 Da steht 1 minus t hoch q. 01:22:29.430 --> 01:22:32.130 Dann haben wir ein q minus 1 Fakultät, was vorne steht. 01:22:32.250 --> 01:22:34.930 Und noch ein 1 durch q, das gibt also q Fakultät. 01:22:37.670 --> 01:22:48.850 Minus Summe über i gleich 1 bis s, bi, ci minus t hoch q minus 1 Plus 01:22:48.850 --> 01:22:51.910 durch q minus 1 Fakultät. 01:22:52.410 --> 01:22:54.190 Das war der Teil, den ich noch reingebracht habe. 01:22:54.630 --> 01:22:55.510 Und dann steht hier t. 01:22:55.510 --> 01:22:59.190 Und diesen ganzen Kladderadatsch, der hier steht, vergessen Sie im 01:22:59.190 --> 01:23:01.190 Detail die Geschichte. 01:23:01.350 --> 01:23:02.810 Es ist nicht so relevant. 01:23:03.070 --> 01:23:05.910 Das kann man aber fast nicht schneller vortragen. 01:23:06.050 --> 01:23:07.150 Den wollen wir einen Namen geben. 01:23:07.330 --> 01:23:09.070 Das ist der sogenannte Peano-Kern. 01:23:10.710 --> 01:23:13.810 Sodass das Integral jetzt am Ende folgendermaßen daherkommt. 01:23:15.670 --> 01:23:24.590 Integral von 0 bis 1 über kute Ableitung von g mal den Peano-Kern. 01:23:28.250 --> 01:23:32.050 Und behalten Sie im Kopf, bei all den vielen Formeln und vieler 01:23:32.050 --> 01:23:35.710 Umrechnerei, behalten Sie im Kopf, was wir gemacht haben, war 01:23:35.710 --> 01:23:38.290 lediglich den Integranten in zwei Teile zu teilen. 01:23:38.710 --> 01:23:41.810 Nämlich in den Teil, der von dem Problem herkommt, das ist die kute 01:23:41.810 --> 01:23:44.350 Ableitung von g mal den Peano-Kern. 01:23:45.130 --> 01:23:48.590 Und den Peano-Kern gucken Sie sich genau an, das hatte ich ja eben 01:23:48.590 --> 01:23:52.270 schon mal angedeutet, der hängt nur von b, c und q ab. 01:23:52.630 --> 01:23:54.330 Sprich, nur von der Quadraturformel. 01:23:54.330 --> 01:23:59.630 Das ist ein entscheidender Fortschritt, dass wir unser R von g, das 01:23:59.630 --> 01:24:04.890 ist ja nichts anderes als R von g, unser Fehler, mittlerweile so 01:24:04.890 --> 01:24:05.570 darstellen können. 01:24:06.170 --> 01:24:11.410 Das ist ein bisschen Aufwand zu rechnen, aber am Ende kommen wir da 01:24:11.410 --> 01:24:11.630 an. 01:24:11.710 --> 01:24:16.450 Das ist aber leider noch nicht der Idealzustand, weil jetzt haben wir 01:24:16.450 --> 01:24:20.070 zwar den Integranten zerteilt in Dinge, die vom Problem herkommen und 01:24:20.070 --> 01:24:21.770 Dinge, die von der Quadraturformel herkommen. 01:24:21.770 --> 01:24:28.350 Im Integral wird das Ganze dann doch wieder kombiniert, weil ja noch 01:24:28.350 --> 01:24:29.850 das Integral ausgerechnet wird. 01:24:30.410 --> 01:24:36.250 Von daher, wie wäre es mit dieser Geschichte, dass wir den Fehler, wo 01:24:36.250 --> 01:24:40.750 uns das Vorzeichen sowieso schnurrt, wie wäre es, wenn wir jetzt den 01:24:40.750 --> 01:24:43.330 Fehler, einfach noch den Betrag drüber ziehen, dann haben wir hier den 01:24:43.330 --> 01:24:51.290 Betrag von 0 bis 1 über die kute Ableitung von g mal Peano-Kern. 01:24:54.620 --> 01:24:59.520 Dann benutzen wir die Monotonie des Integrals, dass wir also den 01:24:59.520 --> 01:25:00.300 Betrag reinziehen. 