Ja, guten Morgen allerseits.
Willkommen zur heutigen Vorlesung.
Wir haben das letzte Mal Übergangswahrscheinlichkeiten kennengelernt,
haben auch ein Baumdiagramm gesehen.
So was findet sich dann auch in Schulbüchern und kommt dann auch in
der dementsprechenden Klassenstufe vor.
Ich vermute mal, dass das in Klasse 9 schon drankommen kann,
spätestens in Klasse 10.
Gibt es aus Ihrer Sicht zu dem Thema noch prinzipielle Fragen?
Also prinzipielle Verständnisfragen.
Ich möchte das nämlich gleich abschließen, aber mit etwas
weitermachen, was direkt damit zusammenhängt.
Wir betrachten das dann von einer anderen Warte nochmal.
Wir haben unter anderem eine interessante Verteilung kennengelernt,
nämlich bei einem Ohrenmodell, nicht nur mit und ohne Zurücklegung,
sondern wir haben das verallgemeinert.
Die gezogene Kugel wird zurückgelegt und C weitere der gleichen Farbe.
Dann entstand etwas, was Polyaverteilung heißt.
Wir haben dann Stabdiagramme gesehen und ich möchte jetzt das
abschließen mit zwei Spezialfällen.
Man sieht hier unter 8.7 das Wort Produktexperimente.
Wir haben sowas in Spezialfällen schon gehabt.
Und es taucht auf das Wort Markovketten auf.
Markovketten sind stochastische Vorgänge im zeitlichen Ablauf, bei der
die Übergangswahrscheinlichkeiten eine ganz bestimmte Bedingung
erfüllen.
Ich komme da gleich drauf.
Also wir machen zunächst mal Produktexperimente.
Es kann sein, dass die Endteil-Experimente, wenn wir ein endstufiges
Experiment betrachten, auch getrennt voneinander ablaufen können.
Theoretisch könnten das in unterschiedlichen Räumen Personen machen
oder im gleichen Raum ganz einfach getrennte Personen, die können
gleichzeitig ablaufen.
Die Vorstellung hatten wir zum Beispiel bei der Polya-Urne nicht.
Da musste wirklich das erste Experiment erfolgen und in Abhängigkeit
dieses Ausgangs passierte dann etwas fürs zweite und dann fürs dritte
usw.
Das heißt, wir hatten wirklich einen echten zeitlichen Ablauf, der
zwingend geboten war.
Hier, wenn ich sage, ich werfe n-mal einen Würfel nach jeweils gutem
Schütteln, unbeeinflusst voneinander, dann könnte ich das auch
folgendes machen.
Ich könnte jeder Person einen Würfel geben, n Personen, könnte die in
der Reihe stehen und sagen, bitte wirf jeder einmal gleichzeitig.
Das ist gedanklich das gleiche Experiment.
Also das heißt, getrennt, unbeeinflusst voneinander.
In dem Fall ist die Übergangswahrscheinlichkeit, das heißt, dieser
Ausdruck links war ja gerade eine Wahrscheinlichkeit, die folgendes
besagte, wenn bei den ersten J-1-Teilexperimenten die Ergebnisse A1
bis AJ-1 auftreten, dann soll mit dieser Wahrscheinlichkeit beim J
-Experiment das Ergebnis AJ auftreten.
Wenn das aber nicht davon abhängt, von dieser ganzen Vorgeschichte,
dann ist das eine Wahrscheinlichkeit, die nur von AJ abhängt, völlig
unabhängig von dem, was davor war.
Das Wort unabhängig trat gerade auf.
Das führt uns auf den Begriff dann stochastische Unabhängigkeit.
Das heißt, hier in dem Fall ist das PJ eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Omega J, das heißt, die Summe der PJ
von AJ über die AJ summiert ist 1.
Das ist hier ein ganz wichtiger Punkt.
Dann gilt eben, dass die Wahrscheinlichkeit von Omega über die erste
Pfadregel, eigentlich müssten wir schreiben P1 von A1 mal P2 von A1,
A2 und so weiter, aber da die alle nicht davon abhängen, ist das
einfach dieses Produkt.
P1 von A1 schon von Omega 1 mal PN von Omega N.
Wobei ich das Omega jetzt als diese Tupel ganz allgemein schreibe aus
Omega.
Das heißt, Omega ist dann dieses Produkt der Omega 1 bis Omega J.
Das bedeutet, ich habe eine Produktdarstellung, die hatten wir vorher
auch bei der Pfadregel, aber hier haben wir wirklich keinerlei
Abhängigkeit gedanklich von der Vorgeschichte.
Das ist ein wichtiger Punkt.
Man sagt dann, ich habe ein Produktexperiment.
Produktexperiment hat eben mit dieser Vorstellung zu tun, ich kann es
völlig unbeeinflusst voneinander machen.
Sie erinnern sich an das ideale Zufallsexperiment.
Das war eins, was ich eben unbeeinflusst voneinander beliebig oft
unter gleichen Bedingungen wiederholen kann.
Das ist ein typisches Beispiel hierfür.
Spezialfall.
Es könnte sein, dass diese Grundräume alle gleich sind.
Also bei jedem Experiment wird wirklich das Gleiche gemacht, der
gleiche Grundraum.
Und auch die Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich.
Also stellen Sie sich vor, wir werfen eben N mal einen Würfel in
unabhängiger Folge.
Dann bedeutet das gerade, die Omegas sind die Zahlen von 1 bis 6,
jedes Mal.
Und die Wahrscheinlichkeitsverteilung P1 ist gleich P2.
Die ordnen eben jeder Augenzahl den Wert ein Sechstel zu.
Das macht jedes P-Ort hier.
Gleichverteilung, wenn der Würfel echt ist.
Und das heißt, wir haben hier die N-fache Wiederholung eines
Experiments.
Wir haben das schon gehabt, beim zweifachen Würfelwurf haben wir uns
die Paare sogar aufgemalt als Matrix.
So, ich möchte jetzt zur Markov-Kette kommen.
Sie sehen, ich führe hier den Buchstaben S ein.
S steht im Englischen für State Space, Zustandsraum.
Bei solchen Markov-Ketten spricht man gern von Zustandsräumen.
Das heißt, hier in dem Fall sind die Grundräume auch alle gleich.
Und jetzt kommt es, das Interessante ist, bei der Markov-Kette, jetzt
sehen Sie nochmal diese Übergangswahrscheinlichkeit.
Sie können sie interpretieren, wir werden das später sehen, als
bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich beim J-Teilexperiment das
Ergebnis aj einstellt, unter der Bedingung, dass die ersten J-1
-Experimente genau die Ergebnisse hatten, A1, A2 und so weiter bis ab
aj -1.
So, bei der Markov-Kette ist es so, das Ganze hängt nur ab, natürlich
ist es eine Funktion von aj, aber die ganze Vorgeschichte, die davor
steht, geht nur ein in den letzten Zustand, nämlich aj-1.
Das bedeutet, das hängt für alle j größer gleich 2 und für alle A1 bis
aj nur ab von aj-1.
Das bedeutet, Sie können A1 vergessen, A2 vergessen und so weiter bis
aj -2.
Das heißt, die Markov-Kette hat ein kurzes Gedächtnis, sie erinnert
sich nur an den letzten Zustand.
Was war wirklich beim J-1-Teilexperiment?
Die Vorgeschichte brauche ich nicht.
Dann kann ich schon weiterschließen aufs nächste Experiment.
Und wenn ich jetzt Zufallsvariablen einführe, das heißt, das Omega ist
wieder so ein Tupel und sage, das xj beschreibt den Zustand des
Systems dieser Markov-Kette zum Zeitsprung j, das ist das aj dann und
Omega ist eben dieses Tupel in s hoch n, dann spricht man eben hier
von einer Markov-Kette.
Das heißt, diese Zufallsvariablen x1, x2, die die Zustände
beschreiben, heißt dann Markov-Kette mit Zustandsraum s.
Ich will hier nicht weiter darauf eingehen.
Ich möchte Ihnen nur sagen, diese Markov-Ketten haben auch Einzug
gehalten in die Schule, also insbesondere, wenn man noch ein wenig
Zeit hat im Unterricht, auch in Arbeitsgemeinschaften.
Sie haben direkt was zu tun mit der linearen Algebra.
Es gibt hier jedes Jahr eine Vorlesung über Markov-Ketten, jedes
Sommersemester, die Sie mit dem Vorwissen dieser Veranstaltung sofort
hören können.
Sie beinhaltet auch Differenzialgleichungen.
Es kommen hier sozusagen vor lineare Algebra, Matrizen und auch
Differenzialgleichungen.
Die Matrizen beschreiben dann diese Übergangswahrscheinlichkeiten von
Markov -Ketten und das kann ich Ihnen eigentlich nur ans Herz legen.
Ja, damit würde ich jetzt dieses Kapitel abschließen über Modellierung
mehrstufiger Experimente mithilfe von Startverteilungen und
Übergangswahrscheinlichkeiten und möchte jetzt zu einem neuen Kapitel
kommen, aber Sie werden den direkten Bezug sehen zu dem, was wir jetzt
hatten.
Dieses Kapitel heißt bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Ich habe eben schon gesagt, unter der Bedingung das.
Wir haben die Übergangswahrscheinlichkeiten schon so interpretiert als
bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Ich werde jetzt bedingte Wahrscheinlichkeiten einführen.
Zur Einstimmung etwas, was teilweise den Charakter einer Posse hatte,
das mittlerweile auch in Schulbüchern eingeführte Ziegenproblem oder
auch Dreitürenproblem oder auch nach einem Showmaster-Monty-Hall
-Problem genannt.
Um was geht es da?
Sie sehen hier drei Türen, eine ist geöffnet.
Das beschreibt die Situation schon zu einem etwas späteren Zustand.
Ich will die Situation jetzt beschreiben.
Vorher war die rechte Tür nämlich noch zu.
Da war auch ein Fragezeichen vor.
Jetzt ist die geöffnet.
Was ist da passiert?
Da gab es eine Spielshow und hinter einer dieser drei Türen befindet
sich ein Auto.
Das ist der Hauptgewinn.
Hinter den beiden anderen Türen jeweils eine Ziege in Form von Nieten.
Es gibt jetzt einen Moderator und es gibt einen Kandidaten und der
Kandidat, der darf jetzt auf eine Tür zeigen und sagen, die möchte
ich, dass du sie aufmachst.
Die wähle ich.
Das heißt, der Kandidat zeigt auf Tür 1.
Er hat auf Tür 1 gezeigt.
Der Moderator sagt, die Tür bleibt zu.
Der Moderator weiß, wo das Auto ist.
Der Moderator darf aber diese Autotür nicht öffnen.
Das ist ihm verboten, Nebenbedingung.
Der Moderator muss aber auf der anderen Seite eine Ziege zu erkennen
geben.
Er muss also eine Ziegentür öffnen.
Und die Frage ist jetzt, er sagt, okay, du kannst bei deiner Wahl
bleiben, Tür 1, du darfst aber jetzt wechseln zu Tür 2.
Die Frage ist, soll man wechseln?
Das ist das ganze Ziegenproblem.
Der öffnet Tür 3, bietet an, ich kann wechseln.
Und die Frage ist, soll ich das tun?
Das Problem entstand vor ungefähr 25 Jahren, aber es ist noch viel
älter, und die Frage stellte jemand einer Journalistin, Frau Merlin,
die hatte eine Kolumne in einer Wochenzeitschrift Parade in den USA,
und fragte, soll ich wechseln, Frau Merlin?
Die Dame hatte den höchsten je gemessenen Intelligenzquotienten, aber
nie Stochastik gehört.
Und sie sagte, wechseln.
Wechseln verdoppelt die Chance auf einen Hauptgewinn.
Und dann passierte Folgendes, es brach ein Sturm der Entrüstung los.
Innerhalb der nächsten Woche gab es Tausende von Leserzuschriften, und
Frau Merlin wurde selbst als die Ziege beschimpft.