01:25:08.330 --> 01:25:11.050 Hier steht mal zwischen den beiden Beträgen. 01:25:13.470 --> 01:25:17.030 Das hier ist eine Instanz, die wir sowieso komplett nicht unter 01:25:17.030 --> 01:25:17.810 Kontrolle haben. 01:25:18.570 --> 01:25:22.070 Das ist die kute Ableitung von g. Warum nicht das gleich abschätzen 01:25:22.070 --> 01:25:23.070 durch das Maximum? 01:25:25.570 --> 01:25:28.790 Der kuten Ableitung von g im Betrag. 01:25:30.570 --> 01:25:33.330 Und zwar für t zwischen 0 und 1. 01:25:34.650 --> 01:25:38.850 Und jetzt endlich sind wir an einem Ziel, was etwas besser zu lesen 01:25:38.850 --> 01:25:38.990 ist. 01:25:39.090 --> 01:25:41.470 Wir ziehen dann dieses Maximum, weil es ja gar nicht mehr von t 01:25:41.470 --> 01:25:44.070 abhängig ist, vor das Integral. 01:25:46.650 --> 01:25:50.390 Hier sind wieder die gleichen Dinge hinzuschreiben. 01:25:50.390 --> 01:25:55.690 Dann haben wir hier nur noch das Integral von 0 bis 1 von dem Betrag 01:25:55.690 --> 01:25:56.790 des Peano-Kerns. 01:26:00.510 --> 01:26:04.790 Jetzt endlich haben wir am Schluss eine Schranke für den Fehler, der 01:26:04.790 --> 01:26:07.310 sich jetzt wunderbar in zwei Faktoren zerlegen lässt. 01:26:07.850 --> 01:26:08.690 Problem gegeben. 01:26:09.610 --> 01:26:12.790 Das Problem gegeben heißt, das ist der erste Faktor, an dem können wir 01:26:12.790 --> 01:26:13.270 nichts machen. 01:26:13.690 --> 01:26:16.610 Und der zweite Faktor ist das Integral, was nur von der 01:26:16.610 --> 01:26:17.730 Quadraturformel herkommt. 01:26:18.370 --> 01:26:19.610 Jetzt gucken wir uns das nochmal genauer an. 01:26:19.610 --> 01:26:21.870 Was haben wir im Grunde genommen gerade schon zusammen bewiesen? 01:26:23.170 --> 01:26:26.850 Wir haben zusammen diesen Satz vom Peano bewiesen, dass wir nämlich 01:26:26.850 --> 01:26:32.190 das Restintegral schreiben können, als Integral über Peano-Kern mal 01:26:33.510 --> 01:26:37.230 gute Ableitung von g. Das haben wir zusammen gemacht, indem wir im 01:26:37.230 --> 01:26:40.470 Grunde genommen eine Taylor-Entwicklung vorgenommen haben und das 01:26:40.470 --> 01:26:45.510 Restglied ein bisschen hässlich integriert haben, Integrale vertauscht 01:26:45.510 --> 01:26:45.830 haben. 01:26:47.550 --> 01:26:49.450 Und tatsächlich habe ich Ihnen die Folgerung unten auch schon 01:26:49.450 --> 01:26:50.070 vorgerechnet. 01:26:50.310 --> 01:26:53.290 Und wir sind sozusagen dann hier an einer oberen Schranke für den 01:26:53.290 --> 01:26:53.550 Fehler. 01:26:56.950 --> 01:27:00.650 Jetzt gebe ich Ihnen mal für ein paar Quadraturformeln genau diesen 01:27:00.650 --> 01:27:01.370 Ausdruck an. 01:27:01.750 --> 01:27:03.210 Also das müssen Sie nicht auswendig lernen. 01:27:03.670 --> 01:27:07.710 Aber das sind die Faktoren, die man ausrechnen kann für 01:27:07.710 --> 01:27:09.630 Mittelpunktregel, Trapezregel und Simpsonregel. 01:27:09.690 --> 01:27:14.330 Die stehen dann sozusagen als Vorfaktoren in den Fehlerabschätzungen. 01:27:21.290 --> 01:27:23.150 Wie können wir das jetzt wieder übersetzen? 01:27:24.110 --> 01:27:25.570 Das müssen wir heute unbedingt noch schaffen. 01:27:25.950 --> 01:27:27.270 Auf das Intervall b-a. 01:27:27.510 --> 01:27:30.210 Erinnern Sie sich, wir hatten ja die ganze Geschichte von b-a 01:27:30.210 --> 01:27:32.710 zurückgebracht auf das Intervall 0,1. 01:27:32.790 --> 01:27:34.350 Wie können wir es denn jetzt wieder zurückbringen? 01:27:36.630 --> 01:27:41.670 Hier steht das Integral über f und hier steht die Quadraturformel zu 01:27:41.670 --> 01:27:42.010 f. 01:27:42.930 --> 01:27:50.370 Erinnern Sie sich, wir hatten das geschrieben als b-a mal Rest von g. 01:27:50.750 --> 01:27:53.510 So hatten wir es hergeleitet weiter vorne. 01:27:53.950 --> 01:27:56.850 Das heißt, ein b-a als Faktor haben wir schon mal davor stehen. 01:27:57.610 --> 01:28:01.290 Aber den Rest von g, haben wir eben schon gesagt, ist nichts anderes 01:28:01.290 --> 01:28:10.950 als Integral von 0 bis 1 über die g-Ableitung, also das g-Ableiten. 01:28:11.130 --> 01:28:12.230 Und zwar, wie oft dürfen wir das? 01:28:12.270 --> 01:28:13.970 Q-Code mehr laufen lassen bis zu p. 01:28:13.970 --> 01:28:15.570 Jetzt nehmen wir mal den maximalen Wert. 01:28:16.250 --> 01:28:17.450 Und hier stand der Piano-Kern. 01:28:19.350 --> 01:28:20.810 Diese Darstellung haben wir eben bewiesen. 01:28:21.250 --> 01:28:24.730 Jetzt müssen wir uns noch mal kurz erinnern, wie das g und das f in 01:28:24.730 --> 01:28:25.510 Zusammenhang stehen. 01:28:25.690 --> 01:28:31.290 Wir bilden hier die p-Ableitung von g. Was hat die p-Ableitung von g 01:28:31.290 --> 01:28:33.210 mit der p-Ableitung von f zu tun? 01:28:33.850 --> 01:28:35.010 Wie war denn g definiert? 01:28:36.330 --> 01:28:38.510 g war definiert genau so. 01:28:38.990 --> 01:28:39.990 Ne, das darf ich so nicht schreiben. 01:28:40.990 --> 01:28:43.470 Ah ja, hier unten steht ja im Grunde schon alles drauf, was ich hinaus 01:28:43.470 --> 01:28:43.830 möchte. 01:28:44.390 --> 01:28:50.010 g von t war definiert als f von a plus t mal b minus a. 01:28:50.090 --> 01:28:51.670 Wenn Sie das ableiten, wie geht das? 01:28:52.230 --> 01:28:53.450 Das sind sogenannte Kettenregeln. 01:28:53.770 --> 01:28:57.230 Wenn Sie g ableiten, dann müssen Sie zwar f ableiten, aber Sie haben 01:28:57.230 --> 01:28:58.190 doch eine innere Ableitung. 01:28:58.270 --> 01:28:59.690 Und die innere Ableitung ist b minus a. 01:29:01.210 --> 01:29:04.410 Wenn Sie jetzt also das g p-mal ableiten, dann müssen Sie das f p-mal 01:29:04.410 --> 01:29:04.910 ableiten. 01:29:05.310 --> 01:29:08.410 Sie werden aber p-mal die innere Ableitung b minus a herausbekommen. 