Jeder normalbegabte Zwölftklässler wisse doch, wenn vorher drei Fälle
gleichwahrscheinlich sind, und ein Fall wäre jetzt ausgeschlossen,
dass die beiden anderen Fälle gleichwahrscheinlich sind, das heißt, es
wäre jetzt völlig egal, ob ich standhaft bleibe, bei meiner
ursprünglichen Wahl, oder ob ich wechsel.
Sie sollte die mathematische Unwissenheit in den USA nicht noch weiter
vertiefen.
Selbst Mitglieder mathematischer Fakultäten schrieben ihr, aber die
haben nie eine Vorlesung in Stochastik gehört wahrscheinlich.
Die Dame blieb standhaft.
Sie hat das sogar begründet.
Sie sagte, die Wahrscheinlichkeit ist zwei Drittel, wenn ich wechsle,
dass ich den Hauptgewinn bekomme.
Warum?
Ihre Argumentation war einfach so, die Wahrscheinlichkeit, dass das
Auto hinter Tür 1 ist, ist ein Drittel.
Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird es hinter einer der drei Türen
platziert.
Also ist es mit Wahrscheinlichkeit zwei Drittel hinter einer der
beiden anderen Türen, Tür 2 oder Tür 3.
Wird mir also von diesen beiden anderen Türen freundlicherweise noch
eine aufgemacht, die zwei Drittel Wahrscheinlichkeit kann ja nicht
verschwinden, dann muss die sich auf Tür 2 konzentrieren.
Das hat aber viele immer noch nicht überzeugt.
Wir werden das gleiche nachher nochmal ausrechnen, mit Hilfe bedingter
Wahrscheinlichkeiten.
Aber ich empfehle hier, wenn Sie das auch im Schulunterricht
behandeln, also viele überzeugt folgendes Argument, restlos.
Stellen Sie sich vor, Sie würden das Experiment, was hier vorliegt,
wiederholen.
Sie können das sofort simulieren, indem Sie zum Beispiel drei Tassen
nehmen, unter einer tun Sie irgendwas, stülpen die drei Tassen um, ein
anderer, der weiß das eben nicht, der zeigt dann auf eine, Sie geben
dann eine Tasse zu erkennen, wo nichts drunter ist, und dann sagen Sie
ihm, wechseln oder nicht.
Das können Sie den ganzen Nachmittag wiederholen.
Immer rein zufällig platzieren.
So, wenn ich das den ganzen Nachmittag spiele, dann behaupte ich,
bekomme ich den Hauptgewinn genau dann, wenn meine allererste Wahl auf
eine der beiden Ziegentüren zeigt, auf die Nietentüren.
Die Wahrscheinlichkeit ist zwei Drittel.
Das ist klar, es sind zwei von drei.
Wenn ich nämlich auf eine dieser beiden Ziegentüren zeige, jetzt
passiert folgendes, der Moderator darf die ja nicht öffnen, verboten.
Er muss eine Ziege zu erkennen geben.
Er öffnet also die andere Ziegentür, und wenn ich sage, ich wechsle,
komme ich automatisch zur Autotür.
Das heißt, mit dieser Strategie, ich wechsle, bekomme ich das Auto
genau dann, wenn meine allererste Wahl auf eine der beiden Ziegentüren
zeigt, und die Wahrscheinlichkeit ist zwei Drittel.
Das hat ja was zu tun mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und
Modellierung, wie die Information an mich rankommt.
Es ist also etwas Vertracktes.
Es ist also hier nicht der Fall, dass von drei Fällen rein zufällig
einer ausgeschlossen wird.
Das passiert eben nicht.
Es gibt Nebenbedingungen.
Wenn rein zufällig einer ausgeschlossen wird, dann sind die anderen
Fälle gleichwahrscheinlich.
Aber rein zufällig ausschließen würde ja auch bedeuten, dass das Auto
zu erkennen, dass man das Auto zu erkennen gibt.
Das ist nicht der Fall.
Das ist wirklich ein Lehrstück in Sachen bedingter Wahrscheinlichkeit
und wie man eben modelliert, wie die Information an mich herangetragen
wird.
Ich möchte zunächst mal die bedingten Wahrscheinlichkeiten
modellieren, mithilfe relativer Häufigkeiten.
Die Ausgangssituation ist die, ich habe einen stochastischen Vorgang
und über den ist bekannt, dass ein gewisses Ereignis eingetreten ist.
Es könnte sein, dass also im Nachbarraum jemand zwei Würfel wirft
gleichzeitig und sagt, die Augensumme ist mindestens neun.
Man kann sich fragen, warum man mir das sagt.
Aber unter dieser Bedingung sollte man sofort sehen, dass irgendeiner
der beiden Würfe eine Eins zeigt, ist Null unter dieser Bedingung.
Denn wenn irgendeiner Würfe eine Eins zeigt, kann da höchstens sieben
rauskommen für die Augensumme.
Das bedeutet, so eine Teilinformation über einen stochastischen
Vorgang führt sofort zu einer potenziellen Neubewertung von
Ereignissen.
Also wir bekommen eine Teilinformation.
Wir wissen also, das Ergebnis klein Omega liegt in B.
Das ist eine Teilmenge von Omega.
Das ist die Information, die wir hier haben.
Das bedeutet, wie beeinflusst diese Bedingung, diese Information, die
wir haben, die Aussicht auf das Eintreten eines Ereignisses A.
Wir wollen jetzt sinnvoll definieren, was ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eintritt.
Das ist das Ziel.
Okay?
Also ich versuche das zu motivieren anhand von relativen Häufigkeiten.
Ich habe ein Experiment, der Grundraum sei Omega.
Und ich wiederhole das.
Stellen Sie sich vor, ein ideales Zufallsexperiment.
In unabhängiger Folge unter gleichen, sich gegenseitig nicht
beeinflussenden Bedingungen wird das wiederholt.
N Mal.
Jetzt habe ich zwei Ereignisse, zwei Teilmengen von Omega.
Und bei jedem Mal kann ich mir ansehen, liegt das kleine Omega in A,
liegt es in B, liegt es vielleicht sogar in A-geschnitten B.
Das ist immer ein Ergebnis.
Das bedeutet, ich zähle, wie oft bei den N Malen das Ereignis B
eingetreten ist.
Also hn von B, h steht wieder für Häufigkeit, für absolute Häufigkeit,
ist die Anzahl der Male, bei denen das Ereignis B eintritt.
Man könnte also eine Strichliste machen.
N Mal wiederholen.
Und ich kann auch die Häufigkeit von A-geschnitten B bilden.
Das bedeutet, das ist die Anzahl der Male, bei denen sowohl A als auch
B eintreten.
Man sieht natürlich, das Zweite kann nur passieren, wenn schon B
eintritt.
Denn es soll ja A und B beide eintreten.
Anders geht das ja nicht.
Jetzt mache ich Folgendes.
Ich teile das einfach durch.
Das bedeutet, der Nenner muss natürlich positiv sein, mindestens
einmal muss das B eingetreten sein.
So, wie kann ich das interpretieren?
Das kann ich interpretieren als eine relative Häufigkeit.
Nämlich, es ist der relative Anteil derjenigen Fälle unter allen
Fällen, in denen B eintritt, in denen auch noch A eintritt.
Unten steht ja die Anzahl aller Fälle, wo B eintritt.
Und dem Nenner sind dann von denen gewisse Fälle, in denen auch noch A
eintritt.
Ich habe hier einen Quotienten, den ich so interpretieren kann.
Jetzt kann ich Folgendes machen.
Ich teile einfach mal Zähler und Nenner dieses Bruchs durch N.
Dann ändert sich der Wert nicht.
Also das heißt, Sie sehen, ich teile hier Zähler und Nenner durch N.
Hat sich nichts verändert.
Aber jetzt haben wir so ein empirisches Gesetz über die Stabilisierung
relativer Häufigkeit.
Ich lasse mal jetzt N gegen unendlich gehen, wiederhole das immer
öfter.
Dann sollte sich im Zähler die relative Häufigkeit des Eintretens von
A geschnitten B stabilisieren gegen die wahre Wahrscheinlichkeit.
Also hier sollte im Zähler so eine Stabilisierung sein gegen P von A
geschnitten B.
Schauen Sie sich den Nenner an.
1 durch N mal hN von B sollte sich genauso stabilisieren nach diesem
Gesetz über die Stabilisierung relativer Häufigkeiten und sollte sich
stabilisieren gegen P von B.
Also sollte es Sinn machen, diesen Quotienten zu betrachten.
P von A geschnitten B durch P von B.
Das bekommt jetzt einen Namen.
Ich führe das nochmal auf.
Hier ist das Memo.
Und die relativen Häufigkeiten stabilisieren sich.
Und wir definieren einfach jetzt, das ist die Definition, eine
bedingte Wahrscheinlichkeit.
Und in diesem Gefolge definieren wir auch eine bedingte Verteilung.
Wir starten mit einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.
Das ist also unser Modell.
Es dreht sich jetzt wirklich um eine mathematische Definition.
Ich habe zwei Ereignisse als Teilmengen von Omega.
Und ich setze voraus, dass P von B positiv ist.
Nun, Sie sehen, wenn das da oben eben im Nenner steht, durch Null darf
ich nicht teilen.
Jetzt definiere ich einfach, wir sehen jetzt hier P, ich schreibe ein
A und dann einen langen Strich B.
Jetzt eine neue Schreibweise.
Das ist definiert als dieser Quotient.
Und wir nennen es bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der
Bedingung B.
Das Entscheidende ist hier mal, die Bedingung B könnte die Aussicht
auf das Eintreten von A verändert haben.
Wenn ich die Bedingung nicht hätte, dann habe ich einfach P von A.
Aber es könnte durchaus sein, dass P von A unter der Bedingung B
verschieden ist von P von A.
Die Bedingung B kann die Aussicht auf das Eintreten von A durchaus
vergrößern.
Oder auch verkleinern.
Wenn Ihnen jetzt einer sagt, Augensumme aus den beiden Würfen, wird
rübergerufen, ist mindestens 9.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf eine 6 ergeben
hat, größer, als wenn Sie die Information nicht haben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf eine 1 ergibt, ist 0 unter
dieser Information Augensumme 9.
Sie sehen, dass dort Wahrscheinlichkeiten verändert werden durch
solche Bedingungen.
Wir werden später einen Spezialfall kennenlernen, wenn nämlich P von A
unter der Bedingung B nicht von der Bedingung abhängt von B.
Dann werden wir sprechen von stochastischer Unabhängigkeit.
Das kommt im nächsten Kapitel.
Das ist ein Spezialfall.
So, jetzt machen wir Folgendes.
Wir lassen jetzt mal das Ereignis B fest und betrachten das, was hier
steht, P von A unter der Bedingung B, als Funktion von A.
Sie sehen, ich habe schon geschrieben, die durch P, jetzt habe ich das
B mal als Index dran geschrieben, damit eben deutlicher wird, okay,
ich betrachte das als Funktion von A, aber es ist nichts anderes als
dieser Ausdruck, diese bedingte Wahrscheinlichkeit.
Und Sie sehen, ich setze jetzt ein, die Teilmenge A von Omega.
Ich bekomme hier eine Funktion auf der Potenzmenge von Omega, die
realwertig ist.
Und diese Funktion nennt man bedingte Verteilung von P unter dieser
Bedingung B.
Das ist also jetzt nur die Sichtweise, dass ich bei festem,
bedingendem Ereignis B die Teilmengen A von Omega einsetzen kann.
Man nennt das bedingte Verteilung.
Okay, so sehen wir uns mal an, was man hier zeigen kann.
Also zunächst mal vielleicht eine Veranschaulichung.
Sie sehen dort, ich habe einen Grundraum mit fünf Elementen, das sind
also dort die Striche unten auf der Achse.
Und nach oben wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufgetragen, also
die Wahrscheinlichkeit der ein-elementigen Teilmengen.
Stellen Sie sich vor, ich habe hier so ein Stabdiagramm.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1.
Ich muss jetzt eine Bedingung auszeichnen, die Bedingung ist die
Teilmenge B, das seien diese drei.
Und was ich jetzt mache, ich gehe jetzt zur bedingten Verteilung über.
Das heißt, ich trage jetzt auf, also die färbe ich mal gelb ein jetzt,
die liegen nicht in B, diese beiden.
So, und ich habe hier nochmal das B und trage jetzt nach oben auf
dieses P-Index B von Omega.
Das ist natürlich nichts anderes als das, was wir gerade hatten, die
bedingte Wahrscheinlichkeit.
Sie sehen, für das A steht jetzt die ein-elementige Teilmenge Omega.
Man sieht sofort, wenn das Omega nicht in B ist, dann ist dort, was
oben steht, P von Omega, ein-elementige Teilmenge, geschnitten B, ist
die leere Menge, da kommt 0 raus.
So, das bedeutet, es entsteht jetzt folgendes.
Irgendwie müssen sich diese gelben Gewichte aufteilen und hier ist
einfach eine proportionale Vergrößerung.
Und der Rest hat die Wahrscheinlichkeit 0.
Das hier ist der Übergang zur bedingten Verteilung.
Ich mache nochmal einen Spezialfall.
Stellen Sie sich vor, Sie haben vorher die Gleichverteilung auf 5
Werten.
Alle haben die Höhe 0,2.
Gleiches Bedingende Ereignis B.
Das Gelbe da hinten fällt unter den Tisch und der Übergang, die
bedingte Verteilung, es entsteht eine Gleichverteilung und die Höhe
ist jetzt jeweils ein Drittel.
Das ist das, was ich sagte.
Wenn hier ohne weitere Voraussetzungen einfach gesagt wird, es werden
zwei Fälle ausgeschlossen, dann entsteht aus der Gleichverteilung
wieder eine Gleichverteilung.
Deshalb haben manche gemeint bei diesem Ziegenproblem, wenn drei Fälle
gleichwahrscheinlich sind, einer wird ausgeschlossen, dann sind die
beiden anderen gleichwahrscheinlich.
Egal, ob ich wechsle oder nicht, aber das Ziegenproblem ist
komplizierter, weil hier modelliert werden muss, wie die Bedingung an
mich rankommt, diese Information.
Es gibt Nebenbedingungen, der Moderator darf die eine Tür nicht
zeigen, aber muss auch was zu erkennen geben und die Autotür darf er
auch nicht zeigen und das sind alles Bedingungen, die die Sache hier
verkomplizieren.
Das bedeutet hier, die Botschaft ist, die Bedingte Verteilung ist die
Gleichverteilung auf B.
Jetzt will ich kurz das zeigen, was wir eben hatten.
Die Bedingte Verteilung ist wirklich ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf
der Potenzmenge.
Und was müssen wir zeigen?
Das war nochmal die Definition.
Sie sehen dort oben, Index B von A ist nichts anderes als die Bedingte
Wahrscheinlichkeit, die wir hier haben.
Und das muss sich für Wahrscheinlichkeitsmaße zeigen.
Ich muss erstmal zeigen, also der Beweis würde so ablaufen, also
nochmal als Memo, drei Bedingungen.
Ich muss immer zeigen, die Werte sind nicht negativ, aber wenn sich
oben das Memo ansehen würde, wie Pb von A definiert ist, P von B ist
natürlich positiv.
Beide Werte sind dann, also der Zähler ist nicht negativ, da kommt was
raus, was größer gleich Null ist, das ist klar.
Zweite Bedingung, wenn ich Omega einsetze für das A, muss eins
rauskommen, das ist diese Normierungseigenschaft.
Und setzen Sie mal in der ersten Zeile, wo Sie den Quotienten sehen
für das A Omega ein, da steht da P von Omega geschnitten, B durch P
von B, P von Omega geschnitten, B ist P von B, durch P von B ist eins.
Das bedeutet, das ist auch erfüllt.
Die dritte Eigenschaft eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, wenn Sie sich
erinnern, war diese Sigma-Additivität.
Die Sigma-Additivität besagt ja immer, wenn ich paarweise disjunkte
Mengen habe, können abzählbar unendlich viele sein, dann ist die
Wahrscheinlichkeit von deren Vereinigung gleich Summe der einzelnen
Wahrscheinlichkeit.
Man muss sich zur Notengrenzwert einer unendlichen Reihe bilden.
Hier, das ist diese dritte Bedingung.
Und wenn Sie jetzt für das A einsetzen diese Summe, das heißt Sie
müssen P, B und jetzt diese Summe betrachten, dann gehen Sie in die
Definition, erste Zeile, für das A steht jetzt das und Sie ziehen
einfach 1 durch P von B erstmal raus, nach vorne, dann bleibt das
über, 1 durch P von B, jetzt haben Sie P von dieser Summe.
Eigentlich hätte ich noch Summe A, J in Klammern setzen müssen,
geschnitten B, eigentlich.
Habe ich nicht gemacht, aufgrund des Distributivgesetzes.
Das ist also die Vereinigung der A, J geschnitten B.
Und jetzt nutzen wir einfach aus, dass das P Sigma-Additiv ist, denn
wie A, J schon paarweise disjunkt sind, dann erst recht die A, J
geschnitten B.
Sind für unterschiedliche J paarweise disjunkt.
Also darf ich hier Summe und P vertauschen.
Das heißt die Summe kommt nach vorne und das P dahinter.
Jetzt kann ich aber das 1 durch P von B wieder reinziehen, hinter die
Summe und Sie sehen, dass da nichts anderes steht als Summe P von A, J
geschnitten B durch P von B.
Nach Definition ist das aber gerade die bedingte Wahrscheinlichkeit P
von A, J unter der Bedingung B oder anders geschrieben P-Index B von
A, J.
Das heißt wir haben das und damit haben wir, wenn Sie nach ganz links
gucken und jetzt ganz rechts haben wir auch die Sigma-Additiv
-Dickelzeit, auch da können wir einen Haken dran machen.
Also das ist einfach einzusehen.
Die bedingte Verteilung ist auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Aber man sieht diese bedingte Verteilung, wenn Sie sich das oben
nochmal ansehen, schauen Sie auf das Memo, erste Zeile, wenn Sie für
das A die Menge B einsetzen, dann steht da im Zähler P von B
geschnitten B, B geschnitten B ist B, P von B durch P von B ist auch
schon 1.
Sie brauchen also gar nicht Omega einsetzen, wenn Sie schon B
einsetzen, kommt da 1 raus.
So setzen Sie für das A mal B-Komplement ein in der ersten Zeile.
B-Komplement geschnitten B ist die leere Menge.
P von der leeren Menge ist 0, kommt 0 raus.
Also das bedeutet, diese bedingte Verteilung ist ganz konzentriert auf
dem Ereignis B und B-Komplement kriegt die Wahrscheinlichkeit 0 unter
dieser bedingten Verteilung.
Ist aber völlig, ist auch klar, es muss so sein, denn wenn ich schon
weiß, dass B eingetreten ist, ist natürlich die Wahrscheinlichkeit,
dass B-Komplement eintritt 0 unter dieser Bedingung, dass ich weiß,
dass B eintritt.
Und wenn B eintritt, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass B
eintritt schon 1.
Also man sollte auch immer sehen, dass das nicht nur formal
mathematisch jetzt ist, wir haben natürlich jetzt hier die Axiome
verwendet, sondern dass es wirklich eine Definition ist, die Sinn
macht.
Wir haben sie über relative Häufigkeiten motiviert und dass natürlich
im Gefolge dieser Sinnhaftigkeit sich trivialerweise dann auch solche
einfachen Überlegungen ergeben wie eben.
Also man sagt, die bedingte Verteilung lebt ganz auf dem B, ist ganz
auf dem B konzentriert und das Komplement von B hat unter dieser
Bedingung die Wahrscheinlichkeit 0.
Jetzt ein direkter Zusammenhang mit Übergangswahrscheinlichkeiten.
Wenn Sie Folgendes haben, betrachten Sie ein zweistufiges Experiment.
Dieses zweistufige Experiment wird beschrieben durch so einen
Grundraum, das sind die Paare.
Erstes Experiment beschrieben durch Omega 1, zweites durch Omega 2 und
die Ergebnisse sind dann die kleinen Omegas, das sind diese Paare A1,
A2 und wir haben gesagt, das modellieren wir mit einer Startverteilung
und mit Übergangswahrscheinlichkeiten.
Das war Kapitel 8 zu Beginn mit dem Baumdiagramm.
Das heißt, wir setzen an ein P von Omega und Sie sehen, erste
Pfadregel, es ist eine Definition.
Die erste Pfadregel ist kein Satz.
Es ist eine Modellierungsdefinition.
Wir setzen an P von Omega als P1 von A1 Startverteilung mal bedingte
Wahrscheinlichkeit.
Sie werden gleich sehen, diese Übergangswahrscheinlichkeit ist eine
bedingte Wahrscheinlichkeit in dem Sinne, wie wir sie eben eingeführt
haben.
Also P von A dann in diesem Raum.
Omega ist jetzt die Summe dieser kleinen P von Omega.
Omega aus A für jede Teilmenge A.
Ich muss also die summieren, die da rechts stehen, also diese
Produkte.
Okay.
Für jede Teilmenge.
Jetzt betrachten wir mal zwei Ergebnisse, so kann ich sie
interpretieren.
A1 Element Omega 1 und A2 Element Omega 1.
So, ich möchte jetzt Ereignisse definieren, nämlich dass beim ersten
Teilexperiment sich das Ergebnis A1 einstellt und ein anderes
Ereignis, dass sich beim zweiten Teilexperiment das Ergebnis A2
einstellt.
Das müssen aber als Ereignisse im zweistufigen Experiment jeweils
Teilmengen von Omega sein.
Das mache ich jetzt so.
Wir sehen B, das ist nichts anderes als das kathesische Produkt A1 in
Mengenklammern Kreuz Omega 2.
Nun was ist das?
Das ist die Menge aller Paare A1, und das andere ist beliebig.
So, Sie sehen, ich schaue nur auf das erste Teilexperiment und sage,
da muss das Ergebnis A1 eintreten, ansonsten das zweite ist wie so ein
Dummy, aber ich muss es mitschleppen, damit das B wirklich eine
Teilmenge wird von Omega, vom kathesischen Produkt.
So kann ich aber das Ereignis verbal interpretieren.
Genauso kann ich es andersrum machen.
Jetzt, das sind wieder gewisse Paare, jetzt interessiert die erste
Komponente nicht.
Völlig egal, was beim ersten Experiment eintritt, aber ich schaue aufs
zweite.
Das bedeutet, beim zweiten Teilexperiment soll das Ergebnis A2
auftreten.
Sie sehen also, ein Ereignis, das B bezieht sich aufs erste
Teilexperiment und das A aufs zweite.
Jetzt machen wir folgendes, wir bilden mal das Ereignis A geschnitten
B.
Und Sie sehen, A geschnitten B, da muss jetzt beim ersten A1
eintreten, beim zweiten A2, das besteht nur noch aus diesem geordneten
Paar.
A geschnitten B.
Das ist jetzt ein Element, was da drin steht, innerhalb der
Mengenklammer.
Wir wissen, wie wir P von diesem Omega A1 A2 modellieren.
Schauen Sie auf die Pfadregel oben rechts.
Das bedeutet, P von A geschnitten B ist nichts anderes als P von P1
von A1 mal P2 von A1, A2.
Das ist P von A geschnitten B.
Jetzt sehen wir uns mal an, was P von B ist.
Nun B, sehen Sie, ist jetzt von der Bauart A1, vorne steht A1 und die
zweite Komponente ist egal.
Wenn ich also P von B ausrechne, sehen Sie, oben steht allgemein P von
A, aber das A ist natürlich jetzt allgemein gemeint und nicht das
spezielle A da unten.
Ich muss also in die Gleichung oben von P von A muss ich das B
einsetzen und die Omegas in B, die haben eine feste erste Komponente,
die ist immer A1.
Das bedeutet, über die zweite muss ich summieren.
Und das schreibe ich jetzt in dieser Form.
Sie sehen, das sind eben genau diese Wahrscheinlichkeiten nach der
Pfadregel.
Es wird genau über diese Omegas summiert, die in B liegen.