01:29:08.410 --> 01:29:11.290 Das steht hier unter der Bemerkung beachte. 01:29:12.230 --> 01:29:18.250 Das heißt, der Fehler auf dem Intervall b minus a hat einen Vorfaktor 01:29:18.250 --> 01:29:18.930 dieser Größe. 01:29:19.230 --> 01:29:21.790 b minus a hoch p plus 1. 01:29:22.570 --> 01:29:23.470 Können Sie das nachvollziehen? 01:29:24.070 --> 01:29:26.770 Das hoch p kommt aus den inneren Ableitungen und eine hatten wir 01:29:26.770 --> 01:29:27.590 sowieso schon da stehen. 01:29:28.370 --> 01:29:32.050 Und dann steht jetzt im Grunde genommen hier jetzt die Darstellung des 01:29:32.050 --> 01:29:35.410 Fehlers mit dem Peano-Kern. 01:29:36.850 --> 01:29:39.910 Wollen wir die Folie bitte heute noch ordentlich verstehen. 01:29:40.050 --> 01:29:43.490 Die Idee ist also, die Quadraturformel jetzt nicht auf große 01:29:43.490 --> 01:29:48.350 Intervalle anzuwenden, wo b minus a einen großen Wert hat, weil der 01:29:48.350 --> 01:29:51.990 Fehler dann wird ja dargestellt als b minus a hoch p plus 1. 01:29:52.150 --> 01:29:55.830 Was nützt Ihnen das, wenn a 0 ist und b ist 10 und Sie haben da 10 01:29:55.830 --> 01:29:58.350 hoch 5 davor stehen in der Fehlerdarstellung? 01:29:58.430 --> 01:29:59.330 Nützt Ihnen natürlich nichts. 01:30:00.250 --> 01:30:03.090 Die Hauptidee wird also sein, und das sollten Sie heute noch unbedingt 01:30:03.090 --> 01:30:07.190 mitnehmen, dass Intervall a bis b, werden wir, wie auch schon letzte 01:30:07.190 --> 01:30:09.110 Woche angedeutet, in kleine Häppchen zerteilen. 01:30:09.970 --> 01:30:12.450 Und jedes kleine Häppchen, Teilintervall, hat dann eine 01:30:12.450 --> 01:30:16.290 Intervalllänge, die hoffentlich einigermaßen, also einiges kleiner ist 01:30:16.290 --> 01:30:16.910 als 1. 01:30:17.430 --> 01:30:17.610 Warum? 01:30:18.330 --> 01:30:22.770 Weil dann 1 hoch p plus 1 etwas Kleines, also, Entschuldigung, etwas, 01:30:22.950 --> 01:30:26.770 was kleiner ist als 1, wenn Sie das noch potenzieren mit p plus 1, 01:30:26.850 --> 01:30:27.810 dann wird es ja noch viel kleiner. 01:30:28.710 --> 01:30:29.430 Können Sie das verstehen? 01:30:29.870 --> 01:30:33.290 Also wir werden kleine Teilintervalle bilden, wo die Intervalllängen 01:30:33.290 --> 01:30:39.170 um einiges kleiner sind als 1, damit der Fehler schön klein wird. 01:30:41.630 --> 01:30:45.010 Ja, ich glaube, damit kann ich Ihnen keine weitere Folie zumuten für 01:30:45.010 --> 01:30:45.290 heute. 01:30:46.130 --> 01:30:48.290 Das andere müssen wir dann leider nochmal nächste Woche 10 Minuten 01:30:48.290 --> 01:30:52.550 aufgreifen, um den Gesamtfehler auf dem Gesamtintervall dann mal 01:30:52.550 --> 01:30:53.130 hinzuschreiben. 01:30:53.690 --> 01:30:55.990 Aber dann freuen Sie sich einfach auf die nächste Vorlesung, dann 01:30:55.990 --> 01:30:56.850 werden wir das nochmal machen. 01:30:56.950 --> 01:30:57.130 Okay?