Nämlich die erste Komponente ist fest und die zweite habe ich jetzt A2
-Schlange genannt, weil das A2 oben fest war.
Ich muss jetzt sozusagen irgendwas haben, über was ich summieren darf.
Das ist jetzt das A2-Schlange.
Das ist P von B.
Nun, Sie sehen, das P1 von A1 hat mit der Summe nichts zu tun.
Das kann ich vor die Summe ziehen.
Das bedeutet, ich habe das.
Aber ich behaupte, das was da steht ist nichts anderes als P1 von A1.
Die Summe ist nämlich 1.
Das heißt, bei festem A1 wissen wir, wenn wir über das zweite
summieren, das war beim Baumdiagramm, das bedeutet, diese Summe ist 1.
Das war eine Bedingung für die Übergangswahrscheinlichkeiten.
Sie sehen also, P von B ist P1 von A1.
P von A geschnitten B steht drüber.
Ich muss ja gerade teilen.
Ich muss ja P von A geschnitten B durch P von B teilen.
Und was bleibt über?
Es bleibt über P2 von A1 A2.
Das bedeutet, dass P von A unter der Bedingung B ist nichts anderes
als diese Übergangswahrscheinlichkeit.
Das bedeutet für Sie als Botschaft, Übergangswahrscheinlichkeiten sind
bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Wir werden auch später sehen, also dieses P von A geschnitten B im
Sinne der Definition wird sehr selten nach der Definition
ausgerechnet, sondern es interessiert eigentlich P von A geschnitten
B, der Zähler.
Und den würde ich gerne ausrechnen durch P von B und P von A unter der
Bedingung B.
Und das ist ein Modellierungsaspekt.
Die Definition ist wichtig.
Auch der Hintergrund ist wichtig über die relative Häufigkeit.
Aber sehr selten rechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit wirklich
so aus, sondern benutzt sie eigentlich in Form von solchen
Übergangswahrscheinlichkeiten über die Modellierung mit der ersten
Pfadregel.
Das ist auch ein wichtiger Punkt hier.
Also das ist hier die Gleichung.
Sie sehen, rechts steht P von B unter der Bedingung A.
Ich habe jetzt A und B vertauscht.
Also so flexibel müssen wir sein.
Wenn ich P von B unter der Bedingung A bilde, dann rechts ist das ja
gerade P von B geschnitten A, dividiert durch P von A.
Sie sehen, das P von A kürzt sich weg.
Auf der rechten Seite steht P von B geschnitten A.
Aber B geschnitten A ist das gleiche wie A geschnitten B.
Also haben Sie diese Gleichung.
Hier ist natürlich P von A positiv.
Das bedeutet, diese Wahrscheinlichkeiten P von A und P von B unter der
Bedingung A, die sind oft gegeben als Modellbausteine.
Und dann rechnen Sie P von A geschnitten B aus.
Diese Gleichung ist wichtiger als die andere.
Da war der Fokus auf P von A unter der Bedingung B und da wurde
vielleicht gedacht, naja, dann rechnen wir das aus über P von A
geschnitten B durch P von B.
Aber viel häufiger ist es, dass aufgrund einer Experimentiersituation
mir P von B unter der Bedingung A gegeben ist und P von A gegeben ist
und ich dann über diese Gleichung oben P von A geschnitten B
ausrechne.
Allgemein kann man das jetzt so machen.
Das ist die wichtige Multiplikationsregel.
Auch die kommt in der Schule dran.
Multiplikationsregel.
Wenn ich Ereignisse habe, was sie A1 bis AN, ich habe nur eine
Bedingung, damit alles wohl definiert ist.
Die Wahrscheinlichkeit des Schnittes der ersten N-1 muss positiv sein.
Wenn das erfüllt ist, ist unter anderem P von A1 positiv, denn A1 ist
eine Obermenge hiervon.
P von A1 geschnitten A2 muss auch positiv sein.
Ist auch eine Obermenge hiervon.
Von A1 geschnitten und so weiter geschnitten bis AN-1.
Was ist die Wahrscheinlichkeit von A1 und so weiter geschnitten AN?
Oben in der Zeile, da haben wir den Fall N gleich 2.
Da wäre A A1 und B wäre A2.
Wenn Sie das A gleich A1 setzen und B gleich A2, würde da stehen P von
A1 geschnitten A2 ist P von A1 mal P von A2 unter der Bedingung A1.
Das baut sich jetzt auch so auf, ist P von A1 mal P von A2 unter der
Bedingung A1.
Jetzt, wenn ich hier aufhören würde, dann hätte ich genau P von A1
geschnitten A2 oder P von A2 geschnitten A1, was das gleiche ist.
Jetzt mache ich folgendes, ich multipliziere nochmal einen Faktor ran.
Also das ist P von A1 geschnitten A2, was jetzt hier steht.
Jetzt mache ich mal mal diese bedingte Wahrscheinlichkeit.
Wie ist die definiert?
Die ist definiert als Wahrscheinlichkeit des Schnittes aller dieser
Ereignisse und das ist aber nichts anderes A1 geschnitten A2
geschnitten A3, dividiert durch P von A1 geschnitten A2.
Aber der Faktor davor ist P von A1 geschnitten A2, dividiert durch P
von A1 geschnitten A2.
Das heißt, was hier steht ist P von A1 geschnitten A2 geschnitten A3.
Das heißt, das wäre das, was wir zeigen wollen für n gleich 3.
Jetzt geht man induktiv vor, es geht jetzt immer so weiter und das
steht ganz am Ende da.
Beweis jetzt von n nach n plus 1 durch Induktion.
Einfache Sache.
Wir führen das aus.
So, das ist die Multiplikationsregel.
Die Multiplikationsregel ist in gewisser Weise eine direkte
Verallgemeinerung der ersten Pfadregel.
Nämlich die erste Pfadregel, jetzt kommt das Standardbeispiel, ein
gekoppeltes endstufiges Experiment mit die Ereignisse aj beziehen sich
jetzt auf das j-Teilexperiment und beim j-Teilexperiment soll sich ein
Ergebnis klein aj einstellen.
Ich muss das Ereignis aj modellieren in diesem einfachen Produktraum
oder in diesem Omega-1-Kreuzkreuz, Omega-n sollte ich sagen, in diesem
kathesischen Produkt.
Und das kann man so machen, hier interessieren nicht die ersten j-1
-Experimente.
Da kann beliebiges passieren.
Beim j-Teilexperiment, da soll das Ergebnis aj eintreten und die
anderen interessieren wieder nicht.
Sie sehen, dieses aj ist eine Teilmenge von Omega-1-Kreuzkreuz-Kreuz
-Omega -n.
Das sind die Menge aller n-Tupel mit der Eigenschaft, dass die j
-Komponente des Tupels aj ist.
In dem Fall ist nämlich gerade die Wahrscheinlichkeit von aj, das ist
jetzt eine direkte Verallgemeinerung dessen, was wir uns vorher
überlegt hatten für 2, nichts anderes als diese
Übergangswahrscheinlichkeit.
Das heißt, hier sehen Sie wieder, die bedingten Wahrscheinlichkeiten
sind in Spezialfällen Übergangswahrscheinlichkeiten und die
Multiplikationsregel ist dann nichts anderes als die erste Pfadregel.
Das wäre gerade hier, das p von a1 ist das p von a1, p von a2 unter
der Bedingung a1, haben wir eben gesehen, ist p2 von a1, a2 und so
weiter.
Folgendes werden Sie vielleicht bemerkt haben, bei den bedingten
Wahrscheinlichkeiten, sehen Sie hier in der vorletzten Zeile, steht
die Bedingung hinten, nach dem langen Strich.
Wenn Sie die Übergangswahrscheinlichkeiten sehen, sind die aber anders
notiert, da geht es sozusagen in der zeitlichen Reihenfolge.
Erstes, zweites, drittes, so ist eine etwas andere Notation, aber das
ist so üblich.
Bei bedingten Wahrscheinlichkeiten schreibt man die Bedingung hinter
diesem langen Strich, das Ereignis davor, das ist eine bedingte
Wahrscheinlichkeit, die man untersuchen will.
Und bei den Übergangswahrscheinlichkeiten ist es eben so, dass
natürlich die bedingenden Größen hier vorne stehen, nämlich das sind
gerade a1, klein a1, klein a2 und so weiter, klein aj-1.
Unter dieser Bedingung, dass die eintreten, dass dann das j
-Teilexperiment den Wert aj ergibt, das ist dann das Ergebnis hinten.
Sie sehen also, Sie sollten einfach sensibel sein und ein bisschen
flexibel, sensibel und flexibel.
Wir haben hier einen direkten Zusammenhang zwischen
Übergangswahrscheinlichkeiten und bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind mathematisch sehr einfach.
Wir werden jetzt gleich noch einen Satz kennenlernen, der besteht aus
zwei Teilen und dann kommen nur noch Beispiele.
Das sind die beiden Sätze.
Sie sehen, der eine Satz ist die Formel von der totalen
Wahrscheinlichkeit und das andere ist die Bayes-Formel.
Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit wird sehr häufig
angewandt.
Die Bayes-Formel kommt übrigens in den Anwendungen auch vor.
Neuronale Netze zum Beispiel arbeiten mit der Bayes-Formel.
Medizinische Diagnosesysteme arbeiten mit der Bayes-Formel.
Spamfilter können mit der Bayes-Formel arbeiten.
Da gibt es auch Ansätze.
Die Bayes-Formel ist also wirklich wichtig und der Ausgangspunkt ist
die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Stellen Sie sich vor, Sie haben paarweise disjunkte Ereignisse.
Das können auch endlich viele sein.
Das Entscheidende ist, die schließen sich paarweise aus, weil sie
paarweise disjunkt sind, aber ihre Vereinigung ist Omega.
Wenn Sie so wollen, wird das Omega, das in alle Fälle zerlegt, in
Teilfälle, in endlich viele oder in abzubauenendlich viele Teilfälle.
Wenn es zu kompliziert wird, dann zerlegt man.
Jetzt kommt folgendes, man nennt das eine Zerlegung von Omega.
Weiter sei B ein Ereignis.
Und das Ziel ist, ich möchte P von B bestimmen, aber B ist ein sehr
kompliziertes Ereignis.
Das Entscheidende ist, in Teil A gibt es jetzt eine Formel für P von
B.
Und Sie fragen sich natürlich, warum soll ich diese Formel benutzen,
aber ich sagte schon, weshalb.
P von B ist vielleicht sehr schwer auszurechnen, B ist ein
kompliziertes Ereignis.
Aber wenn das jetzt, was auf der rechten Seite steht, einfach
auszurechnen ist, dann habe ich natürlich gewonnen.
Mal sehen wir uns an, was da steht.
Da steht eine Summe.
Das kann auch eine endliche Summe sein, auch endlich viele paarweise
bestimmte Ereignisse.
Sie sehen, da steht P von AJ mal P von B unter der Bedingung AJ.
Das bedeutet, wenn die P von AJ bekannt sind und ich sehr einfach
diese bedingten Wahrscheinlichkeiten habe, wenn ich weiß, AJ tritt
ein, mit welcher bedingten Wahrscheinlichkeit tritt dann auch B ein,
wenn ich das habe, sehr einfach, dann kann ich natürlich durch dieses
Zusammenbauen P von B ausrechnen.
Das ist die berühmte Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Man kann hier durchaus auch zulassen, dass gewisse AJ die
Wahrscheinlichkeit Null haben, gerade bei diesen absehbar unendlich
vielen.
Hierbei definiert man dann das Produkt als Null, falls P von AJ gleich
Null ist.
Also ich definiere gar nicht die bedingte Wahrscheinlichkeit, ich
definiere einfach das Produkt als Null, falls P von AJ gleich Null
ist.
Jetzt kommt der zweite Teil.
Jetzt möchte ich gerne, wenn P von B eine positive Wahrscheinlichkeit
hat, folgendes betrachten.
Ich möchte diese bedingte Wahrscheinlichkeit haben.
Also das bedeutet, P von AK unter der Bedingung B.
Das ist jetzt gerade die bedingte Wahrscheinlichkeit andersrum.
Wieso kann das interessant sein?
Also stellen Sie sich zum Beispiel sowas vor, ganz grob wie so ein
medizinisches Diagnosesystem.
Ein Mensch kommt zum Arzt, gibt es also gewisse Symptome.
Aber vielleicht ist es so, dass dieses Symptom von ganz
unterschiedlichen Krankheiten verursacht werden kann.
Ich weiß vielleicht, es gibt vielleicht endlich viele Krankheiten, das
sind die A´s.
Sehr, sehr einfach, das juckt.
Und jede Krankheit produziert mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit
das Symptom B.
Das sind dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Das ist vielleicht auch alles bekannt.
Das heißt, ich kenne die Wahrscheinlichkeiten, vielleicht in der
Bevölkerung oder einer gewissen Altersgruppe, wie oft tritt die
Krankheit auf.
Ich kenne die P von AJ.
Und ich kenne auch diese bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Das heißt, wenn diese Krankheit vorliegt, die Krankheit J, also das
Ereignis AJ, wie dann die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von B
ist, vom Symptom B.
So, jetzt ist die Frage, wenn das Symptom B auftritt, damit kommt der
Mensch zum Arzt, B tritt auf, mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt
dann die Krankheit mit der Nummer K vor?
Das ist gerade andersrum.
Sie sehen, das kann durchaus interessant sein, sich mit solchen Fragen
zu beschäftigen.
Und hier ist die Formel, naja, das ist einfach das.
Sie sehen, hier tauchen wieder diese Wahrscheinlichkeiten der AJ auf
und es tauchen wieder die Wahrscheinlichkeiten B unter der Bedingung
AJ auf.
Man nennt, das ist die berühmte Bayes-Formel, und man nennt in diesem
Zusammenhang mit der Bayes-Formel die Wahrscheinlichkeiten PA1 und so
weiter, PAN, die sogenannten a priori Wahrscheinlichkeiten, also was
zuerst war.
Sie müssen sich das so vorstellen, ich habe vielleicht gewisse
Vorinformationen, die gipfeln eben in diesen Wahrscheinlichkeiten.
Und jetzt habe ich ein Ereignis B, was eintritt und ich habe eine
zusätzliche Information und würde gern eventuell diese
Wahrscheinlichkeiten A1, A2 neu bewerten, hinterher, a posteriori,
nach dem Beobachten von B.
Und aus dem Grunde nennt man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten,
wenn B eingetreten ist, das Update sozusagen.
Wenn B eingetreten ist, nennt man die sogenannten a posteriori
Wahrscheinlichkeiten.
Das kann man jetzt immer wiederholen, immer wieder neue Daten, man
nennt das sozusagen dann auch bayesches Lernen in der Informatik.
Ich habe vorher sozusagen eine gewisse Unsicherheit, die ich
modelliere mit PA1, PA2.
Jetzt habe ich objektive Daten und dann habe ich eine Neubewertung,
die gipfelt unten in diesen a posteriori Wahrscheinlichkeiten.
Sehen wir uns diese beiden Formeln an.
Das ist zu zeigen bei der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
und der Beweis ist sehr einfach.
Das Entscheidende ist, P von B kann ich so schreiben, nämlich Summe aj
ist Omega.
Das war die Zerlegung.
Sie sehen, jetzt kann ich die Klammer wieder weglassen,
Distributivgesetz, das ist das.
Und jetzt nutze ich die Sigma-Additivität aus und kann die Summe und
das P vertauschen.
Das heißt, das ist das.
Und jetzt weiß ich aber, P von aj geschnitten B, das kann ich
schreiben als ein Produkt, nämlich P von aj mal P von B unter der
Bedingung aj.
Das mache ich jetzt.
Und schon ist also diese erste Formel gezeigt.
Und wenn nämlich P von aj Null ist, haben wir gesagt, das Produkt soll
rechts Null sein.
Wenn P von aj Null ist, ist aber auch P von aj geschnitten B Null.
Das stimmt dann auch überein.
Das war dieser Zusatz, den ich machte bei dieser Formel von der
totalen Wahrscheinlichkeit.
So, was ist mit der Bayes-Formel, das zu zeigen?
Sie erkennen jetzt schon, was ist denn P von ak unter der Bedingung B.
Wenn Sie das ausrechnen würden, dann wäre das P von ak geschnitten B
durch P von B.
P von B haben wir in A ausgerechnet.
Sie erkennen also schon den Nenner.
Der Nenner ist P von B.
Das haben wir gerade gezeigt in A.
Das heißt, wir müssen nur noch haben, dass der Zähler ist P von ak
geschnitten B.
Schauen wir uns den Zähler an.
Was ist denn der zweite Faktor, P von B unter der Bedingung ak?
Das ist P von B geschnitten ak durch P von ak.
P von ak kürzt sich weg, also bleibt im Zähler über P von B
geschnitten ak.
Das ist das gleiche wie P von ak geschnitten B.
Das war der ganze Beweis.
Das bedeutet, P von ak unter der Bedingung B ist das nach Definition.
P von B ist nach Teil A ausgerechnet.
Ich schreibe erstmal, ich gehe so vor, ich gucke mir erst den Zähler
an.
Der Zähler ist das, was ich eben sagte.
Und P von B haben wir ausgerechnet nach Teil A.
Das wird jetzt eingesetzt und damit haben wir es.
Das ist also die B-Sform.
Das ist jetzt, was hier in diesem Kapitel an Mathematik vorkommt, war
das alles.
Also wenn Sie so wollen, war das nur die Definition der bedingten
Wahrscheinlichkeit und diese mehr oder weniger trivialen Folgerungen.
Also mathematisch ist das, wenn Sie sich überlegen, was Sie im ersten
Studienjahr gemacht haben, implizite Funktionen oder sonst irgendwie
was, Enumorphismen, ist das trivial.
Das Problem ist nur, die Stochastik hat eben mit Anwendung zu tun und
mit Modellierung und mit Beispielen und das ist hier die
Schwierigkeit.
Sie dürfen später im Unterricht keine Angst haben vor diesen
Modellierungsaufgaben.
Das ist der Punkt.
Stochastik lebt von der Interaktion.
Es gibt zig Artikel, die heißen Stochastik aus der Zeitung.
Römisch 1, Römisch 2, Römisch 3 und so weiter.
Ganz, ganz viele, Dutzende, wo immer sich ein Zeitungsartikel
hergenommen wird und da steht irgendwas über Kriminalitätsstatistiken
und so weiter und schon wird irgendwas zerpflückt.
Nochmal das Dreitürenproblem, Ziegenproblem.
Wir werden jetzt rechnen.
Wir betrachten jetzt den Fall, dass der Kandidat auf Tür 1 zeigt.
Das, was gleich entsteht, das Baumdiagramm, ist dieser Fall.
Die Bedingung ist, Kandidat zeigt auf Tür 1, das ist fest.
Wenn er auf Tür 2 zeigt und Tür 3, ergeben sich andere Baumdiagramme,
aber im Ergebnis kommt immer das gleiche raus.
Also der Hauptgewinn wird rein zufällig platziert hinter einer von
drei Türen.
Kandidat wählt Tür 1, okay.
Moderator muss Niete zeigen, darf Tür 1 nicht öffnen und öffnet die
Tür 3.
Er darf auch nicht das Auto zeigen.
Das bedeutet, soll man wechseln?
Das war die Frage.
Jetzt kommt ein Baumdiagramm.
Bei dem Baumdiagramm müssen Sie sehen, diese ersten Pfeile mit den
Drittelwahrscheinlichkeiten ist quasi die rein zufällige Platzierung
des Autos.
Mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Drittel, entweder hinter Tür 1,
Tür 2 oder Tür 3.
Das sind diese ersten Pfeile.
Jetzt sehen Sie, der Kandidat hat ja auf Tür 1 gezeigt.
Jetzt sehen Sie, schauen Sie sich links an.
Das Auto, wenn das Auto hinter Tür 1 ist, jetzt kommt der Punkt, der
Moderator darf das Auto nicht zeigen.
Er kann also nur Tür 2 oder Tür 3 öffnen.
Hinter diesen sind jetzt die Ziegen.
Und wir gehen hier in dem Modell davon aus, er wirft eine echte Münze.
Das heißt, er zeigt mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Halb, entweder
Tür 2 oder Tür 3.
Das ist eine Modellannahme.
Ich könnte vielleicht auch sagen, er hat eine Vorliebe für eine der
Türen.
Ich könnte unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten ansetzen.
Ich sage hier mal ein Halb.
Sie sehen, ich habe eine Modellannahme gemacht.
So, wenn, schauen Sie sich diesen mittleren Strang an in dem
Baumdiagramm.
Jetzt ist das Auto hinter Tür 2.
Kandidat hat auf Tür 1 gezeigt.
Tür 1 darf nicht geöffnet werden, Autotür auch nicht.
Auto ist hinter Tür 2.
Mit Wahrscheinlichkeit 1 muss der Moderator Tür 3 öffnen.
Ziege.
Schauen Sie sich den rechten Strang an.
Jetzt ist das Auto hinter Tür 3.
Diese Tür darf nicht geöffnet werden.
Tür 1 aber auch nicht.
Auf die hat Kandidat gezeigt.
Also muss der Moderator mit Wahrscheinlichkeit 1 Tür 2 zeigen.
So entsteht das Baumdiagramm.
Jetzt führe ich die Ereignisse ein.
AJ sei das Ereignis Auto hinter Tür J.
MJ sei das Ereignis Moderator öffnet Tür J.
Das ist die rein zufällige Platzierung des Autos.
Das sind die Apriori-Wahrscheinlichkeiten.
P von A1 ist P von A2 ist P von A3 ist 1.
In diesem Baumdiagramm ist die feste Bedingung, der Kandidat zeigt auf
Tür 1.
Jetzt sehen wir eben diese Wahrscheinlichkeiten.
Wenn das Auto hinter Tür 1 ist, öffnet der Moderator mit gleicher
Wahrscheinlichkeit 1 halb die Tür 2 oder die Tür 3.
Das sind diese beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Das war der linke Strang im Baumdiagramm unten.
Dann muss er mit Wahrscheinlichkeit 1, wenn das Auto hinter Tür 2 ist,
Tür 3 öffnen.
Und wenn das Auto hinter Tür 3 ist, muss er Tür 2 öffnen mit
Wahrscheinlichkeit 1.
Das sind jetzt diese bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Wir sehen also, die haben wir jetzt als Modellbausteine, die bedingten
Wahrscheinlichkeiten.
Jetzt will ich natürlich bestimmen, was ist die Wahrscheinlichkeit,
dass sich das Auto hinter Tür 2 befindet, unter der Bedingung,
Moderator öffnet Tür 3.
Das ist die Situation des Kandidaten.
Ich habe auf 1 gezeigt.
3 hat er mir geöffnet.
Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2
ist?
Soll ich wechseln?
Jetzt kommt die Bayes-Formel.
Die Bayes-Formel sagt genau das.
Eigentlich würden Sie sagen, im Nenner erwarte ich noch was.
Im Nenner müsste ich eigentlich noch haben, da steht jetzt P von A1
mal P von M3 unter A1 plus P von A2 mal P von M3 unter A2.
Eigentlich müsste ich noch erwarten, P von A3 mal P von M3 unter A3.
Aber die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator Tür 3 öffnet,
unter der Bedingung, dass das Auto dahinter ist, ist 0.
Er darf ja die Autotür nicht öffnen.
Deshalb habe ich diesen Summanden, der 0 ergibt, nicht in den Nenner
geschrieben.
Wenn Sie jetzt alles einsetzen, Sie können zum Beispiel sofort kürzen.
Im Zähler steht doch P von A2, im Nenner steht P von A1 und P von A2.
Da die Wahrscheinlichkeiten alle ein Drittel sind, können Sie die
schon gedanklich rauskürzen.
Was bleibt über?
Es bleibt über im Zähler P von M3 unter A2.
Da sehen Sie die 1.
P von M3 unter A2 ist 1.
Das haben wir unten auch noch mal.
Und P von M3 unter A1, das ist ein Halb.
Also haben Sie 1 dividiert durch ein Halb plus 1.
Ein Halb plus 1 ist 3 Halbe.
1 dividiert durch 3 Halbe ist 2 Drittel.
Botschaft ist Wechsel.
Also wir haben es ausgerechnet.
Man sieht aber hier an dem Baumdiagramm, dass das durchaus interessant
ist, dass man sich genau überlegt, was sind die Nebenbedingungen und
wie kommt jetzt die Information an mich ran.
Sie können sich eben diesem Drei-Türen-Problem auf unterschiedliche
Weise nähern.
Das wäre jetzt hier über das Baumdiagramm.
Also Wechsel.
Ich möchte jetzt mit einem zweiten Beispiel fortfahren.
Test auf eine seltene Krankheit.
Mit durchaus oft diskutierten Konsequenzen.
Sie sehen hier einen Raum Omega, der soll folgendes symbolisieren.
Sie sehen Paare, vorne steht eine 0 oder eine 1 und dann sehen Sie ein
Minus in einem Kreis und ein Plus in einem Kreis.
Was ist damit gemeint?
Eine 1 in der ersten Komponente bedeutet, eine Person ist krank, eine
0, sie ist gesund.
In der zweiten Komponente bedeutet ein Plus und ein Minus ein
positives oder negatives Testergebnis eines Bluttests.
So ein positives Testergebnis soll signalisieren, ich habe die
Krankheit.
Wo das natürlich dann nicht positiv ist, aber so heißt das eben dann
bei Bluttests.
Man muss eben sehen, für gewisse Krankheiten gibt es Bluttests, die
sollen das Vorhandensein der Krankheit diagnostizieren, aber jeder
Test kann sich irren.
Die Situation ist die, wenn ich zum Arzt gehe und ich habe einen
positiven Bluttest, mit welcher Wahrscheinlichkeit bin ich dann
wirklich krank?
Das wird sich jeder fragen.
Das bedeutet, krank zu sein, Sie sehen vorne die Komponente 1, die
kann einhergehen mit einem negativen Ergebnis des Bluttests und mit
einem positiven Ergebnis des Bluttests.
Das ist krank.
Dann gesund zu sein, ist das Komplement von krank.
Sie sehen also vorne die 0, kann einhergehen mit einem positiven oder
einem negativen Test.
Dann das Ereignis Test negativ, Sie sehen da haben Sie vorne die 1,
Sie können krank sein oder auch gesund und der Test kann ein negatives
Ergebnis haben oder Sie können ein positives Testergebnis haben, Sie
können auch krank oder gesund sein.
Das heißt, es gibt vier Fälle, vier Kombinationen.
Jetzt kommen die Modellannahmen.
Es gibt eine Apriori-Wahrscheinlichkeit für die Krankheit.
Man weiß vielleicht in der Bevölkerung, so oft tritt das auf.
Wenn man sieht Kuh, Kuh wird klein sein, seltene Krankheit, vielleicht
ein tausendstel oder ein hundertstel maximal.
Dann gibt es eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Sie sehen unter der Bedingung, dass ich krank bin, dass ich dann ein
positives Testergebnis habe.
Diese Wahrscheinlichkeit, Sie sehen, die ist abgekürzt mit kleinen p,
Index SE, die steht im Fachjargon für Sensitivität des Tests.
Das bedeutet, mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Kranker auch
wirklich entdeckt bei so einem Bluttest.
So muss ich das interpretieren.
Dann kommt eine andere bedingte Wahrscheinlichkeit.
Unter der Bedingung, dass ich gesund bin, mit welcher bedingten
Wahrscheinlichkeit habe ich ein negatives Testergebnis.
Das heißt, mit welcher Wahrscheinlichkeit stellt der Tester auch
wirklich fest, dass ich gesund bin.
Sollte eine sehr große Wahrscheinlichkeit sein.
Also die sollte eigentlich 1 sein.
Sie sehen ein p, Index SP, das ist im Fachjargon die Spezifität des
Tests.
Ideal wären beide bedingten Wahrscheinlichkeiten 1, aber das sind sie
nicht.
Da gibt es immer Irrtümer.
Unterschiedliche Ursachen haben die.
Nach der Bayes-Formel kann ich jetzt diese Wahrscheinlichkeit
ausrechnen.
Denn Sie sehen, ich habe die Apriori-Wahrscheinlichkeit für krank, der
andere Fall ist gesund.
Gesund ist natürlich das Kompliment von krank.
Das heißt, hier sind die Ereignisse A1 ist krank zu sein und A2 ist
gesund zu sein.
Das ist also diese Zerlegung.
Und das Ereignis B ist eben in dem Fall positives Testergebnis.
Unter der Bedingung, dass Sie das jetzt haben.
Ja, und nach der Bayes-Formel kann ich das so ausrechnen.
Das ist jetzt eine reine Rechnung.
Aber diese Rechnung hat jetzt nichts mit gesunden Menschen Verstand zu
tun.
Das ist jetzt nur eine Anwendung erstmal der Bayes-Formel.
Das bedeutet, ich kann das ausrechnen, wenn ich alle Größen auf der
rechten Seite habe.
Nun haben wir gesehen, die Modellannahme P von K, die habe ich ja, P
von G ist 1-Q, denn K und G schließen sich gegenseitig aus und ergeben
in der Vereinigung ganz Omega.
Dann weiß ich, wenn ich gesund bin, dass ich ein positives
Testergebnis habe, ist ja gerade 1- diese Spezifität, denn die
Spezifität ist ja P von negatives Testergebnis unter der Bedingung.
Sie sehen, die gleiche Bedingung G und diese beiden bedingten
Wahrscheinlichkeiten, auch die bedingte Verteilung, Sie sehen, G ist
fest.
Wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, ist das hier 1- die
Spezifität.
Ja, und wenn ich das habe, kann ich alles einsetzen.
P von K habe ich, das war das Q, und dann ergibt sich das.
Also Sie sehen, mit Hilfe von Q und der Sensitivität und der
Spezifität kann ich das ausrichten.
Jetzt habe ich das mal gemacht, zum Zahlenbeispiel, und danach
schalten wir den gesunden Menschenverstand wieder ein.
Es ist wichtig, dass der erhalten bleibt.
Also, hohe Werte.
Sie sehen, der Test irrt sich nur in zwei von tausend Fällen.
Die Wahrscheinlichkeiten sind fast eins.
Sehr toller Test.
Das heißt sozusagen, nur zwei Promille der Gesunden werden
fälschlicherweise als krank identifiziert, also krank aufgrund des
Tests dargestellt.
Und umgekehrt eben auch nur zwei Prozent der Kranken werden als gesund
im Test dann diagnostiziert.
Sehr guter Test.
Jetzt sehen Sie unten, ich trage auf, die Wahrscheinlichkeit, dass ich
wirklich krank bin unter der Bedingung, dass ich ein positives
Testergebnis habe, als Funktion von Q.
Q war die Wahrscheinlichkeit krank zu sein.
Das ist sozusagen der Anteil in der Bevölkerung, der krank ist.
Und Sie sehen diese Auftragung unten, das ist eine logarithmische
Skala.
Also das ist hier ganz links ist ein Zehntausendstel im Nullpunkt.
Dann sehen Sie dort 0,001, ein Tausendstel, ein Hundertstel und ein
Zehntel.
Das ist ja wirklich eine seltene Krankheit.
Wenn ich die Wahrscheinlichkeit auftrage, ergibt sich diese Kurve.
Insbesondere sollten Sie sehen, schauen Sie mal bei 0,001 hin.
Also die Krankheit ist in der Bevölkerung vertreten nur bei jedem
Tausendstel.
Also wenn das der Fall ist, ich gehe zum Arzt und habe ein positives
Testergebnis, die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ungefähr, wenn Sie
hoch gehen, ungefähr ein Drittel.
Ziemlich genau zwischen 0,2.
Das heißt, Sie sind nur mit Wahrscheinlichkeit ein Drittel krank.
Unter diesen Maßgaben.
Jetzt kommt der gesunde Menschenverstand.
Also wenn Sie solche Dinge machen, also wenn Sie keine Bayes-Formel
einführen und stellen das Schülern in der achten Klasse, dann können
die das viel eher rausbekommen, als wenn man später Stochastik macht
und Bayes-Formel und hinterher hat man gar kein Verständnis dafür.
So stellen Sie sich folgendes vor, die Situation, Sie haben eine
Million Menschen, die unterziehen sich diesem Bluttest.
Und 1.000 seien krank.
Das ist genau ein Tausendstel.
Das entspricht eben in diesem Diagramm genau dann dieser Stelle hier.
0,001.
Ein Tausendstel.
Was passiert?
Jetzt kommen diese beiden Eigenschaften da oben.
Es sind 1.000 krank.
Von den 1.000 Kranken werden auch wirklich fast 1.000 als krank
dargestellt.
Wir haben gesagt, in 2 Promille der Fälle irrt sich der Test nur.
Das heißt, von den 1.000 Kranken bekommen ca.
998 ein positives Testergebnis.
Einige wenige werden das nicht haben.
Aber ich habe jetzt auch noch 999.000 Gesunde.
Bei denen irrt sich der Test auch nur in 2 Promille.
1 Promille sind 999.
2 Promille sind 1.998.
Das heißt, insgesamt in der ganzen Bevölkerung von den 1.000.000
erhalten, Sie sehen, die 998 können Sie durch 1.000 ersetzen grob und
die 1.998 durch 2.000.
Sie haben 3.000, die ein positives Testergebnis haben.
Von denen sind aber wirklich nur 1.000 krank und das sind Dritte.
Hier diskutiert man dann bisweilen den Sinn und Unsinn von
Reihenuntersuchungen.
So soll man flächendeckend, früher als ich Kind war, kam da
Röntgenwagen durch die Gegend, da wurde man auf alles mögliche
getestet.
Man hat drüber nachgedacht, über solche Reihenuntersuchungen.
Aber um hier mitreden zu können, sollten Sie sich das mal überlegt
haben, auch wenn der Test so sehr, sehr genau ist.
Wenn ich das jetzt flächendeckend machen würde, ich würde sehr, sehr
viele falsch-positive Fälle haben.
Also Leute, die vielleicht dann unter Umständen sich sofort umbringen
oder psychische Schäden davon tragen.
Ja, ich meine, je nachdem, wie ernst das ist.
Wie die Krankheit jetzt lebensbedrohlich ist.
Also, Base-Formel.
Aber, wenn man mit absoluten Zahlen operiert, braucht man eigentlich
gar nicht rechnen.
Das heißt, man kann mit so einer Plausibilitätsbetrachtung das auch
rausbekommen.
Nächstes Beispiel.
Die berühmte männerfeindliche Universität.
Also stellen Sie sich vor, es gibt eine Uni, da bewerben sich Frauen
und Männer.
Es gibt zwei Fächer, der Einfachheit halber.
Und es gibt Bewerberinnen und Bewerber.
Und zwar können die zugelassen werden oder auch nicht.
Man bewirbt sich.
Nehmen Sie an, es haben sich tausend Frauen beworben.
Und tausend Männer.
Und von den tausend Frauen wurden 740 zugelassen und von den Männern
nur 420.
Spätestens jetzt ist der Aufschrei groß.
Die Universität ist männerfeindlich.
Nur 42% der Männer werden zugelassen, aber 74% der Frauen, spätestens
jetzt wird nach dem Männerbeauftragten gerufen.
Großes Geschrei.
Es wird eine Kommission gebildet, die geht jetzt in die Uni und guckt
sich an, wo jetzt diese Diskriminierung zu finden ist.
Okay, sie geht erstmal in den Fachbereich 1 und schaut sich da an, was
da passiert ist.
Okay, da haben sich 900 Frauen beworben.
Von den Frauen wurden 720 zugelassen.
Das bedeutet 80% der Frauen wurden zugelassen in diesem Fach.
Kann man unschwer erkennen.
So, in dem Fach haben sich 200 Männer beworben.
Von den Männern wurden 180 zugelassen.
Das sind 90%.
Also in diesem ersten Fach wurden prozentual mehr Männer zugelassen
als Frauen.
Also das erste Fach ist überhaupt nicht männerfeindlich.
Die Diskriminierung muss also im zweiten Fach erfolgen.
Wir sehen uns das zweite Fach an.
Nun, da bleiben natürlich 100 Bewerberinnen über.
Und von den 720 bleiben noch 20 über.
Es wurden 20 Frauen zugelassen im zweiten Fach.
Das sind 20%.
Schauen wir uns die Männer an.
Da sind natürlich noch 800, die übrig bleiben.
Von denen wurden zugelassen 240.
Die Summe muss ja dann 420 sein.
Das sind 30%.
Das bedeutet, im Fach 2 wurden 30% der Männer zugelassen und 20% der
Frauen.
Auch das zweite Fach ist überhaupt nicht männerfeindlich.
Was ist passiert?
Offenbar haben sich die Frauen überwiegend in dem Fach beworben, wo
die Zulassung sehr schwer zu erlangen war.
Man sieht sofort, es löst sich in Luft auf, die 0,74, diese 74%,
ergeben sich als gewichtetes Mittel aus 0,8 und 0,2.
Das sind diese Zulassungsquoten.
Aber das Gewicht ist eben bei 0,8 ist 0,9 und das Gewicht bei 0,2
davor ist 0,1.
Das sind diese 10%, die sie im zweiten Fach beworben haben.
So ergeben sich die 74%.
Die 42% ergeben sich genauso als gewichtetes Mittel, 0,2 mal 0,9.
20% in Fach 1, dann mit hoher Zulassungswahrscheinlichkeit und dann 80
% in Fach 2 mit 30%iger Zulassungswahrscheinlichkeit, 0,3.
Das heißt, die Daten lügen nicht.
Man muss sehen, es kann durchaus sein, dass sich in Teilgesamtheiten
in Teilgesamtheiten, Fach 1, Fach 2 etwas völlig konträr verhält und
zwar synchron konträr zum Ganzen.
Ich werde das jetzt allgemein erzählen, das ist das berühmte Simpson
-Paradoxon.
Das ist nur eine Ausprägung davon.
Nur eine.
Das Simpson-Paradoxon, da passiert Folgendes.
Stellen Sie sich vor, Sie haben Ereignisse und ein Grundraum Omega ist
zerteilt in endlich viele Kategorien, also schließen sich paarweise
aus.
Die Kategorien in dem Beispiel eben waren Fach 1 und Fach 2.
Und A und B sind Ereignisse zugelassen zu werden.
Jetzt kann Folgendes passieren.
Sie sehen, für jede einzelne Kategorie J kann die bedingte
Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung A, also für ein Ereignis B,
unter der Bedingung A und ich befinde mich in dieser Kategorie kann
strikt größer sein als die bedingte Wahrscheinlichkeit unter der
Bedingung A-Kompliment.
Im Gegenteil, geschnittenen KJ für jedes J.
Aber wenn Sie das KJ weglassen und betrachten sozusagen nur die
Bedingungen A und A-Kompliment, dann kann es gerade andersrum sein.
Das ist hier der Punkt.
Das kann passieren.
Aber wir werden sehen, was das mit dem Beispiel eben auf sich hat.
Das ist das berühmte Simpson-Paradoxon.
Im oberen Beispiel, was wir hatten mit der Universität, können Sie
sagen, okay, N ist 2 und die KJ ist Bewerbung in Fach J.
Es gibt zwei Fächer.
Entweder kann ich mich auf Fach 1 oder auf Fach 2 bewerben.
Das sind diese Ereignisse.
Dann B ist das Ereignis, eine aus allen 2000 Bewerbern zufällig
gewählte Person wird zugelassen.
Hier werfe ich also die Männer und die Frauen in den Topf.
Und A, aus allen 2000 Bewerbern wird zufällig gewählte Person ist
männlich.
Das heißt, jetzt sehen Sie dort oben, interpretieren Sie die
Wahrscheinlichkeiten.
Erstmal die nach dem Ausrufezeichen.
Das heißt, wir haben die bedingte Wahrscheinlichkeit unter der
Bedingung, ich werde zugelassen, das ist die Bedingung schon, die
bedingte Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, ich bin männlich, das
ist ja A, zugelassen zu werden ist kleiner, strikt kleiner, als die
bedingte Wahrscheinlichkeit zugelassen zu werden.
Die Bedingung A-Kompliment ist natürlich jetzt hier Studentin,
Bewerberin.
Ich habe genau diese, die ist kleiner.
Aber in jedem einzelnen Fach, gehen Sie die beiden Fächer durch, KJ,
ist es gerade andersrum.
Die Wahrscheinlichkeit, wenn ich im ersten Fach bin, dass unter die
Bedingung habe, ich bin männlich, dass ich dann zugelassen werde, ist
größer, als die entsprechende Wahrscheinlichkeit bei den Frauen.
Und in Fach 2 genauso.
Das bedeutet, in Teilgesamtheiten kann es andersrum sein.
Beachte, die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit gilt auch für
bedingte Verteilungen.
Also ich habe hier eine feste Bedingung A und auch eine Bedingung A
-Kompliment.
Also die Bedingung A bedeutet jetzt, ich habe einen männlichen
Bewerber.
Die Bedingung A-Kompliment heißt, ich habe einen weiblichen, also eine
Bewerberin.
Und hier nach der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit gilt eben
gerade, wir sehen, ich habe immer das A als Index dran geschrieben,
das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit.
Und das gleiche gilt auch für die bedingte Verteilung mit A
-Kompliment.
Es kann jetzt eben sein, das Entscheidende ist, wie die Gewichte sind.
Die Gewichte davor, vor diesen bedingten Wahrscheinlichkeiten spielen
eine große Rolle.
Das heißt hier nochmal, für die Männer war das 0,42.
Das setzt sich zusammen aus 0,2 mal 0,9 plus 0,8 mal 0,3 und bei den
Frauen kommt ein großer Wert raus, 74, weil eben dort das Gewicht vor
0,8 groß ist.
Die 0,8 entsprechen drüber, bei den Männern die 90% Zulassung in dem
ersten Fach, aber es haben sich da eben 20% nur beworben.
Das ist der Punkt.
Entsprechend hinten die 0,2 und die 0,3.
Sie sehen, dass die Gewichte davor sehr, sehr unterschiedlich sind.
Einmal 0,1 und einmal 0,8.
Das ist der Hintergrund hierfür.
Ich mach mal noch ein weiteres Beispiel.
Man kann das auch beobachten, das Simpson-Paradoxon im Steuerwesen.
Also wir zahlen alle Steuern und hier war es in den USA in 2 zu 2
Zeitpunkten, die 4 Jahre auseinander lagen.
Einmal 1974 in Reinform.
Das ist ein Jahreseinkommen einer Person und Sie sehen hier
Kategorien.
Insgesamt sind es 5 Kategorien.
Weniger als 5000 Dollar und so weiter und die höchste Kategorie ist
mindestens 100.000.
5 Einkommenskategorien.
Das entspricht eben den Fächern.
Hier wieder 5 Kategorien.
So jetzt 1978, gleiche Kategorien.
Jetzt sehen wir uns erstmal 1974 an.
Das Einkommen in 1000 Dollar.
Was dort erzielt wurde, in dieser Einkommenskategorie waren eben dann
41, was haben wir jetzt, 1000 Dollar, Milliarden, 651 Millionen, 643
.000 Dollar.
In dieser Kategorie.
In der nächsten Kategorie wurde insgesamt das erwirtschaftet.
In der nächsten Kategorie das, in der nächsten das und in der nächsten
das.
Insgesamt wurden, wenn ich das alles zusammenzähle, so und so viel
Dollar erwirtschaftet.
880 Milliarden und so weiter.
Ok.
Gut.
Jetzt kommt folgendes.
Jetzt kommt die gezahlte Steuer.
Aus dieser ersten Einkommenskategorie flossen an den Fiskus das.
Also recht wenig.
In der zweiten Kategorie floss das an den Fiskus, in der dritten das,
in der vierten das, in der fünften das.
Insgesamt flossen dann an den Fiskus diese 123 Milliarden und so
weiter Dollar.
Das ist insgesamt bezahlt worden.
So an den Fiskus fließen, können Sie hier interpretieren als
zugelassen werden.
Jeder, sozusagen jeder erwirtschaftete Steuerdollar kann zugelassen
werden oder nicht.
Sie müssen es nur uminterpretieren.
Jetzt passiert folgendes.
Sehen wir uns den durchschnittlichen Steueranteil an.
In der ersten Kategorie, ich habe das schon mal rot gemacht, sind es 5
,4%.
Also 5,4% ergeben sich wirklich, wenn Sie die 2, 4, 4, 4, 6, 7 teilen
durch das, was da links steht.
Dann entsprechend haben Sie 9,3%, 11,1%, 16,0% und 38,4%.
Und wenn Sie jetzt den durchschnittlichen Steueranteil bilden, müssen
Sie natürlich das, was insgesamt an den Fiskus floss, dividieren durch
das, was insgesamt erwirtschaftet wurde.
Und das ergibt einen durchschnittlichen Steueranteil von 14,1%.
Ok, jetzt 4 Jahre später.
Das sind jetzt diese Zahlen.
Und insgesamt wurde das erwirtschaftet, also deutlich mehr.
So, jetzt kommen die gezahlten Steuern wieder in diesen Kategorien.
Das ist insgesamt gezahlt worden.
An Steuern.
Jetzt schauen wir uns die Steueranteile an.
In der ersten Kategorie ist der durchschnittliche Steueranteil
gesunken auf 3,5%.
Der war vorher 5,4%.
Wunderbar.
In der zweiten Kategorie ist er gesunken.
Oben waren es 9,3%, jetzt noch 7,2%.
Auch gesunken.
In der dritten Kategorie waren es oben 11,1%, jetzt noch 10,0%.
Auch gesunken.
In der vierten Kategorie 16,0%, 15,9%.
Auch gesunken.
Und dann haben wir da 38,4% und jetzt sind es nur 38,3%.
Selbst in der höchsten Einkommenskategorie ist der durchschnittliche
Steueranteil auch gesunken.
In jeder einzelnen Einkommenskategorie.
Jetzt könnte natürlich die Regierung, die da dran war, sofort sagen
für den nächsten Wahlkampf, Leute, ganz egal wie die Steuerkategorie
war, wir haben also überall den durchschnittlichen Anteil gesenkt.
Jetzt kommt die Opposition, die muss natürlich auch irgendwas haben
für den Wahlkampf.
Wie gesagt, stellen wir uns mal den durchschnittlichen Steueranteil
an.
Der ist also 15,2%.
Vorher war er 14,1%.
Der ist also deutlich gestiegen, der durchschnittliche Steueranteil.
Ja, und das ist wieder nichts anderes als das Simpson-Paradoxon.
Auch diese Zahlen lügen nicht.
Wir müssen jetzt interpretieren.
A bzw.
A-Kompliment sind einmal die Menge der 74 bzw.
78 als Einkommen erzielten Dollar.
B ist die Menge der 74 oder 78 gezahlten Steuerdollar.
Das entspricht eben hier wirklich der Zulassung.
In einem Fach ist hier dem Fiskus Geld geben.
K1 bis K5, das sind die Einkommenskategorien.
Und Sie haben eben, wenn Sie sehen, das Ereignis A ist eben 74
erwirtschaftet, die Wahrscheinlichkeit dann zugelassen zu werden im
Sinne von an den Fiskus gehen.
Das war 74, der durchschnittliche Steueranteil.
Die Wahrscheinlichkeit ist eben nur 0,141, also ungefähr ein Siebtel
und ist natürlich kleiner als die andere, die 15,2% entspricht.
Aber in jeder einzelnen Kategorie ist es andersrum.
Jetzt führen Sie noch die Kategorien zusätzlich ein und sehen, Sie
haben dort oben sind auch die Farben anders gemacht und das bedeutet,
okay, das können Sie wie immer interpretieren, aber es ist das gleiche
Phänomen wie bei der Uni.
Das nennt man natürlich kalte Progression.
Über das wird im Augenblick wieder diskutiert.
Man sieht einfach, die Einkommensklassen haben sich verschoben von 74
zu 78.
Soll das jetzt abgemildert werden?
Im Augenblick fließt alles üppig.
Unser Finanzminister freut sich und das wird natürlich politisch
diskutiert.
Das ist das Phänomen hier.
Okay.
Letztes Beispiel.
Sterbetafeln.
Sterbetafeln, nach denen richten sich unter anderem auch
Lebensversicherungen, Pensionskassen und ähnliche.
Hier dreht es sich auch um bedingte Wahrscheinlichkeiten, nämlich wenn
ich ein gewisses Alter erreicht habe, dass ich innerhalb des nächsten
Jahres sterbe.
Das ist natürlich eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die altersabhängig
ist.
Natürlich kann man sowas nur schätzen aufgrund von den großen Zahlen,
die man hat.
Wir wissen alle, dass die Leute im Schnitt älter werden, sowas muss
also immer aktualisiert werden.
Aber es dreht sich hier nur ums Prinzip.
Also männlich-weiblich danach wird unterschieden, weil da
unterschiedliche Sterbewahrscheinlichkeiten vorliegen.
Das vollendete Alter ist x und das ist die Sterbewahrscheinlichkeit
innerhalb des nächsten Jahres von x zu x plus 1 und das ist die
entsprechende Überlebenswahrscheinlichkeit, das Komplement der
Sterbenswahrscheinlichkeit und das gleiche für die Frauen.
Und Sie sehen, das ist die übliche Bezeichnung.
Das vollendete Alter wird mit kleinen x beschrieben, dann haben Sie
qx, ist die Sterbewahrscheinlichkeit und px ist 1 minus qx ist die
Überlebenswahrscheinlichkeit und getrennt nach Männern und Frauen.
Und auch die Lebensversicherungstarife und Ähnliches.
Da gibt es dann Unterschiede.
Sie sehen also hier zum Beispiel, wenn ich 53 geworden bin, dann als
Mann das nächste Jahr, also im nächsten Jahr zu sterben ist also etwas
über 6 Promille.
Also ganz grob 6 von 1000 Männern sterben wenn Sie 53 sind, innerhalb
des nächsten Jahres.
Bei den Frauen ist das deutlich weniger, 0,003 ungefähr die Hälfte.
Und Sie sehen, die Überlebenswahrscheinlichkeit ist das, was dahinter
steht, ein Komplement.
Wenn Sie ein Jahr älter werden, sehen Sie, dass Sie natürlich dort,
das steigt jetzt an.
Bei dem Mann ist es jetzt also fast 7 Promille, 0,069.
Bei den Frauen ist es auch größer geworden.
Und es steigt mit zunehmendem Alter an.
Ich habe es mal hier bis 65 gemacht.
Sie werden dort auch mal eine Übungsaufgabe haben, wo Sie einfach mal
eine Prämie für eine Risikolebensversicherung kalkulieren.
Für einen 60-Jährigen, der möchte gerne auf 5 Jahre nochmal eine
Risikolebensversicherung abschließen.
Die zahlt nur dann, wenn er stirbt.
Das heißt für die Hinterbliebenen dann eine Absicherung.
Wie soll die Versicherung das kalkulieren?
Sie steht auch in Konkurrenz mit anderen.
Sie muss natürlich auch, sie hat ihre Kosten und so weiter.
Wie soll sie das machen?
Sie braucht Information.
Sie muss unter Unsicherheit sie kalkulieren und sie muss am Markt
bestehen.
Sie darf nicht pleite gehen.
Sie darf nicht zu viel nehmen, denn sonst werden die Verträge nicht
abgenommen.
Das ist ein Problem.
Okay.
Ja, damit wollte ich das Kapitel hier abschließen über bedingte
Wahrscheinlichkeiten.
Sie sollen wirklich erkennen, dass ich sie mathematisch hier überhaupt
nicht gefordert habe.
Das muss man wirklich klar sehen.
Es lebt von den Beispielen.
Es lebt vom Begriff.
Ich muss den Begriff richtig verstanden haben.
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Wie sind die Zusammenhänge mit anderen Begriffen, die wir schon
hatten?
Wir müssen das vernetzen.
Das ist hier das Entscheidende.
Und wir sehen eben durchaus interessante Phänomene, die sich ergeben
können mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und die man wirklich auch
diskutieren kann und die was mit dem Alltagsleben zu tun haben.
Okay.
Ja, das ist die Sterbetafel mittlerweile schon aktualisiert, aber es
dreht sich ums Prinzip.
Kann man beim Statistischen Bundesamt einsehen.
Jetzt kommt ein neues Kapitel.
Ganz interessant.
Unabhängigkeit.
Ich möchte Sie mal einstimmen mit den Ergebnissen von 25 Würfelwürfen,
aber vermeintlich.
Also viermal 25 Würfelwürfe, aber zwei dieser Reihen sind ausgedachte
Augenzahlen.
Das waren zwei Schüler einer 9.
Klasse, die haben das bei mir zu Hause gemacht.
Ausgedacht.
Denkt euch das mal aus.
Eine Reihe ist wirklich echt erwürfelt worden.
Und bei einer Reihe hat der Computer eine Rolle gespielt.
Man kann nämlich auch einen Computer würfeln.
Es gibt da sogenannte Pseudo-Zufallsgeneratoren.
Darauf gehe ich noch ein in einem Kapitel.
Zum Beispiel Maple hat auch so einen Generator.
Okay.
Können Sie sich ja mal überlegen, welche Reihen ausgedacht worden
sind.
Interessanterweise passiert folgendes bei den ausgedachten Reihen.
Die beiden Schüler haben sich nicht getraut, irgendeine Zahl, wenn sie
aufgetreten war, direkt nochmal zu wiederholen.
So was nennt man einen Pasch, wenn man sozusagen zweimal
hintereinander das gleiche macht.
Das heißt, Sie sehen zwei Reihen, da tritt überhaupt kein Pasch auf.
Das sind genau die ausgedachten.
Diese.
Die zweite ist mit Pseudo-Zufallszahlen.
Sie sehen, das ist jeder gleich groß mit 4, 3, 3, 4, 4.
So was würde nie ein Schüler hinschreiben.
Für die ersten fünf Ergebnisse, dass dann nur zwei verschiedene Zahlen
auftreten.
Die letzte Reihe ist wirklich gewürfelt worden.
Beginnt gleich mit dem Pasch.
Also offenbar haben wir Schwierigkeiten, sozusagen unabhängige, völlig
unbeeinflusste Versuchswiederholungen irgendwie hinzuschreiben für
uns.
Wie agiert der reine Zufall?
Wir haben wirklich begriffliche Schwierigkeiten, ernsthafte.
Sie kennen vielleicht alle das Spiel Steinschere Papier.
Also da denkt sich jeder, also zwei Spieler, ein Symbol aus von den
dreien und dann muss man das kennzeichnen mit der Hand.
Also man kann dann, die V steht für den Stein, das steht für das
Papier und das eben dann für die Schere.
Und das macht man gleichzeitig und bei Gleichstand wird es wiederholt,
aber das Entscheidende ist, es gibt hier keinen stärksten Begriff.
Also der Stein macht die Schere stumpf, ist also stärker als die
Schere.
Natürlich schon, die Schere macht den Stein kaputt, ist stärker als
der Stein.
Das Papier ist aber stärker, auch stärker als der Stein, aber die
Schere schneidet das Papier.
Es gibt also keinen stärksten Begriff, ist das Entscheidende.
So, wenn ich das jetzt spiele mit jemand anders, passiert einfach
Folgendes.
Wir versuchen einfach nur zu erraten, was der andere beim nächsten Mal
macht.
Also nehmen wir mal an, ich würde einen echten Würfel nehmen und würde
sagen, für mich, ich werfe, wenn der eine 1 oder 2 zeigt, nehme ich
Stein, wenn der eine 3 oder 4 zeigt, nehme ich Schere, und wenn er
eine 5 oder 6 zeigt, nehme ich Papier, dann kann niemand gegen mich
gewinnen, weil er mich nicht ausrechnen kann.
Aber auf die Dauer würde das quasi unentschieden ausgehen, also wenn
man irgendwie Striche machen würde.
Das lebt sozusagen nur von der Psychologie, dieses Spiel.
Dann, weitere begriffliche Schwierigkeit.
Also kann ich unabhängig wechseln?
Roulette?
Werden Zahlen zum Beispiel beim längeren Ausbleiben wahrscheinlicher?
Kleine Anekdote, ich war einmal im Spielcasino, als Student, im
zweiten Semester, ich hatte noch keine Stochastik, verdiente damals
schon recht gut, ich hatte 100 Mark, in 50 2D-Mark-Chips eingetaut,
also das war der kleinste Einsatz, und ging an einen Tisch und wollte
auf Rot oder Schwarz setzen und habe so lange gewartet, bis 6 mal Rot
in Folge kam.
Dann habe ich 2D-Mark auf Schwarz gesetzt, weil ich dachte, naja, muss
ja jetzt irgendwann mal kommen.
Kam er wieder Rot.
Hab ich verdoppelt, also 4D-Mark auf Schwarz gesetzt, kam wieder Rot.
Hab ich 8D-Mark auf Schwarz gesetzt, es kam wieder Rot.
Das ist also wirklich Wahrheit.
Ich hab 16D-Mark auf Schwarz gesetzt, kam wieder Rot.
Ich hab 32D-Mark auf Schwarz gesetzt, es kam wieder Rot.
Dann konnte ich nicht mehr ganz verdoppeln.
Alles, was ich hatte noch, auf Schwarz gesetzt, es kam wieder Rot.
Ich war pleite und dann kam Schwarz.
Direkt danach.
Jetzt können Sie ausrechnen, nicht nur 6 mal Rot in Folge, nämlich bei
den 2D-Mark, das siebte Mal, bei 4, das achte Mal, das neunte Mal, das
zehnte Mal, das elfte Mal, langläufig 11 mal Rot in Folge vor.
Und das bedeutet, ich hatte Stochastische Unabhängigkeit noch nicht
verstanden.
Ein Semester später hatte ich dann die erste Stochastik-Vorlesung und
dann dämmerte es mir.
Wenn da wirklich kein Gedächtnis herrscht, dann ist sozusagen jedes
Mal, natürlich die Null spielt einem, aber es ist fast eine 50
-prozentige Wahrscheinlichkeit und das ist eben Unabhängigkeit.
Also wenn Sie Ihre Schülerin und Schüler mal Folgendes tun lassen,
also Sie sagen, schreib doch mal eine rein zufällige Folge aus 1 und
0, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, der Länge 50 hin.
Dann werden Sie kaum erleben, dass irgendeiner von denen 4 mal eine 1
oder 4 mal eine 0 in Folge hinschreibt.
Psychologisch ist sozusagen der Drang, einfach dann, wenn Sie eine
längere Folge aus 1 oder 0 hinzuwechseln, so groß und der reine Zufall
produziert, einfach viel längere aufeinanderfolgende Serien von Glücks
- oder Pechstränen, wenn Sie das so interpretieren wollen.
Das bedeutet, da besteht eine prinzipielle begriffliche Schwierigkeit.
Und beim Lotto ähnlich.
Es gibt zum Beispiel auch hier viele Spielerinnen und Spieler, die
tippen zum Beispiel die 6 Zahlen, die bislang am längsten ausgeblieben
sind.
Da gibt es Statistiken, genau die 6 Zahlen, auf die man jetzt am
längsten wartet, weil sie glauben, die haben Nachholbedarf.
Da das aber so viele machen, das sind tausende pro Woche, wenn die
kämen, wäre die Quote im Keller.
Das heißt, sowas soll man schon prinzipiell nicht machen.
Das heißt, man soll nie, wenn man schon Lotto spielt, eine Reihe
tippen nach einer einfachen Regeln, der sich auch andere bedienen
können.
Weil dann im Gewinnfall die Quote niedrig ist.
Es gibt nur einen Topf.
Gut, damit wären wir für heute fertig.
Also wir stimmen uns ein auf die Unabhängigkeit und dann geht es da am
Freitag weiter.
Dankeschön.